Примена на Matlab за оптимизација на режимите на работа на ЕЕС

6. СОВЕТУВАЊЕ Охрид, 4-6 октомври 2009 Мирко Тодоровски Ристо Ачковски Јовица Вулетиќ Факултет за електротехника и информациски технологии, Скопје Примена на Matlab за оптимизација на режимите на работа на ЕЕС КУСА СОДРЖИНА Во трудот се разгледувани оптимизационите алатки на Matlab наменети за решавање на проблеми зададени во матрична форма коишто се решаваат со линеарно или квадратно програмирање. Со примена на овие алатки е решаван проблемот на економски диспечинг во којшто се одредува оптимална работа на генератори во поглед на минимизација на вкупните трошоци. Потоа, проблемот на оптимални текови на моќност каде на економскиот диспечинг е придодена и преносната мрежа која е моделирана со помош на еднонасочниот модел на мрежата, како и проблемот на одредување на максималната пропусна моќ на дадена преносна мрежа. Примената на наведените алатки за решавање на проблеми во електроенергетските системи е илустирана на соодветно избрани примери во кои има елементарни случаи но и случаи од поголеми вистински или тест системи со што е покажана применливоста на наведените постапки во праксата. Клучни зборови: линеарно и квадратно програмирање, економски диспечинг, оптимални текови на моќност. 1 ВОВЕД Голема област на истражување во ЕЕС е примената на оптимизациони алгоритми при разрешувањето на проблемите на експлоатацијата. Во голема мерка тоа е поврзано со решавање на проблемот на оптимални текови на моќност каде што е потребно да се оптимира специфична функција на цел при што треба да бидат задоволени одредени ограничувања заради функционалните карактеристики на ЕЕС. Во тие ограничувања се вбројуваат, оптоварувања на елементите од мрежата и техничките минимуми и максимуми на генераторите. Во денешно време постојат голем број комерцијални софтверски пакети кои се наменети за решавање на проблемите од областа на оптималните текови на моќност. Но тие, во принцип, се доста скапи и поради тоа не се секогаш достапни на поширок круг инженери или пак се на располагање како верзии со многу ограничени можности. Од тие причини во трудот се разгледува можната примена на Matlab кој наоѓа се поширока примена во електроенергетиката и е широко распространет во инженерските кругови. Во натамошниот текст, ќе биде објаснета примена на Matlab за решавање на три различни проблеми од работењето на ЕЕС користејќи едноставни примери чија цел е запознавање со можностите на алатките на Matlab. C1-7R 1/8

MAKO CIGRE 2009 C1-7R 2/8 2 ОПТИМИЗАЦИЈА ВО MATLAB Иако Matlab во основа е софтверски пакет наменет за решавање на проблеми од линеарната алгебра поврзани со операции со матрици тој во себе содржи и дополнителни пакети кои решаваат и други проблеми практично од сите области на математиката. Еден таков пакет е Optmzaton Toolbox во којшто се вградени алатки за решавање на оптимизациони проблеми. Тие решаваат проблеми со и без ограничувања, како и проблеми со континуирани и дискретни променливи. Од нив тука ќе ги разгледуваме функциите за линеарно и квадратно програмирање. Повеќе детали во врска со употребата на овие и други функции од Matlab може да се видат во [1]. 2.1 Линеарно програмирање Проблемите во кои што се бара минимизација на една линеарна функција од повеќе променливи, при што решението треба да задоволи низа линеарни ограничувања прикажани со помош на равенки или неравенки, се решаваат со помош на линеарното програмирање кое што во Matlab е дадено во функцијата lnprog. Таа е наменета за решавање на следниот математички проблем T mnc x, (1) x при што треба да се задоволени следните ограничувања A x b, (2) Aeq x = beq, (3) lb x ub. (4) Во општ случај функцијата lnprog се повикува на следниот начин [x,fval,extflag] = lnprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub) каде што во листата со аргументи на функцијата се наведени векторите и матриците со кои е дефиниран