Ο1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Διάθλαση μέσω πρίσματος - Φασματοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσματος. 1. Σκοπός Όταν δέσμη λευκού φωτός προσπέσει σε ένα πρίσμα τότε κάθε μήκος κύματος διαθλάται σύμφωνα με τον αντίστοιχο δείκτη διάθλασης του υλικού του πρίσματος για το συγκεκριμένο μήκος κύματος. Στην βασική αυτή αρχή στηρίζεται η λειτουργία του πρίσματος διάθλασης που μελετά από θεωρητική άποψη, και η συγκεκριμένη άσκηση. Αναλυτικά στην άσκηση γίνεται διεξοδική αναφορά στην θέση ελάχιστης εκτροπής και στην αξιοποίηση της θέσης αυτής προκειμένου να υπολογιστεί ο απόλυτος δείκτης διάθλασης του πρίσματος. Επίσης ορίζονται τα φασματοσκοπικά χαρακτηριστικά ενός οπτικού πρίσματος όπως: η προκαλούμενη κάθε φορά μεγέθυνση, η γωνιακή διασπορά αλλά και ο χρωματικός διαχωρισμός.. Θεωρία Πρίσμα ονομάζουμε κάθε διαφανές, ομογενές και ισότροπο οπτικό μέσο που περιορίζεται από δυο επίπεδες, διαθλαστικές επιφάνειες οι οποίες σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία Α (θλαστική γωνία του πρίσματος. Οι επίπεδες αυτές επιφάνειες καλούνται έδρες του πρίσματος, ενώ κάθε επίπεδο κάθετο στην ακμή του πρίσματος θεωρείται κύρια τομή αυτού. Στο σχήμα 1 που ακολουθεί παρουσιάζεται αναλυτικά η πορεία φωτεινής ακτίνας μονοχρωματικού φωτός που προσπίπτει στο σημείο Η της πρώτης έδρας ενός πρίσματος υπό γωνία α 1 και αναδύεται στο σημείο Θ της άλλης έδρας υπό γωνία α. Η συγκεκριμένη πορεία της φωτεινής ακτίνας θεωρούμε ότι βρίσκεται στο ίδιο ακριβώς επίπεδο μιας κύριας τομής του πρίσματος. Το γεγονός αυτό εξασφαλίζεται από το ότι συμβαίνουν δυο διαδοχικές διαθλάσεις στις περιοχές Η και Θ αντίστοιχα. Το πρίσμα θεωρείται ότι βρίσκεται στο κενό ή στον αέρα όπου (κατά προσέγγιση ο δείκτης διάθλασης είναι ίσος με την μονάδα. Σχήμα 1. Πορεία φωτεινής ακτίνας δια μέσου πρίσματος. Εάν η γωνιακή εκτροπή της δέσμης συμβολίζεται με την γωνία ε για το πρίσμα με δείκτη διάθλασης n, τότε ισχύουν οι εξής σχέσεις: sin α 1 sin δ 1 = n 1 = n, sin δ sin α = 1 n και ακόμη: 1
Α = δ 1 + δ, ε = α 1 + α Α Το ζευγάρι των δυο πρώτων σχέσεων εκφράζει την εφαρμογή του νόμου του Snell στα σημεία Η και Θ, εισόδου και εξόδου αντίστοιχα από το πρίσμα ενώ οι άλλες δυο σχέσεις οφείλουν την ύπαρξή τους στη γεωμετρία των τριγώνων ΗΚΘ και ΘΙΗ. Η θεωρία αποδεικνύει αλλά και το πείραμα επιβεβαιώνει ότι η γωνία εκτροπής ε εξαρτάται από τον δείκτη διάθλασης n του υλικού, την γωνία προσπτώσεως α 1 όπως και την θλαστική γωνία Α του πρίσματος. Μάλιστα η εκτροπή αυτή λαμβάνει την ελάχι στη τιμή της όταν η γωνία προσπτώσεως είναι ακριβώς ίση με την γωνία αναδύσεως δηλαδή ισχύει: α 1 = α (= α οπότε και: δ 1 = δ (= δ. Οι αρχικές λοιπόν σχέσεις στην θέση ελάχιστης εκτροπής του πρίσματος μετατρέπονται στις εξής: n = sin α sin δ, Α = δ και ε min = Α. Επομένως ο απόλυτος δείκτης διάθλασης n του πρίσματος υπολογίζεται από την αναλυτική σχέση: n = sin (ε min + A sin A Γίνεται λοιπόν φανερό ότι προκειμένου να υπολογιστεί ο δείκτης διάθλασης n ενός πρίσματος θλαστικής γωνίας Α από άγνωστο υλικό αρκεί να προσδιοριστεί πειραματικά η ελάχιστη γωνία εκτροπής..1 Αναλυτικός υπολογισμός της συνάρτησης ε = f(α ι, Α, n Ο υπολογισμός αυτός γίνεται για οπτικό πρίσμα με δείκτη διάθλασης n σε περιβάλλον αέρα. Από τον νόμο του Snell στο σημείο εξόδου Θ έχω: sin δ sin α = 1 n sin α = n sin δ = n sin(a δ 1 = n (sina cosδ 1 sinδ 1 cosa = = n (sina 1 sin δ 1 sinα 1 cosa = n (sina 1 sin α 1 n n sinα 1 cosa n οπότε και: sin α = sina n sin α 1 sinα 1 cosa και έτσι: α = arc sin {sina n sin α 1 sinα 1 cosa} Επειδή μάλιστα ισχύει: ε = α 1 + α Α η γωνία εκτροπής ε υπολογίζεται αναλυτικά από την σχέση: ε = α 1 Α + arc sin{sina n sin α 1 sinα 1 cosa} Πρόκειται δηλαδή για την ζητούμενη αναλυτική σχέση ε = f(α 1, Α, n. Η αντίστοιχη της προηγούμενης σχέσης για πρίσμα από αέρα που όμως τώρα περιβάλλεται από οπτικά πυκνότερο, διαφανές μέσο με δείκτη διάθλασης n όμοια αποδεικνύεται ότι είναι η εξής: ε = Α α 1 arc sin {sina 1 n sin α 1 sinα 1 cosa} Η εφαρμογή της αντίστοιχης αναλυτικής σχέσης όπου το πρίσμα βρίσκεται τώρα σε μέσο οπτικά πυκνότερο δίνει την ευκαιρία προσδιορισμού νέας θέσης ελάχιστης εκτροπής και έτσι
της άμεσης σύγκρισης ανάμεσα στις δυο αυτές περιπτώσεις. Στο σχήμα (α, (β που ακολουθεί παρουσιάζονται ταυτόχρονα και οι δυο περιπτώσεις όμοιων γεωμετρικά πρισμάτων πάντα σε θέσεις ελάχιστης εκτροπής. (α (β Σχήμα. Παρουσιάζονται ταυτόχρονα και οι δυο περιπτώσεις όμοιων γεωμετρικά πρισμάτων σε θέσεις ελάχιστης εκτροπής όταν σχ. (α το πρίσμα περιβάλλεται από οπτικά πυκνότερο μέσον και σχ. (β όταν το πρίσμα περιβάλλεται από οπτικά αραιότερο μέσον. Είναι σαφές ότι στην δεξιά περίπτωση η γωνία εκτροπής είναι σημαντικά μικρότερη από ότι στην αντίστοιχη αριστερή για πρίσμα ίδιας ακριβώς θλαστικής γωνίας Α.. Φασματοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσματος Τα οπτικά πρίσματα χρησιμοποιούνται φασματοσκοπικά για την ανάλυση δέσμης λευκού φωτός η οποία προσπίπτει στην πρώτη τους έδρα. Βέβαια η δέσμη αυτή στην πράξη, δεν είναι μια μαθηματική ευθεία αλλά, ακόμη και στην περίπτωση δέσμης laser, χαρακτηρίζεται κατά την είσοδό της από κάποιο συγκεκριμένο πάχος. Στο σχήμα 3 που ακολουθεί παρουσιάζεται η πορεία μιας μονοχρωματικής δέσμης, σταθερού πάχους w 1, η οποία αφού εκτρέπεται από το πρίσμα τελικά το εγκαταλείπει έχοντας όμως μεταβάλλει το πάχος της σε w. Σχήμα 3. Πορεία μονοχρωματικής δέσμης δια μέσου πρίσματος. Το πηλίκο της δέσμης εξόδου σε σχέση με την δέσμη εισόδου (σε ότι αφορά τα αντίστοιχα πάχη τους ορίζεται ως μεγέθυνση Μ του πρίσματος, δηλαδή είναι: 3
Μ = w w 1 Μάλιστα αποδεικνύεται γεωμετρικά ότι ισχύει: Μ = cosα cosδ 1 cosα 1 cosδ Από το τρίγωνο ΗΚΓ ισχύει: sin(90 α 1 = w 1 ενώ από το τρίγωνο ΚΗΜ ισχύει: L cosδ 1 = x L και άρα x = L cosδ 1 Έτσι η διάσταση του πάχους στην είσοδο είναι ίση με: w 1 = x cosα 1 cosδ 1 Όμοια αποδεικνύεται, για το πάχος εξόδου, ότι ισχύει: w = x cosα cosδ και έτσι η μεγέθυνση Μ δίνεται από την σχέση: Μ = w = cosα cosδ 1 w 1 cosα 1 cosδ Είναι προφανές ότι στην θέση ελάχιστης εκτροπής του πρίσματος όπου ισχύει: α 1 = α και δ 1 = δ = Α η τιμή της μεγέθυνσης γίνεται ακριβώς ίση με την μονάδα. Δηλαδή, η προσπίπτουσα δέσμη όχι μόνο υφίσταται την μικρότερη δυνατή εκτροπή αλλά και διατηρεί σταθερό το πάχος της σε όλη αυτή την διαδικασία. Ένα ιδιαίτερα σημαντικό μέγεθος στην λειτουργία ενός πρίσματος είναι και το πηλίκο dε dλ που ονομάζεται γωνιακός διαχωρισμός (angular dispersion και προσδιορίζει επακριβώς την μεταβολή της γωνιακής εκτροπής σε σχέση με το μήκος λ της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Στην συνέχεια θα αποδειχθεί η σχέση: dε dλ = Α sin 1 n sin Α ( dn dλ Η σχέση αυτή προσδιορίζει τον γωνιακό διαχωρισμό πρίσματος με δείκτη διάθλασης n και θλαστική γωνία Α στην θέση ακριβώς της ελάχιστης εκτροπής ε min. Απόδειξη: Ως γνωστό στη θέση ελάχιστης εκτροπής ισχύει η σχέση: n = sin (ε min + A Παραγωγίζοντας (ως προς εισχύει: dn dε = cos ( ε min + A sin A = 1 n sin ( ε min + A και έτσι dn ε 1 nsin ( min + A dλ = sin A Τελικά λοιπόν: dε dλ = A sin 1 n sin ( ε min + A sin A ( dn dλ. sin A 1 sin ( ε min + A ( dε dλ sin A Στην τελευταία σχέση το πηλίκο ( dn καλείται χρωματικός διαχωρισμός (color dλ dispersion και προσδιορίζει την μεταβολή του δείκτη διάθλασης n σε σχέση με την μεταβολή του μήκους κύματος λ της προσπίπτουσας ακτινοβολίας για ένα δεδομένο υλικό. Σημειώ- = 4
νεται μάλιστα ότι στο μέτρο που, σχεδόν όλα τα συνήθη διαφανή μέσα, ο δείκτης διάθλασής τους n ελαττώνεται με την αύξηση του μήκους κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας το πηλίκο ( dn διαθέτει τιμή με αρνητικό πρόσημο. dλ 3. Μέθοδος Στην άσκηση αυτή γίνεται αναλυτικά ο θεωρητικός υπολογισμός της γωνίας εκτροπής ε σε υποθετικό πρίσμα με γνωστά χαρακτηριστικά (θλαστική γωνία Α και δείκτης διάθλασης n. Η μεταβολή της γωνίας προσπτώσεως α 1 κυμαίνεται από 0 έως 90 και υπολογίζεται κάθε φορά η τιμή της εκτροπής ε. Με την χάραξη της καμπύλης ε = f(α 1 προσδιορίζονται γραφικά η ελάχιστη τιμή ε min καθώς και η αντίστοιχη γωνία α 1 που την δημιουργεί. Η προηγούμενη διαδικασία επαναλαμβάνεται και για όμοιο πρίσμα από άλλο όμως υλικό με διαφορετικό δείκτη διάθλασης έτσι ώστε να φανεί η αλλαγή στην θέση της ελάχιστης εκτροπής. Επιλέγονται συγκεκριμένες τιμές της γωνίας προσπτώσεως α 1 (εκατέρωθεν του ελάχιστου και αφού προσδιοριστούν κάθε φορά οι γωνίες δ 1, δ και α υπολογίζεται αναλυτικά η μεγέθυνση Μ που προκαλεί το συγκεκριμένο πρίσμα. 4. Υπολογιστική διαδικασία 1. Θεωρήστε διαφανές, γυάλινο (η = 1.5 πρίσμα, θλαστικής γωνίας Α = 45 που δέχεται μονοχρωματική δέσμη φωτός από συσκευή laser. Η γωνία προσπτώσεως α 1 μεταβάλλεται από 5 έως και 90 και αυτό γίνεται προκειμένου να προσδιοριστεί η θέση ελάχιστης εκτροπής του πρίσματος.. Από την αναλυτική έκφραση ε = f(α 1, Α, n του θεωρητικού μέρους της άσκησης προσδιορίστε κάθε φορά την τιμή της γωνιακής εκτροπής ε για επιλεκτική μεταβολή της γωνίας α 1 από 5 έως και 85. 3. Συμπληρώστε τον πίνακα των υπολογισμών που ακολουθεί για 10 τουλάχιστον διαφορετικές τιμές της γωνίας προσπτώσεως α 1. Στον πίνακα υπολογισμών ισχύουν οι συμβολισμοί: ρ = sina n sin α 1, r = arc sin {sina 1 n sin α 1 sinα 1 cosa} και ε = α 1 Α + r. α 1 sinα 1 sin α 1 n sin α 1 ρ sinα 1 cosa r ε 5 10 0 30 40 50 60 70 80 85 4. Να γίνει η γραφική παράσταση ε = f(α 1 και να χαραχθεί η καλλίτερη δυνατή ομαλή καμπύλη των σημείων. Να υπολογιστεί γραφικά η ελάχιστη τιμή της εκτροπής όπως επίσης και η αντίστοιχη γωνία α 1 για την οποία συμβαίνει αυτό το γεγονός. 5
5. Με δεδομένα τα ε min και Α της προηγούμενης ερώτησης προσδιορίστε τον απόλυτο δείκτη διάθλασης n του υλικού και συγκρίνετε τον με αυτόν που αρχικά είχαμε υποθέσει (π.χ. n = 1.5. 6. Επαναλάβατε τις προηγούμενες εργασίες (από έως και 5 σε κοινή γραφική παράσταση ε = f(α 1, Α, n για ένα νέο πρίσμα. Θεωρήστε ότι το νέο αυτό πρίσμα είναι από υλικό με απόλυτο δείκτη διάθλασης n = 4 ενώ η θλαστική του γωνία 3 παραμένει Α = 45. Πρόκειται δηλαδή για ένα όμοιο γεωμε τρικά πρίσμα φτιαγμένο όχι από γυαλί (η = 1.5 αλλά από νερό. 7. Στην περίπτωση του αρχικού γυάλινου πρίσματος (Α = 45, n = 1.5 και για τις τιμές των 10, 35, 70 της γωνίας πρόσπτωσης α 1 υπολογίστε τις αντίστοιχες γωνίες δ 1, α και δ. Για τον υπολογισμό των γωνιών αυτών αξιοποιείστε τις σχέσεις: δ 1 = arc sin sinα 1 n, δ = 45 δ 1 και α = arc sin(n sinδ. Έτσι, από την σχέση της μεγέθυνσης Μ υπολογίστε κάθε φορά την αντίστοιχη τιμή της. Συμπληρώστε τον πίνακα που ακολουθεί. 5. Θεματολογικές ερωτήσεις κατανόησης 1. Να αποδειχθεί ότι στη θέση ελάχιστης εκτροπής πρίσματος (α 1 = α, δ 1 = δ = Α η σχέση της διακριτικής ικανότητας προσδιορίζεται από την σχέση: λ = [(ΗΘ (ΚΔ] (dn dλ dλ όπου (ΗΘ και (ΚΔ είναι οι παράλληλες διαδρομές των οριακών φωτεινών ακτίνων της δέσμης στο εσωτερικό του πρίσματος (βλ. σχήμα 3 στα φασματοσκοπικά χαρακτηριστικά του πρίσματος. Απόδειξη : α 1 δ 1 δ α cosα cosδ 1 cosα 1 cosδ Μ 10 35 70 Από τη γεωμετρία του σχήματος στη θέση ελάχιστης εκτροπής (Θ.Ε.Ε. ισχύει: (ΗΘ (ΚΔ = L sin Α και ακόμη γωνία (ΓΚΗ = (Α + ε 90 και έτσι: (Α + ε sin (ΓΚΗ = cos = W L όπου: W 1 = W = W Τελικά λοιπόν: (ΗΘ (ΚΔ = W sin Α (Α + ε cos (Α + ε Η σχέση (στη Θ. Ε. Ε. n = sin sin Α dn (Α + ε δίνει: = cos sin Α dε οπότε και (ΗΘ (ΚΔ = W ( dε dn Ακόμη βέβαια η σχέση διακριτικής ικανότητας πρίσματος ικανοποιεί την: 6
dε = λ της γωνίας εκτροπής dε που οφείλεται στην παρουσία διαφορετικού W μήκους κύματος (λ + dλ από το αρχικό λ. Το πρίσμα βρίσκεται στην Θ.Ε.Ε. ενώ W είναι το σταθερό πλάτος της προσπίπτουσας - εξερχόμενης φωτεινής δέσμης, έτσι ισχύει: (ΗΘ (ΚΔ = ( λ dε (dε dn Τελικά δηλαδή: λ = [(ΗΘ (ΚΔ] (dn dλ dλ. Εάν τώρα το σημείο πρόσπτωσης Κ της δέσμης ταυτιστεί με την κορυφή Ο του πρίσματος το δε ευθύγραμμο τμήμα (ΗΘ προσδιορίζει την βάση του Β τότε η προηγούμενη σχέση εύκολα μετατρέπεται στην: λ dλ = Β (dη λ ή ακόμη και: dλ = dλ Β ( dη dλ Δηλαδή το διακριτικό όριο dλ του οπτικού πρίσματος δεν εξαρτάται από την θλαστική γωνία Α του πρίσματος αλλά είναι αντιστρόφως ανάλογο της βάσης Β αυτού. 3. Να υπολογιστεί αναλυτικά το διακριτικό όριο γυάλινου οπτικού πρίσματος από υλικό flint με dη dλ = 1.5 10 4 nm 1 (στα λ = 550 nm και με βάση: Β = 0 mm. Τι ακριβώς σημαίνει η τιμή που μόλις υπολογίστηκε; Μπορεί το συγκεκριμένο πρίσμα να διακρίνει τις δυο D φασματικές γραμμές του νατρίου (Na που χαρακτηρίζονται από μήκη κύματος: λ 1 = 589.0 nm και λ = 589.6 nm 4. Στο σχήμα 4 που ακολουθεί παρουσιάζεται το κοινό, πειραματικό διάγραμ μα ε = f(α 1 γυάλινου πρίσματος (Α = 60 από υλικό flint glass. Κάθε καμπύλη αντιστοιχεί και σε διαφορετικό μήκος κύματος λ προσπίπτουσας φωτεινής, μονοχρωματικής ακτινοβολίας. Η καμπύλη (1 στο κόκκινο, η ( στο πράσινο και η (3 στο μπλε. Σχήμα 4. Εμφανίζεται η εξάρτηση της εκτροπής από την γωνία πρόσπτωσης α 1 για προσπίπτουσες μονοχρωματικές ακτινοβολίες με διαφορετικό μήκος κύματος. Με δεδομένες τις καμπύλες υπολογίστε τον δείκτη διάθλασης n του συγκεκριμένου υλικού για τα τρία διαφορετικά μήκη κύματος. Τι ακριβώς παρατηρείτε ; 7
5. Λεπτά (ή οξέα πρίσματα ονομάζονται αυτά όπου η θλαστική γωνία τους Α είναι αρκετά μικρή (μικρότερη από 4. Σε αυτά τα πρίσματα η εκτροπή ε που προκαλείται, για κάθετη πρόσπτωση στην πρώτη έδρα, δίνεται από την σχέση: ε = (n - 1 A. Να αποδειχθεί η προηγούμενη σχέση των λεπτών πρισμάτων αξιοποιώντας κατάλληλα την γενική σχέση: ε = f(α 1, Α, n και θεωρώντας ότι ισχύει: A sina. 6. Απαραίτητες γνώσεις Φαινόμενο διάθλασης, δείκτης διάθλασης υλικού, λεπτά πρίσματα, θέση ελάχιστης ε- κτροπής, πρίσματα. 8