"Υπολογιστική Ανάλυση ροής και μάζης σε αρτηρίες με stent σε φυσιολογικό παλμό και σε ταχυκαρδία" Μαγδαληνής Ανδρονίκης Βασιλαδιώτη

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Δ.Μ.Π.Σ ΝANOΕΠΙΣΤΗΜΕΣ & ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ "Υπολογιστική Ανάλυση ροής και μάζης σε αρτηρίες με stent σε φυσιολογικό παλμό και σε ταχυκαρδία" Διπλωματική Εργασία της Μαγδαληνής Ανδρονίκης Βασιλαδιώτη Μηχανολόγου Μηχανικού που υποβλήθηκε στο Τμήμα Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης στα πλαίσια του Δ.Μ.Π.Σ ΝANOΕΠΙΣΤΗΜΕΣ & ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ Επιβλέπων Καθηγητής: Ιωάννης Σούλης Τριμελής επιτροπή Στέργιος Λογοθετίδης, Καθηγητής Ιωάννης Σούλης, Καθηγητής Βάρβαρα Καραγκιοζάκη, Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια-Καρδιολόγος Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2015

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας, η οποία σηματοδοτεί και την ολοκλήρωση των μεταπτυχιακών μου σπουδών του διατμηματικού προγράμματος σπουδών Νανοεπιστήμες και Νανοτεχνολογίες του τμήματος Φυσικής, του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν και μου συμπαραστάθηκαν τόσο πρακτικά όσο και ηθικά στην τελική της σύνταξη. Θα ήθελα πρώτιστα να ευχαριστήσω τον κ. Ι. Σούλη τόσο για την ανάθεση της Διπλωματικής Εργασίας, όσο και για την συνεχή καθοδήγησή του κατά την διάρκεια της υλοποίησης της. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Διπλ.-Μηχ. Δ.Φυτανίδη και Διπλ.-Μηχ. Δ.Μπαϊρακτάρη για την ανεκτίμητη βοήθειά τους σε όλα τα στάδια αυτής της εργασίας, για την τόσο καθοριστική και πολύτιμη καθοδήγησή τους, όσο και για την υπομονή που επέδειξαν μέχρι την ολοκλήρωση της παρούσης. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, που σε κάθε μου στόχο με στηρίζουν και με ενθαρρύνουν. Ιούλιος 2015 Μαγδαληνή Ανδρονίκη Βασιλαδιώτη 2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα Διπλωματική Εργασία διαρθρώνεται σε συνολικά οκτώ κεφάλαια. Στο πρώτο εισαγωγικό κεφάλαιο επεξηγούνται οι έννοιες της Αγγειακής Μηχανικής, της αθηροσκλήρωσης και των stent. Επιπλέον παρουσιάζεται η σπουδαιότητα της Υδραυλικής Μηχανικής στην επίλυση προβλημάτων. Γίνεται αναφορά σε προηγούμενες εργασίες με αντικείμενο τη μεταφορά μάζας (Low Density Lipoprotein, LDL) σε περιβάλλον αρτηριών με stent. Επίσης περιγράφεται ο φυσιολογικός παλμός και ο παλμός κατά την ταχυκαρδία. Τέλος, περιγράφεται η χρησιμότητα της παρούσας εργασίας. Στο Κεφάλαιο 2 αναλύονται οι θεωρίες υπολογισμού κατανομής της LDL και τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της χρήσης stent. Επιπλέον γίνεται αναφορά σε προηγούμενες εργασίες με αντικείμενο τη μεταφορά LDL σε περιβάλλον αρτηριών με stent. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται συνοπτικά οι αριθμητικές μέθοδοι της Μηχανικής των Ρευστών. Στο Κεφάλαιο 4 δίνεται η υπολογιστική διαδικασία που ακολουθήθηκε για την επίλυση των προβλημάτων. Πιο αναλυτικά: τρόπος λήψης της γεωμετρίας, το υπολογιστικό δίκτυο καθώς και οι εξισώσεις ροής και οι παραδοχές που χρησιμοποιούνται από την Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών. Επίσης περιγράφεται ο καρδιακός κύκλος, οι αρχικές και οριακές συνθήκες του προβλήματος και η μεταφορά LDL στο ενδοθήλιο. Τέλος, παρατίθενται οι υπορουτίνες που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση του προβλήματος. Στο Κεφάλαιο 5 δίνονται τα αποτελέσματα με την επίλυση του προβλήματος με ασταθή ροή σε φυσιολογικό παλμό. Παρουσιάζεται η κατανομή της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης καθώς και του διανύσματος της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης. Επίσης, δίνεται η κατανομή του σχετικού 3

4 δείκτη παραμονής και η συγκέντρωση της λιποπρωτεΐνης LDL στο τοίχωμα. Στο Κεφάλαιο 6 δίνονται τα αποτελέσματα μετά την επίλυση του προβλήματος αυτή τη φορά με ασταθή ροή σε ταχυκαρδία. Παρουσιάζεται η κατανομή της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης καθώς και του διανύσματος της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης όπως ακριβώς και στην περίπτωση του φυσιολογικού παλμού. Επίσης, δίνεται η κατανομή του σχετικού δείκτη παραμονής και η συγκέντρωση της λιποπρωτεΐνης LDL στο τοίχωμα. Στο Κεφάλαιο 7 γίνεται μια συγκριτική παρουσίαση και ανάλυση των αποτελεσμάτων στις δυο περιπτώσεις ροής, σε φυσιολογικό παλμό και σε ταχυκαρδία. Ειδικά, αναλύονται οι κατανομές της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης καθώς και του διανύσματος της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης. Επίσης, αναλύονται οι κατανομές του σχετικού δείκτη παραμονής και οι συγκεντρώσεις της λιποπρωτεΐνης LDL στο τοίχωμα. Τέλος, στο Κεφάλαιο 8 παρατίθενται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την ανάλυση των παραπάνω αποτελεσμάτων. 4

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αγγειακή μηχανική Αθηρωσκλήρωση Αιτίες της αθηροσκλήρωσης Λειτουργικότητα του τοιχώματος της φυσιολογικής αρτηρίας Η διαδικασία της αθηρωγένεσης Η αθηρωματική βλάβη Stent Σπουδαιότητα υπολογιστικής μηχανικής ρευστών Προηγούμενες εργασίες Φυσιολογικός παλμός-ταχυκαρδία Που αποσκοπεί η παρούσα εργασία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 LOW DENSITY LIPOPROTEINE ΚΑΙ STENT Θεωρίες υπολογισμού κατανομής LDL

6 2.1.1 Μεταφορά μάζας στο ενδοθήλιο Είδη προσομοιωμάτων Μοντέλα ελευθέρου τοιχώματος (free-wall mondels) Μοντέλα ομογενούς τοιχώματος (omogeneous-wall models) Μοντέλα πολυστρωματικών τοιχωμάτων (multi-layer-wall models) Μεταφορά μάζας LDL και ενδοθήλιο Η παρούσα εργασία Stent:Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα Προηγούμενες εργασίες με LDL καιstent...41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Αριθμητικές μέθοδοι Μηχανικής Ρευστών Διαδικασία επίλυσης Εξισώσεις ροής εντός του αυλού των αγγείων Εξισώσεις ροής εντός του τοιχώματος των αγγείων Εξισώσεις μεταφοράς μάζας Εξισώσεις μεταφοράς μάζας εντός του αυλού των αγγείων Εξισώσεις μεταφοράς μάζας εντός του τοιχώματος των αγγείων Παραδοχές Παραδοχές για τη ροή εντός του αυλού των αγγείων Παραδοχές για τη ροή εντός του τοιχώματος των αγγείων Διάχυση- συντελεστής διαχύσεως και ενδοθηλιακή διαπερατότητα...54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Λήψη Γεωμετρίας Υπολογιστικό Δίκτυο Αιμοδυναμικές παράμετροι του τοιχώματος Η μέση τοιχωματική διατμητική τάση (wallshear stress) Ο δείκτης παλμικής διάτμησης (oscillatory shear index, OSI) Η κλίση της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως (wall shear stress gradient..59 6

7 4.3.4 Η εκτροπή ή κλίση της γωνιακής της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως (wall shear stress angle deviation or gradient) Ο σχετικός χρόνος παραμονής (relative residence time) Χρήση υπορουτίνων για την επίλυση του προβλήματος Τιμές εισαγόμενων δεδομένων Αλγόριθμος επίλυσης αριθμητικών εξισώσεων Υπορουτίνα ορισμού παλμικά μεταβαλλόμενης ταχύτητας (User-Defined Function) - Κώδικας σε γλώσσα C Διαδικασία προσομοίωσης με τη βοήθεια του λογισμικού Fluent...69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΑΡΔΙΑΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ Φυσιολογικός καρδιακός παλμός Τοιχωματική διατμητική τάση Μέση τοιχωματική διατμητική τάση Διάνυσμα μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης Δείκτης παλμικής δίατμησης Σχετικός χρόνος παραμονής Συγκέντρωση της LDL στο τοίχωμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΤΑΧΥΚΑΡΔΙΑΣ Καρδιακός παλμός σε ταχυκαρδία Τοιχωματική διατμητική τάση Μέση τοιχωματική διατμητική τάση Διάνυσμα μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης Δείκτης παλμικής δίατμησης Σχετικός χρόνος παραμονής Συγκέντρωση της LDL στο τοίχωμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΤΑΤΩΝ Ανάλυση αποτελεσμάτων μέσης τοιχωματική διατμητική τάσης

8 7.2 Ανάλυση αποτελεσμάτων διανύσματος μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης Ανάλυση αποτελεσμάτων δείκτη παλμικής διάτμησης Αποτελεσμάτων σχετικού χρόνου παραμονής Ανάλυση αποτελεσμάτων συγκέντρωσης της LDL στο τοίχωμα Συσχέτιση μεγεθών σε φυσιολογικό παλμο Συσχέτιση μεγεθών σε ταχυπαλμία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΡΘΡΟΓΡΑΦΙA ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΜΣΤΑ ΣΕ DVD

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓH 1.1Αγγειακή Mηχανική Η Αγγειακή Μηχανική είναι ένας κλάδος της Εμβιομηχανικής ο οποίος ασχολείται με τα μηχανικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα στα αγγεία του ανθρώπινου σώματος. Τα φαινόμενα αυτά σχετίζονται είτε με τη ροή του αίματος μέσα στον αυλό των αγγείων, είτε με τη συμπεριφορά του αγγειακού τοιχώματος και την αντοχή του ως υλικού. Με τα φαινόμενα της ροής ασχολείται η Αγγειακή Μηχανική Ρευστών ενώ η συμπεριφορά του τοιχώματος ως στερεού υλικού αποτελεί το αντικείμενο της Αγγειακής Αντοχής Υλικών. Βέβαια, η απομόνωση των μηχανικών φαινομένων της Ρευστομηχανικής ή της Αντοχής γίνεται καθαρά για λόγους ανάλυσης, κυρίως λόγω των τελείως διαφορετικών χαρακτηριστικών απόκρισης που έχουν τα στερεά σε σύγκριση με τα ρευστά. Αυτά τα διαφορετικά χαρακτηριστικά οδηγούν σε διαφορετικού τύπου δυσκολίες στην επίλυση των αριθμητικών προσομοιώσεων των ρευστών και των στερεών. Με την πρόοδο της επιστήμης και του λογισμικού που σημειώθηκε τα τελευταία χρόνια οι παλαιότερες δυσκολίες επιλύσεων έχουν ξεπεραστεί σε μεγάλο βαθμό και ένα νέο και αναπτυσσόμενο πεδίο ανάλυσης άρχισε να ξεχωρίζει ως το επόμενο λογικό βήμα στην προσομοίωση μηχανικών συστημάτων. Η ανάλυση αυτή, που χρησιμοποιεί κυρίως μεθόδους πεπερασμένων όγκων είναι η συζευγμένη επίλυση ροών με αλληλεπιδράσεις με την περιβάλλουσα στερεά κατασκευή. Η σύγχρονη Αγγειακή Μηχανική υιοθέτησε την ανάλυση αυτή, ώστε σήμερα είναι δυνατή η μελέτη της αλληλεπίδρασης μεταξύ της ροής του αίματος και της συμπεριφοράς του αγγειακού τοιχώματος. Η αποτελεσματική ανάλυση μιας τόσο σύνθετης απόκρισης συζευγμένου συστήματος, όπως είναι το ανθρώπινο αγγειακό δίκτυο, ανοίγει νέα πεδία στην Εμβιομηχανική και 9

10 στην Καρδιολογία. Βέβαια, η επίλυση των προβλημάτων αυτών κατέστη δυνατή με την ανάπτυξη αλγορίθμων ικανών για την επίλυση προβλημάτων κινητών ορίων. Η βασικότερη αρχή της αιμοδυναμικής είναι ότι η ροή του αίματος μέσα στα αγγεία πρέπει να υπακούει στις αρχές της διατήρησης της μάζας, της ορμής και της συνεχείας. Η πρώτη αρχή της διατήρησης της μάζας δηλώνει ότι σε κάθε πεδίο ροής η ποσότητα του αίματος που εισέρχεται είναι ίδια με αυτή που εξέρχεται. Από την αρχή αυτή παράγεται η εξίσωση της συνεχείας. H διατήρηση των ορμών περιγράφεται από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα που δηλώνει ότι, ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος ισούται με τις δυνάμεις που επενεργούν στο σώμα αυτό. Από την αρχή αυτή παράγονται οι θεμελιώδεις εξισώσεις που κυβερνούν τη ροή και την αιμοδυναμική και ονομάζονται εξισώσεις Navier-Stokes. Η τρίτη αρχή, δηλαδή η αρχή της διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι η συνολική ενέργεια ενός συστήματος παραμένει σταθερή. Αυτό σημαίνει ότι η συνολική ενέργεια της ροής που εισέρχεται στο σύστημα είναι ίση με την συνολική ενέργεια της ροής που εξέρχεται του συστήματος. Από την αρχή της διατήρησης της ενέργειας προέρχεται η εξίσωση του Bernoulli. 1.2 Αθηρωσκλήρωση Στην αθηρωσκλήρωση το αρτηριακό τοίχωμα γίνεται σταδιακά σκληρότερο λόγω της εναπόθεσης λίπους, λείων μυϊκών κυττάρων, ινώδους συνδετικού ιστού, γνωστό και ως πλάκα, [34]. Οι πρώτες βλάβες τείνουν να αναπτυχθούν σε περιοχές που οι αρτηρίες διαχωρίζονται ή στρίβουν επειδή η ροή του αίματος διαταράσσεται σε αυτές τις περιοχές. Η ζημιά στην αρτηρία προκαλεί μία φλεγμονώδη αντίδραση, προσελκύοντας κύτταρα του ανοσοποιητικού συστήματος και αυξάνοντας τη διαπερατότητα του αρτηριακού τοιχώματος. Οι χαμηλής πυκνότητας λιποπρωτεΐνες (Low Density Lipoproteins, LDL) ολισθαίνουν κάτω από το λεπτό στρώμα των κυττάρων των αιμοφόρων αγγείων, οξειδώνονται από τοπικά ένζυμα και συσσωρεύονται. Η αθηρωσκλήρωση είναι η πιο συχνή αιτία ενός ανευρύσματος μιας ανώμαλης δηλαδή διαστολής των αιμοφόρων αγγείων, [34]. Αυτό συμβαίνει, διότι η πλάκα μπορεί να αποδυναμώσει το τοίχωμα των αιμοφόρων αγγείων, επιτρέποντας στην τραυματισμένη περιοχή να τεντώσει και να φουσκώσει προς τα έξω. Τα ανευρύσματα μπορούν να 10

11 υποστούν ρήξη και να οδηγήσουν σε μαζική αιμορραγία και θάνατο, ιδίως όταν προκαλείται σε μεγάλες αρτηρίες όπως η αορτή. Η αθηρωσκλήρωση είναι μία αργή εξελισσόμενη ασθένεια αλλά και μια φυσική διεργασία η οποία ξεκινάει στην εφηβεία και εμφανίζεται συχνότερα καθώς η ηλικία μεγαλώνει. Περιοχές με χαμηλή τοιχωματική διατμητική τάση είναι πιθανό να εμφανίσουν αθηρωματικές βλάβες. Πιθανώς αυτό οφείλεται στη διαπερατότητα των ενδοθηλιακών κυττάρων στη διεπιφάνεια του αυλού η οποία μεταβάλλεται και επιτρέπει την είσοδο λευκών αιμοσφαιρίων και λιπωδών κυττάρων στο εσωτερικό του τοιχώματος, [33]. Η αθηρωσκλήρυνση θεωρείται ως μια χρόνια φλεγμονώδης αντίδραση του αρτηριακού τοιχώματος, το οποίο απαντά με τον τρόπο αυτό στην βλάβη των ενδοθηλιακών κυττάρων, [33]. Η χρόνια επαναλαμβανόμενη ενδοθηλιακή βλάβη αποτελεί το θεμέλιο λίθο της μετέπειτα ανάπτυξης των αθηρωσκληρυντικών βλαβών. Στην πραγματικότητα με τον όρο βλάβη δεν υποδηλώνεται αναγκαστικά η λύση της συνεχείας του ενδοθηλίου με την τοπική απώλεια κάποιων κυττάρων. Έτσι το ενδοθήλιο που έχει υποστεί βλάβη μπορεί να δείχνει μορφολογικά ανέπαφο, ωστόσο επιδεικνύει μια μορφή δυσλειτουργίας και ενεργοποίησης. Η χρόνια αυτή βλάβη-δυσλειτουργία των ενδοθηλιακών κυττάρων μπορεί να προκληθεί από την επίδραση πολλών παραγόντων. Η ενδοθηλιακή δυσλειτουργία, που είναι απότοκος της βλάβης που υφίσταται το ενδοθηλιακό κύτταρο από τη δράση των παραπάνω παραγόντων, οδηγεί σε μια σειρά επανορθωτικών απαντήσεων από τη μεριά του ενδοθηλίου, που μεταβάλλουν τις φυσιολογικές ομοιοστατικές ιδιότητες του ενδοθηλίου. Έτσι, η χρόνια ενδοθηλιακή δυσλειτουργία εκδηλώνεται με αυξημένη προσκόλληση των λευκοκυττάρων και αιμοπεταλίων στα ενδοθηλιακά κύτταρα, καθώς επίσης με αύξηση της διαπερατότητας του ενδοθηλίου. Η τελευταία έχει ως αποτέλεσμα η LDL του πλάσματος να διαπερνά τον ενδοθηλιακό φραγμό και να κατακρατείται στον υπενδοθηλιακό χώρο όπου συσσωρεύεται σε διάφορες εστίες και υφίσταται σταδιακή τροποποίηση μέσω οξείδωσης. Την οξείδωση της LDL προκαλούν οι κυτταρικές οξυγενάσες. Αυτές είναι οξειδωτικές ουσίες που εκκρίνονται από κύτταρα του τοιχώματος των αρτηριών. Σημαντική συμβολή στην οξείδωση της LDL φαίνεται ότι έχουν και οι ελεύθερες ρίζες 11

12 του οξυγόνου. Η συγκέντρωση των ριζών αυτών, που είναι ισχυρά οξειδωτικά μέσα, αυξάνει σε διάφορες παθολογικές καταστάσεις που σχετίζονται με την αθηρωσκλήρυνση όπως η υπέρταση και η υπερλιπιδαιμία. Στον αντίποδα βρίσκονται ορισμένα ενζυμικά συστήματα που σχετίζονται με την υψηλής πυκνότητας λιποπρωτεΐνης (High Density Lipoprotein, HDL), όπως είναι η ακετυλοδρολάση και η παραοξονάση τα οποία αναστέλλουν την οξείδωση της LDL. Η υπεροξειδική δισμουτάση είναι ένα ένζυμο με ισχυρή αντιοξειδωτική δράση, αφού κάτω από φυσιολογικές συνθήκες εξουδετερώνει τις ελεύθερες ρίζες οξυγόνου συμβάλλοντας στην ομοιόσταση του αρτηριακού τοιχώματος. Η σημασία των αντιοξειδωτικών ουσιών έχει τονιστεί τα τελευταία χρόνια όσον αφορά την πρόληψη της αθηρωσκλήρυνσης Λειτουργικότητα του τοιχώματος της φυσιολογικής αρτηρίας Το τοίχωμα μιας φυσιολογικής αρτηρίας αποτελείται από τρεις χιτώνες, Σχήμα 1.1 τον εσωτερικό, τον μέσο και τον εξωτερικό χιτώνα. Ο εσωτερικός χιτώνας ορίζεται από το ενδοθήλιο προς την πλευρά του αυλού και από το εσωτερικό ελαστικό πέταλο προς τα έξω. Το ενδοθήλιο αποτελεί τον κυριότερο φραγμό ανάμεσα στα στοιχεία του αίματος και το τοίχωμα της αρτηρίας. Αποτελεί έναν υψηλής διαπερατότητας φραγμό, ο οποίος επιτρέπει την ανταλλαγή ουσιών μεταξύ του αίματος και του αρτηριακού τοιχώματος. Το ενδοθήλιο είναι ένας ενδοκρινής αδένας, όπου η εκκριτική δραστηριότητα των ενδοθηλιακών κυττάρων αποσκοπεί στη διατήρηση της αρτηριακής ομοιόστασης ανάλογα με τις επικρατούσες συνθήκες. Τα ενδοθηλιακά κύτταρα εκκρίνουν πληθώρα ουσιών, όπως: αγγειοδιασταλτικές και αγγειοσυσπαστικές ουσίες. Ο μέσος χιτώνας ορίζεται προς τα έσω από το εσωτερικό ελαστικό πέταλο και προς τα έξω από το εξωτερικό ελαστικό πέταλο. Τα ελαστικά πέταλα αποτελούνται κυρίως από ελαστικές ίνες και είναι θυριδωτά, ώστε να επιτρέπουν τη μετακίνηση ουσιών και κυττάρων αμφίδρομα. Ο μέσος χιτώνας αποτελείται από λείες μυϊκές ίνες. Ο εξωτερικός χιτώνας ορίζεται από το εξωτερικό ελαστικό πέταλο και την εξωτερική επιφάνεια της αρτηρίας. Αποτελείται από κολλαγόνα ινίδια, ελαστικές ίνες, ινοβλάστες και λίγα λεία μυϊκά κύτταρα, [26]. 12

13 Σχήμα 1.1 Εγκάρσια τομή αρηρίας Η Διαδικασία της αθηρωγένεσης Η πολυπλοκότητα της διαδικασίας της αθηρωγένεσης συμπεριλαμβάνει μια σειρά διαδικασιών τα οποία είναι τα εξής, Σχήμα 1.3, [26]: Οξείδωση της LDL Η χαμηλή πυκνότητας λιποπρωτεΐνη LDL είναι συστατικό του πλάσματος που εισέρχεται στο αρτηριακό τοίχωμα, ακόμα και σε φυσιολογικές συνθήκες, διαπερνώντας την ενδοθηλιακή στιβάδα. Η LDL προσλαμβάνεται μέσω ειδικών υποδοχέων που φέρουν τα ενδοθηλιακά κύτταρα και σε φυσιολογικές καταστάσεις ένα ποσοστό άνω του 85.0 % της διηθούμενης LDL απομακρύνεται από το κυτταρικό τοίχωμα. Η LDL που κατακρατήθηκε υπενδοθηλιακά υφίσταται σταδιακή οξείδωση από οξειδωτικές ουσίες που εκκρίνονται από κύτταρα του αρτηριακού τοιχώματος προκαλώντας έτσι οξείδωση του λιπιδιακού μέρους αυτής, [26]. Συμμετοχή μονοκυττάρων Η LDL που έχει οξειδωθεί αποτελεί τοξική ουσία για τα κυτταρικά συστήματα του αγγείου και έτσι τίθενται σε λειτουργία αμυντικοί μηχανισμοί. Έτσι, τα ενδοθηλιακά κύτταρα εκκρίνουν συγκεκριμένες ουσίες που προκαλλούν προσκόλληση κυκλοφορούντων στο πλάσμα μονοκυττάρων στο ενδοθήλιο. Τα μονοκύτταρα του αίματος προσελκύονται προς τα ενδοθηλιακά κύτταρα 13

14 εκβάλλουν ψευδοπόδια και εισέρχονται βαθμιαία ενδοθηλιακά. Τα μονοκύτταρα ή μακροφάγα όπως ονομάζονται έχουν μεγάλη οξειδωτική ικανότητα. Έτσι, οξειδώνουν περαιτέρω την LDL, η οποία έχει υποστεί ήδη λιπιδιακή οξείδωση. Τα μακροφάγα οξειδώνουν το λιπιδιαλό μέρος των λιποπρωτεϊνών καθώς και το πρωτεϊνικό τους μέρος, [26]. Σχηματισμός αφρωδών κυττάρων Κατά κανόνα η οξειδωμένη LDL δεν προσλαμβάνεται από τα μακροφάγα αλλά όταν λαμβάνει χώρα πλήρως οξείδωση αυτής αναγνωρίζεται από ειδικούς υποδοχείς των μακροφάγων που βρίσκονται στην επιφάνεια αυτών και έτσι ακολουθεί πρόσληψη των LDL, Σχήμα 1.2. Ακολουθεί έντονη φαγοκυττάρωση της οξειδωμένης LDL με αποτέλεσμα την μετατροπή των μακροφάγων σε αφρώδη κύτταρα. Εξαιτίας της τοξικότητας της οξειδωμένης LDL πολλά αφρώδη κύτταρα νεκρώνονται σχηματίζοντας έτσι τον νεκρωτικό πυρήνα της αθηρωματικής πλάκας και ελευθερώνονται και μικρές ποσότητες λίπους, [26]. Πολλαπλασιαμός και συμμετοχή των λείων μυϊκών κυττάρων Τα ενεργοποιημένα μακροφάγα που βρίσκονται πλέον στην υπενδοθηλιακή στιβάδα παράγουν μια πληθώρα αυξητικών, ανασταλτικών και χημειοστατικών ουσιών. Στόχος των ουσιών αυτών είναι τα λεία μυϊκά κύτταρα του μέσου χιτώνα, τα οποία με την επίδραση των παραπάνω ουσιών μεταναστεύουν και πολλαπλασιάζονται στην περιοχή όπου σχηματίζεται η αθηρωματική πλάκα. Ακολουθεί η μετατροπή των λείων μυϊκών κυττάρων σε αφρώδη μετά την εισαγωγή σταγονιδίων λίπους στο κυτταρόπλασμά τους. Τα σταγονίδια λίπους προέρχονται από την φαγοκυττάρωση των σταγονιδίων λίπους των αφρωδών κυττάρων που νεκρώνονται από την πλήρως οξειδωμένη LDL. Η διαδικασία της φαγοκυττάρωσης της οξειδωμένης LDL από τα μακροφάγα και τα λεία μυϊκά κύτταρα αποσκοπεί στην προστασία του ενδοθηλίου από την τοξική επίδραση της οξειδωμένης LDL[26]. Συμμετοχή αιμοπεταλίων: Με την συνεχιζόμενη παραγωγή της οξειδωμένης LDL στην υποενδοθηλιακή στιβάδα αυξάνεται το ποσοστό κορεσμού και νέκρωσης των φαγοκυττάρων. Έτσι, επιβαρύνεται η υπενδοθηλιακή στιβάδα με 14

15 ποσότητα οξειδωμένης LDL που προέρχεται είτε από αδυναμία φαγοκυττάρωσής της από τα κορεσμένα φαγοκύτταρα, είτε από νέκρωση κορεσμένων αφρωδών κυττάρων, είτε από τον συνδυασμό και των δύο προαναφερθέντων καταστάσεων. Με τον τρόπο αυτό η ελεύθερη οξειδωμένη LDL μπορεί να δράσει κυτταροτοξικά στα κύτταρα του ενδοθηλίου και να τεθεί σε λειτουργία, εκ των έσω, η σειρά των γεγονότων που χαρακτηρίζουν την αντίδραση στην ενδοθηλιακή βλάβη. Η δυσλειτουργία του ενδοθηλίου οδηγεί σε προσκόλληση και συσσώρευση αιμοπεταλίων που ενεργοποιούνται σε παραγωγή παραγόντων δραστικών επί των λείων μυϊκών κυττάρων του μέσου χιτώνα. Αυτό έχει σαν συνέπεια την επιδείνωση των αθηρωματικών βλαβών, [25]. Σχήμα 1.2 Συμμετοχή κυττάρων στον σχηματισμό αθηρώματος Η αθηρωματική βλάβη Οι αθηρωματικές πλάκες εμφανίζονται κυρίως σε μυϊκές αρτηρίες μέσου μεγέθους (στεφανιαίες, μηριαίες) αλλά και σε μεγάλου μεγέθους ελαστικές αρτηρίες (αορτή) ακόμα και σε φλέβες. Οι πρωιμότερες αθηρωματικές βλάβες είναι οι λιπώδεις γραμμώσεις ή ραβδώσεις, που μπορεί να παρουσιασθούν ακόμη και σε βρέφη. Η πιο 15

16 προχωρημένη αθηρωματική βλάβη είναι η ινώδης πλάκα Η ινώδης πλάκα αποτελείται από μεγάλο αριθμό λείων μυϊκών κυττάρων, μακροφάγα και Τ-λεμφοκύτταρα. Μέσα στην ινώδη πλάκα βρίσκονται επίσης ελαστικές ίνες, αφρώδη κύτταρα, οξειδωμένη LDL και κολλαγόνες ίνες. Οι ινώδεις πλάκες καλύπτονται από ινώδη κάψα, η οποία αποτελείται από λεία μυϊκά κύτταρα, τμήμα βασικής μεμβράνης και μεγάλο αριθμό κολλαγόνων ινιδίων. Με το χρόνο η πλάκα αυξάνει σε πάχος έτσι ώστε μικραίνει τη διάμετρο του αυλού της αρτηρίας δηλαδή προκαλείται στένωση του αγγείου. Η ροή του αίματος ελαττώνεται, αφού η στένωση του αυλού της αρτηρίας γίνει μεγαλύτερα του 50% της διαμέτρου ή μεγαλύτερα του 75% του εμβαδού της επιφανείας του αυλού της αρτηρίας. Η ρήξη της ινώδους κάψας μπορεί να οδηγήσει σε σοβαρά κλινικά περιστατικά, Σχήμα 1.3, [26]. Σχήμα 1.3 Ρήξη αθηρωματικής πλάκας 16

17 1.3 Stent Το στεφανιαίο stent είναι ένας σωλήνας (νάρθηκας) που τοποθετείται στις στεφανιαίες αρτηρίες οι οποίες τροφοδοτούν την καρδιά ώστε να κρατούν τις αρτηρίες ανοικτές κατά τη θεραπεία των στεφανιαίων νόσων, Σχήμα 1.4. Το stent χρησιμοποιείται μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται διαδερμική στεφανιαία παρέμβαση (PCI). Τα stents μειώνουν τη στηθάγχη και έχουν αποδειχθεί ότι βελτιώνουν την ικανότητα επιβίωσης σε περίπτωση οξέος εμφράγματος του μυοκαρδίου. Παρόμοια stents χρησιμοποιούνται σε μη-στεφανιαία αγγεία π.χ στα πόδια κατά την περιφερική αρτηριοπάθεια, [7]. Σχήμα 1.4 Στεφανιαίο stent Η θεραπεία μιας αποφραγμένης στεφανιαίας αρτηρίας με stent ακολουθεί τα ίδια βήματα όπως άλλες διαδερματικές στεφανιαίες επεμβάσεις αγγειοπλαστικής με λίγες σημαντικές διαφορές. Η επεμβατική καρδιολογία χρησιμοποιεί αγγειογραφία για να καθορίσει την τοποθεσία και να εκτιμήσει το μέγεθος της στένωσης, εγχέοντας μέσω του οδηγού καθετήρα ένα σκιαγραφικό μέσο και παρακολουθώντας τη ροή του αίματος διαμέσου των στεφανιαίων αρτηριών. Το ενδοαγγειακό υπερηχογράφημα (IVUS) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστεί το πάχος και η σκληρότητα της βλάβης. Ο καρδιολόγος χρησιμοποιεί αυτές τις πληροφορίες για να αποφασίσει εάν θα θεραπεύσει τη βλάβη με stent και αν ναι το είδος και το μέγεθός του. Τα stents που εκλύουν ναρκωτικά πωλούνται συχνά ως μια ενιαία μονάδα, με το stent στην καταρρέουσα μορφή του προσκολλημένο πάνω στην εξωτερική επιφάνεια 17

18 ενός μπαλονιού καθετήρα. Εκτός Η.Π.Α., οι γιατροί μπορούν να εκτελέσουν την "απευθείας τοποθέτηση του stent" όπου το stent τοποθετείται στην περιοχή της βλάβης και διαστέλλεται. Κοινή πρακτική στις Η.Π.Α. είναι να διευρύνουν τον αυλό του αγγείου στο σημείο της βλάβης πριν χορηγηθεί το stent. Η διεύρυνση αυτή επιτυγχάνεται με τοποθέτηση στη βλάβη ενός καθετήρα μπαλονιού, διευρύνοντας τον ως το φυσιολογικό μέγεθος του μέγεθος του αγγείου, Σχήμα 1.5. Ο γιατρός αποσύρει αυτόν τον καθετήρα και τοποθετεί το stent στον δικό του καθετήρα μπαλονιού στο σημείο της βλάβης. Ο γιατρός διευρύνει το μπαλόνι το οποίο διαμορφώνει το μεταλλικό stent στο διευρυμένο μέγεθός του. Ο γιατρός μπορεί επίσης να προσαρμόσει την εφαρμογή του stent ώστε να ταιριάζει στο μέγεθος του αγγείου, χρησιμοποιώντας IVUS ως οδηγό. Είναι σημαντικό ότι το στέλεχος του stent βρίσκεται σε άμεση επαφή με τα τοιχώματα του αγγείου ώστε να εξαλείφει πιθανές παρενέργειες όπως αιματικούς θρόμβους. Πολύ μακριές περιοχές βλάβης απαιτούν περισσότερα από ένα stent, [7]. Σχήμα 1.5 Διαδικασία τοποθέτησης stent 18

19 Στο Σχήμα 1.5 "Α", ο καθετήρας εισάγεται κατά μήκος της βλάβης. Στο "Β", το μπαλονάκι φουσκώνει, επεκτείνοντας το stent και πιέζει την πλάκα. Στο "C" ο καθετήρας και το ξεφουσκωμένο μπαλονάκι έχουν απομακρυνθεί. Πριν-και-μετά διατομές της αρτηρίας δείχνουν τα αποτελέσματα της τοποθέτησης του stent, [7]. Τα στεφανιαία stents, μπορούν να τοποθετηθούν εντός της αρτηρίας βοηθώντας στο να κρατηθεί ανοικτή. Ωστόσο, καθώς το stent είναι ένα ξένο αντικείμενο, όχι φυσικό ως προς το σώμα, παρακινεί μια ανοσολογική απάντηση. Αυτό μπορεί να προκαλέσει τον ουλώδη ιστό να αυξηθεί πάνω στο stent. Επιπλέον, υπάρχει μια ισχυρή τάση προς σχηματισμό θρόμβων στην περιοχή του τραυματισμένου αρτηριακού τοιχώματος. Εφόσον τα αιμοπετάλια εμπλέκονται στη διαδικασία θρομβοποίησης, οι ασθενείς πρέπει να λαμβάνουν διπλή θεραπεία, συνήθως λαμβάνοντας κλοπιδογρέλη για ένα χρόνο και ασπιρίνη αορίστως. Με σκοπό τη μείωση της θεραπείας, νέας γενιάς stent αναπτύχθηκαν με βιοδιασπώμενα πολυμερή. Ωστόσο, η διπλή αντιαιμοπεταλιακή θεραπεία μπορεί να είναι ανεπαρκής ώστε να παρεμποδίσει πλήρως τους θρόμβους που αναπτύσσονται. Αυτοί και ο πολλαπλασιασμός των κυττάρων μπορούν να προκαλέσουν την στένωση των stent. Τα stent που εκλύουν ναρκωτικά έχουν σχεδιαστεί για να μειώνουν αυτό το πρόβλημα, με το να ελευθερώνουν ένα αντιπολλαπλασιαστικό φάρμακο[7][26]. 1.4 Σπουδαιότητα Υπολογιστικής Μηχανικής Ρευστών Η ραγδαία ανάπτυξη της πληροφορικής και της επιστήμης των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών οδήγησαν στην περαιτέρω έρευνα και πρόοδο της επιστήμης της μαθηματικής προσομοίωσης, η οποία ακόμα και σήμερα αποτελεί ένα πολύτιμο εργαλείο ανάλυσης. Απόδειξη της ραγδαίας αυτής ανάπτυξης αποτελεί ο μεγάλος αριθμός επιστημονικών περιοδικών και συνεδρίων που σχετίζονται με την μαθηματική προσομοίωση. Η Υπολογιστική Μηχανική των Ρευστών (Computational Fluid Dynamics, CFD), όντας εφαρμογή της μαθηματικής προσομοίωσης, αναπτύχτηκε εξίσου και αναδείχτηκε τα τελευταία χρόνια ως το βασικό εργαλείο ανάλυσης και σχεδιασμού στην Επιστήμη και την Μηχανική. Με την ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας υπάρχει πλέον η δυνατότητα πρόβλεψης της συμπεριφοράς ενός ρευστού κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες με τη χρήση μαθηματικών μοντέλων (μερικές 19

20 διαφορικές εξισώσεις) και τη χρήση αριθμητικών μεθόδων. Η Υπολογιστική Μηχανική των Ρευστών επιτρέπει στους μελετητές να πραγματοποιήσουν πειράματα αριθμητικών προσομοιώσεων σε ένα «εικονικό εργαστήριο». Η φιλοσοφία της Υπολογιστικής Μηχανικής των Ρευστών βασίζεται στην επίλυση των εξισώσεων ροής, εξισώσεις Navier-Stokes, οι οποίες στη γενική τους περίπτωση διατυπώνονται σε μορφή μη-γραμμικών τρισδιάστατων διαφορικών εξισώσεων, σε διακριτές θέσεις του πεδίου ροής. Το γεγονός αυτό αποκτά μεγαλύτερη σπουδαιότητα από την στιγμή που τα περισσότερα δισδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα Μηχανικής Ρευστών δεν επιδέχονται αριθμητική επίλυση γιατί αποτελούνται από μη-ομαλές γεωμετρικές επιφάνειες, στις οποίες στην πράξη είναι πολύ δύσκολο να εφαρμοστούν οι οριακές συνθήκες. Οι αριθμητικές επιλύσεις δίνουν απάντηση σε δεδομένο αριθμό σημείων και σε διακριτά χρονικά διαστήματα, παρόλα αυτά αυτό δεν αποτελεί πρόβλημα γιατί η χρήση ενός ικανού αριθμού υπολογιστικών κόμβων σε συνεργασία με την χρήση συναρτήσεων παρεμβολής μπορούν να οδηγήσουν στην εύρεση λύσης ικανοποιητικής ακρίβειας. 1.5 Προηγούμενες εργασίες Η αρθρογραφία για θέματα της Βιοϊατρικής Μηχανικής συναντάται από το 1995 και μετά. Λίγο αργότερα περιγράφηκε η μεταφορά της LDL στο αρτηριακό τοίχωμα σε συνδυασμό με τη μεταφορά στον αυλό, [31]. Χωρίστηκε το τοίχωμα σε τέσσερις στρώσεις αλλά η κάθε στρώση αντιμετωπίστηκε ως ομογενής. Το αίμα θεωρήθηκε ως ασυμπίεστο Νευτωνικό ρευστό. Η ροή του αίματος στον αυλό έχει περιγραφθεί από τις εξισώσεις Navier-Stokes και τις εξισώσεις συνέχειας ενώ η συγκέντρωση της LDL στον αυλό περιγράφηκε με την εξίσωση της μεταφοράς μάζας. Λύνοντας τις εξισώσεις Navier-Stokes καθώς και την εξίσωση κίνησης-διάχυσης-αντίδρασης υπολογίστηκε η κατανομή της συγκέντρωσης κατά μήκος της αρτηρίας καθώς και στο τοίχωμα για δύο διαφορετικές τιμές πιέσεως 70.0 και και mm Hg ενώ στο στρώμα Inter Elastic (IEL) παρατηρήθηκε η μεγαλύτερη μείωση της συγκεντρώσεως LDL και μόνο ένα μικρό ποσοστό διαχύθηκε στο στρώμα πέραν αυτού. Υπολογίστηκε σύμφωνα με την αναφορά [23], η κατανομή της LDL κατά μήκος του αυλού καθώς και στο αρτηριακό τοίχωμα συνδέοντας για πρώτη φορά την ταχύτητα 20

21 διήθησης με την τοιχωματική διατμητική τάση, [23]. Η ροή του αίματος στον αυλό περιγράφηκε με τις εξισώσεις Navier-Stokes ενώ η αντίστοιχη ροή αίματος στο τοίχωμα με το νόμο Darcy. Η μεταφορά μάζας στον αυλό υπολογίστηκε από την εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης, ενώ η μεταφορά μάζας στο αρτηριακό τοίχωμα υπολογίστηκε από την εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης-αντίδρασης. Μία από τις επόμενες δημοσιεύσεις αφορούσε τη μεταφορά μάζας στις στεφανιαίες αρτηρίες που μπορεί να προκληθεί από την κίνησή τους, η οποία είναι φυσιολογική, [37]. Αυτός ήταν και ένας παράγοντας που δεν είχε ληφθεί υπόψη στις περισσότερες μελέτες μεταφοράς μάζας. Υπολογίστηκε λοιπόν αριθμητικά η μεταφορά μάζας της LDL και του οξυγόνου σε μία ιδανικά κινούμενη αριστερή στεφανιαία αρτηρία (κινούμενος αυλός και τοίχωμα) σε σταθερή αλλά και σε παλμική κατάσταση ροής. Η μεταφορά μάζας στον αυλό μαθηματικά περιγράφτηκε χρησιμοποιώντας την εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης. Στα αποτελέσματα παρατηρήθηκε αύξηση της συγκεντρώσεως LDL και χαμηλή τοιχωματική διατμητική τάση κατά μήκος της εσωτερικής πλευράς της καμπυλότητας, κατάσταση που προεξοφλεί αθηρωσκλήρωση. Η διακύμανση στη ροή και της τοιχωματικής διατμητικής τάσης εξαιτίας της παλμικής ροής και του κινούμενου τοιχώματος δεν δημιούργησαν σημαντικές αλλαγές στη μεταφορά μάζας LDL στο τοίχωμα. Ωστόσο, η παλμική ροή προκάλεσε μία αύξηση και μείωση στη ροή της LDL στο τοίχωμα κατά μήκος της εσωτερικής και της εξωτερικής πλευράς της καμπυλότητας αντίστοιχα σε σύγκριση με τη σταθερή ροή. Σε αντίθεση, η κίνηση του τοιχώματος δημιούργησε μία μείωση της ροής LDL στην εσωτερική πλευρά της καμπυλότητας σε σύγκριση με εκείνη της σταθερής ροής. Το τελικό συμπέρασμα λοιπόν είναι ότι το κινούμενο τοίχωμα μπορεί να παίζει σημαντικό ρόλο στη μεταφορά μάζας στο αρτηριακό τοίχωμα. Ερευνήθηκαν επιδράσεις της τοιχωματικής διατμητικής τάσης αλλά και της διατοιχωματικής πίεσης στην κατανομή της συγκεντρώσεως της LDL στο τοίχωμα το οποίο αποτελείται από τέσσερα στρώματα, [22]. Για την επίλυση του μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν οι εξισώσεις Navier-Stokes για τη ροή του αίματος στον αυλό και το νόμο Darcy για την αντίστοιχη ροή αίματος στο τοίχωμα, για κάθε στρώση ξεχωριστά. Η μεταφορά μάζας στο αίμα του αυλού επιλέχθηκε να είναι συνδεδεμένη με τη ροή του αίματος και να υπακούει στην εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης, ενώ η μεταφορά μάζας στο αρτηριακό τοίχωμα να είναι συνδεδεμένη με τη διατοιχωματική 21

22 ροή και να υπολογίζεται από την εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης-αντίδρασης. Για τις συνδεδεμένες διεπιφάνειες του ενδοθηλίου και του IEL χρησιμοποιήθηκαν οι εξισώσεις Kedem-Katchalsky. Τα αποτελέσματα που κατέγραψαν έδειξαν πως η χαμηλή διατμητική τάση οδηγεί στη συσσώρευση της LDL ενώ η υψηλή διατοιχωματκή πίεση που συνδέεται με την υπέρταση, οδηγεί στην αύξηση της συγκεντρώσεως της LDL στο αρτηριακό τοίχωμα διευκολύνοντας το πέρασμα της LDL διαμέσου των στρωμάτων στο τοίχωμα. Ερευνήθηκε η επίδραση της παλμικής ροής στη μεταφορά της LDL, [24]. Εξετάστηκε μία στεφανιαία αρτηρία με στένωση 49.0 % σε κάποιο σημείο εφαρμόζοντας διατοιχωματική πίεση mm Hg και λαμβάνοντας υπόψη την εξάρτηση της διατοιχωματικής διατμητικής τάσης, σε κάθε θέση της διεπιφάνειας του ενδοθηλίου στον αυλό, με τις τιμές της ταχύτητας διήθησης στο αρτηριακό τοίχωμα. Σημειώθηκαν τα αποτελέσματα της συγκέντρωσης LDL και της τοιχωματικής διατμητικής τάσης για δύο σημεία Α και Β, το πρώτο ανάντη της στένωσης και το δεύτερο στο λαιμό της στένωσης. Στα συμπεράσματα σημειώθηκαν σημαντικές διαφορές μεταξύ της σταθερής ροής και της παλμικής ροής. Επίσης, εξετάστηκε το σενάριο της διαφορετικής επίδρασης της στιγμιαίας τοιχωματικής διατμητικής τάσης από τη μέση τιμή της τοιχωματικής διατμητικής τάσης στη μεταφορά της LDL από τον αυλό στο τοίχωμα σε μία δεδομένη περίοδο. Το συμπέρασμα ήταν ότι αυτή η επίδραση ήταν πολύ μικρή δεδομένου ότι τα αποτελέσματα και στις δύο περιπτώσεις ήταν παραπλήσια. Αυτό σημαίνει ότι δύναται να μειωθούν οι υπολογιστικές απαιτήσεις για την εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων αφού η μέση τιμή της τοιχωματικής διατμητικής τάσης αποτελεί ένα ικανοποιητικό εργαλείο για τον ορθό υπολογισμό της LDL μέσα στο τοίχωμα. Μελετήθηκε μία αξονοσυμμετρική στεφανιαία αρτηρία με στένωση λαμβάνοντας υπόψη τις επιδράσεις της τοπικής τοιχωματικής διατμητικής τάσης στα κύτταρα του ενδοθηλίου το οποίο εκπροσωπείται από ένα μοντέλο τριών «πόρων», [38]. Τα συμπεράσματα είναι ότι σε περιοχές με χαμηλή διατμητική τάση παρουσιάζεται αυξημένη συγκέντρωση LDL στο αρτηριακό τοίχωμα παρόλο την αύξηση της ταχύτητας διήθησης υποδηλώντας ότι η αύξηση της ταχύτητας διήθησης δεν ευθύνεται για τη μετακίνηση της LDL. 22

23 Όλες οι παραπάνω αναφορές εξέταζαν τη μεταφορά της LDL από τον αυλό στο αρτηριακό τοίχωμα και υπολόγιζαν τη συγκέντρωση της LDL τόσο στη διεπιφάνεια του αυλού όσο και μέσα στο αρτηριακό τοίχωμα λαμβάνοντας υπόψη το τοίχωμα ως άκαμπτο. Επίσης, στις αναφορές [18], [19] ερευνάται η συγκέντρωση της LDL στη διεπιφάνεια του ενδοθηλίου στον αυλό και στα συμπεράσματα σημειώνεται η εξάρτηση της συγκεντρώσεως της LDL με την ταχύτητα διήθησης, τη διάχυση και την τοιχωματική διατμητική τάση λαμβάνοντας υπόψη το τοίχωμα ως άκαμπτο. Επίσης, η σχέση μεταξύ της τοιχωματικής διατμητικής τάσης με τη διαφορά συγκέντρωσης LDL και HDL μέσα στο αρτηριακό τοίχωμα γίνεται αντικείμενο της εργασίας [12] ενώ η υψηλή συγκέντρωση της LDL σε περιοχές με χαμηλή διατμητική τάση επιβεβαιώνεται στην αναφορά [15] που για άλλη μια φορά η διαπερατότητα του ενδοθηλίου και η υδραυλική αγωγιμότητα εξαρτώνται από την τοιχωματική διατμητική τάση. Στην [60] πραγματοποιήθηκε τρισδιάστατη ανάλυση ανάπτυξης παλμικής ροής σε στεφανιαία αρτηρία με stent και πολιτικοποίησαν τις αιμοδυναμικές παραμέτρους. Η ανάλυση διεξάγεται με την εφαρμογή μιας ομοιόμορφης χωρικής ταχύτητα εισόδου ως οριακή συνθήκη χρησιμοποιώντας User-Defined υπορουτίνα για να υπολογίζονται οι παράμετροι ροής. Έτσι, η επίδραση της ανάπτυξης ροής, όπου τοποθετούνται stent στην περιοχή εισόδου του διακλαδισμένης στεφανιαίας αρτηρίας αξιολογήθηκε. Υπολογίζεται o τροποποιημένος δείκτης παλμικής διάτμησης ο οποίος έδειξε ανακυκλοφορία στην κατάντη περιοχή του κάθε stent. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι κατάντη περιοχές των διασταυρώσεων του stent είναι περιοχές ιδιαίτερα ευαίσθητες στην επαναστένωση, ενώ μια υψηλή διατμητική τάση στη διασταύρωση του stent μπορεί να προκαλέσει την ενεργοποίηση των αιμοπεταλίων. Πολύ υψηλές τιμές του Wall shear Stress (WSS) παρατηρήθηκαν πάνω από τις επιφάνειες των αντηρίδων του stent. Τα αποτελέσματα από την παρούσα μελέτη υποστηρίζουν την άποψη ότι η γεωμετρία του stent μεταβάλλει την κατανομή της WSS, η οποία με τη σειρά της, μπορεί να αντιπροσωπεύει έναν από τους παράγοντες που συμβάλλουν στην επαναστένωση. Ο περιορισμός της μελέτης είναι ότι διεξάγεται για μια ευθεία άκαμπτη αρτηρία. 23

24 Στην εργασία [59] δόθηκε μια φυσιολογική εκτίμηση των αποτελεσμάτων της γεωμετρίας stent στην απόθεση αιμοπεταλίων χρησιμοποιώντας τις πραγματικές 3D stent γεωμετρίες. Ανθρώπινο αίμα με αιμοπετάλια σημασμένα με φθορισμό κυκλοφορεί μέσω ενός in vitro σύστημα παραγωγής σε φυσιολογική παλμική ροή σε ένα συμβατό σωλήνα στο οποίο εμφυτεύτηκαν Wall stent και Aurora. Μοντέλα Υπολογιστικής Μηχανικής Ρευστών των stent παρείχαν στοιχεία ροής για να βοηθήσουν στην εξήγηση εντοπισμένης εναπόθεσης αιμοπεταλίων. Αυτή η μελέτη απέδειξε τις επιπτώσεις της γεωμετρικής διαμόρφωσης των stent για τα χαρακτηριστικά ροής και την απόθεση αιμοπεταλίων κάτω από φυσιολογικές συνθήκες ροής στις οξείες φάσεις της εμφύτευσης. Η εναπόθεση αιμοπεταλίων ήταν υψηλότερη περιφερικά του stent σε σύγκριση με κεντρικά στο stent. Περιοχές διαχωρισμού περιφερειακά και κεντρικά του stent παρουσίασαν πολύ χαμηλή απόθεση αιμοπεταλίων. Η εναπόθεση αιμοπεταλίων μειώθηκε με αξονική απόσταση από το stent λόγω της περιορισμένης παροχής των αιμοπεταλίων καθώς η ροή έγινε τοπικά παράλληλη προς το τοίχωμα. Οι παραπάνω αναφορές καταλήγουν σε σημαντικά αποτελέσματα για την πλήρη κατανόηση της μεταφοράς της LDL τόσο στον αυλό όσο και στο αρτηριακό τοίχωμα προσφέροντας έτσι τη δυνατότητα να γίνει κατανοητή η εμφάνιση, η εξέλιξη και τελικώς η θεραπεία της αθηρωματικής πλάκας. Όλα τα αποτελέσματα που έχουν καταγραφεί παραπάνω έχουν ως κοινή παραδοχή ότι η αληλεπίδραση μεταξύ του αρτηριακού τοιχώματος και του αίματος που ρέει μέσα στον αυλό δε λαμβάνεται υπόψη, δηλαδή το τοίχωμα λαμβάνεται ως άκαμπτο. Ωστόσο η πρόσφατη πρόοδος στην Υπολογιστική Μηχανική των Ρευστών έδωσε τη δυνατότητα να ληφθεί υπόψη η αλληλεπίδραση του αρτηριακού τοιχώματος και του αίματος που ρέει μέσα στον αυλό [11]. 1.6 Φυσιολογικός παλμός-ταχυκαρδία Η καρδιά είναι ένα μυώδες όργανο το οποίο είναι εγκαταστημένο στη θωρακική κοιλότητα και περιβάλλεται από έναν ινώδη σάκο το περικάρδιο. Το τοίχωμα της καρδιάς αποτελείται από το μυοκάρδιο, ένα μυ ο οποίος στο εσωτερικό του καλύπτεται από ένα λεπτό στρώμα επιθηλιακών κυττάρων, το ενδοθήλιο (ή ενδοκάρδιο) το οποίο σύμφωνα με την βιβλιογραφία παρουσιάζει συμπεριφορά 24

25 ημιδιαπερατής μεμβράνης και το οποίο έρχεται σε απευθείας επαφή με το αίμα. Η εξωτερική δε επιφάνεια του μυοκαρδίου αποτελείται από το εσωτερικό πέταλο του περικαρδίου το επικάρδιο, [26], [57]. Στον καρδιακό κύκλο υπάρχουν δύο κύριες φάσεις, Σχήμα 1.6. Η φάση της συστολής, όπου λαμβάνει χώρα η μυϊκή σύσπαση και η φάση της διαστολής, όπου η καρδιά αναπτύσσεται. Στην φάση της συστολής λαμβάνει χώρα η κολπική συστολή, όπου οι κολπικοί μύες συσπώνται ενώ οι κοιλίες είναι ακόμα χαλαρωμένες υπέρ-γεμισμένες και με τεντωμένους μύες. Ακολουθεί η ισομετρική σύσπαση, που εκδηλώνεται με την σύσπαση των μυών της κοιλίας, αύξηση της πίεσης και κλείσιμο των κολποκοιλιακών βαλβίδων. Καθώς συνεχίζεται η σύσπαση, η πίεση αυξάνει αρκετά, ώστε να ανοίξουν η αορτική και η πνευμονική βαλβίδα. Στην συνέχεια ακολουθεί η περίοδος της διαστολής και συγκεκριμένα η περίοδος της ισομετρικής χαλάρωσης, όπου και οι 4 βαλβίδες είναι κλειστές και γεμίζουν οι κόλποι, η περίοδος της ταχείας πλήρωσης της κοιλίας κατά την οποία οι κόλποι συνεχίζουν να γεμίζουν, η πίεση αυξάνει, ανοίγουν οι κολποκοιλιακές βαλβίδες και οι κοιλίες γεμίζουν, [57]. Τέλος, ακολουθεί η περίοδος διάστασης, όπου οι κόλποι και οι κοιλίες είναι γεμάτοι και έχει σταματήσει η εισροή αίματος, Σχήμα 1.6, [30]. Σχήμα 1.6 Καρδιακός κύκλος 25

26 Γενικά ο παλμός ενός ενηλίκου σε ανάπαυση κυμαίνεται από 60 με 100 χτύπους το λεπτό (από κάποιους γιατρούς θεωρούνται οι 90 χτύποι το λεπτό το υγιές όριο, όποτε μερικοί μπορεί να διαγνώσουν ταχυκαρδία σε ελαφρώς λιγότερο από 100 χτύπους το λεπτό). Το όριο του φυσιολογικού παλμού γενικά βασίζεται στην ηλικία του ατόμου. Ρυθμική ταχυκαρδία είναι η κατάσταση κατά την οποία οι σφίξεις υπερβαίνουν τις 100 ανά λεπτό, η δε προέλευσή της είναι το φυσιολογικό κέντρο της καρδιάς, ο φλεβόκομβος. Ο παλμός καθορίζεται από ηλεκτρικά σήματα που στέλνονται στον καρδιακό ιστό. Η ταχυκαρδία εμφανίζεται όταν μια ανωμαλία στη καρδιά παράγει ταχεία ηλεκτρικά σήματα, [26]. Όταν τα ηλεκτρικά σήματα φθάσουν στους μυς των κοιλιών, προσβάλλονται, προκαλώντας τους να αντλούν το αίμα, είτε προς τους πνεύμονες είτε στο υπόλοιπο του σώματος. Ταχυκαρδία συμβαίνει όταν ένα πρόβλημα σε ηλεκτρικά σήματα παράγει έναν κτύπο της καρδιάς που είναι γρηγορότερος από το κανονικό. Κοινοί τύποι ταχυκαρδία περιλαμβάνουν τα ακόλουθα: Η κολπική μαρμαρυγή είναι ένας ταχείς καρδιακός ρυθμός που προκαλείται από χαοτικά ηλεκτρικά σήματα στους κόλπους. Τα σήματα αυτά οδηγούν σε ταχεία, ασυντόνιστη, αδύναμη συστολή των κόλπων. Τα χαοτική ηλεκτρικά σήματα βομβαρδίζουν τον κόμβο AV, που συνήθως έχει ως αποτέλεσμα ακανόνιστο, γρήγορο ρυθμό των κοιλιών. Η κολπική μαρμαρυγή μπορεί να είναι προσωρινή, αλλά και μερικά επεισόδια δεν θα σταματήσει εάν δεν υφίσταται θεραπεία. Οι περισσότεροι άνθρωποι με κολπική μαρμαρυγή έχουν κάποιες δομικές ανωμαλίες της καρδιάς που σχετίζονται με συνθήκες, όπως καρδιακή νόσο ή υψηλή αρτηριακή πίεση. Άλλοι παράγοντες που μπορούν να συμβάλουν στην κολπική μαρμαρυγή περιλαμβάνουν διαταραχή καρδιακής βαλβίδας, υπερθυρεοειδισμό ή βαριά χρήση αλκοόλ. Ο κολπικός πτερυγισμός είναι ένας πολύ γρήγορος, αλλά ομαλός ρυθμός των κόλπων που προκαλείται από την ακανόνιστη κυκλοφορία μέσα στο κόλπο. Ο γρήγορος παλμός οδηγεί σε αδύναμες συσπάσεις των κόλπων. Τα ραγδαία σήματα που εισέρχονται στον κόμβο AV προκαλούν μια γρήγορη και μερικές φορές ακανόνιστη κοιλιακή συχνότητα. Επεισόδια κολπικού πτερυγισμού 26

27 μπορεί να βελτιωθούν από μόνα τους, ή η κατάσταση μπορεί να συνεχιστεί εάν δεν υφίσταται θεραπεία. Οι άνθρωποι που βιώνουν κολπικό πτερυγισμό συχνά βιώνουν και κολπική μαρμαρυγή σε άλλους χρόνους,[26]. Οι υπερκοιλιακές ταχυκαρδίες οι οποίες προέρχονται από κάπου πάνω από τις κοιλίες, προκαλούνται από την ανώμαλη κυκλοφορία στην καρδιά, που συνήθως υπάρχουν κατά τη γέννηση, η οποία δημιουργεί ένα βρόχο από επικαλυπτόμενα σήματα. Σε μία μορφή μια ανωμαλία στον κόμβο AV μπορεί να "μοιράσει" ένα ηλεκτρικό σήμα σε δύο, στέλνοντας ένα μήνυμα προς τις κοιλίες και άλλο πίσω στο κόλπο. Μια άλλη κοινή ανωμαλία είναι η παρουσία μιας επιπλέον ηλεκτρικής διαδρομής από τους κόλπους προς το κοιλίες που παρακάμπτει τον κολποκοιλιακό κόμβο. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε ένα σήμα πηγαίνει κάτω από μια διαδρομή και πάνω από μια άλλη. H κοιλιακή ταχυκαρδία είναι ένας ταχύς ρυθμός που προέρχεται με ανώμαλα ηλεκτρικά σήματα στις κοιλίες. Ο ταχείς ρυθμός δεν επιτρέπει στις κοιλίες να γεμίσουν και να συρρικνωθούν αποτελεσματικά για να αντλήσουν αρκετό αίμα προς το σώμα. Η κοιλιακή ταχυκαρδία είναι συχνά μια απειλητική για τη ζωή έκτακτης ιατρικής ανάγκης, [26]. Η κοιλιακή μαρμαρυγή συμβαίνει όταν ταχεία, χαοτικά ηλεκτρικά ερεθίσματα προκαλούν τις κοιλίες να τρέμουν αναποτελεσματικά αντί της άντλησης του αναγκαίου αίματος για το σώμα. Αυτό το σοβαρό πρόβλημα είναι μοιραίο αν η καρδιά δεν έχει αποκατασταθεί σε ένα κανονικό ρυθμό μέσα σε λίγα λεπτά. Οι περισσότεροι άνθρωποι που βιώνουν κοιλιακή μαρμαρυγή έχουν μια υποκείμενη καρδιακή νόσο ή έχουν βιώσει σοβαρό τραύμα, όπως να χτυπηθεί από κεραυνό, [26]. Η ταχυκαρδία μπορεί να προκληθεί από διάφορες αιτίες όπως καταστάσεις stress άθληση, άγχος, φόβος κλπ ή σοκ οιασδήποτε αιτιολογίας. Επίσης, συνθήκες ροής του αίματος μπορούν να επηρεάσουν όπως αναιμία η αιμορραγία. Ο πυρετός και ο πόνος είναι κάποιες επιπλέον αιτίες που προκαλούν ταχυκαρδία. Επιπλέον αιτίες μπορεί να είναι η καρδιακή ανεπάρκεια, η πνευμονική εμβολή, και ο υπερθυρεοειδισμός. Τέλος, 27

28 η λήψη ορισμένων φαρμάκων κυρίως αναπνευστικού: θεοφυλλίνη, σαλβουταμολη κλπ έχει θεωρηθεί σε πολλές περιπτώσεις υπεύθυνη. Σημειώνεται ότι το όριο των >100 σφυγμών/λεπτό ισχύει για ενήλικες. Αντιθέτως στα μικρά παιδιά και στα βρέφη η καρδιακή συχνότητα είναι ακόμη και υπό φυσιολογικές συνθήκες πολύ υψηλότερη >110 σφυγμών /λεπτό. Η διάγνωση γίνεται με την ψηλάφηση του σφυγμού. Ενέχει κινδύνους γιατί η εύρεση π.χ. 120 σφυγμών/λεπτό δεν σημαίνει ότι κατ ανάγκη η προέλευση της ταχυκαρδίας είναι ο φλεβοκόμβος. Η επιβεβαίωση γίνεται με το ηλεκτροκαρδιογράφημα, [26]. Όταν η καρδιά χτύπα υπερβολικά γρήγορα, αντλεί λιγότερο αποτελεσματικά και το αίμα που ρέει στο υπόλοιπο σώμα καθώς και στην καρδία είναι μειωμένο. Παλμοί υψηλότεροι του κανονικού σημαίνει ότι υπάρχει αύξηση στις αιτήσεις σε οξυγόνο του μυοκαρδίου, και αν επιμείνει μπορεί να οδηγήσει σε έμφραγμα του μυοκαρδίου (καρδιακή προσβολή), που προκαλείται από τον θάνατο κύτταρων του μυοκαρδίου από έλλειψη οξυγόνου. Μερικοί ασθενείς με ταχυκαρδία μπορεί να μην έχουν συμπτώματα ή επιπλοκές. Η ταχυκαρδία αυξάνει σημαντικά τον κίνδυνο εγκεφαλικού επεισοδίου, αιφνίδια καρδιακή ανακοπή ή θάνατο, [34]. 1.7 Που αποσκοπεί η παρούσα εργασία Στην παρούσα εργασία έγινε ανάλυση του φαινομένου της διάχυσης της ουσίας της χαμηλής πυκνότητας λιποπρωτεΐνης, LDL, και της μεταφοράς μάζας δια μέσω του αδιαπέρατου ενδοθηλιακού τοιχώματος για ασταθή ροή με δυο διαφορετικά προφίλ ταχύτητας αίματος σε κανονική ροή και σε ταχυκαρδία καθώς και o υπολογισμός της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης μέσης (Αverage Wall Shear Stress, AWSS), του δείκτη παλμικής διάτμησης (Oscillatory Shear Index, OSI) καθώς και του σχετικού χρόνου παραμονής Relative Residence Time (RRT) σε αρτηρίες με stent. Οι αντικειμενικοί σκοποί της παρούσας εργασίας είναι η αξιοποίηση των αριθμητικών αποτελεσμάτων για την κατανόηση της μεταφοράς της LDL. Επίσης, σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η σύγκριση των αποτελεσμάτων και η επίδραση της ταχυκαρδίας σε σχέση με τον κανονικό παλμό στην δημιουργία η μη αθηρωματικής πλάκας λόγω διαφοροποιήσεως της κατανομής της LDL. Η μελέτη σαφώς τέτοιων φαινομένων είναι αρκετά πολύπλοκη και ταυτόχρονα πολύ σημαντική. 28

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 LOW DENSITY LIPOPROTEINE ΚΑΙ STENT 2.1 Θεωρίες υπολογισμού κατανομήςldl Μεταφορά μάζας στο ενδοθήλιο Είδη προσομοιώσεων Η μεταφορά μάζας κατά μήκος των αρτηριών αποτέλεσε αντικείμενο για πλήθος μελετών τόσο πειραματικών όσο αναλυτικών και υπολογιστικών. Οι πειραματική ανάλυση του φαινομένου της μεταφοράς της μάζας είχε να αντιμετωπίσει διάφορων μορφών προκλήσεις όπως αυτό της εύρεσης και χρήσης κατάλληλων δοκιμίων ζωικής συνήθως προέλευσης (είναι συχνή η χρήση οργάνων τα οποία λαμβάνονται από χοιρίδια, κουνέλια, αρουραίους και σκύλους) για την διερεύνηση και διεξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με φαινόμενα τα οποία λαμβάνουν χώρα σε συνθήκες όπως είναι αυτές του εσωτερικού του ανθρώπινου σώματος. Επιπλέον, ήταν απαραίτητος ο έλεγχος των πολυάριθμων παραγόντων που επηρεάζουν τα διάφορα πειράματα και η λήψη μεγάλου αριθμού μετρήσεων προκειμένου να διασφαλιστεί η επιθυμητή ακρίβεια καθώς και η ασφάλεια και ο υπολογισμός πιθανών σφαλμάτων και επιπέδων εμπιστοσύνης των εν λόγω πειραματικών διαδικασιών. Η μαθηματική και αριθμητική προσομοίωση μπόρεσε να αντιμετωπίσει επιτυχώς κάποιες από αυτές τις προκλήσεις [57]. Υπάρχουν τρεις βασικές απαιτήσεις για την κατάστρωση κάποιου αριθμητικού μοντέλου σχετικά με την μεταφορά μάζας στο ενδοθήλιο: η όσο το δυνατόν πιο ακριβής περιγραφή της γεωμετρίας των εξεταζομένων αρτηριών, η επιτυχής κατάστρωση των εξισώσεων που διέπουν το φαινόμενο και 29

30 η επιλογή των κατάλληλων συνοριακών συνθηκών (choice of boundary conditions) Κατά περιόδους έχουν χρησιμοποιηθεί διαφόρων ειδών μοντέλα, τα οποία οι Prosi et al.[27] κατέταξαν σε τρεις βασικές κατηγορίες: μοντέλα ελεύθερου τοιχώματος (free-wall) μοντέλα ομογενούς τοιχώματος (homogeneous-wall) μοντέλα πολυστρωματικών τοιχωμάτων (multi-layer-wall) Μοντέλα ελευθέρου τοιχώματος (free-wall mondels) Tα πρώτα (μοντέλα ελεύθερου τοιχώματος), τα οποία αποτελούν την απλούστερη μέθοδο, εξετάζουν την κίνηση του αίματος στις αρτηρίες θεωρώντας τις οριακές συνθήκες σταθερές. Έτσι, οι τιμές των οριακών συνθηκών συνήθως λαμβάνονται από την βιβλιογραφία. Λόγου χάριν, η τοιχωματική ταχύτητα διείσδυσης (infiltration velocity ή συχνά αναφερόμενη σαν transmural velocity) V w, συχνά λαμβάνει σταθερή τιμή ίση με 4.0x10-8 m/s ή 0.6x10-8 m/s [28]. Αυτού του είδους τα μοντέλα, συνήθως χρησιμοποιούνται για την μελέτη της διάχυσης διαφόρων ουσιών όπως το οξυγόνο και η LDL. Τα μοντέλα αυτά δεν εξετάζουν την διακύμανση της συγκέντρωσης της LDL στο εσωτερικό του τοιχώματος [57]. Οι Wada και Karino [28] και οι Soulis J., Gianoglou G. et al [18] έκαναν χρήση μοντέλων σαν και αυτά για την μελέτη της μεταβολής της συγκέντρωσης της χαμηλής πυκνότητας λιποπρωτεΐνης στις αρτηρίες, οι πρώτοι κάνοντας χρήση απλοποιημένης γεωμετρίας ενώ οι δεύτεροι μιας πιο σύνθετης. Αμφότεροι θεώρησαν το τοίχωμα των αρτηριών άκαμπτο (μη ελαστικό) χρησιμοποιώντας δεδομένα από την βιβλιογραφία για τον προσδιορισμό των μεγεθών που εμπλέκονται στην μεταφορά μάζας στο ενδοθήλιο, το οποίο και θεώρησαν σαν το όριο της αρτηρίας. Κατά μήκος του τοιχώματος του ενδοθηλίου εφάρμοσαν την παρακάτω εξίσωση διατήρησης της μάζας: (2.1) 30

31 Όπου c w είναι η συγκέντρωση της χαμηλής πυκνότητας λιποπροτεΐνης (LDL) στοτοίχωμα του ενδοθηλίου, V w είναι η τοιχωματική ταχύτητα διείσδυσης, n είναι το κάθετο διάνυσμα στο τοίχωμα, D (diffusivity) είναι ο συντελεστής διάχυσης των μορίων της LDL στο αίμα και K (permeability coefficient ή effective permeabilityή apparent permeability) είναι ο συντελεστής μεταφοράς μάζας του τοιχώματος [57] Μοντέλα ομογενούς τοιχώματος (homogeneous-wall models) Στην περίπτωση των μοντέλων ομογενών τοιχωμάτων, τα τοιχώματα των αρτηριών λαμβάνουν μέρος στην μελέτη ενώ η εξέταση της συγκέντρωσης της χαμηλής πυκνότητας λιποπρωτεΐνης (LDL) συχνά δεν περιορίζεται στον υπολογισμό των συγκεντρώσεων κατά μήκος του τοιχώματος αλλά και στο εσωτερικό του. Το τοίχωμα σε αυτές τις περιπτώσεις θεωρείται αυστηρά ομογενές[57]. Οι Sun et al. [23] κάνοντας χρήση ενός μοντέλου ομογενούς τοιχώματος, μελέτησαν την επιρροή της διατμητικής τάσης στην μεταφορά της μάζας κατά μήκος αλλά και στο εσωτερικό μιας αρτηρίας που έχει υποστεί στένωση κάτω από συνθήκες σταθερής ροής. Στο αριθμητικό μοντέλο το οποίο έκαναν χρήση, ακολουθούσε την παρακάτω εξίσωση μεταφοράς της μάζας, γνωστή σαν εξίσωση κίνησης-διάχυσηςαντίδρασης (advection-diffusion-reaction equation): (2.2) όπου c w είναι η συγκέντρωση της χαμηλής πυκνότητας λιποπροτεΐνης (LDL) στο τοίχωμα, D w (diffusivity) είναι ο συντελεστής διάχυσης των μορίων της LDL στο τοίχωμα, Κ 1 (solute lag coefficient) o συντελεστής διαπερατότητας και k w είναι ο συντελεστής αντίδρασης. Η αντίστοιχη εξίσωση διατήρησης της μάζας που χρησιμοποιήθηκε στο τοίχωμα ήταν η ακόλουθη : - (2.3) 31

32 όπου n w είναι το μοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια διάνυσμα και J s είναι η διαλυμένη ροή (solute flux) η οποία προκύπτει από τις εξισώσεις των Kedem και Katchalsky [29]: (2.4) (2.5) όπου J v είναι η τοιχωματική ταχύτητα διείσδυσης (transmural velocity), L p η εξαρτημένη από την διατμητική τάση υδραυλική αγωγιμότητα (shear-depended hydraulic conductivity) του ενδοθηλίου, J s η ροή της διαλυμένης ουσίας (soluteflux), K end είναι η διαπερατότητα του τοιχώματος (permeability), c η μέση συγκέντρωση του ενδοθηλίου Δp είναι η διαφορά πίεσης μεταξύ του εσωτερικού και του εξωτερικού του ενδοθηλίου (pressure differential), Δc είναι η αντίστοιχη διαφορά συγκέντρωσης (solute concentration difference), Δπ είναι η αντίστοιχη διαφορά της οσμοτικής πίεσης επί του ενδοθηλίου (osmotic pressure difference), σ d είναι o συντελεστής όσμωσης (osmotic reflection coefficient, συχνά απαντημένος και ως Staveman osmotic reflection coefficient ) και σ f o συντελεστής διάλυσης (solvent reflection coefficient, συχνά απαντημένος και ως Staveman solvent reflection coefficient) [57]. Ο Curry [5] έχει δείξει ότι οι συντελεστές όσμωσης και διάλυσης του Staveman μπορούν να υπολογιστούν σε ένα ιστό κάνοντας χρήση της παρακάτω εξισώσεως: (2.6) όπου φ f είναι ο συντελεστής τοιχώματος (partition coefficient) ο οποίος εξαρτάται από την κατανομή του χώρου ο οποίος είναι διαθέσιμος για ένα συγκεκριμένο μόριο ώστε να είναι δυνατό να διαπεράσει μια απείρου μήκους, άκαμπτη ίνα και η οποία ικανοποιεί την κατανομή Poisson. 32

33 2.1.4 Μοντέλα πολυστρωματικών τοιχωμάτων (multi-layer-wall models) Τα μοντέλα πολυστρωματικών τοιχωμάτων αποτελούν ίσως την πληρέστερη και πιο ρεαλιστική μέθοδο προσομοίωσης της μεταφοράς της μάζας σε αρτηρίες. Σε αυτά το τοίχωμα της αρτηρίας αποτελείται από έναν αριθμό ετερογενών στρωμάτων διαφορετικού πορώδους το καθένα όπως είναι το ενδοθήλιο, το εσωτερικό κάλυμμα της αρτηρίας (intima), το εσωτερικό στρώμα του αιμοφόρου αγγείου (media) κ.τ.λ., δίνοντας έτσι την δυνατότητα μελέτης της συνεισφοράς της κάθε στρώσης του τοιχώματος στην μεταφορά μάζας της χαμηλής πυκνότητας λιποπρωτεΐνης κατά μήκος της αρτηρίας [57]. Οι Karner και Perktold [30] μελέτησαν την επιρροή της πίεσης του αίματος και της βλάβης της στιβάδας του ενδοθηλίου στην μεταφορά μάζας και την συσσώρευση λευκώματος (albumin) στις αρτηρίες. Κατά την προσομοίωση τους, θεώρησαν μια σταθερή ροή αίματος και υπολόγισαν την ταχύτητα διήθησης (filtration velocity) μεταξύ των στιβάδων του τοιχώματος χρησιμοποιώντας τον νόμο του Darcy. Στο μοντέλο το τοίχωμα της αρτηρίας αποτελούνταν από τέσσερα στρώματα: το ενδοθήλιο (endothelium), το εσωτερικό κάλυμμα της αρτηρίας (intima), το εσωτερικό ελαστικό στρώμα (Internal Elastic Lamina, IEL) και το εσωτερικό στρώμα του αιμοφόρου αγγείου (media). Η ροή δια μέσω των πόρων του εσωτερικού καλύμματος της αρτηρίας (intima) και του εσωτερικού στρώματος του αιμοφόρου αγγείου (media) υπολογίστηκε με χρήση της εξίσωσης μεταγωγής θερμότητας-διάχυσης-αντίδρασης (convection-diffusion-reaction equation). Στην ανάλυση τους η μεταφορά μέσα στην αρτηρία (lumen), στο εσωτερικό κάλυμμα (intima), και στο εσωτερικό στρώμα του αιμοφόρου αγγείου (media) είναι εξαρτώμενη από αυτή κατά μήκος του ενδοθηλίου και του εσωτερικού ελαστικού στρώματος (IEL) των οποίων ο υπολογισμός της μεταφοράς μάζας έγινε με χρήση των εξισώσεων Staveman-Kedem-Katchalsky : (2.7) - (2.8) όπου V είναι η ταχύτητα διείσδυσης δια μέσου της μεμβράνης (στρώματος), K' η διαπερατότητα του τοιχώματος ανά μονάδα μήκους, μ το (δυναμικό) ιξώδες (dynamic viscocity), Ν s '' η απόλυτη μεταφορά μορίων δια μέσω της μεμβράνης, D e ' η ενεργός 33

34 διάχυση ανά μονάδα μήκους, η μέση συγκέντρωση πάνω στην μεμβράνη Δp είναι η διαφορά πίεσης μεταξύ του εσωτερικού και του εξωτερικού της μεμβράνης, Δc είναι η αντίστοιχη διαφορά συγκέντρωσης, Δπ είναι η αντίστοιχη διαφορά της οσμωτικής πίεσης, σ d είναι o συντελεστής όσμωσης και σ f o συντελεστής διείσδυσης [30]. Παρόλο που οι εξισώσεις Staveman-Kedem-Katchalsky βρήκαν μεγάλη εφαρμογή σε πολλά ομοιώματα πολυστωματικών τοιχωμάτων έχουν τα ακόλουθα ελαττώματα κατά την εφαρμογή τους [30]: παράγονται βασισμένες σε ψευδο-σταθερές συνθήκες ροής (pseudosteady conditions) οι οποίες έρχονται σε σύγκρουση με τις πραγματικές συνθήκες ροής δια μέσω του ενδοθηλίου και του εσωτερικού ελαστικού στρώματος. δεν λαμβάνουν υπ όψιν την οριακές συνθήκες της ροής δια μέσου των μεμβρανών κάτι που οδηγεί σε λάθος συμπεράσματα σε περιπτώσεις μελέτης της ροής κοντά στα όρια της διαπερατής μεμβράνης (στρώμα). Αντίστοιχα, οι Prosi et al [27] κατάστρωσαν ένα μοντέλο μεταφοράς μάζας της LDL κατά μήκος μιας αρτηρίας της οποίας το τοίχωμα αποτελούνταν από το ενδοθήλιο (endothelium), το εσωτερικό κάλυμμα της αρτηρίας (intima), το εσωτερικό ελαστικό στρώμα (internal elastic lamina, IEL) και το το εσωτερικό στρώμα του αιμοφόρου αγγείου (media). Για τον υπολογισμό της μεταφοράς μάζας κατά μήκος των στρωμάτων χρησιμοποίησαν τον νόμο του Darcy σε συνδυασμό με την παρακάτω εξίσωση: (2.9) όπου c η συγκέντρωση της LDL, D e η ενεργός διάχυση της LDL κατά μήκος του στρώματος, γ h ο συντελεστής παρεμπόδισης της μεταφοράς (hindrance coefficient), ε το πορώδες του μέσου και k ο συντελεστής βαθμού αντίδρασης (reaction rate coefficient). Τα δεδομένα που εισήγαγαν στις εξισώσεις τα έλαβαν τόσο από την βιβλιογραφία όσο από ένα ηλεκτρικό ανάλογο του φαινομένου. Τέλος, οι Yang και 34

35 Vafai [31] χρησιμοποίησαν ένα μοντέλο στο οποίο κάθε στρώση θεωρήθηκε μακροσκοπικά ομογενής, Σχήμα 5.1. Λύνοντας τις εξισώσεις Navier-Stokes για ασταθή ροή καθώς και την εξίσωση κίνησης-διάχυσης-αντίδρασης (advectiondiffusion-reaction equation) υπολόγισαν την κατανομή της συγκέντρωσης κατά μήκος της αρτηρίας. Για την μεταφορά μάζας δια μέσω του ενδοθηλίου και του εσωτερικού ελαστικού στρώματος χρησιμοποίησαν τις ακόλουθες εξισώσεις: (2.10) (2.11) όπου ρ f είναι πυκνότητα (density) του ρευστού, ε το πορώδες (porosity) του μέσου, V το διάνυσμα της ταχύτητας, P η πίεση, μ το ιξώδες, μ e το ενεργό ιξώδες, Κ η διαπερατότητα του μέσου, R u η παγκόσμια σταθερά αερίων (universal gas constant), T η θερμοκρασία του μέσου, σ d o συντελεστής όσμωσης, σ f o συντελεστής διείσδυσης και D e η ενεργός διάχυση. Σε αυτές της εξισώσεις οι διορθώσεις λόγω όσμωσης και διήθησης, οι οποίες εκφράζονται μέσω των συντελεστών σ d και σ f αντίστοιχα, λαμβάνονται υπ όψιν [31],[57]. Σχήμα 2.1 Τομή τοιχώματος αρτηρίας πολλών στρωμάτων, Yang και Vafai [31] 35

36 Η μεταφορά μάζας δια μέσω του εσωτερικού καλύμματος της αρτηρίας (intima) και του εσωτερικού στρώματος του αιμοφόρου αγγείου (media) διέπεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: (2.12) (2.13) όπου ρ f είναι πυκνότητα του ρευστού, ε το πορώδες του μέσου, V το διάνυσμα της ταχύτητας, P η πίεση, μ e το ενεργό ιξώδες, μ ιξώδες, Κ η διαπερατότητα του μέσου, σ f o συντελεστής διείσδυσης, D e η ενεργός διάχυση και k ο ενεργός συντελεστής βαθμού αντίδρασης. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις δεν εμπεριέχουν την επιρροή της όσμωσης στην μεταφορά της μάζας δια μέσω των στρώσεων και αυτό γίνεται επειδή η κλήση της οσμωτικής πιέσεως είναι πολύ μικρότερη από την υδραυλική κλίση. Στο ίδιο μοντέλο, οι Yang και Vafai εφάρμοσαν τρεις διαφορετικές συνθήκες στο οριακό εξωτερικό στρώμα του εσωτερικού στρώματος του αιμοφόρου αγγείου (media): (2.14) όπου C 0 είναι η αρχική συγκέντρωση. Τέλος, στην κοινή επιφάνεια μεταξύ δύο στρώσεων χρησιμοποίησαν την ακόλουθη οριακή συνθήκη για τις συγκεντρώσεις οι οποία εξασφαλίζει την συνέχεια των αποτελεσμάτων: (2.15) Ο Πίνακας 2.1 δίνει μια συνοπτική παρουσίαση των οριακών συνθηκών που εφαρμόζονται σε κάθε περίπτωση προσομοίωσης [32] 36

37 Μοντέλο Διεπιφάνεια Οριακές Συνθήκες (Ο.Σ.) εφαρμογής Ροής Συγκέντρωσης Ο.Σ. Ελευθέρου Τέλοςαρτηρίας Ταχύτητα διείσδυσης Συνέχεια Μάζας: τοιχώματος (Wall-free) (luminal side boundary) σταθερή: V w =const. C Cw V w - D n wall J s Ομογενούς Εσωτερικό Ταχύτητα διείσδυσης Συνέχεια Μάζας: τοιχώματος (Homogeneous wall) όριο τοιχώματος (lumen-wall) σταθερή: V w =const. C Cw V w - D n wall J s Πλέον Μηδενική μεταβολή Μηδενική μεταβολή μάζας: Εξωτερικό όριο τοιχώματος (wall-adventia) ταχύτητας: V 0 n w c n w 0 Πολυστρωματικού Όλες οι Μηδενική μεταβολή Συνέχεια Μάζας: τοιχώματος (multi-layer-wall) διεπιφάνειες εκτός από την πλέον εξωτερική ταχύτητας: V 0 n w c ( 1 ) Vc D (1 ) Vc f e f n D e c n Πλέον Μηδενική μεταβολή Ομογενής Dirichlet: Εξωτερικό όριο τοιχώματος (μεδιαadventia) ταχύτητας: V 0 n w c C 0 0 Μη-ομογενής Dirichlet: c C Ομογενής Newmann: c n 0 Πίνακας 2.1 Συνοπτική παρουσίαση των συνοριακών συνθηκών που εφαρμόζονται σε κάθε περίπτωση προσομοίωσης [32] 37

38 2.1.5 Μεταφορά μάζας LDL και ενδοθήλιο Η παρούσα εργασία Στην παρούσα εργασία έγινε χρήση ενός μοντέλου στο οποίο το τοίχωμα αποτελείται από ένα ενδοθηλιακό στρώμα το οποίο θεωρήθηκε ενιαίο, ομογενές και άκαμπτο (free wall model). Το μοντέλο έχει βρει εφαρμογή τόσο από τους Wada και Karino [28] όσο και από τους Soulis J., Gianoglou G. et al [19]. Οι πρώτοι χρησιμοποίησαν το συγκεκριμένο μοντέλο για τον προσδιορισμό της συγκέντρωσης της LDL στο τοίχωμα του ενδοθηλίου κάνοντας χρήση απλοποιημένης γεωμετρίας ενώ οι δεύτεροι μιας πιο σύνθετης η οποία προερχόταν από πραγματική ανθρώπινη αρτηρία. Ο υπολογισμός της συγκέντρωσης της LDL έγινε με βάση την γενική εξίσωση ισοζυγίου μάζας για ασυμπίεστα ρευστά με σταθερές ιδιότητες: (2.16) όπου C (mg/ml) είναι η συγκέντρωση της LDL, Jείναι το διάνυσμα της ροής διάχυσης (diffusion flux) της LDL, η οποία λαμβάνει χώρα εξαιτίας της κλίσης της συγκέντρωσης και S s είναι ο γενικευμένος ρυθμός γένεσης μάζας. Το διάνυσμα της ροής διάχυσης υπολογίζεται βάσει της εξίσωσης: (2.17) όπου D (m 2 /s) είναι ο συντελεστής διάχυσης της LDL στο αίμα. Κατά την προσομοίωση, θεωρήθηκε ότι στον υποθετικό ημιδιαπερατών τοιχωμάτων αγωγό του μοντέλου γίνεται εισαγωγή ενός ρευστού (αίματος) με σταθερή συγκέντρωση αναφοράς LDL ίση με C 0 (1.3 mg/ml). Αντίστοιχα, στην έξοδο του αγωγού θεωρήθηκε η συνθήκη (zero flux, Newmann condition), όπου το κάθετο στην επιφάνεια της εξόδου του αγωγού διάνυσμα, η οποία ισοδυναμεί με την παραδοχή μηδενικής κλίσης συγκέντρωσης κατά μήκος της επιφάνειας εξόδου. Στο τοίχωμα της αρτηρίας εφαρμόστηκε η εξίσωση διατήρησης της μάζας στην διεπιφάνεια αίματος (ρευστού)-ενδοθηλίου (τοιχώματος): 38

39 (2.18) όπου C w (mg/ml) είναι η συγκέντρωση της LDL στο τοίχωμα, V w (m/s) (filtration velocity) η ταχύτητα διήθησης του ρευστού δια μέσω του τοιχώματος, n το κάθετο διάνυσμα στον τοίχωμα, D (m 2 /s) (diffusivity) ο συντελεστής διάχυσης των μορίων της LDL στο αίμα και K (m/s) (effective permeability) είναι ο συντελεστής μεταφοράς μάζας του τοιχώματος ή αλλιώς η φαινομενική ή ενεργός διαπερατότητα του τοιχώματος σε LDL[57]. Έτσι, από την Εξ συμπεραίνεται ότι η φαινομενική ή αλλιώς ενεργός διαπερατότητα του ενδοθηλιακού τοιχώματος σε LDL η οποία αντιπροσωπεύεται σε αυτήν με το γινόμενο KC w ισούται με την ποσότητα της LDL η οποία εξέρχεται μέσω των τοιχωμάτων από τον αγωγό (C w V w ) μείον την ποσότητα LDL που «επιστρέφει» στο εσωτερικό του και διαχέεται μέσα σε αυτόν. 2.2 Stents: Πλεονεκτήματα-μειονεκτήματα Τοποθέτηση stent, όπως η αγγειοπλαστική, είναι μια ελάχιστα επεμβατική εναλλακτική λύση για αορτοστεφανιαίας παράκαμψης bypass με μόσχευμα. Εξαιτίας αυτού, υπάρχει χαμηλότερος κίνδυνος επιπλοκών από ότι σε bypass με μόσχευμα. Ο ασθενής είναι συνήθως σε θέση να φύγει από το νοσοκομείο την επόμενη μέρα - σε πολύ μικρότερο από ό, τι ανάκαμψη μετά την επέμβαση bypass με μόσχευμα. Μετά από την τοποθέτηση stent, οι ασθενείς μπορούν συχνά να επιστρέψουν στις κανονικές τους δραστηριότητες γρήγορα [20],[50]. Επιπλέον, με την τοποθέτηση stent: δεν χρειάζεται μείζονα χειρουργική επέμβαση, οι περισσότεροι ασθενείς δεν απαιτούν γενική αναισθησία, σημαντικές επιπλοκές είναι σπάνιες. Παρά το γεγονός ότι οι μείζονες επιπλοκές είναι σπάνιες, η τοποθέτηση stent φέρει τους ίδιους κινδύνους όπως η αγγειοπλαστική μόνο για τη θεραπεία της στεφανιαίας νόσου. Το σημείο εισαγωγής του καθετήρα μπορεί να μολυνθεί ή να αιμορραγεί έντονα και κατά πάσα πιθανότητα θα είναι μελανιασμένο. Άλλες σπάνιες επιπλοκές 39

40 περιλαμβάνουν καρδιακή προσβολή, εγκεφαλικό επεισόδιο και αιφνίδιο καρδιακό θάνατο, αν και σε πολύ χαμηλότερο ποσοστό από CABG [50]. Ακόμη και με την τοποθέτηση stent, εξακολουθεί να είναι δυνατόν η στεφανιαία αρτηρία να εμφανίσει επαναστένωση. Με γυμνά - μεταλλικά stents, εμφανίζεται σε 15.0 % έως 30.0 % των ασθενών ( ανάλογα το stent ). Το ποσοστό αυτό είναι πολύ χαμηλότερο σε ασθενείς που τοποθετούνται stent που αποδεσμεύουν φάρμακα. Εάν παρουσιαστεί επαναστένωση, οι ασθενείς ενδέχεται να απαιτείται άλλη αγγειοπλαστική με μπαλόνι, (διαδικασία stent_, ή χειρουργική επέμβαση bypass [49], [20]. Αν και τα stents έχουν αποδειχθεί ότι είναι μια ασφαλής και αποτελεσματική θεραπεία η χρήση τους μπορεί, σε σπάνιες περιπτώσεις, να οδηγήσει σε αυτό που είναι γνωστό ως θρόμβωση του stent. Θρόμβωση του stent είναι ένας θρόμβος αίματος που εμφανίζεται μετά την εμφύτευση stent. Σε ένα μικρό ποσοστό των ασθενών με stent, τα κύτταρα του αίματος μπορεί να γίνουν κολλώδη και να συγκολλώνται για να σχηματίσουν μια μικρή μάζα ή θρόμβο. Όταν ένας θρόμβος αίματος συγκρατείται, μπορεί να μπλοκάρει την ελεύθερη ροή του αίματος μέσω μιας αρτηρίας και μπορεί να προκαλέσει καρδιακή προσβολή ή ακόμη και θάνατο. Θρόμβωση του stent μπορεί να συμβεί σε ασθενείς τόσο με stent γυμνού μετάλλου όσο και με stent που αποδεσμεύουν φάρμακα [50]. Κάθε φορά που ένα ξένο σώμα εισάγεται στο σύστημα υπάρχουν ορισμένες ιδιορρυθμίες. Ο αμυντικός μηχανισμός αποτυγχάνει να αναγνωρίσει ότι οι καρδιακές stents σε θέση να θεραπεύσει μια ασθένεια. Το προκύπτον οδηγεί σε υπερπαραγωγή του ιστού που σχηματίζει εξογκώματα γύρω από το stent, εμποδίζοντας τη ροή του αίματος. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται επαναστένωση. Για την πρόληψη της επαναστένωσης stents που εκλύουν φάρμακα χρησιμοποιούνται για να εμποδίζουν την ανάπτυξη των κυττάρων. Αυτά έχουν αποδειχθεί χρήσιμα σε κάποιο βαθμό [50]. Μια άλλη ανησυχία αποτελεί όταν το stent παρέχει θέση για να σχηματιστούν και να παραμείνουν θρόμβοι. Για να αντιμετωπιστεί αυτό στους ασθενείς stents χορηγείται θεραπεία με αντιπηκτικά. Ένα μειονέκτημα είναι ότι η επούλωση γίνεται δύσκολη. 40

41 Κλινικές μελέτες και εκθέσεις αυτοψίας περιγράφονται καθυστερημένη θρόμβωση στο stent που συμβαίνει μεταξύ μήνες μετά την εμφύτευση DES (drag eluting stents), που προκαλείται από: αντίδραση υπερευαισθησίας και καθυστερημένη επούλωση που πιθανώς σχετίζεται με το πολυμερές, το εκλυόμενο φάρμακο που δεν είναι ειδικευμένο για τα λεία - μυϊκά κύτταρα μπορεί να αποτρέψει ενδοθηλιωποίηση, η καθυστερημένη επούλωση χαρακτηρίζεται από επίμονη του ινώδους εναπόθεση μεταβλητή φλεγμονή και ελλιπή ενδοθηλιωποίηση [49], [50]. 2.3 Προηγούμενες εργασίες με LDL και Stent Υπάρχει αρκετή βιβλιογραφία γύρω από το θέμα των διατμητικών τάσεων που εμφανίζονται μέσα στο αρτηριακό σύστημα. Οι [38] μελέτησαν την επίδραση της ενδοθηλιακής τοιχωματικής τάσης στη εξέλιξης της στεφανιαίας νόσου σε φυσιολογικές αρτηρίες και σε αρτηρίες με stent. Οι περιοχές με χαμηλή ενδοθηλιακή τοιχωματική τάση αναπτύσσουν προοδευτικά αθηροσκλήρωση και αναδιαμόρφωση ενώ οι περιοχές με φυσιολογική ενδοθηλιακή τοιχωματική τάση παραμένουν σε ηρεμία. Η τεχνική μπορεί να βοηθήσει στη πρόβλεψη τον περιοχών που θα παρουσιάσουν εξέλιξη της αθηροσκλήρωσης. Αργότερα στην εργασία[39] μελετήθηκε η ασταθής ροή αίματος ως μη νευτώνειου ρευστού σε αρτηρίες που παρουσίαζαν συμμετρικά στένωση λαμβάνοντας υπ όψη την αλληλεπίδραση ρευστού-στερεού με τη βοήθεια του κώδικα ADINA. Χρησιμοποιήθηκε ένα ανισοτροπικό υπερελαστικό διστρωματικό μοντέλο για την μοντελοποίηση του αρτηριακού τοιχώματος. Η πίεση που χρησιμοποιήθηκε σαν οριακή συνθήκη στην έξοδο αποκτήθηκε με τη βοήθεια CFD προσομοιώσεων για κάθε στένωση με ρεαλιστική μεταβολή της πίεση εισόδου σε σχέση με τον χρόνο για διαφορετικές ταχύτητες. Η αποκτηθείσα πτώση πίεσης αυξάνει σε εκθετική μορφή με την ταχύτητα εισόδου για σταθερό βαθμό στένωσης. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι η μεγαλύτερη ταχύτητα και η τοιχωματική διατμητική τάση στη στένωση αυξάνουν με εκθετικό βαθμό με τον βαθμό της στένωσης. 41

42 Στη εργασία [40] περιγράφεται η τεχνική δυο stent με έκλυση φάρμακου. Μια τοιχωματική διατμητική τάση που μειώνεται ελαφρά και παραμένει ομογενώς χαμηλή είναι μια πρωταρχική συνθήκη για να αποφευχθεί η επαναστένωση. Μια χαμηλή τοιχωματική διατμητική τάση που μειώνεται μετά τη στεφανιαία παρέμβαση και επανέρχεται γύρω στο επίπεδο αναφορά της είναι οι συνθήκη για επαναστένωση. Στη εργασία [41] έγινε μελέτη της σχέσης της τοιχωματικής διατμητικής τάσης και συνεπώς και της κατανομής της λιποπρωτείνης χαμηλής πυκνότητας (LDL) ως δείκτες της απόδοσης ενός stent. Μια τυπική αρτηρία διαμέτρου 6.0 mm χρησιμοποιήθηκε για να δείξει την τοιχωματική διατμητική τάση και την μεταφορά τη LDL σε σταθερές συνθήκες ροής θεωρώντας το αίμα μη νευτώνειο ρευστό. Η κατασκευή του stent εισέρχεται στην αρτηρία κατά 50.0 %. Έμφαση δίνεται στη κατανομή της LDL στις περιοχές ανοδικής και καθοδικής ροής σε κάθε τομή του υποστηρίγματος. Μειωμένες τιμές τοιχωματικής διατμητικής τάσης παρατηρήθηκαν στα ανάντη. Στα σημεία τομής, υψηλές τιμές τοιχωματικής διατρητικής τάσης παρατηρήθηκαν προκαλώντας πιθανώς ενεργοποίηση της πλάκας. Επιρρεπείς στη δημιουργία πλάκας είναι οι περιοχές που βρίσκονται σε συγκεκριμένα σημεία της κατασκευής (ως επί το πλείστον στην περιοχή των καμπύλων αντηρίδων) όπου παρατηρείται αυξημένη συγκέντρωση LDL. Η μεγαλύτερη τιμή συγκέντρωσης της LDL σε αρτηρία με stent φτάνει το 3.8 % υψηλότερη από ότι στην είσοδο. Η συγκέντρωση στα ανάντη σε οποιαδήποτε περιοχή του stent ήταν υψηλότερη από ό, τι πλησίον του stent. Στην εργασία [42] μελετήθηκαν δυο συγκεκριμένα αρτηριακά συστήματα ασθενών και εξετάστηκαν οι παράμετροι AWSS (average wall shear stress), AWSSV (average wall shear stress vector), OSI (oscillatory shear index), RRT (relative residence time) σε σχέση με την κατανομή LDL. Όλοι οι υπό εξέταση παράμετροι είναι ικανοί να δείξουν τις περιοχές του αρτηριακού συστήματος των ασθενών που είναι επιρρεπείς στο να αναπτύξουν αθηροσκλήρωση. Οι τοπικές διαφορές μεταξύ των AWSS, AWSSV, OSI και RRT μπορούν να δώσουν απάντηση στο που οι αθηρωματικές βλάβες κατά κύριο λόγο αναπτύσσονται και εξελίσσονται σε συγκεκριμένες αρτηριακές περιοχές. Η αυλική συγκέντρωση της LDL στα αρτηριακά τοιχώματα εξαρτάται από τη ροή με τοπικές διαφοροποιήσεις λόγο των γεωμετρικών χαρακτηριστικών. Περιοχές με υψηλή συγκέντρωση LDL εμφανίζονται παντού. Είναι 42

43 η διαπερατότητα του ενδοθηλίου που κυρίως καθορίζει το τελικό ποσό που περνάει μέσα από το τοίχωμα. Η LDL είναι αυξημένη σε περιοχές όπου η AWSS είναι χαμηλή και ο OSI καθώς και ο RRT είναι υψηλοί. Παρ όλα αυτά οι περιοχές υψηλού RRT υψηλού OSI και χαμηλού AWSSV δεν συμπίπτουν. Υψηλό AWSS συναντάται στα κυρτά μέρη του αρτηριακού συστήματος ροής. Το χαμηλό AWSS συναντάται στα κοίλα μέρη του αρτηριακού συστήματος ροής. Η ανάπτυξη μοντέλου πολλαπλών κλιμάκων, συνδυάζοντας προσεγγίσεις συνέχειας για μάκρο και μέσο κλίμακας ιδιότητες ροής του αίματος και προσεγγίσεις ασυνεχούς για αναλυτική συμπεριφορά του ενδοθηλίου σε μίκρο και νάνο κλίμακα θα οδηγήσει σε μεγάλα οφέλη όσον αφορά τις κλινικές εφαρμογές. 43

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΤΩΝ ΑΓΓΕΙΩΝ 3.1 Παραδοχές Στην παρούσα εργασία για την υπολογιστική ανάλυση της ροής του αίματος στις γεωμετρίες του συνολικού αορτικού αγγειακού συστήματος και στην γεωμετρία αορτικού τόξου χρησιμοποιήθηκαν οι εξισώσεις ροής των Navier-Stokes που ελέγχουν τη ροή. Οι εξισώσεις αυτές αναφέρονται στη διατήρηση της μάζας και των ορμών σε στρωτή ροή. Ακολούθως, καθορίστηκαν οι οριακές συνθήκες που διέπουν τη ροή [3] και [6]. Συγκεκριμένα, οι εξισώσεις Navier-Stokes επιλύθηκαν με τις ακόλουθες παραδοχές: η ροή είναι τρισδιάστατη, στρωτή, σταθερή,και ασυμπίεστη, τα αρτηριακά τοιχώματα θεωρήθηκαν ότι είναι ανελαστικά και ημιδιαπερατά, το ρευστό (αίμα) έχει τις ιδιότητες μη-νευτώνειου ρευστού. 3.2 Εξισώσεις ροής Για την επίλυση των προβλημάτων της Υπολογιστικής Μηχανικής των ρευστών ανεξαρτήτως είδους ροής αλλά και γενικότερα την Μηχανικής των Ρευστών απαιτείται η ταυτόχρονη ικανοποίηση των τριών εξισώσεων της Δυναμικής των Ρευστών: 44

45 της αρχής διατήρησης της μάζας, της αρχής διατήρησης της ορμής, της αρχής διατήρησης της ενέργειας Η εξίσωση ισοζυγίου μάζας για ασυμπίεστα ρευστά με σταθερές ιδιότητες: (3.1) όπου C (mg/ml) είναι η συγκέντρωση της LDL, J είναι το διάνυσμα της ροής διάχυσης (diffusion flux) της LDL, η οποία λαμβάνει χώρα εξαιτίας της κλίσης της συγκέντρωσης και S s είναι ο γενικευμένος ρυθμός γένεσης μάζας[3], [6] και [13]. Ενώ η διατήρηση των ορμών στην i διεύθυνση υπολογίζετε ως: (3.2) και όμοια για την άλλη διεύθυνση. Εδώ, p είναι η στατική πίεση, τ ij είναι ο τανυστής των διατμητικών τάσεων, ρg i και F i είναι οι δυνάμεις βαρύτητας και εξωτερικές δυνάμεις. Η ανωτέρω εξίσωση περιγράφει την εξίσωση της διατήρησης της ορμής στη γενικότητά της. Το διάνυσμα της ροής διάχυσης υπολογίζεται βάσει της εξίσωσης: (3.3) όπου D (m 2 /s) είναι ο συντελεστής διάχυσης της LDL στο αίμα. Κατά την προσομοίωση, θεωρήθηκε ότι στον υποθετικό ημιδιαπερατών τοιχωμάτων αγωγό του μοντέλου γίνεται εισαγωγή ενός ρευστού (αίματος) με σταθερή συγκέντρωση αναφοράς LDL ίση με C 0 (1.3 mg/ml). Αντίστοιχα, στην έξοδο του αγωγού θεωρήθηκε η συνθήκη (zero flux, Newmann condition), όπου το κάθετο στην επιφάνεια της εξόδου του αγωγού διάνυσμα, η οποία ισοδυναμεί με την 45

46 παραδοχή μηδενικής κλίσης συγκέντρωσης κατά μήκος της επιφάνειας εξόδου[3], [6] και [13]. Εστιάζοντας στο αντικείμενο της Καρδιαγγειακής Μηχανικής, θα καταγραφούν οι εξισώσεις ροής που χρησιμοποιούνται για την επίλυση του καρδιαγγειακού προβλήματος και συγκεκριμένα οι εξισώσεις ροής εντός του αυλού των αγγείων καθώς και εντός του τοιχώματος των αγγείων Εξισώσεις ροής εντός του αυλού των αγγείων Θεωρώντας το ρευστό ασυμπίεστο και μη-νευτώνειο, η Μηχανική των Ρευστών στον αυλό των αγγείων διέπεται από τις εξισώσεις Navier-Stokes και την εξίσωση συνέχειας. Οι τρεις συνιστώσες λοιπόν της εξισώσεως αυτής στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι, (3.1) (3.2) (3.3) Θεωρώντας τη βαρύτητα g μηδέν και την ταχύτητα σταθερή στον χρόνο ( μορφή, ), τότε οι τρεις παραπάνω συνιστώσες λαμβάνουν την παρακάτω (3.4) (3.5) (3.6) Επομένως, στη γενική μορφή οι παραπάνω τρεις εξισώσεις μπορούν να γραφούν, (3.7) 46

47 όπου είναι διανυσματικός διαφορικός τελεστής, Δ είναι ο τελεστής Laplace δηλαδή η απόκλιση της βαθμίδας του βαθμωτού πεδίου και όπου Τ ο είναι η θερμοκρασία αναφοράς και λαμβάνει την τιμή ο K, Τ η τοπική θερμοκρασία, k ο συντελεστής συνοχής (consistency index) που λαμβάνει την τιμή kgs /m, n (power-law index)ο συντελεστής που λαμβάνει την τιμή 0.7 και. Η ροή του αίματος εντός του αυλού διέπεται και από την εξίσωση της συνέχειας, (3.8) Επειδή η πυκνότητα παραμένει σταθερή σε κάθε θέση της γεωμετρίας αλλά και στο χρόνο, θα είναι, dρ/dt=0, dρ/dx=0, dρ/dy=0, dρ/dz=0. Συνεπώς η Εξ. 3.8 λαμβάνει τη μορφή[3],[6] και [13], (3.9) ή με τη μορφή του διανυσματικού διαφορικού τελεστή, (3.10) Εξισώσεις ροής εντός του τοιχώματος των αγγείων Το τοίχωμα λαμβάνεται ως ένα ομοιογενές υλικό με συγκεκριμένο πορώδες (διαπερατότητα) ή ως ανομοιογενές υλικό που αποτελείται από τέσσερα στρώματα (intima, endothelium, Iel και media) που το κάθε ένα έχει το δικό του πορώδες. Για την περιγραφή της ροής του αίματος διαμέσου του πορώδους μέσου, ο πιο κατάλληλος νόμος της Φυσικής είναι ο νόμος Darcy. Επομένως, το διάνυσμα της ταχύτητας μέσα στο αρτηριακό τοίχωμα λαμβάνεται από το νόμο αυτό σύμφωνα με, (3.11) 47

48 όπου k p, μ p και p w είναι η ειδική διαπερατότητα k p του αρτηριακού τοιχώματος (o δείκτης w δηλώνει το τοίχωμα, wall), το μοριακό ιξώδες μ p του αίματος και η πίεση p w στο αρτηριακό τοίχωμα, αντίστοιχα. Το μοριακό ιξώδες και η πυκνότητα λαμβάνουν τις τιμές μ= Pas και ρ= kg/m 3 για το αίμα καθώς και μ p =0.001 Pas και ρ p = kg/m 3 για το πλάσμα αίματος, [13]. Ο γενικός τύπος της εξισώσεως του νόμου Darcy, Σχήμα 3.1, είναι, (3.12) όπου K είναι η διαπερατότητα του μέσου, μ το ιξώδες, Α το εμβαδό της διατομής, είναι η πτώση πίεσης, L το μήκος στο οποίο η πτώση πίεσης λαμβάνει μέρος και Q η παροχή. Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι το ρευστό ρέει από τις περιοχές με υψηλή πίεση προς περιοχές με χαμηλή πίεση. Σχήμα 3.1 Νόμος Darcy, [111] Η παραπάνω εξίσωση γράφεται, (3.13) όπου είναι η ειδική παροχή (m/s). Η ροή του αίματος εντός του τοιχώματος διέπεται και από την εξίσωση συνέχειας, (3.14) 48

49 Επειδή η πυκνότητα παραμένει σταθερή σε κάθε θέση της γεωμετρίας αλλά και στο χρόνο η ανωτέρω εξίσωση λαμβάνει τη μορφή, (3.15) ή με τη μορφή του διανυσματικού διαφορικού τελεστή, (3.16) 3.3 Εξισώσεις μεταφοράς μάζας Κατά την διάρκεια των διεργασιών μεταφοράς μάζας, η LDL μεταφέρεται από περιοχές όπου έχει υψηλή συγκέντρωση σε περιοχές όπου έχει χαμηλή συγκέντρωση. Συνεπώς, το αίτιο μεταφοράς μάζας ενός συστατικού είναι η μεταβολή της συγκέντρωσης του κατά την διεύθυνση μεταφοράς κατά πλήρη αντιστοιχία με τα γνωστά φαινόμενα μεταφοράς ενέργειας όπου το αίτιο μεταφοράς είναι η μεταβολή θερμοκρασίας κατά την διεύθυνση μεταφοράς, [13]. Ο ανωτέρω μηχανισμός μεταφοράς μάζας ονομάζεται διάχυση μάζας και δεν αποτελεί τον μοναδικό τρόπο μεταφοράς μάζας, γιατί τα μόρια της LDL μεταφέρονται και εξαιτίας της ροής του αίματος. Αυτός ο μηχανισμός μεταφοράς μάζας που έχει ως αίτιο τη ροή και όχι τη μεταβολή της συγκέντρωσης ονομάζεται μεταφορά μάζας. Άρα η LDL μεταφέρεται με διάχυση και μεταφορά Εξισώσεις μεταφοράς μάζας εντός του αυλού των αγγείων Η μεταφορά μάζας της LDL μέσα στον αυλό προκύπτει από τη γενική εξίσωση, Σχήμα 3.2, μεταφοράς-διάχυσης, (3.17) όπου C η συγκέντρωση, D ο συντελεστής διάχυσης, R=0 όταν δεν υπάρχουν ούτε πηγές ούτε καταβόθρες εντός του χώρου ροής και, όταν η κατάσταση είναι σταθερή[3], [6] και [13]. Άρα, 49

50 (3.18) Σχήμα 3.2 Σχηματική αναπαράσταση ενός όγκου ελέγχου, [51] Η παραγωγή της εξισώσεως μεταφοράς-διάχυσης στηρίζεται στην αρχή της επαλληλίας, [16]. Η μεταφορά και η διάχυση μπορούν να προστεθούν μαζί αν είναι ανεξάρτητα. Η μόνη περίπτωση που μπορεί να εξαρτώνται είναι εάν η μία διεργασία ανατροφοδοτεί την άλλη. Η διάχυση είναι μία τυχαία διαδικασία λόγω της μοριακής κίνησης. Η συνολική ροή στη x διεύθυνση J x είναι, (3.19) Χρησιμοποιώντας αυτό το νόμο ροής και τη διατήρηση της μάζας εξάγεται η εξίσωση μεταφοράς διάχυσης στην γενική της μορφή, ή (3.20) (3.21) που είναι η επιθυμητή εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης. Και επειδή, όταν η κατάσταση είναι σταθερής ροής, 50

51 (3.22) Εξισώσεις μεταφοράς μάζας εντός του τοιχώματος των αγγείων Η μεταφορά μάζας της LDL μέσα στο αρτηριακό τοίχωμα προκύπτει από την εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης. Είναι μία σύνθετη εξίσωση η οποία συνδυάζει τη μεταφορά μάζας και τη διάχυση μάζας. Η διάχυση αναφέρεται στη μετακίνηση της LDL από περιοχές υψηλής συγκέντρωσης σε περιοχές χαμηλής συγκέντρωσης. Η χημική αντίδραση εάν υπάρχει αναφέρεται στη διαδικασία που έχει ως αποτέλεσμα την αλληλομετατροπή των χημικών ουσιών. Επομένως, η εξίσωση μεταφοράςδιάχυσης-αντίδρασης περιγράφει πως η κατανομή της συγκέντρωσης της LDL στο τοίχωμα αλλάζει λόγω της επιρροής των τριών αυτών διεργασιών[13] και [16]. H εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης-αντίδρασης γράφεται: (3.23) όπου f(r,t) η χημική αντίδραση, εάν υπάρχει, αναφέρεται στη διαδικασία που έχει ως αποτέλεσμα την αλληλομετατροπή των χημικών ουσιών. Αν η ροή είναι σταθερή τότε και η παραπάνω εξίσωση γράφεται, (3.24) Σύμφωνα με τις αναφορές [24], [13], [21] και [22] η τελευταία εξίσωση χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της κατανομής της συγκεντρώσεως της LDL στο αρτηριακό τοίχωμα αλλά με μία μικρή αλλαγή όπως παρουσιάζεται παρακάτω. (3.25) Όπου V w, C w (o δείκτης w δηλώνει το τοίχωμα, wall) είναι η ταχύτητα της LDL μέσα στο τοίχωμα και η συγκέντρωση της LDL μέσα σε αυτό αντίστοιχα, ο συντελεστής K lag λαμβάνει την τιμή για διαφορά πίεσης 70.0 mm Hg και 1.05 για διαφορά πίεσης mm Hg, [62], ο συντελεστής D w λαμβάνει την τιμή 8.0x10-13 m 2 /s και ο συντελεστής r w λαμβάνει ένα εύρος τιμών, [22]. 51

52 3.4 Παραδοχές Για την υπολογιστική ανάλυση της ροής του αίματος εντός του αυλού χρησιμοποιήθηκαν οι εξισώσεις Navier-Stokes και η εξίσωση συνέχειας ενώ για την υπολογιστική ανάλυση της ροής εντός του τοιχώματος των αγγείων χρησιμοποιήθηκε η εξίσωση Darcy όπως αναλύθηκε διεξοδικά στις προηγούμενες παραγράφους. Όσον αφορά στη μεταφορά μάζας της LDL, η εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της συγκεντρώσεως της LDLστον αυλό ενώ η εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης-αντίδρασης χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της συγκεντρώσεως της LDL στο τοίχωμα. Οι παραδοχές μπορούν να διαχωριστούν σε δύο κατηγορίες ανάλογα με την περιοχή στην οποία εφαρμόζονται οι αντίστοιχες εξισώσεις. Η πρώτη κατηγορία περιλαμβάνει τις παραδοχές για τη ροή εντός του αυλού των αγγείων και η δεύτερη κατηγορία τις παραδοχές για τη ροή εντός του τοιχώματος των αγγείων Παραδοχές για τη ροή εντός του αυλού των αγγείων Για την επίλυση των εξισώσεων ροής που λαμβάνουν μέρος εντός του αυλού των αγγείων γίνονται κάποιες παραδοχές, Η πρώτη αφορά την ομαλότητα της ροής που σημαίνει ότι το αίμα ρέει σε παράλληλες γραμμές προς τον άξονα του αγγείου δίνοντας έτσι την εικόνα της ομαλής ή στρωτής ροής. Μέχρι πρόσφατα στη διεθνή αρθρογραφία οι εξισώσεις NavierStokes επιλύονται θεωρώντας το αίμα Νευτώνειο, λαμβάνοντας δηλαδή το μοριακό ιξώδες σταθερό. Ωστόσο στην παρούσα εργασία, το αίμα λαμβάνεται ως μη Νευτώνειο ή γενικευμένο Νευτώνειο ρευστό που σημαίνει ότι το φαινόμενο μοριακό ιξώδες δεν είναι πλέον σταθερό αλλά συνάρτηση του ρυθμού διάτμησης γ της μεταβολής δηλ. της ταχύτητας με την απόσταση. Με τον τρόπο αυτό πραγματοποιείται υπολογιστική ανάλυση της ροής με ρεαλιστικό τρόπο[58]. 52

53 Tο πεδίο ροής είναι τρισδιάστατο και επομένως οι συνιστώσες, στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, που ορίζουν την εξίσωση Navier-Stokes είναι τρεις. Χρησιμοποιώντας 2D περιγραφή θα ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί η μοντελοποίηση των υπό εξέταση γεωμετριών και εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων[58]. Η ροή λαμβάνεται ασυμπίεστη το αίμα δηλ. λόγω της πυκνότητας των μορίων του και επομένως των μικρών αποστάσεων μεταξύ τους, δε μεταβάλλει τον όγκο του όταν ασκηθεί σε αυτό μεγάλη πίεση[58]. Η παλμική ροή ασκεί πίεση στο ενδοθήλιο με διαφορετική τιμή κάθε φορά. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την κίνηση του αρτηριακού τοιχώματος. Στην τρέχουσα έρευνα το αρτηριακό τοίχωμα λαμβάνεται σταθερό (δεν μετακινείται σε κανέναν άξονα) ανεξάρτητα από την πίεση που ασκείται σε αυτό. Η θεώρηση αυτή διευκολύνει την υπολογιστική ανάλυση δεδομένου ότι η έρευνα εστιάζει στην κατανομή της συγκεντρώσεως της LDL μέσα στο τοίχωμα και όχι στη παραμόρφωση του τοιχώματος. Επομένως, τα αποτελέσματα δεν αλλοιώνονται[58]. Τέλος η ροή υπολογίζεται είτε ως σταθερή είτε ως ασταθής (παλμική). Στη σταθερή ή μόνιμη ροή οι μεταβλητές της σε ένα σημείο είναι ανεξάρτητες από το χρόνο ( ) ενώ στην αντίθετη περίπτωση ( ) η ροή είναι ασταθής ή μη-μόνιμη [58] Παραδοχές για τη ροή εντός του τοιχώματος των αγγείων Οι παραδοχές για τη ροή εντός του τοιχώματος των αγγείων δεν διαφέρουν από τις αντίστοιχες παραδοχές για τη ροή εντός του αυλού των αγγείων. Αντιθέτως, για την επίλυση των εξισώσεων ροής που λαμβάνουν μέρος στο αρτηριακό τοίχωμα πρέπει να προστεθούν και κάποιες παραδοχές ακόμα, Η αρχή του ασυμπίεστου επιβάλλει το υλικό να διατηρεί το συνολικό του όγκο κάτω από όλες τις πιθανές συνθήκες φόρτισης και επακόλουθης παραμόρφωσης. Αυτό δεν είναι απολύτως ρεαλιστικό για το αρτηριακό τοίχωμα, διότι παραμορφώνεται (είτε συμπιέζεται είτε διογκώνεται) λόγω των πιέσεων που ασκούνται στο ενδοθήλιο. Το 53

54 τοίχωμα εξετάζεται και με μεταβλητό πάχος, όπως ακριβώς προκύπτει από την ανακατασκευή της γεωμετρίας ασθενών, συγκρίνοντας με τον τρόπο αυτό τα αποτελέσματα και εξάγοντας τα ανάλογα συμπεράσματα[58] και [13]. Η συμπεριφορά του αρτηριακού τοιχώματος είναι ανελαστική. Τα περισσότερα βιολογικά υλικά είναι εν γένει ιξωελαστικά[58][13]. Εμφανίζουν δηλαδή φαινόμενα όπως, υστέρηση, δηλαδή συμπεριφέρονται διαφορετικά κατά τη φόρτιση και την αποφόρτιση, χαλάρωση, δηλαδή η σταθερή παραμόρφωση προκαλεί τάση μειούμενη με το χρόνο και ερπυσμό, δηλαδή η σταθερή τάση προκαλεί παραμόρφωση αυξανόμενη με το χρόνο. Τέλος το αρτηριακό τοίχωμα λαμβάνεται ως διαπερατό[58][13]. 3.5 Διάχυση-συντελεστής διαχύσεως και ενδοθηλιακή διαπερατότητα Αν το ρευστό κινείται με ταχύτητα, τότε η εξίσωση διάχυσης λαμβάνεται αντικαθιστώντας την μερική παράγωγο ϑc/ϑt με την ολική. Συνεπώς, (3.34) Συντελεστής διαχύσεως. Ο νόμος του Fick περιγράφει την τάση να διαμορφωθεί μια ομογενής κατανομή στο χώρο. Η συγκέντρωση c της ύλης είναι μια συνάρτηση της x. (3.35) όπου J η ποσότητα της ύλης που διέρχεται ανά μονάδα επιφάνειας, η μεταβολή της συγκέντρωσης ανά μονάδα απόστασης και D (m 2 / s) o συντελεστής διάχυσης. 54

55 Στις εργασίες [28] και [43] δίνουν cm 2 /s τιμές για τον συντελεστή διάχυσης ενώ στην [19] χρησιμοποιήθηκε η τιμή cm 2 /s. Στην περίπτωση όμως πολύστρωματικού τοιχώματος οι τιμές της διάχυσης είναι διαφορετικές σε κάθε στρώση. Έτσι, Στρώσεις D (mm 2 /s) Lumen 2.87x10-5 Endothelium 6.00x10-11 Intima 5.40x10-6 IEL 3.18x10-9 Media 5.00x10-8 Σχήμα 3.5 Τιμές της διάχυσης D στο πολυστρωματικό τοίχωμα [19] Ενδοθηλιακή διαπερατότητα. Η ενεργός διαπερατότητα ισούται με το γινόμενο, όπου Κ (m/s) ο συντελεστής μεταφοράς μάζας ή διαπερατότητα τοιχώματος, V w (m/s) η ταχύτητα διηθήσεως και συγκέντρωση στο ενδοθήλιο και προκύπτει από τη διαφορά της ποσότητας της LDL που εισχωρεί μέσω του ενδοθηλίου στο αρτηριακό τοίχωμα μείον την ποσότητα της LDL που εισέρχεται πίσω στον αυλό, [28], [43] και [19], (3.36) Η τιμή του συντελεστής μεταφοράς μάζας εξαρτάται από την τοιχωματική διατμητική τάση και από τη συγκέντρωση της LDL. Στην παρούσα εργασία η τιμή του ελήφθει ίση με 2.0x10-10 m/s για διατοιχωματική πίεση 70.0 mm Hg, όπως έχει χρησιμοποιηθεί [28], [43], [19] ενώ για διατοιχωματική πίεση mm Hg η τιμή του Κ είναι 4.84x10-9 m/s, [22]. 55

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ 4.1 Λήψη γεωμετρίας Η λήψη της απόφασης για την χρήση μονοδιάστατης (1D), δισδιάστατης (2D) ή τρισδιάστατης (3D) γεωμετρίας κατά την επίλυση προβλημάτων Υπολογιστικής Μηχανικής των Ρευστών εξαρτάται από το είδος και τις ιδιαιτερότητες της κάθε εφαρμογής, την απαιτούμενη ακρίβεια, τα δεδομένα που παρέχονται καθώς και τα διαθέσιμα υπολογιστικά εργαλεία. Μετά την λήψη δισδιάστατων τομών της γεωμετρίας παράγεται ένα ψηφιακό αντίγραφό τους. Αυτό το ψηφιακό υπόβαθρο παράγεται εισάγεται σε περιβάλλον προγράμματος CAD όπου γίνεται εξαγωγή του αγγειακού περιγράμματος και ανακατασκευάζεται η γεωμετρία του. 4.2 Υπολογιστικά δίκτυα Για αριθμητική επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος Μηχανικής Ρευστών απαιτείται αρχικά η περιγραφή της γεωμετρίας του προβλήματος και στη συνέχεια η κατασκευή του υπολογιστικού δικτύου το οποίο συντίθεται από πεπερασμένα στοιχεία ή όγκους στους οποίους στηρίζεται η επίλυση. Η κατασκευή τέτοιων δικτύων είναι σημαντική εργασία η οποία πρέπει να εκτελεσθεί πριν την επίλυση του προβλήματος. Η σπουδαιότητα της διαδικασίας που απαιτείται για την κατασκευή των υπολογιστικών δικτύων είχαν ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη της επιστήμης της κατασκευής υπολογιστικών δικτύων (grid generation) η οποία εξελίχτηκε σε αυτοτελές γνωστικό αντικείμενο κατά τα τελευταία χρόνια. Ο τρόπος με τον οποίο θα αναγνωσθούν από 56

57 το πρόγραμμα τα πεπερασμένα στοιχεία ή οι όγκοι είναι θέμα υπολογιστικής ανάλυσης. Με την βοήθεια λογισμικού κατασκευάζεται το τελικό υπολογιστικό δίκτυο, Σχήμα 4.1. Ψηφιακά στεφανιογραφικά δεδομένα Εισαγωγή σε πρόγραμμα CAD. Ανακατασκευή της γεωμετρίας Δημιουργία υπολογιστικού δικτύου με χρήση software Σχήμα 4.1 Κατασκευή υπολογιστικού δικτύου 4.3 Αιμοδυναμικές παράμετροι της ροής Στην παρούσα παράγραφο θα παρουσιασθούν κάποιες αιμοδυναμικές παράμετροι που σχετίζονται τόσο με την διάβρωση και δυσλειτουργία του ενδοθηλιακού στρώματος όσο και με την διάχυση της χαμηλής πυκνότητας λιποπρωτεΐνης και κατά συνέπεια με την πάχυνση του έσω χιτώνα του τοιχώματος του ενδοθηλίου (intimal thickening) και του σχηματισμού θρόμβωσης (thrombosis formation). Οι αιμοδυναμικές ποσότητες του τοιχώματος όπως η τοιχωματική διατμητική τάση, η κλίση της κ.τ.λ. προτείνονται για τον προσδιορισμό των περιοχών εκείνων στις οποίες είναι πιθανόν να παρουσιαστεί το φαινόμενο της πάχυνσης του έσω χυτώνα και ο σχηματισμός θρόμβωσης Η μέση τοιχωματική διατμητική τάση (average wall shear stress) Από πλήθος δημοσιεύσεων της βιβλιογραφίας είναι γνωστό ότι το αρτηριακό τοίχωμα μεταβάλει την διάμετρο του αντιδρώντας στις αλλαγές της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως. Για παράδειγμα στην εργασία τους οι Zarins et al. [44] προσδιόρισαν in vivo ότι το αρτηριακό τοίχωμα όταν εκτεθεί σε έως και 10.0 % αυξημένη ροή αίματος αυξάνει την διάμετρο του αυλού μέχρι να αποκατασταθεί μια μέση τοιχωματική διατμητική τάση ίση με 15.0 dyn/cm 2. Επιπλέον, υπάρχει πλήθος πληροφοριών στην βιβλιογραφία για τον προσδιορισμό της απόκρισης των ενδοθηλιακών κυττάρων στην συνισταμένη διεύθυνση και μέτρο του διανύσματος της μέσης διατμητικής τάσης του καρδιακού κύκλου, π.χ. [45]. 57

58 Όπως έχει παρουσιαστεί παραπάνω η διατμητική τάση είναι ένας τανυστής (tensor) του πεδίου ροής ο οποίος στην επιφάνεια του τοιχώματος εκφυλίζεται σε ένα διάνυσμα και μπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: (4.1) όπου το κάθετο διάνυσμα της επιφανείας του τοιχώματος. Το μέτρο του διανύσματος της χρονικά μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσεως (time-average wall shear stress vector, AWSSV) του καρδιακού κύκλου μπορεί να γραφεί ως: (4.2) Αντίστοιχα, ο χρονικός μέσος όρος του μέτρου του διανύσματος της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως (time-average wall shear stress) μπορεί να υπολογιστεί ως: (4.3) Ο δείκτης παλμικής διάτμησης (oscillatory shear index, OSI) δείχνει την διαφοροποίηση των παραπάνω δεικτών Ο δείκτης παλμικής διάτμησης (oscillatory shear index, OSI) Η εκτροπή του διανύσματος της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως κατά την διάρκεια του καρδιακού παλμού από την κύρια διεύθυνση του δηλώνει την διάσπαση (αναστροφή) της ροής κατά την διάρκεια του καρδιακού κύκλου και είναι γνωστή ως δείκτης παλμικής διάτμησης oscillatory shear index, (OSI), [46]. Ο εν λόγω δείκτης ποσοστικοποιεί την αλληλεπίδραση αυτής της διάσπαση της ροής με το τοίχωμα και εκφράζεται ως: (4.4) 58

59 όπου είναι το στιγμιαίο διάνυσμα της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως. Ο αριθμητής του κλάσματος εκφράζει το μέτρο του μέσου διανύσματος της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως ενώ ο παρονομαστής εκφράζει τον χρονικό μέσο όρο των μέτρων της διατμητικής τάσης. Η τιμή του κλάσματος των δύο μέσων μπορεί να κυμαίνεται από 1.0 έως 0.0 όταν και εκφράζει μη στροφή του διανύσματος της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως κατά ο κατά τον χρόνο του καρδιακού παλμού. Ο συντελεστής παλμικής διάτμησης OSI μπορεί να κυμαίνεται από 0.0 έως 0.5, εκφράζοντας την μικρότερη και μέγιστη διακύμανση του διανύσματος της διατμητικής τάσεως Η κλίση της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως (wall shear stress gradient) Από βιολογική σκοπιά, τα ενδοθηλιακά κύτταρα έχει δειχθεί να προσαρμόζονται στην διεύθυνση της μέσης ροής που αντιστοιχεί στην διεύθυνση του μέσου διανύσματος της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως. Οι διευθύνσεις των διανυσμάτων των επιφανειών οι οποίες διασαφηνίζουν την αλληλεπίδραση της στιγμιαίας τοιχωματικής διατμητικής τάσεως και των ενδοθηλιακών κυττάρων ορίζονται ως: m η διεύθυνση του χρονικά μέσου διανύσματος της τοιχωματικής διατμητικής τάσης, n -η διεύθυνση του εφαπτόμενου διανύσματος της επιφάνειας το κάθετο στο m, l η κάθετη διεύθυνση στην επιφάνεια Η κλίση της τοιχωματικής διατμητικής τάσης προκύπτει μετά από παραγώγηση των συνισταμένων της διατμητικής τάσης όπως φαίνεται παρακάτω: (4.5) ο τανυστής αναφέρεται σε σύστημα x, y, z οι συνιστώσες (x 1, x 2, x 3,) του οποίου 59

60 μπορούν να μετασχηματιστούν σε ένα νέο σύστημα αξόνων m, n, l σε s 1, s 2 και s 3 με τον ακόλουθο μετασχηματισμό: (4.6) όπου τα σύμβολα δηλώνουν τις συνιστώσες του m, n, l συστήματος και τα και τα συνημίτονα της στροφής των αξόνων x, y, z στο m, n, l. Ο τελικός τανιστής στο mnl φαίνεται παρακάτω: (4.7) Κατά την επιλογή του συστήματος αξόνων, έστω του m, n, l οι συνιστώσες του τανυστή της τοιχωματικής διατμητικής τάσης που επηρεάζουν τα ενδοθηλιακά κύτταρα είναι αυτά που ασκούνται στην κάθετη και την εφαπτόμενή διεύθυνση στο επίπεδο των κυττάρων. Έτσι, οι συνιστώσες που σχετίζονται με την τοιχωματική διατμητική τάση με διεύθυνση παράλληλη με τον άξονα l δεν παρουσιάζουν ενδιαφέρον λόγω της αδυναμίας τους να επηρεάσουν το ενδοθήλιο. Άρα προκύπτει: (4.8) Οι διαγώνιες συνιστώσες και προκαλούν ενδοκυτταρικές τάσεις που προκαλούν με την σειρά τους παραμορφώσεις (widening and shrinking) στα ενδοθηλιακά κύτταρα. Οι μη διαγώνιες συνιστώσες και προκαλούν σχετική μετατόπιση των γειτονικών κυττάρων και είναι αυτές που παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Ο Lei[ 36] έδειξε ότι αυτές οι κάθετες συνιστώσες του διανύσματος της κλίσης της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως είναι οι πιο σημαντικές λόγω της επίδρασης τους στην πάχυνση του έσω χιτώνος του τυχώματος του ενδοθηλίου (intimal thickening), στην αθηροσκλήρωση (atherosclerosis) και την 60

61 ανάπτυξη ινομυϊκής υπερπλασίας (intimal hyperplasia). Μια έκφραση της κλίσης της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως λαμβάνοντας υπ όψιν όλα τα παραπάνω μπορεί να είναι η ακόλουθη: (4.9) Για την μελέτη της επιρροής του παλμικού κύματος της ροής που καρδιακού παλμού στην κλίση της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως χρησιμοποιείται τόσο η απόλυτη τιμή της στιγμιαίας κλίσης της όσο και η ακόλουθη αδιάστατη μέση τιμή: (4.10) όπου d o η χαρακτηριστική διάμετρος και τ ο =8nu mean /d o η χαρακτηριστική τοιχωματική διατμητική τάση μιας λογαριθμικής (Poiseuille) ροής που αντιστοιχεί στη μέση ροή, [35] Η εκτροπή ή κλίση της γωνιακής της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως (wall shear stress angle deviation or gradient) Οι Hyun et al. [47] έδειξαν ότι ο προσδιορισμός της γωνίας γειτονικών διανυσμάτων τοιχωματικής διατμητικής τάσης μπορεί να υποδείξει περιοχές με ενδοθηλιακή δυσλειτουργία και άρα περιοχές με πιθανή πάχυνση του έσω χιτώνα του τοιχώματος (intimal thickening). Η γωνία εκτροπής της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως (wall shear stress angle deviation) σε έναν όγκο ελέγχου da i διατυπώνεται ως: (4.11) όπου, το διάνυσμα της τοιχωματικής διατμητικής τάσης στην επιφάνεια που εξετάζεται εκφράζεται από το διάνυσμα τ και το τ παρουσιάζει την τάση των τεσσάρων γειτονικών κελιών, [47]. Έναν όμοιο συντελεστή επίσης εξαρτώμενο από το υπολογιστικό δίκτυο, τον οποίο εισήγαγαν οι Longest και Kleinstreuer [48] ορίζοντας αρχικά την γωνίας φ όπως φαίνεται παρακάτω: 61

62 (4.12) όπου ομοίως, το διάνυσμα της τοιχωματικής διατμητικής τάσης στην επιφάνεια που εξετάζεται εκφράζεται από το διάνυσμα τ και το τ παρουσιάζει την τάση γειτονικών κελιών. Έτσι ορίζεται το διάνυσμα της κλίσης της γωνίας της τοιχωματικής διατμητικής (wall shear stress angular gradient) τάσης ως: (4.13) (4.14) Το διάνυσμα κλίσης μπορεί, κατ αντιστοιχία με την κλίση της τοιχωματικής διατμητικής τάσης (ιδέ παραπάνω), να μετασχηματιστεί στο σύστημα αξόνων m, n (απαλείφοντας την συνιστώσα των l). Εναλλακτικά υπάρχει η δυνατότητα υπολογισμού του μέτρου στης μέσης κλίσης της γωνίας της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως όπως φαίνεται παρακάτω: (4.15) ή εκφραζόμενο πιο συνοπτικά: (4.16) Λόγω της χρήσης την κλίσης υπολογιστικού δικτύου. η παραπάνω έκφραση είναι ανεξάρτητη του Ο σχετικός χρόνος παραμονής (relative residence time, RRT) Η ποσότητα Relative Residence Time (RRT), η οποία υποδεικνύει τον χρόνο παραμονής των μορίων στο ενδοθήλιο, περιγράφεται από την εξίσωση: (4.17) 62

63 Velocity Magnitude (m/s) Velocity Magnitude (m/s) 4.4 Χρήση υπορουτίνων για την επίλυση του προβλήματος Τιμές εισαγόμενων δεδομένων Στην παρούσα εργασία οι τιμές των εισαγόμενων δεδομένων (input data) στα μοντέλα είναι οι ακόλουθες: Για την ταχύτητα εισόδου (inlet velocity) του ρευστού στους αυλούς εξετάζονται δύο περιπτώσεις, αυτή της ασταθούς ροής με ταχύτητα της μορφής παλμού όπως αυτή φαίνεται στο Σχήμα 4.2 όπου εμφανίζεται η ταχύτητα του αίματος κατά τον φυσιολογικό παλμό και αυτή στο Σχήμα 4.3 όπου εμφανίζεται η ταχύτητα του αίματος σε ταχυπαλμία. 0,5 Προφίλ ταχύτητας σε φυσολογικό παλμό 0,4 0,3 0,2 0,1 normal 0-0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Time(sec) Σχήμα 4.2 Διάγραμμα παλμικής ταχύτητας φυσιολογικού παλμού 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 Προφίλ ταχύτητας σε ταχυκαρδία 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Time(sec) Ταχυπαλμία Σχήμα 4.3 Διάγραμμα παλμικής ταχύτητας ταχυκαρδίας 63

64 4.4.2 Αλγόριθμος επίλυσης αριθμητικών εξισώσεων Η επίλυση των αριθμητικών εξισώσεων γίνεται με την τεχνική των διαδοχικών επαναλήψεων. Επειδή οι εξισώσεις των αγνώστων συνδέονται μεταξύ τους, γίνεται μία αρχική εκτίμηση της λύσης και οι υπολογισμοί επαναλαμβάνονται μέχρι την τελική σύγκλιση. Κάθε επανάληψη ή ανακύκλωση αποτελείται από τα παρακάτω βήματα: Επίλυση των εξισώσεων των ορμών για τον υπολογισμό των ταχυτήτων. Η επίλυση του προβλήματος έγινε διαδοχικά χρησιμοποιώντας τις ήδη διαθέσιμες τιμές της πίεσης για να επανεκτιμηθεί το πεδίο των ταχυτήτων. Χρησιμοποίηση της εξίσωσης της συνέχειας της μάζας για τη διόρθωση της πίεσης. Επίλυση της ενεργειακής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές. Υπολογισμός των φυσικών ιδιοτήτων της ροής. Έλεγχος της σύγκλισης των τιμών των αγνώστων φυσικών ποσοτήτων ροής. Τα παραπάνω βήματα επαναλαμβάνονται για κάθε υπολογιστικό κόμβο μέχρι τελικής σύγκλισης. Το κριτήριο που τίθεται συνήθως για τη σύγκλιση είναι, οι επί τοις εκατό μεταβολές όλων των αγνώστων φυσικών ποσοτήτων ροής από ανακύκλωση σε ανακύκλωση να είναι μικρότερες του 10-6 σε κάθε υπολογιστικό κόμβο. Μετά την αρχική σύγκλιση του προβλήματος, εκτελείται μια διαδικασία προσαρμογής του δικτύου, ώστε αυτό να πυκνωθεί ή να αραιωθεί αντίστοιχα, με βάση τις φυσικές παραμέτρους όπως αυτές προέκυψαν από τα πρώτα αποτελέσματα. Με τον τρόπο αυτό η λύση εστιάζεται περισσότερο στις αιμοδυναμικά ενδιαφέρουσες περιοχές. Η διαδικασία αυτή είναι σε γενικές γραμμές αυτοματοποιημένη. Ωστόσο, υπάρχει πάντα η δυνατότητα παρέμβασης του χρήστη του λογισμικού, σε όλα τα επίπεδα, ορίζοντας τις περιοχές τις πύκνωσης, τον ανώτατο και κατώτατο αριθμό κελιών καθώς και τις φυσικές παραμέτρους που θα αποτελούν τα κριτήρια της προσαρμογής. 64

65 4.4.3 Υπορουτίνα ορισμού παλμικά μεταβαλλόμενης ταχύτητας (user defined function, UDF) - Κώδικας σε γλώσσα C++ Παρακάτω παρουσιάζεται ο κώδικας της υπορουτίνας που χρειάστηκε για τον προσδιορισμό της παλμικής ταχύτητας που βρήκε εφαρμογή στις περιπτώσεις της ασταθούς ροής στην παρούσα εργασία. Ο κώδικας συγγράφηκε με το πρόγραμμα σημειωματάριο (notepad) σε περιβάλλον Windows 7, ενώ το αρχείο του κώδικα σώθηκε με την κατάληξη *.c. Για την περίπτωση φυσιολογικού παλμού δίδεται το Σχήμα 4.4, ενώ για την περίπτωση ταχυκαρδίας δίδεται το Σχήμα 4.5. Το διάγραμμα ροής δείχνεται στο Σχήμα

66 Σχήμα 4.4 Υπορουτίνα υπολογισμού ταχύτητας σε φυσιολογικό παλμό #include"udf.h" #include"mem.h" #include"sg.h" /*#include "math.h"*/ DEFINE_PROFILE(velocity_vx_inlet,thread,nv) { face_t f; real flow_time = RP_Get_Real("flow-time"); double v[1000],ddt,fc; int i; ddt= ; fc=1.0; // EINAI ENAS SYNTELESTHS METABLHTOTHTAS v[1]= ; v[2]= ; v[3]= ; v[4]= ; v[5]= ; v[6]= ; v[7]= ; v[8]= ; v[9]= ; v[10]= ; v[11]= ; v[12]= ; v[13]= ; v[14]= ; v[15]= ; v[16]= ; v[17]= ; v[18]= ; v[19]= ; v[20]= ; v[21]= ; v[22]= ; v[23]= ; v[24]= ; v[25]= ; v[26]= ; v[27]=0.084; v[28]= ; for(i=1;i<28;i++) v[i]=v[i]*fc; begin_f_loop (f,thread) { int l = (flow_time/ddt)+1; F_PROFILE(f,thread,nv) =v[l]+(v[l+1]-v[l])*(flow_time-(l- 1)*ddt)/ddt; } end_f_loop (f,thread) } } 66

67 Σχήμα 4.5 Υπορουτίνα υπολογισμού ταχύτητας σε ταχυκαρδία #include"udf.h" #include"mem.h" #include"sg.h" /*#include "math.h"*/ DEFINE_PROFILE(velocity_vx_inlet,thread,nv) { face_t f; real flow_time = RP_Get_Real("flow-time"); double v[1000],ddt,fc; int i; ddt= ; fc=1.0; // EINAI ENAS SYNTELESTHS METABLHTOTHTAS v[1]= ; v[2]= ; v[3]= ; v[4]= ; v[5]= ; v[6]= ; v[7]= ; v[8]= ; v[9]= ; v[10]= ; v[11]= ; v[12]= ; v[13]= ; v[14]= ; v[15]= ; v[16]= ; v[17]= ; v[18]= ; v[19]= ; v[20]= ; v[21]= ; v[22]= ; v[23]= ; v[24]= ; v[25]= ; v[26]= ; v[27]= ; v[28]= ; for(i=1;i<28;i++) v[i]=v[i]*fc; begin_f_loop (f,thread) { int l = (flow_time/ddt)+1; F_PROFILE(f,thread,nv) =v[l]+(v[l+1]-v[l])*(flow_time-(l- 1)*ddt)/ddt; }end_f_loop (f,thread) } } 67

68 Έναρξη Δήλωση μεταβλητών udf real k = 2.0e-10; real D = 10.0e-12; real Vwall = 0.6e-8; udf Επίλυση εξισώσεων ροής & υπολογισμός συγκέντρωσης LDL στο τοίχωμα σύμφωνα με την εξίσωση Όχι Έλεγχος ακρίβειας σύγκλισης φυσικών ιδιοτήτων της ροής και udf Ναι Τέλος Σχήμα 4.6 Διάγραμμα ροής επίλυσης μοντέλου μεταφοράς LDL 68

69 4.4.4 Υπορουτίνες αποθήκευσης σειράς δεδομένων διατμητικής τάσεως και υπολογισμού μέσης διατμητικής τάσης και δείκτη παλμικής διάτμησης (user defined functions, UDF) - Κώδικες σε γλώσσα C++ Παρακάτω παρουσιάζονται οι κώδικες για την αποθήκευση των αποτελεσμάτων της τοιχωματικής διατμητικής τάσεως και του υπολογισμού της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσεως και του δείκτη παλμικής διάτμησης. Οι κώδικες συγγράφηκαν με το πρόγραμμα σημειωματάριο (notepad) σε περιβάλλον Windows 7, ενώ τα αρχεία του κώδικα σώθηκαν με την κατάληξη *.c. a) Υπορουτίνα υπολογισμού της τοιχωματικής διατμητικής τάσης στο stent DEFINE_EXECUTE_AT_END(WSS_STENT) { Domain *d; real wall_shear_force, area; real wall_shear_force_compx, wall_shear_force_compy, wall_shear_force_compz; face_t f; real A[ND_ND]; cell_t c, c0; Thread *t,*t0, *c_thread; real time=current_time; real period; int period_a=0; real a; int n;//number of periods real dt = ;// secs real T= ; // Period real DELTATAUF= ;// !!!!!!! int l; int Zone_ID=8; /* STENT */ /* It can be obtained from the boundary condition panel.*/ d=get_domain(1); l=time/(deltatauf)-1; /* Initialize the UDM value to zero in complete domain */ 69

70 /* Calculate wall shear stress and store them in UDM */ t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { F_AREA(A,f,t); area = NV_MAG(A); wall_shear_force = NV_MAG(F_STORAGE_R_N3V(f,t, SV_WALL_SHEAR)); c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); C_UDMI(c0,t0,l)= wall_shear_force/area; } end_f_loop(f, t) /* Calculate wall shear stress components and store them in UDM */ t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { F_AREA(A,f,t); area = NV_MAG(A); c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); wall_shear_force_compx=f_storage_r_n3v(f,t,sv_wall_shear)[0]; wall_shear_force_compy=f_storage_r_n3v(f,t,sv_wall_shear)[1]; wall_shear_force_compz=f_storage_r_n3v(f,t,sv_wall_shear)[2]; C_UDMI(c0,t0,30+l)= wall_shear_force_compx; C_UDMI(c0,t0,60+l)= wall_shear_force_compy; C_UDMI(c0,t0,90+l)= wall_shear_force_compz; } end_f_loop(f, t) } 70

71 β) Υπορουτίνα υπολογισμού της τοιχωματικής διατμητικής τάσης στο wall DEFINE_ON_DEMAND(AWSS_calc) { Domain *d; face_t f; cell_t c, c0; Thread *t,*t0, *c_thread; real time=current_time; real period; real dt = ; // secs int Zone_ID=7; /* Zone ID of the wall on which shear stress has to be calculated */ /* It can be obtained from the boundary condition panel*/ d=get_domain(1); period = 27*dt; /* Initialize the UDM value to zero in complete domain */ /* Calculate time-average wall shear stress magnitude values and store them in UDM */ t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); C_UDMI(c0,t0,27)=(C_UDMI(c0,t0,0)+C_UDMI(c0,t0,1)+C_UDMI(c0,t0,2)+C_UD MI(c0,t0,3)+C_UDMI(c0,t0,4)+C_UDMI(c0,t0,5)+C_UDMI(c0,t0,6)+C_UDMI(c0,t 0,7)+C_UDMI(c0,t0,8)+C_UDMI(c0,t0,9)+C_UDMI(c0,t0,10)+C_UDMI(c0,t0,11)+ C_UDMI(c0,t0,12)+C_UDMI(c0,t0,13)+C_UDMI(c0,t0,14)+C_UDMI(c0,t0,15)+C_ UDMI(c0,t0,16)+C_UDMI(c0,t0,17)+C_UDMI(c0,t0,18)+C_UDMI(c0,t0,19)+C_UD MI(c0,t0,20)+C_UDMI(c0,t0,21)+C_UDMI(c0,t0,22)+C_UDMI(c0,t0,23)+C_UDMI (c0,t0,24)+c_udmi(c0,t0,25)+c_udmi(c0,t0,26))*dt/period; } end_f_loop(f, t) } 71

72 γ) Υπορουτίνα υπολογισμού της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης στο stent DEFINE_ON_DEMAND(AWSS2_calc) { Domain *d; face_t f; cell_t c, c0; Thread *t,*t0, *c_thread; real time=current_time; real period; real dt = ; // secs int Zone_ID=8; /* Zone ID of the wall on which shear stress has to be calculated */ /* It can be obtained from the boundary condition panel*/ d=get_domain(1); period = 27*dt; /* Initialize the UDM value to zero in complete domain */ /* Calculate time-average wall shear stress magnitude values and store them in UDM */ t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); C_UDMI(c0,t0,27)=(C_UDMI(c0,t0,0)+C_UDMI(c0,t0,1)+C_UDMI(c0,t0,2)+C_UD MI(c0,t0,3)+C_UDMI(c0,t0,4)+C_UDMI(c0,t0,5)+C_UDMI(c0,t0,6)+C_UDMI(c0,t 0,7)+C_UDMI(c0,t0,8)+C_UDMI(c0,t0,9)+C_UDMI(c0,t0,10)+C_UDMI(c0,t0,11)+ C_UDMI(c0,t0,12)+C_UDMI(c0,t0,13)+C_UDMI(c0,t0,14)+C_UDMI(c0,t0,15)+C_ UDMI(c0,t0,16)+C_UDMI(c0,t0,17)+C_UDMI(c0,t0,18)+C_UDMI(c0,t0,19)+C_UD MI(c0,t0,20)+C_UDMI(c0,t0,21)+C_UDMI(c0,t0,22)+C_UDMI(c0,t0,23)+C_UDMI (c0,t0,24)+c_udmi(c0,t0,25)+c_udmi(c0,t0,26))*dt/period; } end_f_loop(f, t) } 72

73 δ) Υπορουτίνα υπολογισμού του διανύσματος της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης στο wall DEFINE_ON_DEMAND(AWSSV_calc) { Domain *d; face_t f; cell_t c, c0; Thread *t,*t0, *c_thread; real WSSV_X, WSSV_Y, WSSV_Z, WSSV_SUM; real A[ND_ND]; real time=current_time; real period, area; real dt = ; // secs int Zone_ID=7; /* Zone ID of the wall on which shear stress has to be calculated */ /* It can be obtained from the boundary condition panel.*/ d=get_domain(1); period = 27*dt; /* Calculate time-average wall shear stress vector magnitude and store it in UDM */ t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); WSSV_X=(C_UDMI(c0,t0,30)+C_UDMI(c0,t0,31)+C_UDMI(c0,t0,32)+C_UDMI(c 0,t0,33)+C_UDMI(c0,t0,34)+C_UDMI(c0,t0,35)+C_UDMI(c0,t0,36)+C_UDMI(c0,t 0,37)+C_UDMI(c0,t0,38)+C_UDMI(c0,t0,39)+C_UDMI(c0,t0,40)+C_UDMI(c0,t0,4 1)+C_UDMI(c0,t0,42)+C_UDMI(c0,t0,43)+C_UDMI(c0,t0,44)+C_UDMI(c0,t0,45)+ C_UDMI(c0,t0,46)+C_UDMI(c0,t0,47)+C_UDMI(c0,t0,48)+C_UDMI(c0,t0,49)+C_ UDMI(c0,t0,50)+C_UDMI(c0,t0,51)+C_UDMI(c0,t0,52)+C_UDMI(c0,t0,53)+C_UD MI(c0,t0,54)+C_UDMI(c0,t0,55)+C_UDMI(c0,t0,56)); 73

74 WSSV_Y=(C_UDMI(c0,t0,60)+C_UDMI(c0,t0,61)+C_UDMI(c0,t0,62)+C_UDMI(c 0,t0,63)+C_UDMI(c0,t0,64)+C_UDMI(c0,t0,65)+C_UDMI(c0,t0,66)+C_UDMI(c0,t 0,67)+C_UDMI(c0,t0,68)+C_UDMI(c0,t0,69)+C_UDMI(c0,t0,70)+C_UDMI(c0,t0,7 1)+C_UDMI(c0,t0,72)+C_UDMI(c0,t0,73)+C_UDMI(c0,t0,74)+C_UDMI(c0,t0,75)+ C_UDMI(c0,t0,76)+C_UDMI(c0,t0,77)+C_UDMI(c0,t0,78)+C_UDMI(c0,t0,79)+C_ UDMI(c0,t0,80)+C_UDMI(c0,t0,81)+C_UDMI(c0,t0,82)+C_UDMI(c0,t0,83)+C_UD MI(c0,t0,84)+C_UDMI(c0,t0,85)+C_UDMI(c0,t0,86)); WSSV_Z=(C_UDMI(c0,t0,90)+C_UDMI(c0,t0,91)+C_UDMI(c0,t0,92)+C_UDMI(c 0,t0,93)+C_UDMI(c0,t0,94)+C_UDMI(c0,t0,95)+C_UDMI(c0,t0,96)+C_UDMI(c0,t 0,97)+C_UDMI(c0,t0,98)+C_UDMI(c0,t0,99)+C_UDMI(c0,t0,100)+C_UDMI(c0,t0, 101)+C_UDMI(c0,t0,102)+C_UDMI(c0,t0,103)+C_UDMI(c0,t0,104)+C_UDMI(c0,t 0,105)+C_UDMI(c0,t0,106)+C_UDMI(c0,t0,107)+C_UDMI(c0,t0,108)+C_UDMI(c 0,t0,109)+C_UDMI(c0,t0,110)+C_UDMI(c0,t0,111)+C_UDMI(c0,t0,112)+C_UDMI (c0,t0,113)+c_udmi(c0,t0,114)+c_udmi(c0,t0,115)+c_udmi(c0,t0,116)); WSSV_SUM=sqrt(pow(WSSV_X,2)+pow(WSSV_Y,2)+pow(WSSV_Z,2)); F_AREA(A,f,t); area = NV_MAG(A); C_UDMI(c0,t0,28)= (WSSV_SUM*dt)/(area*period); } end_f_loop(f, t) } ε) Υπορουτίνα υπολογισμού του διανύσματος της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης στο stent DEFINE_ON_DEMAND(AWSSV2_calc) { Domain *d; face_t f; cell_t c, c0; Thread *t,*t0, *c_thread; real WSSV_X, WSSV_Y, WSSV_Z, WSSV_SUM; real A[ND_ND]; real time=current_time; real period, area; 74

75 real dt = ; // secs int Zone_ID=8; /* Zone ID of the wall on which shear stress has to be calculated */ /* It can be obtained from the boundary condition panel.*/ d=get_domain(1); period = 27*dt; /* Calculate time-average wall shear stress vector magnitude and store it in UDM */ t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); WSSV_X=(C_UDMI(c0,t0,30)+C_UDMI(c0,t0,31)+C_UDMI(c0,t0,32)+C_UDMI(c 0,t0,33)+C_UDMI(c0,t0,34)+C_UDMI(c0,t0,35)+C_UDMI(c0,t0,36)+C_UDMI(c0,t 0,37)+C_UDMI(c0,t0,38)+C_UDMI(c0,t0,39)+C_UDMI(c0,t0,40)+C_UDMI(c0,t0,4 1)+C_UDMI(c0,t0,42)+C_UDMI(c0,t0,43)+C_UDMI(c0,t0,44)+C_UDMI(c0,t0,45)+ C_UDMI(c0,t0,46)+C_UDMI(c0,t0,47)+C_UDMI(c0,t0,48)+C_UDMI(c0,t0,49)+C_ UDMI(c0,t0,50)+C_UDMI(c0,t0,51)+C_UDMI(c0,t0,52)+C_UDMI(c0,t0,53)+C_UD MI(c0,t0,54)+C_UDMI(c0,t0,55)+C_UDMI(c0,t0,56)); WSSV_Y=(C_UDMI(c0,t0,60)+C_UDMI(c0,t0,61)+C_UDMI(c0,t0,62)+C_UDMI(c 0,t0,63)+C_UDMI(c0,t0,64)+C_UDMI(c0,t0,65)+C_UDMI(c0,t0,66)+C_UDMI(c0,t 0,67)+C_UDMI(c0,t0,68)+C_UDMI(c0,t0,69)+C_UDMI(c0,t0,70)+C_UDMI(c0,t0,7 1)+C_UDMI(c0,t0,72)+C_UDMI(c0,t0,73)+C_UDMI(c0,t0,74)+C_UDMI(c0,t0,75)+ C_UDMI(c0,t0,76)+C_UDMI(c0,t0,77)+C_UDMI(c0,t0,78)+C_UDMI(c0,t0,79)+C_ UDMI(c0,t0,80)+C_UDMI(c0,t0,81)+C_UDMI(c0,t0,82)+C_UDMI(c0,t0,83)+C_UD MI(c0,t0,84)+C_UDMI(c0,t0,85)+C_UDMI(c0,t0,86)); WSSV_Z=(C_UDMI(c0,t0,90)+C_UDMI(c0,t0,91)+C_UDMI(c0,t0,92)+C_UDMI(c 0,t0,93)+C_UDMI(c0,t0,94)+C_UDMI(c0,t0,95)+C_UDMI(c0,t0,96)+C_UDMI(c0,t 0,97)+C_UDMI(c0,t0,98)+C_UDMI(c0,t0,99)+C_UDMI(c0,t0,100)+C_UDMI(c0,t0, 101)+C_UDMI(c0,t0,102)+C_UDMI(c0,t0,103)+C_UDMI(c0,t0,104)+C_UDMI(c0,t 0,105)+C_UDMI(c0,t0,106)+C_UDMI(c0,t0,107)+C_UDMI(c0,t0,108)+C_UDMI(c 75

76 0,t0,109)+C_UDMI(c0,t0,110)+C_UDMI(c0,t0,111)+C_UDMI(c0,t0,112)+C_UDMI (c0,t0,113)+c_udmi(c0,t0,114)+c_udmi(c0,t0,115)+c_udmi(c0,t0,116)); WSSV_SUM=sqrt(pow(WSSV_X,2)+pow(WSSV_Y,2)+pow(WSSV_Z,2)); F_AREA(A,f,t); area = NV_MAG(A); C_UDMI(c0,t0,28)= (WSSV_SUM*dt)/(area*period); } end_f_loop(f, t) } στ) Υπορουτίνα υπολογισμού δείκτη παλμικής διάτμησης στο wall DEFINE_ON_DEMAND(OSI) { Domain *d; face_t f; cell_t c, c0; Thread *t,*t0, *c_thread; real WSSV_X, WSSV_Y, WSSV_Z; real time=current_time; real period; real dt = ;// secs int Zone_ID=7; /* Zone ID of the wall on which shear stress has to be calculated */ /* It can be obtained from the boundary condition panel.*/ d=get_domain(1); period = 27*dt; t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); C_UDMI(c0,t0,29)= 0.5*(1-(C_UDMI(c0,t0,28)/C_UDMI(c0,t0,27))); } end_f_loop(f, t) } 76

77 ζ) Υπορουτίνα υπολογισμού δείκτη παλμικής διάτμησης στο stent DEFINE_ON_DEMAND(OSI) { Domain *d; face_t f; cell_t c, c0; Thread *t,*t0, *c_thread; real WSSV_X, WSSV_Y, WSSV_Z; real time=current_time; real period; real dt = ;// secs int Zone_ID=8; /* Zone ID of the wall on which shear stress has to be calculated */ /* It can be obtained from the boundary condition panel.*/ d=get_domain(1); period = 27*dt; t=lookup_thread(d,zone_id); begin_f_loop(f, t) { c0 = F_C0(f,t); t0 = THREAD_T0(t); C_UDMI(c0,t0,29)= 0.5*(1-(C_UDMI(c0,t0,28)/C_UDMI(c0,t0,27))); } end_f_loop(f, t) } 77

78 4.4.4 Διαδικασία προσομοίωσης με τη βοήθεια του λογισμικού Fluent Το λογισμικό Ansys Fluent παρέχει ικανότητες μοντελοποίησης σε υψηλό βαθμό που απαιτούνται για την προσομοίωση κάθε είδους ροής (στρωτής ή μη, συμπιεστής ή ασυμπίεστης, σταθερής ή τυρβώδους), της τύρβης, της μεταφοράς θερμότητας, καθώς και των αντιδράσεων για διάφορες βιομηχανικές εφαρμογές. Το Ansys Fluent είναι γραμμένο στη γλώσσα προγραμματισμού C και εκμεταλλεύεται πλήρως την ευελιξία και τις δυνατότητες της γλώσσας αυτής. Κατά συνέπεια, η πραγματική δυναμική κατανομή μνήμης, οι επαρκείς κατασκευές δεδομένων, αλλά και οι ευέλικτες ρυθμίσεις επίλυσης, αποτελούν μερικές από τις δυνατότητες του προγράμματος. Επιπλέον, το Ansys Fluent έχει μια μοναδική δυνατότητα. Επιτρέπει σε πολλούς χρήστες να τρέχουν ταυτόχρονα και ανεξάρτητα τις διαδικασίες επίλυσης σε desk top work stations και σε πανίσχυρους υπολογιστικούς διακομιστές. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να εκτελέσουμε πολύ πιο γρήγορα και αποτελεσματικά τους επιθυμητούς υπολογισμούς. Το πρόγραμμα παρέχει μεγάλη ευελιξία στη δημιουργία υπολογιστικών δικτύων (mesh), συμπεριλαμβανομένης και της δυνατότητας επίλυσης με προβλήματα ροής χρησιμοποιώντας ακόμα και μη δομημένα δίκτυα, τα οποία όμως μπορούν εύκολα να δημιουργηθούν γύρω από πολύπλοκες γεωμετρίες με σχετικά μεγάλη ευκολία. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει μέσα από μια πληθώρα υπολογιστικών δικτύων, μεταξύ των οποίων είναι τα 2D triangular/quadrilateral, 3D tetrahedral/hexahedral/pyramid/wedge/polyhedral και mixed (hybrid). Το Ansys Fluent μας επιτρέπει επίσης να βελτιώσουμε την ποιότητα (ευκρίνεια) του υπολογιστικού μας δικτύου, ανάλογα με τις ανάγκες της επίλυσης της ροής. Μετά την εισαγωγή του υπολογιστικού δικτύου στο Ansys Fluent, μπορεί κανείς να πραγματοποιήσει όλες τις υπόλοιπες ρυθμίσεις μέσα στο περιβάλλον του προγράμματος. Οι βασικότερες ρυθμίσεις είναι οι εξής, Ρύθμιση των οριακών συνθηκών (setting boundary conditions). Ορισμός των ιδιοτήτων της ροής (defining fluid properties). Εκτέλεση της επίλυσης (executing the solution). 78

79 Βελτίωση του υπολογιστικού δικτύου (Refining the mesh). Επεξεργασία και επιθεώρηση των αποτελεσμάτων (Post processing and viewing the results). Για την μετάφραση των αρχείων κώδικα που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη υποενότητα απαιτείται χρήση ενός μεταφραστή (compiler) της γλώσσας C++. Στην παρούσα εργασία έγινε χρήση του μεταφραστή που υπάρχει στο πακέτο του Microsoft Visual Studio Πριν την διαδικασία μετάφρασης είναι απαραίτητη η δημιουργία μιας δομής φακέλων στον φάκελο τον οποίο έχει γίνει η εγκατάσταση του προγράμματος Fluent (π.χ. C:\Fluent.Inc\fluentx.y.z 1 \). Στην συνέχεια ακολουθούνται τα παρακάτω βήματα : 1. Από το menu έναρξη των Windows ακολουθείται η διαδρομή: έναρξη όλα τα προγράμματα Fluent 14.0 Στο παράθυρο που ακολουθεί επιλέγεται η 3D προσομοίωση και μετά OK 79

80 2. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: File Read Case και φορτώνεται η προς εξέταση γεωμετρία. 3. από τα Generals επιλέγουμε Solver: Time->Transient 4. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: Define User-Defined Scalars επιλέγεται Number of User-Defined Scalars 1 και Flux Function το mass flow rate. 80

81 5. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: Define User-Defined Functions Compiled και στο πεδίο source Files επιλέγεται Add. Και με τον File manager επιλέγονται οι udf που θα χρησιμοποιηθούν. Και επιλέγεται Build και Load. Οι udf που θα χρησιμοποιηθούν είναι απαραίτητο να βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το αρχειο.caseπου χρησιμοποιείται. 6. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: Define Materials και ρυθμίζονται τα εξής: a. Επιλέγεται στο User-Defined Fluid Materials ηεπιλογή blood-nonnewtonian 81

82 b. στο ίδιο παράθυρο επιλέγεται από το πεδίο Viscosity το Edit.. και ορίζονται οι συντελεστές του Non-Newtonian Power Law όπως φαίνονται στην ακόλουθη εικόνα και επιλέγεται OK c. πάλι στο ίδιο παράθυρο επιλέγεται από το πεδίο UDS Diffusivityτο Edit.. και ορίζεται ο συντελεστής διάχυσης D όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα και επιλέγεται OK. Tέλος, επιλέγεται Change/Create και Close. 7. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: Define BoundaryConditions και ρυθμίζονται τα εξής: a. επιλέγεται inlet και velocity-inlet 82

83 και στην συνέχεια εισάγεται τόσο η ταχύτητα σαν udf όσο και συγκέντρωση αναφοράς C o (1.3 g/l) όπως φαίνονται στη ακόλουθη εικόνα και επιλέγεται OK. b. πάλι από το παράθυρο Boundary Conditions επιλέγονται outlet και outflow 2 και πεδίο Flow Rate Weighting εισάγεται το αντίστοιχο ποσοστό παροχής που εξέρχεται από τον αυλό. 83

84 c. πάλι από το παράθυρο Boundary Conditions επιλέγονται wall και wall και στην καρτέλα UDS, στο πεδίο User Define Scalar Boundary Value εισάγεται το udfuds_at_wall:liudf όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα και επιλέγεται OK. 84

85 8. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: Define User Defined Memory... και δεσμεύουμε 120 θέσεις μνήμης Βάζουμε τον αριθμό 120 στο πεδίο Number of User-Defined Memory Locations και πατάμε OK. 9. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: Solve Initialize Initialize στο πεδίο Compute From επιλέγεται inlet, επιλέγεται Init και Close 85

86 10. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: File Write Autosaveκαι στο παράθυρο που εμφανίζεται επιλεγούμε να αποθηκεύονται αρχεία κάθε 5 χρονικά βήματα και επιλέγουμε τον φάκελο στον όποιο θέλουμε να αποθηκεύονται. 11. Από το menu του Fluent ακολουθείται η διαδρομή: Solve Iterate ρυθμίζεται ο μέγιστος αριθμός ανακυκλώσεων ανά χρονικό βήμα να είναι ίσος με 250, το μέγεθος του χρονικού βήματος ίσο με 0,005 και 150 ο αριθμός των χρονικών βημάτων. Επιλέγεται Calculate και ξεκινά η επίλυση 86

87 Η διαδικασία επίλυσης συνεχίζει για όλα τα χρονικά βήματα μέχρι να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια ή ο μέγιστος αριθμός ανακυκλώσεων. Μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας επίλυσης εκτελούμε διαδοχικά τις udf που χρειαζόμαστε. Ανοίγουμε το τελευταίο βήμα της επίλυσης φορτώνουμε πάλι την βιβλιοθήκη με τις udf που έχουμε δημιουργήσει. Ακολουθούμε τη διαδρομή Define User Defined Functions Compiled... και Load. Ακολουθούμε τη διαδρομή Define User Defined Functions Execute on Demand. 87

88 Επιλεγούμε μια-μια τις συναρτήσεις AWSS_calc, AWSS2_calc, AWSSV_calc, AWSSV2_calc, OSI και OSI1 και πατάμε Execute. Για τον υπολογισμό του RRT μπορεί να δημιουργηθεί συνάρτηση μέσα από το ίδιο το Fluent. Ακολουθούμε τη διαδρομή: Define Custom Field Functions Πληκτρολογούμε 1 δια, στα Field Functions επιλεγούμε User Defined Memory User Memory 28 και πατάμε Select. Δίνουμε ένα κατάλληλο όνομα στο πεδίο New Function Name και πατάμε Define. 88

89 Velocity Magnitude (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΑΡΔΙΑΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ 5.1 Φυσιολογικός καρδιακός παλμός Στην παρούσα εργασία οι τιμές των εισαγόμενων δεδομένων στις προσομοιώσεις είναι οι ακόλουθες: Για την ταχύτητα εισόδου (inlet velocity) του ρευστού στους αυλούς εξετάζονται δύο περιπτώσεις αυτή της ασταθούς ροής με ταχύτητα μορφής φυσιολογικού παλμού όπως αυτή φαίνεται στο Σχήμα 5.1 και αυτή στο Σχήμα 6.1 όπου εμφανίζεται η ταχύτητα του αίματος σε ταχυκαρδία. 0,5 Προφίλ ταχύτητας σε φυσιολογικό παλμό 0,4 0,3 0,2 0,1 normal 0-0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Time(sec) Σχήμα 5.1 Διάγραμμα παλμικής ταχύτητας (m/s) του φυσιολογικού παλμού 89

90 Velocity Magnitude (m/s) 5.2 Τοιχωματική διατμητική τάση Η ταχύτητα αυτή αφορά στην περίοδο της συστολής και συγκεκριμένα το μέγιστο, t= sec, της συστολής των κοιλίων, Σχήμα 5.2, κατά την οποία οι κολποκοιλιακές βαλβίδες ωθούνται προς τους κόλπους και συγκλείνουν εφαπτόμενες μεταξύ τους με αύξηση της πίεσης και κλείσιμο των κολποκοιλιακών βαλβίδων. Καθώς συνεχίζεται η σύσπαση, η πίεση αυξάνει αρκετά, με αποτέλεσμα το άνοιγμα της αορτικής και της πνευμονικής βαλβίδας. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 Προφίλ ταχύτητας σε φυσιολογικό παλμό 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Time(sec) 0 0, , , , , , , , , Σχήμα 5.2 Χρονική στιγμή t= sec, κοντά στη μεγίστη τιμή συστολής, για παρουσίαση αποτελεσμάτων κατά τον φυσιολογικό παλμό Στο Σχήμα 5.3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της τοιχωματικής διατμητικής τάσης (Wall Shear Stress, WSS) σε φυσιολογικό παλμό για τη χρονική στιγμή t= sec. Όπως δείχνεται χαμηλές τιμές της διατμητικής τάσης εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται λίγο ανάντη και λίγο κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής, διότι η ταχύτητα εκεί είναι πολύ μικρή. Οι τιμές της τοιχωματικής διατμητικής τάσης κυμαίνονται από 0.0 μέχρι 6.39 Pa (δεν δείχνεται) σε όλο τον χώρο, δηλ. και επί του stent και επί του ενδοθηλίου. Επί του ενδοθηλίου και μόνο οι τιμές αυτές κατά τον φυσιολογικό παλμό μεταβάλλονται από 0.0 μέχρι 1.31 Pa τη χρονική στιγμή t= sec. 90

91 Σχήμα 5.3 Τοιχωματική διατμητική τάση (Pa) κατά τον φυσιολογικό παλμό τη χρονική στιγμή t= sec, κοντά στη μεγίστη συστολική Στο, Σχήμα 5.4, δείχνεται η χρονική στιγμή t= sec με τιμή ταχύτητας m/s για φυσιολογικό παλμό προκειμένου να αναλυθούν τα αποτελέσματα. Η ταχύτητα αυτή αφορά στην μέγιστη διαστολή όπου οι βαλβίδες είναι κλειστές και γεμίζουν οι κόλποι. Η ενδοκοιλιακή πίεση πέφτει σε χαμηλότερο επίπεδο από εκείνο των κόλπων και οι κολποκοιλιακές βαλβίδες ανοίγουν. Στο Σχήμα 5.5 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της τοιχωματικής διατμητικής τάσης σε φυσιολογικό παλμό για τη χρονική στιγμή t= sec την μέγιστη δηλ. τιμή της διαστολικής φάσεως. Όπως δείχνεται, χαμηλές τιμές της διατμητικής τάσης εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται ανάντη και κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής, διότι η ταχύτητα εκεί είναι πολύ μικρή (αν και μεγαλύτερη συγκριτικά από την αντίστοιχη τιμής της μεγίστης συστολικής). Οι τιμές της τοιχωματικής διατμητικής τάσης κυμαίνονται από κοντά στο 0.0 μέχρι Pa (δεν δείχνεται) σε όλο τον χώρο, δηλ. και επί του stent και επί του ενδοθηλίου. Επί του ενδοθηλίου και μόνο οι τιμές αυτές μεταβάλλονται από 0.0 μέχρι 3.71 Pa. 91

92 Velocity Magnitude (m/s) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 Προφίλ ταχύτητας σε φυσιολογικό παλμό 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Time(sec) 0 0, , , , , , , , , , Σχήμα 5.4 Χρονική στιγμή t= sec, κοντά στη μεγίστη τιμή διαστολής, για παρουσίαση αποτελεσμάτων κατά τον φυσιολογικό παλμό Σχήμα 5.5 Τοιχωματική διατμητική τάση WSS (Pa) κατά τον φυσιολογικό παλμό τη χρονική στιγμή t= sec, κοντά στη μεγίστη διαστολική τιμή 92

93 5.3 Μέση τοιχωματική διατμητική τάση Στο Σχήμα 5.6 παρουσιάζεται η κατανομή της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης Average Wall Shear Stress (AWSS, Pa) με σε φυσιολογικό παλμό. Οι τιμές της τοιχωματικής διατμητικής τάσης κυμαίνονται από κοντά στο 0.0 μέχρι 7.21 Pa (δεν δείχνεται) σε όλο τον χώρο, δηλ. και επί του stent και επί του ενδοθηλίου. Επί του ενδοθηλίου και μόνο οι τιμές αυτές μεταβάλλονται από 0.0 μέχρι 1.15 Pa. Ανάντη και κατάντη του stent εμφανίζονται χαμηλές τιμές. Σχήμα 5.6 Μέση τοιχωματική διατμητική τάση AWSS (Pa) με κατά τον φυσιολογικό παλμό 5.4 Διάνυσμα μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης Στο Σχήμα 5.7 παρουσιάζεται η κατανομή της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης Average Wall Shear Stress Vector (AWSSV, Pa) με σε φυσιολογικό παλμό. Οι τιμές της τοιχωματικής διατμητικής τάσης κυμαίνονται από κοντά στο 0.0 μέχρι 7.2 Pa (δεν δείχνεται) σε όλο τον χώρο, δηλ. και επί του stent και επί του ενδοθηλίου. Επί του ενδοθηλίου και μόνο οι τιμές αυτές μεταβάλλονται από 93

94 πολύ κοντά στο 0.0 μέχρι 1.08 Pa. Ανάντη και κατάντη του stent εμφανίζονται χαμηλές τιμές. Σχήμα 5.7 Διάνυσμα μέσης τοιχωματικής διατμητική τάση AWSSV (Pa) κατά τον φυσιολογικό παλμό 5.5 Δείκτης παλμικής διάτμησης Στο Σχήμα 5.8 δείχνεται η κατανομή του δείκτη παλμικής διάτμησης (Oscillatory Shear Index, OSI) σε φυσιολογικό παλμό κατά την χρονική στιγμή t=0.75 sec. Yψηλές τιμές του δείκτη παλμικής διάτμησης εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται λίγο ανάντη και λίγο κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής. Οι τιμές του δείκτη OSI κατά τον φυσιολογικό παλμό κυμαίνονται από 0.0 μέχρι 0.08 στην χρονική στιγμή t=0.75 sec. 94

95 Σχήμα 5.8 Δείκτης παλμικής διάτμησης OSI κατά τον φυσιολογικό παλμό στην χρονική στιγμή t=0.75 sec 5.6 Σχετικός χρόνος παραμονής Στο Σχήμα 5.9 δείχνεται η κατανομή σχετικού χρόνου παραμονής Relative Residence Time (RRT) σε φυσιολογικό παλμό. Yψηλές τιμές του δείκτη παλμικής διάτμησης εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται ανάντη και κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής. Οι τιμές του σχετικού χρόνου παραμονής RRT κατά τον φυσιολογικό παλμό κυμαίνονται από 0.0 μέχρι 12.5 στην χρονική στιγμή t=0.75 sec. 95

96 Σχήμα 5.9 Σχετικός χρόνος παραμονής RRT κατά τον φυσιολογικό παλμό στην χρονική στιγμή t=0.75 sec 5.7 Συγκέντρωση της LDL στο τοίχωμα Στο Σχήμα 5.10 δείχνεται η κατανομή της κανονικοποιημένης τιμής συγκέντρωσης της (Χαμηλής πυκνότητος χοληστερίνης (Low density Lipoprotein, LDL) σε φυσιολογικό παλμό κατά την χρονική στιγμή t= sec. Οι τιμές της συγκέντρωσης κυμαίνονται από

97 Σχήμα 5.10 Συγκέντρωση της LDL (κανονικοποιημένης τιμής) στο ενδοθήλιο κατά τον φυσιολογικό παλμό στην χρονική στιγμή t= sec 97

98 Velocity Magnitude (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΤΑΧΥΚΑΡΔΙΑ 6.1 Καρδιακός παλμός σε ταχυκαρδία Στην παρούσα εργασία οι τιμές των εισαγόμενων δεδομένων στις προσομοιώσεις είναι οι ακόλουθες: Για την ταχύτητα εισόδου (inlet velocity) του ρευστού στους αυλούς εξετάζονται δύο περιπτώσεις αυτή της ασταθούς ροής με ταχύτητα μορφής φυσιολογικού παλμού όπως αυτή δείχθηκε στο Σχήμα 5.1 και αυτή στο Σχήμα 6.1 όπου δείχνεται η ταχύτητα του αίματος σε ταχυκαρδία. 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 Προφίλ ταχύτητας σε ταχυκαρδία 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Time(sec) Ταχυπαλμία Σχήμα 6.1 Διάγραμμα παλμικής ταχύτητας (m/s) σε ταχυκαρδία 98

99 Velocity Magnitude (m/s) 6.2 Τοιχωματική διατμητική τάση Η ταχύτητα αυτή αφορά στην περίοδο της συστολής και συγκεκριμένα στο μέγιστο t= sec της συστολής, Σχήμα 6.2, της κοιλίας κατά την οποία οι κολποκοιλιακές βαλβίδες ωθούνται προς τους κόλπους και συγκλίνουν εφαπτόμενες μεταξύ τους με αύξηση της πίεσης και κλείσιμο των κολποκοιλιακών βαλβίδων. Καθώς συνεχίζεται η σύσπαση, η πίεση αυξάνει αρκετά με αποτέλεσμα το άνοιγμα της αορτικής και της πνευμονικής βαλβίδας. 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 Προφίλ ταχύτητας σε ταχυκαρδία 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Time(sec) 0 0, , , , , , , ,14876 Σχήμα 6.2 Χρονική στιγμή αποτελεσμάτων ταχυκαρδίας κοντά στη μεγίστη τιμή συστολής για παρουσίαση αποτελεσμάτων κατά την ταχυκαρδία Στο Σχήμα 6.3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της τοιχωματικής διατμητικής τάσης σε ταχυκαρδία για τη χρονική στιγμή t= sec. Όπως δείχνεται, χαμηλές τιμές της διατμητικής τάσης (WSS) εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται ανάντη και κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής, διότι η ταχύτητα εκεί είναι πολύ μικρή. Επί του ενδοθηλίου και μόνο οι τιμές αυτές μεταβάλλονται από 0.0 μέχρι 1.6 Pa κατά την χρονική στιγμή t= , την μέγιστη δηλ. συστολική. 99

100 Σχήμα 6.3 Τοιχωματική διατμητική τάση WSS (Pa) τη χρονική στιγμή t= sec κοντά στη μεγίστη συστολική κατά την ταχυκαρδία Παρακάτω, Σχήμα 6.4, δείχνεται η χρονική στιγμή t= sec με τιμή ταχύτητας m/s για ταχυκαρδία προκειμένου να αναλυθούν τα αποτελέσματα. Η ταχύτητα αυτή αφορά (κοντά) στην μέγιστη διαστολή όπου οι βαλβίδες είναι κλειστές και γεμίζουν οι κόλποι. Η ενδοκοιλιακή πίεση πέφτει σε χαμηλότερο επίπεδο από εκείνο των κόλπων και οι κολποκοιλιακές βαλβίδες ανοίγουν. Στο Σχήμα 6.5 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της τοιχωματικής διατμητικής τάσης σε ταχυκαρδία για τη χρονική στιγμή t= sec. Όπως δείχνεται από το σχήμα, χαμηλές τιμές της διατμητικής τάσης, WSS, εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται ανάντη και κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής, διότι η ταχύτητα εκεί είναι πολύ μικρή, αν και μεγαλύτερη συγκριτικά από την αντίστοιχη τιμής της μεγίστης συστολικής. Οι τιμές της τοιχωματικής διατμητικής τάσης επί του ενδοθηλίου και μόνο μεταβάλλονται από 0.0 μέχρι 19.9 Pa. 100

101 Velocity Magnitude (m/s) 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 Προφίλ ταχύτητας σε ταχυκαρδία 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Time(sec) 0 0, , , , , , , ,14876 Σχήμα 6.4 Χρονική στιγμή t= sec (κοντά στη μεγίστη τιμή διαστολής) για παρουσίαση αποτελεσμάτων κατά την ταχυκαρδία Σχήμα 6.5 Τοιχωματική διατμητική τάση WSS (Pa) τη χρονική στιγμή t= sec κοντά στη μεγίστη διαστολική τιμή κατά την ταχυκαρδία 101

102 6.3 Μέση τοιχωματική διατμητική τάση Στο Σχήμα 6.6 παρουσιάζεται η κατανομή της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης (Average Wall Shear Stress, AWSS, Pa) με σε ταχυκαρδία. Επί του ενδοθηλίου και μόνο οι τιμές της τοιχωματικής διατμητικής τάσης κυμαίνονται από 0.0 μέχρι 8.41 Pa. Ανάντη και κατάντη του stent εμφανίζονται χαμηλές τιμές. Σχήμα 6.6 Μέση τοιχωματική διατμητική τάση AWSS (Pa) με κατά την ταχυκαρδία 6.4 Διάνυσμα μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης Στο Σχήμα 6.7 παρουσιάζεται η κατανομή του διανύσματος της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης (Average Wall Shear Stress Vector, AWSSV, Pa) με σε ταχυκαρδία. Επί του ενδοθηλίου και μόνο οι τιμές του διανύσματος της μέσης τοιχωματικής διατμητικής τάσης κυμαίνονται από 0.0 μέχρι 8.22 Pa. Ανάντη και κατάντη του stent εμφανίζονται χαμηλές τιμές. 102

103 Σχήμα 6.7 Διάνυσμα του μέσου διανύσματος της τοιχωματικής διατμητικής τάσης AWSSV (Pa) με κατά την ταχυκαρδία 103

104 6.5 Δείκτης παλμικής διάτμησης Στο Σχήμα 6.8 δείχνεται η κατανομή του δείκτη παλμικής διάτμησης Oscillatory Shear Index (OSI) σε ταχυκαρδία κατά την χρονική στιγμή t= sec. Yψηλές τιμές του δείκτη παλμικής διάτμησης εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται ανάντη και κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής. Οι τιμές του δείκτη κυμαίνονται από 0.0 μέχρι Σχήμα 6.8 Δείκτης παλμικής διάτμησης OSI κατά την ταχυκαρδία στην χρονική στιγμή t= sec 104

105 6.6 Σχετικός χρόνος παραμονής Στο Σχήμα 6.9 δείχνεται η κατανομή σχετικού χρόνου παραμονής (Relative Residence Time, RRT) σε ταχυκαρδία. Yψηλές τιμές του δείκτη παλμικής διάτμησης εντοπίζονται στις περιοχές που βρίσκονται ανάντη και κατάντη από το stent κατά τη διεύθυνση της ροής. Οι τιμές του σχετικού χρόνου παραμονής κυμαίνονται από 0.0 μέχρι Σχήμα 6.9 Σχετικός χρόνος παραμονής RRT κατά την ταχυκαρδία στην χρονική στιγμή t= sec 105

106 6.7 Συγκέντρωση της LDL στο τοίχωμα Στο Σχήμα 6.10 δείχνεται η κατανομή της κανονικοποιημένης τιμής της συγκέντρωσης της χαμηλής πυκνότατος χοληστερίνης (Low density Lipoprotein, LDL) σε ταχυκαρδία κατά την χρονική στιγμή t= sec. Οι τιμές της συγκέντρωσης κυμαίνονται από μέχρι Σχήμα 6.10 Συγκέντρωση της LDL (κανονικοποιημένης τιμής) στο ενδοθήλιο κατά τον φυσιολογικό παλμό στην χρονική στιγμή t= sec 106