ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ Τομέας Ανθρωπιστικών Κοινωνικών Επιστημών και Δικαίου Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΕΜΠΕΙΡΙΣΜΟΣ, ΚΑΝΤ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πέτρος Δαμιανός
ΑΔΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Η ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟΝ ΚΑΝΤ Όλο το δημιούργημα του Νεύτωνα σχετίζεται σε μεγάλο βαθμό με το δόγμα που περιγράφεται με τη φράση του «υποθέσεις δεν κάνω». Η φράση αυτή συνοψίζει μια σημαντική διαφορά της επιστήμης μετά την επιστημονική επανάσταση ( η οποία ολοκληρώνεται με τον Νεύτωνα) και της επιστήμης που πρότεινε ο Αριστοτέλης αλλά και ο Καρτέσιος. Αυτή η νέα επιστημολογική πρόταση επειδή επηρέασε σε πολλά επίπεδα τον ευρωπαϊκό πολιτισμό εκφράστηκε φιλοσοφικά από τον αγγλικό εμπειρισμό. Εχθρός του εμπειρισμού σε φιλοσοφικό επίπεδο είναι κάθε πρόταση που η αλήθεια της δεν προκύπτει από την εμπειρία. ή από το ίδιο το νόημα της. Ένας από τους κύριους εκπροσώπους του, o Χιούμ (Hume) υποστήριζε ότι δεν μπορούμε να παράγουμε ούτε a priori (ανεξάρτητα από εμπειρία) ούτε a posteriori (μέσω εμπειρίας) δικαιολογήσεις για ένα πλήθος πεποιθήσεών μας, όπως την πεποίθηση ότι «τα αντικείμενα παραμένουν ταυτόσημα κατά τη ροή του χρόνου» ή όπως την πεποίθηση πως «κάθε γεγονός πρέπει να έχει μία αιτία» γιατί αυτά εμπεριέχουν υποθέσεις τις οποίες ούτε η λογική ούτε η εμπειρία μπορεί να μας επιβεβαιώσει. Ο εμπειρισμός αντλούσε τη δύναμη του από την επιτυχία της «μεθοδολογίας» του Νεύτωνα, η οποία έριχνε το βάρος της στην εύρεση κανονικοτήτων της φύσης, αποφεύγοντας κάθε επεξηγητική υπόθεση. Με την επικράτηση του Εμπειρισμού, οποιοδήποτε συμπέρασμα (και όχι περιγραφή) για τον κόσμο, όσο εύλογο κι αν ήταν, μπορούσε να σπρωχτεί στο χώρο της αμφιβολίας και της αμφισβήτησης. Ήταν ο Καντ αυτός που έδωσε, σε φιλοσοφικό επίπεδο, την αποφασιστική μάχη με τον εμπειρισμό και με τον Χιούμ. 3
Η ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟΝ ΚΑΝΤ Ο Καντ ισχυρίστηκε ότι ο παλιός διαχωρισμός μεταξύ a priori και a posteriori αληθειών ήταν ανεπαρκής για να περιγράψει το είδος των προτάσεων για τις οποίες υπήρχε διαφωνία. Για τον Καντ μία ανάλυση της γνώσης απαιτεί μία επιπλέον διάκριση μεταξύ συνθετικών και αναλυτικών αληθειών. Σε μία αναλυτική πρόταση το κατηγορούμενο εμπεριέχεται μέσα στο υποκείμενο. Στην πρόταση «κάθε σώμα καταλαμβάνει χώρο» η ιδιότητα το να καταλαμβάνεις χώρο αποκαλύπτεται στην ανάλυση του τι σημαίνει να είναι κάτι ένα σώμα. Αντίθετα, το υποκείμενο μιας συνθετικής πρότασης δεν περιλαμβάνει το κατηγορούμενο. Στην πρόταση «αυτό το δέντρο είναι 