1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688
AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΑΔ = ΒΓ ΔΖ ΔΕ.. A. Να βρείτε το είδος του τριγώνου του οποίου οι πλευρές γ, β, α είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 4, 5, 6 αντίστοιχα. α + β + γ B. Αν Α είναι η προβολή της γ πάνω στη β, να αποδείξετε ότι: ΑΔ =. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) με ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α, ο β = α + γ + αγ (1) και Γ = 0. Αν η εφαπτομένη στο Α τέμνει τη ΒΓ στο να δείξετε ότι: α. Β = 10 ο, β. ο ΑΔΒ = 90 γ. β = α + γ 4.. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ > ΒΓ > ΑΒ. Αν Κ, ΛΕ και ΜΖ είναι οι προβολές των διαμέσων μα, μβ και μγ πάνω στις πλευρές α, β και γ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: Κ *ΒΓ = ΛΕ*ΑΓ +ΜΖ*ΑΒ 5. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεσοι του ΑΜ και ΒΚ. Να δείξετε ότι: ΑΓ + ΒΓ + 4 ΑΒ = 4 ΑΜ + ΒΚ α. ( ) β. ( ΑΓ ΒΓ ) = 4( ΑΜ ΒΚ ) 6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 6, β = 4, γ =. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο β. Να υπολογισθεί το ύψος Α του τριγώνου γ. Να υπολογισθεί η διάμεσος ΑΜ που αντιστοιχεί στην πλευρά α. 7. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α = γ και i. β = γ ii. Α > 90o iii. μ β = γ, μ α γ = μ γ 5γ =, να δείξετε ότι: R 8. Σημείο Α απέχει απόσταση από το κέντρο κύκλου ακτίνας R. Μία χορδή ΒΓ 1 διέρχεται από το Α και διαιρείται από το Α σε λόγο 4 Να βρεθεί το μήκος της χορδής αυτής. 9. Έστω κύκλος (O,R) και μια χορδή ΑΒ. Αν Γ σημείο εσωτερικό της ΑΒ έτσι
ώστε ΟΓΑ = 60 και α. β. 5R ΓΑ ΓΒ = 9 R 6 ΑΒ = R ΟΓ =, να αποδείξετε ότι: 10. Αν Α, ΒΕ, ΓΖ οι διάμεσοι ενός τριγώνου ΑΒΓ για το οποίο ισχύει α = β + γ, να αποδείξετε ότι: α. β. μ α = 4 γ = 4 = 4 β, μ, μ α β γ μ α = μβ + μ γ γ. Αν Κ βαρύκεντρο, τότε το τετράπλευρο ΑΖΚΕ είναι εγγράψιμο 11. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Α η διάμεσος του. Από το Α φέρουμε ευθεία ε κάθετη στην Α. Από τα σημεία Β και Γ φέρουμε τις ΒΕ και ΓΖ αντίστοιχα κάθετες στην ε. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ είναι ισοδύναμα. β) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 1 ( ΒΓΖΕ ). 1. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ με βάσεις ΑΒ και Γ και Ε η τομή των διαγωνίων. Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα ΓΖ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι (Α Ε)=(ΒΓΖ) και (Α Ε) =(ΑΒΕ) (Γ Ε).
1. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ με βάσεις ΑΒ, Γ και Γ =ΑΒ. Αν Α =ΒΓ=ΑΒ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓ και το εμβαδό του, συναρτήσει του ΑΒ=α. 14. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο της ΒΓ.Από το φέρουμε Ζ και Ε παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, που τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα.αν Μ και Ν τα μέσα των Β και Γ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: 1 (ΜΝΕΖ)= ( AB Γ). 15. Σε ευθεία ε θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ=α, ΒΓ=α και κατασκευάζουμε προς το ίδιο μέρος της ε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓΕ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου Α ΕΓ. 16. 1. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ κατά την ίδια φορά κατά τα ευθύγραμμα τμήματα Β, ΓΕ και ΑΖ αντίστοιχα, τέτοια ώστε Β =ΑΒ, ΓΕ=ΒΓ και ΑΖ=ΑΓ. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων ΕΖ και ΑΒΓ.
γ 17. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα σημεία και Ζ στην ΑΒ ώστε Α =ΒΖ=, τα Ε και Ι στην ΑΓ β α ώστε ΑΕ=ΓΙ= και Η και Θ στη ΒΗ=ΓΘ=. Αν το (ΑΒΓ)=144, να υπολογίσετε το 4 6 εμβαδόν του εξαγώνου Ζ ΕΙΘΗ και του τετραπλεύρου ΕΗΖ. 18. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Από το μέσο ε της ΒΓ φέρνουμε την παράλληλη προς την Α, η οποία τέμνει τις ΑΒ και Γ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα. Επίσης η Ε τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Θ. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ, το παραλληλόγραμμο ΑΖΗ και το τρίγωνο ΑΘ είναι ισοδύναμα.
19. Θεωρούμε τα σημεία και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ για τα οποία 1 1 ισχύει Α = AB και AE = AΓ. Να αποδειχθεί ότι: (Α Ε)= 1 ( ΑΒΓ ). 4 1 0. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ), τα μέσα Κ, Λ των ΑΒ, Γ και Ρ τυχαίο σημείο του τμήματος ΚΛ. Να αποδειχθεί ότι (ΡΑ )=(ΡΒΓ). 1. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Ονομάζουμε Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του και Μ το σημείο της πλευράς του Α για το οποίο είναι ΟΜ//ΑΒ. Να αποδειχθεί ότι (ΜΒΓ)=(ΟΑ ).
. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και τα σημεία Ε, Ζ των βάσεων του ΑΒ, Γ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες Ε, ΖΑ τέμνονται στο Η και οι ευθείες ΖΒ, ΕΓ τέμνονται στο Θ, να αποδειχθεί ότι (ΗΑ )+(ΘΒΓ)=(ΖΘΕΗ).. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι R=8cm και το απόστημα του = 4 cm. Να α ν υπολογίσετε: α) την πλευρά του πολυγώνου. β)το πλήθος των πλευρών του. γ) την κεντρική του γωνία. 4. Σε κύκλο ακτίνας R εγγράφουμε τετράγωνο ΑΒΓ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το τετράγωνο. Στο τετράγωνο εγγράφουμε κύκλο ακτίνας ρ. Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου αυτού ως συνάρτηση του R.
5. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α ˆ o α = 90, ΒΓ = α και ΑΒ=. Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουμε τόξο που τέμνει τη ΒΓ στο Μ και με κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουμε τόξο που τέμνει την ΑΓ στο Ν. Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΜΝ. 6. Θεωρούμε κύκλο (Ο,R) μια διάμετρο ΑΓ= λ 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ. 7. ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓ με ΒΓ=8 και ΑΓ=17. Οι κύκλοι (Α,Α ) και (Γ,ΓΒ) τέμνουν την διαγώνιο ΑΓ στα Κ και Λ. Αν Ν είναι το σημείο τομής της ΑΒ με τον κύκλο (Α,Α ),να υπολογίσετε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τετραπλεύρου ΚΛΒΝ. 8. ίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓ με πλευρά α. Με κέντρα τις κορυφές του τετραγώνου και ακτίνα το μισό της διαγωνίου του γράφουμε τα τόξα που βρίσκονται στο εσωτερικό του. Να βρεθεί το εμβαδόν του σταυρού που σχηματίζεται.
9. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Με διάμετρο την ΒΓ γράφουμε ημικύκλιο προς το μέρος του Α. α) Να υπολογίσετε τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται έξω από το τρίγωνο. β) Αν, Ε είναι τα σημεία τομής του ημικυκλίου με το τρίγωνο ΑΒΓ υπολογίστε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου Α Ε. 0. 0. ίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ με κέντρο Ο και ακτίνα R. Με κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουμε κύκλο που τέμνει το τόξο ΑΒ στο Γ. Να βρεθεί το εμβαδόν μεταξύ των Ο, Β και Γ.
1. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Γράφουμε τα τόξα των κύκλων (Α,R), (B,R) και (Γ,R) που περιέχονται στον κυκλικό δίσκο (Ο,R) τα οποία σχηματίζουν μέσα στο τρίγωνο ένα Τ. Να βρεθεί το εμβαδόν του Τ...α) Ένας τετραγωνικός κήπος έχει πλευρά 40 μέτρα. Στις τέσσερις κορυφές των γωνιών του κήπου τοποθετούνται περιστρεφόμενοι μηχανισμοί ποτίσματος που έχουν τη δυνατότητα να ποτίζουν κυκλικές περιοχές (κυκλικούς δίσκους) ακτίνας 5 μέτρων. Να βρείτε το εμβαδόν του κήπου που δεν ποτίζεται, όταν λειτουργούν και οι τέσσερις μηχανισμοί ταυτόχρονα. β) Ένας πέμπτος μηχανισμός, που τοποθετείται στο κέντρο του κήπου και ποτίζει μία κυκλική περιοχή αυτού, λειτουργεί ταυτόχρονα με τους άλλους τέσσερις. Ποια είναι η ακτίνα της μεγαλύτερης κυκλικής περιοχής που πρέπει να ποτίζει ο κεντρικός μηχανισμός έτσι, ώστε καμιά περιοχή του κήπου να μην ποτίζεται από δύο ή περισσότερους μηχανισμούς; γ) Πόσο είναι το εμβαδόν του κήπου που παραμένει απότιστο στην περίπτωση (β). δ) Ποια είναι η ακτίνα της μικρότερης κυκλικής περιοχής που πρέπει να ποτίζει ο κεντρικός μηχανισμός έτσι, ώστε καμιά περιοχή του κήπου να μη μένει απότιστη, όταν λειτουργούν και οι πέντε μηχανισμοί ταυτόχρονα;. Τα λάστιχα των αυτοκινήτων έχουν διαστάσεις που αναγράφονται στο εξωτερικό τους μέρος. Το λάστιχο του τύπου 165 SR 14 έχει εξωτερική διάμετρο 65mm. α) Υπολογίστε την περιφέρεια του λάστιχου 165 SR 14. β) Πόσο δρόμο διανύει ένα αυτοκίνητο με λάστιχα 165 SR 14 όταν οι ρόδες κάνουν δέκα περιστροφές; γ) Αν ο δρόμος που διήνυσε το αυτοκίνητο είναι 196,5 μέτρα πόσες στροφές έκαναν οι ρόδες; δ) Το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα 150 km/h. Να υπολογιστεί ο αριθμός των στροφών σε ένα δευτερόλεπτο. 4. Μέσα σ' ένα χωράφι σχήματος τετραγώνου κατασκευάσαμε το μεγαλύτερο κυκλικό αλώνι που ήταν δυνατό με ακτίνα 40 μέτρα. α) Ποιο ήταν το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού χωραφιού; β) Ποια είναι η αξία του χωραφιού αν στην περιοχή αυτή η γη κοστίζει 60 το τετραγωνικό μέτρο; γ) Πόσο είναι το εμβαδόν του χωραφιού που είναι έξω από το κυκλικο αλώνι; 5. Σε μια πλατεία υπάρχει ένα κυκλικό χωρίο γκαζόν και στο κέντρο του ένα δέντρο (σημείο Ο). ύο εργάτες σχεδιάζουν να φυτέψουν τρία ακόμη δέντρα στην περιφέρεια
του χωρίου, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Να περιγράψετε με ποιο τρόπο μπορούν οι εργάτες να βρουν τις σωστές θέσεις που θα φυτέψουν τα δέντρα όταν: α) έχουν στη διάθεσή τους μία μετροταινία β) διαθέτουν μόνο ένα σχοινί και απαγορεύεται να εισέλθουν στο φρεσκοσπαρμένο χωρίο.