ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΜΜΥ

Transcript

1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΜΜΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΥΠΕΡΗΧΩΝ Ονομα Φοιτήτριας: ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΟΥΖΟΥΝΟΓΛΟΥ Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου Επιβλέπουσα καθηγήτρια:κ.κ.νικήτα Αθήνα 5

2 . Εισαγωγή στην Χρήση Υπερήχων Κεφάλαιο ο Εισαγωγή Η ιστορία της απεικόνισης με χρήση υπερήχων στην ιατρική διάγνωση ξεκινάει το 95. Τα πρώτα συστήματα υιοθετήθηκαν από τα συστήματα SONAR, τα οποία

3 3 είχαν αναπτυχθεί μια δεκαετία πριν. Από τότε η εξέλιξη στο πεδίο αυτό ήταν ταχύτατη. Τα πρώτα συστήματα ήταν Α-mode μιας γραμμής τα οποία απεικόνιζαν την ηχώ σε μία διάσταση σαν συνάρτηση της καθυστέρησης ενώ σήμερα μπορούμε να λάβουμε ανατομικές εικόνες και εικόνες της ροής του αίματος σε πραγματικό χρόνο με μεγάλη ακρίβεια. Στις μέρες μας οι διαγνωστικοί υπέρηχοι χρησιμοποιούνται σε περισσότερες από το 5% όλων των ιατρικών περιστατικών που απαιτείται να χρησιμοποιηθεί κάποια απεικονιστική μέθοδος. Σημειώνεται ότι οι υπέρηχοι χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλες τις ιατρικές ειδικότητες, με μεγαλύτερη επιτυχία στην γυναικολογία και την καρδιολογία. Η μεγάλη επιτυχία των ιατρικών υπερήχων στηρίζεται στο χαμηλό κόστος, την ασφάλεια, την εύκολη μεταφορά του υπερηχητικού μηχανήματος, την μεγάλη ταχύτητα επεξεργασίας και την ικανότητα να παρέχει πληροφορίες για την ροή του αίματος σε πραγματικό χρόνο.[],[] Όπως θα περιγράψουμε αναλυτικά παρακάτω τα βασικά βήματα για την λήψη και επεξεργασία μιας υπερηχητικής εικόνας είναι τα εξής: Μετάδοση του υπερηχητικού κύματος : Οι υπέρηχοι δημιουργούνται όταν ένα ηλεκτρικό σήμα εφαρμόζεται σε έναν υπερηχητικό ηχοβολέα που κατασκευάζεται από πιεζοηλεκτρικούς κρυστάλλους που μετατρέπουν την ηλεκτρική ενέργεια σε ακουστική και το αντίστροφο. Μέχρι πρόσφατα οι σαρωτές χρησιμοποιούσαν απλά αναλογικά κυκλώματα για να δημιουργήσουν πολύ μικρές κορυφές για την διέγερση των ηχοβολέων. Όμως σήμερα με την εξέλιξη στον τομέα της κωδικοποιημένης διέγερσης και με την χρήση της αρμονικής απεικόνισης όπου χρησιμοποιείται αντιστροφή παλμού, οι κατασκευαστές των υπερηχητικών συστημάτων έχουν αναπτύξει μετατροπείς που μπορούν να παράγουν μονοπολικές και διπολικές κυματομορφές. Σήμερα παρουσιάζονται ακόμα και ψηφιακοί πομποί που μπορούν να παράγουν αυθαίρετες κυματομορφές και ακολουθούνται από ψηφιακούς σε αναλογικούς μετατροπείς και γραμμικούς ενισχυτές. Λήψη της απόκρισης από τους ιστούς : Όταν ο κρύσταλλος του ηχοβολέα διεγερθεί με ένα ηλεκτρικό σήμα στην συχνότητα συντονισμού του κρυστάλλου, αρχίζει να πάλλεται και δημιουργεί μεταβολές της πίεσης με αποτέλεσμα να διαδίδονται ηχητικά κύματα στον ιστό. Οι μικρές μεταβολές στην πυκνότητα του μέσου και στην ταχύτητα του ήχου προκαλούν ανάκλαση και σκέδαση των κυμάτων. Στα υπερηχητικά συστήματα η εικόνα δημιουργείται από την ηχώ που λαμβάνεται από τον ίδιο ηχοβολέα που στέλνει τα κύματα. Η ηχώ αυτή είναι το οπισθοσκεδαζόμενο σήμα. Το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας γίνεται θερμότητα ή σκεδάζεται σε διαφορετικές κατευθύνσεις, και μόνο ένα μικρό ποσοστό της εκπεμπόμενης ενέργειας επιστρέφει, παρέχοντας πληροφορίες για τις δομές κατά μήκος της περιοχής διαδοσής του. Η ηχώ που λαμβάνεται μετατρέπεται σε ηλεκτρικό σήμα από τον ηχοβολέα ενώ το πλάτος είναι μέτρο της ανακλαστικότητας και της ικανότητας σκέδασης των ιστών. Το σήμα της τάσης είναι συνάρτηση του χρόνου, η οποία μπορεί να μετατραπεί σε συνάρτηση του βάθους, θεωρώντας σταθερή την ταχύτητα του ήχου κατά μήκος της διεύθυνσης διάδοσης. Η ταχύτητα του ήχου μεταβάλλεται ελάχιστα στους ιστούς και κυμαίνεται από 446 m/s (στο λίπος) ενώς 566 m/s (ήπαρ, νεφρά και σπλήνα). Η τιμή που θεωρούν για την ταχύτητα του ήχου οι σαρωτές είναι 54m/s. Έλεγχος κέρδους από τον χρόνο εκπομπής (Time Gai Cotol) : Το λαμβανόμενο σήμα αρχικά ενισχύεται. Χρησιμοποιείται η TGC έτσι ώστε να

4 4 αντισταθμιστεί η μεγάλη απώλεια ενέργειας λόγω της εξασθένισης των υπερηχητικών κυμάτων καθώς διαδίδονται μέσα στους ιστούς. Η εξασθένιση στους ιστούς είναι της τάξη του db/[cmmhz], το οποίο δηλώνει εκθετική ελλάτωση της ισχύος του σήματος και με τη συχνότητα και με το βάθος. Για ένα υπερηχητικό κύμα των 4 MHz που μετρήθηκε σε βάθος cm, η εξασθένιση θα είναι 8dB. Εύρεση περιβάλλουσας: Τα σήματα που λαμβάνονται είναι ραδιοσήματα περιορισμένα στο εύρος ζώνης του ηχοβολέα. Εφόσον δημιουργούνται από διαφορές των ακουστικών ιδιοτήτων των ιστών έχουν μηδενική μέση τιμή. Η περιβάλλουσα ενός τέτοιου σήματος υπολογίζεται ιδανικά από το πλάτος του μιγαδικού μετασχηματισμού Hilbet του σήματος. Τα πρώτα συστήματα χρησιμοποιούσαν έναν απλό ανορθωτή ενώ τα νεότερα συστήματα χρησιμοποιούν συνήθως έναν ανιχνευτή περιβάλλουσας που χρησιμοποιεί τον μετασχηματισμό Hilbet. Λογαριθμική συμπίεση: Εφόσον το δυναμικό εύρος των λαμβανόμενων αποκρίσεων είναι πολύ μεγάλο, εφαρμόζουμε λογαριθμική συμπίεση για να μπορέσουμε να απεικονίσουμε τα δεδομένα. Τα σήματα που λαμβάνουμε από το αίμα μπορεί να είναι από εώς 4 db ( εώς φορές) ασθενέστερα από αυτά που λαμβάνονται από τον περιβάλλοντα ιστό. Σε μία συνηθισμένη απεικόνιση οι εικόνες έχουν δυναμικό εύρος της τάξης των 6dB. Ακόμα και μετά την λογαριθμική συμπίεση τα πιο ασθενή σήματα μπορούν να επικαλυφθούν από ισχυρότερα σήματα, όπως αυτά που λαμβάνουμε από το διάφραγμα ή σύνορα των ιστών που είναι κάθετα στην ακτίνα εκπομπής. Σε αυτή την περίπτωση, ο γιατρός μπορεί να αυξήσει το κέρδος του σαρωτή, έτσι ώστε σήματα που προέρχονται από τόσο ισχυρούς σκεδαστές να κορεστούν και να είναι δυνατή η λήψη των ασθενέστερων σημάτων. Στην συνέχεια θα αναφερθούμε στους διάφορους τρόπους απεικόνισης ( display modes) που έχουν αναπτυχθεί. Αρχικά η απεικόνιση της επεξεργασμένης πληροφορίας γινόταν ως συνάρτηση του βάθους. Αυτός ο μονοδιάστατος τρόπος απεικόνισης είναι γνωστός ως Α-mode, όπου το Α αναφέρεται στο πλάτος. Οι σύγχρονοι σαρωτές συνήθως ακόμα περιλαμβάνουν επιλογή απεικόνισης Α-mode, που χρησιμοποιείται σαν εργαλείο για την μέτρηση της απόστασης και έχει σημαντική εφαρμογή σε μετρήσεις του μεγέθους της καρδιάς. Αν αποκτηθούν αρκετές Α-γραμμές από την ίδια διεύθυνση και αν απεικονιστούν σε μία στήλη δίπλα η μία με την άλλη, δίνεται πληροφορία για την κίνηση. Ο τρόπος αυτός απεικόνισης λέγεται M-mode. Σε αυτόν τον τρόπο απεικόνισης ο οριζόντιος x- άξονας αντιστοιχεί στον χρόνο και ο κάθετος y-άξονας στο βάθος. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιήθηκε εκτεταμένα τα πρώτα χρόνια των ιατρικών υπερήχων στην καρδιολογία ενώ συνεχίζει να χρησιμοποιείται στην διάγνωση ασθενειών των βαλβίδων της καρδιάς. Τα υπερηχητικά συστήματα σήμερα παρέχουν δισδιάστατη απεικόνιση της περιοχής ενδιαφέροντος του ιστού. Αυτό γίνεται στέλνοντας εστιασμένα σήματα διαδοχικά σε διαφορετικές περιοχές και αποκτώντας πολλές Α-γραμμές που καλύπτουν όλη την περιοχή ενδιαφέροντος. Αυτές οι γραμμές στην συνέχεια ενώνονται για να δημιουργήσουν μια εικόνα. Δεδομένα που δεν υπάρχουν ανάμεσα σε διαδοχικές Α-γραμμές δημιουργούνται με παρεμβολή. Τα τελικά δεδομένα στην συνέχεια μετατρέπονται σε ορθογώνιες συνιστώσες ( μετατροπή σάρωσης) και απεικονίζονται. Αυτός ο τρόπος απεικόνισης αναφέρεται ως Β-mode και είναι ο βασικός τρόπος απεικόνισης των ανατομικών εικόνων.

5 5 Σχήμα : Βασικά διαγράμματα απεικόνισης B-mode σε πραγματικό χρόνο Μια εικόνα υπερήχων χαρακτηρίζεται από την αξονική (axial) και εγκάρσια(lateal) διακριτική ικανότητα. Στην συνέχεια θα αναφερθούμε από τι εξαρτώνται γενικά αυτές οι παράμετροι. Η αξονική διακριτική ικανότητα καθορίζει την ικανότητα διαχωρισμού δύο στόχων ευθυγραμμισμένων κατά την αξονική διεύθυνση ( τη διεύθυνση της διάδοσης του ηχητικού παλμού).h αξονική διακριτική ικανότητα εξαρτάται από την διάρκεια του ακουστικού σήματος που δημιουργείται σε κάθε στοιχείο, η οποία με την σειρά της εξαρτάται από την κεντρική συχνότητα και το εύρος ζώνης του ηχοβολέα. Ηχοβολείς με μεγάλο εύρος ζώνης που λειτουργούν σε υψηλές συχνότητες παράγουν ακουστικούς παλμούς με καλή αξονική ευαισθησία Έπειτα θα αναφερθούμε στην εγκάρσια (γωνιακή) διακριτική ικανότητα, η οποία καθορίζει την ικανότητα διαχωρισμού δύο στόχων ευθυγραμμισμένων κατά την αζιμουθιακή διεύθυνση και εξαρτάται από το εύρος της ηχητικής δέσμης στο συγκεκριμένο βάθος. Γενικά το πλευρικό πεδίο μιας εστιασμένης ακτίνας αποτελείται από έναν κύριο λοβό και πιο μικρούς πλευρικούς λοβούς γύρω από τον κύριο λοβό. Το πλάτος του κύριου λοβού καθορίζει την εγκάρσια διακριτική ικανότητα. Μία ακτίνα με στενό κύριο λοβό αντιστοιχεί σε καλύτερη εγκάρσια διακριτική ικανότητα. Ο σκοπός του διαμορφωτή δέσμης είναι η απόκτηση καλής εγκάρσιας διακριτικής ικανότητας για μια μεγάλη αξονική απόσταση γύρω από το εστιακό σημείο. Σε ποσοτικά δεδομένα, η εγκάρσια διακριτική ικανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη από το μέγεθος του παραθύρου( apetue size) εφόσον ένα μεγαλύτερο παράθυρο μπορεί να παρέχει περισσότερα εστιακά πεδία. Πιο συγκεκριμένα, είναι ανάλογη με μία πρώτης τάξης προσέγγιση του f-αριθμού, που είναι ο λόγος μεταξύ της αξονικής εστιακής απόστασης και του μεγέθους του παραθύρου. Συνεπώς, τα ακουστικά πεδία μπορούν να εστιαστούν πιο έντονα κοντά στον ηχοβολέα. Παρόλα

6 6 αυτά, το βάθος εστίασης είναι προσεγγιστικά ανάλογο του τετραγώνου του f- αριθμού, δηλαδή η εστίαση έχει μεγάλη αξονική συνιστώσα μακριά από τον ηχοβολέα. Για να αποκτηθεί μια υπερηχητική εικόνα με επιθυμητά χαρακτηριστικά εστίασης ένας διαμορφωτής δέσμης μπορεί να διατηρεί σταθερό τον f-αριθμό, ανανεώνοντας συνεχώς τις καθυστερήσεις και επανεστιάζοντας την δέσμη για κάθε βάθος με σχεδόν σταθερή εγκάρσια διακριτική ικανότητα και βάθος εστίασης. Η εγκάρσια διακριτική ικανότητα είναι επίσης αντιστρόφως ανάλογη με την συχνότητα εκπομπής. Οπότε, αν χρησιμοποιήσουμε υψηλότερες συχνότητες βελτιώνεται η εγκάρσια διακριτική ικανότητα, αλλά μειώνεται το βάθος διείσδυσης λόγω εξασθένισης. Οι πλευρικοί λοβοί του πεδίου υποβιβάζουν την ποιότητα της εικόνας «καλύπτοντας» πιο ασθενείς σκεδαστές που υπάρχουν στην εγκάρσια περιοχή σκέδασης ενός έντονου σκεδαστή. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να ξεπεραστεί με εξομάλυνση του πλάτους του σήματος κατά μήκος του παραθύρου, που μπορεί επίσης η εξομάλυνση να εξαρτάται και από το βάθος (dyamic apodizatio). Σχήμα : Σχήμα του ακουστικού πεδίου εστιασμένο σε συγκεκριμένο βάθος Για τυπικές τιμές εύρους ζώνης ηχοβολέα, η αξονική διακριτική ικανότητα είναι της τάξης από ένα έως τρία μήκη κύματος. Στην συγκεκριμένη περίπτωση που ο ηχοβολέα είναι των 4MHz και αν θεωρήσουμε την ταχύτητα του ήχου σταθερή και ίση με 54 m/s, το μήκος κύματος είναι.385 mm και η αξονική διακριτική ικανότητα κυμαίνεται μεταξύ.385mm και.55 mm. Όσον αφορά στην εγκάρσια συνιστώσα, η διακριτική ικανότητα είναι προσεγγιστικά ίση με το μήκος κύματος πολλαπλασιασμένο με τον f-umbe. Χρησιμοποιώντας έναν διαμορφωτή δέσμης που διατηρεί έναν f-αριθμό μεταξύ 3 και 5, η εγκάρσια διακριτική ικανότητα είναι από 3λ έως 5λ, δηλαδή στην περίπτωσή μας από.55mm έως.95mm Συνεπώς η εγκάρσια διακριτική ικανότητα είναι τυπικά χειρότερη από την αξονική διακριτική ικανότητα και αυτό φαίνεται στις υπερηχητικές εικόνες. Ο χρόνος που χρειάζεται για την διάδοση σε κάθε γραμμή μιας υπερηχητικής εικόνας είναι t=z/c, όπου z είναι το βάθος απεικόνισης και c η ταχύτητα του ήχου. Στην περίπτωσή μας είναι z=9cm και c=54 m/s, οπότε βρίσκουμε ότι t=.sec.

7 7 Αυτό αντιστοιχεί σε συχνότητα επανάληψης παλμού (PRF) των ΚHz. Συνήθως, υπάρχει κάποιο χρονικό περιθώριο ανάμεσα στην άφιξη της ηχώς και την εκπομπή ενός νέου παλμού, έτσι ώστε να εξασφαλιστεί ότι έχουν εξασθενίσει οι αποκρίσεις από πολλαπλούς σκεδαστές και οι αντανακλάσεις από τους ιστούς. Βλέποντας τις εικόνες βλέπουμε ότι έχουν μια κοκκώδη υφή. Αυτό είναι χαρακτηριστικό των υπερηχητικών εικόνων. Οι ομοιογενείς ιστοί δεν έχουν ένα σταθερό επίπεδο του γκρι, όπως κάποιος πιθανώς θα περίμενε. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι δομές που απεικονίζονται είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος του υπερηχητικού μήκους κύματος, δηλαδή δεν ανήκουν στο πεδίο της διακριτικής ικανότητας του συστήματος. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται speckle. Η μέση τιμή του speckle είναι μηδέν και το πλάτος του ακολουθεί Γκαουσιανή κατανομή, αν η διάταξη των σκεδαστών είναι τυχαία. Ο θόρυβος speckle δεν είναι στοχαστικός, όπως ο θερμικός θόρυβος και συνεπώς δεν μπορεί να μειωθεί με χρήση της μέσης τιμής.. Αναφορά στον Υπερηχογράφο των Πειραμάτων της Εργασίας [3] Για την λήψη των υπερηχητικών εικόνων χρησιμοποιήθηκε ο υπερηχογράφος GEVoluso 73 της Geeal Electic Medical Systems, ο οποίος είναι ειδικά τροποποιημένος για ερευνητικούς σκοπούς και έχουμε πλήρη προσπελασιμότητα στις εσωτερικές λειτουργίες του. Ο υπερηχογράφος φαίνεται στο Σχήμα 3.

