ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 4 Μαΐου 06 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 93. Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. Α4. α) Λάθος. β) Σωστό. γ) Σωστό. δ) Λάθος. ε) Λάθος. ΘΕΜΑ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης Α,f f, άρα λόγω της συνάρτησης f στο σηµείο ( ( )) είναι το της υπόθεσης ισχύει: ( ) = ( ) f 36 Η παράγωγος της f είναι: 3 f = α 9 4 f = 3α 8 4 Εποµένως λόγω της ( ) έχουµε: Για α= έχουµε οπότε: 3 α 8 4 = 36 α = 36 α = 4 α = 3 f( ) = 9 4, f( ) = 4. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Άρα το σηµείο Α έχει συντεταγµένες Α(, 4). Έστω y = λ + β η εξίσωση εφαπτοµένης της f στο σηµείο Α(, 4) και το σηµείο Α(, 4) λ = f = 36 ανήκει στην y = λ + β εποµένως: 4 = 36 + β β = 68 Άρα η ζητούµενη εφαπτοµένη έχει εξίσωση y= Β. Βρίσκουµε την παράγωγο της f. f = f = = = 0 Η τελευταία εξίσωση είναι πολυωνυµική ου βαθµού εποµένως: = = = 5 > 0. Άρα έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες: 3+ 5 = = 4 3± 5 3± 5 = = = ή ή 3 5 = = Το πρόσηµο της f καθώς επίσης και τα διαστήµατα µονοτονίας της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Εποµένως στα διαστήµατα (, ] και [ ) αύξουσα ενώ στο διάστηµα [, 4] η f είναι γνησίως φθίνουσα. Για = η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο το f( ) = 3. Για = 4 η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f( 4) =. 4, + η f είναι γνησίως ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 B3. Το όριο γίνεται: ΘΕΜΑ Γ f ( ) ( 3 4)( + ) = = 4 ( )( + ) ( + )( )( + ) lm lm lm = lm = lm = = 0 ( 4) 4 4 Γ. Τα ενδεχόµενα που ορίστηκαν είναι τα εξής Π: O κάτοικος παρακολουθεί τους αγώνες της οµάδας ποδοσφαίρου. Μ: Ο κάτοικος παρακολουθεί τους αγώνες της οµάδας µπάσκετ. Από τα δεδοµένα προκύπτουν οι παρακάτω πιθανότητες των ενδεχοµένων: P Π Μ 0,35 και ( ) = ( ) = ( ) = ( ) P Μ Π 0, 4 P Μ P Μ Π 0, 4 P Π Μ = P Μ Π P Μ Π = 0,35 P Π Μ = 0, 65 Εφαρµόζοντας τον προσθετικό νόµο για τα Π,Μ έχουµε: P Π Μ = P Π + P Μ P Μ Π 0, 65 = P Π + 0, 40 P Π = 0, 5 Γ. () Ορίζουµε τα ενδεχόµενα Α:To άτοµο είναι άντρας (εποµένως το ενδεχόµενο Α σηµαίνει ότι το άτοµο είναι γυναίκα ) : To άτοµο έχει διαρκείας N 50 0,5Ν Α 0,5Ν Α 50 Ν(Α) Ν(Α ) 00 3 = + = + = Οπότε ( 3 = + = ) Ν Π Ν Α Ν Α Ν Π 00 Άρα την οµάδα ποδοσφαίρου την παρακολουθούν συνολικά 00 άτοµα. () Ζητάµε τη πιθανότητα του ενδεχοµένου Α = Α ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 7

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 ( ) ( Ν Α Ν A ) P A = P A P A = = = = 0,35 Ν Ω Ν Ω ( ) Όµως Ν(Α ) = Ν(Α) 40 ( 4 ) Αντικαθιστώντας την ( 4) στην 3 προκύπτει: N A + N(A) 40 = 00 N(A) = 40 N(A) = 70 Οπότε: Ν(Α ) = Ν(Α) 40 Ν(Α ) = 30 Ν Α = 0,5 Ν Α = 0, 5 70 = 35 Γ3. Έστω ο µέσος όρος των αγώνων ποδοσφαίρου που παρακολουθούν το έτος τα 00 άτοµα τότε = 6. Έστω ο µέσος όρος παρακολούθησης των αγώνων των 50 ατόµων που έχουν εισιτήριο διαρκείας τότε = 0 ενώ ο µέσος όρος των αγώνων που παρακολουθούν τα 50 άτοµα που δεν έχουν εισιτήριο διαρκείας. ΘΕΜΑ = 6 = 600 = =. Από τα δεδοµένα έχουµε ότι: 90 α 3 = f3 = 90 f3 = f3 = 0, Επίσης: f3= 0,5 F 0,7 f f f 0,7 f f 0, 5 0,7 f f 0, 45 = + + = + + = + = ( ) 3 3 Όµως ισχύει: f = f ( ) Αντικαθιστώντας την ( ) στην προκύπτει: f + f = 0, 45 3 f = 0, 45 f = 0,5 Εποµένως από τη σχέση ( ) προκύπτει: Επιπλέον: Επίσης f = 0,3 F = F + f F F = f f = 0, F5 = F4 + f5 F5 F4 = f5 f5 = 0, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 7

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 R 0. Από τον τύπο c = c = c = κ 5 Αν η κεντρική τιµή της ης κλάσης και c το πλάτος κλάσεων τότε ισχύει: H κεντρική τιµή της ης κλάσης θα είναι: = + c = 3 H κεντρική τιµή της 3 ης κλάσης θα είναι: 3 = + c 3 = 5 H κεντρική τιµή της 4 ης κλάσης θα είναι: 4 = + 3c 4 = = 7 H κεντρική τιµή της 5 ης κλάσης θα είναι: 5 = + 4c 5 = = 9 5 = 3 f = 3 f + f + f + f + f = 3 = f + 3 f + 5 f + 7 f + 9 f = ( f + 3f + 5f3 + 7f4 + 9f5) = 3 0, , , , + 9 0, = 3 4,6 = 3 = 5 Εποµένως: c = c = 0 3. εδοµένου ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι = 00 προκύπτει: f = = 00 0,5 = 30 f = = 00 0,30 = 60 3 f3 = 3 = 00 0, 5 = 50 4 f4 = 4 = 00 0, 0 4 = 40 5 f5 = 5 = 00 0, = 0 Από τα παραπάνω ο πίνακας συµπληρώνεται ως εξής: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 7

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Αριθµός απουσιών [ 0 0) [ 0 0) [ 0 30) Κεντρική τιµή f % F % [ 30 40) [ 40 50) ΣΥΝΟΛΟ Το διάστηµα 5 5 δεν αντιστοιχεί σε κάποια κλάση όµως το 5 είναι η κεντρική τιµή της ης κλάσης και το 5 η κεντρική τιµή της 3 ης κλάσης. Θεωρούµε τα δεδοµένα οµοιόµορφα κατανεµηµένα στις κλάσεις εποµένως στο διάστηµα 5 0 βρίσκονται οι µισοί µαθητές της ης 60 κλάσης δηλαδή = = 30 ενώ στο διάστηµα 0 5 θα βρίσκονται οι µισοί µαθητές της 3 ης 3 50 κλάσης δηλαδή = = 5. Άρα συνολικά 30+5=55 µαθητές. 4. Εφόσον 30 µαθητές έχουν από[ 0 0) ακόµα [ 40 50) Εφόσον 60 µαθητές έχουν από[ 0 0) ακόµα [ 30 40) Εφόσον 30 µαθητές έχουν από[ 0 30) ακόµα [ 0 30) Εφόσον 70 µαθητές έχουν από[ 30 40) ακόµα [ 0 0) Εφόσον 0 µαθητές έχουν από[ 40 50) ακόµα [ 0 0) Εποµένως οι κατανοµή στις κλάσεις είναι: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 7

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Αριθµός απουσιών [ 0 0) [ 0 0) [ 0 30) Κεντρική τιµή [ 30 40) [ 40 50) ΣΥΝΟΛΟ Άρα η µέση τιµή είναι: = = = = 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 7