מתמטיקה לכיתה ח גאומטרייה חלק ג מהדורת ניסוי

מתמטיקה לכיתה ח גאומטרייה חלק ג מהדורת ניסוי

צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד"ר אילנה ארנון, דקלה בר גיל, ד"ר שושנה גלעד, ד ר מורין הוך, ד"ר ילנה זריא, הלית חפר, דורית כהן, טובי מגדל, רותי מירון, ילנה נפתלייב, ד"ר מיכל סוקניק, ג'ייסון קופר, אנטולי קורופטוב, הגר רובינק קרא והעיר: עפר ילין עריכה לשונית: חוה בן זקן, מיכל פרנקל, יעל רגב, דנה רייך הפקה: שירה בכר, דליה בסון צוות גרפיקה: שירה בכר, איילת גוטרמן, לאה גלס, ישי יגיל ריכוז השתלמויות: ד ר אלכס אוליצין מזכירות הצוות: לילך רון, סוהא חג' יחיא עיצוב גרפי: ביצועים עיבודי מחשב בע"מ, ניצן שמיר - מעצבים ביצוע גרפי: לאה גלס הבאה לדפוס: גדי נחמיאס הוצאה לאור: המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2008 כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח קלאוזנר 16 תל אביב, ת ד 39513, מיקוד 61394 צוות המתמטיקה - טל 03-6460177, דוא ל,math@cet.ac.il אתר באינטרנט www.cet.ac.il/math מוקד תמיכה טלפוני של מטח בשעות 18:00-8:00 המספק תמיכה מקצועית: 1-800-366-555 זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצר/ים בחוברת זו מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לסכם, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר, כל חלק שהוא מחוברת זו. כמו כן, אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחוברת זו, בכולה או בחלקים ממנה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב ממטח )המרכז לטכנולוגיה חינוכית(.

שלושמ תוכן יביכר ןיב הענייניםםירשק.ח א. הוכחות בגואמטריה 4 זוויות מתאימות וזוויות מתחלפות זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות וישרים מקבילים מה זה משפט. נתונים ומסקנות. אם... אז... מה זה אומר "להוכיח" זוויות חד-צדדיות ב. זווית חיצונית למשולש 14 ג. אקסיומות. משפטי חפיפה של משולשים 18 משפט חפיפה: צלע-זווית-צלע משפט חפיפה: זווית-צלע-זווית ד. משולש שווה שוקיים 30 זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים קטעים מיוחדים במשולש שווה שוקיים צלעות וזוויות במשולש כללי משולש ישר זווית ה. משפטי חפיפה נוספים 38 משפט חפיפה: צלע-צלע-צלע משפט חפיפה: ניצב-זווית ו. משפט פיתגורס 43 פעולת ההעלאה בריבוע ופעולת השורש הריבועי משפט פיתגורס שימושים במשפט פיתגורס הוכחת משפט פיתגורס שימושים נוספים במשפט פיתגורס, במישור ובמרחב המשפט ההפוך למשפט פיתגורס ז. למתעניינים 58 ח. תרגול נוסף 61 סמלים לציון פעילויות מסוגים שונים: חיזוק, הרחבה, אתגר, דיון *שימו לב: כל הסרטוטים בחוברת הזאת הם סקיצות ואינם סרטוטים מדוייקים

גאומטרייה - חלק ג א. הוכחות בגאומטרייה מה נלמד? זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות וזוויות חד צדדיות. זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות וישרים מקבילים. מה זה משפט. נתונים ומסקנות. אם...אז... מה זה אומר "להוכיח". זוויות מתאימות m 1 ישר m וישר p נחתכים. כמה זוויות )קטנות מזווית שטוחה( נוצרות? p שני ישרים שונים n ו k נחתכים על ידי ישר שלישי a. שתי הזוויות המסומנות בכל אחד מהסרטוטים הבאים נקראות זוויות מתאימות. k א ג k n n a a k ב ד n a a k n זוויות מתאימות הן שתי זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו צד של שני הישרים הנחתכים. גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה 4

2 בכל אחד מהסרטוטים הבאים סמנו ב- β זווית מתאימה לזווית α. ה א α α α ו ב α α ז ג α ד α ח α 3 בכל אחד מהסרטוטים הבאים קבעו האם הזוויות המסומנות הן זוויות מתאימות. ד א ה ו ב ג גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה 5

דיון 4 בכל סעיף מופיעה טענה: א. זוויות מתאימות הן זוויות קדקודיות. ב. זוויות מתאימות הן זוויות צמודות. ג. זוויות מתאימות תמיד שוות. ד. זוויות מתאימות לפעמים שוות. בכל סעיף כתבו האם הטענה נכונה או אינה נכונה. נמקו את תשובתכם. אילו מהטענות אפשר לנמק על ידי דוגמה? 5 ציירו שני ישרים n ו k הנחתכים על ידי הישר השלישי a. א. סמנו את הזוויות שנוצרו. ב. כתבו את כל הזוגות של זוויות מתאימות בציור שציירתם. כמה זוגות של זוויות מתאימות נוצרו? 6 בכל אחד מהסרטוטים הבאים סמנו זווית המתאימה לזווית γ. כמה זוויות כאלה קיימות בכל אחד מהסעיפים? הרחבה ג א γ γ ד ב γ γ גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה דיון 7 שני ישרים a ו b נחתכים על ידי ישר שלישי c, כך שזוג אחד של זוויות מתאימות הן זוויות שוות וכל אחת מהן שווה ל 20. א. חשבו את גודלן של הזוויות האחרות שנוצרו. ב. מה ניתן לומר על זוגות אחרים של זוויות מתאימות? 8 שני ישרים a ו b נחתכים על ידי ישר שלישי c כך שזוג אחד של זוויות מתאימות הן זוויות שוות. א. ציירו שלושה ישרים המתאימים לתיאור וסמנו את הזוג של הזוויות המתאימות השוות. ב. מה ניתן לומר על זוגות אחרים של זוויות מתאימות? נמקו את תשובתכם. 30 שני ישרים a ו b נחתכים על ידי ישר שלישי c כך שבזוג אחד של זוויות מתאימות 9 כל זווית שווה ל 30. א. שערו האם הישרים a ו b הם ישרים מקבילים זה לזה. ב. איך ניתן לבדוק שהישרים a ו b הם ישרים מקבילים? נמקו את תשובתכם. 10 שני ישרים a ו b נחתכים על ידי ישר שלישי c כך שזוג אחד של זוויות מתאימות הן זוויות שוות. ציירו שלושה ישרים המתאימים לתיאור וסמנו את זוג הזוויות המתאימות השוות. 30 א. שערו על סמך עבודתכם במשימה 9 האם ניתן בוודאות לטעון שהישרים a ו b הם ישרים מקבילים זה לזה? ב. איך לדעתכם אפשר לאמת או להפריך את ההשערה שבסעיף א? 6

בוודאי מצאתם את עצמכם פעם במצב שבו רציתם לשכנע אנשים אחרים בנכונותה של עובדה מסוימת. "העובדה" יכולה להיות נקודת השקפה שאתם מחזיקים בה )כמו "יותר כיף לשחות מאשר לשחק כדורגל"(, או שהיא עשויה להיות משהו אובייקטיבי יותר )כמו "סיגריות מסוכנות לבריאות"(. במקרה האחרון, אתם עשויים להשתמש בנימוקים הקרובים להוכחה מתמטית. 11 א. חלקו ריבוע לארבעה חלקים שכולם בעלי אותו שטח. כתבו נימוק שישכנע חבר שלכם שארבעת החלקים הם אכן בעלי אותו שטח. נסו את הטיעון באוזני בן משפחה או חבר וראו אם הוא משכנע. ב. איזה סוג של מספר, זוגי או אי זוגי, תקבלו אם תחברו מספר אי-זוגי כלשהו ומספר זוגי כלשהו? כתבו שני נימוקים משכנעים עבור עובדה זו. כתבו הוכחה שאותה יוכל להבין מישהו שיודע אלגברה. ג. נניח שאתם יודעים כי סכום הזוויות במשולש הוא 180. השתמשו בעובדה זו כדי להראות כי סכום הזוויות במרובע הוא 360. דיון 12 מה לדעתכם אומר הביטוי "להוכיח נכונות של טענה כלשהי"? בשלב זה של לימודיכם, כאשר תתבקשו להוכיח טענה, הכוונה תהיה להביא נימוק או רצף נימוקים, שכל אחד מהם מתבסס על טענה מוכרת או על הגדרה. בשלב זה נסתפק בהתייחסות הזאת למושג "הוכחה" ונבהיר אותו בהמשך לימודי הגאומטרייה. הטענות שצריך להוכיח נקראות משפטים. 13 התבוננו במשפט שלפניכם: a נתונים שני ישרים שונים a ו b וישר שלישי α c. שיוצר איתם זוויות מתאימות α ו β. b β c אם הזוויות המתאימות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה. כתבו מה נתון במשפט ומה טעון הוכחה. סרטטו את הישרים, סמנו שתי זווית מתאימות, ונסו להוכיח את המשפט. הדרכה: בהוכחה הסתמכו על ההגדרה של שני ישרים מקבילים: שני ישרים מקבילים אם יש להם אנך משותף. העבירו אנך לישר a. הסבירו מדוע הוא מאונך גם לישר b. הסתמכו על סכום הזוויות במרובע. דיון גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה 7

- 14 נסחו את המשפטים הבאים בעזרת המילים "אם" ו"אז" - קבעו מה נתון ומה צריך להוכיח - הוכיחו את המשפטים האלה א. זוויות קדקודיות שוות זו לזו. ב. מספר שמתחלק ב 6 מתחלק ב 3. ג. העוקב למספר אי זוגי הוא מספר זוגי. 15 א. הוכיחו שהמרובע היא מקבילית. תזכורת: מקבילית היא מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות מקבילות. משפט מורכב מנתונים ומסקנה. משפט ניתן לנסח בעזרת המילים "אם" ו"אז". "אם" מציג את הנתונים. "אז" מציג את המסקנה. אם נחליף בין "נתון" ו"מסקנה" במשפט המקורי נקבל משפט שנקרא משפט הפוך למשפט מקורי. דוגמה משפט: נתונים שני ישרים a ו b וישר שלישי c שיוצר איתם זוויות מתאימות α ו- β. אם הזוויות המתאימות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה. משפט הפוך: נתונים שני ישרים שונים a ו b וישר שלישי c שיוצר איתם זוויות מתאימות α ו β. אם הישרים a ו b מקבילים זה לזה, אז הזוויות המתאימות α ו β שוות. גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה 16 קראו שוב את המשפטים א ג במשימה 14: - נסחו את המשפטים ההפוכים למשפטים האלה. - שערו אילו מהמשפטים ההפוכים נכונים. - לכל משפט הפוך: אם הוא נכון - הוכיחו אותו, אם הוא איננו נכון - הפריכו אותו בעזרת דוגמה נגדית. 17 תלמידים הוכיחו את המשפט "העוקב למספר אי-זוגי הוא מספר זוגי" והציעו הרחבה ניסוחים של המשפט ההפוך: ההצעה של דני: הקודם למספר אי זוגי הוא מספר זוגי ההצעה של רונה: העוקב למספר זוגי הוא מספר אי זוגי ההצעה של יוסף: אם מספר הוא זוגי אז העוקב שלו אי זוגי ההצעה של מיכל: אם העוקב למספר הוא זוגי אז המספר הוא אי זוגי עבור כל ניסוח, קבעו האם הוא ניסוח נכון של המשפט ההפוך, והסבירו כיצד קבעתם. 18 נסחו משפט הפוך למשפט שמופיע במשימה 13: "נתונים שני ישרים שונים a ו b וישר שלישי c. דיון שיוצר איתם זוויות מתאימות α ו β. אם הזוויות המתאימות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה" והוכיחו אותו. 8

זוויות מתחלפות שתי הזוויות המסומנות בכל אחד מהשרטוטים הבאים נקראות זוויות מתחלפות. ב א ד ג זוויות מתחלפות הן שתי זוויות הנמצאות מצדדים שונים של הישר החותך ומצדדים שונים של הישרים הנחתכים. 19 בכל אחד מהסרטוטים הבאים סמנו ב β זווית מתחלפת לזווית α. ב א α α ד ג α α 20 שני ישרים a ו b נחתכים על ידי ישר שלישי c, כך ששתי זוויות מתחלפות הן זוויות שוות וכל אחת מהזוויות שווה ל 25. חשבו את גודלן של הזוויות האחרות שנוצרו. מה ניתן לומר על הזוג האחר של זוויות מתחלפות? 21 שני ישרים a ו b נחתכים על ידי ישר שלישי c, כך ששתי זוויות מתחלפות הן זוויות שוות. א. ציירו שלושה ישרים המתאימים לתיאור וסמנו את זוג הזוויות המתחלפות השוות. ב. מה ניתן לומר על הזוג האחר של זוויות מתחלפות? נמקו את תשובתכם. דיון גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה 9

22 התבוננו במשפט שלפניכם: b a c נתונים שני ישרים שונים a ו b וישר שלישי c שחותך אותם ויוצר איתם זוויות מתחלפות α ו β. אם הזוויות המתחלפות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה. α β א. רשמו מה נתון במשפט ומה צריך להוכיח. ב. נסו להוכיח את המשפט. רמז: הסתמכו על המשפט של זוויות קדקודיות ועל המשפט של זוויות מתאימות. הוכחות בגאומטרייה אפשר לכתוב בטבלה. לדוגמה: b a α β γ משפט: נתונים שני ישרים a ו b וישר שלישי c שחותך אותם ויוצר איתם זוויות מתחלפות α ו β. אם הזוויות המתחלפות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים. c נתון: α ו β זוויות מתחלפות שוות )ראו סרטוט(. צריך להוכיח: הישרים a ו b מקבילים. ההוכחה: טענה β = α 1 נימוק נתון נסמן ב γ זווית קדקודית לזווית α: זוויות קדקודיות שוות זו לזו γ = α 2 לפי טענות 2: 1, אם β = α ו,γ = α אז.γ = β γ = β 3 משפט: אם זוויות מתאימות β ו γ שוות אז הישרים מקבילים a ו b מקבילים 4 מה שצריך להוכיח )מש"ל( נסחו משפט הפוך למשפט שמופיע במשימה 22: "נתונים שני ישרים שונים a ו b וישר שלישי c שחותך אותם 23 ויוצר איתם זוויות מתחלפות α ו β. אם הזוויות המתחלפות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה" והוכיחו אותו. גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה 10

זוויות חד צדדיות )הרחבה( שתי הזוויות המסומנות בכל אחד מהסרטוטים הבאים נקראות זוויות חד צדדיות: ב א זוויות חד צדדיות הן זוג זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך בצדדים שונים של הישרים הנחתכים. 24 נתונים שני ישרים וישר שלישי החותך אותם. הוכיחו את המשפטים הבאים: א. אם יש שתי זוויות מתאימות שוות אז יש שתי זוויות חד צדדיות שסכומן שווה 180. ב. אם יש שתי זוויות מתחלפות שוות אז יש שתי זוויות חד צדדיות שסכומן שווה 180. ג. אם הישרים הם מקבילים אז סכום זוויות חד צדדיות שווה 180. 25 נסחו את המשפטים ההפוכים לאלה שמופיעים במשימה 24 והוכיחו אותם. 26 בכל הסעיף קבעו אם הישרים מקבילים. הוכיחו קביעתכם. ד א 93 92 89 89 גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה ב 115 115 ה ג ו 30 150 50 37 153 50 11

27 בכל סרטוט הישרים a ו b הם ישרים מקבילים. חשבו את כל הזוויות שנוצרו. נמקו את החישובים שלכם. a א c d c ה 110 b 60 d a b ב 93 ו a b 90 a b a ג b 117 a ז 65 b c 120 d a ד b 135 a ח 89 b 90 מה למדנו? גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות וישרים מקבילים מה זה משפט. נתונים ומסקנות. אם...אז... מה זה אומר "להוכיח" משפטים של זוויות מתאימות: נתונים שני ישרים שונים a ו b וישר שלישי c שיוצר איתם זוויות מתאימות α ו β. אם הזוויות המתאימות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה אם הישרים a ו b מקבילים זה לזה, אז הזוויות המתאימות α ו β שוות משפטים של זוויות מתחלפות: נתונים שני ישרים שונים a ו b וישר שלישי c שחותך אותם ויוצר איתם זוויות מתחלפות α ו β. אם הזוויות המתחלפות α ו β שוות, אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה. אם הישרים a ו b מקבילים זה לזה, אז הזוויות המתחלפות α ו β שוות משפטים של זוויות חד צדדיות: נתונים שני ישרים a ו b וישר c שחותך אותם ויוצר איתם זוויות חד צדדיות α ו β. אם סכום הזוויות החד צדדיות שווה ל 180 אז הישרים a ו b מקבילים זה לזה. אם הישרים a ו b מקבילים זה לזה, אז סכום הזוויות החד צדדיות שווה ל 180. 12

a b δ β γ α z x משימות נוספות 1 נתון: x = 40,a b חשבו את הזוויות:. z, γ, α, β, δ נמקו את תשובתכם. a b c d 1 α 2 3 4 5 7 6 15 12 14 13 11 8 10 9 2 נתון: c d,a b מצאו את הזוויות ששוות לזווית α. נמקו את קביעתכם. a c α b d β 3 נתון: a b,c d הרחבה הוכיחו: α = β גאומטרייה - חלק ג הוכחות בגאומטרייה c d S P K b M M α N a P c d,a b נתון: 4 - NP חוצה את. MNK הרחבה מצאו את הזוויות ששוות לזווית α. נמקו את קביעתכם. = 90 נתון: 5 MP, = 34 מצאו את הזוויות של. MP נמקו את קביעתכם. 13

γ ב. זווית חיצונית למשולש מה נלמד? זווית חיצונית למשולש. בין הסבר להוכחה. 1 חשבו את הזווית ϕ. הסבירו כיצד חישבתם. הידעתם: " ϕ" היא אות יוונית שקוראים אותה "פי". 105 ϕ 17 β 2 נתון שסכום הזוויות γ ו β שווה ל 93. האם אפשר לחשב את זווית ϕ. נמקו. ϕ α הזוויות ϕ מהמשימות 1 ו 2 מייצגות זווית חיצונית למשולש. הגדרה: זווית שבין צלע של משולש לבין המשך של צלע הסמוכה לה נקראת זווית חיצונית למשולש. גאומטרייה - חלק ג זווית חיצונית למשולש 3 סרטטו משולש כלשהו. סרטטו זוויות חיצוניות למשולש הזה. א. כמה זוויות חיצוניות יש ליד כל קדקוד במשולש שסרטטם? הסבירו מדוע הן שוות? ב. כמה זוויות חיצוניות יש למשולש שסרטטתם? ג. כמה זוויות חיצוניות יש למשולש כלשהו? 4 לפניכם משפט: משפט של זווית חיצונית למשולש: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות במשולש שאינן צמודות לה. א. קבעו מה נתון ומה צריך להוכיח במשפט. ב. נסחו את המשפט בעזרת המילים אם ו אז. ג. הוכיחו את המשפט )אפשר לכתוב את ההוכחה בטבלה(. 14

דיון 5 א. באילו טענות מוכרות השתמשתם בהוכחת המשפט על זווית חיצונית למשולש? ב. האם הוכחנו את כל הטענות האלה? בשלב זה, כאשר תתבקשו להוכיח טענה, הכוונה תהיה להביא נימוק או רצף נימוקים, שכל אחד מהם מתבסס על משפטים קודמים שכבר הוכחו או על הגדרות, כדי להסיק מהם את המשפט שמוכיחים. בשלב זה נסתפק בהתייחסות הזאת למושג "הוכחה", ונמשיך להבהיר אותו בהמשך לימודי הגאומטרייה. מה למדנו? משפט של זווית חיצונית למשולש: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות במשולש שאינן צמודות לה. משימות נוספות 1 חשבו את כל הזוויות שבסרטוטים על פי הנתונים: ב א α α 38 40 80 ג גאומטרייה - חלק ג זווית חיצונית למשולש a b 148 43 30 γ 45 ד 120 160 E a b נתון: 2 γ מצאו: רמז: בניית עזר - האריכו את כך שיחתוך את הישר b. 15