3 μέτρα υψηλό» οι έννοιες συντίθενται ή συνταιριάζονται μαζί για να φτιάξουν μία νέα πρόταση στην οποία δεν εμπεριέχεται καμία από τις μεμονωμένες έννοιες. Για τον Καντ οι εμπειριστές κακώς θεωρούσαν ότι οι a priori προτάσεις ταυτίζονταν με αυτές που χαρακτήριζε ως αναλυτικές. Γι αυτόν a priori σημαίνει ελεγχόμενη χωρίς τη διαμεσολάβηση εμπειρίας, ενώ αναλυτική σημαίνει ελεγχόμενη, χωρίς τη διαμεσολάβηση εμπειρίας επειδή το κατηγορούμενο εμπεριέχεται μέσα στο υποκείμενο. Δηλαδή η αναλυτική πρόταση είναι μια υποπερίπτωση της a priori, η αναλυτική είναι a priori ενώ οι a priori εμπεριέχουν και αναλυτικές και συνθετικές. 4
Η ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟΝ ΚΑΝΤ Μία συνθετική a priori πρόταση, ισχυρίζεται ο Kant, είναι αυτή που ενώ δηλώνει κάτι που ξεπηδά από την εμπειρία, καταλαβαίνουμε ότι είναι αληθής χωρίς να απευθυνθούμε στην εμπειρία και ταυτόχρονα χωρίς το κατηγορούμενο της να εμπεριέχεται λογικά μέσα στο υποκείμενο. Δηλαδή στην πρόταση «κάθε γεγονός πρέπει να έχει μια αιτία» η έννοια του γεγονότος δεν εμπεριέχει την έννοια της αιτίας και ταυτόχρονα, ενώ αποδίδουμε αιτίες στα περισσότερα από τα γεγονότα που αναγνωρίζουμε, η γενίκευση «κάθε γεγονός πρέπει να έχει μια αιτία» ενώ συνδέεται άμεσα με την εμπειρία δεν είναι ένα αμιγές εμπειρικό φαινόμενο. Ο Καντ ισχυρίστηκε ότι τέτοιου είδους συνθετικές a priori προτάσεις απαιτούν ένα διαφορετικό είδος απόδειξης από αυτό που απαιτείται για τις αναλυτικές a priori προτάσεις ή τις συνθετικές a posteriori προτάσεις. Έτσι θεώρησε πως οι εμπειριστές δεν μπορούσαν να αποδείξουν συνθετικές a priori προτάσεις όπως «κάθε γεγονός πρέπει να έχει μια αιτία» επειδή είχαν ταυτίσει τις συνθετικές με τις a posteriori προτάσεις όπως τις αναλυτικές με τις a priori. Κάποιος θα μπορούσε να παραθέσει μαζί με τον Καντ, ως συνθετικές a priori προτάσεις, εκτός τα παραδείγματα της αριθμητικής και της γεωμετρίας και πιο πεζά παραδείγματα του τύπου «αν κάτι είναι κόκκινο τότε δεν είναι γαλάζιο», «αν κάτι έχει μήκος 1 μέτρο τότε δεν μπορεί να έχει μήκος 2 μέτρα» και «αν ο α είναι ψηλότερος από τον π και ο π από τον σ τότε και ο α είναι ψηλότερος από τον σ». Σε καμία από αυτές τις κρίσεις το υποκείμενο δεν περιλαμβάνει τα κατηγορήματα, ωστόσο σίγουρα είναι αυτές οι προτάσεις πάντα αληθείς και γι' αυτό το λόγο, σύμφωνα με τον Καντ, a priori, επιπλέον όμως είναι και εμπειρικές κρίσεις και με βάση το κριτήριο του Καντ κάθε εμπειρική κρίση θα πρέπει να είναι συνθετική. 5
