Φυσική Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Transcript

1 Φυσική Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΜΑΝΟΣ ΤΡΑΜΠΟΥΛΗΣ

2 ΙV. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΙV. Κινήσεις Στερεών Σωμάτων Οι κινήσεις που μπορεί ένα σώμα να πραγματοποιήσει είναι δύο ειδών : i. Μεταφορική Κίνηση ii. Στροφική Κίνηση IV.. Μεταφορική Κίνηση Στη Μεταφορική Κίνηση κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα. Κατά συνέπεια ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του σώματος κινείται παράλληλα, κατά την κίνησή του σώματος. Προσοχή : Μεταφορική κίνηση μπορεί να είναι και μία καμπυλόγραμμη κίνηση. Εξισώσεις κίνησης Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση cm cm ό t s cm Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση α cm σταθερό (IV.4) t u cm (IV.5) cm u t (.6) cm 0 cm IV cm s cm 0 t cm t ( IV.7) cm ΠΡΟΣΟΧΗ: Επειδή όλα τα σημεία στη μεταφορική κίνηση έχουν ίδια μεταφορικά μεγέθη, τα σχεδιάζουμε στο C.M του σώματος. IV.. Στροφική Κίνηση Η κίνηση κατά την οποία το σώμα αλλάζει προσανατολισμό. Κατά τη στροφική κίνηση υπάρχει μία ευθεία (άξονας περιστροφής) τα σημεία της οποίας παραμένουν ακίνητα, ενώ τα υπόλοιπα εκτελούν κυκλική κίνηση ως προς τον άξονα περιστροφής. Κέντρο μάζας : Το σημείο του σώματος το οποίο κινείται όπως ένα υλικό σημείο με τη μάζα του σώματος όταν ασκούνται πάνω σε αυτό όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

3 Ομαλή Στροφική Κίνηση Στροφική Κίνηση με Σταθερή Γωνιακή ό (IV.8) t (IV.9) Επιτάχυνση ό (IV.) Εξισώσεις κίνησης Όπου : ω η γωνιακή ταχύτητα, α η γωνιακή επιτάχυνση και θ η γωνία στροφής t 0 t ( IV.3 (IV.) ) θ ω t α t (IV.4) 0 IV..4 Αποδείξεις των Σχέσεων IV.3 & IV.4 Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της γωνιακής επιτάχυνσης (IV.) προκύπτει η IV.3 : t t 0 0 t Από τη σχέση IV.3 θα κατασκευάσουμε τη γραφική παράσταση ωt από το εμβαδόν της οποίας προκύπτει η συνολική γωνία που έχει διαγραφεί : ω (rad/sec) Β β ω ω ω0 α t ω0 θ υ θ t θ 0 t ω θ ω 0 t α t ω 0 θ t t (sec) IV..5 Επαλληλία (Σύνθεση κινήσεων) Ένα σώμα συνήθως εκτελεί σύνθετη κίνηση. Δηλαδή μεταφορική και περιστροφική κίνηση συγχρόνως. Θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί ταυτόχρονα και ανεξάρτητα τις δύο αυτές κινήσεις μπορούμε να μελετήσουμε την συνολική κίνηση του σώματος προσθέτοντας τα αποτελέσματα από την κάθε μία κίνηση. Έτσι η ταχύτητα ενός σημείου θα είναι : CM 3

4 : Η συνολική ταχύτητα του σημείου cm : Η μεταφορική ταχύτητα του C.M του σώματος. : Η γραμμική ταχύτητα του σημείου,λόγω της κυκλικής του κίνησης γύρω από τον άξονα περιστροφής. ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ Ονομάζεται η σύνθετη κίνηση σώματος κυκλικού «προφίλ»,κατά την οποία η συνολική ταχύτητα του σημείου επαφής του σώματος με το έδαφος ίση με μηδέν. IV..3 Σχέσεις μεταξύ α α CM και υ CM ω Ό Κατά την κύλιση ενός τροχού κάθε σημείο του τροχού έρχεται σε επαφή με το δρόμο με συνέπεια το διάστημα που διανύεται από τη μεταφορική κίνηση του τροχού να είναι ίσο με το τόξο που έχει διαγραφεί από κάθε σημείο της περιφέρειας του, κατά την περιστροφή του. Άρα : CM ds dt : d ds ds d CM d dt CM ( IV.5 ) CM α CM d dt CM α (IV.6) d dt Έτσι για ένα σημείο που έρχεται σε επαφή με το δρόμο : στην κορυφή του τροχού : υ υ Σ 0 Σ υ CM 4

5 ΙV. Ροπή Δύναμης Ροπή Δύναμης : Η ικανότητα μιας δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα. Όπου : τ = Fl Μονάδα μέτρησης : Νm. (ΙV.7) Έχει διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής και φορά που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μια δύναμη δημιουργεί ροπή αν η ίδια ή μια συνιστώσα της βρίσκεται πάνω σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής. IV.. Ροπή Ζεύγους Δυνάμεων Δύο Δυνάμεις που έχουν ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά παράγουν ένα ζεύγος δυνάμεων. Η ροπή του ζεύγους είναι : τ F x F x τ F (x x ) τ F d...(iv.8) Παρατήρηση : Το ζεύγος δυνάμεων προκαλεί μόνο περιστροφή και όχι μεταφορά γιατί ΣF = 0 & Στ 0. ΙV.3 Ισορροπία Σώματος Για την ισορροπία ενός σώματος πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες : ΣFX 0 ΣF 0 ΣFY 0 Στ 0 (ΙV.9) Παρατήρηση : Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών πρέπει να είναι μηδέν (Στ = 0) ανεξάρτητα από το σημείο που θα επιλέξουμε. 5

6 ΙV.4 Ροπή Αδράνειας Είναι το μέγεθος που εκφράζει την κατανομή της μάζας γύρω από σημείο ή άξονα περιστροφής. Αντιστοιχεί στο μέγεθος της μάζας στην μεταφορική κίνηση. Κατά συνέπεια είναι το μέτρο της αδράνειας περιστροφής. Δίνεται από τη σχέση : I m r (ΙV.0).Όταν μελετούμε ένα σύστημα σωμάτων τότε η ροπή αδράνειας του συστήματος προκύπτει από το άθροισμα των επιμέρους ροπών αδράνειας..όταν μελετούμε ένα συμπαγές σώμα τότε η ροπή αδράνειάς του θα προκύψει από το άθροισμα των ροπών αδράνειας των επιμέρους στοιχειωδών ποσοτήτων μάζας που αποτελούν το σώμα. Σ αυτές τις περιπτώσεις η ροπή αδράνειας θα δίνεται. P Θεώρημα Steiner Θεώρημα Παράλληλων Αξόνων Η ροπή αδράνειας ως προς ένα άξονα P που απέχει από το κέντρο μάζας κατά d θα είναι : CM d M Ι P = I CM + Md² (ΙV.) Όπου Ι CM η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας, Μ η μάζα του σώματος και d η απόσταση του άξονα P από τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας. ΙV.5 Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Σε αναλογία με το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής (ΣF = mα CM ) ισχύει και ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης. Αυτός περιγράφεται από τη σχέση : Στ = Ια Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα σώμα (ΙV.) ισούται με το γινόμενο της ροπής αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής με τη γωνιακή επιτάχυνση του σώματος. Στροφική Κίνηση Στ = Ι α Μεταφορική Κίνηση ΣF = m α CM Στ = 0 Στ 0 = σταθ. ΣF = 0 ΣF 0 = σταθ. Ομαλή Στροφική Ομαλά Επιταχυνόμενη Στροφική Ευθύγραμμη Ομαλή Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη 6

7 ΙV.6 Στροφορμή Στροφορμή ενός σώματος που κινείται με ταχύτητα υ ως προς έναν άξονα (κάθετο στην τροχιά), είναι το διανυσματικό φυσικό μέγεθος με μέτρο που εκφράζεται από τη σχέση: L = mυr Η διεύθυνση της στροφορμής είναι εκείνη του άξονα και η φορά (ΙV.3) προκύπτει από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Για περιστρεφόμενο στερεό σώμα η στροφορμή είναι : L = Iω. (ΙV.4) Όπου Ι η ροπή αδράνειας ως προς το άξονα περιστροφής. Για σύστημα σωμάτων η στροφορμή προκύπτει από το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους στροφορμών. Στη γενικότερη έκφρασή του ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής, κατ αναλογία με το ο νόμο του Newton, λέει ότι το σύνολο των ροπών είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής dl d L I I dt dt Όμως Στ Ι α dl dt I Στ dl dt (ΙV.5) Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής : Αν η ολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν τότε η στροφορμή δε μεταβάλλεται. Δηλαδή : Στ = 0 L = σταθερό L r υ ΙV.7 Στροφική Κινητική Ενέργεια Κινητική Ενέργεια λόγω περιστροφής : Κινητική Ενέργεια λόγω μεταφοράς : Ολική Κινητική Ενέργεια : K K π Kμ K K μ π I CM (ΙV.6) (ΙV.7) (ΙV.8) Έργο (όταν τ = σταθερό) : W Ισχύς : P Θεώρημα Έργου Ενέργειας : ΣW I I (ΙV.9) (ΙV.30) (ΙV.3) 7

8 .ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Διαβάζουμε από το βιβλίο 4. και 4. Ερωτήσεις Θεωρίας. Πως ορίζεται το υλικό σημείο;. Τι λέγονται μηχανικά σώματα; (στερεά) 3. Ποια κίνηση ενός στερεού σώματος ονομάζεται μεταφορική; 4. Ποια κίνηση ονομάζεται στροφική; 5. Πως ορίζεται η γωνιακή ταχύτητα και πως η γωνιακή επιτάχυνση; 6. Πότε λέμε ότι ένα σώμα κάνει σύνθετη κίνηση; Και πως μπορεί να μελετηθεί; 7. Τι ονομάζουμε κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος; Και που βρίσκεται σε ομογενή και συμμετρικά σώματα; 8. Να δείξετε τις σχέσεις που συνδέουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας με την γωνιακή ταχύτητα και την γωνιακή επιτάχυνση αντίστοιχα κατά την κύλιση ενός τροχού. Ερωτήσεις Β. Στην καθαρά περιστροφική κίνηση τροχού να βρεθεί η σχέση της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου της περιφέρειας του με την γωνιακή ταχύτητα του τροχού. Λύση Σε χρόνο Δt το Α θα έχει διαγράψει μήκος τόξου ΔS και η επιβατική ακτίνα γωνία ΔΦ ισχύει: υ ω = ΔS Δt ΔΦ Δt ΔΦ Δt ω A υ ΔΦ ΔS ΔΦ = ΔS ω 8

9 . Δίσκος περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Να ορίσετε την επιτρόχια επιτάχυνση ενός σημείου του και να βρείτε τη σχέση που τη συνδέει με την γωνιακή επιτάχυνση. Λύση α du αε dt αε υ ω d ω dt dω dt αε α dθ υ > υ α ε υ A α ε υ 3. Για ένα σώμα που κάνει ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο και να σχεδιαστεί. Λύση α = dω ω ω α dt t t 0 (t0 0) 0 και γραφική παράσταση : ω ω 0 α t ω ω 0 αt ω ω 0 +α t Δω ω 0 Δt t t 9

10 Παρατηρήσεις Δω Α. Η κλίση της ευθείας μας δίνει την γωνιακή επιτάχυνση. Πράγματι κλίση = α Δt Β. Το εμβαδόν του τραπεζίου εκφράζει την γωνιακή μετατόπιση. Εμβαδόν τραπεζίου = ΔΘ = ω0 ω0 αt ω0t αt αt t ΔΘ ω0t Γ. Αν η κίνηση είναι ομαλά επιβραδυνόμενη τότε: ω = ω 0 α t και ΔΘ = ω 0. t - α t 4. Το διπλανό διάγραμμα δείχνει πως μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα ενός δίσκου με το χρόνο. Για τα χρονικά διαστήματα 0 < t < sec, < t < 4 sec, 4 < t < 8 sec να βρείτε τις αντίστοιχες γωνιακές επιταχύνσεις και τις γωνίες που διαγράφει ο δίσκος. Στη συνέχεια να παραστήσετε 0 ω (rad/sec) (sec) γραφικά τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου με το χρόνο t (sec) Απάντηση Δt = ( 0) sec. Δω 0 0 α 5 rad/sec Δt 0 0 < t < α ω ΔΘ = (Ε) = 0 0 rad Δt = (4 ) sec. α 0 ΔΘ = 0. (4 ) = 0 rad α 0 < t < 4 ω 0

11 Δt 3 = (8 4) sec. Δω3 0 0 α3,5 rad/sec Δt3 4 4 < t < 8 ω ΔΘ 3 = (8 4) 0 0 rad α α (rad/sec ) ,5 t(sec) 5. Για δύο στερεά σώματα Α και Β που περιστρέφονται οι γραφικές παραστάσεις της γωνιακής ταχύτητας ω με το χρόνο t σε κοινούς άξονες φαίνονται στο σχήμα. ω (Β) (Α) α. Ποιο από τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση; ω 0 β. Πότε τα δύο σώματα αποκτούν την ίδια γωνιακή ταχύτητα; γ. Ποιο σώμα έχει κάνει περισσότερες περιστροφές μέχρι τη στιγμή που αποκτούν την ίδια γωνιακή ταχύτητα; 0 t t [Απ. α Β >α Α * t * N A >N B ]

12 6. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας δίσκος ακτίνας, που εκτελεί στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α '. Αν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι ω 0, όπως στο σχήμα, ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; α. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη χρονική στιγμή t έχει μέτρο που δίνεται από τη σχέση ω = ω 0 + α t. β. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Α τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση υ=ω=(ω 0 +α t). ω 0 K z α z υ 0 γ. Μετά από χρόνο Δt από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η ακτίνα ΚΑ θα έχει διαγράψει γωνία Δθ= ω 0 Δt + α Δt. δ. Σ ένα οποιοδήποτε χρονικό διάστημα Δt = t t το διάνυσμα Δω έχει ίδια φορά με το διάνυσμα α '. A 7. Ένα στερεό σώμα αρχίζει την t 0 = 0 να περιστρέφεται γύρω από άξονα zz. Ένα σημείο Α του σώματος απέχει r από τον άξονα περιστροφής και το μέτρο της γραμμικής ταχύτητάς του αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. Τότε: α. Το στερεό σώμα εκτελεί στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. β. Η συχνότητα περιστροφής του στερεού σώματος είναι σταθερή. γ. Η γωνιακή ταχύτητα του σώματος δίνεται κάθε στιγμή από τη σχέση ω = α t, όπου α η γωνιακή επιτάχυνση. δ. Τα διανύσματα ω και α ' έχουν αντίθετες κατευθύνσεις. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές; 8. Όταν ένα στερεό σώμα κάνει μόνο στροφική κίνηση, τότε : α. τα σημεία του άξονα περιστροφής του έχουν ταχύτητες διάφορες του μηδενός β. όλα τα σημεία του σώματος έχουν ίδια γωνιακή ταχύτητα γ. οι τροχιές των σημείων του σώματος είναι κυκλικές και τα κέντρα τους βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής δ. όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα. Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές;

13 9. Η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από έναν άξονα περιστροφής : α. είναι διάνυσμα με φορέα τον άξονα περιστροφής β. είναι ίδια για όλα τα σημεία του σώματος γ. έχει μονάδα μέτρησης το rad/s d θ δ. ορίζεται ως το πηλίκο dt περιστροφής σε χρόνο dt. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές;, όπου dθ η γωνία στροφής του σώματος γύρω από τον άξονα 0. Η γωνιακή επιτάχυνση α ενός σώματος το οποίο κάνει στροφική κίνηση : α. έχει ίδια διεύθυνση με τη γωνιακή ταχύτητα β. έχει πάντα ίδια φορά με τη γωνιακή ταχύτητα γ. αν dω η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας του σώματος σε χρόνο dt, ορίζεται ως δ. έχει πάντα ίδια φορά με το διάνυσμα dω Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές; α dω dt. Όταν ένα στερεό σώμα κάνει στροφική κίνηση γύρω από έναν άξονα περιστροφής και η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου Α έχει σταθερό μέτρο, τότε : α. η γωνιακή επιτάχυνση α του σώματος είναι διάφορη από το μηδέν β. η γωνία στροφής που διαγράφει μια ακτίνα δίνεται από τη σχέση θ = α t γ. σε μια τυχαία χρονική στιγμή t το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας είναι ω = α t δ. όλα τα σημεία του σώματος έχουν ίδια γραμμική ταχύτητα με αυτή που έχει το σημείο Α. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Από το βιβλίο : 4., 4., 4.3, 4.4, 4.5 3

14 Ασκήσεις - Προβλήματα. Ενας τροχός ακτίνας = 0,6m μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά του, ο οποίος είναι ακίνητος και κατακόρυφος. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ο τροχός αρχίζει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνσης μέτρου α = 6rad/s. Να υπολογίσετε : α. το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού β. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t = 4s. γ. το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t = 4s δ. τη γωνία που διέγραψε μια ακτίνα του τροχού στο χρονικό διάστημα Δt = t t 0 = 4s ε. τον αριθμό των περιστροφών του τροχού στο χρονικό διάστημα Δt = t t 0 = 4s. [Απ : 3,6 m/sec * 4,4 m/sec * 345,6 m/sec * 48 rad * 4/π στρ]. Ένας ανεμιστήρας περιστρέφεται με συχνότητα 900 στροφές/min. Όταν τον σβήνουμε αρχίζει να επιβραδύνεται ομαλά και σταματά αφού εκτελέσει 75 στροφές. α. Να σχεδιαστεί η συνάρτηση ω = f(t). β. Να βρεθεί πόσος χρόνος πέρασε μέχρι να σταματήσει. γ. Να βρεθεί η γωνιακή επιβράδυνση του τροχού. [Απ. t = 0sec * α =3π rad /sec ] 3. Ο δίσκος του σχήματος στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το Κ και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Για τα σημεία Α και Γ να σχεδιάσετε και να συγκρίνετε τα μεγέθη: α. γωνιακή ταχύτητα β. γωνιακή επιτάχυνση γ. γραμμική ταχύτητα δ. κεντρομόλο επιτάχυνση ε. επιτρόχια επιτάχυνση. AΓ = ΓΚ Κ Γ Α [Aπ :ω A =ω Γ * α A = α Γ * υ A = υ Γ * αk α (A) K * α Γ ε α (A) ε ] Γ 4

15 4. Η ράβδος ΚΑ = l = m που φαίνεται στο διπλανό σχήμα αρχίζει την t 0 = 0 να περιστρέφεται με σταθερή z γωνιακή επιτάχυνση α = 4 rad γύρω από τον άξονα s zz. Να βρείτε: α. Μετά από πόσο χρόνο η ράβδος θα έχει κάνει Ν = K Γ Α 00 περιστροφές; π β. Ποια θα είναι εκείνη τη στιγμή η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου; γ. Ποια θα είναι την ίδια χρονική στιγμή η γραμμική ταχύτητα των σημείων Α και Γ της ράβδου αν z ΑΓ = 0,6 m; [Απ.: α. t = 0s, β. ω = 40 rad/s, γ. υ Α = 40 m/s, υ Γ = 6 m/s] 5. Ο κύλινδρος του βαρούλκου που φαίνεται στο διπλανό σχήμα έχει ακτίνα = 0, m και το σχοινί έχει μήκος l = 80 m. Το βαρούλκο αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α = rad, έτσι ώστε το σχοινί να τυλίγεται. Να βρείτε: s α. Μετά από πόσο χρόνο θα τυλιχτεί όλο το σχοινί; β. Ποια θα είναι η γωνιακή ταχύτητα του βαρούλκου τη στιγμή που θα έχει τυλιχτεί όλο το σχοινί; [Απ.: α. t = 0s, β. ω = 40 rad/s] Από το βιβλίο : 4.3, 4.33,

16 Ερωτήσεις Β. Κατά την κύλιση του τροχού χωρίς ολίσθηση να βρείτε τις ταχύτητες των σημείων Α, Β, Γ σε συνάρτηση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας (υ cm ) A υ cm B Γ Λύση Στην καθαρή μεταφορά, όλα τα σημεία κινούνται με την ίδια ταχύτητα σχ. (α) A υ cm A ω A ω υ cm υ cm Κ υ cm B Κ B Κ υ cm B υ cm Γ υ cm υ cm ω Γ ω ω Γ ω υ cm υ cm (α) (β) (γ) Στην καθαρή περιστροφή γύρω από το K όλα τα σημεία κινούνται με την ίδια κατά μέτρο γραμμική ταχύτητα σχ.(β) Έχοντας υπ όψη ότι υ cm = ω, παίρνουμε: υcm Για το Α: υ A =υ cm + ω = υ cm + υcm υcm Για το Β: υb υcm ω υcm υcm υcm υ Για το Γ: υ Γ = υ cm ω = υ cm - cm 0 Το αποτέλεσμα αυτό φαίνεται στο σχ. (γ) 6

17 3. Στο σχήμα βλέπουμε ένα τροχό στην περιφέρεια του οποίου είναι τυλιγμένο ένα νήμα που τραβάμε οριζόντια με σταθερή ταχύτητα υ. Ο τροχός κυλάει χωρίς ολίσθηση με ταχύτητα υ c όπου : α. υ c = υ β. υ c = υ γ. υ c = υ/ δ. υ c = υ/4 υ 4. Κύλινδρος ακτίνας κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το σχήμα παριστάνει μια κάθετη τομή του κυλίνδρου και τα σημεία Α, Ο και Β βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη διάμετρό του. Αν είναι (ΟΑ) = (ΟΒ) = 3, να προσδιορίσετε το λόγο των μέτρων των 4 ταχυτήτων υ Α και υ Β των σημείων Α και Β, αντίστοιχα. Ο Α Β 5. Η σανίδα που κρατά ο άνθρωπος έχει μήκος L και εφάπτεται στον τροχό χωρίς να γλιστρά. Πόσο θα έχει μετατοπιστεί ο άνθρωπος όταν φθάσει στον τροχό; α. L/ β. L γ. 3L/ δ. L L Από το βιβλίο : 4.6 7

18 Ασκήσεις - Προβλήματα 6. Τροχός ακτίνας = 0,4m κυλίεται ευθύγραμμα χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Την t 0 = 0 το κέντρο του τροχού έχει ταχύτητα υ 0 = 0 m/sec. Αν η κίνηση είναι ομαλά επιβραδυνόμενη (του κέντρου) και η ταχύτητα του μηδενίζεται μετά από χρόνο t ολ = 4sec να βρείτε: α. Τον αριθμό των στροφών που έκανε μέχρι να σταματήσει. β. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού την t = sec. γ. Το μέτρο της (α cm ) επιβράδυνσης του τροχού. (Α τρόπος) α. ω ω0 αt υ0 0 θ ω0t αt αt ολ 0 0 0,4 Λύση α α4 α 50 4,5 rad / sec και θ = ω 0 t - αt υ0 θ t ολ ολ θ = Ν. π N θ π αt N 00 π 0 θ 4,5 4 0,4 50 π στρ. υ0 0 β. ω ω0 αt ω α t ω,5 5 rad / sec 0,4 α cm = α =,5. 0,4 = 5m/sec. θ θ 00 rad (B τρόπος) υ υ 0 α cm S υ0t α t cm t S = N. π N 0 5m 0 0 αcm 4 αcm 4 sec S m S π 40 π 0,4 υ = υ 0 - α cm t = 0-5. =0 m/sec υ ω 0 = 5 rad / sec. 0,4 50 π στρ. 8

19 7. Ένας τροχός ακτίνας = 0,m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, σε οριζόντιο επίπεδο. Την t 0 = 0 το κέντρο μάζας του τροχού έχει ταχύτητα υ 0 = 0m/sec και αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση. Αν ο τροχός σταματά και μετατοπιστεί κατά ΔΧ = 0m να βρείτε: α. τον χρόνο που διαρκεί η επιβράδυνση. β. την γωνιακή επιβράδυνση του τροχού. γ. τον αριθμό των περιστροφών που κάνει ο τροχός από την t 0 = 0 μέχρι να σταματήσει και δ. την ταχύτητα του σημείου του τροχού που απέχει από το δάπεδο d = την t = sec. [Απ: t ol = 0 =4sec * 5rad/sec *,5 00 στροφές * 5m/sec * 0m/ sec] 8. Τρακτέρ κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u = 0m /sec σε ευθύγραμμο δρόμο. Η ακτίνα των μπροστινών τροχών του είναι = 0,5 m και των πίσω = m. α. Να βρείτε τις γωνιακές ταχύτητες των τροχών. β. Να αποδείξετε ότι τα ανώτερα σημεία των τροχών έχουν ίσες ταχύτητες. [Απ: ω = 40 rad/sec *ω = 0 rad/sec] 9. Ο τροχός ενός αυτοκινήτου έχει ακτίνα = 30cm. Το αυτοκίνητο κινείται με επιτάχυνση α = 3m/sec. α. Να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας των τροχών του. β. Να βρείτε την γωνιακή επιτάχυνση των τροχών. γ. Να βρείτε την επιτάχυνση την επιτρόχια ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού. δ. Να σχεδιάσετε όλες τις επιταχύνσεις που έχει ένα σημείο Α της περιφέρειας του τροχού κι έχουν σημείο εφαρμογής το σημείο αυτό. ε. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση που έχει το κατώτερο σημείο του τροχού. [Απ: 3m/sec * 0rad/sec * 3 m/sec * a κ = ω αυξανόμενη με το χρόνο] 0. Ένα όχημα το οποίου οι τροχοί έχουν ακτίνα = 40 cm κινείται ευθύγραμμα. Η γωνιακή ω (rad/s) ταχύτητα των τροχών του οχήματος μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διάγραμμα του διπλανού οχήματος. 0 α. Να κάνετε το διάγραμμα της γωνιακής επιτάχυνσης του οχήματος με το χρόνο. β. Πόσο διάστημα θα διανύσει το όχημα μέχρι να σταματήσει; γ. Ποια είναι η συχνότητα περιστροφής των τροχών του οχήματος την t = 8s; δ. Πόσες περιστροφές θα έχουν κάνει οι τροχοί μέχρι το όχημα να σταματήσει; t(s) [Απ.: β. s = 64m, γ. f = π 5, δ. Ν = π 80 περιστροφές] Από το βιβλίο : 4.35,

20 ΡΟΠΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ Διαβάζουμε από το βιβλίο 4.3 και 4.4 Ερωτήσεις Θεωρίας 9. Ποιο μέγεθος ονομάζεται ροπή δύναμης; 0. Τι γνωρίζετε για την ροπή της δύναμης F, ως προς τον άξονα περιστροφής;. Σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η έννοια της ροπής της δύναμης ως προς το σημείο; και τι γνωρίζετε για αυτή;. Τι γνωρίζετε για την ροπή ζεύγους δυνάμεων; 3. Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις; Ερωτήσεις Β F F l (α) 0 l (b) F l F ημ30 o (d) o (c) 30 o F συν30 o F ημ60 F ημ60 M F l/ Δίνεται : F = 0N, l = 4m. Σε κάθε περίπτωση υπολογίστε τη ροπή ως προς το σημείο 0 που οφείλεται στη F l l 0 0 (e) (f) F Απάντηση (α) τ = F. l = 80N. m αντίθετα της φόρας των δεικτών του ρολογιού. (b) τ= Fημ60. l = 69,3 Ν. m αντίθετα στη φόρα ρολογιού F (c) τ = F. ημ30. l = 0 4= 40N. m αντίθετα της φοράς των δεικτών του ρολογιού. (d) τ = Fημ60. l = 34,6 N. m στη φόρα του ρολογιού. (e) τ = F. 0 = 0 (f) τ = F. 0 = 0 0

21 7. Στην τετράγωνη πλάκα ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος, πλευράς α, ασκούνται οι δυνάμεις F, F, F 3 και F 4, οι οποίες έχουν ίδιο μέτρο F. Να βρείτε τη συνολική ροπή των δυνάμεων αυτών ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της πλάκας και διέρχεται : α. από το κέντρο Ο της πλάκας Α F α Ο F α Β β. από μια κορυφή της πλάκας. F 4 Δ F 3 Γ 8. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με το γράμμα Σ, αν είναι σωστές και με το γράμμα Λ, αν είναι λανθασμένες. Η ροπή μιας δύναμης F ως προς άξονα : α. είναι μηδέν, όταν ο φορέας της τέμνει τον άξονα β. είναι μηδέν, όταν ο φορέας της είναι παράλληλος προς τον άξονα γ. αλλάζει, όταν η δύναμη μετακινείται πάνω στο φορέα της δ. έχει ως μονάδα μέτρησης στο σύστημα S.I το Nm. 9. Η ροπή της δύναμης F του σχήματος ως προς άξονα zz που περνά από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας έχει : Α. μέτρο : α. τ = F r β. τ = F l F ψ F γ. τ = F x l δ. τ = F ψ l ε. τ = F l ημθ Ποιες σχέσεις είναι Ο l θ F x σωστές; Β. διεύθυνση : r α. κάθετη στη σελίδα και φορά προς τα πάνω β. κάθετη στη σελίδα και φορά προς τα κάτω γ. ίδια με της F και τη φορά της F Ποια πρόταση είναι σωστή; Από το βιβλίο : 4.7, 4.8, 4.9, 4.0, 4.

22 Ασκήσεις - Προβλήματα. Μια ράβδος ΑΓ =,5m δεν είναι ομογενής και η απόσταση του κέντρου μάζας Κ αυτής από το άκρο της Α είναι (ΚΑ) = 0,3 m. Το άκρο Γ της ράβδου στηρίζεται χωρίς τριβή σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο άκρο της Α στηρίζεται στο δάπεδο μετά του οποίου παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής μ ορ = 0,. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της γωνίας φ για να ισορροπεί η ράβδος. Λύση Η ράβδος ισορροπεί με την επίδραση των Β, Ν, F. Η F αναλύεται στην στατική τριβή Τ και την Γ Ν F ψ. Επειδή η ράβδος ισορροπεί ισχύουν: ΣF x = 0 N = T και επειδή Τ μ ορ F ψ Ν μ ορ F ψ () ΣF ψ = 0 F ψ = Β () Στ (Α) Β(ΑΚ)= = 0 Β(ΑΚ) συνφ = Ν(ΑΓ) ημφ Ν(ΑΓ)εφφ Ν = Β(AK) (AΓ)συνφ (3) 0 Φ Κ Β Τ F Α F ψ (),() N μ ορ B (3) εφφ φ 45 o B(AK) (AΓ)εφφ μ ορ B εφφ (AK) μ ορ(aγ) Από το βιβλίο: 4.37, 4.38, 4.39, 4.40, 4.4, 4.4, 4.43, 4.56, 4.57, Ομογενής ράβδος έχει βάρος 0,5Ν. Στις δύο άκρες της ράβδου κρέμονται δύο βάρη Β = 0,Ν και Β =0,Ν. Σε ποιο σημείο πρέπει να στηρίξουμε τη ράβδο για να ισορροπεί οριζόντια και ποια θα είναι τότε η δύναμη που θα ασκεί το υποστήριγμα στη ράβδο; Το μήκος της ράβδου είναι ΑΔ = m [Απ: Χ = 6,5cm από το μέσο * F = 0,8Ν]

23 3. Ομογενής οριζόντια άκαμπτη δοκός μήκους 0m και βάρους Β = 30Ν στηρίζεται στα σημεία Α και Γ. Από το Α ξεκινά μικρό αμάξι βάρους Β = 40Ν με κατεύθυνση το Γ και επιτάχυνση γ= m / sec. Ζητούνται : Α Γ α. Οι εκφράσεις των αντιδράσεων στα Α και Γ σε συνάρτηση με το χρόνο. β. Ποιες οι αντιδράσεις στα παραπάνω σημεία μετά χρόνο sec από το ξεκίνημα του αμαξιού. Οι αντιδράσεις στα Α και Γ είναι κατακόρυφες. [Απ: F A = 55 t * F B = 5+ t * F = 5N * F = 9N] 4. Ομογενές δοκός έχει μήκος ΑΓ = 80cm και βάρος Β = 0Ν. Η δοκός ισορροπεί οριζόντια με την βοήθεια ενός F Η Μ φ κατακόρυφου σχοινιού στο Α, ενός σχοινιού στο Γ, που σχηματίζει με τη A Γ Β δοκό γωνία φ=30 ο και μιας οριζόντιας δύναμης F στο Α. Αν κατά μήκος της δοκού κινείται ένα σώμα βάρους 5Ν : α. βρείτε τις δυνάμεις από τα σχοινιά όταν το σώμα απέχει 0cm από το κατακόρυφο σχοινί. β. βρείτε την F [Απ: 3,875Ν * 6,5Ν *,7Ν] 5. Ομογενής δοκός βάρους 000Ν στηρίζεται με άρθρωση Α σε κατακόρυφο τοίχο και είναι εξαρτημένη από το άλλο άκρο της Γ με νήμα ΟΓ, όπως στο σχήμα. Το μήκος του νήματος είναι τόσο ώστε οι γωνίες που σχηματίζονται από το νήμα και τη δοκό με το τοίχο να είναι φ=30 ο και θ = 60 ο αντίστοιχα. Να υπολογίσετε α. Την τάση του νήματος β. Την δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην δοκό. Α 0 30 o 60 o Γ [Απ: Τ = Ν * F = 000N] 3

24 6. Μια ομογενής δοκός μήκους l = m και βάρους w = 00N είναι στερεωμένη από το ένα άκρο της με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο και δεμένη με σχοινί όπως φαίνεται στο σχήμα. Από το άλλο άκρο της δοκού κρέμεται σώμα βάρους w = 00N Να υπολογίσετε : α. την τάση του σχοινιού β. τις δύο συνιστώσες της δύναμης που δέχεται η δοκός από την Α 60 o Κ Γ άρθρωση Δίνεται (ΚΓ) = 0,8m [Απ: 000Ν * Α x = N * ψ = 00Ν] 7. Οι δύο κατακόρυφοι τοίχοι τους σχήματος απέχουν απόσταση d = 4m. Να βρεθεί η μακρύτερη σκάλα που θα μπορούσε να σταθεί μεταξύ των δύο τοίχων αν ο τοίχος () είναι λείος και ο () παρουσιάζει με τη σκάλα συντελεστή τριβής μ = 0,5. () λείος () [Απ: 7 ] l d l 4

25 8. (4.70) Οι όμοιοι κύλινδροι Κ και Σ K Κ. Λύση B Κ Κ Αν η σανίδα κάνει α. α. τ. θα ισχύουν ΣF x = -DX ΣF ψ = 0 Στ = 0 (ως προς οποιοδήποτε x d x σημείο) Σε μια τυχαία θέση θα έχουμε: N K N ( ) ΣF x = T T = μν μν () T T ΣF Ψ = N + N B = 0 N = B N () B Κ Κ (κ) d d () Στ 0 N x N x 0 d N x d B N x 0 d λύνοντας ως προς Ν βρίσκουμε Ν = d B x d (3) Αντικαθιστώντας στην () έχουμε: d B x Bd B N (4) (d x) d N () () d d (3) (4) B x B x Σ μb F x μ μ x ο. ε. δ. d d d 5

26 ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Διαβάζουμε από το βιβλίο 4.5 Ερωτήσεις Θεωρίας 4. Τι ονομάζουμε ροπή αδράνειας ως προς κάποιο άξονα; 5. Να αναφέρετε το θεώρημα παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα νόμος Steiner(Στάινερ) Ερωτήσεις Β 0. Μια ομογενής ράβδος μάζα m και μήκους l φέρει προσαρμοσμένη στο ένα άκρο της σφαίρας Μ και ακτίνας. Η ροπή αδράνειας του A l B συστήματος είναι μεγαλύτερη ως προς άξονα κάθετο : α. Στο ελεύθερο άκρο Α β. Στο μέσο της ράβδου γ. Στο άλλο άκρο Β της ράβδου.. Ένας άνθρωπος κρατάει και στα δύο χέρια του βαράκια γυμναστικής. Αν μετακινήσει τα χέρια του από την έκταση στη θέση της προσοχής, τότε η ροπή αδράνειας του, ως προς κατακόρυφο άξονα που περνάει από το κεφάλι του θα α. αυξηθεί β. ελαττωθεί γ. θα μείνει ίδια. Μια συμπαγή και μια κοίλη σφαίρα έχουν ίδια μάζα και ίδια ακτίνα. Δυσκολότερα θα θέσουμε σε περιστροφή α. την συμπαγή β. την κοίλη γ. καμία από τις δύο 3. Ένας σχοινοβάτης προκειμένου να ισορροπεί ευκολότερα πρέπει να έχει: α. μια ράβδο μεγάλου μήκους β. μικρού μήκους γ. μια μεταλλική σφαίρα μεγάλης μάζας 4. Γιατί ένα στερεό σώμα παρουσιάζει μια μόνο μάζα και πολλές ροπές αδράνειας; 5. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ και ακτίνας, ως προς τον άξονα συμμετρίας του, αν γνωρίζετε ότι η ροπή αδράνειας του ως προς παράλληλο άξονα εφαπτόμενο στην περιφέρεια του είναι Ι = 3 M [Απ: Ι cm = M ] Από το βιβλίο : 4., 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 6

27 Ασκήσεις- Προβλήματα 9. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας Ι μιας πολύ λεπτής m m στεφάνης μάζας m = 4Kgr και ακτίνας = m ως προς άξονα περιστροφής που είναι κάθετος στο επίπεδο της στεφάνης και περνά: α. από το κέντρο της A Κ β. από ένα σημείο της περιφέρειας της. Λύση Χωρίζουμε την στεφάνη σε πολύ μικρές μάζες m, m.. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που περνά από το Κ και είναι κάθετος στο επίπεδο της είναι: I K = m + m +. = (m + m +.) = m. Η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της σύμφωνα με το θεώρημα Steiner είναι: Ι Α = Ι cm + md = I K + m = m + m = m 0. Ο τροχός του σχήματος αποτελείται από λεπτή στεφάνη ακτίνας l και μάζας Μ και τέσσερις ακτίνες μάζας m η καθεμία. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο του που περνά από το κέντρο του. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε ακτίνας ως προς άξονα που περνά από το l l Κ l l άκρο της και είναι κάθετος με αυτή Ι ακτ = ml 3 Λύση K) ( K) ( K) I ( τροχ I στεφ 4 I ακτ () ( K) στεφ ml ml (m m )l Ml I ( K) I ακτ ml 3 () ( K) 4 I τροχ Ml ml 3 Από το βιβλίο:

28 . Στα άκρα λεπτής και ομογενούς ράβδου ΑΒ μήκους l και μάζας Μ συνδέονται δύο σημειακά σφαιρίδια με μάζες m και m αντίστοιχα. Αν Μ = 3m να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται: α. από το Α β. από το μέσο της ράβδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο σε αυτή που περνά από το κέντρο της Ι cm = Ml. m A l m B [Απ: 3ml * ml ]. Τα τμήματα ΑΓ και ΓB της λεπτής ράβδου ΑΓ είναι ομογενή και έχουν μήκος d = 3m το καθένα και μάζες m ΑΓ = m = Kg και m ΓΒ = m = 4Kg. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας της ράβδου Α ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτή και περνά: α. από το Γ. β. από το Α Α Γ Β Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας λεπτής και ομογενούς ράβδου μάζας m και μήκους l ως προς m l τον άξονα κάθετο σε αυτή που περνά από κέντρο μάζας της είναι Ι cm = d [Απ: 8Κg. m * 90Kg. m ] d 8

29 ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Διαβάζουμε από το βιβλίο 4.6 Ερωτήσεις Θεωρίας 6. Να αναφέρετε το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης και να γράψετε την μαθηματική διατύπωση. 7. Τι εκφράζει η ροπή αδράνειας; Και από τι εξαρτάται; 8. Ισχύει στις σύνθετες κινήσεις, στις οποίες το σώμα κάνει ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης; Ερωτήσεις Β 6. Ποια ή ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; α. Κάθε στερεό σώμα έχει ροπή αδράνειας που εξαρτάται από την μάζα του και τον τρόπο κατανομής της γύρω από τον άξονα περιστροφής. β. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι πάντα μηδενική. γ. Από όλους τους παράλληλους μεταξύ τους άξονες περιστροφής μικρότερη ροπή αδράνειας παρουσιάζει ένα σώμα ως προς αυτόν που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. δ. Η ροπή αδράνειας ενός σύνθετου σώματος ως προς κάποιο άξονα είναι το άθροισμα των ροπών αδράνειας ως προς τον ίδιο άξονα των συστατικών του. 7. Ο τροχός του σχήματος στρέφεται γύρω από τον άξονα zz και η μόνη ροπή που ασκείται σε αυτόν είναι η τ. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού είναι σταθερή β. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού είναι σταθερή. γ. Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης έχει αντίθετη φορά από το διάνυσμα της ροπής τ δ. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας έχει πάντα ίδια φορά με το διάνυσμα της ροπής. z τ K z 8. Ο τροχός του σχήματος στρέφεται γύρω από τον άξονα zz με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση προτάσεις είναι σωστές; α '. Ποιες από τις παρακάτω α. Το διάνυσμα της συνισταμένης ροπής έχει την κατεύθυνση του διανύσματος α '. z α ' K z 9

30 β. Υπάρχει περίπτωση το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας να έχει αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα α ' γ. Η ροπή που δέχεται ο τροχός εξαρτάται από τη ροπή αδράνειας του τροχού δ. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού εξαρτάται από τη ροπή αδράνειας του τροχού 9. Υποθέστε ότι μια μάζα m, μικρών διαστάσεων, μπορεί να στερεωθεί m οπουδήποτε κατά μήκος μιας λεπτής m μεταλλικής ράβδου. Πότε θα είναι πιο εύκολο να ισορροπήσετε τη ράβδο m κατακόρυφα, στηρίζοντας το ένα άκρο της στο χέρι σας : α. όταν η μάζα βρίσκεται κοντά στο χέρι σας; β. όταν η μάζα βρίσκεται μακριά από το χέρι σας; γ. όταν η μάζα βρίσκεται στο μέσο της ράβδου; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 30. Ένας λεπτός δακτύλιος και ένας δίσκος, από διαφορετικά υλικά, έχουν την ίδια μάζα Μ και την ίδια ακτίνα. Καθένα από τα δύο σώματα έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. z z F F z z Αν στα δύο σώματα ασκήσουμε την ίδια εφαπτομενική δύναμη F, σε ένα τυχαίο σημείο της περιφέρειάς τους, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε : α. ο δακτύλιος θα αποκτήσει μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση β. ο δίσκος θα αποκτήσει μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση γ. τα δύο σώματα θα αποκτήσουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. A B Ε Δ Γ 30

31 3. Μια ομογενής ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από λεία σταθερή άρθρωση. Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη από τη θέση Α. Σε ποια από τις επόμενες θέσεις θα έχει μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση; Β, Γ, Δ, Ε Σε ποια από τις επόμενες θέσεις θα έχει μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα; Β, Γ, Δ, Ε 3. Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε την εξάρτηση της γωνιακής επιτάχυνσης από την ολική ροπή σε δύο στερεά Α και Β. Ποιο από τα δύο στερεά έχει μεγαλύτερη ροπή αδράνειας και γιατί; α Α Β τ ολ 33. Μια ομογενής ράβδος ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τι θα πάθει το κέντρο μάζας της αν πάνω στη ράβδο ενεργήσει ζεύγος οριζόντιων δυνάμεων; 34. Σε ποια από τις σημειωμένες χρονικές στιγμές το σώμα δέχεται μεγαλύτερου μέτρου ροπή; ω t t t 3 t 35. Μια ομογενής ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το ένα της άκρο. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη από την οριζόντια θέση μέσα στο βαρυτικό πεδίο. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Η αρχική γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου είναι : α. ανεξάρτητη από το μήκος της 3

32 β. ανάλογη του μήκους της γ. αντιστρόφως ανάλογη του μήκους της δ. αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου του μήκους της 36. Στο σχήμα βλέπετε μια ομογενή ράβδο που είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α ενώ το άλλο της άκρο είναι δεμένο με λεπτό νήμα από τον κατακόρυφο τοίχο. Αν κάποια στιγμή κοπεί το νήμα τότε η αρχική γραμμική επιτάχυνση του άκρου Κ θα είναι : α. 0,5g β. g γ.,5g δ. g I cm p ml A Κ Από το βιβλίο : 4.7, 4.8, 4.9 Ασκήσεις - Προβλήματα F 3. (4.59) Περιστρέφουμε τον πίσω τροχό.. Τ K 3 ( )

33 Λύση (t 0) (α0) 0 dω ω ω0 α α ω ω0 α (t t 0 ) ω ω0 α (t t 0 ) ω ω0 Δt t t 0 α t ω πf0 α t () ω 0 πf0 0 πf0 α t α t t t Για τη ροπή της τριβής ισχύει: τ = I. α 3 όμως Ι = Σm i =m (4) () πf0 (), (3), (4) τ m (5) t Η ροπή της τριβής ως προς το Κ είναι: τ = T. = μ. F. (6) πf0 (5), (6) μf m t F = πf0m μt Σημείωση ω ω0 α t αν α > 0, ω 0 > 0 ω = ω 0 +α t ω ΔE ωδt ΔΦ ΔE ΣΔΦ ΣΔE ΔΦ ωδt φ 0 = 0 ω0 ω ωοt ωt ωοt ΔΦ t Φ Φ ω 0 α tt ω ο Φ ωοt ΔΕ α t t Που δίνει την γωνία φ που διαγράφει η επιβατική ακτίνα με το χρόνο. 4. Μια ομογενής τροχαλία, μάζας m = 8 kg και ακτίνας = 0,m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά της, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Γύρω από την τροχαλία είναι F 33

34 τυλιγμένο ένα λεπτό αβαρές σκοινί. Ασκώντας στο σχοινί σταθερή δύναμη μέτρου F = 6N, η τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t = 0. Να υπολογίσετε : α. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας β. τη γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί η τροχαλία μέχρι τη χρονική στιγμή t = 3s. γ. το μήκος του σχοινιού που έχει ξετυλιχθεί μέχρι τη χρονική στιγμή t = 3s. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας γύρω από τον άξονα της είναι : Icm m. [Απ : 0 rad/sec * 90 rad * 8m] 5. Ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας Μ = 3kg Και μήκους l = m, μπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα z z, ο οποίος διέρχεται από το άκρο Α. Στο μέσο Κ της ράβδου είναι στερεωμένο σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m = 0,8kg. Στο άκρο Β της ράβδου ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F = 8N, η οποία είναι συνεχώς κάθετη στη ράβδο. Να υπολογίσετε : α. τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα z z β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου γ. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t = s. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι κάθετος σε αυτή είναι Icm Μl 6. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος, μήκους l = m, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. αν από την οριζόντια θέση αφήσουμε τη ράβδο ελεύθερη, να βρείτε : α. τη γωνιακή επιτάχυνσή της τη στιγμή που την αφήνουμε ελεύθερη [Aπ :, kg m * 5 rad/s * 5m/sec] β. τον ρυθμό αύξησης της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου στη θέση όπου αυτή έχει στραφεί κατά γωνία φ = Δίνονται : η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της Icm Μl και g = 0m/s. Από το βιβλίο : 4.45, 4.46, Η τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής, μάζας Μ = 4kg και ακτίνας = 0,m, και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά της χωρίς τριβές. Το σώμα Σ έχει μάζα m = kg και είναι δεμένο A z z l Σ l K Α B [Απ : 5rad/s * 7,5rad/s ] F Κ Β 34 Σ

35 στο ελεύθερο άκρο αβαρούς και μη εκτατού σχοινιού, το οποίο είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Αν το σώμα Σ αφεθεί ελεύθερο από την ηρεμία, να υπολογίσετε : α. το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία θα κινηθεί το σώμα Σ. β. το μέτρο της τάσης του σχοινιού γ. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας τη στιγμή που το σώμα θα έχει κατέλθει κατά h = 0m. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι = Μ και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0m/s. Να θεωρηθεί ότι μεταξύ σχοινιού και τροχαλίας δεν παρατηρείται ολίσθηση. [Απ : 5m/s *0N * 50rad/sec] 8. Στο σχήμα δίνονται: m = 4Kg, = 0,m, m = Kg, m = 3Kg και g = 0m/sec. Αρχικά τα σώματα είναι ακίνητα. Αν αφήσουμε τα σώματα να κινηθούν ελεύθερα να βρείτε: α. τις Τ και Τ β. τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας όταν το σώμα μάζας m κατέβει κατά Δh = 0,6m από την αρχική του θέση. Δίνεται για την τροχαλία I cm = m Δεν υπάρχουν τριβές στον άξονα της τροχαλίας και το σχοινί είναι αβαρές και δεν γλιστρά πάνω στην τροχαλία. Τ Τ Τ Τ m m w w [Απ: Τ = 40/3Ν * Τ = 0Ν * 0rad/sec] 9. Σώμα μάζας m = 5Kg βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,. Το σώμα είναι δεμένο με αβαρές νήμα από μια τροχαλία και στο άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο σώμα μάζας m = 4Kg. Αν η τροχαλία έχει μάζα m= Kg, ακτίνα και ροπή αδράνειας ως προς το άξονα περιστροφής της I = m να βρείτε την επιτάχυνση κάθε σώματος και τις F, F. Δίνεται g = 0m/sec, δεν υπάρχουν τριβές στον άξονα της τροχαλίας και το σχοινί δεν γλιστρά πάνω στην τροχαλία. T m F F [Απ: 3m/sec * 5N * 8N] F F m w 35

36 30. Στο βαρούλκο του σχήματος ο ξύλινος κύλινδρος έχει ακτίνα = 0,m και ο μοχλοβραχίονας που καταλήγει στη χειρολαβή έχει μήκος l = 0,4m. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον οριζόντιο άξονα συμμετρίας του. Στον κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένος ένας l F κουβάς μάζας m = kg. Στο μέσο της χειρολαβής ασκούμε δύναμη F, η οποία έχει σταθερό μέτρο και είναι διαρκώς κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν ο μοχλοβραχίονας και η χειρολαβή. α. Για ποια τιμή F του μέτρου της δύναμης F, ο κύλινδρος δεν περιστρέφεται; β. Όταν το μέτρο της δύναμης F είναι F = 4F, ο κουβάς αρχίζει να ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α cm = 5m/s. i. Πόση είναι η ροπή αδράνειας του ξύλινου κυλίνδρου του βαρούλκου, ως προς τον άξονα περιστροφής του; ii. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου, όταν ο κουβάς έχει ανέλθει κατά h =,5m; Δίνεται g = 0m/s. Να θεωρηθεί ότι ο μοχλοβραχίονας και η χειρολαβή έχουν αμελητέα βάρη. [Απ : 0Ν * 0,4kg m * 5rad/sec] Από το βιβλίο : 4.63 Ερωτήσεις Β 37. Ένα στερεό σώμα το οποίο αρχικά είναι ακίνητο : α. εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση όταν ΣF 0 και Στ 0 β. εκτελεί μόνο στροφική κίνηση όταν ΣF 0 και Στ 0 γ. εκτελεί και στροφική και μεταφορική κίνηση όταν ΣF 0 και Στ 0 δ. παραμένει ακίνητο όταν ΣF 0 και Στ 0 Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστή; 38. Ένα στερεό σώμα αρχικά κάνει μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ 0. Στη συνέχεια το σώμα θα εκτελέσει : α. μεταφορική και στροφική κίνηση όταν ΣF 0 και Στ 0 β. μόνο στροφική κίνηση όταν ΣF 0 και Στ 0 γ. μόνο μεταφορική κίνηση όταν ΣF 0 και Στ 0 36

37 δ. σύνθετη κίνηση που αποτελείται από μια στροφική με α 0 a 0 όταν ΣF 0 και Στ σταθερ ό και από μια μεταφορική με Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές; Από το βιβλίο : Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας αφήνεται από ύψος h να κυλήσει χωρίς ολίσθηση κατά μήκος πλάγιου επίπεδου γωνίας φ. Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας του T N () + κυλίνδρου, τη στιγμή που φτάνει στη βάση του πλάγιου επιπέδου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του Ι = M h mgσυνφ mgημφ φ υ C Λύση Ισχύουν: ΣFx mαcm Mgημφ T Mαcm () Στ Iα T M α () α α cm (3) () (3) α cm Mgημφ Mα Mα cm gημφ αcm gημφ (4) 3 αcm αcm gημφ αcm 3 α cm gημφ όμως S αcmt Vcm Vcm αcmt αcm S (5) ημφ = h S h S (6) ημφ (4), (5), (6) V cm gημφ 3 h ημφ V cm 4 gh 3 Παρατήρηση: Η λύση της άσκησης γίνεται με χρήση της ενεργειακής μεθόδου πιο εύκολα βλέπε παράδειγμα 4.3 σχολικού βιβλίου. Από το βιβλίο : 4.6, 4.67,

38 3. Αφήνουμε έναν συμπαγή και έναν κούφιο κύλινδρο, ίδιας μάζας και ίδιας ακτίνας στη κορυφή κεκλιμένου επιπέδου. Αν τα δύο σώματα κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν, να βρείτε ποιο θα φτάσει πρώτο στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. [Απ: ο συμπαγής κύλινδρος] 33. Ο κύλινδρος του σχήματος μάζας m = 4Kg και ακτίνας = 0,m ανεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 ο χωρίς να ολισθαίνει, με την επίδραση της σταθερής F Ν δύναμης F. Αν ο άξονας του κυλίνδρου κινείται με επιτάχυνση α cm = 4m/sec, να βρείτε: Wημφ α. την F β. τη στατική τριβή Τ και γ. τη γωνιακή επιτάχυνση α του κυλίνδρου. Δίνονται I cm = Wσυνφ m, g = 0m / sec φ [Απ: 44Ν * 8Ν * 0rad/sec ] 34. Ο κύλινδρος του σχήματος μάζας m = Kg κυλίεται χωρίς να Ν ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 ο. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης που δέχεται ο κύλινδρος από το επίπεδο. Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του I cm = m και g = 0m / sec [Απ: 0 3 7N ] Τ Wσυνφ Κ W φ Wημφ 35. Σε ομογενή σφαίρα με μάζα m = 0Kgr και ακτίνα Ν = 0,4m ασκείται οριζόντια δύναμη F = 50N. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στη σφαίρα και το οριζόντιο επίπεδο είναι 0,5 να προσδιοριστεί το ύψος h για το οποίο η σφαίρα ολισθαίνει, χωρίς να κυλίεται και η επιτάχυνση της. Δίνεται g=0m/sec T F h [Απ: h = 0,m, * α cm =,5m/sec ] W 38

39 36. Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα m = 4Kgr και ακτίνα = 0,m και ασκείται δύναμη F = N σε απόσταση r = 00,4m από το κέντρο Κ. Να υπολογίσετε: α. τη μεταφορική επιτάχυνση α cm στην περίπτωση που ο κύλινδρος κυλά χωρίς να γλιστρά και β. τη στατική τριβή. Δίνεται: I x = m r Κ [Απ:,4m/sec *,4N] F 39

40 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Διαβάζουμε από το βιβλίο 4.7 και 4.8 Ερωτήσεις Θεωρίας 9. Τι ονομάζουμε στροφορμή υλικού σημείου; 0. Τι είναι η στροφορμή σώματος και με τι ισούται;. Τι ονομάζουμε στροφορμή συστήματος σώματος;. Ποια είναι η γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης; Ισχύει και σε συστήματα σωμάτων; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 3. Διατυπώστε το νόμο διατήρησης στροφορμής σε ένα σώμα. 4. Διατυπώστε το νόμο διατήρησης στροφορμής σε σύστημα σωμάτων. 5. Πως μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ μπορεί να αυξήσει την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της; 6. Πως οι ακροβάτες καταφέρνουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα; 7. Πως εξηγείται η μεγάλη ταχύτητα περιστροφής των αστέρων νετρονίων ή pulsars. Ερωτήσεις Β 39. Ένα υλικό σημείο μάζας m, το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, έχει στροφορμή μηδέν ως προς σημείο Σ του χώρου. Αυτό σημαίνει ότι το υλικό σημείο κινείται : α. κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής η οποία περνά από το σημείο Σ β. σε κυκλική τροχιά γύρω από το σημείο Σ Ποια είναι η σωστή απάντηση; 40. Η λεπτή στεφάνη του σχήματος, μάζας m και ακτίνας, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο Κ της στεφάνης έχει σταθερή ταχύτητα υ Κ. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Το διάνυσμα της στροφορμής έχει τη διεύθυνση της υ Κ Κ υ Κ β. Το μέτρο της στροφορμής είναι L = m υ Κ γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των εξωτερικών ροπών είναι διάφορο του Α μηδενός. 40

41 4. Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της με περίοδο Τ = 4h. Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Το αλγεβρικό άθροισμα των εξωτερικών ροών που ασκούνται στη Γη είναι διάφορο του μηδενός. β. Η στροφορμή της Γης είναι κάθετη στον άξονα περιστροφής της. γ. Αν η Γη, για κάποιον λόγο, συστελλόταν, θα είχαμε μεταβολή της περιόδου της, διότι μεταβάλλεται η στροφορμή της. δ. Αν η Γη διαστελλόταν, ο χρόνος μιας περιστροφής θα αυξανόταν. 4. Όταν αφήνουμε μια σφαίρα να πέσει ελεύθερα από ύψος h και τη στιγμή που την αφήνουμε στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0, τότε : α. εφόσον αυξάνεται η ταχύτητα του κέντρου μάζας της, θα αυξάνεται και η γωνιακή της ταχύτητα β. το βάρος της είναι υπεύθυνο για τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας του κέντρου μάζας της, αλλά δεν μεταβάλλει το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας γ. εφόσον αυξάνεται η ταχύτητα του κέντρου μάζας της θα μεταβάλλεται η στροφορμή της δ. ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της είναι σταθερός και ίσος με το βάρος της Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστή; 43. Ενας τεχνητός δορυφόρος, σημειακής μάζας κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη, με τη Γη στη θέση της μιας κύριας εστίας. Όταν ο δορυφόρος περνά από τη θέση Α, το μέτρο της γραμμικής του ταχύτητας είναι υ, ενώ όταν περνά από τη θέση Β, η γραμμική του ταχύτητα έχει μέτρο : Α r α. υ/4 β. υ/ γ. υ δ. υ ε. 4υ Ποια είναι η σωστή απάντηση; r Β 44. Σε άλμα κατάδυσης ο αθλητής μαζεύει τα πόδια του στο στήθος του καθώς περιστρέφεται στον αέρα, οπότε : α. η ροπή αδράνειας του αθλητή ελαττώνεται β. η στροφορμή του αθλητή αυξάνεται γ. ο αθλητής περιστρέφεται πιο γρήγορα Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές; 4

42 45. Μια μικρή σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν, τραβώντας το σχοινί, μειώσουμε την ακτίνα περιστροφής στο μισό, τότε η συχνότητας περιστροφής της σφαίρας : α. παραμένει ίδια β. διπλασιάζεται γ. υποδιπλασιάζεται δ. τετραπλασιάζεται υ Σ F z 46. Δίσκος παιδικής χαράς, μάζας m και ακτίνας, περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω περί κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του δίσκου Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Στο δίσκο δεν ασκείται καμία εξωτερική δύναμη. Ένα παιδί μάζας m, μετακινείται από το Ο σημείο Α της περιφέρειας του δίσκου προς τον άξονα περιστροφής. Ποιο θα είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του δίσκου, όταν το παιδί ω φτάνει σε απόσταση / από τον άξονα περιστροφής; z Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I( O) m. Να θεωρηθεί ότι το παιδί έχει αμελητέες διαστάσεις. [Εξετάσεις Ενιαίου Λυκείου 00] A Από το βιβλίο : 4., 4., 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 4

43 Ασκήσεις - Προβλήματα 37. Μια πόρτα πλάτους m = L και μάζας M = 5 Kgr έχει πλευρική ανάρτηση και μπορεί να περιστρέφεται κατακόρυφα χωρίς τριβή. Η πόρτα είναι κλειστή αλλά ξεκλείδωτη ένας αστυνομικός σημαδεύει οριζόντια. Το κέντρο ακριβώς της πόρτας και πυροβολεί με μια σφαίρα μάζας m = 0gr και ταχύτητα u = 400m/sec. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της πόρτας, αμέσως μετά την κρούση, η l = 0,5m u m=l ML κρούση είναι πλαστική. ( Iπορ ) 3 Πριν Μετά ω Λύση Θεωρούμε το σύστημα πόρτα σφαίρα. Δεν υπάρχει εξωτερική ροπή ως προς τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής, επομένως η στροφορμή γύρω απ αυτόν τον άξονα αρχική στροφορμή της σφαίρας είναι L π = mur = 0, ,5 = Kg. m / sec Η τιμή αυτή ισούται με την τελική L M = I. ω όπου Ι = Ι πορ + Ι σφ = ML 3 5 ml 3 Η διατήρηση στροφορμής απαιτεί: L π = L M = 5,005. ω ω = 0,399 0, 4 0,0(0,5) = 5 + 0,005 = 5,005 Kgm rad/sec διατηρείται. Η 38. Ένας τροχός και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και ακτίνα. Τα δύο σώματα μπορούν να περιστρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα κάθετο στο κέντρο τους. Ασκούμε εφαπτομενικά στην περιφέρεια καθενός την ίδια δύναμη F επί τον ίδιο χρόνο. Ο δίσκος ή ο τροχός θα αποκτήσει μεγαλύτερη στροφορμή; Δίνονται: I τρ = m., I δισ = m F Λύση Στα δύο σώματα ασκείται ίδια ροπή τ = F. Σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης έχω για κάθε σώμα: τ Iτ ατ I τατ Iδ αδ m ατ m αδ αδ ατ τ Iδ αδ F 43

44 Τα δύο σώματα εκτελούν ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση ωδ αδ t ωδ ωτ ατ t ωτ αδ ατ ωδ ω τ Άρα L τ = Ι. τ ω τ = m ω τ L δ = Ι. δ ω δ = m ωδ m ω τ Lτ Δηλαδή L τ = L δ Παρατήρηση: τ dl dt τ dt dl τdt L τ L A τdt = Lτ Αφού τα δύο σώματα δέχτηκαν την ίδια ροπή (τ) για τον ίδιο χρονικό διάστημα ( dt) θα έχουν και ίδια στροφορμή 39. Ο τροχός του σχήματος έχει ροπή αδράνειας ως προς το Κ Ι Κ = 0,Kgm και περιστρέφεται αρχικά με γωνιακή ω = 0 rαd/sec. Αρχικά ο τροχός είναι κατακόρυφος. Στην συνέχεια φέρνουμε τον τροχό σε οριζόντια θέση χωρίς να αλλάξει η γωνιακή του ταχύτητα. Να υπολογίσετε: α. την μεταβολή της στροφορμής ΔL L L L K β. Την συνισταμένη ροπή Στ στρίψει ο τροχός. αν χρειάστηκε Δt =, sec για να K [Απ: 4 Kgm /sec * τ ολ 40 N m ] 40. Ο τροχός του σχήματος μάζας m = Kgr και ακτίνας = 0, m στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του Κ. Γύρω από τον τροχό είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή δύναμη F = N. Να βρείτε: α. τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του δίσκου β. τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου γ. τη στροφορμή του δίσκου τη στιγμή t = 3sec, αν την στιγμή t 0 = 0 που αρχίζει να ασκείται στο δίσκο η F η γωνιακή ταχύτητα του έχει μέτρο ω 0 = 0 rad/sec και ο δίσκος περιστρέφεται αριστερόστροφα δ. τις στροφές που έκανε ο δίσκος στο χρονικό διάστημα Δt = t t 0. Δίνεται : Iκ m Από το βιβλίο: 4.47, 4.48, 4.49, 4.60, 4.65, 4.7. [Aπ: 0,4Kgm /sec * 0rad/sec *,4 Kgm /s * π 60 στροφές] F L 44

45 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Διαβάζουμε τις 4.9 και 4.0 Ερωτήσεις θεωρίας 8. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια που έχει ένα σώμα που εκτελεί μόνο περιστροφική κίνηση. 9. Αν σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση ποια σχέση δίνει την κινητική του ενέργεια; 30. Πως υπολογίζεται το έργο μιας δύναμης καθώς ένα σώμα στρέφεται; Ποια σχέση δίνει το (w) έργο όταν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή; 3. Ποια σχέση δίνει την ισχύ της δύναμης και πως προκύπτει; 3. Πως διατυπώνεται το θεώρημα έργου ενέργειας και ποια είναι η μαθηματική διατύπωσή του; Ερωτήσεις Β 47. Δύο σιδερένιες ομογενείς σφαίρες Α και Β, της ίδιας μάζας και της ίδιας ακτίνας, περιστρέφονται με την ίδια συχνότητα γύρω από άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους. Η σφαίρα Α περιστρέφεται δεξιόστροφα, ενώ η σφαίρα Β αριστερόστροφα. Οι δύο σφαίρες έχουν : α. την ίδια γωνιακή ταχύτητα β. την ίδια στροφορμή γ. διαφορετικές κινητικές ενέργειες δ. την ίδια ροπή αδράνειας A B 48. Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας του, ως προς τον οποίο η ροπή αδράνειας του σώματος είναι Ι και η στροφορμή του έχει μέτρο L. Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με : α. LI β. L I γ. L δ. I LI 45

46 49. Για δύο στερεά σώματα Α και Β που περιστρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες οι ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες αυτούς συνδέονται με τη σχέση Ι γωνιακές ταχύτητες περιστροφής τους με τη σχέση ω κινητικές ενέργειες των δύο στερεών, λόγω στροφικής κίνησης, είναι : α. K β. K K γ. K = Ι / και οι = ω. Η σχέση που συνδέει τις K K δ. K 4 K 50. Όταν ένας χορευτής του καλλιτεχνικού πατινάζ, ο οποίος περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του, φέρνει τα χέρια του από την έκταση κοντά στο σώμα του, τότε : α. η ροπή αδράνειάς του αυξάνεται β. η περίοδος περιστροφής του αυξάνεται γ. η κινητική του ενέργεια λόγω περιστροφής αυξάνεται δ. η στροφορμή του αυξάνεται 5. Ένα στερεό σώμα στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Αν η συνισταμένη ροπή που ασκείται στο σώμα ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι σταθερή, τότε : α. η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν β. η κινητική ενέργεια του σώματος είναι σταθερή γ. η ισχύς της ροπής που ασκείται στο σώμα είναι σταθερή δ. η στροφορμή του σώματος μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο. 5. Σε ένα στερεό σώμα που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ασκείται σταθερή ροπή. Το έργο της ροπής είναι ίσο με τη μεταβολή : α. της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του σώματος β. της στροφορμής του σώματος γ. της περιστροφικής κινητικής ενέργειας του σώματος δ. της ορμής του σώματος 53. Ένα στερεό σώμα στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ως προς τον οποίο έχει ροπή αδράνειας Ι. Με την επίδραση κατάλληλης ροπής, η γωνιακή ταχύτητα του σώματος μεταβάλλεται από ω σε - ω. το έργο της ροπής είναι : α. W = 0 β. W = Iω γ. W = -I ω Ιω δ. W = 54. Ομογενής σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα κάτω, πάνω σε πλάγιο επίπεδο. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με το γράμμα Σ, αν είναι σωστές και με το γράμμα Λ, αν είναι λανθασμένες. α. Η κύλιση της σφαίρας προϋποθέτει την ύπαρξη στατικής τριβής. β. Η στροφορμή της σφαίρας παραμένει σταθερή γ. Η μηχανική ενέργεια της σφαίρας παραμένει σταθερή. δ. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας, λόγω περιστροφικής κίνησης, παραμένει σταθερή. 46