M 3 נתון: - חוצה זווית -, חוצה זווית = 90 הוכיחו: M α ב. א. חלק מהזוויות נתונות בסרטוט. 4 α β 138 חשבו את זווית α. בטאו את הזווית α בעזרת זווית β. נמקו את תשובתכם. 5 א. חלק מהזוויות נתונות בסרטוט. ב. β α β 50 גאומטרייה - חלק ג זווית חיצונית למשולש בטאו את זווית β בעזרת זווית α. חשבו את זווית β. נמקו את תשובתכם. א. האם ייתכן משולש שכל הזוויות החיצוניות שלו קהות? 6 ב. האם ייתכן משולש שכל הזוויות החיצוניות שלו ישרות? ג. האם ייתכן משולש שכל הזוויות החיצוניות שלו חדות? ד. האם ייתכן משולש שרק שתי זוויות חיצוניות שלו קהות? ה. האם ייתכן משולש שרק שתי זוויות חיצוניות שלו חדות? 16

X 7 א. נתון: α = 130 α β β = 120 חשבו את הזווית. X נמקו את תשובתכם. ב. נתון: α + β = 300 מצאו את הזווית. X נמקו את תשובתכם. F α 40 8 נתון: הרחבה - F, חוצי זווית = 40 מצאו את הזווית. α נמקו את תשובתכם. גאומטרייה - חלק ג זווית חיצונית למשולש 17

ג. אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים מה נלמד? אקסיומות מושג ההוכחה - העמקה נוספת משפט החפיפה: צלע-זווית-צלע )צ.ז.צ( משפט החפיפה: זוית-צלע-זווית )ז.צ.ז( גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים אנו מוכיחים משפט גאומטרי חדש על ידי כך שאנו מראים שניתן להסיק אותו ממשפטים גאומטריים קודמים שכבר הוכחו. כדי להיות בטוחים בנכונותו של המשפט החדש עלינו להיות בטוחים בנכונותם של כל המשפטים הקודמים שעליהם מסתמכת ההוכחה. זה מחייב להוכיח תחילה את המשפטים הקודמים, וכן גם את המשפטים הקודמים לקודמים. מכאן עולה הצורך לבחור טענות התחלתיות שאותן אנו מקבלים מראש כנכונות ללא הוכחה ומהן להתחיל את תהליך ההוכחות. טענות התחלתיות אלה נקראות "הנחות יסוד" או "אקסיומות". אוקלידס, מתמטיקאי יווני שחי כמשוער בין השנים 275-365 לפני הספירה, כתב טענות שאותן הציע לקבל כטענות יסוד. הטענות האלה לא סתרו אינטואיציות של אנשים, ולכן הן שימשו כאבני בנייה לגאומטרייה שמקובל לקרוא לה "גאומטרייה אוקלידית". זאת הגאומטרייה שאנחנו לומדים כאן. 1 א. סמנו שתי נקודות ו. כמה ישרים שונים אפשר להעביר דרך הנקודות האלה? ב. גזרו משולש כלשהו מדף נייר. הפכו את המשולש, סובבו אותו והזיזו אותו. האם הפעולות האלה משנות את צלעותיו או את זוויותיו של המשולש? ג. ציירו מרובע שבו שלוש זוויות ישרות. מהו לדעתכם גודלה של הזווית הרביעית? מה תוכלו לטעון על אורכי הצלעות נגדיות של המרובע? איזה סוג מרובע זה? טענות שאינן נוגדות את האינטואיציות שלנו ובנויות על הניסיון שלנו בעולם מסביב נקבעו כאקסיומות: 1. אקסיומת הישר: דרך שתי נקודות עובר ישר אחד ורק אחד. 2. אקסיומת ההעתקה: ניתן להפוך לסובב ולהזיז מצולע בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו. 3. אקסיומת המלבן: אם למרובע שלוש זוויות ישרות, אז גם הזווית הרביעית ישרה, וכל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו. נשתמש באקסיומות בהוכחות של משפטים. 18

2 הוכיחו את המשפט סכום הזוויות של משולש ישר זווית הוא 180 בעזרת אקסיומת המלבן. בשלב זה של לימודיכם, להוכיח משפט משמע להביא נימוק או רצף נימוקים, שכל אחד מהם מתבסס על אקסיומות, על משפטים קודמים שכבר הוכחו או על הגדרות ועל נתוני המשפט, כדי להסיק מהם את המסקנה שמוכיחים. F משפט החפיפה: צלע-זווית-צלע )צ.ז.צ( עם המורה: נסיק מסקנות ראשונות שנובעות מהאקסיומות שלנו. אם נתון משולש )כמשולש האפור שבימין הציור( ומשולש EF )כמשולש המצויר בקו עבה(, ואם הזווית שווה לזווית, נוכל להעתיק את המשולש )קבעו על סמך איזו אקסיומה( באופן שהזווית תונח בדיוק E על הזווית )כבציור(. אם, נוסף על שוויון הזוויות האלה, יהיה נתון שהצלע שווה בדיוק לצלע E והצלע שווה בדיוק ל F, אז נקודה תונח בדיוק על נקודה E ונקודה תונח בדיוק על נקודה F. כיוון שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד )קבעו על סמך איזו אקסיומה( תהיה הצלע מונחת בדיוק על,EF וזה אומר שהמשולשים ו EF חופפים. משתי האקסיומות )אקסיומת הישר ואקסיומת ההעתקה( נובעת אפוא המסקנה שאם שני משולשים שווים בזווית ובשתי הצלעות שסמוכות אליה המשולשים חופפים. מסקנה זאת נקראת משפט חפיפה צלע-זווית-צלע או בקיצור צ.ז.צ. משפט חפיפה צלע-זוית-צלע: אם בין שני משולשים יש התאמה, שלשתי צלעות במשולש האחד מתאימות צלעות השוות להן במשולש השני, ולזווית שבין שתי הצלעות האלה מתאימה זווית השווה לה בין שתי הצלעות המתאימות, אז המשולשים חופפים. גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים 19

P 3 בטבלה מוצגת הוכחה של משפט החפיפה צלע-זווית-צלע. התבוננו בהוכחה הזאת ודונו בנימוקים המובאים בה. נתון: = PQ =PR R = P Q צריך להוכיח: PQR נוכיח שניתן להניח את המשולש PQR על המשולש כך שהם יתלכדו. הוכחה: טענה נימוק ניתן להזיז את המשולש PQR כך שהנקודה P תתלכד עם הנקודה, מבלי שצלעותיו או זוויותיו ישתנו ניתן לסובב את המשולש PQR כך שהנקודה P תישאר מלוכדת עם הנקודה, תתיישר עם הצלע PQ וכך שהצלע, מבלי שצלעותיו או זוויותיו של המשולש ישתנו אקסיומת ההעתקה אקסיומת ההעתקה 1 1 נתון = PQ נתון = P נתון = PR בין שתי הנקודות Q )שהתלכדה עם ( ו R )שהתלכדה עם ( עובר ישר אחד על סמך סעיפים 6,5,4,3,2 על סמך סעיף 7, על פי הגדרת החפיפה של משולשים M K P הנקודה Q מתלכדת עם הנקודה 3 הצלע PR מתלכדת עם הצלע 4 הנקודה R מתלכדת עם הנקודה 5 הצלע מתלכדת עם הצלע QR 6 המשולש PQR מתלכד עם המשולש 7 המשולשים PQR ו חופפים 8 מש ל = MK נתון: 4 = M MP = גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים השלימו: נמקו. 20

5 נתון: FE, = FE = E = E E א. הוכיחו: FE ב. אם גם נתון: = 22 E = 37 F חשבו את. F נמקו את תשובתכם. 6 נתון: = T = T א. הוכיחו: T T T ב. אם 4.5 ס"מ = T מה אורכה של.T נמקו את תשובתכם. 7 נתון: = גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים M K 7 ס"מ 3 ס"מ 20 20 140 140 F 7 ס"מ 3 ס"מ M = K א. הוכיחו: K M ב. אם = 17 מה גודלה של. נמקו את תשובתכם. ג. אם 7 ס"מ = M מה אורכה של.K נמקו את תשובתכם. 8 בסרטוט רשומים הנתונים. הוכיחו: F 21

9 נתון: N = N N N = N הוכיחו: א. = ב. = 10 משפט: אלכסוני המלבן שווים זה לזה. הוכיחו את המשפט בעזרת משפט החפיפה צלע-זוית-צלע. 11 נתון: - מרכז המעגל E -,E קטרים הוכיחו: = E 12 בכל סעיף אילו משולשים חופפים. נמקו. הרחבה N א ב S M T P Y E L X ד ג Z G Q P Q ה ו S M P M N 22 גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים

בכל סעיף קבעו האם המשולשים בהכרח חופפים. 13 אם כן, נמקו מדוע. אתגר א ב ד ג משפט החפיפה: זווית-צלע-זווית )ז.צ.ז( אם נתון משולש )כמשולש האפור שבימין הציור( ומשולש EF )כמשולש המצויר בקו עבה(, ואם הצלע שווה לצלע E )הצלעות השוות סומנו בציור בצמד קווקווים(, נוכל להעתיק את המשולש E תונח בדיוק על הצלע באופן שצלע )כבציור( )קבעו על סמך איזו אקסיומה(. הצלעות השוות סומנו בצמדי קווקווים, E והצלעות האחרות סומנו בחצים (. אם, נוסף על שוויון הצלעות האלה, נתון שהזווית שווה לזווית ושהזווית שווה בדיוק לזווית E )לא כמו בציור(, אז החצים המתאימים יפלו זה על זה, כלומר הקרן תונח בדיוק על הקרן F והקרן תונח על הקרן.EF שני ישרים שונים אינם יכולים להיפגש בשתי נקודות שונות כי דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד, לכן )במקומה החדש( ו F הן אותה נקודה )נקודת המפגש( וזה אומר שהמשולשים ו EF חופפים. מסקנה זאת נקראת משפט החפיפה וגם משפט החפיפה זווית-צלע-זווית, או בקיצור ז.צ.ז. משפט זוית-צלע-זוית: אם בין שני משולשים יש התאמה, שלצלע במשולש האחד מתאימה צלע השווה לה במשולש האחר, ולזוויות שסמוכות לצלע הזו מתאימות זוויות השוות לה במשולש השני, אז המשולשים חופפים. גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים F 23

הרחבה 14 נסו לכתוב את ההוכחה של משפט החפיפה זצ ז בטבלה. 15 נתון: F = EF = E = E השלימו: נמקו את תשובתכם. F L M 16 נתון: MFR, KLP K = F PK = RF P = R הוכיחו: א. LPK MRF K F ב. אם = 100 P L = 15, X Z P R Q Y מצאו את. F נמקו את תשובתכם. = נתון: 17 = א. הוכיחו: 3 ס"מ = ב. אם מצאו את נמקו את תשובתכם. X = Y נתון: 18 X = Y א. XQ YZ הוכיחו: = 40 XQ ב. אם מצאו את YZ נמקו את תשובתכם. גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים 24

80 80 40 40 80 40 E 19 בסרטוט רשומים נתונים. א. האם? הסבירו. ב. הוכיחו: E P 20 נתון: P = Q M חוצה את - MR M R Q הוכיחו: א. PRM QRM ב. אם 5 ס"מ = PR מצאו את QR נמקו את תשובתכם. גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים E E E נתון: 21 = E א. E הוכיחו: = 30 = 20, ב. אם מצאו את E נמקו את תשובתכם. בסרטוט רשומים נתונים. 22 E הוכיחו: 25

23 בכל סעיף קבעו אילו מהמשולשים חופפים. נמקו את קביעתכם. הרחבה ב א F M ד ג L P k K T ריבוע ה א ג K ו M E 24 בכל סעיף קבעו האם המשולשים בהכרח חופפים. אם כן, נמקו מדוע. אתגר ב ד גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים 26

מה למדנו? טענות התחלתיות שאותן אנו מקבלים מראש כנכונות ללא הוכחה ושמהן יתחילו תהליכי ההוכחות נקראות "הנחות יסוד" או "אקסיומות". להוכיח משפט משמע להביא נימוק או רצף נימוקים, שכל אחד מהם מתבסס על אקסיומות, על משפטים קודמים שכבר הוכחו או על הגדרות, כדי להסיק מהם את המשפט שמוכיחים. משפט החפיפה צלע-זוית-צלע )צ.ז.צ(. אם בין שני המשולשים יש התאמה שלפיה שתי צלעות והזווית שביניהן במשולש אחד שוות לשתי צלעות והזווית שביניהן במשולש אחר, אז משולשים אלה חופפים. משפט החפיפה זוית-צלע-זוית )ז.צ.ז(. אם בין שני המשולשים יש התאמה שלפיה צלע ושתי הזוויות שסמוכות לה במשולש אחד שוות לצלע ולשתי הזוויות שסמוכות לה במשולש האחר, אז משולשים אלה חופפים. משימות נוספות 1 נתון: - חוצה את ואת גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים K 4 ס"מ 40 40 4 ס"מ הוכיחו: נתון: 2 אמצע - K K K K הוכיחו: בסרטוט רשומים נתונים. 3 הוכיחו: 27

M 4 בסרטוט רשומים נתונים. הוכיחו: MN = KL N P K L N 5 בסרטוט רשומים נתונים. S R T הוכיחו: NR = RP P 6 נתון: - טרפז שווה שוקיים = K O F M E M = K M K = M הוכיחו: O = O נתון: 7 O = O א. = הוכיחו: = ב. = נתון: 8 = הרחבה M = M MF = ME הוכיחו: גאומטרייה - חלק ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים 28

9 בסרטוט רשומים נתונים. הוכיחו: - שווה שוקיים E M נתון: קטעים ו חוצים זה את זה בנקודה K. 10 P K, M, מונחים על ישר אחד. אתגר K הוכיחו: MK = KP P 11 נתון: = F = FE אתגר - - חלק ג ג אקסיומות. משפטי החפיפה של משולשים גאומטרייה E E F E = F א. = E הוכיחו: ב. E = = E נתון: 12 אתגר = + E = הוכיחו: 29

ד. משולש שווה שוקיים מה נלמד? זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים משפט: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו משפט הפוך קטעים מיוחדים במשולש שווה שוקיים, ותכונותיהם: חוצה זווית הראש תיכון לבסיס גובה לבסיס צלעות וזוויות במשולש כללי משולש ישר זווית תיכון ליתר משולש שזוויותיו,90,60.30 זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים הגדרה: משולש נקרא משולש שווה שוקיים אם ורק אם יש לו שתי צלעות שוות )בסרטוט.) = הצלעות השוות נקראות שוקיים,( בסרטוט( הצלע השלישית נקראת בסיס ( בסרטוט( הזווית שבין השוקיים נקראת זווית הראש ) בסרטוט( הזוויות שסמוכות לבסיס נקראות זוויות בסיס ), בסרטוט( א. אילו מהמשולשים הבאים הם שווי שוקיים? ג ב א ב. העלו השערות לגבי זוויות במשולשים שווי שוקיים. ג. נסו לסרטט משולש שווה שוקיים שבו זוויות הבסיס אינן שוות. אם לדעתכם אי אפשר לסרטט משולש כזה, נסו להסביר מדוע. ד 1 גאומטרייה משולש שווה שוקיים 30

2 להלן הוכחה של המשפט: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו. השלימו את כל הנימוקים בהוכחה. משפט: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו. נתון: = צריך להוכיח: = הוכחה: נוכיח ש:., יהיו זוויות מתאימות במשולשים חופפים. הזוויות בניית עזר: נעביר חוצה זווית לזווית הראש. נסמן את נקודת המפגש של חוצה הזווית ושל הבסיס באות. טענה נימוק = 1 על פי בניית עזר = 2 = 3 4 = 5 מש"ל במשולש נתון: = 58 = 62 א. חשבו את זווית. ב. האם המשולש הוא שווה שוקיים? 3 אם במשולש אין זוג של זוויות שוות, אז המשולש איננו שווה שוקיים, שהרי אם היה שווה שוקיים, זוויות הבסיס היו שוות. 4 התרשימים הבאים הם סקיצות של משולשים שווי שוקיים. נתון: = 60 33 בכל משולש נתונה זווית אחת. חשבו את כל הזוויות הנותרות. 25 גאומטרייה משולש שווה שוקיים 31

האם יש משולש שווה שוקיים שאחת מזוויותיו ישרה? אם כן, חשבו את זוויותיו הנותרות. 5 א. האם משולש שווה צלעות הוא משולש שווה שוקיים? ב. חשבו את גודלי הזוויות במשולש שווה צלעות. נמקו כל שלב בחישוב. 6 במשימה 3 הוכחנו את המשפט: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו. א. נסחו משפט הפוך למשפט הזה. ב. הוכיחו את המשפט ההפוך. ניסוח אפשרי של המשפט ההפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות, אז זוויות אלה הן זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים. 7 נתון שכל הזוויות במשולש בנות 60. הוכיחו שהמשולש שווה צלעות. 8 קטעים מיוחדים במשולש שווה שוקיים סרטטו משולש שווה שוקיים. א. העבירו במשולש שלושה קטעים בצבעים שונים: חוצה זווית לזווית הראש גובה לבסיס תיכון לבסיס ב. האם חלק מהקטעים התלכדו? ג. נסחו השערות לגבי חוצה זווית הראש, גובה לבסיס ותיכון לבסיס במשולשים שווי שוקיים. ד. נסו לסרטט משולש שווה שוקיים שבו ההשערה שלכם איננה נכונה! האם הצלחתם? משפט: במשולש שווה שוקיים מתלכדים שלושת הקטעים האלה: חוצה זווית הראש הגובה לבסיס התיכון לבסיס כדי להוכיח את המשפט במסגרת, יש להוכיח את הטענות הבאות: )i( חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים מתלכד עם הגובה לבסיס. )ii( חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים מתלכד עם התיכון לבסיס. האם לדעתכם צריך להוכיח גם את הטענה הבאה? )iii( תיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים מתלכד עם הגובה לבסיס. 9 10 גאומטרייה משולש שווה שוקיים 32

הוכיחו את משפטים )i(,,)ii( כלומר הוכיחו את המשפט הזה: אם חוצה זווית הראש ) ) במשולש שווה שוקיים חותך את הבסיס )( בנקודה, אז הוא גובה וגם תיכון במשולש. תוכלו להיעזר בהוכחה המופיעה במשימה 2 ביחידה זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים. 11 במשולש )ראו סרטוט( נתון: = 12 E = E E = 25 חשבו את זוויות המשולש. נמקו כל שלב בחישוב. E במשולש נתון: = 13 E חוצה זווית הראש E 5 ס"מ = E חשבו את אורך הבסיס. נמקו כל שלב בחישוב. להלן משפט הפוך למשפט )i(: )i( אם במשולש יש חוצה זווית שמתלכד עם גובה, אז המשולש הוא שווה שוקיים. נסחו משפטים הפוכים למשפטים )ii( ו ) iii ( שהוצגו למעלה. 14 הוכיחו את המשפט )i(: 6 משפט: אם במשולש יש חוצה זווית שמתלכד עם גובה, 15 אז המשולש הוא שווה שוקיים. כדי להוכיח את המשפט, רצוי לנסח אותו כך: במשולש נתון: חוצה את הזווית גאומטרייה משולש שווה שוקיים ניצב לצלע צריך להוכיח: = משפט: אם במשולש יש תיכון שמתלכד עם גובה, אז המשולש הוא שווה שוקיים. נסחו את המשפט בעזרת סימנים מתמטיים והוכיחו אותו. 16 33

1 2 הוכיחו את משפט :)ii( 6 אם במשולש יש חוצה זווית שמתלכד עם תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים. הערה: אם תנסו להוכיח את המשפט באמצעות משפטי החפיפה, כמו במשפטים )i( 6 ו 6,)iii( תזדקקו למשפט חפיפה צצ"ז )שתי צלעות, וזווית שאיננה ביניהן(. אין משפט חפיפה כזה! מתברר שהמשפט די קשה להוכחה. הדרכה: א. בניית עזר: המשיכו את חוצה הזווית כאורכו, כך ש:, = E והשלימו למשולש.E ב. הוכיחו: E 1. איזו זווית מתאימה לזווית? 2. איזו צלע מתאימה לצלע? ג. הוכיחו שבמשולש E יש שתי זוויות שוות. הסיקו שיש לו שתי צלעות שוות )אילו?( ד. הסיקו ש:. = E 1 17 בסרטוט נתון: תיכון במשולש E 18 E E E = 42 חשבו את זוויות המשולש. הסבירו כל שלב בחישוב. צלעות וזוויות במשולש כללי את המשפטים של זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ניתן לנסח גם כך: במשולש, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות, ומול זוויות שוות מונחות צלעות שוות. במשימות הבאות נדון בזוויות מול צלעות שאינן שוות, ובצלעות מול זוויות שאינן שוות. בפרקים הקודמים טענו )ללא הוכחה( שבמשולש כלשהו: א. אם צלע אחת במשולש גדולה מצלע אחרת, אז הזווית שמולה גדולה מהזווית שמול האחרת. ב. אם זווית אחת במשולש גדולה מזווית אחרת, אז הצלע שמולה גדולה מהצלע שמול האחרת. במשימות הבאות נוכיח את המשפט, אך תחילה תרגיל: במשולש נתון: = 80 = 30 א. חשבו את גודל זווית. היעזרו במשפט הטוען שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות. ב. חשבו את הגודל הממוצע של זוויות ו. ג. בניית עזר: העבירו קטע כך שהזווית תהיה שווה לזווית שחישבתם בסעיף ב. ד. חשבו את גודל הזווית )מה סכום הזוויות במשולש )? ה. הסבירו מדוע. = הסיקו ש:. > 19 גאומטרייה משולש שווה שוקיים 34

משפט: במשולש, אם > אז > )במילים אחרות: במשולש מול זווית גדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר(. הסבירו כיצד אפשר להפוך את המשימה הקודמת, שבה = 30 = 80, להוכחה של המשפט הכללי. א. נסחו משפט הפוך למשפט במשימה 20. ב. הוכיחו את המשפט ההפוך. הידעת? לפעמים הוכחות במתמטיקה בנויות על רעיון מבריק, שקשה לומר מניין הגיע. בניית העזר במשימה זו היא דוגמה לכך. 20 21 22 הסבירו מדוע היתר במשולש ישר זווית ארוך יותר מכל אחד מהניצבים. בתרשים סקיצה של משולש. גודלי הזוויות הם:,100 50,.30 23 6.3 ס"מ 3.9 ס"מ א. מה גודלה של זווית? 8.1 ס"מ ב. מה גודלה של זווית? משולש ישר זווית 24 נתון משולש שווה צלעות, שאורך צלעו 4 ס"מ. חוצה הזווית במשולש יוצר שני משולשים קטנים. 4 ס"מ 4 ס"מ א. חשבו את גודלי הזוויות במשולשים הקטנים. נמקו כל שלב בחישוב! ב. מה אורך הניצב הקצר במשולש הקטן? 4 ס"מ משפט: במשולש שזוויותיו הן: 90, 60, 30, אורך הניצב שמול הזווית בת 30 שווה למחצית אורך היתר. הוכיחו משפט זה. היעזרו במשימה הקודמת. משפט הפוך: אם במשולש ישר זווית אורך אחד הניצבים שווה למחצית אורך היתר, אז זוויותיו הנותרות הן: 30 ו 60. הוכיחו משפט זה. הדרכה: הוכיחו שניתן להשלים את המשולש למשולש שווה צלעות. בניית עזר: המשיכו את הצלע כך ש: = הוכיחו: סרטטו משלוש ישר זווית כלשהו. העבירו תיכון ליתר. מדדו את אורך היתר ואת אורך התיכון. האם יש קשר בין האורכים שמדדתם? הוכיחו שמשולש הוא משולש שווה צלעות הסיקו שזוויות משולש הן:,90,60.30 גאומטרייה משולש שווה שוקיים 25 26 27 35

משפט: במשולש ישר זווית, אורך התיכון ליתר שווה למחצית אורך היתר. א. נסחו את המשפט בניסוח מתמטי. מה נתון? מה צריך להוכיח? היעזרו בסרטוט. ב. להוכחת המשפט נזדקק לבניית עזר. נסו להוכיח את המשפט! משפט הפוך: אם במשולש תיכון לצלע שווה למחצית הצלע, אז הצלע היא היתר במשולש ישר זווית. א. נסחו את המשפט בעזרת סימנים מתמטיים. מה נתון? מה צריך להוכיח? היעזרו בסרטוט ממשימה 5. ב. הוכיחו את המשפט. רמז: מצאו שני משולשים שווי שוקיים )הוכיחו שהם שווי שוקיים!(. 28 29 גאומטרייה משולש שווה שוקיים מה למדנו? זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים: משפט: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו משפט הפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות, אז המשולש הוא שווה שוקיים קטעים מיוחדים במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית ותיכון משפט: במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש והתיכון לבסיס מתלכדים משפט הפוך: אם במשולש חוצה זווית ותיכון מתלכדים, חוצה זווית וגובה גובה ותיכון אז המשולש הוא שווה שוקיים משפט: במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש והגובה לבסיס מתלכדים משפט הפוך: אם במשולש חוצה זווית ותיכון מתלכדים, אז המשולש הוא שווה שוקיים משפט: במשולש שווה שוקיים הגובה והתיכון לבסיס מתלכדים משפט הפוך: אם במשולש גובה ותיכון מתלכדים, צלעות וזוויות במשולש כללי: אז המשולש הוא שווה שוקיים משפט: מול צלע גדולה יותר מונחת זווית גדולה יותר משפט הפוך: מול זווית גדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר משולש ישר זווית: משפט: תיכון ליתר שווה למחצית היתר משפט הפוך: אם תיכון לצלע שווה למחצית הצלע, אז הצלע היא יתר במשולש ישר זווית משפט: במשולש שזוויותיו הן 90, 60, 30 הניצב שמול הזווית בת 30 שווה למחצית היתר משפט הפוך: אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז זוויותיו הנותרות הן 30 ו 60. 36

משימות נוספות 1 בסרטוט שלפניכם נתון שמשולש ומשולש EF הם משולשים שווי צלעות. הצלע והצלע E נמצאות על ישר אחד. הוכיחו כי EG הוא משולש שווה צלעות. E G F במשולש זווית בת 45 וזווית בת 90. הוכיחו שהמשולש הוא משולש שווה שוקיים. 2 פירמידה שפאותיה הן משולשים שווי צלעות חופפים. 3. אמצע הצלע E א. מצאו בסרטוט חמישה קטעים השווים באורכם לקטע. האם יש בסרטוט קטעים נוספים השווים ל? ב. מה ניתן לומר על המשולש?E נמקו את תשובתכם. ג. כמה משולשים ישרי זווית יש בסרטוט? E בחרו אחד מהם, והוכיחו שהוא ישר זווית. M N F L K התבוננו בקובייה. א. תארו את המשולש. חשבו את זוויותיו. ב מצאו לפחות שני משולשים נוספים שחופפים למשולש. האם יש עוד? 4 ג. תארו את המשולש.N חשבו את זוויותיו של משולש זה. הסבירו את תשובתכם. E E הוא תיכון במשולש. נתון: 5 8 ס"מ = E 7.2 ס"מ = = 48 גאומטרייה משולש שווה שוקיים = 66 חשבו את שטח המשולש. הסבירו כל שלב בחישוב. נתון שחוצה זווית במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח. הוכיחו שהמשולש הוא משולש שווה שוקיים. רמז: איזה קטע במשולש כללי מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח? E הוא גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים. זוויות הבסיס במשולש הן בנות 45. שטח המשולש הוא 36 סמ"ר. חשבו את אורך הבסיס. נמקו כל שלב בחישוב. 6 7 37

ה. משפטי חפיפה של משולשים: צלע-צלע-צלע, ניצב-יתר מה נלמד? משפט החפיפה צלע-צלע-צלע משפט החפיפה ניצב-יתר א. סרטטו משולש כלשהו, ומדדו את אורכי צלעותיו )בדיוק של מ"מ(. ב. נסו לסרטט משולש אחר )לא חופף(, שאורכי צלעותיו שווים בהתאמה לאורכי הצלעות של המשולש שסרטטתם בסעיף א. אם לא הצלחתם, נסו להסביר מדוע. 1 משפט: אם בין שני משולשים יש התאמה, שלכל צלע מתאימה צלע השווה לה, אז המשולשים חופפים. 2 הנה הוכחה של המשפט במסגרת. נתון: PQ = QR = RP = צריך להוכיח: PQR הוכחה: נניח ש: היא הצלע הארוכה במשולש. נזיז, נסובב ואם יש צורך נהפוך את המשולש PQR כך שהצלע PQ תתלכד עם הצלע : את הנקודות ו P שהתלכדו נסמן ב. את הנקודות ו Q שהתלכדו נסמן ב. בסרטוט יש כמה זוויות שקודקודן. כדי לקצר בכתיבה, ניתן לסמן ב 1 P R Q P 1 2 1 2 R Q גאומטרייה משפטי חפיפה של משולשים: צלע-צלע-צלע, ניצב-יתר את הזוויות,R וב 2 את הזווית.R 38

השלימו את ההוכחה הוסיפו בטבלה טענות נחוצות לפני טענה מספר 4, והוסיפו נימוקים לכל הטענות בטבלה. טענה נימוק... 1... 2... 3 4 המשולש R שווה שוקיים 1 = R1 5 6 המשולש R שווה שוקיים 2 = R2 7 = R 8 נובע מטענות 5 ו 7 R 9 PQR 10 מש"ל גאומטרייה משפטי חפיפה של משולשים: צלע-צלע-צלע, ניצב-יתר הידעתם? מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים המחוברים בבסיס משותף נקרא דלתון. המרובע R במשימה הקודמת הוא דלתון. עפיפונים בדרך כלל בנויים בצורת דלתון. במרובע נתון: = = = הוכיחו: רמז: העבירו בניית עזר. במרובע נתון: = = = הוכיחו: רמז: חפשו בניית עזר. במרובע נתון: = = א. הוכיחו: = ו = ב. הסיקו: = ג. הוכיחו:. חשבו את זוויות המרובע. = 40, ד. נתון : 30 = ה. הוכיחו שהקטעים ו מקבילים. מצאו בסרטוט משולש שווה שוקיים. הוכיחו את טענתכם! ו. 3 4 5 39

