ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fa ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α) Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 65. Α) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6. Α) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.. Α) α Λάθος β Σωστό γ Σωστό δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ Β κ Β) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) =, 0, κ R. κ κ κ f ( ) = ( ) = = 0 κ =, 0, κ R. Αντικαθιστώντας λοιπόν στη συνάρτηση g() έχουμε: κ κ κ κ g( ) = f ( ) + f( ) = + = + =, άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή. Β)Αφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(,) τότε οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, δηλαδή: κ κ f( ) = = = κ = f =, 0, με f() =. Β) Για κ =, η συνάρτηση f γίνεται: ( ) Ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης, έστω ( ε ) :y α β = +, στο σημείο Β(,f()). f() = =. Δηλαδή στο σημείο Β(, ). Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) είναι: α = f () = =. = +. Οι συντεταγμένες όμως του Οπότε η ζητούμενη εξίσωση γίνεται: ( ε ) :y β σημείου Β επαληθεύουν την (ε) οπότε: = + β β=. Τελικά, η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε) είναι y ( ε) =.

2 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fa Β τρόπος: Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο o =, η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της B(,f ()) θα είναι ( ε ): ( ) ( ) y f () = f () y ( ) = y = y = Β) Αρχικά βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες. για τον άξονα yy 0 y f 0 0 Γ 0, : Για = = ( ) = =, οπότε ( ) για τον άξονα : Για y = 0, = 0 =, οπότε Δ,0 Το τρίγωνο ΟΓΔ, του οποίου και το εμβαδόν ζητείται, είναι ορθογώνιο άρα: ( ΟΓ) ( ΟΔ ) 6 8 ( ΟΓΔ ) = = = = τ.. μ. 6 Β5) Από το ερώτημα (Β) έχουμε ότι: f ( ) = >0, για κάθε 0. Οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. ΘΕΜΑ Γ Γ) Έχουμε τη συνάρτηση θερμοκρασίας θ( ) = + α, α R, ( 0,]. Ζητείται η μονοτονία της συνάρτησης θ(). Η συνάρτηση θ είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, ], με θ () = ( + α) = () ( ) + ( α) = = > 0 > 0 θ () 0 0 ώρες ( ] Η θ είναι παραγωγίσιμη στο 0, θ () είναι γνησ. φθίνουσα στο ( 0,] θ () < 0 στο ( 0,) Η θ είναι παραγωγίσιμη στο[,] θ () είναι γνησ. αύξουσα στο, θ () > 0 στο (,) Κάνοντας το πίνακα μεταβολών της συνάρτησης θ() έχουμε: 0 θ () - + θ() [ ] Άρα η θερμοκρασία μειώνεται για ( 0,], ενώ αυξάνεται για [,] Γ) Από το ερώτημα (Β) διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση θ παρουσιάζει ελάχιστο για = το θ(), δηλαδή η θερμοκρασία γίνεται ελάχιστη για = ώρες ο Μας δίνεται ότι η ελάχιστη τιμή είναι C, θ =. άρα ( )

3 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fa θ( ) = + α = α = + 8 α = Γ) Για α = έχουμε: θ() = +, ( 0,]. Ζητούνται οι ώρες όπου θ = 0 + = 0 () Θτω έ =, 0<, οπότε λύνω την εξίσωση: + = 0 = ή = Για = = = ώρες δεκτή Για = = = 9 ώρες δεκτή θ () Γ) lm = lm 6 6 Θτω έ f() =, ( 0,) (, ] 6 Ισχύ ει lm = 0 και lm ( 6) = 6 6 = 0, οπότε έχω απροσδιόριστη μορφή f() = = = = ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ρα = = Ά lm f () lm ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ο παρακάτω πίνακας: ( + )( + ) ( + )( + ) = 8 = 6 v f% N 5, ΣΥΝΟΛΟ Δ) Γνωρίζουμε ότι: F% v f % + f % + f % + f % = = 00 ( ) 80= 0 = 0, = 8 απορρ. διότι = f % και 0 f % 00 Οπότε = 0 και έτσι από το πίνακα έχουμε τις ακόλουθες σχετικές συχνότητες: f% = 0 f % = f % = 0 f% = 0 f% = 0

4 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fa f % = = f % = 0 Δ) Δίνεται ότι η διάμεσος είναι 50 χρόνια. Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος χωρίζει το δείγμα σε δύο ίσα μέρη και συγκεκριμένα είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτήν. Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, γνωρίζοντας από το ερώτημα (Γ) τα εξής δεδομένα: f% F% 5,5 + c 0 0 [ 5 + c, 5 + c) 0 0 [ 5 + c,5 + c) 0 60 [ 5 + c,5 + c) 0 00 ΣΥΝΟΛΟ 00 - F% = f % = 0, F% = F% + f % = 0+ 0= 0, F % = F % + f % = = 60, F % = F % + f % = = F% Β Α Δ Γ Ε c 5 + c 5 + c 5 + c ηλικίες Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΔΕ είναι όμοια (ορθογώνια και γωνία Α κοινή), άρα ισχύει: AB ΒΓ c 0 5 c = = = c= 50 c 5c= 50 c= 0 AΔ ΔΕ 60 0 c 0 c Δ) Από το δοσμένο πίνακα έχουμε ότι N = 50= v. Έτσι μπορούμε να βρούμε τις συχνότητες v, =,,, Ισχύει: f% = ν 00% f% ν f% = 00% f% = ν % ν = ν 50 % Οπότε: v = = 5, v = = 5, v = = 0, v = = 0

5 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fa Οι κεντρικές τιμές είναι: = = 0, = + c = = 0, = + c = = 50, = + c = = 60 N = ν = 5, N = N + ν = 5+ 5= 0, N = N + ν = = 0, N = 50 Ο δοσμένος πίνακας συμπληρωμένος είναι ο εξής: v f% N F% v 5, [ 5,5 ) [ 5,55 ) [ 55,65 ) ΣΥΝΟΛΟ Έτσι για τη μέση τιμή των ηλικιών έχουμε: v 50 v 50 = = = = 9 = 9 χρόνια Δ) Έστω v το πλήθος των εργαζομένων από τη πρώτη κλάση που απαιτούνται ώστε η νέα μέση τιμή να είναι = 0 χρόνια. Τότε έχουμε: ( v+ v ) + v + v+ v v + v + v + v + v = = v+ v v+ v v + v = 0 v + 50 = 0 = v = 0 v + 50 v+ v 50+ v 0 v = 50 v = 5εργαζόμενοι 5