ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣ235 ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ - ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ II

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣ235 ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ - ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ II Σχετική Κίνηση στην Κλασική Φυσική 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του Νεύτωνα F=mγ παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τους ακόλουθους μετασχηματισμούς : (α) Μετάθεση στο χώρο: (Χ =Χ+L) (β) Περιστροφή στο χώρο: (Χ =Χcosθ-Υsinθ, Υ =Χsinθ+Υcosθ) (γ) Αντιστροφή χρόνου: (tt = -t) (δ) Αναστροφή χώρου: (ΧΧ =-X, ΥΥ =-Y, ΖΖ =-Z) 2. Έστω ένας τροχός ακτίνας R και ένα σημείο Α επί της περιφέρειάς του. Όταν το αυτοκίνητο (στο οποίο ανήκει ο τροχός) προχωρεί με σταθερή ταχύτητα v 0 η τροχιά που διαγράφεται από το σημείο Α έχει κυκλοειδή μορφή. Να βρεθούν οι εξισώσεις που περιγράφουν αυτή τη μορφή κίνησης του σημείου Α. 3. Ένα σώμα μάζας m έχει αρχική ταχύτητα v καθώς γλιστρά πάνω σε μια επιφάνεια όπου υπάρχει τριβή. Δείξετε ότι η διεργασία αυτή δεν είναι αναλλοίωτη κάτω από χρονική αντιστροφή. 4. Ενας πύραυλος κινείται στον κενό χώρο (χωρίς βαρύτητα) με ταχύτητα 1500 μέτρα το δευτερόλεπτο, επιβραδυνόμενος κατά 5 μέτρα ανά τετραγωνικό δευτερόλεπτο. Μια σφαίρα πυροδοτείται προς τα μπρος από το πίσω μέρος του πυραύλου με σχετική ταχύτητα 200 μέτρα το δευτερόλεπτο ως προς τον πύραυλο. Πόσος χρόνος θα περάσει μέχρις ότου η σφαίρα ξανασυναντήσει τον πύραυλο; 5. Ενας ποταμός με πλάτος 2χμ. παρουσιάζει ρεύμα ταχύτητας ενός κόμβου (=1810μέτρα/ώρα) κατά τη διεύθυνση της ροής του. Ενας κολυμβητής κολυμπά με σταθερή ταχύτητα 2.5 κόμβων. α) σε ποιά διεύθυνση θα πρέπει να κολυμπά ο κολυμβητής για να διασχίσει τον ποταμό στο μικρότερο δυνατό χρονικό διάστημα ; β) πόσο είναι το χρονικό αυτό διάστημα ; γ) πόση απόσταση θα έχει διανύσει ο κολυμβητής κατά μήκος της όχθης ;

2 2 d r 6. Είναι η εξίσωση m ( p r) αναλλοίωτη κάτω από μεταθέσεις, περιστροφές, 2 dt αντιστροφή χρόνου και αναστροφή των συντεταγμένων; Διερευνήστε κάθε περίπτωση ξεχωριστά. 7. Ενας άνθρωπος που ζυγίζει 160 κιλά στέκεται πάνω σε μια ζυγαριά μέσα σε ένα ανελκυστήρα. Τί ένδειξη δείχνει η κλίμακα της ζυγαριάς (α) αν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα πάνω με ρυθμό 2 μέτρα ανά τετραγωνικό δευτερόλεπτο; (β) αν η ανοδική πορεία του ανελκυστήρα επιβραδύνεται κατά 1.5 μέτρο το τετραγωνικό δευτερόλεπτο; (γ) αν ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω με σταθερό ρυθμό 5 μέτρα το δευτερόλεπτο; Μετασχηματισμοί Lorentz-Συστολή Μήκους-Διαστολή Χρόνου 8. Δείξετε ότι η μορφή x 2 -(ct) 2 είναι αναλλοίωτη κάτω από ένα μετασχηματισμό Lorentz ταχύτητας v κατά τη διεύθυνση του άξονα Χ. 9. Να υπολογισθεί η συστολή της διαμέτρου (D= 2x6.37x10 6 m) της Γης στον ισημερινό λόγω της γωνιακής κίνησης της Γης γύρω από τον Ήλιο (R=1.49x10 11 m) όπως αυτή μετράται από κάποιο παρατηρητή που βρίσκεται στον Ήλιο. 10. Δείξετε ότι ένας μετασχηματισμός Lorentz με ταχύτητα v 1 στην X κατεύθυνση, ακολουθούμενος από ένα μετασχηματισμό Lorentz με ταχύτητα v 2 στην κατεύθυνση Y δεν ισοδυναμεί με τους ίδιους μετασχηματισμούς εφαρμοσμένους με αντίστροφη σειρά. 11. Το μυόνιο είναι ένα ασταθές σωματίδιο το οποίο διασπάται αυθόρμητα σε ένα ηλεκτρόνιο και δύο νετρίνα σύμφωνα με την αντίδραση: e. Αν ο αριθμός των μιονίων κατά την χρονική στιγμή t=0 είναι N 0, ο αριθμός σε t / χρόνο t είναι : N( t) N0e όπου τ είναι η μέση ζωή του μιονίου (= 2.2μsec). Υποθέστε ότι τα μυόνια κινούνται με ταχύτητα 0.95c και ότι ο αρχικός αριθμός τους είναι 5x10 4. (α) Πόση είναι η παρατηρούμενη ζωή των μιονίων ; (β) Πόσα μιόνια απομένουν μετά από μία διαδρομή απόστασης ίσης με 3Km; e

3 12. Μια ράβδος μήκους L 0 κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος της οριζόντιας κατεύθυνσης. Η ράβδος σχηματίζει γωνία θ 0 ως προς τον άξονα Χ. (α) Αποδείξετε ότι 1 c μετριέται από ένα ακίνητο παρατηρητή / 2 L L0 cos 2 0 είναι το μήκος της ράβδου όπως (β) Αποδείξετε ότι η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με τον άξονα Χ δίνεται από την σχέση: tanθ = γ tanθ 0. Αυτά τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η ράβδος και συστέλλεται και περιστρέφεται. Για ευκολία θεωρούμε ότι το κάτω άκρο της ράβδου συμπίπτει με την αρχή του τονισμένου συστήματος συντεταγμένων. 13. Ενας αστροναύτης ταξιδεύει με το διαστημόπλοιό του με ταχύτητα 0.5c ως προς τη Γη. Ο αστροναύτης αυτός και ένας παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στη Γή συγκρίνουν το μήκος του Προτύπου Μέτρου που ο καθένας διαθέτει στο ακίνητο ως προς αυτόν σύστημα αναφοράς. Οι μετρήσεις γίνονται παράλληλα προς τη σχετική ταχύτητα u των δύο συστημάτων αναφοράς. Πόσο δηλώνει ο καθένας ότι το Πρότυπο Μέτρο του άλλου είναι μικρότερο; 14. Ένα πρωτόνιο επιταχύνεται σε ένα επιταχυντή αποκτώντας τελική ενέργεια 500MeV. Πόση είναι η μάζα του εκπεφρασμένη ως πολλαπλάσιο της μάζας ηρεμίας του ; Τι ταχύτητα διαθέτει το πρωτόνιο αυτό εκπεφρασμένη ως κλάσμα της ταχύτητας του φωτός c; Μετασχηματισμοί Ταχύτητας και Φαινόμενο Doppler 15. Θεωρείστε δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς, ένα άτονο S και ένα τονούμενο S, τα οποία κινούνται με σχετική ταχύτητα v μεταξύ τους. Να υπολογίσετε τη συνθήκη που θα πρέπει να ισχύει ώστε η πρόβλεψη που δίνουν οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου για την ταχύτητα u x ενός σώματος στο σύστημα S, το οποίο κινείται με ταχύτητα u x στο σύστημα S, να διαφέρει από αυτή των μετασχηματισμών Lorentz κατά 2%. 16. Η ταχύτητα του φωτός σε στάσιμο νερό είναι c/n, όπου η προσεγγιστική τιμή του δείκτη διάθλασης του νερού είναι n=4/3. Ο Fizeau το 1851 βρήκε πειραματικά ότι η ταχύτητα (σε σχέση με το εργαστήριο) του φωτός σε νερό που κινείται με ταχύτητα V (σε σχέση με το εργαστήριο) μπορούσε να εκφραστεί από τη σχέση : c u kv n όπου ο συντελεστής τριβής k μετρήθηκε να είναι Να υπολογίσετε την τιμή του k θεωρητικά από τους μετασχηματισμούς ταχύτητας Lorentz.

4 17. Ένας αστροναύτης βρίσκεται σε πύραυλο που κινείται με ταχύτητα u=0.6c σε σχέση με το διαστημικό σταθμό και στέλνει ένα φωτεινό σήμα πρός το σταθμό, μήκους κύματος 5000 Å. Ποιά είναι η συχνότητα του φωτός που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής στο διαστημικό σταθμό; (Υπενθύμιση: η σχέση ανάμεσα στη συχνότητα και το μήκος κύματος του φωτός είναι v = c/λ ). 18. Στο προηγούμενο πρόβλημα, ποιά είναι η συχνότητα του φωτός που παρατηρεί ένας επιβάτης σε άλλο πύραυλο που κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα 0.8c σε σχέση με τον διαστημικό σταθμό ; Διάφορα Προβλήματα 19. Εστω ότι μια φωτονική δέσμη ταξιδεύει σε ευθεία τροχιά, εφαπτομενικά της ηλιακής σφαίρας. Αν υποθέσουμε ότι η κάθετη στην τροχιά συνιστώσα της δύναμης της βαρύτητας Fcosθ, ολοκληρωμένη πάνω σε όλη την τροχιά, δίνει στα φωτόνια μια κάθετη συνιστώσα ορμής Δp = F cosθ dt να υπολογιστεί η απόκλιση της φωτονικής δέσμης α=δp/p από την τροχιά της. Σημείωση δίνονται τα ακόλουθα μεγέθη: G=6.67 x Nt m 2 /Kg 2 (Παγκόσμιος Σταθερά της βαρύτητας) M=1.99x10 30 Kg (Μάζα του Ήλιου) R= 6.96 x 10 8 (Ακτίνα του Ήλιου) 20. Να υπολογιστεί η επί τοις % σχετικιστική αύξηση της μάζας ενός ηλεκτρονίου το οποίο κινείται στην πρώτη τροχιά Bohr (α) του Υδρογόνου (Ζ=1) (β) του Ουρανίου (Ζ=92) Σημείωση δίνονται Κ=9x10 9 Nt m 2 /C 2 h/2π=1.05x10-34 Nt m sec e=1.6x10-19 C 21. Οι χωροχρονικές συντεταγμένες δύο γεγονότων σε ένα σύστημα αναφοράς S είναι: x 1 =x 0, t 1 =x 0 / c (y 1 =0, z 1 =0) και x 2 =2x 0, t 2 =x 0 / 2c (y 2 =0, z 2 =0) (α) Να βρείτε την ταχύτητα ενός άλλου συστήματος αναφοράς, στο οποίο τα δύο αυτά γεγονότα συμβαίνουν ταυτόχρονα, σε σχέση πάντοτε με το σύστημα S. (β) Ποια είναι η τιμή του χρόνου t στην οποία λαμβάνουν χώρα τα δύο αυτά γεγονότα στο νέο σύστημα;

5 22. Το πείραμα του Fizeau απαιτεί γρήγορη κίνηση του νερού, η οποία συχνά καταλήγει σε στροβίλους. Ενα δυνατό υποκατάστατο της αρχικής διάταξης που χρησιμοποιήθηκε θα ήταν η τοποθέτηση δύο ομοίων σωλήνων, μήκους L πάνω σε ένα περιστρεφόμενο δίσκο (γωνιακή ταχύτητα ω και ακτίνα περιστροφής R ). (α) Δείξτε ότι η διαφορά στον οπτικό δρόμο ανάμεσα στις δύο ακτίνες του πειράματος είναι 2n 2 flω(4r 2 -L 2 ) 1/2 /c, όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης του νερού και f ο συντελεστής αντίστασης του Fresnel ή σταθερά συναρπαγής. (β) Αν f=1-n -2, n=1.33, R=20cm και λ=5300 Α, πόσο γρήγορα πρέπει να γυρίζει ο δίσκος ώστε να προκαλέσει μια διαφορά στον οπτικό δρόμο ίση με 0.2 λ ; 23. Το σύστημα αναφοράς S σε σχέση με το σύστημα S έχει ταχύτητα v=0.6c. Τα χρονόμετρα των δύο αδρανειακών συστημάτων έχουν ρυθμιστεί έτσι ώστε t=t =0 όταν x=x =0. (α) Αν ένα γεγονός συμβαίνει στο σύστημα S κατά την χρονική στιγμή t=2x10-7 sec και στο σημείο x=50cm, σε ποιο χρόνο συμβαίνει το ίδιο γεγονός στο σύστημα S ; (β) Αν ένα δεύτερο γεγονός συμβαίνει στις χωροχρονικές συντεταγμένες (10m, 3x10-7 sec) στο σύστημα S, ποια είναι η χρονική διαφορά μεταξύ των δύο γεγονότων στο σύστημα S ; 24. Ένας πύραυλος κυρίου μήκους L 0 κινείται με σταθερή ταχύτητα v ως προς ένα σύστημα αναφοράς S. Η κορυφή του πυραύλου Α κατά τη χρονική στιγμή t=t =0 διέρχεται από το σημείο Α στο σύστημα S, εκπέμποντας ταυτόχρονα ένα φωτεινό σήμα που κατευθύνεται προς την ουρά του πυραύλου Β. (α) Πότε θα φθάσει το σήμα στην ουρά Β του πυραύλου σύμφωνα με το σύστημα αναφοράς S του ιδίου του πυραύλου; (β) Σε ποιο χρόνο t του συστήματος αναφοράς S θα φτάσει το σήμα στην ουρά του πυραύλου; (γ) Σε ποιο χρόνο t 2, μετρούμενο στο σύστημα S, η ουρά του πυραύλου Β θα διέλθει από το σημείο Α; 25. Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται ένα αυτοκίνητο ώστε στον οδηγό του ένα κόκκινο φως να φαίνεται πράσινο; Για να υπολογίσετε την ταχύτητα αυτή χρησιμοποιήστε την ορθή σχετικιστική φόρμουλα που δίνει την μεταστόπιση Doppler. Δίνονται: λ κοκκ =650nm, λ πρασ =550nm

6 26. Από κάποιες έμμεσες ενδείξεις ή φυσικά φαινόμενα γίνεται γνωστό ότι δύο γεγονότα Α και Β έλαβαν χώρα στο ίδιο σημείο ενός μακρινού γαλαξία και ότι το γεγονός Β συνέβη 4 δευτερόλεπτα μετά από το γεγονός Α. Ο χρόνος αυτός μετράται στο σύστημα αναφοράς του γαλαξία. Είναι επίσης γνωστό ότι η απόσταση ανάμεσα στη Γη και τον γαλαξία αυτό παραμένει σταθερή, δηλ. θεωρείστε ότι ο γαλαξίας κινείται με ομαλή κίνηση σε κατεύθυνση κάθετη προς τη γραμμή όρασης του γήϊνου παρατηρητή. Στη Γη το σήμα από το γεγονός Β λαμβάνεται 6 δευτερόλεπτα μετά από αυτό του γεγονότος Α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του γαλαξία. 27. Αν η κίνηση του γαλαξία στο προηγούμενο πρόβλημα γίνεται κατά τη διεύθυνση της γραμμής όρασης του γήϊνου παρατηρητή ποια θα είναι τότε η ταχύτητα του γαλαξία; 28. Ένα σωματίδιο μάζας ηρεμίας m 0 και κινητικής ενέργειας 2m 0 c 2 προσπίπτει πάνω σε ένα σωματίδιο μάζας ηρεμίας 2m 0 το οποίο είναι ακίνητο, σχηματίζοντας ένα σύνθετο σωμάτιο. Να υπολογιστεί η μάζα ηρεμίας του σύνθετου αυτού σωματίου. 29. Ένα φωτόνιο ενέργειας Ε συγκρούεται με ένα ακίνητο σωματίδιο, μάζας ηρεμίας m 0 και απορροφάται. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σύγκρουση. σύνθετου σωματιδίου που προκύπτει από τη 30. Ένα σωματίδιο μάζας ηρεμίας m 0, κινούμενο με ταχύτητα μέτρου 4c/5, συγκρούεται με ένα όμοιο του σωματίδιο το οποίο βρίσκεται σε ηρεμία και σχηματίζει ένα σύνθετο σωματίδιο. Ποια είναι η μάζα και το μέτρο της ταχύτητας του σύνθετου σωματιδίου; 31. Ένα σωματίδιο ταχύτητας v συγκρούεται με ένα ίδιο σωματίδιο το οποίο βρίσκεται σε ηρεμία. Να αποδειχθεί ότι η ταχύτητα του κέντρου μάζας δίνεται από την φόρμουλα: V K.M. = γv/(1+γ). Ποια είναι η τιμή του γ Κ.Μ.;

7 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 32. Ξεκινώντας από τις εξισώσεις Maxwell στον κενό χώρο να αποδείξετε ότι τα ανύσματα της έντασης του Μαγνητικού Πεδίου B, της έντασης του Ηλεκτρικού Πεδίου E και του κυματικού αριθμού k είναι κάθετα μεταξύ τους. 33. Δείξετε ότι η Ψ(x-ct)=f(x-ct) αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης του κύματος. 34. Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος Ψ(x,t) το οποίο υπακούει στις ακόλουθες αρχικές συνθήκες: Ψ(x,0)=f(x), θψ/θt t=0 =λf / (x) Θεωρείστε ότι c =1 και λ=σταθερά. 35. Υποθέστε ότι κατά τη χρονική στιγμή t=0 μια χορδή κτυπιέται από ένα μικρό σφυρί με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι f(x,0)=0 και f (x,0)= -w για (-α<x<0) f (x,0)= +w για (0<x<α) f (x,0)= 0, για οποιαδήποτε άλλη τιμή του x. Σημειώνεται ότι f(x,t)=g(x-vt)+h(x+vt). Το f (x,0) αποτελεί την πρώτη παράγωγο της κυματικής συνάρτησης για t=0 ενώ το w είναι μια σταθερά. (α) Να προσδιοριστούν οι g(x,0) και h(x,0). (β) Nα προσδιοριστεί η μορφή της χορδής κατά τη χρονική t= α/2v την οποία και να σχεδιάσετε. (γ) Να γίνει το ίδιο για τη χρονική στιγμή t=3α/2v. (δ) Να περιγραφεί η μορφή που θα έχει η χορδή σε κάποια μεταγενέστερη χρονική στιγμή. 36. Η ένταση του ηλιακού φωτός που φτάνει στη Γη είναι περίπου1300 W/m 2. (α) Βρείτε τα πλάτη του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. (β) Σε πόση απόσταση από ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο θα πρέπει να βρεθείτε για να πάρετε ένα συγκρίσιμο με το πιο πάνω ηλεκτρικό πεδίο; (γ) Αν το φως του Ήλιου πέφτει πάνω σε ένα σώμα που απορροφά πλήρως όλη την προσπίπτουσα ορμή, πόση είναι η πίεση που ασκεί το φως στο σώμα αυτό; (δ) Πόση είναι η πίεση που ασκεί το ηλιακό φώς πάνω σε ένα τέλειο κάτοπτρο που αντανακλά πλήρως το φώς; (ε) Σε ποιο κλάσμα της ατμοσφαιρικής πίεσης ανέρχεται η πίεση του ηλιακού φωτός;

8 37. Να αποδειχθεί η ακόλουθη σχέση: 1 r r' ( ), όπου r r ' 3 r 38. Να αποδειχθεί η ακόλουθη σχέση: 2 ( 1 ) 4 ( ), όπου r 39. Να υπολογίσετε τους ακριβείς συντελεστές ανάκλασης R και μετάδοσης T για κάθετη πρόσπτωση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια ανάμεσα σε δύο μη αγώγιμα γραμμικά μέσα στην περίπτωση όπου τα μεγέθη μ 1 και μ 2 δεν είναι ίσα. Δείξατε ότι και σε αυτή την περίπτωση R+T= Ο δείκτης διάθλασης του διαμαντιού είναι Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση του λόγου Ε 0α /Ε 0π και του Ε 0μ /Ε 0π συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης θ π όταν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια αέρα/διαμαντιού (υποθέστε ότι μ 1 =μ 2 =μ 0 ). Υπολογίστε (α) τα πλάτη για κάθετη πρόσπτωση, (β) τη γωνία Brewster, (γ) τη γωνία για την οποία τοανακλώμενο και το μεταδιδόμενο πλάτος γίνονται ίσα. 41. (α) Το ρηχό νερό δεν παρουσιάζει διασπορά. Τα κύματα κινούνται με ταχύτητα που είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του βάθους. Όταν το νερό όμως είναι βαθύ, τα κύματα δεν μπορούν να «αισθανθούν» το βάθος του πυθμένα, συμπεριφέρονται δηλαδή ωσάν να ήταν το βάθος ανάλογο του μήκους κύματος λ. Στην πραγματικότητα, η ίδια διάκριση σε «ρηχό» και «βαθύ» νερό εξαρτάται από το μήκος κύματος αν το βάθος είναι μικρότερο του λ, το νερό είναι «ρηχό», ενώ αν είναι αισθητά μεγαλύτερο του λ, τότε είναι «βαθύ». Δείξτε ότι στο βαθύ νερό η ταχύτητα των κυμάτων είναι διπλάσια της ομαδικής τους ταχύτητας. (β) Στην Κβαντομηχανική, ένα ελεύθερο σωματίδιο μάζας m που κινείται κατά μήκος του θετικού άξονα X περιγράφεται από την κυματική συνάρτηση ( x, t) i e ( pxet ) / όπου p είναι η ορμή του και E=p 2 /2m η κινητική του ενέργεια. Υπολογίστε την ομαδική ταχύτητα και την ταχύτητα του κύματος. Ποια από τις δύο αυτές ταχύτητες αντιστοιχεί στην κλασική ταχύτητα του σωματιδίου; Παρατηρήστε ότι η ταχύτητα του κύματος (φασική) ισούται με το ήμισυ της ομαδικής.