ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017"

Αγάπη Κασιδιάρης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 017 Πρόβλημα Α Ένα σημειακό σωματίδιο μάζας m βάλλεται υπό γωνία ϕ και με αρχική ταχύτητα μέτρου v 0 από το έδαφος Η κίνηση εκτελείται στο

Βρείτε χαρακτηριστικά σημεία του διαγράμματος (ελάχιστα - μέγιστα) και σημειώστε τα στο διάγραμμα [10] Ποιος ο λόγος της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια λ = E(h=h max) δυν E (h=h max) κιν στο

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 017 Πρόβλημα Α Ένα σημειακό σωματίδιο μάζας m βάλλεται υπό γωνία ϕ και με αρχική ταχύτητα μέτρου v 0 από το έδαφος Η κίνηση εκτελείται στο ομογενές πεδίο βαρύτητας της Γης, η ένταση του οποίου είναι g 1 Να κατασκευαστεί το διάγραμμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου (σε κοινό διάγραμμα) Βρείτε χαρακτηριστικά σημεία του διαγράμματος (ελάχιστα - μέγιστα) και σημειώστε τα στο διάγραμμα [10] Ποιος ο λόγος της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια λ = E(h=h max) δυν E (h=h max) κιν στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς ως συνάρτηση της γωνίας ϕ; [10] 3 Δείξτε ότι το βεληνεκές του σωματιδίου (το διάστημα που θα διανύσει μέχρι να φτάσει στο έδαφος) είναι s = v 0 λ g 1 + λ Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα 1 + tan ϕ = 1/ cos ϕ Στη συνέχεια δείξτε ότι το βεληνεκές μεγιστοποιείται για λ = 1 δηλαδή για γωνία βολής ϕ = π/4 [5] Πρόβλημα Β 1 Δείξτε ότι η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας M, ύψους H και ακτίνας R γύρω από τον άξονα συμμετρίας του είναι I = M R Αν λιώσουμε τον κύλινδρο και από το υλικό του ξαναφτιάξουμε ένα καινούριο κύλινδρο διπλάσιου ύψους H = H, πόσο θα είναι τώρα η καινούρια ροπή αδράνειας γύρω από τον άξονα συμμετρίας του νέου κυλίνδρου; [8] 3 Στο εσωτερικό του κυλίνδρου του ερωτήματος [1], σχηματίζουμε μια κυλινδρική κοιλότητα, αφαιρώντας υλικό Η κοιλότητα αυτή έχει τον ίδιο άξονα συμμετρίας με τον αρχικό κύλινδρο και οι διαστάσεις της είναι R κ = R/ και H κ = H/ ενώ το κέντρο της κοιλότητας συμπίπτει με το κέντρο του αρχικού κυλίνδρου Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του κούφιου κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου [7] [10] 1

Πρόβλημα Γ Δύο μάζες m 1 < m είναι ενωμένες μέσω ενός σκοινιού που περνάει από μία τροχαλία Η τροχαλία και το σκοινί δεν έχουν μάζα Η κάθε μάζα είναι τοποθετημένη πάνω σε διαφορετικό κεκλιμένο

κεκλιμένων επιπέδων, ώστε να αρχίσει το σύστημα να κινείται [7] Αν ο συντελεστής τριβής είναι η, βρείτε την επιτάχυνση του συστήματος [7] 3 Ποια είναι η τάση στο σκοινί κατά τη διάρκεια της κίνησης;

2 Πρόβλημα Γ Δύο μάζες m 1 < m είναι ενωμένες μέσω ενός σκοινιού που περνάει από μία τροχαλία Η τροχαλία και το σκοινί δεν έχουν μάζα Η κάθε μάζα είναι τοποθετημένη πάνω σε διαφορετικό κεκλιμένο επίπεδο με γωνία θ ως προς το έδαφος Αρχικά οι μάζες βρίσκονται σε ηρεμία με τα δύο νήματα να έχουν το ίδιο μήκος L 1 Ποιος είναι ο ελάχιστος στατικός συντελεστής τριβής μεταξύ των μαζών και των κεκλιμένων επιπέδων, ώστε να αρχίσει το σύστημα να κινείται [7] Αν ο συντελεστής τριβής είναι η, βρείτε την επιτάχυνση του συστήματος [7] 3 Ποια είναι η τάση στο σκοινί κατά τη διάρκεια της κίνησης; [6] 4 Σε πόσο χρόνο θα φτάσει η μία μάζα την τροχαλία; [5] Πρόβλημα Δ Έστω ένας κύλινδρος μάζας M και ακτίνας R, ο οποίος βρίσκεται ακίνητος και σε ισορροπία πάνω σε ένα οριζόντιο δάπεδο Στο κέντρο μάζας του είναι συνδεδεμένο ένα ελατήριο σταθεράς k, η άλλη άκρη του οποίου είναι καρφωμένη σε κάθετο τοίχωμα Εστω ότι τη χρονική στιγμή t = 0, προσκρούει πάνω στον κύλινδρο ένα βλήμα μάζας m με ταχύτητα v 0 σε ύψος R από το δάπεδο Το βλήμα εισχωρεί ακαριαία στον κύλινδρο και σταματάει στο κέντρο του [Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου: I = MR /] 1 Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος, θεωρώντας ότι ο κύλινδρος δε γλυστράει στην οριζόντια επιφάνεια [7] Βρείτε μία έκφραση για την περίοδο ταλάντωσης γύρω από το κέντρο ισορροπίας [7] 3 Γράψτε την έκφραση για την μετατόπιση του κυλίνδρου σαν συνάρτηση του χρόνου, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα δεδομένα του προβλήματος [5] 4 Βρείτε την τιμή της τριβής σαν συνάρτηση του χρόνου Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής, ώστε ο κύλινδρος να μην γλυστράει στο δάπεδο [6] Καλή σας επιτυχία

3 Λύσεις Πρόβλημα Α 1 Πρόκειται για τις παραβολές E κιν = 1 m [ v 0 v 0 sin ϕgt + (gt) ] με τα κοίλα προς τα πάνω και E δυν = 1 m [ v 0 sin ϕgt(gt) ] με τα κοίλα προς τα κάτω, που προφανώς έχουν σταθερό άθροισμα (συνολική μηχανική ενέργεια) mv 0/ Και οι δύο συναρτήσεις παίρνουν την αρχική τους τιμή για t = v 0 sin ϕ/g (είναι η η ρίζα του E δυν ) και λόγω συμμετρίας των παραβολών οι ενέργειες λαμβάνουν τη μέγιστη/ελάχιστη τιμή τους στο χρόνο t 1 = t / Πρόκειται για τη χρονική στιγμή που η τροχιά έχει φτάσει στο ανώτερο σημείο (μέγιστη δυναμική ενέργεια) Θέτοντας t = t 1 βρίσκουμε E κιν (t 1 ) = 1 mv 0 cos ϕ και Έτσι E δυν = 1 mv 0 sin ϕ λ = tan ϕ 3 s = u 0 cos ϕt = v 0 g sin ϕ cos ϕ = v 0 λ 1 g 1 + λ 1 + λ που είναι η ζητούμενη σχέση Από τον μηδενισμό της παραγώγου ως προς λ βρίσκουμε λ = 1, δηλαδή ϕ = π/4 Πρόβλημα Β 1 Αν διαιρέσει κανείς τον κύλινδρο σε κυλινδρικούς φλοιούς ακτίνας r και πάχους dr θα έχει I = di = dmr = R 0 M πr H πrdrhr = M R Η μάζα και ο όγκος θα παραμείνουν ίδια οπότε R H = R H, δηλαδή R = R / Έτσι I = I 3

4 3 I = I + I κ = MR + M κr κ = MR ( ) 4 = 31 MR 3 Αν θέλαμε να εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως συνάρτηση της μάζας του κούφιου κυλίνδρου M = M M κ = 7 8 M Πρόβλημα Γ I = 31 8 M R 1 Στην κάθε μάζα ασκείται το βάρος, η αντίδραση, η τάση και η τριβή Έτσι κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου έχουμε για οριακή ισορροπία: (θετική η προς τα κάτω φορά) και m g sin θ T m g cos θη = 0 m 1 g sin θ + T m 1 g cos θη = 0 (θετική η προς τα πάνω φορά) Απαλείφωντας το T βρίσκουμε και λύνοντας ως προς η βρίσκουμε Για η < η 0 το σύστημα επιταχύνεται και προσθέτωντας τις δύο σχέσεις: m m 1 = sin θ + η cos θ sin θ η cos θ η 0 = tan θ m m 1 m + m 1 m a = m g sin θ T m g cos θη m 1 a = m 1 g sin θ + T m 1 g cos θη (m 1 + m )a = (m m 1 )g sin θ (m 1 + m )gη cos θ [ ] (m m 1 ) a = g sin θ η cos θ (m + m 1 ) a = g cos θ(η 0 η) 3 T = m (g sin θ g cos θη a) = m 1m m 1 + m g sin θ 4

5 4 L = 1 at t = L a (1) Πρόβλημα Δ 1 (M + m)a = kx F τ, MR α = F τr με θετική φορά για τις μετατοπίσεις αυτήν προς τα δεξιά και θετική φορά για τις περιστροφές την ωρολογιακή Η τριβή F τ θεωρούμε ότι κοιτάζει προς τα αριστερά Χρησιμοποιώντας και την a = αr και προσθέτωντας τις σχέσεις ( 3 M + x m)d dt = kx που αντιστοιχεί σε συχνότητα ω =, οπότε 3M+m 3M + m T = π Από τη διατήρηση της ορμής αρχικά mv 0 = (M + m)v χωρίς όμως να αλλοιώνεται η ροπή αδράνειας αφού το βλήμα φτάνει στο κέντρο Αφού ξεκινά από τη θέση ισορροπίας με αρχική ταχύτητα V θα έχουμε x = V ω sin ωt = mv ( ) 0 3M + m sin M + m 3M + m t 3 F τ = Ma = M d x dt = M mv 0 M + m Η μέγιστη τιμή αυτής (κατ απόλυτη τιμή) είναι F max τ = M mv 0 M + m 3M + m sin 3M + m ( 3M + m και θα πρέπει να μην ξεπερνά την τιμή η(m + m)g επομένως Fτ max η min = (M + m)g = Mmv 0 (M + m) g 3M + m t ) 5

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα