Αλγοριθμική ασυμπτωτική ανάλυση πεπερασμένης αργής πολλαπλότητας: O ελκυστής Rössler

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγοριθμική ασυμπτωτική ανάλυση πεπερασμένης αργής πολλαπλότητας: O ελκυστής Rössler"

Transcript

1 EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αλγοριθμική ασυμπτωτική ανάλυση πεπερασμένης αργής πολλαπλότητας: O ελκυστής Rössler Συντάκτης: ΜΑΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Επιβλέπων Καθηγητής: ΓΚΟΥΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΘΗΝΑ 212 1

2 2

3 Περίληψη Η ανάπτυξη αποσβετικών χρονοκλιμάκων, οι οποίες είναι πολύ πιο γρήγορες απο τις υπόλοιπες, κάνουν την λύση ενός συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων να συγκλίνει προς μία αργή αναλοίωτη πολλαπλότητα και μετά να εξελίσεται πάνω σε αυτή. Η "αργή" εξέλιξη επί της πολλαπλότητας μπορεί να προσεγγιστεί απο ένα απλοποιημένο σύστημα, το οποίο είναι απαλλαγμένο απο τις γρήγορες χρονοκλίμακες. Η δυναμική αυτού του συστήματος συγκρίνεται στην παρούσα εργασία με την δυναμική του αρχικού συστήματος, όταν η λύση εξελίσεται πάνω στην "αργή" αυτή πολλαπλότητα. Η σύγκριση αυτή γίνεται στη βάση του συστήματος Rössler, το οποίο παρουσιάζει έναν χαοτικό ελκυστή που χαρακτηρίζεται απο "αποσβετικές" και "εκρηκτικές" φάσεις. Μελετούμε την "αποσβετική" φάση, κατα την οποία η λύση εξελίσσεται πάνω σε μία αναλοίωτη αργή πολλαπλότητα και το κατά πόσο μπορεί να προβλεφθεί η "εκρηκτική" φάση που ακολουθεί από τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος Rössler. Δείχνουμε ότι μία πρόβλεψη της "εκρηκτικής" αυτής φάσης είναι δυνατή μόνο μέσω της δυναμικής του απλοποιημένου συστήματος. Η ικανότητα πρόβλεψης της επερχόμενης "εκρηκτικής" φάσης είναι πολύ σημαντική, όταν επιθυμούμε να ορίσουμε τις φυσικές διεργασίες που διέπουν την γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος. Abstract The development of dissipative time scales, which are much faster than the rest, force the solution of 1st order ODEs to land and then evolve on a slow invariant manifold. The slow evolution on this manifold can be approximated by a simplified system, which is free of fast scales. The dynamics of this system are compared here with the dynamics of the original system, when the solution evolves on the slow manifold. This study is based on the Rössler model, which exhibits a chaotic attractor that is characterized by dissipative and explosive phases. We examine the dissipative phase, during which the solution evolves on a slow invariant manifold and the dynamics of the Rössler model cannot predict the explosive phase that follows. It is shown that such a prediction is only possible through the dynamics of the simplified system. Predicting the approach of the explosive phase is very important when it is desired to identify the underlying physical mechanisms that control the process. 3

4 4

5 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 7 2 Η αλγοριθμική μέθοδος CSP Mαθηματική περιγραφή της μεθόδου CSP Εφαρμογή των CSP refinements Πρώτη φάση Δεύτερη φάση Χρονικές παράγωγοι της Ιακωβιανής Η τροποποιημένη μέθοδος CSP Ο αλγόριθμος ΑΕ για την αναγνώριση του SIM O αλγόριθμος κατασκευής του απλοποιημένου συστήματος με τον G r s πίνακα Η σχέση μεταξύ των δύο ειδών της CSP διανυσματικής βάσης Υπολογισμός του G r s πίνακα Υπολογισμός του R s r πίνακα Διαγνωστικά εργαλεία της CSP Ανάλυση του ελκυστή Rössler Δυναμική του Συστήματος Rössler και η λύση του Ιδιοτιμές και Χρονοκλίμακες Ανάλυση με χρήση CSP Το απλοποιημένο μοντέλο της CSP Συμπεράσματα 47 5 Παραρτημα: Yπολογιστικό πρόγραμμα Mathematica 49 5

6 6

7 1 Εισαγωγή Στην Μηχανική, στην Φυσική, στην Βιολογία, στην Επιστήμη των Υπολογιστών κ.α. συναντούμε μαθηματικά μοντέλα πολλαπλών χρονοκλιμάκων. Τα μοντέλα αυτά προσομοιάζουν φυσικά προβλήματα στα οποία αναπτύσονται αργές και γρήγορες χρονοκλίμακες. Ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων στο οποίο αναπτύσονται αργές και γρήγορες χρονοκλίμακες ονομάζεται δύσκαμπτο (stiff ) όταν (i) οι γρήγορες χρονοκλίμακες είναι αποσβετικές (dissipative) και (ii) η περιοχή του πεδίου της λύσης στην οποία υπερισχύουν οι αργές χρονοκλίμακες είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερη απο την περιοχή στην οποίαν υπερισχύουν οι γρήγορες χρονοκλίμακες [1. Συνεπώς, οι γρήγορες χρονοκλίμακες χαρακτηρίζουν την εξέλιξη των δύσκαμπτων δυναμικών συστημάτων στη διάρκεια μιας μικρής μόνο περιοχής. Στο μεγαλύτερο μέρος του πεδίου της λύσης, το σύστημα εξελίσεται σύμφωνα με τις αργές χρονοκλίμακες, ενώ οι γρήγορες χρονοκλίμακες παίζουν ένα παθητικό ρόλο. Η ύπαρξη των γρήγορων χρονοκλιμάκων στις περιόδους όπου η λύση χαρακτηρίζεται απο τις αργές δημιουργεί τις αριθμητικές δυσκολίες που χαρακτηρίζουν τα δύσκαμπτα προβλήματα και επιβάλλει τη χρήση των έμμεσων υπολογιστικών αλγορίθμων [1. Ο υπόχωρος στον οποίο οι αργές χρονοκλίμακες χαρακτηρίζουν την εξέλιξη του συστήματος και η λύση ορίζεται απο ένα μη-δύσκαμπτο (αργό) σύστημα ονομάζεται εκθετικά έλκουσα Aργή Aναλοίωτη Πολλαπλότητα (exponentially attracting Slow Invariant Manifold, SIM) [2, 3, 4. Ο χώρος των φάσεων κατά μήκος της εκθετικά έλκουσας Aργής Aναλοίωτης Πολλαπλότητας (ΑΑΠ) ονομάζεται εφαπτόμενος χώρος (tangent space) και αναλύεται σε γρήγορο και αργό υπόχωρο, εντός των οποίων δρούν οι γρήγορες και αργές χρονοκλίμακες. Στη περίπτωση ενός μη-γραμμικού συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων, κατά την κίνηση της ροής κατά μήκος της ΑΑΠ οι δύο υπόχωροι περιστρέφονται. Η ΑΑΠ ορίζεται απο γραμμικά ανεξάρτητες σχέσεις οι οποίες προκύπτουν απο την αμελητέα προβολή του διανυσματικού πεδίου στις διευθύνσεις που ορίζουν τον γρήγορο υπόχωρο του εφαπτόμενου χώρου, δηλαδή στις διεύθυνσεις των "γρήγορων" ινών ροής (fast fibers) που ξεκινούν απο το ΑΑΠ [3, 5, 6, 7. To μη-δύσκαμπτο (αργό) σύστημα που προσομοιάζει τη ροή πάνω στην ΑΑΠ ορίζεται από την προβολή του διανυσματικού πεδίου στις διευθύνσεις που ορίζουν τον αργό υπόχωρο του εφαπτόμενου χώρου, δηλαδή στις διεύθυνσεις που ορίζουν τον εφαπτόμενο στην ΑΑΠ υπόχωρο [5, 6, 7. Η ύπαρξη της ΑΑΠ και του "αργού" συστήματος μας επιτρέπει την κατασκευή απλοποιη- 7

8 μένων και μη-δύσκαμπτων μοντέλων, κάνοντας την λύση αρχικά "μεγάλων" και δύσκαμπτων προβλημάτων εύκολη. Επίσης επιτρέπει την αναγνώριση των φυσικών διεργασιών που συνισφέρουν στη δημιουργία της ΑΑΠ και του "αργού" συστήματος. Γενικά, η ΑΑΠ και το "αργό" σύστημα αναγνωρίζονταν με ασυμπτωτικές μεθόδους, συγκεκριμένα τη θεωρία ιδιόμορφων διαταραχών. Αυτές οι τεχνικές συστηματικοποιήθηκαν αρχικά από τους Tihonov και Levinson [8, 9 και αργότερα απο τους Vasil'eva και O'Malley [1, 11. Μια σημαντική πρόοδος στην κατανόηση αυτών των μεθόδων έγινε με την δημιουργία μιας γεωμετρικής θεωρίας για το SIM [12, 13, 14, 15. Όμως αυτές οι μέθοδοι δεν μπορούν να χειριστούν μεγάλα και πολύπλοκα μαθηματικά μοντέλα. Για τον λόγο αυτόν δημιουργήθηκαν αλγοριθμικές μεθοδολογίες [5, 16, 17, 18, 19, 2 που παράγουν την ΑΑΠ και το "αργό" σύστημα. Αυτές οι μεθοδολογίες αναπαράγουν τα αποτελέσματα των παραδοσιακών προβλημάτων ιδιόμορφων διαταραχών και δεν έχουν περιορισμό στο μέγεθος και στην πολυπλοκότητα των μαθηματικών μοντέλουν που μπορούν να χειριστούν. Μία από αυτές τις μεθοδολογίες είναι και η υπολογιστική μέθοδος Computational Singular Perturbation (CSP) αναπτύχθηκε απο τους S.H. Lam και Δ.Α. Γκούση [5, 6, 21, 22, 23, 24. Έχοντας για μελέτη ένα Ν-διάστατο δύσκαμπτο πρόβλημα, η CSP παρέχει την έκφραση που προσομοιαζει την ΑΑΠ και το μη-δυσκαμπτο "αργό" σύστημα που προσομοιάζει την ροή πάνω στο ΑΑΠ [5, 6, 21, 22, 23, 24. Η CSP πετυχαίνει αυτήν την περιγραφή με την αλγοριθμική προσέγγιση των συντεταγμένων του γρήγορου και αργού υπόχωρου του εφαπτόμενου χώρου (tangent space) [5, 6. Η CSP παρέχει αλγοριθμικά όλες τις απαραίτητες πληροφορίες που αφορούν τις συνιστώσες του μαθηματικού μοντέλου που είναι κυρίως υπέυθυνες για την δημιουργία του ΑΑΠ και για τις συνιστώσες που οδηγούν τη ροή πάνω στην ΑΑΠ. Στην παρούσα εργασία θα μελετηθεί ο χαοτικός ελκυστής του O. Rössler [25, 26, 27, 28. Ο Rössler εισήγαγε τον ελκυστή αυτόν στην προσπάθεια του να εξηγήσει τη δυναμική συμπεριφορά του κλασσικού μοντέλου του E.N. Lorenz [29. Ο ελκυστής του Rössler χαρακτηρίζεται από αργές και γρήγορες φάσεις. Στη διάρκεια της αργής φάσης η λύση κινείται πάνω σε μία ΑΑΠ, η οποία δημιουργείται υπό την επίδραση μίας πολύ γρήγορης αποσβετικής χρονοκλίμακας. Κατ' αρχάς, θα δοθεί μία παρουσίαση του αλγόριθμου της CSP. Στην συνέχεια θα μελετηθεί η δυναμική του ελκυστή Rössler, όπως αυτή αποτυπώνεται στο αρχικό και στο "αργό" σύστημα με την βοήθεια της CSP, στη φάση του ελκυστή κατά την οποία η λύση κινείται στην ΑΑΠ. Θα εξεταστεί ο βαθμός με τον οποίο η δυναμική του "αργού" συστήματος προσεγγίζει την αργή 8

9 δυναμική του αρχικού συστήματος. Επίσης, θα εξεταστεί το κατά πόσον το "αργό" σύστημα μπορεί να προβλέψει το τέλος της ΑΑΠ και την "εκρηκτική" φάση που ακολουθεί. Η παρούσα εργασία αποτελεί εφαρμογή της ανάλυσης των δυναμικών χαρακτηριστικών του "αργού" συστήματος που περιγράφει την κίνηση επί της ΑΑΠ που αναπτύσεται στα πλαίσια του van der Pol συστήματος, που έγινε πρόσφατα [3. 9

10 1

11 2 Η αλγοριθμική μέθοδος CSP Το βασικό μέρος της μεθόδου CSP περιλαμβάνει μια επαναληπτική διαδικασία σχεδιασμένη να προσεγγίσει τα διανύσματα βάσης που παράγουν τους δύο υποχώρους του εφαπτόμενου χώρου (tangent space), στους οποίους δρούν οι γρήγορες και οι αργές χρονοκλίμακες. Η διαδικασία ξεκινά με μια τυχαία αρχική εκτίμηση των "γρήγορων" και "αργών" διανυσμάτων βάσης A r και A s, τα οποία παράγουν τον "γρήγορο" και "αργό" υπόχωρο του εφαπτομενικού χώρου, καθώς και τα δυικά τους B r και B s. Κάθε επανάληψη παρέχει καλύτερες προσεγγίσεις των "γρήγορων" και "αργών" υποχώρων. Υπάρχουν δυο ειδών επαναλήψεις ανεξάρτητες μεταξύ τους: η a r - και b r -βελτίωση. H b r -βελτίωση βελτιώνει την ακρίβεια περιγραφής του SIM, με το να προσεγγίζει καλύτερα τον "αργό" υπόχωρο, ενώ η a r -βελτίωση εξαλείφει την δυσκαμψία του προβλήματος προσεγγίζοντας καλύτερα τον "γρήγορο" υπόχωρο. Όπως θα φανεί στη συνέχεια, η b r -βελτίωση μειώνει την επίδραση των "αργών" χρονοκλιμάκων στην προσέγγιση του "γρήγορου" υποχώρου, ενώ η a r -βελτίωση μειώνει τη επίδραση των "γρήγορων" χρονοκλιμάκων στην προσέγγιση του "αργού" υποχώρου. Mε κάθε επανάληψη των a r και b r -βελτιώσεων, η ακρίβεια στην προσέγγιση του αργού και του γρήγορου υπόχωρου αυξάνει κατά (ɛ), όπου ɛ ορίζεται από τη σχέση: ɛ = τ M τ M+1 (2..1) όπου τ M είναι η πιό 'αργή' χρονοκλίμακα απο τις 'γρήγορες' του αρχικού συστήματος και η τ M+1 είναι η πιό γρήγορη του 'αργού' συστήματος. 2.1 Mαθηματική περιγραφή της μεθόδου CSP Θεωρούμε ότι η εξέλιξη ενός φυσικού φαινομένου αναπαρίσταται απο το Ν-διάστατο σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων: dy = g(y) (2.1.1) όπου y είναι το Ν-διάστατο διάνυσμα των εξαρτημένων μεταβλητών και g μια μη-γραμμική αλγεβρική συνάρτηση του y. Θεωρούμε ότι το σύστημα αυτό είναι αριθμητικά δύσκαμπτο. Σύμφωνα με την αλγοριθμική μέθοδο CSP, σε κάθε σημείο του εφαπτόμενου χώρου το διάνυσμα g μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνισταμένες, την αργή και τη γρήγορη (από την προβολή του διανύσματος g στον "γρήγορο" υπόχωρο διάστασης Μ και στον "αργό" υπόχωρο διάστασης 11

12 Ν-Μ). Ο Μ-διάστατος υπόχωρος όπου δρούν οι γρήγορες χρονοκλίμακες παράγεται απο τα διανύσματα: a i (i=1,..., M) τα οποία αποτελούν στήλες του (Ν M) πίνακα: A r (k, m) = [a 1 (k, m), a 2 (k, m),..., a M (k, m) (2.1.2) Ο (N-M)-διάστατος υπόχωρος όπου δρούν οι αργές χρονοκλίμακες παράγεται απο τα a j (j=m+1,..., N) τα οποία αποτελούν στήλες του N (N-M) πίνακα: A s (k, m) = [a M+1 (k, m), a M+2 (k, m),..., a N (k, m) (2.1.3) Οι δείκτες k και m δηλώνουν τα επίπεδα των a r και b r -βελτιώσεων, αντίστοιχα. Οι χρονοκλίμακες συνδέονται με τις ιδιοτιμές με την σχέση: ( τ n = λ 2 n,r + λ 2 n,m όπου τα λ n,r και λ n,m δηλώνουν το πραγματικό και το φανταστικό μέρος, αντίστοιχα, της n- ιοστής ιδιοτιμής του συστήματος (n = 1,..., Ν). Οι χρονοκλίμακες τ n με n=1,..., Μ συνδέονται με τον "γρήγορο" υπόχωρο διάστασης Μ, ενώ οι χρονοκλίμακες τ n με n = Μ+1,..., Ν συνδέονται με τον "αργό" υπόχωρο διάστασης Ν - Μ. To δυϊκά διανύσματα βάσης, b i (i= 1,...,M) και b j (j= M+1,...,N) ορίζονται από τις εκφράσεις: ) 1 Β r (k, m) = [b 1 (k, m), b 2 (k, m),..., b M (k, m) T B s (k, m) = [b M+1 (k, m), b M+2 (k, m),..., b N (k, m) T (2.1.4) και λόγω ορθογωνιότητας ικανοποιούν τις σχέσεις: B r (k, m)a r (k, m) = I M M B s (k, m)a r (k, m) = N M M B r (k, m)a s (k, m) = M N M B s (k, m)a s (k, m) = I N M N M (2.1.5) και A r (k, m)b r (k, m) + A s (k, m)b s (k, m) = I N N (2.1.6) όπου I N N ο μοναδιαίος πίνακας διαστάσεων (Ν Ν) και M N ο μηδενικός πίνακας διαστάσεων (Μ Ν). Έχοντας ορίσει τα διανύσματα βάσης που περιγράφουν τον γρήγορο και αργό υπόχωρο, το διανυσματικό πεδίο της Εξ. (2.1.1) αναλύεται στη γρήγορη και αργή συνιστώσα: dy = A r(k, m)f r (k, m) + A s (k, m)f s (k, m) (2.1.7) 12

13 όπου τα ανύσματα f r (k, m) και f s (k, m) διαστάσεων Ν και (Ν-Μ) αντίστοιχα, αποτελούν τα γρήγορα και αργά εύρη, ορίζονται ως εξής: f r (k, m) = [f 1 (k, m), f 2 (k, m),..., f M (k, m) T και f s (k, m) = [f M+1 (k, m), f M+2 (k, m),..., f N (k, m) T (2.1.8) όπου κάθε f i ορίζεται ως: f i (k, m) = b i (k, m) g (2.1.9) Στην ΑΑΠ τα εύρη των Μ γρήγορων διανυσμάτων βάσης λαμβάνουν αμελητέο μέτρο, δηλαδή: f r (k, m) = B r (k, m) g M 1 (2.1.1) Η παραπάνω εξίσωση προσεγγίζει την ΑΑΠ διάστασης (Ν-Μ), όπου η Εξ. (2.1.7) απλοποιείται στη μορφή: dy A s(k, m)f s (k, m) = [I A r (k, m)b r (k, m) g (2.1.11) Η Εξ. (2.1.11) αποτελεί το "αργό"-σύστημα που περιγράφει τη ροή επί της ΑΑΠ. Σημειωτέον ότι η δεύτερη ισότητα της Εξ. (2.1.11) προέκυψε απο τη σχέση ορθογωνιότητας (2.1.6). Παρατηρούμε λοιπόν ότι οι Μ "γρήγορες" χρονοκλίμακες δεν παίζουν κανένα ρόλο στην κίνηση επί της ΑΑΠ. Το απλοποιημένο-"αργό" σύστημα Εξ. (2.1.11) είναι αριθμητικά μη-δύσκαμπτο, διότι δεν περιλαμβάνει τα εύρη των γρήγορων χρονοκλιμάκων. Aπο τις Εξ. (2.1.1) και (2.1.11) διαπιστώνεται ότι για την κατασκευή των εξισώσεων που περιγράφουν την πολλαπλότητα και τη ροή επ' αυτής, τα μόνα που χρειάζονται είναι τα "γρήγορα" A r και B r. όπου Η b r -βελτίωση επιτυγχάνεται μέσω των σχέσεων: [ db r B r (k 1 + 1, m 1 ) = T r (k 1, m 1 ) r(k 1, m 1 ) + B r (k 1, m 1 )J (2.1.12) A r (k 1 + 1, m 1 ) = A r (k 1, m 1 ) (2.1.13) B s (k 1 + 1, m 1 ) = B s (k 1, m 1 ) (2.1.14) A s (k 1 + 1, m 1 ) = [I A r (k 1 + 1, m 1 )B r (k 1 + 1, m 1 )A s (k 1, m 1 ) (2.1.15) T r r(k 1, m 1 ) = [Λ r r(k 1, m 1 ) 1 = [ 1 ( dbr (k 1, m 1 ) + B r (k 1, m 1 )J)A r (k 1 + 1, m 1 ) (2.1.16) 13

14 όπου Η a r -βελτίωση επιτυγχάνεται μέσω των σχέσεων: [ A r (k 2, m 2 + 1) = dar (k 2, m 2 ) + JA r (k 2, m 2 ) T r r(k 2, m 2 ) (2.1.17) B r (k 2, m 2 + 1) = B r (k 2, m 2 ) (2.1.18) B s (k 2, m 2 + 1) = B s (k 2, m 2 )[I A r (k 2, m 2 + 1)B r (k 2, m 2 + 1) (2.1.19) A s (k 2, m 2 + 1) = A s (k 2, m 2 ) (2.1.2) T r r(k 2, m 2 ) = [Λ r r(k 2, m 2 ) 1 = [ 1 ( dbr (k 2, m 2 ) + B r (k 2, m 2 )J)A r (k 2, m 2 ) (2.1.21) Τα k i και m i υποδηλώνουν των αριθμό των b r - και a r -βελτιώσεων, αντίστοιχα. 2.2 Εφαρμογή των CSP refinements Η εφαρμογή των CSP-βελτιώσεων χωρίζεται σε δύο φάσεις: στην πρώτη φάση όπου τα χρονικά παράγωγα των διανυσμάτων βάσης αγνοούνται και στην δεύτερη φάση όπου τα χρονικά παράγωγα των διανυσμάτων λαμβάνονται υπ' όψιν. Στη περίπτωση ενός μη-γραμμικού συστήματος, η πρώτη φάση των βελτιώσεων έχει νόημα να γίνει μία μόνο φορά, δεδομένου ότι τα χρονικά παράγωγα των διανυσμάτων συνεισφέρουν στην ακρίβεια ανωτέρας τάξης [23. Αντίθετα, η δεύτερη φάση των βελτιώσεων μπορεί να γίνει πολλές φορές. Όμως, πρακτικοί λόγοι περιορίζουν τον αριθμό των βελτιώσεων της δεύτερης φάσης σε ένα μικρό σχετικά αριθμό. Διαφορίζοντας την Eξ. (2.1.9) ως προς το χρόνο κατα μήκος της λύσης μίας τροχιάς y(t) έχουμε: όπου i=1,..., N και df i N = λ i jf j (2.2.1) j=1 ( db i ) λ i j + bi J a j (2.2.2) όπου i,j = 1,..., N. Έτσι, η Εξ. (2.2.1) μπορεί να γραφτεί στην ανυσματική μορφή: d fr = λr r λ r s fr (2.2.3) f s λ s r λ s s f s 14

15 όπου r=1,..., M και s=m+1,..., N. Ο ρόλος της b r -βελτίωσης είναι να μειώσει την τάξη της λ r s, ενώ ο ρόλος της a r -βελτίωσης είναι να μειώσει την τάξη της λ s r, επιτυγχάνοντας με αυτό τον τρόπο (i) την αποσύζευξη των γρήγορων από τις αργές χρονικλίμακες (όταν λ r s ) και (ii) την αποσύζευξη των αργών από τις γρήγορες χρονικλίμακες (όταν λ s r ) [ Πρώτη φάση Έστω ότι η αρχική επιλογή για τα διανύσματα βάσης είναι τα B r (, ) και A r (, ) είναι να είναι σταθερά, άρα: db r (, ) =, da r (, ) Στην περίπτωση αυτή, ο αλγόριθμος της b r -βελτίωσης γίνεται: B r (1, ) = λ r r(, )B r (, )J A r (1, ) = A r (, ) B s (1, ) = B s (, ) = (2.2.4) A s (1, ) = [I A r (1, )B r (1, )A s (, ) = [I A r (, )B r (1, )A s (, ) όπου: λ r r(, ) = B r (, )JA r (, ) τ r r(, ) = [λ r r(, ) 1 Το αποτέλεσμα της b r -βελτίωσης είναι να μειώσει τη νόρμα λ r s (όπου (db r (1, )/) A s (1, ) = r s): λ r s(1, ) = B r (1, )JA s (1, ) = (ɛλ r s(, )) κατά μία τάξη του ɛ = τ M /τ M+1 < 1, μειώνοντας έτσι τη σύζευξη των "γρήγορων" χρονοκλιμάκων από τις "αργές". Αντιθέτως, το επίπεδο σύζευξης των "αργών" με τις "γρήγορες" χρονοκλίμακες δεν αλλάζει: λ s r(1, ) = B s (1, )JA r (1, ) = B s (, )JA r (, ) = λ s r(, ) Δεδομένων των διανυσμάτων που προκύπτουν από την b r -βελτίωση, ο αλγόριθμος της 15

16 a r -βελτίωσης γίνεται: A r (1, 1) = JA r (, )τ r r(1, ) B r (1, 1) = B r (1, ) A s (1, 1) = A s (1, ) B s (1, 1) = B s (1, )[I A r (1, 1)B r (1, 1) = B s (, )[I A r (1, 1)B r (1, ) όπου: λ r r(1, ) = B r (1, )JA r (, ) τ r r(1, ) = [λ r r(1, ) 1 Το αποτέλεσμα της a r -βελτίωσης είναι να μειώσει τη νόρμα λ s r: [ db λ s s (1, 1) r(1, 1) = + B s (1, 1)J A r (1, 1) = (ɛλ s r(1, )) = (ɛλ s r(, )) κατά μία τάξη του ɛ = τ M /τ M+1 < 1, μειώνοντας έτσι τη σύζευξη των "αργών" χρονοκλιμάκων από τις "γρήγορες". Αντιθέτως, το επίπεδο σύζευξης των "γρήγορων" με τις "αργές" χρονοκλίμακες δεν αλλάζει: [ db λ r r (1, 1) s(1, 1) = = λ r s(1, ) = (ɛλ r s(, )) [ db r + B r (1, ) (1, 1)J A s (1, 1) = + B r (1, )J A s (1, ) Δεύτερη φάση Στην δεύτερη φάση υπολογίζουμε στις βελτιώσεις και τα χρονικά παράγωγα. Δεδομένων των διανυσμάτων βάσης από την πρώτη φάση, ο αλγόριθμος της b r -βελτίωσης γίνεται: [ db r [ B r (2, 1) = τ r (1, 1) db r r(1, 1) + B r (1, 1)J = τ r (1, ) r(1, 1) + B r (1, )J A r (2, 1) = A r (1, 1) B s (2, 1) = B s (1, 1) A s (2, 1) = [I A r (2, 1)B r (2, 1) A s (1, 1) = [I A r (1, 1)B r (2, 1) A s (1, ) όπου: [ db λ r r (1, 1) r(1, 1) = + B r (1, 1)J A r (1, 1) τ r r(1, 1) = [λ r r(1, 1) 1 16

17 Το αποτέλεσμα αυτής της b r -βελτίωσης είναι να μειώσει ακόμη περισσότερο τη νόρμα λ r s: [ db λ r r (2, 1) s(2, 1) = + B r (2, 1)J A s (2, 1) = (ɛλ r s(1, 1)) = (ɛλ r s(1, )) = (ɛ 2 λ r s(, )) κατά μία ακόμη τάξη του ɛ = τ M /τ M+1 < 1, μειώνοντας ακόμη περισσότερο τη σύζευξη των "γρήγορων" χρονοκλιμάκων από τις "αργές". Αντιθέτως, το επίπεδο σύζευξης των "αργών" με τις "γρήγορες" χρονοκλίμακες δεν αλλάζει: [ db λ s s [ (2, 1) db s r(2, 1) = + B s (1, 1) (2, 1)J A r (2, 1) = = λ s r(1, 1) = (ɛλ s r(1, )) = (ɛλ s r(, )) + B s (1, 1)J A r (1, 1) Δεδομένων των διανυσμάτων βάσης που προέκυψαν από την ανωτέρω b r -βελτίωση, μία a r -βελτίωση δίνει τα ακόλουθα διανύσματα: [ [ dar (2, 1) A r (2, 2) = + B r (2, 1)J τ r dar (1, 1) r(2, 1) = B r (2, 2) = B r (2, 1) A s (2, 2) = A s (2, 1) + JA r (1, 1) τ r r(2, 1) B s (2, 2) = B s (2, 1)[I A r (2, 2)B r (2, 2) = B s (1, 1)[I A r (2, 2)B r (2, 1) όπου: [ db λ r r (2, 1) r(2, 1) = + B r (2, 1)J A r (2, 1) τ r r(2, 1) = [λ r r(2, 1) 1 Το αποτέλεσμα της a r -βελτίωσης είναι να μειώσει ακόμη περισσότερο τη νόρμα λ s r: [ db λ r s (2, 2) s(2, 2) = + B s (2, 2)J A r (2, 2) = (ɛλ s r(2, 1)) = (ɛ 2 λ s r(1, )) = (ɛ 2 λ s r(, )) κατά μία ακόμη τάξη του ɛ = τ M /τ M+1 < 1, μειώνοντας έτσι ακόμη περισσότερο τη σύζευξη των "αργών" χρονοκλιμάκων από τις "γρήγορες". Αντιθέτως, το επίπεδο σύζευξης των "γρήγορων" με τις "αργές" χρονοκλίμακες δεν αλλάζει: [ db λ r r [ (2, 2) db r s(2, 2) = + B r (2, 1) (2, 2)J A s (2, 2) = = λ r s(2, 1) = (ɛλ r s(1, 1)) = (ɛλ r s(1, )) = (ɛ 2 λ r s(, )) 17 + B r (2, 1)J A s (2, 1)

18 2.2.3 Χρονικές παράγωγοι της Ιακωβιανής Για να υπολογίσουμε τα διανυσματα στην δεύτερη φάση χρειάζεται να υπολογίσουμε έναν αριθμό χρονικών παραγώγων των CSP διανυσμάτων. Οι απαιτούμενες εκφράσεις είναι: db r (1, 1) = dbr (1, ) = τ r r(, )B r (, ) dj [I A r(, )B r (1, ) (2.2.5) da r (2, 1) = da r(1, 1) = [I A r (1, 1)B r (1, ) dj A r(, )τ r r(1, ) A r (1, 1) dbr (1, ) A r (1, 1) (2.2.6) όπου db r (2, 1) [ db r = τ r (1, ) r(1, 1) J + B r (1, ) dj + d2 B r (1, ) [I A 2 r (1, 1)B r (2, 1) B r (2, 1) da r(1, 1) B r (2, 1) (2.2.7) d 2 B r [ (1, ) dτ r = r (, ) B r (, ) dj 2 + τr r(, )B r (, ) d2 J [I A r (, )B r (1, ) τ r r(, )B r (, ) dj A r(, ) dbr (1, ) (2.2.8) Οι παράγωγοι απαιτούν την πρώτη και δεύτερη παράγωγο της Ιακωβιανής J. Οι σχετικές εκφράσεις των dj/ και d 2 J/ 2 είναι: dj = d 2 J 2 = i=1,n s i,j=1,n s J y i dy i = i=1,n s [ 2 J y i y j gi + J y J i J y i gi (2.2.9) g j (2.2.1) Το γεγονός ότι χρειάζονται οι παράγωγοι της Ιακωβιανής για την περιγραφή της ΑΑΠ και του "αργού" συστήματος στή δεύτερη μόνο φάση προσέγγισης, δείχνει ότι η καμπυλότητα και οι παράγωγοι αυτής συνεισφέρουν στην ακρίβεια ανώτερης μόνο τάξης. 2.3 Η τροποποιημένη μέθοδος CSP Η μέθοδος CSP επιδέχεται και έναν άλλο τρόπο παρουσίασης, που αρμόζει καλύτερα στη γεωμετρική θεώρηση του προβλήματος [24. Υποθέτουμε αρχικά ότι η ΑΑΠ είναι μια (Ν-Μ)- διάστατη επιφάνεια στο Ν-διάστατο χώρο των φάσεων. Οι Μ-γρηγορότερες χρονοκλίμακες 18

19 που σχετίζονται με όλα τα διανυσματα θέσεως (state vectors) που ανήκουν στην ΑΑΠ είναι εξαντλημένες (exhausted). Έστω ότι υπάρχουν s j (j = 1, N M) ομαλές συναρτήσεις του y, έτσι ώστε: s j = s j (y) = s j (y 1,..., y N ) j = 1,..., N M (2.3.1) και το διάνυσμα θέσεως στην ΑΑΠ να μπορεί να υπολογιστεί από y i = y i (s) = y i (s 1,..., s N M ), i = 1,..., N (2.3.2) όπου s = (s 1,..., s N M ) T. Η διανυσματική συνάρτηση s = s(y) είναι μια απεικόνιση του διανύσματος θέσεως απο το Ν-διάστατο χώρο φάσεων στην (Ν-Μ)-διάστατη ΑΑΠ. Παραγωγίζοντας την Εξ. (2.3.2) ως προς το χρόνο: dy = Y ds s = g(y) (2.3.3) όπου και οι Y s, S y είναι N x (N-M) και (N-M) x N πίνακες: Y s = ϑy 1 ϑy ϑs ϑs N M : : ϑy N ϑy ϑs 1.. N ϑs N M ds = S dy y = S yg(y) (2.3.4) S y = ϑs 1 ϑy 1.. ϑs 1 ϑy N : : ϑs N M ϑy 1.. ϑs N M ϑy N (2.3.5) έτσι ώστε: S y Y s = I s s (2.3.6) όπου ο I s s είναι (N - M)x(N - M) μοναδιαίος πίνακας. Με αντικατάσταση της Εξ. (2.3.4) στην Εξ. (2.3.3) έχουμε το Ν-διάστατο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: [Ι N N Y s S y g(y) = N (2.3.7) Aπο αυτήν την σχέση μόνο οι Μ συνιστώσες είναι γραμμικά ανεξάρτητες, ικανές για να περιγράψουν την ΑΑΠ. Συνεπώς, η λύση πάνω στην ΑΑΠ υπόκειται στο Ν-διάστατο σύστημα: dy = Y ss y g(y) (2.3.8) στο οποίο μόνο οι (Ν - Μ) συνιστώσες είναι γραμμικά ανεξάρτητες. 19

20 2.3.1 Ο αλγόριθμος ΑΕ για την αναγνώριση του SIM Έστω ότι οι ομαλές συναρτήσεις s j είναι οι Ν - Μ τελευταίες συνιστώσες του y: s = (y M+1,..., y N ) T (2.3.9) και ότι το Μ - διάστατο διάνυσμα z ορίζεται από τις πρώτες Μ συνιστώσες του y: Τότε η Εξ. (2.3.7) παίρνει τη μορφή: z = (y 1 (s),..., y M (s)) T = z(s) (2.3.1) g r (z, s) G r s(z, s)g s (z, s) = (2.3.11) όπου g r = (g 1,..., g M ) T και g s = (g M+1,..., g M ) T είναι τα Μ και (Ν - Μ) - διάστατα διανύσματα που αποτελούνται απο τα πρώτα Μ και τα τελευταία Ν - Μ στοιχεία, αντίστοιχα του διανυσματικού πεδίου g. Ο Μ x (Ν - Μ) G r s πίνακας περιλαμβάνει τις μερικές παραγώγους των Μ συνιστωσών του y στο z ως προς τις υπόλοιπες Ν - Μ συνιστώσες του y στο s: ϑz 1 ϑs 1... ϑz 1 ϑs N M G r s(z, s) = ϑz.. ϑs =.. (2.3.12).. ϑz M ϑs 1... ϑz M ϑs N M Η Εξ. (2.3.11) ονομάζεται "Αναλοίωτη Εξίσωση" (Invariance Equation) και αποτελείται απο Μ εξισώσεις με Μ αγνώστους (τις συνιστώσες του z). H (n + 1) επανάληψη z n+1 μπορεί να υπολογιστεί, για δοσμένο s και αρχική εκτίμηση z o, από την έμμεση μέθοδο: g r (z n+1, s) G r s(z n, s)g s (z n+1, s) = (2.3.13) O αλγόριθμος κατασκευής του απλοποιημένου συστήματος με τον G r s πίνακα Η Αναλοίωτη Eξίσωση (2.3.11) μπορεί να τεθεί στη μορφή: [I r r, G r s gr (z, s) = (2.3.14) g s (z, s) 2

21 γεγονός που μας συνιστά να ορίσουμε τους πίνακες: [ A r = A s = B r = I r r Ir r G r sr s r R s r Gr s I s s G r s B s = [ R s r I s s R s rg r s (2.3.15) όπου ο Μ x (Ν - Μ) πίνακας G r s έχει οριστεί απο την Εξ. (2.3.12) και ο (Ν - Μ) x Μ πίνακας R s r θα οριστεί στην συνέχεια. Οι διαστάσεις των πινάκων A r, A s, B r και B s είναι Ν x Μ, Ν x (N - M), M x N και (N - M) x N, αντιστοίχως, ενώ ικανοποιούν τις σχέσεις ορθογωνιότητας: [Α r A s Br B s = Br B s [Α r A s = I N N. Σύμφωνα με τις Εξ. (2.3.15) η αρχική Εξ. (2.1.1) μπορεί να πάρει τη μορφή: dy = A rf r + A s F s = F r + Ir r G r sr s r R s r Gr s I s s F s (2.3.16) όπου τα εύρη F r και F s ορίζονται από τις σχέσεις: [ F r = B r g = I r r G r gr = (g r G r s sg s ) (2.3.17) F s = B s g = [ R s r g s I r r G r gr = (R s s rg r + (I s s + R s rg r s)g s (2.3.18) g s Όταν η λύση βρίσκεται στην ΑΑΠ, η Αδιάστατη Εξίσωση (2.3.11) ικανοποιείται αυτόματα και διασφαλίζει ότι το F r είναι ταυτοτικά ίσο με το μηδέν: F r = g r G r sg s = (2.3.19) Συνεπώς, μόνο ο "αργός" όρος που περιλαμβάνει το F s διατηρείται στην Εξ. (2.3.16): dy = Gr s (R s rg r + (I I s s s R s rg r s)g s ) (2.3.2) s Οι Εξ. (2.3.19) και οι Εξ. (2.3.2) περιγράφουν την ΑΑΠ και την απλοποιημένη μη-δύσκαμπτη εξίσωση στην οποία υπόκειται η κίνηση της λύσης πάνω στην ΑΑΠ, αντίστοιχα. 21

22 2.3.3 Η σχέση μεταξύ των δύο ειδών της CSP διανυσματικής βάσης Θεωρούμε ότι οι πίνακες που περιλαμβάνουν τα αρχικά CSP διανύσματα βάσης, που ορίστηκαν στο Κεφάλαιο 2.2, μπορούν να γραφούν στη μορφή: b r = a r = [ b r r ar r a s r b r s a s = b s = ar s a s s [ b s r (2.3.21) b s s (2.3.22) όπου a r r και b r r είναι Μ x Μ πίνακες, a s r και b s r είναι (Ν - Μ) x Μ, a r s και b r s είναι Μ x (N - M) και a s s, b s s είναι (N - M) x (N - M) πίνακες. Τότε, η Εξ. (2.1.7) γράφεται: dy = ar r f r + ar s f s (2.3.23) a s r όπου εδώ τα εύρη f r και f s παίρνουν τη μορφή: [ f r = b r g = b r r b r gr = (b r s rg r + b r sg s ) (2.3.24) f s = b s g = [ b s r b s s g s a s s gr = (b s rg r + b s sg s ) (2.3.25) Οι εξισώσεις που περιγράφουν την ΑΑΠ και το απλοποιημένο μη-δύσκαμπτο σύστημα είναι: g s b r rg r + b r sg s = (2.3.26) dy = ar s (b s rg r + b s sg s ) (2.3.27) a s s Οι δύο μορφές τις αρχικής Εξ. (2.1.1), δηλαδή οι Εξ. (2.3.16) και (2.3.23) είναι πανομοιότυπες όταν ισχύουν οι σχέσεις: G r s = a r s(a s s) 1 = (b r r) 1 b r s (2.3.28) R r s = a s sb s r = a s rb r r (2.3.29) υπό τη προϋπόθεση ότι τα (a s s) 1 και (b r r) 1 υπάρχουν. Δεδομένων των Εξ. (2.3.28) και (2.3.29), οι εξισώσεις που περιγράφουν την ΑΑΠ και το "αργό" μη-δύσκαμπτο πρόβλημα στη βάση των 22

23 δύο διανυσματικών βάσεων της CSP είναι ταυτόσημες: g r G r sg s = r dy = Gr s (R s rg r + (I s s R s rg r s)g s ) (2.3.3) b r rg r + b r sg s = r dy = I s s ar s a s s (b s rg r + b s sg s ) (2.3.31) Προκειμένου να εξετάσουμε την σημασία των Εξ. (2.3.28) και (2.3.29), εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ των δύο συνόλων διανυσμάτων βάσης της CSP που αποτυπώνονται από τις σχέσεις: B r = (b r r) 1 b r A r = a r b r r + a s N s r B s = M s rb r + a s sb s A s = a s (a s s) 1 όπου: N s r = (a s s) 1 [R s r + a s rb r r M s r = [R s r + a s rb r r(b r r) 1 όταν θεωρήσουμε δεδομένη την Εξ. (2.3.28) (αλλά όχι ακόμη την Εξ. (2.3.29)). Από τις σχέσεις αυτές διαπιστώνουμε ότι τα διανύσματα στα B r και A s παράγουν τους ίδιους υπόχωρους με εκείνα των b r και a s αντίστοιχα, τα οποία είναι αυτά που επηρεάζονται απο την b r - βελτίωση. Αντίθετα, τα διανύσματα στα B s και A r δεν παράγουν τον ίδιο υπόχωρο με αυτά των b s και a r, τα οποία είναι αυτά που επηρεάζονται απο την a r -βελτίωση. Στη περίπτωση που θεωρήσουμε δεδομένη την Εξ. (2.3.29) (αλλά όχι ακόμη την Εξ. (2.3.28)), οι σχέσεις μεταξύ των δύο συνόλων διανυσμάτων βάσης της CSP αποτυπώνονται τώρα από τις σχέσεις: B r = [ I r r B s = G r, A s r = a r b r r + (ar s G r sa s s)b s r s r [ s r a s r(b r rg r s + b r s) + a s sb s, A s = Διαπιστώνουμε τώρα ότι οι υπόχωροι που παράγουν τα σύνολα των διανυσμάτων στα B r, B s, A s, A r δεν είναι ίδιοι με αυτούς που παράγουν τα σύνολα των διανυσμάτων στα b r, a s, b s και a r αντίστοιχα. Οι υπόχωροι ταυτίζονται αν εφαρμοστεί και η Εξ. (2.3.28). Για τον προσδοιορισμό της ΑΑΠ και την κατασκευή του απλοποιημένου συστήματος, ο τροποποιημένος αυτός CSP αλγόριθμος απαιτεί τον υπολογισμό των πινάκων G r s και R s r. Gr s I s s 23

24 2.3.4 Υπολογισμός του G r s πίνακα Ο πίνακας G r s κατά κανόνα μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους, οι οποίοι μπορούν παρολαυτά να οδηγήσουν σε αριθμητικά "αδιέξοδα" [16, 31. Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού του G r s που δεν αντιμετωπίζει προβλήματα προκύπτει παραγωγίζοντας την "Αναλοίωτη Εξίσωση" B r g = ως πρός τον χρόνο: όπου από το οποίο έπεται ότι: Λ r rf r + Λ r sf s = (2.3.32) ( db Λ r r ) ( db r = + Br J A r Λ r r ) s = + Br J A s (2.3.33) db r + Br J = Λ r rb r + Λ r sb s (2.3.34) Επειδή επί της ΑΑΠ ισχύουν F r = B r g = και F s, η Εξ. (2.3.32) υποδεικνύει ότι Λ r s = r s, έτσι ώστε η Εξ. (2.3.34) να απλοποιείται στη μορφή: db r + Br J = Λ r rb r (2.3.35) Ας σημειωθεί ότι αυτή η εξίσωση είναι όμοια με εκείνη στην οποία υπόκειται η εξέλιξη των CSP διανυσμάτων b r r, Εξ. (2.1.12). Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του B r, Εξ. (2.3.15), και ξαναγράφοντας την Ιακωβιανή ορίζουσα J του διανυσματικού πεδίου g στην μορφή: J = Jr r J s r J r s J s s (2.3.36) η Εξ. (2.3.35) υποδυκνύει την διανυσματική εξίσωση: [ r s dgr s + της οποίας οι δύο συνιστώσες δίνουν: [ J r r G r sj s r J r s G r sj s = Λ r s r [ I r r G r s (2.3.37) dg r s J r r G r sj s r = Λ r r (2.3.38) + G r sj s s J r s = Λ r rg r s (2.3.39) Έτσι λαμβάνουμε την ακόλουθη εξίσωση εξέλιξης του πίνακα G r s: dg r s + G r sj s s J r s = 24 [ J r r G r sj s G r r s (2.3.4)

25 Η παραπάνω εξίσωση, όντας δύσκαμπτη, μπορεί να λυθεί επαναληπτικά ώς εξής: [ G r s(n + 1) = (J r r G r s(n)j s r) 1 G r s(n)j s s J r s + dgr s(n) (2.3.41) Παρατηρούμε ότι, αρχίζοντας με G r s() = r s, η ανωτέρω εξίσωση δίνει σε πρώτη προσέγγιση: G r s(1) = (J r r) 1 J r s (2.3.42) Υπολογισμός του R s r πίνακα όπου Η εξέλιξη των "αργών" πλατών F s ορίζεται απο την εξίσωση: Λ s r = df s = Λs rf r + Λ s sf s (2.3.43) [ [ db s + Bs J A r Λ s s = db s + Bs J A s (2.3.44) Για να μην έχουν επιρροή στη εξέλιξη του F s οι "γρήγορες" χρονοκλίμακες θέλουμε να ισχύει Λ s r = s r. Σε αυτήν την περίπτωση, η χρονική εξέλιξη του Α r ορίζεται από τη σχέση: da r + JA r = A r Λ r r (2.3.45) Αντικαθιστώντας από τον ορισμό του A r, Εξ. (2.3.15), προκύπτει η ακόλουθη σχέση εξέλιξης για τον πίνακα R s r: dr s r + Js r(i r r G r sr s r) J s sr s r = R s rλ r r (2.3.46) όπου το Λ r r ορίζεται απο την Εξ. (2.3.33). Δεδομένου ότι η Εξ. (2.3.46) είναι δύσκαμπτη, το R s r μπορεί να υπολογιστεί επαναληπτικά απο την σχέση: [ R s r(j + 1) = J s sr s r(j) J s r(i r r G r s(n)r s r(j)) drs r(j) [Λ r r(n) 1 (2.3.47) όπου το Λ r r(n) = J r r G r s(n)j s r. Παρατηρούμε ότι, αρχίζοντας με R s r() = s r, η Εξ. (2.3.47) δίνει: R s r(1) = J s r(j r r G r s(n)j s r) 1 (2.3.48) 2.4 Διαγνωστικά εργαλεία της CSP Η CSP παρέχει έναν αριθμό από υπολογιστικά εργαλεία με τα οποία μπορούμε να κατανοήσουμε φυσικά τους εμπλεκομένους μηχανισμούς που συμβάλουν στην δημιουργία της ΑΑΠ 25

26 και στον τρόπο που εξελίσεται το σύστημα πάνω σε αυτήν. Έστω οτι έχουμε Κ-διεργασίες τότε το Ν-διάστατο διανυσματικό πεδίο g(y) που περιγράφεται απο την Eξ. (2.1.1) γράφεται: g(y) = S 1 R 1 + S 2 R S k R k (2.4.1) όπου S k είναι το Ν-διάστατο στοιχειομετρικό διάνυσμα-στήλη της k-οστής διεργασίας και το R k ο ρυθμός της k-οστής διεργασίας με k=1,...,κ. Άν αντικαταστήσουμε την Εξ. (2.4.1) στην Εξ. (2.1.1) εξάγεται η σχέση: f m = q m 1 R 1 + q m 2 R q m k R k (2.4.2) η οποία περιγράφει την ΑΑΠ, όπου q m k = bm S k με m=1,..., M και k=1,..., K. Θέλοντας να βρούμε ποιές συγκεκριμένες μεταβλητες επηρεάζονται περισσότερο απο τις αντίστοιχες Μ-γρήγορες χρονοκλίμακες και ασκούν μεγάλη επιρροή στους όρους της Εξ. (2.4.2) χρησιμοποιούμε τον CSP Pointer [21: [ D = 1 M [ M diag α m b m = 1 M M diag M α 1 mb m 1,..., α N mb m N m=1 m=1 m=1 (2.4.3) όπου α m = [αm, 1 αm, 2..., αm N T και b m = [b m 1, b m 2,..., b m N είναι τα m-οστά CSP διανύσματα βάσης με m=1,..., M και ισχύει ότι: D 1 + D D N = αmb 1 m 1 + αmb 2 m αmb N m N = 1 (2.4.4) Δεδομένης της Εξ. (2.4.4), τα Μ στοιχεία του ανύσματος y που αντιστοιχούν στα Μ μεγαλύτερα στοιχεία του D είναι αυτά που σχετίζονται περισσότερο με τις Μ γρήγορες αποσβετικές χρονικλίμακες. 26

27 3 Ανάλυση του ελκυστή Rössler Η λέξη "Χαος" αναφέρεται ως η άμορφη κατάσταση πριν απο τη δημιουργία του σύμπαντος ή ειδικότερα το αρχικό κενό που δημιουργήθηκε απο τον αρχικό διαχωρισμό του ουρανού και της γής. H έννοια "Χάος" χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό του απρόβλεπτου. Επιστημονικά η έννοια "Χάος" χαρακτηρίζει την συγκεκριμένη συμπεριφορά πολύπλοκων μηγραμμικών δυναμικών συστημάτων, όπου με τη λέξη "πολύπλοκων" εννοούμε μη-σταθερών και μη-περιοδικών [26, 32, 33, 34. Οι διαστάσεις που πρέπει να έχει ένα δυναμικό σύστημα για να μπορεί να εμφανίσει χαοτική συμπεριφορά έχει αποδειχθεί πως πρέπει να έιναι τουλάχιστον τρείς [26, 27. Ο χαρακτηρισμός μίας κίνησης ώς χαοτικής είναι ένα αρκετά δύσκολο πρόβλημα [32. Οι χαοτικές κινήσεις χαρακτηρίζονται από τα εξής: Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες: ξεκινώντας απο ελάχιστα διαφορετικά σημεία λαμβάνονται εντελώς διαφορετικές τροχιές [32, 33, 34. Tοπολογική ανάμειξη: το σύστημα θα εξελιχθεί με την πάροδο του χρόνου, έτσι ώστε οποιαδήποτε συγκεκριμένη περιοχή ή ανοικτό σύνολο του χώρου φάσεων τελικά να επικαλυφθεί με κάποια άλλη περιοχή του χώρου φάσεων [32, 33, 34. Πυκνότητα των περιοδικών τροχιών: κάθε σημείο στον χώρο φάσεων προσεγγίζεται αυθαίρετα κλειστά απο περιοδικές τροχιές [25, 26, 34 Τα Εκθετικά του A.M. Lyapunov είναι ποσότητες που χαρακτηρίζουν το βαθμό του διαχωρισμού των τροχιών μιας ροής που είναι απειροστά κοντά. Το μεγαλύτερο απο τα εκθετικά του Lyapunov, (Maximal Lyapunov Exponent, MLE), όταν εμφανίζει θετική τιμή θεωρείται ως ένδειξη ότι το σύστημα είναι χαοτικό [35. To πιό σημαντικό κριτήριο για το αν μία κίνηση είναι χαοτική δόθηκε απο τους J.L. Kaplan και J.A. Yorke (1979) και ονομάζεται Kaplan-Yorke conjecture [36. Οι J.L. Kaplan και J.A. Yorke εισήγαγαν μια ποσότητα σε όρους Εκθετικών Lyapunov, η οποία ονομάζεται Διάσταση Lyapunov D L [37. Η υπόθεση που έκαναν οι J.L. Kaplan και J.A. Yorke (Kaplan-Yorke conjecture) είναι ότι η διάσταση Liapunov (D L ) είναι ίση με την Διάσταση Πληροφορίας (D 1 ) [36, 37. Η ισότητα αυτή είναι πολύ σημαντική διότι συνδεέι την δυναμική του συστήματος που εκφράζεται μέσω των εκθετικών Lyapunov με την γεωμετρία του ελκυστή που εκφράζεται μέσω της διάστασης πληροφορίας (D 1 ) [36. 27

28 Οι χαοτικοί χαρτες (chaotic maps) είναι δυναμικά συστήματα διακριτού χρόνου που παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά. Ένας χαοτικός χάρτης είναι και ο χάρτης-πέταλο (horseshoe map) [25, 38, ο οποίος είναι θεμελιώδης στην μελέτη δυναμικών συστημάτων. Η δημιουργία του χάρτη-πεταλο (horseshoe-map) περιγράφεται γεωμετρικά στο χώρο x-y-z ως εξής: "πιέζεις" (squizing) την επιφάνεια σου κατά τον y-άξονα, "τραβάς" (streching) το αποτέλεσμα κατα τον x-άξονα και τέλος διπλώνεις (folding) την "λωρίδα" ώστε να πάρει την μορφή πέταλου. Οι τρείς αυτές φάσεις (squizing, streching, folding) είναι χαρακτηριστικές στις χαοτικές κινήσεις. Μαθηματικά ο χάρτης-πέταλο είναι ένας διαφορομορφισμός (diffeomorphism), δηλαδή μια αντιστρέψιμη συνάρτηση που απεικονίζει μία διαφορίσιμη πολλαπλότητα σε μία άλλη έτσι ώστε η συνάρτηση και η αντιστροφή της να είναι λείες [39. Ο χάρτης-πέταλο είναι ένας διαφορομορφισμός που ορίζεται απο μία περιοχή του επιπέδου στον ευατό της [38, 39. Ένα σύστημα που καταλήγει να εκτελεί την ίδια κίνηση ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες σε μια περιοχή γύρω απο την κίνηση σχεδόν σαν το ίδιο το σύστημα να προσελκύει την κίνηση ονομάζεται ελκυστής του συστήματος [25, 28, 34. Ένας ελκυστής καλείται "περίεργος" Strange attractor όταν έχει μη-ακέραιη διάσταση. Συχνά αυτό σημαίνει ότι η δυναμική του είναι χαοτική αλλά υπάρχουν και περιπτώσεις στις οποίες "περίεργοι" ελκυστές δεν είναι χαοτικοί. Πρώτη φορά ο όρος "περίεργος" χρησιμοποιήθηκε απο τους D. Ruelle και F. Takens για να περιγράψουν ένα ελκυστή που προέκυψε απο μία σειρά διακλαδώσεων στην κίνηση ροής ενός υγρού [4. Στην παρούσα εργασία θα μελετηθεί ένας περιέργος ελκυστής μιας χαοτική κίνησης. Οι χαοτικοί ελκυστές είναι μέρος της περιγραφής φυσικών φαινομένων οπότε το ενδιαφέρον στην ανάπτυξη μεθόδων για την καλύτερη κατανόηση τους είναι μεγάλο. Συγκεκριμένα, θα μελετηθεί με την βοήθεια της CSP ο χαοτικός ελκυστής Rössler [25. Ένα μοντέλο ονομάζεται Ντετερμινιστικό όταν με συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες παράγει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα. Τα χαοτικά συστήματα είναι και ντετερμινιστικά, γεγονός που καταδυκνύει ότι η ντετερμινιστική φύση αυτών των συστημάτων δεν τα κάνει και προβλέψιμα [37. O Ε.Ν. Lorentz, με το μοντέλο ροής που ονομάζεται μοντέλο Lorentz [29, μελέτησε μια ντετερμινιστική μη-περιοδική ροή (χαοτική). Ο Otto Rössler μελετώντας το μοντέλο του Lorentz και προσπαθώντας να εξηγήσει τη δυναμική της κίνησης του δημιούργησε μια πιο απλή εξίσωση, η οποία περιγράφει μια παρόμοια ροή με αυτή του Lorentz. Όμως το σύστημα του Rössler σχηματίζει μόνο μια σπείρα, έτσι ώστε να είναι πολύ πιο απλή η μελέτη της δυναμικής της χαοτικής κίνησης. 28

29 Το σύστημα Rössler αποτελείται απο τρείς μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Αυτό το σύστημα ορίζει ένα συνεχές χρονό-δυναμικό σύστημα το οποίο παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά. Κάποιες ιδιότητες του συστήματος Rössler μπορούν να προκύψουν μέσω γραμμικών μεθόδων, όπως τη μέθοδο των ιδιοδιανυσμάτων,αλλά τα κύρια χαρακτηριστικά του συστήματος απαιτούν μη-γραμμικές μεθόδους, όπως Poincare χάρτες και διαγράμματα διακλάδωσης [28. Οι εξισώσεις που ορίζουν το σύστημα είναι: dx = y z dy = x + ay (3..1) dz = b + z(x c) Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις του Rössler (3..1) έχουν μόνο έναν μή-γραμμικό όρο, τον (zx), σε αντίθεση με τις εξισώσεις Lorentz όπου έχουν δύο μη-γραμμικούς όρους και είναι δυσκολότερες στην μελέτη. 3.1 Δυναμική του Συστήματος Rössler και η λύση του Ο Rössler μελέτησε το σύστημα (3..1) με τις τιμές a =.2, b =.2, c = 5.7. Η επίλυση του συστήματος (3..1) με τις παραπάνω τιμές των a, b και c παρέχει τη λύση που εμφανίζεται στο Σχήμα 1. Παρατηρούμε στο Σχήμα 1 ότι κατά τη διάρκεια κάθε περιστροφής η λύση εκτελεί μια περιστροφική κίνηση στο επίπεδο x y (για περίπου z = ) εκτός από ένα σύντομο διάστημα στο οποίο εκτελεί μία κίνηση κατά μήκος του θετικού άξονα z (αρχικά προς τα πάνω και μετά προς τα κάτω). Όπως θα συζητηθεί λεπτομερώς στη συνέχεια, η κίνηση της λύσης στο x y επίπεδο γίνεται σε μία ΑΑΠ. Σε μία συγκεκριμένη περιοχή του επιπέδου x y η ΑΑΠ εκφυλίζεται, οπότε η λύση εκτελεί μία κίνηση κατά μήκος του άξονα των z, απομακρυνόμενη αρχικά από την ΑΑΠ και επιστρέφοντας μετά σε αυτήν. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προβολή του ελκυστή στο x y επίπεδο που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2, όπου φαίνεται η περιοχή στην οποία εκφυλίζεται η ΑΑΠ. Επιπλέον, το Σχήμα 2 απεικονίζει τις γειτονικές τροχιές να κάνουν σπειροειδείς κινήσεις προς τα έξω (streching), μετά διπλώνουν χωρίς να τμήσουν η μία την άλλη (folding) και τέλος κινούνται κοντά στο 29

30 2 Z Y X Σχήμα 1: Ο ελκυστής στον χώρο των φάσεων x y z, όπου το σημείο με το μπλέ χρώμα είναι η αρχική συνθήκη. 1 Y X Σχήμα 2: Η προβολή του ελκυστή στο επίπεδο x y του πεδίου των φάσεων. αρχικό τους σημείο εκκίνησης (re-injection) [25. Στο Σχήμα 3 όπου παρουσιάζεται μία σχηματική απεικόνιση του ελκυστή, παρατηρούμε ότι η ροή στην ΑΑΠ χωρίζεται σε δύο "περιοχέςταινίες", (bands), στην εσωτερική (η οποία είναι περίπου κυκλική) και στην εξωτερική (η οποία 3

31 Σχήμα 3: Σχηματική απεικόνιση του ελκυστή στο πεδίο των φάσεων. συμπεριφερεται όπως την "ταινία του Mobius") [41. Επίσης αν παρατηρήσουμε το Σχήμα 3 βλεπουμε ότι εκτός απο τα 2 "bands" η ροή περιορίζεται σε έναν διπλωμένο (folded) δίσκο πεπερασμένου πλάτους [26, 28. Έτσι κάθε τομή δια μέσου της ροής είναι δισδιάστατη και ορίζει την δημιουργία ενός "horseshoe map" [38. Στο Σχήμα 4 απεικονίζεται η σταδιακή δημιουργία του ελκυστή. Παρατηρούμε ότι εμφανίζονται οι περιστροφικές κίνησεις στο επίπεδο x y, οι 'εκρήξεις' στον z άξονα και οι επιστροφές στο επίπεδο. Κάθώς ο χρόνος t + το Σχήμα 4 προσεγγίζει το Σχήμα 1. Μία άλλη παρατήρηση που μπορεί να κάνει κανείς κοιτώντας τα στιγμιότυπα του Σχήματος 4 είναι ότι αρχικά σχηματίζονται τρείς δακτύλιοι στο επίπεδο x y, στους οποίους έλκεται η λύση με την πάροδο του χρόνου. Καθώς ο χρόνος t + η λύση τείνει να γεμίσει όλο το χώρο ανάμεσα σε αυτούς τους δακτυλίους. Οι "εκρήξεις" της λύσης κατά τον άξονα των z εμφανίζονται στο διάγραμμα των λύσεων x, y, z συναρτήση του χρόνου στο Σχήμα 5. Το ενδιαφέρον που παρατηρούμε είναι οτι η ένταση της "έκρηξης" που λαμβάνει χώρα σε κάθε κύκλο ποικίλει. Δηλαδή, σε κάθε κύκλο το κάθε "peak" του z λαμβάνει διαφορετική τιμή, με αποτέλεσμα για χρόνο t + να γεμίσει το κενό απο το επίπεδο x y έως τα σημεία των πιό υψηλών "peaks", Σχήμα 1. Ένα υψηλό "peak" φαίνεται κοντά στο t = 949 και ένα μικρό "peak" κοντά στο t =

32 2 2 Z Z Y X 2-2 Y X 2 2 Z Z Y X 2-2 X Σχήμα 4: Στιγμιότυπα στα οποία φαίνεται η σταδιακή δημιουργία του ελκυστή 1. Οι αρχικές συνθήκες που ληφθησαν υπ' όψιν μέχρι τώρα είναι x = 2, y = 1 και z = 2, οι οποίες επιλέχτηκαν τυχαία. Eνδιαφέρον παρουσιάζει να δούμε το τρόπο με τον οποίο η λύση πλησιάζει τον ελκυστή για άλλες αρχικές συνθήκες. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε τις αρχικές συνθήκες (x =, y =, z = 3), (x =, y =, z = 5) και (x =, y =, z = 1). Το Σχήμα 6 μας βεβαιώνει για την ικανότητα της ΑΑΠ του ελκυστή Ro ssler να ελκύει τις γειτονικές τροχιές. 32 Y

33 2 x y z time Σχήμα 5: Κίνηση των x, y, z ως προς χρόνο στο διαστημα t=(94-985) Z X Y 1 Σχήμα 6: Λύση του συστήματος Rössler (3..1) με αρχικές συνθηκες (x =, y =, z = 3), (x =, y =, z = 5) και (x =, y =, z = 1) σε κοινό σχήμα. 3.2 Ιδιοτιμές και Χρονοκλίμακες Για να μελετήσουμε καλύτερα τη συμπεριφορά του συστήματος Rössler, θα εξετάσουμε στη συνέχεια τις ιδιοτιμές του συστήματος, τις αντίστοιχες χρονοκλίμακες και τον τρόπο που αυτές 33

34 μεταβάλλονται με το χρόνο. Υπενθυμίζεται ότι οι χρονοκλίμακες ορίζονται από τη σχέση: τ n = λ n 1 (3.2.1) όπου το n = 1, 2,... το λ n δηλώνει το modulo του λ n = λ nr + iλ ni και το τ n τις αντιστοιχες χρονοκλίμακες. Στο σύστημα Rössler υπάρχουν 3 ιδιοτιμές, 1 πραγματική και 2 μιγαδικές. Στο Σχήμα 7 παρουσιάζεται η συμπεριφορά του πραγματικού μέρους της μεγαλύτερης ιδιοτιμής λ 1 κατά μήκος της κίνησης. Negative Positive 2 Z -1 X Y 1 Σχήμα 7: Η συμπεριφορά του πραγματικού μέρους της μεγαλύτερης ιδιοτιμής λ 1 κατά μήκος της κίνησης στον χώρο των φάσεων x y z. Ο μπλέ κύκλος υποδεικνύει την αρχική συνθήκη. Παρατηρούμε στο Σχήμα 7 ότι στη περιοχή που η λύση έλκεται προς την ΑΑΠ ή κινείται επί της ΑΑΠ το πραγματικό μέρος της λ 1 είναι αρνητικό. Αντίθετα, στην περιοχή όπου δεν υπάρχει ΑΑΠ και η λύση εμφανίζει τα "peaks" στον άξονα των z, το πραγματικό μέρος της λ 1 γίνεται θετικό. Αν τώρα εξετάσουμε το είδος της ιδιοτιμής (πραγματική ή ζεύγος μιγαδικών) που παρέχει τη συμπεριφορά που αποτυπώνεται στο Σχήμα 7, θα διαπιστώσουμε ότι σύμφωνα με το Σχήμα 8 κατά την κίνηση εκτός της ΑΑΠ: 34

35 Negative-Real Positive-Real Positive-Imag Negative-Imag 2 Z -1 X Y 1 2 Negative-Real Positive-Real Positive-Imag Negative-Imag Z Y Σχήμα 8: H συμπεριφορά του πραγματικού μέρους της μεγαλύτερης ιδιοτιμής λ 1 και το είδος της ιδιοτιμής (πραγματική ή ζεύγος μιγαδικών) κατά μήκος της κίνησης στον χώρο των φάσεων x y z. Ο μπλέ κύκλος υποδεικνύει την αρχική συνθήκη. 35

36 στη περίπτωση που έχουμε μικρό "peak" στο z, η ιδιοτιμή από 'αρνητική-πραγματική' που είναι επί της ΑΑΠ γίνεται στιγμιαία 'θετική-πραγματική' αφού έχει εκφυλιστεί η ΑΑΠ, μετά γίνεται 'θετική-φανταστική' κατά την κίνηση εκτός ΑΑΠ, στιγμιαία πάλι 'θετική-πραγματική' και τέλος κατά την επιστροφή της στο ΑΑΠ γίνεται 'αρνητικήπραγματική'. στη περίπτωση που έχουμε μεγάλο "peak" στο z, η ιδιοτιμή από 'αρνητική-πραγματική' που είναι επί της ΑΑΠ γίνεται στιγμιαία 'θετική-πραγματική' αφού έχει εκφυλιστεί η ΑΑΠ, μετά γίνεται 'θετική-φανταστική' κατά την κίνηση εκτός ΑΑΠ, μετά γίνεται 'θετικήπραγματική' και μετά στιγμιαία 'θετική-φανταστική', στη συνέχεια 'αρνητική-φανταστική' και τέλος κατά την επιστροφή της στο ΑΑΠ γίνεται 'αρνητική-πραγματική'. Το ιδιαίτερα σημαντικό στοιχείο που αναδεικνύει το Σχήμα 8 είναι ότι στο διάστημα της κίνησης εκτός ΑΑΠ, όταν το z αυξάνεται (δηλ. όταν η λύση απομακρύνεται από το επίπεδο x y στο z =, όπου βρίσκεται η ΑΑΠ) το πραγματικό μέρος της λ 1 είναι θετικό. Αντίθετα, όταν το z μειώνεται (δηλ. όταν η λύση πλησιάζει το επίπεδο x y στο z =, όπου βρίσκεται η ΑΑΠ) το πραγματικό μέρος της λ 1 είναι αρνητικό. Στο Σχήμα 9 παρουσιάζεται η εξέλιξη του πραγματικού και φανταστικού μέρους των τριών ιδιοτιμών του συστήματος Rössler, για ένα διάστημα λίγο μεγαλύτερο του ενός κύκλου γύρω από τον ελκυστή. Η λύση κινείται προς και ακολούθως επί της ΑΑΠ όταν το πραγματικό μέρος της λ 1 είναι αρνητικό και παράλληλα υπάρχει μία μεγάλη απόσταση από αυτήν και τις δύο μικρότερες. Επίσης, το Σχήμα 9 υποδηλωνει ότι το φανταστικό μέρος του ζεύγους των μιγαδικών ιδιοτιμών γίνεται τοπικά μέγιστο όταν η λύση κινείται εκτός ΑΑΠ και το z γίνεται μέγιστο. Στο Σχημα 1 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη των τριών χρονοκλιμάκων του συστήματος Rössler για ένα διάστημα λίγο μεγαλύτερο από αυτό του Σχήματος 9. Σε συνδιασμό με το Σχήμα 9, το Σχήμα 1 δηλώνει ότι υπάρχει μόνο μία γρήγορη αποσβετική χρονοκλίμακα, για ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα του κύκλου. Στο διάστημα αυτό ο αριθμός Μ των γρήγορων αποσβετικών χρονοκλιμάκων ισούται με 1 και η διάσταση του αργού υποχώρου (δηλαδή της ΑΑΠ) είναι Ν-Μ = 2. Το γεγονός ότι η λύση κινείται επί της ΑΑΠ στο διάστημα αυτό δηλώνεται και από το μέτρο του εύρους f 1 το οποίο γίνεται αμελητέο, όπως φαίνεται στο Σχημα 1. Αναφορικά με την αποτελεσματικότητα των b r -βελτιώσεων, το Σχημα 1 υποδηλώνει ότι η δεύτερη βελτίωση μειώνει σημαντικά το μέτρο του f 1, άρα βελτιώνει σημαντικά την ακρίβεια 36

37 λ 1,r -1 λ 2,r λ 3,r time λ 1,i λ 2,i λ 3,i time Σχήμα 9: Η εξέλιξη των πραγματικών και φανταστικών μερών των λ 1, λ 2, λ 3 ως προς τον χρόνο. με την οποία προσεγγίζεται η ΑΑΠ και το απλοποιημένο μοντέλο. Αντίθετα, η τρίτη βελτίωση δεν παρέχει σημαντική μείωση του μέτρου του f 1. Ο λόγος που προκαλεί αυτή την εξέλιξη θα εξεταστεί στη συνέχεια. 37

38 1 τ 1 τ 2 τ time f st-ref 2nd-ref 3rd-ref time Σχήμα 1: Χρονική εξέλιξη των χρονοκλιμάκων τ 1, τ 2 και τ 3 του συστήματος Rössler και του εύρους f 1 στην πρώτη, στην δεύτερη και στην τρίτη b r -βελτίωση. 38

39 3.3 Ανάλυση με χρήση CSP Για την ανάλυση του μοντέλου του Rössler θα χρησιμοποιηθεί ο τροποποιημένος αλγόριθμος CSP. Δεδομένου ότι στην προηγούμενη παράγραφο διαπιστώσαμε ότι το σύστημα χαρακτηρίζεται από 1 γρήγορη και 2 αργές χρονοκλίμακες όταν η λύση κινείται επί της ΑΑΠ, πρέπει να επιλέξουμε κατάλληλα μία γρήγορη και δύο αργές μεταβλητές. Για το θέμα αυτό ο CSP Pointer υποδεικνύει ότι η γρήγορη μεταβλητή είναι η z, γεγονός που επιβεβαιώνεται και από τη συμπεριφορά των τριών μεταβλητών, όπως αποτυπώνεται στο Σχήμα 5. Τα βασικά στοιχεία του τροποποιημένου CSP αλγορίθμου που χρησιμοποιούμε εδώ είναι οι G r s και R s r πίνακες. Για την εύρεση των εκφράσεων αυτών των δύο πινάκων, καθώς και των μεγεθών της CSP, χρησιμοποιήθηκε το πακέτο Mathematica. Ο τρόπος υπολογισμού των πινάκων αυτών και των άλλων μεγεθών της CSP παρουσιάζεται στο παράρτημα. Οι εκφράσεις για το εύρος f 1, όπως φαίνεται και στο Παράρτημα, μετά από μία, δύο και τρείς b r -βελτιώσεις είναι: f 1 1st ref = b 1.g f 1 2nd ref = b 2.g f 1 3rd ref = b 3.g (3.3.1) Ενδεικτικά οι εκφράσεις του f1st ref 1 και του f 2nd ref 1, όπως υπολογίστηκαν απο το πακέτο Mathematica, είναι: f 1 1st ref = b + z(x c) + z(y + z) c x (3.3.2) f 1 2nd ref = b + z(x c) (x + ay)z (c x) 2 z + (y + z)(b( c + x) + z(2(c x)2 + y + z)) (c x) 3 + ( c + x)z (3.3.3) Η έκφραση του f3rd ref 1 είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη και για αυτό δεν παρουσιάζεται εδώ. Η χρονική εξέλιξη στην περιοχή της ΑΑΠ του εύρους που αντιστοιχεί στην πιό γρήγορη αποσβετική χρονοκλίμακα f 1 παρουσιάζεται στα Σχήματα 1 και 11. Το f 1 υπολογίζεται με μία, δύο και τρείς B r -βελτιώσεις. Όπως αναμενόταν, η εφαρμογή κάθε επιπλέον βελτίωσης μειώνει το μέτρο του f 1, παρέχει δηλαδή καλύτερη ακρίβεια. Όπως δηλώθηκε και στην προηγούμενη παράγραφο, η δεύτερη βελτίωση μειώνει σημαντικά το μέτρο του f 1, ενώ η τρίτη βελτίωση δεν παρέχει ίδιας τάξης μείωση του μέτρου του f 1. 39

40 f st-ref 2nd-ref 3rd-ref time Σχήμα 11: Χρονική εξέλιξη του f 1 στην πρώτη, στην δεύτερη και στην τρίτη b r -βελτίωση. 3.4 Το απλοποιημένο μοντέλο της CSP Σύμφωνα με την CSP μέθοδο μπορούμε να παραστήσουμε το σύστημα μας στην μορφή: dy = a 1f 1 + a 2 f 2 + a 3 f 3 (3.4.1) όπου οι όροι a 1 f 1, a 2 f 2 και a 3 f 3 συσχετίζονται άμεσα με τις "γρήγορες" και "αργές" αντίστοιχα χρονοκλίμακες και τα f i ορίζονται ώς: f i = b i g(y) (3.4.2) Όταν η λύση κινείται επί της ΑΑΠ, το εύρος f 1 το οποίο αντιστοιχεί στην γρήγορη χρονοκλίμακα τ 1 λαμβάνει αμελητέες τιμές εξαιτίας της επίδρασης της χρονοκλίμακας αυτής. Παρατηρούμε στο Σχήμα 11 οτι όταν η λύση κινείται στην ΑΑΠ, μετά απο κάθε b r -βελτίωση το μέγεθος του f 1 μειώνεται, γεγονός που οφείλεται στην καλύτερη προσέγγιση του αργού υπόχωρου του εφαπτόμενου χώρου. Γεγονός είναι ότι όταν οι γρήγορες χρονοκλίμακες εξαντληθούν και συνεπώς η λύση κινείται επί της ΑΑΠ, το f 1 γίνεται αμελητέως μικρό: έτσι ώστε η Εξ. (3.4.1) απλοποιείται στη μορφή: f 1 (3.4.3) dy = a 2f 2 + a 3 f 3 (3.4.4) 4

41 Η Εξ.(3.4.4), απαλλαγμένη απο τον όρο a 1 f 1, αποτελεί την απλοποιημένη εξίσωση που εκφράζει το "αργό" σύστημα που προσομοιάζει τη ροή πάνω στην ΑΑΠ. Ενδεικτικά, οι εκφράσεις των 3 ευρών f 1, f 2 και f 3, όπως αυτά υπολογίστηκαν μέσω του πακέτου Mathematica για την πρώτη b r -βελτίωση είναι: f 1 = b + ( c + x)z + z(y + z) c x f 2 = c x) [b + (c x)y (c x) 2 z f 3 = x + ay (3.4.5) Τα αντίστοιχα CSP διανύσματα βάσης a 1, a 2 και a 3 (πάντα για την πρώτη b r -βελτίωση) είναι: (c x) (c x) 2 z 1 a 1 = a 2 = a 3 = 1 (3.4.6) (c x) 2 z (c x) 2 z c x Δεδομένων των διανυσμάτων βάσης a i και των ευρών f i για i = 2, 3, μπορεί να κατασκευαστεί η ακόλουθη έκφραση του "αργού" συστήματος της Εξ.(3.4.4) για την πρώτη b r -βελτίωση: (c x)(b + (c x)y) x (c x) 2 z d y = a 2f 2 + a 3 f 3 = x + ay (3.4.7) z (b + (c x)y)z (c x) 2 z Η εξέλιξη του πραγματικού μέρους των τριών ιδιοτιμών λ 1, λ 2 και λ 3 του "αργού" συστήματος, κατασκευασμένο με μία, δύο και τρείς b r -βελτιώσεις, παρουσιάζεται στο Σχήμα 12 για το διάστημα που η λύση κινείται επί της ΑΑΠ, μαζί με την εξέλιξη του πραγματικού μέρους της λ 1 του αρχικού συστήματος. Τα αποτελέσματα των τριών περιπτώσεων που εξετάζονται στο Σχήμα 12 υποδεικνύουν ότι επί της ΑΑΠ οι δύο αργές ιδιοτιμές του "αργού" συστήματος παρουσιάζουν την εξής συμπεριφορά: λ 2r,1st ref λ 2r,2nd ref λ 2r,3rd ref λ 2r (3.4.8) λ 3r,1st ref λ 3r,2nd ref λ 3r,3rd ref λ 3r (3.4.9) όπου όπως δείχνει το Σχήμα 9, επί της ΑΑΠ οι δύο μικρότερες ιδιοτιμες του αρχικού συστήματος αποτελούν συζυγές ζεύγος, δηλαδή λ 2r = λ 3r. Συνεπώς, το "αργό" σύστημα αναπαράγει σωστά την αργή δυναμική του αρχικού συστήματος, Εξ Η ικανότητα του "αργού" 41

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΟΥ ΤΡΟΧΑΙΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΟΥ ΤΡΟΧΑΙΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΟΥ ΤΡΟΧΑΙΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΤΗΣΙΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ για τη χρήση 2014 (από την 1η Ιανουαρίου έως την 31η Δεκεμβρίου 2014) Σύμφωνα με τα Διεθνή Πρότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Ενημερωτικό σημείωμα. 1029 Νέα Έργα ΕΣΠΑ

Ενημερωτικό σημείωμα. 1029 Νέα Έργα ΕΣΠΑ Ενημερωτικό σημείωμα 1029 Νέα Έργα ΕΣΠΑ Στον τομέα του περιβάλλοντος εντάχθηκαν στο Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Περιβάλλον Αειφόρος Ανάπτυξη 90 έργα συνολικού π/υ 542,8 εκ (συγχρηματοδοτούμενη ΔΔ 505,3 εκ

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική ενότητα του σχολικού εγχειριδίου «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας- Η οικονομία» Στόχοι διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας

Η διδακτική ενότητα του σχολικού εγχειριδίου «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας- Η οικονομία» Στόχοι διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας Διδακτική πρόταση H διδασκαλία της ενότητας «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας Η οικονομία» με τη βοήθεια του Eκπαιδευτικού Λογισμικού «Το 21 εν πλω» Τάξη Γ Γυμνασίου Διδακτικό υλικό Το σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΟΥ ΧΑΝΙΟΥ ΤΟΥ ΙΜΠΡΑΗΜ ΚΩΔΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΖΟΜΕΝΟΥ: 12234

ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΟΥ ΧΑΝΙΟΥ ΤΟΥ ΙΜΠΡΑΗΜ ΚΩΔΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΖΟΜΕΝΟΥ: 12234 12234 Ένας δηµόσιος χώρος αποτελεί ένα κύτταρο στο δοµηµένο ιστό της πόλης. Δεν πρέπει µόνο να είναι ευδιάκριτος αλλά και να εντάσσεται πλήρως. Οφείλει να ανασυντάσσει την εικόνα της πόλης η οποία είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΥΤΕΠΑΓΓΕΛΤΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ ΜΙΑ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. ( Διοικητική Ενημέρωση, τ.51, Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος 2009)

Η ΑΥΤΕΠΑΓΓΕΛΤΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ ΜΙΑ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. ( Διοικητική Ενημέρωση, τ.51, Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος 2009) Η ΑΥΤΕΠΑΓΓΕΛΤΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ ΜΙΑ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ( Διοικητική Ενημέρωση, τ.5, Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος 009). Η θέσπιση του νέου μέτρου Η σημαντικότερη απόπειρα καινοτομικής δράσης της

Διαβάστε περισσότερα

Το συνέδριο σας πραγματοποιείται σε μια εξαιρετικά δύσκολη συγκυρία για τον τόπο, την οικονομία της χώρας, την κοινωνία και τον κόσμο της εργασίας.

Το συνέδριο σας πραγματοποιείται σε μια εξαιρετικά δύσκολη συγκυρία για τον τόπο, την οικονομία της χώρας, την κοινωνία και τον κόσμο της εργασίας. ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ του ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ ΜΠΑΛΑΣΟΠΟΥΛΟΥ ΠΡΟΕΔΡΟΥ της ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της Π.Ο.Ε.-Ο.Τ.Α. στο ΤΑΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ της Κ.Ε.Δ.Ε. ΚΟΜΟΤΗΝΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2012 Αγαπητοί Φίλοι, Θέλω εκ μέρους των

Διαβάστε περισσότερα

Το«Δέντρο της Ελευθερίας» μέσα από τη Χάρτα του Ρήγα Φεραίου και τα ιστορικά γεγονότα της εποχής του

Το«Δέντρο της Ελευθερίας» μέσα από τη Χάρτα του Ρήγα Φεραίου και τα ιστορικά γεγονότα της εποχής του Το«Δέντρο της Ελευθερίας» μέσα από τη Χάρτα του Ρήγα Φεραίου και τα ιστορικά γεγονότα της εποχής του ΟΡήγας,επονομαζόμενοςΦεραίοςήΒελεστινλής, υπήρξεπρόδρομοςτηςελληνικήςεπανάστασηςτου1821. Ένας από εκείνους

Διαβάστε περισσότερα

Εισήγηση για την ακτοπλοΐα

Εισήγηση για την ακτοπλοΐα Εισήγηση για την ακτοπλοΐα Τα κριτήρια για την οργάνωση της ακτοπλοϊκής και αεροπορικής συγκοινωνίας σε περιφερειακό επίπεδο ακόμη και πανελλαδικά, πρέπει να είναι η ικανοποίηση των σύγχρονων λαϊκών αναγκών

Διαβάστε περισσότερα

Το ολοκαύτωμα της Κάσου

Το ολοκαύτωμα της Κάσου Το ολοκαύτωμα της Κάσου Το βρίκιον Άρης, 1881 Κολοβός Γεώργιος Ερευνητής Συγγραφέας Πτυχιούχος Διοίκησης Ναυτιλιακών και Μεταφορικών Επιχειρήσεων Ανώτατου Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Πειραιά Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΙΜΙΟ... 4-5 1.ΑΝΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΑΤΕΣΤΗΜΕΝΩΝ... 6-20

ΠΡΟΟΙΜΙΟ... 4-5 1.ΑΝΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΑΤΕΣΤΗΜΕΝΩΝ... 6-20 Πίνακας περιεχομένων ΠΡΟΟΙΜΙΟ... 4-5 1.ΑΝΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΑΤΕΣΤΗΜΕΝΩΝ... 6-20 1.1 Αλλαγή του πολιτικού συστήματος... 6-9 1.1.1 Εξυγίανση του πολιτικού συστήματος. Διαφάνεια παντού...

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία. Έρευνα:

Διπλωματική Εργασία. Έρευνα: Διπλωματική Εργασία Έρευνα: Συστήματα επιλογής προσωπικού σε εταιρείες τεχνολογικά αναπτυγμένες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΟΤΕΛΑΪΝ ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΙΕΣ ΕΙΔΩΝ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ Α.Ε. ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΥΤΟΚΛΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΤΗΣ 29-04-2014

ΧΟΤΕΛΑΪΝ ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΙΕΣ ΕΙΔΩΝ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ Α.Ε. ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΥΤΟΚΛΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΤΗΣ 29-04-2014 ΧΟΤΕΛΑΪΝ ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΙΕΣ ΕΙΔΩΝ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ Α.Ε. ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΥΤΟΚΛΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΤΗΣ 29-04-2014 Στη Νέα Φιλαδέλφεια, σήμερα στις 29 Απριλίου 2014, ημέρα Τρίτη και ώρα 13:00, στα γραφεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση θα εφαρμοστεί με τα παρακάτω Εργαλεία

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση θα εφαρμοστεί με τα παρακάτω Εργαλεία ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κρίση υπερχρέωσης και οι πολιτικές δημοσιονομικής προσαρμογής ανέδειξαν τις διαρθρωτικές αδυναμίες της περιφερειακής οικονομίας και προκάλεσαν επιπτώσεις σε σχέση με την οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

Καλωσόρισμα επισήμων. Κυρίες και κύριοι,

Καλωσόρισμα επισήμων. Κυρίες και κύριοι, 1 Καλωσόρισμα επισήμων Κυρίες και κύριοι, Εκ μέρους των μελών του Διοικητικού μας συμβουλίου, σας καλωσορίσω στο 17 ο Ετήσιο Συνέδριο της Συνομοσπονδίας μας, μέσα από τις εργασίες του οποίου αισιοδοξούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271. Αγαπητέ κ.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271. Αγαπητέ κ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271 Αγαπητέ κ. Δήμαρχε Σας στέλνω συνημμένη την μελέτη στελέχωσης του δήμου σας,

Διαβάστε περισσότερα

Αρ. Εγκ.: 52 ΘΕΜΑ: Ορισμός των διοικητικών συμβουλίων των νομικών προσώπων και συνδέσμων των Δήμων

Αρ. Εγκ.: 52 ΘΕΜΑ: Ορισμός των διοικητικών συμβουλίων των νομικών προσώπων και συνδέσμων των Δήμων Ελληνική ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 10 Οκτωβρίου 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ Αριθ. Πρωτ.: οικ. 39155 ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΣ: Δ/ΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΟΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΙΜΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. Αγγελική Περιστέρη Α 2

ΕΘΙΜΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. Αγγελική Περιστέρη Α 2 ΕΘΙΜΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Αγγελική Περιστέρη Α 2 ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ Ιρλανδία: Τη νύκτα της παραμονής των Χριστουγέννων όλα τα παράθυρα των σπιτιών που βλέπουν προς το δρόμο, φωτίζονται από ένα αναμμένο κερί, το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ της περιόδου από 1η Ιανουαρίου έως 30η Σεπτεμβρίου 2014 βάση των Διεθνών Προτύπων Χρηματοοικονομικής Αναφοράς

ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ της περιόδου από 1η Ιανουαρίου έως 30η Σεπτεμβρίου 2014 βάση των Διεθνών Προτύπων Χρηματοοικονομικής Αναφοράς ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ της περιόδου από 1η Ιανουαρίου έως 30η Σεπτεμβρίου 2014 βάση των Διεθνών Προτύπων Χρηματοοικονομικής Αναφοράς Βεβαιώνεται ότι οι συνημμένες Οικονομικές καταστάσεις της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Συνταξιοδοτικός ΠΟΕΔΗΝ. Μετά την εφαρμογή των νόμων Ν.4336/2015, Ν.4337/2015. Πίνακες με τα νέα όρια ηλικίας συνταξιοδότησης Δημόσιο.

Συνταξιοδοτικός ΠΟΕΔΗΝ. Μετά την εφαρμογή των νόμων Ν.4336/2015, Ν.4337/2015. Πίνακες με τα νέα όρια ηλικίας συνταξιοδότησης Δημόσιο. Συνταξιοδοτικός οδηγός Μετά την εφαρμογή των νόμων Ν.4336/2015, Ν.4337/2015 Πίνακες με τα νέα όρια ηλικίας Δημόσιο ΙΚΑ ΠΡΟΣΟΧΗ! ΟΠΟΙΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΜΕΝΟΣ ΕΝΤΑΣΣΕΤΑΙ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Προδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν

Προδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν Προδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν μικρομεσαίες επιχειρήσεις και ελευθέρους επαγγελματίες. Τονίζεται ότι τα προγράμματα είναι σε προδημοσίευση. Με τη δημοσίευση της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: «Ικανοποίηση των ασθενών των Εξωτερικών Ιατρείων του νοσοκομείου

Διαβάστε περισσότερα

Μάριος Χάκκας. Το Ψαράκι της γυάλας

Μάριος Χάκκας. Το Ψαράκι της γυάλας Μάριος Χάκκας Το Ψαράκι της γυάλας 1. Γραμματολογικά: Το διήγημα Το ψαράκι της γυάλας πρωτοδημοσιεύτηκε το 1971 μαζί με άλλα δύο διηγήματα, Ένα κορίτσι και ο Γιάννης το θεριό μυρμήγκι, στο συλλογικό τόμο

Διαβάστε περισσότερα

Αρωματικά φυτά της Ελλάδας

Αρωματικά φυτά της Ελλάδας Αρωματικά φυτά της Ελλάδας 1. ΣΤΟΧΟΙ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Να ενημερωθούμε περί των αρωματικών φυτών της Ελλάδας. Να μάθουμε για τις θεραπευτικές τους ιδιότητες. Να μάθουμε τις τοποθεσίες που βρίσκονται. Να μάθουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στεκόμαστε αλληλέγγυοι σ όσους, ατομικά ή συλλογικά επανακτούν αυτά που νόμιμα μας κλέβουν οι εξουσιαστές.

Στεκόμαστε αλληλέγγυοι σ όσους, ατομικά ή συλλογικά επανακτούν αυτά που νόμιμα μας κλέβουν οι εξουσιαστές. Εγώ καταληστεύω καθημερινά τον πολίτη αυτής της χώρας. Εγώ τον φέρνω κάθε τέλος του μήνα σε απόγνωση, όταν συνειδητοποιεί ότι δεν θα μπορέσει να ανταπεξέλθει στις οικονομικές του υποχρεώσεις. Εγώ τον αναγκάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩ ΙΚΑΣ ΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ «ΠΑΠΟΥΤΣΑΝΗΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΩΝ ΑΓΑΘΩΝ»

ΚΩ ΙΚΑΣ ΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ «ΠΑΠΟΥΤΣΑΝΗΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΩΝ ΑΓΑΘΩΝ» ΚΩ ΙΚΑΣ ΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ «ΠΑΠΟΥΤΣΑΝΗΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΩΝ ΑΓΑΘΩΝ» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Γενικά...3 2 Θέματα Απασχόλησης...3 3 Σύγκρουση συμφερόντων...4

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Β Γυμνασίου Τμήμα Β3. Γρηγόρης Μαγουλάς Φανή Μανούσου Κύρος Μαλλαμίδης Ελίνα Μάλλιαρη Μάγδα Μαντά

Χημεία Β Γυμνασίου Τμήμα Β3. Γρηγόρης Μαγουλάς Φανή Μανούσου Κύρος Μαλλαμίδης Ελίνα Μάλλιαρη Μάγδα Μαντά Χημεία Β Γυμνασίου Τμήμα Β3 Γρηγόρης Μαγουλάς Φανή Μανούσου Κύρος Μαλλαμίδης Ελίνα Μάλλιαρη Μάγδα Μαντά Τι είναι άμεση και έμμεση ρύπανση του νερού. Πώς προκαλείται η ρύπανση του νερού. Επιπτώσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Σε ποιες κατηγορίες μειώνεται η σύνταξη από 1/1/2009 (σε εφαρμογή του Ν.3655/2008)

Σε ποιες κατηγορίες μειώνεται η σύνταξη από 1/1/2009 (σε εφαρμογή του Ν.3655/2008) Σε ποιες κατηγορίες μειώνεται η σύνταξη από 1/1/2009 (σε εφαρμογή του Ν.3655/2008) Μείωση μέχρι 10% θα έχουμε στις νέες συντάξεις από 1/1/2009 στις περιπτώσεις που χορηγείται από τα Ταμεία μειωμένη σύνταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΘΕΩΡΗΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ (Γ.Ε.Δ.Δ.)ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΚΤΗΡΙΩΝ (ΟΣΚ)

ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΘΕΩΡΗΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ (Γ.Ε.Δ.Δ.)ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΚΤΗΡΙΩΝ (ΟΣΚ) ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΘΕΩΡΗΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ (Γ.Ε.Δ.Δ.)ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΚΤΗΡΙΩΝ (ΟΣΚ) Στον Γενικό Επιθεωρητή Δημόσιας Διοίκησης (Γ.Ε.Δ.Δ.), στον Υπουργό Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Τμήμα Μουσικής Επιστήμης και Τέχνης Πτυχιακή Εργασία της φοιτήτριας Αναστασίας Κουτουλίδου με τίτλο: Ο ρόλος της γυναίκας στο ρεμπέτικο τραγούδι (Πειραιάς, 1922-1953) Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ Δ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

ΤΕΥΧΟΣ Δ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΙΚΤΥΟΥ Λ. Αθηνών 72, 18547, Ν. Φάληρο ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ με αριθμό ΔΕΕΔ-11 ΠΑΡΟΧΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ: «ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΣΤΙΑΤΟΡΙΟΥ ΤΗΣ στο Ν. Φάληρο (Ελαϊδα)» ΔΕΕΔ/ΔΕΔΔΗΕ Α.Ε ΤΕΥΧΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

http://www.gdimitrakopoulos.gr Ποιες άδειες χορηγεί ο ιευθυντής - Προϊστάµενος Σχολικής Μονάδας

http://www.gdimitrakopoulos.gr Ποιες άδειες χορηγεί ο ιευθυντής - Προϊστάµενος Σχολικής Μονάδας ηµητρακόπουλος Γιώργος Πρόεδρος του Συλλόγου της Νίκαιας Υποψήφιος Αιρετός ΠΥΣΠΕ / ΚΥΣΠΕ Τηλ. επικοινωνίας 6977 747439 e-mail: info@gdimitrakopoulos.gr Ποιες άδειες χορηγεί ο ιευθυντής - Προϊστάµενος Σχολικής

Διαβάστε περισσότερα

στο πλαίσιο του έργου ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ (ON GOING) ΤΟΥ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ»

στο πλαίσιο του έργου ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ (ON GOING) ΤΟΥ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ» Τελική Έκθεση Αξιολόγησης Ευρημάτων της Έρευνας Πεδίου «Διαρθρωτική προσαρμογή εργαζομένων και επιχειρήσεων εντός της οικονομικής κρίσης για επιχειρήσεις με στο πλαίσιο του έργου ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Ψυχοπαθολογία του Πολιτικού Του Φ.Μωρόγιαννη *

Η Ψυχοπαθολογία του Πολιτικού Του Φ.Μωρόγιαννη * Η Ψυχοπαθολογία του Πολιτικού Του Φ.Μωρόγιαννη * Ωριμάσαμε ως συντεταγμένη δημοκρατική κοινωνία με κοινοβουλευτικούς θεσμούς, περιφερειακή οργάνωση και τοπική αυτοδιοίκηση έως σήψης λίγο πριν την απόλαυση

Διαβάστε περισσότερα

Την 30.1.2010, η επιχείρηση εξόφλησε με μετρητά την υποχρέωσή της προς τον προμηθευτή Λ αξίας 15.000 ως το Ενταλμα Πληρωμής 1/30.1.2010.

Την 30.1.2010, η επιχείρηση εξόφλησε με μετρητά την υποχρέωσή της προς τον προμηθευτή Λ αξίας 15.000 ως το Ενταλμα Πληρωμής 1/30.1.2010. Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Χρηματοοικονομικής και Στατιστικής Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Μάθημα: Εισαγωγή στη Λογιστική Καθηγητής : Χρήστος Αλεξάκης Διδάσκων: Γεώργιος Στ. Αληφαντής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΗΓΗΣΗ. επί της 5ης Αναμόρφωσης του προϋπολογισμού της Περιφέρειας Ιονίων Νήσων, για το οικονομικό έτος 2014

ΕΙΣΗΓΗΣΗ. επί της 5ης Αναμόρφωσης του προϋπολογισμού της Περιφέρειας Ιονίων Νήσων, για το οικονομικό έτος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ Δ/ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΥΠ/ΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΙΑΧ/ΣΗΣ ΤΑΧ. ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΑΜΑΡΑ 13 ΚΕΡΚΥΡΑ, 49100 Πληρ.: Αικ. Κότση Τηλ.:2661362254

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. στο σχέδιο νόμου «Συγκέντρωση και αδειοδότηση επιχειρήσεων Μέσων Ενημέρωσης και άλλες διατάξεις» Προς τη Βουλή των Ελλήνων

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. στο σχέδιο νόμου «Συγκέντρωση και αδειοδότηση επιχειρήσεων Μέσων Ενημέρωσης και άλλες διατάξεις» Προς τη Βουλή των Ελλήνων ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόμου «Συγκέντρωση και αδειοδότηση επιχειρήσεων Μέσων Ενημέρωσης και άλλες διατάξεις» Προς τη Βουλή των Ελλήνων Ι. Επί της αρχής. Με τις διατάξεις του παρόντος σχεδίου νόμου

Διαβάστε περισσότερα

8 Μάρτη. Η βία κατά των γυναικών

8 Μάρτη. Η βία κατά των γυναικών 8 Μάρτη 8 Μάρτη πριν από λίγες μέρες. Για ακόμα μια φορά αντιμετωπίστηκε ως μέρα γιορτής. Διαφημίσεις Ηondos center. Ανακοινώσεις από «ευαισθητοποιημένους» σε θέματα ισότητας. Οι επιφανειακές αναφορές

Διαβάστε περισσότερα

www.kapalearn.gr e-mail: info@kapalearn.gr ΚΟΡΙΝΘΟΥ 255, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 101 ΤΗΛ. 2610 625.360, 2610 624.009, FAX 2610 625.366

www.kapalearn.gr e-mail: info@kapalearn.gr ΚΟΡΙΝΘΟΥ 255, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 101 ΤΗΛ. 2610 625.360, 2610 624.009, FAX 2610 625.366 Α. Ο άνθρωπος, όπως υπογραμμίζει ο συγγραφέας, δεν είναι ρυθμιστής του κόσμου, παρά διαχειριστής του. Αυτή την παρεξήγηση, που ίσχυε για αιώνες, θέλησε να διαλύσει ο πανεπιστήμων άνθρωπος της Αναγέννησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ. Τμήμα: Μουσειοπαιδαγωγική Εκπαίδευση

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ. Τμήμα: Μουσειοπαιδαγωγική Εκπαίδευση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τμήμα: Μουσειοπαιδαγωγική Εκπαίδευση Πτυχιακή Εργασία Θέμα: Εθνολογικό Μουσείο Θράκης Επιβλέποντες καθηγητές: Β. Αναγνωστόπουλος Φ. Αέκκα Φοιτήτρια: Πετράκη Ελένη Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Δαλιάνη Δήμητρα Λίζας Δημήτρης Μπακομήτρου Ελευθερία Ντουφεξιάδης Βαγγέλης

Δαλιάνη Δήμητρα Λίζας Δημήτρης Μπακομήτρου Ελευθερία Ντουφεξιάδης Βαγγέλης Δαλιάνη Δήμητρα Λίζας Δημήτρης Μπακομήτρου Ελευθερία Ντουφεξιάδης Βαγγέλης Αισθηματικές ταινίες Bιογραφικές ταινίες Βωβές ταινίες Δραματικές ταινίες Επιστημονικής φαντασίας Μικρού μήκους Πολιτικές Πολεμικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΣΥΝΗΘΕΣΤΕΡΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ ΕΝΔΙΚΟΦΑΝΟΥΣ ΠΡΟΣΦΥΓΗΣ ΕΝΩΠΙΟΝ ΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΣΥΝΗΘΕΣΤΕΡΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ ΕΝΔΙΚΟΦΑΝΟΥΣ ΠΡΟΣΦΥΓΗΣ ΕΝΩΠΙΟΝ ΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΥΠΟΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ Β1, Β2 ΝΟΜΙΚΗΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΣΥΝΗΘΕΣΤΕΡΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ

Διαβάστε περισσότερα

Οι 21 όροι του Λένιν

Οι 21 όροι του Λένιν Οι 21 όροι του Λένιν 1. Όλη η προπαγάνδα και η αναταραχή, πρέπει να φέρουν έναν πραγματικά κομμουνιστικό χαρακτήρα και σύμφωνα με το πρόγραμμα και τις αποφάσεις της Κομμουνιστικής Διεθνούς. Όλα τα όργανα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ

Α. ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Α. ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Με την υπαγωγή του τομέα και της πολιτικής για την Έρευνα και την Τεχνολογία στο Υπουργείο Παιδείας, Δια Βίου Μάθησης και Θρησκευμάτων (ΥΠΔΒΜΘ), το Υπουργείο ανέλαβε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: Β4ΩΣ7ΛΡ-876 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΑΚΤΙΚΟ 10 ο /10-4-2012 ΑΠΟΦΑΣΗ 286/2012

ΑΔΑ: Β4ΩΣ7ΛΡ-876 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΑΚΤΙΚΟ 10 ο /10-4-2012 ΑΠΟΦΑΣΗ 286/2012 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΑΚΤΙΚΟ 10 ο /10-4-2012 ΑΠΟΦΑΣΗ 286/2012 ΘΕΜΑ: 19 ο Ορισμός δικηγόρου για παράσταση στο Μονομελές Πρωτοδικείο Καρδίτσας.

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη 12 Γενάρη ώρα 7 μμ

Τρίτη 12 Γενάρη ώρα 7 μμ Μηνιάτικη ηλεκτρονική έκδοση του Πανελλήνιου Σωματείου Θεάτρου Σκιών Τεύχος 31 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2010 Τρίτη 12 Γενάρη ώρα 7 μμ Στα γραφεία του Σωματείου Κόψιμο πίττας (Δεν θα ανοίξουν την Τρίτη 5 Γενάρη) Γενική

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία: Είσπραξη δημοσίων Εσόδων

Κατηγορία: Είσπραξη δημοσίων Εσόδων Κατηγορία: Είσπραξη δημοσίων Εσόδων Αιτιολογική έκθεση Στο σχέδιο νόμου "Ρυθμίσεις για την επανεκκίνηση της οικονομίας". Προς τη Βουλή των Ελλήνων Α. Επί της Αρχής : Με το προτεινόμενο σχέδιο νόμου προτείνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ A1. Ο συγγραφέας ορίζει το φαινόμενο του ανθρωπισμού στη σύγχρονη εποχή. Αρχικά προσδιορίζει την

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ A1. Ο συγγραφέας ορίζει το φαινόμενο του ανθρωπισμού στη σύγχρονη εποχή. Αρχικά προσδιορίζει την ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ A1. Ο συγγραφέας ορίζει το φαινόμενο του ανθρωπισμού στη σύγχρονη εποχή. Αρχικά προσδιορίζει την έννοια της ανθρωπιάς ως συμμετοχής στα προβλήματα των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Θέμα 69 ο Εισήγηση για την υπ αρίθμ. 5 Τροποποίηση Προϋπολογισμού Οικ. Έτους 2013.

ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Θέμα 69 ο Εισήγηση για την υπ αρίθμ. 5 Τροποποίηση Προϋπολογισμού Οικ. Έτους 2013. Συνεδρίαση 60 η Απόφαση υπ αριθμ. 2564/2013 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Δ/νση: Λ. Συγγρού 15 17 Τ.Κ.: 117 43 Αθήνα Τηλ.: 213 20 63 776 213 20 63 537 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ:ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ Α.Ε.

ΑΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ:ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ Α.Ε. ΑΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ:ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ Α.Ε. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...05 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΙΔΡΥΣΗ ΑΝΩΝΥΜΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ 1.1 Σύσταση Ανώνυμης Εταιρείας...06

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ- ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΕΒΕΖΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΈΓΓΡΑΦΟ Σ.Ε.Ε.Δ.Δ.Ε. ΟΙ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟΥ

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΈΓΓΡΑΦΟ Σ.Ε.Ε.Δ.Δ.Ε. ΟΙ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΑ 15-01-2014 ΑΡ. ΠΡΩΤ.: 2270 ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΈΓΓΡΑΦΟ Σ.Ε.Ε.Δ.Δ.Ε. ΟΙ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟΥ Για τα εισοδήματα του 2013, τη φορολογία και τα πρόστιμα του 2014, ισχύουν τα εξής: Καταργείται το

Διαβάστε περισσότερα

*Απόσπασμα από το βιβλίο των Σέργιου Δημητριάδη και Αλεξίας Μ. Τζωρτζάκη, ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ, Αρχές, Στρατηγικές, Εφαρμογές, εκδόσεις Rosili, Αθήνα, 2010.

*Απόσπασμα από το βιβλίο των Σέργιου Δημητριάδη και Αλεξίας Μ. Τζωρτζάκη, ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ, Αρχές, Στρατηγικές, Εφαρμογές, εκδόσεις Rosili, Αθήνα, 2010. *Απόσπασμα από το βιβλίο των Σέργιου Δημητριάδη και Αλεξίας Μ. Τζωρτζάκη, ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ, Αρχές, Στρατηγικές, Εφαρμογές, εκδόσεις Rosili, Αθήνα, 2010. 1 / 7 Ως επιστημονικός χώρος, το μάρκετινγκ εμφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΩ ΟΛΟΤΑΧΩΣ! ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ

ΠΡΟΣΩ ΟΛΟΤΑΧΩΣ! ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ 1 Απόστολος Πιερρής ΠΡΟΣΩ ΟΛΟΤΑΧΩΣ! ΡΙΖΟΣΠΑΣΤΙΚΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ πόλιν δὲ μικρὰν καὶ ἄδοξον παραλαβὼν ἔνδοξον καὶ μεγάλην ἀπεργάσασθαι 14 Ιανουαρίου 2015 2 Η χώρα έχει ναυαγήσει.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΤΟΚΟΥ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Επιβλέπων Καθηγητής: Μέλη Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής: Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τα αποτελέσματα εκτέλεσης του προϋπολογισμού, τα ταμειακά διαθέσιμα, η άγνοια και η σκοπιμότητα.

Τα αποτελέσματα εκτέλεσης του προϋπολογισμού, τα ταμειακά διαθέσιμα, η άγνοια και η σκοπιμότητα. Τα αποτελέσματα εκτέλεσης του προϋπολογισμού, τα ταμειακά διαθέσιμα, η άγνοια και η σκοπιμότητα. Νομοθεσία Σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 72 παρ.1 εδ.β και της παρ. 9 του άρθρου 266 του ν. 3852/2010,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ''ΜΕΛΕΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΟΥ Τ.Ε.Ι. ΗΠΕΙΡΟΥ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥΣ'' ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΝΤΑΛΑΟΥΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ

109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ 109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ 1. Συνοπτικός τίτλος. 2. Ερμηνεία. 3. Μητρώο. 4. Υποβολή αίτησης. 5. Προϋποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΑΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘ. 58 /2013 ΤΑΧΥΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΔΕΜΑΤΩΝ

ΣΥΜΒΑΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘ. 58 /2013 ΤΑΧΥΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΔΕΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΑΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘ. 58 /2013 ΤΑΧΥΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΔΕΜΑΤΩΝ Στην Αθήνα σήμερα 20-12-2013, ημέρα Παρασκευή, μεταξύ των κάτωθι συμβαλλομένων αφενός του στο Μαρούσι επί της Λεωφ. Κηφισίας αρ. 39, εδρεύοντος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά σημεία διάλεξης

Βασικά σημεία διάλεξης Διάλεξη 3 η Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Μέρος Β Δρ. Δημήτρης Μπάλιος_ 2 _Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Βασικά σημεία διάλεξης Σταθερό, μεταβλητό και μικτό κόστος. Άμεσο και έμμεσο κόστος.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κόσμος μέσα από τα μάτια μιας κουζίνας. 2. Ορεκτικά με θαλασσινά

Ο κόσμος μέσα από τα μάτια μιας κουζίνας. 2. Ορεκτικά με θαλασσινά Ο κόσμος μέσα από τα μάτια μιας κουζίνας 2. Ορεκτικά με θαλασσινά 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περί κουζίνας Κρύα ορεκτικά Αντσούγιες αλά Νισουάζ Σαρδέλες τηγανιτές Ζελέ με καραβίδες Μπαρμπούνια αλ οριεντάλ Καναπέ με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΣΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΕΣ

ΘΕΣΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΕΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΡΥΤΑΝΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 2014 ΘΕΣΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Δ. ΚΑΨΑΛΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΣ ΠΡΥΤΑΝΗΣ Ιωάννινα, Ιούνιος 2014 1 Οι βασικές στοχεύσεις και προτεραιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΟΓΕΝΕΤΙΚΑ ΟΡΥΚΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΤΡΟΓΕΝΕΤΙΚΑ ΟΡΥΚΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΤΡΟΓΕΝΕΤΙΚΑ ΟΡΥΚΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Οι εργαστηριακές εξετάσεις αποτελούνται από: Α) Ένα ολιγόλεπτο τεστ. Το τεστ βαθμολογείται και, εφόσον ο βαθμός είναι 5, ακολουθεί Β) Εξέταση τεσσάρων λεπτών

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθέτηση Δημάρχου Γ. Πατούλη. για τεχνικό πρόγραμμα 2010

Τοποθέτηση Δημάρχου Γ. Πατούλη. για τεχνικό πρόγραμμα 2010 Τοποθέτηση Δημάρχου Γ. Πατούλη για τεχνικό πρόγραμμα 2010 Κυρίες και κύριοι συνάδελφοι Η διοίκηση του Δήμου φέρνει σήμερα προς ψήφιση στο Δημοτικό Συμβούλιο το τεχνικό πρόγραμμα του Δήμου Αμαρουσίου για

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΨΗΦΟΔΕΛΤΙΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΨΗΦΟΔΕΛΤΙΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΨΗΦΟΔΕΛΤΙΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΗ Τα Υποδείγματα των ψηφοδελτίων που ακολουθούν αναγράφηκαν προς διευκόλυνση των συνδυασμών. Οποιαδήποτε διαφοροποίηση δεν αποτελεί λόγο ακυρότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΕΡ ΑΕ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΝΙΚΗΣ 15, 105 57 ΑΘΗΝΑ, τηλ. 210 3259700, fax: 210 3259710 e-mail: ekter@ekter.gr

ΕΚΤΕΡ ΑΕ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΝΙΚΗΣ 15, 105 57 ΑΘΗΝΑ, τηλ. 210 3259700, fax: 210 3259710 e-mail: ekter@ekter.gr ΕΚΤΕΡ ΑΕ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ - ΝΙΚΗΣ 15, 105 57 ΑΘΗΝΑ, τηλ. 210 3259700, fax: 210 3259710 e-mail: ekter@ekter.gr ΣΧΕΔΙΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ της τακτικής Γενικής Συνέλευσης των μετόχων της Εταιρείας της 27 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: Διδακτικές ώρες 8 ΘΕΩΡΙΑΣ - ΘΕΜΑΤΟΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ - ΕΙΔΙΚΗ ΚΤΙΡΙΟΛΟΓΙΑ ΙΙ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: Διδακτικές ώρες 8 ΘΕΩΡΙΑΣ - ΘΕΜΑΤΟΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ - ΕΙΔΙΚΗ ΚΤΙΡΙΟΛΟΓΙΑ ΙΙ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Δ.Π.Θ. - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ: ΤΜΗΜΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ 3 Ο ΕΤΟΣ 2013-2014.

