Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, July 2009

Transcript

1 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ-ΣΕΛΗΝΗΣ Οι επιστήμονες μπορούν να προσδιορίσουν την απόσταση Γης-Σελήνης, με μεγάλη ακρίβεια. Αυτό μπορούν να το επιτύχουν, ρίχνοντας δέσμη φωτός aser σε ειδικά κάτοπτρα, τα οποία τοποθετήθηκαν στην επιφάνεια της Σελήνης από τους αστροναύτες το 969 και μετρώντας το χρόνο που χρειάζεται το φως να καλύψει τη διαδρομή από τη Γη στη Σελήνη και πίσω στη Γη (βλέπε Σχήμα ). Σχήμα. Μια δέσμη laser από ένα παρατηρητήριο στη Γη χρησιμοποιείται για τη μέτρηση με ακρίβεια της απόστασης μεταξύ της Γης και της Σελήνης. Με αυτές τις μετρήσεις οι επιστήμονες ανακάλυψαν ότι η Σελήνη απομακρύνεται αργά από τη Γη. Έτσι, η απόσταση Γης-Σελήνης αυξάνεται σταδιακά με το χρόνο. Αυτό συμβαίνει λόγω των παλιρροιακών ροπών, όπου η Γη μεταφέρει στροφορμή στη Σελήνη (βλέπε Σχήμα ). Σε αυτό το πρόβλημα θα προσδιορίσετε τις βασικές παραμέτρους του φαινομένου.

2 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Σχήμα. Η βαρύτητα της Σελήνης προκαλεί το φαινόμενο της παλίρροιας στη Γη. Λόγω της περιστροφής της Γης, η γραμμή που περνά διαμέσου των παλιρροιών δεν ευθυγραμμίζεται με τη γραμμή μεταξύ της Γης και της Σελήνης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ροπής η οποία μεταφέρει στροφορμή από τη Γη στη Σελήνη. Το σχήμα δεν είναι υπό κλίμακα.. Διατήρηση Στροφορμής Έστω η παρούσα στροφορμή του συστήματος Γης-Σελήνης. Να κάνετε τις ακόλουθες υποθέσεις: i) είναι μόνο το άθροισμα της στροφορμής της Γης γύρω από τον άξονά της και της στροφορμής της Σελήνης λόγω της περιφοράς της γύρω από τη Γη. ii) Η τροχιά της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι κυκλική και η Σελήνη μπορεί να θεωρηθεί ως υλικό σημείο. iii) Ο άξονας περιστροφής της Γης και ο άξονας γύρω από τον οποίο περιφέρεται η Σελήνη είναι παράλληλοι. iv) Για λόγους απλότητας στους υπολογισμούς, θεωρούμε την κίνηση να είναι γύρω από το κέντρο της Γης και όχι γύρω από το κέντρο μάζας. Σε όλα τα ερωτήματα του προβλήματος, οι ροπές και οι ροπές αδράνειας ορίζονται ως προς τον άξονα περιστροφής της Γης. v) Η επίδραση του Ήλιου είναι αμελητέα. a Να γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει την παρούσα συνολική στροφορμή του συστήματος Γης-Σελήνης. Να γράψετε αυτή την εξίσωση σε σχέση με τη ροπή αδράνειας της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της, I E, την παρούσα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης, ω Ε, την παρούσα ροπή αδράνειας της Σελήνης ως προς το κέντρο της Γης, I M και την παρούσα γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη, ω. M.

3 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Αυτή η διαδικασία της μεταφοράς στροφορμής από τη Γη στη Σελήνη θα σταματήσει, όταν η περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της και η περίοδος περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη, αποκτήσουν την ίδια τιμή. Τότε, οι παλίρροιες της Σελήνης στη Γη, θα ευθυγραμμιστούν με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα της Γης και της Σελήνης και έτσι η ροπή θα μηδενιστεί. b Να γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει την τελική συνολική στροφορμή του συστήματος Γης-Σελήνης,. Να κάνετε τις ίδιες υποθέσεις που κάνατε για την ερώτηση a. Να γράψετε αυτή την εξίσωση, σε σχέση με τη ροπή αδράνειας της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της, I E, την τελική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης και τη γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης, ω και την τελική ροπή αδράνειας της Σελήνης ως προς το κέντρο της I M Γης,.. c Να αγνοήσετε στο ερώτημα αυτό, τη συνεισφορά της περιστροφής της Γης, στην τελική στροφορμή. Να γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει τη διατήρηση της στροφορμής σε αυτό το πρόβλημα..3. Τελική Απόσταση Γης-Σελήνης και Τελική Γωνιακή Ταχύτητα του Συστήματος Γης-Σελήνης. Υποθέστε ότι, η εξίσωση της βαρυτικής έλξης για κυκλική τροχιά (της Σελήνης γύρω από τη Γη) ισχύει πάντα. Αγνοήστε την περιστροφή της Γης στην τελική συνολική στροφορμή του συστήματος Γης-Σελήνης. a Να γράψετε την εξίσωση της βαρυτικής έλξης για την κυκλική τροχιά της Σελήνης γύρω από τη Γη, στην τελική κατάσταση, σε σχέση με τα φυσικά μεγέθη M E, ω, G και της τελικής απόστασης Γης-Σελήνης, D. M E είναι η μάζα της Γης και G είναι η παγκόσμια σταθερά βαρύτητας.. b Να γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει την τελική απόσταση Γης- Σελήνης, D, σε σχέση με τις γνωστές παραμέτρους, τη στροφορμή του συστήματος Γης-Σελήνης,, τις μάζες της Γης και της Σελήνης, M E και αντίστοιχα και της παγκόσμιας σταθεράς βαρύτητας,g. M M c Να γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει την τελική γωνιακή ταχύτητα ω του συστήματος Γης-Σελήνης, σε σχέση με τις γνωστές παραμέτρους,, M E, M M και G

4 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Πιο κάτω, θα σας ζητηθεί να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των φυσικών μεγεθών D καιω. Για τον σκοπό αυτό, χρειάζεται να ξέρετε τη ροπή αδράνειας της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της. d Να γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει τη ροπή αδράνειας της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της, I E, υποθέτοντας ότι η Γη έχει σφαιρικό σχήμα με εσωτερική πυκνότητα ρ από το κέντρο της Γης σε ακτίνα r και με εξωτερική πυκνότητα ρ από την ακτίνα r μέχρι την επιφάνεια, σε ακτίνα από το κέντρο (βλέπε Σχήμα 3) r.5 Σχήμα 3. Η Γη ως σφαίρα με δύο πυκνότητες, ρ και ρ. i o Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των φυσικών μεγεθών που ζητούνται σε αυτό το πρόβλημα, πάντα με ακρίβεια δύο σημαντικών ψηφίων. e Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της, I E, χρησιμοποιώντας τις τιμές: ρ =.3x kg. m, r = 3.5x m, ρ = 4.x kg. m και r = 6.4x m.. 4 Οι μάζες της Γης και της Σελήνης είναι: M E = 6.x Kg και M M = 7.3x Kg αντίστοιχα. Η παρούσα απόσταση μεταξύ της Γης και της Σελήνης είναι 8 D = 3.8x m. Η παρούσα γωνιακή ταχύτητα της Γης γύρω από τον άξονά της είναι 5 ω Ε = 7.3x rad / s. Η παρούσα γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από 6 τη Γη είναι ωm =.7x rad / s. Η παγκόσμια σταθερά βαρύτητας είναι 3 G = 6.7x m. kg. s. 4

5 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 f Υπολογίστε το μέτρο της συνολικής στροφορμής του συστήματος Γης-Σελήνης,.. g Υπολογίστε την τελική απόσταση Γης-Σελήνης, μονάδες της παρούσας απόστασης Γης-Σελήνης,. D D, σε μέτρα και σε.3 h Υπολογίστε το μέτρο της τελικής γωνιακής ταχύτητας, ω, σε rad / s,.3 καθώς και την τελική διάρκεια της ημέρας σε μονάδες της παρούσας διάρκειας ημέρας. Μπορείτε να δείξετε τώρα ότι, η υπόθεση να αγνοήσετε τη συνεισφορά της περιστροφής της Γης, στην τελική συνολική στροφορμή, είναι σε συμφωνία με το αποτέλεσμα του πηλίκου της τελικής στροφορμής της Γης με αυτή της Σελήνης. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι πολύ μικρό. i Υπολογίστε το πηλίκο της τελικής στροφορμής της Γης, με αυτή της Σελήνης.. 3. Πόσο απομακρύνεται η Σελήνη από τη Γη σε ένα χρόνο; Τώρα, θα προσδιορίσετε πόσο απομακρύνεται η Σελήνη από τη Γη σε ένα χρόνο. Για το σκοπό αυτό, θα πρέπει να γνωρίζετε την εξίσωση για την παρούσα ροπή που ασκείται στη Σελήνη από τη Γη. Υποθέστε ότι οι παλίρροιες που προκαλούνται στη Γη από τη Σελήνη προσεγγίζονται πάνω σε δύο υλικά σημεία, το καθένα με μάζα m, που βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης (βλέπε Σχήμα 4). Έστω θ η γωνία μεταξύ της ευθείας που ενώνει τις δύο μάζες m και της ευθείας που ενώνει τα κέντρα της Γης και της Σελήνης. 5

6 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Σχήμα 4. Διάγραμμα για τον προσδιορισμό της ροπής που δημιουργείται στη Σελήνη από τις σημειακές παλιρροιακές μάζες m. Το διάγραμμα δεν είναι υπό κλίμακα. 3a Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει τo μέτρο της δύναμης, F c, που ασκείται στη Σελήνη, από την πιο κοντινή προς τη Σελήνη μάζα m..4 3b Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει τo μέτρο της δύναμης, ασκείται στη Σελήνη, από την πιο μακρινή προς τη Σελήνη μάζα m. F f, που.4 Μπορείτε τώρα να υπολογίσετε τις ροπές που προκαλούνται από τις δύο μάζες m. 3c Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει τo μέτρο της ροπής, τ c, που ασκείται στη Σελήνη από την πιο κοντινή προς τη Σελήνη μάζα m. 3d Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει τo μέτρο της ροπής, τ f, που ασκείται στη Σελήνη από την πιο μακρινή προς τη Σελήνη μάζα m. 3e Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει τo μέτρο της συνολικής ροπής, τ, που ασκείται στη Σελήνη από τις δύο μάζες. Εφόσον, r << D, να προσεγγίσετε την απάντησή σας στη μικρότερη σημαντική τάξη του πηλίκου r / D. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την προσέγγιση ( + x) a + ax, εάν x <<

7 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 3f Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της συνολικής ροπής, τ, που ασκείται στη Σελήνη από τις δύο μάζες, λαμβάνοντας υπόψη ότι θ = 3 6 και m = 3.6x kg (σημειώστε ότι η μάζα m είναι της τάξης 8 φορές της μάζας της Γης)..5 Εφόσον η ροπή είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, μπορείτε τώρα να προσδιορίσετε την αύξηση της παρούσας απόστασης Γης-Σελήνης σε ένα χρόνο. Για το σκοπό αυτό εκφράστε τη στροφορμή της Σελήνης σε σχέση μόνο με τα φυσικά μεγέθη M,, D και G. E M M 3g Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει την αύξηση της παρούσας απόστασης Γης-Σελήνης σε ένα χρόνο. Υπολογίστε την τιμή της αύξησης αυτής.. Τελικά, μπορείτε να προσδιορίσετε την αύξηση της διάρκειας της μέρας σε ένα χρόνο. 3h Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει τη μείωση της γωνιακής ταχύτητας ωε σε ένα χρόνο και άρα να υπολογίσετε τη διάρκεια της αύξησης της παρούσας ημέρας, σε ένα χρόνο.. 4. Πού μεταφέρεται η ενέργεια; Σε αντίθεση με τη στροφορμή του συστήματος Γης-Σελήνης, η οποία διατηρείται, η ολική ενέργεια του συστήματος Γης-Σελήνης (περιστροφική και βαρυτική) δεν διατηρείται. Θα ασχοληθείτε με αυτό το θέμα στην τελευταία αυτή παράγραφο. 4a Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει την ολική ενέργεια του συστήματος Γης-Σελήνης, E, (περιστροφική και βαρυτική), (στο παρόν στάδιο). Να εκφράσετε τη σχέση αυτή σε σχέση μόνο με τα φυσικά μεγέθη: I E, ω, M,, D και G. Ε E M M 4b Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει τη μεταβολή της ολικής ενέργειας του συστήματος Γης-Σελήνης, Δ E, ως συνάρτηση της μεταβολής του μεγέθους D και της μεταβολής του μεγέθους ω Ε. Υπολογίστε την τιμή της μεταβολής Δ E για ένα χρόνο, χρησιμοποιώντας τις τιμές των μεταβολών στα μεγέθη D και ω που βρήκατε στην ερώτηση 3g και 3h. Ε.4.4 7

8 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Μπορείτε να δείξετε τώρα ότι η απώλεια ενέργειας Δ E είναι σε συμφωνία με την ενέργεια που αποδίδεται σε μάζα νερού λόγω της παλίρροιας που προκαλεί η Σελήνη στη Γη. Υποθέστε για απλότητα ότι, όλη η επιφάνεια της Γης καλύπτεται με νερό. Υποθέστε ότι το νερό ανεβαίνει λόγω παλίρροιας σε μέσο ύψος h =. 5 m. Αυτό συμβαίνει δύο φορές την ημέρα. Υποθέστε ακόμη ότι % αυτής της μεταβολής της βαρυτικής ενέργειας, αποδίδεται σε θερμότητα. Δίνεται ότι η πυκνότητα του νερού 3 3 είναι = kg. m και η επιτάχυνση της βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της ρ water Γης είναι g = 9.8 m. s. 4c Υπολογίστε τη μάζα, σε kg, του στρώματος νερού που καλύπτει τη Γη,. λόγω παλίρροιας, όπως περιγράφεται πιο πάνω. 4d Υπολογίστε, σε J, την ενέργεια που αποδίδεται σε θερμότητα σε ένα.3 χρόνο. Συγκρίνετε την τιμή αυτή της θερμότητας, με την ενέργεια που χάνεται από το σύστημα Γης-Σελήνης σε ένα χρόνο. 8

9 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗ-ΣΕΛΗΝΗ ΛΥΣΕΙΣ. Διατήρηση της στροφορμής a = I E ω E + I M ω. M b = I E ω + I M ω. c I E ω E + I M ωm = I M ω =.3. Τελικός διαχωρισμός και Γωνιακή συχνότητα του συστήματος Γη-Σελήνη. a ω D 3 =GM E. b D = GM E M M.5 c G M M ω = E 3 3 M.5 d Η ροπή αδράνειας της Γης θα είναι το άθροισμα της ροπής αδράνειας μιας σφαίρας με ακτίνα ro και πυκνότητα ρ o και μιας σφαίρας με ακτίνα ri και πυκνότητα ρi ρo : 4π 5 5 I E = [ ro ρo + ri ( ρi ρo)] e 4π I E = [ ro ρo + ri ( ρi ρo)] = kg m. f 34 = I E E + I M ωm = 3.4 ω kg m s -.

10 g 8 D =5.4 m, που είναι D =. 4 D.3 h 6 ω =.6 s -, που αντιστοιχεί σε περίοδο 46 ημέρες..3 i 3 Αφού I E ω =.3 kg m s - 34 και I M ω =3.4 kg m s -, η προσέγγιση είναι ικανοποιητική αφού η τελική στροφορμή της Γης είναι το /6 εκείνης της Σελήνης.. 3. Πόσο απομακρύνεται η Σελήνη σε ένα χρόνο? 3a Από το νόμο των συνημίτονων, το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη Σελήνη από την κοντινότερη σ αυτή μάζα m θα είναι: G m M M Fc = D + r D r cos( ) o o θ 3b Από το νόμο των συνημιτόνων, το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη Σελήνη από τη μακρινότερη σ αυτή μάζα θα είναι: G m M M Ff = D + r + D r cos( ) o o θ.4.4 3c Using the law of sines, the torque will be sin( θ ) r D G m M M sin( θ ) r D τ c = Fc = / [ D + r D r cos( θ )] [ D + r D r cos( θ )] o o o o 3 /.4 3d Από το νόμο των ημιτόνων, η ροπή θα είναι sin( θ ) r D G m M M sin( θ ) r D τ f = Ff = / [ D + r + D r cos( θ )] [ D + r + D r cos( θ )] o o o o 3 /.4 3e τ τ = G m M c 6G m M = f M ro sin( θ )cos( θ ) D 3 M sin( θ ) r 3r 3ro cos( θ ) 3r 3ro cos( θ ). D ( ) D D D D o o

11 3f 6G m M M ro sin( θ )cos( θ ) 6 τ = = 4. 3 D N m.5 3g Αφού ω D =G 3 M M E, έχουμε ότι η στροφορμή της Σελήνης είναι: / I ω = M D G M = M Η ροπή θα είναι: τ [ D G M ] / E M M M 3 M E D M [ G M ] / / / E Δ( D ) M M [ G M E ] = / Δ t [ D ] Δt M = Έτσι έχουμε ότι / ΔD τ Δt D ΔD = M M G M E 7 Οπότε για Δt = 3. s = year, προκύπτει ΔD =. 34 m. Αυτή είναι η ετήσια αύξηση της απόστασης Γης-Σελήνης.. 3h Με τη χρήση της σχέσης I E ΔωE τ = Δt έχουμε ότι τ Δt ΔωE = I E 7 Η οποία για Δt = 3. s = year δίνει 4 Δω E =.6 s -. Αν P E είναι η θεωρούμενη χρονική περίοδος, θα έχουμε ότι: ΔPE E = Δω PE ωe 4 αφού P E = day = 8.64 s, παίρνουμε 5 ΔP E =.9 s. Αυτή είναι η αύξηση της διάρκειας της ημέρας σε ένα χρόνο.. 4. Πού μεταφέρεται η ενέργεια? 4a Η παρούσα συνολική (στροφική κινητική και βαρυτική δυναμική) ενέργεια του συστήματος είναι: GM E M M E = I Eω E + IM ωm. D Από τη σχέση.4

12 3 ω M D = G M E, παίρνουμε GM E M M E = I Eω E D 4b GM M ΔE = I Eω E ΔωE + D ΔE = 9. 9 J E M ΔD, η οποία δίνει.4 4c M water 7 = 4π r h ρ kg =.6 kg.. o water 4d 9 ΔEwater = g M water.5 m day 365days.= 9.3 εκτιμάται ότι οι δύο ενέργειες είναι συγκρίσιμες. J. Έτσι,.3

13 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. DOPPER ASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ Ο σκοπός αυτού του προβλήματος είναι η ανάπτυξη μιας απλής θεωρίας για να κατανοήσουμε δύο φαινόμενα, που ονομάζονται «laser ψύξη» και «οπτικές μελάσσες». Τα φαινόμενα αφορούν τη ψύξη δέσμης ηλεκτρικά ουδέτερων ατόμων με την ανάστροφη διάδοση δέσμης laser με την ίδια συχνότητα. Αυτό είναι μέρος της εργασίας για το βραβείο Nobel στη Φυσική που απενεμήθη στους S. Chu, P. Phillips και C. Cohen-Tannoudji το 997. Η πιο πάνω εικόνα δείχνει άτομα νατρίου (η φωτεινή κηλίδα στο κέντρο) παγιδευμένα στην τομή τριών ορθογώνιων δεσμών laser. Η περιοχή αυτή, όπου γίνεται η παγίδευση, ονομάζεται «optical molasses». Σε αυτό το πρόβλημα, θα αναλύσετε το βασικό φαινόμενο της αλληλεπίδρασης, μεταξύ ενός φωτονίου που προσπίπτει σε ένα άτομο. ΜΕΡΟΣ I: ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΨΥΞΗΣ ΜΕ ASER Θεωρήστε ένα άτομο μάζας m να κινείται στην κατεύθυνση +x με ταχύτητα v. Για απλότητα, θα θεωρήσουμε το πρόβλημα σε μια διάσταση, δηλαδή, θα αγνοήσουμε τις y και z κατευθύνσεις (βλέπε Σχήμα ). Το άτομο έχει δύο εσωτερικά ενεργειακά επίπεδα. Η ενέργεια του κατώτατου επιπέδου λαμβάνεται να έχει την τιμή μηδέν και η ενέργεια μιας διεγερμένης κατάστασης είναι hω, όπου h = h / π. Το άτομο είναι αρχικά, στο κατώτατο ενεργειακό επίπεδο. Μια δέσμη laser με κυκλική συχνότητα ω στο εργαστήριο κατευθύνεται στην κατεύθυνση x και προσπίπτει στο άτομο. Η δέσμη laser αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό φωτονίων. Το κάθε φωτόνιο έχει ενέργεια hω και ορμή hq. Ένα φωτόνιο μπορεί να απορροφηθεί από ένα άτομο και ακολούθως αυθόρμητα εκπέμπεται ένα φωτόνιο. Αυτή η εκπομπή φωτονίου, μπορεί να λάβει χώρα με ίσες πιθανότητες στις δύο κατευθύνσεις +x και x. Εφόσον το άτομο κινείται με μη σχετικιστικές ταχύτητες, v /c << (όπου c η ταχύτητα του φωτός),

14 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Kρατήστε όρους μέχρι και μιας τάξης μεγέθους, μόνο για αυτή την ποσότητα. Θεωρήστε επίσης ότι hq / mv <<, δηλαδή, η ορμή του ατόμου είναι πολύ μεγαλύτερη από την ορμή ενός φωτονίου. Στις απντήσεις σας, λάβετε υπόψη αυτές τις προσεγγίσεις. Σχήμα. Διάγραμμα για την απορρόφηση ενός φωτονίου με ενέργεια hω και ορμή hq, από ένα άτομο μάζας m και ταχύτητας v, στη +x κατεύθυνση. Το άτομο έχει δύο εσωτερικά ενεργειακά επίπεδα με διαφορά ενέργειας hω. Υποθέστε ότι η δέσμη laser με κυκλική συχνότητα ω, όπως φαίνεται από ένα κινούμενο άτομο, είναι σε συντονισμό με τη διέγερση του ατόμου. Απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις:. Απορρόφηση. a Να γράψετε τη σχέση που δίνει τη συνθήκη συντονισμού για την απορρόφηση του φωτονίου.. b Να γράψετε τη σχέση που δίνει το μέτρο της ορμής, p, του ατόμου. at μετά την απορρόφηση, στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. c Να γράψετε τη σχέση που δίνει την ενέργεια, ε at, του ατόμου μετά την απορρόφηση, στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου..

15 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9. Αυθόρμητη εκπομπή φωτονίου στην κατεύθυνση x. Σε κάποια στιγμή, μετά την απορρόφηση του προσπίπτοντος φωτονίου, το άτομο μπορεί να εκπέμψει ένα φωτόνιο στην κατεύθυνση x. a Να γράψετε τη σχέση που δίνει την ενέργεια του φωτονίου, που εκπέμπεται από το άτομο, ε ph, μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην κατεύθυνση x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. b Να γράψετε τη σχέση που δίνει, το μέτρο της ορμής του φωτονίου που εκπέμπεται από το άτομο,, μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην p ph κατεύθυνση x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου... c Να γράψετε τη σχέση που δίνει, το μέτρο της ορμής του ατόμου, p,. at μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην κατεύθυνση -x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. d Να γράψετε τη σχέση που δίνει, την ενέργεια του ατόμου, ε at, μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην κατεύθυνση x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. 3. Αυθόρμητη εκπομπή φωτονίου στην κατεύθυνση +x. Σε κάποια στιγμή, μετά την απορρόφηση του προσπίπτοντος φωτονίου, το άτομο μπορεί, εναλλακτικά, να εκπέμψει ένα φωτόνιο στην κατεύθυνση +x. 3a Να γράψετε τη σχέση, που δίνει την ενέργεια του φωτονίου που εκπέμπεται από το άτομο, ε ph, μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην κατεύθυνση +x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου.. 3b Να γράψετε τη σχέση, που δίνει το μέτρο της ορμής του φωτονίου που εκπέμπεται από το άτομο,, μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην p ph κατεύθυνση +x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου.. 3

16 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 3c Να γράψετε τη σχέση,που δίνει το μέτρο της ορμής του ατόμου, p,. at μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην κατεύθυνση +x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. 3d Να γράψετε τη σχέση, που δίνει την ενέργεια του ατόμου, ε at, μετά τη διαδικασία της εκπομπής στην κατεύθυνση +x, όπως μετρείται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου.. 4. Μέση Εκπομπή μετά την Απορρόφηση Η αυθόρμητη εκπομπή ενός φωτονίου στην κατεύθυνση x ή στην κατεύθυνση +x συμβαίνει με την ίδια πιθανότητα. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα. 4a Να γράψετε τη σχέση, που δίνει τη μέση τιμή της ενέργειας του φωτονίου, ε ph, που εκπέμπεται από το άτομο, μετά τη διαδικασία της εκπομπής.. 4b Να γράψετε τη σχέση, που δίνει τη μέση τιμή του μέτρου της ορμής του φωτονίου,, που εκπέμπεται από το άτομο, μετά τη διαδικασία της εκπομπής. p ph. 4c Να γράψετε τη σχέση, που δίνει τη μέση ενέργεια του ατόμου, ε at, μετά τη διαδικασία της εκπομπής.. 4d Να γράψετε τη σχέση, που δίνει το μέτρο της μέσης ορμής του ατόμου,, μετά τη διαδικασία της εκπομπής. p at. 4

17 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 5. Μεταφορά Ενέργειας και Ορμής. Υποθέτοντας απορρόφηση και εκπομπή ενός μόνο φωτονίου, όπως περιγράφτηκε πιο πάνω, υπάρχει μεταφορά ενέργειας και ορμής μεταξύ της ακτινοβολίας laser και του ατόμου. 5a Να γράψετε τη σχέση, που δίνει τη μέση μεταβολή της ενέργειας του ατόμου, Δ ε, μετά την πλήρη απορρόφηση και εκπομπή ενός φωτονίου... 5b Να γράψετε τη σχέση, που δίνει τη μέση μεταβολή του μέτρου της ορμής του ατόμου, Δp, μετά την πλήρη απορρόφηση και εκπομπή ενός φωτονίου.. 6. Μεταφορά Ενέργειας και Ορμής από τη δέσμη laser κατά μήκος της κατεύθυνσης +x. Θεωρήστε τώρα ότι, μια δέσμη laser με κυκλική συχνότητα ω προσπίπτει στο άτομο κατά μήκος της +x κατεύθυνσης, καθώς το άτομο κινείται κατά μήκος της +x κατεύθυνσης με ταχύτητα v. Θεωρήστε ότι, η δέσμη laser με κυκλική συχνότητα ω, όπως φαίνεται από ένα κινούμενο άτομο, είναι σε συντονισμό με τη διέγερση του ατόμου. Απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις: 6a Γράψετε τη σχέση, για τον υπολογισμό της μέσης μεταβολής της ενέργειας Δε του ατόμου μετά την πλήρη απορρόφηση και εκπομπή ενός φωτονίου..3 6b Γράψετε τη σχέση, για τον υπολογισμό της μέσης μεταβολής της ορμής Δp του ατόμου, μετά την πλήρη απορρόφηση και εκπομπή ενός φωτονίου..3 5

18 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΜΕΡΟΣ II: ΣΚΕΔΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΜΕΛΑΣΣΩΝ Το γεγονός ότι το άτομο, μπορεί αυθόρμητα να εκπέμπει ένα φωτόνιο σε ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα μετά την απορρόφηση, έχει ως αποτέλεσμα η συνθήκη συντονισμού να μην ικανοποιείται ακριβώς σύμφωνα με τη συζήτηση που έγινε πιο πάνω. Δηλαδή, η κυκλική συχνότητα της δέσμης laser ω και ω μπορεί να έχουν οποιαδήποτε τιμή και η απορρόφηση και εκπομπή φωτονίου μπορεί να λαμβάνουν χώρα. Αυτό μπορεί να συμβαίνει με διαφορετικές (κβαντικές) πιθανότητες και, όπως αναμένεται, η μέγιστη πιθανότητα βρίσκεται όταν ικανοποιείται η συνθήκη συντονισμού. Ο χρόνος μεταξύ της απορρόφησης και της εκπομπής ενός φωτονίου ονομάζεται χρόνος ημιζωής και συμβολίζεται με Γ. Θεωρήστε ένα αριθμό ατόμων, N, σε ηρεμία ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου, και μια δέσμη laser κυκλικής συχνότητας ω η οποία προσπίπτει στα άτομα. Τα άτομα απορροφούν και εκπέμπουν συνεχώς έτσι ώστε υπάρχει ένας μέσος αριθμός ατόμων στη διεγερμένη κατάσταση, N exc, (και άρα N N exc άτομα στη θεμελιώδη κατάσταση). Ισχύει η ακόλουθη σχέση, όπως προκύπτει με βάση την κβαντική θεωρία: N exc = N Ω R ( ω ω ) + Γ 4 + Ω R όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα συντονισμού της διέγερσης και Ω R ονομάζεται συχνότητα Rabi. Ο παράγοντας Ω R είναι ανάλογος της έντασης της δέσμης laser. Βλέπετε ότι αυτός ο αριθμός, είναι διάφορος του μηδέν ακόμα και αν η κυκλική συχνότητα συντονισμού ω διαφέρει από την κυκλική συχνότητα της δέσμης laser ω. Ένας εναλλακτικός τρόπος να εκφράσετε το προηγούμενο αποτέλεσμα είναι ότι ο αριθμός των απορροφήσεων και εκπομπών ανά μονάδα χρόνου είναι N exc Γ. 6

19 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Θεωρήστε τη φυσική διεργασία όπως περιγράφεται στο Σχήμα, όπου δύο δέσμες laser με την ίδια αλλά τυχαία συχνότητα ω προσπίπτουν σε N άτομα αερίου, τα οποία κινούνται στην κατεύθυνση +x, με ταχύτητα v Σχήμα. Δύο δέσμες laser με την ίδια αλλά τυχαία συχνότητα ω προσπίπτουν σε N άτομα αερίου τα οποία κινούνται με ταχύτητα v στη +x κατεύθυνση. 7. Δύναμη στη δέσμη ατόμων από τις δέσμες lasers. 7a Χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω πληροφορίες, γράψετε τη σχέση που δίνει το μέτρο της δύναμης που ασκούν οι δέσμες lasers στη δέσμη των ατόμων. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ότι: mv >> hq Κατώτατο όριο ταχύτητας. Υποθέστε τώρα ότι η ταχύτητα των ατόμων είναι αρκετά μικρή, ώστε να μπορείτε να αναπτύξετε την εξίσωση για τη δύναμη μέχρι την πρώτη τάξη μεγέθους για την ταχύτητα v. 8a Γράψετε τη σχέση για το μέτρο της δύναμης που βρήκατε στην ερώτηση (7a), σε αυτό το όριο..5 Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το αποτέλεσμα,για να βρείτε συνθήκες, για την επιτάχυνση, την επιβράδυνση ή και συνθήκες για καμιά επίδραση στα άτομα, από την εκπομπή των lasers. 7

20 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 8b Γράψετε τη συνθήκη για να λάβουμε θετική δύναμη (επιταχυνόμενα άτομα)..5 8c Γράψετε τη συνθήκη για να πάρουμε μηδενική τιμή της δύναμης..5 8d Γράψετε τη συνθήκη για να λάβουμε αρνητική δύναμη (επιβραδυνόμενα άτομα)..5 8e Θεωρήστε τώρα ότι τα άτομα κινούνται με ταχύτητα v (στη x κατεύθυνση). Γράψετε τη συνθήκη για να πάρουμε δύναμη που επιβραδύνει τα άτομα Οπτικές μελάσσες. Στην περίπτωση αρνητικής δύναμης, μπορεί κάποιος να θεωρήσει δύναμη τριβής που απάγει ενέργεια. Υποθέστε αρχικές συνθήκες, Τη χρονική στιγμή t = τα άτομα του αερίου έχουν ταχύτητα v. 9a Στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων, προσδιορίστε τη σχέση που δίνει το μέτρο της ταχύτητας των ατόμων, μετά που οι δέσμες laser προσπίπτουν για χρόνοτ..5 9b Υποθέστε τώρα ότι τα άτομα του αερίου είναι σε θερμική ισορροπία θερμοκρασίας T. Προσδιορίσετε τη θερμοκρασία T, μετά που οι δέσμες laser προσπίπτουν για χρόνοτ..5 Αυτό το μοντέλο, δεν επιτρέπει αυθαίρετες τιμές χαμηλών θερμοκρασιών. 8

21 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΛΥΣΗ DOPPER ASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ Το κλειδί σ αυτό το πρόβλημα είναι το φαινόμενο Doppler (για την ακρίβεια, το διαμήκες φαινόμενο Doppler): Η κυκλική συχνότητα μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας η οποία ανιχνεύεται από ένα παρατηρητή εξαρτάται τη σχετική του κίνηση ως προς τον εκπομπό, η παρατηρούμενη συχνότητα είναι ± v / c ω = ω m v / c v ω ± c όπου v είναι η σχετική ταχύτητα του εκπομπού και του παρατηρητή και ω η κυκλική συχνότητα του εκπομπού. Τα πάνω και κάτω πρόσημα ανταποκρίνονται, αντίστοιχα, στην περίπτωση που πηγή και παρατηρητής πλησιάζουν ή απομακρύνονται. Η δεύτερη ισότητα ισχύει για χαμηλές ταχύτητες (μη σχετικιστικό όριο). Η κυκλική συχνότητα του laser στο εργαστήριο είναι ω, ω είναι η κυκλική συχνότητα μετάβασης του ατόμου; το άτομο κινείται με ταχύτητα v κατά τη διεύθυνση του laser: Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι τα αποτελέσματα θα πρέπει να δοθούν σε ανάπτυγμα πρώτης τάξεως για τα v /c ή hq / mv. ΜΕΡΟΣ I: ΒΑΣΙΚΑ ΤΗΣ ΨΥΞΗΣ ΜΕ ASER. Απορρόφηση. a Καταγράφουμε τη συνθήκη συντονισμού για την απορρόφηση του φωτονίου. v ω ω + c b Καταγράφουμε την ορμή p at του ατόμου μετά την απορρόφηση, στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου hω pat = p hq mv c c Καταγράφουμε την ενέργεια ε at του ατόμου μετά την απορρόφηση, στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου pat mv ε at = + h ω + hω m...

22 . Αυθόρμητη εκπομπή φωτονίου στην κατεύθυνση x. Πρώτα υπολογίζουμε την ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. Θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί για να κρατήσουμε τη σωστή σειρά. Αυτό διότι η ταχύτητα του ατόμου αλλάζει μετά την απορρόφηση, ωστόσο, αυτή είναι διόρθωση δευτέρας τάξεως για την εκπεμπόμενη συχνότητα: v hq ω ph ω v με v c m έτσι, v hq ω ph ω + c mc v v q ω h + + c c mc q ω h + mc hq v ω + mv c ω a Καταγράφουμε την ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου, ε ph, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατέυθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. ε h ph ω b Καταγράφουμε την ορμή του εκπεμπόμενου φωτονίου p ph, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατεύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. p hω c ph /.. Από τη διατήρηση της ορμής (δες b): p at + p ph p hq c Καταγράφουμε την ορμή του ατόμου p at, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατεύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. p at p = mv. d Καταγράφουμε την ενέργεια του ατόμου ε at, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατεύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου..

23 ε at p m = mv 3. Αυθόρμητη εκπομπή φωτονίου στην κατεύθυνση +x Το ίδιο με το προηγούμενο, κρατώντας τη σωστή τάξη. 3a Καταγράφουμε την ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου, ε ph, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατεύθυνση + x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. v v v v ε ph h ω + hω + + hω + c c c c 3b Καταγράφουμε την ορμή του εκπεμπόμενου φωτονίου p ph, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατεύθυνση + x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. hω v p ph + c c.. 3c Καταγράφουμε την ορμή του ατόμου p at, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατεύθυνση + x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. hω v hω pat = p hq pph p hq + mv c c c. 3d Καταγράφουμε την ενέργεια του ατόμου ε at, μετά τη διαδικασία εκπομπής στην κατεύθυνση + x, ως προς το σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου. p = at mv hq ε at m mv.. 4. Μέση Εκπομπή μετά την Απορρόφηση. Η διαδικασία αυθόρμητης εκπομπής προκύπτει με ίσες πιθανότητες για τις δύο κατευθύνσεις. 4a Καταγράφουμε τη μέση ενέργεια ενός εκπεμπόμενου φωτονίου, ε ph, μετά τη διαδικασία εκπομπής = + + v ε ph ε ph ε ph h ω + c.

24 4b Καταγράφουμε τη μέση ορμή ενός εκπεμπόμενου φωτονίου p ph, μετά τη διαδικασία εκπομπής + hω v hq v pph = pph + pph = mv δεύτερη τάξη c c mv c 4c Καταγράφουμε τη μέση ενέργεια του ατόμου ε at, μετά τη διαδικασία εκπομπής. = + + mv hq ε at ε at ε at mv 4d Καταγράφουμε τη μέση ορμή του ατόμου p at, μετά τη διαδικασία εκπομπής. + hω pat = pat + pat p c Μεταφορά Ενέργειας και Ορμής. Υποθέτωντας μια μόνο πλήρη διαδικασία απορρόφησης και εκπομπής ενλός φωτονίου, όπως περιγράφηκε παραπάνω, υπάρχει μια συνολική μέση ορμή και ενέργεια η οποία μεταφέρεται μεταξύ του laser και του ατόμου. 5a Καταγράφουμε τη μέση ενεργειακή μεταβολή Δε του ατόμου μετά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και εκπομπής ενός φωτονίου. after before v Δ ε = ε at ε at hqv = hω c 5b Καταγράφουμε τη μέση μεταβολή ορμής Δp του ατόμου μετά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και εκπομπής ενός φωτονίου. after before hω Δ p = pat pat hq = c.. 6. Energy and momentum transfer by a laser beam along the +x direction. 6a Καταγράφουμε τη μέση ενεργειακή μεταβολή Δε του ατόμου μετά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και εκπομπής ενός φωτονίου. after before v Δε = ε at ε at + hqv = + hω c 6b Καταγράφουμε τη μέση μεταβολή ορμής Δp του ατόμου μετά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και εκπομπής ενός φωτονίου. after before hω Δp = pat pat + h q = + c.3.3

25 ΜΕΡΟΣ II: ΣΚΕΔΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΜΕΛΑΣΣΩΝ Δύο δέσμες laser που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις με την ίδια αλλά αυθαίρετη συχνότητα ω προσπίπτουν σε δέσμη με N άτομα τα οποία κινούνται στην κατεύθυνση +x με μέση ταχύτητα v. 7. Δύναμη στη δέσμη ατόμων από τις δέσμες lasers. Κατά μέσο όρο, το κλάσμα των ατόμων που βρίσκονται στη διεγερμένη κατάσταση είναι P exc = N exc N = Ω R ( ω ω ) + Γ 4 + Ω R όπυ ω η κυκλική συχνότητα συντονισμού των ατόμων και Ω R η καλούμενη συχνότητα Rabi frequency. Η Ω R είναι ανάλογη της έντασης της δέσμης laser. Η χρόνος ζωής της διεγερμένης ενεργειακής στάθμης του ατόμου είναι Γ. Η δύναμη υπολογίζεται ως ο αριθμός των κύκλων απορρόφησης-εκπομπής, επί τη μεταφορά ορμής σε κάθε γεγονός (κύκλο), διά τη χρονική διάρκεια του κάθε γεγονότος. ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η μετατόπιση Doppler για κάθε laser, όπως αυτή μετριέται από τα άτομα: 7a Έτσι βρίσκουμε η δύναμη που ασκούν τα lasers στην ατομική δέσμη υποθέτοντας ότι mv >> hq. F = NΔp P exc Γ + NΔp ΩR = v ω ω + ω c + P + exc Γ + 4 Γ + Ω R ΩR v ω ω ω c Γ Ω R NΓhq.5 8. Κατώτατο όριο ταχύτητας. Υποθέτουμε τώρα ότι η ταχύτητα είναι τόσο μικρή ώστε να μπορούμε να αναπτύξουμε την εξίσωση για τη δύναμη μέχρι την πρώτη τάξη μεγέθους για την ταχύτητα v. 8a Προκύπτει μια έκφραση για τη δύναμη που βρήκαμε στο ερώτημα (7a), στο όριο αυτό. 4Nhq ΩR Γ F ( ω ω) v Γ ( ω ω ) + + ΩR 4.5

26 8b Καταγράφουμε τη συνθήκη για την άσκηση μιας θετικής δύναμης (η οποία θα αύξανε την ταχύτητα των ατόμων). ω < ω.5 8c Καταγράφουμε τη συνθήκη για μηδενική δύναμη. ω = ω.5 8d Καταγράφουμε τη συνθήκη για την άσκηση μιας αρνητικής δύναμης (η οποία θα μείωνε την ταχύτητα των ατόμων ω > ω.5 8e Θεωρούμε τώρα ότι τα άτομα κινούνται με ταχύτητα v (στην κατεύθυνση x ). Καταγράφουμε τη συνθήκη για την άσκηση δύναμης η οποία μειώνει την ταχύτητα των ατόμων. ω > ω ανεξάρτητη της κατεύθυνσης κίνησης των ατόμων Οπτικές μελάσσες Στην περίπτωση αρνητικής δύναμης, μπορεί κάποιος να θεωρήσει δύναμη τριβής που απάγει ενέργεια. Υποθέστε αρχικές συνθήκες, Τη χρονική στιγμή t = τα άτομα του αερίου έχουν ταχύτητα v. 9a Στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων, βρίσκουμε την ταχύτητα των ατόμων μετά που οι δέσμες laser προσπίπτουν για χρόνοτ. F = βv m dv dt βv β βρίσκεται από την (8a) v = v e βt / m.5 9b Υποθέτουμε τώρα ότι τα άτομα του αερίου είναι σε θερμική ισορροπία θερμοκρασίας T. Προσδιορίσετε τη θερμοκρασία T, μετά που οι δέσμες laser προσπίπτουν για χρόνοτ. Βρίσκουμε τη θερμοκρασίαt μετά που οι δέσμες laser προσπίπτουν για χρόνοτ Επειδή mv = kt σε μία διάσταση, και χρησιμοποιώντας την v ως τη μέση θερμική ταχύτητα στην εξίσωση (9a), μπορούμε να γράψουμε T = T e βt / m.5

27 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. 3 ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΑΣΤΕΡΕΣ ΕΧΟΥΝ ΜΕΓΑΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ? Οι αστέρες είναι σφαίρες από ζεστό αέριο. Οι περισσότεροι από αυτούς λάμπουν επειδή μετατρέπουν διαμέσου της σύντηξης υδρογόνο σε ήλιο στο εσωτερικό τους. Σε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιούμε έννοιες τόσο της κλασσικής μηχανικής όσο και της κβαντικής μηχανικής αλλά και έννοιες της ηλεκτροστατικής και θερμοδυναμικής για να κατανοήσουμε γιατί οι αστέρες πρέπει να είναι μεγάλοι σε μέγεθος για να επιτύχουν αυτή τη διαδικασία της σύντηξης. Επίσης σε αυτό το πρόβλημα θα προσδιορίσουμε τη μάζα και την ακτίνα του μικρότερου αστεριού το οποίο μπορεί να συντήξει υδρογόνο σε ήλιο. Σχήμα. Ο Ήλιος μας, όπως όλα τα αστέρια λάμπει ως αποτέλεσμα θερμοπυρηνικών συντήξεων υδρογόνου σε ήλιο που λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό των αστεριών. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΑΘΕΡΕΣ Παγκόσμια σταθερά βαρύτητας = G = 6.7 m 3 kg - s Σταθερά Boltzmann = k =.4 3 J K 34 Σταθερά του Planck = h = 6.6 m kg s - Μάζα πρωτονίου = Μάζα ηλεκτρονίου = m p m e =.7 7 = 9. Ποσότητα φορτίου πρωτονίου και ηλεκτρονίου = q =.6 kg 3 Ηλεκτρική σταθερά (ηλεκτρική διαπερατότητα κενού) = Ακτίνα του Ήλιου = Μάζα του Ήλιου = R S M S 8 = 7. m =. 3 kg kg - ε 9 C = 8.9 C N - m -

28 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9. Προσδιορισμός της θερμοκρασίας στο κέντρο των αστέρων ( Μια πρώτη κλασσική προσέγγιση). Υποθέστε ότι το αέριο από το οποίο αποτελούνται οι αστέρες είναι καθαρό ιονισμένο υδρογόνο (ηλεκτρόνια και πρωτόνια σε ίσους αριθμούς), και ότι συμπεριφέρεται ως ιδανικό αέριο. Με βάση την κλασσική μηχανική, για να ενωθούν δύο πρωτόνια θα πρέπει να βρεθούν σε απόσταση 5 m ώστε να δράσει η μικρής εμβέλειας ισχυρή πυρηνική δύναμη, η οποία είναι ελκτική. Εντούτοις, για να φέρουμε κοντά δύο πρωτόνια, πρέπει να υπερκεράσουμε την απωστική δύναμη Coulomb. Υποθέστε, στα πλαίσια της κλασσικής μηχανικής, ότι τα δύο πρωτόνια (τα οποία θεωρούνται ως σημειακά) κινούνται αντί-παράλληλα, το καθένα με ταχύτητα v rms, την ενεργό μέση τιμή της ταχύτητας (rms) των πρωτονίων, σε μια μετωπική κρούση σε μια διάσταση. a Να υπολογίσετε τη θερμοκρασία του αερίου, T c, έτσι ώστε η ελάχιστη απόσταση των δύο πρωτονίων που πλησιάζουν, d c, να γίνει ίση με m. 5 Να δώσετε αυτή την απάντηση και όλες τις άλλες απαντήσεις αυτού του προβλήματος μέχρι και σημαντικά ψηφία..5. Αποδεικνύοντας ότι η τιμή της θερμοκρασίας του ερωτήματος a είναι λανθασμένη. Για να ελέγξουμε κατά πόσο η τιμή της θερμοκρασίας όπως προσδιορίστηκε στο ερώτημα a είναι λανθασμένη ή όχι, κάποιος χρειάζεται να υπολογίσει τη θερμοκρασία στο εσωτερικό ενός αστέρα. Η δομή ενός αστεριού είναι αρκετά πολύπλοκη, αλλά μπορούμε να κάνουμε κάποιες προσεγγίσεις και υποθέσεις ώστε να προχωρήσουμε στον πιο πάνω υπολογισμό. Τα αστέρια είναι σε ισορροπία, δηλαδή δεν διαστέλλονται ούτε συστέλλονται, επειδή η εσωτερικές δυνάμεις βαρύτητας εξισορροπούν τις εξωτερικές δυνάμεις της πίεσης. (Βλέπε Σχήμα ). Η εξίσωση της υδροστατικής ισορροπίας ενός αερίου σε απόσταση r από το κέντρο του, δίνεται από την εξίσωση, Δ P G M = Δ r r r ρr, όπου P είναι η πίεση του αερίου, G είναι η παγκόσμια σταθερά βαρύτητας, M r είναι η μάζα του αερίου (του αστέρα) μέσα στη σφαίρα ακτίνας r, και ρ r είναι η πυκνότητα του αερίου.

29 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Σχήμα. Τα αστέρια είναι σε υδροστατική ισορροπία, με την πίεση να ισορροπεί τη βαρύτητα. Ένας προσδιορισμός της θερμοκρασίας στο εσωτερικό ενός αστέρα μπορεί να επιτευχθεί κάνοντας τις ακόλουθες προσεγγίσεις στις τιμές διαφόρων παραμέτρων στο κέντρο και στην επιφάνεια του αστέρα: Δ P P o P c, όπου Pc και Po είναι οι τιμές της πίεσης στο κέντρο και στην επιφάνεια του αστέρα, αντίστοιχα. Εφόσον P >>, μπορούμε να υποθέσουμε ότι Δ P P c. c P o Μπορούμε να γράψουμε, με βάση την ίδια προσέγγιση, Δ r R, όπου R είναι η ακτίνα (συνολική) του αστέρα, και όπου M είναι η συνολική μάζα του αστέρα. η πυκνότητα μπορεί να προσεγγιστεί με την τιμή της στο κέντρο, ρr ρ c. Μπορείτε να υποθέσετε ότι η πίεση είναι αυτή ενός ιδανικού αερίου. a Να προσδιορίσετε την σχέση που δίνει τη θερμοκρασία στο κέντρο του αστέρα, T c, σε σχέση με την ακτίνα και τη μάζα του αστέρα και σε σχέση με φυσικές σταθερές μόνο..5 3

30 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Μπορούμε τώρα να ελέγξουμε την ισχύ του μοντέλου: b Χρησιμοποιήστε την εξίσωση που βρήκατε στην ερώτηση (a) για να εξάγετε τη σχέση του πηλίκου M / R για ένα αστέρα σε σχέση μόνο με φυσικές σταθερές και της θερμοκρασίας. T c.5 c Χρησιμοποιήστε την τιμή της θερμοκρασίας T c που υπολογίσατε στο ερώτημα (a) και υπολογίστε την τιμή του λόγου M / R για ένα αστέρα..5 d Τώρα, υπολογίστε το πηλίκο M ( Sun) / R( Sun), και αποδείξτε ότι αυτή η.5 τιμή είναι αρκετά μικρότερη από την τιμή που υπολογίσατε στο ερώτημα (c). 3. Προσδιορισμός της θερμοκρασίας στο κέντρο των αστέρων (Κβαντική προσέγγιση). Η μεγάλη απόκλιση ου υπολογίστηκε στο ερώτημα (d) δείχνει ότι η κλασσική προσέγγιση για τον υπολογισμό της T c στο ερώτημα (a) δεν είναι ορθή. Η λύση σε αυτή την απόκλιση είναι η χρήση της κβαντικής μηχανικής. Η κβαντική μηχανική λέει ότι τα πρωτόνια συμπεριφέρονται ως κύμα με μήκος κύματος λ p, δηλαδή το μήκος κύματος de Broglie. Αυτό σημαίνει ότι εάν d c, η ελάχιστη απόσταση στην οποία τα πρωτόνια πλησιάζουν είναι της τάξης του λ p, τα πρωτόνια λαμβάνοντας υπόψη κβαντικά φαινόμενα μπορούν να υπερκαλυφθούν και να πάθουν σύντηξη. 3a λp Υποθέτοντας ότι d c = είναι η συνθήκη η οποία επιτρέπει να γίνει η / σύντηξη, για πρωτόνιο με ταχύτητα, προσδιορίστε την εξίσωση που δίνει τη θερμοκρασία T c v rms σε σχέση με φυσικές σταθερές μόνο.. 3b Υπολογίστε την τιμή της Tc με βάση τη σχέση που βρήκατε στο ερώτημα.5 (3a). 3c Χρησιμοποιήστε την τιμή της T c από το ερώτημα (3b) για να υπολογίστε το πηλίκο M / R για ένα αστέρι, χρησιμοποιώντας την εξίσωση από το ερώτημα (b). Δείξετε ότι αυτή η τιμή είναι πολύ κοντά με την τιμή M ( Sun) / R( Sun) του ερωτήματος (d)..5 4

31 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Πραγματικά, αστέρια που χρησιμοποιούν τη σύντηξη του υδρογόνου ακολουθούν κατά μεγάλη ακρίβεια αυτό το λόγο, όπως προέκυψε στο ερώτημα (3c) για ένα μεγάλο εύρος τιμών για τη μάζα. 4. Ο λόγος μάζα/ακτίνα για τους αστέρες. Η προηγούμενη κβαντική προσέγγιση στο υπολογισμό της θερμοκρασίας στο κέντρο ενός αστέρα, όπως αποδείχτηκε, είναι ορθή. 4a Χρησιμοποιήστε τα προηγούμενα αποτελέσματα για να δείξετε ότι για κάθε αστέρας το οποίο χρησιμοποιεί τη σύντηξη υδρογόνου, ο λόγος της μάζας M προς την ακτίνα R είναι ο ίδιος και εξαρτάται μόνο από φυσικές σταθερές. Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει το λόγο M / R για αστέρες που χρησιμοποιούν τη σύντηξη υδρογόνου Η μάζα και η ακτίνα του μικρότερου αστέρα. Το αποτέλεσμα του ερωτήματος (4a) εισηγείται ότι ένα αστέρι που χρησιμοποιεί υδρογόνο για τη σύντηξη μπορεί να έχει οποιαδήποτε μάζα, εφόσον ικανοποιείται η πιο πάνω σχέση. Εντούτοις, αυτό δεν είναι ορθό. Το αέριο σε ένα κανονικό αστέρα που χρησιμοποιεί υδρογόνο για σύντηξη, μπορεί να συμπεριφέρεται κατά προσέγγιση ως ένα ιδανικό αέριο. Αυτό σημαίνει ότι η τυπική απόσταση μεταξύ των ηλεκτρονίων είναι κατά μέσο όρο μεγαλύτερη από το μήκος κύματος d e, δηλαδή το αντίστοιχο μήκος κύματος de Broglie. Όταν η απόσταση γίνει μικρότερη από την τιμή d e, τα ηλεκτρόνια θα είναι σε μια ασταθή κατάσταση και τα αστέρια θα συμπεριφέρονται διαφορετικά. Σημειώστε τη διαφορά προσέγγισης για ηλεκτρόνια και πρωτόνια στο εσωτερικό ενός αστέρα. Για πρωτόνια, τα αντίστοιχα κύματα de Broglie υπερκαλύπτουν το ένα το άλλο έτσι ώστε να μπορεί να πραγματοποιηθεί η σύντηξη. Αντιθέτως, τα αντίστοιχα κύματα de Broglie για τα ηλεκτρόνια δεν μπορούν να υπερκαλυφθούν για να μπορούν να παραμείνουν ως ιδανικό αέριο. Η πυκνότητα στους αστέρες αυξάνεται με την ελάττωση της ακτίνας. Παρόλα αυτά, για αστέρες αυτής της τάξης μεγέθους έχουν σταθερή πυκνότητα. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε επιπλέον ότι m p >> m e. 5

32 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 5a Να προσδιορίσετε την εξίσωση για το n, τη μέση τιμή της πυκνότητας.5 e του αριθμού των ηλεκτρονίων στο εσωτερικό ενός αστέρα. 5b Να προσδιορίσετε την εξίσωση για το d, την τυπική απόσταση μεταξύ.5 e των ηλεκτρονίων στο εσωτερικό ενός αστέρα. 5c λe Χρησιμοποιήστε τη συνθήκη d e για να προσδιορίσετε την / εξίσωση για την ακτίνα του μικρότερου δυνατού κανονικού αστεριού. Χρησιμοποιήστε τη θερμοκρασία στο εσωτερικό ενός αστέρα όπως βρέθηκε στο ερώτημα 3a. ως μια τυπική θερμοκρασία για όλους τους αστέρες..5 5d Βρείτε την αριθμητική τιμή της ακτίνας του μικρότερου δυνατού κανονικού αστέρα, σε μέτρα και σε Ηλιακές ακτίνες..5 5e Να υπολογίσετε την τιμή της μάζας του μικρότερου δυνατού κανονικού αστέρα, τόσο σε kg όσο και σε μονάδες μάζας του Ήλιου Σύντηξη πυρήνων ηλίου σε αστέρες μεγάλης ηλικίας. Καθώς οι αστέρες γερνούν έχουν ήδη συντήξει το περισσότερο υδρογόνο στο εσωτερικό τους σε ήλιο (He), έτσι θα αρχίσουν τη σύντηξη ηλίου σε πιο βαριά στοιχεία ώστε να συνεχίσουν να λάμπουν. Ένας πυρήνα ηλίου αποτελείται από δύο πρωτόνια και δύο νετρόνια, ώστε έχει διπλάσιο φορτίο και περίπου τετραπλάσια μάζα από ένα λp πρωτόνιο. Είδαμε πριν ότι d c = είναι η συνθήκη για τα πρωτόνια να πάθουν / σύντηξη. 6a Να προσδιορίσετε μια αντίστοιχη συνθήκη για τη σύντηξη πυρήνων ηλίου και να υπολογίσετε την τιμή v rms (He), τη μέση ενεργό τιμή, rms, της ταχύτητας για πυρήνες ηλίου και την τιμή της θερμοκρασίας T (He), που απαιτείται για τη σύντηξη πυρήνων ηλίου..5 6

33 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. 3 ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑΤΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ ΕΧΟΥΝ ΜΕΓΑΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ;. Προσδιορισμός της θερμοκρασίας στο κέντρο των αστεριών (Μια πρώτη κλασσική προσέγγιση). a Εξισώνουμε την αρχική κινητική ενέργεια των δύο πρωτονίων με την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια στην ελάχιστη απόσταση (Διατήρηση της ενέργειας).5 ( m p v rms q ) = 4π ε d και αφού 3 k Tc = mp vrms, we obtain q Tc = π ε d k c c 9 = 5.5 K. Αποδεικνύοντας ότι η τιμή της θερμοκρασίας του ερωτήματος a είναι λανθασμένη. a Εφόσον έχουμε ότι Δ P G M = Δ r r r ρr, κάνοντας τις δεδομένες υποθέσεις, παίρνουμε ότι:.5 G M ρc Pc =. Τώρα, η πίεση ενός ιδανικού αερίου είναι R P ρ k T c = c c, όπου k είναι η σταθερά Boltzmann, mp c είναι η m p θερμοκρασία στο κέντρο του αστέρα, και η μάζα του πρωτονίου. Ο παράγοντας στην προηγούμενη εξίσωση εμφανίζεται επειδή έχουμε δύο σωματίδια (ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο) για κάθε μάζα πρωτονίου και ότι συνεισφέρουν το ίδιο στην πίεση που επικρατεί. Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των δύο προηγούμενων εξισώσεων έχουμε ότι: T c G M m = k R p T

34 b Από την (a) έχουμε ότι: M k T = R G m c p.5 c 9 Από τη (b) έχουμε ότι, για = 5.5 K: T c.5 M R = k T G m c p =.4 4 kg m -. d Για τον Ήλιο έχουμε ότι: M ( Sun) =.9 R( Sun) kg m -, που είναι τρεις τάξεις μεγέθους μικρότερο Προσδιορισμός της θερμοκρασίας στο κέντρο των αστεριών (Κβαντική προσέγγιση). 3a Έχουμε ότι h λ p = m v p rms, και αφού. 3 k Tc = mp vrms, και q T = c π ε d k, παίρνουμε: c T c = q m. 4 p 4π ε k h 3b T c = q 4 m p 4π ε k h = K..5 3c 6 Από τη (b) έχουμε ότι, για = 9.7 K: T c.5 M R k T = G m c p =.4 kg m - ; όσον αφορά τον Ήλιο έχουμε ότι: M ( Sun) =.9 R( Sun) kg m -.

35 4) Ο λόγος μάζα/ακτίνα για τους αστέρες. 4a Λαμβάνοντας υπόψη πως M k T R G m c =, και έτσι p.5 T c = q m, παίρνουμε: 4 p 4π ε k h M R 4 = q. π ε G h 5) Η μάζα και η ακτίνα του μικρότερου αστέρα. 5a M ( 4/3) π R ne = 3 m p.5 5b / 3 / 3 M d e = ne = 3 (4/3) π R mp.5 5c Υποθέτουμε ότι d e λe. αφού / h λe =, m v ( ηλεκτρόνιο) k T e rms 3 c, = me vrms( ηλέκτρόνιο) q m T =, c 4 p 4π ε k h.5 M R d e 4 = q, και π ε G h M = (4/3) π R Παίρνουμε ότι R 3 m p / 3 / ε o h / 4 3 / 4 5 / 4 / 4 q me mp G,

36 5d ε / h 7 R o = 6.9 m =. R(Sun) / 4 3 / 4 5 / 4 / 4 q m m G e p.5 5e Ο λόγος της μάζας προς την ακτίνα είναι: M R 4 q = π ε G h =.4 kg m -, από την οποία προκύπτει ότι.5 9 M.7 kg =.9 M (Sun) 6) Σύντηξη πυρήνων ηλίου σε αστέρες μεγάλης ηλικίας. 6a Για το Ήλιο έχουμε ότι 4q 4π ε m v He rms = ( He) / m He h v rms ( He) από την οποία παίρνουμε.5 v rms q ( He) = / 6 =. m s -. π ε h Τώρα χρησιμοποιούμε την: v ( He) m T ( He) = 3k rms He = K. Αυτή η τιμή είναι της τάξεως μεγέθους των εκτιμήσεων για τα αστρικά μοντέλα.

37 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΦΩΤΟΣ ASER ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ Επιπρόσθετα με τα υλικά ), ) και 3), αναμένεται να χρησιμοποιήσετε τα ακόλουθα: 4) Φακός ενσωματωμένος μέσα σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στήριγμα (με την ετικέτα C). 5) Λεπίδα ενσωματωμένη μέσα σε πλαίσιο (με την ετικέτα D) στηριγμένο σε βάση, η οποία μπορεί να ολισθαίνει κατά μήκος μεταλλικής τροχιάς (με την ετικέτα D). Χρησιμοποιήστε κατσαβίδι για να σφίξετε τη βάση, εάν είναι απαραίτητο. Παρατηρήστε την αντίστοιχη εικόνα για οδηγίες. 6) Οθόνη για τις παρατηρήσεις, με κλίμακα (/ mm) (με την ετικέτα Ε). 7) Μεγεθυντικός φακός (με την ετικέτα F). 8) Χάρακας 3 cm (με την ετικέτα G). 9) Διαστημόμετρο (με την ετικέτα Η). ) Μετροταινία (με την ετικέτα Ι). ) Υπολογιστική μηχανή. ) Λευκές κάρτες, κολλητική ταινία, ψαλίδι, σετ τριγώνων, κολλητική ουσία. 3) Μολύβια, κόλες, χαρτί για γραφική παράσταση. Λεπίδα ενσωματωμένη μέσα σε πλαίσιο (ABE D) στηριγμένο σε βάση η οποία μπορεί να ολισθαίνει κατά μήκος μεταλλικής τροχιά (ABE D).

38 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Ο σκοπός του πειράματος, είναι ο προσδιορισμός του μήκους κύματος φωτός laser διόδου. Ένα χαρακτηριστικό του πειράματος αυτού, είναι ότι δεν χρησιμοποιείται φράγμα περίθλασης ή άλλο υλικό με ακρίβεια κλίμακας μικρομέτρου. Το μικρότερο μήκος που μετρείται σε αυτό το πείραμα είναι στην κλίμακα του χιλιοστομέτρου. Το μήκος κύματος προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας την περίθλαση του φωτός που λαμβάνει χώρα στην άκρη μιας πολύ λεπτής λεπίδας. Σχήμα. Τυπική εικόνα κροσσών συμβολής. Καθώς το φως laser (Α) ανακλάται στον καθρέπτη (Β), θα πρέπει να κατευθυνθεί διαμέσου του φακού (C), ο οποίος έχει εστιακή απόσταση μερικά εκατοστόμετρα. Μπορούμε τώρα να υποθέσουμε ότι η εστία του φακού αποτελεί τη σημειακή πηγή φωτός laser, από την οποία εκπέμπεται σφαιρικό κύμα. Μετά το φακό η δέσμη φωτός laser συναντά την άκρη της λεπίδας, ως εμπόδιο στην ευθεία διάδοσης της δέσμης. Το σημείο στο οποίο η δέσμη συναντά τη λεπίδα μπορεί να θεωρηθεί τώρα ως φωτεινή πηγή εκπομπής κυλινδρικού κύματος. Αυτά τα δύο κύματα συμβάλουν μεταξύ τους, στην κατεύθυνση διάδοσης, δημιουργώντας την εικόνα της συμβολής που αποτελείται από τους λεγόμενους κροσσούς συμβολής, που μπορεί να παρατηρηθεί στην οθόνη. Παρατηρήστε το σχήμα. με την εικόνα αυτού του αποτελέσματος.

39 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 Υπάρχουν δύο σημαντικές περιπτώσεις, παρατηρήστε τα Σχήματα. και.3. εστία λεπίδα Σχήμα.. Περίπτωση (I). Η λεπίδα βρίσκεται πριν την εστία του φακού. Το Σχήμα δεν είναι υπό κλίμακα. Το B σε αυτό το διάγραμμα είναι η άκρη της λεπίδας και F είναι η εστία του φακού. Σχήμα.3. Περίπτωση (II). Η λεπίδα βρίσκεται μετά την εστία του φακού. Το Σχήμα δεν είναι υπό κλίμακα. Το B σε αυτό το διάγραμμα είναι η άκρη της λεπίδας και F είναι η εστία του φακού. 3

40 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Εργασία. Πειραματική Διάταξη (. point). Σχεδιάστε την πειραματική διάταξη με την οποία μπορούμε να παρατηρήσουμε την εικόνα της συμβολής όπως περιγράφτηκε πιο πάνω. Η απόσταση από την εστία του φακού μέχρι την οθόνη πρέπει να είναι αρκετά μεγαλύτερη από την εστιακή απόσταση. Σχεδιάστε την πειραματική διάταξη πάνω στην οπτική τράπεζα που έχετε στη διάθεσή σας. Θα πρέπει να σημειώσετε τα γράμματα των ετικετών, που αντιστοιχούν στα υλικά που χρειάζονται για την πειραματική διάταξη. Μπορείτε να σχεδιάσετε επιπρόσθετα κάτι που νομίζετε θα κάμει πιο ξεκάθαρο το σχεδιάγραμμα της πειραματικής διάταξης. Μπορείτε να ευθυγραμμίσετε τη δέσμη laser, χρησιμοποιώντας μια από τις λευκές κάρτες, για να ακολουθήσετε την τροχιά της δέσμης. Σχεδιάστε την τροχιά της δέσμης laser στο διάγραμμα της οπτικής τράπεζας και γράψετε το ύψος h της δέσμης, όπως μετρείται από την οπτική τράπεζα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Αγνοήστε τη μεγαλύτερη σε διαστάσεις κυκλική εικόνα της συμβολής που μπορεί να παρουσιαστεί. Αυτό το αποτέλεσμα οφείλεται στην ίδια την πηγή laser. Αφιερώστε λίγο χρόνο ώστε να μάθετε την πειραματική διάταξη. Αναμένεται να μπορείτε να δείτε στην οθόνη ή περισσότερες κατακόρυφες γραμμές συμβολής (κροσσοί). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το μεγεθυντικό φακό, για να παρατηρήσετε καλύτερα τους κροσσούς συμβολής. Ο καλύτερος τρόπος να παρατηρήσετε τους κροσσούς συμβολής, είναι να κοιτάξετε από το πίσω μέρος της οθόνης (Ε). Έτσι, η κλίμακα της οθόνης πρέπει να είναι προς την έξω πλευρά της οπτικής τράπεζας. Εάν οι οπτικές συσκευές ευθυγραμμίζονται ορθά, αναμένεται να παρατηρήσετε και τις δύο εικόνες (των Περιπτώσεων Ι και ΙΙ), απλά με το να μεταφέρετε ολισθαίνοντας τη λεπίδα (D) πάνω στην τροχιά (D). Οι μετρήσεις λαμβάνονται χρησιμοποιώντας τις θέσεις των σκοτεινών κροσσών συμβολής. 4

41 Q 4 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, -9 July 9 ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Με αναφορά τα σχήματα. και.3 πιο πάνω, υπάρχουν πέντε βασικά μήκη: : Η απόσταση μεταξύ της εστίας και της οθόνης. b : Η απόσταση μεταξύ της λεπίδας και της οθόνης, Περίπτωση Ι. a : Η απόσταση μεταξύ της λεπίδας και της οθόνης, Περίπτωση ΙΙ. R (n) : Θέση του σκοτεινού κροσσού n-τάξης για την Περίπτωση Ι. (n) : Θέση του σκοτεινού κροσσού n-τάξης για την Περίπτωση ΙΙ. Ο πρώτος σκοτεινός κροσσός, για τις δύο Περιπτώσεις Ι και ΙΙ, είναι και ο πιο πλατύς και αντιστοιχεί στην τιμή n =. Η πειραματική σας διάταξη πρέπει να είναι τέτοια ώστε, R ( n) <<, b για την Περίπτωση Ι και n) <<, για την Περίπτωση ΙΙ. ( a Το φαινόμενο της συμβολής, σε αυτή την περίπτωση, οφείλεται στη διαφορά οπτικού δρόμου των κυμάτων που ξεκινούν αρχικά από το ίδιο σημείο. Ανάλογα με τη διαφορά φάσης των κυμάτων που συμβάλλουν, τα κύματα μπορούν να αλληλοεξουδετερωθούν (πλήρης απόσβεση) δημιουργώντας σκοτεινούς κροσσούς συμβολής ή μπορούν να προστεθούν (πλήρης ενίσχυση) δημιουργώντας φωτεινούς κροσσούς συμβολής. Μια λεπτομερής ανάλυση της συμβολής των κυμάτων δίνει ως αποτέλεσμα την ακόλουθη σχέση για τη συνθήκη να δημιουργηθούν σκοτεινοί κροσσοί, για την Περίπτωση Ι: Δ I (n) = n + 5 λ όπου n =,,, (.) 8 και για την Περίπτωση II: Δ II (n) = n + 7 λ όπου n =,,, (.) 8 όπου λ είναι το μήκος κύματος του φωτός laser, και Δ Ι και Δ ΙΙ είναι η διαφορά οπτικού δρόμου για κάθε περίπτωση. 5