ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ"

Αριάδνη Σπηλιωτόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Ορισμοί και παραδείγματα στα ακόλουθα: Θεώρημα Rolle (ορισμός - παραδείγματα) Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συναρτήσεων Ακρότατα συνάρτησης Θεώρημα FERMAT Κυρτότητα-Σημεία καμπής Βασικό Θεώρημα 4

5 ΘΕΩΡΙΑ

6 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE (1) Εάν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και εάν f(α) = f(β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο ανάµεσα στα α και β του όπου η f (x )=0. ηλαδή f (ξ ) = 0 για κάποιο (, ).

7 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE (2) Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σηµείο ξ (α, β ), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σηµείο x = ξ είναι παράλληλη προς τον άξονα xx.

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστηµα [1, 3]. Να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα αυτό. Λύση Επίσης Εποµένως το θεώρηµα Rolle στο διάστηµα [1,3] ικανοποιείται από την τιμή ) ( 2 x x x f (1) 2 f (3) 2 f ) ( ' x x x x f

9 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (1) Εάν µία συνάρτηση f (x) είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο τέτοιο ώστε: f ( ) f ( a) f '( ) (, )

10 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (2) Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σηµείο ξ (α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σηµείο x = ξ είναι παράλληλη στην χορδή ΑΒ με A=f(α) B=f(β).

11 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) Μία συνάρτηση f λέγεται αύξουσα στο σηµείο x=x 0 εάν για οποιοδήποτε μικρό θετικό αριθµό h, ισχύει: f ( x h) f ( x) f ( x h) Μία συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα στο σηµείο x=x 0 εάν για οποιοδήποτε µικρό θετικό αριθµό h, ισχύει: f ( x h) f ( x) f ( x h)

12 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (2) Εάν f (x 0 )>0, τότε η συνάρτηση f είναι αύξουσα στο σηµείο x=x 0. Εάν f (x 0 )<0, τότε η συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο x=x 0. Εάν f (x 0 )=0,τότε το σηµείο x=x 0 λέγεται κρίσιµο σηµείο.

13 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (3) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα. Εάν f (x)>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του, τότε η f(x) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Εάν f (x)<0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του, τότε η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το.

14 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εάν η παράγωγος f µίας συνάρτησης y= f(x) είναι συνεχής τότε η f (x) µπορεί να περάσει από αρνητικές σε θετικές τιµές µόνο περνώντας από το µηδέν.

15 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Εάν η f αλλάζει από θετική σε αρνητική τιµή καθώς το x περνά από τα αριστερά στα δεξιά ενός σηµείου, τότε η τιµή της f στο σηµείο αυτό είναι τοπικό µέγιστο. Οµοίως εάν η f αλλάζει από αρνητική σε θετική τιµή καθώς το x περνά από τα αριστερά στα δεξιά ενός σηµείου, τότε η τιµή της f στο σηµείο αυτό είναι τοπικό ελάχιστο.

16 ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT Έστω µία συνάρτηση f(x) ορισµένη στο διάστηµα και x 0 ένα εσωτερικό σηµείο του. Εάν η f(x) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό τότε f '( x ) 0 0

17 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ-ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ (1) Κοίλα προς τα πάνω Κοίλα προς τα κάτω

18 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ-ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ (2) Έστω µία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι κυρτή στο εάν η f είναι αύξουσα στο εσωτερικό του. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάνω ή είναι κοίλη στο εάν η f είναι φθίνουσα στο εσωτερικό του.

19 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αφού η f είναι η παράγωγος της f έπεται ότι η f θα αυξάνεται στο ανοικτό διάστηµα (α,β) εάν η f (x) >0 για όλα τα x (α, β) και η f θα ελαττώνεται στο ανοικτό διάστηµα (α, β) εάν η f (x)<0 για όλα τα x (α, β).

20 ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µία συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν f (x)>0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο. Αν f (x)<0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η συνάρτηση f είναι κοίλη στο.

21 ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗΣ Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α,β) και x 0 (α, β). Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (α, x 0 ) και κοίλη στο (x 0, β) ή αντιστρόφως και η καµπύλη της συνάρτησης f έχει εφαπτόμενη στο σηµείο A(x 0, f(x 0 )), τότε το σηµείο Α ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.

22 ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗΣ) Εάν το σηµείο A(x 0, f(x 0 )) είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράσταση της συνάρτησης f και η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, τότε f (x) =0.

23 ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής