Κεφάλαιο 3 Οι δυνάμεις στις ρευστοδυναμικές μηχανές

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 Οι δυνάμεις στις ρευστοδυναμικές μηχανές Σύνοψη Ωστική δύναμη Θεωρία έλικα, στροβιλωθητή, πυραύλου Βαθμός απόδοσης Εφαρμογές έλικα, στροβιλωθητή, πυραύλου Δυνάμεις σε πτερύγια ρευστοδυναμικών μηχανών - Θεωρία της πτέρυγας(αεροτομές) Ασκούμενες δυνάμεις (άνωση, οπισθέλκουσα) σε κινούμενες επιφάνειες ή σώματα μέσα σε ρευστά Εφαρμογές πάνω στις δυνάμεις της άνωσης και της οπισθέλκουσας(πτερωτές αεροκινητήρων) Προαπαιτούμενη γνώση Εφαρμοσμένη Ρευστομηχανική Δημήτριος Παπανίκας Εκδόσεις MEDIA GURU.- Κύρια λήμματα: Ωστικές δυνάμεις, Αεροδυναμικές δυνάμεις, Άνωση, Οπισθέλκουσα. Μαθησιακοί στόχοι Ανάπτυξη της ικανότητας του σπουδαστή, να υπολογίζει τις δυνάμεις που συναλλάσσονται μεταξύ του ρευστού και των πτερυγίων των ρευστοδυναμικών μηχανών.. Ωστική δύναμη - Θεωρία έλικα, Στροβιλωθητή, Πυραύλου Στο Σχήμα 3., θεωρείται ένας όγκος ελέγχου (συνεχής γραμμή) μόνιμης ροής ρευστού [Σχήμα 3..] σταθερής πυκνότητας ρ, ο οποίος είναι συμμετρικός εκ περιστροφής, με άξονα συμμετρίας κατά τη διεύθυνση x. Το ρευστό εισέρχεται από την επιφάνεια εισόδου, με ομοιόμορφη ταχύτητα v κατά τη διεύθυνση του άξονα συμμετρίας, και εξέρχεται κατά την ίδια διεύθυνση και φορά από την επιφάνεια εξόδου, με ομοιόμορφη ταχύτητα v μεγαλύτερη της ταχύτητας εισόδου. Η επιτάχυνση αυτή της ροής προκαλείται από ένα στερεό σώμα (έλικας, ελικοστρόβιλος, στροβιλοσυμπιεστής, πύραυλος), που βρίσκεται σε επαφή με το ρευστό. Η πίεση γύρω από τον όγκο ελέγχου είναι παντού ίδια και συνεπώς, όλες οι δυνάμεις, που οφείλονται σε αυτή, αλληλοαναιρούνται. Τότε, σύμφωνα με το νόμο της ορμής, [Σχέση.4.] το στερεό σώμα ασκεί δύναμη F x στον όγκο ελέγχου κατά τη διεύθυνση x και σύμφωνα με το νόμο της δράσης και της αντίδρασης το στερεό σώμα δέχεται δύναμη ίση και αντίθετη. Η δύναμη αυτή ονομάζεται προωστική [3]. Σχήμα 3.. d F Fx ρ v m v ρ v dv v da dt t ο.ε. A ρ v v A ρ v v A ρ Q v v Αν η ροή υλοποιείται στην ατμόσφαιρα, οι εξωτερικές δυνάμεις στον όγκο ελέγχου που οφείλονται στην ατμοσφαιρική πίεση αλληλοαναιρούνται, και η δύναμη F x, που ασκείται στο ανοικτό ροϊκό σύστημα, είναι η μοναδική και ασκείται κατά τη θετική φορά του συστήματος αναφοράς. Ίση και αντίθετη δύναμη δέχεται το στερεό σώμα και προωθείται στην αντίθετη φορά της διεύθυνσης x, με την προωστική αυτή δύναμη:

2 Fx ρ Q Σχέση 3.. v v Όπου Q είναι η παροχή όγκου του συστήματος που είναι ίση στην είσοδο και στην έξοδο. Εικόνα 3.. Στροβιλωθητής(turbofan). () Ανεμιστήρας () Συμπιεστής χαμηλής πίεσης (3) Στρόβιλος χαμηλών πιέσεων (4) Άξονας στροβιλοσυμπιεστή χαμηλών πιέσεων (5) Συμπιεστής υψηλής πίεσης (6) Στρόβιλος υψηλών πιέσεων (7) Άξονας στροβιλοσυμπιεστή υψηλών πιέσεων (8) Καυστήρες (9) Ακροφύσιο [common.wikimedia.org/wiki/file:turbofan_operation.vg] Αν θεωρηθεί ότι η μορφή του όγκου ελέγχου μόνιμης ροής ρευστού, που παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.., οφείλεται στην ύπαρξη ενός έλικα, τότε θα δημιουργηθεί η μορφή του Σχήματος 3.. Πράγματι ο περιστρεφόμενος έλικας μεταβάλει την ορμή του ρευστού από το οποίο περιβάλλεται και έτσι αναπτύσσεται πάνω σε αυτόν μια προωστική δύναμη. km Έστω λοιπόν ένα αεροσκάφος με δύο έλικες το οποίο πετά με ταχύτητα 360 σε ακίνητο αέρα, h 3 N ειδικού βάρους.5. Η παροχή όγκου του αέρα από κάθε έλικα είναι m Η διάμετρος κάθε έλικα m είναι. m. Ζητούνται: α. Η συνολική προωστική δύναμη που επιτυγχάνουν οι έλικες του αεροσκάφους. β. Ο ορισμός και ο υπολογισμός του θεωρητικού βαθμού απόδοσης του έλικα. γ. Η διαφορά πίεσης που δημιουργείται μεταξύ των δύο πλευρών κάθε έλικα. δ. Η απαιτούμενη θεωρητική ισχύς για την κίνηση του αεροσκάφους. Σχήμα 3..

3 (α) (β) (γ) Εικόνα 3.. Έλικες αεροπλάνων και πλοίων, στην τρίτη εικόνα φαίνεται συνδυασμός έλικα και στροβιλοσυμπιεστή (turboprop) [common.wikimedia.org/wiki/file:propeller_of_qantalink_(vh- QOP)_Bombardier_Dah_8_Q400_at_the_Canberra_Airport_open_day.jpg common.wikimedia.org/wiki/file:titanic%7_propeller.jpg common.wikimedia.org/wiki/file:turboprop.png] Δεδομένα: Ταχύτητα αεροπλάνου: v =360 km h = m m Ειδικό βάρος αέρα: γ=.5 Ν m 3 Άρα η πυκνότητα του ρευστού προκύπτει: ρ= γ.5 [ Ν g ρ= m 3] kg 9.8 [ m ρ.7 m ] 3 Διάμετρος ελίκων: D=. m Ροή αέρα και από τις δύο έλικες: Q=900 m3 Σύμφωνα με το γενικό ορισμό των σχετικών κινήσεων, μπορεί να θεωρηθεί ότι το γεγονός της κίνησης του αεροπλάνου, άρα και του έλικα, μέσα σε ακίνητο αέρα, είναι ισοδύναμο με αυτό όπου το αεροσκάφος και ο έλικας δε μετακινούνται και ο αέρας του περιβάλλοντος μετακινείται προς αυτά με ίση και αντίθετη ταχύτητα. Η διαταραχή που παρουσιάζεται τότε στο περιβάλλον του έλικα, λόγω της περιστροφής του, είναι η επιτάχυνση τους ρεύματος του αέρα από τη διατομή εισόδου () στη διατομή εξόδου (4), όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.. Η επιταχυνόμενη ροή συνεπάγεται μείωση της διατομής του ρεύματος, διότι η παροχή παραμένει σταθερή, σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας. Η πίεση του αέρα στα όρια της διαταραχής, αλλά και στις διατομές και 4 είναι η ατμοσφαιρική πίεση του περιβάλλοντος. Η περιστροφή των

4 πτερυγίων του έλικα δημιουργεί υποπίεση στη διατομή εισόδου του ρευστού στη πτερύγωση () και υπερπίεση, σε σχέση με την ατμοσφαιρική, στη διατομή εξόδου του ρευστού από την πτερύγωση (3). Στις θέσεις () και (3) η ταχύτητα είναι ίδια, διότι η διατομή του έλικα και η παροχή όγκου παραμένουν σταθερές στην είσοδο και την έξοδο του αέρα από αυτή. Η πίεση στις θέσεις και 4 είναι η ατμοσφαιρική πίεση του περιβάλλοντος. α. Αναπτύσσοντας την εξίσωση της ορμής, σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε (Σχέση 3..), στον όγκο ελέγχου, που ορίσθηκε με βάση το Σχήμα 3.., προκύπτει: F x =ρ Q (v 4 -v ) Σχέση 3.. Όπου F x είναι η δύναμη που δέχεται το σύστημα που καταλαμβάνει τον όγκο ελέγχου από τον έλικα κατά την διεύθυνση x [ίση και αντίθετη δύναμη (προωστική) δέχεται ο έλικας από το σύστημα] και είναι η μόνη εξωτερική δύναμη, αφού η πίεση (ατμοσφαιρική) δε μεταβάλλεται γύρω από τον όγκο ελέγχου. H δύναμη αυτή προκύπτει και από τη διαφορά των πιέσεων στις διατομές και 3, που είναι ίσες με τη διατομή, Α, που απογεννάται από τα πτερύγια του έλικα κατά την περιστροφή του. Δηλαδή: F x =Α (P 3 -P ) Σχέση 3.3. Από τις Σχέσεις 3. και 3.3 προκύπτει: F { x =ρ Q (v 4 -v ) F x =Α (P 3 -P ) ρ Q (v 4 -v )=Α (P 3 -P ) ρ v A (v 4 -v )=Α (P 3 -P ) (P 3 -P )=ρ v (v 4 -v ) Σχέση 3.4. Όπου v=v =v 3, η ταχύτητα του ρεύματος του αέρα που διαπερνά το επίπεδο που απογεννά ο έλικας, στρεφόμενος. Εφαρμόζοντας την εξίσωση της ενέργειας μεταξύ των διατομών του ρεύματος του αέρα και, με μηδενική απώλεια H AΠ =0 και z =z =0, προκύπτει: γ + v g + z = P γ + v g + z +H AΠ P P γ + v g = P γ + v g Σχέση 3.5. Εφαρμόζοντας την εξίσωση της ενέργειας μεταξύ των διατομών του ρεύματος του αέρα 3 και 4, με μηδενική απώλεια H AΠ =0 και z 3 =z 4 =0 προκύπτει: γ + v 3 g + z 3= P 4 γ + v 4 g + z 4+H AΠ P 3 P 3 γ + v 3 g = P 4 γ + v 4 g Σχέση 3.6. P Προσθέτοντας τις Σχέσεις 3.5. και 3.6. κατά μέλη, προκύπτει ότι: γ + v g + P 3 γ + v 3 g = P γ + v g + P 4 γ + v 4 g

5 P 3-P ρ g = v 4 -v g (P 3 -P )=ρ (v 4 -v ) Σχέση 3.7. Όμως από τη Σχέση 3.4. προκύπτει ότι: [ρ v (v 4 -v )]=ρ (v 4 -v ) ρ v (v 4 -v )=ρ (v 4 -v ) (v 4 +v ) (v 4 +v )= v Σχέση 3.8. Σύμφωνα με τα δεδομένα η παροχή αέρα από τον ένα έλικα του αεροπλάνου είναι: Q=A v v= Q A v= 450 [ m3 ] π. 4 [m ] v 8.4 m Οπότε, από τη Σχέση 3.8. προκύπτει: (v 4 +v )= v v 4 = v-v v 4 =( ) m v m Συνεπώς τελικά σύμφωνα με τη Σχέση 3. η ώθηση από κάθε έλικα θα είναι: F x =ρ Q (v 4 -v ) F x =.7 [ kg m3] 450 [m3 ] ( ) [ m ] F x N Η ώθηση και από τους δύο έλικες προκύπτει: F x = Ν β. Ως θεωρητικός βαθμός απόδοσης προωστικού συστήματος ορίζεται το πηλίκο της ωφέλιμης ισχύος που διατίθεται από το προωστικό σύστημα, για να μετακινηθεί η ωστική δύναμη με την ταχύτητα του αεροσκάφους προς την καταναλισκόμενη ισχύ, η οποία διατίθεται για την επιτάχυνση της δέσμης του ρευστού. Συνεπώς: e p = N ΩΦ N ΚΑΤ Όπου η ωφέλιμη ισχύς από τον έλικα στο σύστημα, σύμφωνα με τα παραπάνω είναι: N ΩΦ =F x v =ρ Q (v 4 -v ) v Σχέση 3.9. Η καταναλισκόμενη ισχύς είναι η ισχύς που απαιτείται για αύξηση της ταχύτητας του ρευστού από v σε v 4, και δίνεται από τη σχέση: N ΚΑΤ = ρ Q v 4 -ρ Q v N ΚΑΤ = ρ Q (v 4 -v )

6 N ΚΑΤ = ρ Q (v 4-v ) (v 4 +v ) Όμως σύμφωνα με τη Σχέση 3.8 ισχύει ότι: (v 4 +v )= v Άρα τελικά η καταναλισκόμενη ισχύς προκύπτει: N ΚΑΤ = ρ Q (v 4-v ) v N ΚΑΤ =ρ Q (v 4 -v ) v Σχέση 3.0. e p = N ΩΦ N ΚΑΤ Άρα τελικά ο θεωρητικός βαθμός απόδοσης του έλικα προκύπτει: e p = ρ Q (v 4-v ) v ρ Q (v 4 -v ) v e p = v v e p = e p 0.84=84 % γ. Η εύρεση της διαφοράς πίεσης δια μέσου των ελίκων, δηλαδή μεταξύ των διατομών και 3, πραγματοποιείται σύμφωνα με τη Σχέση Έτσι λοιπόν θα ισχύει: (P 3 -P )=ρ v (v 4 -v ) P 3 -P =.7 [ kg m m3] 8.4 [ ] ( ) [ m ] P 3 -P N m δ. Σύμφωνα με τη Σχέση 3.0. καταναλισκόμενη ισχύς και από τους δύο έλικες θα είναι: N ΚΑΤ = ρ Q (v 4 -v ) v N ΚΑΤ =.7 [ kg m3] 450 [m3 ] ( ) [ m ] 8.4 [ m ] N ΚΑΤ W=4588 kw Ηp Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήρια αξιολόγησης 3 ου Κεφαλαίου Τα ελικόπτερα για την κίνησή τους χρησιμοποιούν αποκλειστικά έλικες. Κατά τη λειτουργία του έλικα η ταχύτητα ανύψωσης του ελικοπτέρου είναι μηδαμινή (v περίπου μηδενική) και όλη σχεδόν η ισχύς διατίθεται για την ανύψωση του βάρους του που ανέρχεται στα 800 kp. Το ροϊκό πεδίο που σχηματίζεται από τη λειτουργία του έλικα είναι αυτό που φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα Η διάμετρος του έλικα ανύψωσης είναι.5 m. Να υπολογιστεί η ισχύς που απαιτείται για την ανύψωση του ελικοπτέρου, η ταχύτητα της

7 δέσμης του αέρα κάτω από τον έλικα,v 4, και η διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο πλευρών του έλικα. [3]. kg Πυκνότητα αέρα: [ρ.9 ] m 3 Απάντηση/Λύση Δεδομένα: Διάμετρος έλικα: D=.5 m Ταχύτητα στη διατομή : v =0 [ m ] Βάρος ανύψωσης:b=800 kp= [N]=980 N Σχήμα 3.3. Εφαρμόζοντας την εξίσωση της ορμής κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y στον όγκο ελέγχου του παραπάνω σχήματος (συνεχής γραμμή), προκύπτει(σχέση 3..): F y =ρ Q (v 4 -v )=B () Όπου F y είναι η δύναμη που δέχεται το σύστημα που καταλαμβάνει τον όγκο ελέγχου από τον έλικα κατά τη διεύθυνση y (ίση και αντίθετη δύναμη δέχεται ο έλικας από το σύστημα). Η δύναμη αυτή χρησιμοποιείται για την ανύψωση του βάρους του ελικοπτέρου και συνεπώς, για να ανυψωθεί, και μόνο, η προωστική δύναμη, πρέπει να ισούται με το βάρος του. H δύναμη αυτή προκύπτει, επίσης, από τη διαφορά των πιέσεων στις θέσεις και 3 στη διατομή Α, που απογεννάται από τον έλικα κατά την περιστροφή του, δηλαδή (Σχέση 3.3.): F y =Α (P 3 -P ) () A= π D 4 = π (.5 ) =4.9m 4 Αλλά από τη Σχέση 3.8. προκύπτει

8 (v 4 +v )= v v 4 = v Από την εξίσωση () προκύπτει: Β=ρ Α v v v= B ρ A = [N].9 [ kg =4.9 m m 3] 4.9[m ] v 4 = v= 4.9 [ m ] =49.8 m Άρα η παροχή προκύπτει: Q=v A Q=4.9 [ m ] 4.9[m ] Q m3 Από την εξίσωση () υπολογίζεται η διαφορά πίεσης στον έλικα: F y =Β=Α (P 3 -P ) P 3 -P = Β Α P 3-P = [Ν] 4.9 [m 60Pa ] Η ισχύς, η οποία αποδίδεται από τον έλικα στον αέρα, προκύπτει: N KAT = ρ Q v 4 -ρ Q v Ν= ρ Q u Ν=.9 [kg m3] [m3 ] 49.8 [ m ] Ν 9554W 95.5 kw 65. Ηp Κριτήριο αξιολόγησης Προωστικά συστήματα αντίδρασης χρησιμοποιούνται και για την πρόωση πλοιαρίων. Σε ένα τέτοιο σύστημα πρόωσης αντίδρασης, το νερό εισέρχεται στο πρόσθιο τμήμα του πλοιαρίου και εξέρχεται από το οπίσθιο. Το πλοιάριο κινείται με ταχύτητα v =5 km/h. Η δέσμη του νερού που κινείται με ταχύτητα προς τα πίσω έχει διάμετρο D=cm. Η προωστική δύναμη που ασκείται είναι 50 kp. Να βρεθούν: α. Η παροχή όγκου του νερού. β. Η ταχύτητα της δέσμης που εξέρχεται από τον προωστικό σωλήνα. γ. Ο βαθμός απόδοσης του συστήματος πρόωσης. δ. Η καταναλισκόμενη ισχύς από το πλοιάριο.

9 Σχήμα 3.4. Δεδομένα: Ταχύτητα βάρκας: v =5 km h = m m Δύναμη που απαιτείται για κίνηση του πλοιαρίου με ταχύτητα v : F=F x =50 kp= N=45.5 N Διάμετρος του σωλήνα εκτόξευσης νερού: D= cm=0. m Άρα το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα εκτόξευσης θα είναι: Α = π D 4 = π 0. 4 Απάντηση/Λύση m 0.03 m Θεωρείται, λαμβάνοντας υπόψη την ισοδυναμία των σχετικών κινήσεων, ότι το πλοιάριο ακινητεί (με διακεκομμένη γραμμή φαίνεται η επιφάνεια ελέγχου που το περιβάλλει) ενώ το νερό, έξω από το περιβάλλον του, κινείται προς αυτό με την ταχύτητά του v. Η πίεση γύρω από την επιφάνεια ελέγχου είναι σταθερή (περίπου ατμοσφαιρική, P o ) και οι δυνάμεις στον όγκο ελέγχου, λόγω της πίεσης, αλληλοαναιρούνται. kg H πυκνότητα του νερού λαμβάνεται: ρ 000 m 3 α. Εφαρμόζεται ο νόμος της ορμής για το ανοικτό ροϊκό σύστημα που ορίζεται από τον παραπάνω όγκο ελέγχου. Το νερό εισέρχεται από την επιφάνεια εισόδου του συστήματος πρόωσης με ταχύτητα v και εξέρχεται επιταχυνόμενο από την επιφάνεια εξόδου με ταχύτητα v. Σε όλα τα άλλα σημεία της επιφάνειας εισόδου του νερού στον όγκο ελέγχου το νερό εισέρχεται με ταχύτητα v και εξέρχεται με την ίδια ταχύτητα από την επιφάνεια εξόδου. Αν F x είναι η δύναμη που δέχεται το ροϊκό σύστημα από το σύστημα πρόωσης, τότε με ίση και αντίθετη δύναμη αντιδρά πάνω στο προωστικό σύστημα, και έτσι προωθείται το πλοίο: ΣF=P o Α o +F x -P o Α o =-ρ v Α +ρ v Α F x =-ρ v Α +ρ v Α F x =ρ Q (v -v ) F x Q= ρ (v -v ) () Για την παροχή εξόδου ισχύει:

10 Q=v Α v = Q Α () Αντικαθιστώντας την τιμή της v από την εξίσωση () στην εξίσωση (), προκύπτει: F x Q= ρ ( Q Α -v ) ( Q Α -v ) Q= F x ρ Q -v Α Q- F x ρ =0 Q Q =0 Q Q-0.08=0 Από τη λύση της παραπάνω εξίσωσης προκύπτει: 0.078± ( ) m 3 Q, = { Q 0. m3 Q 0. m3 Άρα τελικά η παροχή όγκου του νερού είναι: Q -0.3 m3, απορρίπτεται β. Από την εξίσωση () πραγματοποιείται η εύρεση της ταχύτητας εξόδου του νερού: 0. [ m3 ] v = 0.03[ m ] v 8.58 m γ. και δ. Ο θεωρητικός βαθμός απόδοσης του προωστικού συστήματος είναι το πηλίκο της αποδιδόμενης (ωφέλιμης) ισχύος για την κίνηση του πλοίου προς την καταναλισκόμενη ισχύ, για την επιτάχυνση της δέσμης του νερού. Οπότε: e p = N ΩΦ N ΚΑΤ Όπου η αποδιδόμενη ωφέλιμη ισχύς από τον έλικα: N ΩΦ =F x v =45.5[Ν] 6.94 [ m ] =700W (3) Η καταναλισκόμενη ισχύς είναι η ισχύς που απαιτείται για αύξηση της ταχύτητας του ρευστού από ταχύτητα v σε v, και δίνεται από την εξίσωση: N ΚΑΤ = ρ Q v -ρ Q v

11 N ΚΑΤ = ρ Q (v -v ) 000 [ kg m3] 0. [m3 ] ( ) [ m = ] =390W Άρα τελικά ο θεωρητικός βαθμός απόδοσης προκύπτει: e p = N ΩΦ = 700[W] =0.55 ή 55% N ΚΑΤ 390[W] Κριτήριο αξιολόγησης 3 Οι πύραυλοι κινούνται αποκλειστικά με προωστικά συστήματα. Είναι εφοδιασμένοι με ειδικά καύσιμα που οξειδώνονται με κατάλληλα οξειδωτικά μέσα. Όλη η ποσότητα του καυσίμου και του οξειδωτικού μέσου είναι φορτωμένη στον πύραυλο πριν την εκτόξευσή του. Σε μια τέτοια εφαρμογή, ο πύραυλος ζυγίζει στην αρχή kp, από τα οποία kp είναι καύσιμο. Η σχετική ταχύτητα εξόδου της δέσμης των καυσαερίων ως προς τον πύραυλο είναι 3000 m/. Ο πύραυλος εκτοξεύεται κατακόρυφα, με αρχική ώθηση που είναι 0% μεγαλύτερη του βάρους του, και σε όλη τη διάρκεια της πορείας του η κατανάλωση του καυσίμου γίνεται με σταθερό ρυθμό. Για απλούστευση θεωρείται ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή g=9.8 m/. [3]. Να βρεθούν: α. Ο χρόνος που απαιτείται για την καύση όλου του καυσίμου που διαθέτει. β. Η ταχύτητα του πυραύλου τη στιγμή που εξαντλούνται τα καύσιμα. γ. Το ύψος στο οποίο βρίσκεται ο πύραυλος τη στιγμή που εξαντλούνται τα καύσιμα. δ. Το μέγιστο ύψος στο οποίο μπορεί να φθάσει ο πύραυλος. Σχήμα 3.5. [pixabay.com/el/b /] Δεδομένα: Συνολικό βάρος πυραύλου: kp Βάρος καυσίμου: kp Αρχική ώθηση 0% μεγαλύτερη του βάρους του πυραύλου Σχετική ταχύτητα εξόδου της δέσμης των καυσαερίων: v α =3000 m Επιτάχυνση της βαρύτητας:

12 g=9.8 m Απάντηση/Λύση α. Λαμβάνεται ως όγκος ελέγχου η επιφάνεια η οποία περικλείεται από τη διακεκομμένη γραμμή, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα [Σχήμα 3.5], ο οποίος μάλιστα κινείται με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του πυραύλου (v). Έστω m π η μάζα του πυραύλου και m κ η μάζα του καυσίμου, m ο ρυθμός κατανάλωσης του καυσίμου (παροχή μάζας αερίων) και Τ η αντίσταση του αέρα. Εδώ είναι γνωστή εξωτερική δύναμη η οποία ασκείται επί του ανοικτού ροϊκού συστήματος και οφείλεται στο βάρος του πυραύλου και στην αντίσταση του αέρα. Ο νόμος της ορμής, κατά τη διεύθυνση y απαιτεί: Fy ρ vy dv ρ vy t ο.ε. A v da Οι δυνάμεις που ασκούνται στον όγκο ελέγχου είναι: Το βάρος του πυραύλου: Β=(m π +m κ ) g καθώς και Η αντίσταση του αέρα: T Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα (Σχήμα 3.5.), σύμφωνα με το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, και οι δύο δυνάμεις αυτές προκύπτουν αρνητικές. Για τον λόγο αυτό θα ισχύει: Fy T mπ mκ g Ο πρώτος όρος του δεύτερου μέλους της εξίσωσης της ορμής, επειδή η ταχύτητα v y εξαρτάται μόνο από το χρόνο t, γίνεται: ρ vy dv mπ mκ t ο.ε. t v ρ vy dv mπ mκ t ο.ε. t mκ t ρ v y A T dv dt dv dt v t v v m t mπ m v mκ t mπ Όπως είναι φανερό, η μάζα του καυσίμου εξαρτάται από το χρόνο: m t () Ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους της εξίσωσης της ορμής: v da m v α Όπου v α είναι η απόλυτη ταχύτητα των εξερχόμενων αερίων. Άρα τελικά ο νόμος της ορμής διαμορφώνεται ως εξής: m π m κ g m π m κ m v m vα dt m vα v T mπ mκ g mπ mκ m T g dv vα mπ mκ () mπ mκ

13 Αν γραφεί ο νόμος της ορμής τη χρονική στιγμή t=0:. B N. B m v α m v α 3000 m Η συνολική μάζα του καυσίμου προκύπτει: kg mκ Bκ g N kg 9.8 m Αν ο συνολικός χρόνος καύσης του καυσίμου είναι t κ, προκύπτει ότι: m t κ m κ t κ m κ m kg 66.8 kg β. Η μάζα του πυραύλου είναι: m π = =00000kg Επίσης η αντίσταση του αέρα θεωρείται μηδενική: Τ=0 Σύμφωνα με τη σχέση (): mκ t m t t dv dt dv dt Αντικαθιστώντας στην εξίσωση () τις γνωστές τιμές των παραμέτρων, προκύπτει ότι: m vα T mπ mκ g mπ mκ t t 9.8 dv dt Ολοκληρώνοντας τη διαφορική εξίσωση (3), προκύπτει ότι: 78 t c v 9.8 t 3000 ln (4) Για t=0, η ταχύτητα του πυραύλου είναι μηδενική. Συνεπώς θα ισχύει: c 3000 ln 78 v m Άρα και για το χρόνο καύσης t κ =66.8 η εξίσωση (4) γίνεται: (3) 78 t m m ln γ. Το ύψος, στο οποίο θα ανέλθει ο πύραυλος τη στιγμή που θα τελειώσουν τα καύσιμα, θα είναι:

14 v dt 9.8 t 3000 ln 78 t dt t ln 78 t dt t 66.8 (5) ln 0 Το ολοκλήρωμα της εξίσωσης (5) προκύπτει ως εξής: Αρχικά τίθεται x=78-t dx=-dt. Για t=0 x=78 Για t=66.8 x= =. Συνεπώς: t dt ln x dx x ln(x) x Τελικά, από τη σχέση (5) με αντικατάσταση των τιμών των παραμέτρων, υπολογίζεται το ύψος του πυραύλου τη χρονική στιγμή 66.8 ως εξής: m m 5853m 58.5km m δ. Τη χρονική στιγμή 66.8 ο πύραυλος έχει ταχύτητα.6 Συνεπώς ο πύραυλος θα εκτελέσει κατακόρυφη βολή προς τα πάνω, μετακινούμενος κατά διάστημα: m.6 v m 63.09km g m 9.8 Έτσι το τελικό ύψος του πυραύλου, αν θεωρηθεί ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας παραμένει σταθερή, και αγνοηθεί η αντίσταση του αέρα, θα είναι: ΟΛ km.34km. Δυνάμεις σε πτερύγια ρευστοδυναμικών μηχανών Τα πτερύγια που είναι προσαρμοσμένα πάνω στα στροφεία των περιστροφικών ρευστοδυναμικών μηχανών, συναλλάσσουν δυνάμεις με τις δέσμες του ρευστού, που βρίσκονται σε επαφή με αυτά, και καθοδηγούνται, ακολουθώντας την καμπυλότητά τους. Η σχετική ταχύτητα, δηλαδή, του ρευστού ως προς το πτερύγιο είναι πάντοτε εφαπτόμενη σε αυτό. Εκτός από τη σχετική αυτή ταχύτητα, το ρευστό έχει και περιφερειακή ταχύτητα, λόγω της περιστροφής του. Η γεωμετρική σύνθεση των δύο αυτών διανυσμάτων ταχύτητας δίνει την απόλυτη ταχύτητα του ρευστού. Σε πολλές περιπτώσεις το ρευστό, πριν έρθει σε επαφή με τα πτερύγια του στροφείου, οδηγείται από ακίνητα πτερύγια ή ακροφύσια.

15 Ένας μηχανισμός ανάπτυξης δύναμης μεταξύ του όγκου ελέγχου του ρευστού και του πτερυγίου, με το οποίο βρίσκεται σε επαφή, είναι αυτός που επιβάλλει ο νόμος της ορμής, λόγω της μεταβολής του διανύσματος της απόλυτης ταχύτητας της ροής. Κριτήριο αξιολόγησης 4 Κριτήρια αξιολόγησης 3 ου Κεφαλαίου Ένα ακίνητο πτερύγιο δέχεται μια δέσμη νερού παροχής 0.04 m 3 / και ταχύτητας 40 m/. Η δέσμη εκτρέπεται από το πτερύγιο κατά 30 μοίρες. Θα ασκηθεί δύναμη στο πτερύγιο, με ποιόν μηχανισμό και τι μέγεθος θα έχει; Σχήμα 3.6. Δεδομένα: Παροχή δέσμης νερού: Q=0.05 m3 Ταχύτητα δέσμης νερού: v=50 m Γωνία κατά την οποία εκτρέπεται η δέσμη: θ=30 Απάντηση/Λύση Έστω ότι στον παραπάνω όγκο ελέγχου (διακεκομμένη μπλε γραμμή και το στερεό όριο του πτερυγίου, που βρίσκεται σε επαφή με το ρευστό) ασκείται εξωτερική δύναμη, από το στήριγμα που διατηρεί ακίνητο το πτερύγιο, με συνιστώσες F x και F y, όπως φαίνεται στο παραπάνω Σχήμα 3.6..Ο όγκος ελέγχου βρίσκεται σε ατμοσφαιρική πίεση, και οι δυνάμεις λόγω πίεσης σε αυτόν αλληλοαναιρούνται. Η εφαρμογή του νόμου της ενέργειας, χαρακτηρίζοντας θέση την είσοδο και θέση την έξοδο του ρευστού στον όγκο ελέγχου, για ροή ιδανικού ρευστού σε γραμμή ροής χωρίς απώλειες, απαιτεί: P ρ v g z P ρ v g z

16 Η ταχύτητα της δέσμης του νερού κατά την είσοδο, αλλά και κατά την έξοδό της από το πτερύγιο είναι η ίδια κατά μέτρο και ίση με v=v =v, διότι η πίεση στην είσοδο και στην έξοδο του ρευστού στον όγκο ελέγχου είναι ατμοσφαιρική και η διαφορά του γεωδαιτικού ύψους στις θέσεις και είναι μηδαμινή. Εφαρμόζοντας την εξίσωση της ορμής στον οριζόντιο άξονα (άξονας x) για τον όγκο ελέγχου του παραπάνω σχήματος, προκύπτει: Fx ρ Q v co Fx ρ Q v co Fx 30 ρ Q v 30 kg m 3 m co N m 3 Ίση και αντίθετη δύναμη ασκεί το ρευστό στο ακίνητο πτερύγιο. Εφαρμόζοντας την εξίσωση της ορμής ως προς τον κάθετο άξονα στη διεύθυνση x (άξονας y) για τον όγκο ελέγχου του ρευστού που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, προκύπτει: Fy Fy ρ Q v in 30 kg m 3 m in N m 3 Ίση και αντίθετη δύναμη ασκεί το ρευστό στο ακίνητο πτερύγιο. Συνεπώς ασκείται στο πτερύγιο δύναμη με οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα λόγω της μεταβολής της διεύθυνσης της απόλυτης ταχύτητας η οποία προκαλεί τη μεταβολή της ορμής του ρευστού. Κριτήριο αξιολόγησης 5 Η ιδέα της ανάπτυξης των υδροστροβίλων δημιουργήθηκε από την παρατήρηση ότι στερεές επιφάνειες που προσβάλλονται από ρεύματα νερού δέχονται σημαντικές δυνάμεις. Οι πρώτοι υδροστρόβιλοι είχαν επίπεδα πτερύγια. Ένα τέτοιο ακίνητο επίπεδο πτερύγιο δέχεται, υπό κλίση, ένα ρεύμα νερού, όπως φαίνεται στο Σχήμα Το πτερύγιο θεωρείται λείο, δηλαδή δεν μπορεί να αναλάβει δυνάμεις τριβής. Η παροχή του ρεύματος είναι m 3 / και η ταχύτητά του είναι 5 m/. Η κλίση του επίπεδου πτερυγίου είναι 60 μοίρες και η ροή του ρεύματος διαχωρίζεται όπως φαίνεται στο Σχήμα Ποιες είναι οι παροχές όγκου Q και Q στις οποίες διαιρείται το ρεύμα και ποια δύναμη ασκείται στο πτερύγιο από το ρευστό; [3]. Σχήμα 3.7.

17 Δεδομένα: Παροχή δέσμης νερού: Q= m3 Ταχύτητα δέσμης νερού: v=5 m Γωνία κλίσης της πλάκας: θ=60 Απάντηση/Λύση Θεωρείται ότι στον παραπάνω όγκο ελέγχου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) ασκείται εξωτερική δύναμη με συνιστώσες κατά τη διεύθυνση των αξόνων του συστήματος αναφοράς F x και F y, όπως φαίνεται στο παραπάνω Σχήμα Η δύναμη αυτή απαιτείται για να συγκρατηθεί το επίπεδο πτερύγιο ακίνητο. Ίση και αντίθετη δύναμη ασκεί το πτερύγιο στο στήριγμά του και προέρχεται από τη δράση του ρευστού στην επιφάνειά του. Η ύπαρξη της ατμοσφαιρικής πίεσης πέριξ του όγκου ελέγχου δεν δημιουργεί ουδεμία εξωτερική δύναμη επί του συστήματος. Λόγω του ότι δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά γεωδαιτικού ύψους μεταξύ της εισόδου και των εξόδων στον όγκο ελέγχου (διακεκομμένη κόκκινη γραμμή), και ο όγκος ελέγχου ευρίσκεται σε ατμοσφαιρική πίεση, μετά την πρόσκρουση και τον διαχωρισμό της ροής, οι ταχύτητες ροής από τις επιφάνειες Α και Α θα είναι ίσες μεταξύ τους καθώς και ίσες με την ταχύτητα της δέσμης v, όπως εξηγήθηκε στο προηγούμενο κριτήριο αξιολόγησης. Δηλαδή: v=v =v () Κατά τη διεύθυνση y δεν ασκείται καμία δύναμη στο ρευστό από το επίπεδο πτερύγιο, και αντιστρόφως, διότι το πτερύγιο είναι λείο, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να αναπτύξει ή να αναλάβει δύναμη κατά τη διεύθυνση αυτή. Εφαρμόζοντας, λοιπόν, την εξίσωση της ορμής κατά τη διεύθυνση y, προκύπτει ότι: F y =0 -ρ Q v co(θ) -ρ Q v +ρ Q v =0 Το αρνητικό πρόσημο στον πρώτο όρο του πρώτου μέρους της παραπάνω εξίσωσης προκύπτει από το γεγονός ότι ο όρος αυτός αναφέρεται σε είσοδο του ρευστού, και όλα τα εσωτερικά γινόμενα v da που εμπεριέχονται στην έκφραση του νόμου της ορμής, όπως διατυπώθηκε στο ο Κεφάλαιο και εκφράζουν την παροχή όγκου του ρευστού διαμέσου της στοιχειώδους επιφάνειας da, έχουν αρνητικό πρόσημο. Τονίζεται ότι η ταχύτητα v, είναι κάθετη προς την επιφάνεια εισόδου Α, κατά παραδοχή, κατανέμεται ομοιόμορφα σε αυτή (είναι δηλαδή η μέση ταχύτητα) και η στοιχειώδης επιφάνεια da έχει ορισθεί ως ένα διάνυσμα μέτρου da, διεύθυνσης κάθετης σε αυτή και φοράς πάντοτε προς τα έξω του όγκου ελέγχου. Έτσι στην επιφάνεια εισόδου τα διανύσματα της ταχύτητας και της στοιχειώδους επιφάνειας σχηματίζουν πάντα γωνία 80ο και το εσωτερικό τους γινόμενο είναι το γινόμενο των μέτρων των δύο διανυσμάτων (δηλαδή η παροχή όγκου δια της επιφανείας da) επί το συνημίτονο της γωνίας 80ο, το οποίο έχει τιμή -. Το αρνητικό πρόσημο διατηρείται εφόσον η ταχύτητα κατά τη διεύθυνση y έχει φορά κατά τη θετική φορά του άξονα y του συστήματος συντεταγμένων. Όταν πρόκειται για έξοδο του ρευστού από την επιφάνεια ελέγχου, τα διανύσματα της ταχύτητας και της στοιχειώδους επιφάνειας σχηματίζουν πάντα γωνία 0ο, και το εσωτερικό τους γινόμενο είναι το γινόμενο των μέτρων των δύο διανυσμάτων (δηλαδή η παροχή όγκου δια της επιφανείας da) επί το συνημίτονο της γωνίας 0ο, του οποίου η τιμή είναι +. Το αρνητικό πρόσημο, που εμφανίζεται στο δεύτερο όρο του πρώτου μέρους της παραπάνω εξίσωσης προκύπτει από το γεγονός ότι ο όρος αυτός αν και αναφέρεται σε έξοδο του ρευστού, εμπεριέχει ταχύτητα κατά τη διεύθυνση y με φορά κατά τη αρνητική φορά του άξονα y του συστήματος συντεταγμένων.

18 () -ρ Q v co(θ) -ρ Q v+ρ Q v=0() Όμως, με βάση το νόμο της συνέχειας θα ισχύει: Q=Q +Q Q =Q-Q (3) Άρα αντικαθιστώντας την σχέση (3) στην εξίσωση () και λύνοντας ως προς Q, προκύπτει: -ρ Q v co(θ) -ρ (Q-Q ) v+ρ Q v=0 ρ Q v [ co (θ)+] Q = ρ v Q (+ co(θ)) Q = (+ co(60)) m 3 Q = Q =.5 m3 Q =Q-Q Και σύμφωνα με την εξίσωση (3) προκύπτει: Q =-.5 m3 Q =0.5 m3 Εφαρμόζοντας το νόμο της ορμής ως προς τη διεύθυνση x για τον όγκο ελέγχου του ρευστού, που εικονίζεται στο παραπάνω σχήμα, προκύπτει ότι: -F x =-ρ Q v in (θ) -F x = in(60) N F x =598 Ν Το λείο επίπεδο πτερύγιο δέχεται από το ρευστό, κάθετα προς αυτό, ίση και αντίθετη δύναμη. Κριτήριο αξιολόγησης 6 Για την εκμετάλλευση της ισχύος ρευμάτων νερού χρησιμοποιούνται οι υδροστρόβιλοι. Κάποιοι από αυτούς αποτελούνται από μια σειρά καμπύλων, όμοιων πτερυγίων, προσαρμοσμένων διαδοχικά πάνω στην περιφέρεια ενός τροχού. Για τη δημιουργία ρεύματος νερού μεγάλης ταχύτητας χρησιμοποιείται ακροφύσιο με κατάλληλη ρυθμιστική βελονοειδή βαλβίδα. Το ρεύμα του νερού προσβάλλει το ένα μετά το άλλο τα καμπύλα πτερύγια, ασκώντας σε αυτά δύναμη. Στη μόνιμη κατάσταση ο τροχός περιστρέφεται, παράγοντας ισχύ στον άξονά του, ενώ τα πτερύγια κινούνται με σταθερή περιφερειακή ταχύτητα. Σε μια τέτοια εφαρμογή ζητείται να βρεθούν οι συνιστώσες της δύναμης που δημιουργείται από τη ροή νερού πάνω σε κάθε κινούμενο πτερύγιο της μορφής του παρακάτω σχήματος καθώς και η παραγόμενη ωφέλιμη ισχύς. Επίσης ζητείται να υπολογισθεί η απόλυτη ταχύτητα εξόδου του νερού από το πτερύγιο.

19 Σχήμα 3.8. Δεδομένα: Ταχύτητα νερού: v =0 m Περιφερειακή ταχύτητα πτερυγίου: u=60 m Διατομή του ρεύματος του νερού: A =0.00 m Γωνία θ: θ=70 Απάντηση/Λύση Στη μόνιμη κατάσταση, το κινούμενο πτερύγιο με περιφερειακή ταχύτητα u, συμπεριφέρεται ισοδύναμα με ακίνητο, το οποίο προσβάλλεται με όλη την παροχή του ρευστού, αλλά με ταχύτητα ίση με τη σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το πτερύγιο v -u. Το πρόβλημα, δηλαδή, είναι ισοδύναμο με αυτό ακίνητου πτερυγίου που φαίνεται στο Σχήμα 3.9. Σχήμα 3.9. Υφίσταται δηλαδή ακίνητος όγκος ελέγχου (διακεκομμένη κόκκινη γραμμή και το στερεό όριο του πτερυγίου) στον οποίο το ρευστό εισέρχεται στην είσοδο του πτερυγίου και εξέρχεται στην έξοδο αυτού με σταθερή ταχύτητα v -u. Η πίεση φυσικά είναι ατμοσφαιρική γύρω από τον όγκο ελέγχου και η διαφορά του γεωδαιτικού ύψους στις θέσεις αυτές είναι αμελητέα. Θεωρείται ότι στον παραπάνω όγκο ελέγχου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) ασκείται εξωτερική δύναμη με συνιστώσες F x και F y όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.9..

20 Επισημαίνεται, επίσης, με έμφαση ότι το ρευστό στην είσοδό του στο πτερύγιο κινείται με απόλυτη ταχύτητα v, η οποία είναι το γεωμετρικό άθροισμα της σχετικής ταχύτητάς του ως προς το πτερύγιο και της μεταφορικής περιφερειακής ταχύτητας του πτερυγίου. Στην έξοδο από το πτερύγιο, η σχετική ταχύτητα του ρευστού δεν αλλάζει κατά μέτρο, αλλά αλλάζει κατά διεύθυνση και φορά, στρέφοντας το διάνυσμά της κατά 70 ο. Έτσι η απόλυτη ταχύτητα του ρευστού στην έξοδο v, είναι το γεωμετρικό άθροισμα της μεταφορικής - περιφερειακής ταχύτητας u, και της σχετικής του ταχύτητας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.0..Το τρίγωνο που δημιουργείται ονομάζεται τρίγωνο ταχυτήτων εξόδου του ρευστού από το πτερύγιο. Σχήμα 3.0. Η σχετική λοιπόν, ταχύτητα του ρευστού v -u δε μεταβάλλεται καθώς αυτό διέρχεται από το πτερύγιο στην ισοδύναμη κατάσταση ακίνητου πτερυγίου του Σχήματος Έτσι το κινητό πτερύγιο δέχεται την ίδια δύναμη με ακίνητο πτερύγιο, το οποίο προσβάλλεται από όλη την παροχή του ρευστού με ταχύτητα, όμως, τη σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το πτερύγιο. Ο όγκος ελέγχου ευρίσκεται σε ατμοσφαιρική πίεση και όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται επάνω σε αυτόν, και οφείλονται στην πίεση αλληλοαναιρούνται. Η δύναμη, επίσης, της βαρύτητας στον όγκο ελέγχου είναι αμελητέα. Ο νόμος της ορμής, εφαρμοζόμενος κατά την διεύθυνση x, απαιτεί: -F x =-ρ Q (v -u) co(φ)-ρ Q (v -u) F x =ρ Q (v -u) (+ co(φ))() Όπου η παροχή: Q=v A Q=0 [ m ] 0.00[ m ] Q=0. m3 Άρα τελικά από την () προκύπτει: F x =000 [ kg m3] 0. [m3 ] (0-60) [ m ] (+ co(0)) F x 49 N Ίση και αντίθετη δύναμη ασκεί το ρευστό στο κινούμενο πτερύγιο. Η εξίσωση της ορμής κατά τη διεύθυνση y είναι: F y =ρ Q (v -u) in(φ) F y = (0-60) in(0) N F y =50 N Ίση και αντίθετη δύναμη ασκεί το ρευστό στο κινούμενο πτερύγιο. H παραγόμενη ωφέλιμη ισχύς είναι: Ν ΩΦ =F x u Ν ΩΦ =49[Ν] 60 [ m ] Ν ΩΦ= W= kw

21 Από το τρίγωνο ταχυτήτων εξόδου (Σχήμα 3.0.) προκύπτει η απόλυτη ταχύτητα εξόδου v. Σύμφωνα με τον νόμο των συνημίτονων: v =u +(v -u) - u (v -u)co(φ) v = co(0) v =09.38 m v =0.46 m 3. Θεωρία της πτέρυγας (Αεροτομές) Στις ρευστοδυναμικές μηχανές εξασκούνται δυνάμεις μεταξύ του ρευστού και των σωμάτων, που κινούνται μέσα σε αυτό. Ένα αίτιο τέτοιας αλληλεπίδρασης, όπως αναλύθηκε παραπάνω, είναι η μεταβολή της ορμής ενός ρευστού, που βρίσκεται σε επαφή με το σώμα. Αυτό έχει ως συνέπεια, το ρευστό να δεχθεί δύναμη από το σώμα και ίση και αντίθετη δύναμη να ασκηθεί σε αυτό. Μια άλλη αιτία ανάπτυξης τέτοιων δυνάμεων, είναι η μεταβολή της πίεσης του ρευστού, γύρω από την εξωτερική επιφάνεια του σώματος, το οποίο κινείται εμβαπτισμένο μέσα στο ρευστό, ή είναι ακίνητο και το ρευστό περιρρέει την εξωτερική επιφάνειά του. Τα σώματα που χρησιμοποιούνται έχουν κατάλληλη μορφή (αεροδυναμική), με στόχο τη βελτιστοποίηση των αναπτυσσόμενων δυνάμεων, ανάλογα με την εφαρμογή. Η μορφή των αεροδυναμικών διατομών των σωμάτων, που χρησιμοποιούνται, ονομάζεται αεροτομή. Αεροδυναμικής μορφής σώματα μπορούν να θεωρηθούν τα σώματα εκείνα στα οποία η διάσταση η κάθετη στη κατεύθυνση της ροής είναι μικρό ποσοστό της διάστασης κατά την κατεύθυνση της κύριας ροής, και η επιφάνειά τους δεν παρουσιάζει ασυνέχειες. Αεροδυναμικής μορφής σώμα είναι και η αεροτομή της οποίας το πρόσθιο τμήμα προς τη ροή είναι στρογγυλεμένο (για υποηχητικές πτέρυγες), ενώ το πίσω μέρος της καταλήγει σε οξεία ακμή. Με άλλα λόγια, εάν τοποθετηθεί µία πτέρυγα σε οριζόντια θέση και, στη συνέχεια, πραγματοποιηθεί τομή αυτής στο διαμήκη άξονα, το γεωμετρικό σχήμα που θα προκύψει είναι µία αεροτομή (airfoil tion), όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα 3... Μια ρευστοδυναμική μηχανή που διαθέτει πτέρυγες με διατομή αεροτομής είναι ο ανεμοκινητήρας. Σχήμα 3.. Αεροτομή 3.. Άνωση Οπισθέλκουσα Για την έρευνα και παρατήρηση των αναπτυσσόμενων δυνάμεων στα σώματα που χρησιμοποιούνται στις εφαρμογές, η αεροδυναμική χρησιμοποιεί θεωρητικές και πειραματικές μεθόδους έρευνας. Στις πειραματικές έρευνες χρησιμοποιούνται τα σώματα σε πραγματικό μέγεθος ή μικρών διαστάσεων πρότυπα αυτών (αεροµοντέλα) και ειδικές πολυσύνθετες εγκαταστάσεις (αεροδυναμικές σήραγγες), εφοδιασμένες µε οπτικά όργανα, που επιτρέπουν την παρατήρηση και τη φωτογράφηση των εικόνων της ροής, καθώς και μετρητικές

22 συσκευές για τη μέτρηση των πιέσεων σε διάφορες θέσεις της ροής και των δυνάμεων που αλληλοεπιδρούν μεταξύ ροής και σώματος. Η μεταβολή της πίεσης που δημιουργείται σε διάφορες θέσεις της ροής γύρω από την επιφάνεια του σώματος, προκαλεί τις ονομαζόμενες αεροδυναμικές δυνάμεις, τη δύναμη της άνωσης, την οπισθέλκουσα δύναμη και την πλευρική δύναμη, τις οποίες δέχεται το σώμα κατά την κίνησή του μέσα στο ρευστό, και αποτελούν τις τρεις συνιστώσες της συνολικής δύναμης που ασκείται σε αυτό. Πάνω στα αεροπλάνα, στα υποβρύχια, στα αυτοκίνητα, στους πυραύλους, στα βλήματα, στις πτέρυγες των ανεμοκινητήρων και σε άλλα σώματα, που κινούνται μέσα στον ατμοσφαιρικό αέρα ή στο νερό της θάλασσας, ασκούνται οι αεροδυναμικές δυνάμεις. Κάθε φορά που ταξιδεύει κανείς µε ένα όχημα και βγάζει το χέρι του έξω από το παράθυρο, αισθάνεται τις αεροδυναμικές δυνάμεις. Η δύναμη που δρα επάνω στα δέντρα και τα ξεριζώνει κατά τη διάρκεια μιας θύελλας, η δύναμη που δρα στις πτέρυγες των πτηνών ή των αεροπλάνων και τα συγκρατεί στον αέρα, είναι όλες αεροδυναμικές. Η οπισθέλκουσα ή αεροδυναμική αντίσταση, έχει την ίδια κατεύθυνση µε την ταχύτητα ροής. Η δύναμη της άνωσης, έχει κάθετη κατεύθυνση προς την οπισθέλκουσα. Η πλευρική δύναμη είναι κάθετη και προς τις δύο προηγούμενες συνιστώσες Πρακτικά η πλευρική δύναμη στις εφαρμογές είναι μηδενική, διότι τα σώματα που χρησιμοποιούνται (κύλινδροι, σφαίρες, άτρακτοι αεροπλάνων, αμαξώματα οχημάτων, βλήματα, πύραυλοι) διαθέτουν πλευρική κατοπτρική συμμετρία και οι πτέρυγες έχουν μηδαμινή επιφάνεια διατομής στην οποία καταλήγουν στο άκρο τους. Οι παράμετροι που κυβερνούν τις αεροδυναμικές δυνάμεις και τις ροπές που δημιουργούν, για υποηχητικές ταχύτητες κίνησης ρευστού και αντικειμένου, είναι: Η γεωμετρία (μορφή) του σώματος. Η γωνία προσβολής. Το μέγεθος του σώματος. Η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το αντικείμενο. Η πυκνότητα του ήρεμου ρευστού. Κατά τη ροή λοιπόν ενός ρευστού γύρω από ένα κινούμενο ή ακίνητο σώμα, στη επιφάνεια του σώματος αναπτύσσονται οι αεροδυναμικές δυνάμεις δυο εκ των οποίων, η οπισθέλκουσα και η άνωση, εμφανίζουν έντονη επίδραση στη μελέτη των κατασκευών και των μηχανών, και αναλύονται ιδιαίτερα. Έστω ότι λαμβάνεται ο όγκος ελέγχου του Σχήματος 3., ο οποίος αποτελείται από ένα αντικείμενο με ομοιόμορφη διατομή αεροτομής, μήκους L. Το αντικείμενο προσβάλλεται από μια σταθερή ροή αέρα, πυκνότητας ρ και σχετικής ταχύτητας υ κατά τη διεύθυνση x. Η προβολή του αντικειμένου σε ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση x ονομάζεται μετωπική επιφάνεια. Αν η χορδή της αεροτομής έχει μήκος b και η γωνία προσβολής είναι α, τότε η μετωπική επιφάνεια Α Μ είναι: A M L b ina Σχέση 3.. Όπως φαίνεται στο παραπάνω Σχήμα 3.., κατά τη ροή ρευστού, αναλύοντας τη δύναμη που δημιουργείται σε δύο συνιστώσες (μετά την πρόσπτωση της δέσμης στο αντικείμενο), σχηματίζεται η δύναμη της οπισθέλκουσας αεροδυναμικής αντίστασης (F D ) παράλληλη με τη διεύθυνση της σχετικής ροής, και η δύναμη της αεροδυναμικής άνωσης (F L ), κάθετη σε αυτή. Κατά τη ροή ενός ρευστού, αεροδυναμική αντίσταση ή οπισθέλκουσα (Drag) ονομάζεται η δύναμη η οποία έχει τον ίδιο φορέα με αυτόν της σχετικής ταχύτητας του ρευστού, αλλά αντίθετη φορά, και εμφανίζεται κατά την κίνηση αντικειμένων στο εσωτερικό του ρευστού. Η παρουσία της δύναμης οφείλεται στη διαφορετική πίεση, η οποία επικρατεί στις δύο πλευρές ενός σώματος. Μαθηματικά η αντίσταση εκφράζεται ως εξής: F D ρ υ A M c D Σχέση 3.. Όπου c D ορίζεται ως συντελεστής αεροδυναμικής αντίστασης ή οπισθέλκουσας ή μορφής. Ο συντελεστής αεροδυναμικής αντίστασης εξαρτάται από τις εξής παραμέτρους:

23 Την τραχύτητα της επιφάνειας του σώματος Τη φύση της ροής (στρωτή ή τυρβώδης) Τον αριθμό Reynold Η δύναμη της αεροδυναμικής άνωσης (Lift) εξετάζεται σε σώματα αεροδυναμικής μορφής (π.χ. πτέρυγες ανεμοκινητήρων, πτέρυγες αεροσκαφών). Μαθηματικά η άνωση εκφράζεται ως εξής: F L ρ υ A c ΕΚΠ L Σχέση 3.3. A ΕΚΠ L b Σχέση 3.4. Όπου εμβαδόν εμπετάσματος (Α ΕΚΠ ) ορίζεται: Ως c L ορίζεται ο συντελεστής αεροδυναμικής άνωσης. Ο συντελεστής αεροδυναμικής άνωσης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.., εξαρτάται έντονα από τη γωνία προσβολής (α). Η ανυψωτική δύναμη (F L ) οφείλεται στη συμπύκνωση των ροϊκών γραμμών πάνω από την άνω πλευρά της πτέρυγας, μειώνοντας έτσι την πίεση εκεί σε σχέση με την κάτω πλευρά, όπου οι ροϊκές γραμμές εμφανίζουν αραίωση (επιβράδυνση της ροής). Σχήμα 3.. Η εξάρτηση των συντελεστών αντίστασης και άνωσης από τη γωνία προσβολής (α) της αεροτομής. Για γωνίες προσβολής μεγαλύτερες των ο συμβαίνει αποκόλληση της ροής και δημιουργία δινών στην άνω πλευρά της αεροτομής, οι οποίες δίνες καταστρέφουν το μηχανισμό ανάπτυξης διαφοράς πίεσης μεταξύ της κάτω και της άνω πλευράς. Παρατηρείται απότομη πτώση του συντελεστή άνωσης και απώλεια στήριξης της αεροτομής. Η άνωση και η οπισθέλκουσα είναι κύριες παράμετροι, που χαρακτηρίζουν µία πτέρυγα, και εξαρτώνται από τη γεωμετρία των αεροτομών που συνθέτουν την πτέρυγα αυτή. Οι γεωμετρικές παράμετροι μεταβάλουν καθοριστικά τα αεροδυναμικά χαρακτηριστικά της αεροτομής και, συνεπώς, της πτέρυγας. Κάποιες από τις γεωμετρικές παραμέτρους είναι οι εξής: Η ακτίνα του χείλους προσβολής. Η κυρτότητα της μέσης γραμμής. Η θέση μέγιστης κυρτότητας της μέσης γραμμής. Η κατανομή πάχους. Η θέση μέγιστου πάχους. Επιπλέον μεγέθη τα οποία καθορίζουν τη συμπεριφορά της αεροτομής μέσα στη ροή είναι: Η γωνία προσβολής, δηλαδή η γωνία που σχηματίζει η χορδή της αεροτομής με την κατεύθυνση της σχετικής ταχύτητας.

24 Ο αριθμός Reynold της ροής, ο οποίος ορίζεται με χαρακτηριστικό μήκος αναφοράς τη χορδή (b) της αεροτομής. Όλες οι αεροτομές που χρησιμοποιούνται στην πράξη είναι αποτέλεσμα εμπειρικής σχεδίασης και εκτεταμένων πειραμάτων σε αεροδυναμικές σήραγγες. Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι κατά το πέρασμα των χρόνων, έχουν πραγματοποιηθεί σημαντικά άλματα στη βελτίωση και εξέλιξη των αεροτομών με την εκπόνηση εκτεταμένων μελετών, όπως η εμφάνιση της θεωρίας των αεροτομών Joukowki με τη χρήση του σύμμορφου μετασχηματισμού. Οι έρευνες της NACA, στηριζόμενες στη θεωρία των αεροτομών Joukowki, συστηματοποίησαν τη μελέτη του αντικειμένου, ερευνώντας τα αποτελέσματα της μεταβολής της καμπυλότητας και της κατανομής πάχους στις αεροτομές, ανεξάρτητα. Παράλληλα, πραγματοποιήθηκαν πειράματα σε μεγάλες τιμές του αριθμού Reynold (ανάπτυξη υψηλών δυνάμεων αδράνειας), προσεγγίζοντας αυτές που συναντώνται στην πραγματικότητα. Ένα χρήσιμο συμπέρασμα της μακρόχρονης συνεχιζόμενης έρευνας είναι ότι υψηλή άνωση επιτυγχάνεται, συγκριτικά µε την τιμή της αντίστασης, χρησιμοποιώντας αεροτομές που η γεωμετρία τους διέπεται από µία κυρτότητα, σε αντίθεση από κάποιες που είναι επίπεδες. 3.. Άνωση και Οπισθέλκουσα στις πτερυγώσεις των ανεμοκινητήρων Πρωταρχικός στόχος στο σχεδιασμό των ανεμοκινητήρων είναι η μεγιστοποίηση της αεροδυναμικής απόδοσης των πτερύγων τoυς, δηλαδή η μεγιστοποίηση της ισχύος που αντλείται από το ρεύμα του αέρα. Ο στόχος αυτός, φυσικά, περιορίζεται από την ανάγκη ικανοποιητικής μηχανικής αντοχής των πτερύγων και από θέματα που σχετίζονται με τα οικονομικά μεγέθη της κατασκευής. Ο σχεδιασμός λοιπόν των πτερύγων των ανεμοκινητήρων, πρέπει να δώσει απαντήσεις σε αντικείμενα που σχετίζονται με τον αριθμό των πτερύγων του στροφείου, με τη μορφή τους, με το μήκος τους και με το συνολικό ύψος του πύργου της ανεμογεννήτριας. Καθώς ο αριθμός των πτερύγων αυξάνεται, αυξάνεται και η αεροδυναμική απόδοση. Η αύξηση, όμως, αυτή βαίνει μειούμενη έντονα. Αν αντί για δύο πτέρυγες χρησιμοποιηθούν τρεις η απόδοση αυξάνει κατά 3%. Αν όμως αντί για τρεις πτέρυγες χρησιμοποιηθούν τέσσερες η αύξηση της αεροδυναμικής απόδοσης είναι οριακή (0.5%). Η αύξηση του αριθμού των πτερύγων συνεπάγεται δραστική αύξηση του κόστους του συστήματος. Επιπλέον ο σχεδιασμός των πτερύγων, από την πλευρά της μηχανικής αντοχής γίνεται πιο δύσκολος. Όσο αυξάνεται ο αριθμός των πτερύγων στο στροφείο, οι πτέρυγες πρέπει να σχεδιάζονται λεπτότερες, για να είναι αεροδυναμικά αποδοτικές. Έτσι οι πτέρυγες κινδυνεύουν να αστοχήσουν στις καμπτικές τάσεις που αναπτύσσονται λόγω των αξονικών φορτίων στο στροφείο. Για τους λόγους αυτούς οι ανεμοκινητήρες διαθέτουν συνήθως τρεις πτέρυγες. Οι πτέρυγες των ανεμοκινητήρων έχουν διατομή αεροτομής, σε όλο το μήκος τους (L), από τη βάση μέχρι το άκρο. Δέχονται ένα ρεύμα αέρα παροχής Q, πυκνότητας ρ και απόλυτης ταχύτητας v. Η διαθέσιμη ισχύς (Ν) του ρεύματος είναι: N Σχέση 3.5. ρ Q v π L ρ 4 v v π L ρ 4 v 3 Η ωφέλιμη ισχύς που παίρνει ο ανεμοκινητήρας από τη ροή αυτή του αέρα, είναι: π L N n ρ ΩΦ 4 Σχέση 3.6. v 3 Όπου n είναι η απόδοση της πτερύγωσης. Ένας κινούμενος με την περιστρεφόμενη πτέρυγα ( περιφερειακή ταχύτητα u) παρατηρητής, βλέπει το ρευστό να προσβάλλει την πτέρυγα με τη σχετική ταχύτητα υ, η οποία, αθροιζόμενη γεωμετρικά με την περιφερειακή ταχύτητα, συνθέτει την απόλυτη ταχύτητα της ροής v. Ανάλογη διαδικασία, ως προς τη σύνθεση του τριγώνου ταχυτήτων, συμβαίνει και στην έξοδο της ροής από την αεροτομή, στην ακμή διαφυγής (Σχήμα 3.3.). Όπως αναφέρθηκε, η πτέρυγα διαθέτει διατομή αεροτομής από τη βάση μέχρι το άκρο της [Εικόνα 3.3.]. Η κινούσα την πτέρυγα δύναμη είναι η δύναμη της άνωσης, η οποία δημιουργείται,

25 όταν ο αέρας ρέει γύρω από τις αεροτομές από τις οποίες συντίθεται η πτέρυγα. Η άνωση είναι κάθετη στη σχετική ταχύτητα της ροής. Γενικά η άνωση αυξάνει, καθώς αυξάνεται η γωνία προσβολής. Παράλληλα αυξάνεται και η ανεπιθύμητη οπισθέλκουσα δύναμη. Ενώ η συνιστώσα της άνωσης κατά τη διεύθυνση της περιφερειακής ταχύτητας υποστηρίζει τη περιστροφή της πτέρυγας, η συνιστώσα της οπισθέλκουσας στην ίδια διεύθυνση αντιτίθεται στην περιστροφή της [Σχήμα 3.3]. Έτσι ο ανεμοκινητήρας θα έχει μέγιστη απόδοση, όταν ο λόγος των μέτρων των δυνάμεων της άνωσης και της οπισθέλκουσας είναι μέγιστος. Τότε η γωνία προσβολής είναι βέλτιστη και όλες οι αεροτομές κατά μήκος της πτέρυγας έχουν τη βέλτιστη προσβολή. Ακόμη και αν η ταχύτητα του ρεύματος του αέρα θεωρηθεί ομοιόμορφη κατά μήκος της πτέρυγας, η περιφερειακή ταχύτητα αυξάνεται γραμμικά από τη βάση προς το άκρο της. Έτσι η γωνία και το μέτρο της σχετικής ταχύτητας του αέρα ποικίλλουν κατά μήκος του μήκους της πτέρυγας. Η σχετική ταχύτητα ευθυγραμμίζεται περισσότερο με τη χορδή, προσεγγίζοντας το άκρο της πτέρυγας. Δηλαδή πρέπει να υπάρχει συνεχής στροφή των διατομών της πτέρυγας, ώστε κάθε αεροτομή να προσβάλλεται με τη βέλτιστη γωνία. Εικόνα 3.3. Πτέρυγα ανεμοκινητήρα.[ geograph.org.uk/photo/6744 ], [common.wikimedia.org/wiki/file:blade_with_tion_and_vector.vg] Σχήμα 3.3. Διατομή πτερύγων ανεμοκινητήρα

26 3... Ρύθμιση πτερύγων Οι συνθήκες του ανέμου μπορεί να αλλάζουν κάθε στιγμή. Έτσι στους ανεμοκινητήρες είναι δυνατή η περιστροφή των πτερύγων περί τον άξονά τους, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.4., έτσι ώστε να ρυθμίζεται η βέλτιστη γωνία προσβολής για τις ποικίλες συνθήκες ανέμου. Χρησιμοποιείται ένας έξυπνος αλγόριθμος, ο οποίος εισάγει ως δεδομένα τις συνθήκες του ανέμου και τα χαρακτηριστικά του ανεμοκινητήρα και παράγει τη βέλτιστη ρύθμιση για μέγιστη ωφέλιμη ισχύ. Εικόνα 3.4. Ρύθμιση πτερύγων [pixabay.com/el/b-657/] 3... Μήκος πτερύγων Ένας σημαντικός παράγων που επηρεάζει την απόδοση των ανεμοκινητήρων είναι το μήκος L της πτέρυγας. Σύμφωνα με τη Σχέση 3.6., η ωφέλιμη ισχύς του ανεμοκινητήρα είναι ανάλογη του τετραγώνου του μήκος της πτέρυγας. Συνεπώς με διπλάσιο μήκος πτερύγων παράγεται τετραπλάσια ωφέλιμη ισχύς. Το μήκος της πτέρυγας, όμως, περιορίζεται από το ύψος του πύργου, και από την απόκλιση του άκρου της πτέρυγας, λόγω κάμψης, από τις αεροδυναμικές δυνάμεις. Η απόκλιση αυτή πρέπει να είναι μικρή, έτσι ώστε να αποκλείεται περίπτωση κρούσης των πτερύγων με τον πύργο του ανεμοκινητήρα Ύψος πύργου Καθοριστικός παράγων στο σχεδιασμό των ανεμοκινητήρων είναι η επιλογή του κατάλληλου ύψους του πύργου. Σύμφωνα με τη Σχέση 3.6., η ωφέλιμη ισχύς του ανεμοκινητήρα είναι ανάλογη του κύβου της ταχύτητας του ανέμου. Αυτό σημαίνει ότι διπλασιασμός της ταχύτητας του ανέμου παράγει οκταπλάσια ωφέλιμη ισχύ. Οι μετρήσεις του αιολικού πεδίου στα οριακά στρώματα διαφόρων περιοχών, δείχνουν αύξηση της ταχύτητας του ανέμου, καθώς αυξάνει η απόσταση από το έδαφος. Για το λόγο αυτό είναι επιθυμητή η χρήση όσο το δυνατόν ψηλότερου πύργου. Τα προβλήματα σχεδιασμού και κατασκευής, καθώς και τα προβλήματα μεταφοράς των πύργων των ανεμοκινητήρων, καθορίζουν σε κάθε περίπτωση το μέγιστο δυνατό ύψος πύργου. Βιβλιογραφία 3 ου Κεφαλαίου [3] V. STREETER E. WYLIE, Μηχανική Ρευστών, Εκδόσεις ΦΟΥΝΤΑΣ 000 [6] ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΠΑΝΙΚΑΣ, Εφαρμοσμένη Ρευστομηχανική, Εκδόσεις MEDIA GURU 00 [9] Θ.Ι. ΤΣΙΡΙΚΟΓΛΟΥ, Ρευστοδυναμικές Μηχανές, Διδακτικές Σημειώσεις ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΛΙΑΣ 00