Διαβάστε περισσότερα

Ασυντήρητες και επικίνδυνες οικοδομές

Ασυντήρητες και επικίνδυνες οικοδομές Ασυντήρητες και επικίνδυνες οικοδομές Στα τελευταία πέντε χρόνια έχουν καταγραφεί αρκετά περιστατικά πτώσης τμημάτων οικοδομών, κυρίως μπαλκονιών από πολυώροφες οικοδομές και είναι πραγματικά θαύμα το

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Θέματα «Ισχύον καθεστώς για άγαμες θυγατέρες»

Ασφαλιστικά Θέματα «Ισχύον καθεστώς για άγαμες θυγατέρες» Ασφαλιστικά Θέματα «Ισχύον καθεστώς για άγαμες θυγατέρες» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Έννοια 2 2. Δικαιούχοι 2 3. Ισχύον καθεστώς 3 4. Εισοδηματικά κριτήρια 3 5. Προϋποθέσεις για όσες άγαμες ή διαζευγμένες θυγατέρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ - ΜΕΘΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ : ΥΔΡΕΥΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ ΜΕΘΑΝΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015 ΘΕΣΗ : ΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ - ΜΕΘΑΝΩΝ

ΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ - ΜΕΘΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ : ΥΔΡΕΥΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ ΜΕΘΑΝΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015 ΘΕΣΗ : ΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ - ΜΕΘΑΝΩΝ Αριθμός Μελέτης: 84 / 2014 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡ/ΜΟΥ & ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΝΗΣΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΝΗΣΙΩΤΙΚΩΝ ΔΗΜΩΝ ΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΑΥΤΟΣΚΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΤΗΡΙΑΚΟΥ ΚΕΛΥΦΟΥΣ

ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΑΥΤΟΣΚΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΤΗΡΙΑΚΟΥ ΚΕΛΥΦΟΥΣ ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΑΥΤΟΣΚΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΤΗΡΙΑΚΟΥ ΚΕΛΥΦΟΥΣ ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΣΚΙΑΣΗ ΤΩΝ ΑΝΟΙΓΜΑΤΩΝ ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΣΚΙΑΣΗ ΤΩΝ ΑΝΟΙΓΜΑΤΩΝ ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΣΚΙΑΣΗ ΤΩΝ ΑΝΟΙΓΜΑΤΩΝ ΗΛΙΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Παρουσίαση. Ελλάδα

Συνοπτική Παρουσίαση. Ελλάδα Ελλάδα Συνοπτική Παρουσίαση Η θρησκευτική ελευθερία προστατεύεται από το Σύνταγμα και άλλους νόμους και πολιτικές, με κάποιους περιορισμούς. Γενικώς, η κυβέρνηση σεβάστηκε εμπράκτως τη θρησκευτική ελευθερία,

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια

Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια Η αντίδραση στο άγχος είναι μία φυσιολογική, ζωτική αντίδραση στην απειλή. Το άγχος είναι ένα συναίσθημα δυσθυμίας που προέρχεται από την υποκειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Ο τίτλος της εργασία μας για αυτό το τετράμηνο ήταν «Πολίτες της πόλης μου, πολίτες της οικουμένης». Κλιθήκαμε λοιπόν να γνωρίσουμε καλύτερα την πόλη

Ο τίτλος της εργασία μας για αυτό το τετράμηνο ήταν «Πολίτες της πόλης μου, πολίτες της οικουμένης». Κλιθήκαμε λοιπόν να γνωρίσουμε καλύτερα την πόλη Ο τίτλος της εργασία μας για αυτό το τετράμηνο ήταν «Πολίτες της πόλης μου, πολίτες της οικουμένης». Κλιθήκαμε λοιπόν να γνωρίσουμε καλύτερα την πόλη μας και καταγράψουμε τις παρατηρήσεις μας. Αρχικά δεν

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3849, 30/4/2004 Ο ΠΕΡΙ ΝΟΜΙΣΜΑΤΟΣ (ΠΑΡΑΧΑΡΑΞΗ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΣΥΝΑΦΗ ΘΕΜΑΤΑ) ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3849, 30/4/2004 Ο ΠΕΡΙ ΝΟΜΙΣΜΑΤΟΣ (ΠΑΡΑΧΑΡΑΞΗ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΣΥΝΑΦΗ ΘΕΜΑΤΑ) ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 Ο ΠΕΡΙ ΝΟΜΙΣΜΑΤΟΣ (ΠΑΡΑΧΑΡΑΞΗ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΣΥΝΑΦΗ ΘΕΜΑΤΑ) ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 Για σκοπούς:- (α) εναρμόνισης με τις πράξεις της Ευρωπαϊκής Κοινότητας με τίτλο- «Απόφαση-Πλαίσιο 2000/383/ΔΕΥ του Συμβουλίου της 29

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣ ΝΕΣΤΟΥ «ΑΝΑΠΛΑΣΗ ΟΙΚΙΣΜΟΥ ΡΟΜΑ ΣΤΗΝ Τ.Κ. ΠΗΓΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΝΕΣΤΟΥ» ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

ΔΗΜΟΣ ΝΕΣΤΟΥ «ΑΝΑΠΛΑΣΗ ΟΙΚΙΣΜΟΥ ΡΟΜΑ ΣΤΗΝ Τ.Κ. ΠΗΓΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΝΕΣΤΟΥ» ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΣ ΝΕΣΤΟΥ Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α «ΑΝΑΠΛΑΣΗ ΟΙΚΙΣΜΟΥ ΡΟΜΑ ΣΤΗΝ Τ.Κ. ΠΗΓΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΝΕΣΤΟΥ» ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ Δ.Τ.Υ. ΔΗΜΟΥ ΝΕΣΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥΠΟΛΗ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013 1. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Αντικείμενο της παρούσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Ακολουθεί ολόκληρη η τοποθέτηση - παρέμβαση του Υπουργού Δ.Μ.&Η.Δ.

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Ακολουθεί ολόκληρη η τοποθέτηση - παρέμβαση του Υπουργού Δ.Μ.&Η.Δ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ Αθήνα, 18 Ιουνίου 2013 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Ο Υπουργός Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΟΡΟΙ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Για την προμήθεια ελαιολιπαντικών και ορυκτελαίων, προς κάλυψη των αναγκών του ηλεκτρομηχανολογικού εξοπλισμού της ΟΛΘ ΑΕ για ένα (1)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ : τον ΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΥΠΟΜΕΔΙ) ΥΦΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ. Γεν. Γραμματέα ΔΗΜ.

ΠΡΟΣ : τον ΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΥΠΟΜΕΔΙ) ΥΦΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ. Γεν. Γραμματέα ΔΗΜ. ΑΘΗΝΑ, 12-01-2011 Αριθμ. Πρωτ.: 622 ΠΡΟΣ : τον ΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΥΠΟΜΕΔΙ) κ. Δ. ΡΕΠΠΑ τον ΥΦΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ κ. Γ. ΜΑΓΚΡΙΩΤΗ τον Γεν. Γραμματέα ΔΗΜ. ΕΡΓΩΝ του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ - ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα 8 / 10 /2014

ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ - ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα 8 / 10 /2014 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΔΑ: ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ - ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα 8 / 10 /2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ Αρ.Πρωτ.Υ7γ/ΓΠ/50654 ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΥΓΕΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ & ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ Γ Ταχ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµοδιότητες Αυτοτελούς Τµήµατος Δηµοτικής Αστυνοµίας

Αρµοδιότητες Αυτοτελούς Τµήµατος Δηµοτικής Αστυνοµίας Αρµοδιότητες Αυτοτελούς Τµήµατος Δηµοτικής Αστυνοµίας Το Αυτοτελές Τµήµα Δηµοτικής Αστυνοµίας είναι αρµόδιο για την αποτελεσµατική και αποδοτική άσκηση των αρµοδιοτήτων που έχουν θεσπισθεί µε το άρθρο

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012.

Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012. Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012. Στη Μύρινα, σήμερα στις 4 του μήνα Μαΐου του έτους 2012, ημέρα Παρασκευή και ώρα 12:00 στο Δημοτικό Κατάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 12 ο πρακτικό της 11-8-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 12 ο πρακτικό της 11-8-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΔΗΜΟΣ ΚΑΣΟΥ Αριθ. Απόφ: 86/2014 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 12 ο πρακτικό της 11-8-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου Θέμα: «Απολογισμός πεπραγμένων

Διαβάστε περισσότερα

Δρ.ΠΟΛΥΚΑΡΠΟΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ

Δρ.ΠΟΛΥΚΑΡΠΟΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ Δρ.ΠΟΛΥΚΑΡΠΟΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ Σκοπος μαθηματος: -ορισμος υγιεινης -αρχες υγιεινης -σκοποι υγιεινης -αποτελεσματα υγιεινης. Ορισμος της Υγιεινης: Υγιεινη είναι η επιστημη που ερευνα και μελετα τα Υγειολογικα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΟΣ ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ www.rsijournal.eu,www.ladias-chra.gr,www.panteion.gr/topa

ΧΡΙΣΤΟΣ ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ www.rsijournal.eu,www.ladias-chra.gr,www.panteion.gr/topa 39. Επενδυτικές ενισχύσεις για την προώθηση της παράγωγης ενεργείας από ανανεώσιμες πηγές 40. Ενισχύσεις λειτουργιάς για την προώθηση της παράγωγης ηλεκτρικής ενεργείας από ανανεώσιμες πηγές 41. Επενδυτικές

Διαβάστε περισσότερα

ÔÏÕËÁ ÓÁÑÑÇ ÊÏÌÏÔÇÍÇ

ÔÏÕËÁ ÓÁÑÑÇ ÊÏÌÏÔÇÍÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Α. Αγαπητοί συµµαθητές, Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ο αρθρογράφος περιγράφοντας το αγχωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗΣ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗΣ 1. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΣΥΝΑΨΗ ΣΥΜΦΩΝΙΑΣ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗΣ 1.1 Για σύναψη Συμφωνίας Διασύνδεσης, ο Παροχέας θα πρέπει να αποστείλει στη Cyta επιστολή συνοδευόμενη από την

Διαβάστε περισσότερα

Σεπτέμβριος 2011: Εφημερίδα μηνός Αυγούστου, έκδ. 34 η

Σεπτέμβριος 2011: Εφημερίδα μηνός Αυγούστου, έκδ. 34 η Σεπτέμβριος 2011: Εφημερίδα μηνός Αυγούστου, έκδ. 34 η Η ΠΑΝΑΓΙΑ ΤΗΣ ΧΛΩΡΑΚΑΣ Την πάσα ελπίδα μου, και όλες μου τις ελπίδες, εις σε ανατίθημι. Μήτηρ του Θεού φύλαξον με υπό την σκέπη σου: Ο Αύγουστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΣΜΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ

ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΣΜΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΤΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ (ΣΜΥΕ-ΔΥΠ) Λ.ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΣ 40,11473 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.2108822303/2108064543 FAX 2106124492 EMAIL:info@smye.gr ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Κοινωνικών Δεξιοτήτων Δεκεμβρίου

Πρόγραμμα Κοινωνικών Δεξιοτήτων Δεκεμβρίου Πρόγραμμα Κοινωνικών Δεξιοτήτων Δεκεμβρίου www.asteria.edu.gr info@asteria.edu.gr www.facebook.com/omades.asteria Αγίου Δημητρίου 177 Άγιος Δημήτριος τηλ.: 6979651231-6986795031 Κυριακή 14 Δεκεμβρίου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Θερινά ΔΕΝ 2011 "ακολουθώντας τη ροή" - η ματιά μου

Θερινά ΔΕΝ 2011 ακολουθώντας τη ροή - η ματιά μου 1/5 Τετάρτη 24 Αυγούστου 2011- Άννη Βασιλείου, Υπεύθυνη δράσης Δ.Ε.Ν. Θερινά ΔΕΝ 2011 "ακολουθώντας τη ροή" - η ματιά μου Μέρη του όλου - Τι ζωγράφισες; ρώτησε η εμψυχώτρια το κορίτσι. - Το όλον. απάντησε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ Προοίμιο Ο κώδικας δεοντολογίας του ΕΣΠΕΜ σκοπό έχει να κρατήσει υψηλά το κύρος του επαγγέλματος του μουσικοθεραπευτή στην Ελλάδα, να διαφυλάξει τους θεραπευόμενους από τυχόν μη δεοντολογικές

Διαβάστε περισσότερα

Σεμινάριο με θέμα : Εθελοντισμός & Δικαιώματα Παιδιού

Σεμινάριο με θέμα : Εθελοντισμός & Δικαιώματα Παιδιού Τομέας Κοινωνικής Πρόνοιας Σεμινάριο με θέμα : Εθελοντισμός & Δικαιώματα Παιδιού «Καλές πρακτικές στην αποτελεσματική Διαχείριση του Εθελοντικού Δυναμικού» ΣΥΝήγορος Του Παιδιού 14-15 Ιουνίου 2012 Αθήνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΚΘΕΣΗΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΑΠΟ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΚΠΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΚΘΕΣΗΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΑΠΟ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΚΠΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΚΘΕΣΗΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΑΠΟ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΚΠΑ 2 Δ. Προγράμματα Σπουδών Στην ενότητα αυτή το Ίδρυμα καλείται να αναλύσει κριτικά και να αξιολογήσει

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρική δύναμη

Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρική δύναμη ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΡΑΓΚΑΚΗΣ ΔΑΣΚΑΛΟΣ-ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ 2ου ΕΚΦΕ Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΙΑ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρική δύναμη Εάν τρίψουμε ένα πλαστικό στυλό σε ένα μάλλινο ύφασμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΦΡΙΕΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ: ΝΑΝΣΥ ΣΑΚΚΑ

ΕΛΑΦΡΙΕΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ: ΝΑΝΣΥ ΣΑΚΚΑ ΘΕΜΑ: ΕΛΑΦΡΙΕΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ: ΝΑΝΣΥ ΣΑΚΚΑ Ο σίδηρος παρά το γεγονός, ότι αποτελεί υλικό γνωστό ήδη από τους προϊστορικούς χρόνους, άρχισε να χρησιµοποιείται ευρέως και ουσιαστικά σε αρχιτεκτονικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΔΙΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΔΙΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Λαμία 21.10.2015 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αρίθ. Πρωτ. 6032 (Τ.Ε.Ι.) ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διεύθυνση Προσωπικού Οικονομικού Τμήμα Προμηθειών & Περιουσίας Ταχ. Δ/νση: 3 ο Χλμ Π.Ε.Ο.

Διαβάστε περισσότερα

Νεοελληνική Λογοτεχνία Θεωρητικής Κατεύθυνσης 4-6-2014 Α1. Β1. Ορόσημο www.orosimo.gr Τηλ. 2810 222 724

Νεοελληνική Λογοτεχνία Θεωρητικής Κατεύθυνσης 4-6-2014 Α1. Β1. Ορόσημο www.orosimo.gr Τηλ. 2810 222 724 Νεοελληνική Λογοτεχνία Θεωρητικής Κατεύθυνσης 4-6-2014 Α1. Ο Γ. Βιζυηνός χαρακτηρίζεται εκτός των άλλων, ως δραματικός πεζογράφος. Η περίτεχνη πλοκή της αφήγησης, με τις εναλλαγές των σκηνών ή των συγκρούσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ΒΙΟΤΡΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΣΚΕΥΑΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΑΛΑΚΤΟΣ Α.Β.Ε.

ΕΚΘΕΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ΒΙΟΤΡΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΣΚΕΥΑΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΑΛΑΚΤΟΣ Α.Β.Ε. ΕΚΘΕΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ΒΙΟΤΡΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΣΚΕΥΑΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΑΛΑΚΤΟΣ Α.Β.Ε.Ε.»ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΤΑΚΤΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΠΕΠΡΑΓΜΕΝΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΥΥΚΑ & ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΚΑΙ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ «Διαρθρωτικές αλλαγές στο σύστημα υγείας και άλλες διατάξεις»

ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΥΥΚΑ & ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΚΑΙ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ «Διαρθρωτικές αλλαγές στο σύστημα υγείας και άλλες διατάξεις» ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΥΥΚΑ & ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΚΑΙ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ «Διαρθρωτικές αλλαγές στο σύστημα υγείας και άλλες διατάξεις» *ΠΡΟΣΟΧΗ : O ΟΠΥ μετανομάστηκε σε ΕΘΝΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα