Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr"

Transcript

1

2 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του Μετατροπές σε LaTEX: Φωτεινή Καλδή, Αναστάσης Κοτρώνης, Σχήματα: Μιχάλης Νάννος, Χρήστος Τσιφάκης Σελιδοποίηση : Αναστάσης Κοτρώνης, Νίκος Μαυρογιάννης, Εξώφυλλο : Γρηγόρης Κωστάκος. Στοιχειο- ϑετείται με το LaTEX. Μπορεί να αναπαραχθεί και να διανεμηθεί ελεύθερα. Εικοσιδωεκάεδρο ϕιλοτεχνημένο από τον Leonardo da Vinci Το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα πολύεδρο (3-εδρο) με είκοσι τριγωνικές έδρες και δώδεκα πενταγωνικές. Εχει 3 πανομοιότυπες κορυφές στίς οποίες συναντώνται δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα και εξήντα ίσες ακμές που η κάθε μία τους χωρίζει ένα τρίγωνο από ένα πεντάγωνο. Είναι αρχιμήδειο στερεό - δηλαδή ένα ημικανονικό κυρτό πολύεδρο όπου δύο ή περισσότεροι τύποι πολυγώνων συναντώνται με τον ίδιο τρόπο στις κορυφές του - και ειδικότερα είναι το ένα από τα δύο οιωνεί κανονικά - quasiregular πολύεδρα που υπάρχουν, δηλαδή στερεό που μπορεί να έχει δύο τύπους εδρών οι οποίες εναλλάσσονταιστην κοινή κορυφή (Το άλλο είναι το κυβο - οκτάεδρο). Το εικοσιδωδεκάεδρο έχει εικοσιεδρική συμμετρία και οι συντεταγμένες των κορυφών ενός εικοσαέδρου με μοναδιαίες ακμές είναι οι κυκλικές μεταθέσεις των (,, ±ϕ), ( ± 1, ± ϕ, ± 1+ϕ ),όπουϕ ο χρυσός λόγος 1+ 5 ενώ το δυαδικό του πολύεδρο είναι το ϱομβικό τριακοντάεδρο. Πηγή:http://en.wikipedia.org/wiki/Icosidodecahedron Απόδοση : Πάνος Γιαννόπουλος Ο δικτυακός τόπος mathematica.gr ανήκει και διευθύνεται σύμφωνα με τον κανονισμό του που υπάρχει στην αρχική του σελίδα (http://www.mathematica.gr) από ομάδα Διευθυνόντων Μελών. Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Συντονιστες Αιρετά Μέλη 1. Φωτεινή Καλδή (Φωτεινή) Γενική Συντονίστρια. Μιχάλης Λάμπρου (Mihalis_Lambrou) Γενικός Συντονιστής 3. Νίκος Μαυρογιάννης (nsmavrogiannis) Γενικός Συντονιστής 4. Σπύρος Καρδαμίτσης (Καρδαμίτσης Σπύρος) Υπεύθυνος Ενημέρωσης 5. Χρήστος Κυριαζής (chris_gatos) Υπεύθυνος Προγραμματισμού 6. Μίλτος Παπαγρηγοράκης (m.papagrigorakis) Υπεύθυνος Οικονομικών 7. Γιώργος Ρίζος (Γιώργος Ρίζος) Υπεύθυνος Εκδόσεων Μόνιμα Μέλη Επιμελητες 1. Γρηγόρης Κωστάκος (grigkost) Διαχειριστής. Αλέξανδρος Συγκελάκης (cretanman) Διαχειριστής 1. Στράτης Αντωνέας (stranton). Ανδρέας Βαρβεράκης (ΑΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ) 3. Κωνσταντίνος Βήττας (vittasko) 4. Νίκος Κατσίπης (nkatsipis) 5. Αναστάσιος Κοτρώνης (Κοτρώνης Αναστάσιος) 6. Βασίλης Μαυροφρύδης (mathxl) 7. Θάνος Μάγκος (matha) 8. Γιώργος Μπαλόγλου (gbaloglou) 9. Ροδόλφος Μπόρης (R BORIS) 1. Μιχάλης Νάννος (Μιχάλης Νάννος) 11. Λευτέρης Πρωτοτοπαπάς (Πρωτοπαπάς Λευτέρης) 1. Δημήτρης Σκουτέρης (dement) 13. Μπάμπης Στεργίου (Μπάμπης Στεργίου) 14. Σωτήρης Στόγιας (swsto) 15. Αχιλλέας Συνεφακόπουλος (achilleas) 16. Κωνσταντίνος Τηλέγραφος (Τηλέγραφος Κώστας) 17. Σεραφείμ Τσιπέλης (Σεραφείμ) 18. Χρήστος Τσιφάκης (xr.tsif) 19. Δημήτρης Χριστοφίδης (Demetres) Μελη 1. Σπύρος Βασιλόπουλος (spyros). Παναγιώτης Γιαννόπουλος (p_gianno) 3. Κώστας Ζυγούρης (kostas.zig) 4. Γιώργης Καλαθάκης (exdx) 5. Χρήστος Καρδάσης (ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ) 6. Θανάσης Μπεληγιάννης (mathfinder) 7. Μάκης Πολλάτος (mathematica) 8. Θωμάς Ραϊκόφτσαλης (Θωμάς Ραϊκόφτσαλης) 9. Κωνσταντίνος Ρεκούμης (rek) 1. Γιώργος Ροδόπουλος (hsiodos) 11. Σταύρος Σταυρόπουλος (Σταύρος Σταυρόπουλος) 1. Βασίλης Στεφανίδης (bilstef)

3 Διασκεδαστικά Μαθηματικά ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει (πέρα από τα γνωστά νομίσματα) και τρίευρο! Το ζητούμενο είναι αν μπορούμε να σχηματίσουμε το ποσό των 5 ευρώ χρησιμοποιώντας 1 συνολικά νομίσματα (αποκλειστικά ενός ήτριών ήπέντε ευρώ). ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης) Βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν οι δείκτες ενός ρολογιού στις 7 : 38. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο KARKAR) Στο μάθημα των Μαθηματικών, το 6% των αγοριών και το 7% των κοριτσιών, «πέρασαν» την Τάξη. Αν ο αριθμός των επιτυχόντων αγοριών, είναι ίσος με τον αριθμό των επιτυχόντων κοριτσιών, βρείτε το ποσοστό των μαθητών που «πέρασαν». Μαθηματικά Γ Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γιαννόπουλος) Στο σχήμα έχουμε τρία τετράγωνα πλευράς 1 τοποθετημένα το ένα δίπλα στο άλλο. Μαθηματικά Α Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Αν Να βρεθεί το μήκος του τμήματος ZE. και A = ( ) + ( ) ( ) B = ) ( ), ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο KARKAR) Δίνεται ότι η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών είναι κι αυτήτέλειο τετράγωνο. 1. Βρείτε τους μεγαλύτερους διψήφιους, μ αυτή την ιδιότητα.. Δείξτε ότι ο μεγαλύτερος από τους δύο είναι πάντα περιττός. να υπολογιστεί η τιμήτης παράστασης A + B. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο parmenides51) Η Φωτεινήγια ένα παιδικό πάρτι του παιδιού της ϑα πληρώσει 49 ευρώ τώρα που ο ΦΠΑ ανέβηκε στο 3%. ΑνοΦΠΑπαρέμενεστο13%, πόσοϑατης κόστιζε το παιδικό πάρτι; Μαθηματικά Β Γυμνασίου Μαθηματικά Α Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Αντώνης Κυριακόπουλος) Να βρείτε τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες μεταξύ των πραγματικών αριθμών β και γ, για τις οποίες οι ρίζες ρ 1 και ρ της εξίσωσης: x βx + γ = να είναι πραγματικές και να πληρούν τη σχέση: 3ρ 1 ρ = β ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Το τούνελ του σχήματος έχει σχήμα ημικυκλίου. Ενα φορτηγό με ύψος 6m μπορεί να πλησιάσει το πολύ ένα 1m τις άκρες του οδοστρώματος, λόγω της καμπύλης οροφής του τούνελ. Πόσο είναι το πλάτος της βάσης του τούνελ; ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο irakleios) Για ποιες τιμές της παραμέτρου m μία ακριβώς ρίζα της εξίσωσης x (m + 1)x + m = ανήκει στο διάστημα (, ); 1

4 Μαθηματικά Α Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 11 (Προτείνει ο KARKAR) Τρίγωνο ABC έχει B = 7 και Ĉ = 6. Στο εσωτερικό του βρίσκεται σημείο S,ώστεBŜC = 1 και SB= SC.ΟιCS, BS τέμνουν τις πλευρές AB, AC στα D, E αντίστοιχα. Βρείτε το μέτρο της S DE = ϕ. ΑΣΚΗΣΗ 14 (Προτείνει ο Γιώργος Ροδόπουλος) Γνωρίζουμε ότι το πολυώνυμο x 3 πx + 7αx 3πα έχει τρεις ϑετικές ρίζες. Αφού βρείτε τον αριθμό α να αποδείξετε ότι η εξίσωση (ημx + συνx) = 6 α είναι αδύνατη. Μαθηματικά Β Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 15 (Προτείνει ο KARKAR) Ημικύκλιο διαμέτρου BC και ισόπλευρο τρίγωνο με βάση την BC, βρίσκονται εκατέρωθεν της BC. Τριχοτομούμε το τόξο BC. Δείξτε ότι με τις δημιουργούμενες συνδέσεις τριχοτομείται η πλευρά BC! ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο Βασίλης Στεφανίδης) Το τρίγωνο ABΓ του παρακάτω σχήματος είναι ισόπλευρο και BΔ =ΓE. Να δειχθεί ότι AΔ =ΔE. ΑΣΚΗΣΗ 16 (Προτείνει ο KARKAR) Σε σημείο D της πλευράς AB του ισοσκελούς τριγώνου ABC, (AB = AC), φέρω κάθετη, η οποία τέμνει την μεν AC στο E, τηδεπροέκτασητηςbc στο Z. Αν είναι AD = CZ, δείξτεότιηαπόστασητουe από την BC, είναι μισήτης απόστασής του από την AB. Ερώτηση προςδιερεύνηση : Μπορούμε να εντοπίσουμε «κατασκευαστικά», τη ϑέση του σημείου D ; Μαθηματικά Β Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 13 (Προτείνει ο Γιώργος Κοτζαγιαννίδης) Αν οι ϑετικοί αριθμοί α 1,α,..., α ν+1 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι : α 1 α 3... α ν 1 α1. α α 4 α ν α ν+1 Μαθηματικά Β Λυκείου, Κατεύθυνση ΑΣΚΗΣΗ 17 (Προτείνει ο KARKAR) Σημείο S κινείται επί της ευθείας y = 1 x,ενώσημείοa κινείται επί της ευθείας y = 1 x έτσι ώστε: (SA) = 6. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του τμήματος SA.

5 ΑΣΚΗΣΗ 18 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Εστω η υπερβολή C 1 : x a y b = 1 και ο κύκλος C : x + y = a με a, b >. Αν K(x, y ), x >, είναιτοκοινόσημείοτουc με την ασύμπτωτη (ɛ) :y = b a x της C 1, να δείξετε ότι η εφαπτομένη του C διέρχεται από την εστία E της υπερβολής. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γενική Παιδεία στο K ΑΣΚΗΣΗ 19 (Προτείνει ο Ηλίας Καμπελής) Εστω μεταβλητή X με παρατηρήσεις t 1, t,..., t v,μέσητιμή x, α R και η συνάρτηση { x(t1 +t +...+t v) v } x, < x g (x) = x 4 αv x, x =. 1. Αν η g είναι συνεχής στο x o =,νααποδείξετεότια = 1.. Αν η γραφικήπαράσταση της g διέρχεται από το σημείο A(3, ),νααποδείξετεότι v t i=1 i = Αν v t i=1 i f i = 1, όπου f i οι σχετικές συχνότητες των παρατηρήσεων, να βρεθεί το πλήθος v του δείγματος. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ορια, Συνέχεια ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Εστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: Να βρείτε το: lim x lim x f (x) x = 3. f (x) sin(πx). ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι 1 1 και έχει την ιδιότητα : Να αποδειχθεί ότι : f (x) f (1 x) = f (ax + b), x R 1. a =. f (b) 3. f (1 b) = 1 4. η συνάρτηση f δεν έχει σύνολο τιμών το R. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Ροδόπουλος) Ενα δείγμα μεγέθους ν έχει τυπικήαπόκλιση s, s. Να αποδείξετε ότι για το εύρος R ισχύει < s v. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Μιγαδικοί Αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο Κώστας Τηλέγραφος ) Εστω οι μιγαδικοί z, w με τις ιδιότητες 4 z z w = 1, w z w = Να δείξετε ότι z w =.. Να δείξετε ότι οι εικόνες των z και w ανήκουν σε κύκλους με κέντρο την αρχήτων αξόνων, των οποίων να βρείτε και την ακτίνα. 3. Να βρείτε το 6z + w. 4. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και w. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Τηλέγραφος Κώστας) Δίνεται η συνεχής στο R, f (x) x R με z 1 f (x)dx = με f (1) = Να δειχτεί ότι f (x) >.. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των z. ( z + z 3) x 3 + x 3. Να βρείτε το όριο lim x ( z z 3) x + x. 4. Αν το εμβαδόν της f με τον x x από τη x = μέχρι τη x = 1 είναι μικρότερο του z + z, να δειχτεί ότι η εξίσωση x f (t)dt = 3x + 6x 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, 1). f Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Διαφορικός Λογισμός ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Ροδόλφος Μπόρης) Εστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R, με συνεχήπαράγωγο f με f (x + f (x)) = f (x) x R (1) 1. Δείξτε ότι η f δεν μπορεί να μην έχει ρίζα. Δώστε παράδειγμα πολυωνυμικής συνάρτησης που επαληθεύει την σχέση (1) 3. Υποθέστε τώρα ότι η f έχει δυο ρίζες a, b με a < b. Δείξτε ότι δεν μπορεί να υπάρχει u στο (a, b) με f (u). ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [4, 1] με σύνολο τιμών f (A) = [1, 5] και f (4) =, f (1) = 4. Νααποδείξετεότι υπάρχουν δύο διαφορετικά ξ 1,ξ (4, 1) ώστε: f (ξ 1 ) = f (ξ ) =. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ολοκληρωτικός Λογισμός ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Εστω f :[, 1] [, + ) συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει t f (t) 1 + f (u)du, για κάθε t [, 1]. Να αποδειχθεί ότι f (t) t + 1, για κάθε t [, 1]. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Ας είναι f μια συνεχής συνάρτηση στο [, 1] ώστε να ισχύει Να αποδείξετε ότι x f (t)dt 1 x ( f (x)) dx για κάθε x [, 1]. xf(x)dx. 3

6 ΑΣΚΗΣΗ 33 (Προτείνει ο Αναστάσης Κοτρώνης) Βρείτε το Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ασκήσειςσε όλη την Υλη ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Μάγκος Θάνος) Να αποδειχθεί ότι κα- ϑεμιά από τις εξισώσεις: Ποια από τις δύο αυτές ρίζες είναι με- έχει ακριβώς μία ρίζα. γαλύτερη; sin(cos x) = x και cos(sin x) = x lim x + x ln x x (ln x) x + x ΑΣΚΗΣΗ 34 (Προτείνει ο Τηλέμαχος Μπαλτσαβιάς) Εστω τρίγωνο ABC και I το έγκεντρό του. Οι BI,CI τέμνουν τις AC, AB στα σημεία B, C αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το AB AC είναι μεγαλύτερο, ίσο ήμικρότερο του AI αν και μόνον αν η Â είναι αμβλεία,ορθήήοξείααντίστοιχα. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύουν z 1 = 1 και w = z 1 z + 1. Θεωρούμε και τη συνάρτηση f (x) = ln x w x. 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f,. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, 3. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f, ( 4. Να βρείτε το lim x f 1 (x) ). x Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική ΑΣΚΗΣΗ 35 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Αν a > 1, να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : R (, + ) για τις οποίες 1. f (x) a x, x R και. f (x + y) f (x) f (y), x, y R. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Θέματα με Απαιτήσεις ΑΣΚΗΣΗ 31 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Να βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : R R, που είναι τέτοιες ώστε ΑΣΚΗΣΗ 36 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση x+1 = [x] + {x}. f () = 1 και e x f (x) = f (x) x R. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Εστω f : R ( x R με f (x) = e dt) t και g : R R με e x (1+t ) g(x) = dt. 1 + t 1. Για τυχαίο x R, δείξτεότι ΑΣΚΗΣΗ 37 (Προτείνει ο Δημήτρης Μυρογιάννης) Εστω το τετράπλευρο ABCD στο οποίο οι γωνίες BCD, DAB έχουν μέτρο 8 o, 4 o, αντιστοίχως. Αν επιπλέον ισχύει ότι BC = CD = DA, να βρείτε το μέτρο της γωνίας ABC = x. lim x x e x (1+t ) dt =. Για τυχαίο x R, δείξτεότι g (x ) = e x και συμπεράνετε ότι x e x (1+t) dt. e t dt f (x) + g(x) = π 4 για κάθε x R. 3. Δείξτε ότι lim g(x) = και συμπεράνετε ότι x + lim x + x Ασκήσειςμόνο για μαθητές e t dt = π. ΑΣΚΗΣΗ 38 (Προτείνει ο KARKAR) Στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC, M είναι το μέσον της AC. Οκύκλος(B, BM) τέμνει τη βάση BC στοσημείοέστωn. ΗευθείαNM τέμνει την προέκταση της BA στο σημείο έστω S. Υπολογίστε τις γωνίες, τις πλευρές και το εμβαδόν του τριγώνου AMS. 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 44 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Αν a, b, c ϑετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους a + b + c = 1, να δείξετε ότι 1 + a b + c b c + a c a + b 1 abc. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Φοιτητές ΑΣΚΗΣΗ 45 (Προτείνει ο vzf) Να βρείτε τους μοναδικούς ϑετικούς ακέραιους αριθμούς που πρέπει να έχουν δύο εξάπλευρα ζάρια, που δεν είναι τα κανονικά ζάρια ώστε να έχουν την ίδια κατανομήπιθανότητας για το άθροισμα με τα κανονικά ζάρια. ΑΣΚΗΣΗ 46 (Από τον διαγωνισμό Vojtˇech Jarník του 1997) Εστω a ένας περιττός ϑετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι αν d (a + ) τότε d 1 mod 8 ή d 3 mod 8. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική ΑΣΚΗΣΗ 39 (Προτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Εστω n 17 ακέραιος. Να δειχθεί ότι κάθε τετράγωνο μπορεί να διαμεριστεί σε n μικρότερα τετραγωνάκια. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Αθανάσιος Κοντογιώργης) Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα P, με πραγματικούς συντελεστές, τέτοια ώστε P() = και P ( (x + 1) 3) = (P(x) + 1) 3. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 41 (Προτείνει ο Σωκράτης Λυράς) Δίνεται τετράπλευρο ABCD με AB = AD και B = D = 9 o. Στις πλευρές DC, BC, έστω τα σημεία E, Z αντιστοίχως, ώστε οι AE, DZ να είναι κάθετες. Να αποδειχθεί ότι BE AZ. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Τηλέμαχος Μπαλτσαβιάς) Αν I είναι έγκεντρο του τριγώνου ABC καιοιευθείεςia, IB, IC τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία D, E, Z αντιστοίχως, αποδείξτε ότι IA ID + IB IE + IC IZ 3 Θέματα Διαγωνισμών ΕΜΕ ΑΣΚΗΣΗ 43 (Προτείνει ο Αλέξανδρος Συγκελάκης - Θέμα διαγωνισμού «Ο ΘΑΛΗΣ» 1995) Σε μια σκακιέρα ϑέλουμε να τοπο- ϑετήσουμε πιόνια, ώστε: δύοπιόνιαναμηβρίσκονταισεγειτονικάτετραγωνάκια(δηλ. τετραγωνάκια με κοινήπλευρά), και επιπλέον, σε κάθε τετραγωνάκι είτε να υπάρχει πιόνι είτε να είναι γειτονικό με ένα τετραγωνάκι με πιόνι. Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο και τον μέγιστο αριθμό από πιόνια που μπορούμε να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα, ώστε να ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις. Άλγεβρα ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 47 (Προτείνει ο Σωτήρης Χασάπης) Να δειχθεί ότι : ac ab bc = (a b)(b c)(c a). b c a ΑΣΚΗΣΗ 48 (Προτείνει ο Αθανάσιος Κοντογεώργης) Εστω G μια ομάδα τέτοια ώστε για κάθε a, b G να ισχύει ότι a b = ba = ab = ba. (α) Αν η G έχει n στοιχεία, να δείξετε ότι είναι αβελιανή. (β) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας μη αβελιανής ομάδας. Ανάλυση ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 49 (Προτείνει ο Αναστάσιος Κοτρώνης) Ας υπολογισθεί το άθροισμα + n=1 ζ(n) n, όπου ζ(s) η συνάρτηση ζήτα του Riemann. ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Σεραφείμ Τσιπέλης) Αν a = ln ( 1+ 5 ), να αποδειχθεί ότι: Γεωμετρία ΑΕΙ n=1 + n=1 Θεωρία Αριθμών ΑΕΙ ( 1) n 1 ( n ) = 4a n ( 1) n 1 n ( ) = a. n n 5 5

8 ΑΣΚΗΣΗ 51 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων διαδοχικών φυσικών δε μπορεί να είναι δύναμη φυσικού. ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του ακέραιου n ώστε οι αριθμοί a = n + 3 και b = n + 3 να είναι συγχρόνως τέλειοι κύβοι. ΑΣΚΗΣΗ 56 (Προτείνει ο KARKAR)Με κέντρο την κορυφή D τετραγώνου ABCD και ακτίνα DA γράφω κύκλο, επί του οποίου κινείται σημείο S. Ευθεία CT κάθετη στην SD τέμνει τις SA, SB στα Q, P αντίστοιχα. Δείξτε ότι CP = PQ. Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών (ΑΣΕΠ) ΑΣΚΗΣΗ 53 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Εστω η εξίσωση: x 5 4x 4 + Px 3 + Qx + Rx + S = της οποίας οι ρίζες βρίσκονται σε γεωμετρικήπρόοδο. Το άθροισμα των αντιστρόφων αυτών των ριζών ισούται με 1. Ναυπολογίσετε την τιμήτου S. ΑΣΚΗΣΗ 54 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να συγκριθούν οι αρι- ϑμοί ππ e e και e π. Ο Φάκελοςτου καθηγητή, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 55 (Προτείνει ο KARKAR) Οι κύκλοι (O) και (K) τέμνονται στα A, B. Οι εφαπτόμενες του πρώτου κύκλου στα σημεία A, B τέμνονται στο T. Από σημείο S του κύκλου (O) φέρω την ST η οποία επανατέμνει τον κύκλο στο C. Η SA τέμνει τον κύκλο (K) στο P, ενώηac στο Q. ΔείξτεότιηST διέρχεται από το μέσο της PQ. Ο Φάκελοςτου καθηγητή, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 57 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Θεωρούμε τα πολυώνυμα f, g C[x], τα οποία δεν έχουν κοινήρίζα. Αν το πολυώνυμο f (x) + g (x) έχει διπλήρίζα τον αριθμό r C, να αποδειχθεί ότι ( f (r)) + (g (r)) =. ΑΣΚΗΣΗ 58 (Προτείνει ο Νίκος Μαυρογιάννης) Η Ανισότητα του Cauchy. Να αποδειχθεί πως αν οι a 1, a,..., a n είναι μη αρνητικοί πραγματικοί τότε ισχύει a 1 + a a n n n a 1 a...a n και η ισότητα αληθεύει αν και μόνο αν οι αριθμοί είναι ίσοι. Στόχος βέβαια δεν είναι τόσο το να αποδειχθεί η γνωστήαυτή ανισότητα αλλά να δοθούν, χάριν της ενημέρωσης των συναδέλφων, όσο γίνεται περισσότερες αποδείξεις. 6

9 Επιμελητής: Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει (πέρα από τα γνωστά νομίσματα) και τρίευρο! Το ζητούμενο είναι αν μπορούμε να σχηματίσουμε το ποσό των 5 ευρώ χρησιμοποιώντας 1 συνολικά νομίσματα (αποκλειστικά ενός ήτριών ήπέντε ευρώ). 44&t Λύση (ΜιχάληςΛάμπρου) Δεν μπορούμε να σχηματίσουμε το ποσό γιατί αν είχαμε A νομίσματα του ενόςευρώ, B των τριών και 1 A B των πέντε, τότε δηλαδή A + 3B + 5(1 A B) = 5 5 4A B = 5, πού είναι άτοπο (άρτιος περιττός). ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης) Βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν οι δείκτες ενός ρολογιού στις 7 : &t Λύση (KARKAR) Ο ωροδείκτηςκάνει μια περιστροφή σε 1 ώρες, άρα κάνει 3 o την ώρα, ή μισή μοίρα το λεπτό. Ο λεπτοδείκτηςκάνει τις36 o σε 6 λεπτά, συνεπώςκάνει 6 μοίρεςτο λεπτό. Στις7.38 ο μεν ωροδείκτης, διατρέχοντας 19 o, ϑα βρεθεί στις = 9 μοίρες, ενώ ο λεπτοδείκτης ϑα διατρέξει 6 38 = 8 μοίρες. Συνεπώς η γωνία των δεικτών ϑα είναι μόλιςμία μοίρα! 7

10 Επιμελητής: Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Αν και A = ( ) + ( ) ( ) B = ) ( ), να υπολογιστεί η τιμήτης παράστασης A + B. quote&f 33&p Λύση (ΓιώργοςΑπόκης) Εχουμε : ( 1 A + B = 3 ) ( ) ( ) + ( [ βγάζουμε τιςπαρενθέσεις] ) ( ) = 1 = = [τα + σε ζευγάρια και τα σε ζευγάρια ] ( 1 = + 1 ) ( ) 6 ( ) ( ( ) = 1 ( ) ( ) 7 ) ( )... = = αφού οι παρενθέσεις είναι 5 που προστίθενται και 5 που αφαιρούνται. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο parmenides51) Η Φωτεινήγια ένα παιδικό πάρτι του παιδιού της ϑα πληρώσει 49 ευρώ τώρα που ο ΦΠΑ ανέβηκε στο 3%. Αν ο ΦΠΑ παρέμενε στο 13%, πόσο ϑα της κόστιζε το παιδικό πάρτι; quote&f 33&p 1569 Λύση (ΓιώργοςΑπόκης) Τα 49 ευρώ είναι το αρχικό ποσό (χωρίςφπα), μαζί με το 3 % του ΦΠΑ. Άρα, τα 49 είναι το αρχικό συν τα 3 του αρχικού. 1 Ετσι, το 49 είναι το αρχικό πολλαπλασιασμένο με 1 +, 3 = 1, 3. Επομένως, το αρχικό ϑα είναι 49 : 1, 3 = 4 ευρώ. Τελικά, αν είχαμε ΦΠΑ 13 %, ϑα πλήρωνε (με παρόμοιο σκεπτικό) 4 1, 13 = 45 ευρώ. 8

11 Επιμελητής: Σωτήρης Στόγιας ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Το τούνελ του σχήματος έχει σχήμα ημικυκλίου. Ενα φορτηγό με ύψος 6m μπορεί να πλησιάσει το πολύ ένα 1m τις άκρες του οδοστρώματος, λόγω της καμπύλης οροφής του τούνελ. Πόσο είναι το πλάτος της βάσης του τούνελ; (R 1) = (R 1)(R 1) = R R R + 1 = R R + 1. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο KARKAR) Στο μάθημα των Μαθηματικών, το 6% των αγοριών και το 7% των κοριτσιών, «πέρασαν» την Τάξη. Αν ο αριθμός των επιτυχόντων αγοριών, είναι ίσος με τον αριθμό των επιτυχόντων κοριτσιών, βρείτε το ποσοστό των μα- ϑητών που «πέρασαν». 34&t &t 3 Λύση (ΓιώργοςΑπόκης) Αν R η ακτίνα του ημικυκλίου, K το κέντρο του και PQ AB, τότε KP = R, KQ = KB QB = R 1. ΑπότοΠυθαγόρειοΘεώρημαστοKPQ έχουμε: KP = KQ + PQ R = (R 1) + 6 R = R R R = 37 AB = 37. Άρα, το πλάτοςείναι 37m. Σχόλιο : Συνειδητοποίησα ότι η ταυτότητα (a b) = a ab + b δεν είναι γνωστή στη Β Γυμνασίου, άρα μπορεί να γίνει εναλλακτικά Λύση (ΓιώργοςΑπόκης) Εστω a, k το πλήθοςτων αγοριών και των κοριτσιών αντίστοιχα. Τααγόριαπου πέρασαν είναι, 6a και τα κορίτσια που πέρασαν είναι, 7k. Αφού οι αριθμοί είναι ίσοι, ισχύει : Επομένως, ισχύουν :, 6a =, 7k ή 6a = 7k ή k = 6a 7. () Πέρασαν :, 6a+, 7k =, 6a+, 6a = 1, a παιδιά. Η τάξη έχει : a + k () = a + 6a 7 παιδιά. Άρα, το ποσοστό που πέρασε είναι : p = 1, a 13a 7 = 8, 4a 13a = 8, 4 13 = 7a + 6a 7 = 13a 7 δηλαδή 84 % 64, 6%. 13 9

12 Επιμελητής: Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γιαννόπουλος) Στο σχήμα έχουμε τρία τετράγωνα πλευράς 1 τοπο- ϑετημένα το ένα δίπλα στο άλλο. διότι στο τρίγωνο AKΘ ισχύει πως EZ//KΘ και Z μέσο του AK λόγω της(5). ZH = ZE + EH (3),(4),(6) = KM = KΘ + KΘ KM = 3KΘ KΘ = KM 3 Να βρεθεί το μήκος του τμήματος ZE. 35&t Λύση 1 (ΠαύλοςΜαραγκουδάκης) Αςονομάσουμε Θ το σημείο τομήςτων τμημάτων AΓ και KM. Τότε το τμήμα ZE είναι το μισό του KΘ. Τα τρίγωνα KΘΓ και AΔΓ είναι όμοια. Άρα KΘ = 1 3. Επομένως ZE = 1 6. Άρα ZE = KΘ KM = 3 = KM 6 = 1 6. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο KARKAR) Δίνεται ότι η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών είναι κι αυτήτέλειο τετράγωνο. 1. Βρείτε τους μεγαλύτερους διψήφιους, μ αυτή την ιδιότητα.. Δείξτε ότι ο μεγαλύτερος από τους δύο είναι πάντα περιττός. Λύση (Parmenides 51) Εστω Θ το σημείο τομήςτων τμημάτων AΓ,KM και H το σημείο τομήςτων τμημάτων AB, ZE. EH = KΘ (3) διότι αν περιστρέψουμε κατά 18 γύρω από το κέντρο του ορθογωνίου ABΓΔ το τρίγωνο ABΓ προκύπτει πως A Γ, B Δ, H K, E Θ. 35&t Λύση (ΝότηςΚούτσικας) Εστω ν, ν + 1 δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, διψήφιοι. Θέλουμε (ν + 1) ν = k ν + 1 = k. Άρα ο k είναι περιττόςπου σημαίνει ότι και ο k είναι περιττός. Εχουμε ακόμα ότι ν = k 1 Αφού ο ν είναι διψήφιος, ϑα πρέπει και ZH = KM (4) Z μέσο του AK (5) διότι στο τρίγωνο AKM ισχύει πως ZH//KM και H μέσο του AM. ZE = KΘ (6) 1 ν 99 1 k 1 99 k k k 199 4,... k 14,... Άρα ο k ϑαείναι5ή7ή9ή11ή13. 1

13 Αν k = 13 τότε ν = 13 1 = 84 και ν + 1 = 85 Βλέπουμε τώρα ότι = 169 = 13. Άρα οι πιο μεγάλοι διψήφιοι που ζητάμε είναι οι 85 και 84. Από τιςυπόλοιπεςπεριπτώσειςγια το k βρίσκουμε και τα άλλα ζευγάρια των διαδοχικών φυσικών που η διαφορά των τετραγώνων τουςείναι και αυτή τετράγωνο. Τα ζευγάρια αυτά είναι (61, 6), (41, 4), (5, 4) και (13, 1). Βλέπουμε ότι πραγματικά ο μεγαλύτεροςαπό κάθε ζευγάρι είναι πάντα περιττός. 11

14 Επιμελητής: Στράτης Αντωνέας ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Αντώνης Κυριακόπουλος) Να βρείτε τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες μεταξύ των πραγματικών αριθμών β και γ, για τις οποίες οι ρίζες ρ 1 και ρ της εξίσωσης: x βx + γ = να είναι πραγματικές και να πληρούν τη σχέση: 3ρ 1 ρ = β 19&t 435 Λύση 1 (ΜάκηςΧατζόπουλος) Αναγκαίεςσυνθήκες. Από τύπουςvieta: ρ 1 + ρ = β, όμωςδίνεται ότι 3ρ 1 ρ = β και από την επίλυση του συστήματοςβρίσκουμε: ρ 1 = 3β 5, ρ = β 3β 5 = β 5. Ομως, ρ 1 ρ = γ, άρα 3β 5 β 6β = γ δηλαδή 5 5 = γ Ικανέςσυνθήκες(αντιστρόφως): Για 6β 5 = γ είναι, με λύσεις: Δ=β 4 1 γ = 1 5 β Επειδή στην εκφώνηση δεν υπάρχει διάταξη των ριζών,οιαναγκαίεςκαιικανέςσυνθήκεςγιαναισχύουν αυτά που ϑέλουμε, είναι: Δ (3ρ 1 ρ = β ή3ρ ρ 1 = β) Δ (7) (3ρ 1 ρ β)(3ρ ρ 1 β) = β 4γ 13ρ 1 ρ ( 6 ρ 1 + ) ρ β (ρ1 + ρ ) + β = β 4γ 5γ 6β = γ = 6β 5 β 4 6β 5 6β = 5γ 6β = 5γ β ( )(επειδή ρ 1 + ρ = (ρ 1 + ρ ) ρ 1 ρ ) ( ) (8) (9) Συνεπώςη σχέση 6β = 5γ είναι η ζητούμενη αναγκαία και ικανή συνθήκη. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο irakleios) Για ποιες τιμές της παραμέτρου m μία ακριβώς ρίζα της εξίσωσης x (m + 1)x + m = ρ 1 = β β = 3β 5 και ανήκει στο διάστημα (, ); ρ 1 = β 1 5 β = β άρα 3ρ 1 ρ = β. 5 Οπότε βρήκαμε την αναγκαία και ικανή σχέση που συνδέει τα β, γ και είναι η 6β 5 = γ. Λύση (ΑντώνηςΚυριακόπουλος) Καταρχήν έχουμε: Δ=β 4γ, (7) ρ 1 + ρ = β, (8) ρ 1 ρ = γ. (9) 19&t 3137 Λύση (ΚώσταςΔόρτσιος) Κατ αρχήν η τιμή m = δίνει την εξίσωση: x x = που έχει ρίζεςτιςx 1 =, x = που δεν ικανοποιούν το ζητούμενο. Εστω λοιπόν ότι m. Η διακρίνουσα του τριωνύμου αυτού είναι: D = b 4ac = 4(m + 1) επομένωςγια να έχει το τριώνυμο κατ αρχήν πραγματικέςρίζεςϑα πρέπει: D > m > 1. 1

15 Θα ελέγξουμε πρώτα την περίπτωση τηςδιπλής ρίζας: Εστω ότι: D = m = 1 τότε η διπλή Άρα για να είναι ο αριθμός εντόςτου διαστήματος των ριζών πρέπει: του ρίζα είναι: x = b a = 1 (, ) άρα η τιμή αυτή af() < m(m 4) < m (, 4). m = 1 είναι δεκτή. Εστω τώρα πως D > τότε ϑα έχουμε δύο ρίζες πραγματικέςκαι άνισεςτιςx 1, x με x 1 < x. Ελέγχουμε τώρα τη ϑέση των αριθμών και σε σχέση με τιςρίζεςαυτές. Είναι: f () = m > άρα το είναι εκτόςτου διαστήματοςτων ριζών. Επίσης: f () = m 4m = m(m 4). Δηλαδή για m (, 4) ο αριθμός βρίσκεται εντόςτου διαστήματοςτων ριζών και το εκτός. Επομένωςστο ανοιχτό διάστημα (, ) βρίσκεται μόνον μία ρίζα του τριωνύμου αυτού. Επομένωςγια να ισχύει το ζητούμενο οι τιμέςτου m πρέπει να ανήκουν στο σύνολο: A = { 1 } (, 4). 13

16 Επιμελητής: Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 11 (Προτείνει ο KARKAR) Τρίγωνο ABC έχει B = 7 και Ĉ = 6. Στο εσωτερικό του βρίσκεται σημείο S,ώστεBŜC = 1 και SB = SC. Οι CS, BS τέμνουν τις πλευρές AB, AC στα D, E αντίστοιχα. Βρείτε το μέτρο της S DE = ϕ. Ετσι φ = ZDE ZDC DZ=ZC = ZDE DCZ = 3. &t 14 Λύση 1 (ΠαναγιώτηςΓιαννόπουλος) Από τα μέτρα των δοθεισών γωνιών και από το ότι το τρίγωνο BS C είναι ισοσκελές, προκύπτει ότι το τρίγωνο DBC είναι ισοσκελές ( B = D = 7 ), BEC = 8 και το τρίγωνο ECS είναι ισοσκελές, συνεπώς Λύση (ΜιχάληςΝάννος) SC = CE. (1) Κατασκευάζω το ισόπλευρο ECZ. Τότε λόγω της(1) είναι και το SCZ ισοσκελές, επομένως SZC = 7 = ABC SZ//BD (BZS D ισοσκελέςτραπέζιο) DZ = BS = ZE τρίγωνο DZE ισοσκελέςμε γωνία κορυφής DZE = DZS + SZE = DBS + SZE = 4. 14

17 Προκύπτουν εύκολα τα ισοσκελή τρίγωνα SBC ( 1, 4, 4 ), CBD ( 4, 7, 7 ) και CS E (, 8, 8 ). Αν στην προέκταση του BE πάρουμε τμήμα EZ = EC, τότε τα τρίγωνα ECZ, SBC είναι ίσα από Π Γ Π (άρα CZ = CB = CD) καιεφόσονdĉz = 6, το τρίγωνο CDZ είναι ισόπλευρο. Ετσι DE μεσοκάθετοςτηςcz, συνεπώς ϕ = 3. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο Βασίλης Στεφανίδης) Το τρίγωνο ABΓ του παρακάτω σχήματος είναι ισόπλευρο και BΔ =ΓE. Να δειχθεί ότι AΔ =ΔE. Φέρω ΔK//AB AKΔB ισοσκελέςτραπέζιο, άρα AK = BΔ =ΓE και το τρίγωνο ΔKΓ ϑα είναι ισόπλευρο (από μέτρα γωνιών). Άρα ΔK =ΔΓ και επειδή προφανώς ÂKΔ = ΔΓE = 1 τα τρίγωνα AKΔ, ΔΓE ϑα είναι ίσα (από Π Γ Π), συνεπώςaδ =ΔE. Λύση (ΜιχάληςΝάννος) &t 153 Λύση 1 (ΣτάθηςΚούτρας) Στρέφω το τρίγωνο ABΔ κατά 6 αριστερά ωςπρος A(τρίγωνοAΓZ). Είναι AΔ =AZ και ΔÂZ = 6, άρα το τρίγωνο AΔZ είναι ισόπλευρο και από ισότητα των τριγώνων ΔEΓ, ΔZΓ (Π Γ Π) ΔE =ΔZ = AΔ. Συνοπτικέςλύσειςδόθηκαν από τους: και Παναγιώτη Γιαννόπουλο. KARKAR 15

18 Επιμελητής: Φωτεινή Καλδή ΑΣΚΗΣΗ 13 (Προτείνει ο Γιώργος Κοτζαγιαννίδης) Αν οι ϑετικοί αριθμοί α 1,α,..., α ν+1 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι : α 1 α 3... α ν 1 α1. α α 4 α ν α ν+1 Λύση (ΜιχάληςΛάμπρου) Αν a, b, c ϑετικοί διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε ac a+c = b. Άρα a1 a 3 a, a 3 a 5 a 4,..., a n 1 a n+1 a n 1&t 356 Πολλαπλασιάζονταςκατά μέλη έχουμε Λύση 1 (ΓιώργοςΡίζος) a 1 a 3 a a (a + ω) (a + ω) a + aω a + aω + ω ω που ισχύει. a 3 a 5 a 4 (a + ω)(a + 4ω) (a + 3ω) a + 6aω + 8ω a + 6aω + 9ω ω που ισχύει a ν 1 a ν+1 a ν (a + (ν ) ω)(a + νω) (a + (ν 1) ω) a + (ν 1) aω + ( 4ν 4ν ) ω που ισχύει Οπότε a + (ν 1) aω + ( 4ν 4ν + 1 ) ω ω a 1 a 3 a a 1 a 3 a a 1 a a 3 a 5 a 4 a 3 a 5 a 4 a 3 a 4... a ν 1 a ν+1 a ν a ν 1 a ν+1 a ν a ν 1 a ν Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και έχουμε: a1 a3... a3 a5 a 1 a a3 a 4... aν 1 a ν a1 a3 aν 1 aν+1 = a3 a5 aν 1 aν+1 a1 aν+1 a1 (a 3 a 5...a n 1 ) a n+1 a a 4...a n που δίνει την ζητούμενη αν πολλαπλασιάσουμε επί a1 an+1 a a 4...a n Λύση 3 (ΓιώργοςΚοτζαγιαννίδης) Μία λύση ακόμη, χρησιμοποιώνταςβέβαια τη σχέση που χρησιμοποίησαν ο Γιώργοςκαι ο Μιχάλης. Ισχύει α i 1 α i+1 α i με i =, 3,..., ν. Εστω Τότε : x ν = α 1α 3...α ν 1 α α 4...α ν x ν = α 1(α 1 α 3 )...(α ν 3 α ν 1 )α ν 1 α α 4...α ν α 1 α α 4...α ν α ν 1 = α 1α ν 1 α α 4...α ν α ν α 1 α1 x ν α ν+1 α ν+1 ΑΣΚΗΣΗ 14 (Προτείνει ο Γιώργος Ροδόπουλος) Γνωρίζουμε ότι το πολυώνυμο x 3 πx + 7αx 3πα έχει τρεις ϑετικές ρίζες. Αφού βρείτε τον αριθμό α να αποδείξετε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. (ημx + συνx) = 6 α 16

19 1&t 114 Λύση (ΑλέξανδροςΣυγκελάκης) Από τουςτύπους Vieta αν r 1, r, r 3 οι ρίζεςτηςεξίσωσης, τότε r 1 + r + r 3 = π r 1 r + r r 3 + r 3 r 1 = 7a r 1 r r 3 = 3πa Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε r 1 + r + r r 1 r r 3 = 3 3 3πa = 3 3 3(r 1 + r + r 3 )a Κάνονταςπράξειςστην τελευταία παίρνουμε τελικά ότι (r 1 + r + r 3 ) 3 4 a (1) Ομοια από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε 7a = r 1 r + r r 3 + r 3 r r 1 r r 3 = 3 3 9π a = 3 3 9(r 1 + r + r 3 ) a (1) a 3 = 7a δηλαδή ισχύει η ισότητα. Ομωςη τελευταία ισχύει σαν ισότητα όταν r 1 r = ( r r 3 = r 3 r 1 δηλαδή r 1 = r = r 3 = π 3 άρα λοιπόν βρίσκουμε a = π 3 4. Επειδή ημx + συνx = ( ημ x + π ), άρα η εξίσωση 4 γράφεται ( τελικά ημ x + π ) = π > 1 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. 4 3 ). 17

20 Επιμελητής: Ανδρέας Βαρβεράκης ΑΣΚΗΣΗ 15 (Προτείνει ο KARKAR) Ημικύκλιο διαμέτρου BC και ισόπλευρο τρίγωνο με βάση την BC, βρίσκονται εκατέρωθεν της BC. Τριχοτομούμε το τόξο BC. Δείξτε ότι με τις δημιουργούμενες συνδέσεις τριχοτομείται η πλευρά BC! Λύση (ΣωτήρηςΛουρίδας) και και AB = BC = CA = BD = DC BS = S T = T C, K AS BD L AT DC. Από γνωστότατη ιδιότητα του παραλληλόγραμμου άρα και του ρόμβου παίρνουμε: BK = BD = BC ( με DBC = π ) 3 BK = K L = L C, CK BD, όμοια BL CD. Συνεπώςο κύκλοςμε διάμετρο το ευθ. τμήμα BC περνά από τα σημεία &p #p K, L K K όμοια L L. Λύση 1 (ΠαναγιώτηςΓιαννόπουλος) O μέσον της BC. Είναι BOC ισόπλευρο πλευράς AB : = a : τργ BOK CS A με λόγο ομοιότητος συνεπώς BK : AC =, 5 BS =, 5SC = 1 3 BC = 1 3 a Ομοίως TC = 1 3 a οπότε απομένει ST = 1 3 a Επεται το ζητούμενο ΑΣΚΗΣΗ 16 (Προτείνει ο KARKAR) Σε σημείο D της πλευράς AB του ισοσκελούς τριγώνου ABC, (AB = AC), φέρω κάθετη, η οποία τέμνει την μεν AC στο E, τηδε προέκταση της BC στο Z. Αν είναι AD = CZ, δείξτεότιηαπόστασητουe από την BC, είναι μισήτης απόστασής του από την AB. Ερώτηση προςδιερεύνηση : Μπορούμε να εντοπίσουμε «κατασκευαστικά», τη ϑέση του σημείου D ; 18

21 που απέχουν από τις πλευρές της γωνίας αποστάσεις μεδοθένταλόγοείναιημιευθείαμεαρχήτηνκορυφή της δοθείσης γωνίας. &p 1174#p1174 Λύση 1 (ΓρηγόρηςΚακλαμάνος) Με Θ. Μενελάου στο ABC προκύπτει EC AE = BD BZ = cosb (1) Επιπλέον είναι sinc = sinb = ES EC () Επίσης sina = DE AE (3) Εχουμε και (3) :() sina DE sinb = AE ES EC sina sinb = DE ES EC (1) AE sina DE = cosb sinb ES DE ES = sina sinb cosb Ομωςαπό Ν. Ημιτόνων είναι sina sinb = BC AC 1 cosb = AC BC = AC BC Συνεπώςπολλαπλασιάζονταςτιςδύο σχέσειςπροκύπτει DE ES = τελευταίες Λύση (ΚώσταςΔόρτσιος) Για την κατασκευή του σημείου D ϑα χρειαστεί να κατασκευαστεί πρώτα το σημείο E κι αφού πρώτα έχει εξασφαλιστεί η ιδιότητα που έδειξε ο Γρηγόρης, δηλαδή πως το σημείο E απέχει από τιςπλευρέςτηςγωνίαςb αποστάσει με λόγο 1 :. Η ιστορία εξελίσσεται σε τρία σχήματα: 1ο) Ο γ.τόπος των σημείων στο εσωτερικό μιας γωνίας Πράγματι: Αν ένα τέτοιο είναι το σημείο M τότε MA MB = m n τότε οποιοδήποτε σημείο M της Od ϑα έχει την ίδια ιδιότητα όπωςαυτό δείχνεται από τα δυο ζεύγη τωνομοίωνορθογωνίωντριγώνων. ο) Κατασκευήτου γεωμετρικού αυτού τόπου. Φέρουμε τιςκάθετεςπροςτιςπλευρέςτηςγωνίας και πάνω σ αυτέςορίζουμε με τη σειρά των όρων του δοθέντα λόγου τα τμήματα: OA 1 = m, OB 1 = n μετά φέρουμε από τα πέρατα των τμημάτων αυτών παράλληλεςπροςτιςπλευρέςτηςγωνίαςκαι το σημείο τομήςαυτών M απέχει, όπωςεύκολα δείχνεται, από τις πλευρέςτηςγωνίαςαποστάσειςμε τον δοθέντα λόγο. 3ο) Κατασκευή του σχήματοςτηςάσκησηςτου Θανάση: Χωρίςλόγια. 19

22 Λύση 4 (ΣτάθηςΚούτρας) Εστω AM το ύψος του ισοσκελούςτριγώνου ABC (AB = AC) τότε και διάμεσοςδηλαδή BM = BC : (1). Πράγματι στο σχήμα αυτό ισχύουν όλα όσα η άσκηση προαπαιτεί και στη συνέχεια απαιτεί. Σημείωση: Ο γ.τόποςπου αναφέρθηκε γενικεύεται και σε σημεία εκτόςτηςγωνίαςόπου προκύπτει ολόκληρη η ευθεία καθώςκαι συμπληρώνεται και από μια δεύτερη ευθεία που μαζί με την πρώτη και τιςδύο πλευρέςτηςγωνίαςαποτελούν αρμονική τετράδα. Λύση 3 (KARKAR) Από (Θ. Μενελάου ) και λόγω του DA = ZC,παίρνω: EC EA = DB ZB ( ) Φέρονταςτη διχοτόμο AM, οι τέσσερις θ είναι ίσες, οπότε EC = ES DE, EA = συνθ ημθ και DB ZB = ημθ Συνεπώς(*): EC = EAημθ ES συνθ = DE ημθ ημθ ES = DEσυνθημθ ημθσυνθ DE ES = Είναι ZDB AMB ορθογώνια με μια οξεία γωνία (την ĈBA) κοινή άρα : Γιατατρίγωνα με κοινή γωνία BAC είναι: Γιατατρίγωνα ZB AB = BD BM = BD BC ZB AB = BD BC : () (ADE) (ABC) (ADE) (ABC) ADE, ABC AD AE AC=AB = AB AC = AD AE AB : (3) ECZ, ABC με ÊCZ + ÂCB = 18 (παραπληρωματικές) είναι: Από (ECZ) CE CZ AC=AB,CZ=AD = (ABC) CB AC (ECZ) CE AD = (ABC) CB AB : (4) (3) : (4) (ADE) (ABC) (ECZ) (ABC) AD AE AB AC=AB CE AD CB AB =

23 Από Μενέλαο στο (ADE) CB AE = (ECZ) AB CE : (5) ABC με διατέμνουσα ZED είναι: 1 = ZB ZC CE AE AD ZC=AD DB Από (5) (6) (ADE) (ECZ) αφού (ADE) (ECZ) = ED ES 1 = ZB DB CE AE : (6) ED ES = ZB AB BC BD ED ES = BD BC BC BD και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. Λύση 4 (ΚώσταςΒήττας) = BC AE AB CE ZB BC CE AE (λόγοςυψών προςίσεςβάσειςad, CZ) (): ZB AB = BD BC = ED = ES Στο ορθογώνιο τρίγωνο DBZ με διατέμνουσα την ευθεία AEC, σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε ED EZ CZ CB AB AD = 1 = ED BC = EZ AB, (1) (λόγωad = CZ). Απόταόμοιαορθογώνιατρίγωνα MAB, SEZ έχουμε EZ AB = ES BM = ES, () (λόγω BC = BM ). BC Από (1), () = ED BC = ES BC = ED = ES, (3) και το (α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί. Για το (β) ζητούμενο, αρκεί να προσδιοριστεί το σημείο E επί τηςπλευράςac. Στο τρίγωνο ABC με διατέμνουσα την ευθεία DEZ, σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε DA DB ZB ZC EC EA = 1 = EA EC = ZB DB, (1) Εστω F, η προβολή του C επί της AB και από CF ZD, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ZB DB = BC EA, () Από (1), () = BF EC = BC, (3) από BF όπου προκύπτει εύκολα ο προσδιορισμόςτου σημείου E ωςεξής: Εστω P το σημείο ώστε το ABCP να είναι παραλληλόγραμμο και αςείναι Q το σημείο στην προέκταση του AP, ώστε να ισχύει PQ = BF. Από το P φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προςτην CQ, ηοποία τέμνει την AC στο σημείο E, που είναι το ζητούμενο ώστε να ισχύει η (3). Εάν τώρα, D είναι η προβολή του E επί της AB, αποδεικνύεται εύκολα ότι AD = CZ, όπου Z BC DE και το (β) ζητούμενο έχει λυθεί. Λύση 5 (ΑνδρέαςΒαρβεράκης) Εστω CT ύψος, K η προβολή του D στη διάμεσο AM, N σημείο της AB με EN BC, I ητομήτηςen με την AM και L σημείο της AC με TL BC. Από την ομοιότητα των τριγώνων ADK, BDZ και την παραλληλία CT DZ, έχουμε: DK AD = BD BZ = TD DK = TD ZC που σημαίνει ότι η T K διχοτομεί τη γωνία ÂT L Από την ομοιότητα των τριγώνων ADK, AIE, προκύπτειότι: AK AI = AD AE = AT AC = AT AB Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι το σημείο I είναι έγκεντρο του τριγώνου ABC, καθώς το K είναι έγκεντρο του AT L και τα δύο τρίγωνα είναι ομοιόθετα με 1

24 κέντρο A και λόγο AT AB. NE Επομένως EI = EC =, που σημαίνει ότι τα τρίγωνα ESC, EDNείναι όμοια με λόγο ομοιότητας ES ED = 1. Επομένως, το σημείο E κατασκευάζεται, φέρνονταςπαράλληλη προςτη βάση και διερχόμενη από το έγκεντρο του ABC.

25 Επιμελητής: Λευτέρης Πρωτοπαπάς ΑΣΚΗΣΗ 17 (Προτείνει ο KARKAR) Σημείο S κινείται επί της ευθείας y = 1 x,ενώσημείοa κινείται επί της ευθείας y = 1 x έτσι ώστε: (SA) = 6. Ναβρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του τμήματος SA. MA = 3 ( x x 1 + x ) ( + 1 x x ) 1 x = 3 4 ( x x ) ( 1 x + x &t 153 Λύση 1 (Μαργαρίτα Βαρελά) Εστω A ( α, α), S (β, β), M (x, y). ) = 9 4 ( (y M ) xm ) + = 9 4y M 9 + x M 36 = 1 x M 6 + y M ( 3 = 1, ) Τότε: β α x = y = β + α β α = x β + α = y. δηλαδή έλλειψη με άξονεςa = 1, b = 3. ΑΣΚΗΣΗ 18 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Εστω η υπερβολή C 1 : x a y b = 1 και ο κύκλος C : x +y = a με a, b >. Αν K(x, y ), x >, είναιτοκοινόσημείο του C με την ασύμπτωτη (ɛ) :y = b a x της C 1,ναδείξετε ότι η εφαπτομένη του C στο K διέρχεται από την εστία E της υπερβολής. Συνεπώς: 3&t 1164 (SA) = 6 (β α) + (β + α) = 36 x + (4y) = 36 x 36 + y = x 6 + y ( ) 3 = 1. ( Λύση (ΓιώργοςΑπόκης) Εστω S ( x1 + x Τότε M, x 1 x ). 4 Αφού SA= 6έχουμε: x 1, x ) ( 1, A x, x ). Λύση 1 (Μυρτώ Λιάπη) Ο κύκλοςτέμνει την ασύμπτωτη τηςυπερβολήςστο K(x, y ) με x = a a + b = a γ και y = ba a + b = ba γ (προκύπτει αν λύσουμε το σύστημα του κύκλου και τηςασύμπωτηςκαι E(γ, ) ηεστίατηςυπερβολήςμε ϑετική τετμημένη). Η εφαπτομένη του κύκλου στο K είναι η xx + yy = a και για να περνάει από την εστία E(γ, ) αρκεί να ισχύει γx = a x = a που ισχύει γ από παραπάνω. (Η εφαπτομένη περνά από το E(γ, ) γιατί x > ). Λύση (ΔημήτρηςΙωάννου) Η εφαπτομένη του C στο σημείο K έχει εξίσωση xx + yy = a. Ομως y = b a x και 3

26 E(c, ), ϑα πρέπει: x + y = a x + b a x = a a x + b x = a4. (11) ΓιαναπερνάειηεφαπτομένηστοK από την εστία cx = a c x = a4 (a + b )x = a4, πράγμα που ισχύει λόγω τηςσχέσης(11). 4

27 Επιμελητής: Χρήστος Τσιφάκης ΑΣΚΗΣΗ 19 (Προτείνει ο Ηλίας Καμπελής) Εστω μεταβλητή X με παρατηρήσεις t 1, t,..., t v, μέση τιμή x, α R και η συνάρτηση g (x) = { x(t1 +t +...+t v ) v x, < x x 4, x = αv x }. 1. Αν η g είναι συνεχής στο x o =,νααποδείξετε ότι α = 1.. Αν η γραφικήπαράσταση της g διέρχεται από το σημείο A(3, ),νααποδείξετεότι v i=1 t i = 1.. Εχουμε g(3) = 3v x v x = 9 4 v x = 1 (1) t 1 + t t v = 1 v t i = 1. i=1 3. Αν v i=1 t i f i = 1, όπου f i οι σχετικές συχνότητες των παρατηρήσεων, να βρεθεί το πλήθος v του δείγματος. 3. Αφού κάθε παρατήρηση εμφανίζεται μία φορά έχουμε: 18&t 1166&start Λύση 1 (ΔημήτρηςΚατσίποδας) 1. Εχουμε x = t 1 + t t v v t 1 + t t v = v x (1) v t i f i = 1 i=1 t 1 f 1 + t f t v f v = 1 v 1 t 1 v + t v v t v v v v = 1 t 1 v 1 + t v t v v v = v t 1 + t t v = v v = 1. και g (x) = x(t 1 +t +...+t v ) v x x 4 αv x, x =, < x.τότε x(t 1 + t t v ) v x lim g(x) = lim x x x 4 v x(x ) = lim x (x )(x + ) v x = lim x (x + ) = v x 4 αv x και g() =. Αφού η g είναι συνεχήςστο x o = έχουμεότι v x 4 = αv x α = 1. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Ροδόπουλος) Ενα δείγμα μεγέθους ν έχει τυπικήαπόκλιση s, s. Να αποδείξετε ότι για το εύρος R ισχύει < s v. 18&t 5875 Λύση 1 (ΒασίληςΜαυροφρύδης) Είναι : R = t max t min = (t max x) (t min x) R = (t max x) + (t min x) (t max x)(t min x). Ισχύει ότι : 5

28 [(t max x) + (t min x)] (t max x) + (t min x) + (t max x)(t min x) > [ (t max x) + (t min x) ] (t max x) + (t min x) (t max x)(t min x) [ (t max x) + (t min x) ] R [ (t max x) + (t min x) ] R. Οπωςεπίσηςότι : (t max x) + (t min x) ν (t i x) i=1 [ (t max x) + (t min x) ] ν ν ν (t i x) i=1 [ (tmax x) + (t min x) ] νs [ (t max x) + (t min x) ] s ν Από μεταβατική ιδιότητα : R s ν επειδή η τυπική απόκλιση δεν είναι τουλάχιστον μία παρατήρηση του δείγματοςδεν ισούται με την μέση τιμή, οπότε οι 3 παραπάνω ανισότητεςγίνονται γνήσιες. Λύση (ΓιώργοςΡοδόπουλος) Επειδή s ϑαείναι ν και ϑα υπάρχουν δύο τουλάχιστον παρατηρήσεις α, β διαφορετικέςτηςμέσηςτιμής. (Μάλιστα ϑα ισχύει a < x <β η β< x < a ). Αν ονομάσουμε t i, i = 1,,..., ν τιςπαρατηρήσεις, τότε: νs = ν (t i x). i=1 Για την τυχαία παρατήρηση t i ϑα ισχύει Ετσι και (t i x) < ν (t i x) i=1 (t i x) <νs t i x < s ν. Από τις(13),(14) προκύπτει : t max x < s ν t max x < s ν t max < s ν + x (13) t min x < s ν x t min < s ν t min > x s ν. (14) t max t min < s ν R < s ν. 6

29 Επιμελητής: Κώστας Τηλέγραφος ΑΣΚΗΣΗ 1 (Προτείνει ο Κώστας Τηλέγραφος ) Εστω οι μιγαδικοί z, w με τις ιδιότητες 4 z z w = 1, w z w = Να δείξετε ότι z w =.. Να δείξετε ότι οι εικόνες των z και w ανήκουν σε κύκλους με κέντρο την αρχήτων αξόνων, των οποίων να βρείτε και την ακτίνα. 3. Να βρείτε το 6z + w. 4. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και w. 51&t 1713&start 6 Λύση (ΔημήτριοςΚατσίποδας). και w zw = 3 ww zw = 3 w(w z) = 3 w w z = 3 1 w = 3 w = 3 4 z zw = 1 4zz zw = 1 zw=wz 4zz zw = 1 z(z w) = 1 z z w = z = 1 1. Αρχικά έχουμε z = 1 4 Οπότε 4 z zw = 1 zw = 4 z 1 ( 4 z ) 1 zw = R. zw = zw z w = (z w)(z w) = 4zz zw wz + ww = 4 z zw + w zw = 4 z zw + w zw = 4. Επομένωςοι εικόνεςτου z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας ρ 1 = 1 4, ενώ του w ανήκουν σε κύκλου με κέντρο την αρχή τωναξόνωνκαιακτίναςρ = 3 3. Εχουμε και zw = zw = = = 3 4 = 3 8 6z + w = (6z + w)(6z + w) = 36zz + 6zw + 6wz + ww zw=zw ==== 36 z + 1zw + w = 36 ( ) = Επομένως z w = = 7

30 4. οπότε 6z + w =. Επομένωςαν A ηεικόνατου 6z και B ηεικόνατουw, έχουμε οτι το A B. z w = (z w)(z w) = zz zw wz + ww zw=wz ==== z zw + w = 1 ( 16 3 ) = = = &t 1713&start 1 Λύση (ΠερικλήςΠαντούλας) 1. Η f είναι διάφορη του μηδενόςγια κάθε x R και συνεπώςδιατηρεί πρόσημο στο R. Αφού f (1) = 1 >, έχουμε f (x) > γιακάθεx R. Η σχέση z 1 f (x) dx = ισχύει για κάθε x R και f (x) > για κάθε x R Οπότε z = 1. Ο γεωμετρικόςτόποςτων εικόνων των z είναι ο μοναδιαίοςκύκλος. 3. Για z = a + bi, a, b R έχουμε z + z = a και z z = b. Οπότε Οπότε z w = 7 4. Συνεπώς z w min = z w max = 7 4 = σταθερό. Επιπλέον τρόπος : Επειδή απο το 3 έχουμε οτι η εικόναa του 6z και η εικόνα του B του w ταυτίζονται, αν Γ ηεικόνατουz, έχουμε οτι τα σημεία Γ, O, B είναι συνευθειακά καθώςκαι οτι τα διανύσματα OB και OΓ είναι αντίρροπα. Οπότε z w = BΓ = BO + OΓ = = 7 4. ( z + z 3) x 3 + x lim x ( z z 3) x + x = lim x ( a 3) x 3 + x ( b 3) x + x = ( a 3) x 3 lim x ( b 3) x = ) lim x ( a 3 b 3 x =. Γιατί: Η εικόνα του z κινείται στον μοναδιαίο κύκλο και συνεπώς a 1 < 3, άρα a 3 <. Ομοίως b 3 <. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Τηλέγραφος Κώστας) Δίνεται η f συνεχής στο R, f (x) x R με z 1 f (x)dx = με f (1) = Το εμβαδόν που περικλείεται από τη C f τον οριζόντιο άξονα και τιςευθείεςx =, x = 1είναι f (x) dx αφού λόγω του 1 έχουμε f (x) > για κάθε x R.Άρα 1. Να δειχτεί ότι f (x) >.. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των z. f (x) dx < z + z ( z + z 3) x 3 + x 3. Να βρείτε το όριο lim x ( z z 3) x + x. 4. Αν το εμβαδόν της f με τον x x από τη x = μέχρι τη x = 1 είναι μικρότερο του z + z, να δειχτεί ότι η εξίσωση z + z = z + z = 3 z = 3. x f (t)dt = 3x + 6x 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, 1). Άρα f (x) dx 3 <. (15) 8

31 Θεωρώ τη συνάρτηση x h (x) = f (t) dt 3x 6x + 6 με x [, 1]. Ηh (x) συνεχήςστο [, 1] ωςπράξεις x των συνεχών f (t) dt (η f (x) συνεχήςκαι x άρα η f (t) dt παραγωγίσιμη) και 3x 6x + 6 (συνεχήςωςπολυωνυμική). Επιπλέον h () = 6 > και h (1) = f (x) dx 3 < από τη σχέση (15). Από Θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον x o (, 1) τέτοιο ώστε h (x o ) = x o f (t) dt 3t 6t + 6 =. 9

32 Επιμελητής: Μίλτος Παπαγρηγοράκης ΑΣΚΗΣΗ 3 (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Εστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: Να βρείτε το: lim x lim x f (x) x = 3. f (x) sin(πx). 1. a =. f (b) 3. f (1 b) = 1 4. η συνάρτηση f δεν έχει σύνολο τιμών το R. 5&t &t 191 Λύση 1 (Φωτεινή Καλδή) lim x f (x) sin(πx) = lim x = 3 π lim x Λύση (ΚώσταςΤσουβαλάς) lim x f (x) sin πx = lim x f (x) x sin(πx) x sin(πx) x sin(πu) = lim u u sin(πu) = lim u πu = π. f (x) x x sin πx f (x) = lim x x x sin (π πx) f (x) x = lim x x sin π (x ) ( ) f (x) π (x ) 1 = lim lim x x x sin π (x ) π = 3 π. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι 1 1 και έχει την ιδιότητα : Να αποδειχθεί ότι : f (x) f (1 x) = f (ax + b), π x R Λύση 1 (ΛευτέρηςΠρωτοπαπάς) 1. Για x =, x = 1 βρίσκουμε ότι: f (1) f () = f (a + b) = f (b), και αφού η f είναι 1 1, a + b = b a =.. Ισχύει: f (x) f (1 x) = f (b). Εστω ότι f (b) =, τότε f (x) f (1 x) =. Για x =, x =, έχουμε ότι: f () = ή f (1) = και f () = ή f ( 1) =. Συνεπώς: f () = f () f () = f ( 1) f (1) = f () f (1) = f ( 1) και αφού η f είναι 1 1, ϑα προκύπτει = ή = 1 ή 1 = ή 1 = 1, άτοπο σε κάθε περίπτωση, άρα f (b). 3. Για x = b, έχουμε: f (b) f (1 b) = f (b) f (1 b) = 1. ή ή ή 3

33 4. Εστω ότι υπάρχει x R, ώστε f (x ) =. Τότε για x = x,έχουμεότι: f (x) f (1 x) = f (x ) f (x) f (1 x) =. Για x =, x = 3έχουμε f () = ή f ( 1) = και f (3) = ή f ( ) =, οπότε f () = f (x ) ή f ( 1) = f (x ) και f (3) = f (x ) ή f ( ) = f (x ) δηλαδή αφού η f είναι 1 1, Λύση (ΒασίληςΜαυροφρύδης). Εστω ότι f (b) = τότεγιαx = παίρνουμε f () = f (1) = b = b = 1 και για x = 3έχουμε άτοπο. f (3) = f ( ) = b = 3 b = 4. Εστω ότι η f παίρνει όλεςτιςπραγματικέςτιμές άρα ϑα υπάρχει πραγματικός k που η εικόνα του ϑα είναι το για x = k παίρνουμε = f (b) άτοπο. Άρα το σύνολο τιμών δεν είναι όλο το R. = x ή 1 = x και 3 = x ή = x, συνεπώς = x = 3 ή = x = ή 1 = x = 3 ή 1 = x =, άτοπο σε κάθε περίπτωση, άρα δεν υπάρχει x R με f (x ) =, δηλαδή το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα f (A) R Λύση 3 (KARKAR). Εστω f (b) =. Επειδή f (1) f () =, f (1/) f (1/) = ϑαέχω f (1/) = και κάποιοςαπό τους f (1), f () ίσος με, άτοπο. 3. Προκύπτει άμεσα για x = b 4. Αν f (x) = για κάποιο x τότε και f (b) = άτοπο. 31

34 Επιμελητής: Ροδόλφος Μπόρης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Ροδόλφος Μπόρης) Εστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R, με συνεχήπαράγωγο f με f (x + f (x)) = f (x) x R (1) 1. Δείξτε ότι η f δεν μπορεί να μην έχει ρίζα. Δώστε παράδειγμα πολυωνυμικής συνάρτησης που επαληθεύει την σχέση (1) 3. Υποθέστε τώρα ότι η f έχει δυο ρίζες a, b με a < b. Δείξτε ότι δεν μπορεί να υπάρχει u στο (a, b) με f (u). 53&t 417 Λύση 1 (ΡοδόλφοςΜπόρης) Ανάλυση τηςλύσης 1. Πρέπει να αναρωτηθείτε γιατί είναι τόσο πολύπλοκη η εκφώνηση του 1ου ερωτήματοςκαι δεν έλεγε απλά ότι η f (x) έχει ρίζα. (Εννοούμε τουλάχιστον μια όταν δεν αναφέρεται κάτι άλλο) Διότι όταν ακούσετε ΔΕΝ... συνήθωςπάμε με άτοπο (άρα η εκφώνηση ϑέλει να βοηθήσει παρά να μπερδέψει τα πράγματα) Αςτο διατυπώσουμε: έστω ότι η f (x) δεν έχει ρίζα Πριν προχωρήσετε καλό είναι (όχι απαραίτητο) να γράψετε το προηγούμενο με τρόπουςσυμβολικά. f (x) για κάθε x R και δεν υπάρχει x R : f (x) =. Πρώτο πράγμα που έρχεται στο νου μαςείναι το Θ.σταθ.προσήμου δεδομένου ότι η f (x) είναι συνεχής. Τότε η f (x) ϑα είναι ή ϑετική ή αρνητική άρα η f (x) ϑα είναι η γν. αύξουσα ή φθίνουσα. Δηλαδή γνήσια μονότονη άρα και 1 1 σε κάθε περίπτωση Ομως f υπάρχει μόνον στην σχεση (1) Τώρα ϑέλει λίγη φαντασία να δείτε το x + f (x) σαν A και το x σαν B οπότε από f (A) = f (B), f : 1 1 ϑα πάρετε A = B x + f (x) = x f (x) = για κάποιο x. Αντίφαση με την υπόθεση σας. Συνεπώς γυρνάτε κάπου στην αρχή, εκεί που είπατε εστω ότι... και αρνείστε αυτό που υποθέσατε. Άρα η f (x) έχει ρίζα Εναςδεύτεροςτρόπος(ϑέλει λίγη περισσότερη φαντασία) είναι να δείτε εξ αρχήςτο x + f (x) σαν A και το x σαν B οπότε η σχέση (1) γίνεται f (A) = f (B) που ϑυμίζει Rolle Εδώ είναι πιο δύσκολο να σκεφτείτε τι ρόλο ϑα παίξει το f (x), x R εκτόςαπό Θ.σταθ.προσήμου. Ο ρόλοςτου f (x) είναι: το [A, B] ή [B, A] να είναι διάστημα και όχι σημείο x R Τότε ισχύει Rolle για την f πχ στο [A, B] άρα ξ : f (ξ) = ενώέχετευποθέσειότι f (x) x R. Άτοπο. Είναι ασυνήθιστο να ζητηθεί δώστε παράδειγμα.... Τι κρύβεται πίσω από την ερώτηση; Προφανώςδεν ενδιαφερόμαστε για κάποια απόδειξη αλλά επιβραβεύουμε την παρατηρητικότητα. Η f (x) = c είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού που επαληθεύει την (1) Αλλιώςαν ζητούσε ΟΛΑ τα πολυώνυμα f που επαληθεύουν την (1) ϑα ξεκινάγαμε να προσδιορίσουμε τον βαθμό των f. Κοιτάξτε σε τι φασαρία ϑα μπαίνατε Εστω deg( f ) = n >, deg( f ) = n 1 τότε deg(x + f (x)) = n 1, n > ή, 1,. Τότε ϑα έπρεπε n(n 1) = n > αδύνατοαρα n = και f (x) = c n = 1και f (x) = ax + b, a. Αδύνατο n = και f (x) = ax + bx + c... a = 1, b =, c = f (x) = x... 3

35 3. Ξέρουμε ότι f (a) = f (b) = Ηδιατύπωσηπάλι είναι περίεργη αλλά βοηθά να ξεκινήσουμε το ερώτημα πάλι με άτοπο Το διατυπώνουμε : Εστω ότι u (a, b) f (u) Οπωςκαι στο 1ο ερώτημα προκύπτει ότι η f είναι 1 1 αλλά τώρα ενδιαφερόμαστε για το (a, b) και όχι όλο το R. Αν λοιπόν δείξουμε ότι αν y (a, b) y + f (y) (a, b) καταλήξαμε στο επιθυμητόάτοπογιατίεκείη f είναι 1 1. Η f (x) έχει σταθερό πρόσημο στο (a, b) μια που είναι συνεχήςκαι δεν έχει ρίζα στο διάστημα αυτό πχ f (x) > () (εδώ είναι επικίνδυνο να πάρουμε λάθοςδρόμο και να ασχοληθούμε με την μονοτονία της f, δεν βγάζει πουθενά) άρα a < x + f (x) <? μας ενδιαφέρει να μην ξεπεράσουμε το b. Μάλιστα αρκεί μόνο ένα x να ο κάνει αυτό και βγάζουμε το άτοπο, δεν χρειάζεται να το κάνουν όλα τα x της x + f (x). Δεν γνωρίζουμε όμωςκάτι για την μονοτονία της f (x) ώστε να συμπεράνουμε με ανισότητεςούτε δίνεται κάτι σχετικό προκειμένου να δούμε πόσο κοντά στο a βρίσκεται η παράσταση x + f (x). ΚΟΝΤΑ; Κοντά σημαίνει όριο. (Αυτό κατά την γνώμη μου είναι το δυσκολότερο σημείο της άσκησηςόπου η φαντασία είναι ο μόνοςτρόπος να τροφοδοτηθεί η λογική). Οπότε lim (x + f (x)) = a + f (a) = a + = a. x a+ Άρα η x+ f (x) βρίσκεται κοντά στο a οπότε είναι μικρότερη τουb. Αυστηρότερα υπάρχει x (a, b) :x + f (x ) < b και βέβαια όπωςξαναείπαμε πριν a < x + f (x ) Τελικά x, x + f (x ) (a, b) που η f είναι 1 1 καιισχύειη(1) άρα x + f (x ) = x f (x ) = άτοπο λόγω της () που σημαίνει f (x) =, x (a, b). Αν είχαμε f (x) < ϑα κάναμε τα ίδια αλλά πηγαίνονταςστην άλλη άκρη δηλαδή στο b. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [4, 1] με σύνολο τιμών f (A) = [1, 5] και f (4) =, f (1) = 4. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά ξ 1,ξ (4, 1) ώστε: f (ξ 1 ) = f (ξ ) =. 53&t 55 Λύση (ΒασίληςΚακαβάς) Σύμφωνα με το ϑεώρημα μεγίστηςκαι ελάχιστηςτιμήςϑα υπάρχουν x 1, x [4, 1] ώστε να ισχύει 1 = f (x 1 ) f (x) f (x ) = 5, x [4, 1] και επειδή 1 < f (4) < 5 και 1 < f (1) < 5 τα x 1, x (4, 1), δηλαδή είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος, οπότε σύμφωνα με το ϑεώρημα του Fermat ϑα ισχύει ότι f (x 1 ) = f (x ) = Αν f (x 1 ) = 1, f (x ) = 5έστωx 1 < x. Απο το Θ. Ενδιαμέσων τιμών (ΘΕΤ) υπάρχουν a, b (x 1, x ): f (a) =, f (b) = Αν a < b με Rolle στα [4, a] και [b, 1] τελειώσαμε. Αν b < a απο (ΘΕΤ) στο [a, x ], [x 1, b] υπάρχει c > a : f (c) = 4καιd < b : f (d) = οπότε πάλι με Rolle στα [4, d] και [c, 1] τελειώσαμε. (Φυσικά είναι αδύνατον a = b διότι αλλιώς = 4). 33

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271. Αγαπητέ κ.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271. Αγαπητέ κ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271 Αγαπητέ κ. Δήμαρχε Σας στέλνω συνημμένη την μελέτη στελέχωσης του δήμου σας,

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Κ Η Σ Υ Μ Β Α Σ Η ΠΡΩΙΝΟ ΧΑΜΟΓΕΛΟ

Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Κ Η Σ Υ Μ Β Α Σ Η ΠΡΩΙΝΟ ΧΑΜΟΓΕΛΟ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Κ Η Σ Υ Μ Β Α Σ Η «ΠΡΩΙΝΟ ΧΑΜΟΓΕΛΟ» Στην Κέρκυρα σήμερα την... 2013 και στο κατάστημα της Περιφερειακής Ενότητας Κέρκυρας (Περιφέρεια Ιονίων Νήσων) που βρίσκεται στην οδό Σαμάρα 13,

Διαβάστε περισσότερα

O ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

O ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Διαγώνισμα Έκφρασης Έκθεσης Α Λυκείου Όνομα: Επώνυμο: Τμήμα: Ημερομηνία: 13.04.2014 Κείμενο Α O ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Ανησυχώντας για την απειρία των παιδιών τους, που μπαίνουν στον κόσμο των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ (Τ.Ε.Ι.Κ.) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ (ΣΤΕΓ) ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Φ.Π.) ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ:

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ (Τ.Ε.Ι.Κ.) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ (ΣΤΕΓ) ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Φ.Π.) ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ (Τ.Ε.Ι.Κ.) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ (ΣΤΕΓ) ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Φ.Π.) ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: «Συγκριτική αξιολόγηση μεθόδων συλλογής ελαιοκάρπου και

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012.

Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012. Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012. Στη Μύρινα, σήμερα στις 4 του μήνα Μαΐου του έτους 2012, ημέρα Παρασκευή και ώρα 12:00 στο Δημοτικό Κατάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανακοίνωση σχετικά με τα επαγγέλματα που επηρεάζονται από την άρση των αδικαιολόγητων περιορισμών στην πρόσβαση και άσκηση:

Ανακοίνωση σχετικά με τα επαγγέλματα που επηρεάζονται από την άρση των αδικαιολόγητων περιορισμών στην πρόσβαση και άσκηση: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΝΙΚΗΣ 5-7 10180 ΑΘΗΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ TΗΛ.: 210-3332551/2 FAX: 210-3332559 e-mail : press@minfin.gr Αθήνα, 22 Μαΐου 2011 Ανακοίνωση σχετικά με τα επαγγέλματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ 3263/2004 (ΦΕΚ 179 Α ) Μειοδοτικό σύστηµα ανάθεσης των δηµοσίων έργων και άλλες διατάξεις

ΝΟΜΟΣ 3263/2004 (ΦΕΚ 179 Α ) Μειοδοτικό σύστηµα ανάθεσης των δηµοσίων έργων και άλλες διατάξεις ΝΟΜΟΣ 3263/2004 (ΦΕΚ 179 Α ) Μειοδοτικό σύστηµα ανάθεσης των δηµοσίων έργων και άλλες διατάξεις ΑΡΘΡΟ 1 Ανάδειξη αναδόχου εκτέλεσης των έργων 1. Η ανάθεση της κατασκευής των δηµοσίων έργων γίνεται υποχρεωτικά

Διαβάστε περισσότερα

Σχετ: Το από 21.07.2008 έγγραφό σας (αρ. πρωτ. εισερχ. 932/28.7.2008). Σε απάντηση του ως άνω σχετικού, θα θέλαμε να παρατηρήσουμε τα εξής:

Σχετ: Το από 21.07.2008 έγγραφό σας (αρ. πρωτ. εισερχ. 932/28.7.2008). Σε απάντηση του ως άνω σχετικού, θα θέλαμε να παρατηρήσουμε τα εξής: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΡΟΣ: Ελληνικά Ταχυδρομεία Κεντρική Υπηρεσία Δνση Στρατηγικής και Ανάπτυξης Τομέας Ρυθμιστικού Πλαισίου και Ανταγωνισμού Σταδίου 60 101 88 Αθήνα Αθήνα, 13 Οκτωβρίου 2008 Αρ. Πρωτ.:1263

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Κυριάκο Μπαμπαλίδη, Πρόεδρο Πρωτοδικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό αντικείμενο) Σάββατο 7--007

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: ΘΕΜΑ: Ενηµερωτικό σηµείωµα για το πρόβληµα της παράνοµης υλοτοµίας και ειδικά αυτό της καυσοξύλευσης

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: ΘΕΜΑ: Ενηµερωτικό σηµείωµα για το πρόβληµα της παράνοµης υλοτοµίας και ειδικά αυτό της καυσοξύλευσης 1 Ιωάννης Κέκερης ασοπόνος Επίτιµος Πρόεδρος Ένωσης ασοπόνων Μακεδονίας Θράκης Μέλος.Σ. Πανελλήνιας Ένωσης ασοπόνων και ιαχειριστών Φυσικού Περιβάλλοντος ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: Αρναία 16/12/2012 Κα Πρόεδρο Ειδικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΑΛΥΚΕΣ Α.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΑΛΥΚΕΣ Α.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΑΛΥΚΕΣ Α.Ε. Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΧΕΡΣAIΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΑΛΑΤΟΣ Η εταιρία «ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΑΛΥΚΕΣ Α.Ε.» προκηρύσσει δημόσιο ανοιχτό μειοδοτικό διαγωνισμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το υπ' αριθμ. 30/12-11-2012 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το υπ' αριθμ. 30/12-11-2012 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το υπ' αριθμ. 30/12-11-2012 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων Αριθμ. απόφασης 732-30/12-11-2012 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Έγκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή 4 Μαρτίου 2012 Α. α) η απάντηση βρίσκεται στη σχολικό βιβλίο: Εισαγωγή των «Ποιημάτων για την Ποίηση», σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

Τα πέντε κριτήρια που πρέπει να ικανοποιεί ένας αλγόριθμος είναι:

Τα πέντε κριτήρια που πρέπει να ικανοποιεί ένας αλγόριθμος είναι: Το κεφάλαιο 2 αναφέρεται στην έννοια του αλγορίθμου. Αλγόριθμος, σύμφωνα με το βιβλίο, είναι μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΡΩΝ ΦΥΤΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΣΟΥΛΤΑΝΙΝΑΣ ΤΟΥ Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3561, 21/12/2001

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3561, 21/12/2001 Ο περί του Ελέγχου της Παραγωγής και Εμπορίας Γενετικού Υλικού των Ζώων και για τα Συναφή Θέματα Νόμος του 2001 εκδίδεται με δημοσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημοκρατίας σύμφωνα με το Άρθρο

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας την περίληψη του κειμένου που σας δόθηκε (100-120 λέξεις). Μονάδες 25

A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας την περίληψη του κειμένου που σας δόθηκε (100-120 λέξεις). Μονάδες 25 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 28 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ Η «ανθρωπιά» είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ. ΟΔΙΚΑ ΤΡΟΧΑΙΑ ΑΤΥΧΗΜΑΤΑ: Οκτώβριος 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Μείωση των Οδικών Τροχαίων ατυχημάτων κατά 14,3%

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ. ΟΔΙΚΑ ΤΡΟΧΑΙΑ ΑΤΥΧΗΜΑΤΑ: Οκτώβριος 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Μείωση των Οδικών Τροχαίων ατυχημάτων κατά 14,3% ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΘΝΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ Πειραιάς, 31 Δεκεμβρίου 9 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Μείωση των Οδικών Τροχαίων ατυχημάτων κατά 1,3% ΟΔΙΚΑ ΤΡΟΧΑΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΚΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΙ ΑΝΗΛΙΚΟΙ: ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ, ΦΟΡΕΙΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ»

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΚΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΙ ΑΝΗΛΙΚΟΙ: ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ, ΦΟΡΕΙΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ» ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τ Ε I ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ τ Μ Η Μ Α ΕΚΔΟΣΕΩΝ & ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ! «ΚΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΙ ΑΝΗΛΙΚΟΙ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ

ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ Διπλωματική Εργασία ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΩΔΙΚΑ ΒΙΒΛΙΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΚΩΔΙΚΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 01002050209980016 3101 ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΠΡΩΤΟ Αρ. Φύλλου 205 2Σεπτεμβριου 1996 ΝΟΜΟΣΥΠ' ΑΡΙΘ. 2639 Ρύθμιση εργασιακών σχέσεων, σύσταση Σώματος Επί θεώρησης Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων

Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων Στο πλαίσιο του παρόντος κεφαλαίου εξετάζονται οι κοινές ενδοοικογενειακές δραστηριότητες και η γλωσσική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΣΧΕΔΙΩΝ «ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΥΣΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΑΡΓΟΥΣ» Η παρούσα προκήρυξη καλύπτεται από την Οδηγία 2004/18/ΕΚ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΣΧΕΔΙΩΝ «ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΥΣΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΑΡΓΟΥΣ» Η παρούσα προκήρυξη καλύπτεται από την Οδηγία 2004/18/ΕΚ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΒΟΛΟΥ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΣΧΕΔΙΩΝ Η παρούσα προκήρυξη καλύπτεται από την Οδηγία 2004/18/ΕΚ Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η Ο Δήμος Βόλου προκηρύσσει

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα Ένα συνεργατικό παιχνίδι μνήμης για 3 έως 6 παίκτες, 7 ετών και άνω. Ο Τομ σκαρφάλωσε στην κορυφή ενός δέντρου, για να δεί αν μπορούσε να ανακαλύψει κάτι. Κοιτάζοντας προς κάθε μεριά, είδε τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών 2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών Περίληψη Το Υπουργείο Οικονοµικών έχει κατορθώσει να µειώσει τους πραγµατικούς µας µισθούς, συνδυάζοντας την επίδραση των ακολούθων γεγονότων που

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Μειοδοτικής Δημοπρασίας Μίσθωσης Ακινήτου

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Μειοδοτικής Δημοπρασίας Μίσθωσης Ακινήτου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΚΤΗΜΑΤΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ Π.Ε. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΡ.ΠΡΩΤ: 8135 Α.Δ.Α Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Μειοδοτικής Δημοπρασίας Μίσθωσης Ακινήτου Η Αναπληρώτρια Προϊσταμένου Διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17.

ΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ενότητα 7. ΜΑΘΗΜΑ 3.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνέχεια του µαθήµατος Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : α) Είναι συνεχής β) 3 f () + f () = + +, για κάθε R Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Προς: Τα μέλη του Συμβολαιογραφικού Συλλόγου Εφετείου Θεσσαλονίκης

Προς: Τα μέλη του Συμβολαιογραφικού Συλλόγου Εφετείου Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη 1 12 2009 Αριθμ.πρωτ.1109 Προς: Τα μέλη του Συμβολαιογραφικού Συλλόγου Εφετείου Θεσσαλονίκης Θέμα: Υπαγωγή ή μη σε ΦΠΑ οικοδομής Σχετικό: Το από 30-11-2009 έγγραφο Συμβολαιογραφικού Συλλόγου

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η. Μειοδοτικής Δημοπρασίας Μίσθωσης Ακινήτου

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η. Μειοδοτικής Δημοπρασίας Μίσθωσης Ακινήτου ΑΔΑ: ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΦΕΛΩΝ ΠΕΡΙΟΥΣΙΩΝ Περιφερειακή Διεύθυνση Δημόσιας

Διαβάστε περισσότερα

www.kapalearn.gr e-mail: info@kapalearn.gr ΚΟΡΙΝΘΟΥ 255, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 101 ΤΗΛ. 2610 625.360, 2610 624.009, FAX 2610 625.366

www.kapalearn.gr e-mail: info@kapalearn.gr ΚΟΡΙΝΘΟΥ 255, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 101 ΤΗΛ. 2610 625.360, 2610 624.009, FAX 2610 625.366 Α. Ο άνθρωπος, όπως υπογραμμίζει ο συγγραφέας, δεν είναι ρυθμιστής του κόσμου, παρά διαχειριστής του. Αυτή την παρεξήγηση, που ίσχυε για αιώνες, θέλησε να διαλύσει ο πανεπιστήμων άνθρωπος της Αναγέννησης,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμός 9769/2014 TO ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Μυρσίνη Κοντογιάννη, Πρόεδρο

Αριθμός 9769/2014 TO ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Μυρσίνη Κοντογιάννη, Πρόεδρο Αριθμός 9769/2014 TO ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Μυρσίνη Κοντογιάννη, Πρόεδρο Πρωτοδικών, η οποία ορίστηκε Αναπληρωματική Πρόεδρος

Διαβάστε περισσότερα

«Διερευνώντας την δισκογραφία του μεταπολεμικού τραγουδιού: Η περίπτωση της Μαρινέλλας»

«Διερευνώντας την δισκογραφία του μεταπολεμικού τραγουδιού: Η περίπτωση της Μαρινέλλας» Τ.Ε.Ι. ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΑΪΚΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ «Διερευνώντας την δισκογραφία του μεταπολεμικού τραγουδιού: Η περίπτωση της Μαρινέλλας» Πτυχιακή εργασία Μυγδαλιά Ανδρονίκη

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Κληρονομικού Δικαίου

Σημειώσεις Κληρονομικού Δικαίου Σημειώσεις Κληρονομικού Δικαίου ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Κληρονομικό Δίκαιο -> ρυθμίζει τις έννομες σχέσεις του ατόμου μετά το θάνατό του και ιδίως στην τύχη της περιουσίας του. Καταλαμβάνει το πέμπτο βιβλίο του ΑΚ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η. ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΩΡΙΑΙΑ ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ 3 η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ 2012-2014

Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η. ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΩΡΙΑΙΑ ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ 3 η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ 2012-2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΑΡΧΗΓΕΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΣΤΥΝΟΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΑΣΤΥΦΥΛΑΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΟΚΙΜΩΝ ΑΣΤΥΦΥΛΑΚΩΝ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΥΤΕΠΑΓΓΕΛΤΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ ΜΙΑ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. ( Διοικητική Ενημέρωση, τ.51, Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος 2009)

Η ΑΥΤΕΠΑΓΓΕΛΤΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ ΜΙΑ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. ( Διοικητική Ενημέρωση, τ.51, Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος 2009) Η ΑΥΤΕΠΑΓΓΕΛΤΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ ΜΙΑ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ( Διοικητική Ενημέρωση, τ.5, Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος 009). Η θέσπιση του νέου μέτρου Η σημαντικότερη απόπειρα καινοτομικής δράσης της

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά σημεία διάλεξης

Βασικά σημεία διάλεξης Διάλεξη 3 η Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Μέρος Β Δρ. Δημήτρης Μπάλιος_ 2 _Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Βασικά σημεία διάλεξης Σταθερό, μεταβλητό και μικτό κόστος. Άμεσο και έμμεσο κόστος.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΟΡΟΙ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΑΝΑ ΟΧΟΥ ΜΕ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΗΝ ΧΑΜΗΛΟΤΕΡΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ

ΗΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΟΡΟΙ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΑΝΑ ΟΧΟΥ ΜΕ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΗΝ ΧΑΜΗΛΟΤΕΡΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΗΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΟΡΟΙ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΑΝΑ ΟΧΟΥ ΜΕ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΗΝ ΧΑΜΗΛΟΤΕΡΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ «ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΤΡΟΦΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΟΦΟ ΟΣΙΑ ΤΩΝ ΖΩΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΛΑΜΙΑΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Ο ΗΓΟΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Τ.Ε.Ι. ΛΑΜΙΑΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Ο ΗΓΟΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τ.Ε.Ι. ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Ο ΗΓΟΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΛΑΜΙΑ 2010 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η Πρακτική Άσκηση των φοιτητών του Τµήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σε ποιες κατηγορίες αριθμών χωρίζονται οι φυσικοί αριθμοί; Χωρίζονται στους άρτιους (ζυγούς) και τους περιττούς (μονούς). Άρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που

Διαβάστε περισσότερα

Οι 99 θέσεις του Ποταμιού

Οι 99 θέσεις του Ποταμιού Οι 99 θέσεις του Ποταμιού 1. Πνεύμα αλλαγών Οι κοινωνίες μπορούν και πρέπει να εξελίσσουν τους θεσμούς τους. Μέσα από αυτή την αλλαγή αλλάζουν οι άνθρωποι, ο κόσμος και η εικόνα των ανθρώπων για τον κόσμο.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α «Α»

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α «Α» Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α «Α» «Προμήθεια γευμάτων για την σίτιση των ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ μαθητών του Μουσικού Γυμνασίου - Λυκείου ΝΟΜΟΣ ΔΡΑΜΑΣ Δράμας για το σχολικό έτος 2012 2013» ΔΗΜΟΣ ΔΡΑΜΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩ

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική ενότητα του σχολικού εγχειριδίου «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας- Η οικονομία» Στόχοι διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας

Η διδακτική ενότητα του σχολικού εγχειριδίου «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας- Η οικονομία» Στόχοι διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας Διδακτική πρόταση H διδασκαλία της ενότητας «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας Η οικονομία» με τη βοήθεια του Eκπαιδευτικού Λογισμικού «Το 21 εν πλω» Τάξη Γ Γυμνασίου Διδακτικό υλικό Το σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

EΓΚΥΚΛΙΟΣ. 1. Εισαγωγή

EΓΚΥΚΛΙΟΣ. 1. Εισαγωγή ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Δ/ΝΣΗ ΤΟΜΕΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜ. ΣΥΜΒΑΣΕΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Αθήνα 04/04/2006 Α.Π. 14873/395 ΠΡΟΣ : Πίνακας Αποδεκτών

Διαβάστε περισσότερα

Η δίκη του Νίκου Πλουμπίδη μέσα από τις εφημερίδες.

Η δίκη του Νίκου Πλουμπίδη μέσα από τις εφημερίδες. Του Σταύρου Καλλώνη.* Η δίκη του Νίκου Πλουμπίδη μέσα από τις εφημερίδες. Ο χώρος τα πρόσωπα και το κατηγορητήριο. Η δίκη της ηγεσίας του ΚΚΕ, γιατί περί αυτού πρόκειται, συνηθίζεται να λέγεται ως δίκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ» Θ.Ε. ΔΕΟ 10 Βασικές Αρχές Δικαίου και Διοίκησης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ» Θ.Ε. ΔΕΟ 10 Βασικές Αρχές Δικαίου και Διοίκησης ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ» Θ.Ε. ΔΕΟ 10 Βασικές Αρχές Δικαίου και Διοίκησης Τρίτη Γραπτή Εργασία στο Αστικό και Εργατικό Δίκαιο Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΡΑΣΗ-ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο Λύκειο Καισαριανής ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ: Κείμενα Προβληματισμού

ΕΚΦΡΑΣΗ-ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο Λύκειο Καισαριανής ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ: Κείμενα Προβληματισμού Τι θα πρέπει να λάβει υπόψη του ο νέος, πριν τελικά επιλέξει το επάγγελμα που θα ασκήσει Το επάγγελμα, είτε είναι λειτούργημα είτε όχι, έχει ζωτική σημασία για τον άνθρωπο. Συντελεί στην προσωπική του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΠΙΣΗΜΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΠΙΣΗΜΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΠΙΣΗΜΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ 2015 1 Το επιστημονικό περιεχόμενο του παρόντος βιβλίου έχει υποβληθεί σε κριτική ανάγνωση και εγκριθεί με το σύστημα των κριτών. Η κριτική ανάγνωση πραγματοποιήθηκε από

Διαβάστε περισσότερα

Το σχέδιο έχει ως βάση ένα ενιαίο σύστημα κλειστών αγωγών το οποίο εκτείνεται

Το σχέδιο έχει ως βάση ένα ενιαίο σύστημα κλειστών αγωγών το οποίο εκτείνεται Να θυμόμαστε ότι ο νόμος Ν 3199/2003 για την προστασία και διαχείριση υδάτων ψ ηφίστηκε από την Ελλάδα ώστε να εναρμονισθεί με την οδηγία πλαίσιο 2000/60/ΕΚ του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου «Διαχείριση και

Διαβάστε περισσότερα

Προς συμπλήρωση των ανωτέρω σχετικών εγκυκλίων σας γνωρίζουμε τα ακόλουθα:

Προς συμπλήρωση των ανωτέρω σχετικών εγκυκλίων σας γνωρίζουμε τα ακόλουθα: Ελληνική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΣΥΝΟΧΗΣ ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚ. ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ Δ/ΝΣΗ ΙΘΑΓΕΝΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΙΘΑΓΕΝΕΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : Σταδίου 31 Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΙΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΛΗΡΩΜΩΝ ΣΥΝΤΑΞΕΩΝ «ΗΛΙΟΣ»

ΕΝΙΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΛΗΡΩΜΩΝ ΣΥΝΤΑΞΕΩΝ «ΗΛΙΟΣ» Υπουργείο Εργασίας, Κοινωνικής Ασφάλισης & Πρόνοιας ΕΝΙΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΛΗΡΩΜΩΝ ΣΥΝΤΑΞΕΩΝ «ΗΛΙΟΣ» ΜΗΝΙΑΙΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΥΝΤΑΞΙΟΔΟΤΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΕΚΘΕΣΗ ΕΚΤΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΝΕΡΓΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΗΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΟΑΕΔ ΑΘΗΝΑ-ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΤΟΜΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΚΑΙΟ ΤΟΜΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΚΑΙΟ ΠΗΓΕΣ ΔΙΚΑΙΟΥ Ως πηγές του δικαίου εννοούνται οι ειδικότεροι τρόποι παραγωγής των κανόνων δικαίου. Διακρίνονται σε: Α) Πρωτογενείς ή άμεσες πηγές είναι αυτές που αποτελούν γενεσιουργούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεματική Ενότητα: ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ - ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΣ

Θεματική Ενότητα: ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ - ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΣ Θεματική Ενότητα: ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ - ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΣ Συνοπτική Παρουσίαση Ερωτηματολογίου Επιτροπής ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ & ΝΕΟΛΑΙΑΣ Γιώργος Ιωακειμίδης Δήμαρχος Νίκαιας Αγίου Ι. Ρέντη Πρόεδρος Επιτροπής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Γ Λυκείου

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Γ Λυκείου Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Γ Λυκείου Διαγώνισμα Προσομοίωσης 20/01/2014 Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-4 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ Αθήνα, 22 Φεβρουαρίου 2008

ΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ Αθήνα, 22 Φεβρουαρίου 2008 ΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ Αθήνα, 22 Φεβρουαρίου 2008 ΚΑΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Αρ. Πρωτ. 1023056 /1210/ΔΕ-Α' ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΦΟΡΟΛ. ΕΛΕΓΧΩΝ Δ/ΝΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΛ. 1041 ΤΜΗΜΑΤΑ A, Β, Γ Ταχ. Δ/νση: Κ. Σερβίας 10

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΑΣΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

ΣΥΜΒΑΣΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΑΣΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Στη Μυτιλήνη, σήμερα 19-04-2010, μεταξύ των συμβαλλομένων, αφενός του Πανεπιστημίου Αιγαίου που εδρεύει στη Μυτιλήνη (Λόφος Πανεπιστημίου Κτίριο Διοίκησης) Α.Φ.Μ.: 090166310,

Διαβάστε περισσότερα

Του Σταύρου Ν. PhD Ψυχολόγου Αθλητικού Ψυχολόγου

Του Σταύρου Ν. PhD Ψυχολόγου Αθλητικού Ψυχολόγου Του Σταύρου Ν. PhD Ψυχολόγου Αθλητικού Ψυχολόγου Η σχέση και η αλληλεπίδραση των αθλητών, των προπονητών και των γονιών αποτελεί μια αναπόσπαστη διαδικασία στην αθλητική ανάπτυξη του παιδιού. Η αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ηµοσιοποιείται από το Γραφείο Παρακολούθησης και Καταπολέµησης της Παράνοµης ιακίνησης Ανθρώπων 12 Ιουνίου 2007 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι καταθέσεις των θυµάτων που περιλαµβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ & ΚΗΔΕΜΟΝΩΝ ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ 1 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΗ

ΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ & ΚΗΔΕΜΟΝΩΝ ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ 1 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ & ΚΗΔΕΜΟΝΩΝ ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ 1 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΗ 02/03/2015 Με "μαύρα" γράμματα είναι το Σχέδιο Κανονισμού Καθηγητών,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος

ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος 1 ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΤΟ ΧΡΗΜΑ ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΕΣ 11.1 Από τον αντιπραγματισμό στην οικονομία του χρήματος 11.1 ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΝΤΙΠΡΑΓΜΑΤΙΣΜΟ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΔΙΚΑΣ ΕΤΑΙΡΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ

ΚΩΔΙΚΑΣ ΕΤΑΙΡΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΕΤΑΙΡΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ 1 από 22 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ... 4 1. Ρόλος και αρμοδιότητες του Δ.Σ.... 4 2. Μέγεθος και σύνθεση του Δ.Σ.... 4 3. Ρόλος του Προέδρου του Δ.Σ....

Διαβάστε περισσότερα

«Φιλολογικό» Φροντιστήριο Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Νεοελληνική Γλώσσα. Ενδεικτικές απαντήσεις. Περιθωριοποίηση μαθητών από μαθητές!

«Φιλολογικό» Φροντιστήριο Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Νεοελληνική Γλώσσα. Ενδεικτικές απαντήσεις. Περιθωριοποίηση μαθητών από μαθητές! «Φιλολογικό» Φροντιστήριο Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Νεοελληνική Γλώσσα Ενδεικτικές απαντήσεις Περιθωριοποίηση μαθητών από μαθητές! Α. Να συντάξετε την περίληψη του κειμένου που σας δίνεται (λέξεις 100-120).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΠΙΟΝ ΠΑΝΤΟΣ ΑΡΜΟΔΙΟΥ ΔΙΚΑΣΤΗΡΙΟΥ Η ΑΡΧΗΣ ΕΞΩΔΙΚΗ ΔΙΑΜΑΡΤΥΡΙΑ - ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ

ΕΝΩΠΙΟΝ ΠΑΝΤΟΣ ΑΡΜΟΔΙΟΥ ΔΙΚΑΣΤΗΡΙΟΥ Η ΑΡΧΗΣ ΕΞΩΔΙΚΗ ΔΙΑΜΑΡΤΥΡΙΑ - ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΝΩΠΙΟΝ ΠΑΝΤΟΣ ΑΡΜΟΔΙΟΥ ΔΙΚΑΣΤΗΡΙΟΥ Η ΑΡΧΗΣ ΕΞΩΔΙΚΗ ΔΙΑΜΑΡΤΥΡΙΑ - ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΦΑΡΜΑΣΩΝΗ Κωνσταντίνου του Νικολάου, Σκηνoθέτη, νoμίμου εκπροσώπου της Θεατρικής Εταιρείας «ΣΚΑΡΑΒΑΙΟΙ» με έδρα την οδό Φρύνης,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑ ΙΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Α ΕΙΟ ΟΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΜΟΝΗ ΑΛΛΟ ΑΠΩΝ ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΥΠΟ ΟΡΟΥΣ ΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑ ΙΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Α ΕΙΟ ΟΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΜΟΝΗ ΑΛΛΟ ΑΠΩΝ ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΥΠΟ ΟΡΟΥΣ ΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ «Αναδιοργάνωση του συστήµατος αδειοδότησης για τη διαµονή αλλοδαπών στη χώρα υπό όρους αυξηµένης ασφάλειας, ρυθµίσεις θεµάτων Οργανισµών Τοπικής Αυτοδιοίκησης και άλλες διατάξεις αρµοδιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Επαρχιακός Γραμματέας Λ/κας-Αμ/στου ΠΟΑ Αγροτικής

Επαρχιακός Γραμματέας Λ/κας-Αμ/στου ΠΟΑ Αγροτικής Πρόεδρος Αίγλη Παντελάκη Γενική Διευθύντρια Υπουργείου Γεωργίας, Φυσικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αντιπρόεδρος Χάρης Ζαννετής Πρώτος Λειτουργός Γεωργίας, Φυσικών Πόρων και Περιβάλλοντος Μέλη Χρίστος Κουρτελλάρης

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Μειοδοτικής Δημοπρασίας Μίσθωσης Ακινήτου

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Μειοδοτικής Δημοπρασίας Μίσθωσης Ακινήτου ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΔΑ: 6Α8ΑΗ-ΤΑ5 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΦΕΛΩΝ ΠΕΡΙΟΥΣΙΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης

Εσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης Εσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης Καταστατικές Πρόνοιες και Εσωτερικοί Κανονισμοί που αφορούν τη Διεύθυνση Τοπικής Αυτοδιοίκησης, τις εκλογές Τοπικής Αυτοδιοίκησης και Σχολικών Εφορειών, τη λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

Το συνέδριο σας πραγματοποιείται σε μια εξαιρετικά δύσκολη συγκυρία για τον τόπο, την οικονομία της χώρας, την κοινωνία και τον κόσμο της εργασίας.

Το συνέδριο σας πραγματοποιείται σε μια εξαιρετικά δύσκολη συγκυρία για τον τόπο, την οικονομία της χώρας, την κοινωνία και τον κόσμο της εργασίας. ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ του ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ ΜΠΑΛΑΣΟΠΟΥΛΟΥ ΠΡΟΕΔΡΟΥ της ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της Π.Ο.Ε.-Ο.Τ.Α. στο ΤΑΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ της Κ.Ε.Δ.Ε. ΚΟΜΟΤΗΝΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2012 Αγαπητοί Φίλοι, Θέλω εκ μέρους των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΥΔΡΟΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Παροχή υδατορεύματος σε μια συγκεκριμένη θέση, Q

ΤΑ ΥΔΡΟΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Παροχή υδατορεύματος σε μια συγκεκριμένη θέση, Q ΑΠΟΡΡΟΗ Επιφανειακή απορροή: το μέρος του νερού που κινείται πάνω στην επιφάνεια του εδάφους. Ενδιάμεση απορροή: Άμεση απορροή: Βασική απορροή: το μέρος του νερού που κινείται αμέσως κάτω από την επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ÔÏÕËÁ ÓÁÑÑÇ ÊÏÌÏÔÇÍÇ

ÔÏÕËÁ ÓÁÑÑÇ ÊÏÌÏÔÇÍÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Α. Αγαπητοί συµµαθητές, Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ο αρθρογράφος περιγράφοντας το αγχωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΕΔΕΣΣΑΣ (Δ.Ε.Υ.Α.Ε.)

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΕΔΕΣΣΑΣ (Δ.Ε.Υ.Α.Ε.) ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΕΔΕΣΣΑΣ (Δ.Ε.Υ.Α.Ε.) ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ Άρθρο 1 Περιεχόμενο Οργανισμού Ο Οργανισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. δείξτε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των f

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. δείξτε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των f Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΦΑΣΜΑ Group Μαθητικό Φροντιστήριο Οι λύσεις θα αναρτηθούν μετά το πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΕΠΙΣΤΡΕΠΤΕΟ ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ

ΣΧΕΔΙΟ ΕΠΙΣΤΡΕΠΤΕΟ ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΟ ΕΠΙΣΤΡΕΠΤΕΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΤΟΠ. ΑΥΤΟΔ/ΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΟΤΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΤΑ Αθήνα 9 Σεπτεμβρίου 2011 Αριθμ. Πρωτ.: οικ.40038 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 20 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Διδαγμένο κείμενο

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 20 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Διδαγμένο κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 20 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο κείμενο Α.1 Τι λοιπόν; Αυτό δεν είναι φυσικό, είπα εγώ, και δεν προκύπτει ως αναγκαίο συμπέρασμα από όσα έχουν λεχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Με βάση το στόχο της εργασίας που ήταν να εντοπιστούν και να παρουσιαστούν οι ποσοτικές (διαφορές βαθµολογικής απόδοσης) και οι ποιοτικές διαφορές (που αφορούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύμφωνα με τα όσα αναλυτικά έχουν περιγραφεί στα προηγούμενα κεφάλαια της παρούσας μελέτης η κατασκευή του τμήματος «Βρύσες Ατσιπόπουλο», του Βόρειου Οδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΜΟΥ ΠΥΛΟΥ» ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΣΧΕΔΙΟ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ (ΣAY) (Π.Δ. 305/96, άρθρο 3, παράγραφοι 3,4,5,6,8,9,10) ΤΜΗΜΑ Α

ΣΤΑΘΜΟΥ ΠΥΛΟΥ» ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΣΧΕΔΙΟ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ (ΣAY) (Π.Δ. 305/96, άρθρο 3, παράγραφοι 3,4,5,6,8,9,10) ΤΜΗΜΑ Α ΔΗΜΟΣ ΠΥΛΟΥ - ΝΕΣΤΟΡΟΣ ΕΡΓΟ: «ΑΝΕΓΕΡΣΗ ΚΤΙΡΙΟΥ ΒΡΕΟΝΗΠΙΑΚΟΥ ΣΤΑΘΜΟΥ ΠΥΛΟΥ» ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΣΧΕΔΙΟ ΑΣΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ (ΣAY) (Π.Δ. 305/96, άρθρο 3, παράγραφοι 3,4,5,6,8,9,10) ΤΜΗΜΑ Α ΓΕΝΙΚΑ 1.

Διαβάστε περισσότερα

109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ

109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ 109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ 1. Συνοπτικός τίτλος. 2. Ερμηνεία. 3. Μητρώο. 4. Υποβολή αίτησης. 5. Προϋποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Σελίδα 5 από 9 ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Α. Α. Από το κείμενο που σας δίνεται να μεταφράσετε το απόσπασμα: «περὶ δὲ τῶν κοινῶν εἰς τοιούτους ἀγῶνας καθεστηκότας». Σε ό,τι αφορά όμως το

Διαβάστε περισσότερα

Απομόνωση χλωροφύλλης

Απομόνωση χλωροφύλλης Απομόνωση χλωροφύλλης Φυτικά κύτταρα Χλωροπλάστης Α Γυμνασίου Κεφάλαιο 2 Ενότητα 2.1 Σελ. 39-40 Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 2 Ενότητα 2.2 Σελ. 43-44 1 Εισαγωγή Οι αυτότροφοι οργανισμοί όπως τα φυτά, παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων

Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων 2008 Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων 1. Λόγω διάλυσης της Βουλής δεν αποτελεί: α) Αν έχουν παραιτηθεί ή καταψηφιστεί από αυτή, δύο Κυβερνήσεις και η σύνθεσή της δεν εξασφαλίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση θα εφαρμοστεί με τα παρακάτω Εργαλεία

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση θα εφαρμοστεί με τα παρακάτω Εργαλεία ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κρίση υπερχρέωσης και οι πολιτικές δημοσιονομικής προσαρμογής ανέδειξαν τις διαρθρωτικές αδυναμίες της περιφερειακής οικονομίας και προκάλεσαν επιπτώσεις σε σχέση με την οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

Α. Περιστατικά της υπόθεσης

Α. Περιστατικά της υπόθεσης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Α ν ε ξ ά ρ τ η τ η Α ρ χ ή Αρμόδιος: Δημήτρης Μάρκου Αναπληρωτής Συνήγορος Εισηγητής: Αριστοτέλης Σταμούλας Ειδικός Επιστήμονας Τηλ.: 210-6460814 Fax: 210-6460414 E-mail: astamoulas@synigoroskatanaloti.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γ49/59 ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ Π Ρ Ο Σ :

Γ49/59 ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ Π Ρ Ο Σ : Αθήνα, 30-5-2012 Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚ/ΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ : ΕΡΓΑΣΙΑΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Ταχ. Δ/νση : Αγ. Κωνσταντίνου 8 Ταχ. Κώδικας: 102 41 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο : 210-215289,290,291,292

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΩΣ ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΣΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αθήνα, 27/07/2015 Α.Π.: οικ. 1329 ΠΡΟΣ : (Ως Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΘΝΗΣ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 183 «για την αναθεώρηση της (αναθεωρηµένης) σύµβασης για την προστασία της µητρότητας,»

ΙΕΘΝΗΣ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 183 «για την αναθεώρηση της (αναθεωρηµένης) σύµβασης για την προστασία της µητρότητας,» ΙΕΘΝΗΣ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 183 «για την αναθεώρηση της (αναθεωρηµένης) σύµβασης για την προστασία της µητρότητας,» Η γενική Συνδιάσκεψη της ιεθνούς Οργάνωσης Εργασίας, που συγκλήθηκε στη Γενεύη από το ιοικητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Η αξιολόγηση στηρίζεται σε αντικειμενικά στοιχεία από τα φορολογικά έντυπα Ε και βασίζεται στον ακόλουθο τύπο: Συνολική βαθμολογία = (Α*Β*Γ )*00, όπου τα Α, Β και Γ περιγράφονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: 4ΙΦΝΚ-ΔΘ. Αθήνα, 14 Δεκεμβρίου 2010 Αριθ. Πρωτ.: 71351. Ταχυδρομική. Σταδίου 27 Διεύθυνση: Ταχυδρομικός Κώδικας: 101 83 ΑΘΗΝΑ

ΑΔΑ: 4ΙΦΝΚ-ΔΘ. Αθήνα, 14 Δεκεμβρίου 2010 Αριθ. Πρωτ.: 71351. Ταχυδρομική. Σταδίου 27 Διεύθυνση: Ταχυδρομικός Κώδικας: 101 83 ΑΘΗΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥTΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΔΑ: Ταχυδρομική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : : Εισηγητική έκθεση Δ τριμήνου του έτους 2013 προς την οικονομική επιτροπή, για την εκτέλεση του προϋπολογισμού.

ΘΕΜΑ : : Εισηγητική έκθεση Δ τριμήνου του έτους 2013 προς την οικονομική επιτροπή, για την εκτέλεση του προϋπολογισμού. Από το πρακτικό της 18/3/2014 ΔΗΜΟΣ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ ΜΕΝΕΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Πληρ: Koυκουλιώτης Ε. Τηλ. 2313313689 Αριθ. Απόφασης 047/2014 ΘΕΜΑ : : Εισηγητική έκθεση Δ τριμήνου του έτους 2013 προς την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ Π.Δ.407/80

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ Π.Δ.407/80 ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ Π.Δ.407/80 Το Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας και Ανάπτυξης της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΣΙΚΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΕΣ ΚΥΠΡΟΥ ΔΗΜΟΣΙΑ ΛΙΜΙΤΕΔ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΕΝΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ. Eξαμηνία που έληξε στις 30 Ιουνίου 2013

ΔΑΣΙΚΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΕΣ ΚΥΠΡΟΥ ΔΗΜΟΣΙΑ ΛΙΜΙΤΕΔ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΕΝΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ. Eξαμηνία που έληξε στις 30 Ιουνίου 2013 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΕΝΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Eξαμηνία που έληξε στις 30 Ιουνίου 2013 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Σελίδα Δήλωση των μελών του Διοικητικού Συμβουλίου και των υπεύθυνων της Εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΕΩΝ ΣΚΑΠΑΝΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΕΩΝ ΣΚΑΠΑΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΕΩΝ ΣΚΑΠΑΝΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΚΑΠΑΝΙΚΗΣ Α. ΣΚΟΠΟΣ Η Εκπαίδευση έχει σκοπό την παροχή κατάλληλων και εξειδικευμένων γνώσεων σχετικά με την κατασκευαστική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΑ Φ.80000/οικ.16011/1709

ΚΥΑ Φ.80000/οικ.16011/1709 ΚΥΑ Φ.80000/οικ.16011/1709 Θέμα: «Όροι, προϋποθέσεις συμμετοχής, ύψος της χρηματοδότησης ανά ωφελούμενο, σύναψη σύμβασης και διαδικασία παρακολούθησης και πληρωμής παρόχων, για τη λειτουργία του προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 21 ο πρακτικό της 07-11-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 21 ο πρακτικό της 07-11-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΔΗΜΟΣ ΚΑΣΟΥ Αριθ. Απόφ: 127/2014 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 21 ο πρακτικό της 07-11-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου Θέμα: «Ψήφιση Προϋπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

1 Επιμέλεια: Γράβαλος Βασίλειος, Χρυσανθάκης Ιωάννης

1 Επιμέλεια: Γράβαλος Βασίλειος, Χρυσανθάκης Ιωάννης ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/νση Μελετών & Εφαρμογών Η Δ/νση Μελετών & Εφαρμογών παραδίδει το 14 ο στατιστικό τεύχος του έτους 2012, που εκπόνησε το. Η διάρθρωσή του γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΑΜΕΣΟΥ ΔΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΖΗΜΙΩΝ ΑΠΟ ΤΡΟΧΑΙΟ ΑΤΥΧΗΜΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΥΠΑΙΤΙΟΤΗΤΩΝ

ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΑΜΕΣΟΥ ΔΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΖΗΜΙΩΝ ΑΠΟ ΤΡΟΧΑΙΟ ΑΤΥΧΗΜΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΥΠΑΙΤΙΟΤΗΤΩΝ Παράρτημα 2 ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΑΜΕΣΟΥ ΔΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΖΗΜΙΩΝ ΑΠΟ ΤΡΟΧΑΙΟ ΑΤΥΧΗΜΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΥΠΑΙΤΙΟΤΗΤΩΝ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Β. ΠΙΝΑΚΑΣ ΥΠΑΙΤΙΟΤΗΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Δεκτά αποδεικτικά μέσα Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα