Φυσική για Μηχανικούς

Transcript

1 Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss, δείχνουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο που περιβάλλει μια ομοιόμορφα φορτισμένη σφαίρα είναι όμοιο με αυτό γύρω από ένα σημειακό φορτίο.

2 Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss, δείχνουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο που περιβάλλει μια ομοιόμορφα φορτισμένη σφαίρα είναι όμοιο με αυτό γύρω από ένα σημειακό φορτίο.

3 Ως τώρα, θεωρήσαμε το φαινόμενο των δυναμικών γραμμών ποιοτικά Τώρα, θα το μελετήσουμε πιο «ποσοτικά» Έστω ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Οι δυναμικές γραμμές περνούν κάθετα την επιφάνεια εμβαδού A Θυμηθείτε: πυκνότητα γραμμών ανάλογη του μέτρου του πεδίου Ο αριθμός γραμμών είναι ανάλογος του γινομένου EA Αυτό το γινόμενο ονομάζεται ηλεκτρική ροή Φ E Σημείωση: Δεν υπάρχει τίποτα «ρευστό» στην όλη κατάσταση είναι απλά ένα (ατυχές?) όνομα που την περιγράφει!

4 Ηλεκτρική Ροή Αν η επιφάνεια δεν είναι κάθετη τότε η ηλεκτρική ροή δίνεται ως Φ E = EA = EA cos(θ) Προβάλλουμε την επιφάνεια Α σε ένα επίπεδο κάθετο στις δυναμικές γραμμές Η προβολή αυτή αντιστοιχεί σε επιφάνεια A Η επιφάνεια αυτή έχει εμβαδό A cos(θ) Αν θ = 90 ο, η επιφάνεια Α είναι παράλληλη στις δυναμικές γραμμές Ηλεκτρική ροή ίση με μηδέν

5 Ηλεκτρική Ροή Όμως το πεδίο μπορεί να μην είναι ομογενές Μπορεί να μεταβάλλεται με την απόσταση ή με την επιφάνεια Ο ορισμός που δώσαμε έχει νόημα για μικρές επιφάνειες με σταθερό ηλεκτρικό πεδίο Θα αποδειχθεί όμως «θησαυρός»! Το EA cos θ πρέπει να σας θυμίζει κάτι Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων! Το E είναι διάνυσμα, πράγματι Το Α είναι εμβαδό (αριθμητική τιμή)!!

6 Ηλεκτρική Ροή Μπορούμε να ορίσουμε ένα διάνυσμα A το οποίο θα είναι πάντα κάθετο σε μια επιφάνεια που θα του αντιστοιχίσουμε Μπορούμε επίσης να ορίσουμε ότι το μέτρο του διανύσματος αυτού θα είναι ίσο με το εμβαδό της επιφάνειας στην οποία ορίζεται! Τώρα μπορούμε να γράψουμε την ηλεκτρική ροή ενός σταθερού ηλεκτρικού πεδίου διαμέσου μιας επιφάνειας ως ένα εσωτερικό γινόμενο! Φ E = E A

7 Ηλεκτρική Ροή Μια γενική επιφάνεια μπορεί να χωριστεί σε πολύ μικρά στοιχεία επιφάνειας καθένα με εμβαδό ΔΑ Ας ορίσουμε το διάνυσμα ΔA i του οποίου το μέτρο ισούται με το εμβαδόν του i-οστού στοιχείου Το διάνυσμα αυτό είναι κάθετο στο στοιχείο εμβαδού ΔΑ i της επιφάνειας Έστω ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι E i στη θέση αυτή και σχηματίζει γωνία θ i με το διάνυσμα ΔA i όπως στο σχήμα

8 Ηλεκτρική Ροή Η ηλεκτρική ροή μέσα από την επιφάνεια αυτή είναι ΔΦ Εi = E i ΔA i = E i ΔΑ i cos θ i Η συνολική ηλεκτρική ροή Φ E μπορεί να βρεθεί αν αθροίσουμε τις συνεισφορές ΔΦ Εi από όλα τα απειροστά μικρά τμήματα επιφάνειας ΔΑ i Έτσι, Φ E = lim ΔΦ Ε ΔA i 0 i = lim E i ΔA i = ΔA i 0 i i επιφανεια E d A

9 Ηλεκτρική Ροή Μας ενδιαφέρουν οι κλειστές επιφάνειες για την εύρεση της ηλεκτρικής ροής διαμέσου των επιφανειών αυτών Μια κλειστή επιφάνεια χωρίζει το χώρο σε μια εσωτερική και μια εξωτερική περιοχή, χωρίς να μπορεί κάποιος να κινηθεί από τον ένα χώρο στον άλλο χωρίς να διασχίσει την επιφάνεια του χώρου Π.χ. η επιφάνεια μιας σφαίρας Ας δούμε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις που το ηλεκτρικό πεδίο, ως διάνυσμα, επιδρά σε τμήματα μιας επιφάνειας

10 Ηλεκτρική Ροή

11 Ηλεκτρική Ροή Σημειώστε ότι μια κλειστή επιφάνεια έχει «εσωτερικό» και «εξωτερικό» Το διάνυσμα d A ενός τμήματος της επιφάνειάς της πάντα δείχνει προς τα «έξω» Σε αντίθεση με μια απλή επιφάνεια (όχι κλειστή), η οποία έχει d A που μπορεί να δείχνει προς τη μια ή την άλλη πλευρά της Για τον υπολογισμό της ηλεκτρικής ροής σε μια κλειστή επιφάνεια Φ E = E d A = E n da με E n τη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου κάθετη στην επιφάνεια

12 Ηλεκτρική Ροή Με βάση όσα είπαμε, η συνολική ηλεκτρική ροή διαμέσου μιας κλειστής επιφάνειας είναι ανάλογη του αριθμού των δυναμικών γραμμών που εξέρχονται από την επιφάνεια μείον τον αριθμό των δυναμικών γραμμών που εισέρχονται στην επιφάνεια «Μπαίνουν» περισσότερες δυναμικές γραμμές απ όσες «βγαίνουν»? Αρνητική ηλεκτρική ροή διαμέσου της επιφάνειας «Βγαίνουν» περισσότερες δυναμικές γραμμές απ όσες «μπαίνουν»? Θετική ηλεκτρική ροή διαμέσου της επιφάνειας

13 Παράδειγμα: Θεωρήστε ένα ομοιόμορφο ηλεκτρικό πεδίο E με προσανατολισμό στο x-άξονα του χώρου. Ένας κύβος με μήκος ακμής l τοποθετείται στο πεδίο, όπως στο σχήμα. Βρείτε την ηλεκτρική ροή διαμέσου της επιφάνειας του κύβου.

14 Παράδειγμα Λύση: Βρείτε την ηλεκτρική ροή διαμέσου της επιφάνειας του κύβου. d

15 Ο νόμος του Gauss Υπάρχει άραγε κάποια σχέση μεταξύ της ηλεκτρικής ροής σε μια κλειστή επιφάνεια και ενός φορτίου που περικλείεται σε αυτήν; Η απάντηση είναι ΝΑΙ, και αυτή η σχέση ονομάζεται νόμος του Gauss Είναι θεμελιώδους σημασίας στη μελέτη ηλεκτρικών πεδίων Είναι το ισοδύναμο του νόμου του Coulomb για ηλεκτρικά πεδία σημειακών φορτίων, αλλά εφαρμόζεται σε συνεχείς κατανομές φορτίων πολύ πιο εύκολα απ ότι ο νόμος του Coulomb Μπορεί να εφαρμοστεί σε κινούμενα φορτία κάθε ταχύτητας Αποτελεί ένα περισσότερο θεμελιώδη νόμο για τα ηλεκτρικά πεδία από το νόμο του Coulomb Η κλειστή επιφάνεια λέγεται πολλές φορές και γκαουσιανή (Gaussian)

16 Ο νόμος του Gauss Έστω ένα θετικό φορτίο q στο κέντρο μιας σφαίρας ακτίνας r Το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι E = k e q r 2 Οι δυναμικές γραμμές είναι παντού κάθετες στην επιφάνεια της σφαίρας Άρα το ηλεκτρικό πεδίο E είναι παράλληλο στο διάνυσμα Δ A Έστω ότι το Δ A γίνεται πολύ μικρό Η ηλεκτρική ροή θα είναι Φ E = E d A = EdA = E da

17 Ο νόμος του Gauss Το ολοκλήρωμα da ισούται με το εμβαδόν της γκαουσιανής επιφάνειας Άρα da = 4πr 2 Φ E = E da = k e q r 2 4πr2 = 4πk e q Όμως k e = 1 4πε 0 Άρα τελικά Φ E = q ε 0

18 Ο νόμος του Gauss Και τι θα συμβεί αν η επιφάνεια δεν είναι σφαιρική; Είπαμε ότι η ηλεκτρική ροή είναι ανάλογη του αριθμού των δυναμικών γραμμών που περνούν μέσα από μια επιφάνεια Το σχήμα δείχνει ότι ο αριθμός αυτός είναι ίδιος σε όλες τις επιφάνειες! Η S 1 είναι σφαιρική, άρα Φ E = q ε 0 Άρα η ηλεκτρική ροή διαμέσου οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας γύρω από ένα σημειακό φορτίο q είναι Φ E = q ε 0 και είναι ανεξάρτητη από το σχήμα της.

19 Ο νόμος του Gauss Και τι θα συμβεί αν το φορτίο είναι έξω από την επιφάνεια; Κάθε δυναμική γραμμή που εισέρχεται στην επιφάνεια βγαίνει από κάποιο άλλο μέρος της Ο αριθμός των γραμμών που μπαίνουν ισούται με αυτόν που βγαίνουν Άρα η ηλεκτρική ροή διαμέσου μιας κλειστής επιφάνειας που δεν περιέχει φορτίο είναι μηδέν!

20 Ο νόμος του Gauss Το προηγούμενο αποδεικνύεται και μαθηματικά Έστω θετικό φορτίο q Η ηλεκτρική ροή διαμέσου μιας μικρής επιφάνειας ΔA της επιφάνειας «εισόδου» των δυναμικών γραμμών είναι αρνητική! Γιατί τα διανύσματα Δ A, E είναι αντίρροπα! Αντίθετα, η ηλεκτρική ροή διαμέσου μιας εξίσου μικρής επιφάνειας ΔA της επιφάνειας «εξόδου» των δυναμικών γραμμών είναι θετική! Γιατί τα διανύσματα Δ A, E είναι ομόρροπα! Το άθροισμα των ηλεκτρικών ροών είναι μηδέν

21 Ο νόμος του Gauss Ας επεκτείνουμε τα αποτελέσματά μας σε δυο γενικές περιπτώσεις: 1) Πολλά σημειακά φορτία 2) Συνεχής κατανομή φορτίου

22 Ο νόμος του Gauss Για πολλά (έστω Μ) σημειακά φορτία, έχουμε Φ E = E d A = Παράδειγμα: Φ E = Φ E = q 1 M i=1 E i d A ε 0 για την επιφάνεια S (q 2 +q 3 ) ε 0 για την S Φ E = 0 για την S Το φορτίο q 4 δε συνεισφέρει ηλεκτρική ροή σε καμιά επιφάνεια

23 Ο νόμος του Gauss Άρα Φ E = E d A = q in ε 0 όπου E το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας και q in το συνολικό φορτίο εντός της επιφάνειας Προσοχή στο εξής: το E είναι το ηλεκτρικό πεδίο στην γκαουσιανή επιφάνεια που προέρχεται από συνεισφορές από φορτία τόσο εντός όσο και εκτός της επιφάνειας!

24 Ο νόμος του Gauss Ο νόμος του Gauss μπορεί να φανεί χρήσιμος για την εκτίμηση του ηλεκτρικού πεδίου όταν η κατανομή φορτίου είναι συμμετρική Αυτό συμβαίνει με κατάλληλη επιλογή γκαουσιανής (κλειστής) επιφάνειας όπου το διάνυσμα d A στο ολοκλήρωμα ορίζεται (και υπολογίζεται) απλά Επιπλέον, πρέπει να εκμεταλλευόμαστε τη συμμετρία της κατανομής φορτίου για να βγάλουμε το ηλεκτρικό πεδίο E εκτός ολοκληρώματος Αν δεν μπορούμε να βρούμε μια τέτοια επιφάνεια, ο νόμος του Gauss ισχύει ακόμα, αλλά δε μας είναι χρήσιμος στην εύρεση του ηλεκτρικού πεδίου

25 Ο νόμος του Gauss Πρέπει λοιπόν να επιλέξουμε μια επιφάνεια η οποία να ικανοποιεί μια ή περισσότερες από τις παρακάτω συνθήκες: 1. Η τιμή του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να θεωρηθεί σταθερή λόγω συμμετρίας επάνω σε όλη την επιφάνεια 2. Το εσωτερικό γινόμενο του νόμου του Gauss μπορεί να εκφραστεί ως απλό αλγεβρικό γινόμενο EdA, δηλ. τα E και da είναι παράλληλα 3. Το εσωτερικό γινόμενο είναι μηδέν γιατί τα παραπάνω διανύσματα είναι κάθετα 4. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν σε ένα τμήμα επιφάνειας

26 Παράδειγμα: Μια μονωμένη στερεή σφαίρα ακτίνας α έχει ομοιόμορφη πυκνότητα φορτίου ρ σε όλο τον όγκο της και φέρει συνολικό θετικό φορτίο Q. A) Υπολογίστε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο εκτός της σφαίρας Β) Υπολογίστε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο εντός της σφαίρας

27 Παράδειγμα Λύση: Μια μονωμένη στερεή σφαίρα ακτίνας a έχει ομοιόμορφη πυκνότητα φορτίου ρ σε όλο τον όγκο της και φέρει συνολικό θετικό φορτίο Q. A) Υπολογίστε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο εκτός της σφαίρας

28 Παράδειγμα Λύση: Μια μονωμένη στερεή σφαίρα ακτίνας a έχει ομοιόμορφη πυκνότητα φορτίου ρ σε όλο τον όγκο της και φέρει συνολικό θετικό φορτίο Q. Β) Υπολογίστε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο εντός της σφαίρας

29 Τέλος Διάλεξης