ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Transcript

1 A A N A B P Y T A ΡΑΛΛΟΥ ΦΑΣΟΥΡΑΚΗ (Β4) ΜΑΡΤΙΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9 5 ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Γενίκευση της άσκησης (σελ 4) του σχολικού βιβλίου Φυσικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Εργασία που μου προτάθηκε, επιβλέφθηκε και συμπληρώθηκε από τον καθηγητή μου κ Στέλιο Χατζηθεοδωρίδη Στο κάτω μέρος λείου κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας, κρατείται ακίνητο θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q Σε άλλη θέση του κεκλιμένου επιπέδου αφήνουμε ελεύθερο ένα άλλο θετικό φορτίο q, με μάζα m Θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση του q Στο παραπάνω σχήμα, δείχνουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο φορτίο q Αυτές είναι τρεις: το βάρος mg, η απωστική ηλεκτρική δύναμη Coulomb F και η κάθετη αντίδραση N από το κεκλιμένο επίπεδο Αφού το φορτίο q πρόκειται να κινείται πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, επιλέγουμε σύστημα συνταγμένων y, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα Θέτουμε την αρχή των αξόνων πάνω στο σταθερό φορτίο Q, ώστε η θέση του q να ισούται με την απόσταση του q από το Q Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων,

2 Έτσι, η ηλεκτρική απωστική δύναμη Coulomb υπολογίζεται γενικά από τον τύπο: F Παρατηρούμε ότι, από τις τρεις δυνάμεις που ασκούνται στο q, η F δεν έχει σταθερό μέτρο Το q δεν κινείται κατά μήκος του άξονα των y και επομένως η αντίδραση N mg Η συνισταμένη των δυνάμεων στον άξονα των δημιουργεί, σύμφωνα με το ο νόμο του Newton, αντίστοιχη επιτάχυνση, a : F mg ma Εξ Η θέση ισορροπίας του q Υπάρχει μία θέση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπου αν αφήναμε το q, αυτό θα ισορροπούσε Στη θέση αυτή θα πρέπει: F mg mg Εξ mg Η ενέργεια του q Αφού η επιτάχυνση του q δεν είναι σταθερή, το μόνο όπλο που μας μένει να χρησιμοποιήσουμε είναι η διατήρηση της ενέργειας Έστω ότι αρχικά αφήνουμε το φορτίο q στη θέση, τέτοια ώστε F mg Στη θέση αυτή, το φορτίο q είναι ακίνητο και επομένως η κινητική του ενέργεια είναι μηδέν Όμως έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια U B mgh mg και ηλεκτρική δυναμική ενέργεια U C Έτσι, η ενέργεια του φορτίου q είναι: E U U mg B C Εξ Την ίδια ενέργεια θα έχει και σε οποιαδήποτε άλλη θέση, όπου όμως μπορεί να κινείται με ταχύτητα Σε μια τυχαία θέση, το q θα έχει κινητική ενέργεια K m, βαρυτική δυνα- μική ενέργεια U B mgh mg και ηλεκτρική δυναμική ενέργεια U C Η διατήρηση της ενέργειας επιβάλει τη σχέση: m mg mg Εξ4 Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων,

3 Οι φάσεις της κίνησης του q Στην αρχή, το σώμα θα αρχίσει να ανεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο, εφόσον F mg Καθώς όμως απομακρύνεται από το Q η ηλεκτρική απωστική δύναμη F θα ελαττώνεται Το q θα επιταχύνεται, αν και με συνεχώς μειούμενη επιτάχυνση, μέχρι τη θέση Από το και μετά η απωστική ηλεκτρική δύναμη θα είναι μικρότερη από την mg, οπότε το σώμα θα ε- πιβραδύνεται, με όλο και μεγαλύτερη επιβράδυνση Προφανώς, κάποια στιγμή θα σταματήσει, σε μια θέση και θα αρχίσει να κατεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο Στην αρχή επιταχυνόμενα μέχρι τη θέση και μετά επιβραδυνόμενα μέχρι τη θέση Η κίνηση αυτή θα επαναλαμβάνεται συνεχώς αφού υποθέσαμε ότι στο σύστημα δεν υπάρχουν τριβές και η ενέργεια θα παραμένει αμείωτη και ίση με E Η Εξ4 μπορεί να μας βοηθήσει να προσδιορίσουμε τη δεύτερη θέση στην οποία θα σταματήσει στιγμιαία το q mg mg mg mg Έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση ου βαθμού Η διακρίνουσα είναι ίση με: mg mg mg 4 Οπότε οι δύο ρίζες είναι: mg mg mg mg Τα μαθηματικά απαντήσανε στην ερώτηση «σε ποια θέση το q είναι ακίνητο;» και με τις δύο ακραίες θέσεις και Συνοψίζοντας, η δεύτερη ακραία θέση του q είναι: Εξ5 mg Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων,

4 Μια σχέση γεωμετρικής προόδου Παρατηρούμε ότι η θέση ισορροπίας και οι δύο ακραίες θέσεις, σε αύξουσα σειρά,,,, έχουν σχέση τριών συνεχόμενων όρων γεωμετρικής προόδου: ή Εξ6 Η μέγιστη ταχύτητα του q Από την Εξ4 μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέγιστη ταχύτητα του q Ξέρουμε ότι αυτή συμβαίνει όταν το q περνάει από τη θέση Οπότε: m ma mg mg m ma mg mg mg mg ma g m g m g g ma m m g ma g m m ma ma g, Εξ7 Όπου, στην ταχύτητα g αναγνωρίζουμε την ταχύτητα που αποκτά ένα σώμα όταν πέφτει ελεύθερα από ύψος h, δηλαδή από το ύψος στο οποίο βρίσκεται η θέση ισορροπίας του q Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων, 4

5 Η ταχύτητα του q σε συνάρτηση με τη θέση Η Εξ4 μπορεί να απαντήσει και σε άλλο ένα ερώτημα «Ποιά είναι η ταχύτητα του q σε διάφορες θέσεις;» g g για m m g g g g g για Ένας τρόπος για να μπορέσουμε να μελετήσουμε μεγέθη που εξαρτώνται από παραμέτρους, χωρίς να δώσουμε τιμές στις παραμέτρους αυτές, είναι να ορίσουμε νέα μεγέθη χωρίς διαστάσεις Πχ αντί να μελετήσουμε την ταχύτητα, μπορούμε να μελετήσουμε το λόγο: g και αντί να αναφερόμαστε στη θέση, μπορούμε να αναφερόμαστε σε ένα λόγο, όπως πχ τον ή ίσως τον Πράγματι, ας ορίσουμε την αδιάστατη μεταβλητή θέσης: z, που όταν το q περνάει από τη θέση ισορροπίας του αυτή γίνεται μηδέν Πέραν τούτου, η z λαμβάνει τιμές στο διάστημα:,,,, μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων Η z είναι αρνητική σε θέσεις χαμηλότερα από τη θέση ισορροπίας και θετική σε θέσεις υψηλότερα από τη θέση ισορροπίας Αυτή η συμπεριφορά προσιδιάζει τον τρόπο που μελετάμε τη θέση στις απλές αρμονικές ταλαντώσεις Αν κάποιος δώσει μια τιμή από το διάστημα, στο τότε περιμένει να υπολογίσει τα πάντα σύμφωνα με αυτήν την τιμή Θα προσπαθήσουμε να μελετήσουμε την κίνηση του q με μοναδική παράμετρο την Πράγματι, με τη νέα αδιάστατη μεταβλητή θέσης, γράφουμε: z και επομένως: z z g g z z Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων, 5

6 g z z z z g z Εξ8 g 8 6, 4 8 6,5 4, , Η ταχύτητα του φορτίου q σε συνάρτηση με τη θέση για διάφορες αρχικές θέσεις Το ακλόνητο φορτίο βρίσκεται στο αριστερό άκρο του οριζόντιου άξονα, στη θέση z Παρατηρούμε ότι όσο πιο κοντά στο ακλόνητο φορτίο αφήνουμε ελεύθερο το q να κινηθεί, τόσο πιο μακριά αυτό πηγαίνει Πάντα όμως σταματάει και επιστρέφει Η κίνηση είναι περιοδική και ο χρόνος από το έως το είναι μικρότερος από το χρόνο από το έως το Αυτό διαφαίνεται από το πόσο γρήγορα αυξάνεται/μειώνεται η ταχύτητα του q όταν αυτό είναι κοντά στο ακλόνητο φορτίο ενώ οι μεταβολές της ταχύτητας είναι μικρότερες σε μεγάλη απόσταση Φυσικά, αυτό είναι αναμενόμενο αφού η δύναμη ελαττώνεται γρήγορα όσο το q απομακρύνεται από το ακλόνητο φορτίο Για την παραγωγή του γραφήματος χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Graph 44 Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων, 6

7 ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Η κίνηση του q είναι περιοδική και σε καμία περίπτωση δεν είναι απλή αρμονική, αφού πρωτίστως η δύναμη δεν ακολουθεί το νόμο του Hooke Εν τούτοις, όσο μικρότερη είναι η απόσταση του από το τόσο η κίνηση του q ομοιάζει με απλή αρμονική ταλάντωση A Έστω ότι A, με A Τότε A Δηλαδή οι δύο ακραίες θέσεις βρίσκονται σε (περίπου) συμμετρικά σημεία γύρω από τη θέση ι- A σορροπίας Αυτή είναι η πρώτη ένδειξη ότι η κίνηση γίνεται όλο και περισσότερο συμμετρική γύρω από τη θέση ισορροπίας Στην απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος A και γωνιακή συχνότητα, το μέτρο της ταχύτητας σε συνάρτηση με την απομάκρυνση υπολογίζεται από τον τύπο: A y Θα δεί- ξουμε ότι στα πλαίσια της προσέγγισης που συζητούμε η Εξ8 προσεγγίζει τη σχέση αυτή Ορίζουμε y την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας: ότι A τότε και z y y z Αφού υποθέσαμε Η Εξ8 γράφεται: g z g z y y g A y A y g A y Συνοψίζοντας, κοντά στη θέση ισορροπίας, το q εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα: g Από τη θέση ισορροπίας (Εξ) ξέρουμε ότι mg, οπότε η σταθερά επαναφοράς της απλής αρμονικής ταλάντωσης θα είναι: D m Πράγματι, κοντά στη θέση ισορροπίας η συνισταμένη δύναμη είναι: F mg y y y y y F y y y y Συνοψίζοντας: κοντά στη θέση ισορροπίας, η συνισταμένη δύναμη είναι δύναμη επαναφοράς Hooke F y Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων, 7