מבוא ללוגיקה מתמטית 80423

מבוא ללוגיקה מתמטית 80423 24 במרץ 2012 איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה או המתרגל קשורים לסיכום זה בשום דרך. הערות יתקבלו בברכה.noga.rotman@gmail.com אהבתם? יש עוד! www.cs.huji.ac.il/ nogar02 1

2

תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים 5 שיעורים I 5............................... הקדמה 0.1 6................... תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1 6 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים............. 1.1 8.................. הגדרה של מבנה M 1.1.1 15........................... מערכת ההיסק 1.2 15.................. בניית מערכת ההיסק 1.2.1 16....................... כללי היסק 1.2.2 17..................... משפט הנאותות 1.2.3 23 משפט פוסט על טאוטולוגיה............... 1.2.4 32 כלל הניתוק Ponens) (Modus............. 1.2.5 33......................... פעולות עם כמתים 1.3 33 כלל הכנסת...................... 1.3.1 34...................... כלל ההכללה 1.3.2 34....................... כלל ההצבה 1.3.3 36 משפט ההצבה...................... 1.3.4 37................. כלל הדיסטריביוטיביות 1.3.5 38 הרחבת השפה............................ 1.4 38.................... משפט הדדוקציה 1.4.1 41..................... משפט הקבועים 1.4.2 42 משפט השקילות..................... 1.4.3 43..................... משפט הוריאנט 1.4.4 44 משפט הסימטריות.................... 1.4.5 45..................... משפט השיוויון 1.4.6 48.................. צורת הקידומת form) (prenex 1.5 52....................... משפט השלמות של גדל 1.6 53 בניית המודל הקנוני................... 1.6.1 55...................... תכונת הנקין 1.6.2 58 הרחבות......................... 1.6.3 60.................... משפט לינדנבאום 1.6.4 61................. הוכחת משפט השלמות 1.6.5 62 משפט הקומפקטיות................... 1.6.6 62........ משפט לובנהיים סקולם ופרדוקס סקולר 1.6.7 63 תרגולים II 63........................... תחשיב פסוקים 1.7 63 סימני השפה....................... 1.7.1 63 אינדוקציה על בניית הפסוק............... 1.7.2 64................. סדרת יצירה של פסוק 1.7.3 64........................ עץ יצירה 1.7.4 65 מבנה לשפת תחשיב הפסוקים.............. 1.7.5 65....................... טבלת אמת 1.7.6 3

תוכן עניינים תוכן עניינים 1.7.7 כללי היסק....................... 66 1.7.8 אקסיומות לוגיות:.................... 66 1.8 אקסיומות פיאנו........................... 73 2 על הוכחת משפט השלמות......................... 78 2.1 חזרה................................ 84 2.1.1 מניה של מודלים ומבנים סופיים............ 84 2.1.2 השלמה למשפט הקומפקטיות.............. 85 2.2 על המבחן.............................. 86 4

חלק I שיעורים 0.1 הקדמה הספר הכי קרוב לקורס (%80 בערך).Shoeneld, Mathematical Logic ישנם ספרים אחרים, אך זה הכי טוב (של עזריאל לוי, של האוניברסיטה הפתוחה, ועוד). על מה מדברים בלוגיקה מתמטית? נותן פורמט פורמלי ללוגיקה כשנותנים טיעון מתמטי, הולכים לפני הגיון מסוים. את ההגיון הזה מנסה הלוגיקה המתמטית להפוך לדבר פורמלי. דהיינו, החשיבה המתמטית היא מקבלת את צורתה הפורמלית בצורת הלוגיקה שנלמד. מה שאנחנו נלמד בקורס זה הוא "תחשיב היחסים" לוגיקה מסדר ראשון (ישנם תחומים נוספים לוגיקה מסדרים אחרים 0,2,3...). המתרגל ידבר על אחד הסוגים הללו "תחשיב הפסוקים". 5

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 31/10/2011 1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים מרכיבי השפה ישנם מספר מרכיבים: 1. משתנים, ללא מגבלה מספרית. 2. קשרים לוגיים מספר מצומצם של קשרים, בעזרתם נתאר את שאר הקשרים: (א) אייוי, דיסיונקציה A. B (ב) שלילה A. 3. כמת הקיום (את כמת הכולל, נגדיר בעזרתו בהמשך). הערה 1.1 ישנן תורות נוספות בהם משתמשים בכמתים נוספים למשל, בתורת הקבוצות הכמותית, קיים (ג'י הפוכה). 4. סמלי פונקציות f סמל של פונקציה n מקומית, כאשר 0 n. הערה 1.2 פונקציה 0 מקומית היא למעשה קבוע. 5. סמלי יחסים P סמל של יחס m מקומי, כאשר 0 m. על תפקידם נדבר בהמשך. (),.6 הערה 1.3 ישנן תורות בהם לא משתמשים בסימנים אלו, אך הן עושות את השפה קריאה יותר. הגדרה 1.4 הסיגנטורה של השפה היא אוסף של סימלי פונקציות וסמלי היחסים שיש בשפה. הגדרה 1.5 ביטוי בשפה סדרה של מרכיבי השפה. קיימים שני סוגי ביטויים: 1. שמות עצם. 2. נוסחאות. נגדיר את המושג "שם עצם" בעזרת המושג "סדרת יצירה של שם עצם": 1. כל משתנה הוא שם עצם זוהי סדרה באורך 1. 2. אם c הוא סמל פונקציה 0 מקומית, כלומר קבוע, אז c הוא שם עצם..3 אם u 1, u 2,..., u n הם שמות עצם, ו f הוא סמל פונקציה n מקומית, אז ) n f (u 1, u 2,..., u הוא שם עצם. הערה 1.6 למעשה 2 הוא מקרה פרטי של 3. 6

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים הערה 1.7 לכאורה נראה שמקרה זה מעגלי, כי אנו יוצרים שם עצם בעזרת שמות עצם אחרים. לשם כך אנו זקוקים למושג "סדרת יצירה של שם עצם". במקרה זה, סדרת היצירה של ) n f (u 1, u 2,..., u תהיה מורכבת מסדרות היצירה של שמות העצם.u 1, u 2,..., u n נרשום אותה כך: u n u 2 u 1 כלומר, סדרת יצירה היא "סיפור חייו" של שם עצם כיצד הוא נוצר. היא תמיד סופית, ולכן נוכל בדר"כ להשתמש באינדוקציה על סדרת היצירה (נניח הטענה עבור שם עצם בעל סדרת יצירה באורך קטן או שווה ל n, ונוכיח נכונות הטענה עבור שם עצם בעל סדרת יצירה באורך + 1 n). שם עצם מתקבל אך ורק ע"י שימוש חוזר בסעיפים 3. 2, 1, דוגמא: יהיו 1,2,3 קבועים, והפונקציה.+ אזי הביטוי 2) (1 + + 2) + 3) ((1 + הוא שם עצם. מהי סדרת היצירה שלו? סדרת היצירה של 1,2,3 הן הקבועים עצמם. 1 + 3 נוצר ע"י הסדרה.3 1 סדרת היצירה של + 2 3) (1 + היא.1 + 3, 3, 1, 2 של 1 + 2 היא.1 + 2, 1, 2 וכך לבסוף עבור כל הביטוי נקבל את סדרת היצירה ((1 + 3) + 2), (1 + 3) + 2, 1 + 3, 3, 1, 2, 1 + 2, 2, 1 גם נוסחא מוגדרת ע"י סדרת יצירה של נוסחא: 1. נוסחא אלמנטרית אם u 1, u 2,,... u n הם שמות עצם, ו P סמל יחס n מקומי, אז.n היא נוסחא, כאשר 0 P (u 1, u 2,..., u n ) 2. אווי אם,A B נוסחאות, אז A B נוסחא. 3. שלילה אם A נוסחא, אזי A נוסחא. 4. הטלת כמת על משתנה x אם A נוסחא, x משתנה, אז (x ) A נוסחא. הערה 1.8 בין אם A מכילה x או לא, ניתן להטיל כמת עם משתנה x לפניה. הערה 1.9 נרצה להתייחס לשיוויון = בצורה שונה משאר סימני היחס כאשר נגיע לפירוש של שפה בתוך מבנה, נדרוש כי משמעותו תהיה זו שאנו מכירים. בסעיף הראשון רשימת המרכיבים נותנת לנו את סדרת היצירה, וכך נוכל לחבר סדרות יצירה כדי לקבל עבור הסעיפים הבאים. 7

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים כמתים נוספים:.1 כמת החץ. B A משמעו.( A) B.2 גימום קוניונקציה:.&, B A משמעו ( B)) (( A).3 חץ כפול. A B משמעו A).(A B) (B. (( x) ( B)) משמעו ( x) B.4 5. כאשר לא כותבים סוגריים מניחים שהסוגריים מופיעים מימין לשמאל. למשל: (א) A 1 A 2... A n משמעו )) n.a 1 (A 2... (A n 1 A (ב) A 1 A 2... A n 1 A n משמעו ))) n A 1 (A 2 (... (A n 1 A 1.1.1 הגדרה של מבנה M M קבוצה של המבנה M. הקבוצה הזו תמיד לא ריקה. מבנה פירוש של כל סמלי פונקציה וסמלי יחסים ב M. נגדיר מבנה לפי הפעולה שלו על כל ממרכיבי השפה: עבור f סמל פונקציה n מקומית: f M : M n M P M : M n {T, F} אם c סמל של קבוע, אזי M c. M עבור P סמל יחס n מקומי: כאשר הקבוצה מימין היא קבוצת ערכי האמת. סמלי הפונקציה מתפרשים כפונקציות וסמלי היחסים כנוסחאות. נרצה לקשר בין המבנה הצד הסמנטי של השפה, לצד הפורמלי. השמה M σ : V ar מתאימה לכל משתנה x איבר M.σ (x) נגדיר לה הרחבה: σ : T erms M כאשר Terms שמות עצם. אזי, הפירושים במבנה יהיו:.1 עבור x משתנה (x). σ (x) = σ.2 עבור c סמל קבוע. σ (c) = c M.3 עבור u 1,..., u n שמות עצם, f סמל פונקציה n מקומית. אזי: σ (f (u 1,..., u n )) = f M ( σ (u 1 ),..., σ (u n )) M 8

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים הערה 1.10 הוכחה של סעיף שלוש אינדוקציה על אורך סדרת היצירה. בהנתן A נוסחא, נגדיר F} σ : F ormulas {T, F}, σ (A) {T, פונקציה המקיימת: σ (P (u 1,..., u n )) = P M ( σ (u 1 ),..., σ (u n )).1 עבור ) n :P (u 1,..., u 2. כמו כן: σ (A B) = σ (A) σ (B), σ ( A) = σ (A) עבור קבוצת ערכי האמת: T T = T, F F = F, F T = T הגדרנו את הפונקציה: 3/11/2011 σ : F ormulas {T, F} ע"י: σ (P (u 1,..., u n )) = P M ( σ (u 1 ),..., σ (u n )) σ (B C) = σ (B) σ (C) σ ( B) = σ (B) נשים לב כי החלק הימני בשתי השורות האחרונות כבר לא סינטקטי אינו חלק מהשפה, בעוד הצד השמאלי הוא ביטוי בשפה. כלומר, הצד הימני מקבל T או F ללא התחשבות בנכונות הביטויים המקוריים. נמשיך בהגדרת σ: σ (( x) B) = σ [x/a] (B) a M σ [x/a] : V ar M { (σ [x/a]) (x) = a (σ [x/a]) (y) = σ (y) y x מה הנוסחא הזו עושה? נפרק למרכיבים: יתן T אם לפחות אחד מהביטויים בקבוצת המבנה הוא T, ויתן F אם כולם F. בצורה פורמלית:.q α = כך ש T α I כאשר קיים q α = T,q α = F כאשר כל q α = F α I α I 9

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים נשים לב: σ [x/a] : V ar M σ [x/a] : T erms M σ [x/a] : F ormulas {T, F} דוגמא: נניח שבסיגנטורה של השפה יש לנו יחס סדר בלבד: >. זהו יחס דו מקומי. נגדיר אותו בצורה האינסטינקטיבית על שני מבנים: { } 1 M 1 = n n Z, n > 0 { M 2 = 1 1 } n n Z, n > 0 נביט בנוסחא: < M1, < M2 (x 1 < x 2 ) (x 2 < x 3 ) מהי השמה עבור M 1 כך שהנוסחא ש: σ : V ar M 1, σ ((x 1 < x 2 ) (x 2 < x 3 )) = F אופציה אחת: 7/11/2011 σ (x 1 ) = 1, σ (x 2 ) = 1 2, σ (x 3) = 1 3 σ (x 1 < x 2 ) = F, σ (x 2 < x 3 ) = F... = F F = F בהמשך לשיעור הקודם: הבטנו בשפה שיש לה רק יחס של השוואה < (יחס דו מקומי), ובמבנים הבאים: { } 1 M 1 = n N, n 1 n M 2 = {1 1n } n Z, n 1 נרצה להסתכל על: ( x 1 ) ( x 2 ) (x 1 < x 2 ) האם זו נוסחא? לא, 1 כי הכמת לא בשפה. נביע את הכמת שלא בשפה בעזרת כמת הקיום ושלילה (שכן כלולים בשפה כחלק ממרכיביה): ( x 1 ) ( x 2 ) (x 1 < x 2 ) 1 המשמעות (הפירוש הלא פורמלי) בקבוצה אין איבר מקסימלי. 10

1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון σ : x 1 1 n, x 2 1 m, σ : V ar M 1 כעת זו נוסחא! נגדיר: כיוון ולא יהיה לנו צורך לדעת את הערך של המשתנים האחרים, נסמן σ n,m = σ כפי שהוגדרה מעלה. σ n,m (x 1 < x 2 ) = { T F n > m n m σ n,m ( ( x 1 ) ( x 2 ) (x 1 < x 2 )) 1 = σ n,m (( x 1 ) ( x 2 ) (x 1 < x 1 )) ( [ 2 = x 1 / 1 p 3 = ( σ 1 n,m p M1 1 p M1 ] ( ( x 2 ) (x 1 < x 2 )) ) (σ n,m [ x 1 / 1 p] ) ( x 2 ) (x 1 < x 2 ) ( ( [ 4 = (σ 1 p M1 1 n,m x 1 / 1 q M1 p [ 1 p = σ n,m x 1 / 1 ] [ (x 1 ) = ((σ n,m x 1 / 1 p p [ 1 ((σ q = n,m x 1 / 1 ]) [ x 2 / 1 ]) (x 2 ) p q [ (σ n,m x 1 / 1 ]) [ x 2 / 1 ] = σ p,q p q ( ( )) 5 = p = 1 p = 2, p > 2, = F 1 p M 1 σ 1 p,q (x 1 < x 2 ) q M1 σ 1 1,q (x 1 < x 2 ) = F q M1 σ 1 2,q (x 1 < x 2 ) = T q M1 σ 1 p,q (x 1 < x 2 ) = T q M1 ) ]) [ x 2 / 1 ] )) (x 1 < x 2 ) q ]) [ x 2 / 1 ]) (x 1 ), q ב M. 1 נחשב: למה הכל בסוף שווה F? עבור = 1 p האיווי הפנימי הוא F, לכן הכל הוא T, ולבסוף שלילה של T הוא F. כלומר, הנוסחא אכן פועלת בצורה בה ציפינו עבור הפירוש הלא פורמלי שלה. כעת, נעשה את אותו דבר עבור M 2 הפעם נצפה לתשובה T. נגדיר השמות בצורה 11

1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון { σ n,m (x 1 ) = 1 n σ n,m (x 2 ) = 1 m, { σp,q (x 1 ) = 1 p σ p,q (x 2 ) = 1 q דומה: τ n,m = τ : x 1 1 1 n, x 2 1 1 { m T n < m τ n,m (x 1 < x 2 ) = F n m τ n,m ( ( x 1 ) ( x 2 ) (x 1 < x 2 )) ( [ 1 = x 1 /1 1 p τ n,m 1 1 p M2 ( ( ] ( ( x 2 ) (x 1 < x 2 )) 2 = τ n,m 1 1 p M2 1 1 q [ ((τ M2 n,m x 1 /1 1 ]) [ x 2 /1 1 p q [ (τ n,m x 1 /1 1 ]) [ x 2 /1 1 ] (x 2 ) = 1 1 p q q [ (τ n,m x 1 /1 1 ]) [ x 2 /1 1 ] = τ p,q p q ( ( )) 3 = p = 1 p = 2 1 1 p M2 τ p,q (x 1 < x 2 ) 1 1 q τ 1,m (x 1 < x 2 ) = T 1 1 q M2 τ 2,m (x 1 < x 2 ) = T 1 1 q M2 ) [ x 1 /1 1 ] [ x 2 /1 1 ] )) (x 1 < x 2 ) p q ]) [ (x 1 ) = (τ n,m x 1 /1 1 ]) (x 1 ) = 1 1 p p לכן האיווי הפנימי תמיד יהיה T. אחרי שלילה כולם F, לכן האיווי החיצוני יהיה F ולאחר השלילה החיצונית, התוצאה הסופית של הנוסחא היא T: 4 = T ( x 1 ) (( x 1 ) P (x 1 )) נביט ב: הטלנו שני כמתים על המשתנה x 1 החיצוני אם כך כרגע עובד ב"מהלך סרק" כי הוא עובד רק על משתנים חופשיים (כאלו שלא קשורים בכמת). משפט 1.11 נניח ש: M,σ : V ar ו M τ : V ar שתי השמות, ויש לנו נוסחא A. נניח שלכל משתנה x שמופיע ב A בצורה חופשית (ללא כמת), (x) σ. (x) = τ אזי.σ (A) = τ (A) 12

1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון הוכחה: נשתמש באינדוקציה על אורך סדרת יצירה 2 של A. נניח תחילה כי A היא נוסחא אלמנטרית, ז"א ) n.a = P (u 1, u 2,..., u טענה 1.12 אם u הוא שם עצם, ו ( x ) σ (x) = τ עבור כל המשתנים x המופיעים בשם עצם. σ (u) = τ (u) אזי,u הוכחה: נשתמש באינדוקציה על אורך סדרת יצירה של שם עצם u. אם,u = x אז: σ (u) = σ (x) = σ (x) = τ (x) = τ (x) = τ (u) σ (u) = σ (c) = c M = τ (c) = τ (u) אם,u = c אז: אם ) m,u = f (v 1, v 2,..., v אז: σ (u) 1 = σ (f (v 1, v 2,..., v m )) 2 = f M ( σ (v 1 ),..., σ (v m )) = f M ( τ (v 1 ),..., τ (v m )) 4 = τ (f (v 1, v 2,..., v m )) = τ (u) בעזרת טענת העזר, נקבל: σ (A) = σ (P (u 1,..., u m )) = 1 P M ( σ (u 1 ),..., σ (u m )) = 2 P M ( τ (u 1 ),..., στ (u m )) = τ (P (u 1,..., u m )) = τ (A) כעת, נניח.A = B C אזי: σ (A) 1 = σ (B C) 2 = σ (B) σ (C) 3 = τ (B) τ (C) 4 = τ (B C) 5 = τ (A) σ (A) 1 = σ ( B) 2 = σ (B) 3 = τ (B) 4 = τ ( B) 5 = τ (A) נניח.A = B אזי: 10/11/2011 והמקרה הרביעי והמעניין :A = ( y) B אם z הוא משתנה המופיע חופשית ב B, אזי (z) σ (z) = τ (מהנחת האינדוקציה), אלא אם כן z, = y אזי y לא מופיע חופשית ב A שכן הוא נקשר בכמת מההנחה שלנו (הוא עדיין יכול להופיע חופשית ב B, אנו לא מניחים כלום על B) ולכן לא נתון (y) σ. (y) = τ σ (A) = σ (( y) B) denition = σ [y/a] (B) = 3 τ [y/a] (B) a M a M = τ (( y) B) = τ (A) מדוע 3 נכון? 2 אנו כבר יודעים כי יכולה להיות יותר מסדרת יצירה אחת, ועל כן אנו נמנעים כאן משימוש ב"ה" הידיעה. 13

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.1 בניית השפה הפורמלית של תחשיב היחסים עבור y: (σ [y/a]) (y) = a = (τ [y/a]) (y) ועבור z, y המופיע חופשי ב B, z מופיע חופשי ב A, ואז: (σ [y/a]) (z) = σ (z) = τ (z) = ([y/a]) (z) ולכן לכל משתנה z המופיע בצורה חופשית ב B : σ [y/a] (z) = τ [y/a] (z) ולכן לפי הנחת האינדוקציה, שיוויון 3 נכון, ומכיוון ועברנו על כל המקרים, סיימנו. הגדרה 1.13 נוסחא A תקרא נוסחא סגורה אם נוסחא בה כל המשתנים סגורים בכמתים, כלומר, אין ב A משתנים חופשיים כלל. מסקנה 1.14 אם A נוסחא סגורה, אז לכל שתי השמות M,σ τ : V ar מתקיים F. או T כלומר, לכל השמה הנוסחא תקבל ערך σ (A) = τ (A) אם,σ (A) = T אז רושמים = M A או.M A אם הנ"ל מתקיים עבור A כלשהיא, A תביע מידע על המבנה A. אם יש לנו שני מבנים, ניתן לחפש נוסחא כך שמתקבל ערך אמת באחד וערך שקר בשני. 14/11/2011+17/11/2011 דוגמאות 1. בדוגמא מיום ב', הנוסחא: ( x 1 ) ( x 2 ) (x 1 < x 2 ) אומרת שלמבנה אין איבר מקסימלי (במידה והיא נכונה במבנה)..2 { M 2 = 1 1 } n 0 < n N { } 1 M 1 = n 0 < n N { M 3 = 1 1 } { n n N, n 1 2 1 } n n Z, n 1 ראינו שהנוסחא: ( x 1 ) ( x 2 ) (x 1 < x 2 ) האם יש נוסחא נוסחא זו גם מסתפקת ב M. 3 מתקיימת ב M 2 ולא ב M. 1 שמבדילה בין M 2 לבין?M 1 "הנוסחא" (1 > x) (x ) אינה בשפה, כי 1 הוא איבר בקבוצה המבנה, ולכן זו אפילו לא נוסחא, ו 1 לא ערך לשפה L. A = ( x 1 ) ( x 2 ) ((x 2 < x 1 ) ( x 3 ) (x 2 < x 3 ) (x 3 < x 1 )) נראה כי :M 3 = A חסר וארוך מאוד,.I'm sure you get the gist 14

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק 3. נגדיר: M 4 = {a 0 < a < 1, a Q}, M 5 = {a 0 < a < 1, a R} בשני המבנים מתקיימות בדיוק אותן נוסחאות סגורות, כלומר עם השפה שבנינו לא ניתן להבדיל בין שני המבנים הנ"ל (למרות שהם מעוצמה שונה). במקרה זה נאמר כי M 4, M 5 שקולים אלמנטרית. 1.2 מערכת ההיסק 1.2.1 בניית מערכת ההיסק הגדרה 1.15 תהי A נוסחא לאו דווקא סגורה. אזי נאמר ש A מתקיימת, ונסמן M A או, M A אם לכל השמה M σ : V ars מתקיים.σ (A) = T הגדרה (M) 1.16 T h הוא אוסף כל הנוסחאות הסגורות (בשפה המתאימה) המתקיימות ב M. הגדרה 1.17 שני מבנים M M, שקולים אלמנטרית, ונסמן M,M כאשר = (M) T h.t h (M ) הגדרה 1.18 תהי S קבוצה של נוסחאות סגורות. אזי (S) Mod תהיה קבוצת כל המבנים בהם מתקיימות כל הנוסחאות שבקבוצה S. מסקנה (S)) 1.19.S T h (Mod נרצה, בהנתן S כנ"ל, לבנות את ((S) T, h (Mod בתהליך שנקרא "מערכת היסק". האקסיומות של מערכת היסק 1. לכל נוסחא A מתקיים ש A (A ) היא אקסיומה (פרופוזיציונלית)..2 אקסיומת הזהות:.x = x 3. אקסיומת השיוויון: (א) לכל f סמל פונקציה n מקומי: x 1 = y 1 (x 2 = y 2 (... (x n = y n f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n )))) (ב) לכל P סמל יחס n מקומי: x 1 = y 1 (x 2 = y 2 (... (x n = y n P (x 1,..., x n ) = P (y 1,..., y n )))) A x [u] ( x) A 4. אקסיומת ההצבה: 15

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון יש להסביר איך בנוסחא במקום משתנה אפשר להציב שם עצם. נציב רק במשתנים חופשיים. הגדרה 1.20 יהיו v שם עצם, x משתנה, u שם עצם. [u] v x הוא שם העצם המתקבל מ v לאחר שמציבים את u במקום x. נראה כיצד ההצבה הזו פועלת באינדוקציה על סדרת היצירה של v:.1 אם,v = x אזי.v x [u] = u אם v = y עבור,y x אזי.v x [u] = y.2 אם v = c קבוע, אז.v x [u] = c.3 אם ) n,v = f (v 1,..., v אזי [u]).v x [u] = f (v 1x [u],..., v nx הגדרה 1.21 תהי A נוסחא, x משתנה, u שם עצם. אזי [u] A x היא הנוסחא המתקבלת מ A לאחר שמציבים את u ב A במקום המשתנה x. נראה כיצד ההצבה הזו פועלת בעזרת סדרת היצירה של A:.1 אם ) n,a = P (v 1,..., v אז [u]).a x [u] = P (v 1x [u],..., v nx.2 אם,A = B C אז [u].a x [u] = B x [u] C x.3 אם A = B אז [u].a x [u] = B x.4 אם A = ( x) B אז.A x [u] = A אם A = ( y) B עבור,y x אזי [u],a x [u] = ( y) B x בתנאי ש u איננו מכיל את המשתנה y, או בתנאי ש x לא מופיע חופשית ב B. אם x כן מופיע חופשית ב B ו u מכיל את y, אזי y יופיע גם ב [ u ] B, x ואז ב ([ u ] (y ) B) x המשתנה y נקשר בכמת, והצבה כזו הינה אסורה! הערה 1.22 כאשר נרשום [u] A, x הכוונה היא רק להצבה מותרת. טענה 1.23 זו מערכת היסק. הוכחה: יש להראות שמתקיימות כל האקסיומות. אקסיומת ההצבה מתקיימת, כי מההגדרה הנ"ל, נקבל כי לכל נוסחא A, משתנה x ושם עצם u: A x [u] ( x) A שאר האקסיומות מתקיימות באופן טריוויאלי. 1.2.2 כללי היסק כלל ההרחבה: מ A נסיק ש A B. כלל הצמצום: מ A A נסיק A. כלל האסוציאטיביות: מ ( C A (B נסיק.(A B) C כלל החתך: מ B A ו C A נסיק.B C כלל הכנסת : מ B A נסיק (x )), (A B בתנאי שהמשתנה x לא מופיע חופשית ב B. 16

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון הגדרה 1.24 אם ניתן להסיק את A מתוך האקסיומות, נסמן A (נאמר גם במקרה כזה כי A יכיח). הגדרה זו שונה מ\הסימון, A שאומר כי A מתקיימת במבנה. דוגמא: באופן טריוויאלי, A) (( A). נרצה להוכיח שני משפטים עיקריים משפט הנאותות, אותו נתחיל להוכיח מיד, ומשפט השלמות של גדל, אותו נוכיח רק לקראת סוף הקורס. 1.2.3 משפט הנאותות משפט 1.25 אם, A אז לכל מבנה.M A,M הוכחה: צריך להוכיח עבור אקסיומות מערכת ההיסק וכללי ההיסק. תהי M σ : V ars הצבה. נתחיל עם האקסיומות:.1 נראה כי A) :M ( A σ ( A A) = σ ( A) σ (A) = ( σ (A)) σ (A) = T 2. אקסיומת הזהות נראה כי (x M x) = נעריך את (x σ. x) = סמל השיוויון תמיד מתפרש ב M כשיוויון בין אברי קבוצת המבנה M, ולכן: σ (x = y) = { T F σ (x) = σ (y) otherwise.σ (x = x) = T לכן,σ (x) = σ (y) ולכן,y = x 3. עבור אקסיומת השיוויון יש להראות שני חלקים: 21/11/2011 (א) עבור סמל פונקציה n מקומי, f עלינו להראות כי σ (x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n )) = T נעריך ביטוי זה: σ (x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n )) = σ (x 1 = y 1 ) σ (x 2 = y 2 )... σ (x n = y n ) σ (f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n )) ( ) = σ (x 1 ) = σ (y 1 ) (σ (x 2 ) = σ (y 2 ))... (σ (x n ) = σ (y n )) ( f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) = f M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) ) כאשר מתייחסים כאן ל = הוא יחס במבנה אם מתקיים יתקבל T, אחרת F. אם קיים i n,i 1 כך ש: (σ (x i ) = σ (y i )) = F 17

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק כלומר ) i,σ (x i ) σ (y אז הנוסחא כולה אמת, כי: (σ (x i ) = σ (y i )) (...) = T (σ (x i 1 ) = σ (y i 1 )) σ (x i ) = σ (y i ) (...) = T }{{} T (σ (x 1 ) = σ (y 1 )) (...) = T }{{} T נשאר המקרה בו כל הביטויים הם אמת: (σ (x 1 ) = σ (y 1 )) = T,..., (σ (x n ) = σ (y n )) = T σ (x 1 ) = σ (y 1 ), σ (x 2 ) = σ (y 2 ),..σ (x n ) = σ (y n ) f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) = f M (σ (y 1 )...σ (y n )) זאת אומרת: ואז: זאת אומרת: T = ( f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) = f M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) ) ולכן כל הביטוי מקבל: (σ (x 1 ) = σ (y 1 )) (...) (( σ (xn ) = σ (y n ) ( f M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) = f M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) ))) = T (ב) באותה מתכונת, נוכיח את החלק השני עבור כל P סמל יחס n מקומי: σ (x 1 = y 1 )... x n = y n P (x 1,..., x n ) P (y 1,..., y n ) = (σ (x 1 ) = σ (y 1 ))... (σ (x n ) = σ (y n )) ( P M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) P M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) ) אם קיים i n,i 1 כך ש: )) i,(σ (x i ) = σ (y הנוסחא מקבלת ערך.T אם לכל,(σ (x i ) = σ (y i )) = T,1 i n,i אז: σ (x 1 ) = σ (y 1 ),..., σ (x n ) = σ (y n ) P M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) = P M (σ (y 1 )...σ (y n )) ( P M (σ (x 1 ),..., σ (x n )) = P M (σ (y 1 ),..., σ (y n )) ) = T ואז: ולכן: ושוב כל הנוסחא מקבלת ערך T כנדרש. 18

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון A x [u] ( x) A σ (A x [u] ( x) A) = σ (A x [u]) 4. עבור אקסיומת ההצבה: σ [x/a] (A) = 2 a M נעריך את הביטוי: σ (v x [u]) = טענה 1.26 (א) v שם עצם, u שם עצם, אזי: σ [x/ σ (u)] (v) σ (A x [u]) = σ [x/ σ [u]] (A) (ב) אם [u] A x חוקית, אזי: בעזרת החלק השני של הטענה, נקבל (את הראשון נצטרך כדי להוכיח את השני): 2 = σ [x/ σ [u]] (A) σ [x/a] (A) a M (A) σ [x/a] הוא אחד מגורמי האיווי (עבור (u) a), = σ ולכן אם ערכו T, אז מכך שהוא באיווי, נקבל משמאל T, אחרת ערכו F, ואז ערך השלילה הוא T, ואז הביטוי כולו מקבל T. לכן, בכל מקרה הנוסחא מקבלת ערך T, וזה מה שרצינו להראות. נותר להוכיח את הטענה מעלה. הוכחה: (א) נשתמש באינדוקציה על סדרת יצירה של שם עצם v. א.,v = y, y x אז: v x [u] = y σ (v x [u]) = σ (y) = σ (y) σ [x/ σ (u)] (v) = σ [x/ σ (u)] (y) = σ [x/ σ (u)] (y) = σ (y) σ (v x [u]) = σ (u) = σ [x/ σ (u)] (x) = ואז נקבל שיוויון בין השורה השניה לשלישית. ב. :v x [u] = u, v = x σ [x/ σ (u)] (x) = σ [x/ σ (u)] (v) σ (v x [u]) = σ (c) = c M σ [x/ σ (u)] (v) = σ [x/ σ [u]] (c) = c M ג. :v x [u] = c, v = c 19

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון v x [u] = f (w 1x [u],..., w mx [u]) וכך נקבל שיוויון בין שתי השורות. ד. ) m :v = f (w 1,..., w σ (v x [u]) = σ (f (w 1x [u],..., w mx [u])) = f M ( ( σ (w 1x [u]),..., σ (w mx [u])) ) 3 = f M σ [x/ σ (u)] (w1 ),..., σ [x/ σ [u]] (w m ) = σ [x/ σ [u]] (v) כאשר רק במעבר 3 השתמשנו בהנחת האינדוקציה. (ב) גם כאן נשתמש באינדוקציה על סדרת יצירה של נוסחא A: א. אם A נוסחא אלמנטרית, כלומר = A A x [u] = P (w 1x [u],..., w mx [u]), :P (w 1,..., w m ) σ (A x [x]) = σ (P (w 1x [u],..., w mx [u])) = P M ( ( σ (w 1x [u]),..., σ (w mx [u])) ) 3 = P M σ [x/ σ (u)] (w1 ),..., σ [x/ σ (u)] (wm ) = σ [x/ σ (u)] (P (w 1,..., w m )) = σ [x/ σ (u)] (A) כאשר ב 3 אנו משתמשים בחלק (א) של הטענה. ב. :A x [u] = B x [u] C x [u], A = B C σ (A x [u]) = σ (B x [u]) σ (C x [u]) = σ [x/ σ (u)] (B) σ [x/ σ (u)] (C) = σ [x/ σ (u)] (B C) = σ [x/ σ (u)] (A) ג. :A x [u] = (B x [u]), A = B σ (A x [u]) = σ ( B x [u]) = σ (B x [u]) 3 = σ [x/ σ (u)] (B) = σ [x/ σ (u)] ( B) = σ [x/ σ (u)] (A) σ (A x [u]) = σ (A) = σ (( x) B) = σ [x/ σ (u)] (A) = σ [x/ σ (u)] (( x) B) = ושוב ב 3 השתמשנו בהנחת האינדוקציה. ד. 1..A x [u] = A, A = ( x) B σ [x/a] (B) a M נטען כי (B) a M σ [x/ σ (u)] [x/a] σ [x/a] (B) = σ [x/ σ (u)] [x/a] (B) a M a M σ [x/a] (x) = a ((σ [x/ σ (u)]) [x/a]) (x) = a y x (σ [x/a]) (y) = σ (y) מדוע? נראה כי [x/a] σ [x/ σ (u)] [x/a] = σ ((σ [x/ σ (u)]) [x/a]) (y) = σ [x/ σ (u)] (y) = σ (y) 20

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון σ (A x [u]) = σ (( y) B x [u]) = σ [x/ σ (u)] (A) = σ [x/ σ (u)] (( y) B) =.2 y A x [u] = ( y) (B x [u]) :A = ( y) B, x בתנאי ש: א. [u] B x היא הצבה חוקית. ב. y לא מופיע ב u, או x לא מופיע חופשית ב B. אזי: σ [y/b] (B x [u]) = 3 (σ [y/b]) [ σ (u)] (B) b M b M b M (σ [x/ σ (u)]) [y/b] (B) 24/11/2011 אבל מעבר 3 שגוי, ועל כן ההוכחה אינה נכונה (שכן היינו מקבלים שיוויון בין הביטויים גם ללא שימוש בהנחה ב' וידוע שהמשפט אינו נכון ללא הנחה זו). נתקן את ההוכחה: [ 3 = σ [y/b] x/ σ ] [y/b] (u) b M שהרי הנחת האינדוקציה היא ביחס ל [ y/b ] σ ולא ביחס להשמה המקורית: [ σ [y/b] (B x [u]) = σ [y/b] x/ σ ] [y/b] (u) (B) עכשיו, שנשווה בין ההשמות, נקבל שהן אינן שוות: x σ (u) σ [x/ σ (u)] [y/b] (u) : y b z σ (z) z x, y [ σ [y/b] x/ σ ] x σ [y/b] (u) [y/b] (u) : y b z σ (z) z x, y σ [y/b] (u) = σ (u) אם y אינו מופיע ב u, אז: אם x אינו מופיע חופשית ב B, אז,A x [u] = ( u) B = A,B x [u] = B ואז: σ (A x [u]) = σ (A) = σ (( y) (B)) = σ [x/ σ (u)] (A) = σ [x/ σ (u)] (( y) (B)) = σ [y/b] (B) b M σ [x/ σ (u)] [y/b] (B) b M ההבדל בין שני הביטויים מעלה הוא רק בפעולה על x, אבל x אינו מופיע ב B, ז"א לכל המשתנים שכן מופיעים חופשית ב B, שתי ההשמות הנ"ל פועלות אותו הדבר, ולכן: σ [y/b] (B) = σ [x/ σ (u)] [y/b] (B) כנדרש!. 3 כאן סיימנו עבור האקסיומות. נוכיח עבור כללי ההיסק: 3 ריפס מציין שהוכחה זו תופיע בטוח באחד ממועדי הבחינה! 21

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק 1. כלל ההרחבה: מ A נובע. B A נראה כי זה אכן מתקיים: =T {}}{ A σ (B A) = σ (B) σ (A) = T.2 כלל הצמצום: מ A A נובע. A נחשב: A A σ (A) = σ (A) σ (A) = σ (A A) = T.3 כלל האסוציאטיביות: מ ( C A (B נובע (A B) C. σ ((A B) C) = σ ((A B)) σ (C) = (σ (A) σ (B)) σ (C) = σ (A) (σ (B) σ (C)) = σ (A σ (B C)) = σ (A (B C)) = T.4 כלל החתך: מ B A ו C A נובע. B C σ (A B) = σ (A) σ (B) = T σ ( A C) = σ (A) σ (C) = T אם,σ (A) = T אז, σ (A) = F ולכן,σ (C) = T ולכן: σ (B C) = σ (B) σ (C) = T אחרת,σ (A) = F אז,σ (B) = T ולכן: σ (B C) = σ (B σ (C)) = T ולכן בכל מקרה.σ (B C) = T 28/11/2011.5 כלל הכנסת : מ B A נובע ( x) A B, בתנאי ש x לא מופיע חופשית ב B. ( ) σ ((( x) A) B) = σ [x/a] (A) σ (B) =? T a M נתון שלכל השמה M :τ : V ar τ (A B) = τ (A) τ (B) = T אם,σ (B) = T אז: σ (( x) A B) = T 22

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק, ואז גם כן a M אחרת, אם לכל M,σ [x/a] (A) = F,a אז σ [x/a] (A) = F.σ (( x) A B) = T לכן, נניח שקיים M a 0 כך ש T.σ [x/a 0 ] (A) = לפי הנתון: T = σ [x/a 0 ] (A B) = σ [x/a 0 ] (A) σ [x/a 0 ] (B) ולכן.σ [x/a 0 ] (B) = T ההשמות σ ו [ σ [x/a 0 זהות על כל המשתנים שמופיעים חופשית ב B. לכן: T = σ (B) = σ [x/a 0 ] (B) σ (( x) A B) = T ומכאן: כנדרש. וכאן סיימנו להוכיח את משפט הנאותות! כעת אנחנו מתחילים לצעוד לעבר המשפט ההפוך משפט השלמות של גדל. 1.2.4 משפט פוסט על טאוטולוגיה נוסחאות "אלמנטריות" הן נוסחאות מהצורה הבאה: א. נוסחא אטומית ) n.p (u 1, u 2,..., u ב..( x) A טענה 1.27 כל נוסחא ניתן לבנות מנוסחאות "אלמנטריות" ע"י שימוש בקשרים לוגיים בלבד. ( x) A B למשל, אם נביט בנוסחא: לפי הנחת האינדוקציה, B נבנית מנוסחאות "אלמנטריות" על ידי קשרים לוגיים בלבד. הוכחה: באינדוקציה על אורך סדרת יצירה של נוסחא..A = P (u 1,..., u n ).1.A = B C.2.A = B.3.A = ( x) B.4 כנדרש. הגדרה 1.28 הערכה נותנת לכל נוסחא "אלמנטרית" ערך T או F. 23

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק נניח V הערכה. נגדיר (A) V לכל נוסחא A. אם A אטומית, אז זה כבר נעשה. אם A = B C אז (C).V (A) = V (B) V אם,A = B אז (B).V (A) = V אם A = (x ) B אז זה כבר נעשה. הגדרה 1.29 נוסחא A נקראת טאוטולוגיה אם לכל הערכה V. (A) = T V, כל נוסחא "אלמנטרית" איננה טאוטולוגיה. אבל, למשל, A) ( x) A (( x) היא כן טאוטולוגיה. מדוע? אם V 1 (( x) A) = T סיימנו. אחרת: V 1 (( x) A (( x) A)) = V 1 (( x) A) V 1 (( x) A) = T }{{}}{{} =F } F {{ } =T אם A טאוטואולוגיה, אז לכל מבנה M ולכל השמה M,σ (A) = T,σ : V ar כי סוף סוף, גם σ היא הערכה. משפט 1.30 (פוסט): אם A טאוטולוגיה, אז. A לפני שנוכיח את המשפט, נרצה לתאר תהליך שיעזור לקבוע אם נוסחא היא טאוטולוגיה או לא. מקרה :1 תהא A = B 1 B 2... B m כך שכל B i זו נוסחא "אלמנטרית" או שלילתה. טענה A 1.31 היא טאוטולוגיה אם ורק אם קיימים,i j m 1 כך ש B i "אלמנטרית" ו.B j = B i הוכחה: אם התנאי מתקיים, אז לכל הערכה V: V (B j ) = V (B i ) ואז,V (A) = T כי ) m,v (A) = V (B i ) V (B j )... V (B ובין הגורמים מופיע.T בכיוון שני, נראה כי אם התנאי לא מתקיים, אז A איננה טאוטולוגיה. בשביל זה נמצא הערכה V כך ש.V (A) = F אם B i "אלמנטרית", אז ניקח.V (B i ) = F אם,B i = C כאשר C "אלמנטרית", ניקח V (C) = T ונקבל.V (B i ) = V (C) = F לכן V (B i ) = F לכל i m,i,1 ולכן,V (A) = F כנדרש. כדי להמשיך למקרה הבא, יש צורך בפיתוח נוסף. נגדיר לכל נוסחא A פונקצית אורך (A) l: עבור נוסחא אטומית = 1 )) n.l (P (u 1,..., u.l (B C) = l (B) + 1 + l (C).l ( B) = l (B) + 1 24

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק l (( x) A B) = l ( ( x) A B) = l (B) + 3.l (( x) B) = 1 כך למשל: נרצה להשתמש באינדוקציה אבל על מה? נביט בנוסחא A. אם היא נוסחא "אלמנטרית", נגדיר (A) L. (A) = l אם היא איווי: A = B 1 B 2... B m L (A) = l (B 1 ) + l (B 2 ) +... + l (B m ) במקרה זה, 4 נגדיר: נשתמש באינדוקציה על (A) L: בסיס: אם = 1 (A) L, אזי A נוסחא אלמנטרית, ואז אין זו טאוטולוגיה. נניח כי עבור כל נוסחא בעלת אורך קטן מ ( A ) L ישנה דרך לקבוע אם זו טאוטואולוגיה. נרשום A = B 1 B 2... B m (עם m מקסימלי אפשרי), לכן אם לא נמצאים במקרה 1, אז ישנן האפשרויות הבאות: מקרה :2 קיים i m,i 1 כך ש D. 5 B i = C מקרה :3 קיים i m,i 1 כך ש: D).B i = (C מקרה :4 קיים i m,i 1 כך ש: ( C).B i = תחילה, נטען כי ארבעת המקרים הללו מכסים את כל האפשרויות (הסבר בע"פ, פשוט לעבור על האפשרויות). נחזור לניתוח המקרים: מקרה :2 D.B i = C A = B 1 B 2... B i 1 (C D) B i+1... B m נגדיר נוסחא חדשה: A = B 1 B 2... B i 1 C D B i+1... B m L (A) = l (B 1 ) + l (B 2 ) +... + l (B i 1 ) + l (C D) + l (B i+1 ) +... + l (B m ) = l (B 1 ) +... + l (B i 1 ) + l (C) + 1 + l (D) + l (B i+1 ) +... + l (B m ) L (A ) = l (B 1 ) + l (B 2 ) +... + l (B i 1 ) + l (C) + l (D) + l (B i+1 ) +... + l (B m ) כל הערכה נותנת ל A ול A אותו ערך ) (A,V (A) = V בעוד + 1 ) (A,L (A) = L לכן נוכל להשתמש בהנחת האינדוקציה על ) A) L, ומהשקילות הלוגית בין שתי הנוסחאות סיימנו. 4 בהנחה שפירוק זה הוא "הקטן" ביותר, כלומר B i אינם איווי. 5 נשים לב שכאן האיווי אינו טרנסיטיבי! 25

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון מקרה 4: A = B 1... B i 1 ( C) B i+1... B m A = B 1... B i 1 C B i+1... B m L (A ) = L (A) 2 וכן ) (A,V (A) = V ולכן שוב מהנחת האינדוקציה סיימנו. מקרה 3: הפעם נכתוב שתי נוסחאות חדשות: A = B 1... ( (C D))... B m A = B 1... ( C)... B m A = B 1... ( D)... B m 1/12/2011 נטען כי אם שתי הנוסחאות החדשות הן טאוטולוגיה, אז גם A טאוטולוגיה. L (A) = l (B 1 ) +... + l (B i 1 ) + l ( (C D)) +... + l (B m ) L (A ) = l (B 1 ) +... + l (B i 1 ) + l ( C) +... + l (B m ) L (A ) = L (B 1 ) +... + B (B i 1 ) + l ( D) +... + l (B m ) L (A ) < L (A), L (A ) < L (A) טענה A 1.32 היא טאוטולוגיה אמ"מ A היא טאוטולוגיה וגם A היא טאוטולוגיה. הוכחה: נניח ש A היא טאוטולוגיה וגם A היא טאוטולוגיה. נרצה להוכיח כי גם A היא טאוטולוגיה. כלומר כי לכל הערכה V. (A) = T V, אם קיים j i,1 j m,j כך ש: T,V (B j ) = אז.V (A) = T אחרת נניח ש F V (B j ) = לכל.j i,1 j m,j נתון כי,V (A ) = T ולכן,V ( C) = T זאת אומרת.V (C) = F כמו כן,V (A ) = T ולכן,V ( D) = T זאת אומרת.V (D) = F מכאן,V (C D) = F ולכן,V ( (C D)) = T ולכן,V (A) = T זאת אומרת A היא טאוטולוגיה. בכיוון השני, נניח כי A טאוטולוגיה, צריך להוכיח כי A A, הן טאוטולוגיות. ניקח הערכה.V אם קיים j i,1 j m,j כך ש T,V (B j ) = אז = ) (A V.T, V (A ) = T אחרת, נניח ש F V (B j ) = לכל.j i,1 j m,j נתון כי,V (A) = T ולכן,V ( (C D)) = T ואז,V (C D) = F ולכן V (C) = F וכן.V (D) = F לכן V ( C) = T ולכן,V (A ) = T וכן V ( D) = T ולכן,V (A ) = T כנדרש. A B ( A) A B A טענה 1.33 מ B A נובע. B A הוכחה: 26

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון כאשר השורה הראשונה נתונה, השניה נובעת מאקסיומת פרופ', והשלישית מכלל החתך. טענה 1.34 מ A i1 A i2... A im נובע, A 1 A 2... A n כאשר m i 1.i 2,..., i.{1, 2,..., n} קיימים לטענה זו הרבה מקרים פרטיים, למשל, מ A 4 A 1 A 3 A 1 נובע 1 A,A 2 A 3 A 4 A 5 5} {1, 2, 3, 4, 1.4, 1, 3, כלומר, למעשה זוהי טענה מאוד כללית שמרשה להכליל מספר מהאקסיומות. הוכחה: נשתמש באינדוקציה על m. במקרה = 2.m קודם נטפל המקרה 3 m, לאחר מכן במקרה = 1 m, ואחר כך A B A B C {}}{{}}{{}}{{}}{{}}{ 3 :m לפי כלל האסוציאטיביות, מ A i1 A i2... A im נובע A i1 A i2 {}}{. A i3... A im יש כאן 1 m גורמי אווי, ולכן ניתן להשתמש בהנחת האינדוקציה. לכן: (A i1 A i2 ) A 1 A 2... A n לשם קיצור נסמן,A = A 1 A 2... A n כלומר: (A i1 A i2 ) A C למה לא יכולנו להסיק? A 1 A 2... A n התשובה לא מצאנו את הגורם A i1 A i2 במסקנת ההיסק. לפי כלל הקמוטטיביות שהוכחנו קודם, נקבל: A A i1 A i2 מאסוציאטיביות: (A A i1 ) A i2 נעשה שימוש נוסף בהנחת האינדוקציה ונקבל: (A A i1 ) A 1 A 2... A n (A A i1 ) A A (A A i1 ) (A A) A i1 (A A) A A 1 A 2... A n לפי כלל הצמצום: A A ושוב לפי כלל הצמצום: A A 1 A 2... A n 27

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק כנדרש למקרה זה. כעת, נטפל במקרה = 1 m זאת אומרת מ A i1 צריך להסיק. A 1... A n לפי כלל ההרחבה, מ A i1 נובע B A i1 עבור B כלשהוא, ובפרט מתקיים: (A i1+1... A n ) A i1 A i1 (A i1+1... A n ) A i1 1 (A i1... A n ) A i1 2 A i1 1... A n A 1 A 2... A n לפי כלל ההחלפה : 6 לפי כלל ההרחבה: שוב, לפי כלל ההרחבה: לאחר i 1 1 פעולות, נקבל: כנדרש במקרה זה. לסיום, נוכיח את המקרה בו = 2 m: נתון A i1 A i2 אם,i 1 = i 2 אזי לפי כלל הצמצום, מ A i1 A i1 נקבל, A i1 ולפי המקרה = 1,m נקבל: A 1... A n נניח.i 1 i 2 אם,i 1 > i 2 נשתמש בהחלפה ונקבל: A i2 A i1 A 1 A 2... A n לכן נוכל להניח כי i. 1 < i 2 צריך לקבל: נשתמש באינדוקציה לפי n. הערך המינימלי של n הוא.2 עבור = 2,n.i 1 = 1, i 2 = 2 לכן נתון. A 1 A 2 נניח > 2.n אם > 1 1 i אז לפי הנחת האינדוקציה: A 2 A 3... A n }{{} n 1 6 שיטה לא נכונה: (A 1 A 2... A i1 1) (A i1... A n) הבעיה סדר הסוגריים לא נכון! 28

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק A 1 (A 2... A n ) n}.i 1, i 2 {2, 3,..., לפי כלל ההרחבה: אחרת נניח = 1 1,i 2 > 2,i אז לפי הנחת האינדוקציה, נקבל: A 1 (A 3... A n ), i 1, i 2 {1, 2,..., n} }{{} n 1 (A 3... A n ) A 1 A 2 ((A 3... A n ) A 1 ) (A 2 (A 3... A n )) A 1 A 1 (A 2 A 3... A n ) לפי כלל ההחלפה: לפי כלל ההרחבה: לפי כלל האסוציאטיביות: לפי כלל ההחלפה: נשאר המקרה = 2 2,i 1 = 1, i כלומר. A 1 A 2 (A 3... A n ) (A 1 A 2 ) ((A 3... A n ) A 1 ) A 2 A 2 ((A 3... A n ) A 1 ) (A 2 (A 3... A n )) A 1 A 1 (A 2 (A 3... A n )) מאסוציאטיביות: לפי כלל ההחלפה: אסוציאטיביות: החלפה: כנדרש. 7 טענה 1.35 מ B A נובע A B. 7 ריפס רמז שהוכחה זו תהיה בבחינה.. 29

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק הוכחה: A A (אקסיומה) A A { (החלפה) A B לפי כלל החתך, B A לכן A B, כנדרש. A A מ טענה 1.36 מ C A ו C B נובע (A B) C. הוכחה: B) (A B) (A (אקסיומה) B) A B (A (ע"ס 1.34 ). A C נתון, ועל פי השורה הקודמת, שורה זו וכלל החתך נקבל: (B ( (A B))) C B)) C (B (A מכלל החילוף. אז מ 1.34 שוב נקבל:. B ( (A B)) C אזי משורה זו, הנתון B C וכלל החתך, נקבל: (( (A B)) C) C C) C ( (A B) החלפה. (A B) C לפי 1.34 שהוכחנו. משפט 1.37 משפט פוסט: אם A טאוטולוגיה, אז. A הוכחה: נשתמש באינדוקציה לפי (A) L (כפי שהגדרנו בעבר). מקרה 1: A = A 1 A 2... A n כאשר כל A i היא נוסחא אלמנטרית או שלילתה. A טאוטולוגיה, לכן קיימים i j כך ש: A j = A i A 1 A 2... A n. A j A i אקסיומה. כלומר, A i A j על סמך הטענה הכללית 1.34: כלומר. A מקרה :2 קיים i n,i,1 כך ש:,A i = B C כלומר: A = A 1... A i 1 (B C)... A n A = A 1... A i 1 B C... A n נגדיר: ראינו כי (A).L (A ) < L נתון ש A טאוטולוגיה, לכן A טאוטולוגיה, כי לכל הערכה.V (A ) = V (A),V לפי הנחת האינדוקציה, A. 30

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.2 מערכת ההיסק לפי הטענה הכללית 1.34, מ A ניתן להסיק: A 1... A i 1 A i+1... A n (B C) לפי הטענה הכללית 1.34: A 1... A i 1 (B C) A i+1... A n כלומר. A מקרה :3 קיים i n,i,1 כך ש ( C,A i = (B כלומר: A = A 1... A i 1 ( (B C)) A i+1... A n נגדיר: A = A 1... A i 1 ( B) A i+1... A n A = A 1... A i 1 ( C) A i+1... A n ברור כי מתקיים (A).L (A ) < L (A), L (A ) < L הוכחנו כי אם A טאוטולוגיה, אז A A, טאוטולוגיות. לפי הנחת האינדוקציה, A ו A. מהטענה הכללית נובע: ( B) A 1... A i 1 A i+1... A n וכן: ( C) (A 1... A i 1 A i+1... A n ) לפי הטענה השלישית שהוכחנו: ( (B C)) (A 1... A i 1 A i+1... A n ) לפי הטענה הכללית: A 1... A i 1 ( (B C)) A i+1... A n כלומר. A מקרה :4 קיים i n,i,1 כך ש B,A i = כלומר: A = A 1... A i 1 B A i+1... A n נגדיר: A = A 1... A i 1 B A i+1... A n אז (A) L (A ) < L ולכל הערכה.V (A ) = V (A),V לכן מכך ש A טאוטולוגיה, נובע ש A טאוטולוגיה, ולפי הנחת האינדוקציה, A. לפי הטענה הכללית: B (A 1... A i 1 A i+1... A n ) 31

1.2 מערכת ההיסק 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון ( B) (A 1... A i 1 A i+1... A n ) A 1... A i 1 B A i+1... A n לכן, מטענה שהוכחנו: לפי הטענה הכללית: דהיינו, A כנדרש. הוכחנו את משפט פוסט, "כלומר לפחות מערכת ההיסק שלנו שווה משהו". מכאן אין הרבה לאן להתקדם, זהו משפט ההיסק העיקרי רק המשפט של גדל, אולם הוא לא נותן תהליך לבדיקה של נכונות משפט כלשהו (אחרת יכולנו תמיד לדעת אם בהנתן משפט, הוא נכון או אינו נכון). 1.2.5 כלל הניתוק Ponens) (Modus משפט 1.38 מ A ו B A נובע. B הוכחה: B A הרחבה A B החלפה A B נתון B B כלל החתך B צמצום, כנדרש. ישנה גם הכללה לכלל הניתוק: משפט 1.39 מ B A 1 A 2... A k וכן A k,..., A 1 נובע. B הוכחנו נוסחא לגבי היות נוסחא טאוטולוגיה. נניח שנתונות נוסחאות.A 1, A 2,..., A k, B הגדרה 1.40 הנוסחא B נקראת גרירה טאוטולוגית של הנוסחאות,A 1, A 2,..., A k אם כל הערכה V שעבורה V (A 1 ) = T,..., V (A k ) = T גם מקיימת.V (B) = T מסקנה 1.41 מסקנה ממשפט פוסט: אם B היא גרירה טאוטולוגית של A, 1,,... A k ואם. B אז, A 1,..., A k הוכחה: בדקו כי הנוסחא B היא גרירה טאוטולוגית של A 1,,... A k אמ"מ הנוסחא 1 A A 2... A k B היא טאוטולוגיה. לפי הנתון, A 1 A 2... A k B טאוטולוגיה. לכן ממשפט פוסט: A 1 A 2... A k B 8/12/2011 ולפי כלל הניתוק, נקבל, B כנדרש. מסקנה זו ניתנת לשימוש במגוון רחב של מקרים. לדוגמא: V: בפועל, לכל הערכה A. B היא גרירה טאוטולוגית של B A V (A B) = V ( B A) 32

1.3 פעולות עם כמתים 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון V (A) V (B) V (A B) V ( B A) T T T T T F F F F T T T F F T T לכן מ B, A נסיק כי B A. דוגמא שניה:.A 2 A 3,A 1 היא גרירה טאוטולוגית של A 2 A 1 A 3 בדיקה: צריך לבדוק כי כל הערכה V אשר מקיימת Vו = (A 1 A 2 ) = T ) 3 V (A 2 A T, מקיימת: V (A 1 A 3 ) = T אם,V (A 3 ) = T אז ממילא.V (A 1 A 3 ) = T אם V (A 1 ) = F אז ממילא.V (A 1 A 3 ) = T נשארנו עם האפשרויות.V (A 1 ) = T,V (A 3 ) = F מכיוון שאז,V (A 1 A 3 ) = F צריך להראות כי לפחות אחת הנוסחאות A 1 A 2 או A 2 A 3 תקבל ערך.F אם,V (A 2 ) = T אז,V (A 2 A 3 ) = F ואם,V (A 2 ) = F אז,V (A 1 A 2 ) = F כנדרש. באופן יותר כללי, הנוסחא A 1 A k היא גרירה טאוטולוגית של הנוסחאות 1 A A 1 A 2,..., A k 1 נותנת ל: V הוכחה: נניח שההערכה.A k, A 2 A 3,..., A k 1 A k.t ערך A k אם,V (A 1 A 2 ) = T,V (A 1 ) = T אז.V (A 2 ) = T מ:,V (A 2 A 3 ) = T,V (A 2 ) = T אז.V (A 3 ) = T וכן הלאה, עד שנקבל,V (A k ) = T ולכן גם.V (A 1 A k ) = T אם,V (A 1 ) = F אז,V (A 1 A k ) = T כנדרש. במקום לטרוח ולחפש היסק לפי כללי היסק כפי שעשינו עד כה, כעת לאחר משפט הטאוטולוגיה נפטרנו מצורך זה, ומספיק לבדוק הערכות. במגוון רחב של מקרים, משפט זה אם כך מבטל את הצורך במציאת סדרת היסק. נשתמש בכך הרבה. 1.3 פעולות עם כמתים בפועל לא כל כך דיברנו על שימוש בכמתים במערכת ההיסק. נעשה זאת כעת. 1.3.1 כלל הכנסת נזכיר את כלל הכנסת הכמת : מ B A נובע ( x) A B בתנאי שאין הופעה חפשית של x ב B. ננסח כלל דומה כלל הכנסת : מ B A נובע A (x ) B בתנאי שאין הופעה חפשית של x ב A. הוכחה: נתון A B ו x אינו מופיע חפשית ב A. על סמך משפט הטאוטולוגיה, B A. היות ו x אינו מופיע חפשית ב A, אפשר להשתמש בכלל הכנסת ולקבל: (( x) ( B)) ( A) 33

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.3 פעולות עם כמתים על סמך משפט הטאוטולוגיה, נקבל (מוסיפים עוד שלילה והופכים את הצדדים): ( ( A)) ( (( x) ( B))) A ( x) B ברור שלכל הערכה,V ( A) = V (A),V ולכן לכל הערכה :V V (A ( x) B) = V ( A ( x) B) לכן על סמך משפט הטאוטולוגיה נקבל: A ( x) B כנדרש! 1.3.2 כלל ההכללה מ A נובע ( x) A. הוכחה: נתון. A על סמך משפט הטאוטולוגיה ( x) A A. x אינו מופיע חפשית ב A (x ) (כי גם אם לא היה קשור בכמת ב A, אזי כעת קשור ב ), אזי לפי כלל הכנסת : ( x) A ( x) A הנוסחא ( x) A היא גרירה טאוטולוגית של הנוסחא ( x) A ( x) A : V (( x) A) ( x) A ( x) A לכן ( x) A, כנדרש. F T F F 1.3.3 כלל ההצבה נזכר באקסיומת ההצבה (שלא ממש ניסחנו בצורה מסודרת): A x [u] ( x) A טענה 1.42 אם, A אז [u]. A x הוכחה: לפי אקסיומת ההצבה, A x [u] ( x) A. על סמך משפט הטאוטולוגיה: ( x) A A x [u] ( x) A A x [u] זאת אומרת: על סמך כלל ההכללה, מ A נובע (x ) A. לכן, על סמך כלל הניתוק, [u], A x כנדרש! 34

1.3 פעולות עם כמתים 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 12/12/2011 הוכחנו את כלל הכנסת, כלל הכנסת, וכלל ההכללה: מ A נובע (x ) A. יהיו ) 2 A = P (x 1, x 2 ), B = Q (x 1, x סמלי יחסים דו מקומיים. יהי M כך ש. M = R נסמן: R = P M 1 (T ) R 2, A M : R 2 {T, F}, A M : M M {T, F} S = Q M 1 (T ) R 2, A M : R 2 {T, F}, A M : M M {T, F} M A B, P (x 1, x 2 ) Q (x 1, x 2 ) σ (P (x 1, x 2 )) = T σ (x 1 ), σ (x 2 ) R σ (Q (x 1, x 2 )) = T σ (x 1 ), σ (x 2 ) R תהי.σ : V ar M = R אזי: לכן M A B אם ורק אם לכל השמה M,σ (A B) = T,σ : V ar אמ"מ R. S נשאל מה הקשר בין נכון להכנסת הכמת. ( x 1 ) A B ( x 1 ) P (x 1, x 2 ) Q (x 1, x 2 ) σ (( x 1 ) P (x 1, x 2 )) = σ [x/a]p (x 1, x 2 ) = a M a M P M (a, σ (x 1 )) נניח ש T. σ (Q (x 1, x 2 )) = F,σ ( x 1 ) P (x 1, x 2 ) = נקבל: σ (( x 1 )) P (x 1, x 2 ) Q (x 1, x 2 ) = F M ( x 1 ) A B כלומר לא נוכל להסיק את הנוסחא הזו, לפי משפט הנאותות. זה מוכיח שבלי מגבלה על כללי היסק, אי אפשר לקחת את כלל הטלת הכמת בצורה בלתי מוגבלת (אז היינו מקבלים סתירה לכלל הנאותות). למה "זה בסדר" אם x 1 לא מופיע בצורה בלתי חופשית ב Q? אז בקבוצה S משתנה חשוב איזה ערך ההשמה נותנת ל x), 1 (לא לא היה רלוונטי, כי התלות היתה רק ב x 2 x 1 לכן כל קבוצת האמיתות של Q מורכבת מ"קווים ישרים" במקרה כזה אנחנו מועברים מהקבוצה R (האמיתות של A) לקבוצה S (האמיתית של B). תרגיל: עשו את אותו הדיון עבור כלל הכנסת. כלל ההצבה:. A x1,...,x n מ A נובע ] n [u 1, u 2,..., u כבר הוכחנו (בשיעור הקודם) בהסתמך על אקסיומת ההצבה 8 כי מ A נובע [u]. A x הוכחה: נבחר משתנים חדשים.y 1,..., y n מ: A נקבל: A x1 [y 1 ] (A x1 [y 1 ]) x2 [y 2 ] A x1,x 2 [y 1, y 2 ] A x [u] ( x) A 8 35

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.3 פעולות עם כמתים בהסתמך על כך ש y 2 לא הופיע מעלה הוא חדש. נשאל: (A x1 [u 1 ]) x2 [u 2 ]? = A x1x 2 [u 1, u 2 ] כאן לא נקבל שיוויון (הגישה הנאיבית נכשלת) אם x 2 מופיע ב u. 1 בתהליך הקודם: על כן יש להמשיך (A x1,x 2 [y 1, y 2 ]) x3 [y 3 ] = A x1,x 2,x 3 [y 1, y 2, y 3 ]. A x1,x x,...,2 n אבל זה לא מה שרצינו לקבל. אחרי n שלבים כאלה נקבל ] n [y 1, y 2,..., y נטען: (A x1,x 2,...,x n [y 1, y 2,..., y n ]) y1 [u 1 ] = A x1,x 1,...,x n [u 1, y 2, y 3..., y n ] כך נוכל להמשיך זהו מעבר חוקי, שכן y i הם משתנים חדשים, ואז נוכל להשתמש במה שהוכחנו בשיעור שעבר. נוכל להמשיך: (A x1,x 2,...,x n [u 1, y 2,..., y n ]) y2 [u 2 ] = A x1,x 1,...,x n [u 1, u 2, y 3..., y n ] כך נוכל להמשיך n פעמים, ולבסוף נקבל: (A x1,x 2,...,x n [u 1, u 2,...u n 1, y n ]) yn [u n ] = A x1,x 1,...,x n [u 1, u 2,..., u n ] כנדרש. 1.3.4 משפט ההצבה מכליל את כלל ההצבה. A x1,x 2,...,x n משפט 1.43 א. [u 1, u 2,..., u n ] ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A A x1,x 2,...,x n ב.[ [u 1, u 2,..., u n הוכחה: א. לפי אקסיומת ההצבה,, A ( x 1 ) A וכן ( x n ) A ( x n 1 ) ( x n ) A. ( x 2 )... ( x n ) A ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A ( x 3 )... ( x n ) A ( x 2 )... ( x n ) A A ( x n ) A על פי משפט הטאוטולוגיה (מההכלה של,A B, B C אז :(A C A ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A (A ( x 1 )... ( x n ) A) x1,...,x n [u 1, u 2,..., u n ] = A x1,x 2,...,x n [u 1, u 2,..., u n ] ( x 1 )... ( x n ) A כעת נרצה להשתמש בכלל ההצבה: A x1,x 2,...,x n [u 1, u 2,..., u n ] ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A זאת אומרת: 36

1.3 פעולות עם כמתים 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון כנדרש לחלק זה. ב.נוכיח בצורה מאוד דומה לסעיף הקודם. לפי אקסיומת ההצבה, מתקיים A (x ) A אזי ממשפט הטאוטולוגיה (שלילה בשני הצדדים והיפוך) נקבל כי (x ). (A ) A. נשתמש בזה: ( x n ) A A ( x n 1 ) ( x n ) A ( x n ) A ( x n 2 ) ( x n 1 ) ( x n ) A ( x n 1 ) ( x n ) A ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A ( x 2 )... ( x n ) A ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A A על סמך משפט הטאוטולוגיה: (( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A A) x1,x 2,...,x n [u 1, u 2,..., u n ] ( x 1 ) ( x 2 )... ( x n ) A A x1,x 2,...,x n [u 1, u 2,..., u n ] על סמך כלל ההצבה: ז"א: כנדרש. 1.3.5 כלל הדיסטריביוטיביות מ B A נובע א. ( x) A ( x) B וכן ב. ( x) A ( x) B. הוכחה: א. לפי אקסיומת ההצבה,. B ( x) B ע"ס מ"ט,. A ( x) B לפי כלל הכנסת, B ( x) A ( x). ב. לפי משפט ההצבה ( x) A A. ע"ס מ"ט ( x) A B. לפי כלל הכנסת (אפשר להשתמש שכן כעת x קשור בכמת), (x ) A (x ) B, כנדרש. 15/12/2011 טענה A 1.44 אם ורק אם ( x) A. הוכחה: ע"פ כלל ההכללה, מ A נובע (x ) A. לפי משפט ההצבה, ( x) A A, ומההנחה ( x) A, אם נשתמש בכלל הניתוק, נקבל, A כנדרש. A ( x) A הערה 1.45 מהטענה הזו לא נובע: מדוע? יכול להיות שיש משתנה חופשי שיקשר בכמת, ואז נקבל תוצאה שגויה. נשים לב, גם הביטוי הבא לא נכון, הצד הלא נכון הוא: A ( x) A 37

1.4 הרחבת השפה 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון אולם הביטוי הבא נכון: ( x) A A למשל, יהי,M כאשר b}.a = P (x). M = {a, נגדיר: P M : M {T, F}, P M (a) = T, P M (b) = F σ (A ( x) A) = σ (A) σ (( x) A) = σ (P (x)) = P M (a) ( ) σ [x/a]p (x) σ [x/b]p (x) תהי M σ : V ar כך ש a.σ (x) = אזי: c M = P M (a) ( P M (a) P M (b) ) = T (T F) = T F = F σ [x/c]p (a) בסתירה למשפט הנאותות! 1.4 הרחבת השפה עד עכשיו הסתכלנו על ההיסק שהגיע ממשפחת האקסיומות הלוגיות וכללי ההיסק. אפשר וחשוב לעשות את הדבר הבא: ניקח (בשפה מסויימת) קבוצה של נוסחאות A ונכריז על הנוסחאות מ A כאקסיומות נוספות (לא לוגיות). את ההיסק במסגרת קבלת כל הנוסחאות מ A כאקסיומות נסמן ב. A בכך נרחיב את האפשרויות של ההיסק. כלומר, כעת השאלה היא לא מה נוכל להסיק רק מאקסיומות לוגיות, אלא מה נוכל להסיק מהאקסיומות הלוגיות ואקסיומות נוספות. קודם כל, צריכים להיות בטוחים שעדיין יש לנו גרסא מתאימה של משפט הנאותות. כעת, משפט הנאותות צריך לומר שאם M מבנה ולכל M B B, A (כלומר M הוא מודל של A), אז אם A C אז M. C ההוכחה של גרסא זו של משפט הנאותות זהה להוכחה שהבאנו עבור הגרסא הראשונה. 19/12/2011 1.4.1 משפט הדדוקציה בפעם הקודמת הדגשנו שלמרות ש: A נובע ( x) A, לא נכון. A ( x) A נניח ש { A } A = כלומר הקבוצה מכילה (לפחות) את A בתור האקסיומה. אזי, A A ולכן A ( x) A (הוכחנו בעבר). תהי T קבוצה נוסחאות, ונסמן: {A} T [A] = T כלומר T בתוספת.A משפט 1.46 אם A נוסחא סגורה, אז T [A] B אמ"מ. T A B הערה 1.47 אם,T = φ אז {A} T [A] = כלומר T מכילה רק את.A נסמן.B = ( x) A אזי אם, A B נציב ונקבל A (x ) A כביכול קבלנו כאן סתירה למשפט הדדוקציה (כי ראינו מעלה כי מ A לא נכון )! A (x ) A הקאצ' כאן הוא שמשפט הדדוקציה נכון לנוסחא סגורה בלבד על כן תנאי זה הוא חיוני, ללא התנאי המשפט אינו נכון. 38

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.4 הרחבת השפה הוכחה: נניח ש. T A B אז. T [A] A B מצד שני. T [A] A לכן, לפי כלל הניתוק: T [A] B נתון, T [A] B צ"ל T A B נשתמש באינדוקציה על אורך ההיסק של.m,B הבסיס עבור = 0 m טריוויאלי (כאשר במקרה = 1 m אפשר להשתמש רק באקסיומות כלומר למעשה אלו שלוש האפשרויות הראשונות מטה). נניח נכונות עבור m, נוכיח עבור + 1 m. נעבור על האפשרויות עבור הצעד ה 1 + m: שימוש באקסיומות: C T [A] כאשר C אקסיומה לוגית, אז T C ולכן T A C כי זוהי גרירה טאוטולוגית.. T A D ולכן, T D אז,D T כאשר T [A] D. T A A אזי על סמך משפט הטאוטולוגיה, T [A] A עברנו מעלה על האפשרות שהשתמשנו באקסיומות. יש לעבור גם על האפשרויות של שימוש בכללי היסק. נחלקם לשני חלקים: כללי היסק ללא הכנסת כמת, וכלל הכנסת. אזי הקבוצה הראשונה מכילה את: כלל ההרחבה: מ A נובע. B A כלל הצמצום: מ A A נובע. A כלל האסוציאטיביות: מ C) A (B נובע (A B) C. כלל החתך: מ B A ו C A נובע. B C צורת כל כללי ההיסק הנ"ל נוסחא C היא גרירה טאוטולוגית של B: 1, B 2,,... B k.a היא גרירה טאוטולוגית של B A.A A היא גרירה טאוטולוגית של A.A (B C) היא גרירה טאוטולוגית של (A B) C. A ו C A B היא גרירה טאוטולוגית של B C טענה 1.48 אם C היא גרירה טאוטולוגית של,B 1,..., B k אז A C היא גרירה טאוטולוגית של.A B 1, A B 2,..., A B k V (A B 1 ) = T,..., V (A B k ) = T הוכחה: תהי V הערכה, ונניח ש: אם V (A) = F אז.V (A C) = T אחרת אם,V (A) = T אז V (B 1 ) =... = V (B k ) = T ולכן V (C) = T כי C היא גרירה טאוטולוגית של,B 1, B 2,..., B k ומכאן.V (A C) = T אזי: 39

1.4 הרחבת השפה 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון. T A לפי הנחת האינדוקציה B 1, T [A] B 1 כן הלאה עבור כל i. עבור T [A] C שקיבלנו בשלב ה 1 + m משימוש באחד מכללי ההיסק בקבוצה זו, מכיוון ואנו יודעים כי T A B i לכל i k,1 אזי מהטענה נוכל להשתמש במשפט הטאוטולוגיה ולקבל, T A C כנדרש. נותר אם כך להוכיח רק עבור כלל הכנסת נניח כי בשלב + 1 m השתמשנו בכלל זה, כלומר שלב זה הוא מהצורה T [A] ( x) C D אזי, בשלבים, T [a] C D,k m כאשר ב D אין הופעה חופשית של.x על סמך הנחת האינדוקציה: T A (C D) T C (A D) על סמך משפט הטאוטולוגיה, נקבל: נשים לב x אינו מופיע חופשית ב D A, כי x אינו מופיע חופשית ב D, וכן A נוסחא סגורה. 9 על כן נוכל להשתמש בכלל הכנסת. נקבל: T ( x) C (A D) T A (( x) C D) ועל פי משפט הטאוטולוגיה: כלומר המשפט נכון לכל האפשרויות, ועל כן המשפט נכון. הכללה של משפט הדדוקציה ל n נוסחאות: משפט 1.49 אם A 1, A 2,..., A n נוסחאות סגורות, אזי T [A1,...,A n] B אם ורק אם T.A 1... A n B הוכחה: נניח ש:. T A 1... A n B אזי: T [A1,...,A n] A 1... A n B מצד שני,. T [A1,...,A n] A n,..., T [A1,...,A n] A 2, T [A1,...,A n] A 1 על סמך כלל הניתוק נקבל: T [A1,...,A n] A 2... A n B וכן הלאה, ולכן. T [A1,...,A n] B נניח ש:. T [A1,...,A n] B לפי משפט הדדוקציה: T [A1,...,A n 1] A n B ואז, T [A1,...,A n 2] A n 1 A n B וכן הלאה, עד שנקבל, T A 1... A n B כנדרש. 9 זהו המקום לשימוש בתנאי קריטי זה! עד כה לא השתמשנו בהנחה זו. 40

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.4 הרחבת השפה 1.4.2 משפט הקבועים אנו נרחיב את השפה L ע"י הוספה לסיגנטורה של השפה קבועים חדשים, ז"א סמלי פונקציות 0 מקומיות נסמן את השפה החדשה ב L.. L,T A x1,x 2,...,x n משפט L,T A 1.50 אם ורק אם ] n [e 1, e 2,..., e הוכחה: מ A L,T נקבל:, L,T A ועל סמך כלל ההצבה: L,T A x1,...,x n [e 1,..., e n ]. L,T A צ"ל, L,T A x1,...,x n נתון ] n [e 1,..., e מההנחה, קיימת קבוצה נוסחה סופית (נניח בגודל m) של נוסחאות L T, המובילה. L,T A x1,...,x n ל [ [e 1,..., e n נבחר משתנים חדשים 10 y 1, y 2,,... y n ועוד עבור כל הקבועים החדשים שפגשנו במהלך ההיסק הנ"ל. בתהליך השכתוב, כל קבוע חדש e מוחלף במשתנה חדש מתאים y. בסוף התהליך, לאחר m השלבים נקבל: A x1,...,x n [y 1,..., y n ] לא מובן מאליו שמה שקיבלנו הוא גם היסק. צריך לבדוק שקיבלנו היסק. L,T שוב נבדוק את האפשרויות שימוש באקסיומות ושימוש בכללי היסק: שימוש באקסיומה: שלב מסויים k נתן לנו, L T, D כאשר D אקסיומה לוגית בשפה.L טענה 1.51 תהליך השכתוב מעביר כל אקסיומה לוגית בשפה L לאקסיומה לוגית בשפה L. בשלב מסויים, L,T K,l כאשר.K T אז תהליך השכתוב משאיר את K כמות שהוא. שימוש בכלל היסק: יכול להיות שבשלב p כלשהוא M כאשר שלב זה התקבל מכלל היסק עבור.N 1,..., N s טענה 1.52 אם M התקבל מ N 1,,... N s ע"י שימוש בכלל היסק, אותו הדבר נשאר נכון לאחר השכתוב.. L,T A x1,...,x n אזי, ע"י כלל ההצבה, אם הכל אכן נכון, אזי קיבלנו אכן היסק ] n y] 1,,... y נקבל: זאת אומרת, L,T A כנדרש. 22/12/2011 נותר אם כך להוכיח את הטענות מעלה. נביט באפשרויות שלנו: L,T (A x1,...,x n [y 1,..., y n ]) y1,...,y n [x 1,..., x n ] 10 לאו דווקא n, = m יכולים להופיע משתנים נוספים בסדרת ההיסק הזו. 41

1.4 הרחבת השפה 1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון B B ולכן הוא הופך את הנוסחא ל B, 0 B תהליך השכתוב הופך את B B לנוסחא B 0. B 0 B 0 הי נוסחא ב,T ולכן B 0 B 0 היא אקסיומה ב.T אקסיומת השיוויון: x x = כאן לא מופיעים קבועים חדשים, וממילא לאחר השכתוב נשאר עם.x = x x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n ) כנ"ל. x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n P (x 1,..., x n ) = P (y 1,..., y n ) כנ"ל. ( xb).b x [u] לאחר השכתוב נקבל,B 0 x [u 0 ] ( x) B 0 וזו גם נוסחא. מ B נסיק, C B לאחר השכתוב מ B 0 נסיק, C B 0 וגם זו נוסחא. מ B B נסיק, B לאחר השכתוב מ B 0 B 0 נסיק. B 0 מ ( D B (C נסיק (B C) D, לאחר השכתוב נסיק מ 0) B 0 ( C 0 D נסיק ( B 0 C 0) D 0. מ B C ו B D נסיק, C D לאחר השכתוב מ B 0 C 0 ו B 0 D 0 נסיק. C 0 D 0 מ C B נסיק ( x) B C בתנאי ש x אינו מופיע חפשית ב C, מכיוון ו y i חדשים לגמרי, לאחר השכתוב מ B 0 C 0 נסיק ( x) B 0 C 0 כי,x y i ולכן x איננו מופיע חפשית ב C. 0 לכן הטענות נכונות, וע"י כלל ההצבה אכן נקבל את הנדרש. 1.4.3 משפט השקילות משפט 1.53 נניח שנוסחא A מתקבלת מנוסחא A ע"י החלפת כמה מהופעות של הנוסחאות.B 1, B 2,..., B n בנוסחאות B 1, B 2,..., B n אם, T B n B n,..., T B 2 B 2, T B 1 B 1 אז A. T A הוכחה: נטפל קודם במקרה המיוחד, דהיינו.A = B i,a = B i אז לפי הנתון, A. T A את יתר המקרים נוכיח באינדוקציה לפי סדרת יצירה של A: אם ) n,a = P (u 1,..., u כאן יש רק המקרה המיוחד שכבר דנו בו. אם,A = C D אז D,A = C כאשר C מתקבלת מ C ע"י החלפת כמה מההופעות של B 1,..., B n ב n B 1,..., B וכנ"ל.D מהנחת האינדוקציה, C T, T (C D) (C D ) ולכן על סמך משפט הטאוטולוגיה,, D D ו C ז"א A. T A אם,A = C אז C A = עם C כנ"ל. שוב לפי הנחת האינדוקציה C, T C ולכן ע"ס משפט הטאוטולוגיה ) ( C T ( C) ז"א A. T A 42

1 תחשיב היחסים לוגיקה מסדר ראשון 1.4 הרחבת השפה. T C C כנ"ל. לפי הנחת האינדוקציה C עם,A = ( x) C אז,A = ( x) C על סמך משפט הטאוטולוגיה, C T C וגם. T C C על סמך כלל הדיסטריביוטיביות, C, T ( x) C ( x) זאת אומרת A, T A כנדרש. 1.4.4 משפט הוריאנט משפט 1.54 אם y לא מופיע חופשית ב B, אז: 26/12/2011 ( x) B ( y) B x [y] B x [y] ( x) B הוכחה: על סמך אקסיומת ההצבה, לפי כלל הכנסת, מכיוון ו y לא מופיע חופשית ב B : ( y) B x [y] ( x) B בכיוון השני, נסמן [y].b = B x אז B y [x] = B (גם כאן נעשה שימוש בעובדה ש y לא מופיע בצורה חופשית ב B ). לפי אקסיומת ההצבה: B y [x] ( y) B B ( y) B x [y] ז"א: אנו יודעים כי x לא מופיע חופשית ב [ y ] (y ) B x (כי כל מה שהיה חופשי הוחלף ב y ), לכן, לפי כלל הכנסת : ( x) B ( y) B x [y] ( x) B ( y) (B x [y]) 1 2 + 2 2 + 3 2 = 3 k 2 = k=1 לכן בסה"כ לפי משפט הטאוטולוגיה: 3 l=1 l 2 כנדרש. למשל, נביט ב: כאשר הסכימה מספקת את המקום של הכמת. הנוסחא הזו היא משל על המשפט שהוכחנו כלומר, אנחנו יכולים לשנות את השמות של המשתנים הקשורים בכמתים. 43