I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr"

Transcript

1 I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e

2

3 ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο C έχει ως στοιχεία Όλους τους πραγματικούς αριθμούς, Όλους τους φανταστικούς αριθμούς, δηλαδή τα γινόμενα i, όπου ο είναι ένας πραγματικός αριθμός, Όλα τα αθροίσματα της μορφής i, με, πραγματικούς αριθμούς 3 Ισότητα δύο μιγαδικών αριθμών: Δύο μιγαδικού αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη τους είναι ίσα αντιστοίχως 0 i i, i Το άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών ορίζεται ως εξής: i i i, i i i 5 Το βαθμωτό γινόμενο ενός πραγματικού και ενός μιγαδικού ορίζεται ως εξής: i i 6 Το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών ορίζεται ως εξής: i i i i i i 7 Ο αντίστροφος ενός μιγαδικού αριθμού i ορίζεται ως εξής: i i i i i i 8 Η διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών ορίζεται ως εξής: i i i i i, i i i όπου i 0 9 Συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού i ορίζεται ο αριθμός i Όπως μπορεί να παρατηρήσει κανείς η έννοια του συζυγούς μιγαδικού αριθμού χρησιμοποιήθηκε για να εκφράσουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο μιγαδικών (και της αντιστροφή μιγαδικού) στην κανονική μορφή (δηλαδή στη μορφή i ) 0 Το Πραγματικό Μέρος ενός μιγαδικού αριθμού, i Το Φανταστικό Μέρος ενός μιγαδικού αριθμού, i, είναι Re, είναι Im Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 3 blogspotcom, bouboulismyschgr

4 Β Βασικές Ιδιότητες Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες Δυνάμεις Μιγαδικών: Για να υπολογίσουμε τη δύναμη ενός μιγαδικού, εκτελούμε πράξεις όπως ακριβώς και στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, δηλαδή γενικά ισχύει: 0,,,, Ιδιαίτερα, για τις δυνάμεις του i έχουμε:, i, i i i i i, i, 3 Ιδιότητες Συζυγών:,,,, Η απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων μπορεί να γίνει πολύ εύκολα κάνοντας τις πράξεις 3 Επίλυση της εξίσωσης 0, όπου οι α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί και 0 Βήμα Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα 4 Βήμα ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ έχουμε τις εξής περιπτώσεις Αν 0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις:, Αν 0, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική λύση: i Αν 0, τότε η εξίσωση έχει δύο (συζυγείς) μιγαδικές λύσεις, 4 Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικών Re Im O είναι πραγματικός O είναι φανταστικός Κάθε μιγαδικός αριθμός, i, μπορεί να αναπαρασταθεί στο επίπεδο με τη βοήθεια του διανύσματος, i OM Το διάνυσμα αυτό ονομάζεται συνήθως διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού Η κατανόηση της γεωμετρικής αναπαράστασης των μιγαδικών αριθμών είναι πολύ σημαντική, αφού μας δίνει δυνατότητα εποπτείας των αριθμών αυτών Το άθροισμα και η διαφορά δύο μιγαδικών μπορεί να δοθεί και με γεωμετρική μορφή όπως στα παρακάτω σχήματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 4 blogspotcom, bouboulismyschgr

5 (α) Γεωμετρική αναπαράσταση της Πρόσθεσης δύο Μιγαδικών (γ) Γεωμετρική αναπαράσταση του Συζυγούς ενός Μιγαδικού (β) Γεωμετρική αναπαράσταση της Αφαίρεσης δύο Μιγαδικών ΠΡΟΣΟΧΗ! Η ισοδυναμία a b 0 a 0και b 0 δεν ισχύει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών! Η ισοδυναμία a b 0 a 0ήb 0 ισχύει και στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών! Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 5 blogspotcom, bouboulismyschgr

6 Γ Μεθοδολογία Ασκήσεων Ασκήσεις οι οποίες μας ζητάνε να εκτελέσουμε πράξεις και να φέρουμε έναν μιγαδικό στην κανονική του μορφή Σε αυτή την περίπτωση εκτελούμε τις πράξεις σύμφωνα με τους κανόνες που αναφέρθηκαν ανωτέρω Στην περίπτωση της διαίρεσης πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή Στο τέλος πρέπει να γράψουμε τον αριθμό στην μορφή i Παραδείγματα: Ασκήσεις 5Α, 6Α, 9Α, Β, σελίδες σχολικού βιβλίου Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι δύο μιγαδικοί είναι ίσοι, ή μας ζητάνε να βρούμε υπό ποιές συνθήκες είναι ίσοι Σε αυτές τις ασκήσεις φέρνουμε τους δύο μιγαδικούς αριθμούς στην κανονική τους μορφή (δηλαδή στη μορφή i ), εκτελώντας όλες τις δυνατές πράξεις, και εξισώνουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη αντίστοιχα Παραδείγματα: Ασκήσεις Α, 7Α, 7Β σελίδες σχολικού βιβλίου 3 Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι ένας αριθμός είναι πραγματικός (ή φανταστικός), ή να εξετάσουμε υπό ποιές συνθήκες είναι πραγματικός (ή φανταστικός) Αφού φέρουμε τον αριθμό στην κανονική του μορφή, θα πρέπει είτε το φανταστικό του μέρος να είναι ίσο με μηδέν, αν θέλουμε ο αριθμός να είναι πραγματικός, είτε το πραγματικό του μέρος να είναι ίσο με το μηδέν, αν θέλουμε ο αριθμός να είναι φανταστικός Στην περίπτωση που έχουμε επιπλέον συνθήκες (για παράδειγμα μας ζητείται να αποδείξουμε ότι το πραγματικό μέρος είναι θετικό) τις λαμβάνουμε και αυτές υπ' όψη Επιπλέον, προσέξτε ότι: Ο είναι πραγματικός αριθμός αν και μόνο αν Ο είναι φανταστικός αριθμός αν και μόνο αν Παραδείγματα: Ασκήσεις Α, Α, Β, 6Β, 8Β σελίδες σχολικού βιβλίου 4 Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι δύο αριθμοί είναι συζυγείς, ή να εξετάσουμε υπό ποιές συνθήκες είναι συζυγείς Εκτελούμε όλες πράξεις (όσες μπορούμε) Για να είναι δύο αριθμοί συζυγείς πρέπει να έχουν ίσα πραγματικά μέρη και αντίθετα φανταστικά μέρη 5 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να υπολογίσουμε ακέραιες δυνάμεις του i Διαιρούμε τον εκθέτη με τον αριθμό 4 και βρίσκουμε το πηλίκο ρ και το υπόλοιπο υ Χρησιμοποιώντας τη σχέση, i, i i i i i,, i, 3 υπολογίσουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 6 blogspotcom, bouboulismyschgr

7 Αν έχουμε και πιο πολύπλοκες δυνάμεις, τότε εκτελούμε όλες τις δυνατές πράξεις Παραδείγματα: Ασκήσεις 8Α, 3Β, 4Β, σελίδες σχολικού βιβλίου 6 Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να λύσουμε εξισώσεις Α) Αν η εξίσωση είναι μια απλή πρωτοβάθμια εξίσωση της μορφής a b 0, τη λύνουμε με το συνήθη τρόπο (χωρίζουμε γνωστούς άγνωστους και διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου) Δεν ξεχνάμε να φέρουμε την τελική λύση στην κανονική μορφή i Β) Αν η εξίσωση είναι ου βαθμού της μορφής 0, όπου οι α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί και 0, ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε στις βασικές ιδιότητες: Βήμα Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα 4 Βήμα ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ έχουμε τις εξής περιπτώσεις Αν 0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: Αν 0, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική λύση: Αν 0, τότε η εξίσωση έχει δύο (συζυγείς) μιγαδικές λύσεις, i, Γ) Αν έχουμε την απλή δευτεροβάθμια εξίσωση (δηλαδή ψάχνουμε τις τετραγωνικές ρίζες του ), τότε (αν και μπορούμε να ακολουθήσουμε τα προηγούμενα βήματα) η λύση προκύπτει ευκολότερα αν ακολουθήσουμε την παρακάτω μεθοδολογία:, τότε Αν 0 i i Επομένως i, ή i Αν ο R, τότε είτε ακολουθούμε την διαδικασία με τη διακρίνουσα, είτε αντικαθιστούμε τον άγνωστο μιγαδικό με x y i, εκτελούμε όλες τις δυνατές πράξεις και εξισώνουμε πραγματικά και φανταστικά μέρη αντίστοιχα Δ) Στην περίπτωση που έχουμε πιο πολύπλοκες εξισώσεις, εξετάζουμε αν μπορούμε να κάνουμε παραγοντοποίηση Τέλος, αν καμιά από τις προηγούμενες μεθοδολογίες δεν ωφελεί, αντικαθιστούμε τον άγνωστο μιγαδικό με x y i, εκτελούμε όλες τις δυνατές πράξεις και εξισώνουμε πραγματικά και φανταστικά μέρη αντίστοιχα Έτσι καταλήγουμε σε ένα σύστημα (πραγματικών αριθμών) το οποίο λύνουμε κατά τα γνωστά Ε) Συστήματα: Εφαρμόζουμε τις γνωστές μεθοδολογίες επίλυσης συστημάτων που ισχύουν και στους πραγματικούς αριθμούς Εναλλακτικά, μπορούμε να θέσουμε κάθε άγνωστο μιγαδικό με x y i και να δημιουργήσουμε ένα σύστημα με διπλάσιες εξισώσεις Παραδείγματα: Ασκήσεις 3Α, 4Β, σελίδες σχολικού βιβλίου 7 Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε βρούμε τον γεωμετρικό τόπο ενός μιγαδικού, ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση Αντικαθιστούμε τον μιγαδικό με x y i, εκτελούμε τις πράξεις και προσπαθούμε να βρούμε μια σχέση μεταξύ των x και y ώστε να βρούμε το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο (ευθεία, κύκλος, έλλειψη, κλπ) Παραδείγματα: Ασκήσεις 9Β, σελίδες σχολικού βιβλίου Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 7 blogspotcom, bouboulismyschgr

8 8 Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε λύσουμε μια ανίσωση, ή να αποδείξουμε μια ανισωτική σχέση Προσοχή Το σώμα των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο Επομένως οι ανισότητες δεν έχουν νόημα Αν μας δοθεί μια τέτοια άσκηση, αυτό θα συνεπάγεται ότι ο αριθμός που ερευνούμε είναι πραγματικός και όχι μιγαδικός Άρα θα πρέπει πρώτα να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι μιγαδικός (ή να βρείτε υπό ποιές προϋποθέσεις γίνεται μιγαδικός) και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση κατά τα γνωστά Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 8 blogspotcom, bouboulismyschgr

9 Ασκήσεις Να γράψετε στη κανονική μορφή τους αριθμούς α) 3 3 i 4 i, β) i 4 i Να γραφούν στην μορφή i οι αριθμοί: α), β), i 3i 3i 3 Να τεθούν στη μορφή i οι παραστάσεις 5 03 α) i 3i i, β) i 5i i 3 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν ισχύει: 3 i i i i 3 i i i i 6 5 Αν οι φυσικοί αριθμοί κ, λ, μ, ν διαιρούμενοι με το 4 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο δείξτε ότι α) i i i i β) i 6 7 Δείξτε ότι i i i Δείξτε ότι i i, για κάθε φυσικό αριθμό ν 0 ν αν ν περιττός αν ο νείναι πολλαπλάσιος του 4 αν ο νείναι άρτιος αλλά όχι πολλαπλάσιος του 8 Αν, x R, δείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν ισχύει η σχέση x i xi 4 i x xi 4 9 Να βρείτε την τιμή της παράστασης A i i αριθμού ν 3 0 Να βρείτε τις τιμές της παράστασης φυσικού αριθμού ν για τις διάφορες τιμές του φυσικού i A i i i για τις διάφορες τιμές του 0 0 Αποδείξτε ότι για κάθε, C, ισχύει η σχέση i ( i) 0 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y για τους οποίους ισχύει η σχέση x yi xi 3 Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε οι ( i) i και w ( 4i) 3i να είναι ίσοι 4 4 Να προσδιοριστούν οι x, y R, ώστε ( i) x y( i) i Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 9 blogspotcom, bouboulismyschgr

10 5 Δίνονται οι μιγαδικοί 3 i και ( ) i Να προσδιοριστεί ο R ώστε ο αριθμός να είναι α) Πραγματικός β) Φανταστικός 6 i Αν,, R *, δείξτε ότι ο αριθμός είναι φανταστικός αν και μόνο αν οι αριθμοί i,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 7 8 Να βρείτε τις τιμές του στην ευθεία y x x R ώστε η εικόνα του Να προσδιοριστεί ο x ώστε ο αριθμός i x i x i να είναι πραγματικός x xi 9 Αν x yi και y xi, να προσδιοριστούν τα x, y R ώστε 0 Να λύσετε στο C την εξίσωση i ( i) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών α) 0 β) γ) 3 0 Να λυθεί η εξίσωση i, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών i i 3 Να λυθεί η εξίσωση a 4(a ) a 4( ), ως προς, όπου a, C 4 Να λυθεί η εξίσωση ( i) i, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο να ανήκει 5 Δίνεται η εξίσωση 4 0, όπου, R και C Να προσδιορίσετε τις παραμέτρους κ, λ, αν ο αριθμός i είναι λύση της εξίσωσης 6 Να λυθεί η εξίσωση 4 0, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών 7 Να λυθεί η εξίσωση ( i) 3 i 0, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών 8 Να λυθεί η εξίσωση ( x ) ( x x ) 0, i) Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ii) στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών 9 Να λυθεί η εξίσωση ( 4 5) i( ) 0, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών 30 Να λυθεί η εξίσωση ( 4 5) ( ) 0, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών 3 Να λυθούν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών οι εξισώσεις i) 3 0 ii) ( i ) i ( i) 0 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 0 blogspotcom, bouboulismyschgr

11 3 Να λυθεί η εξίσωση i i i 3 0 i 33 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : C C : f ( ) a a, a C Να λύσετε την εξίσωση f ( ) (σταθερά σημεία της f) 34 Να βρεθούν μιγαδικοί αριθμοί και ω, τέτοιοι ώστε και 35 Να λύσετε στο C το σύστημα ( i) 3i 9 8i ( i) (7 i) 3 6i 36 Υπολογίστε αριθμούς, C, έτσι ώστε ( i ) i i 37 Να λυθεί το σύστημα (3 i) (4 iw 6i (4 i) ( 3i) w 5 4i 38 Να βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς και ω για τους οποίους ισχύει η σχέση 0 39 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, που ικανοποιούν την ανίσωση 0 40 Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση 3 4 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ο αριθμός w είναι πραγματικός 4 Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση Αν το άθροισμα και το γινόμενο δύο μη πραγματικών μιγαδικών αριθμών και w είναι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι οι, w είναι συζυγείς μιγαδικοί 44 Να βρεθούν δύο μιγαδικοί αριθμοί με άθροισμα 4 και γινόμενο 8 45 Έστω ότι,, 3 C Αν, δείξτε ότι ( ) ( ) 3i 5 i Αποδείξτε ότι ο αριθμός Im είναι φανταστικός για κάθε C Επιπλέον, αποδείξτε ότι Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr

12 ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Α Ορισμός Έστω M ( x, y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού x y i στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων Ο Δηλαδή: Β Βασικές ιδιότητες Μέτρου OM x y Στην περίπτωση όπου R, το μέτρο του ταυτίζεται με την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού Η ποσότητα w εκφράζει την απόσταση των εικόνων των, w στο μιγαδικό επίπεδο Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γεωμετρική ερμηνεία των παραπάνω εννοιών 3 4 ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr

13 ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Α Μεσοκάθετος: Β Κύκλος: 0 r Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση είναι η ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος που κύκλος με κέντρο την εικόνα του μιγαδικού 0 συνδέει τις εικόνες των μιγαδικών και και ακτίνα r Γ Έλλειψη: a Σύμφωνα με τη γνωστή θεωρία από την Β Λυκείου, ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση είναι η έλλειψη με εστίες τις εικόνες των μιγαδικών και, εστιακή απόσταση ίση με και μεγάλο άξονα ίσο με a Δ Ανισώσεις: : Το ημιεπίπεδο που ορίζει η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τις εικόνες των μιγαδικών και, το οποίο περιέχει την εικόνα του 0 r : Το εσωτερικό του κυκλικού δίσκου 3 0 r : Το εξωτερικό του κυκλικού δίσκου 4 Με αντίστοιχο τρόπο δουλεύουμε και για άλλους γεωμετρικούς τόπους Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 3 blogspotcom, bouboulismyschgr

14 ΙΔΙΑΙΤΕΡΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (Δεν αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο) Α Παραβολή: ΒΥπερβολή: a a Re( ) a ή Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που a i Im( ) a (με a R) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση είναι Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που υπερβολή με εστίες τους και και μεγάλο ικανοποιούν μια από τις παραπάνω εξισώσεις άξονα a είναι είτε η παραβολή y 4 a x είτε η Αν μας δίνεται η εξίσωση παραβολή x 4 a y αντίστοιχα a, με a 0, τότε παίρνουμε μόνο το κομμάτι της υπερβολής που είναι εγγύτερα στην εστία Ομοίως, αν μας δίνεται η εξίσωση a a 0, τότε παίρνουμε μόνο το κομμάτι της υπερβολής που είναι εγγύτερα στην εστία με Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 4 blogspotcom, bouboulismyschgr

15 Δ Μεθοδολογία Ασκήσεων Ασκήσεις μέτρα μιγαδικών, οι οποίες μας ζητάνε να εκτελέσουμε πράξεις Σε αυτή την περίπτωση εκτελούμε τις πράξεις σύμφωνα με τους γνωστούς κανόνες Δεν ξεχνάμε την πολύ βασική ιδιότητα:, όπως επίσης και τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού: Επιπλέον στις περιπτώσεις όπου γνωρίζουμε ότι Παραδείγματα: Άσκηση Α σχολικού βιβλίου r, τότε έχουμε: r r r x y Ασκήσεις στις οποίες μας ζητείται να λύσουμε μια εξίσωση η οποία περιέχει μέτρα μιγαδικών Σε αυτή την κατηγορία έχουμε διάφορες περιπτώσεις Α) Αν μας ζητείται η επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής, πχ,, τότε μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον μιγαδικό x y i και να εκτελέσουμε πράξεις Πρέπει να λάβουμε υπ' όψιν ότι το μέτρο ενός μιγαδικού είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός, επομένως το φανταστικό μέρος του + θα πρέπει να είναι ίσο με 0 Εκτελώντας πράξεις βρίσκουμε τις λύσεις Β) Αν η άσκηση μας δίνει μια πιο πολύπλοκη εξίσωση τότε υπάρχουν δύο πιθανοί δρόμοι Είτε χρησιμοποιούμε την ιδιότητα και προσπαθούμε με αλγεβρικές πράξεις (αναγωγές ομοίων όρων, παραγοντοποίηση, κλπ) να καταλήξουμε σε μια λύση, είτε αντικαθιστούμε τον μιγαδικό x y i και εκτελούμε πράξεις Παραδείγματα: Ασκήσεις 3Α, 4Α, σχολικού βιβλίου 3 Ασκήσεις στις οποίες μας ζητείται η απόδειξη κάποιων σχέσεων που περιέχουν μέτρα Σε τέτοιες ασκήσεις υπάρχουν πολλοί δρόμοι που μπορούμε να ακολουθήσουμε Δεν ξεχνάμε τις σχέσεις και τις ιδιότητες που γνωρίζουμε και κυρίως την ιδιότητα Αν η σχέση που πρέπει να αποδείξουμε περιέχει μέτρα, τότε μια πολύ καλή στρατηγική είναι να υψώσουμε στο τετράγωνο τη σχέση μας και να αντικαταστήσουμε κάθε τετράγωνο ενός μέτρου με το γινόμενο του μιγαδικού επί τον συζυγή του Αν μας δίνεται το μέτρο ενός μιγαδικού, r, και ζητείται να αποδειχθεί μια σχέση με τον μιγαδικό και τον συζυγή του τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη στρατηγική που αναφέρθηκε και στην περίπτωση, δηλαδή: r r r Αν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι μια ισότητα μιγαδικών δεν μπορεί να ισχύει ποτέ, μπορούμε να πάρουμε τα μέτρα των μιγαδικών και να αποδείξουμε ότι είναι πάντα διαφορετικά Παραδείγματα: Ασκήσεις 6Α, 9Α, Β, Β, 3Β, 4Β, σχολικού βιβλίου Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 5 blogspotcom, bouboulismyschgr

16 4 Ασκήσεις με γεωμετρικούς τόπους Α) Αν η άσκηση ζητάει να βρούμε έναν απλό γεωμετρικό τόπο από μια εξίσωση της μορφής r (κύκλος) ή μια εξίσωση της μορφής (μεσοκάθετος), τότε απλά εφαρμόζουμε τα γνωστά από την θεωρία Υπάρχει περίπτωση να χρειαστεί να επεξεργαστούμε πρώτα τη σχέση που μας δίνεται ώστε να προκύψει ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος Για παράδειγμα οι μιγαδικοί που ικανοποιούν τη σχέση i, ανήκουν σε κύκλο, αφού i i i i i i i i Συμβουλευτείτε την ανάλυση που έχει προηγηθεί στις σελίδες 3, 4 Στην περίπτωση που έχουμε ανίσωση αντί για εξίσωση τότε: Αν r, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου εκτός της 0 περιφέρειας Αν του κύκλου 0 r, τότε ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία έξω από την περιφέρεια Αν, τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από όλα τα σημεία του ημιεπιπέδου που ορίζεται από τη μεσοκάθετο του ευθύγραμου τμήματος, το οποίο ενώνει τις εικόνες των μιγαδικών, και περιέχει το σημείο Στην περίπτωση, ο γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο Β) Αν η άσκηση μας δίνει ότι ο μιγαδικός αριθμός κινείται σε ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό τόπο και μας ζητάει να βρούμε το γεωμετρικό τόπο ενός άλλου μιγαδικού w f, που δίνεται ως συνάρτηση του, τότε ακολουθούμε τις παρακάτω στρατηγικές: Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο του w, ή το μέτρο της διαφοράς w w0, για κατάλληλη επιλογή του w 0 Αν το μέτρο αυτό είναι σταθερό και ίσο με r, τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο το w 0 και ακτίνα r Τέτοιες περιπτώσεις είναι οι ασκήσεις όπου μας δίνεται πως ο ανήκει σε ένα κύκλο ακτίνας, ενώ ο w δίνεται από σχέση της μορφής w a b Σε τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως επιλύουμε τη σχέση ως προς και στη συνέχεια w b αντικαθιστούμε στη δοσμένη σχέση Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε, οπότε η a w b σχέση 0 r, δίνει τη σχέση 0 r w b a 0 r a, οπότε και ο w a ανήκει σε κύκλο 0 Σε πιο πολύπλοκες ασκήσεις, μπορούμε να θέσουμε x y i και να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο που μας δίνεται για τα σημεία ως μια καμπύλη Στη συνέχεια θέτουμε w x y i και n n Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 6 blogspotcom, bouboulismyschgr

17 αφού w f, βρίσκουμε τις σχέσεις μεταξύ x, y και x n, yn Αντικαθιστώντας στην αρχική καμπύλη τα x, y από τα x n, yn μπορούμε να βρούμε την εξίσωση που ικανοποιούν οι συντεταγμένες x n, yn της εικόνας του w στο μιγαδικό επίπεδο Από τις γνώσεις της Β Λυκείου καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για ευθεία, έλλειψη, παραβολή, κλπ Για παράδειγμα: Ξέρουμε ότι ο κινείται σε κύκλο με κέντρο το Ο και ακτίνα Δηλαδή Αυτό σημαίνει ότι x y Από την άλλη μας δίνεται ότι δηλαδή w Τότε w x 3 y i, x n x και y n 3y Επομένως y x n 9 n Άρα ο w κινείται σε έλλειψη Γ) Σε κάθε άλλη περίπτωση μπορούμε πάντα να θέσουμε x y i και να εκτελέσουμε πράξεις Βρίσκουμε την εξίσωση της καμπύλης και από τις γνώσεις της Β Λυκείου καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για ευθεία, έλλειψη, παραβολή, κλπ Δ) Στην περίπτωση που μας ζητείται να βρούμε ποιο από τα σημεία ενός γεωμετρικού τόπου έχει το μικρότερο και το μεγαλύτερο μέτρο, μπορούμε να ακολουθήσουμε τις εξής δύο στρατηγικές: Κάνοντας ένα σχήμα μπορούμε να βρούμε εύκολα (συνήθως) μέσω του σχήματος την απάντηση Αυτή είναι μια γεωμετρική λύση του προβλήματος Το σημείο με το μεγαλύτερο μέτρο θα είναι αυτό που βρίσκεται μακρύτερα ως προς την αρχή των αξόνων Το σημείο με το μικρότερο μέτρο θα είναι αυτό που βρίσκεται πιο κοντά στην αρχή των αξόνων Χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα:, μπορούμε να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα με αλγεβρικό τρόπο Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται το παρακάτω πρόβλημα: Ποιός από τους μιγαδικούς i έχει το μεγαλύτερο και ποιος το μικρότερο μέτρο; Η γεωμετρική επίλυση του προβλήματος αυτού μας δίνει εύκολα (δες σχήμα) την απάντηση Εναλλακτικά, ακολουθώντας την αλγεβρική μεθοδολογία παίρνουμε: i i i i 5 Επομένως, το μεγαλύτερο μέτρο των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση i είναι ίσο με 5 Αντίστοιχα i i i i 5 5 Επομένως, το μικρότερο μέτρο των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση i είναι ίσο με 5 Το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο εμφανίζονται όταν i ( i) ( ) i Επειδή υπολογίσαμε το μέτρο του, μπορούμε να βρούμε την παράμετρο λ Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 7 blogspotcom, bouboulismyschgr

18 Ασκήσεις Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: 3 i i i,, 3 i i i 3 Αν,, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 0, να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού w Να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό για τον οποίο ισχύει: i i 4 Να προσδιοριστεί ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: i 5 Να λυθεί η εξίσωση , στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών 6 Να λυθεί η εξίσωση Να βρεθεί ο μιγαδικός αν και i 8 Δείξτε ότι η εξίσωση i 03 i 3 δεν έχει πραγματικές ρίζες 3 i 9 Αν ο ν είναι θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x, για τον οποίο να ισχύει η εξίσωση i 3 i x 0 Να λυθεί η εξίσωση: Να λυθεί η εξίσωση Να λυθεί η εξίσωση i i 4 3 Αν γνωρίζετε ότι ο αριθμός i w i είναι φανταστικός, να δείξετε ότι ο έχει μέτρο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 8 blogspotcom, bouboulismyschgr

19 4 Αν ισχύει η σχέση 9 3, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, το κέντρο και την ακτίνα του 5 Αν ισχύει ότι 3 3, να αποδείξετε ότι 3 6 Αν ισχύει ότι w, για, w C και ότι ο αριθμός i( w) v είναι πραγματικός, να αποδείξετε ότι w 7 Αν, w C και w w 8 Αν για τους, w C ισχύει ότι w και αντιστρόφως, τότε δείξτε ότι ο αριθμός w είναι φανταστικός w w, δείξτε ότι w w 9 Έστω C, x R με x 0 και x i Επιπλέον δίνεται και ο αριθμός xi w i x Α) Να αποδείξετε ότι ο w είναι φανταστικός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός Β) Να αποδείξετε ότι w, αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός αριθμός 0 Αν C, ν φυσικός αριθμός, 0 πραγματικός αριθμός, και i i, να αποδείξετε ότι ο είναι Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,,, n, στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας, να αποδείξετε ότι n n Αν, w C, αν αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει 3 Αν, w C δείξτε ότι n w 0 x w x w w w 4 Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, w, στο μιγαδικό επίπεδο είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου x y, να αποδείξετε ότι w w 5 Αν x yi, x, y R, με y 0 και, δείξτε ότι υπάρχει λr, τέτοιος ώστε i i 6 Δείξτε ότι ο είναι πραγματικός αν και μόνο αν 3i 3i 7 Δείξτε ότι ο είναι φανταστικός αν και μόνο αν 3 3 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 9 blogspotcom, bouboulismyschgr

20 8 Αν, δείξτε ότι, αν και μόνο αν ο w είναι φανταστικός αριθμός 9 Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί, w Να αποδείξετε ότι το πηλίκο / w είναι φανταστικός αριθμός, αν και μόνο αν w w 30 Έστω x R και C, με x Δείξτε ότι Re x x x x 3 Αποδείξτε ότι για κάθε C ισχύει η σχέση 3 Αν, C, με 0, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των αριθμών w, w και w3 i 3, στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου 33 Αν οι, w είναι δύο διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός w v είναι φανταστικός, αν και μόνο αν w w 34 Αν C με 4, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο 35 Αν C με, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο 36 Έστω ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει στην καμπύλη με εξίσωση x y 9 και w 5 i Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w 37 Αν ισχύει ότι και, να αποδείξετε ότι 3 38 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,,, και w για τους οποίους ισχύει k k w w Αν θέσουμε, για k,,, n n w w n, να αποδείξετε ότι 39 Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης 3, όταν C και 4i 40 Αν για τον μιγαδικό ισχύει ότι Re( ) Im( ) 3, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης 8 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 0 blogspotcom, bouboulismyschgr

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση 1 η Εργασία ΕΟ 13 014-015 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα