ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 2018

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 2018"

Καλόγερος Ζωγράφου
4 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 018 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός

Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συστήματος Σ n σε σχέση το Σ 0 αν ολόκληρη η σειρά των συστημάτων αναφοράς, Σ 1, Σ,.

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 018 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός είναι c 1. Τα δεδομένα όλων των προβλημάτων δίδονται σε αυτό το σύστημα μονάδων. Θέμα A: 1. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συστήματος Σ n σε σχέση το Σ 0 αν ολόκληρη η σειρά των συστημάτων αναφοράς, Σ 1, Σ,..., Σ n 1, κινούνται το καθένα σε σχέση με το προηγούμενο (το Σ i ως προς το Σ i 1 ) με ταχύτητα v κατά μήκος του άξονα x.. Ποια ανισοτική σχέση υπάρχει μεταξύ των τετραγώνων (κατά Minkowski) τριών μελλοντικών χρονοειδών τετρανυσμάτων A, B, C που σχηματίζουν τρίγωνο: C A + B; (a) Αν σε κάποιο σύστημα το ηλεκτρικό πεδίο έχει ένταση διπλάσια από το μαγνητικό πεδίο, μπορεί σε κάποιο άλλο σύστημα αναφοράς το καινούργιο ηλεκτρικό πεδίο να έχει διπλάσια ένταση από το καινούργιο μαγνητικό πεδίο, ενώ το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου να είναι διαφορετικό από αυτό στο αρχικό σύστημα; Εξηγήστε. (b) Είναι δυνατό, αν σε κάποιο σύστημα το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο σχηματίζουν γωνία π/4, σε ένα άλλο σύστημα να υπάρχει μόνο ηλεκτρικό πεδίο; Εξηγήστε. Θέμα Β: N σημειακά σωματίδια μάζας m, m, 3m,..., Nm εκτοξεύονται ταυτόχρονα από τις κορυφές κανονικού N-γώνου με κατεύθυνση προς το κέντρο του πολυγώνου. 1. Αν τα σωματίδια συγκρούονται όλα μαζί στο κέντρο του πολυγώνου, τι συμπέρασμα μπορείτε να βγάλετε για την ταχύτητά τους;. Σε ένα κινούμενο (σε σχέση με το αρχικό) σύστημα αναφοράς η ταυτόχρονη εκτόξευση των σωματιδίων θα πάψει να είναι ταυτόχρονη. Πιστεύετε ότι θα συμβεί η σύγκρουση όλων μαζί των σωματιδίων; Αιτιολογήστε εν συντομία την απάντησή σας. Τα ακόλουθα ερωτήματα αναφέρονται στο αρχικό σύστημα αναφοράς. Αν το μέτρο της ταχύτητας όλων των σωματιδίων είναι v και το αποτέλεσμα της σύγκρουσης των σωματιδίων είναι η εξαΰλωσή τους και η δημιουργία ενός καινούργιου σωματίδιου, να υπολογιστεί η μάζα του σωματιδίου αυτού. 4. Να υπολογιστεί η κατεύθυνση κίνησης του σωματιδίου αυτού, θεωρώντας ότι ο άξονας x είναι ο άξονας κίνησης του αρχικού σωματιδίου με μάζα Nm. 5. Να ελεγχθεί αν ο προσδιορισμός της κατεύθυνσης του νέου σωματιδίου εξαρτάται από τη θεώρηση σχετικιστικής ή νευτώνειας μηχανικής. Δίνονται τα αθροίσματα για ϕ π/n N N(N + 1) [cos ϕ + cos(ϕ) N cos(nϕ)] N/ και [sin ϕ + sin(ϕ) N sin(nϕ)] N/ cot(ϕ/). 1

2 Θέμα Γ: Ένα σωματίδιο κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα v 0 κατά μήκος του άξονα x, σε κάποιο σύστημα σύστημα αναφοράς. 1. Να γραφεί η παραμετρική μορφή της κοσμικής του γραμμής t(τ), x(τ), y(τ), (τ), αν γνωρίζουμε ότι το σωματίδιο βρίσκεται στη χωροχρονική θέση t 0, x y 0, όταν ο ιδιόχρονος του σωματιδίου τ λάβει την τιμή 0.. Από τ 0 έως τ το σωματίδιο επιταχύνεται ομαλά με μέτρο τετραεπιτάχυνσης a κατά μήκος του άξονα x. Να περιγραφεί η καινούργια του κοσμική γραμμή (για 0 τ ) σε παραμετρική μορφή (όπως προηγουμένως), έτσι ώστε η κοσμική γραμμή να είναι συνεχής στο τ 0 και η ταχύτητα αμέσως πριν και αμέσως μετά την έναρξη της επιταχυνόμενης κίνησης να είναι v 0. Δίνεται η γενική μορφή μιας ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης κατά τον x-άξονα: t 1 a [sinh a(τ + τ 0)] + t 0, x 1 a [cosh a(τ + τ 0)] + x 0, y 0, όπου t 0, x 0, τ 0 σταθερές. Δείξτε ότι, αν γνωρίζουμε ότι τη χρονική στιγμή τ το σωματίδιο έχει αποκτήσει ταχύτητα V > v 0 επί του άξονα x, τότε η χωροχρονική θέση του σωματιδίου τη στιγμή τ θα πρέπει να βρίσκεται επί της ευθείας x( ) Γ γ 0 ΓV γ 0 v 0 t( ), y( ) ( ) 0 δεδομένου ότι το σωματίδιο έφτασε στην καινούργια αυτή θέση με ταχύτητα V κινούμενο με τετραεπιτάχυνση σταθερού μέτρου a. [Γ 1/ 1 V, γ 0 1/ 1 v 0]. Θέμα Δ: Ένα φορτισμένο σωματίδιο φορτίου Q κινείται με ταχύτητα v μέσα σε κάποιο ομογενές ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο έντασης E Aŷ, και B Aẑ αντίστοιχα, όπου A > Να γραφεί η δυναμική εξίσωση που διέπει την κίνηση του σωματιδίου και να υπολογιστεί η ταχύτητα v που πρέπει να έχει το σωματίδιο ώστε να κινείται ομαλά εντός του παραπάνω πεδίου.. Να υπολογίσετε τα αναλλοίωτα του συγκεκριμένου πεδίου. Μετασχηματίστε τα πεδία στο ιδιοσύστημα του σωματιδίου και εξηγήστε γιατί το σωματίδιο κινείται ομαλά δεδομένων των πεδίων που αισθάνεται το σωματίδιο στο ιδιοσύστημά του. 4. Αν τα πεδία είχαν μέτρο E Aŷ, και B Aẑ επιχειραματολογήστε σεχτικά με το αν θα μπορούσε το σωματίδιο να κινείται ομαλά εντός αυτών. Ποια η σχέση των μέτρων των δύο πεδίων, ώστε να είναι δυνατό το σωματίδιο να κινείται ομαλά με κατάλληλη ταχύτητα; Δίδονται οι τύποι μετασχηματισμού των πεδίων. E E, E γ(e + u B) B B, B γ(b u E) και η μορφή του τανυστή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου: F µν 0 E x E y E E x 0 B B y E y B 0 B x E B y B x 0 Να γραφούν και τα 4 θέματα. Καλή σας επιτυχία.

3 Λύσεις Θέμα Α: 1. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν γράψει κανείς έναν τυποποημένο μετασχηματισμό προώθησης στη μορφή ( ) cosh ϕ sinh ϕ sinh ϕ cosh ϕ όπου tanh ϕ v μια σειρά από διαδοχικούς τέτοιους μετασχηματισμούς οδηγεί σε ταχύτητα V tanh Nϕ tanh[n(tanh 1 v)].. C A + B + A B A + B A 0 B 0 + A B όμως A 0 > A και B 0 > B, οπότε A 0 B 0 > A B A B. Ισχύει λοιπόν ότι C < A + B Το τετράγωνο του C είναι πιο αρνητικό από το αθροισμα των αρνητικών τιμών B, A. i Από το ένα αναλλοίωτο θα πρέπει E B E B, οπότε E πράγμα αδύνατο αφού μας δίνεται ότι E E. Θέμα Β: ii Το αναλλοίωτο E B 0, οπότε έιναι αδύνατο σε κάποιο άλλο σύστημα να υπάρχει μόνο ηλεκτρικό πεδίο αφού τότε το αναλλοίωτο αυτό θα μηδενιζόταν. 1. Προφανώς θα πρέπει να έχουν κοινή ταχύτητα v ώστε να φτάσουν όλα μαζί στο κέντρο και να συγκρουστούν.. Δεν μπορεί σε άλλο σύστημα να παρατηρηθεί άλλο φαινόμενο (μη σύγκρουση όλων των σωματιδίων). Μπορεί η εκκίνηση να μην είναι ταυτόχρονη αλλά τα μήκη και οι χρόνοι θα παραμοιρφωθούν έτσι ώστε και πάλι τα σωματίδια να συνευρεθούν όλα ταυτόχρονα σε κάποιο χωρικό σημείο. ( γm( N) M (P ολ ) γvm(ˆn 1 + ˆn ˆn N ) γ m N ) ((N + 1) v 4 sin ϕ/ ) 4. Η κατεύθυνση κίνησης θα είναι αυτή του συνολικού p: p y p x γmv [cos ϕ + cos(ϕ) N cos(nϕ)] γmv [sin ϕ + sin(ϕ) N sin(nϕ)] cot(ϕ/) cot(π/n) 5. Προφανώς η κατεύθυνση θα είναι ίδια γιατί απλώς θα λείπει ο σχετικιστικός παράγοντας γ που εμφανίζεται στις 3-ορμές στη σχετικότητα, ο οποίος όμως έτσι κι αλλιώς διαγράφεται και στη σχετικότητα στο παραπάνω κλάσμα. 3

