Θεώρημα δειγματοληψίας

Transcript

1 Δειγματοληψία

2 Θεώρημα δειγματοληψίας Ένα βαθυπερατό σήμα πεπερασμένης ενέργειας που δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες των W Hertz μπορεί να περιγραφθεί πλήρως από τις τιμές του σε χρονικές στιγμές ισαπέχουσες κατά 1/2W sec Ένα βαθυπερατό σήμα πεπερασμένης ενέργειας που δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες των W Hertz μπορεί να ανακτηθεί πλήρως από δείγματά του που λαμβάνονται με ρυθμό 2W ανά sec Nyquist 1928, Shannon 1949

3 Φάσμα σήματος μετά τη δειγματοληψία x ( t) x( nt ) ( t nt ) n x ( t) x( t) ( t nt ) n s 1 n X ( f ) X ( f ) f Ts n Ts 1 n X ( f ) X ( f ) f Ts n Ts 1 n X ( ) f X f f s X f nf Ts n Ts n s s s

4 Περιοδικότητα φάσματος Η δειγματοληψία δημιουργεί περιοδικό φάσμα Διακριτός χρόνος περιοδικό φάσμα Αντιγράφει το φάσμα του αρχικού σήματος στα ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας δειγματοληψίας nf s

5 Περιοδικότητα φάσματος Τα δείγματα του σήματος είναι οι συντελεστές Fourier του περιοδικού φάσματος x ( t) x( nt ) ( t nt ) n X ( f ) x( nt )exp( j2 nft ) n 1/ T s s s x( nt ) T X ( f )exp( jn2 ft ) df s s s 0 s s

6 Επίδραση δειγματοληψίας στο φάσμα Εάν η συχνότητα δειγματοληψίας f s 2W, τότε το περιοδικό φάσμα συνίσταται σε μια μη επικαλυπτόμενη επανάληψη του φάσματος του αρχικού σήματος Το αρχικό σήμα μπορεί να ληφθεί με διάβαση μέσω βαθυπερατού φίλτρου Εάν f s < 2W εμφανίζεται επικάλυψη (aliasing), δηλαδή, αναδίπλωση του φάσματος

7 Επίδραση δειγματοληψίας στο φάσμα Αρχικό σήμα x(t) F X(f) Μετά τη δειγματοληψία x δ (t) t F -W 0 W T s X δ (f) f t -2f s -f s 0 f s 2 f s -f s -W -f s +W -W W f s -W f s +W f

8 Επικάλυψη T s X δ (f) -2f s -f s 0 f s 2 f s f

9 Ανάκτηση του σήματος Εάν Τ s ½W το αρχικό σήμα είναι η έξοδος οποιουδήποτε βαθυπερατού φίλτρου, όπου T f W s 1 H( f ) 0 f W Ts? αλλού

10 Ιδανικό φίλτρο ανάκτησης T s X δ (f) -1/Τ s 0 1/Τ s f -1/T s +W -W W 1/Τ s -W Απαιτείται ζώνη ασφάλειας (guard band)

11 Ανάκτηση του σήματος Έστω βαθυπερατό φίλτρο ανάκτησης με εύρος ζώνης B, όπου W B f W τότε x( t) X ( f )exp( j2 ft) df T X ( f )exp( j2 ft) df B B B s s s B n n T x( nt )exp( j2 nft )exp( j2 ft) df B T ( ) exp 2 s x nts j f t nts df B 2 BT x( nt )sinc 2 Bt nt s s s n s s

12 Ανάκτηση του σήματος Για το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο ανάκτησης με εύρος ζώνης W και Τ s = ½W x( t) 2 WT x( nt )sinc 2 W t nt n n s s s n t x( nts )sinc T x( nt )sinc f t n s s s n

13 Τι σημαίνει αυτό; Μπορούμε να λάβουμε το αρχικό σήμα χωρίς λάθη αθροίζοντας καθυστερημένες εκδοχές συναρτήσεων sinc με βάρη τα δείγματα x(3t s ) sinc 2W t 3T s x(t) T s 2T s 3T s 4T s 5T s t

14 Παράδειγμα 1 Έστω συνημιτονικό σήμα συχνότητας 1 Hz του οποίου λαμβάνονται δείγματα με συχνότητα f s = 5, 3, 2.1, 1.9, 1.4 και 1.1 Hz Ανασκευάστε το σήμα από τα δείγματά του

15 Παράδειγμα 1 - Συχνότητα δειγματοληψίας > 2 Hz

16 Παράδειγμα 1 - Συχνότητα δειγματοληψίας ~ 2 Hz

17 Παράδειγμα 1 - Συχνότητα δειγματοληψίας < 2 Hz

18 Κακές αναπαραστάσεις Τα δείγματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με

19 Παράδειγμα 2 Έστω σήμα που προκύπτει ως άθροισμα δύο ημιτονικών κυματομορφών συχνότητας f 1 =0.067 Hz και f 2 =0.333 Hz

20 Παράδειγμα 2 πεδίο συχνότητας f 1 f 2 f (Hz)

21 Παράδειγμα 2 Ανακατασκευή στο πεδίο χρόνου (f s =1 Hz) αρχικό σήμα από τα δείγματα με παρεμβολή t (sec)

22 Παράδειγμα 2 Επικάλυψη δειγματοληψία με (f s =0.5 Hz) f 1 f 2 f (Hz)

23 Παράδειγμα 2 Επικάλυψη στο πεδίο του χρόνου 1.5 αρχικό σήμα 1 από τα δείγματα με παρεμβολή t (sec)

24 Σχέση δειγματοληψίας και μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου

25 Δειγματοληψία και ανακατασκευή Xˆ ( f ) X ( f ), ά F 2 B s

26 Ανακατασκευή από τα δείγματα x[n] n ΙΔΑΝΙΚΟΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑΣ x () t D/A f s =1/T s T s t 0 W f ΒΑΘΥΠ. ΦΙΛΤΡΟ 0 f xˆ ( t) t 0 W f

27 Τι ισχύει με τα δείγματα;????? X ( f ) x( nt )exp( j2 nft ) n s s

28 DTFT Η δειγματοληψία αποτελεί τη βάση για τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου DTFT IDTFT jn X ( ) x[ n] e n 1 jn x[ n] X ( ) e d 2

29 Η φυσική σημασία του DTFT

30 Mετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) x(t) t 0 f 0 f x * x () t x[n] = T s t (α) -1/T s 0 X f = f s =1/T s 1/T s j2nfd ( D) x[ n] e n f n (β) 0 1 f D =f/f s

31 Πρακτικά θέματα δειγματοληψίας

32 Προβλήματα κατά τη δειγματοληψία Η συνάρτηση δειγματοληψίας αποτελείται από παλμούς πεπερασμένου πλάτους και διάρκειας αντί κρουστικές συναρτήσεις Οδηγεί σε ποικίλα συστήματα διαμόρφωσης Το φίλτρο ανάκτησης δεν είναι ιδανικό Η επικάλυψη πρέπει να αποφευχθεί Τα σήματα είναι χρονικά πεπερασμένα, άρα το φάσμα τους δεν μπορεί να είναι βαθυπερατό

33 Μη ιδανικοί παλμοί δειγματοληψίας Η μορφή των παλμών δειγματοληψίας δεν επηρεάζει τη διαδικασία, υπό την προϋπόθεση ότι το διαμορφωμένο σήμα προκύπτει ως γινόμενο του σήματος πληροφορίας με περιοδική συνάρτηση τραίνου παλμών H πιο συνηθισμένη περίπτωση είναι η δειγματοληψία με παλμούς επίπεδης κορυφής (flat-top sampling) διαμόρφωση PAM Για την αναπαραγωγή μπορεί να απαιτηθεί ισοστάθμιση (equalization)

34 Μη ιδανικό φίλτρο ανάκτησης Οι ανεπιθύμητες συχνότητες που περνούν από το φίλτρο εμφανίζονται ως υψίσυχνος θόρυβος

35 Αποφυγή επικάλυψης

36 Επικάλυψη Ανακατασκευασμένο σήμα

37 Το πρόβλημα Χρησιμοποιούμε f s >2W για να αποφύγουμε την επικάλυψη Υποθέτει ότι το σήμα είναι βαθυπερατό με W<f s /2 Όμως, θόρυβος και άλλες υψηλές (>f s /2) συχνότητες συνυπάρχουν με το σήμα μετά τη δειγματοληψία θα καταλήξουν στην περιοχή W έως W Το σήμα πρέπει να γίνει βαθυπερατό πριν τη δειγματοληψία

38 Αποφυγή επικάλυψης Στη δειγματοληψία σημάτων μουσικής Εάν το μουσικό τμήμα περιέχει υψηλές συχνότητες, που δεν γίνονται ακουστές, μετά τη δειγματοληψία αυτές θα ακουστούν ως χαμηλές συχνότητες Στη δειγματοληψία σημάτων βίντεο και στις κινηματογραφικές ταινίες η επικάλυψη εμφανίζεται ως το φαινόμενο της αργά ή αντίστροφα κινούμενης ρόδας

39 Αποφυγή επικάλυψης Τα προηγούμενα παραδείγματα αφορούν τη χρονική εκδοχή της παραλλαγής Στη χωρική εκδοχή της εμφανίζεται στις ψηφιακές φωτογραφίες και είναι γνωστή ως μορφές Moiré Ανάγκη για φίλτρο αντιεπικάλυψης (anti-aliasing)

40 Μετά τη δειγματοληψία, ο εκτός ζώνης θόρυβος θα μολύνει το σήμα Γιατί απαιτείται φίλτρο αντιεπικάλυψης X(f) Σήμα Θόρυβος -W W f Δειγματοληψία με ρυθμό f s /2 -f s -f s /2 -W W f s /2 f s f

41 Το φίλτρο αντι-επικάλυψης X(f) Σήμα Φίλτρο αντιεπικάλυψης Θόρυβος -W W f Το φίλτρο αντι-επικάλυψης εφαρμόζεται πριν τη δειγματοληψία -f s -f s /2 -W W f s /2 f s f και αποτρέπει τη μόλυνση από το υψίσυχνο σήμα

42 Χρονικά πεπερασμένα σήματα

43 Χρονικά πεπερασμένο σήμα Οδηγεί σε επικάλυψη (aliasing), δηλαδή, αναδίπλωση του φάσματος Υψηλές συχνότητες εμφανίζονται ως χαμηλότερες συχνότητες εντός του φάσματος του σήματος πληροφορίας Ανάγκη για φίλτρο αντι-επικάλυψης (anti-aliasing) πριν τη δειγματοληψία

44 Το φάσμα ενός χρονικά περιορισμένου συνημιτονικού σήματος 1 Hz

45 Υπο-δειγματοληψία

46 Υπο-δειγματοληψία Η δειγματοληψία με ρυθμό μικρότερο του διπλασίου της μεγαλύτερης συχνότητας ενός σήματος έχει ενδιαφέρουσες εφαρμογές, εάν η αναδίπλωση γίνει με προσοχή Παλμογράφος δειγματοληψίας Ζωνοπερατά σήματα

47 Παλμογράφος δειγματοληψίας Μια πρακτική χρήση της αναδίπλωσης (aliasing) Χρήση μικρής συχνότητας δειγματοληψίας f s για παρατήρηση σημάτων μεγάλης συχνότητας f x όπου f s =(1-α)f x, 0<α<1

48 Παλμογράφος δειγματοληψίας Η δειγματοληψία μετακινεί το φάσμα του αρχικού σήματος αριστερά και δεξιά κατά nf s σε σημεία που απέχουν f y = f x -f s = ±αf s από τις αρμονικές της συχνότητας δειγματοληψίας Κρατάμε τις m αρμονικές, εδώ m=2 Αρκεί a<1/(2m+1) για να μην έχουμε επικάλυψη Βαθυπερατό φίλτρο ανακτά το y(t)=x(αt)

49 Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων

50 Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Ζωνοπερατό σήμα εύρους ζώνης W με συχνότητες στην περιοχή από f L έως f H (0<f L <f H, W= f H -f L ) μπορεί να ανακτηθεί από δείγματα που λαμβάνονται με ρυθμό 2fΗ 2fL fs n n 1 f H n W όπου n =1,2, ακέραιος τέτοιος ώστε και το φίλτρο ανάκτησης έχει κρουστική απόκριση ( n 1) t nt ( n1)sinc nsinc Ts Ts

51 X(f) Η βασική ιδέα -f H -f L f s =f L f H =3W f Έστω f H =3W, f s =2W X(f±f s ) -2f s -f s f s 2f s f X(f±2f s ) -3f s -2f s -f s f s 2f s 3f s X(f±3f s ) f -2f s -f s f s 2f s 3f s -4f s -3f s 4f s... f X s (f) -4f s -3f s -2f s -f s -W W f s 2f s 3f s 4f s f

52 Η απλή περίπτωση f H =nw Έστω f H =nw με n περιττό ακέραιο Η επιλογή f s =2W οδηγεί σε πλήρωση με αντίγραφα του φάσματος του ζωνοπερατού σήματος 2W 2W 2W 2W 2W 2W 2W 2W -4f s -3f s -2f s -f s -W W f s 2f s 3f s 4f s f

53 Η απλή περίπτωση f H =nw Έστω f H =nw με n άρτιο ακέραιο Η επιλογή f s =2W οδηγεί και πάλι σε πλήρωση με αντίγραφα του φάσματος του ζωνοπερατού σήματος Στην περιοχή 0 έως W όμως έχουμε αντιστροφή του φάσματος 2W 2W 2W 2W 2W 2W 2W -4f s -3f s -2f s -f s -W W f s 2f s 3f s 4f s f

54 Η γενική περίπτωση f H nw Έστω f H δεν είναι πολλαπλάσιο του W για να μην έχουμε επικάλυψη πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες n-1 αντίγραφο f s f L f H f (n-1)f s 2f L (n-1)f s 2f L 2f H nf s 2f H nf s

55 Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Οι ανισότητες μπορούν να γραφούν ως 2fΗ 2fL fs n n 1 Επειδή, f H = f L + W αντικαθιστώντας 2 fη 2( fh W ) fs n n1 fη ( fh W ) ( n 1) fη n( fh W ) n n1 W n f Η

56 f H W Συνθήκες μη επικάλυψης n n n f s W Απαγορευμένη περιοχή (επικάλυψη)

57 Παράδειγμα για σήμα FM Στη ραδιοφωνία FM έχουμε f L = 88 MHz, f H = 108 MHz, W = 20 MHz, οπότε 108 n 5,4 20 Για n=5, 43,2 MHz < f s < 44 MHz Για n=4, 54 MHz < f s < 58,67 MHz Για n=3, 72 MHz < f s < 88 MHz Για n=2, 108 MHz < f s < 176 MHz Για n=1, 216 MHz < f s (ρυθμός Nyquist)