ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

Transcript

1 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

2 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ 1 0 i) Πρέπει Άρα πεδίο ορισμού της είναι το ii) Αφού η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη 3 διέρχεται απο το σημείο, είναι άρα άρα iii) Για, ο τύπος της συνάρτησης είναι, Για, έχουμε iv) Είναι, Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι πάνω απο την γραφική παράσταση της συνάρτησης λύνουμε την ανίσωση Επομένως v) Για είναι vi) Είναι, Επομένως για είναι ΘΕΜΑ 0 aπρέπει Άρα b άρα η διέρχεται από το σημείο c Οπότε d Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο

3 Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση με τιμή eii f άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο είναι η ΘΕΜΑ 3 0 i) Η είναι παραγωγίσιμη στο με Eπομένως η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το τοπικό μέγιστο το ii) Έστω ότι που ισχύει για κάθε τιμή του iii) O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο είναι ίσος με Eπομένως, η οποία μηδενίζεται στο που αποτελεί θέση μεγίστου της Δηλαδή, το σημείο με το μέγιστη κλίση είναι το ή, μοναδικό για κάθε τιμή του iv) Είναι ΘΕΜΑ 4 0 i) Η είναι παραγωγίσιμη στο με Από τη σχέση έχουμε Από τη σχέση έχουμε ii) α) Είναι β) Έστω ή τυχαίο σημείο της Η απόστασή του από το είναι 3

4 H είναι παραγωγίσιμη με παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για Άρα, το σημείο είναι το ή ΘΕΜΑ 5 0 α Πρέπει Για η ισχύει για κάθε Για πρέπει επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το β γ Για έχουμε Η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Οπότε Έχουμε δ Για έχουμε Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο γνησίως αύξουσα στο Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση με τιμή ΘΕΜΑ 0 i Αφού η διέρχεται από τα σημεία, τότε: (1) () Από Από Έτσι ii Με είναι Άρα τέμνει τον με στο σημείο 4

5 iii Είναι Η εφαπτομένη στο είναι η: τον στο σημείο για η οποία τέμνει τον στο σημείο τμ iv v O ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης για είναι ΘΕΜΑ 7 0 i) Είναι Οπότε η f είναι γν αύξουσα στα [-1, 0], [1, + ) γν φθίνουσα στα (-, -1], [0, 1] Για x=-1 παρουσιάζει τοπ ελάχιστο το y=1/-ln για x=1 παρουσιάζει τοπ μέγιστο το y=1/-ln ii) για κάθε α>β>1 επειδή η f είναι γν αύξουσα έχουμε iii) Είναι οπότε άρα η g είναι γν αύξουσα στα (-, -1] [1, + ) γν φθίνουσα στο [-1, 1] iv) Για x=-1 παρουσιάζει τοπ μέγιστο το g(-1)=λ+1 για x=1 παρουσιάζει τοπ ελάχιστο το g(1)=λ-1 v) Έχουμε ΘΕΜΑ 8 0 α) Άρα β) με οπότε Άρα γ) δ) i ii Ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι: ΘΕΜΑ 9 0 α) Από τον ορισμό της διακύμανσης ξέρουμε 5 1 s ( X X ) v s ( X X ) X X ότι: x i x i v i1 i X 1 X 1 3 X 1 5

6 X 1 X X 1 X 10 β Εστω X1, X, X 3, X 4, X 5, X οι βαθμοί των μαθητών στο α τετράμηνο, με μέση τιμή X 1 * Αν προσθέσει μονάδες στο βαθμό κάθε μαθητή, τότε οι νέοι βαθμοί θα γίνουν: y x, i 1,,, η νέα μέση τιμή των βαθμών, θα είναι τώρα Y X 1 14 * Αν αυξήσει τη βαθμολογία κάθε μαθητή κατά 0%, τότε οι νέοι βαθμοί θα 0 γίνουν: zi xi xi xi 1 0,0 xi 1, 0, i 1,, η νέα μέση τιμή των βαθμών, 100 θα είναι ίση με Z 1, 0 X 1, 01 14, 4 Αν θέλει, λοιπόν να βοηθήσει τους μαθητές του, πρέπει να ακολουθήσει τη δεύτερη σκέψη του γ) * Αν ακολουθήσει την πρώτη σκέψη του η νέα διακύμανση των βαθμών θα είναι S i y x i S 9, συνεπώς στην περίπτωση αυτή δεν θα μεταβληθεί * Αν ακολουθήσει τη δεύτερη σκέψη του η νέα διακύμανση των βαθμών θα είναι : S 1, S 1,449 1,9 Συνεπώς η μεταβολή της διακύμανσης z x είναι: 1,9 9 3,9 s δ) Ζητείται το X i i1 v v X v i 1 v i1 Εχουμε sx X 1 X i v i1 1 i v sx i x i i1 v X s X X v i1 v v i X i X i X i i1 i1 i1 ΘΕΜΑ 10 0 Α Είναι : f (1) = 0 α + β = 5 οπότε : α = 11 f (1) = α 9 = β = - Αφού f (x) = 3x 1x + α f (x) = α = α 9 Β Για α = 11 β = - έχουμε : f(x) = x 3 x + 11x - lim ( ) 3 f x x1 x 1 = lim x x 11x x1 x 1 = lim ( )( x 1 x 5x ) x1 ( x 1)( x 1) x = lim x1 5x = x 1 = 1 Γ Για α = 11 β = - οι βαθμολογίες είναι : 1, 10, 1, 1, 18, 1 x i v i x i* v i (x i - x ) v I

7 84 A x 14 B δ x x S = i ( x x) v v i 48 8 ΘΕΜΑ 11 0 i Αν είναι το αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης τότε:,, Αφού η παρουσιάζει ακρότατο στο είναι: Με αντικατάσταση των παίρνουμε: Έτσι:,, ii Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι:, έτσι:,,, iii Με είναι,, Η μέση τιμή του δείγματος είναι: Η Διακύμανση είναι: Η τυπική απόκλιση είναι iv, οπότε το δείγμα δεν είναι ομοιογενές ΘΕΜΑ 1 0 α Έστω το πλάτος κάθε κλάσης, τότε Έχουμε οτι δεύτερη κλάση έχει 3πλάσιο αριθμό ψυγείων από την πρώτη η τέταρτη 5πλάσιο της πρώτης, οπότε Έτσι σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα 7

8 Έχουμε βi Αν ο πίνακας γίνεται Οπότε βiiστο βρίσκεται το των ψυγείων, οπότε στο θα βρίσκεται το των ψυγείωνεπομένως στο βρίσκεται το των ψυγείων Εχουμε οτι το των ψυγείων είναι Οπότε τα συνολικά φυγεία είναι ΘΕΜΑ 13 0 α Αρχικά έχουμε Η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Έχουμε β Η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με γ Έστω οτι υπάρχει μια τουλάχιστον παρατήρηση αρνητική,για παράδειγμα Οπότε, ΑΤΟΠΟ, τότε 8

9 ΘΕΜΑ 14 0 Α Απο τα δεδόμένα του κυκλικού διαγράμματος έχουμε τον παρακάτω πίνακα β Έτσι σχηματίζουμε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων ΓΣτις εξετάσεις έχει πετύχει το των μαθητών, δηλαδή μαθητές ΔΣτις εξετάσεις έχει αποτύχει το των μαθητών, δηλαδή μαθητές ΕΤο των μαθητών έχει πάρει βαθμό Β ή C, δηλαδή μαθητές ΘΕΜΑ 15 0 A) i) Σήμερα: (1) Σε χρόνια: ii) Είναι iii) Στην κανονική κατανομή B) i) Ισχύουν ii) Η πιθανότητα να πηγαίνει μόνο στο είναι 9

10 η πιθανότητα να πηγαίνει μόνο στο είναι Γ) To πλήθος δε μπορεί να είναι άρτιος, γιατί τότε θα είχαμε ίδιο πλήθος άρτιων περιττών σε αυτό (άτοπο) Έστω ότι Τότε, οι περιττοί θα είναι κατά ένας περισσότεροι από τους άρτιους Άρα Ισχύει: ΘΕΜΑ 1 0 f `(x) = x - 5x + f `(x) = 0 x = ή x = 3 x 3 + f`(x) f(x) Η θέση x = είναι θέση τοπικού μεγίστου με τιμή f()= 3 Η θέση x = 3 είναι θέση τοπικού ελαχίστου με τιμή f(3)= 1 Επειδή P(A) < P(B) τότε P(A) = 1 ενώ P(B) = Β Υποθέτουμε ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα τότε ισχύει : P( A B) P( A) P( B) P( A B) 1 που είναι άτοπο Επομένως τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα Γ Επειδή B A B P( B) P( A B) P( A B) 3 1 Επειδή A B A P( A B) P( A) P( A B) Γνωρίζουμε ότι: P( A B) P( A) P( B) P( A B) 7 P( A B) P( A B) Όμως 0 P( A B) 1, αρα 7 1 P( A B) 1 P( A B) ΘΕΜΑ Δηλαδή α) Η είναι παραγωγίσιμη στο με H εφαπτομένη είναι οριζόντια, άρα που έχει ρίζες Άρα, β) Για, έχουμε Iσχύει η σχέση 10

11 Έστω ότι τα είναι ασυμβίβαστα, τότε (άτοπο) Άρα, δεν είναι γ) Έχουμε Eπίσης, (1) () Από τις (1), () προκύπτει ΘΕΜΑ 18 0 Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο α) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο β) άρα επειδή η γνησίως αύξουσα στο θα είναι γ) i) Είναι άρα αφού η γνησίως αύξουσα στο θα είναι ii) Ομοίως αφού είναι επειδή η f γνησίως αύξουσα στο θα είναι ΣΧΟΛΙΟ Θα ήταν προτιμότερο ΘΕΜΑ 19 0 α) Είναι β) Τώρα αντί για πρέπει Έτσι Γ) Είναι Πρέπει αφού Ζητάμε τώρα την πιθανότητα του ενδεχομένου 11

12 ΘΕΜΑ 0 0 Α η οποίο είναι τριώνυμο ως προς με διακρίνουσα γιατί Άρα οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο δεν έχει ακρότατα Β Η εξίσωση εφαπτομένης της C_f στο είναι: Γ Η εξίσωση εφαπτομένης της τέμνει τους άξονες στα σημεία B(0,),Γ(\frac{-}{P(A B)},0) Και σχηματίζει τρίγωνο με εμβαδό: Δ Είναι: Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο όποτε η παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση Όμως: Αρα ΘΕΜΑ Έχουμε Επίσης δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουμε με Οπότε Επομένως η σχέση γίνεται Όμως 3 Επειδή δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουμε Οπότε 1

13 ΘΕΜΑ 0 α) Έστω Τότε Άτοπο αφού Άρα β) Η παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική με Για να μην παρουσιάζει ακρότατα η, αρκεί η διακρίνουσα του τριωνύμου της να μην είναι θετική Άρα Επειδή έχουμε Οπότε Επιπλέον Δηλαδή γ) Η τελευταία δίνει δ) Για έχουμε Τότε Άρα ΘΕΜΑ 3 0 i ii iii iv Έστω Άρα ή επειδή τότε Έτσι ΘΕΜΑ 4 0 Α Έστω Είναι 13

14 Άρα, Επίσης Β i) Είναι Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της στο σημείο με τετμημένη 1 είναι Άρα η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την y=8x αν-ν λ=8 α=1 Τότε Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατα στα 3 5 Άρα αφού Τότε έχουμε B ii) a) Είναι Και τότε Οπότε λ= ή λ=3 Άρα b) είναι c) είναι ΘΕΜΑ 5 0 α) Έστω η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών, οι μέσες τιμές των ηλικιών των αγοριών των κοριτσιών αντίστοιχα Τότε Οπότε β) Έχουμε Άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου Α εκφράζεται από τη συνάρτηση με 14

15 γ) Η παραγωγίσιμη στο με Η μηδενίζεται για είναι για για Η λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο παρουσιάζει μέγιστο για δ) Έχουμε Επιπλέον αφού τα δύο ενδεχόμενα είναι συμπληρωματικά Άρα ΘΕΜΑ 0 α) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με Λύνουμε την εξίσωση: την ανίσωση: Και η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο γνησίως αύξουσα στο ενώ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο β) Αφού άρα: γ)γενικά i) ii) iii)h διακρίνουσα της εξίσωσης: είναι: ή αλλιώς με τη χρήση του ολικού ελαχίστου ΘΕΜΑ 7 0 α Αν, τότε Αν, τότε Έτσι:,,, β Για να έχει η εξίσωση δύο άνισες πραγματικές ρίζες, πρέπει Επειδή θα είναι, οπότε: 15

16 γ, Αν η παρουσιάζει ακρότατο στο θα ισχύει: ή ή Εύκολα διαπιστώνουμε, με τη βοήθεια της μονοτονίας, ότι η παρουσιάζει ακρότατο για τις τιμές αυτές Έτσι δ, οπότε, οπότε ΘΕΜΑ 8 0 Α Η μέση τιμή των παρατηρήσεων Η διακύμανση τους είναι: (1) είναι: Ο συντελεστής μεταβολής τους είναι: () (πράξεις) οπότε οι ρίζες της () είναι Για να ισχύει η () πρέπει επειδή θα είναι ή Με είτε θα είναι Λύνοντας το σύστημα των (1) (3) βρίσκουμε ότι οπότε Β i Με είναι: (3) απορρίπτεται Η είναι γν φθίνουσα για γν αύξουσα για παρουσιάζει ελάχιστο για το Πρέπει Έτσι ή επειδή θα είναι ή ή Άρα 1

17 ii, οπότε οπότε Άρα Έτσι Πρέπει με ή Άρα η εφαπτομένη στο σημείο είναι η: Η εφαπτομένη στο σημείο είναι η: ΘΕΜΑ 9 0 α) με παραγώγιση μηδενισμό παραγώγου (το πρόσημο θεωρείται προφανές αφού είναι β βαθμού) β)χ (μέση)= Σχν/ν=34/5 γ)οι παρατηρήσεις είναι ήδη διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά στον πίνακα, με ν=5 περιττό, οπότε δ=t13=1 δ)ρ(α)=ρ (3)=1-3/5=/5 Ρ(Β)=Ρ (0)=1-5/5=0/5=4/5 17