ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e

Transcript

1 ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 AΣΚΗΣΗ () [ ] (.5) u[ ] Λύση: θ. Ποίο είναι το ( );. Σχεδιάστε προσεγγιστικά το Α(θ) και το φ(θ). θ θ. Εάν Y ( ) R( ( )), βρείτε το y [] και σχεδιάστε το y[].. Έχουµε τη συνάρτηση [ ] (.5) u[ ], η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: [ ] (.5) u[ ] (.5) (.5) u[ ] u( ) Γνωρίζουµε όµως ότι z u[ ] z και επίσης [ ] z ( ) και κατά συνέπεια θα έχουµε z z. Σχεδιάζοντας προσεγγιστικά τα διαγράµµατα για το µέτρο Α(θ) και τη φάση φ(θ), θα έχουµε : Α(θ) /4 / -π π θ Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4

2 φ(θ) π θ -π -π π. Γνωρίζουµε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) R + και εποµένως ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R Y + από όπου προκύπτει ότι [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] u u 6 u u y Παρατηρούµε ότι το σήµα εµφανίζεται µε µια καθυστέρηση [] y τόσο στον θετικό όσο και στον αρνητικό ηµιάξονα. Εποµένως κατά τη σχεδιάση στις θέσεις -, -,,, θα έχουµε µηδενικα.άρα: Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4

3 AΣΚΗΣΗ () T s a (t) [] y[] A/D S Υποθέτουµε ότι το σήµα a (t) δεν έχει συχνότητες µεγαλύτερες του /(Τ s ), δηλαδή π ( ω) για ω. Συνεπώς το a (t) µπορεί να αναπαραχθεί από τα δείγµατά του [] a (T s ). T s Βρείτε τι περιλαµβάνει το ψηφιακό σύστηµα S, για να έχουµε y[] a (T s -.5T s ). Εξηγείστε αναλυτικά την λειτουργία κάθε τµήµατος του S. Λύση: y T.5T θα περιλαµβανει τις Το ψηφιακό σύστηµα S, προκειµένου να έχουµε [ ] ( ) παρακάτω βαθµίδες : α) Αρχικά είναι απαραίτητο να αυξήσουµε το ρυθµό δειγµατοληψίας κατά ένα συντελεστή 4. Αυτό σηµαινει ότι θα τοποθετήσουµε µία βαθµίδα αύξησης του ρυθµού δειγµατοληψίας κάτα L 4 a s s L4 Με τον τρόπο αυτό κατασκευάζουµε ουσιαστικά έναν πολλαπλασιαστή συχνότητας. Αυτό που κάνει ο πολλαπλασιαστής συχνότητας είναι να επεκτείνει την κλίµακα του χρόνου κατά έναν συντελεστή L 4 εισάγοντας L- µηδενικά στα διαστήµατα µεταξύ των δειγµάτων της []. Έτσι αν το αρχικό σήµα είναι το παρακάτω Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4

4 -π π Μετά τη βαθµίδα υπερδειγµατολειψίας θα έχουµε το σήµα: -π/4 π/4 L L β) Στη συνεχεια και σε σειρά µε τη βαθµίδα αύξησης του ρυθµού δειγµατοληψίας τοποθετούµε ένα (ψηφιακό) χαµηλοπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής π / Lπ / 4. LPF Κέρδος φίλτρου L 4 Συχνότητα αποκοπής π/4 Η σε σειρά σύνδεση του χαµηλοπερατού φλιλτρου µε τον πολλαπλασιαστή συχνότητας καλείται παρεµβολέας(itrpolator). Αυτό που επιτυγχάνει το χαµηλοπερατό φιλτρο είανι να παρεµβάλει στο πεδίο του χρόνου άσσους µεταξύ των τιµών των δειγµάτων σε ακέραια πολλαπλάσια του L4. -π/4 π/4 L L γ) Είναι επίσης αναγκαία η πρόσθεση µίας βαθµίδας καθυστέρησης (ενώ το ρολόι είναι στο / 4 T S ). Αυτό θα έχει ως αποτέσµα την καθυστέρηση κατά Τ.5Τ S. z - T.5T S Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4 4

5 Κατά συνέπεια το σήµα θα εµφανιστεί στην έξοδο της βαθµίδας µετατοπισµένο προς τα δεξιά κατά ένα διάστηµα Τ.5Τ S Τ.5Τ S δ) Τέλος εισάγουµε µία βαθµίδα µείωσης του ρυθµού δειγµατοληψίας κατά έναν συντελεστή Μ 4. Η µείωση του ρυθµού δειγµατολειψίας πραγµατοποιείται λαµβάνοντας ουσιαστικά κάθε Μ-οστό δείγµα της []. Έτσι θα έχουµε τελικά το σήµα: M4 Παίρνουµε δηλαδή το ζητούµενο σήµα y[ ] ( T.5T ) a s s. Και η συνολική διάταξη του συστήµατος S θα έχει τη µορφή: Τ.5Τ S [] L4 LPF z - M4 y[] Συχνότητα:π/4 T.5T S ΑΣΚΗΣΗ : (5) Υποθέτουµε ότι µία ακολουθία διακριτού χρόνου [ ] έχει περιορισµένο εύρος ζώνης έτσι ώστε ( ) για.π < θ < π. ηµιουργούµε την ακολουθία y [ ] [ ], όπου Ν είναι ένας ακέραιος αριθµός. Να βρεθεί η µεγαλύτερη τιµή του Ν για την οποία η [ ] µπορεί να ανακτηθεί µε µοναδικό τρόπο από την y [ ]. Αιτιολογείστε αναλυτικά την απάντηση σας. Λύση: Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4 5

6 Το σήµα θα έχει τη µορφή: -π -π -.π.π π π Το σήµα y[] προέρχεται από το [] µε µία υποδειγµατοληψία κατά έναν ακέραιο συντελεστή Ν. Έτσι θα έχουµε: [] Ν y[][] To σήµα στην έξοδο της µονάδας υπόδειγµατοληψίας θα έχει τη µορφή: -π -π -.Νπ.Νπ π π (π-.νπ) Θα πρέπει τα δείγµατα της υποδειγµατοληψίας να µην συµπέφτουν, δηλαδή να µην επικαλύπτονται. Κατά συνέπεια θα πρέπει να ισχύει η σχέση :.π < π. Νπ Και εποµένως :.6 < π Ν <..6 Πρέπει όµως η υποδειγµατοληψία ν γίνεται ως προς έναν ακέραιο συντελεστή και άρα Ν είναι η µεγαλύτερη δυνατή τιµη που µπορεί να πάρει το Ν. Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4 6

7 AΣΚΗΣΗ 4: (5). ώστε τους ορισµούς του Μετασχηµατισµού Fourir ιακριτού Χρόνου (DTFT), του ιακριτού Μετασχηµατισµού Fourir (DFT), της ιακριτής Σειράς Fourir (DFS), και του Γρήγορου Μετασχηµατισµού Fourir (FFT). Τι διαφέρουν µεταξύ τους; Πως σχετίζονται µεταξύ τους;. Τι είναι η κυκλική συνέλιξη διακριτών σηµάτων; Τι διαφέρει από την απλή συνέλιξη διακριτών σηµάτων; ώστε ένα παράδειγµα.. Να βρεθεί το DFS του [](cos[.5π]) εάν (α) Ν6 (β) 64 Λύση:. Μετασχηµατισµός Fourir ιακριτού Χρόνου (DTFT): Ο µετασχηµατισµός DTFΤ χρησιµοποιείται για την απεικόνιση των συχνοτήτων µίας ακολουθίας. Ο µετασχηµατισµός DTFT µίας ακολουθίας [] ορίζεται ως εξής : [ ] ( ) ( z) [ ] Η απόκριση συχνότητας ενός γραµµικού και αµετάβλητου κατά την µετατόπιση συστήµατος, H ( ), είναι ο DTFT της κρουστικής του απόκρισης, h[]. Για να υπάρχει ο DTFT µίας ακολουθίας πρέπει να συγκλίνει το άθροισµα της παραπάνω εξίσωσης. Αυτό µε τη σειρά του απαιτεί, η ακολουθία [] να είναι απόλυτα συγκλίνουσα, δηλαδή z [ ] S < ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir (DFT) : Για τις ακολουθίες πεπερασµένου µήκους υπάρχει µία παράσταση η οποία καλείται DFT. Αντίθετα µε το µετασχηµατισµό DTFT, ο οποίος είναι µία συνεχής συνάρτηση της συνεχούς µεταβλητής θ, ο µετασχηµατισµός DFT είναι µία ακολουθία η οποία αντιστοιχεί στα δείγµατα του DTFT. Θα έχουµε δηλαδή: π m [] ( ), m Υπολογίζουµε δηλαδή Ν σηµεία από την ( ) ιακριτή Σειρά Fourir (DFS) : Χρησιµοποιείται για περιοδικές ακολουθίες. Έστω η [ ] [ + ] µία περιοδική ακολουθία µε περίοδο Ν. Η [ ] δεν έχει µετασχηµατισµό Fourir, επειδή δεν είναι απόλυτα συγκλίνουσα, µπορεί όµως να εκφραστεί µε τη βοήθεια της DFS ως εξής : Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4 7

8 [] [ + ] [ ] m π m Μπορούµε δηλαδή να πούµε ότι απεικονίζει Ν σηµεία σε Ν σηµεία. Γρήγορος Μετασχηµατισµός Fourir (FFT) : Είναι ουσιαστικά ένας γρήγορος τρόπος υπολογισµού του DFS. Η στρατηγική που χρησιµοποιείται από έναν αλγόριθµο FFT είναι αυτή του διαίρει και βασίλευε, η οποία περιλαµβάνει την ανάλυση ενός µετασχηµατισµού DFT-Ν σηµείων σε διαδοχικά µικρότερους µετασχηµατισµούς DFT. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα την ελλάτωση των πράξεων από Ν χρειαζόµαστε στο DFS σε log.. Στην εξίσωση y[ ] h( k) ( k) R ( ), η y[] είναι η κυκλική συνέλιξη Ν- k σηµείων των ακολουθιών h[] και [] και γράφεται ως y[ ] [ ] h[ ] h[ ] [ ]. Η διαφορά µεταξύ γραµµικής και περιοδικής (κυκλικής) συνέλιξης είναι ότι στην κυκλική συνέλιξη το αντίστοιχο άθροισµα υπολογίζεται για µία περίοδο ενώ στη γραµµική το άθροισµα υπολογίζεται για όλες τις τιµές του κ. Μία κυκλική συνέλιξη είναι ουσιαστικά η συνέλιξη για δύο περιοδικές ακολουθίες: [ ] y[ ] Y m m DFS Εάν το άθροισµα των µη µηδενικών µηκών των ακολουθιών [] και y[] µέσα σε µία περίοδο είναι µικρότερο από το Ν τότε η κυκλική συνέλιξη δίνει µέσα σε µία περίοδο το ίδιο αποτέλεσµα µε την απλή γραµµική συνέλιξη των δύο περιόδων.. Για την ακολουθία που δίνεται θα έχουµε: [] ( cos[.5π] ) π + π cos π 4 π + π + Και άρα : Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4

9 [ ] π m m () α) Για Ν6 η παραπάνω εξίσωση θα πάρει τη µορφή: 6 5 [] m m π m Όλοι οι όροι θα είναι ίσοι µε µηδέν εκτός από τους όρους, 4 β) Για Ν64 η εξίσωση () θα πάρει τη µορφή: 64 6 [] m m π m Όλοι οι όροι θα είναι ίσοι µε µηδέν εκτός από τους όρους, Λύσεις θεµάτων Ιουνίου 4 9