ﻉﻭﻨ ﻥﻤ ﺔﺠﻤﺩﻤﻟﺍ ﺎﻴﺠﻭﻟﻭﺒﻭﺘﻟﺍ

Transcript

1 The Islamic iversity Joural (Series of Natural Studies ad Egieerig) Vol.4, No., P.-9, 006, ISSN , http// التوبولوجيا المدمجة من نوع * ا.د. جاسر صرصور قسم الرياضيات الجامعة الا سلامية jasser@mail.iugaza.edu ملخص: سنعرف تبولوجيا جديدة على الفضاء المحدب محليا من نوع التبولوجيا الجديدة. X باستخدام المجموعة المدمجة وسنطلق عليه اسم التوبولوجيا المدمجة من نوع كما سنبرهن بعض الخواص لهذه ABSTRACT: Let X be a locally covex space, usig the defiitio of - compact set, I will defie a ew topology o X, called -compact topology, ad prove some properties of the ew topology - مقدمة وبعض المبادي : لقد درس فريد و رمضان في المرجع [3] بعض ا نواع المجموعات المحدبة من النوع في الفضاءات المعيارية حيث متتابعات هذه الفضاءات ذات الا قطار ) - compact) تتقارب الى الصفر بمعدلات مختلفة. ولقد اثبت فريد و رمضان كذلك ا ن الا قطار لحوا صل الضرب الكارتيزية المحدودة للمجموعات المدمجة من النوع هي مدمجة من النوع ا يضا. و في المرجع [8] درس زياد صافي المجموعات المدمجة من النوع في الفضاءات المحدبة محليا. سنرمز بالرمز C 0 لفضاء كل متتابعات الا عداد الحقيقية التي تتقارب ا لى الصفر كما سنرمز بالرمز (S) لفضاء كل متتابعات الا عداد الحقيقة التي تتناقص بسرعة و المعرفة كالتالي α ( S) ( λ ) : sup λ < α > ( α ) 0 وكذلك سنرمز بالرمز Λ(α) α, حيث ان 0 < α α... متسلسلات القوى لجميع متتابعات الا عداد الحقيقية المعرفة كالتالي Λ( α ) ( ) : sup R < R > 0 λ α λ ا ما الرمز (R) فهو لفضاء كل المتتابعات الجذرية للا عداد الحقيقية المعرفة كالتالي لفضاءات * تم دعم هذا البحث من عمادة البحث العلمي الجامعة الا سلامية بغزة

2 التوبولوجيا المدمجة من نوع αحيث.α > 0 x x {( λ ) : lim λ 0} ( R) كما نعني بالرمز x الجزء الصحيح للعدد الحقيقي بحيث ان. x α + β, 0 β < كل الفضاءات المذكورة في هذا البحث هي فضاءات محدبة محليا. بالنسبة للمصطلحات غير المشروحة يمكن للقاري الرجوع ا لى المراجع [67,,,4]. α ا ذا و فقط ا ذا كان 0 lim λ ملاحظات - : من النظرية "" من المرجع[ 3 [ فان لجميع قيم.α > 0 ( λ ) ( S) -في الفضاء (S) - الفضاء (S) هو حالة خاصة من الفراغ Λ(α). α ) ( λ لجميع قيم ( R) فان ( λ ) -3 ا ذا كان R) ( 4 -كل متتابعة جذرية هي متتابعة سريعة التناقص و العكس ليس بالضرورة صحيحا وفي وبما α > 0 α lim λ lim α 0 الحقيقة ا ذا كان ا ن λ,فان, N فان لكل. ( λ ) ( S) \ ( R) تعريف.: من المرجع [3] مثالي المتتابعة من النوع على مجال قياسي هو مجموعة l ) فضاء كل المتتابعات المحدودة على مجموعة الا عداد الحقيقية ( وهذا جزي ية من الفضاء المثالي يحقق الشروط التالية ( x ) e (0,0,...,,...),حيث i و الواحد الصحيح في المكان e,.(i) i D : E E ( 0 0 x i x + x x فان, x (ii) ا ذا كان x. y فان y l و x ا ذا كان (iii) x, x, x,,...).فان x x 0, x,...) كان ( iv )ا ذا ( تعريف - اذا كان E هو مثاليا فا ننا سنسمي المو ثر و المعرف كالتالي ))D x با نه المو ثر الموسع وكذلك سنسمي الشرط (iv) في التعريف ) x 0 ) ( ) 0 السابق - " بخاصية التوسع". يجب ملاحظة ا ن فضاءات المتتابعات (S) Λ(α) ( (R هي ا مثلة على المثاليات ) انظر المرجع [4] صفحة.( 9

3 ا. د. جاسر صرصور تعريف -3 :بفرض ا ن A,D هما مجموعتان محدبتان تحدبا مطلقا في الفضاء ا لاتجاهي للتبولوجيا E بحيث ا ن D يمتص A ا ي انه يوجد > 0 λ بحيث ا ن A ρd لجميع قيم A, δ ( كالتالي:- D; (F فا ننا سنعرف E فضاء جزي يا من الفضاء F و ا ذا كان ρ > λ δ ( A, D; F) if{ r > 0 : A rd + F}. وسنعرف القطر رقم من المجموعة A بالنسبة ا لى المجموعة D كالتالي :- δ ( A, if{ δ ( A, D; F) : dim( F) }, 0,,,... وهذا يحقق الخواص التالية :- δ 0( A, δ( A,... δ ( A, () () ا ذا و فقط ا ذا كانت المجموعة A موجودة في فضاء خطي جزي ي من الفضاء E ذو البعد δ ( A, على الا كثر فان 0 (3) ا ذا كانت المجموعة A هي مجموعة جزي ية محدودة من الفضاء E فان المجموعة A تكون A, Lim( δ ( حيث µ(e) هو )) 0 مدمجا متقدما ا ذا و فقط ا ذا كان (E µ ( ا ساس محلي للصفر في الفضاء E δ ( T ( A), T ( ) δ ( A, T : E F هو مو ثر خطي فان. (4) ا ذا كان δ ( A, D ) δ ( A,. فان D D A وكانت A (5) ا ذا كانت فرضية -. ا ذا كانت W هي مجموعة محدبة تحدبا مطلقا في الفضاء ا لاتجاهي E وكانت A,B مجموعتان جزي يتان من الفراغ E ممتصتان بالمجموعة W فان ). W δوكذلك ( A B), W ) δ ( A), W ) + δ ( B), فان δ+ ( A B), W ) δ( A), W ) + δ( B), W ). البرهان: ا ذا كان t عددا اختياريا اكبر من الصفر فانه يوجد فضاءان جزي يان اتجاهيان F,K ( t + δ ( A W )) W F A بعديهما اقل من ا و يساوي بحيث ا ن +., وكذلك A rw + F ad B rw + K فان δ B ( t + δ ( B, W )) W + K ( A, w) + δ ( B, w) + t r B rw + spa ( F K ) اذا كان فان وبما ان بعد الفراغ ولهذا ) B spa( F اقل من او يساوي وكذلك t عدد اختياري موجب فان δ وبما ( A B), W ) δ( A), W ) + δ( B), W ). A δ + δ ( A B), W ) ( A B), W ). δ+ ( A B), W ) δ( A), W ) + δ( B), W ). ان ا ذن 3

4 التوبولوجيا المدمجة من نوع c 0 فان المجموعة الجزي ية D من الفضاء المحدب محليا. µ(e) ( δ ( D, ) 0) المجموعات المدمجة من النوع تعريف - :ا ذا كان هناك مثالي E تسمى مدمجة من النوع ا ذا كان لجميع قيم ا مثلة : () كل مجموعة محدودة هي مدمجة من النوع. δ لجميع المجموعات الجزي ية B من المجموعة A فان كل ( B, ) δ ( A, () بما ا ن ) مجموعة جزي ية من المجموعة المدمجة من النوع هي مجموعة مدمجة من النوع. x) B ( ه ي : x وكذل ك D ( x ) : x (3) ا ذا كان ت δ ( D, εb l l فانه طبقا للنقطة 9..3 من المرجع [7] فان ) مجموعات جزي ية من ε l حيث B l هي كرة الوحدة المغلقة في δ حيث ( B, εbl وكذلك فان ) ε ) x ( ومن ثم فان D هو مدمج متقدم ومدمج سريع لكنه ليس (,,,,...) l x0 x0 x x مدمجا جذريا وكذلك فان B هو مدمج متقدم لكنه ليس مدمجا سريعا. نظرية. :الصورة الخطية المتصلة لا ي مجموعة مدمجة من النوع هي مدمجة من النوع. البرهان: انظر النظرية..7 من المرجع [8]. فرضية.: ا ذا كانت A,B للتبولوجي E فان مجموعتين جزي يتين مدمجتين من النوع هي مجموعة مدمجة من النوع. في الفضاء ا لاتجاهي ( x0, x0, x, x,...) فان ( y ) A B x x 0 البرهان: بما انه لجميع المتتابعات (..., x, (.باستخدام الاستنتاج الرياضي فان المتتابعة حيث موجودة في وبما انه لا ي جوار للصفر فان موجودت ان ف ي له ذا ف ان ) x ( موجودة في ومن ثم ( x ) y ( ) x i 0,,,3,... ( m m i ) ف ان ) ), ( δ ( δ ( A, ) ) ad ( B ( δ ( A, ) + δ موجودة في. ( B, ) ) x δ ( A, ) + δ ( B, ) ا ذا كان N y x 0,,,3, i ( i ) ( y ) فان موجودة في حيث 4

5 ا. د. جاسر صرصور بما ا ن وكذلك δ ( A B), W ) δ( A), W ) + δ( B), W ). δ و كذلك ا يض ا + ( A B), W ) δ ( A), W ) + δ ( B), W ).. δ ( A B), W ) y > 3 δ فان 0( A, δ( A,... δ ( A, ولكن ( y ) A B تنتمي ا لى لذلك فانه باستخدام النقطة رقم هي مجموعة مدمجة من النوع. (iii) من التعريف (.) فان نتيجة:. الاتحاد المحدود لمجموعات مدمجة من النوع هي مجموعة مدمجة من النوع. 3 التبولوجيا المدمجة من النوع نظرية 3. : ا ذا كانت :A A Γ{ هي مجموعة جزي ية مدمجة من النوع في X ا وXA { فان Γ تحقق ما يا تي:- Γ تنتمي ا لى X وكذلك φ-(i) Γ ينتمي ا لى Γ المحدود لعناصر ( ii )-الاتحاد Γ ينتمي ا لى Γ التقاطع الاختياري لعناصر من -(iii) البرهان: نظرا لا ن المجموعة الخاوية Γ تنتمي ا لى φ هي مجموعة مدمجة من النوع فان φ و ا يضا من تعريف Γ فان X تنتمي ا لى. Γ وباستخدام النتيجة. فان الاتحاد المحدود للمجموعات المدمجة من النوع هو مجموعة مدمجة من النوع لهذا فان الاتحاد المحدود لعناصر من Γ ينتمي ا لى. Γ ونظرا لان ا ي مجموعة جزي ية من المجموعة المدمجة من النوع تكون مدمجة من النوع فان التقاطع الاختياري لعناصر من Γ يكون موجودا في. Γ ملاحظة : 3. المجموعة } A Γ I { X\ A: هي تبولوجيا على X حيث Γ هي مجموعة كل المجموعات المغلقة والتي سنطلق عليها اسم التبولوجيا المدمجة من النوع ملاحظة :-() 3. ا ذا اشتملت X على عنصرين ا و ا كثر فان التبولوجيا المدمجة من النوع تكون تبولوجيا غير بديهية ) غير تافهة). () ا ذا كانت X هي مجموعة مدمجة من النوع فان التبولوجيا المدمجة من النوع هي تبولوجيا منفصلة. نظرية 3. :التبولوجيا المدمجة من النوع ا قوى من التبولوجيا المصاحبة المحدودة (cofiite topology) البرهان : بما ان كل مجموعة محدودة هي مجموعة مدمجة من النوع و بالتالي فهي مغلقة في التبولوجا المدمجة من النوع و حيث ا ن كل مجموعة مغلقة في التبولوجيا المحدودة 5

6 التوبولوجيا المدمجة من نوع المصاحبة هي مجموعة محدودة او تساوي كل الفضاء ا ذن فهي مغلقة في التبولوجا المدمجة من النوع وبناء عليه فان التبولوجيا المدمجة من النوع ا قوى من التبولوجيا المحدودة المصاحبة. نتيجة : 3. التبولوجيا المدمجة من النوع هي الفراغ T فرضية :3. اذا كان, مثاليين حيث فان التبولوجيا المدمجة من النوع اضعف من التبولوجيا المدمجة من النوع. البرهان: بما ا ن فان كل مجموعة مدمجة من النوع هي مجموعة مدمجة من النوع ولذلك فان كل مجموعة جزي ية مغلقة منX بالنسبة ا لى التبولوجيا المدمجة من النوع هي مجموعة جزي ية مغلقة منX بالنسبة ا لى التبولوجيا المدمجة من النوع ومن ثم فان التبولوجيا المدمجة من النوع تكون اضعف من التبولوجيا المدمجة من النوع. l وكان : x <} {x فان k N} υ{(/ k )u: هو ا ساس محلي مثال : ا ذا كان X (R) /)}A k و كان هو فضاء كل المتتابعات للصفر في X ا ذا كان N} )e : : الجذرية لمجموعة الا عداد الحقيقية و المعطى على الشكل {( λ ) : lim λ 0} ( R) و ا ذا كان (S) فضاء كل المتتابعات المتناقصة بسرعة لمجموعة الا عداد الحقيقية و المعطى على الشكل α ( S) ( λ) : sup λ < α > 0 فان A هي مجموعة مدمجة من النوع وليس مجموعة مدمجة من النوع نتيجة 3.: ا ذا كانت X فضاء محدبا تحدبا محليا وكان. مثاليان حيث فان, التبولوجيا المدمجة من النوع ليس بالضرورة ان تكون مساوية للتبولوجيا المدمجة من النوع : 3. ا ذا كان ) (X, I ), (X, I فضاءان محدبان تحدبا محليا حيث I اضعف من. فرضية I فان التبولوجيا المدمجة من النوع بالنسبة الى I اضعف من التبولوجيا المدمجة من النوع بالنسبة الى. I البرهان: نفرض ان τ هي التبولوجيا المدمجة من النوع بالنسبة ا لى I وان τ هي التبولوجيا المدمجة من النوع بالنسبة ا لى I. ا ذا كانت O τ هي مجموعة اختيارية مفتوحة و غير خاوية فان المجموعة X\O هي مجموعة مغلقة و من ثم فا نها مجموعة مدمجة من النوع بالنسبة الى 0 لهذا فان I µ ( X ) ) ) ( δ ( X \ O, لجميع قيم حيث ) X µ ( هو ا ساس مغلق للصفر في X بالنسبة الى. I 6

7 ا. د. جاسر صرصور وبما ان I I فان ) ) ( δ ( X \ O, لجميع قيم u µ(x) حيث µ(x), هو 7 0 ا ساس محلي للصفر في X بالنسبة ا لى I لهذا فان X\O هي مجموعة مدمجة من النوع بالنسبة ا لى I ولذلك فهي مغلقة في الفراغ نظرية 3.4: نفرض ا ن X (X,τ ) ومن هنا فان τ اقوي من. τ فراغ محدب تحدبا محليا ا ذا كان, مثاليان وكان فان التبولوجيا المدمجة من النوع تساوي تقاطع التبولوجيا المدمجة من النوع مع التبولوجيا المدمجة من النوع البرهان : بما ان ا ذن كل مجموعة مدمجة من النوع هي مجموعة مدمجة. من النوع و كذلك مجموعة مدمجة من النوع ولذلك فان التبولوجيا المدمجة من النوع هي مجموعة جزي ية من تقاطع التبولوجيا المدمجة من النوع مع التبولوجيا المدمجة من النوع ا ذا كانت O هي مجموعة غير خالية و تنتمي ا لى هذا التقاطع فان O تنتمي الى التبولوجيا المدمجة من النوع ولهذا فان ) ) ( δ ( X \ O, لجميع قيم 0 µ ( X ) المدمجة من النوع حيث X. هو ا ساس محلي للصفر في µ ( X ) ( δ ( X \ O, ) ) 0 0 ا ذن وبم ا ن O تنتمي ا لى التبولوجيا لجميع قيم µ ( X ) X هو ا ساس محلي للصفر في µ ( X ) لهذا فان حيث ) ) ( δ ( X \ O, ومن ثم فان X\O هي مجموعة مدمجة من النوع وبالتالي فهي مغلقة في التبولوجيا المدمجة من النوع وهذا يبين ان O هي مجموعة مفتوحة في التبولوجيا المدمجة من النوع لهذا فان التبولوجيا المدمجة من النوع تساوي تقاطع التبولوجيا المدمجة من النوع مع التبولوجيا المدمجة من. النوع نظرية 3.5: الصورة الخطية المتصلة للمجموعة المدمجة من النوع هي مدمجة من النوع البرهان: انظر النظرية..7 في المرجع [8]. نظرية 3.6: ا ذا كان هيه مثاليا وكان Y,X فضاءين محدبين محليا و ا ذا كان τ و τ هما تبولوجيا مدمجة من النوع و معرفان على Y,X على الترتيب وبفرض ان f اقتران فوقي خطي متصل بين ) (X, τ و ), (Y, τ فان f تكون مغلقة. البرهان: ا ذا كانت B مجموعة جزي ية مغلقة من X فان BX او B مجموعة جزي ية من النوع وحيث ا ن f(x)y وكذلك الصورة الخطية المتصلة للمجموعة المدمجة من النوع هي مجموعة مدمجة من النوع وبما ان المجموعة المدمجة من النوع تكون مغلفة في التبولوجيا المدمجة من النوع ا ذن f(b) تكون مغلقة في ),Y) τ ولذلك فان f هو اقتران مغلق.

8 التوبولوجيا المدمجة من نوع نتيجة.3 : اذا كان الاقتران f في النظرية السابقة متصلا و كان هذا الاقتران خطيا و واحد لواحد. (embeddig) يكون اقترانا مدفونا f فان (oe to oe) نظرية 3.7 : اذا كان (τ,x) فراغا تبولوجيا حيث τ تبولوجيا مدمجة من النوع وكانت X ليست مجموعة مدمجة من النوع فان لجميع المجموعات الجزي ية A غير الخاوية من X ولا تساوي X فان: It (A) φ i- ا ذا وفقط ا ذا كانت A مغلقة وغير مفتوحة. cl X A X -ii لجميع المجموعات الجزي ية Aغير المغلقة. البرهان( i ) بما ا ن 8 A X و كذلك A مغلقة وغير مفتوحة ا ذن A هي مجموعة مدمجة من النوع و كذلك فان X\A مجموعة غير مغلقة و بالتالي فهي ليست مجموعة مدمجة من النوع ولهذا فان ا ي مجموعة تحتوي المجموعة X\A ليست مجموعة مدمجة من النوع لان ا ي مجموعة.جزي ية من المجموعة المدمجة من النوع تكون مجموعة مدمجة من النوع و بالتالي فهي مغلقة. وحيث ا ن المجموعة المكملة لمجموعة جزي ية من A تحتوي على X\A فا نها تكون غير مغلقة ولهذا فان ا ي مجموعة جزي ية من Aليست مفتوحة وبالتالي فان.(A) φ It (ii) بما ان ا ي مجموعة جزي ية من المجموعة المدمجة من النوع هي مجموعة مدمجة من النوع وبالتالي فهي مغلقة وبما ا ن A هي مجموعة جزي ية من مغلقة ا ذن. cl X A X cl X A و ا يضا A ليست ملاحظة: ا تقدم بالشكر الجزيل للا خ الا ستاذ ا سماعيل الاسطل لترجمته هذا البحث بلغة عربية سليمة Refereces [] Astala, k. ad Ramavja, M.S. "(S) Nuclear Sets ad Operators". Pac. J. Math., Vol. 7, No., (987), pp [] Dubisky, E., "The Structure of Nuclear Fréchet Spaces", Lecture Note i Math. No. 70, Spriger- Verlag, Berli-Heidelberg, (979). [3] Faried, N. ad Ramada, F. " N-Diameters ad Kolmogrove Numbers of Fiite Cartesia Product of -Compact Sets ad Direct Sums of Operators." Proc. Math. Phys. Soc. Egypt, No.68, (99), pp. -0 [4] Jarchow, H. "Locally Covex Spaces ", B. G. Teubeer, Stuttgart (98). [5] Köhe, G. "Topological Vector Spaces I ad II", Spriger-Verlage Berli- Heidelberg, (969) ad (980).

9 ا. د. جاسر صرصور [6] Pietch, A. " Nuclear Locally Covex Spaces", Akademic Verli, Berli, (97). [7] Pietch, A. "'Operator Ideals", North-Hollad Publishig Compay, Amsterdam, New York, Oxford, (980). [8]Safi Zeayad " -compact operators betwee Nuclear Kothe spaces" phd thesis El-Aqsa iversity, 00. 9