Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Επιλογής επόμενα Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Εκδοση 1.0 διαθέσιμη στο σύνδεσμο http://www.math.ucla.edu/ ynm/lectures/g.pdf Σημείωμα αναφοράς Copyright 2015. Γιάννης Μοσχοβάκης.«Θεωρία Συνόλων». Εκδοση: 1.1. Αθήνα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/math24/ Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Οχι Παράγωγα Εργα, Μη Εμπορική Χρήση 4.0[1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο«σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: πουδενπεριλαμβάνειάμεσοήέμμεσοοικονομικόόφελοςαπότηχρήσητουέργου,γιατο διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος(π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Θεωρία Συνόλων Διατήρηση σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων(εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
ý ý ý N º ý º µ º º½º º ℵ 0 ℵ 0 º ý º ý ( Ù )( Ý )( Ð (Ù))[Ù( ) Ý] : N ( Ò)( Ò)[ ( ) (Ò)] [N] º ¹ º ý µ ¹ ℵ 0 º º½ ý ý N º Ü º½º N º º½ Ò ¹ º º¾º º ô ¹ Ò º ½µ : º ½
½ º 3 º½º º ý º Ò ¹ ý º¾ º ý : N ¹ º { (Ò + 1) Ò Ü = (Ò) (Ü) = Ü Ü [N] Ò ¹ [ ] = \ { (0)}º N º º º º ØÖ µ 21 Ì Ù Ú Ì Ù Ì ý ¹½ µ µ Ù Ú Ù Úº º Ì ÒÓ µ Ò Ø Ö Ò µ ÖÓÓصº ý Ù Ü Ì Ù Ô Ö Òص Ù Ü Ù Ü Ð µ Ù Ì º ó Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ Ð µº Ù Ì Ù = {Û Ì Û Ù Ù Û} ¹½µ Ùº Ì Ù = {Û Û Ù} {Ì Ú Ú Ù} ¹¾µ 21 º ý ¹ ³ º ½
º ½ º º º ¹¾µº Ò Ò Ø Ö Ò µ Ì ¹ Ó Ýµ Ì [Ì] = { : N ( Ò)[ (Ò) Ì]} ¹ µ º ¹ º º º Ì = {Ù N ( Ð (Ù) 0)[Ù( 1) Ù( )]} º º º º Ì Ò Ø ÐÝ Ö Ò ¹ Ò µ Ì º º µ º º º ÃĐÓÒ º º ý º ô Ì Ë = {Ù Ì ÌÙ } Ì º Ì = Ì Ë ¹¾µ Ë ( Ù Ë)( Ü Ì)[Ù {Ü} Ë] Ù ËÙ º ý º½ : N Ò (Ò) Ë (Ò + 1) (Ò) Ë Ì º ÃĐÓÒ ¹ º º º º ô Ì Öµ Ì Ì ( [Ì])( Ò)[ (Ò) ] º º þ Ò Ì ÓÖ Ñµº ô Ì º Ì Ì º 0 = {Ù 1 ÙÒ} ½
½ ý º ô 0 0 = {Ù ( Ú Ù)[Ú ]} 0 [Ì] Ò (Ò) (Ò) 0 º ô Ë 0 Ë = {Ú Ì ( Ù 0 )[Ú Ù]} Ë Ì µ 0 0 º Ë 0 Ì º ô Ë ÃĐÓÒ 0 º ÃĐÓÒ ¹ º ½µ ÃĐÓÒ Ì Ü º º = N ³ º ¾µ ø º½ ÃĐÓÒ N Ü º º ý µ º µ º º½¼º º º ½µ E 0 E E 0 º ¾µ µ E ¹ º ý º º Í 0 = ( 0 0 ) Ó ¹ Eº ý E Í 0 ( 0 0 ) Ó ( ) 0 º º½½º º º ¹ + = ( ) ¹ µ ½
º ½ ¹ º + + ¹ µ ý º + À ÖØÓ º + + º ( ) º ℵ 1 = ℵ 0 + ℵ2 = ℵ + 1 ¹ µ º½¾º º µ µ À ¹ À ¹ À 2 ℵ 0 = ℵ 1 À ( ℵ 0 )[2 = + ] ¹ µ º º º½ º º Ø Û ÐÐÓÖ Ö Ò µ ( Ü )[ (Ü) ] º½ º º ½µ º ¾µ ý = ( ) = Ó ( ) º ý º ½µ ô Í = ( ) Ó ¹ µ Ü Í (Ü)º ý : Í (Ü) Ù Ú (Ù) (Ú) (Ù Ú ) Ó Í (Ü) º ¾ Ó Í Íº ¾µ Í = ( ) Î = ( ) µ Í = Ó Î (Ü) Ü º : Î (Ü) = Î (Ü) = º ½
½ ¼ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) º¾º ý ĐÓ Ðº N º ℵ 2 0 = ℵ 0 º º½ º º = ý º ¹ º½¼ º ý Ü (Ü) + (Ü) = 2 (Ü) (Ü) (Ü) = (Ü) ¹ µ ¹ ĐÓ Ð µ º ¾º (Ü 1 Ý 1 ) (Ü 2 Ý 2 ) [max(ü 1 Ý 1 ) max(ü 2 Ý 2 )] ¹ µ [max(ü 1 Ý 1 ) = max(ü 2 Ý 2 ) & Ü 1 Ü 2 ] [max(ü 1 Ý 1 ) = max(ü 2 Ý 2 ) & Ü 1 = Ü 2 & Ý 1 Ý 2 ] maxµ º º º ý º º Û ¹ (Ü Ý) max(ü Ý) = Û ó Ü ¹ Ý (Ü Ý) max(ü Ý) = Û ó Ý ¹ (Ü Ý ) max(ü Ý ) = Û º ô (Ü Ý ) º µ ½ ¼
º ½ ½ ( ) ( ) Ó ¹ ( ) ( ) Ó ( ) Ó ó ( ) ( ) = Ó (( )) = (( )) (( )) º max( ) º ½ = º ý ĐÓ Ð (Ù Ú) ( ) [Ù & Ú ] [Ù & Ú = ] [Ù = & Ú ] (( )) = ( ( ) ( )) ( ( ) { }) ({ } ( )) ¹ µ (( )) ( ) 2 + ( ) 2 ( ) 3 ¾ º max( ) = (Ù Ú) ( ) [Ù & Ú ] [Ù & Ú = ] (( )) = ( ( ) ( )) ( ( ) { }) (( )) º º ý (Ù Ú) ( ) [Ù & Ú ] [Ù & Ú = ] [Ù = & Ú ] º º½ º Ì ÓÖÔØ ÓÒ Ä Û µº ý ¹ 0 + = = max( ) ý º 0 = + = º½ º º µ ( ) Á Á Á Á º ý º ý Á : (( Ü) ( (Ü))) {( Ü) Á & Ü } Á º ô Á = {( Ü) Á & Ü } Á = Á = ½ ½
½ ¾ ¹ º º½ º º Ò (E) E = Ò (E) º ½µ º ¾µ E = º µ E º Ò (E) = ½µ ß µ = Ò (E)º ý º ý º¾½ º½¼ Ä Ø(E ) ( E)[( E)[ ] & = ] Ò (E) = min(e) = Ä Ø(E ) ý ¹ Ä Ø(E )º ý À ÖØÓ º E Í = ( ) Ï = ( E) E Ï º Û = Ü Ï ( E)[ = Ï (Ü)] Ò (E) = Ï (Û) Ò (E) º º½ º º º º¾¼º º ÙÔ (E) E ¹ = ÙÔ (E) º ½µ º ¾µ E º µ ý E º ÙÔ (E) = ½µ ß µ = ÙÔ (E)º ½ ¾
º ½ ý º ô = ( E) À ÖØÓ ¹ E À ÖØÓ º E Eº ÙÔ (E) = Ò ({ ( E)[ ]}) º º¾½º Ü º½ µ 2 = 2 º º¾½º ÃĐÓÒ º µ ( ) ( ) Á ( Á)[ ] Á Á ¹½¼µ ( ) ( ) ( Á)[ ] Á Á ¹½½µ ý º ý : ¹ : Á Á ( ) \ [ ]º { (Ü) Ü (Ü ) = ( ) Ü (Ü) = ( (Ü )) ý Ü Ý Ü Ý (Ü)( ) = (Ü) (Ý) = (Ý)( ) (Ü) (Ý)º ý Ü Ý Ü Ý ó (Ü)( ) = (Ü) [ ] (Ý)( ) = ( ) \ [ ] (Ü) (Ý)º : Á Á Á Á : Á Á º (Ü) = (Ü)( ) (Ü ) ½
½ µ ó ( ) \ [ ] ( Á) ý Á Ü (Ü) = ó ( ) = (Ü)( ) = (Ü) [ ] º ¹½½µ ¹½¼µ = { } = º º¾¾º º µ ÃĐÓÒ Á = = { } = 2 = { } 2 = 2 ÒØÓÖº ÃĐÓÒ c ℵ 0 º cº º¾ º º Ó Ò Ð Øݵ ( ) = Ò ({Á ( à ) Á ( Á)[à ] & = Á à }) Ò = { } ¹½¾µ Ò ¹ ½µ ( ) º ¾µ = ( ) à ( ( ))[à ]º ( à ) µ ý ( )[Ä ] = Ä ( ) º ý ( ) ¹ = º ô Ö ÙÐ Öµ ( ) = Ò ÙÐ Öµº ( ) ý ½
º ½ º ³ º¾ º º ℵ 0 ¹ º º¾ º º µ (2 ) (c) ℵ 0 c cº ý º ý ÃĐÓÒ Ã 2 à 2 = (2 ) = 2 = 2 (2 ) º º¾ º Ä ĐÓ Ð 2 = + ¹ Ü º½ º Ó Ò ÖÑ ÐÓ + c (c) ¹ ℵ 0 c ℵ 1 º º ý ý Ü º½º º½ Áµ ß ÎÁµ ý ý N º Ü º¾º µ º ½µ ý º ¾µ º µ º ³ º Ü º º ÃĐÓÒ º Ì º Ü º º ÃĐÓÒ º ¹ Áµ ß ÎÁµ ý ý N º ½
½ Ü º º ô Ì Ì º [Ì] ( ) º Ü º º ô : = { & [ ] } ÐÓ ÙÖ µ º ø { Ò } Ò N 0 = Ò+1 = Ò [ Ò Ò ] = Ò N Ò = º Ü º º µ º Ü º º ý N Ü º Ü º º Ü º º À ÖØÓ ( ) ( ) º Ü º½¼º ý (Ò Ò ) Ò N (Ò Ò ) Ò N Ò Ò Ò Ò N Ò Ò N Ò Ò N Ò Ò N Ò Ü º½½º µ ý ( ) Á ( ) Á Á Á Á Á Á Á Ü º½¾º µ ( ) Á Á = Á º Ü º½ º Â( ) = Á {( ) Á & Â( )} Ü º½ º µ ÙÔ E º¾¼º Ü º½ º µ ( ) Á Á = max( Á ÙÔ { Á}) ½
º ½ Ü º½ º ( ) = Ò ( {Á ( à ) Á ( Á)[ à à = ] & ( Á)[à ] Ü º½ º µ & = Á à } ) ( ) = Ò ( {Á ( ) Á º Ü º½ º ( Á)[ ] & = Á } ) Ü º½ º ( ( )) = ( ) ( ) º Ü º½ º µ + º º Ü º½ º Ü º¾¼º µ ( ) º Ü º¾½º µ È ¹ Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒµ È Ü Ý Ü Ýº ¹ º È È È ó È ¹ º ø Ë Ë È Ë µ È È º Ü º¾¾º ý (È È ) ¹ Ë È ½µ Ë Ü Ë Ý Ü È Ýº ¾µ Ý Ý Ë Ý Ë Ý = ÙÔ Ý º ˺ Ϻ ÐÐ Òµº ½
½ Ë ¹ ¹ Ë º ô Ë : Ë Ë Ë Ü Ý Ë Ü Ý È (Ü Ý)º Ü Ë Ü = (Ü) Ü º º ÙÔ Ü Ü Ë = { ÙÔ Ü Ü Ë} È ½µ ¾µ ˺ Ü º¾ º µ È ½µ È º ¾µ È º µ È º µ ô ÔÓµº Ü º¾ º µ ô : È É º ( ÙÔ Ë) = ÙÔ [Ë] ¹½ µ Ë È ¹½ µ Ë È º Ü º¾ º : ( ) ( Å) Ü º¾ ź Ü º¾ º µ þ º Î ô I I ( )[ I] I µº Ü º¾ º ô I Ü º¾ Î ó µ I º Ü º¾ º µ ý ¹ º º º Ü º¾ Ü º¾ º ½
º ½ Ü º¾ º µ ý ¹ º º ¹ ³ º A = { Ã} ¹½ µ 1 2 1 2 à à º A ¹½ µ º à ¹ à = ú ý A ¹½ µ A = { Ã} ¹½ µ à ú Ü º ¼º µ º º ý ¹ º º º ½