משפט חפיפה של משולשים: ניצב-יתר א. סרטטו משולש ישר זווית שבו אורך היתר 7 ס"מ ואורך אחד הניצבים 4 ס"מ. הדרכה: 6 סרטטו זווית ישרה בעלת קרניים ארוכות הקצו על אחת הקרניים קטע באורך 4 ס"מ חפשו על הקרן השנייה נקודה שיוצרת יתר באורך 7 ס"מ ב. נסו לסרטט משולש אחר )לא חופף( על פי אותם הנתונים. אם לא הצלחתם, נסו להסביר מדוע. משפט: אם בשני משולשים ישרי זווית היתרים שווים בהתאמה, וניצב במשולש אחד שווה לניצב במשולש האחר, אז המשולשים חופפים. משפט זה נקרא משפט חפיפה ניצב-יתר. 7 נוכיח את המשפט: במשולשים ו PQR נתון: = Q = 90 P P = QR )ניצבים( = PR )יתרים( צריך להוכיח: PQR הוכחה: נזיז, נסובב ואם יש צורך נהפוך את המשולש PQR כך שהניצבים R השווים ו QR יתלכדו, כמתואר בסרטוט: Q את הצורה המתקבלת נסמן כך )נזכור ש R התלכדה עם, ו Q התלכדה עם (: א. הוכיחו שהצורה המתקבלת היא משולש, ולא מרובע רמז: הוכיחו שהנקודות, ו P מונחות על ישר אחד. ב. הסבירו מדוע המשולש P הוא שווה שוקיים. ג. הוכיחו שהזוויות של משולש שוות בהתאמה לזוויות של משולש.P ד. הוכיחו P. על איזה משפט חפיפה הסתמכתם? ה. הסיקו ש PQR מה שהיה להוכיח. במרובע נתון: = זוויות ו ישרות הוכיחו שהאלכסון חוצה את הזוויות ו 8 גאומטרייה משפטי חפיפה של משולשים: צלע-צלע-צלע, ניצב-יתר 40

משפט: גובה במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון. א. נסחו את המשפט עבור משולש שווה שוקיים ( = ) בעזרת סימנים מתמטיים. ב. הוכיחו את המשפט 9 במרובע נתון: = 10 = 90 = 90 הוכיחו: א. = ב. = במרובע נתון: = 90 11 = 90 גאומטרייה משפטי חפיפה של משולשים: צלע-צלע-צלע, ניצב-יתר = הוכיחו שהמרובע הוא מלבן. רמז: כדי להוכיח שהמרובע הוא מלבן, די להוכיח שכל הזוויות שלו ישרות. מה למדנו? משפט החפיפה צלע-צלע-צלע אם בין שני משולשים קיימת התאמה כך שלכל צלע מתאימה צלע השווה לה, אז המשולשים חופפים משפט החפיפה ניצב-יתר )צלע-צלע-זווית ישרה( אם בשני משולשים ישרי זווית היתרים שווים בהתאמה, וניצב במשולש אחד שווה לניצב במשולש האחר, אז המשולשים חופפים. 41

משימות נוספות 1 משפט: במשולש שווה שוקיים, תיכון לבסיס חוצה את זווית הראש. א. סרטטו סקיצה של משולש שווה שוקיים,) = ( ונסחו את המשפט עבור משולש זה בעזרת סימנים מתמטיים. ב. הוכיחו את המשפט. 2 במושלש שווה שוקיים ) = ( נתון: E ו תיכונים לשוקיים א. הוכיחו שהמשולשים E ו E חופפים. E הדרכה: 1. הוכיחו תחילה שהמשולשים ו E חופפים.2 הסיקו ש: = E 3. הוכיחו שהמשולשים E ו E חופפים. ב. מצאו בסרטוט עוד זוג של משולשים חופפים. הוכיחו את החפיפה. תזכורת: דלתון הוא מרובע הנוצר כשמצמידים שני משולשים שווי שוקיים לאורך בסיס משותף. האלכסון הראשי בדלתון הוא האלכסון בין קודקודי זוויות הראש של שני המשולשים שווי השוקיים. האלכסון המשני הוא הבסיס המשותף של שני המשולשים שווי השוקיים. משפט: האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני. ניסוח בעזרת סימנים מתמטיים: O במרובע נתון: = = ו נקודת מפגש האלכסונים O צריך להוכיח: O = O רמז: הוכיחו תחילה שהמשולשים ו חופפים. בסרטוט נתון: = O = 90 = 90 הוכיחו: המשולש O שווה שוקיים. בסרטוט נתון: = P = 90 = 90 הוכיחו: המשולשים P ו P חופפים. 3 4 5 גאומטרייה משפטי חפיפה של משולשים: צלע-צלע-צלע, ניצב-יתר 42

ו. משפט פיתגורס מה נלמד? פעולת העלאה בריבוע והפעולה ההפוכה שורש ריבועי משפט פיתגורס שימושים במשפט פיתגורס הוכחת משפט פיתגורס שימושים נוספים במשפט פיתגורס במישור ובמרחב המשפט ההפוך למשפט פיתגורס פעולת העלאה בריבוע ופעולת שורש ריבועי א. המשיכו במחברת את סדרת הריבועים. הוסיפו לפחות שלושה איברים לס דרה. 1 1 2 3 ב. תארו את האיבר הכללי של הסדרה בעזרת המשתנה n )מספר המקום בסדרה(. מה אורכי הצלעות של הריבועים בסדרה? מהם ההיקפים של הריבועים? ומהם השטחים שלהם? ג. תארו את הצורה שבמקום העשירי של הסדרה מה אורך צלעה? מה היקפה? מה שטח ה? ד. תארו את הצורה שבמקום ה 100 של הסדרה מה אורך צלעה? מה היקפה? מה שטחה? ה. האם ריבוע ששטחו 81 סמ"ר מופיע בסדרה? באיזה מקום? האם ריבוע ששטחו 90 סמ"ר מופיע בסדרה? באיזה מקום? ו. נתון ריבוע שצלעו a יחידות אורך. היקף הריבוע 4a יחידות אורך, ושטחו a 2 יחידות שטח. לדוגמה: אם אורך צלע של ריבוע הוא 10 ס"מ, אז היקפו 40 ס"מ ושטחו 100 סמ"ר. a. בריבוע, כיוון שזהו שטחו של ריבוע שאורך צלעו a בחזקת 2, נקרא גם a הנקרא a, 2 נתאר את הריבועים של המשימה הקודמת בטבלה: 1 2 3 1 4 9... 6...... 11 64 169... א. השלימו את המקומות הריקים המסומנים בטבלה )היעזרו במחשבון(. ב. האם קיים בסדרה ריבוע ששטחו 5 סמ"ר? אם כן, מה אורך צלעו? אם לא, הסבירו מדוע. אורך הצלע (בס"מ) שטח הריבוע (בסמ"ר) גאומטרייה משפט פיתגורס 2 43

לכל ריבוע, מצאו את אורך הצלע על פי השטח הנתון: א. ריבוע ששטחו 25 סמ"ר ב. ריבוע ששטחו 49 סמ"ר ג. ריבוע ששטחו 225 סמ"ר ד. ריבוע ששטחו 5 סמ"ר )תנו תשובה מקורבת(. 3 כדי למצוא אורך צלע של ריבוע ששטחו 25 סמ"ר עניתם על השאלה: "מה המספר, שאם מעלים אותו בריבוע מקבלים 25?" התשובה היא 5. אומרים ש 5 הוא השורש הריבועי )או בקיצור: השורש( של 25. פעולת החשבון הוצאת שורש ריבועי היא הפעולה ההפוכה לפעולת העלאה בריבוע. את פעולת השורש מסמנים,למשל: = 5 25 וקוראים: השורש הריבועי של 25 הוא 5. ה. מהו השורש הריבועי של 9? 4 חשבו: = 0 ה = 1 ד = 64 ג = 4 ב = 36 א כתבו בכל סעיף =, > או < והסבירו. לדוגמה: > 5 19 כי = 25 2 5 ו > 25 19 5 1 3 ה 0.25 0.5 ד 220 20 ג 7 67 ב 29 5 א 2 4 גנן תכנן בריכה בצורת משולש, ועל כל צלע של הבריכה מדשאה ריבועית )ראו סקיצה(. א. נתונים אורכי הצלעות של הבריכה: 2 מ', 3 מ' ו 4.5 מ'. חשבו את שטחי המדשאות הריבועיות בתכנית. 3 מ' 4.5 מ' 2 מ' בריכה 6 גאומטרייה משפט פיתגורס 44

2.25 מ"ר ב. נתונים שטחי המדשאות הריבועיות בתכנית אחרת. חשבו את אורכי הצלעות של הבריכה המשולשת. בריכה 9 מ"ר 4 מ"ר 5 מ"ר ג. נתונים שטחי המדשאות הריבועיות. חשבו בקירוב את אורכי הצלעות של הבריכה המשולשת. בריכה 20 מ"ר 10 מ"ר ד. עבור הנתונים בסעיף הקודם, חשבו בעזרת מחשבון את אורכי הצלעות של הבריכה. דייקו עד 2 מקומות אחרי הנקודה העשרונית. השוו לתשובות המקורבות שנתתם בסעיף הקודם. משפט פיתגורס N לפניכם תכנון דומה של גינות, אך הפעם הגנן תכנן לשתול דשא בריבוע הגדול, וערוגות פרחים בשני הריבועים הקטנים. הוא בדק מידות שונות של משולשים, ולבסוף החליט על משולש שאורכי צלעותיו 3 מ', 4 מ' ו 5 מ'. H S 7 M התרשים הוא סרטוט מוקטן. כל ס"מ בתרשים מייצג מטר במציאות. K L F G משולש זה מצא חן בעיניו משתי סיבות. ננסה לברר למה: א. מדדו את הזווית הגדולה של המשולש. מה מייחד אותה? ב. למה הוקצה שטח גדול יותר, למדשאה או לפרחים? J ג. האם לדעתכם יש קשר בין התשובות לסעיפים א ו ב? נסחו השערה מתאימה. גאומטרייה משפט פיתגורס 45

112 להלן תרשימים של גינות נוספות מאותו הסוג. בכל תרשים מסומנים אורכי הצלעות של המשולש, וגודל הזווית הגדולה. סמנו את הצלע הגדולה ביותר ב c, ואת הצלעות הקטנות ב a וב b. זכרו את הדשא שתלו בריבוע הבנוי על הצלע הגדולה של הבריכה המשולשת, ואת הפרחים בריבועים הבנויים על הצלעות הקטנות. א. כתבו ביטוי אלגברי שמתאר את שטח הדשא, וביטוי אלגברי שמתאר את השטח הכולל של הפרחים. ב. בתרשימים הבאים, חשבו ומצאו איזה שטח גדול יותר שטח המדשאה או שטח ערוגות הפרחים. 8 1 2 3 13 מ' 5 מ' 12 מ' 8 מ' 10 מ' 6 מ' 83 5 מ' 4 מ' 6 מ' 4 5 5 מ' 7 מ' 10 מ' 4 מ' 8 מ' 3 מ' ג. לכל אחד מהתרשימים רשמו את השוויון או האי שוויון המתאים לו מבין השלושה השלפניכם: a 2 + b 2 > או c 2 a 2 + b 2 < או c 2 a 2 + b 2 = c 2 ד. מה משותף למשולשים ישרי הזווית? משפט פיתגורס c 2 a 2 c b a a 2 + b 2 = c 2 b 2 גאומטרייה משפט פיתגורס במשולש ישר זווית, סכום השטחים של הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. הידעתם? משפט פיתגורס היה ידוע מתקופות עתיקות. פיתגורס חי ביוון במאה השישית לפני הספירה. אף על פי שהמשפט קרוי על שם פיתגורס, המשפט היה ידוע למעשה עוד לפניו בבבל, במצרים ובסין. למשפט נכתבו הוכחות רבות. בהמשך נביא הוכחה אחת מפורסמת. 46

16 סמ"ר בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית והריבועים הבנויים על צלעותיו. נתון ששטחי הריבועים הקטנים הם 16 סמ"ר ו 9 סמ"ר. א. מה השטח של הריבוע הגדול? השתמשו במשפט פיתגורס. ב. מהו אורך היתר? ג. מהם אורכי הניצבים? 9 9 סמ"ר הידעתם? למספר שהוא תוצאה של מספר שלם בריבוע קוראים גם מספר ריבועי. להלן התחלה של סדרת המספרים הריבועיים. תוכלו להיעזר בה, או במחשבון, בפתרון המשימות הבאות. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 10 בסרטוט המוקטן שלפניכם משולש ישר זווית וריבועים הבנויים על צלעותיו. נתון שאורכי הניצבים הם 6 ס"מ ו 8 ס"מ. 8 ס"מ א. מהם השטחים של הריבועים הבנויים על הניצבים? 6 ס"מ ב. מהו השטח של הריבוע הבנוי על היתר? ג. מהו אורך היתר? 144 סמ"ר בסרטוט המוקטן שלפניכם משולש ישר זווית והריבועים הבנויים על צלעותיו. נתונים השטחים של שני ריבועים: אחד מהם בנוי על היתר, והשני על ניצב. 11 א. מהו השטח של הריבוע השלישי? ב. מהו אורך היתר? ג. מהם אורכי הניצבים? בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית והריבועים הבנויים על צלעותיו. נתון שאורך אחד הניצבים הוא 9 ס"מ ושטח הריבוע הבנוי על הניצב השני הוא 144 סמ"ר. א. מהם השטחים של הריבועים האחרים? ב. מהו אורך היתר? ג. מהוא אורך הניצב השני? גאומטרייה משפט פיתגורס 169 סמ"ר 144 סמ"ר 9 ס"מ 12 47

נתון משולש ישר זווית שאורך ניצב אחד שלו הוא 24 ס"מ ואורך היתר 25 ס"מ. סרטטו סקיצה של המשולש ושל הריבועים הבנויים על צלעותיו. ח שבו את אורכי הצלעות ואת שטחי הריבועים, ורשמו את תשובותיכם במקומות המתאימים. 13 בכל סעיף מופיעה סקיצה של משולש ישר זווית, ומסומנים האורכים של שתיים מצלעותיו. בכל משולש חשבו את אורך הצלע השלישית. א ב ג 14 16 מ' 12 מ' 12 מ' 15 מ' 25 מ' 7 מ' א. במשולש ישר זווית שווה שוקיים אורך של כל ניצב הוא a ס"מ. מהו אורך היתר? ב. במשולש ישר זווית שווה שוקיים אורך היתר הוא a ס"מ. מהו אורך של כל ניצב? ג. בחרו ערך עבור המשתנה a, וחשבו את התשובות לשאלות מהסעיפים הקודמים עבור ערך זה של a. 15 שימושים במשפט פיתגורס בחצר שצורתה מלבן סללו שביל מרוצף מפינת החצר אל הפינה הנגדית לה, כך: א. אורך צלעות המלבן 10 מ' ו 13 מ'. מה אורך השביל? היעזרו בטבלת המספרים הריבועיים או במחשבון. ב. האם התשובה היא מספר שלם? היעזרו בטבלת הריבועים כדי להסביר את תשובתכם. 16 א. העריכו בקירוב את תוצאת החישוב. 5 בין אילו שני מספרים שלמים התשובה? ב. סרטטו קטע שאורכו בדיוק 5 ס"מ. הדרכה: סרטטו משולש ישר זווית שאורכי ניצביו 1 ס"מ ו 2 ס"מ. מה אורך היתר? ג. סמנו את המספר על ישר המספרים. היעזרו בסעיף ב למעלה. א. העריכו בקירוב את תוצאת החישוב. 3 בין אילו שני מספרים שלמים התשובה? ב. סרטטו קטע שאורכו בדיוק 3 ס"מ. הדרכה: סרטטו משולש ישר זווית שאורך אחד מניצביו 1 ס"מ ואורך היתר 2 ס"מ )היעזרו בהדרכה במשימה 6 בעמוד 40(. מה אורך הניצב השני? 17 18 גאומטרייה משפט פיתגורס 48

הידעתם? 2 השורש הריבוע של המספר 2 איננו מספר שלם ולא ניתן להצגה מדויקת כשבר. מספר שאיננו ניתן להצגה מדויקת כשבר נקרא מספר אי רציונלי. גם 3 ו 5 הם מספרים אי רציונליים. באופן כללי, לכל מספר שלם שאיננו ריבועי יש שורש אי רציונלי. ההצגה העשרונית של מספר אי רציונלי היא אינסופית )אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית(, ולא מחזורית. א. סולם נשען על קיר. רגליו נמצאות במרחק 0.7 מ' מהקיר וראשו בגובה 2.40 מ' מהרצפה. מה אורך הסולם? )אפשר להיעזר במחשבון( ב. הסולם החליק ומרחק רגליו מהקיר הוא עתה 1.5 מ'. לאיזה גובה יגיע הסולם עכשיו? ג. האם במהלך פתרון הסעיפים א ו ב פתרתם תרגילים של הוצאת שורש? אם כן כתבו את התרגילים האלה. ד. נתונים שני משולשים ישרי זווית שאורכי היתרים שלהם שווים. האם המשולשים האלה בהכרח חופפים? אתם עומדים באחת הפינות של מגרש חניה מלבני שמידותיו 100 מ' על 300 מ'. א. אילו הלכתם אל הפינה הנגדית של מגרש החניה לאורך צלעות המגרש, איזה מרחק הייתם עוברים? ב. אילו הלכתם אל הפינה הנגדית של מגרש החניה לאורך האלכסון, איזה מרחק הייתם עוברים אז? על איזה משפט הסתמכתם בתשובתכם? ג. האם יש מסלול קצר יותר בין הפינות האלה? לכו לכאן מגרש חניה אתם עומדים כאן 19 20 עלינו לחשב את השטח של המשולש המתואר בסקיצה. טל חישב והסביר את חישובו כך: רואים שהזווית ליד קודקוד היא ישרה. שטח משולש 17 10 8 ישר זווית הוא חצי מכפלת הניצבים: = 85 17 10. 2 ריף השיב לו: אי אפשר להסיק מהסקיצה שהזווית היא ישרה. ייתכן שכן וייתכן שלא. עדיף לחשב בדרך אחרת, בעזרת הגובה המסומן. א. האם הטיעון של טל נכון? ב. חשבו את שטח המשולש על פי הצעתו של ריף, בעזרת משפט פיתגורס. ג. האם המשולש הוא ישר זווית? הסבירו! גאומטרייה משפט פיתגורס 21 49

הוכחת משפט פיתגורס למשפט פיתגורס הוכחות רבות. נביא אחת מהן. c 2 c a b b 2 נתון משולש ישר זווית. צריך להוכיח ששטח הריבוע הגדול )הבנוי על היתר( שווה לסכום שטחי שני הריבועים הקטנים )הבנויים על הניצבים(. 22 a 2 a 2 + b 2 = c 2 a b a א. נניח שנתון משולש ישר זווית שאורכי ניצביו a ו b, ואורך היתר c. נבנה ריבוע שאורך צלעו )b a(, + ונעביר בו ארבע קטעים כמתואר בתרשים: b a b 1. הוכיחו: המרובע הפנימי בתרשים הוא ריבוע שאורך צלעו c. רמז: ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות, וכל זוויותיו ישרות. 2. הסיקו ששטח המרובע הפנימי c. 2 b a a a b a ב. נבנה ריבוע נוסף שאורך צלעו גם כן )b a(, + ונעביר בו ארבע קטעים במתואר בתרשים: הוכיחו: ארבעת המשולשים הפנימיים בתרשים חופפים למשולש הנתון. b b a ג. לריבועים החופפים בשני התרשימים שטח שווה. b האחד מורכב מארבעה משולשים וריבוע אחד. השני מורכב מארבעה משולשים ושני ריבועים. כל שמונת המשולשים חופפים זה לזה. השלימו את הוכחת משפט פיתגורס! ד. מור הבינה את ההוכחה, אבל הסתייגה ממנה. היא אמרה שהוכחנו את המשפט עבור משולש ישר זווית מסוים, שאורכי ניצביו a ו b, ושאיננו יכולים להיות בטוחים בנכונות המשפט במקרה הכללי. מה דעתכם על דבריה של מור? 50