4 Θέμα Γ: 1. οπότε στη συγκεκριμένη περίπτωση x µ u µ τ + x µ 0 t γ 0 τ, x γ 0 v 0 τ, y 0.. Στόχος είναι να κολήσουμε καταλλήλως την επιταχυνόμενη κοσμική γραμμή στην προηγούμενη (για τ 0): και Οπότε και Θέμα Δ: 1. x µ ομ(τ 0) x µ επιτ(τ 0) (1) v µ ομ(τ 0) v µ επιτ(τ 0). () 0 1 a [sinh(aτ 0)] + t 0 1 a [cosh(aτ 0)] + x 0 γ 0 v 0 (τ 0) cosh(aτ 0 ), γ 0 v 0 v 1 (τ 0) sinh(aτ 0 ) οπότε οι πρώτες σχέσεις διαμορφώνονται ως εξής: t 0 γ 0 v 0 /a, x 0 γ 0 /a, aτ 0 tanh 1 v 0. Επομένως η κοσμική γραμμή της επιταχυνόμενης κίνησης θα είναι t 1 a [sinh a(τ + τ 0) γ 0 v 0 ], x 1 a [cosh a(τ + τ 0) γ 0 ], y 0 με τη δεδομένη παραπάνω σχέση για το τ 0. οπότε dx/dt τ V tanh[a( + τ 0 )], Γ cosh[a( + τ 0 )], ΓV sinh[a( + τ 0 )] x(τ ) 1 a [Γ γ 0], t(τ ) 1 a [ΓV γ 0v 0 ], δεομένων λοιπόν αρχικών και τελικών ταχυτήτων θα πρέπει να είναι το τεικό χωροχρονικό σημείο επί της ευθείας x Γ γ 0 ΓV γ 0 v 0 t τόσο πιο κοντά στο αρχικό σημείο όσο πιο μεγάλη είναι η επιτάχυνση (πιο μικρό το 1/a). Μπορεί να δείξει κανείς ότι το παραπάνω κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας. dp µ dτ QF µν u ν οπότε αν η κίνηση είναι ομαλή θα πρέπει 0 Q 0 0 A A 0 A A Επομένως θα πρέπει v y 0, v x 1/. γ 4 1 v x v y v QγA v y v y 1 v x 0. (3)

5 . E B 3A και E B 0. E (E ˆv)ˆv A B (B ˆv)ˆv A ( ŷ (1/, 0, v ) ) ˆv 0 ( ) ẑ (1/, 0, v ) (1/, 0, v ) Av (1/, 0, v ) E E E Aŷ B Av (1/, 0, v B B Aẑ ) A ( v /, 0, 1/4). (4) Μετασχηματίζοντας τα πεδία στο ιδιοσύστημα του σωματιδίου βρίσκουμε E 0 B Av (1/, 0, v ) E γ(aŷ + (1/, 0, v ) Aẑ) 0 ( ) B ( v, 0, 1/4) γa (1/, 0, v ) ŷ γa ( v + v (), 0, (1/(3/4 v) ) γa(3/4 v ) ( v, 0, 1/) (5) Επομένως στο ιδιοσύστημα του σωματιδίου υπάρχει μόνο μαγνητικό πεδίο και ένα ακίνητο σωματίδιο δεν αισθάνεται το μαγνητικό πεδίο, επομένως δεν αλλάζει ταχύτητα. 4. Στην περίπτωση αυτή το πεδίο είναι ηλεκτρικού τύπου και δεν θα μπορούσε σε κανένα σύστημα να γίνει το πεδίο αμιγώς μαγνητικό. Επομένως δεν θα μπορούσε τότε να κινείται ομαλά. Γενικά όταν τα πεδία είναι κάθετα ώστε το αναλλοίωτο E B να είναι 0 και να επιτρέπεται η εξαφάνιση του ενός πεδίου, θα πρέπει να είναι B > E προκειμένου να είναι μαγνητικού τύπου και να είναι δυνατό κάποια ταχύτητα του σωματιδίου να το καταστήσει αμιγώς μαγνητικό, ώστε να μην επιταχύνεται. 5

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου