הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות. מרצה: אורנה גרימברג מתרגל: שקד פלור זכויות יוצרים: יאנה גרינברג (תורת הקבוצות)

הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 http://webcourse.cs.technion.ac.il/234293 מרצה: אורנה גרימברג מתרגל: שקד פלור זכויות יוצרים: יאנה גרינברג (תורת הקבוצות) אנטון וולקוב (לוגיקה) גרסה 1 24/06/11 תיקון שגיאות והצעות לשיפור לשלוח ל- אנטון וולקוב anton@kix.co.il ניתן להוריד עדכונים של מחברת זו באתר http://my.kix.co.il/pub/logic/

~lv:il'~ \1'1\Q; D~j))Q) ~Difj\ OlC \)~\~ /I)()) "''Q)D A)~HJ\) '"QJ : ~'Q)IO JBI\)"j') ')!~)& I I. \i)' >0 ~\ ~\11\ ~1=}\;~.li'IGJ&'i i\e:in'+ ll~ ~~,1,... I~) \)~J0)d \)~\~ ~1\0J ()7 '~ A)~l\))\\'1 j'c.o"if:l'k IOJv\J ~l-qd )i1f GJ' ow \}ll or 1\N\o 1{' 6~ ;t'. INea. ~ IN~ -fcl\) ~n4 \ {~ II \tj 6~t ~~ (\%1~ ~ \\J) -tch 1 = ]t\_!.)l'q))u)11( A)~l0')) lh)'&,~)ji:) ~\jill) G\C (l)l)q) \\~1~ "\fls\j) \\~\ "'il> V'i\ ~-\ ~ 1\\o?\0\\ 11\,Q) :~'"'Fr(Y\.&\ ~n ",~ ~ )'QJ 1\ N ~. IF\\ =\I?J\ ~,,W'O 4> ltj -'>{_) -t(y\) : \')2 ~' ~nn -t GJ M~ })rvl IN Nfb QJ \)\.Ji1<f ptfn' unjk \In~ <=='

(a,~) ~ ~ r;eir jol r L1) -t : IR i ( o, 1) f)r))) c~' (2-) r',,~tl {, : (o,~) &~ c_-t, ~) l cy') -t 2 ~ C-l, ~) ~" (- ~ I ~) - ~'hn : t<r _,.e-x < L 1ft))) :~ ""= 2 r-h ~, l "~' D = Y 'X =O <= \"'-L OJipA\Jl Jl )lui JlU 4' 1 n QLX L _ '1-.-== l <? '(-=- l -\ ' (-1 li), ( _1f ii) (2' 2 ' I., \:2, 2- )

~10.A'd\)0 U~' ~\) 6 ~l} N Oll'"'. 1 1)QJcf' ~ JWJ10)1 kj 11~10)\ l\jiaj (_:,) (2) ( ~) "''u'0'1 f'(.j, -"''""~G".D,,, hj'u;{ej1 : ~ 1\1 l'' MJlrr ~'C -\.f\ ~I) or: fd', <==- t::,na 61( AN f!:>.0'd9t)j QY1)~Q;?00 & <h1 ~~11 KJ~I- f'-t~ 1))0) PK : t01 (3) Aicf"\)QJ Of\1 1(1\) N ~.Qil<f'\Cl'1Jl(p Ql')Q)U\J fjlf\1)\ N p))li') C!J ~\({ll~}) }1\~T)~.~--\ 1 2,...,\\--) t0.a'lft\91 ~)l<ff)~ <R.J cfk)~)fvl\ JQJJ\\ "-'" "', 't...c\n )10'&.,l)ll). ~~,.--,Y'--1 m\j\'6 "w~"~ "'w f\ ~'o"~qj \\A)' \R\='t\- n)~. ~~C!J~ \'\)'\( ~ \f)\0\'"' ~~~)W ~\J")l,j\C. ~~Q)IO JW -0 \1')) '';')m\\\ +c~),...,-tc)\,) ~--~, - - 1 rv"r ~'}Ji\k> 10'( ~c.i+c ~), _.,-ten) 1-0 'la''v arrrll ~)) ~ ''")

-QJ,J' Cf:::p. 0 llj) } f(a) ~ 1bc~ 1 -t{o.) ~b. f(pr) k~!1)_)~0 PI(' ;'i)ffi )j') I f', IN~~ A. )'Q) p Pt -Q; lld'tr.j~ f)))) ~~',v-j -1 s 1\ ~ ~4,. -,""~,, (".. -''\')) ~ffi) )\.. ~~"\'QJ p~~~ I\KJ 111\1) or \\.(_K\) =f f-tf \Q)I~(Q) 1)\\~ \G\\\1 l0'~il /1.\\ ~\ -~ l'jo l.0'1171\jqj ~~1, - I K~1 J1\J 6 cw ~l)il; ~E:-IN h {\J).O) '. ~~ r;)j''c tv }~\cp X =H ~-) rt' ~">~)'I \\(lt))-=j 1-' \'\(_'#..)=-) J'Q)O v)''c A :~\P~!(A'cj\v)\'( ~'0~) 0. ~ I.A\J'~ 9\\ A'0)\o l'" ~\\1~) f\ i\~"-),. wf\\qj ~\"'fi7i1" ~~ ') fl~ti) ~Q)~ "'0 )U )IIC A < ) l \))~~ ~~~ J.'Q)'O J'( A

\\1 -~ I<J t. IN -"> LN :.i IC\JTJ<V o-d' 1\J\)JJ 111c -ic ~) = n + 1.P.l fll~ 'laf '))~~ l"c ~(~) -<=, 2rv I ~ I ~ t: IN ~ ll'l. }.\@ -r, l\-\-) -:l \1 l I :nysg ~ or IC'i'l \~\ )n\'(0 6-& A-~ "'~~J'QJ p ')'C ANI~ ' -\ ;~.PQ)lo t)-1 f\ Plc r ~ill' 2. \CtJ~lcy, r j IJ'~,, -f llj ~ltj ~q \Wfl)) 1 Q) AU''\OJ ))IO) t I -, '. : tijiq) )() AYii\J~ (; ; A))Y))\ AX?_)JUJ''c A Pl~ l)l()o.~'q)'ol''c Or\ "~'u or \l)''c- ~\J)) ~\C -~ l.iq))u AO~ 07 ')1( ;\liq))() ~-) A \)\(..'Q)u \\\1\ AllQ)lO.Ami)~ {f(j 'Q)l0 "\Q)VU frj qlfvl(. J.Q)P l't.,_l~ jl\ ll)lq)l6 A 1 '0 ~\C. ;\l'q)lu ~qlu~ flu 10)10 ')Q_)v\J Vu N~G l\1 ~'JN. :J-''Q)~ )"C }1\<i'\0)\ V<J )\l)j'\j}., :)11\ul\ ~l ) PA A I\Jll~lj -'-'Qj\0 )''\ ""'9\' 1\ \~i\~.aiq))u )"C t) jl\ A GP> p\~ -~ Il l (&, fm)uj 1ccf1 -f ~ IN-"'f\ I ; )I~) 1',1 f~ IDl\)0 1~&) -t. IN -'> P.:> J J_ [fm~ &l

\'1. ~~Q)lo J''C t)!:j'c 3: A.:_'>~ i1l~)wqj Au' 1\l or(z,:, 1'.1 Q- Jnj1o) ~o 3. ~~ -'> ~ ~. fllq) IU J"C ~~ j t' 8: e:,-=.> f\ OK(.,. NQ)I 0 )ll( @') \)cjl',))\" (\l \\I i : 1\~(\) Rl\ '),~JQ)XJ )I(!{A) 2. )')JOX o~ -\-(Q) ==-~a). ~IQ)lUjl( AJ'b 1 ~ ~\\J)l <06 ~d=) ' )lq))o )II( f\\)~ I f\ -f\)~ -\ "'1W~~ I l.. \))\)). yl-p & -~'Q)IUJ'f 1\'f-~,B "~n 1\G ~~~ M (EJ. ~'Q) luj''( ~~uj\ A-cf ~-u ~n~pji()))) ~~H)\\- A&, f) iy~'' ICcf ~~,Yr ps; (-+ \1. F\ ~ A~ t,u"<;; '1'~\'>'rY h (a) ~ 5o- CJa. {):'>A "'cj \1)\6). 9o.,(b) =CL : t D ~8 mnucv ~~u~i),, 'JD))Q)1 8Ct. 'lf\0 1 01 =+-Ql- =) 9a, :F~q 1"ib : ~nf\ ~ "''b -~~b) ~ 1 qo,_('o) ""'D2.I AI=-~ (D..!~\: i'i'~)))q) MJ''\l P\C '\')l)\j '1\\J \\.'"' \\ '\1<>!,0)'. p 1 (\~ 'j) p 'lq)u~ d " ll<? ~,\\\()} JK. ~'Q) \CJ l \:;)8\ ~ \fyf7\\ ))l )\J ~\::) ~

~w )\-J "o '\13'9'\)QJ "'''-'US i A ~~~ ~~,. -.. ~) -\.~ \N : AlQ)I 0 ~ )J\\. (..t) :.A'Q) 'f..j )''C. f\ 0\\ (-c). \N d\c. ~\ \:\ \W~\\)\Q) ~\\C'i"6 (}\..'i\jlj\j }.,\J ~1 ~'(l~<- -t. \\le'j "1\. \.\\, \\-J 1l\\) =-w :K\J~ pl1\jll( (R_; IQ)\U )Qp\)"' QY 'ff::.a ')Q)k.J :\)1)\)\ f\ 1)}-]1( ~ 1'\}lQ).J )::}0 )'lq>'r) S'.\lQJ.Xf 0)1) ~-)) )}:)\( fq) ~~D\) _.-;JJlQ)u\0.(fi 11)))'\\J lctf) N -d A-t-l ~ : \ \'d1\)j'q) ~~i\ \\'"' ))~...,~ f'-\~\i})~.~1)~11( ~\UJII( 1\J' -I 'trp q,010 1((5 -fc-=t} = { 2\7-\ c ~0 "R.. 2\"2;\-l Z:.-::>o I\ I.f ~ 2 ~ 1\J IN \),\ 2 :, '-\ -- I ' I!B''D l\q) )0 )IIC ~~ )IJ AO K'l) "2 \\( L N\N ~( \~\ = 'Ko ~~~\U )''' ~~ )\1 ~ l)j "'<i'0i\ I~QJ \QJ ~ '"''\( <U A\~';\})_~ ~ \( "\.\'< 'Q))((). ')))yet-{ NQ) \<-> )1\C!llpJ t\~id~ \ct'l)

~ =oo)qjn 3)lljll ~0 J(!)JO \( 'f110~ 1(1\\. Ut\ \ P) I('.1\llJ\..l AUD "'~1\J)\ A~,..., A\< il)l'lla \=I.I QJD JJ)..J\J \{ :)lf())j) fr'~' ;\llqjjo A~~I,JI) &_) 1Q)l0 9J0li(Q; ljl)jf( _)JC --\liq)icj ICO })[ I I I I I t. I I f ()_).l u r l~'od 1\ -=-{ 1,L.,~,'-\ \ l?ay'f)fl ()) pr l)}j ~~ \~)\( 01))) ICO\ ~\Ji) )})lt)) (Zj )\QJI\1\) l)q) l\\~ ~\C lf)\)) \~ 1\.(), (."\ 101\'f"' \lh'v' -p,,,a)lj)))\.j)) 'PIQJI)f' Al-''J )(lij' )1_)1-J \0 I\ ~ lfl'fl.j. 'W l0 J 'inlq)l>l) ')::))0 ~\(' )k)'t) l I (Q-+ N IN ) ~ =: o_+ u {f u ~0) N \N q:o(~~,~\)=~ : ~-=-'2 -\.1 c; ~n ~ ) \\,)) pn0hci\ ~ ~~c!,q)o) R-~ 9Cz.J0 (?+)) -=K -QJ \)) M\y \ls'o)i\1 "\f_; L) 11.\C llq)o) \&;') ~j\ Cu \-" i)~ l) -~ '2 3 ~ :r'))q)j) F) ucqj;j 1)~2 5---1 J) -+~ S),,,, -\-I 0 -.l..~"! n -L ")._ ~ b :? \ - '""

.(.A'(j)lDJllf II\ }.VJJ'OJ 1)1)0 Au Q* -QJ 'i)~!k\ 1)c l> Jy lmji)) (\))-+ N IN- Qj ~\tl}ti p~fl 1) -...A'Q)\0)1\C t\q-t : 0~ -+C~) = YJ( -\.. \~ ~~... ~+ 1Cii1 rl\)1 1\ ~JC. Xn ~~~~~\J J\1~1\)j') r;') "IJ!Jl\~ 'K{) ~~~'6\J fa l O~ ~ W~}.. Xo i'l~~ \~\) ~l\0)\ "',u A,{j ""~lur 10 i\.mq_)).))l(> i\1)\j,,),~ "'~'0\\ ~, 0,u l"',, ")\J -,):) d.."'''').(~ Q)\U )'(. ~"'" "'.)) li'p)'1gu0 0' )XJ1<fC' Ab, = { (a,, b,), (Cl L, ~ 1\. _ j 'Nu onu<f" l)njii\ ~b-z. = { ( C/ t 1 b J I (Qz,'ov) 1 -- ) J\l~~)J w 1)}1~ GQ))JJ k y}.}au;)cfl o'jtj "o \C'Il!HJU~ 11nJQJ l9qj "''om' })I Jl-1 ~1)10

0 1\C'. "~'\ \~ i'\l)\j A\J f\ lfli\y\) l))j.a) ;~---qyi\ A> - = A\J r?-v._. = u 1\ -- :''qn k"'-in :'f- :j)l )\.J N:J p,: (2) i)lj~ AIJ0 ~~~10)' kj 'i'l'jij /0 qlfl'l~ ()Q)QJIJ ~ y.jaom :1\\!1)11\.1\l )tj \!) 1\lj'). \( ~ Wf~I< JliCIJ \ll)\j ;\u 1\ K : \( ~\ZJ ~ : j_ "ff'll i'l. \\~ '"'>01c ''~'u J\ \'1))1'" :"lt))ui0 0!))-)11(' W 'Q)IO IQ)U~ 1 11\J( ~Q)I' I lvl' ~'*...~ 1011\ P {1!0 pg.kl)\ O'C)J~C) 1f\0 \ )..\)\C 0~o't0 \)..\' 1tJ''~ \i-j 'f...y't)l) \))' 1)~'<../w \:)'('\ /\\C ).16\1 \J QJ 0'01\.ll\ p _a_\<: "' \ P'd\"'IW\ '~ V(.>\\ ~)'"'II\~ on'01'1y\1.ai( 0'7\. 0 ~1){(!\) q, + q1) q 1 ; i 01JI\i) 1Qo,Q,) J\J \J P~'~ cp f\k IX:lP~ : ~ -= l CiJ_ AIC AxYI}J)l d--~ \G)j> y111( tj P~ IJ\) P + ~Oo p,~~ ~ N O'd-'~" P ~I\ IJQ?d, )<~0 Lu.Gt'X{ n, f,.j~, ---,-'r..) = u\e.j~ "'"Q}J' Nfr~. K-;1') - 0 ~1<2}-J) ct,_a')o, ~-b -'J A1Q)J ) a~o 1 C\,Q~q\.\a,

u\k\jrl~ ( 1\ -{ ~). \A: I?o l lbl 2J1C Y\ ~I< OlC 16\ =K I IN~\\;.AI'Q)D b-\ f\ PIC. ( ~ < ~) I Pt \ L \ \~ I :Y c '(\L.V p )C' _ A -L. KA) :\J )~ ted}~ ~Q) :~111\ :1,0 ))' G~QJ\J.I\..L. \)(R) l\ Wil0" ~6'.-t 1'~7\'(f,A,) ''a<u \l'!n '"\\J\P.&\ ~}''<.Zl \llj\) ~-.?J-.,~(f\} ")\JI) :-\ ~ l\h))\qj \)> B+.E:~') t(x)= ~ -OJ 0 ~!0'1',,,CClJ l)(!)l (-\-1) \\'1()~\\ ~'\)"') Bt 1K11l. ~ \1)"\ "' p<1\.polo- ~-t: { ~)\E:A 011 ~EF ~) :\C0)) )QJ\\\0. ~u;ep\.\\) ~~ CJ\ 1 q>r) E PI E:.Rf\} ~ =~\~,2>~ -tc\) ::0~~\'L~ -\-("2-) "' ~o) ~ C~'r=- ~t == { 2, 2, ) ~2, o"s cpcp!) 11 ~ 2ci~3\ :, /: ~. ~2~) ~h))'6' t'q)l\jdq) A-'J 1,J'1C \''C I) s i))"c' I~ f : '0J)o~

~n)lsg -~ 0 O.<:::f\ 0 ")\ ~e6 :1')'})))\\ t{c\):::~ - OJ jj' accf\ P''i'flJ i!o\~u fl')) :)1'l\QJQ)l\ 11\QJ pq..j'. ct~-ko.), ~~=~o.~ ~ ll!ic\j o_e:-e:,~ (9 ~J).O. Q (f \)-\ 0''JIA"d }Yi) C\.E:--t(Q) ow ~~ x~ri\ ~!J:) & :i)f\)\)ll '(!Jf D. t -ko) :)C C\Ef\?)t (Z) ~'\l}v. ~ t:~~ ~''{JAI)cf y'~ )\Yi) b.r A)cj(i) '<SJf djc ctt.+c~) ~(. & ll))''' -{ fxf' fea.)~6-t.. QJ 0 a. <::A ply"' rc<s :))J ~~.-t ~)~ M 'P) N ~P(IN} ~~~).) P(~)J!1j G\:,\o '0)\C ~)~\.lo >t't O~b jl\ b~ PT' C\~b : 0\,bE::-f\ c?<f ~\\ '!G\Ju 'GnC :!:: :'~ )Q)l\CD : l)kj \f)))}jp G \J 0'( : "~'0)) I~Qj N ~1)000' }\( : ~ ~')}j),u~ _fiy1q~u'g\\t C\~}j J..ffi)" All''~ PIC' :\''GOJn-u -'1kJ)~ G~~

Cll~f'\ OlJIC' ~tnj 1)1\C 0 1---qf'G 10!~0 \.. 1%},.\ ffil\\.l-\ \ I<:Vi)f l ij \~ 7\'j\J ~() f) PT 1-\U'{~) (Oil)= Po, :0 ~'j._ejr \OL~ L J, ~ [ o,,j:=- ~,,. { 'i-.e:lr' o~x ~~1 '(:\-'a 'j._~e:;(_ 0).. y.\ }.)'))\\\ \IC ~ EJ:.C ),fs- (z.) \\( ~~\j~c 0)

J1~100 f0 0'0U~~ )'lc' '1\Y~(l').O'Q)~I) p!)011(' ~IJ~ 11 JQJ..\I<R~6) Ac:}ll0)1 0110 1 \C ')''611'' (.Y0'U)\)~ l''' ~7)).f\ lllo), Q!WIG(t1 ~gi\j~ "Y~'".P "'I~,cf<fl I A\(f\G:) l\q}\0j\ ll)'l'l ~(AJ?) \\110p)\..P \11'~ I 1cfh rffl\))\1 P, Ql\JIO)\ 1\~l\J)\ \A}'i'n0 :~(l) ').\\1\.K)") f\\qj'icfi\ 3 }\)'\' A\-.111)\}jtt.J ~h)~\).r~icap) 1(~\V) -i) PJI\'YlJ) f\ '""\0'!C --1 (IC All( i~ J)')\}J di)~\j l.-1.i(ft,~) -() 0'~~\J) )q,...,'/.,. OJ(' (0..I(\)\D) -o ~ \J) ~ ; K.P- f) A\o\~(;)n M.10-) 'lc- IIJ'Ij)A'QJ 1t ) OQJ "''~E P'Wl'l\QJ P110'K:' VI 0!~~\ I(~\~) -'i0 (.7 : t -& " 1 \)'0)''(\d\\ "'''X17i'l.1-1 1\C J\IC ~\.lll\uqj ('Oy.. l\j 1'\)Gi\ l"\f.j) ~'<fk\j 1 )'\Jil \rllvr \\'~ l.fl~) ~IOJi"Q) : ~tf) I'JQ)QJil kj A'01G)'\q)l\( l)}j/1) V\J'll (\\:::0. ~Q)UI\\ \'~ : '\')(fl\,.\ \-'~)' \'1 ~ :A,G\(S6) a..o. "Q)c~)\ Cz.). boo "G~Qji\ c ~). QbQ t/:f1~a- '00 P'QJ J l(l\y} = A f~{) :0 ~Db, O~bo,, Ob~bC\C\~). )

9~0() ll)q[\1 \(1\) ~cjl~f' kj J'\l'G~~ )'~\) ffiq7\))) \JICi'l ICAP),MJl1~.P A\G\~o ~<r'~' A ~~0"' M- " SVJ.'N \)~l\1)\ \(\\'\QJ ''o<f\'6~ \Jiv))}V\~ \i310)' k; "'u' G ~r J''C I)"):Yli\D? w 'c\ w : ~cf? ro ~~?). IW.D _, A pl.x.tj I({\,~) A\JOO p~ i)!("~} x'di6o)) t-.11\0j Pd0no ja1 JCU PlJ~IICi\ h td\c- \X~) I ~ \)~10}\ pj'ilij ~ \10 1 0 ~ -~ f)t)j)'l\ ~ ~fui)jw~ ~- 'D 'II ~v C. "' "-2-... '1..., =-~ ~i~l = 'i i \j ~'ii) ~= v~l L "'' 00: ~C\ b) 'i-.-z.-= ~ Ob, o~ bo_) ~t> ~ ~ab, CXbCib~, ObabQObn_). ~\1''0.IC.f\~),Jdl r(f\~) IC''\ )"X5l t,)j,i\ "IQ)'~ \U"~~ '1-- ~G))crJ ~1\)l) )}) ).~E:-'isi -GJ )Y~ \)\ ~~~~,:'J~ ~\J"~ ),\ Po~- ~,,.., 1 \"'f:x_.1-.a, _ 1 '\V\ ~' dn 1 '&o-j'v~\ji'l o~j'jc" o~ \i ~~ 1v~i) "' f.j1 f-1 "l<i'l0~l'oj ca7 ij.bah crr))j pcf\ ~ji+l = 'i)\ UP ('i}\)

.'\J-, '\\' ~\\ ~~,,~\\QJ 'JA\'\J \J)G~\\ ~'0\')) \C\\\ ~ : t~ (.)'>!i)-1 9-_ c;'}!ji( p -\ ~ 1J0~ -".\\ MJ 1 1~y- 1 \\ ~\C ~ \'ij\0)\ ro ~ ~ _1~-1 II\ A\(.A\JII~}JQ) ~ l'\)\..~).?!fj ~ffif\'1 U'i; II I{f\?)~~ ~'0)\.A~''\QJ 1)\l1)) J let~ J lj)j.1\f)l~j Fr \ ~ 1Jf:>C} (1\\1\ ~Dlli)lJQj ffi'l\ 1 \fjhy)') fl~''~.7'rp 1 \\ ~\Jll)'U) Aj'Q)U\j Y -Q) ~1. "'~'1- :~ A~''\'QJ ~cf(qju J)'J). ~~'/ ~'c '~-1 'rc A\( MJ~~~~ '1-QJ d-671j Aid\\\J 1 )'\J \IIi)- jlc 'T J\IC A~''\\~ ~ 0 I( ~lh.l GljiQJ \Cii'QI ~f)ji'(} 1\11;\61:) CJ=-X pal ~ ~i jl\ A'O\OJI)'\J ~ OK: ~&~~ ~\t;:\1))~ f 'i'qj'u\\j -~\ 1 &1 \\<S \' \jl \j \ ~\ ~~) ~ '\\N\( y.:" q~r I \ l pl 1H" H~H 2->0 = 2 '\-t 1 ='2 prqr I..! ~\.\.\Ql\...\\ ~-cr \'\.J'~ '( l\c)j'v\~ -~)... -~-6

~~{ Q'l?ql\1.- \'tze:\n's 3? := ~Pl-)

I ~ Jv~'\J" IJu vu'g\'1\c )''\ ~7\\ (fx\\'6) \1 \)~\\)" )~\)''~" 1\<:ii\J\) \C' i\ I(f\R) t ~ ~ l(fl 1 P).c-.\)-u A\dl~\'\ ~<S 1111ro l(fi,p).u I(A;P} SY:: pt:ij!h)~ Z:-= P (C!,0 2.0n) -\ 0 11 0 21... p~e:{f\~ 0\C 1\J\~. 1 0-1 11( }'\(' "-yq)v\jqj X'di~ IJI )'\.1\) "11\J~\J \~II\ I(f\ 1\J) -T t ' 'NYv 11 \C ~ ~ AllcjTI\J \ll~\\0 \C(.v ~"~))J'IQ) \0 i'()l( fy'i: Vl'-w t ~ \i0u Q)\1 ~Q )) QJ "'<[\ ~ I >,\ '~\\ M~\)W~). \ ''-~-w'1' >.~D' >.\\."'\~) \') '\\~'il\~<s A' \0 -;')~0 IC'I\ l(p~i\') \)1'-.W "'. '\0''( 1)\Y~ ~~' >-.~0 :''\D'~' ><1~0 t

~f\?j \)If\\...) 1'\)'a,' J..~O ~-~ \~,r~ 1.=" 'f... E::I(~,?) : "1--E:.'-N 10' 1( ~0 <= '"" ~'9~~)'''~ 0ffi\\\\\.)0~~~ 61))})\ ICf\P) -~ w=iu\ ~l'ik p- 01,0 1,... o~ :=> l'"j I (}t(bf\ ffi)q; ~1(\)'r'f Cb r~'\j ai:x::l r{)pi~) PI:: {o b) llo,\jg re-a,p) - ~w ~QJ-;'1 :q'ot:kf\~fl -Qj J.."O~ Yff"\) ~- Qb ;Ob~A :1 ObO'ocA. i 1) )q\.j \.) l 101\C ~ 2>. ObObOO..l:o;,, 1 II 11 '-\. O.ba b'oba. ', " 0 " 5.0bOC\ ~ G.Qbb ) i) ~ Q)' PI~~ -\) Df'\J P <D,.&sQ)V\ o.cv 1('\J 1\(_ IQ}>IJ ~~ ~ @ ~ 0,, -(}) ~\\n\\<s &"'1)) ~\ 11 a. \:::0 Q:. fwfl ' ~),J>- Q}' &\\'\ :J. -IJ 1011~ ~1[QJ '1'0'"'1\. \ If\)\)},,,~r) s-a,~01~',,q,,o~ \1~, ' ~)')" ~~c '1---V:u \\t)) T-QJ ~0 1\~)lJ l(f\(j) -{)) 'I ~I,)))U QJ!J"QJJ "(''1 1-.\\0"'<f,~, ~ 11\)\( "'*'\ ""-1''\V-"-J t I t

_:~YR~g )1\C\) 'DSDYS'iil GOO )1\ : i'\~"'1) Ii5\,~, c_'l ~~""\-\ ~ \\~'\Jyv "'"'~"\'6 '~> :;r ';))))).. Qy A-\) ' 0 ' 1C <D<f f\ f. 'I :o'u\j.~ C~) _S! -\J ~ 1\G\(Sa ll\j'd l:=p(o,a'-... a"~-\ 0,,(\,... P,nE:'I ~\C :~ \!\'ro.'2 (;:>) T 0 )~ OJ' ~ -O ~'( I "'J' )" Q)' C\1,0.,.. pi-\._ tp<f \'Jl(. Z;E: ~.!)I( )'di(\-11)1\j;') 'MIVp)\ f\\[ \t[')\j ~')) j( ~'""\J (.:>)-\ (JC) fl \)1 '\)~ '/ \1" J((f)p) h'r ~'1)J \(1)) (7) ~,~o -;mril 'QjJ (0)-1 (\C) "K: }\\)ll~\ylj ~ "', t -p~ r \l \ KE:IN "\.\ (f..) o&nj ~ \( '"\ ~~ A C ~1r:YiJ ~ ~ l:mj 1lJIP ~~IC ;))))~ \'1 \j -: ~ '" - ~ f ~ q f ~+t \ ~ ~ E:-~'.~I\ r;')t)lfy)w (ell pll)-)1( \1 p (\;I(.~)Q\J }"~~'q'"~i:j "~~'"'. \\'~"'q)''c() vlll'" Gem~ y0o ds '"" ~m'"\'l ' ~)DW }w1~vh'\.ij ~m\\\ A-~.~-;:) \'1~\))'( IJ\01( "10'\C ~ :ODiJ.'R v-\ln...- trtv.~ '"'''''"" ) "-=" ',, ~,, }J, : \'-A :.,, ro.ij :;'\)\))\\\ MC A\.} I\ \\\0 \'<S'\~)\,~\HI) "l\ \)l')\\.1 \CU 'I n ~f\<4 rfei:i:e(~v)-1)] -""~"'\))(; Y,') \)A'b -~,ci 'X'C 'l\)f (}:;.C(P..,~) -t -~ ~l) t-{ ~,9) -ij "'\()''( p ~!'))) )\ f)'ll\'6

no )) \\>.1~ ~ I)Qj, ~'d\rn\d \JQ)QJ 11~11'<! :ffi()\ji) :J~Q.J 1\t ~\J\\!~IIi')~ }..\~\) 'Q) ~1\C\\U\) la))dc> JiJIJ) A)Jpo\J \1)\)) J..l )t:,<jij ~'0\'\~ ~J.)lQ)\J}'I Qlllr>'G Pfediect\ : co.\u...tlu ~ 9 l\jiqj 1\~ 'fu ~lcu\l\.'5. 0 '0 '''I\ JIQJ))}\ I 0'y'PO~ 9'Q)\\)\ =~ V'llkl u'qjf'l)\ <f~\ ;\I \)\'l.l ~\\ - a\() )'0,,\)~)-.ru 'v ~ ~"' \) 'Q)l\)., V<.J ~Q)QJY\,l\\)6CJ 11~'xJ "\QJ\:1\D~\\-"'''"''C ~ '~\:rnq) ''~ "\)\\}, i' ~ JtJIC i \ Q.\1(\ 01'\\~ -") I \{ f\. -~')Q) ;'\ "'~")\'!"' 1~ 1 t\( 1 \1'7'1 ~ \T \m.~l\-\:> ~1\e.J (:)(' qn_d ~'~~ \\0\-.' "'\)'\) ).lt\'\0\\~ \ \) 'd\\), C\. >-'\C b A\\C '"'~ ' 11i1\:'J p;-, '' 11 J\'I))li QJ\.lQJ\\ '' 1\Ulr

. >\Vf)\\ Jl'~\\)m ''-'" ~ \(S\ ~)-=~ "' M \J\C ~ \))~~'~ ~~.~~ 1}.'-JQJ'QJ 1\N \Q)~ ~1)''~0 \\~'rw ~\C. '~ \)\\ ~ ')\\'\\ ~ c.. ~~ :\(W~ ~\CN'I'\~. OYy'f-..-Q)\'1 \J'Q)\1}\\.J \) \(.NTW \(.()~ "'Q)~ \C 1\(.0.. )\\C 0 \1)\\J )IGI 0~ "C 10 lu 1G'Q) ;'\))\~ \C\" dj'v'o QJ \c..c)\li ~') \cl.) J,\~ \\(j.jtj \~ o."'o -4(_ :OY\\~Gi\ ~\J)\ RJ }!IG\)!)Q) ~\\!OY\'~~ v 1 ~l\_}... ~ ~\\ ~0' 1 \.IIOIC\) \Jl\'11(..~~) P~,f\\\,. -. :\)l)\010 ",\I'',-">, ~I ( 1)!\J'@\) Pl\\J'G l :d'~ 6'0'0V'~l"c b:w'u o'\'~~" "-9'u) ~ =- {p\),91, ~LJ ~ : ~pi \\ ch Jt~ F, J :0 ( J-) F" (~~} =(J "~) f'\1 (J. 1 f:>j =(en~) F_, (0-,,a:)) = ~ _., f->) F 04 (d.,~) ~ (cf.h ~)

~\ =~ 'ii*' == 'f...i \J PC'i-1J "/.._~:?o,?~'?2.,---, '?1'\, '11-. l \) ") _, p l'l-) ' (, \)"i"j 'j_::,. ((I p, J _., (p"> _., \),~J) 9 ((p':) v p,,) _., (pb -"PJ) 2. p,, PI\ EA s(~vp") i ~-, ~ ~ ~" "&()Jo '-1. Pb PoE~ '). PL A-\,\ b. (pb-'8-j J:H 't ~ ~-" "~i\.0. 'n)\j}\ ~~)"'' -~"'~ \\\<>{)'''-0 "~\''" ~~ ~\\ ~u~!'4~-.q''"u \\'ffi\\')

-~)\))\)) },l( PW)'\J ~ P'r (J- 1- ~ E::)/ ~ \'1 'R"'I) c), f:k='l <!~ N )\o' ~A 1'-<3'~~. ~ t?1- ~\W \\)'))\ y~ ~ \) ~TC~ 1 \)) \W:... ~ }I )l'q}j ~~1~ y~\'j (--"' : \~1~8 c:j"'a,al,---,ah. -OJ v) ~-' J ""'v' 1 ''d P')'J'o "~o,,0'& :JrEru ~ (. ~\'\- f:xs\ ~~K \') IC \;> Vu \~') \C.'\\ 0 - QJ 1\JI,) p" b,6 L- -- 'o~ r.q, =b, t ~ ~ i'\~lj leg QJ\.j~ \~\\ )\\\')QJ \\(jlij "'\) d-- \))' 1~ y~8 ~ -!> \))\)'.0'~~'11 P1Y)T10l\ ~\J\1 ON\J G'\<Yr \W(.\~1-)~\"1 \Jl''"'l'rl.ii\ "Q)-'\j d- -() ~\C. ~L~ \)'I( ~b~ (.u 0.J~\.\ )~'1 ~\))~ut-:1.('3 i\)na. '\M) )_ ")')}.._ <K "~"~\)''c. -v~ \..u QJ\-)1-.\,~,, ')

t BB'~' '0l""JV \G \''(Q) ~\.)~ \\.~~ \~\Sr\~ (d A ~)v '( J" Q3 "~) 1 t t t T :~'Nil "'~')~\) GoQAl I t Ol'j\ltl6) <)J' p1 C)!.-=(~~D'r,)-QJ?1 o '~~)'I ~',~t 0'))'00 QJ 1 l)ic, d ~mq) M (le).n, b. - \\~~~1. ~~,:::-~ WY)!Yu.)lc J =-(\?>~~~~) -Ql ~~ ~ ~~"' ~I ~2- l\. -- P'-pKJQJ\ D IQJI\ l"c jl( d-""(-r\?>) -QJ 0l YQ) ~ ();' PIC d \'loq) ~cf ( ~) t. fb::: ~' _)IC J_ ~ \1 ~') P\C ~' M'l d- ::: ( ~ De\') - QJ ~i I t f ~\<f\(5~ 1J I jw -'0 cj.:c-(~/~~~,) 1 d~(~~d~j-j -QJ 01 ~, 1 ~,:~~~l,8l 01\lll~Q.J,Xfi~Q TJl)j. ~\:t~2 \,c b.~~ ''c ~\'*\3:} 1\--l\~ \.il~\-ji\ i\)~ "\.J"\)1'\J'm' I I ~' +~ d J\nQJQ)IC I ( \), I~~~) (~l ~ ~J.\)I"'~ OY\ ~l\ ~~ - Q} \)jl}.() ~~ 1 0 \'1)\.J)\ 1QXS -~\ ""'\bd \i'\)\lqr\ ' ' (~, ;u :~~) (~ ~~;') k k t ' I t p,t ~~~ ~ '(l.. ~' ~'~12_ ~~ Pl\\"-l)\ U.\\~10 A\\JIIAu \0\ 0\"\\U\1 V'\\'iJ "'~'\)}..\.) '6{'\ ~'

. P'IQ))\ QJ 0''\J1)0.01)10 I)Q} Q)' Q. t..ij)cr~\ ~ 1 1\' \t:) QJ 1 1 AW)<if :1'i)11 G)IJO 0 llt-\\ok\\ 01\I~Q\\ a'j ~ '0111\Jl\ ~)\li) J)'l\J\0(.,1 Pl)\Jt:6)c),~ 'rqj \\C \ MJ\C \J)~ ).).}1)){~1'1\JQJ" \.:=o '-1: {Po, p,,... ) -"> {o.~~.... '-J(Pz.)=-r \1 Ct>')) =I. ' \f' (?L)~f \fl (?.f)~v=- I"))') I \C, \_ :1\~'GpJ(J ~ 8\J'G\\P?)''( D~'".JDQ)~ ~uq}:) T/f 1 ))~ JVY~l)Qj \J!)(U),\1 y\)\'l~. ~)lid~ P')lt,Q)c) Oli\JGIC 01-p~ ~ l}ot'd)l- \f th tobb - \1. 'f\& <ill.j~ P~,A~I\ xm G.>\'~"')'(}),,~n \1 1'e ri)~ '~'.'"lv1):\ ""' ~"Q)o 0)c:J0nQ) TTl : ~~IF~ -"),T, F'T :\ 1)0~ f\vj\c )\fi.)cj TT, (r) =T Cn)., (1) ~F J T lc:l r :\)~Tj :))J~Tli

\I(~')J =f" '{ l' C' f'.,)) = '' l \J (,?"51) ~ T'~ ("' (~(""')\ == TI1,, (-n, ( r-)) ::: 1 t ~~~ t ~,v..) t I I

תחשיב הפסוקים WFF Well Formed Formulas (P I(A, קבוצה אינדוקטיבית }, 1 A = {p 0, p פסוקים אטומיים פעולות: F not (α) = not α F (α, β) = α β סימנטיקה p 0 p 1 נתונה השמה v לפסוקים האטומיים: v: {p 0, p 1, } {T, F} נגדיר השמה v v : WFF {T, F} שמבוססת על v. לכל קשר לוגי, נגדיר פונקציה טבלת האמת truth table עבור הקשר המתאים: TT = {T, F} {T, F} TT : {T, F} {T, F} {T, F} v נגדיר ע"ס פונקציות טבלאות האמת טבלת אמת של α T F α F T v ( α) = TT v (α) v ( α) = T, F, v (α) = F v (α) = T

בסיס הגדרת v אם α פסוק אטומי אז v(α) v (α) = דוגמא: α = p 0 v 1 (p 0 ) = T v 1 ( p 0 ) = TT v 1 (p 0 ) = TT (T) = F עבור הקשר TT (T, T) = T TT (T, F) = TT (F, T) = TT (F, F) = F α β α β T T T T F F F T F F F F עבור הקשר הערה: בשפה הטבעית "או" יכול להתפרש גם כ- xor TT (T, T) = TT (T, F) = TT (F, T) = T TT (F, F) = F v (α β) = TT v (α), v (β) α β α β T T T T F T F T T F F F קשר

הערה: בשפה טבעית אם, אז גורר בדר"כ אם לא, אז לא אבל לא כאן. α עבור β α β T T T T F F F T T F F T α = F ההחלטה שרירותית v (α β) = TT v (α), v (β) דוגמאות: "אם המכונית תתקלקל אגיע באיחור" סמנטיקה פורמלית: אם המכונית לא מקולקלת והגענו באיחור הטענה עדיין נכונה (T F) T = "אם כדה"א אז האנשים ורודים" F F = T "אם = 4 2 2 + אז פריז בירת צרפת" T T = T קשר α β α β T T T T F F F T F F F T TT (T, T) = TT (F, F) = T TT (T, F) = TT (F, T) = F v (α β) = TT v (α), v (β) הגדרנו את v באינדוקציית מבנה על הפסוק α. משפט הקריאה היחידה מבטיח ש- v תמיד מוגדר והוא יחיד. ניסוח פורמלי של העובדה שלפסוק יש ערך יחיד על פי v : טענה: בהינתן השמה v, לכל פסוק α ל- v (α) מתאים ערך יחיד שנקבע ע"י v ועל סמך פונקציות טבלאות האמת. הוכחת הטענה: באינדוקציה על הגדרת התחביר של פסוק α וע"ס משפט הקריאה היחידה.

נפשט כתיבה ע"י הסרת סוגריים סדר הקדימויות לקשרים לוגיים: הקשר קדימות ראשונה אחריו,, ואחריו p 0 p 1 p 1 p 0 = ( p 0 ) p 1 p 1 v( p 0 ) מושג סינטקטי: פסוק מושג סמנטי: v מושגים סמנטיים נוספים: סימון: כאשר v (α) = T נאמר ש- v מספק את α ונרשום v α הגדרה: פסוק הינו טאוטולוגיה אם הוא מקבל ערך T לכל השמה. סימון α דוגמא: α α הוא טאוטולוגיה כי לפי טבלת האמת: α α α α T F T F T T איך מוכיחים שפסוק הינו טאוטולוגיה? משפט: לכל פסוק α ולכל שתי השמות v 1, v 2 מתקיים: אם לכל פסוק אטומי p i שמופיע ב- α מתקיים ) i v 1 (p i ) = v 2 (p אז (α) v 1 (α) = v 2 כדי לבדוק אם ספוק הוא טאוטולוגיה מספיק לבנות את טבלת האמת עבור כל ההשמות של פסוקים אטומיים המופיעים בפסוק.

דוגמא לטאוטולוגיה: (α β) ( β α) α α α β β α β (α β) ( β α) α T T T F F T T T F F T F F T F T T F T T T F F T T T T T הערה: אפשר היה לרשום שיטה אחרת להוכחת טאוטולוגיות: נדגים שוב על α) (α β) ( β נניח בדרך השלילה שקיימת השמה v שעבורה הפסוק F. v (α β) ( β α) = F v (α β) = T וגם v ( β α) = F v (α β) = T וגם v ( β) = T וגם v ( α) = F v (α β) = T וגם v (β) = F וגם v (α) = T v (α β) = T וגם v (α β) = F סתירה מסקנה: אין השמה v שנותנת לפסוק ערך F מושג הדואלי לטאוטולוגיה: הגדרה: פסוק α הינו סתירה אם אף השמה אינה מספקת אותו (הוא מקבל ערך F לכל השמה). דוגמא: α α טענה: פסוק α הינו סתירה α טאוטולוגיה

α סתירה α טאוטולוגיה מסקנה: ב א אומר גם ב א אם α אינה טאוטולוגיה זה לא אומר ש- α סתירה כי קיימת השמה שאינה מספקת אותה וקיימת גם השמה מספקת. פסוק α הינו ספיק אם קיימת השמה שמספקת אותו, כלומר קיימת השמה v כך ש- v α דוגמא: לספוק שאינו טאוטולוגיה ואינו סתירה p 0 הוא פסיק או למשל ) 1 (p 0 p כי ההשמה v 1 (p 0 ) = T :v 1 מספקת את v 1 p 0 השמה p 0 v 2 כך ש- v 2 (p 0 ) = F אינה מספקת את v 2 p 0 p 0 הגדרה: נתונה קבוצת הפסוקת X השמה v מספקת את X (סימון (v X אם ורק אם לכל פסוק α X מתקיים v α מושג: נביעה לוגית הגדרה: פסוק β נובע לוגית מפסוק α אם בכל השמה שבה מתקבל α מתקבל ערך T, גם β מקבל ערך T. סימון: α β הערה: פסוק פסוק אומר נביעה לוגית אבל פסוק השמה אומר ספיקות דוגמא לנביעה לוגית: α α α α β α

α β α β אבל זה לא נכון: α β α β למה: α β אם ורק אם α β (טאוטולוגיה) הוכחה כיוון :I נתון α β צ"ל α β נניח בשלילה ש- v (β) = F עבור v (α β) = F בסתירה לנתון ש- α β הוא טאוטולוגיה מסקנה: β) α β נובעת מ- (α כיוון :II נתון α β צ"ל α β נניח בשלילה ש- α β אינה טאוטולוגיה כלומר קיימת v כך ש- v (α β) = F v (α) = T, v (β) = F בסתירה לעבודה ש- α β מסקנה: α β הרחבת המושג של נביעה לוגית עבור קבוצה X ופסוק α: בהינתן קבוצת פסוקים X ופסוק β אז β נובע לוגית מ- X (סימון X) β אם כל השמה שמספקת את X (כלומר מספקת כל α) X מספקת גם את β. דוגמא: α β, α β = {α β, α} β הוכחה: אם v (α β) = T אז v (α) = T אז לפי TT מתקיים v (β) = T הרחבת הלמה: למה: X, α β אם ורק אם x α β

רישום אחר: X {α} β אם ורק אם x α β הערה: האם נכון לכתוב? α β x β α X ( α X לא! כי ) α יכולה להיות קבוצה אינסופית ואי אפשר לעשות על אינסוף איברים ואז זה אינו פסוק. הנ"ל נכון רק אם X סופית. קבוצה יכולה להיות אינסופית אבל אי אפשר להפעיל פעולה על אינסוף איברים. ( עבור α X דוגמא להנ"ל אם X סופית ורק אז: α) β x β (α 1 α 2 α 3 ) β {α 1, α 2, α 3 } β נסמן: M(α) את קבוצת כל ההשמות שמספקות את α עבור קבוצת פסוקים X נכתוב M(X) = {v v X} (השמה מספקת קבוצה אם היא מספקת כל איבר בקבוצה) סתירה M(α) = α α β M(α) M(β)

שקילות לוגית הגדרה: עבור זוג פסוקים,α β נאמר שהם שקולים לוגית אם הם מקבלים אותו ערך בכל השמה. כלומר לכל השמה v: v (α) = T v (β) = T סימון: α β טענה: α β אם ורק אם α β וגם β α טענה: α β אם ורק אם α β לדוגמא: עבור β 1 β 2 מתקיים α 1 β 1 α 1 β 2 שלמות של מערכת קשרים הגדרה: פסוק α מממש טבלת אמת נתונה אם ורק אם טבלת האמת של α זהה לטבלת האמת הנתונה. הגדרה: קבוצת קשרים שבעזרתה אפשר לממש כל טבלת אמת נקראת מערכת קשרים שלמה. דוגמא למערכת קשרים שלמה: {,, } {, }, {, }, {, }

מערכת הוכחה מושג סמנטי הגדרה: קבוצת המשפטים הפורמליים / קבוצת הפסוקים היכיחים (ניתנים להוכחה) ונגדיר אותם כקבוצה אינדוקטיבית. אטומים: אקסיומות (תבניות של אקסיומות) כללי יצירה: כללי הסק (כלל יחיד) כלל ניתוק MP modus ponens שאומר בהינתן α, α β אפשר להגיע ל β קבוצת המשפטים הפורמליים הם קבוצת הפסוקים ששייכים לקבוצה האינדוקטיבית הנ"ל סדרת יצירה תראה שפסוק a הוא משפט פורמלי/יכיח. סדרת יצירה עבור פסוק a היא סדרה סופית של a 1,, a n כך ש- a = a n ולכל i n 1 מתקיים: a i אקסיומה (אטום) או התקבלה מהקודמים ע"י כלל הסק (כלל יצירה). לסדרת היצירה נקרא סדרת הוכחה. נסמן a אם ל- a יש סדרת הוכחה (a יכיחה / a משפט פורמלי). קבוצת האקסיומות של תחשיב הפסוקים הגדרה: פסוק δ יקרא אקסיומה אם קיימים פסוקים,α,β γ כך שמתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות: α (β α) הוא פסוק מהצורה δ.1 p 0 0 p 1 p לדוגמא: 0 0 α β α α (β γ) (α β) (α γ) הוא מהצורה: δ ( α β) (β α) הוא מהצורה δ.3.2 קיימות 3 תבניות ולכן קיים מספר אינסופי בן מניה של אקסיומות "קלות" לזיהוי. בהינתן פסוק להשוות את עץ היצירה שלו לעץ היצירה של כל אחת מהאקסיומות...

אקסיומה מטיפוס 3? (p 0 p 1 ) ( p 1 p 0 ) לא אקסיומה! כן אקסיומה: ( p 0 p 1 ) ( p 1 p 0 )

מערכת הוכחה של תחשיב פסוקים אקסיומות כללי הסק משפטים פורמליים / הפסוקים היכיחים קבוצה אינדוקטיבית (כללי הסק,אקסיומות) I סדרת הוכחה = סדרת יצירה בקבוצה הזאת סדרת הוכחה עבור פסוק α הינה סדרת פסוקים α 1,, α n כך ש: α n = α לכל α i 1, i n הוא אקסיומה או התקבל מהקודמים ע" Hכלל הסק. איך נראית אקסיומה: לכל :α, βγ A1: α (β α) A2: (α (β γ) (α β) (α γ) A3: ( α β) (β α) הגדרה: כלל הסק: כלל הניתוק (Modus Ponens) MP מ- α, α β אפשר להסיק את β סימון: α הערה: המערכת מבוססת על פסוקים מעל {, } בגלל שזו מערכת קשרים שלמה ולא איבדנו אף ביטוי.

דוגמא להוכחה: α α נסמן את הפסוק α α ע"י β ע"פ A2 α (β α) (α β) (α α).1 ע"פ A1 α (β α).2 ע"פ MP 1,2 (α β) (α α).3 α) α (α α) (α רישום של אותו דבר מחדש.4 ע"פ A1 α (α α).5 ע"פ MP 5,4 (α α).6 α α דוגמא :2 β) α (α ע"פ A3 ( β α) (α β).1 ע"פ A1 ( β α) (α β) α ( β α) (α β).2 ע"פ MP 1,2 α ( β α) (α β).3 M2 α ( β α) (α β) α ( β α) α (α β).4 ע"פ MP 3,4 α ( β α) α (α β) A1 α ( β α).6 α (α β).7 α (α β).5

הוכחה ע"ס הנחות הגדרה: עבור קבוצת פסוקים X נגדיר את קבוצת המסקנות של X נגדיר את קובצת המסקנות של X ע"י MP,אקסיומות I X I(X A1 A2 A3, MP) נוכיח α β, β γ α γ A2 α (β γ) (α β) (α γ).1 A1 (β γ) α (β γ).2 γ β הנחה.3 MP 2,3 α (β γ).4 MP 4,1 (α β) (α γ).5 β) (α הנחה.6 MP 5,6 α γ.7 α β, β γ α γ תכונות של הוכחה ע"ס הנחות טענה 1 אם α X אז X α הוכחה: סדרת הוכחה:.1 α הנחה X α טענה :2 אם X, Y ) X Y שתי קבוצות פסוקים ( אז לכל פסוק α אם X α אז Y α הטענה נקראת מונוטוניות של הוכחה ע"ס הנחות. הוכחה: נתון X α סדרת היצירה / ההוכחה של α מתוך Y זהה לסדרת ההוכחה של α מתוך X. מסקנה: אם α אז X α לכל קבוצת פסוקים X טענה 3: אם לכל פסוק α ב- Y α X: אז לכל פסוק β מתקיים: אם X β אז Y β

דוגמא: X = {α β, β γ} Y = {β, γ} A1 β (α β).1 Y הנחה מ- β.2 MP 1,2 α β.3 Y α β כל פסוק ב- X ניתן להוכחה ע"ס Y הראינו Y α β ובדומה Y β γ ראינו קודם X α γ מסקנה מטענה :3 γ Y α β, γ α γ הוכחה: נתון שלכל α X מתקיים Y α נתון X β נראה ש- Y β בסדרת היצירה של β ע"ס X נחליף את כל ההנחות בהם רשום "הנחות ע"ס X" ב- "הנחות ע"ס Y" וכך מתקבלת סדרת יצירה של β ע"ס הנחות מ- Y. Y β כך ש- X X ו- X α טענה 4: (הוכחות הן סופיות) אם X α אז קיימת קבוצה סופית X הוכחה: סדרת ההוכחה היא סופית (מכילה מספר סופי של איברים מ- X) X היא קבוצת הפסוקים שמופיעה בסדרת ההוכחה (לכן סופית). בתחום הסמנטי α β α - נובעת לוגית מ β α β טאוטולוגיה

משפט הדדוקציה: לכל מערכת הוכחה שיש בה לפחות אקסיומות,A1 A2 ובדיוק כלל הסק MP מתקיים: לכל קבוצת פסוקים X ופסוקים X α, β X, α β :α, β הוכחה: כיוון נתון X α β צ"ל X, α β סדרת הוכחה בגודל n הנחות מ- X α הנחה MP n,n+1 β.n+1.n+2 סיכום: X, α β כיוון נתון X, α β צ"ל X α β ע"ס הנתון: קיימת סדרת יצירה γ 1, γ 2,, γ n כאשר γ n = β נוכיח באינדוקציה על i ש- X α γ i מסקנה: X α γ n כלומר X α β הוכחה באינדוקציה על מיקום γ i בסיס: בהוכחה: γ i מקרים עבור γ: 1 γ 1 = α.1 γ 1 X.2 γ 1.3 אקסיומה צ"ל X α γ 1 צ"ל X α α הוכחנו α α ע"ס מונוטוניות X α α

סדרת יצירה X מ- γ 1.1 ע"ס A1 γ 1 (α γ 1 ).2 α γ 1.3 X α γ 1 X" אקסיומה: אותה כוחה אבל ב- 1 נכתוב אקסיומה במקום "מ- γ 1 i > 1 צעד: נוכיח עבור γ i ו- ע"ס ההנחה שלכל j < i מתקיימת הנחת האינדוקציה γ i X α γ j מקרים עבור 1-3 מהבסיס ההוכחה זהה מקרה γ 1 4: התקבל ע"ס MP מ- 2 פסוקים: γ m = γ l γ i γ l ואז ע"פ MP על,m l נקבל את γ i ע"ס הנחת האינדוקציה: ) i X α (γ l γ X (α γ i ) נבנה הוכחה : X I. α (γ l γ i ) X II. α γ l III. α (γ l γ i ) (α γ l ) (α γ i ) A2 IV. (α γ l ) (α γ i ) MP I, III

V. α γ i MP IV, II X α γ i דוגמא לשימוש במשפט הדדוקציה : γ α (β γ) β (α γ) ע"פ משפט הדדוקציה X α β X, α β דוגמא לשימוש במשפט הדדוקציה α (β γ) β (α γ) γ) α (β הנחה.1 β הנחה.2 α הנחה.3 חבר מועדון MP 3,1 β γ מ"צ MP 2,4 γ.5.4 עוצרים את ההוכחה ועוברים למשפט הדדוקציה: α (β γ), β, α γ α (β γ), β (α γ) ע"פ המשפט קיימת גם סדרת יצירה לחרא הזה. α (β γ) β (α γ) שוב משפט הדדוקציה הזה α (β γ) β (α γ) מש"ל

תחשיב הפסוקים מערכת הוכחה: אקסיומות וכללי הסק MP,,A1,A2 A3 משפטים פורמליים: MP) I(A1 A2 A3, α הרחבנו ע"י קבוצת הנחות X ל- MP) I(X A 1 A 2 A 3, ואז X α משפט נאותות ושלמות (2 משפטים) הקשר בין הקבוצה X ל α משפט נאותות החזק של תחשיב הפסוקים (עבור הוכחה על סמך הנחות): אם X α (מ- X ניתן להוכיח את (α אז X α הגדרה: X α אם לכל השמה v שמספקת את X (כלומר מספקת כל פסוק ב- X) אז v מספקת גם את α. משפט נאותות החלש של תחשיב הפסוקים (עבור הוכחה על סמך הנחות): אם α אז α משפט השלמות: אם X α אז X α ואם α אז α הוכחת משפט השלמות נתון,X α נוכיח באינדוצית מבנה על MP,אקסיומות I X שכל α בקבוצה מקיימת.X α בסיס: α אקסיומה, כל אקסיומה היא טאוטולוגיה α X α α X X α צעד: כלל הסק :MP β α, β α הנחת האינדוקציה: X β α X β צ"ל X α נתונה השמה v כך ש- v X v β v β α

על סמך טבלת האמת של נסיק v α β T T F F α T F β α T F הוכחת משפט השלמות שלמות חזקה: אם X α אז X α שלמות חלשה: אם α אז α עקביות של קובצת הנחות/פסוקים הגדרה 1: בהנתן קבוצת פסוקים X, נאמר ש- X עקבית אם לא קיים פסוק α כך ש- X α וגם X α דוגמא לקבוצה שאינה עקבית: } 0 {p 0, p {p 0, p 0 p 1, p 1 } X מ- p 1.1 X מ- p 0.2 X מ- p 0 p 1.3 MP12.4 p 1 הגדרה 2: X עקבית אם לא כל פסוק יכיח מ- X כלומר קיים β כך ש- X β X. על סמך β לא קיימת דוגמא של X: β α (α β) משפט: עבור תחשיב הפסוקים שתי ההגדרות של עקביות שקולות. α (α β β) α (α β) α T F α (F ( T β T) F) T F

מסקנה מנאותות של תחשיב הפסוקים: קבוצת האקסיומות של תחשיב הפסוקים היא קבוצה עקבית. שאלה: האם ייתכן X α וגם? X α כן, בתנאי ש- X אינה ספיקה. למשל {p 0, p 0 } = X מסקנה (נוספת) ממשפט הנאותות: אם X אינה עקבית אז X אינה ספיקה. נוכיח: נניח בשלילה ש- X ספיקה X α וגם X α נאותות: X α וגם X α כך ש- α אינה עקבית לכן קיים X ולכן X אינה ספיקה. למה 1: קבוצת פסוקים היא עקבית אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה היא עקבית. הוכחה כיוון : נתון X עקבית ונניח בשלילה שקיים Y X סופית שאינה עקבית. לכן גם קיים α כך ש Y α וגם Y α על סמך מונוטוניות: X α וגם X α בסתירה לעקביות X, מסקנה: לכל Y X סופית נקבל Y עקבית. הוכחה כיוון : נתון שכל Y X סופית עקבית ונניח ש- X אינה עקבית. קיים α כך ש- X α וגם X α קיימות X X, תת קבוצות סופיות של X כך ש- X α, X α, X α, X α בסתירה להנחה שכל Y סופית עקבית. למה :2 {α} X עקבית אם ורק אם X α הוכחה כיוון : נתון {α} X עקבית, ונניח X α לפי מונוטוניות X {α} α X {α} α בסתירה לעקביות {α} X

הוכחה כיוון : נניח X α אבל {α} X אינה עקבית X {α} α על סמך הגדרה 2 של עקביות X α α משפט הדדוקציה נראה: X α נסתמך על למה שלא נוכיח: (α α) α X יכיח מ- α α.1.2 α (α α) משפט ע"פ MP 1,2 α.3 מסקנה: X α בסתירה לנתון. מטרה: נחזור להוכחה: נרצה להוכיח אם X עקבית אז X ספיקה. כבר הוכחנו: X ספיקה X עקבית. סכימת הוכחה משפט השלמות X α למה 7 { α} X ספיקה מטרה: X α למה 2 { α} X עקבית X { α} X α ספיקה למה 7: הוכחה כיוון : קיימת השמה v כך ש- v X אבל v α ולכן v α (כי כל השמה מספקת נוסחא או שלילתה לפי סמנטיקה של ) { α} v X ולכן { α} X ספיקה הוכחה כיוון : נתון: { α} X ספיקה, צ"ל X α קיימת השמה v כך ש- v X { α} ולכן v α אין נביעה לוגית רעיון להגדרת השמה מספקת ל- X: לכל נוסחא אטומית p i X p i אם v(p i ) = T

v(p i ) = F אם X p i האם קיים ההשמה שהצענו הנ"ל, האם היא השמה טובה? כך ש- v(p i ) = T וגם?v(p i ) = F לא. כי X עקבית. הבעיה: ייתכן ש- p i תהיה לא T ולא F ב- v, לדוגמא: {p 0, p 1 } p 2 בגלל ש- {p 0, p 1 } p 2 {p 0, p 1 } p 2 בגלל ש- {p 0, p 1 } p 2 לכן ) 2 v(p לא מוגדר p i הגדרה: נאמר שקבוצת פסוקים Y היא עקבית מקסימאלית אםם לכל פסקום α מתקיימת בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות (ולא שתיהן): Y α או Y. α למה 5: לכל קבוצה עקבית X קיימת קבוצה עקבית מקסימלית Y כך ש- X Y בהוכחה נסתמך על העובדה שיש מספר בן מניה של פסוקים אטומיים ולכן WFF בת מניה. α 0, α 1, α k ספרור כל הפסוקים ללא חזרות. נבנה סדרת הרחבות: X = X 0 X 1 X 2 X k בסיס: X = X 0 צעד: נניח X n מוגדרת, נגדיר: 1+n X באופן הבא: אם X n α n אז n+1 X n = X אם X n α n אז } n X n+1 = X n {α Y = X n הוכחה: למה 5 ע"ס הבניה הנ"ל (מ- נבנה סדרת הרחבות): טענה א': X Y וזה מתקיים ע"ס הבניה הנ"ל.X n+1 טענה ב': כל X n עקבית הוכחה: נוכיח באינדוקציה רגילה לכל n: X 0 = X עקבית (מהנתון), נניח X n עקבית, נוכיח עבור אם X n α n אז X n+1 = X n אם X n α n אז למה } 2 n X n {α עקבית.

טענה ג': Y עקבית הוכחה: נניח שאינה עקבית: Y α וגם Y α קיימת X α סופית וקיימת X α סופית וקיימת X X X k X k אינה עקבית בסתירה לטענה ב'. טענה ד': Y עקבית מקסימאלית צ"ל לכל α n או Y α n או Y α n ולא שניהם. α. n וגם את α n גם את Y עקבית ולכן אי אפשר להוכיח מ- Y מקרים: Y α n סיימנו אם Y α n אז X n α n ולכן α n Y מסקנה: Y α n (הוכחנו את למה.(5 הוכחה: למה 6 כיוון תזכורת (כן כבר הספקנו לשכוח) הייתה לנו למה כזאתי (3): X אינה עקבית אז X אינה ספיקה. לכן X ספיקה X עקבית. הוכחה כיוון : נתון: X עקבית, צ"ל X ספיקה. ע"ס למה 5 קיימת X Y עקבית מקסימלאית. נגדיר השמה v: v(p i ) = T Y p i v(p i ) = F Y p i v מוגדרת היטב כי Y עקבית מקסימלאית. טענה: v השמה מספקת ל-.Y כלומר: לכל v (α) = T,α Y אפשר לסיים להוכיח את הטענה באינדוקציה אבל אין לאורנה כוח וגם לנו. מסקנה מהטענה: v Y v X מסקנה: הקבוצה X ספיקה. סיימנו להוכיח את למה 6. יאי!

תזכורת: למה 6: לכל קבוצת פסוקים X X: עקבית X ספיקה נוכיח את משפט השלמות יאי! אם X α אז X α הוכחה: נניח ש- X α אבל X α ע"ס למה :2 { α} X עקבית ע"ס למה :6 { α} X ספיקה ע"ס למה 7: α X בסתירה לנתון סכימת הוכחה משפט השלמות X α X α למה 7 למה 2 { α} X ספיקה צ"ל { α} X עקבית במקום להוכיח X α X α הוכחנו X α X α הקשר בין מושגים סמנטיים וסינטקטיים סמנטי: X α α X ספיקה ל- X יש השמה מספקת יחידה נאותות שלמות חלש חלש למה 6 סינטקטי: X α α X עקבית X עקבית מקסימלית

משפט השלמות של תחשיב הפסוקים X α X α α α נאותות X α X α שלמות X α X α הערה להוכחה: למה: X עקבית אז X ספיקה הצעה: אם X p i אז v(p i ) = T אם X p i אז v(p i ) = F מסקנה: צריך עקביות מקסימאלית. למה לוגיקה זה מועיל? שימוש בלוגיקה / תחשיב הפסוקים אימות (verification) של תוכנות/מערכות (שיווק עצמי של אורנה) נסמן תיאור מערכת M מספר, דירשה S האם המערכת מספקת את הדרישה? לבנות נוסחא פסוקית φ M שמתארת את התנהגות המערכת - לבנות נוסחא פסוקית שמתארת את הפרט φ S - φ M φ S ספיקה? השמה: - מתארת התנהות של M - מתארת התנהגות שמספקת S ולכן מצאנו שגיאה למה בכלל ספיקות? כלים מאוד יעילים: פותרי SAT SAT Solvers בהנתן נוסחא מחזירים השמה מספקת אם קיימת, ואם לא מחזירים.UNSAT חישוביות: בעית SAT בעיה קשה.Hard וכנראה שאין ל- SAT פתרון יעיל.

דוגמא: ארביטר מקבל בקשות משני תהליכים במערכת וצריך להחליט למי לתת את התור. קלט: R 1, R 2 שמתארים בקשות requests (דרישה) מתהליכים 1 ו-.2 פלט: grant G 1, G 2 כאשר G i הוא T אם תהליך i קיבל את התור. יש לו שני רגיסטרים D 1, D 2 כאשר D i הוא 1 אם בפעם הקודמת התור ניתן להתליך ה- i נוסחא פסוקית שמתארת את התנהגות ה- :arbiter EXEC = G 1 R 1 ( R 2 D 2 ) G 2 R 2 ( R 1 D 1 ) מפרט: מניעה הדדית: (G 1 G 2 ) mutual exclusion נבדוק ספיקות: ) 2 EXEC G) 1 G (זה רע אם זה יהיה ספיק כי אנחנו לא רוצים מצב של mutex (G 1 G 2 ) G 1 R 1 ( R 2 D 2 ) G 2 R 2 ( R 1 D 1 ) נראה מתי אפשר לספק את המערכת: G 1 = G 2 = R 1 = R 2 = D 1 = D 2 = 1 וזה ייתכן אבל לא נכון ש- D 1 = D 2 לכן נתקן את הבעיה: נוסיף ) 2 (D 1 D ונקבל ) 2 EXEC (D 1 D ועכשיו אין השמה מספקת ולכן אין באג

משפט הקומפקטיות: קבוצת הפסוקים X היא ספיקה אם ורק אם לכל תת קבוצה סופית של X היא ספיקה. למה 1: X עקבית אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של X עקבית למה :6 X עקבית X ספיקה הוכחת משפט הקומפקטיות: X ספיקה X עקבית כל תת קבוצה סופית של X היא עקבית כל תת קבוצה סופית של X ספיקה הגדרה: השמה מספקת של קבוצת פסוקים X נקראת מודל של X. נסמן את קבוצת כל המודלים של X ב-.M(X) דוגמא לשימוש במשפט הקומפקטיות: נתנות שתי קבוצות פסוקים Σ 1, Σ 2 כך ש: (1) אין השמה שמספקת גם את Σ 1 וגם אם M(Σ 1 ) M(Σ 2 ) = - Σ 2 (2) כל השמה מספקת או את Σ 1 או את = M(Σ 1 ) M(Σ 2 ) - Σ 2 כל ההשמנות ρ 2 ρ 1 צ"ל שקיים פסוק ρ 1 כך ש- Σ 1 שקולה לוגית ל- ופסוק כלומר לכל השמה v Σ 1 v ρ 1 :v ו- v Σ 2 v ρ 2 כך ש- Σ 2 שקולה לוגית ל- ρ. 2 דוגמא: )} 2 Σ 1 = {p 1 p 2 }, Σ 2 = { (p 1 p ואז ) 2 ρ 1 = p 1 p 2, ρ 2 = (p 1 p Σ 1, Σ 2 לא יכולות להיות אינסופיות = 1 ρ לא פסוק חוקי כי הוא אינסופי. α Σ 1 למשל α פתרון: נשים לב ש- Σ 1 Σ 2 אינה ספיקה. M(Σ 1 ) M(Σ 2 ) = ממשפט הקומפקטיות: קיימת D Σ 1 Σ 2 סופית לא ספיקה: נגדיר D 1 = D Σ 1, D 2 = D Σ 2

טענה: לא ייתכן שגם D 1 וגם D 2 ריקות (כי D אינה ריקה). כי קבוצה ריקה היא ספיקה ע"י כל השמה. α D v α v D ספיקות באופן ריק כך ש- D ריקה. [סוף הוכחת טענה] בה"כ נניח ש- D 1 אינה ריקה ונסמן } k D 1 = {α 1,, α נגדיר: ρ 1 = α 1 α k, ρ 2 = ρ 1 צ"ל לכל v ρ 1 v Σ 1 :v כיוון : 1 v Σ 1 v D.v ולכן ρ 1 α i לכל D 1 v α i כיוון : 2 v Σ 1 v Σ 2 v D נתון v D כי D אינה ספיקה. מסקנה: v D 1 ואז קיימת α i D i כך ש- v α i ולכן v כלומר ρ 1 v α 1 α i α k ] או קיי סיימנו חלק אחד [ צ"ל לכל v Σ 2 v ρ 2 :v הוכחה: v ρ 2 v ρ 1 v Σ 1 v Σ 2 גדירות של קבוצת השמות הגדרה: קבוצת השמות K היא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים Σ שמגדירה אותה, כלומר.M(Σ) = K נתונה קובצת הפסוקים Σ, איזה קבוצת השמות היא מגדירה? Σ. קבוצת כל ההשמות שמספקת את Σ היא קבוצת השמות שמוגדרת ע"י M(Σ) לא לכל קבוצת השמות קיימת קבוצת פסוקים שמגדירה אותה. משיקולי ספירה: קבוצת הפסוקים בת מניה - 0 ℵ. קבוצת הקבוצות של פסוקים: 2 ℵ 0 קבוצת ההשמות 2 ℵ 0 (אותה עוצמה כמו קבוצת הוקטורים הבינריים האינסופיים)

.2 2ℵ 0 קבוצת הקבוצות של השמות דוגמא 1: האם קבוצת ההשמות הריקה היא גדירה? כן, ע"י סתירה: למשל } 0 Σ 1 = {p 0 p או } 0 Σ 2 = {p 0, p או } 2 Σ 3 = {p 0, p 0, p 1 p כי אז = ) 3 M(Σ 1 ) = M(Σ 2 ) = M(Σ דוגמא 2: האם קבוצת כל ההשמות גדירה? כן, ע"י טאוטולוגיה: } 1 Σ = {p 1 p כל קבוצה של טאוטולוגיות מגדירה את קבוצת כל ההשמות. דוגמא 3: v נותנת ערך אמת לכל היותר לאטום אחד v K = נראה ש- K גדירה. ניחסוח שונה: לא קיימים שני אטומים שערך שניהם הוא T ב- v. Σ = p i p j i j, i, j N צ"ל M(Σ) K =.v Σ צ"ל לכל v K :v כיוון : נתון,v K נניח v Σ אז קיים α Σ כך ש: α = p i p j אם v α אז v(p i ) = v p j = T ולכן v K וזאת סתירה. כיוון : נתון: v Σ אז לכל v p i p j :p i, p j ולכן v(p i ) = F או v p j = F מסקנה:.v K דוגמא לקבוצה גדירה: } T K = {v כאשר v T ההשמה שנותנת ערך T לכל.p i Σ A = {p i i N} (Σ = {p 0 } {p i p i+1 i 0} (אפשרות נוספת ל- Σ: M(Σ A ) = {v T } צ"ל v Σ A v K

v Σ A v(p i ) = T p i לכל פסוק אטומי v = v T v K שימוש במשפט הקומפקטיות להוכיח שקבוצה אינה גדירה: נגדיר קבוצת השמות: v נותנת T למספר סופי של אטומים v K fin = טענה: K fin אינה גדירה ז"א לא קיימת קבוצת פסוקים Σ כך ש-.M(Σ) = K fin נניח בשלילה שקיימת Σ כנ"ל. נזכור ש- Σ A שמגדירה את } T {v Σ Σ A נראה שהקבוצה גם לא ספיקה [1] וגם ספיקה [2]. מסקנה: לא ייתכן שקיימת Σ כזאת. [1] A Σ Σ אינה ספיקה, נניח בשלילה שהיא ספיקה. כלומר קיימת השמה v כך ש: v Σ Σ A v Σ, v Σ A ב- אבל זאת סתירה כי } T v = M(Σ A ) = {v יש מספר אינסופי של אטומים שההשמה נותנת עבורם T. T. יש מספר סופי של v אז ב- v M(Σ) לכן אין v כזאת (סופי/אינסופי) [וזאת הסתירה]. מסקנה: אין v כזאת, כלאמר Σ Σ A אינה ספיקה. [2] נוכיח: Σ Σ A ספיקה. נראה שלכל תת קבוצה סופית D Σ Σ A הינה ספיקה ונסיק ש- Σ Σ A ספיקה. D Σ D Σ D A D Σ A v D v T נגדיר השמה כך ש- v D D Σ ו- v D D A ולכן.v d D D A היא קבוצה של אטומים:

v D (p i ) = T, F, p i D A אחרת v D כי v D Σ ואז: v D D A היא v D (p i ) = T לכל.p i D A נותנת ערך T למספר סופי של אטומים, לכן v D K fin ו- Σ הוגדרה כי M(Σ) = K fin מסקנה: v D Σ ואז v D D Σ ו-.v D D ואז Σ Σ A ספיקה אבל מ- [1] ו- [2] קיבלנו ש Σ Σ A ספיקה ואינה ספיקה ולכן לא קיימת Σ Σ A כזאת. תחשיב היחסים [לוגיקה אחרת] predicate calculus סינטקס, סמנטיקה, מערכת הוכחה מורכבת מאקסיומות וכללי הסק, שלמות, נאותות, קומפקטיות, [סקס, סמים, זונות, אלכוהול...] דוגמא לטיעון: "אם כל היוונים דוברי אמת, וסוקרטס יווני, אז סוקרטס דובר אמת". -- הכללה לכל x (x) אמת [דוברי תכונה [(x) יווני תכונה -- דוברי אמת (סוקרטס) יווני (סוקרטס ( קבוע יווני (סוקרטס) (MP) דובר אמת (סוקרטס) מקרה פרטי טענות מתמטיות "לכל מספר טבעי x x, גדול או שווה ל- יסח סדר " 0 קבוע y קיים x "לכל כמתים כמתים כך ש- + 1 x = y פונקציה יחס [כמתים מהמילה כמות] נרצה: תחום יוונים, מספרים טבעיים, מספרים ממשיים

יחס, פונקציה, קבועים שימושים לתחשיב היחסים: שאילתות במסדי נתונים למשל: האם קיים עובד טכניון שהוא גם סטודנט? האם כל הסטודנטים הולכים להופעות יום הסטודנט? שימושים נוספים: תיאור תכונות מתמטיות מפרטים באימות - בינה מלאכותית - -

תחשיב היחסים calculus predicate סינטקס/סמנטיקה תחביר תחשיב יחסים: קבוצת משתנים }, 2 Var = {x 1, x כמו בתחשיב פסוקים ) (,,,,, סימן שוויון, כמתים תחשיבי היחסים נבדלים ביניהם במילון, 2 τ = R 1, R 2,, F 1, F מילון סימני פונקציה סימני יחס, C 1, 2, סימני קבוע לכל סימן יחס ולכל סימן פונקציה מותאם מספר הפרמטרים, הארגומנטים שהוא מצפה להם τ = R n1 מספר הארגומנטים,1 אינדקס, R n2,2,, F m1,1, F m2,2, C 1, C 2, צורת רישום אחרת: R 1 (,, ) R 2 (, ) עבור = 2 2 n 1 = 3, n דוגמא: τ{r 1 (, ), R 2 ( ), F 1 (, ), C} הפרוש, הקשר, האינטרפרטציה של הסימנים יינתנו במבנה M: ב- M יוגדר התחום D M נניח שבדוגמא שלנו נבחר בתחום המבנה:

D M = N\{0} R M 1 (x, y): x y ראשוני R M 2 (x): x מכפלה F M 1 (x, y) = x y קבוע בתחום = 3 M C נניח שיש לנו נוסחה שכתובה מעל הסימנים של התחשיב לדוגמא הנ"ל: R 2 (c) 3 ראשוני R 1 (x, c) 2 (x) אם 3 x אז x ראשוני הנוסחה לא נכונה (לכל x) ביחס למבנה שהגדרנו כי 1 לא ראשוני כמו M עם תחום שונה: M דוגמא :2 נגדיר M D M = N\{0,1} ועכשיו הנוסחה נכונה במבנה אם נציב = 2 x או = 3 x בנוסחא הנוסחה נכונה ב-.M גם עבור = 5 x M נכון כי F מחזיר T דוגמא 2: נוסחה: x y(f 1 (x, y) x) N\{0} D M = תחום F M 1 (x, y) = x y "לכל x בתחום קיים y בתחום כך ש- "x y = x אפשר אפילו לפתור את הנוסחה ע"י = 1 y ולכן השיוויון מתקיים באמת לכל x

מבנה שמשפרש מילון τ נתון τ = {R 1, R 2,, F 1, F 2, C 1, C 2, } M = (D M, R 1 M, R 2 M,, F 1 M, F 2 M,, C 1 M, C 2 M, } D M תחום המבנה כאשר D M קבוצה לא ריקה שנקראת תחום המבנה ונתן פרשנות לכל הפונקציות היחסים והקבועים. בנוסף מתקיים: לכל סימן פונקציה א. לכל סימן קבוע C M i D M,C i - k -מקומית (בעלת k פרמטרי קלט) נתאים פונקציה k -מקומית F i ב. F i M : (D M ) k D M R i ג. לכל סימן יחס k -מקומי נתאים יחס k -מקומי R M i (D M ) k דוגמא ליחס: מעל N = {(x, y) x y} (3,5), (2,1) > Figure 1 - D M ז ד. בכל מבנה M סימן השוויון תמיד מתפרש כשוויון M = {(x, x) x D M } סימונים בדוגמאות מעכשיו:

P, Q, R סימני יחס, F, G סימני פונקציה, a, a, c קבועים, d איבר מהתחום דוגמא: τ = (, R(, ), F(, ), G( ), C 0, C 1 } נגדיר מבנה : M כל המילים הסופיות הלא ריקות מעל הא"ב {a,a} D M = {a, a, aa, aa, aa, aa, } M = R M (x, y) y היא רישא של x שרשור F M (x, y) x y המילה שסדר אותיותיה הפוך מ- G M (x) x C M 0 a C M 1 a (אפשר גם לכתוב דברים כמו C) M 0 = aaa D M ואז הנוסחה: R x, F(x, y) x" y הוא רישא של שרשור "x הנוסחה נכונה במבנה M לכל ערך של,x y הנוסחה: G G(x) X "היפוך של היפוך של המילה x שווה ל- x" וגם נוסחה זו נכונה ללא תלות בערך של x המשך הגדרת הסינטקס

לא הגדרנו נוסחה חוקית לפני כן: הגדרה: שמות עצם terms פונקציה שמורכבת מפונקציות במילון τ נקרא לקבוצה שמות העצם מעל מילון τ נתון: Term(τ) קבוצת שמות העצם מוגדרת אינדוקטיבית ע"י: I(A, P) = Term(τ) האטומים: כל המשתנים:,x i Var כל הקבועים c i τ הפעולות: לכל סימן פונקציה F i שהוא k -מקומי, בהינתן t 1,, t k איברים בקבוצה Term(τ) נקבל Term(τ) F i (t 1, t 2,, t k ) מספר הפעולות (אברי P) הוא כמספר סימני הפונקציה במילון τ. דוגמא במילון,a a קבועים (, )F,( )G סימני פונקציה Term(τ) = האטומים: N} a, a, {x i i פעולות: יצירת שמות עצם נוספים: G(x 5 ), G G(a), F(a, a), F a, G(x 0 ) הגדרה ראשונית: שמות עצם הם ביטויים שמורכבים מסימני פונקציות, קבועים ומשתנים (לא יחסים) קבוצת נוסחאות בשפה מוגדרת אינדוקטיבית האטומים (הנוסחאות האטומיות): לכל סימן יחס R :t 1, t 2,, t k שמות עצם k ו- k -מקומי ) k R(t 1, t 2,, t היא נוסחא אטומית דוגמא במילון מקודם + סימן יחס (, )R

דוגמא לנוסחה אטומית: R G(a), G G(a) t 1 t 2 הערה חשובה: פירוש של נוסחה אטומית במבנה יחסיר T/F להבדיל משם עצם שמחזיר איבר בתחום המשך הגדרת נוסחאות: פעולות/כללי היצירה: מנוסחאות,α β ומשתנה x יוצרים: ( α) (α β) ( xα) (α β) (α β) ( xα) רישום אחר: N} P = {,,, } { x i i N} { x i i דוגמא לנוסחה: α = x( (x, c 0 ) y (y, x) R(y, x) מבנה M: D M = N C M 0 = 0 R M (x, y): x y משמעות הנוסחה: "לכל ] x אם 0 x אז קיים y x ] y וגם [ y x "[ הנוסחה נכונה, לכל 0 x לבחור = 0 y דוגמא לכך שמבנה אינו מספיק כדי לקבע ערך נוסחה:

x R G(x), F(x, y) שם עצם שם עצם נוסחה אטומית נוסחה D M = N נתון מבנה M: " [ R M (x, y): x y F M (x, y): x + y G M (x): x + 1 פרוש הנוסחה ב- M: x + 1 G(x) x + y F(x,y) " קיים ] x = 0 y קיים [ x + 1 x + 0 ] x שהיא False בתחום כי לא קיים ערך בתחום N שיתן לנוסחא ערך True עבור עבור = 9 y קיים [ x + 1 x + 9 ] x - כן למשל = 2 x נוסחה שונה: y] y x[x + 1 x + ונוסחא זו תמיד False ב- M מסקנה: יש מקרים שבהם על סמך המבנה אי אפשר להחליט אם נוסחה היא T או F ויש צורך בהשמה למשתנים. Var = {x 0, x 1, } פונקציית השמה: S: Var D M למשל בהנ"ל (בנוסחה עם לכל x) עבור = 0 (y) s 1 ו- = 9 (y) s 2 M s α הגדרה: בהינתן השמה s ומבנה M נגדיר: s : Term D M הגדרה אינדוקטיבית על מבנה שם העצם: בסיס:

עבור s (t) = s(t) - t = x נקבע על סמך s עבור s (t) = C M - t = C נקבע על סמך M t = F(t 1, t 2, t k ) s (t) = F M s (t 1 ),, s (t k ) דוגמא: = 7 s(y) s(x) = 3, F M = +, C M = 0, D M = N s F x, F(y, C) = F M s (x), s (F, y, C) = F M s(x), F M (s (y), s (C) = F M 3, F M (7,0) = 3 + (7 + 0) = 10 N השמה מתוקנת: שמציבה d ל- y ומשאירה את כל היתר בהתאם להשמה המקורית בהינתן השמה s, משתנה y ואיבר d D M ההשמה המתוקנת שמציבה d ל- y מוגדרת ע"י d, s[y d](x) = s(x), x = y x y דוגמא: s x y z 1 2 3 s[y 8] x y z 1 8 3 נגדיר את הסמנטיקה של נוסחאות של תחשיב היחסים ביחס למבנה M והשמה s: [ D M מוגדרת ביחס ל- s ו- α מעל המילון של M ] נגדיר באינדוקציית מבנה על α את (M M s α ו- s מספקים את α) בסיס: ) k α = R(t 1, t 2,, t נגדיר את s M בצורה הבאה: M s α R M s (t 1 ),, s (t k ) = T

M s R(t 1, t 2,, t k ) α s (t 1 ),, s (t k ) R M R M דוגמא עבור R M (3,9) סימון: (3,9) או 9 3 נטפל בנפרד באטום של סימן השוויון בגלל שזה סימון מיוחד α = (t 1, t 2 ) M s α s (t 1 ) = s (t 2 ) צעד: א. קשרים הבוליאניים יפורשו כמו בתחשיב הפסוקים, עבור נוסחאות,β: γ למשל Mוגם β s γ M s β γ M s M s β γ M s Mאו β s γ M s β M s β ב. M מתקיים d D M s[x d] β כמתים אם α = xβ אז M S לכל M מתקיים d D M s[x d] β אם α = xβ אז M S לכל דוגמא: α = x R G(x), F(x, y) מבנה M: R M : <, D M = N F M (x, y) = x + y, G M (x) = 2 x ההשמה = 3 s(z) s(x) = 2, s(y) = 5, M s α M כך ש- d D M s[x d] R G(x), F(x, y) קיים s קיים d D M כך ש- T = R M s G(x), s F(x, y, ) קיים d D M כך ש- R M G M s (x), F M s (x), s (y) קיים d D M כך ש- R M G M (d), F M (d, 5)

קיים d D M כך ש- + 5 d d < 2 למשל = 2 d מסקנה: M s α 06/06/11 s 1 [x 2 d](x 1 ) = s 1 (x 1 ) = 7 s 1 [x 2 d](x 2 ) = d α = x 2 R x 1, x 2, F(x 2 ) נסתכל על ההשמה = 3 ) 2 s 1 (x 1 ) = 7 s 1 (x M s1 α לכל M s1 [x 2 d] R x 1, x 2, F(x 2 ) d N R M s 1 (x 1 ) 7, s 1 (x 2 ) d לכל d N 7 + d = d + 1 false מסקנה: M s1 α, F M s 1 (x 2 ) s 1 F(x 2 ) s 2 (x 1 ) = 1 s 2 (x 2 ) = 12 M s2 α R M s 2 (x 1 ), s 2 (x 2 ), F M s 2 (x 2 ) s 2 = s 2 [x 2 d] s 2 [x 2 d](x 1 ) = s 2 (x 1 ) = 1 s 2 [x 2 d](x 2 ) = d לכל + d = d + 1 :d N 1 true מסקנה: M s2 α לכל :d N מסקנה: ערך של נוסחה במבנה+השמה תלוי רק במשתנים החופשיים שבנוסחה. למה: אם α נוסחא ו- s 1, s 2 השמות שנותנות עררכים זהים לכל המשתנים החופשיים ב- α אזי לכל מבנה M s1 α M s2 α מתקיים ש- (α המילון של (מעל M

מסקנה: נוסחה שאין בה משתנים חופשיים ערכה (F/T) תלוי רק במבנה ולא בהשמה. הגדרה של משתנים חופשיים וקשורים (מקוצר, בתרגול ההגדרה הפורמלית) נגדיר אינדוקטיבית על מבנה α מתי משתנה x חופשי ב- α: בסיס: אם α נוסחא אטומית אז x חופשי ב- α אם הוא מופיע ב- α. צעד: עבור קשרים: α β כאשר,,, : β. או חופשי ב- α אם הוא חופשי ב- α β חופשי ב- x עבור כמתים: x חופשי ב- yα ו- yα אם x חופשי ב- α וכן x שונה מ- y. [ yα, yα אינו חופשי ב- y ] משתנה הינו קשור ב- α אם אינו חופשי ב- α. ] למרות שמשתנים שאינם מופיעים בנוסחה עדיין מוגדרים חופשיים אנו מתעניינים רק במשתנים שמופיעים בנוסחה [ דוגמא עבור Q( ) :R(, ), xr(x, y) Q(x) z Q(z) חופשי y חופשי z אין משתנים חופשיים חופשי x חופשיים x,y נשים לב ש- x חופשי בנוסחא אם יש לו מופע חופשי באחת מתת הנוסחאות שאינו נקשר ע"י כמת. סימון: M) M α מספקת את (α אם M s α לכל s מתאימה ל-.(s: Var D M ) M דוגמא, נתונה נוסחה: φ = x y R(x, y) R(y, x) נראה מבנה שבו M φ ללא תלות בהשמה נבחר מבנה: D M אוסף המילים הסופיות מעל א"ב {a,a}. y היא רישא ממש של x המילה R M (x, y) השמה: aa, s(x) = aaa, s(y) = אפשר להתחיל מכל השמה, נבחר השמה s כלשהי ונראה M s φ ונסיק M φ ללא תלות בהשמה. M s x y R(x, y) R(y, x)

α 1 α 2 = T α 1 = F α 2 = T d 2 d 1 נניח ש- d 1 הוא רישא ממש של אז בודאי d 2 אינו רישא ממש של גם עם שניהם לא רישות זה בסדר d 1 = aaa d 2 = bbb :d ולכל d 1 D M 2 D M לכל R(x, y) R(y, x) M s[x d1 ][y d 2 ] s M s R(x, y) או M s R(y, x) לכל M s R(x, y) :d 1, d 2 או x) M s R(y, s (y) אינו רישא ממש של s (x) או s (x) אינו רישא ממש של s (y) אינו רישא ממש של d 2 d 1 או אינו רישא ממש של d 1 d 2 באופן דומה: <) (N, M = M φ לכל :s M s φ מבנה שאינו מספק את M = (N, ) :φ (לא בהכרח ממש),מילים רישא תכונה שמתוארת ע"י הנוסחה: אסימטריות מסקנה: גם המבנים וגם ההשמות משפיעים על ערך הנוסחה. ראינו נוסחה שנכונה לכל השמה במבנה נתון ואינה נכונה לכל השמה. הגדרה: α אמת לוגית אם"ם כל מבנה (מעל למילון של M α) ולכל השמה (מתאימה) s: M s α סימון: α דוגמא לנוסחה שהן אמת לוגית או לא τ = {R(, )} α = xr(x, y) xr(x, y) האם היא אמת לוגית? כן α = β טאוטולוגיה

משפט: כל נוסחה שמתקבלת מטאוטולוגיה פסוקית ע"י הצבת נוסחאות של תחשיב היחסים, הינה אמת לוגית. עבור: (y xr(x, האם היא אמת לוגית? לא, דוגמא: R M :, D M = N, s(x) = 2, s(y) = 4 4 לא יכול להיות גדול מכל הערכים הטבעיים M s xr(x, y) לכל d 4 :d N F מסקנה: y) M s xr(x, מסקנה: (y xr(x, אינה אמת לוגית. האם y) y xr(x, y) x yr(x, אמת לוגית? "x חבר של y" R(x, y) שמאל: קיים y כך שלכל y : x חבר של x ימין: לכל x קיים y כך ש- y חבר של x שמאל ימין נוכיח שזוהי אמת לוגית: נניח שהנוסחה אינה אמת לוגית קיימים מבנה+השמה,M s (1) M s y xr(x, y) M s x yr(x, y) (2) מ- (1) - קיים d 1 כך שלכל d: 2 M (s[y d1 ])[x d 2 ] R(x, y) d 1 מ- (2) לא ] לכל d 2 קיים כך ש: y) M (s[x d2 ])[y d 1 ] R(x, ז"א קיים d 2 כך שלכל M (s[x d2 ])[y d 1 ] R(x, y) :d 1 (3) מ- (1) קיים d 1 כך שלכל R M (d 2, d 1 ) :d 2 R M (d 2, d 1 ) לא מתקיים כך שלכל :d 1 d 2 (4)+(3) סתירה לכן הנוסחה אמת לוגית (4) מ- (2) קיים x yr(x, y) y xr(x, y) לא אמת לוגית D M = Z R M (x, y): y < x

שמאל: לכל x קיים y כך ש- y חבר של x ימין: קיים y כך שלכל y : x חבר של x שמאל ימין שמאל: T לכל d 2 קיים d 1 ימין: F קיים כך שלכל כך ש- d 1 < d 2 d 1 < d 2 - d 2 d 1 הנוסחה היא F במבנה. דוגמא נוספת להפרכה: D M = {a, a, c, d} R M = {(a, a)(a, a), (c, d)(d, c)} הגדרות הגדרה: פסוק של תחשיב היחסים הוא נוסחה של תחשיב היחסים שאין בה משתנים חופשיים הערה: פסוק ניתן לפרש מעל M (נכון או לא נכון מעל M) הגדרה: נוסחה α היא סתירה אם לכל מבנה M והשמה s מתקיים M,S) M s α לא מספקים את α). הגדרה: α ספיקה אם קיים מבנה וקיימת השמה כך ש- M s α הגדרה: נוסחה β נובעת לוגית מנוסחה α אם לכל מבנה M ולכל השמה s מתקיים: אם M s α אז M s β דוגמא לנביעה לוגית x(α β) xα xβ נוכיח בדרך השלילה: קיימים,M S כך ש- M s xα xβ וגם M s x(α β) (1) M s x(α β) (2) M s xα (3) M s xβ (1) לכל M s[x d] (α β) :d (2) לכל M s[x d] α :d (3) לכל M s[x d] β :d נסמן d זה ב- d 0

M s[x d0 ] β M s[x d0 ] α M s[x d0 ] α β וזאת סתירה ל- (1) מסקנה: מתקיימת נביעה לוגית הגדרה: שקילות לוגית: α שקולה לוגית ל- β (סימון: α) β אם לכל מבנה M והשמה s: M s α M s β נוכיח: α xα (אפשר גם להגיד אותו דבר על ( x α xα x( α) M s x α עבור,M s כלשהם: M s xα M כך ש- d D M s[x d] α קיים קיים d כך ש- M s[x d] α לא ] לכל [ M s[x d] α :d לא ] x α [ M s M s x α M s x α

תחשיב היחסים נביעה לוגית α β אם ורק אם לכל מבנה M מעל למילון של α, β (מעל (τ β τ α והשמה s שמתאימה ל- M M s α M s β -- הגדרה: נוסחה α אמת לוגית אם לכל,M S מתקיים M s α אם הנ"ל מתקיים לכל M נסמן s α -- אפשר להגדיר X α כאשר X קבוצת הנוסחאות: M s X M s α לכל :M, S הגדרה: M s X אם לכל α X אז M s α שקילות לוגית: α β אם לכל :M, S M s α M s β הגדרה: פסוק של תחשיב היחסים: הגדרה: נוסחה α היא פסוק (של תחשיב היחסים) אם ורק אם אין ב- α משתנים חופשיים. בהינתן פסוק, מספיק לבדוק את ערך האמת שלו ביחס למבנה M α או M α עבור פסוק: אם קיימת השמה s כך ש- M s α אז לכל השמה M s α :s אם קיימת s כך ש- M S α אז לכל השמה s מתקיים M s α - -

דוגמא נוספת לאמת לוגית צ"ל ( xα) α הוכחה: בדרך השלילה, נניח קיימת,S: M M s xα (1) M s α (2) (1 לכל :d D M M s[x d] α לכן נבחר s(x) d 0 = M S[x d0 ] α (2 s[x d 0 ] = s סתירה = (2) + (1) מסקנה: ( xα) α (הנוסחא היא אמת לוגית). דוגמא נוספת ומוזרה לאמת לוגית צ"ל xα) β = x(α אמת לוגית סיפור: בתבנית קיימת ביצה שאם היא שבורה אז כל הביצים שבורות ואם היא לא שבורה אז לא כל הביצים שבורות α "ביצה שבורה" - אם כל הביצים שבורות כל ביצה שנבחר תהיה שבורה - אם לא כל הביצים שבורות נבחר ביצה שאינה שבורה נוכיח שלכל M s β : M, s נחלק ל- 2 מקרים: M s β ונראה M s xα (1) M s β ונראה M s xα (2) הוכחת מקרה 1: נניח M s xα מתקיים M s α xα צ"ל xα) M s x(α נבחר s(x) d 0 = (זה לא באמת משנה איזה d נבחר כי צד ימין של הגורר הוא T)