проблемот зададен со релациите (1)-(4). Како резултат од функцијата lnprog се добиваат променливите x и fval коишто ги содржат оптимални вредности на променливите и вредност на функцијата (1) пресметана со оптималните вредности на променливите. Освен тоа во излезната променлива extflag се сигнализира каков е исходот од решавањето на проблемот. Ако оваа променлива има вредност 1 алгоритамот успеал да најде оптимално решение кое што ги задоволува сите ограничувања. Во спротивно при решавањето имало некој проблем кој не довел до конечно решение на проблемот. За да го прикажемe начинот на примена на функција на lnprog ќе разгледаме два примера. Пример 1. Да се одреди минимумот на функцијата y = 5x1 4 x2 6x3 со следните ограничувања x1 x2 + x3 20, 3x1+ 2x2 + 4x3 42, 3x1+ 2x2 30, x1 0, x2 0, x3 0. Решението на дадениот пример во Matlab е следното C = [-5; -4; -6]; A = [1-1 1; 3 2 4; 3 2 0]; b = [20; 42; 30]; lb = [0; 0; 0]; [x,fval,extflag] = lnprog(c,a,b,[],[],lb) каде што прво сме ги дефинирале векторот C, како и матрицата A и векторот b со кои што се дефинирани ограничувањата од типот (2). Трите долните граници на променливите се сместени во векторот lb, додека векторот ub не е дефиниран затоа што во овој проблем немаме зададени горни граници за промениливите. Исто така, тука не ги користиме матрицата Aeq и векторот beq затоа што нема ограничувања од типот на равенство (3). При повикувањето на функцијата lnprog на местото на променливите Aeq и beq имаме ставено празни матрици [] со што сме и дале до знаење дека немаме ограничувања од типот (3). Освен тоа, за променливата ub исто така можеме да ставиме празна матрица или, пак, воопшто да не ја внесуваме како што е тоа тука направено. Со активирање на програмата го добиваме следниот резултат x 1 = 0, x 2 = 15, x 3 = 15, fval = 78 и extflag = 1. Бидејќи променливата extflag има вредност 1 решението е оптимално и ги задоволува сите ограничувања.

MAKO CIGRE 2009 C1-7R 3/8 Пример 2. Да се одреди минимумот на функцијата y = 5x1 4 x2 6x3 со следните ограничувања x1 x2 + x3 20, 3x1+ 2x2 + 4x3 42, 3x1+ 2x2 30, x1+ x2 = 20, x1 0, x2 0, x 0, x 18. 3 2 Пред да започнеме да го решаваме проблемот треба сите ограничувања да ги напишеме во облик (2) или (3). Од сите нив, ограничувањето 3x1+ 2x2 30 не е напишано во бараниот облик, но тоа лесно можеме да го надминеме со едноставно множење со 1 со што добиваме 3x 2x 30. Во тој случај решението на дадениот пример во Matlab е следното 1 2 C = [-5; -4; -6]; A = [1-1 1; 3 2 4; -3-2 0]; b = [20; 42; -30]; Aeq = [1 1 0]; beq = [20]; lb = [0; 0; 0]; ub = [nf; 18; nf]; [x,fval,extflag] = lnprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub) Решението е доста слично со решението на примерот 1 со тоа што тука сега ги користиме и матрицата Aeq заедно со векторот beq со кои што го дефинираме ограничувањето x1+ x2 = 20. Освен тоа, тука е воведен и векторот ub во кој што го дефинираме ограничувањето од горна страна x2 18. Бидејќи кај другите две променливи нема ограничување од горната страна во тој вектор имаме внесено nf што во Matlab означува бесконечност. Со активирање на програмата го добиваме следниот резултат x 1 = 2, x 2 = 18, x 3 = 0, fval = 82 и extflag = 1. Бидејќи променливата extflag има вредност 1 решението е оптимално и ги задоволува сите ограничувања. 2.2 Квадратно програмирање Често пати може да се најдат проблеми во кои што е потребно се одреди минимумот на една функција од повеќе променливи која што е составена од линеарни и квадратни членови на променливите, како и од членови кои содржат производ од променливите. Покрај тоа постојат и низа линеарни ограничувања прикажани со помош на равенки или неравенки. Ваквите проблеми се решаваат со помош на квадратното програмирање кое што во Matlab е дадено во функцијата quadprog. Таа е наменета за решавање на следниот математички проблем 1 T T mn x C x+ d x, x 2 (5) при што треба да се задоволени следните ограничувања A x b, (6) Aeq x = beq, (7) lb x ub. (8) Во општ случај функцијата quadprog се повикува на следниот начин [x,fval,extflag] = quadprog(c,d,a,b,aeq,beq,lb,ub) каде што во листата со аргументи на функцијата се наведени векторите и матриците со кои е дефиниран проблемот зададен со релациите (5)-(8). Како резултат од функцијата quadprog се добиваат променливите x, fval и extflag коишто имаат исто значење како и кај функцијата lnprog. 2 2 Пример 3. Да се одреди минимумот на функцијата y = 0,01x1 + 0,04x2 + 70x1+ 60x2 со следните ограничувања x1+ x2 = 300, 70 x1 200 и 60 x2 180. Единствената разлика овде, во однос на примерите 1 и 2, е во квадратните членови во функцијата y. За да можеме да ја искористиме функцијата quadprog е потребно изразот 2 2 1 T 0,01x1 + 0,04x2 да го напишеме во матричен облик x C x, при што елементите на 2 матрицата C треба да бидат такви што по извршувањето на матричното множење ќе се добие 2 2 бараниот израз 0,01x + 0,04x. Лесно може да се заклучи дека матрицата C треба да биде 1 2

MAKO CIGRE 2009 C1-7R 4/8 дијагонална и да содржи вредности коишто се два пати поголеми од коефициентите пред квадратните членови во функцијата y. Според тоа решението на дадениот пример во Matlab ќе биде следното C = 2 * [0.01 0; 0 0.07]; d = [70;60]; Aeq = [1 1]; beq = 300; lb = [70;60]; ub = [200;180]; [x,fval,extflag] = quadprog(c,d,[],[],aeq,beq,lb,ub) Со активирање на горните команди го добиваме следниот резултат x 1 = 140, x 2 = 160, fval = 20620 и extflag = 1. Бидејќи променливата extflag има вредност 1 решението е оптимално и ги задоволува сите ограничувања. 3. ОПТИМАЛНА РАБОТА НА ЕЕС СОСТАВЕН ОД ТЕРМОЦЕНТРАЛИ 3.1 Економски диспечинг Разгледуваме ЕЕС во којшто постојат NG генератори поврзани во една точка занемарувајќи ја преносната мрежа при што сите потрошувачи во системот се еквивалентирани со едно оптоварувањ поврзано во истата таа точка. За секој генератор се познати неговата mn минимална моќност PG, максималната моќност PG, како и неговата карактеристика на производни трошоци којашто е дадена во облик на квадратна 2 функција f= a + b PG + c PG. За вака дефинираниот ЕЕС е потребно да се одредат моќностите на сите генератори така што вкупните трошоци за работа на системот да бидат минимални, а истовремено да биде задоволен билансот на моќности, односно сумата на моќностите на сите генератори да биде еднаква со сумата на моќности на сите потрошувачи PP. Според тоа, решението на проблемот ќе го добиме со барање на минимум на фукцијата (9) која што се состои од вкупните трошоци на сите генератори, при што променливи ќе бидат моќностите на генераторите 2 ( ) NG NG = 1 = 1, (9) mn F = f = a + b PG + c PG при што треба да биде задоволено ограничувањето за билансот на моќности NG PG = PP, (10) = 1 и техничките ограничувања за моќностите на генераторите mn PG PG PG, = 1, 2, NG. (11) Наведениот проблем можеме да го решиме со помош на квадратното програмирање при што, имајќи ги предвид релациите (5)-(8), важат следните релации C = 2. dag(c), d = b, beq = PP, Aeq = 1 1 L 1, lb = PG mn, ub = PG. Во нив со a, b и c се означени векторите кои што ги [ ] содржат коефициентите од кривите на трошоците на генераторите, а со PG mn и PG се означени векторите коишто ги содржат минималните и максималните моќности на генераторите. Ознаката dag(c) се користи за формирање на дијагонална матрица од елементи на даден вектор и таа постои под истото име во Matlab. Матрицата Aeq има само една редица која се состои од NG единици, таа во Matlab може да се добие со помош на командата Aeq = ones(1, NG). Пример 4. Во табелата 1 се дадени податоци за карактеристиките на генераторите во еден ЕЕС којшто се состои од 2 генератора. Моќноста на сите потрошувачи во системот изнесува PP = 90 MW. Да се одредат моќностите на генераторите така што вкупните трошоци во системот да бидат минимални и да се пресметаат трошоците.

MAKO CIGRE 2009 C1-7R 5/8 Табела 1 Карактеристики на генераторите Генератор PG mn (MW) PG (MW) a ( /h) b ( /MWh) c ( /MW 2 h) 1 30 110 100 15 0,12 2 30 110 100 20 0,10 Решението во Matlab е дадено со следните команди a = [100; 100]; b = [15; 20]; c = [0.12; 0.1]; PGmn = [30; 30]; PG = [110;110]; [PG,F,extflag] = quadprog(2*dag(c),b,[],[],ones(1,2),90,pgmn,pg) F = F + sum(a) каде во првиот ред се внесени податоците за генераторите, т.е. се дефинирани сите потребни матрици и вектори, а самото решение се добива со наредбата од вториот ред. На крајот на вкупните трошоци се додава збирот од елементите на векторот a затоа дефиницијата на функцијата на цел според (5) не ги зема предвид слободните членови од кривите на трошоците на генераторите. Резултатот во овој случај е PG 1 = 52,27 MW и PG 2 = 37,73 MW, при што вкупните трошоци во системот изнесуваат 2208,86 /h. Наведената постапка за решавање на проблемот на економски диспечинг ќе биде иста и за систем со произволен број генератори со тоа што матриците и векторите ќе бидат поголеми, т.е. делот со влезните податоци ќе биде пообемен, додека решението повторно ќе се добива со последните две команди кои се доста едноставни. 3.2 Оптимални текови на моќност Во проблемот на економски диспечинг беше претпоставено дека сите генератори и потрошувачи во даден ЕЕС се поврзани во една точка, со што беше занемарено постоењето на преносната мрежа. Тоа е состојба која што не одговара на реалноста и чие уважување може да доведе до сосема поинакво оптимално решение. Преносната мрежа е битна заради нејзините ограничени можости за пренос на активна моќност што во некои случаи може да биде проблем во функционирањето на системот којшто, пак, како што ќе видиме понатаму, доведува до зголемени трошоци за работа на системот. Секако, во преносната мрежа постојат и загуби на активна моќност но тие се од редот на неколку проценти и се занемарливи. Освен тоа нивниот удел во вкупното решение е доста помал од точноста со која што се познаваат други далеку поважни параметри како што се на пример коефициентите од кривите на трошоци на генераторите и моќностите на потрошувачите коишто се прогнозирани величини. Поради тоа, тука преносната мрежа ќе биде претставена со еднонасочниот модел во којшто не постојат загуби на моќност но на задоволително точен начин се земени предвид ограничувањата во преносните капацитети на елементите на мрежата. Со примена на еднонасочниот модел на мрежата може да се покаже дека активните моќности во гранките се директно пропорционални на моќностите на генераторите, при што пропорционалноста е дадена со матрицатата H која што е правоаголна. Бројот на редици во неа изнесува M и еднаков со бројот на гранки во мрежата, додека бројот на колони е еднаков со бројот на генератори NG [1], [2]. Според тоа моќностите во гранките можеме да ги пресметаме на следниот начин PGR = H PG, (12) каде што PGR е вектор којшто ги содржи моќностите во гранките, а PG е вектор којшто ги содржи моќностите на генераторите. При дефинирањето на проблемот на оптимални текови на моќност поаѓаме од дефиницијата на проблемот на економски диспечинг дадена со (9)-(11) и ги додаваме ограничувањата за максималните моќности на гранките PGR PGR, = 1, 2, M. (13)

MAKO CIGRE 2009 C1-7R 6/8 Во релацијата (13) е земена апсолутна вредност на моќноста во гранките затоа што тековите на моќност во некои гранки може да имаат спротивни насоки од референтните, односно да бидат негативни. На таков начин всушност е поставено ограничување за моќноста во гранката во интервалот PGR, PGR, па според тоа релација (13) може да се раздвои на следните две релации PGR PGR PGR, = 1, 2, M, (14) PGR, односно PGR PGR, = 1, 2, M. (15) Користејќи ја релацијата (12), која што ја дава зависноста на моќностите на гранките од моќностите на генераторите, релациите (14) и (15) можеме да ги напишеме во матрична форма на следниот начин H PGR PG, (16) H PGR што претставува само поинаква форма на ограничувањето (13) и е напишано на начин кој е погоден за примена кај функцијата quadprog како што е тоа дадено со (6). Пример 5. Во системот од примерот 4 додаваме преносна мрежа како на сликата 1. Мрежата се состои од надземни водови со исти карактеристики x = 0,4 Ω/km и PGR = 50 MW. Нивните должини се прикажани на сликата. За преносната мрежа е позната матрицата 0,25 0,333 H = 0,25 0,667, 0,75 0,333 при што редиците во неа се однесуваат на гранките од мрежата дадени по следниот редослед 2-1, 2-3 и 1-3. Потребно е да се одредат оптималните вредности на моќностите на генераторите така што вкупните трошоци за работа да бидат минимални и да бидат исполнети сите ограничувања во системот. Слика 1 Едноставен ЕЕС Го разгледуваме ЕЕС од примерот 2.1 којшто е прикажан на сликата 3.1, при што податоците за минималните и максималните моќности на генераторите, како и коефициентите од нивните карактеристики на трошоци се дадени во табелата 3.1. Потребно е да се одредат оптималните вредности на моќностите на генераторите така што вкупните трошоци за работа да бидат минимални и да бидат исполнети сите ограничувања во системот. Решението во Matlab е дадено со следните команди H = [-0.25 1/3; 0.25 2/3; 0.75 1/3]; PGR = [50; 50; 50]; a = [100; 100]; b = [15; 20]; c = [0.12; 0.1]; PGmn = [30; 30]; PG = [110;110]; [PG,F,extflag] = quadprog(2*dag(c),b,[h;-h],[pgr;pgr],ones(1,2),90,pgmn,pg) F = F + sum(a); PGR = H * PG; каде во споредба со примерот 4 имаме две дополнителни матрици H и PGR со коишто е дефинирано ограничувањето (16). Матриците A и b кои се употребени за дефинирање на ова

MAKO CIGRE 2009 C1-7R 7/8 ограничување во облик (6) се [H; -H] и [PGR; PGR]. Резултатот во овој случај е PG 1 = 48 MW и PG 2 = 42 MW, при што вкупните трошоци во системот изнесуваат 2212,88 /h и се поголеми од трошоците од примерот 4. Зголемувањето на трошоците се должи на намалената моќност на генераторот 1, кој има помали производни трошоци, поради ограничувањата поставени од преносната мрежа. Поради тоа е потребно повеќе да се оптоварува поскапиот генератор. Главната причина за неможноста на испорака на поголема моќност од генераторот 1 е гранката 1-2 чија моќност во дадениот режим на работа ја достигнала својата максимална вредност (слика 2). Слика 2 Оптимални текови на моќност 3.2 Максималната пропусна моќ на преносни мрежи Кога во системот, поради испади во мрежата или испади на некои генераторски единици, доаѓа до смалување на производно-преносните капацитети на ЕЕС, се напушта економскиот начин на работа на системот и во таа ситуација се применува модел кој ќе овозможи минимизација на штетите кај потрошувачите поради неиспорачаната моќност. Проблемот на одредување на најголемата моќност што може да им се испорача на потрошувачите во литературата се нарекува Load Supplyng Capablty (LSC) и таа може да се одреди како резултат од оптимизационен проблем којшто се формулира како максимизација на вкупното производство на изворите, при што треба да се уважуваат ограничувањата наметнати од мрежата заради нејзината огранчена пропусна моќ. Според тоа, решавањето на овој оптимизационен проблем се сведува на следната задача на линеарното програмирање NG LSC = PG, (17) = 1 при линеарните ограничувања дадени со (11) и (16). За да ја примениме функцијата lnprog е потрено изразот (17) да го напишеме во обликот (1). Очигледно е дека векторот C во овој случај ќе содржи само елементи еднакви на 1, при што тој при повикувањето на функцијата lnprog треба да биде помножен со 1 затоа што во овој случај решаваме проблем со максимизација. Решението во Matlab е дадено со следните команди H = [-0.25 1/3; 0.25 2/3; 0.75 1/3]; PGR = [50;50;50]; PGmn = [30;30]; PG = [110;110]; [PG,F,extflag] = lnprog(-ones(2,1),[h; -H],[PGR; PGR],[],[],PGmn,PG) PGR = H * PG при што резултатот е PG 1 = 40 MW и PG 2 = 60 MW, што значи дека е LSC = 100 MW. Тоа значи дека со дадената мрежа може да се пренесат најмногу 100 MW иако во генераторите има резерва на моќност до 120 MW. Ограничувачки фактор во овој случај се гранките 2-3 и 1-3 во кои моќноста ја достигнала максималната вредност. 4 АНАЛИЗА НА ГОЛЕМИ СИСТЕМИ Примерите коишто претходно ги разгледувавме беа елементарни со цел да се прикаже начинот на кој одредени проблеми може да бидат решени со помош на Matlab. Истите постапки беа користени и за решавање на разгледуваните проблеми кај значително поголеми ЕЕС чии податоци се преземени од литературата [3]-(систем IEEE-30), [4]-(систем IEEE-118), [5]-( систем RTS-96) и [6] (пет режими на работа на ЕЕС на Полска), но не се тука прикажани заради

MAKO CIGRE 2009 C1-7R 8/8 нивната обемност. Кај овие ЕЕС постојат доста ригорозни ограничувања како кај изворите, така и во мрежата и тие содржат релативно голем број генератори и гранки (78 генератори и 118 гранки во тест системот RTS-96 и 134 генератори и 3514 гранки во системот на Полска). Решението за оптималните текови на моќност за најголемиот систем се добива за околу 10 секунди на компјутер со Intel Core 2 Duo; 2,66 GHz со примена на Matlab R2006. При тоа најголем дел од времето се троши на формирањето на матрицата H и нејзината употреба во ограничувањата. Само за споредба ќе наведеме дека проблемот на економски диспечинг во истиот систем се решава за околу 0,1 секунда. Сето тоа покажува дека со помош на многу едноставни програми може да се решаваат доста сериозни проблеми од оптимизацијата на режимите на работа на ЕЕС. 5 ЗАКЛУЧОК Во трудот е прикажана успешната примена на Matlab за решавање на три проблеми на оптимизација на режимите на работа на ЕЕС. Разгледувани се елементарни случаи, но се решавани и големи системи со податоци од литературата односно реални системи. Прикажани се програми во Matlab за решавање на сите разгледувани проблеми, при што нивната комплексност воопшто не зависи од големината на системите кои се решаваат. Примерите во кои што во трудот како критериум за оптимизација се користи минимумот на производни трошоци во ЕЕС, со сосема мали измени, ќе можат да се применуваат и кај системите со отворен пазар на електрична енергија. Во тој случај ќе треба функциите на трошоци за производство на електрична енергија само да се заменат со функции на понуди за продажба на електрична енергија и практично со истите програми да се добие решение за сосема нов технички проблем. 6 ЛИТЕРАТУРА [1] М. Тодоровски, Примена на MATLAB во електроенергетиката, предавања од магистерските студии на ФЕИТ, Скопје, 2009. Onlne: http://pees.etf.ukm.edu.mk/upatstvo_za_matlab.zp и http://pees.etf.ukm.edu.mk/nterkonekc.zp [2] Р. Ачковски, Прилог кон методите за планирање на развојот на ЕЕС со примена на симулацијата Монте Карло, Докторска дисертација, Скопје, 1989. [3] M. A. Abdo, Envronmental/Economc Power Dspatch Usng Mul-tobjectve Evolutonary Algorthm, IEEE Trans. Power Systems, vol. 18, no. 4, pp. 1529-1537, November 2003. [4] P. Venkatesh, R. Gnanadass and Narayana Prasad Padhy, Comparson and applcaton of evolutonary technques to combned economc emsson dspatch wth lne flow constrants, IEEE Trans. Power Systems, vol. 18, no. 2, pp. 688-697, May 2003. [5] A. G. Bakrtzs, P. N. Bskas, C. E. Zoumas, and V. Petrds, Optmal power flow by enhanced genetc algorthm, IEEE Trans. Power Systems, vol. 17, no. 2, pp. 229-236, May 2002. [6] R. D. Zmmerman and C. E. Murllo-Sánchez, MATPOWER, A MATLAB Power System Smulaton Package, User s Manual, 2007. Onlne: http://www.pserc.cornell.edu/matpower/