שימושים נוספים במשפט פיתגורס האם קיים משולש ישר זווית שאורכי צלעותיו 3 ס"מ, 4 ס"מ ו 6 ס"מ? אם כן, סרטטו משולש כזה. אם לא, הסבירו מדוע. 23 אם c b, a, הם אורכי הצלעות של משולש המקיימים a, 2 + b 2 c 2 אז המשולש איננו ישר זווית, שהרי אם הוא היה ישר זווית, היה מתקיים משפט פיתגורס 2 a 2 + b 2 = c א. אורך היתר במשולש ישר זווית הוא 12 ס"מ, ואורך אחד הניצבים הוא 10 ס"מ. חשבו את אורך הניצב השני. ב. אורך היתר במשולש ישר זווית הוא c, ואורך אחד הניצבים הוא a. ייצגו את אורך הניצב השני באמצעות ביטוי אלגברי. א. במשימה 7 בעמוד 40 הוכחנו את משפט החפיפה ניצב-יתר. כתבו מה טוען המשפט. ב. נראה הוכחה נוספת של המשפט הזה, המסתמכת על משפט פיתגורס: 24 25 נתון: R = Q = 90 = QR )ניצבים שווים( = PR )יתרים שווים( Q P צריך להוכיח: PQR הוכחה: השלימו את הנימוקים בהוכחה טענה נימוק = 90 1 נתון = 2-2 2 גאומטרייה משפט פיתגורס נתון = 90 Q 3 PQ = PR 2 - QR 2 4 נתון = PR 5 נתון = QR 6 = PQ 7 PQR 8 מש"ל 51

h שטח מקבילית שטח מקבילית מחושב על ידי הכפלת בסיס בגובה S = b h b h b הסבר: שטח המקבילית שווה לשטח המלבן )ראו תרשים(. א. הסבירו מדוע שטח המקבילית ושטח המלבן בתרשימים שווים. ב. הוכיחו את נכונות הנוסחה לחישוב שטח מקבילית. 26 12 ס"מ 13 ס"מ במקבילית שלפניכם האלכסון המסומן ניצב לצלע. חשבו את שטח המקבילית על פי הנתונים המסומנים בסקיצה. היעזרו במשפט פיתגורס. 27 28 במשימה הזאת נחשב את סכום ריבועי האלכסונים של מקבילית. במקבילית נתון: 6 ס"מ = 5 ס"מ = 4 ס"מ 5 ס"מ הגובה לצלע : 4 ס"מ )ראו סקיצה( חשבו את סכום ריבועי האלכסונים: 2 + 2 R 6 ס"מ S הדרכה: א. השתמשו במשפט פיתגורס לחשב את R )הש ווה גם ל S ( ב. מ צאו את R ואת S ג. השתמשו במשפט פיתגורס לחשב את 2 ד. השתמשו במשפט פיתגורס לחשב את 2 ה. חשבו את הסכום 2 + 2 גאומטרייה משפט פיתגורס 52

R 6 ס"מ במשימה הזאת נחשב את סכום ריבועי האלכסונים של מקבילית אחרת. 6 ס"מ במקבילית נתון: 6 ס"מ = 5 ס"מ = הגובה לצלע : 3 ס"מ )ראו סקיצה( חשבו את סכום ריבועי האלכסונים: הדרכה )כמו במשימה הקודמת(: 3 ס"מ 5 ס"מ S 29 א. השתמשו במשפט פיתגורס לחשב את R )הש ווה גם ל S ( ב. מ צאו את R ואת S ג. השתמשו במשפט פיתגורס לחשב את 2 ד. השתמשו במשפט פיתגורס לחשב את 2 ה. חשבו את הסכום 2 + 2 א. השוו בין משימות 28 ו 29. מה דומה ומה שונה בנתונים? מה דומה ומה שונה בתוצאה? ב. נסו לנסח השערה לגבי סכום ריבועי האלכסונים במקבילית. ג. בדקו אם ההשערה שלכם נכונה במקבילית שהיא מלבן בעל צלעות 6 ס"מ ו 5 ס"מ. משפט המקבילית: סכום ריבועי האלכסונים במקבילית שווה לפעמיים סכום הריבועים של שתי צלעות סמוכות, כלומר: ) 2 2 + 2 = 2( 2 + הוכיחו את המשפט! הדרכה: חזרו על השלבים במשימות 28 ו 29, אבל הפעם השתמשו במשתנים: סמנו את אורך הצלע במשתנה x. 30 31 סמנו את אורך הצלע במשתנה y. סמנו את הגובה במשתנה h. סמנו את אורך הקטע R במשתנה t. במקום לחשב את סכום ריבועי האלכסונים, יצגו אותו באמצעות המשתנים. שימו לב לקשר בין,h, t ו y, הנובע ממשפט פיתגורס h 2 + t 2 = y 2 מהו אורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעותיו: א. 1 מ' ב. 4 מ' ג. 10 מ' ד. x מ' גאומטרייה משפט פיתגורס 32 53

33 ארבע התחנות בכדור בסיס )בייסבול( יוצרות ריבוע )ראו תרשים(. תחנת בסיס הידעתם? באנגליה הברית מקובלת תחנה שלישית תחנה ראשונה יחידת מדידה בשם "רגל".)foot( אורכה כ 30.5 ס"מ. 127 רגל אורך זה דומה לאורך כף רגל של אדם מבוגר. תחנה שנייה המרחק בין התחנה הראשונה לתחנה השלישית הוא כ 127 רגל. א. מה המרחק בין תחנת הבסיס לתחנה הראשונה? עגלו את תשובתכם ליחידות רגל שלמות. ב. מה אורך צלע המגרש במטרים? E H F G נתונה קובייה.EFGH אורך צלעה )( 4 ס"מ. א. המרובע מייצג ריבוע. הסבירו מדוע הזווית לא נראית ישרה, ומדוע הצלע נראית קצרה מהצלע. 34 ב. חשבו את אורך האלכסון של הפאה ( בתרשים(. ג. חשבו את אורך האלכסון של הקוביה G( בתרשים(. רמז: מה ניתן לומר על המשולש?G ד. מה אורך האלכסון?H נתונה תיבה. EFGH H G א. נתון: F 7 ס"מ = E 4 ס"מ = 3 ס"מ = E הדרכה: חשבו תחילה את. ב. הכלילו את הסעיף הקודם. הציגו את אורך האלכסון הראשי של תיבה שממדיה )אורך, רוחב וגובה( מיוצגים על ידי המשתנים y x, ו z. ג. ממדי מזוודה מלבנית )בס"מ( 25 45 75. האם ניתן לארוז בה מטרייה שאורכה 90 ס"מ? הסבירו את תשובתכם! 35 גאומטרייה משפט פיתגורס 54

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס נסחו טענה הפוכה למשפט פיתגורס. זכרו: כדי לקבל טענה הפוכה יש להחליף בין נתון )הזווית במשולש היא זווית ישרה( לבין המסקנה ( 2.) 2 + 2 = 36 במשולש ישר זווית נסמן את הניצבים ב a וב b, ואת היתר ב c. א. מה יקרה לאורך הצלע c אם נגדיל את הזווית בין הצלעות a ו b? ב. מה יקרה לאורך הצלע c אם נקטין את הזווית בין הצלעות a ו b? ג. האם לדעתכם הטענה ההפוכה למשפט פיתגורס נכונה? הסבירו בעזרת סעיפים א ו ב. 37 אורכי הצלעות של משולש 5 ס"מ, 12 ס"מ ו 13 ס"מ. א. האם המשולש הוא ישר זווית? ב. על איזה משפט הסתמכתם, על משפט פיתגורס או על המשפט ההפוך לו? 38 מה למדנו? פעולת העלאה בריבוע והפעולה ההפוכה שורש ריבועי משפט פיתגורס והמשפט ההפוך לו: משפט: אם במשולש ישר זווית a ו b הם אורכי הניצבים ו c אורך היתר, אז מתקיים a 2 + b 2 = c 2 משפט הפוך: אם במשולש אורכי הצלעות b,a ו c מקיימים,a 2 + b 2 = c 2 אז המשולש הוא ישר זווית )c אורך היתר( שימושים במשפט פיתגורס במישור ובמרחב שטח מקבילית: בסיס כפול גובה גאומטרייה משפט פיתגורס 55

משימות נוספות 1 סרטטו קטעים שאורכיהם: 21 ס"מ ד 29 ס"מ ג 13 ס"מ ב 2 ס"מ א הדרכה: סרטטו משולשים ישרי זווית מתאימים. היעזרו במשימות 17 ו 18 בעמוד. 48 דונם היא מידת שטח ששווה ל 1,000 מ"ר. א. i. מה אורך הצלע של מגרש ריבועי ששטחו 1 דונם? 2 מה אורך האלכסון של המגרש?.ii תכננו מגרש מלבני, שאיננו ריבוע, ששטחו 1 דונם. ב. i. מה אורך האלכסון של המגרש שתכננתם?.ii.iii האם תוכלו לתכנן מגרש מלבני ששטחו דונם ושאורך אלכסונו קצר מאלכסון המגרש הריבועי? סירה הפליגה לים הפתוח מחיפה. תחילה שטה מערבה 15 ק"מ, ואחר כך צפונה 20 ק"מ. לאיזה מרחק מחיפה הגיעה? 3 ילדי מחנה קיץ השתמשו בשמיכה מלבנית כדי לבנות אוהל )ראו תמונה(. הפתחים הם משולשים שווי שוקיים. רוחב האוהל )בגובה הרצפה( 3 מטרים, וגובהו )במרכז( 2 מטרים. אורך האוהל 10 מטרים. מה שטח השמיכה שממנה בנוי האוהל? )אפשר להיעזר בסקיצה של פתח האוהל( 4 ברצוננו לכסות שולחן ריבועי במפה עגולה. אורך צלע השולחן 6 מטרים. לרשותנו מפות עגולות בשלושה גדלים, לפי הקוטר: א. קוטר 3 מ' ב. קוטר 5 מ' ג. קוטר 8 מ' ד. קוטר 9 מ' אילו מהמפות יכסו את השולחן לחלוטין? הסבירו את תשובתכם! מאמן קבוצת כדורסל מאמן את הקבוצה בריצת ספרינט לאורך האלכסון של המגרש. אורך המגרש 28 מטרים ורוחבו 15 מטרים. א. העריכו מה אורך האלכסון. הסבירו את הערכתכם. ב. חשבו בעזרת מחשבון את אורך האלכסון של המגרש. מצאו את הגובה של משולש שווה צלעות שאורך צלעו: א. 1 ס"מ ב. 3 ס"מ ג. 100 ס"מ ד. x מ' 5 6 7 גאומטרייה משפט פיתגורס 56