Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Transcript

1 Μαθηματικά Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες της κυρτότητας συνάρτησης. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Κυρτότητα συνάρτησης. 5

6 Κυρτή και κοίλη συνάρτηση (1) Μια συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο (a, b), στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω όταν όλες οι εφαπτόμενες της συνάρτησης βρίσκονται κάτω από την καμπύλη. Μια συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο (a, b), στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω όταν όλες οι εφαπτόμενες της συνάρτησης βρίσκονται πάνω από την καμπύλη. Όταν μία συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω τότε λέμε ότι είναι κυρτή, ενώ όταν στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω τότε λέμε ότι είναι κοίλη. 6

7 Κυρτή και κοίλη συνάρτηση (2) 7

8 Κυρτή και κοίλη συνάρτηση (3) Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε ότι η κυρτότητα δεν έχει σχέση με τη μονοτονία της συνάρτησης f, αλλά με τη μονοτονία της πρώτης παραγώγου f. Συγκεκριμένα, μπορούμε να παρατηρήσουμε στο επόμενο Σχήμα ότι και τα δύο γραφήματα των συναρτήσεων f και g στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω, παρόλα αυτά η συνάρτηση f είναι φθίνουσα, ως κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά, ενώ η συνάρτηση g είναι αύξουσα, ως ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 8

9 Κυρτή και κοίλη συνάρτηση (4) 9

10 Κυρτή και κοίλη συνάρτηση (5) Παρατηρούμε ότι οι κλίσεις των σημείων της συνάρτησης f βαίνουν μειούμενες από τα αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f μειώνεται, ενώ αντίθετα οι κλίσεις των σημείων της συνάρτησης g βαίνουν αυξανόμενες από τα αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της g αυξάνεται. 10

11 Κυρτή και κοίλη συνάρτηση (6) Η κυρτότητα έχει σχέση, όπως προαναφέραμε, με τη μονοτονία της πρώτης παραγώγου. Οι συναρτήσεις πρώτης παραγώγου των f και g είναι γνησίως αύξουσες, γεγονός που προσδιορίζει την κοιλότητα των αρχικών συναρτήσεων f και g, οι οποίες στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω. 11

12 Κυρτή και κοίλη συνάρτηση (7) Μια συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (a, b), στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω εάν η πρώτη παράγωγος f είναι γνησίως αύξουσα. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω εάν η πρώτη παράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα. 12

13 Θεώρημα 1 (1) Στα ακρότατα, η μονοτονία της f καθορίζεται με την πρώτη παράγωγο, κατ αντιστοιχία, στην κυρτότητα, η μονοτονία της πρώτης παραγώγου f καθορίζεται με τη δεύτερη παράγωγο f Παραπάνω διαπιστώσαμε γραφικά ότι η μονοτονία της πρώτης παραγώγου f προσδιορίζει την κοιλότητα της συνάρτησης f. Με τη δεύτερη παράγωγο δύναται να καθοριστεί η εν λόγω μονοτονία. Συγκεκριμένα, διατυπώνεται το ακόλουθο θεώρημα: 13

14 Θεώρημα 1 (2) Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη δύο φορές στο διάστημα (a, b) έχει f x > 0 για κάθε σημείο του εν λόγω διαστήματος, τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. f x < 0 για κάθε σημείο του εν λόγω διαστήματος, τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Να σημειωθεί ότι το αντίστροφο του Θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή μια συνάρτηση μπορεί να στρέφει τα κοίλα πάνω ή κάτω και οι παραπάνω ανισότητες της δεύτερης παραγώγου να μην ισχύουν. 14

15 Θεώρημα 1 (3) Μια άλλη σημαντική εφαρμογή των παραγώγων στη μελέτη της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης είναι ο προσδιορισμός των σημείων καμπής. Συγκεκριμένα, ένα σημείο (x 0, f(x 0 )) είναι σημείο καμπής μιας συνεχούς συνάρτησης f, όταν αλλάζει η κυρτότητα εκατέρωθεν του (x 0, f(x 0 )) και υφίσταται εφαπτομένη στο εν λόγω σημείο. 15

16 Θεώρημα 1 (4) 16

17 Θεώρημα 1 (5) Ένα σημείο (x 0, f(x 0 )) είναι σημείο καμπής μιας συνεχούς συνάρτησης f όταν αλλάζει το πρόσημο της f x 0 εκατέρωθεν του (x 0, f(x 0 )) και υφίσταται εφαπτομένη στο εν λόγω σημείο. Σημειώνεται ότι η εφαπτομένη πριν από ένα σημείο καμπής βρίσκεται πάνω (κάτω) από την καμπύλη ενώ μετά το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω (πάνω) από την εν λόγω καμπύλη 17

18 Θεώρημα 1 (6) Ενώ στο σημείο D (x 0, f(x 0 )) εναλλάσσονται τα κοίλα, δηλαδή η συνάρτηση μετά το σημείο D από κυρτή γίνεται κοίλη, το σημείο D (x 0, f(x 0 )) δεν αποτελεί σημείο καμπής καθώς δεν ορίζεται εφαπτομένη στο σημείο αυτό. Συνεπώς, σε γωνιακά σημεία που δεν ορίζεται εφαπτομένη δεν έχουμε σημεία καμπής. 18

19 Θεώρημα 1 (7) 19

20 Θεώρημα 1 (8) Είδαμε παραπάνω, με βάση το θεώρημα Fermat, ότι η μονοτονία της αρχικής συνάρτησης f όπως και τα πιθανά τοπικά ακρότατα της προσδιορίζονται από πρώτη παράγωγο f. Στη συνέχεια, διαπιστώσαμε ότι η μονοτονία της πρώτης παραγώγου προσδιορίζεται από τη δεύτερη παράγωγο f. Με άλλα λόγια, η μονοτονία της πρώτης παραγώγου αφορά στην κυρτότητα και στα πιθανά σημεία καμπής της αρχικής συνάρτησης f. 20

21 Θεώρημα 1 (9) Στο παρακάτω Σχήμα, παρατηρούμε ότι το σημείο καμπής της αρχικής συνάρτησης f πραγματοποιείται για x 0, που παράλληλα είναι και τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης f. Όμως, σημεία καμπής δύναται να είναι όχι μόνο τα σημεία των τοπικών ακρότατων της συνάρτησης f, αλλά και τα σημεία στα οποία η f δεν παραγωγίζεται (δεν υπάρχει η δεύτερη παράγωγος). Φυσικά, θα πρέπει να ελεγχθούν και τα σημεία στα οποία δεν ορίζεται η πρώτη παράγωγος καθώς και αυτά περιλαμβάνονται στα σημεία στα οποία δεν ορίζεται η δεύτερη παράγωγος. 21

22 Θεώρημα 1 (10) 22

23 Θεώρημα 2 (1) Εάν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (a, b) και δύο φορές παραγωγίσιμη σε σημείο c του διαστήματος (a, b) τότε αν f c = 0 και f c > 0, η συνάρτηση f έχει στο c τοπικό ελάχιστο. αν f c = 0 και f c < 0, η συνάρτηση f έχει στο c τοπικό μέγιστο. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό και ως κριτήριο της δεύτερης παραγώγου. 23

24 Θεώρημα 2 (2) Συνεπώς, προϋπόθεση για να χαρακτηριστεί ένα σημείο καμπής είναι η ύπαρξη της εφαπτομένης και η μεταβολή των πρόσημων γύρω από αυτό. Στο πλαίσιο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι: Αν μία συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο, δεν έχει εφαπτομένη στο σημείο αυτό. Επίσης, αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο τότε δεν είναι παραγωγίσιμη. Προσοχή, όμως: μια συνάρτηση που είναι συνεχής δεν σημαίνει ότι είναι σίγουρα και παραγωγίσιμη, αλλά αν είναι παραγωγίσιμη τότε σίγουρα είναι και συνεχής. 24

25 Παράδειγμα 1 (1) Να εξετάσετε την παρακάτω συνάρτηση ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. f x = x 3 4x 2 + 4x 1 25

26 Παράδειγμα 1 (2) Λύση: H συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού όλο το R. Επιπλέον, η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική, άρα και συνεχής. Πιθανά τοπικά ακρότατα βρίσκονται στα σημεία που η f x = 0. Επίσης, πιθανά σημεία καμπής βρίσκονται στα σημεία που f x = 0. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Εφόσον στην υπό εξέταση πολυωνυμική συνάρτηση δεν υπάρχουν ακραία σημεία ή σημεία του πεδίου ορισμού που η f δεν παραγωγίζεται, απομένουν τα σημεία στα οποία η f μηδενίζεται. 26

27 Παράδειγμα 1 (3) Η πρώτη παράγωγος της f είναι: f x = (x 3 4x 2 + 4x 1) = 3x 2 8x + 4 Για f x = 0 έχουμε: f x = 0 3x 2 8x + 4 = 0 Η διακρίνουσα είναι Δ = β 2 4αγ = ( 8) = = 16, ενώ οι ρίζες της εξίσωσης είναι x 1,2 = β ± β2 4aγ 8 ± 16 x 2a 1,2 = 2 3 x 1 = x 1 = 2 6 x 2 = 8 4 x 2 =

28 Παράδειγμα 1 (4) Στον παρακάτω πίνακα προσήμων ξεκινάμε με το πρόσημο + διότι το πρόσημο του x στη δευτεροβάθμια εξίσωση 3x 2 8x + 4 = 0 είναι θετικό. x f + + f f f 2 3 τ.μ. τ.ε. = 0,185 f(2) = 1 28

29 Παράδειγμα 1 (5) Η δεύτερη παράγωγος της f είναι: η δεύτερη παράγωγος είναι η παράγωγος της πρώτης παραγώγου f x = (x 3 4x 2 + 4x 1) = (3x 2 8x + 4) = 6x 8 Για f x = 0 έχουμε: f x = 0 6x 8 = 0 x = 8 6 =

30 Παράδειγμα 1 (6) x f f Στρέφει τα κοίλα κάτω Στρέφει τα κοίλα πάνω f Σημείο Καμπής (ΣΚ) Για x = 4 3 f 4 3 = 4 3 το σημείο καμπής πραγματοποιείται στο = 0,4. 30

31 Παράδειγμα 1 (7) Αν εξετάσουμε την συνάρτηση της πρώτης παραγώγου ως προς τη μονοτονία της θα διαπιστώσουμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x = 4 3 καθώς είναι x f + f f Τοπικό Ελάχιστο 31

32 Παράδειγμα 1 (8) Αν εξετάσουμε την συνάρτηση της πρώτης παραγώγου ως προς τη μονοτονία της θα διαπιστώσουμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x = 4 3 καθώς είναι γνησίως φθίνουσα από (, 4 ), καθώς η καμπύλη της 3 συνάρτησηςf είναι κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά και γνησίως αύξουσα από ( 4, + ), καθώς η καμπύλη της 3 συνάρτησης f είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 32

33 Παράδειγμα 1 (9) 33

34 Παράδειγμα 2 (1) Να εξετάσετε την παρακάτω συνάρτηση ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. f x = x 3 (x 1) 2 34

35 Παράδειγμα 2 (2) Λύση: H συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού όλο το R {1} καθώς θα πρέπει ο παρανομαστής να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή (x 1) 2 0 που σημαίνει x 1. Πιθανά σημεία καμπής βρίσκονται στα σημεία που f x = 0 ή στα σημεία που η f δεν ορίζεται. 35

36 Παράδειγμα 2 (3) f x = x 3 (x 1) 2 f g = f g fg = (x3 ) (x 1) 2 (x 3 ) (x 1) 2 (x 1) 4 = χ 1 2 σύνθετη συνάρτηση = 3x2 x 1 2 (x 3 ) 2(x 1) x 1 x 1 4 = = 3x2 (x 1) 2 (x 3 ) 2(x 1) (x 1) 4 g 2 36

37 Παράδειγμα 2 (4) Η δεύτερη παράγωγος της f είναι: f x 3 x = (x 1) 2 = x3 3x 2 x 1 3 f g = f g fg = (x3 3x 2 ) x 1 3 (x 3 3x 2 ) x 1 3 x 1 6 = = (3x2 6x) x 1 3 (x 3 3x 2 ) 3 x 1 2 x 1 6 = g 2 = 37

38 Παράδειγμα 2 (5) κοινός παράγοντας το x 1 2 x 1 2 (3x 2 6x (x 1) 3(x 3 3x 2 )) x 1 6 = x 1 2 (3x 3 6x 2 3x 2 + 6x 3x 3 + 9x 2 ) x 1 6 = = x 1 2 (6x) 6x x 1 6 = x 1 4 = 38

39 Παράδειγμα 2 (6) Γνωρίζουμε ότι πιθανά σημεία καμπής είναι: είτε τα σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται, δηλαδή f x = 0, είτε τα σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος δεν ορίζεται. Συνεπώς, για f x = 0 6x x 1 4 = 0, αρκεί ο αριθμητής να είναι μηδέν, δηλαδή 6x = 0 ή x = 0. 39

40 Παράδειγμα 2 (7) x f + + f Στρέφει τα κοίλα κάτω Στρέφει τα κοίλα πάνω Στρέφει τα κοίλα πάνω f σ.κ. f(0) = 0 Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το σημείο x = 1 όπου η f δεν ορίζεται γιατί υπάρχει ασυνέχεια, δεν μπορεί να είναι σημείο καμπής. 40

41 Παράδειγμα 2 (8) x f + + f Στρέφει τα κοίλα κάτω Στρέφει τα κοίλα πάνω Στρέφει τα κοίλα πάνω f σ.κ. f(0) = 0 Στο διάστημα (, 0) η συνάρτηση f παίρνει το πρόσημο καθώς για x < 0 η f x = 6x x 1 4 < 0. 41

42 Παράδειγμα 2 (9) x f + + f Στρέφει τα κοίλα κάτω Στρέφει τα κοίλα πάνω Στρέφει τα κοίλα πάνω f σ.κ. f(0) = 0 Στο διάστημα (1, + ) η συνάρτηση f συνεχίζει να παίρνει το πρόσημο +, καθώς για x > 1 η παράσταση 6x x 1 4 συνεχίζει να είναι μεγαλύτερη του μηδενός, δηλαδή f x > 0 για κάθε σημείο του εν λόγω διαστήματος και επομένως η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω 42

43 Παράδειγμα 2 (10) 43

44 Παράδειγμα 3 (1) Να εξετάσετε την παρακάτω συνάρτηση ως προς τα σημεία καμπής. f x = e x2 44

45 Παράδειγμα 3 (2) Λύση: H συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού όλο το R Για να εντοπίσουμε σημεία καμπής θα πρέπει να βρούμε σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει f x = 0 και παράλληλα υφίσταται εφαπτομένη. Η υπό εξέταση συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη δυο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι υπάρχει εφαπτομένη σε κάθε σημείο της συνάρτησης, επομένως ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη της εφαπτομένης. 45

46 Παράδειγμα 3 (3) παράγωγος σύνθετης συνάρτησης e x2 =e u όπου πρώτη παράγωγος (e u ) =e u u για u=x 2 e x2 (x 2 ) u=x 2 2xe x2 f x = (e x2 ) = (2xe x2 ) = (2x) e x2 + 2x(e x2 ) = παράγωγος του (e x2 ) = 2e x2 + 2x 2xe x2 = 2e x2 (1 + 2x 2 ) = 2e x2 + 4x 2 e x2 παράγωγος γινομένου fg =f g+fg όπου f=2x και g=e x2 46

47 Παράδειγμα 3 (4) Επειδή, λοιπόν, 2e x x 2 > 0 η f δεν έχει σημείο καμπής και στρέφει τα κοίλα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού. Η συνάρτηση f έχει τοπικό ακρότατο (τοπικό ελάχιστο) καθώς η πρώτη παράγωγος 2xe x2 μηδενίζεται για x = 0 47

48 Παράδειγμα 4 (1) Να εξετάσετε την παρακάτω συνάρτηση ως προς τα σημεία καμπής. f x = e x2 48

49 Παράδειγμα 4 (2) Λύση: H συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού όλο το R. Για να εντοπίσουμε σημεία καμπής θα πρέπει να βρούμε σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει f x = 0. Η υπό εξέταση συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη δυο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι είναι συνεχής με εφαπτομένη σε κάθε σημείο της συνάρτησης, επομένως ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη της εφαπτομένης. 49

50 Παράδειγμα 4 (3) παράγωγος σύνθετης συνάρτησης e x2 =e u όπου u= x 2 f x = (e x2 ) πρώτη παράγωγος (e u ) =e u u για u= x 2 e x2 παράγωγος γινομένου fg =f g+fg όπου f=2x και g=e x2 2xe x2 = ( 2xe x2 ) = ( 2x) e x2 2x(e x2 ) = 50

51 Παράδειγμα 4 (4) Παράγωγος του (e x2 ) = 2e x2 2x ( 2xe x2 ) = 2e x2 + 4x 2 e x2 = 2e x2 ( 1 + 2x 2 ) 51

52 Παράδειγμα 4 (5) x 0,5 0,5 + f + + f Στρέφει τα κοίλα πάνω Στρέφει τα κοίλα κάτω Στρέφει τα κοίλα πάνω σ.κ. σ.κ x 2 = 0 52

53 Παράδειγμα 4 (6) Παρατηρούμε ότι τα σημεία καμπής της αρχικής συνάρτησης f πραγματοποιούνται για x 0 που παράλληλα είναι και τοπικά ακρότατα (τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο) της συνάρτησης f. 53

54 Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN