ق ارءة ارفدة في نظرية القياس ( أ )

ق ارءة ارفدة في نظرية القياس ( أ ) الفصل األول: مفاهيم أساسية في نظرية القياس.τ, A, m P(Ω) P(Ω) فيما يلي X أو Ω مجموعة غير خالية مجموعة أج ازئها و أولا:.τ τ φ τ الحلقة: τ حلقة واتحاد أي عنصرين من وكذا فرقهما وتقاطعهما ينتمي إلى واتحاد أي عنصرين من A وكذا فرقهما وتقاطعهما ينتمي إلى A والمجموعة 2 الجبر: A جبر A φ الشاملة أيضا. ( الحلقة التامة ) حلقة تحقق الشرط σ: اتحاد أي متتالية من عناصرها ينتمي إليها. 3 الحلقة σ جبر يحقق الشرط σ آنف الذكر. ( الجبر التام ) 4 الجبر σ الصف المط رد: m صف مط رد اتحاد أية متتالية مت ازيدة من عناصره ينتمي إليه وكذا تقاطع أية 5 متتالية متناقصة من عناصره ينتمي إليه. ثانيا: تدريبات هل صف المجموعات المنتهية في Ω R ( هو حلقة وليس جب ار ) هل صف المجموعات المحدودة في Ω R ( هو حلقة وليس جب ار ) هل صف المجموعات المغلقة في Ω R ( ليس حلقة فمن باب أولى لن يكون جب ار ) هل Ω} {φ, جبر من أج ازء Ω ❹ جبر σ هل P(Ω) جبر من أج ازء Ω هل هو ❺ هل تقاطع أسرة من الجبور σ هو جبر σ ❻ ( ال ال ال ) هل صف المجاالت المفتوحة في Ω R صف مط رد هل هو جبر هل هو جبر σ ❼ ) 83 انظر أمثلة صفحة 4 فهي هامة. تدريب صفحة ( 5 هام وحله صفحة A فإن [a, b[ إذا كان A جب ار تاما في R يحوي صف المجاالت نصف المفتوحة سيحوي أي صف من صفوف المجاالت في R. C (. R جبر بوريل في R تعريف: نسمي أصغر جبر تام يحوي صف المجاالت المفتوحة في ( ثالثا: تعريف ومبرهنة ( انظر صفحة ) 9 إن أصغر جبر تام يحوي صفا معطى( P(Ω C يسم ى الجبر التام المو لد ب C أو الجبر التام الذي يولده إن صف المجموعات المفتوحة في R يولد جبر بوريل فيها. إن صف المجاالت ],a[ حيث a R يولد جبر بوريل فيها. إن صف المجاالت [b,a[ حيث a b يولد جبر بوريل فيها. إن صف المجاالت ]b,a] حيث a b يولد جبر بوريل فيها.

الفصل الثاني: القياس الموجب القياس الموجب على جبر تام A من أج ازء مجموعة X. m ويكون مقصوره عليه قياسا تاما (. 2 القياس الخارجي على الجبر التام.P(X) 3 مبرهنة كا ارتيودوري ( كل قياس خارجي يولد جب ار تاما μ A [0, ] A μ(a) أولا: ( تعريف القياس ) نسمي التطبيق: قياسا موجبا على A إذا تحقق ما يلي: μ(φ) = 0 2 μ(a B) + μ(a B) = μ(a) + μ(b) 3 if E, E 2,, E n, then μ ( En ) = μ(en ) متتالية من عناصر A منفصلة λ [0, ] ويعبر عن الخاصة األخيرة بالقول: إن μ جمعي عدا على A. ( جبر بوريل ) ويعرف كما يلي: ثانيا: أمثلة صفحة ( 26 هامة ) بوريل على E λ(e) = inf { (b k a k ) E ( [a k, b k [ )} k= k= قياس لوبيغ وينتج عن ذلك أنه إذا كان ]b E =,a] فإن.λ(E) = b a أي يقيس كل مجال بطوله. قياس دي ارك قياس العد على P(X) المتمركز عند النقطة a X المعطاة سلفا if a E δ a = { 0 if a E على P(X) E = E عدد عناصر if منتهية E μ(e) = { خالف ذلك if تسميات.A قياس على μ و X جبر تام من أج ازء A X φ فضاء مقيس (X, A, μ).x جبر تام من أج ازء A X φ فضاء قيوس (X, A) ❹ القياس التام ( أو الكامل ) وهو قياس على جبر تام m يحقق ما يلي: m أية مجموعة من A إذا كانت قياسها صفر فإن كل مجموعة جزئية من A تكون من m وقياسها صفر. أي: A m, B A μ(a) = 0 B m, μ(b) = 0 2

ثالثا: القياس الخارجي ( أ (. ( تعريف ) القياس الخارجي على P(X) ( أو على X اختصا ار ) هو تطبيق: μ P(X ) [0, ] A μ (A) μ (φ) = 0 2 A B μ (A) μ (B) 3 A = A n μ (A) μ (A n ) يحقق ما يلي: مالحظة: كل قياس على P(X) هو قياس خارجي. مثال :() إذا كان A μ (A) = أيا كانت A R فعندئذ يكون μ قياسا خارجيا على R وليس قياسا. λ (A) = inf { (b n a n ) A ( ]a n, b n ] )} مثال (2): إذا كان λ فعندئذ يكون قياسا خارجيا على R. ( نسميه القياس الخارجي لكا ارتيودوري على (. R هو صف المجموعات m حيث: ( ب (. ( تعريف (: الجبر التام المولد من قياس خارجي على X مثل μ A m { μ (A) + μ (A c ) = μ (X) μ (A K) + μ (A c K) = μ (X K) = μ (K) K A m K X μ (K) = μ (K A) + μ (K A c ) وهكذا تجد أن ( نسمي الشرط األخير شرط كا ارتيودوري ) ( ج.) ( مبرهنة وتعريف ) يبرهن أن m جبر تام من أج ازء X وتسمى كل مجموعة تنتمي إليه مجموعة μ قيوسة. كما ي برهن أن مقصور λ عليه هو قياس موجب ونسميه القياس المولد من μ. μ مالحظة : إن λ قياس لوبيغ بوريل على مجال بطوله كما ذكر سابقا. هو القياس المولد من القياس الخارجي وهو يقيس كل مالحظة : 2 إذا كانت F دالة حقيقية مت ازيدة ومستمرة ( أو مستمرة من اليمين ) ووضعنا: λ F (A) = inf { (F(b n ) F(a n )) A ( ]a n, b n ] )} λ F فإن قياس خارجي على R يقيس كل مجال [b,a[ بالفرق F(a) F(b) ومقصوره على هو قياس موجب سنسميه قياس لوبيغ استيلجس بوريل على R. 3

: تمارين مختارة 6 من الصفحة 88 وحله صفحة رقم 89 وحله صفحة رقم 2 90 وحله صفحة رقم 3.) P(X) ρ μ ( إذا كانت μ(aδb) ρ(a, B) = حيث قياس ( خارجي ) فإن نصف مسافة على فيما يلي: الفصل الثالث الدوال الحقيقية القيوسة f X R x f(x) ( مبرهنة وتعريف ) سنقول إن f دالة قيوسة بالنسبة إلى جبر تام P(X) m إذاا تحقق أحد الشروط المتكافئة اآلتية: α R f (]α, [) m 2 α R f ([α, [) m 3 α R f (], α[) m 4 α R f (], α]) m ( مبرهنة أساسية ) العمليات على الدوال القيوسة بالنسبة إلى جبر تام P(X) : m مجموع دالتين قيوستين هو دالة قيوسة. نظير دالة قيوسة هو دالة قيوسة. جداء دالتين قيوستين هو دالة قيوسة. f(x) n φ n (x) = [2n f(x)] 2 n (sup f n ) n ❹ الحد األعلى لمتتالية من الدوال القيوسة هو دالة قيوسة ❺ الحد األدنى لمتتالية من الدوال القيوسة هو دالة قيوسة (n (inf f n ❻ النهاية العليا لمتتالية من الدوال القيوسة هو دالة قيوسة ) n (lim f ❼ النهاية الدنيا لمتتالية من الدوال القيوسة هو دالة قيوسة ) n (lim f ( مبرهنة خطيرة ) إذا كانت f X R دالة قيوسة موجبة وكان n ووضعنا عندما φ n f دالة قيوسة كما أن φn خالف ذلك. عندئ ذ φ n و (x) = n φ n مجموعة منتهية نعم برر ذلك. (X) سؤال: هل تسمى كل دالة قيوسة صورتها مجموعة منتهية دالة بسيطة أو دالة درجية. 4

مالحظة: سأعيد صياغة المبرهنة السابقة مستخدما ما سبق: f دالة قيوسة موجبة f هي نهاية لمتتالية مت ازيدة من الدوال الدرجية. تمارين الفصل الثالث صفحة 79 كلها هامة. تمارين وتتمات عرف الصف الم ط رد وأثبت أن صف المجاالت المفتوحة في R ليس صفا م ط ردا. عرف الدالة القيوسة وأثبت أن كل دالة قيوسة موجبة هي نهاية لمتتالية مت ازيدة من الدوال الدرجية. اذكر نص مبرهنة كا ارتيودوري وأثبت الخطوة األولى منها. ( إثبات أن مفهوم التقارب وفق قياس معطى μ m جبر....) 2 3 4 تعريفا f n μ f ε > 0 lim μ{x f n(x) f(x) ε} = 0 n أثبت أن مجموع متتاليتين متقاربتين وفق قياس معطى μ هو متتالية متقاربة وفق μ. الم ارجع العلمية: نظرية القياس ل أ.د محمد بشير قابيل أ.د عهد كفى د. محمود باكير. Real and Complex Analysis - Walter Rudin 5