ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Σχολικό σελ 5 Α Σχολικό σελ 6 Α Σχολικό σελ 7 Α4 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Για την ( ) a + β + έχουµε Β Αφού ( ) ( ) '( ) a β + Α,5 C 5 8a + 4β + 5 8a + 4β 4 α + β () Αφού η εφαπτοµένη στο Α έχει συντελεστή διεύθυνσης πρέπει: '() α + 4β α + β () Από την () και () προκύπτουν: α και β Έτσι έχουµε ( ) + και '( ) 6 6 Β Έστω ( ε ) :y λ+ κ η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης τότε: λ '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B, ( ) ε Β, 4 ε 4 λ + κ 4 + κ κ 8 Άρα ( ) : y 8 ε + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓ(α) Β ( ) '( ) ή Για (,0] η είναι γνησίως αύξουσα Για [0,] η είναι γνησίως φθίνουσα Για [, + ) η είναι γνησίως αύξουσα Στο 0 η έχει τ µέγιστο το (0) Στο η έχει τ ελάχιστο το () 0 Αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και 0 < 04 (0) < (04) Β4 Έχω ( ) + άρα ( ) 6 6 και ( ) 6 Η εφαπτοµένη της ( ) C παράλληλη του κ 0 6κ 6κ 0 κ 0 ή άρα {,,} Ν Ν ( Ω) 7, ( ) ( Α) P Α και P ( Β) Ν( Ω) 7 κ αλλά κєω άρα το Α { 0,} Η εφαπτοµένη της C έχει κλίση θετική ( λ) > 0 λ 6 > 0 λ >, λ Ω Β Ν( Β) Ν( Ω) 7 Το ενδεχόµενο Γ: Να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από Α και Β τότε Γ ( Β) Α '( ) Το Α Β { 0,,, } άρα ( Α Β) { 4,, } άρα ( Α Β) P 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓ(α) ΘΕΜΑ Γ Γ α) Χρόνια v N F Εργασίας , 8 0, ,4 4 0, , 8 0, v ( ) , ΣΥΝΟΛΟ v β) Έστω το ενδεχόµενο Γ: «Υπάλληλος µε τουλάχιστον χρόνια εργασίας στο εργοστάσιο Α» Θεωρώντας ότι οι τιµές σε κάθε κλάση είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες έχουµε: N( Γ) P( Γ ) N( Ω) γ) A 4 v 480 v 40 ( ) 4 v 800 S A 0 v 40 Γ α) Στο εργοστάσιο της πόλης Β εργάζονται: ν Β ν-ν Α υπάλληλοι Θεωρώντας y µε,,60 τα έτη εργασίας του καθενός από αυτούς στο εργοστάσιο της πόλης Β έχουµε: y 40 A + 60 B,6,6, B B 40 B 4 4 β) Οι 4 υπάλληλοι αποτελούν το: 00%,5% των εργαζοµένων στο 60 εργοστάσιο της πόλης Β Λόγω της κανονικής κατανοµής ξέρουµε ότι τουλάχιστον B+ S αποτελεί το,5% των εργαζοµένων Άρα + S 4 + S S 4 B B B B B v ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓ(α) Γ α) ΘΕΜΑ S A CVA A 6 SB 4 CVB B 4 7 Ισχύει CVA> CVB Α φού : > > > Άρα στο εργοστάσιο της Β πόλης έχουµε µεγαλύτερη οµοιογένεια, ως προς το χρόνο εργασίας β) Στο εργοστάσιο της πόλης Α θα απολυθούν: 4+ 6 υπάλληλοι Ο νέος πίνακας συχνοτήτων στο τέλος της επόµενης τετραετίας θα είναι: Χρόνια v v Εργασίας ΣΥΝΟΛΟ v 40 6 Ο νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων της πόλης Α είναι: 40 v 6 ' A 8, Στο εργοστάσιο της πόλης Β, αφού δεν έχουµε αλλαγές στο εργατικό δυναµικό, στο τέλος της τετραετίας ο νέος µέσος χρόνος εργασίας είναι: ' B B (χρήση εφαρµογής σχολικού) Άρα ο ολικός νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων της εταιρείας θα είναι: y va ' A+ vb ' B 40 8, ' ,08 έτη 00 Ισχύει: P( ) P(0) P() P() P() P(4) κ κ Άρα P( ) P(0) P() και P() P() P(4) κ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓ(α) Αφού η είναι συνεχής στο 0 πρέπει: lm ( ) 0 (0) () (0) a 6a () 0 a + lm ( ) lm( e + + 8) () 0 0 Έτσι από (), (), () έχουµε: α 6α 9 α + 6α ( α + ) 0 α Αφού P( Ω ) P( ) + P(0) + P() + P() + P() + P(4) 9 κ + κ + κ + κ + κ + κ κ + κ κ κ 9 Άρα: α) Για > 0 έχουµε: P( ) P(0) P() και 9 ( ) P() P() P(4) '( ) e e ( + ) 6 + ( 6 + ) e Έτσι ( 6 + ) ( e + + ) + '( ) ( 6 + ) ( e + lm e lm e ( e + e ) e + e lm Έτσι: { 0,, y 4} Β + Αφού: {, y 4y 5, 4} πρέπει το να περιέχεται και στα δύο σύνολα Α + και {,} Α Β, Έτσι πρέπει: y+ 4 () και y 4y+ 5 () Από () : y y και () : y 4y + 0 y ή y Άρα πρέπει y ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓ(α) β) Για y τα σύνολα γίνονται: Α {,,4}, { 0,,} Β 5 Έτσι: P( A) P() + P() + P(4) P( B) P(0) + P() + P() Αφού: Α Β { 0,,,4} έχουµε P( A B) P(0) + P() + P() + P(4) 9 Αφού: A B {4} έχουµε P( A B) P(4) 9 4 α) Έχουµε g' ( ) + e Έστω ( ε ) : y a+ β η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης της C g στο σηµείο της, g( )) Τότε ισχύουν: ( 0 0 Αφού ε // η λ λ α e () ε η () g '( ) a + e a + e e 0 0 o 0 0 ( ) ( ε) g() e + β + e e e + β e e + β β e () Έτσι χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (), () έχουµε για εφαπτοµένη την (ε ) : y ( e) e β) Έχουµε 5 Ε,, 9 9 Για τα σηµεία Μ, y ), µε ν,, της εφαπτοµένης (ε) έχουµε: ν ( ν ν 5 6 4e 5 5 5e 6 4e Μ,, αφού y ( e) e e e 6 e e Μ,, αφού y ( e) e e Μ, e, αφού y ( e) e e e e y Άρα y + y+ y 6 4e e 5e e e ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6