Logik und Beweisbarkeit

Logik und Beweisbarkeit Kap. I - Aussagenlogik (Sommer 2017) Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 19. April 2017

Vorlesung Logik und Beweisbarkeit (Sommer 2017) 1. Aussagenlogik 2. Arithmetik 3. Berechenbarkeitstheorie 4. Unvollständigkeitssätze

1.0.1 1 Aussagenlogik 1. Aussagenlogik Grundbegriffe Natürliches Schließen (Literatur: Schöning: Logik für Informatiker van Dalen: Logic and Structure )

1.1.1 1.1 Grundbegriffe der Aussagenlogik 1. Aussagenlogik Grundbegriffe Sprache (Formeln) Semantik (Belegungen und die Erfüllungsrelation) Erfüllbarkeit und Gültigkeit Äquivalenz und adäquate Formelmengen Semantische Folgerung Natürliches Schließen

1.1.1 Syntax: Formeln Definition 1.1 (Aussagenlogische Formeln) Eine atomare Formel (kurz: Atom) hat die Form A i für i = 0, 1, 2,... (Aussagenlogische) Formeln sind induktiv definiert wie folgt. 1. Die Konstanten (falsum) und (verum) und alle Atome sind Formeln. 2. Für alle Formeln α ist α (Negation von α) ebenfalls eine Formel. Für alle Formeln α und sind (α ) (Konjunktion von α und, logisches Und ), (α ) (Disjunktion von α und, logisches Oder ) und (α ) (Implikation von α und, logische Folgerung ) ebenfalls Formeln. (3. Es gibt keine anderen Formeln.)

1.1.2 Semantik: Belegung und Erfüllungsrelation Definition 1.2 (Belegung) Eine Belegung B ist eine Menge B {A 0, A 1, A 2,...} von Atomen. Definition 1.3 (Semantik der Aussagenlogik) Sei B eine Belegung, α und seien Formeln. Die Relation A zwischen Belegungen und Formeln ist wie folgt definiert. B A und B A B A A i gdw. A i B, für atomare Formeln A i B A α gdw. B B A (α ) gdw. B A α und B A B A (α ) gdw. B A α oder B A B A (α ) gdw. B α oder B A A A α

Sprechweisen Die Relation A heißt Erfüllungsrelation. Für B A α sagt man B erfüllt α. B A α ist die umgangssprachliche Negation von B A α man sagt dazu also B erfüllt α nicht. Für Formelmengen Γ bedeutet B A Γ dass B A ϕ für alle ϕ Γ gilt. ( B erfüllt Γ ),

1.1.5 1.1.3 Erfüllbarkeit und Gültigkeit Definition 1.4 (erfüllbare bzw. gültige Formeln) 1. Eine Formel heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung gibt, die sie erfüllt. Anderenfalls heißt die Formel unerfüllbar (oder Kontradiktion). 2. Eine Formel heißt gültig, wenn sie von jeder Belegung erfüllt wird. Gültige Formeln nennt man auch Tautologien. Schreibweise für Formel α ist gültig : A α.

1.1.4 Äquivalenz und Adäquatheit Abkürzende Schreibweise: wir schreiben auch A, B, C,... für A 0, A 1, A 2,.... Die Formeln (A B) und ( A B) werden von den gleichen Belegungen erfüllt. Die Belegung {A, B} erfüllt beide Formeln. Die Belegungen, {A} und {B} erfüllen beide Formeln nicht. Jede andere Belegung entspricht für die Atome A und B einer der obigen Belegungen. Definition 1.5 (Äquivalenz von Formeln) Formeln α und heißen äquivalent (α ), falls für jede Belegung B gilt: B A α genau dann, wenn B A. ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation.

Lemma 1.6 (grundlegende Äquivalenzen) Für alle Formeln α, und γ gelten die folgenden Äquivalenzen. Idempotenz: (α α) α (α α) α Kommutativität: (α ) ( α) (α ) ( α) Absorption: (α (α )) α (α (α )) α Doppelnegation: α α demorgan s Regeln: (α ) ( α ) (α ) ( α ) Tautologieregeln: (α ) α (α ) Kontradiktionsregeln: (α ) (α ) α

Negation von Konstanten: Gesetz des ausgeschlossenen Dritten: (α α) (α α) Implikation: (α ) (( α) ) Assoziativität von bzw. : ((α ) γ) (α ( γ)) ((α ) γ) (α ( γ)) Distributivität von und : (α ( γ)) ((α ) (α γ)) (α ( γ)) ((α ) (α γ)) Vereinfachende Schreibweisen: Klammern können weggelassen werden. überflüssige Wir schreiben auch ( n α i ) statt (... ((α 1 α 2 ) α 3 )... α n ) i=1 und ( n α i ) statt (... ((α 1 α 2 ) α 3 )... α n ). i=1

Lemma 1.7 (Ersetzungstheorem) Wenn man in einer Formel ϕ eine Teilformel α durch eine zu α äquivalente Formel ersetzt, so erhält man eine zu ϕ äquivalente Formel. Formaler ausgedrückt: Sei ϕ eine Formel mit der Teilformel α, und sei äquivalent zu α. Sei ϕ eine Formel, die aus ϕ entsteht, wenn ein Vorkommen der Teilformel α durch ersetzt wird. Dann sind ϕ und ϕ äquivalent. Beispiel: ϕ = (B (A (A B))) α = (A (A B)) = A ϕ = (B A) 1.1.9

1.1.10 Äquivalentes Umformen Die semantische Äquivalenz von Formeln lässt sich jetzt syntaktisch durch äquivalentes Umformen verifizieren (da eine Äquivalenzrelation ist). Beispiel 1: (A B) ( B A) (A B) ( A B) (Implikation) ( A B) (Doppelnegation) ( B A) (Kommutativität) ( B A) (Implikation)

Äquivalentes Umformen Beispiel 2: ((A B) C) (A (B C)) ((A B) C) ( (A B) C) (Implikation) (( A B) C) (demorgan) ( A ( B C)) (Assoziativität) ( A (B C)) (Implikation) (A (B C)) (Implikation) Allgemeiner gilt: ( n ) A i B (A1 (A 2 ( (A n B) ))) i=1

Äquivalentes Umformen Beispiel 3: ( ) ( ) ( ) (Implikation) ( ) (Negation von Konstanten) (Kontradiktionsregel) Beispiel 4: α (α ) für jede Formel α α ( α ) (Kontradiktionsregel) (α ) (Implikation)

1.1.13 Definition 1.8 (adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen) Eine Menge M {,,,,,,...} von Verknüpfungszeichen heißt adäquat, falls es für jede Formel eine äquivalente Formel gibt, die nur aus Atomen sowie Verknüpfungszeichen aus M besteht. Da (( α) ) (α ), kann man alle Formeln äquivalent durch Formeln ohne ausdrücken. Also ist {,,,, } adäquat.

Lemma 1.9 ({, } ist adäquat) Für jede aussagenlogische Formel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur aus Atomen, und besteht. Der Beweis soll mittels Induktion über den Formelaufbau von ϕ geführt werden. Was ist zu zeigen? Induktionsanfang: Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die, oder ein Atom ist, gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur aus Atomen, und besteht. Induktionsschritt: Für alle aussagenlogischen Formeln α und gilt: wenn α und äquivalente Formeln besitzen, die nur aus Atomen, und bestehen, dann gibt es auch für α, (α ), (α ) und (α ) äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen. Der Induktionsschritt wird in zwei Teile aufgeteilt: Induktionsvoraussetzung: α und seien beliebige Formeln mit äquivalenten Formeln α α bzw., die nur aus Atomen, und bestehen. Induktionsschluss für α und aus der Induktionsvoraussetzung ist zu zeigen: α, (α ), (α ) und (α ) besitzen äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen.

Beweis: mittels Induktion über den Formelaufbau der Formel ϕ. Induktionsanfang (IA): Zu zeigen ist: Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die, oder ein Atom ist, gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur aus Atomen, und besteht. Fall 1: ϕ =. Dann ist ϕ = äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und. Fall 2: ϕ =. Dann ist ϕ = ( ) äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und. Fall 3: ϕ = A i. Dann ist ϕ = A i äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und.

Induktionsvoraussetzung (IV): α und besitzen äquivalente Formeln α bzw., die nur aus Atomen, und bestehen. Induktionsschluss (IS) Zu zeigen ist: α, (α ), (α ) und (α ) besitzen äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen. Fall 1: ϕ = α. Es gilt: α α (IV und Satz 1.7) (α ) (Beispiel 4) Also ist ϕ = (α ) äquivalent zu ϕ, und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor. Fall 2: ϕ = (α ). Es gilt: (α ) (α ) (IV und Satz 1.7) ( α ) (Doppelnegation und Satz 1.7) ( α ) (demorgan s Regel) (( α ) ) (Beispiel 4) ((α ) ) (Implikation und Satz 1.7) ((α ( )) ) (Beispiel 4 und Satz 1.7)

Also ist ϕ = ((α ( )) ) äquivalent zu ϕ, und in ϕ kommen gemäß IV nur Atome, und vor. Fall 3: ϕ = (α ). Es gilt: (α ) (α ) (IV und Satz 1.7) ( α ) (Doppelnegation und Satz 1.7) ( α ) (Implikation) ((α ) ) (Beispiel 4 und Satz 1.7) Dann ist ϕ = ((α ) ) äquivalent zu ϕ, und in ϕ kommen gemäß IV nur Atome, und vor. Fall 4: ϕ = (α ). Dann ist ϕ = (α ) äquivalent zu ϕ (IV und Satz 1.7), und in ϕ kommen gemäß IV nur Atome, und vor.

Satz 1.10 (Adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen) Die folgenden Mengen von Verknüpfungszeichen sind adäquat. 1. {, } 2. {, } 3. {, } 4. {, }

1.1.5 Semantische Folgerung Definition 1.11 (Semantische Folgerung) Formel ϕ ist eine Folgerung aus der Formelmenge Γ (Γ A ϕ), wenn jede Belegung, die Γ erfüllt, ebenfalls ϕ erfüllt. (D.h.:... wenn für jede Belegung B gilt: wenn B A Γ, dann B A ϕ.) Schreibweisen: Mengenklammern und Vereinigungszeichen lässt man gerne weg: z.b. schreibt man α 1,..., α n A ϕ oder Γ, α A ϕ. Statt A ϕ schreibt man A ϕ. Lemma 1.12 ( A verallgemeinert A ) Sei ϕ eine Formel. Dann gilt: A ϕ genau dann, wenn A ϕ. 1.1.19

Folgerung und Gültigkeit Lemma 1.13 (Zusammenhang zwischen A und ) Die folgenden Aussagen sind äquivalent für alle n N und i = 1, 2,..., n + 1. 1. α 1,..., α n ϕ A 2. α 1,..., α i 1 (α A i (α i+1... (α n ϕ)...)) 3. α 1,..., α i 1 A ( n ( α j ) ϕ ) j=i Insbesondere gelten also folgende Äquivalenzen zu 1. 3. : A (α 1 (α 2... (α n ϕ)...)) A (( n α i ) ϕ) i=1

1.2 Natürliches Schließen in der Aussagenlogik 1. Aussagenlogik Grundbegriffe Natürliches Schließen Schlussregeln für (informell) Schlussregeln für (informell) Formale Definition Korrektheit Vollständigkeit Anhang: Natürliches Schließen für weitere Verknüpfungszeichen

Das Natürliche Schließen dient dem Herleiten von Formeln mittels Axiomen und Schlussregeln. Wir werden zeigen, dass man genau die gültigen Formeln herleiten kann (Satz 1.24). Wir betrachten nur Formeln aus Atomen, und. Nach Satz 1.10 reicht das aus. Wir benutzen α jetzt als abkürzende Schreibweise für α. (Literatur: van Dalen: Logic and Structure)

1.2.1 Schlussregeln für Informelle Einführung Die Implikations-Elimination: α α Die Implikations-Introduktion ohne und mit Auflösung einer Hypothese: [α]. α α Eine Herleitung wird als Baum dargestellt, der mit Hypothesen beginnt (Blätter) und an dessen Wurzel die hergeleitete Formel steht. Statt Kanten werden waagerechte Striche für Anwendungen von Schlussregeln gezeichnet.

Herleitung von A (B A) und α ( α) [α]. Die Implikations-Regeln: α α

Herleitung von A (B A) und α ( α) A [α]. Die Implikations-Regeln: α α

Herleitung von A (B A) und α ( α) A B A [α]. Die Implikations-Regeln: α α

Herleitung von A (B A) und α ( α) [A] 1 B A 1 A (B A) [α]. Die Implikations-Regeln: α α

Herleitung von A (B A) und α ( α) [A] 1 B A 1 A (B A) α [α]. Die Implikations-Regeln: α α

Herleitung von A (B A) und α ( α) [A] 1 B A 1 A (B A) α α [α]. Die Implikations-Regeln: α α

Herleitung von A (B A) und α ( α) [A] 1 B A 1 A (B A) [α] 1 α 1 α ( α) Damit sind Herleitungen für alle Formeln der Form α ( α) angegeben. [α]. Die Implikations-Regeln: α α

1.2.5 Herleitung von (α ) ( α) Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α

1.2.5 Herleitung von (α ) ( α) α α Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α

1.2.5 Herleitung von (α ) ( α) α α Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α

Herleitung von (α ) ( α) α α Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α

Herleitung von (α ) ( α) α α Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α

Herleitung von (α ) ( α) [α] 1 α 1 α Die Implikations-Regeln: α [α].. α α α

Herleitung von (α ) ( α) [α] 1 α [ ] 2 1 α 2 α Die Implikations-Regeln: α [α].. α α α

Herleitung von (α ) ( α) [α] 1 [α ] 3 [ ] 2 1 α 2 α 3 (α ) ( α) Die Implikations-Regeln: α [α].. α α α

1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) Die Regeln: α [α]. α α α

1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) α α α α Die Regeln: α [α]. α α α

1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) α α α α Die Regeln: α [α]. α α α

1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) α [ α] 1 1 α α [α ] 1 1 (α ) Die Regeln: α [α]. α α α

1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) [α] 2 [ α] 1 1 α 2 α α [α] 2 [α ] 1 1 (α ) 2 α ((α ) ) Die Regeln: α [α]. α α α

1.2.7 1.2.2 Schlussregeln für Informelle Einführung Ex falso quod libet α ( ) Reductio ad absurdum [ α]. α (RAA)

Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: Die Regeln: α [α]. α α α [ α].. α (RAA)

1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: α α (α ) α Die Regeln: α [α]. α α α [ α]. α (RAA)

1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: α α (α ) α Die Regeln: α [α]. α α α [ α]. α (RAA)

1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: α [ α] 1 (RAA)1 α (α ) [α ] 1 (RAA) 1 α Die Regeln: α [α]. α α α [ α]. α (RAA)

1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: [ α] 2 [ α] 1 (RAA)1 α 2 α α [(α ) ] 2 [α ] 1 (RAA) 1 α 2 ((α ) ) α Die Regeln: α [α]. α α α [ α]. α (RAA)

Herleitung von α (α ) Die Regeln: [α]. α α α α ( )

1.2.9 Herleitung von α (α ) α α Die Regeln: [α]. α α α α ( )

1.2.9 Herleitung von α (α ) α α Die Regeln: [α]. α α α α ( )

1.2.9 Herleitung von α (α ) α α ( ) Die Regeln: [α]. α α α α ( )

1.2.9 Herleitung von α (α ) α [α] 1 ( ) α 1 Die Regeln: [α]. α α α α ( )

1.2.9 Herleitung von α (α ) [ α] 2 [α] 1 ( ) 1 α 2 α (α ) Die Regeln: [α]. α α α α ( )

1.2.3 Natürliches Schließen formal Formaler gesehen geht es beim Natürlichen Schließen nicht um das Herleiten von Formeln, sondern um das Herleiten von Sequenten aus Hypothesen und einer Formel. Definition 1.14 (Sequent) Ein Sequent ist ein Paar Γ ϕ, wobei Γ eine endliche Formelmenge und ϕ eine Formel ist. Statt ϕ schreiben wir vereinfachen ϕ, und statt Γ {α} ϕ schreiben wir vereinfachend Γ, α ϕ etc. Die Herleitungen beginnen mit Axiomen und werden durch Anwendungen von Regeln fortgesetzt. Da wir für die verschiedenen Logiken verschiedene Systeme von Anwendungen und Regeln benutzen werden, definieren wir den Prozess der Herleitung erstmal abstrakt für beliebige Axiome und Regeln. 1.2.10

1.2.11 Definition 1.15 (Herleitung in einem Beweissystem) 1. Ein Beweissystem besteht aus einer Menge von Axiomen Ax und einer Menge von Schlussregeln Sr. 2. Eine Herleitung eines Sequenten Γ α aus Ax und Sr ist eine Folge Γ 1 α 1, Γ 2 α 2,..., Γ l α l von Sequenten, so dass Γ = Γ l, α = α l und für i = 1, 2,..., l gilt: Γi α i ist in Ax (also ein Axiom), oder es gibt Γa α a und ggf. Γ b α b mit a, b < i, aus denen Γ i α i in einem Schritt mit einer Schlussregel in Sr hergeleitet werden kann. 3. Γ α aus Ax und Sr bedeutet, dass es eine Herleitung eines Sequenten Γ α für ein Γ Γ aus Ax und Sr gibt. α ist Schreibweise für α.

Wir können nun das Natürliche Schließen für die Aussagenlogik als Axiome und Regeln für ein Beweissystem mit Sequenten aufschreiben dadurch wird das bisher etwas schwammige Auflösen von Hypothesen klar definiert.

Definition 1.16 (Natürliches Schließen für die Aussagenlogik A ) Sei ϕ eine aussagenlogische Formel aus Atomen, und, und Γ sei eine Menge solcher Formeln. Γ A ϕ ( ϕ ist aus Γ mittels natürlichem Schließen herleitbar ) bedeutet, dass Γ ϕ aus folgenden Axiomen und Schlussregeln: 1. Die Axiome sind Sequenten α α für alle Formeln α. 2. Die Schlussregeln sind für Formelmengen Γ, und Formeln α, : ( Γ, steht für Γ ) Γ, α Γ α Γ α α Γ, Γ, Γ (RAA) Γ α Γ, α (Hyp) (Bem.: Alte Regeln ohne Hypothesenauflösung werden unter Verwendung von (Hyp) dargestellt.)

Beispiel: A α ( α) (1) α α (2) α, α (Hyp)(1) (3) α α (2) (4) α ( α) (3)

Beispiel: A α α (1) α α (2) α α (3) α, α (1), (2) (4) α α (3) (5) α α (4)

Beispiel: A (α ) ( α) (1) α α (2) α α (3) α, α (1), (2) (4) (5) α, α, (3), (4) (6) α, α (5) (7) α α (6) (8) (α ) ( α) (7)

Beispiel: A α α (1) α α (2) α α (3) α, α (1), (2) (4) α α (RAA)(3) (5) α α (4)

1.2.18 Was wir später nochmal benutzen werden Satz 1.17 Für alle Formeln α und gilt 1. A α α 2. A 3. A 4. A α (α ) α ( (α )) (α ) (( α ) ) Die Beweise folgen auf den nächsten Seiten.

1.2.19 Beweis für A α α (1) α α (2) α α (1)

1.2.20 Beweis für A α (α ) (1) α α (2) α α (3) α, α (1), (2) (4) α, α, (Hyp)(3) (5) α, α (RAA)(4) (6) α α (5) (7) α (α ) (6)

Beweis für A α ( (α )) (1) α α (2) (3) α α (4) α, α (1), (3) (5) α,, α (2), (4) (6) α, (α ) (5) (7) α (α ) (6) (8) α ( (α )) (7)

Beweis für A (α ) (( α ) ) (1) α α (2) α α (3) α, α (1)(2) (4) (5) α, α, (3)(4) (6) α, α (5) (7) α α (8) α,, α (6)(7) (9) α,, α (4)(8) (10) α, α (RAA)(9) (11) α ( α ) (10) (12) (α ) (( α ) ) (11)

1.2.23 Beweis für α A α (α ) (( α ) )

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α α

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α α

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α α

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α [α] 1 α 1

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α [α] 1 1 α α

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α [α] 1 1 α α

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α [α] 1 1 α α

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α [α] 1 1 α α

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α [α] 1 [ ] 2 1 α α [ ] 2 (RAA) 2

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) α [α] 1 [ ] 2 1 α [ α ] 3 [ ] 2 (RAA) 2 3 ( α )

1.2.23 Beweis für A (α ) (( α ) ) [α ] 4 [α] 1 [ ] 2 1 α [ α ] 3 [ ] 2 (RAA) 2 3 ( α ) 4 (α ) (( α ) )

1.2.4 Korrektheit des Natürlichen Schließens Das Natürliche Schließen unterteilt die Menge aller Formeln in herleitbare Formeln und nicht-herleitbare Formeln. Sind alle herleitbaren Formeln gültig? (Korrektheit von A ) Sind alle gültigen Formeln herleitbar? (Vollständigkeit von A ) Ziel ist der Beweis eines Vollständigkeitssatzes (Satz 1.24): Die herleitbaren Formeln sind genau die gültigen Formeln. Wenn man einen Beweis-Kalkül als Maschine betrachtet, die unendlich laufend alle herleitbaren Formeln ausgibt, dann bedeutet Korrektheit: es werden nur gültige Formeln ausgegeben, und Vollständigkeit: jede gültige Formel wird irgendwann ausgegeben.

1.2.25 Korrektheit von A Da man beim Natürlichen Schließen mit Sequenten arbeitet, ist es einfacher, etwas Allgemeineres zu beweisen. Lemma 1.18 (Verallgemeinerte Korrektheit von A ) Sei Γ eine aussagenlogische Formelmenge und α eine aussagenlogische Formel. Dann gilt: wenn Γ A α, dann Γ A α.

1.2.26 Verallgemeinerte Korrektheit von A : Beweis Wir zeigen die Behauptung mittels Induktion über die Länge der Herleitung von α aus Γ. Induktionsanfang: Γ A α mit einer Herleitung der Länge 1. Dann besteht die Herleitung nur aus dem Sequenten α α (also Γ {α}), und offensichtlich gilt Γ A α für Γ {α}. Induktionsvoraussetzung: wenn Γ A α mit einer Herleitung der Länge n, dann gilt Γ A α. Induktionsschluss: zu zeigen: wenn Γ A α mit einer Herleitung der Länge n + 1, dann gilt Γ A α.

Sei Γ A α mit einer Herleitung von Γ α der Länge n + 1 für ein Γ Γ. Wir unterscheiden, welche Regel im letzten Herleitungsschritt angewendet wird. Fall 1: im letzten Herleitungsschritt wird das Axiom α α benutzt. Offensichtlich gilt α A α und damit Γ A α. Fall 2: im letzten Herleitungsschritt wird verwendet. Dann ergibt der letzte Herleitungsschritt Γ ϕ (d.h. α = ϕ), und die Herleitung enthält Γ, ϕ, der mit n Schritten hergeleitet wird. Laut IV gilt Γ, A ϕ. Wir zeigen nun Γ ϕ, A d.h. für jede Belegung B gilt: wenn B A Γ, dann B A ϕ. Sei B eine Belegung mit B A Γ. Fall 2.1: B : dann folgt B ϕ (Semantik von ). A A Fall 2.2: B A : gemäß IV gilt Γ, A ϕ und damit B A ϕ. Gemäß Semantik von folgt ebenfalls B A ϕ. Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ A ϕ. 1.2.27

1.2.28 Fall 3: im letzten Herleitungsschritt wird verwendet. Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ α und die Herleitung enthält Sequenten und α mit Γ =, die beide mit n Schritten hergeleitet werden. Laut IV gilt A und A α. Wir zeigen nun Γ A α, d.h. für jede Belegung B gilt: wenn B A Γ, dann B A α. Sei B eine Belegung mit B A Γ. Da, Γ, folgt B A und B A. Mit der IV folgt B A und B A α. Folglich gilt B A α. Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ A α.

1.2.29 Fall 4: im letzten Herleitungsschritt wird (Hyp) verwendet. Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ α, und die Herleitung enthält einen Sequenten Γ {} α, der mit n Schritten hergeleitet wird. Laut IV gilt Γ {} A α. Sei B eine Belegung mit B A Γ. Dann folgt B A Γ {}, und mit der IV folgt B A α. Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ A α. Fall 5: im letzten Herleitungsschritt wird (RAA) verwendet. Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ α, und die Herleitung enthält einen Sequenten Γ, α, der mit n Schritten hergeleitet wird. Laut IV gilt Γ, α A (d.h. Γ { α} ist unerfüllbar). Sei B eine Belegung mit B A Γ. Da B, folgt B α aus der IV und damit B α. A A A Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ α. A Also folgt in allen Fällen Γ A α. Da Γ Γ, folgt schließlich Γ A α.

1.2.30 Das Korrektheitslemma für A Für Γ = folgt aus Lemma 1.18 Folgerung 1.19 (Korrektheit von A ) Für alle aussagenlogischen Formeln α gilt: wenn A α, dann A α. D.h. jede mittels Natürlichem Schließen herleitbare Formel ist gültig. Da alle herleitbaren Formeln gültig sind, benutzt man statt herleitbar auch gerne den Begriff beweisbar.

1.2.5 Vollständigkeit des Natürlichen Schließens Wir wollen zeigen, dass alle gültigen Formeln beweisbar sind. Dazu geben wir an, wie man für jede gültige Formel einen Beweis konstruieren kann! Das folgende Diagramm stellt die Idee dar, aus welchen Teilen ein Beweis für eine gültige Formel α mit den Atomen A, B und C konstruiert wird. A, B, C A α A, B, C A α A, B, C A α A, B, C A α A, B, C A α A, B, C A α A, B, C A α A, B, C A α A, B A α A, B A α A, B A α A, B A α A A α A A α Lemma 1.21 Lemma 1.22 A α 1.2.31

Definition 1.20 (At(ϕ) und B(ϕ)) Sei ϕ eine Formel. Dann bezeichnet At(ϕ) die Menge aller Atome in ϕ. Für eine Belegung B wird die Menge der Literale, die für ϕ wichtig sind und von B erfüllt werden, bezeichnet durch B(ϕ) = {A i A i At(ϕ) und A i B} { A i A i At(ϕ) und A i B}. Lemma 1.21 (Belegungen und Beweise) Sei B eine Belegung, ϕ eine Formel. Dann gilt: 1. Wenn B A ϕ, dann B(ϕ) A ϕ, und 2. wenn B ϕ, dann B(ϕ) ϕ. A A

1.2.33 Beispiel 1: A, B, C A ( A B) C Für B 0 = und ϕ = ( A B) C ist B 0 (ϕ) = { A, B, C}. A B C A A B ( A B) C

Beispiel 1: A, B, C A ( A B) C Für B 0 = und ϕ = ( A B) C ist B 0 (ϕ) = { A, B, C}. A B C A A B B C C IA A A (A ) (1.17(2)) A A IS (2) A B A ( B ( A B)) (1.17(3)) A, B ( A B) IS (3) ( A B) C ( A B) (( A B) C) (1.17(2)) A, B ( A B) C IS (2) 1.2.33

1.2.34 Beispiel 2: A, B, C A ( A B) C Für B 1 = {C} ist B 1 (ϕ) = { A, B, C}. A B C A A B ( A B) C

Beispiel 2: A, B, C A ( A B) C Für B 1 = {C} ist B 1 (ϕ) = { A, B, C}. A A A B B B C C C IA A A (A ) (1.17(2) A A IS (2) A B A ( B ( A B)) (1.17(3)) A, B ( A B) IS (3) ( A B) C C, A B C (Hyp) C ( A B) C IS (1) 1.2.34

1.2.35 Beispiel 3: A, B, C A (( A B) C) Für B 2 = {A, B} ist B 2 (ϕ) = {A, B, C}. A B C IA A IS (3) A B IS (2) ( A B) C IS (3)

Beispiel 3: A, B, C A (( A B) C) Für B 2 = {A, B} ist B 2 (ϕ) = {A, B, C}. A A A B B B C C C IA A A ( (A )) (1.17(3)) A A IS (3) A B A ( A B) (1.17(2)) A A B IS (2) ( A B) C ( A B) ( C (( A B) C)) (1.17(3)) A, C (( A B) C) IS (3) 1.2.35

1.2.36 Beweis (von Lemma 1.21): Sei B eine Belegung. Wir zeigen die Behauptung mittels Induktion über den Formelaufbau von ϕ. IA: Fall (1): ϕ =. Da B, ist B zu zeigen. Das folgt mit (1.17(1)) A. Fall (2): ϕ ist ein Atom, d.h. ϕ = A i. Wenn B A A i, dann ist A i B(A i ) und es folgt B(A i ) A A i. Wenn B A A i, dann ist A i B(A i ) und es folgt B(A i ) A A i. IV: Für beliebig gewählte Formeln α und gilt 1. Wenn B A α, dann B(α) A α, und wenn B A, dann B() A, 2. wenn B A α, dann B(α) A α, und wenn B A, dann B() A.

1.2.37 IS: z.z.: wenn B α, dann B(α ) A α und wenn B α, dann B(α ) A α. Fall (1): B A. Dann folgt B A α und z.z. ist B(α ) A α. Die IV liefert B() A, und mit (Hyp) und folgt B() A α. Folglich gilt auch B(α ) A α. Fall (2): B A α. Dann folgt B A α und z.z. ist B(α ) A α. Die IV liefert B(α) A α, und mit A α (α ) (1.17(2)) und folgt B(α) A α ; folglich gilt B(α ) A α. Fall (3): B A α und B. A Dann folgt B α und z.z. ist B(α ) (α ). A A Die IV liefert B(α) A α und B() A, und mit α ( (α )) (1.17(3)) und 2mal A folgt B(α) B() A (α ); folglich gilt B(α ) A (α ).

1.2.38 Lemma 1.22 (Teil-Belegungen und Beweise) Sei ϕ gültig. Für jede Belegung B und jede Teilmenge B B(ϕ) gilt B A ϕ. Beweis: Sei ϕ eine gültige Formel. Wir beweisen die Behauptung mittels Induktion über die Größe aller B in absteigender Ordnung, B = At(ϕ), At(ϕ) 1,..., 0. IA: Sei B eine Belegung und B B(ϕ) mit B = At(ϕ). Dann ist B = B(ϕ). Da B A ϕ, folgt B(ϕ) A ϕ aus (1.21). D.h. es gilt B A ϕ.

1.2.39 IV: Für alle Belegungen B und bel. l At(ϕ) gilt für alle B B(ϕ) mit B l: B A ϕ. IS: zu zeigen ist: für alle Belegungen B und alle B B(ϕ) mit B l 1 gilt B A ϕ. Sei B eine Belegung, und sei B B(ϕ) mit B = l 1 (für größere B gilt es laut IV). Da l 1 < At(ϕ), gibt es ein A i At(ϕ) mit A i, A i B. Nach IV gilt B {A i } A ϕ und B { A i } A ϕ. Mit folgen B A A i ϕ und B A A i ϕ. Mit A (A i ϕ) (( A i ϕ) ϕ) (1.17(4)) und folgt schließlich B A ϕ.

Beispiel für die Konstruktion Wir haben bereits die Herleitung von ϕ = ( A B) C aus L ϕ = { A, B, C} (1) A A (2) A (A ) (1.17) (3) A A (1)(2) (4) B B (5) A ( B ( A B)) (1.17) (6) A B ( A B) (3)(5) (7) A, B ( A B) (4)(6) (8) ( A B) (( A B) C) (1.17) (9) A, B ( A B) C (7), (8) (10) A, B, C ( A B) C (Hyp)(9) und aus L {C} ϕ = { A, B, C}: (11) C C (12) C, A B C (Hyp)(11) (13) C ( A B) C (12) Das wird wie folgt zur Herleitung aus { A, B} ergänzt. (14) A, B C (( A B) C) (10) (15) C (( A B) C)) (13) (16) (C (( A B) C)) (( C (( A B) C)) (( A B) C)) (1.17) (17) A, B ( A B) C 2mal (16)(15)(14)

1.2.41 Vollständigkeit von A Für B = folgt aus Lemma (1.22): Folgerung 1.23 (Vollständigkeit von A für die Aussagenlogik) Für alle aussagenlogischen Formeln ϕ gilt: wenn A ϕ, dann A ϕ (d.h. jede gültige Formel ist mit A beweisbar).

Der Vollständigkeitssatz für A Aussagenlogik in der Die Korrektheit (Lemma 1.19) und die Vollständigkeit (Lemma 1.23) des Natürlichen Schließens für die Aussagenlogik ergeben zusammen den Vollständigkeitssatz. Satz 1.24 (Vollständigkeitssatz für A in der Aussagenlogik) Für alle aussagenlogischen Formeln α gilt: α ist gültig genau dann, wenn α mit Natürlichem Schließen beweisbar ist (d.h. A α gdw. A α). 1.2.42

1.2.6 Schlussregeln für weitere Verknüpfungszeichen Wir werden später auch mal Formeln mit und herleiten. Die folgenden Regeln sind alle korrekt.

1.2.44 Schlussregeln für und Die Schlussregeln für sind recht intuitiv. α ( I ) α α α ( E) α ( E) Die für nicht sofort... α α ( I ) α ( I ) [α]. []. α ϕ ϕ ( E) ϕ

1.2.45 α α α

1.2.45 α α α α α ( I )

1.2.45 α α α ( I ) α α (α α)

1.2.45 α α [α] 1 ( I ) α α (α α) α 1

1.2.45 α α [α] 1 ( I ) α α (α α) α α α 1 ( I )

1.2.45 α α [α] 1 ( I ) α α (α α) 1 α ( I ) α α (α α)

1.2.45 α α [α] 1 ( I ) α α [ (α α)] 2 1 α ( I ) α α [ (α α)] 2 (RAA) 2 α α

1.2.46 ((α ) γ) (α γ) ( γ) [γ] 1 [γ] 2 [α ] 1 ( E) [α ] 2 ( E) α ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) [(α ) γ] 3 α γ α γ ( E)1 [(α ) γ] 3 γ γ ( E)2 α γ γ ( I ) (α γ) ( γ) 3 ((α ) γ) ((α γ) ( γ))

Die -Elimination lässt sich auch mit und aufschreiben [α]. []. α ϕ ϕ ( E) ϕ und als Abkürzung für folgendes ansehen. [α] 1 [] 2.. ϕ [ ϕ] 3 ϕ [ ϕ] 3 1 2 α α (RAA)3 ϕ 1.2.47

Aussagenlogik: Beweisen statt durchprobieren A B C C (C (A B)) F F F T F F T T F T F T F T T T B(ϕ) A ϕ B T F F T T F T T (1.21) T T F T T T T T A α [1.16] (RAA) (Hyp) A A α [1.4] A α gdw. A α (1.18) (1.24) A i [ α] 2 [α] 1 ( ) 1 α 2 α (α ) 1.2.48