Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011
1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2 Καινοτομίες Το σενάριο λειτουργεί υποστηρικτικά στη δραστηριότητα του φύλλου εργασίας (έχει ως βάση τη δραστηριότητα 4 του σχολικού βιβλίου της Α Γυμνασίου, σελ. 91), παρέχοντας τη δυνατότητα μελέτης του σχήματος σε λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας (ΛΔΓ). Προστιθέμενη αξία Ο συμβατικός πίνακας διδασκαλίας δεν μας επιτρέπει να μεταβάλλουμε το σχήμα, ούτε να δώσουμε κίνηση στα εμπλεκόμενα αντικείμενα.
Η δραστηριότητα του ΛΔΓ δίνει τη δυνατότητα αλλαγής διαστάσεων των ορθογωνίων και με αυτό τον τρόπο βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση των όμοιων σχημάτων. Επιπλέον, η δυνατότητα μετακίνησης σημείων και ταυτόχρονη παρακολούθηση της αλλαγής των συντεταγμένων μας δίνει την ευκαιρία να εξετάσουμε τα γεωμετρικά αντικείμενα μέσω πολλαπλών αναπαραστάσεων. Γνωστικά διδακτικά προβλήματα Μια από τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές στην ενότητα αυτή είναι ότι αντιμετωπίζουν την αναλογία ως μια ιδιότητα σε σχέση με την πρόσθεση και όχι πολλαπλασιαστικά. Επίσης, υπάρχει η παρερμηνεία μετά από την εξάσκηση σε ποσά που είναι ανάλογα, ότι όλα τα ποσά ακολουθούν τον ίδιο κανόνα. 4. Πλαίσιο εφαρμογής Σε ποιους απευθύνεται: στους εκπαιδευόμενους της B τάξης του Σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας Βόλου (το σενάριο υλοποιήθηκε σε ηλικίες: 21 69). (Μπορεί να υλοποιηθεί επίσης στην Α Γυμνασίου του συμβατικού σχολείου.) 3 Χρόνος υλοποίησης: 2 διδακτικές ώρες (1 στο εργαστήριο + 1 στην αίθουσα διδασκαλίας) Χώρος υλοποίησης: Εργαστήριο υπολογιστών (διαθέτει 14 υπολογιστές) και αίθουσα διδασκαλίας Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών: o Από τα Μαθηματικά: πράξεις φυσικών και δεκαδικών ισοδύναμα κλάσματα ιδιότητα χιαστί μονάδες μέτρησης μήκους o Βασικές γνώσεις υπολογιστών: βασικές λειτουργίες παραθύρων χειρισμός ποντικιού: σύρσιμο & απόθεση (drag and drop)
Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία: o υπολογιστές o projector o αριθμομηχανή o φύλλα εργασίας o λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας GeoGebra o πίνακας Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Το σενάριο υλοποιήθηκε στα 3 τμήματα της Β τάξης του ΣΔΕ. Οι εκπαιδευόμενοι δεν υπερβαίνουν τους 13 ανά τμήμα. Ο κάθε εκπαιδευόμενος έχει τον δικό του υπολογιστή για την προσωπική εξάσκηση ενώ υπάρχει ταυτόχρονα συνεργασία σε μικρές ομάδες των 2-3 ατόμων. Οι εκπαιδευόμενοι εργάζονται ατομικά (όσον αφορά τον υπολογιστή του καθενός) και συλλογικά, παρέχοντας υποστήριξη σε όσους δυσκολεύονται ή μένουν πίσω σε κάποια δραστηριότητα, και ανταλλάσσοντας απόψεις και ιδέες μέσα στην ομάδα για την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων. 4 [Στην περίπτωση του συμβατικού σχολείου (20-30 μαθητές) θα υπάρχει προφανώς ένας υπολογιστής ανά 2-3 άτομα αντίστοιχα και οι μαθητές θα εργάζονται εκ περιτροπής στα διάφορα βήματα των δραστηριοτήτων.] Ο ρόλος του διδάσκοντα είναι συντονιστικός / υποστηρικτικός. Αφού δώσει κάποιες αρχικές κατευθυντήριες γραμμές, η παρουσία του στην τάξη γίνεται διακριτική, περνώντας από κάθε ομάδα και παρέχοντας συμβουλές και υποδείξεις όπου ζητηθεί. Στην περίπτωση που οι εκπαιδευόμενοι «κολλήσουν» σε κάποια δραστηριότητα, επεμβαίνει και καθοδηγεί κατάλληλα με ερωτήσεις. Εκπαιδευτικές Τεχνικές: o Ερωταπαντήσεις o Ομαδοσυνεργατική άσκηση o Πειραματισμός μέσω καθοδηγούμενης ανακάλυψης
Σκοπός του σεναρίου: Να κατανοήσουν οι εκπαιδευόμενοι την αναλογία ως ισότητα λόγων. Διδακτικοί στόχοι των δραστηριοτήτων: o σε επίπεδο γνώσεων οι εκπαιδευόμενοι να μπορούν να σχηματίζουν και να υπολογίζουν λόγους μεγεθών τοποθετούν κατάλληλα τους όρους των κλασμάτων σε αναλογίες αναγνωρίζουν όμοια σχήματα με βάση το λόγο των πλευρών τους εφαρμόζουν την ιδιότητα χιαστί στις αναλογίες διακρίνουν τις συντεταγμένες δοσμένου σημείου στο επίπεδο αναπαριστούν σημεία με βάση τις συντεταγμένες τους να υπολογίζουν πραγματικές αποστάσεις βάσει κλίμακας o σε επίπεδο δεξιοτήτων οι εκπαιδευόμενοι να μπορούν να: υιοθετούν πρακτικές και τρόπους σκέψης και επίλυσης προβλημάτων αποδέχονται συμπεράσματα βάσει επαλήθευσης κρίνουν τον καλύτερο / συντομότερο / απλούστερο τρόπο επίλυσης εκτιμούν συμπεράσματα και ιδιότητες ενθαρρύνουν συνεκπαιδευομένους που δυσκολεύονται υποστηρίζουν ισχυρισμούς με βάση ιδιότητες απορρίπτουν υποθέσεις μετά από επαλήθευση o σε επίπεδο στάσεων / συμπεριφορών οι εκπαιδευόμενοι να μπορούν να: επικοινωνούν με μαθηματική γλώσσα και εκφράσεις είναι δεκτικοί σε άλλους τρόπους σκέψης συνεργάζονται με κοινό στόχο για την επίλυση προβλημάτων εκφράζουν προβληματισμούς και απορίες νοιώθουν μέλη μιας ομάδας αναλαμβάνουν διαφορετικούς ρόλους μέσα στην ομάδα / τάξη μην απογοητεύονται σε περίπτωση λάθους 5
5. Ανάλυση της δραστηριότητας Το σενάριο θα υλοποιηθεί σε 2 φάσεις (σε παρένθεση αναφέρονται οι διδακτικές ώρες): Φάση 1: Η έννοια του λόγου (1) [αρχείο ggb] [φύλλο εργασίας] Αναλογίες Φύλλο εργασίας 9 - Αναλογίες Αρχικά γίνεται ανάγνωση της δραστηριότητας από το φύλλο εργασίας (περιέχει λίγα ερωτήματα επιπλέον σε σχέση με το σχολικό βιβλίο) έχοντας ταυτόχρονα ανοίξει και το αντίστοιχο αρχείο του GeoGebra. 6 Οι μαθητές καλούνται να υπολογίσουν πόσο δεξιά (τετμημένη) και πόσο πάνω (τεταγμένη) βρίσκεται το κάθε σημείο σε σχέση με το Ο. Γίνεται αναφορά στον τρόπο γραφής των συντεταγμένων των σημείων, και στη σημασία της σειράς με την οποία γράφουμε τα διατεταγμένη ζεύγη.
Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων, οι εκπαιδευόμενοι μπορούν εύκολα (με αφαίρεση) να υπολογίσουν τα μήκη των πλευρών των σχημάτων. Προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο χρήσιμα συμπεράσματα για τα οριζόντια και κατακόρυφα τμήματα σε σχέση με την τεταγμένη και την τετμημένη των σημείων που τα σχηματίζουν αντίστοιχα. Στη συνέχεια περνάμε στον υπολογισμό των λόγων των πλευρών και περιμέτρων των ανόμοιων σχημάτων. Οι μαθητές παρατηρούν ότι οι λόγοι μήκους και ύψους δεν είναι ίσοι, δηλαδή ενώ το μήκος έχει σμικρυνθεί στο μισό, το ύψος έχει υποστεί σμίκρυνση στο ¼. Σε αυτό το σημείο είναι πολύ σημαντικό να τονιστεί ότι αναφερόμαστε σε σμίκρυνση «τόσες φορές» δηλαδή εφαρμόζοντας πράξη διαίρεσης και όχι αφαίρεση. Σε αυτόν τον τρόπο σκέψης συμβάλλουν και οι δρομείς της εφαρμογής οι οποίοι δίνουν τη δυνατότητα να εφαρμόσουμε σταδιακή σμίκρυνση ή μεγέθυνση αντίστοιχα στα δύο σχήματα. Ομοίως, γίνεται υπολογισμός πλευρών και περιμέτρων στα όμοια σχήματα, όπου οι μαθητές παρατηρούν ότι προκύπτουν ίσοι λόγοι. Με μετακίνηση των δρομέων επαληθεύεται η υπόθεση ότι τα σχήματα είναι όμοια. Μπορεί να γίνει αναφορά και στη σχέση των εμβαδών (υπήρξαν συγκεκριμένες απορίες από εκπαιδευόμενους), ότι δηλαδή ο λόγος των εμβαδών είναι το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας (εφόσον πλέον περνάμε στις δύο διαστάσεις, άρα το σχήμα αυξάνει πολλαπλασιαστικά το ίδιο και προς τις δύο διαστάσεις). 7 Η εφαρμογή δίνει τη δυνατότητα να εξεταστούν όμοια και ανόμοια σχήματα ώστε να κατανοήσουν οι μαθητές την ύπαρξη και των δύο περιπτώσεων λόγων. Στο τέλος, γίνεται ανάγνωση της απαραίτητης θεωρίας από το φύλλο εργασίας και ακολουθεί συζήτηση, παρατηρήσεις και επίλυση αποριών. Βασικό εργαλείο της δραστηριότητας είναι οι δρομείς του GeoGebra. Το συγκεκριμένο λογισμικό αναδεικνύει τη συγκεκριμένη δραστηριότητα διότι παρέχει έτοιμους δρομείς (στο Cabri και το GSP οι δρομείς πρέπει να κατασκευαστούν) τους οποίους μπορούμε να συσχετίσουμε με τις συντεταγμένες των κορυφών των ορθογωνίων, κάνοντας με αυτό τον τρόπο εύκολη την μεταβολή των σχημάτων. Χρησιμοποιούμε επίσης το εργαλείο του πολυγώνου για τα 3 ορθογώνια, κάτι που θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και στο Cabri. Φάση 2: Ασκήσεις στις αναλογίες (1) Η 2 η φάση υλοποιείται στη σχολική αίθουσα. Γίνεται ανάγνωση της απαραίτητης θεωρίας ως σύνδεση με τα προηγούμενα.
Οι προτεινόμενες ασκήσεις μπορούν να λυθούν απευθείας με κατάλληλες πράξεις ή δημιουργώντας ισότητες λόγων και εισάγοντας άγνωστο. Άλλα χρήσιμα παραδείγματα που μπορούμε να αναφέρουμε: Φωτοτυπίες σε σμίκρυνση ή μεγέθυνση Ποσότητες για συνταγές και προσαρμογή για περισσότερα / λιγότερα άτομα Λόγος και διαφορά ηλικιών και σχέση με τις αναλογίες 6. Αξιολόγηση - Επέκταση του σεναρίου Αξιολόγηση Το σενάριο δούλεψε αρκετά καλά και σχεδόν όλοι οι εκπαιδευόμενοι συμμετείχαν με ενθουσιασμό. Τα δυναμικά σχήματα βοήθησαν σε μεγάλο βαθμό τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της σμίκρυνσης και της μεγέθυνσης σε σχέση με διαίρεση και πολλαπλασιασμό αντίστοιχα. 8 Προτάσεις για την περαιτέρω επέκταση του σεναρίου Ανάλογα ποσά Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Η ευθεία y = α x Η υπερβολή y = α /x Μελέτη εμβαδού ορθογωνίου που περιέχεται μεταξύ των αξόνων και υπερβολής
7. Βιβλιογραφία ΥΠΕΠΘ/Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Βιβλίο μαθητή, (σελ. 90-93). Αθήνα: ΟΕΔΒ ΥΠΕΠΘ/Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Σχέδια διδασκαλίας και υποστηρικτικό υλικό για μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες Τεύχος Α, (σελ. 97), Μ. Τζεκάκη σε συνεργασία με Π. Σταγιόπουλο, Γ. Μπαραλό ΥπΠΔΒΜ, (2010), Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στα ΚΣΕ, Τεύχος 4: κλάδος ΠΕ03, Πάτρα, ΕΑΙΤΥ Περιεχόμενα 1. Τίτλος... 2 Αναλογίες... 2 2. Ταυτότητα... 2 3. Σκεπτικό... 2 9 4. Πλαίσιο εφαρμογής... 3 5. Ανάλυση της δραστηριότητας... 6 Φάση 1: Η έννοια του λόγου (1)... 6 Φάση 2: Ασκήσεις στις αναλογίες (1)... 7 6. Αξιολόγηση - Επέκταση του σεναρίου... 8 7. Βιβλιογραφία... 9