МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D. 8x100. 8x100. 8x100

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D

ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D Хувилбар D - Математик. 0.5 бутархайг энгийн бутархай болгож бич. A. B. C. 40 4 5 0.5 = 5 00 = 4. A = 6 бол A =? D. 5 99 E. 5 90 Зөв хариу В. A. 6 B. 4 C. 7 D. 5 E. 5 A = 6 = 6 = 6 =6 =5. Зөв хариу E.. ( 7 ) үйлдлийг гүйцэтгэ. A. 7 5 B. 7 6 C. 7 5 D. 7 6 E. 7 6 ( 7 ) =( 7 ) =( ) 7 = 7 6. Зөв хариу D. 4. c 5 c +5 c 5 c 5 бутархайг хураа. A. c +5 B. c 5 C. c 0 D. c +5 E. c 5 = (c + 5)(c 5) (c + 5) = c 5. Зөв хариу E. 5. 6 ( 6) илэрхийллийг хялбарчил. A. B. 0 C. 6 D. 7 E. 7 6 ( 6) = 6 6 =6 6=0. Зөв хариу В. 6. a = (6; 4); b =( 4; ) векторууд нь аль нөхцөлыг хангах вэ? A. a b B. a b C. a = b D. a b E. a = b k = 6 4 = 4 = 4 4 b = a a b. Зөв хариу В. 7. Сурагч үлгэрийн номын 5%-ыг уншив. Нэмж 9 хуудас уншихад 7.5% уншигдсан байв. Ном хэлэн хуудастай вэ? A. 7 B. 64 C. 56 D. 40 E. 08

4 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 7.5% 5% =.5%.5% 9(хуудас) 00% x(хуудас). Эндээс x = 00 9 =8 9 = 7 хуудас..5 Зөв хариу A. 8. Ангийн нийт сурагчдын 80% нь эмэгтэй сурагч байдаг. Ангиас санамсаргүйгээр нэг сурагч сонгоход эрэгтэй сурагч сонгогдох магадлалыг ол. A. 4 B. C. 0.0 D. E. 5 5 5 80% эмэгтэй, 00% 80% = 0% эрэгтэй байна. Иймд, нэг сурагч сонгоход эрэгтэй сурагч сонгогдох магадлалыг олвол P = 0% 00% =. Зөв хариу В. 5 9. Гэрлийн хурд 0 8 м/с байдаг. Нарнаас 5 сая км зайд байрлаж байгаа хиймэл дагуулд нарны гэрэл хүрэхэд ямар хугацаа зарцуулагдах вэ? V = 0 8 м/с. хүнээс 6-г сонгох боломжийн тоо C6 6 A. 5мин0сек B. 50мин C. 76мин0сек D. 8мин0сек E. 9мин S = 5сая км. Метрт шилжүүлвэл S = 5 0 6 0 = 5 0 9 м болно. Эндээс t = S V = 5 09 м 0 8 = 50сек. Минутанд шилжүүлвэл м/с 50сек= 8мин0сек. Зөв хариу D. 0. Найман хүнийг ба 6 хүнтэй хоёр багт хуваах нийт боломжийн тоог ол. A.! 6! B. A 8 A 6 6 C. 8! D. 6! E. C8 C6 6 8-н хүнээс хүнийг сонгох боломжийн тоo C8. Үлдсэн 6-н. Иймд нийт боломж C8 C6 6 байна. Зөв хариу E.. x + 0x +8 a =0тэгшитгэлийн язгуурууд x,x ба x = x бол a =? A. 8 B. C. 8 D. 7 E. 7

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D 5 Квадрат тэгшитгэлийн хоёр шийд давхцах (x = x ) буюу нэг шийдтэй байхын тулд дискриминант D =0байх ёстой. Ө.х. D = 00 4 (8 a) =0 4(8 a) = 00 8 a = 5 a = 7.. tg α = 5 ба π<α<π бол cos α =? A. 4 B. C. 5 5 Хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлвэл D. Зөв хариу E. tg α = 5 44 sin α cos α = 5 44 44 sin α = 5 cos α 44( cos α) = 5 cos α 44 = 69 cos α cos α = 44 cos α = ± 69. E. 5 III мужид косинусын утга тэгээс бага учир cos α = болно. Зөв хариу D.. a, b цифрүүдийн нийлбэр бол ab + ba + aa + bb =? A. 76 B. 0 C. D. 98 E. 4 ab + ba + aa + bb = = (0a+b)+(0b+a)+(0a+a)+(0b+b) = (a+b) = = 4. Зөв хариу E. 4. ABC гурвалжны ABC = 75, ACB = 45, BC =5бол AB талын уртыг ол. B A C A. 5 B. C. 4 D. E. 0

6 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 BAC = 80 (75 + 45 ) = 60 синусын теором хэрэглэвэл BC sin BAC = 5. e x dx интеграл бод. AB sin ACB 5 sin 60 = AB sin 45 5 AB = =5 болно. Зөв хариу A. A. e x + c B. ex 4 + c C. 4x + c D. e x + c E. ex + c e x dx = e x dx = e x + c. Зөв хариу D. 6. a = log 8 4, b = log, c = log 4 эрэмбэл. A. a<c<b B. c<b<a C. a<b<c D. c<a<b E. b<a<c a = log 4 = 4, b =, c = log = a = 4, b =, c = тус бүрийг 6 суурьтай болговол a = 8 6, b = 6 6, c = 9. Эндээс b<a<c байна. Зөв хариу E. 6 7. Хоёр хүн байг буудаад онох магадлал харгалзан 0.4, 0.5 байв. Тэд бие биеэсээ хамаарахгүй нэг нэг бууджээ. Хоёулаа байг оноогүй байх магадлалыг ол. A. 0.9 B. 0.7 C. 0. D. 0. E. 0.8 Байг онохгүй байх магадлал (-р хүн) 0.4 =0.6 (-р хүн) 0.5 =0.5. Иймд хоёулаа байг оноогүй байх магадлал 0.6 0.5 = 0.. Зөв хариу C.

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D 7

8 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 8. 5 x x 5 8 тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг ол. A. 4 B. 7 C. 4 D. 4 E. x x 8 x x 8 0 (x 7)(x + 4) 0. Интервал ёсоор x [ 4; 7]. Эндээс хамгийн их бүхэл шийд 7. 9. y = Зөв хариу B. функцын буурах завсрыг ол. 5 x A. ] ; 5[, ] 5; 0[ B. ] ; 0[ C. ] 5; 5[ D. ]0; 5[, ]5; [ E. ] ; 5[ Функцийн буурах завсарыг f (x) < 0 гэж олдог учир f (x) = (5 x ) (5 x ) (5 x ) = 0 (5 x ) ( x) (5 x ) = { x (5 x (5 x ) < 0 ) 0 x <0 = x ] ; 5[ ] 5; 0[. { x ±5 x<0 Зөв хариу A. 0. Дарааллын эхний n гишүүний нийлбэр S n =n +n томёогоор өгөгджээ. Хэрэв энэ дараалал геометр прогресс бол q-г ол. Арифметик прогресс бол d-г ол. A. d =4 B. q =4 C. d =6 D. q = E. q = S = b =+=6, S = b + b = + =8, S = b + b + b = + = 6 байна. Эндээс b =6 b + b = 8 b + b + b = 6 b =6 b = 8 b b = 6 (b + b ) b =6 b = 8 6 b = 6 8 b =6, b =, b = 8. Иймд b, b, b нь арифматик прогрес үүсгэнэ. Энд ялгавар нь d =6байна. Зөв хариу C.. ABCD квадратын AC диагоналийг M цэг AM =5, MC =9 байхаар хуваажээ. BM-ийн уртыг ол.

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D 9 B M H C A D A. 4 B. 5 C. 4 D. 7 E. 5 AC = AM + MC AC =5+9=4. Эндээс BH = AH = HC = AC = 4 =7болно. MH = MC HC =9 7=. Пифагорын теомероор BM = BH + MH = 7 + = 5 гэж олдоно. Зөв хариу E.. sin (90 + x)+sin (80 + x) =тэгшитгэлийн 90 x 80 завсарт байх бүх шийдийг ол. A. 90 B. 45 C. 80 D. 5 E. 0 sin ( π +x)+ sin (π+x) =гэж бичье. sin( π +x) = cos x, sin(π+ x) = sin x томёог ашиглавал (cos x) + ( sin x) = cos x + sin x = cos x + sin x + sin x = + sin x = sin x = x =( ) k π sin x = ± 4 + πk π x =( ) k+ π x = 4 + πk 4 + π k. Иймд π x π завсарт орших шийд x = π 4 + π = π 4 байна.. f(x +5)=9x + 0x + 8 бол f ( ) =? Зөв хариу D. A. 6 B. 6 C. D. 7 E. 4

0 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 7 a =x +5 гэвэл x = a 5 ( ) a 5 ( a 5 f(a) =9 + 0 8. Уламжлал авбал ( ( ) a 5 ( ) a 5 f (a) = 9 + 0 + 8) = ) + ( ) a 5 = 8 + 0 + 0 = (a 5) + 0. Уг уламжлалын цэг дээрх утга нь f ( ) = ( 5) + 0 = 6 байна. 4. Зурагт өгөгдсөн тойргийн тэгшитгэл бич. Зөв хариу A. 0. 4. 8. 6. O(; 4). o. 0. 4. 6. 8. A. (x 4) +(y ) = 5 B. (x 4) +(y ) = 00 C. (x + ) +(y + 4) = 5 D. (x + 4) +(y ) = 00 E. (x ) +(y 4) = 5 O(a; b) цэгт төвтэй R радиустай тойргийн тэгшитгэл (x a) + (y b) = R байдаг. Зураг дээрээс ажиглавал O(; 4) R = +4 R = 5. Эндээс манай тойргийн тэгшитгэл (x ) + (y 4) = 5 болно. Зөв хариу E. 5. x 6 x +8=0тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол. A. B. 8 C. 4 D. 0 E. 6

8 МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D 6. x = x x 6 x +8=0 [ x =4 x = ( x 4)( x )=0 [ x = ±4 x 4 = ±. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь x +x +x +x 4 = +4 4+ = 0. x y 5x +y + 5x +y x y = x y =8 x y 5x +y Зөв хариу D. систем тэгшилгэлээс x y =? A. 6 B. 5 C. 5 D. 6 E. 8 = a гэж орлуулвал 5x +y x y = a болно. a+ a = a +=a a a+=0 (a ) =0 a =. x y 5x +y = x y =8 Эндээс манай тэгшитгэлийн систем болж хувирна. x y 5x +y = x =8+y 8+y y 5(8 + y)+y = x =8+y 8 y 40 + 7y = x =8+y { { 8 y = 40 + 7y y = 4 x =8+y x =8+( 4)=4 x y =4 4= 6 Зөв хариу A. 7. Зурагт өгөгдсөн дотоод байдлаараа шүргэлцсэн хоёр тойргийн TA нь ерөнхий шүргэгч, TC нь том тойргийн огтлогч жижиг тойргийн шүргэгч болно. DC =, CB =бол TA-г ол. D C A B T

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D A. B. C. D. 4 E..5 TA = x, TB = a гэе. Нэг цэгээс тойрогт татсан хоёр шүргэгч тул TA = TC = TB + CB x = a +байна. Огтлогч шүргэгчийн тухай теором ёсоор TA = TB TD x = a(a + ) болно. { x = a + x = a(a + ) { a = x x =(x )(x + ) x =(x )(x + ) x = x + x x =. Зөв хариу C. 8. x +x 4x = 0 тэгшитгэлийн язгуурууд x,x,x бол x + x + x =? Ерөнхий хуваарь өгвөл Виетын теором ёсоор A. B. C. D. x + x + x = x x + x x + x x x x x. E. 4 x x + x x + x x x x x = 4 = болно. Зөв хариу B. 9. y = x ба y = x функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол. A. B. C. 4 D. E. Функцүүдийн огтлолцолын цэгүүдийг ольё. { y =x y =x x =x x x =0 x(x )=0 x =, x =0,x =болно.

4 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 0.. y =x y =x... 0.... Эндээс S = 0 (x x )+ 0 ) (x x) = (x x4 ( ) x 4 0 + x 0 = = (( ) 0)+(0 ( ))=. Зөв хариу A. x 0. lim x 0 cos x хязгаарыг бод. A. B. 0 C. D. 0.5 E. 0.5 lim x 0 = lim x 0 x cos x = lim x 0 x sin x lim x 0. Нэгж тойрог дээр оршиж A( x x sin x = x sin x = = 0.5. Зөв хариу D. ; ); B( ; ) цэгүүд өгөгдөв. Тойрог дээр санамсаргүй C цэг авахад ABC хурц өнцөгт гурвалжин болох магадлалыг ол. A. 8 B. C. 4 D. 6 E. 4

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D 5 Уг бодлого геометр магадлалын бодлого байна. Нэгж тойргийг тригонометрийн тойрог гэж харвал хурц өнцөгт гурвалжин үүсэхийн тулд C цэгийг π 4 -ээс 5π 4. + 5 + 8 9 + 7 + 4 n + + + 8 B = + + 9 + 9 + 9 + завсраас сонгох боломжтой. Өөрөөр хэлбэл, 5π 4 π 4 = π уртаас сонгоно. Харин C цэгийг сонгох нийт боломж π завсар тул бидний олох π магадлал P = π = байна. Зөв хариу E. 4. f(x) =(x +x) 4 бол f (x) олон гишүүнтийн x -ийн өмнөх коеффициентийг ол. A. 4 B. 8 C. 8 D. 4 E. 4 f (x) =4(x +x) (x + ) = 4x (x + ) (x + ) бөгөөд x -д үржигдэх сул гишүүн гэдгийг тооцвол 4x = 4x. Зөв хариу D. n нийлбэрийг ол. A. 7 B. 5 C. 0 D. 4 E. 5 4 4 Нийлбэрийг дараах хэлбэрт оруулж болно. S =+ + + + + + + 4+ 4 + = ( ) ( =+ + + + ) ( + 9 9 + ) ( 4 + 7 7 + ) = 8 ( =++ + 9 + 7 + ) ( 8 + + + 9 + 4 ) 7 + }{{}}{{} A B Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрээр ( A = + 9 + 7 + ) 8 + = =болно. 7 + 7 + 7 + 7 + = ( = + 9 + 7 + ) ( 8 + + + 9 + 7 + ) 8 + + ( + 9 + 7 + ) ( 8 + + 7 + ) 8 + + =

6 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 9 = + + 7 9 + = + ( 9 + ) 7 + = =+ =+ 6 = 5 4 болно. Одоо бүх гишүүдийг нэмбэл манай нийлбэр S =++A + B =+++ 5 4 =5 4 болно. 4. (x + ) x x+ =тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ? б) x += үед ( ) 6 =учир x += x =. Зөв хариу E. A. B. 5 C. 4 D. E. a) x +=үед =учир x += x =0. в) { x +> 0 x + үед (x + ) x x+ =(x + ) 0 x x +=0 (x )(x )=0 x = ; x = хоёр шийд гаргана. Өгөгдсөн тэнцэтгэл x = {, 0,, } үед үнэн байна. Жич. f(x) g(x) = f(x) ϕ(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодохдоо f(x) = f(x) g(x) = f(x) ϕ(x) f(x) > 0 f(x) g(x) =ϕ(x) гэж боддог. Өөрөөр хэлбэл, f(x) функцийг тэгээс их байх ёстой (f(x) > 0) гэж үздэг байсан. 5. x + y = 0 бол x + y илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол. A. 60 B. 0 C. 00 D. 5 E. 80 f(x) =x + y -ын хамгийн бага утгыг олъё.

8 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 y = 0 x гэж орлуулвал f(x) =x +(0 x). Энэ функцийн хувьд f (x 0 )=0гээд сэжигтэй цэгүүдийг олбол f (x 0 )=x 0 + (0 x 0 ) ( )=0 x 0 4(0 x 0 )=0 0x 0 = 80 x 0 =8. x<8 үед f (x) < 0 ба x>8 үед f (x) > 0 учир x 0 =8нь минимумын цэг бөгөөд f(x 0 ) = x 0 + (0 x 0 ) f(8) = 8 + (0 8) = 64 + 6 = 80 нь ХБУ болно. Зөв хариу E. 6. Суурийн радиус нь 4см байх шулуун дугуй цилиндрийн нэг үзүүрээс зурагт үзүүлснээр хавтгайгаар огтлоход хамгийн урт байгуулагч нь 4см, хамгийн богино байгуулагч нь 0см болсон бол үүссэн биетийн эзлэхүүнийг ол. A. 9π B. 8π C. 96π D. 60π E. 4π Огтлогдсон цилиндрыг залгаж, бүтэн болгож харвал l = (0+ 4) = 4 өндөртэй, r = 4 радиустай тойрог бүхий суурьтай цилиндр үүснэ. Шинээр үүссэн цилиндрийн эзлэхүүн V = l πr = 4 6π байх бөгөөд бодлогын нөхцөлд өгсөн огтлогдсон цилиндрээс дахин илүү эзлэхүүнтэй байх ёстой. Иймд Vогт = V -р хэсэг. = 4 6π = 9π. Зөв хариу A. 4+ бутархайн хуваарийг иррационалиас чөлөөлье. I. 4+ =( + a )( b c ) хэлбэрт оруулъя. II. 4+ = ( + a )( b c ) ялгаварын томъёог ашиглан хувиргаад хураавал гэж иррационалиас чөлөөлөгдөнө. кубуудийн нийлбэр, 4+ d e fg

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D 9 I. 4+ =( + )( ) хэлбэрт оруулъя. II. ( + )( кубуудийн нийлбэр ялгаварын томъёогоор ) хувиргавал 4+ = ( + )( ) ( 4 + )(4 4+ + ) ( 4 + )(4 4+ + ) = = ( 4 + )(4 4+ + ) (( ) + )(( ) ) = = 8 +4+ 4 4 4 +4 4+ + = 5 = 9 + 4 = ( + 4 ) 4+ =. 5 5 5. f(x) = (cos πx sinπx) функц өгөгджээ. ) хэлбэрт оруулсан. I.f(x) = a cos(πx + π b II. Үндсэн үе нь c байна. III. f(x) тэнцэтгэл бишийн шийд [ d e Энд n Z байна. ( e < 6) + n; n] байна. IV. f(x) функцийн x 0 =абсцисстай M цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y f = g π(x ) болно. I. f(x) = (cos πx sinπx) f(x) =( cos πx sin πx) = = (cos π cos πx sin π sin πx) = = cos(πx + π ) хэлбэрт оруулсан. II. Үндсэн үе нь π π = байна. III. f(x) cos(πx + π ) cos(πx + π ) π +πn πx + π π +πn.

0 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 Бүх талаас π -г хасаад -ээр үржүүлвэл π + n x n x [ π ( π π +πn) π (πx + π π ) π (π π +πn) + n; n] IV. f(x) функцийн x 0 =абсцисстай M цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y f(x 0 )=f (x 0 )(x x 0 ) y f() = f ()(x ). f (x 0 )= ( sin(πx 0 + π )) π f () = sin(π + π ) π = 4π sin π = 4π = π f(x 0 ) = cos(πx 0 + π ) f() = cos(π +π ) = cos π = =. Эндээс манай шүргэгч шулууны тэгшитгэл y f() = f ()(x ) y = π(x ) болно.. Хайрцагт байгаа -ээс 8 хүртэл дугаартай 8н хөзрөөс санамсаргүйгээр н хөзөр зэрэг сугалав. I. Сугалсан н хөзөр бүгд сондгой дугаартай байх магадлал ab байна. II. Сугалсан н хөзрийн хамгийн их тоотой нь 5 байх магадлал c de байна. III. Сугалсан н хөзрийн дугааруудын үржвэр нь тэгш байх магадлал fg 4 байна. 8-н хөзрөөс хөзрийг сонгох нийт боломж C8 = 8!! 5! = 5! 6 7 8 =7 8 = 56 байна. 6 5! I. Сугалсан -н хөзөр сондгой таарах боломж C4 = 4!! =! 4 = 4. Иймд -н хөзөр бүгд сондгой таарах магадлал!

МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D 4 56 = 4 байна. гэж үзэж болно. Ингээд үлдсэн хөзрийг 4-н хөзрөөс сонгох тул II. Сугалсан -н хөзрийн хамгийн их тоотой нь 5 байх боломжийг тооцьё. Энэ тохиолдолд 5 дугаартай хөзрийг сонгогдсон C4 = 4!!! = 4 =6. Иймд сугалсан -н хөзрийн хамгийн их тоотой нь 5 байх магадлал 6 56 = 8. III. Сонгогдсон -н хөзрийн дугааруудын үржвэр нь тэгш байхын тулд ядаж нэг хөзөр нь тэгш дугаартай байх ёстой. Энэ нь -н хөзөр бүгд сондгой таарах үзэгдэлийн эсрэг үзэгдэл тул P = 4 = гэж олно. 4.4 Бүх ирмэг нь 4 урттай байх ABCDE зөв дөрвөн өнцөгт пирамид өгөгджээ. I. Суурийн диагональ AC = a байна. II. Диагональ огтлолын талбай S ACE = b байна. III. Пирамидын эзэлхүүн V ABCDE = байна. c IV. Пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиус r = d байна. V. Энэ пирамидад хамгийн их эзэлхүүнтэй, 4 орой нь хажуу ирмэг дээр, 4 орой нь суурь дээр орших тэгш өнцөгт параллелпипед багтаавал эзэлхүүн нь V nap байна. 8 ef E N A B D M C

I. AC = AD + DC = 4 +4 = 4. МАТЕМАТИК ХУВИЛБАР D = 4 = 4 II. EH нь пирамидын өндөр бол EH = AC Диагональ огтлолын талбай S ACE = 8 байна. AC EH III. Пирамидын эзэлхүүн V ABCDE = S ABCD EH. 7 =. S ABCD = AD DC =4 4 = 6 V ABCDE = 6 =. = IV. E r N AB талын дундаж цэгийг N, DC талын дундаж цэгийг M гэж тэмдэглэвэл манай бөмбөрцгийн тэнхлэг огтлол NEM гурвалжинд багтана. EM нь DEC гурвалжны өндөр. Эндээс EM-ыг олвол пифагорын теором ёсоор EM = CE MC = 4 = NE = EM = NM =4. Одоо NEM гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг олох боломжтой. EH-ыг NEM гурвалжны өндөр гэвэл EH = EM HM = ( ) = 4= M S NEM = EH NM = 4 =4. S = pr гэдгийг санавал r = S. p-ыг олвол p p = NE + EM + MN = + +4 Үүнийг дээрх томьёонд орлуулвал = +. r = S p = 4 + = = 6 + = = ( 6 ) = 6.

4 ЭЛСЭЛТИЙН ЕРӨНХИЙ ШАЛГАЛТ - 07 V. E A K B N D Энэ пирамид нь квадрат суурьтай тул параллелепипедын суурын уртыг a өндрийг нь h гэж тэмдэглэвэл пирамидад багтсан параллелепипедын эзэлхүүн V = a h гэж олдоно. Иймд NEM гурвалжинд багтсан тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг олъё. ABCD тэгш өнцөгт EM талыг B цэгээр шүргэнэ гээд EB = x, AB = CD = a, DA = BC = h гэж тэмдэглэе. NEM, AEB гурвалжинд төсөөгийн харьцаа бичвэл AB EB = NM EM a x = 4 EB = x = EH AB-г K гэвэл EK = EH KH EK = h. Одоо H C M a HEM, KEB гурвалжинд төсөөгийн харьцаа бичвэл EK EB = EH EM h a = h = Эндээс f(x) = ( a h = a Эндээс V = a h-ын хамгийн их утгыг олъё. f(x) = ( a)a. f (x) =0 ( a a ) =0 4 a a =0 a(4 a)=0 a =0,a= 8. a)a -ын хамгийн их утга f(x) = ( 8 ) (8 ) =( 8 6 ) 64 9 = 8 7 болно.