Περιεχόμενα διάλεξης

Transcript

1 4η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Κυματική Εξίσωση Ακριβής Λύση Οπτικών Ινών Ταξινόμηση Τρόπων Αριθμός Τρόπων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 2 Page 1

2 Παράρτημα Κυματική εξίσωση Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Κυματική εξίσωση ΗΠ Για ομογενές, ισότροπο, γραμμικό διηλεκτρικό μέσο χωρίς απώλειες: όπου 2 2 E E με = 0 2 t = E ε= μ= Ηλεκτρικό πεδίο Διηλεκτρική σταθερά Μαγνητική διαπερατότητα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Page 2

3 Οδεύον κύμα E z = E0 g( t± ) υ όπου όρισα την ταχύτητα διάδοσης (φάσης) του κύματος υ 1 υ = με Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Αρμονικό κύμα E = E0 exp( iωt± iβ z) Αναλυτικό σήμα όπου όρισα τη σταθερά διάδοσης ω β = υ E = E0 exp( ± iβ z) Μιγαδική περιβάλλουσα (φάσορας) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Page 3

4 Άλλοι ορισμοί Μήκος κύματος (χωρική περίοδος κύματος κατά τον άξονα ζ) βλ 2π = 2π β = λ Δείκτης διάθλασης ε r μr c n = = υ μ ε Σχετική διηλεκτρική σταθερά r Σχετική μαγνητική διαπερατότητα r Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Διανυσματική εξίσωση Helmholtz Ι Η κυματική εξίσωση για το ηλεκτρικό πεδίο για τη μιγαδική περιβάλλουσα είναι 2 2 E+ k E = 0 όπου όρισα τον κυματάριθμο k = ω με Ομοίως για τη μιγαδική περιβάλλουσα του μαγνητικού πεδίου 2 2 H+ k H = 0 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Page 4

5 Διανυσματική εξίσωση Helmholtz ΙΙ E n k0 E 0 + = H n k0 H 0 + = όπου όρισα τον κυματάριθμο στο κενό k = ω με Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Ακριβής ανάλυση οπτικής ίνας Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 10 Page 5

6 Υποθέσεις Ιδανική οπτική ίνα Ομογενής Ισότροπη Γραμμική Χωρίς απώλειες Με ντύμα απείρων διαστάσεων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 11 Ακριβής ορισμός τρόπου Τρόπος = Λύση της κυματικής εξίσωσης η οποία είναι αρμονική συνάρτηση ως προς το χρόνο (η χωρική του κατανομή δεν μεταβάλλεται κατά την μετάδοση) και ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ πυρήνα και ντύματος Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 12 Page 6

7 Λύση εξίσωσης Helmholtz Ι Υποθέτουμε λύση της μορφής Σε κυλινδρικές συντεταγμένες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 13 Λύση εξίσωσης Helmholtz ΙΙ Θέτω Εκφράζω την εγκάρσια Λαπλασιανή σε κυλινδρικές συντεταγμένες Γενική λύση (υπέρθεση τρόπων & χωρισμός μεταβλητών) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 14 Page 7

8 Λύση εξίσωσης Helmholtz ΙΙΙ Για ένα στοιχειώδη τρόπο Επιμέρους διαφορικές εξισώσεις (Γωνιακή) (Ακτινική) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 15 Λύση γωνιακής ΔΕ Λύση όπου q α Ακέραιος (γωνιακός αριθμός) Αυθαίρετη σταθερά φάσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 16 Page 8

9 Λύση ακτινικής ΔΕ Εξίσωση Bessel Γενική λύση όπου J q N I q K q q Κανονική συνάρτηση Bessel πρώτου είδους βαθμού q Κανονική συνάρτηση Bessel δεύτερου είδους βαθμού q Τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους βαθμού q Τροποποιημένη συνάρτηση Bessel δεύτερου είδους βαθμού q Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 17 Εξισώσεις Bessel Ι Κανονικές συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους Κανονικές συναρτήσεις Bessel δεύτερου είδους Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 18 Page 9

10 Εξισώσεις Bessel ΙΙ Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel δεύτερου είδους Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 19 Τελική λύση Ε z, H z Όπου όρισα τις κανονικοποιημένες παραμέτρους Εγκάρσια σταθερά διάδοσης Εγκάρσιος συντελεστής εξασθένησης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 20 Page 10

11 Υπολογισμός λοιπών συνιστωσών Από τις εξισώσεις Maxwell Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 21 Γενική λύση (πυρήνας) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 22 Page 11

12 Γενική λύση (ντύμα) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 23 Οριακές συνθήκες Ι Συνέχεια εφαπτομενικών συνιστωσών ΗΠ, ΜΠ: E ( a) = E ( a) z1 z2 H ( a) = H ( a) z1 z2 E ( a) = E ( a) φ φ 1 2 H ( a) = H ( a) φ φ 1 2 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 24 Page 12

13 Οριακές συνθήκες ΙΙ Σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους: Μη μηδενική λύση για det[m]=0: Χαρακτηριστική εξίσωση Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 25 Παράμετρος V Ορίζω την αδιάστατη παράμετρο: V = u + w Από τον ορισμό των u,w: 2 2 V = ( n n ) k a = NAk a Εξαρτάται από τις γεωμετρικές παραμέτρους και τη συχνότητα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 26 Page 13

14 Λύση χαρακτηριστικής εξίσωσης Υπερβατική εξίσωση οπότε αριθμητική λύση Για δεδομένα V, q υπάρχουν m ρίζες Από κάθε ρίζα υπολογίζω β,w,u Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 27 Ταξινόμηση τρόπων Ονομασία Υβριδικοί τρόποι (q>0) TE (q=0, Ε z =0) TM (q=0, Η z =0) Συμβολισμός HEqm, EHqm TE 0 m TM 0 m Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 28 Page 14

15 Σταθερά διάδοσης β/k 0 Για V<2.405 η ίνα γίνεται μονότροπη! Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 29 Προσεγγιστικός υπολογισμός ιδιοτιμών Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 30 Page 15

16 Απλοποιημένη χαρακτηριστική εξίσωση Μικρά Δ [4, pp ] u Jl 1( u) Kl 1( w) = w J ( u) K ( w) l l όπου 1 l = q+ 1 q 1 TE, TM 0m 0m EH HE qm qm Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 31 Γραφική λύση (V=2) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 32 Page 16

17 Γραφική λύση (V=8) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 33 Ταξινόμηση τρόπων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 34 Page 17

18 Σταθερές διάδοσης Κανονικοποιημένη σταθερά μετάδοσης 2 b = 1 u 2 V D. Gloge, App. Opt. 10, 2252,1971. [2, p.42] Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 35 Ισοδυναμικές γραμμές I LP 11 LP 12 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 36 Page 18

19 Ισοδυναμικές γραμμές II LP 21 LP 22 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 37 Δυναμικές γραμμές LP 01 TE 02 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 38 Page 19

20 Ένταση LP 01 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 39 Ένταση LP 11 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 40 Page 20

21 Ένταση LP 21 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 41 Ένταση LP 02 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 42 Page 21

22 Ένταση LP 31 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 43 Ένταση LP 12 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 44 Page 22

23 Ένταση LP 11 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 45 Φωτογραφίες έντασης τρόπων LP 21 LP 31 LP 12 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 46 Page 23

24 Αριθμός τρόπων Εξαρτάται από το V N mod es V 2 2 D. Gloge, App. Opt. 10, 2252,1971. [4, p.283] Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 47 Αριθμητικό παράδειγμα Ι Δεδομένα Λύση (ίνα με ντύμα) n 1 = 1.46 Δ = 1% λ 0 = 0.85 μm NA = n 1 2Δ = V = 37.9 N mod es V modes Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 48 Page 24

25 Αριθμητικό παράδειγμα ΙΙ Λύση (ίνα χωρίς ντύμα) n 2 =1 NA = 1 V = N mod es V2 2 13,800 modes Συμπέρασμα: Υπάρχουν πολύ περισσότεροι τρόποι σε ίνα χωρίς ντύμα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 49 Θεμελιώδης τρόπος LP 01 iβ z E 0 ( / ) for a ( r, z ) A J ur a e r x = J i z 0( u ) / K 0( w ) K 0( wr / a ) e β for r a Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 50 Page 25

26 Προσέγγιση LP 01 όπου w το εύρος της δέσμης. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 51 Κλάσμα ισχύος στον πυρήνα Βάσει της προσέγγισης Gauss: Για V=2, Pcore/Ptotal=75% V=1, Pcore/Ptotal=20% Συμπέρασμα : Βέλτιστη τιμή 2<V<2.4 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 52 Page 26

27 Βιβλιογραφία Ι Άλλα βοηθήματα [1] John M. Senior, "Optical Fiber Communications : Principles and Practice," Prentice Hall, 2nd edition, 1993, ISBN: [2] Paul Diament, Wave Transmission and Fiber Optics, Macmillan, [3] Bahaa E.A. Saleh, M. C. Teich, "Fundamentals of Photonics," Wiley, [4] Dietrich Marcuse, "Theory of dielectric optical waveguides," Academic Press, [5] Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, "Fields and Waves in Communication Electronics," Wiley, 1993, ISBN: Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 53 Βιβλιογραφία ΙΙ Wim Van Etten and Jan Van Der Plaats, Fundamentals of optical fiber communications, Prentice Hall, 2nd edition, 1991, ISBN: J. Buck, Fundamental of optical fibers, Wiley, 1995, ISBN: Ν. Ουζούνογλου, Τηλεπικοινωνίες Οπτικών Ινών, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 54 Page 27