8 8 Σχήμα 3: Υπερηχογράφος GEVoluso 73 Οι λειτουργίες του υπερηχογράφου περιλαμβάνουν: D ρυθμός λειτουργίας (Β mode) Πρόσθετοι τρόποι λειτουργίας ( Β flow-μέτρηση της ροής του αίματος) Μ ρυθμός λειτουργίας (M mode) Φασματοσκοπία Dopple ( Παλμικού και Συνεχούς Κύματος) Έγχρωμο Dopple 3D απεικόνιση ιστών 4D απεικόνιση ιστών σε πραγματικό χρόνο Ανάλογα με τον ηχοβολέα που θα χρησιμοποιηθεί ο συγκεκριμένος υπερηχογράφος είναι κατάλληλος για τις παρακάτω περιπτώσεις: Γυναικολογία Ουρολογία Ορθοπεδική Νευρολογία Καρδιολογία Ογκολογία Παρακάτω βλέπουμε μια πιο λεπτομερή εικόνα του υπερηχογράφου:

9 9 Σχήμα 4: Λεπτομερή εικόνα του υπερηχογράφου. Στην ουσία αποτελείται από έναν προσωπικό υπολογιστή εξοπλισμένο με το κατάλληλο υλικό και λογισμικό για την λειτουργία του υπερηχογράφου. Σημειώνουμε ότι η λειτουργία του υπερηχογράφου στηρίζεται σε έναν προσωπικό υπολογιστή, ο οποίος είναι εξοπλισμένος με τα κατάλληλα προγράμματα αλλά και υλικό για την λειτουργία του υπερηχογράφου. Το περιβάλλον που δουλεύουμε είναι τα Widows. Βάση του περιβάλλοντος αυτού λειτουργεί ένα πρόγραμμα, ειδικά διαμορφωμένο από την κατασκευαστική εταιρία, για την λήψη των υπερήχων. Στην περίπτωσή μας μπορούμε να έχουμε πλήρη προσπελασιμότητα στο περιβάλλον των widows, εφόσον το μηχάνημα είναι ειδικά τροποποιημένο για ερευνητικούς σκοπούς. Όμως στην περίπτωση της πραγματικής χρήσης του μηχανήματος από γιατρούς, δεν μπορούν να επέμβουν στην λειτουργία του, αλλά μόνο να λάβουνε εικόνες και να τις αποθηκεύσουνε. Στην συνέχεια θα αναφερθούμε στον ηχοβολέα του συστήματος. Οι ηχοβολείς που χρησιμοποιούνται στην απεικόνιση με υπερήχους είναι πιεζοηλεκτρικοί κρύσταλλοι, δηλαδή μετατρέπουν ένα ηλεκτρικό σήμα σε ταλαντώσεις πίεσης στην επιφάνεια του κρυστάλλου. Ο ίδιος κρύσταλλος χρησιμοποιείται και ως δέκτης, μετατρέποντας την μηχανική ενέργεια ( την ακουστική ηχό από το μέσο) σε ηλεκτρική ενέργεια.

10 O ηχοβολέας που χρησιμοποιούμε είναι της GE medical systems και είναι τύπου cuved aay 4. MHz με 9 στοιχεία. H κεντρική του συχνότητα κυμαίνεται από 3.85 έως 4.8 ΜHz. Οι συχνότητες που χρησιμοποιούνται στους ηχοβολείς εξαρτώνται από την εφαρμογή. Μεγαλύτερες συχνότητες παρέχουν καλύτερη ανάλυση, αλλά το βάθος διείσδυσης μειώνεται διότι η εξασθένιση στους ιστούς αυξάνεται με την συχνότητα. Στο Σχήμα 5 βλέπουμε ένα σχηματικό διάγραμμα του ηχοβολέα: Σχήμα 5: Σχηματικό διάγραμμα του ηχοβολέα που χρησιμοποιούμε Για να μειωθεί η διαφορά ανάμεσα στην ακουστική εμπέδηση του ηχοβολέα και του δέρματος, χρησιμοποιείται στρώμα προσαρμογής. Στον συγκεκριμένο ηχοβολέα έχουμε δύο στρώματα προσαρμογής ( Matchig Laye και Matchig Laye ).Το

11 πρώτο έχει πάχος.73 mm και η ταχύτητα του ήχου σε αυτό κυμαίνεται από 3473 έως 38 m/s. Το δεύτερο στρώμα έχει πάχος. mm και η ταχύτητα του ήχου σε αυτό κυμαίνεται από 9 έως 66 m/s.άλλα στοιχεία του ηχοβολέα είναι η ευαισθησία( sesitivity) που είναι από έως 6 db και η διακύμανση της ευαισθησίας που είναι +/-.5 db για τα στοιχεία από 5 έως 88 ενώ για τα στοιχεία έως 4 και 89 έως 9 είναι +/- 3 db. Χρησιμοποιούμε τον ηχοβολέα του συγκεκριμένου σχήματος προκειμένου να πετύχουμε ισχυρότερα εστιασμένα πεδία. Οι επίπεδοι κρύσταλλοι δημιουργούν μια ευθεία ακουστική ακτίνα που φτάνει σε απόσταση λίγο μεγαλύτερη από το μισό του μήκους κύματος, ενώ μετά αρχίζει να αποκλίνει. Η ακτίνα καμπυλότητας του συγκεκριμένου κρυστάλλου είναι 4. +/-.4 mm. Ο συγκεκριμένος ηχοβολέας, επίσης, αποτελείται από 9 στοιχεία και η σάρωση γίνεται ηλεκτρονικά. Επίσης τα στοιχεία είναι διατεταγμένα σε μία καμπυλοειδή περιοχή (cuved aay). Η απόσταση ανάμεσα στα σημεία λέγεται pitch και στην περίπτωση αυτή είναι.3+/-.6 m. Προκειμένου να γίνει η εστίαση σε κάποιο επίπεδο με χρήση αρκετών στοιχείων, υπολογίζονται οι καθυστερήσεις που πρέπει να εφαρμόσουμε στο σήμα κάθε στοιχείου έτσι ώστε να πετύχουμε την μέγιστη εστίαση. Η περιοχή αυτή ονομάζεται παράθυρο του συστήματος ( apetue) και η διαμόρφωση της δέσμης επιτυγχάνεται με επεξεργασία των σημάτων του παραθύρου. Στα σημερινά συστήματα, όπως και στον συγκεκριμένο ηχοβολέα, κάθε κανάλι (στοιχείο) έχει την δική του χρονική καθυστέρηση και εξομάλυνση του πλάτους (apodizatio). Μετά την εκπομπή των σημάτων από τον ηχοβολέα, λειτουργεί ως δέκτης για να λάβει τα σήματα που εκπέμπει η περιοχή ενδιαφέροντος. Η ανακλώμενη ηχώ λαμβάνεται από όλα τα στοιχεία. Όπως και με την λειτουργία εκπομπής, τα λαμβανόμενα σήματα υφίστανται σχετική καθυστέρηση έτσι ώστε να ενισχυθούν τα σήματα από την ίδια κατεύθυνση, και στην συνέχεια προστίθενται. Την εργασία της διαμόρφωσης της φάσης και του πλάτους των διάφορων σημάτων που λαμβάνονται από τα στοιχεία γίνεται από τον διαμορφωτή δέσμης(σχήμα 6) και ένα σχηματικό διάγραμμα της λειτουργίας του παρουσιάζεται στο Σχήμα 7. [4] Σχήμα 6: Διαμορφωτής Δέσμης

12 Σχήμα 7: Σχηματικό διάγραμμα της λειτουργίας του διαμορφωτή δέσμης Υπάρχει η γραμμική περιοχή απεικόνισης ( οπού δηλαδή τα στοιχεία είναι παρατεταγμένα γραμμικά) και η καμπυλοειδής περιοχή απεικόνισης( liea ad cuved aay imagig). Στην συνέχεια βλέπουμε πως γίνεται η απεικόνιση από τα στοιχεία στην περίπτωση του συγκεκριμένου ηχοβολέα που χρησιμοποιούμε. Σχήμα 8: Απεικόνιση με καμπυλωμένα στοιχεία εκπομπής/λήψης

13 Στην περίπτωση της απεικόνισης με χρήση γραμμικής περιοχής μια εστιασμένη ακτίνα προσπίπτει στην περιοχή εξέτασης επιλέγοντας μόνο τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την περιοχή αυτή. Προκειμένου να γίνει εστίαση σε συγκεκριμένο βάθος, οι καθυστερήσεις στα ενεργά στοιχεία πρέπει να υπολογιστούν βάση της γεωμετρικής οπτικής. Η περιοχή των ενεργών στοιχείων λέγεται υποπαράθυρο. Προκειμένου να μετακινηθεί η ακτίνα σε διαφορετική κατεύθυνση πρέπει να χρησιμοποιηθεί διαφορετικό υπο-παράθυρο διαφορετικών στοιχείων. Αυτό γίνεται διαδοχικά μέχρι να σαρωθεί ολόκληρη η περιοχή που καλύπτει το παράθυρο του ηχοβολέα. Προκειμένου να αποκτηθεί μεγαλύτερη περιοχή απεικόνισης χρησιμοποιείται μια καμπυλοειδής περιοχή στοιχείων, όπως βλέπουμε στο Σχήμα 8. Η μέθοδος της εστίασης και της σάρωσης είναι βασικά η ίδια όπως και στην περίπτωση της χρήσης γραμμικής περιοχής απεικόνισης. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνεται μια τομή σάρωσης η οποία μετατρέπεται σε γραμμική πρωτού απεικονιστεί. 3

14 4.3 Εισαγωγή στην Αρμονική Απεικόνιση [5], [6], [7] Η Απεικόνιση με χρήση Αρμονικών αναπτύχθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 9 με σκοπό να βελτιώσει την μέθοδο απεικόνισης που στηριζόταν στις μικροφυσαλίδες αντίθεσης, οι οποίες εισάγονταν στο αίμα του ασθενή. Την εποχή εκείνη θεωρούνταν ότι οι ιστοί είναι γραμμικοί και συνεπώς ότι όλες οι αρμονικές συνιστώσες παράγονταν από την αλληλεπίδραση του κύματος πίεσης με τις μικροφυσαλίδες, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα 9. Σχήμα 9: Α. Ο παλμός εκπέμπεται από τον ηχοβολέα Β Η ηχώ επιστρέφει από την μικροφυσαλίδα. C Η μικροφυσαλίδα δονείται, παράγοντας ένα άλλο σήμα, το αρμονικό το οποίο επίσης επιστρέφει στον ηχοβολέα. Στο παρακάτω Σχήμα βλέπουμε μια εικόνα υπερήχων που παράγεται με χρήση μικροφυσαλίδων. Σχήμα :Υπερηχητική Απεικόνιση νεφρών με χρήση ης αρμονικής χρησιμοποιώντας μικροφυσαλίδες αντίθεσης.

15 5 Η Απεικόνιση Ιστών με χρήση Αρμονικών ξεκίνησε για την ακρίβεια να εφαρμόζεται το 997 ενώ σήμερα χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία των διαγνωστικών υπερήχων. Κάποια από τα προβλήματα στην τεχνολογία των υπερήχων ήταν η δυσκολία μέτρησης της ροής του αίματος στην μικροκυκλοφορία και η διάδοση μέσω ανομοιογενών επιφανειών που προκαλεί παρέκκλιση της φάσης και αλλοίωση της δέσμης. Η μέθοδος με τις μικροφυσαλίδες αντίθεσης αναπτύχθηκε για να αντιμετωπιστούν παρόμοια προβλήματα. Οι μικροφυσαλίδες αντίθεσης είναι μικροφυσαλίδες αερίου με τυπικές διαμέτρους μερικών μικρών και εισάγονται με ένεση στο αίμα. Ταλαντώνουν υπό την επίδραση υπερηχητικού κυματικού πεδίου, με αποτέλεσμα να αυξάνονται τα σήματα οπισθοσκέδασης και να βελτιώνονται οι υπερηχητικές εικόνες. Η μη γραμμική φύση των μικροφυσαλίδων μας οδηγεί στην απεικόνιση με χρήση αρμονικών, μια διαδικασία κατά την οποία η ενέργεια μεταφέρεται σε μια βασική συχνότητα f και η εικόνα δημιουργείται βάση των σημάτων οπισθοσκέδασης στην δεύτερη αρμονική f. Κατά την πορεία των ερευνών βρέθηκε ότι και οι ιστοί αποτελούν ένα μη γραμμικό μέσο, εφόσον είχε παρατηρηθεί σήμα στην δεύτερη αρμονική ακόμα και όταν δεν είχαν εισαχθεί μικροφυσαλίδες στο αίμα του ασθενή. Αρχικά το σήμα αυτό εξηγήθηκε ως μη επιθυμητό σήμα από τον ηχοβολέα ή ότι οφείλεται σε μη ικανοποιητική λειτουργία του φίλτρου. Όμως μετά από έρευνες έγινε αποδεχτή η υπόθεση της μη γραμμικής φύσης των ιστών. Η διαφορά των «αρμονικών» αποκρίσεων που λαμβάνονται από τους ιστούς και από τις μικροφυσαλίδες είναι ότι ενώ στην πρώτη περίπτωση οφείλονται σε μη γραμμική διάδοση,στην δεύτερη περίπτωση οφείλονται σε μη γραμμική σκέδαση. Συνεπώς ενώ στην συμβατική απεικόνιση B-mode με χρήση υπερήχων χρησιμοποιούνται οι γραμμικές συνιστώσες του σκεδαζόμενου σήματος που παράγεται από τους ιστούς ή της μικροφυσαλίδες, δηλαδή ισχύει f eceive =f tasmit, στην απεικόνιση με χρήση αρμονικών οι «αρμονικές» αποκρίσεις παράγονται από μη γραμμικές διαδικασίες διάδοσης των υπερήχων στους ιστούς ή σκέδασης στις μικροφυσαλίδες, δηλαδή ισχύει f eceive =f tasmit + f τasmit + f 3τasmit +..., όπου f τasmit η δεύτερη αρμονική, f 3τasmit η τρίτη αρμονική.

16 6 Σχήμα : Βασική και Αρμονική Απεικόνιση Ο μηχανισμός για την παραγωγή αρμονικών είναι διαφορετικός στην απεικόνιση αρμονικών με χρήση μικροφυσαλίδων και στην απεικόνιση που στηρίζεται μόνο στην μη γραμμική φύση των ιστών. Στην πρώτη περίπτωση, κάθε μικροφυσαλίδα αντιδρά στην επίδραση θετικών και αρνητικών πλατών πίεσης του προσπίπτοντος παλμού, δημιουργώντας βασικές και αρμονικές δονήσεις. Η αρμονική απεικόνιση των ιστών στηρίζεται στο γεγονός ότι τα υπερηχητικά σήματα αλλοιώνονται καθώς διαδίδονται στους ιστούς, οι οποίοι έχουν ακουστικές ιδιότητες με διακυμάνσεις. Ένα ηχητικό κύμα που διαδίδεται στο σώμα είναι στην ουσία ένα κύμα πίεσης. Αυτό το κύμα πίεσης συμπιέζει και χαλαρώνει τον ιστό. Εκεί που ο ιστός συμπιέζεται, η ταχύτητα του ήχου είναι μεγαλύτερη, με αποτέλεσμα η κορυφή του κύματος πίεσης να μετατοπίζεται μπροστά. Καθώς ο ιστός χαλαρώνει η ταχύτητα του ήχου μειώνεται, με αποτέλεσμα το χαμηλότερο σημείο του κύματος πίεσης να κινείται πιο αργά. Το φαινόμενο αυτό φαίνεται στα Σχήματα και 3. Αυτή η αλλοίωση της κυματομορφής προκαλεί την δημιουργία αρμονικών.

17 7 Σχήμα : Συμπίεση και Διαστολή Ιστού καθώς το υπερηχητικό κύμα ταξιδεύει κατά μήκος του. Σχήμα 3: Εφόσον η ταχύτητα του ήχου είναι υψηλότερη όταν η πίεση είναι μεγαλύτερη, η κορυφή της κυματομορφής μετατοπίζεται εμπρόσθια καθώς το κύμα διαπερνά τον ιστό. Σημειώνεται ότι το χαμηλότερο μέρος του κύματος στην ουσία δεν μετατοπίζεται προς τα πίσω, αλλά «ταξιδεύει» προς τα μπροστά με χαμηλότερη ταχύτητα. Το «φαινόμενο» της παραγωγής αρμονικών στους ιστούς είναι αθροιστικό και αυξάνεται με την αύξηση του βάθους διείσδυσης, δηλαδή τα αρμονικά πλάτη αυξάνονται με το βάθος. Για αυτό το λόγο ο τρόπος αυτός απεικόνισης είναι πιο αποδοτικός στο μεσαίο έως το μακρινό πεδίο. Στο κοντινό πεδίο, το κύμα δεν έχει ταξιδέψει αρκετά μακριά έτσι ώστε να παραμορφωθεί σύμφωνα με το φαινόμενο που περιγράφεται στο παραπάνω Σχήμα. Καθώς το κύμα ταξιδεύει στο μεσαίο πεδίο, η παραμόρφωση του κύματος οδηγεί στην πρώτη δημιουργία αρμονικών. Στο κέντρο, οι αρμονικές συνεχίζουν να παράγονται αλλά το φαινόμενο της εξασθένισης του σήματος από τον ιστό καταστρέφει όσες αρμονικές παράγονται. Πιο μακριά, η εξασθένιση υπερνικά την παραγωγή αρμονικών, ενώ στο τέλος παραμένει μόνο το βασικό σήμα. Σχηματικά βλέπουμε αυτά που αναφέραμε στο Σχήμα 3. Σαν αποτέλεσμα η παραγωγή αρμονικών χωρίς την χρήση μικροφυσαλίδων αντίθεσης θα είναι φανερή μόνο στο μέσο μιας εικόνας που δημιουργήθηκε με χρήση υπερήχων.

18 8 Σχήμα 4 : Η απεικόνιση με χρήση αρμονικών είναι βέλτιστη στο μεσαίο πεδίο. Υπάρχουν δύο μέθοδοι απεικόνισης με χρήση αρμονικών. Η συμβατική μέθοδος απεικόνισης με αρμονικές στηρίζεται στην η αρμονική και οι συχνότητες λήψης διαλέγεται να είναι διπλάσιες από την βασική συχνότητα, όπως φαίνεται στο μέσον του Σχήματος. Το φάσμα συχνοτήτων της ηχούς από έναν παλμό στενής ζώνης φαίνεται στο Σχήμα 5. Μαζί με την βασική συχνότητα παράγονται και αρμονικές στην διπλάσια ή τριπλάσια συχνότητα, αλλά με μικρότερα πλάτη. Προκειμένου να διαχωριστεί το σήμα βασικής συχνότητας από τις αρμονικές, πρέπει να περιοριστούμε σε ένα στενό εύρος ζώνης. Βέβαια αυτό θα μειώσει την χωρική διακριτική ικανότητα. Ένα υψιπερατό η βαθυπερατό φίλτρο πρέπει επίσης να χρησιμοποιηθεί για να διαχωρίσει το ισχυρό σήμα στην βασική συχνότητα από τις αρμονικές συνιστώσες. Αυτό οδηγεί σε απώλεια της διακριτικής ικανότητας αντίθεσης εξαιτίας της επικάλυψης του βασικού σήματος με το σήμα αρμονικής. Συνεπώς η συμβατική μέθοδος έχει ως αποτέλεσμα την μειωμένη χωρική διακριτική ικανότητα αλλά και την μειωμένη διακριτική ικανότητα αντίθεσης. Επίσης εφόσον η εικόνα δημιουργείται με χρήση μόνο της συνιστώσας της ης αρμονικής, η οποία είναι συνήθως db κάτω από την συνιστώσα της βασικής συχνότητας, το δυναμικό εύρος είναι περιορισμένο.

19 9 Σχήμα 5: Απόκριση Ηχούς από έναν Παλμό Μεταφοράς Στενού Εύρους Ζώνης Αντίθετα με την συμβατική μέθοδο, έχει πλέον αρχίσει να χρησιμοποιείται η μέθοδος Αναστροφής Φάσης. Με αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιείται όλο το εύρος ζώνης του ηχοβολέα για να δεχτεί τα σήματα ηχούς ( σχήμα δεξιά).το εύρος ζώνης μεταβάλλεται δυναμικά προκειμένου να επιτευχθεί η βέλτιστη ποιότητα εικόνας σε κάθε βάθος απεικόνισης. Η μέθοδος Αναστροφής Φάσης στηρίζεται στις ψηφιακές δυνατότητα επεξεργασίας σήματος του υπερηχητικού συστήματος: Δύο διαδοχικοί παλμοί προσπίπτουν στο σώμα, ενώ η φάση του δεύτερου είναι ανεστραμμένη σε σχέση με αυτή του πρώτου( Σχήμα 6). Όταν οι φάσεις από αυτούς τους παλμούς προστίθενται, οι αποκρίσεις από τις γραμμικές δομές του σώματος αναιρούν η μία την άλλη, ενώ το ίδιο δεν συμβαίνει από τις μη γραμμικές δομές. Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των αποκρίσεων απεικονίζεται από την φασματική παράσταση στο Σχήμα 7.Σαν αποτέλεσμα της 8 διαφοράς φάσης, οι συνιστώσες της βασικής συχνότητας και των περιττών αρμονικών συχνοτήτων καταπιέζονται, ενώ οι άρτιες συνιστώσες, και κυρίως τα σήματα δεύτερης αρμονικής, ενισχύονται. Το αποτέλεσμα είναι εικόνες Β- mode με αυξημένη αντίθεση και χωρική διακριτική ικανότητα, καλύτερη από τη συμβατική μέθοδο που περιγράψαμε παραπάνω.

20 Σχήμα 6: Τα σήματα που μεταφέρουμε στους ιστούς κατά την μέθοδο αναστροφής φάσης. Ο παλμός είναι ανεστραμμένος σε σχέση με τον παλμό, ενώ στο κάτω μέρος του σήματος βλέπουμε το άθροισμα των σημάτων που λαμβάνουμε από γραμμικές και μη γραμμικές δομές. Σχήμα 7: Απεικόνιση με χρήση Αρμονικών μετά από Αναστροφή Φάσης Τον αντίκτυπο της μεθόδου αυτής στην ικανότητα απεικόνισης βλέπουμε στο Σχήμα 8, στο οποίο συγκρίνεται οι σχετικός λόγος πλευρικών λοβών στο βασικό και το αρμονικό σήμα. Οι πλευρικοί λοβοί, οι οποίοι είναι υπεύθυνοι για τα λάθη που επηρεάζουν την ποιότητα της εικόνας κυρίως σε παχύσαρκους ασθενείς, μειώνονται σημαντικά σε σχέση με την συμβατική απεικόνιση. Το μειωμένο εύρος της δέσμης οδηγεί σε βελτιωμένη πλευρική διακριτική ικανότητα. Επίσης, η τεχνική μεγάλου εύρους εξασφαλίζει ότι διατηρείται η αξονική διακριτική ικανότητα. Οι εικόνες έχουν λιγότερο θόρυβο και υψηλότερη διακριτική ικανότητα αντίθεσης, οπότε η διάγνωση έχει μεγαλύτερες πιθανότητες επιτυχίας.

21 Σχήμα 8: Οι αρμονικές δέσμες είναι στενότερες από τις βασικές δέσμες και οι πλευρικοί λοβοί χαμηλότεροι. Το αποτέλεσμα είναι βελτιωμένη χωρική διακριτική ικανότητα και καλύτερη διακριτική ικανότητα αντίθεσης. Στην συνέχεια αναφέρουμε κάποια από τα πλεονεκτήματα της χρήσης της ης αρμονικής στην απεικόνιση με υπερήχους Στενότερο εύρος δέσμης βασικού λοβού Το μειωμένο άνοιγμα δέσμης της δεύτερης αρμονικής μπορεί να οδηγήσει σε βελτιωμένη πλευρική διακριτική ικανότητα. Βέβαια, στενότερη δέσμη μπορεί να αποκτηθεί με άμεση εκπομπή της δεύτερης αρμονικής από τον ηχοβολέα. Το σημαντικό θέμα εδώ είναι ότι σε ένα μέσο με εξασθένιση, όπου η εξασθένιση αυξάνεται με την συχνότητα, είναι προτιμότερο να δημιουργηθεί η δεύτερη αρμονική χρησιμοποιώντας την μη γραμμική διάδοση παρά να εκπεμφθεί άμεσα. Μείωση επιπέδου πλευρικών λοβών Οι δέσμες που παράγονται από τον υπερηχητικό ηχοβολέα δεν έχουν μόνο έναν κύριο λοβό αλλά και πρόσθετους, μικρότερου επιπέδου, πλευρικούς λοβούς. Οι δομές σκέδασης στο πεδίο αυτών των λοβών επιστρέφουν πρόσθετη ενέργεια στον ηχοβολέα, κάτι που προκαλεί αντανακλάσεις ή ασάφεια με αποτέλεσμα να είναι δύσκολη η αναγνώριση των αληθινών δομών που απεικονίζονται. Συνεπώς το σχετικό επίπεδο των πλευρικών λοβών είναι μεγάλης σημασίας. Με την χρήση της δεύτερης αρμονικής πετυχαίνουμε μειωμένο επίπεδο πλευρικών λοβών. Σημαντικό πλεονέκτημα της αρμονικής απεικόνισης είναι η μείωση των πλευρικών λοβών σκέδασης από σκεδαστές που βρίσκονται έξω από το επίπεδο, ειδικά αν σκεφτεί κανείς ότι μεγάλο πρόβλημα στην διαγνωστική είναι η μείωση των πλευρικών λοβών όχι τόσο στο επίπεδο σάρωσης αλλά στο κάθετο επίπεδο.

22 Μείωση αντανακλάσεων από «σκληρά» ακουστικά παράθυρα. Στην καρδιολογία η καρδιά απεικονίζεται μέσω των πλευρών και των πνευμόνων. Το ακουστικό παράθυρο (επίπεδο εισόδου) παίζει σημαντικό ρόλο στην τελική εικόνα. Στην συμβατική απεικόνιση η εικόνα συχνά έχει θόρυβο και παρουσιάζει αρκετά λάθη τα οποία επαναλαμβάνονται σε όλο το βάθος. Καθώς η ακουστική δέσμη πρέπει να προσαρμοστεί ανάμεσα στα πλευρά και να αποφύγει τους πνεύμονες, ένα μέρος της δέσμης μπορεί να παρεμποδιστεί και να ανακλαστεί πίσω. Αυτές οι ανακλάσεις συνήθως ανακλώνται πίσω στο σώμα μετά την ανάκλασή τους από τον ηχοβολέα, οπότε λανθασμένα θεωρούνται ότι προέρχονται από βαθύτερες περιοχές. Με την χρήση της ης αρμονικής τα επίπεδα θορύβου μειώνονται, με αποτέλεσμα η τελική εικόνα του μυ της καρδιάς να είναι βελτιωμένη. Χωρίς αμφισβήτηση, η «αρμονική» δέσμη αλλοιώνεται λιγότερο κατά το πέρασμα από το ακουστικό παράθυρο. Μείωση αλλοίωσης της φάσης από ανομοιογενή στρώματα Στα διαγνωστικά απεικονιστικά συστήματα η ταχύτητα του ήχου θεωρείται σταθερή και ίση με c =54 m/s και η πυκνότητα ρ = 99 kg/cm. Παρόλα αυτά, κατά μήκος της περιοχής απεικόνισης οι διάφοροι ιστοί έχουν διαφορετικές εμπεδήσεις z=c ρ. Εξάλλου, αν δεν υπήρχαν διαφορές στις εμπεδήσεις δεν θα μπορούσαμε να έχουμε κάποια εικόνα. Ακόμα και στον ίδιον τύπο ιστών, υπάρχουν διακυμάνσεις στην ταχύτητα του ήχου. Αυτό οδηγεί σε απεστίαση της δέσμης ενώ οι εικόνες που παράγονται είναι ασαφείς. Όταν απεικονίζεται η κοιλιακή περιοχή, η δέσμη πρέπει να διαπεράσει στρώματα πάχους, μυών και άλλα στρώματα ιστών. Στις εικόνες αυτές συχνά εμφανίζονται λάθη και ασάφεια. Με την χρήση της δεύτερης αρμονικής η απεστίαση της δέσμης είναι μικρότερη, με αποτέλεσμα να βελτιώνονται οι εικόνες. Καλύτερη ενδοκάρδια απεικόνιση και ορισμός των ορίων Και τα δύο προβλήματα που αναφέραμε παραπάνω και τα οποία προσπαθούμε να αντιμετωπίσουμε με χρήση αρμονικών, οδηγούν σε μειωμένη απεικόνιση των περιγραμμάτων των δομών. Τα «σύνορα» του ενδοκαρδίου δεν διακρίνονται καθαρά εφόσον υπάρχει θόρυβος. Το ίδιο ισχύει και για εικόνες της κοιλιακής περιοχής. Η χρήση αρμονικών αντιμετωπίζει σε μεγάλο βαθμό αυτό το πρόβλημα. Οι διεπιφάνειες και τα περιγράμματα των δομών διακρίνονται καλύτερα με χρήση αρμονικών, όπως βλέπουμε και στις παρακάτω εικόνες όπου απεικονίζονται διάφορα σημεία του σώματος χρησιμοποιώντας συμβατική μέθοδο απεικόνισης με υπερήχους και απεικόνιση με χρήση ης αρμονικής, η οποία είναι η μόνη αρμονική που χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα.

23 3 Σχήμα 9: Μεγάλη νεφρική κύστη. Είναι φανερή η βελτίωση της ικανότητας αντίθεσης στην περίπτωση της αρμονικής απεικόνισης. Σχήμα : Πυλαία φλέβα. Σημειώνεται η μεγάλη βελτίωση στην διείσδυση και στην ικανότητα αντίθεσης με την χρήση της ης αρμονικής.

24 4 Σχήμα : Ηπατική φλέβα. Σχήμα : Χοληδόχος κύστη και ήπαρ. Στην εικόνα φαίνεται καθαρά η βελτίωση της ικανότητας απεικόνισης στην περίπτωση της αρμονικής απεικόνισης

25 5 Στην συνέχεια αναφέρουμε κάποια προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσουμε όσον αφορά στην αρμονική απεικόνιση. Το βασικό πρόβλημα με την μέθοδο αυτή είναι η μειωμένη αξονική διακριτική ικανότητα, το οποίο ήταν πιο έντονο στα αρχικά στάδια της μεθόδου. Το εύρος ζώνης του ηχοβολέα- διαμορφωτή δέσμης περιορίζει την ολική αξονική διακριτική ικανότητα των αρμονικών εικόνων. Στην συμβατική μέθοδο απεικόνισης όλο το εύρος ζώνης του ηχοβολέα χρησιμοποιείται για την βέλτιστη ανάλυση. Όμως, στην αρμονική απεικόνιση το εύρος ζώνης τόσο της εκπομπής όσο και της λήψης πρέπει να προσαρμόζεται σύμφωνα με το ολικό εύρος ζώνης του ηχοβολέα. Αυτό μας αναγκάζει να χρησιμοποιήσουμε στενότερο εύρος ζώνης εκπομπής με αποτέλεσμα η αξονική διακριτική ικανότητα να μειώνεται. Ένας άλλος λόγος για την μείωση αυτή είναι η απαίτηση ότι το αρμονικό εύρος πρέπει να διαφέρει από το εύρος εκπομπής έτσι ώστε συμβατικά φίλτρα RF να μπορούν να απορρίψουν το σήμα της βασικής συχνότητας. Δύο άλλα προβλήματα της αρμονικής απεικόνισης είναι το μειωμένο δυναμικό εύρος και το μικρότερο βάθος διείσδυσης. Εφόσον η εικόνα δημιουργείται μόνο με χρήση της ης αρμονικής, που είναι συνήθως db κάτω από την βασική συχνότητα, το δυναμικό εύρος είναι περιορισμένο. Επίσης, η ολική ενέργεια της ης αρμονικής που παράγεται ( συνήθως το % της αρχικής ενέργειας ή λιγότερο) δεν καταφέρνει να διαδοθεί σε βαθύτερες περιοχές λόγω απορρόφησης. Για το λόγο αυτό η αρμονική απεικόνιση επιλέγεται σε περιπτώσεις όπου η απορρόφηση από το μέσο είναι σχετικά μικρή, όπως για παράδειγμα στις εγγύους γυναίκες. Βιβλιογραφία ου Κεφαλαίου [] Thaassis Misaidis, Ultasoud Imagig, Ultasoud Imagig Laboatoy, Istitute of Commuicatio ad Compute Systems, Natioal Techical Uivesity of Athes, Geece, Decembe 3 [] Richad L. Goldbeg,Uivesity of Noth Caolia, Stephe W.Smith, Duke Uivesity, Jack G.Mottley, Uivesity of Rocheste, K. Whittake Feae, Riveside Reseach Istitute, The Biomedical Egieeig Hadbook: Secod Editio, Chapte 65: Ultasoud,. [3] GE Medical Systems, VOLUSON 73 EXPERT, Basic Use Maual, 3 [4] Kai. E. Thomeius, Evolutio of Ultasoud Beamfomes, 996 Ultasoics Symposium -65 [5] R. Haete, C. Lowey, G.Becke, M.Gebel, S.Rosethal, E. Squebei, Esemble TM Tissue Hamoic Imagig, The Techology ad Cliical Utility, Electomedica 67,999 [6] GE Medical Systems, Ultasoud Techology Update, Hamoic Imagig, 997 [7] Michalakis A. Avekiou, Tissue Hamoic Imagig, ATL Ultasoud, IEEE Ultasoic Symposium -563

26 6 Κεφάλαιο ο Θεωρητικοί Υπολογισμοί. Λύση Προβλήματος Σκέδασης Υπερήχων από Γραμμική Σφαίρα Στο κεφάλαιο αυτό θα αυτό θα ασχοληθούμε με την λύση του κλασικού προβλήματος σκέδασης από γραμμική σφαίρα όταν το προσπίπτον κύμα είναι επίπεδο. Η μελέτη αυτή σκέδασης ακουστικών κυμάτων από μία σφαίρα που έχει γραμμικές ιδιότητες αποτελεί το πρώτο πρόβλημα που θα μελετήσουμε στην προσπάθεια ανάλυσης της σκέδασης από μία σφαίρα με μη γραμμικές ιδιότητες. Η ανάλυση ακολουθεί τα παρακάτω βασικά βήματα: Διατύπωση Κυματικών Εξισώσεων. Χρήση της μεθόδου Διαχωρισμού Μεταβλητών για ανάπτυξη των λύσεων σε κυματικές εξισώσεις. Εφαρμογή Οριακών Συνθηκών. Λύση των εξισώσεων προς εύρεση των αγνώστων συντελεστών. Αρχικά διατυπώνουμε την γεωμετρία του προβλήματος και τις βασικές κυματικές εξισώσεις, που αποτελούν την βάση για την λύση του προβλήματός μας.η γεωμετρία του προβλήματός μας φαίνεται παρακάτω: z c y c ρ ρ x Προσπίπτον επίπεδο κύμα Σχήμα 3 : Γεωμετρία Σφαιρικού Γραμμικού Σκεδαστή

27 7 Οι εξισώσεις συνολικής πίεσης εντός και εκτός της σφαίρας είναι []: c p t = > ( ) (, ), t a () c p t = < ( ) (, ), t a () όπου c είναι η ταχύτητα του ήχου στον περιβάλλοντα χώρο,c η ταχύτητα του ήχου μέσα στην γραμμική σφαίρα και α η ακτίνα της σφαίρας. Εφόσον γνωρίζουμε ότι η πίεση μεταβάλλεται ημιτονικά με τον χρόνο, χρησιμοποιούμε τον φασιθέτη της πίεσης προκειμένου να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς. Δηλαδή ισχύουν τα παρακάτω: jωt p( t, ) = Re( e p &( )) (3) και συνεπώς οι κυματικές εξισώσεις γράφονται ως εξής: ω & > a ( + ) p( ) =, c (4) ω ( + ) p( ) =, c & < a (5) Στην συνοριακή επιφάνεια της σφαίρας, δηλαδή για =α ισχύουν οι παρακάτω δύο οριακές συνθήκες: p& = συνεχής p& = συνεχής ρ (6) (7) όπου ρ είναι ο συντελεστής ανάκλασης, που στο εσωτερικό της σφαίρας τον έχουμε ονομάσει ρ και στον περιβάλλοντα χώρο ως ρ. Ξέρουμε ότι η εξίσωση(5 ) για <α έχει λύση: ω ω jm p& ( ) = ( A j ( ) + B y ( )) P (cos θ ) e ϕ (8) m m m = m= c c όπου j είναι η σφαιρική Bessel συνάρτηση -οστής τάξης, y η σφαιρική συνάρτηση Neuma -οστής τάξης και P m η σχετική συνάρτηση Legede όπου η ακτινική τάξη του και m η γωνιακή τάξη του φ.

28 8 Ξέρουμε ότι ισχύει: π j ( x) = J ( x ) (9) x + όπου J είναι η κυλινδρική συνάρτηση Bessel. Αναφέρουμε την σχέση αυτή για να δικαιολογήσουμε ότι οι ιδιότητες που ισχύουν για τις κυλινδρικές συναρτήσεις Bessel και οι οποίες είναι γνωστές, ισχύουν και για τις σφαιρικές συναρτήσεις Bessel. Επίσης ισχύουν τα εξής: P m = για m> () P (cosθ)=p (cosθ) () Θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες αυτές των συναρτήσεων παρακάτω στην ανάλυσή μας. Για το προσπίπτον πεδίο, το οποίο θεωρούμε επίπεδο κύμα, η μαθηματική έκφραση έχει ως εξής: p& = e jk z () όπου k = ω. c Για <α έχουμε το στάσιμο πεδίο που δημιουργείται μέσα στην σφαίρα. Για να βρούμε την έκφρασή του χρησιμοποιούμε την σχέση (8). Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής B m είναι μηδενικός, εφόσον γνωρίσουμε ότι η συνάρτηση y με όρισμα μηδέν τείνει προς το άπειρο. Αν δεν ήταν μηδενικός το πεδίο για = θα έτεινε προς το άπειρο, κάτι που απορρίπτεται. Συνεπώς για <α το στάσιμο πεδίο γράφεται ως εξής: όπου k = ω c jm p& ( ) A j ( k ) P (cos θ ) e ϕ (3) m = m = m= Το πεδίο αυτό ονομάζουμε και p& = Eω ( ), ονομασία που θα χρησιμοποιήσουμε σε επόμενο κεφάλαιο της εργασίας μας.

29 9 Για >α έχουμε το σκεδαζόμενο αλλά και το προσπίπτον πεδίο. Λαμβάνοντας υπόψιν ότι το σκεδαζόμενο πεδίο είναι πεδίο ακτινοβολίας, δηλαδή ότι θα πρέπει να έχει την μορφή κύματος που απομακρύνεται από τη σφαίρα (δηλαδή να είναι της μορφής e -j ) αλλά και την ιδιότητα της συναρτήσεως hakel σύμφωνα με την οποία jx e + h ( x) j (4) x καταλήγουμε στον συμπέρασμα ότι το πεδίο έχει την εξής μορφή: () m = m = m= jm p& B h ( k ) P (cos θ ) e ϕ (5) Εφαρμόζουμε την πρώτη οριακή συνθήκη για =α, σύμφωνα με την οποία θα ισχύει: p& = p& + p& (6) ενώ εφαρμόζοντας την δεύτερη οριακή συνθήκη καταλήγουμε στην σχέση: p& ( p& + p& ) = ρ ρ (7) Προκειμένου να αναπτύξουμε τις εξισώσεις αυτές αναπτύσσουμε το προσπίπτον κύμα σε σφαιρικά κύματα, κάτι που είναι εφικτό εφόσον το προσπίπτον κύμα έχει ημιτονοειδή συνάρτηση με τον χρόνο. Συνεπώς έχουμε: cos jk z jk θ = = + = e e ( ) j j ( k ) P (cos θ ) (8) Όμως γνωρίζουμε την ιδιότητα της σφαιρικής συναρτήσεως Bessel σύμφωνα με την οποία : j k = j k (9) ( ) ( ) ( ) Συνεπώς θα ισχύει: p& ( ) = (+ )( j) j ( k ) P (cos ) () = θ

30 3 Άρα χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3),(5) και () η πρώτη οριακή συνθήκη γράφεται ως εξής: m jm () m jm Am j( k ) P (cos ) e ϕ ϕ α θ = (+ )( j) j( ka) P (cos θ) + Bmh ( ka) P (cos θ) e = m= = = m= Το ζητούμενο είναι να καταλήξουμε σε μια σχέση που συνδέει τους συντελεστές A m και B m. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε τις εξής βασικές σχέσεις: () π j( μ m) φ dφe = πδ μ, m () π jφ dφe = (3) π m m δθ si θ P (cos θ ) P (cos θ ) = δ ν ν ( + m)! + / ( m)! (4) Ολοκληρώνουμε την σχέση () αφού έχουμε πολλαπλασιάσει με e -jμφ, όπου μ ακέραιος. Έτσι καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση: π π jμφ m jmϕ jμφ dφe Am j ka P θ e = dφe + j j ka P = m= = + π ( ) (cos ) ( )( ) ( ) (cos θ) jμφ () m jmϕ m ( ) (cos θ) = m= dφe B h k a P e (5) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, η παραπάνω σχέση έχει ως εξής: m μ, mamj k a P = μ, + j j ka P = m= = π δ ( ) (cos θ) π δ ( )( ) ( ) (cos θ) + π δ B h ( k a) P (cos θ) = m= () m μ, m m (6) Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συναρτήσεως δ,m σύμφωνα με την οποία: δ m,, =, m = m (7) καταλήγουμε στην εξής σχέση:

31 3 μ Aμ j ka P = μ + j j ka P = = + = B h ( ) (cos θ ) δ ( )( ) ( ) (cos θ) ( k a) P (cos θ ) () μ μ (8) Συνεχίζουμε χρησιμοποιώντας την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων Legede. Για τον σκοπό αυτό πολλαπλασιάζουμε με π d θsiθ P μ ν, οπότε η σχέση (8) γίνεται: π π μ μ μ dθsi θpν Aμ j( ka) P (cos θ) = dθsi θpν δμ(+ )( j) j( ka) P = = + π μ () μ si ν μ ( ) (cos ) = dθ θp B h k a P θ Χρησιμοποιώντας τη σχέση (4) η παραπάνω σχέση γίνεται: (9) ( + μ)! δ Α j ( ka) = δ δ (+ )( j) j ( ka ν μ ν μ = + / ( ν μ)! = + / + = δ ν ( + μ)! Bμh + / ( ν μ)! () ( k a) ) (3) Η παραπάνω σχέση για μ= γίνεται: ν () Α νjν( ka ) = ( j) jν( kα ) + Βνhν ( kα ) ν + / ν + / ν + / (3) Οπότε καταλήγουμε στην σχέση: Α j ( kα) Β h ( ka) = (ν + )( j) j( ka) (3) () ν ν ν ν ν ν Η σχέση αυτή είναι η μία από τις δύο σχέσεις που καταλήγουμε από την εφαρμογή των οριακών συνθηκών. Συνεχίζουμε με την δεύτερη οριακή συνθήκη των παραγώγων που δίνεται από τη σχέση (7). Την επαναλαμβάνουμε παρακάτω: p& ( p& + p& ) = ρ ρ

32 3 Θέτοντας τις μαθηματικές σχέσεις των πεδίων, έχουμε: j ( k ) j ( k ) ρ m jmφ Am P (cos θ ) e = (+ )( j) P (cos θ ) = m= = a ρ = = a + ρ = m= () h ( k) m Bm P (cos θ ) e = a jmφ (33) Η παράγωγος της συναρτήσεως Bessel είναι: j( k ) j ( k ) = k = k j ( k ) (34) ( k) συνεπώς η παραπάνω σχέση γίνεται: k ρ k ( ) (cos ) ( )( ) ( ) (cos θ ) m jmφ Am j k P θ e = + j j k P a m a ρ = = = = = k + ρ () m jmφ Bm h ( k) P (cos ) θ e = m= = a (35) Όπως και προηγουμένως ολοκληρώνουμε την παραπάνω σχέση (35) με π jμφ e dφ και έτσι έχουμε: π π jμφ k m jmφ jμφ k e dφ Am j k P θ e = e dφ j j k P a ρ + m a ρ = = = = = + π k e d B h k P e ( ) (cos ) ( )( ) ( ) (cos θ) jμφ () m jmφ φ m ( ) (cos ) θ ρ = m= = a Εφαρμόζοντας την βασική ιδιότητα που δίνεται από τη σχέση () η παραπάνω σχέση γίνεται: (36) k ρ k ( ) (cos ) ( )( ) ( ) (cos θ) m πδm, μam j k P θ = πδμ, + j j k P a m a ρ = = = = = k + ρ () m πδ m, μ Bmh k P = m= = a ( ) (cos θ ) (37)

33 33 Στηριζόμενοι στην βασική ιδιότητα της συναρτήσεως δέλτα (7) που αναφέραμε παραπάνω η σχέση (37) γίνεται: k ρ k ( ) (cos θ ) δ ( )( ) ( ) (cos θ) μ Aμ j k P a = μ, + j j k P = a ρ = = = k + ρ () μ Bμ h k P = a = ( ) (cos θ ) π (38) Στην συνέχεια προχωρούμε στην ολοκλήρωση της σχέσης (38) με μ dθ si θp (cos θ ), οπότε έχουμε: ν π π μ k μ μ k dθ θpν θ Aμ j k P a θ = dθ θpν θ δμ, j j k P a ρ = + ρ = = = π si (cos ) ( ) (cos ) si (cos ) ( )( ) ( ) (cos θ ) k + dθ θp θ B h k P θ μ () μ si ν (cos ) μ ( ) (cos ) a ρ = = Εφαρμόζοντας την γνωστή από τα προηγούμενα σχέση (4) η παραπάνω σχέση γίνεται: (39) k ( + μ)! k ρ μ ρ δν, Aμ j( k ) = δ,,( )( j) j ( k ) / ( )! a ν δμ + / a = = = + = + k + ρ ( + μ)! B h ( k ) () δν, μ = + / ( μ)! = a Οπότε η παραπάνω σχέση με εφαρμογή της ιδιότητας (7) γίνεται: (4) k k Α j ( k ) = (ν + )( j) j ( k ) ρ ν ρ ν ν ν ν / a ν + = + / = a k () + Βνhν ( k) ρ ν + / = a (4) k k k Α j ( k ) = (ν + )( j) j ( k ) + Β h ( k ) ρ ρ ρ ν () ν ν = a ν = a ν ν = a

34 34 Ονομάζουμε Α ν =Α ν και Β ν =Β ν και καταλήγουμε στην εξής εξίσωση: k k k Α +Β = + () ν ν[ j ν( k) ] [ ( ) ] ( )( ) ( ) a ν hν k ν j j k a ν ρ = a ρ = ρ = (4) Οπότε προκειμένου να βρούμε τους άγνωστους συντελεστές Α ν και Β ν αρκεί να λύσουμε το σύστημα που αποτελείται από τις εξισώσεις (3) και (4): Α [ j ( kα)] +Β [ h ( k a)] = (ν + )( j) j ( k a) () ν ν ν ν ν ν k k k Α j k +Β h k = + j j k () ν ν[ ν( ) ] [ ( ) ] ( )( ) ( ) a ν ν ν a ν ρ = a ρ = ρ = (43) Λύνοντας το σύστημα μετά από πράξεις βρίσκουμε ότι τα Α ν και Β ν δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: A ν ν () (ν + )( j) jν ( ka) + hν ( ka) Bν = (44) j ( k a) ν και B ν = k k ν j ( ka) (ν + )( j) j ( k ) j ( k) (ν + )( j) j ( k a) ν ν ν a ν ρ = a ρ = k k h ( k ) j ( kα) + h ( k a) j ( k ) ρ () () ν = a ν ν ν a ρ = ν (45) Οπότε μπορούμε τώρα να γράψουμε τις τελικές εκφράσεις για τα πεδία. Το στάσιμο έχει την εξής έκφραση: = ( ) (cos ) = p& A j k P θ (46) Το σκεδαζόμενο πεδίο έχει την παρακάτω έκφραση: () = = p& B h ( k ) P (cosθ ) (47)

35 35 Για να υπολογίσουμε το μακράν πεδίο χρησιμοποιούμε την ασυμπτωτική έκφραση που δίνεται από τη σχέση (4), οπότε η σχέση (47) γίνεται: jk e p& = Bj P k = + (cos θ ) Όπου το μέγεθος f = B j P (48) + ( θ ) (cos θ ) k = ονομάζεται «Πλάτος Σκέδασης»(Scatteig Amplitude). Στην περίπτωση που ο σκεδαστής έχει πολύ μικρές διαστάσεις σε σύγκριση με το μήκος κύματος, το πλάτος σκέδασης περιορίζεται στον πρώτο όρο του αθροίσματος, οπότε έχουμε: f ( θ) = BjP(cos θ) = jb k k όπου η τιμή του Β δίνεται από την σχέση (45). Στην συνέχεια χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα MATLAB υλοποιήσαμε κάποιες γραφικές απεικονίσεις του συνολικού πεδίου. Υπολογισμοί πεδίων ακουστικής πίεσης στην περιοχή σκεδαστή με ακτίνα α=μm, δείκτη διάθλασης k/k=.5, ρ =5 kg/m 3, ρ = kg/m 3 και ταχύτητα διάδοσης στο χώρο k,v=5m/s. Σχήμα 4: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz

36 36 Σχήμα 5: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 3 ΜΗz Σχήμα 6: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 6 ΜΗz

37 37 Σχήμα 7:Yπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 8 ΜΗz Σχήμα 8: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz

38 38 Υπολογισμοί πεδίων ακουστικής πίεσης στην περιοχή σκεδαστή με ακτίνα α=5μm δείκτη διάθλασης k/k=.5, ρ =5 kg/m 3, ρ = kg/m 3 και ταχύτητα διάδοσης στο χώρο k,v=5m/s. Σχήμα 9: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz Σχήμα 3: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 3 ΜΗz

39 39 Σχήμα 3: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 6 ΜΗz Σχήμα 3: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 8 ΜΗz

40 4 Σχήμα 33: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz Υπολογισμοί πεδίων ακουστικής πίεσης στην περιοχή σκεδαστή με ακτίνα α=5μm δείκτη διάθλασης k/k=., ρ =5 kg/m 3, ρ = kg/m 3 και ταχύτητα διάδοσης στο χώρο k,v=5m/s. Σχήμα 34: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz

41 4 Σχήμα 35: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 6 ΜΗz Σχήμα 36: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz

42 4 Υπολογισμοί πεδίων ακουστικής πίεσης στην περιοχή σκεδαστή με ακτίνα α=5μm δείκτη διάθλασης k/k=., ρ = kg/m 3, ρ = kg/m 3 και ταχύτητα διάδοσης στο χώρο k,v=5m/s. Σχήμα 37: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz Σχήμα 38: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα 6 ΜΗz

43 43 Σχήμα 39: Υπολογισμός του πεδίου σε συχνότητα ΜΗz Για την εκτίμηση του επαγώμενου πεδίου μέσα σ ένα σκεδαστή πραγματοποιήθηκαν υπολογισμοί του πεδίου στο εσωτερικό και στην περιφέρεια αυτού. Ο σκοπός των υπολογισμών είναι να εξακριβωθεί κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί η ένταση του πεδίου μέσα στο σφαιρικό σκεδαστή να αποκτήσει μεγάλες τιμές. Η δημιουργία υψηλής έντασης μέσα στο σκεδαστή είναι επιθυμητή εφόσον η εκδήλωση μη-γραμμικής αλληλεπίδρασης προϋποθέτει επαγωγή υψηλής έντασης ακουστικού πεδίου. Για τον λόγο αυτό στους υπολογισμούς λήφθηκαν σαν μεταβλητά μεγέθη η ακτίνα α του σφαιρικού σκεδαστή, ο δείκτη διάθλασης του υλικού της σφαίρας και η μαζική πυκνότητα αυτής ρ. Τα αποτελέσματα δίνονται σε ομάδες καμπυλών: α) Υπολογισμοί πεδίων ακουστικής πίεσης στην περιοχή σκεδαστή με ακτίνα α=μm, δείκτη διάθλασης k/k=.5, ρ =5 kg/m 3, ρ = kg/m 3 και ταχύτητα διάδοσης στο χώρο k,v=5m/s. (β) Υπολογισμοί πεδίων ακουστικής πίεσης στην περιοχή σκεδαστή με ακτίνα α=5μm δείκτη διάθλασης k/k=., ρ =5 kg/m 3, ρ = kg/m 3 και ταχύτητα διάδοσης στο χώρο k,v=5m/s. (γ) Υπολογισμοί πεδίων ακουστικής πίεσης στην περιοχή σκεδαστή με ακτίνα α=5μm δείκτη διάθλασης k/k=., ρ = kg/m 3, ρ = kg/m 3 και ταχύτητα διάδοσης στο χώρο k,v=5m/s.

44 Οι παραπάνω περιπτώσεις σκεδαστών εξετάστηκαν για τη ζώνη συχνοτήτων - MHz. Η παρουσίαση των πεδιακών κατανομών γίνεται στη μέγιστη διατομή της σφαίρας και ισχύει σ όλες τις μεσημβρινές τομές λόγω συμμετρίας. Παρατηρούμε ότι παρουσιάζεται, ιδιαίτερα στην περίπτωση όπου =., ισχυρή ανάπτυξη πεδίου μέσα στο σκεδαστή που ευνοεί την επαγωγή μη-γραμμικής αλληλεπίδρασης. Βλέπουμε ότι στην περίπτωση του =. το πεδίο είναι σχεδόν διπλάσιο σε σχέση με το =.5.Η μη-γραμμική αντίδραση του σκεδαστή εξετάζεται στο επόμενο κεφάλαιο. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι παρατηρούμε από τους υπολογισμούς αύξηση της έντασης στο κέντρο του σκεδαστή σ όλες τις περιπτώσεις. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το πεδίο μέσα στον σκεδαστή είναι ουσιαστικά ανεξάρτητο από τις γωνίες φ και θ (βλ. Σχήματα 4-39 ) 44

45 45. Υπολογισμός Συναρτήσεως Gee Η μέθοδος των συναρτήσεων Gee αποτελεί την βάση επίλυσης πολλών προβλημάτων στην μαθηματική φυσική σε όλη την διάρκεια των 7 και πλέον ετών που έχει εισαχθεί από τον καθηγητή του Πανεπιστημίου Nottigham καθ.gee. Η μέθοδος Gee επιτρέπει τον επιμερισμό της εφαρμογής οριακών συνθηκών στην περίπτωση γραμμικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα όταν καλούμαστε να λύσουμε ένα γραμμικό πρόβλημα μαθηματικής φυσικής που εμπεριέχει σύνθετες οριακές συνθήκες, μπορούμε να αφαιρέσουμε ορισμένες χωρικές ανομοιογένειες του προβλήματος και έτσι να προκύψει ένα νέο πρόβλημα. Στην συνέχεια εξετάζουμε αν το επαναδιατυπωμένο πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών, που αποτελεί την κλασική μέθοδο αναλυτικής λύσης προβλημάτων οριακών συνθηκών. Επομένως η μέθοδος Gee εμπεριέχει την λύση ενός βοηθητικού προβλήματος. Με τον τρόπο αυτό περιορίζεται ο βαθμός δυσκολίας της επίλυσης του προβλήματος. Η βάση της μεθόδου στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στην αρχή της γραμμικής ανάλυσης, δηλαδή στην υπέρθεση διαφορετικών διεγέρσεων σ ένα πρόβλημα οριακών συνθηκών. Στην κατεύθυνση αυτή απαιτείται η χρήση του θεωρήματος Gee που αποτελεί την εφαρμογή του θεωρήματος Gauss που διατυπώνεται ως εξής: V Ad υ = A ds ˆ S όπου S είναι η επιφάνεια που καλύπτει τον όγκο V ενώ A είναι μια τρισδιάστατη διανυσματική συνάρτηση. Η χρήση του θεωρήματος Gee όπως θα δούμε παρακάτω επιτρέπει την εύκολη διατύπωση του μη γραμμικού προβλήματος που θα αναπτύξουμε στην συνέχεια της συγκεκριμένης εργασίας. Προκειμένου να αναπτύξουμε την ανάλυσή μας παραθέτουμε το παρακάτω Σχήμα 4. Βλέπουμε ότι το πρόβλημά μας στηρίζεται στην εύρεση των πεδίων στην περίπτωση που έχουμε μία σφαίρα μέσα στην οποία βρίσκεται μια στοιχειώδης πηγή. Όπως είναι γνωστό από την βιβλιογραφία, το πεδίο μέσα στην σφαίρα, δηλαδή για <α είναι [] : (49) jk e jmφ m i(, φ, θ) = + ( m ) (cos θ) (5) 4π = m= u a j k e P όπου k = ω / c Ενώ για >α είναι: () jm m φ θ φ m = m= u (,, ) = b h ( k ) e P (cos θ ) (5) όπου k = ω / c.