Strukturgleichungsmodellierung

Strukturgleichungsmodellierung FoV Methodenlehre FSU-Jena Dipl.-Psych. Norman Rose

Strukturgleichungsmodelle mit latenten Variablen Forschungsorientierte Vertiefung - Methodenlehre Dipl.-Psych. Norman Rose

Agenda Modelle mit latenten Variablen Varianzen, Kovarianzen und Erwartungswerte in SEM Modellspezifikation bei Pfadanalysen Varianz-Kovarianzmatrix bei Pfadanalysen Erwartungswertvektoren bei Pfadanalysen Modellspezifikation bei Latenten-Variablen-Modellen Varianz-Kovarianzmatrix bei Latenten-Variablen-Modellen Erwartungswertvektoren bei Latenten-Variablen-Modellen

Modelle mit latenten Variablen Warum latente Variablen? In psychologischen Fragestellungen sind Zusammenhänge, Varianzen,, bzgl. nicht direkt beobachtbarer Konstrukte von Interesse. Korrelationen und Regressionskoeffizienten sind durch Messfehler gemindert! Seine zwei manifeste Testwertvariablen, die messfehlerbehaftet sind, so folgt nach den Definitionen der klassischen Testtheorie: Y1 = τ1+ ε1 Y = τ + ε 2 2 2

Modelle mit latenten Variablen (, ) Kor Y Y Kor 1 2 ( τ, τ ) 1 2 ( 1, 2) Cov( τ1+ ε1, τ2 + ε2) ( 1) ( 2) ( τ1+ ε1) ( τ2 + ε2) Cov( τ1, τ2) ( τ1) + Var ( ε1) Var ( τ2) + Var ( ε2) Cov( τ1, τ2) r( τ ) Var( τ ) Cov Y Y = = Std Y Std Y Std Std 1 2 ( ε ε ) = Cov 1, 2 = 0 Var = Va ( τ1, τ2) Cov( τ1, τ2) ( τ1) ( τ2) ( τ1) + Var ( ε1) ( τ2) + Var ( ε 2) Kor ( τ, τ ) Kor ( Y, Y ) Cov Var Var Var Var 1 2 1 2

Modelle mit latenten Variablen Regressionskoeffizienten und Messfehler: EY Y E 1 2 0 1 2 τ τ = α + α τ = α + α Y * * 1 2 0 1 2 α α 1 * 1 ( τ1, τ2) ( τ ) ( + + ) ( τ ) Var ( ε ) 1 1 1 1 1 ( τ ) Var ( ε ) Cov Y1, Y2 Cov τ1 ε1, τ2 ε2 Cov τ1, τ2 = = = Var Y Var + Var + = Cov Var 1 es folgt: α α * 1 1

Modelle mit latenten Variablen In Strukturgleichungsmodellen mit latenten Variablen wird zwischen dem Messmodell und dem Strukturmodell unterschieden: Messmodell Strukturmodell

Modelle mit latenten Variablen Modellgleichungen: Messmodell: Y = νy +Λ Yη+ ε = ν +Λ ξ + δ In Mplus gibt es keine Variablen ξ, somit entfällt das Messmodell für die latenten exogenen Variablen (nur in LISREL!) Strukturmodell: in LISREL : in Mplus : η= α + Bη+ Γξ + ζ η= α + Bη+ ζ

Modelle mit latenten Variablen Parametermatrizen (grau = nur LISREL): Y = Vektor der manifesten Variablen Y = Vektor der manifesten Variablen ν ν Y Λ Λ Y ε = ( Y η) Vektor der Intercepts der Regressionen E = Vektor der Intercepts der Regressionen E ( ξ ) = Matrix der Regressionskoeff. der Regressionen EY η i j i j ( η) ( ξ ) ( ξ ) = Matrix der Regressionskoeff. der Regressionen E ε = Vektor der Residuen der Regressionen EY δ = Vektor der Residuen der Regressionen E Θ Θ δ = Var.-Kov. -Matrix der Residuen ε = Var.-Kov.-Matrix der Residue nδ i j i j i j

Modelle mit latenten Variablen Parametermatrizen (grau = nur LISREL): η ξ = = Vektor der latenten endogenen Variablen η Vektor der latenten exogenen Variablen ξ ζ= Vektor der Residuen der Regressionen E α = ( ηk η, ξ ) ( η η, ξ ) Vektor der Intercepts der Regressionen E B= Matrix de r Regressionskoeff. ξ η Γ= Matrix der Regressionskoeff. ηm η k Φ = Var.-Kov.-Matrix der exogenen Variablen ξ Ψ = Var.-Kov.-Matrix der Residuen ζ l k k l k k l

Vorläufige Zusammenfassung Strukturgleichungsmodelle mit latenten Variablen sind eine Verbindung von Faktorenanalyse und Pfadanalyse Entsprechend gibt es zwei Modellgleichungen. Eine für das Messmodell ( faktorenanalytischer Anteil ) und eine zweite für das Strukturmodell ( pfadanalytischer Anteil ) Die Strukturgleichungsmodellierung mit latenten Variablen erlaubt die Schätzung von Varianzen, Kovarianzen, Regressionskoeffizienten, etc. von/zwischen messfehlerbereinigten Variablen.

Datengrundlage in SEM Die Parameterschätzung und Modellgeltungkontrolle erfolgt auf der Basis der Varianz-Kovarianzmatrix S der manifesten Variablen, sowie deren Mittelwerte M in der Stichprobe. Stichprobe Population S Schätzer Schätzer Σ M µ

Datengrundlage in SEM Wahre Varianz-Kovarianzmatrix Σ am Bsp. der multiplen Regression: Σ = ( 1) ( 1, 1) Var ( 1) ( 1, 2) ( 1, 2) ( 2) (, ) (, ) (, ) Var Y Cov Y Cov Y Cov Var Cov Y Cov Cov Var 1 3 1 3 2 3 3

Datengrundlage in SEM Aufgrund der Modellgleichung folgt die Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix Σ(θ): Modellgleichung: Y = β + β + β + β + ε Elemente aus Σ(θ): Var Y (, ) (, ) (, ) Cov Y Cov Y Cov Y = β σ + β σ + β σ + β β σ + β β σ + β β σ + σ ε 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 1 2, 1 3, 2 3, 1 2 3 1 2 1 3 2 3 = βσ + βσ + βσ 2 1 1 1 2, 3, 1 1 2 1 3 = βσ + βσ + βσ 2 1 2 1, 2 3, 1 2 2 3 2 = βσ + βσ + βσ 2 1 3 1, 2, 3 1 3 2 3 3 0 1 1 2 2 3 3

Datengrundlage in SEM Wahre Erwartungswertstruktur am Bsp. der multiplen Regression: E ( Y1 ) E( 1 ) E( 2 ) E( 3 ) modellimplizierte Erwartungswertstruktur: + ( 2) + 3 ( 3 ) E( 1) E( 2 ) E ( ) β0 + β1e 1 β2e β E 3

Modellspezifikation Die Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix als auch die modellimplizierte Erwartungswertstruktur ergibt sich aus der Modellspezifikation! Nach der Modellspezifikation kann jedes Element der Varianz-Kovarianzmatrix und des Erwartungswertvektors mit gegebenen und/oder zu schätzenden Modellparametern dargestellt werden! Die Modellspezifikation ist Resultat der Übersetzung inhaltlicher Hypothesen in Regressionsgleichungen und Parameterrestriktionen.

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Beispiel:

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Varianz-Kovarianzmatrix am Beispiel: Σ = ( 1) ( 1, 2) Var ( Y2) ( 1, 3) ( 2, 3) ( 3) (, ) (, ) Cov( Y3, Y4) Cov( Y, ) ( 1) Var Y Var Y Cov Y Y Var Y1 Cov Y Y Cov Y Y Var Y Cov Y1 Y4 Cov Y2 Y4 Var ( Y4) Cov Y1, 1 Cov Y2, 1 Cov Y3, 1 Cov( Y4, 1) Var 1 Cov Y1, 2 Cov Y2, 2 3 2 Cov( Y4, 2) Cov Var (, ) 1 2 2 Die Varianz-Kovarianzmatrix enthält auch bei latenten Variablenmodellen wiederum nur die Varianzen und Kovarianzen der manifesten Variablen und Y!

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Messmodell am Beispiel: Y1 ν Y1 λy1 0 ε1 Y 2 ν Y2 λy2 0 η 1 ε 2 = + + Y ν 0 λ η ε 3 Y3 Y3 2 3 Y4 ν Y4 0 λy4 ε4 1 ν 1 λ1 δ1 ξ1 = 2 ν + + 2 λ 2 δ 2 Strukturmodell am Beispiel: η1 α1 0 0 η1 γ11 ζ1 ξ1 η = 2 α + 2 β21 0 + + η 2 γ 21 ζ 2

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Varianz-Kovarianzmatrix am Beispiel: Elemente aus Σ YY Cov Y, Y = Cov ν + λη+ εν, + λη+ ε 1 2 Y1 Y1 1 1 Y2 Y2 1 2 = λ λ Var η Y1 Y2 1 = λ λ Var α + γ ξ + ζ Y1 Y2 1 11 1 1 2 = λy1λ Y2 γ11var ξ1 + Var ζ1

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Varianz-Kovarianzmatrix am Beispiel: Elemente aus ( 1, 3) = Cov( ν Y1+ λη Y1 1+ εν 1, Y3+ λη Y3 2 + ε3) = λy1λy3cov( η1, η2) = λy1λy3cov( α1+ γ11ξ1+ ζ1, α2 + γ21ξ1+ β21η1+ ζ2) = λy1λ Y3 γ11γ21var ( ξ1 ) + γ11β21cov( ξ1, η1 ) + Var ( ζ2 ) = λ λ γ γ Var ( ξ ) + γ β Cov( ξ, α + γ ξ + ζ ) + Var ( ζ ) Cov Y Y Y1 Y3 11 21 1 11 21 1 1 11 1 1 2 = λ λ Y1 Σ YY ( 2 γ γ + γ ) 11β21 Var ( ξ1 ) + γ11β21var ( ζ1) + Var ( ζ2 ) Y3 11 21

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Varianz-Kovarianzmatrix am Beispiel: Σ = Σ YY ( 1) ( 1, 2) Var ( Y2) ( 1, 3) ( 2, 3) ( 3) (, ) (, ) Cov( Y3, Y4) Cov( Y, ) ( 1) Σ Y Var Y Var Y Cov Y Y Var Y1 Cov Y Y Cov Y Y Var Y Cov Y1 Y4 Cov Y2 Y4 Var ( Y4) Cov Y1, 1 Cov Y2, 1 Cov Y3, 1 Cov( Y4, 1) Var 1 Cov Y1, 2 Cov Y2, 2 3 2 Cov( Y4, 2) Cov Var (, ) 1 2 2 Σ Y Σ

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Varianz-Kovarianzmatrix am Beispiel: Die Gesamte Varianz-Kovarianzmatrix kann als Zusammensetzung mehrerer Varianz-Kovarianzmatrizen dargestellt werden: Σ ΣYY ΣY = ΣY Σ

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix Allgemein: Σ YY = Cov Y Y Y Beachte: (, ) ( νy ΛYη ε, νy ΛYη ε) ( ηη, ) Λ' Y+ Cov( εε, ) -1-1, = Cov + + + + = Λ Cov = ΛYCov I B Γξ + ζ I B Γξ + ζ Λ Y + Θε -1-1 -1-1 = ΛY ( I B) ΓCov( ξξ, ) Γ ( I B) + ( I B) Cov( ζζ, ) ( I B) Λ' Y + Θ -1-1 = ΛY ( I B) ( ΓΦΓ + Ψ) ( I B) Λ' Y+ Θε Cov ηη, = Cov α + Bη+ Γξ+ ζ, α+ Bη+ Γξ + ζ ( I B) -1 ( Γξ ζ),( I B) -1 ( Γξ ζ) = Cov + + ε

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix Allgemein: Σ Y = Cov Y ( Y, ) ( νy ΛYη ε, ν ξ δ) ( ηξ, ) Λ' = Cov + + +Λ + = Λ -1 = ΛYCov I B Γξ + ζ, ξ Λ' -1 = Λ I B ΓΦΛ' Y Cov Σ Y = Σ Y -1 = Λ ΦΓ ( I B) Λ Y

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix Allgemein: Σ = Cov, = Cov ν + Λ ξ + δ, ν + Λ ξ + δ = Λ Cov ξξ, Λ + Cov δδ, = Λ ΦΛ + Θ δ

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix Allgemein: Σ ΣYY ΣY = ΣY Σ Σ -1-1 -1 Λ ( I B) ( ΓΦΓ + Ψ) ( I B) Λ' + Θ Λ ΦΓ ( I B) Λ = -1 ΛY ( I B) ΓΦΛ' Λ ΦΛ + Θδ Y Y ε Y