גירסה 101 2432010 גירסה 100 6122003 תורת הקבוצות מסמך זה הורד מהאתר http://wwwunderwarcoil אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות התוכן של הנושאים המופיעים במסמך עם זאת, המחבר עשה את מירב המאמצים כדי לספק את המידע המדויק והמלא ביותר כל הזכויות שמורות ל Nir dar Email: nir@underwarcoil Home Page: http://wwwunderwarcoil אנא שלחו תיקונים והערות אל המחבר - 1 -
1 תוכן עניינים 2 1 תוכן עניינים 6 2 מושגי יסוד בתורת הקבוצות 6 7 7 7 8 8 9 10 הגדרת קבוצה הקבוצה הריקה גודל של קבוצה גרירה לוגית ואמ"מ שייכות שוויון קבוצות תתי קבוצות דיאגרמת ון 21 22 23 24 25 26 27 28 11 3 פעולות על קבוצות 11 11 12 12 13 14 15 15 17 17 18 18 18 19 19 20 איחוד קבוצות חיתוך קבוצות תכונות של חיתוך ואיחוד קבוצות נכון / לא נכון זרות הדדית הפרש בין קבוצות הפרש סימטרי משלים חוקי דה מורגן חוקי דיסטריבוטיביות חוקי ספיגה איחוד על קבוצות חיתוך על קבוצות תכונות של איחוד וחיתוך על קבוצות חוקי דה מורגן לגבי איחוד וחיתוך על קבוצות קבוצת החזקה 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 312 313 314 315 316-2 -
21 23 23 26 בניה פורמלית לקבוצות הקבוצה האוניברסאלית זוג סדור מכפלה קרטזית 317 318 319 320 28 4 רלציות 28 31 32 הגדרות בסיסיות הרכב רלציות תכונות של יחסים 41 42 43 35 5 פונקציות 35 36 37 39 39 39 40 40 41 44 45 45 46 46 50 50 51 53 54 54 54 55 57 הגדרות שאלות קומבינטוריות הפונקציה ההופכית תכונות של רלציה מעל קבוצה רלציות מיוחדות יחסי סדר יחס שקילות דוגמאות חזקות של רלציה הסגור של רלציה ביחס לתכונה סגור רפלקסיבי סגור סימטרי סגור א-רפלקסיבי סגור טרנזיטיבי רלצית שקילות מחלקת שקילות למה 1 הצגת רלצית שקילות כגרף קבוצת המנה למה 2 למה 3 חלוקה דוגמאות 51 52 53 54 55 551 552 553 56 57 571 572 573 574 58 581 582 583 584 585 586 587 588-3 -
60 6 עוצמות 60 63 64 66 74 74 75 77 78 78 78 83 83 83 83 84 84 הקדמה לעוצמות הגדרה 1 לקבוצה אינסופית הגדרה 2 לקבוצה אינסופית הגדרה לפי תכונה קבוצה בת מניה משפט קנטור הגדרות קבוצות שאינן בנות מניה שיטת הליכסון של קנטור משפט קנטור עוצמת הרצף השערת הרצף עוצמת הרצף משפט קנטור ברנשטיין מוטיבציה ניסוח 1 ניסוח 2 טענה 1 טענה 2 61 62 63 64 65 651 652 653 66 661 662 67 671 672 673 674 675 86 7 קבוצות אינדוקטיביות 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89 90 90 91 סגירות תחת פונקציות הגדרת סגירות תחת פונקציה דוגמא הגדרת סגירות תחת קבוצת פונקציות טענה 1 טענה 2 עיצוב מילים בנאים של קבוצות עקרון הסגירות הגדרת אוסף מילים { a, b} * Σ מילים מעל תכונות של בניית קבוצת הטבעיים קבוצות אינדוקטיביות 71 711 712 713 714 715 72 721 722 723 724 725 726 73-4 -
91 92 93 95 100 101 הגדרת קבוצות מורכבות הגדרה באינדוקציה הוכחת שימושיות ההגדרה סדרת יצירה דוגמת CHNGE משפט הרקורסיה דוגמא מסכמת קבוצת מחרוזות מעל,S T 731 732 733 734 735 736-5 -
2 מושגי יסוד בתורת הקבוצות 21 הגדרת קבוצה קבוצה היא ישות המורכבת מאוסף אלמנטים המכונים איברי הקבוצה אין חשיבות לסדר בין האלמנטים בקבוצה, וכמו כן אין חזרות, כלומר כל אלמנט מופיע פעם אחת לכל היותר האלמנטים של קבוצה לא חייבים להיות מאותו סוג, למשל, חלקם יכולים להיות מספרים וחלקם אותיות כמו כן, אלמנטים של קבוצות יכולים להיות קבוצות בעצמם קבוצה מוגדרת באופן חד ערכי על ידי האלמנטים שבה על מנת להגדיר קבוצה יש להגדיר במפורש אילו אלמנטים נמצאים בקבוצה דוגמאות: = = C= { 1,2,5} } אבג a, 05, { 1,3, {} 1,{ 1,3} { } כיצד ניתן להגדיר קבוצה? מניית איברי הקבוצה בין סוגריים מסולסלות שיטה זו לפעמים איננה מעשית, לדוגמא עבור קבוצת המספרים בין 0 ל- 100000, ולעתים גם איננה אפשרית, לדוגמא, קבוצת המספרים השלמים ניתן לפרט את איברי הקבוצה תוך כדי שימוש ב"" דוגמא: { 1, 2,,100} הגדרת הקבוצה על ידי תכונה (פרדיקט) שמאפיינת את כל איברי הקבוצה ורק אותם דוגמאות: = { X 3 X 10 6 and also X is integer } טבעיים, N { x x 0 and x is integer} N= o o Q m = m, n are integers and also n 0 n Q רציונליים, o - 6 -
22 הקבוצה הריקה קבוצה ריקה היא קבוצה שלא מכילה אלמנטים (מספר איבריה הוא 0) סימונים לקבוצה ריקה: φ,{} הערה חשובה: הקבוצה φ והקבוצה {φ} לא שוות φ שקית ריקה, {φ} שקית בתוך שקית 23 גודל של קבוצה קבוצה היא סופית אם קיים מספר טבעי n כך שמספר איבריה היא קבוצה היא אינסופית אחרת, כלומר כאשר לא קיים n כזה n נשים לב לקבוצה הבאה: } },2 {,0,1 } קבוצה זו בעלת איבר אחד! (קבוצה אחרת) עבור קבוצה סופית, נסמן ב- את מספר איבריה = הגודל שלה φ = 0 { φ} = 1 { X 5 X 20 and also X is integer} = 16 {1,3,{1,3}} = 3 24 גרירה לוגית ואמ"מ תהיינה α ו- β טענות כשמסמנים α β ואומרים " α גורר את β" הכוונה שאם הטענה α מתקיימת אזי גם הטענה βחייבת להתקיים כשמסמנים α β ואומרים " α אמ"מ "β הכוונה היא α β וגם β α שתי הטענות או מתקיימות או לא מתקיימות ביחד - 7 -
25 שייכות אם a איבר בקבוצה, מסמנים a ואומרים "a שייך ל- " אם a אינו איבר ב- מסמנים a ואומרים "a לא שייך ל- " דוגמא = {1,{3},{2,5},{1,{3}}} 3 {3} {2} {1,{3}} φ = {1,{},3,{4,5}} φ 26 שוויון קבוצות שתי קבוצות,S הן שוות אם יש להן בדיוק אותן איברים S a S a S, a באופן פורמלי, השוויון S S = מתקיים אמ"מ לכל - 8 -
27 תתי קבוצות תהיינה ו- קבוצות נקראת תת קבוצה של אמ"מ כל איבר ב- הוא גם איבר ב-, x x כלומר: סימון לתת קבוצה: נאמר כי מוכלת ב-, וכי היא קבוצה חלקית ל- תכונות של הכלה φ 1 לכל קבוצה, (רפלקסיביות) 2 לכל קבוצה, C C אם,,, לכל C וגם אזי (טרנזיטיביות) 3 אם ב- קיים לפחות איבר אחד שאינו שייך ל- אז לא מוכלת ב- ומסמנים טענה לכל 2 קבוצות ו- מתקיים: = אמ"מ וגם הוכחה כיוון :1 נתון = צ"ל: וגם x x וגם x x x x ההגדרה: =עפ"י ומכאן: (הגדרת הכלה) וגם כיוון 2: נתון וגם צ"ל = אותה הוכחה בדיוק בכיוון ההפוך הגדרה - הכלה ממש אבל תת קבוצה אמיתית של אמ"מ מוכלת ממש ב- סימון: - 9 -
28 דיאגרמת ון מסמנים קבוצה על ידי תחום סגור במישור: שתי קבוצות ללא איברים משותפים: שתי קבוצות עם איברים משותפים: : - 10 -
3 פעולות על קבוצות 31 איחוד קבוצות = { X x or x } איחוד שתי קבוצות ו- הוא הקבוצה הבאה: x משמעות המילה "or" בהגדרה הוא x או או שניהם 32 חיתוך קבוצות = { X x and x } חיתוך שתי קבוצות ו- הוא הקבוצה הבאה: קבוצות ללא איברים משותפים נקראות קבוצות זרות מתכונות החיתוך: = φ = φ כפי שנראה בדף הבא, פעולת החיתוך היא קומוטטיבית ואסוציטיבית - 11 -
33 תכונות של חיתוך ואיחוד קבוצות, יהיו קבוצות, אזי: = = גורר כי גורר כי = = ( ) C= ( C) ( ) C= ( C) ( ) = ( ) ( ) C C ( ) = ( ) ( ) C C 1 2 3 4 5 6 7 8 34 נכון / לא נכון = C = C טענה 1 אם אזי הטענה אינה נכונה C = C= φ ונקבל, C וגם שתי קבוצות, = נבחר φ וגם = C = C טענה 2 אם אזי הטענה אינה נכונה = φ = C= = = וגם φ ונקבל וגם נבחר = C φ - 12 -
טענה 3 = C = C = אם C וגם אזי x x C C הטענה נכונה וגם צריך להוכיח הכלה דו כיוונית: C יהי מכיוון שההוכחה תהיה סימטרית מספיק להוכיח כי C X ולפי הנתון על פי הגדרת האיחוד x x ולפי הגדרת החיתוך מתקיים אז סיימנו אחרת x C x C : x אם C על פי הנתון ולכן לפי הגדרת החיתוך מתקיים x C 35 זרות הדדית i j,, 1, 2 n בהינתן אוסף של קבוצות נאמר שהקבוצות זרות הדדית אם לכל מתקיים, כלומר אין אלמנט הנמצא ביותר מקבוצה אחת i j =φ = {2 i, 2i+ 1} i לדוגמא: לכל מספר טבעי i נגדיר את הקבוצה הבאה: ואז יתקיים: = {0,1} = {2,3} 0 1 כל הקבוצות הנ"ל זרות הדדית תרגיל n i= 1 i נתון: = φ האם בהכרח הקבוצות זרות הדדית? { 1,2 }, { 2,3 }, { 3, 4} = = = 1 2 2 תשובה לא בהכרח, למשל: אולם הקבוצות אינן זרות הדדית = φ 1 2 3-13 -
36 הפרש בין קבוצות \ או ויוגדר להיות: תהיינה ו- קבוצות ההפרש בין ל- יסומן באופן הבא: \ = { X x and x b} השרטוטים הבאים מדגימים שלושה זוגות של קבוצות בכל זוג סימנו את הקטע המייצג את ההפרש בין ל- בצבע אפור: דגש: פעולת ההפרש היא איננה פעולה אסוציאטיבית! - 14 -
37 הפרש סימטרי תהינה ו- קבוצות ההפרש הסימטרי של ו- היא הקבוצה: = { x or x but not to and } = - ניתן לכתוב את ההפרש הסימטרי גם בצורה הבאה: 38 משלים נניח כי כל אבריי הקבוצות עליהן מדובר הן תתי קבוצות של קבוצה אוניברסלית U (העולם) U הוא הקבוצה U המשלים של ביחס לקבוצה האוניברסלית סימון למשלים: או c U =N } זוגי ={n n c } אי- זוגי ={n n דוגמא - 15 -
תכונות פעולת המשלים X X C c ( ) = U c = c =φ c קשר בין הפרש למשלים = c נוכיח את הקשר באמצעות טבלת שייכות: - C c x, x T T F F F x, x T F T T T x, x F T F F F x, x F F F T F שיטת השימוש בטבלת השייכות: מקדישים עמודה עבור כל תת ביטוי הנמצא בזהות 1 מקדישים שורה עבור כל מקרי השייכות של האיבר לקבוצות הבסיסיות 2 ממלאים את הטבלה ע"פ הגדרת איחוד, חיתוך, משלים 3 משווים בין העמודות המתאימות לשני צדי הזהות אם העמודות זהות, הזהות נכונה 4-16 -
39 חוקי דה מורגן 1 ( ) C = C c 2 ( ) C = C c נוכיח את חוק 1 על ידי הכלה דו כיוונית צ"ל: ( ( C ) C ) C C c c א ב א c x ( ) x הגדרת הגדרת המשלים x or x x c or x c x c c חיתוך הכיוון השני נעשה בדרך זהה על ידי הפיכת כיוון החצים 3 implies that \( \ ) 4 and = C implies that C \ C \ 5 C \( ) = ( C \ ) ( C \ ) 6 C \( ) = ( C \ ) ( C \ ) 310 חוקי דיסטריבוטיביות 1) 2) ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) - 17 -
311 חוקי ספיגה 1) 2) ( ) = ( ) = את חוקי הספיגה ניתן להוכיח על ידי חוקי דיסטריבוטיביות ( ) ( ) ( ) = = לדוגמא, עבור 1) : 312 איחוד על קבוצות תהי X קבוצה לא ריקה נסמן ב- X את הקבוצה המכילה את כל האלמנטים של כל האלמנטים של X, X y Y כך ש- Y X כלומר y X אמ"מ קיים נקראת האיחוד מעל X X = X = {, אם { אזי האיחוד מעל X יהיה עבור X = φ נגדיר X = φ {,,{ }} = { φ, { φ} } 1 φ { φ} { φ} דוגמאות: {,, } = {, } 2 { } { } 313 חיתוך על קבוצות תהי X קבוצה לא ריקה נסמן ב- X את הקבוצה המכילה את כל האלמנטים שהם אלמנטים של איבר X y Y מתקיים כי Y אמ"מ לכל X מכונה החיתוך על X של X, כלומר, y X X = X = {, אם { אזי החיתוך על X יהיה עבור X = φ החיתוך איננו מוגדר { { }} 1 φ,{ φ }, { φ } 2 { },{, } = φ { } = { } דוגמאות: - 18 -
314 תכונות של איחוד וחיתוך על קבוצות X, Y,, יהיו C קבוצות ו- קבוצות לא ריקות של קבוצות אזי: 1 ( X) ( Y) ( ) ( ) = { X : X, Y} { Y : X, Y} = 2 ( X) ( Y) ( ) ( ) = { X : X, Y} { Y : X, Y} = 315 חוקי דה מורגן לגבי איחוד וחיתוך על קבוצות 1 ( ) = { } C \ X C \ C : X X, Y,, יהיו C קבוצות ו- קבוצות לא ריקות של קבוצות אזי: 2 ( ) = { } C \ X C \ C : X - 19 -
316 קבוצת החזקה היא הקבוצה: P( ) = { } תהא קבוצה קבוצת החזקה של המסומנת על ידי P() או על ידי 2 כלומר P() מכילה (כאיברים) את כל תתי הקבוצות של = { 1,2} ( ) = φ, {} 1,{ 2 },{ 1, 2} P { } דוגמא 2 גודלה של P() עבור קבוצה סופית הינו טענה P( ) = P( ) P( לכל 2 קבוצות ו- מתקיים: ( הוכחה: נראה הכלה דו כיוונית: P( ) P( ) P( א ( P( ) P( ) P( ב ( C P( ) C C and C הגדרת א C P( ) P( ( חיתוך הגדרת C P( ) and C P( ) חזקה ב מתקבל מא' על ידי היפוך כיוון - 20 -
תכונות של קבוצת החזקה X, יהיו קבוצות ותהי קבוצה לא ריקה של קבוצות, אזי: P( ) P( ) גורר כי 1 P( ) P( ) P( ) ( ) ( ) ( ) P P P { P( ) P( P( )) : X} P( X) ( ) { ( ) ( ( )) : } P X P P P X 2 3 4 5 317 בניה פורמלית לקבוצות נציג כעת כיצד מגדירים קבוצות וכיצד יוצרים למעשה את הקבוצות בהן אנו עוסקים הנחה 1: קיימת הקבוצה הריקה אבחנה: הקבוצה הריקה הינה יחידה, הנחה 2: לכל שתי קבוצות, הם האיברים היחידים שלה, כלומר מתקיים קיימת קבוצה C ש- {{ φ} } { φ, { φ} }, נקרא הזוג הלא סדור של C =C { φ, φ} = { φ} {, } כעת ניתן להרכיב קבוצות חדשות: ובעזרתה את הקבוצות: ו-? האם ניתן לקבל את הקבוצה }}} φ { φ,{ φ },{{ כרגע לא, תחת ההנחות הקיימות, הנחה 3: כלל האיחוד: לכל שתי קבוצות קיימת קבוצה שאיבריה הם כל האיברים הנמצאים ב- { } 1,, n C=,, 1 n או ב-, כלומר כרגע, לכל ניתן לקבל את הקבוצה - 21 -
הנחה 4: עקרון התכונה: לכל קבוצה ולכל תכונה ϕ של האיברים ב-, קיימת קבוצה המכילה את איברי את המקיימים את ϕ (ובדיוק אותם) דוגמאות: { }, = a a C נוכל להגדיר את הקבוצה a C תהי הקבוצה ונבחר את התכונה { }, = a a C נוכל להגדיר את הקבוצה a C = C ואז מתקיים תהי הקבוצה ואז מתקיים ונבחר את התכונה = C הנחה 5: כלל החזקה: לכל קבוצה, קיימת קבוצה ( )P המכילה את כל תתי הקבוצות של חשוב לשים לב שזהו איננו מקרה פרטי של הנחה 4, כי מדובר בקבוצה של כל תתי הקבוצות של ולא בקבוצה של איברי דוגמא { } = S S בהנתן קבוצה, הוכיחו שקיימת הקבוצה וגם ב- S ישנם שלושה איברים פתרון: בהינתן קבוצה, על פי הנחה 5, קיימת ( )P נשתמש בעקרון התכונה, עם = 3 S על { ( ) 3} = S P S = הקבוצה ) P( ונקבל: - 22 -
318 הקבוצה האוניברסאלית נשאלת השאלה: האם קיימת קבוצה אוניברסאלית U כך שעבור כל קבוצה, מתקיים כי? U { } U = X U X X 0 נניח שקיימת קבוצה כזו, ונביט בקבוצה הבאה: : U 0 U לפי הגדרת U 0 0 U אזי U 0 0 אם ואנו מקבלים סתירה U ושוב אנו מקבלים סתירה U 0 0 U אזי לפי הגדרה U 0 0 אבל אם מכאן אנו מגיעים למסקנה: לא קיימת קבוצה אוניברסאלית המכילה את כל שאר הקבוצות? { } V ניסיון נוסף להגדיר קבוצה אוניברסאלית: האם קיימת קבוצה אוניברסאלית V כל שעבור כל קבוצה, מתקיים כי { { } } V = X V X X 0 : V 0 נניח שכן, ונביט בקבוצה הבאה: { V } V 0 0 { V } V 0 0 אם אולם אם אזי אזי לפי הגדרת לפי הגדרת וקיבלנו סתירה V 0 ושוב קיבלנו סתירה { V } V 0 0 { V } V 0 0 מסקנה: לא קיימת קבוצה אוניברסאלית כנ"ל 319 זוג סדור נגדיר זוג סדור כשני איברים שהאחד נקבע כראשון והאחר כשני כלומר אנו נותנים חשיבות לסדר של, האיברים בזוג איננו מגבילים את תוכן האיברים יתכן שבזוג סדור האיברים יהיו זהים {, } {, } = { } השוני בין זוג סדור לקבוצה: בקבוצה אין משמעות לסדר: בקבוצה אין משמעות לחזרות:, הגדרה של זוג סדור צריכה לקיים:,, אם אזי =, = אמ"מ, =, - 23 -
הצעה ראשונה להגדרה { { }}, =, נגדיר: {{} {{ }}}, = 1, 2 {{} {{ }}}, = 1, 2 נראה כי ההגדרה אינה מספקת {} 1, { 2} = =, אזי לפי ההגדרה שהצענו {{ 2 }}, {} 1 יהיו כעת נבחר = = ואז יתקיים:,, =, ונקבל אבל הצעה שניה להגדרה, נבנה בעזרת ההנחות את ונראה כי ההגדרה עונה על הדרישות,, טענה: בהינתן ניתן לבנות את {, } {{ },{, } } הוכחה:, ניתן על פי הנחה 2 לבנות את הקבוצה מ- מ- ניתן על פי הנחה 2 לבנות את הקבוצה, =, {{ } { }}, =,, נטען: הזוג עונה על הדרישה, כלומר אמ"מ =, = =, = ונראה הוכחה: כיוון : טריויאלי כיוון : נניח כי, =, {{ },{, } } = { },{, } { } - 24 -
אפשרות אחת: { } { } { } { } = =, =, ' = אפשרות שניה: { } {, } {, } = { } = = (בקבוצה שמכילה את יש איבר אחד) =, = = {, באותו אופן מאחר ו- } } = { = ולכן נקבל ומכאן תכונות נלוות לזוג הסדור לפי ההגדרה שנתנו, = בזוג סדור ישנם לכל היותר שני איברים אם אזי ב- יש איבר אחד,,, שלשה סדורה נגדיר שלשה סדורה בצורה הבאה: a, b, c = a, b, c לפי הגדרה זו, בשלשה הסדורה שני איברים לכל היותר n -יה סדורה באופן דומה ניתן להגדיר n -יה סדורה a1,,a2,,a3 an a, a, a,, a = a, a, a, a 1 2 3 n 1 2 3 n - 25 -
320 מכפלה קרטזית {,, } = a b היא הקבוצה: תהיינה ו- קבוצות המכפלה הקרטזית ל- והשני היא קבוצת כל הזוגות הסדורים בהם האיבר הראשון שייך ל- כלומר שונה מ- פעולה זו איננה קומוטטיבית אם שונה מ- אזי מתכונות המכפלה הקרטזית: (( a, b), c) a, ( b, c) ( ) φ = φ = φ ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) (כי (( ) C) ( C) ( ) 1 2 3 4 : x = עבור קבוצה סופית מתקיים סימון 2 המכפלה הקרטזית תסומן הרחבת ההגדרה עבור n קבוצות,,, n נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהם בצורה הבאה: { } = a, a,, a a, a,, a 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 יהיו הקבוצות - 26 -
סימון n n times המכפלה הקרטזית תסומן ב- טענה {,, } {{{ },{, }}, } = a b a b = a a b a b בהינתן ו-, קיימת הקבוצה הוכחה: { a}, { a} P( ),{ a} P( ) { a, b}, { a, b} P( ) { x, y} P( C) ( ( ) ) P P ( ),{ },{, } P C a x a b y { x, y} נסמן: אנו מחפשים את כלומר: x C, ולכן y C {{ a},{ a, b} } P P( ) ( ) מצאנו היכן נמצאים כל האיברים, וכעת נגדיר אותם:, בהינתן נבנה בעזרת כלל האיחוד את ע ידי הפעלת כלל החזקה נקבל את הקבוצה ( ( ) ) בעזרת כלל הגזירה נגזור מתוך P P האיבר הראשון הוא מ- והאיבר השני הוא מ- את כל הקבוצות שהן זוגות סדורים שבהם טענה ( ) = אזי מתקיים כי:,, יהיו שתי קבוצות לא ריקות - 27 -
4 רלציות 41 הגדרות בסיסיות, יהיו קבוצות תת קבוצה (כלשהי) של תת קבוצה של תת קבוצה של C ל- נקראת רלציה בינארית מ- 1 2 n נקראת רלציה טרנרית נקראת רלציה n -ארית דוגמא ל- : דוגמא לרלציה מ- = { a, b, c} = { 1,2,3, 4} תהי הקבוצה ותהי הקבוצה R= { b,4, c,1, b,1} נציג את הרלציה על ידי גרף (דו צדדי): במקרה הכללי - יתכנו צמתים שאין מהם חצים יוצאים או אין חצים נכנסים אליהם כמו כן יתכנו צמתים שיש להם יותר מחץ אחד נכנס או יוצא מהם - 28 -
ייצוג על ידי מטריצה בינרית / 1 2 3 4 a 0 0 0 0 b 1 0 0 1 c 1 0 0 0 a Rb a, b R אם arb a, b סימון: אם R נסמן נסמן שאלה כמה רלציות קיימות מ- ל- כאשר ו- הינן קבוצות סופיות? x = כמספר תתי הקבוצות של, שכן כל תת קבוצה של היא רלציה מ- ל- מספר תתי הקבוצות הוא 2 הגדרות R תחום של רלציה - תחום של רלציה היא הקבוצה domain(r) כך שמתקיים x }= y קיים xry} כלומר תחום של רלציה הינו קבוצת הצמתים שיש מהן חצים יוצאים לדוגמא: עבור R המוצג בצורה הבאה: - 29 -
מתקיים כי {b domain(r)={a, R טווח של רלציה - טווח של רלציה היא הקבוצה range(r) כך שמתקיים Y b }= x קיים xry} טווח של רלציה הינה קבוצת האיברים ב- שיש אליהם חצים נכנסים R רלציה הופכית - רלציה הופכית של רלציה היא הרלציה מ- ל- הבאה: {,, } 1 R = b a a b R br 1 כלומר: arb c R = R R רלציה משלימה - רלציה משלימה לרלציה היא הרלציה c ar b ar/ b a, b לכל מתקיים: - 30 -
42 הרכב רלציות ( R ורלציה ) ל- מ- R בהינתן רלציה, R S היא הרלציה: כזכור, רלציה מ- ל- היא תת קבוצה של ( S ההרכב של R עם S, המסומן על ידי C ) ל- C מ- S {,,,,, } R S = x z x y R y z S y ={1,2,3,4} ={a,b,c} C={T,F} דוגמא R= { 1,a, 1,b, 3,c } C S= { a,t, b,t, c,t, c,f } { 1,, 3,, 3, } R S = T T F זוג נמצא ב- R S אם קיים מסלול באורך 2 בין איבריו - 31 -
תכונות של פעולת ההרכב R, R C, R C D 1 2 3 המקיימות מתקיים כי: R, R 1 R2, 3 1 אסוציאטיביות: לכל ( R1 R2 ) R3 = R1 ( R2 R3) ( R R 1 1 2 ) = R 1 2 R 1 1, R מתקיים:, R xc 1 2 2 לכל שתי רלציות, הוכחה: ( ) 1 x, z R R 1 2 1 2 הגדרת רלציה הופכית z, הגדרת הרכב R x R y, z, y R, y, x R y, y, z R, x, y R 1 1 1 2 1 2 x, z R R 1 1 2 1 ומכאן 43 תכונות של יחסים a, a ( b, a) R מתקיים, a, מתקיים R ( a, b) רפלקסיביות: לכל סימטריות: אם R 1 2 a= b a, b, b, אנטי סימטריות: אם a R אזי בהכרח 3 b, a, מתקיים R a, b 4 א-סימטריה: אם R a, c R טרנזיטיביות: אם b, a, b, אזי c R 5-32 -
דוגמא :( R ) R נגדיר יחס = { a, b, תהי הקבוצה {c מעל R= { a, b, b, b, c, c, b, c, a, c } a a, a האם היחס רפלקסיבי? לא, כי R אבל b, a R a, b האם היחס סימטרי? לא, כי R אבל c, c b, b a, b, b, האם היחס הוא אנטי סימטרי? כן הזוגות היחידים שמקיימים a R ו- הם לכן היחס הוא אנטי סימטרי c, c b, האם היחס הוא א-סימטרי? לא, כי b ו- נמצאים ביחס האם היחס טרנזיטיבי? כן רפלקסיביות באופן ריק רפלקסיבי, אם φ ו- R אזי בהכרח R φ רפלקסיביות נכונה באופן ריק רק כאשר R ריקה טרנזיטיביות באופן ריק {,,, } =R רלציה זו טרנזיטיבית באופן ריק דוגמא: a b a c דוגמא C, C R= C C,, נתונות הקבוצות C נגדיר יחס R מעל C: = φ, φ, כך שמתקיים φ וגם - 33 -
האם היחס רפלקסיבי? a, b לא, φ ומכאן קיים, φ a ומכאן קיים b מכאן R אם b=a אזי b בסתירה לכך שהחיתוך בין ל- הוא קבוצה ריקה האם היחס סימטרי? b b, a R a, b לא יהי R (קיים כזה) אם אזי בסתירה לנתון האם היחס אנטי סימטרי? כן, באופן ריק b b, a R a, b אם R וגם אזי בסתירה לנתון b, a a, לכן אין זוג איברים b ו- הנמצאים שניהם ביחס האם היחס א-סימטרי? b b, a, נניח בשלילה שגם R a, b כן אם R אזי בסתירה לנתון האם היחס טרנזיטיבי? כן, באופן ריק טענה R= R 1 R יהי R יחס, אזי מתקיים כי סימטרי אמ"מ R הוכחה: נניח כי סימטרי a, b R b, a R a, b R simetric 1 ואז: R= נניח כי 1 R b, a R R= לפי הנתון 1 R b, a 1 R על פי הגדרת 1 R a, b יהי R נובע: ולכן - 34 -
5 פונקציות 51 הגדרות b פונקציה מקבוצה לקבוצה היא רלציה מ- ל- המקיימת: לכל a קיים יחיד כך a, b ש- f סימונים (עבור פונקציות) f : נסמן כ: f x f ( a) = b נסמן כ: a, b f הגדרה f ( x) f ( y) x y x, y f : פונקציה נקראת חד חד ערכית אם לכל מתקיים: סימון 11: f : - 35 -
הגדרה f ( a) = b a b f : פונקציה נקראת על אם לכל איבר קיים כך ש- הגדרה f : פונקציה שהיא גם 1:1 וגם על נקראת התאמה חח"ע במקרה זה, הגודל של ושל הוא זהה 52 שאלות קומבינטוריות נתונות ו- קבוצות סופיות 1 מהן מספר הפונקציות מ- ל- שהן התאמות חח"ע? 0! = 2 כמה פונקציות 1:1 יש מ- ל-? ( 0!! )! < = > 3 כמה פונקציות יש מ- ל-? - 36 -
4 כמה פונקציות יש מ- ל- שהן על? i = 0 0! i ( 1) i ( i) > = < 53 הפונקציה ההופכית f 1 f :, יהיו קבוצות, ותהי פונקציה הרלציה ההופכית היא לא בהכרח פונקציה f 1 היא פונקציה, היא תיקרא הפונקציה ההופכית נשאל מתי היא פונקציה 1 במקרה ש- f טענה f : תהי f היא פונקציה אמ"מ f 1 הרלציה ההופכית הינה התאמה חח"ע 1 היא פונקציה, אזי גם היא התאמה חח"ע 1 2 במקרה ש- f הוכחה: b, a 1 f a היא פונקציה אמ"מ לכל b קיים יחיד, כך ש- f 1 1 a, b f a מהגדרת הפונקציה ההופכית, נובע כי לכל b קיים יחיד כך ש וזה מתקיים אמ"מ f התאמה חח"ע היא פונקציה ולכן עפ"י 1 היא התאמה חח"ע 1 מתקיים ש f f f = ( f 1 1 ) 2-37 -
טענה = מתקיים,, עבור שתי קבוצות סופיות אמ"מ קיימת התאמה חח"ע בין ל- הגדרה = {1,2,3, 4} R R 1 a 2 = = { 1,1, 1,3, 2, 4 } { 1,1, 2,2, 3,3 } {, } I = x x x : רלציה R מעל קבוצה היא קבוצה של I a זוהי רלצית הזהות ניתן לייצג רלציות בעזרת גרף דו צדדי כמו שכבר ראינו, אולם ניתן לייצג רלציות גם באמצעות גרף את הגרף בונים בצורה הבאה: מציירים צומת יחיד עבור כל איבר ב- יש קשת בין הצומת x לצומת y x, y אם הזוג הסדור R דוגמא R= { 1,1, 1,2, 2,3, 3,4, 4,3 } - 38 -
54 תכונות של רלציה מעל קבוצה a, a 1 רפלקסיביות: לכל, a מתקיים R * לכל צומת בגרף חייבת להיות קשת עצמית * אם זוהי פונקציה, זוהי חייבת להיות פונקצית הזהות b, a, מתקיים R a, b 2 סימטריות: אם R * לכל קשת בגרף יש קשת הפוכה לה a= b a, b, b, אנטי סימטריות: אם a R אזי בהכרח 3 b, a, מתקיים R a, b 4 א-סימטריה: אם R a, c R a, b, b, טרנזיטיביות: אם c R אזי 5 * אם יש מסלול באורך 2 בין 2 צמתים, אזי בהכרח יש גם מסלול ישיר ביניהם 55 רלציות מיוחדות 551 יחסי סדר R יחס R יקרא יחס סדר חלקי אם רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי x, y יחס R יקרא יחס סדר מלא אם הוא יחס סדר חלקי וגם לכל מתקיים,x או y R יחס זה נקרא גם יחס סדר ליניארי y, x R - 39 -
552 יחס שקילות יחס יקרא יחס שקילות אם הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי בהמשך נעמיק עוד ביחסי שקילות 553 דוגמאות נסתכל על הרלציות הבאות מעל R: הרלציה < : לא רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית הרלציה : רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית רלצית סדר חלקי וגם רלצית סדר מלא הרלציה = : רפלקסיבית, סימטרית, טרנזיטיבית רלצית שקילות וגם רלצית סדר חלקי הרלציה הרלציה מעל קבוצות: רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית רלצית סדר חלקי מעל קבוצות: לא רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית טענה 1 הרלציה R סימטרית אמ"מ R=R - 40 -
56 חזקות של רלציה R R 2 תהיי רלציה R מעל קבוצה, נסמן ב- R את כלומר אם קיימת קשת מ- x ל- y x, הזוג z 2 שייך ל- R אם קיים y x, y R, y, כך ש z R כלשהו, ומאותו y אל z במילים אחרות - אם קיימת מסלול באורך 2 בין x ל- z R i i) R R פעמים) R R j = R i+ j i באופן דומה, מסמנים ב R את ההרכב הבא: בגלל תכונת האסוציאטיביות של ההרכב נקבל את המסקנה: i R x, איבר z נמצא בגרף של אם קיים מסלול באורך i שבין x ל- z בגרף של R טענה R 2 R טרנזיטיבית אמ"מ R הוכחה: x, z R x, y R, y, z R x, y, z טרנזיטיבית לכל מתקיים כי R R R x, z R x, z R 2 2 x, z לכל מתקיים כי טענה (ללא הוכחה) S 1 S2 S1 S3 S2 S3 s, s 1 s2, 3 לכל 3 רלציות מתקיים - 41 -
טענה f, g תהיינה הרלציות C b a, c f פעולת ההרכבה מוגדרת כרגיל: g אמ"מ קיים a, b f, b, כך ש- c g f g נטען: אם f, g f g ניתן לראות כי C הינן פונקציות אזי ההרכב הינו פונקציה הוכחה: על מנת להראות שרלציה היא פונקציה עלינו להראות: a, c f g c C a קיום לכל קים כך ש- 1 x = x 1 2 a, x f g, a, x f g 1 2 יחידות אם אזי בהכרח 2 1 a יהי a, b f b היא פונקציה קיים כך ש- f b, c g היא פונקציה קיים c C כך ש- g a, c f על פי הגדרת ההרכב מתקיים g a, c f g c C a לכל קיים כך ש- 2 x1, יהיו x2 a, x f g, a, x f כך ש- g 1 2 f היא פונקציה ולכן: b1, x1 g a, b 1 f b 1 קיים כך ש- וגם b2, x2 g a, b 2 f b 2 קיים כך ש- וגם ( f b = b 1 2 היא פונקציה ולכן (יחידות עבור f x = x 1 2 b, x g, b, היא פונקציה ולכן מכיוון ש- x g נקבל 2 1 g - 42 -
תרגיל ( ) f x, y = x+ y, x y f : R R 2 2 תהי המוגדרת כך: יש לענות האם f היא על והאם היא חח"ע פתרון a, b R 2 יהי a= x+ y, b= x y x, y a, אם b אזי נוכל לכתוב: זוהי מערכת משוואות בעלת פתרון יחיד, שהפתרון לה הינו: a+ b a b x, y =, R 2 2 2 2 R a, מכיוון שניתן להגיע לכל b כרצוננו בתחום הרי שהפונקציה הינה על מכיוון שפתרון מערכת המשוואות הינו יחיד הפונקציה הינה חד חד ערכית תרגיל נתונות פונקציות f : X Y, g : Y Z f g f צ"ל: אם g על וגם הינה חח"ע אזי היא על הוכחה: f ( x) = y x X y Y כדי להוכיח כי f היא על עלינו להראות כי לכל איבר קיים כך שמתקיים יהי y Y ( ( )) ( g f x = z g( y) = z כך ש- z היא פונקציה ולכן קיים Z g f ( x) = z על ולכן קיים x כך שמתקיים X (כלומר ( ), ( ( )) g y = z g f x = z f g g כלומר בינתיים הגענו לכך ש: y Y הראנו בעצם כי קיים איבר =y הינה חח"ע ולכן (x f ( כך ש- = y x) f ( ובכך סיימנו g - 43 -
טענה R i R R R i 1 i 2 2 R 1i, טרנזיטיבית אמ"מ לכל R ( R 2 הוכחה: (באינדוקציה על i) בסיס: 2=i ראינו בטענה הקודמת ) R i= n+ i ונוכיח עבור 1 נניח את נכונות הטענה לכל n n n 1 n 2 2 R R על פי ההנחה מתקיים כי R R R R n + 1 R n יש להוסיף: R n + 1 R n, כלומר n n 1 R R R R R n n 1 על פי ההנחה R ולכן על פי טענה העזר 57 הסגור של רלציה ביחס לתכונה ביחס לתכונה αהיא הרלציה S המקיימת את התנאים S T תהיי R רלציה מעל קבוצה הסגור של R S הבאים: מקיימת את α R S לכל T שמקיימת את α, ו, R T מתקיים 1 2 3 הסגור היא הרלציה הקטנה ביותר שמקיימת את α ומכילה את R לא תמיד קיים סגור עבור תכונה עבור תכונות מסוימות יהיה קיים סגור ועבור אחרות לא סגור ביחס לתכונה מסויימת אם הוא קיים אזי הוא יחיד - 44 -
ס nir@underwarcoil 571 סגור רפלקסיבי דוגמא R= { 1, 2, 2,2, 3,1} { 1,1, 2,2, 3,3, 1, 2, 3, 1} תהי הקבוצה 1,2,3} { = ותהי הרלציה הסגור הרפלקסיבי של הרלציה הינו 1,1, 2, 2, 3,3 נובע מהגדרת רפלקסיביות 1,2, 3,1 נובע מהגדרת הסגור זוהי הקבוצה הקטנה ביותר המקיימת את התנאי R I, I = { a, a a } a a הסגור הרפלקסיבי הוא תמיד סגור של רלציה ביחס לתכונה נתונה היא הרלציה הקטנה ביותר המכילה את הרלציה ומקיימת את התכונה 572 גור סימטרי דוגמא R= { 1,2, 3,3, 3, 4, 4,1} תהי הקבוצה 4} { 1,2,3, = הסגור הסימטרי יהיה ותהי הרלציה מעל { 1, 2, 3,3, 3,4, 4,1, 2,1, 4,3, 1, 4 } {,, } 1 R R = R הסגור הסימטרי הינו תמיד a b b a R - 45 -
573 סגור א-רפלקסיבי x, x R רלציה R תיקרא א-רפלקסיבית אם לכל x מתקיים R= { 1,2, 2,2, 3,1, 3,2 } תהי לדוגמא הרלציה הבאה מעל הקבוצה {1,2,3 { = :, וכל רלציה במקרה זה הסגור לא קיים, כי הסגור חייב להכיל את כל R, ובפרט את הזוג הסדור,2 2 כזו לא מקיימת את תכונת הא-רפלקסיביות 574 סגור טרנזיטיבי R= { 1,2, 2,3, 2,4, 4,5, 5,1} תהי הקבוצה 2,3,4,5} { 1, = ותהי הרלציה הסגור הטרנזיטיבי יהיה { 1, 2, 2,3, 2,4, 4,5, 5,1, 1,3, 4,1, 1, 4, 1,5, 2,5, 4, 2 } נשים לב שאם אחרי שהוספנו איברים, ניתן לעשות חיבורים נוספים, יש לעשותם * 2 3 i R R R R R i = =, = N {0} בהינתן רלציה R מעל, * נגדיר את הרלציה R באופן הבא: x, y R i x, y R * מתקיים כי אמ"מ קיים 1 i כך ש טענה אם רלציה מקיימת את α, אז היא עצמה הסגור שלה ביחס ל- α מכאן שהסגור הטרנזיטיבי של רלציה טרנזיטיבית R הוא R - 46 -
טענה * R לכל רלציה, R הוא הסגור הטרנזיטיבי שלה הוכחה: R * כדי להוכיח ש- R היא הסגור הטרנזיטיבי של צ"ל: R R * 1 טרנזיטיבית * R 2 R * T אזי R 3 לכל רלציה T, אם T היא טרנזיטיבית וגם T 1 * 2 ברור שמתקיים, כי R = R R R 2 x, z R * x, y, x, z R * צריך להוכיח כי אם אזי y, z R j x, y R i גורר כי קיים 1 i, וקיים j 1, כך ש x, y, x, z R * y z R y z R y z R R * i+ j i j,,, 3 R i T i i N R נשתמש בטענה אם T אזי לכל מתקים * R T צריך להוכיח כי R תהי T טרנזיטיבית, T R ולפי טענת העזר: T x, y R k מכאן קיים k x, y R * יהי כך ש- x, y, ולכן T x, y T k T טרנזיטיבית מכאן קיים k כך ש- תכונה * 2 R = R R R אם סופית אזי - 47 -
דוגמא { N, φ, 10} נגדיר את הקבוצה הבאה: = ונגדיר יחס S מעל בצורה הבאה: { 1, 2 1 2 } S = φ האם S מהו הינו יחס טרנזיטיבי? *? S 1 2 { 1,2 }, { 2,3 }, { 3,4} = = = 1 2 3 1 S איננו יחס טרנזיטיבי דוגמא נגדית: יהיו הקבוצות 1, 3 S, S,, S 1 2 2 3 מתקיים: אולם 2 2 כאשר אנו נתקלים בשאלה מסוג זה, השלב הראשון בפיתרון יהיה להבין מיהו S לגבי הפתרון על מנת לקבל תחושה {, :,,, 1 3 2 2 3 1 2 } 2 S = S S 2 S = נטען: 2 S ברור כי מכיוון ש- S הינו יחס מעל S 2 צ"ל:, S,, S 1 2 2 3 2 צריך למצוא 1, 3 תהינה כך שמתקיים a φ 3 3 3 3 a φ כמו כן 2 1 1 1 1 = נוודא כי { a, a } 2 1 3 נבחר 2, 3 S a φ 2 2 3 1, 2 ומכאן S ומכאן a φ 1 1 2 1, 3 S 2 מסקנה: - 48 -
דוגמא 1, 2 R {, is odd} a+, R= a b לדוגמא b, R N N 2 R נתון א מצא את ב מצא את הסגור הטרנזיטיבי {, is even} T = a b a+ b {,,,, } 2 R = x y x z z y R א נסמן את הקבוצה הבאה ב- T:, R כאשר 2 נטען: = T z, y, x, יהיו z R y זוגי יתכנו שני מקרים: 1 z אי זוגי, x זוגי y אי זוגי זוגי, x אי זוגי z 2 R 2 T x+ בשני המקרים מתקיים y הוא זוגי, ולכן הראנו a, b R 2 כעת נראה את הכיוון השני: יהיה האיבר b, c, a, c R c=2 אם a b, c, a, c R c=1 אם a זוגי, נבחר ואז אי זוגי, נבחר ואז T הראנו הכלה דו כיוונית ולכן מתקיים השוויון R 2 ומכאן ב i R i is odd R = 2 R i is even, R וכך הלאה, ולכן: 3 ניתן לראות כי מתקיים = R * 2 R = R R = N כלומר N - 49 -
58 רלצית שקילות רלציה תקרא רלצית שקילות אם היא רפלקסיבית, סימטרית וטרנזיטיבית x, x R מתקיים x רפלקסיבית אם לכל R y, x R x, y כך ש- R מחייב כי x, y סימטרית אם לכל R x, z R x, y R, y, z R מתקיים x, y, z טרנזיטיבית אם לכל R 581 מחלקת שקילות [ x] E [ x] = { y x, y E} E בהינתן יחס E מעל ואיבר באופן הבא:, x נגדיר את מחלקת השקילות של x המסומנת על ידי דוגמא 1 { } E = x, y x, y live in the same country 2 { } E = x, y x, y starts with the same letter - קבוצת האנשים בעולם - כל המילים בעולם 1 2 3 { } E = x,y x, y has the same module in diving by 3 - קבוצת המספרים הטבעיים 3 {כל תושבי ישראל }=[x] - מהי מחלקת השקילות של x הגר בישראל? - מהי מחלקת השקילות של המילה "אבא"? E 1 E 2 עבור עבור } כל המילים המתחילות ב-א '}=[אבא] - 50 -
: E 3 עבור [0]={0,3,6,9,} [1]={1,4,7,10,} [2]={2,5,8,11,} [3]= {0,3,6,9,} [4]={1,4,7,10,} ניתן לראות כי: [0]=[3]=[6]= [1]=[4]=[7]= [2]=[5]=[8]= [0] [1] = φ [1] [2] = φ [0] [2] = φ מתקיים: [0] [1] [2]= N 582 למה 1 E x, y תהי קבוצה, שני איברים ותהי רלצית שקילות מעל, אזי: x, y E א y] [ x] = [ אמ"מ [ x ] [ y] =φ אמ"מ [ x] ב y] [ מחלקת שקילות היא לא קבוצה ריקה (היא מתאפיינת על ידי איבר מסויים) [ x ] [ y] =φ אמ"מ x, y ניתן לכתוב את ב' גם כך: E - 51 -
הוכחה [ x] = [ y] א נתון: x, y צ"ל: E x, y E y [ x] [ x] = [ y] נתון כי y הוכחה: לפי הגדרה: [y [ ומכאן x, y נתון: E צ"ל: y] [ x] = [ y, x הוכחה: ראשית נטען כי E (מכיוון ש- E הינה סימטרית) וכעת: [ ],, [ ] a x x a E y a E a y ולכן by טרנזיטיביות הגדרת definition y, x, x, a מחלקות שקילות [ x] = [ y] ב [ x ] [ y] נתון: φ= וגם y] [ [x [ אינן ריקות [ x] צ"ל: y] [ הטענה נכונה באופן טריויאלי מכיוון שגם [ x] [ y] נתון: a [ x],[ y] [ x ] [ y] צ"ל: φ= y] [ x] [ כלומר קיים נניח בשלילה כי φ ומכאן: x, a E x, a E x, y E x = y y, a E a, y E Lemma 1 [ ] [ ] [ x ] [ y] כלומר ההנחה שגויה ולכן φ= - 52 -
583 הצגת רלצית שקילות כגרף כאשר ניגשתי בפעם הראשונה להבין את נושא רלצית השקילות ומחלקות השקילות נתקלתי בבעיה להבין את המשמעות שלהן בדיוק מהי רלצית שקילות, ומהי מחלקת שקילות, ומהן אוסף כל מחלקות השקילות של קבוצה הדוגמא הבאה, לפחות עבורי, עזרה להמחיש את הנושא תהי קבוצת איברים כל רלציה R מעל הקבוצה מכילה זוגות של איברים מ- נציג את הרלציה כגרף, כאשר כל צומת בגרף ייצג את אחד מאיברי בין כל שני איברים בגרף תהיה קשת אמ"מ הם נמצאים ברלציה R לדוגמא, עבור הקבוצה נצייר את הגרף הבא: = { 1,2,3, 4} 3,3) ),( 1,3 ),( 1,2 {( והרלציה } רלצית שקילות תחלק את הצמתים בגרפים לקבוצות זרות כך שכל קבוצה תהווה גרף מלא, לכל צומת תהיה קשת עצמית, ולא יהיו קשתות מחברות בין הקבוצות השונות, לדוגמא: ישנן 3 קבוצות שלוש מחלקות שקילות הנוצרות על ידי רלצית השקילות - 53 -
584 קבוצת המנה הגדרה E הקבוצה תהא E רלצית שקילות מעל הקבוצה מוגדרת כך: E {[ x] x } = E קבוצה זו נקראת קבוצת המנה של לפי, E או לחילופין נגדיר את האינדקס של הרלציה E להיות מספר מחלקות השקילות השונות של כגודל של קבוצת המנה של E 585 למה 2 1= 2 או ש- 1 2 =φ או ש-, 1, 2 E לכל 586 למה 3 [ x] = x : איחוד כל מחלקות השקילות ייתן את הקבוצה רלצית שקילות מעל E - 54 -
הוכחת למה 3 נוכיח את הטענה על ידי הכלה דו כיוונית [ x] x [ x] מתקיים ומכאן x לכל [ x] x כיוון : צ"ל להוכיח כי [ x] x x מתקיים כי [x [ ולכן x לכל [ x] x כיוון : צ"ל כי 587 חלוקה הגדרה תהא קבוצה כלשהי תתי קבוצות של לא ריקות, זרות הדדית שאיחודן הוא נקרא חלוקה של באופן פורמלי: קבוצה Π היא חלוקה של קבוצה אם מתקיימים התנאים הבאים: x S א אם כל איבר של Π הוא תת קבוצה לא ריקה ב- ב בעבור כל x קיים בדיוק איבר אחד S Π עבורו משפט E קבוצת המנה תהי E רלצית שקילות מעל היא חלוקה של הקבוצה - 55 -
הוכחה x [ x] על פי הגדרת מחלקת השקילות מתקיים כי לכל כלומר האיברים בקבוצת המנה הם תתי קבוצה של φ מתקיים x לכל [ x] ולכן האיברים ב- E הם אינם קבוצות ריקות על פי למה 2 כל האיברים ב- E הינם זרים הדדית על פי למה 3 איחוד האיברים בקבוצת המנה שווה ל- מסקנה, כאשר הקבוצות הינן כל יחס שקילות משרה חלוקה של לקבוצות לא ריקות זרות הדדית שאיחודן מחלקות השקילות של היחס טענה אם Π היא חלוקה של קבוצה אזי היחס הבא הוא יחס שקילות {, (, ), and } E= x y S S Π x S y S E ומכאן: Π= כל חלוקה של היחס מגדירה באופן יחיד יחס שקילות, והקבוצות הזרות בחלוקה הן מחלקות השקילות של - 56 -
588 דוגמאות {, (mod10)} R= x y x y 1 קבוצת השלמים בין 0 ל- 100 רפלקסיביות: כן: x(mod10) x x y(mod10) y סימטריות: כן: x(mod10) x y(mod10), y z(mod10) x z(mod10) טרנזיטיביות: כן: R לכן זוהי רלצית שקילות כעת נגדיר מי הן מחלקות השקילות, ונמצא את קבוצת המנה מחלקות השקילות מאופיינות על ידי השאריות בחלוקה ב 10 לכן קבוצת המנה היא: = {[ 0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]} = {[ x] 0 x 9, x N} {, or, } R= x y x= y x y 2 תת קבוצה של קבוצה, רפלקסיביות: כן: כי x=x סימטריות: כן: xry אם x=y אז ברור שyRx כי הם שווים אם x y אזיי x,y שייכים ל ולכן גם y,x שייכים ל- ולכן yrx טרנזיטיביות: כן: xry,yrz אם כולם זהים ברור כי xrz אם x,y,z לא זהים כולם, אזי הם שייכים ל-, ולכן xrz R = {[ x] x \ } = φ { [ x] x \ } { } φ אפיון מחלקות השקילות: מחלקת שקילות אחת היא וכל איבר ב- מהווה מחלקת שקילות {[ x] x הכתיבה \ } {[ x] x \ } { נשים לב לכתיבה: { היא טעות במקרה זה - 57 -
- 58 -
= { 1, 2, 3, 4, 5 } = { 1, 2 } {[ x] x \ } { } = {[ x] x \ } { } = {{3},{4},{5},1,2 } {{3},{4},{5},{1,2}} הסבר בעזרת דוגמא: הביטוי השני הוא כבר לא חלוקה למחלקות שקילות! 3 מה מספר רלציות השקילות בקבוצה סופית? הגדרת קבוצת מנה מגדירה רלציה ולהפך השאלה היא למעשה כמה חלוקות אפשריות נניח כי =n מספר הרלציות הוא מספר האפשרויות לחלק את האלמנטים לתתי קבוצות כך שבכל קבוצה אלמנט אחד לפחות, ואין אלמנט המופיע ביותר מקבוצה אחת כלומר, הבעיה שקולה לחלוקה של n אלמנטים שונים לתאים זהים, כך שאין תא ריק ואין הגבלה על מספר התאים - 59 -
6 עוצמות 61 הקדמה לעוצמות מטרת נושא העוצמות היא לדבר על קבוצות בעלות אותו מספר איברים עוצמת הקבוצה היא הגודל של עבור קבוצה סופית גודל הקבוצה הינו גודל במקרה זה הוא מספר האיברים בקבוצה משפט = תהינה ו- קבוצות סופיות מתקיים כי אמ"מ קיימת התאמה חד חד ערכית f : {,, }, {,, } = a a = b b 1 k 1 n הוכחה: תהינה הקבוצות ( ),1 f קל לראות ש- f a = b i כך: n i i f : נגדיר n= כיוון : נניח כי k חד חד ערכית כיוון : נניח כי קיימת התאמה חח"ע מאחר ו- f איברים שונים ב-, ולכן ) a ) f ( ( חח"ע מתקיים כי f a1,, k התאמה k הם f מאחר ו- n k ל, אז אלו הם כל האיברים, ולכן n= k הגדרה נאמר ששתי קבוצות ו- הן בעלות עוצמה שווה, בעלות אותה קרדינליות, אם קיימת ביניהם התאמה f : שהיא פונקציה של על וחח"ע חח"ע, כלומר אם קיימת פונקציה נאמר ש- ו- שקולות ונסמן,~ - 60 -
דוגמאות ~ N { n 2 n } = N נטען כי 1 תהי הקבוצה N = זוהי התאמה חח"ע ומכאן f ( n) = n 2 f ניקח : N כך ש- נטען: 0,1) ( ~ R ( a, b) = { x x R, a< x< b} 2 נגדיר את הקבוצה π π tan :, R 2 2 כדי להוכיח זאת נשתמש בעובדה כי השלבים: הינה חח"ע ועל ( ) ( ) 1) 0,1 11, f = 2x 1 2) π π π ( 1,1 ),, f2 = x 2 2 2 3) π π π, R, f3 = 2 1 2 2 2 1 ( x ) כל הפונקציות הן חח"ע ועל על ידי הרכבת פונקציות נקבל: π f f x x 2 ( 0,1 ) R, ( ) = tan ( 2 1) טענה }, { הוא יחס שקילות היחס R המוגדר כך: R= = הוכחה: ניתן להשתמש בפונקצית =, כלומר, R רפלקסיביות: צ"ל להוכיח לכל כי מתקיים הזהות - 61 -
- 62 -
, R f 1 : סימטריות: אם התאמה חח"ע אזי גם התאמה חח"ע, לכן אם f : R, אזי גם R, וזאת מכיוון שהרכבה של שתי, C R, טרנזיטיביות: אם R ו-, אזי גם C R פונקציות חח"ע ועל הינה גם חח"ע ועל { 1,,n} מחלקות השקילות של היחס נקראות המספרים הקרדינלים (עוצמות) המספר הקרדינאלי n N הוא כל הקבוצות שעוצמתן שווה לעוצמה של כל קבוצה שהמספר הקרדינלי שלה הוא מספר סופי, הינה קבוצה סופית 62 הגדרה 1 לקבוצה אינסופית { 1,,n} קבוצה תיקרא סופית אם קיים n N כך שקיימת התאמה חח"ע בין לבין הקבוצה תיקרא אין סופית אם לא קיים עבורה n כזה טענה הקבוצה, N קבוצת הטבעיים, היא אינסופית לפי הגדרה 1 צ"ל להראות שלא קיים סופית ושקיים n N כך שקיימת התאמה חח"ע בין N } נניח בשלילה ש- ל-{ 1,,n N { } n כזה כך ש- f : 1,, n N המקסימלי מביניהם עבור 1+y לא קיים חח"ע ועל f ( 1 ),, נתבונן ב- n) f ( y ויהא x כך ש- y+1 f ( (x = כמו כן מתקיים כי { 1,, n} y+ 1 N f ולכן איננה על, בסתירה להנחה הערך הגדרה הנגזרת מהגדרה 1 f חח"ע : N היא קבוצה אינסופית אם קיימת - 63 -
63 הגדרה 2 לקבוצה אינסופית הגדרה לפי תכונה f : קבוצה היא אינסופית אמ"מ קיימת, f ( ) חח"ע כך ש- כלומר קיימת פונקציה מ- לעצמה שהיא חח"ע אבל לא על ( N) N \{ 0} f = הוכחה שקבוצת הטבעיים Nהיא אינסופית לפי הגדרה 2: n+ f ( n) = פונקציה זו היא חח"ע, אולם תהי f : N N שתוגדר להיות 1 מסקנה f = עבור 2 קבוצות אינסופיות ו-, אם אזי קיימת פונקציה חח"ע מ- ל- שאיננה על טענה (בלא הוכחה) כל ההגדרות לקבוצה אין סופית שקולות משפט f היא אינסופית אם היא קבוצה אינסופית, אזי מתקיימות הטענות הבאות: כל קבוצה המקיימת היא קבוצה אינסופית 1 : כל קבוצה שעבורה קיימת פונקציה חח"ע 2 כל קבוצה שעבורה קיימת פונקציה על הקבוצה f : P( ) היא אינסופית לכל קבוצה לא ריקה, הקבוצה עבור כל קבוצה, הקבוצה היא אינסופית היא אינסופית היא אינסופית 3 4 5 6 לכל קבוצה לא ריקה, הקבוצה (קבוצת הפונקציות מ- ל- ) היא אינסופית 7-64 -
הוכחות 1 f f : נתון ש- היא אינסופית ומכאן שקיימת חח"ע ולא על נשתמש ב- כדי להגדיר פונקציה אל מ- שהיא חח"ע ולא על 6 על פי טענה 1 מתקיים כי היא אינסופית מכיוון ש- ) ( יתקיים ש- ) P( f : P 4 נוכיח שקיימת פונקציה חח"ע ואז על פי טענה 2 היא אינסופית ( ) { }, a - פונקציה חח"ע צריך להתאים כל איבר ב- לתת קבוצה שונה של נבחר: f a = a מ- ל- ) P( נסיק ש- f : 5 נוכיח שקיימת פונקציה חח"ע ועל פי 2 הינה אינסופית נבחר איבר a, f ( a) = f ( a, b) כלשהו b השייך ל- (קיים כזה), 7 ( נוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מ- ל- לפי 2 נקבל ש- (לקבוצת הפונקציות מ- אל הינה אינסופית צריך להתאים לכל איבר ב- פונקציה שונה מ- ל- b, g ( b) = a, g : a a g a נבחר a, f ( a) = ga כאשר מוגדרת כך: משפט * Σ שפה תהי Σ אם Σ φ אזי הינה קבוצה אינסופית Σ * Σ מוגדרת להיות קבוצת כל המילים הסופיות הנבנות מאותיות כדי להוכיח משפט זה, מספיק שנראה כי קיימת f חח"ע : N Σ * - 65 -
64 קבוצה בת מניה סימון N =ℵ 0 נסמן את העוצמה של קבוצת הטבעיים הגדרה f נאמר שקבוצה היא בת מניה אם קיימת פונקציה חח"ע : N ℵ 0 הגדרה שקולה: קבוצה היא בת מניה אם היא סופית או שגודלה הוא הערה חשובה: במקומות רבים בספרות, כולל בגירסה הקודמת של מסמך זה, קבוצה בת מניה מוגדרת ℵ 0 עניין זה הוא עניין של מוסכמה בלבד כקבוצה אינסופית בלבד שגודלה =ℵ 0 קבוצה אינסופית תיקרא בת מניה אם כיצד מוכיחים שקבוצה אינסופית היא בת מניה? מציגים התאמה חח"ע בין לקבוצה שידוע שהיא בת מניה מציגים פונקציה חח"ע מ- לקבוצה כלשהי בת מניה ופונקציה חח"ע מקבוצה בת מניה כלשהי ל ומשתמשים במשפט CS (יוצג בהמשך) מציגים מניה של אברי שמקיימת: א לפני כל איבר נמצא מספר סופי של איברים ב כל איבר נמצא במקום כלשהו במניה (כל איבר נספר) 1 2 3-66 -
דוגמא Z N נטען: Zהינה בת מניה ננסה למצוא מניה נסיון ראשון:,3-,2-,1-,,0,1,2 סדר זה איננו ספירה טובה, כי לפני המספר 1 עומדים אינסוף איברים נסיון שני: 0 1 1 2 2 3 3 0 1 2 3 4 5 6 k k נשים לב שזוהי למעשה התאמה חד חד ערכית בשלב ה- k של המניה סופרים את ואת x Z x כל איבר x נספר בשלב ה- וכל שלב אורכו לכל היותר 2, לכן כל מספר מופיע בסידרה כשלפניו מספר סופי של איברים גם אם קיימת עבור קבוצה מניה עם חזרות איננו נמצאים בבעיה כי קיימת עבורה גם מניה בלי חזרות מעבר ממניה עם חזרות למיניה בלי חזרות בצורה פשוטה: מתקדמים לפי הסדר שקבענו אם האיבר הנוכחי כבר נספר, לא נספור אותו שוב אחרת נספור אותו משפט k i= 1 i תהינה,, 1 k מניה הוא בן מניה קבוצות בנות מניה, אזי הינו בן מניה איחוד של מספר סופי של קבוצות בנות הוכחה: אם כל הקבוצות סופיות, ראינו שאיחוד סופי של קבוצות סופיות הוא סופי נתעניין לכן במקרה בו לפחות אחת הקבוצות הינה אינסופית, ומכאן שהאיחוד כולו הוא אינסופי נבנה טבלה בה בעמודה יהיו הקבוצות השונות ובתוך הטבלה יהיו האיברים השונים של הקבוצות: { a,} { a,} 1 10 2 20 k = = = { a,} k 0-67 -
k כל שלב הוא לכל היותר באורך =i 1,, k aij בשלב ה- j נספור את כל האיברים מהצורה i= 1 i כל איבר יופיע בסדרה ולפניו מספר סופי של איברים ולכן הינו בן מניה משפט (בלא הוכחה) איחוד של מספר בן מניה של קבוצות בנות מניה הוא בן מניה טענה בת מניה אם ו- בנות מניה, אזי טענה a, b N, a b - הרציונליים החיוביים - בת מניה + Q אם נצליח לספור את החיוביים, נוכל לספור גם את השליליים ניצור טבלה: 1 2 3 4 5 1 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 2 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 3 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 4 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 5 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ישנם מספרים שמופיעים כמה פעמים - למשל - כל האלכסון הראשי בשלב ה-, k > 1, k נספור את כל המספרים מהצורה כאלו) כל מספר מהצורה a b כך ש- k+1 (ישנם a+ b= k a+ יספר בשלב ה- b a b קיים שלב כזה! זוהי ספירה עם חזרות מספרים - 68 -
דוגמא שפה סופית (קבוצה סופית של אותיות) קבוצת המילים הסופיות מעל Σ היא בת מניה תהי Σ סקיצה להוכחה: מספר המילים באורך k כלשהו הקיימות הינו k Σ נגדיר מניה בה בשלב ה- k נספור את כל המילים באורך נכונה k כל שלב בספירה הוא סופי ולכן הטענה דוגמא Σ תהי Σ קבוצה בת מניה של אותיות נטען: קבוצת המילים הסופיות מעל היא בת מניה פתרון: עבור כל תא במילה יש אין סוף אפשרויות לאותיות לכן אי אפשר להשתמש בדרך פתרון הקודמת - בשלב ה- 1 k, נספור את כל המילים באורך קטן שווה, k k שהאותיות בהן הן מהקבוצה { a0, a1,, a k 1} k i= 1 k i כמה מילים כאלו יש? נוכיח שכל מילה נספרת בספירה זו תהיי מילה k k נסתכל על האות שבה האינדקס הוא מקסימלי יהי s האינדקס המילה תיספר 1 2 k r בשלב שהוא המקסימום בין ל- s+1 r - 69 -
טענה היא בת בניה אם בת מניה ו- קבוצה סופית, אזי נגדיר מניה: k } b b,, יש { 1 k בשלב ה- k נספור את כל הפונקציות מ- לקבוצה פונקציות כאלו f ( a 1 ),, f ( a n, f יהיו ) : בהינתן פונקציה ערכי הפונקציה b 1 j = f ( a ), 1 j j יהיו n r f r יהי b b,, b, i1 i2 in נביט על הערך המקסימלי מבין המקסימלי שבהם לכן נספרת בשלב ה- טענה לכל קבוצה אין סופית יש תת קבוצה בת מניה = { bi i N} נבנה קבוצה : 1= { b0, b1} ותהי b1 / 0 0 יהי = { b 0 } b 0 יהי ותהי { b } 1 = i+ 1 i i+1 b / i+1 i i יהי = i { 0 1 i נניח } b b, b,, כאשר ותהי i i כל אחת מהקבוצות היא סופית איחוד כל איברי קבוצות הוא אינסופי המניה היא הסדר בו בחרנו איברים מ- הקבוצה הזו היא עם עוצמה שווה לזו של הטבעיים משפט לכל קבוצה אינסופית יש תת קבוצות אמיתיות (תת קבוצה ממש) בעלות עוצמה שווה ל- כיוון - 70 -
הצורה היחידה שניתן להוכיח זאת היא לקחת תת קבוצה מ- ולהוכיח שקיימת בינה לבין פונקציה חח"ע ועל אם ניקח את ונוציא ממנה רק איבר אחד, נקבל קבוצה בעלת אותה עוצמה הוכחה g /{ b } : 0 i תהיי בת מניה i N}, = { b ותהי i 1} = { b i N, נבנה העתקה בין שתי הקבוצות שהיא התאמה חח"ע נבנה g חד חד ערכית ועל i /{ b 0 } אותה עוצמה נגדיר את g: היא תת קבוצה אמיתית של אם נצליח למצוא g כמבוקש נראה כי ל- /{ b 0 יש ול } x x / g ( x) = bi+ 1 x ( x bi ) מסקנה חשובה אם ניקח קבוצה אינסופית ונוציא ממנה מספר סופי של איברים, נשמור על עוצמת הקבוצה מסקנה ללא הוכחה אם ניקח קבוצה מעוצמה גבוהה, ונוציא מספר איברים מעוצמה נמוכה יותר, העוצמה תישמר דוגמא תהי קבוצת הווקטורים האינסופיים מעל Nכך שלכל n N סכום האיברים במקומות n+ n, n+ 1,, הינו 21 מהי עוצמת הקבוצה? 6-71 -
נשים לב שהגדרת 6 המקומות הראשונים בווקטור מגדירה את שאר האיברים שלו באופן יחיד, ולכן הקבוצה הינה קבוצה סופית, ומספר איבריה, העוצמה שלה הוא ( ) 21+ 6 1 6 1-72 -
דוגמא נניח שאנו מבצעים את הניסוי הבא: מטילים מטבע עד שמקבלים H בפעם הראשונה נגדיר את הקבוצה O: } תוצאות הניסוי { = O נוכיח כי O היא קבוצה בת מניה f נגדיר : N O בצורה באה: ( ) ( ) ( ) f 0 = H f 1 = T, H f n = T,, T, H n times f נשים לב: אם f היא על אזי O היא בת מניה (סופית או אינסופית) בנוסף, אם חח"ע אזי O אינסופית ניתן לראות בנקל כי הפונקציה שהגדרנו היא חח"ע, אולם פונקציה זו איננה על לניסוי,T,T, T, שהוא ניסוי חוקי, אין מקור כדי להפוך פונקציה זו לעל נגדיר אותה מחדש: ( ) ( ) ( ) ( ) f 0 = T, T, f 1 = H f 2 = T, H f n+ 1 = T,, T, H n times השיטה בה השתמשו כדי להפוך את הפונקציה לעל היא שימושית ומכונה לעתים "תרגיל המלון האינסופי" מקור השם הוא בתרגיל המחשבתי הבא: זוג מגיע לבית מלון בעל אינסוף חדרים, אולם אומרים להם שכל החדרים תפוסים, והשאלה היכן למקם את בני הזוג? הפתרון: כל דייר שכבר נמצא במלון יעבור לחדר הבא (דייר מחדר 1 יעבור לחדר 2 וכו'), ואז חדר מספר 1 יהיה פנוי עבור הזוג הרעיון באופן כללי: כיצד נוכיח שאיחוד של קבוצה סופית וקבוצה בת מניה הינו בן מניה? הפתרון: נשים את הקבוצה הסופית בהתחלת הספירה, ואת הקבוצה האינסופית אחריה - 73 -
65 משפט קנטור 651 הגדרות הגדרה 1:1 f : אם קיימת נאמר ש- במילים אחרות, נאמר כי אם העוצמה של קטנה או שווה לעוצמה של הגדרה אם אבל נאמר ש- דוגמאות 1 n< m {,,, }, {,,, } = a a a = b b b 1 2 n 1 2 m יהיו הקבוצות כך שמתקיים אזי 2 תהי קבוצה סופית מתקיים: N ראינו שלא קיימת פונקציה f : N חח"ע ועל 3 P( ) לכל קבוצה מתקיים כי f ( x) = { x} והיא f P 1:1 קיימת הפונקציה ) ( : - 74 -
652 קבוצות שאינן בנות מניה שיטת הליכסון של קנטור f ( ) P ( ) f : נראה כי קיימת קבוצה P תהי f פונקציה שאינה מתקבלת כתמונה של f : P( ) ומכאן שכל פונקציה, f אחד מאיברי, כלומר ) f ( איננה על ניתן להציג את f בצורת הטבלה הבאה: a 1 a a 2 3 a 4 f ( a 1) f ( a 2) f ( a 3) ( 4) f a ( a j, f ( ak) ) (מניחים כי הקבוצה בת מניה כי אחרת לא ניתן לרשום אותה בטבלה כנ"ל) a ( ) f a 1 1 ( a1, f ( a1) במקום ה- ) נרשום 1 אם נרשום 1 אם ו- 0 אחרת או 0 אחרת באופן כללי: במקום ה- a j ( ) f a k דוגמא f {,,, } = a a a a 1 2 3 4 תהי הקבוצה ותהי שמוגדרת כך: ( 1) = φ, ( 2) = { 1, 3} ( ) = {,, } ( ) = φ f a f a a a f a a a a f a 3 1 2 3 4-75 -
נכתוב את f בטבלה: f ( a 1) f ( a 2) f ( a 3) f ( a 4 ) a1 0 1 1 0 a 0 0 1 0 2 a 0 1 1 0 3 a 0 0 0 0 4 f כל עמודה בטבלה מגדירה תת קבוצה של f מציאת שאיננה מתקבלת על ידי שקולה למציאת עמודה שאיננה מופיעה בטבלה נמצא עמודה שתהיה שונה מכל עמודה אחרת העמודה השונה מכל העמודות טבלה היא העמודה המתקבלת על ידי היפוך העמודות באלכסון a ( ) f a 1 1 כלומר, אם נרשום 1 אחרת נרשום 0 וכך הלאה: f ( a 1) f ( a 2) f ( a 3) f ( a 4 ) a1 0 1 1 1 0 a 0 0 1 1 0 2 a 0 1 1 0 0 3 a 0 0 0 0 1 4 באופן כללי, העמודה השונה מכל עמודה אחרת בעמודה ה- i היא שונה לפחות באיבר ה- i טכניקה זו שימושית בעזרתה מוכיחים שקבוצות אינן בנות מניה - 76 -
653 משפט קנטור P( ) לכל קבוצה, אינה שקולה ל-( P( כלומר: לכל קבוצה מתקיים כי הוכחה ולאחר מכן אנו צריכים ההוכחה צריכה לכלול שני מרכיבים: ראשית עלינו לראות כי ( )P להוכיח כי הקבוצות אינן שקולות ולכן נותר להוכיח רק את השקילות ראינו קודם במסמך זה כי ( )P f ( ) P ( ) f : לשם כך נראה שלכל פונקציה P קיימת קבוצה שאינה מתקבלת כתמונה f : P( ) ומכאן שכל פונקציה, f של אחד מאיברי, כלומר ) f ( איננה על נוכיח את הטענה עבור כל קבוצה בת מניה (סופית או אינסופית) f ( ) f : תהי P פונקציה נגדיר את באופן הבא: a f ( a) a f a, מתקיים לכל f ( x) = f f ( ) x נראה כי, f כלומר לא קיים נבחין בין שני מקרים: כך ש- f ( ) ( ) f x x x f x f ( ) ( ) f x x x f x f f 1 2 לכן לכל פונקציה קיימת שאיננה מתקבלת על ידי ומכאן ש- f איננה על f f f מסקנה ממשפט קנטור הקבוצה (N )P איננה בת מניה - 77 -
מסקנה 2 ( ) ( ) P P( ) אנו יכולים לקבל סידרה אינסופית עולה של עוצמות: N N P N מכאן נובע שיש מספר אינסופי של עוצמות 66 עוצמת הרצף 661 השערת הרצף שאלה?N P( N) האם קיימת קבוצה המקיימת P( ) השערת הרצף אומרת שאין קבוצה כזו ייתרה מכך, לכל קבוצה לא קיימת להשערה זו אין הוכחה אומרים שלא ניתן להוכיח אותה בעזרת הכלים של תורת הקבוצות 662 עוצמת הרצף הבחנה 2 N 2 N איננה קבוצת בת מניה הבחנה זו נכונה לפי משפט קנטור היא קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים כמו כן, ניתן לזהות אותה עם קבוצת הווקטורים הבינאריים האינסופיים הגדרה, 2 N תכונה עוצמת רצף - 78 - עוצמת קבוצת החזקה של הטבעיים,
הגדרה חלופית העוצמה של קבוצת המילים הבינריות האינסופיות נקראת עוצמת רצף היא זהה לעוצמה של קבוצת המספרים הממשיים סימון סימון לעוצמת רצף: = מספרים ממשיים 0 x i 9 נסתכל על הקטע [0,1] נטען כי קבוצת המספרים בקטע זה איננה בת מניה 0 כאשר x1x2 כל מספר בקטע בין 0 ל- 1 יכול להיות מיוצג בצורה הבאה: x3 g נכתוב אותה: נניח שקיימת [0,1] N : g(0) = 0 x g(1) = 0 x g( i) = 0 x 00 10 i0 x x x 01 11 x x x 12 02 i1 i2 y= 0 y y y y i x ii 0 1 2 g משל נבנה את המספר y: המספר הזה לא יתקבל על ידי ההוכחה במקרה זה לא מושלמת, יש בה בעיה הבעיה נובעת מהאופי של המספרים הממשיים 03999 למשל, 09999=1 יש מספרים שיש להם יותר מייצוג אחד המספר = 04000 זוהי בעייה שלא הייתה לנו במילים הבינריות האינסופיות לכן נוסיף דרישה נוספת למספר y y= y y y, y x, y {0,9} 0 1 2 i ii i - 79 -
הדרישה נובעת רק מהאופי של המספרים הממשיים טענה [ a, b] = ( a, b) = ( a, נטען: [b f :[0,1] [0, a] f ( x) = ax f :[0, a] [ x, x+ a] f ( y) = x+ y נפצל את ההוכחה למספר חלקים טענה: עוצמת הקטע [a,0] היא עוצמת הרצף [ x, x+ טענה: עוצמת הקטע [a היא רצף מסקנה שכבר הוכחנו ברגע זה: עוצמת כל קטע כלשהו על המספרים הממשיים היא עוצמת רצף f : (0,1) (1, ) 1 f ( x) = x ( 1, ) עכשיו נרצה לעבור לקטע אינסופי מכאן העוצמה של הקטע (0,1) זהה לעוצמה של הקטע ( 2,2) = (, ברור וטריויאלי כי ) (0, = 0,2) ( ומכאן ) שזה זהה לפי הטענה ההתחלתית ( 0,1) = (, ל- ( תרגיל ~ הוכח: = { b b תהא הקבוצה הבאה: } ווקטור בינארי אינסופי { } * b= b b b, b 0,1 0 1 2 f :, f b כאשר: ( ) = ( b, b ) צ"ל קיומה של פונקציה חח"ע ועל נבחר את הפונקציה הבאה: ונגדיר: b = b b b, b = b b b 0 2 4 1 3 5-80 -
- 81 -
f ( b) f ( x) f ( b) f ( x) ולכן b x x צ"ל: כך ש- b f ( b) f ( x) x b ואז i / 2 i / 2 b, x x b ולכן נראה כי פונקציה זו הינה חח"ע: יהיו מהנתון: קיים i כך ש b x אם i זוגי אזי x b ואז i ( i ) ( i ) 1 / 2 1 / 2 i אם i אי זוגי אזי ( ) = ( c, d) f b ( ) = ( c, d) f b b צריך למצוא ( c, d) נראה כי f נבחר את הינה על יהי =b לפי הגדרת c d c d כך שיתקיים f מתקיים: b להיות הווקטור הבא: 1 0 0 1 סימון { and is function} = f f { 0,1} N : את אוסף הפונקציות מ- אל נסמן ב- { 0,1} N את האינסופיים נסמן לעתים ב- 2 N ניתן להסתכל על כאוסף כל הווקטורים הבינאריים משפט P( ) ~ 2 לכל קבוצה מתקיים כי f ( ) = g { 0,1} ניתן להסתכל על הטענה כהתאמת אוסף כל הפונקציות מ- נראה פונקציה חח"ע ועל מ- ( )P אל ( נגדיר ), ל- : 2 עבור כל ) P( g ( x) 1 = 0 x else { 0,1} היא פונקציה מ- אל המוגדרת כך: g χ פונקציה זו נקראת הפונקציה האופיינית של היא מסומנת לעתים גם ניתן לראות בקלות כי f הינה חח"ע ועל - 82 -
67 משפט קנטור ברנשטיין 671 מוטיבציה השתמשנו ביחס בדיון על עוצמות אנו רוצים להראות כי יחס זה הוא יחס שימושי, שיש סיבה למעשה שהגדרנו אותו נרצה לראות כי יחס זה הוא יחס סדר ניתן להוכיח בקלות כי הוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי משפט קנטור ברנשטיין שנראה מיד יוכיח כי הוא גם אנטי-סימטרי 672 ניסוח 1 לכל 2 קבוצות ו- : g : שהיא 1:1 וגם קיימת פונקציה f : אם קיימת פונקציה שהיא 1:1, אזי קיימת התאמה חח"ע בין ל- 673 ניסוח 2 ~ לכל שתי קבוצות וגם אזי מתקיים כי אם מתקיים כי,, - 83 -
674 טענה 1 * * m N = Q, Q = m, n N, n 0 n n 1:1 * n N, f ( n) =, f : N Q 1 m 1:1 * m n m * Q, g = 2 3, G : Q N n n נוכיח על ידי משפט קנטור ברנשטיין: 675 טענה 2 P( ) נטען: R = N ההוכחה תעשה בשני שלבים: ( 0,1 ) ~ P( N) ( 0,1 ) ~R 1 נראה כי 2 נראה כי ( N) ( ) f ( ) P( N) : 0,1 1 מספיק למצוא יובטח לנו קיום פונקציה חח"ע ו- g : P 0,1 חח"ע ולפי משפט קנטור-ברנשטיין 9 r i { 0,,9} : 0,1 h חח"ע ועל ובמספר אין סדרת ( ) P( N) 1 2 3 ( ) 0,1 r, r= 0 r r כאשר i מתקיים ( ) = {,10 +,100 +,} f r r r r 1 2 3 f : f בהינתן אינסופית, נגדיר את בצורה הבאה: r ויתקיים: i s i r קיים נראה כי f חח"ע: יהיו שני מספרים s i 1 1 i i ( ) ( ) 10 + r f r,10 + r f s i - 84 -
, g כך ש: ( ) = b1b 2b3 0 נגדיר את g : g בהינתן N בצורה הבאה: b i 2 = 0 i else b c כך ש-, חח"ע: בהינתן C N באחת מהן יש איבר שאין בשניה g b i = 2, c = 0 i, i C ואז i בלי הגבלת הכלליות נאמר כי וגם ואז המספר הממשי המייצג אותם שונה g את φ P( N) ( ) 0? לא, ולכן נגדיר עבור 0000= = ) φ g( האם 0,1 לכאורה 0 באופן מפורש, לדוגמא = 03 ) φ g( ( ) 2 צריך להראות ש- R~ 0,1 נגדיר פונקציה f בצורה הבאה: f ( x) 1 1 x + x 0 2 2 x+ 1 = 1 1 x x < 0 2 2 x+ 1 ניתן לראות כי פונקציה זו הינה חח"ע ועל - 85 -
7 קבוצות אינדוקטיביות 71 סגירות תחת פונקציות 711 הגדרת סגירות תחת פונקציה ( ) 0 f a a 0 f : 0 נאמר ש- סגורה תחת הפונקציה אם לכל מתקיים k -מקומית) אם לכל k f : 0 נאמר ש- סגורה תחת הפונקציה (פונקציה ( ) f a, a,, ak 1 2 0 ak a, a,, מתקיים 1 2 0 712 דוגמא f : 2 תהי Z Z פונקצית החיבור f קבוצת המספרים הזוגיים הינם סגורים תחת f וקבוצת המספרים האי זוגיים אינם סגורים תחת 713 הגדרת סגירות תחת קבוצת פונקציות 0 סגורה 0 תהא F קבוצת פונקציות נאמר ש- סגורה תחת אם לכל f מתקיים כי F F תחת f - 86 -
714 טענה 1 F 1, 2 תהי F קבוצת פונקציות מעל ותהיינה תת קבוצות של שסגורות תחת F 1 2 אזי: סגורה תחת הוכחה f F F כדי להראות ש- סגורה תחת נראה כי החיתוך סגור תחת כל 1 2 ( ) f a, a,, ak 1 2 1 2 נניח ש- f היא פונקציה k מקומית a, a,, ak צ"ל: 1 2 1 2 יהיו a, a,, ak 1 2 2 a, a,, ak 1 2 1 מתקיים: וגם לפי הגדרת החיתוך ( ) f a, a,, ak 1 2 1 2 ( ) f a, a,, ak 1 2 2 ( ) f a, a,, ak 1 2 1 מתקיים: וגם ולכן 715 טענה 2 F תהי קבוצת פונקציות מעל ותהי קבוצה של תתי קבוצו של הסגורות מעל F F מתקיים: הקבוצה גם סגורה תחת - 87 -
72 עיצוב מילים 721 בנאים של קבוצות בנאים של קבוצות הינו עקרון שלפיו בונים קבוצות מקבוצות נתונות לדוגמא: עבור כל קבוצה נוכל ליצור את הקבוצה { } עבור כל קבוצה נוכל ליצור את הקבוצה { } עבור כל קבוצה נוכל ליצור את הקבוצה P( ), עבור כל קבוצה וקבוצה נוספת נוכל ליצור את הקבוצה? F יהי F עקרון בונה קבוצות האם קיימת { F( ) is a group} התשובה: לא ההוכחה דומה להוכחה של הוכחת אי קיום קבוצת כל הקבוצות קבוצה אוניברסלית עבור 722 עקרון הסגירות עקרון זה מאפשר לנו לקחת קבוצת בסיס ולסגור תחתיה פעולות תהי C קבוצה של בנאים עקרון הסגירות אומר כי לכל קבוצה C סופית ולכל קבוצה קיימת קבוצה כך ש: 1 2 סגורה תחת F C לכל, F - 88 -
723 הגדרת אוסף מילים ( ) =, S α α תהי Σ קבוצה של אותיות נגדיר בנאים עבור כל α Σ בצורה הבאה: α Σ S α וגם φ לפי עקרון הסגירות קיימת קבוצה עבורה סגורה תחת לכל { X : X is -closed} * Σ = Σ נגדיר את אוסף כל המילים מעל Σ בצורה הבאה: * Σ S α s α נסמן: היא ההגבלה של המוכלת על הקבוצה { a, 724 מילים מעל {b a, Σ= { מתקיים: תהי {b ε מכונה המילה הריקה ומסומנת על ידי } φ,a b} * המילה a מסמל את המילה המכילה את האות sa ( ε) b מסמל את המילה המכילה את האות sb ( ε) a b a ( b( )) באופן דומה, S S φ מסמל את המילה המכילה את האות שלאחריה האות b a w a ( ), ( ) s w s w b באופן כללי מסמלים את המילים המכילות את המילה או ואחריה בהתאמה ( ), ( ) s w = wa s w = wb a b נסמן: - 89 -