Η ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟΝ ΚΑΝΤ Έτσι ο Καντ δεν αντιμετώπισε καμία δυσκολία στο να αναγνωρίσει τις συνθετικές a priori κρίσεις. Αυτό όμως που ελέγχει τις συνθετικές κρίσεις δεν μπορεί να είναι οι έννοιες, πρέπει να είναι εποπτείες. Oι συνθετικέs κρίσεις όμως όταν είναι a priori δεν μπορούν να βασίζονται μόνο σε μία απλή εμπειρική εποπτεία. Στην πρόταση «κάθε γεγονός έχει μια αιτία» το γεγονός δεν είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός μιας συγκεκριμένης εμπειρίας, είναι κάτι γενικότερο που έχει ως παράδειγμα συγκεκριμένες εμπειρίες κάποιων γεγονότων. Έτσι ο Καντ έθεσε μία πιο ειδική, «μη εμπειρική» μορφή εποπτείας που την αποκάλεσε «καθαρή εποπτεία». Σε τακτά χρονικά διαστήματα βρίσκει κανείς στον Καντ δηλώσεις οι οποίες προτείνουν ότι η καθαρή εποπτεία διαφέρει από την εμπειρική εποπτεία στο ότι, τα αντικείμενα τα οποία αναπαριστά είναι καθαρά παρά εμπειρικά. Στην κριτική του έδωσε ένα υπερβατικό επινόημα με τη διάκριση πρωτευόντων δευτερευόντων ποιοτήτων όταν ισχυρίστηκε ότι «οι ποιότητες δεν μπορούν να παρουσιαστούν σε κάποια εποπτεία που δεν είναι εμπειρική, αλλά οι ποσότητες μπορούν». «Μπορούμε να μορφοποιήσουμε σε εποπτεία το σχήμα ενός κώνου, αβοήθητοι από οποιαδήποτε εμπειρία, μόνο σύμφωνα με μια έννοια, αλλά το χρώμα ενός κώνου πρέπει πρωτύτερα να δοθεί σε μια εμπειρία» (Κριτική Α715/Β743). Αυτό φαίνεται να παρουσιάζει τον γεωμετρικό κώνο σαν ένα αντικείμενο διαφορετικού είδους από τα αντικείμενα που δίνονται στην εμπειρική εποπτεία, μία άχρωμη εικόνα ενός κώνου θα μπορούσε να σχηματιστεί από κάποιον ο οποίος δεν είχε προηγούμενη εμπειρία ενός πραγματικού στερεού κώνου, αυτή η εικόνα θα ήταν μια καθαρή εποπτεία. 6
Η ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟΝ ΚΑΝΤ Ο Καντ πίστευε ότι η γεωμετρία αποτελούσε ένα καλό παράδειγμα σχετικά με το πόσα λίγα μπορεί να κάνει κανείς στην επιστήμη όταν έχει μόνο απλές έννοιες. Εάν προσπαθήσεις να αποδείξεις ένα γεωμετρικό θεώρημα από τις καθαρές έννοιες «όλος σου ο κόπος θα είναι μάταιος (κατά τα λεγόμενά του) και ανακαλύπτεις ότι είσαι υποχρεωμένος να καταφύγεις στη εποπτεία, πράγμα που πάντα γίνεται στην γεωμετρία. Γι' αυτό θα πρέπει να δώσεις στον εαυτό σου ένα αντικείμενο στην εποπτεία. ένα αντικείμενο a priori στην εποπτεία και πάνω σε αυτό να βασίσεις τις συνθετικές σου προτάσεις». (Κριτικ. Α 47-8/Β65). Σύμφωνα με τον Καντ οι έννοιες χωρίς τη εποπτεία είναι κενές και η εποπτεία χωρίς τις έννοιες είναι τυφλή. Η στρουκτουραλιστική ερμηνεία του αντιμετωπίζει την καθαρή εποπτεία σαν κάτι το οποίο είναι αρκετά διαφορετικό από την εποπτεία, η οποία είναι μία ενική αναπαράσταση. Σύμφωνα με τον στρουκτουραλιστή Καντ αυτό το οποίο είναι καθαρό και a priori δεν είναι ένα είδος αντικειμένου αλλά μία μορφή γνώσης των εμπειρικών αντικειμένων. Όλα τα αντικείμενα της εποπτείας είναι εμπειρικά και καθαρή εποπτεία είναι η «απλή μορφή» της εμπειρικής εποπτείας. (Κριτικ. Α 239/Β 298). Σαν συμπέρασμα βγάζουμε ότι η καθαρή εποπτεία δεν είναι ένα είδος ενικής αναπαράστασης αλλά ένα τυπικό χαρακτηριστικό τέτοιων αναπαραστάσεων Μέσα από το πλαίσιο του στρουκτουραλισμού ο Καντ εξηγούσε ότι όταν, για παράδειγμα, κατασκευάζουμε την έννοια ενός τριγώνου, αυτό που στην πραγματικότητα κατασκευάζουμε δεν είναι ένα παράδειγμα αυτής της έννοιας, ούτε δίνουμε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο στη εποπτεία, αυτό που κάνουμε είναι να κατασκευάσουμε τον τύπο (the form) ενός αντικειμένου. 7
Η ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟΝ ΚΑΝΤ Με αυτή τη λογική, ο Καντ ισχυρίζεται ότι η γενίκευση «κάθε γεγονός πρέπει να έχει μια αιτία» αν και δεν είναι ένα αμιγές εμπειρικό φαινόμενο εμπίπτει στην ίδια κατηγορία με τον γεωμετρικό κώνο ή το τρίγωνο τα οποία επίσης δεν είναι αμιγή εμπειρικά φαινόμενα αλλά καθαρές εποπτείες. Οι γενικεύσεις λοιπόν αυτού του τύπου μπορεί να μην ανήκουν στον χώρο της ενικής εποπτείας αλλά ως συνθετικές a priori κρίσεις εμπίπτουν στο χώρο της καθαρής εποπτείας και άρα υπόκεινται σε λογικό έλεγχο και αξιολόγηση. Η εποπτεία, είτε άμεση, είτε καθαρή, είναι αυτή που μας δίνει πληροφορίες για τον κόσμο και γι αυτό βρίσκεται σε περίοπτη θέση στη φιλοσοφία του Καντ. Η καθαρή εποπτεία είναι αυτή που κάνει δυνατές τις συνθετικές a priori κρίσεις και τις απομακρύνει από τον χώρο των επισφαλών υποθέσεων που ο Νεύτωνας και ο Χιούμ απαξίωνε. Η καθαρή εποπτεία είναι ο συνδετικός κρίκος του νου και του κόσμου είναι αυτό που μας προστατεύει από έναν ακραίο ιδεαλισμό αλλά ταυτόχρονα μας κρατάει μακριά από τη γνώση της «απαραμόρφωτης πραγματικότητας» αφού ο πραγματικός κόσμος, «το πράγμα καθ εαυτό», μας εμφανίζεται πάντα παραμορφωμένος ή μέσα από τα ματογυάλια των αισθήσεων, στην άμεση εποπτεία,ή μέσα από τα ματογυάλια της νόησης, στην καθαρή εποπτεία.. Έτσι η καθαρή εποπτεία που υποστηρίζει τις συνθετικές a priori κρίσεις είναι ταυτόχρονα δώρο αλλά και περιορισμός. 8
Ο ΜΠΟΛΖΑΝΟ ΚΑΙ Η ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑΣ Η αναλυτική παράδοση στη φιλοσοφία μπορεί να καθοριστεί με βάση το πρόβλημά της, τον εχθρό της, το στόχο της και τη στρατηγική της. Το πρόβλημά της ήταν το a priori, ο εχθρός της, η καθαρή εποπτεία του Καντ, ο σκοπός της να αναπτύξει μία έννοια του a priori στην οποία η καθαρή εποπτεία δεν έπαιζε κανένα ρόλο, η στρατηγική της να βασίσει αυτή τη θεωρία στην ανάπτυξη της σημασιολογίας (semantics) (Coffa, 1991). Η αναλυτική παράδοση δεν αναπτύχθηκε από ανθρώπους με μία συγκεκριμένη αντίληψη στα θεμέλια των μαθηματικών αλλά από ανθρώπους οι οποίοι υποψιάστηκαν ότι η αντίληψη του Καντ σχετικά με την αριθμητική, τον απειροστικό λογισμό και τη γεωμετρία ήταν βασισμένη σε ανεπανόρθωτες παρεξηγήσεις και ότι αυτές οι παρεξηγήσεις φέρονταν στη γενική εικόνα του a priori. Η ιστορία της αναλυτικής παράδοσης, ως φιλοσοφικού ρεύματος, σε αντίθεση με τον θετικισμό πήρε πολύ σοβαρά τη γενική εικόνα του a priori και σε αντίθεση με τον ιδεαλισμό επέλεξε να εξετάσει πολύ πιο προσεκτικά από τον Καντ τα αντιπροσωπευτικά παραδείγματα του a priori. Ο Μπέρκλει ήταν ο πρώτος που αντιτάχθηκε στο χάος των θεμελίων του απειροστικού λογισμού. Το 1734 δημοσίευσε μία δουλειά η οποία είχε σχεδιαστεί για να δείξει ότι οι πιο τολμηρές εικασίες των θεολόγων θα μπορούσαν να συγκριθούν ευνόητα με τις πιο απλές δηλώσεις των μαθηματικών σχετικά με τα θεμέλια του απειροστικού λογισμού. 9
Ο ΜΠΟΛΖΑΝΟ ΚΑΙ Η ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑΣ Προς το τέλος του 18ου αιώνα, την εποχή δηλαδή που ο Καντ ισχυριζόταν ότι υπήρχε μεγάλη σπουδαιότητα στο αναπόφευκτο του χωροχρονικού χαρακτήρα του απειροστικού λογισμού, οι πιο καλοί μαθηματικοί άρχισαν να ανησυχούν. Το 1784, τρία χρόνια μετά από τη δημοσίευση της πρώτης κριτικής του Καντ, η ακαδημία του Βερολίνου έθεσε μία ερώτηση σχετικά με τα θεμέλια του απειροστικού λογισμού ως μαθηματικό πρόβλημα. Το πρόβλημα ήταν βασικά να επεξηγηθεί ο ρόλος του απείρως μικρού και του απείρως μεγάλου μέσα στον απειροστικό λογισμό. Η μεγαλύτερη συμβολή σε αυτό το θέμα ήταν το έργο του Lagrange (Theorie des functions analytiques) το 1797. Σ' αυτή τη θεωρία εξήγησε ότι οι δυο βασικοί στόχοι του ήταν να ενοποιήσει τον απειροστικό λογισμό με την άλγεβρα και πάνω απ' όλα να αποδεσμεύσει τον απειροστικό λογισμό από τις μεταφυσικές θεωρήσεις στις οποίες συμπεριλαμβάνονταν και τα απειροελάχιστα. Ο βασικός ενδοιασμός του Lagrange σχετικά με την έννοια του ορίου ήταν ότι ήταν πολύ ασαφές και υπερβολικά γεωμετρικό. Το επόμενο μεγάλο βήμα σε αυτή την διαμόρφωση έγινε από τον Μπολζάνο. Η μαθηματική δουλειά του Μπολζάνο εναγγάλιζε μία καταπληκτική ποικιλία από θέματα που περιλάμβαναν, τη γεωμετρία, την τοπολογία, τη θεωρία των παραγώγων, τη θεωρία του απείρου ακόμα και την θεωρία του απειροελάχιστου. Οι μη ειδικοί μπορούν να το βρουν παιδαριώδη την ανησυχία σχετικά με τη διαφορά ανάμεσα στο αξίωμα ότι «για κάθε ε υπάρχει ένα δ το οποίο ισχύει για όλα τα x και πως για οποιοδήποτε ε και για όλα τα x υπάρχει ένα δ» από τη στιγμή που οποιοσδήποτε μπορεί να το διαπιστώσει αυτό. 10
Ο ΜΠΟΛΖΑΝΟ ΚΑΙ Η ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑΣ Αυτούς θα πρέπει να τους συμβουλεύσει κανείς να μελετήσουν την ιστορία του απειροστικού λογισμού. Σήμερα είναι ευρέως δεκτό ότι η πρώτη αποφασιστική συνεισφορά του Μπολζάνο στην κατανόηση του απειροστικού λογισμού βρίσκεται σε μια δουλειά του που εκδόθηκε το 1817 στην οποία τίθεται το ερώτημα: Πως μπορούμε να ξέρουμε ότι μία συνεχής συνάρτηση η οποία παίρνει τιμές και πάνω και κάτω από το μηδέν μπορεί να πάρει και το μηδέν ενδιάμεσα;. Ο Μπολζάνο ξεκίνησε την εργασία του ασκώντας κριτική σε μια μεγάλη ποικιλία αποδεκτών αποδείξεων του θεωρήματος και κατά συνέπεια σε μια μεγάλη ποικιλία των ερμηνειών του περιεχομένου του. Ορισμένες αποδείξεις όπως εξήγησε εξαρτώνται από μία αλήθεια η οποία είναι δανεική από τη γεωμετρία, δηλαδή ότι κάθε συνεχόμενη σειρά με μία θετική και μία αρνητική συντεταγμένη πρέπει να διασταυρώνεται με τον άξονα των x. Ωστόσο αυτή η γεωμετρική πρόταση είναι πρώτα απ' όλα μια πολύ ιδιαίτερη περίπτωση του θεωρήματος η οποία πρέπει να εξεταστεί και, ακόμα πιο βασικό, χρειάζεται αυτή η ίδια απόδειξη, μία απόδειξη η οποία πρέπει οπωσδήποτε να προέλθει από κάποιο γενικότερο θεώρημα. Μία σωστή απόδειξη θα πρέπει να ξεκινήσει δίνοντας ένα σωστό ορισμό των βασικών εννοιών οι οποίες συμπεριλαμβάνονται στο θεώρημα και πρέπει να αποδείξει τον ισχυρισμό αναλυτικά δηλαδή με το να αποφύγει την εποπτεία επικαλούμενος μόνο βασικές υποθέσεις που αφορούν αριθμούς και ανύσματα. Ως αποτέλεσμα της απόδειξης του Μπολζάνο οι κεντρικές αντιλήψεις του απειροστικού λογισμού βρίσκονταν πια στο δρόμο όπου θα έφταναν να αριθμητικοποιηθούν. Η αριθμητικοποίηση του απειροστικού λογισμού έμελλε να ολοκληρωθεί τα επόμενα χρόνια από τους Cauchy, Weierstrass, Cantor and Dedekind 11
Ο ΜΠΟΛΖΑΝΟ ΚΑΙ Η ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑΣ Ο Μπολζάνο μπόρεσε να διακρίνει ένα ξεκάθαρο φιλοσοφικό σκοπό πίσω από αυτή την εργασία. Πραγματικά δεν υπάρχει κανένα θέμα σε όλη την μαθηματική και φιλοσοφική δουλειά του Μπολζάνο που να είναι πιο σταθερό από τη δέσμευσή του να θεωρήσει την καθαρή εποπτεία ως μία έννοια έξω από την a priori γνώση. Αυτή του η θεωρία στο χώρο των μαθηματικών εκφραζόταν με έναν επίμονο αποκλεισμό των χωροχρονικών ιδεών από θέματα εκτός της γεωμετρίας και με το να αναρωτιέται συνεχώς σχετικά με την αξία οποιασδήποτε μορφής εποπτείας στα μαθηματικά. Το συγκεκριμένο έργο του Μπολζάνο ήταν ένα από μια μεγάλη ποικιλία συνεισφορών του σε αυτό το πρόγραμμα με το οποίο προσπαθούσε να αποκλείσει την εποπτεία από τα μαθηματικά. Από την στιγμή που ο Καντ έχει υποστηρίξει ότι όλη η συνθετική γνώση απαιτεί την εποπτεία, ο Μπολζάνο είχε μία ανοιχτή πρόκληση όσο αφορά την αρχή των συνθετικών a priori κρίσεων και επομένως την καρδιά της σημασιολογικής θεωρίας του Καντ. Ο Μπολζάνο επέλεξε να κάνει αυτή την πρόκληση αρκετά ξεκάθαρα τη ρίζα του προβλήματος. 12
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, Η ΚΑΘΑΡΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟ A PRIORI Από την αρχή του 19ου αιώνα η καθαρή εποπτεία του Καντ πέρασε μία δύσκολη εποχή. Η αριθμητικοποίηση του απειροστικού λογισμού εξόρισε την εποπτεία από τις έννοιες της συνέχειας, του ορίου, του απειροελάχιστου και όλων των άλλων τα οποία είχαν προκαλέσει το δικαιολογημένο παράπονο του Μπέρκλει. Η αριθμητικοποίηση της ανάλυσης στρίμωξε την καθαρή εποπτεία μέσα στην αριθμητική από όπου ο Φρέγκε πολύ σύντομα θα της έδινε το τελειωτικό χτύπημα. Τα μαθηματικά όμως δεν ήταν απλά η θεωρία αφηρημένων μεγεθών, αριθμών, παραγώγων και απειροελάχιστων. Ήταν επίσης η επιστήμη του χώρου της γεωμετρίας και εδώ οι οπαδοί του Καντ θα μπορούσαν να παραμείνουν σίγουροι ότι η εποπτεία δεν θα έπεφτε ποτέ από το θρόνο της ή τουλάχιστον έτσι φαινόταν για κάποιο διάστημα. Κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα η γεωμετρία αποτέλεσε το χώρο μάχης όπου έλαβαν χώρα δύο πολύ σημαντικοί επιστημολογικοί πόλεμοι. Ο πρώτος αφορούσε το ρόλο της καθαρής εποπτείας στη γνώση. Ο δεύτερος θεώρησε ως δεδομένο ότι αυτός ο ρόλος ήταν μηδενικός και έθεσε σε αμφισβήτηση την φύση των γεωμετρικών εννοιών. Μία από τις σχετικές διακρίσεις στην θεωρία του Καντ βρισκότανε ανάμεσα σε ένα είδος αναγκαιότητας η οποία προέρχεται από τη εποπτεία και ένα άλλο είδος που προέρχεται από την σκέψη. Το πρώτο είχε την πηγή του στα χαρακτηριστικά της ανθρώπινης αισθητικότητας, το δεύτερο είχε τα χαρακτηριστικά του στην κατανόηση. 13
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, Η ΚΑΘΑΡΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟ A PRIORI Ο Φρέγκε υποστηρίζει ότι οι νόμοι της γεωμετρίας και της αριθμητικής σε αντίθεση με εκείνους της φυσικής είναι αναγκαίοι. Ενώ όμως οι γεωμετρικές προτάσεις είναι αναγκαιότητες που αφορούν την εποπτεία οι νόμοι της αριθμητικής είναι απαραίτητοι με μία πολύ πιο βαθιά έννοια. Η ίδια η σκέψη γίνεται αδύνατη αν τους αρνηθούμε. Μέχρι το σημείο που η λογική αποτελεί μια καθαρή θεωρία των εννοιών η αριθμητική θα πρέπει να αποτελεί μέρος της λογικής. Το δόγμα δεν είναι φυσικά Καντιανό αλλά το ιδεολογικό πλαίσιο σίγουρα είναι. Τι σημαίνει λοιπόν να λέμε ότι οι γεωμετρικοί νόμοι είναι αναγκαιότητες της εποπτείας; Τα γραπτά του Καντ δεν περιέχουν τίποτα άλλο από κάποιες ελάχιστες ενδείξεις γεμάτες σύγχυση. Φυσικά δεν είχε κανένα λόγο να απασχοληθεί πλήρως με τις λεπτομέρειες. Γιατί ποιος θα μπορούσε σοβαρά γύρω στο 1800 να αμφισβητήσει ότι η εποπτεία στη γεωμετρία ήταν απαραίτητή ή ότι η αναγκαιότητα της είχε κάποια σχέση με τις γεωμετρικές κατασκευές; Ωστόσο η κατάσταση άλλαξε σύντομα μετά τον θάνατο του Καντ. Όταν μη ευκλείδεια γεωμετρία έκανε την πρώτη της δημόσια εμφάνιση, γύρω στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, οι άνθρωποι άρχισαν να αναρωτιούνται πρώτα σχετικά με την αποκλειστική αναγκαιότητα της ευκλειδείου γεωμετρίας και στη συνέχεια σχετικά με τον ρόλο της εποπτείας σε οποιαδήποτε γεωμετρία, είτε του Ευκλείδη είτε κάποια άλλη. 14
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, Η ΚΑΘΑΡΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟ A PRIORI Μέχρι το τέλος του αιώνα τα γραπτά των νέων οπαδών του Καντ σχετικά με αυτό το θέμα είχαν αποτελέσει μία ακούσια πιστοποίηση του γεγονότος ότι η γεωμετρία απαιτούσε ένα έδαφος τελείως διαφορετικό από εκείνο που είχε προβλέψει ο Καντ. Σε συνδυασμό με την αριθμητικοποίηση του απειροστικού λογισμού και με όσα ο Φρέγκε πολύ γρήγορα θα πρόσφερε στην αριθμητική αυτά τα επεισόδια συγκλίνανε ώστε να δηλώσουν αυτά τα οποία ο Μπολζάνο είχε σκεφτεί το 1810. Ότι η καθαρή εποπτεία του Καντ δεν παίζει κανένα απολύτως ρόλο στα μαθηματικά. Το 1929 οι εκπρόσωποι του κύκλου της Βιέννης, υπογράφουν ότι, η θεμελιώδης θέση του μοντέρνου εμπειρισμού, συνίσταται στην άρνηση της πιθανότητας συνθετικής a priori γνώσης. Αυτή η πρόταση δείχνει τη στάση των λογικών θετικιστών απέναντι στην Καντιανή φιλοσοφία. Οι αναλυτικές προτάσεις είναι a priori και η αλήθεια τους βασίζεται επάνω σε κανόνες της γλώσσας, αντίθετα οι συνθετικές προτάσεις στηρίζονται στην εμπειρία και η αλήθεια τους μπορεί να αναγνωριστεί μόνο από εμπειρικές έννοιες. Αυτή η αντίληψη της δομής των επιστημονικών θεωριών είναι ίσως η πιο στερεή φιλοσοφική αρχή του λογικού θετικισμού για τον οποίο υπάρχουν μόνο δυο είδη ισχυρισμών συνθετικές a posteriori και αναλυτικές a priori κρίσεις. Πέτρος Δ. Δαμιανός 15
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Coffa J. A. (1991). The semantic tradition from Kant to Carnap. Cambridge University Press. Frege, G. (1977), Νόημα και Αναφορά, Δευκαλίων 17, 19-40 Frege, G. (1950), Τα Θεμελια της Αριθμητικής, Μετ. Γ. Ρουσοπουλος, Αθήνα: Νεφέλη, 1990 Kant, I. (1784), Απαντηση στο Ερώτημα : Τι Είναι Διαφωτισμός, στο Τι Είναι Διαφωτισμός, μετ. Ν.Μ. Σκουτερόπουλος, Αθήνα: Εκδ.Κριτική 1989 Kant, I. (1979), Κριτική του Καθαρού Λόγου, Μετ. Α. Γιανναράς, Εκδ. Παπαζήση 16
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.