Φωτονικές Διατάξεις Επιφανειακών Πλασμονικών Κυμάτων σε Κλίμακα Μικρότερη του Μήκους Κύματος

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Φωτονικές Διατάξεις Επιφανειακών Πλασμονικών Κυμάτων σε Κλίμακα Μικρότερη του Μήκους Κύματος Οδυσσέας Χ. Τσιλιπάκος Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 213

2

3 Η παρούσα έρευνα έχει συγχρηματοδοτηθεί από την Ευρωπαϊκή Ενωση(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο ΕΚΤ) και από εθνικούς πόρους μέσω του Επιχειρησιακού Προγράμματος«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου Αναφοράς (ΕΣΠΑ) Ερευνητικό Χρηματοδοτούμενο Εργο: Ηράκλειτος ΙΙ. Επένδυση στην κοινωνία της γνώσης μέσω του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου.

4 c Οδυσσέας Χ. Τσιλιπάκος c Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Φωτονικές Διατάξεις Επιφανειακών Πλασμονικών Κυμάτων σε Κλίμακα Μικρότερη του Μήκους Κύματος ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Ε. Ε. Κριεζής Αναπ. Καθηγητής Θ. Δ. Τσιμπούκης Καθηγητής Τ. Β. Γιούλτσης Αναπ. Καθηγητής ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Χ. Σ. Αντωνόπουλος Καθηγητής Θ. Δ. Τσιμπούκης Καθηγητής Τ. Β. Γιούλτσης Αναπ. Καθηγητής Ε. Ε. Κριεζής Αναπ. Καθηγητής Ι. Θ. Ρέκανος Αναπ. Καθηγητής Ν. Β. Κανταρτζής Επικ. Καθηγητής Δ. Χριστόφιλος Επικ. Καθηγητής «Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα»(ν. 5343/1932, άρθρο 22, παρ. 2)

5 Στη Βάσω

6

7 Πρόλογος Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στον τομέα Τηλεπικοινωνιών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κατά το χρονικό διάστημα από τον Σεπτέμβριο του 28 έως τον Οκτώβριο του 213. Εν είδει προλόγου θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν στην ολοκλήρωσή της, με πρώτο τον επιβλέποντά μου, αναπληρωτή καθηγητή κ. Εμμανουήλ Κριεζή, για την αμέριστη συμπαράσταση και την ουσιαστική και διαρκή επιστημονική του καθοδήγηση. Το αμείωτο ενδιαφέρον με το οποίο αντιμετώπισε το σύνολο της προσπάθειάς μου αποτέλεσε ίσως το σημαντικότερο κίνητρο ώστε να προσπαθήσω για το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Αναμφισβήτητα, η συμβολή του στην ολοκλήρωση της διατριβής υπήρξε καταλυτική σε κάθε επίπεδο. Θα ήθελα, επίσης, να εκφράσω τις ιδιαίτερες ευχαριστίες μου στον αναπληρωτή καθηγητή κ. Τραϊανό Γιούλτση για τις γνώσεις που μοιράστηκε μαζί μου και τη δημιουργική συνεργασία που είχαμε όλα αυτά τα χρόνια. Ευχαριστώ, ακόμη, τον καθηγητή κ. Θεόδωρο Τσιμπούκη, μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής, για τη συμπαράστασή του καθ όλη τη διάρκεια της προσπάθειας αυτής. Για τη συμβολή τους και το ενδιαφέρον ευχαριστώ, τέλος, τον επίκουρο καθηγητή κ. Νικόλαο Πλέρο και τον Δρ. Κωνσταντίνο Βυρσωκινό. Η παρουσία μου στον χώρο του πανεπιστημίου κατά το χρονικό διάστημα εκπόνησης της διατριβής είχε ως αποτέλεσμα τη συναναστροφή μου με πολλούς καλούς φίλους και συναδέλφους. Θα επιθυμούσα, λοιπόν, να ευχαριστήσω θερμά για τις συζητήσεις, γνώσεις και εμπειρίες που μοιραστήκαμε τους Δρ. Δημήτριο Ζωγραφόπουλο, Δρ. Αθανάσιο Πολυμερίδη, Δρ. Δημήτρη Καρατζίδη, Δρ. Αντώνη Λάλα, Αλέξανδρο Δημητριάδη, Δημήτρη Ντάικο, Δήμητρα Κετζάκη, Μιχάλη Νήτα και Σωτήρη Παπαϊωάννου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω προς τους εγκάρδιους φίλους και συναδέλφους στο εργαστήριο Οπτικών Επικοινωνιών, Αλέξανδρο Πιτιλάκη και Άννα Τασολάμπρου, για την αμέριστη συμπαράσταση καθώς και την πολύτιμη βοήθεια και υποστήριξη που μου προσέφεραν. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω ολόψυχα τους γονείς μου, Μαριάνθη και Χρήστο, καιτοναδερφόμου,λεωνίδα,οιοποίοιείναιδίπλαμουκαιμεστηρίζουνόλααυτάταχρόνια. i Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 213 Οδυσσέας Τσιλιπάκος

8 ii

9 Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα i iii 1 Εισαγωγή Ιστορικήκαιβιβλιογραφικήαναδρομή Διάρθρωσηκαισυμβολήτηςεργασίας Πλασμονικοί Κυματοδηγοί Εισαγωγή Ιδιότητεςμετάλλωνστιςοπτικέςσυχνότητες Μονοδιάστατοιπλασμονικοίκυματοδηγοί Διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού: Ενας στοιχειώδης πλασμονικός κυματοδηγός Διατάξειςτριώνστρωμάτων:ΙΜΙκαιΜΙΜκυματοδηγοί Δισδιάστατοιπλασμονικοίκυματοδηγοί Πλασμονικόςκυματοδηγόςταινίας Πλασμονικόςκυματοδηγόςδιηλεκτρικήςφόρτισης Υβριδικοίπλασμονικοίκυματοδηγοί Ανακεφαλαίωση Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων Υπολογιστικέςμέθοδοιστηφωτονικήτεχνολογία Ημέθοδοςτωνπεπερασμένωνστοιχείων Γενικά Τριγωνικάπρισματικάστοιχείαακμήςπρώτηςτάξης Διατύπωση Galerkin Οριακέςσυνθήκες Απορροφητικέςοριακέςσυνθήκες Πλήρωςπροσαρμοσμέναστρώματααπορρόφησης Μετεπεξεργασίααποτελεσμάτων Απεικόνισηηλεκτρικούπεδίου Υπολογισμόςμαγνητικούπεδίου Ακριβήςαριθμητικήολοκλήρωση Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς Μαθηματικήδιατύπωσησυνθήκης iii

10 iv Περιεχόμενα Αξιολόγησημέσωαριθμητικώνπαραδειγμάτων Κυματοδηγόςτεχνολογίαςπυριτίου ΥβριδικόςΠλασμονικόςκυματοδηγός Τοπαράδειγματου DLSPPκυματοδηγού Ανακεφαλαίωση Φίλτρα Συντονιστών Οδεύοντος Κύματος Εισαγωγή ΦίλτραΣυντονιστώνΜικροδακτυλίου Γενικά Δομήκαιαρχήλειτουργίας Περιγραφήαπόκρισηςμεκυκλωματικόμοντέλο Φυσικήυλοποίησημε DLSPPκυματοδηγό Επίδρασηδομικώνπαραμέτρωνστηνοπτικήαπόκριση Επίδρασηδιακένουσύζευξης Επίδρασηακτίναςσυντονιστή Τοφίλτρομικροδακτυλίουωςπρόβλημαιδιοτιμών ΦίλτραΣυντονιστώνΜικροδίσκου Περιοχήμικρήςακτίνας:Υπεροχήμικροδίσκου Περιοχήμεγάληςακτίνας:Ισοδυναμίαμεδακτύλιο Ρυθμοίανώτερηςακτινικήςτάξης Ανακεφαλαίωση Θερμο-οπτικά Διακοπτικά Στοιχεία Θερμο-οπτικόςέλεγχοςφίλτρουμικροδακτυλίου Θερμικήανάλυση Οπτικήαπόκρισηφίλτρουμικροδακτυλίου Μεταβατικόφαινόμενο Φίλτραπροσθήκης-απόρριψηςκαναλιού Διατάξειςμεκάθετουςκυματοδηγούςεισόδου/εξόδου Διασταύρωσηκυματοδηγών Οπτικήαπόκρισηπλήρουςδιάταξης Διατάξεις δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου Χωρίςδιαμόρφωσητηςδιασταύρωσης Μεελλειπτικήδιαμόρφωσητηςδιασταύρωσης Χρήσηπολυμερούςμευψηλότεροθερμο-οπτικόσυντελεστή Πειραματικήεπιβεβαίωση Ανακεφαλαίωση Σύζευξη του DLSPP με Κυματοδηγούς Τεχνολογίας Πυριτίου Εισαγωγή Σύζευξημε SOIκυματοδηγόράβδωσης SOIκυματοδηγόςράβδωσης Διεπιφάνεια DLSPP/Si-ribκυματοδηγών Μεθοδολογία υπολογισμού αποδοτικότητας σύζευξης Αποδοτικότητα σύζευξης: Παραμετρική ανάλυση Ανάλυσησεεπιμέρουςμηχανισμούςαπωλειών iv

11 Περιεχόμενα v Αμοιβαιότητααπωλειώνσύζευξης Σύζευξημε SOIκυματοδηγόταινίας SOIκυματοδηγόςταινίας Διεπιφάνεια DLSPP/Si-wireκυματοδηγών Σύγκρισημεμετρήσειςαπωλειώνσύζευξης Δείγματαμεκυματοδηγούςταινίας Δείγματαμεκυματοδηγούςράβδωσης DLSPP-SOIδιεπιφάνειαμεμεταλλικόδιάκενο Κυματοδηγόςράβδωσης Κυματοδηγόςταινίας Επίδραση οριζόντιας μετατόπισης κυματοδηγών στην αποδοτικότητα σύζευξης Ανακεφαλαίωση Οπτική διστάθεια με μη γραμμικούς συντονιστές οδεύοντος κύματος Μηγραμμικόςυβριδικόςπλασμονικόςκυματοδηγός Διάταξησυντονιστήοδεύοντοςκύματος Δομήκαιαρχήλειτουργίας Μαθηματικόπλαίσιο Θεωρίαμικρώνδιαταραχών Θεωρίασυζευγμένωνρυθμών Ογραμμικόςσυντονιστήςωςπρόβλημαιδιοτιμών Ασύζευκτοςσυντονιστής Συζευγμένοςσυντονιστής Οπτικήδιστάθεια Ανακεφαλαίωση Συμπεράσματα και Μελλοντικές Κατευθύνσεις 211 Βιβλιογραφία 217 Abstract 24 Κατάλογος Ακρωνυμίων 243 v

12 vi

13 1 Εισαγωγή 1.1 Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή Στις σημαντικότερες τεχνολογικές εξελίξεις των τελευταίων δεκαετιών στην περιοχή των τηλεπικοινωνιών συγκαταλέγεται αναμφίβολα η ανάπτυξη συστημάτων οπτικών επικοινωνιών, συστημάτων, δηλαδή, που χρησιμοποιούν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με φέρουσα συχνότητα στην κοντινή υπέρυθρη περιοχή(8 nm 17 nm) για τη μετάδοση και ε- πεξεργασία της πληροφορίας. Στις ζεύξεις μακρινών αποστάσεων οι επικοινωνίες οπτικής ίνας αποτελούν πλέον μια ώριμη τεχνολογία, η οποία χρησιμοποιείται για την κάλυψη ενός μεγάλου μέρους των παγκόσμιων τηλεπικοινωνιακών αναγκών[1]. Κυρίαρχο ρόλο στην εξέλιξη αυτή διαδραμάτισε η τελειοποίηση των σχετικών κατασκευαστικών τεχνικών, γεγονός που επέτρεψε την ελαχιστοποίηση των απωλειών διάδοσης. Ειδικότερα, οι σύγχρονες εμπορικά διαθέσιμες μονόρρυθμες ίνες διαθέτουν απώλειες της τάξης των.2 db/km στο μήκοςκύματοςτου 1.55μm, 1 τιμήκοντάστοθεωρητικάπροβλεπόμενοκατώτατοόριοτο οποίο διαμορφώνεται από εγγενείς φυσικούς περιορισμούς όπως η σκέδαση Rayleigh και η απορρόφηση από το υλικό κατασκευής. Στην ωρίμανση των επικοινωνιών οπτικής ίνας συνέβαλε επίσης και ένας αριθμός άλλων τεχνολογικών εξελίξεων, όπως η επιτυχής υλοποίηση πηγών φωτός στερεάς κατάστασης, η ανάπτυξη οπτικών ενισχυτών ίνας Ερβίου (Erbium-Doped Fiber Amplifiers, EDFAs) και η εξέλιξη των τεχνικών πολυπλεξίας(στο πεδίοτουχρόνου, OTDM, 2 ήτηςσυχνότητας, WDM 3 )καικωδικοποίησης. Ωςαποτέλεσμα, είναι πλέον δυνατή η μετάδοση πληροφορίας σε αποστάσεις εκατοντάδων χιλιομέτρων με ταχύτητες ανά κανάλι που υπερβαίνουν τα 4 Gbit/s. Αξιοποιώντας την τεχνική της πολυπλεξίας στο μήκος κύματος, τα συστήματα οπτικών επικοινωνιών έβδομης γενιάς μπορούν να επιτύχουν γινόμενο απόστασης-εύρους ζώνης(bandwidth-distance, BL, product) της τάξης των εκατοντάδων Tbit/s km. Παράλληλα με τις ραγδαίες εξελίξεις στις επικοινωνίες οπτικών ινών, εκρηκτική ανάπτυξη γνώρισαν και οι οπτικές επικοινωνίες σε επίπεδο ολοκληρωμένου κυκλώματος, με την αντίστοιχη ερευνητική περιοχή να αποκαλείται ολοκληρωμένη οπτική(integrated op- 1 Γιαπαράδειγμα,ηSMF-28 ULLίνατης Corningπαρουσιάζειαπώλειεςπουκυμαίνονταιαπό.17έως.18 db/km. 2 Optical Time-Division Multiplexing 3 Wavelength-Division Multiplexing 1

14 2 Κεφάλαιο 1 tics). 4 Σταοπτικάολοκληρωμένακυκλώματα(Optical Integrated Circuits, OICs) 5 ένας αριθμός οπτικών διατάξεων ολοκληρώνεται σε κοινό υπόστρωμα προς τον σκοπό της επιτέλεσης κάποιας σύνθετης λειτουργίας. Ενδεικτικά, τα κυκλώματα αυτά μπορεί να περιλαμβάνουν επίπεδους(planar) οπτικούς κυματοδηγούς για τη μετάδοση του σήματος μεταξύ διαφορετικών σημείων του κυκλώματος, παθητικά εξαρτήματα όπως ζεύκτες, διακλαδώσεις, (άπο-)πολυπλέκτες 6 καιφίλτρα,καθώςκαιενεργάεξαρτήματα,όπωςδιακόπτες,διαμορφωτές,πηγές,ανιχνευτέςκαιοπτικοίενισχυτές. 7 Τέτοιασύνθεταολοκληρωμένακυκλώματα είναι, για παράδειγμα, οι πομποί/δέκτες των συστημάτων υψηλής ταχύτητας μετάδοσης με πολυπλεξία στον χρόνο ή τη συχνότητα. Κατά την εξέλιξη της περιοχής αναπτύχθηκαν διάφορες τεχνολογίες υλικών για την κατασκευή ολοκληρωμένων φωτονικών κυκλωμάτων, με την κάθε μια να εμφανίζει συγκεκριμένα προτερήματα και περιορισμούς. Ειδικότερα, τα συστήματα υλικών των ομάδων III-V του περιοδικού πίνακα(gaalas/gaas και InGaAsP/InP) επιτρέπουν την υλοποίηση οπτικών πηγών και ανιχνευτών καθώς οι αντίστοιχοι ημιαγωγοί είναι άμεσου ενεργειακού χάσματος(direct bandgap). Για παράδειγμα, ευρεία χρήση έχουν γνωρίσει οι πηγές laser διόδων με εξωτερική διαμόρφωση(externally Modulated Laser, EML) σε υπόστρωμα InP. Συνδυάζοντας μια laser δίοδο κατανεμημένου μηχανισμού ανάδρασης(distributed Feedback, DFB, Laser Diode) και έναν διαμορφωτή ηλεκτρο-απορρόφησης(electro-absorption Modulator, EAM) σε κοινό υπόστρωμα επιτυγχάνουν παλμική λειτουργία με υψηλό ρυθμό επανάληψης παλμών(repetition rate) και επαρκή οπτική ισχύ εξόδου στο μήκος κύματος του 1.55 μm. Ως αποτέλεσμα, οι τεχνολογίες των ημιαγωγών ΙΙΙ-V προσφέρονται για μονολιθική ολοκλήρωση(monolithic integration) όπου ενεργά και παθητικά στοιχεία φιλοξενούνται στο ίδιο υπόστρωμα. Από την άλλη, οι τεχνολογίες ολοκληρωμένων κυκλωμάτωνμεβάσηκάποιογυαλί 8 ήπολυμερές 9 δενπροσφέρονταιγιατηνυλοποίησηπηγών ή ανιχνευτών. Ετσι, προτιμώνται συνήθως για την υλοποίηση παθητικών εξαρτημάτων καθώς παρουσιάζουν κατά κανόνα χαμηλές απώλειες κυματοδηγού, ενώ στις περιπτώσεις που απαιτείται η ενσωμάτωση κάποιου ενεργού στοιχείου αυτό πραγματοποιείται με κάποια τεχνική υβριδικής ολοκλήρωσης. Τέλος, η ολοκληρωμένη τεχνολογία με βάση το νιοβικό 4 Ηπρώτηαναφοράσεολοκληρωμέναοπτικάκυκλώματααποδίδεταιστον S. Miller,οοποίοςτο1969 εισήγαγε την ιδέα οπτικών κυκλωμάτων ολοκληρωμένων σε κοινό υπόστρωμα, κατ αναλογία με τα ηλεκτρονικά ή μικροκυματικά ολοκληρωμένα κυκλώματα. 5 Αναφέρονταικαιωςφωτονικάολοκληρωμένακυκλώματα(Photonic Integrated Circuits, PICs). 6 Χαρακτηριστικό παράδειγμα ολοκληρωμένου πολυπλέκτη αποτελούν οι πολυπλέκτες τύπου AWG (Arrayed Waveguide Grating) που γνώρισαν ευρεία χρήση στα συστήματα οπτικών ινών με πολυπλεξία μήκους κύματος. 7 Οιπιοδιαδεδομένοιολοκληρωμένοιοπτικοίενισχυτέςείναιαυτοίπουχρησιμοποιούνωςενεργόμέσο κράματα ημιαγωγών των ομάδων ΙΙΙ-V του περιοδικού πίνακα και αναφέρονται ως Semiconductor Optical Amplifiers (SOAs). 8 Οπλέονσυνηθισμένοςτύποςγυαλιούείναιτοδιοξείδιοτουπυριτίου(Silica Glass, SiO 2 ),αλλάείναι επίσηςδιαδεδομένοικαιάλλοιτύποι,όπωςτα chalcogenides[2], fluorides, germanates(geo 2 ), tellurites (TeO 2 ), antimonates(sb 2 Ο 3 )και titanates(tio 2 ). 9 Ταπολυμερήπουχρησιμοποιούνταιπαραδοσιακάγιατηνκατασκευήολοκληρωμένωνοπτικώνκυματοδηγών και κυκλωμάτων είναι τα poly(methyl methacrylate)(pmma), polycarbonate(pc), polystyrene (PS) και polyurethane(pu)[3], ενώ πιο σύγχρονα οπτικά πολυμερή περιλαμβάνουν τα benzocyclobutene (BCB), perfluorovinyl ether cyclopolymer(cytop) και SU-8.

15 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 3 λίθιο(linbo 3 )προσφέρεταιγιατηνκατασκευήηλεκτρο-οπτικώνδιαμορφωτών,καθώςτο κρυσταλλικό αυτό υλικό διαθέτει ιδιαίτερα υψηλό ηλεκτρο-οπτικό συντελεστή επιτρέποντας τον έλεγχο των χαρακτηριστικών οδήγησης με την εφαρμογή τάσης. Ισως η σημαντικότερη τεχνολογία ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, όμως, είναι η τεχνολογία πυριτίου(silicon Photonics)[4, 5], ημιαγωγού της ομάδας IV του περιοδικού πίνακα. Τα κυκλώματα σχηματίζονται σε ένα υπόστρωμα(wafer) τεχνολογίας πυριτίου σε μονωτή (Silicon on Insulator, SOI), δηλαδή μια στρωματοποιημένη δομή πυριτίου-μονωτή-πυριτίου, η οποία είναι ιδιαίτερα διαδεδομένη από την περιοχή της μικροηλεκτρονικής και ευρύτατα διαθέσιμη εμπορικά. Το γεγονός αυτό εξασφαλίζει συμβατότητα με την Complementary Metal-Oxide-Semiconductor (CMOS) τεχνολογία των Very-Large-Scale Integration (VLSI) ηλεκτρονικών και χαμηλό κόστος. Ενα ακόμη σημαντικότερο πλεονέκτημα της τεχνολογίας SOI είναι η υψηλή αντίθεση των εμπλεκόμενων δεικτών διάθλασης. Πιο συγκεκριμένα, στα τηλεπικοινωνιακά μήκη κύματος περί το 1.55 μm το πυρίτιο χαρακτηρίζεται απόδείκτηδιάθλασης 3.5ενώτοσυγγενέςοξείδιο(SiO 2 )απόδείκτηδιάθλασης 1.5. Ως αποτέλεσμα, οι φυσικές διαστάσεις των SOI κυματοδηγών και η χωρική έκταση των υποστηριζόμενων ρυθμών μπορούν να λάβουν διαστάσεις μόλις μερικών εκατοντάδων νανομέτρων. 1 Επιπρόσθετα,ηισχυρήσυγκέντρωση(confinement)καθιστάδυνατήτηνκάμψη των κυματοδηγών με ακτίνες καμπυλότητας της τάξης των λίγων μικρομέτρων, γεγονός που επιτρέπει υψηλή πυκνότητα ολοκλήρωσης. Σαν συνέπεια των παραπάνω, η τεχνολογία πυριτίου αποτελεί σήμερα την επικρατέστερη επιλογή για την κατασκευή παθητικών PICs υψηλήςποιότητας. 11 Η δυνατότητα κατασκευής συμπαγών(compact) ολοκληρωμένων κυματοδηγών και κυκλωμάτων άνοιξε το δρόμο για ενδιαφέρουσες νέες εφαρμογές. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι οπτικές διασυνδέσεις(optical interconnects) στα υπολογιστικά συστήματα υ- ψηλών επιδόσεων(high Performance Computing, HPC, Systems)[8 11], όπου απαιτείται η ανταλλαγή ενός τεράστιου όγκου δεδομένων μεταξύ των επιμέρους μονάδων επεξεργασίας: πυρήνων ή κυκλωμάτων(core-to-core, chip-to-chip ή board-to-board). Η χρήση ηλεκτρικών διασυνδέσεων για τον σκοπό αυτό χαρακτηρίζεται από περιορισμένο εύρος ζώνης, καθιστώντας προτιμότερη τη διασύνδεση με οπτικούς κυματοδηγούς, οι οποίοι συνοδεύονται από υπερπολλαπλάσιο εύρος ζώνης. Στην περίπτωση αυτή, βέβαια, είναι απαραίτητη η χρήση μονάδων μετατροπής των ηλεκτρικών σημάτων σε οπτικά και αντίστροφα(e/o conversion), γεγονός που οδηγεί σε αυξημένη πολυπλοκότητα. Μέχρι στιγμής, η διείσδυση των τεχνολογιών της ολοκληρωμένης οπτικής στα υπολογιστικά συστήματα περιορίζεται στο επίπεδο των διασυνδέσεων. Τα κυκλώματα επεξεργασίας παραμένουν ηλεκτρονικά με την οπτική επεξεργασία σήματος να μην είναι ακόμη έτοιμη να ανταποκριθεί στις σύγχρονες απαιτήσεις. Ειδικότερα, παρά την πρόοδο που έχει σημειωθεί στον σχεδιασμό φωτονικών διακοπτικών στοιχείων, αυτά παραμένουν σαφώς ογκωδέστερα από τα αντίστοιχα ηλεκτρονικά: τα τρανζίστορ. Παρότι η τεχνολογία πυριτίου χαρακτηρί- 1 ΤυπικέςδιαστάσειςπυρήναγιακυματοδηγόταινίαςπουλειτουργείστονβασικόΤΕρυθμόείναι 45 nm 22 nm[6,7],μετοναντίστοιχορυθμόναείναικαλάσυγκεντρωμένοςστονπυρήνα. 11 Τοπυρίτιο(Si)είναιημιαγωγόςέμμεσουδιακένου(indirect bandgap)καισυνεπώςακατάλληλογια την κατασκευή αποδοτικών laser διόδων.

16 4 Κεφάλαιο 1 ζεται ως νανοφωτονική, οι διαστάσεις των αντίστοιχων διακοπτικών στοιχείων είναι τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες από τα τρανζίστορ της VLSI τεχνολογίας 22 nm που χρησιμοποιείται σήμερα από τους μεγάλους κατασκευαστές. Δυστυχώς, η περαιτέρω μείωση των διαστάσεών τους δεν είναι προφανής, καθώς η δυνατότητα συμπίεσης της έκτασης μιας φωτεινής δέσμης περιορίζεται από το όριο περίθλασης(diffraction limit). Ενα ακόμη σημαντικό μειονέκτημα των διαθέσιμων φωτονικών διακοπτικών στοιχείων είναι οι μεγαλύτερες απαιτήσεις σε κατανάλωση ισχύος που τα συνοδεύουν, ενώ υπάρχει βέβαια και ο σκόπελος της παραγωγής σε μεγάλη κλίμακα(large scale manufacturing ή mass production) που θα πρέπει να ξεπεραστείκαιαπαιτείτελειοποίησητωναντίστοιχωνκατασκευαστικώντεχνικών. 12 Παρά τις προαναφερθείσες δυσκολίες, η έρευνα προς αυτή την κατεύθυνση συνεχίζεται με εντατικούς ρυθμούς, καθώς η αντικατάσταση των ηλεκτρονικών μονάδων επεξεργασίας από οπτικές θα επέτρεπε την αύξηση της ταχύτητας επεξεργασίας κατά πολλές τάξεις μεγέθους. Απώτερος στόχος είναι η υλοποίηση κυκλωμάτων επεξεργασίας νανομετρικών διαστάσεων, όπου όλα τα επιμέρους στοιχεία, από τις μονάδες μνήμης και διακοπτικής λειτουργίας έως τις διασυνδέσεις, θα είναι οπτικά. Τα τελευταία χρόνια, πρωτοφανές ερευνητικό ενδιαφέρον έχει συγκεντρώσει η πλασμονική (plasmonics)[12 15], ως η τεχνολογία που ενδεχομένως καταστήσει δυνατή την υλοποίηση ολοκληρωμένων φωτονικών κυκλωμάτων νανομετρικών διαστάσεων[16 21]. Η πλασμονική συνδυάζει τη χρήση μετάλλων και διηλεκτρικών για τον σχηματισμό διατάξεων κυματοδήγησης, εκμεταλλευόμενη τη δυνατότητα υποστήριξης επιφανειακών ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων από μια διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού στις οπτικές συχνότητες[22 26]. Τα κύματα αυτά αποκαλούνται πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων(surface Plasmon Polaritons, SPPs) και παρουσιάζουν το καινοφανές για φωτονικό ρυθμό χαρακτηριστικό να μηνυπακούνστοόριοπερίθλασης. 13 Μεάλλαλόγια,ηχωρικήέκτασητουρυθμούμπορεί θεωρητικά να λάβει αυθαίρετα μικρές διαστάσεις, κάτι αδύνατο με τις συμβατικές φωτονικές τεχνολογίες. Ενα δεύτερο σημαντικό πλεονέκτημα της πλασμονικής είναι ότι τα ίδια μεταλλικά μέρη που χρησιμοποιούνται για τον σχηματισμό του επιφανειακού ρυθμού μπορούν να αξιοποιηθούν και για την ταυτόχρονη εφαρμογή ηλεκτρικών σημάτων(όπως μιας διαφοράς δυναμικού ή ενός ηλεκτρικού ρεύματος), ενισχύοντας έτσι την προοπτική δυναμικά ελεγχόμενων εξαρτημάτων. Εν ολίγοις, φαίνεται η πλασμονική να συνδυάζει πλήθος επιθυμητών χαρακτηριστικών. Οχι μόνο διαθέτει το υψηλό εύρος ζώνης μιας φωτονικής τεχνολογίας, αλλά επιπλέον επιτρέπει, τουλάχιστον θεωρητικά, τη συρρίκνωση των διαστάσεων σε επίπεδα αντίστοιχα των ηλεκτρονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, ή και μικρότερων. Επιπλέον, τα υπάρχοντα μεταλλικά στοιχεία μπορούν να αποτελέσουν ηλεκτρόδια για 12 Αντίστοιχαπροβλήματαμεαυτάπουσημειώνονταιστηνπερίπτωσητωνοπτικώνδιακοπτικώνστοιχείων διαπιστώνονται και στην προσπάθεια υλοποίησης οπτικών μονάδων μνήμης. 13 Εκτόςτωνεπιφανειακών SPPκυμάτων,έναδεύτεροαντικείμενομελέτηςτηςπλασμονικήςαποτελούν οι πλασμονικοί συντονισμοί(surface plasmon resonance ή localized surface plasmons) των μεταλλικών σωματιδίων(metal nanoparticles), με την αντίστοιχη θεωρία να είναι γνωστή ήδη από την κλασική εργασία του Mie το 198[27]. Τα φαινόμενα αυτά αξιοποιούνται κυρίως σε εφαρμογές βιολογικών αισθητήρων (biosensors)[28] και δεν θα μας απασχολήσουν στην παρούσα διατριβή όπου η σκόπευση βρίσκεται στις διατάξεις οδηγούμενου κύματος(guided-wave devices).

17 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 5 την εφαρμογή σημάτων ελέγχου προσδίδοντας αυξημένη λειτουργικότητα στα πλασμονικά κυκλώματα και ανοίγοντας έτσι το δρόμο για πλασμονικά διακοπτικά στοιχεία. Παρόλα αυτά, οι πλασμονικές διατάξεις παρουσιάζουν και ένα σημαντικό μειονέκτημα. Ειδικότερα, η διείσδυση του ρυθμού στα μεταλλικά μέρη του κυματοδηγού συνοδεύεται από την εμφάνιση υψηλών ωμικών απωλειών. Μάλιστα, προκύπτει ότι όσο ισχυρότερη γίνεται η συγκέντρωση τόσο σημαντικότερες καθίστανται οι απώλειες διάδοσης, με την αντίθετη αυτή τάση(tradeoff) που παρουσιάζουν τα μεγέθη απωλειών-συγκέντρωσης να αποτελεί τη σημαντικότερη παράμετρο στο σχεδιασμό πλασμονικών κυματοδηγών και κυκλωμάτων. Η δυνατότητα υποστήριξης ραδιοκυμάτων στην επιφάνεια ενός αγωγού πεπερασμένης αγωγιμότητας ήταν γνωστή ήδη πριν τον 2ο αιώνα από τις κλασικές εργασίες των Sommerfeld[29] και Zeneck[3]. Ωστόσο, η αναγνώριση αντίστοιχων φαινομένων στις οπτικές συχνότητες άργησε περίπου μισό αιώνα. Το 192 ο Wood παρατήρησε ανεξήγητες βυθίσεις στο φάσμα που παράγεται από την πρόσπτωση ορατού φωτός σε μεταλλικά φράγματα παράθλασης[31]. Η συσχέτισή των βυθίσεων αυτών με επιφανειακά κύματα τύπου Sommerfeld πραγματοποιήθηκε το 1941 από τον Fano[32]. Μερικά χρόνια αργότερα, το 1957 ο Ritchie[33] και το 196 οι Powell και Swan[34], παρατηρούσαν στο εργαστήριο φαινόμενα απωλειών κατά την αλληλεπίδραση δέσμης ηλεκτρονίων με λεπτό μεταλλικό φύλλο. Αντίστοιχες θεωρητικές παρατηρήσεις είχαν προηγηθεί το 1956 από τον Pines[35] και τον Fano [36] σε δύο ανεξάρτητες μελέτες. Το 1968 τα φαινόμενα αυτά συνδέθηκαν με τα αρχικά πειράματα σε μεταλλικά φράγματα παράθλασης, ως αποτελέσματα διέγερσης επιφανειακών πλασμονίων[37]. Την ίδια χρονιά, προτάθηκαν δύο διαφορετικές διατάξεις για τη διέγερση επιφανειακού κύματος SPP σε διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού με τη βοήθεια πρίσματος [38, 39]. Η ερευνητική περιοχή της πλασμονικής ήταν πλέον γεγονός. Στα χρόνια που ακολούθησαν τα SPPs σε μονή διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού μελετήθηκαν συστηματικά. Ενδιέφερε ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών οδήγησης(φασική σταθερά, απώλειες διάδοσης, χωρική έκταση του ρυθμού) και η επίδραση των επιφανειακών ανωμαλιών(surface roughness)σεαυτά, καθώςκαιοιδιατάξειςδιέγερσης. 14 Επιπρόσθετα, διερευνήθηκαν εκτενώς δομές τριών στρωμάτων: μετάλλου-διηλεκτρικού-μετάλλου (Metal-Insulator-Metal, MIM) και διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού(insulator-metal- Insulator, IMI)[41]. Για αρκούντως λεπτό μεσαίο στρώμα, τα επιμέρους SPP συζευγνύονται με αποτέλεσμα τη δημιουργία σύνθετων ρυθμών. Ανάλογα με τη συμμετρία των πεδιακών συνιστωσών, οι ρυθμοί κατατάσσονται σε συμμετρικούς ή αντισυμμετρικούς. Ιδιαίτερη προσοχή συγκέντρωσε ο συμμετρικός ρυθμός που υποστηρίζεται από δομή ΙΜΙ καθώς εμφανίζει χαμηλότερες απώλειες διάδοσης. Μάλιστα, η ελάττωση του πάχους του μεταλλικού φύλλουοδηγείσεαύξησητουμήκουςδιάδοσης,τοοποίομπορείναφτάσεισεπολύυψηλά για την πλασμονική επίπεδα, δικαιολογώντας τον χαρακτηρισμό του ρυθμού ως μακράς εμβέλειας[42 44]. Εξετάστηκε επίσης η περίπτωση μεταλλικού φύλλου σε μη συμμετρικό περιβάλλον, όπου τα διηλεκτρικά εκατέρωθεν του πυρήνα παρουσιάζουν διαφορετική διηλεκτρική σταθερά[45, 46], ενώ έμφαση δόθηκε και στους διαρρέοντες(leaky) ρυθμούς που 14 Εκτόςαπότηδιέγερσημεβοήθειαπρίσματος(προσαρμογήφασικώνσταθερών),διερευνήθηκεεπίσηςη δυνατότητα ακροπυροδοτικής(end-fire) διέγερσης στη βάση της χωρικής προσαρμογής(spatial matching) της προσπίπτουσας δέσμης με τον επιφανειακό ρυθμό[4].

18 6 Κεφάλαιο 1 υποστηρίζονται από την ΙΜΙ δομή[45, 47]. Οι πολυστρωματικές δομές μετάλλου-διηλεκτρικού αποτελούν μονοδιάστατες γεωμετρίες με τη μια εγκάρσια διεύθυνση να λαμβάνεται άπειρη κατά τη θεωρητική τους ανάλυση. Στην πορεία των χρόνων διερευνήθηκαν και δισδιάστατες γεωμετρίες που δύνανται να υ- ποστηρίξουν επιφανειακούς πλασμονικούς ρυθμούς. Η πρώτη χρονολογικά δομή που μελετήθηκε αποτελείται από κυλινδρικό μεταλλικό πυρήνα σε ομογενές διηλεκτρικό περιβάλλον [48]. Εναλλακτικά, πλασμονικός ρυθμός μπορεί να υποστηριχθεί από εγκοπή ορθογωνικής ή τριγωνικής γεωμετρίας στην επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου[49]. Παρότι η πλασμονική αποτελούσε μια αναγνωρισμένη ερευνητική περιοχή από τα τέλη της δεκαετίας του 196, στις δεκαετίες που ακολούθησαν η ερευνητική δραστηριότητα παρέμεινε μάλλον περιορισμένη δίχως να παρουσιάσει ποτέ αξιοσημείωτη έξαρση. Μάλιστα, στις αρχές της δεκαετίας του 199 παρατηρήθηκε μια αισθητή πτώση του ερευνητικού ενδιαφέροντος, καθώς δεν είχαν ακόμη αναγνωριστεί οι τεχνολογικές εφαρμογές που θα μπορούσαν να το συντηρήσουν. Οι υψηλές ωμικές απώλειες των SPP κυμάτων αποτελούσαν ίσως τον σημαντικότερο ανασταλτικό παράγοντα η δυνατότητα αξιοποίησης ενός ρυθμού με μήκος διάδοσης στην περιοχή των δεκάδων ή εκατοντάδων μικρομέτρων δεν ήταν ακόμη προφανής. Επιπλέον, οι διαθέσιμες κατασκευαστικές τεχνικές δεν ήταν επαρκώς ώριμες ώστε να επιτρέπουν την κατασκευή νανομετρικών δομών υψηλής ποιότητας. Στις αρχές του 21ου αιώνα παρατηρείται μια αναβίωση της πλασμονικής. Στα χρόνια που ακολούθησαν η ερευνητική δραστηριότητα γνώρισε πρωτοφανή έξαρση με αποτέλεσμα σήμεραηπεριοχήαυτήνααποτελείένααπόταπιοενεργάπεδίαέρευνας. Υπεύθυνηγια την εξέλιξη αυτή είναι σε μεγάλο βαθμό η αναγνώριση τεχνολογικών εφαρμογών που ε- πωφελούνται από τα ιδιαίτερα γνωρίσματα των πλασμονικών ρυθμών. Ενα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι αυτό των οπτικών διασυνδέσεων. Σε επίπεδο ολοκληρωμένου κυκλώματος (chip) δεν απαιτείται διάδοση σε μεγάλη απόσταση, ενώ η ισχυρή συγκέντρωση αποτελεί σημαντικό πλεονέκτημα καθώς επιτρέπει την αύξηση της πυκνότητας ολοκλήρωσης. Ενα άλλο παράδειγμα εφαρμογής είναι αυτό των φωτονικών διακοπτικών στοιχείων, καθώς ο δυναμικός έλεγχος της οπτικής απόκρισης διευκολύνεται από την ύπαρξη μεταλλικών μερών. Επιπρόσθετα, υπεύθυνες για την στροφή πολλών ερευνητών στην πλασμονική είναι αναμφισβήτητα και δυο ανακαλύψεις με μεγάλη απήχηση στην ερευνητική κοινότητα. Πρόκειται για την υπερυψηλή μετάδοση(extraordinary transmission)[5, 51] και τον τέλειο φακό(superlens)[52]. Ισως μάλιστα να είναι ακριβώς αυτές οι ανακαλύψεις που σηματοδότησαν την έναρξη της δεύτερης περιόδου ισχυρού ενδιαφέροντος. Τέλος, νέα ώθηση στην πλασμονική έδωσαν και οι βελτιώσεις που μεσολάβησαν στις κατασκευαστικές τεχνικές, καθιστώντας δυνατή την κατασκευή διατάξεων με νανομετρικά χαρακτηριστικά. Κυρίαρχο μέλημα των ερευνητών αποτέλεσε η σχεδίαση δισδιάστατων διατάξεων κυματοδήγησης 15 πουναεπιτυγχάνουνένανικανοποιητικόσυμβιβασμόμεταξύτωναντικρουόμενων 15 Παρότιοιμονοδιάστατεςγεωμετρίες(πολυστρωματικέςδομέςμετάλλου-διηλεκτρικού)δενπροσφέρονται για πρακτικές εφαρμογές, εντούτοις η ερευνητική δραστηριότητα γύρω από αυτές υπήρξε επίσης έντονη. Λόγω των χαμηλών υπολογιστικών τους απαιτήσεων, οι διατάξεις αυτές προσφέρονται για την εξαγωγή σχεδιαστικών συμπερασμάτων τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως οδηγός στην ανάλυση των τρισδιάστατων δομών. Ιδιαίτερη προσοχή συγκέντρωσε η ΜΙΜ δομή εξαιτίας της δυνατότητας της

19 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 7 απαιτήσεων υψηλής συγκέντρωσης ρυθμού και χαμηλών απωλειών διάδοσης. Υπάρχουν βέβαια και εφαρμογές που απαιτούν πολύ υψηλή συγκέντρωση και αρκούνται σε μικρά μήκη διάδοσης ή το αντίστροφο. Ετσι, κατά περίπτωση, προτείνονται κυματοδηγοί που ικανοποιούν τη μία από τις δύο απαιτήσεις και αδιαφορούν για την άλλη. Ο πρώτος δισδιάστατος πλασμονικός κυματοδηγός που διερευνήθηκε συστηματικά είναι ο κυματοδηγός ταινίας[56], ο οποίος πρόκειται ουσιαστικά για μια δομή ΙΜΙ πεπερασμένου πλάτους. Ο κυματοδηγός αυτός υποστηρίζει πλήθος οδηγούμενων(bound)[56, 57], αλλά και ακτινοβολούμενων (leaky)[58], ρυθμών, οι οποίοι κατατάσσονται στη βάση της συμμετρίας που παρουσιάζουν οι πεδιακές συνιστώσες ως προς τις δυο εγκάρσιες συντεταγμένες[56]. Κατ αντιστοιχία με την ΙΜΙ δομή, υποστηρίζεται ρυθμός μακράς εμβέλειας(long-range Surface Plasmon Polariton, LR-SPP) με μήκος διάδοσης που μπορεί για μικρό πάχος ταινίας(< 3 nm) να φτάσει στην περιοχή των δεκάδων χιλιοστών. Απαραίτητη προϋπόθεση, ωστόσο, είναι τοδιηλεκτρικόπεριβάλλονναείναισυμμετρικό. Ακόμηκαιδιαφορέςτηςτάξηςτου 1 3 στους δείκτες διάθλασης υποστρώματος και υπερστρώματος μπορούν να οδηγήσουν σε αύξηση των απωλειών διάδοσης[59]. Η επίτευξη τόσο χαμηλών απωλειών διάδοσης για τον LR-SPP ρυθμό συνεπάγεται ιδιαίτερα ασθενή συγκέντρωση. Πράγματι, η χωρική έκταση του ρυθμού είναι της τάξης των 1 μm προς αμφότερες τις εγκάρσιες διευθύνσεις. Ετσι, είναι δυνατή η αποτελεσματική διέγερση του ρυθμού αυτού με συνήθεις μονόρρυθμες οπτικές ίνες, όπως αποδεικνύεται σε δύο ανεξάρτητες πειραματικές μελέτες[6, 61]. Ακολούθησε πλήθος παθητικών εξαρτημάτων(passive components) στη βάση του κυματοδηγού ταινίας. Ειδικότερα, διερευνήθηκε μια ολόκληρη οικογένεια διατάξεων που περιλαμβάνει κάμψεις κυματοδηγού(s-bends), όπως οι ενώσεις-y, τα συμβολόμετρα Mach- Zehnder[62] και οι κατευθυντικοί ζεύκτες[63]. Εξαιτίας της ασθενούς συγκέντρωσης απαιτούνται ακτίνες καμπυλότητας μεγαλύτερες των 15 mm με σκοπό τη διατήρηση των α- πωλειών ακτινοβολίας σε χαμηλά επίπεδα. Ως αποτέλεσμα, οι διαστάσεις των εξαρτημάτων αυτής της κατηγορίας προκύπτουν αυξημένες κάτι που αποτυπώνεται και στις αντίστοιχες απώλειες εισαγωγής. Μια διαφορετική οικογένεια διατάξεων στηρίζεται στη χρήση φραγμάτων παράθλασης που σχηματίζονται με διαμόρφωση του πάχους[64] ή πλάτους[65] της μεταλλικής ταινίας. Εκτός από απλούς ανακλαστήρες Bragg είναι δυνατή η υλοποίηση φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού που κατευθύνει διαφορετικά μήκη κύματος σε διαφορετικές θύρες εξόδου, ανάλογα με την ικανοποίηση ή μη της συνθήκης Bragg[66]. Η ασθενής συγκέντρωση του κυματοδηγού ταινίας ώθησε την έρευνα προς μια διαφορετική κατηγορία κυματοδηγών, οι οποίοι προκύπτουν στη βάση του εγκάρσιου περιορισμού της ΜΙΜ, αντί της ΙΜΙ, δομής. Τυπικά παραδείγματα αυτής της κατηγορίας είναι ο κυματοδηγός καναλιού(channel)[67, 68] και ο κυματοδηγός διακένου/εγκοπής(gap/slot)[69], με τους υποστηριζόμενους ρυθμούς να αναφέρονται ως πολαριτόνια πλασμονίων καναλιού/διακένου (Channel/Gap Plasmon Polaritons, CPP/GPP)[7]. Το βασικό πλεονέκτημα των κυματοδηγών αυτών είναι η υποστήριξη ρυθμού ο οποίος δεν οδηγείται στην αποκοπή ακόμη και για απειροστά μικρές τιμές του διακένου, με αποτέλεσμα να είναι δυνατή η επίτευξη ισχυρής συγκέντρωσης, πολύ μικρότερης του μήκους κύματος. Επιπλέον, καθώς ο ρυθμός για πολύ υψηλή συγκέντρωση, τερματισμό κλαδωτών ή συντονιστών γραμμής με πολύ υψηλό συντελεστή ανάκλασης, και υλοποίηση συντονιστών με αμελητέες απώλειες ακτινοβολίας[53 55].

20 8 Κεφάλαιο 1 φράσσεται στην οριζόντια διεύθυνση από μεταλλικά τοιχώματα, είναι δυνατή η κάμψη του κυματοδηγού με εξαιρετικά μικρές ακτίνες καμπυλότητας[71, 72]. Ετσι, καθίσταται δυνατή η υλοποίηση συμπαγών ενώσεων-y και κατευθυντικών ζευκτών[73]. Δίδεται επίσης η δυνατότητα υλοποίησης συντονιστών μικροδακτυλίου με αμελητέες απώλειες ακτινοβολίας. Τέτοιοι συντονιστές χρησιμοποιούνται σε διατάξεις φίλτρων μικροδακτυλίου[74] και φίλτρων προσθήκης-απόρριψης καναλιού[75] προσφέροντας επιλεκτική ως προς τη συχνότητα λειτουργία. Τέλος, το εύρος των διαθέσιμων παθητικών εξαρτημάτων συμπληρώνεται με συμβολόμετρα Mach-Zehnder[74] και ανακλαστήρες Bragg[75]. Η ισχυρή συγκέντρωση των κυματοδηγών καναλιού/διακένου συνοδεύεται και από σημαντικές ωμικές απώλειες. Οπως και με τον κυματοδηγό ταινίας, μόνο το ένα εκ των δύο χαρακτηριστικών μεγεθών λαμβάνει ικανοποιητική τιμή. Ετσι, στα χρόνια που ακολούθησαν κατεβλήθη σημαντική προσπάθεια για την ανεύρεση μιας διάταξης κυματοδήγησης που να ικανοποιεί ταυτόχρονα τις δύο απαιτήσεις. Ενα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί ο πλασμονικός κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης(dielectric-loaded Surface Plasmon Polariton, DLSPP, Waveguide), ο οποίος προτάθηκε το 26[76 78] και αποτελείται από διηλεκτρικό πυρήνα 16 πουεπικάθεταισεομοιόμορφομεταλλικόφύλλο. Οεγκάρσιοςπεριορισμόςτου φωτός πραγματοποιείται μέσω του μηχανισμού οδήγησης δείκτη, με σκοπό την ελαχιστοποίηση της αλληλεπίδρασης του ρυθμού με τα μεταλλικά στοιχεία του κυματοδηγού. Ως αποτέλεσμα, οι απώλειες διάδοσης προκύπτουν μειωμένες με το μήκος διάδοσης να διαμορφώνεται τυπικά στα 5 μm. Ενα ακόμη σημαντικό πλεονέκτημα της διάταξης είναι η ευελιξία επιλογής του υλικού που χρησιμοποιείται για τον σχηματισμό του διηλεκτρικού πυρήνα. Στην περίπτωση που κάποιο υλικό με υψηλό θερμο-οπτικό, ηλεκτρο-οπτικό ή μη γραμμικό συντελεστή αναλάβει τον ρόλο αυτό, καθίσταται δυνατός ο έλεγχος των χαρακτηριστικών οδήγησης του υποστηριζόμενου ρυθμού. Εξαιτίας των ελκυστικών του χαρακτηριστικών, ο DLSPP αξιοποιήθηκε για την υλοποίηση ενός μεγάλου αριθμού εξαρτημάτων. Πιο συγκεκριμένα, αυτά περιλαμβάνουν κάμψεις κυματοδηγών, συζευγμένους κυματοδηγούς και διαιρέτες ισχύος[8, 81]. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι επιλεκτικές ως προς τη συχνότητα(wavelength selective) διατάξεις, στις οποίες η οπτική απόκριση παρουσιάζει ισχυρή εξάρτηση από το μήκος κύματος λειτουργίας. Οι διατάξεις αυτές, εκτός της χρήσης τους ως φίλτρων ή(απο-)πολυπλεκτών, αποτελούν τη βάση για τη δημιουργία δυναμικών εξαρτημάτων, στα οποία η οπτική απόκριση ρυθμίζεται μέσω κατάλληλου μηχανισμού ελέγχου(θερμο-οπτικού, ηλεκτρο-οπτικού κ.ο.κ.). Παραδείγματα τέτοιων, επιλεκτικών ως προς τη συχνότητα εξαρτημάτων που υ- λοποιήθηκαν με βάση τον DLSPP είναι οι ανακλαστήρες Bragg[82, 83], οι κατευθυντικοί ζεύκτες[84, 85] και τα φίλτρα συντονιστή μικροδακτυλίου[83, 86] ή μικροδίσκου[87, 88]. ΓιατηδιέγερσητουβασικούΤΜ ρυθμούτουdlsppπροτάθηκεπλήθοςδιαφορετικών τεχνικών. Αρχικά, τη συνηθέστερη επιλογή αποτέλεσε μια τεχνική τύπου Kretschmann- Raether[89], όπου μια φωτεινή δέσμη προσπίπτει στην κάτω επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου μέσω γυάλινου πρίσματος. Το πάχος του φύλλου χρυσού επιλέγεται μικρότερο των 1 nm,ώστεναείναιδυνατήηδιέλευση(tunneling)τουφωτόςαπότουπόστρωμαγυα- 16 Πλήθοςδιαφορετικώνδιηλεκτρικώνήπολυμερώνέχουνχρησιμοποιηθείγιατονσχηματισμότουπυρήνα,όπωςτοδιοξείδιοτουπυριτίου[76],το PMMA[79]καιτο ORMOCER[77].

21 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 9 λιού στην άνω διαχωριστική επιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού. Καθώς αυτό συνεπάγεται ότι και η αντίστροφη διαδικασία είναι εφικτή, ο ρυθμός είναι εγγενώς διαρρέων(leaky). Άλλες τεχνικές στηρίζονται σε κάποιο φράγμα παράθλασης με διαμόρφωση του στρώματος πολυμερούς[9] ή του μεταλλικού φύλλου[91]. Στην περίπτωση αυτή, το πάχος του φύλλου χρυσού μπορεί να είναι οσοδήποτε μεγάλο, κάτι που συνεπάγεται την πλήρη οπτική απομόνωση του ρυθμού από το υπόστρωμα. Τέλος, προτάθηκαν και τεχνικές διέγερσης με οπτική ίνα, είτε μέσω επίπεδων διηλεκτρικών κυματοδηγών[92], είτε μέσω κυματοδηγών τεχνολογίας πυριτίου[93]. Η αναζήτηση μιας βέλτιστης διάταξης κυματοδήγησης συνεχίστηκε στα χρόνια που α- κολούθησαν με γοργούς ρυθμούς χωρίς, ωστόσο, κάποιο σημαντικό εύρημα. Ως επί το πλείστον, οι νέες διατάξεις αποτελούσαν παραλλαγές των ήδη γνωστών. Ενδεικτικά, αναφέρεται ο κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης μακράς εμβέλειας(lr-dlspp Waveguide) [94, 95]. Η σχεδίαση της διατομής βασίζεται στην αρχή του συμμετρικού περιβάλλοντος, κατ αντιστοιχία με τον ρυθμό μακράς εμβέλειας του κυματοδηγού ταινίας. Το μήκος διάδοσης μπορεί να ανέλθει σε μερικά χιλιοστά, όμως ο υποστηριζόμενος ρυθμός έχει απολέσει σημαντικό μέρος της συγκέντρωσης του. Ενα διαφορετικό παράδειγμα αποτελεί ο πλασμονικός κυματοδηγός σφήνας(wedge SPP Waveguide)[96, 97], ο οποίος διαθέτει δομή συμπληρωματική του κυματοδηγού καναλιού. Το τοπίο άλλαξε άρδην με την εμφάνιση των υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών (Hybrid Plasmonic Waveguides, HPWs), οι οποίοι βασίζουν τη λειτουργία τους στη χρήση(πέραν του μετάλλου) δύο διαφορετικών διηλεκτρικών υλικών, με χαμηλό και υψηλό δείκτη διάθλασης, αντίστοιχα. Το οπτικά αραιό υλικό είναι συνήθως κάποιο διηλεκτρικό (όπως το διοξείδιο του πυριτίου) ή πολυμερές με δείκτη διάθλασης στην περιοχή του 1.5, ενώ το οπτικά πυκνό υλικό κάποιος ημιαγωγός(όπως το πυρίτιο) με δείκτη διάθλασης στην περιοχή του 3.5. Με κατάλληλη διάταξη των υλικών είναι δυνατός ο σχηματισμός οδηγούμενου ρυθμού ισχυρά συγκεντρωμένου στο διηλεκτρικό, ο οποίος μπορεί ταυτόχρονα να παρουσιάζει εξαιρετικά μικρή ενεργό επιφάνεια και μήκος διάδοσης αρκετών δεκάδων μικρομέτρων. Η πρώτη αναφορά υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού τοποθετείται το 27 [98]. Ενα χρόνο αργότερα, η εργασία του Oulton αποτυπώνει τα σημαντικά πλεονεκτήματα των κυματοδηγών αυτών[99], σηματοδοτώντας την απαρχή μιας περιόδου έντονης ερευνητικής δραστηριότητας. Προτείνονται διαφορετικές εκδοχές υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών[1 17], με έμφαση στην επίπεδη(planar) διάταξη και τη συμβατότητα με υπάρχουσεςκατασκευαστικέςτεχνολογίες, 17 στηβάσηόμως,πάντα,τηςίδιαςκεντρικής σχεδιαστικής αρχής[99, 16, 18]. Ακολούθησε πλήθος παθητικών εξαρτημάτων όπως κάμψεις κυματοδηγών[11], διαιρέτες ισχύος[11, 19], πολωτές[11] και ζεύκτες[111]. Παρόλα αυτά, το σημαντικότερο χαρακτηριστικό των υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών είναι η ισχυρή συγκέντρωση, η οποία και επιτρέπει την κάμψη του κυματοδηγού με ακτίνες μικρότερες του 1 μm[11]. Ως αποτέλεσμα, οι κυματοδηγοί αυτοί προσφέρονται ιδιαίτε- 17 Γιαπαράδειγμα,ωςπυκνόδιηλεκτρικόχρησιμοποιείταισυνήθωςτοπυρίτιομεσκοπότησυμβατότητα με την τεχνολογία πυριτίου(soi)[11]. Επιπρόσθετα, εξετάζεται η χρήση χαλκού[13, 14] ή αλουμινίου [15],αντίτουχρυσούήάργυρου,καθώςταμέταλλααυτάείναισυμβατάμετητεχνολογία CMOSτης μικροηλεκτρονικής.

22 1 Κεφάλαιο 1 ρα για την υλοποίηση συντονιστών οδεύοντος κύματος με εξαιρετικά συμπαγείς διαστάσεις [ ]. Ενδεικτικά, αναφέρεται η επίδειξη συντονιστή μικροδίσκου με ακτίνα 85 nm και συντελεστή ποιότητας 1[118]. Παράλληλα με την αναζήτηση βέλτιστων διατάξεων κυματοδήγησης, διατυπώθηκε το ερώτημα αν είναι δυνατός ο σχεδιασμός αποτελεσματικών δυναμικά ελεγχόμενων εξαρτημάτων βασισμένων στην πλασμονική τεχνολογία. Τα επιθυμητά χαρακτηριστικά των διατάξεων αυτών είναι προφανώς το υψηλό βάθος διαμόρφωσης, οι συμπαγείς διαστάσεις και η χαμηλή κατανάλωση ισχύος. Το πρώτο φαινόμενο που αξιοποιήθηκε ευρέως για τον σκοπό αυτό ήταν το θερμο-οπτικό, καθώς η θέρμανση μιας πλασμονικής δομής με διέλευση ρεύματος ε- λέγχου από τα μεταλλικά στοιχεία του κυματοδηγού αποτελεί την απλούστερη τεχνολογικά λύση. Αρχικά, οι μελέτες περιστράφηκαν γύρω από τον κυματοδηγό ταινίας. Ειδικότερα, η μεταβολή του δείκτη διάθλασης του διηλεκτρικού περιβάλλοντος μπορεί να οδηγήσει σε ελεγχόμενη αύξηση των απωλειών διάδοσης υλοποιώντας έναν εξασθενητή με μεταβλητό επίπεδο απωλειών(variable Optical Attenuator, VOA)[119] ή έναν διαμορφωτή[12]. Επιπρόσθετα, η υλοποίηση διαμορφωτή ή διακόπτη μπορεί να επιτευχθεί και με επέμβαση στη φάση του κύματος στη βάση διάταξης συμβολομέτρου ή κατευθυντικού ζεύκτη[121]. Για τον σκοπό αυτό, ελέγχεται θερμο-οπτικά μέσω κατάλληλα τοποθετημένων ηλεκτροδίων η θερμοκρασία στον έναν από τους δύο βραχίονες ή την περιοχή σύζευξης, αντίστοιχα. Θερμο-οπτικά διακοπτικά στοιχεία επιδείχθηκαν και με τον DLSPP κυματοδηγό. Αναγνωρίζονται δύο μεγάλες οικογένειες εξαρτημάτων, που βασίζονται σε συντονιστές μικροδακτυλίου 18 [ ]ήσεδιατάξειςσυμβολομέτρου[ ].Μάλιστα,οιεργασίεςαυτές συμπεριλαμβάνουν πειραματικές και θεωρητικές μελέτες σε συνθήκες στατικού αλλά και δυναμικού θερμο-οπτικού ελέγχου. Το βασικό μειονέκτημα του θερμο-οπτικού φαινομένου είναι η ταχύτητα απόκρισης, με τη σταθερά χρόνου να τοποθετείται στην περιοχή των ms ή μs. Παρότι ικανοποιητική για κάποιες συγκεκριμένες εφαρμογές[135], παραμένει περιοριστική για άλλες. Ετσι, σταδιακά το ενδιαφέρον μετατοπίστηκε και προς διαφορετικούς μηχανισμούς ελέγχου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν τα μη γραμμικά φαινόμενα της επιδεκτικότητας τρίτηςτάξης, χ (3),πουπαρουσιάζουντασυγκριτικάπλεονεκτήματατηςταχύτατηςαπόκρισηςκαιτηςαμιγώςοπτικήςλειτουργίας. 19 Αρχικά,οισχετικέςμελέτεςπεριορίζονταν σε μονοδιάστατους κυματοδηγούς χωρίς προοπτική για πρακτικές εφαρμογές[14, 141]. Σταδιακά το ενδιαφέρον μετατοπίστηκε προς δισδιάστατους κυματοδηγούς με πρώτο παράδειγμα τον κυματοδηγό ταινίας[142]. Από τους διαθέσιμους πλασμονικούς κυματοδηγούς, οι υβριδικοί κυματοδηγοί αποτελούν ίσως την πιο υποσχόμενη πλατφόρμα για την εκδήλωση τέτοιων φαινομένων, λόγω της παρουσίας του ημιαγωγού που συνοδεύεται από υψηλό μη γραμμικό συντελεστή και της ισχυρής συγκέντρωσης του υποστηριζόμενου ρυθμού που 18 Ταχαρακτηριστικάτωνδιατάξεωναυτώνθααναλυθούνμελεπτομέρειαστοκεφάλαιο5. 19 Ηεπιδεκτικότηταδεύτερηςτάξης, χ (2),έχειεπίσηςαξιοποιηθείσταπλαίσιατηςπλασμονικήςτεχνολογίας για την επίδειξη γένεσης δεύτερης αρμονικής με διάφορους πλασμονικούς κυματοδηγούς: ΜΙΜ[136], διακένου[137] και υβριδικούς[138, 139]. Σημειώνεται ότι η αποδοτική μετατροπή συχνότητας απαιτεί προσεκτικό σχεδιασμό για την επίτευξη προσαρμογής φάσης(phase matching), ενώ ένα επιπλέον εμπόδιο είναι οι ισχυρές ωμικές απώλειες.

23 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 11 συνεπάγεται υψηλή πυκνότητα ισχύος για δεδομένο επίπεδο ισχύος εισόδου. Επιπρόσθετα, η χρήση κάποιου μη γραμμικού πολυμερούς στη θέση του αραιού διηλεκτρικού μπορεί να οδηγήσει σε εξαιρετικά υψηλές τιμές μη γραμμικής παραμέτρου[143]. Οι πρώτες πρακτικές (3-Δ) εφαρμογές αφορούν μη γραμμικούς κατευθυντικούς ζεύκτες(nonlinear couplers), οι οποίοι ανάλογα με το επίπεδο της ισχύος εισόδου οδηγούν το κύμα σε διαφορετική θύρα εξόδου. Τέτοια εξαρτήματα έχουν προταθεί με υβριδικούς κυματοδηγούς[144], κυματοδηγούς διακένου[145] και διηλεκτρικής φόρτισης[146]. Επί του παρόντος, τα επίπεδα ισχύος που απαιτούνται για την αλλαγή της κατάστασης του διακόπτη είναι υψηλά, εξαιτίας των σημαντικών ωμικών απωλειών, οι οποίες είναι υπεύθυνες για την ραγδαία πτώση του επιπέδου ισχύος κατά τη διάδοση. Μια διαφορετική στρατηγική για την επίδειξη διακοπτικού στοιχείου είναι η χρήση μη γραμμικού συντονιστή συζευγμένου με έναν ή περισσότερους κυματοδηγούς. Ο συνδυασμός της μη γραμμικότητας και της ανάδρασης(feedback) μπορούν να οδηγήσουν σε δισταθή συμπεριφορά(optical bistability) και συνεπώς σε διακόπτη δύο καταστάσεων. Μάλιστα, η αύξηση της πυκνότητας ισχύος στον συντονιστή συνεπάγεται μειωμένο επίπεδο ισχύος εισόδου συγκριτικά με την προσέγγιση κατευθυντικού ζεύκτη. Μέχρι σήμερα, οι σχετικές μελέτες περιορίζονται σε διατάξεις δυο διαστάσεων με βάση τον ΜΙΜ κυματοδηγό[147 15]. Παρά την πρόοδο που έχει σημειωθεί, η υλοποίηση πρακτικών διακοπτικών στοιχείων στη βάση μη γραμμικών φαινομένων αποτελεί ακόμη έναν μακρινό στόχο. Στις προαναφερθείσες μελέτες που εκμεταλλεύονται την επιδεκτικότητα τρίτης τάξης το ίδιο το σήμα επιφέρει την αλλαγή του δείκτη διάθλασης(self-induced index change). Ωστόσο, αμιγώς οπτική λειτουργία μπορεί να επιτευχθεί και με χρήση δεύτερου οπτικού κύματος που αναλαμβάνει την άντληση του ενεργού μέσου(pump-probe scheme). Με χρονολογική σειρά, παρουσιάστηκαν διατάξεις που εκμεταλλεύονται τη δομική μετάβαση του γαλλίου[151], τις ιδιότητες απορρόφησης κβαντικών κουκκίδων(quantum dots) σεληνιούχου κάδμιου(cdse)[152] ή φωτοχρωμικών μορίων[153], καθώς και τη μη γραμμικότητα του αλουμινίου[154]. Μια διαφορετική κατηγορία εξαρτημάτων στηρίζεται στον ηλεκτρο-οπτικό έλεγχο της οπτικήςαπόκρισης. 2 Πλήθοςδιαφορετικώνυλικώνχρησιμοποιήθηκανγιατονσκοπόαυτό όπως υγροκρυσταλλικά[155] ή φερροηλεκτρικά[156] υλικά, καθώς και μόρια DR-1[157]. Μετά την εργασία της Dionne το 29[158], συγκροτείται μια οικογένεια διατάξεων με αρχή λειτουργίας ανάλογη των τρανζίστορ δράσης πεδίου της μικροηλεκτρονικής(metal-oxide- Semiconductor Field-Effect Transistor, MOSFET). Ειδικότερα, προτείνονται διαμορφωτές στη βάση του ελέγχου της συγκέντρωσης ελεύθερων φορέων στη διεπιφάνεια διηλεκτρικού υλικού με λεπτό στρώμα αγώγιμου οξειδίου(indium Tin Oxide, ITO). Η αρχή λειτουργίας στηρίζεται στη μεταβολή είτε του πραγματικού[159] είτε του φανταστικού μέρους του δείκτη διάθλασης(διαμορφωτής ηλεκτρο-απορρόφησης)[16 162]. Τέλος, ενδιαφέρουσες υλοποιήσεις διαμορφωτών έχουν επιδειχθεί τα δύο τελευταία χρόνια και με το διοξείδιο του 2 Οόρος«ηλεκτρο-οπτικό»συνήθωςαναφέρεταιστοφαινόμενο Pockels. Παρόλααυτά,στηνπαρούσα αναφορά χρησιμοποιείται για να περιγράψει συλλογικά όλα τα φαινόμενα μεταβολής των ιδιοτήτων κάποιου υλικού εξαιτίας ηλεκτρικού πεδίου χαμηλής συχνότητας που εγκαθίσταται σε αυτό με την εφαρμογή διαφοράς δυναμικού στα όριά του.

24 12 Κεφάλαιο 1 βαναδίου(vanadium Dioxide, VO 2 )ωςενεργόμέσο[ ]. Τουλικόυφίσταταιμια δομική μετάβαση(phase transition) στη θερμοκρασία των 34 Κ. Πιο συγκεκριμένα, μεταβαίνει από τη διηλεκτρική στη μεταλλική του φάση, γεγονός που συνοδεύεται από σημαντική μεταβολή στο πραγματικό και φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης. Η μετάβαση αυτή μπορεί να προκληθεί και με εφαρμογή τάσης γεγονός που επιτρέπει τον ηλεκτρο-οπτικό έλεγχο των ιδιοτήτων του οξειδίου και συνεπώς της διάταξης στην οποία ενσωματώνεται. Οπως αναφέρθηκε, ίσως τη σημαντική παράμετρο κατά τον σχεδιασμό των πλασμονικών κυματοδηγών και διατάξεων αποτελούν οι υψηλές ωμικές απώλειες. Εκτός από την ελαχιστοποίησή τους μέσω κατάλληλου σχεδιασμού της διάταξης κυματοδήγησης, η ερευνητική δραστηριότητα ακολούθησε και μια διαφορετική, παράλληλη πορεία. Ειδικότερα, επιχειρήθηκε η αντιστάθμιση, έστω και μερική, των απωλειών διάδοσης με χρήση κάποιου μηχανισμού κέρδους[ ]. Σε αυτή την περίπτωση, η πολυπλοκότητα δεν έγκειται στον σχεδιασμό του κυματοδηγού, παρά στην ενσωμάτωση του υλικού κέρδους σε αυτόν καθώς και στην εφαρμογή του κύματος άντλησης (pump) για τη διέγερση του ενεργού μέσου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η ενσωμάτωση κβαντικών κουκίδων θειούχου μολύβδου(pbs) στον πυρήνα πολυμερούς(pmma) κυματοδηγού DLSPP[167, 168]. Χρησιμοποιώντας κύμαάντλησηςέντασης1 W/cm 2 καιμήκουςκύματος532 nmείναιδυνατήηαύξηση του μήκους διάδοσης κατά ποσοστό 27%[167]. Σε μια διαφορετική μελέτη διερευνάται η δυνατότητα αντιστάθμισης των απωλειών LR-DLSPP κυματοδηγού ενσωματώνοντας στη διάταξη κυματοδήγησης στρώμα υλικού ντοπαρισμένου με σπάνια γαία[169]. Η ισχυρή συγκέντρωση των δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών συνεπάγεται αυξημένο επίπεδο απωλειών διάδοσης και καθιστά δύσκολη την πλήρη αντιστάθμισή τους. Αντίθετα, κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται ευκολότερα σε διατάξεις με μονοδιάστατη γεωμετρία, όπως μια διεπιφάνεια μετάλλου-πολυμερούς[17] ή μία δομή πολυμερούς-μετάλλου-πολυμερούς[171]. Μάλιστα, στην εργασία[171] επιτυγχάνεται όχι μόνο η πλήρης αντιστάθμιση των απωλειών αλλά και επίδειξη κέρδους. Ως ενεργό μέσο χρησιμοποιείται στρώμα φθορίζοντος πολυμερούς(fluorescent polymer) πάχους 1 μm που τοποθετείται στην άνω επιφάνεια της μεταλλικής ταινίας και διεγείρεται με οπτικό κύμα μήκους κύματος 532 nm και ενέργειας 5μJ. Παρά τις προσπάθειες για ελαχιστοποίηση ή αντιστάθμιση των απωλειών διάδοσης, στις περισσότερες περιπτώσεις οι απώλειες παραμένουν σημαντικές, αποτελώντας περιοριστικό παράγοντας για πλήθος εφαρμογών. Σταδιακά λοιπόν το ενδιαφέρον των ερευνητών μετατοπίστηκε προς μια διαφορετική, τρίτη κατεύθυνση. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε η χρήση των πλασμονικών διατάξεων ως δομικών στοιχείων σε συνθετότερα ολοκληρωμένα φωτονικά κυκλώματα, στα οποία τη διάδοση του φωτός σε μεγάλες αποστάσεις θα αναλάμβαναν φωτονικοί κυματοδηγοί χαμηλών απωλειών[172]. Με άλλα λόγια, προτάθηκαν υβριδικά νανοφωτονικάκυκλώματα 21 σταοποία,εκτόςτηςπλασμονικής,θααξιοποιούνταικαιάλλες 21 Στοσημείοαυτόγίνεταιδιάκρισημεταξύτωνυβριδικώνφωτονικώνκυκλωμάτωνκαιτωνυβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών που αναφέρθηκαν πρωτύτερα. Τα μεν συνδυάζουν υποκυκλώματα υλοποιημένα με διαφορετικές φωτονικές τεχνολογίες(όπως της πλασμονικής και της τεχνολογίας πυριτίου) σε ένα σύνθετο ολοκληρωμένο κύκλωμα. Οι δε είναι πλασμονικοί κυματοδηγοί που αξιοποιούν ημιαγωγά υλικά με

25 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας 13 φωτονικές τεχνολογίες, όπως για παράδειγμα του πυριτίου(στοιχείο της ομάδας IV του περιοδικού πίνακα) ή των ομάδων III-V του περιοδικού πίνακα, με σκοπό την εκμετάλλευση των ιδιαίτερων προτερημάτων που προσφέρει κάθε μία. Προφανώς, απαραίτητη προϋπόθεση για την υλοποίηση τέτοιων κυκλωμάτων είναι η επιτυχής σύζευξη των εμπλεκόμενων κυματοδηγών, αφού η ισχύς θα πρέπει να μπορεί να ανταλλάσσεται μεταξύ τους με τις ελάχιστες δυνατές απώλειες σύζευξης. Η ιστορική εξέλιξη των μελετών σύζευξης πλασμονικών κυματοδηγών με κυματοδηγούς άλλων φωτονικών τεχνολογιών ακολούθησε λίγο πολύ πορεία αντίστοιχη με αυτή του σχεδιασμού πλασμονικών κυματοδηγών. Ειδικότερα, αρχικά το ενδιαφέρον συγκέντρωσε ο κυματοδηγός ταινίας, μιας και ήταν ο πρώτος δισδιάστατος πλασμονικός κυματοδηγός που μελετήθηκε συστηματικά. Η πρώτη εργασία παρουσιάστηκε το 24[172] και διερευνούσε την κατευθυντική σύζευξη με έναν κυματοδηγό πυριτίου. Πιο συγκεκριμένα, επιχειρήθηκε η κατευθυντική μεταφορά ισχύος μεταξύ του ρυθμού ακμής ενός πλασμονικού κυματοδηγού ταινίας και του βασικού ΤΕ ρυθμού του SOI κυματοδηγού. Η μετρούμενη αποδοτικότητα σύζευξης ήταν της τάξης του 45%. Πλήθος εργασιών ακολούθησε στις οποίες εξετάζεται η σύζευξη του ρυθμού μακράς εμβέλειας ενός πλασμονικού κυματοδηγού ταινίας με κάποιον διηλεκτρικό κυματοδηγό χαμηλής αντίθεσης δεικτών διάθλασης, άλλοτε μέσω κατευθυντικής[173, 174] και άλλοτε απευθείας[175] σύζευξης. Στην πορεία, το ενδιαφέρον μετατοπίστηκε προς πιο σύγχρονους πλασμονικούς κυματοδηγούς που παρουσιάζουν ισχυρότερη συγκέντρωση, με τη σύζευξη να πραγματοποιείται κατά κανόνα με κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου. Χαρακτηριστικά παραδείγματα τέτοιων κυματοδηγών είναι ο DLSPP [93,176], 22 οκυματοδηγόςκυλινδρικούμεταλλικούπυρήνα[177],οκυματοδηγόςδιακένου [ ], καθώς και διάφορες παραλλαγές υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού[11, ]. Στις περιπτώσεις αυτές, συνήθως προτιμάται η απευθείας σύζευξη των εμπλεκόμενων κυματοδηγών ώστε να αποφευχθούν οι απώλειες διάδοσης στο μήκος της περιοχής αλληλεπίδρασης των δύο ρυθμών που συνεπάγεται μια κατευθυντική προσέγγιση. Παρόλα αυτά, υπάρχουν παραδείγματα αποτελεσματικής κατευθυντικής σύζευξης με τη μεταφορά της ισχύος να λαμβάνει χώρα σε πολύ μικρό μήκος αλληλεπίδρασης, διατηρώντας έτσι τις απώλειες εισαγωγής σε χαμηλά επίπεδα[181, 182]. 1.2 Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας Αντικείμενο της διατριβής είναι η σχεδίαση πλασμονικών διακοπτικών στοιχείων αξιοποιώντας συντονιστές οδεύοντος κύματος, μικροδακτυλίου ή μικροδίσκου. Εξετάζονται δύο κατηγορίες διατάξεων: θερμο-οπτικά διακοπτικά στοιχεία βασισμένα στον DLSPP κυματοδηγό καιμηγραμμικάδιακοπτικάστοιχείαβασισμέναστον CGS 23 κυματοδηγό.επιπρόσθετα,δίυψηλό δείκτη διάθλασης για την επίτευξη καλύτερων χαρακτηριστικών οδήγησης. Προφανώς, θα μπορούσαν κάλλιστα να προταθούν υβριδικά φωτονικά κυκλώματα με το πλασμονικό υποκύκλωμα να υλοποιείται με υβριδικό πλασμονικό κυματοδηγό. 22 Ησύζευξητουπλασμονικούκυματοδηγούδιηλεκτρικήςφόρτισηςμεκυματοδηγούςτηςφωτονικής τεχνολογίας πυριτίου θα μελετηθεί διεξοδικά στο κεφάλαιο Κυματοδηγόςαγωγού-διακένου-πυριτίου(Conductor-Gap-Silicon, CGS): Τύποςεπίπεδου(planar) υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού με το πυρίτιο να καταλαμβάνει τη θέση του πυκνού διηλεκτρικού.

26 14 Κεφάλαιο 1 νεται έμφαση στη σύζευξη του DLSPP με κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου καθώς κάτι τέτοιο ανοίγει το δρόμο για τη διείσδυση των προτεινόμενων θερμο-οπτικών διακοπτικών στοιχείων σε συνθετότερα νανοφωτονικά κυκλώματα. Ακολουθεί μια συνοπτική περιγραφή της διάρθρωσης της διατριβής, καθώς και της συμβολής της. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στον χώρο της πλασμονικής ως νανοφωτονικής τεχνολογίας ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Μέσω μιας εκτενούς βιβλιογραφικής αναδρομής παρουσιάζεται το ιστορικό της εξέλιξης που γνώρισε η έρευνα στο πεδίο αυτό, από τις εργασίες που συγκροτούν την περιοχή στο τέλος της δεκαετίας του 196, στην ανάσχεση της ερευνητικής δραστηριότητας το 199, έως την αναβίωση της περιοχής στο τέλος του 2ου αιώνα και την πρωτοφανή έξαρση της έρευνας που ακολούθησε. Παρουσιάζονται οι βασικότερες διατάξεις κυματοδήγησης και σχολιάζεται η εξέλιξη του σχεδιασμού των δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών στη βάση της ικανοποίησης της επιθυμητής ισορροπίας μεταξύ απωλειών διάδοσης και συγκέντρωσης. Περιγράφονται επίσης τα παθητικά εξαρτήματα που υλοποιήθηκαν με κάθε έναν από αυτούς μέσα από τις σημαντικότερες πειραματικές και θεωρητικές εργασίες. Εμφαση δίνεται στα ενεργά στοιχεία που προτάθηκαν και εκμεταλλεύονται το θερμο-οπτικό, ηλεκτρο-οπτικό ή μη γραμμικά φαινόμενα για τον έλεγχο της οπτικής απόκρισης. Τέλος, καταγράφονται οι ερευνητικές προσπάθειες που αφορούν στην αντιστάθμιση των εγγενών απωλειών των πλασμονικών κυματοδηγών ενσωματώνοντας κάποιο υλικό με κέρδος στη διάταξη κυματοδήγησης, καθώς και αυτών που μελετούν τη σύζευξη των πλασμονικών κυματοδηγών με κυματοδηγούς άλλων φωτονικών τεχνολογιών. Και οι δύο αυτές κατευθύνσεις αποτελούν προσεγγίσεις αντιμετώπισης του βασικού μειονεκτήματος της πλασμονικής τεχνολογίας: των σημαντικών απωλειών διάδοσης που παρουσιάζουν οι πλασμονικοί κυματοδηγοί. Αντικείμενο του δεύτερου κεφαλαίου αποτελεί η επισκόπηση των βασικότερων πλασμονικών κυματοδηγών και ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών οδήγησης που παρουσιάζουν (ενεργός δείκτης διάθλασης, μήκος διάδοσης, ενεργός επιφάνεια). Μετά από μια σύντομη εισαγωγή στις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των μετάλλων, διερευνώνται οι μονοδιάστατες δομές κυματοδήγησης καθώς αποτελούν τη βάση για τον σχεδιασμό δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών. Επισημαίνονται οι απαραίτητες συνθήκες για την υποστήριξη επιφανειακών πλασμονικών ρυθμών και παρουσιάζονται οι κλασικές διατάξεις διέγερσής τους. Ακολουθεί η μελέτη των δισδιάστατων δομών κυματοδήγησης με πρώτο τον κυματοδηγό ταινίας, ο οποίος δύναται να υποστηρίξει ρυθμό μακράς εμβέλειας με μήκος διάδοσης στην κλίμακα των εκατοστών. Στη συνέχεια, εξετάζονται κυματοδηγοί που δύνανται να ικανοποιήσουν παράλληλα τις απαιτήσεις για ισχυρή οδήγηση και χαμηλές απώλειες. Εμφαση δίνεται σε δύο σύγχρονους πλασμονικούς κυματοδηγούς, τον DLSPP και τον CGS. Το τρίτο κεφάλαιο αφιερώνεται στην τρισδιάστατη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM), η οποία αξιοποιείται στο υπόλοιπο της διατριβής για την υπολογιστική ανάλυση των υπό μελέτη διατάξεων. Παρουσιάζονται τα πρισματικά στοιχεία ακμής πρώτης τάξης που αναλαμβάνουν τη διακριτοποίηση των δομών και διερευνώνται τα χαρακτηριστικά των αντίστοιχων συναρτήσεων βάσης. Περιγράφεται η διαδικασία Galerkin που ακολουθείται για τη διατύπωση της διανυσματικής κυματικής εξίσωσης σε ασθενή μορφή, καθώς και η διακριτοποίησή της με εισαγωγή της προσεγγιστικής έκφρασης που οδηγεί

27 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας 15 στο τελικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Επιπρόσθετα, αναφέρονται τεχνικές αποκοπής του υπολογιστικού χώρου μέσω διαφορετικών τύπων οριακών συνθηκών και τεχνητών στρωμάτων απορρόφησης. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην ανάπτυξη μιας απορροφητικής ο- ριακής συνθήκης ικανής να απορροφά/διεγείρει αποτελεσματικά υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς, 24 όπωςαυτοίπουυποστηρίζονταιαπότουςνανοφωτονικούςκυματοδηγούςπου μελετώνται στη διατριβή. Η επίδοση της προταθείσας συνθήκης αξιολογείται μέσα από μια σειρά αριθμητικών παραδειγμάτων, τα οποία επιβεβαιώνουν την αποτελεσματικότητά της. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετώνται διεξοδικά φίλτρα συντονιστή μικροδακτυλίου με υ- ποκείμενη διάταξη τον DLSPP κυματοδηγό. Με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων υπολογίζεται η καμπύλη μετάδοσης και ποσοτικοποιούνται τα κύρια χαρακτηριστικά της, όπως το εύρος των ελαχίστων, το ελεύθερο φασματικό εύρος(free Spectral Range, FSR) και η αντίθεση μεταξύ επιπέδων ελάχιστης και μέγιστης μετάδοσης. Εξετάζεται η επίδραση της ακτίνας συντονιστή και του διακένου σύζευξης στην οπτική απόκριση και οι παρατηρούμενες τάσεις συγκρίνονται με αυτές που προβλέπονται από ένα απλοποιημένο κυκλωματικό μοντέλο. Επιπλέον, η δομή του φίλτρου όπως και ο ασύζευκτος συντονιστής αντιμετωπίζονται ως προβλήματα ιδιοτιμών με σκοπό την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων των προσομοιώσεων αρμονικής διάδοσης. Στη συνέχεια, η μελέτη επεκτείνεται σε έναν εναλλακτικό συντονιστή οδεύοντος κύματος, τον συντονιστή μικροδίσκου. Διαπιστώνεται ότι οι συντονισμοί των φίλτρων μικροδίσκου είναι οξύτεροι, κάτι που οφείλεται στις μειωμένες απώλειες ακτινοβολίας που παρουσιάζει ο εμπλεκόμενος συντονιστής, όπως ε- πιβεβαιώνεται και μέσω της επίλυσης προβλημάτων ιδιοτιμών. Η υπεροχή τους αυτή είναι εντονότερη στις περιπτώσεις μικρής ακτίνας, όπου οι απώλειες ακτινοβολίας αποτελούν τον κυρίαρχο μηχανισμό απωλειών. Μια ακόμη ιδιαιτερότητα των συντονιστών μικροδίσκου είναι η υποστήριξη ρυθμών ανώτερης ακτινικής τάξης. Βυθίσεις στην καμπύλη μετάδοσης που αντιστοιχούν σε τέτοιους ρυθμούς εμφανίζονται μόνο για μεγάλες τιμές ακτίνας(> 6.3 µm), αλλάζοντας δραστικά τη μορφή της καμπύλης μετάδοσης. Μάλιστα, με κατάλληλη ρύθμιση του αντίστοιχου επιπέδου ελάχιστης μετάδοσης μέσω του πλάτους του κυματοδηγού w ε- πιτυγχάνεται υποδιπλασιασμός του ελεύθερου φασματικού εύρους. Με τον τρόπο αυτόν το FSRμπορείναδιαμορφωθείστα2 nm,κάτιπουσεάλληπερίπτωσηθααπαιτούσεχρήση συντονιστή πολύ μεγάλης ακτίνας. Η διερεύνηση της δυνατότητας σχεδιασμού πλασμονικών διακοπτικών στοιχείων βασισμένων στον DLSPP κυματοδηγό με χρήση του θερμο-οπτικού φαινομένου αποτελεί το αντικείμενο του πέμπτου κεφαλαίου. Εξετάζεται ένας αριθμός διατάξεων με κοινό χαρακτηριστικό την ύπαρξη στη δομή ενός ή περισσότερων συντονιστών μικροδακτυλίου. Βασικό σκοπό της εν λόγω μελέτης αποτελεί η αναγνώριση της διάταξης εκείνης που εξασφαλίζει υψηλούς λόγους εξάλειψης για αμφότερες τις θύρες εξόδου και επιπλέον είναι ικανή για 2 2 λειτουργία. Πριν τη διεξαγωγή της ηλεκτρομαγνητικής ανάλυσης, αναλύεται θερμικά η δομή ασύζευκτου συντονιστή μικροδακτυλίου. Αποδεικνύεται η δυνατότητα αξιόλογης 24 ΥβριδικούςαποκαλούμετουςρυθμούςπουδενμπορούννακατηγοριοποιηθούνωςΤΕήΤΜκαθώς καμία από τις αξονικές συνιστώσες, είτε του ηλεκτρικού είτε του μαγνητικού πεδίου, δεν είναι μηδενική. Δεν παρουσιάζουν συγκεκριμένες ιδιότητες πόλωσης και διαθέτουν και τις έξι πεδιακές συνιστώσες μη μηδενικές.

28 16 Κεφάλαιο 1 θερμοκρασιακής μεταβολής για λογικές τιμές ρεύματος ελέγχου. Επιπλέον, διερευνάται η θερμοκρασιακή κατανομή στη δομή και διαπιστώνεται η σταθερή θερμοκρασία του πυρήνα πολυμερούς, γεγονός που επιτρέπει την υιοθέτηση μιας μοναδικής τιμής δείκτη διάθλασης για την περιγραφή όλης της περιοχής στους οπτικούς υπολογισμούς. Η μελέτη ολοκληρώνεται με την ανάλυση του μεταβατικού προβλήματος. Οι σταθερές χρόνου θέρμανσης/ψύξης της δομής που αποτελούν ρεαλιστικές εκτιμήσεις των αντίστοιχων χρόνων ανόδου/καθόδου της οπτικής απόκρισης προκύπτουν ίσες με 1.55 μs. Περνώντας στους οπτικούς υπολογισμούς, η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση αποκαλύπτει ότι η δομή του κλασικού φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού αποτυγχάνει να ικανοποιήσει τις επιθυμητές προδιαγραφές παρουσιάζοντας χαμηλό λόγο εξάλειψης για τη θύρα απόρριψης. Η αδυναμία αυτή διορθώνεται διατάσσοντας κάθετα τους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου, καθώς η αλληλοπαρεμβολή στη διασταύρωση των κυματοδηγών καθιστά τη μετάδοση στη θύρα α- πόρριψης προϊόν συμβολής. Παρόλα αυτά, η εν λόγω διάταξη μπορεί να λειτουργήσει μόνο ως διακοπτικό στοιχείο 1 2: η αλλαγή του προσανατολισμού του κυματοδηγού εξόδου έχει ως αποτέλεσμα τη διατάραξη της συμμετρίας της δομής. Τελικά, η αποκατάσταση της συμμετρίας επιτυγχάνεται με την προσθήκη ενός δεύτερου συντονιστή, με την προκύπτουσα δομή να ικανοποιεί αμφότερες τις προδιαγραφές για υψηλό λόγο εξάλειψης στις θύρες εξόδου και 2 2 λειτουργία. Στη συνέχεια του κεφαλαίου, εξετάζεται η δυνατότητα χρήσης πολυμερών υψηλότερου θερμο-οπτικού συντελεστή για τη βελτίωση των επιδόσεων και κυρίως την αύξηση του λόγου εξάλειψης και του εύρους ζώνης. Στην περίπτωση των αρχιτεκτονικών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου ο σχεδιασμός καταδεικνύει ότι οι βέλτιστες επιδόσεις λαμβάνονται για θερμοκρασιακές μεταβολές μικρότερες της μέγιστης, λόγω της ακανόνιστης φασματικής απόκρισης της θύρας απόρριψης. Οι αριθμητικές προσομοιώσεις με πολυμερές το cyclomer προβλέπουν την επίτευξη λόγων εξάλειψης μεγαλύτερων των1 dbγιααμφότερεςτιςθύρεςεξόδουσεφασματικόεύρος 4.5 nm,ισοδύναμομεέξι WDM κανάλια εύρους 1 GHz. Το έκτο κεφάλαιο αφιερώνεται στη μελέτη της σύζευξης του πλασμονικού κυματοδηγού διηλεκτρικής φόρτισης με κυματοδηγούς της φωτονικής τεχνολογίας πυριτίου. Ειδικότερα, επιλέγεται η προσέγγιση της απευθείας σύζευξης των εμπλεκόμενων κυματοδηγών και διεξάγεται παραμετρική ανάλυση συναρτήσει των γεωμετρικών παραμέτρων της διεπιφάνειας με σκοπό την μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας σύζευξης. Οι απώλειες σύζευξης αναλύονται σε επιμέρους μηχανισμούς απωλειών, οι οποίοι περιλαμβάνουν τη σύζευξη ισχύος με μεταδιδόμενους ρυθμούς ακτινοβολίας, τη σύζευξης ισχύος με ρυθμούς ακμής της μεταλλικής ταινίας που διαδίδονται παράλληλα προς τη διεπιφάνεια, και την ανάκλαση από τη διεπιφάνεια με τη μορφή του βασικού ρυθμού του κυματοδηγού εισόδου. Στην πορεία του κεφαλαίου εξετάζονται δύο παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου, ο κυματοδηγός ράβδωσης και ο κυματοδηγός ταινίας, με τον κυματοδηγό ταινίας να οδηγεί σε υψηλότερη αποδοτικότητα σύζευξης. Τα θεωρητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με πειραματικά δεδομένα, επιβεβαιώνοντας την ανωτερότητα του κυματοδηγού ταινίας. Οι ελαφρώς αυξημένες απώλειες σύζευξης στα κατασκευασμένα δείγματα αποδίδονται σε δυο κατασκευαστικές ατέλειες: μια οριζόντια μετατόπιση των αξόνων των κυματοδηγών και ένα διάκενο στο μεταλλικό υπόστρωμα του πλασμονικού κυματοδηγού στη θέση της διεπιφάνειας. Η επίδραση των

29 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας 17 εν λόγω ατελειών στην αποδοτικότητα σύζευξης εξετάζεται θεωρητικά και η διεπιφάνεια επανασχεδιάζεται για συγκεκριμένη τιμή μεταλλικού διακένου, μετριάζοντας έτσι την επιδείνωση της αποδοτικότητας. Τελικά, με την ενσωμάτωση των κατασκευαστικών ατελειών στο υπολογιστικό μοντέλο διαπιστώνεται η καλή συμφωνία μεταξύ θεωρίας και πειράματος. Αντικείμενο του έβδομου κεφαλαίου αποτελεί η διερεύνηση της δυνατότητας σχεδιασμού μη γραμμικών διακοπτικών στοιχείων βασισμένων σε υβριδικό πλασμονικό κυματοδηγό. Η προσέγγιση που ακολουθείται στηρίζεται στη χρήση μη γραμμικού συντονιστή οδεύοντος κύματος με σκοπό την αξιοποίηση του φαινομένου της οπτικής διστάθειας. Αρχικά, ο γραμμικός συντονιστής αντιμετωπίζεται ως πρόβλημα ιδιοτιμών ούτως ώστε να αναγνωριστεί η καταλληλότερη για την εφαρμογή διάταξη. Επιλέγεται συντονιστής δίσκου ακτίνας 1 μm καθώς παρουσιάζει τις μικρότερες απαιτήσεις ισχύος για την εμφάνιση οπτικής διστάθειας. Στη συνέχεια, η οπτική απόκριση συστήματος δίσκου συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό μελετάται με κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο, το οποίο συνδυάζει τη θεωρία μικρών διαταραχών με τη θεωρία συζευγμένων ρυθμών στο πεδίο του χρόνου. Διεξάγεται συστηματικήδιερεύνησητηςεπίδρασηςτωνπαραμέτρων δκαι r Q στονβρόχουστέρησης.η βασική προϋπόθεση για την επίτευξη υψηλών επιδόσεων είναι η ικανοποίηση της συνθήκης κρίσιμης σύζευξης, καθώς τότε το επίπεδο ελάχιστης μετάδοσης στη δισταθή περιοχή μηδενίζεται οδηγώντας σε θεωρητικά άπειρο λόγο εξάλειψης μεταξύ των δύο καταστάσεων του διακόπτη. Θέτοντας ενδεικτικά το μήκος κύματος λειτουργίας σε τιμή που υπερβαίνει τη συχνότητα συντονισμού κατά 2.3 nm, η απαιτούμενη ισχύς εισόδου για την τοποθέτηση του σημείου λειτουργίας στη δισταθή περιοχή προκύπτει ίση με 1 W. Το εν λόγω επίπεδο ισχύος είναι σημαντικά μειωμένο συγκριτικά με τις απαιτήσεις ισχύος μη γραμμικού κατευθυντικού ζεύκτη, καταδεικνύοντας την υπεροχή της προσέγγισης υλοποίησης διακοπτικής διάταξης με τη βοήθεια μη γραμμικού συντονιστή. Επιπλέον, με τη χρήση δεύτερου συντονιστή το κατώφλι ισχύος μπορεί να μειωθεί περαιτέρω φτάνοντας στην περιοχή των λίγων mw. Τέλος, σημαντικά πλεονεκτήματα των προταθέντων μη γραμμικών διακοπτικών στοιχείων αποτελούν η αμιγώς οπτική λειτουργία και η ταχύτατη απόκριση, η οποία περιορίζεται μόνον από τον χρόνο ζωής των φωτονίων στον συντονιστή και τοποθετείται στην περιοχή των ps. Στο όγδοο και τελευταίο κεφάλαιο συγκεντρώνονται τα κύρια συμπεράσματα της διατριβής σε μια προσπάθεια συνολικής αποτίμησής της. Γίνεται επίσης αναφορά σε πιθανές μελλοντικές επιδιώξεις στα πλαίσια των ερευνητικών κατευθύνσεων που ακολουθήθηκαν. Ανατρέχοντας στη βιβλιογραφία είναι εμφανές το ενδιαφέρον για πλασμονικά διακοπτικά στοιχεία, καθώς με κατάλληλο σχεδιασμό θα μπορούσαν θεωρητικά να συνδυάσουν υψηλό εύρος ζώνης, νανομετρικές διαστάσεις και χαμηλές ενεργειακές απαιτήσεις. Παρόλα αυτά, οι πρώτες σχετικές μελέτες είτε περιορίζονταν σε μονοδιάστατες γεωμετρίες χωρίς πρακτικό ενδιαφέρον είτε επεδείκνυαν φτωχές επιδόσεις που αδυνατούν να ικανοποιήσουν τις απαιτήσεις των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών. Στην παρούσα διατριβή, προτείνονται τρισδιάστατες διατάξεις πλασμονικών διακοπτικών στοιχείων με υψηλές επιδόσεις προσανατολισμένες σε σύγχρονες πρακτικές εφαρμογές. Καταδεικνύεται έτσι η δυνατότητα της πλασμονικής να ικανοποιήσει τις αυστηρές απαιτήσεις των σύγχρονων συστημάτων επικοινωνιών και να διεκδικήσει μια θέση ανάμεσα στις κορυφαίες φωτονικές τεχνολογίες.

30 18 Κεφάλαιο 1 Τα προταθέντα θερμο-οπτικά διακοπτικά στοιχεία είναι ικανά για 2 2 λειτουργία και επιτυγχάνουν υψηλούς λόγους εξάλειψης για αμφότερες τις θύρες εξόδου(> 1 db) σε αξιόλογο εύρος συχνοτήτων. Προσφέρουν έτσι μια αξιοσημείωτη βελτίωση στις επιδόσεις συγκριτικά με τα πλασμονικά διακοπτικά στοιχεία του παρελθόντος. Η υλοποίηση των διατάξεων με συντονιστές μικροδακτυλίου ακτίνας λίγων μικρομέτρων εξασφαλίζει τον συμπαγή χαρακτήρα των διατάξεων και η χρήση του DLSPP κυματοδηγού οδηγεί σε χαμηλές ενεργειακές απαιτήσεις κατά τον έλεγχο της οπτικής απόκρισης με το θερμο-οπτικό φαινόμενο καθώς και μικρές σταθερές χρόνου( 1.5 μs). Στην πορεία του σχεδιασμού, εξετάζεται ένας αριθμός από διαφορετικές διατάξεις και δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην αποκάλυψη των φυσικών μηχανισμών που διαμορφώνουν την οπτική απόκριση, όπως η αλληλοπαρεμβολή στη διασταύρωση των κυματοδηγών. Τελικά, η επίδειξη θερμο-οπτικών διακοπτικών στοιχείων με υψηλές επιδόσεις επιτυγχάνεται προσαρμόζοντας τον σχεδιασμό στα δεδομένα αυτά καθώς και στα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της πλασμονικής τεχνολογίας, όπως οι υψηλές ωμικές απώλειες. Σημειώνεται επίσης η επιβεβαίωση των ευρημάτων της θεωρητικής ανάλυσης από πειράματα. Με σκοπό την επίδειξη διακοπτικών στοιχείων με ταχύτερους χρόνους απόκρισης προτείνονται διατάξεις που εμπλέκουν μη γραμμικό συντονιστή οδεύοντος κύματος και στηρίζουν τη λειτουργία τους στην επιδεκτικότητα τρίτης τάξης και το φαινόμενο της οπτικής διστάθειας. Ο χρόνος απόκρισης περιορίζεται μόνον από τον χρόνο ζωής των φωτονίων στον συντονιστή και τοποθετείται στην περιοχή των ps. Η υλοποίηση των διατάξεων στη βάση μη γραμμικού CGS κυματοδηγού εξασφαλίζει εξαιρετικά υψηλή συγκέντρωση με αποτέλεσμα η ακτίνα του εμπλεκόμενου συντονιστή να λαμβάνει τιμή μόλις 1 μm. Κατά τον σχεδιασμό, εξετάζονται διαφορετικοί τύπου συντονιστών(δακτυλίου και δίσκου) και αναγνωρίζεται η υπεροχή του δίσκου αναφορικά με τις απώλειες ακτινοβολίας που παρουσιάζει, γεγονός που οδηγεί σε υψηλότερους συντελεστές ποιότητας. Για τη μελέτη της οπτικής απόκρισης συστήματος δίσκου συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό αναπτύσσεται κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο, το οποίο συνδυάζει τη θεωρία μικρών διαταραχών με τη θεωρία συζευγμένων ρυθμών στο πεδίο του χρόνου. Η μαθηματική διαχείριση καταλήγει σε μια κομψή σχέση που συνδέει τις ισχείς εισόδου και εξόδου, η επίλυση της οποίας επιτρέπει τη χάραξη του βρόχου υστέρησης. Διεξάγεται συστηματική διερεύνηση της επίδρασης των παραμέτρων δκαι r Q στονβρόχουστέρησηςκαιδιαπιστώνεταιότιηβασικήπροϋπόθεση για την επίτευξη υψηλών επιδόσεων είναι η ικανοποίηση της συνθήκης κρίσιμης σύζευξης. Εξασφαλίζοντας τις συνθήκες αυτές το σύστημα μη γραμμικού συντονιστή δίσκου συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό μπορεί να λειτουργήσει ως διακόπτης δύο καταστάσεων με θεωρητικά άπειρο λόγο εξάλειψης και εξαιρετικά χαμηλές απώλειες εισαγωγής της τάξης του1db. Εκτός από τη δυνατότητα σχεδιασμού αποτελεσματικών παθητικών και δυναμικά ελεγχόμενων διατάξεων, η διείσδυση της πλασμονικής τεχνολογίας στα σύγχρονα συστήματα επικοινωνιών εξαρτάται και από τη δυνατότητα συνέργειάς της με άλλες διαδεδομένες φωτονικές τεχνολογίες. Αυτό επιβεβαιώνεται από το έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον αναφορικά με μελέτες σύζευξης πλασμονικών με συμβατικούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς τα τελευταία χρόνια. Η επίτευξη υψηλής αποδοτικότητας σύζευξης μεταξύ του DLSPP και κυματοδη-

31 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας 19 γών SOI στην παρούσα εργασία, με τις θεωρητικές απώλειες εισαγωγής να προκύπτουν μικρότερες του 1 db, καταδεικνύει τη δυνατότητα συνεργασίας των δύο κυρίαρχων νανοφωτονικών τεχνολογιών: της πλασμονικής και της τεχνολογίας πυριτίου. Επιπρόσθετα, ανοίγει τον δρόμο για υβριδικά νανοφωτονικά κυκλώματα τα οποία εκμεταλλεύονται τα ιδιαίτερα προτερήματα της κάθε τεχνολογίας με σκοπό την επίτευξη της βέλτιστης δυνατής επίδοσης. Αποτελεί, έτσι, ένα ακόμη σημείο συμβολής της διατριβής. Κατά τη σχεδίαση της διεπιφάνειας δίνεται έμφαση στην ανάδειξη της φυσικής που διέπει τη λειτουργία της διάταξης με χαρακτηριστικά παραδείγματα την ανάλυση των απωλειών σύζευξης σε επιμέρους μηχανισμούς απωλειών και τον έλεγχο της αμοιβαιότητας. Σημειώνεται, επίσης, η πλήρης επιβεβαίωση των θεωρητικών αποτελεσμάτων από πειράματα, καθώς και η θεωρητική ανάλυση των παρατηρούμενων ατελειών στα κατασκευασμένα δείγματα με σκοπό τον ακριβή προσδιορισμό της επίδρασής τους στην αποδοτικότητα σύζευξης. Η υπολογιστική ανάλυση των διατάξεων που μελετώνται πραγματοποιείται με χρήση μιας τρισδιάστατης μεθόδου πλήρους κύματος, της διανυσματικής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Η μέθοδος αυτή επιτρέπει αφενός την εξαγωγή ακριβούς αποτελέσματος που ανταποκρίνεται πιστά στο φυσικά υλοποιημένο εξάρτημα και αφετέρου παρέχει μια καθαρή εικόνα των φαινομένων που λαμβάνουν χώρα επιτρέποντας την εξαγωγή συμπερασμάτων για τους φυσικούς μηχανισμούς που διαμορφώνουν την οπτική απόκριση του υπό μελέτη εξαρτήματος, κάτι που αξιοποιείται στη διαδικασία του σχεδιασμού. Για την ανάλυση γίνεται χρήση γνωστών τεχνικών, όπως τα πρισματικά στοιχεία πρώτης τάξης και τα τεχνητά στρώματα απορρόφησης, αλλά προτείνονται και νέες. Ειδικότερα, σημαντική προσπάθεια επενδύεται στη διατύπωση μιας απορροφητικής οριακής συνθήκης προσαρμοσμένης στις ι- διαιτερότητες που παρουσιάζουν οι σύγχρονοι νανοφωτονικοί κυματοδηγοί. Η συμβατική συνθήκη για οδηγούμενους ρυθμούς αποδεικνύεται ανεπαρκής στην περίπτωση των κυματοδηγών που εξετάζονται, με συνέπεια να απαιτείται η τροποποίησή της για τη λήψη αξιόπιστων αποτελεσμάτων. Η μαθηματική διαχείριση που οδηγεί στην κατάστρωση της συνθήκης αποκαλύπτει ότι η κυματική αντίσταση αποτελεί το μέγεθος που υπαγορεύει τη λειτουργία της. Ετσι, καθίσταται δυνατή η διατύπωση μιας γενικής συνθήκης κατάλληλης για κάθε περίπτωση κυματοδηγού, ανεξαρτήτως των ιδιοτήτων πόλωσης του υποστηριζόμενου ρυθμού. Ως αποτέλεσμα, η προταθείσα συνθήκη καλύπτει από αμιγώς ΤΕ/ΤΜ ή(σχεδόν-)τεμ ρυθμούς μέχρι έντονα υβριδικούς ρυθμούς, όπως αυτούς των σύγχρονων νανοφωτονικών κυματοδηγών. Η τελική διατύπωση είναι κομψή και μπορεί να ενσωματωθεί με ελάχιστο κόπο σε υπάρχουσες υλοποιήσεις πεπερασμένων στοιχείων. Τέλος, καθώς στη διαδικασία εξαγωγής δεν πραγματοποιείται καμία παραδοχή η αποτελεσματικότητα της προταθείσας συνθήκης είναι εξαιρετική, γεγονός που επιβεβαιώνεται μέσα από μια σειρά αριθμητικών παραδειγμάτων.

32 2

33 2 Πλασμονικοί Κυματοδηγοί 2.1 Εισαγωγή Ο σχηματισμός οπτικών διατάξεων κυματοδήγησης βασίστηκε παραδοσιακά σε διηλεκτρικά υλικά(όπως διάφοροι τύποι γυαλιών με χαρακτηριστικότερο παράδειγμα το τηγμένο διοξείδιοτουπυριτίου, fused silica SiO 2 ),ταοποίαεπιτρέπουντηνεγκατάστασηπεδίου στο εσωτερικό τους χωρίς να παρουσιάζουν απώλειες αγωγιμότητας(ohmic/resistive losses). Στην κατηγορία αυτή εμπίπτουν και διάφοροι ημιαγωγοί(όπως λόγου χάρη το πυρίτιο), οι οποίοι για κατάλληλο εύρος συχνοτήτων είναι διάφανοι στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Μάλιστα, παρουσιάζουν το πλεονέκτημα του υψηλότερου δείκτη διάθλασης έναντι των συνηθισμένων διηλεκτρικών υλικών(γυαλιών και πολυμερών), κάτι που οδηγεί σε ρυθμούς(waveguide modes) με αυξημένη συγκέντρωση(confinement). Αναλυτικότερα, στους συμβατικούς οπτικούς κυματοδηγούς η οδήγηση του φωτός επιτυγχάνεται μέσω του μηχανισμού οδήγησης δείκτη(index guiding), ο οποίος αποτελεί γενίκευση της ολικής ε- σωτερικής ανάκλασης(total Internal Reflection, TIR) και συνίσταται στον περιορισμό του ρυθμού εντός οπτικά πυκνού πυρήνα που βρίσκεται σε οπτικά αραιό περιβάλλον. Οσο μεγαλύτερη η αντίθεση των δεικτών διάθλασης, τόσο ισχυρότερη η συγκέντρωση του ρυθμού, χωρίς, βέβαια, να είναι δυνατή η υπέρβαση του περιορισμού που θέτει το όριο παράθλασης (diffraction limit). 1 Τοπιοδιαδεδομένοπαράδειγμακυματοδηγούαυτήςτηςκατηγορίας είναι φυσικά η οπτική ίνα, η οποία κατασκευάζεται από γυαλί διοξειδίου του πυριτίου(silica glass, SiO 2 ). Ενας εναλλακτικός μηχανισμός οδήγησης, ο οποίος συγκέντρωσε σημαντικό ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια, είναι ο μηχανισμός οδήγησης διακένου ζώνης(bandgap guiding) [189]. Η οδήγηση στηρίζεται στην εκμετάλλευση των απαγορευμένων συχνοτικών ζωνών, τα αποκαλούμενα διάκενα(bandgaps), ενός περιοδικού μέσου. Μάλιστα, και σε αυτή την περίπτωση είναι πλεονεκτική η χρήση υλικών με ισχυρή αντίθεση δεικτών διάθλασης, καθώς αυτό συνεπάγεται διεύρυνση των ζωνών αποκοπής. Χαρακτηριστικά παραδείγματα της κατηγορίας αυτής αποτελούν οι μεμβράνες φωτονικών κρυστάλλων(photonic Crystal, PC, slabs) με γραμμική ατέλεια(defect) πλέγματος και οι ίνες φωτονικού κρυστάλλου(photonic Crystal Fibers, PCFs). Σημειώνεται, βέβαια, ότι ούτε αυτός ο μηχανισμός οδήγησης δύναται να άρει πλήρως τους περιορισμούς που επιβάλλει το όριο παράθλασης στην ενεργό 1 Τοόριοπαράθλασηςδηλώνειότιορυθμόςενόςσυμβατικούκυματοδηγούαποτελούμενουαπόδιηλεκτρικά υλικά δεν δύναται να συμπιεστεί σε αυθαίρετα μικρή επιφάνεια. Ειδικότερα, η χαρακτηριστική διάσταση του ρυθμού προς τις εγκάρσιες διευθύνσεις σχετίζεται με το μήκος κύματος της ακτινοβολίας και είναιτηςτάξηςτου λ/2,όπου λ = λ /nτομήκοςκύματοςστοεκάστοτευλικό. Οπεριορισμόςαυτός προκύπτειαπότησχέση β 2 +k 2 x +k2 y = k2 πουικανοποιούνοισυνιστώσεςτουκυματικούδιανύσματος για οδηγούμενο ρυθμό κατά τον άξονα z[187, 188]. 21

34 22 Κεφάλαιο 2 επιφάνεια του ρυθμού. Στο παρόν κεφάλαιο θα εξετάσουμε κυματοδηγούς που αξιοποιούν έναν διαφορετικό μηχανισμό οδήγησης(πολλές φορές σε συνδυασμό με τον μηχανισμό οδήγησης δείκτη) για τον σχηματισμό του οδηγούμενου ρυθμού. Πιο συγκεκριμένα, θα εξετάσουμε κυματοδηγούς που περιλαμβάνουν μία ή περισσότερες διεπιφάνειες μετάλλου-διηλεκτρικού και εκμεταλλεύονται τη δυνατότητα υποστήριξης επιφανειακού κύματος(surface wave) από αυτές. Το επιφανειακό αυτό κύμα αποκαλείται πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου(surface Plasmon Polariton, SPP) και οι αντίστοιχοι κυματοδηγοί πλασμονικοί(plasmonic waveguides). Οι κυματοδηγοί αυτοί παρουσιάζουν δύο κύρια πλεονεκτήματα[16 21]. Πρώτον, η συμμετοχή μεταλλικών μερών αίρει τον περιορισμό στη συγκέντρωση του φωτός που συνοδεύει τους συμβατικούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς. Δεύτερον, τα ίδια μεταλλικά μέρη που χρησιμοποιούνται για τον σχηματισμό του επιφανειακού ρυθμού μπορούν να αξιοποιηθούν και για την ταυτόχρονη εφαρμογή ηλεκτρικών σημάτων(π.χ. μιας διαφοράς δυναμικού ή ενός ηλεκτρικού ρεύματος), ενισχύοντας έτσι την προοπτική δυναμικά ελεγχόμενων εξαρτημάτων. 2 Αρχικά,θαεξετάσουμεμονοδιάστατουςπλασμονικούςκυματοδηγούς,οιοποίοι λαμβάνονται ομοιόμορφοι ως προς τη μια εγκάρσια διεύθυνση. Εκκινώντας από το εισαγωγικό παράδειγμα της μονής διεπιφάνειας μετάλλου-διηλεκτρικού θα προχωρήσουμε στις πολυστρωματικές δομές διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού(insulator-metal-insulator, IMI) και μετάλλου-διηλεκτρικού-μετάλλου(metal-insulator-metal, MIM). Στη συνέχεια, θα εστιάσουμε σε δισδιάστατους πλασμονικούς κυματοδηγούς, οι οποίοι περιορίζουν το φως σε αμφότερες τις εγκάρσιες διευθύνσεις, με έμφαση σε επίπεδες δομές κατάλληλες για πρακτικές εφαρμογές. Σκοπός μας για κάθε μια από τις εξεταζόμενες διατάξεις είναι ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών οδήγησης, όπως ο ενεργός δείκτης διάθλασης, οι απώλειες διάδοσης και η ενεργός επιφάνεια του ρυθμού. 2.2 Ιδιότητες μετάλλων στις οπτικές συχνότητες Οπως αναφέρθηκε, οι πλασμονικοί κυματοδηγοί περιλαμβάνουν μεταλλικά τμήματα καθώς στηρίζονται στην ύπαρξη μίας η περισσοτέρων διεπιφανειών μετάλλου-διηλεκτρικού για τον σχηματισμό του υποστηριζόμενου ρυθμού. Κρίνεται συνεπώς σκόπιμη η διερεύνηση των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων των μετάλλων στις οπτικές συχνότητες, καθώς αυτές είναι αρκετά διαφορετικές από τις ιδιότητες τους στην μικροκυματική/χιλιοστομετρική περιοχή συχνοτήτων, όπου και χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην κατασκευή κυματοδηγών. Στις περιοχές αυτές, τα μέταλλα εμφανίζονται ως τέλεια αγώγιμα σώματα που αποτρέπουν τη διείσδυση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο εσωτερικό τους. Ετσι, λειτουργούν ως τέλεια ανακλαστικές επιφάνειες ικανές να περιορίσουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε κάποιο διηλεκτρικό χώρο τον οποίον και περιβάλλουν, χωρίς να προκαλούν ωμικές απώλειες. Αντιθέτως, στις οπτικές συχνότητες η προσέγγιση του τέλειου(ή καλού) αγωγού παύει να ισχύει. Για συχνότητες της κοντινής υπέρυθρης περιοχής και του ορατού φάσματος επιτρέπεται κάποια διείσδυση του πεδίου στο εσωτερικό των μετάλλων(με εκθετικά αποσβεννύμενο πλάτος). Η διείσδυση αυτή συνοδεύεται από, εν γένει σημαντικές, ωμικές απώλειες, κάτι που αποτελεί και το κυριότερο μειονέκτημα των πλασμονικών κυματοδηγών. Για ακόμη υψηλότερες συχνότητες, μεγαλύτερες μιας χαρακτηριστικής συχνότητας που απο- 2 Στηνπερίπτωσηκυματοδηγούαποτελούμενουαπόδιηλεκτρικάυλικάαπαιτείταιηενσωμάτωσηκάποιου ειδικού κυκλώματος ελέγχου για την εφαρμογή των ηλεκτρικών σημάτων, κάτι που συνεπάγεται αυξημένη πολυπλοκότητα.

35 2.2. Ιδιότητες μετάλλων στις οπτικές συχνότητες 23 καλείται συχνότητα πλάσματος(plasma frequency) και τοποθετείται για τα περισσότερα μέταλλα στην υπεριώδη περιοχή, τα μέταλλα αποκτούν διηλεκτρικό χαρακτήρα επιτρέποντας τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο εσωτερικό τους. Για ένα σημαντικό εύρος οπτικών συχνοτήτων, το οποίο συμπεριλαμβάνει την κοντινή υπέρυθρη περιοχή που θα μας απασχολήσει, οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των μετάλλων μπορούν να περιγραφούν με καλή ακρίβεια από το μοντέλο πλάσματος(plasma model) ή μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων(free-electron model)[12]. Το μοντέλο αυτό περιγράφει την κίνηση ενός νέφους ελεύθερων ηλεκτρονίων, τα οποία ταλαντώνονται υπό την επίδραση κάποιου επιβαλλόμενου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, με την κίνησή τους να αποσβένεται μέσω συγκρούσεων με τους πυρήνες των θετικών ιόντων. Οι συγκρούσεις αυτές λαμβάνουν χώρα με χαρακτηριστική συχνότητα(characteristic collision frequency) γ = 1/τ, όπου με τ συμβολίζεται ο αντίστοιχος χρόνος χαλάρωσης(relaxation time). Τυπικές τιμές γιατονχρόνοχαλάρωσηςείναιτηςτάξηςτων 1 fs,κάτιπουαντιστοιχείσεσυχνότητα συγκρούσεων γ της τάξης των 1 THz. Σύμφωνα με τα παραπάνω, θεωρώντας ηλεκτρόνιο με φορτίο e και ενεργό οπτική μάζα(effective optical mass) m μπορούμε να γράψουμε μια διαφορική εξίσωση κίνησης της μορφής ẍ+γẋ = e E(t). (2.1) m Θεωρώντας αρμονική χρονική μεταβολή για το επιβαλλόμενο πεδίο E(t) = E exp(jωt), ηλύσητηςδιαφορικήςπαίρνειτημορφή x(t) = xexp(jωt)μετοστρεφόμενοδιάνυσμα (phasor) xναικανοποιείτην[ / t jωστηνεξ.(2.1)] x = e E. (2.2) m(ω 2 jγω) Για πυκνότητα N η συμβολή των μετατοπισμένων ηλεκτρονίων στο διάνυσμα της πόλωσης δίνεταιαπό 3 Ne 2 P = Nex = E. (2.3) m(ω 2 jγω) Ετσι, η σχετική διηλεκτρική σταθερά λαμβάνει τη μορφή ε r (ω) = 1 ω 2 p ω 2 jγω, (2.4) όπουμε ω p συμβολίζουμετησυχνότηταπλάσματος,ηοποίαορίζεταιμέσωτης ω 2 p = Ne2 ε m. (2.5) ΗΕξ.(2.4)αποτελείτομοντέλοτου Drudeγιατηδιηλεκτρικήσταθεράτωνμετάλλων. 4 Σημειώνεται ότι η διηλεκτρική σταθερά είναι μιγαδική(με το φανταστικό μέρος να εκφράζει ωμικές απώλειες) και παρουσιάζει διασπορά, δηλαδή εξάρτηση από τη συχνότητα. Το 3 Ηηλεκτρικήδιπολικήροπήκάθεδιπόλουείναιτηςμορφής p = exκαιηπυκνότητατωνδιπόλων N. 4 ΠολλέςφορέςτομοντέλοDrudeδιορθώνεταιμεαντικατάστασητηςμονάδαςστηνΕξ.(2.4)μεσταθερά ε πουλαμβάνειτιμέςστοδιάστημα 1 ε 1καιπεριγράφειτηνπαραμένουσαπόλωσηστιςυψηλές συχνότητες(ω > ω p )εξαιτίαςτωνπυρήνωντωνθετικώνιόντων[12,19].

36 24 Κεφάλαιο 2 Real part of ε r Ag ( α ) ( β) Wavelength ( µ m) Wavelength ( µ m) Imaginary part of ε r Ag -2-4 Σχήμα 2.1: Διηλεκτρική σταθερά άργυρου σε εύρος μηκών κύματος.5 2 μm, όπως προέκυψε απότομοντέλοτου Drudeμεπαραμέτρους ω p /2π = 218 THzκαι γ/2π = 4.35 THz[191]. (α) Πραγματικό και(β) φανταστικό μέρος. Παρατηρείστε τις μεγάλες αρνητικές τιμές που λαμβάνει το πραγματικό μέρος και το μη μηδενικό φανταστικό μέρος που εκφράζει απώλειες. πραγματικόκαιφανταστικόμέροςτηςεξ.2.4δίνονται,αντίστοιχα,από 5 ε (ω) = 1 ω2 p ω 2 +γ 2, γω 2 p ε (ω) = ω(ω 2 +γ 2 ). (2.6α) (2.6β) Στην ειδική περίπτωση που η συχνότητα συγκρούσεων γ τείνει στο μηδέν, η Εξ.(2.4) μεταπίπτει στην ε r (ω) = 1 ω2 p ω2, (2.7) η οποία αναφέρεται ως μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση(collisionless or undamped free-electron model). Η μιγαδική διηλεκτρική σταθερά των μετάλλων έχει μετρηθεί μέσω διαφόρων πειραματικών τεχνικών, με τις μετρημένες τιμές να παρατίθενται σε πίνακες για ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων[ ]. Πολλές φορές αντί της διηλεκτρικής σταθεράς παρατίθεται ο(μιγαδικός)δείκτηςδιάθλασης ñ(ω) = n(ω)+jκ(ω)πουορίζεταιμέσωτης ñ(ω) = ε r (ω). 6 Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη διηλεκτρικής σταθεράς και δείκτη διάθλασης συσχετίζονται μέσω των ε = n 2 κ 2, ε = 2nκ, (2.8α) (2.8β) 5 Δεδομένηςτηςυπόθεσηςπουκάναμεγιατησύμβασηαρμονικήςχρονικήςμεταβολής,τοφανταστικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς προκύπτει αρνητικό. Ιδιαίτερα συχνή είναι η υιοθέτηση της σύμβασης exp( iωt) για την αρμονική μεταβολή. Τότε το φανταστικό μέρος προκύπτει θετικό σε κάθε περίπτωση, εξακολουθεί να εκφράζει απώλειες και όχι κέρδος. 6 Τοφανταστικόμέροςτουδείκτηδιάθλασης, κ,αποκαλείταικαισυντελεστήςεξάλειψης(extinction coefficient).

37 2.2. Ιδιότητες μετάλλων στις οπτικές συχνότητες 25 Imaginary part of ε r Au JC Data Points Drude Lorentz-Drude Wavelength (µm) Σχήμα 2.2: Φανταστικό μέρος διηλεκτρικής σταθεράς χρυσού σε εύρος μηκών κύματος.4 1 μm. Τα πειραματικά δεδομένα του[193] προσεγγίζονται με Drude και Lorentz-Drude μοντέλα, σύμφωνα με τις παραμέτρους που παρουσιάζονται στο[19]. Είναι, προφανές ότι το Lorentz-Drude μοντέλο παρέχει πολύ καλύτερη προσέγγιση της διηλεκτρικής σταθεράς του χρυσού για το ορατό φάσμα. καιαντίστροφα 7 n 2 = ε ε 2 +ε 2 2, κ 2 = ε ε 2 +ε 2 2, (2.9α) (2.9β) Στις σχετικές εργασίες συχνά επιχειρείται ο προσδιορισμός των παραμέτρων του μοντέλου Drude, ή παραλλαγών αυτού, με σκοπό την κατά το δυνατόν καλύτερη περιγραφή των πειραματικών δεδομένων(fitting)[19, 191, 194]. Κάτι τέτοιο επιτρέπει την ακριβέστερη εκτίμηση της τιμής της διηλεκτρικής σταθεράς σε συχνότητες όπου δεν έχει πραγματοποιηθεί μέτρηση και επιπλέον καθιστά δυνατή την ενσωμάτωση της διασποράς υλικού σε υπολογιστικές μεθόδου του πεδίου του χρόνου, όπως η FDTD. Στην κλασική εργασία του Ordal για παράδειγμα[191], τα πειραματικά δεδομένα για τον άργυρο(ag) προσεγγίζονται μέσω μοντέλου Drude με συχνότητα πλάσματος 218 THz και συχνότητα συγκρούσεων 4.35 THz. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς απεικονίζονται στο σχήμα 2.1. Οπως προκύπτει από την παρατήρηση του σχήματος, το κυριότερο χαρακτηριστικό της διηλεκτρικής σταθεράς των μετάλλων είναι οι αρνητικές τιμές του πραγματικού μέρους. Για παράδειγμα, στο τηλεπικοινωνιακό μήκος κύματος του 1.55 μm η τιμή του πραγματικού μέρους προκύπτει ίση με 126. Μάλιστα, ακριβώς αυτό το χαρακτηριστικό είναι που καθιστά δυνατή την υποστήριξη επιφανειακού ηλεκτρομαγνητικού κύματος από διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού, όπως θα δούμε αναλυτικότερα στην ενότητα Τέλος, ένα επιπλέον χαρακτηριστικό είναι η ύπαρξη σημαντικού φανταστικού μέρους, γεγονός που συνεπάγεται ωμικές απώλειες. Για την περίπτωση του άργυρου το μοντέλο Drude δύναται να περιγράψει τη διηλεκτρική σταθερά με ικανοποιητική ακρίβεια μέχρι και για συχνότητες του οπτικού φάσματος καθώς οι πρώτες διαζωνικές μεταβάσεις(interband transitions) των ηλεκτρονίων λαμβάνουν χώρα βαθιά στην υπεριώδη περιοχή. Αντιθέτως, στην περίπτωση του χρυσού(au) το μοντέλο 7 Μόνοτοθετικόπρόσημομπροστάαπότουςόρους ε 2 +ε 2 στιςεξισώσεις(2.9α,β)εξασφαλίζει n,κ R.Γιατοναποτετραγωνισμόλαμβάνουμευπόψητουςφυσικούςπεριορισμούς n > και κ <.

38 26 Κεφάλαιο 2 Drude παύει να περιγράφει ικανοποιητικά τη διηλεκτρική σταθερά για συχνότητες μεγαλύτερες των 2 ev(62 nm). Ετσι, απαιτείται η τροποποίηση του μοντέλου, ώστε να ληφθούν υπόψη οι μεταβάσεις των ηλεκτρονίων σε ανώτερες ενεργειακές ζώνες. Πιο συγκεκριμένα, αυτόπραγματοποιείταιμεπροσθήκη(μεαρνητικόπρόσημο)όρωντηςμορφής 8 f i ωp 2 (ω 2 ωi 2) jωγ, (2.1) i όπου f i,ω i,γ i προσδιοριστέοισυντελεστέςπουσχετίζονταιμετοπλάτος,τηνκεντρική συχνότητα και το εύρος του όρου που μοντελοποιεί την κάθε μετάβαση, αντίστοιχα. Το τροποποιημένο αυτό μοντέλο αποκαλείται Lorentz-Drude λόγω της μορφής των όρων της Εξ.(2.1). Τα παραπάνω σχόλια μπορούν να γίνουν καλύτερα κατανοητά μέσω του σχήματος 2.2 που απεικονίζει το φανταστικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς του χρυσού για εύρος μηκών κύματος.4 1 μm. Αναλυτικότερα, τα πειραματικά δεδομένα των Johnson και Christy[193] προσεγγίζονται διαδοχικά με Drude και Lorentz-Drude μοντέλο με έναν όρο Lorentz, σύμφωνα με τις παραμέτρους που προσδιορίζονται στο[19]. Είναι προφανές ότι το Lorentz-Drude μοντέλο παρέχει πολύ καλύτερη προσέγγιση της διηλεκτρικής σταθεράς για το ορατό φάσμα έναντι του Drude. Αυτό οφείλεται στην προσθήκη ενός όρου Lorentz κεντραρισμένου στα 46 nm με κατάλληλο εύρος και πλάτος. Για να διατηρηθεί η συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα σε υψηλότερες συχνότητες είναι απαραίτητη η προσθήκη επιπλέον όρων τύπου Lorentz[194]. Σε κάθε περίπτωση, για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή που θα μας απασχολήσει το μοντέλο Drude περιγράφει με καλή ακρίβεια τη διηλεκτρική σταθερά των περισσότερων μετάλλων, συμπεριλαμβανομένων του χρυσού και του άργυρου που αποτελούν τις πλέον συνηθισμένεςεπιλογέςστηνπλασμονική. 9 Μάλιστα,γιαεφαρμογέςστοστενόπαράθυρο της C-band( μm), η μεταβολή των τιμών πραγματικού και φανταστικού μέρους της διηλεκτρικής σταθεράς είναι της τάξης του 5%, με αποτέλεσμα πολλές φορές να είναι αρκετή η υιοθέτηση μιας σταθερής τιμής. Για παράδειγμα, πολλές φορές υιοθετούνται οι τιμές στο κεντρικό μήκος κύματος(1.55 μm) για την περιγραφή της συμπεριφοράς σε ολόκληρη τηζώνη.συχνάχρησιμοποιούμενεςτιμέςείναιοιε Au r = 132 j12.65(n Au =.55 j11.5) [192]γιατονχρυσόκαι ε Ag r = 13 j3.3(n Ag =.145 j11.4)[193]γιατονάργυρο, αντίστοιχα. Το υψηλότερο φανταστικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς του χρυσού έναντι του άργυρου φαίνεται να συνεπάγεται υψηλότερες ωμικές απώλειες. Βέβαια, αυτό δεν είναι απολύτως ακριβές καθώς η απόσβεση του ρυθμού εξαρτάται και από τη δυνατότητα διείσδυσης του πεδίου στο εσωτερικό του μετάλλου, κάτι που υπαγορεύεται από το πραγματικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς. Ειδικότερα, όσο μεγαλύτερο κατά απόλυτη τιμή το πραγματικό μέρος, τόσο ασθενέστερη η διείσδυση. Καθώς τα πραγματικά μέρη των τιμών διηλεκτρικής σταθεράς είναι παρόμοια, η χρήση του άργυρου αναμένεται όντως να συνοδεύεταιαπόμικρότερεςαπώλειες. 1 Παρόλααυτά,οχρυσόςχρησιμοποιείταισυχνότερασε πρακτικές εφαρμογές καθώς έχει το βασικό πλεονέκτημα ότι δεν οξειδώνεται. Τέλος, δύο 8 Οιόροιαυτοίπροκύπτουναπόεξίσωσηκίνησηςαντίστοιχηςτης(2.1)μετηδιαφοράότισυμπεριλαμβάνει επιπλέονόροτηςμορφής mωi 2x. 9 Γιατηνπερίπτωσηάλλωνμετάλλων,όπωςτωναλκαλίων,ηπεριοχήεφαρμοσιμότηταςτουμοντέλου Drude είναι σημαντικά μεγαλύτερη και εκτείνεται ως το υπεριώδες. 1 Σημειώνουμεότιστηβιβλιογραφίαυπάρχειασάφειαωςπροςτηνακριβήτιμήτηςδιηλεκτρικήςσταθεράς των περισσότερων μετάλλων. Μάλιστα, για τιμές από διαφορετικές πηγές η ισορροπία αντιστρέφεται με τον άργυρο να παρουσιάζει μεγαλύτερες απώλειες.

39 2.3. Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 27 Πίνακας 2.1: Διηλεκτρική σταθερά(και αντίστοιχος δείκτης διάθλασης) των συνηθέστερα χρησιμοποιούμενων μετάλλων στην πλασμονική για μήκος κύματος 1.55 μm. Μέταλλο Διηλεκτρικήσταθερά Δείκτηςδιάθλασης Πηγή Χρυσός(Au) 132 j j11.5 [192] Άργυρος(Ag) 13 j j11.4 [193] Χαλκός(Cu) 114 j j1.7 [193] Αλουμίνιο(Al) 252 j j16 [191] ακόμη μέταλλα που χρησιμοποιούνται στην πλασμονική είναι ο χαλκός(cu) και το αλουμίνιο ή αργίλιο(al). Παρότι οδηγούν σε υψηλότερες απώλειες συγκριτικά με τον χρυσό ή τον άργυρο, η χρήση τους πολλές φορές προτιμάται λόγω συμβατότητας με τη τεχνολογία κατασκευής ολοκληρωμένων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων CMOS(Complementary Metal- Oxide-Semiconductor). Στον πίνακα 2.1 συγκεντρώνονται οι διηλεκτρικές σταθερές των συνηθέστερα χρησιμοποιούμενων μετάλλων στην πλασμονική για μήκος κύματος 1.55 μm. Σημειώνεται ότι στην περίπτωση που το υλικό λάβει τη μορφή λεπτού στρώματος(thin film), η διηλεκτρική σταθερά παρουσιάζει ισχυρή εξάρτηση από το πάχος του στρώματος[195]. Ετσι, οι τιμές του πίνακα 2.1 δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως έχουν. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του χρυσού αυτό συμβαίνει για στρώματα λεπτότερα των 25 nm. Μάλιστα, για πάχος 2 nm το πραγματικό και φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης παρουσιάζουν ήδη σημαντικήαπόκλισηαπότις bulkτιμέςτους(n 2 = 1.5n και κ 2 =.92κ [6]),ηοποία πρέπει να ληφθεί υπόψη. 2.3 Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί Οι κυματοδηγοί των πρακτικών εφαρμογών είναι εκ φύσεως δισδιάστατες διατάξεις. Παρουσιάζουν, δηλαδή, γεωμετρικά χαρακτηριστικά προς αμφότερους τους εγκάρσιους άξονες με σκοπό τον περιορισμό του φωτός σε μια πεπερασμένη ενεργό επιφάνεια και είναι ομοιόμορφες ως προς την τρίτη διάσταση, αυτή της διεύθυνσης διάδοσης. Στην παρούσα ενότητα θα εξετάσουμε μονοδιάστατους κυματοδηγούς, διατάξεις, δηλαδή, που είναι ομοιόμορφες προς μιαεκτωνδύοεγκάρσιωνδιευθύνσεωνκαιδύνανταιναπεριορίσουντοφωςωςπροςμία μόνον διεύθυνση. Κάτι τέτοιο κρίνεται σκόπιμο καθώς οι δομές αυτές αφενός αποκαλύπτουν τα κεντρικά χαρακτηριστικά των πλασμονικών ρυθμών και αφετέρου αποτελούν τη βάση για τον σχεδιασμό δισδιάστατων διατάξεων κυματοδήγησης Διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού: Ενας στοιχειώδης πλασμονικός κυματοδηγός Η απλούστερη δομή που δύναται να υποστηρίξει πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου (SPP) είναι η διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού, αποτελώντας, έτσι, έναν στοιχειώδη πλασμονικό κυματοδηγό[24]. Τι όμως περιγράφουμε ως πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου; Πλασμόνιο(plasmon) ονομάζεται το κβάντο των ταλαντώσεων των ελεύθερων ηλεκτρονίων

40 28 Κεφάλαιο 2 ε 2 E H dielectric metal ε 1( ω) y z x Σχήμα 2.3: Διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού και υποστηριζόμενο πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου(spp). Το SPP διαδίδεται κατά μήκος της διεπιφάνειας και είναι δέσμιο(bound) σε αυτήν με τις πεδιακές συνιστώσες να παρουσιάζουν εκθετική απόσβεση προς την κάθετη διεύθυνση. Η πόλωση του κύματος είναι εγκάρσια μαγνητική(μαγνητικό πεδίο κατά τα y). στααγώγιμασώματα,όπωςταμέταλλαήταιονισμένααέριασεκατάστασηπλάσματος 11 (εξού και πλασμόνιο). Με άλλα λόγια, το πλασμόνιο είναι για τις ταλαντώσεις ηλεκτρονίων ότι το φωτόνιο για το φως. Οι ταλαντώσεις των ελεύθερων ηλεκτρονίων σε μια διεπιφάνειαμετάλλου-διηλεκτρικούονομάζονταιεπιφανειακάπλασμόνια(surface plasmons) 12 και δύνανται να διεγερθούν μέσω προσπίπτοντος φωτονίου. Οταν, επιπλέον, το προσπίπτον φως συζευχθεί με το επιφανειακό πλασμόνιο δημιουργώντας επιφανειακό ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε διεπιφάνεια μετάλλου/διηλεκτρικού συζευγμένο με τις σύμφωνες(coherent) ταλαντώσεις των ελεύθερων ηλεκτρονίων του μετάλλου, η σύνθετη αυτή διέγερση αποκαλείταιπολαριτόνιοεπιφανειακούπλασμονίου(surface Plasmon Polariton, SPP). 13 Η γεωμετρία της μονής διεπιφάνειας μετάλλου-διηλεκτρικού και το υποστηριζόμενο επιφανειακό κύμα απεικονίζονται στο σχήμα 2.3. Η διεπιφάνεια είναι παράλληλη με τον άξονα x,ηδιάταξηθεωρείταιομοιόμορφηκατάτονάξονα y( / y )καιηαρχήτουάξονα z λογίζεται στο σημείο της διεπιφάνειας. Το SPP διαδίδεται παράλληλα με τη διεπιφάνεια (διεύθυνση διάδοσης κατά τον άξονα x) και είναι δέσμιο(bound) σε αυτήν. Το μέγιστο του ρυθμού παρατηρείται στο σημείο της διεπιφάνειας(z = ), με τις πεδιακές συνιστώσες ναπαρουσιάζουνεκθετικήαπόσβεσηπροςτηνκάθετηδιεύθυνση(z). 14 Χαρακτηρίζεται από ισχυρή συγκέντρωση καθώς οι πεδιακές συνιστώσες δεν διεισδύουν σημαντικά στον περιβάλλοντα χώρο, ιδιαίτερα δε στη μεριά του μετάλλου. Παρόλα αυτά, ακόμα και αυτή η περιορισμένη διείσδυση στο μέταλλο είναι υπεύθυνη για σημαντικές απώλειες διάδοσης, το επίπεδο των οποίων καθορίζεται βεβαίως από το φανταστικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς του μετάλλου. Για τη μαθηματική περιγραφή του SPP και την εξαγωγή των απαραίτητων συνθηκών για την υποστήριξή του θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις του Maxwell σε χώρο δίχως 11 Πλάσμα(plasma)ονομάζουμεμιακατάστασητηςύλης(οιυπόλοιπεςτρειςείναιηστερεά,υγρήκαι αέρια), η οποία χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη φορτισμένων σωματιδίων, ελεύθερων να κινηθούν. 12 Γίνεταιδιάκρισημεταπλασμόνιαόγκου(bulkήvolume plasmons),ταοποίαπεριγράφουνδιαμήκεις ταλαντώσεις ελεύθερων ηλεκτρονίων στον όγκο του μετάλλου και παρατηρούνται για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας πλάσματος. 13 Είναιεπίσηςγνωστόκαιωςεπιφανειακόκύμαπλάσματος(Surface Plasma Wave, SPW). 14 Τοχαρακτηριστικότηςτοπικάυψηλήςτιμήςπεδίου(ήπυκνότηταςισχύος)στηδιεπιφάνειαμετάλλουδιηλεκτρικού (field enhancement) αξιοποιείται σε πλήθος εφαρμογών, όπως εφαρμογές αισθητήρων (sensing) ή μη γραμμικής διάδοσης.

41 2.3. Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 29 πηγές.υποθέτονταςρυθμότηςμορφής E(r) = E(z)exp( jβx)( / x = jβ, / y ) και αρμονική χρονική μεταβολή( / t = jω) οι εξισώσεις στροφής του Maxwell γράφονται ανά συνιστώσα E y z = jωµ H x, E x z +jβe z = jωµ H y, jβe y = jωµ H z, H y z = jωε ε r E x, H x z +jβh z = jωε ε r H y, jβh y = jωε ε r E z. (2.11α) (2.11β) (2.11γ) (2.11δ) (2.11ε) (2.11ϛ) Το σύστημα εξισώσεων(2.11) επιτρέπει δύο ομάδες ανεξάρτητων λύσεων, με την κάθε μια να αντιστοιχεί σε κύμα διαφορετικής πόλωσης. Οι εξισώσεις(2.11β,δ,στ) περιγράφουν εγκάρσιαμαγνητικά(transverse Magnetic, TM)κύματαμεμημηδενικέςτις E x, E z και H y συνιστώσες. Εντελώς ανάλογα, οι εξισώσεις(2.11α,γ,ε) περιγράφουν εγκάρσια ηλεκτρικά (Transverse Electric, TE)κύματαμεμημηδενικέςτις H x, H z και E y συνιστώσες.παρόλα αυτά, η υποστήριξη επιφανειακού πλασμονικού ρυθμού ΤΕ πόλωσης δεν είναι δυνατή, γεγονός που θα επιβεβαιωθεί στη συνέχεια της παραγράφου. Ετσι, παρακάτω επικεντρωνόμαστε στις εξισώσεις(2.11β,δ,στ) που περιγράφουν την ΤΜ πόλωση. Οι εξισώσεις(2.11δ) και (2.11στ) γράφονται 1 H y E x = j ωε ε r z, E z = β ωε ε r H y. (2.12α) (2.12β) Αντικαθιστώντας τις(2.12) στην(2.11β) προκύπτει η 2 H y z 2 +(k 2 ε r β 2 )H y =, (2.13) συμπληρώνοντας τις Εξ.(2.12) στην περιγραφή των ΤΜ κυμάτων. Εναλλακτικά, η Εξ.(2.13) θαμπορούσεεύκολαναπροκύψειαπότηνεξίσωση Helmholtz( 2 H+k 2 ε r H = ). Καθώς το SPP παρουσιάζει εκθετική μείωση των πεδιακών συνιστωσών στους δύο χώρους,αναζητούμελύσητηςμορφής H y = Ah y (z)exp( jβx)όπουτοπροφίλ h y (z)είναι συνάρτηση εκθετικής απόσβεσης. Με χρήση των εξισώσεων(2.12) οι τρεις μη μηδενικές συνιστώσες στους δύο ημιάπειρους χώρους γράφονται στη μορφή z < 15 H y = A 1 e k 1z e jβx, E x = ja 1 k 1 ωε ε 1 e k 1z e jβx, (2.14α) (2.14β) 15 Καθότι z < οόρος exp(k 1 z)με k 1 > δηλώνειεκθετικήαπόσβεση.

42 3 Κεφάλαιο 2 z > β E z = A 1 e k1z e jβx. ωε ε 1 H y = A 2 e k 2z e jβx, k 2 E x = ja 2 e k2z e jβx, ωε ε 2 β E z = A 2 e k2z e jβx. ωε ε 2 (2.14γ) (2.15α) (2.15β) (2.15γ) Στιςεξισώσεις(2.14)και(2.15)με k i (i = 1,2)συμβολίζουμετονρυθμόαπόσβεσηςτων πεδιακώνσυνιστωσώνκατάτονάξοναzσταδύομέσα. 16 Τοαντίστροφομέγεθος,δ i = 1/k i, χαρακτηρίζει το βάθος διείσδυσης των συνιστωσών στους δύο χώρους(κοινό για όλες τις συνιστώσες).καθώςηh y συνιστώσαπρέπειεπιπλέονναικανοποιείτηνκυματικήεξίσωση (2.13),τα k i ικανοποιούντιςακόλουθεςσχέσεις k 2 1 = β 2 k 2 ε 1, k 2 2 = β2 k 2 ε 2. (2.16α) (2.16β) Σειρά έχει η εφαρμογή των οριακών συνθηκών. Από τη συνέχεια του εφαπτομενικού μαγνητικούπεδίου H y προκύπτει A 1 = A 2 καιαπότησυνέχειατουεφαπτομενικούηλεκτρικού (E x ): k 2 = ε 2. (2.17) k 1 ε 1 Η υποστήριξη επιφανειακού κύματος απαιτεί εκθετική απόσβεση των συνιστωσών κατά την κάθετη διεύθυνση(z). Σύμφωνα με τη σύμβαση των εξισώσεων(2.14),(2.15) αυτό συμβαίνειγια k i >. Ετσι,γίνεταιφανερόότιτα SPPsυποστηρίζονταιμόνοσεδιαχωριστικές επιφάνειες μέσων με αντίθετο πρόσημο διηλεκτρικής σταθεράς, όπως συμβαίνει για διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού. Είμαστε πια σε θέση να εξάγουμε τη σχέση διασποράς(dispersion relation), η οποία εκφράζει τη σταθερά διάδοσης του SPP σε μονή διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού σαν συνάρτηση της συχνότητας. Υψώνοντας την Εξ.(2.17) στο τετράγωνο και αντικαθιστώντας τις(2.16)καταλήγουμεστη 17 ε 1 (ω)ε 2 β(ω) = k. (2.18) ε 1 (ω)+ε 2 Εναλλακτικά, η περιγραφή της διασποράς μπορεί να γίνει με το μέγεθος του ενεργού δείκτη διάθλασης(effective refractive index),τοοποίοορίζεταιαπότησχέση n eff = β/k. Τα 16 Τομέγεθοςjk i αποτελείτηzσυνιστώσατουκυματικούδιανύσματοςστοκάθεμέσο ησυνιστώσααυτή είναι φανταστική καθώς εκφράζει απόσβεση αντί για μεταβολή φάσης. Είναι προφανές ότι η x συνιστώσα του κυματικού διανύσματος δεν είναι άλλη από τη σταθερά διάδοσης β. 17 Οιεξισώσειςπουπεριγράφουντησχέσηδιασποράςκυματοδηγούονομάζονταικαιχαρακτηριστικέςεξισώσεις(characteristic equation). Ο προσδιορισμός μιας τέτοιας εξίσωσης σε κλειστή μορφή είναι δυνατός μόνον για διατάξεις κυματοδήγησης πολύ απλής γεωμετρίας. Στις υπόλοιπες περιπτώσεις, ο υπολογισμός της σταθεράς διάδοσης πραγματοποιείται με χρήση κάποιας αριθμητικής μεθόδου.

43 2.3. Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 31 μεγέθη της σταθεράς διάδοσης και του ενεργού δείκτη διάθλασης είναι εν γένει μιγαδικά (αφούε 1 C),μετοπραγματικόμέροςναπεριγράφειτηφασικήταχύτητακαιτοφανταστικό τις απώλειες διάδοσης. Ειδικότερα, συσχετίζουμε το πραγματικό μέρος με το μήκος κύματος του SPP ρυθμού(guide wavelength) λ SPP = 2π Re{β} = λ Re{n eff }. (2.19) Το φανταστικό μέρος, από την άλλη, συσχετίζεται συχνά με το μέγεθος του μήκους διάδοσης(propagation length), το οποίο ορίζεται μέσω της L prop = 1 2Im{β} = 1 2k Im{n eff }. (2.2) Μετάαπόμήκος L prop ηισχύςπουμεταφέρειορυθμόςέχειελαττωθείκατάπαράγοντα 1/e, δηλαδή έχει διαμορφωθεί στο 37% της αρχικής. Ενα οδεύον(και όχι αποσβεννύμενο) κύμα πρέπει να έχει μη μηδενικό πραγματικό μέρος σταθεράς διάδοσης. Ας υποθέσουμε για ευκολία μεταλλικό χώρο άνευ απωλειών[εξ.(2.7)]. Καθώς ο αριθμητής της Εξ.(2.18) είναι αρνητικός, προκύπτει η αναγκαία συνθήκη ε 1 (ω)+ε 2 < ε 1 (ω) < ε 2, (2.21) δηλαδή η διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου δεν πρέπει να είναι απλώς αρνητική[εξ.(2.17)] αλλά και μεγαλύτερη κατ απόλυτο τιμή από την αντίστοιχη σταθερά του διηλεκτρικού. Καθώς το πραγματικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς του μετάλλου φθίνει με τη συχνότητα [βλ. σχήμα 2.1(α)], ο περιορισμός αυτός μεταφράζεται σε ένα άνω όριο συχνότητας πέραν του οποίου δεν είναι δυνατή η υποστήριξη οδεύοντος επιφανειακού κύματος. Με αντικατάσταση της Εξ.(2.7) στην(2.21) προκύπτει η χαρακτηριστική συχνότητα(surface plasmon frequency) ω p ω SP = (2.22) 1+ε2 Προτού εξετάσουμε τη μορφή του διαγράμματος διασποράς κύματος SPP, θα επιβεβαιώσουμε την αδυναμία υποστήριξης επιφανειακού ρυθμού στην περίπτωση της TE πόλωσης. Κατ αντιστοιχία με τις Εξ.(2.14) και Εξ.(2.15) οι τρεις μη μηδενικές πεδιακές συνιστώσες (E y,h x,h z )στουςδύοημιάπειρουςχώρουςγράφονται z < E y = A 1 e k 1z e jβx, (2.23α) k 1 H x = ja 1 e k1z e jβx, ωµ (2.23β) β H z = A 1 e k1z e jβx. ωµ (2.23γ) z > E y = A 2 e k 2z e jβx, (2.24α)

44 32 Κεφάλαιο 2 ω/ ω p Angular Frequency light lines Propagation Constant βc/ ωp ε 2 ε1( ω) Air-Silver Silica-Silver ω Air SP ω Silica SP Σχήμα 2.4: Διαγράμματα διασποράς διεπιφανειών μετάλλου-διηλεκτρικού[εξ.(2.18)] με διηλεκτρικόαέρα(ε r = 1)ήδιοξείδιοτουπυριτίου(ε r = 2.25). Ηδιηλεκτρικήσταθεράτουμετάλλου περιγράφεται από το μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση[εξ.(2.7)]. Διακρίνονται τρειςδιακριτέςπεριοχές. (i) ω < ω SP :Επιφανειακόκύμα SPP.Καθώςησυχνότηταπροσεγγίζει τη συχνότητα πλάσματος, η σταθερά διάδοσης αυξάνει με συνέπεια την ισχυρότερη συγκέντρωση τουρυθμούστηδιεπιφάνεια. (ii) ω SP < ω < ω p : Ησταθεράδιάδοσηςείναιφανταστική(δεν υποστηρίζεταιοδεύονκύμα)καισχεδιάζεταιμεδιακεκομμένηγραμμή. (iii) ω > ω p :Τομέταλλο αποκτάδιηλεκτρικόχαρακτήρα (ε 1 > )καιεπιτρέπειτηδιάδοσηακτινοβολίαςστοεσωτερικότου. Δεν υποστηρίζεται επιφανειακό κύμα καθώς οι διηλεκτρικές σταθερές των δύο μέσων παύουν να είναι αντίθετου προσήμου. k 2 H x = ja 2 e k2z e jβx, ωµ (2.24β) β H z = A 2 e k2z e jβx. ωµ (2.24γ) Απότησυνέχειατουεφαπτομενικούηλεκτρικούπεδίου(E y )προκύπτει A 1 = A 2 Aκαι απότησυνέχειατουεφαπτομενικούμαγνητικού(h x )φτάνουμεστησυνθήκη A(k 1 +k 2 ) =. (2.25) Για επιφανειακό κύμα με εκθετική απόσβεση των συνιστωσών στη διεύθυνση την κάθετη στηδιεπιφάνειαπρέπειναισχύει k i >. ΕτσιηπαρένθεσηστηνΕξ.(2.25)δενμπορεί να μηδενιστεί και ο μοναδικός τρόπος να ικανοποιηθεί η συνθήκη είναι να μηδενιστεί το κοινό πλάτος A. Συμπεραίνουμε, συνεπώς, ότι δεν είναι δυνατή η υποστήριξη επιφανειακού κύματος σε διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού για την περίπτωση της ΤΕ πόλωσης. Μετά τη σύντομη αυτή παρένθεση επιστρέφουμε στη μελέτη των χαρακτηριστικών των SPP. Στο σχήμα 2.4 απεικονίζονται τυπικά διαγράμματα διασποράς, τα οποία προέκυψαν μεχρήσητηςεξ.(2.18). Εξετάζονταιδύοδιεπιφάνειεςμεδιηλεκτρικόαέρα(ε r = 1)και διοξείδιοτουπυριτίου(ε r = 2.25),αντίστοιχα. Γιατηδιηλεκτρικήσταθεράτουμετάλλου χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση[εξ.(2.7)]. Ως αποτέλεσμα, η φασική σταθερά είναι είτε αμιγώς πραγματική είτε αμιγώς φανταστική(όχι μιγαδική), ανάλογα με το πρόσημο της υπόριζης ποσότητας στην Εξ.(2.18). Παρατηρείστε τιςχαρακτηριστικέςσυχνότητες ω SP και ω p πουχωρίζουντοδιάγραμμαδιασποράςσετρεις διακριτέςπεριοχές. Για ω < ω SP ηδιηλεκτρικήσταθεράτουμετάλλουείναιμεγαλύτερη κατά απόλυτο τιμή από αυτή του διηλεκτρικού και έτσι η διεπιφάνεια υποστηρίζει επιφανεια-

45 2.3. Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 33 prism k θ θ prism k θ θ metal air k x β SPP air metal k x β SPP Kretschmann-Raether Otto ( α ) ( β) Σχήμα 2.5: Διέγερση επιφανειακών κυμάτων SPP μέσω πρίσματος.(α) Διάταξη Kretscmann- Raether: Διέγερση στην κάτω επιφάνεια του μεταλλικού στρώματος.(β) Διάταξη Otto: Διέγερση στην άνω επιφάνεια του μεταλλικού στρώματος. κόρυθμό SPP.Προσεγγίζονταςτηνχαρακτηριστικήσυχνότητα ω SP,ησταθεράδιάδοσης τείνει στο άπειρο, η ταχύτητα ομάδας τείνει στο μηδέν και ο ρυθμός αποκτά ηλεκτροστατικό χαρακτήρα. 18 Παράλληλα,τοβάθοςδιείσδυσηςτουρυθμούσταπεριβάλλονταμέσαμειώνεται δραματικά όπως προκύπτει από τις εξισώσεις(2.16). Αυτό μπορεί να εξηγηθεί και μέσω της αύξησης του ενεργού δείκτη διάθλασης που μεταφράζεται σε μείωση του μήκους κύματος του ρυθμού[εξ.(2.19)] και συνεπώς σε αυξημένη ικανότητα εγκάρσιου περιορισμού του φωτός. Στην πράξη, βέβαια, η δυνατότητα αύξησης του κυματικού διανύσματος και της συγκέντρωσης δεν είναι απεριόριστη. Ειδικότερα, περιορίζεται από την ύπαρξη α- πωλειών(οι οποίες αγνοήθηκαν προσωρινά στο σχήμα 2.4), με τη σταθερά διάδοσης να μην τείνει στο άπειρο παρά να διπλώνει σε κάποια πεπερασμένη τιμή. Για συχνότητες στο εύρος ω SP < ω < ω p ησταθεράδιάδοσηςείναιαμιγώςφανταστικήμεαποτέλεσμαναμηνυποστηρίζεταιοδεύονκύμα.τέλος,πάνωαπότησυχνότηταπλάσματος(ω > ω p )τομέταλλο αποκτά διηλεκτρικό χαρακτήρα και επιτρέπει τη διάδοση ακτινοβολίας στο εσωτερικό του. Δεν είναι δυνατή η υποστήριξη επιφανειακού κύματος καθώς οι διηλεκτρικές σταθερές των δύο μέσων παύουν να είναι αντίθετου προσήμου. Παρατηρώντας το σχήμα 2.4 κανείς διαπιστώνει ότι η καμπύλη διασποράς του επιφανειακού SPP κύματος βρίσκεται στα δεξιά της γραμμής φωτός(light line) του εκάστοτε διηλεκτρικού(ω ε 2 /c ).Αυτόσημαίνειότιδενείναιδυνατήηαπευθείαςδιέγερσητου SPP μέσω προσπίπτουσας φωτεινής δέσμης. Ειδικότερα, η παράλληλη συνιστώσα του κυματικού διανύσματος προσπίπτουσας ακτίνας που σχηματίζει γωνία θ με την κάθετη στη διεπιφάνεια (k x = k sinθ)θαβρίσκεταιυποχρεωτικάστααριστεράτηςαντίστοιχηςγραμμήςφωτός,με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατή η διέγερση μέσω προσαρμογής φάσης(phase matching). Παρόλααυτά,ηθέσητηςγραμμήςφωτόςτουδιοξειδίουτουπυριτίουσεσχέσητην καμπύλη διασποράς SPP σε διεπιφάνεια αέρα-μετάλλου στο σχήμα 2.4 υποδεικνύει ότι η επιθυμητή προσαρμογή φάσης μπορεί να επιτευχθεί σε ένα σύστημα τριών στρωμάτων. Ειδικότερα, η διέγερση SPP σε διεπιφάνεια αέρα-μετάλλου πραγματοποιείται συνήθως με τη βοήθειαπρίσματος,σύμφωναμετιςδιατάξειςτουσχήματος2.5[38,39]. 19 Οιδύοδιατάξεις είναι παραπλήσιες και αποκαλούνται Kretschmann-Raether[Σχ. 2.4(α)] και Otto 18 Ακριβώςπάνωστην ω SP τοπολαριτόνιοεκφυλίζεταισεεπιφανειακόπλασμόνιο,εξούκαιηονομασία της χαρακτηριστικής συχνότητας: surface plasmon frequency. 19 Γενικότερα,ηδιέγερσηSPPσεδιεπιφάνειαμετάλλουμεοποιοδήποτεδιηλεκτρικούμπορείναεπιτευχθεί με χρήση οπτικά πυκνότερου πρίσματος. Η επιλογή του αέρα έγινε για λόγους απλότητας.

46 Penetration in Diel. (nm) Propagation Length ( µ m) 34 Κεφάλαιο 2 Effective Index ( α ) ( β) ε 2 ε1( ω) Wavelength ( µ m) 4 2 Penetration in Metal (nm) ε 2 ε1( ω) Wavelength ( µ m) Σχήμα 2.6: Χαρακτηριστικά επιφανειακού ρυθμού SPP σε διεπιφάνεια αέρα-χρυσού για εύρος μηκών κύματος 48 2 nm. Για τη διηλεκτρική σταθερά του χρυσού χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο Lorentz-Drude προσαρμοσμένο στα πειραματικά δεδομένα των Johnson& Christy[19](βλ. σχήμα 2.2). (α) Ενεργός δείκτης διάθλασης και μήκος διάδοσης. Παρατηρείστε την αναδίπλωση του δείκτη διάθλασης σε πεπερασμένη τιμή λόγω απωλειών.(β) Βάθος διείσδυσης στα δύο μέσα [Σχ. 2.4(β)], αντίστοιχα, προς τιμήν των εμπνευστών τους. Επικεντρώνοντας ενδεικτικά στη διάταξη Otto, η γωνία πρόσπτωσης στη διεπιφάνεια πρίσματος-αέρα, θ, πρέπει να είναι μεγαλύτερητηςκρίσιμης(41.8 γιαπρίσμαδιοξειδίουτουπυριτίου)καιναικανοποιείτη συνθήκηπροσαρμογήςφάσης β SPP = k x (ονόμοςτου Snellυπαγορεύειτησυνέχειατου k x στα δύο μέσα). Ετσι, η διέγερση του SPP στη διεπιφάνεια αέρα-μετάλλου πραγματοποιείται μέσω του εκθετικά αποσβεννύμενου πεδίου που εισχωρεί στον αέρα και η διαδικασία ονομάζεται αποσβεννύμενη ολική εσωτερική ανάκλαση(attenuated or frustrated total internal reflection). Προφανώς, η απόσταση του πρίσματος από τη διεπιφάνεια αέρα-μετάλλου πρέπει να είναι αρκούντως μικρή ώστε να είναι δυνατή η διέλευση(tunneling) του πεδίου έως αυτήν. Στην πράξη, η γωνία πρόσπτωσης ρυθμίζεται έως ότου διαπιστωθεί βύθιση στο ανακλώμενο πεδίο, γεγονός που υποδηλώνει την ικανοποίηση της συνθήκης προσαρμογής φάσηςκαισυνεπώςτηδιέγερσητου SPPρυθμού. Αξίζεινασημειωθείότιοιρυθμοίπου διεγείρονται με τις διατάξεις του σχήματος 2.4 είναι εγγενώς διαρρέοντες(inherently leaky), καθώς όπως διεγέρθηκαν με τη βοήθεια του πρίσματος έτσι χάνουν και ενέργεια μέσω αυτού κατά τη διάδοση. Μια εναλλακτική τεχνική για τη διέγερση SPP μέσω προσαρμογής φάσης είναι η χρήση φράγματος παράθλασης(grating coupling)[13, 196]. Στην περίπτωση αυτή, η διαφορά τωνσταθερώνδιάδοσης(β SPP και k x )καλύπτεταιαπότηνπεριοδικήδιάταξησεακέραια πολλαπλάσια του αμοιβαίου διανύσματος πλέγματος, δηλαδή η προσαρμογή φάσης απαιτεί τηνικανοποίησητηςσυνθήκηςβ SPP = ksinθ+ng,όπουg = 2π/Λτομέτροτουαμοιβαίου διανύσματος πλέγματος και Λ η περίοδος του φράγματος. Τέλος, άλλες τεχνικές διέγερσης βασίζονται στη χωρική προσαρμογή(spatial matching) της προσπίπτουσας δέσμης με τον επιφανειακό ρυθμό και όχι των αντίστοιχων φασικών σταθερών[4]. Για την εξαγωγή του διαγράμματος διασποράς του σχήματος 2.4 χρησιμοποιήσαμε ένα απλοποιημένο μοντέλο για τη διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου[εξ.(2.7)], με σκοπό να σχολιάσουμε τα κύρια χαρακτηριστικά των καμπυλών διασποράς. Στην πραγματικότητα, τα μέταλλα συνοδεύονται από ωμικές απώλειες και επιπλέον παρουσιάζουν διαζωνικές μεταβάσεις, οι οποίες οδηγούν σε απόκλιση της συμπεριφοράς τους από αυτή που προβλέπει το μοντέλο του Drude. Προς τον σκοπό της λεπτομερούς διερεύνησης των χαρακτηριστικών

47 2.3. Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 35 των SPP ρυθμών, εξετάζουμε μια διεπιφάνεια αέρα-χρυσού, με τη διηλεκτρική σταθερά του χρυσού να δίνεται από μοντέλο Lorentz-Drude[19], προσαρμοσμένο στα πειραματικά δεδομένα των Johnson και Christy. Επικεντρώνουμε στο εύρος μηκών κύματος 48 2 nm για το οποίο η προσέγγιση των πειραματικών δεδομένων είναι ιδιαίτερα ακριβής(βλ. σχήμα 2.2). Στο σχήμα 2.6(α) απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης και το μήκος διάδοσης του SPP ρυθμού στο εν λόγω εύρος. Παρατηρείστε την ανακοπή της μονότονης αύξησης του ενεργού δείκτη διάθλασης προς υψηλότερες συχνότητες. Οπως αναφέρθηκε, η αναδίπλωση της σταθεράς διάδοσης είναι αποτέλεσμα των απωλειών του μετάλλου[πρβ. σχήμα 2.4]. Αντίστοιχα, στο σχήμα 2.6(β) παρουσιάζεται το βάθος διείσδυσης των πεδιακών συνιστωσώνσταδύομέσα(δ i = 1/Re{k i }),όπωςπροκύπτειμεεφαρμογήτωνεξισώσεων (2.16). Για μεγάλο εύρος συχνοτήτων της κοντινής υπέρυθρης το βάθος διείσδυσης στο μέταλλο(δ 1 )είναισταθερόκαιίσομεπερίπου 23 nm,ενώπαρουσιάζειμιααύξησηγια συχνότητες του ορατού φάσματος, παραμένοντας όμως, σε κάθε περίπτωση, μικρό. Απεναντίας,τοβάθοςδιείσδυσηςστονδιηλεκτρικόημιάπειροχώρο(δ 2 )παρουσιάζειέντονη μεταβολή: από λίγες εκατοντάδες νανόμετρα έως κάποια μικρόμετρα. Αυτή η μεταβολή στη συγκέντρωση του ρυθμού συνοδεύεται όμως από μια αντίστοιχη μεταβολή στο μήκος διάδοσης[βλ. σχήμα 2.6(α)]. Ειδικότερα, όσο ισχυρότερη γίνεται η συγκέντρωση τόσο ελαττώνεται το μήκος διάδοσης. Ας ποσοτικοποιήσουμε την παραπάνω διαπίστωση μέσω ενός παραδείγματος. Για μήκος κύματος 6 nm η συγκέντρωση του ρυθμού είναι ιδιαίτερα ισχυρήμετηδιείσδυσηστονδιηλεκτρικόχώροναείναι δ 2 = 28 nm,μικρότερηδηλαδήτου μήκους κύματος(subwavelength confinement). Παρόλα αυτά, ο ρυθμός παρουσιάζει πολύ ισχυρές απώλειες με το μήκος διάδοσης να διαμορφώνεται στα 5 μm. Αντιθέτως, για μήκος κύματος 1.55μm,ησυγκέντρωσηείναιασθενής(δ 2 = 2.6μm),αλλάτομήκοςδιάδοσης μεγάλο(l prop = 31μm). Γιαακόμηχαμηλότερεςσυχνότητεςτοπεδίοεκτείνεταιγια πολλά μήκη κύματος στο διηλεκτρικό μέσο θυμίζοντας επιφανειακά ραδιοκύματα εδάφους Sommerfeld-Zenneck. Η διαπίστωση αυτή που κάναμε αναφορικά με την αντίθετη τάση(trade-off) που παρουσιάζουν βάθος διείσδυσης και μήκος διάδοσης με τη συχνότητα έχει γενικότερη ισχύ στην πλασμονική. Μάλιστα, δεν εκφράζεται μόνον σε μεταβολές της συχνότητας λειτουργίας, παρά εμφανίζεται και σαν συνάρτηση οποιασδήποτε άλλης μεταβολής στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά ή τα εμπλεκόμενα υλικά του πλασμονικού κυματοδηγού. Γενικότερα, σε ολόκληρη την πορεία σχεδιασμού διαφορετικών πλασμονικών διατάξεων κυματοδήγησης πάντα αναζητείται ο βέλτιστος συμβιβασμός μεταξύ συγκέντρωσης και μήκους διάδοσης, καθώςηαύξησητουενόςοδηγείσεμείωσητουάλλου Διατάξεις τριών στρωμάτων: ΙΜΙ και ΜΙΜ κυματοδηγοί Επιφανειακοί πλασμονικοί ρυθμοί υποστηρίζονται και από διατάξεις που περιλαμβάνουν περισσότερες της μιας διεπιφάνειες μετάλλου-διηλεκτρικού. Στην περίπτωση αυτή, τα επιμέρους SPPs που υποστηρίζονται από την κάθε διεπιφάνεια συζευγνύονται μεταξύ τους για τη δημιουργία ενός σύνθετου πλασμονικού ρυθμού. Εστω διάταξη τριών στρωμάτων με εναλλασσόμενα στρώματα μετάλλου και διηλεκτρικού, όπως στο σχήμα 2.7. Με βάση τη γενική(generic) αυτή μορφή, μπορούν να νοηθούν δύο διαφορετικές διατάξεις, συμπληρωματικές μεταξύ τους. Ειδικότερα, πρόκειται για τις διατάξεις διηλεκτρικού-μετάλλου-

48 36 Κεφάλαιο 2 z t III I II ε 3 ε 1 ε 2 a -a x ( α) ε 2 ε 1 ε 2 ( β ) ( γ) Σχήμα 2.7: (α) Διάταξη τριών στρωμάτων με σύμβαση αξόνων και τις σχετικές γεωμετρικές παραμέτρους/ιδιότητεςυλικών.(β)συμμετρικήδομή(ε 2 = ε 3 )διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού (IMI).(γ)Συμμετρικήδομή(ε 2 = ε 3 )μετάλλου-διηλεκτρικού-μετάλλου(mim).τα SPPστις επιμέρους διεπιφάνειες συζευγνύονται για τη δημιουργία σύνθετου πλασμονικού ρυθμού. ε 2 ε 1 ε 2 διηλεκτρικού (Insulator-Metal-Insulator, IMI) [Σχ. 2.7(β)] και μετάλλου-διηλεκτρικούμετάλλου(metal-insulator-metal, MIM)[Σχ. 2.7(γ)]. Στην περίπτωση της ΙΜΙ δομής το πάχος του μεσαίου στρώματος(t = 2a) πρέπει να είναι αρκούντως μικρό, ώστε να επιτρέπει τη σύζευξη των επιμέρους SPPs. Δεδομένου ότι τυπικές τιμές για το βάθος διείσδυσης στομέταλλοείναιτηςτάξηςτων 25 nmτοπάχοςτουστρώματοςσπάνιαξεπερνάειτα 1 nm(4δ m ). Διαφορετικά,οσύνθετοςρυθμόςεκφυλίζεταισεδύοασύζευκτους SPP ρυθμούς των επιμέρους διεπιφανειών. Αντίστοιχα, και στην περίπτωση της ΜΙΜ δομής η υποστήριξη του βασικού ρυθμού(με προφίλ χωρίς ημιτονοειδή μεταβολή στον διηλεκτρικό πυρήνα) απαιτεί αρκούντως λεπτό διηλεκτρικό στρώμα που να επιτρέπει τη σύζευξη των επιμέρους SPPs.Καθώςτοβάθοςδιείσδυσηςστοδιηλεκτρικό(δ d )όμωςείναιμεγαλύτερο, ο περιορισμός στο πάχος του στρώματος είναι λιγότερο αυστηρός. Ακολουθώντας μια πορεία αντίστοιχη με αυτή της ενότητας 2.3.1, αναζητώντας δηλαδή λύση με εκθετική απόσβεση των συνιστωσών καθώς απομακρυνόμαστε από την κάθε διεπιφάνεια 2 καιεφαρμόζονταςτιςοριακέςσυνθήκεςγιαταπεδιακάμεγέθη,προκύπτειη χαρακτηριστικήεξίσωση(σχέσηδιασποράς)τουσυστήματοςτριώνστρωμάτων[12]: 21 e 4k 1a = k 1/ε 1 +k 2 /ε 2 k 1 /ε 1 k 2 /ε 2 k 1 /ε 1 +k 3 /ε 3 k 1 /ε 1 k 3 /ε 3. (2.26) Η Εξ.(2.26) συσχετίζει τη σταθερά διάδοσης του υποστηριζόμενου ρυθμού με τη συχνότητα 2 ΗθεώρησηαυτήαποκλείειρυθμούςανώτερηςτάξηςσεδομήΜΙΜ,οιοποίοιθαπαρουσίαζανημιτονοειδή μεταβολή στο μεσαίο στρώμα(ιι), καθώς και ρυθμούς ακτινοβολίας σε δομή ΙΜΙ, οι οποίοι θα παρουσίαζαν ημιτονοειδή μεταβολή στα στρώματα Ι και ΙΙΙ. 21 Καισεαυτήτηναπλήγεωμετρικάπερίπτωσηδιάταξηςκυματοδήγησηςείναιδυνατήηγραφήμιας χαρακτηριστικής εξίσωσης, δηλαδή η διατύπωση της σχέσης διασποράς σε κλειστή μορφή. Σε αντίθεση βέβαια με την Εξ.(2.18), η(2.26) είναι υπερβατική(transcendental) και ως εκ τούτου η επίλυσή της απαιτεί την εφαρμογή κάποιας μεθόδου της αριθμητικής ανάλυσης. Σημειώνουμε ότι σε συνθετότερες διατάξεις κυματοδήγησης, όπως αυτές της ενότητας 2.4, η κατάστρωση μιας χαρακτηριστικής εξίσωσης, ακόμα και υπερβατικής, δεν θα είναι πλέον δυνατή.

49 2.3. Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 37 λειτουργίας,καθώς,όπωςκαιστηνπερίπτωσητηςμονήςδιεπιφάνειαςτα k i ικανοποιούν σχέσειςτηςμορφής k 2 i = β 2 k 2 ε i, i = {1,2,3}. Είναιφανερόότιόταντοπάχοςτου μεσαίουστρώματοςγίνειαρκετάμεγαλύτεροτουαντίστοιχουβάθουςδιείσδυσης(k 1 a = a/δ 1 1)ηεξίσωση(2.26)μεταπίπτεισεδύοεξισώσειςανάλογεςτης(2.21),οιοποίες περιγράφουν τη διασπορά δύο ασύζευκτων SPPs στις επιμέρους διεπιφάνειες. Στην ειδική περίπτωσητηςσυμμετρικήςδομής,ότανδηλαδή ε 2 = ε 3,ησχέσηδιασποράςμπορείνα αναλυθείσεδύοανεξάρτητεςεξισώσεις 22 tanhk 1 a = k 2ε 1 k 1 ε 2, tanhk 1 a = k 1ε 2 k 2 ε 1, (2.27α) (2.27β) οι οποίες περιγράφουν ρυθμούς διαφορετικής συμμετρίας. Ειδικότερα, η(2.27α) περιγράφει ρυθμούςγιατουςοποίουςοισυνιστώσες E z και H y είναιάρτιεςσυναρτήσειςτηςεγκάρσιας συντεταγμένης z(μεαναφοράτονάξονα z =,Σχ.2.7)ενώηE x περιττή.υιοθετώντας την ονοματολογία που στηρίζεται στη συμμετρία της εγκάρσιας συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου[45,56],οιρυθμοίαυτοίονομάζονταισυμμετρικοίκαισυμβολίζονταιμε s b (οδείκτης δηλώνειδέσμιους(bound)ρυθμούς). 23 Απότηνάλλη,οιλύσειςτης(2.27β)είναιρυθμοί γιατουςοποίουςοισυνιστώσες E z και H y είναιπεριττέςσυναρτήσειςτηςσυντεταγμένης zενώηe x άρτια.οιρυθμοίαυτοίαποκαλούνταιαντισυμμετρικοίκαισυμβολίζονταιμε a b. Στο σχήμα 2.8 απεικονίζονται ενδεικτικές καμπύλες διασποράς που προέκυψαν για συμμετρικήιμιδομήμεδιηλεκτρικότοναέρα(ε 2 = 1)επιλύονταςτιςεξισώσεις(2.27). Για τηδιηλεκτρικήσταθεράτουμετάλλου(ε 1 )χρησιμοποιήθηκετομοντέλοελεύθερωνηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση[εξ.(2.7)], με αποτέλεσμα για συχνότητες μικρότερες της χαρακτηριστικήςσυχνότητας ω SP ησταθεράδιάδοσηςναείναιαμιγώςπραγματική.οικαμπύλες που προέκυψαν είναι ποιοτικά όμοιες με αυτή της μονής διεπιφάνειας[σχ. 2.3], η οποία συμπεριλαμβάνεται με γκρίζα συνεχή γραμμή για τη διευκόλυνση της σύγκρισης. Για τους συμμετρικούς ρυθμούς βρίσκονται ψηλότερα από αυτή, ενώ για τους αντισυμμετρικούς χαμηλότερα. Εξετάζονται τρεις περιπτώσεις πάχους για το μεταλλικό στρώμα: t = 2, 5 και 1 nm. Στηντελευταία,ταεπιμέρους SPPsείναισχεδόνασύζευκτα(t 4δ 1 )καιαμφότερες οι καμπύλες διασποράς(συμμετρικών και αντισυμμετρικών ρυθμών) εκφυλίζονται σε αυτή της μονής διεπιφάνειας. Απεναντίας, όσο ισχυρότερη γίνεται η σύζευξη, τόσο οι καμπύλες συμμετρικών και αντισυμμετρικών ρυθμών αποκλίνουν από αυτή της μονής διεπιφάνειας. Επιπλέον με τη μείωση του πάχους του μεταλλικού στρώματος εμφανίζεται ένα ιδιαίτερασημαντικόχαρακτηριστικότου s b ρυθμού. Ειδικότερα,ηδιείσδυσητουρυθμού στο μέταλλο περιορίζεται, η αντίστοιχη διείσδυση στο διηλεκτρικό περιβάλλον αυξάνεται και προοδευτικά ο ρυθμός εξελίσσεται σε ένα επίπεδο κύμα που διαδίδεται στο διηλεκτρικό μέσο. Αυτόμπορείναεπιβεβαιωθείαπότηνπροσέγγισητηςκαμπύληςδιασποράςτου s b ρυθμούστηγραμμήτουφωτόςγια t = 2 nm.ωςαποτέλεσματηςεξέλιξηςαυτής,οιαπώλειες διάδοσης ελαττώνονται σημαντικά. Παράλληλα όμως εξασθενεί και η συγκέντρωση 22 Αντίτηςεπίλυσηςτωνυπερβατικώναυτώνεξισώσεωνημελέτητηςδιασποράςτωνβασικώνρυθμών των συμμετρικών ΙΜΙ και ΜΙΜ δομών μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω προσεγγιστικών σχέσεων οι οποίες έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία και περιγράφουν με καλή ακρίβεια την ακριβή λύση των Εξ.(2.27) για αξιόλογο εύρος παραμέτρων[197]. 23 Εναλλακτικά,οιρυθμοίαυτοίονομάζονταιπεριττοίότανηονοματολογίαστηρίζεταιστησυμμετρίατης αξονικήςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου, E x [12].

50 38 Κεφάλαιο 2 ω/ ω p Angular Frequency light line IMI: t = 2 nm.2 IMI: t = 5 nm t ε1( ω) IMI: t = 1 nm Single Interface ε Propagation Constant βc/ ωp s b a b ε 2 Σχήμα 2.8: Διάγραμμα διασποράς συμμετρικών και αντισυμμετρικών ρυθμών που υποστηρίζονται από ΙΜΙ δομή με διηλεκτρικό τον αέρα. Η διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου περιγράφεται από το μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση[εξ.(2.7)]. Οι καμπύλες των συμμετρικών ρυθμών βρίσκονται ψηλότερα της καμπύλης διασποράς μονής διεπιφάνειας(γκρίζα συνεχής γραμμή).εξετάζονταιοιπεριπτώσεις t = 2, 5και 1 nm.στηντελευταίαταεπιμέρους SPPsείναι σχεδόνασύζευκτα(t 4δ 1 )καιηκαμπύληδιασποράςμεταπίπτεισεαυτήτηςμονήςδιεπιφάνειας. του ρυθμού, με τις συνιστώσες να εκτείνονται για πολλά μήκη κύματος στο διηλεκτρικό περιβάλλον(confinement/loss trade-off). Μάλιστα, το μήκος διάδοσης μπορεί να φτάσει σε κλίμακα χιλιοστών, αντί των συνηθισμένων μικρομέτρων, γεγονός που δικαιολογεί τον χαρακτηρισμόμακράςεμβέλειας(long-range)πουαποδίδεταιστον s b ρυθμόστιςπεριπτώσειςαυτές[42]. Αντιστικτικά,μεμείωσητουπάχους tοa b διεισδύειπερισσότεροστον μεταλλικό πυρήνα και λιγότερο στο διηλεκτρικό περιβάλλον. Αυτό οδηγεί σε αύξηση των απωλειώνδιάδοσης,γεγονόςπουδικαιολογείτονχαρακτηρισμότου a b ρυθμούωςβραχείας εμβέλειας(short range). Σημειώνουμε, τέλος, ότι όπως και στην περίπτωση της μονής διεπιφάνειας[σχ. 2.6(α)], η ενσωμάτωση των απωλειών του μετάλλου μέσω κατάλληλης μιγαδικής διηλεκτρικής σταθεράς οδηγεί στην αναδίπλωση των καμπυλών διασποράς σε κάποια πεπερασμένη τιμή συχνότητας. Με ανάλογο τρόπο μπορούν να προκύψουν διαγράμματα διασποράς και για την περίπτωση των ΜΙΜ δομών. Ο σημαντικότερος ρυθμός της διάταξης είναι και πάλι ο βασικός συμμετρικός ρυθμός που περιγράφεται από την Εξ.(2.27α). Μάλιστα, ο ρυθμός αυτός υ- ποστηρίζεται για οσοδήποτε λεπτό διηλεκτρικό στρώμα, χωρίς να οδηγείται στην αποκοπή. Καθώς η διείσδυση στον περιβάλλοντα μεταλλικό χώρο είναι της τάξης των λίγων δεκάδων νανομέτρων[βλ. σχήμα 2.6(β)], η συνολική έκταση του ρυθμού μπορεί να καταστεί ένα μικρό κλάσμα του μήκους κύματος, επιβεβαιώνοντας έτσι τη δυνατότητα της πλασμονικής να υπερβεί τους περιορισμούς του ορίου παράθλασης. Βέβαια, όπως αναμένεται η αύξηση της συγκέντρωσης συνοδεύεται από μια αντίστοιχη αύξηση των απωλειών διάδοσης. Για μια πληρέστερη πραγμάτευση των ΙΜΙ και ΜΙΜ δομών, ο αναγνώστης παραπέμπεται στη σχετική βιβλιογραφία[41, 45, 46, 198, 199].

51 2.4. Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 39 (α) t y x w ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 y coordinate ( µ m) 1-5 (β) ss b E y 5 n eff = L prop = 2.13 mm x coordinate ( µ m) Σχήμα 2.9: (α) Διατομή του πλασμονικού κυματοδηγού ταινίας. Στην ειδική περίπτωση της συμμετρικήςδομής(ε 2 = ε 3 ),ημεταλλικήταινίαδιαστάσεων w tβρίσκεταιεντόςομογενούς διηλεκτρικού περιβάλλοντος. (β) Ενδεικτική κατανομή της κυρίαρχης εγκάρσιας συνιστώσας του ηλεκτρικούπεδίου(e y )γιατονρυθμόμακράςεμβέλειας ss b. Παρατηρείστετομήκοςδιάδοσης στην κλίμακα των χιλιοστών, καθώς και τη σημαντική εισχώρηση του ρυθμού στο διηλεκτρικό περιβάλλον(sio 2, ε 2 = 1.444),ηοποίακαιαποτυπώνεταιστηντιμήτουενεργούδείκτηδιάθλασης. 2.4 Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί Οι μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί της ενότητας 2.3 παρουσιάζουν περιορισμένο πρακτικό ενδιαφέρον. Για την υλοποίηση χρήσιμων εξαρτημάτων(components) όπως ζευκτών, διαιρετών ισχύος ή φίλτρων είναι απαραίτητοι κυματοδηγοί που να περιορίζουν το φως και στις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις(δισδιάστατοι κυματοδηγοί), ικανοί να οδηγήσουν το φως διαγράφοντας οποιαδήποτε επιθυμητή διαδρομή στο επίπεδο. Τέτοιοι κυματοδηγοί μπορούν να προκύψουν στη βάση των διατάξεων που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 2.3 προβλέποντας για τον περιορισμό του φωτός και προς την έτερη εγκάρσια διεύθυνση με χρήση κάποιου από τους γνωστούς μηχανισμούς οδήγησης(βλ. ενότητα 2.1). Κατά τον σχεδιασμό, ιδιαίτερα σημαντική είναι η επίτευξη μιας πλεονεκτικής ισορροπίας μεταξύ απωλειών διάδοσης και ενεργού επιφανείας. Στη συνέχεια του κεφαλαίου θα εξετάσουμε τους κυριότερους επίπεδους(planar) δισδιάστατους πλασμονικούς κυματοδηγούς και θα ποσοτικοποιήσουμε τα βασικά χαρακτηριστικά οδήγησης που τους συνοδεύουν(ενεργός δείκτης διάθλασης,απώλειεςδιάδοσης,ενεργόςεπιφάνεια) Πλασμονικός κυματοδηγός ταινίας Ο πλασμονικός κυματοδηγός ταινίας(stripe plasmonic waveguide) αποτέλεσε τον πρώτο δισδιάστατο πλασμονικό κυματοδηγός που διερευνήθηκε συστηματικά[56 61] και χρησιμοποιήθηκε στην υλοποίηση επίπεδων πλασμονικών εξαρτημάτων οδηγούμενου κύματος [62 64]. Μάλιστα, εκτός από παθητικά εξαρτήματα προτάθηκαν και δυναμικά ελεγχόμενες διατάξεις βασισμένες στο θερμο-οπτικό φαινόμενο[ ]. Η διατομή του κυματοδηγού 24 Στηνπερίπτωσητωνδισδιάστατωνκυματοδηγώνδενείναιδυνατήηκατάστρωσηκάποιαςχαρακτηριστικής εξίσωσης. Ετσι, η εξαγωγή του διαγράμματος διασποράς και των χαρακτηριστικών οδήγησης πραγματοποιείταιμέσωτηςαριθμητικήςεπίλυσηςτηςδιανυσματικήςκυματικήςεξίσωσης, µ 1 r E k ε 2 re =, στη διατομή του κυματοδηγού. Ειδικότερα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(βλ. κεφάλαιο 3) για τη διακριτοποίηση της εξίσωσης καταλήγουμε σε πρόβλημα ιδιοτιμών με ιδιοτιμή τη φασική σταθερά και ιδιοδιάνυσμα το προφίλ του ρυθμού.

52 4 Κεφάλαιο 2 E Air Au E Air Au y.2 x ( α ) ( β) y x.4.2 Σχήμα 2.1: (α)πλασμονικόςρυθμόςαπομονωμένηςγωνίας 9 (w, t ). Απεικονίζεται το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου.(β) Πλασμονικός ρυθμός απομονωμένης ακμής μήκους 1 nm(w ).Απεικονίζεταιτομέτροτουηλεκτρικούπεδίου.Ορυθμόςμπορείνανοηθείως το αποτέλεσμα της σύζευξης δύο ρυθμών γωνίας. απεικονίζεται στο σχήμα 2.9(α). Αποτελείται από μια μεταλλική ταινία διαστάσεων w t, η οποίαεναποτίθεταισεδιηλεκτρικόυπόστρωμα(ε 2 )καικαλύπτεταιαπόδιηλεκτρικόυπέρστρωμα(ε 3 ).Στηγενικήπερίπτωση ε 2 ε 3 καιηδομήείναιασύμμετρη[57,6].παρόλα αυτά, στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε στη συμμετρική δομή, εξαιτίας του ενδιαφέροντος που παρουσιάζει ο ρυθμός μακράς εμβέλειας, Σχ. 2.9(β), που υποστηρίζεται στην περίπτωση αυτή. Ο συμμετρικός κυματοδηγός ταινίας πρόκειται στην ουσία για μια συμμετρική δομή ΙΜΙ (βλ. ενότητα 2.3.2) πεπερασμένου πλάτους. Αναμένουμε συνεπώς κάποια από τα χαρακτηριστικά της ΙΜΙ δομής, όπως για παράδειγμα η υποστήριξη συμμετρικού ρυθμού μακράς εμβέλειας, να παρατηρούνται και σε αυτήν την περίπτωση. Ας εστιάσουμε όμως πρώτα στις διαφορές των δύο δομών. Ο συμμετρικός πλασμονικός κυματοδηγός διαθέτει τέσσερις διαχωριστικές επιφάνειες μετάλλου-διηλεκτρικού(αντί για δύο), καθώς και τέσσερις γωνίες οι οποίες δύνανται να υποστηρίξουν πλασμονικούς ρυθμούς. Ειδικότερα, είναι γνωστή η δυνατότητα υποστήριξης πλασμονικού ρυθμού από μια απομονωμένη γωνία(corner SPP) [97], σχήμα 2.1(α). Κατ αντιστοιχία, και μια απομονωμένη ακμή δύναται να υποστηρίξει πλασμονικόρυθμό(edge SPP)[2],σχήμα2.1(β). 25 Ετσι,στηνπερίπτωσητου stripe κυματοδηγού, οι διαστάσεις της μεταλλικής ταινίας υπαγορεύουν της συνθήκες σύζευξης μεταξύ των επιμέρους ρυθμών και καθορίζουν τα χαρακτηριστικά των υποστηριζόμενων σύνθετων κυματικών μορφών. Ως αποτέλεσμα, οι ρυθμοί παρουσιάζουν έντονη διασπορά με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ταινίας[56]. Αντί των δυο ρυθμών της συμμετρικής ΙΜΙδομής(s b και a b )οκυματοδηγόςταινίαςυποστηρίζειπλήθοςοδηγούμενων(bound) [56], αλλά και ακτινοβολούμενων(leaky)[58], ρυθμών. Μάλιστα, καθώς ο προσανατολισμός των ακμών είναι προς αμφότερους τους εγκάρσιους άξονες, οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί παύουν να είναι αμιγώς ΤΜ, παρά καθίστανται υβριδικοί με μη μηδενικές και τις έξι πεδιακέςσυνιστώσες. Παρόλααυτά,για w tέχουνσαφήτμχαρακτήραμετηνκυρίαρχη εγκάρσιασυνιστώσατουηλεκτρικούπεδίου(e y ) 26 ναείναιαρκετάισχυρότερητηςέτερης εγκάρσιας συνιστώσας(αντιθέτως, αν t w κυρίαρχη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδί- 25 Οιρυθμοίακμήςθαμαςαπασχολήσουνστοκεφάλαιο6κατάτημελέτησύζευξηςτου DLSPPκυματοδηγού με κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου. 26 ΚαιστηνΙΜΙδομήηκυρίαρχησυνιστώσατουηλεκτρικούπεδίουήτανηκατακόρυφη λόγωτου διαφορετικούσυστήματοςσυντεταγμένωνεκείονομαζόταν E z.

53 2.4. Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 41 Effective Index ( α ) ( β) 3 nm 25 nm 2 nm 15 nm Mode Extent (µm) nm 2 nm 1 25 nm 5 3 nm Propagation Loss (db / mm) Waveguide Width (µm) (γ) ( δ) 8 3 nm 25 nm 2 nm 15 nm Waveguide Width (µm) Propagation Length (mm) Waveguide Width (µm) 25 nm 3 nm 2 nm t 15 nm SiO Waveguide Width (µm) Σχήμα2.11: Επίδρασητουπλάτους wσταχαρακτηριστικάτου ss b ρυθμούγιαδιάφορεςτιμές τουπάχους t(15,2,25,3 nm):(α)ενεργόςδείκτηςδιάθλασης.(β)χωρικήέκτασητουρυθμού κατά τον x(συνεχείς γραμμές) και y(διακεκομμένες γραμμές) άξονα.(γ) Απώλειες διάδοσης και (δ) μήκος διάδοσης. w Au ουγίνεταιηe x ). Σύμφωναμετηνονοματολογίαπουπροτάθηκεστηνεργασία[56],οι ρυθμοί κατηγοριοποιούνται με βάση τη συμμετρία που παρουσιάζει η κυρίαρχη(εγκάρσια) συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου κατά τους δύο εγκάρσιους άξονες. Ετσι, οι τέσσερις επικρατέστεροι(οδηγούμενοι)ρυθμοίαναφέρονταιως ss b,as b,sa b,aa b.γιαπαράδειγμα,ο ρυθμός as bείναιομικρότερηςτάξης(εκθέτης)οδηγούμενος(δείκτης b)ρυθμόςγιατον οποίοηe y παρουσιάζειπεριττήσυμμετρίακατάτονάξονα xκαιάρτιασυμμετρίακατάτον άξονα y. Ιδιαίτεροενδιαφέρονπαρουσιάζειοss b ρυθμόςτουκυματοδηγούταινίας,γιατονοποίο η E y παρουσιάζειάρτιασυμμετρίακατάαμφότερουςτουςεγκάρσιουςάξονες. Οπωςκαι στηνπερίπτωσητου s b ρυθμούτηςιμιδομής,καθώςτοπάχοςτηςταινίαςμειώνεταιο ρυθμός εξελίσσεται σε ένα επίπεδο ομοιόμορφο κύμα στο διηλεκτρικό περιβάλλον. Τότε, οι απώλειες διάδοσης μειώνονται δραματικά και ο ρυθμός αναφέρεται ως μακράς εμβέλειας (long range). Αυτή ακριβώς η εξέλιξη αποτυπώνεται στο σχήμα 2.11, όπου εξετάζεται ηεπίδρασητουπλάτους wσταχαρακτηριστικάτου ss b ρυθμούγιαδιάφορεςτιμέςτου πάχους t(15,2,25,3 nm).γιατονκυματοδηγόταινίαςπουεξετάζουμετομέταλλοείναι χρυσός(ε 1 = 132 j12.65[192])καιτοδιηλεκτρικόδιοξειδίουτουπυριτίου(ε 2 = 1.444). Στο σχήμα 2.11(γ) απεικονίζονται οι απώλειες διάδοσης(σε db ανά mm) και στο 2.11(δ) το αντίστοιχο μήκος διάδοσης. Είναι προφανές ότι η μείωση του πλάτους w οδηγεί σε μείωση των απωλειών διάδοσης. Παρόλα αυτά ακόμη σημαντικότερη είναι η επίδραση του πάχους t.γιαπάχημικρότερατων25 nmτομήκοςδιάδοσηςεισέρχεταιστηνκλίμακατων

54 42 Κεφάλαιο 2 εκατοστών, πράγμα ιδιαίτερα ασυνήθιστο για πλασμονικό ρυθμό. Κάτι τέτοιο έχει βέβαια άμεσο αντίκτυπο στην ενεργό επιφάνεια του ρυθμού. Πιο συγκεκριμένα, η έκταση του ρυθμού προς τους δύο άξονες(λόγω της ομαλής κατανομής των συνιστωσών, Σχ. 2.9(β), μπορεί να ποσοτικοποιηθεί μέσω της απόστασης των σημείων εκατέρωθεν του μεγίστου στα οποία το πλάτος του πεδίου έχει ελαττωθεί κατά παράγοντα 1/e) είναι μεγαλύτερη από 1 μm [Σχ.2.11(β)]. 27 Ηεξέλιξητουρυθμούπροςεπίπεδοκύμαεπιβεβαιώνεταικαιαπότονδείκτη διάθλασης[σχ.2.11(α)],οοποίοςγια t = 15 nmσχεδόνσυμπίπτειμετονδείκτηδιάθλασης του SiO 2.Χαρακτηριστικόπαράδειγματηςκατανομήςτου ss b ρυθμούπαρουσιάστηκεστο σχήμα 2.9(β) για γεωμετρικές παραμέτρους w = 8 μm και t = 25 nm. Παρατηρείστε το μήκος διάδοσης στην κλίμακα των χιλιοστών, καθώς και τη σημαντική διείσδυση του ρυθμούστοδιηλεκτρικόπεριβάλλον(sio 2, ε 2 = 1.444),ηοποίακαιαποτυπώνεταιστην τιμή του ενεργού δείκτη διάθλασης. Το μέγιστο του ρυθμού εμφανίζεται στη διαχωριστική επιφάνεια με το μέταλλο, χαρακτηριστικό όλων των πλασμονικών ρυθμών. Συνοψίζοντας, ο πλασμονικός κυματοδηγός ταινίας δύναται να υποστηρίξει ρυθμό μακράς εμβέλειας με μήκος διάδοσης στην περιοχή των εκατοστών. Παρόλα αυτά, ο ρυθμός αυτός έχει απολέσει το βασικό πλεονέκτημα της πλασμονικής, τη δυνατότητα δηλαδή να συγκεντρώνει το φως σε διαστάσεις μικρότερες του μήκους κύματος. Αν μεταβληθούν οι γεωμετρικές παράμετροι με σκοπό την ισχυρή συγκέντρωση του ρυθμού, τότε οι απώλειες διάδοσης προκύπτουν ιδιαίτερα αυξημένες. Με άλλα λόγια, ο stripe κυματοδηγός δεν είναι κατάλληλος να υποστηρίξει έναν ισχυρά συγκεντρωμένο ρυθμό, ο οποίος παράλληλα να παρουσιάζει και χαμηλές απώλειες διάδοσης. Μια διαφορετική οικογένεια δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών προκύπτει από δομή τύπου ΜΙΜ με πεπερασμένο πλάτος. Τυπικά παραδείγματα αυτής της κατηγορίας είναι ο κυματοδηγός καναλιού(channel)[67, 68] ή διακένου/εγκοπής(gap/slot)[69], με τους υποστηριζόμενους ρυθμούς να αναφέρονται ως πολαριτόνια πλασμονίων καναλιού/διακένου (Channel/Gap Plasmon Polaritons, CPP/GPP)[7]. Τα χαρακτηριστικά τους ομοιάζουν με αυτά της ΜΙΜ δομής. Ειδικότερα, υποστηρίζουν βασικό ρυθμό ο οποίος δεν οδηγείται στην αποκοπή ακόμη και για απειροστά μικρές τιμές του διακένου, με αποτέλεσμα να είναι δυνατή η επίτευξη ισχυρής συγκέντρωσης, πολύ μικρότερης του μήκους κύματος. Δυστυχώς, η αύξηση των απωλειών διάδοσης είναι ραγδαία, με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατή η ταυτόχρονη ικανοποίηση των δύο απαιτήσεων. Ετσι, στις επόμενες ενότητες εξετάζουμε εναλλακτικές προσεγγίσεις στον σχεδιασμό δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών Πλασμονικός κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης Ο πλασμονικός κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης(dielectric-loaded Surface Plasmon Polariton, DLSPP, Waveguide)[76 78] προτάθηκε το 26 και αποτελεί μια προσπάθεια ταυτόχρονης ικανοποίησης των απαιτήσεων για υψηλή συγκέντρωση ρυθμού και χαμηλές απώλειες διάδοσης. Στη βασική του εκδοχή αποτελείται από ορθογωνικό διηλεκτρικό πυρήνα πάνω σε ομοιόμορφο φύλλο μετάλλου τοποθετημένου σε υπόστρωμα γυαλιού(glass slide), Σχ. 2.12(α). Κατά την πρώτη επίδειξη DLSPP κυματοδηγού ως υλικό πυρήνα χρησιμοποιήθηκε το διοξείδιο του πυριτίου[76]. Παρόλα αυτά, οποιοδήποτε διηλεκτρικό υλικό ήπολυμερές,όπωςγιαπαράδειγματο PMMA[79],το ORMOCER[77]ήτο BCB[61], 27 Αντίστοιχηενεργόεπιφάνεια( 1μm 1μm)διαθέτεικαιητυπικήμονόρρυθμηοπτικήίνα. Το γεγονός αυτό μας προϊδεάζει για τη δυνατότητα αποδοτικής διέγερσης του εν λόγω ρυθμού με οπτική ίνα μέσω χωρικής προσαρμογής(spatial matching)[6, 61].

55 2.4. Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 43 t Au w h PMMA Gold Silica Silicon t Au w h w Au ( α) ( β) y-coordinate ( µ m) y x TM E y (γ) neff = j.248 ( δ) x-coordinate ( µ m) y x TM E y neff = j x-coordinate ( µ m) Σχήμα 2.12: (α) Βασική εκδοχή του DLSPP κυματοδηγού: Διηλεκτρικός πυρήνας πάνω σε μεταλλικό φιλμ ακολουθούμενο από διηλεκτρικό υπόστρωμα(glass slide).(β) DLSPP κυματοδηγός με πεπερασμένο πλάτος μεταλλικής ταινίας πάνω σε υπόστρωμα τεχνολογίας πυριτίου. Η εκδοχή αυτή του κυματοδηγού είναι προσανατολισμένη σε θερμο-οπτικές εφαρμογές. (γ),(δ) Ενδεικτικό προφίλ υποστηριζόμενου ρυθμού για τις περιπτώσεις(α) και(β), αντίστοιχα, με διαστάσεις w = 5 nm, h = 6 nm, w Au = 3μm, t Au = 1 nmκαιιδιότητεςυλικών n Diel = 1.493, n Au =.55 j11.5 [192], n SiO2 = Απεικονίζεταιηκατανομήτηςκυρίαρχηςσυνιστώσας του ηλεκτρικούπεδίου(e y )γιατονεπικρατέστερο(τμ )ρυθμόκαιμήκοςκύματοςλειτουργίας 1.55 μm. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον σκοπό αυτό. Ο ρόλος του πυρήνα, άλλωστε, είναι να περιορίσει εγκάρσια το SPP που υποστηρίζεται στη διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού. Με άλλα λόγια, γίνεται αξιοποίηση του μηχανισμού οδήγησης δείκτη κατά την οριζόντια(x) διεύθυνση, ούτως ώστε να επιτευχθεί ο δισδιάστατος περιορισμός του φωτός. Το μέταλλο είναισυνήθωςχρυσόςμεπάχος t Au τυπικάστηνπεριοχήτων 1 nm.στηνπερίπτωσηπου η διέγερση του υποστηριζόμενου ρυθμού γίνεται με τεχνική τύπου Kretschmann-Raether [89](βλ. ενότητα2.3.1),τοπάχος t Au επιλέγεταιμικρότεροτων 1 nm,ώστεναείναι δυνατή η διέλευση(tunneling) του φωτός από το υπόστρωμα γυαλιού στην πάνω διαχωριστική επιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού. Καθώς αυτό συνεπάγεται ότι και η αντίστροφη διαδικασία είναι εφικτή, ο ρυθμός είναι εγγενώς διαρρέων(leaky). Ετσι, καθίσταται δυνατή η παρατήρηση(imaging) του διαδιδόμενου ρυθμού μέσω μικροσκοπίας διαρρέουσας ακτινοβολίας (Leakage Radiation Microscopy, LRM) 28 [76]. Στηνπερίπτωσηπουχρησιμοποιείται κάποια άλλη τεχνική για τη διέγερση του ρυθμού(όπως για παράδειγμα τεχνικές που βασίζονται σε φράγματα παράθλασης με διαμόρφωση του στρώματος πολυμερούς[9] ή του μετάλλου[91]), το πάχος του στρώματος χρυσού μπορεί να είναι οσοδήποτε μεγάλο. Κάτι τέτοιο συνεπάγεται την πλήρη οπτική απομόνωση του ρυθμού από το υπόστρωμα. Τότε, η παρατήρηση του οδηγούμενου ρυθμού πραγματοποιείται μέσω σαρωτικού οπτικού 28 Η LRMαποτελείτεχνικήμικροσκοπίαςμακρινούπεδίουπουεπιτυγχάνειτηνπαρατήρησητουφαινομένου μέσω της συλλογής του διαρρέοντος πεδίου[21 23].

56 44 Κεφάλαιο 2 μικροσκοπίου κοντινού πεδίου(scanning Near Field Optical Microscope, SNOM)[77] ή του συγγενούς σαρωτικού μικροσκοπίου διέλευσης φωτονίων(photon Scanning Tunneling Microscope, PSTM)[76]. Στο σχήμα 2.12(γ) απεικονίζεται ο επικρατέστερος ρυθμός του DLSPP κυματοδηγού γιαμήκοςκύματοςλειτουργίας 1.55μm. ΠρόκειταιγιατονΤΜ,ένανρυθμόμεΤΜ χαρακτήρα, πράγμα που σημαίνει ότι η κυρίαρχη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι η κατακόρυφησυνιστώσα E y (αντίστοιχαμετην E z στηνπερίπτωσητηςμονήςδιεπιφάνειας μετάλλου-διηλεκτρικού, ενότητα 2.3.1, δεδομένου του διαφορετικού συστήματος συντεταγμένων που υιοθετείται στις δύο περιπτώσεις). Οι γεωμετρικές διαστάσεις και οι ιδιότητες τωνεμπλεκόμενωνυλικώνλήφθηκανίσεςμε w = 5 nm, h = 6 nm, t Au = 1 nm και n PMMA = 1.493, n Au =.55 j11.5[192], n SiO2 = 1.45,αντίστοιχα. Οιδιαστάσεις του πυρήνα είναι έτσι επιλεγμένες ώστε να εξασφαλίζουν την κατά το δυνατόν ισχυρότερη συγκέντρωση του οδηγούμενου ρυθμού[78]. Για τις τιμές αυτές, η ενεργός επιφάνεια του ρυθμούυπολογισμένημέσωτης A eff ( E 2 dxdy) 2 / E 4 dxdy[24]είναιπερίπου.5μm 2. Επιπρόσθετα,εξασφαλίζουνότιοκυματοδηγόςείναιμονόρρυθμοςστατηλεπικοινωνιακά μήκη κύματος κοντά στα 1.55 μm. Ειδικότερα, ο δεύτερος στη σειρά ρυθμός (ΤΕ )ξεκινάειναυποστηρίζεταιγιαπλάτοςμεγαλύτεροτων 7 nm[127].οενεργόςδείκτης διάθλασης προκύπτει ίσος με j.248, με το φανταστικό μέρος να αντιστοιχεί σε μήκος διάδοσης 5 μm. Σημειώνεται, τέλος, ότι το μέγιστο του ρυθμού παρατηρείται ακριβώς στη διεπιφάνεια μετάλλου-πολυμερούς, όπως συνέβαινε και με τους κυματοδηγούς των προηγούμενων ενοτήτων. Η εκδοχή του DLSPP που θα μας απασχολήσει στο κεφάλαιο 5 είναι λίγο διαφορετική από αυτή του σχήματος 2.12(α). Η κυρίαρχη διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι το μεταλλικό στρώμα λαμβάνει πεπερασμένο πλάτος, Σχ. 2.12(β). Η τροποποίηση αυτή σκοπό έχει να επιτρέψει τον δυναμικό έλεγχο των χαρακτηριστικών οδήγησης του DLSPP μέσω του θερμο-οπτικού φαινομένου. Ειδικότερα, εφαρμόζοντας κάποιο ρεύμα στη μεταλλική ταινία προκαλούμετηθέρμανσητηςδομής,κάτιπουμετησειράτουοδηγείσεαλλαγήτωνεμπλεκόμενων δεικτών διάθλασης και συνεπώς του ενεργού δείκτη διάθλασης. Μια επιπρόσθετη διαφορά είναι η τοποθέτηση της δομής σε υπόστρωμα τεχνολογίας πυριτίου(silicon on Insulator, SOI), δηλαδή στρώμα διοξειδίου του πυριτίου(silica Buried Oxide, BOX, Layer) πάνω σε υπόστρωμα πυριτίου[σχ. 2.12(β)]. Η επιλογή αυτή αφενός εξασφαλίζει συμβατότητα με την ώριμη νανοφωτονική τεχνολογία πυριτίου(silicon photonics), γεγονός που θα επιτρέψει στο κεφάλαιο 6 την επιτυχή διασύνδεση του DLSPP με κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου, και αφετέρου οδηγεί σε μικρές σταθερές χρόνου της θερμικής απόκρισης(της τάξηςτωνλίγωνμs),όπωςθαδούμεστοκεφάλαιο5.γιατονπυρήναεπιλέγεταιτοπολυμερές PMMA, poly(methyl methacrylate), λόγω της ευρείας χρήσης του στη λιθογραφία και του σχετικά υψηλού θερμο-οπτικού συντελεστή(thermo-optic Coefficient, TOC) που παρουσιάζει: n/ T = K Οδείκτηςδιάθλασηςτου PMMAστομήκος κύματοςτων 1.55μmείναιίσοςμε Ο υποστηριζόμενος ρυθμός για την κατά τι διαφορετική αυτή εκδοχή του DLSPP κυματοδηγού απεικονίζεται στο σχήμα 2.12(δ). Το πλάτος της μεταλλικής ταινίας λαμβάνεται ίσομε w Au = 3μmκαιοιλοιπέςγεωμετρικέςδιαστάσεις,όπωςκαιοιιδιότητεςτωνυλικών, είναι πανομοιότυπες με την προηγούμενη περίπτωση. Η τιμή αυτή πλάτους αποτελεί έναν 29 Οαντίστοιχοςσυντελεστήςγιατοδιοξείδιοτουπυριτίουείναι K 1, δηλαδήμιατάξη μεγέθους μικρότερος. Υπάρχουν, βέβαια, και πολυμερή με ακόμη υψηλότερο θερμο-οπτικό συντελεστή πουφτάνειτο K 1.

57 2.4. Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 45 y-coordinate ( µ m) y-coordinate ( µ m) V/m ( α ) Re{ E x } ( β) x-coordinate ( µ m) -1-2 A/m -3 x1-3 ( δ ) Re{ H x } ( ε) x-coordinate ( µ m).5 1 V/m x-coordinate ( µ m) -2 2 A/m Re{ E y } x1-4 Re{ H y } x-coordinate ( µ m) ( γ) V/m x-coordinate ( µ m) ( στ) -1 1 A/m Im{ E z } x1-3 Im{ H z } x-coordinate ( µ m) Σχήμα2.13: Συνιστώσεςηλεκτρικού,(α)-(γ),καιμαγνητικού,(δ)-(στ),πεδίουγιατονΤΜ ρυθμό του DLSPP κυματοδηγού. Η μεταλλική ταινία πάχους 1 nm παρέχει πλήρη οπτική απομόνωση του οδηγούμενου ρυθμού από το υπόστρωμα. Παρατηρείστε, επίσης, την ασθενή αλληλεπίδραση του ρυθμού με τις κατακόρυφες ακμές της μεταλλικής ταινίας που διακρίνεται στην κατανομή της H y συνιστώσας. συμβιβασμό μεταξύ δύο αντικρουόμενων απαιτήσεων. Από τη μια επιθυμούμε το μικρότερο δυνατό πλάτος ώστε κάποια συγκεκριμένη τιμή ρεύματος ελέγχου να μεταφράζεται στην υψηλότερη δυνατή πυκνότητα ρεύματος. Από την άλλη, η ταινία πρέπει να είναι αρκούντως πλατιάώστεορυθμόςναμηναλληλεπιδράμεταάκρατης.κάτιτέτοιοθαείχεωςαποτέλεσμα τη μεταβολή των χαρακτηριστικών οδήγησης και, από μια τιμή πλάτους και κάτω, τη βαθμιαία ελάττωση του μήκους διάδοσης του υποστηριζόμενου ρυθμού[25]. Στη δική μας περίπτωση, η συμπεριφορά αυτή παρατηρείται για πλάτη μικρότερα των 3 μm. Πράγματι, θέτοντας w Au = 3μmβλέπουμεότιορυθμόςείναισχεδόνπανομοιότυποςμεαυτόντηςπερίπτωσης άπειρου πλάτους. Η κατηγορηματική επιβεβαίωση παρέχεται όμως από τον ενεργό δείκτη διάθλασης. Ειδικότερα, μόνο το φανταστικό μέρος έχει ελάχιστα διαφοροποιηθεί, αντιστοιχώντας σε μήκος διάδοσης 48.4 μm αντί για 5 μm. Αναλυτικότερα, στο σχήμα 2.13 απεικονίζονται οι έξι συνιστώσες ηλεκτρικού και μαγνητικούπεδίουγιατοντμ ρυθμότου DLSPP. 3 Είναιπροφανέςότιόπωςσυνέβαινε 3 Στοσχήμα2.13απεικονίζονταιταπραγματικάμέρητωνεγκάρσιωνσυνιστωσώνκαιταφανταστικά μέρη των αξονικών συνιστωσών του ηλεκτρικού/μαγνητικού πεδίου. Είναι γνωστό ότι σε κυματοδηγούς άνευ απωλειών και με κατάλληλη κανονικοποίηση του ιδιοδιανύσματος που προκύπτει από την επίλυση του 2-Δ προβλήματος ιδιοτιμών της διατομής του κυματοδηγού, οι εγκάρσιες συνιστώσες προκύπτουν αμιγώς πραγματικές ενώ η αξονική συνιστώσα έχει διαφορά φάσης π/2 σε σχέση με αυτές, είναι δηλαδή αμιγώς φανταστική[26]. Αυτό ισχύει με πολύ καλή ακρίβεια και στην περίπτωση του DLSPP παρά την ύπαρξη απωλειών, γεγονός που αποδίδεται στην περιορισμένη διείσδυση του πεδίου στο υλικό με απώλειες, δηλαδή τη μεταλλική ταινία. Μόνο σε κυματοδηγούς στους οποίους η οδήγηση λαμβάνει χώρα στο υλικό με

58 Effective Index Effective Index 46 Κεφάλαιο 2 Propagation Length ( µ m) ( α ) ( β) Stripe Thickness t Au (nm) Stripe Width ( µ m) Propagation Length ( µ m) 45 4 w Au Σχήμα2.14: (α)εξάρτησητωνχαρακτηριστικώνοδήγησηςτουτμ ρυθμούαπότοπάχος τηςμεταλλικήςταινίας t Au.Γιατιμέςπάχουςμικρότερεςτων1 nmπαρατηρείταιβαθμιαίαπτώση του μήκους διάδοσης λόγω διέλευσης του φωτός στο υπόστρωμα. (β) Εξάρτηση των χαρακτηριστικώνοδήγησηςτουτμ ρυθμούαπότοπλάτοςτηςμεταλλικήςταινίας w Au.Γιατιμέςπάχους μικρότερες των 3 μm παρατηρείται βαθμιαία πτώση του μήκους διάδοσης καθώς η οριζόντια έκταση του ρυθμού γίνεται συγκρίσιμη με αυτή της ταινίας. και με τον πλασμονικό κυματοδηγό ταινίας, ο ρυθμός του DLSPP είναι υβριδικός. Ολες οι συνιστώσες είναι μη μηδενικές και μάλιστα συγκρίσιμου πλάτους με την κυρίαρχη. Παρατηρείστε ότι η διείσδυση του πεδίου στη μεταλλική ταινία είναι περισσότερο έντονη στην περίπτωσητων H x και H z συνιστωσών. 31 Παρόλααυτά,καισεαυτέςτιςπεριπτώσειςη διείσδυση δεν ξεπερνά τις μερικές δεκάδες νανόμετρα η μεταλλική ταινία πάχους 1 nm παρέχει πλήρη οπτική απομόνωση του οδηγούμενου ρυθμού από το υπόστρωμα. Παρατηρείστε, επίσης, την ασθενή αλληλεπίδραση του ρυθμού με τις κατακόρυφες ακμές της μεταλλικήςταινίαςπουδιακρίνεταιστηνκατανομήτης H y συνιστώσας. Γιαπλάτηταινίας μικρότερα των 3 μm η αλληλεπίδραση αυτή γίνεται εντονότερη, κάτι που οδηγεί σε αύξηση των απωλειών διάδοσης. Τα παραπάνω αποτυπώνονται στο σχήμα 2.14, όπου απεικονίζεται η εξάρτηση των χαρακτηριστικών οδήγησης από τις διαστάσεις της μεταλλικής ταινίας. Αναφέρθηκε ήδη ότι η τροποποιημένη εκδοχή του DLSPP που εξετάζουμε[σχ. 2.12(β)] είναι προσαρμοσμένη στην αξιοποίηση του κυματοδηγού σε θερμο-οπτικές εφαρμογές. Η μεταβολή των χαρακτηριστικών οδήγησης του DLSPP μέσω του θερμο-οπτικού φαινομένου αποτελεί μια φυσική επιλογή και δικαιολογείται από την ύπαρξη της μεταλλικής ταινίας στη δομή κυματοδήγησης. Ειδικότερα, η ίδια μεταλλική ταινία που σκοπό έχει τον σχηματισμό του οδηγούμενου ρυθμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την εφαρμογή του ρεύματος ελέγχου. Οι ωμικές απώλειες στη μεταλλική ταινία οδηγούν σε θέρμανση του πυρήνα πολυμερούς με συνέπεια τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης και ακολούθως των χαρακτηριστικών οδήγησης. Δεν είναι απαραίτητη δηλαδή η ενσωμάτωση κάποιου ξεχωριστού κυκλώματος που ως αποκλειστικό σκοπό θα είχε τη θέρμανση της δομής, όπως συμβαίνει σε κυματοδηγούς άλλων φωτονικών τεχνολογιών. Μάλιστα, τα θερμο-οπτικά εξαρτήματα με υποκείμενη διάταξη τον DLSPP κυματοδηγό αναμένεται να χαρακτηρίζονται από υψηλή ενεργειακή αποδοτικότητα(efficiency). Τούτο συμβαίνει γιατί ο ρυθμός βρίσκεται σε άμεση γειτνίαση με τη μεταλλική ταινία, η οποία αποτελεί την πηγή θερμότητας. Μάλιστα, το μέγιστο του υποστηριζόμενου ρυθμού βρίσκεται ακριβώς στη διεπιφάνεια μετάλλου-πολυμερούς απώλειες παρατηρείται απόκλιση από την παραπάνω συμπεριφορά. 31 Απεναντίας,στουςκυματοδηγούςτηςενότητας2.3τοβάθοςδιείσδυσηςήτανκοινόγιαόλεςτιςμη μηδενικές συνιστώσες.

59 2.4. Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 47 Effective Index Unheated Heated (α) Wavelength ( µ m) Propagation Length ( µ m) Unheated Heated 1nm 5nm 6nm (β) 3µm Wavelength ( µ m) Σχήμα2.15: ΔιάγραμμαδιασποράςτουΤΜ ρυθμού.(α)ενεργόςδείκτηςδιάθλασηςκαι(β) μήκος διάδοσης συναρτήσει του μήκους κύματος. Η θερμή κατάσταση αντιστοιχεί σε θερμοκρασιακήαύξηση1κ.οθερμο-οπτικόςσυντελεστήςτου PMMAείναι K 1. [Σχ. 2.13(β)], όπου αναμένεται η μέγιστη(και ταχύτερη) θερμοκρασιακή αύξηση. Απεναντίας, σε άλλες φωτονικές τεχνολογίες τα κυκλώματα θέρμανσης(heaters) τοποθετούνται σε επαρκή απόσταση από τους κυματοδηγούς ώστε να μην γίνονται αισθητά από τον οδηγούμενο ρυθμό. Στοσχήμα2.15απεικονίζεταιτοδιάγραμμαδιασποράςγιατονΤΜ ρυθμότου DL- SPPστοεύροςμηκώνκύματος μm. 32 Ηπτώσητουενεργούδείκτηδιάθλασης με το μήκος κύματος[σχ. 2.15(α)] δηλώνει τη χαλάρωση της συγκέντρωσης και οφείλεται στην ελάττωση των ηλεκτρικών διαστάσεων του πυρήνα. Με τη σειρά της η ασθενέστερη συγκέντρωση συνεπάγεται ότι μεγαλύτερο μέρος του ρυθμού θα οδηγείται στις περιοχές εκατέρωθεν του πυρήνα πολυμερούς. Καθώς η διείσδυση του πεδίου σε διεπιφάνεια μετάλλου-αέρα είναι ασθενέστερη από αυτή σε διεπιφάνεια μετάλλου-pmma, παρατηρείται ελαφριά αύξηση του μήκους διάδοσης[σχ. 2.15(β)]. Η αύξηση αυτή ανακόπτεται σε μεγαλύτερα μήκη κύματος, καθώς η οριζόντια έκταση του ρυθμού γίνεται συγκρίσιμη με το πλάτος της μεταλλικής ταινίας. Στο σχήμα 2.15 συμπεριλαμβάνονται καμπύλες διασποράς και για DLSPP κυματοδηγό σε θερμή κατάσταση. Ειδικότερα, υποθέτουμε ομοιόμορφη θερμοκρασιακή αύξηση στον πυρήνα ύψους 1 Κ. Δεδομένου του θερμο-οπτικού συντελεστή του PMMA αυτό αντιστοιχεί σε μειωμένο κατά n =.15 δείκτη διάθλασης. Αποδίδοντας τον νέο αυτό δείκτη διάθλασης στην περιοχή του πυρήνα και επαναλαμβάνοντας την επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών, λαμβάνουμε τις κόκκινες καμπύλες στο σχήμα Η μορφή τους είναι εντελώς όμοια με αυτή των καμπυλών της ψυχρής κατάστασης. Η ελάττωση του δείκτη διάθλασης πυρήνα οδηγεί σε χαλάρωση της συγκέντρωσης, με συνέπεια τη μείωση του ενεργού δείκτη διάθλασης και την αύξηση του μήκους διάδοσης, σύμφωνα με το συλλογισμό που αναπτύχθηκε προ ολίγου. Αξίζει να σημειωθεί ότι η μεταβολή στον ενεργό δείκτηδιάθλασηςμεταξύψυχρήςκαιθερμήςκατάστασης, n eff,σανποσοστότηςμεταβολήςτουδείκτηδιάθλασηςπολυμερούς, n,είναιτηςτάξηςτου 8 85%,ανάλογαμετο μήκος κύματος λειτουργίας. Κάτι τέτοιο είναι απολύτως αναμενόμενο καθώς ο ρυθμός δεν κατοικεί αποκλειστικά στο πολυμερές. 32 Τουπόστρωμαπυριτίουδενσυμμετέχειστονοπτικόυπολογισμόκαθώςβρίσκεταιπολύμακριάαπό την περιοχή οδήγησης.

60 48 Κεφάλαιο 2 Gold Silica Silicon h w y-coordinate ( µ m) -.2 ( α ) ( β) neff = j x-coordinate ( µ m) y x TM E Σχήμα 2.16: (α) Διατομή CGS κυματοδηγού. Πυρήνας οδήγησης διαστάσεων w h, αποτελούμενος από στρώματα χρυσού-διοξειδίου του πυριτίου-πυριτίου, πάνω σε υπόστρωμα τεχνολογίας SOI.(β)Μέτροηλεκτρικούπεδίουγιατονεπικρατέστερο(ΤΜ )ρυθμόστομήκοςκύματος λειτουργίας 1.55 μm. Τα πάχη των τριών στρωμάτων που συνθέτουν τον πυρήνα είναι 5, 5 και 34 nm,αντίστοιχα,καιτοπλάτος 2 nm. Ιδιότητεςυλικών: n Au =.55 j11.5[192], n SiO2 = 1.45, n Si = Υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί Μια εναλλακτική οικογένεια πλασμονικών κυματοδηγών που επιτυγχάνει ακόμη καλύτερη ισορροπία μεταξύ συγκέντρωσης και απωλειών είναι οι υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί(hybrid Plasmonic Waveguides, HPWs). Η πρώτη εκδοχή υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού παρουσιάστηκε το 28[99]. Τα επόμενα χρόνια ακολούθησαν και διαφορετικές εκδοχές[1 17], με έμφαση στην επίπεδη(planar) διάταξη και τη συμβατότητα με υπάρχουσες κατασκευαστικές τεχνολογίες, στη βάση όμως, πάντα, της ίδιας κεντρικής σχεδιαστικής αρχής[99, 16, 18]. Ειδικότερα, οι υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί στηρίζονται στη χρήση(πέραν του μετάλλου) δύο διαφορετικών διηλεκτρικών υλικών, με χαμηλό και υψηλό δείκτη διάθλασης, αντίστοιχα. Το αραιό οπτικά υλικό είναι συνήθως κάποιο διηλεκτρικό(όπως το διοξείδιο του πυριτίου) ή πολυμερές με δείκτη διάθλασης στην περιοχή του 1.5, ενώ το πυκνό οπτικά υλικό κάποιος ημιαγωγός(όπως το πυρίτιο) με δείκτη διάθλασης στην περιοχή του 3.5. Με κατάλληλη διάταξη των υλικών(μέταλλο-διηλεκτρικόημιαγωγός) είναι δυνατός ο σχηματισμός οδηγούμενου ρυθμού ισχυρά συγκεντρωμένου στο διηλεκτρικό. 33 ΣεσύγκρισημετονΜΙΜκυματοδηγότηςενότητας2.3.2,οπεριορισμόςτου φωτός γίνεται μόνο προς τη μια διεύθυνση με μέταλλο, γεγονός που συνεπάγεται μειωμένες απώλειες διάδοσης. Παράλληλα, το χαρακτηριστικό γνώρισμα της ισχυρής συγκέντρωσης διατηρείται. Από τις διάφορες εκδοχές υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών εστιάζουμε στον κυματοδηγό αγωγού-διακένου-πυριτίου(conductor-gap-silicon, CGS), Σχ. 2.16(α). Πρόκειται για μια επίπεδη διάταξη βασισμένη στην τεχνολογία πυριτίου(soi). Ο πυρήνας οδήγησης αποτελείται από στρώματα χρυσού-διοξειδίου του πυριτίου-πυριτίου και τοποθετείται σε υ- πόστρωμα τεχνολογίας SOI. Τυπικές τιμές για τα πάχη των στρωμάτων είναι 5, 5 και 34 nm,αντίστοιχα. Ετσι,τοσυνολικόύψος hτουπυρήναείναιίσομε 44 nm,ενώτο πλάτος του, w, λαμβάνει τυπικές τιμές της τάξης των 2 nm. Ο υποστηριζόμενος ρυθμός 33 Ακριβέστερα,τοσύστηματριώνστρωμάτωνδενείναιικανόναυποστηρίξειοδηγούμενορυθμό. Για τον σκοπό αυτό, απαιτείται σύστημα τεσσάρων στρωμάτων, με στρώμα διηλεκτρικού και στην άλλη μεριά του ημιαγωγού, δηλαδή διάταξη της μορφής μέταλλο-διηλεκτρικό-ημιαγωγός-διηλεκτρικό. Ετσι, ο ρυθμός δεν διαρρέει στον ημιαγωγό παρά περιορίζεται μέσω του μηχανισμού της ολικής εσωτερικής ανάκλασης.

61 Propagation Length ( µ m) Propagation Length ( µ m) 2.4. Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί 49 Effective Area ( µ m 2 ) ( α ) ( β) Gap Thickness (nm) Effective Area ( µ m 2 ) Waveguide Width (nm) Σχήμα2.17: (α)ενεργόςεπιφάνειακαιμήκοςδιάδοσηςτμ ρυθμούτου CGSσανσυνάρτηση τουπάχουςτουδιηλεκτρικούστρώματος.(β)ενεργόςεπιφάνειακαιμήκοςδιάδοσηςτμ ρυθμού του CGS σαν συνάρτηση του πλάτους κυματοδηγού. απεικονίζεται στο σχήμα 2.16(β). Ειδικότερα, σχεδιάζουμε την κατανομή του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου, όπως προέκυψε από τη λύση ενός δισδιάστατου προβλήματος ιδιοτιμών για μήκος κύματος λειτουργίας 1.55 μm. Οι δείκτες διάθλασης των εμπλεκόμενων υλικών λαμβάνονταιίσοιμε n Au =.55 j11.5[192], n SiO2 = 1.45και n Si = Οπωςείναι φανερό, το ηλεκτρικό πεδίο είναι ισχυρά συγκεντρωμένο στο λεπτό στρώμα διοξειδίου. Παρόλα αυτά, ένα μέρος του ρυθμού βρίσκεται και στο πυρίτιο. Οσο μεγαλύτερο το ποσοστό ισχύος στο στρώμα διοξειδίου που συνορεύει με το μέταλλο τόσο πιο«πλασμονικός» ο χαρακτήρας του ρυθμού, ενώ όσο μικρότερο το ποσοστό αυτό(και άρα μεγαλύτερο το αντίστοιχο ποσοστό στο πυρίτιο) τόσο πιο«φωτονικός» ο χαρακτήρας του ρυθμού. Μάλιστα, η ποσόστωση αυτή μπορεί να μεταβληθεί με κατάλληλη επιλογή των γεωμετρικών παραμέτρων, ιδιότητα που αποδεικνύεται χρήσιμη κατά την προσπάθεια σύζευξης του CGS με συμβατικούς κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου[11]. Σε κάθε περίπτωση, η οριζόντια έκταση του ρυθμού, που είναι άλλωστε και αυτή που ενδιαφέρει καθώς αφενός υπαγορεύει τη μέγιστη δυνατή πυκνότητα ολοκλήρωσης και αφετέρου προϊδεάζει για την ικανότητα κάμψης του κυματοδηγού, είναι όση και το πλάτος του κυματοδηγού: μόλις 2 nm. Ενδεικτικήτηςισχυρήςσυγκέντρωσηςείναιητιμήτηςενεργούεπιφάνειας(.5μm 2 ),μια τάξη μεγέθους μικρότερη δηλαδή από την ενεργό επιφάνεια του DLSPP. Το μήκος διάδοσηςαπότηνάλλη,όπωςφανερώνειοενεργόςδείκτηςδιάθλασης n eff = 2.79 j.53, είναιτηςτάξηςτων 23μm,δηλαδήμόλιςτομισότου DLSPP.Συνολικά,οCGSπετυχαίνει μια ιδιαίτερα ικανοποιητική ισορροπία μεταξύ των αντικρουόμενων απαιτήσεων υψηλής συγκέντρωσης και χαμηλών απωλειών. Οι δύο σημαντικότερες γεωμετρικές παράμετροι του CGS είναι το πάχος του στρώματος διοξειδίου h SiO2 καιτοπλάτοςτουπυρήναοδήγησης w.στοσχήμα2.17εξετάζουμετηνεξάρτηση των χαρακτηριστικών οδήγησης από αυτές. Πιο συγκεκριμένα, στο σχήμα 2.17(α) απεικονίζεταιηενεργόςεπιφάνειακαιτομήκοςδιάδοσηςτουτμ ρυθμούτου CGSσαν συνάρτησητου h SiO2. Καθώςμειώνεταιτοπάχοςτουστρώματοςδιοξειδίου, ορυθμός συμπιέζεται σε μια όλο και μικρότερη ενεργό επιφάνεια, ελαττώνεται όμως παράλληλα και τομήκοςδιάδοσηςτουρυθμού. Γιατιμήπάχους 2 nmηενεργόςεπιφάνειαείναιμόλις.165μm 2 (βλ. ένθετοσχήμα),αλλάτομήκοςδιάδοσηςέχειδιαμορφωθείστα 12μm. Περαιτέρωμείωσητουπάχους h SiO2 δενβελτιώνειθεαματικάτησυγκέντρωσηκαιεπιπλέον συνοδεύεται από σημαντικές τεχνολογικές δυσκολίες. Ανάλογα με την εφαρμογή μπορεί να είναι επιθυμητή η ελάχιστη δυνατή ενεργός επιφάνεια ή ο καλύτερος δυνατός συμβιβασμός

62 5 Κεφάλαιο 2 μεταξύ των δύο αντικρουόμενων απαιτήσεων ο οποίος θα δίνεται από τη μεγιστοποίηση του λόγου L prop /A eff. Μεαντίστοιχοτρόπο,στοσχήμα2.17(β)απεικονίζονταιταχαρακτηριστικά οδήγησης συνάρτηση του πλάτους w. Είναι φανερό ότι η αύξηση του πλάτους οδηγεί σε χαλάρωση της συγκέντρωσης του ρυθμού και παράλληλη αύξηση του μήκους διάδοσης. Τούτο συμβαίνει γιατί μεγαλύτερο μέρος του ρυθμού εντοπίζεται στο πυρίτιο, με αποτέλεσμα ο ρυθμός να αποκτά περισσότερο«φωτονικό» χαρακτήρα(βλ. ένθετα σχήματα). Ακριβώς αυτή τη συμπεριφορά μπορούμε να εκμεταλλευθούμε για την αποδοτική σύζευξη του CGS με συμβατικούς SOI κυματοδηγούς, καθώς όσο πιο φωτονικός ο χαρακτήρας του ρυθμού τόσο καλύτερη η χωρική προσαρμογή με τον ρυθμό του κυματοδηγού πυριτίου [11]. 2.5 Ανακεφαλαίωση Συνοψίζοντας, στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν οι κυριότεροι πλασμονικοί κυματοδηγοί και ποσοτικοποιήθηκαν τα χαρακτηριστικά οδήγησης που παρουσιάζουν(ενεργός δείκτης διάθλασης, μήκος διάδοσης, ενεργός επιφάνεια). Μετά από μια σύντομη εισαγωγή στις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των μετάλλων, διερευνήθηκαν οι μονοδιάστατες πλασμονικές δομές κυματοδήγησης καθώς αποτελούν τη βάση για τον σχεδιασμό δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών. Επισημάνθηκαν οι απαραίτητες συνθήκες για την υποστήριξη επιφανειακών πλασμονικών ρυθμών και παρουσιάστηκαν οι κλασικές διατάξεις διέγερσής τους. Ακολούθησε η μελέτη των δισδιάστατων δομών κυματοδήγησης με πρώτο τον κυματοδηγό ταινίας, ο οποίος δύναται να υποστηρίξει ρυθμό μακράς εμβέλειας με μήκος διάδοσης στην κλίμακα των εκατοστών. Παρόλα αυτά, η λογική των πλασμονικών ρυθμών μακράς εμβέλειας σταδιακά εγκαταλείπεται, καθώς άλλες φωτονικές τεχνολογίες είναι σαφώς καταλληλότερες για τον σκοπό αυτό. Αυτό που ενδιαφέρει είναι η ισχυρότερη δυνατή συγκέντρωση με παράλληλη διατήρηση όμως των απωλειών διάδοσης σε κάποιο ανεκτό επίπεδο, ούτως ώστε να είναι εφικτή η υλοποίηση εξαρτημάτων οδηγούμενου κύματος με αυξημένη λειτουργικότητα(ζευκτών, φίλτρων κ.ο.κ). Σε αυτή την κατεύθυνση, εξετάσαμε δύο σύγχρονους πλασμονικούς κυματοδηγούς, τον DLSPP και τον CGS, οι οποίοι με προσεκτικό σχεδιασμό μπορούν να ικανοποιήσουν την εν λόγω απαίτηση.

63 3 Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων 3.1 Υπολογιστικές μέθοδοι στη φωτονική τεχνολογία Με τον όρο φωτονική τεχνολογία(photonics) αναφερόμαστε στο επιστημονικό πεδίο που καλύπτει ένα μεγάλο εύρος προβλημάτων αλληλεπίδρασης του φωτός με την ύλη(συμπεριλαμβανόμενης της εκπομπής, διαμόρφωσης, διάδοσης, ενίσχυσης και ανίχνευσής του) για συχνότητεςαπότοορατόφάσμαέωςτηνκοντινήυπέρυθρη( 4 nm 2μm). Ηεπιστήμη της φωτονικής διαφέρει από την κλασική οπτική στο ότι αποδίδει στο φως εκτός από κυματικά και σωματιδιακά χαρακτηριστικά έπεται, δηλαδή, της ανακάλυψης ότι το φως είναι κβαντισμένομεβασικήμονάδαενέργειαςτοφωτόνιο(photon). 1 Μολαταύτα,ταπροβλήματα διάδοσης που θα μας απασχολήσουν περιγράφονται πλήρως από την κλασική θεώρηση του φωτός, χωρίς να απαιτούν χειρισμούς στα πλαίσια της κβαντικής οπτικής. Παρά την κατά περίπτωση χρήση απλοποιημένων θεωριών που αντιμετωπίζουν το φως σαν δέσμη ακτίνων(γεωμετρική οπτική geometrical optics) ή βαθμωτό κύμα(κυματική οπτική wave optics), στη γενική περίπτωση απαιτείται η αντιμετώπισή του ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα που περιγράφεται από τα συζευγμένα διανυσματικά μεγέθη ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου(ηλεκτρομαγνητική οπτική electromagnetic optics). Ετσι, η λύση ενός προβλήματος της φωτονικής τεχνολογίας ως πρόβλημα κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού απαιτεί την εύρεση των πεδιακών μεγεθών στην υπό μελέτη διάταξη. Με ελάχιστες εξαιρέσεις, στις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος οι δομές που εξετάζονται είναι ιδιαίτερα σύνθετες, με συνέπεια να μην είναι δυνατή η εύρεση αναλυτικής λύσης. Για παράδειγμα, κάτι τέτοιο καθίσταται ιδιαίτερα δύσκολο όταν το μέσο είναι ανομοιογενές(εξάρτηση των ιδιοτήτων του από τις συντεταγμένες του χώρου), παρουσιάζει διασπορά(εξάρτηση των ιδιοτήτων του από τη συχνότητα), ανισοτροπία(εξάρτηση των ιδιοτήτων του μέσου από την πόλωση του κύματος) ή μη γραμμικότητα(εξάρτηση των ιδιοτήτων από το πλάτος του ίδιου του πεδίου). Σαν αποτέλεσμα, η εύρεση των πεδιακών μεγεθών συνήθως απαιτεί τη χρήση κάποιας υπολογιστικής(αριθμητικής) μεθόδου[27 21]. Οι μέθοδοι του υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού κατηγοριοποιούνται με βάση διάφορα βασικά χαρακτηριστικά τους. Μια πρώτη κεντρική διάκριση είναι μεταξύ μεθόδων του πεδίου του χρόνου(time domain methods) και μεθόδων του πεδίου της συχνότητας (frequency domain methods). Στις πρώτες, το ηλεκτρομαγνητικό πρόβλημα λύνεται στις τρεις διαστάσεις του χώρου καθώς και αυτή του χρόνου. Στα πλεονεκτήματα των μεθόδων 1 Ηανακάλυψητηςκβαντισμένηςφύσηςτουφωτόςαποδίδεταιστον Albert Einstein,οοποίοςτο 195 παρατήρησε και εξήγησε το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο(photoelectric effect) ως αποτέλεσμα ακριβώς αυτής της κβαντισμένης φύσης του φωτός. 51

64 52 Κεφάλαιο 3 αυτών συγκαταλέγεται η ευρυζωνική ανάλυση της διάταξης με μία και μόνο προσομοίωση, καθώς και η δυνατότητα επίλυσης μη γραμμικών προβλημάτων με παλμική διέγερση. Από την άλλη, στις μεθόδους του πεδίου της συχνότητας η διάσταση του χρόνου εξαλείφεται μέσωτηςθεώρησηςαρμονικήςχρονικήςμεταβολής. 2 Εναπλεονέκτηματωνμεθόδωντης συχνότητας είναι η ενσωμάτωση της διασποράς των υλικών κατευθείαν από μετρήσεις, χωρίς να απαιτείται η υιοθέτηση κάποιου μοντέλου(π.χ. Drude, Lorentz ή Debye) για την περιγραφή της. Μια διαφορετική κατάταξη προκύπτει με βάση τη διατύπωση της προς επίλυση εξίσωσης σε διαφορική ή ολοκληρωτική μορφή. Οι μέθοδοι διαφορικών εξισώσεων(differential Equation Methods) διακριτοποιούν ευθέως τις εξισώσεις του Maxwell, ή την κυματική εξίσωση του Helmholtz, η οποία προκύπτει εύκολα από αυτές. Απαιτούν, συνεπώς, ελάχιστη αναλυτική επεξεργασία για την κατάστρωση της προς επίλυση εξίσωσης. Ενα επιπλέον πλεονέκτημα είναι ότι οι διαφορικοί τελεστές εκφράζουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ γειτονικών βαθμών ελευθερίας, με αποτέλεσμα οι τελικοί πίνακες να είναι αραιοί(sparse). Οι πιο γνωστές μέθοδοι με διαφορική διατύπωση είναι η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίου του χρόνου[211](finite-difference Time Domain, FDTD) και η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων(finite Element Method)[ ]. Από την άλλη, οι μέθοδοι ολοκληρωτικών εξισώσεων(integral Equation Methods) απαιτούν σημαντική αναλυτική προεπεξεργασία, η οποία συνίσταται στην εύρεση της συνάρτησης Green για την υπό μελέτη δομή. Επιπλέον, οι τελικοί πίνακες είναι πυκνοί, καθώς σε αυτούς υπεισέρχονται αλληλεπιδράσεις μεταξύ όλων των βαθμών ελευθερίας(όχι μόνο των γειτονικών). Ωστόσο, διαθέτουν και σημαντικά πλεονεκτήματα, όπως η δραστική μείωση του μεγέθους του προβλήματος μέσω της διακριτοποίησης των επιφανειών των περιοχών αντί του όγκου τους. Επιπρόσθετα, η a priori ενσωμάτωση της οριακής συνθήκης ακτινοβολίας στη συνάρτηση Green καθιστά τις μεθόδους ολοκληρωτικών εξισώσεων ιδιαίτερα ελκυστικές για την επίλυση ανοιχτών προβλημάτων σκέδασης/ακτινοβολίας. Αντιθέτως, στις μεθόδους διαφορικών εξισώσεων είναι απαραίτητη η υλοποίηση κατάλληλων απορροφητικών συνθηκών για την αποκοπή του υπολογιστικού χωρίου χωρίς μη φυσικές ανακλάσεις(nonphysical/spurious reflections). Μία μέθοδος αποκαλείται πλήρους κύματος(full wave) όταν δεν πραγματοποιεί καμία παραδοχή πέραν της διακριτοποίησης του υπολογιστικού χώρου. Αυτό αντιπαραβάλλεται με μεθόδους που πραγματοποιούν κάποια επιπλέον παραδοχή, όπως η παραξονική προσέγγιση (paraxial approximation) ή προσέγγιση αργά μεταβαλλόμενου φακέλου(slowly Varying Envelope Approximation, SVEA) στη μέθοδο διάδοσης δέσμης(beam Propagation Method, BPM). Στις περιπτώσεις αυτές η εφαρμοσιμότητα της μεθόδου είναι περιορισμένη. Για παράδειγμα, η BPM δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση που η διεύθυνση διάδοσης του φωτός αποκλίνει σημαντικά από έναν κύριο οπτικό άξονα. Τέλος, οι μέθοδοι χαρακτηρίζονται ως άμεσες(explicit) ή έμμεσες(implicit) ανάλογα με το αν απαιτείται η λύση συστήματος εξισώσεων(το οποίο προκύπτει από τη διακριτοποίηση της βασικής εξίσωσης) για την εύρεση του τελικού αποτελέσματος. Οι άμεσες μέθοδοι είναι κατά κανόνα γρηγορότερες, είναι επιρρεπείς όμως σε αριθμητικές αστάθειες. 2 Θεωρείταιαρμονικήχρονικήμεταβολήτηςμορφής exp(jωt)ήexp( iωt),ανάλογαμετησύμβαση, με την πρώτη να είναι πιο διαδεδομένη στην επιστήμη του ηλεκτρολόγου μηχανικού και τη δεύτερη να προτιμάται συνήθως από τους φυσικούς. Η θεώρηση αυτή δεν μειώνει σε τίποτα τη γενικότητα της ανάλυσης καθώς σύμφωνα με τον μετασχηματισμό Fourier οποιαδήποτε χρονική συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί στη βάση των αρμονικών συναρτήσεων.

65 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Γενικά Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μία από τις πιο διαδεδομένες αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση σύνθετων ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων υψηλών συχνοτήτων. Στα προβλήματα αυτά συμπεριλαμβάνονται προβλήματα ακτινοβολίας, σκέδασης και οδηγούμενου κύματος σε συχνοτικές περιοχές από τα μικροκύματα μέχρι το ορατό φάσμα. Συνίσταται στο διαμερισμό του χωρίου στο οποίο αναζητούμε τη λύση μιας διαφορικής ε- ξίσωσης με κατάλληλες οριακές συνθήκες, δηλαδή ενός προβλήματος συνοριακών τιμών (boundary value problem), σε στοιχεία πεπερασμένων όχι απειροστά μικρών διαστάσεων. Η συνηθέστερη επιλογή για το σχήμα των στοιχείων είναι οι μορφές simplex, δηλαδή τρίγωνα και τετράεδρα στον δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο, αντίστοιχα. Παρόλα αυτά, αρκετά συχνή είναι και η χρήση διαφορετικών σχημάτων, όπως τετράπλευρα στις δύο και εξαεδρικά ή πρισματικά στοιχεία στις τρεις διαστάσεις. Μετά τη διακριτοποίηση της δομής, επιλέγονται οι βαθμοί ελευθερίας (Degrees of Freedom, DoFs), δηλαδή οι άγνωστοι του προβλήματος, οι οποίοι συσχετίζονται με μια αντίστοιχη συνάρτηση βάσης ή μορφής(basis/shape function). Σχηματίζεται μια προσεγγιστική έκφραση για το άγνωστο μέγεθος(συνήθως το ηλεκτρικό ή το μαγνητικό πεδίο) στο ε- σωτερικό κάθε στοιχείου ως ο γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων βάσης με βάρη τους προσδιοριστέους βαθμούς ελευθερίας. Η προσεγγιστική αυτή έκφραση είναι συνήθως μιαχαμηλήςτάξηςπολυωνυμικήσυνάρτησηανάστοιχείο. 3 Γιαπαράδειγμα,σεστοιχεία πρώτης τάξης η προσέγγιση για το άγνωστο μέγεθος είναι τμηματικά γραμμική(piecewise linear). Στην απλούστερη περίπτωση, αυτή των κομβικών(nodal) πεπερασμένων στοιχείων, οι βαθμοί ελευθερίας είναι απλώς οι τιμές του αγνώστου μεγέθους στους κόμβους του πλέγματος. Ωστόσο, στα τρισδιάστατα προβλήματα του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, όπου δενείναιδυνατήηδιατύπωσητουπροβλήματοςωςπροςμίαβαθμωτήποσότητα, 4 ηχρήση των κομβικών στοιχείων συνοδεύεται από πλήθος προβλημάτων. Αυτά αφορούν κυρίως στη μη ακριβή αναπαράσταση των οριακών συνθηκών και των ιδιοτήτων συνέχειας των πεδίων, καθώς και στην εμφάνιση ψευδορυθμών(spurious modes) κατά την επίλυση προβλημάτων ιδιοτιμών. Ως αποτέλεσμα, στις περιπτώσεις αυτές έχει επικρατήσει η χρήση διανυσματικών(vector) πεπερασμένων στοιχείων, και πιο συγκεκριμένα των εφαπτομενικών στοιχείων (tangential vector finite elements) ή στοιχείων ακμής (edge elements)[216]. Οι βαθμοί ελευθερίας συσχετίζονται τότε με τις ακμές, αντί για τους κόμβους του πλέγματος, και οι προσαρτημένες συναρτήσεις βάσης είναι διανυσματικές. Προς τον σκοπό της ικανοποίησης της εφαπτομενικής συνέχειας του άγνωστου πεδιακού μεγέθους μεταξύ στοιχείων, οι βαθμοί ελευθερίας επιλέγονται ως τα επικαμπύλια ολοκληρώματα του αγνώστου μεγέθους στις ακμές του στοιχείου, ενώ ένας ισοδύναμος ορισμός θα ήταν η προβολή του πεδίου στο μέσο της ακμής. Η προσεγγιστική έκφραση του αγνώστου μεγέθους δεν είναι δυνατόν να εισαχθεί απευ- 3 Ηδιαμέρισητουυπολογιστικούχωρίουσεστοιχείακαιηχρήσηστοιχειακώνσυναρτήσεωνβάσηςκαι δοκιμής(test function) είναι η βασική διαφορά της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων από τις κλασικές μεθόδους του λογισμού των μεταβολών(functional analysis), όπως οι μέθοδοι Galerkin και Ritz. 4 Σταδισδιάσταταπροβλήματαδιάδοσηςηλεκτρομαγνητικούκύματος,παρότιτοπρόβλημαείναιδιανυσματικό, είναι γενικώς δυνατή η διατύπωσή του ως προς τη μοναδική μη μηδενική συνιστώσα του ηλεκτρικού ή μαγνητικού πεδίου(ανάλογα με την πόλωση του κύματος) την κάθετη στο επίπεδο της δομής. Ετσι, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σωστά με χρήση κομβικών πεπερασμένων στοιχείων.

66 54 Κεφάλαιο 3 θείας στη διαφορική εξίσωση, καθότι δεν είναι παραγωγίσιμη στα όρια μεταξύ στοιχείων. Προς τον σκοπό αυτό, απαιτείται η ασθενής διατύπωση(weak formulation) της διαφορικής εξίσωσης, ώστε να ικανοποιηθεί όχι ακριβώς αλλά κατά μέσο τρόπο σε ολόκληρο το χωρίο στο οποίο αναζητούμε τη λύση. Αυτό γίνεται με τη διατύπωση Galerkin, μια διατύπωση σταθμισμένων υπολοίπων(weighted residual) στην οποία η συνάρτηση δοκιμής (test function)συμπίπτειμετησυνάρτησηβάσης. 5 Μετηνεισαγωγήτωνπροσεγγιστικών εκφράσεων στην προκύπτουσα ασθενή μορφή της διαφορικής εξίσωσης και τη διαδικασία της συνάθροισης(assembly) καταλήγουμε σε γραμμικό σύστημα εξισώσεων ως προς τους αγνώστους του προβλήματος, το οποίο λύνεται με κάποια από τις πολλές διαθέσιμες μεθόδους. Τα κυριότερα χαρακτηριστικά της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων συνοψίζονται παρακάτω: Είναι μέθοδος πλήρους κύματος(full wave), δηλαδή διακριτοποιεί τις εξισώσεις του Maxwell χωρίς κάποια επιπλέον παραδοχή. Ετσι, μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα της γενικότερης δυνατής γεωμετρίας, ανεξαρτήτως των κυματικών φαινομένων που πιθανώς λαμβάνουν χώρα(οδηγούμενα κύματα, ανακλάσεις/στάσιμα κύματα, συντονισμοί, σκέδαση/ακτινοβολία κ.ο.κ.). Η εξίσωση που διακριτοποιείται είναι διαφορική με αποτέλεσμα το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων να είναι αραιό. Σαν αποτέλεσμα, είναι δυνατή η ανάλυση μεγάλων ηλεκτρικά προβλημάτων, καθώς η λύση του συστήματος είναι εφικτή ακόμη και για πολύ υψηλό αριθμό αγνώστων. Οταν ο αριθμός των αγνώστων ξεπερνάει ενδεικτικά το εκατομμύριο, η λύση του συστήματος πραγματοποιείται κατά κανόνα με χρήση επαναληπτικών τεχνικών(iterative solvers), καθώς οι άμεσες τεχνικές(direct solvers) αντιμετωπίζουν προβλήματα μνήμης. Στην κλασική της εκδοχή, είναι μέθοδος του πεδίου της συχνότητας. Παρόλα αυτά, έχουν αναπτυχθεί και εκδοχές της μεθόδου στο πεδίο του χρόνου[ ], επιτρέποντας την εξαγωγή αποτελεσμάτων σε μεγάλο εύρος συχνοτήτων με χρήση κατάλληλης διέγερσης(διαμορφωμένου παλμού). Η έμφαση σε αυτή την περίπτωση δίνεται στη διατήρηση των βασικών πλεονεκτημάτων των πεπερασμένων στοιχείων αναφορικά με τη γεωμετρική αναπαράσταση των δομών και τη συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας. Επιπλέον, σημαντική καθίσταται η διατήρηση της ευστάθειας της μεθόδου, έστω και με ελάττωση του αντίστοιχου ορίου ευστάθειας(άνω όριο χρονικού βήματος), κατά την ενσωμάτωση υλικών που παρουσιάζουν διασπορά και αγωγιμότητα, όπως για παράδειγμα τα πλήρως προσαρμοσμένα στρώματα απορρόφησης. Κάνοντας χρήση συναρτήσεων βάσης που συμμορφώνονται με τον τελεστή στροφής (curl-conforming basis functions), η εφαπτομενική συνέχεια των πεδιακών μεγεθών μεταξύ διαφορετικών περιοχών ικανοποιείται εγγενώς. Ετσι, δεν απαιτείται η επιβολή της με κάποιον άμεσο τρόπο. Αυτό αποκτά ιδιαίτερη σημασία στις περιπτώσεις έντονων ασυνεχειών μεταξύ υλικών, όπως αυτές στις διαχωριστικές επιφάνειες μετάλλου/διηλεκτρικούπουσυναντούμεστουςπλασμονικούςκυματοδηγούς. 6 Σημειώνεται 5 Γιατηνασθενήδιατύπωσητηςδιαφορικήςεξίσωσηςυπάρχεικαιηεναλλακτικήτηςεύρεσηςμιαςσυναρτησιακής(functional), η ελαχιστοποίηση της οποίας καταλήγει στη διαφορική εξίσωση που μας ενδιαφέρει. Παρόλα αυτά δεν προτιμάται, καθώς απαιτεί στοιχεία από το λογισμό των μεταβολών. 6 Υπενθυμίζεταιότιτοπραγματικόμέροςτηςσχετικήςδιηλεκτρικήςσταθεράςτωνμετάλλωνστιςοπτικές συχνότητες λαμβάνει μεγάλες αρνητικές τιμές της τάξης του 1. Επιπλέον, χαρακτηρίζεται από ισχυρές

67 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 55 ότι τέτοιες ασυνέχειες προκαλούν πολύ συχνά προβλήματα ευστάθειας στις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών με συνέπεια την υιοθέτηση σχημάτων εξομάλυνσής τους. Το πλέγμα της μεθόδου δεν απαιτείται να είναι καρτεσιανό. Μάλιστα, η διαμέριση του υπολογιστικού χώρου πραγματοποιείται συνήθως με μορφές simplex, δηλαδή τρίγωνα και τετράεδρα στον δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο, αντίστοιχα. Κάτι τέτοιο επιτρέπει την ορθή προσέγγιση των καμπυλόγραμμων ορίων μεταξύ περιοχών και αποφεύγει τη βηματική αναπαράσταση τους(staircasing), όπως τυπικά συμβαίνει στις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών με καρτεσιανά πλέγματα. Επιπλέον, όταν έ- χει ιδιαίτερη σημασία η ακριβής περιγραφή των καμπυλόγραμμων ορίων είναι δυνατή η χρήση ισοπαραμετρικών/καμπυλόγραμμων στοιχείων(isoparametric/curvilinear e- lements). Ηακρίβειατηςλύσηςμπορείναβελτιωθείμέχριτοεπιθυμητόσημείοόχιμόνομεπύκνωση του πλέγματος, αλλά και με χρήση στοιχείων ανώτερης τάξης(higher-order elements), στα οποία η προσεγγιστική έκφραση για το άγνωστο μέγεθος είναι μια τμηματικά πολυωνυμική συνάρτηση τετραγωνικής ή κυβικής τάξης. Η χρήση στοιχείων ανώτερης τάξης αποδεικνύεται πλεονεκτική, καθώς η σύγκλιση της λύσης με την αύξηση των βαθμών ελευθερίας είναι ταχύτερη. Σημαντική είναι επίσης η δυνατότητα για αυτοβελτιούμενες(adaptive) μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων όπου η πύκνωση του πλέγματος(h-adaption) και η αύξηση της τάξης των στοιχείων(p-adaption) γίνεται μόνο στις περιοχές που είναι απαραίτητο, μέχρι η λύση να συγκλίνει στην επιθυμητή ακρίβεια. Ετσι, το πρόβλημα λύνεται κατά τον οικονομικότερο δυνατό τρόπο. Απαραίτητη προϋπόθεση, βέβαια, για την ενσωμάτωση στοιχείων διαφορετικής τάξης στο ίδιο πλέγμα είναι η χρήση ιεραρχικών(hierarchical) συναρτήσεων βάσης[22]. Ειδικότερα, σε αυτή την περίπτωση τα στοιχεία ανώτερης τάξης κατασκευάζονται με προσθήκη νέων συναρτήσεων βάσης στις ήδη υπάρχουσες από το στοιχείο πρώτης τάξης. Τα στοιχεία αυτά αντιπαραβάλλονται με τα στοιχεία παρεμβολής(interpolatory) [221], στα οποία οι συναρτήσεις βάσης κάθε τάξης είναι διαφορετικές από της προηγούμενης. Είναι δυνατή η αποτελεσματική εφαρμογή οριακών συνθηκών και διεγέρσεων. Ε- κτός από τα προβλήματα σκέδασης/ακτινοβολίας, και τα περισσότερα προβλήματα οδηγούμενου κύματος απαιτούν τη χρήση απορροφητικών οριακών συνθηκών για την αποκοπή του υπολογιστικού χώρου καθώς οι σύγχρονοι κυματοδηγοί της φωτονικής τεχνολογίας είναι ανοιχτοί. Επίσης, με εξαίρεση τα προβλήματα ιδιοτιμών, είναι ε- πιθυμητή η αποτελεσματική εισαγωγή της διέγερσης, κάτι που θα μας απασχολήσει εκτενώς σε επόμενη ενότητα Τριγωνικά πρισματικά στοιχεία ακμής πρώτης τάξης Στα επόμενα κεφάλαια θα μας απασχολήσει η προσομοίωση επίπεδων(planar) νανοφωτονικών κυκλωμάτων οδηγούμενου κύματος στις τρεις διαστάσεις. Ακριβώς αυτός ο επίπεδος χαρακτήρας των διατάξεων οδήγησε στην επιλογή τριγωνικών πρισματικών στοιχείων ακμής(triangular prism edge elements)[ ] για τη διακριτοποίησή τους, έναντι των πιο συνηθισμένων τετράεδρων ή των εξάεδρων, τα οποία απορρίφθηκαν εξαιτίας της αδυναμίας που παρουσιάζουν αναφορικά με τη μοντελοποίηση περιοχών με καμπυλόγραμμα όρια. Το βασικό πλεονέκτημα των πρισμάτων έναντι των τετράεδρων είναι ο καλύτερος έλεγχος ωμικές απώλειες με αποτέλεσμα αντίστοιχη ασυνέχεια να παρατηρείται και στην αγωγιμότητα.

68 56 Κεφάλαιο 3 4 [6] 6 mixed-order property [4] 5 [7] [5] [9] [8] n n 1 [3] z 3 n-1 n y [1] n n-1 n [2] 2 x Σχήμα 3.1: Τριγωνικό πρισματικό στοιχείο με σύμβαση αρίθμησης κόμβων και ακμών(η φορά έχει σημασία). Στο ένθετο σχήμα αποτυπώνεται η προσέγγιση μεικτής τάξης που χαρακτηρίζει τα στοιχεία ακμών και δηλώνει ότι η τάξη προσέγγισης μιας πεδιακής συνιστώσας κατά την ίδια διεύθυνση είναι κατά μία λιγότερη. n-1 n της διακριτοποίησης της δομής και η δυνατότητα ξεχωριστής πύκνωσης του πλέγματος προς διαφορετικές διευθύνσεις: εντός του επιπέδου και έξω από αυτό. Το πλέγμα προκύπτει ευθέως από ένα δισδιάστατο τριγωνικό πλέγμα με καθορισμό του πλήθους των στρωμάτων από πρίσματα καθώς και του ύψους κάθε στρώματος. Ετσι, διευκολύνεται σημαντικά η γεωμετρική προεπεξεργασία κάνοντας χρήση δισδιάστατου πλεγματοποιητή(mesh generator). Στο σχήμα 3.1 απεικονίζεται το πρισματικό στοιχείο μαζί με τη σύμβαση αρίθμησης κόμβωνκαιακμών.σύμφωναμεαυτή,οιακμέςμεαύξοντααριθμό k = {1...9}αντιστοιχούν σεζεύγηκόμβων ij = {12,23,31,45,56,64,14,25,36}(ηφοράέχεισημασία). Γιατο στοιχείο πρώτης τάξης αρκούν εννέα συναρτήσεις βάσης, όσες και οι ακμές του στοιχείου [ ]. 7 Ειδικότερα,οιπροσαρτημένεςστιςακμέςτηςκάτω(lower, L)τριγωνικήβάσης (k = {1,2,3})συναρτήσειςείναιτηςμορφής w L ij = 1 2 (1 ζ )(ζ i ζ j ζ j ζ i ), ij = {12,23,31}, (3.1) όπου ζ i και ζ j οισυντεταγμένες simplexτουτριγώνουγιατοναρχικό (i)καιτελικό (j) κόμβοτηςακμής,αντίστοιχα,ενώ ζ κανονικοποιημένηαξονικήσυντεταγμένηηοποίαμεταβάλλεταιγραμμικάαπό 1έως 1κατάτονάξονατουπρίσματος. Ηποσότηταστην τελευταία παρένθεση της Εξ.(3.1) αναγνωρίζεται ως η 1-μορφή Whitney. Οι προσαρτημένεςστιςακμέςτηςάνω(upper, U)τριγωνικήςβάσης(k = {4,5,6})συναρτήσειςδίνονται από μια εντελώς αντίστοιχη σχέση με αλλαγή του προσήμου στην πρώτη παρένθεση του 7 Σημειώνουμεότιωςστοιχείοπρώτηςτάξηςεννοούμετοστοιχείοπουπαρουσιάζειπληρότηταμηδενικής τάξης(μια τάξη λιγότερη) αναφορικά με τη στροφή των συναρτήσεων βάσης. Αναλυτικότερα, στην κατασκευή στοιχείου ακμής τάξης n δεν ενδιαφέρει τόσο η πληρότητα της αναπαράστασης του αγνώστου μεγέθους με πολυώνυμο τάξης n, καθώς η συνολική ακρίβεια της λύσης θα καθορίζεται από την αναπαράσταση της στροφής του μεγέθους. Φυσικά, αν το πεδίο προσεγγίζεται με πολυώνυμο τάξης n, η στροφή του θα προσεγγίζεται από πολυώνυμο χαμηλότερης τάξης: n 1. Ετσι, αυτό που ενδιαφέρει κυρίως είναι ηπληρότηταστηναναπαράστασητηςστροφήςμεπολυώνυμοτάξης n 1,γεγονόςπουοδηγείσεστοιχεία με μειωμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Το παραπάνω σχετίζεται άμεσα με τη συνθήκη εγκλεισμού (inclusion condition) καθώς και την προσέγγιση μεικτής τάξης(mixed-order property) που χαρακτηρίζει κάθε στοιχείο Whitney και δηλώνει ότι η τάξη προσέγγισης μιας πεδιακής συνιστώσας κατά την ίδια διεύθυνση(δηλαδήέστωτης E x κατά x)είναιμίαλιγότερη.ησυμπεριφοράαυτήαποτυπώνεταιστοσχήμα 3.1.

69 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 57 δεξιού μέλους w U ij = 1 2 (1+ζ )(ζ i ζ j ζ j ζ i ), ij = {45,56,64}. (3.2) Τέλος, οι προσαρτημένες στις κατακόρυφες(vertical, V) ακμές(k = {7, 8, 9}) συναρτήσεις βάσεις είναι της μορφής w V ij = 1 2 ζ i ζ, ij = {14,25,36}. (3.3) Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι οι εν λόγω συναρτήσεις βάσης[εξ.(3.1)-(3.3)], εκτός από την εφαπτομενική συνέχεια, ικανοποιούν και όλες τις υπόλοιπες, απαραίτητες για στοιχεία ακμής, ιδιότητες. Ειδικότερα, δεν επιβάλλουν τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας, παρουσιάζουνμηδενικήαπόκλιση( w ij = )καιδύνανταινααναπαραστήσουναστρόβιλα πεδία. Επιπλέον, ισχύουν για αυτές οι ιδιότητες της κανονικοποίησης και της αποσύμπλεξης, σύμφωνα με τις οποίες το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της συνάρτησης βάσης πάνω στην αντίστοιχηακμήείναιμονάδα(κανονικοποίηση), 8 ενώπάνωστιςυπόλοιπεςοκτώμηδέν (αποσύμπλεξη). Αναπτύσσοντας τις συντεταγμένες simplex σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αναφοράτοσχήμα3.1καιλαμβάνονταςυπόψηότι ζ i σταθερόδιάνυσμαστο xyεπίπεδο και ζ σταθερόδιάνυσμαπαράλληλομετονάξονα z,είναιεύκολοναδειχθείότιγιατις συναρτήσειςβάσηςισχύουνοιακόλουθεςεξαρτήσεις 9 w = (y,z,yz)ˆx+(x,z,xz)ŷ w = (x,y)ẑ (3.4α) (3.4β) Η απουσία όρων της μορφής (x)ˆx αποτυπώνει την προσέγγιση μεικτής τάξης(mixed-order property), η οποία δηλώνει ότι η τάξη προσέγγισης μιας πεδιακής συνιστώσας κατά την ίδιαδιεύθυνση(δηλαδήέστωτης E x κατά ˆx)είναικατάμίαλιγότερη,καιείναισυνέπεια της συνθήκης εγκλεισμού(inclusion condition). Σημειώνονται, επίσης, οι διγραμμικές μεταβολέςστιςσυναρτήσεις w. Οι παραπάνω διαπιστώσεις μπορούν να γίνουν καλύτερα κατανοητές μέσα από την παρατήρηση των συναρτήσεων μορφής. Τα διανυσματικά πεδία των εννέα συναρτήσεων βάσης πρώτης τάξης στο εσωτερικό του πρισματικού στοιχείου απεικονίζονται στα σχήματα 3.2, 3.3και3.4,γιατις w L ij, wu ij και wv ij,αντίστοιχα.εύκολαμπορείκανείςναδιαπιστώσειτην ικανοποίηση της ιδιότητας αποσύμπλεξης. Ειδικότερα, η συνάρτηση βάσης η προσαρτημένη σε κάποια ακμή είναι είτε κάθετη, είτε μηδενική σε όλες τις υπόλοιπες. Για παράδειγμα, με αναφοράτοσχήμα3.2,ηw 1 είναικάθετηστιςακμές 2,3,7,8καιμηδενικήστις 4,5,6,9. Αντίστοιχα,μεαναφοράτοσχήμα3.4,ηw 7 είναικάθετηστιςακμές 1,3,4,6καιμηδενική στις 2,5,8,9.Επιπρόσθετα,παρατηρώνταςτημεταβολήτης w 1 στο xyεπίπεδο(σχ.3.2) γίνεται φανερό ότι η εφαπτομενική της συνιστώσα είναι σταθερή στις ακμές της τριγωνικής 8 Παρότιδενεπιλέχθηκεστηνπαρούσαδιατριβή,μιασυνηθισμένηπρακτικήείναιαυτήτηςκλιμάκωσης των συναρτήσεων βάσης με το μήκος της ακμής[ ]. Σε αυτή την περίπτωση, το επικαμπύλιο ολοκλήρωματηςσυνάρτησηςβάσηςστηναντίστοιχηακμήείναιίσομετομήκοςτηςακμής L k,αντίγια μονάδα. Μοναδιαία είναι η εφαπτομενική προβολή της συνάρτησης στην ακμή, η οποία στην περίπτωση μη κλιμάκωσηςμετομήκος,όπωςεδώ,είναιίσημε 1/L k. 9 Με w συμβολίζουμεσυλλογικάτιςσυναρτήσειςβάσηςπουείναιπροσαρτημένεςσεακμέςτωντριγωνικώνβάσεων(wij Lκαι wu ij ),οιοποίεςμεαναφοράτοσχήμα3.1είναιπαράλληλεςστο xyεπίπεδο.με w συμβολίζονταιοισυναρτήσειςβάσειςτωνκατακόρυφωνακμών(w ij V ),τωνκάθετωνστο xyεπίπεδο.

70 58 Κεφάλαιο 3 [1] [3] [2] y x y x z y x z y x z y x y x Σχήμα 3.2: Συναρτήσεις μορφής πρώτης τάξης προσαρτημένες στις ακμές της κάτω τριγωνικής βάσης του πρισματικού στοιχείου. Παρατηρείστε την ικανοποίηση της ιδιότητας αποσύμπλεξης. [4] [6] [5] y x y x z y x z y x z y x y x Σχήμα 3.3: Συναρτήσεις μορφής πρώτης τάξης προσαρτημένες στις ακμές της άνω τριγωνικής βάσης του πρισματικού στοιχείου. Παρατηρείστε την ικανοποίηση της ιδιότητας αποσύμπλεξης.

71 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 59 z y z y z y 4 x 6 4 x 6 4 x [7] [8] [9] y y y x x x Σχήμα 3.4: Συναρτήσεις μορφής πρώτης τάξης προσαρτημένες στις κατακόρυφες ακμές του πρισματικού στοιχείου. Παρατηρείστε την ικανοποίηση της ιδιότητας αποσύμπλεξης. βάσης(μημηδενικήμόνοστηνακμή1καιμηδενικήστιςάλλεςδύο),ενώηκάθετητης συνιστώσα παρουσιάζει γραμμική μεταβολή κατά μήκος των ακμών. Το παραπάνω δικαιολογεί τον χαρακτηρισμό constant tangential-linear normal (CT-LN) που αποδίδεται στην 1-μορφή Whitney[226]. Μάλιστα, η(σταθερή) εφαπτομενική προβολή εξαρτάται μόνον από το μήκος της ακμής, γεγονός που εγγυάται την ικανοποίηση της εφαπτομενικής συνέχειας στα όρια μεταξύ στοιχείων. Παρατηρείστε, τέλος, πως η συνάρτηση βάσης περιστρέφεται γύρω από τον απέναντι κόμβο, σε συμμόρφωση με τον τελεστή στροφής. Οι βαθμοί ελευθερίας ορίζονται, όπως για κάθε στοιχείο ακμής, μέσω των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων του αγνώστου πεδιακού μεγέθους στις εννέα ακμές F k = (j) (i) F dl. (3.5) Τελικά, η προσεγγιστική έκφραση για το άγνωστο μέγεθος στο εσωτερικό κάθε στοιχείου δίνεται από έκφραση της μορφής F(r) = 9 F k w k (r). (3.6) k=1 Για την εισαγωγή της προσεγγιστικής έκφρασης όμως στη διαφορική εξίσωση πρέπει να προηγηθεί η διατύπωσή της τελευταίας σε ασθενή μορφή. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της διαδικασίας Galerkin.

72 6 Κεφάλαιο Διατύπωση Galerkin Εστω διαφορική εξίσωση της μορφής LF = g, (3.7) όπου L ο διαφορικός τελεστής, F η άγνωστη διανυσματική συνάρτηση και g γνωστή διανυσματική συνάρτηση διέγερσης. Η διατύπωση Galerkin της εξίσωσης είναι LF g,f =, (3.8) όπουf πεδίοδοκιμήςκαι, κατάλληλοεσωτερικόγινόμενο.αντίλοιπόννααπαιτήσουμε την ακριβή ικανοποίησή της διαφορικής εξίσωσης, ζητούμε τον μηδενισμό της«προβολής» ενός υπολοίπου σε κάποια κατάλληλη συνάρτηση δοκιμής. Αυτό επαναλαμβάνεται για πεπερασμένο αριθμό συναρτήσεων δοκιμής, οι οποίες είναι, εν γένει, γραμμικοί συνδυασμοί των συναρτήσεων βάσης. Ετσι, επιτυγχάνεται ο μηδενισμός του υπολοίπου κατά μια«μέση» έννοια. Προφανώς, όσο μεγαλύτερο το πλήθος των πεδίων δοκιμής, τόσο καλύτερη η προσέγγιση της ακριβούς λύσης. Για την εξαγωγή της διαφορικής εξίσωσης που διακριτοποιούμε με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων εκκινούμε από τις εξισώσεις του Maxwell οι οποίες διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά προβλήματα υψηλών συχνοτήτων E = B t, H = J + D t, D = ρ, B =. (3.9α) (3.9β) (3.9γ) (3.9δ) Μετησειράπρόκειταιγιατονόμοτου Faraday,τονόμοτου Ampèreκαιτουςνομούςτου Gauss για ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο, αντίστοιχα. Τα μεγέθη που εμφανίζονται στις Εξ.(3.9) ορίζονται ακολούθως E: Ενταση ηλεκτρικού πεδίου (V/m) H: Ενταση μαγνητικού πεδίου (A/m) D:Διηλεκτρικήμετατόπισηήπυκνότηταηλεκτρικήςροής (Cb/m 2 ) B:Μαγνητικήεπαγωγήήπυκνότηταμαγνητικήςροής (Wb/m 2 ) J:Πυκνότηταηλεκτρικούρεύματος (A/m 2 ) ρ:χωρικήπυκνότηταηλεκτρικούφορτίου (Cb/m 3 ) Υποθέτοντας χώρο δίχως πηγές και αρμονική χρονική μεταβολή της μορφής exp(jωt) οι εξισώσεις γράφονται E = jωµ µ r (r)h, H = jωε ε r (r)e, (3.1α) (3.1β)

73 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 61 ε r (r)e =, (3.1γ) µ r (r)h =, (3.1δ) όπου ε r (r), µ r (r)τανυστέςδεύτερηςτάξης(πίνακες 3 3)μεμιγαδικάστοιχείαπουεξαρτώνται από τις συντεταγμένες του χώρου. Η γενική μορφή των καταστατικών παραμέτρων παραπέμπει σε υλικά για τα οποία δεν κάνουμε κάποιες ιδιαίτερες υποθέσεις, μπορεί, δηλαδή,ναείναιμηομογενή,ανισοτροπικάκαιμεαπώλειες. 1 Συνδυάζονταςτιςεξισώσεις που εμπλέκουν τις στροφές ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, και ειδικότερα παίρνοντας τη στροφή της Εξ.(3.1α) και αντικαθιστώντας την Εξ.(3.1β), καταλήγουμε στην διανυσματικήεξίσωση Helmholtz(vector wave equation) 11 µ 1 r E k 2 ε r E =. (3.11) Μια διατύπωση Galerkin της Εξ.(3.11), στα πρότυπα της Εξ.(3.8), είναι η [ µ 1 r E k ε 2 r E] E dv =, (3.12) V όπου V τουπολογιστικόχωρίοστοοποίοαναζητούμετηλύσητουπροβλήματοςκαι E συνάρτηση δοκιμής. Εφαρμόζοντας τη διανυσματική ταυτότητα (A B) = B ( A) A ( B) (3.13) με A µ 1 r Eκαι B E καιδεδομένηςτηςαντιμεταθετικήςιδιότηταςτουεσωτερικού γινομένου προκύπτει η [ E µ 1 r E ke 2 ε r E]dV V (3.14) + [( µ 1 r E) E ] dv =. V Κάνοντας χρήση του θεωρήματος Gauss(ή απόκλισης) της διανυσματικής ανάλυσης και τηςταυτότητας (A B) C = (C A) Bμε Aκαι Bόπωςπρινκαι C ˆnέχουμε διαδοχικά για τον δεύτερο όρο της Εξ.(3.14) V [( µ 1 r E) E ] dv = = S S ( µ 1 r E) E ˆn ds E ˆn µ 1 r E ds, (3.15) όπου S = V τοκλειστόόριοτουυπολογιστικούχώρουκαι ˆnτομοναδιαίοδιάνυσματο κάθετοστηνεπιφάνεια Sκαιμεφοράπροςταέξω.ΑντικαθιστώνταςτηνΕξ.(3.15)στην 1 Ενώκατάκανόναταυλικάστιςοπτικέςσυχνότητεςείναιμημαγνητικά,ηυλοποίησητεχνητώνστρωμάτων τέλειας απορρόφησης απαιτεί μιγαδική και τανυστική σχετική μαγνητική διαπερατότητα. 11 Επιλέγουμεναδουλέψουμεμετοηλεκτρικόπεδίο. Προφανώς, μιααντίστοιχηεξίσωσημπορείνα προκύψει και για το μαγνητικό πεδίο παίρνοντας τη στροφή της Εξ.(3.1β) και αντικαθιστώντας την Εξ.(3.1α).

74 62 Κεφάλαιο 3 Εξ.(3.14)καταλήγουμεστην 12 V [ E µ 1 r E k2 E ε r E] dv (3.16) + E ˆn µ 1 r E ds =, η οποία αποτελεί τη γενική μορφή της διατύπωσης Galerkin ως προς το ηλεκτρικό πεδίο. Είμαστε πλέον σε θέση να διακριτοποιήσουμε τη διατύπωση Galerkin αναλύοντας τα εμπλεκόμενα ολοκληρώματα σε επιμέρους ολοκληρώματα στον όγκο/επιφάνεια των πεπερασμένων στοιχείων και εισάγοντας την προσεγγιστική έκφραση[εξ. 3.6] για αμφότερα το άγνωστο μέγεθος και τη συνάρτηση δοκιμής. Οι συντελεστές βάρους της προσεγγιστικής έκφρασης για το άγνωστο μέγεθος αποτελούν και τους αγνώστους του προβλήματος. Αντιθέτως, οι συντελεστές βάρους του πεδίου δοκιμής προσδιορίζονται κατάλληλα από εμάς για το σχηματισμό του τελικού συστήματος εξισώσεων. Ειδικότερα, η διαδικασία Galerkin επαναλαμβάνεται τόσες φορές όσοι και οι άγνωστοι του προβλήματος(για στοιχεία πρώτης τάξης ο αριθμός αγνώστων είναι ίσος με τον αριθμό των ακμών του πλέγματος εξαιρουμένων των γνωστών ακμών, π.χ. στα όρια του υπολογιστικού χώρου), και κάθε φορά το πεδίο δοκιμής λαμβάνεται ίσο με μια διαφορετική συνάρτηση βάσης. Με άλλα λόγια, σε κάθε ζύγιση ο συντελεστής βάρους μίας και μόνο συνάρτησης βάσης τίθεται ίσος με τη μονάδα, ενώ οι υπόλοιποι παραμένουν μηδενικοί. Η συνεισφορά του κάθε πεπερασμένου στοιχείου στοολοκλήρωμαόγκουγράφεται 13 V e [ E µ 1 r E k 2 E ε r E] dv = {E e } T( [S e ] k 2 [T e ] ) {E e }, (3.17) όπου {E e } = [E1 e...ee 9 ]T τοδιάνυσμαστήλητωνβαθμώνελευθερίας, [T e ]τοπικός(ή στοιχειακός) πίνακας μάζας(local/elemental mass matrix) διαστάσεων 9 9 που εμπλέκει εσωτερικάγινόμενατωνσυναρτήσεωνβάσης,και [S e ]τοπικόςπίνακαςακαμψίας(stiffness matrix) διαστάσεων 9 9 που εμπλέκει εσωτερικά γινόμενα των στροφών των συναρτήσεων. Ειδικότερα,ταστοιχείατωνπινάκωνμάζαςκαιακαμψίαςείναιτηςμορφής 14 Tkl e = w k ε r w l dv, k,l = {1...9} (3.18α) V e Skl e = w k µ 1 r w l dv, k,l = {1...9}. (3.18β) V e Γιαμέχρικαιδιαγώνιαανισοτροπίατων ε r, µ r επιλέγουμετοναναλυτικόυπολογισμό των τοπικών πινάκων της Εξ.(3.18). Στην περίπτωση που η ανισοτροπία είναι συνθετότερη, γίνεταιπροτιμότερηηχρήσηαριθμητικήςολοκλήρωσης. 15 Ειδικότερα,καθώςοιολοκληρω- S 12 Αν καισυνήθωςτοόριοτουυπολογιστικούχώρουβρίσκεταισεισοτροπικό, μημαγνητικόμέσο, διατηρούμε τον τανυστή της μαγνητικής διαπερατότητας χάριν γενικότητας. 13 Με V e δηλώνουμετονόγκοτουεκάστοτεστοιχείου. 14 Σημειώνουμεότιταστοιχείατουπίνακαμάζαςπουσυσχετίζουνεγκάρσιεςμεκατακόρυφεςσυναρτήσεις βάσης του τριγωνικού πρίσματος είναι μηδενικά λόγω καθετότητας, εκτός και αν αυτή διαταραχθεί από τη μορφήτωντανυστών ε r και µ r,κάτιπουσυμβαίνειγιαανισοτροπίασυνθετότερητηςεγκάρσιας,όταν δηλαδήκάποιοαπόταστοιχεία ˆxẑ,ŷẑ,ẑˆx,ẑŷτωντανυστώνείναιμημηδενικά. 15 Ηχρήσηαριθμητικήςολοκλήρωσηςείναιπλεονεκτικήκαιστηνπερίπτωσηστοιχείωνανώτερηςτάξης,

75 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 63 τέες ποσότητες είναι πολυώνυμα έως και δεύτερης τάξης(υποθέτουμε σταθερές ιδιότητες του μέσου ανά στοιχείο), μπορούμε να πάρουμε ακριβές(exact) αποτέλεσμα με χρήση αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Legendre(Gauss-Legendre quadrature) δύο σημείων κατά τον άξονα και τριών σημείων στην επιφάνεια της τριγωνικής διατομής[212, 227], δηλαδή έξι συνολικά σημείων ανά πρίσμα. Για να ολοκληρωθεί η διακριτοποίηση της διατύπωσης Galerkin απομένει η αντιμετώπιση του επιφανειακού όρου της Εξ.(3.16). Ο χειρισμός του εξαρτάται από τις οριακές συνθήκες του προβλήματος και θα μας απασχολήσει στην επόμενη ενότητα Οριακές συνθήκες Οι απλούστερες οριακές συνθήκες που εφαρμόζονται στα ηλεκτρομαγνητικά προβλήματα είναι οι συνθήκες Dirichlet και Neumann. Η συνθήκη Dirichlet προσδιορίζει την εφαπτομενική συνιστώσα του πεδίου στην επιφάνεια του συνόρου. Σε διατύπωση ως προς το ηλεκτρικό πεδίο παίρνει τη μορφή ˆn E = P(r). (3.19) Με ανάλογο τρόπο, η συνθήκη Neumann προσδιορίζει την εφαπτομενική συνιστώσα της στροφής του πεδίου στην επιφάνεια και για διατύπωση με βάση το ηλεκτρικό πεδίο γράφεται ως ˆn E = Q(r). (3.2) Στην ειδική περίπτωση που οι συναρτήσεις P(r) και Q(r) είναι μηδενικές, οι συνθήκες α- ποκαλούνται ομογενείς και δηλώνουν κάθετη πρόσπτωση του πεδίου ή της στροφής αυτού στη συνοριακή επιφάνεια. Περιγράφουν, δηλαδή, μη διαπερατές επιφάνειες τέλεια αγώγιμου ηλεκτρικού(perfect Electric Conductor, PEC) ή μαγνητικού(perfect Magnetic Conductor, PMC) τοίχου, αντίστοιχα. Εναλλακτικά, μπορούν να ιδωθούν ως επίπεδα συμμετρίας στα οποία το ηλεκτρικό ή μαγνητικό(στροφή του ηλεκτρικού) πεδίο είναι κάθετα. Υπό αυτή την οπτική γωνία, χρησιμεύουν συχνά στην ελάττωση του υπολογιστικού χώρου στο μισό ή και το ένα τέταρτο, ανάλογα με τη γεωμετρική(και ηλεκτρική) συμμετρία της δομής. Οι ομογενείς συνθήκες Dirichlet εφαρμόζονται πολύ εύκολα με απόδοση μηδενικής τιμής στους βαθμούς ελευθερίας που είναι προσαρτημένοι στις ακμές του αντίστοιχου συνόρου. Από την άλλη, οι ομογενείς συνθήκες Neumann δεν επιβάλλονται, με τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας να αποτελούν αγνώστους του προβλήματος, καθώς στις διατυπώσεις των πεπερασμένων στοιχείων ικανοποιούνται αυτόματα. Και στις δύο περιπτώσεις, ο επιφανειακός όρος της διατύπωσης Galerkin είναι μηδενικός με αποτέλεσμα να μην απαιτείται κάποιος ιδιαίτερος χειρισμός. Στην περίπτωση της Dirichlet ο μηδενισμός του επιφανειακού όρου προκύπτει από τη μη εφαρμογή συνάρτησης δοκιμής, καθώς κάτι τέτοιο είναι περιττό για γνωστές ακμές, ενώ για τις ομογενείς Neumann ο μηδενισμός προκύπτει ευθέως, όπως εύκολα διαπιστώνεται από την Εξ.(3.16)(υποθέτοντας ότι η συνοριακή επιφάνεια βρίσκεται σε μέσο με ισοτροπική μαγνητική διαπερατότητα). Ενας τρίτος τύπος οριακής συνθήκης συνδυάζει τις συνθήκες Dirichlet και Neumann προσδιορίζοντας έναν γραμμικό συνδυασμό του εφαπτομενικού πεδίου και της εφαπτομενιγια τα οποία οι συναρτήσεις βάσης είναι πιο πολύπλοκες.

76 64 Κεφάλαιο 3 κήςσυνιστώσαςτηςστροφήςτουστησυνοριακήεπιφάνεια: 16 ˆn E = Q(r,E t ). (3.21) Αποκαλείται συχνά συνθήκη Robin προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Victor Gustave Robin. Τέτοια μορφή παίρνουν οι οριακές συνθήκες επιφανειακής σύνθετης αντίστασης(surface impedance boundary conditions) και οι απορροφητικές οριακές συνθήκες (Absorbing Boundary Conditions, ABCs). Οι τελευταίες χρησιμοποιούνται για τον τερματισμό ανοιχτών προβλημάτων και τη διέγερση/απορρόφηση οδηγούμενων ρυθμών. Και για τις δύο αυτές χρήσεις θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια. Ειδικότερα, τα προβλήματα που θα μελετηθούν στα επόμενα κεφάλαια μπορούν να συμπεριληφθούν στην κατηγορία προβλημάτων κυματοδήγησης με ασυνέχεια του μέσου(waveguide discontinuity problems) [225, ]. Αφορούν δηλαδή κάποιο κύκλωμα οδηγούμενου κύματος στο οποίο η συνέχεια του κυματοδηγού διαταράσσεσαι μέσω κάποιας δομής, με συνέπεια την εισαγωγή ανακλάσεων και της πιθανής διέγερσης ρυθμών ανώτερης τάξης ή, δεδομένου ότι οι νανοφωτονικοί κυματοδηγοί που μελετούμε είναι ανοιχτοί, ακτινοβολίας Απορροφητικές οριακές συνθήκες ABC για επίπεδα κύματα Σε προβλήματα ανοικτού ορίου(ακτινοβολία, σκέδαση, κυκλώματα ανοικτών κυματοδηγών) το πεδίο δεν παραμένει εντοπισμένο σε κάποιον σαφώς ορισμένο χώρο πεπερασμένων διαστάσεων. Είναι συνεπώς απαραίτητη η αποκοπή (truncation) του υπολογιστικού χώρου, ώστε να καταστεί δυνατή η λύση του προβλήματος με τη βοήθεια του υπολογιστή, ο οποίος και διαθέτει περιορισμένους πόρους. Η πρώτη τεχνική που αναπτύχθηκε για το σκοπό αυτό είναι η χρήση κατάλληλης οριακής συνθήκης στο σύνορο του υπολογιστικού χώρου για την απορρόφηση των εξερχόμενων κυμάτων που προσπίπτουν σε αυτόν. Είναι προφανές ότι το όριο πρέπει να εμφανίζεται κατά το δυνατόν διάφανο, δηλαδή η οριακή συνθήκη να εισάγει τις ελάχιστες δυνατές ανακλάσεις ώστε να μην επηρεάζεται η λύση στο εσωτερικό του υπολογιστικού χώρου. Η απλούστερη συνθήκη αυτής της κατηγορίας αποκαλείται απορροφητική οριακή συνθήκηπρώτηςτάξης[234,235]καιδίνεταιαπόσχέσητηςμορφής 17 ˆn E+jkˆn ˆn E =, (3.22) όπου k = k nοκυματικόςαριθμός(wavenumber)τουμέσουστοοποίοβρίσκεταιησυνοριακήεπιφάνειακαι ˆnτομοναδιαίοκάθετοδιάνυσμασεαυτήμεφοράπροςταέξω. Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι η συνθήκη αυτή αποσβένει χωρίς ανακλάσεις ένα επίπεδο κύμα που προσπίπτει κάθετα στην επιφάνειά της. Πράγματι, για επίπεδο κύμα της μορφής E = E exp( jkr)ισχύει E = jk E.Γιακάθετηπρόσπτωσητοκυματικόδιάνυσμα kγράφεται k = kˆnκαιπολλαπλασιάζονταςεξωτερικάταδύομέλημε ˆnκαταλήγουμε στην Εξ.(3.22). Για γωνία πρόσπτωσης διαφορετική της κάθετης, η απορρόφηση δεν είναι πλήρης. 18 Οσυντελεστήςανάκλασηςαυξάνειμονότοναμετηγωνίαπρόσπτωσηςκαιφτά- 16 Προφανώς,ότανησυναρτησιακήQδενεξαρτάταιαπότοπεδίοησυνθήκημεταπίπτεισεμιαμηομογενή Neumann. 17 Η εξίσωση αυτή θυμίζει τη συνθήκη ακτινοβολίας του Sommerfeld, η οποία γράφεται ως lim {r( E+jkˆr E)} = καιδηλώνειότιμακριάαπότονχώροτωνπηγών,στοόριοτηςάπειρης σφαίρας, το κύμα γίνεται εγκάρσιο ομοιόμορφο και αποσβένεται με ρυθμό όχι βραδύτερο του 1/r. 18 Καθώςένακύμαμετυχόνμέτωποκύματοςκαιδιεύθυνσηδιάδοσηςέστωκατάτα r ẑμπορείνααναλυθεί

77 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 65 νειστημονάδαγιαγωνίαπρόσπτωσης 9,δηλαδήδιάδοσηπαράλληλαμετηνσυνοριακή επιφάνεια(grazing incidence). 19 Ησωστήλειτουργίατηςαπορροφητικήςσυνθήκηςεξασφαλίζεται με την τοποθέτηση του ορίου αρκούντως μακριά από την υπό μελέτη διάταξη, ώστετομέτωποκύματοςναείναικατάτοδυνατόνεπίπεδοκαιηγωνίαπρόσπτωσηςναμην αποκλίνει σημαντικά από την κάθετη. Παρά τη προσεγγιστική της φύση, η ABC πρώτης τάξης χρησιμοποιείται ευρύτατα λόγω της ευκολίας στην υλοποίηση και της τοπικής(local) φύσης της που διατηρεί τον αραιό χαρακτήρα των πινάκων των πεπερασμένων στοιχείων: ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα της μεθόδου. Σε περίπτωση που απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, γίνεται χρήση συνθήκης ανώτερης τάξης[212, ] η οποία εξασφαλίζει χαμηλούς συντελεστές ανάκλασης για μεγαλύτερο εύρος γωνιών γύρω από την κάθετη. Υπάρχει μάλιστα η δυνατότητα ρύθμισης των παραμέτρων της συνθήκης με σκοπό τη μετατόπιση της θέσης των γωνιών μηδενικής ανάκλασης, κάτι που μπορεί να αποδειχθεί χρήσιμο όταν αναμένεται πρόσπτωση στο όριο από συγκεκριμένη διεύθυνση[212]. Οπως γίνεται εύκολα κατανοητό, σε διατυπώσεις πεπερασμένων στοιχείων η υλοποίηση της ABC θα γίνεται μέσω του επιφανειακού όρου της Εξ.(3.16). Υποθέτοντας ότι το σύνορο βρίσκεται σε μη μαγνητικό μέσο, κάνοντας χρήση της Εξ.(3.22) και με τη βοήθεια της διανυσματικής ταυτότητας που χρησιμοποιήθηκε στην Εξ.(3.15) αυτός γράφεται E ˆn E ds = jk E ˆn ˆn E ds S S (3.23) =+jk ˆn E ˆn E ds. Ακολουθεί η εισαγωγή της προσεγγιστικής έκφρασης για το άγνωστο μέγεθος και τη συνάρτηση δοκιμής. Η συνεισφορά του κάθε στοιχείου στο ολοκλήρωμα επιφανείας δίνεται απότονστοιχειακόπίνακα 2 B e kl = S e S S w s k ws l ds, k,l = {1...9}, (3.24) οοποίοςεμπλέκειεσωτερικάγινόμενατωνεφαπτομενικώνμερών(w s k = ˆn w k)τωνσυναρτήσεωνβάσης.οπίνακας B e kl έχεισυγκεκριμένοαριθμόμημηδενικώνστοιχείων,οοποίος συναρτάται με το πλήθος των ακμών που ανήκουν στη συνοριακή επιφάνεια μιας και μόνον οι αντίστοιχες συναρτήσεις βάσης διαθέτουν εφαπτομενικό κομμάτι σε αυτή. Ειδικότερα, στην περίπτωση που το σύνορο διακριτοποιείται από τις τριγωνικές βάσεις των πρισματισε άθροισμα επιπέδων κυμάτων ίδιας χωρικής συχνότητας με διευθύνσεις διάδοσης που σχηματίζουν γωνίες θκαι φμετονάξονα ẑ(γωνιακόφάσμα),ούτεκαιστηνπερίπτωσηκάθετηςπρόσπτωσηςενόςμηεπίπεδου κύματος είναι η απορρόφηση τέλεια. 19 Πιοσυγκεκριμένα,αποδεικνύεταιότιοσυντελεστήςανάκλασηςπουαντιλαμβάνεταιεπίπεδοκύμαπου προσπίπτεισεεπιφάνειαστηνοποίαεφαρμόζεταιηεξ.(3.22)είναιτηςμορφής (cosθ 1)/(cosθ+1)[212]. Η σχέση αυτή αναγνωρίζεται ως ο συντελεστής ανάκλασης Fresnel στην ειδική, μη φυσική περίπτωση που n 1 = n 2 και cosθ 2 = 1.Φαίνεται,δηλαδή,πωςηΕξ.(3.22)εξαναγκάζειτουποθετικόδιαθλώμενοπεδίονα διαδοθεί κάθετα στην επιφάνεια, με αποτέλεσμα την εισαγωγή μη μηδενικού συντελεστή ανάκλασης στις περιπτώσεις πλάγιας πρόσπτωσης. 2 Προφανώς,ηολοκλήρωσηπραγματοποιείταιστοτμήματηςεπιφάνειαςτουστοιχείουπουανήκειστο όριο, και όχι σε ολόκληρη την επιφάνειά του, και μόνο για τα πρίσματα εκείνα που εφάπτονται στο αντίστοιχο σύνορο του υπολογιστικού χώρου.

78 66 Κεφάλαιο 3 κώνστοιχείων,ταμημηδενικάστοιχείατου Bkl e είναι 9,όσοικαιοιανάδύοσυνδυασμοί των συναρτήσεων μορφής των προσαρτημένων στις τρεις ακμές της τριγωνικής βάσης. Με αντίστοιχο συλλογισμό, όταν το σύνορο διακριτοποιείται από τις παράπλευρες επιφάνειες των πρισμάτων τα μη μηδενικά στοιχεία είναι 16. Τα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά, αλλά και αριθμητικά με χρήση Gauss-Legendre ολοκλήρωσης τριών και τεσσάρων σημείων, για τριγωνικές βάσεις και παράπλευρες επιφάνειες, αντίστοιχα. ABC για οδηγούμενους ρυθμούς Μία διαφορετική περίσταση στην οποία απαιτείται χρήση κατάλληλης απορροφητικής συνθήκης είναι η αποκοπή θυρών κυματοδηγών με απορρόφηση του οδηγούμενου ρυθμού, χωρίς βέβαια την εισαγωγή μη φυσικών ανακλάσεων. Μάλιστα, για τη θύρα εισόδου είναι επιθυμητή η ταυτόχρονη διέγερση του κυματοδηγού με τον αντίστοιχο ρυθμό. Τέτοιες συνθήκες αναπτύχθηκαν αρχικά στα πλαίσια μικροκυματικών κυκλωμάτων ορθογωνικών κυματοδηγών. Για την περίπτωση του βασικού ΤΕ 1 ρυθμούτουμεταλλικούορθογωνικούκυματοδηγούηκατάλληλησυνθήκηγράφεται ως[212]: 21 ˆn E+jβˆn ˆn E = 2jβˆn ˆn E inc, (3.25) όπου β = k n eff ηαντίστοιχηφασικήσταθερά.τοδεξίμέλοςπεριγράφειτηδιέγερσητου κυματοδηγού με τον αντίστοιχο ρυθμό και είναι μηδενικό για τις θύρες εξόδου. Η διαχείριση του επιφανειακού όρου της διατύπωσης Galerkin είναι εντελώς ανάλογη με την περίπτωση της ABC για επίπεδα κύματα της προηγούμενης παραγράφου. Ο νέος όρος στο δεξί μέλος καταλήγει σε επιφανειακό ολοκλήρωμα της μορφής 2jβ ˆn E ˆn E inc ds. (3.26) S Ακολουθεί η εισαγωγή της προσεγγιστικής έκφρασης για το άγνωστο μέγεθος. Η συνεισφορά του εκάστοτε στοιχείου στο ολοκλήρωμα δίνεται από τοπικό διάνυσμα-στήλη της μορφής b e k = 2jβ wk s ˆn Einc ds, k = {1...9}, (3.27) S e S το οποίο αποτελεί τη διέγερση του προβλήματος διάδοσης. Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτωντηςεξ.(3.27)τογνωστόπεδίο E inc μπορείνααναλυθείκαιαυτόστιςσυναρτήσεις βάσης(υπολογίζοντας τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή το διάνυσμα των ε- πικαμπύλιωνολοκληρωμάτων {E e inc })ώστεναγίνειχρήσητουήδηυπολογισμένουτοπικού πίνακα [B e ],Εξ.(3.24),σύμφωναμετησχέση {b e } = 2jβ[B e ]{E e inc } (3.28) Εχοντας ολοκληρώσει τη διακριτοποίηση και του επιφανειακού όρου της διατύπωσης Galerkin μπορούμε μέσω της διαδικασίας συνάθροισης(assembly) να καταλήξουμε στο σύστημα γραμμικών εξισώσεων [A]{E} = ([S] k 2 [T]+jβ[B]){E} = {b}. (3.29) 21 Ηεξαγωγήτηςσυνθήκηςθαπαραλειφθείκαθώςυπερκαλύπτεταιαπότηδιαδικασίαπουπαρουσιάζεται στην παράγραφο

79 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 67 Οι ολικοί πίνακες προκύπτουν από τους τοπικούς με κατάλληλο συνδυασμό των επιμέρους συνεισφορών. Ακριβέστερα,γιατονσχηματισμότουστοιχείου A mn τουολικούπίνακα που αντιστοιχεί στους βαθμούς ελευθερίας με ολική αρίθμηση m και n εξετάζουμε πόσα πρίσματα εμπλέκουν τους δύο αυτούς βαθμούς ελευθερίας και αθροίζουμε τα αντίστοιχα στοιχεία των τοπικών τους πινάκων. Ενα σημείο προσοχής είναι το ενδεχόμενο η φορά της ακμής να είναι διαφορετική στο ολικό σύστημα αρίθμησης(όπου κάθε ακμή προσμετράται μίαφοράκαιηφοράαναφοράςτηςαποδίδεταιανάλογαμετηφοράτηςστοπρώτοπρίσμα που θα συναντήσουμε κατά τη σάρωση των πρισμάτων) έναντι του τοπικού συστήματος κάθε πρίσματος(σχ. 3.1). Στην περίπτωση αυτή, η συνεισφορά του όρου του τοπικού πίνακα θα προστεθεί με αρνητικό πρόσημο. Η Εξ.(3.25) μοιάζει να αποτελεί ευθεία γενίκευση της συνθήκης για επίπεδα κύματα [Εξ.(3.22)] με καθολική ισχύ σε προβλήματα κυματοδήγησης. Ειδικότερα, φαίνεται να αρκεί η αντικατάσταση της φασικής σταθεράς του επίπεδου κύματος k από την αντίστοιχη σταθερά τουρυθμού β. Παρόλααυτά,όπωςθαφανείστηνενότητα3.3αυτόδενείναιακριβές. Η ποσότητα βάσει της οποίας κατασκευάζεται η οριακή συνθήκη δεν είναι η φασική σταθερά αλλά η κυματική αντίσταση. Ετσι, η Εξ.(3.25) δεν έχει οικουμενική ισχύ σε προβλήματα κυματοδήγησης, παρά βρίσκει εφαρμογή στην απορρόφηση/διέγερση αμιγώς ΤΕ ρυθμών, όπωςοτε 1 τουορθογωνικού μεταλλικούκυματοδηγούγιατονοποίον αναπτύχθηκε. Δύναται, επίσης, να χρησιμοποιηθεί με καλή ακρίβεια στην περίπτωση σχεδόν-τεμ ρυθμών, όπως ο βασικός ρυθμός της μικροταινίας Πλήρως προσαρμοσμένα στρώματα απορρόφησης Μια εναλλακτική τεχνική για την απορρόφηση των εξερχόμενων κυμάτων και την αποκοπή του υπολογιστικού χώρου αποτελούν τα πλήρως προσαρμοσμένα στρώματα απορρόφησης (Perfectly Matched Layers, PMLs)[ ]. Σε αντίθεση με τις απορροφητικές οριακές συνθήκες της προηγούμενης ενότητας, το PML δεν είναι μια οριακή συνθήκη που εφαρμόζεται στο όριο του υπολογιστικού χώρου, αν και πολλές φορές αποκαλείται καταχρηστικά έτσι. Απεναντίας, πρόκειται για μια επιπλέον περιοχή η οποία είτε τερματίζει προς κάποια συγκεκριμένη διεύθυνση(π.χ. σε πρόβλημα κυματοδήγησης κατά τον άξονα του κυματοδηγού) είτε περικλείει συνολικά(π.χ. σε πρόβλημα ακτινοβολίας/σκέδασης) τον υπολογιστικό χώρο και απορροφόντας τα προσπίπτοντα σε αυτό κύματα χωρίς να εισάγει ανακλάσεις. Μάλιστα, δεν πραγματοποιεί καμία υπόθεση για τη μορφή του πεδίου και με κατάλληλη επιλογή των παραμέτρων του δύναται να απορροφήσει αποτελεσματικά την προσπίπτουσα ακτινοβολίαανεξαρτήτωςπροφίλ,πόλωσης,γωνίαςπρόσπτωσηςκαισυχνότητας. 22 Λόγω των ελκυστικών του ιδιοτήτων, το PML διερευνήθηκε συστηματικά και γνώρισε ευρεία εφαρμογή στον υπολογιστικό ηλεκτρομαγνητισμό. Παρά την ευελιξία του, η χρήση του συνοδεύεται από παράλληλη αύξηση του υπολογιστικού χώρου και, ειδικά για τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, δυσκολεύει τη σύγκλιση σε περίπτωση επαναληπτικής λύσης του γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Ετσι, κρίνεται σκόπιμη η περιορισμένη χρήση του, στις περιπτώσεις που είναι όντως απαραίτητο. Για παράδειγμα, μια τέτοια περίπτωση είναι ένας κυματοδηγός στον οποίον εκτός του βασικού ρυθμού έχουν διεγερθεί και ρυθμοί 22 Σημειώνεταιότιστηβασικήτουεκδοχήδύναταινααπορροφήσειδιαδιδόμενα(propagating)κύματα, που έχουν δηλαδή μη μηδενικό πραγματικό μέρος φασικής σταθεράς κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Ωστόσο, με κατάλληλη τροποποίηση μπορεί να επιταχύνει την εξασθένηση και των αποσβεννύμενων(evanescent) κυμάτων[247, 248]. Επίσης, ειδική μέριμνα λαμβάνεται συνήθως στην περίπτωση τερματισμού περιοδικού μέσου[249, 25].

80 68 Κεφάλαιο 3 ακτινοβολίας.οιτελευταίοιδενμπορούννααπορροφηθούνμεχρήση ABCσυνθήκης, 23 με αποτέλεσμα σε αυτές τις περιπτώσεις να προκρίνεται η χρήση στρώματος PML. Σύμφωνα με τη θεώρηση του PML ως μονοαξονικού(uniaxial) ανισοτροπικού υλικού [241, 242, 244], για την απορρόφηση κύματος που διαδίδεται κατά τα ẑ πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις για τους τανυστές διηλεκτρικής σταθεράς και μαγνητικής διαπερατότητας ε = ε ε r Λz, (3.3α) µ = µ µ r Λz. (3.3β) Ησχετικήδιηλεκτρικήσταθεράκαιμαγνητικήδιαπερατότητα(ε r και µ r )λαμβάνονταιίσες μεαυτέςτηςπεριοχήςτουυπολογιστικούχώρουπουτερματίζεται.οτανυστής Λ z δίνεται από 24 s z Λz = s z, (3.31) s 1 z όπου s z = 1 j σ z ωε, (3.32) με σ z τηναγωγιμότητατουστρώματοςαπορρόφησης.σημειώνεταιότιτοφανταστικόμέρος του s z εξαρτάταιαπότησυχνότητα.δηλαδήτο PMLπαρουσιάζειδιασπορά,γεγονόςπου εξασφαλίζει την ομοιόμορφη απορρόφηση(με τον ίδιο συντελεστή απόσβεσης) για τυχούσα συχνότητα. Για κύμα που διαδίδεται προς διαφορετική διεύθυνση, π.χ. αυτή του άξονα x(y), προκύπτει εντελώς ανάλογος τανυστής με αντεστραμμένο όμως το ˆxˆx(ŷŷ) αντί του ẑẑ στοιχείου. Ηαγωγιμότητα σ z τηςεξ.(3.32)επιλέγεταιμέσωκλειστώνπροσεγγιστικώνσχέσεων [242, 244] ή δοκιμών με σκοπό την ελαχιστοποίηση του συντελεστή ανάκλασης και εξαρτάται κυρίως από το πάχος του στρώματος, d. Μάλιστα, μια συνηθισμένη πρακτική για τη βελτίωση των αριθμητικών αποτελεσμάτων είναι η χρήση αγωγιμότητας που λαμβάνει σταδιακάτημέγιστητιμήτηςσύμφωναμετησχέση σ z ( z) = σ max ( z d) m. (3.33) Στην παραπάνω εξίσωση z τοπική μεταβλητή η οποία ξεκινάει να μετράει από τη διεπιφάνεια τουμέσουμετοστρώματοςαπορρόφησηςκαιμεφοράπροςτοεσωτερικότου PML, dτο συνολικό πάχος του στρώματος και m η τάξη του πολυωνυμικού προφίλ. Στα προβλήματα της παρούσας διατριβής όπου γίνεται χρήση στρώματος PML θεωρείται παραβολικό(δεύτερης τάξης) προφίλ. Επίσης το στρώμα απορρόφησης τερματίζεται με ABC επίπεδου κύματος[εξ.(3.22)], έναντι τυπικής PEC συνθήκης[251]. Ετσι, η αγωγιμότητατουστρώματοςαπορρόφησης(σ max )μπορείναελαττωθεί,αφούμέροςτουκύματος θα απορροφηθεί και από την ABC συνθήκη στο πέρας του, με συνέπεια την περαιτέρω 23 Υπάρχειηδυνατότητατηςαυτο-προσαρμοζόμενης(adaptive) ABCσυνθήκης,ηοποίαόμωςαπαιτεί την πολλαπλή επίλυση του ίδιου προβλήματος. Εκτενέστερη αναφορά σε αυτήν θα γίνει σε επόμενη ενότητα. 24 Ηδιαγώνιαμορφήαυτήανισοτροπίαςαντιστοιχείσεμονοαξονικό(uniaxial)υλικό.Στηνπερίπτωσηπου και τα τρία στοιχεία της διαγωνίου είναι διαφορετικά μεταξύ τους το υλικό ονομάζεται διαξονικό(biaxial).

81 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 69 μείωση του συντελεστή ανάκλασης. Το πάχος του στρώματος επιλέγεται έτσι ώστε να μην σχηματίζεται στάσιμο στο εσωτερικό του ώστε δηλαδή το κύμα που φτάνει στο πέρας του να μπορεί να απορροφηθεί εξ ολοκλήρου από την απορροφητική συνθήκη. Στην πράξη, πάχηστρώματοςστοεύρος λ g /2 < d < λ g εξασφαλίζουνσυνήθωςιδιαίτεραικανοποιητική απορρόφηση Μετεπεξεργασία αποτελεσμάτων Με την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων ανάλογου της Εξ.(3.29) προσδιορίζουμε τους βαθμούς ελευθερίας του προβλήματος, δηλαδή τις τιμές των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων τουηλεκτρικούπεδίουστιςακμέςτουπλέγματος. 25 Ετσι,απαιτείταικάποιαμετεπεξεργασία του αποτελέσματος της επίλυσης ώστε να προκύψουν τα μεγέθη του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και τα χαρακτηριστικά της πεδιακής κατανομής που πιθανώς μας ενδιαφέρουν Απεικόνιση ηλεκτρικού πεδίου Η πιο υποτυπώδης διαδικασία μετεπεξεργασίας συνίσταται στην εύρεση του ηλεκτρικού πεδίου σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο του υπολογιστικού χώρου P που περιγράφεται από τις καρτεσιανέςσυντεταγμένες (x P,y P,z P ). Γιατονσκοπόαυτό,απαιτείταιοπροσδιορισμός του πρίσματος που εσωκλείει το εν λόγω σημείο, κάτι που πραγματοποιείται σε δύο βήματα. Αρχικά, προσδιορίζεται η θέση του σημείου στο επίπεδο των τριγωνικών βάσεων. Το σημείο (x P,y P )είναιεσωτερικόενόςτριγώνουανγιατιςτρειςσυντεταγμένες simplexτου τριγώνουισχύει ζ i (x P,y P ), i = {1,2,3}. 26 Ηεύρεσητουπρίσματοςολοκληρώνεται κατόπινσύγκρισηςτης z P μετις z-συντεταγμένεςτωνστρωμάτωντουπλέγματος. Στη συνέχεια, η τιμή του πεδίου υπολογίζεται κάνοντας χρήση της προσεγγιστικής έκφρασης E(r) = 9 E k w k (r) (3.34) k=1 που εμπλέκει τις συναρτήσεις βάσης του εν λόγω πρίσματος με συντελεστές βάρους τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας, οι οποίοι έχουν μόλις προσδιοριστεί από τη λύση του συστήματος εξισώσεων Υπολογισμός μαγνητικού πεδίου Σε πλήθος περιπτώσεων είναι επιθυμητή η εύρεση και του μαγνητικού πεδίου. Κάτι τέτοιο, για παράδειγμα, μας επιτρέπει τον υπολογισμό της κυματικής αντίστασης ενός κυματοδηγού, η οποία ορίζεται ως ο λόγος του εγκάρσιου ηλεκτρικού προς το εγκάρσιο μαγνητικό πεδίο. Επιπρόσθετα, η γνώση του μαγνητικού πεδίου είναι απαραίτητη στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε ροή ισχύος μέσω του διανύσματος Poynting. Ο προσδιορισμός του μαγνητικού πεδίου μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω του νόμου του Faraday[Εξ.(3.1α)] 25 Σεόλητηνέκτασητηςδιατριβήςυποθέτουμεδιατύπωσημεβάσητοηλεκτρικόπεδίο(E-formulation). Προφανώς, στην περίπτωση διατύπωσης με βάση το μαγνητικό πεδίο(h-formulation) οι βαθμοί ελευθερίας θα είναι τα επικαμπύλια ολοκληρώματα του μαγνητικού πεδίου στις ακμές του πλέγματος. 26 Μιαεναλλακτικήμέθοδοςεύρεσηςτουτριγώνουπουεσωκλείειτοσημείο Pείναιμέσωτηςσύγκρισης των συντεταγμένων του σημείου με τα βαρύκεντρα των τριγώνων.

82 7 Κεφάλαιο 3 με(χωρική) διαφόριση του ηλεκτρικού πεδίου. Προσοχή στο ότι δεν ενδείκνυται η διαφόριση της κατανομής του πεδίου με πεπερασμένες διαφορές. Οι ασυνέχειες του ηλεκτρικού πεδίου στα όρια μεταξύ διαφορετικών περιοχών(αλλά και μεταξύ στοιχείων δεδομένης της χαμηλής τάξης των συναρτήσεων βάσης που χρησιμοποιούμε) θα οδηγήσουν σε αριθμητικά σφάλματα στη διαφόριση. Αντ αυτού, είναι προτιμότερη η παραγώγιση των ίδιων των συναρτήσεων βάσης: H(r) = 1 jωµ 9 E k w k (r). (3.35) k=1 Ετσι, το μαγνητικό επίπεδο μπορεί να υπολογιστεί σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, όπως και το ηλεκτρικό, μέσω ενός σταθμισμένου αθροίσματος με βάρη τους βαθμούς ελευθερίας του προβλήματος. Η μόνη διαφορά είναι ότι αυτή τη φορά αντί των ίδιων των συναρτήσεων βάσης εμπλέκονται οι στροφές τους. Καθώς η εύρεση του μαγνητικού πεδίου είναι προϊόν διαφόρισης, η τάξη προσέγγισης των συνιστωσών του θα είναι εν γένει χαμηλότερη συγκριτικά με αυτών του ηλεκτρικού. Ειδικότερα, αναλύοντας τις συντεταγμένες simplex σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αναφορά το σχήμα 3.1 και γράφοντας τις στροφές των συναρτήσεων βάσης κανείς μπορεί εύκολα να διαπιστώσει ότι οι εξαρτήσεις είναι της μορφής w = (x)ˆx+(y)ŷ+(z)ẑ, w = c xˆx+c y ŷ, (3.36α) (3.36β) όπου c x, c y σταθερές. Σεαντίθεσημεό,τιίσχυεγιατοηλεκτρικόπεδίο[βλ. Σχ.3.1και Εξ.(3.4)], οι συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου προσεγγίζονται γραμμικά μόνο κατά τον αντίστοιχοάξονα(η H x κατά xκ.ο.κ.),μετηντάξηπροσέγγισηςναείναιμηδενικήπρος τους υπόλοιπους δύο Ακριβής αριθμητική ολοκλήρωση Μια διαφορετική κατηγορία υπολογισμών μετεπεξεργασίας είναι η ολοκλήρωση κατάλληλων ποσοτήτων που εμπλέκουν τα μεγέθη ηλεκτρικού ή/και μαγνητικού πεδίου. Ενα απλό παράδειγμα είναι η ολοκλήρωση του διανύσματος Poynting σε κάποια κατάλληλη επιφάνεια γιατηνεύρεσητηςροήςισχύος. 27 Αντίστοιχα,μπορείνααπαιτείταιηολοκλήρωσηςτης πυκνότητας ηλεκτρικής/μαγνητικής ενέργειας στον όγκο ενός συντονιστή για την εύρεση τηςσυνολικήςαποθηκευμένηςενέργειας. 28 Άλλαπαραδείγματατηςκατηγορίαςαυτήςαποτελούν ο προσδιορισμός της ενεργού επιφανείας ενός ρυθμού κυματοδηγού ή του ενεργού όγκου ενός ρυθμού συντονιστή μέσω ολοκληρωμάτων της μορφής A eff = ( A A E(r) 2 da E(r) 4 da ) 2, (3.37α) 27 Γιααρμονικήχρονικήμεταβολήημέσηχρονικήτιμήτουδιανύσματος Poynting(σε W/m 2 )δίνεταιαπό την <P>= 1 2 Re{E H }. 28 Γιααρμονικήχρονικήμεταβολήημέσηχρονικήτιμήτηςπυκνότηταςηλεκτρικήςενέργειας(σε J/m 3 ) δίνεταιαπό <w e >= 1 4 Re{E D }. Ηαντίστοιχησχέσηγιατηνπυκνότηταενέργειαςτουμαγνητικού πεδίουείναι <w m >= 1 4 Re{H B }.

83 3.2. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 71 z y ( α ) x ( β) Σχήμα 3.5: (α) Ευθύγραμμο τμήμα κυματοδηγού και προσανατολισμός πλέγματος τριγωνικών πρισμάτων: η διατομή του κυματοδηγού διακριτοποιείται από τις παράπλευρες επιφάνειες των πρισμάτων. Το πλαίσιο με διαγράμμιση αποτελεί την επιφάνεια ολοκλήρωσης.(β) Κάτοψη δομής: Με κόκκινο σημειώνονται τα σημεία τομής του πλέγματος με την επιφάνεια ολοκλήρωσης ενώ με μαύρο κάποια από τα επιπλέον σημεία που προκύπτουν από την επίλυση προβλήματος τομής ευθείας με ευθείες αντί για ευθύγραμμα τμήματα. V eff = ( V V ε(r) E(r) 2 dv ε(r) 2 E(r) 4 dv ) 2. (3.37β) Σε αντίθεση με ό,τι συνέβαινε στην περίπτωση των στοιχειακών πινάκων των πεπερασμένων στοιχείων, τα ολοκληρώματα αυτά μπορούν να υπολογιστούν μόνον αριθμητικά. Μια ασφαλής επιλογή είναι η χρήση αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Legendre στον όγκο/επιφάνεια κάθε στοιχείου για τον υπολογισμό του συνολικού ολοκληρώματος. Ανάλογα με την ολοκληρωτέα ποσότητα επιλέγεται το πλήθος των σημείων της ολοκλήρωσης με σκοπό τον υπολογισμό ακριβούς(exact) αποτελέσματος. Για παράδειγμα, οι παρονομαστές των Εξ.(3.37) παρουσιάζουν πολυωνυμική μεταβολή τέταρτης τάξης, με αποτέλεσμα να απαιτούνται τρία σημεία κατά τον άξονα και επτά σημεία στην τριγωνική βάση του πρίσματος. Σύμφωνα με τα παραπάνω, χρειάζονται 9 σημεία για επιφανειακή ολοκλήρωση σε παράπλευρη επιφάνεια πρίσματος και συνολικά 21 σημεία για ολοκλήρωμα όγκου. Ειδική μέριμνα πρέπει να ληφθεί στην περίπτωση που το πλέγμα δεν συμμορφώνεται με την επιφάνεια στην οποία θέλουμε να πραγματοποιήσουμε την ολοκλήρωση, όταν δηλαδή η επιφάνεια ολοκλήρωσης δεν διαμερίζεται από τις επιφάνειες των πρισμάτων, με αποτέλεσμα ναμηνείναιεκτωνπροτέρωνγνωστάτασημείατομήςτουπλέγματοςμετηνεπιφάνειαολοκλήρωσης. 29 Γιαπαράδειγμα,κάτιτέτοιομπορείναπροκύψειστηνπερίπτωσηυπολογισμού της οδηγούμενης ισχύος κατά μήκος κυματοδηγού του οποίου η διατομή διακριτοποιείται με τις παράπλευρες επιφάνειες των πρισμάτων[σχ. 3.5(α)]. Τότε, απαιτείται η εύρεση των σημείων τομής του πλέγματος με την εκάστοτε επιφάνεια, ώστε να καταστεί δυνατός ο καθορισμός των σημείων ολοκλήρωσης. Πρόκειται στην ουσία για ένα πρόβλημα υπολογιστικής γεωμετρίας που συνίσταται στην εύρεσης σημείων τομής ευθείας με ευθύγραμμα 29 Ηεκτέλεσητηςολοκλήρωσηςανάστοιχείοείναισημαντικήκαθώςέτσιαποφεύγεταιηολοκλήρωση συναρτήσεων που παρουσιάζουν ασυνέχειες, όπως συμβαίνει στις διαχωριστικές επιφάνειες υλικών ή (δεδομένης της χαμηλής τάξης των στοιχείων) στα όρια μεταξύ στοιχείων.

84 72 Κεφάλαιο 3 τμήματα[κόκκινα σημεία στο Σχ. 3.5(β)]. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων τομής(έστω M τον αριθμό) έχουμε προσδιορίσει τις επιμέρους επιφάνειες ολοκλήρωσης [(M 1)N τον αριθμό όπου N το πλήθος των στρωμάτων διακριτοποίησης κατά z] και μπορούμε να ορίσουμε κατάλληλα τα σημεία ολοκλήρωσης για κάθε μία από αυτές ανάλογα με την πολυωνυμική τάξη της ολοκληρωτέας ποσότητας. Για παράδειγμα, ολοκληρωτέα ποσότητα τέταρτης τάξης απαιτεί 9 σημεία ανά ορθογωνική επιφάνεια, με αποτέλεσμα το συνολικό πλήθος των σημείων ολοκλήρωσης να ανέρχεται σε 9(M 1)N. Σημειώνουμε ότι υπολογιστικά είναι προτιμότερη η επίλυση ενός απλούστερου προβλήματος υπολογιστικής γεωμετρίας, αυτού της εύρεσης σημείων τομής ευθείας με ευθείες αντί ευθύγραμμων τμημάτων. Σαν αποτέλεσμα, προκύπτουν επιπλέον σημεία τομής με τις ακμές των τριγώνων που δεν τέμνουν στην πραγματικότητα την ευθεία λόγω του πεπερασμένου μήκους τους[σημειώνονται με μαύρο στο Σχ. 3.5(β)]. Κάτι τέτοιο συνεπάγεται τη θεώρηση περισσότερων επιμέρους επιφανειών για τον υπολογισμό του σύνθετου ολοκληρώματος από όσες είναι απολύτως απαραίτητες. Με τη σειρά του αυτό σημαίνει κατά τι μεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος έχουμε λύσει όμως ευκολότερα το πρόβλημα του προσδιορισμού των απαραίτητων σημείων. Σε κάθε περίπτωση, είτε βασίσουμε τον προσδιορισμό των σημείων ολοκλήρωσης στα κόκκινα σημεία τομής του σχήματος έχουμε 3.5(β) είτε στον συνδυασμό κόκκινων και μαύρων, μπορούμε να επιτύχουμε τον ακριβή(exact) υπολογισμό του ολοκληρώματος αποφεύγοντας την ολοκλήρωση συνάρτησης που παρουσιάζει ασυνέχεια. 3.3 Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς Στην παρούσα ενότητα επιχειρούμε να προσδιορίσουμε μια απορροφητική οριακή συνθήκη ικανή να διεγείρει/απορροφήσει υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς, στα πρότυπα της Εξ.(3.25) η οποία αφορά αμιγώς ΤΕ ρυθμούς. Οι περισσότεροι σύγχρονοι κυματοδηγοί της φωτονικής τεχνολογίας χαρακτηρίζονται από ανομοιογενή διατομή με νανομετρικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά και ισχυρή αντίθεση(contrast) των εμπλεκόμενων δεικτών διάθλασης. Ως αποτέλεσμα, οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί δεν παρουσιάζουν σαφή ΤΕ/ΤΜ χαρακτήρα, παρά είναι υβριδικοί έχοντας και τις έξι πεδιακές συνιστώσες μη μηδενικές. Αυτό αντικατοπτρίζεται στην κυματική τους αντίσταση, η οποία δεν είναι μια βαθμωτή και χωροαμετάβλητη ποσότητα, παρά καθίσταται τανυστική και χωρομεταβλητή. Ακριβώς αυτές οι ιδιότητες της κυματικής αντίστασης είναι που πρέπει να ληφθούν υπόψη για τη διατύπωση της επιθυμητής απορροφητικής συνθήκης[252] Μαθηματική διατύπωση συνθήκης Εστω ένα κύκλωμα βασισμένο σε κάποιον επίπεδο φωτονικό κυματοδηγό (planar guidedwave circuit),σχ.3.6.στηθύραεισόδου(s 1 ),εκτόςαπότοπροσπίπτον(incident)κύμα που εισάγουμε για να τροφοδοτήσουμε τη διάταξη, θα υπάρχει εν γένει και ανακλώμενο (reflected) κύμα με αντίθετη διεύθυνση διάδοσης. Υποθέτουμε ότι και τα δύο αυτά κύματα έχουν τη μορφή του υποστηριζόμενου, υβριδικού στη γενική περίπτωση, ρυθμού. Προς τον σκοπό της ανάπτυξης μια απορροφητικής οριακής συνθήκης, ικανής να διεγείρει και ταυτόχρονα να απορροφήσει έναν τέτοιο ρυθμό, εκκινούμε από μια γενικευμένη συνθήκη ορθογωνικότητας, η οποία συσχετίζει τις εγκάρσιες συνιστώσες ηλεκτρικού και μαγνητικού

85 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 73 S 1 ˆn ref E ref H k ˆref inc E k H ˆinc inc v u Σχήμα 3.6: Θύρα εισόδου κυκλώματος βασισμένου σε επίπεδο οπτικό κυματοδηγό. Προσπίπτων (incident) και ανακλώμενος(reflected) υβριδικός ρυθμός. πεδίου: H t = Z 1 w ˆk E. (3.38) Η Εξ.(3.38) θυμίζει τη γνωστή συνθήκη ορθογωνικότητας των επίπεδων ομοιόμορφων κυμάτωνσεομογενέςμέσο(h = ˆk E/η)πουδηλώνειότιηδιεύθυνσηδιάδοσης,τοηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο σχηματίζουν δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων. Η διαφορά έγκειται στο ότι τη θέση της εσωτερικής(ή χαρακτηριστικής) αντίστασης του μέσου(intrinsic impedance) η = η /n(όπου η ηεσωτερικήαντίστασητουκενούχώρου και n ο δείκτης διάθλασης του μέσου) έχει καταλάβει ένας δυαδικός τανυστής(dyadic tensor) της παρακάτω μορφής Z w = Zw TM (u,v)ûû+zte w (u,v)ˆvˆv, (3.39) όπου(u,v)μοναδιαίαδιανύσματαστην S 1,κάθεταμεταξύτους(Σχ.3.6).Ταστοιχείατου τανυστή της κυματικής αντίστασης που εμφανίζονται στην Εξ.(3.39) δίνονται από τις Z TM w (u,v) = E v(u,v) H u (u,v), Z TE w (u,v) = + E u(u,v) H v (u,v). (3.4α) (3.4β) Οχαρακτηρισμόςτουςως«ΤΜ»και«ΤΕ»στοιχείαπροκύπτειαπότοότισεένανρυθμό νανοφωτονικού κυματοδηγού με ΤΜ(ΤΕ) χαρακτήρα η κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικούπεδίουείναιηe v (E u ). Ως γνωστόν, στην περίπτωση του επίπεδου ομοιόμορφου κύματος η κυματική αντίσταση(η οποία ορίζεται ως ο λόγος εγκάρσιου ηλεκτρικού προς εγκάρσιο μαγνητικό πεδίο) είναι μια βαθμωτή ποσότητα, ανεξάρτητη των εγκάρσιων συντεταγμένων, η οποία επιπλέον συμπίπτει με τη χαρακτηριστική αντίσταση του μέσου όπως φανερώνει η κλασική συνθήκη ορθογωνικότητας. Το ίδιο ισχύει και για ΤΕΜ γραμμές μεταφοράς(όπως το ομοαξονικό

86 74 Κεφάλαιο 3 καλώδιο), με το υλικό πλήρωσης να λαμβάνει τη θέση του ομογενούς μέσου. Στην περίπτωση αμιγώς-τε και αμιγώς-τμ ρυθμών η κυματική αντίσταση είναι και πάλι βαθμωτή και σταθερή.ητιμήτηςπροκύπτειίσημε η µ r /n eff και η n eff /ε r,αντίστοιχα.σεαντίθεσημε τους προηγούμενους τύπους κυμάτων, στην περίπτωση των υβριδικών ρυθμών η κυματική αντίσταση είναι τανυστική και επιπλέον συνάρτηση των εγκάρσιων συντεταγμένων. Είναι συνεπώς απαραίτητη η υιοθέτηση κυματικής αντίστασης της γενικότερης δυνατής μορφής [Εξ.(3.39)] προς τον σκοπό της διατύπωσης μιας κατάλληλης απορροφητικής συνθήκης. Επιστρέφοντας στην Εξ.(3.38) πολλαπλασιάζουμε εξωτερικά και τα δύο μέλη με το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα ˆn ˆn H t ˆn H = ˆn Z 1 w ˆk E, (3.41) η οποία με χρήση του νόμου του Faraday, μεταπίπτει στην ˆn E = jωµ ˆn Z 1 w ˆk E. (3.42) Συνδυάζοντας,στησυνέχεια,δύοτέτοιεςεξισώσεις,μιαγιατοπροσπίπτον(ˆk ˆn)και μιαγιατοανακλώμενο(ˆk ˆn)πεδίο,καιδεδομένουότι E = E inc + E ref καταλήγουμε στην ˆn E+jωµ ˆn Z 1 w ˆn E = 2jωµ ˆn Z 1 w ˆn Einc. (3.43) Η Εξ.(3.43) δεν είναι άλλη από την απορροφητική οριακή συνθήκη υβριδικού ρυθμού με ταυτόχρονη διέγερση που ξεκινήσαμε να προσδιορίσουμε. Μπορεί να γραφεί και λίγο διαφορετικάωςεξής 3 ˆn E+ γ ˆn ˆn E = 2 γ ˆn ˆn E inc, (3.44) όπου γ = jωµ jωµ Zw TE(u,v)ûû+ (3.45) Zw (u,v)ˆvˆv. TM Παρατηρείστε ότι το στοιχείο ûû εμπλέκει την ΤΕ αντί της ΤΜ κυματικής αντίστασης, σε αντίθεση με ό,τι συμβαίνει στην Εξ.(3.39), καθώς διέσχισε την πράξη του εξωτερικού γινομένου. Η μορφή της Εξ.(3.44) επιτρέπει την ευκολότερη σύγκριση της οριακής συνθήκης που αναπτύξαμε για υβριδικούς ρυθμούς με την οριακή συνθήκη που χρησιμοποιείται στην περίπτωση αμιγώς-τε και(σχεδόν-)τεμ ρυθμών, όπως για παράδειγμα ο βασικός ρυθμός του ορθογωνικού μεταλλικού κυματοδηγού και της μικροταινίας, αντίστοιχα. Ειδικότερα, με απευθείας σύγκριση των εξισώσεων(3.44) και(3.25), κανείς διαπιστώνει ότι η Εξ.(3.44) μεταπίπτει στην Εξ.(3.25) όταν η κυματική αντίσταση είναι βαθμωτή, σταθερή ποσότητα, ίσημε η /n eff.τοπαραπάνωικανοποιείταιγιααμιγώς-τεκαι(σχεδόν-)τεμρυθμούςμη μαγνητικών κυματοδηγών. Στη σχετική βιβλιογραφία έχουν προταθεί και εναλλακτικές προσεγγίσεις στο ζήτημα της απορροφητικής οριακής συνθήκης για οδηγούμενους ρυθμούς χωρίς καμία υπόθεση για την πεδιακή μορφή[225, 253]. Μάλιστα, σε αυτές τις μελέτες υπάρχει πρόβλεψη και για πολύρρυθμη λειτουργία, την ταυτόχρονη, δηλαδή, απορρόφηση πολλών ρυθμών. Ετσι, ακόμα και αν κάποια ασυνέχεια διεγείρει ρυθμούς ανώτερης τάξης, αυτοί μπορούν να απορροφηθούν αποτελεσματικά από την οριακή συνθήκη. Το παραπάνω βρίσκει εφαρμογή κυρίως 3 Ενόψειτηςδιαδικασίας Galerkin,πάντως,προτιμούμετημορφήτηςΕξ.(3.43)έναντιτης(3.44).

87 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 75 σε κλειστούς κυματοδηγούς, όπως οι τυπικοί μικροκυματικοί κυματοδηγοί(ομοαξονικό καλώδιο, γραμμή ταινίας και ορθογωνικοί/κυλινδρικοί μεταλλικοί κυματοδηγοί). Ακόμα και αν ο κυματοδηγός έχει σχεδιαστεί για μονόρρυθμη λειτουργία, με συνέπεια οι ρυθμοί ανώτερης τάξης που διεγείρονται από την ασυνέχεια να βρίσκονται στην αποκοπή τους, αυτοί μπορούν να απορροφηθούν σωστά από την οριακή συνθήκη. Με τον τρόπο αυτό, η οριακή συνθήκη μπορεί να τοποθετηθεί με ασφάλεια κοντά στην ασυνέχεια, κάτι που συνεπάγεται εξοικονόμηση υπολογιστικών πόρων. Σε αντίθετη περίπτωση, η οριακή συνθήκη πρέπει να τοποθετείται σε τέτοια απόσταση που να εξασφαλίζει ότι οι όποιοι ρυθμοί ανώτερης τάξης θα έχουν εξασθενήσει πριν να φτάσουν σε αυτή. Η προταθείσα απορροφητική συνθήκη[εξ.(3.43)] μπορεί επίσης να επεκταθεί για να καλύψει την περίπτωση πολύρρυθμης λειτουργίας, στα πρότυπα της διαδικασίας που περιγράφεται στην ενότητα του[213]. Ειδικότερα, το ανακλώμενο πεδίο αναλύεται σε επιμέρους ρυθμούς μέσω της εκτέλεσης ολοκληρωμάτων επικάλυψης που εκμεταλλεύονται την ορθογωνικότητα των υποστηριζόμενων ρυθμών και κάθε ένας από αυτούς αντιμετωπίζεται χωριστά από την απορροφητική συνθήκη, σύμφωνα με το δικό του δυαδικό τανυστή κυματικής αντίστασης. Παρόλα αυτά, στα προβλήματα που μελετήσαμε, δεν αντιμετωπίσαμε οδηγούμενους ρυθμούς ανώτερης τάξης. Είναι άλλωστε συνήθης πρακτική οι οπτικοί κυματοδηγοί να σχεδιάζονται για μονόρρυθμη λειτουργία. Μιας και οι οπτικοί κυματοδηγοί είναι κατά κανόνα ανοιχτοί, οι ρυθμοί ανώτερης τάξης που βρίσκονται στην αποκοπή, εμφανίζονται με τη μορφή ρυθμών ακτινοβολίας. Το φάσμα τους είναι συνεχές με συνέπεια η πεδιακή κατανομή να μην μπορεί να αναλυθεί σε πεπερασμένο αριθμό ρυθμών με συγκεκριμένη σταθερά διάδοσης και προφίλ. Ως εκ τούτου, δεν ενδείκνυται η χρήση πολύρρυθμης απορροφητικής συνθήκης για την απορρόφησή τους. Αντ αυτού, η οριακή συνθήκη τοποθετείται αρκούντως μακριά από την ασυνέχεια που προκαλεί τη διέγερση τέτοιων ρυθμών, ώστε αυτοί να έχουν εξασθενήσει πλήρως πριν προσπέσουν σε αυτήν. Καθώς οι ρυθμοί ακτινοβολίας αποσβένονται ταχύτατα η τακτική αυτή δεν οδηγεί σε υπολογιστικούς χώρους απαγορευτικών διαστάσεων. Παρόλα αυτά, στην περίπτωση που η μείωση του υπολογιστικού χώρου είναι απαραίτητη, μια εναλλακτική λύση είναι η χρήση μιας αυτοπροσαρμοζόμενης(adaptive) συνθήκης[254, 255]. Οι συνθήκες αυτές αναπτύχθηκαν στα πλαίσια των προβλημάτων σκέδασης, στα οποία η πεδιακή κατανομή προς απορρόφηση δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή. Ετσι, εφαρμόζεται μια επαναληπτική(iterative) διαδικασία, κατά την οποία η απορροφητική οριακή συνθήκη αρχικοποιείται ως συνθήκη απορρόφησης επίπεδου κύματος, και στη συνέχεια ενημερώνεται με βάση τα αποτελέσματα των διαδοχικών επαναλήψεων, ώστε να προσαρμοστεί στο προσπίπτον σε αυτήν πεδίο. Συνήθως απαιτούνται λίγες επαναλήψεις για τη σύγκλιση της μεθόδου. Γίνεται βέβαια σαφές ότι σε αυτή την περίπτωση κανείς καλείται να πληρώσει κόστος της πολλαπλής επίλυσης του ίδιου προβλήματος μέχρις ότου η οριακή συνθήκη συγκλίνει. Στην περίπτωση θύρας εξόδου, όταν δηλαδή μας ενδιαφέρει μόνον η απορρόφηση του προσπίπτοντος υβριδικού ρυθμού, χωρίς να απαιτείται ταυτόχρονη διέγερση, η οριακή συνθήκη δίνεται απλούστατα από την Εξ.(3.43) με μηδενικό δεξιό μέλος, δηλαδή ˆn E+jωµ ˆn 1 Z w ˆn E =. (3.46) Οπωςκαιμετησυνθήκηθύραςεισόδου,ηΕξ.(3.46)δενδύναταιναχειριστείρυθμούς ακτινοβολίας. Σε αυτές τις περιπτώσεις όμως υπάρχει πάντα και η λύση των πλήρως προσαρμοσμένων στρωμάτων απορρόφησης, τα οποία δύνανται να απορροφήσουν προσπίπτον

88 76 Κεφάλαιο 3 Πίνακας 3.1: Κυματική αντίσταση και χαρακτηριστικό μέγεθος στην απορροφητική οριακή συνθήκη(λαμβάνει τη θέση του κυματικού αριθμού τού μέσου, k) για διάφορους τύπους κυμάτων. Τύπος Ρυθμού Κυματική αντίσταση Χαρακτηριστικό μέγεθος στην ABC Ε.Ο.Κ./ΤΕΜ η /n k σχεδόν-τεμ η /n eff β αμιγώςτε η µ r /n eff β/µ r αμιγώςτμ η n eff /ε r βε r /ε r,eff Υβριδικός Zw (3.39) γ(3.45) κύμα τυχούσας κατανομής. Ετσι, στο κεφάλαιο 6 η απορρόφηση των μεταδιδόμενων ρυθμών ακτινοβολίας που διεγείρονται στη διεπιφάνεια DLSPP κυματοδηγού με κυματοδηγό τεχνολογίας πυριτίου πραγματοποιείται με τη χρήση τέτοιων στρωμάτων. Στον πίνακα 3.1 συγκεντρώνονται οι κυματικές αντιστάσεις και τα αντίστοιχα μεγέθη που εμφανίζονται στην απορροφητική συνθήκη για όλα τα ήδη ρυθμών στα οποία αναφερθήκαμε. Χάριν πληρότητας, συμπεριλαμβάνεται και η περίπτωση των αμιγώς-τμ ρυθμών, γιατηνοποίαηοριακήσυνθήκηπαίρνειτημορφή ˆn E+jβ ε r ε r,eff ˆn ˆn E = 2jβ ε r ε r,eff ˆn ˆn E inc, (3.47) Προσοχή στο ότι κυματική αντίσταση ναι μεν δεν έχει μεταβολή με τις εγκάρσιες συντεταγμένες, αλλά αλλάζει με τη διηλεκτρική σταθερά της περιοχής του κυματοδηγού είναι, δηλαδή, τμηματικά σταθερή. Συνοψίζοντας, διατυπώσαμε μια απορροφητική οριακή συνθήκη ικανή να χειριστεί οδηγούμενους ρυθμούς της γενικότερης μορφής. Με άλλα λόγια, η Εξ.(3.43) είναι έγκυρη για όλες τις περιπτώσεις του πίνακα 3.1, οι οποίες και αποτελούν υποπεριπτώσεις των υβριδικών ρυθμών. Ετσι, αντί να αναρωτιόμαστε σε ποια υποπερίπτωση μπορεί να ενταχθεί ένας ρυθμός ώστε να κάνουμε χρήση της αντίστοιχης συνθήκης, είναι προτιμότερη η οικουμενική χρήση της Εξ.(3.43), η οποία είναι μόνον ελάχιστα συνθετότερη Αξιολόγηση μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων Σειρά έχει η αξιολόγηση της προτεινόμενης απορροφητικής συνθήκης μέσω μιας σειράς α- ριθμητικών παραδειγμάτων. Για τον σκοπό αυτό, θεωρούμε ένα ευθύγραμμο, ομοιόμορφο τμήμα κυματοδηγού, το οποίο αποκόπτεται σε πεπερασμένο μήκος L με εφαρμογή των απορροφητικώνσυνθηκώνπουαναπτύξαμεσευποθετικές(fictitious)θύρεςεισόδου/εξόδου, S 1 και S 2 [Σχ.3.7].Επιχειρούμε,δηλαδή,ναπροσομοιώσουμετοφυσικόπρόβλημαενόςκυματοδηγούμεελεύθεραταδύοάκρα. 31 Αναμένουμεέναπλήρωςοδηγούμενοκύμαστηδομή, με την προϋπόθεση βέβαια ότι οι οριακές συνθήκες δεν εισάγουν ανακλάσεις, οι οποίες και θα δημιουργούσαν στάσιμο. Ετσι, η επίδοση των οριακών συνθηκών αξιολογείται στη βάση της σύγκρισης της αριθμητικής λύσης με τη φυσικά αναμενόμενη συμπεριφορά. Επιπλέον, 31 Προφανώς,τομήκος Lπουεπιλέγουμεγιατηναποκοπήτουκυματοδηγούδενθαπρέπειναεπηρεάζει το αποτέλεσμα, μιας και το πρόβλημα που λύνουμε αντιστοιχίζεται σε κυματοδηγό άπειρου μήκους. Στα παραδείγματαπουακολουθούντομήκος Lεπιλέγεταιαπλώςμεγαλύτεροαπό λ g,ούτωςώστεναείναι εύκολα παρατηρήσιμη οποιαδήποτε κυμάτωση σχετιζόμενη με στάσιμο.

89 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 77 S 3 S 2 S 1 x y z L Σχήμα 3.7: Ευθύγραμμο, ομοιόμορφο τμήμα κυματοδηγού, το οποίο αποκόπτεται σε πεπερασμένομήκος Lμέσωυποθετικώνθυρώνεισόδου(S 1 )καιεξόδου(s 2 ). Τατριγωνικάπρίσματα που διακριτοποιούν τον υπολογιστικό χώρο τοποθετούνται με τον άξονά τους παράλληλα σε αυτόν του κυματοδηγού. συγκρίνουμε την προτεινόμενη συνθήκη με τη συνήθη ABC για οδηγούμενους ρυθμούς, ούτως ώστε να αποκτήσουμε μια ένδειξη της προσφερόμενης βελτίωσης. Ανεξάρτητα από τον χαρακτήρα του ρυθμού(περισσότερο ΤΕ ή περισσότερο ΤΜ, ανάλογα με το ποια είναι η κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου), η σύγκριση θα πραγματοποιείται πάντα με τη συνθήκη που περιγράφεται από την Εξ.(3.25), η οποία και αποτελούσε μέχρι πρότινος την de facto επιλογή στην περίπτωση διέγερσης/απορρόφησης οδηγούμενων ρυθμών. Σημειώνουμε ότι αυτό δεν λειτουργεί προς όφελός μας, καθώς ακόμα και για ρυθμούς με θεωρητικά ΤΜ χαρακτήρα η τιμή που υποθέτει η Εξ.(3.25) για την κυματική αντίσταση μπορεί να είναι πλησιέστερα στην πραγματική από αυτή που θα υπέθετε η συνθήκη για αμιγώς ΤΜ ρυθμό[εξ.(3.47)]. Στηθύραεισόδου(S 1 ),κάνουμεχρήσητηςεξ.(3.43)γιαναδιεγείρουμετονρυθμότου κυματοδηγού(με μοναδιαίο πλάτος της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου), ενώ στηθύραεξόδου(s 2 )ηαπορρόφησητουδιαδιδόμενουρυθμούπραγματοποιείταιμεχρήση της Εξ.(3.46). Καθώς οι κυματοδηγοί που θα εξετάσουμε είναι ανοιχτοί, στις παράπλευρες επιφάνειες(δηλαδήτα xzκαι yzεπίπεδασταοποίαθααναφερόμαστεσυλλογικάως S 3 ) αποδίδονται ABCs πρώτης τάξης για απορρόφηση επίπεδου κύματος[εξ.(3.22)]. Η επιλογή αυτή δεν έχει ιδιαίτερη σημασία στο πρόβλημα του ευθύγραμμου τμήματος κυματοδηγού, θα ήταν όμως απολύτως απαραίτητη στην περίπτωση που κάποια ασυνέχεια διέγειρε ρυθμούς ακτινοβολίας. Συνοψίζοντας, η μαθηματική περιγραφή του προβλήματος είναι µ 1 r E k2 ε re =, r V, ˆn E+jωµ ˆn ˆn E+jωµ ˆn Z 1 w ˆn E = 2jωµ ˆn Z 1 w ˆn E =, on S 2, Z 1 w ˆn Einc, on S 1, ˆn E+jk ˆn ˆn E =, on S 3. Οι παραπάνω εξισώσεις διακριτοποιούνται κατά τα γνωστά με εισαγωγή της προσεγγιστικής έκφρασης για κάθε στοιχείο του υπολογιστικού χώρου. Με βάση τα όσα προηγήθηκαν στην ενότητα δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι οι στοιχειακοί πίνακες που σχετίζονται

90 78 Κεφάλαιο 3 μετηναπορροφητικήσυνθήκηστην S 1 είναιτηςμορφής Bkl e = w s 1 k Z w ws l ds, k,l = {1...9}, S e S 1 b e k = 2jωµ 1 Z w ˆn Einc ds, k = {1...9}. S e S 1 w s k (3.48α) (3.48β) Είναι φανερό ότι για την υλοποίηση των υβριδικών ABCs στο τρισδιάστατο πρόβλημα, κανείς πρέπει πρώτα να λύσει ένα δισδιάστατο πρόβλημα ιδιοτιμών της διατομής του κυματοδηγού. Εχοντας λύσει για τον υποστηριζόμενο ρυθμό, έχουμε πρόσβαση στις τρεις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου, και ακολούθως σε αυτές του μαγνητικού πεδίου μέσω διαφόρισης (βλ. ενότητα ). Παίρνοντας τους λόγους των εγκάρσιων συνιστωσών ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου[εξ. 3.4], μπορούμε να προσδιορίσουμε τον χωρικά μεταβαλλόμενο τανυστή κυματικής αντίστασης που χρειαζόμαστε για την υλοποίηση των απορροφητικών συνθηκών στο τρισδιάστατο πρόβλημα. Επιστρέφοντας στο σχήμα 3.7 βλέπουμε ότι στη διατομή έχουν αποδοθεί οι x, y άξονες, δηλαδήμεαναφοράτοσχήμα3.6έχουμε u xκαι v y.τομοναδιαίοκάθετοδιάνυσμα στην S 1 συμπίπτειμετο ẑ,ενώτομοναδιαίοκάθετοστην S 2 μετο ẑ. Τατριγωνικά πρίσματα που διακριτοποιούν τον υπολογιστικό χώρο τοποθετούνται με τον άξονά τους παράλληλα σε αυτόν του κυματοδηγού(z). Ετσι, η διατομή του κυματοδηγού διακριτοποιείται με τις τριγωνικές βάσεις των πρισμάτων. Σημειώνουμε, βέβαια, ότι η επίδοση των απορροφητικών συνθηκών θα πρέπει να είναι ανεξάρτητη του προσανατολισμού των πρισμάτων, ή ακόμα και του τύπου στοιχείου(π.χ. τετράεδρο ή εξάεδρο). Αυτό επιβεβαιώνεται στην ενότητα , όπου εξετάζουμε την επίδοση της προταθείσας συνθήκης και για διαφορετικό προσανατολισμό πρισμάτων Κυματοδηγός τεχνολογίας πυριτίου Σαν ένα πρώτο παράδειγμα, εξετάζουμε έναν κυματοδηγό τεχνολογίας πυριτίου. Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για τον κυματοδηγό ταινίας(silicon wire), ο οποίος αποτελείται από πυρήναπυριτίου(n Si = 3.45)πάνωσευπόστρωμαδιοξειδίουτουπυριτίου(n SiO2 = 1.45) [Σχ.3.8(α)]. Οιδιαστάσειςτουπυρήναλαμβάνονταιίσεςμε w h = 45 nm 22 nm, τυπικές για τέτοιους κυματοδηγούς[7]. Οι τρεις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου για τον επικρατέστερο ρυθμό απεικονίζονται στο σχήμα 3.8(β)-(δ), όπως προέκυψαν από την επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών της διατομής του κυματοδηγού για μήκος κύματος λειτουργίας 1.55μm. 32 ΗκυρίαρχησυνιστώσαείναιηE x,παραπέμπονταςέτσισετερυθμό. Παρόλα αυτά, η έτερη εγκάρσια συνιστώσα είναι συγκρίσιμου πλάτους, ενώ ακόμη σημαντικότεροπλάτοςδιαθέτειηαξονικήσυνιστώσα(e z ). Ταπαραπάνωείναιενδεικτικάτης υβριδικής φύσης του υποστηριζόμενου ρυθμού, κάτι που επιβεβαιώνεται πέραν πάσης αμφιβολίας από το μη μηδενικό πλάτος των τριών συνιστωσών του μαγνητικού πεδίου(δεν εικονίζονται). Εναλλακτικά, η κατηγορηματική επιβεβαίωση της υβριδικής φύσης του ρυθμού μπορεί 32 Τοπρόβλημαιδιοτιμώνλύνεταιμεσυναρτήσειςβάσηςπρώτηςτάξης,ούτωςώστεηπροσέγγισητων πεδιακών συνιστωσών να είναι όσο το δυνατόν πιο συμβατή με αυτή του τρισδιάστατου προβλήματος διάδοσης. Ειδικότερα, γίνεται χρήση διανυσματικών τριγωνικών στοιχείων πρώτης τάξης για τις εγκάρσιες και κομβικών τριγωνικών στοιχείων πρώτης τάξης για την αξονική συνιστώσα[226, 256, 257]. Προς τον ίδιο σκοπό, η διατομή του κυματοδηγού στα δυο προβλήματα διακριτοποιείται με το ίδιο ακριβώς πλέγμα.

91 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 79 y-coordinate (µm) y-coordinate (µm) (α) (γ) h SiO 2 Si w x-coordinate (µm) E y x-coordinate (µm) y-coordinate (µm) y-coordinate (µm) (β) (δ) E x x-coordinate (µm) E z x-coordinate (µm) Σχήμα 3.8: (α) Διατομή του κυματοδηγού ταινίας. (β)-(δ) Συνιστώσες ηλεκτρικού πεδίου για τον επικρατέστερο(σχεδόν-τε) ρυθμό στο μήκος κύματος λειτουργίας 1.55 μm. Οι εγκάρσιες συνιστώσες είναι συγκρίσιμου πλάτους και η αξονική ιδιαίτερα ισχυρή, ενδεικτικό της υβριδικής φύσης του υποστηριζόμενου ρυθμού. να προέλθει από την παρατήρηση της κυματικής του αντίστασης. Αν ο ρυθμός ήταν αμιγώς ΤΕ, η κυματική του αντίσταση θα έπρεπε να είναι βαθμωτή και ανεξάρτητη των εγκάρσιων συντεταγμένων. Απεναντίας, στην περίπτωση του κυματοδηγού ταινίας που εξετάζουμε προκύπτει τανυστική και χωρομεταβλητή. Το κυρίαρχο στοιχείο της τανυστικής κυματικής αντίστασης(zw TE = E x/h y )απεικονίζεταιστοσχήμα3.9,καιφαίνεταιναεξαρτάταιισχυρά από τις εγκάρσιες συντεταγμένες. Λαμβάνει τιμή περίπου 11 Ω στο μεγαλύτερο εύρος του πυρήνα,ηοποίακαιαποκλίνειαρκετάαπότησταθερήτιμήπουθαυπέθετεησυμβατική απορροφητικήσυνθήκη: η /n eff 17Ω(n eff = 2.24). Μάλιστα,εκτόςτηςπεριοχήςτου πυρήνα η απόκλιση αυτή είναι σημαντικά μεγαλύτερη, ενώ υπάρχει και το έτερο στοιχείο τηςκυματικήςαντίστασης(zw TM = E y /H x )πουδιαφοροποιείακόμηπερισσότεροτις δύο περιπτώσεις. Τα παραπάνω μας προϊδεάζουν ότι χρήση της συμβατικής ABC στην περίπτωση αυτού του έντονα υβριδικού ρυθμού είναι παρακινδυνευμένη. Εχοντας λύσει το πρόβλημα ιδιοτιμών, είμαστε σε θέση να υλοποιήσουμε τις απορροφητικές οριακές συνθήκες και να λύσουμε το τρισδιάστατο πρόβλημα διάδοσης του ευθύγραμμου τμήματος κυματοδηγού[σχ. 3.7]. Το μήκος L ορίζεται ίσο με 1.2 μm και αντιστοιχεί σε 1.73λ g,μιαςκαιγιατονρυθμόπουεξετάζουμε λ g =.692μmστομήκοςκύματος των 1.55μm(n eff = 2.24). Αναφορικάμετηδιακριτοποίησητηςδομής,τοπλέγματης διατομής είναι πανομοιότυπο με αυτό που χρησιμοποιήθηκε για το πρόβλημα ιδιοτιμών. Σε συνδυασμό με τη χρήση στοιχείων ίδιας τάξης, κάτι τέτοιο οδηγεί σε ίδια προσέγγιση των πεδιακών συνιστωσών προς τις διάφορες διευθύνσεις του χώρου για τα δύο προβλήματα. Η πυκνότητα του πλέγματος κατά τον άξονα του κυματοδηγού είναι 2 σημεία ανά μήκος κύματοςστηγραμμή.μεάλλαλόγια,τούψοςτωνπρισμάτωνείναι λ g /2(σταθερόγια όλα τα στρώματα πρισμάτων). Λύνοντας το πρόβλημα διάδοσης αποκτούμε πρόσβαση στο

92 8 Κεφάλαιο 3 y-coordinate (µm) Z w ΤΕ (γ) x-coordinate (µm) Σχήμα 3.9: Κυρίαρχοστοιχείοτηςτανυστικήςκυματικήςαντίστασης(Z TE w )γιακυματοδηγό πυριτίου που λειτουργεί στον επικρατέστερο ρυθμό. Η κυματική αντίσταση υπολογίζεται στο βαρύκεντρο κάθε τριγώνου και σχεδιάζεται με σταθερή τιμή ανά στοιχείο. Για το μεγαλύτερο μεγαλύτερο μέρος του πυρήνα λαμβάνει τιμή περίπου 11 Ω αποκλίνοντας αρκετά από τη σταθερή τιμή των 17 Ω που υποθέτει η συμβατική απορροφητική συνθήκη ηλεκτρικό πεδίο σε ολόκληρη τη δομή. Είμαστε λοιπόν σε θέση να εξετάσουμε κατά πόσο η λύση ταιριάζει με αυτό που αναμένουμε φυσικά: ένα οδηγούμενο κύμα. Το πρόβλημα λύνεται και με χρήση της συμβατικής ABC για οδηγούμενους ρυθμούς[εξ.(3.25)], με σκοπό τον προσδιορισμό της βελτίωσης που προσφέρει η προταθείσα συνθήκη. Στο σχήμα 3.1(α)-(γ) απεικονίζεται το μέτρο των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του κυματοδηγού για τις δυο περιπτώσεις. Κάθε μια από τις συνιστώσες υπολογίζεται στο σημείο της διατομής για το οποίο παρουσιάζει μέγιστο, δηλαδή στο κέντρο τουπυρήναηe x,ενώστηνκορυφήκαιστοκέντροτηςκατακόρυφηςακμήςτουοι E y και E z,αντίστοιχα(βλ. σχήμα3.8). Οπωςγίνεταιεύκολααντιληπτό,ότανγίνεταιχρήση της προταθείσας συνθήκης οι τρεις συνιστώσες αποκτούν το κατάλληλο πλάτος(αυτό που ορίζεται δηλαδή από το πρόβλημα ιδιοτιμών, βλ. σχήμα 3.8), το οποίο και διατηρούν σε όλο το μήκος του κυματοδηγού. Η επίπεδη μορφή των καμπυλών είναι ενδεικτική της α- πουσίαςανακλάσεων. 33 Αντιθέτως,ότανγίνεταιχρήσητηςσυμβατικήςοριακήςσυνθήκης, υπάρχειμιαισχυρήκυμάτωσημεπερίοδο λ g /2,ενδεικτικήστάσιμουκύματος. Ορυθμός δενδιεγείρεταισωστά,μετοπλάτοςτωντριώνσυνιστωσώνστοεπίπεδο z = ναείναι διαφορετικόαπόαυτόπουυπαγορεύειτοπρόβλημαιδιοτιμών.γιαπαράδειγμα,ηe x διεγείρεται με μικρότερο πλάτος καθώς στο σημείο της διατομής του αντίστοιχου μεγίστου ισχύει η /n eff > Zw TE. Με τα σχήματα 3.1(α)-(γ) εξετάσαμε τη συμπεριφορά των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα μοναδικό σημείο της διατομής, αυτό του εκάστοτε μεγίστου. Παρότι τα σημεία επιλέχθηκαν προσεκτικά ώστε να είναι αντιπροσωπευτικά της κάθε συνιστώσας, θα μας ενδιέφερε να αξιολογήσουμε και συνολικότερα την οριακή συνθήκη αναφορικά με ολόκληρη τη διατομή. Ετσι, μπορούμε με μεγαλύτερη βεβαιότητα να αποφανθούμε για την επίδοση της συνθήκης, αποκλείοντας την περίπτωση ύπαρξης κάποιων άλλων σημείων στα οποία η διέγερση και απορρόφηση του ρυθμού δεν είναι αντίστοιχα αποτελεσματικές. 33 Σημειώνουμεότιμιαελαφριάκυμάτωσηπουεμφανίζεταιστιςσυνιστώσες E x και E y,σχετίζεταιμετο πλέγμα και την τάξη προσέγγισης των στοιχείων πρώτης τάξης και δεν έχει καμία σχέση με στάσιμο. Αυτό μπορείεύκολαναεπιβεβαιωθείπαρατηρώνταςτηνπερίοδοτηςκυμάτωσης,ηοποίααντιστοιχείσε λ g /2 (όσοκαιηαξονικήπυκνότηταπλέγματος)αντίγια λ g /2πουθαπερίμενεκανείςστηνπερίπτωσηστασίμου. Τέλος,ηβηματικήμορφήτης E z είναιαποτέλεσματηςμεικτήςτάξηςπροσέγγισης(mixed-order property) των στοιχείων ακμής.

93 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 81 E x (α).4 Proposed.2 Default z-coordinate (µm) Ey (β) Proposed Default z-coordinate (µm) E z (γ) Proposed Default z-coordinate (µm) Overlap Integral (δ).4 Proposed.2 Default z-coordinate (µm) Σχήμα 3.1: Σύγκριση μεταξύ της προταθείσας και της συμβατικής απορροφητικής οριακής συνθήκης για την περίπτωση κυματοδηγού πυριτίου μήκους 1.2 μm που λειτουργεί στον επικρατέστερο ρυθμό. Το μήκος κύματος λειτουργίας είναι 1.55 μm.(α)-(γ) Μέτρο συνιστωσών ηλεκτρικού πεδίου και(δ) ολοκλήρωμα επικάλυψης κατά μήκος του κυματοδηγού. Η κάθε συνιστώσα υπολογίζεται στο σημείο της διατομής για το οποίο παρουσιάζει μέγιστο. Η συμβατική ABC οδηγεί σε σχηματισμό στασίμου, ενώ για την προταθείσα παρατηρείται πλήρης απουσία ανακλάσεων. Προς τον σκοπό αυτό, κάνουμε χρήση ενός οκοκληρώματος επικάλυψης, το οποίο εξετάζει τη συσχέτιση του ρυθμού που διαδίδεται κατά μήκος του κυματοδηγού με τον ρυθμό που εισάγουμε στη θύρα εισόδου, όπως αυτός προέκυψε από το πρόβλημα ιδιοτιμών. Το ολοκλήρωμασυσχέτισηςείναιτηςμορφής 34 OI(z) = A E(x,y,z) E ref(x,y) dxdy. (3.49) E ref (x,y) 2 dxdy A Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται κατά μήκος του κυματοδηγού και το αποτέλεσμα απεικονίζεται στο σχήμα 3.1(δ). Η μορφή των καμπυλών επιβεβαιώνει αυτό που είχαμε ήδη διαπιστώσει κοιτώντας τις τρεις συνιστώσες χωριστά. Η προταθείσα οριακή συνθήκη διεγείρει και απορροφά αποτελεσματικά τον υβριδικό ρυθμό, χωρίς ίχνος ανακλάσεων. Αντιθέτως, η συμβατική ABC οδηγεί στον σχηματισμό στασίμου, απόρροια της εσφαλμένης υπόθεσης που πραγματοποιεί για την κυματική αντίσταση του ρυθμού. 34 Σεαντίθεσημεό,τισυνέβαινεστηνενότητα3.3.1τοπροσδιοριστικό«ref»δηλώνεικύμααναφοράς (reference) και όχι ανακλώμενο(reflected). Για την ευκολότερη διάκριση μεταξύ των δυο τοποθετείται σε θέση δείκτη αντί εκθέτη.

94 82 Κεφάλαιο 3 y-coordinate (µm) y-coordinate (µm) (α) x-coordinate (µm) (γ) h SiO 2 w Si Au E y x-coordinate (µm) y-coordinate (µm) y-coordinate (µm) (β) (δ) E x x-coordinate (µm) E z x-coordinate (µm) Σχήμα 3.11: (α) Διατομή του υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού μετάλλου-διηλεκτρικούημιαγωγού. (β)-(δ) Συνιστώσες ηλεκτρικού πεδίου για τον επικρατέστερο(σχεδόν-τμ) ρυθμό στο μήκος κύματος λειτουργίας 1.55 μm. Οι εγκάρσιες συνιστώσες είναι συγκρίσιμου πλάτους και ηαξονικήσυνιστώσα(e z )ισχυρή,ενδεικτικότηςυβριδικήςφύσηςτουυποστηριζόμενουρυθμού Υβριδικός Πλασμονικός κυματοδηγός Στη συνέχεια, αξιολογούμε την επίδοση της προταθείσας απορροφητικής συνθήκης για έναν διαφορετικό νανοφωτονικό κυματοδηγό. Ειδικότερα, εξετάζουμε έναν υβριδικό πλασμονικό κυματοδηγό, και πιο συγκεκριμένα τον επίπεδο κυματοδηγό μετάλλου-διηλεκτρικούημιαγωγού(conductor-gap-silicon, CGS)[1, 11](βλ. κεφάλαιο 2). Η διατομή του κυματοδηγού απεικονίζεται στο σχήμα 3.11(α). Τα πάχη των στρωμάτων χρυσού, διοξειδίου του πυριτίου, και πυριτίου που συνθέτουν τον πυρήνα είναι 5, 5 και 34 nm, αντίστοιχα. Ετσι,τοσυνολικόύψος hτουπυρήναείναιίσομε 44 nm,ενώτοπλάτοςτου, w,μόλις 2 nm. Η κατανομή των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου για τον επικρατέστερο ρυθμό στο μήκος κύματος των 1.55 μm απεικονίζεται στα σχήματα 3.11(β)-(δ). Η κυρίαρχη συνιστώσασεαυτήτηνπερίπτωσηείναιηe y,παραπέμπονταςέτσισεσχεδόν-τμρυθμό. Παρόλα αυτά, η έτερη εγκάρσια συνιστώσα είναι ιδιαίτερα ισχυρή, όπως και η αξονική. Η υβριδική φύση του ρυθμού επιβεβαιώνεται από την παρατήρηση της κυματικής αντίστασης του ρυθμού, η οποία είναι χωρομεταβλητή και τανυστική. Το κυρίαρχο στοιχείο της(zw TM)απεικονίζεταιστοσχήμα Γιατομεγαλύτεροεύροςτουστρώματοςδιο- 35 Παρατηρείστεότιαπεικονίζεταιτομέτροτης Z TM w. Οιεγκάρσιεςπεδιακέςσυνιστώσεςηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, και κατ επέκταση η κυματική αντίσταση, είναι αμιγώς πραγματικές μόνο στην περίπτωση κυματοδηγών άνευ απωλειών[26]. Παρόλα αυτά, σημειώνουμε ότι και στην περίπτωση του CGS το φανταστικό μέρος της κυματικής αντίστασης είναι πάρα πολύ μικρό, γεγονός που αποδίδεται στο ότιτοπεδίοπολύλίγοεισχωρείστουλικόμεαπώλειες(βλ.σχήμα3.11).

95 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 83 y-coordinate (µm) Z w ΤM x-coordinate (µm) Σχήμα 3.12: Κυρίαρχοστοιχείοτηςτανυστικήςκυματικήςαντίστασης(Zw TM )για CGSκυματοδηγό που λειτουργεί στον επικρατέστερο ρυθμό. Η κυματική αντίσταση υπολογίζεται στο βαρύκεντρο κάθε τριγώνου και σχεδιάζεται με σταθερή τιμή ανά στοιχείο. Για το μεγαλύτερο μέρος του στρώματος διοξειδίου κυμαίνεται στο εύρος 5 6 Ω, τιμή που αποκλίνει σημαντικά απότησταθερήτιμήτων 18Ωπουυποθέτειησυμβατικήαπορροφητικήσυνθήκη. ξειδίου(στοοποίοείναιισχυράεντοπισμένηηe y συνιστώσα)ητιμήτουκυμαίνεταιστο εύρος 5 6 Ω, αποκλίνοντας σημαντικά από τη σταθερή τιμή που υποθέτει η συμβατική απορροφητικήσυνθήκη: η /n eff 18Ω(n eff = 2.8). Μάλιστα,εκτόςτηςπεριοχήςτου διακένου η απόκλιση αυτή είναι σημαντικά μεγαλύτερη, και επιπρόσθετα υπάρχει και το έτερο στοιχείο της τανυστικής κυματικής αντίστασης που διαφοροποιεί ακόμη περισσότερο τις δύο συνθήκες. Η συνθήκη για αμιγώς-τμ ρυθμούς που περιγράφεται από την Εξ.(3.47) θαυπέθετεσταθερήτιμήίσημε η n eff /ε r 373Ωγιατηνπεριοχήτουδιακένου,τιμήπου επίσης διαφοροποιείται σημαντικά από την παρατηρούμενη. Η αξιολόγηση της επίδοσης των απορροφητικών συνθηκών παρέχεται από τη λύση του προβλήματος διάδοσης. Τα σχήματα 3.13(α)-(γ) απεικονίζουν το μέτρο των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του κυματοδηγού για αμφότερες την προταθείσα και τη συμβατική ABC. Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου είναι υπολογισμένες στα σημεία της διατομής για τα οποία παρατηρείται το εκάστοτε μέγιστο, δηλαδή στη γωνία και το κέντρο τουστρώματοςδιοξειδίουοι E x και E y,ενώστηβάσητουστρώματοςπυριτίουηe z (βλ. σχήμα 3.11). Το μήκος του τμήματος κυματοδηγού είναι και σε αυτό το παράδειγμα 1.2 μm καιαντιστοιχείσε 1.61λ g,καθώςγιατονρυθμόπουεξετάζουμε λ g =.745μmστομήκοςκύματοςτων 1.55μm(n eff = 2.8). Είναιφανερόότικαισεαυτήτηνπερίπτωσηη προταθείσα οριακή συνθήκη οδηγεί στην αναμενόμενη από το φυσικό πρόβλημα συμπεριφορά, αυτή ενός οδηγούμενου κύματος. Αυτό επιβεβαιώνεται κατηγορηματικά από το σχήμα 3.13(δ), στο οποίο παρουσιάζεται το ολοκλήρωμα επικάλυψης της εξίσωσης(3.49) κατά μήκος του κυματοδηγού. Από την άλλη, στην περίπτωση της συμβατικής οριακής συνθήκης σχηματίζεται στάσιμο κύμα στη δομή, απόρροια ανακλάσεων στις θύρες εισόδου/εξόδου εξαιτίας της εσφαλμένης υπόθεσης που πραγματοποιεί αναφορικά με την τιμή της κυματικής αντίστασης. Οι εγκάρσιες συνιστώσες διεγείρονται με μεγαλύτερα πλάτη από αυτά πουυπαγορεύειτοπρόβλημαιδιοτιμών(βλ. σχήμα3.11),καθώςηποσότητα η /n eff που χρησιμοποιείται για την υλοποίηση της οριακής συνθήκης είναι μικρότερη και από τα δύο στοιχείατηςτανυστικήςκυματικήςαντίστασης, Zw TE και ZTM w.τέλος,ηελαφριάκλίσηπου παρατηρείται στις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου καθώς και στο ολοκλήρωμα επικάλυψης είναι αποτέλεσμα των απωλειών διάδοσης του πλασμονικού κυματοδηγού. Ειδικότερα,

96 84 Κεφάλαιο 3 E x (α) Proposed Default z-coordinate (µm) Ey 1.2 (β) Proposed Default z-coordinate (µm) E z 1.2 (γ) 1 Proposed Default z-coordinate (µm) Overlap Integral (δ) Proposed Default z-coordinate (µm) Σχήμα 3.13: Σύγκριση μεταξύ της προταθείσας και της συμβατικής απορροφητικής οριακής συνθήκης για την περίπτωση CGS κυματοδηγού μήκους 1.2 μm που λειτουργεί στον επικρατέστερο ρυθμό. Το μήκος κύματος λειτουργίας είναι 1.55 μm. (α)-(γ) Μέτρο συνιστωσών ηλεκτρικού πεδίου και(δ) ολοκλήρωμα επικάλυψης κατά μήκος του κυματοδηγού. Η κάθε συνιστώσα υπολογίζεται στο σημείο της διατομής για το οποίο παρουσιάζει μέγιστο. Η συμβατική ABC οδηγεί σε σχηματισμό στασίμου, ενώ για την προταθείσα παρατηρείται πλήρης απουσία ανακλάσεων. τομήκοςδιάδοσηςείναιπερίπου 23μm,μεσυνέπειαμετάαπό 1.2μmορυθμόςναέχειήδη χάσει το 5% της ισχύος που μεταφέρει Το παράδειγμα του DLSPP κυματοδηγού Καθώς στα επόμενα κεφάλαια θα ασχοληθούμε εκτενώς με τον DLSPP κυματοδηγό, εξετάζουμε την επίδοση της προταθείσας οριακής συνθήκης και σε αυτή την περίπτωση. Ο κυματοδηγός αποτελείται από έναν πυρήνα πολυμερούς, διαστάσεων w h = 6 nm 6 nm, πάνω σε ομοιόμορφο μεταλλικό υπόστρωμα[σχ. 3.14(α)]. Το πολυμερές είναι το PMMA, με δείκτη διάθλασης στο μήκος κύματος λειτουργίας των 1.55 μm, και το μέταλλοχρυσός(n Au =.55 j11.5[192]). Οιτρειςσυνιστώσεςτουηλεκτρικούπεδίου απεικονίζονται στο σχήμα 3.14(β)-(δ). Οπως και με τις προηγούμενες περιπτώσεις, είναι και οι τρεις μη μηδενικές, ενδεικτικό της υβριδικής φύσης του ρυθμού. Το κυρίαρχο στοιχείο της τανυστικής κυματικής αντίστασης λαμβάνει τιμή 27 Ω στο μεγαλύτερο εύρος του πολυμερούς, με υψηλότερες τιμές να παρατηρούνται στον χώρο πάνω από αυτό(σχ. 3.15). Σημειώνεται ότι η συμβατική απορροφητική συνθήκη θα υπέθετε σταθερή τιμή 3 Ω (n eff = 1.25),ενώησυνθήκηγιααμιγώς-ΤΜρυθμούςπουπεριγράφεταιαπότηνΕξ.(3.47) τιμήίσημε 21Ωγιατηνπεριοχήτουπυρήνα,ηοποίακαιαποκλίνειακόμηπερισσότερο από την παρατηρούμενη. Η επίδοση της προταθείσας συνθήκης αξιολογείται, όπως και στα προηγούμενα παρα-

97 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 85 y-coordinate (µm) 1.5 (α) h w PMMA Au x-coordinate (µm) y-coordinate (µm) 1.5 (β) E x x-coordinate (µm) y-coordinate (µm) 1.5 (γ) E y x-coordinate (µm) (δ) E z y-coordinate (µm) x-coordinate (µm) Σχήμα 3.14: (α) Διατομή του DLSPP.(β)-(δ) Συνιστώσες ηλεκτρικού πεδίου για τον επικρατέστερο ρυθμό στο μήκος κύματος λειτουργίας 1.55 μm. y-coordinate (µm) ΤM Z w x-coordinate (µm) Σχήμα3.15: Κυρίαρχοστοιχείοτηςτανυστικήςκυματικήςαντίστασης(Z TM w )γιατονρυθμό του DLSPP κυματοδηγού. Η κυματική αντίσταση υπολογίζεται στο βαρύκεντρο κάθε τριγώνου και σχεδιάζεται με σταθερή τιμή ανά στοιχείο. Η τιμή στο μεγαλύτερο μέρος του πυρήνα είναι ίση με 27Ω,διαφορετικήτηςσταθερήςτιμήτων 3Ωπουυποθέτειησυμβατικήαπορροφητική συνθήκηήτων 21ΩπουυποθέτειησυνθήκηγιααμιγώςΤΜρυθμούς. 4 2 δείγματα, στη βάση της ομοιότητας που παρουσιάζει η αριθμητική λύση του προβλήματος διάδοσης σε ομοιόμορφο τμήμα κυματοδηγού με ένα οδηγούμενο κύμα. Το μήκος τουτμήματοςκυματοδηγούείναιαυτήτηφορά 2μmκαιαντιστοιχείσε 1.56λ g,μιαςκαι λ g = 1.28μmστομήκοςκύματοςτων 1.55μm(n eff = 1.25).Ηεπίπεδη(πέρααπόμιαελαφριά κλίση που σχετίζεται με τις απώλειες διάδοσης) συμπεριφορά του μέτρου των τριών συνιστωσών[σχ. 3.16(α)-(γ)], καθώς και συνολικά του ολοκληρώματος επικάλυψης της Εξ. 3.49[Σχ. 3.16(δ)], πιστοποιούν τη σωστή διέγερση και απορρόφηση του υποστηριζόμενου ρυθμού όταν γίνεται χρήση της προταθείσας συνθήκης. Η συμβατική ABC από την άλλη δεν τα καταφέρνει το ίδιο καλά παρόλα αυτά, η κυμάτωση που σχηματίζεται δεν είναι τόσο έντονη όσο στις προηγούμενες περιπτώσεις. Ειδικότερα, αυτό συμβαίνει γιατί το στοιχείο Zw TM τηςκυματικήςαντίστασηςείναιαρκετάκοντάστηντιμή η /n eff πουυποθέτει η συμβατική συνθήκη για σχεδόν ολόκληρη την περιοχή του πολυμερούς στην οποία και είναι συγκεντρωμένο το μεγαλύτερο μέρος της κυρίαρχης συνιστώσας του ρυθμού. Δεδο-

98 86 Κεφάλαιο 3 E x (α) Proposed Default z-coordinate (µm) Ey (β).4 Proposed.2 Default z-coordinate (µm) E z (γ) Proposed Default z-coordinate (µm) Overlap Integral (δ).4 Proposed.2 Default z-coordinate (µm) Σχήμα 3.16: Σύγκριση μεταξύ της προταθείσας και της συμβατικής απορροφητικής οριακής συνθήκης για την περίπτωση του DLSPP κυματοδηγού μήκους 2 μm. Το μήκος κύματος λειτουργίας είναι 1.55 μm.(α)-(γ) Μέτρο συνιστωσών ηλεκτρικού πεδίου και(δ) ολοκλήρωμα επικάλυψης κατά μήκος του κυματοδηγού. Η κάθε συνιστώσα υπολογίζεται στο σημείο της διατομής για το οποίο παρουσιάζει μέγιστο. Η συμβατική ABC οδηγεί σε σχηματισμό στασίμου, ενώ για την προταθείσα παρατηρείται πλήρης απουσία ανακλάσεων. μένου ότι η κυρίαρχη συνιστώσα είναι αρκετά ισχυρότερη των υπολοίπων(ένδειξη σαφούς ΤΜ χαρακτήρα), η περιορισμένη αυτή κυμάτωση παρατηρείται και στο ολοκλήρωμα επικάλυψης. Εν ολίγοις, ο ρυθμός του DLSPP φαίνεται να είναι λιγότερο υβριδικός συγκριτικά με αυτούς των δυο προηγούμενων παραδειγμάτων. Το γεγονός αυτό αποδίδεται στην εμφανώς πιο ασθενή συγκέντρωση του εν λόγω ρυθμού(η ενεργός επιφάνεια που καταλαμβάνει είναι σαφώς μεγαλύτερη), απόρροια της απουσίας ισχυρής αντίθεσης(contrast) δεικτών διάθλασης κατά την οριζόντια κυρίως διεύθυνση. Μια ενδιάμεση περίπτωση οριακής συνθήκης Ο ΤΜ χαρακτήρας του ρυθμού του DLSPP μας παρακινεί να δοκιμάσουμε μια απλοποιημένη παραλλαγή της προταθείσας απορροφητικής συνθήκης. Ειδικότερα, κατασκευάζουμε μια συνθήκη με χωρομεταβλητή αλλά βαθμωτή κυματική αντίσταση. Με άλλα λόγια, διατηρούμε την εξάρτηση της κυματικής αντίστασης από τις εγκάρσιες συντεταγμένες, αλλά όχι την τανυστική της φύση. Για την περίπτωση της θύρας εισόδου η συνθήκη παίρνει τη μορφή ˆn E+j ωµ Z TM w ˆn ˆn E = 2j ωµ ˆn ˆn E inc. (3.5) Zw TM Η επίδοση της συνθήκης που περιγράφει η Εξ.(3.5) αξιολογείται στο σχήμα 3.17, το οποίο απεικονίζει την εξέλιξη του ολοκληρώματος επικάλυψης κατά μήκος του DLSPP. Η

99 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς Overlap Integral Proposed: Simplified: ~ Z w ( x, y) TM Z w ( x, y) Default: Z w =η /n eff z-coordinate ( µ m) Σχήμα 3.17: Επίδοση της απλοποιημένης συνθήκης με χωρομεταβλητή αλλά βαθμωτή κυματική αντίσταση. Εξετάζεται η περίπτωση DLSPP κυματοδηγού μήκους 2 μm. Το μήκος κύματος λειτουργίας είναι 1.55 μm. Η απλοποιημένη συνθήκη παρέχει σημαντική βελτίωση σε σχέση με τη συμβατική ABC, ενώ η επίδοσή της είναι μόνον λίγο χειρότερη συγκριτικά με την προταθείσα. απλοποιημένη συνθήκη παρέχει σημαντική βελτίωση σε σχέση με τη συμβατική ABC, ενώ η επίδοσή της είναι μόνον λίγο χειρότερη συγκριτικά με την προταθείσα. Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι για ρυθμό με έντονο ΤΜ(ΤΕ) χαρακτήρα υπάρχει η δυνατότητα χρήσης και μιας απλοποιημένηςπαραλλαγήςτηςπροταθείσαςabc,μεχρήσημόνοτουστοιχείου Zw TM (Zw TE ) της τανυστικής κυματικής αντίστασης. Διαφορετικός προσανατολισμός πρισμάτων Στα κεφάλαια που θα ακολουθήσουν, πρόκειται να μελετήσουμε γεωμετρικά σύνθετα επίπεδα κυκλώματα βασισμένα στον DLSPP. Τα κυκλώματα αυτά περιλαμβάνουν συντονιστές δακτυλίου και ευθύγραμμα τμήματα κυματοδηγών με διαφορετικό προσανατολισμό. Καθώς οι δομές αυτές αποκλίνουν γεωμετρικά από την περίπτωση του ομοιόμορφου τμήματος κυματοδηγού με σαφώς ορισμένο οπτικό άξονα και σταθερή διατομή που εξετάσαμε, δεν μπορούν να διακριτοποιηθούν με οιονδήποτε προσανατολισμό πρισμάτων. Ειδικότερα, η τριγωνική διαμέριση πρέπει να χρησιμοποιηθείγιατοεπίπεδοτουκυκλώματος(xzμεαναφοράτοσχήμα3.7)καιόχιγιατη διατομή του κυματοδηγού(xy επίπεδο). Με άλλα λόγια, τα πρίσματα τοποθετούνται με τους άξονες τους κατά τον y, αντί του z, άξονα. Ετσι, οι συντονιστές δακτυλίου μπορούν να διακριτοποιηθούν σωστά, αποφεύγοντας τη βηματική αναπαράσταση των καμπύλων ορίων τους(staircasing). 36 Κρίνεται λοιπόν σκόπιμη η αξιολόγηση της προταθείσας συνθήκης και στην περίπτωση του διαφορετικού αυτού προσανατολισμού πρισμάτων. Τα αποτελέσματα συγκεντρώνονται στο σχήμα Η σύγκριση με το σχήμα 3.16 αποκαλύπτει ότι ο προσανατολισμός των πρισμάτων μόνο ελάχιστα διαφοροποιεί τα αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα, μια ελαφριά τραχύτητατης E x συνιστώσαςοφείλεταιστογεγονόςότιγιατοννέοπροσανατολισμό η διατομή του κυματοδηγού διακριτοποιείται με λίγο διαφορετικό πλέγμα κάθε φορά. Η αδύναμη εγκάρσια συνιστώσα είναι πιο ευαίσθητη σε αυτές τις αλλαγές του πλέγματος, καθώς είναι ισχυρά εντοπισμένη σε πολύ μικρές επιφάνειες στις γωνίες του πυρήνα[βλ. 36 Αυτόςάλλωστεείναικαιέναςαπότουςλόγουςγιατουςοποίουςημέθοδοςτωνπεπερασμένωνστοιχείων κρίθηκε καταλληλότερη για την προσομοίωση των δομών που εξετάζονται στην παρούσα διατριβή έναντι κάποιας μεθόδου πεπερασμένων διαφορών όπως η FDTD.

100 88 Κεφάλαιο 3 E x (α) Proposed Default z-coordinate ( µ m) Ey (β).4 Proposed.2 Default z-coordinate ( µ m) E z (γ) Proposed Default z-coordinate ( µ m) Overlap Integral (δ).4 Proposed.2 Default z-coordinate ( µ m) Σχήμα 3.18: Σύγκριση μεταξύ της προταθείσας και της συμβατικής απορροφητικής οριακής συνθήκης για την περίπτωση του DLSPP κυματοδηγού μήκους 2 μm που λειτουργεί στον επικρατέστερο ρυθμό. Το μήκος κύματος λειτουργίας είναι 1.55 μm. Ο προσανατολισμός των πρισμάτων έχει αλλάξει, με τον άξονα τους να είναι παράλληλος στον κατακόρυφο άξονα y. (α)-(γ) Μέτρο συνιστωσών ηλεκτρικού πεδίου και(δ) ολοκλήρωμα επικάλυψης κατά μήκος του κυματοδηγού. Η κάθε συνιστώσα υπολογίζεται στο σημείο της διατομής για το οποίο παρουσιάζει μέγιστο. σχήμα3.14(β)].επιπλέον,μιαελάχιστηπροσαρμογήτουμέτρουτωνe z καιe y συνιστωσών που ίσως διακρίνει ο παρατηρητικός αναγνώστης αποδίδεται στη διαφορετική προσέγγιση της E z συνιστώσαςκατάτονοριζόντιοάξονα xμεταξύ2-δπροβλήματοςιδιοτιμώνκαι3-δ προβλήματος διάδοσης(σχ. 3.19). Αναλυτικότερα, και σε αυτόν τον προσανατολισμό πρισμάτων το πρόβλημα ιδιοτιμών μοιράζεται το ίδιο πλέγμα με το πρόβλημα διάδοσης και λύνεται με συναρτήσεις βάσεις πρώτης τάξης, ούτως ώστε η προσέγγιση των συνιστωσών να είναι όσο το δυνατόν πιο συμβατή με αυτή του τρισδιάστατου προβλήματος. Ειδικότερα, καθώς στο 3-Δ πρόβλημα η διατομή του κυματοδηγού διακριτοποιείται από τις παράπλευρες επιφάνειες των πρισμάτων, χρησιμοποιούνται ορθογωνικά στοιχεία ακμής πρώτης τάξης για τη μοντελοποίηση των εγκάρσιων συνιστωσών και κομβικά ορθογωνικά στοιχεία πρώτης τάξης για την αξονική συνιστώσα στο 2-Δ πρόβλημα. Παρά τη χρήση στοιχείων ίδιας γεωμετρίας και τάξης, η προσέγγιση τηςαξονικήςσυνιστώσας(e z )κατάτηνοριζόντιαεγκάρσιαδιεύθυνση(x)δενείναιίδια στα δύο προβλήματα(για τις υπόλοιπες συνιστώσες η προσέγγιση είναι πανομοιότυπη). Αν και η τάξη προσέγγισης είναι γραμμική και στις δύο περιπτώσεις, στο 3-Δ πρόβλημα η συνιστώσα αυτή είναι ασυνεχής στα όρια μεταξύ στοιχείων που συναντά κατά την οριζόντια εγκάρσια διεύθυνση(intercell discontinuity)[σχ. 3.19(γ)]. Μάλιστα, καθώς τα στοιχεία ακμής είναι έτσι σχεδιασμένα ώστε το εφαπτομενικό κομμάτι του πεδίου να είναι συνεχές

101 3.3. Απορροφητική οριακή συνθήκη για υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς 89 (a.u.) E x (a.u.) E x (α) 1 (β) 1 (γ).4.2 P rop. Eig x-coordinate ( µ m) (δ) P rop. Eig. (a.u.) Ey (a.u.) Ey P rop. Eig x-coordinate ( µ m) (ε) P rop. Eig P rop. Eig x-coordinate ( µ m) P rop. Eig y-coordinate ( µ m) y-coordinate ( µ m) y-coordinate ( µ m) (a.u.) E z (a.u.) E z (στ) Σχήμα 3.19: Σύγκριση της προσέγγισης των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου στα προβλήματα διάδοσης(propagation) και ιδιοτιμών(eigenvalue). Η μοναδική διαφορά εμφανίζεται στην E z συνιστώσα,ηοποίαπροσεγγίζεταιμενμεγραμμικέςμεταβολέςκαισταδύοπροβλήματα,αλλά είναι ασυνεχής μεταξύ στοιχείων κατά τον οριζόντιο άξονα x στο πρόβλημα διάδοσης. μεταξύ ορίων, το μέγεθος της εκάστοτε ασυνέχειας υπαγορεύεται από τη γωνία που σχηματίζει η συνιστώσα με το όριο του κάθε πεπερασμένου στοιχείου. Αντιθέτως, η χρήση κομβικών στοιχείων για την αξονική συνιστώσα στο πρόβλημα ιδιοτιμών(απαραίτητη για τη σωστή λύση του προβλήματος) εξασφαλίζει τη συνέχεια της συνιστώσας στα όρια μεταξύ στοιχείων[σχ. 3.19(γ)]. Δημιουργείται, βέβαια, η απορία πώς είναι ικανή η προσέγγιση της αξονική συνιστώσας του προβλήματος ιδιοτιμών να αποτυπωθεί στη λύση του προβλήματος διάδοσης, όταν η συνιστώσααυτήδενχρησιμοποιείταιστηνυλοποίησητηςοριακήςσυνθήκης. 37 Ηαπάντηση βρίσκεται στη συμμετοχή του εγκάρσιου μαγνητικού πεδίου το οποίο προκύπτει από διαφόριση του ηλεκτρικού εμπλέκοντας έτσι τις χωρικές παραγώγους της αξονικής συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου. Ετσι, αντίστοιχη διαφοροποίηση στην προσέγγιση των συνιστωσών μεταξύ προβλήματος ιδιοτιμών και διάδοσης προκύπτει και στο μαγνητικό πεδίο. Ειδικότερα, εντελώςανάλογησυμπεριφοράμετην E z εμφανίζειηh x συνιστώσα,ηοποίαπροσεγγίζεται με γραμμικές μεταβολές και στα δύο προβλήματα, αλλά είναι ασυνεχής μεταξύ στοιχείων κατά τον οριζόντιο άξονα x στο πρόβλημα διάδοσης. Ετσι, και η ΤΜ κυματική αντίσταση προκύπτει κατά τι διαφοροποιημένη στα δυο προβλήματα, γεγονός που εξηγεί την παρατηρούμενηπροσαρμογήστομέτροτης E y. Ηπροσαρμογήαυτήαποτυπώνεταικαιστην E z καθώς οι συνιστώσες είναι εξαρτημένες μέσω των εξισώσεων Maxwell. 37 ΤοδεξίμέλοςτηςΕξ.(3.43)πουεφαρμόζεταιστηνεπιφάνεια S 1 φανερώνειότιμόνονοιεγκάρσιες συνιστώσες του ρυθμού συμμετέχουν στο σχηματισμό του όρου διέγερσης της συνθήκης. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι η αξονική συνιστώσα θεωρείται μηδενική. Αντιθέτως, και στα τρία παραδείγματα που εξετάσαμε η μη μηδενική αξονική συνιστώσα διεγείρεται με το σωστό πλάτος στην θύρα εισόδου, ακόμα και αν δεν χρησιμοποιείται ευθέως στον σχηματισμό της συνθήκης.

102 9 Κεφάλαιο Ανακεφαλαίωση Συνοψίζοντας, περιγράφηκε η τρισδιάστατη διανυσματική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, η οποία θα χρησιμοποιηθεί στα επόμενα κεφάλαια για την υπολογιστική ανάλυση των υπό μελέτη νανοφωτονικών διατάξεων. Παρουσιάστηκαν τα πρισματικά στοιχεία ακμής πρώτης τάξης που πρόκειται να αναλάβουν τη διακριτοποίηση των δομών και διερευνήθηκαν τα χαρακτηριστικά των αντίστοιχων συναρτήσεων βάσης. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στην ανάπτυξη μιας απορροφητικής οριακής συνθήκης ικανής να απορροφά/διεγείρει αποτελεσματικά υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς, όπως αυτοί που υποστηρίζονται από τους νανοφωτονικούς κυματοδηγούς που θα μας απασχολήσουν. Η επίδοση της προταθείσας συνθήκης αξιολογήθηκε μέσα από μια σειρά αριθμητικών παραδειγμάτων, τα οποία επιβεβαίωσαν πέραν πάσης αμφιβολίας την αποτελεσματικότητά της.

103 4 Φίλτρα Συντονιστών Οδεύοντος Κύματος 4.1 Εισαγωγή Ο DLSPP κυματοδηγός που παρουσιάστηκε στην ενότητα συνδυάζει πλήθος ελκυστικών χαρακτηριστικών. Ειδικότερα, ικανοποιεί ταυτόχρονα την απαίτηση για ισχυρή συγκέντρωση(a eff.5 µm 2 )καιχαμηλέςαπώλειεςδιάδοσης(l prop 5 µm). Επιπρόσθετα, δεν παρουσιάζει σημαντικές κατασκευαστικές δυσκολίες, καθώς πρόκειται για επίπεδη δομή λίγων στρωμάτων χωρίς νανομετρικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Ισως το σημαντικότερο πλεονέκτημα, όμως, είναι η ευελιξία επιλογής του υλικού που χρησιμοποιείται για τον διηλεκτρικό πυρήνα. Πρακτικά, οποιοδήποτε υλικό δύναται να εναποτεθεί με τη μορφή στρώματος πάχους μερικών εκατοντάδων νανομέτρων στην επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου μέσω διαδικασίας φυγοκέντρισης(spin coating) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον σκοπό αυτό. Στη συνέχεια, απομένει ο σχηματισμός του πυρήνα μέσω κάποιας τεχνικής λιθογραφίας(όπως φωτολιθογραφία ή λιθογραφία δέσμης ηλεκτρονίων). Ετσι, παρέχεται μια πληθώρα επιλογών και δυνατοτήτων. Επιλέγοντας, για παράδειγμα, ένα πολυμερές με υψηλό θερμο-οπτικό συντελεστή καθίσταται δυνατή η τροποποίηση των χαρακτηριστικών οδήγησης του υποστηριζόμενου ρυθμού μέσω ρεύματος ελέγχου που εισάγεται στη μεταλλικήταινία(βλ.ενότητα2.4.2). 1 Εξαιτίας των ελκυστικών του χαρακτηριστικών, ο DLSPP χρησιμοποιήθηκε για την υ- λοποίηση ενός μεγάλου αριθμού παθητικών εξαρτημάτων(components). Πιο συγκεκριμένα, αυτά συμπεριλαμβάνουν κάμψεις κυματοδηγών, συζευγμένους κυματοδηγούς και διαιρέτες ισχύος[8, 81]. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι επιλεκτικές ως προς τη συχνότητα (wavelength selective) διατάξεις, στις οποίες η οπτική απόκριση παρουσιάζει ισχυρή εξάρτηση από το μήκος κύματος λειτουργίας. Οι διατάξεις αυτές, εκτός της χρήσης τους ως φίλτρων ή(απο-)πολυπλεκτών, αποτελούν τη βάση για τη δημιουργία δυναμικών(dynamic) εξαρτημάτων, στα οποία η οπτική απόκριση ελέγχεται μέσω κάποιου μηχανισμού ελέγχου (θερμο-οπτικού, ηλεκτρο-οπτικού κ.ο.κ.). Παραδείγματα τέτοιων, επιλεκτικών ως προς τη συχνότητα εξαρτημάτων είναι οι ανακλαστήρες Bragg, οι κατευθυντικοί ζεύκτες(directional couplers), τα συμβολόμετρα Mach-Zehnder(Mach-Zehnder Interferometers, MZIs) και τα φίλτρα συντονιστή μικροδακτυλίου(microring resonator filters)[82 86]. Στο παρόν κεφάλαιο μελετούμε διεξοδικά τα χαρακτηριστικά των φίλτρων συντονιστή μικροδακτυλίου με υποκείμενη διάταξη τον DLSPP κυματοδηγό[122]. Η ισχυρή συγκέντρωση του οδηγούμενου ρυθμού επιτρέπει ακτίνες κάμψης μερικών μικρομέτρων χωρίς σημαντικές απώλειες κάμψης/ακτινοβολίας(bend/radiation loss)[81, 82]. Ως αποτέλεσμα, 1 Μεανάλογοτρόποηεπιλογήηλεκτρο-οπτικούήμηγραμμικούυλικούκαθιστάδυνατήτημεταβολή των χαρακτηριστικών οδήγησης μέσω εφαρμογής τάσης ή της ίδιας της έντασης του οπτικού ρυθμού. 91

104 92 Κεφάλαιο 4 4 A 4 + mirror plane A 3 3 R + 1 A 1 A 2 2 s In g Out Σχήμα 4.1: Σχηματικό διάγραμμα φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου. Στο ένθετο σχήμα απεικονίζεται η περιοχή σύζευξης και σημειώνονται τα πλάτη πεδίου που χρησιμοποιούνται για τη σημειακή(lumped)περιγραφήτηςμέσωπίνακάσκέδασης S. είναι δυνατή η υλοποίηση συμπαγών(compact) συντονιστών μικροδακτυλίου(με ακτίνες στην περιοχή των λίγων μικρομέτρων) χαμηλών απωλειών. Η σύζευξη του συντονιστή με έναν κυματοδηγό οδηγεί σε διάταξη φίλτρου με οξείς συντονισμούς. Χρησιμοποιώντας την τρισδιάστατη διανυσματική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(3d-vfem) που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 3 εξετάζουμε την επίδραση των δομικών παραμέτρων του φίλτρου στην οπτική απόκριση(καμπύλη μετάδοσης) και ποσοτικοποιούμε τα χαρακτηριστικά της(εύρος ελαχίστων, ελεύθερο φασματικό εύρος, αντίθεση επιπέδων ελάχιστης και μέγιστης μετάδοσης). Για την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων των προσομοιώσεων αρμονικής διάδοσης, αντιμετωπίζουμε τον ασύζευκτο συντονιστή καθώς και συνολικά τη διάταξη του φίλτρου ως προβλήματα ιδιοτιμών. Στη συνέχεια, εξετάζουμε έναν εναλλακτικό συντονιστή οδεύοντοςκύματος(traveling wave resonator), 2 τονσυντονιστήμικροδίσκου(microdisk), και συγκρίνουμε την επίδοση των αντίστοιχων φίλτρων με αυτή των φίλτρων μικροδακτυλίου[87]. Διαπιστώνουμε ότι και με τους δύο τύπους συντονιστών είναι δυνατή η σχεδίαση συμπαγών διατάξεων φίλτρων με αξιόλογα χαρακτηριστικά(οξείς συντονισμούς, μεγάλη αντίθεση επιπέδων ελάχιστης και μέγιστης μετάδοσης και χαμηλές απώλειες εισαγωγής), γεγονός που καθιστά τα εξαρτήματα αυτά κατάλληλα για πρακτικές εφαρμογές. Άλλωστε, οι συντονιστές μικροδακτυλίου και μικροδίσκου έχουν γνωρίσει ευρεία αποδοχή σε άλλες φωτονικές τεχνολογίες, με εφαρμογές που εκτείνονται από πολυπλεξία και φιλτράρισμα έως διακοπτική λειτουργία και μεταγωγή σήματος[ ]. 4.2 Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου Γενικά Δομή και αρχή λειτουργίας Ενα φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου αποτελείται από συντονιστή μικροδακτυλίου ακτίνας R συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό εισόδου/εξόδου(bus ή access waveguide) μέσω 2 Οισυντονιστέςκατατάσσονταισεσυντονιστέςοδεύοντος(traveling wave resonator)καιστασίμου κύματος(standing wave resonators).

105 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 93 διακένου σύζευξης g, σχήμα 4.1. Ο δακτύλιος παρουσιάζει συντονισμούς όταν η φάση που συσσωρεύει το κύμα διαγράφοντας την κυκλική τροχιά είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π, δηλαδήγιαμήκηκύματος λ m πουικανοποιούντησχέση β2πr = m2π n eff (λ m ) = mλ m 2πR. (4.1) Ο κάθε συντονισμός χαρακτηρίζεται από την αζιμουθιακή τάξη m, η οποία δηλώνει το πλήθος μηκών κύματος που χωρούν στην περιφέρεια. Σημειώνεται ότι ο ενεργός δείκτης διάθλασης στην Εξ.(4.1) αναφέρεται στον κυματοδηγό υπό κάμψη(bent) και ως εκ τούτου δεν ταυτίζεται με τον ενεργό δείκτη του ευθύγραμμου κυματοδηγού, παρά μόνο για εξαιρετικάμεγάληακτίνακαμπυλότητας. 3 Το φίλτρο τροφοδοτείται μέσω του ευθύγραμμου κυματοδηγού από αριστερά και η έξοδος λαμβάνεται στα δεξιά μετά την αλληλεπίδραση του φωτός με τον συντονιστή, Σχ Το φως που συζευγνύεται με τον συντονιστή οδηγείται κατά μήκος της κυκλικής του περιφέρειας(εξού και ο χαρακτηρισμός οδεύοντος κύματος για τον συντονιστή μικροδακτυλίου), αρκεί η ακτίνα καμπυλότητας να είναι αρκούντως μεγάλη ώστε ο οδηγούμενος ρυθμός να μπορεί να παρακολουθήσει την κάμψη του κυματοδηγού. Ο συντελεστής σύζευξης που υπαγορεύει το ποσοστό της ισχύος που καταφέρνει να συζευχθεί με τον συντονιστή εξαρτάται απότοδιάκενοσύζευξης gκαθώςκαιτηνακτίνα R,μιαςκαιτομέγεθοςτουσυντονιστή μεταβάλλει το εύρος της περιοχής σύζευξης/αλληλεπίδρασης(coupling/interaction region) κυματοδηγού και συντονιστή. Η οπτική απόκριση στην έξοδο του εξαρτήματος διαμορφώνεται ως το αποτέλεσμα της συμβολής μεταξύ του κύματος που συνεχίζει στον ευθύγραμμο κυματοδηγό και αυτού που διέγραψε την περιφέρεια του συντονιστή. Ειδικότερα, η απόκριση σαν συνάρτηση της συχνότητας παρουσιάζει βυθίσεις που αντιστοιχούν σε συντονισμούς διαφορετικής αζιμουθιακής τάξης. Με άλλα λόγια, η διάταξη λειτουργεί σαν ζωνοφρακτικό φίλτρο με τόσες ζώνες αποκοπής όσοι οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί. Η καταστρεπτική συμβολή στην έξοδο όταν η συχνότητα λειτουργίας συμπίπτει με τη συχνότητα συντονισμού δικαιολογείται από την επιπλέον διαφορά φάσης που εισάγεται κατά τη σύζευξη του κύματοςμεταξύκυματοδηγούκαιδακτυλίουκαιισοδυναμείμε π/2γιακάθεμιααπότιςδύο μεταβάσεις Περιγραφή απόκρισης με κυκλωματικό μοντέλο Πραγματοποιώντας μια σειρά από παραδοχές, η απόκριση του φίλτρου μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια απλοποιημένου κυκλωματικού μοντέλου[267, 268]. Για τον σκοπό αυτό, θεωρούμε ότι η διάταξη αποτελείται από έναν κατευθυντικό ζεύκτη με τον ένα κλάδο κυρτό καιτονάλλοευθύγραμμο(ένθετοσχήμαστο4.1).δύοαπότιςθύρεςτουζεύκτη(αυτές στα άκρα του κυρτού κλάδου, θύρες 3 και 4) συνδέονται μέσω τμήματος κυματοδηγού, σχηματίζοντας έτσι τον κλειστό βρόχο του συντονιστή δακτυλίου. 3 ΣτηνπερίπτωσηπουχρησιμοποιείταιμιααπλοποιημένηεκδοχήτηςΕξ.(4.1)μετονενεργόδείκτη διάθλασης να αναφέρεται στον ευθύγραμμο κυματοδηγό, η συνθήκη συντονισμού μπορεί να διορθωθεί με αντικατάστασητηςακτίνας Rαπόμιαενεργόακτίνα R eff [259]. Κάτιτέτοιοείναισκόπιμοκαθώςλόγω της κάμψης του κυματοδηγού το μέγιστο του υποστηριζόμενου ρυθμού κινείται σε μια ενεργό περιφέρεια ακτίνας R eff,ηοποίαείναιμετατοπισμένηπροςτοεξωτερικόόριοτουσυντονιστή(r eff > R). Βέβαια, εκτός από τη μετατόπιση του μεγίστου η κάμψη επηρεάζει και την κατανομή του ρυθμού, η οποία αποκλίνει από αυτή του ευθύγραμμου κυματοδηγού, με αποτέλεσμα η εν λόγω συνθήκη να μην μπορεί να θεωρηθεί ακριβής.

106 94 Κεφάλαιο 4 Ητετράθυρηδιάταξητουζεύκτημπορείναπεριγραφείμεπίνακασκέδασης Sπουσυσχετίζει προσπίπτοντα και ανακλώμενα πλάτη πεδίου. Στη γενική περίπτωση, ο πίνακας σκέδασης είναι διάστασης 4 4. Παρόλα αυτά, στην περίπτωση απουσίας ανακλάσεων μπορούμε να περιγράψουμε τον ζεύκτη με πίνακα διάστασης 2 2. Ειδικότερα, υποθέτουμε ότι κατά τη σύζευξη του φωτός στον συντονιστή δεν εμφανίζεται ανακλώμενο στον κυματοδηγό εισόδου και ότι στον δακτύλιο διαδίδεται κύμα με ανθωρολογιακή μόνο φορά. Με άλλα λόγια, σε κανένα σημείο της διάταξης(ούτε στον κυματοδηγό εισόδου, ούτε στον συντονιστή) δεν υπάρχει ανακλώμενο πεδίο. Ετσι, μας ενδιαφέρουν μόνο τέσσερα στοιχεία τουσυνολικού 4 4πίνακασκέδασης A 2 A 3 = S 21 S 24 S 31 S 34 A + 1 A + 4 (4.2) Για τον 2 2 πίνακα σκέδασης που προκύπτει υποθέτουμε την ακόλουθη μορφή[269]: [ ] A 2 = e jθ A 3 [ ][ ] [ t κ A + 1 κ t A + = e jθ 4 t j 1 t 2 j 1 t 2 t ][ A + 1 A + 4 ], (4.3) όπου κ = j κ αμιγώςφανταστικόςσυντελεστήςσύζευξης 4 και tμιγαδικόςσυντελεστής τηςμορφής t = t exp(jθ t )πουπεριγράφειτοποσοστότηςισχύοςπουσυνεχίζειστον ευθύγραμμοκυματοδηγόαντίνασυζευχθείμετονδακτύλιο. Ταπλάτηπεδίου A ± i είναι έτσι κανονικοποιημένα ώστε το τετράγωνο του μέτρου τους να εκφράζει οδηγούμενη ισχύ. Σημειώνουμε ότι ο πίνακας είναι συμμετρικός, όπως υπαγορεύει η γεωμετρική συμμετρία της περιοχήςσύζευξηςωςπροςτονκατακόρυφοάξοναπουδιχοτομείτονδακτύλιο(σχ.4.1). 5 Ακριβώς αυτή η συμμετρία, είναι που οδηγεί σε αμιγώς φανταστικό συντελεστή σύζευξης, καθώςεπιβάλλειτηνικανοποίησητηςσχέσης κ = κ [267]. Απότηνάλλη,ηαπουσία συμμετρίας ως προς κάποιον οριζόντιο άξονα(καθώς ο ένας κλάδος είναι κυρτός) αποτρέπειταστοιχείατηςκυρίαςδιαγωνίουαπότοναείναιίσα. Είναιφανερόεπίσηςότιέχουμε υποθέσειπωςησύζευξηείναιμιαδιαδικασίαάνευαπωλειών,ισχύειδηλαδή t 2 + κ 2 = 1. Τέλος,οπαράγονταςφάσης exp(jθ )καθιστάτονπίνακαέγκυρογιαέναεύροςσυχνοτήτων, καθώς η ηλεκτρική απόσταση μεταξύ τερματικών επιπέδων της περιοχής σύζευξης μεταβάλλεται με τη συχνότητα. Για την περιγραφή της οπτικής απόκρισης χρησιμοποιείται συνήθως το μέγεθος της μετάδοσης(transmission), η οποία δίνεται από τον λόγο της οδηγούμενης ισχύος στην έξοδο του φίλτρου προς την αντίστοιχη ισχύ στην είσοδο. Για την εξαγωγή μιας κλειστής έκφρασης προσδιορισμού της μετάδοσης, εκτός του πίνακα σκέδασης της Εξ. 4.3, χρειαζόμαστε μια σχέση που να συσχετίζει τα πλάτη A 4 και A + 3. Συμβολίζοντας με θ = (2π/λ)Re{n eff (λ)}(2πr)τηφάσηπουσυσσωρεύειτοκύμακατάτηδιαγραφήτης περιφέρειας του δακτυλίου 6 και με α τις αντίστοιχες απώλειες μπορούμε να γράψουμε 4 Παρατηρείστετηνεισαγωγήφάσης π/2κατάτησύζευξη. 5 ΟπίνακαςσκέδασηςτηςΕξ.(4.3)δενυποχρεούταιναείναισυμμετρικόςλόγωαμοιβαιότηταςκαθώς είναι απλώς ένας εκτός-διαγωνίου υποπίνακας του συνολικού 4 4 πίνακα σκέδασης που περιγράφει την τετράθυρη διάταξη του ζεύκτη[εξ.(4.2)]. 6 Οπίνακαςσκέδασηςπουπροσδιορίσαμεχρησιμοποιείταιγιαναπεριγράψεισημειακά(lumped),καιόχι κατανεμημένα(distributed), τη διαδικασία της σύζευξης, παρότι αυτή συμβαίνει κατά μήκος ενός τόξου

107 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 95 A + 4 = αexp( jθ)a 3. 7 Τελικά,ημετάδοσηπροκύπτειίσημε 8 T = A 2 A + 1 = α2 + t 2 2α t cos(θ θ CIFS ) 1+α 2 t 2 2α t cos(θ θ CIFS ). (4.4) όπουοόροςφάσης θ CIFS περιγράφειτηνολίσθησητηςσυχνότηταςσυντονισμούτουδακτυλίου λόγω σύζευξης με τον ευθύγραμμο κυματοδηγό(coupling Induced Frequency Shift, CIFS)καιισούταιμε θ θ t. Ηεξάρτησητηςμετάδοσηςαπότησυχνότηταπροέρχεται κυρίως από τον όρο φάσης θ και δευτερευόντως μέσω των υπόλοιπων μεγεθών της εξίσωσης(4.4). Τα ελάχιστα της μετάδοσης παρατηρούνται όταν ικανοποιείται η τροποποιημένη λόγωσύζευξηςσυνθήκησυντονισμούτουδακτυλίου, θ θ CIFS = m2π,καιδίνονταιαπό την T min = (α t )2 (1 α t ) 2. (4.5) Η Εξ.(4.5) φανερώνει ότι τα ελάχιστα της μετάδοσης μπορούν να φτάσουν στο μηδέν όταν ικανοποιηθεί η συνθήκη t = α, όταν δηλαδή οι απώλειες στον συντονιστή γίνουν ίσες με τις«απώλειες» κατά τη σύζευξη. Τότε λέμε ότι επικρατούν συνθήκες κρίσιμης σύζευξης (critical coupling) και ο μηδενισμός των ελαχίστων προκύπτει ως αποτέλεσμα της πλήρους καταστρεπτικήςσυμβολήςστηνέξοδοτουφίλτρου[267,268]. 9 Ηπρακτικήσημασίατης παρατήρησης αυτής είναι ότι μεταβάλλοντας τις συνθήκες σύζευξης μέσω του διακένου g μπορούμε να πετύχουμε οξύτερους συντονισμούς και ως εκ τούτου μεγαλύτερη αντίθεση μεταξύ επιπέδων μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης. Σε περίπτωση που μεριμνήσουμε για το δυναμικό έλεγχο μιας τέτοιας διάταξης μέσω κάποιου μηχανισμού(όπως του θερμο-οπτικού φαινομένου), η αντίθεση αυτή θα μεταφραστεί σε υψηλό λόγο εξάλειψης(extinction Ratio, ER) μεταξύ καταστάσεων Φυσική υλοποίηση με DLSPP κυματοδηγό Στην περίπτωσή μας η φυσική υλοποίηση του φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου βασίζεται εξ ολοκλήρου στον DLSPP κυματοδηγό, Σχ Ειδικότερα, ως υλικό πυρήνα του DLSPP επιλέγουμε το πολυμερές BCB(benzocyclobutene) καθώς είναι πυκνότερο(n = 1.535) έναντι των εναλλακτικών επιλογών(pmma ή ORMOCER) και συνεπώς καταλληλότερο για την υλοποίηση συντονιστών δακτυλίου. Οι διαστάσεις του πυρήνα λαμβάνονται ίσες με w h = 6 nm 6 nm,ενώτοπάχοςτουομοιόμορφουφύλλουχρυσούίσομε t Au = 1 nm. Η διηλεκτρική σταθερά του χρυσού λαμβάνεται με γραμμική παρεμβολή μεταξύ των πειραματικών δεδομένων που συμπεριλαμβάνονται στο[193]. Για τον σχηματισμό του συντονιστή ο άξονας του DLSPP κυματοδηγού εξαναγκάζεται να διαγράψει κυκλική τροχιά ακτίνας R. 1 Ετσι,ηεξωτερική(outer)ακτίνατουσυντονιστήισούταιμε R o = R+w/2 αξιόλογου μήκους. Ετσι, ανεξάρτητα από τον τρόπο απεικόνισης στο σχήμα 4.1 η απόσταση των θυρών 3 και 4 ισούται με ολόκληρη την περιφέρεια του δακτυλίου. 7 Οσυντελεστήςαπωλειών αείναιπολλαπλασιαστικός. Στηνπερίπτωσηπουδενυπάρχουναπώλειες ισχύειπροφανώς α = 1. 8 ΓιανααποφευχθείοποιαδήποτεσύγχυσηκατάτησύγκρισητηςΕξ.(4.4)μετην(5)του[267],σημειώνουμε ότι στην τελευταία ο όρος φάσης θ θα έπρεπε να εμφανίζεται με αρνητικό πρόσημο. 9 Στηνπερίπτωσηπουησύζευξηδενείναιδιαδικασίαάνευαπωλειών,ισχύειδηλαδή κ 2 + t 2 = f < 1, η συνθήκη κρίσιμης σύζευξης μετασχηματίζεται σε f α = t [27]. 1 Παρατηρείστεστοσχήμα4.2ότιηακτίναμετράταιστομέσοντηςδιαδρομήςμεταξύεσωτερικήςκαι εξωτερικής περιφέρειας.

108 96 Κεφάλαιο 4 BCB Gold Silica Output 4 [7] 1 [6] 6 5 [4] [5] [9] [8] [3] 3 [1] [2] 2 D g S 2 R Input S 1 Σχήμα 4.2: Φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου βασισμένο σε DLSPP κυματοδηγό διαστάσεων w h = 6 nm 6 nm.οδακτύλιοςακτίνας R(μετράταιστομέσοντηςδιαδρομήςμεταξύ εσωτερικής και εξωτερικής περιφέρειας του δακτυλίου) είναι συζευγμένος με ευθύγραμμο κυματοδηγό μέσω διακένου σύζευξης g(μετρημένου μεταξύ των άκρων κυματοδηγού και συντονιστή). Το φύλλο χρυσού πάχους 1 nm εξασφαλίζει πλήρη οπτική απομόνωση του κυκλώματος από το υπόστρωμα διοξειδίου. Η δομή διακριτοποιείται με τριγωνικά πρισματικά στοιχεία πρώτης τάξης με τουςάξονεςτουςπαράλληλουςστονάξονα z.μεκόκκινοσημειώνονταιταεπίπεδα S 1, S 2 ωςπρος τα οποία πραγματοποιείται ο υπολογισμός του μεγέθους της μετάδοσης η μεταξύ τους απόσταση είναι D = 2R+w. z y x καιηεσωτερική(inner)με R i = R w/2. Εναςευθύγραμμος DLSPPκυματοδηγός τοποθετείται σε γειτνίαση με τον συντονιστή προκειμένου να προσάγει το φως σε αυτόν. Το διάκενο σύζευξης συμβολίζεται με g και μετράται μεταξύ των άκρων κυματοδηγού και συντονιστή. Οπως είδαμε στο κεφάλαιο 2, ο DLSPP κυματοδηγός, όπως και κάθε πλασμονικός κυματοδηγός, παρουσιάζει ωμικές απώλειες εξαιτίας της διείσδυσης του πεδίου στο υλικό με απώλειες: το μεταλλικό φύλλο. Συνεπώς, ένας συντονιστής δακτυλίου βασισμένος στον DLSPP θα χάνει την αποθηκευμένη ενέργεια μέσω απωλειών Joule(resistive losses). Επιπρόσθετα, λόγω της κάμψης του κυματοδηγού ένα ποσοστό της ενέργειας του συντονιστή χάνεται με τη μορφή ακτινοβολίας κατά την περιστροφή του ρυθμού στον συντονιστή (radiation losses). Ειδικότερα, η κάμψη έχει ως αποτέλεσμα τη μετατόπιση του ρυθμού από το κέντρο του κυματοδηγού προς το εξωτερικό του όριο. Το σκέλος της εκθετικά αποσβεννύμενης ουράς του ρυθμού που ξεπερνάει μια κρίσιμη ακτίνα(critical radius) συζευγνύεται με ρυθμούς ακτινοβολίας οι οποίοι απομακρύνονται από τον συντονιστή. Φυσικά, οι συνολικές απώλειες προκύπτουν από τον συνδυασμό των δύο επιμέρους μηχανισμών α- πωλειών, με το ποσοστό συνεισφοράς του κάθε μηχανισμού να εξαρτάται από την τιμή της ακτίνας. Ειδικότερα, όσο μικρότερη η ακτίνα καμπυλότητας, τόσο μεγαλύτερες οι απώλειες ακτινοβολίας. Ετσι, για μικρές ακτίνες αναμένεται οι απώλειες ακτινοβολίας να είναι σημαντικότερες των ωμικών απωλειών, ενώ για μεγάλες ακτίνες να συμβαίνει το αντίθετο. Θα υπάρχει, βέβαια, κάποια τιμή ακτίνας για την οποία οι δύο μηχανισμοί θα συνεισφέρουν

109 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 97 εξίσου στις συνολικές απώλειες. Το κυκλωματικό μοντέλο της ενότητας είναι χρήσιμο για μια πρώτη, ποιοτική ανάλυση της συμπεριφοράς του φίλτρου και μπορεί να φανερώσει τις γενικές τάσεις(trends) της οπτικής απόκρισης σαν συνάρτηση των απωλειών στην περιφέρεια του συντονιστή(α) και των«απωλειών» σύζευξης( t ). Στην περίπτωση που θα θέλαμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξ.(4.4) για έναν ακριβέστερο υπολογισμό της μετάδοσης του φίλτρου θα έπρεπε να λύσουμε έναν αριθμό βοηθητικών ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων. Ειδικότερα, θα απαιτούνταν η ανάλυση της περιοχής σύζευξης για τον προσδιορισμό του πίνακα σκέδασης της Εξ.(4.3)καθώςκαιτουκυματοδηγούυπόκάμψηγιατονπροσδιορισμότου n eff και ατης εξίσωσης(4.4). 11 Αντ αυτού,είναιπροτιμότερηηηλεκτρομαγνητικήανάλυσηολόκληρης της διάταξης του φίλτρου, καθώς δεν είναι σημαντικά μεγαλύτερη από την περιοχή σύζευξης και επιπλέον λαμβάνει υπόψη με αυστηρό(rigorous) και συνεκτικό τρόπο όλα τα εμπλεκόμενα φαινόμενα, όπως την πιθανή παρουσία ανακλάσεων και την κατανεμημένη φύση της περιοχής σύζευξης Επίδραση δομικών παραμέτρων στην οπτική απόκριση Στην ενότητα αυτή εξετάζουμε την επίδραση των δομικών παραμέτρων του φίλτρου(r, g) στην οπτική απόκριση. Για την ηλεκτρομαγνητική ανάλυση του φίλτρου μικροδακτυλίου χρησιμοποιείται η τρισδιάστατη διανυσματική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων(3d- VFEM) που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 3 και καταλήγει στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων, όπως αυτού της Εξ.(3.29). Η μέθοδος δεν πραγματοποιεί καμία παραδοχή πλην της διακριτοποίησης του υπολογιστικού χώρου. Επιτρέπει, έτσι, τον ακριβή (rigorous) υπολογισμό της μετάδοσης, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα εμπλεκόμενα φαινόμενα. Η διακριτοποίηση της δομής πραγματοποιείται με τα τριγωνικά πρισματικά στοιχεία πρώτης τάξης που παρουσιάστηκαν στην ενότητα μια φυσική επιλογή δεδομένης της επίπεδης (planar) φύσης της διάταξης. Οι τριγωνικές βάσεις των πρισμάτων διακριτοποιούν το xy επίπεδο και ο άξονας τους είναι παράλληλος με τον άξονα z. Ο προσανατολισμός αυτός επιτρέπει τη σωστή διακριτοποίηση του συντονιστή δακτυλίου, αποφεύγοντας τη βηματική αναπαράστασητουκαμπύλουορίουτου. 12 Για τον τερματισμό του υπολογιστικού χώρου στις παράπλευρες επιφάνειες(επίπεδα xz και yz) επιλέγονται απορροφητικές συνθήκες πρώτης τάξης(βλ. ενότητα ), ώστε να παραλάβουν τις απώλειες ακτινοβολίας του συντονιστή δακτυλίου στις περιπτώσεις μικρής ακτίνας. Ειδική μέριμνα λαμβάνεται για τη θύρα εισόδου(ορθογωνική περιοχή με διαγράμμισηστοσχήμα4.2),στηνοποίαεισάγεταιοtm ρυθμόςτου DLSPP.Πιοσυγκεκριμένα, καθώς ο υποστηριζόμενος ρυθμός δεν είναι αμιγώς ΤΜ παρά υβριδικός, απαιτείται η χρήση μιας τροποποιημένης ABC που λαμβάνει υπόψη την τανυστική και χωρικά μεταβαλλόμενη κυματική του αντίσταση(βλ. ενότητα 3.3). Τέλος, για τον τερματισμό του κυματοδηγού εξόδου χρησιμοποιούμε πλήρως προσαρμοσμένο στρώμα απορρόφησης(pml), καθώς η μορφή του ρυθμού στον κυματοδηγό εξόδου μπορεί να διαταραχθεί από την αλληλεπίδραση 11 Σημειώνουμεεπίσηςότιπρέπειναληφθούνυπόψηοιαπώλειεςδιάδοσηςστηναπόστασημεταξύθυρών εισόδουκαιεξόδου. ΓιατονσκοπόαυτόηΕξ.(4.4)κλιμακώνεταιμετονόρο exp( D/L prop ),όπου L prop τομήκοςδιάδοσηςευθύγραμμου DLSPPκυματοδηγούόπωςπροκύπτειαπότοαντίστοιχοπρόβλημα ιδιοτιμών. 12 Αυτόςάλλωστεείναικαιέναςαπότουςλόγουςγιατουςοποίουςημέθοδοςτωνπεπερασμένωνστοιχείων κρίθηκε καταλληλότερη για την προσομοίωση των δομών που εξετάζονται στην παρούσα διατριβή έναντι κάποιας μεθόδου πεπερασμένων διαφορών όπως η FDTD.

110 98 Κεφάλαιο 4 με τον κυρτό κλάδο στην περιοχή σύζευξης και από απώλειες ακτινοβολίας του συντονιστή δακτυλίου. 13 Για την τροφοδότηση της τρισδιάστατης δομής του φίλτρου μέσω της απορροφητικής οριακής συνθήκης στη θύρα εισόδου απαιτείται πρώτα η επίλυση ενός δισδιάστατου προβλήματος ιδιοτιμών της διατομής του DLSPP κυματοδηγού. Το πρόβλημα ιδιοτιμών λύνεται σε ένα πανομοιότυπο πλέγμα με αυτό που συναντούμε στη θύρα εισόδου της τρισδιάστατης διάταξης. Επιπρόσθετα, χρησιμοποιούνται στοιχεία πρώτης τάξης ούτως ώστε η προσέγγιση των συνιστωσών να είναι όσο το δυνατόν πιο συμβατή με αυτή του τρισδιάστατου προβλήματος και η υλοποίηση της απορροφητικής συνθήκης όσο το δυνατόν πιο ακριβής. Ειδικότερα, οι εγκάρσιες συνιστώσες μοντελοποιούνται με(ορθογωνικά) στοιχεία ακμής πρώτης τάξης, ενώ η αξονική συνιστώσα με κομβικά(ορθογωνικά) στοιχεία πρώτης τάξης. Μετά την επίλυση του 2-Δ προβλήματος ιδιοτιμών είμαστε έτοιμοι να υλοποιήσουμε την ABC στη θύρα εισόδου και να λύσουμε το 3-Δ πρόβλημα διάδοσης του φίλτρου. Εχοντας λύσει για το πεδίο σε ολόκληρη την τρισδιάστατη δομή μπορούμε να υπολογίσουμε την ο- δηγούμενηισχύστηνείσοδο(επίπεδο S 1 στοσχ.4.2)καιέξοδο(επίπεδο S 2 στοσχ.4.2) και,μέσωτουλόγουτους,τομέγεθοςτηςμετάδοσης.στηνπράξη,ηισχύςστοεπίπεδο S 1 υπολογίζεται από βοηθητικό πρόβλημα ευθύγραμμου κυματοδηγού στην απουσία του συντονιστή. Κάτι τέτοιο κρίνεται σκόπιμο καθώς ο οδηγούμενος ρυθμός διαταράσσεται από ανακλάσεις στην περιοχή σύζευξης και από το πεδίο που διαφεύγει από τον συντονιστή στις περιπτώσεις μικρής ακτίνας. Επιπρόσθετα, ο υπολογισμός της ισχύος εξόδου πολλές φορές πραγματοποιείται σε επίπεδο που απέχει περισσότερο από την περιοχή σύζευξης συγκριτικά μετο S 2,μεσκοπόκαιπάλιηδιαδιδόμενηκυματικήμορφήναείναιόσοτοδυνατόνκοντύτεραστονΤΜ του DLSPP.Αυτόεπιβεβαιώνεταιμέσωτηςεκτέλεσηςολοκληρώματος επικάλυψηςπουελέγχειτησυσχέτισητηςοδηγούμενηςπεδιακήςμορφήςμετοντμ του DLSPP. Στη συνέχεια, το αποτέλεσμα του υπολογισμού διορθώνεται με βάση τις απώλειες διάδοσηςτουτμ ούτωςώστενααναφέρεταιστο S 2 επίπεδο. Ανεξάρτητααπότιςλεπτομέρειες του εκάστοτε υπολογισμού, το μέγεθος της μετάδοσης νοείται πάντα μεταξύ τωνφυσικώνορίωντουσυντονιστή,τωνεπιπέδων S 1 και S 2 δηλαδήταοποίακαιαπέχουν απόσταση D = 2R+w(Σχ.4.2).Προφανώς,αυτόσυνεπάγεταιέναάνωόριοστομέγεθος της μετάδοσης. Ειδικότερα, για ακτίνες της τάξης των 5 μm και δεδομένου του μήκους διάδοσης του DLSPP κυματοδηγού που εξετάζουμε( 4 μm), το όριο αυτό προκύπτει ίσομε Επίδραση διακένου σύζευξης Για τη διερεύνηση της επίδρασης του διακένου σύζευξης g στην οπτική απόκριση αποδίδουμε διαφορετικές τιμές στο διάκενο(.3,.25 και.2 μm) και υπολογίζουμε τη μετάδοση στο εύρος μηκών κύματος μm. Η ακτίνα του συντονιστή κρατείται σταθερή στα 5μm. ΗισχυρήσυγκέντρωσητουΤΜ ρυθμούεπιτρέπειτηνκάμψητου DLSPP μεακτίνεςκαμπυλότηταςλίγωνμικρών. Ητιμήτων 5μmεπιλέχθηκεέτσιώστεναεξασφαλίζει χαμηλές απώλειες ακτινοβολίας. Πράγματι, όπως θα δούμε σε επόμενη ενότητα, για την τιμή αυτή ακτίνας ο κυρίαρχος μηχανισμός απωλειών είναι οι ωμικές απώλειες κατά μήκους της περιφέρειας του συντονιστή. Τα αποτελέσματα συγκεντρώνονται στο σχήμα 13 Ηχρήσητου PMLγίνεταιμόνοτοπικά,καθώςηοικουμενικήχρήσησεολόκληροτοόριοτουυπολογιστικού χώρου θα οδηγούσε αφενός σε σημαντική αύξηση των βαθμών ελευθερίας και αφετέρου σε κακές μαθηματικές ιδιότητες(ill-conditioning) των πινάκων πεπερασμένων στοιχείων.

111 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 99.8 g =.3 µ m g =.25 µ m g =.2 µ m Transmission Wavelength ( µ m) Σχήμα 4.3: Μετάδοση φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου σαν συνάρτηση του μήκους κύματος για διαφορετικές τιμές διακένου σύζευξης. Η ακτίνα του συντονιστή είναι σταθερή και ίση με 5 μm. Οι λόγοι εξάλειψης(er) μεταξύ επιπέδου μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης για τις τρεις περιπτώσεις είναι 7.35, 1.5 και 17 db, αντίστοιχα. Σημειώνεται το μέγιστο και ελάχιστο της μετάδοσης για τα οποία απεικονίζεται η πεδιακή κατανομή στο σχήμα Οπως αναμενόταν, η μετάδοση εμφανίζει βυθίσεις που αντιστοιχούν στις συχνότητες συντονισμού του δακτυλίου. Η απόσταση μεταξύ διαδοχικών συντονισμών ονομάζεται ελεύθεροφασματικόεύρος(free Spectral Range, FSR)καιείναιτηςτάξηςτων5 nmγιατην τιμή αυτή ακτίνας. Μια ελαφριά μετατόπιση των θέσεων των ελαχίστων για διαφορετικές τιμές διακένου οφείλεται στο διαφοροποιημένο CIFS, ανάλογα με το επίπεδο σύζευξης της κάθε περίπτωσης. Στο σχήμα 4.4 απεικονίζεται η πεδιακή κατανομή στη δομή του φίλτρου για ένα ελάχιστο (λ = µm)καιέναμέγιστο(λ = µm)τηςμετάδοσης,ταοποίακαισημειώνονται στο σχήμα 4.3. Ειδικότερα, σχεδιάζουμε την κυρίαρχη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου (E z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nmαπότηνάνωεπιφάνειατουμεταλλικούφύλλου. Παρατηρείστε την απουσία κύματος στον κυματοδηγό εξόδου στην περίπτωση του ελαχίστου[4.4(α)], με την προσπίπτουσα ισχύ να καταναλώνεται στις απώλειες του συντονιστή. Απεναντίας, όταν η συχνότητα λειτουργίας διαφέρει από τη συχνότητα συντονισμού του δακτυλίου η προσπίπτουσα ισχύς περνάει σχεδόν εξολοκλήρου στον κυματοδηγό εξόδου [4.4(β)]. Από την παρατήρηση των καμπυλών μετάδοσης του σχήματος 4.3 γίνεται φανερό ότι η τιμή του διακένου αποτελεί τον τρόπο να ελέγξουμε το επίπεδο ελάχιστης μετάδοσης του φίλτρου.καθώςητιμήτουδιακένουελαττώνεταιαπότα.3μmστα.25μmταελάχιστα αντιστοιχούν σε χαμηλότερο επίπεδο μετάδοσης. Παρόλα αυτά, δεν παρατηρείται ακόμη μηδενισμός των ελαχίστων. Πράγματι, ακόμη και στο ελάχιστο της μετάδοσης συνεχίζει να υπάρχει οδηγούμενος ρυθμός στην ευθύγραμμο κυματοδηγό μετά τον συντονιστή, σχήμα 4.4(α). Απαιτείται συνεπώς ακόμη μικρότερη τιμή διακένου(.2 μm) για τον μηδενισμό τους. Εκτός από την ελάττωση του επιπέδου των ελαχίστων, η μείωση του διακένου οδηγεί και σε παράλληλη μείωση του επιπέδου μέγιστης μετάδοσης. Πάρα ταύτα, η μεταβολή αυτή είναι λιγότερο έντονη από την αντίστοιχη που παρατηρείται για τα ελάχιστα. Ως αποτέλεσμα, ο λόγος εξάλειψης(extinction Ration, ER) μεταξύ των επιπέδων ελάχιστης και μέγιστης μετάδοσης αυξάνει με τη μείωση του διακένου. Πιο συγκεκριμένα το ER, μετρημένο για το κεντρικόβύθισμαστηνπεριοχήτου 1.55μm,προκύπτει 7.35, 1.5και 17 db,γιατιςτρεις τιμές του διακένου, αντίστοιχα.

112 1 Κεφάλαιο 4 ( R,g ) = (5 µm,.25 µm) ( R,g) = (5 µm,.25 µm) y-coordinate (µm) x-coordinate (µm) (α) y-coordinate (µm) 8 λ = µm 6 λ = µm Re{ E z } x-coordinate (µm) (β) Re{ E z } Σχήμα 4.4: Πεδιακή κατανομή σε δομή φίλτρου μικροδακτυλίου για συχνότητα λειτουργίας που αντιστοιχείσε(α)ελάχιστο(λ = µm)και(β)μέγιστο(λ = µm)τηςμετάδοσης. Απεικονίζεταιτοπραγματικόμέροςτηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(E z )σε xy επίπεδο υπερυψωμένο κατά 1 nm από την άνω επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου. Η ακτίνα του συντονιστήείναι 5μmκαιτοδιάκενοσύζευξης.25μm. Στη συνέχεια, εξετάζουμε κατά πόσο η τάση(trend) που παρατηρήθηκε μέσω των 3D- VFEM προσομοιώσεων αναφορικά με την αύξηση του ER για ελαττούμενες τιμές διακένου συμφωνεί με τις προβλέψεις του κυκλωματικού μοντέλου. Για τον σκοπό αυτό, θα προσπαθήσουμε αρχικά να εκτιμήσουμε τις τιμές των παραμέτρων α και t που υπεισέρχονται σε αυτό. Αγνοώντας προσωρινά τις απώλειες ακτινοβολίας, μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα άνω όριο για την παράμετρο α. Ειδικότερα, οι απώλειες διάδοσης στην περιφέρεια θέτουν έναάνωόριοίσομε exp( 2πR/2L prop ).68.Οπαράγοντας 2συμπεριλαμβάνεταιστον παρονομαστήτουεκθέτηκαθώςτο ααναφέρεταιστοπλάτοςπεδίουενώτο L prop στην οπτική ένταση(ισχύ). Με τη συμμετοχή των απωλειών ακτινοβολίας, οι οποίες δεν είναι ιδιαίτερασημαντικέςγιατηνακτίνατων 5μm,ητιμήτου αθαπροκύψεικατάτιμειωμένη συγκριτικάμετοάνωαυτόόριο.απότηνάλλη,ητιμήτου t αναμένεταιυψηλή.ειδικότερα, προσομοιώνοντας την περιοχή σύζευξης για τιμή διακένου g =.3 μm και συχνότητα λειτουργίας λ = 1543 nmβρίσκουμεότιοσυντελεστή t προκύπτειίσοςμε.86,σχήμα 4.5. Οπως γίνεται αντιληπτό και από την παρατήρηση του σχήματος το μεγαλύτερο μέρος της ισχύος που φτάνει στην περιοχή σύζευξης(το 75% περίπου) συνεχίζει να διαδίδεται στον ευθύγραμμο κυματοδηγό αντί να συζευχθεί με το δακτύλιο. Προχωρούμε τώρα στην επιβεβαίωση της παρατηρούμενης συμπεριφοράς με τη βοήθεια του κυκλωματικού μοντέλου. Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε για τιμή διακένου g =.3μmτοφίλτρολειτουργείστηνπεριοχή t > α(under-coupling). Μετημείωση του διακένου η σύζευξη γίνεται ισχυρότερη και συνεπώς ο συντελεστής t θα μειωθεί. Δεν είναι δύσκολο να επιβεβαιώσει κανείς ότι δεδομένης της λειτουργίας στην περιοχή t > α η αντικατάσταση ελαττούμενων τιμών του t στην Εξ. 4.4 οδηγεί σε βελτίωση του λόγου εξάλειψης. Με άλλα λόγια, μειώνοντας το t προσεγγίζουμε την τιμή του α και συνεπώς την ικανοποίηση της συνθήκης κρίσιμης σύζευξης, όπου τα ελάχιστα της μετάδοσης μηδενίζονται και η αντίθεση μεταξύ των επιπέδων ελάχιστης και μέγιστης μετάδοσης βελτιώνεται θεαματικά.

113 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 11 x-coordinate (µm) R = 5 µm g =.3 µm t =.86 t 2 + κ 2 ~ y-coordinate (µm) (α) t 2 κ (β) Σχήμα 4.5: Προσομοίωση περιοχής σύζευξης για τον προσδιορισμό του συντελεστή t που υπεισέρχεται στο κυκλωματικό μοντέλο. Οι γεωμετρικές παράμετροι λαμβάνονται ίσες με R = 5μmκαι g =.3μmκαιτομήκοςκύματοςλειτουργίαςείναι 1.543μm(αντιστοιχείστομεσαίο ελάχιστο μετάδοσης της μπλε καμπύλης του σχήματος 4.3). Απεικονίζεται το πραγματικό μέρος τηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(e z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nm από την άνω επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου:(α) σε κάτοψη και(β) προοπτικά. Το μεγαλύτερο μέρος της προσπίπτουσας ισχύος συνεχίζει στον ευθύγραμμο κυματοδηγό με τον συντελεστή t να διαμορφώνεται στο R = 4.95 µ m R = 5. µ m R = 5.5 µ m Transmission Wavelength ( µ m) Σχήμα 4.6: Μετάδοση φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου σαν συνάρτηση του μήκους κύματος για ασθενείς μεταβολές της ακτίνας του συντονιστή. Το διάκενο σύζευξης είναι σταθερό και ίσο με.25μm. Μεταβολήστηνακτίνατηςτάξηςτων 5 nmέχειωςαποτέλεσμαμετακίνησητων ελαχίστων κατά 15 nm Επίδραση ακτίνας συντονιστή Στην παρούσα ενότητα εξετάζουμε την επίδραση της έτερης γεωμετρικής παράμετρου του φίλτρου μικροδακτυλίου, της ακτίνας του συντονιστή R, στην οπτική απόκριση. Κρατώντας την τιμή του διακένου στα.25 μm και μεταβάλλοντας ελαφρώς την ακτίνα, τα ελάχιστα της μετάδοσης μετατοπίζονται[σχ. 4.6]. Κάτι τέτοιο είναι απολύτως αναμενόμενο καθώς η αλλαγή του μήκους της περιφέρειας συνεπάγεται ότι η συνθήκη συντονισμού του δακτυλίου[εξ.(4.1)] θα ικανοποιείται για κατά τι διαφορετική συχνότητα. Μάλιστα, οι θέσεις των ελαχίστων αποδεικνύονται ιδιαίτερα ευαίσθητες στις αλλαγές της ακτίνας. Ειδικότερα,

114 12 Κεφάλαιο 4.8 g =.25 µ m g =.1 µ m Transmission Wavelength ( µ m) Σχήμα 4.7: Μετάδοση φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου σαν συνάρτηση του μήκους κύματος γιασυντονιστήακτίναςr = 3.5μm.Τοελεύθεροφασματικόεύροςείναι 7nmαντίγια 5nm στην περίπτωση ακτίνας 5 μm(η αντίστοιχη καμπύλη συμπεριλαμβάνεται για τη διευκόλυνση της σύγκρισης με διακεκομμένη γραμμή). Επιπλέον, οι συντονισμοί είναι λιγότερο οξείς λόγω των αυξημένων απωλειών ακτινοβολίας. Εξετάζονται δύο τιμές διακένου: g =.25 µm και g =.1 µm. Για τη δεύτερη επιτυγχάνεται κρίσιμη σύζευξη και η αντίθεση των επιπέδων μετάδοσης διαμορφώνεταιστα 17 db.σημειώνεταιτοελάχιστοτηςμετάδοσης(λ = 1.586μm)γιατοοποίο απεικονίζεται η πεδιακή κατανομή στο φίλτρο στο σχήμα 4.8. μεταβολή στην ακτίνα της τάξης των 5 nm έχει ως αποτέλεσμα μετακίνηση των ελαχίστων κατά 15 nm. 14 Μεταβάλλονταςτηνακτίναεπιφέρουμεαλλαγήστομήκοςοπτικούδρόμου του δακτυλίου. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να επιτύχουμε το ίδιο αποτέλεσμα μεταβάλλοντας τον δείκτη διάθλασης του δακτυλίου. Ακριβώς αυτή την αρχή θα εκμεταλλευτούμε στο κεφάλαιο 5 με σκοπό τον δυναμικό έλεγχο της απόκρισης του φίλτρου. Εκτός από τη μετακίνηση της θέσης των ελαχίστων οι ελαφριές αυτές μεταβολές της ακτίνας έχουν αμελητέα επίδραση στα υπόλοιπα χαρακτηριστικά της οπτικής απόκρισης, δηλαδήτο FSRκαιτο ER.Μεαναφοράστοκυκλωματικόμοντέλο,κάτιτέτοιοείναιπλήρως αναμενόμενο καθώς οι μεταβολές αυτές της ακτίνας δεν είναι ικανές να αλλάξουν τις τιμές των παραμέτρων α και t. Προς τον σκοπό της επίδειξης φίλτρου με σημαντικά διαφοροποιημένο ελεύθερο φασματικό εύρος θέτουμε την ακτίνα στα 3.5 μm, σχήμα 4.7. Πράγματι, στηνπερίπτωσηαυτήτο FSRείναι 7 nmαντίγιατα 5 nmτηςακτίναςτων 5μm.Το εύρος των συντονισμών(linewidth) προκύπτει επίσης σημαντικά διαφοροποιημένο. Ειδικότερα, οι αυξημένες απώλειες ακτινοβολίας στην περίπτωση της μικρής αυτής τιμής ακτίνας οδηγούν σε συντονισμούς χαμηλού συντελεστή ποιότητας με αποτέλεσμα οι αντίστοιχες βυθίσεις να προκύπτουν σημαντικά διευρυμένες. Η διαφυγή του ρυθμού από τον συντονιστή λόγω της μικρής ακτίνας καμπυλότητας απεικονίζεται στο σχήμα 4.8. Παρατηρείστε το σχηματισμό μιας«φτερωτής» καθώς μέρος της ισχύος του ρυθμού συζευγνύεται με ρυθμούς ακτινοβολίας. Η μη διατάραξη της μορφής της φτερωτής από τα όρια του υπολογιστικού χώρου αποτελεί απόδειξη της σωστής λειτουργίας των απορροφητικών οριακών συνθηκών. Συγκρίνοντας τις καμπύλες του σχήματος 4.7 που αντιστοιχούν σε φίλτρα μικροδακτυλίουμετοίδιοδιάκενοσύζευξης(.25μm)καιακτίνεςσυντονιστή3.5μm(μπλεσυνεχής)και 5 μm(μαύρη διακεκομμένη), αντίστοιχα, διαπιστώνουμε ότι για το φίλτρο ακτίνας 3.5 μm 14 Τοπαραπάνωείναιαπολύτωςσύμφωνομετοαποτέλεσμαενόςπρόχειρουυπολογισμούστηβάσητης συνθήκης συντονισμού(4.1), σύμφωνα με τον οποίο η μετακίνηση των ελαχίστων συνδέεται με τη μεταβολή τηςακτίναςμέσωτης R/R λ/λ.

115 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 13 Σχήμα 4.8: Αυξημένες απώλειες ακτινοβολίας στην περίπτωση φίλτρου με ακτίνα συντονιστή R = 3.5 μm. Απεικονίζεται το πραγματικό μέρος της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου (E z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nmαπότηνάνωεπιφάνειατουμεταλλικούφύλλου.η συχνότητα λειτουργίας είναι μm και αντιστοιχεί στο ελάχιστο μετάδοσης που σημειώνεται στο σχήμα 4.7. η αντίθεση των επίπεδων μετάδοσης είναι σημαντικά ασθενέστερη. Ας εξετάσουμε αν η παρατήρηση αυτή μπορεί να επιβεβαιωθεί με χρήση του κυκλωματικού μοντέλου. Στην ε- νότητα είδαμεότιγιατηνπερίπτωση R = 5μmκαι g =.3μmησυνθήκηκρίσιμης σύζευξης δεν ικανοποιείται: τα ελάχιστα μετάδοσης δεν φτάνουν στο παρά σταματούν στο.2, Σχ Μάλιστα, μέσω του υπολογισμού της παραμέτρου t (.86) επιβεβαιώσαμε ότιτοφίλτροβρίσκεταιστηνπεριοχήλειτουργίας t > α,σχ.4.5. Τοίδιοισχύεικαιγια τηνπερίπτωση R = 5μmκαι g =.25μm(μαύρησυνεχήςγραμμήστοΣχ.4.3),ηοποία συμπεριλαμβάνεται στο σχήμα 4.7 με μαύρη διακεκομμένη γραμμή. Τα ελάχιστα μετάδοσης συνεχίζουν να μην φτάνουν στο, ενώ από την προσομοίωση της περιοχής σύζευξης διαπιστώνουμε ότι η παράμετρος t διαμορφώνεται στο.8 παραμένοντας μεγαλύτερη από α.68. Απότηνπαρατήρησητουσχήματος4.7,τοφίλτροακτίνας 3.5μmφαίνεταινα βρίσκεται μακρύτερα από τη συνθήκη κρίσιμης σύζευξης. Η συμπεριφορά αυτή μπορεί εύκολα να δικαιολογηθεί. Καταρχήν, η ελάττωση της ακτίνας οδηγεί σε μείωση του εύρους της περιοχής σύζευξης. Κατά συνέπεια, μεγαλύτερο ποσοστό ισχύος θα συνεχίσει να διαδίδεται στον ευθύγραμμο κυματοδηγό αντί να συζευχθεί με τον κυρτό κλάδο, γεγονός που συνεπάγεται την αύξηση του συντελεστή t. Ειδικότερα, από την προσομοίωση της περιοχής σύζευξηςπροκύπτει t.88(λ = 1.519μm)έναντι.8για R = 5μm(λ = 1.543μm). Επιπρόσθετα, η αύξηση των απωλειών ακτινοβολίας στην περίπτωση της μικρής τιμής α- κτίνας(σχ. 4.8) συνεπάγεται τη σημαντική εξασθένιση του ρυθμού κατά τη διαγραφή της περιφέρειας του δακτυλίου και συνεπώς οδηγεί σε ελάττωση του συντελεστή α. Οι ωμικές απώλειες στην περιφέρεια μειώνονται, αλλά η αντίστοιχη αύξηση στην παράμετρο α δεν είναι ικανή να αντισταθμίσει τη μείωση λόγω απωλειών ακτινοβολίας. Συμπερασματικά, το φίλτρο ακτίνας 3.5 μm βρίσκεται μακρύτερα από τη συνθήκη κρίσιμης σύζευξης συγκριτικά μετοφίλτροακτίνας 5μmεξαιτίαςαμφότερωντηςαύξησηςτου t καιτηςταυτόχρονης μείωσης του α. Μπορούμε, βέβαια, να επιτύχουμε συνθήκες κρίσιμης σύζευξης και στην περίπτωση ακτίνας 3.5 μm. Καθώς βρισκόμαστε στην περιοχή λειτουργίας t > α, για τον σκοπό αυτό απαιτείται η μείωση του συντελεστή t μέσω της ελάττωσης του διακένου g. Μάλιστα, η μείωσητουδιακένουθαπρέπειναείναιεντονότερησεσχέσημετηνπερίπτωση R = 5μm καθώς αυτή τη φορά η απόσταση από την ικανοποίηση της συνθήκης είναι μεγαλύτερη.

116 14 Κεφάλαιο 4 Πράγματι,ενώγια R = 5μmαρκούσετιμήδιακένου.2μmγιατηνεπίτευξητηςσυνθήκης t = α, στην περίπτωση ακτίνας 3.5 μm η απαιτούμενη τιμή διακένου διαμορφώνεται στα.1μm,σχήμα Γιατηντιμήαυτήδιακένουταελάχιστασχεδόνμηδενίζονταιμε τονλόγοεξάλειψηςναφτάνειτα 17 db,όπωςκαιστηνπερίπτωσητουφίλτρουακτίνας 5 μm. Παρατηρείστε επίσης πως η μείωση της τιμής του διακένου οδηγεί σε μετακίνηση τωνθέσεωντωνελαχίστων(cifs).ημετακίνησηαυτήείναιτηςτάξης 3 4 nm Το φίλτρο μικροδακτυλίου ως πρόβλημα ιδιοτιμών Στην παρούσα ενότητα, σε μια προσπάθεια επιβεβαίωσης των αποτελεσμάτων των ενοτήτων και , αντιμετωπίζουμε το φίλτρο ως πρόβλημα ιδιοτιμών. Εξετάζουμε διαδοχικά τις περιπτώσεις του ασύζευκτου συντονιστή δακτυλίου και του συντονιστή συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό. Επιλύοντας τα αντίστοιχα προβλήματα ιδιοτιμών με τη μέθοδο τωνπεπερασμένωνστοιχείωνπροσδιορίζουμετιςμιγαδικές 16 συχνότητεςσυντονισμού(ιδιοτιμή) καθώς και τον σχετικό ρυθμό συντονισμού(ιδιοδιάνυσμα) του εκάστοτε συστήματος. Πιο συγκεκριμένα, το πραγματικό μέρος της ιδιοτιμής αποτελεί τη συχνότητα συντονισμού (ω), ενώ το φανταστικό μέρος εκφράζει το επίπεδο απωλειών, το οποίο ποσοτικοποιείται συχνά μέσω του συντελεστή ποιότητας(quality factor) Q: Q = Re{ω} 2Im{ω}. (4.6) Στην περίπτωση του ασύζευκτου δακτυλίου, ο συντονιστής δεν τροφοδοτεί κάποιο εξωτερικό φορτίο(load). Ετσι, η αποθηκευμένη στον συντονιστή ενέργεια καταναλώνεται μόνο μέσω των εγγενών απωλειών του συντονιστή. Ως αποτέλεσμα, το πρόβλημα ιδιοτιμών χαρακτηρίζεται αφόρτιστο(unloaded), ενώ ο αντίστοιχος συντελεστής ποιότητας εσωτερικός(internalήintrinsic)καισυμβολίζεταιμε Q i. Μπορείνααναλυθείσεσυντελεστές ποιότητας που αναφέρονται στον κάθε μηχανισμό απωλειών ξεχωριστά 1 Q i = 1 Q rad + 1 Q res, (4.7) όπου Q rad οσυντελεστήςποιότηταςπουαντιστοιχείστιςαπώλειεςακτινοβολίας(radiation loss)καιq res οσυντελεστήςποιότηταςπουαντιστοιχείστιςωμικέςαπώλειες(resistiveloss). Στην περίπτωση της διάταξης φίλτρου, ο συντονιστής τροφοδοτεί ένα εξωτερικό φορτίο: τον ευθύγραμμο κυματοδηγό με τον οποίον είναι συζευγμένος. Η διαφυγή της αποθηκευμένης ενέργειας μέσω του κυματοδηγού αποτελεί έναν επιπλέον μηχανισμό απωλειών. Ο αντίστοιχος συντελεστής ποιότητας ονομάζεται εξωτερικός(external) και συμβολίζεται με 15 Τιμέςδιακένουτηςτάξηςτων1 nmδενείναιεύκολαεπιτεύξιμεςμετιςυπάρχουσεςμεθόδουςλιθογραφίας. Σαν απάντηση σε αυτό το πρόβλημα, στο κεφάλαιο 5 θα εισαγάγουμε έναν συντονιστή λίγο διαφορετικού σχήματος(racetrack resonator), ο οποίος αντισταθμίζει την αδυναμία περαιτέρω ελάττωσης της τιμής του διακένου με την αύξηση του εύρους της περιοχής σύζευξης. Ειδικότερα, το σχήμα του συντονιστή αποτελείται από περιφέρειες ημικυκλίου συνδεδεμένες με ευθύγραμμα τμήματα και θυμίζει διάδρομο στίβου(κουλουάρ). 16 Στηνπερίπτωσητουασύζευκτουδακτυλίουτοφανταστικόμέροςτηςσυχνότηταςσυντονισμούπροκύπτει εξαιτίας των εγγενών απωλειών του συντονιστή, ενώ στην περίπτωση του φίλτρου διαμορφώνεται και από την ισχύ που αφήνει το υπολογιστικό χωρίο μέσω του ευθύγραμμου κυματοδηγού. Μόνο στην περίπτωση ασύζευκτου συντονιστή άνευ απωλειών η συχνότητα συντονισμού θα ήταν αμιγώς πραγματική.

117 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 15 Q e (ή Q wg ). Είναιπροφανέςότιγιατονσυνολικό,υπόσυνθήκεςτροφοδότησηςφορτίου (loaded),συντελεστήποιότητας, Q l,ισχύει 1 Q l = 1 Q i + 1 Q e. (4.8) Εστω λοιπόν μια δομή συντονιστή δακτυλίου συζευγμένου ή όχι με ευθύγραμμο κυματοδηγό. Θα χρησιμοποιήσουμε και πάλι την τρισδιάστατη διανυσματική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για την ανάλυσή της. Η διακριτοποίηση της δομής γίνεται με πρισματικά στοιχεία πρώτης τάξης και η αποκοπή του υπολογιστικού χώρου με απορροφητικές οριακές συνθήκες. Για τον τερματισμό του ευθύγραμμου κυματοδηγού γίνεται τοπική χρήση πλήρως προσαρμοσμένου στρώματος απορρόφησης. Η διαφορά του προβλήματος ιδιοτιμών με τα προβλήματα αρμονικής διάδοσης(harmonic propagation) των ενοτήτων και είναι ότι αφενός δεν υπάρχει διέγερση και αφετέρου η συχνότητα δεν είναι παράμετρος παρά άγνωστος του προβλήματος. Με βάση την ανάλυση που προηγήθηκε στο κεφάλαιο 3 δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι ένα τέτοιο πρόβλημα ιδιοτιμών περιγράφεται απότην(πρβ.εξ.3.29) 17 [S]{E} = λ[b]{e} λ 2 [T]{E}, (4.9) όπου λ = jk ηιδιοτιμήτουπροβλήματος. 18 ΗΕξ.(4.9)περιγράφειένατετραγωνικόπρόβλημα ιδιοτιμών(quadratic Eigenvalue Problem, QEP) καθώς η ιδιοτιμή λ εμφανίζεται και στη δεύτερη δύναμη. Η λύση ενός τέτοιου προβλήματος ιδιοτιμών δεν είναι εύκολη υπόθεση για πίνακες μεγάλων διαστάσεων, έστω και αραιών, όπως αυτοί της τρισδιάστατης μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. Η γνωστότερη μέθοδος επίλυσης σε τέτοιες περιπτώσεις συνίσταται στην μετατροπή του QEP σε ένα γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών(generalized Eigenvalue Problem, GEP) με τη χρήση κάποιου μετασχηματισμού που οδηγεί σε διπλασιασμό των αγνώστων. Για παράδειγμα δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι η επίλυση του τετραγωνικού προβλήματος ιδιοτιμών της Εξ.(4.9) ισοδυναμεί με την επίλυση του γενικευμένου προβλήματος ιδιοτιμών [ ]{ } I E = λ S B λe [ ]{ } I E, (4.1) T λe όπου I ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας, αντίστοιχα. Παρόλα αυτά, στα περισσότερα τρισδιάστατα προβλήματα πρακτικού ενδιαφέροντος ο διπλασιασμός των αγνώστων είναι α- παγορευτικός. Οι αυξημένες απαιτήσεις μνήμης δεν επιτρέπουν την επίλυση του προκύπτοντος προβλήματος ιδιοτιμών, παρότι γενικευμένο. Μια διαφορετική προσέγγιση συνίσταται στον χειρισμό της ιδιοτιμής μπροστά από τον πίνακα B ως σταθεράς. Ειδικότερα, πραγματοποιούμεμιαπρώτηπρόβλεψηγιατησυχνότητασυντονισμού ω καικατασκευάζουμε τηναπορροφητικήοριακήσυνθήκημετοναντίστοιχοκυματικόαριθμό k. Τοπροκύπτον 17 ΗΕξ.(4.9)ισχύειαυστηράστηνπερίπτωσηπουολόκληροτοόριοτουυπολογιστικούχώρουβρίσκεται στον αέρα. Στην περίπτωση που τμήματα του ορίου βρίσκονται σε διαφορετικό υλικό, η απορροφητική οριακήσυνθήκηκατασκευάζεταιμετονκυματικόαριθμότουυλικού k = k n,όχιτουελεύθερουχώρου [βλ. Εξ.(3.22)]. Ετσι, ο δείκτης διάθλασης του εκάστοτε υλικού πρέπει να συμπεριληφθεί στον τοπικό πίνακα B. 18 Προφανώς,ότανηιδιοτιμήορίζεταιμεαυτόντοντρόποτοφανταστικότηςμέροςείναιπουπεριγράφει τη συχνότητα συντονισμού και το πραγματικό τις απώλειες.

118 16 Κεφάλαιο 4 Πίνακας 4.1: Συχνότητες συντονισμού και αντίστοιχοι συντελεστές ποιότητας ασύζευκτου συντονιστήδακτυλίουακτίνας 5(m = 24 26)και 3.5 µm(m = 17 18). Οισυχνότητες των ελαχίστων μετάδοσης(g =.25 µm) συμπεριλαμβάνονται επίσης για τη διευκόλυνση της σύγκρισης. Ακτίνα συντονιστή(µm) Αζιμουθιακή τάξη ρυθμού Συχνότητασυντονισμού(µm) Ελάχισταμετάδοσης(µm) Q i Q rad Q res πρόβλημα ιδιοτιμών παύει να είναι τετραγωνικό και καθίσταται γενικευμένο: ([S]+jk [B]){E} = λ[t]{e}, (4.11) όπου λ = k 2 ηιδιοτιμήτουπροβλήματος.λύνονταςτοπρόβλημαιδιοτιμώντηςεξ.(4.11) αποκτούμε μια πρώτη εκτίμηση για την ιδιοτιμή λ και άρα την πραγματική συχνότητα συντονισμού. Με τη χρήση της εκτίμησης αυτής κατασκευάζουμε μια ακριβέστερη απορροφητική συνθήκη και επαναλαμβάνουμε τη λύση του προβλήματος ιδιοτιμών της Εξ.(4.11) ώστε να αποκτήσουμε μια βελτιωμένη εκτίμηση της συχνότητας συντονισμού. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρις ότου η ιδιοτιμή συγκλίνει. Στην πράξη δύο με τρεις επαναλήψεις είναι συνήθως αρκετές. Αυτό, πέρα από τη σύγκριση της συχνότητας συντονισμού μεταξύ διαδοχικών επιλύσεων της Εξ.(4.11), μπορεί να επιβεβαιωθεί μέσω σύγκρισης με την ακριβή λύση του τετραγωνικού προβλήματος ιδιοτιμών της Εξ.(4.9). Τέλος, σημειώνουμε ότι αν παρακάμψουμε τη χρήση ABCs μέσω της οικουμενικής χρήσης στρωμάτων απορρόφησης (PMLs) στα όρια του υπολογιστικού χώρου, τότε το πρόβλημα ιδιοτιμών προκύπτει εξαρχής γενικευμένο(όχι τετραγωνικό), με αποτέλεσμα να μην απαιτείται κάποιος ιδιαίτερος χειρισμός για την επίλυσή του. Πιο συγκεκριμένα, είναι της μορφής [S]{E} = λ[t]{e}, (4.12) όπου λ = k 2 ηιδιοτιμήτουπροβλήματος. Τοκόστοςπουπληρώνουμεστηνπερίπτωση αυτήείναιηαύξησητουαριθμούτωναγνώστωνκαιοιιδιότητεςπουκληρονομείτο PML στους πίνακες των πεπερασμένων στοιχείων. Αρχικά, εξετάζεται η περίπτωση του ασύζευκτου συντονιστή δακτυλίου. Οι συχνότητες συντονισμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές ποιότητας για τους συντονισμούς δακτυλίου α- κτίνας 5 και 3.5 µm στο εύρος μηκών κύματος µm παρουσιάζονται στον πίνακα 4.1. Στον πίνακα συμπεριλαμβάνονται και οι συχνότητες των ελαχίστων μετάδοσης του φίλτρου μεδιάκενοσύζευξης g =.25 µm(βλ. σχήματα4.3και4.7). Ησύγκρισητωνσυχνοτήτων συντονισμού(πρόβλημα ιδιοτιμών) και ελαχίστων(πρόβλημα διάδοσης) αποκαλύπτει διαφορέςτηςτάξητων 2 5 nm. Οπωςαναφέρθηκε,ηπαρουσίατουευθύγραμμουκυματοδηγού οδηγεί σε μετατόπιση των συχνοτήτων συντονισμού(cifs). Πιο συγκεκριμένα, η συνθήκη συντονισμού θ = m2π που ισχύει στην περίπτωση του ασύζευκτου συντονιστή

119 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 17 ( R,m ) = (5 µm, 25) ( R, g,m) = (5 µm,.25 µm, 25) E z E z y-coordinate (µm) 5-5 standing wave y-coordinate (µm) 5-5 standing wave traveling wave standing wave traveling wave -5 5 x-coordinate (µm) (α) -5 5 x-coordinate (µm) (β) Σχήμα 4.9: Πεδιακή κατανομή σε προβλήματα ιδιοτιμών(α) ασύζευκτου και(β) συζευγμένου συντονιστή μικροδακτυλίου. Σχεδιάζεται το μέτρο της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου(e z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nmαπότηνάνωεπιφάνειατουμεταλλικούφύλλου. Παρατηρείστε το σχηματισμό στασίμου ως αποτέλεσμα της συμβολής των δύο εκφυλισμένων ρυθμών του συντονιστή με ίδια συχνότητα συντονισμού και διαφορετική φορά περιστροφής. μετατρέπεταιστην θ θ CIFS = m2π. Μάλιστα,σύμφωναμετονπίνακα4.1ημετατόπιση αυτή στην περίπτωση που εξετάζουμε αντιστοιχεί σε αύξηση των συχνοτήτων συντονισμού (ελάττωση των αντίστοιχων μηκών κύματος). Για να επιβεβαιώσουμε ότι οι παρατηρούμενες διαφορές όντως οφείλονται στην ύπαρξη του κυματοδηγού μπορούμε να ακολουθήσουμε δύο δρόμους. Συμπεριλαμβάνοντας τον ευθύγραμμο κυματοδηγό στο πρόβλημα ιδιοτιμών, ενσωματώνουμε το CIFS στον υπολογισμό. Πράγματι, για τη δομή του φίλτρου οι συχνότητες συντονισμού, όπως προκύπτουν από την επίλυση ενός προβλήματος ιδιοτιμών υπό συνθήκες φόρτισης, παρουσιάζουν πολύ καλή συμφωνία με τις συχνότητες των ελαχίστων μετάδοσης. Για παράδειγμα, το μήκος κύματος για τον συντονισμό με αζιμουθιακή τάξη 18(R = 3.5 µm)προκύπτει µm(αντίγια µmτουασύζευκτουσυντονιστή), όπως και το αντίστοιχο ελάχιστο. Εναλλακτικά, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε μια προσομοίωση αρμονικής διάδοσης για φίλτρο με μεγάλη τιμή διακένου σύζευξης(.7 µm). Ο συντονιστής είναι ασθενώς συζευγμένος με τον κυματοδηγό και οι συχνότητες παρατήρησης των ελαχίστων προσεγγίζουν τις συχνότητες συντονισμού του ασύζευκτου δακτυλίου. Πράγματι, το μήκος κύματος του πρώτου ελαχίστου στην περίπτωση αυτή είναι µm. Ενδεικτικές κατανομές του μέτρου της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου, E z,όπωςπροέκυψαναπότηνεπίλυσηπροβλημάτωνιδιοτιμώνγιατιςδομέςασύζευκτουδακτυλίου και φίλτρου απεικονίζονται στο σχήμα 4.9. Η ακτίνα του συντονιστή είναι 5 µm και το διάκενο σύζευξης.25 µm. Ο ρυθμός που εξετάζουμε χαρακτηρίζεται από αζιμουθιακή τάξη m = 25. Η απεικονιζόμενη κατανομή στον ασύζευκτο δακτύλιο, Σχ. 4.9(α), φανερώνει στάσιμο κύμα(παρατηρείστε ότι σχεδιάζεται το μέτρο και όχι το πραγματικό μέρος της E z ),γεγονόςπουφαίνεταινασυγκρούεταιμετονχαρακτηρισμότουσυντονιστήωςοδεύοντος κύματος. Παρόλα αυτά, η κυμάτωση οφείλεται στη συμβολή των δύο εκφυλισμένων ρυθμών του συντονιστή με ίδια συχνότητα συντονισμού και διαφορετική φορά περιστροφής: ωρολογιακή και ανθωρολογιακή, αντίστοιχα. Μάλιστα, το ποσοστό συμμετοχής του κάθε

120 18 Κεφάλαιο 4 ρυθμού είναι αυθαίρετο. Ετσι, το αποτέλεσμα της επίλυσης θα μπορούσε να είναι οποιοδήποτε: ρυθμός με ωρολογιακή φορά περιστροφής, ανθωρολογιακή φορά περιστροφής, ή συνδυασμός των δύο με αυθαίρετα βάρη. Αντίστοιχα συμπεράσματα προκύπτουν και από την παρατήρηση του συζευγμένου προβλήματος, Σχ. 4.9(β). Οι δύο εκφυλισμένοι ρυθμοί διαφεύγουν μέσω του ευθύγραμμου κυματοδηγού με διαφορετικές κατευθύνσεις διάδοσης. Μακριάαπότηνπεριοχήσύζευξηςτοσταθερόπλάτοςτουμέτρουτης E z φανερώνειοδεύον κύμα, όπως είναι άλλωστε αναμενόμενο. Στη συνέχεια, εξετάζουμε τις τιμές των συντελεστών ποιότητας στον πίνακα 4.1. Για να διακρίνουμε μεταξύ των δυο μηχανισμών απωλειών(ωμικές και ακτινοβολίας) επιλύουμε επιπρόσθετα προβλήματα ιδιοτιμών στα οποία υιοθετούμε αμιγώς πραγματική διηλεκτρική σταθερά για το χρυσό. Στην περίπτωση αυτή, οι συντελεστές ποιότητας που υπολογίζουμε αντιστοιχούνστιςαπώλειεςακτινοβολίαςκαιμόνον(q rad ).Ακολούθως,προσδιορίζουμετη συμβολήτωνωμικώναπωλειών(q res )χρησιμοποιώνταςτηνεξ.(4.7). Εφιστούμεαρχικά την προσοχή στην αλλαγή του κυρίαρχου μηχανισμού απωλειών ανάλογα με την ακτίνα τουσυντονιστή. Στηνπερίπτωσηακτίνας 5 µmισχύει Q rad > Q res καιοιωμικέςαπώλειες αποτελούν τον κυρίαρχο μηχανισμός απωλειών. Κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο καθώς οι απώλειες κάμψης του DLSPP για ακτίνα καμπυλότητας 5 µm δεν είναι σημαντικές[82]. Απεναντίας, στην περίπτωση μικρής ακτίνας(3.5 µm) οι απώλειες κάμψης γίνονται σημαντικές και κυρίαρχος μηχανισμός απωλειών καθίσταται η διαφυγή ενέργειας μέσω ακτινοβολίας (Q rad < Q res ). Συνολικά,οιαπώλειεςστηνπερίπτωσητηςμικρήςακτίναςείναιισχυρότερες και οι αντίστοιχοι συντελεστές ποιότητας μικρότεροι( 1 αντί για 2). Αυτό συμφωνεί και με το αυξημένο εύρος των ελαχίστων μετάδοσης στο σχήμα 4.7. Ηαύξησητουσυντελεστήποιότητας Q i μετησυχνότηταπουπαρατηρείταικαιγια τις δύο τιμές ακτίνας οφείλεται στη συγκέντρωση(confinement) του ρυθμού του DLSPP. Ειδικότερα, καθώς η συχνότητα αυξάνει, ο ρυθμός απομακρύνεται από την αποκοπή και η συγκέντρωση ενισχύεται. Ως αποτέλεσμα, οι απώλειες ακτινοβολίας λόγω κάμψης του κυματοδηγούπροκύπτουνμειωμένες. Αυτόαποτυπώνεταικαθαράστιςτιμέςτου Q rad οι οποίεςπαρουσιάζουνσημαντικήαύξησημετησυχνότητα.αντιθέτως,ητιμήτου Q res είναι σχεδόν σταθερή, πράγμα που σημαίνει ότι η διασπορά των απωλειών διάδοσης είναι ασθενής. Το αποτέλεσμα αυτό είναι συμβατό με το διάγραμμα διασποράς του DLSPP(Σχ. 2.15), αν και είχε προκύψει για λίγο διαφορετικές παραμέτρους. Παρατηρείστε, επίσης, ότι η τιμή του Q res διατηρείταισταθερήκαιστιςδύοπεριπτώσειςακτίνας.κάτιτέτοιοείναιαπολύτως αναμενόμενο καθώς παρά την αλλαγή στην ακτίνα η ισχύς απωλειών Joule ανά μονάδα μήκουςπεριφέρειαςπαραμένεισταθερή. 19 Μεάλλαλόγια,καταφεύγονταςστονκλασικό ορισμό του συντελεστή ποιότητας Q = ω res Energy Stored Power Loss, (4.13) σημειώνουμε ότι η αύξηση της ακτίνας συνοδεύεται μεν από αύξηση της συνολικής ισχύος απωλειών Joule αλλά αντίστοιχη αύξηση παρατηρείται και στη συνολική αποθηκευμένη ενέργεια. Ο λόγος των δύο είναι, βέβαια, σταθερός. Ο πίνακας 4.1 συγκεντρώνει τους αφόρτιστους συντελεστές ποιότητας όπως προέκυψαν από την επίλυση προβλήματος ιδιοτιμών ασύζευκτου δακτυλίου. Οπως αναφέρθηκε, η σύ- 19 Αντίστοιχασυμπεράσματαπροκύπτουνκαιγιακλασικόμικροκυματικόσυντονιστήγραμμήςμεταφοράς. Ανεξαρτήτως του μήκους ο συντελεστής ποιότητας δίνεται από τον λόγο β/2α, όπου β και α το πραγματικό και φανταστικό μέρος της σταθεράς διάδοσης της γραμμής, αντίστοιχα.

121 4.2. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδακτυλίου 19 Πίνακας 4.2: Συντελεστές ποιότητας συντονιστή δακτυλίου ακτίνας 5 μm συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό για διαφορετικές τιμές διακένου σύζευξης(.3,.25 και.2 μm). Τα αποτελέσματατουπροβλήματοςιδιοτιμών, Q eig. l, συγκρίνονται με αυτά που εξήχθησαν από το πρόβλημααρμονικήςδιάδοσηςμέσωτης Q prop. l = f res / f. Q eig. l (Q prop. l ) Αζιμουθιακή τάξη g =.3 µm 182(181) 163(163) 143(143) g =.25 µm 165(164) 148(149) 129(13) g =.2 µm 146(156) 13(132) 115(117) Πίνακας4.3: Εξωτερικοίσυντελεστέςποιότητας(Q e )στηνπερίπτωσησυντονιστήδακτυλίου ακτίνας 5 μm συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό για διαφορετικές τιμές διακένου σύζευξης (.3,.25 και.2 μm). Οι συντελεστές αυτοί αναφέρονται στο μηχανισμό απωλειών της σύζευξης ισχύος με τον ευθύγραμμο κυματοδηγό και υπολογίστηκαν μέσω της Εξ. 4.8 κάνοντας χρήση των τιμώνγιατα Q i και Q l πουσυμπεριλαμβάνονταιστουςπίνακες4.1και4.2,αντίστοιχα. Q e Αζιμουθιακή τάξη g =.3 µm g =.25 µm g =.2 µm ζευξη με τον ευθύγραμμο κυματοδηγό αποτελεί έναν επιπλέον μηχανισμό απωλειών. Κατά συνέπεια, στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής ποιότητας αναμένεται να προκύψει μειωμένος. Στονπίνακα4.2συγκεντρώνουμεσυντελεστέςποιότητας Q eig. l που αναφέρονται σε δομήφίλτρουμεακτίνα R = 5μmκαιτιμέςδιακένουσύζευξης.3,.25και.2μm. Για κάθε τιμή διακένου εξετάζονται και οι τρεις συντονισμοί στο εύρος μm. Επίσης, συμπεριλαμβάνονται σε παρένθεση οι τιμές συντελεστή ποιότητας που εξήχθησαν από τις καμπύλες μετάδοσης του προβλήματος αρμονικής διάδοσης(σχ. 4.3), κάνοντας χρήση της σχέσης Q prop. l = f res / f. Τοεύροςτηςκάθεβύθισης( f)μετράταιστομέσοεπίπεδο μετάδοσης (T min + T max )/2,όπου T max γειτονικόμέγιστο. Ησυμφωνίαμεταξύτωνδύο διαφορετικών υπολογισμών είναι πάρα πολύ καλή. Οπως είναι φυσικό, η μείωση του διακένου συνεπάγεται μείωση των αντίστοιχων συντελεστών ποιότητας καθώς η σύζευξη γίνεται ισχυρότερη. Από την άλλη μεριά, με την αύξηση της τιμής του διακένου οι συντελεστές ποιότητας προσεγγίζουν τις τιμές των αφόρτιστων συντελεστών του πίνακα 4.1. Παρατηρείστε επίσης τη διατήρηση της ανοδικής τάσης με τη συχνότητα. Εκτός από τις απώλειες ακτινοβολίας, η αύξηση της συχνότητας επηρεάζει και τις απώλειες σύζευξης. Ειδικότερα, η αύξηση της συγκέντρωσης του ρυθμού με τη συχνότητα καθιστά τη σύζευξη ασθενέστερη. Το γεγονός αυτό αποτυπώνεται στον πίνακα 4.3 όπου συγκεντρώνονται οι εξωτερικοί συντελεστές ποιότητας, όπως υπολογίστηκαν με εφαρμογή της Εξ.(4.8) κάνοντας χρήση τωντιμώνπουσυμπεριλαμβάνονταιστουςπίνακες4.1και4.2γιατα Q i και Q l,αντίστοιχα. Σημειώνουμε, τέλος, ότι έχοντας λύσει για το ασύζευκτο και συζευγμένο πρόβλημα ιδιοτιμών μπορούμε να εκτιμήσουμε την απόκριση του φίλτρου στη γειτονιά ενός συντονι-

122 11 Κεφάλαιο 4 BCB Gold Silica Output Whispering Gallery Mode D g S 2 R S 1 z y Input x Σχήμα 4.1: Φίλτρο συντονιστή μικροδίσκου βασισμένο σε DLSPP κυματοδηγό. Ο συντονιστής ακτίνας R είναι συζευγμένος με ευθύγραμμο κυματοδηγό μέσω διακένου σύζευξης g(μετρημένου μεταξύ των άκρων κυματοδηγού και συντονιστή). Το φύλλο χρυσού πάχους 1 nm εξασφαλίζει πλήρη οπτική απομόνωση του κυκλώματος από το υπόστρωμα διοξειδίου. Με κόκκινο σημειώνονταιταεπίπεδα S 1, S 2 ωςπροςταοποίαπραγματοποιείταιουπολογισμόςτουμεγέθους τηςμετάδοσης ημεταξύτουςαπόστασηείναι D = 2R. σμού μέσω ενός διαφορετικού απλοποιημένου μοντέλου: της θεωρίας συζευγμένων ρυθμών στο πεδίο του χρόνου(temporal Coupled Mode Theory, CMT)[ ]. Σε αυτή ο συντονιστής νοείται ως σημειακός ταλαντωτής(lumped oscillator) του οποίου η αποθηκευμένη ενέργεια καταναλώνεται μέσω εγγενών απωλειών και απωλειών σύζευξης. Ειδικότερα, για τονσκοπόαυτόαπαιτείταιηγνώσητωνπαραμέτρων ω l, Q l και Q e. Συγκριτικάμετο απλοποιημένο μοντέλο της ενότητας , τα μεγέθη αυτά συνδέονται ευκολότερα με ηλεκτρομαγνητικούς υπολογισμούς έναντι των α, t και θ, αλλά απαιτούν την ανάλυση μεγαλύτερων δομών. 4.3 Φίλτρα Συντονιστών Μικροδίσκου Στην παρούσα ενότητα εξετάζουμε διατάξεις φίλτρου που εμπλέκουν συντονιστή μικροδίσκου[σχ. 4.1], αντί του συντονιστή μικροδακτυλίου της προηγούμενης ενότητας. Ο συντονιστήςμικροδίσκουείναικαιαυτόςέναςσυντονιστήςοδεύοντοςκύματος, 2 όπωςκαι ο δακτύλιος. Η διαφορά έγκειται στην απουσία του εσωτερικού κυλινδρικού ορίου που υ- πάρχει στην περίπτωση του μικροδίσκου. Ο υποστηριζόμενος ρυθμός διαγράφει και πάλι την περιφέρεια του συντονιστή ακολουθώντας μια διαδρομή που στα πλαίσια της ακτινικής θεωρίας περιγράφεται από επιμέρους χορδές που ορίζονται μεταξύ διαδοχικών ολικών 2 Γιατηνακρίβειαοδίσκοςμπορείναλειτουργήσεικαιωςσυντονιστήςστασίμουκύματος.Στηνπερίπτωση αυτή, οι διαστάσεις του δίσκου επιλέγονται στην περιοχή λίγων μηκών κύματος ώστε να υποστηρίζεται ρυθμός χαμηλής τάξης. Για την επίτευξη αξιόλογου συντελεστή ποιότητας είναι απαραίτητη η υψηλή ανακλαστικότητα των τοιχωμάτων του συντονιστή.

123 4.3. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδίσκου 111 εσωτερικώνανακλάσεων(whispering gallery mode 21 ),Σχ.4.1. Ο συντονιστής δίσκου διαθέτει δύο σημαντικά χαρακτηριστικά που τον διαφοροποιούν από το δακτύλιο. Καταρχήν, παρουσιάζει χαμηλότερες απώλειες ακτινοβολίας συγκριτικά με συντονιστή μικροδακτυλίου ίδιας εξωτερικής ακτίνας. Η απουσία του εσωτερικού κυλινδρικού ορίου επιτρέπει στον υποστηριζόμενο ρυθμό να βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο του συντονιστή. Με άλλα λόγια, ο ρυθμός παρουσιάζει ισχυρότερη συγκέντρωση και οι πεδιακές συνιστώσες διεισδύουν λιγότερο στον περιβάλλοντα χώρο. Κατά συνέπεια, αναμένονται υψηλότεροι συντελεστές ποιότητας και οξύτεροι συντονισμοί κατά τη χρήση συντονιστών μικροδίσκου σε διατάξεις φίλτρου. Η υπεροχή αυτή έναντι του μικροδακτυλίου θα γίνεται περισσότερο έκδηλη στις περιπτώσεις που οι απώλειες ακτινοβολίας αποτελούν τον κυρίαρχο μηχανισμό απωλειών, δηλαδή για μικρές τιμές ακτίνας. Σε κατασκευαστικό επίπεδο αναμένονται επίσης μειωμένες απώλειες, σκέδασης αυτή τη φορά σχετιζόμενης με επιφανειακή τραχύτητα, καθώς η οριακή κυλινδρική επιφάνεια είναι μόνο μία. Επιπρόσθετα, οι συντονιστές δίσκου υποστηρίζουν ρυθμούς ανώτερης ακτινικής(radial) τάξης(q). Η πιθανή διέγερση τέτοιων ρυθμών σε διατάξεις φίλτρου συνεπάγεται πρόσθετες βυθίσεις που αλλάζουν άρδην την καμπύλη μετάδοσης μειώνοντας δραστικά το ελεύθερο φασματικό εύρος. Η φυσική υλοποίηση φίλτρου μικροδίσκου με βάση τον DLSPP κυματοδηγό απεικονίζεταιστοσχήμα4.1.οιδιαστάσειςτουκυματοδηγούείναικαιπάλιw h = 6nm 6nm, ενώηίδιατιμήύψουςhυιοθετείταικαιγιατονσυντονιστή.τοδιάκενοσύζευξηςgμετράται μεταξύ των ορίων συντονιστή και κυματοδηγού και η ακτίνα R αναφέρεται στο εξωτερικό κυλινδρικόόριο. Ετσι,ηαπόστασητωνεπιπέδων S 1 και S 2,σταοποίαπραγματοποιείταιο υπολογισμός της ισχύος εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα, είναι ίση με D = 2R. Η σύμβαση αυτή είναι κατά τι διαφορετική από αυτή στην περίπτωση του μικροδακτυλίου(βλ. σχήματα 4.2 και 4.1). Κατά συνέπεια, στα παραδείγματα που ακολουθούν η σύγκριση φίλτρων μικροδίσκου και μικροδακτυλίου πραγματοποιείται μεταξύ συντονιστών με ίδια εξωτερική ακτίνα, δηλαδή δίσκου ακτίνας R και δακτυλίου ακτίνας R w/2. Οπως και με την περίπτωση του δακτυλίου, οι συνολικές απώλειες του συντονιστή διαμορφώνονται από τη συνδυασμένη δράση ωμικών απωλειών και απωλειών ακτινοβολίας. Ανάλογα με την τιμή της ακτίνας, ο κυρίαρχος μηχανισμός απωλειών μπορεί να είναι διαφορετικός. Ειδικότερα, για μικρές τιμές ακτίνας οι απώλειες ακτινοβολίας επικρατούν ενώ για μεγάλες τιμές ακτίνες οι ωμικές απώλειες γίνονται κυρίαρχες. Στις επόμενες ενότητες εξετάζουμε χαρακτηριστικά παραδείγματα φίλτρων μικροδίσκου που εμπίπτουν στις δύο αυτές κατηγορίες, και συγκρίνουμε τα χαρακτηριστικά τους με φίλτρα μικροδακτυλίου αντίστοιχης εξωτερικής ακτίνας Περιοχή μικρής ακτίνας: Υπεροχή μικροδίσκου Αρχικά, εξετάζουμε φίλτρο μικροδίσκου που ανήκει στην περιοχή μικρής ακτίνας. Επιλέγουμετιμήακτίνας R = 3.8 µm,ώστεναείναιδυνατήηαπευθείαςσύγκρισημετοφίλτρο μικροδακτυλίου της ενότητας (R = 3.5 µm). Διαπιστώσαμε ότι το διάκενο σύζευξης πρέπειναεπιλεχθείίσομε.1µmώστεναικανοποιηθείησυνθήκηκρίσιμηςσύζευξηςκαιτα 21 Ηπρώτηπαρατήρησηρυθμώναυτούτουτύπουέγινεαπότον Lord Rayleighτο 1878καιαφορούσε ακουστικά κύματα στον θόλο του καθεδρικού ναού του Αγίου Παύλου στο Λονδίνο. Ειδικότερα, ο Lord Rayleigh εξήγησε μέσω τέτοιων ρυθμών τη δυνατότητα ενός ψιθύρου να γίνεται αντιληπτός σε θέσεις κοντά στα τοιχώματα του θόλου αλλά όχι στο εσωτερικό του. Ετσι εξηγείται και η χρήση του όρου whispering gallery για τον χαρακτηρισμό τέτοιων ρυθμών.

124 112 Κεφάλαιο 4 Transmission Microdisk Microring m = 18 m = Wavelength ( µ m) Σχήμα 4.11: Μετάδοση φίλτρου συντονιστή μικροδίσκου με ακτίνα 3.8 µm και διάκενο σύζευξης.1 µm σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Σημειώνεται το ελάχιστο και το μέγιστο μετάδοσης για τα οποία απεικονίζεται η πεδιακή κατανομή στο Σχ Συμπεριλαμβάνεται με διακεκομμένη γραμμή η καμπύλη μετάδοσης που αντιστοιχεί σε φίλτρο μικροδακτυλίου ίδιας εξωτερικής ακτίνας (R = 3.5 µm, g =.1 µm). Παρατηρείστε τους οξύτερους συντονισμούς στην περίπτωση του μικροδίσκου. ελάχιστα μετάδοσης να προσεγγίσουν το μηδέν. Το μέγεθος της μετάδοσης απεικονίζεται στο σχήμα Για τη διευκόλυνση της σύγκρισης συμπεριλαμβάνουμε με διακεκομμένη γραμμή την καμπύλη μετάδοσης που αντιστοιχεί σε φίλτρο μικροδακτυλίου ίδιας εξωτερικής ακτίνας(r = 3.5 µm, g =.1 µm).σημειώνουμεότιοιγειτονικέςβυθίσειςτωνδύοκαμπυλών αντιστοιχούν σε ρυθμούς διαφορετικής ακτινικής τάξης, Σχ. 4.11, αποτέλεσμα της διαφορετικής ενεργού περιφέρειας που αντιλαμβάνονται οι ρυθμοί δίσκου και δακτυλίου. Είναι φανερό από τη σύγκριση του εύρους των ελαχίστων στις δύο περιπτώσεις ότι οι συντονισμοί του δίσκου είναι οξύτεροι, γεγονός που υπονοεί ότι οι αντίστοιχοι συντελεστές ποιότητας είναι υψηλότεροι. Αυτό μπορεί εύκολα να επιβεβαιωθεί μέσω της επίλυσης των αντίστοιχων προβλημάτων ιδιοτιμών. Για παράδειγμα, ο φορτισμένος συντελεστής ποιότητας(g =.1 µm)τουσυντονισμούμικροδίσκουμεαζιμουθιακήτάξη m = 18είναι 85, ενώ ο φορτισμένος συντελεστής ποιότητας(g =.1 µm) του γειτονικού συντονισμού μικροδακτυλίου(m = 17) είναι 6. Οι αφόρτιστοι συντελεστές ποιότητας είναι 178 και 94, αντίστοιχα. 22 Ηυπεροχήαυτήτουσυντονιστήμικροδίσκουοφείλεταιστιςμειωμένεςαπώλειες ακτινοβολίας, καθώς οι ωμικές απώλειες είναι περίπου σταθερές για τους δύο τύπους συντονιστών(q R/D rad 29).Ενδεικτικά,ηπεδιακήκατανομήστηδομήτουφίλτρουμικροδίσκουγιαέναελάχιστο(λ = µm)καιέναμέγιστο(λ = µm)τηςμετάδοσης απεικονίζεται στο σχήμα Είναι φανερή η ύπαρξη κάποιων απωλειών ακτινοβολίας, σε κάθε περίπτωση όμως μειωμένων συγκριτικά με την περίπτωση του μικροδακτυλίου[πρβ. σχήμα4.8]. Παρατηρούμε επίσης ότι το επίπεδο μέγιστης μετάδοσης στην περίπτωση του φίλτρου μικροδίσκου είναι υψηλότερο, μια ακόμη συνέπεια των μειωμένων απωλειών του συντονιστή. Σε κάθε περίπτωση, δεν μπορεί να ξεπεράσει το όριο που θέτουν οι απώλειες διάδοσης σε 22 Ηυπεροχήτουδίσκουαποτυπώνεταιπιοορθάστησύγκρισητωναφόρτιστωνσυντελεστώνποιότητας. Η τιμή των φορτισμένων συντελεστών ποιότητας εξαρτάται και από το πόσο αυστηρά έχει ικανοποιηθεί η συνθήκη κρίσιμης σύζευξης. Οπως είναι φανερό από την παρατήρηση του Σχ. 4.11, η συνθήκη ικανοποιείται με μεγαλύτερη ακρίβεια στην περίπτωση του δίσκου με αποτέλεσμα η υπεροχή του έναντι του μικροδακτυλίου να εμφανίζεται αμβλυμένη στη σύγκριση των φορτισμένων συντελεστών ποιότητας.

125 4.3. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδίσκου 113 ( R,g) = (3.8 µm,.1 µm) ( R,g ) = (3.8 µm,.1 µm) 1 1 y-coordinate (µm) y-coordinate (µm) λ = µm 6 λ = µm x-coordinate (µm) (α) Re{ E z } x-coordinate (µm) (β) Re{ E z } Σχήμα 4.12: Πεδιακή κατανομή σε δομή φίλτρου μικροδίσκου για συχνότητα λειτουργίας που αντιστοιχείσε(α)ελάχιστο(λ = µm)και(β)μέγιστο(λ = µm)τηςμετάδοσης. Απεικονίζεταιτοπραγματικόμέροςτηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(E z )σε xy επίπεδο υπερυψωμένο κατά 1 nm από την άνω επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου. Η ακτίνα του συντονιστή είναι 3.8 μm και το διάκενο σύζευξης.1 μm. μήκος 2R(.83),όσηηαπόστασημεταξύτωνεπιπέδων S 1 και S 2. Αναφορικάμετα υπόλοιπα χαρακτηριστικά της καμπύλης μετάδοσης του φίλτρου μικροδίσκου, το ελεύθερο φασματικό εύρος είναι περίπου 7 nm. Η αντίθεση επιπέδων μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης διαμορφώνεται στα 3 db, απόρροια της ακριβούς ικανοποίησης της συνθήκης κρίσιμης σύζευξης. Τέλος, σημειώνεται η απουσία βυθίσεων που αντιστοιχούν σε συντονισμούς ανώτερης ακτινικής τάξης, παρότι τέτοιοι ρυθμοί υποστηρίζονται από τον ασύζευκτο συντονιστή δίσκου στο εύρος μηκών κύματος που εξετάζουμε, όπως αποκαλύπτει η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών. Το γεγονός αυτό αποδίδεται στη μη αποδοτική διέγερση τέτοιων ρυθμών, τουλάχιστον για διατάξεις φίλτρου με τις συγκεκριμένες γεωμετρικές παραμέτρους. Στο σημείο αυτό θα διερευνήσουμε συστηματικότερα τη δυνατότητα του δίσκου να παρουσιάζει μειωμένες απώλειες ακτινοβολίας. Οπως αναφέρθηκε, η απουσία του εσωτερικού κυλινδρικού ορίου επιτρέπει στον υποστηριζόμενο ρυθμό να βρίσκεται πλησιέστερα στο κέντρο του συντονιστή. Με άλλα λόγια, ο ρυθμός κατά την περιστροφή του διαγράφει περιφέρειαμικρότερηςενεργούακτίνας, R eff,έναντιαυτήςτουδακτυλίου.προςτονσκοπό της ποσοτικοποίησης αυτής της διατύπωσης, ορίζουμε ως ενεργό ακτίνα την ακτίνα της περιφέρειας που διαγράφει το μέγιστο της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου (E z )καισυγκρίνουμετηντιμήπουαυτήλαμβάνειστιςδύοπεριπτώσειςσυντονιστή. Για τον m = 17ρυθμότουδακτυλίουβρίσκουμε Reff R = 3.58 µm. Ουπολογισμόςπραγματοποιείται με βάση το αποτέλεσμα του αφόρτιστου προβλήματος ιδιοτιμών και η τιμή της ενεργού ακτίνας προκύπτει ως ο μέσος όρος 2m τιμών που αναφέρονται σε αζιμουθιακές γωνίεςπουδιχοτομούνκάθεέναναπότους 2mλοβούςτουρυθμού. 23 Ηενεργόςακτίνα 23 Προφανώς,στονσυνεχήχώροηθέσητουμεγίστουδενεξαρτάταιαπότηναζιμουθιακήγωνίακαθώς υπάρχει κυλινδρική συμμετρία. Στον διακριτοποιημένο χώρο όμως, η τέλεια κυλινδρική συμμετρία διαταράσσεται. Η στάθμιση που πραγματοποιούμε σκοπό έχει να εξομαλύνει την επίδραση του πλέγματος στη

126 114 Κεφάλαιο 4 (a.u.) E z Ring Disk ρ R R R D 4 5 Radial Distance from Resonator Center, ρ ( µ m) Σχήμα 4.13: Κυρίαρχη συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος ακτινικής διαδρομής που διχοτομεί λοβό του υποστηριζόμενου ρυθμού για συντονιστή δακτυλίου(m = 17) και δίσκου (m = 18). Στην περίπτωση του μικροδίσκου το μέγιστο παρατηρείται σε μικρότερη απόσταση από τοκέντροτουσυντονιστή(reff D < RR eff ). Παρατηρείστεεπίσηςτηνασθενέστερηδιείσδυσηστον αέρα. είναιμεγαλύτερητηςτιμήςτων 3.5 µm,ηοποίακαιαναφέρεταιστονάξονατουκυματοδηγού. Οπως είναι φυσικό, λόγω της κάμψης του κυματοδηγού ο ρυθμός μετατοπίζεται προςτοεξωτερικόόριοτουσυντονιστή. Γιατον m = 18ρυθμότουδίσκου,απότηνάλλη,βρίσκουμε R D eff = µm,επιβεβαιώνονταςτηνυπόθεση RD eff < RR eff. Ταπαραπάνω αποτυπώνονται στο σχήμα 4.13, όπου απεικονίζεται η τιμή της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος ακτινικής διαδρομής που διχοτομεί κάποιο λοβό του υποστηριζόμενου ρυθμού, για συντονιστή δακτυλίου(m = 17) και δίσκου(m = 18), αντίστοιχα. Στην περίπτωση του μικροδίσκου(κόκκινη καμπύλη), το μέγιστο παρατηρείται σε μικρότερη ακτινική απόσταση. Επιπλέον, παρατηρείστε ότι ο ρυθμός του δακτυλίου διεισδύει περισσότερο στον περιβάλλοντα χώρο, πράγμα που υπονοεί ότι η συγκέντρωση είναι ασθενέστερη. Η διαπίστωση αυτή μπορεί να υποστηριχθεί περαιτέρω μέσω του προσδιορισμού ενός ενεργού δείκτη διάθλασης μεχρήσητηςπαρακάτωσυνθήκηςσυντονισμού 24 n R/D eff (λ m) = mλ m 2πR R/D eff (λ m). (4.14) Γιατηνπερίπτωσητουμικροδακτυλίουυπολογίζουμε n R eff 1.2.Καθώςηαντίστοιχητιμή για τον ευθύγραμμο κυματοδηγό είναι 1.297, διαπιστώνουμε και πάλι ότι σαν αποτέλεσμα της κάμψης ο ρυθμός του κυματοδηγού είναι μετατοπισμένος(φαίνεται άλλωστε από το μη συμμετρικό προφίλ του ρυθμού στο Σχ. 4.13) και παρουσιάζει ασθενέστερη συγκέντρωση,όπωςθαπερίμενεκανείς. Γιατηνπερίπτωσητουδίσκουβρίσκουμε n D eff θέση του μεγίστου, η οποία εξαιτίας της χαμηλής τάξης των στοιχείων δεν είναι αμελητέα. 24 ΟενεργόςδείκτηςδιάθλασηςτηςΕξ.(4.14)δενέχεισυγκεκριμένηφυσικήσημασία. Δενμπορεί να αποδοθεί αυστηρά στον ευθύγραμμο κυματοδηγό καθώς εκτός από τη μετατόπιση του μεγίστου η κάμψη επηρεάζει και την κατανομή του ρυθμού η οποία καθίσταται ασύμμετρη(σχ. 4.13), ούτε βέβαια στον κυματοδηγό υπό κάμψη, παρά προσδιορίζεται στη βάση του ορισμού που υιοθετήσαμε για την ενεργό ακτίνα. Αυτό δεν σημαίνει βέβαια ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πραγματοποίηση μιας σύγκρισης μεταξύ των δύο τύπων συντονιστή. 25 Οορισμόςενεργούδείκτηδιάθλασηςγιατονδίσκοδενείναιαυστηράδυνατόςκαθώςδενυφίσταται

127 4.3. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδίσκου 115 Transmission Microdisk Microring m = 26 m = Wavelength ( µ m) Σχήμα 4.14: Μετάδοση φίλτρου συντονιστή μικροδίσκου με ακτίνα 5.3 µm και διάκενο σύζευξης.15 µm σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Συμπεριλαμβάνεται με διακεκομμένη γραμμή η καμπύλη μετάδοσης που αντιστοιχεί σε φίλτρο μικροδακτυλίου ίδιας εξωτερικής ακτίνας(r = 5 µm, g =.2 µm). Οι συντονισμοί είναι εξίσου οξείς καθώς ο κυρίαρχος μηχανισμός απωλειών για την τιμή αυτή ακτίνας είναι οι ωμικές απώλειες. Παρατηρούμεότι n D eff > nr eff,ενδεικτικότηςισχυρότερηςσυγκέντρωσηςτουρυθμούτου δίσκου. Συνοψίζοντας, οι συγκρίσεις που πραγματοποιήσαμε μεταξύ συντονιστών δίσκου καιδακτυλίουαναφορικάμετιςποσότητες R eff και n eff προσφέρουνμιαφυσικήερμηνεία των μειωμένων απωλειών ακτινοβολίας του μικροδίσκου. Σημειώνουμε, τέλος, ότι αποφασίσαμε να συγκρίνουμε γειτονικούς συντονισμούς αντί για συντονισμούς ίδιας αζιμουθιακής τάξηςκαθώςταμεγέθη R eff και n eff παρουσιάζουνδιασπορά,εξαρτώνταιδηλαδήαπότη συχνότητα Περιοχή μεγάλης ακτίνας: Ισοδυναμία με δακτύλιο Στη συνέχεια, εξετάζουμε διάταξη φίλτρου με ακτίνα δίσκου R = 5.3 µm. Οπως διαπιστώθηκε στην περίπτωση του μικροδακτυλίου(βλ. πίνακα 4.1), για μια τέτοια τιμή ακτίνας οι ωμικές απώλειες είναι κυρίαρχες και καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό τον συνολικό συντελεστή ποιότητας. Αυτό δεν μπορεί παρά να είναι επίσης αληθές στην περίπτωση του δίσκου, ο οποίος και παρουσιάζει μειωμένες απώλειες ακτινοβολίας συγκριτικά με το δακτύλιο. Αυτή τη φορά, απαιτείται διάκενο σύζευξης g =.15 µm για την επίτευξη κρίσιμης σύζευξης. Η καμπύλη μετάδοσης απεικονίζεται στο σχήμα 4.14 μαζί με την καμπύλη που αντιστοιχεί σε φίλτρομικροδακτυλίουίδιαςεξωτερικήςακτίνας(r = 5 µm, g =.2 µm). Τοελεύθερο φασματικό εύρος είναι 5 nm και η αντίθεση μέγιστου και ελάχιστου επιπέδου μετάδοσης 25 db. Από τη σύγκριση του εύρους των ελαχίστων των δύο καμπύλων, διαπιστώνουμε ότι, σε αντίθεση με ό,τι συνέβαινε στην προηγούμενη ενότητα, ο μικροδίσκος δεν υπερέχει αισθητά του μικροδακτυλίου. Πράγματι, όπως αποκαλύπτει η επίλυση προβλημάτων ιδιοτιμών, οι φορτισμένοι συντελεστές ποιότητας για δύο γειτονικούς συντονισμούς δίσκου (m = 26)καιδακτυλίου(m = 25)προκύπτουνπερίπου 13καιγιατιςδύοπεριπτώσεις. Οδίσκοςεξακολουθείναπαρουσιάζεισημαντικάυψηλότερουςσυντελεστέςποιότητας Q rad συγκριτικά με τον δακτύλιο. Παρόλα αυτά, η υπεροχή αυτή δεν μεταφράζεται σε σημαντικά κυματοδηγός υπό κάμψη ως υποκείμενη διάταξη. Αποδίδουμε καταχρηστικά έναν τέτοιο δείκτη ώστε να καταστεί δυνατή μια σύγκριση μεταξύ των δύο τύπων συντονιστή.

128 116 Κεφάλαιο 4 υψηλότερουςσυντελεστές Q i,καθώςαυτοίκαθορίζονταικυρίωςαπότιςαπώλειεςακτινοβολίαςοιοποίεςείναικοινέςστιςδύοπεριπτώσεις Q res 29. Σημειώνουμε ότι ούτε σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε βυθίσεις που αντιστοιχούν σε ρυθμούς ανώτερης ακτινικής τάξης. Παρόλα αυτά, τέτοιες βυθίσεις γίνονται ορατές αν επαναλάβουμε την προσομοίωση υιοθετώντας αμιγώς πραγματική διηλεκτρική σταθερά για τον χρυσό, καθώς τα βυθίσματα που αντιστοιχούν σε ρυθμούς πρώτης ακτινικής τάξης γίνονται στενότερα και το μέγιστο επίπεδο μετάδοσης αυξάνει. Συνεπώς, συμπεραίνουμε ότι για τη μεγαλύτερη τιμή αυτή ακτίνας βρισκόμαστε στο μεταίχμιο διέγερσης ρυθμών ανώτερης ακτινικής τάξης στη διάταξη του φίλτρου μικροδίσκου Ρυθμοί ανώτερης ακτινικής τάξης Σε μία προσπάθεια να επιδείξουμε φίλτρο μικροδίσκου με επιπρόσθετες βυθίσεις που αντιστοιχούν σε ρυθμούς ανώτερης ακτινικής τάξης, εξετάζουμε συντονιστές με ακόμη μεγαλύτερες τιμές ακτίνας. Διαπιστώσαμε ότι τέτοιες βυθίσεις κάνουν καθαρά την εμφάνισή τουςγιαακτίνεςμεγαλύτερεςτων 6.3 µm. Συνεπώς,ητιμήαυτήακτίναςμπορείναθεωρηθεί ως μια τιμή κατωφλίου, πέραν της οποίας επιτυγχάνεται αποτελεσματική διέγερση των ρυθμών δεύτερης ακτινικής τάξης στη διάταξη του φίλτρου μικροδίσκου. Σημειώνουμε, παρόλα αυτά, ότι το κατώφλι αυτό εξαρτάται επίσης από τη χωρική έκταση του ρυθμού που διαδίδεται στον ευθύγραμμο κυματοδηγό και συνεπώς το πλάτος του κυματοδηγού w. Υιοθετώντας μια διαφορετική τιμή πλάτους η συνθήκη χωρικής προσαρμογής μεταξύ του ρυθμού που διαδίδεται στον ευθύγραμμο κυματοδηγό και του ρυθμού δεύτερης ακτινικής τάξηςτουδίσκουπιθανώςνααρχίσειναικανοποιείταιγιαδιαφορετικήτιμήακτίνας. 26 Αυτό σημαίνει ότι το πλάτος του κυματοδηγού είναι μια χρήσιμη σχεδιαστική παράμετρος η οποία μέσω της ρύθμισης του πλάτους διέγερσης των ρυθμών δεύτερης ακτινικής τάξης επιδρά στη μορφή και τα χαρακτηριστικά της καμπύλης μετάδοσης. Τα παραπάνω αποτυπώνονται στο σχήμα 4.15, όπου απεικονίζεται η καμπύλη μετάδοσης φίλτρουμικροδίσκουμεακτίνα 6.8 µmκαιδιάκενοσύζευξης.1 µm. Αυτήτηφοράπαρατηρούνται βυθίσεις στην καμπύλη μετάδοσης που αντιστοιχούν σε ρυθμούς συντονισμού δεύτερης ακτινικής τάξης, αλλάζοντας δραστικά τη μορφή της. Με διακεκομμένη γραμμή σχεδιάζεται η καμπύλη μετάδοσης στην περίπτωση που το πλάτος του ευθύγραμμου κυματοδηγού λάβει τιμή.5 µm αντί για.6 µm, καταδεικνύοντας την επίδραση της παραμέτρου w στο πλάτος διέγερσης των ρυθμών δεύτερης ακτινικής τάξης. Ρυθμίζοντας ακριβέστερα το πλάτος του κυματοδηγού ώστε τα ελάχιστα που αντιστοιχούν στους ρυθμούς αυτούς να προσεγγίσουν ακόμη καλύτερα το μηδέν μπορούμε να επιτύχουμε υποδιπλασιασμό του ελεύθερου φασματικού εύρους, το οποίο διαμορφώνεται στα 2 nm. Αυτός είναι και ένας εναλλακτικός τρόπος ελάττωσης του FSR(έναντι της αύξησης της ακτίνας του συντονιστή), ο οποίος διατηρεί τον συμπαγή(compact) χαρακτήρα της διάταξης. Το παραπάνω αποκτά ιδιαίτερη σημασία δεδομένων των απωλειών διάδοσης που συνοδεύουν τον DLSPP, όπως και κάθε πλασμονικό, κυματοδηγό. Η πεδιακή κατανομή στα ελάχιστα της μετάδοσης που προκύπτουν από διέγερση ρυθμού πρώτης[(m,q) = (34,1)]καιδεύτερης[(m,q) = (29,2)]ακτινικήςτάξηςαπεικονίζεταιστο 26 Τοπλάτοςδιέγερσηςτωνρυθμώνδεύτερηςακτινικήςτάξηςείναιευαίσθητοστιςμεταβολέςτουπλάτους w καθώς οι ρυθμοί αυτοί παρουσιάζουν μηδενισμό κατά την ακτινική διεύθυνση(κάτι που δεν συμβαίνει με τους ρυθμούς πρώτης ακτινικής τάξης). Ετσι, η χωρική έκταση του ρυθμού του ευθύγραμμου κυματοδηγού διαδραματίζει σημαντικό ρόλο.

129 4.3. Φίλτρα Συντονιστών Μικροδίσκου 117 Transmission w =.6 µ m w =.5 µ m m = 29 q = 2 m = 34 q = Wavelength ( µ m) Σχήμα 4.15: Μετάδοση φίλτρου συντονιστή μικροδίσκου με ακτίνα 6.8 µm και διάκενο σύζευξης.1 µm σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Παρατηρείστε τα βυθίσματα που αντιστοιχούν σε ρυθμούς δεύτερης ακτινικής τάξης. Εξετάζονται δύο διαφορετικές τιμές για το πλάτος του κυματοδηγού:.6 και.5 µm. Η ρύθμιση του πλάτους του κυματοδηγού μεταβάλει το πλάτος διέγερσης των ρυθμών δεύτερης ακτινικής τάξης. ( R,g ) = (6.8 µm,.1 µm) ( R,g) = (6.8 µm,.1 µm) y-coordinate (µm) y-coordinate (µm) λ = µm 8 λ = µm Re{ E z } x-coordinate (µm) (α) 2 Re{ E z } x-coordinate (µm) (β) Σχήμα4.16: Πεδιακήκατανομήσεδομήφίλτρουμικροδίσκου(R = 6.8μm, g =.1μm)για συχνότητα λειτουργίας που αντιστοιχεί σε ελάχιστο μετάδοσης(α) ρυθμού πρώτης ακτινικής τάξης (λ = µm)και(β)ρυθμούδεύτερηςακτινικήςτάξης(λ = µm).οιαντίστοιχεςσυχνότητες σημειώνονται στο σχήμα Απεικονίζεται το πραγματικό μέρος της κυρίαρχης συνιστώσας τουηλεκτρικούπεδίου(e z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nmαπότηνάνωεπιφάνειατου μεταλλικού φύλλου. Παρατηρείστε τη σύνθετη μορφή της κατανομής στην περίπτωση του δεύτερου ελαχίστου, απόρροια της ταυτόχρονης διέγερσης ρυθμού πρώτης και δεύτερης ακτινικής τάξης.

130 y-coordinate (µm) 118 Κεφάλαιο 4 ( R, m, q) = (6.8 µm, 29, 2) ( R, m, q) = (6.8 µm, 33, 1) 8 (α) (β) 8 y-coordinate (µm) Re{ E z } x-coordinate (µm) 8 (γ) -8 Re{ E z } x-coordinate (µm) -8 y-coordinate (µm) Re{ E z } x-coordinate (µm) Σχήμα 4.17: (α)ρυθμός (m,q) = (29,2)και(β) (m,q) = (33,1)ασύζευκτουσυντονιστή δακτυλίου ακτίνας 6.8 µm. (γ) Γραμμικός συνδυασμός των δύο ρυθμών με βάρη.6 και.4, αντίστοιχα. Παρατηρείστε την ομοιότητα της προκύπτουσας κατανομής με αυτή του σχήματος 4.16(β). σχήμα Οι αντίστοιχες συχνότητες σημειώνονται στο Σχ Η ακτινική τάξη των δύο γειτονικών αυτών ρυθμών διαφέρει σημαντικά, καθώς ο ρυθμός δεύτερης τάξης αναγκάζεται να προσαρμοστεί σε περιφέρεια που βρίσκεται πλησιέστερα στο κέντρο του συντονιστή (και είναι συνεπώς μικρότερης περιμέτρου), λόγω της μεγαλύτερης έκτασης που παρουσιάζει κατά την ακτινική διεύθυνση. Η ύπαρξη μηδενισμού κατά την ακτινική διεύθυνση του συντονιστή, όπως θα περίμενε κανείς για ρυθμό ανώτερης ακτινικής τάξης, είναι εμφανής παρόλα αυτά, η μορφή της κατανομής δεν παραπέμπει σε αμιγή ρυθμό δεύτερης ακτινικής τάξης, λόγω της απουσίας αζιμουθιακής συμμετρίας. Πράγματι, στο μήκος κύματος των 1.593µm,εκτόςαπότηδιέγερσητου (m,q) = (29,2)ρυθμού,οοποίοςκαιείναιυπεύθυνος για την αντίστοιχη βύθιση, διεγείρεται(αν και όχι με εξίσου ισχυρό πλάτος) και ρυθμός πρώτης ακτινικής τάξης (m = 33). Η σύνθετη μορφή της κατανομής στο σχήμα 4.15(β) είναιαποτέλεσματουγραμμικούσυνδυασμούτωνδύορυθμών. 27 Αυτόεπιβεβαιώνεταιστο σχήμα 4.17 όπου συνδυάζοντας κατάλληλα(με βάρη.6 και.4, αντίστοιχα) τους δύο επιμέρους ρυθμούς[σχ. 4.17(α),(β)] προκύπτει κατανομή[σχ. 4.17(γ)] αντίστοιχη αυτής στο Σχ. 4.16(β). 27 Ηέλλειψηαζιμουθιακήςσυμμετρίαςστοαποτέλεσματουγραμμικούσυνδυασμούαζιμουθιακάσυμμετρικών ρυθμών δικαιολογείται από τη διαφορετική αζιμουθιακή τάξη των δύο ρυθμών που συνδυάζονται.

131 4.4. Ανακεφαλαίωση Ανακεφαλαίωση Συνοψίζοντας, στο παρόν κεφάλαιο διερευνήθηκαν συστηματικά φίλτρα μικροδακτυλίου και μικροδίσκου βασισμένα στον DLSPP κυματοδηγό. Για κάθε υπό μελέτη διάταξη υπολογίστηκε η καμπύλη μετάδοσης και ποσοτικοποιήθηκαν τα χαρακτηριστικά της(εύρος ελαχίστων, ελεύθερο φασματικό εύρος, αντίθεση επιπέδων ελάχιστης και μέγιστης μετάδοσης). Διαπιστώθηκε ότι οι συντονισμοί των φίλτρων μικροδίσκου είναι οξύτεροι, κάτι που οφείλεται στις μειωμένες απώλειες ακτινοβολίας που παρουσιάζει ο εμπλεκόμενος συντονιστής, όπως επιβεβαιώθηκε μέσω της επίλυσης προβλημάτων ιδιοτιμών. Η υπεροχή τους αυτή είναι εντονότερη στις περιπτώσεις μικρής ακτίνας, όπου οι απώλειες ακτινοβολίας αποτελούν τον κυρίαρχο μηχανισμό απωλειών. Μια ακόμη ιδιαιτερότητα των συντονιστών μικροδίσκου είναι η υποστήριξη ρυθμών ανώτερης ακτινικής τάξης. Βυθίσεις στην καμπύλη μετάδοσης που αντιστοιχούν σε τέτοιους ρυθμούς εμφανίζονται μόνο για μεγάλες τιμές ακτίνας(> 6.3 µm), αλλάζοντας δραστικά τη μορφή της καμπύλης μετάδοσης. Μάλιστα, με κατάλληλη ρύθμιση του αντίστοιχου επιπέδου ελάχιστης μετάδοσης μέσω του πλάτους του κυματοδηγού w μπορούμε να επιτύχουμε υποδιπλασιασμό του ελεύθερου φασματικού εύρους. Ειδικότερα, μεαυτόντοντρόποτο FSRμπορείναδιαμορφωθείστα2 nm,κάτιπουσεάλληπερίπτωση θα απαιτούσε χρήση συντονιστή πολύ μεγάλης ακτίνας.

132 12

133 5 Θερμο-οπτικά Διακοπτικά Στοιχεία Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε την οπτική απόκριση φίλτρων μικροδακτυλίου βασισμένων στον DLSPP κυματοδηγό. Τα φίλτρα μικροδακτυλίου είναι παθητικά(passive), επιλεκτικά ως προς τη συχνότητα εξαρτήματα(components) που παρουσιάζουν ελάχιστο μετάδοσης όταν η συχνότητα λειτουργίας συμπίπτει με τη συχνότητα συντονισμού του δακτυλίου. Μάλιστα, στην ενότητα διαπιστώσαμε ότι η θέση των ελαχίστων είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη σε αλλαγές του μήκους οπτικού δρόμου που διανύει ο περιστρεφόμενος στον δακτύλιο ρυθμός. Ειδικότερα, μια μικρή αλλαγή της ακτίνας αποδείχθηκε ικανή να οδηγήσει σε σημαντική μετατόπιση των ελαχίστων(βλ. σχήμα 4.6). Ετσι, καθήμενος σε συγκεκριμένο μήκος κύματος κανείς μπορεί να βρεθεί από ελάχιστο σε μέγιστο της μετάδοσης, δηλαδή με όρους διακοπτικών στοιχείων να βρεθεί από κατάσταση λογικού σε κατάσταση λογικού 1. Παρόλα αυτά, η ακτίνα του συντονιστή δεν είναι μια παράμετρος που επιδέχεται αλλαγή μετά την υλοποίηση της διάταξης. Εναλλακτικά, το μήκος του οπτικού δρόμου μπορεί να μεταβληθεί όχι με απευθείας επέμβαση στο μήκος της περιφέρειας, αλλά με ρύθμιση του ενεργού δείκτη διάθλασης που αντιλαμβάνεται ο ρυθμός που περιστρέφεται στον δακτύλιο. Ακριβώς αυτή την αρχή εκμεταλλευόμαστε στο παρόν κεφάλαιο για να μετασχηματίσουμε τις παθητικές διατάξεις του κεφαλαίου 4 σε δυναμικά ελεγχόμενες διατάξεις (dynamic or tunable components) ή διακοπτικά στοιχεία(switching elements). Η ρύθμιση του ενεργού δείκτη διάθλασης που αντιλαμβάνεται ο περιστρεφόμενος στον δακτύλιο ρυθμός θα στηριχθεί στη μεταβολή του δείκτη διάθλασης του υλικού πυρήνα μέσωτουθερμο-οπτικούφαινομένου. 1 Οπωςυποστηρίξαμεστηνενότητα2.4.2,ηχρήσητου θερμο-οπτικού φαινομένου για τον σκοπό αυτό αποτελεί μια φυσική επιλογή στα πλαίσια της πλασμονικής και του DLSPP ειδικότερα και δικαιολογείται από την ύπαρξη της μεταλλικής ταινίας στη δομή κυματοδήγησης. Η ίδια μεταλλική ταινία που σκοπό έχει τον σχηματισμό του οδηγούμενου ρυθμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την εφαρμογή του ρεύματος ελέγχου. Δεν είναι, δηλαδή, απαραίτητη η υλοποίηση ξεχωριστού κυκλώματος για την επιβολή του ηλεκτρικού σήματος. Οι ωμικές απώλειες στη μεταλλική ταινία οδηγούν σε θέρμανση της δομής με αποτέλεσμα τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης πυρήνα και συνεπώς του ενεργού δείκτη διάθλασης που αντιλαμβάνεται ο ρυθμός. Μάλιστα, τα θερμο-οπτικά εξαρτήματα με υποκείμενη διάταξη τον DLSPP κυματοδηγό αναμένεται να χαρακτηρίζονται από υψηλή ενεργειακή αποδοτικότητα(efficiency). Τούτο συμβαίνει γιατί ο ρυθμός βρίσκεται σε άμεση γειτνίαση με τη μεταλλική ταινία, η οποία αποτελεί την πηγή θερμότητας. Μάλιστα, το μέγιστο του υποστηριζόμενου ρυθμού βρίσκεται ακριβώς στη διεπιφάνεια μετάλλου-πολυμερούς, όπου αναμένεται η μέγιστη(και ταχύτερη) θερμοκρασιακή αύξηση. 1 Προφανώς,γιαναείναιισχυρότοφαινόμενοθαπρέπειτουλικότουπυρήναναδιαθέτειυψηλόθερμοοπτικό συντελεστή(thermo-optic Coefficient, TOC), ο οποίος εκφράζει τη μεταβολή στο δείκτη διάθλασηςανάθερμοκρασιακόβαθμό: TOC n/ T [K 1 ]. 121

134 122 Κεφάλαιο 5 PMMA Gold Silica Silicon 1nm 5nm y-coordinate ( µ m) x-coordinate ( µ m) ( α ) ( β) 1 y x TM E y.5 6nm 3µm -.5 neff = j.255 Σχήμα 5.1: (α) DLSPP κυματοδηγός με πεπερασμένο πλάτος μεταλλικής ταινίας πάνω σε υπόστρωμα τεχνολογίας πυριτίου(soi). Η εκδοχή αυτή του κυματοδηγού είναι προσανατολισμένη σε θερμο-οπτικές εφαρμογές. (β) Κατανομή της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου (E y )γιατονεπικρατέστερο(τμ )ρυθμόκαιμήκοςκύματοςλειτουργίας 1.55μm. Πράγματι, εξαιτίας των εν λόγω προτερημάτων το θερμο-οπτικό φαινόμενο έχει αξιοποιηθεί ευρύτατα στην υλοποίηση δυναμικά ελεγχόμενων εξαρτημάτων βασισμένων στον DLSPP κυματοδηγό(dlspp-based thermo-optic components)[ , 257, 275]. Μάλιστα, οι εργασίες αυτές συμπεριλαμβάνουν πειραματικές και θεωρητικές μελέτες διαφορετικών τύπων εξαρτημάτων(είτε βασισμένων σε συντονιστές είτε κάποιου τύπου συμβολομέτρου MZI 2 ή MMI 3 )σεσυνθήκεςστατικούκαιδυναμικούθερμο-οπτικούελέγχου. Στη συνέχεια του κεφαλαίου θα διερευνήσουμε τη δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου διαφόρων διατάξεων που εμπλέκουν έναν ή περισσότερους συντονιστές δακτυλίου συζευγμένων με ευθύγραμμους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου[122, 123, 257]. Οι διατάξεις που θα αναλύσουμε στηρίζονται σε μια εκδοχή του DLSPP κυματοδηγού λίγο διαφορετική αυτής που χρησιμοποιήθηκε στο κεφάλαιο 4. Ειδικότερα, πρόκειται για μια εκδοχή προσανατολισμένη σε θερμο-οπτικές εφαρμογές, η οποία και παρουσιάστηκε στην ενότητα Παρόλα αυτά, η διατομή του κυματοδηγού με τις σχετικές γεωμετρικές διαστάσεις καθώς και ο υποστηριζόμενος ρυθμός απεικονίζονται στο Σχ. 5.1 για ευκολότερη αναφορά. Η κυρίαρχη διαφορά με τη βασική εκδοχή του DLSPP έγκειται στο πεπερασμένο πλάτος του μεταλλικούφύλλου: w Au = 3μm.Επιπρόσθετα,τοπολυμερές BCBπουχρησιμοποιήθηκε στο κεφάλαιο 4 αντικαθίσταται από το PMMA. Η αλλαγή αυτή είναι επιβεβλημένη καθώς ο θερμο-οπτικόςσυντελεστήςτου BCBείναιμόλις K 1.Αντιθέτως,το PMMA έχειθερμο-οπτικόσυντελεστήτέσσεριςφορέςμεγαλύτερο: K 1. Επιπλέον, οι τεχνικές επεξεργασίας του είναι οι πλέον γνωστές καθώς χρησιμοποιείται συχνά ως φωτοευαίσθητο υλικό στη λιθογραφία. Για τους παραπάνω λόγους, το PMMA χρησιμοποιείται κατά κόρον στην υλοποίηση εξαρτημάτων βασισμένων στον DLSPP κυματοδηγό [79, 83, 86, 93, 126, 276]. Τέλος, η δομή πυρήνα-μεταλλικής ταινίας τοποθετείται σε υπόστρωμα τεχνολογίας πυριτίου(silicon on Insulator, SOI), δηλαδή στρώμα διοξειδίου του πυριτίου(silica Buried Oxide, BOX, Layer) πάνω σε υπόστρωμα πυριτίου[σχ. 5.1(α)]. 2 Mach-Zehnder Interferometer 3 Mutli-Mode Interferometer

135 5.1. Θερμο-οπτικός έλεγχος φίλτρου μικροδακτυλίου 123 2µm PMMA Gold Silica Output 1µm D g L R Input z y x Σχήμα 5.2: Φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου βασισμένο σε DLSPP κυματοδηγό προορισμένο για θερμο-οπτικό έλεγχο της οπτικής απόκρισης. Η διαδρομή του ρεύματος ελέγχου αποτυπώνεται με κόκκινα βέλη. Παρατηρείστε τη διαμόρφωση του μεταλλικού φύλλου και την ασύμμετρη τοποθέτηση του πυρήνα στη μεταλλική ταινία για τον σχηματισμό του δακτυλίου(ένθετο σχήμα). 5.1 Θερμο-οπτικός έλεγχος φίλτρου μικροδακτυλίου Θα εκκινήσουμε την ανάλυση των θερμο-οπτικών εξαρτημάτων από μια διάταξη φίλτρου μικροδακτυλίου. Η δομή που θα μας απασχολήσει απεικονίζεται στο σχήμα 5.2 και παρουσιάζει κάποιες διαφορές σε σχέση με αυτή που μελετήθηκε στο κεφάλαιο 4[βλ. σχήμα 4.2]. Παρατηρείστε καταρχήν τη διαμόρφωση(patterning) του μεταλλικού φύλλου που καθιστά δυνατή τη θέρμανση της δομής με εφαρμογή ρεύματος ελέγχου, η διαδρομή του οποίου αποτυπώνεται στο σχήμα με κόκκινα βέλη. Το πλάτος της μεταλλικής ταινίας είναι παντού 3 μm, διάσταση που σύμφωνα με το σχήμα 2.14(β) είναι ικανή να παραλάβει την οριζόντια έκταση του υποστηριζόμενου ρυθμού και δεν οδηγεί σε παρατηρήσιμη ελάττωση του μήκους διάδοσης. Ο εν λόγω υπολογισμός όμως αναφέρεται σε ευθύγραμμο κυματοδηγό. Ετσι, μια μεγαλύτερη τιμή πλάτους μεταλλικής ταινίας ίσως να ήταν πλεονεκτική στην περιοχή του δακτυλίου όπου ο ρυθμός είναι μετατοπισμένος προς το εξωτερικό όριο του κυματοδηγού υπό κάμψη. Από την άλλη, η διατήρηση μικρής τιμής πλάτους είναι επιθυμητή ώστε κάποια συγκεκριμένη τιμή ρεύματος ελέγχου να μεταφράζεται στην υψηλότερη δυνατή πυκνότητα ρεύματος. Προς τον σκοπό της ικανοποίησης των δύο αυτών αντικρουόμενων απαιτήσεων, προτείνεται η ασύμμετρη τοποθέτηση του πυρήνα στη μεταλλική ταινία. Πιο συγκεκριμένα, με αναφορά τον άξονα του κυματοδηγού υπό κάμψη, η μεταλλική ταινία εκτείνεται 1 μm προς την εσωτερική και 2 μm προς την εξωτερική διεύθυνση(ένθετο σχήμα στο 5.2). Μια ακόμη διαφορά εντοπίζεται στο σχήμα του συντονιστή. Πιο συγκεκριμένα, ο δακτύλιος του σχήματος 5.2 δεν έχει κυκλική περιφέρεια παρά αποτελείται από δύο ημικύκλια συνδεδεμένα μέσω ευθύγραμμων τμημάτων μήκους L. Ο συντονιστής αυτού του τύπου αποκαλείται racetrack εξαιτίας της ομοιότητας που παρουσιάζει με διάδρομο στίβου(κουλουάρ). Η χρησιμότητά του έγκειται στην ευελιξία που προσφέρει αναφορικά με την ικανοποίηση της συνθήκης κρίσιμης σύζευξης όταν τίθενται κατασκευαστικοί περιορισμοί ως προς το ελάχιστο δυνατό διάκενο σύζευξης. Στην περίπτωση αυτή, η εισαγωγή των ευθύ-

136 124 Κεφάλαιο 5 γραμμων τμημάτων είναι ένας«οικονομικότερος» τρόπος(έναντι της αύξησης της ακτίνας συντονιστή δακτυλίου) να αυξηθεί η έκταση της περιοχής σύζευξης και συνεπώς να γίνει ισχυρότερη η σύζευξη χωρίς την περαιτέρω ελάττωση του διακένου σύζευξης. Για παράδειγμα, η επίτευξη διακένων 1 nm όπως αυτά που απαιτούνται στο κεφάλαιο 4 κρίνεται τεχνολογικά απαιτητική. Μια ασφαλέστερη επιλογή είναι να θέσουμε την τιμή του διακένου στα 3 nm, τιμή που επιτυγχάνεται ευκολότερα και με ελεγχόμενο τρόπο, και να ικανοποιήσουμε τη συνθήκη κρίσιμης σύζευξης μέσω της ρύθμισης του μήκους L. Τέλος, παρότι δεν εικονίζεται στο σχήμα 5.2, μετά το στρώμα διοξειδίου πάχους 1 μm ακολουθεί υπόστρωμα πυριτίου. Το επιπλέον αυτό στρώμα δεν λαμβάνεται υπόψη στον οπτικό υπολογισμό καθώς είναι πολύ μακριά από την περιοχή στην οποία εντοπίζεται ο οδηγούμενος ρυθμός, αποκτά όμως ιδιαίτερη σημασία στον θερμικό υπολογισμό λόγω της υψηλής θερμικής του αγωγιμότητας. Επιπλέον, η επιλογή του SOI υποστρώματος εξασφαλίζει συμβατότητα με την ώριμη νανοφωτονική τεχνολογία πυριτίου(silicon photonics), γεγονός που θα επιτρέψει στο κεφάλαιο 6 την επιτυχή διασύνδεση του DLSPP με SOI κυματοδηγούς ταινίας(wire) και ράβδωσης(rib) Θερμική ανάλυση Ηδομήπουθααναλύσουμεγιανααποκτήσουμεμιαένδειξητηςτιμήςτουρεύματοςπου απαιτείται για τη θέρμανση της δομής του φίλτρου μικροδακτυλίου αντιστοιχεί σε ασύζευκτο συντονιστή δακτυλίου ακτίνας 5 μm(σχ. 5.3). Για τον προσδιορισμό της κατανομής θερμοκρασίας στη δομή, T(r), λύνουμε την εξίσωση διάχυσης(thermal diffusion equation) ( K T) = Q J2 σ, (5.1) όπου J ομοιόμορφη αζιμουθιακή πυκνότητα ρεύματος(βλ. σχήμα 5.3), η οποία και αποτελεί τη διέγερση του προβλήματος. Με K συμβολίζεται η θερμική αγωγιμότητα(thermal conductivity) και με σ η ηλεκτρική αγωγιμότητα του χρυσού. Οι τιμές της θερμικής αγωγιμότητας για τα εμπλεκόμενα υλικά συγκεντρώνονται στον πίνακα 5.1. Σε αυτόν συμπεριλαμβάνονται επίσης τιμές της πυκνότητας(density), ρ, και της ειδικής θερμοχωρητικότητας υπόσταθερήπίεση(specific heat capacity at constant pressure), C p,οιοποίεςθαχρησιμοποιηθούν στην ενότητα για τον υπολογισμό του χρόνου θέρμανσης/ψύξης της διάταξης. Σημειώνουμε ότι η τιμή που υιοθετούμε για τη θερμική αγωγιμότητα του χρυσού διαφέρειαπότηνευρέωςγνωστήτιμήτων 318 W/mKπουαντιστοιχείστο bulkυλικό. Είναι, βέβαια, γνωστή η εξάρτηση της θερμικής και ηλεκτρικής αγωγιμότητας από το πάχος του φύλλου χρυσού[277, 278]. Ειδικότερα, για τιμές πάχους μικρότερες του 1 μm η θερμική αγωγιμότητα παρουσιάζει αισθητή μείωση. Για πάχος 1 nm η bulk τιμή πρέπει να κλιμακωθεί με συντελεστή.6[278] και διαμορφώνεται σε 184 W/mK. Εντελώς ανάλογη είναι και η εξάρτηση της ηλεκτρικής αγωγιμότητας με το πάχος του φύλλου[278], γεγονός πουοδηγείστηνυιοθέτησητιμήςίσηςμε S/m,αντίτηςτυπικής, bulk,τιμήςτων S/m. Η Εξ. (5.1) λύνεται με κομβικά (nodal) πεπερασμένα στοιχεία καθώς η θερμοκρασία(ο άγνωστος του προβλήματος) είναι βαθμωτό μέγεθος. Αναφορικά με τις οριακές συνθήκες, η κάτω επιφάνεια του υποστρώματος πυριτίου τίθεται σε σταθερή θερμοκρασία (T = 293 Κ) καθώς υποθέτουμε ότι η διάταξη τοποθετείται σε μονάδα θερμοηλεκτρικού ελέγχου(thermo-electric Cooler, TEC), η οποία κρατάει σταθερή τη θερμοκρασία σε τιμή

137 5.1. Θερμο-οπτικός έλεγχος φίλτρου μικροδακτυλίου 125 PMMA Gold Silica Silicon Convection B/C (Robin) J Jφ y z x Insulation B/C (Neumann) Const. T B/C (Dirichlet) Σχήμα 5.3: Γεωμετρία ασύζευκτου συντονιστή μικροδακτυλίου ακτίνας 5 μm που χρησιμοποιείται στη θερμική ανάλυση. Σημειώνονται οι οριακές συνθήκες στα όρια του υπολογιστικού χώρου. Παρατηρείστε την ομοιόμορφη αζιμουθιακή πυκνότητα ρεύματος που ρέει στον μεταλλικό δακτύλιο και αποτελεί τη διέγερση του προβλήματος. Υλικό Πίνακας 5.1: Θερμικές ιδιότητες υλικών. K[W/(mΚ)] ρ[kg/m 3 ] C p [J/(KgΚ)] Πυρίτιο Διοξείδιο Πυριτίου Χρυσός(1 nm) PMMA C. 4 Στα xzκαι yzεπίπεδαπουαποκόπτουντηνεγκάρσιαέκτασητηςδομής(βλ.σχήμα 5.3) γίνεται χρήση ομογενών οριακών συνθηκών Neumann της μορφής ˆn ( K T) =. (5.2) Λαμβάνεται ειδική μέριμνα ώστε η θερμοκρασιακή αύξηση να έχει πλήρως εξασθενήσει στηθέσητωνεπιπέδωναυτώνκαθώςηοριακήσυνθήκητηςεξ.(5.2)είναιμηδιαπερατή (insulation boundary condition). Τέλος, στις επιφάνειες που έρχονται σε επαφή με τον αέρα και όπου λαμβάνει χώρα το φαινόμενο της συναγωγής(convection) χρησιμοποιούμε συνθήκη Robin της μορφής ˆn ( K T) = h(t air T), (5.3) 4 Ηλειτουργίατηςμονάδας TECστηρίζεταιστοφαινόμενο Peltier(ή Peltier-Seebeck)σύμφωναμετο οποίο η επιβολή μιας διαφοράς δυναμικού στα άκρα μιας επαφής(junction) δύο διαφορετικών αγώγιμων υλικών μπορεί να οδηγήσει σε έλεγχο της θερμοκρασίας στη γειτονία της επαφής.

138 126 Κεφάλαιο 5 Πίνακας5.2: Μέσηθερμοκρασιακήαύξησηστηνπεριοχήτουπολυμερούς( T av )γιαδιαφορετικές τιμές του ρεύματος ελέγχου. Τιμήρεύματος(mA) Πυκνότηταρεύματος(GA/m 2 ) Μέσηθερμ.αύξηση T av (Κ) όπου T air = 293Κ(θερμοκρασίαδωματίου)και hσυντελεστήςμετάδοσηςθερμότητας (heat transfer coefficient),οοποίοςλαμβάνεταιίσοςμε1 W/(m 2 Κ). Λήφθηκαν αποτελέσματα για διάφορες τιμές του ρεύματος ελέγχου, τα οποία και συγκεντρώνονταιστονπίνακα Οπωςείναιαναμενόμενο,ηαύξησητηςτιμήςρεύματος οδηγεί σε μεγαλύτερη πυκνότητα ρεύματος και συνεπώς μεγαλύτερη θερμοκρασιακή αύξηση. Γιατιμή 6 maηπυκνότηταρεύματοςισούταιμε 2 GA/m 2 καιηθερμοκρασιακή αύξηση στο πολυμερές(συγκριτικά με θερμοκρασία δωματίου 293 Κ) είναι περίπου 95 Κ. Αναλυτικότερα, η θερμοκρασιακή αύξηση που σημειώνεται στην τρίτη γραμμή του πίνακα 5.2 είναι η μέση(χωρικά) θερμοκρασιακή αύξηση στην περιοχή του πολυμερούς. Η τιμή αυτή είναι αντιπροσωπευτική του φαινομένου, καθώς η θερμοκρασία σε όλη την έκταση του πολυμερούς είναι σχεδόν σταθερή(θερμοκρασιακή μεταβολή < 1 Κ). Το γεγονός αυτό αποτυπώνεται στο σχήμα 5.4 όπου απεικονίζεται η θερμοκρασιακή αύξηση στην τρισδιάστατη δομή του ασύζευκτου δακτυλίου για τιμή ρεύματος ελέγχου 6 ma. Παρατηρείστε τη σταθερή θερμοκρασία του πυρήνα πολυμερούς, κάτι που αποτυπώνεται λεπτομερέστερα και στο ένθετο σχήμα. Η συμπεριφορά αυτή επιτρέπει την υιοθέτηση μιας μοναδικής τιμής δείκτη διάθλασης για την περιγραφή όλης της περιοχής στους οπτικούς υπολογισμούς που θα ακολουθήσουν. Παρατηρείστε, επίσης, ότι λόγω της υψηλής θερμικής αγωγιμότητας του πυριτίου η πτώση θερμοκρασίας στο εν λόγω στρώμα είναι αμελητέα. Ο συνδυασμός του στρώματος πυριτίου και της μονάδας TEC λειτουργούν ως απαγωγέας θερμότητας(heat sink). Τέλος, σημειώνουμε ότι το φαινόμενο έχει πλήρως εξασθενήσει πριν τον τερματισμό του υπολογιστικού χώρου με συνθήκες Neumann. Στη θερμική ανάλυση που προηγήθηκε δεν λήφθηκε υπόψη η εξάρτηση της ηλεκτρικής αγωγιμότητας του χρυσού από τη θερμοκρασία. Ειδικότερα, είναι γνωστό ότι η ειδική ηλεκτρική αντίσταση(electrical resistivity) παρουσιάζει σχεδόν γραμμική εξάρτηση(αύξηση) μετηθερμοκρασίατηςμορφής ρ(t) = ρ [1 + α(t T )],όπου ασυντελεστήςπουγια τονχρυσόλαμβάνειτηντιμή.34κ 1. Συνεπώς,ηειδικήαγωγιμότητατουχρυσού, σ = 1/ρ, ελαττώνεται γραμμικά με τη θερμοκρασία. Αυτό σημαίνει ότι ο όρος διέγερσης της εξίσωσης διάχυσης[q στην Εξ.(5.1)] γίνεται σημαντικότερος με την αύξηση της θερμοκρασίας, με αποτέλεσμα να υποεκτιμούμε τελικά τη θερμοκρασιακή αύξηση, ειδικά για υψηλές τιμές πυκνότητας. Παρόλα αυτά, βασικός μας σκοπός στην παρούσα ενότητα δεν 5 Προφανώς, ηπυκνότηταρεύματοςδενμπορείναγίνειαυθαίρεταυψηλή. Ημέγιστηεπιτρεπόμενη τιμή πυκνότητας καθορίζεται από το φαινόμενο της «μετανάστευσης» ηλεκτρονίων (electromigration) [119,279,28]. Ειδικότερα,γιαμεγάλεςτιμέςπυκνότητας(μερικέςεκατοντάδες GA/m 2 )ηκίνησητων ηλεκτρονίων οδηγεί σε μετατόπιση των ατόμων του μετάλλου προκαλώντας μορφολογικές αλλαγές στο υλικό. Η παρατεταμένη οδήγηση της μεταλλικής ταινίας με τέτοιες τιμές πυκνότητας τελικά καταστρέφει τον αγωγό οδηγώντας σε διακοπή της γαλβανικής συνέχειας. Επιπρόσθετα, κανείς πρέπει να λάβει υπόψη τη μέγιστη θερμοκρασία που μπορεί να αντέξει το πολυμερές πριν αλλοιωθεί το σχήμα του λόγω τήξης. Οπως θα επιβεβαιωθεί και από τα πειραματικά αποτελέσματα της ενότητας 5.6 οι τιμές πυκνότητας και θερμοκρασίας που εξετάζουμε βρίσκονται εντός των επιτρεπτών ορίων.

139 5.1. Θερμο-οπτικός έλεγχος φίλτρου μικροδακτυλίου 127 Δ Τ [ K] Σχήμα 5.4: Χάρτης θερμοκρασιακής αύξησης(συγκριτικά με θερμοκρασία δωματίου 293 Κ) σε μια δισδιάστατη τομή της τρισδιάστατης δομής συντονιστή δακτυλίου για τιμή ρεύματος ελέγχου 6 ma. Η θερμοκρασία σε ολόκληρη την έκταση του πυρήνα πολυμερούς είναι σχεδόν σταθερή, όπως αποτυπώνεται λεπτομερέστερα και στο ένθετο σχήμα. είναι ο ακριβής προσδιορισμός της θερμοκρασιακής αύξησης για συγκεκριμένη τιμή πυκνότητας, παρά η επίδειξη της δυνατότητας αξιόλογης θερμοκρασιακής μεταβολής για λογικές τιμές ρεύματος ελέγχου, όπως επίσης και η διερεύνηση της θερμοκρασιακής κατανομής με σκοπό τη σωστή μοντελοποίηση της θερμής κατάστασης στους οπτικούς υπολογισμούς που ακολουθούν Οπτική απόκριση φίλτρου μικροδακτυλίου Στη συνέχεια, εξετάζουμε την επίδραση της θέρμανσης μιας δομής φίλτρου μικροδακτυλίου (Σχ. 5.2) στην οπτική του απόκριση. Οι γεωμετρικές παράμετροι του φίλτρου λαμβάνονται ίσεςμε R = 5μm, g =.3μmκαι L =.7μm. Αναλυτικότερα,ητιμήακτίναςπου επιλέχθηκε εξασφαλίζει περιορισμένες απώλειες ακτινοβολίας και συνεπώς υψηλό εσωτερικό συντελεστή ποιότητας. Το διάκενο σύζευξης τίθεται στα.3 μm καθώς μικρότερες τιμές μπορείνααποδειχθούντεχνολογικάαπαιτητικές. 6 Ακολούθως,τομήκοςτουευθύγραμμου τμήματος του συντονιστή ρυθμίζεται κατάλληλα ώστε να επιτευχθεί κρίσιμη σύζευξη μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγού. Καθώς η τιμή αυτή διακένου είναι σχετικά υψηλή απαιτείται αξιόλογο μήκος L(.7 μm) για την ικανοποίηση της συνθήκης. Οι καμπύλες μετάδοσης για την εν λόγω διάταξη απεικονίζονται στο σχήμα 5.5. Επικεντρώνουμε την προσοχή μας σε μια συγκεκριμένη συχνοτική ζώνη: τη C-band που καλύπτειτοεύροςμηκώνκύματος μm. 7 Καθώςτοελεύθεροφασματικόεύρος γιαμιατέτοιατιμήακτίναςείναιτηςτάξηςτων5 nm,έναμόνοελάχιστομετάδοσηςείναι ορατό. Εξυπακούεται, βέβαια, ότι αν σχεδιάσουμε την καμπύλη μετάδοσης σε μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων θα κάνουν την εμφάνισή τους επιπλέον ελάχιστα μετάδοσης, τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικούς ρυθμούς συντονισμού(διαφορετικής αζιμουθιακής τάξης) του 6 Σεολόκληροτοκεφάλαιο5,λαμβάνονταςυπόψηπιθανούςκατασκευαστικούςπεριορισμούς,ημικρότερη επιτεύξιμη τιμή διακένου μεταξύ κυματοδηγού και συντονιστή ορίζεται στα.3 μm. 7 Η C-bandείναιησημαντικότερησυχνοτικήζώνητωνοπτικώνεπικοινωνιώντηςκοντινήςυπέρυθρης περιοχής καθώς στα μήκη κύματος που περιλαμβάνει υπάρχει η δυνατότητα οπτικής ενίσχυσης του σήματος με χρήση ενισχυτή ντοπαρισμένης ίνας Ερβίου(Erbium-Doped Fiber Amplifier, EDFA).

140 128 Κεφάλαιο 5 Transmission (db) dB -15 Unheated ~9nm Heated Wavelength ( µ m) Σχήμα 5.5: Μετάδοση φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου με γεωμετρικές παραμέτρους R = 5μm, g =.3μmκαι L =.7μmσανσυνάρτησητουμήκουςκύματος. Μεμπλεσημειώνεται η καμπύλη μετάδοσης στην κρύα κατάσταση(t = 293 Κ) και με κόκκινο η καμπύλη μετάδοσης στηθερμήκατάσταση( T = 1Κ).Ηθέρμανσητουφίλτρουοδηγείσεμετατόπισητηςβύθισης κατά 9 nm προς χαμηλότερα μήκη κύματος λόγω του αρνητικού θερμο-οπτικού συντελεστή του PMMA. Ο λόγος εξάλειψης μεταξύ καταστάσεων στο μήκος κύματος λειτουργίας των 1552 nm είναι15 db. δακτυλίου. Με μπλε σημειώνεται η καμπύλη μετάδοσης στην κρύα κατάσταση(t = 293 Κ) καιμεκόκκινοηκαμπύλημετάδοσηςστηθερμήκατάσταση( T = 1Κ).Ηθερμοκρασιακήμεταβολήτων 1Καντιστοιχείσερεύμαελέγχου I 6 maσύμφωναμετον πίνακα 5.2. Ο δείκτης διάθλασης του PMMA σε θερμοκρασία δωματίου για τα μήκη κύματοςστηνπεριοχήτου 1.55μmείναιίσοςμε Γιατηνπροσομοίωσητηςθερμής κατάστασης, λαμβάνοντας υπόψη τον θερμο-οπτικό συντελεστή του PMMA και τη θερμοκρασιακή μεταβολή, αποδίδουμε τιμή δείκτη διάθλασης ελαττωμένη κατά.15(δηλαδή ) σε όλες τις περιοχές πολυμερούς, συμπεριλαμβανομένου και του ευθύγραμμου κυματοδηγού. Υποθέτουμε, δηλαδή, ομοιόμορφη θέρμανση ολόκληρου του κυκλώματος που σχηματίζει ο πυρήνας πολυμερούς. Οπως φαίνεται από το σχήμα 5.2, ολόκληρος ο συντονιστής καθώς και η περιοχή σύζευξης θερμαίνονται από το ρεύμα ελέγχου με την κατανομή της θερμοκρασίας να αναμένεται πρακτικά σταθερή, όπως συνιστά η θερμική ανάλυση που προηγήθηκε(σχ. 5.4). Μόνο τα άκρα του ευθύγραμμου κυματοδηγού δεν πρόκειται να θερμανθούν εξίσου, κάτι που αφήνει όμως ανεπηρέαστη τη λειτουργία του φίλτρου. Συνεπώς, είναι ασφαλής η απόδοση μιας οικουμενικής τιμής δείκτη διάθλασης σε όλες τις περιοχές PMMA. Παρατηρώντας το σχήμα 5.5 κανείς διαπιστώνει την ικανοποίηση της συνθήκης κρίσιμης σύζευξης στην κρύα κατάσταση. Το επίπεδο ελαχίστου προσεγγίζει τα 19 db, οδηγώντας σε υψηλή αντίθεση επιπέδων μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης της τάξης των 17 db. Η σύγκριση των δύο καμπυλών αποκαλύπτει ότι η θέρμανση του φίλτρου συνεπάγεται μετατόπισητουελαχίστουκατά 9 nm. 8 Ημετατόπισηείναιπροςχαμηλότεραμήκηκύματος λόγω του αρνητικού θερμο-οπτικού συντελεστή του PMMA. Το γεγονός αυτό είναι συμ- 8 Τοεύροςτηςμετατόπισηςπουυπολογίζουμεσυμφωνείμετοαποτέλεσμαενόςπρόχειρουυπολογισμού στη βάση της συνθήκης συντονισμού του δακτυλίου, σύμφωνα με τον οποίο η μεταβολή στη συχνότητα συντονισμούδίνεταιαπό λ/λ n eff /n eff.εξισώνονταςτονενεργόδείκτηδιάθλασηςτουκυματοδηγού υπό κάμψη με αυτόν του ευθύγραμμου κυματοδηγού και χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα της ενότητας 2.4.2σύμφωναμετοοποίο n eff.8 n PMMA καταλήγουμεσεμετατόπισητηςτάξηςτων 1 nm.

141 5.1. Θερμο-οπτικός έλεγχος φίλτρου μικροδακτυλίου 129 βατό και με τη θεωρία μικρών διαταραχών για οπτικές κοιλότητες(cavity perturbation theory), σύμφωνα με την οποία η κλασματική μεταβολή στη συχνότητα συντονισμού είναι αντίθετου προσήμου της μεταβολής του δείκτη διάθλασης[189, 281, 282]: ω ω ω 1 2 ε(r) E (r) 2 dv V, (5.4) ε(r) E (r) 2 dv Ετσι, η μείωση του δείκτη διάθλασης οδηγεί σε αύξηση της συχνότητας συντονισμού και άραελάττωσητουαντίστοιχουμήκουςκύματος. 9 Γίνεταιφανερόότιγιαλογικέςτιμές θερμοκρασιακής αύξησης(έως και 1 Κ) ο θερμο-οπτικός συντελεστής του PMMA δεν επαρκείγιαμετατόπισηίσημεfsr/2( 25nm).Αυτόέχειωςαποτέλεσμαολόγοςεξάλειψης μεταξύ καταστάσεων(er) να είναι μικρότερος του λόγου αντίθεσης μεταξύ επιπέδων μετάδοσης(er ideal ).Ειδικότερα,ολόγοςεξάλειψηςστομήκοςκύματοςτων 1552 nmείναι 15αντίγια 17 db(σχ.5.5). Τοπαραπάνωέχειεπίπτωσηκαιστιςαπώλειεςεισαγωγής (Insertion Loss, IL), οι οποίες ορίζονται στην κατάσταση υψηλής μετάδοσης(θερμή). Πιο συγκεκριμένα, οι απώλειες εισαγωγής διαμορφώνονται στα 4 db, ενώ στην ιδανική περίπτωση που ο θερμο-οπτικός συντελεστής θα επαρκούσε για μετατόπιση ίση με FSR/2 θα προέκυπταν 2 db χαμηλότερες. Παρατηρείστε, επίσης, μια απομάκρυνση του φίλτρου από τη συνθήκη κρίσιμης σύζευξης στη θερμή κατάσταση. Η θέρμανση της δομής συνεπάγεται αφενός την αλλαγή του εσωτερικού συντελεστή ποιότητας του συντονιστή και αφετέρου την μεταβολή των συνθηκών σύζευξης, διαταράσσοντας έτσι την ικανοποίηση της συνθήκης. V Μεταβατικό φαινόμενο Εκτός από το εύρος της μετατόπισης του συντονισμού που προσφέρει το θερμο-οπτικό φαινόμενο, και συνεπώς τον μέγιστο επιτεύξιμο λόγο εξάλειψης, μεγάλη σημασία σε πρακτικές εφαρμογές αποκτά και ο χρόνος μετάβασης μεταξύ καταστάσεων(switching time). Στην ενότητα αυτή, εκτιμούμε τον χρόνο που απαιτείται για τη θέρμανση και ψύξη της διάταξης του ασύζευκτου συντονιστή δακτυλίου που μελετήθηκε στην ενότητα Προς τον σκοπό αυτό λύνουμε την εξίσωση ρc p T t + ( K T) = Q J2 σ. (5.5) Η γεωμετρία του προβλήματος και οι οριακές συνθήκες είναι πανομοιότυπες με αυτές που υιοθετήθηκαν στην ενότητα και οι ιδιότητες των υλικών μπορούν να βρεθούν στον πίνακα 5.1. Τα αποτελέσματα για τη διαδικασία θέρμανσης απεικονίζονται στο σχήμα 5.6(α). Ειδικότερα, παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασιακής αύξησης στον δακτύλιο πολυμερούς κατά τη διαδικασία θέρμανσης για δυο τιμές του ρεύματος ελέγχου: 6 και 3 ma.τοφαινόμενοπαρακολουθείταιγιαδιάστημα1μsμεβήμα.1μs. Καιστιςδύο περιπτώσεις, μετά την παρέλευση του μεταβατικού φαινομένου(transient) η θερμοκρασία προσεγγίζει με πολύ καλή ακρίβεια την τιμή που υπολογίστηκε στην ενότητα για τη 9 Προσοχήστογεγονόςότιτοανάποδοσυμβαίνειστηνπερίπτωσητηςφασικήςσταθεράςκυματοδηγού (βλ. σχήμα 2.15). Εκεί, η μείωση του δείκτη διάθλασης οδηγεί σε μείωση της φασικής σταθεράς[26].

142 13 Κεφάλαιο 5 ΔT av (K) ma 3 ma exp. fit t = 1 µs ΔT av (K) t = 1 µs Time (µs) Time (µs) Σχήμα 5.6: (α) Χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας στον πυρήνα πολυμερούς κατά τη διαδικασία θέρμανσης για δυο τιμές του ρεύματος ελέγχου: 3 και 6 ma. Η σταθερά χρόνου (χρόνος που απαιτείται για την προσέγγιση της τιμής σταθερής κατάστασης στο 63%) προκύπτει τ rise = 1.55μs. (β)χρονικήεξέλιξητηςμέσηςθερμοκρασίαςστονπυρήναπολυμερούςκατάτη διαδικασίαψύξης.καισεαυτήτηνπερίπτωσηησταθεράχρόνουείναι τ fall = 1.55μs. μόνιμη κατάσταση(steady state) και μπορεί να βρεθεί στον πίνακα 5.2. Τα σημεία υπολογισμού προσεγγίζονται ικανοποιητικά από εκθετική συνάρτηση της μορφής T av (t) = T ss av (1 e t/τ rise ). (5.6) Ησταθεράχρόνουκαιστιςδύοπεριπτώσειςπροκύπτειίσημε τ rise = 1.55μs,αφού,όπως είναι φυσικό, δεν εξαρτάται από τη διέγερση. Επιπλέον, η τιμή που υπολογίζουμε συμφωνεί με την εκτίμηση του 1.58 μs που δίνεται από την προσεγγιστική σχέση[13]: τ 1 ρc p 2 K h2, (5.7) όπου ρ,c p,kοιθερμικέςιδιότητεςτουπολυμερούςκαι hτούψοςτου(6 nm). Αξίζει να σημειωθεί ότι ενώ στη μόνιμη κατάσταση η θερμοκρασιακή κατανομή στην έκταση του πυρήνα είναι σταθερή, κάτι τέτοιο δεν ισχύει κατά τη διάρκεια του μεταβατικού φαινομένου. Παραδείγματος χάριν, 1 μs μετά την επιβολή της πυκνότητας ρεύματος η κατανομή παρουσιάζει έντονη μεταβολή κατά το ύψος του πυρήνα με τη θερμοκρασιακή αύξησηναλαμβάνειτιμέςαπό75κστηβάσηέως2κστοάνωόριο[ένθετοσχήμα στο 5.6(α)]. Κατά συνέπεια, κάποιος θα μπορούσε να επιχειρηματολογήσει ότι η μέση θερμοκρασία που υιοθετούμε για τον προσδιορισμό της σταθεράς χρόνου του φαινομένου θέρμανσης δεν είναι πλήρως αντιπροσωπευτική. Παρόλα αυτά, η χρήση της μπορεί να οδηγήσει μόνο σε υπερεκτίμηση της σταθεράς χρόνου και αυτό γιατί το κατώτερο μέρος του πυρήνα, στο οποίο εντοπίζεται και το μεγαλύτερο μέρος του υποστηριζόμενου ρυθμού, θερμαίνεται πρώτο. Πράγματι, αν επιχειρήσουμε να προσδιορίσουμε μια νέα σταθερά χρόνου μεβάσητηθερμοκρασιακήαύξησησεένασημείο 1 nmπάνωαπότηνάνωεπιφάνειατης μεταλλικής ταινίας, αυτή προκύπτει ίση με.7 μs. Στο Σχ. 5.6(β) απεικονίζεται η χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας στον δακτύλιο πολυμερούς κατά τη διαδικασία ψύξης. Τα σημεία προέκυψαν επιλύοντας την ομογενή εξίσωση διάχυσης[εξ.(5.5) με Q = ] με αρχική συνθήκη την κατανομή της θερμοκρασίας

143 5.2. Φίλτρα προσθήκης-απόρριψης καναλιού 131 στη μόνιμη κατάσταση(i = 6 ma). Οπως και για τη διαδικασία θέρμανσης, τα επιμέρους σημεία προσεγγίζονται ικανοποιητικά από εκθετική συνάρτηση της μορφής T av (t) = T ss av e t/τ fall, (5.8) μεσταθεράχρόνου τ fall = 1.55μs. Καιπάλιηκατανομήδενείναιομοιόμορφηκατάτη διάρκεια του μεταβατικού φαινομένου, όπως φανερώνει το ένθετο σχήμα. Πάντως, η βάση του πυρήνα που φιλοξενεί το μεγαλύτερο μέρος του ρυθμού ψύχεται πρώτη. Ετσι, και στην περίπτωση αυτή αν υπολογίσουμε μια νέα σταθερά χρόνου με αναφορά ένα σημείο 1 nm πάνω από την άνω επιφάνεια της μεταλλικής ταινίας, αυτή προκύπτει μειωμένη συγκριτικά με τη σταθερά χρόνου που αντιστοιχεί στη μέση θερμοκρασιακή αύξηση. Ειδικότερα, προκύπτει ίση με.7 μs, όπως και στη διαδικασία θέρμανσης. Ανακεφαλαιώνοντας, η θερμική ανάλυση κατέδειξε ότι λογικές τιμές ρεύματος ελέγχου είναι ικανές να θερμάνουν επαρκώς τη δομή του φίλτρου μικροδακτυλίου ώστε να μεταβληθεί σημαντικά η οπτική του απόκριση. Ετσι, καθίσταται δυνατή η υλοποίηση δυναμικά ελεγχόμενου εξαρτήματος με δύο καταστάσεις λειτουργίας, δηλαδή διακοπτικού στοιχείου. Ενα ακόμη σημαντικό συμπέρασμα της ανάλυσης είναι η σταθερή θερμοκρασιακή κατανομή στη θερμή κατάσταση, γεγονός που επιτρέπει την απόδοση μιας μοναδικής τιμής δείκτη διάθλασης σε όλα τα σημεία του πυρήνα πολυμερούς απλοποιώντας τον οπτικό υπολογισμό. Εκτός από τη μόνιμη κατάσταση, μελετήθηκε και το μεταβατικό φαινόμενο. Οι σταθερές χρόνου(τ rise = τ fall = 1.55μs)πουυπολογίσαμεαναφέρονταιστηθερμικήαπόκρισηκαι ειδικότερα στη μέση θερμοκρασία του πυρήνα πολυμερούς. Παρότι οι σταθερές χρόνου της οπτικήςαπόκρισηςμπορείναπροκύψουνκατάτιδιαφορετικές,ητάξημεγέθουςτου1μs 1 καθιστάδυνατήτηχρήσητέτοιωνδιακοπτικώνστοιχείωνσεπρακτικέςεφαρμογές Φίλτρα προσθήκης-απόρριψης καναλιού Το θερμο-οπτικά ελεγχόμενο φίλτρο μικροδακτυλίου της ενότητας αποτελεί ένα διακοπτικό στοιχείο με μια θύρα εισόδου και μια θύρα εξόδου. Ανάλογα με την κατάσταση του στοιχείου το προσπίπτον κύμα περνάει η όχι στη μία και μοναδική θύρα εξόδου. Παρόλα αυτά, σε πλήθος πρακτικών εφαρμογών είναι επιθυμητά διακοπτικά στοιχεία με δύο θύρες εισόδου και δύο θύρες εξόδου, δηλαδή στοιχεία 2 2. Στην περίπτωση αυτή, η κατάσταση OFF αντιστοιχεί στην μεταβίβαση του προσπίπτοντος σήματος στην έτερη θύρα εξόδου, με την αντιστοίχιση των θυρών εξόδου στις καταστάσεις ON και OFF να αντιστρέφεται όταν χρησιμοποιείται διαφορετική θύρα εισόδου. Ετσι, στη συνέχεια του κεφαλαίου θα επιχειρήσουμε να σχεδιάσουμε θερμο-οπτικά διακοπτικά στοιχεία 2 2, εξετάζοντας διάφορες πιθανές αρχιτεκτονικές σε αναζήτηση επιδόσεων που να ικανοποιούν τις απαιτήσεις των 1 Στηνπερίπτωσηπουηθέρμανσηπραγματοποιείταιμεηλεκτρικότρόπο(διέλευσηρεύματος),οισταθερές χρόνου της τάξης του μs βρίσκονται στο όριο των επιδόσεων του θερμο-οπτικού φαινομένου. Χρόνοι απόκρισης μικρότεροι του 1 μs έχουν επιδειχθεί στη βιβλιογραφία με διακοπτικά στοιχεία τύπου MZI [283, 284], στηρίζονται όμως στη χρήση δυο ηλεκτροδίων, το καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε έναν βραχίονα του συμβολομέτρου, και την εφαρμογή τεχνικών διαφορικού(differential) ελέγχου κατά την επιβολήτουηλεκτρικούσήματος. Εναςδιαφορετικόςτρόποςνακατέβειησταθεράχρόνου τ rise στηνπεριοχή των ns είναι η θέρμανση μέσω οπτικού κύματος ελέγχου(photo-thermal activation)[285]. 11 Σεπερίπτωσηπουορυθμόςμετάδοσηςείναιστηνπεριοχήτων Gbit/s,ησταθεράχρόνουτου1μs προφανώς δεν επαρκεί για τον έλεγχο του σήματος σε επίπεδο bit. Παρόλα αυτά, σε πλήθος εφαρμογών ενδιαφέρει ο έλεγχος μεγάλων πακέτων bit αντί του καθενός ξεχωριστά.

144 132 Κεφάλαιο 5 4 [7] 1 [6] 6 5 [4] [5] [9] [8] [3] 3 [1] [2] 2 Through PMMA Gold Silica R L g 2 g 1 y z x Input Drop Σχήμα 5.7: Φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού συντονιστή μικροδακτυλίου βασισμένο σε DLSPP κυματοδηγό. Παρατηρείστε τη διαμόρφωση του μεταλλικού φύλλου που αποσκοπεί στον θερμο-οπτικό έλεγχο της απόκρισης και την ασύμμετρη τοποθέτηση του πυρήνα στη μεταλλική ταινία για τον σχηματισμό του δακτυλίου. Η διαδρομή του ρεύματος ελέγχου αποτυπώνεται με κόκκινα βέλη. Σχεδιάζεται το όριο του τρισδιάστατου υπολογιστικού χώρου, ο προσανατολισμός του πλέγματος των τριγωνικών πρισματικών στοιχείων και η θύρα εισόδου στην οποία εισάγουμε τοντμ ρυθμό. Μεκόκκινοσημειώνονταιταεπίπεδαωςπροςταοποίαπραγματοποιείταιο υπολογισμός του μεγέθους της μετάδοσης για τις δύο θύρες εξόδου. σύγχρονων συστημάτων οπτικών επικοινωνιών. Προςτονσκοπόαυτό,ηπρώτηδομήπουθαμελετήσουμεείναιένακλασικόφίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού(channel add-drop filter), το οποίο αποτελείται από συντονιστή μικροδακτυλίου συζευγμένο με δύο κυματοδηγούς παράλληλους μεταξύ τους, έναν σε κάθε μεριά του συντονιστή. Ενα σχηματικό διάγραμμα του φίλτρου απεικονίζεται στο Σχ. 5.7, όπου και σημειώνονται οι βασικές γεωμετρικές παράμετροι. Η ακτίνα του συντονιστή R(ο οποίος στη γενική περίπτωση είναι τύπου racetrack ) μετράται στο μέσον της διαδρομής μεταξύ εσωτερικής και εξωτερικής περιφέρειας. Τα διάκενα σύζευξης σημειώνονταιμε g 1 και g 2,αντίστοιχα,καιμετρώνταιμεταξύτωνορίωνσυντονιστήκαικυματοδηγών. Παρατηρείστε τη διαμόρφωση του μεταλλικού φύλλου που αποσκοπεί στη δυνατότητα θερμο-οπτικού έλεγχου της απόκρισης καθώς και την ασύμμετρη τοποθέτηση του πυρήνα στη μεταλλική ταινία για τον σχηματισμό του δακτυλίου. Η διαδρομή του ρεύματος ελέγχου αποτυπώνεται με κόκκινα βέλη. Στο Σχ. 5.7 συμπεριλαμβάνονται και διάφορες πληροφορίες που αφορούν στην ηλεκτρομαγνητική ανάλυση της δομής με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Πιο συγκεκριμένα, σχεδιάζεται το όριο του τρισδιάστατου υπολογιστικού χώρου, ο προσανατολισμός του πλέγματος των τριγωνικών πρισματικών στοιχείων και η θύραεισόδουστηνοποίαεισάγουμετοντμ ρυθμό.τέλος,μεκόκκινοσημειώνονταιτα επίπεδα ως προς τα οποία πραγματοποιείται ο υπολογισμός του μεγέθους της μετάδοσης για τις δύο θύρες εξόδου. Η δομή του φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού είναι εντελώς όμοια με αυτή του φίλτρου μικροδακτυλίου της ενότητας 5.1.2, με τη διαφορά ότι ο συντονιστής είναι συ-

145 5.2. Φίλτρα προσθήκης-απόρριψης καναλιού 133 ζευγμένος και με ένα δεύτερο ευθύγραμμο κυματοδηγό. Ο κυματοδηγός αυτός αποτελεί μια διέξοδο για τα μήκη κύματος που ικανοποιούν τη συνθήκη συντονισμού του δακτυλίου. Πιο συγκεκριμένα, τα μήκη κύματος αυτά οδηγούνται στη θύρα απόρριψης(drop), ενώ τα υπόλοιπα στη διαμέσου(through), η οποία βρίσκεται στον ίδιο κυματοδηγό με τη θύρα εισόδου, όπως και στην περίπτωση του απλού φίλτρου μικροδακτυλίου. Φυσικά, κάνοντας χρήση του θερμο-οπτικού φαινομένου, μπορούμε να μεταβάλουμε τη συχνότητα συντονισμού του μικροδακτυλίου, και έτσι να δρομολογήσουμε διαφορετικά μήκη κύματος στις δυο θύρες εξόδου, ανάλογα με τη θερμοκρασία λειτουργίας. Κατά συνέπεια, το φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού μετασχηματίζεται από παθητικό φίλτρο σε διακοπτικό στοιχείο. Διατηρώντας ίσα διάκενα σύζευξης μεταξύ του συντονιστή και των δυο κυματοδηγών μπορούμε να υλοποιήσουμε έναν διακόπτη 2 2, ενώ σε αντίθετη περίπτωση ο διακόπτης είναι 1 2. Οπως και στην περίπτωση του απλού φίλτρου μικροδακτυλίου(βλ. ενότητα ), η οπτική απόκριση της διάταξης μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια απλοποιημένου κυκλωματικού μοντέλου[267]. Προς τον σκοπό αυτό, η διαδικασία σύζευξης μεταξύ του συντονιστή και κάθε ενός κυματοδηγού περιγράφεται από πίνακα σκέδασης της μορφής[269]: e jθ(i) [ t i j ] 1 t i 2 j 1 t i 2 t, i = 1,2, (5.9) i όπου t i = t i exp(θ (i) t ) μιγαδική παράμετρος που περιγράφει τις«απώλειες» της διαδικασίας σύζευξης, δηλαδή το μέρος του κύματος που συνεχίζει την πορεία του στον ευθύγραμμο κυματοδηγό αντί να συζευχθεί με τον συντονιστή. Είναι προφανές από τη μορφή της Εξ.(5.9) ότι υποθέτουμε διαδικασία σύζευξης άνευ απωλειών. Υποθέτοντας επιπλέον ότι ένας μόνο ρυθμός με ωρολογιακή φορά διαδίδεται στον συντονιστή μπορούμε να καταλήξουμε στις ακόλουθες εκφράσεις για τη μετάδοση στις δυο θύρες εξόδου[286, 287]: T thru = α2 t t 1 2 2α t 1 t 2 cos(θ θ CIFS ) 1+α 2 t 1 2 t 2 2 2α t 1 t 2 cos(θ θ CIFS ) T drop = (1 t 1 2 )(1 t 2 2 )α 1+α 2 t 1 2 t 2 2 2α t 1 t 2 cos(θ θ CIFS ) (5.1α) (5.1β) Στιςεξισώσεις(5.1)με θσυμβολίζουμετηφάσηπουσυσσωρεύειορυθμόςσεμιαπλήρη περιστροφήστονσυντονιστήκαιδίνεταιαπό (2π/λ)Re[n eff (λ)](2πr+2l),όπουοενεργός δείκτης αναφέρεται αυστηρά στον κυματοδηγό υπό κάμψη. Ο συντελεστής α περιγράφει τις αντίστοιχες απώλειες, συμπεριλαμβάνοντας αμφότερους τους μηχανισμούς απωλειών: ακτινοβολίας και αγωγιμότητας. Συνολικά, μετά από μια πλήρη περιστροφή το κύμα κλιμακώνεταιμετονόρο αexp( jθ). Ηφάση θ CIFS περιγράφειτηνολίσθησητηςσυχνότητας συντονισμού του δακτυλίου λόγω σύζευξης με τους δύο ευθύγραμμους κυματοδηγούς (Coupling Induced Frequency Shift, CIFS)καιισούταιμε θ (1) +θ (2) θ (1) t θ (2) t. Ας εξετάσουμε τώρα την επίδοση ενός τέτοιου φίλτρου ως θερμο-οπτικού διακοπτικού στοιχείου. Για τον σκοπό αυτό, υπολογίζουμε τη μετάδοση στις δύο θύρες εξόδου για αμφότερες τις καταστάσεις λειτουργίας: κρύα και θερμή. Οπως εξηγήθηκε λεπτομερώς στην ενότητα 5.1.2, για τη μοντελοποίηση της θερμής κατάστασης αρκεί η απόδοση μιας σταθερής τιμής δείκτη διάθλαση σε όλες τις περιοχές πολυμερούς. Δεδομένου του θερμο-οπτικού συντελεστήτουpmmaκαιτηςθερμοκρασιακήςμεταβολής( T = 1Κ)ητιμήαυτήείναι

146 134 Κεφάλαιο 5 Transmission (db) dB 11.5dB Thru-Unheated Thru-Heated Drop-Unheated Drop-Heated Wavelength (μm) Σχήμα 5.8: Μετάδοση φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού για τις δύο θύρες εξόδου(διαμέσου και απόρριψης) και αμφότερες την κρύα και θερμή κατάσταση σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Οιγεωμετρικέςπαράμετροιτηςδιάταξηςείναι R = 5.5μm, L =.5μm, g 1 =.3μm, g 2 =.6 μm. Ολόγοςεξάλειψηςμεταξύκαταστάσεων στο μήκοςκύματοςλειτουργίας των 1543 nmείναι11.5 dbγιατηδιαμέσουαλλάμόλις2.5 dbγιατηθύρααπόρριψης. μειωμένη κατά.15 συγκριτικά με την τιμή που αντιστοιχεί στη θερμοκρασία δωματίου (1.493). Εξετάζουμε διάταξη με τις ακόλουθες γεωμετρικές παραμέτρους: R = 5.5 μm, L =.5μm, g 1 =.3μmκαι g 2 =.6μm.Αναφορικάμετιςεπιλογέςαυτές,ητιμήακτίναςτων 5.5 μm εξασφαλίζει χαμηλές απώλειες ακτινοβολίας, διατηρώντας παράλληλα τον συμπαγή χαρακτήρατηςδομής. Τοδιάκενοσύζευξης g 1 τίθεταιστα.3μmκαιακολούθωςτο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος του συντονιστή ρυθμίζεται κατάλληλα(.5 μm) ώστε να ικανοποιηθεί η συνθήκη κρίσιμης σύζευξη μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγού. Τέλος, αναφορικάμετοέτεροδιάκενοσύζευξης(g 2 ),ηεπιλογήτηςσχετικάυψηλήςτιμήςτων.6 μm θα αιτιολογηθεί στις αμέσως επόμενες παραγράφους. Στο σχήμα 5.8 απεικονίζονται οι καμπύλες μετάδοσης για τις δύο θύρες εξόδου και αμφότερες τις καταστάσεις λειτουργίας. Παρατηρείστε ότι στο ελάχιστο μετάδοσης της διαμέσου αντιστοιχεί μέγιστο μετάδοσης για τη θύρα απόρριψης. Με άλλα λόγια, τα μήκη κύματος που πληρούν τη συνθήκη συντονισμού αντί να συνεχίσουν την πορεία τους στον κυματοδηγό εισόδου οδηγούνται στη θύρα απόρριψης. Η θέρμανση της διάταξης οδηγεί σε μετατόπιση των καμπυλών προς μικρότερα μήκη κύματος κατά 9 nm. Συγκρίνοντας τα επίπεδα μετάδοσης μεταξύ διαφορετικών καταστάσεων κανείς μπορεί να προσδιορίσει τον λόγο εξάλειψης για την κάθε θύρα εξόδου. Για παράδειγμα, αν θέσουμε το μήκος κύματος λειτουργίας στο μέγιστο μετάδοσης της θύρας απόρριψης στην κρύα κατάσταση (1.543μm),βρίσκουμελόγουςεξάλειψης11.5και2.5 dbγιατηδιαμέσουκαιτηθύρα απόρριψης, αντίστοιχα. Οπως γίνεται φανερό, ο λόγος εξάλειψης της θύρας απόρριψης είναι ιδιαίτερα χαμηλός. Τα σύγχρονα συστήματα οπτικών επικοινωνιών απαιτούν λόγους εξάλειψης υψηλότερους από τουλάχιστον 5 db. Για μια διαφορετική επιλογή του μήκους κύματοςλειτουργίας(1.53μm)το ER drop θαμπορούσεναφτάσειτα 3.5 db,αλλάόχι παραπάνω. Ενα ακόμη χαρακτηριστικό της θύρας απόρριψης είναι οι σημαντικές απώλειες εισαγωγής(insertion Loss, IL) που παρουσιάζει, απόρροια της μεγάλης τιμής του διακένου g 2.Παρόλααυτά,υποθέτουμεότι ILsτηςτάξηςτων-1 dbείναιγενικώςαποδεκτά. Η λειτουργία του διακόπτη μπορεί να γίνει καλύτερα κατανοητή μέσω της παρατήρησης του σχήματος 5.9, όπου απεικονίζεται η πεδιακή κατανομή για αμφότερες την κρύα και θερμή

147 5.2. Φίλτρα προσθήκης-απόρριψης καναλιού x-coordinate (µm) Re{ E z } λ = µm Unheated Re{ E z } λ = µm Heated y-coordinate (µm) (α) y-coordinate (µm) (β) Σχήμα 5.9: Πεδιακή κατανομή σε δομή φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού(r = 5.5 μm, L =.5μm, g 1 =.3μm, g 2 =.6μm)γιααμφότερεςτην(α)κρύακαι(β)θερμήκατάσταση λειτουργίας. Το μήκος κύματος ισούται με μm και αντιστοιχεί σε μέγιστο της θύρας απόρριψης στην κρύα κατάσταση(βλ. σχήμα 5.8). Απεικονίζεται το πραγματικό μέρος της κυρίαρχης συνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(e z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nmαπότηνάνω επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου. Με γκρι σημειώνονται τα στρώματα απορρόφησης(pmls). Στην κρύα κατάσταση το μεγαλύτερο μέρος της ισχύος εξόδου λαμβάνεται στη θύρα απόρριψης, ενώ στη θερμή το ισχυρότερο κύμα παρατηρείται στη διαμέσου. κατάσταση λειτουργίας. Το μήκος κύματος τίθεται ίσο με μm και αντιστοιχεί σε μέγιστο της θύρας απόρριψης στην κρύα κατάσταση(βλ. σχήμα 5.8). Ετσι, όταν η διάταξη λειτουργεί σε θερμοκρασία δωματίου το μεγαλύτερο μέρος της ισχύος εξόδου λαμβάνεται στη θύρα απόρριψης[σχ. 5.8(α)]. Πιο συγκεκριμένα, η κατευθυντικότητα(directivity), δηλαδήολόγοςτωνισχύωνστιςδύοθύρεςεξόδου,διαμορφώνεταιστα6db.απότην άλλη, στη θερμή κατάσταση το μεγαλύτερο μέρος της ισχύος εξόδου κατευθύνεται στη διαμέσου με την κατευθυντικότητα να διαμορφώνεται στα 9 db. Παρόλα αυτά, η επίδοση του διακόπτη δεν ποσοτικοποιείται μέσω της κατευθυντικότητας αλλά του λόγου εξάλειψης, ο οποίος ορίζεται μεταξύ διαφορετικών καταστάσεων για κάθε μια θύρα. Παρατηρείστε ότι ενώ το επίπεδο ισχύος στη διαμέσου παρουσιάζει έντονη μεταβολή μεταξύ καταστάσεων, κάτι τέτοιο δεν ισχύει για τη θύρα απόρριψης, γεγονός που αποτυπώνεται στον χαμηλό λόγοεξάλειψηςγιατηθύρααυτή(er drop 2.5 db). Μπορούμε να επιτύχουμε ακόμα υψηλότερους λόγους εξάλειψης για τη διαμέσου, απλώς μεταβάλλοντας τις συνθήκες σύζευξης μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγού εισόδου. Κάτι τέτοιο,γιαπαράδειγμα,μπορείναεπιτευχθείμερύθμισητουδιακένου g 1 ήτουμήκους L. Η συμπεριφορά αυτή θυμίζει τη συνθήκη κρίσιμης σύζευξης στην περίπτωση του φίλτρου μικροδακτυλίου. Πράγματι, από τη σκοπιά του κυματοδηγού εισόδου, ο έτερος κυματοδηγός αποτελεί απλώς έναν ακόμη μηχανισμό απωλειών, μέσω του οποίου ο συντονιστής χάνει ενέργεια(οι άλλοι δύο είναι οι απώλειες ακτινοβολίας και οι ωμικές απώλειες). Ετσι, η συνθήκη κρίσιμης σύζευξης t = α που ίσχυε στην περίπτωση του φίλτρου μικροδακτυλίου (ενότητα )διαμορφώνεταισε t 1 = α t 2 (δενείναιδύσκολοναδείξουμεότιθέτοντας

148 136 Κεφάλαιο 5 t 1 = α t 2 στηνεξ.(5.1α)τοελάχιστομετάδοσης(θ θ CIFS = m2π)μηδενίζεται),ώστε να συμπεριλάβει τον νέο μηχανισμό απωλειών της σύζευξης ισχύος από τον συντονιστή στον κυματοδηγό εξόδου. Ωστόσο, τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά για τη θύρα απόρριψης. Ο λόγος εξάλειψης αυτής της θύρας αποτελεί το αδύνατο σημείο της επίδοσης του εξαρτήματος και δυστυχώς δεν υπάρχει τρόπος να βελτιωθεί ουσιαστικά. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η μετάδοση σε αυτή τη θύρα δεν είναι προϊόν συμβολής(interference), όπως στην περίπτωση της διαμέσου. Ως αποτέλεσμα, η ρύθμιση των συνθηκών σύζευξης μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγού εξόδου δεν προσφέρει θεαματική βελτίωση στον λόγο εξάλειψης. Ο μόνος τρόπος να βελτιωθεί κάπως ο λόγος εξάλειψης για τη θύρα αυτή είναι η υιοθέτηση μεγάλης τιμήςγιατοδιάκενο g 2,ώστετοελάχιστομετάδοσηςναπροσεγγίσειτομηδέν.Τομέγιστο επίπεδο μετάδοσης μειώνεται και αυτό, αλλά στο σύνολο ο λόγος των δύο επιπέδων βελτιώνεται. Η διαπίστωση αυτή συμφωνεί με τις προβλέψεις της Εξ.(5.1β), σύμφωνα με την οποία ο λόγος των επιπέδων μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης, δηλαδή ο λόγος εξάλειψης στην ιδανική περίπτωση που ο θερμο-οπτικός συντελεστής θα επαρκούσε για μετατόπιση ίση με FSR/2, δίνεται από ( ) ER ideal (1+α t1 t 2 ) 2 drop = 1log 1. (5.11) (1 α t 1 t 2 ) 2 Πράγματι,ηαύξησητου g 2 οδηγείσεαύξησητηςπαραμέτρου t 2 καιόπωςφανερώνειη Εξ.(5.11) υψηλότερους λόγους εξάλειψης για τη θύρα απόρριψης. Τώρα κάνεις είναι σε θέσηνακαταλάβειγιατίτοδιάκενο g 2 ορίστηκεστηνυψηλήτιμήτων.6μm.δυστυχώς, ηαύξησητου g 2 δενοδηγείσεσημαντικήβελτίωσητου ER drop,ενώδιαμορφώνεισεακόμη υψηλότερα επίπεδα τις απώλειες εισαγωγής της θύρας απόρριψης. Για την αδυναμία βελτίωσηςτου ER drop υπεύθυνεςείναιοιαπώλειεςστονσυντονιστή. 12 Παρότιεπηρεάζουνκαι τη λειτουργία της διαμέσου, στην περίπτωση της θύρας απόρριψης γίνονται καταστροφικές εξαιτίας της απουσίας φαινομένων συμβολής που θα μπορούσαμε να εκμεταλλευθούμε προς όφελός μας. Ανακεφαλαιώνοντας, το φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού με βάση τον DLSPP κυματοδηγό που μελετήθηκε στην παρούσα ενότητα πάσχει από χαμηλό λόγο εξάλειψης στηθύρααπόρριψης.ακόμακαιανυιοθετήσουμεμιαυψηλήτιμήγιατοδιάκενο g 2 (ομόνος τρόποςναβελτιωθείτο ER drop ),ηεπίδοσητου 1 2διακόπτηπουπροκύπτειπαραμένει ανεπαρκήςγιαπρακτικέςεφαρμογές(er drop = 2.5 db). Επιπρόσθετα,στηνπερίπτωση πουεξισώσουμετο g 2 μετο g 1 ώστεναεξασφαλίσουμεδύοισοδύναμεςθύρεςεισόδου καισυνεπώςτηδυνατότητα 2 2λειτουργίας,το ER drop θαήτανακόμηχαμηλότερο. Ο προφανής τρόπος βελτίωσης της επίδοσης τέτοιων εξαρτημάτων είναι η χρήση υλικού με υψηλότερο θερμο-οπτικό συντελεστή. Στην περίπτωση που ο νέος συντελεστής επαρκεί για μετατόπιση των καμπυλών μετάδοσης ίση με FSR/2, ο λόγος εξάλειψης συμπίπτει με τονλόγοεπιπέδωνμέγιστηςκαιελάχιστηςμετάδοσηςκαιμπορείναφτάσειτα 5 db(βλ. σχήμα 5.8). Στις αμέσως επόμενες ενότητες ωστόσο(5.3 και 5.4) θα εξετάσουμε αν κάποια διαφορετικήαρχιτεκτονικήμπορείναάρειτονπεριορισμόστο ER drop καιναοδηγήσεισε καλύτερες επιδόσεις. 12 Στηνπερίπτωσησυντονιστήάνευαπωλειών(α = 1)καιγιασυνθήκεςκρίσιμηςσύζευξης( t 1 = t 2 ), το απλοποιημένο μοντέλο[εξ.(5.1β)] προβλέπει μέγιστο μετάδοσης για τη θύρα απόρριψης ίσο με τη μονάδα. Με ρύθμιση του επιπέδου ελάχιστης μετάδοσης μέσω της επιλογής του κοινού συντελεστή t μπορούμε να επιτύχουμε υψηλούς λόγους εξάλειψης και για τη θύρα αυτή.

149 5.3. Διατάξεις με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου 137 W X W X L X ( α) Input L X z y Input x ( β ) ( γ) Input Σχήμα 5.1: Σχηματικό διάγραμμα διασταύρωσης κάθετων DLSPP κυματοδηγών(α) χωρίς διαμόρφωση,(β) με γραμμική διαμόρφωση και(γ) ελλειπτική διαμόρφωση του σημείου τομής. Οι διαστάσεις των ρόμβων και ελλείψεων που χρησιμοποιήθηκαν για τον προσδιορισμό της γεωμετρίας των δομών σημειώνονται στα ένθετα σχήματα. Τα επίπεδα στα οποία πραγματοποιείται ο υπολογισμός της οδηγούμενης ισχύος για τις θύρες εισόδου/εξόδου σημειώνονται με κόκκινο. 5.3 Διατάξεις με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου Στην προηγούμενη ενότητα διαπιστώσαμε ότι η ιδιαιτερότητα της μετάδοσης στη θύρα διαμέσου ενός φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού να διαμορφώνεται ως αποτέλεσμα συμβαλλόμενων κυμάτων, επιτρέπει την επίτευξη υψηλού λόγου εξάλειψης για την εν λόγω θύρα με απλή ρύθμιση των συνθηκών σύζευξης μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγού εξόδου. Αντιθέτως, η απουσία μηχανισμού συμβολής για τη θύρα απόρριψης οδηγεί σε χαμηλούς λόγους εξάλειψης. Από τα παραπάνω συνάγουμε ότι ο λόγος εξάλειψης της θύρας απόρριψης θα μπορούσε να βελτιωθεί αν βρίσκαμε έναν τρόπο να καταστήσουμε την έξοδο της θύρας απόρριψης προϊόν συμβολής δύο ή περισσότερων κυμάτων. Προς τον σκοπό αυτό, στην παρούσα ενότητα διερευνούμε την επίδοση φίλτρων απόρριψης-προσθήκης καναλιού με κάθετους, αντί για παράλληλους, κυματοδηγούς(cross-connect ή X-add-drop filters) [123]. Στο σημείο τομής των κυματοδηγών το προσπίπτον κύμα περιθλάται, με αποτέλεσμα ένα μέρος αυτού να καταφέρνει να συζευχθεί στον κάθετο κυματοδηγό. Η κανονικοποιημένη ισχύς που συζευγνύεται με αυτόν ονομάζεται αλληλοπαρεμβολή(crosstalk, XT) και είναι συχνά ανεπιθύμητη. Στην δική μας περίπτωση, όμως, παρέχει ακριβώς τον μηχανισμό συμβολής που ζητούσαμε. Επιπρόσθετα, η απόκριση τέτοιων διατάξεων μπορεί να προκύψει βελτιωμένη και για έναν ακόμη λόγο: η διαδρομή μεταξύ της θύρας εισόδου και της θύρας απόρριψης εμπλέκει μόνο το ένα τέταρτο(έναντι του μισού) της περιφέρειας με αποτέλεσμα το κύμα να αντιλαμβάνεται χαμηλότερες απώλειες κατά τη διαγραφή της διαδρομής αυτής. Πριν τη διερεύνηση της επίδοσης τέτοιων διατάξεων, αναλύουμε μια διασταύρωση DLSPP κυματοδηγών(waveguide crossing) καθώς αποτελεί δομικό τους στοιχείο.

150 138 Κεφάλαιο 5 1 Re{ E z } λ=1.55µm 1 Re{ E z } λ=1.55µm y-coordinate (µm) y-coordinate (µm) μm 6μm x-coordinate (µm) (α) x-coordinate (µm) (β) Σχήμα 5.11: Πεδιακή κατανομή σε διασταύρωση DLSPP κυματοδηγών(α) χωρίς διαμόρφωση και(β)μεελλειπτικήδιαμόρφωσητουσημείουτομής(l X = 6μm, W X = 1.6μm).Απεικονίζεται τοπραγματικόμέροςτηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(e z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένο κατά 1 nm από την άνω επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου. Παρατηρείστε την απουσία αλληλοπαρεμβολής στην περίπτωση ελλειπτικής διαμόρφωσης Διασταύρωση κυματοδηγών Μια διασταύρωση DLSPP κυματοδηγών αποτελείται από δύο ευθύγραμμους κυματοδηγούς, οι οποίοι τέμνονται κάθετα μεταξύ τους, Σχ. 5.1(α). Για την ανάλυση της διάταξης τροφοδοτούμε έναν από αυτούς και προσδιορίζουμε την οδηγούμενη ισχύ σε αμφότερους τους κυματοδηγούς μετά το σημείο τομής(τα επίπεδα υπολογισμού σημειώνονται στο Σχ. 5.1(α) με κόκκινο χρώμα). Η επίδοση περιγράφεται από τα μεγέθη των απωλειών εισαγωγής(il), δηλαδή την οδηγούμενη ισχύ που συνεχίζει στον κυματοδηγό εισόδου, και της αλληλοπαρεμβολής(xt), δηλαδή της ισχύος που καταφέρνει να συζευχθεί στον κάθετο κυματοδηγό. Οι απώλειες εισαγωγής διαμορφώνονται από τρεις επιμέρους μηχανισμούς απωλειών: την ισχύ που σκεδάζεται στο σημείο τομής και δεν καταφέρνει να συζευχθεί με κάποιον κυματοδηγό, την ισχύ που ανακλάται στον κυματοδηγό εισόδου, καθώς και την συζευγνύεται με τον κάθετο κυματοδηγό(αλληλοπαρεμβολή). Σημειώνουμε, τέλος, ότι οι απώλειες διάδοσης δεν υπεισέρχονται στον υπολογισμό των μεγεθών IL και XT. Ειδικότερα, παρότι υπολογίζουμε την οδηγούμενη ισχύ σε κάποια απόσταση από το σημείο τομής[σχ. 5.1(α)], στη συνέχεια το αποτέλεσμα του υπολογισμού διορθώνεται έτσι ώστε να αναφέρεται στο σημείο τομής. Με άλλα λόγια, κατά την περιγραφή της διασταύρωσης μέσω των μεγεθών IL και XT, αυτή νοείται σημειακή. Η δομή που προσομοιώνουμε απεικονίζεται στο Σχ. 5.1(α). Για μήκος κύματος λειτουργίας 1.55 μm οι απώλειες εισαγωγής προκύπτουν ίσες με.5 db. Συνεπώς, το μεγαλύτερο μέρος της προσπίπτουσας ισχύος( 9%) συνεχίζει τη διάδοσή του στον κυματοδηγό εισόδου. Παρόλα αυτά, ένα κομμάτι της προσπίπτουσας ισχύος συζευγνύεται με τον κάθετο κυματοδηγό, με την αλληλοπαρεμβολή να διαμορφώνεται στα 15 db. Πράγματι, παρατηρώντας την κατανομή της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στη δομή[5.11(α)], κανείς μπορεί να διαπιστώσει ότι ένα μέρος του φωτός όντως καταφέρνει να συζευχθεί με τον κάθετο κυματοδηγό.

151 5.3. Διατάξεις με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου 139 Αντίστοιχες τιμές για τα IL και XT έχουν παρατηρηθεί και με κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου[288 29]. Ειδικότερα, για διασταύρωση κυματοδηγών ταινίας(silicon nanowire) διαστάσεων 46 nm 22 nm προκύπτει IL 1.2 db και XT 9 db, αντίστοιχα[7, 288]. Στην περίπτωση αυτή, η ισχύς που καταφέρνει να συζευχθεί με τον κάθετο κυματοδηγό είναι κατά τι μεγαλύτερη, λόγω της ισχυρότερης συγκέντρωσης του οδηγούμενου ρυθμού. Η συμπεριφορά αυτή μπορεί να εξηγηθεί μέσω του παρακάτω συλλογισμού: Στο σημείο τομής ο οδηγούμενος ρυθμός τείνει να απλώσει στον χώρο εξαιτίας της προσωρινής απουσίας κατακόρυφων τοίχων που τον περιορίζουν κατά την οριζόντια (x) διεύθυνση. Οσο ισχυρότερη η συγκέντρωση του οδηγούμενου ρυθμού, τόσο εντονότερα τα φαινόμενα περίθλασης που λαμβάνουν χώρα στο σημείο τομής, με αποτέλεσμα τη σημαντικότερηδιεύρυνσητηςπεδιακήςκατανομής. 13 Προφανώς,μιαδιευρυμένηχωρικά κατανομή συζευγνύεται ευκολότερα με τον κάθετο κυματοδηγό, οδηγώντας σε υψηλότερες τιμές αλληλοπαρεμβολής. Η ευθεία εξάρτηση της αλληλοπαρεμβολής από τη συγκέντρωση του οδηγούμενου ρυθμού έχει επιδειχθεί με χρήση ΜΙΜ πλασμονικών κυματοδηγών[291]. Μάλιστα, λόγω της ισχυρότατης συγκέντρωσης που μπορεί να επιτευχθεί με τους εν λόγω κυματοδηγούς, η αλληλοπαρεμβολή μπορεί να φτάσει το 25%. Με άλλα λόγια, στο όριο της εξαιρετικά ισχυρής συγκριτικά με το μήκος κύματος συγκέντρωσης, το σημείο τομής λειτουργεί ως σημειακή πηγή(point source) ισομοιράζοντας την προσπίπτουσα ισχύ στις τέσσερις θύρες της διασταύρωσης[291]. Σε πολλές περιπτώσεις η αλληλοπαρεμβολή είναι ανεπιθύμητη. Παρότι η τιμή των 15 db που υπολογίσαμε μπορεί να φαίνεται χαμηλή, στην πραγματικότητα η ισχύς που συζευγνύεται με τον κάθετο κυματοδηγό δεν είναι αμελητέα. Πιο συγκεκριμένα, αν η διασταύρωση διεγερθεί με ρυθμό μοναδιαίου πλάτους, τα κύματα που ταξιδεύουν στον κάθετο κυματοδηγό προς αμφότερες τις διευθύνσεις θα διαθέτουν πλάτος.2. Οπως αναφέρθηκε ήδη, το επίπεδο της αλληλοπαρεμβολής συναρτάται με τη συγκέντρωση του ρυθμού. Ετσι, ένας τρόπος ελάττωσης της αλληλοπαρεμβολής είναι η χαλάρωση της συγκέντρωσης τουρυθμούπριντοσημείοτομής. 14 Κάτιτέτοιομπορείναεπιτευχθείμεδιεύρυνσητου πλάτους του κυματοδηγού και συνεπώς της έκτασης του υποστηριζόμενου ρυθμού[288 29]. Στη συνέχεια, εξετάζουμε διασταυρώσεις με γραμμική[σχ. 5.1(β)] και ελλειπτική [Σχ. 5.1(γ)] διαμόρφωση του σημείου τομής που αποσκοπεί στη χαλάρωση της συγκέντρωσης του ρυθμού στη γειτονία του σημείου τομής. Η γραμμική διαμόρφωση απαρτίζεται από δύο πανομοιότυπους ρόμβους σε κάθετη διάταξη, κεντραρισμένους στο σημείο τομής [ένθετοσχήμαστο5.1(β)]. Ημικρήδιαγώνιοςείναιίσημε W X,ενώημεγάληδιαγώνιος ισούταιμε L X. Παρομοίως,ηελλειπτικήδιαμόρφωσητουσημείουτομήςαποτελείταιαπό δύο ελλείψεις κεντραρισμένες στο σημείο τομής. Αυτή τη φορά, ο μικρός άξονας είναι ίσος με W X καιομεγάλοςμε L X [ένθετοσχήμαστο5.1(γ)]. Διεξάγουμεπαραμετρικήανάλυσηωςπροςτιςγεωμετρικέςπαραμέτρους W X και L X για αμφότερες τη γραμμική και ελλειπτική διαμόρφωση, με σκοπό τον εντοπισμό του συνδυασμού εκείνου που οδηγεί σε ελαχιστοποίηση της αλληλοπαρεμβολής. Διαπιστώθηκε ότιητιμήτων 6μmγιατομήκος L X αποτελείένανπλεονεκτικόσυμβιβασμόμεταξύτων 13 Απότηθεωρίατου(χωρικού)μετασχηματισμού Fourier,ηισχυρήσυγκέντρωσησυνεπάγεταιυψηλό φασματικό περιεχόμενο(χωρικών συχνοτήτων). Εναλλακτικά, κρατώντας τη συχνότητα σταθερή για την ανάλυση μιας συμπαγούς πεδιακής κατανομής σε ανάπτυγμα επιπέδων κυμάτων απαιτούνται κύματα που σχηματίζουν μεγάλη γωνία με τον άξονα διάδοσης(γωνιακό φάσμα). Η θεώρηση αυτή εξηγεί τη συμπεριφορά εντονότερης διεύρυνσης που παρουσιάζουν οι συγκεντρωμένες κατανομές. 14 Εναςδιαφορετικόςτρόποςελάττωσηςτηςαλληλοπαρεμβολήςείναιμετηρύθμισητηςγωνίαςτομής των δύο κυματοδηγών[292].

152 Insertion Loss (db) 14 Κεφάλαιο 5 Crosstalk (db) (α) Elliptic Linear Crosstalk (db) Tapering Width (μm) (β) Wavelength (μm) Σχήμα 5.12: (α) Μετάδοση στον κάθετο κυματοδηγό(αλληλοπαρεμβολή) σαν συνάρτηση του πλάτους W X σεδιασταύρωση DLSPPκυματοδηγώνμεγραμμικήκαιελλειπτικήδιαμόρφωσητου σημείου τομής.(β) Αλληλοπαρεμβολή και απώλειες εισαγωγής σαν συνάρτηση του μήκους κύματος γιατηβέλτιστηδιάταξη:διασταύρωσημεελλειπτικήδιαμόρφωσηκαι W X = 1.6μm.Τομήκος L X διατηρείται παντού σταθερό και ίσο 6 μm. αντικρουόμενων απαιτήσεων ομαλού ρυθμού διεύρυνσης και συμπαγών διαστάσεων. Ετσι, διατηρούμεσταθερήτηνπαράμετρο L X στηνενλόγωτιμήκαιμεταβάλλουμετοπλάτος W X. Οπωςείναιαναμενόμενοηαύξησητουπλάτους W X οδηγείσεελάττωσητηςαλληλοπαρεμβολής. Παράλληλα, αυξάνονται όμως και οι απώλειες εισαγωγής εξαιτίας των ισχυρότερων απωλειών σκέδασης(ισχύς που δεν συζευγνύεται με κανέναν από τους κυματοδηγούς). Για την ελλειπτική διαμόρφωση το ελάχιστο της αλληλοπαρεμβολής παρατηρείται για τιμή 1.6 μm[σχ. 5.12(α)]. Το ελάχιστο στην περίπτωση της γραμμικής διαμόρφωσης παρατηρείται για μεγαλύτερη τιμή πλάτους, και ως εκ τούτου συνοδεύεται από υψηλότερες απώλειες εισαγωγής. Ετσι, δεδομένων των παραπάνω προς τον σκοπό της ελαχιστοποίησης της αλληλοπαρεμβολής σε διασταύρωση DLSPP κυματοδηγών καταλήγουμε σε ελλειπτική διαμόρφωσημε W X = 6μmκαι L X = 1.6μm.Γιατιςπαραμέτρουςαυτέςκαιμήκοςκύματος λειτουργίας 1.55 μm η αλληλοπαρεμβολή είναι μόλις 37 db, ενώ οι απώλειες εισαγωγής διαμορφώνονται στα.8 db, μόνο ελαφρώς αυξημένες συγκριτικά με την τιμή των.5 db για τη διασταύρωση χωρίς διαμόρφωση. Η κατανομή της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στην περίπτωση αυτή απεικονίζεται στο Σχ. 5.11(β). Παρατηρείστε την απουσία πεδίου στον κάθετο κυματοδηγό η σύγκριση με το Σχ. 5.11(α) είναι αποκαλυπτική αναφορικά με την επίδραση της διαμόρφωσης στην ελάττωση της αλληλοπαρεμβολής. Από την άλλη, οι απώλειες σκέδασης παρουσιάζονται αυξημένες, οδηγώντας σε υψηλότερη τιμήγιατο IL.Τέλος,στοσχήμα5.12(β)εξετάζεταιτοεύροςζώνηςτηςδιάταξης. Πιο συγκεκριμένα, απεικονίζονται τα μεγέθη IL και XT σαν συνάρτηση του μήκους κύματος στο εύρος μm. Οπως γίνεται φανερό, η εξάρτηση είναι πολύ ασθενής. Ειδικότερα, η αλληλοπαρεμβολή παραμένει χαμηλότερη των 35 db σε ολόκληρο το εύρος της C-band, ενώ οι απώλειες εισαγωγής είναι σχεδόν σταθερές, παρουσιάζοντας διακύμανση τηςτάξηςτων.2 db.

153 5.3. Διατάξεις με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου 141 PMMA Gold Silica Through g 1 g 2 R L Through g 1 g 2 R L Drop Drop Input z y x Input ( α ) ( β) Σχήμα 5.13: Σχηματικό διάγραμμα φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού με κάθετους κυματοδηγούς(α)χωρίςδιαμόρφωσηκαι(β)μεελλειπτικήδιαμόρφωση(w X = 6μm, L X = 1.6μm) του σημείου διασταύρωσης. Τα επίπεδα ως προς τα οποία πραγματοποιείται ο υπολογισμός της οδηγούμενης ισχύος για τις θύρες εισόδου/εξόδου σημειώνονται με κόκκινο. Η διαδρομή του ρεύματος ελέγχου αποτυπώνεται με κόκκινα βέλη. Στα ένθετα σχήματα απεικονίζονται οι βασικές γεωμετρικές παράμετροι και τα κύματα που συμβάλουν στη θύρα απόρριψης Οπτική απόκριση πλήρους διάταξης Εχοντας ολοκληρώσει την ανάλυση της διασταύρωσης προχωρούμε στην πλήρη διάταξη του φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου [123, 265, 266, 293, 294]. Τέτοιες διατάξεις χρησιμοποιούνται συχνά ως δομικά στοιχεία σε συνθετότερα κυκλώματα μεταγωγής ή φιλτραρίσματος[258, 264, 265]. Στο σχήμα 5.13 απεικονίζονται δύο εκδοχές της εν λόγω διάταξης: χωρίς διαμόρφωση του σημείου τομής των κυματοδηγών[σχ. 5.13(α)] και με ελλειπτική διαμόρφωση του σημείου τομής των κυματοδηγών[σχ. 5.13(β)] σύμφωνα με τα αποτελέσματα της προηγούμενης ενότητας (5.3.1). Σημειώνουμε ότι κατά τη διαμόρφωση του φύλλου χρυσού με σκοπό τη δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου της διάταξης, οι γωνίες θα πρέπει να αποφεύγονται καθώς μπορεί να οδηγήσουν σε τοπικά υψηλή πυκνότητα ρεύματος και συνεπώς αντίστοιχα υψηλή θερμοκρασία. Ετσι, σε μια πρακτική υλοποίηση του φίλτρου όλες οι γωνίες που παρατηρούνται στο σχήμα 5.13 θα πρέπει να εξομαλυνθούν. Η εκδοχή της διάταξης με διαμόρφωση του σημείου τομής[σχ. 5.13(β)] δεν διαφέρει ουσιαστικά από το κλασικό φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού της ενότητας 5.2. Κάποιες διαφορές ήσσονος σημασίας είναι οι ακόλουθες: Πρώτον, οι απώλειες εισαγωγής για τη θύρα διαμέσου αναμένεται να είναι ελαφρώς αυξημένες καθώς η διασταύρωση κυματοδηγών που παρεμβάλλεται αφενός εισάγει επιπλέον απώλειες(.8 db σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ενότητας 5.3.1) και αφετέρου οδηγεί σε αύξηση της απόστασης μεταξύ της διαμέσου και της θύρας εισόδου. Δεύτερον, η διαδρομή μεταξύ της θύρας εισόδου και της θύρας απόρριψης εμπλέκει μόνο το ένα τέταρτο(έναντι του μισού) της περιφέρειας του συντονιστή. Πάρα ταύτα, το γεγονός αυτό δεν συνεπάγεται υψηλότερο λόγο εξάλειψης για τη θύρα απόρριψης, παρά μόνον μειωμένες απώλειες εισαγωγής. Ο παραπάνω ισχυρισμός μπορεί να επιβεβαιωθεί με την κατάστρωση μιας εξίσωσης μετάδοσης στα πρότυπα της Εξ.(5.1)(β) που περιγράφει το φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού με παράλληλους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου. Οι δύο εξισώσεις είναι πανομοιότυπες με τη διαφορά

154 142 Κεφάλαιο 5 Transmission (db) dB 9dB / / Thr u Unheated/ Ηeated Drop Unheated/Ηeated Wavelength (μm) Σχήμα 5.14: Μετάδοση φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού με κάθετους κυματοδηγούς για τις δύο θύρες εξόδου(διαμέσου και απόρριψης) και αμφότερες την κρύα και θερμή κατάσταση σαν συνάρτησητουμήκουςκύματος.οιγεωμετρικέςπαράμετροιτηςδιάταξηςείναι R = 5.5μm, L =.5μm, g 1 =.3μm, g 2 =.6μm.Ολόγοςεξάλειψηςμεταξύκαταστάσεωνστομήκοςκύματος λειτουργίαςτων1531 nmείναι9dbγιααμφότερεςτιςθύρεςεξόδου. Ηκαμπύλημετάδοσηστη θύρα απόρριψης για πανομοιότυπη διάταξη με ελλειπτική διαμόρφωση του σημείου διασταύρωσης (κρύα κατάσταση) συμπεριλαμβάνεται με μαύρη στικτή γραμμή. ότιοόρος απουεμφανίζεταιστοναριθμητήαντικαθίσταταιαπό α.ητροποποίησηαυτή αφήνει αμετάβλητο τον λόγο των επιπέδων μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης, ο οποίος δίνεται και πάλι από την Εξ.(5.11). Η μοναδική επίδραση στην επίδοση του φίλτρου αφορά τιςαπώλειεςεισαγωγήςοιοποίεςθαπροκύψουνκατάτιμειωμένεςκαθώς α < 1. Πιο ενδιαφέρουσα, αντιθέτως, είναι η εκδοχή της διάταξης χωρίς διαμόρφωση του σημείου τομής[σχ. 5.13(α)]. Στην περίπτωση αυτή, το κύμα που απομακρύνεται από τη θύρα απόρριψης προκύπτει ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων: αυτού μέσω του δακτυλίου και αυτού που προέρχεται από τη διασταύρωση[ένθετο σχήμα στο 5.13(α)]. Αυτό συνεπάγεται ότι με κατάλληλη επιλογή των γεωμετρικών παραμέτρων μπορούμε να επιτύχουμε μηδενισμό των ελαχίστων μετάδοσης(μέσω καταστρεπτικής συμβολής) και κατά συνέπειαναλάβουμευψηλέςτιμέςλόγουεξάλειψηςκαιγιατηθύρααυτή. Καθώςηαλληλοπαρεμβολή στη διασταύρωση δεν είναι ιδιαίτερα ισχυρή, για τον σκοπό αυτό απαιτείται υψηλήτιμήδιακένου g 2 ώστεταδύοκύματαναέχουνσυγκρίσιμαπλάτη.στηνπερίπτωση πουτο g 2 δενείναιαρκούντωςμεγάλο,τοκύμαπουταξιδεύειστονδακτύλιοείναισημαντικά μεγαλύτερο με αποτέλεσμα τα δύο κύματα να μην αλληλοαναιρούνται. Προφανώς, αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ανάγκη για ευθύγραμμο τμήμα σε αυτή την περιοχή σύζευξης. Ας εξετάσουμε την επίδοση μιας διάταξης αυτού του τύπου με τις ακόλουθες γεωμετρικέςπαραμέτρους: R = 5.5μm, L =.5μm, g 1 =.3μm,και g 2 =.6μm. Είναι πανομοιότυπες με αυτές του κλασικού φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού που μελετήθηκε στην ενότητα 5.2. Ολες οι τιμές έχουν επιλεχθεί προσεκτικά με στόχο την επίτευξη υψηλών λόγων εξάλειψης για αμφότερες τις θύρες εξόδου. Η λογική πίσω από την κάθε επιλογή έχει ήδη περιγραφεί. Οι καμπύλες μετάδοσης για τις δύο θύρες εξόδου(διαμέσου και απόρριψης) και αμφότερες την κρύα και θερμή κατάσταση απεικονίζονται στο σχήμα Επιπρόσθετα, η καμπύλη μετάδοση για τη θύρα απόρριψης στην περίπτωση διαμόρφωσης του σημείου διασταύρωσης(κρύα κατάσταση) συμπεριλαμβάνεται με μαύρη στικτή γραμμή για τη διευκόλυνση της σύγκρισης. Γίνεται αμέσως φανερό ότι τα φαινόμενα συμ-

155 5.3. Διατάξεις με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου 143 y-coordinate (µm) Re{ E z } λ = µm Unheated x-coordinate (µm) (α) Re{ E z } λ = µm Heated x-coordinate (µm) (β) Σχήμα 5.15: Πεδιακή κατανομή σε δομή φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού με κάθετους κυματοδηγούςεισόδου/εξόδου(r = 5.5μm, L =.5μm, g 1 =.3μm, g 2 =.6μm)για αμφότερες την(α) κρύα και(β) θερμή κατάσταση λειτουργίας. Το μήκος κύματος επιλέγεται ίσο με μm(βλ. σχήμα 5.14). Απεικονίζεται το πραγματικό μέρος της κυρίαρχης συνιστώσας τουηλεκτρικούπεδίου(e z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nmαπότηνάνωεπιφάνειατου μεταλλικού φύλλου. Οι γραμμοσκιασμένες περιοχές εξαιρούνται από τον υπολογιστικό χώρο, ενώ με γκρι σημειώνονται τα στρώματα απορρόφησης. βολής έχουν αλλάξει τη μορφή της καμπύλης μετάδοσης στη θύρα απόρριψης. Ο λόγος των επιπέδων μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης προκύπτει σημαντικά αυξημένος( 15 αντί για 5 db), γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε υψηλότερο λόγο εξάλειψης. Πράγματι, γιαμήκοςκύματος 1.531μmβρίσκουμελόγουςεξάλειψης 9 dbγιααμφότερεςτιςθύρες εξόδου. Παρατηρείστε ότι το μήκος κύματος δεν επιλέγεται στο μέγιστο μετάδοσης της θύρας απόρριψης, όπως στην περίπτωση του κλασικού φίλτρου με παράλληλους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου(βλ. σχήμα 5.8). Λόγω της δεδομένης μορφής της καμπύλης, η επιλογή αυτή δεν είναι κατ ανάγκη βέλτιστη. Σημειώστε, επίσης, ότι το μέγιστο μετάδοσης της θύρας απόρριψης δεν συμπίπτει πια με το ελάχιστο μετάδοσης της διαμέσου, όπως συνέβαινε μέχρι τώρα: ένα ακόμη αποτέλεσμα των φαινομένων συμβολής που συζητάμε. Η λειτουργία του διακόπτη αποτυπώνεται στο σχήμα 5.15, όπου απεικονίζεται η πεδιακή κατανομή για αμφότερες την κρύα και θερμή κατάσταση στο μήκος κύματος μm. Οταν η διάταξη λειτουργεί σε θερμοκρασία δωματίου το μεγαλύτερο μέρος της προσπίπτουσας ισχύος οδηγείται στη διαμέσου[σχ. 5.14(α)]. Η μετάδοση στη θύρα απόρριψης είναι εξαιρετικά χαμηλή(< 2 db σύμφωνα με το Σχ. 5.14), απόρροια της καταστρεπτικής συμβολής μεταξύ του κύματος που διατρέχει την περιφέρεια του συντονιστή και αυτού που προέρχεται από τη διασταύρωση. Απεναντίας, στη θερμή κατάσταση το μεγαλύτερο μέρος της ισχύος κατευθύνεται στη θύρα απόρριψης. Και για τις δύο θύρες εξόδου παρατηρούμε σημαντική διαφορά στο πλάτος του κύματος μεταξύ καταστάσεων, κάτι που μεταφράζεται σευψηλούςλόγουςεξάλειψης( 9 dbσύμφωναμετοσχ.5.14). Η επίδραση της αλληλοπαρεμβολής στο σχήμα της καμπύλης μετάδοσης για τη θύρα απόρριψης έχει επισημανθεί και στα πλαίσια της τεχνολογίας πυριτίου[265, 266, 294]. Πα-

156 144 Κεφάλαιο 5 ρόλα αυτά, εξαιτίας των διαφορετικών συνθηκών που επικρατούν(κυρίως της απουσίας σημαντικών απωλειών διάδοσης), η αλληλοπαρεμβολή δεν οδηγεί σε βελτίωση των επιδόσεων. Απεναντίας, είναι συνηθισμένη η διαμόρφωση του σημείου διασταύρωσης με σκοπό την καταστολή της[264, 265]. Συνοψίζοντας, μπορούμε να υλοποιήσουμε αποδοτικά διακοπτικά στοιχεία 1 2 στη βάση φίλτρων προσθήκης-απόρριψης καναλιού με κάθετους, αντί για παράλληλους, κυματοδηγούς. Με κατάλληλη επιλογή των γεωμετρικών παραμέτρων και του μήκους κύματος λειτουργίας, μπορούμε να επιτύχουμε υψηλούς λόγους εξάλειψης για αμφότερες τις θύρες εξόδου. Προς τον σκοπό αυτό, το σημείο διασταύρωσης πρέπει να αφεθεί χωρίς διαμόρφωση, έτσι ώστε η έξοδος στη θύρα απόρριψης να αποτελεί προϊόν συμβολής. Δυστυχώς, οι διατάξεις αυτές δεν μπορούν να λειτουργήσουν ως 2 2 διακόπτες καθώς δεν είναι δυνατή η εύρεση δύο ισοδύναμων θυρών εισόδου. Καταρχήν, για την επίτευξη υψηλού λόγου εξάλειψηςστηθύρααπόρριψηςείναιαπαραίτητηηυιοθέτησηυψηλήςτιμήςδιακένου g 2. Αυτό σημαίνει ότι οι συνθήκες σύζευξης μεταξύ του συντονιστή και των δύο κυματοδηγών είναιδιαφορετικές. Ακόμηκαιανεπιβάλαμεπανομοιότυπεςσυνθήκεςσύζευξης(g 1 = g 2 και L = ),όνταςδιατεθειμένοινααποδεχτούμετονχαμηλόλόγοεξάλειψηςγιατηθύρα απόρριψης που κάτι τέτοιο θα συνεπαγόταν, η εύρεση μιας δεύτερης, ισοδύναμης με την πρώτη, θύρας εισόδου δεν θα ήταν ούτε τότε εφικτή. Αλλάζοντας τον προσανατολισμό του κυματοδηγού εξόδου διαταράξαμε τη συμμετρία της διάταξης. Για παράδειγμα, κανείς μπορεί εύκολα να επιβεβαιώσει ότι η διαδρομή μεταξύ των θυρών εισόδου-απόρριψης εμπλέκει τα τρία τέταρτα(αντί για το ένα τέταρτο) της περιφέρειας του συντονιστή στην περίπτωση που ηπάνωαριστεράθύραστοσχ.5.13επιλεγείωςδεύτερηθύραεισόδου. 15 Αυτότοζήτημα της έλλειψης συμμετρίας θα αντιμετωπιστεί στην αμέσως επόμενη ενότητα με την προσθήκη ενός δεύτερου συντονιστή. 5.4 Διατάξεις δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου Η συμμετρία της διάταξης του φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού που διαταράχθηκε με την αλλαγή του προσανατολισμού του κυματοδηγού εξόδου μπορεί να αποκατασταθεί με κατάλληλη τοποθέτηση ενός δεύτερου συντονιστή, πανομοιότυπου με τον αρχικό. Στο σχήμα 5.16 απεικονίζονται δύο εκδοχές της προκύπτουσας διάταξης: χωρίς διαμόρφωση του σημείου τομής των κυματοδηγών[σχ. 5.16(α)] και με ελλειπτική διαμόρφωση του σημείου τομής των κυματοδηγών[σχ. 5.16(β)] σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ενότητας 5.3.1(W X = 6μm, L X = 1.6μm). Είναιπλέονδυνατήηεύρεσηδύοισοδύναμωνθυρών εισόδου, ακόμα και αν οι συνθήκες σύζευξης μεταξύ του συντονιστή και του κυματοδηγούεισόδουήεξόδουείναιδιαφορετικές(g 1 g 2 ή L ). Κατάσυνέπεια,ηδιάταξη μπορεί να λειτουργήσει ως διακοπτικό στοιχείο 2 εισόδων/2 εξόδων. Προφανώς, για να είναι δυνατό κάτι τέτοιο οι συνθήκες σύζευξης του κάθε συντονιστή με τους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου θα πρέπει να είναι πανομοιότυπες(βλ. ένθετα σχήματα στο 5.16). Εκτός από την αποκατάσταση της συμμετρίας, η προσθήκη του δεύτερου συντονιστή προσφέρει μια επιπλέον διαδρομή προς τη θύρα απόρριψης, την οποία θα αποκαλούμε στο εξής διαδρομή Q απότημορφήτουίχνουςτης(βλ. ένθετασχήματαστο5.16). Συνεπώς,τα 15 Δενυπάρχειάλληδυνατήεπιλογήκαθώςοιθύρεςεισόδουδενμπορούννασυμπίπτουνμετιςθύρες εξόδου.

157 5.4. Διατάξεις δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου 145 L g 2 L g 2 Input #2 PMMA Gold Silica Through #1 Drop #2 g 1 g 1 R g 2 L Through #1 Drop #2 g 1 g 1 R g 2 L Input #2 z y x Drop #1 Through #2 Drop #1 Through #2 Input #1 Input #1 ( α ) ( β) Σχήμα 5.16: Σχηματικό διάγραμμα φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού δύο συντονιστών μεκάθετουςκυματοδηγούς(α)χωρίςδιαμόρφωσηκαι(β)μεελλειπτικήδιαμόρφωση(w X = 6μm, L X = 1.6μm)τουσημείουδιασταύρωσης. Ταεπίπεδαωςπροςταοποίαπραγματοποιείταιο υπολογισμός της οδηγούμενης ισχύος για τις θύρες εισόδου/εξόδου σημειώνονται με κόκκινο. Η διαδρομή του ρεύματος ελέγχου αποτυπώνεται με κόκκινα βέλη. Στα ένθετα σχήματα απεικονίζονται οι βασικές γεωμετρικές παράμετροι και τα κύματα που συμβάλουν στη θύρα απόρριψης. κύματα που συμβάλλουν στη θύρα απόρριψης είναι τρία, αντί για δύο. Ετσι, ακόμα και αν το σημείο διασταύρωσης υποστεί διαμόρφωση, η μετάδοση στη θύρα απόρριψης παραμένει προϊόν συμβολής, με αποτέλεσμα να καθίσταται δυνατή η επίτευξη υψηλών λόγων εξάλειψης για τη θύρα απόρριψης και σε αυτή την περίπτωση. Συγκριτικά με τα X-add-drop φίλτρα της προηγούμενης ενότητας, οι απώλειες εισαγωγής της διαμέσου αναμένονται αυξημένες, καθώς η απόσταση μεταξύ της θύρας εισόδου και της διαμέσου είναι σημαντικά μεγαλύτερη. Τέλος, το εύρος(linewidth) των ελαχίστων μετάδοσης της διαμέσου δεν μπορεί παρά να είναι αυξημένο καθώς το κύμα που κατευθύνεται προς τη διαμέσου συναντά δύο συντονιστές με σχεδόν ίσες συχνότητες συντονισμού(σχεδόν λόγω του διαφορετικού CIFS όταν g 1 g 2 ή L ). Παρότιτοαυξημένοεύροςτωνελαχίστωνμοιάζεινααποτελεί μειονέκτημα, όπως θα δούμε παραγράφους που ακολουθούν αυτό δεν οδηγεί σε χειρότερες επιδόσεις αντιθέτως, συνεπάγεται μεγαλύτερο εύρος ζώνης για τις περιοχές υψηλού ER Χωρίς διαμόρφωση της διασταύρωσης Αρχικά, εξετάζουμε την εκδοχή της διάταξης χωρίς διαμόρφωση του σημείου διασταύρωσης[σχ. 5.16(α)]. Οπως αναφέρθηκε, η μετάδοση στη θύρα απόρριψης προκύπτει ως το αποτέλεσμα συμβολής τριών κυμάτων: αυτού μέσω του συντονιστή, αυτού που έρχεται από τη διασταύρωση καθώς και αυτού που ακολουθεί τη διαδρομή Q[βλ. ένθετο σχήμα στο 5.16(α)]. Εχουμε ήδη επισημάνει ότι ακριβώς αυτά τα φαινόμενα συμβολής είναι που μας επιτρέπουν την επίτευξη υψηλών λόγων εξάλειψης για τις θύρες εξόδου. Σαν ένα παράδειγμα, εστιάζουμε σε φίλτρο με γεωμετρικές παραμέτρους R = 5.5 μm, L = μm, g 1 =.3μm,και g 2 =.6μm. Αυτήτηφοράδενχρησιμοποιούμεσυντονιστή τύπου racetrack καθώς δεν είναι ο λόγος εξάλειψης της διαμέσου που θέτει περιορισμούς στηνεπίδοσητηςδιάταξης. Τοδιάκενο g 2 λαμβάνεικαιπάλισχετικάυψηλήτιμή. Στην περίπτωσηπουτο g 2 δενείναιαρκούντωςμεγάλο,τοκύμαπουταξιδεύειστονδακτύλιοείναι

158 146 Κεφάλαιο 5 Transmission (db) (α) Thru-Unheated Thru-Heated Drop-Unheated Drop-Heated Extinction Ratio (db) (β) nm 3.3nm Thru Drop Wavelength (μm) Σχήμα 5.17: (α) Μετάδοση για τις δύο θύρες εξόδου(διαμέσου και απόρριψης) και αμφότερες την κρύα και θερμή κατάσταση σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Οι γεωμετρικές παράμετροι της διάταξης φίλτρου δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου χωρίς διαμόρφωση τουσημείουδιασταύρωσηςείναι: R = 5.5μm, L = μm, g 1 =.3μmκαι g 2 =.6μm. (β) Λόγοι εξάλειψης στις δύο θύρες εξόδου σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Παρατηρείστε τηνύπαρξηπεριοχήςμηκώνκύματοςεύρους3.2 nmγιατηνοποίαοιλόγοιεξάλειψηςτωνδύο θυρών προκύπτουν μεγαλύτεροι των 8 db. σημαντικά μεγαλύτερο των άλλων δύο με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατή η αλληλοαναίρεση των συμβαλλόμενων κυμάτων. Οι καμπύλες μετάδοσης για τις δύο θύρες εξόδου και τις δύο καταστάσεις λειτουργίας απεικονίζονται στο Σχ. 5.17(α). Παρατηρείστε την ακανόνιστη μορφή της καμπύλης μετάδοσης για τη θύρα απόρριψης, απόρροια των φαινομένων συμβολής τριών κυμάτων που διαμορφώνουν την έξοδο σε αυτή τη θύρα. Λόγω της σύνθετης αυτής μορφής, η αναγνώριση των μηκών κύματος που οδηγούν σε υψηλούς λόγους εξάλειψης ταυτόχρονα και για τιςδύοθύρεςεξόδουδενείναιπροφανής. Προςτονσκοπόαυτό,στοσχήμα5.17(β)σχεδιάζουμετουςλόγουςεξάλειψηςσεολόκληροτοεύρος μm. 16 Αναζητούμεμια περιοχήμηκώνκύματοςόσοτοδυνατόνπιοευρείαγιατηνοποίαοιλόγοιεξάλειψηςτων θυρών εξόδου να είναι όσο το δυνατόν υψηλότεροι. Από την παρατήρηση του σχήματος διαπιστώνουμε ότι λόγοι εξάλειψης μεγαλύτεροι των 5 db μπορούν να επιτευχθούν σε δύο περιοχές με συνολικό εύρος 1 nm(6.7 και 1 nm, αντίστοιχα). Ενα τέτοιο εύρος μπορεί ναχωρέσειδώδεκακανάλια WDM 17 εύρους1 GHz(.8 nm).αναπαιτούνταιυψηλότεροι λόγοι εξάλειψης και ορίσουμε το αντίστοιχο κατώφλι στα 8 db, βρίσκουμε μια μοναδική περιοχήεύρους3.2 nmπουμπορείνατοικανοποιήσει. Μεάλλαλόγια,οδιακόπτηςμπο- 16 Υπενθυμίζουμεότιοιλόγοιεξάλειψηςορίζονταισεσυγκεκριμένηθύραεξόδουμεταξύδιαφορετικών καταστάσεων. Ετσι, η συνεχής καμπύλη προκύπτει με απλή αφαίρεση των τιμών των δύο συνεχών καμπύλων στο Σχ. 5.17(α), ενώ η διακεκομμένη με αφαίρεση των τιμών των διακεκομμένων καμπύλων. 17 Wavelength-Division Multiplexing

159 5.4. Διατάξεις δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου y-coordinate (µm) standing wave traveling wave E z λ=1.525µm x-coordinate (µm) Σχήμα 5.18: Πεδιακή κατανομή σε φίλτρο δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου(r = 5.5μm, L = μm, g 1 =.3μm, g 2 =.6μm).Τομήκοςκύματοςεπιλέγεται ίσο με μm και αντιστοιχεί σε μέγιστο της διαμέσου(βλ. σχήμα 5.17). Απεικονίζεται το μέτρο τηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(e z )σε xyεπίπεδουπερυψωμένοκατά1 nm από την άνω επιφάνεια του μεταλλικού φύλλου. Παρατηρείστε το στάσιμο που σχηματίζεται στον δεύτερο συντονιστή καθώς και την ελαφριά ανάκλαση στον κυματοδηγό εισόδου, απόρροια της σκέδασης στο σημείο διασταύρωσης. Οι γραμμοσκιασμένες περιοχές εξαιρούνται από τον υπολογιστικό χώρο, ενώ με γκρι σημειώνονται τα στρώματα απορρόφησης. ρεί να χρησιμοποιηθεί για τη δρομολόγηση έως και τεσσάρων καναλιών εύρους 1 GHz (.8 nmστηνπεριοχήτων 1.55μm)τοκαθένα. Ηβέλτιστηεπίδοσηπαρατηρείταιγια μήκοςκύματοςλειτουργίας 1.537μm,όπουοιλόγοιεξάλειψηςείναι1.8και9dBγιατη διαμέσου και τη θύρα απόρριψης, αντίστοιχα. Στο σχήμα 5.18 απεικονίζεται η πεδιακή κατανομή στη δομή. Το μήκος κύματος επιλέγεται ίσο με μm και αντιστοιχεί σε μέγιστο μετάδοσης της διαμέσου(βλ. σχήμα 5.17), κάτι που επιβεβαιώνεται από την παρατήρηση της πεδιακής κατανομής. Προσοχή στο ότι αυτή τη φορά απεικονίζεται το μέτρο(και όχι το πραγματικό μέρος) της κυρίαρχης συνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(e z ). Ετσι,καθίσταταιορατότοστάσιμοπουσχηματίζεται στον δεύτερο συντονιστή, καθώς το κύμα που συζευγνύεται με αυτόν από τον κυματοδηγό εισόδου συμβάλλει με αυτό που απομακρύνεται από τη διασταύρωση των κυματοδηγών με διεύθυνση προς τα αριστερά. Παρατηρείστε, τέλος, ένα ελαφρύ στάσιμο στον κυματοδηγό εισόδου, απόρροια ανακλάσεων στο σημείο της διασταύρωσης Με ελλειπτική διαμόρφωση της διασταύρωσης Οι διατάξεις της ενότητας βασίζουν την επίδοσή τους σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο αλληλοπαρεμβολής στη διασταύρωση κυματοδηγών. Αν σε μια πρακτική υλοποίηση του

160 148 Κεφάλαιο 5 Transmission (db) (α) / / Thr u Unheated/ Ηeated Drop Unheated/Ηeated Extinction Ratio (db) (β) 5nm Thru Drop Wavelength (μm) Σχήμα 5.19: (α) Μετάδοση για τις δύο θύρες εξόδου(διαμέσου και απόρριψης) και αμφότερες την κρύα και θερμή κατάσταση σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Οι γεωμετρικές παράμετροι της διάταξης φίλτρου δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου και ελλειπτική διαμόρφωση(w X = 6μm, L X = 1.6μm)τουσημείουδιασταύρωσηςείναι R = 5.5μm, L = μm, g 1 =.3μm, g 2 =.6μm.(β)Λόγοιεξάλειψηςστιςδύοθύρεςεξόδουσανσυνάρτησητουμήκους κύματος. Παρατηρείστε την ύπαρξη περιοχής μηκών κύματος εύρους 5 nm για την οποία οι λόγοι εξάλειψης των δύο θυρών προκύπτουν μεγαλύτεροι των 5 db. φίλτρου το επίπεδο της αλληλοπαρεμβολής είναι διαφορετικό από αυτό που προβλέφθηκε υπολογιστικά(π.χ. γιατί οι γωνίες 9 μοιρών που σχηματίζει ο πυρήνας πολυμερούς έχουν εξομαλυνθεί), τότε η διάταξη δεν θα προσφέρει τους ονομαστικούς λόγους εξάλειψης. Κρίνεται, συνεπώς, σκόπιμη η διερεύνηση της επίδοσης που προσφέρει η δεύτερη εκδοχή της διάταξης: αυτή με ελλειπτική διαμόρφωση του σημείου τομής[σχ. 5.16(β)]. Το επίπεδο της αλληλοπαρεμβολής σε αυτή την περίπτωση είναι ιδιαίτερα χαμηλό(-37 db σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ενότητας 5.3.1). Ετσι ακόμα και αν παρατηρηθεί κάποια κατασκευαστικήατέλεια,αυτήδενμπορείνααλλάξειτογεγονόςότιστηνέξοδοτηςθύραςαπόρριψης συμβάλουν στην ουσία δύο κύματα το κύμα που προέρχεται από τη διασταύρωση των κυματοδηγών είναι αμελητέο. Καθώς το κύμα που ακολουθεί τη διαδρομή Q συζευγνύεται στονδεύτεροσυντονιστήμέσωτουμεγάλουδιακένου g 2 καιδιανύεισημαντικήαπόσταση με αποτέλεσμα να υπόκειται σε επιπλέον απώλειες διάδοσης τα φαινόμενα συμβολής σε αυτή την περίπτωση αναμένονται ασθενέστερα συγκριτικά με την περίπτωση της ενότητας Παρόλα αυτά, ενδιαφερόμαστε να διαπιστώσουμε αν ακόμη και αυτή η εκδοχή της διάταξης είναι ικανή να προσφέρει υψηλούς λόγους εξάλειψης για τις θύρες εξόδου και για ποιό εύρος μηκών κύματος. Εστιάζουμε την προσοχή μας σε διάταξη με τις ακόλουθες γεωμετρικές παραμέτρους: R = 5.7μm, L = μm, g 1 =.3μm,και g 2 =.48μm. Οικαμπύλεςμετάδοσηςγιατις δύο θύρες εξόδους και τις δύο καταστάσεις λειτουργίας απεικονίζονται στο Σχ. 5.19(α). Οι αντίστοιχοι λόγοι εξάλειψης μπορούν να βρεθούν στο Σχ. 5.19(β). Οπως προκύπτει από

161 5.5. Χρήση πολυμερούς με υψηλότερο θερμο-οπτικό συντελεστή 149 Transmission (db) dB -25 Unheated ~25nm (α) Heated Wavelength ( µ m) Transmission (db) / Thr u Unheated/ Ηeated (β) / Drop Unheated/Ηeated Wavelength ( µ m) Σχήμα5.2: (α)μετάδοσηφίλτρουμικροδακτυλίου(r = 5.1μm, L =.7μm, g =.3μm) με υλικό το cyclomer για αμφότερες τις καταστάσεις λειτουργίας( T = 1 K).(β) Μετάδοση φίλτρουπροσθήκης-απόρριψηςκαναλιού(r = 5.2μm, L =.5μm, g 1 =.3μm, g 2 =.6μm)με υλικό το cyclomer για αμφότερες τις καταστάσεις λειτουργίας( T = 1 K). Παρατηρείστε ότι ο θερμο-οπτικός συντελεστής του πολυμερούς επαρκεί για μετατόπιση ίση με FSR/2. την παρατήρηση του σχήματος, με προσεκτικό σχεδιασμό μπορούμε να επιτύχουμε λόγους εξάλειψης μεγαλύτερους των 5 db για αμφότερες τις θύρες εξόδου και για ένα αξιόλογο εύρος μηκών κύματος(5 nm). Συνοψίζοντας, η εκδοχή της διάταξης δύο συντονιστών χωρίς διαμόρφωση της διασταύρωσης μπορεί να προσφέρει υψηλότερους λόγους εξάλειψης συγκριτικά με τη δεύτερη εκδοχή που περιλαμβάνει την ελλειπτική διαμόρφωση του σημείου τομής εξαιτίας των ισχυρότερων φαινομένων συμβολής στη θύρα απόρριψης. Παρόλα αυτά, μπορούμε να επιτύχουμε υψηλούς λόγους εξάλειψης και με τις διατάξεις τη δεύτερης κατηγορίας. Επιπρόσθετα, οι διατάξεις αυτές δεν βασίζουν την απόκρισή της σε μια συγκεκριμένη τιμή αλληλοπαρεμβολής με αποτέλεσμα να παρουσιάζουν μεγαλύτερα περιθώρια σε κατασκευαστικές ατέλειες. 5.5 Χρήση πολυμερούς με υψηλότερο θερμο-οπτικό συντελεστή Στις προηγούμενες ενότητες, με δεδομένο τον θερμο-οπτικό συντελεστή του PMMA αναζητήσαμε τη βέλτιστη αρχιτεκτονική ενός φίλτρου προσθήκης-απόρριψης καναλιού αποσκοπώντας στην επίτευξη υψηλών λόγων εξάλειψης για τις δύο θύρες εξόδου και τη δυνατότητα 2 2 λειτουργίας. Στην παρούσα ενότητα εξετάζουμε τη βελτίωση στην επίδοση που θα απέφερε η χρήση υλικού με υψηλότερο θερμο-οπτικό συντελεστή[295]. Συγκεκριμένα, το υλικόπουυιοθετούμεείναιτο cyclomer 18 [296].Σύμφωναμεμετρήσειςελλειψομετρίαςσε ένα ομοιόμορφο στρώμα του υλικού, ο δείκτης διάθλασης σε θερμοκρασία δωματίου είναι 1.52καιοθερμο-οπτικόςσυντελεστής K 1 [128],δηλαδήσχεδόντρειςφορές υψηλότερος του PMMA. Αναμένουμε, συνεπώς, ότι και η μετατόπιση των καμπυλών μετάδοσης θα να είναι αντίστοιχα μεγαλύτερη. Πράγματι, όπως φανερώνει το σχήμα 5.2(α) η μετατόπιση της καμπύλης μετάδοσης είναι τηςτάξηςτων25 nm( T = 1Κ),περίπουτρειςφορέςμεγαλύτερηαπότηναντίστοιχη μετατόπισημευλικότο PMMA(9 nm). Γιατιμέςακτίναςστηγειτονίατων 5μm,όπως στηνπερίπτωσητουφίλτρουμικροδακτυλίουπουεξετάζουμε(r = 5.1μm, L =.7μm, 18 Cycloaliphatic acrylate polymer

162 15 Κεφάλαιο 5 Transmission (db) (α) ΔΤ = 1 Κ, Δλ ~ 25 nm TO (γ) ΔΤ = 55 Κ, Δλ TO~ 13 nm -25 Extinction Ratio (db) (β) Thru Drop 6nm Wavelength ( µ m) (δ) 4.5 Thru Drop Wavelength ( µ m) Σχήμα 5.21: Φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού με κάθετους κυματοδηγούς και χωρίς διαμόρφωσητηςδιασταύρωσης(r = 5.2μm, L =.5μm, g 1 =.3μm, g 2 =.5μm)μεπολυμερές το cyclomer. (α,β) Καμπύλες μετάδοσης και λόγοι εξάλειψης για θερμοκρασιακή διαφορά T = 1 K.(γ,δ) Καμπύλες μετάδοσης και λόγοι εξάλειψης για θερμοκρασιακή διαφορά T = 55 K. Η μέγιστη θερμοκρασιακή διαφορά δεν οδηγεί απαραιτήτως σε βέλτιστη επίδοση. g =.3μm),τοελεύθεροφασματικόεύροςισοδυναμείμεπερίπου 5 nm. Ετσι,οθερμοοπτικός συντελεστής του cyclomer επαρκεί για μετατόπιση των καμπυλών μετάδοσης ίση με FSR/2, πράγμα που σημαίνει ότι ο λόγος εξάλειψης μεταξύ καταστάσεων ορίζεται από τον λόγο των επιπέδων μέγιστης και ελάχιστης μετάδοσης και είναι ο υψηλότερος δυνατός. Αντίστοιχα συμπεράσματα προκύπτουν και για φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού με γεωμετρικέςπαραμέτρους: R = 5.2μm, L =.5μm, g 1 =.3μmκαι g 2 =.6μm [Σχ.5.2(β)]. Ημετατόπισηείναικαιπάλιτηςτάξηςτου FSR/2καιομέγιστοςλόγος εξάλειψης για τη θύρα απόρριψης υπερβαίνει τα 5 db, τιμή σαφώς βελτιωμένη συγκριτικά μετα2.5 dbπουεπιτύχαμεμευλικόπυρήνατο PMMA(βλ.σχήμα5.8). Στις αρχιτεκτονικές με παράλληλους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου η χρήση πολυμερούς με υψηλό θερμο-οπτικό συντελεστή οδηγεί σε αυτόματη βελτίωση των επιδόσεων, καθώς η αύξηση της μετατόπισης των καμπυλών μετάδοσης(μέχρι το όριο του FSR/2) οδηγεί σε βελτίωση των λόγων εξάλειψης για αμφότερες τις θύρες εξόδου(σχ. 5.2). Αντιθέτως, στις αρχιτεκτονικές με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου ο λόγος εξάλειψης της θύρας απόρριψης δεν υπακούει στον παραπάνω κανόνα λόγω της ακανόνιστης μορφή της καμπύλης μετάδοσης στη θύρα αυτή. Ας εξετάσουμε την ισχύ της παραπάνω διατύπωσης με ένα παράδειγμα: Εστω διάταξη δύο συντονιστών της ενότητας με γεωμετρικές παραμέτρους R = 5.2μm, L =.5μm, g 1 =.3μm, g 2 =.5μmκαιυλικότο cyclomer. Στο σχήμα 5.21(α,β) απεικονίζονται οι καμπύλες μετάδοσης και οι αντίστοιχοι λόγοι εξάλειψης για θερμοκρασιακή μεταβολή 1 Κ που αντιστοιχεί σε μετατόπιση 25 nm. Οι

163 5.6. Πειραματική επιβεβαίωση 151 επιδόσεις είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικές. Πιο συγκεκριμένα, εντοπίζουμε ευρείες περιοχές μηκώνκύματος(6,4.3και8nm)γιατιςοποίεςοιλόγοιεξάλειψηςτωνδύοθυρώνεξόδου ξεπερνούν τα 8 db. Παρόλα αυτά, με προσεκτική παρατήρηση των καμπυλών μετάδοσης διαπιστώνουμε ότι θα μπορούσαμε να εκμεταλλευθούμε ένα ελάχιστο μετάδοσης της θύρας απόρριψης για την επίτευξη ακόμα υψηλότερων λόγων εξάλειψης. Πιο συγκεκριμένα, για τον σκοπό αυτό απαιτείται θερμοκρασιακή μεταβολή 55 Κ που αντιστοιχεί σε μετατόπιση 13 nm[σχ. 5.21(γ)]. Τότε, είναι δυνατή η εύρεση περιοχής μηκών κύματος εύρους 4.5 nm γιατηνοποίαοιλόγοιεξάλειψηςτωνδύοθυρώνεξόδουυπερβαίνουντα1db[σχ.5.21(δ)]. Συνεπώς, επιβεβαιώνεται ο ισχυρισμός ότι στις αρχιτεκτονικές με κάθετους κυματοδηγούς η μέγιστη θερμοκρασιακή διαφορά δεν οδηγεί απαραιτήτως στη βέλτιστη επίδοση. 5.6 Πειραματική επιβεβαίωση Τα κυρίαρχα χαρακτηριστικά των διατάξεων που μελετήθηκαν θεωρητικά στις προηγούμενες ενότητες, καθώς και η δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου της απόκρισής τους, επιβεβαιώθηκαν και πειραματικά[135, 297, 298]. Στο σχήμα 5.22(α) απεικονίζονται φίλτρα προσθήκης-απόρριψης καναλιού με παράλληλους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου μέσω μικροσκοπίας δέσμης ηλεκτρονίων(scanning Electron Microscopy, SEM). Η πεδιακή κατανομή στο φίλτρο(ένταση ηλεκτρικού πεδίου) απεικονίζεται στα σχήματα 5.22(β,γ) για δύο διαφορετικές τιμές του μήκους κύματος λειτουργίας: 1518 και 154 nm, αντίστοιχα. Οπως είναι αναμενόμενο, το ποσοστό της προσπίπτουσας ισχύος που οδηγείται στις θύρες εξόδου είναι διαφορετικό στις δύο περιπτώσεις. Από την άλλη, στο σχήμα 5.22(δ) απεικονίζεται διάταξη δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς και πολυμερές το cyclomer. Στην περίπτωση αυτή, αρχικά επιβεβαιώθηκε πειραματικά η ακανόνιστη μορφή της καμπύλης μετάδοσης για τη θύρα απόρριψης[135, 297]. Στη συνέχεια, επιβεβαιώθηκε η δυνατότητα αποτελεσματικού θερμο-οπτικού ελέγχου της απόκρισης[σχ. 5.22(ε,στ)]. Ειδικότερα, για μήκος κύματος λειτουργίας 152 nm μετρήθηκαν λόγοι εξάλειψης 8 και 6 db για τη διαμέσου και τη θύρα απόρριψης, αντίστοιχα, μεταξύ κρύας και θερμής κατάστασης λειτουργίας ( T 8 K)[298]. 5.7 Ανακεφαλαίωση Ανακεφαλαιώνοντας, στο παρόν κεφάλαιο διερευνήθηκε η δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου της απόκρισης ενός αριθμού διατάξεων βασισμένων στον DLSPP κυματοδηγό, με κοινό χαρακτηριστικό την ύπαρξη στη δομή ενός η περισσότερων συντονιστών μικροδακτυλίου. Βασικό σκοπό της εν λόγω μελέτης αποτέλεσε η αναγνώριση της διάταξης εκείνης που εξασφαλίζει υψηλούς λόγους εξάλειψης για αμφότερες τις θύρες εξόδου και επιπλέον είναι ικανή για 2 2 λειτουργία. Το κλασικό φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού(ενότητα 5.2) αποτυγχάνει να ικανοποιήσει τις παραπάνω προδιαγραφές παρουσιάζοντας χαμηλό λόγο εξάλειψης για τη θύρα απόρριψης. Η αδυναμία αυτή διορθώνεται διατάσσοντας κάθετα τους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου(ενότητα 5.3.2), καθώς η αλληλοπαρεμβολή στη διασταύρωση των κυματοδηγών καθιστά τη μετάδοση στη θύρα απόρριψης προϊόν συμβολής. Παρόλα αυτά,ηενλόγωδιάταξημπορείναλειτουργήσειωςδιακοπτικόστοιχείο 1 2: ηαλλαγή του προσανατολισμού του κυματοδηγού εξόδου έχει ως αποτέλεσμα τη διατάραξη της συμμετρίας της δομής. Η αποκατάσταση της συμμετρίας επιτυγχάνεται με την προσθήκη ενός

164 152 Κεφάλαιο 5 (α) In Thru (β) In Drop (γ) (δ) (ε) Thru In (στ) Drop Σχήμα 5.22: (α) Εικόνα σαρωτικού μικροσκοπίου δέσμης ηλεκτρονίων(sem) που απεικονίζει διατάξεις προσθήκης-απόρριψης καναλιού με παράλληλους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου. (β,γ) Εικόνες μικροσκοπίου διαρρέουσας ακτινοβολίας(lrm): Το ποσοστό μετάδοσης στις δύο θύρες εξόδου εξαρτάται από το μήκος κύματος λειτουργίας(1518 και 154 nm, αντίστοιχα).(δ) Εικόνα SEM που απεικονίζει διάταξη δύο συντονιστών με κάθετους κυματοδηγούς και πολυμερές το cyclomer.(ε,στ) Πεδιακή κατανομή για τις δύο καταστάσεις λειτουργίας( T 8 K) στο μήκος κύματοςτων 152 nm.οιλόγοιεξάλειψηςμετρήθηκανίσοιμε8και6dbγιατηδιαμέσουκαιτη θύρα απόρριψης, αντίστοιχα. Η κατασκευή των δειγμάτων, η λήψη των εικόνων μικροσκοπίας, καθώς και το σύνολο των μετρήσεων πραγματοποιήθηκε από την ερευνητική ομάδα του πανεπιστημίου της Βουργουνδίας[297, 298]. In δεύτερου συντονιστή(ενότητα 5.4). Η διάταξη της ενότητας μπορεί να λειτουργήσει ως διακοπτικό στοιχείο 2 2 προσφέροντας λόγους εξάλειψης μεγαλύτερους των 8 db για εύρος μηκών κύματος 3.2 nm. Διερευνήθηκε επίσης η δυνατότητα χρήσης πολυμερών υψηλότερου θερμο-οπτικού συντελεστή(έναντι του συνήθους PMMA) για τη βελτίωση των επιδόσεων και κυρίως την αύξηση του λόγου εξάλειψης και του εύρους ζώνης. Στην περίπτωση των αρχιτεκτονικών με κάθετους κυματοδηγούς εισόδου/εξόδου ο σχεδιασμός κατέδειξε ότι οι βέλτιστες επιδόσεις λαμβάνονται για θερμοκρασιακές μεταβολές μικρότερες της μέγιστης, λόγω της ακανόνιστης φασματικής απόκρισης της θύρας απόρριψης(ενότητα 5.4). Οι αριθμητικές προσομοιώσεις με πολυμερές το cyclomer προέβλεψαν την επίτευξη λόγων εξάλειψης μεγαλύτερων των 1 db για αμφότερες τις θύρες εξόδου σε φασματικό εύρος 4.5 nm, ισοδύναμο μεέξι WDMκανάλιαεύρους1 GHz. Τέλος, η μελέτη συμπληρώθηκε με την ανάλυση του θερμικού μεταβατικού προβλήματος. Οι σταθερές χρόνου θέρμανσης/ψύξης της δομής προέκυψαν ίσες με 1.55 μs και αποτελούν ρεαλιστικές εκτιμήσεις των αντίστοιχων χρόνων ανόδου/καθόδου της οπτικής απόκρισης.

165 6 Σύζευξη Πλασμονικού Κυματοδηγού Διηλεκτρικής Φόρτισης με Κυματοδηγούς Τεχνολογίας Πυριτίου 6.1 Εισαγωγή Οπως είδαμε με λεπτομέρεια στο κεφάλαιο 2, οι πλασμονικοί κυματοδηγοί χαρακτηρίζονται από σημαντικές ωμικές απώλειες, λόγω της ύπαρξης μεταλλικών μερών στις δομές κυματοδήγησης. Σαν αποτέλεσμα, οι αντίστοιχοι ρυθμοί υφίστανται ισχυρή απόσβεση κατά τη διάδοση και συνεπώς αδυνατούν, κατά κανόνα, να διαδοθούν για μήκη μεγαλύτερα των μερικώνδεκάδωνμικρομέτρων. 1 Τοεγγενέςαυτόχαρακτηριστικότωνπλασμονικώνρυθμών οδήγησε την ερευνητική δραστηριότητα προς δύο διακριτές κατευθύνσεις. Η πρώτη εξ αυτών αφορά στον σχεδιασμό πλασμονικών κυματοδηγών με μειωμένες ή και καθόλου απώλειες. Αρχικά, το ενδιαφέρον εστιάστηκε στη διερεύνηση σύνθετων δομών κυματοδήγησης(από άποψη γεωμετρικών χαρακτηριστικών αλλά και εμπλεκόμενων υλικών) με σκοπό την ελαχιστοποίηση των απωλειών διάδοσης[95, 99 11, 299]. Στην προσπάθεια αυτή, δεν θα πρέπει βέβαια να θυσιάζεται η χωρική συγκέντρωση του υποστηριζόμενου ρυθμού. Με άλλα λόγια, ενδιαφέρει η επίτευξη του βέλτιστου συμβιβασμού μεταξύ απωλειών διάδοσης και ενεργού επιφανείας. Παράλληλα, επιχειρήθηκε η αντιστάθμιση, έστω και μερική, των απωλειών διάδοσης με χρήση κάποιου μηχανισμού κέρδους[167, 169, 171]. Σε αυτή την περίπτωση, η πολυπλοκότητα δεν έγκειται στον σχεδιασμό του κυματοδηγού, παρά στην ενσωμάτωση του υλικού κέρδους σε αυτόν καθώς και στην εφαρμογή του κύματος άντλησης (pump) για τη διέγερση του ενεργού μέσου. Παρά τις προσπάθειες για ελαχιστοποίηση ή αντιστάθμιση των απωλειών διάδοσης, στις περισσότερες περιπτώσεις οι απώλειες παραμένουν σημαντικές, με τα μήκη διάδοσης να μην ξεπερνούν τις λίγες εκατοντάδες μικρόμετρα. Ετσι, οι απώλειες διάδοσης των πλασμονικών κυματοδηγών παραμένουν περιοριστικός παράγοντας για πλήθος εφαρμογών. Σταδιακά λοιπόν το ενδιαφέρον μετατοπίστηκε προς μια διαφορετική κατεύθυνση. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε η χρήση των πλασμονικών κυματοδηγών και διατάξεων ως δομικών στοιχείων σε συνθετότερα επίπεδα ολοκληρωμένα φωτονικά κυκλώματα, στα οποία τη διάδοση του φωτός σε μεγάλες αποστάσεις θα αναλάμβαναν φωτονικοί κυματοδηγοί χαμηλών απωλειών [172]. Με άλλα λόγια, προτάθηκαν υβριδικά νανοφωτονικά κυκλώματα στα οποία, εκτός της πλασμονικής, θα αξιοποιούνται και άλλες φωτονικές τεχνολογίες, όπως για παράδειγμα του 1 Τομήκοςδιάδοσης (propagation length)τουτμ ρυθμούτου DLSPPκυματοδηγούγιαπαράδειγμα είναιτηςτάξηςτων 5μm. ΜετάαπόδιάδοσησετέτοιομήκοςοΤΜ ρυθμόςέχειχάσειτο 73%της ισχύος που μεταφέρει. 153

166 154 Κεφάλαιο 6 πυριτίου(στοιχείο της ομάδας IV του περιοδικού πίνακα) ή των ομάδων III-V του περιοδικού πίνακα, με σκοπό την εκμετάλλευση των ιδιαίτερων προτερημάτων που προσφέρει κάθε μία. Από τις υπάρχουσες φωτονικές τεχνολογίες, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η φωτονική τεχνολογία πυριτίου(silicon photonics). Οι κυματοδηγοί της εν λόγω τεχνολογίας σχηματίζονται σε ένα υπόστρωμα(wafer) τεχνολογίας πυριτίου σε μονωτή(silicon on Insulator, SOI),δηλαδήμιαστρωματοποιημένηδομήπυριτίου-μονωτή-πυριτίου. 2 Τουπέρστρωμα πυριτίου διαμορφώνεται κατάλληλα με σκοπό τον σχηματισμό της επιθυμητής δομής κυματοδήγησης και αποκαλείται device layer. Ο μονωτής δεν είναι άλλος από το διοξείδιο τουπυριτίου(sio 2 ),καθώςηδημιουργίαενόςτέτοιουστρώματος(silica Buried Oxide, BOX, Layer) με θερμική οξείδωση(thermal oxidation) είναι μια ελεγχόμενη διαδικασία με υψηλό βαθμό ακρίβειας. Το πάχος του στρώματος αυτού λαμβάνει συνήθως τυποποιημένες τιμές ενός, δύο ή τριών μικρομέτρων, ανάλογα με την περίπτωση. Το κατώτερο στρώμα πυριτίου κατέχει τη θέση υποστρώματος και αποκαλείται handle layer. Οι κυματοδηγοί της τεχνολογίας πυριτίου(soi ή Si waveguides) συνδυάζουν αξιόλογα χαρακτηριστικά οδήγησης, συμπαγείς διαστάσεις και χαμηλές απώλειες. Πιο συγκεκριμένα,οιτυπικέςαπώλειεςδιάδοσηςκυμαίνονταιστοεύρος 1 5 db/cm,μετααντίστοιχα μήκη διάδοσης να τοποθετούνται στην περιοχή των λίγων εκατοστών. Μάλιστα, καθώς τα εμπλεκόμενα υλικά δεν παρουσιάζουν απώλειες αγωγιμότητας στα τηλεπικοινωνιακά μήκη κύματος, οι όποιες απώλειες διάδοσης προκύπτουν από την τραχύτητα των παράπλευρων επιφανειών(sidewall roughness) και τη συνεπακόλουθη σκέδαση του οδηγούμενου φωτός σε αυτές. Άλλα σημαντικά προτερήματα της τεχνολογίας πυριτίου και των αντίστοιχων κυματοδηγών είναι τα ακόλουθα: Καταρχήν, λόγω της υψηλής αντίθεσης(contrast) των δεικτώνδιάθλασης(γιατηνπεριοχήμηκώνκύματοςγύρωαπότα 1.55μm,τοπυρίτιοχαρακτηρίζεται από δείκτη διάθλασης 3.5 ενώ το συγγενές οξείδιο από δείκτη διάθλασης 1.5) οι φυσικές διαστάσεις των κυματοδηγών και η χωρική έκταση των υποστηριζόμενων ρυθμών μπορούν να λάβουν διαστάσεις μόλις μερικών εκατοντάδων νανομέτρων. Για παράδειγμα, μια τυπική διάσταση κυματοδηγού τεχνολογίας πυριτίου που λειτουργεί στον βασικότερυθμόείναι 45 nm 22 nm[7],μετοναντίστοιχορυθμόναείναικαλά συγκεντρωμένος στον πυρήνα. Πρόκειται, δηλαδή, για μια νανοφωτονική τεχνολογία, όπως και η πλασμονική, με αποτέλεσμα οι διαστάσεις των αντίστοιχων κυματοδηγών και ρυθμών να είναι εν γένει συμβατές μεταξύ τους. Επιπρόσθετα, η τεχνολογία πυριτίου είναι ιδιαίτερα ώριμη από κατασκευαστικής άποψης και επιπλέον συμβατή με την Complementary Metal-Oxide-Semiconductor (CMOS) τεχνολογία των Very-Large-Scale Integration (VLSI) ηλεκτρονικών. Το τελευταίο σημαίνει ότι είναι δυνατή η ολοκλήρωση οπτικών και ηλεκτρονικών εξαρτημάτων σε κοινό υπόστρωμα. Ετσι, μονολιθικά ολοκληρωμένα κυκλώματα με αυξημένη λειτουργικότητα ελέγχου μπορούν να γίνουν πραγματικότητα. Ενα παράδειγμα τέτοιου κυκλώματος αποτελεί ο οπτικός δρομολογητής με ηλετρονικό κύκλωμα ελέγχου που παρουσιάζεται στην εργασία[135]. Απαραίτητη προϋπόθεση για την υλοποίηση υβριδικών νανοφωτονικών κυκλωμάτων με συνέργεια της πλασμονικής και της τεχνολογίας πυριτίου είναι βεβαίως η επιτυχής σύζευξη των εμπλεκόμενων κυματοδηγών. Είναι προφανές ότι σε τέτοια κυκλώματα η ισχύς θα πρέπει να μπορεί να ανταλλάσσεται μεταξύ των διαφορετικών κυματοδηγών με ελάχιστες 2 Ηδιάκρισηπουγίνεταισεαυτότοσημείομεταξύτηςφωτονικήςτεχνολογίαςπυριτίου(silicon photonics) και της κατασκευαστικής τεχνολογίας πυριτίου σε μονωτή(silicon on Insulator, SOI) εγκαταλείπεται στη συνέχεια του κεφαλαίου για λόγους οικονομίας. Ετσι, ο όρος«τεχνολογία πυριτίου» θα χρησιμοποιείται για να περιγράψει κατά περίπτωση και τις δύο αυτές τεχνολογίες.

167 6.1. Εισαγωγή 155 απώλειες σύζευξης. Στην κατεύθυνση αυτή, στο παρόν κεφάλαιο μελετούμε τη δυνατότητα σύζευξης του DLSPP με κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου. Προφανής στόχος είναι η μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας σύζευξης(coupling efficiency). Ισοδύναμα, επιδιώκουμε την ελαχιστοποίηση των απωλειών σύζευξης(coupling loss) ή απωλειών εισαγωγής (insertion loss, IL). 3 Ωςγνωστόν,ησύζευξηισχύοςμεταξύδυοκυματοδηγώνμπορείνα γίνει με προσαρμογή(matching) των χωρικών προφίλ των επιμέρους ρυθμών ή των αντίστοιχων φασικών σταθερών διάδοσης. Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται ως απευθείας σύζευξη (direct ή butt coupling). Αρχικά, οι κυματοδηγοί έρχονται σε επαφή μέσω των διατομών τους. Ακολούθως, ρυθμίζεται η σχετική τους θέση καθώς και οι γεωμετρικές τους παράμετροι στη διεπιφάνεια, έτσι ώστε τα προφίλ των ρυθμών να ταιριάζουν από άποψη έκτασης αλλά και θέσης ως προς τους δύο εγκάρσιους άξονες. Στη δεύτερη περίπτωση, αυτή της κατευθυντικής σύζευξης, οι κυματοδηγοί τοποθετούνται σε παράλληλη διάταξη και κοντινή απόσταση για κάποιο μήκος αλληλεπίδρασης L. Εν γένει, η ισχύς θα ανταλλάσσεται περιοδικάμεταξύτωνδύοκυματοδηγώνμεπερίοδο L c,ηοποίακαικαθορίζεταιαπότον συντελεστή σύζευξης, δηλαδή το ποσοστό χωρικής επικάλυψης των ρυθμών. Συνήθως, το μήκος αλληλεπίδρασης ρυθμίζεται στο μισό της περιόδου σύζευξης, στο σημείο δηλαδή που η ισχύς θα έχει για πρώτη φορά περάσει στον κυματοδηγό εξόδου. Ιδιαίτερη σημασία σε αυτή την προσέγγιση έχει η σύγκριση των σταθερών διάδοσης των δύο ρυθμών. Οσο μεγαλύτερη η απόκλιση στις φασικές σταθερές, τόσο περιορίζεται η δυνατότητα μεταφοράς ισχύος από τον έναν κυματοδηγό στον άλλον, καθώς ακόμα και στο μισό της περιόδου σύζευξης η ανταλλαγή ισχύος δεν είναι πλήρης. Λαμβάνοντας υπόψη την ιδιαιτερότητα του DLSPP αναφορικά με τις υψηλές απώλειες διάδοσης που παρουσιάζει, προτιμήθηκε η απευθείας σύζευξη των εμπλεκόμενων κυματοδηγών έναντι κάποιας κατευθυντικής προσέγγισης. Οι λεπτομέρειες της χωρικής προσαρμογής των δύο ρυθμών με σκοπό τη μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας σύζευξης θα αναλυθούν λεπτομερώς στις επόμενες ενότητες. Οπως αναφέρθηκε, η επιτυχής διασύνδεση του DLSPP με SOI κυματοδηγό χαμηλών απωλειών, καθιστά δυνατή τη δημιουργία σύνθετων νανοφωτονικών κυκλωμάτων που αξιοποιούν τα ιδιαίτερα πλεονεκτήματα των δυο τεχνολογιών. Ενα τέτοιο παράδειγμα είναι ο οπτικός δρομολογητής 2 εισόδων/2 εξόδων(2 2) που προτάθηκε στην εργασία[135], όπου η μεταγωγή των οπτικών κυμάτων αναλαμβάνεται από τα θερμο-οπτικά διακοπτικά στοιχεία του κεφαλαίου 5(ενότητα 5.4), ενώ οι παθητικές λειτουργίες φιλτραρίσματος και πολυπλεξίας από κυκλώματα τεχνολογίας πυριτίου χαμηλών απωλειών. Επεκτείνοντας την ιδέα αυτή, θα μπορούσαν να διασυνδεθούν περισσότεροι του ενός 2 2 θερμο-οπτικοί διακόπτες με χρήση κυματοδηγών πυριτίου προς το σκοπό της υλοποίησης συνθετότερων διακοπτικών διατάξεων, όπως δρομολογητών με μεγαλύτερο αριθμό εισόδων/εξόδων. Στην περίπτωση που η διασύνδεσή των επιμέρους στοιχείων γινόταν με τον ίδιο τον πλασμονικό κυματοδηγό οι συνολικές απώλειες εισαγωγής θα ήταν αποτρεπτικές. Εναλλακτικά, η υβριδοποίηση μπορεί να γίνει και σε επίπεδο εξαρτήματος(component level), με σκοπό και πάλι τη μείωση των απωλειών εισαγωγής[129, 134, 3]. Στην περίπτωση αυτή, ο πλασμονικός κυματοδηγός χρησιμοποιείται μόνον στο τμήμα του εξαρτήματος που ελέγχεται θερμο-οπτικά και το υπόλοιπο εξάρτημα κατασκευάζεται από SOI κυματοδηγό χαμηλών απωλειών. Ενα επιπλέον πλεονέκτημα της επιτυχούς διασύνδεσης με SOI κυματοδηγούς είναι ότι οι τεχνικές σύζευξης των τελευταίων με οπτικές ίνες, είτε μέσω φραγμάτων παράθλασης(grating couplers) είτε μέσω αδιαβατικών προσαρμογέων πλάτους(inverted tapers), έχουν διερευνηθεί 3 Οιδύοαυτοίόροι, «απώλειεςσύζευξης»και«απώλειεςεισαγωγής», χρησιμοποιούνταιεναλλάξιμα (interchangeably) στη συνέχεια του κεφαλαίου για να δηλώσουν το ίδιο πράγμα.

168 156 Κεφάλαιο 6 Silicon Silica ( α) 5nm 4nm 34nm ~ 2μm y-coordinate ( μ m) y x Si-rib TM E y -.5 ( β) n eff = ( γ) x-coordinate ( μm) y x DLSPP TM E y neff = j x-coordinate ( μm) Σχήμα 6.1: SOI κυματοδηγός ράβδωσης: (α) Διατομή κυματοδηγού και γεωμετρικές διαστάσεις. Το πάχος του στρώματος διοξειδίου δεν είναι σε κλίμακα.(β) Προφίλ βασικού ΤΜ ρυθμού. Απεικονίζεταιτομέτροτηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(E y ). (γ)προφίλβασικούτμρυθμούτου DLSPPκυματοδηγού(μέτροτης E y συνιστώσας).ηχωρικήπροσαρμογή των δύο ρυθμών δεν είναι ιδιαίτερα καλή. συστηματικά και αποτελούν ιδιαίτερα αξιόπιστες λύσεις. Ετσι, μέσω των κυματοδηγών πυριτίου, οι πλασμονικές διατάξεις μπορούν να διασυνδεθούν αποτελεσματικά με πηγές και μετρητικά όργανα, τα οποία ως επί το πλείστον διαθέτουν υποδοχείς οπτικών ινών. Αυτό με τη σειρά του επιτρέπει την ακριβή μέτρηση των απωλειών διάδοσης των πλασμονικών κυματοδηγών(μέσω τεχνικής cut-back), καθώς και τη διεξαγωγή σύνθετων πειραμάτων σε επίπεδο συστήματος(system level experiments), στα οποία είναι δυνατή η μέτρηση διάφορων τηλεπικοινωνιακών μεγεθών όπως του ρυθμού σφαλμάτων(bit Error Rate, BER) και του λόγου σήματος προς θόρυβο (Signal-to-Noise Ratio, SNR)[125, 275]. Αντιθέτως, στην περίπτωση που η διασύνδεση του πλασμονικού εξαρτήματος με τον εργαστηριακό εξοπλισμό δεν είναι δυνατή, οι μετρήσεις εξαντλούνται στην εκτίμηση των απωλειών εισαγωγής με έμμεσες τεχνικές όπως η μικροσκοπία διαρρέουσας ακτινοβολίας (Leakage Radiation Microscopy, LRM) 4 [31,32]. Συνοψίζοντας,αναφορικάμετησπουδαιότητατουεγχειρήματος σημειώνουμε ότι η ικανότητα αποτελεσματικής διασύνδεσης των πλασμονικών κυματοδηγών και διατάξεων με τις υπόλοιπες υπάρχουσες φωτονικές τεχνολογίες θα καθορίσει σε μεγάλο βαθμό την διείσδυση των πρώτων στα σύγχρονα συστήματα φωτονικών επικοινωνιών ή οπτικής διασύνδεσης(optical interconnects). 6.2 Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ράβδωσης SOI κυματοδηγός ράβδωσης Ο SOI κυματοδηγός ράβδωσης(soi rib ή Si-rib waveguide) απεικονίζεται στο σχήμα 6.1(α). Αποτελείται από έναν πυρήνα πυριτίου που επικάθεται σε στρώμα διοξειδίου του πυριτίου ακολουθούμενο από υπόστρωμα πυριτίου. Με άλλα λόγια, ο πυρήνας σχηματίζεται σε μια τυπική στρωματοποιημένη δομή τεχνολογίας SOI. Κατά την εγχάραξη(etching) του υπερστρώματος πυριτίου(στρώμα οδήγησης ή device layer) με σκοπό τον σχηματισμό του πυρήνα, αφήνεται λεπτό στρώμα πυριτίου(slab) εκατέρωθεν του πυρήνα[σχ. 6.1(α)]. Ανάλογα με το ύψος του παραμένοντος στρώματος, αυτό ενδέχεται να επηρεάζει περισσότερο ή λιγότερο τα χαρακτηριστικά οδήγησης, όπως ο ενεργός δείκτης διάθλασης και η ενεργός 4 Η LRMαποτελείτεχνικήμικροσκοπίαςμακρινούπεδίουπουεπιτυγχάνειτηνπαρατήρησητουφαινομένου μέσω της συλλογής του διαρρέοντος πεδίου[21 23].

169 6.2. Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ράβδωσης 157 y-coordinate ( μ m) y-coordinate ( μ m) ( α ) Si-rib ( β) TE Re{ E x } x-coordinate ( μm) ( δ ) DLSPP ( ε) TM Re{ E x } -1 1 x-coordinate ( μm) x-coordinate ( μm) -1 1 x-coordinate ( μm) Si-rib TE Re{ E y } DLSPP TM Re{ E y } ( γ) ( στ) x-coordinate ( μm) -1 1 x-coordinate ( μm) Si-rib TE Im{ E z } DLSPP TM Im{ E z } Σχήμα 6.2: (α)-(γ)συνιστώσες ηλεκτρικούπεδίουγιατον ΤΕ ρυθμότουκυματοδηγού ράβδωσης(si-rib). (ε)-(στ)συνιστώσεςηλεκτρικούπεδίουγιατοντμ ρυθμούτου DLSPP κυματοδηγού. Η σύγκριση της συμμετρίας των ομόλογων συνιστωσών ως προς τον άξονα x = φανερώνειότιοτε του Si-ribδενδύναταιναδιεγερθείαπότονΤΜ του DLSPPκυματοδηγού, καθότι όταν η συνιστώσα του ενός ρυθμού είναι συμμετρική, η ομόλογή της είναι αντισυμμετρική. επιφάνεια. Πέρα από τη δυνατότητα τροποποίησης των χαρακτηριστικών οδήγησης, η χρήση ενός τέτοιου στρώματος πολλές φορές επιβάλλεται από κατασκευαστικούς παράγοντες. Στηνυπόμελέτηπερίπτωση,οιδιαστάσειςτουπυρήναείναι 4 nm 34 nm[σχ. 6.1(α)]. Επιλέχθηκαν κατά τέτοιον τρόπο ώστε ο βασικός ΤΜ ρυθμός να είναι καλά συγκεντρωμένος στον πυρήνα του κυματοδηγού. Ειδικότερα, ακριβώς για τον σκοπό αυτό προτιμήθηκε το τυποποιημένο ύψος των 34 nm, έναντι του έτερου τυποποιημένου ύψους (αυτού των 22 nm), το οποίο και χρησιμοποιείται συνηθέστερα στην περίπτωση που ε- πιθυμούμε TE λειτουργία. Η λειτουργία του κυματοδηγού πυριτίου στον TM ρυθμό είναι επιβεβλημένη, δεδομένου ότι ο DLSPP υποστηρίζει, ως γνωστόν, TM ρυθμό. Προφανώς, οι πολώσεις των δύο ρυθμών πρέπει να ταιριάζουν, αν θέλουμε να επιτύχουμε αποδοτική σύζευξη μεταξύ των δύο κυματοδηγών. Για τις διαστάσεις πυρήνα που εξετάζουμε ο Si-rib κυματοδηγός δεν είναι μονόρρυθμος. Ειδικότερα, υποστηρίζεται και ο βασικός ΤΕ ρυθμός. Πάραταύτα,ησυμμετρίατωνσυνιστωσώντουωςπροςτονάξονα x = φανερώνειότιο ρυθμόςαυτόςδενδύναταιναδιεγερθείαπότον TM του DLSPP(Σχ.6.2)καισυνεπώς δεν συμμετέχει στη μεταξύ των κυματοδηγών σύζευξη. Πιο συγκεκριμένα, παρατηρείστε ότι ότανησυνιστώσατουενόςρυθμούείναισυμμετρική,ηομόλογήτηςείναιαντισυμμετρική. 5 5 Στοσχήμα6.2απεικονίζονταιταπραγματικάμέρητωνεγκάρσιωνσυνιστωσώνκαιταφανταστικάμέρη των αξονικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου. Είναι γνωστό ότι σε κυματοδηγούς άνευ απωλειών και με κατάλληλη κανονικοποίηση του ιδιοδιανύσματος που προκύπτει από την επίλυση του 2-Δ προβλήματος ιδιοτιμών της διατομής του κυματοδηγού, οι εγκάρσιες συνιστώσες προκύπτουν αμιγώς πραγματικές ενώ η αξονική συνιστώσα έχει διαφορά φάσης π/2 σε σχέση με αυτές, είναι δηλαδή αμιγώς φανταστική[26]. Αυτό ισχύει με πολύ καλή ακρίβεια και στην περίπτωση του DLSPP παρά την ύπαρξη απωλειών, γεγονός που αποδίδεται στην περιορισμένη διείσδυση του πεδίου στο υλικό με απώλειες, δηλαδή τη μεταλλική ταινία.

170 158 Κεφάλαιο 6 Το ύψος του παραμένοντος στρώματος πυριτίου είναι 5 nm, επιλέχθηκε δηλαδή μικρό ώστε να μην επηρεάζει σημαντικά τα χαρακτηριστικά οδήγησης, με τη χρήση του να επιβάλλεται από διάφορες κατασκευαστικές διαδικασίες. Ειδικότερα, μπορεί να λειτουργήσει ως επίπεδο τερματισμού της διαδικασίας εγχάραξης μιας προστατευτικής επίστρωσης (cladding), όταν αυτή χρειάζεται να καλύπτει μόνο συγκεκριμένα τμήματα του κυκλώματος. Επιπρόσθετα, εξυπηρετεί στην κατασκευή ζευκτών φράγματος παράθλασης (grating couplers) για σύζευξημεοπτικήίνα.τέλος,τοπάχοςτουστρώματοςοξειδίουείναιίσομε 2μm. 6 Οιδείκτες διάθλασης των εμπλεκόμενων υλικών στο μήκος κύματος των 1.55 μm λαμβάνονται ίσοι με n Si = 3.45και n Silica = Στο σχήμα 6.1(β) απεικονίζεται ο βασικός ΤΜ ρυθμός του κυματοδηγού ράβδωσης, TM Si rib. Από την παρατήρηση του μέτρου της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου(e y ),κανείςδιαπιστώνειότιορυθμόςείναικαλάσυγκεντρωμένοςεντόςτουπυρήνα, χωρίς να διαφεύγει προς κατακόρυφη ή οριζόντια διεύθυνση. Το τελευταίο είναι απόρροια και της επιλογής για το ύψους του slab. Σε κυματοδηγούς ράβδωσης με παραμένον στρώμα πυριτίου μεγάλου πάχους (shallow-etch waveguides), ο ρυθμός συχνά διαφεύγει από τον πυρήνακατάτηνοριζόντιαδιεύθυνσηκαιεισέρχεταιστηνπεριοχήτου slab. Η E y συνιστώσα είναι ασυνεχής στα οριζόντια όρια μεταξύ περιοχών, όπως υπαγορεύουν οι οριακές συνθήκες που διέπουν τη συμπεριφορά του ηλεκτρικού πεδίου στις διεπιφάνειες μεταξύ διαφορετικών υλικών. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης είναι ίσος με 2.352, τιμή που βρίσκεται ανάμεσα στις ακραίες τιμές 1 και 3.45 των εμπλεκόμενων δεικτών διάθλασης, όπως αναμένεται. Το ότι βρίσκεται πλησιέστερα στον δείκτη διάθλασης του πυριτίου επιβεβαιώνει πως η οδήγηση λαμβάνει χώρα κατά κύριο λόγο στον πυρήνα. Με σκοπό την ευκολότερη αντιπαραβολή, στο σχήμα 6.1(γ) απεικονίζεται και ο βασικόςτμρυθμόςτου DLSPP,ΤΜ DLSPP. 7 Ησύγκρισητωνκατανομώντης E y συνιστώσας φανερώνειότιηοριζόντιαέκτασητουτμ DLSPP ρυθμού είναι σχεδόν διπλάσια αυτής του TM Si rib. Επιπλέον, οι δύο ρυθμοί δεν είναι ευθυγραμμισμένοι(aligned) ως προς τον κατακόρυφοάξονα(y).ειδικότερα,τοκάτωμέροςτουτμ Si rib ρυθμού δεν επικαλύπτεται με τον TM DLSPP (καθώς ο τελευταίος δεν διεισδύει σημαντικά στη μεταλλική ταινία), με αποτέλεσμα να μη δύναται να συνεισφέρει στη μεταξύ τους σύζευξη. Οπως έχουμε ήδη αναφέρει, στην περίπτωση της απευθείας σύζευξης η χωρική προσαρμογή(spatial matching) των προφίλ είναι αυτή που καθορίζει την αποδοτικότητα της σύζευξης. Γίνεται λοιπόν φανερό ότι προς τον σκοπό της αποδοτικής σύζευξης DLSPP και Si-rib κυματοδηγών απαιτείται η διεύρυνσητηςοριζόντιαςέκτασηςτου TM Si rib ρυθμού καθώς και η ευθυγράμμιση των δύο ρυθμώνωςπροςτον yάξονα. Τοπρώτομπορείναεπιτευχθείμετημείωσητουπλάτους πυρήνα. Από μια τιμή πλάτους και πέρα, ο ρυθμός αδυνατεί να παρακολουθήσει τη συρρίκνωση του κυματοδηγού, διαφεύγοντας εν μέρει από τον πυρήνα με αποτέλεσμα την τελική διεύρυνση της οριζόντιας έκτασης του ρυθμού. Από την άλλη, η κατακόρυφη ευθυγράμμιση των δύο ρυθμών μπορεί να επιτευχθεί μετατοπίζοντας κατάλληλα τους δύο κυματοδηγούς Μόνο σε κυματοδηγούς στους οποίους η οδήγηση λαμβάνει χώρα στο υλικό με απώλειες παρατηρείται απόκλιση από την παραπάνω συμπεριφορά. 6 Αυτόβέβαιαδενέχειιδιαίτερησημασίαγιατηθεωρητικήανάλυσηπουθαακολουθήσει. Ηοδήγηση λαμβάνει χώρα στον πυρήνα του κυματοδηγού και ο υπολογιστικός χώρος συνήθως αποκόπτεται αρκετά πριν το υπόστρωμα πυριτίου[σχ. 6.1(β)]. 7 Ηεκδοχήτου DLSPPπουυιοθετούμεστοπαρόνκεφάλαιοείναιπανομοιότυπημεαυτήτουκεφαλαίου 5μετηδιαφοράότιτοπάχοςτηςμεταλλικήςταινίαςείναι6αντίγια1 nm.ωςαποτέλεσμα,οενεργός δείκτης διάθλασης προκύπτει περίπου 1.214[βλ. σχήμα 6.1(γ)] αντί για , σε συμφωνία με το σχήμα 2.14(α).

171 6.2. Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ράβδωσης 159 x y z W Si 6nm 6nm 34nm V off 5nm 3 μm PMMA Gold Silica Silicon y 2μm BOX x z ( α ) ( β) Σχήμα 6.3: Σχηματικά διαγράμματα της διεπιφάνειας DLSPP και Si-rib κυματοδηγών: (α) Προοπτικά και(β) σε τομή. Απεικονίζονται όλες οι σχετικές γεωμετρικές διαστάσεις. Το πλάτος τουκυματοδηγούπυριτίουστηδιεπιφάνεια(w Si )έχειαφεθείωςσχεδιαστικήπαράμετρος.υπάρχει, επίσης,πρόβλεψηγιακατακόρυφημετατόπισητωνδύοκυματοδηγών(v off ). καθ ύψος. Ειδικότερα, από τη σύγκριση των σχημάτων 6.1(β) και 6.1(γ) προκύπτει α- παίτηση για υποβιβασμό του DLSPP έναντι του Si-rib κυματοδηγού, κάτι που μπορεί να ικανοποιηθείμετηνπρόβλεψηγιαδιαφορετικόύψοςστρώματος SiO 2 στιςδύοπεριπτώσεις. Η σχεδίαση λοιπόν της διεπιφάνειας, βασικό αντικείμενο του παρόντος κεφαλαίου, συνίσταται στον προσδιορισμό συγκεκριμένων γεωμετρικών παραμέτρων της διεπιφάνειας, και πιο συγκεκριμένα του πλάτους του κυματοδηγού πυριτίου και της κατακόρυφης μετατόπισης (vertical offset) των δύο κυματοδηγών, με σκοπό τη βελτιστοποίηση της χωρικής προσαρμογής των ρυθμών και άρα της αντίστοιχης αποδοτικότητας σύζευξης Διεπιφάνεια DLSPP/Si-rib κυματοδηγών Σχηματικά διαγράμματα της διεπιφάνειας DLSPP και Si-rib κυματοδηγών απεικονίζονται στο σχήμα 6.3 μαζί με τις απαραίτητες γεωμετρικές παραμέτρους. Οι δύο κυματοδηγοί είναι ευθέως συζευγμένοι με τις διατομές τους να βρίσκονται σε επαφή. Για τον προσδιορισμό της αποδοτικότητας σύζευξης μεταξύ των δύο κυματοδηγών(ακριβέστερα μεταξύ των βασικών TM ρυθμών τους) θα εξετάσουμε τη μετάβαση από τον DLSPP στον Si-rib κυματοδηγό. Θα θεωρήσουμε δηλαδή ότι το φως προσπίπτει στη διεπιφάνεια από τη μεριά του DLSPP. Στην πορεία θα δείξουμε ότι στην πραγματικότητα η διεύθυνση διάδοσης δεν είναι ικανή να μεταβάλλει το αποτέλεσμα, καθώς η αποδοτικότητα σύζευξης μεταξύ δυο συγκεκριμένων οδηγούμενων ρυθμών των εμπλεκόμενων κυματοδηγών είναι αμοιβαία(reciprocal)[33]. Το παραπάνω ισχύει ακόμα και όταν περισσότεροι οδηγούμενοι(bound) ρυθμοί, ή ακόμα και ρυθμοί ακτινοβολίας(radiation modes), διεγείρονται στη διεπιφάνεια. Σημειώνουμε βέβαια ότι σε τέτοιες περιπτώσεις, άλλα μεγέθη, όπως η ολική οδηγούμενη ισχύς εξόδου ή ο συντελεστής ανάκλασης, παύουν να είναι αμοιβαία Μεθοδολογία υπολογισμού αποδοτικότητας σύζευξης Για την ανάλυση της δομής που απεικονίζεται στο σχήμα 6.3 χρησιμοποιείται, όπως και στα κεφάλαια 4 και 5, η τρισδιάστατη διανυσματική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (3D- VFEM) που παρουσιάστηκε αναλυτικά στο κεφάλαιο 3. Η μέθοδος δεν πραγματοποιεί καμία παραδοχή πλην της διακριτοποίησης του υπολογιστικού χώρου. Επιτρέπει έτσι τον ακριβή (rigorous) υπολογισμό των απωλειών σύζευξης, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα εμπλεκόμενα

172 16 Κεφάλαιο 6 φαινόμενα, όπως ανάκλαση από τη διεπιφάνεια και σύζευξη ισχύος με ρυθμούς ακτινοβολίας. Επιπλέον, παρέχει μια καθαρή εικόνα των φαινομένων κοντινού πεδίου στην εγγύς περιοχή της διεπιφάνειας. Ετσι, διαπιστώθηκε ότι μέρος της προσπίπτουσας ισχύος συζευγνύεται και με πλασμονικούς ρυθμούς ακμής (edge SPPs)[βλ. ενότητα 2.4.1, Σχ. 2.1(β)] που οδηγούνται παράλληλα προς τη διεπιφάνεια. Σε αντιστοιχία με τα προηγούμενα κεφάλαια, η διακριτοποίηση της δομής πραγματοποιείται με τριγωνικά πρισματικά στοιχεία πρώτης τάξης μια φυσική επιλογή δεδομένης της επίπεδης(planar) φύσης της διάταξης. Οι άξονες των πρισμάτων είναι παράλληλοι με τον άξονα y,μεσυνέπειαοιτριγωνικέςβάσειςναδιακριτοποιούντο xzεπίπεδο. 8 Οτερματισμός του υπολογιστικού χώρου στις παράπλευρες επιφάνειες(επίπεδα xz και yz) γίνεται με απορροφητικές οριακές συνθήκες (Absorbing Boundary Conditions, ABCs) πρώτης τάξης [ενότητα ,εξ.(3.22)].στοεπίπεδοπουεισάγεταιοtm ρυθμόςτουκυματοδηγού εισόδου κάνουμε χρήση της τροποποιημένης ABC που αναπτύχθηκε στο κεφάλαιο 3[ενότητα 3.3, Εξ.(3.43)], καθώς οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί δεν είναι αμιγώς TM, παρά υβριδικοί. Εχουν δηλαδή όλες τις πεδιακές συνιστώσες μη μηδενικές με την κυματική αντίσταση να μην είναι μια σταθερή ποσότητα, παρά τανυστική όπως και συνάρτηση των εγκάρσιων συντεταγμένων(x, y). Η ιδιαιτερότητα του προβλήματος της σύζευξης που καλούμαστε να λύσουμε, έναντι αυτών που μελετήσαμε στα κεφάλαια 4 και 5, είναι ότι στη διεπιφάνεια δύνανταιενγένειναδιεγερθούνρυθμοίακτινοβολίας, 9 καθώςτοπροσπίπτονκύμααντιλαμβάνεται μια ισχυρή ασυνέχεια. Αυτό συνεπάγεται ότι η ανακλώμενη ισχύς, εκτός του TM ρυθμού,μπορείναμεταφέρεταικαιμέσωάλλωνπεδιακώνμορφών. Ετσι,τοεπίπεδο διέγερσης του ρυθμού πρέπει να τοποθετηθεί αρκούντως μακριά, καθώς η τροποποιημένη ABC είναι σχεδιασμένη να απορροφά έναν και μοναδικό ρυθμό. Για τον ίδιο λόγο, ο κυματοδηγός εξόδου τερματίζεται με PML(ενότητα 3.2.5), αντί της ABC, καθώς η τελευταία θα αδυνατούσε να απορροφήσει τους μεταδιδόμενους ρυθμούς ακτινοβολίας που πιθανώς διεγείρονται. Λύνοντας το σύστημα γραμμικών εξισώσεων της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων αποκτούμε πρόσβαση στο ηλεκτρικό πεδίο σε ολόκληρη τη δομή. Το μαγνητικό πεδίο προκύπτει εύκολα από τον νόμο Faraday με χωρική διαφόριση των συναρτήσεων βάσης(βλ. ενότητα ). Ετσι, μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνολική οδηγούμενη κατά z ισχύ εξόδου ολοκληρώνοντας τη z συνιστώσα του διανύσματος Poynting(πιο συγκεκριμένα, τη 8 Ηεπιλογήτηςδιακριτοποίησηςτου xyεπίπεδουμετιςτριγωνικέςεπιφάνειεςτωνπρισμάτωνίσωςνα φαίνεται βολικότερη. Παρόλα αυτά, ο προσανατολισμός που διαλέξαμε οδηγεί σε οικονομικότερα πλέγματα καθώς εκτός από το πλήθος των βαθμών ελευθερίας(δηλαδή τη διάσταση του τελικού τετραγωνικού πίνακα των πεπερασμένων στοιχείων) σημασία έχει και το πόσο αραιός(sparse) είναι. Ειδικότερα, οι κατακόρυφες ακμές ενός πρίσματος(δηλαδή οι παράλληλες στον άξονά του) είναι συνδεδεμένες κατά κανόνα με περισσότερες ακμές απ ότι οι εγκάρσιες. Ετσι, στις γραμμές του τελικού πίνακα που αναφέρονται σε κατακόρυφες ακμές βρίσκουμε περισσότερα μη μηδενικά στοιχεία, τα οποία μάλιστα απέχουν συνήθως περισσότερο από την κύρια διαγώνιο λόγω του τρόπου αρίθμησης των ακμών που υιοθετούμε[εκτός των υπολοίπων σημασία έχει και η θέση των μη μηδενικών στοιχείων(banding)]. Κατά συνέπεια, είναι προτιμότερος ο προσανατολισμός των πρισμάτων προς τη μικρή διάσταση της διάταξης, γεγονός που εξηγεί την επιλογή του άξονα y έναντι του z. 9 Κατάτηνπρόσπτωσητου TM τουκυματοδηγούεισόδουστηδιεπιφάνειαδενδύναταιναδιεγερθεί άλλοςοδηγούμενοςρυθμόςπληντου TM τουκυματοδηγούεξόδου. Ειδικότερα,υπενθυμίζουμεότιο μοναδικόςέτεροςοδηγούμενοςρυθμόςυποστηρίζεταιαπότονκυματοδηγόπυριτίουκαιείναιοte. Η διέγερσή του δεν είναι δυνατή λόγω της συμμετρίας των πεδιακών του συνιστωσών(σχ. 6.2). Κατά τα άλλα, οι ρυθμοί ανώτερης τάξης του κυματοδηγού πυριτίου βρίσκονται στην αποκοπή. Το ίδιο ισχύει και για τον DLSPP, ο οποίος είναι μονόρρυθμος για τον συνδυασμό διαστάσεων και μήκους κύματος λειτουργίας που εξετάζουμε.

173 6.2. Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ράβδωσης 161 μέσηχρονικήτιμήτου)σεκάποιαδιατομήτουκυματοδηγούεξόδου 1 P out g,tot (z) = A < P z > da = 1 2 Re { A } E(x,y,z) H (x,y,z) ẑdxdy. (6.1) ΗΕξ.(6.1)δίνειτησυνολικήοδηγούμενηισχύστονκυματοδηγόεξόδου P out g,tot, δίχως να κάνει διάκριση μεταξύ της ισχύος που μεταφέρεται από τον βασικό TM ρυθμό και από μεταδιδόμενους ρυθμούς ακτινοβολίας. Οπως έχουμε ήδη αναφέρει, κατά την πρόσπτωση στη διεπιφάνεια δύνανται να διεγερθούν μεταδιδόμενοι ρυθμοί ακτινοβολίας, οι οποίοι και θα μεταφέρουν μέρος της ισχύος εξόδου. Για να διακρίνουμε μεταξύ της ωφέλιμης ισχύος που μεταφέρεταιαπότον TM ρυθμότουκυματοδηγούεξόδουκαιτηςισχύοςπουμεταφέρεται από τέτοιους ρυθμούς ακτινοβολίας(οι οποίοι υπόκεινται σε ισχυρή απόσβεση κατά τη διεύθυνση διάδοσης) κάνουμε χρήση ενός ολοκληρώματος επικάλυψης(overlap integral, OI)τηςμορφής 11 OI(z) = A 2 E(x,y,z) H ref (x,y) ẑda A. (6.2) E(x,y,z) H (x,y,z) ẑda E ref (x,y) H ref (x,y) ẑda Ερμηνεύοντας την Εξ.(6.2), βλέπουμε ότι στον αριθμητή πραγματοποιείται μια σύγκριση μεταξύ πεδιακών κατανομών. Συγκεκριμένα, για τυχούσα z συντεταγμένη εξετάζεται η ο- μοιότητατουπεδίουστοεκάστοτεxyεπίπεδο[e(x,y,z)]μεέναπεδίοαναφοράς[h ref (x,y)]: τοπροφίλτου TM ρυθμούτουκυματοδηγούεξόδου,όπωςπροέκυψεαπότηλύσηενός 2-Δ προβλήματος ιδιοτιμών της διατομής του κυματοδηγού. Το αποτέλεσμα της σύγκρισης κανονικοποιείται με την«ισχύ» των δύο κατανομών(παρονομαστής) ώστε να προκύψει ένα αδιάστατο μέγεθος μικρότερο ή ίσο της μονάδας, όπως θα περίμενε κανείς από ένα ολοκλήρωμαεπικάλυψης. Ετσι,τοαποτέλεσματηςΕξ.(6.2)δενείναιάλλοαπότοκλάσματης ισχύοςεξόδουπουμεταφέρεταιαπότον TM ρυθμό.τελικά,ηοδηγούμενηισχύςεξόδου πουμεταφέρεταιαπότον TM ρυθμόκατάμήκοςτουκυματοδηγούεξόδουδίνεταιαπότην A PTM out (z) = OI(z)Pg,tot out (z). (6.3) Προσοχή στο ότι ενώ τα μεγέθη του ολοκληρώματος επικάλυψης και της συνολικής οδηγούμενης ισχύος παρουσιάζουν ισχυρή εξάρτηση από τη συντεταγμένη z λόγω της απόσβεσης των ρυθμών ακτινοβολίας, δεν θα περιμέναμε κάτι αντίστοιχο για την ισχύ που μεταφέρει ο TM ρυθμός.γιαομοιόμορφοκυματοδηγόεξόδου,ηισχύςπουκατάφερενασυζευχθεί με αυτόν διαδίδεται κατά μήκος του χωρίς να διαρρέει στον περιβάλλοντα χώρο. Πράγματι, ηεξάρτησητηςισχύος PTM out απότησυντεταγμένη zείναισαφώςασθενέστερηκαισχετίζεται αποκλειστικά και μόνο με την απόσβεση του ρυθμού λόγω απωλειών διάδοσης. Στην περίπτωσηδεκυματοδηγούάνευαπωλειών,τομέγεθος PTM out είναιανεξάρτητοτης zσυντεταγμένης. Γνωρίζοντας την ισχύ με την οποία τροφοδοτήθηκε ο κυματοδηγός εισόδου 1 Με < >συμβολίζουμετημέσηχρονικήτιμή. 11 Υπάρχουνκαιάλλοιορισμοίτουολοκληρώματοςεπικάλυψηςοιοποίοιμάλισταείναιαπλούστεροικαθώς εμπλέκουν μόνο το ηλεκτρικό πεδίο(είτε ολόκληρο το διάνυσμα, είτε την κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα). Παρόλα αυτά, η χρήση τους δεν ενδείκνυται καθώς οι ρυθμοί που εξετάζουμε είναι υβριδικοί. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η ορθογωνικότητα ορίζεται απαραιτήτως με συμμετοχή του μαγνητικού πεδίου[βλ. Εξ.(6.6)].

174 162 Κεφάλαιο 6 μπορούμε πια να υπολογίσουμε την αποδοτικότητα σύζευξης η μέσω της σχέσης η = P out TM /P in TM. (6.4) Πολύ συχνά εκφράζουμε την αποδοτικότητα σύζευξης και σε db, με το μέγεθος να ονομάζεταιτότεαπώλειεςσύζευξηςήαπώλειεςεισαγωγής: IL = 1log 1 (η).συνοψίζοντας,με τη διαδικασία που μόλις περιγράφηκε μπορούμε να προσδιορίσουμε σωστά την αποδοτικότητασύζευξηςμεταξύτωνδύοβασικών TM ρυθμώντωνδύοκυματοδηγών,ανεξάρτητα από την πιθανή διέγερση ρυθμών ακτινοβολίας. Τέλος, κατά τον υπολογισμό της αποδοτικότητας σύζευξης φροντίζουμε να αντισταθμίσουμε τις απώλειες διάδοσης στο μήκος του DLSPP, είτε αυτός κατέχει θέση κυματοδηγού εισόδουείτεκυματοδηγούεξόδου. 12 Δηλαδή,ανεξάρτητααπόταμήκητωνκυματοδηγών εισόδου/εξόδου, η αποδοτικότητα σύζευξης αναφέρεται αποκλειστικά στη διεπιφάνεια, η οποία κατ αυτήν την έννοια θεωρείται σημειακή(lumped). Σημειώνεται ότι δεν θα ήταν ισοδύναμο να λύσουμε το πρόβλημα της διεπιφάνειας υιοθετώντας αμιγώς πραγματική διηλεκτρική σταθερά χρυσού, δηλαδή σκοπίμως αγνοώντας εξ αρχής τις ωμικές απώλειες. Αυτό θα γίνει καλύτερα κατανοητό στην ενότητα , όπου εξετάζεται η διέγερση ρυθμών ακμής που διαδίδονται παράλληλα με τη διεπιφάνεια Αποδοτικότητα σύζευξης: Παραμετρική ανάλυση Οπως φαίνεται στο σχήμα 6.4(α), προς το σκοπό του σχεδιασμού της διεπιφάνειας, το πλάτοςτουκυματοδηγούπυριτίουστηδιεπιφάνεια W Si καιηκατακόρυφηαπόστασητων δύοκυματοδηγών V off έχουναφεθείωςσχεδιαστικέςπαράμετροι. Υποθέτουμεότιοκυματοδηγός πυριτίου υπόκειται σε ομαλή αδιαβατική προσαρμογή (adiabatical tapering) του ονομαστικού του πλάτους(4 nm) πριν να φτάσει στη διεπιφάνεια, ώστε οι όποιες απώλειες από την προσαρμογή αυτή να είναι αμελητέες. Οσον αφορά την κατακόρυφη απόσταση των κυματοδηγών, αυτή εξασφαλίζεται με την κατάλληλη προσαρμογή(ελάττωση) του πάχους του στρώματος διοξειδίου στην πλευρά του DLSPP μέσω μιας διαδικασίας εγχάραξης (etching). Διεξάγουμε μια παραμετρική ανάλυση συναρτήσει των δυο σχεδιαστικών παραμέτρων, ώστε να αναγνωρίσουμε τον συνδυασμό εκείνο που οδηγεί στην καλύτερη επίδοση, δηλαδή σε αποδοτικότερη σύζευξη ή, ισοδύναμα, ελάχιστες απώλειες εισαγωγής. Αναζητούμε το βέλτιστο πλάτος κυματοδηγού πυριτίου σε τιμές μικρότερες της ονομαστικής(4 nm) και τη βέλτιστη κατακόρυφη απόσταση στην κατεύθυνση του υποβιβασμού του DLSPP ως προς τον Si-rib. Πιο συγκεκριμένα, το πλάτος του κυματοδηγού πυριτίου μεταβάλλεται από 14έως 4 nmκαιηκατακόρυφηαπόστασηαπό έως 5 nm.οιαπώλειεςεισαγωγής υπολογίζονται για κάθε συνδυασμό παραμέτρων με τη διαδικασία που περιγράφηκε στην ενότητα και τα αποτελέσματα της ανάλυσης παρουσιάζονται στο σχήμα 6.4(β). Ο συνδυασμός που οδηγεί σε αποδοτικότερη σύζευξη σημειώνεται στο σχήμα και αντιστοιχεί σε(w Si, V off )=(17 nm, 25 nm). Οιαπώλειεςεισαγωγήςσεαυτήτηνπερίπτωσηείναι 1.5 db, με την αποδοτικότητα σύζευξης να διαμορφώνεται στο 8%. Οπως περιμέναμεαπότησύγκρισητωνδύορυθμών[σχ.6.1(β),(γ)],γιατηβελτίωσητηςχωρικήςτους επικάλυψηςαπαιτείταιαφενόςμείωσητου W Si καιαφετέρουσημαντικόςυποβιβασμόςτου 12 Οιαπώλειεςδιάδοσηςτου DLSPPείναιβέβαιαγνωστέςαπότο2-Δπρόβλημαιδιοτιμώντηςδιατομής του κυματοδηγού(φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης), τιμή που έχει επιβεβαιωθεί και σε 3-Δ πρόβλημα διάδοσης ενός ομοιόμορφου τμήματος κυματοδηγού.

175 6.2. Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ράβδωσης 163 Insertion Loss (db) P in P out W Si V off (α) (γ) Si-Waveguide Width ( µ m) Vertical Offset ( µ m) Insertion Loss (db) Si-Waveguide Width ( µ m) (δ) Insertion Loss (db) (β) Vertical Offset ( µ m) Σχήμα 6.4: Διεπιφάνεια DLSPP/Si-rib κυματοδηγών: (α) Σχηματικό διάγραμμα στο οποίο σημειώνονταιοιπαράμετροι(w Si και V off )ωςπροςτιςοποίεςδιεξάγεταιηπαραμετρικήανάλυση. Η πρόσπτωση γίνεται από τη μεριά του DLSPP.(β) Απώλειες εισαγωγής(il) συναρτήσει του πλάτους W Si καιτηςκατακόρυφηςαπόστασης V off.οσυνδυασμόςγεωμετρικώνπαραμέτρωνπου οδηγείσεαποδοτικότερησύζευξησημειώνεταιμεβούλακαιαντιστοιχείσε(w Si, V off )=(17 nm, 25 nm).(γ) ILσυναρτήσει W Si γιατηβέλτιστητιμήτου V off (25 nm).(δ) ILσυναρτήσει V off γιατηβέλτιστητιμήτου W Si (17 nm). DLSPP έναντι του Si-rib κυματοδηγού. Οι ισοσταθμικές καμπύλες στο σχήμα 6.4(β) παρέχουν μια εικόνα των κατασκευαστικών ανοχών. Ειδικότερα, μια αρκετά μεγάλη περιοχή παραμέτρων γύρω από το βέλτιστο σημείο εξασφαλίζει απώλειες εισαγωγής καλύτερες του 1.5 db, δηλαδή επιδείνωση σε σχέση με τη βέλτιστη περίπτωση μικρότερη του.5 db. Για την ακριβέστερη διερεύνηση της επίδρασης των δυο σχεδιαστικών παραμέτρων, στη συνέχεια, απεικονίζουμε τις απώλειες εισαγωγής συναρτήσει της κάθε μίας παραμέτρου χωριστά, κρατώντας την έτερη στη βέλτιστή της τιμή. Ετσι, μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε τις κατασκευαστικές ανοχές γύρω από τις βέλτιστες τιμές. Στο σχήμα 6.4(γ) παρουσιάζονταιοιαπώλειεςεισαγωγήςσυναρτήσειτουπλάτους W Si μετηνκατακόρυφη απόσταση να κρατείται σταθερά στη βέλτιστη τιμή της(25 nm). Για τιμές πλάτους στο εύρος nm οι απώλειες σύζευξης παραμένουν καλύτερες του 1.5 db. Φαίνεται δηλαδή ότι η εξάρτηση των απωλειών γύρω από τη βέλτιστη τιμή πλάτους είναι ασθενής και άρα οι κατασκευαστικές ανοχές μεγάλες. Στην περίπτωση που αφήναμε το πλάτος στην ονομαστικήτουτιμή(4 nm),οιαπώλειεςεισαγωγήςθαπροέκυπτανίσεςμε 2 db,δηλαδή μεγαλύτερες κατά 1 db σε σχέση με τη βέλτιστη περίπτωση. Σημειώνουμε επίσης ότι η απότομη αύξηση των απωλειών εισαγωγής για πλάτη μικρότερα από 145 nm σχετίζεται μετηναποκοπήτου TM Si rib ρυθμού. Κατά αντίστοιχο τρόπο, το σχήμα 6.4(δ) απεικονίζει τις απώλειες εισαγωγής συναρτήσειτηςαπόστασης V off κρατώνταςτοπλάτος W Si αυτήτηφοράστηβέλτιστητιμήτου (17 nm). Διαπιστώνουμε και πάλι ότι οι κατασκευαστικές ανοχές είναι μεγάλες. Ειδικό-

176 Insertion Loss (db) 164 Κεφάλαιο 6 1 Overlap Integral.5 d Distance From Interface d ( µ m) Σχήμα 6.5: Ολοκλήρωμα επικάλυψης[εξ.(6.2)] και απώλειες εισαγωγής κατά μήκος του κυματοδηγούεξόδου.τοπλάτος W Si έχειαφεθείστηνονομαστικήτουτιμή(4 nm)καιοικυματοδηγοίβρίσκονταιστοίδιοεπίπεδο(v off = ).Τοολοκλήρωμαεπικάλυψηςχρειάζεταιπερισσότερα από 5 μm για να προσεγγίσει τη μονάδα καθώς οι ρυθμοί ακτινοβολίας σταδιακά χάνουν μέρος της ισχύος που μεταφέρουν. Παρόλα αυτά, με τη διαδικασία της παραγράφου ο υπολογισμός των απωλειών σύζευξης μπορεί να εκτελεστεί ακόμη και.5 μm μετά τη διεπιφάνεια. τερα, οι απώλειες εισαγωγής διατηρούνται καλύτερες του 1.5 db για τιμές κατακόρυφης απόστασης στο εύρος nm. Στην περίπτωση που δεν μετατοπίσουμε κατακόρυφα τους δύο κυματοδηγούς, οι απώλειες προκύπτουν αυξημένες κατά 2 db. Η ποινή δηλαδή που θα επέφερε η αμέλεια της κατακόρυφης μετατόπισης είναι μεγαλύτερη της αντίστοιχης ποινής που συσχετίζεται με την προσαρμογή του πλάτους. Τέλος, σημειώνουμε ότι η παρατηρούμενη ασυνέχεια στις απώλειες σύζευξης για τιμή κατακόρυφης απόστασης 6 nm, όσο δηλαδή και το πάχος της μεταλλικής ταινίας του DLSPP, σχετίζεται με τη συνεισφορά του κατώτερου μέρους του Si-rib ρυθμού στη σύζευξη, το οποίο μέχρι εκείνο το σημείο σκιαζόταν από τη μεταλλική ταινία. Οπως ήδη αναφέρθηκε στην παράγραφο , με τη διαδικασία που εμπλέκει τον υ- πολογισμό ενός ολοκληρώματος επικάλυψης[εξ.(6.2)-(6.3)] μπορούμε να προσδιορίσουμε σωστά την αποδοτικότητα σύζευξης μεταξύ των δύο βασικών TM ρυθμών, ακόμα και αν μέρος της ισχύος στον κυματοδηγό εξόδου μεταφέρεται από ρυθμούς ακτινοβολίας. Αυτό επιβεβαιώνεται και από το σχήμα 6.5, στο οποίο απεικονίζεται το ολοκλήρωμα επικάλυψης καθώς και οι απώλειες εισαγωγής κατά μήκος του κυματοδηγού εξόδου. Το πλάτος W Si έχειστηναφεθείονομαστικήτουτιμή(4 nm)καιοικυματοδηγοίβρίσκονταιστο ίδιοεπίπεδο(v off = ).Ηχωρικήπροσαρμογήτωνδύορυθμώνγιααυτόντονσυνδυασμό γεωμετρικών παραμέτρων δεν είναι ιδιαίτερα καλή, με συνέπεια σημαντικό μέρος της προσπίπτουσας ισχύος να συζευγνύεται με μεταδιδόμενους ρυθμούς ακτινοβολίας και οι απώλειες εισαγωγής να διαμορφώνονται στα 2.7 db[βλ. σχήμα 6.4(β)]. Το ολοκλήρωμα επικάλυψης χρειάζεται περισσότερα από 5 μm για να προσεγγίσει τη μονάδα, καθώς οι ρυθμοί ακτινοβολίας σταδιακά χάνουν μέρος της ισχύος που μεταφέρουν διαρρέοντας εκτός υπολογιστικού χώρου. Παρόλα αυτά, οι απώλειες εισαγωγής μπορούν να προσδιοριστούν με ασφάλεια ακόμα και.5 μm μετά τη διεπιφάνεια. Είναι προφανές ότι αν δεν ακολουθούσαμε τη διαδικασία της ενότητας θα έπρεπε να περιμένουμε την πλήρη εξασθένηση των ρυθμών ακτινοβολίας για να υπολογίσουμε την ισχύ εξόδου. Δηλαδή, θα αναγκαζόμασταν να συμπεριλάβουμε στην προσομοίωση κυματοδηγό εξόδου σημαντικού μήκους(> 5 μm), αυξάνοντας έτσι το υπολογιστικό κόστος.

177 6.2. Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ράβδωσης Ανάλυση σε επιμέρους μηχανισμούς απωλειών Οπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, ένα μέρος της προσπίπτουσας ισχύος που δεν καταφέρνει να συζευχθεί με τον βασικό ΤΜ ρυθμό του κυματοδηγού εξόδου, συζευγνύεται με μεταδιδόμενους ρυθμούς ακτινοβολίας. Οι ρυθμοί αυτοί παρουσιάζουν ημιτονοειδή μεταβολή κατά τις εγκάρσιες διευθύνσεις, ανακατανέμουν την ισχύ που μεταφέρουν σε όλο και μεγαλύτερη ενεργό επιφάνεια διαρρέοντας εκτός υπολογιστικού χώρου, με συνέπεια η αντίστοιχη ισχύς να χάνεται χωρίς να υπάρχει δυνατότητα ανάκτησής της ακόμη και μόλις λίγα μικρόμετρα μετά τη διεπιφάνεια. Ετσι, η σύζευξη ισχύος με τέτοιους ρυθμούς αποτελεί στην ουσία έναν μηχανισμό απωλειών. Στην παρούσα ενότητα θα εξετάσουμε άλλους δύομηχανισμούςαπωλειών: (i)τηνανάκλασηαπότηδιεπιφάνειαμετημορφήτου TM ρυθμού του κυματοδηγού εισόδου και (ii) τη σύζευξη με ρυθμούς ακμής της μεταλλικής ταινίας που διαδίδονται παράλληλα προς τη διεπιφάνεια. Ανάκλαση από τη διεπιφάνεια Είναι βέβαια αναμενόμενο ότι ένα μέρος της ισχύος πουπροσπίπτειστηδιεπιφάνειαμετημορφήτου TM ρυθμούτουκυματοδηγούεισόδουθα ανακλαστεί από αυτήν εξαιτίας της ισχυρής ασυνέχειας που θα συναντήσει. Θα επιστρέψει λοιπόν στον κυματοδηγό εισόδου με φορά διάδοσης κατά ẑ. Αυτό αποτυπώνεται στη λύσημέσωμιαςκυμάτωσηςστομέτροτωνπεδιακώνσυνιστωσώνπεριόδουίσηςμε λ g /2, χαρακτηριστικής ενός στασίμου κύματος. Από την παρατήρηση του πεδίου στη διάταξη διαπιστώνουμε ότι το μεγαλύτερο κομμάτι της ανακλώμενης ισχύος επιστρέφει με τη μορφή τουίδιουτου TM ρυθμού. 13 Μεάλλαλόγια,δενφαίνεταινασυζευγνύεταισημαντικό μέρος ισχύος με ανακλώμενους ρυθμούς ακτινοβολίας. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων επιτρέπει τον ακριβή (rigorous) υπολογισμό του συντελεστή ανάκλασης που σχετίζεται με τον βασικό ΤΜ ρυθμό, και άρα της ισχύος που αυτός μεταφέρει. Ειδικότερα, εκφράζουμε το συνολικό πεδίο στον κυματοδηγό εισόδου ωςάθροισμαπροσπίπτοντοςκαιανακλώμενωνκυμάτων 14 E(x,y,z) = E inc (x,y,z)+e ref (x,y,z) = Ae (x,y)e jβ z +R Ae (x,y)e +jβ z +(other modes), (6.5) όπου e (x,y)τοπροφίλτου TM ρυθμού, β ηαντίστοιχησταθεράδιάδοσης, Aτο πλάτοςδιέγερσηςκαι R οζητούμενοςσυντελεστήςανάκλασης. Οιλοιποίρυθμοίστην Εξ.(6.5) είναι ρυθμοί ακτινοβολίας κατά τα αρνητικά z, αφού όπως έχουμε αναφέρει δεν διεγείρονται άλλοι οδηγούμενοι ρυθμοί για κανέναν από τους δύο κυματοδηγούς. Πολλαπλασιάζοντας εξωτερικά και τα δύο μέλη της Εξ.(6.5) με το συζυγές μαγνητικό πεδίο του TM ρυθμού[h (x,y)]ώστενακάνουμεχρήσητηςσυνθήκηςορθογωνικότηταςμεταξύ δυο οποιωνδήποτε(οδηγούμενων (bound) ή μη) διαφορετικών υποστηριζόμενων ρυθμών, 13 Παρατηρώνταςτημορφήτουσυνολικούπεδίουσεδιατομέςτουκυματοδηγούεισόδουδιαπιστώνουμε ότιδεναποκλίνειαπόαυτήτου TM ρυθμούπουαρχικάεισαγάγαμε. Σεκάθεπερίπτωση,αυτόμπορεί εύκολαναεπιβεβαιωθείκαιαριθμητικάμέσωτηςεκτέλεσηςενόςολοκληρώματοςεπικάλυψηςμετον TM ρυθμό του κυματοδηγού εισόδου, κατ αντιστοιχία με την Εξ.(6.2). 14 Σεαντίθεσημεό,τισυνέβαινεστηνΕξ.(6.2)τοπροσδιοριστικό«ref»δηλώνειανακλώμενοκύμα (reflected) και όχι κύμα αναφοράς(reference). Για την ευκολότερη διάκριση μεταξύ των δυο τοποθετείται σε θέση εκθέτη αντί δείκτη.

178 166 Κεφάλαιο 6 Vertical Offset ( µ m) ( α ) ( β) Si-Waveguide Width ( µ m) R DLSPP TM.2.15 Vertical Offset ( µ m) Si-Waveguide Width ( µ m) R Si-rib TM Σχήμα 6.6: Συντελεστές ανάκλασης πεδίου(απόλυτη τιμή) για τον βασικό TM ρυθμό του κυματοδηγού εισόδου συναρτήσει των δυο σχεδιαστικών παραμέτρων. Εξετάζονται αμφότερες οι διευθύνσεις διάδοσης: (α) Πρόσπτωση από τον DLSPP κυματοδηγό και(β) πρόσπτωση από τον Si-rib κυματοδηγό. Οι τιμές διαφέρουν αρκετά για τις δύο περιπτώσεις έστω mκαι n, 15 e m (x,y) h n(x,y) ẑ dxdy =, m n, (6.6) μπορούμε να προσδιορίσουμε τον συντελεστή ανάκλασης που σχετίζεται με τον βασικό ΤΜ ρυθμό σε οποιοδήποτε σημείο του κυματοδηγού εισόδου R (z) = 1 E(x,y,z) h (x,y) ẑ dxdy e jβz e j2βz. (6.7) A e (x,y) h (x,y) ẑdxdy Προφανώς, μακριά από τη διεπιφάνεια, όταν οι όποιοι ανακλώμενοι ρυθμοί ακτινοβολίας θα έχουν πλήρως αποσβεστεί, το μέτρο του συντελεστή ανάκλασης καταλήγει σε μια σταθερή τιμή, ανεξάρτητη της z συντεταγμένης. Τότε, η εξάρτηση από τη συντεταγμένη z αφορά αποκλειστικά τη φάση του συντελεστή ανάκλασης. Στο σχήμα 6.6 απεικονίζεται το μέτρο του συντελεστή ανάκλασης πεδίου σαν συνάρτηση των σχεδιαστικών παραμέτρων για τις δύο διευθύνσεις διάδοσης. Οταν το φως προσπίπτει στη διεπιφάνεια από τον DLSPP κυματοδηγό, οι συντελεστές ανάκλασης κυμαίνονται από.125 έως.27, σχήμα 6.6(α). Αυτό σημαίνει ότι περίπου % της προσπίπτουσας ισχύος(ανάλογα με τον συνδυασμό γεωμετρικών παραμέτρων) επιστρέφει στον κυματοδηγό 15 Παρατηρείστεότιχρησιμοποιούμετονορισμότηςορθογωνικότηταςμεχρήσητουσυζυγούςπεδίου. Ο ορισμός αυτός ισχύει αυστηρά για κυματοδηγούς άνευ απωλειών[26], κάτι που παραβιάζεται στην περίπτωση του DLSPP. Παρόλα αυτά, έχουμε ελέγξει ότι ο εν λόγω ορισμός συνεχίζει να ικανοποιείται μεπάραπολύκαλήακρίβειακαιστηνπερίπτωσητου DLSPP,γεγονόςπουαποδίδεταιστοότιτοπεδίο πολύ λίγο εισχωρεί στο υλικό με απώλειες, δηλαδή τη μεταλλική ταινία. Η μόνη περίπτωση κυματοδηγού στην οποία διαπιστώσαμε ότι ο κλασικός ορισμός της ορθογωνικότητας με χρήση του συζυγούς πεδίου τίθεται σε αμφισβήτηση, είναι η περίπτωση κλειστού ορθογωνικού κυματοδηγού με ισχυρές απώλειες στο διηλεκτρικό πλήρωσης, όταν δηλαδή η οδήγηση λαμβάνει χώρα στο ίδιο το υλικό με απώλειες. Τότε, οι εγκάρσιες πεδιακές συνιστώσες παύουν να είναι συμφασικές και ο ορισμός της ορθογωνικότητας πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα. Ειδικότερα, η απαραίτητη τροποποίηση αντιστοιχεί στη χρήση του ίδιου του μαγνητικού πεδίου και όχι της συζυγούς ποσότητας[26].

179 6.2. Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ράβδωσης 167 x ( α) z y 4nm E y < P x > ( β) 5nm x ( γ) z y 4nm E y <P > x ( δ) 5nm Σχήμα 6.7: Ρυθμοί ακμής στη διεπιφάνεια DLSPP και Si-rib κυματοδηγών. Η πρόσπτωση γίνεταιαπότον DLSPP.Τοπλάτος W Si έχειαφεθείστηνονομαστικήτουτιμή(4 nm)καιοι κυματοδηγοίβρίσκονταιστοίδιοεπίπεδο(v off = ).Πεπερασμένοπλάτοςταινίας:(α)Κάτοψητης δομής. Η διαδρομή που ακολουθούν οι ρυθμοί ακμής αποτυπώνεται με κόκκινα βέλη.(β) Κατανομή της E y συνιστώσας(απόλυτητιμή)σεένα xzεπίπεδο 1 nmπάνωαπότηνάνωεπιφάνειατης μεταλλικής ταινίας. Οι ρυθμοί ακμής διαδίδονται ως τη γωνία της μεταλλικής ταινίας όπου και ανακλώνται με συνέπεια τον σχηματισμό στασίμου. Άπειρο πλάτος ταινίας:(γ) Κάτοψη της δομής. Ηδιαδρομήπουακολουθούνοιρυθμοίακμήςαποτυπώνεταιμεκόκκιναβέλη.(δ)Κατανομήτης E y συνιστώσας(απόλυτη τιμή) σε ένα xz επίπεδο 1 nm πάνω από την άνω επιφάνεια της μεταλλικής ταινίας. Οι ρυθμοί ακμής οδηγούνται παράλληλα με τη διεπιφάνεια έως ότου εγκαταλείψουν τον υπολογιστικό χώρο μέσω των πλευρικών επιφανειών. εισόδουμετημορφήτουβασικούτμρυθμού.απότηνάλλη,όταντοφωςπροσπίπτειαπό την αντίθετη πλευρά, οι συντελεστές ανάκλασης είναι εν γένει μεγαλύτεροι, σχήμα 6.6(β). Με άλλα λόγια, μεγαλύτερο ποσοστό της προσπίπτουσας ισχύος(έως και 24%) επιστρέφει στον κυματοδηγό εισόδου με τη μορφή του βασικού ΤΜ ρυθμού. Οπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, στην περίπτωση που διεγείρονται ρυθμοί ακτινοβολίας σε μια διεπιφάνεια κυματοδηγών, η αμοιβαιότητα παύει να ισχύει για το μέγεθος του συντελεστή ανάκλασης. Αντίστοιχη παρατήρηση έχει γίνει και σε μια διαφορετική μελέτη σύζευξης πλασμονικού με διηλεκτρικό κυματοδηγό[34]. Ρυθμοί ακμής μεταλλικής ταινίας Από την παρατήρηση του πεδίου στη διάταξη, διαπιστώνουμε την ύπαρξη και ενός ακόμη μηχανισμού απωλειών. Ειδικότερα, πρόκειται για ρυθμούς ακμής(edge SPPs)[βλ. ενότητα 2.4.1, Σχ. 2.1(β)] που υποστηρίζονται από τη μεταλλική ταινία του DLSPP κυματοδηγού και οδηγούνται παράλληλα με τη διεπιφάνεια

180 168 Κεφάλαιο 6 Insertion Loss (db) ( α ) ( β) DLSPP2Si Si2DLSPP Si-Waveguide Width (μm) Insertion Loss (db) DLSPP2Si Si2DLSPP Vertical Offset (μm) Σχήμα 6.8: Σύγκριση των απωλειών σύζευξης για πρόσπτωση στη διεπιφάνεια από διαφορετικές διευθύνσεις. (α) ILσυναρτήσει W Si γιατηβέλτιστητιμήτου V off (25 nm). (β) ILσυναρτήσει V off γιατηβέλτιστητιμήτου W Si (17 nm). Ηαποδοτικότητασύζευξηςμεταξύδύοσυγκεκριμένων οδηγούμενων ρυθμών των απευθείας συζευγμένων κυματοδηγών είναι αμοιβαία ποσότητα. Οι μικρές διαφορές που παρατηρούνται(<.2 db) αποδίδονται στην πεπερασμένη ακρίβεια των αποτελεσμάτων της αριθμητικής μεθόδου. (σχήμα 6.7). Στην περίπτωση πεπερασμένου πλάτους ταινίας[σχ. 6.7(α),(β)] οι ρυθμοί ακμής ανακλώνται από τη γωνία της μεταλλικής ταινίας με αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας έντονηςκυμάτωσηςπουυποδηλώνειστάσιμο,σχήμα6.7(β). 16 Ηδιαδρομήπουακολουθούν οιρυθμοίακμήςαποτυπώνεταιμεκόκκιναβέληστοσχήμα6.7(α).απότηνάλλη,ανθεωρήσουμε άπειρο πλάτος ταινίας[σχ. 6.7(γ),(δ)] οι ρυθμοί ακμής οδηγούνται παράλληλα με τη διεπιφάνεια έως ότου εγκαταλείψουν τον υπολογιστικό χώρο από τις πλευρικές επιφάνειες, σχήμα 6.7(δ). Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος του πεδίου δεν εμφανίζει κυμάτωση καθώς ο ρυθμός ακμής δεν υφίσταται ανάκλαση. Σαν ένα παράδειγμα ανάλυσης των απωλειών εισαγωγής στους επιμέρους μηχανισμούς απωλειών, εξετάζουμε την βέλτιστη περίπτωση που αντιστοιχεί στον συνδυασμό παραμέτρων (W Si, V off )=(17 nm, 25 nm)θεωρώνταςπρόσπτωσηαπότον DLSPP.Ηαποδοτικότητα σύζευξης είναι 8% με το 2% της ισχύος που προσπίπτει στη διεπιφάνεια να χάνεται μέσω των προαναφερθέντων μηχανισμών απωλειών. Ειδικότερα, το 4% της προσπίπτουσας ισχύοςεπιστρέφειστονκυματοδηγόεισόδουμετημορφήτου TM ρυθμού(οσυντελεστής ανάκλασης της Εξ. 6.7 είναι.2) και το υπόλοιπο 16% συζευγνύεται με μεταδιδόμενους ρυθμούς ακτινοβολίας. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση που εξετάζουμε, η σύζευξη με ανακλώμενους ρυθμούς ακτινοβολίας είναι αμελητέα, όπως και η σύζευξη με ρυθμούς ακμής της μεταλλικής ταινίας Αμοιβαιότητα απωλειών σύζευξης Οπως έχουμε ήδη αναφέρει, η αποδοτικότητα σύζευξης μεταξύ δύο συγκεκριμένων οδηγούμενων ρυθμών των απευθείας συζευγμένων κυματοδηγών είναι αμοιβαία ποσότητα[33]. Δεν εξαρτάται, δηλαδή, από τη διεύθυνση πρόσπτωσης στη διεπιφάνεια. Αυτό εξακολουθεί να ισχύει ακόμα και όταν περισσότεροι οδηγούμενοι ρυθμοί, ή ακόμα και ρυθμοί ακτινοβολίας, διεγείρονται στη διεπιφάνεια, όπως συμβαίνει στην υπό μελέτη περίπτωση. Προς 16 Μετηνίδιαλογική,κανείςδιαπιστώνειότιλόγωανάκλασηςαπότηδιεπιφάνειαμετημορφήτου TM ρυθμού σχηματίζεται στάσιμο στον κυματοδηγό εισόδου, ενώ αντιθέτως το κύμα στον κυματοδηγό εξόδου είναι πλήρως οδηγούμενο.

181 6.3. Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ταινίας 169 ( α) Silicon Silica 4nm 34nm ~ 2μm y-coordinate ( μ m) y ( β) x Si-wire TM E y n eff = x-coordinate ( μm) y x ( γ) Si-rib TM E y n eff = x-coordinate ( μm) Σχήμα 6.9: SOI κυματοδηγός ταινίας:(α) Διατομή κυματοδηγού και γεωμετρικές διαστάσεις. Το πάχος του στρώματος διοξειδίου δεν είναι σε κλίμακα.(β) Προφίλ βασικού ΤΜ ρυθμού. Απεικονίζεταιτομέτροτηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου(E y ). (γ)προφίλβασικού ΤΜ ρυθμού του κυματοδηγού ράβδωσης. Για την ονομαστική τιμή πλάτους(4 nm), οι ρυθμοί των δυο παραλλαγών του SOI κυματοδηγού ελάχιστα διαφοροποιούνται. επιβεβαίωση του παραπάνω ισχυρισμού, στο σχήμα 6.8 συγκρίνονται οι απώλειες εισαγωγής για πρόσπτωση από διαφορετικές διευθύνσεις. Οι μικρές διαφορές που παρατηρούνται (<.2 db) αποδίδονται στην πεπερασμένη ακρίβεια των αποτελεσμάτων της αριθμητικής μεθόδου. Τέλος, υπενθυμίζουμε ότι στην περίπτωση που εξετάζουμε άλλα μεγέθη, όπως ο συντελεστής ανάκλασης, δεν είναι αμοιβαία[βλ. σχήμα 6.6]. 6.3 Σύζευξη με SOI κυματοδηγό ταινίας SOI κυματοδηγός ταινίας Στη συνέχεια, εξετάζουμε τη σύζευξη του DLSPP με έναν λίγο διαφορετικό SOI κυματοδηγό. Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για τον κυματοδηγό ταινίας(silicon wire ή Si-wire waveguide), σχήμα 6.9(α). Οι διαστάσεις του πυρήνα είναι ίδιες με αυτές του κυματοδηγού ράβδωσηςτηςενότητας6.2.1(4 nm 34 nm).ημόνηδιαφοράέγκειταιστηναπουσία παραμένοντοςστρώματοςπυριτίου (slab).γιατοονομαστικόπλάτοςτων 4 nmοτμ ρυθμός του Si-wire κυματοδηγού απεικονίζεται στο σχήμα 6.9(β). Συγκρίνοντας με τον αντίστοιχο ρυθμό του κυματοδηγού ράβδωσης, ο οποίος απεικονίζεται εκ νέου στο σχήμα 6.9(γ)γιαευκολία,κανείςδιαπιστώνειότιηκατανομήτης E y συνιστώσαςδενδιαφοροποιείται σημαντικά, κάτι αναμενόμενο άλλωστε λόγω του μικρού ύψους του slab(5 nm) που υιοθετήσαμε. Η ομοιότητα των κατανομών αποτυπώνεται και στους αντίστοιχους ε- νεργούς δείκτες διάθλασης, οι οποίοι διαφέρουν στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. Επομένως, κανείς αναμένει πως και η αντίστοιχη αποδοτικότητα σύζευξης με τον DLSPP κυματοδηγό θα παρακολουθεί στενά την περίπτωση του κυματοδηγού ράβδωσης, τουλάχιστον για την περίπτωση ονομαστικού πλάτους Διεπιφάνεια DLSPP/Si-wire κυματοδηγών Για την ανάλυση της διεπιφάνειας μεταξύ DLSPP και Si-wire κυματοδηγών[σχ. 6.1(α)] ακολουθούμε μια πορεία αντίστοιχη με αυτήν που ακολουθήθηκε για τον κυματοδηγό ράβδωσης. Ως βασικές παράμετροι στο σχεδιασμό χρησιμοποιούνται και πάλι η μείωση του πλάτους του κυματοδηγού πυριτίου στη διεπιφάνεια και ο υποβιβασμός του DLSPP έναντι

182 17 Κεφάλαιο 6 Insertion Loss (db) Insertion Loss (db) P in (γ) W Si Wire Rib (α) P out V off Si-Waveguide Width ( µ m) Vertical Offset ( µ m) Insertion Loss (db) Si-Waveguide Width ( µ m) (δ) (β) -3 Wire Rib Vertical Offset ( µ m) Σχήμα 6.1: Διεπιφάνεια DLSPP/Si-wire κυματοδηγών:(α) Σχηματικό διάγραμμα στο οποίο σημειώνονταιοιπαράμετροι(w Si και V off )ωςπροςτιςοποίεςδιεξάγεταιηπαραμετρικήανάλυση. Η πρόσπτωση γίνεται από τη μεριά του DLSPP.(β) Απώλειες εισαγωγής(il) συναρτήσει του πλάτους(w Si )καιτηςκατακόρυφηςαπόστασης(v off ). Οσυνδυασμόςγεωμετρικώνπαραμέτρων πουοδηγείσεαποδοτικότερησύζευξησημειώνεταιμεβούλακαιαντιστοιχεί σε(w Si, V off )= (18 nm, 25 nm). (γ) ILσυναρτήσει W Si γιατηβέλτιστητιμήτου V off (25 nm). (δ) IL συναρτήσει V off γιατηβέλτιστητιμήτου W Si (18 nm). του Si-wire κυματοδηγού. Υπενθυμίζουμε ότι οι επεμβάσεις αυτές σκοπό έχουν τη βελτίωση της χωρικής επικάλυψης των δύο υποστηριζόμενων ρυθμών. Οπως και στην προηγούμενη του Si-rib, αρχικά διεξάγεται μια παραμετρική ανάλυση συναρτήσει των δύο σχεδιαστικών παραμέτρων με σκοπό την εύρεση του συνδυασμού που οδηγεί στην καλύτερη επίδοση. Οι απώλειες εισαγωγής υπολογίζονται με τη μεθοδολογία που παρουσιάστηκε στην παράγραφο Σύμφωναμετοσχήμα6.1(β),τοβέλτιστοσημείοστον W Si V off χώροείναιτο(w Si, V off )=(18nm, 25nm).Οιαντίστοιχεςαπώλειεςεισαγωγήςπροκύπτουνίσεςμε.7dB και αντιστοιχούν σε αποδοτικότητα σύζευξης 85%. Συγκριτικά με την περίπτωση του κυματοδηγού ράβδωσης, παρατηρούμε μια βελτίωση της τάξης των.35 db, την οποία θα διερευνήσουμε στην αμέσως επόμενη παράγραφο. Οι ισοσταθμικές καμπύλες στο σχήμα 6.1(β) παρέχουν μια εικόνα των ανοχών γύρω από το βέλτιστο σημείο. Με σκοπό την ποσοτικοποίησή τους, παρουσιάζουμε τις απώλειες εισαγωγής συναρτήσει της κάθε μίας παραμέτρου χωριστά, κρατώντας την έτερη στη βέλτιστή της τιμή. Στο σχήμα 6.1(γ) παρουσιάζονταιοιαπώλειεςεισαγωγήςσυναρτήσειτουπλάτους W Si μετηνκατακόρυφη απόσταση να κρατείται σταθερά στη βέλτιστη τιμή της(25 nm). Οι απώλειες εισαγωγής διατηρούνται καλύτερες του 1.5 db για τιμές πλάτους έως 28 nm, ενδεικτικό των μεγάλωνκατασκευαστικώνανοχών.στηνπερίπτωσηπουαφήναμετοπλάτος W Si στηνονομαστική του τιμή, οι απώλειες εισαγωγής θα προέκυπταν ίσες με 2 db, δηλαδή μεγαλύτερες

183 6.4. Σύγκριση με μετρήσεις απωλειών σύζευξης 171 y-coordinate ( μ m) ( α) 17nm Si-wire TM E y y-coordinate ( μ m) y y x n eff = x n eff = x-coordinate ( μm) x-coordinate ( μm) ( β) 17nm Si-rib TM E y Σχήμα6.11: Μέτρο E y συνιστώσαςγιατιςδύοπαραλλαγέςτουκυματοδηγούπυριτίουόταν το πλάτος είναι 17 nm: (α) Κυματοδηγός ταινίας και(β) Κυματοδηγός ράβδωσης. Η κατανομή διαφοροποιείται σημαντικά στην περίπτωση μικρού πλάτους, κάτι που αποτυπώνεται και στους ενεργούς δείκτες διάθλασης. κατά 1.3 dbσεσχέσημετηβέλτιστηπερίπτωση.κατάανάλογοτρόπο,τοσχήμα6.1(δ) απεικονίζειτιςαπώλειεςεισαγωγήςσυναρτήσειτηςαπόστασης V off,μετοπλάτος W Si να διατηρείται αυτή τη φορά σταθερό στη βέλτιστη τιμή του(18 nm). Οι κατασκευαστικές ανοχές είναι και πάλι μεγάλες. Ειδικότερα, οι απώλειες εισαγωγής διατηρούνται καλύτερες του 1.5 dbγιατιμέςκατακόρυφηςαπόστασηςστοέυρος 1 43 nm.εάναφήσουμε τουςδύοκυματοδηγούςστοίδιοεπίπεδο(v off = ),οιαπώλειεςπροκύπτουναυξημένες κατά 1.4 db. Στα σχήματα 6.1(γ),(δ) συμπεριλαμβάνονται και οι καμπύλες απωλειών που αντιστοιχούν σε κυματοδηγό ράβδωσης με πανομοιότυπες γεωμετρικές παραμέτρους προς διευκόλυνση της σύγκρισης μεταξύ των δύο παραλλαγών του SOI κυματοδηγού. Παρατηρώντας προσεκτικά το σχήμα 6.1(γ), κανείς διαπιστώνει ότι για την ονομαστική τιμή πλάτους οι απώλειες σύζευξης προκύπτουν ίσες με 2 db για αμφότερες τις παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου. Το παραπάνω επιβεβαιώνει τη διαπίστωση που είχαμε κάνει σχετικά με την ομοιότητα των ρυθμών των δύο κυματοδηγών[βλ. σχήμα 6.9(β),(γ)]. Αντιθέτως, για μικρά πλάτη(< 3 nm) ο Si-wire υπερτερεί του Si-rib κυματοδηγού, με τη βελτίωση να είναι μεγαλύτερη όσο το πλάτος μειώνεται. Για τις περιπτώσεις μικρού πλάτους η ύπαρξη παραμένοντος στρώματος πυριτίου, έστω και τόσο μικρού ύψους, έχει σημαντική επίδραση στην κατανομή των πεδιακών συνιστωσών. Αυτό μπορεί να επιβεβαιωθεί και από το σχήμα 6.11, όπου συγκρίνονται οι βασικοί ΤΜ ρυθμοί για τις δύο παραλλαγές του κυματοδηγούπυριτίουστηνπερίπτωση W Si = 17 nm. Πράγματι,ηκατανομήδιαφοροποιείται σημαντικά στην περίπτωση αυτή, γεγονός που αποτυπώνεται και στους ενεργούς δείκτες διάθλασης, οι οποίοι διαφέρουν πια στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο. 6.4 Σύγκριση με μετρήσεις απωλειών σύζευξης Στην παρούσα ενότητα, συγκρίνουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα με μετρήσεις που πραγματοποιήθηκαν σε δείγματα που συμπεριλαμβάνουν DLSPP-SOI διεπιφάνειες με κυματοδηγούς ταινίας αλλά και ράβδωσης. Η διαδικασία κατασκευής των δειγμάτων περιγράφεται αναλυτικά στην εργασία[176] και συνίσταται στον σχηματισμό των επιμέρους στοιχείων της δομής(κυματοδηγοί πυριτίου, κοιλότητα για την υποδοχή του DLSPP κυματοδηγού, μεταλλικές ταινίες, λωρίδες PMMA) με τεχνικές λιθογραφίας, δέσμης ηλεκτρονίων (Electron Beam Lithography, EBL) και φωτολιθογραφίας, καθώς και εγχάραξης με χρήση υγρού διαλύματος (wet chemical etching).

184 172 Κεφάλαιο 6 ( α ) ( β) Σχήμα 6.12: Ευθύγραμμο τμήμα DLSPP κυματοδηγού συζευγμένο στα δύο του άκρα με κυματοδηγούς πυριτίου. (α) Εικόνα μικροσκοπίου σάρωσης δέσμης ηλεκτρονίων. (β) Εικόνα οπτικού μικροσκοπίου. Διακρίνεται η εσοχή(recess cavity) που υποδέχεται τον DLSPP και εξασφαλίζει την απαραίτητη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ κυματοδηγών. Παρατηρείστε, επίσης, το μικρό πλάτος του κυματοδηγού πυριτίου, αποτέλεσμα της αδιαβατικής προσαρμογής πριν τη διεπιφάνεια. Οικωνικέςδομέςαποτελούνσυνέχειατου PMMAπυρήνατου DLSPPκαισκοπόέχουνναμετριάσουν τις καταστροφικές συνέπειες πιθανών οριζόντιων μετατοπίσεων μεταξύ των αξόνων των κυματοδηγών. Η λήψη των εικόνων μικροσκοπίας πραγματοποιήθηκε από τις συνεργαζόμενες ερευνητικές ομάδες των πανεπιστημίων της Βουργουνδίας(University of Burgundy, UB) και Νότιας Δανίας(University of Southern Denmark, SDU), αντίστοιχα[176]. Στο σχήμα 6.12 παρουσιάζονται τυπικές εικόνες μικροσκοπίου για ένα ευθύγραμμο τμήμα DLSPP κυματοδηγού συζευγμένο σε αμφότερες τις άκρες του με κυματοδηγούς πυριτίου. Οι εικόνες έχουν ληφθεί με σαρωτικό μικροσκόπιο δέσμης ηλεκτρονίων(scanning Electron Microscope, SEM)[6.12(α)] και οπτικό μικροσκόπιο[6.12(β)], αντίστοιχα. Για τη μέτρηση του δείγματος οι κυματοδηγοί πυριτίου συζευγνύονται με οπτικές ίνες διατηρούμενης πόλωσης (Polarization Maintaining Fiber, PMF). Μετρώντας τις συνολικές απώλειες και αφαιρώντας τις απώλειες διάδοσης στους κυματοδηγούς, καθώς και τις απώλειες σύζευξης μεταξύ κυματοδηγών πυριτίου και οπτικών ινών, προσδιορίζονται οι απώλειες εισαγωγής που αντιστοιχούν στην DLSPP-SOI διεπιφάνεια. Στο σχήμα 6.12 κανείς μπορεί να διακρίνει την κοιλότητα(recess cavity) που υποδέχεται τον DLSPP και παρέχει την απαραίτητη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δύο κυματοδηγών, σύμφωνα με τα θεωρητικά αποτελέσματα των ενοτήτων 6.2 και 6.3. Σημειώνουμε, επίσης, το μικρό πλάτος των κυματοδηγών πυριτίου, αποτέλεσμα της αδιαβατικής προσαρμογής του πλάτους πριν τη διεπιφάνεια. Παρατηρείστε, τέλος, ότι σε κάποιες από τις διεπιφάνειες η μεταλλική ταινία δεν εφάπτεται με τον κυματοδηγό πυριτίου, συνέπεια κατασκευαστικών περιορισμών. Η επίδραση που έχει αυτό το μεταλλικό διάκενο στις απώλειες εισαγωγής θα εξεταστεί λεπτομερώς στην ενότητα Δείγματα με κυματοδηγούς ταινίας Οι ονομαστικές τιμές των σχεδιαστικών παραμέτρων στα δείγματα που εμπλέκουν κυματοδηγούςταινίαςείναι(w Si, V off )=(175 nm, 2 nm). Εναπαράδειγματέτοιουδείγματος παρουσιάστηκε στο σχήμα 6.12(α). Μολονότι υπάρχουν μεταλλικά διάκενα και στις δύο DLSPP-SOI διεπιφάνειες, η οριζόντια ευθυγράμμιση των κυματοδηγών είναι ιδιαίτερα καλή, με αποτέλεσμα να αναμένεται τελικά ικανοποιητική σύζευξη. Δυστυχώς, η μέτρηση του συγκεκριμένου δείγματος δεν κατέστη δυνατή λόγω αδυναμίας σύζευξης των κυματοδηγών πυριτίου με οπτική ίνα. Αυτό οφείλεται στην κακή ποιότητα των οριακών επιφανειών των

185 6.4. Σύγκριση με μετρήσεις απωλειών σύζευξης 173 ( α) ( β) Input #1 Input #2 Sample with Si-wire Waveguide 1 µm ( γ) Output #1 Output #2 In terfacing & DLSPP L oss (db) Samples with Si-rib Waveguides (δ) Measured Data Linear Fit: y = -.1x DLSPP Waveguide Length ( µ m) Σχήμα 6.13: Μετρήσεις απωλειών σύζευξης DLSPP-SOI διεπιφάνειας. Δείγματα με κυματοδηγούς ταινίας Εικόνες οπτικού μικροσκοπίου: (α) Φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού βασισμένο στον DLSPP και συζευγμένο με Si-wire κυματοδηγούς σε όλες τις θύρες. Τα όρια των κυματοδηγών πυριτίου είναι καλής ποιότητας με συνέπεια την αποτελεσματική σύζευξη με ο- πτική ίνα.(β) Ιχνος διαδιδόμενου φωτός με διεύθυνση από αριστερά προς δεξιά. Διακρίνονται τα ηλεκτρόδια για τη θέρμανση του φίλτρου. (γ) Οριο του υβριδικού DLSPP-SOI επίπεδου κυκλώματος όπου φαίνεται καθαρό ίχνος φωτός. Στα δεξιά διακρίνεται και η ίνα εξόδου. Οι απώλειες εισαγωγής προσδιορίστηκαν στο 1.5 db ανά διεπιφάνεια. Δείγματα με κυματοδηγούς ράβδωσης (δ) Μετρήσεις απωλειών εισαγωγής για τα εννέα δείγματα που περιλαμβάνουν DLSPP/Si-rib διεπιφάνειες. Πρόκειται για ευθύγραμμα τμήματα DLSPP κυματοδηγού μεταβλητού μήκους συζευγμένα στις δυο άκρες τους με Si-rib κυματοδηγούς. Οι απώλειες διάδοσης προκύπτουν ίσες με.1 db/μm και οι απώλειες σύζευξης κυμαίνονται μεταξύ 2 και 4.5 db, ανάλογα με το δείγμα. Οι μετρήσεις για τα δείγματα με κυματοδηγούς ταινίας και ράβδωσης ελήφθησαν στο πανεπιστήμιο της Νότιας Δανίας και το Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, αντίστοιχα, από τις συνεργαζόμενες ερευνητικές ομάδες[176]. κυματοδηγών πυριτίου, όπως αυτές προέκυψαν από τη διαδικασία κοπής (cleaving) του ε- πίπεδου κυκλώματος. Η τεχνική που χρησιμοποιήθηκε για τη σύζευξη των κυματοδηγών πυριτίουμεοπτικήίναείναιηαπευθείαςσύζευξη. Γιατονσκοπό,αυτόμιαοπτικήίνα με αδιαβατική μείωση της διαμέτρου της (lensed fiber) ευθυγραμμίζεται όσο το δυνατόν καλύτερα με τον Si-wire κυματοδηγό. Η αδιαβατική μείωση αποσκοπεί στη βελτίωση της χωρικής προσαρμογή των δύο ρυθμών, καθώς αρχικά οι φυσικές διαστάσεις των κυματοδηγών,καιωςεκτούτουκαιαυτέςτωναντίστοιχωνρυθμών,είναιασύμβατες.ηενλόγω τεχνική είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στην ποιότητα των οριακών επιφανειών του κυματοδηγού πυριτίου. Στην περίπτωση που η διατομή εμφανίζει μεγάλη τραχύτητα, φαινόμενα σκέδασης αποτρέπουν την επίτευξη αποτελεσματικής σύζευξης. Η μέτρηση πραγματοποιήθηκε τελικά σε δείγμα που περιλαμβάνει φίλτρο προσθήκηςαπόρριψης καναλιού αντί για ευθύγραμμο τμήμα DLSPP κυματοδηγού(σχήμα 6.13), καθώς σε αυτό η ποιότητα των οριακών επιφανειών ήταν καλή, εξασφαλίζοντας αποδοτική σύζευξη των κυματοδηγών πυριτίου με τις οπτικές ίνες. Η απόσταση μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγών προέκυψε μεγαλύτερη της ονομαστικής(3 nm) με αποτέλεσμα ο συντονιστής να είναι πρακτικά ασύζευκτος με τον κυματοδηγό. Αυτό επιβεβαιώθηκε και από την παρατήρηση της συχνοτικής απόκρισης του δείγματος, στην οποία απουσιάζει οποιαδήποτε ένδειξη συντονισμού. Ετσι, αναφορικά με το DLSPP κομμάτι, μόνο οι απώλειες διάδοσης στο μήκος του κυματοδηγού(2 μm) πρέπει να ληφθούν υπόψη. Στο σχήμα 6.13(β),(γ)

186 174 Κεφάλαιο 6 απεικονίζεται το ίχνος του σκεδαζόμενου στα τοιχώματα του κυματοδηγού φωτός, το οποίο και αποκαλύπτει τη διαδρομή που αυτό ακολουθεί στο δείγμα. Η διεύθυνση διάδοσης είναι απόαριστεράπροςδεξιά. Τοίχνοςχάνεταιμετάτηνδιέλευσητουφωτόςαπότο DLSPP κομμάτι λόγω την απωλειών(σύζευξης και διάδοσης) που αυτό υφίσταται. Παρόλα αυτά, η φωτεινή κουκκίδα στο τέλους του κυματοδηγού εξόδου[σχήμα 6.13(γ)] επιβεβαιώνει ότι το φως όντως καταφέρνει να διασχίσει το δείγμα. Στα δεξιά της κουκκίδας κανείς μπορεί να διακρίνει την ίνα εξόδου με την αδιαβατική μείωση της διαμέτρου της. Αρχικά, μετρήθηκε ένα κύκλωμα αναφοράς στο οποίο δεν υπάρχει DLSPP κομμάτι. Οι συνολικές απώλειες(από την οπτική πηγή έως τον μετρητή ισχύος) βρέθηκαν ίσες με 45 db.απότηνάλλη,οισυνολικέςαπώλειεςγιατουβριδικό DLSPP-SOIκύκλωμαμετο φίλτρο προσθήκης-απόρριψης καναλιού προέκυψαν ίσες με 5 db. Συνεπώς, οι απώλειες που σχετίζονται με το DLSPP κομμάτι(σύζευξης και διάδοσης) διαμορφώνονται στα 5 db. Αφαιρώνταςτιςαπώλειεςδιάδοσηςτου DLSPP(2μm.1 db/μm = 2 db)οιαπώλειες σύζευξηςανάδιεπιφάνειαπροκύπτουνίσεςμε 1.5 db.ητιμήαυτήείναιμόνονκατάτι αυξημένησεσχέσημετηνπρόβλεψητηςθεωρίας,γεγονόςπουπουμπορείμεασφάλειανα αποδοθεί στην ύπαρξη μεταλλικού διακένου στην περιοχή της διεπιφάνειας. Η επιβεβαίωση αυτού του ισχυρισμού θα πρέπει να περιμένει μέχρι την ενότητα Δείγματα με κυματοδηγούς ράβδωσης Στη συνέχεια, εξετάζεται η συμφωνία θεωρίας και πειράματος για δείγματα που περιλαμβάνουν κυματοδηγούς ράβδωσης. Οπως και στην περίπτωση των κυματοδηγών ταινίας, οιονομαστικέςτιμέςτωνσχεδιαστικώνπαραμέτρωνλαμβάνονταιίσεςμε(w Si, V off )= (175 nm, 2 nm).σταδείγματααυτάόμωςησύζευξημεοπτικήίναγίνεταιμετηβοήθεια ζευκτών φράγματος παράθλασης. Ετσι, η αυστηρή απαίτηση για οριακές επιφάνειες καλής ποιότητας αίρεται. Κατέστη λοιπόν δυνατή η λήψη μετρήσεων για ένα πλήθος δειγμάτων. Ειδικότερα, μετρήθηκαν εννέα συνολικά δείγματα που περιλαμβάνουν ευθύγραμμα τμήματα DLSPP κυματοδηγού μήκους 6, 8 και 1 μm. Το μεταβλήτο μήκος επιτρέπει τον ακριβή προσδιορισμό των απωλειών διάδοσης του DLSPP κυματοδηγού (cut-back technique). Μετά την αφαίρεση των λοιπών απωλειών, οι απώλειες που σχετίζονται με το DLSPP κομμάτι παρουσιάζονται στο σχήμα 6.13(δ). Οι τιμές αυτές περιλαμβάνουν τις απώλειες σύζευξης στις δύο DLSPP-SOI διεπιφάνειες καθώς και τις απώλειες διάδοσης στα μήκη του DLSPP κυματοδηγού. Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτει η ευθεία γραμμή που αντιπροσωπεύει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα (least squares fitting). Η κλίση της ευθείας αυτής(.1 db/μm) επιβεβαιώνει την τιμή που αναμένουμε από τη θεωρία για τις απώλειες διάδοσης. Ετσι, είμαστε σε θέση να αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες απώλειες, ανάλογα και με το μήκος του εκάστοτε τμήματος, καταλήγοντας σε απώλειες σύζευξης ανά διεπιφάνειαμεταξύ 2και 4.5 db,μεμέσητιμή 3.2 dbκαιτυπικήαπόκλιση.85 db. Οπως και στην περίπτωση των κυματοδηγών ταινίας, οι απώλειες προκύπτουν αυξημένες σεσχέσημετηνπρόβλεψητηςθεωρίας.ωστόσο,τογεγονόςαυτόμπορείναεξηγηθείαπό την παρουσία των μεταλλικών διακένων στις διεπιφάνειες. Η μεγάλη διασπορά των τιμών μπορεί ακόμη να οφείλεται και στο επίπεδο της οριζόντιας ευθυγράμμισης που επιτυγχάνεται μεταξύ DLSPP και Si-rib κυματοδηγών σε κάθε περίπτωση. Η επίδραση τέτοιων οριζόντιων μετατοπίσεων θα διερευνηθεί λεπτομερώς στην ενότητα 6.6. Συνοψίζοντας, όπως και στη θεωρητική μελέτη, οι κυματοδηγοί ταινίας υπερτερούν των κυματοδηγών ράβδωσης. Οι ελαφρώς αυξημένες απώλειες εισαγωγής σε σχέση με τα

187 6.5. DLSPP-SOI διεπιφάνεια με μεταλλικό διάκενο 175 L gap ( α ) ( β) H off Σχήμα 6.14: SEM εικόνες με τα δύο είδη παρατηρούμενων κατασκευαστικών ατελειών:(α) Οριζόντια μετατόπιση των αξόνων DLSPP και SOI κυματοδηγών και(β) Διαμήκες κενό στη μεταλλική ταινία του DLSPP. Η λήψη των εικόνων μικροσκοπίας πραγματοποιήθηκε από τη συνεργαζόμενη ερευνητική ομάδα του πανεπιστημίου της Βουργουνδίας. x y z W Si 6nm 6nm 34nm V off 5nm 3μm PMMA Gold Silica Silicon 2μm BOX x y z L gap ( α ) ( β) Σχήμα 6.15: Σχηματικά διαγράμματα της διεπιφάνειας DLSPP/Si-rib κυματοδηγών με μεταλλικόδιάκενομήκους L gap :(α)προοπτικάκαι(β)σετομή. θεωρητικά αποτελέσματα αποδίδονται σε διάφορες κατασκευαστικές ατέλειες. Ειδικότερα, από την επισκόπηση των δειγμάτων με τεχνικές μικροσκοπίας παρατηρούνται δύο κυρίαρχες ατέλειες: (i) μια οριζόντια μετατόπιση (horizontal offset) των αξόνων των κυματοδηγών και (ii) ένα διαμήκες κενό στο μεταλλικό υπόστρωμα του DLSPP στη θέση της διεπιφάνειας. Τα δύο είδη ατελειών απεικονίζονται στις SEM εικόνες του σχήματος Σκοπός των επόμενων ενοτήτων(6.5 και 6.6) είναι ακριβώς η διερεύνηση της επίδρασης αυτών των ατελειών στην αποδοτικότητα σύζευξης. 6.5 DLSPP-SOI διεπιφάνεια με μεταλλικό διάκενο Στην παρούσα ενότητα εξετάζουμε αν το παρατηρούμενο στα κατασκευασμένα δείγματα μεταλλικό διάκενο[σχήμα 6.14(β)] είναι ικανό να εξηγήσει τις αυξημένες απώλειες εισαγωγής που μετρώνται πειραματικά σε σχέση με τις αρχικές προβλέψεις της θεωρίας. Η δομή που θα εξετάσουμε φαίνεται στο σχήμα 6.15 για την περίπτωση κυματοδηγού ράβδωσης. Παρατηρείστε ότι η μεταλλική ταινία δεν φτάνει μέχρι τη διεπιφάνεια παρά διακόπτεται σε απόσταση L gap απόαυτήν. Η επίδραση του μεταλλικού διακένου στις απώλειες σύζευξης παρουσιάζεται στο σχήμα

188 176 Κεφάλαιο 6 Insertion Loss (db) nm 25nm L gap Si-rib Metal Gap Length ( µ m) ( α) Insertion Loss (db) nm 25nm L gap Si-wire Metal Gap Length ( µ m) ( β) Σχήμα 6.16: Απώλειεςσύζευξηςσυναρτήσειτουμήκουςμεταλλικούδιακένου L gap. Εξετάζονται και οι δύο παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου: (α) Κυματοδηγός ράβδωσης και(β) κυματοδηγόςταινίας. Γιατηνκάθεπερίπτωσηοισχεδιαστικέςπαράμετροι(W Si, V off )λαμβάνουν τις βέλτιστες τιμές τους, όπως φαίνεται στα ένθετα σχήματα για αμφότερες τις παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου. Οι σχεδιαστικές παράμετροι λαμβάνουν τις βέλτιστες τιμές τους, όπως αυτές προσδιορίστηκαν στις ενότητες 6.2 και 6.3, καιτο L gap μεταβάλλεταιαπό έως 2μm. Ηύπαρξητουμεταλλικούδιακένουαυξάνει τιςαπώλειεςσύζευξηςκαθώςοtm ρυθμόςτου DLSPPπροσπαθείναπροσαρμοστεί διαδοχικά σε δύο νέες διατομές. Ετσι, μέρος της ισχύος του ανακλάται, ενώ κάποιο άλλο χάνεται κατά την προσαρμογή των πεδιακών συνιστωσών σε κάθε μία από αυτές. Επιπλέον, το ίδιο το μήκος του διακένου φαίνεται να έχει σημαντική επίδραση στις απώλειες σύζευξης. Σε πρώτη ανάγνωση αυτό μπορεί να μοιάζει περίεργο, καθώς κατά μήκος του διακένου δεν υπάρχει μεταλλικό υπόστρωμα που να εισάγει απώλειες διάδοσης. Πάρα ταύτα, με μια προσεκτικότερη ματιά κανείς διαπιστώνει ότι η εξάρτηση των απωλειών εισαγωγής από το μήκος του διακένου κάθε άλλο παρά έκπληξη αποτελεί. Ο κυματοδηγός που σχηματίζεται με τη διακοπή της μεταλλικής ταινίας και αποτελείται από πυρήνα PMMA διαστάσεων 5 nm 66 nm πάνω σε υπόστρωμα διοξειδίου του πυριτίου δεν υποστηρίζει οδηγούμενο ρυθμό. Καθότι αμιγώς διηλεκτρικός κυματοδηγός, η ικανότητά του να συγκεντρώνει το φως περιορίζεται από το όριο παράθλασης. Ετσι, δεδομένης της ασθενούς αντίθεσης μεταξύ των εμπλεκόμενων δεικτών διάθλασης(ειδικά συγκριτικά με το υπόστρωμα ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα είναι μόνον κατά τι μεγαλύτερος), απαιτούνται(αρκετά) μεγαλύτερες διαστάσεις πυρήνα για να προκύψει οδηγούμενος ρυθμός συγκεντρωμένος στο πολυμερές. Ως αποτέλεσμα, καθώς το πεδίο διαδίδεται κατά μήκος του διακένου οι πεδιακές συνιστώσες θα απλώνουν στον χώρο προς αμφότερες τις εγκάρσιες διευθύνσεις και η ισχύς θα ανακατανέμεται σε μια όλο και μεγαλύτερη ενεργό επιφάνεια. Συνεπώς, κατά τη σύζευξη με τον κυματοδηγό πυριτίου, η αποδοτικότητα θα είναι ιδιαίτερα περιορισμένη καθώς ο κυματοδηγός πυριτίου δύναται να συλλέξει ένα μέρος μόνο της προσπίπτουσας ισχύος, ανάλογο της ενεργού επιφανείας του δικού του ρυθμού. Η συμπεριφορά αυτή μπορεί να παραβληθεί με τη σύζευξη μεταξύ κεραιών στον ελεύθερο χώρο, η οποία και περιγράφεται από τον γνωστό τύπο του Friis. Στο σχήμα 6.17 απεικονίζεται η εξέλιξη του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του μεταλλικούδιακένου.πιοσυγκεκριμένα,απεικονίζεταιτομέτροτης E y συνιστώσαςσε xyεπίπεδα πουαπέχουναπόσταση d =.2,.5και 1μmαπότοσημείοδιακοπήςτηςμεταλλικής ταινίας. Στην προσομοίωση δεν ακολουθεί κυματοδηγός πυριτίου, ώστε να αποφευχθούν

189 6.5. DLSPP-SOI διεπιφάνεια με μεταλλικό διάκενο 177 E y PMMA Gold Silica Silicon 1μm d =. 5μm E y E y 5nm 66nm 1μm d = 1μm 1μm x d =.2μm y z d E y ( α) 1μm d < E y PMMA Gold Silica Silicon 1μm d =. 5μm E y E y 5nm 66nm 1μm d = 1μm 1μm x d =.2μm y z d E y ( β) 1μm d < Σχήμα 6.17: Εξέλιξη του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του τμήματος κυματοδηγού που σχηματίζεταιαπότηδιακοπήτηςμεταλλικήςταινίας. Απεικονίζεταιτομέτροτης E y συνιστώσαςσε xyεπίπεδαπουαπέχουναπόσταση d =.2,.5και 1μmαπότοσημείοδιακοπής.Δενακολουθεί κυματοδηγός πυριτίου ώστε να αποφευχθούν ανακλάσεις από τη διεπιφάνεια που δυσχεραίνουν την παρατήρηση της εξέλιξης του πεδίου.(α) Η κάθε μια από τις τρεις κατανομές κανονικοποιείται με βάσητοδικότηςμέγιστοώστεναείναιευδιάκριτηηθέσητουμεγίστουσεκάθεεπίπεδο. Παρατηρείστετηνανύψωσητουσημείουμέγιστου E y απότηνοητήάνωεπιφάνειατηςμεταλλικής ταινίας καθώς και τη διεύρυνση της χωρικής έκτασης ως προς αμφότερους τους εγκάρσιους άξονες. (β) Οι κατανομές κανονικοποιούνται με βάση κοινή τιμή αναφοράς. Παρατηρείστε τη μείωση της έντασης του μεγίστου σε διαδοχικά επίπεδα, καθώς η ισχύς ανακατανέμεται σε μεγαλύτερη ενεργό επιφάνεια.

190 178 Κεφάλαιο 6 Mode Peak Elevation h ( µ m) <P > z E y E P z h E Distance Into Gap d ( µ m) h E y h Effective Area ( µ m 2 ) E 1µm E 1µm Distance Into Gap d ( µ m) ( α ) ( β) Σχήμα 6.18: (α) Ανύψωση του πεδίου συγκριτικά με το νοητό άνω επίπεδο της μεταλλικής ταινίας κατά μήκος του μεταλλικού διακένου. Η μέγιστη ανύψωση παρατηρείται για απόσταση d.5μmκαιείναιτηςτάξηςτων 2 nm.γιαμεγαλύτερεςαποστάσειςτοπεδίοδιαρρέεικατά κύριο λόγο στο υπόστρωμα με αποτέλεσμα η ανύψωση να παρουσιάζει πτωτική συμπεριφορά. (β) Ενεργός επιφάνεια[εξ.(6.8)] κατά μήκος του μεταλλικού διακένου. Μετά τη διακοπή της ταινίας ητιμήτηςαυξάνειαπότα.5μm 2 καισεδιαμήκηαπόσταση d =.5μmλαμβάνειτιμή 1.8μm 2. ανακλάσεις από τη διεπιφάνεια που δυσχεραίνουν την παρατήρηση της εξέλιξης του πεδίου. Στο σχήμα 6.17(α) η κάθε μια από τις εικονιζόμενες κατανομές κανονικοποιείται με βάση το δικό της μέγιστο, ώστε να είναι ευδιάκριτη η θέση του αντίστοιχου μεγίστου. Παρατηρείστε την ανύψωση (elevation) του μεγίστου από τη νοητή άνω επιφάνεια της μεταλλικής ταινίας καθώς και τη διεύρυνση της χωρικής έκτασης ως προς αμφότερους τους εγκάρσιους άξονες. Από την άλλη, στο σχήμα 6.17(β) οι κατανομές κανονικοποιούνται με κοινή τιμή αναφοράς: το μέγιστο του DLSPP ρυθμού. Ετσι, γίνεται αντιληπτή η μείωση της έντασης του μεγίστου σε διαδοχικά επίπεδα, καθώς η ισχύς ανακατανέμεται σε μεγαλύτερη ενεργό επιφάνεια και άρα η πυκνότητα ισχύος ελαττώνεται. Η ανύψωση του μεγίστου καθώς και η διεύρυνση του πεδίου κατά μήκος του μεταλλικού διακένου ποσοτικοποιούνται στο σχήμα Ειδικότερα, στο σχήμα 6.18(α) σχεδιάζουμε την ανύψωση του πεδίου από τη νοητή άνω επιφάνεια της μεταλλικής ταινίας, h, συναρτήσειτηςδιαμήκουςαπόστασηςαπότοσημείοδιακοπήςτης, d. 17 Ηεξέλιξητουμεγίστου παρακολουθείταιγιαταμεγέθητης E y συνιστώσας,τουμέτρουτουηλεκτρικούπεδίου, E,καιτηςπυκνότηταςοδηγούμενηςισχύος, < P z >. Στηναπουσίατηςδιεπιφάνειας μετάλλου/πολυμερούς, το πεδίο απομακρύνεται από τη βάση του πολυμερούς και τείνει να καταλάβειτοκέντροτου. Ημέγιστηανύψωσηπαρατηρείταισεαπόσταση d.5μmκαι είναιτηςτάξηςτων 2 nm.ειδικότερα,γιατηνπερίπτωσητης E y συνιστώσας,ημέγιστη ανύψωση είναι 225 nm, πράγμα που σημαίνει ότι το μέγιστο του ρυθμού βρίσκεται σε από- 17 Οπροσεκτικόςαναγνώστηςθαπαρατηρήσειβέβαιαότιηκαμπύλητουσχήματος6.18(α)δενμπορεί να προκύψει με συναρτήσεις βάσης πρώτης τάξης. Με στοιχεία πρώτης τάξης, η τάξη προσέγγισης της E y συνιστώσαςκατάτονάξονα yείναιμηδενική (mixed order principle). Ετσι,ηκαμπύληανύψωσηςθα λάμβανεβηματικήμορφή.τοίδιοθασυνέβαινεκαιμεδεύτερηςτάξηςστοιχεία,γιαταοποίαητάξηπροσέγγισηςτης E y συνιστώσαςκατάτονάξονα yείναιγραμμική,μεαποτέλεσματομέγιστονατοποθετείται αναγκαστικά στα όρια μεταξύ στοιχείων. Κατά συνέπεια, για τη σωστή αποτύπωση της ανύψωσης απαιτούνται στοιχεία τρίτης ή μεγαλύτερης τάξης, τα οποία και επιτρέπουν την τοποθέτηση του μεγίστου στο εσωτερικό του στοιχείου. Τρίτης τάξης στοιχεία χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων που απεικονίζονται στα σχήματα 6.17 και 6.18.

191 6.5. DLSPP-SOI διεπιφάνεια με μεταλλικό διάκενο 179 σταση 285 nmαπότουπόστρωμαδιοξειδίουτουπυριτίου,τιμήαρκετάκοντάστα 33 nm που θα αποτελούσαν το κέντρο του πολυμερούς. Για αποστάσεις μεγαλύτερες του.5 μm, το πεδίο χάνει τελείως τη συγκέντρωσή του, διαρρέει κατά κύριο λόγο στο υπόστρωμα λόγω της ασθενέστερης αντίθεσης δεικτών διάθλασης που αντιλαμβάνεται, με συνέπεια η ανύψωση να παρουσιάζει πτωτική συμπεριφορά[σχ. 6.18(α)]. Στο σχήμα 6.18(β) απεικονίζεται η εξέλιξη της ενεργού επιφανείας του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει της απόστασης από το σημείο διακοπής της μεταλλικής ταινίας. Η ενεργός επιφάνειαυπολογίζεταιμέσωτης 18 ( E 2 dxdy A eff = E 4 dxdy ) 2, (6.8) και αποτελεί ένα μέτρο της χωρικής έκτασης της πεδιακής κατανομής. Η τιμή της για τον βασικότμρυθμότου DLSPPείναι.5μm 2,όπωςφαίνεταιστοσχήμα6.18(β)γιαd <. Με τη διακοπή της μεταλλικής ταινίας η ενεργός επιφάνεια αυξάνει καθώς ο κυματοδηγός που σχηματίζεται δεν υποστηρίζει οδηγούμενο ρυθμό. Για διαμήκη απόσταση d =.5 μm λαμβάνειτιμή 1.8μm 2,ενώγια d = 1.5μmξεπερνάτα 3μm 2. Επιστρέφονταςστοσχήμα6.16παρατηρούμεότιγιαμιατυπικήτιμή L gap =.5μm οι απώλειες εισαγωγής διαμορφώνονται στα 2.95 και 2.35 db για SOI κυματοδηγό ράβδωσης και ταινίας, αντίστοιχα. Δηλαδή, αναφορικά με την περίπτωση επαφής DLSPP και SOI κυματοδηγών, οι απώλειες αυξάνουν κατά 1.9 db και 1.65 db, αντίστοιχα. Σημειώστε επίσης ότι η ανωτερότητα του Si-wire είναι πιο σημαντική σε αυτή την περίπτωση. Ειδικότερα, ο Si-wire υπερτερεί του Si-rib κυματοδηγού κατά.6 db, έναντι των.35 db της περίπτωσης επαφής. Το παραπάνω είναι σύμφωνο με την παρατήρηση ότι για μικρά πλάτη W Si ο TM ρυθμόςτουκυματοδηγούταινίαςείναιλιγότεροσυγκεντρωμένοςαπόαυτόν του κυματοδηγού ράβδωσης, όπως μαρτυρούν οι αντίστοιχοι ενεργοί δείκτες διάθλασης [Σχ.6.11]. Καθώςτοδιαμήκεςκενόαυξάνειπέρααπότα.5μmοιαπώλειεςσύζευξης γίνονται ιδιαίτερα υψηλές. Στην οριακή περίπτωση των 2 μm οι απώλειες διαμορφώνονται στα 8 db, για αμφότερες τις παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου. Το παραπάνω είναι αποτέλεσμα, όπως είπαμε, της σημαντικής διεύρυνσης των πεδιακών συνιστωσών και της συνεπακόλουθης ανακατανομής της ισχύος σε μεγαλύτερη ενεργό επιφάνεια[βλ. σχήμα 6.18]. Τέλος, σημειώνουμε ότι η ελαφριά κυμάτωση που παρατηρείται στις καμπύλες απωλειών αποδίδεται στην Fabry-Pérot κοιλότητα που σχηματίζεται[σχ. 6.15(α)]. Το μικρό βάθος της κυμάτωσης σχετίζεται με τη πολύ μικρή ανακλαστικότητα που απαντάται στη διεπιφάνεια της κοιλότητας με τον DLSPP. Αν τώρα αποδώσουμε το σύνολο της διαφοράς μεταξύ πειραματικών και θεωρητικών αποτελεσμάτων στην ύπαρξη μεταλλικού διακένου, οι μετρούμενες τιμές, 3.2 db για Sirib(μέσητιμή)και 1.5 dbγια Si-wire,επαληθεύονταιγιαμήκη L gap 56και 25 nm, αντίστοιχα(σχ. 6.16). Οι τιμές αυτές διακένου είναι πράγματι κοντά στις παρατηρούμενες. 18 Ηποσότηταεντόςτουμέτρουείναιέναδιάνυσμαμεμιγαδικέςσυνιστώσες. Τομέτρογιαμιατέτοια ποσότητααποκαλείταιl 2 -normκαιορίζεταιως ẋ = ( i x i 2) 1/2,όπουητελείαδηλώνειμιγαδικόμέγεθος και x i τομιγαδικόμέτρο (complex modulus)της iσυνιστώσας.εναλλακτικά,τομέτροστοτετράγωνο μπορείναιδωθείωςέναγενικευμένομέτρομιγαδικούμεορισμό ẋ 2 ẋ ẋ.οιδύοπροσεγγίσειςείναι, προφανώς, ισοδύναμες.

192 18 Κεφάλαιο 6 Insertion Loss (db) P in P out W Si V off.5μm (α) -2 (γ) Si-Waveguide Width ( µ m) Vertical Offset ( µ m) Insertion Loss (db) Si-Waveguide Width ( µ m) -2 (δ) -3-4 Insertion Loss (db) (β) Vertical Offset ( µ m) Σχήμα 6.19: Διεπιφάνεια DLSPP/Si-rib κυματοδηγών με μεταλλικό διάκενο μήκους.5 μm: (α)σχηματικόδιάγραμμαστοοποίοσημειώνονταιοιπαράμετροι(w Si και V off )ωςπροςτιςοποίες διεξάγεται η παραμετρική ανάλυση. Η πρόσπτωση γίνεται από τη μεριά του DLSPP.(β) Απώλειες εισαγωγής(il)συναρτήσειτουπλάτους(w Si )καιτηςκατακόρυφηςαπόστασης(v off ).Οσυνδυασμός γεωμετρικών παραμέτρων που οδηγεί σε αποδοτικότερη σύζευξη σημειώνεται με βούλα και αντιστοιχείσε(w Si, V off )=(16 nm, 3 nm).(γ) ILσυναρτήσει W Si γιατηβέλτιστητιμήτου V off (3 nm).(δ) ILσυναρτήσει V off γιατηβέλτιστητιμήτου W Si (16 nm). Υπενθυμίζουμε, ωστόσο, ότι υπάρχει και μια ακόμη ατέλεια στα κατασκευασμένα δείγματα, η οριζόντια μετατόπιση των αξόνων των κυματοδηγών[σχ. 6.14(α)], της οποίας η επίδραση στην αποδοτικότητα σύζευξης θα μελετηθεί σε επόμενη ενότητα Κυματοδηγός ράβδωσης Στην περίπτωση που η επαφή της μεταλλικής ταινίας με τη διεπιφάνεια δεν είναι δυνατή λόγω κατασκευαστικών περιορισμών, κρίνεται σκόπιμη η επανασχεδίαση της διεπιφάνειας για μια συγκεκριμένη τιμή μεταλλικού διακένου, ή οποία και θα εμπίπτει εντός των ορίων των κατασκευαστικών δυνατοτήτων. Ετσι, μολονότι η παρουσία του διακένου, οσοδήποτε μικρού, θα οδηγεί σε επιδείνωση της αποδοτικότητας σύζευξης(σχ. 6.16), τουλάχιστον με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζεται η δυνατότητα επίτευξης της ονομαστικής τιμής και η επαναληψιμότητα της διαδικασίας, αφού το μήκος του διακένου ορίζεται εξ αρχής παρά προκύπτει ως το τυχαίο αποτέλεσμα της πεπερασμένης αναλυτικότητας της διαδικασίας κατασκευής. Επιπλέον, καθώς οι σχεδιαστικές παράμετροι επαναπροσδιορίζονται με σκοπό τη βέλτιστη επίδοση για συγκεκριμένη τιμή διακένου, αναμένουμε μικρότερη επιδείνωση της αποδοτικότητας σύζευξης αναφορικά με την περίπτωση επαφής. Θέτουμε λοιπόν την τιμή του διακένου στα.5 μm και αναζητούμε τις βέλτιστες τιμές των σχεδιαστικών παραμέτρων. Η εν λόγω διαδικασία επαναλαμβάνεται και για τον κυματοδηγό ταινίας. Η διεπιφάνεια DLSPP/Si-rib κυματοδηγών με διαμήκες κενό στο μεταλλικό υπόστρωμα

193 6.5. DLSPP-SOI διεπιφάνεια με μεταλλικό διάκενο 181 του DLSPP απεικονίζεται στο σχήμα 6.19(α). Η παραμετρική ανάλυση συναρτήσει των δυο σχεδιαστικώνπαραμέτρωναποκαλύπτειότιτοβέλτιστοσημείοστον W Si V off χώροείναι το(w Si, V off )=(16 nm, 3 nm)[σχ.6.19(β)]. Οιαντίστοιχεςαπώλειεςεισαγωγής είναι 2.85 db(η = 52%). Οπως και με την περίπτωση άνευ μεταλλικού διακένου, οι ανοχές γύρω από το βέλτιστο σημείο είναι μεγάλες. Αυτό αποτυπώνεται στις ισοσταθμικές καμπύλες του σχήματος 6.19(β) και ακόμη καθαρότερα στα σχήματα 6.19(γ),(δ), στα οποία χαράσσονται οι καμπύλες των απωλειών εισαγωγής συναρτήσει της κάθε μιας παραμέτρου χωριστά, κρατώντας την έτερη στη βέλτιστή της τιμή. Ειδικότερα, για πλάτη στο εύρος nm,οιαπώλειεςπαραμένουνκαλύτερεςαπό 3.2 db.συγκριτικάμετην ονομαστική τιμή πλάτους, η βέλτιστη τιμή οδηγεί σε βελτίωση 1.4 db. Παρομοίως, για κατακόρυφες αποστάσεις στο εύρος nm η αποδοτικότητα σύζευξης επιδεινώνεται κατά.5 db ή λιγότερο. Σε αυτή την περίπτωση, οι επιπλέον απώλειες στην περίπτωση που οιδυοκυματοδηγοίαφεθούνστοίδιοεπίπεδο(v off = )είναι 1.6 db.αξίζεινασημειώσουμε ότι, σε αντίθεση με την περίπτωση άνευ μεταλλικού διακένου, εδώ δεν παρατηρείται ασυνέχειαγιατιμήαπόστασηςίσηςμετούψοςμεταλλικήςταινίας(6 nm),καθώςημεταλλική ταινία δεν έρχεται σε επαφή με τον κυματοδηγό πυριτίου με αποτέλεσμα τη σκίαση του κατώτερου μέρους του αντίστοιχου ρυθμού[πρβ. σχήμα 6.4(δ)]. Κανείς παρατηρεί ότι ο βέλτιστος συνδυασμός παραμέτρων διαφοροποιείται αναφορικά με την ιδανική περίπτωση επαφής των δύο κυματοδηγών. Αυτό οφείλεται στην εξέλιξη των πεδιακών συνιστωσών κατά τη διάδοση στο μεταλλικό διάκενο. Οπως έχουμε ήδη σχολιάσει,κατάτηδιάσχισητουδιακένουηθέσητουμεγίστουτης E y συνιστώσαςανυψώνεται από τη νοητή άνω επιφάνεια της μεταλλικής ταινίας, καθώς ο ρυθμός παύει να είναι πλασμονικός και άρα δέσμιος της διεπιφάνειας μετάλλου/πολυμερούς[βλ. σχήμα 6.18(α)]. Κατά συνέπεια, η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ ρυθμών στο τέλος του διακένου θα είναι μικρότερη αυτής που προσδιορίζεται αρχικά μεταξύ κυματοδηγών. Ετσι, για την αντιστάθμιση αυτήςτηςσυμπεριφοράςαπαιτείταιμεγαλύτερητιμήκατακόρυφηςαπόστασης V off (3αντί για 25 nm). 19 Τοδιαφορετικόβέλτιστοπλάτοςοφείλεταιμετησειράτουστηδιεύρυνση των πεδιακών συνιστωσών κατά τον οριζόντιο άξονα[βλ. σχήμα 6.18(β)]. Το πλάτος του Si-rib κυματοδηγού στη διεπιφάνεια πρέπει να είναι μικρότερο, ώστε να εξωθήσει τον αντίστοιχο ρυθμό να καταλάβει μεγαλύτερη ενεργό επιφάνεια και άρα να ταιριάξει καλύτερα με την πεδιακή κατανομή στο τέλος του διακένου. Αμοιβαιότητα Η αμοιβαιότητα της αποδοτικότητας σύζευξης επιβεβαιώνεται και στην περίπτωση της διεπιφάνειας με μεταλλικό διάκενο. Στο σχήμα 6.2 παρουσιάζονται οι α- πώλειες εισαγωγής συναρτήσει των δύο σχεδιαστικών παραμέτρων για αμφότερες τις διευθύνσεις διάδοσης. Οπως και στην περίπτωση επαφής των δύο κυματοδηγών, η μέγιστη απόκλιση μεταξύ των δύο διευθύνσεων είναι μικρότερη των.2 db, κάτι που μπορεί με ασφάλεια να αποδοθεί στην ακρίβεια της υπολογιστικής μεθόδου. Φαίνεται λοιπόν ότι η αμοιβαιότητα της αποδοτικότητας σύζευξης μεταξύ συγκεκριμένων οδηγούμενων ρυθμών δεν περιορίζεται στην περίπτωση σημειακής διεπιφάνειας. Γενικεύοντας, θα λέγαμε ότι ό- ταν δύο κυματοδηγοί διασυνδέονται μέσω ενός αμοιβαίου κυκλώματος, η αποδοτικότητα 19 Σύμφωναμετοσχήμα6.18(α)ηανύψωσηείναιτηςτάξηςτων2 nm,σημαντικάμεγαλύτερηαπότη διαφοράστοβέλτιστο V off (5 nm).εκτόςαπότημετατόπισητουσημείομεγίστου,σημαντικήείναικαιη μεταβολή της μορφής του ρυθμού. Ειδικότερα, κατά τη διάδοση στο διάκενο ο ρυθμός«συμμετρικοποιείται» καθώς δεν υπάρχει μεταλλική ταινία που να αποτρέπει τη διείσδυσή του στο υπόστρωμα[βλ. σχήμα 6.17(α)]. Ηφαινομενικήαναντιστοιχίαμεταξύτηςανύψωσηςκαιτηςδιαφοράςστοβέλτιστο V off είναιαποτέλεσμα ακριβώς αυτής της αλλαγής στη μορφή της πεδιακής κατανομής.

194 182 Κεφάλαιο 6 Insertion Loss (db) ( α ) ( β) DLSPP2Si Si2DLSPP Si-Waveguide Width (μm) Insertion Loss (db) DLSPP2Si Si2DLSPP Vertical Offset (μm) Σχήμα 6.2: Σύγκριση απωλειών σύζευξης για πρόσπτωση στη διεπιφάνεια με μεταλλικό διάκενοαπόδιαφορετικέςδιευθύνσεις.(α) ILσυναρτήσει W Si γιατηβέλτιστητιμήτου V off (3 nm). (β) ILσυναρτήσει V off γιατηβέλτιστητιμήτου W Si (16 nm). Οιμικρέςδιαφορέςπουπαρατηρούνται(<.2 db) αποδίδονται στην πεπερασμένη ακρίβεια των αποτελεσμάτων της αριθμητικής μεθόδου. σύζευξης μεταξύ δύο συγκεκριμένων οδηγούμενων ρυθμών είναι αμοιβαία. Απεναντίας, το μέγεθος της συνολικής οδηγούμενης ισχύος δεν είναι απαραιτήτως αμοιβαίο[33, 35]. Οπως είδαμε στην ενότητα και άλλα μεγέθη, όπως αυτό του συντελεστή ανάκλασης, παύουν επίσης να είναι αμοιβαία Κυματοδηγός ταινίας Η διαδικασία της επανασχεδίασης της διεπιφάνειας για συγκεκριμένη τιμή διακένου επαναλαμβάνεται και για την περίπτωση κυματοδηγού ταινίας. Η τιμή του διακένου επιλέγεται ίση με.5μmκαιαναζητούνταιοιβέλτιστεςπαράμετροιστον W Si V off χώρο[σχ.6.21(α)]. Τα αποτελέσματα της παραμετρικής ανάλυσης[σχ. 6.21(β)] καταδεικνύουν ότι το βέλτιστο σημείοείναιτο(w Si, V off )=(16 nm, 35 nm)μεαπώλειεςεισαγωγής 2.1 db.καιγια την περίπτωση μεταλλικού διακένου ο κυματοδηγός ταινίας υπερτερεί του κυματοδηγού ράβδωσης(κατά.75 db). Επιπλέον, όπως και με την περίπτωση του κυματοδηγού ράβδωσης, οι βέλτιστες τιμές των σχεδιαστικών παραμέτρων διαφοροποιούνται από τις τιμές που προσδιορίστηκανγια L gap = (βλ.ενότητα6.2),γεγονόςπουοφείλεταιστηνεξέλιξητουπεδίου στο μεταλλικό διάκενο. Η συμπεριφορά αυτή είναι πλήρως αναμενόμενη και σχολιάστηκε λεπτομερώς στην προηγούμενη ενότητα. Επιπλέον, η επανασχεδίαση της διεπιφάνειας για τιμή διακένου.5 μm έχει αποφέρει βελτίωση των απωλειών εισαγωγής κατά.25 db συγκριτικά με την περίπτωση που οι παράμετροι λαμβάνουν τις τιμές που προσδιορίστηκαν για την περίπτωση επαφής των δύο κυματοδηγών[βλ. σχήμα 6.16(β)]. Οι απώλειες εισαγωγής συναρτήσει των δύο σχεδιαστικών παραμέτρων απεικονίζονται στα σχήματα 6.21(γ) και 6.21(δ). Και στα δύο σχήματα συμπεριλαμβάνονται καμπύλες που αντιστοιχούν σε Si-rib κυματοδηγό με πανομοιότυπες γεωμετρικές παραμέτρους, με σκοπό τη διευκόλυνση της σύγκρισης. Αναλυτικότερα, στο σχήμα 6.21(γ) σχεδιάζονται οιαπώλειεςεισαγωγήςσυναρτήσειτουπλάτους W Si μετηνκατακόρυφηαπόσταση V off να λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή της(35 nm). Οπως είχαμε σημειώσει πρωτύτερα, για την ονομαστική τιμή πλάτους οι δυο παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου οδηγούν σε παραπλήσια αποδοτικότητα σύζευξης. Αντιθέτως, αυτό δεν ισχύει για μικρότερα πλάτη. Η εξάρτηση τωναπωλειώνεισαγωγήςαπότηνκατακόρυφηαπόσταση V off όταντοπλάτος W Si λαμβάνει

195 6.5. DLSPP-SOI διεπιφάνεια με μεταλλικό διάκενο 183 Insertion Loss (db) (γ) P in W Si (α) P out.5μm V off Wire Rib Si-Waveguide Width ( µ m) Vertical Offset ( µ m) Insertion Loss (db) Insertion Loss (db) (β) Si-Waveguide Width ( µ m) (δ) -4 Wire Rib Vertical Offset ( µ m) Σχήμα6.21: Διεπιφάνεια DLSPP/Si-wireκυματοδηγώνμεμεταλλικόδιάκενομήκους L gap =.5μm.(α)Σχηματικόδιάγραμμαστοοποίοσημειώνονταιοιπαράμετροι(W Si και V off )ωςπροςτις οποίες διεξάγεται η παραμετρική ανάλυση. Η πρόσπτωση γίνεται από τη μεριά του DLSPP.(β) Α- πώλειεςεισαγωγής(il)συναρτήσειτουπλάτους(w Si )καιτηςκατακόρυφηςαπόστασης(v off ). Ο συνδυασμός γεωμετρικών παραμέτρων που οδηγεί σε αποδοτικότερη σύζευξη σημειώνεται με βούλακαιαντιστοιχείσε(w Si, V off )=(16 nm, 35 nm).(γ) ILσυναρτήσει W Si γιατηβέλτιστη τιμήτου V off (35 nm).(δ) ILσυναρτήσει V off γιατηβέλτιστητιμήτου W Si (16 nm).συμπεριλαμβάνονται καμπύλες και για Si-rib κυματοδηγό με πανομοιότυπες γεωμετρικές παραμέτρους με σκοπό τη διευκόλυνση της σύγκρισης. τηβέλτιστητιμήτου(16 nm)απεικονίζεταιμετησειράτηςστοσχήμα6.21(δ). Είναι φανερό ότι για τέτοια τιμή πλάτους ο κυματοδηγός ταινίας υπερτερεί σημαντικά του κυματοδηγού ράβδωσης. Οι ανοχές γύρω από το βέλτιστο σημείο είναι μεγάλες με την απώλεια σύζευξης να επιδεινώνεται κατά.5 db ή λιγότερο στο εύρος κατακόρυφων αποστάσεων 2 5 nm. Εχοντας ολοκληρώσει τη σχεδίαση της διεπιφάνειας για την περίπτωση μεταλλικού διακένου μήκους.5 μm, συγκεντρώνουμε στον πίνακα 6.1 τις βέλτιστες τιμές των σχεδιαστικών παραμέτρων, όπως και τις αντίστοιχες απώλειες εισαγωγής, για τις τέσσερις περιπτώσεις που εξετάσαμε από την αρχή του κεφαλαίου, δηλαδή DLSPP-SOI διεπιφάνειες με Si-rib και Si-wireκυματοδηγούς,μεμεταλλικόδιάκενο(L gap =.5μm)ήχωρίς(L gap = ). Τέλος, εξετάζουμε κατά πόσο οι επιδόσεις που αποτυπώνονται στον πίνακα 6.1 και προέκυψαν για μήκος κύματος λειτουργίας 1.55 μm διατηρούνται για το εύρος μηκών κύματος της C ζώνης συχνοτήτων (C-band). Ειδικότερα, στο σχήμα 6.22 σχεδιάζουμε τις απώλειες εισαγωγής συναρτήσει του μήκους κύματος στο εύρος nm για τις τέσσερις περιπτώσεις που εξετάσαμε. Η διακύμανση των απωλειών στο εν λόγω εύρος δεν ξεπερνά τα.5 db για καμία από αυτές, ενδεικτικό του υψηλού εύρους ζώνης της διεπιφάνειας. Αυτό είναι και ένα επιπλέον πλεονέκτημα της απευθείας σύζευξης των κυματοδηγών που επιλέξαμε, έναντι μιας ενδεχόμενης κατευθυντικής προσέγγισης. Στη δεύτερη περίπτωση,

196 Insertion Loss (db) Insertion Loss (db) 184 Κεφάλαιο 6 Πίνακας 6.1: Βέλτιστοι συνδυασμοίσχεδιαστικών παραμέτρων(w Si, V off )καιαντίστοιχες απώλειες σύζευξης για τις τέσσερις παραλλαγές της διεπιφάνειας που εξετάσαμε. Σε παρένθεση φαίνεται η αποδοτικότητα σύζευξης. Βέλτιστο(W Si, V off )Σημείο ΑπώλειεςΣύζευξης Si-rib, L gap = (17 nm, 25 nm) 1.5 db(η = 8%) Si-rib, L gap =.5μm (16 nm, 3 nm) 2.85 db(η = 52%) Si-wire, L gap = (18 nm, 25 nm).7 db(η = 85%) Si-wire, L gap =.5μm (16 nm, 35 nm) 2.1 db(η = 62%) Insertion Loss (db) (α) Rib, no gap Rib,.5-µ m gap Wavelength ( µ m) Insertion Loss (db) (β) Wire, no gap Wire,.5-µ m gap Wavelength ( µ m) Σχήμα 6.22: Διερεύνηση εύρους ζώνης DLSPP-SOI διεπιφάνειας. Απώλειες σύζευξης συναρτήσει του μήκους κύματος στο εύρος μηκών κύματος μm. Εξετάζονται τέσσερις περιπτώσεις: (α) Σύζευξη με κυματοδηγό ράβδωσης και μεταλλικό διάκενο.5 μm ή χωρίς. (β) Σύζευξη με κυματοδηγό ταινίας και μεταλλικό διάκενο.5 μm ή χωρίς. Σε καμία από τις τέσσερις περιπτώσεις η διακύμανση δεν ξεπερνά τα.5 db. το εύρος ζώνης αναμένεται μειωμένο, αφού η διασπορά του ενεργού δείκτη διάθλασης είναι ενγένειισχυρότερηαυτήςτουπροφίλ(ή,ισοδύναμα,τηςενεργούεπιφανείας) Επίδραση οριζόντιας μετατόπισης κυματοδηγών στην αποδοτικότητα σύζευξης Ολοκληρώνοντας τη διερεύνηση της διεπιφάνειας, στην τελευταία αυτή ενότητα εξετάζουμε την επίδραση της έτερης παρατηρούμενης κατασκευαστικής ατέλειας στην αποδοτικότητα σύζευξης.ειδικότερα,πρόκειταιγιατηνοριζόντιαμετατόπιση(horizontal offset, H off )των κυματοδηγών μετρούμενη μεταξύ των αντίστοιχων αξόνων[σχ. 6.14(α)]. Οπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, οποιαδήποτε οριζόντια μετατόπιση, οσοδήποτε μικρή, θα οδηγήσει σε επιδείνωση της αποδοτικότητας σύζευξης. Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η ποσοτικο- 2 Μάλιστα,στηνπερίπτωσητηςαπευθείαςσύζευξηςείναιενγένειδυνατήηπεραιτέρωαύξησητουεύρους ζώνης, αν κάτι τέτοιο κρίνεται απαραίτητο. Ειδικότερα, από την περιοχή των Μικροκυμάτων είναι γνωστή η μέθοδος ευρυζωνικής προσαρμογής γραμμής μεταφοράς με φορτίο κάνοντας χρήση μετασχηματιστών πολλών τμημάτων. Η τεχνική αυτή έχει εφαρμοστεί με επιτυχία και στην περιοχή της πλασμονικής, και πιο συγκεκριμένα σε 2-Δ πρόβλημα σύζευξης μεταξύ MIM και SOI κυματοδηγού[34]. Σημειώνουμε, βέβαια, ότι στην εν λόγω περίπτωση η 2-Δ γεωμετρία εξασφαλίζει ότι οι εμπλεκόμενοι ρυθμοί είναι αμιγώς ΤΕ/ΤΜ και άρα οι αντίστοιχες κυματικές αντιστάσεις σταθερές και σαφώς ορισμένες.

197 6.7. Ανακεφαλαίωση 185 ( α) x z y W Si H off 5nm Insertion Loss (db) ( β) H off 17nm 25nm Si-rib (γ) H off 18nm 25nm Si-wire Horizontal Offset ( µ m) Horizontal Offset ( µ m) Σχήμα 6.23: (α) Κάτοψη της DLSPP-SOI διεπιφάνειας με οριζόντια μετατόπιση των κυματοδηγών.ηαπόσταση H off μετράταιμεταξύτωναξόνωντους.εξετάζονταικαιοιδύοπαραλλαγέςτου κυματοδηγού πυριτίου:(β) Κυματοδηγός ράβδωσης και(γ) κυματοδηγός ταινίας. Για την κάθε περίπτωση,οισχεδιαστικέςπαράμετροι(w Si, V off )λαμβάνουντιςβέλτιστεςτιμέςτουςόπωςφαίνεται στα ένθετα σχήματα. Οριζόντια μετατόπιση.2 μm αντιστοιχεί σε επιδείνωση της αποδοτικότητας σύζευξηςκατά 1 db,ενώμετατόπιση.4μmσεεπιδείνωσηκατά 3 db. ποίησή της. Στο σχήμα 6.23(α) απεικονίζεται η κάτοψη της δομής που προσομοιώνουμε, για την περίπτωση SOI κυματοδηγού ταινίας. Ο κυματοδηγός πυριτίου έχει μετατοπιστεί απόσταση H off κατάτη ˆxδιεύθυνση. Σημειώνουμε,βέβαια,ότιηφοράτηςμετατόπισης δεν έχει σημασία η ύπαρξη(αντι-)συμμετρίας για τις πεδιακές συνιστώσες των εμπλεκόμενων ρυθμών με αναφορά τους άξονες των κυματοδηγών υποδηλώνει ότι η διεύθυνση της μετατόπισης δεν μπορεί να αλλάζει το αποτέλεσμα. Στο σχήμα 6.23(β),(γ) χαράσσονται οι καμπύλες απωλειών σύζευξης για αμφότερες τις παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου με την οριζόντια μετατόπιση να φτάνει τα ±4 nm. Είναι φανερό ότι η φορά της μετατόπισης δεν αλλάζει το αποτέλεσμα(οι καμπύλες είναι τέλεια συμμετρικές), όπως άλλωστε αναμέναμε. Για οριζόντιες μετατοπίσεις έως 5 nm οι απώλειες σύζευξης παραμένουν σχεδόν ανεπηρέαστες. Αντιθέτως, μετατόπιση 2 nm αντιστοιχεί σε επιδείνωση της αποδοτικότητας σύζευξης κατά 1 db, ενώ μετατόπιση 4 nm αντιστοιχεί σε επιδείνωση της αποδοτικότητας σύζευξης κατά 3 db. Συμπερασματικά, βλέπουμε ότι οριζόντιες μετατοπίσεις της τάξης των λίγων εκατοντάδων νανομέτρων, όπως αυτή στο σχήμα 6.14(α), είναι ικανές να εξηγήσουν μέρος της διαφοράς μεταξύ θεωρητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων, όπως και τη μεγάλη διασπορά των μετρούμενων τιμών στην περίπτωση δειγμάτων με κυματοδηγούς ράβδωσης[βλ. ενότητα 6.4.2]. 6.7 Ανακεφαλαίωση Συνοψίζοντας, στο παρόν κεφάλαιο μελετήθηκε διεξοδικά η σύζευξη του πλασμονικού κυματοδηγού διηλεκτρικής φόρτισης με κυματοδηγούς της φωτονικής τεχνολογίας πυριτίου. Ειδικότερα, ερευνήθηκε συστηματικά η αποδοτικότητα της απευθείας σύζευξης των εν λόγω κυματοδηγών και αναζητήθηκαν οι γεωμετρικές παράμετροι της διεπιφάνειας που ελαχιστοποιούν τις απώλειες σύζευξης. Εξετάστηκαν δύο παραλλαγές του κυματοδηγού πυριτίου, ο κυματοδηγός ράβδωσης και ο κυματοδηγός ταινίας, με τον κυματοδηγό ταινίας να οδηγεί σε υψηλότερη αποδοτικότητα σύζευξης. Η σύγκριση των αποκτηθέντων αποτελεσμάτων με πειραματικά δεδομένα επιβεβαίωσε την ανωτερότητα του κυματοδηγού ταινίας. Οι ελαφρώς αυξημένες απώλειες σύζευξης στα κατασκευασμένα δείγματα αποδίδονται σε δυο κατασκευα-

198 186 Κεφάλαιο 6 στικές ατέλειες: μια οριζόντια μετατόπιση των αξόνων των κυματοδηγών και ένα μεταλλικό διάκενο στη θέση της διεπιφάνειας. Η επίδραση των εν λόγω ατελειών στην αποδοτικότητα σύζευξης μελετήθηκε θεωρητικά και η διεπιφάνεια επανασχεδιάστηκε για συγκεκριμένη τιμή μεταλλικού διακένου, μετριάζοντας έτσι την επιδείνωση της αποδοτικότητας. Τελικά, με την ενσωμάτωση των κατασκευαστικών ατελειών στο υπολογιστικό μοντέλο διαπιστώθηκε η καλή συμφωνία μεταξύ θεωρίας και πειράματος. Στην περίπτωση που αυτές εκλείψουν, αναμένεται η επιβεβαίωση της ιδιαίτερα υψηλής αποδοτικότητας σύζευξης που προβλέπει η θεωρητική ανάλυση.

199 7 Οπτική διστάθεια με μη γραμμικούς συντονιστές οδεύοντος κύματος Τα θερμο-οπτικά διακοπτικά στοιχεία του κεφαλαίου 5 παρουσιάζουν το μειονέκτημα του αργού χρόνου απόκρισης( 1 μs), καθώς αυτός υπαγορεύεται από το φαινόμενο της διάχυσης θερμότητας. Η αντίστοιχη ταχύτητα διακοπτικής λειτουργίας, παρότι ικανοποιητική για κάποιες συγκεκριμένες εφαρμογές[135], παραμένει περιοριστική για άλλες. Θα ενδιέφερε συνεπώς η άρση του εν λόγω περιορισμού, κάτι που μπορεί να επιτευχθεί καταφεύγοντας σε έναν διαφορετικό μηχανισμό ελέγχου, όπως τα μη γραμμικά φαινόμενα της επιδεκτικότητας τρίτηςτάξης χ (3) πουχαρακτηρίζονταιαπόταχύτατη,σχεδόνακαριαία(instantaneous), απόκριση. 1 Μάλιστα,στηνπερίπτωσηαυτήτοίδιοτοοπτικόκύμαπουμεταφέρειτηνπληροφορία δύναται να επιφέρει την αλλαγή του δείκτη διάθλασης(self-induced index change). Ετσι, επιτυγχάνεται αμιγώς οπτική(all-optical) λειτουργία χωρίς την ανάγκη για ηλεκτρικό σήμα ελέγχου. Στο παρόν κεφάλαιο, διερευνούμε τη δυνατότητα σχεδιασμού πλασμονικών διακοπτικών στοιχείων που στηρίζουν τη λειτουργία τους στην επιδεκτικότητα τρίτης τάξης. Από τους διαθέσιμους πλασμονικούς κυματοδηγούς, για την υλοποίηση των διατάξεων επιλέγεται μια παραλλαγή υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού. Οι κυματοδηγοί αυτοί αποτελούν την καταλληλότερη επιλογή για την εκδήλωση τέτοιων φαινομένων, λόγω της παρουσίας του ημιαγωγούπουσυνοδεύεταιαπόυψηλόμηγραμμικόσυντελεστήυλικού n 2 καιτηςισχυρής συγκέντρωσης του υποστηριζόμενου ρυθμού που συνεπάγεται υψηλή πυκνότητα ισχύος για δεδομένο επίπεδο ισχύος εισόδου. Επιπρόσθετα, η χρήση κάποιου μη γραμμικού πολυμερούς στη θέση του αραιού διηλεκτρικού μπορεί να οδηγήσει σε εξαιρετικά υψηλές τιμές μη γραμμικής παραμέτρου γ[143]. Πάρα ταύτα, οι σημαντικές ωμικές απώλειες οδηγούν σε ραγδαία πτώση του επιπέδου ισχύος κατά τη διάδοση και περιορίζουν το ενεργό μήκος που διατίθεται για την εμφάνιση των φαινομένων. Το παραπάνω συνεπάγεται υψηλά επίπεδα ισχύος εισόδου στην περίπτωση που η υλοποίηση του διακόπτη στηρίζεται σε διάταξη μη γραμμικού κατευθυντικού ζεύκτη[144]. Μια στρατηγική για τη μείωση του απαιτούμενου επιπέδου ισχύος είναι η χρήση μη γραμμικού συντονιστή συζευγμένου με έναν ή περισσότερους κυματοδηγούς. Ως γνωστόν, συστήματα που συνδυάζουν τη μη γραμμικότητα 1 Ηεξάρτησητουδείκτηδιάθλασηςαπότοτετράγωνοτουηλεκτρικούπεδίουμέσωτηςεπιδεκτικότητας τρίτης τάξης ονομάζεται και φαινόμενο Kerr. Στην περίπτωση που το ηλεκτρικό πεδίο που προκαλεί την αλλαγή προέρχεται από οπτικό κύμα υψηλής συχνότητας αποκαλείται οπτικό ή AC φαινόμενο Kerr, ώστε να αντιδιασταλλεί με το ηλεκτρο-οπτικό ή DC φαινόμενο Kerr όπου το πεδίο ελέγχου είναι(σχεδόν) ηλεκτροστατικό και εγκαθίσταται μέσω της επιβολής διαφοράς δυναμικού χαμηλής συχνότητας στα άκρα του μη γραμμικού υλικού. Το ηλεκτρο-οπτικό φαινόμενο Kerr δεν πρέπει να συγχέεται με το γραμμικό ηλεκτρο-οπτικό φαινόμενο ή φαινόμενο Pockels, όπου η μεταβολή στον δείκτη διάθλασης είναι ανάλογη του ίδιου του πεδίου και όχι του τετραγώνου του, συνδέεται δηλαδή με την επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης. 187

200 188 Κεφάλαιο 7 Silver DDMEBT Silicon Silica hp w h m hsi y-coordinate ( µ m) -.2 ( α ) ( β) neff = j x-coordinate ( µ m) y x TM E y Σχήμα 7.1: (α) Διατομή CGS κυματοδηγού με μη γραμμικό πολυμερές στη θέση του διακένου. (β)μέτροτηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίουγιατονεπικρατέστερο(τμ )ρυθμό στο μήκος κύματος λειτουργίας 1.55 μm. Τα πάχη των στρωμάτων μετάλλου-πολυμερούς-πυριτίου πουσυνθέτουντονπυρήναείναι h m = 1 nm, h p = 5 nmκαι h Si = 34 nm,αντίστοιχα,καιτο πλάτος wλαμβάνεταιίσομε 2 nm. με κάποιο μηχανισμό οπτικής ανάδρασης(feedback) μπορούν να παρουσιάσουν βρόχο υ- στέρησης στην οπτική τους απόκριση[36 39]. Με άλλα λόγια, μπορούν να εμφανίσουν δισταθή συμπεριφορά(optical bistability) και συνεπώς να λειτουργήσουν ως διακοπτικά στοιχεία δύο καταστάσεων. Το πλεονέκτημα της προσέγγισης αυτής προκύπτει από το ότι για συντονιστή αρκούντως υψηλού συντελεστή ποιότητας παρατηρείται σημαντική αύξηση της πυκνότητας ισχύος στον συντονιστή(intensity build-up). Ως αποτέλεσμα, το επίπεδο ισχύος εισόδου που απαιτείται για την παρατήρηση διστάθειας και συνεπώς την υλοποίηση διακόπτη δύο καταστάσεων προκύπτει μειωμένο συγκριτικά με την προσέγγιση κατευθυντικού ζεύκτη. Η δυνατότητα υλοποίησης διακοπτικών στοιχείων στη βάση του φαινομένου της ο- πτικής διστάθειας διερευνήθηκε συστηματικά με δισδιάστατους φωτονικούς κρυστάλλους [31 314]. 2 Οιυψηλοίσυντελεστέςποιότηταςτωνσχετικώνσυντονιστώνεπιτρέπουντην επίδειξη διακοπτικών διατάξεων που παρουσιάζουν αξιόλογους λόγους εξάλειψης και απαιτούν χαμηλό επίπεδο ισχύος εισόδου για τη λειτουργία τους. Αντίστοιχες μελέτες κάνουν την εμφάνισή τους τα τελευταία χρόνια και στην πλασμονική τεχνολογία, περιορίζονται ό- μως, μέχρι σήμερα, σε διατάξεις δυο διαστάσεων με βάση τον ΜΙΜ κυματοδηγό[147 15]. Αντικείμενο του παρόντος κεφαλαίου αποτελεί η επίδειξη τρισδιάστατων μη γραμμικών διακοπτικών διατάξεων στη βάση μιας παραλλαγής υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού, με σκοπό την αξιοποίησή τους σε πρακτικές εφαρμογές. 7.1 Μη γραμμικός υβριδικός πλασμονικός κυματοδηγός Ο μη γραμμικός πλασμονικός κυματοδηγός που θα μας απασχολήσει απεικονίζεται στο σχήμα 7.1(α). Πρόκειται στην ουσία για τον υβριδικό κυματοδηγό αγωγού-διακένου-πυριτίου (Conductor-Gap-Silicon, CGS) που παρουσιάστηκε στην ενότητα με τη διαφορά ότι τη θέση του διοξειδίου του πυριτίου που πληρούσε το διάκενο μεταξύ μετάλλου και πυριτίου 2 Τηδεκαετίατου 198αντίστοιχεςμελέτεςπραγματοποιούντανμεμηγραμμικούςσυντονιστές Fabry- Pérot[36, 315].

201 7.1. Μη γραμμικός υβριδικός πλασμονικός κυματοδηγός 189 έχει καταλάβει μη γραμμικό πολυμερές. Ειδικότερα, πρόκειται για το DDMEBT[316] το οποίοπαρουσιάζειεξαιρετικάυψηλόμηγραμμικόσυντελεστή, n 2 = m 2 /W, 3 καιεπιπλέονέχειαποδειχθείσυμβατόμενανοφωτονικάολοκληρωμένακυκλώματα[317]. 4 Ο συντελεστής αυτός είναι σχεδόν 1 φορές υψηλότερος από τον μη γραμμικό συντελεστή τουπυριτίου, n Si 2 = m 2 /W,οοποίοςείναιήδηυψηλόςσυγκρινόμενοςμεαυτόν τουαντίστοιχουδιοξειδίου: n SiO 2 2 = m 2 /W. Οιγραμμικοίδείκτεςδιάθλασης γιατατρίαυλικάλαμβάνονταιίσοιμε1.8,3.48και1.45,γιατο DDMEBT,τοπυρίτιοκαι το διοξείδιο του πυριτίου, αντίστοιχα. Τέλος, ως μέταλλο επιλέγεται ο άργυρος έναντι του χρυσού καθώς παρουσιάζει χαμηλότερες ωμικές απώλειες, γεγονός που αποκτά ιδιαίτερη σημασία στο πλαίσιο των μη γραμμικών εφαρμογών όπου η ίδια η ισχύς του φαινομένου εξαρτάται από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Ο δείκτης διάθλασης στο μήκος κύματος των 1.55μmλαμβάνεταιίσοςμε n Ag =.145 j11.4[193]. Αναφορικά με τις γεωμετρικές παραμέτρους, οι διαστάσεις του στρώματος πυριτίου λαμβάνονταιίσεςμε w h Si = 2 nm 34 nm, τυπικέςγια CGSκυματοδηγούς[11]. Μάλιστα, το ύψος των 34 nm είναι ιδιαίτερα συνηθισμένο στην περίπτωση φωτονικών κυματοδηγών τεχνολογίας πυριτίου που λειτουργούν στον ΤΜ ρυθμό. Ετσι, διευκολύνεται η σύζευξη του μη γραμμικού CGS κυματοδηγού με τυπικούς κυματοδηγούς τεχνολογίας πυριτίου. Τέλος,τούψοςτουστρώματοςπολυμερούςλαμβάνεταιίσομε h p = 5 nm,ως ένας ικανοποιητικός συμβιβασμός μεταξύ συγκέντρωσης και απωλειών διάδοσης, ενώ το ύψοςτουστρώματοςμετάλλουίσομε h m = 1 nm. Το προφίλ του επικρατέστερου ρυθμού(μέτρο της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου) απεικονίζεται στο Σχ. 7.1(β), όπως προέκυψε από την επίλυση του δισδιάστατου προβλήματος ιδιοτιμών της διατομής με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης στο μήκος κύματος των 1.55 μm προκύπτει ίσος με n eff = j.15,μετοφανταστικόμέροςνααντιστοιχείσεμήκοςδιάδοσης L prop = 8μm.Τομήκοςαυτόείναισαφώςυψηλότεροαπότοαντίστοιχομήκοςδιάδοσης στην ενότητα 2.4.3, γεγονός που οφείλεται στη χρήση του άργυρου στη θέση του χρυσού. Από την παρατήρηση του Σχ. 7.1(β) κανείς διαπιστώνει ότι το μεγαλύτερο μέρος του ρυθμού εντοπίζεται στο διάκενο μεταξύ μετάλλου και πυριτίου διαστάσεων μόλις 2 nm 5 nm. Χαρακτηριστική της πολύ υψηλής συγκέντρωσης είναι και η τιμή της ενεργού επιφάνειας τουρυθμούπουπροκύπτειίσημε.52μm 2 κάνονταςχρήσητουορισμού ( E 2 dxdy A eff = E 4 dxdy ) 2. (7.1) Η ισχυρή συγκέντρωση του ρυθμού στο διάκενο σε συνδυασμό με τον υψηλό μη γραμμικό συντελεστή του DDMEBT που το καταλαμβάνει αναμένεται να οδηγήσει σε πολύ υψηλή 3 Ομηγραμμικόςσυντελεστής n 2 συνδέεταιμετηνεπιδεκτικότητατρίτηςτάξηςμέσωτηςσχέσης Re{χ (3) xxxx} = (4/3)ε c n 2 n 2,όπου χ (3) xxxx το στοιχείο xxxx του τανυστή τέταρτης τάξης της επιδεκτικότητας χ (3) στηνπερίπτωσηπουαυτήεμφανίζειανισοτροπία.το n 2 μετράταισε m 2 /W. 4 Υπάρχουνμηγραμμικάπολυμερήμεακόμηυψηλότεροσυντελεστή n 2,όπωςτο PTSπουπαρουσιάζει n 2 = m 2 /Wστα 1.6μm[318]. Ωστόσο,ηυψηλότατηαυτήτιμήλαμβάνεταιμόνογια συγκεκριμένη πόλωση κύματος, καθώς η επιδεκτικότητα τρίτης τάξης του υλικού παρουσιάζει έντονη ανισοτροπία, ενώ και η ενσωμάτωση του υλικού σε νανοφωτονικά κυκλώματα παρουσιάζει κατασκευαστικές δυσκολίες[316].

202 19 Κεφάλαιο 7 τιμήμηγραμμικήςπαραμέτρου γ wg. 5 Πράγματι,κάνονταςχρήσητηςσχέσης[ ] 6 γ wg = 3ωε 4 x,y,z µαβγ χ (3) µαβγ e µ e αe β e γ dxdy [ ] 2, (7.2) e h ẑdxdy η οποία λαμβάνει υπόψη την υβριδική φύση του ρυθμού, την ανομοιογένεια της δομής(δηλαδή την εξάρτηση του γραμμικού και μη γραμμικού δείκτη διάθλασης από τις εγκάρσιες συντεταγμένες)καιτηνανισοτροπίατηςεπιδεκτικότηταςτρίτηςτάξηςτουπυριτίου 7 προκύπτει γ wg = 1535 W 1 m 1. Ητιμήαυτήείναιιδιαίτεραυψηλήανλάβεικανείςυπόψη ότιγιατυπικούςκυματοδηγούςτεχνολογίαςπυριτίουηπαράμετρος γ wg διαμορφώνεταισε περίπου 25 3 W 1 m 1 [319].Παρόλααυτά,ηέντασητωνμηγραμμικώνφαινομένων εξαρτάται και από το επίπεδο των απωλειών διάδοσης, οι οποίες παρά τη χρήση του άργυρου παραμένουνυψηλές(l prop = 8μm).Ωςαποτέλεσμα,τοεπίπεδοτηςοδηγούμενηςισχύος υφίσταται ραγδαία πτώση κατά τη διάδοση γεγονός που περιορίζει το ενεργό μήκος που διατίθεται για την εμφάνιση των φαινομένων. Αυτό έχει ως συνέπεια να απαιτούνται υψηλά επίπεδα ισχύος εισόδου στην περίπτωση που η υλοποίηση του μη γραμμικού διακόπτη στηρίζεται σε διαμήκη διάταξη τύπου κατευθυντικού ζεύκτη. Ειδικότερα, μπορεί να δειχθεί ότι οι απαιτήσεις ισχύος για μη γραμμικό κατευθυντικό ζεύκτη βασισμένο στον κυματοδηγό πουεξετάζουμεείναιτηςτάξηςτων P sw = π 3/(γL prop ) 44 W[144]. Ετσι, στη συνέχεια του κεφαλαίου διερευνούμε μια διαφορετική προσέγγιση. Ειδικότερα, εξετάζουμε διακοπτικές διατάξεις στη βάση συντονιστή οδεύοντος κύματος υλοποιημένου με τον μη γραμμικό CGS κυματοδηγό. Η προσέγγιση αυτή αναμένεται να οδηγήσει σε χαλάρωση των απαιτήσεων ισχύος, καθώς για συντονιστή αρκούντως υψηλού συντελεστή ποιότητας παρατηρείται σημαντική αύξηση της πυκνότητας ισχύος στον συντονιστή (intensity build-up), γεγονός που ευνοεί την ανάπτυξη των μη γραμμικών φαινομένων. Επιπλέον, αναμένεται ότι η ισχυρή συγκέντρωση του CGS κυματοδηγού θα επιτρέψει την υλοποίηση συντονιστών με ιδιαίτερα συμπαγείς διαστάσεις, με αποτέλεσμα να περιορίζονται στο ελάχιστο οι καταστροφικές συνέπειες των ωμικών απωλειών. 7.2 Διάταξη συντονιστή οδεύοντος κύματος Δομή και αρχή λειτουργίας Εστιάζουμε σε δομή συντονιστή οδεύοντος κύματος συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό, Σχ. 7.2(α). Πιο συγκεκριμένα, στο Σχ. 7.2(α) ο συντονιστής οδεύοντος κύματος 5 Ημηγραμμικήπαράμετρος γ wg ποσοτικοποιείτηνέντασητουφαινομένουτηςαυτοδιαμόρφωσηςφάσης(self-phase Modulation, SPM) κατά τη διάδοση κύματος σε ευθύγραμμο μη γραμμικό κυματοδηγό. Προσδιορίζεται από το πρόβλημα του γραμμικού κυματοδηγού και εξαρτάται από τις μη γραμμικές ιδιότητες των υλικών και την επικάλυψη του υποστηριζόμενου ρυθμού με αυτά. 6 Στηνπερίπτωσητωννανοφωτονικώνκυματοδηγώνμεισχυρήαντίθεσηδεικτώνδιάθλασηςπουυποστηρίζουν υβριδικούς ρυθμούς με σημαντική αξονική συνιστώσα δεν είναι δυνατή η χρήση του κλασικού ορισμούτηςμηγραμμικήςπαραμέτρουως γ wg = k n 2 /A eff [32 323]. 7 Υποθέτουμεότιοάξοναςτουκυματοδηγούείναιπαράλληλοςμετηδιεύθυνση[ 1 1]τουκρυσταλλογραφικού πλέγματος με συνέπεια οι δυο γραμμικά ανεξάρτητες συνιστώσες του τανυστή της επιδεκτικότητας τρίτηςτάξηςνασυνδέονταιμέσωτης ρ 3χ (3) xxyy/χ (3) xxxx = 1.27[321,322,324].

203 7.2. Διάταξη συντονιστή οδεύοντος κύματος 191 Silver DDMEBT Silicon Silica g Output R inn R out P out P 1 A Up-Sweep Down-Sweep Unstable Branch A w P 1 B B Input P 1 P in ( α) ( β) Σχήμα 7.2: (α)συντονιστήςδακτυλίου(οδεύοντοςκύματος)εξωτερικήςακτίνας R out βασισμένος σε μη γραμμικό CGS κυματοδηγό, συζευγμένος με ευθύγραμμο CGS κυματοδηγό μέσω διακένου σύζευξης g. (β) Ενδεικτική απόκριση συστήματος. Ανάλογα με τη φορά σάρωσης της ισχύοςεισόδουηκαμπύλη P in P out προκύπτειδιαφορετικήμεσυνέπειατονσχηματισμόβρόχουυστέρησης.γιατοίδιοεπίπεδοισχύοςεισόδου P 1 ηισχύςεξόδουμπορείναδιαμορφωθείσε διαφορετικόεπίπεδο, P A 1 ή PB 1,ανάλογαμετηνπρότερηκατάστασητουσυστήματος. είναιδακτύλιοςυλοποιημένοςμετονμηγραμμικό CGSκυματοδηγότηςενότητας Η εξωτερική(outer)ακτίνατουσυντονιστήείναιίσημε R out,ενώγιατηνεσωτερική(inner) ισχύειπροφανώς R inn = R out w,όπου wτοπλάτοςτουκυματοδηγού. Οσυντονιστής είναιπλάγιασυζευγμένος(side-coupled) 9 μεγραμμικό CGSκυματοδηγό(διοξείδιοτουπυριτίουστηθέσητουμηγραμμικούπολυμερούς)πλάτους w,μετοδιάκενοσύζευξης gνα μετράται μεταξύ των ορίων συντονιστή-κυματοδηγού[σχ. 7.2(α)]. Η δομή αυτή, όπως και κάθε διάταξη που συνδυάζει κάποιο είδος μη γραμμικότητας με μηχανισμό οπτικής ανάδρασης, δύναται να εμφανίσει βρόχο υστέρησης στην οπτική της απόκριση. Με άλλα λόγια, μπορεί να εμφανίσει δισταθή συμπεριφορά(optical bistability) και συνεπώς να λειτουργήσει ως διακοπτικό στοιχείο δύο καταστάσεων. Ενδεικτικά, η μορφήτηςαπόκρισης(καμπύλη P in P out )απεικονίζεταιστοσχ.7.2(β). Ανάλογαμετη φοράσάρωσηςτηςισχύοςεισόδουηκαμπύλη P in P out προκύπτειδιαφορετικήμεσυνέπεια τονσχηματισμόβρόχουυστέρησης. Ετσι,γιατοίδιοεπίπεδοισχύοςεισόδουP 1 τοσύστημα μπορεί να βρεθεί σε διαφορετικό σημείο λειτουργίας(α ή Β) ανάλογα με την πρότερή του κατάσταση. 1 Ωςαποτέλεσμα,ηισχύςεξόδουδιαμορφώνεταισεδιαφορετικόεπίπεδο(P1 A ή P1 B )υλοποιώνταςτιςδύοκαταστάσεις(onκαι OFF)ενόςδιακόπτη. Στο σημείο αυτό σημειώνουμε ότι μας ενδιαφέρει η οπτική διστάθεια που προκύπτει απότημηγραμμικήμεταβολήτουδείκτηδιάθλασης(καιωςεκτούτουτημεταβολήτης 8 Οσυντονιστήςθαμπορούσεισοδύναμαναείναιδίσκοςήτύπου donut.μάλιστα,όπωςθαφανείστη συνέχεια του κεφαλαίου η επιλογή συντονιστή δίσκου είναι προτιμότερη. Παρόλα αυτά, στην απεικόνιση της γενικής μορφής του συστήματος[σχ. 7.2(α)] επιλέγεται ο δακτύλιος ως ο δημοφιλέστερος τύπος συντονιστή οδεύοντος κύματος. 9 Αυτόςείναικαιομοναδικόςτύποςσύζευξηςσυντονιστήοδεύοντοςκύματοςμεκυματοδηγότροφοδοσίας. Απεναντίας, στην περίπτωση των συντονιστών στασίμου κύματος είναι δυνατή και η απευθείας (direct) σύζευξη του συντονιστή με τον κυματοδηγό, στην οποία ο συντονιστής διακόπτει τη συνέχεια του κυματοδηγού. 1 Εμφανίζειδηλαδήχαρακτηριστικάμνήμης,γεγονόςπουμπορείνααξιοποιηθείγιατηνυλοποίησητης βασικής μονάδας μνήμης: ενός οπτικού flip-flop[325].

204 192 Κεφάλαιο 7 αντίστοιχης συχνότητας συντονισμού) εξαιτίας της επιδεκτικότητας τρίτης τάξης. Αυτό αντιπαραβάλλεται με αντίστοιχες διατάξεις που βασίζουν την εμφάνιση του βρόχου υστέρησης σε διαφορετικά φαινόμενα. Για παράδειγμα στη φωτονική τεχνολογία πυριτίου έχουν επιδειχθεί διατάξεις που βασίζουν τη λειτουργίας τους είτε στη μη γραμμική μεταβολή του δείκτη διάθλασης λόγω της θέρμανσης της δομής αξιοποιώντας τον ισχυρό θερμο-οπτικό συντελεστή του πυριτίου[326, 327], είτε στη μη γραμμική μεταβολή του δείκτη διάθλασης λόγω ελεύθερων φορέων(free Carrier Dispersion, FCD) οι οποίοι δημιουργούνται μέσω του μηχανισμού απορρόφησης δύο φωτονίων(two Photon Absorption, TPA)[328]. Οι παραπάνω προσεγγίσεις έχουν αντίκτυπο στον χρόνο απόκρισης ο οποίος καθορίζεται από τη διάχυση θερμότητας και τον χρόνο ζωής των φορέων, αντίστοιχα, και τοποθετείται στην περιοχή των δεκάδων ή εκατοντάδων ns. Αντιθέτως, το φαινόμενο Kerr χαρακτηρίζεται ως ακαριαίο(instantaneous). Ετσι, στην περίπτωση που εξετάζουμε ο χρόνος απόκρισης καθορίζεται αποκλειστικά από το χρόνο ζωής των φωτονίων(photon lifetime) στην κοιλότητα, δηλαδή από τον συντελεστή ποιότητας του συντονιστή, και τοποθετείται στην περιοχή των λίγων ps Μαθηματικό πλαίσιο Στην ενότητα αυτή διατυπώνουμε ένα μαθηματικό πλαίσιο για την ανάλυση των υπό μελέτη μη γραμμικών διατάξεων[282], το οποίο στηρίζεται στην θεωρία μικρών διαταραχών για ηλεκτρομαγνητικές κοιλότητες(cavity perturbation theory)[281] και τη θεωρία συζευγμένων ρυθμών στο πεδίο του χρόνου(temporal Coupled Mode Theory, CMT)[271, 329] Θεωρία μικρών διαταραχών Η λειτουργία των διατάξεων στηρίζεται στη μεταβολή της συχνότητας συντονισμού ανάλογα με το επίπεδο της ισχύος εισόδου. Αναλυτικότερα, το ίδιο το οπτικό κύμα προκαλεί μια μεταβολή στο δείκτη διάθλασης του μη γραμμικού υλικού(nonlinear self-action), με συνέπειαησυχνότητασυντονισμού ω ναολισθαίνει.εκκινούμεαπότονπροσδιορισμότης ολίσθησηςαυτής, ω = ω ω,θεωρώνταςασύζευκτοσυντονιστή. 11 Γιατονσκοπόαυτό, κατασκευάζουμε μια συνάρτηση F που εμπλέκει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στη διάταξη πριν και μετά τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης[322]: F = E H+E H, (7.3) όπου E,H ταμηδιαταραγμένα(unperturbed)και E,Hταδιαταραγμένα(perturbed) πεδία.προφανώςγιαταμεγέθηαυτάισχύουνοιεξισώσειςτου Maxwell: 12 E = jω µ µ r H, H = +jω ε ε r E, (7.4α) (7.4β) 11 Σταπλαίσιατηςασθενούςσύζευξηςηπεδιακήκατανομήστονσυντονιστήδενδιαταράσσεταισημαντικά από τη σύζευξη με τον κυματοδηγό. Ετσι, παρότι στην παρούσα ενότητα προσδιορίζουμε την ολίσθηση συχνότητας θεωρώντας ασύζευκτο συντονιστή, αναμένουμε την ίδια ολίσθηση φάσης και στο συζευγμένο πρόβλημα. 12 Υποθέτουμεαρμονικήχρονικήμεταβολήτηςμορφής exp(jωt).

205 7.2. Διάταξη συντονιστή οδεύοντος κύματος 193 και E = jωµ µ r H, H = +jωε ε r E+jωP NL, (7.5α) (7.5β) αντίστοιχα.ηεξ.(7.5β)εμπλέκειτοδιάνυσματηςμηγραμμικήςπόλωσης P NL,τοοποίο γιατηνπερίπτωσηισοτροπικούμηγραμμικούμέσουδίνεταιαπότην 13 P NL = 1 4 ε χ (3) [2(E E )E+(E E)E ]. (7.6) Παίρνοντας την απόκλιση της διανυσματικής συνάρτησης F και κάνοντας χρήση των εξισώσεων(7.4) και(7.5) καταλήγουμε στην F = jµ (ω ω )H H jε [ ωεr (ω) ω ε r (ω ) ] E E jωp NL E. (7.7) Στοσημείοαυτόυποθέτουμεαμελητέαδιασποράυλικούστηγειτονιάτου ω, ε r (ω) ε r (ω ), καιεπιπλέονθεωρούμεαμιγώςπραγματικήδιηλεκτρικήσταθερά, παραδοχήπου δικαιολογείται από το ότι για τα περισσότερα μέταλλα στην κοντινή υπέρυθρη περιοχή ισχύει Im{ε r }/Re{ε r } <.1, 14 καθώςκαιαπότηνασθενήδιείσδυσητωνπλασμονικώνρυθμών σε αυτά. Εφαρμόζοντας το θεώρημα απόκλισης της διανυσματικής ανάλυσης(divergence or Gauss s theorem)καιαντικαθιστώνταςτηνεξ.(7.6)έχουμε 15 ω ω ω = = V V V P NL E dv [ ε n 2 E E +µ ] H H dv 1 4 ε χ (3) [2(E E )(E E )+(E E)(E E )] dv [ ε n 2 (r)e E +µ ]. H H dv V (7.8) Μέσω της Εξ.(7.8) μπορούμε να προσδιορίσουμε την ακριβή(exact) τιμή της ολίσθησης συχνότητας εξαιτίας της μη γραμμικής μεταβολής του δείκτη διάθλασης. Ωστόσο, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην παρούσα μορφή καθώς εμπλέκει τα διαταραγμένα πεδιακά μεγέθη E,H. 16 Σταπλαίσιατηςθεωρίαςμικρώνδιαταραχών[281]αντικαθιστούμεταδιαταραγμένα πεδιακά μεγέθη με τα μη διαταραγμένα, και επιπλέον τη συχνότητα ω στον παρονομαστή 13 ΓιατηναπόδειξητηςΕξ.(7.6)εκκινούμεαπότην P NL (r,t) = ε χ (3) (r)[e(r,t)] 2 E(r,t),υποθέτουμεαρμονικήχρονικήμεταβολήτηςμορφής E(r,t) = Re{E(r)exp(jωt)} = 1 2 [E(r)exp(jωt)+E (r)exp( jωt)], και αγνοούμε τους όρους στην τρίτη αρμονική. 14 Ειδικάγιατηνπερίπτωσητουάργυρουπουθαμαςαπασχολήσει,στομήκοςκύματοςτων 1.55μm ισχύει Im{ε r }/Re{ε r }.25(βλ.πίνακα2.1). 15 ΓιαναφτάσουμεστηνΕξ.(7.8)υποθέσαμεότιτοκλειστόεπιφανειακόολοκλήρωματης F ˆnείναι. Στην περίπτωση του ασύζευκτου συντονιστή που εξετάζουμε μπορεί να βρεθεί κατάλληλη κλειστή επιφάνεια, αρκούντως μακριά από αυτόν, ώστε η εξερχόμενη οπτική ισχύς να έχει μηδενιστεί. 16 Ομόνοςτρόποςναγνωρίζουμεταμεγέθηαυτάείναιναέχουμεήδηλύσειτομηγραμμικόπρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση όμως θα γνωρίζαμε επίσης και τη νέα συχνότητα συντονισμού ω, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει η ανάγκη προσδιορισμού της.

206 194 Κεφάλαιο 7 τουαριστερούμέλουςμε ω,φτάνονταςέτσιστην ω ω ω 1 4 V ε χ (3) [2(E E )(E E )+(E E )(E E )] dv [ ]. (7.9) ε n 2 (r)e E +µ H H dv V Τέλος,χρησιμοποιώνταςτησχέσηχ (3) = (4/3)c ε n 2 n 2 καιδεδομένουότιστονσυντονισμό οιαποθηκευμένεςενέργειεςηλεκτρικούκαιμαγνητικούπεδίουείναιίσες 17 καταλήγουμε τελικά στην ω ω = 1 3 c ε V n 2 (r)n 2 (r) [ (E E )(E E )+2 E 4] dv, (7.1) 2 n 2 (r)e E dv V η οποία επιτρέπει τον προσδιορισμό της ολίσθησης συχνότητας ω στη βάση των αποτελεσμάτωντηςεπίλυσηςτουπροβλήματοςγραμμικούσυντονιστή (E (r),ω ). Στη συνέχεια, εκφράζουμε την ολίσθηση συχνότητας σαν συνάρτηση της αποθηκευμένης ενέργειας στον συντονιστή W. Προς τον σκοπό αυτό, ορίζουμε έναν μη γραμμικό συντελεστή ανάδρασης(nonlinear feedback parameter) κ ως[282] 1 ( ) 3 c V 3 n 2(r)n 2 (r) [ (E E )(E E )+2 E 4] dv κ = [ ] ω 2. (7.11) n 2 (r)e E dv n max 2 V Ο συντελεστής αυτός περιγράφει τον βαθμό επικάλυψης του πεδίου με το μη γραμμικό υλικό και είναι αδιάστατος. Εξαρτάται κατά κύριο λόγο από το επίπεδο συγκέντρωσης του ρυθμού, δηλαδή τον ενεργό όγκο που καταλαμβάνει. Ειδικότερα, συγκρίνοντας τη μορφή τηςεξ.(7.11)μετονακόλουθοορισμότουενεργούόγκου[33]: 18 V eff = ( V V ε(r) E(r) 2 dv ε(r) 2 E(r) 4 dv ) 2, (7.12) κανείςδιαπιστώνειότιταδύομεγέθηείναιαντιστρόφωςανάλογα(κ 1/V eff ). 19 Επιπλέον, ο τρόπος που ορίζεται εξασφαλίζει ένα σύνολο επιθυμητών ιδιοτήτων. Ειδικότερα, ο όρος n max 2 (ημέγιστητιμήτου n 2 (r)στηδιάταξη)στονπαρονομαστήτηςεξ.(7.11)τονκαθιστά ανεξάρτητο από την επιλογή του μη γραμμικού υλικού. Ακόμη, καθώς η πεδιακή κατανομή 17 Τοπαραπάνωεπιβεβαιώθηκεαριθμητικάγιατηγενικότερηδυνατήπερίπτωσησυντονιστήμεωμικές απώλειες καθώς και απώλειες ακτινοβολίας, όπως αυτός που θα μας απασχολήσει. 18 Ανάλογαμετουπόμελέτηφαινόμενομπορείναπροτιμάταικαιδιαφορετικόςορισμόςτουενεργού όγκου, με τον ορισμό της Εξ.(7.12) να προσιδιάζει σε μη γραμμικές εφαρμογές της επιδεκτικότητας τρίτης τάξης[33]. 19 Ηαντιστοιχίαγίνεταιπροφανήςανυποθέσουμεαμιγώςπραγματικόηλεκτρικόπεδίομεαποτέλεσμαη ποσότηταστηνπαρένθεσητηςολοκληρωτέαςποσότηταςστοναριθμητήτου κναγίνειίσημε 3 E 4.

207 7.2. Διάταξη συντονιστή οδεύοντος κύματος 195 δεν διαταράσσεται σημαντικά από τη μη γραμμική μεταβολή του δείκτη διάθλασης(όπως και την αντίστοιχη μεταβολή στη συχνότητα συντονισμού), ο συντελεστής είναι ανεξάρτητος καιαπότοεπίπεδοισχύοςεισόδου. 2 Μεαντικατάστασητηςεξίσωσης(7.11)στην(7.1) έχουμε ω ω = 1 2 c ε = c ( ω c ( ω c ) 3 κn max 2 ) 3 κn max 2 W. V n 2 (r)e E dv (7.13) Για να φτάσουμε στη δεύτερη γραμμή της Εξ.(7.13) χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι στη συχνότητα συντονισμού οι αποθηκευμένες ενέργειες ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου είναι ίσες. Ετσι η μέση χρονική τιμή της συνολικής αποθηκευμένης ενέργειας στον συντονιστή γράφεται W = W e +W m = 2W e = (ε /2) V n2 (r)e E dv Θεωρία συζευγμένων ρυθμών Η θεωρία συζευγμένων ρυθμών στο πεδίο του χρόνου(temporal Coupled Mode Theory, CMT)[ , 329, 331] χρησιμοποιείται ευρέως για την πρόβλεψη της απόκρισης διατάξεων που περιλαμβάνουν έναν ή περισσότερους συντονιστές συζευγμένων μεταξύ τους και με κυματοδηγούς τροφοδοσίας. Αντιμετωπίζει τον συντονιστή ως έναν σημειακό ταλαντωτή (lumped oscillator), ο οποίος χάνει την αποθηκευμένη σε αυτόν ενέργεια μέσω εγγενών απωλειών(ωμικές και ακτινοβολίας) καθώς και απωλειών σύζευξης. Μαθηματικά, η οπτική απόκριση συστήματος που περιλαμβάνει έναν συντονιστή οδεύοντος κύματος συζευγμένο με κυματοδηγό τροφοδοσίας περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση[271] da dt = jω a 1 τ i a 1 τ e a+µs i, (7.14) όπου a(t) το πλάτος του ρυθμού συντονιστή, έτσι κανονικοποιημένο ώστε το μέγεθος a(t) 2 ναεκφράζειτηναποθηκευμένησεαυτόνενέργεια. ω ησυχνότητασυντονισμούτηςοπτικήςκοιλότηταςσεσυνθήκεςσύζευξης. τ i και τ e χρόνοιζωήςτωνφωτονίωνστηνκοιλότητα(photon lifetime in the cavity) που αντιστοιχούν στις εγγενείς απώλειες και τις απώλειες σύζευξης, αντίστοιχα. Οι σταθερές χρόνου αυτές συσχετίζονται με τους αντίστοιχους συντελεστές ποιότητας μέσωτηςσχέσης Q = ω τ/2. µμιγαδικόςσυντελεστήςσύζευξηςμετονκυματοδηγό, µ = µ exp(jφ µ ),γιατον οποίοισχύει µ = 2/τ e και φ µ = π/2ωςαποτέλεσματηςσυμμετρίαςτηςδομής, της διατήρησης ενέργειας και της ιδιότητας συμμετρίας αντιστροφής χρόνου(timereversal symmetry) των εξισώσεων του Maxwell που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα[329] Σταπλαίσιατηςασθενούςσύζευξης,ούτεησύζευξητουσυντονιστήμεκυματοδηγότροφοδοσίαςείναι ικανή να μεταβάλλει σημαντικά την τιμή του συντελεστή κ καθώς αφήνει πρακτικά ανεπηρέαστο το ρυθμό συντονισμού. Ετσι, ο προσδιορισμός του μπορεί να γίνει από μια μοναδική προσομοίωση προβλήματος γραμμικού συντονιστή, ασύζευκτου ή και συζευγμένου με κυματοδηγό. 21 Στηνπερίπτωσηπουοσυντονιστήςείναιστασίμουκύματοςμεαποτέλεσμαναακτινοβολείστονκυμα-

208 196 Κεφάλαιο 7 τ i a( t) s i μ 1/τ e s t Σχήμα 7.3: Ορισμός των μεγεθών που εμφανίζονται στην Εξ.(7.14) της θεωρίας συζευγμένων ρυθμών. Οσυντονιστήςτροφοδοτείταιμέσωκύματοςπλάτους s i μετονσυντελεστήσύζευξης κυματοδηγού-συντονιστή να συμβολίζεται με µ. Το πλάτος του ρυθμού συντονισμού a(t) εξασθενεί εξαιτίαςτωνεγγενώναπωλειών(1/τ i )καθώςκαιτηςσύζευξηςμετονκυματοδηγό(1/τ e ). s i τοπλάτοςτουρυθμούτουκυματοδηγούέτσικανονικοποιημένοώστεηποσότητα s i 2 ναεκφράζειοδηγούμενηοπτικήισχύ. Τα παραπάνω μεγέθη αποτυπώνονται και στο σχήμα 7.3 για τη διευκόλυνση του αναγνώστη. ΗΕξ.(7.14)συμπληρώνεταιαπότησχέση[272,273] 22 s t = s i +j µ a, (7.15) η οποία συνδέει τα πλάτη των κυμάτων στον κυματοδηγό μεταδιδόμενου(transmitted) και προσπίπτοντος(incident) με το πλάτος του ρυθμού συντονιστή a(t). Στην περίπτωση που ενδιαφερόμαστε για τη μόνιμη κατάσταση(steady state) υιοθετούμε αρμονική χρονική μεταβολή( / t = jω) και η εξίσωση(7.14) γράφεται j(ω ω )a = 1 τ i a 1 τ e a+j µ s i. (7.16) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις(7.16) και(7.15), το μέγεθος της μετάδοσης(πλάτους πεδίου) για την περίπτωση συντονιστή οδεύοντος κύματος πλάγια συζευγμένου με κυματοδηγό τροφοδοσίας, Σχ. 7.3, γράφεται στη γνωστή μορφή ( ) 1 t = s t s i = j(ω ω )+ 1 τ i τ ( e 1 j(ω ω )+ + 1 ). (7.17) τ i τ e Από την παρατήρηση της Εξ.(7.17) κανείς μπορεί εύκολα να διαπιστώσει ότι στην περίπτωσηπουισχύειείτε Q i Q e είτε Q e Q i ημετάδοσηισχύος( t 2 )απότηδομήτου φίλτρου είναι μονάδα ανεξάρτητα από τη συχνότητα λειτουργίας, δηλαδή δεν παρατηρείται τοδηγό τροφοδοσίας προς αμφότερες τις κατευθύνσεις, η σχέση προσδιορισμού του συντελεστή σύζευξης γίνεται µ = 1/τ e. Τοίδιοσυμβαίνεικαιστηνπερίπτωσηπουέναςσυντονιστήςοδεύοντοςκύματος συζευγνύεται με δύο κυματοδηγούς(έναν σε κάθε μεριά του συντονιστή). 22 Ηίδιασχέσηθαίσχυεκαιστηνπερίπτωσησυντονιστήστασίμουκύματοςπλάγιασυζευγμένουμε κυματοδηγό τροφοδοσίας. Αντιθέτως, στην περίπτωση που ο συντονιστής στασίμου κύματος διακόπτει τη συνέχεια του κυματοδηγού περίπτωση απευθείας σύζευξης(direct coupling) η σχέση διαμορφώνεται σε s t = j µ a.

209 7.2. Διάταξη συντονιστή οδεύοντος κύματος 197 βύθιση στη μετάδοση όταν η συχνότητα λειτουργίας συμπίπτει με τη συχνότητα συντονισμού. Απότηνάλλη,ηοξύτερηδυνατήβύθισηπαρατηρείταιστηνπερίπτωση Q i = Q e, όταν δηλαδή επικρατούν συνθήκες κρίσιμης σύζευξης μεταξύ κυματοδηγού και συντονιστή. Στηνπερίπτωσηαυτή,για ω = ω ημετάδοσημηδενίζεται. Το μαθηματικό πλαίσιο της CMT μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την ανάλυση μη γραμμικών διατάξεων. Στην περίπτωση αυτή η Εξ.(7.14) τροποποιείται με την εισαγωγή ενόςμηγραμμικούόρουτηςμορφής γ a(t) 2 a(t), 23 όπωςπαρακάτω da dt = jω a jγ a 2 a 1 τ i a 1 τ e a+j µ s i. (7.18) Ο μη γραμμικός όρος περιγράφει τη μεταβολή της συχνότητας συντονισμού εξαιτίας των μηγραμμικώνφαινομένων. Πιοσυγκεκριμένα,θεωρούμευποβιβασμό 24 τηςσυχνότητας συντονισμούκατά ω = γ a 2,ανάλογητηςαποθηκευμένηςενέργειαςστονσυντονιστή a 2,όπου γμηγραμμικόςσυντελεστήςοοποίοςπροσδιορίζεταιαπότηνηλεκτρομαγνητική ανάλυση του γραμμικού συντονιστή. Ειδικότερα, συγκρίνοντας με την Εξ.(7.13) και λαμβάνοντας υπόψη ότι το πλάτος του ρυθμού στον συντονιστή είναι έτσι κανονικοποιημένο ώστε a 2 = Wπροκύπτειάμεσαότι ( ) 3 ω γ = c ω κn max 2. (7.19) c Βλέπουμε, δηλαδή, ότι η παράμετρος γ είναι ανάλογη του συντελεστή ανάδρασης κ και εξαρτάται, όπως και αυτός, μόνο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Επιπλέον, εύκολαμπορείκανείςναδιαπιστώσειότιμετράταισεμονάδες W 1 s 2. Κατ αντιστοιχία με την Εξ.(7.17), στην περίπτωση αρμονικής χρονικής μεταβολής η απόκριση του συστήματος γράφεται στη μορφή ( 1 t = s j(ω ω + ω )+ 1 ) t τ i τ = ( e s i 1 j(ω ω + ω )+ + 1 ), (7.2) τ i τ e όπου ω = γ a 2 ουποβιβασμόςτηςσυχνότηταςσυντονισμούλόγωμηγραμμικότητας. Πολλαπλασιάζονταςαριθμητήκαιπαρονομαστήμε τ i φτάνουμεσεμιαπιοκομψήμορφή t = s t s i = j( δ +τ i ω )+(1 r Q ) j( δ+τ i ω )+(1+r Q ), (7.21) 23 Ημορφήαυτήείναιεντελώςανάλογημεαυτήτουόρουαυτοδιαμόρφωσηςφάσης(Self-Phase Modulation, SPM) που συναντούμε στη μη γραμμική εξίσωση Schrödinger(Nonlinear Schrödinger Equation, NLSE), η οποία περιγράφει τη διάδοση παλμών σε ομοιόμορφους(ευθύγραμμους) μη γραμμικούς κυματοδηγούς.ηδιαφοράείναιότιαυτήτηφοράημελέτηαφοράσυντονιστήαντίγιακυματοδηγό. Ετσιτοπλάτος a(t) αναφέρεται στον ρυθμό του συντονιστή αντί του κυματοδηγού και φυσικά η μη γραμμική παράμετρος γαφοράτονσυντονιστήμεαποτέλεσμαναορίζεταιδιαφορετικά(εντελώςανάλογαβέβαια)μετο γ wg της Εξ.(7.2). 24 Οπωςφανερώνουνοιεξισώσεις(7.1)και(7.13)ημεταβολήτηςσυχνότηταςσυντονισμούεξαιτίας τωνμηγραμμικώνφαινομένωνγιατησυνήθηπερίπτωσηπου n 2 > είναιπροςχαμηλότερεςσυχνότητες.

210 198 Κεφάλαιο 7 όπου δ = τ i (ω ω )ηκανονικοποιημένηαπόστασητηςσυχνότηταςλειτουργίαςαπότησυχνότητασυντονισμούτουγραμμικούσυστήματος(normalized detuning)και r Q = τ i /τ e = Q i /Q e ολόγοςεσωτερικούπροςεξωτερικούσυντελεστήποιότητας. Τομέγεθοςτηςμετάδοσης ισχύος(power transmission) προκύπτει ευθέως λαμβάνοντας το τετράγωνο του μέτρου των μελών της Εξ.(7.21): T = t 2 = 2 s t s i = P out = (1 r Q) 2 +( δ +τ i ω ) 2 P in (1+r Q ) 2 (7.22) +( δ +τ i ω ) 2. ΗΕξ.(7.22)συνδέειτηνισχύεισόδουμετηνισχύεξόδου.Παρόλααυτά,ηχάραξητης καμπύλης P in P out δενείναιακόμαδυνατήκαθώςημηγραμμικήολίσθησηφάσηςκρύβει την ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στον συντονιστή, η οποία και εξαρτάται προφανώς από το επίπεδο της ισχύος εισόδου. Για να καταστεί δυνατό κάτι τέτοιο, εκφράζουμε την αποθηκευμένη ενέργεια σαν συνάρτηση των ισχύων εισόδου και εξόδου. Αναλυτικότερα, ένα μέρος της αποθηκευμένης ενέργειας στον συντονιστή χάνεται στις εγγενείς απώλειες (internal losses) του συντονιστή(ωμικές και ακτινοβολίας). Για τις απώλειες αυτές ισχύει προφανώς P int. loss = P in P out. 25 Καταφεύγονταςστονκλασικόορισμότουσυντελεστή ποιότητας ως αποθηκευμένη ενέργεια προς χαμένη ενέργεια στη διάρκεια ενός οπτικού κύκλου,εκμεταλλευόμενοι,δηλαδή,τησχέση Q i = ω W/(P in P out )πουδιέπειτηνεν λόγω διαδικασία, μπορούμε να εκφράσουμε την αποθηκευμένη ενέργεια στον συντονιστή ως W = Q i P in P out ω. (7.23) Ετσι, η(κανονικοποιημένη) μη γραμμική ολίσθηση συχνότητας που περιλαμβάνεται στην Εξ.(7.22)γράφεταιδιαδοχικάως 26 τ i ω = τ i γ a 2 = τ i γw = τ i γ Q i ω (P in P out ) = τ2 i γ 2 (P in P out ) = P in P out P, (7.24) όπου P = 2/(τ 2 i γ)χαρακτηριστικόεπίπεδοισχύοςπουσυσχετίζεταιμετοκατώφλιεμφάνισης της οπτικής διστάθειας. Η συσχέτισή του με τα αποτελέσματα του ηλεκτρομαγνητικού υπολογισμού(q i,κ)προκύπτειάμεσαμεχρήσητηςεξ.(7.19): P = 2 ( ω c 1 ) 2. (7.25) κq 2 i nmax 2 Δεδομένου ότι ο μη γραμμικός συντελεστής ανάδρασης κ είναι αντιστρόφως ανάλογος του V eff,ηελαχιστοποίησητουχαρακτηριστικούεπιπέδουισχύος P απαιτείσυντονιστήμετο μεγαλύτεροδυνατόγινόμενο κq 2 iή,ισοδύναμα,τονμεγαλύτεροδυνατόλόγο Q 2 i/v eff Υποθέτουμεότιδενυπάρχειανακλώμενοκύμαστονκυματοδηγόεισόδου,ή, ισοδύναμα,ότιστον συντονιστή ταξιδεύει κύμα με μία μόνο φορά περιστροφής(unidirectional mode). 26 Χρησιμοποιούμεεπίσηςτησχέση Q i = ω τ i /2πουσυνδέειτονσυντελεστήποιότηταςμετονχρόνο ζωής. 27 Παρατηρείστεότιοσυντελεστήςποιότηταςείναιστηδεύτερηδύναμη. Αυτόείναιλίγοδιαφορετικό από την περίπτωση των κοιλοτήτων laser, στις οποίες, σύμφωνα με τον παράγοντα Purcell, η ενίσχυση του ρυθμού της αυθόρμητης εκπομπής απαιτεί τον υψηλότερο δυνατό λόγο Q/V, όπου ο συντελεστής

211 7.2. Διάταξη συντονιστή οδεύοντος κύματος 199 Τελικά, κάνοντας χρήση της Εξ.(7.24) και ορίζοντας τις κανονικοποιημένες ισχείς p in = P in /P και p out = P out /P,ηοπτικήαπόκρισημιαςδομήςμηγραμμικούσυντονιστή οδεύοντος κύματος συζευγμένου με ευθύγραμμο κυματοδηγό τροφοδοσίας περιγράφεται από την p out = (1 r Q) 2 +( δ +p in p out ) 2 p in (1+r Q ) 2 (7.26) +( δ +p in p out ) 2. Δίνονταςτιμέςστηνισχύεισόδουμπορούμεναλύσουμεγιατηνισχύεξόδου(ήκαιτο αντίστροφο)καιναχαράξουμετηνκαμπύλη p in p out. Υπόσυγκεκριμένεςπροϋποθέσεις και για αρκούντως υψηλό επίπεδο ισχύος εισόδου, η Εξ.(7.26) επιδέχεται τρεις πραγματικές λύσεις(εκ των οποίων οι δύο ευσταθείς) με αποτέλεσμα τον σχηματισμό βρόχου υστέρησης. Ειδικότερα,γιανασυμβείαυτόηκανονικοποιημένηαπόστασησυχνοτήτων δπρέπειναλάβει αρνητικές τιμές και μάλιστα μεγαλύτερες κατά απόλυτο τιμή από κάποια τιμή κατωφλίου [271],ηοποίαστηνπερίπτωσητηςΕξ.(7.26)προκύπτειίσημε δ th = (1 + r Q ) Προφανώς,ανάλογαμετηντιμήτου r Q τοκατώφλι δ th διαφοροποιείται. Ειδικότερα,στην περίπτωσητηςκρίσιμηςσύζευξης,όπου Q i = Q e και r Q = 1τοκατώφλιγίνεται δ th = 2 3. Στηνπερίπτωσητηςισχυρήςσύζευξης(over-coupling)όπου Q i > Q e και r Q > 1 (αντιστοιχείσεφορτισμένοσυντελεστήποιότητας Q l < Q i /2)προκύπτει δ th > 2 3. Απεναντίας,στηνπερίπτωσητηςασθενούςσύζευξης(under-coupling)όπου Q i < Q e και r Q < 1(αντιστοιχείσε Q i /2 < Q l < Q i )προκύπτει δ th < 2 3.Καθώςτο r Q τείνειστο μηδέντο δ th πλησιάζειτηνοριακήτιμήτου Ο γραμμικός συντονιστής ως πρόβλημα ιδιοτιμών Λύνοντας την Εξ.(7.26) μπορούμε να προσδιορίσουμε την οπτική απόκριση συστήματος μη γραμμικού συντονιστή οδεύοντος κύματος συζευγμένου με κυματοδηγό τροφοδοσίας. Ωστόσο, για τον προσδιορισμό των μεγεθών που υπεισέρχονται σε αυτή πρέπει να προηγηθεί η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση του γραμμικού προβλήματος. Ειδικότερα, πρώτο μέλημα αποτελεί η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών ασύζευκτου συντονιστή με σκοπό τον προσδιορισμότουεσωτερικούσυντελεστήποιότητας Q i,τουμηγραμμικούσυντελεστήανάδρασης κ,καιτουχαρακτηριστικούεπιπέδουισχύος P [Εξ.(7.25)]. Στησυνέχεια,αντιμετωπίζεται το πρόβλημα ιδιοτιμών του συζευγμένου συντονιστή με σκοπό τον προσδιορισμό τηςακριβούςσυχνότηταςσυντονισμού ω υπόσυνθήκεςφόρτισης,καιτουσυνολικού(φορτισμένου)συντελεστήποιότητας Q l απότονοποίομπορούμεναεξάγουμετονεξωτερικό συντελεστήποιότητας Q e καιναπροσδιορίσουμετονλόγο r Q Ασύζευκτος συντονιστής Διακρίνουμε τρεις τύπους συντονιστών οδηγούμενου κύματος, οι οποίοι απεικονίζονται στο Σχ Η φυσική υλοποίηση βασίζεται στον μη γραμμικό CGS κυματοδηγό της ενότητας 7.1. Εκτός των ήδη γνωστών συντονιστών δακτυλίου[σχ. 7.4(α)] και δίσκου[σχ. 7.4(β)], ποιότητας εμφανίζεται στην πρώτη δύναμη. 28 Στηνευρέωςμελετημένηπερίπτωσητωνσυντονιστώνστασίμουκύματος(συζευγμένωνευθέωςήπλαγίωςμεκυματοδηγούςτροφοδοσίας)τοκατώφλιαυτόλαμβάνεταισταθερόκαιίσομε 3[31,313].Κάτι τέτοιοόντωςισχύεικατάπροσέγγιση,ωςαποτέλεσματηςθεώρησηςπολύυψηλού Q i πουπραγματοποιείταιστιςσχετικέςμελέτες. Παρόλααυτά,στηγενικήπερίπτωσηπουτα Q i και Q e είναισυγκρίσιματο κατώφλι είναι και στις διατάξεις με συντονιστές στασίμου κύματος συνάρτηση του λόγου των συντελεστών ποιότητας.

212 2 Κεφάλαιο 7 R inn Silver DDMEBT Silicon Silica R out R out ( α ) z ( β) y x R inn R out ( γ) Σχήμα7.4: Τρειςτύποισυντονιστώνοδεύοντοςκύματος: (α)δακτυλίου(r inn = R out w), (β)μικροδίσκουκαι(γ)τύπου donut(r inn < R out w).ηφυσικήυλοποίησηβασίζεταιστονμη γραμμικό CGS κυματοδηγό. συμπεριλαμβάνεται και συντονιστής τύπου donut [Σχ. 7.4(γ)], ο οποίος αποτελεί μια ενδιάμεσηπερίπτωσημετηνεσωτερικήακτίναναλαμβάνειτιμήμικρότερητου R out wπου ισχύει στην περίπτωση του δακτυλίου. Οπως είδαμε στο κεφάλαιο 4 με συντονιστές βασισμένους στον DLSPP, οι δίσκοι διαθέτουν γενικά υψηλότερους συντελεστές ποιότητας έναντι των δακτυλίων εξαιτίας των μειωμένων απωλειών ακτινοβολίας που παρουσιάζουν. Το χαρακτηριστικό αυτό δεν αποτελεί ίδιον ενός συγκεκριμένου τύπου κυματοδηγού και έχει επιβεβαιωθεί και στην περίπτωση του CGS[118]. Η εν λόγω υπεροχή είναι σημαντική στην περίπτωση μικρών τιμών ακτίνας όπου οι απώλειες ακτινοβολίας αποτελούν τον κυρίαρχο μηχανισμό απωλειών. Καθώς αναζητούμε ρυθμούς με μικρό ενεργό όγκο(οδηγούν σεμικρότερηχαρακτηριστικήισχύ P αφού κ 1/V eff ),ενδιαφερόμαστεακριβώςγιααυτήν την περιοχή ακτίνων. Ετσι, και δεδομένου ότι κατά τον προσδιορισμό της χαρακτηριστικήςισχύος P οσυντελεστήςποιότηταςλογίζεταιστηδεύτερηδύναμη[βλ. Εξ.(7.25)], η υπεροχή του δίσκου ως προς τις εφαρμογές οπτικής διστάθειας αναμένεται σημαντική. Κατά συνέπεια, στο υπόλοιπο του κεφαλαίου επικεντρωνόμαστε στη γεωμετρία αυτή. Ο συντονιστής τύπου donut μπορεί να φανεί χρήσιμος στην περίπτωση που θέλουμε να καταστείλουμε κάποιους ανεπιθύμητους συντονισμούς του δίσκου. Ειδικότερα, εκτός των πλασμονικών ρυθμών πρώτης ακτινικής τάξης που πρόκειται να αξιοποιήσουμε, ο δίσκος υποστηρίζει επίσης πλασμονικούς ρυθμούς ανώτερης ακτινικής τάξης, ρυθμούς με φωτονικό χαρακτήρα που εντοπίζονται στο στρώμα πυριτίου, καθώς και στάσιμους συντονισμούς. Ολοι αυτοί οι ρυθμοί εκτείνονται περισσότερο προς το κέντρο του συντονιστή συγκριτικά με τους πλασμονικούς ρυθμούς πρώτης ακτινικής τάξης. Ετσι ρυθμίζοντας την εσωτερική ακτίνα σε κατάλληλη τιμή μπορούμε να καταστείλουμε κάποιους από αυτούς. Φροντίζουμε βέβαια η ρύθμιση αυτή να μην επηρεάζει σημαντικά τον ρυθμό πρώτης ακτινικής τάξης. Στην περίπτωσήμαςαυτόικανοποιείταιγιααποστάσεις R out R inn μεγαλύτερεςτων5 nm.

213 Characteristic Power P (mw) Effective Volume ( µ m 3 ) 7.2. Διάταξη συντονιστή οδεύοντος κύματος 21 NL Feedback Parameter κ x R out Intrinsic Quality Factor Q i Outer Radius (µm) Outer Radius (µm) ( α ) ( β) Σχήμα 7.5: Ασύζευκτος συντονιστής δίσκου βασισμένος στον μη γραμμικό CGS κυματοδηγό. (α)μηγραμμικόςσυντελεστήςανάδρασης κκαιενεργόςόγκοςρυθμού V eff σανσυνάρτηση τηςακτίνας. (β)εσωτερικόςσυντελεστήςποιότητας Q i καιχαρακτηριστικόεπίπεδοισχύος P σανσυνάρτησητηςακτίνας. Τοβέλτιστοσημείοαντιστοιχείσεακτίνα 1μmμετηνισχύ P να διαμορφώνεται στα 215 mw. Αρχικά, διεξάγουμεμιαπαραμετρικήμελέτηωςπροςτηνεξωτερικήακτίνα R out με σκοπότονπροσδιορισμότηςτιμήςεκείνηςπουοδηγείστοελάχιστοεπίπεδοισχύος P. Είναι προφανές ότι η αύξηση της ακτίνας οδηγεί μεν σε υψηλότερο συντελεστή ποιότητας αλλά παράλληλα σε ρυθμό συντονισμού που καταλαμβάνει μεγαλύτερο ενεργό όγκο και συνεπώς παρουσιάζει χαμηλότερο συντελεστή ανάδρασης κ. Ετσι, αναζητούμε την τιμή ακτίνας που οδηγεί στον καλύτερο συμβιβασμό, δηλαδή στη μεγιστοποίηση του γινομένου κq 2 i.ηακτίναλαμβάνειεννέαδιακριτέςτιμέςστοεύρος.7 1.5μmκαιτααποτελέσματα συγκεντρώνονταιστοσχήμα Ηδυνατότηταεπίτευξηςτόσοχαμηλώντιμώνακτίνας είναι αποτέλεσμα της ισχυρότατης συγκέντρωσης της δομής του CGS κυματοδηγού. Κάθε σημείο υπολογισμού στο Σχ. 7.5 αντιστοιχεί και σε ρυθμό με διαφορετική αζιμουθιακή τάξη m: από m = 6για Rout min =.71μmέως m = 14για Rout max = 1.47 μm. Οι ακριβείς τιμές της ακτίνας ρυθμίζονται κατάλληλα έτσι ώστε η συχνότητα συντονισμού του κάθε ρυθμούνααπέχειαπόστασημικρότερητων5nmαπότομήκοςκύματοςτων 1.55μm. Στο Σχ. 7.5(α) απεικονίζονται οι τιμές του μη γραμμικού συντελεστή ανάδρασης κ [Εξ.(7.11)] και του ενεργού όγκου[εξ.(7.12)]. Γίνεται εμφανές ότι τα δύο μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα καθώς ο συντελεστής ανάδρασης ελαττώνεται με την αύξηση της ακτίνας ενώ το ανάποδο συμβαίνει με τον ενεργό όγκο. Για την ελάχιστη τιμή ακτίνας των.71μmοσυντελεστήςκλαμβάνειτηνυψηλότερητιμήτου: 5 1 3,ενώοενεργόςόγκος διαμορφώνεταιστα.283 µm 3. 3 Παρόλααυτά,δενσημαίνειότιαυτήείναικαιηβέλτιστη τιμή ακτίνας καθώς ο συντελεστής ποιότητας αυξάνει με την ακτίνα[σχ. 7.5(β)] και μάλιστα 29 Ησυνεχήςγραμμήδεναντιστοιχείσευπολογισμόπαράσυνδέειταεπιμέρουςσημείακαιλειτουργείως οδηγός για το μάτι. 3 Η τιμήαυτήείναιμόλις3.3φορές μεγαλύτερηαπότοόριοχωρικούπεριορισμού [λ /(2n pol )] 3.8 µm 3 πουπροβλέπεταιαπότοόριοπερίθλασης. Ηεπίδοσηαυτήείναιεξαιρετικάκαλήδεδομένηςτης φύσης του συντονιστή(οδεύοντος κύματος) και της απουσίας μεταλλικών τοιχωμάτων που να περιορίζουν τον ρυθμό κατά την εγκάρσια έννοια επιτρέποντας αυθαίρετα μικρούς ενεργούς όγκους(κάτι που θα είχε βέβαια αντίκτυπο στις ωμικές απώλειες).

214 22 Κεφάλαιο 7 z xy y x xz y coordinate ( µ m) 2 1 (β) (α) E z E z -1 xy-plane: z = 365 nm (Polymer mid-plane) x coordinate ( µ m) z coordinate ( µ m).5 xz-plane x coordinate ( µ m) Σχήμα7.6: Ρυθμόςαζιμουθιακήςτάξης m = 9μεμήκοςκύματοςσυντονισμού λ res = 1553 nm για δίσκο ακτίνας 1 μm. Σχεδιάζεται το μέτρο της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου (α)στο xy-επίπεδοπουπερνάειαπότομέσοτουστρώματοςπολυμερούς(z = 365 nm)και(β)στο xz-επίπεδο που περνάει από το κέντρο του συντονιστή. λογίζεταιστηδεύτερηδύναμηκατάτονυπολογισμότου P. Ειδικότερα,γιατιμήακτίνας Rout max = 1.47 μm ο εσωτερικός συντελεστής ποιότητας λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του: 215, ενώγια Rout min =.71μmπροκύπτειίσοςμε95.Γιαμικρότερεςτιμέςακτίναςοιαπώλειες ακτινοβολίας γίνονται σημαντικές με αποτέλεσμα τη ραγδαία πτώση του συντελεστή ποιότητας. Από την άλλη, για τιμές ακτίνας μεγαλύτερες των 1.5 μm ο συντελεστής ποιότητας δεν βελτιώνεται σημαντικά καθώς φράσσεται από τις ωμικές απώλειες. Σύμφωνα με το σχήμα Σχ.7.5(β),ηβέλτιστητιμήακτίναςείναιτο 1μmκαιαντιστοιχείσερυθμόμεαζιμουθιακή τάξη m = 9καισυχνότητασυντονισμού 1553 nm. Γιατηντιμήαυτήακτίναςτοεπίπεδο ισχύος P λαμβάνειτηνελάχιστητιμήτουκαιδιαμορφώνεταιστα215 mw. 31 Ορυθμόςσυντονισμούπουαντιστοιχείστοελάχιστο P απεικονίζεταιστοσχ.7.6.ειδικότερα, στο Σχ. 7.6(α) σχεδιάζεται το μέτρο της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίουστο xy-επίπεδοπουπερνάειαπότομέσοτουστρώματοςπολυμερούς(y = 365 nm). Παρατηρείστε την ισχυρή συγκέντρωση του ρυθμού στον συντονιστή, ενδεικτικό του υψηλού συντελεστή ποιότητας. Σημειώνεται ότι η μορφή στάσιμου κύματος(σχεδιάζεται το μέτροκαιόχιτοπραγματικόμέροςτης E z )οφείλεταιστησυμβολήτωνδύοεκφυλισμένων ρυθμών του συντονιστή με ίδια συχνότητα συντονισμού και διαφορετική φορά περιστροφής: ωρολογιακή και ανθωρολογιακή, αντίστοιχα. Εντελώς ανάλογα, στο Σχ. 7.6(β) σχεδιάζεται το μέτρο της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου σε xz-επίπεδο που περνάει από το κέντρο του συντονιστή. Είναι εμφανής η πλασμονική φύση του ρυθμού και η ομοιότητα της κατανομής με αυτή του βασικού ρυθμού του CGS κυματοδηγού[πρβ. σχήμα 7.1(β)], με το πεδίο να είναι ισχυρά εντοπισμένο στο στρώμα πολυμερούς. 31 Αναφορικάμετηνυπεροχήτουδίσκουσημειώνουμεότιγιατοναντίστοιχοσυντονισμότουδακτυλίου (m = 9, λ res 1.55μm)το P προκύπτειπερίπου37 mw.