ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013"

Φιλομενος Ζαχαρίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 013 ΘΕΜΑ Α [35 μόρια] Θεωρήστε τη Λαγκραντζιανή L(x, ẋ, t που εξαρτάται απο τη θέση x ενός σωματιδίου πάνω σε μια ευθεία, το χρόνο

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 013 ΘΕΜΑ Α [35 μόρια] Θεωρήστε τη Λαγκραντζιανή L(x, ẋ, t που εξαρτάται απο τη θέση x ενός σωματιδίου πάνω σε μια ευθεία, το χρόνο t, την ταχύτητα ẋ του σωματιδίου. 1. Γράψτε: (α τον ορισμό της δράσης την αρχή του Χάμιλτον που διέπει τις φυσικές κινήσεις, (β το ορισμό της κανονικής (γενικευμένης ορμής p, (γ την εξίσωση Euler-Lagrange που διέπει τη φυσική κίνηση που αντιστοιχεί σε αυτή τη Λαγκραντζιανή (δ εξηγήστε για ποιο λόγο η Λαγκραντζιανή δεν εξαρτάται από παραγώγους του x ανώτερες της πρώτης.. Θεωρήστε τώρα μία φυσική διαδρομή η οποία διέρχεται από τα σημεία (, x 1 (t, x με x > x 1 t >. Θεωρήστε επίσης τον μετασχηματισμό των σημείων του επιπέδου (t, x της φυσικής διαδρομής: (t, x (t+ϵ, x+ϵ, όπου ϵ μια σταθερά. Σχεδιάστε τις δύο διαδρομές (τη φυσική το μετασχηματισμό αυτής. 3. Δείξτε τώρα ότι η νέα δράση της μετασχηματισμένης διαδρομής είναι: t +ϵ S(ϵ L [x(τ ϵ + ϵ, ẋ(τ ϵ, τ] dτ L [x(t + ϵ, ẋ(t, t + ϵ]. +ϵ 4. Θεωρώντας την ϵ ως μια συνεχή μεταβλητή, δείξτε, δεδομένου ότι η x είναι φυσική τροχιά, ότι: S (p + L pẋ t ϵ. ϵ0 5. Υποθέστε τώρα ότι ο συνεχής μετασχηματισμός, (t, x (t + ϵ, x + ϵ, αποτελεί συμμετρία της παραπάνω Λαγκραντζιανής συνεπώς ικανοποιείται η παρακάτω σχέση: S 0. ϵ ϵ0 Προσδιορίστε την ποσότητα που διατηρείται κατά τη φυσική κίνηση του σωματιδίου. 6. Δείξτε με προσοχή ότι ο μετασχηματισμός (t, x (t + ϵ, x + ϵ αποτελεί πράγματι συμμετρία της ακόλουθης Λαγκραντζιανής: L ẋ + (x t Από τη συμμετρία αυτή προκύπτει η διατηρούμενη ποσότητα του ερωτήματος [5]. 7. Προσδιορίστε μια φυσική τροχιά του παραπάνω συστήματος που διέρχεται από το σημείο (0, 0 επιβεβαιώστε ότι πράγματι διατηρείται η ποσότητα που προσδιορίζεται στο ερώτημα [4]. [Υπ: Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι ẗ 0.] ΘΕΜΑ Β [5 μόρια] Ένα σωματίδιο μάζας κρέμεται από ελαστικό κορδόνι μηδενικού φυσικού μήκους, αμελητέας μάζας σταθεράς ελαστικότητας k, από ακλόνητο σημείο. Η μάζα βρίσκεται μέσα στο ομογενές βαρυτικό πεδιο της Γης έντασης g μπορεί να κινείται μόνο στο κατακόρυφο επίπεδο x z. 1. Βρείτε το σημείο ισορροπίας του σωματιδίου.. Κατασκευάστε τη Λαγκραντζιανή του σωματιδίου. t.

2 3. Γραμμικοποιήστε τη Λαγκρανζιανή γύρω από το σημείο ισορροπίας βρείτε τις ιδιοσυχνότητες του συστήματος. 4. Ποια θα είναι η τροχιά του σωματιδίου, αν αυτό βρισκόταν αρχικά στο σημείο ανάρτησης είχε ταχύτητα v v 0ˆx (όπου x ο οριζόντιος άξονας; 5. Αν κάθε φορά που το σωματίδιο περνάει από την αρχική του θέση (το σημείο ανάρτησης σβήνουμε ανάβουμε εναλλάξ το βαρυτικό πεδίο (αρχικά είναι αναμμένο, ποια θα είναι η τροχιά του σωματιδίου; Σχεδιάστε τη, σημειώνοντας τις χρονικές στιγμές που περνά από τις διάφορες θέσεις. ΘΕΜΑ Γ [40 μόρια] Σωματίδιο φορτίου q μάζας κινείται εντός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που χαρακτηρίζεται από το βαθμωτό δυναμικό ϕ( r, t το ανυσματικό δυναμικό A( r, t Η Λαγκραντζιανή του σωματιδίου είναι: L r q(ϕ r A 1. Κατασκευάστε τη Χαμιλτονιανή του σωματιδίου.. Θεωρήστε ότι το πεδίο είναι ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο στον x άξονα ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο στον z άξονα. Ένα τέτοιο πεδίο μπορεί να περιγραφεί από τα δυναμικά ϕ Ex A (0, Bx, 0. Θέτοντας τα πεδία αυτά στην Χαμιλτονιανή δείξτε με τη χρήση αγγυλών Poisson, ότι οι ποσότητες G ẏ + ωx, F ẋ ωy (qe/t, με ω qb/, είναι σταθερές της κίνησης. 3. Αν αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται ακίνητο στην αρχή των αξόνων, υπολογίστε τις τιμές αυτών των σταθερών. Στη συνέχεια παραγωγίστε την F ως προς χρόνο, χρησιμοποιήστε την σταθερότητα αυτής καθώς την σταθερή τιμή της G που βρήκατε προηγουμένως, υπολογίστε την x(t. Τέλος, από τη σταθερότητα της G υπολογίστε την y(t. 4. Τώρα ξαναγράψτε τη Λαγκραντζιανή τη Χαμιλτονιανή εκμεταλλευόμενοι την ελευθερία που υπάρχει στον ορισμό του βαθμωτού του διανυσματικού δυναμικού: ϕ ϕ Λ, A A + Λ όπου ϕ, A είναι αυτά που χρησιμοποιήσατε στο ερώτημα [] ως Λ λάβετε τη βαθμωτή συνάρτηση Λ Ext ώστε να σβήσετε εντελώς το βαθμωτό δυναμικό. Δείξτε ότι πάλι καταλήγετε στη σταθερότητα των ποσοτήτων F, G του ερωτήματος []. 5. Τώρα ξεκινώντας από την αρχή, ξανακατασκευάστε τη Λαγκραντζιανή στη συνέχεια την Χαμιλτονιανή του φορτισμένου σωματιδίου για ένα σύστημα αναφοράς που κινείται κατά μήκος του άξονα y με ταχύτητα V, έτσι ώστε x x, y y V t, z z. Δείξτε ότι τώρα διατηρούνται οι ποσότητες G ẏ + ωx F ẋ ωy (ωv + qe/t. 6. Επιλέξτε κατάλληλη τιμή της ταχύτητας V, ώστε να απλοποιήστε όσο το δυνατό την έκφραση της διατηρούμενης ποσότητας F (μηδενίζοντας τον χρονοεξαρτημένο όρο. Τώρα βρείτε τις x (t y (t χρησιμοποιώντας τις διατηρούμενες αυτές ποσότητες (όπως στο ερώτημα [3]. Προσέξτε ότι στο σύστημα αυτό η αρχική ταχύτητα του σωματιδίου είναι (0, V, 0. Τι κίνηση εκτελεί το σωματίδιο στο σύστημα αυτό; Καλό σας καλοκαίρι

3 Λύσεις ΘΕΜΑ Α 1. (α... θεωρία, (β p L/ q, (γ d( L/ q/ L/ q 0, (δ Αν εξαρτιώταν από ανώτερες παραγώγους θα οδηγούσε σε εξισώσεις κίνησης τάξης μεγαλύτερης του (που είναι η εξίσωση του Νεύτωνα.. Η φυσική διαδρομή (όποια κι αν είναι αυτή που συνδέει αρχικά τελικά σημεία του θεσεογραφικού χώρου, θα μετατοπιστεί παράλληλα στον εαυτό της συρόμενη κατά ϵ στο x στο t. 3. x x + ϵ, t t + ϵ, dx / dx/, οπότε S(ϵ τ τ 1 t +ϵ +ϵ t t L(x, ẋ, τdτ L(x(τ ϵ + ϵ, ẋ(τ ϵ, τdτ L(x(t + ϵ, ẋ(t, t + ϵ t L(x, ẋ, t + ϵ t S(0 + ϵ t S(0 + ϵ ( L x + L ( d ( d p + dl ẍp ẋdp ϵ0 L ẋ + dl ẍ L ẋ ẋ L x + O(ϵ ϵ0 + O(ϵ + O(ϵ ϵ0 S(0 + ϵ(p + L ẋp t t1 + O(ϵ (1 οπότε άμεσα προκύπτει το ζητούμενο. 5. Προφανώς διατηρείται η ποσότητα p + L pẋ. 6. Είναι άμεσο ότι ο μετασχηματισμός αφήνει αναλλοίωτη την L επομένως δεν αλλάζει την S. 7. Η εξίσωση κίνησης είναι ẍ x t ü u όπου θέσαμε ως u x t. Η λύση είναι (για τη δεδομένη αρχική συνθήκη Η υποτιθέμενη διατηρούμενη ποσότητα είναι p + L pẋ ẋ + ẋ u(t x(t t A sinh t. + (x t η οποία είναι σταθερά (ανεξάρτητη του χρόνου. ẋ ẋ ẋ (x t + (A cosh t + 1 (A sinh t A cosh t (1/ (A /(cosh t sinh t (1 A / (

4 ΘΕΜΑ Β 1. Το σημείο ισορροπίας είναι το x 0 0, z 0 g/k.. L 1 (ẋ + ż gz 1 k(x + z. 3. Θέτοντας η x x 0 x ξ z z 0 z + g/k: L 1 ( η + ξ g(ξ g/k 1 k ( η + (ξ g/k 1 ( η + ξ 1 k ( η + ξ + σταθ. Πρόκειται προφανώς για αρμονικούς ταλαντωτές ίδιας συχνότητας ω k/. (3 4. x(0 0, ẋ(0 v 0, z(0 0, ż(0 0 δηλαδή η(0 0, η(0 v 0, ξ(0 g/k, ξ(0 0. Επομένως η λύση είναι x(t η(t (v 0 /ω sin ωt z(t ξ g/k (g/k(cos ωt 1. Πρόκειται για έλλειψη με ημιάξονες v 0 /ω g/k. 5. Αφότου το σωματίδιο εκτελέσει μια πλήρη έλλειψη (διάρκειας T π/ω, το σωματίδιο επιστρέφει στο αρχικό σημείο με την αρχική ταχύτητα, το πεδίο σβήνει το σωματίδιο εκτελεί μια ημιταλάντωση επί του άξονα x πλάτους v 0 /ω επιστρέφει στο αρχικό σημείο με ανάποδη τώρα ταχύτητα τη χρονική στιγμή 3T /. Στη συνέχεια διαγράφεται μια ανάποδης φοράς ίδια έλλειψη ξαναεπιστρέφει στο αρχικό σημείο τη στιγμή 5T /. Μετά διαγράφεται μια ημιταλάντωση επί του άξονα x πλάτους v 0 /ω επιστρέφει στο αρχικό σημείο με ίδιες συνθήκες σαν την αρχική τη χρονική στιγμή 3T. Ακολούθως επαναλαμβάνεται όλη η παραπάνω τροχιά. 1. ΘΕΜΑ Γ (p x qa x + (p y qa y + (p z qa z + qϕ. Είναι G p y qbx H p x + (p y qbx qex. + ωx F p x ωy qe t, οπότε dg {G, H} { p y qbx + ωx, H}

5 { p y qbx, p x } + {ωx, p x } { qbx, p x } + {ωx, p x } ω{x, p x } + ω{x, p x } 0 (4 (στους παραπάνω υπολογισμούς έχουμε κρατήσει μόνο τους όρους της Χαμιλτονιανής που δεν δίνουν εμφανώς μηδενικές αγγύλες Poisson, df {F, H} + F { p x, H} ω{y, H} qe {t, H} qe { p x, (p y qbx qex} ω{y, (p y qbx } 0 qe (p y qbx {p x, qbx} qe {p x, x} ω (p y qbx {y, p y } qe (p y qbx ω + qe ω (p y qbx qe 0 (όπου χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα: q, f(p f (p. Επομένως οι αυτές ποσότητες είναι σταθερές της κίνησης. 3. G(t G(0 0 F (0 F (t. Έτσι ẏ ωx 0 df ẍ ωẏ (qe/ ẍ + ω x (qe/. Αυτή είναι εξίσωση αρμονικού ταλαντωτή με σταθερή δύναμη. Η λύση της είναι x(t C cos ωt + S sin ωt + qe/ ω η οποία προκειμένου να ικανοποιεί τις συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες θα πρέπει C (qe/(ω, S 0. Έτσι x(t qe (1 cos ωt. ω Όμοια t y(t ω x(t qe ( t 0 ω sin ωt. ω Εκτός από τους ταλαντωτικούς όρους φαίνεται ότι η κίνηση θα περιγράφεται από μια ομαλή κίνηση με ταχύτητα (qe/(ω E/B κατά μήκος του y άξονα. 4. Θα είναι ϕ 0 A ( Et, Bx, 0. L (ẋ + ẏ + ż + q( Eẋt, Bxẏ

6 5. Τώρα H (p x + qet G (p y qbx + (p y qbx + ωx p y / + p z F (p x + qet ωy (qe/t p x / ωy p y qbx (χωρίς άμεση χρονοεξάρτηση τώρα. Προφανώς dg/ {G, H} 0 αφού η H δεν έχει άμεση εξάρτηση από το y Τώρα df {F, H} {p x qby, (p y qbx } p y qbx {p x qby, p y qbx} p y qbx ( qb [{p x, x} + {y, p y }] 0 L (ẋ + (ẏ + V + ż + qbx (ẏ + V + qex H (p x + (p y qbx G ẏ + ωx (p y qbx + p z qex V p y. V + ωx p y V F ẋ ωy (ωv +qe/t p x ωy (ωv +qe/t p x qby (ωv +qe/t. Έτσι dg {G, H} { p y, H} 0 (5 αφού η H δεν εξαρτάται από την y. Ομοίως df {F, H} + F { p x qby (ωv + qe/t, H} (ωv + qe/ { p x qby, H} (ωv + qe/ { p x, (p y qbx qex } + { qby, (p y qbx V p y} (ωv + qe/ (p y qbx {p x/, ( qbx } (qe/{p x, x } + (p y qbx {( qb/y, p y} + (V qb/{y, p y} (ωv + qe/ 0

7 Επομένως οι G, F είναι σταθερές της κίνησης. 6. Θέτοντας V (qe/(ω E/B η F παίρνει πιο απλή μορφή. Από τις αρχικές συνθήκες γνωρίζουμε ότι G (t G (0 V E/B F (t F (0 0. Εκτελώντας τις ίδιες πράξεις όπως προηγουμένως θα έχουμε ẏ E/B ωx df 0 ẍ ωẏ ẍ ω(e/b ωx ẍ + ω x ω(e/b Παιρνουμε πάλι έναν αρμονικό ταλαντωτή με σταθερή δύναμη ως λύση (για τις δεδομένες αρχικές συνθήκες βρίσκουμε y (t t 0 x (t E Bω (E/B ωx (t qe ω qe (1 cos ωt (1 cos ωt ω t 0 (1 1 + cos ωt qe sin ωt. ω Οι δύο παραπάνω εκφράσεις περιγράφουν ένα κύκλο στο επίπεδο x y με κέντρο το ( qe, 0, 0 ω ακτίνα R qe. Στο αρχικό λοιπόν σύστημα το σωματίδιο κινείται σε μια κυκλοειδή ω καμπύλη (ομαλή κυκλική+ ομαλή μεταφορική κίνηση στον y.

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα