نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 49 شماره 1 سال 1396 صفحات 11 تا 18 DOI: 10.22060/mej.2016.751 بررسی عددی جریان عبوری از یک استوانه دایره ای زیر سطح آزاد با روش حجم سی ال سید مصطفی حسینعلی پور* نوید حاجی غفوری بوکانی دانشکده مهندسی مکانیک آزمایشگاه انرژی آب و محیط زیست دانشگاه علم و صنعت ایران تهران ایران چکیده : در این تحقیق جریان گذرنده از یک استوانه دایره ای دوبعدی ثابت نزدیک یک سطح آزاد در عدد رینولدز 180 و عدد سیال بطور عددی بررسی شده است. برای شبیه سازی سطح آزاد از روش فرود 0/2 در نسبت فاصله های گوناگون از سطح آزاد سیال استفاده شده است. معادالت پیوستگی و مومنتم با روش حجم محدود توسط کد تجاری فلوئنت حل شده اند. برای حجم اعداد فرود پایین که نشان دهنده تأثیر غالب گرانش و تغییر شکل ناچیز سطح آزاد هستند نتایج دارای شباهت های بسیاری با مسئله جریان حول استوانه نزدیک یک دیواره بدون لغزش است بگونه ای که مکانیزم رهایش گردابه یکسانی برای آنها می توان پیش بینی نمود. زمانیکه فاصله بین استوانه و سطح آزاد کاهش می یابد عدد استروهال در نسبت فاصله 0/7 به ح داکثر مقدار خود می رسد کاهش بیشتر نسبت فاصله موجب کاهش عدد استروهال شده در نسبت فاصله 0/16 اساس ا پدیده رهایش گردابه به ح داقل مقدار ممکن می رسد. در این تحقیق به بررسی کانتورهای سرعت فشار و ضرایب آیرودینامیکی در نسبت فاصله های سیال بر هیدرودینامیک جریان در اعداد فرود پائین مطالعه شده است. مختلف پرداخته شده و تأثیر سطح آزاد تاریخچه داوری : دریافت 24 : آذر 1393 بازنگری 26 : اردیبهشت 1395 پذیرش 27 : تیر 1395 ارائه آنالین 18 : آبان 1395 کلمات کليدي : جریان سطح آزاد سیال روش حجم رهایش گردابه حل عددی عدد استروهال سیال را مطابق شکل 1 مشاهده کردند. تغییر شکل سطح آزاد ریچل و همکاران [ 5 و ]6 بصورت دو بعدی جریان عبوری از یک استوانه نزدیک به سطح آزاد را با یک رویکرد عددی بررسی کردند و در آن به اثرات نسبت فاصله و عدد فرود با هم با جزئیات تغییرات پارامترهای فیزیکی تمرکز کردند و به تشابه نتایج در اعداد فرود پایین به جریان نزدیک به یک مرز بدون لغزش در مراجع [ 1 و ]2 اشاره داشتند. واربورتون و کارنیاداکیس [ ]7 با یک شبیه سازی عددی نتیجه گرفتند که ویژگی های جریانی مشاهده شده توسط شریدان و همکاران [ ]3 کام ال دو بعدی هستند آنها اطالعات بسیاری در مورد نحوه تغییر نیروهای هیدرودینامیکی وارده بر استوانه ارائه دادند ریچل و همکاران [ 5 و ]8 نیز نتایج مشابهی بدست آوردند. در ادامه مطالعات فوق در این مقاله با بررسی کانتورهای سرعت خطوط جریان فشار و نمودارهای ضرایب برآ و پسا بررسی جامعی از جریان حول سیال در اعداد فرود پایین و شباهت های آن با استوانه نزدیک سطح آزاد سیال بصورت کمی و کیفی حالت وجود دیواره بدون لغزش بجای سطح آزاد ارائه می شود. 1-1 مقدمه سیال دارای جریان عبوری از یک استوانه دایره ای نزدیک سطح آزاد طراحی سازه های دور از ساحل زیردریایی ها خطوط لوله اهمیت وافری در و سیستم های تولید توان بر مبنای انرژی آب دارد. با آنکه تحقیقات متعددی در تمرکز بر تغییرات پارامترهای مختلف این جریان انجام شده ولی هنوز با جزئیات کامل بررسی نشده است حال آنکه در جریان حول یک استوانه سیال نامحدود تحقیقات کاملی موجود است. این تحقیق که به نوعی در شبیه ساز جریان حول خطوط لوله نزدیک سطح آزاد دریاست مدل عددی کارآمدی را در تحلیل جریان های دارای سطح آزاد و رژیم جریان آرام ارائه می دهد که در آن بطور خاص به تأثیر سطح آزاد بر پروفیل سرعت فشار و گردابه حول استوانه ضرایب آیرودینامیکی و شکل رهایش گردابه می پردازد. مسئله جریان عبوری از یک استوانه نزدیک به یک مرز بدون لغزش نکته مفید مشابهی را برای مطالعه حاضر فراهم می سازد. بیرمن و دراکویچ [ ]1 پاسخ فرکانسی یک استوانه نزدیک به یک مرز بدون لغزش را بررسی کردند جی اکتون [ ]2 برای همین جریان دریافت زمانیکه نسبت فاصله از مرز به 0/5 کاهش می یابد افزایش ابتدایی در عدد استروهال به همراه یک کاهش در نسبت فاصله های کوچکتر رخ می دهد. شریدان و همکاران [ 3 و ]4 با بررسی آزمایشگاهی جریان حول یک استوانه نزدیک سطح آزاد با ثابت نگه داشتن عمق استوانه و تغییر سرعت جریان آزاد اثر تغییرات عدد فرود بر 2-2 مدل سازی عددی برای شبیه سازی جریان دو بعدی گذرنده از یک استوانه نزدیک سطح سیال در عدد رینولدز 180 و عدد فرود 0/2 انتخاب شده است بنابراین آزاد نویسنده عهده دار مکاتبات alipour@iust.ac.ir : 11
St = We fd / U 2 = ρu d / σ برای شبیهسازی نسبت چگالی و لزجت آب به هوا هر دو برابر 100 و بجای مقادیر واقعی آنها در نظر گرفته میشوند مطابق کار ریچل و همکاران ]5[ با اینکار هزینه محاسباتی کاهش یافته و تاثیر سی ال سبکتر کم میشود. رژیم جریان آرام 1 و گردابهها و جدایش آنها پدیدهای دو بعدی هستند. از طرفی با توجه به پایین بودن عدد فرود و تعریف عدد فرود بصورت نسبت نیروی اینرسی به نیروی گرانش میزان تغییر شکل سطح آزاد سی ال کوچک است چرا که نیروی گرانش میزان تغییر شکل آن را محدود میسازد. شکل 2 شماتیک مسئله مورد نظر برای شبیهسازی را نشان میدهد. 3-3 شبکهبندی مسئله در این مسئله دو ناحیه از شبکهبندی ریزتری بهرهمند میشوند ناحیه گردابه استوانه و محل سطح آزاد سی ال. شکل 3 شبکهبندی مسئله را نشان میدهد. با توجه به اینکه جریان در اطراف استوانه اهم یت بیشتری دارد در یک ناحیه مرب عی حول استوانه از شبکه سازمانیافته و در سایر نواحی از یک شبکه غیر سازمانیافته مثلثی استفاده شده است. در رابطه با کیفیت شبکه فاکتور کیفیت تعامد بررسی میشود که از 0 تا 1 تغییر میکند و هر چه به صفر نزدیکتر باشد نشاندهنده کیفیت کمتر شبکه است برای شبکهبندی این تحقیق حد اقل کیفیت تعامد 0/55 است در ضمن حداکثر میزان نسبت منظری 6/44 میباشد. برای بررسی تاثیر تغییر تعداد مشها دو شبکهبندی مختلف در عدد فرود 0/4 مطابق با جدول 1 بررسی شده است. عل ت استفاده از عدد فرود 0/4 میزان تغییر شکل بیشتر سطح آزاد نسبت به عدد فرود 0/2 و در نتیجه تشخیص ردیابی دقیقتر سطح آزاد سی ال است. Fig. 1. Froude number effects on the free surface deformation [3] شکل 1: اثر عدد فرود بر تغییر شکل سطح آزاد ]3[ Fig. 3. Numerical grid (dimensions in meter) شکل 3: شبکهبندی مسئله )ابعاد بر حسب متر( Fig. 2. Flow around a circular cylinder near the free surface of fluid پارمترهای بیبعد مهم در این تحقیق عبارتند از: Fr = U / gd Gap Ratio = h / d 1 Laminar شکل 2: شماتیک جریان حول یک استوانه دایرهای نزدیک سطح آزاد سی ال جدول 1: اثر دقت شبکه در جریان سطح آزاد با رینولدز 180 و فرود 0/4 تعداد شبکه Table 1. Effect of grid resolution at Re=180, Fr=0.4 عدد استروهال ضریب پسا آر.ام.اس ضریب پسا ضریب برآ آر.ام.اس ضریب برآ 0/5366-0/3245 0/1526 1/6225 0/1969 52960 0/5229-0/3268 0/1507 1/6209 0/1972 88670 12
18 تا 11 صفحه 1396 سال 1 شماره 49 دوره امیرکبیر مکانیک مهندسی نشریه تغییرات به توجه با 53000 حدودا شبکههای تعداد 1 جدول مطابق بهینه شبکهبندی بعنوان 89000 شبکههای تعداد به نسبت پارامترها ناچیز انجام گمبیت پیشپردازنده از استفاده با شبکهبندی میشود. گرفته نظر در است. شده مسئله بر حاکم معادالت و مرزی 4-4 شرایط ورودی مرز در هوا و آب سی االت برای ثابت جرمی دبی مرزی شرط پایین و باال مرزهای و لغزش عدم شرط دارای استوانه است شده استفاده سرعت گرادیان مرزی شرط همچنین هستند صفر برشی تنش شرط دارای معادالت است. شده گرفته بکار هوا و آب خروجی مرزهای برای صفر طولی میشوند. ارائه )6( و )5( معادالت شکل به مسئله این بر حاکم پیوستگی معادلهی افقی و عمودی راستای در مومنتم معادالت αq αq + ui = 0 t x i P u ( ρu) ( ρ uu) µ ρg t x x x x 2 i i + j i = + + i i j j i و کاراترین امروزه 1 سی ال حجم روش سی ال: آزاد سطح شبیهسازی این در است آزاد سطح به مربوط مسائل شبیهسازي در روش پراستفادهترین مقدار یک تنها سل ول هر در سی ال مشخصه پارامترهاي ذخیره براي روش برابر فازها حجمی کسرهای مجموع حجمی المان هر در و میشود ذخیره شود داده نشان α q با سلول یک در ام q سی ال حجمی کسر اگر است واحد کسر برای پیوستگی معادله حل از استفاده با فازها میان مشترک فصل ردیابی بود. خواهد )5( معادله شکل به فاز هر حجمی سلول هر در سی ال خاصیت سی ال حجم روش از استفاده صورت در میشود. محاسبه )7( رابطه مطابق S = α S q q کسر و فشار سرعت میدانهای تعیین برای مومنتم و پیوستگی معادالت میشوند. حل همزمان بطور حجمی پیدا اهم یت زمانی آب-هوا فازی دو مسئله یک در سطحی کشش اثر اینکه نظرگیری در با لذا باشد یک از کوچکتر مراتب به وبر عدد که میکند بر نیوتون 0/07 محیط دمای در هوا و آب سی ال دو بین سطحی کشش یک از بزرگتر بسیار مسئله این در وبر عدد که میشود مشخص است متر است. چشمپوشی قابل کامل بطور سطحی کشش اثر لذا است )70000( عددی حل 5-5 روشهای محدود حجم روش با مرزی شرایط همراه به مسئله بر حاکم معادالت سرعت- کوپلینگ حل برای شدهاند حل 2 فلوئنت انسیس تجاری کد توسط گرادیان گسستهسازی برای سیپمل خانواده روشهای از 3 پیزو روش از فشار از و 5 کوئیک روش از مومنتم گسستهسازی برای 4 پرستو روش از فشار میشود. استفاده حجمی کسر گسستهسازی برای 6 شده اصالح هریک روش و 0/7 مومنتم معادله برای 0/3 فشار گرادیان برای نیز 7 تخفیف زیر ضرایب میشوند. گرفته نظر در 0/5 حجمی کسر برای نتایج تحلیل و 6-6 اعتبارسنجی 5 تا 0/22 فاصلههای نسبت و 0/2 فرود عدد از شبیهسازیها برای تحلیل استوانه بر عملکننده برآی نیروی زمانی تغییر است. شده استفاده مشاهده فاصله نسبت تغییر با استروهال عدد در هی توج قابل تغییرات و شده استروهال عدد )با شده نرمالیزه استروهال عدد نمودار 4 شکل در است. شده ارائه سی ال آزاد سطح از استوانه فاصله اساس بر نامحدود( سی ال در استوانه عدد میشود نزدیکتر سطح به استوانه زمانیکه میشود مالحظه است. شده با آن از پس میرسد 0/7 فاصله نسبت در خود حد اکثر مقدار به استروهال را آن عل ت که مییابد کاهش استروهال عدد فاصله نسبت بیشتر کاهش در تغییر دانست. فاصله نسبت تغییر با 8 گردابه تشکیل طول در تغییر میتوان شکل صورت به آزاد سطح از فاصله به نسبت گردابه رهایش و دنباله رفتار این در است. شده ارائه فاصله نسبت حسب بر استروهال عدد نمودار در 5 Fig. 4. Normalized Strouhal number vs. Gap-Ratio بیبعد فاصله حسب بر شده نرمالیزه استروهال عدد نمودار 4: شکل سی ال آزاد سطح از استوانه 2 Ansys Fluent 3 PISO 4 PRESTO! 5 QUICK 6 Modified HRIC 7 Under-Relaxation Factors 8 Vortex Formation Length 1 Volume of Fluid (VOF) method 13
Fig. 5. Vortex shedding contours at Re=180, Fr=0.2 شکل 5: کانتورهای سرعت برای استوانه در نسبت فاصلههای مختلف در عدد فرود 0/2 و رینولدز 180 در نمودار عدد استروهال برحسب نسبت فاصله از سطح آزاد سی ال Fig. 6. Contours of Streamlines at various Gap-Ratios نمودار رهایش گردابه استوانه در سی ال نامحدود بعنوان استوانه مرجع در نظر گرفته شده است. رفتار عدد استروهال مطابق شکل 4 بسیار شبیه رفتار جریان حول استوانه نزدیک به یک دیواره بدون لغزش است که در ] 1 و 2 [ به آن پرداخته شده است. مطالعهای از طیف و میدان جریان اشاره دارد که شکل ضعیفی از رهایش گردابه در نسبت فاصله 0/16 برای استوانه ثابت نزدیک سطح آزاد مشاهده میشود بگونهای که برای نسبت فاصلههای کوچکتر از آن اساسا رهایش گردابه مشاهده نمیشود از طرفی بررسی کانتورها در نسبت فاصلههای مختلف نشاندهنده متراکم شدن خطوط جریان در باالی استوانه و کشیده شدن گردابهها در پشت استوانه است که این مشابه رفتار استوانه نزدیک یک دیواره بدون لغزش است که مهرآبادی ]9[ به آن اشاره میکند توجیه این موضوع را میتوان تغییر شکل بسیار کوچک سطح در این عدد فرود و شباهت هندسی آن با سطح صلب بدون لغزش دانست. از طرفی افزایش قابل توج ه در طول تشکیل گردابه زمانی که نسبت فاصله کاهش مییابد در تطابق با نتایج آزمایشگاهی شریدان و همکاران ]4[ است. شایان ذکر است که بررسی کانتورها نزدیک سطح آزاد به وجود یک موج دائمی به دلیل وجود استوانه اشاره دارد ]9[. برای درک بهتر نحوه رفتار خطوط جریان حول استوانه در نسبت فاصلههای مختلف خطوط جریان برای نسبت فاصلههای 0/85 1/5 2/5 و 0/25 مطابق شکل 6 ارائه میشوند. بررسی شکلهای 5 و 6 بوضوح متراکم شدن خطوط جریان در باالی استوانه و کشیده شدن گردابهها در پشت استوانه را نشان میدهند. شکل 6: خطوط جریان روی کانتور سرعت برای نسبت فاصلههای مختلف نمودارهای ضریب برآ با کسر شناوری بصورت تابعی از زمان در سه نسبت فاصله 1 5 و 0/4 برای بررسی اثر سطح آزاد سی ال در شکل 7 ارائه شده است. اگر نیروی شناوری از نیروی برآی کلی کم شود و با استوانه در سی ال نامحدود مقایسه شود مالحظه میگردد که اگرچه از منظر متناوب بودن نیروهای هیدرودینامکی رفتار جریان در دو وضعیت مشابه است اما به دلیل وجود سطح آزاد برآیند نیروهای برآ منفی بوده و صفر نیست از طرف دیگر با افزایش اثر سطح آزاد برآیند نیروی برآ به لحاظ مقداری افزایش و از آن سو دامنه نوسانات آن کاهش مییابد. 14
رفتار مرب ع متوس ط مجذور 1 برای ضریب برآ معیار بهتری برای درک و مقایسه رفتار در حاالت مختلف مربوط به رهایش گردابه است لذا اعتبارسنجی با نمودار مرب ع متوس ط مجذور ضریب برآی نرمالیزه شده بر حسب نسبت فاصله با تحقیق ریچل ]5[ با دق ت قابل قبول در هر نسبت فاصله در شکل 8 ارائه شده است. Fig. 8. Validation for flow at Re=180, Fr=0.2 by comparing to Reichl et al. study [5] شکل 8: اعتبارسنجی مسئله جریان حول یک استوانه نزدیک سطح آزاد در فرود 0/2 و رینولدز 180 با مرجع ]5[ برای تعیین این نمودار پس از کم کردن مقدار نیروی شناوری از نیروی برآی کلی و سپس آر.ام.اسگیری مقادیر ضریب برآ نسبت به استوانه مرجع نرمالیزه میشوند. شکل 9 نمودار ضریب پسای نرمالیزه شده نسبت به فاصله از سطح آزاد را برای بررسی نحوه رفتار آن نشان میدهد. همانطور که مالحظه میشود تغییرات کیفی نمودارهای عدد استروهال و ضرایب پسا و برآی استوانه ثابت نزدیک سطح آزاد سی ال نسبت به فاصله مشابه است. تغییرات قابل توج ه ضرایب آیرودینامیکی در اطراف نسبت فاصله 0/7 نسبت به نسبت فاصلههای کوچکتر و استوانه در سی ال نامحدود را میتوان بعل ت تغییر در موقعیت زاویهای نقطه سکون در جلوی استوانه و نقطه جدایش جریان در پشت استوانه در یک چرخه رهایش گردابه از آن دانست. بررسی توزیع فشار محل ی از موارد دیگری است که برای نسبت فاصلههای مختلف میتوان بررسی کرده و مقایسه نمود فشار کل عبارتست از مجموع فشار استاتیک و دینامیک توزیع فشار استاتیک همان توزیع فشار هیدرودینامیک است که بصورت خطی از صفر روی سطح آزاد تا حداک ثر مقدار در کف تغییر میکند فشار دینامیک نیز از رابطه )8( پیروی میکند. Pdyn = 0.5 ρv 1 Root Mean Square (RMS) 2 Fig. 7. Lift coefficients vs. time at Re=180, Fr=0.2 and various Gap-Ratios شکل 7: تغییرات زمانی نیروی برآ در رینولدز 180 و فرود 0/2 در نسبت فاصلههای 1 5 و 0/4 15
Fig. 11. Contour of dynamic pressure for Gap-Ratio=1.0 شکل 11: کانتور فشار دینامیک برای نسبت فاصله برابر با 1 Fig. 9. RMS Drag coefficients vs. Gap-Ratio at Re=180, Fr=0.2 شکل 9: تغییرات آر.ام.اس ضریب پسا )نرمالیزه شده نسبت به استوانه مرجع( نسبت به نسبت فاصله در عدد فرود 0/2 و عدد رینولدز 180 Fig. 12. Contour of total pressure for Gap-Ratio=1.0 توزیع فشار استاتیک دینامیک و فشار کل برای نسبت فاصله 1 بررسی میشود. شکل 10 کانتور فشار استاتیک و شکل 11 کانتور فشار دینامیک را برای کل ناحیه در نسبت فاصله 1 ارائه میدهد. صرف نظر از فاصله سطح آزاد از استوانه کانتور فشار استاتیک برای تمامی نسبت فاصلهها تقریبا در همین محدوده است. با توج ه به اینکه فشار دینامیک تابع سرعت است و کانتورهای سرعت برای استوانه مرجع و استوانه در نسبت فاصلههای مختلف بطور کامل در شکل 5 بررسی شده است از بررسی سایر کانتورهای فشار دینامیک صرف نظر میشود. با بررسی کانتورهای فشار استاتیک و دینامیک مالحظه میشود که چون محدوده فشار استاتیک بسیار بیشتر از فشار دینامیک است لذا فشار کل مطابق شکل 12 تقریبا برابر فشار استاتیک است و این وضعیت برای تمام نسبت فاصلهها مشابه است. 7-7 جمعبندی و نتیجهگیری در جریان حول استوانه نزدیک سطح آزاد سی ال بر خالف جریان حول استوانه در عمق نامحدود که در آن به دلیل اینکه مرزها به اندازه کافی دور از استوانه اختیار میشوند تا گرادیان متغیرها در فاصله دور دست از استوانه برابر صفر شود در این حالت یکی از مرزهای میدان جریان بسیار نزدیک استوانه بوده تأثیرات متقابل گردابهها و این مرز قابل توجه خواهد بود با مالحظه کانتورها مشخص است که اگرچه تشکیل گردابهها از دو سوی استوانه صورت میگیرد ام ا وجود سطح آزاد سبب متراکم شدن خطوط جریان در باالی استوانه و کشیدهشدن گردابهها در پشت استوانه میشود. لذا سطح آزاد مانند یک دیواره بدون لغزش عمل میکند. از طرفی وجود سطح آزاد نزدیک استوانه نسبت به حالت قرارگیری استوانه در سی ال نامحدود باعث افزایش طول گردابهها و نیز تا حدودی ایجاد امواج کوچک روی سطح میشود از سوی دیگر با بررسی نمودارهای ضریب برآ مالحظه میشود که وجود سطح آزاد باعث کاهش دامنه نوسانات ضریب برآ و افزایش مقدار نیروی برآ میگردد ضمنا در این نوع جریان به ازای یک عدد رینولدز و فرود مشخص نسبت فاصلهای وجود دارد که در مقادیر کوچکتر از آن پدیده Fig. 10. Contour of static pressure for Gap-Ratio=1.0 شکل 10: کانتور فشار استاتیک برای نسبت فاصله برابر با 1 شکل 12: کانتور فشار کل برای نسبت فاصله 1/00 16
رهایش گردابه حد اقل مقدار ممکن را دارد که برای فرود 0/2 و رینولدز σ 180 این نسبت فاصله 0/16 است. نویسندگان این مقاله تغییر سطح مقطع استوانه نزدیک سطح آزاد سی ال را به بیضی یا مربع و مقایسه آن با مسئله در یک سی ال نامحدود و ارائه نتایج مشابه برای مقایسه با سطح مقطع دایرهای را برای ادامه این تحقیق به پژوهشگران پیشنهاد می کنند. فهرست عالئم قطر استوانه )m( عدد فرود فرکانس بیبعد رهایش گردابه ( 1- s( شتاب گرانش ( -2 )ms نسبت فاصله از سطح آزاد سی ال فاصله استوانه از سطح آزاد سی ال )m( طول استوانه )m( جرم )Kg( فشار ( -2 s )kgm -1 عدد رینولدز یکی از خواص سی ال عدد استروهال زمان )s( میدان سرعت ( -1 )ms عدد وبر لزجت دینامیکی ( -1 s )kgm -1 چگالی ( -3 )kgm D Fr f g Gap-Ratio h L m P Re S St t U(u,v) We عالئم یونانی کسر حجمی منابع کشش سطحی بین آب و هوا ( 1- )Nm [1] Bearman, P. W. and M. M. Zdravkovich, Flow around a circular cylinder near a plane boundary, J. Fluid Mech. 89 (1978): 33 47. [2] G oktun, S., The drag and lift characteristics of a cylinder placed near a plane surface, Master s thesis, Naval Postgraduate School, Monterey, California, USA, 1975. [3] Sheridan, J., J. C. Lin, and D. Rockwell, Flow past a cylinder close to a free surface, J. Fluid Mech. 330 (1997): 1 30. [4] Sheridan, J., J. C. Lin, and D. Rockwell, Metastable states of a cylinder wake adjacent to a free surface, Phys. Fluids, 7 (1995): 2099 2101. [5] Reichl, P. J., K. Hourigan and M. C. Thompson, The unsteady wake of a circular cylinder near a free surface, Flow Turb. Combust. 71 (2003): 347 359. [6] Reichl, P. J., Flow past a cylinder close to a free surface, PhD thesis, Department of Mechanical Engineering, Monash University, 2001. [7] Warburton, T. C. and G. E. Karniadakis, Spectral simulations of flow past a cylinder close to a freesurface, In Proc. ASME Fluids Engng Div. Summer Meeting, FEDSM97-3389, Vancouver, British Columbia, Canada, 1997. [8] Reichl, P., K. Hourigan and M.C. Thompson, Flow past a cylinder close to a free surface, Journal of Fluid Mechanics 533 (2005): 269 296. [9] Mehrabadi, A., Numerical Simulation of 2D cylinder oscillation beneath a free surface, PhD thesis, Department of Mechanical Engineering, Tarbiat Modares University, 2011. لزجت سینماتیکی آب ( -1 s )m 2 μ ρ α υ Please cite this article using: براى ارجاع به این مقاله از عبارت زیر استفاده کنید: S. M. Hosseinalipoor and N. Haji Ghafoori Boukani, Numerical Investigation of Flow Past a Circular Cylinder Beneath a Free Surface with Volume of Fluid Method, Amirkabir J. Mech. Eng., 49(1) (2017) 11-18. DOI: 10.22060/mej.2016.751 17