Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ Διαλ.16 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1"

Ἐπαφρᾶς Καλύβας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ Διαλ.16 1

2 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη σε κάποιο υλικό σημείο εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση του σωματιδίου Θυμηθείτε το παράδειγμα με το κεκλιμένο επίπεδο: d F = mgsn g x F = mgsn " θ h g g y ΦΥΣ Διαλ.16 2 W a = F d = mgsn" d = mgh W b = F d " = mgsn #" d " = mgh θ d h ü Μεταφέροντας ένα κιβώτιο πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο παράγεται το ίδιο έργο. ü Το έργο εξαρτάται μόνο από την διαφορά ύψους h=y 2 -y 1 δηλαδή την αρχική και τελική θέση (y) του κιβωτίου.

mgsn g x F = mgsn " θ h g g y ΦΥΣ 131 - Διαλ.

3 ΦΥΣ Διαλ.16 3 Γενικά για τη βαρυτική δύναµη... Έστω μια τυχαία διαδρομή: y φ 2 2 dl h θ mg y 1 1 To έργο που παράγεται από την δύναμη της βαρύτητα πηγαίνοντας από το 1 στο 2 είναι: 2 W g = F g d 2 " l = mgcos# dl y d y 1 " 2 1 W g = mgdy " y 1 = dl cos dy = "dlcos# dy φ dl W g = mg(y 2 y 1 ) Για μια κλειστή διαδρομή: Το έργο που παράγεται από μια συντηρητική δύναμη κατά μήκος αυτής της κλειστής διαδρομής είναι μηδέν Βαρύτητα: συντηρητική δύναμη Τριβή: μη συντηρητική W g = F g d s " = 0 πάντα αντιτίθεται στην κίνηση ενός σώματος και άρα παράγει πάντα έργο σε μια κλειστή διαδρομή. Μετατρέπει έργο σε θερμότητα

l = mgcos# dl y d y 1 " 2 1 W g = mgdy " y 1 = dl cos dy = "dlcos# dy φ dl W g = mg(y 2 y 1 ) Για μια κλειστή διαδρομή: Το έργο που παράγεται από μια

4 ΦΥΣ Διαλ.16 4 Αποθηκευµένη Ενέργεια Ø Αν σηκώσω ένα τούβλο W tot = W g + W m = 0 W m = F m " d = mgh = mg(y 2 # y 1 ) = #W g Ø Aν αφήσω το τούβλο να πέσει, τότε η βαρύτητα εκτελεί έργο: W g = +mg(y 2 y 1 ) = mgh (αργά ώστε η ταχύτητα να ναι σταθερή) v = 2gh f E "#$ = 1 2 mv2 = 1 m2gh = mgh 2 f ΑφούE "# = 0 καιw net = E "# f $ E "# W net = E "#$ = mgh το τούβλο παράγει έργο Λέμε ότι μια ποσότητα ενέργειας mgh αποθηκεύεται καθώς σηκώνουμε το τούβλο σε ένα ύψος h. Αυτή η αποθηκευμένη ενέργεια ονομάζεται: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U = mgh Ø Η δυναμική ενέργεια σχετίζεται μόνο με συντηρητικές δυνάμεις. Ø Η δυναμική ενέργεια σχετίζεται πάντοτε με συστήματα 2 σωμάτων που αλληλεπιδρούν

έργο: W g = +mg(y 2 y 1 ) = mgh (αργά ώστε η ταχύτητα να ναι σταθερή) v = 2gh f E "#$ = 1 2 mv2 = 1 m2gh = mgh 2 f ΑφούE "# = 0 καιw net = E "# f $ E "# W net = E "#$ =

5 Δυναµική ενέργεια ΦΥΣ Διαλ.16 5 q H δυναμική ενέργεια σχετίζεται με την κατάσταση ενός συστήματος του οποίου τα επιμέρους σώματα αλληλεπιδρούν με δυνάμεις. (ελαστική δυναμική ενέργεια, ηλεκτρική δυναμική ενέργεια, βαρυτική). Ø Στη βαρύτητα, η δυναμική ενέργεια ορίζεται ως προς τη θέση των μαζών Αν πούμε ΔU = U f - U = W m = mg(y 2 - y 1 )= -W g τότε U = mgy Η βαρυτική δυναμική ενέργεια ορίζεται U = mgy + C όπου C=σταθερά Ø Η σταθερά C μπορεί να χει οποιαδήποτε τιμή μια και μετρούμε πάντα διαφορές δυναμικής ενέργειας και όχι απόλυτες τιμές ü Σε προβλήματα διαλέγουμε μια κατάσταση αναφοράς (π.χ. κάποιο ύψος όπου η δυναμική ενέργεια είναι γνωστή ή μηδέν) ü Εξαρτάται πάντα από το ύψος του σώματος από την επιφάνεια της γης Επομένως U = "W g = " $ 1 2 F g # d l Προσοχή στο - 2 q Γενικά, για συντηρητικές δυνάμεις: U = U 2 " U 1 = " $ F # d l = "W F 1

Ø Στη βαρύτητα, η δυναμική ενέργεια ορίζεται ως προς τη θέση των μαζών Αν πούμε ΔU = U f - U = W m = mg(y 2 - y 1 )= -W g τότε U = mgy Η βαρυτική δυναμική ενέργεια ορίζεται U = mgy + C όπου C=σταθερά

6 ΦΥΣ Διαλ.16 6 Δυναµική ενέργεια Σκεφτείτε τι συμβαίνει σε μια διάσταση: U f = " f F(x)dx + U (Α) Aς υποθέσουμε U = 0 και U f = U f (x) Αν αντιστρέψουμε την (Α) (δηλαδή παραγωγίσουμε) τότε θα πάρουμε du f dx = d dx " F(x)dx = F(x) # f F(x) = du f dx U f (x) = " F(x)dx Αν ξέρουμε τη U βρίσκουμε την F Αν ξέρουμε την F βρίσκουμε την U Σε 3 διαστάσεις (χρησιμοποιούμε μερικές παραγώγους αφού U=U(x,y,z)) F x = "U f "x, F y = "U f "y, F z = "U f "z # F(x, y,z) = ˆ "U f "x + ˆ j "U f "y + k ˆ "U f "z Αν μπορούμε να μετρήσουμε U(r) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την F

την (Α) (δηλαδή παραγωγίσουμε) τότε θα πάρουμε du f dx = d dx " F(x)dx = F(x) # f F(x) = du f dx U f (x) = " F(x)dx Αν ξέρουμε τη U βρίσκουμε

7 Διάγραµµα ενέργειας Η γενική κίνηση ενός σώματος μπορεί να βρεθεί αν κάνουμε το διάγραμμα της δυναμικής ενέργειας: E 2 E 1 U E 4 E 3 α β σταθερή ισορ. v = ± + κλίση - κλίση F = du dx x ασταθής ισ. 2 ( m E U ( x) ) " dx dt = ± U + K = E U(x) mv2 = E ΦΥΣ Διαλ.16 7 Πρέπει Ε U(x) ώστε η ταχύτητα v να έχει πραγματική τιμή Αν Ε = Ε 2 τότε το σώμα ταλαντώνεται μεταξύ των σημείων α και β Επομένως η γενική λύση για τα x(t) 2 ( m E U ( x) ) v = ± 2 ( m E " U ( x) ) Γενικά αυτό δεν είναι πάντα πραγματοποιήσιμο αναλυτικά και χρειάζεται να λύσουμε το πρόβλημα αριθμητικά (υπολογιστές). x dx t # = ± dt x 0 2 ( m E " U ( x) ) # 0 Ολοκληρώνοντας παίρνουμε το χρόνο t συναρτήσει της x Κατόπιν αν αναστρέψουμε θα πάρουμε την x συναρτήσει του t.

16 7 Πρέπει Ε U(x) ώστε η ταχύτητα v να έχει πραγματική τιμή Αν Ε = Ε 2 τότε το σώμα ταλαντώνεται μεταξύ των σημείων α και β Επομένως η γενική λύση για τα x(t) 2 ( m E U ( x) ) v = ± 2 (

8 ΦΥΣ Διαλ.16 8 Παράδειγµα Μια μπάλα πέφτει από ύψος h, με υ 0 =0. Δείξτε ότι y(t) = h-1/2gt 2 ΛΥΣΗ Μετρούμε την U σχετικά με το έδαφος. E = mgh Η μηχανική ενέργεια του συστήματος είναι Στο ύψος y(t) η δυναμική του ενέργεια είναι Αλλά και U(y) = mgy E = U(y) = mgh mgy E " = E #$% + U & E #$% = E " 'U & 1 2 mv2 = mgh ' mgy & v = ± 2g(h-y) dy dt E "# = 0 = ± 2g(h-y) dy 2g(h-y) = ±dt y dy 2g(h y) = t " dt y dy " # " h 0 2g h y = t # h t = 1 2g 2 h " y h y t = 2 g (h " y) y = h " 1 2 gt 2

E = mgh Η μηχανική ενέργεια του συστήματος είναι Στο ύψος y(t) η δυναμική του ενέργεια είναι Αλλά και U(y) = mgy E = U(y) =

9 ΦΥΣ Διαλ.16 9 Πίσω στα ελατήρια H δύναμη ελατηρίου F=-kx, είναι μια συντηρητική δύναμη. Ξεκινάμε με ελατήριο στο φυσικό του μήκος και μετά το συμπιέζουμε κατά μια ποσότητα x. U f U = U(x) U(0) = F " d f x # l = # (kx) dx = 1 2 kx 2 Αν διαλέξουμε την ποσότητα U(0) = 0 τότε: 0 U 0 x U f (x) = 1 2 kx 2 Ελαστική δυναμική ενέργεια E κιν και U θεωρούνται και τα δύο μορφές μηχανικής ενέργειας W net = (E "#$. ) 2 U = % F net & d l ' 1 ( * ), E "#$. + U = 0 = %W net +*

U f U = U(x) U(0) = F " d f x # l = # (kx) dx = 1 2 kx 2 Αν διαλέξουμε την ποσότητα U(0) = 0 τότε: 0 U 0 x U f (x) =

10 ΦΥΣ Διαλ Διατήρηση της µηχανικής ενέργειας Ορίζουμε σαν μηχανική ενέργεια ενός συστήματος: E µ" = E #$%. + U Για συντηρητικά συστήματα μόνο: f E "#. $ E "#. + U f $U = 0 Πανίσχυρος νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας Ø Η μηχανική ενέργεια ενός συστήματος διατηρείται όταν δεν υπάρχει μεταφορά ενέργειας με το περιβάλλον (απομονωμένο σύστημα). Ø Αν υπάρχει αντίσταση ενός μέσου ή δύναμη τριβής η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται

11 Παράδειγµα ΦΥΣ Διαλ Να βρεθεί το έργο που παράγεται σε 2 διαφορετικά αδρανειακά συστήματα για σώμα που επιταχύνεται με επιτάχυνση α από τη θέση ηρεμίας ως προς (α) Ακίνητο σύστημα (β) Κάποιο που κινείται με ταχύτητα v. (α) Ακίνητο σύστημα F = ma d = 1 2 at 2 (v = 0, v f = at) 0 W = Fd = (ma)( 1 2 at 2 ) = 1 2 m(at)2 = 1 2 m(v 2 f " v 2 ) = 1 2 mv 2 f = #E $%& (β) Κινούμενο σύστημα d = vt at 2, F = ma (v = v, v f = v + at) W = Fd = (ma)(vt at 2 ) = mavt m(at)2 (1) Αλλά E "#$ = 1 2 m(v 2 f % v 2 ) = 1 2 m(v + at)2 % 1 2 mv2 = 1 2 m(v2 + (at) 2 + 2vat) % 1 2 mv2 "E #$% = mvat m(at)2 (2) Από (1) και (2) έχουµε W=ΔΕ κιν q W και ΔΕ κιν δεν έχουν την ίδια μορφή όπως στο ακίνητο σύστημα αλλά είναι και πάλι ίσα μεταξύ τους.

12 ΦΥΣ Διαλ Ισχύς Ø Ισχύς ορίζεται σαν ο ρυθμός παραγωγής έργου: P = dw F d = F d dt x x P = P = F " v Μονάδα μέτρησης ισχύος dt dt Watt = Joule/sec

Σχετικά έγγραφα

Περιεχόμενα. Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1. Κεφάλαιο 2. Κεφάλαιο 3. Κεφάλαιο 4. Κεφάλαιο 5. Κεφάλαιο 6. Κεφάλαιο 7. Κεφάλαιο 8.

Περιεχόμενα. Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1. Κεφάλαιο 2. Κεφάλαιο 3. Κεφάλαιο 4. Κεφάλαιο 5. Κεφάλαιο 6. Κεφάλαιο 7. Κεφάλαιο 8. Περιεχόμενα Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1 Η σταχτοπούτα της ζωής μας!... 15 Κεφάλαιο 2 Συνδέοντας τα κομμάτια: o εαυτός μας!... 23 Κεφάλαιο 3 Οι σχέσεις μας είναι ο καθρέφτης μας!... 27 Κεφάλαιο