Πηγή Ποµπός Κανάλι έκτης Προορισµός. Θόρυβος I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Transcript

1 I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ως επικοινωνία ορίζεται η µετάδοση πληροφορίας από ένα σηµείο του χωροχρόνου σε κάποιο άλλο. I.. Είδη Επικοινωνίας Ανάλογα µε την κατεύθυνση προς την οποία µετακινούνται οι πληροφορίες, οι επικοινωνίες στα δίκτυα διακρίνονται σε: Μονόδροµες (Siplex): Η πληροφορία µεταδίδεται µόνο προς τη µια κατεύθυνση, π.χ. εκποµπές ραδιοφώνου και τηλεόρασης, δίκτυα τηλεειδοποίησης. Αµφίδροµες (Full-Duplex): Είναι ο επικρατέστερος τρόπος επικοινωνίας, όπου η πληροφορία µπορεί να µεταδοθεί και προς τις δύο διευθύνσεις, όπως π.χ. στο τηλεφωνικό δίκτυο. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η αµφίδροµη επικοινωνία επιτυγχάνεται µε την ύπαρξη δύο µονόδροµων ζεύξεων (π.χ. δύο καλώδια). Ηµι-αµφίδροµες (Half-duplex): Μία µόνο ζεύξη χρησιµοποιείται εναλλάξ για αποστολή και λήψη πληροφοριών, µε χαρακτηριστικό παράδειγµα το γνωστό B. Πολλά δίκτυα υπολογιστών χρησιµοποιούν ηµι-αµφίδροµη επικοινωνία, όπου σε κάθε χρονική στιγµή µπορούνε είτε να λάβουν είτε να αποστείλουν δεδοµένα. I.. Μοντέλο Τηλεπικοινωνιακού Συστήµατος Στην Εικόνα I- εικονίζεται το µοντέλο ενός τηλεπικοινωνιακού συστήµατος. Οι δύο οντότητες που επικοινωνούν αναφέρονται ως πηγή, η οποία παράγει την προς µετάδοση πληροφορία, και προορισµός, στον οποίο καταλήγει η πληροφορία. Για τη µετάδοση χρησιµοποιείται κάποιο κανάλι επικοινωνίας, το οποίο υλοποιείται µε κάποιο µέσο µετάδοσης, όπως για παράδειγµα ένα καλώδιο. Τις περισσότερες φορές, η πληροφορία που παράγει η πηγή δεν είναι σε µορφή κατάλληλη για µετάδοση µέσα από το κανάλι και απαιτείται κάποια προσαρµογή της στα χαρακτηριστικά του καναλιού, π.χ. σε έναν ραδιοφωνικό σταθµό, το ηλεκτρικό σήµα που καταγράφει ένα µικρόφωνο θα πρέπει να µετατραπεί σε κατάλληλα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα πριν εκπεµφθεί. Τον ρόλο αυτής της προσαρµογής (που είναι γνωστή ως διαµόρφωση), αλλά και οποιαδήποτε άλλη απαραίτητη επεξεργασία, αναλαµβάνει ο ποµπός. Στην έξοδο του καναλιού, ο δέκτης πραγµατοποιεί την αντίστροφη διαδικασία και ανακτά το αρχικό σήµα (ή κάποια προσέγγισή του), το οποίο και τροφοδοτεί στον προορισµό. Κατά τη µετάδοση µέσω του καναλιού, το εκπεµπόµενο σήµα υφίσταται κάποια παραµόρφωση, η οποία µπορεί να είναι είτε προβλέψιµη, όπως π.χ. εξασθένιση λόγω απόστασης, είτε τυχαία, όπως π.χ. παρεµβολές από άλλες πηγές ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων ή θερµική ταλάντωση των ατόµων στο καλώδιο. Οι µη προβλέψιµες παραµορφώσεις αναφέρονται ως θόρυβος και θεωρούνται τυχαίες διαδικασίες. Πηγή Ποµπός Κανάλι έκτης Προορισµός Θόρυβος Εικόνα I-: Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήµατος I.3. Πηγές Πληροφορίας Τα κυριότερα είδη σηµάτων που παράγουν οι συνηθισµένες πηγές πληροφορίας είναι: Ήχος: Περιλαµβάνει όλες τις κατηγορίες των ακουστικών σηµάτων, όπου διακρίνονται δύο κύρια είδη: η φωνή, δηλαδή τα σήµατα που µπορεί να παράγει ο άνθρωπος και συνήθως καταλαµβάνουν την περιοχή συχνοτήτων 3-34Hz, και η µουσική, όρος µε τον οποίο περιγράφουµε τα σήµατα που καταλαµβάνουν ο µάθηµα 3// Σελίδα

2 την ακουστική περιοχή συχνοτήτων Hz-Hz και µπορεί να αντιληφθεί το ανθρώπινο αυτί. Εικόνα: Τα σήµατα που αντιστοιχούν σε εικόνες µπορούν να καταταχθούν σε δύο κατηγορίες: τη στατική εικόνα, όπως π.χ. κατά τη µετάδοση ενός Fax, και την δυναµική ή κινούµενη εικόνα, όπως π.χ. το τηλεοπτικό σήµα, το οποίο (στη βασική ζώνη) καταλαµβάνει στην περιοχή συχνοτήτων -4.5Hz. εδοµένα: Ως σήµατα δεδοµένων αναφέρονται αυτά που παράγονται από Η/Υ ή από άλλες ψηφιακές συσκευές και συνήθως αποτελούν µία σειρά από και. Τα σήµατα αυτά µπορούν σε πολλές περιπτώσεις να καταλαµβάνουν µεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων, µέχρι και πολλά Hz ή και ακόµη περισσότερο. Ανάλογα µε την περιοχή τιµών τους, τα εκπεµπόµενα σήµατα διακρίνονται σε Αναλογικά: όπου η περιοχή τιµών είναι συνεχές διάστηµα, υποσύνολο του. Ψηφιακά: όπου η περιοχή τιµών είναι ένα διακριτό σύνολο, συνήθως {, }. I.4. Μέσα Μετάδοσης Τα συνηθισµένα µέσα µετάδοσης που χρησιµοποιούνται για την υλοποίηση των καναλιών επικοινωνίας είναι τα ακόλουθα: Χάλκινα σύρµατα: Συνήθως απαντώνται σε µορφή ζεύγους συρµάτων, τα οποία είναι µονωµένα, ώστε να µην υπάρχει επαφή µεταξύ τους, και συνεστραµµένα το ένα γύρω από το άλλο, για µείωση του θορύβου από διάφορες παρεµβολές. Χρησιµοποιούνται κατά κύριο λόγο στο τηλεφωνικό δίκτυο, το οποίο περιορίζει το εύρος ζώνης συχνοτήτων στην περιοχή 3Hz-3.Hz, αν και µε χρήση της τεχνολογίας DSL το εύρος ζώνης µπορεί να φτάσει τα 6Hz. Χάλκινα σύρµατα χρησιµοποιούνται όλο και περισσότερο στην διασύνδεση Η/Υ σε τοπικά δίκτυα. Το µειονέκτηµά τους είναι η µεγάλη ευαισθησία τους σε εξωτερικές Η/Μ παρεµβολές, το οποίο όµως αντισταθµίζεται από το πολύ χαµηλό τους κόστος. Οµοαξονικό καλώδιο: Έχει ισχυρή θωράκιση από Η/Μ παρεµβολές και κατά συνέπεια µεγάλο εύρος φάσµατος, µέχρι και GHz. Οι πιο συνηθισµένες χρήσεις του είναι στη διανοµή του σήµατος της καλωδιακής τηλεόρασης και (παλαιότερα) στη σύνδεση Η/Υ σε τοπικό δίκτυο Eherne. Οπτικές ίνες. Τα πλεονεκτήµατα των οπτικών ινών είναι πολύ σηµαντικά και η χρήση τους περιορίζεται µόνο από το Περίβληµα Μονωτικό Πλέγµα Πυρήνας αυξηµένο τους κόστος. Η µετάδοση Οπτική Οπτικό πραγµατοποιείται µε δέσµες φωτός και Προστατευτικός Μηχανική Ίνα Περίβληµα Μανδύας Ενίσχυση για το λόγο αυτό είναι απρόσβλητες από Η/Μ παρεµβολές. Επίσης το εύρος φάσµατός τους είναι πολύ µεγάλο, της τάξης των 3 Hz, ενώ και η πρώτη ύλη τους (άµµος) είναι ανεξάντλητη. Ελεύθερος χώρος: Στις ασύρµατες επικοινωνίες το µέσο µετάδοσης είναι ο αέρας ή το κενό και η επικοινωνία πραγµατοποιείται µε εκποµπή Η/Μ κυµάτων. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα είναι οι ραδιοφωνικές εκποµπές A ή F και η εκποµπές τηλεοπτικών σταθµών, όπου το εύρος ζώνης είναι Hz, Hz και 6Hz αντίστοιχα. Άλλες εφαρµογές της ασύρµατης µετάδοσης είναι οι δορυφορικές εκποµπές (στα 4-6GHz), οι µικροκυµατικές ζεύξεις (συχνότητες µεγαλύτερες από 3GHz) και η κινητή τηλεφωνία (στα 9Hz ή τα.8ghz στο GS). Οι περιοχές συχνοτήτων για τη µετάδοση συγκεκριµένων σηµάτων καθορίζονται από τοπικούς ή διεθνείς οργανισµούς µε χορήγηση ειδικής άδειας. ο µάθηµα 3// Σελίδα

3 II. ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ Η προσαρµογή του σήµατος πληροφορίας στα χαρακτηριστικά του µέσου µετάδοσης πραγµατοποιείται µέσω της διαµόρφωσης. II.. Μετατόπιση στη Συχνότητα Κατά τη διαµόρφωση, το φάσµα του σήµατος πληροφορίας µετατοπίζεται από τη βασική ζώνη (την περιοχή συχνοτήτων γύρω από το, που αρχικά καταλαµβάνει) σε µία περιοχή υψηλότερων συχνοτήτων. Λόγοι για τους οποίους είναι επιθυµητή η µετατόπιση του φάσµατος ενός σήµατος στη συχνότητα είναι: Πολυπλεξία στη συχνότητα: Σε πολλές περιπτώσεις επιβάλλεται ο συνδυασµός πολλών σηµάτων σε ένα, όπως π.χ. στα τηλεφωνικά δίκτυα, µε τέτοιο τρόπο ώστε το συνολικό σήµα να είναι διαχωρίσιµο. Εάν τα φάσµατα των επιµέρους σηµάτων µετατοπιστούν στη συχνότητα ώστε να καταλαµβάνουν διαφορετική περιοχή συχνοτήτων το καθένα, τότε το άθροισµά τους θα είναι πράγµατι διαχωρίσιµο. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως πολυπλεξία στη συχνότητα και χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η ταυτόχρονη µετάδοση των σηµάτων των ραδιοφωνικών σταθµών µέσα από το ίδιο µέσο µετάδοσης (ελεύθερο χώρο). Πρακτικότητα των κεραιών: Για να µπορεί ένα Η/Μ κύµα να µεταδοθεί αρκετά µακριά, το µήκος της κεραίας εκποµπής που θα χρησιµοποιηθεί θα πρέπει να είναι συγκρίσιµο µε το µήκος κύµατος του προς µετάδοση σήµατος, το οποίο µε τη σειρά του είναι αντιστρόφως ανάλογο µε τη συχνότητα του σήµατος ( λ = c f, όπου c η ταχύτητα του φωτός). Έτσι, ένα σήµα που αντιστοιχεί σε έναν ηχητικό τόνο του Hz έχει µήκος κύµατος 3, ενώ εάν µετατοπιζόταν στα Hz το αντίστοιχο µήκος κύµατος θα είναι 3. Συρρίκνωση «εύρους ζώνης»: Ένα σήµα ήχου µπορεί να περιέχει συχνότητες από Hz έως Hz και τα αντίστοιχα µήκη κύµατος είναι 5 και 5 αντίστοιχα. Ακόµη και εάν ήταν δυνατό να κατασκευαστεί κεραία που θα είναι κατάλληλη για τη χαµηλότερη συχνότητα, αυτή δε θα ήταν κατάλληλη για την υψηλότερη. Εάν, ωστόσο, το φάσµα µετατοπιζόταν κατά Hz, δηλαδή από.hz µέχρι.hz το µήκος κύµατος και για την ανώτερη και την κατώτερη συχνότητα είναι περίπου 3 και µια κεραία µε ανάλογο µήκος θα είναι κατάλληλη για όλο το εύρος συχνοτήτων. Ο όρος «συρρίκνωση εύρους ζώνης» αναφέρεται στη µείωση του λόγου ανώτερης προς κατώτερη συχνότητα από σε περίπου. Κοινή επεξεργασία σηµάτων: Κατά την επεξεργασία σηµάτων στους ποµπούς ή τους δέκτες των τηλεπικοινωνιακών συστηµάτων, κάποια από τα στοιχεία που χρησιµοποιούνται, π.χ. διευκρινιστής συχνότητας στους δέκτες F, λειτουργούν σε συγκεκριµένη περιοχή συχνοτήτων. Προκειµένου να χρησιµοποιείται ένα τέτοιο στοιχείο για κάθε σήµα µε διαφορετική συχνότητα, είναι προτιµότερο να χρησιµοποιήσουµε ένα µόνο στοιχείο και να µετατοπίζουµε το κάθε σήµα στη συχνότητα λειτουργίας του στοιχείου αυτού. II.. ιαµόρφωση DSB-S Ένας απλός τρόπος µετατόπισης είναι η µίξη (πολλαπλασιασµός) του αρχικού σήµατος x() µε ηµιτονοειδές σήµα συχνότητας f : jπ f jπ f y = x cos π f = x e + x e (II.) () () () () Έτσι, εάν το φάσµα (µετασχηµατισµός Fourier) του σήµατος πληροφορίας είναι ( f ), τότε το αντίστοιχο φάσµα του παραγόµενου σήµατος θα είναι ο µάθηµα // Σελίδα 3

4 Y( f ) = ( f f) + ( f + f ) (II.) Κατά συνέπεια, το φάσµα του αρχικού σήµατος µετατοπίστηκε γύρω από τις συχνότητες f και f, όπως φαίνεται στην Εικόνα II-. ( f ) Y( f ) A A f f f f f f f f + f f Εικόνα II-: Φάσµα των x() και y() f f f + f x() Στο πεδίο του χρόνου, η µίξη των δύο σηµάτων εικονίζεται 5 στο διπλανό σχήµα. Το σήµα που παράγεται έχει και αυτό µία ηµιτονοειδή µορφή, το πλάτος cos(π f c ) της οποίας όµως παρακολουθεί τις µεταβολές του πλάτους του.5 αρχικού σήµατος. Η καµπύλη που συνδέει τις κορυφές (τοπικά -.5 µέγιστα) του y() ονοµάζεται y() περιβάλλουσα του διαµορφωµένου περιβαλλουσα σήµατος και προσεγγίζει την 5 απόλυτη τιµή του αρχικού -5 σήµατος. Η προσέγγιση αυτή - είναι καλύτερη όσο µεγαλύτερη είναι η f σε σχέση µε την f. Επειδή ακριβώς το πλάτο ς του συνηµιτόνου διαµορφώνεται από το πλάτος του σήµατος πληροφορίας, η διαδικασία αυτή αναφέρεται ως διαµόρφωση. Η τεχνική που περιγράψαµε αποτελεί ειδική περίπτωση της διαµόρφωσης πλάτους και λόγω της µορφής του φάσµατος του διαµορφωµένου σήµατος αναφέρεται ως διαµόρφωση ιπλής Πλευρικής Ζώνης Κατασταλµένου Φέροντος ή DSB-S (Doule Side Band cos π f ), το Suppressed arrier). Ως φέρον αναφέρεται το ηµιτονοειδές σήµα ( οποίο και «φέρει» την πληροφορία στο πλάτος του. x() cos ( π f) y() y() cos z( ) ( π f) Εικόνα II-: Ποµπός και δέκτης DSB-S x () Ο ποµπός ενός τηλεπικοινωνιακού συστήµατος DSB-S περιλαµβάνει µία απλή µίξη µε ένα φέρον, όπως περιγράφεται από την (II.) και την Εικόνα II-. Στην ίδια εικόνα φαίνεται και ο δέκτης ή αποδιαµορφωτής DSB-S, ο οποίος περιλαµβάνει µίξη µε ένα τοπικό φέρον, το οποίο φροντίζουµε να είναι ακριβές αντίγραφο του αρχικού φέροντος που χρησιµοποιούνται στον ποµπό και φιλτράρισµα. Η έξοδος του µίκτη στο δέκτη είναι x( ) x( ) z () = y () cos( π f ) = x () cos ( π f ) = + cos( π f ) (II.3) ο µάθηµα // Σελίδα 4

5 Ο πρώτος όρος στο δεξί µέρος της (II.3) αντιστοιχεί στο αρχικό σήµα στη βασική ζώνη (εξασθενηµένο κατά 5%), το οποίο και επιθυµούµε να ανακτήσουµε, ενώ ο δεύτερος όρος αντιστοιχεί στο ίδιο σήµα µετατοπισµένο στη συχνότητα κατά f, το οποίο και µπορεί να αποκοπεί µε τη χρήση ενός χαµηλοπερατού φίλτρου (αρκεί η συχνότητα αποκοπής του να βρίσκεται µεταξύ f και f f ). Αν και η δοµή του δέκτη DSB-S φαίνεται αρκετά απλή, υπάρχουν σηµαντικά προβλήµατα στην υλοποίησή του. Ο κυριότερος λόγ ος είναι η ανάγκη για πλήρη συγχρονισµό του τοπικού φέροντος στο δέκτη και του αρχικού φέροντος στον ποµπό. Έστω ότι το τοπικό φέρον στο δέκτη αναπαράγεται µε µικρή απόκλιση συχνότητας f και φάσης φ, δηλαδή είναι cos π ( f + f ) + φ. Τότε θα έχουµε x() x( ) z( ) = cos( π f+ φ) + cos π ( f + f ) + φ (II.4) Μετά τη διέλευση από το φίλτρο, διατηρείται µόνο ο πρώτος όρος της (II.4), που διαφέρει από το αρχικό σήµα. Εάν f τότε εµφανίζεται διακρότηµ α, ενώ ακόµη και εάν f =, ενδεχόµενη διαφορά φάσης φ εξασθενεί το λαµβανόµενο σήµα κατά cosφ, που µπορεί να είναι πολύ µικρό όταν φ π. Η µίξη διαµορφωµένου σήµατος µε φέρον διαφορετικό (έτερο) από το αρχικ ό είναι γνωστή ως ετεροδύνωση. Για το λόγο αυτό, αντί για δηµιουργία νέου φέρον τος στο δέκτη, χρησιµοποιούνται (ακριβά) κυκλώµατα ανάκτησης φέροντος από το λαµβανόµενο σήµα, τα οποία όµως αυξάνουν την πολυπλοκότητα του δέκτη. Τα κυκλώµατα αυτά ανακτούν το αρχικό φέρον και η επακόλουθη µίξη αναφέρεται ως οµοδύνωση. II.3. ιαµόρφωση Πλάτους εδοµένων των προβληµάτων συγχρονισµού κατά την αποδιαµόρφωση DSB-S, η πλέον προτιµώµενη µέθοδος, κυρίως για ραδιοφωνικές εκποµπές, είναι η ιαµόρφωση Πλάτους ή A (Apliude odulaion), στην οποία το φέρον ενσωµατώνεται στο µετατοπισµένο στη συχνότητα σήµα, όπως φαίνεται και στην Εικόνα II-3. Το σήµα στην έξοδο του ποµπού είναι y () = x A () A cos( π f ) + A cos( π f ) = A + x A cos( π f )(II.5) όπου η σταθερά ονοµάζεται ευαισθησία πλάτους, και επιλέγεται ώστε x. x() A A A () ( π f ) y() A δ f + f Y( f ) A δ ( f f ) A cos f f f f + f f f f f + f Εικόνα II-3: Ποµπός A και φάσµα διαµορφωµένου σήµατος Παράδειγµα x = A cos π f, το οποίο διαµορφώνεται κατά Έστω το σήµα πληροφορίας ( ), παράγοντας y() = A +µ cos( π f ) cos( π f ) A το, όπου µ AA είναι ο.5 δείκτης διαµόρφωσης πλάτους. Το σήµα A A ax έχει τη µορφή της µπλε κυµατοµορφής του διπλανού σχήµατος, ενώ η περιβάλλουσά A in.5 του πε ριγράφει πλήρως το αρχικό σήµα. Εάν A ax η µέγιστη και A in η ελάχιστη τιµή της περιβάλλουσας, ισχύει -.5 Aax A in µ = (II.6) A + A - ax in f ο µάθηµα // Σελίδα 5

6 Αναλύοντας τους τρεις όρους του σήµατος A, διαπιστώνουµε ότι η κατανοµή της ισχύος είναι: A για την εκποµπή του φέροντος, µ A 8 για την άνω και µ A 8 για την κάτω πλευρική ζώνη. Κατά συνέπεια, στη διαµόρφωση πλάτους, για την εκποµπή του φέροντος απαιτείται τουλάχιστον τα /3 της συνολικής ισχύος. Οι δέκτες που χρησιµοποιούνται για την αποδιαµόρφωση A αποτελούνται συνήθως από ανιχνευτές περιβάλλουσας, δηλαδή y() R ˆx () συστήµατα που εξάγουν την περιβάλλουσα του διαµορφωµένου σήµατος. Μία απλή υλοποίηση εικονίζεται στο διπλανό σχήµα. Όσο το πλάτος του σήµατος A αυξάνει, η τάση Περιβάλλουσα του πυκνωτή ακολουθεί, ενώ µ όλις αρχίσει να Έξοδος µειώνεται η δίοδος παύει να άγει και το κύκλωµα Πυκνωτή Ηµιανορθωµένο Σήµα A R αποκόπτεται από την είσοδο. Η εκφόρτιση του πυκνωτή ακολουθεί την περιβάλλουσα. Ο ρυθµός εκφόρτισης εξαρτάται από το γινόµενο R, που πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε η εκφόρτιση να µην είναι ούτε πολύ αργή (ώστε να «χάνονται» κορυφές) ούτε πολύ γρήγορη (ώστε να υπάρχει παραµόρφωση). II.4. ιαµόρφωση SSB και VSB Τα µειονεκτήµατα της ιαµόρφωσης Πλάτους, που αντισταθµίζουν ως ένα βαθµό την απλότητα του δέκτη, είναι αφενός η σπατάλη ισχύος για την εκποµπή του φέροντος (τουλάχιστον διπλάσια από την ισχύ που χρειάζεται για την εκποµπή των πλευρικών ζωνών) και αφετέρου η ανάγκη χρήσης εύρους ζώνης διπλάσιου από το εύρος ζώνης του αρχικού σήµατος στη βασική ζώνη. Η διαµόρφωση DSB-S εξοικονοµεί ισχύ καταστέλλοντας το φέρον, ωστόσο είναι προφανές ότι η άνω και η κάτω πλευρικές ζώνες µεταφέρουν την ίδια ακριβώς πληροφορία. Εάν, λοιπόν, µε κάποιον τρόπο αποκόψουµε µία από τις δύο πλευρικές ζώνες, η απαιτούµενη ισχύς καθώς και το αντίστοιχο εύρος ζώνης θα µειωθούν στο µισό (σε σχέση µε τη DSB-S). Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή ως διαµόρφωση απλής πλευρικής ζώνης ή SSB (Single Side Band) και το φάσµα του παραγόµενου σήµατος εικονίζεται στο διπλανό σχήµα, για την περίπτωση της άνω πλευρικής ζώνης (SSB-USB). Η δηµιουργία του σήµατος SSB προ f f f f SSB-USB Y( f ) f f f + f ϋποθέτει την ύπαρξη πολύ απότοµων φίλτρων στον ποµπό ή την απουσία συνεχούς ( dc) συνιστώσας στο αρχικό σήµα. Επειδή αυτό δεν είναι πάντα δυνατό, µία ενδιάµεση λύση είναι η διαµόρφωση υπολειπόµενης πλευρικής ζώνης ή VSB (Vesigial Side Band), όπου το σήµα DSB-S φιλτράρεται µε ένα ζωνοπερατό, αλλά όχι ιδανικό, φίλτρο. Η χαρακτηριστική του φίλτρου επιλέγεται έτσι ώστε στο δέκτη το αρχικό σήµα να ανακτάται χωρίς παραµόρφωση. Y( f ) H( f ) VSB-USB x () f y() cos ( π f) f f f + f Εικόνα II-4: Ποµπός VSB και φάσµα σήµατος VSB άνω πλευρικής ζώνης Ο δέκτης των SSB και VSB ταυτίζεται µε αυτόν της DSB-S (βλ. Εικόνα II-). Στην περίπτωση της SSB και µε την προϋπόθεση ότι το τοπικό φέρον είναι απόλυτα συγχρονισµένο µε το αρχικό, το αρχικό σήµα ανακτάται χωρίς παραµόρφωση. Για τη VSB, ωστόσο, η ανάκτηση του αρχικού σήµατος χωρίς παραµόρφωση είναι δυνατή µόνον εάν η χαρακτηριστική του φίλτρου που χρησιµοποιείται στον ποµπό ικανοποιεί H f f + H f + f = H f (II.7) f f ο µάθηµα // Σελίδα 6

7 II.5. Κανονική Μορφή ιαµορφωµένου Σήµατος Εάν x() είναι το διαµορφώνον σήµα, τότε για τις διαµορφώσεεις DSB-S, SSB και VSB, το διαµορφωµένο σήµα µπορεί να εκφραστεί στην κανονική µορφή s () = s() cos( π f ) ss ( ) sin ( π f ), (II.8) όπου η συµφασική συνιστώσα s ( ) και η ορθογωνική συνιστώσα ss () εξαρτώνται γραµµικά από το αρχικό σήµα x. Για το λόγο αυτό, οι τρεις αυτές τεχνικές αποτελούν παραδείγµατα γραµµικής διαµόρφωσης. Ο Πίνακας II- συνοψίζει την ανάλυση σε κανονική µορφή των διάφορων τεχνικών xˆ x π είναι ο γραµµικής διαµόρφωσης. Στον πίνακα αυτό, µετασχηµατισµός Hiler του x( ) και xs ( ) x( ) hs ( ) φίλτρου µε συνάρτηση µ εταφοράς S H( f f) H( f f H( f ) το φίλτρο που χρησιµ οποιείται στη διαµόρφωση VSB. είναι η έξοδος του H f = j + ), όπου s ( ) ss ( ) x( ) DSB-S SSB-Άνω Π.Ζ. SSB-Κάτω Π.Ζ. VSB-Άνω Π.Ζ. VSB-Κάτω Π.Ζ. ˆ () x () x ˆ () x () x () x x () S () x x () S Πίνακας II-: Συµφασική και ορθογωνική συνιστώσα στη γραµµική διαµόρφωση II.6. ιαµόρφωση QA Η γενική περίπτωση της κανονικής µορφής είναι η Ορθογωνική ιαµόρφωση Πλάτους (Quadraure-Apliude odulaion ή QA), όπου το ρόλο της συµφασικής και της ορθογωνικής συνιστώσας τον παίζουν δύο ανεξάρτητα σήµατα πληροφορίας () x και x (). Το διαµορφωµένο σήµα έχει τη µορφή () = () cos( π ) + sin ( π ) y A x f A x f Ο δέκτης επιτυγχάνει αποδιαµόρφωση και των δύο σηµάτων χρησιµοποιώντας το ίδιο φέρον, µε την προϋπόθεση ότι υπάρχει πλήρης συγχρονισµός του τοπικού φέροντος στο δέκτη µε το αρχικό φέρον στον ποµπό. x () Μετατόπιση φάσης 9 A cos ( π f ) Σήµα QA Σήµα QA Μετατόπιση φάσης 9 Χαµηλοπερατό A φίλτρο x () cos ( π f ) x Χαµηλοπερατό φίλτρο () () (α) (β) Εικόνα II-5: Ποµπός (α) και δέκτης (β) Ορθογωνικής ιαµόρφωσης Πλάτους A x 3 ο µάθηµα 7// Σελίδα 7

8 II.7. Σύγκριση µεθόδων διαµόρφωσης πλάτους Στη συνηθισµένη διαµόρφωση πλάτους (A), η ενσωµάτωση του φέροντος διευκολύνει την αποδιαµόρφωση στο δέκτη, όπου µπορούν να χρησιµοποιηθούν κυκλώµατα ανίχνευσης περιβάλλουσας µε χα µηλό κόστος. Για το λόγο αυτό η A προτιµάται στην κοινή ραδιοφωνία και γενικά στα συστήµατα εκποµπής. Στις διαµορφώσεις πλάτ ους µε κατασταλµένο φέρον (DSB-S, SSB, VSB) απαιτούνται ακριβά συστήµατα ανάκτησης φέροντος για την σωστή αποδιαµόρφωση του εκπεµ πόµ ενου σήµατος. Από την άλλη, τα συστήµατα αυτά, σε σχέση µε τα συστήµατα A, παρουσιάζουν πλεονέκτηµα όσον αφορά στην απαιτούµενη ισχύ εκποµπής και το απαιτούµενο εύρος ζώνης. Για το λόγο αυτό προτιµώνται σε επικοινωνίες απ ό σηµείο προς σηµείο, όπως π.χ. στην πολύπλεξη τηλεφωνικών σηµάτων για µετάδοση δέσµης σηµάτων φωνής µεταξύ τηλεφωνικών κέν τρων. Η διαµόρφωση SSB χρησιµοποιεί το ελάχιστο εύρος ζώνης και την ελάχιστη ισχύ εκποµπής σε σχέση µε τις άλλες µεθόδους διαµόρφωσης πλάτους. Κατά συνέπεια, για δεδοµένο εύρος ζώνης καναλιού και για δεδοµένη συνολική ισχύ εκποµπής µε SSB επιτυγχάνουµε το µέγιστο αριθµό µεταδιδόµενων σηµάτων και τη µέγιστη απόσταση µετάδοσης, πριν από τη χρήση επαναλήπτη. Όταν το προς µετάδοση σήµα αντιστοιχεί σε σήµα (αναλογικής) τηλεόρασης ή σε δεδοµένα υψηλού ρυθµού µετάδοσης, η χρήση διαµόρφωσης SSB είναι δύσκολο να χρησιµοποιηθεί. Ωστόσο, η χρήση διαµόρφωσης VSB εξοικονοµεί µεγάλο µέρος του φάσµατος σε σχέση µε τις µεθόδους διαµόρφωσης πλάτους διπλής πλευρικής ζώνης. Η διαµόρφωση QA επιτρέπει σε δύο σήµατα να καταλαµβάνουν την ίδια περιοχή συχνοτήτων, παραµένοντας ωστόσο διαχωρίσιµ ες. Μολαταύτα, για την αποδιαµόρφωση απαιτείται πολύ καλός συγχρονισµός µεταξύ του δέκτη και του ποµπού, τόσο ως προς τη συχνότητα όσο και ως προς τη φάση του αρχικού φέροντος. Η πιο συνηθισµένη εφαρµογή όπου χρησιµοποιείται η QA είναι η µετάδοση έγχρωµης τηλεόρασης και για το λόγο αυτό µεταδίδονται παλµοί συγχρονισµού µαζί µε το εκπεµπόµενο σήµα. III. ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Μία εναλλακτική τεχνική διαµόρφωσης είναι η µεταβολή της γωνίας του φέροντος (του ορίσµατος του συνηµιτόνου) σύµφωνα µε το σήµα πληροφορίας x(). Το διαµορφωµ ένο σήµα έχει τη µορφή s( ) = A cos θ ( ) (III.) όπου η γωνία θ () εξαρτάται από το x( ). Η στιγµιαία συχνότητα του s() ορίζεται ως η χρονική παράγωγος της γωνίας fi () III.. ιαµόρφωση Φάσης Στη διαµόρφωση φάσης (Phase odulaion µεταβάλλεται γραµµικά µε το x dθ π d (III.) P), η γωνία του φέροντος () ( ) = π f + x( ) (III.3 θ P όπου η σταθερά P ονοµάζεται ευαισθησία φάσης. ) 3 ο µάθηµα 7// Σελίδα 8

9 III.. ιαµόρφωση Συχνότητας Στη διαµόρφωση συχνότητας (Frequency odulaion F), η στιγµιαία συχνότητα ροντος µεταβάλλεται γραµµικά µε το x του φέ f ( ) f x( ) = + (III.4) i F όπου F είναι η ευαισθησία συχνότητας. Συνδυάζοντας τις (III.4), (III.) και (III.), το κατά F διαµορφωµ ένο σήµ α προκύπτει s() = A cos π f+ πf x( τ) dτ (III.5) Από τους ορισµούς (III.3) και (III.4) είναι εµφανές ότι οι διαµορφώσεις φάσης και συχνότητας συνδέονται άµεσα, όπως αναπαρίσταται στην Εικόνα III-. () Ολοκληρωτής ιαµορφωτής Φάσης Σήµα F (α) (β) Εικόνα III-: ιαµόρφωση συχνότητας µέσω P (α) και φάσης µέσω F (β) x x ιαφοριστής ιαµορφωτής Συχνότητας Σήµα P III.3. Εύρος Ζώνης Σήµατος F Εάν το διαµορφώνον σήµα είναι ένα απλό συνηµίτονο x = A cos π f τότε το κατά F διαµορφωµένο σήµα έχει στιγµιαία συχνότητα f = f + f cos π f (III.7) () i (III.6) όπου f FA (III.8) είναι η απόκλιση συχνότητας του σήµατος F. Ορίζεται επίσης ο δείκτης διαµόρφωσης της κυµατοµορφής F β f f (III.9) Έτσι, το κατά F διαµορφωµένο σήµα δίνεται από την s() = A cos π f+ βsin ( π f) (III.) ια κρίνονται δύο περιπτώσεις, ανάλογα µε την τιµή του δείκτη διαµόρφωσης σε σχέση µε τη µονάδα: F στενής ζώνης και F ευρείας ζώνης. III.4. F στενής ζώνης Όταν β, η κυµατοµορφή F για σήµα πληροφορίας όπως στην (III. 6) µπορεί να προσεγγιστεί ως s A cos π f βa sin π f sin π f (III.) ( ) Η µορφή του σήµατος F στενής ζώνης προσοµοιάζει αυτή ενός σήµατος A και το εύρος ζώνης είναι σχεδόν το ίδιο όπως αυτό της A, δηλαδή f. III.5. F ευρείας ζώνης Όταν η τιµή του δείκτη διαµόρφωσης β είναι συγκρίσιµη ή µεγαλύτερη από τη µονάδα, τότε η ανάλυση της κυµατοµ ορφής της (III.) είναι πιο πολύπλοκη. Το φάσµα του s περιέχει (µη µ ηδενικές ) αρµονικές σε συχνότητες f ± nf n. (), Το εύρος ζώνης υπολογίζεται κατά προσέγγιση από τον κανόνα του arson B f + f = f + β = β + f (III.) III.6. Ποµπός F Μία απλή µέθοδος παραγωγής της κυµατοµορφής F είναι η οδήγηση ενός ταλαντωτή ελεγχόµ ενου από τάση (volage-conrolled oscillaor VO) από το σήµα 3 ο µάθηµα 7// Σελίδα 9

10 πληροφορίας x(). Το VO είναι ένας ταλαντωτής, που παράγει ένα ηµιτονοειδές σήµα, του οποίου η (στιγµιαία) συχνότητα µεταβάλλεται ανάλογα µε το πλάτος του σήµατος που το «οδηγεί». III.7. έκτης F Η αποδιαµόρφωση ενός σήµατος F µπορεί να επιτευχθεί µέσω της χρήσης ενός διευκρινιστή συχνότητας που αποτελείται από ένα κύκλωµα κλίσης και έναν ανιχνευτή περιβάλλουσας (Εικόνα III-(α)). Η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος κλίσης περιέχει ένα ευθύγραµµο τµήµα µε κλίση προς τα πάνω γύρω από µία συχνότητα f (συχνότητα διευκρινιστή), όπως φαίνεται στην Εικόνα III-(β). H ( f ) ιευκρινιστής Σήµα F Κύκλωµα Κλίσης Ανιχνευτής Περιβάλλουσας Ανακτηµένο Σήµα f B f f + B (α) (β) Ε ικόνα III-: έκτης F (α) και χαρακτηριστική κυκλώµατος κλίσης (β) Ό ταν η είσοδος του κυκλώµατος κλίσης είναι ένα συνηµίτονο µε συχνότητα f + f, η έξοδός του θα είναι ένα συνηµίτονο ίδιας συχνότητας και πλάτους ανάλογου της f. Έτσι, όταν f f και η είσοδος είναι το σήµα F, του οποίου η στιγµιαία συχνότητα είναι ανάλογη του x( ), η έξοδος του κυκλώµατος κλίσης θα είναι ένα σήµα της ίδιας (στιγµιαίας) συχνότητας και πλάτους ανάλογου της (στιγµ ιαίας) συχνότητας, δηλαδή ανάλογου x. Έτσι στην έξοδο του του κυκλώµατος κλίσης έχουµε ένα διπλοδιαµορφωµένο σήµ α (και κατά F και κατά A), από το οποίο µε εξαγωγή περιβάλλουσας µπορού µε να ανακτήσουµε το x(). III.8. Σύγκριση A και F Το απαιτούµενο εύρος ζώνης για τις µεθόδους διαµόρφωσης πλάτους είναι µεταξύ f (SSB) και f (A). Στην περίπτωση της F ευρείας ζώνης, το απαιτούµενο εύρος ζώνης εξαρτάται από το δείκτη διαµόρφωσης, όπως υπαγορεύει η (III.). Εάν ( SNR ) είναι ο λόγος της ισχύος του σήµατος πληροφορίας προς την ισχύ του θορύβου στην είσοδο του δέκτη και ( SNR ) O ο ίδιος λόγος στην έξοδο του δέκτη, τότε στην περίπτωση του δέκτη A µε ανίχνευση περιβάλλουσας ισχύει µ ( SNR) = ( SNR) (III.3) O + µ ) Για πλήρως συγχρονισµένο δέκτη SSB ή DSB-S ισχύει (SN R = SNR. Τέλος, στην περίπτωση του συµβατικού δέκτη F προκύπτει ότι 3 ( SNR) = β ( SNR) (III.4) O Από τις (III.) και (III.4) είναι προφανές ότι στην περίπτωση της F µπορούµε να βελτιώσουµε την ποιότητα του λαµβανόµενου σήµατος αυξάνοντας το β, φυσικά εις βάρος του απαιτούµενου εύρους ζώνης. O O f 3 ο µάθηµα 7// Σελίδα

11 IV. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Τόσο τα προς µετάδοση δεδοµένα όσο και ο θόρυβος και οι παρεµβολές που το κανάλι επικοινωνίας εισάγει είναι µη προβλέψιµες διαδικασίες, που δεν µπορούν να περιγραφούν µε τις συµβατικές (ντετερµινιστικές) µεθόδους. Για την περιγραφή τους καταφεύγουµε στη Θεωρία Πιθανοτήτων, που παρουσιάζουµε συνοπτικά παρακάτω. IV.. Ορισµοί και Αξιώµατα Το αποτέλεσµα ενός τυχαίου πειράµατος είναι απρόβλεπτο, ωστόσο το σύνολο των δυνατών τιµών που µπορεί να λάβει είναι καθορισµένο, έστω. Έτσι, η ρίψη εν ός ζαριού έχει πεδίο τιµών = {,, 3, 4, 5, 6}, ενώ η µεταβολή της τιµής µίας µετοχής στο τέλος της ηµέρας έχει πεδίο τιµών το διάστηµα = [, ]. Ως γεγονός ορίζεται οποιοδήποτε υποσύνολο A του πεδίου τιµών. Το πεδίο τιµών αντιστοιχεί στο βέβαιο γεγονός, ενώ επίσης ορίζεται και το κενό γεγονός. Εάν S είναι το δυναµοσύνολο (σύνολο όλων των υποσυνόλων) του, τότε µία συνάρτηση µέτρου (easure funcion) P : S που ικανοποιεί τις συνθήκες P A A S, P ( ) = A B= P( A B) = P( A) + P( B) αποτελεί µία συνάρτηση πιθανότητας. Οι παραπάνω συνθήκες αποτελούν τα αξιώµατα της θεωρίας των πιθανοτήτων, όπως αυτά εκφράστηκαν από τον Kologorov. Η πιθανότητα ενός γεγονότος P A εκφράζει την πιθανοφάνεια του γεγονότος A. Η από κοινού πιθανότητα δύο γεγονότων A και B ορίζεται ως η πιθανότητα να P A, B = P A B, ενώ η υπό συνθήκη πιθανότητα συµβούν και τα δύο γεγονότα είναι η πιθανότητα να συµβεί το γεγονός A, δεδοµένου ότι έχει συµβεί το γεγονός B P A B = P A, B P B (IV.) ύο γεγονότα A και B είναι στατιστικά ανεξάρτητα όταν ισχύει P A B = P A P B A = P B P A, B = P A P B (IV.) Για τον υπολογισµό της πιθανότητας ενός γεγονότος µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο κανόνα του Bayes: εάν A,, AN είναι γεγονότα αµοιβαία ξένα µεταξύ τους, N δηλαδή A A =,, i j =,, N, τέτοια ώστε A =, τότε ισχύει i j ( i= P A) = P( A A ) P( A ) + + P( A A ) P( A ) i N N (IV.3) IV.. Τυχαίες Μεταβλητές Ως τυχαία µεταβλητή ορίζεται οποιαδήποτε πραγµατική συνάρτηση ():. Μία τυχαία µεταβλητή είναι είτε συνεχής είτε διακριτή, εάν το πεδίο τιµών της είναι έν α συνεχές διάστηµα ή ένα διακριτό σύνολο. Για οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή ορίζεται η συνάρτηση αθροιστικής κατανοµής ή cdf (cuulaive disriuion funcion) ({ }) S : F x P x = P s s x (IV.4) η οποία είναι µη φθίνουσα συνάρτηση του x και ισχύουν οι εξής ιδιότητες F =, F =, P α < β = F β F α Αν και η cdf είναι καλά ορισµένη για οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή και περιγράφει πλήρως την κατανοµή των τιµών µιας τυχαίας µεταβλητής, χρησιµοποιείται συνήθως για την περιγραφή της µεταβλητής η pdf ή η pf. 4 ο µάθηµα 4// Σελίδα

12 Εάν είναι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή και η cdf της είναι παραγωγίσιµη, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή pdf (proailiy densiy funcion) ορίζεται ως η p x = df x dx. Για την pdf ισχύουν οι ιδιότητες p ( x), παράγωγος της cdf p β ( x) dx= και ( α β) P p x dx < =. α Έστω δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Y µε pdf p και p Y αντίστοιχα. Τότε, µπορεί να αποδειχθεί ότι η pdf του αθροίσµ ατός τους Z = + Y είναι ίση µε την συνέλιξη των δύο pdf: p z = p z = p p z (IV.5) Z + Y Η αναµενόµενη τιµή µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E { } ( Y )dx (IV.6) xp x ανειζόµενοι τους αντίστοιχους όρους από τη στατιστική, µπορούµε να ορίσουµε E και τη µεταβλητότητά της τη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής ως { } σ { E } ως. Ισχύει τότε η ανισότητα heyshev:, P δ σ δ δ > (IV.7) Επίσης, για οποιαδήποτε συνάρτηση g( ) µιας τυχαίας µεταβλητής η αναµενόµενη τιµή της µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση E { g } = g( x) p ( x) dx (IV.8) Σε αντιστοιχία µε την pf για τις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, στην περίπτωση των διακριτών τυχαίων µεταβλητών ορίζεται η συνάρτηση µάζας πιθανότητας ή pf (proailiy ass funcion) που ορίζεται ως p x = P = x (IV.9) n αντίστοιχε p ( x), p ( x) =, P( n n ) µε ς ιδιότητες: x= = x=n p x. IV.3. Παραδείγµατα Στη γενική περίπτωση, η (συνεχής) οµοιόµορφη κατανοµή έχει pdf { p B A, ( x) = ( ) x [ A, B], αλλου Για την οµοιόµορφη κατανοµή, η µέση τιµή και η µεταβλητότητα υπολογίζονται B x B A A+ B = dx= = A B A B A B ( x ) ( B ) ( A ) ( B A) dx = 3( ) 3( ) 3 3 σ = = A B A B A B A Η Γκαουσιανή κατανοµή N(, σ ).4 αποτελεί.35 τη σηµαντικότερη pdf, ονοµάζεται και κανονική.3 κατανοµή και καθορίζεται πλήρως από τη µέση.5 τιµ ή και τη µεταβλητότητά της και η pdf της είναι p x x σ = e (IV.) πσ N(,) ο µάθηµα 4// Σελίδα

13 Η σηµασία της κανονικής κατανοµής για της τηλεπικοινωνίες είναι πολύ µεγάλη, επειδή οι περισσότερες τυχαίες διαδικασίες µπορούν να µοντελοποιηθούν ικανοποιητικά ως Γκαουσιανές τυχ αίες µεταβλητές. Η αιτία της καταλληλότητας της Γκαουσιανής κατανοµής έγκειται στο κεντρικό οριακό θεώρηµα, το οποίο διατυπώνεται ως εξής: Έστω N ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές,, που έχουν την ίδια pdf, µηδενική µέση τιµή και µεταβλητότητα σ. Εάν ορίσουµ ε την τυχαία µεταβ λητή N Y = N i = τότε, καθώς N, η pdf της Y τείνει προς την κανονική πράξη, το φαινόµενο είναι εµφανές και για µικρέ ς σχετικά τιµές του N. Εάν λάβουµε υπόψη µας ότι οι περισσότερες τυχαίες διαδικασίες είναι προϊόντα της υπέρθεσης πολλών άλλων τυχαίων διαδικασιών, είναι λογικό να υποθέσουµε ότι οι κατανοµές τους θα προσεγγίζουν την κανονική. Μία χρήσιµη συνάρτηση που σχετίζεται µε την Γκαουσιανή κατανοµή και συχνά απαντάται στις τηλεπικοινωνίες είναι η συνάρτηση σφάλµατος ή Q-funcion: i N u x x κατανοµή N (, ) Q( x) e du = erfc, Q( x) e, για x 3 π x π x Έστω το τυχαίο διάνυσµα (, ) Y, ό που και Y είναι δύο Γκαουσιανές τυχαίες µεταβλητές µ ε µ έση τιµή και µεταβλητότητα σ. Τότε, το µέτρο του διανύσµατος R = + Y είναι επίσης τυχαία µεταβλητή µε κατανοµή Rayleigh: r.6 σ. Στην (IV.). r pr ( r) = e σ (IV.) σ Όσον αφορά στις διακριτές τυχαίες µεταβλητές, µ ία κατανοµή που συχνά απαντάται =, και pf είναι η δυαδική κατανοµή, µε πεδίο τιµών { } Η µέση τιµή της είναι και η µεταβλητότητά της p = = p = = p = x p x = p + p= p x ( x ) p( x) ( p) ( p) ( p) p p( p) σ = = + = x Εάν,, N είναι N ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε την ίδια δυαδική pf, τότε η τυχαία µ εταβλητή Y = + + ακολουθεί τη δυωνυµική κατανοµή N N N py = p ( p), =,, N Η µέσ η τιµή και η µεταβλητότητά της µπορούν εύκολα να υπολογιστούν ως = Np, σ = Np Y Y ( p) Έστω η µετάδοση µιας σειράς από N i µε κώδικα διόρθωσης έως και λαθών, µε πιθανότητα εσφαλµένης µετάδοσης ενός i ίση µε p. Ορίζοντας τις, i =,, N ως εάν το i -οστό i µεταδοθεί σωστά και αλλιώς, η Y = + + N περιγράφει το συνολικό αριθµό σφαλµάτων και µπορεί να µελετηθεί µέσω της δυωνυµικής pf Rayleigh pdf, σ= i 4 ο µάθηµα 4// Σελίδα 3

14 IV.4. Στοχαστικές ιαδικασίες Όπως η τυχαία µεταβλητή είναι µία πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το χώρο δειγµάτων, η στοχαστική διαδικασία αντιστοιχεί σε κάθε δείγµα (στοιχείο s του ) µία συνάρτηση (). Για να περιγραφεί ή για να είµαστε πιο ακριβείς s η στοχαστική διαδικασία, χρειάζεται για κάθε n και κάθε n -άδα χρόνων ( ) να ξέρουµε την από κοινού pdf της n -άδας ( ),, n,,. Μία στοχαστική διαδικασία n ονοµάζεται στατική, εάν τα στατιστικά (πιθανοτικά) χαρακτηριστικά της παραµένουν σταθερά µε το χρόνο. ιακρίνονται δύο κατηγορίες στατικών διαδικασιών: Αυστηρά στατικές διαδικασίες: για κάθε n, κάθε διάνυσµα (,, n ) και κάθε χρονική µετατόπιση τ ισχύει F,, ) x,, n,, x = F ( ) ( x,, n) x + τ n+ τ n. Στατικές µε την ευρεία έννοια: εάν µόνο η συνάρτηση µέσης τιµής και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης παραµένουν αµετάβλητες µε το χρόνο. Η συνάρτηση µέσης τιµής µιας στοχαστικής διαδικασίας ορίζεται ως () E { ()} = = x p x dx ( () IV.5. Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης περιγράφει τη συσχέτιση της () µεταξύ δύο χρονικών στιγµών και και ορίζεται ως { } ( R (, ) = E ( ) ( ) = xxp ) ( x, x, ) dxdx Για στατικές διαδικασίες η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εξαρτάται µόνο από τη διαφορά µεταξύ των χρονικ ών στιγµών και, δηλαδή R (, ) = R ( ). Έτσι, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µίας στατικής διαδικασία ς είναι συνάρτηση µίας µεταβλητής, της χρονικής διαφοράς τ και έχει τις εξής ιδιότητες: R = E R R { } R, ( τ ) R (, ) τ = τ τ τ (IV.3) IV.6. Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος Ως φασµατική πυκνότητα ισχύος ή psd (power specral densiy) µιας στατικής διαδικασίας ορίζεται ο µ ετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης: π τ =, = ( ) S f R τ e dτ R f S τ e df j f j π f τ (IV.4) Οι (IV.4) είναι γνωστές ως εξισώσεις Wiener-Khinchine. Ιδιότητες της psd είναι: S f E S ( ) = S f S f = { () } = S ( f ) Η τελευταία ιδιότητα δηλώνει ότι η (αναµενόµενη) ισχύς του (τυχαίου) σήµατος είναι ίση µε το ολοκλήρωµα της psd σε όλο τ φάσµα των συχνοτήτων και R ( τ ) dτ () ο δικαιολογεί τον όρο «φασµατική πυκνότητα ισχύος», δηλαδή το γεγονός ότι η psd εκφράζει το ποσοστό της ισχύος του σήµατος σε µία συγκεκριµένη συχνότητα. df 4 ο µάθηµα 4// Σελίδα 4

15 IV.7. Φιλτράρισµα Στοχαστικής ιαδικασίας Εάν η στοχαστική διαδικασία αµετάβλητο σύστηµα µε κρουστική απόκριση h διέλθει µέσ α από ένα γραµ µικό χρονικά H( f ), η έξοδος θα είναι µία νέα στοχασ τική διαδικασία Y() = h( u) ( u) du µε µέση τιµή H Y = και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Y και συνάρτηση µεταφοράς = udu (IV.5) ( τ) ( τ + ) R hu hu R u u d Από τον ορισµό (IV.4) της psd και την (IV.5) καταλήγο υµε ότι S f = H f S f (IV.6) Y ( ) IV.8. Η Γκαουσιανή Στοχαστική ιαδικασία Μία στοχαστική διαδικασία ονοµάζεται Γκαουσιανή εάν για κάθε n και κάθε διάνυσµα (,, n ) το τυχαίο διάνυσµα ( ( ),, ( n )) έχει ( από κοινού) Γκαουσιανή pdf, δηλαδή ( x ) ( x ) f ( x,, xn ) = e (IV.7) n π όπου x ( ), E{ } και E ( ) ( ) x,, x n { } είναι ο πίνακας συµµεταβλητότητας. Για το χαρακτηρισµό της Γκαουσιανής διαδικασίας αρκούν το διάνυσµα µέσης τιµής και ο πίνακας συµµεταβλητότητας. Η σηµαντικότερη ιδιότητα της Γκαουσιανής διαδικασίας είναι ότι διερχόµενη από γραµµικά χρονικά αµετάβλητα φίλτρα παραµ ένει Γκαουσιανή. IV.9. Λευκές Στοχαστικές ιαδικασίες Μία στοχαστική διαδικασία ονοµάζεται «λευκή» εάν η psd της έχει σταθερή τιµή S ( f ) = N, f. Η αντίστοιχη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R ( τ ) = ( N ) δ ( τ) ( ) και υποδηλώνει ότι δύο χρονικές τιµές της λευκής διαδικασίας είναι ασυσχέτιστες, εάν. Εάν επιπλέον η στοχαστική διαδικασία είναι Γκαουσιανή, οι τυχαίες µεταβλητές ( ) και ( ) είναι και ανεξάρτητες. Ο θόρυβος στο κανάλι µετάδοσης θεωρείται συνήθως λευκός, µε φασµατική πυκνότητα ισχύος N. Επιπλέον παραδοχές που γίνονται είναι ότι ο θόρυβος είναι προσθετικός (προστίθεται στην είσοδο του καναλιού), Γκαουσιανός, εργοδικός και µηδενικής µέσης τιµής. Το µοντέλο αυτό είναι γνωστό µε το όνοµα Προσθετικός Λευκό ς Γκαουσιανός Θόρυβος ή AWGN (Addiive Whie Gaussian Noise). Η προσέγγιση του θορύβου µε λευκή διαδικασία οφείλεται κατά κύριο λόγο στην γνωστή φασµατική πυκνότητα ισχύος του θερµικού θορύβου Sn ( f ) hf Sn ( f ) = (IV.8) hf f e Hz όπου h είναι η σταθερά Plan, η σταθερά Bolzann και η θερµοκρασία σε βαθµ ούς Kelvin. Σε κανονική θερµοκρασία = 3 º Κ και για συχνότητες µέχρι Hz, psd S f του θερµικού θορύβου είναι περίπου σταθερή η n n S f = W/Hz (IV.9) 5 ο µάθηµα 3// Σελίδα 5

16 V. ΠΑΛΜΟΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ Τα είδη διαµόρφωσης που είδαµε µέχρι τώρα (διαµορφώσεις πλάτους και γωνίας) µεταβάλλουν συνεχώς µία παράµετρο ενός ηµιτονοειδούς σήµατος (φέροντος). Στην παλµοαναλογική διαµόρφωση, το ρόλο του φέροντος παίζει µία ακολουθία παλµών, ένα χαρακτηριστικό των οποίων µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη τιµή του πλάτους του αρχικού σήµατος στην αρχή του κάθε παλµού. Επειδή η αρχή των παλµών λαµβάνει χώρα µόνο σε συγκεκριµένες χρονικές στιγµές, η πληροφορία που εµπεριέχεται στο σήµ α παλµοαναλογικής διαµόρφωσης αντιστοιχεί σε δείγµατα του αρχικού σήµατος. Για το λόγο αυτό εξετάζουµε παρακάτω τη δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος. V.. Εύρος Φάσµατος Ένα σήµα () ονοµάζεται σήµα βασικής ζώνης εάν και εάν = x f = ( f ) για f > B ζωνοπερατό f για f f f. B B Γενικά, µε τον όρο εύρος φάσµατος ή εύρος ζώνης ( f ) B ενός σήµατος αναφερόµαστε στο εύρος του f διαστήµατος του θετικού ηµιάξονα των συχνοτήτων, f f f f στο οποίο ο µετασχηµατισµός Fourier του είναι µη µ ηδενικός. Έτσι, µε τον αυστηρό ορισµό, το εύρος φάσµατος ενός σήµατος βασικής ζώνης είναι B και ενός ζωνοπερατού σήµατος είναι f f. Ωστόσο, στην πράξη, δεν συναντάται κανένα σήµα µε µετασχηµατισµό Fourier µ ηδενικό για f B για κάποιο B. Έτσι, καταφεύγουµε σε εναλλακτικούς ορισµούς: ( f ) Εύρος φάσµατος πρώτου µηδενισµού: η Κύριος λοβός ελάχιστη συχνότητα για την οποία ο µετασχηµατισµός Fourier µηδενίζεται: Πλάγιοι λοβοί { f ( f ) = } in : d εύρος φάσµατος: η τελευταία συχνότητα για την οποία το πλάτος του µ ετασχηµατισµού Fourier είναι µικρότερο από ( f ) το µ έγιστο πλάτος κατά d, δηλαδή d ( f ) ( f ) ax log, f > B Y % της ισχύος εύρος φάσµατος: η συχνότητα B για την οποία η ισχύς του ατος στην περιοχή συχνοτήτων B, B είναι το Y % της συνολικής: σήµ [ ] V.. ειγµατοληψία B f df B Y f df Με τον όρο δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος x( ) αναπαράστασή του µέσω των τιµών του (δειγµάτων) στις χρονικές στιγµές n, n. Όταν τα διαστήµατα µεταξύ των χρονικών στιγµών είναι ίσα, δηλαδή = n, n, B B αναφερόµαστε στην η διαδικασία αναφέρεται ως οµοιόµορφη δειγµατοληψία και το χρονικό διάστηµα S ως περίοδος δειγµατοληψίας και η fs = S ως συχνότητα δειγµ ατοληψίας. Η ιδανική (οµοιόµορφη) δειγµατοληψία πραγµατοποιείται µε πολλαπλασιασµό του αρχικού σήµατος µε την (περιοδική) ακολουθία κρουστικών συναρτήσεων δ, () δ n jn fs S S e π = = n= S n= B B n S f f f 5 ο µάθηµα 3// Σελίδα 6

17 όπου η δεύτερη ισότητα είναι το ανάπτυγµα της ακολουθίας σε σειρά Fourier. Ο µετασχηµατισµός Fourier της ακολουθίας παλµών είναι jn f { } S S π jn π f S f = F e = F e = δ f nfs S n= S n= S n= Ο πολλαπλασιασµός του αρχικού σήµατος µε την ακολο υθία παλµών δίνει το σήµα x = x δ, του οποίο ο µετασχηµατισµός Fourier είναι S () () S () S f = f S f = f δ f nfs = ( f nf S ) (V.) S n= S n= ( f ) ( f ) B B f Εικόνα V-: Φάσµα αρχικού και δειγµατοληπτηµένου σήµατος γι α f > B Η (V.) δηλώνει ότι το φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος αποτελείται από αντίγραφα του αρχικού φάσµατος, µετατοπισµένα σε συχνότητες nf S, όπως φαίνεται στην Εικόνα V-. Είναι προφανές ότι τα αντίγραφα δεν θα επικαλύπτονται µόνον εάν fs > B (V.) Από την Εικόνα V- είναι προφανές ότι, στην περίπτωση που ισχύει η (V.), το αρχικό σήµα µπορεί να ανακτηθεί από το δειγµατοληπτηµένο, εάν αυτό φιλτραριστεί από ένα ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής B. Το θεώρηµα δειγµατοληψίας συνοψίζει αυτή την παρατήρηση: «Το αρχικ ό σήµα x() µπορεί να ανακτηθεί πλήρως από τα δείγµατα x( ns ), n εάν η συχνότητα δειγµατοληψίας ικανοποιεί την (V.)». Η συχνότητα B αν αφέρεται ως συχνότητα Nyquis. Όταν η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι µικρότερη από τη συχνότητα Nyquis, τα αντίγραφα του ( f ) επικαλύπτονται και εµφανίζεται το φαινόµενο της επικάλυ ψης ή aliasing. Εάν υποθέσουµε ότι ικανοποιείται η (V.), το αρχικό σήµα ανακτάται µε το φίλτρο F, f B H L ( f ) = hl() = Bsinc( B), f > B Το φάσµα του ανακτηµένου αρχικού σήµατος είναι ( f ) = SHL( f ) S ( f ). Κατά συνέπεια, το αρχικό σήµα ανακτάται από τα δείγµατά του ως S fs f B () = ( )() = () δ ( ) x h x x n h n S L S S S L S n= Έτσι, η ανάκτηση του αρχικού σήµατος από τα δείγµατά του εκφράζεται από την παρακάτω σχέση παρεµβολής (inerpolaion forula): () = S ( S) sinc( S ) x B x n B B n n= S fs + B S f (V.3) Η παραπάνω ανάκτηση του αρχικού σήµατος από τα δείγµατά του ισχύει στην περίπτωση της ιδανικής δειγµατοληψίας, όπου η ιδανική ακολουθία δειγµατοληψίας αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα. Στην πράξη η ακολουθία δειγµατοληψίας αποτελείται από ορθογώνιους παλµούς, µε συνέπεια η (V.3) να ισχύει µόνο προσεγγιστικά. Όσο µικρότερη είναι η διάρκεια των παλµών τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση του αρχικού σήµατος από την (V.3). Μία εναλλακτική τεχνική είναι η δειγµατοληψία µέσω συγκράτησης, όπου η τιµή του δείγµατος διατηρείται για µικρό χρονικό διάστηµα, παράγοντας στενούς παλµούς µε επίπεδη κορυφή. 5 ο µάθηµα 3// Σελίδα 7

18 V.3. Τεχνικές Παλµοαναλογικής ιαµόρφωσης Υπάρχουν τρεις τεχνικές διαµόρφωσης µίας ακολουθίας παλµών, κάθε µία από τις οποίες µεταβάλλει ένα χαρακτηριστικό των παλµών σύµφωνα µε τις µεταβολές του πλάτους του αρχικού σήµατος: Στη διαµόρφωση πλάτους παλµών ή PA (Pulse- + x n, όπου η Apliude odulaion) το πλάτος (ύψος) του παλµού είναι A S ευαισθησία πλάτους A επιλέγεται έτσι ώστε το πλάτος να είναι πάντα θετικό. Στη διαµόρφωση διάρκειας παλµού ή PD (Pulse-Duraion odulaion) και τη διαµόρφωση θέσης παλµού ή PP (Pulse-Posiion odulaion) η διάρκεια και η θέση του κάθε παλµού αντίστοιχα µεταβάλλεται ανάλογα µε την τιµή του x( n S ). Οι τρεις τεχνικές διαµόρφωσης παλµών συνοψίζονται στην Εικόνα V-. x() PA PD PP Εικόνα V-: Τεχνικές διαµόρφωσης παλµών V.4. Πολυπλεξία µε ιαίρεση Χρόνου Η αναπαράσταση ενός σήµατος βασικής ζώνης x () LPF x() µέσω των δειγµάτων x παρέχει τη () LPF του x n S Μεταγωγέας ιαµορφωτής y() Παλµών δυνατότητα πολυπλεξίας σηµ άτων στο χρόνο. Στο xn () LPF διπλανό σχήµα εικονίζεται µία τυπική διάταξη πολυπλεξίας N σηµάτων στο χρόνο. Ο µεταγωγέας του σχήµατος λαµ βάνει αρχικά ένα δείγµα από κάθε σήµα ( N δείγµατα συνολικά), κατόπιν ξεκινά πάλι από το πρώτο σήµα, κ.ο.κ. Έτσι, εάν η περίοδος δειγµατοληψίας για το κάθε σήµα είναι S, το χρονικό διάστηµα ανάµεσα στα δείγµατα δύο διαδοχικών σηµάτων θα είναι S N. Το φάσµα των σηµάτων περιορίζεται σε S από χαµηλοπερατά φίλτρα και η συνολική ακολουθία δειγµάτων οδηγεί έναν διαµορφωτή παλµών. 5 ο µάθηµα 3// Σελίδα 8

19 VI. ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΟ Ένα αναλογικό σήµα συνεχούς χρόνου ε ίναι µία συνάρτηση του χρόνου µε πεδίο ορισµού ένα συνεχές διάστηµα και πεδίο τιµών επίσης ένα συνεχές διάστηµα. Κατά τη δειγµατοληψία, το πεδίο ορισµού «διακριτοποιείται», διατηρώντας µόνο δείγµατα το υ σήµατος σε συγκεκριµένες χρονικές στιγµές. Η κβάντιση αντιπροσωπεύει την αντίστοιχη διαδικασία στο πεδίο τιµών, δηλαδή την αναπαράσταση της τιµής του σήµατος µε µία από ένα σύνολο διακριτών τιµών. Με τον τρόπο αυτό, µπορούµε να αναπαραστήσουµε την κάθε µία από τις διακριτές τιµές µ ε πεπερασµένο αριθµό is. VI.. Οµοιόµορφη Κβάντιση Η «στρογγυλοποίηση» της τιµής µίας τυχαίας µεταβλητής είναι µία πρακτική που χρησιµοποιούµε και στην καθηµερινή µας ζωή. Για παράδειγµα, η θερµοκρασία µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή της ηµέρας µπορεί να λάβει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή, ωστόσο συνήθως τη στρογγυλοποιούµε στον πλησιέστερο ακέραιο. Γενικά, µία συνεχής τυχαία µεταβλητή µπορεί να λάβει άπειρες δυνατές τιµές και για την ακριβή καταγραφή της θα χρειαζόµασταν άπειρα δεκαδικά ψηφία ή, ισοδύναµα, άπειρα is. Έτσι, συνήθως καταφεύγουµε σε στρογγυλοποίηση της τιµής αυτής στον πλησιέστερο αριθµό µε πεπερασµένο αριθµό δεκαδικών ψηφίων. Η οµοιόµορφη κβάντιση γενικεύει αυτή την συνήθη πρακτική. Έστω ότι η τιµή ενός σήµατος (είτε συνεχούς είτε διακριτού χρόνου) σε µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή αναπαρίσταται από την τυχαία µεταβλητή. Εάν το πεδίο τιµών της AB,, ορίζουµε υποδιαστήµ ατα του είναι το διάστηµα [ ] πεδίου τιµών ως [ x x ] N,,,, =. Στην οµοιόµορφη κβάντιση, τα πλάτη των διαστηµάτων επιλέγονται ίσα µεταξύ τους = x x = B A (VI.) και, κατά συνέπεια, τα όρια των διαστηµάτων κβάντισης είναι x = A+, =,, (VI.) Έτσι, όλες οι τιµές της στο διάστηµα [ x x ], θα προσεγγίζονται µ ε την τιµή x (επίπεδο κβάντισης), που στην οµοιόµορφη κβάντιση ορίζεται ως το µέσο του x = ( x + x) = A+ ( ), =,, (VI.3) x x x 3 A= x x x x B = x Συνοψίζοντας, η οµοιόµορφη κβάντιση ορίζει την fq :[ AB, ] { x,, x } [ AB, ] αντιστοιχεί το µέσο του διαστήµατος x ] αυτή ανήκει. Ο αύξων αριθµός του διαστήµατος στο οποίο ανήκει η µ πορεί να γραφεί σε κλειστή µορφή ως A = +, (VI.4) όπου x = ax { n : n x} είναι το ακέραιο µέρος του x, δηλαδή ο αµέσως µικρότερος από το x ακέραιος, που αντιστοιχεί στη συνάρτηση floor του ALAB. Συνδυάζοντας τις (VI.3) και (VI.4), η κβάντιση της µεταβλητής ορίζεται από την A fq = A+ + (VI.5) ( ) x,, η οποία σε κάθε τιµή στο [x στο οποίο 6 ο µάθηµα 7// Σελίδα 9

20 Η κβάντιση εισάγει µία µικρή παραµόρφωση κατά την προσέγγιση της µε την f, η οποία, εάν ο αριθµός των επιπέδων κβάντισης είναι αρκετά µεγάλος, Q δεν γίνεται αντιληπτή. Στην Εικόνα VI- απεικονίζεται η κβάντιση ενός ηµιτονοειδούς σήµατος για διάφορες τιµές του αριθµού των επιπέδων κβάντισης. Είναι προφανές ότι όσο µεγαλύτερο το, τόσο µικρότερο το πλάτος των διαστηµάτων κβάντισης και τόσο µικρότερη η παραµόρφωση και καλύτερη η προσέγγιση του σήµατος. =8 = =3 = Εικόνα VI-: Κβάντιση ενός ηµιτονοειδούς σήµατος για διάφορες τιµές του Το µέγεθος της παραµόρφωσης που εισάγεται από την κβάντιση, δηλαδή της f, εκφράζεται συνήθως από το µέσο προσέγγισης της τιµής της µε την Q τετραγωνικό σφάλµα ή SE (ean Square Error), που ορίζεται ως η αναµενόµενη τιµή του τετραγώνου της διαφοράς της από την προσέγγισή της σ { } = E f x f x p x dx (VI.6) SE Q Q Προφανώς, το µέσο τετραγωνικό σφάλµα εξαρτάται από την pdf της και, στην περίπτωση της οµοιόµορφης κβάντισης, αποδεικνύεται ότι ελαχιστοποιείται όταν η AB,. Με αυτή την παραδοχή το SE είναι pdf είναι η οµοιόµορφη κατανοµή στο [ ] σ 3 x B x ( x x ) SE = Q ( ) A x f x dx= x x dx= B A B A x = B A = 3 x Αντικαθιστώντας τις τιµές των x από την ( ) 3 (VI.3) και µε βάση την (VI.) έχουµε σ SE = 3 3 x x B A = = (VI.7) 3 B A = = 3 B A = ( B A) Όπως αναφέρθηκε, η τιµ ή του SE που δίνεται από την (VI.7) είναι η ελάχιστη δυνα τή για οµοιόµορφη κβάντιση και επιτυγχάνεται όταν η κατανοµή της είναι οµοιόµορφη. Εάν η pdf της δεν είναι οµοιόµορφη, τα επίπεδα κβάντισης δεν πρέπει να είναι οµοι όµορφα κατανεµηµένα για να επιτύχουµε ελαχιστοποίηση του SE. 6 ο µάθηµα 7// Σελίδα

21 VI.. Βέλτιστη Βαθµωτή Κβάντιση Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή έχει pdf p, όχι αναγκαστικά οµοιόµορφη, και πεδίο ορισµού όλο το. Ο στόχος µας είναι η επιλογή των x, =,, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η τιµή του SE, όπως αυτό δίνεται από τη ν (VI.6). Απλή επισκόπηση της (VI.6) φανερώνει ότι για κάθε επίπεδο κβάντισης x το σύνολο των τιµών x που θα αντιστοιχίζονται σε αυτό πρέπει να είναι ένα συνεχές x x, ειδάλλως, το SE πο υ προκύπτει δεν είναι ελάχιστο. Εφόσον το διάστηµα [ ], πεδίο ορισµού της είναι όλο το, θα πρέπει x = και x =. Έτσι, το πρόβληµα της βέλτιστης κβάντισης αφορά στην επιλογή των x, =,, και των x, =,,, ώστε να ελαχιστοποιείται το SE: σ x { } = ( ) x E f x x p x dx (VI.8) SE Q = Η ταυτόχρονη βελτιστοποίηση του SE ως προς τα x και τα x είναι αδύνατη στη γενική περίπτωση, γι αυτό και διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: A. Για δεδοµένα επίπεδα κβάντισης: οι συνθήκες βελτιστοποίησης για τα x είναι σ x SE = x x p x x x p x =, =,., + και λύνοντας ως προς x καταλήγουµε ότι η βέλτιστη τιµή τους είναι x = ( x + x + ), =,,. (VI.9) B. Για δεδοµένα διαστήµατα κβάντισης: οι αντίστοιχες συνθήκες βελτιστοποίησης σ x x SE = ( x x ) p ( x) dx= ( x x ) p ( x) dx= x x x x δίνουν ως βέλτιστα x τα κεντροειδή (κέντρα βάρους) των διαστηµάτων κβάντισης: x x xp x dx x x =, =,,, (VI.) x p x dx Όπως είναι προφανές από την (VI.8), σε κάθε διάστηµα κβάντισης το τετράγωνο του σφάλµατος σταθµίζεται µε την τιµή της pdf στο διάστηµα αυτό. Έτσι, σε διαστήµατα όπου η pdf έχει µεγαλύτερη τιµή, το σφάλµα συµβάλλει περισσότερο στο SE και θα µπορούµε να επιτύχουµε µικρότερο SE, εάν φροντίσουµε σε αυτά τα διαστήµατα το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (άρα και το πλάτος του διαστήµατος κβάντισης) να είναι µικρότερο. Ο αλγόριθµος Lloyd-ax χρησιµοποιείται για τη σχεδίαση βέλτιστων κβαντιστών και, ξεκινώντας από τυχαία επιλεγµένα επίπεδα κβάντισης, επαναλαµβάνει τις (VI.9) και (VI.) ενηµερώνοντας συνεχώς τα x, =,, και x, =,,, µέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Εάν η σύγκλιση δεν επιτευχθεί σε τοπικό µέγιστο, τα επίπεδα κβάντισης x που προκύπτουν είναι αυτά που επιτυγχάνουν το ελάχιστο SE και, όπως είναι αναµενόµενο, παρατηρείται µεγαλύτερη συγκέντρωση επιπέδων κβάντισης εκεί p ( x) [ x, x] [ x, x] [ x, x] όπου η pdf έχει µεγαλύτερη τιµή, όπως εικονίζεται και στο διπλανό διάγραµµα. x x x 6 ο µάθηµα 7// Σελίδα

22 Ψηφιακές Επικοινωνίες VI.3. Συστολοδιαστολή Στην γενική περίπτωση της µη οµοιόµορφης pdf, τα βέλτιστα επίπεδα κβάντισης δεν κατανέµονται οµοιόµορφα και η διαδικασία της κβάντισης είναι πιο πολύπλοκη από την αντίστοιχη οµοιόµορφη, η οποία περιγράφεται από την απλή σχέση (VI.5). Ωστόσο, µία τυχαία µεταβλητή µε οποιαδήποτε pdf µπορεί να µετασχηµατιστεί σε µία οµοιόµορφη Y = g, µε κατάλληλη επιλογή της (µονότονα αύξουσας) g (). Στην κβάντιση σηµάτων φωνής χρησιµοποιούνται συνήθως δύο µετασχηµατισµοί: µ-law Ο νόµος µ ( µ -law) στην Αµερική ( + µ ) log Y =, log + µ Ο νόµος A ( A -law) στην Ευρώπη A, + loga A Y = + log( A), < + loga A Εδώ, είναι η «κανονικοποιηµένη» Y A-law αρχική τιµή του σήµατος, ενώ συνηθισµένες τιµές των παραµέτρων είναι µ = 55 και A = Με αυτό το µετασχηµατισµ ό, το διάστηµα των χαµηλών τιµών του σήµατος φωνής (που είναι και οι περισσότερο πιθανές) «διαστέλλεται» και κβαντίζεται µε περισσότερα επίπεδα κβάντισης, ενώ αυτό των υψηλότερων και λιγότερο πιθανών τι µών «συστέλλεται» και κβαντίζεται µε λιγότερα επίπεδα κβάντισης. Στο δέκτη, η χρησιµοποιείται ο αντίστροφος µετασχηµατισµός και η όλη διαδικασία αναφέρεται ως συστολοδιαστολή ή copanding (copression-and-expandin g) VI.4. Θόρυβος Κβάντισης Κβαντιστής Η διαδικασία της κβάντισης εισάγει µία µικρή fq = + NQ παραµόρφωση στο σήµα, όπως φαίνεται και στην Εικόνα VI-. Αυτή η παραµόρφωση NQ = fq µπορεί να µοντελοποιηθεί ως η επίδραση της προσθήκης θορύβου N = f στο αρχικό σήµα, ο οποίος αναφέρεται ως θόρυβος κβάντισης. Η ισχύς του θορύβου κβάντισης ταυτίζεται µε το µέσο τετραγωνικό σφάλµα E{ NQ} = E{ fq }, ενώ επίσης ορίζεται και η σηµατοθορυβική σχέση κβάντισης ή SNR (Signal-o-Noise ισχ SNR E{ E N Raio) ως ο λόγος των ύων του σήµατος και του θορύβου: } { Q} VI.5. ιανυσµατική Κβάντισ η Η γενίκευση της βαθµωτής κβάντισης που είδαµε είναι η διανυσµατική κβάντιση, στην οποία n τυχαίες µεταβλητές = (,, n ) κβαντίζονται ταυτόχρονα σε επίπεδα κβάντισης x, διανύσµατα του n -διάστατου χώρου. Στη διανυσµατική κβάντιση εκµεταλλευόµαστε τόσο τη γεωµ ετρία του n -διάστατου χώρου όσο και τη συσχέτιση µεταξύ γειτονικών τιµών του σήµατος, ελαχιστοποιώντας την παραµόρφωση. Y µ= A= µ= A= µ= Q A= Περιοχή Τιµών n= Q Όρια Περιοχών Επίπεδο Κβάντισης 6 ο µάθηµα 7// Σελίδα