Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Transcript

1 Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 1: Αριθμητικές μέθοδοι στα φαινόμενα μεταφοράς και στη θερμοδυναμική Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις αριθμητικές μεθόδους στα φαινόμενα μεταφοράς και στη θερμοδυναμική. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Εισαγωγή σε έννοιες επιστημονικών υπολογισμών με υπολογιστή. Μαθηματικά προβλήματα. Η διεργασία λύσης προβλήματος. 2 ος νόμος του Νεύτωνα. 5

6 Περιεχόμενα ενότητας Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα. Ισοζύγια μάζας. Προσεγγιστική λύση (Μέθοδος Euler). 6

7 Εισαγωγή σε έννοιες επιστημονικών υπολογισμών με υπολογιστή Τι είναι Αριθμητικές Μέθοδοι; Τεχνικές λύσης μαθηματικών προβλημάτων με αριθμητικές πράξεις: Πολλές αριθμητικές πράξεις. Μόνο με υπολογιστές. Τι γινόταν σε παλιότερες (χωρίς υπολογιστές) εποχές; Αναλυτικές (ακριβείς) λύσεις χρήσιμες-όμορφες αλλά μόνο για ορισμένα γραμμικά προβλήματα. Γραφικές λύσεις διαγράμματα. Όχι πολύ ακριβείς-δύσκολες να εφαρμοσθούν χωρίς υπολογιστή. Αριθμομηχανές Κουραστικές για πολύπλοκα προβλήματα αλλά και με πολλά λάθη. 7

8 Προβλήματα μηχανικών (1) Α) Χωρίς υπολογιστή: Σχήμα 1. Προβλήματα Μηχανικών (χωρίς υπολογιστή). 8

9 Προβλήματα μηχανικών (2) Β) Με υπολογιστή: Σχήμα 2. Προβλήματα Μηχανικών (με υπολογιστή). 9

10 Γιατί αριθμητικές μέθοδοι; Πολύ δυνατές (μη γραμμικά και πολύπλοκα προβλήματα). Έτοιμα λογισμικά και προγράμματα (για παράδειγμα EXCEL, MatLab, MathCad). Σύνταξη δικών μας προγραμμάτων. Σωστή χρήση των υπολογιστών. Καλύτερη κατανόηση των μαθηματικών. 10

11 Μαθηματικά προβλήματα (1) Σχήμα 3. Μαθηματικά προβλήματα (1), πηγή: Chapra & Canale,

12 Μαθηματικά προβλήματα (2) Σχήμα 4. Μαθηματικά προβλήματα (2), πηγή: Chapra & Canale,

13 Μαθηματικά μοντέλα και προβλήματα μηχανικών Εξίσωση που περιγράφει τα βασικά χαρακτηριστικά ενός φυσικού συστήματος ή διεργασίας. Απαιτείται η κατανόηση του φυσικού συστήματος. Είτε με παρατήρηση και πείραμα. Θεωρητική ανάλυση και γενίκευση. Οι υπολογιστές είναι σημαντικά εργαλεία αλλά χωρίς την βασική κατανόηση του συστήματος είναι ΑΧΡΗΣΤΑ. 13

14 Μαθηματικά μοντέλα και προβλήματα μηχανικών Εξίσωση που περιγράφει τα βασικά χαρακτηριστικά ενός φυσικού συστήματος ή διεργασίας. Απαιτείται η κατανόηση του φυσικού συστήματος. Είτε με παρατήρηση και πείραμα. Θεωρητική ανάλυση και γενίκευση. Οι υπολογιστές είναι σημαντικά εργαλεία αλλά χωρίς την βασική κατανόηση του συστήματος είναι ΑΧΡΗΣΤΑ. 14

15 Η διεργασία λύσης προβλήματος Σχήμα 5. Η διεργασία της λύσης προβλήματος. 15

16 Μαθηματικό μοντέλο Εξαρτημένη μεταβλητή: Συνήθως εκφράζει την κατάσταση του συστήματος ή διεργασίας. Ανεξάρτητες μεταβλητές: Οι διαστάσεις του συστήματος ή ο χρόνος ως προς τις οποίες μελετούμε το σύστημα. Παράμετροι: ιδιότητες ή σύσταση του συστήματος. Συναρτήσεις: εξωτερικές επιδράσεις που επηρεάζουν το σύστημα. 16

17 2 ος νόμος του Νεύτωνα (1) «Η δύναμη ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής ενός σώματος». Εξίσωση: F = m x a F=συνισταμένη δύναμη (N). m=μάζα του σώματος (kg). a=επιτάχυνση(m/s 2 ). 17

18 2 ος νόμος του Νεύτωνα (2) Ο 2 ος νόμος του Νεύτωνα είναι ένα μαθηματικό μοντέλο του φυσικού κόσμου: Περιγράφει ένα σύστημα ή μια διεργασία με μαθηματικό τρόπο. Αποτελεί μια εξιδανίκευση ή απλοποίηση της πραγματικότητας. Επειδή μας δίνει επαναλήψιμα αποτελέσματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε την συμπεριφορά ενός συστήματος. 18

19 Γενικότερα: Μερικά μαθηματικά μοντέλα μπορεί να είναι πιο πολύπλοκα. Πολύπλοκα μοντέλα μπορεί να μην λύνονται ακριβώς ή να απαιτούν πιο εξειδικευμένες μαθηματικές τεχνικές. Π.χ. ο αλεξιπτωτιστής: 19

20 Παράδειγμα αλεξιπτωτιστή (1) Σχήμα 6. Παράδειγμα αλεξιπτωτιστή, πηγή: Chapra & Canale,

21 Παράδειγμα αλεξιπτωτιστή (2) Γραμμική διαφορική εξίσωση 1 ης τάξης. Αρχικές συνθήκες (υ=0 σε t=0), ακριβής λύση. 21

22 Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα (1) Βασικά σε χημικούς μηχανικούς και μηχανικούς περιβάλλοντος. Συσσώρευση = ρυθμός αύξησης ρυθμός ελάττωσης. Σε σταθερή κατάσταση (steady-state). ρυθμός αύξησης = ρυθμός ελάττωσης. 22

23 Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα (2) Σχήμα 7. Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα, πηγή: Chapra & Canale, Σε σταθερή κατάσταση (steady-state) ρυθμός αύξησης = ρυθμός ελάττωσης = Flow 4 Flow 4 = 60 23

24 Ισοζύγια μάζας Σχήμα 8. Ισοζύγια μάζας, πηγή: Chapra & Canale,

25 Εξοικείωση με το Excel m=68,1 kg. c=12,5 kg/s (συντελεστής τριβής). Να υπολογισθεί η ταχύτητα πριν την διάνοιξη του Αλεξίπτωτου. Αναλυτική λύση. Σχήμα 9. Εξοικείωση με το Excel, πηγή: Chapra & Canale,

26 Προσεγγιστική λύση (Μέθοδος Euler) Νέα τιμή= παλιά τιμή +κλίση βήμα Σχήμα 10. Προσεγγιστική λύση (Μέθοδος Euler), πηγή: Chapra & Canale,

27 Βιβλιογραφία Chapra, S. C. & Canale, R. P. (2010). Numerical methods for engineers - 6 th Edition. McGraw-Hill. 27

28 Τέλος Ενότητας