מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב כפל מטריצות דיסטריבוטיבית מכפלת מטריצות בסקלר אסוציאטיביות המטריצה המשוחלפת מטריצה סימטרית מטריצה סימטרית חזקה במטריצות מטריצות הפיכות תהי מטריצה ריבועית מסדר. כל אחת מהטענות שלהלן היא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות של. א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. ט. י. יא. היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. שקולת שורות ל- I קיימת מטריצה רגולרית C כך ש-.CI צורת המדרגות הקנונית של היא I.. x לכל וקטור עמודה b מסדר, קיים פתרון יחיד למשוואה b. x לכל וקטור עמודה b מסדר, קיים פתרון למשוואה b למשוואה x0 יש רק פתרון טריויאלי. העמודות של, כוקטורים ב-, R הן בלתי תלויות לינארית. השורות של, כוקטורים ב-, R הן בלתי תלויות לינארית. העמודות של, כוקטורים ב-, R פורשות את. R השורות של, כוקטורים ב-, R פורשות את. R נקודות למחשבה: אם הדטרמיננטה שונה מאפס המטריצה הפיכה. שני מטריצות שהכפל שלהם נותן את מטריצה היחידה הפיכות. מטריצה שמורכבת מכפל מטריצות והיא הפיכה אז גם המטריצות הפיכות. - -
C C + λ λ λ 0 i I dj dj dji ii dj חילופיות דטרמיננטות תהי מטריצה ריבועית ותהי C מטריצה המתקבלת מ- ע"י החלפה של שתי עמודות או שורות זו בזו. תהי ו- מטריצות ריבועיות הנבדלות זן מזו רק בשורה אחת, השורה ה- i. תהי C מטריצה אשר שורתה ה- i היא סכום השורות ה- i של ושל ושאר שורותיה שוות לאלו של (או של תהי מטריצה ריבועית ותהי מטריצה המתקבלת מ- ע"י כפל שורה או עמודה של בסקלר. אם במטריצה ריבועית יש שורת או עמודת אפסים, לא הפיכה. תהי מטריצה ריבועית ותהי מטריצה המטקבלת מ- ע"י הוספת כפולה של שורה / עמודה כלשהי לשורה / עמודה אחרת לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר, ו- תהיינה ו- מטריצות המקיימות אז ו- שתיהן הפיכות וכל אחת מהן היא ההפכית של האחרת. אם הפיכה אז לכל מטריצה, אם לא הפיכה שווה אפס לכל מטריצה הפיכה וקטורים + w ( + w, + w, + w 2 2 3 3 w ( w, w, w 2 2 3 3 kw ( kw, kw, kw 2 3 2 2 2 2 3 + + w w+ 2 w 2+ 3 w 3 חיבור חיסור כפל בסקלר אורך וקטור מכפלה סקלרית בין שני וקטורים cosα w w נוסחאת הזווית בין שני וקטורים. אם הוקטורים נצבים הזווית שווה לאפס. u proj u 2 היטל אורתוגנולי של u בכיוון - 2 -
proj u u אורך ההיטל של u בכיוון u w u u u u u u 2 3 3 2,, w w w w w w 2 3 3 2 u w ui wisiφ i( u w מכפלה וקטורית בין שני וקטורים, נורמל למישור שמקביל לשני הוקטורים. הגודל של מכפלה וקטורית בין שני וקטורים. נפח מקבילון, אם הנפח שווה אפס אז הוקטורים לא על אותו מישור. נקרודות, ישריים, מישורים ומרחקים d ( p p ( x x, y y, z z 2 2 2 2 ( x x + ( y y + ( z z d 2 2 2 2 2 2 x + by c 0 0 + b 2 2 ( x x + b( y y0 + c( z z0 0 x + by+ cz d X x + x, Y y + y, Z z + z 0 0 0 0 מרחק בין שני נקודות מרחק בין נקודה לישר הגדרת מישור ע"י נקודה ווקטור משוואת המישור הכללית, כאשר,b,c לא כולם אפס. הצגה פרמטרית של ישר העובר דרך נקודה z P( x, y, ומקביל לווקטור 0 0 0 ( x, y, z D x + by + cz d 0 0 0 + b + c 2 2 2 המרחק בין נקודה z0 P( x0, y0, למישור - 3 -
הגדרת מרחב לינארי נניח ש- V הוא קבוצה לא ריקה של איברים, שייקראו וקטורים. ונניח שעל V מוגדרת שתי פעולות: חיבור בין וקטורים כפל וקטור בסקלר d,c סקלרים מתקיים:,u ולכל, w V ייקרא מרחב לינארי אם מתקיימות התכונות הבאות לכל V חיבור:..2.3.4.5 כפל:..2 u+ V.3 סגירות - ( u+ + w u+ ( + w V קיבוציות, אסוצייטיביות - u+ + u V חילופיות, קומטטיביות - u+ 0 0+ u u V וקטור אפס - u+ ( u ( u + u 0 u V איבר נגדי - cu V סגירות פילוג, דיסטריבוטיביות c ( u+ cu+ c. ( c + d u cu+ du.b u u 0 u V זהות - הגדרת תת מרחב לינארי נניח ש- W הוא תת מרחב של V. מספיק לבדוק ש- W מקיים שלושה תנאים כדי לוודא שהוא אכן תת מרחב. α +u W סגירות כפל בסקלר וחיבור.. קיום איבר אפס. 2. אם ניתן להגדיר קבוצת וקטורים שפורסת את W אז W תת מרחב. - 4 -
צירופים לינארים w V וקטור.V קבוצת וקטורים מ- {, 2, 3... יהי V מרחב לינארי { לניארי של קבוצה אם קיימים סקלרים נקרא צירוף w i c i i... c c c, כך ש-, 2 3 c את קבוצת כל הצירופים הלינארים של איברי נסמן.Spm( V. Spm( אם V פורשת את נאמר ש- V. תת מרחב של Spm( c c2 c3... c נובע 0 כלומר אם i קבוצה בלתי תלויה: c i i קבוצה בלתי תלויה לינארית אם מהשיווין 0 לא ניתן להציג את 0 כצירוף לינארי לא טריוויאלי של איברי. i c i i 0, 2 3 c קבוצה תלויה: קבוצה תלויה לינארית אם קיימים סקלרים... c c c, שלא כולם אפס כך ש- כלומר אם ניתן להציג 0 כצירוף לינארי לא טריוויאלי של איברי. משפטים:. וקטור שהוא צירוף לינארי של הוקטורים האחרים ב- תלויה אם ורק אם קיים ב- ב - R כל קבוצה בעלת יותר מ- וקטורים היא תלויה לינארית. {,,... } 2 3 בסיס: נניח ש- V הוא מרחב לינארי. אם:. בלתי תלויה..V פורשת את.2 כך ש- חלקית ל- V, נאמר ש- היא בסיס של V. dimv מימד: אם ל- V יש בסיס שיש בו וקטורים, אומרים ש- V הוא ממימד, ורושמים דוגמאות: dim R, dim P +, dim M mx mx.[ ] ( c, c, c... c 2 3 וקטור הקורדינטות: {, 2, 3... וקטור הקורדינטות של ביחס לבסיס }.[ x] E x הבסיס הסטנדרטי אז E כאשר, x לכל R הוא - 5 -
בסיסים ומימד k + וקטורים במרחב לינארי V. נסמן: ו- } {,,... k+ 2 3 k+ k+ Spm( k משפטים:, 2, 3... k+ נתונים {,,... } k 2 3 k א. אם אם ב. בלתי תלוי לינארית ו- אז אז בלתי תלוי לינארית.. Spm( k W Spm( ואם Spm( k+ k+ k+ W k נתון. dim(v כל קבוצה של וקטורים בת"ל ב- V היא בסיס של V. א. כל קבוצה של וקטורים שפורשת את V היא בסיס של V. ב. מכל קבוצה פורשת אפשר לקבל בסיס ע"י זריקת וקטור מתוך הקבוצה. ומכל קבוצה ג. בת"ל אפשר לקבל בסיס ע"י הוספת וקטורים לקבוצה. נתון ש- V מרחב לינארי ממימד סופי, W תת מרחב של V. dim(v dim(w א. dim(w dim(v WV ב. מרחב השורות, מרחב העמודות ומרחב האפס של מטריצה משפטים:. קונסיסטנטית אם ורק אם שייך למרחב העמודות של x b הפתרון הכללי של ההומגנית + פתרון פרטי של האי הומגנית פתרון הכללי של האי-הומגנית. נתון ש-, שקולות שורות אז: א. קבוצת העמודות של היא בת"ל אם ורק אם קבוצת העמודות המתאימה של היא בת"ל. ב. קבוצת העמודות של היא בסיס של מרחב העמודות של אם ורק אם קבוצת העמודות המתאימה של היא בסיס של מרחב העמודות של. נתון M מטריצה מדרגות: השורות שיש בהן איבר פותח יוצרות בסיס למרחב השורות של M. א. העמודות שיש בהן איבר פותח יוצרות בסיס למרחב העמודות של M. ב. Rk( + ulliy( Rk( Rk( b x b T Rk( Rk( Rk( Rk( Rk( Rk( M M xp mx נתון: אז - 6 -
חיתוך, סבום וסכום ישר של תת-מרחבים dim( U+ W dimu + dimw dim( U W dim( V dim( U W dimu + dimw V U W אם W U, תת-מרחבים של V, אז- U+W תת-מרחב של V.. V U W קיימת הצגה יחידה בסכום V אז לכל V U W טרנספורמציה לינאריות T : V נקראת טרנספורמציה לינארית אם היא נתון V W, מרחבים לינארים, הפונקציה W מקיימת: א. לכל T ( u+ Tu+ T u, V לכל ב. T ( k kt k R, V m T : R R T x נתון מטריצה מסדר, mx המשוואה הנ"ל מגדירה טרנ"ס x נתון T : U V d S : V W אז ST היא גם טרנ"ס. T : V W ker Im T { V T 0} T { T V} - 7 -