Απαντήσεις. Θέμα 1 ο. Α. α) v1. Άρα v1

Transcript

1 Απαντήσεις Θέμα 1 ο 3 ( 3)( 1 ) ( 3)( 1 ) Α. α) v1 lm lm lm ( 1 )( 1 ) 3 1 ( 3)( 1 ) ( 3)( 1 ) lm lm lm( 1 ) Άρα v1 β) Η είναι παραγωγίσιμη για 0 ως πράξεις παραγωγίσιμων με () 0 16 και επειδή η κλίση της εφαπτομένης της c στο A(,()) είναι ίση με () έχουμε: v () 7 άρα v 7 γ) Για να είναι η συνάρτηση g συνεχής στο 0 3 lm() (3) lm( 5) v v 3 v πρέπει v 3v v v v v δ) Β. α) Για τα κέντρα των κλάσεων με 1,,3, έχουμε διαδοχικά: , 13, 3 19, 5 v Από τον ορισμό της σχετικής συχνότητας % 100 για 1,,3, v έχουμε: 1 % 10, % 17,5, 3 % 7,5, % 5 Από τον ορισμό της αθροιστικής συχνότητας N v1 v... v για 1,,3, έχουμε διαδοχικά: N1 v1, N v1 v 11, N3 v1 v v3, N v1 v v3 v 0 Σελίδα 1 από 6

2 Από τον ορισμό της αθροιστικής σχετικής συχνότητας F % (1... )100 F 1% , F % (1 )100 7,5, F 3% (1 3 )100 55, F % (1 3 ) Τα γινόμενα v για 1,,3, προκύπτουν εύκολα από τις ήδη γνωστές στήλες των,v. Συνεπώς έχουμε: Κλάσεις [-) v Κέντρο Σχετική Αθροιστική Αθροιστική Γινόμενα % N F % ,5 11 7, , Άθροισμα v β) v 19,5 1v1 v 3v3 v v1 v v3 v 0 v 1 γ) Επειδή οι κλάσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες το σύνολο των μαθητών που έχουν από 16 ως 5 απουσίες για το μήνα Μάρτιο είναι v v δηλαδή όλοι οι μαθητές της τρίτης κλάσης και οι μισοί της τέταρτης. Από την τέταρτη κλάση παίρνουμε τους μισούς μαθητές, αφού το 5 είναι το μέσο της κλάσης, οι κλάσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες και θέλουμε να έχουν μέχρι 5 απουσίες. Το ποσοστό των μαθητών που έχουν τουλάχιστον 10 απουσίες το μήνα Μάρτιο είναι 100% F 1% (100 10)% 90% Σελίδα από 6

3 Θέμα ο α) g(0) α0 β0 γ0 δ δ αλλά g(0) δ Η g παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική στο με g () 3αχ β γ αλλά g (0) 3α0 β0 γ γ Αφού A {ω 1,ω } P(A) P(ω 1) P(ω ) α β όμως P(ω 1) P(ω ) P(ω 3 ) P(ω ) 1 α β γ δ α β 1 γ δ α β 1 α β P(A) β) Έστω ε : y λ β η ζητούμενη εφαπτομένη. Θα ισχύει: 1 P(ω 1) P(ω ) P(ω 3) P(ω ) α β γ δ άρα η συνάρτηση g γίνεται: g() χ και g () χ Ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούμενης εφαπτομένης θα είναι 1 g (0) λ 1 1 Το σημείο (0,g(0)) επαληθεύει την ε άρα g(0) 0 β β 1 1 Συνεπώς η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι y γ) Η g () 3αχ β γ είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική με g () 6α β g (0) 6α0 β β Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 3 17 P(Β ) 1P(Β) 1P(ω ) 1 β Σελίδα 3 από 6

4 δ) Αφού ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από μη ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα σημαίνει ότι δεν μπορούν τα α, β, γ, δ να είναι όλα ίσα μεταξύ τους. Τότε οι παραστάσεις (χ α),(χ β),(χ γ),(χ δ) δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα 0 Άρα (χ α) (χ β) (χ γ) (χ δ) 0 Τότε η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ((χ α) (χ β) (χ γ) (χ δ)) () (χ α) (χ β) (χ γ) (χ δ)... χ (α β γ δ) (χ α) (χ β) (χ γ) (χ δ) χ 1 (χ α) (χ β) (χ γ) (χ δ) () 0 0,5 χ 0,5 Η παρουσιάζει για 0,5 ελάχιστο το 0,5 0,5 α 0,5 β 0,5 γ 0,5 δ ε) Είναι α β γ δ χ 0,5 και α 0,5 β 0,5 γ 0,5 δ 0,5 S α 0,5 β 0,5 γ 0,5 δ 0,5 0,5 S S 0,5 s Άρα CV CV 0,5 0,5 Σελίδα από 6

5 Θέμα 3 ο α) Πρέπει άρα A [,] Για τα σημεία τομής με τον yy έχουμε: 0 A άρα για 0 (0) 1 συνεπώς στο T(0,1) η C τέμνει τον y y β) Ισχύει άρα δ 5 0 αλλά άρα γ) Η παραγωγίσιμη στο (,) ως σύνθεση παραγωγίσιμων με 1 () () χ Η παρουσιάζει για χ=0 μέγιστο το (0) 1 Η είναι γνησίως αύξουσα στο [-,0] άρα για κάθε χ με 0 ( ) () (0) 0 () 1 Η είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,] άρα για κάθε χ με 0 (0) () () 0 () 1 Τότε για κάθε με ισχύει 0 ( ) 1 (1) με την ισότητα να ισχύει το πολύ για ένα αφού () 1 0 Άρα στην σχέση (1) για με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων που προκύπτουν παίρνουμε 0 ( )... ( ) Σελίδα 5 από 6

6 1 3 δ) (OA ) ( 0) (y o) 1 1 για 1,,...9 Συνεπώς (OA 0 1) (OA )... (OA 9 ) (1 ) ( )... (9 ) s 1 1,8 1,35 9 ε) Αφού η μέση τιμή των με 1,,...9 είναι 0 σημαίνει ότι υπάρχουν και θετικά και αρνητικά.αφού θα είναι (1) και 0 9 () Με πρόσθεση των (1), () έχουμε R Από το Μαθηματικό Τμήμα των Φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν : Γ. Ανδρουλιδάκης, Μ. Μπαρμπούνη Σελίδα 6 από 6