Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ýý ýý º½ º½º½ (Ü)Ü [ ] º º½º½ ¹ ½µ ½ Ö(Ø) (Ü) ¾ º º½º½ ¹ ½µ º º½º½ ¹ ¾µ (Ü Ý) (Ü Ý Þ) º º½º½ ¹ ¾µº º º ½ þ ý ØØÔ : Ð ØØÖÓÙÖ ÅÈ12 11 1112 º ¾ þ 6 612 þ º ½
¾ º ýº µ µ º½º½ ¹ ½ µ µ º½º½ ¹ ½ µº ô Ö(Ø) Ø [ ] º º½º½ ¹ ¾µº Ö Ö = º [Ö(Ø)] Ö (Ø) Ø º½º½ ¹ ½µ ý Ö º ¹
µ µ º½º½ ¹ ¾ µ µ (Ü Ý Þ) ºº ØØÔ : ÒÛÔÓÖÛÄÒ ÒØÖÐ
º ýº º½º¾ ô 3¹ (Ü Ý Þ) = È(Ü Ý Þ)+É(Ü Ý Þ)+Ê(Ü Ý Þ) Ö = È(Ü Ý Þ) É(Ü Ý Þ) Ê(Ü Ý Þ) º½º¾ ¹ ½µ Ö = Ü +Ý+Þ º½º¾ ¹ ¾µ (912 1) (912 2) ³ (911 1) (Ø) Ö = (È +É +Ê ) (Ü +Ý +Þ ) = È Ü+É Ý + Ê Þ º½º¾ ¹ µ (912 3) º¾º 2¹ (Ø) Ö = (È +É ) (Ü +Ý ) = È Ü+É Ý º½º¾ ¹ µ ô Ö(Ø) Ö(Ø) = Ü(Ø)+Ý(Ø)+Þ(Ø) = Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø) Ø [ ] º½º¾ ¹ µ þ ý ØØÔ : Ð ØØÖÓÙÖ ÅÈ12 11 1112 (1112 3)º ý = 1 2 3 = 1 2 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 þ (1112 4)º
ý (912 5) (912 1) Ü Ý Þ Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø) (Ø) = (Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø)) = È(Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø)) É(Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø)) = Ê(Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø)) º½º¾ ¹ µ Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø) Ø [ ] (912 5) Ö (Ø) = Ü (Ø)+Ý (Ø)+Þ (Ø) = Ü (Ø) Ý (Ø) Þ (Ø) Ø [ ] º½º¾ ¹ µ (912 6) (912 7) ³ (911 1) (Ø) Ö (Ø) = È(Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø)) Ü (Ø)+É(Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø)) Ý (Ø) +Ê(Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø)) Þ (Ø) º½º¾ ¹ µ (912 8) (911 1) 3¹ Ö = [È Ü (Ø)+ÉÝ (Ø)+ÊÞ (Ø) ] Ø º½º¾ ¹ µ 2¹ Ö = [È Ü (Ø)+ÉÝ (Ø) ] Ø º½º¾ ¹ ½¼µ º
º ýº º½º¾ ¹ ½ Ü(Ø) Ý(Ø) Ü(Ø) Ý(Ø) Þ(Ø) ¹ Å 1 Å 2 2¹ Å 1 (Ü 1 Ý 1 ) Å 2 (Ü 2 Ý 2 ) Ü(Ø) = ØÜ 2 +(1 Ø)Ü 1 Ý(Ø) = ØÝ 2 +(1 Ø)Ý 1 Ø [1] º½º¾ ¹ ½½µ 3¹ Å 1 (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) ¹ Å 2 (Ü 2 Ý 2 Þ 2 ) ¹ º º½º¾ ¹ ½µ þ º Ü(Ø) = ØÜ 2 +(1 Ø)Ü 1 Ý(Ø) = ØÝ 2 +(1 Ø)Ý 1 Þ(Ø) = ØÞ 2 +(1 Ø)Þ 1 Ø [1] º½º¾ ¹ ½¾µ
ô º Ê Ü 2 + Ý 2 = Ê 2 Ü(Ø) Ý(Ø) Ü(Ø) = Ê cos Ø Ý(Ø) = Ê sin Ø Ø [2) º½º¾ ¹ ½ µ ý ( ) (Ü ) 2 +(Ý ) 2 = Ê 2 Ü(Ø) = ( + Ê cos Ø) Ý(Ø) = ( + Ê sin Ø) Ø [2) º½º¾ ¹ ½µ º½º¾ ¹ ½ º º½º¾ ¹ ½ Ö = Ü Ý+(ÜÞ + Ý) (1 12) (31 1)º º ô : Ü 1 = 1 Ý 1 = 1 Þ 1 = 2 : Ü 2 = 3 Ý 2 = 1 Þ 2 = 1
º ýº (912 12) Ü(Ø) = Ø 3+(1 Ø) 1 = 2Ø+1 Ý(Ø) = Ø 1+(1 Ø) ( 1) = 2Ø 1 Þ(Ø) = Ø ( 1)+(1 Ø) 2 = 3Ø+2 Ø [1] µ ½µ ¾µ Ü (Ø) = 2 Ý (Ø) = 2 Þ (Ø) = 3 µ µ µ ý = Ü Ý+(ÜÞ + Ý) = È(Ü Ý Þ)+ É(Ü Ý Þ) + Ê(Ü Ý Þ) (1)¹(3) È É Ê = Ü = 2Ø+1 = Ý = 2Ø+1 = ÜÞ + Ý = (2Ø+1)( 3Ø+2)+2Ø 1 = 6Ø 2 +3Ø+1 (912 9) Ö = = 1 1 [ È Ü (Ø)+ÉÝ (Ø)+ÊÞ (Ø) ] Ø (4) {}}{ (2Ø+1) 2 +( 2Ø+1) = Ø 9Ø2 2 +6Ø3 1 = 5 2 (5) {}}{ 2 + ( ) 6Ø 2 +3Ø+1 (6) {}}{ ( 3) Ø
º½º¾ ¹ ¾ ø Ö = (Ü Ý) +(Ü+Ý) () º º (912 13) Ê = 1µ Ü(Ø) = cos Ø ½µ Ý(Ø) = sin Ø Ø [2) ¾µ Ü (Ø) = sin Ø µ Ý (Ø) = cos Ø = (Ü Ý) +(Ü+Ý) = È(Ü Ý) +É(Ü Ý) (1) (2) µ È É = Ü Ý = cos Ø sin Ø = Ü+Ý = cos Ø+sin Ø (912 1) Ö = = = 2 2 2 [ È Ü (Ø)+ÉÝ (Ø) ] Ø (3) (4) {}}{ {}}{ (cos Ø sin Ø) ( sin Ø)+(cos Ø+sin Ø) cos Ø Ø Ø = 2
½¼ º ýº º¾ º¾º½ ¹ º µ (+) Ö = Ö+ Ö R µ µ Ö = Ö+ Ö 1 2 1 2 Ö(Ø) µ Ö = Ö º º º¾º¾ Ö º º þ 6 633º
½½ º º¾º¾ ¹ ½ µº = º Ö º¾º¾ ¹ ½µ (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) (Ü 2 Ý 2 Þ 2 ) (922 1) ¹ = º º¾º¾ ¹ ½ ô º º¾º¾ ¹ ½µ ( = 2 Ü Ý + Ü 2 +2 Ý 2) µ º µ Ö ( 1) (12)º º µ ý ½¼ = ¼º ý ( = 2 Ü Ý + Ü 2 +2 Ý 2) + ( ) = È(Ü Ý Þ) +É(Ü Ý Þ) + Ê(Ü Ý Þ) þ ýº ½ º º ½¼ þ 6 652 1 ô º ô
½¾ º ýº È = 2 Ü Ý É = Ü 2 +2 Ý 2 Ê = ½µ = Ý Þ Ü È É Ê = Ü Ý Þ 2 Ü Ý Ü 2 +2 Ý 2 = ( É Þ ) +(È Þ ) +(É Ü È Ý ) = ¼ 652 1 ½½ = º µ µ = È +É = = Ü + Ý + Þ ½µ Ü = È = 2 Ü Ý Ý = É = Ü 2 +3 Ý 2 Þ = Ê = º ý = Ü Ü+ Ý Ý ( = 2 Ü Ý Ü+ Ü 2 +3 Ý 2) Ý = Ü (Ü 2 Ý )+ Ý (Ü 2 Ý + Ý 3) ½½ þ ½¼º = Ü (Ü 2 Ý + ( = Ü 2 Ý + Ý 3) Ü(Ý 3 )= {}}{ Ý 3 )+ Ý ( Ü 2 Ý + Ý 3)
½ (Ü Ý) = Ü 2 Ý + Ý 3 + º º¾º¾ ¹ ½µ º¾º¾ ¹ ½ Ö = (12) ( 1) = (12) ( 1) = 11 µ µ º¾º¾ ¹ ½ µ = 2 Ü Ý + ( Ü 2 +2 Ý 2) ( 1) (12) µ (Ü Ý) = Ü 2 Ý + Ý 3 º º¾º¾ ¹ ¾ ø Ö ( ) = 3 Ü 2 Þ +Þ 2 + Ü 3 +2 Ý Þ ( 112) (124)º º ý ( ) = 3 Ü 2 Þ +Þ 2 + Ü 3 +2 Ý Þ = È(Ü Ý Þ) +É(Ü Ý Þ) + Ê(Ü Ý Þ)
