Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd stvrentzou@gmail.com

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com"

Ὑπατος Λύκος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 Ασκήσεις στις Ανισώσεις Παραδείγματα Θα ξεκινήσουμε από την υπόθεση α > 3, θα Αν ισχύει α > 3, να αποδείξετε ότι 2(α + 4) 6 < 20 εφαρμόσουμε τις ιδιότητες της διάταξης και θα καταλήξουμε στη ζητούμενη ανισότητα: 2(α + 4) 6 < 20 Έχουμε: 1ος τρόπος απόδειξης ανισοτήτων Ξεκινάμε από την υπόθεση και εφαρμόζοντας τις ιδιότητες της διάταξης, καταλήγουμε στην ανισότητα που ζητείται να αποδείξουμε. α >3 α + 4 > α + 4 > 7 2 (α + 4) < 2 7 2(α + 4) < 14 2(α + 4) 6 < (α + 4) 6 < 20 Προσθέτουμε το 4 και στα δύο μέλη. Πολλαπλασιάζουμε με 2 και τα δύο μέλη. Αλλάζει η φορά της ανισότητας. Αφαιρούμε το 6 και από τα δύο μέλη. Απόδειξη α 3 < 3α 7 θα εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ανισοτήτων και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε σε μια σχέση που ισχύει. Έχουμε: α 3 > 3α 7 Προσθέτουμε το 3 και στα δύο μέλη. α > 3α α > 3α 4 α 3α > 3α 4 3α Αφαιρούμε τα 3α και από τα δύο μέλη. 2α > 4 α < 2 Διαιρούμε με 2 και τα δύο μέλη. Αλλάζει η φορά της ανισότητας. 1

2 2 Καταλήξαμε στην ανισότητα α < 2, η οποία ισχύει από την υπόθεση. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει x 2 + 4y 2 4xy. Πότε ισχύει η ισότητα; Ξεκινάμε από την ανισότητα: Η τελευταία σχέση ισχύει, x 2 + 4y 2 4xy έχουμε: αφού το τετράγωνο ενός x 2 + 4y 2 4xy 4xy 4xy 4xy x 2 4xy + 4y 2 0 αριθμού είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν. (x 2y) 2 0 Η ισότητα x 2 + 4y 2 4xy ισχύει όταν: (x 2y) 2 = 0 ή x 2y = 0 ή x = 2y Αν α < β και γ < δ, να δείξετε ότι α δ < β γ. γ < δ δ < γ (1) αλλά α < β (2) (1) + (2) α δ < β γ. (2) Αν ισχύουν x > 1 και y < 2, να αποδείξετε ότι xy + 2 < y + 2x. Από τη σχέση x > 1 προκύπτει ότι x 1 > 0 (ή ότι 1 x < 0 ) και από τη σχέση y < 2 προκύπτει ότι y 2 < 0 (ή ότι 2 y > 0 ). xy + 2 < y + 2x ή xy + 2 y 2x < 0 ή μεταφέρουμε τους όρους στο 1ο μέλος xy y + 2 2x < 0 ή y(x 1) 2(x 1) < 0 ή παραγοντοποιούμε (x- 1) (y -2) < 0 Η τελευταία ανισότητα ισχύει: x 1> 0 και y 2 < 0,οπότε το γινόμενο τους είναι αρνητικό. Αν x > 3, να αποδείξετε ότι: x + 1 < 3x 5 < 4x 8 Για να αποδείξουμε ότι: x +1< 3x 5 < 4x 8 2

3 3 αρκεί να αποδείξουμε ότι: x 1< 3x 5 και 3x 5 < 4x 8 Για την πρώτη ανισότητα έχουμε: x 1 < 3x 5 ή x 3x < 5 1 ή 2x < 6 ή x > 3 Για τη δεύτερη ανισότητα έχουμε: 3x 5 < 4x 8 ή 3x 4x < ή -x< -3, που ισχύει Άρα ισχύει και η ζητούμενη διπλή ανισότητα. Αν ισχύει x < 2, να συγκρίνετε τους αριθμούς α = 2x 3 και β = 3 x. Θα βρούμε τη και θα. Έχουμε: α β = (2x 3) (3 x) = διαφορά α β = 2x x = προσδιορίσουμε το πρόσημό της = 3x 6 = 3(x 2) Όμως ισχύει x < 2, άρα x 2 < 0 και 3(x 2) < 0. Δηλαδή ισχύει α β < 0, άρα α < β. Αν οι αριθμοί α και β είναι θετικοί και ισχύει α > β, τότε να αποδείξετε ότι α 2 > β 2. Γράφουμε την ανισότητα α > β δύο φορές και τις πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: α β, άρα α α > β β ή α 2 > β 2 α β Ισχύει ότι α > 0 και β > 0, οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες. α) Αν x > 0, να αποδείξετε ότι x +. β) Αν x < 0, να αποδείξετε ότι x +. 3

4 Η τελευταία ανισότητα ισχύει, διότι το τετράγωνο ενός αριθμού είναι μεγαλύτερο του μηδενός 4 α) Ξεκινάμε από την ανισότητα x + που θέλουμε να αποδείξουμε. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με x > 0 x + ή x 2 x ή x 2 + ή x x ή x x ή (x-1) 2 β) Ξεκινάμε από την ανισότητα x + που θέλουμε να αποδείξουμε. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με x < 0, οπότε θα αλλάξει η φορά της ανισότητας: x + ή x 2 x ή x 2 + ή x x ή x x ή (x+1) 2 Αν ισχύει 2 x 4 και 1 y 2, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: α) x + y β) x y Επειδή δεν επιτρέπεται να αφαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες, εργαζόμαστε ως εξής: α) Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες: 2 +1 x + y ή 1 x + y 6 β) 1 y 2 ή 1 ( 1) y ( 1) 2 ( 1) ή 1 y 2 ή 2 y 1 προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες: 2 + ( 2) x + ( y) 4 + ( 1) ή 4 x y 3 4

5 5 Αν ισχύει ότι 2 x 4 και 5 y 3, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται το γινόμενο xy. Δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις ανισότητες 2 x 4 και 5 y 3, γιατί στη δεύτερη ανισότητα όλα τα μέλη είναι αρνητικά. 5 y 3 ή 5 ( 1) y ( 1) 3 ( 1) ή 5 y 3 ή 3 y x (- y) 4 5 πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις ανισότητες ή 6 - xy 20 ή 6 xy 20 ή 20 xy 6 Αν ισχύει x 2 + y 2 = 2y 1, να βρείτε τους αριθμούς x και y. x 2 + y 2 = 2y 1 μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος x 2 + y 2-2y + 1 = 0 ή x 2 + (y 1) 2 = 0 Όμως η τελευταία σχέση ισχύει μόνο x = 0 και y 1 = 0 x = 0 και y = 1 Αν 2 x 1 και 0 y 2, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης Π = 2x 3y x 1 4 2x 2 (1) 0 y y 6 6 3y 0 (2) (1) + (2) 10 2x 3y x 3y x 3y +1 3 Άρα η μέγιστη τιμή της παράστασης Π είναι 3 και η ελάχιστη είναι 9 5

6 6 Ασκήσεις προς λύση Αν ισχύει α > β, να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ανισότητας ( < ή >) στα παρακάτω κενά: α) α β + 3 σβ) α 2...β 2 γ) 4α... 4β Αν ισχύει α) α + 3 > 5 β) 2α + 4 > 8 α > 2, να αποδείξετε ότι: Αν ισχύει α < β, να αποδείξετε ότι: α) 2α 3 < 2β 3 σβ) 3α+1> 3β+1 σγ) 5 4α > 5 4β Αν ισχύει α < 1, να αποδείξετε ότι: α) 3 + 4(α +1) < 4 + α β) 2α (9 α) > 4(2 α) Αν α > 3 και β > 4, να αποδείξετε ότι: α) αβ >12 β) (α + 2)β > 20 γ) α(β 2) > 6 δ) (α 1)(β +1) >10 ε) (3α 4)(β 1) >15 στ) (2α 1)(3β 7) > 25 α) Αν α >1> β, να αποδείξετε ότι: α + β >1+ αβ Αν ισχύει 6 < α< 9, να βρείτε μετα ξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παρα στάσεις: α) α + 4 σβ) α 7 6

7 7 Αν ισχύουν οι 3 < α < 2 και βρίσκονται οι παραστάσεις: α) α + β β) α β 5 < β < 6, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών Αν x < 2, να συγκρίνετε τους αριθμούς: α = 4x 5 και β = x +1 Αν ω > 3, να συγκρίνετε τους αριθμούς: α = ω + 2 και β = 8 ω Να βρείτε τους αριθμούς x και y, αν ισχύει: α) x 2 2x + y 2 6y +10 = 0 β) x 2 + y 2 + 2(x + 2y) + 5 = 0 7

Σχετικά έγγραφα

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ Λιμάνι Χερσονήσου 28-4-2010 ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Αριθμός πρωτ. 3889 ΔΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ΔΗΜΑΡΧΙΑΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ Ο Δήμος Χερσονήσου Νομού ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ διακηρύσσει