½ º ýº = È = 3 Ü 2 Þ É = Þ 2 Ê = Ü 3 +2 Ý Þ ¾µ Ý Þ Ü È É Ê = Ü Ý Þ 3 Ü 2 Þ Þ 2 Ü 3 +2 Ý Þ = (Ê Ý É Þ ) +(È Þ Ê Ü ) +(É Ü È Ý ) = ¼ 652 1 ¾µ = È +É +Ê = = Ü + Ý + Þ Ü = 3 Ü 2 Þ Ý = Þ 2 Þ = Ü 3 +2 Ý Þ º = Ü Ü+ Ý Ý + Þ Þ ( ) = 3 Ü 2 Þ Ü+Þ 2 Ý + Ü 3 +2 Ý Þ Þ = Ü (Ü 3 Þ )+ Ý (Ý Þ 2) ( ) + Þ Ü 3 Þ + Ý 2 Þ = Ü (Ü 3 Þ + ( ) = Ü 3 Þ + Ý 2 Þ Ü(Ý 2 Þ)= Ý(Ü 3 Þ)= {}}{{}}{ ) Ý 2 Þ )+ Ý (Ý Þ 2 + Ü 3 Þ )+ Þ (Ü 3 Þ + Ý 2 Þ (Ü Ý Þ) = Ü 3 Þ + Ý 2 Þ + º¾º¾ ¹ ½ Ö = (124) ( 112) = (124) ( 112) = 6
½ ý ½º ý ½¾ ) = Ý 4 Þ 2 +4ÜÝ 3 Þ 2 +2ÜÝ 4 Þ ( 124) (322) ) = (Ý +Ü ) ÜÝ (1) (22) ) = ( 4ÜÝ 3Ü 2 Þ 2) +2Ü 2 2Ü 3 Þ (11) (224) Ú) = (2Ücos Ý + Þsin Ý) + ( ÜÞcos Ý Ü 2 sin Ý ) +Üsin Ý (1 3) ( 11) Ú) = ( Ý 2 Þ 3 cos Ü 4Ü 3 Þ ) +2ÝÞ 3 sin Ü + ( 3Ý 2 Þ 2 sin Ü Ü 4) (211) (33)º ¾º ) = Ö Ö ) = Ö 2 Ö Ö º Ö Ü 2 + Ý 2 = 4º º º¾º º ½ º¾º ¹ ½ ÖÒ µº ô Üݹ º º¾º ¹ ½µº È É ½¾ () ÜÝ 4 Þ 2 () ÜÝ ()2Ü 2 Ý Ü 3 Þ 2 (Ú) Ü 2 cos Ý + ÜÞsin Ý (Ú) Ý 2 Þ 3 sin Ü Ü 4 Þº ½ ýº ½ º º
½ º ýº º¾º ¹ ½ ÖÒ È Ü+É Ý = º ( É Ü È ) Ü Ý º¾º ¹ ½µ Ý º¾º ¹ ½ µ º µ º µ º º Úµ ô ³ (912 4) (912 4) ( É Ö = È Ü+É Ý = Ü È ) Ü Ý º¾º ¹ ¾µ Ý
½ = È +É È É º¾º ¹ ½º º¾º ¹ ½ ÖÒ Ö ( = 5 ÜÝ Ý 2) ( ) + Ü 2 2ÜÝ () (1) (1) (11) º º ý ( = È +É = 5 ÜÝ Ý 2) ( ) + Ü 2 2ÜÝ È = 5 ÜÝ Ý 2 É = Ü 2 2ÜÝ ½µ º¾º ¹ ½ { } = (Ü Ý) R 2 : Ü 1 Ý 1 (923 2) ½µ ½ Ö = (É Ü È Ý ) Ü Ý = = 3 1 1 [(2Ü 2Ý) ( Ü 2Ý)] Ü Ý Ü Ü Ý = 3 1 Ü 2 2 Ü=1 Ý Ü= = 3 2 1 Ý = 3 2 ½ þ 7 722 Áº
½ º ýº º¾º ¹ ¾ º¾º ¹ ½ º¾º ¹ ¾ ø ÖÒ ÜÝ Ü+Ü 2 Ý 3 Ý () (1) (12) º º¾º ¹ ¾µº º È = ÜÝ É = Ü 2 Ý 3 ¾µ ø º¾º ¹ ½ º º¾º ¹ ¾µ = { (Ü Ý) R 2 : Ü 1 } Ý 2Ü (923 1) ¾µ ½ ÜÝ Ü+Ü 2 Ý 3 Ý = (É Ü È Ý ) Ü Ý ½ ø 7 722 ÁÁº
½ = = = = 1 2Ü 1 1 ( ) 2ÜÝ 3 Ü Ü Ý ( 2ÜÝ 3 Ü ) Ý Ü [ ] 1 Ý=2Ü 2 ÜÝ4 ÜÝ Ü Ý= ( 8 Ü 5 2 Ü 2) [ 4 Ü = 3 Ü6 2 ] 1 3 Ü3 = 2 3 ½ ½ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»
þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÔÓ ØÓР̺ ½¾µ ý ¹º ý ÁËÆ ½ß½½¼½º ÒÒÝ Êº ĺ ÓÖÒÓ º ʺ ¾¼¼µ ý ÁËÆ ß¼ß¾ß½ß½ º ËÔРź ÏÖ Êº ¾¼¼µ ý ÁËÆ ¼ß½ß¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº» ¾½
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 214. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ. Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα». Έκδοση: 1.. Αθήνα 214. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2