Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Πολυτεχνικη Σχολη Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων Τομεας Τηλεπικοινωνιων

Transcript

1 Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Πολυτεχνικη Σχολη Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων Τομεας Τηλεπικοινωνιων ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Ανάπτυξη υπολογιστικών τεχνικών για την ανάλυση και σχεδίαση μικροκυματικών και φωτονικών διατάξεων με την ενσωμάτωση στοιχείων συντονισμού και δομών με τεχνητές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες Δήμητρα Α. Κετζάκη Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2015

2

3 Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Πολυτεχνικη Σχολη Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων Τομεας Τηλεπικοινωνιων τιτλος διατριβης Ανάπτυξη υπολογιστικών τεχνικών για την ανάλυση και σχεδίαση μικροκυματικών και φωτονικών διατάξεων με την ενσωμάτωση στοιχείων συντονισμού και δομών με τεχνητές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες επιβλεπων Τραϊανός Β. Γιούλτσης Αναπ. Καθηγητής Α.Π.Θ. μελη τριμελους συμβουλευτικης επιτροπης Χρήστος Σ. Αντωνόπουλος Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Τραϊανός Β. Γιούλτσης Καθηγητής Καθηγητής Αναπ. Καθηγητής μελη επταμελους εξεταστικης επιτροπης Θεόδωρος Δ. Τσιμπούκης Χρήστος Σ. Αντωνόπουλος Θωμάς Δ. Ξένος Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Ιωάννης Τ. Ρέκανος Τραϊανός Β. Γιούλτσης Νικόλαος Β. Κανταρτζής Καθηγητής Καθηγητής Καθηγητής Καθηγητής Αναπ. Καθηγητής Αναπ. Καθηγητής Επικ. Καθηγητής «Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2) co Δήμητρα Κετζάκη, Α.Π.Θ.

4

5 Στην οικογένειά μου και στο Χρυσόστομο

6

7 Πρόλογος Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κατά τα έτη Στην προσπάθεια αυτή συνέβαλε η παρουσία, η συμπαράσταση και η βοήθεια κάποιων ανθρώπων, τους οποίους αισθάνομαι την ανάγκη να αναφέρω. Πρώτον απ όλους θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα της διατριβής, αναπληρωτή καθηγητή κ. Τραϊανό Γιούλτση, για τις ευκαιρίες που μου έδωσε και το ειλικρινές και αμείωτο ενδιαφέρον με το οποίο αντιμετώπισε την προσπάθειά μου. Η συνεχής και αμέριστη επιστημονική του καθοδήγηση, η γενναιοδωρία της σκέψης του και η ουσιαστική και αμείωτη υποστήριξή του αποτέλεσαν καταλυτικό παράγοντα σε κάθε βήμα προς την ολοκλήρωση αυτής της διαδρομής. Ι- διαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω, επίσης, τον καθηγητή κ. Εμμανουήλ Κριεζή, για την πολύτιμη βοήθεια, το ενδιαφέρον του και τη δημιουργική συνεργασία που είχαμε όλα αυτά τα χρόνια. Ευχαριστώ, ακόμη, τον καθηγητή κ. Χρήστο Αντωνόπουλο, μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής, για τη συμπαράσταση και το ενδιαφέρον του. Κατά τη διάρκεια της προσπάθειας αυτής είχα, επίσης, την χαρά να συναναστραφώ και να συνεργαστώ με πολλούς καλούς συναδέλφους, η βοήθεια, οι εύστοχες παρατηρήσεις και οι συμβουλές των οποίων συνέβαλαν στην ολοκλήρωσή της. Ευχαριστώ, λοιπόν, θερμά τους Δημήτρη Ντάικο, Οδυσσέα Τσιλιπάκο, Μιχάλη Νήτα, Άννα Τασολάμπρου, Αλέξανδρο Πιτιλάκη, Στέλιο Ασημώνη, Γιώργο Σινάτκα, Δημήτρη Χατζηδημητρίου, Βασίλη Σαλονικιό και Νεκτάριο Μπουργή. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον εγκάρδιο φίλο και συνάδελφο Κωστή Αρκουδογιάννη, για την αμέριστη συμπαράσταση, τις γόνιμες συζητήσεις και τις πολύτιμες συμβουλές του όλα αυτά τα χρόνια. Τέλος, ευχαριστώ ολόψυχα τους γονείς μου, Αναστάσιο και Τάνια, την αδερφή μου, Ελένη, και τον αγαπημένο μου σύντροφο, Χρυσόστομο, η αδιάκοπη και ουσιώδης στήριξη των οποίων αποτελεί την κινητήριο δύναμη για την επίτευξη των στόχων μου σε κάθε επίπεδο. Δήμητρα Κετζάκη Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2015 i

8

9 Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα i iii 1 Εισαγωγή Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας Επίπεδες κεραίες πολλαπλών εισόδων-εξόδων με ενσωματωμένες διατάξεις συντονιστών βασισμένων στα μεταϋλικά Δομές μεταϋλικών Γενικά Χαρακτηριστικά και παράμετροι των μεταϋλικών Διατάξεις συντονιστών διακεκομμένου δακτυλίου Επίπεδες τυπωμένες κεραίες με τροφοδοσία μικροταινίας Επίπεδες τυπωμένες κεραίες πολλαπλών εισόδων-εξόδων Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Υπολογιστική μέθοδος ανάλυσης Μεθοδολογία σχεδίασης επίπεδης κεραίας MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Ανακεφαλαίωση Ανάλυση διαγράμματος διασποράς περιοδικών δομών Δομές με περιοδικότητα Διατάξεις με μονοδιάστατη περιοδικότητα Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης Διατύπωση του προβλήματος ιδιοτιμών με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Εύρεση υποστηριζόμενων ιδιορρυθμών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Εναλλακτική διατύπωση του προβλήματος ιδιοτιμών σύμφωνα με το θεώρημα Bloch Ανακεφαλαίωση iii

10 Περιεχόμενα iv 4 Πλασμονικά φίλτρα-διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος Πλασμονικοί κυματοδηγοί Οπτικοί κυματοδηγοί Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί Πολυστρωματικές διατάξεις μετάλλων-διηλεκτρικών Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί Υβριδικός κυματοδηγός CGS Συντονιστές οδεύοντος κύματος μικροδακτυλίου και μικροδίσκου Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Αρχή λειτουργίας Υπολογιστική μέθοδος ανάλυσης Φίλτρα συντονιστών οδεύοντος κύματος με σχήμα δακτυλίου Θεωρία συζευγμένων ρυθμών: Σύγκριση αποτελεσμάτων Φίλτρα συντονιστών μικροδίσκου Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος Φαινόμενο ηλεκτρομαγνητικά επαγόμενης διαφάνειας Μοντέλο θεωρίας συζευγμένων ρυθμών Απόκριση τύπου EIT με συντονιστές μικροδακτυλίου Απόκριση τύπου EIT με συντονιστές μικροδίσκου Δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου Ανακεφαλαίωση Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης - Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές Διατύπωση εξισώσεων διάδοσης Διακριτοποίηση διατομής με πεπερασμένες διαφορές Επαναληπτικό σχήμα Crank-Nicolson Οριακές συνθήκες Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας Πρόσπτωση επίπεδου κύματος σε σφαίρα με γνωστές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες Επέκταση ευρείας γωνίας Επέκταση ευρείας γωνίας μέσω αναπτύγματος Taylor Πλήρης επέκταση ευρείας γωνίας Σύγκριση αποτελεσμάτων Ανακεφαλαίωση Συμπεράσματα - Μελλοντικές κατευθύνσεις 163 Βιβλιογραφία 168

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή Η μελέτη των φαινομένων του ηλεκτρομαγνητισμού αποτελεί θεμελιώδες στοιχείο τόσο των φυσικών, όσο και των τεχνολογικών επιστημών. Κι αυτό, επειδή συνιστά αναγκαία διαδικασία προς την κατανόηση και τον σχεδιασμό πολλών από τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται σε πληθώρα σύγχρονων πρακτικών εφαρμογών. Οι διατάξεις κεραιών, τα μικροκυματικά κυκλώματα, τα συστήματα οπτικών επικοινωνιών, τα ραντάρ καθώς και τα κυκλώματα ραδιοσυχνοτήτων είναι μερικές μόνο από τις εφαρμογές αυτές. Η διερεύνηση των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων περιλαμβάνει τόσο την κατανόηση του θεωρητικού πλαισίου στο οποίο εντάσσεται κάθε εφαρμογή, όσο και τις ιδιαιτερότητες της πρακτικής της υλοποίησης. Στις σύγχρονες τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές, περιέχονται διατάξεις, οι οποίες είτε εξαιτίας των γεωμετρικών τους χαρακτηριστικών, είτε λόγω των ιδιοτήτων των υλικών από τα οποία συντίθενται (ανισοτροπικά, μη γραμμικά υλικά, υλικά που εμφανίζουν συχνοτική διασπορά κλπ.), παρουσιάζουν αυξημένη πολυπλοκότητα. Ετσι, η ανάπτυξη κάποιου αναλυτικού θεωρητικού μοντέλου, που θα περιγράφει το αποτέλεσμα της εφαρμογής των φυσικών νόμων σε αυτές, καθίσταται μια διαδικασία ιδιαίτερα δυσχερής έως και αδύνατη. Η λύση στο ζήτημα αυτό δίνεται, σε πολλές περιπτώσεις, με τη χρήση κάποιας υπολογιστικής μεθόδου επίλυσης. Στην παρούσα διατριβή, μελετάται η διαδικασία ανάλυσης και σχεδίασης διατάξεων που λειτουργούν στις περιοχές των μικροκυματικών και οπτικών συχνοτήτων. Οι διατάξεις αυτές περιλαμβάνουν συντονιστικές δομές σχεδιασμένες κατάλληλα ώστε να ελέγχουν, κατά κάποιον τρόπο, τα χαρακτηριστικά των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με τα οποία αλληλεπιδρούν. Ετσι, στο εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο, επιχειρείται μια σύντομη περιγραφή των βασικότερων σημείων της ιστορικής και βιβλιογραφικής διαδρομής που ακολουθήθηκε μέχρι σήμερα και σχετίζεται με τις επιστημονικές εξελίξεις στις περιοχές αυτές. Με τον όρο μικροκύματα (microwaves) αναφερόμαστε σ εκείνη την κατηγορία ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που έχουν συχνότητες μεταξύ 300 MHz και 300 GHz. 1 Ο όρος χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1932 από τον Nello Carrara, για να χαρακτηρίσει τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μικρότερο των 30 cm. Εκείνη την εποχή, η χρησιμοποίηση τόσο υψηλών συχνοτήτων αφορούσε κυρίως την ερευνητική περιοχή λειτουργίας των διατάξεων ραντάρ. Εκτοτε, 1 Πολλές φορές στη σχετική βιβλιογραφία αντί του όρου μικροκύματα χρησιμοποιείται ο όρος ραδιοκύματα (Radio-Frequency, RF, waves) ή για την ανώτερη περιοχή της ζώνης συχνοτήτων ο όρος χιλιοστομετρικά κύματα (millimeter waves). 1

12 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 2 ωστόσο, οι εφαρμογές που αναπτύχθηκαν συμπεριλαμβάνουν τα συστήματα κινητής τηλεφωνίας (cellular telephone systems), τα συστήματα δορυφορικών διατάξεων (satellite systems), τα τοπικά ασύρματα δίκτυα (Wireless Area Networks, WLANs), την τεχνολογία υπερευρείας ζώνης (Ultra Wide Band, UWB) καθώς και πλήθος συστημάτων ανίχνευσης με εφαρμογή στη βιοϊατρική, τη μετεωρολογία κ.α. Βασικό χαρακτηριστικό όλων των παραπάνω διατάξεων είναι ότι διαχειρίζονται ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκη κύματος συγκρίσιμα με τις διαστάσεις τους (ο λόγος των διαστάσεων ως προς τα αντίστοιχα μήκη κύματος κυμαίνεται περίπου μεταξύ 0.1 και 10). Εξαιτίας αυτής της συσχέτισης, μήκους κύματος και αντίστοιχων διαστάσεων, η αντιμετώπιση των φαινομένων που αναπτύσσονται στις μικροκυματικές διατάξεις δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί ούτε στα πλαίσια της κυκλωματικής θεωρίας συγκεντρωμένων διατάξεων (lumped circuit theory) αλλά ούτε και στα πλαίσια της θεωρίας της γεωμετρικής οπτικής (theory of geometrical optics). Ετσι, για την ανάλυσή τους θα πρέπει να επιλύονται οι εξισώσεις του Maxwell ως έχουν. 2 Ενα από τα βασικότερα τμήματα ενός συστήματος επικοινωνιών που λειτουργεί στην περιοχή των μικροκυμάτων, είναι οι διατάξεις κεραιών. Η ιστορία των κεραιών ξεκινά ήδη από το 1886, όταν ο H. Hertz παρουσίασε το πρώτο ασύρματο ηλεκτρομαγνητικό σύστημα, παράγοντας, εργαστηριακά, έναν σπινθήρα στο σημείο τροφοδοσίας ενός διπολικού στοιχείου μήκους λ/2 και λαμβάνοντας έναν αντίστοιχο σπινθηρισμό στο εσωτερικό μιας γειτονικής κεραίας βρόχου. Πέντε χρόνια αργότερα, ο G. Marconi κατάφερε την πρώτη ασύρματη υπερατλαντική ζεύξη χρησιμοποιώντας ένα σύστημα γραμμικών κεραιών (wire antennas). Από το πείραμα του Marconi μέχρι τη δεκαετία του 1940, η ανάπτυξη διατάξεων κεραιών αφορούσε κυρίως γραμμικά στοιχεία και συχνότητες λειτουργίας μέχρι την περιοχή των υπερυψηλών συχνοτήτων (Ultra High Frequencies, UHF). Με την έλευση του δεύτερου παγκοσμίου πολέμου, ωστόσο, σηματοδοτήθηκε μια νέα εποχή για την ανάπτυξη των συστημάτων κεραιών εισάγοντας στοιχεία όπως οι κεραίες ανοίγματος κυματοδηγού (waveguide aperture antennas), οι κεραίες χοάνης (horn antennas), οι κεραίες ανακλαστήρα (reflector antennas) κ.α. 3 Κάποιες δεκαετίες αργότερα (περίπου στη δεκαετία του 1970), η ανάγκη εξοικονόμησης χώρου και δημιουργίας πρακτικών συσκευών ευρείας χρησιμοποίησης οδήγησε στη σχεδίαση επίπεδων μικρών κεραιών. Οι επίπεδες αυτές κεραίες που ονομάστηκαν κεραίες μικροταινίας (patch antennas), εκμεταλλευόμενες την αναπτυσσόμενη τότε τεχνολογία των τυπωμένων κυκλωματικών πλακετών (Printed Circuit Board, PCB), αποτελούν μέχρι και σήμερα οδηγό στη σχεδίαση και κατασκευή πολλών σύγχρονων επίπεδων, μικρών κεραιών. Στα πλεονεκτήματά τους, ήρθε να προστεθεί λίγο αργότερα και η ευκολία συνδυασμού τους με την τεχνολογία των μικροκυματικών μονολιθικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (Microwave Monolithic Integrate Circuits, MIMICs), οδηγώντας στην κατασκευή συμπαγών (compact) συστημάτων με εφαρμογές στα συστήματα ταυτοποίησης μέσω ραδιοσυχνοτήτων (Radio-Frequency Identification, RFID), στα συστήματα κινητής τηλεφωνίας (mobile systems), σε εφαρμογές εντοπισμού θέσης (Global Positioning Systems, GPS), σε συστήματα τηλεοπτικής ή ραδιοφωνικής μετάδοσης, σε διατάξεις 2 Το 1873, ο J. C. Maxwell, συνδυάζοντας τις εργασίες των Faraday, Ampère, Gauss, Coulomb κ.α, διατύπωσε μια σειρά διανυσματικών εξισώσεων που περιγράφουν μακροσκοπικά τη φύση των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων. Από τις εξισώσεις αυτές προέκυψε θεωρητικά τόσο η επίτευξη της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, όσο και η υπόθεση ότι το φως είναι μία μορφή ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας. Στην δεκαετία που ακολούθησε, η εργασία του Maxwell επιβεβαιώθηκε και απλοποιήθηκε σε θεωρητικό επίπεδο από τον O. Heaviside, ενώ επαληθεύτηκε και πειραματικά από τον H. Hertz. 3 Στη δημιουργία της νέας αυτής εποχής συνέβαλε και η ανακάλυψη μικροκυματικών πηγών, όπως οι πηγές klystron και magnetron επεκτείνοντας τις συχνότητες λειτουργίας και πάνω από τα 1 GHz.

13 Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή ραντάρ, σε δορυφορικά συστήματα κ.α. Η εξέλιξη των συστημάτων κεραιών αποτέλεσε σημαντικό παράγοντα βελτίωσης πολλών από τα προαναφερθέντα τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα κατηγορία συστημάτων που αναπτύχθηκαν τις τελευταίες δεκαετίες και στα οποία η εξέλιξη των διατάξεων κεραιών διαδραμάτισε σημαντικό ρόλο είναι τα συστήματα πολλαπλών εισόδων-εξόδων (Multiple Input Multiple Output, MIMO) [1]. Η τεχνολογία MIMO θεωρείται θεμελιακό στοιχείο της εξέλιξης των ασύρματων συστημάτων των επόμενων ετών. Κι αυτό, επειδή υπόσχεται βελτίωση του ρυθμού μετάδοσης δεδομένων, μέσω της θωράκισης απέναντι στο φαινόμενο των διαλείψεων (fading) που προσφέρει η χρησιμοποίηση πολλαπλών υποκαναλιών και αύξηση της χωρητικότητας καναλιού χωρίς την ταυτόχρονη απαίτηση αύξησης της ισχύος. Τα συστήματα MIMO αποτέλεσαν αντικείμενο έρευνας των τελευταίων δεκαετιών. Το 1984 ο J. Winters συνέταξε μια μελέτη ευρεσιτεχνίας με αντικείμενο την χρησιμοποίηση πολλαπλών κεραιών σ ένα ασύρματο κανάλι επικοινωνίας. Ο ίδιος ερευνητής, τρία χρόνια αργότερα, παρουσίασε μια εκτενή μελέτη των θεμελιωδών ορίων του ρυθμού μετάδοσης σε συστήματα πολλαπλών κεραιών που λειτουργούν υπό την επίδραση ενός καναλιού με φαινόμενα διαλείψεων τύπου Rayleigh. Εκτοτε και μέχρι την πρώτη εμπορική εφαρμογή ενός συστήματος MIMO το 2001 από την εταιρία Iospan Wireless Inc. ακολούθησε πλήθος σχετικών μελετών [2 4]. Οι εμπορικές εφαρμογές που ακολούθησαν τα επόμενα χρόνια 4 σε συνδυασμό με την πληθώρα μελετών και αναλύσεων των συστημάτων αυτών, κατέστησαν την τεχνολογία MIMO μία από τις δημοφιλέστερες περιοχές έρευνας στην περιοχή των ασύρματων συστημάτων επικοινωνιών. Από τις διάφορες τεχνικές διαφορισμού (diversity techniques) που χρησιμοποιούνται στα συστήματα MIMO για τον σχηματισμό πολλαπλών αντιγράφων του ίδιου σήματος, ο διαφορισμός χώρου ή κεραίας (spatial/antenna diversity) είναι η κατηγορία που θα μας απασχολήσει στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. 5 Η διαδικασία του διαφορισμού αυτού του τύπου πραγματοποιείται με τη χρησιμοποίηση συστημάτων πολλαπλών κεραιών [5] έχοντας ως στόχο τη βελτίωση των χαρακτηριστικών μετάδοσης σε κανάλια ασύρματης επικοινωνίας. Η τεχνική αυτή μελετήθηκε αρχικά από τους Foschini και Gans [6] σε μια προσπάθεια υπολογισμού των ορίων της χωρητικότητας (capacity) τέτοιου είδους καναλιών. Η εν λόγω μελέτη κατέληξε στην επιβεβαίωση της αύξησης της χωρητικότητας των αντίστοιχων καναλιών και συσχέτισε την τιμή αυτής με τα χαρακτηριστικά του καναλιού επικοινωνίας και τη στάθμη ισχύος του υποκείμενου θορύβου. Η ανάγκη σχεδίασης συστημάτων ολοένα και μικρότερων διαστάσεων, ωστόσο, υπαγορευμένη κυρίως από τις εμπορικές απαιτήσεις των τελευταίων χρόνων, οδήγησε στο σχεδιασμό διατάξεων πολλαπλών κεραιών με συμπαγή στοιχεία πολλές φορές τοποθετημένα το ένα πολύ κοντά στο άλλο. Ενα από τα σημαντικότερα φαινόμενα που αναπτύσσονται σε τέτοιου είδους διατάξεις MIMO, είναι αυτό της αμοιβαίας σύζευξης (mutual coupling) μεταξύ των επιμέρους στοιχείων-κεραιών. Η επίδραση του φαινομένου αυτού στην επίδοση του καναλιού επικοινωνίας, μελετήθηκε εκτενώς στη σχετική βιβλιογραφία καταλήγοντας στο ότι αν και μπορεί να αποδειχθεί επωφελής σε κάποιες περιπτώσεις, η ύπαρξη αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των στοιχείων-κεραιών σ ένα σύστημα MIMO υποβαθμίζει τη λειτουργία του οδηγώντας σε μείωση της χωρητικότητας [7 11]. 4 Από το 2006 πλήθος εταιριών όπως η Broadcom και η Intel υιοθέτησαν νέες τεχνικές με βάση την τεχνολογία MIMO στοχεύοντας στη βελτίωση των συστημάτων ασύρματων τοπικών δικτύων (Local Area Networks, LANs) 5 Οι άλλες τεχνικές είναι ο διαφορισμός χρόνου (time diversity), ο διαφορισμός συχνότητας (frequency diversity), ο διαφορισμός πόλωσης ή γωνίας (polarization/angular diversity) και ο διαφορισμός διαγράμματος ακτινοβολίας (pattern diversity). Οι δύο τελευταίες κατηγορίες μπορούν να θεωρηθούν ως υποκατηγορίες του διαφορισμού χώρου [5].

14 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 4 Η προσπάθεια αντιμετώπισης αυτού του φαινομένου αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας για πλήθος μελετών τα χρόνια που ακολούθησαν. Οι τεχνικές που χρησιμοποιήθηκαν προς αυτήν την κατεύθυνση συμπεριλαμβάνουν: τη χρησιμοποίηση παρασιτικών στοιχείων [12], την ενσωμάτωση κατακόρυφων συνδέσεων (vias) [13], διατάξεων ηλεκτρομαγνητικού διακένου ζώνης (Electromagnetic Band Gap, EBG, structures) [14, 15], στοιχείων εγκοπής (slots) [16, 17], συντονιστικών στοιχείων [18 22] και δομών μετα-επιφανειών [23] στις αντίστοιχες διατάξεις κεραιών καθώς και διάφορες άλλες τεχνικές [24 30]. Ιδιαίτερο ερευνητικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν εκείνες από τις παραπάνω μεθοδολογίες, στις οποίες για την αποσύζευξη των στοιχείων-κεραιών χρησιμοποιήθηκαν διατάξεις βασισμένες σε μια νέα κατηγορία τεχνητά κατασκευασμένων υλικών, τα μεταϋλικά (metamaterials). Οι μεθοδολογίες αυτές βασίστηκαν στις μελέτες της ενσωμάτωσης δομών μεταϋλικών σε συστήματα κεραιών με σκοπό τη βελτίωση των χαρακτηριστικών λειτουργίας τους [31 37]. Οι διατάξεις μεταϋλικών έχουν συγκεντρώσει το ερευνητικό ενδιαφέρον πολλών περιοχών μελέτης των σύγχρονων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων σε μια φασματική περιοχή που εκτείνεται από από τις μικροκυματικές συχνότητες (microwave frequencies, MWs) μέχρι τις ζώνες της κοντινής υπέρυθρης (near infrared, NIR) και του ορατού φάσματος (visible spectrum). Δύο από τα πιο ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά των δομών μεταϋλικών είναι η δυνατότητα ελέγχου των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με τα οποία αλληλεπιδρούν και η δυνατότητα ρύθμισης της φασματικής περιοχής λειτουργίας τους μέσω των γεωμετρικών χαρακτηριστικών τους. Ετσι, με βάση τα μεταϋλικά αναπτύχθηκαν διατάξεις κυματοδήγησης/γραμμών μεταφοράς [38 40], δομές φίλτρων και διακοπτικών στοιχείων [41 43], στοιχεία κεραιών [44 46], διατάξεις κάλυψης αντικειμένων (cloaking) [47 49] κ.α. Η πρώτη αναφορά στα μέσα αυτά έγινε το 1967 από τον V. Veselago [50]. Ο Veselago απέδειξε τη θεωρητική ύπαρξη μέσων με καταστατικές παραμέτρους που μπορούν να πάρουν αρνητικές τιμές και παρατήρησε μια σειρά φαινομένων που προκύπτουν με βάση τη θεώρηση αυτή. Χρειάστηκαν περίπου τριάντα χρόνια μέχρι να υλοποιηθεί η θεωρία του και να αποδειχθεί και πειραματικά η ύπαρξη τεχνητών αριστερόστροφων μέσων (Left-Handed, LH, media) [51]. 6 Η αρχική εκείνη σχεδίαση, βασισμένη στις μακροσκοπικές ιδιότητες ενός μέσου που συντίθεται από την περιοδική επανάληψη μεταλλικών ράβδων (metal Thin-Wire, TW, structure) [52] και μιας περιοδικής διάταξης μεταλλικών συντονιστών διακεκομμένου δακτυλίου (metal Split-Ring Resonator, SRR) [53], αποτέλεσε τη βάση για την υλοποίηση πλήθους διατάξεων με μακροσκοπικές καταστατικές παραμέτρους που εμφανίζουν αρνητικές τιμές σε κάποια ζώνη συχνοτήτων. Παράλληλα, για τον χαρακτηρισμό των διατάξεων αυτών, από την άποψη της εύρεσης των ισοδύναμων μακροσκοπικών παραμέτρων, αναπτύχθηκαν διάφορες τεχνικές [54 61]. Στη σχετική βιβλιογραφία μπορεί κανείς να μελετήσει λεπτομερώς την εξελικτική πορεία των μεταϋλικών καθώς και μια πληθώρα εφαρμογών στις οπτικές και μικροκυματικές συχνότητες που σχετίζονται με αυτά [62 66]. Σε μια επιπρόσθετη προσπάθεια κατανόησης των μηχανισμών λειτουργίας των διατάξεων μεταϋλικών, ένα μέρος των σχετικών ερευνών επικεντρώθηκε στην πεδιακή ανάλυση των διατάξεων αυτών. Η εν λόγω ανάλυση βασίστηκε στην χωρική περιοδικότητα που εμφανίζουν τέτοιου είδους δομές, επιχειρώντας την εύρεση των υποστηριζόμενων από αυτές ρυθμών. Οι μελέτες των τελευταίων δεκαετιών που σχετίζονται με την επίδραση της περιοδικότητας μιας δομής στα χαρακτηριστικά των υποστηριζόμενων ρυθμών [67 72], οδήγησαν στην πρόβλεψη των περιοχών διάδο- 6 Η ονομασία αριστερόστροφα μέσα για τα υλικά με αρνητικές και τις δύο καταστατικές παραμέτρους, προέκυψε από τη σύμβαση μεταξύ των διανυσμάτων του ηλεκτρικού πεδίου, του μαγνητικού πεδίου και του κυματικού διανύσματος.

15 Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή σης (passbands) των ρυθμών αυτών καθώς και στη διερεύνηση των ιδιοτήτων τους. Οι εν λόγω μελέτες αποτέλεσαν τη βάση ανάπτυξης μεθοδολογιών ανάλυσης που προβλέπουν όχι μόνο τις περιοχές διάδοσης αλλά ταυτόχρονα παρέχουν πληροφορίες σχετικά με τις ζώνες αποκοπής (stopbands) [73 78]. Καθώς σε πολλές περιπτώσεις οι δομές μεταϋλικών συντίθενται από συντονιστικά στοιχεία, στη φασματική περιοχή συντονισμού των οποίων εμφανίζονται οι μη φυσικές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες, αυτού του είδους οι μεθοδολογίες παρέχουν μια ενδιαφέρουσα εναλλακτική μελέτης της συμπεριφοράς των δομών αυτών. Παράλληλα με την εξέλιξη των μικροκυματικών εφαρμογών, ραγδαία υπήρξε τις τελευταίες δεκαετίες και η εξέλιξη των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών (optical communications systems) και ειδικότερα εκείνων των διατάξεων που λειτουργούν στην περιοχή της κοντινής υπέρυθρης (near infrared, NIR), με μήκη κύματος λειτουργίας μεταξύ των 700 nm και των 1500 nm, περίπου. Σε επίπεδο ολοκληρωμένου κυκλώματος, η εξέλιξη φωτονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (Photonic Integrated Circuits, PIC) υπήρξε ραγδαία. Η έννοια της ολοκλήρωσης αφορά την ανάπτυξη των κυκλωμάτων αυτών σε κοινό υπόστρωμα με στόχο την επίτευξη κάποιας σύνθετης λειτουργίας. Ετσι, τα κυκλώματα αυτά μπορεί να περιλαμβάνουν επίπεδους οπτικούς κυματοδηγούς, παθητικά εξαρτήματα όπως ζεύκτες, διαιρέτες ισχύος, διακλαδώσεις και φίλτρα, αλλά και ενεργά εξαρτήματα όπως διακόπτες, πηγές, ανιχνευτές και οπτικούς ενισχυτές. Ο κύριος μηχανισμός οδήγησης του φωτός στους συμβατικούς οπτικούς κυματοδηγούς είναι ο μηχανισμός οδήγησης δείκτη (index guiding) [79, 80], με τυπικό παράδειγμα αυτής της κατηγορίας, την οπτική ίνα. Οι σύγχρονες διατάξεις οπτικών ινών υπόσχονται ελαχιστοποίηση των απωλειών διάδοσης επιτρέποντας την α- ξιόπιστη μετάδοση πληροφορίας σε μεγάλες αποστάσεις. Η συρρίκνωση των διαστάσεων όμως των διατάξεων αυτών, όπως επιτάσσεται πλέον από τις σύγχρονες εμπορικές εξελίξεις, περιορίζεται από το όριο περίθλασης (diffraction limit), το οποίο θέτει μία κατώτατη τιμή για το χωρικό εύρος της κατανομής του διαδιδόμενου ρυθμού προς τις εγκάρσιες στη διεύθυνση διάδοσης κατευθύνσεις [81, 82]. Η λύση στο ζήτημα αυτό φαίνεται να δίνεται από τις πλασμονικές διατάξεις οπτικής κυματοδήγησης, οι οποίες υπόσχονται συρρίκνωση των διαστάσεων των αντίστοιχων δομών στα επίπεδα των ηλεκτρονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (nanoscale electronics). Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, οι διατάξεις, οι οποίες μελετώνται και αφορούν την περιοχή της κοντινής υπέρυθρης, εντάσσονται στην περιοχή της πλασμονικής τεχνολογίας (plasmonics). Ο μηχανισμός οδήγησης, στις διατάξεις αυτής της κατηγορίας, προκύπτει από την άμεση γειτνίαση μεταλλικών στρωμάτων με διηλεκτρικά υλικά και έχει ως κύριο χαρακτηριστικό την υποστήριξη οδηγούμενων επιφανειακών κυμάτων (surface waves). Τα κύματα αυτά ονομάζονται πολαριτόνια επιφανειακού πλασμονίου (Surface Plasmon Polaritons, SPP) και παρουσιάζουν μια σειρά ιδιαίτερα ελκυστικών πλεονεκτημάτων έναντι των συμβατικών φωτονικών ρυθμών [83 88]: μπορούν να συγκεντρώνουν και να οδηγούν το φως ακόμη και σε διατάξεις με διαστάσεις πολύ μικρότερες του μήκους κύματος (subwavelength confinement), διατηρώντας παράλληλα την ιδιότητα του υψηλού εύρους ζώνης των συμβατικών φωτονικών εξαρτημάτων. Παράλληλα, η χρησιμοποίηση μεταλλικών στρωμάτων, απαραίτητων για τον σχηματισμό του πλασμονικού ρυθμού, μπορεί να αξιοποιηθεί και για την εφαρμογή ηλεκτρικών σημάτων μειώνοντας έτσι την πολυπλοκότητα των αντίστοιχων ο- λοκληρωμένων κυκλωμάτων, αλλά και παρέχοντας τη δυνατότητα δυναμικού ελέγχου (tunability) της λειτουργίας των πλασμονικών στοιχείων. Από ιστορική άποψη, τα επιφανειακά αυτά κύματα έχουν τη βάση τους στις αρχές του 20 ου αιώνα και στις εργασίες των Sommerfeld [89] και Zenneck [90], όπου μελετήθηκε η διάδοση ραδιοκυμάτων επάνω στη επιφάνεια αγωγών πεπερασμένης αγωγιμότητας. Στην περιοχή του οπτικού

16 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή 6 φάσματος, ωστόσο, η πρώτη αναφορά σε τέτοιου είδους κύματα έγινε το 1941 από τον Fano [91], ο οποίος συσχέτισε τις ανεξήγητες έως τότε φασματικές βυθίσεις που παρατηρήθηκαν το 1902 από τον Wood κατά την πρόσπτωση ορατού φωτός σε μεταλλικά φράγματα περίθλασης (gratings) με τα επιφανειακά κύματα των Sommerfeld-Zenneck. Στα χρόνια που ακολούθησαν, τα φαινόμενα απωλειών κατά την αλληλεπίδραση δέσμης ηλεκτρονίων με λεπτό μεταλλικό φύλλο που παρατηρήθηκαν από τον Ritchie το 1957, συνδέθηκαν με τις αρχικές μελέτες των φραγμάτων περίθλασης στην περιοχή των οπτικών συχνοτήτων. Το 1968 οι Kretschmann και Raether απέδειξαν τη διέγερση επιφανειακών κυμάτων τύπου Sommerfeld με τη χρησιμοποίηση ορατού φωτός. Εκτοτε, οι μελέτες των επιφανειακών αυτών κυμάτων στην περιοχή του ορατού φωτός, αποτέλεσαν τη βάση για επέκταση των αντίστοιχων φαινομένων στις περιοχές των μικροκυμάτων και των THz. Από τεχνολογική άποψη, η απλούστερη διάταξη που μπορεί να υποστηρίξει ένα επιφανειακό κύμα SPP είναι η διεπιφάνεια μεταξύ ενός μετάλλου και κάποιου διηλεκτρικού υλικού. Ο σχηματισμός του επιφανειακού αυτού ηλεκτρομαγνητικού κύματος οφείλεται στην αλληλεπίδραση του φωτός με τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του μετάλλου κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. Ο μονοδιάστατος αυτός κυματοδηγός αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη μιας σειράς πολυστρωματικών διατάξεων, που περιλαμβάνουν περισσότερες από μία διεπιφάνειες μετάλλου-διηλεκτρικού. Πρόκειται για τις δομές διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού (Insulator-Metal-Insulator, IMI) και μετάλλου-διηλεκτρικού-μετάλλου (Metal-Insulator-Metal, MIM), στις οποίες η αλληλεπίδραση των επιμέρους SPPs μπορεί να οδηγήσει σε έναν σύνθετο πλασμονικό ρυθμό με ιδιαίτερα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά (υποστήριξη ρυθμών διαφορετικής συμμετρίας, συμβιβασμός μεταξύ συγκέντρωσης του ρυθμού και απωλειών διάδοσης κ.α.) [81, 92 95]. Οι μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί αποτέλεσαν με τη σειρά τους τη βάση για την α- νάπτυξη πρακτικότερων διατάξεων κυματοδήγησης, στις οποίες η οδήγηση του φωτός μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω συγκεκριμένων κάθε φορά επιθυμητών διαδρομών. Καθώς τα εξαρτήματα (components) που συνθέτουν ένα φωτονικό ολοκληρωμένο κύκλωμα (φίλτρα, ζεύκτες, διαιρέτες ι- σχύος κλπ.) καλούνται να λειτουργούν κατ αυτόν τον τρόπο, ο περιορισμός του φωτός και στις δύο εγκάρσιες στη διάδοση διευθύνσεις κρίθηκε απαραίτητος. Οι δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί προσφέρουν τη λύση στο ζήτημα αυτό. Η απλούστερη διάταξη ενός τέτοιου κυματοδηγού είναι, ίσως, ο πλασμονικός κυματοδηγός ταινίας (metal stripe plasmonic waveguide). Αποδεικνύεται ότι παρόλο που η εξασθένηση ενός SPP ρυθμού μακράς εμβέλειας που υποστηρίζεται από μια τέτοια δομή μπορεί να είναι ακόμη και δέκα φορές μικρότερη από ένα άπειρου πάχους στρώμα μετάλλου στην αντίστοιχη διάταξη, η συγκέντρωση του ρυθμού παραμένει ασθενής [96 98]. Την αντίθετη ακριβώς τάση μπορεί να παρατηρήσει κανείς στη διάταξη του πλασμονικού κυματοδηγού διακένου (gap plasmonic waveguide) [99]. Ως προεκτάσεις των δύο αυτών διατάξεων αναπτύχθηκαν και δύο ακόμη δομές, συμπληρωματικές μεταξύ τους, ο κυματοδηγός καναλιού ή σχισμής (channel/vgroove plasmonic waveguide) και ο κυματοδηγός σφήνας (wedge plasmonic waveguide) [88]. Παρά την επίτευξη συγκέντρωσης των πλασμονικών ρυθμών στις δύο διαστάσεις, η επίτευξη ταυτόχρονης ικανοποίησης των απαιτήσεων συγκέντρωσης του ρυθμού σε διαστάσεις συγκρίσιμες με το μήκος κύματος λειτουργίας και ελαχιστοποίησης των απωλειών διάδοσης παρέμεινε ζήτημα προς επίλυση. Ο κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης (Dielectic-Loaded SPP waveguide, DLSPP) αποτελεί μια προσπάθεια σχεδίασης προς αυτήν την κατεύθυνση [ ]. Η δυνατότητα περιορισμού του φωτός σε δύο διαστάσεις βασίζεται στη χρησιμοποίηση ενός διηλεκτρικού πυρήνα, ο οποίος συγκεντρώνει στο εσωτερικό του (μέσω του μηχανισμού οδήγησης δείκτη) τον πλασμονικό ρυθμό που

17 Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού. Ετσι, το φως μπορεί να περιοριστεί στην περιοχή που ορίζεται από τον πυρήνα, ενώ παράλληλα οι απώλειες διάδοσης μπορούν να διατηρηθούν σε ανεκτό επίπεδο. Ακόμη καλύτερη, όμως, εξισορρόπηση μεταξύ συγκέντρωσης και απωλειών για τους πλασμονικούς ρυθμούς υπόσχεται μια άλλη οικογένεια κυματοδηγών, οι υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί (Hybrid Plasmonic Waveguides, HPWs) [103, 104]. Ο μηχανισμός οδήγησης σ αυτήν την κατηγορία δομών βασίζεται στη χρησιμοποίηση, πέραν του μεταλλικού στρώματος, δύο διαφορετικών διηλεκτρικών υλικών. Με κατάλληλη διάταξη των υλικών και επιλέγοντας το ένα από αυτά να εμφανίζει υψηλό και το άλλο χαμηλό δείκτη διάθλασης, παρέχεται η δυνατότητα υποστήριξης ενός πλασμονικού ρυθμού ισχυρά συγκεντρωμένου εντός του οπτικά αραιού (low-index) μέσου που μπορεί παράλληλα να διαδοθεί χωρίς σημαντικές απώλειες. Η πρώτη αναφορά σε πλασμονικό κυματοδηγό με υβριδική συμπεριφορά έγινε από τον Alam το 2007 [103]. Ενα χρόνο αργότερα, ο Oulton σε μια αντίστοιχη μελέτη ανέλυσε τα χαρακτηριστικά και παρουσίασε τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα αυτής της κατηγορίας κυματοδηγών [104]. Εκτοτε, οι δομές που προτάθηκαν, κατά βάση επίπεδες (planar), διέφεραν ως προς τη διάταξη των χρησιμοποιούμενων υλικών αλλά παρέμειναν βασισμένες στην αρχική ιδέα: τη χρησιμοποίηση δύο διηλεκτρικών υλικών πέραν του μετάλλου [ ]. Με βάση τους υβριδικούς κυματοδηγούς, μελετήθηκαν και υλοποιήθηκαν πλήθος παθητικών εξαρτημάτων (ζεύκτες, διαιρέτες ισχύος, κάμψεις κυματοδηγών κ.α.). Οπως αναφέρθηκε και στην αρχή του εισαγωγικού αυτού κεφαλαίου, η γεωμετρική πολυπλοκότητα των δομών που εμπεριέχονται στις σύγχρονες μικροκυματικές και οπτικές διατάξεις καθώς και η ενσωμάτωση υλικών με χαρακτηριστικά όπως η ανισοτροπία ή η μη γραμμικότητα, καθιστά σχεδόν αδύνατη στην πλειοψηφία των περιπτώσεων την ανάπτυξη κάποιου αναλυτικού θεωρητικού μοντέλου πρόβλεψης της συμπεριφοράς τους. Ετσι, η χρησιμοποίηση κάποιας από τις διαθέσιμες υπολογιστικές τεχνικές είναι επιβεβλημένη. Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, για την πλειοψηφία των προβλημάτων που θα αντιμετωπιστούν, επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM) [113]. Μια σειρά χαρακτηριστικών πλεονεκτημάτων της μεθόδου αυτής, που την καθιστούν κατάλληλη για την επίλυση τέτοιου είδους προβλημάτων, καθώς και τα βασικά στοιχεία υλοποίησής της δίνονται στο κυρίως τμήμα της εργασίας. Μια ενδιαφέρουσα εναλλακτική επίλυσης, ωστόσο, αποτελεί η μέθοδος διάδοσης δέσμης (Beam Propagation Method, BPM) [ ]. Η BPM παρέχει τη δυνατότητα εξοικονόμησης υ- πολογιστικών πόρων και χρόνου επίλυσης έναντι των μεθόδων στις οποίες οι αντίστοιχες εξισώσεις επιλύονται σε ολόκληρο το χωρίο υπολογισμού (π.χ. FEM). Ετσι, μπορεί να αποδειχθεί ιδιαίτερα χρήσιμη στην ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας (large physical-scale structures). Η αρχική εκδοχή της μεθόδου διάδοσης δέσμης (FFT-BPM) προήλθε από την επίλυση της παραξονικής (paraxial) βαθμωτής εξίσωσης κύματος με τη βοήθεια του ταχέος μετασχηματισμού Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) [115]. Η διατύπωση αυτή είχε δύο βασικά μειονεκτήματα: Εθετε περιορισμό σχετικά με τις μεταβολές του δείκτη διάθλασης στο επίπεδο της εγκάρσιας διατομής, οι οποίες έπρεπε να θεωρούνται πολύ μικρές και αφορούσε μόνο τη βαθμωτή εξίσωση κύματος. Η λύση και στα δύο ζητήματα δόθηκε από τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (Finite Difference Method, FDM). Η πρώτη προσέγγιση της διανυσματικής FD-BPM πραγματοποιήθηκε μέσω ενός σχήματος πεπερασμένων διαφορών Crank-Nicolson [116], ενώ έκτοτε προτάθηκαν διάφορες προσεγγίσεις διατύπωσης της μεθόδου διάδοσης δέσμης με τη χρησιμοποίηση διαφόρων σχημάτων πεπερασμένων διαφορών [ ]. Εξαιτίας της δυνατότητας για γρήγορη και εύκολη (από πλευράς υπολογιστικών πόρων) επίλυση που παρέχει, η BPM είναι αναμφίβολα μια χρήσιμη ε- ναλλακτική αριθμητικής ανάλυσης, ενώ οι όποιες προσεγγίσεις που εισάγονται κατά την υλοποίηση

18 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας 8 της μεθόδου (π.χ. παραξονική προσέγγιση) αποτέλεσαν και αποτελούν ακόμη αντικείμενο έρευνας με ιδιαίτερο ενδιαφέρον [ ]. 1.2 Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας Στην παρούσα διατριβή, θα παρουσιαστεί η διαδικασία ανάλυσης και σχεδίασης διατάξεων που λειτουργούν στις περιοχές των μικροκυματικών και οπτικών συχνοτήτων και είναι κατάλληλες για σύγχρονες τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές. Οι διατάξεις αυτές περιλαμβάνουν συντονιστικές δομές σχεδιασμένες έτσι, ώστε να μεταβάλουν τα χαρακτηριστικά των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με τα οποία αλληλεπιδρούν. Ετσι, το πρώτο αυτό εισαγωγικό κεφάλαιο περιλαμβάνει τα βασικότερα σημεία της ιστορικής και βιβλιογραφικής εξέλιξης που οδήγησαν στις επιστημονικές μελέτες των τελευταίων ετών και αφορούν τις περιοχές των μικροκυματικών και οπτικών εφαρμογών που θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια. Σκοπός της σύντομης αυτής ανασκόπησης είναι ο ορισμός του πλαισίου εντός του οποίου κινήθηκε η εκπόνηση της διατριβής αυτής και η παράθεση των βασικών κατευθύνσεων που ακολουθήθηκαν με βάση τη σχετική βιβλιογραφία. Η διάρθρωση των κεφαλαίων που απαρτίζουν το κυρίως τμήμα της εργασίας έχει ως εξής: Ξεκινώντας από την περιοχή των μικροκυμάτων, στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η διαδικασία σχεδίασης μιας κεραίας πολλαπλών εισόδων-εξόδων (MIMO) έχοντας ως στόχο τη λειτουργία στη συχνοτική περιοχή των ασύρματων τοπικών δικτύων (WLAN). Η σχεδίαση στοχεύει στη βελτίωση των χαρακτηριστικών της εν λόγω κεραίας μέσω της ενσωμάτωσης σε αυτήν συντονιστικών στοιχείων βασισμένων στα μεταϋλικά. Η βελτίωση αφορά την εξάλειψη του φαινομένου αμοιβαίας σύζευξης που αναπτύσσεται μεταξύ των επιμέρους στοιχείων-κεραιών στα συστήματα πολλαπλών κεραιών και ευθύνεται σε πολλές περιπτώσεις για την υποβάθμιση της λειτουργίας τους. Η προταθείσα δομή βασίζεται στη διάταξη δύο επίπεδων, τυπωμένων μονοπολικών κεραιών τοποθετημένων έτσι, ώστε να αποτελούν ένα σύστημα κεραίας MIMO δύο στοιχείων. Η κεραία αυτή αναλύεται με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) με στόχο τη διερεύνηση της λειτουργίας της και τον καθορισμό όλων των απαραίτητων χαρακτηριστικών που συμβάλουν στην εμφάνιση του φαινομένου της σύζευξης. Εχοντας ως οδηγό την ανάλυση αυτή, παρουσιάζεται, στη συνέχεια, η διαδικασία ενσωμάτωσης συντονιστικών δομών τύπου διακεκομμένου δακτυλίου (SRR) στην περιοχή μεταξύ των επιμέρους μονοπολικών κεραιών με στόχο την αντιμετώπιση της σύζευξης που αναπτύσσεται μεταξύ τους. Τα ακριβή χαρακτηριστικά των χρησιμοποιούμενων SRR προκύπτουν από μία ανεξάρτητη, δεύτερη διαδικασία επίλυσης, η οποία αποδεικνύει και τη λειτουργία τους ως στοιχεία-δείγματα μεταϋλικών. Η αποτελεσματικότητα της σχεδίασης επιβεβαιώνεται με μια σειρά προσομοιώσεων (και μετρήσεων σε κάποιες περιπτώσεις) που συγκρίνουν την αρχική με τη βελτιωμένη εκδοχή. Αυτό που σημειώνει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι η αναμφίβολα αξιοσημείωτη βελτίωση που εισάγει η ενσωμάτωση δειγμάτων μεταϋλικού στη λειτουργία της κεραίας ως αποτέλεσμα μιας συστηματικής διαδικασίας, η οποία αποτελείται από τις δύο σχεδόν ανεξάρτητες μελέτες της αρχικής MIMO δομής και του δείγματος μεταϋλικού (SRR). Εχοντας ως στόχο την περαιτέρω διερεύνηση των χαρακτηριστικών μεταϋλικών και εκμεταλλευόμενοι την υλοποίησή τους ως περιοδικών διατάξεων, στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία της ανάλυσης του πλήρους διαγράμματος διασποράς (περιοχές διάδοσης και περιοχές διακένου ζώνης) περιοδικών δομών, μέσω της επίλυσης ενός προβλήματος ιδιοτιμών βασισμένου στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Ετσι, αφού αρχικά δοθεί μία σύντομη περιγραφή

19 Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας του θεωρητικού μοντέλου με βάση το οποίο αναλύονται οι ρυθμοί που μπορούν να υποστηριχθούν από δομές με χωρική περιοδικότητα, ακολουθεί η διατύπωση της αριθμητικής μεθοδολογίας στην οποία βασίζεται η FEM για την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος της εύρεσης των εν λόγω ρυθμών. Η αποτελεσματικότητα της διατύπωσης αυτής ελέγχεται για την απλοποιημένη δομή της μονοδιάστατα περιοδικής επανάληψης δύο διηλεκτρικών στρωμάτων, ώστε τα αποτελέσματα να μπορούν να συγκριθούν με τα αντίστοιχα θεωρητικά. Από τη σύγκριση των αντίστοιχων διαγραμμάτων διασποράς, για τις δύο περιπτώσεις της θεωρητικής και της αριθμητικής επίλυσης, επιβεβαιώνεται η δυνατότητα πλήρους ανάλυσης περιοδικών διατάξεων. Με βάση αυτή τη δυνατότητα επιχειρείται η ανάλυση μιας δομής μεταϋλικού (δομή διπλού διακεκομμένου δακτυλίου) και εξάγεται το αντίστοιχο διάγραμμα διασποράς. Καθώς διαπιστώνεται η ανάγκη εξεύρεσης μιας συστηματικής διαδικασίας χαρακτηρισμού όλων των αριθμητικά υπολογισμένων ιδιορρυθμών σε τέτοιου είδους διατάξεις, τέλος, διερευνάται η δυνατότητα υιοθέτησης μιας εναλλακτικής διατύπωσης του αριθμητικού προβλήματος ιδιοτιμών, η οποία με βάση το θεώρημα Bloch-Floquet στοχεύει στην ταυτοποίηση και τον χαρακτηρισμό όλων των εμφανιζόμενων ρυθμών στο πλήρες διάγραμμα διασποράς. Στο τέταρτο κεφάλαιο, το ενδιαφέρον εστιάζεται στη ζώνη του φάσματος των οπτικών επικοινωνιών, και ειδικότερα στην περιοχή της κοντινής υπέρυθρης (NIR). Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζεται η μεθοδολογία σχεδίασης διατάξεων φίλτρων και διακοπτικών στοιχείων, τα οποία βασίζονται σε δομές επίπεδων πλασμονικών κυματοδηγών. Η σχεδίαση αφορά τη χρησιμοποίηση συντονιστών οδεύοντος κύματος σε σχήμα δακτυλίου ή δίσκου, οι οποίοι σε συνδυασμό με δομές ευθύγραμμων κυματοδηγών χρησιμοποιούνται για την επίτευξη οπτικής απόκρισης με χαρακτηριστικά επιλεκτικότητας ως προς τη συχνότητα. Ως δομικό στοιχείο επιλέγεται η διάταξη του πλασμονικού κυματοδηγού CGS. Αρχικά, αφού περιγραφούν η κατανομή και οι ιδιότητες του υποστηριζόμενου από αυτόν πλασμονικού ρυθμού, διερευνάται η δυνατότητα υλοποίησης συντονιστών οδεύοντος κύματος και ο συνδυασμός τους με ευθύγραμμους κυματοδηγούς τροφοδοσίας για τη σύνθεση διατάξεων με χαρακτηριστικά φιλτραρίσματος. Για τη διευκόλυνση της σχεδίασης των υπό μελέτη δομών χρησιμοποιείται παράλληλα και ένα μαθηματικό μοντέλο βασισμένο στη θεωρία συζευγμένων ρυθμών. Οι δομές φίλτρων που σχεδιάζονται επιτυγχάνουν οξείς συντονισμούς, με ποικίλα ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά τα οποία αναλύονται και μελετώνται σε βάθος. Σ ένα επόμενο βήμα, αναλύεται η συμπεριφορά πολυπλοκότερων διατάξεων με στόχο την επίτευξη απόκρισης ηλεκτρομαγνητικά επαγόμενης διαφάνειας (EIT). Ως στόχος αυτής της μελέτης τίθεται η επίτευξη οξύτερων μεταβολών στη φασματική απόκριση του συντελεστή μετάδοσης των αντίστοιχων διατάξεων. Πράγματι, η χρησιμοποίηση δύο συντονιστών βασισμένων στη δομή του κυματοδηγού CGS, συνδυασμένων με δύο ευθύγραμμους κυματοδηγούς του ίδιου τύπου, αποδεικνύεται ότι αποδίδει στη διάταξη φασματική απόκριση τύπου EIT. Τέλος, διερευνάται η δυνατότητα ρύθμισης των χαρακτηριστικών της απόκρισης αυτής, με στόχο την υλοποίηση διακοπτικών στοιχείων. Προς τον σκοπό αυτό, αξιοποιείται η δυνατότητα εκμετάλλευσης του θερμο-οπτικού φαινομένου. Στο πέμπτο κεφάλαιο διερευνάται η εναλλακτική της χρησιμοποίησης μιας άλλης αριθμητικής μεθόδου υπολογισμού, εκτός της FEM που χρησιμοποιήθηκε στην ανάλυση των διατάξεων στα προηγούμενα κεφάλαια. Πιο συγκεκριμένα, περιγράφεται η ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας με τη βοήθεια της διανυσματικής μεθόδου διάδοσης δέσμης (FV-BPM). Αρχικά, και αφού παρατίθενται κάποια βασικά στοιχεία της μεθόδου σε ό,τι αφορά την ανάλυση τρισδιάστατων δομών, διατυπώνεται το σύστημα των εξισώσεων διάδοσης προς επίλυση. Επειτα, μελετάται η διαδικασία διακριτοποίησης της εγκάρσιας διατομής με τη βοήθεια πεπερασμένων διαφορών, ενώ περιγράφεται εν συντομία και ο βηματικός αλγόριθμος της διάδοσης μέσω της επαναληπτικής τεχνικής Crank-

20 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας 10 Nicolson. Παράλληλα, για να διαπιστωθεί η αποτελεσματικότητα της αριθμητικής επίλυσης δομών μεγάλης φυσικής κλίμακας με τη βοήθεια της FV-BPM τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων συγκρίνονται με αντίστοιχα που έχουν προκύψει από κατάλληλο θεωρητικό μοντέλο. Οι διατάξεις που αναλύονται είναι σφαιρικές δομές αποτελούμενες είτε από κάποιο διηλεκτρικό υλικό είτε από κάποιο αγώγιμο μέσο, με διαστάσεις επιλεγμένες κατάλληλα ώστε να μοντελοποιούν δομές μεγάλης φυσικής κλίμακας. Στα πλαίσια αυτής της διερεύνησης, πραγματοποιείται η ανάπτυξη ενός προσεγγιστικού μοντέλου επέκτασης ευρείας γωνίας, στο οποίο ο εμπλεκόμενος διαφορικός τελεστής υπολογίζεται μόνο κατά το πρώτο βήμα της διάδοσης, απλοποιώντας σημαντικά την αντίστοιχη υπολογιστική ανάλυση. Η αποτελεσματικότητα του μοντέλου αυτού διαπιστώνεται μέσω της σύγκρισης των αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα που προκύπτουν τόσο από τη θεωρητική ανάλυση, όσο και από άλλα μοντέλα επέκτασης ευρείας γωνίας. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο, παρατίθενται τα κυριότερα συμπεράσματα που προκύπτουν στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. Οι διαπιστώσεις και τα αποτελέσματα που συζητούνται συμπληρώνονται από πιθανές μελλοντικές προεκτάσεις με βάση τα όσα μελετήθηκαν και παρουσιάστηκαν στην εργασία αυτή.

21 Κεφάλαιο 2 Επίπεδες κεραίες πολλαπλών εισόδων-εξόδων με ενσωματωμένες διατάξεις συντονιστών βασισμένων στα μεταϋλικά Οι τεχνολογικές και επιστημονικές εξελίξεις των τελευταίων δεκαετιών οδήγησαν στη ραγδαία ανάπτυξη του τομέα της κατασκευής τεχνητών υλικών (artificial materials). Ειδικότερα, στα πλαίσια των εφαρμογών που αναπτύσσονται στην περιοχή των τηλεπικοινωνιών, η σχεδίαση τεχνητών υ- λικών με στόχο την επίτευξη ελέγχου των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων αποτελεί μία από τις πιο δημοφιλείς περιοχές έρευνας των τελευταίων χρόνων. Το χαρακτηριστικότερο ίσως παράδειγμα υλικών αυτής της κατηγορίας είναι οι δομές μεταϋλικών (metamaterials). Πρόκειται για διατάξεις τεχνητά κατασκευασμένες με τέτοιον τρόπο, ώστε μακροσκοπικά να εμφανίζουν ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες που δεν συναντώνται στα φυσικά υλικά. Πλήθος εφαρμογών στις περιοχές των μικροκυματικών και των οπτικών συχνοτήτων έχουν αναπτυχθεί εκμεταλλευόμενες τις μη φυσικές ιδιότητες των διατάξεων αυτών: διατάξεις κυματοδήγησης/γραμμών μεταφοράς [38 40], δομές φίλτρων και διακοπτικών στοιχείων [41 43], στοιχεία κεραιών [44 46], διατάξεις κάλυψης αντικειμένων (cloaking) [47 49] κ.α. Παρότι το φασματικό εύρος των σχετικών εφαρμογών εκτείνεται από τις μικροκυματικές συχνότητες (microwave frequencies, MWs) μέχρι τις ζώνες της κοντινής υπέρυθρης (near infrared, NIR) και του ορατού φάσματος (visible spectrum), ένα σημαντικό μέρος των προτεινόμενων από τη βιβλιογραφία διατάξεων αφορά την ενσωμάτωση των μεταϋλικών σε δομές που λειτουργούν στη ζώνη των ραδιοσυχνοτήτων (radiofrequencies, RFs). Ετσι, παράλληλα με τη θεωρητική μελέτη της λειτουργίας των μεταϋλικών, αναπτύχθηκε και μια σειρά δομών κεραιών, φίλτρων, γραμμών μεταφοράς κ.α. με λειτουργία στην περιοχή αυτή. Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζεται η διαδικασία σχεδίασης μιας τέτοιας δομής έχοντας ως στόχο τη λειτουργία στη συχνοτική περιοχή των ασύρματων τοπικών δικτύων (Wireless Local Area Networks, WLANs). Η περιοχή αυτή, γνωστή και ως ζώνη Wi-Fi, χρησιμοποιεί τα πρότυπα δικτύωσης (network standards) IEEE και περιλαμβάνει συχνοτικά διαστήματα γύρω από τα 2.4, 3.5, 5 και 5.8 GHz. Η εν λόγω σχεδίαση αφορά μια ειδική κατηγορία κεραιών, των κεραιών πολλαπλών εισόδων-εξόδων (Multiple Input-Multiple Output, MIMO, antennas) και στοχεύει στη βελτίωση των χαρακτηριστικών τους μέσω της ενσωμάτωσης στοιχείων βασισμένων στα μεταϋλικά. Αρχικά, παρουσιάζονται εν συντομία τα βασικά χαρακτηριστικά των διατάξεων μεταϋλικών καθώς και η λογική με βάση την οποία αυτές σχεδιάζονται. Επειτα, αναλύεται τόσο η λειτουργία όσο και οι ιδιότητες των κεραιών MIMO και περιγράφονται εκείνες οι παράμετροι, στων οποίων τη 11

22 2.1. Δομές μεταϋλικών 12 Σχήμα 2.1: Σχηματική αναπαράσταση περιοδικού πλέγματος, επάνω στο οποίο διατάσσονται οι δομικές μονάδες ενός τυχαίου υλικού κρυσταλλικής δομής. Η περίοδος επανάληψης του πλέγματος και προς τις τρεις κατευθύνσεις συμβολίζεται με α. βελτίωση στοχεύει η χρησιμοποίηση μεταϋλικών. Τέλος, περιγράφεται μια συστηματική διαδικασία σχεδίασης κεραιών αυτής της κατηγορίας, στις οποίες η ενσωμάτωση δομών με βάση τα μεταϋλικά μπορεί να οδηγήσει σε αξιοσημείωτη βελτίωση της λειτουργίας τους. 2.1 Δομές μεταϋλικών Γενικά Η πλειοψηφία των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων που αναπτύσσονται σε κάποια διάταξη είναι αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των αντίστοιχων κυμάτων με τα υλικά που τη συνθέτουν. Από αυτήν τη σκοπιά, η υλοποίηση των εκάστοτε ηλεκτρομαγνητικών εφαρμογών στοχεύει στον χειρισμό των κυμάτων αυτών μέσω της χρησιμοποίησης κατάλληλων υλικών, σε κατάλληλη γεωμετρική διάταξη, ώστε να προκύπτει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Στην πλειονότητά τους, οι δομές που σχεδιάστηκαν και μελετήθηκαν στα πλαίσια του ηλεκτρομαγνητισμού περιέχουν στοιχεία, η διαφοροποίηση των οποίων καθώς και οι λειτουργικές τους δυνατότητες καθορίζονται εν πολλοίς από τα διαθέσιμα υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή τους. Τα φυσικά υλικά συντίθενται από μικρές δομικές μονάδες (άτομα, μόρια, κλπ.) με διάταξη που μπορεί να είναι τυχαία ή και απολύτως καθορισμένη. Η βασική παράμετρος που καθορίζει την ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά κάθε υλικού, στην περίπτωση αυτή, είναι ο λόγος της απόστασης των δομικών αυτών στοιχείων προς το μήκος κύματος των κυμάτων με τα οποία αλληλεπιδρούν. Ετσι, θεωρώντας ένα υλικό με δομικά στοιχεία που διατάσσονται πάνω σε ένα πλέγμα όπως αυτό του σχήματος 2.1, ο λόγος α/λ είναι αυτός που θα αποτελέσει την παράμετρο-κλειδί για την ανάπτυξη των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων σε αυτό. Αν, για παράδειγμα, το μήκος κύματος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με το οποίο αλληλεπιδρά το υλικό, είναι συγκρίσιμο με την περίοδο α, τότε η περιοδικότητα του μέσου γίνεται αντιληπτή από το πεδίο αλληλεπίδρασης εγείροντας φαινόμενα όπως η σκέδαση Bragg. 1 Τέτοιου είδους μέσα, μπορούν να υποστηρίξουν συχνοτικές ζώνες αποκοπής (bandgaps) 1 Το φαινόμενο της σκέδασης Bragg αφορά το αποτέλεσμα της σκέδασης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που προσπίπτει σε μία κρυσταλλική δομή, οδηγώντας στη δημιουργία δεσμών περίθλασης (diffraction beams) με

23 Δομές μεταϋλικών και συχνά αναφέρονται ως υλικά ηλεκτρομαγνητικών διακένων ζώνης (electromagnetic bandgap media). Αντίθετα, αν το μήκος κύματος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με το οποίο αλληλεπιδρά ένα υλικό, είναι πολύ μεγαλύτερο της περιόδου α, τότε η φασική μεταβολή μεταξύ των διαφόρων επιπέδων του πλέγματος προκύπτει πολύ μικρή, καθιστώντας την ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά του υλικού αντίστοιχη με αυτή ενός ισοδύναμου ομογενούς μέσου. Η παραπάνω κατηγοριοποίηση, με βάση την τιμή του λόγου α/λ, μπορεί να διατηρηθεί και στην περίπτωση των τεχνητών υλικών, όπου τη θέση των δομικών μονάδων παίρνουν στοιχεία κατάλληλα κατασκευασμένα, ώστε να συνθέτουν μακροσκοπικά μία περιοδική δομή. Παρότι οι δομικές μονάδες, σ αυτήν την περίπτωση, είναι κατά πολύ μεγαλύτερες από τα σωματίδια που συνθέτουν ένα φυσικό υλικό, ισχύει και πάλι ότι για μήκη κύματος αλληλεπίδρασης συγκρίσιμα με την αντίστοιχη περίοδο εγείρονται φαινόμενα όπως η σκέδαση Bragg, ενώ για μήκη κύματος πολύ μεγαλύτερα αυτής μπορεί κανείς να υιοθετήσει τη θεωρία του ενεργού μέσου (effective medium theory). Τα υλικά της πρώτης κατηγορίας συχνά αναφέρονται ως φωτονικοί κρύσταλλοι (photonic crystals) ενώ σε αυτά της δεύτερης κατηγορίας εντάσσονται οι δομές μεταϋλικών (metamaterials). Παρά το ομολογουμένως μεγάλο πλήθος μελετών που πραγματοποιήθηκαν και αφορούν τα μεταϋλικά, ο ορισμός των υλικών αυτής της κατηγορίας συναντάται σε διάφορες εκδοχές στη σχετική βιβλιογραφία [62 66]. Ετσι, ως μεταϋλικά μπορεί κανείς να θεωρήσει εκείνες τις τεχνητά κατασκευασμένες διατάξεις, στις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί η θεωρία του ενεργού μέσου και οι οποίες εμφανίζουν, σε μακροσκοπικό επίπεδο, μη φυσικές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες Χαρακτηριστικά και παράμετροι των μεταϋλικών Η θεώρηση των μεταϋλικών ως ενεργά ομογενή (effectively homogeneous) μέσα, επιτρέπει τον χαρακτηρισμό τους με τη βοήθεια των καταστατικών παραμέτρων της διηλεκτρικής σταθεράς (ε) και της μαγνητικής διαπερατότητας (μ). Κι αυτό, επειδή υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις (συνθήκη ο- μοιογένειας - effective-homogeneity condition), 2 τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που αλληλεπιδρούν με τέτοιου είδους δομές δεν αντιλαμβάνονται την ανομοιογένεια του πλέγματος, βλέποντας πρακτικά τις μακροσκοπικές, ενεργές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες της διάταξης. Η συσχέτιση των καταστατικών παραμέτρων ε και μ γίνεται, ως γνωστόν, μέσω του δείκτη διάθλασης (refractive index) n = ± ε r μ r, (2.1) όπου ε r = ε/ε 0, μ r = μ/μ 0, ε 0 και μ 0 οι αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων στον ελεύθερο χώρο. Στη γενική περίπτωση, ο δείκτης διάθλασης μπορεί να πάρει είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές, καθορίζοντας τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του μέσου, το οποίο χαρακτηρίζει. Ανάλογα με το πρόσημό του, προκύπτουν τέσσερις πιθανοί συνδυασμοί του ζεύγους (ε, μ) σχηματίζοντας τέσσερις πιθανές κατηγορίες μέσων/υλικών ως εξής: 1. Υλικά στα οποία και οι δύο παράμετροι έχουν θετικό πρόσημο (ε > 0, μ > 0). Πρόκειται κατευθύνσεις διαφορετικές αυτής του προσπίπτοντος κύματος [124]. 2 Η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται, ώστε η διάταξη να θεωρείται ομογενής σχετίζεται, όπως ήδη συζητήθηκε, με τη σχέση της περιόδου του δομικού πλέγματος με το μήκος κύματος της ακτινοβολίας με την οποία αλληλεπιδρά. Πολλές φορές, στη σχετική βιβλιογραφία, συναντώνται διαφορετικές τιμές για τα όρια αυτά, με το όριο α < λ/4 να είναι το λιγότερο αυστηρό σε σχέση με το πόσο μεγαλύτερο πρέπει να είναι το μήκος κύματος από την περίοδο της δομής μεταϋλικού.

24 2.1. Δομές μεταϋλικών 14 για τα συνήθη φυσικά υλικά, στα οποία η διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων γίνεται προς την κατεύθυνση ροής της ισχύος (το κυματικό διάνυσμα και το μιγαδικό διάνυσμα Poynting είναι ομόρροπα - forward waves). 2. Υλικά στα οποία ισχύει ε < 0, μ > 0. Συναντώνται ως φυσικά υλικά (π.χ. μέταλλα στις οπτικές συχνότητες) και περιγράφονται από το μοντέλο πλάσματος. Τα κύματα που υποστηρίζουν είναι αποσβεννύμενης φύσης. 3. Υλικά στα οποία ισχύει ε > 0, μ < 0. Οπως και αυτά της προηγούμενης κατηγορίας, περιλαμβάνουν φυσικά υλικά και υποστηρίζουν κύματα με αποσβεννύμενη συμπεριφορά. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της κατηγορίας είναι τα φερριμαγνητικά υλικά (ferrimagnetic materials). 4. Υλικά με ιδιότητες που περιγράφονται ως ε < 0, μ < 0. Αντίθετα με όλες τις προηγούμενες κατηγορίες δεν συναντώνται στη φύση. Υποστηρίζουν τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, αλλά με κατεύθυνση αντίθετη από αυτή της ροής ισχύος (το κυματικό διάνυσμα και το μιγαδικό διάνυσμα Poynting είναι αντίρροπα - backward waves). Τα υλικά της τελευταίας κατηγορίας, εξαιτίας της ιδιότητάς τους να υποστηρίζουν κύματα που διαδίδονται αντίθετα από τη ροή της ισχύος, αναφέρονται και ως αριστερόστροφα μέσα (Left- Handed, LH, media). Σύμφωνα, λοιπόν, με όσα συζητήθηκαν νωρίτερα, εκείνα τα αριστερόστροφα μέσα που πληρούν τη συνθήκη ομοιογένειας, μπορούν να χαρακτηριστούν ως μεταϋλικά. Κι αυτό, επειδή είναι τεχνητά κατασκευασμένα και εμφανίζουν ασυνήθιστες ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες. Η πρώτη αναφορά στα μέσα αυτά έγινε το 1967 από τον Viktor Veselago [50], ο οποίος παρατήρησε τη θεωρητική ύπαρξη τους και μια σειρά φαινομένων που προκύπτουν με βάση τις ιδιότητές τους (απαραίτητη συχνοτική διασπορά για τις καταστατικές παραμέτρους, αντιστροφή των φαινομένων Doppler, της ακτινοβολίας Vavilov-Cherenkov και του νόμου του Snell, έκφραση των καταστατικών παραμέτρων με βάση το μοντέλο πλάσματος σε αριστερόστροφα μέσα με συντονιστική συμπεριφορά κ.α.). 3 Χρειάστηκαν περίπου τριάντα χρόνια μέχρι να υλοποιηθεί η θεωρία του Veselago και να αποδειχθεί και πειραματικά η ύπαρξη αριστερόστροφων μέσων [51]. Η πρώτη αυτή δομή βασιζόταν στο συνδυασμό δύο τεχνητά κατασκευασμένων, περιοδικών διατάξεων η μία εκ των οποίων χαρακτηρίζεται μακροσκοπικά από ε < 0 και μ > 0 και η άλλη από ε > 0 και μ < 0. Ως διάταξη με αρνητική ισοδύναμη (ενεργό) διηλεκτρική σταθερά επιλέχθηκε αυτή που συντίθεται από την περιοδική επανάληψη μεταλλικών ράβδων (metal Thin-Wire, TW, structure), ενώ ως δομή με αρνητική ισοδύναμη μαγνητική διαπερατότητα η περιοδική διάταξη μεταλλικών συντονιστών διακεκομμένου δακτυλίου (metal Split-Ring Resonator, SRR) [52, 53]. Εκτοτε, πλήθος εργασιών, τόσο σε θεωρητικό όσο και σε πειραματικό επίπεδο, επαλήθευσαν την ύπαρξη των αριστερόστροφων μέσων και των ιδιοτήτων που αυτή συνεπάγεται. Ετσι, αναπτύχθηκαν τεχνικές εξαγωγής των ισοδύναμων/ενεργών καταστατικών παραμέτρων [54,55], οι οποίες επανεξετάστηκαν και επαληθεύτηκαν σε πλήθος μελετών, ενδεικτικά αναφέρονται οι [56 59]. Η αρχική σχεδίαση αριστερόστροφων μεταϋλικών (Left-Handed Metamaterials, LH-MTMs), συνδυάζοντας τη δομή TW και τη διάταξη διακεκομμένων δακτυλίων (SRRs), επεκτάθηκε σύντομα, 3 Ο Veselago στην εν λόγω εργασία δεν απέκλεισε το ενδεχόμενο ύπαρξης φυσικών υλικών με τα χαρακτηριστικά των αριστερόστροφων μέσων. Μάλιστα, ανέφερε ως πιθανή τέτοια περίπτωση τα αμιγώς φερριμαγνητικά υλικά (pure ferromagnetic metals or semiconductors) με την ιδιότητα της ανισοτροπίας.

25 Δομές μεταϋλικών οδηγώντας σε διάφορες δομές με ιδιότητες που εξαρτώνται τόσο από τη γεωμετρική τους δομή όσο και από τα υλικά σύνθεσής τους. Η δυνατότητα ρύθμισης της ηλεκτρομαγνητικής συμπεριφοράς των μεταϋλικών μέσω των παραμέτρων αυτών, επέτρεψε τη σχεδίαση και υλοποίηση μιας σειράς διαφορετικών διατάξεων. Παράλληλα, η ιδιότητα των LH-MTMs να διατηρούν μια σχέση αλληλεπίδρασης μεταξύ των διαστάσεων της γεωμετρίας τους (ή/και των ιδιοτήτων των υλικών σύνθεσής τους) και της περιοχής συχνοτήτων εμφάνισης των αρνητικών καταστατικών παραμέτρων, επέτρεψε την ανάπτυξη διατάξεων μεταϋλικών για λειτουργία σ ένα εύρος συχνοτήτων που εκτείνονται από τη μικροκυματική περιοχή μέχρι και τη ζώνη του ορατού φωτός. Ετσι, η χρησιμοποίηση του όρου μεταϋλικά σύντομα διευρύνθηκε περιλαμβάνοντας δομές με αρνητική τη μία μόνο από τις δύο καταστατικές παραμέτρους ή ακόμη και καμία (κάποια χειρόμορφα μεταϋλικά (chiral metamaterials) 4 ). Προέκυψαν, λοιπόν, κατηγορίες όπως τα μονο-αρνητικά (Single Negative, SNG) υλικά 5, τα μεταϋλικά μηδενικού δείκτη διάθλασης (Zero-Index Metamaterials, ZIM), τα χειρόμορφα (chiral) μεταϋλικά κ.α Διατάξεις συντονιστών διακεκομμένου δακτυλίου Στην κατηγορία εκείνη των μεταϋλικών που κατασκευάζονται με τη βοήθεια συντονιστικών στοιχείων, η βασική λογική σχεδίασης, ανεξάρτητα από τη ζώνη συχνοτήτων επιθυμητής λειτουργίας, παραμένει παρόμοια: Για την επίτευξη μη φυσικών ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων, απαιτείται η σχεδίαση δομών στις οποίες η περιγραφή των καταστατικών παραμέτρων (είτε μίας μόνο από τις ε και μ, είτε και των δύο), μπορεί να γίνει με βάση το μοντέλο πλάσματος. Αν εστιάσουμε στην επίτευξη αρνητικής μαγνητικής διαπερατότητας (μ), στη συχνοτική περιοχή ανάπτυξης των μικροκυματικών εφαρμογών, που είναι και η ζώνη συχνοτήτων ενδιαφέροντος για το κεφάλαιο αυτό, η δημοφιλέστερη γεωμετρική διάταξη με βάση την οποία μπορεί να κατασκευαστεί μια δομή μεταϋλικού είναι αυτή του διακεκομμένου δακτυλίου (SRR). Ως δακτύλιος νοείται οποιοσδήποτε κλειστού σχήματος βρόχος (κυκλικός ή ορθογωνικός) που εμφανίζει συντονιστική συμπεριφορά σε μια συχνοτική περιοχή ενδιαφέροντος. Η βασική προϋπόθεση για να επιτευχθεί μακροσκοπικά αρνητική ισοδύναμη μαγνητική διαπερατότητα στη δομή που σχηματίζεται από την περιοδική διάταξη SRRs, είναι αυτοί να έχουν διαστάσεις αρκετά μικρότερες του μήκους κύματος λειτουργίας. Από την αρχική μελέτη του Pendry σχετικά [53], έγινε σαφές ότι οι συντονιστές αυτού του τύπου μπορούν να οδηγήσουν σε αρνητικές τιμές της παραμέτρου μ. Μάλιστα, αποδείχτηκε στη συνέχεια ότι πρακτικά κάθε μαγνητικός συντονιστής έχει αυτήν την δυνατότητα, αρκεί να υπάρχει σύζευξη του μαγνητικού πεδίου με αυτόν [64]. Με αυτή τη λογική σχεδίασης και με οδηγό τις πρώτες μελέτες περί μεταϋλικών, υλοποιήθηκαν διάφορες διατάξεις. Το σχήμα 2.2 απεικονίζει κάποιες από τις χαρακτηριστικότερες αυτών. Πρόκειται για συντονιστικά στοιχεία σχεδιασμένα με βάση την αρχικά προταθείσα δομή SRR [51, 53], τα οποία έχουν διαφορετικές γεωμετρικές ιδιαιτερότητες αλλά υπακούν όλα στον ίδιο κανόνα σχεδίασης: Χρησιμοποίηση βρόχων (κατά κανόνα διακεκομμένων) ώστε να μοντελοποιείται μια ισοδύναμη επαγωγική συμπεριφορά και τοποθέτηση των μεταλλικών επιφανειών σε 4 Στην περίπτωση των διατάξεων που σχεδιάζονται ώστε να εμφανίζουν χειρόμορφη (chiral) συμπεριφορά, ο μη μηδενισμός της παραμέτρου χειρομορφίας (κ) επιτρέπει την υποστήριξη κυμάτων που διαδίδονται αντίθετα από τη ροή της ισχύος ακόμη και όταν ε, μ > 0. 5 Ανάλογα με το αν είναι η ισοδύναμη διηλεκτρική σταθερά ή αντίστοιχη μαγνητική διαπερατότητα που παίρνει αρνητικές τιμές, τα μονο-αρνητικά (SNG) υλικά διαχωρίζονται σε ε-negative (ENG) και σε μ-negative (MNG).

26 2.2. Επίπεδες τυπωμένες κεραίες με τροφοδοσία μικροταινίας 16 Σχήμα 2.2: Σχηματική αναπαράσταση της γεωμετρικής δομής κάποιων χαρακτηριστικών δομών δακτυλίων που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή μεταϋλικών. (i) Διάταξη δύο διακεκομμένων δακτυλίων ορθογωνικού σχήματος [125], (ii) ορθογωνικός δακτύλιος με εκτεταμένα τμήματα προς το εσωτερικό του [126], (iii) ορθογωνικός δακτύλιος με σπειροειδή δομή στο εσωτερικό του [126], (iv) και (v) ορθογωνικοί δακτύλιοι διακεκομμένοι σε περισσότερα του ενός σημεία [125], (vi) συνδυασμός δύο ορθογωνικών SRR [127], (vii) SRR κυκλικού σχήματος [128] και (viii) Σπειροειδής συντονιστής [129]. κοντινές αποστάσεις ώστε να μοντελοποιείται, αντίστοιχα, χωρητική συμπεριφορά. Στη σχετική βιβλιογραφία, περιγράφεται με λεπτομέρειες η διαδικασία με βάση την οποία από την πολωσιμότητα (polarizability) ενός στοιχειώδους διακεκομμένου βρόχου εξάγεται η ισοδύναμη/ενεργός μαγνητική διαπερατότητα της διάταξης που συντίθεται με βάση αυτόν [62 66]. Από την ανάλυση αυτή προκύπτει και η επίδραση της γεωμετρίας κάθε συντονιστικού στοιχείου στον επαγωγικό ή/και χωρητικό χαρακτήρα της σύνθετης αντίστασής του, καθώς και η δυνατότητα ρύθμισης αυτής (και κατ επέκταση των ισοδύναμων παραμέτρων της συνολικής διάταξης) μέσω της μεταβολής της γεωμετρίας. Ανάλογα, λοιπόν, με την εφαρμογή στην οποία πρόκειται να ενσωματωθεί μια τέτοια διάταξη, οι δομές μεταϋλικών προσφέρουν μια σειρά διαφορετικών γεωμετρικών σχηματισμών, οι οποίοι μπορούν με κατάλληλη ρύθμιση των δομικών τους χαρακτηριστικών να οδηγήσουν σε διαφορετικές τιμές των καταστατικών παραμέτρων. Με τον τρόπο αυτόν, τα χαρακτηριστικά λειτουργίας της εν λόγω διάταξης μπορούν να μεταβληθούν με τρόπο βελτιωτικό. Στην ενότητα που ακολουθεί, περιγράφεται μια τέτοια κατηγορία κεραιών για τη βελτίωση των οποίων μπορούν να χρησιμοποιηθούν δομές βασισμένες στα μεταϋλικά. 2.2 Επίπεδες τυπωμένες κεραίες με τροφοδοσία μικροταινίας Η υιοθέτηση επίπεδων μικροκυματικών διατάξεων προέκυψε εξαιτίας της ανάγκης σχεδίασης αντίστοιχων εξαρτημάτων με όλο και μειούμενες διαστάσεις. Η λογική αυτή, της χωρικής συρρίκνωσης

27 Επίπεδες τυπωμένες κεραίες με τροφοδοσία μικροταινίας (compactness), οδήγησε στη σχεδίαση επίπεδων κεραιών (planar/printed antennas) με γεωμετρικά χαρακτηριστικά δανεισμένα από ήδη γνωστές κεραίες. Ετσι, υλοποιήθηκαν διατάξεις όπως η κεραία τύπου παπιγιόν (bow-tie antenna) ως η επίπεδη εκδοχή της δικωνικής κεραίας (biconical antenna), η μονοπολική κεραία τριγωνικού σχήματος (triangular planar monopole antenna) ως η επίπεδη εκδοχή της δισκοκωνικής (discone antenna), οι επίπεδες κεραίες ελικοειδούς σχήματος (helical antennas), οι επίπεδες Yagi-Uda καθώς και πλήθος άλλων αντίστοιχων κεραιών [130]. Οι περισσότερες από αυτές διατήρησαν τα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά των μη επίπεδων κεραιών από τις οποίες είναι εμπνευσμένες (μεγάλο εύρος ζώνης λειτουργίας, υψηλή κατευθυντικότητα προς συγκεκριμένες κατευθύνσεις κ.α.), παρέχοντας παράλληλα το πλεονέκτημα της εξοικονόμησης χώρου. Ταυτόχρονα, η υλοποίησή τους ως δισδιάστατες γεωμετρικές δομές σε πολλές περιπτώσεις συνεπάγεται εξοικονόμηση του κόστους κατασκευής, ευκολία υλοποίησης αλλά και δυνατότητα ενσωμάτωσής τους σε επίπεδες πλακέτες κυκλωμάτων (Planar Circuit Boards, PCBs). Η τροφοδοσία των επίπεδων/τυπωμένων κεραιών μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, οι δημοφιλέστεροι εκ των οποίων είναι: είτε μέσω γραμμής τροφοδοσίας (π.χ. ομοαξονικό καλώδιο - coaxial cable) και κατάλληλα τοποθετημένο πρόβολο (probe), είτε μέσω τροφοδοσίας με μικροταινιακή γραμμή μεταφοράς (microstrip line), είτε με τη βοήθεια γραμμής μεταφοράς τύπου ομοεπίπεδου κυματοδηγού (coplanar waveguide). Τα σημεία τροφοδοσίας σε κάθε περίπτωση μπορεί να είναι ένα ή και περισσότερα, ενώ η επωφελέστερη επιλογή τροφοδοσίας καθορίζεται ανάλογα με την επιθυμητή λειτουργία κάθε στοιχείου κεραίας, λαμβάνοντας υπ όψιν και τους περιορισμούς που τίθενται σε κάθε πρακτική εφαρμογή Επίπεδες τυπωμένες κεραίες πολλαπλών εισόδων-εξόδων Μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα κατηγορία κεραιών, τα χαρακτηριστικά των οποίων έχουν μελετηθεί ευρέως τις προηγούμενες δεκαετίες, είναι αυτή των κεραιών πολλαπλών εισόδων-εξόδων (Multiple Input Multiple Output, MIMO, antennas). Πρόκειται για έναν από τους δυνατούς τρόπους επίτευξης διαφορισμού (diversity), διαφορισμός χώρου ή κεραίας (spatial/antenna diversity), 6 με στόχο την αντιμετώπιση των διαφόρων μηχανισμών εξασθένησης που αναπτύσσονται κατά τη διέλευση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων μέσα από τα ασύρματα κανάλια διάδοσης. Η χρησιμοποίηση πολλαπλών κεραιών σε ένα ή και στα δύο άκρα μιας τηλεπικοινωνιακής ζεύξης βασίζεται στη λογική της τεχνικής διαφορικής εκπομπής-λήψης (transmitter-receiver diversity), η οποία στηρίζεται στη θεώρηση ότι η λήψη πολλαπλών αντιγράφων ενός σήματος στον δέκτη ενός συστήματος α- σύρματων επικοινωνιών, αυξάνει την πιθανότητα αποτελεσματικής επικοινωνίας μεταξύ εκπομπής και λήψης. Τα συστήματα πολλαπλών κεραιών (multiantenna systems) παρέχουν τη δυνατότητα αυτή, ως πολύθυρα συστήματα στα οποία κάθε θύρα μπορεί να συσχετιστεί είτε με διακριτές, φυσικά διαχωρισμένες κεραίες (κεραίες πολλαπλών στοιχείων-multielement antennas), είτε με κεραίες πολλαπλής πόλωσης (multipolarized antennas), είτε με κεραίες πολλαπλών διαγραμμάτων ακτινοβολίας (multimode antennas). Στα πλαίσια του παρόντος κεφαλαίου, η αναφορά στα συστήματα πολλαπλών κεραιών θα συνεπάγεται την πρώτη από τις παραπάνω κατηγορίες, δηλαδή την περίπτωση των διακριτών, φυσικά διαχωρισμένων κεραιών. Η χρησιμοποίηση πολλαπλών κεραιών για τη βελτίωση των χαρακτηριστικών μετάδοσης σε 6 Οι άλλοι κυριότεροι δυνατοί τρόποι είναι ο διαφορισμός χρόνου (time diversity), ο διαφορισμός συχνότητας (frequency diversity), ο διαφορισμός πόλωσης ή γωνίας (polarization/angular diversity) [5].

28 2.2. Επίπεδες τυπωμένες κεραίες με τροφοδοσία μικροταινίας 18 κανάλια ασύρματης επικοινωνίας είναι μια τεχνική που μελετήθηκε αρχικά από τους Foschini και Gans [6], σε μια προσπάθεια υπολογισμού των ορίων της χωρητικότητας (capacity) των καναλιών αυτού του τύπου. Για τα συστήματα MIMO που μελετήθηκαν, αποδείχτηκε ότι μπορούν να ε- κμεταλλευτούν κατάλληλα τις συνιστώσες των διαδρομών (multipath) που προκύπτουν εξαιτίας της χρησιμοποίησης των πολλαπλών κεραιών και των συνθηκών μετάδοσης στο ασύρματο κανάλι (ύπαρξη εμποδίων, μηχανισμοί εξασθένησης κλπ.), προς όφελος της επίδοσής τους. Η βελτίωση αυτή μελετήθηκε από την άποψη της αύξησης της χωρητικότητας των αντίστοιχων καναλιών και διαπιστώθηκε ότι, πράγματι, η χρησιμοποίηση πολλαπλών κεραιών στο ένα ή και στα δύο άκρα της τηλεπικοινωνιακής ζεύξης αυξάνει σημαντικά τη χωρητικότητα του συστήματος. Για την ποσοτικοποίηση αυτής της αύξησης, διατυπώθηκαν κατάλληλες εκφράσεις υπολογισμού της χωρητικότητας συναρτήσει, κατά βάση, του πλήθους των χρησιμοποιούμενων κεραιών, του σηματοθορυβικού λόγου (Signal to Noise Ratio, SNR) και των επιδράσεων που εισάγει η διέλευση των σημάτων μέσα από το ασύρματο κανάλι. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ωστόσο, παρουσιάζει η συσχέτιση της χωρητικότητας καναλιού σ ένα σύστημα MIMO με τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας των χρησιμοποιούμενων κεραιών εκπομπής και λήψης. Η συσχέτιση αυτή προκύπτει ως εξής: Η γενική σχέση υπολογισμού της χωρητικότητας, C, σύμφωνα με την ανάλυση των Foschini και Gans, σ ένα MIMO κανάλι με M θύρες στην εκπομπή και N θύρες στη λήψη δίνεται από τη σχέση C = max log 2 det {R s:tr(r s) P S,av } ( I + HR sh H N 0 ). (2.2) Στην (2.2) με R s συμβολίζεται η συμμεταβλητότητα (covariance) των εκπεμπόμενων συμβόλων, με P S,av η μέση εκπεμπόμενη ισχύς, με N 0 η ισχύς του θορύβου 7 που εισάγεται από το κανάλι και με H C N M ο πίνακας καναλιού, τα στοιχεία του οποίου περιέχουν τα χαρακτηριστικά των διαδρομών (paths) που σχηματίζονται εξαιτίας της χρησιμοποίησης πολλαπλών κεραιών. Στην ειδική περίπτωση που δεν είναι εξ αρχής (στην εκπομπή) γνωστή η επίδραση του καναλιού, η εκπεμπόμενη ισχύς ισοκατανέμεται στις κεραίες εκπομπής και η σχέση (2.2) καταλήγει στην C = log 2 det ( I + ρ ) M HHH, (2.3) όπου με ρ = N 0 συμβολίζεται ο μέσος σηματοθορυβικός λόγος στην εκπομπή. Σε αντίθετη περίπτωση, όπου μέσω κάποιου κατάλληλα σχεδιασμένου συστήματος ανάδρασης φτάνει κάποια πληροφορία των επιδράσεων του καναλιού στην εκπομπή, η έκφραση της χωρητικότητας μπορεί να προκύψει και ως P S,av C = min(m,n) i log 2 (1 + ρ i Λ ii ), (2.4) όπου με Λ ii συμβολίζονται οι θετικές ιδιοτιμές του πίνακα HH H και με ρ i ο σταθμισμένος σηματοθορυβικός λόγος που εξαρτάται, για σταθερή ισχύ θορύβου, από το ποσοστό της συνολικά εκπεμπόμενης ισχύος που διατίθεται σε κάθε θύρα/κεραία εκπομπής. Το ποσοστό αυτό σε κάθε 7 Ο θόρυβος θεωρήθηκε προσθετικός, λευκός με κατανομή Gauss (Additive White Gaussian Noise, AWGN).

29 Επίπεδες τυπωμένες κεραίες με τροφοδοσία μικροταινίας σχηματιζόμενο υποκανάλι 8 υπολογίζεται από την αντίστοιχη ιδιοτιμή Λ ii υπό τις εξής δύο προϋποθέσεις: το άθροισμα όλων των ποσοστών καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε κάθε υποκανάλι, έστω α i, να είναι ίσο με τη μονάδα, r i α i = 1, και κάθε σταθμισμένος λόγος ρ i να δίνεται ως το ποσοστό, ρ i = α i ρ. Με τον τρόπο αυτό, η εκπεμπόμενη ισχύς ανακατανέμεται σύμφωνα με τις δυνατότητες κάθε σχηματιζόμενου υποκαναλιού ώστε η συνολική χωρητικότητα να λαμβάνει ακόμη μεγαλύτερες τιμές. Η τεχνική αυτή είναι γνωστή και ως τεχνική Water Filling [5]. Σε κάθε μία από τις παραπάνω εκφράσεις χωρητικότητας εμπλέκονται όροι που σχετίζονται με τον πίνακα καναλιού, H. Χρησιμοποιώντας κάποιο κατάλληλο μοντέλο περιγραφής των επιδράσεων που εισάγονται στο ασύρματο κανάλι [5, 131], τα στοιχεία του H μπορούν να γραφούν συναρτήσει όχι μόνο των παραμέτρων του καναλιού επικοινωνίας, αλλά και των χαρακτηριστικών των χρησιμοποιούμενων κεραιών. Ετσι, όπως εύκολα αντιλαμβάνεται κανείς, η εξάρτηση αυτή επιτρέπει κατά κάποιον τρόπο τον έλεγχο της χωρητικότητας ενός συστήματος πολλαπλών κεραιών μέσω της ρύθμισης των παραμέτρων ακτινοβολίας των κεραιών αυτών. Οι εκφράσεις των στοιχείων του πίνακα καναλιού, με βάση την παραπάνω θεώρηση, προκύπτουν ως Z 0,T j Re{Zi R H ij = λ } P ( F R Z 0,R Re{Z T i j } i ((θ, φ) p i )T Γ p ij FT j ((θ, φ) p j )T), (2.5) p=1 όπου με p συμβολίζεται κάθε διαδρομή από την j κεραία εκπομπής στην i κεραία λήψης, με λ συμβολίζεται το μήκος κύματος λειτουργίας, με Z 0,(R) i και Z 0,T j οι χαρακτηριστικές αντιστάσεις αναφοράς των θυρών i και j αντίστοιχα, με Zi R και Zj T οι σύνθετες αντιστάσεις εισόδου των κεραιών i και j, ενώ οι όροι F R i, F T j αναπαριστούν τα διαγράμματα ακτινοβολίας των κεραιών i και j κανονικοποιημένα σύμφωνα με τη σχέση E i,j (θ, φ) = e jkr η 0 F i,j (θ, φ). (2.6) r Στην (2.6), ο όρος E i,j συμβολίζει το ηλεκτρικό πεδίο της εκάστοτε κεραίας i ή j υπολογισμένο στη θέση που ορίζεται από το διάνυσμα θέσης r rˆr, ενώ η 0 = 120π (Ω) είναι η κυματική αντίσταση του ελεύθερου χώρου. Τέλος, ο πίνακας Γ p ij στη σχέση (2.5) περιέχει την πληροφορία σχετικά με τις απώλειες που εισάγουν φαινόμενα όπως ανακλάσεις, διαθλάσεις, περιθλάσεις και σκεδάσεις και οφείλονται στην παρουσία διαφόρων αντικειμένων στο κανάλι καθώς επίσης και τον όρο απωλειών διάδοσης 1. r Η δυνατότητα που προσφέρουν τα συστήματα MIMO για βελτίωση της χωρητικότητας καναλιού, σε συνδυασμό με την εξοικονόμηση χώρου που υπόσχονται οι διατάξεις επίπεδων/τυπωμένων κεραιών καθιστούν την ανάπτυξη συστημάτων πολλαπλών επίπεδων κεραιών ιδιαίτερα ελκυστική. Μάλιστα, η άμεση εξάρτηση της χωρητικότητας από τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας των χρησιμοποιούμενων κεραιών, όπως περιγράφηκε νωρίτερα, μπορεί να αποτελέσει ενδιαφέρουσα εναλλακτική βελτίωσης της λειτουργίας των MIMO συστημάτων. Στην ενότητα που ακολουθεί, περιγράφεται η διαδικασία σχεδίασης μιας επίπεδης κεραίας MIMO, τα χαρακτηριστικά λειτουργίας της οποίας βελτιώνονται με τη χρησιμοποίηση συντονιστικών δομών βασισμένων στα μεταϋλικά. Ως βασικό στοιχείο κατασκευής της υπό σχεδίαση MIMO διάταξης χρησιμοποιείται η μονοπολική κεραία με τροφοδοσία μικροταινίας του σχήματος 2.3. Εξαιτίας της απλής της δομής, η μονοπολική αυτή 8 Ως υποκανάλι ορίζεται κάθε δυνατή σύνδεση μεταξύ μίας κεραίας του συστήματος εκπομπής και μίας αντίστοιχης κεραίας του συστήματος λήψης.

30 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 20 Σχήμα 2.3: Σχηματική αναπαράσταση επίπεδης μονοπολικής κεραίας με τροφοδοσία μικροταινίας. Οι γεωμετρικές παράμετροι τόσο του μονοπόλου, όσο και του αγώγιμου επιπέδου αναφοράς (ground plane) απεικονίζονται στο σχήμα. κεραία προσφέρεται για την ενσωμάτωσή της σε διατάξεις πολλαπλών κεραιών χωρίς να αυξάνει σημαντικά τις απαιτήσεις χώρου. Τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά λειτουργίας της καθώς και η σχεδίαση της αντίστοιχης MIMO διάταξης, περιγράφονται ακολούθως. 2.3 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Ενα από τα σημαντικότερα φαινόμενα που μπορούν να αναπτυχθούν κατά τη λειτουργία μιας διάταξης πολλαπλών κεραιών στα συστήματα MIMO, είναι αυτό της αμοιβαίας σύζευξης (mutual coupling) μεταξύ των χρησιμοποιούμενων στοιχείων-κεραιών. Κι αυτό, επειδή μια τέτοιου είδους αλληλεπίδραση μπορεί σε πολλές περιπτώσεις να υποβαθμίσει τη λειτουργία του συστήματος MI- MO. Η αμοιβαία σύζευξη μπορεί να επηρεάσει ποικιλοτρόπως την εκάστοτε διάταξη, επιδρώντας, κατά βάση, είτε στο διάγραμμα ακτινοβολίας των στοιχείων κεραιών (εξαιτίας της γειτνίασής τους με άλλα στοιχεία), είτε στις σύνθετες αντιστάσεις εισόδου των θυρών τροφοδοσίας αυτών δημιουργώντας συνθήκες αποπροσαρμογής (mismatch). Οπως, όμως, συζητήθηκε νωρίτερα στο κεφάλαιο αυτό, κάθε μία από τις επιδράσεις αυτές αναμένεται να επηρεάζει και τη χωρητικότητα του συστήματος MIMO, μέσω της συσχέτισής της τελευταίας με τα στοιχεία του πίνακα καναλιού (εξ. 2.5). Παρότι στη σχετική βιβλιογραφία αναφέρονται περιπτώσεις όπου η ύπαρξη αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των στοιχείων-κεραιών μπορεί να αποδειχθεί επωφελής για τη λειτουργία του αντίστοιχου συστήματος [7, 8], στη γενική περίπτωση, η ύπαρξη αυτού του φαινομένου υποβαθμίζει τη λειτουργία του οδηγώντας σε μείωση της χωρητικότητας. Ετσι, έχει αποδειχθεί ότι ενώ για αποστάσεις μεταξύ των στοιχείων-κεραιών 0.1λ 0.2λ, η ανάπτυξη αμοιβαίας σύζευξης είναι δυνατό να αυξήσει την χωρητικότητα του αντίστοιχου συστήματος [8 11], για αντίστοιχες αποστάσεις μεγαλύτερες των λ, η ύπαρξη αμοιβαίας σύζευξης οδηγεί σε μείωση της χωρητικότητας και κατ επέκταση υποβάθμιση της λειτουργίας του αντίστοιχου συστήματος MIMO. Η μεθοδολογία σχεδίασης που περιγράφεται στην παρούσα ενότητα, αφορά τέτοιου είδους διατάξεις: επίπεδες τυπωμένες κεραίες MIMO, μεταξύ των στοιχείων των οποίων εμφανίζεται αμοιβαία σύζευξη. Η προσπάθεια βελτίωσης των χαρακτηριστικών των κεραιών αυτού του είδους, από την άποψη της μείωσης της αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των επιμέρους στοιχείων, έχει μελετηθεί ευρέως. Προς αυτήν την κατεύθυνση προτάθηκαν διάφορες τεχνικές: χρησιμοποίηση παρασιτικών στοιχείων [12], κατακόρυφων συνδέσεων (vias) [13], διατάξεων ηλεκτρομαγνητικού διακένου ζώ-

31 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά νης (Electromagnetic Band Gap, EBG, structures) [14, 15], στοιχείων εγκοπής (slots) [16, 17], συντονιστικών στοιχείων [19 22], δομών μετα-επιφανειών [23] καθώς και διαφόρων άλλων τεχνικών [24 30]. Ετσι, με οδηγό τη σχετική βιβλιογραφία, στην ενότητα αυτή περιγράφεται μια συστηματική τεχνική σχεδίασης κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά. Η σχεδίαση περιλαμβάνει την αρχική ανάλυση της κεραίας MIMO, τη διερεύνηση των χαρακτηριστικών της από την άποψη της επίτευξης προσαρμογής και της εμφάνισης αμοιβαίας σύζευξης αλλά και την επιλογή κατάλληλων συντονιστικών δομών βασισμένων στα μεταϋλικά με στόχο τη βελτίωση της λειτουργίας της. Καθώς σε κάθε βήμα της εν λόγω τεχνικής απαιτείται η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση κάποιου προβλήματος που σχετίζεται με τη διαδικασία σχεδίασης, ακολουθεί μια σύντομη περιγραφή της υπολογιστικής μεθόδου που χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση κάθε τέτοιου προβλήματος Υπολογιστική μέθοδος ανάλυσης Από τις διάφορες μεθόδους, οι οποίες έχουν αναπτυχθεί για την αριθμητική (υπολογιστική) επίλυση των ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM) αποτελεί την επωφελέστερη ίσως επιλογή για την ανάλυση των μικροκυματικών διατάξεων του παρόντος κεφαλαίου. Κι αυτό, γιατί παρουσιάζει μια σειρά χαρακτηριστικών, τα οποία την καθιστούν κατάλληλη για την αντιμετώπιση σύνθετων ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων στις υψηλές συχνότητες. Το πρώτο από αυτά τα χαρακτηριστικά έγκειται στο ότι η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) βασίζεται στη διακριτοποίηση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το ηλεκτρομαγνητικό πρόβλημα. Ετσι, οι εξισώσεις του Maxwell στη διαφορική τους μορφή διακριτοποιούνται απευθείας, με ελάχιστη πρότερη αναλυτική επεξεργασία. 9 Επειτα, η διακριτοποίηση των προς επίλυση διαφορικών εξισώσεων πραγματοποιείται με τέτοιον τρόπο, ώστε οι εμπλεκόμενοι τελεστές να συσχετίζουν άγνωστα μεγέθη μεταξύ γειτονικών μόνο στοιχείων πλέγματος. Επομένως, κατά το σχηματισμό του γραμμικού συστήματος οι αντίστοιχοι πίνακες που δημιουργούνται έχουν μεγάλο ποσοστό μηδενικών στοιχείων (αραιοί), καθιστώντας δυνατή την αντιμετώπιση συστημάτων με μεγάλο πλήθος αγνώστων (βαθμοί ελευθερίας). Ενα ακόμη πλεονέκτημα της FEM είναι η δυνατότητα που παρέχει για την αντιμετώπιση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων χωρίς την αναγκαιότητα επιπλέον παραδοχών. 10 Ετσι, είναι δυνατή η ανάλυση σύνθετων διατάξεων γενικότερης γεωμετρικής δομής, ανεξάρτητα από τα κυματικά φαινόμενα που είναι πιθανό να αναπτυχθούν σε αυτές (ανακλάσεις, στάσιμα κύματα, συντονισμοί, ακτινοβολία, σκέδαση, κ.α.) και γι αυτόν το λόγο χαρακτηρίζεται ως πλήρως κυματική (full wave) μέθοδος. Η βασική αρχή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων έγκειται στο διαμερισμό του υπό ανάλυση χώρου (χωρίο Ω) σε υποπεριοχές πεπερασμένων διαστάσεων (πεπερασμένα στοιχεία) με απλό, συνήθως, γεωμετρικό σχήμα. Εντός του χωρίου Ω αναζητείται η λύση κάποιας διαφορικής εξίσωσης, η οποία έχει προκύψει από την επιβολή των φυσικών νόμων για το εξεταζόμενο πρόβλημα μετά και την υιοθέτηση κατάλληλων οριακών συνθηκών. Το σχήμα των στοιχείων που επιλέγονται για να διακριτοποιήσουν το υπό εξέταση χωρίο, εξαρτάται από τη γεωμετρία της δομής που θα πρέπει να αναλυθεί. Τα όρια μεταξύ διαφορετικών περιοχών θα πρέπει να προσεγγίζονται με ακρίβεια, 9 Κάτι που δεν ισχύει για τις μεθόδους ολοκληρωτικών εξισώσεων (Integral Equation Methods) για παράδειγμα, όπου η αναλυτική προεπεξεργασία είναι απαραίτητη. 10 Στην περίπτωση της μεθόδου διάδοσης δέσμης (Beam Propagation Method, BPM), για παράδειγμα, πραγματοποιείται συχνά η παραδοχή της παραξονικής προσέγγισης (Paraxial approximation).

32 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 22 ώστε να η διάταξη να αναπαριστάται ορθά χωρίς βηματικές προσεγγίσεις (staircase meshing). Συνήθως αυτό επιτυγχάνεται με τη χρησιμοποίηση σχημάτων simplex, δηλαδή τρίγωνα στις δύο διαστάσεις (δισδιάστατο simplex) ή τετράεδρα στις τρεις διαστάσεις (τρισδιάστατο simplex). Αν και τα simplex στοιχεία αποτελούν τόσο την απλούστερη εναλλακτική του καρτεσιανού πλέγματος, όσο και την αποτελεσματικότερη λύση για την ορθή διακριτοποίηση μιας αυθαίρετης γεωμετρίας και άλλοι τύποι στοιχείων (τετραπλευρικά - 2D ή εξαεδρικά/πρισματικά - 3D) μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν. Στη συνέχεια, με βάση τη διακριτοποίηση (σχηματισμός πλέγματος) επιλέγονται οι βαθμοί ελευθερίας-άγνωστοι (Degrees of Freedom, DoFs) του προβλήματος. Στην απλούστερη μορφή της μεθόδου, οι βαθμοί ελευθερίας είναι οι τιμές του άγνωστου μεγέθους (π.χ. πεδίο) στους κόμβους του πλέγματος. Επειτα, το άγνωστο μέγεθος προσεγγίζεται μέσω μιας έκφρασης στο εσωτερικό κάθε στοιχείου. Η προσεγγιστική αυτή έκφραση σχηματίζεται με βάση τους βαθμούς ελευθερίας και είναι συνήθως μια χαμηλής τάξης πολυωνυμική συνάρτηση (γραμμική, τετραγωνική, κυβική κλπ.). Ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των συναρτήσεων, που καλούνται συναρτήσεις βάσης ή μορφής (basis/shape functions), σταθμισμένων με βάρη τους βαθμούς ελευθερίας, θα δίνει τελικά την τιμή του άγνωστου μεγέθους σε κάθε στοιχείο. Η προσεγγιστική έκφραση που προκύπτει από την παραπάνω διαδικασία, εισάγεται ακολούθως στη διαφορική εξίσωση, της οποίας η λύση αναζητείται. Η εισαγωγή αυτή, ωστόσο, δεν είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί απευθείας, αλλά απαιτεί την τροποποίηση του μαθηματικού προβλήματος με τη βοήθεια της ασθενούς διατύπωσης (weak formulation) της διαφορικής εξίσωσης. Από τις δύο μεθόδους, οι οποίες χρησιμοποιούνται για τον σκοπό αυτό, 11 επιλέγεται η απευθείας εφαρμογή μιας διατύπωσης σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residual) στη διαφορική εξίσωση, και ειδικότερα της διατύπωσης Galerkin. Η αντικατάσταση των προσεγγιστικών εκφράσεων στην ασθενή μορφή της διαφορικής εξίσωσης σε συνδυασμό με τη διαδικασία συνάθροισης (assembly) οδηγούν στο γραμμικό σύστημα εξισώσεων, η λύση του οποίου μας δίνει τις τιμές των άγνωστων μεγεθών. Πρισματικά στοιχεία ακμής πρώτης τάξης Στην πιο απλή περίπτωση υλοποίησης της μεθόδου, οι βαθμοί ελευθερίας επιλέγονται να είναι οι τιμές του άγνωστου μεγέθους (συνήθως ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο) στους κόμβους του πλέγματος (κομβικά στοιχεία/nodal). Στην ανάλυση δομών στις δύο διαστάσεις (2D), αυτή η επιλογή είναι επαρκής για την επίλυση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων μιας και κατά κανόνα είναι δυνατή η διατύπωση του προβλήματος ως προς μία μόνο συνιστώσα του άγνωστου πεδίου. Στις τρεις διαστάσεις (3D), ωστόσο, τα κομβικά στοιχεία δεν επαρκούν για την ορθή αναπαράσταση των ιδιοτήτων των εμπλεκόμενων στην ανάλυση μεγεθών. Πιο συγκεκριμένα, στην πλειοψηφία των περιπτώσεων επίλυσης ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων εμπλέκονται πεδία ή διανυσματικά δυναμικά, τα οποία παρουσιάζουν συνέχεια των εφαπτομενικών και ασυνέχεια των κάθετων συνιστωσών στα όρια μεταξύ διαφορετικών περιοχών. Η προσέγγιση, όμως, που εισάγεται μέσω των κομβικών πεπερασμένων στοιχείων είναι συνεχής στα όρια των στοιχείων με αποτέλεσμα να επιβάλλεται η συνέχεια και της εφαπτομενικής αλλά και της κάθετης συνιστώσας. Η επιβολή της συνέχειας που δεν 11 Η επαναδιατύπωση του μαθηματικού προβλήματος πραγματοποιείται ακολουθώντας γενικά δύο κατευθύνσεις. Είτε με την εύρεση κάποιας συναρτησιακής (functional), η ελαχιστοποίηση της οποίας οδηγεί στη ζητούμενη εξίσωση προς επίλυση, είτε με την απευθείας εφαρμογή κάποιας διατύπωσης σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residual).

33 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά υπάρχει στην πραγματικότητα, μπορεί να προκαλέσει αριθμητικά σφάλματα κατά την εφαρμογή της μεθόδου καθιστώντας τη χρήση κομβικών πεπερασμένων στοιχείων σε διανυσματικά προβλήματα ανεπαρκή για την ορθή μοντελοποίηση των ασυνεχειών της διάταξης. Επιπρόσθετα, με τη χρήση κομβικών στοιχείων αντιμετωπίζεται ένα ακόμη ζήτημα πιθανής λανθασμένης αναπαράστασης, αυτό της ορθής επιβολής οριακών συνθηκών. Σ αυτήν την περίπτωση, είναι η ασάφεια ορισμού του κάθετου στις οριακές επιφάνειες διανύσματος, ιδιαίτερα σε ακμές και γωνίες της γεωμετρικής δομής, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένη αναπαράσταση μέσω των κομβικών στοιχείων. Ο σοβαρότερος, όμως, λόγος για τον οποίο τα κομβικά στοιχεία δεν είναι κατάλληλα για την επίλυση των εξισώσεων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι η αδυναμία ορθής μοντελοποίησης του τελεστή της στροφής, και ειδικότερα των αστρόβιλων πεδίων. Πιο συγκεκριμένα, ένα αστρόβιλο πεδίο που γράφεται ως κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης δεν μπορεί να εκφραστεί μέσω των συναρτήσεων βάσης των κομβικών στοιχείων. Ετσι, τα κομβικά πεπερασμένα στοιχεία αδυνατούν να μοντελοποιήσουν σωστά τις ιδιότητες των διανυσματικών πεδίων με αποτέλεσμα η επίλυση των προβλημάτων που εμπλέκουν τέτοια πεδία να οδηγεί στην εμφάνιση αριθμητικών ασταθειών με τη μορφή παρασιτικών διανυσματικών λύσεων χωρίς φυσικό νόημα (ψευδορυθμοί /spurious modes ή παρασιτικές διανυσματικές λύσεις/vector parasitic solutions). Για την αντιμετώπιση των παραπάνω ζητημάτων, που προκύπτουν κατά τη μοντελοποίηση διανυσματικών πεδιακών μεγεθών με κομβικά πεπερασμένα στοιχεία, επικράτησε η λύση της χρησιμοποίησης διανυσματικών (vector) στοιχείων και ειδικότερα των εφαπτομενικών πεπερασμένων στοιχείων (tangential vector finite elements) ή στοιχείων ακμής (edge elements) [132]. Τα στοιχεία αυτά, εξαρχής διανυσματικά, πληρούν τις απαιτήσεις σχετικά με την επιβολή συνέχειας μόνο της εφαπτομενικής συνιστώσας, καθώς και την ορθή περιγραφή των αστρόβιλων πεδίων. Οι βαθμοί ελευθερίας σχετίζονται, σ αυτήν την περίπτωση, με τα επικαμπύλια ολοκληρώματα του άγνωστου μεγέθους στις ακμές του πλέγματος. Η φυσική επέκταση του απλούστερου πλέγματος διακριτοποίησης (τριγωνικό πλέγμα) από τις δύο στις τρεις διαστάσεις οδηγεί στη χρήση τετραέδρων για τη διακριτοποίηση των υπό μελέτη χωρίων. Στις εφαρμογές, με τις οποίες θα ασχοληθούμε στο παρόν κεφάλαιο, ωστόσο, η υπό εξέταση γεωμετρία χαρακτηρίζεται ως επίπεδη (planar) επιτρέποντας τη χρησιμοποίηση τριγωνικών πρισματικών στοιχείων ακμής (triangular prism edge elements) [133]. Τα πρισματικά αυτά στοιχεία σχηματίζονται από την επέκταση (extrusion) του τριγωνικού δισδιάστατου (2D) πλέγματος στη διεύθυνση κάθετα στις επιφάνειες των τριγώνων. Τόσο το πλήθος των τριγώνων της 2D βάσης, όσο και το πλήθος των στρωμάτων που επιλέγονται, καθορίζουν τον συνολικό αριθμό των στοιχείων, στα οποία διαμερίζεται η υπό ανάλυση γεωμετρία. Στο σχήμα 2.4(i) απεικονίζεται το δισδιάστατο τριγωνικό πλέγμα από το οποίο σχηματίζονται τα πρισματικά στοιχεία ακμών. Για κάθε στοιχείο του πλέγματος, κατασκευάζεται ένα πρίσμα με βάση το στοιχείο αυτό και ύψος που καθορίζεται ανάλογα με τον επιθυμητό βαθμό διακριτοποίησης. Η τοπική (local) σύμβαση αρίθμησης των κόμβων και των ακμών του κάθε στοιχείου φαίνεται στο σχήμα 2.4(ii). Τόσο για το τρίγωνο της κάτω βάσης του πρίσματος, όσο και για το τρίγωνο της άνω βάσης οι κόμβοι αριθμούνται ανθωρολογιακά, έτσι ώστε πάντοτε απέναντι από τον κόμβο 1 να βρίσκεται ο κόμβος 4. Επειτα, η αρίθμηση των εννέα ακμών ορίζεται με βάση τους κόμβους ως k = {1, 2, 3,..., 9}, όπου κάθε ακμή, k, αντιστοιχεί στα ζεύγη κόμβων ij = {12, 23, 31,..., 64} (σχ. 2.4(ii)). Η επιλογή του αρχικού, i, και τελικού, j, κόμβου κάθε ακμής καθορίζει τον προσανατολισμό της εν λόγω ακμής και ως εκ τούτου έχει ιδιαίτερη σημασία. Για το πρισματικό στοιχείο ακμών πρώτης τάξης (first-order element) αρκούν εννέα συναρτήσεις βάσης, όσες και οι ακμές του στοιχείου. Οι εκφράσεις κάθε μίας από αυτές προκύπτουν με βάση τις συντεταγμένες simplex του

34 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 24 Σχήμα 2.4: Τριγωνικά πρισματικά στοιχεία ακμής. (i) Δισδιάστατο τριγωνικό πλέγμα με βάση το οποίο σχηματίζονται τα τριγωνικά πρισματικά στοιχεία ακμών. (ii) Τριγωνικό πρισματικό στοιχείο. Διακρίνεται η τοπική αρίθμηση κόμβων και ακμών. τριγώνου βάσης του πρισματικού στοιχείου και την κανονικοποιημένη αξονική συντεταγμένη ζ 0. Για τις προσαρτημένες συναρτήσεις βάσης στις ακμές της κάτω τριγωνικής έδρας ισχύει, λοιπόν, ( ) 1 ζ0 w k = (ζ i ζ j ζ j ζ i ), k = 1, 2, 3, (2.7) 2 όπου ζ i, ζ j οι simplex συντεταγμένες στον αρχικό και τελικό κόμβο κάθε ακμής, αντίστοιχα, και 1 ζ 0 1 η γραμμικά μεταβαλλόμενη κατά μήκος του άξονα του πρίσματος κανονικοποιημένη συντεταγμένη. Για τις κατακόρυφες ακμές του πρίσματος, προκύπτουν οι συναρτήσεις βάσεις w k = 1 2 ζ i ζ 0, k = 4, 5, 6, (2.8) ενώ σε πλήρη αντιστοιχία με τις ακμές της κάτω τριγωνικής βάσης, οι συναρτήσεις μορφής των ακμών που βρίσκονται στην πάνω όψη του πρισματικού στοιχείου δίνονται από τη σχέση ( ) 1 + ζ0 w k = (ζ i ζ j ζ j ζ i ), k = 7, 8, 9. (2.9) 2 Οι συναρτήσεις βάσης των Εξ. ( ) πληρούν όλες τις απαιτήσεις για την ορθή αναπαράσταση διανυσματικών μεγεθών. Πιο συγκεκριμένα, δεν επιβάλλουν τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας, ενώ ικανοποιούν την απαίτηση για εφαπτομενική συνέχεια και μπορούν να παραστήσουν ορθά τα αστρόβιλα πεδία, αφού μπορεί εύκολα να αποδειχτεί ότι η κλίση μιας οποιασδήποτε βαθμωτής συνάρτησης που ορίζεται στο κομβικό πλέγμα μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των ανωτέρω συναρτήσεων βάσης. Στο σχήμα 2.5 απεικονίζονται οι μεταβολές των συναρτήσεων βάσης, που επιλέχθηκαν για τα πρισματικά στοιχεία ακμής πρώτης τάξης, στο εσωτερικό του τριγωνικού πρίσματος. Ειδικότερα στο σχήμα 2.5(i) φαίνονται οι συναρτήσεις μορφής για τις ακμές του τριγώνου της βάσης. Είναι φανερό ότι η προσαρτημένη σε κάθε ακμή συνάρτηση μορφής είναι είτε μηδενική είτε κάθετη σε όλες τις υπόλοιπες ακμές (ιδιότητα αποσύμπλεξης). Παράλληλα, το

35 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Σχήμα 2.5: Συναρτήσεις βάσης/μορφής των πρισματικών στοιχείων ακμών πρώτης τάξης. (i) Συναρτήσεις μορφής για τις ακμές του τριγώνου της βάσης του τριγωνικού πρίσματος, (ii) για μία από τις κατακόρυφες ακμές (ακμή [4]) του τριγωνικού πρίσματος και (iii) για τη μία από τις ακμές (ακμή [7]) του τριγώνου της πάνω όψης του τριγωνικού πρίσματος. επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της συνάρτησης μορφής πάνω στην αντίστοιχη ακμή θα προκύπτει ίσο με τη μονάδα (ιδιότητα κανονικοποίησης). Στα σχήματα 2.5(ii) και 2.5(iii), φαίνεται η μεταβολή της συνάρτησης μορφής για μία από τις κατακόρυφες ακμές και μία από τις ακμές της άνω βάσης του τριγωνικού πρίσματος. Και σ αυτές τις περιπτώσεις είναι εμφανείς οι προαναφερθείσες ιδιότητες (αποσύμπλεξη και κανονικοποίηση). Η ικανοποίηση των ιδιοτήτων της προηγούμενης παραγράφου είναι αυτή που επιτρέπει την παραδοχή ότι οι βαθμοί ελευθερίας είναι πράγματι τα επικαμπύλια ολοκληρώματα του διανυσματικού άγνωστου μεγέθους πάνω στις ακμές του πρισματικού στοιχείου. Ετσι, οι άγνωστοι του προβλήματος προς επίλυση ορίζονται ως F k = ˆ (j) (i) F ^t k dl, (2.10) όπου ^t k το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι παράλληλο στην ακμή k. Η τιμή του άγνωστου διανυσματικού μεγέθους εντός του κάθε στοιχείου θα προκύπτει, κατ επέκταση, ως εξής F(r) = 9 F k w k. (2.11) k=1 Η προσέγγιση (2.11) εισάγεται στη διαφορική εξίσωση προς επίλυση, αφού η τελευταία τροποποιηθεί με τη βοήθεια της ασθενούς διατύπωσης. Για την τροποποίηση του μαθηματικού μοντέλου της διαφορικής εξίσωσης χρησιμοποιείται η διαδικασία Galerkin, η οποία περιγράφεται εν συντομία στην επόμενη υποενότητα.

36 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 26 Διατύπωση Galerkin Ας υποθέσουμε ότι αναζητούμε τις λύσεις της διαφορικής εξίσωσης LF = g, (2.12) όπου L ένας διαφορικός τελεστής, F το άγνωστο διανυσματικό μέγεθος και g μια γνωστή συνάρτηση διέγερσης. Αντί να επιβληθεί η απαίτηση για μηδενισμό του υπολοίπου LF g, μπορούμε να απαιτήσουμε το μηδενισμό του σταθμισμένου υπολοίπου LF g, F, με F κατάλληλα επιλεγμένες συναρτήσεις δοκιμής (test function) και A, B κατάλληλο εσωτερικό γινόμενο στο χώρο των συναρτήσεων. Η σχέση LF g, F = 0, F (2.13) αποτελεί τη διατύπωση Galerkin της Εξ. (2.12) και παρότι θα πρέπει να ισχύει για κάθε συνάρτηση δοκιμής, στην πράξη επιλέγεται πεπερασμένος αριθμός συναρτήσεων F, που την ικανοποιούν. Ετσι, η αρχική διαφορική εξίσωση (2.12) θα ικανοποιείται προσεγγιστικά, κατά μία μέση, συνολική έννοια. Μια ευρεία κατηγορία φαινομένων του ηλεκτρομαγνητισμού στις υψηλές συχνότητες περιγράφεται μέσω των εξισώσεων Helmhotz, οι οποίες για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι, αντίστοιχα, μ 1 r E k 2 0 ε r E = 0, (2.14α) ε 1 r H k 2 0 μ r H = 0. (2.14β) Επιλέγοντας την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης για το ηλεκτρικό πεδίο (Εξ. (2.14α)), μιας και από τις εξισώσεις του Maxwell εύκολα μπορεί να προκύψει η λύση και για το μαγνητικό πεδίο, η διατύπωση Galerkin της Εξ. (2.14α), προκύπτει [ μ 1 r E k0 2 ε r E] E dv = 0, (2.15) V όπου V το υποσύνολο του τρισδιάστατου χώρου εντός του οποίου αναζητείται η λύση της διαφορικής εξίσωσης και E η συνάρτηση δοκιμής. Εφαρμόζοντας μια σειρά από διανυσματικές ταυτότητες και το θεώρημα του Gauss καταλήγουμε στην έκφραση V [ E μ 1 r E k 2 0E ε r E] dv + S E ˆn μ 1 r E ds = 0, (2.16) στην οποία με S V συμβολίζεται η επιφάνεια που ορίζεται από το κλειστό όριο του υπολογιστικού χωρίου και με ˆn το κάθετο σ αυτή μοναδιαίο διάνυσμα, με φορά προς τα έξω. Η (2.16) αποτελεί μιας γενικής μορφής διατύπωση Galerkin ως προς το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο. Ο όρος της (2.16), ο οποίος αφορά ολοκληρώματα όγκου, μπορεί να αναλυθεί σε δύο επιμέρους όρους, T και S, T = E ε r E dv, (2.17α) V S = E μ 1 r E dv, (2.17β) V

37 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά όπου ο πρώτος όρος εμπλέκει τα ολοκληρώματα του εσωτερικού γινομένου του άγνωστου πεδίου με το πεδίο δοκιμής, ενώ ο δεύτερος περιέχει το εσωτερικό γινόμενο των στροφών των δύο πεδίων. Η διακριτοποίηση καθενός από τους επιμέρους όρους της σχέσης (2.16) πραγματοποιείται με την εισαγωγή της αντίστοιχης προσεγγιστικής έκφρασης (2.10) σε αυτήν. Η προσεγγιστική έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό κάθε στοιχείου υπαγορεύει ότι αυτό θα δίνεται από ένα ανάπτυγμα της μορφής 9 E = E i w i, (2.18) i=1 όπου E i οι ζητούμενοι βαθμοί ελευθερίας και w i οι αντίστοιχες συναρτήσεις βάσεις των στοιχείων ακμών με i τον δείκτη τοπικής αρίθμησης για το εν λόγω στοιχείο-πρίσμα. Κατ αντιστοιχία, οι συναρτήσεις δοκιμής, οι οποίες γενικά επιλέγονται ως γραμμικοί συνδυασμοί των συναρτήσεων βάσης, θα προκύπτουν στο εσωτερικό κάθε πρίσματος μέσω της σχέσης E = 9 i=1 E iw i. Οι συντελεστές βάρους E i επιλέγονται, στη συνέχεια, κατάλληλα ώστε να προκύψει το τελικό γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Για ένα τυχαίο στοιχείο, e, του υπολογιστικού χωρίου η (2.18) και η αντίστοιχη έκφραση για τη συνάρτηση δοκιμής εισάγονται, έπειτα, στην (2.16). Ετσι, η συνεισφορά του εν λόγω στοιχείου στο ολοκλήρωμα όγκου της (2.16) είναι [ E μ 1 r E k0e 2 ε r E] dv = {E e} T ([S e ] k0[t 2 e ]){E e }, (2.19) V e όπου με {E e } συμβολίζεται το διάνυσμα στήλη που περιέχει του βαθμούς ελευθερίας του αγνώστου πεδίου για το στοιχείο αυτό. Οι στοιχειακοί (τοπικοί) πίνακες [S e ] και [T e ] καλούνται τοπικοί πίνακες ακαμψίας (stiffness matrix) και μάζας (mass matrix), αντίστοιχα, και τα στοιχεία τους δίνονται από τις σχέσεις Tij e = w i ε r w i dv, (2.20α) V e Sij e = w i μ 1 r w j dv. (2.20β) V e Οι όροι S e ij και T e ij στις παραπάνω σχέσεις εκφράζουν ολοκληρώματα χώρου αντίστοιχα των (2.17), για την περίπτωση του ενός στοιχείου, και μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά για ομογενή μέσα ή με τη βοήθεια αριθμητικής ολοκλήρωσης σε άλλη περίπτωση. Οι τιμές που προκύπτουν από τις εξ. (2.20) μπορούν, έπειτα, να αντικατασταθούν στις σχέσεις T e = S e = 9 i=1 9 i=1 9 j=1 E it e ije j, 9 E is ije e j, j=1 (2.21α) (2.21β) οι οποίες εκφράζουν τις τιμές των δύο όρων του ολοκληρώματος στο αριστερό μέλος της εξ. (2.19).

38 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 28 Τα στοιχεία των τοπικών πινάκων, στη συνέχεια, οδηγούνται στους αντίστοιχους ολικούς (global) πίνακες μέσω της διαδικασίας της συνάθροισης (assembly). Οι ολικοί πίνακες έχουν διάσταση N dof N dof, όπου N dof είναι το πλήθος των βαθμών ελευθερίας (ακμών) για το εν λόγω πρόβλημα, και κάθε στοιχείο τους συσχετίζει μία άγνωστη ακμή του 3D πλέγματος με κάποια άλλη άγνωστη ακμή. Ο όρος της συναρτησιακής Galerkin, που εμπλέκει χωρικά ολοκληρώματα, με τη βοήθεια των ολικών πινάκων παίρνει, κατά συνέπεια, τη μορφή V [ E μ 1 r E k 2 0E ε r E] dv = {E } T ([S] k 2 0[T]){E}, (2.22) όπου κάθε στοιχείο A mn = S mn k 2 0T mn του ολικού πίνακα [A] = ([S] k 2 0[T]) προκύπτει από το αλγεβρικό άθροισμα όλων των επιμέρους όρων των τοπικών πινάκων που αντιστοιχούν σε κάθε πρίσμα στο οποίο ανήκουν και οι δύο ακμές m, n. Ο όρος της εξίσωσης (2.16), ο οποίος αφορά στο επιφανειακό ολοκλήρωμα, διακριτοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως και ο αντίστοιχος που εμπλέκει το χωρικό ολοκλήρωμα, με τη διαφορά ότι στον πρώτο θα συμπεριληφθούν οι οριακές συνθήκες του προβλήματος. Ανάλογα, λοιπόν, με τις ιδιότητες που θέλουμε να εμφανίζουν τα διάφορα τμήματα του κλειστού ορίου του υπολογιστικού υπό μελέτη χώρου, επιλέγονται οι σχέσεις των πεδιακών μεγεθών (ηλεκτρικό πεδίο εν προκειμένω) που θα πρέπει να ικανοποιούνται στις οριακές αυτές επιφάνειες. Τέτοιες οριακές συνθήκες αντιστοιχούν σε επιφάνειες γνωστής πεδιακής κατανομής, μη διαπερατών υλικών κ.α. και εξετάζονται κατά περίπτωση στις επόμενες υποενότητες. Οριακές συνθήκες Dirichlet και Neumann Η ανάλυση που περιγράφηκε παραπάνω συμπληρώνεται με τη σωστή εφαρμογή των οριακών συνθηκών στο πρόβλημα προς επίλυση. Το ζήτημα των οριακών συνθηκών σχετίζεται με την αντιμετώπιση του δεύτερου όρου στης εξίσωσης (2.16), ο οποίος εμπλέκει το επιφανειακό ολοκλήρωμα κάποιας διανυσματικής συνάρτησης του ηλεκτρικού πεδίου στο όριο του χωρίου υπολογισμού και απαιτεί τη γνώση κάποιας σχέσης για την εφαπτομενική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου στο όριο αυτό. 12 Οι απλούστερες συνθήκες αυτής της μορφής που εφαρμόζονται στην πλειονότητα των ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων είναι οι συνθήκες Dirichlet και Neumann. Διατυπωμένες ως προς το ηλεκτρικό πεδίο, στη γενική τους μορφή (μη ομογενείς) δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις. ˆ Μη ομογενής συνθήκη Dirichlet διατυπωμένη ως προς το ηλεκτρικό πεδίο ^n E = F(E) (2.23) ˆ Μη ομογενής συνθήκη Neumann διατυπωμένη ως προς το ηλεκτρικό πεδίο ^n E = R(E) (2.24) 12 Αν η διατύπωση του αρχικού προβλήματος λαμβάνονταν ως προς το μαγνητικό πεδίο (H) (Εξ. (2.14(β))), θα ήταν η εφαπτομενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου (E) αυτή που θα εμπλεκόταν στο επιφανειακό ολοκλήρωμα της (2.16).

39 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Στην ειδική περίπτωση που ο δεύτερος όρος των εξ. (2.23) και (2.24) μηδενίζεται, προκύπτουν οι αντίστοιχες ομογενείς συνθήκες, διατυπωμένες ως προς το ηλεκτρικό πεδίο. Για τη συνθήκη Dirichlet, η αντίστοιχη ομογενής εξίσωση της (2.23) αντιστοιχεί σε υπεραγώγιμη επιφάνεια ή επιφάνεια τέλεια αγώγιμου ηλεκτρικού μέσου (Perfect Electric Conductor, PEC) ή εναλλακτικά σε επίπεδο συμμετρίας στο οποίο το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο. Για τη συνθήκη Neumann, η αντίστοιχη ομογενής σχέση εκφράζει είτε επιφάνεια άπειρης μαγνητικής διαπερατότητας ή επιφάνεια τέλεια αγώγιμου μαγνητικού μέσου (Perfect Magnetic Conductor, PMC) είτε επίπεδο συμμετρίας στο οποίο το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο. Στην περίπτωση των διανυσματικών πεπερασμένων στοιχείων, όπως είναι τα στοιχεία ακμής, η επιβολή των παραπάνω συνθηκών πραγματοποιείται εύκολα ορίζοντας τις τιμές των βαθμών ελευθερίας στις αντίστοιχες οριακές επιφάνειες. Ετσι, για την ομογενή συνθήκη Dirichlet, οι τιμές των βαθμών ελευθερίας που ανήκουν στο αντίστοιχο σύνορο μηδενίζονται, ενώ για την ομογενή συνθήκη Neumann απλώς δεν επιβάλλονται, δηλαδή οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας αφήνονται ως άγνωστοι του συνολικού προβλήματος. Και για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις, ο δεύτερος όρος της εξίσωσης (2.16), που εμπλέκει το επιφανειακό ολοκλήρωμα στο όριο του χωρίου υπολογισμού, μηδενίζεται. Οριακές συνθήκες απορρόφησης Οπως αναφέρθηκε στην αρχή της παρούσας ενότητας, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων αναζητά τη λύση κάποιας διαφορικής εξίσωσης σ ένα χωρίο υπολογισμού πεπερασμένων διαστάσεων. Τα φυσικά προβλήματα, ωστόσο, που καλούμαστε να λύσουμε δεν διέπονται απαραίτητα από φαινόμενα που περιορίζονται σε κάποιον πεπερασμένο χώρο. Κατά συνέπεια, κατά την επίλυση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων ανοιχτού ορίου, όπως είναι τα προβλήματα σκέδασης, ακτινοβολίας κλπ., θα πρέπει να επιλεγούν κατάλληλες οριακές συνθήκες, οι οποίες να μοντελοποιούν ορθά το φυσικό πρόβλημα. Μια κατηγορία συνθηκών, οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν προς αυτήν την κατεύθυνση, είναι οι απορροφητικές οριακές συνθήκες (Absorbing Boundary Conditions, ABCs) ή οριακές συνθήκες ακτινοβολίας (Radiation Boundary Conditions) [113]. Οι συνθήκες αυτές επιβάλουν την απορρόφηση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που προσπίπτουν στο σύνορο όπου εφαρμόζονται, καθιστώντας το σύνορο αυτό διάφανο στα κύματα και εμποδίζοντας, έτσι, ανακλάσεις που θα επηρέαζαν τη λύση στο εσωτερικό του. Η απορροφητική οριακή συνθήκη πρώτης τάξης, διατυπωμένη ως προς το ηλεκτρικό πεδίο, δίνεται από τη σχέση [113, 134, 135] ^n E + jk^n ^n E = 0, (2.25) όπου ως ^n έχει οριστεί το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στην οριακή επιφάνεια και φορά προς το εξωτερικό του χωρίου υπολογισμού και με k συμβολίζεται ο κυματικός αριθμός (wavenumber) του μέσου, στο οποίο ανήκει η οριακή επιφάνεια. Για ένα επίπεδο κύμα που προσπίπτει κάθετα στην οριακή επιφάνεια, όπου εφαρμόζεται η συνθήκη (2.25), αποδεικνύεται ότι αυτό αποσβένεται χωρίς ανακλάσεις. Η υλοποίηση της απορροφητικής οριακής συνθήκης (ABC) πρώτης τάξης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων πραγματοποιείται εύκολα μέσω του επιφανειακού όρου της εξ. (2.16). Ετσι, στα όρια του χωρίου όπου επιβάλλονται ABCs η έκφραση ^n E στο εσωτερικό του ολοκληρώματος του δεύτερου όρου της εξ. (2.16) αντικαθίσταται από την εξ. (2.25). Η τιμή του ολοκληρώματος που προκύπτει μετά την αντικατάσταση, υπολογίζεται με τη βοήθεια αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Legendre (Gauss-Legendre quadrature) [113, 136]. Το πλεονέκτημα της

40 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 30 χρήσης της απορροφητικής οριακής συνθήκης πρώτης τάξης έγκειται, όχι μόνο στην ευκολία υλοποίησής της, αλλά και στην ικανότητα αυτής να διατηρεί τον αραιό χαρακτήρα των εμπλεκόμενων στην διατύπωση Galerkin πινάκων. Ετσι, το βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, το οποίο είναι ο σχηματισμός ενός συστήματος που εμπλέκει αραιούς πίνακες και άρα μπορεί να αντιμετωπίσει προβλήματα με μεγάλο πλήθος αγνώστων, διατηρείται. Σε μία άλλη κατηγορία ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, που καλείται κανείς να επιλύσει με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, εμπλέκονται διατάξεις κυματοδήγησης όπου στις οριακές επιφάνειες του χωρίου υπολογισμού, πέρα από τα όρια των δομών υπάρχουν και οι θύρες των εμπλεκόμενων κυματοδηγών. Σ αυτές τις περιπτώσεις, στις επιφάνειες των θυρών εισόδου θα πρέπει να οριστούν τόσο η απαιτούμενη διέγερση του αντίστοιχου ρυθμού, όσο και η ορθή απορρόφηση των μη φυσικών ανακλάσεων που τυχόν θα προκύψουν. Η κατάλληλη οριακή συνθήκη, που προβλέπει την υλοποίηση θυρών διέγερσης στην υπό μελέτη διάταξη, περιγράφεται από την παρακάτω σχέση ^n E + jβ^n ^n E = 2jβ^n ^n E inc (2.26) και αποτελεί επέκταση της (2.25), ώστε να συμπεριληφθεί και το φαινόμενο της διέγερσης του αντίστοιχου ρυθμού. Η έκφραση της οριακής συνθήκης (2.26) έχει προκύψει για έναν οποιονδήποτε ρυθμό του κυματοδηγού [113] και ο όρος β εκφράζει την φασική σταθερά διάδοσης του διεγειρόμενου ρυθμού (β = k 0 n eff ). Η υλοποίηση της (2.26) γίνεται με τρόπο αντίστοιχο με την απορροφητική συνθήκη (2.25), διατηρώντας την ιδιότητα του αραιού συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα Η ορθή μοντελοποίηση φυσικών προβλημάτων ανοιχτού ορίου μπορεί εναλλακτικά να πραγματοποιηθεί και με τη χρησιμοποίηση κατάλληλα σχεδιασμένων απορροφητικών περιοχών. Οι περιοχές αυτές καλούνται τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα (Perfectly Matched Layers, PMLs) [ ] και αποτελούν μέρος του χωρίου υπολογισμού. Ετσι, αντί για την προηγούμενη κατηγορία οριακών συνθηκών (απορροφητικές οριακές συνθήκες), μπορεί κανείς να ορίσει κατάλληλες οριακές περιοχές στις οποίες τα προσπίπτοντα κύματα απορροφώνται χωρίς να εισάγονται ανεπιθύμητες ανακλάσεις. Ενα βασικό πλεονέκτημα της χρησιμοποίησης PML για τον περιορισμό (truncation) του υπολογιστικού χωρίου είναι η δυνατότητά του να απορροφά τα προσπίπτοντα σ αυτό ηλεκτρομαγνητικά κύματα ανεξάρτητα από την πόλωση, τη συχνότητά τους ή την γωνία πρόσπτωσης. Εξαιτίας αυτής της ιδιότητάς του χρησιμοποιήθηκε ευρύτατα στην επίλυση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων με τη βοήθεια υπολογιστικών τεχνικών. Η υλοποίηση ενός στρώματος PML είναι άμεση, χωρίς την απαίτηση κάποιας παραδοχής ή άλλης οριακής συνθήκης, και πραγματοποιείται με τον ορισμό της οριακής αυτής περιοχής ως τμήμα της υπό ανάλυση διάταξης. Για την ειδική περίπτωση, όπου το PML θεωρείται ως μονοαξονικό (uniaxial) ανισοτροπικό υλικό, οι ιδιότητές του περιγράφονται από τους τανυστές ε και μ, οι οποίοι δίνονται από τις σχέσεις ε = ε 0 ε r Λi, (2.27) μ = μ 0 μ r Λi. (2.28) Στις εξ. (2.27) και (2.28) ως ε r και μ r ορίζονται οι σχετικές σταθερές (διηλεκτρική σταθερά και μαγνητική διαπερατότητα, αντίστοιχα) του μέσου, το οποίο τερματίζεται στο PML, ενώ με Λi

41 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά συμβολίζεται ο τανυστής που εισάγει την απορρόφηση κατά τη διεύθυνση του άξονα i. Για την περίπτωση που ισχύει i z και κατά συνέπεια το PML στοχεύει στην απορρόφηση κατά τον άξονα z, ο τανυστής Λi προκύπτει s z 0 0 Λ z = 0 s z 0. (2.29) 0 0 sz 1 Η παράμετρος s z ορίζεται ως s z = 1 j σz ωε 0 και σχετίζεται με την απόσβεση που εισάγει το στρώμα απορρόφησης. 13 Ετσι, το φανταστικό μέρος το όρου s z καθορίζει την απορροφητική ικανότητα του PML, μέσω της αγωγιμότητάς του, σ z, ενώ η εξάρτησή του από τη συχνότητα εξασφαλίζει τη δυνατότητα ομοιόμορφης ως προς αυτή απορρόφησης. Οι τιμές της αγωγιμότητας επιλέγονται με τέτοιον τρόπο, ώστε να προκύπτει ελαχιστοποίηση του συντελεστή ανάκλασης μεταξύ του υλικού που τερματίζεται με το PML και του ίδιου του απορροφητικού στρώματος και θα πρέπει να επιλεγούν σε συνδυασμό με τις διαστάσεις του τελευταίου. Κάποιες φορές, για τη βελτίωση του υπολογιστικού αποτελέσματος, επιλέγεται η εισαγωγή μεταβαλλόμενης τιμής για την σ z, έτσι ώστε να λαμβάνει σταδιακά μεγαλύτερες τιμές προς τη διεύθυνση της απορρόφησης, σύμφωνα με τη σχέση ( ) m z σ z (z) = σ max, (2.30) d PML όπου d PML είναι το πάχος του PML, m η τάξη του πολυωνυμικού προφίλ και z η μεταβλητή που ορίζει την θέση πάνω στον άξονα της διεύθυνσης απορρόφησης και παίρνει μηδενική τιμή στην αρχή του στρώματος απορρόφησης και την μέγιστη (z max = d PML ) στο τέλος αυτού. Η ευκολία υλοποίησης του PML και η ευελιξία που προσφέρει ως προς την ενσωμάτωσή του ως ένα πρόσθετο υλικό στο χωρίο υπολογισμού, αποτελούν τους βασικούς λόγους για τους οποίους εφαρμόζεται ευρέως στον υπολογιστικό ηλεκτρομαγνητισμό. Ωστόσο, η εισαγωγή επιπρόσθετων περιοχών στην υπό ανάλυση δομή οδηγεί σε αύξηση του υπολογιστικού χώρου, επιβαρύνοντας με τον τρόπο αυτό την επίλυση του εν λόγω προβλήματος. Ετσι, η χρησιμοποίηση του, θα πρέπει να γίνεται όπου κρίνεται απαραίτητο και όταν η χρήση κάποιας άλλης απορροφητικής συνθήκης δεν επαρκεί για την ορθή μοντελοποίηση του φυσικού προβλήματος Μεθοδολογία σχεδίασης επίπεδης κεραίας MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Επιστρέφοντας στον αρχικό μας στόχο για το κεφάλαιο αυτό, που είναι η περιγραφή της σχεδίασης μιας κεραίας MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά, θα επιχειρήσουμε στη συνέχεια την παρουσίαση της ακολουθούμενης τεχνικής σχεδίασης σε τέσσερα βασικά στάδια. Κάθε ένα από τα στάδια αυτά είναι αυτόνομο και σχετίζεται με τα υπόλοιπα μόνο σε ό,τι αφορά το συνολικό σχεδιασμό της διάταξης. Ετσι, η μεθοδολογία που περιγράφεται στη συνέχεια μπορεί να θεωρηθεί συστηματική από την άποψη ότι για τον σχεδιασμό της κεραίας δεν απαιτείται η ανάλυση της πλήρους δομής αλλά ούτε και κάποιο είδος βελτιστοποίησης αυτής. 13 Κατ αντιστοιχία με τον άξονα z θα μπορούσε να οριστεί και ο τανυστής για την απορρόφηση κυμάτων που διαδίδονται κατά τους άξονες x ή y. Σ αυτήν την περίπτωση, θα ήταν τα στοιχεία ^x^x ή ^y^y του αντίστοιχου τανυστή, αντί του ^z^z, που θα ήταν αντεστραμμένα.

42 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 32 Σχήμα 2.6: Σχηματική αναπαράσταση κεραίας MIMO δύο στοιχείων, με βάση τη μονοπολική κεραία του σχήματος 2.3. απόσταση των δύο μονοπόλων, d, ορίζεται στα 14 mm, ενώ το μήκος τους, l, στα 25 mm. Το πάχος του διηλεκτρικού στρώματος πάνω στο οποίο βρίσκονται τοποθετημένα τα δύο μονόπολα συμβολίζεται με t = 1.5 mm. Τα αγώγιμα επίπεδα αναφοράς στην κάτω όψη του στρώματος αυτού έχουν διαστάσεις l g = 13.5 mm, w g = 19 mm και απέχουν μεταξύ τους d g = 1.5 mm. Διερεύνηση των ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών της αρχικής κεραίας MIMO Στο πρώτο στάδιο της διαδικασίας σχεδίασης επιλέγεται η αρχική κεραία MIMO με βάση την οποία θα σχεδιαστεί η νέα βελτιωμένη διάταξη. Οπως αναφέρθηκε και στην ενότητα 2.2, η κεραία αυτή σχηματίζεται έχοντας ως θεμελιώδες στοιχείο την μονοπολική κεραία με τροφοδοσία μικροταινίας του σχήματος 2.3. Προφανώς υπάρχουν διάφοροι συνδυασμοί που μπορούν να προκύψουν για τον σχηματισμό μιας διάταξης πολλαπλών κεραιών με τέτοιου τύπου μονοπολικά στοιχεία, ανάλογα με το πλήθος, τον προσανατολισμό και τα γεωμετρικά τους χαρακτηριστικά. Στην παρούσα ανάλυση επιλέγεται η απλούστερη δυνατή περίπτωση του συνδυασμού δύο μονοπόλων ορθογωνικού σχήματος, τοποθετημένων το ένα δίπλα στο άλλο (σχήμα 2.6). Τα μονόπολα βρίσκονται τοποθετημένα επάνω σε διηλεκτρικό υλικό με πάχος t, στην κάτω όψη του οποίου σχεδιάζονται δύο αγώγιμα επίπεδα αναφοράς (ground planes), ώστε να διευκολύνεται η τροφοδοσία τους μέσω γραμμής μικροταινίας. 14 Οι διαστάσεις των μονοπολικών κεραιών επιλέγονται με βάση τη συχνοτική ζώνη ενδιαφέροντος. Αυτή είναι η φασματική περιοχή λειτουργίας των ασύρματων τοπικών δικτύων (W- LANs) γύρω από τα 2.45 GHz. Τα μήκη των μονοπόλων ορίζονται ως l λ/4 στη συχνότητα αυτή. Στην πραγματικότητα το μήκος l επιλέγεται λίγο μικρότερο από την ακριβή τιμή λ/4 στα 2.45 GHz, ώστε να εξασφαλίζεται η λειτουργία κάθε μονοπολικής κεραίας ξεχωριστά, απουσία του δεύτερου στοιχείου, γύρω από τη συχνότητα αυτή. Οι κεραίες τοποθετούνται η μία δίπλα στην άλλη σε απόσταση d = 14 mm λ/8. Η επιλογή της απόστασης γίνεται με βάση τόσο τις απαιτήσεις για εξοικονόμηση χώρου όσο και της επίτευξης αυξημένης αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των κεραιών. Με τον τρόπο αυτό, προκύπτει μια κεραία πολλαπλών στοιχείων με μικρές διαστάσεις, έτσι ώστε να αποτελεί ενδιαφέρουσα επιλογή για τις σύγχρονες μικροκυματικές εφαρμογές κοντά στα 2.45 GHz αλλά ταυτόχρονα η λειτουργία της να 14 Η επιλογή υλοποίησης των δύο μονοπολικών κεραιών με διαφορετικά επίπεδα αναφοράς (grounds) έγινε θεωρώντας ότι αυτή η διάταξη αποτελεί φυσική επέκταση της διάταξης της απλής μονοπολικής κεραίας. Η υλοποίηση της ίδιας δομής με κοινό αγώγιμο επίπεδο αναφοράς δεν είναι απαγορευτική.

43 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά επηρεάζεται αρνητικά από τη συνύπαρξη των στοιχείων/κεραιών μέσω της σύζευξης που αναπτύσσεται μεταξύ τους. Περαιτέρω μείωση της απόστασης d δεν κρίνεται σκόπιμη, μιας και σύμφωνα με τη σχετική βιβλιογραφία [8, 10, 11] σε αποστάσεις μεταξύ στοιχείων μικρότερες του λ/10, η χωρητικότητα των αντίστοιχων συστημάτων MIMO παρουσιάζει ραγδαία μείωση καθιστώντας τα, σε πολλές περιπτώσεις, μη λειτουργικά. Η διάταξη αναλύεται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM), διατυπωμένη ως προς το ηλεκτρικό πεδίο με βάση τα όσα περιγράφηκαν στην ενότητα Το χωρίο υπολογισμού περιλαμβάνει τη δομή του σχήματος 2.6 καθώς και μια περιοχή αέρα πάνω και κάτω από το διηλεκτρικό στρώμα. Οι διαστάσεις του επιλέγονται κατάλληλα, ώστε να μοντελοποιούν ορθά το φυσικό πρόβλημα, απομακρύνοντας επαρκώς τα όρια του χωρίου από τα στοιχεία της υπό μελέτη διάταξης. Η διακριτοποίησή του πραγματοποιείται μέσω πρισματικών πεπερασμένων στοιχείων ακμής, τα οποία κατασκευάζονται με τέτοιον τρόπο ώστε οι τριγωνικές τους βάσεις να είναι παράλληλες στο xy επίπεδο (σχήμα 2.6). Οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες στις διάφορες περιοχές καθορίζονται για το διηλεκτρικό στρώμα από τις παραμέτρους ε r = 4.2, μ r = 1 και tan δ = 0.017, 15 ενώ για τις περιοχές του μετάλλου επιλέγεται να μοντελοποιηθούν ως τέλεια αγώγιμα μέσα (PEC). 16 Σε κάθε οριακή επιφάνεια του υπολογιστικού χωρίου επιβάλλονται οριακές συνθήκες απορρόφησης πρώτης τάξης, ώστε να μοντελοποιηθεί σωστά η έννοια του ανοιχτού ορίου που συνεπάγεται η λειτουργία μιας τέτοιας κεραίας. Στα επίπεδα των θυρών τροφοδοσίας, επιβάλλεται επιπλέον η οριακή συνθήκη διέγερσης με το πεδίο διέγερσης να προκύπτει από την επίλυση ενός προβλήματος ιδιοτιμών στην αρχή των μικροταινιακών γραμμών σε κάθε περίπτωση (Επίπεδα Port 1 και Port 2 στο σχήμα 2.6). Ο ρυθμός μικροταινίας που θα προκύψει γύρω από τα 2.45 GHz, από την ανάλυση ιδιοτιμών, θα αποτελέσει και την κατανομή διέγερσης που θα εισαχθεί στην (2.26). Η επίλυση του παραπάνω προβλήματος με κατάλληλη μεταεπεξεργασία οδηγεί στον υπολογισμό των συντελεστών ανάκλασης και μετάδοσης στα επίπεδα ορισμού των δύο θυρών. 17 Τα αντίστοιχα αποτελέσματα για τις δύο περιπτώσεις της απλής μονοπολικής κεραίας (σχήμα 2.3) και της διάταξης MIMO των δύο κεραιών (σχήμα 2.6) φαίνονται στο σχήμα 2.7. Οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης στα επίπεδα των θυρών των αντίστοιχων κυκλωμάτων, εκφρασμένοι μέσω των Sπαραμέτρων, απεικονίζονται σε δύο διαφορετικές περιπτώσεις: την περίπτωση ανάλυσης της μίας μόνο μονοπολικής κεραίας (σχήμα 2.7(i)) και του συστήματος των δύο κεραιών (σχήμα 2.7(ii)). Οπως εύκολα παρατηρεί κανείς από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης, η αρχικά καλή λειτουργία της μονοπολικής κεραίας γύρω από τα 2.45 GHz χάνεται στην περίπτωση που δίπλα σε αυτή τοποθετηθεί μία όμοια μονοπολική κεραία. Η απώλεια αυτή, που σχετίζεται τόσο με την ολίσθηση της περιοχής του βυθίσματος (συντονισμός) προς χαμηλότερες συχνότητες, όσο και με την τιμή του συντελεστή ανάκλασης κοντά στα 2.45 GHz, συνοδεύεται και από την αύξηση του συντελεστή μετάδοσης στην περιοχή αυτή, καταδεικνύοντας την εμφάνιση αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των δυο στοιχείων/κεραιών. Ως επίπεδο καλής λειτουργίας τέθηκε σε κάθε περίπτωση (τόσο για τους συντελεστές ανάκλασης όσο και για τους συντελεστές μετάδοσης) το όριο των 10 db. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την επίλυση μέσω της FEM συγκρίθηκαν με τα 15 Η επιλογή των ηλεκτρομαγνητικών παραμέτρων βασίζεται στις ιδιότητες του ευρέως χρησιμοποιούμενου υλικού FR Για την επίλυση μέσω FEM ως προς το ηλεκτρικό πεδίο, οι υπεραγώγιμες επιφάνειες, PEC, μοντελοποιούνται με τον καθορισμό των βαθμών ελευθερίας στα αντίστοιχα όρια ως μηδενικών (ομογενής συνθήκη Dirichlet). 17 Ο υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης και μετάδοσης πραγματοποιείται μέσω μιας διαδικασίας αντίστοιχης με αυτή που περιγράφεται για την περίπτωση του ορθογωνικού κυματοδηγού στο [113].

44 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 34 Σχήμα 2.7: Διαγράμματα μεταβολής των S-παραμέτρων για δύο διαφορετικές περιπτώσεις: (i) Για τη μονοπολική κεραία του σχήματος 2.3 και (ii) για τη MIMO κεραία δύο στοιχείων όπως απεικονίζεται στο σχήμα 2.6. Σε κάθε περίπτωση, με συνεχείς γραμμές απεικονίζονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων, ενώ με διακεκομμένες αυτά των μετρήσεων. αντίστοιχα που προέκυψαν μέσω μιας διαδικασίας πειραματικής μέτρησης για τη διάταξη της κεραίας MIMO. 18 Εύκολα παρατηρεί κανείς την ολίσθηση στη συχνότητα εμφάνισης του συντονισμού για τον συντελεστή ανάκλασης καθώς και τη σχετική αύξηση στον συντελεστή μετάδοσης στην περιοχή συχνοτήτων ενδιαφέροντος. Οι διαφορές στη στάθμη του βυθίσματος για τον εμφανιζόμενο συντονισμό αποδίδονται κατά βάση στη διαδικασία κατασκευής και μέτρησης της εν λόγω διάταξης και ειδικότερα στο κύκλωμα τροφοδοσίας (καλώδια σύνδεσης, κονέκτορες (connectors) τροφοδοσίας). Σ ένα επόμενο βήμα, οι πρώτες ενδείξεις εμφάνισης αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των στοιχείων της MIMO κεραίας που παρατηρήθηκαν στο διάγραμμα των S-παραμέτρων διερευνώνται περαιτέρω, με σκοπό να καθοριστεί η φύση των αναπτυσσόμενων ρυθμών που είναι υπεύθυνοι για την εμφάνιση της σύζευξης αυτής. Καθώς για την περίπτωση επίπεδων τυπωμένων κεραιών MIMO, η σύζευξη αποδίδεται τόσο σε πιθανή διέγερση κάποιου ρυθμού υποστρώματος όσο και σε ρυθμούς ακτινοβολίας εξαιτίας της συνύπαρξης των στοιχείων-κεραιών [23], και μάλιστα με τον πρώτο μηχανισμό να υπερισχύει στην περίπτωση υποστρώματος με μεγάλη τιμή διηλεκτρικής σταθεράς, κρίνεται σκόπιμη η διερεύνηση των πεδιακών κατανομών στη ζώνη συχνοτήτων ενδιαφέροντος (2.45 GHz). Ετσι, στο σχήμα 2.8 απεικονίζεται η κατανομή του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου όπως προέκυψε από την επίλυση μέσω FEM σε δύο διαφορετικά επίπεδα, κάθετα μεταξύ τους. Για την εξαγωγή της πεδιακής κατανομής επιλέχθηκε τροφοδοσία σε μία μόνο από τις δύο κεραίες της MIMO διάταξης και οι τιμές του ηλεκτρικού πεδίου που υπολογίστηκαν σε κάθε επίπεδο κανονικοποιήθηκαν ως προς τη μέγιστη τιμή του πεδίου. Οπως είναι φανερό, υπάρχουν δύο περιοχές όπου εμφανίζεται αυξημένη 18 Για τον πειραματικό χαρακτηρισμό της κεραίας MIMO δύο στοιχείων, η διάταξη κατασκευάστηκε σε πλακέτα διηλεκτρικού υλικού FR-4, με τα μεταλλικά τμήματα της διάταξης να αποτελούνται από χαλκό. Η διαδικασία της μέτρησης πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια διανυσματικού αναλυτή δικτύων (Vector Network Analyzer).

45 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Σχήμα 2.8: Απεικόνιση της κατανομής του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου, E, (i) σ ένα ο- ριζόντιο xy επίπεδο τοποθετημένο στο μέσο του διηλεκτρικού στρώματος και (ii) σ ένα κάθετο yz επίπεδο, τοποθετημένο ανάμεσα στις δύο μονοπολικές κεραίες. Κάθε πεδιακή κατανομή είναι κανονικοποιημένη ως προς τη μέγιστη τιμή της. ροή ισχύος από το ένα μονοπολικό στοιχείο στο άλλο, η μία εντοπίζεται κοντά στην περιοχή των αγώγιμων επιπέδων αναφοράς (grounds) και η άλλη κοντά στα άκρα των μονοπολικών κεραιών αντίθετα από την κατεύθυνση της τροφοδοσίας (σχήμα 2.8(i)). Η εν λόγω ροή ισχύος εντοπίζεται και στην κατανομή του σχήματος 2.8(ii), όπου επιπλέον φαίνεται και η συγκέντρωση της ισχύος κυρίως στο διηλεκτρικό υπόστρωμα. Ταυτόχρονα με τη συγκέντρωση του ηλεκτρικού πεδίου στις περιοχές αυτές παρατηρείται και αυξημένη η παρουσία της κάθετης (κατά τη διεύθυνση του άξονα z) συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου, γεγονός που ενισχύει τη δυνατότητα χρησιμοποίησης ενός συντονιστή δακτυλίου ως στοιχείο ελέγχου της ροής ισχύος στις εν λόγω περιοχές. Εχοντας την παραπάνω ανάλυση ως οδηγό, μπορεί κανείς να προχωρήσει στο επόμενο βήμα της διαδικασίας σχεδίασης, που είναι η επιλογή κατάλληλων συντονιστικών στοιχείων δακτυλιοειδούς σχήματος για την ενσωμάτωσή τους στην κεραία MIMO των δύο μονοπόλων. Η διαδικασία επιλογής καθώς και τα χαρακτηριστικά των συντονιστικών αυτών δομών περιγράφονται στο κεφάλαιο που ακολουθεί. Επιλογή και σχεδίαση συντονιστικών στοιχείων SRR Οπως αναφέρθηκε και νωρίτερα στην αρχή αυτού του κεφαλαίου, η δυνατότητα ελέγχου των η- λεκτρομαγνητικών κυμάτων που παρέχουν οι διατάξεις συντονιστών διακεκομμένων δακτυλίων (SRRs), αποτέλεσε τη βασική αιτία ενσωμάτωσής τους σε πλήθος μικροκυματικών διατάξεων. Από τις διάφορες δομές SRR που σχεδιάστηκαν ως δομικά στοιχεία δομών μεταϋλικών, στην παρούσα υλοποίηση επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί η διάταξη του σχήματος 2.9. Πρόκειται για τη δομή ενός μεταλλικού, ορθογωνικού διακεκομμένου δακτυλίου τα δύο άκρα του οποίου (που σχηματίζονται στην περιοχή του διακένου) προεκτείνονται προς το εσωτερικό του. Η απλή γεωμετρική του δομή καθώς και η δυνατότητα ελέγχου της συχνοτικής περιοχής συντονισμού μέσω των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του, αναμένεται να παρέχουν έναν εύκολο τρόπο ρύθμισης της ροής ισχύος μεταξύ των δύο μονοπολικών κεραιών της MIMO διάταξης του σχήματος 2.6. Από την περιοδική

46 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 36 Σχήμα 2.9: Σχηματική αναπαράσταση του μοναδιαίου κελιού για τη συντονιστική δομή του χρησιμοποιούμενου διακεκομμένου δακτυλίου SRR. Οι γεωμετρικές παράμετροι που επιλέχθηκαν στην παρούσα σχεδίαση είναι: A = 13 mm, B = 9.5 mm, α = 9.75 mm, b = 5.5 mm, s = 3.65 mm, w = 0.5 mm και g = 0.7 mm. επανάληψη του θεμελιώδους αυτού κελιού (σχήμα 2.9) μπορεί να σχηματιστεί μια δομή μεταϋλικού, της οποίας η ενεργός/ισοδύναμη μαγνητική διαπερατότητα λαμβάνει αρνητικές τιμές σε μια περιοχή συχνοτήτων. Η συχνοτική αυτή περιοχή, η οποία συνδέεται με την περιοχή εμφάνισης συντονιστικής συμπεριφοράς, εξαρτάται κατά βάση από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του SRR [125]. Ειδικότερα, για τη συγκεκριμένη δομή, αποδεικνύεται ότι για επαρκώς μικρή απόσταση του διακένου, g, το μήκος s είναι αυτό που καθορίζει την χωρητική συμπεριφορά του δακτυλίου και επιδρά σημαντικά στη συχνότητα εμφάνισης του αντίστοιχου συντονισμού [126]. Ετσι, ενώ οι υπόλοιπες γεωμετρικές παράμετροι αναμένεται να επηρεάσουν την επαγωγική συμπεριφορά του δακτυλίου, η χωρητική θα καθορίζεται από το εύρος του διακένου, g, και το μήκος s των προεκτεινόμενων τμημάτων. Για να καθοριστούν, αρχικά, οι τιμές των γεωμετρικών παραμέτρων του SRR, η δομή του αναλύεται ανεξάρτητα, χρησιμοποιώντας και πάλι τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η ανάλυση αυτή πραγματοποιείται για το θεμελιώδες κελί του σχήματος 2.9 και αναμένεται να οδηγήσει στον απαιτούμενο συνδυασμό γεωμετρικών παραμέτρων ώστε να επιτευχθεί η εμφάνιση συντονιστικής συμπεριφοράς κοντά στα 2.45 GHz. Καθώς κάτι τέτοιο δεν σχετίζεται μόνο με τις γεωμετρικές παραμέτρους αλλά και με τον τρόπο διέγερσης του δακτυλίου (απαιτείται ισχυρή συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου παράλληλα στη διεύθυνση του άξονα y και αντίστοιχα ισχυρή συνιστώσα μαγνητικού πεδίου κάθετα στην επιφάνεια του δακτυλίου) [126], η εν λόγω ανάλυση αφορά την επίλυση ενός προβλήματος διέγερσης με χαρακτηριστικά όπως αυτά που φαίνονται στο σχήμα 2.9. Δεδομένου ότι ως στόχος έχει τεθεί η ενσωμάτωση της δομής SRR στη διάταξη της κεραίας MIMO όπως αυτή περιγράφηκε νωρίτερα, επιλέγεται η εν λόγω ανάλυση να πραγματοποιηθεί για την επίπεδη εκδοχή της διάταξης μεταϋλικού που σχηματίζεται από την περιοδική επανάληψη του μοναδιαίου κελιού του εν λόγω SRR. Για την ορθή μοντελοποίηση της επίπεδης δομής, που επιβάλει τη θεώρη-

47 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Σχήμα 2.10: (i) Διάγραμμα μεταβολής των S-παραμέτρων της διάταξης του σχήματος 2.9 συναρτήσει της συχνότητας. (ii) Μεταβολή της ισοδύναμης/ενεργού μαγνητικής διαπερατότητας που εμφανίζει μακροσκοπικά η δομή του σχήματος 2.9 συναρτήσει της συχνότητας. ση ελεύθερου χώρου προς τις κατευθύνσεις κάθετα στον άξονα z, απαιτείται η εφαρμογή οριακών συνθηκών απορρόφησης (Absorbing Boundary Conditions) στα όρια του μοναδιαίου κελιού που ορίζονται παράλληλα στο xy επίπεδο. Ταυτόχρονα, στα όρια που είναι παράλληλα στο xz επίπεδο η περιοδικότητα της διάταξης προσομοιώνεται με την επιβολή των συνθηκών υπεραγώγιμης επιφάνειας (PEC), ενώ τα δύο οριακά επίπεδα κατά τη διεύθυνση του άξονα x ορίζονται ως θύρες διέγερσης. Η διάταξη του χωρίου υπολογισμού διακριτοποιείται, κατά τα γνωστά, μέσω διανυσματικών, τριγωνικών πρισματικών στοιχείων ακμής, με τις βάσεις των τριγώνων των σχηματιζόμενων πρισμάτων να κατασκευάζονται παράλληλα στο xy επίπεδο. Η διαδικασία επίλυσης πραγματοποιείται με στόχο τον ακριβή καθορισμό των γεωμετρικών ιδιοτήτων του δακτυλίου ώστε να εμφανίζεται συντονιστική συμπεριφορά κοντά στα 2.45 GHz. Ετσι, διατηρώντας το πλάτος, α, του SRR σε τιμή μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των δύο μονοπολικών στοιχείων της MIMO κεραίας, οι τιμές των διαφόρων γεωμετρικών παραμέτρων όπως προκύπτουν από την επίλυση αυτή φαίνονται στο σχήμα 2.9. Από την επίλυση μέσω της FEM, και μετά από κατάλληλη μεταεπεξεργασία, οι S-παράμετροι της διάταξης του θεμελιώδους κελιού υπολογίζονται συναρτήσει της συχνότητας (σχήμα 2.10(i)). Οπως είναι εμφανές, στη συχνοτική περιοχή ενδιαφέροντος, η δισδιάστατη εκδοχή της δομής μεταϋλικού που σχηματίζεται από τους εν λόγω δακτυλίους αποτρέπει τη διέλευση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με τα χαρακτηριστικά του κύματος διέγερσης, οδηγώντας σε μείωση του συντελεστή μετάδοσης μεταξύ των δύο θυρών. Από τον υπολογισμό της ροής ισχύος στις οριακές επιφάνειες του μοναδιαίου κελιού, προκύπτει ότι γύρω από τα 2.45 GHz το μεγαλύτερο ποσοστό της ηλεκτρομαγνητικής ισχύος (περίπου 75%) σκεδάζεται από τον ορθογωνικό δακτύλιο και ακτινοβολείται εκτός του υποστρώματος, ενώ ένα μικρότερο ποσοστό αυτής (περίπου 20%) συγκεντρώνεται από τον SRR. Καθώς η διάταξη του σχήματος 2.9 υιοθετήθηκε ως μια δομή βασισμένη στα μεταϋλικά, επιχειρείται, τέλος, η εξαγωγή της ισοδύναμης/ενεργού μαγνητικής διαπερατότητας που αυτή εμφανίζει

48 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 38 μακροσκοπικά. Η εμφάνιση συχνοτικών περιοχών με αρνητικές τιμές για την παράμετρο μ r αποτελεί ενδιαφέρον χαρακτηριστικό μιας και συνδέεται με τον βασικό μηχανισμό εξάλειψης των ρυθμών υποστρώματος, στους οποίους οφείλεται η σύζευξη μεταξύ των στοιχείων-κεραιών σε μια διάταξη MIMO [20, 143]. Ετσι, χρησιμοποιώντας μία από τις διαθέσιμες τεχνικές ανάκτησης (retrieval) των παραμέτρων αυτών από τις S-παραμέτρους που υπολογίστηκαν νωρίτερα [60, 61], το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της ισοδύναμης μαγνητικής διαπερατότητας, για τη δομή του SRR του σχήματος 2.9, απεικονίζεται στο γράφημα 2.10(ii). Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι η περιοχή γύρω από τα 2.45 GHz είναι μια ζώνη εμφάνισης ιδιοτήτων, αντίστοιχων με αυτές που παρουσιάζονται στις δομές μεταϋλικών. Στο επόμενο βήμα της διαδικασίας σχεδίασης, επίπεδες δομές SRR, όπως αυτή που μελετήθηκε νωρίτερα, θα ενσωματωθούν στην κεραία MIMO δύο στοιχείων με στόχο τον περιορισμό της αμοιβαίας σύζευξης που αναπτύσσεται μεταξύ τους. Παρότι η ανάλυση που περιγράφηκε μέχρι στιγμής αφορά επίπεδες δομές με τουλάχιστον μονοδιάστατη περιοδικότητα, θα διερευνηθεί η χρησιμοποίηση ενός και μόνο SRR προς αυτήν την κατεύθυνση. Διαδικασία εισαγωγής των συντονιστικών διατάξεων στην κεραία MIMO Εχοντας ακολουθήσει τη διαδικασία που περιγράφηκε στα δύο προηγούμενα βήματα της σχεδίασης, προκύπτουν όλες εκείνες οι κρίσιμες παράμετροι για την ενσωμάτωση των δομών SRR στην κεραία MIMO των δύο μονοπόλων. Η νέα διάταξη MIMO που προκύπτει, θα περιλαμβάνει τις δομές δακτυλίων με τα χαρακτηριστικά που καθορίστηκαν στο 2ο βήμα της σχεδίασης, τοποθετημένες στις περιοχές που επισημάνθηκαν στο 1ο βήμα. Μάλιστα, ακολουθώντας τη λογική χρησιμοποίησης ενός και μόνο κελιού της δομής μεταϋλικού [32,35 37], για τη βελτίωση των χαρακτηριστικών της υποκείμενης διάταξης, επιχειρείται η ενσωμάτωση ενός μόνο δακτυλίου σε κάθε περιοχή αυξημένης ροής ισχύος. Οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί που προκύπτουν με βάση αυτή τη λογική, λαμβάνοντας υπ όψιν και τον προσανατολισμό της δομής SRR, απεικονίζονται στο σχήμα Η εισαγωγή συντονιστών δακτυλίου στο επίπεδο του ενός και μόνο μοναδιαίου κελιού, οπωσδήποτε διαφέρει από την εκδοχή της χρησιμοποίησης κλασικών τρισδιάστατων δομών μεταϋλικών για τη βελτίωση των χαρακτηριστικών μιας διάταξης κεραίας MIMO [18, 20]. Η ανάλυση που πραγματοποιήθηκε νωρίτερα για τη δομή του SRR κατέδειξε πως ακόμη και στην επίπεδη εκδοχή της, μια διάταξη συντονιστών αυτού του τύπου μπορεί να λειτουργήσει ως μεταϋλικό και να μπλοκάρει τη ροή ισχύος οδηγώντας στο επιθυμητό αποτέλεσμα της απομόνωσης των δύο μονοπολικών κεραιών. Είναι προφανές, βέβαια, πως αντίστοιχη ανάλυση για τη δομή του ενός και μόνο συντονιστή δεν θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί, μιας και παραβιάζεται η απαιτούμενη περιοδικότητα για την ε- φαρμογή αυτού του είδους της διαδικασίας. Τα αποτελέσματα, ωστόσο, της ανάλυσης αυτής της μονοδιάστατα περιοδικής δομής (σχ. 2.10) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως οδηγός στη σχεδίαση των μεμονωμένων συντονιστικών στοιχείων ως δειγμάτων μεταϋλικών. Καθώς η ενσωμάτωση των SRR στην κεραία των δύο μονοπόλων αναμένεται να οδηγήσει σε μια μικρή ολίσθηση της συχνότητας εμφάνισης του υποστηριζόμενου συντονιστικού ρυθμού, για να εξασφαλιστεί η μέγιστη δυνατή εξάλειψη της σύζευξης μεταξύ των μονοπόλων στην MIMO κεραία, οι διαστάσεις των SRR τροποποιούνται ελάχιστα πριν εισαχθούν σε αυτήν. Παράλληλα, η τιμή μίας νέας παραμέτρου, της απόστασης μεταξύ του δακτυλίου και του αγώγιμου επιπέδου αναφοράς (ground), θα πρέπει να καθοριστεί. Η μικρή τροποποίηση στις παραμέτρους των SRR

49 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Σχήμα 2.11: Σχηματική αναπαράσταση των τεσσάρων διατάξεων που προκύπτουν από την ενσωμάτωση του δακτυλίου του σχήματος 2.9 στην κεραία MIMO του σχήματος 2.6. Πίνακας 2.1: Γεωμετρικά χαρακτηριστικά των χρησιμοποιούμενων συντονιστών σε κάθε μία από τις τέσσερις διατάξεις του σχήματος Για όλες τις δομές A, B, C, D οι παράμετροι w και g με αναφορά το σχήμα 2.9 ορίζονται όπως και στο προηγούμενο βήμα της σχεδίασης στα 0.5 mm. Ολες οι τιμές του πίνακα εκφράζουν mm. Μήκος SRR Πλάτος SRR Μήκος Απόσταση Δομή α b s SRR-ground A B C D /20 δεν αναιρεί σε καμία περίπτωση τη συστηματικότητα της μεθοδολογίας σχεδίασης, καθώς οι κατευθύνσεις για τη θέση και τις διαστάσεις των χρησιμοποιούμενων συντονιστών έχουν ήδη προκύψει στα προηγούμενα βήματα της διαδικασίας, μέσω ανεξάρτητων προσομοιώσεων. Ο ακριβής καθορισμός, λοιπόν, των διαστάσεων αφορά μεταβολές μικρότερες των 0.5 mm και μάλιστα μόνο για τις παραμέτρους α και s του συντονιστή (σχήμα 2.9). Ο πίνακας 2.1 συγκεντρώνει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των SRR καθώς και την απόσταση στην οποία αυτοί τοποθετούνται σε κάθε μία από τις διατάξεις του σχήματος 2.11.

50 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 40 Σχήμα 2.12: Διαγράμματα μεταβολής των S-παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας για τις τέσσερις διατάξεις A, B, C, D του σχήματος Με συνεχείς γραμμές απεικονίζονται τα αποτελέσματα της αριθμητικής επίλυσης, ενώ με διακεκομμένες αυτά των πειραματικών μετρήσεων. Τα αποτελέσματα τόσο των προσομοιώσεων όσο και των μετρήσεων για τις τέσσερις νέες δομές, από την σκοπιά της μεταβολής των S-παραμέτρων φαίνονται στο σχήμα Οπως διαφαίνεται από τις αντίστοιχες καμπύλες, σε κάθε μία από τις τέσσερις διαφορετικές εκδοχές σχεδίασης (A, B, C, D), η λειτουργία των αντίστοιχων κεραιών εμφανίζει βελτίωση τόσο για τα αποτελέσματα της αριθμητικής επίλυσης όσο και για αυτά των πειραματικών μετρήσεων. Ειδικότερα, στην περιοχή γύρω από τα 2.45 GHz, τόσο οι συντελεστές μετάδοσης μεταξύ των δύο θυρών όσο και οι συντελεστές ανάκλασης λαμβάνουν τιμές αρκετά κάτω από το όριο καλής λειτουργίας, που έχει τεθεί στα 10 db, καταδεικνύοντας τόσο τη μείωση της επίδρασης της αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των δύο κεραιών, όσο και την αποκατάσταση της προσαρμογής σε κάθε θύρα τροφοδοσίας. Η συμφωνία μεταξύ αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων προκύπτει ικανοποιητική, με τις διατάξεις B και D να παρουσιάζουν μεγαλύτερη ταύτιση. Για τη διάταξη D, μάλιστα, παρατηρείται, τόσο στα αποτελέσματα της προσομοίωσης όσο και σε αυτά της μέτρησης, η διεύρυνση της

51 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Σχήμα 2.13: Διάγραμμα μεταβολής του συντελεστή συσχέτισης φακέλου, ρ e, συναρτήσει της συχνότητας για τις τέσσερις διατάξεις κεραιών A, B, C, D. συχνοτικής ζώνης καλής λειτουργίας. Παρά τις σαφείς ενδείξεις της βελτίωσης που συνεπάγεται η ενσωμάτωση συντονιστικών διατάξεων βασισμένων στα μεταϋλικά, για την εξασφάλιση της επαρκούς λειτουργίας τους σε κάποιο σύστημα MIMO θα πρέπει να ελεγχθούν τρία ακόμη χαρακτηριστικά τους. Το πρώτο από αυτά, αποτελεί μέτρο της επαρκούς απομόνωσης που επιτυγχάνεται με τη χρησιμοποίηση των δομών SRR. Πρόκειται για τον συντελεστή συσχέτισης φακέλου (envelope correlation coefficient), ρ e, ο οποίος για μια δίθυρη διάταξη όπως αυτές που μελετάμε δίνεται συναρτήσει των S-παραμέτρων από τη σχέση [144] S * ρ e = 11S 12 + S 21S * 22 2 (1 ( S S21)) 2 (1 ( S S12)). (2.31) 2 Η απεικόνιση της μεταβολής του συντελεστή ρ e συναρτήσει της συχνότητας για κάθε μία από τις τέσσερις MIMO κεραίες (A, B, C, D) φαίνεται στο σχήμα Στο ίδιο διάγραμμα, ως αναφορά, έχει σχεδιαστεί και η μεταβολή του ρ e για την MIMO κεραία πριν από την εισαγωγή των δομών SRR. Οπως εύκολα παρατηρείται, παρότι οι τιμές του συντελεστή ρ e είναι μικρές και πριν από την ενσωμάτωση των συντονιστών, η εισαγωγή των SRR προκαλεί πρακτικά τον μηδενισμό του για κάθε μία από τις υπό μελέτη διατάξεις κοντά στα 2.45 GHz, καταδεικνύοντας την αποτελεσματική μείωση της σύζευξης μεταξύ των μονοπολικών κεραιών. Το δεύτερο χαρακτηριστικό που θα πρέπει να ελεγχθεί για τις τέσσερις διατάξεις των MIMO κεραιών A, B, C, D, είναι η επίδραση της εισαγωγής των δακτυλίων στο διάγραμμα ακτινοβολίας. Ετσι, τροφοδοτώντας μία μονοπολική κεραία σε κάθε μία από τις διατάξεις A, B, C, D, η επίδραση της εισαγωγής των συντονιστών αναφορικά με την αλλαγή στο αντίστοιχο διάγραμμα ακτινοβολίας, απεικονίζεται στο σχήμα Η απεικόνιση αφορά την μεταβολή του συνολικού κέρδους (σε db) της μονοπολικής κεραίας συναρτήσει της γωνίας θ (απόκλιση από τον κατακόρυφο άξονα z), υπολογισμένη σ ένα yz (φ = 90 ) επίπεδο, στα 2.45 GHz. Για λόγους σύγκρισης, στο ίδιο

52 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 42 Σχήμα 2.14: Απεικόνιση του διαγράμματος ακτινοβολίας (συνολικό κέρδος σε db) για τις τέσσερις διατάξεις κεραιών A, B, C, D, υπολογισμένο σ ένα yz επίπεδο στα 2.45 GHz. διάγραμμα έχει προστεθεί και η αντίστοιχη μεταβολή του ενός και μόνο μονοπόλου. Είναι φανερό ότι η εισαγωγή των SRR επηρεάζει ελάχιστα τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας της αρχικής κεραίας, διατηρώντας τη μορφή του αντίστοιχου διαγράμματος σχεδόν αναλλοίωτη. Το τρίτο και τελευταίο χαρακτηριστικό προς διερεύνηση είναι η αποδοτικότητα ακτινοβολίας (radiation efficiency) της υπό σχεδίαση κεραίας MIMO. Αντίστοιχες απόπειρες σχεδίασης, με αυτή που περιγράφεται στο κεφάλαιο αυτό, οδήγησαν στο συμπέρασμα ότι η ενσωμάτωση συντονιστών δακτυλίου σε διατάξεις κεραιών είχαν αρνητική επίδραση στην παράμετρο αυτή [31, 32, 35]. Ετσι, για τη διερεύνηση της επίδρασης των στοιχείων/δειγμάτων μεταϋλικών στη κεραία MIMO των δύο μονοπόλων, η αποδοτικότητα ακτινοβολίας, ορισμένη ως ο λόγος της ακτινοβολούμενης ισχύος προς την ισχύ εισόδου στην θύρα τροφοδοσίας κάθε κεραίας, υπολογίζεται ξεχωριστά για κάθε μία από τις δομές A, B, C, D. 19 Η ακτινοβολούμενη ισχύς υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της πυκνότητας ισχύος σε μια επιφάνεια που περιβάλει την υπό μελέτη κεραία, ενώ η ισχύς εισόδου υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της αντίστοιχης πυκνότητας ισχύος στην εκάστοτε θύρα εισόδου (για τον υπολογισμό επιλέγεται να τροφοδοτηθεί μία από τις δύο κεραίες κάθε διάταξης, ενώ η άλλη τερματίζεται σε κατάλληλη απορροφητική οριακή συνθήκη). Οι τιμές της αποδοτικότητας που υπολογίστηκαν με βάση τον παραπάνω υπολογισμό για κάθε μία από τις τέσσερις υπό μελέτη δομές, δεν προέκυψαν μικρότερες της τιμής 0.8, γεγονός που αποδεικνύει την αποτελεσματικότητα της λειτουργίας των διατάξεων αυτών ως δομές κεραιών. Μπορεί, λοιπόν, κανείς να συμπεράνει ότι η εισαγωγή ενός και μόνο συντονιστή SRR (δείγμα μεταϋλικού), σε κατάλληλα επιλεγμένες περιοχές μεταξύ των μονοπολικών κεραιών, οδήγησε σε αισθητή βελτίωση της λειτουργίας της κεραίας MIMO. Η βελτίωση αυτή συνίσταται τόσο στην 19 Στη σχετική βιβλιογραφία, με τον όρο αποδοτικότητα ακτινοβολίας συχνά συναντάται και η παράμετρος P rad /(1 Γ 2 ) που εκφράζει το ποσοστό της ακτινοβολούμενης ισχύος, P rad, σε σχέση με τη αντίστοιχη που φτάνει στην κεραία ( Γ είναι ο συντελεστής ανάκλασης στα σημεία των θυρών τροφοδοσίας). Στην παρούσα ενότητα, ωστόσο, η αποδοτικότητα ακτινοβολίας αναφέρεται στη συνολική αποδοτικότητα (overall efficiency), P rad /P input, όπου με P input συμβολίζεται η συνολική ισχύς τροφοδοσίας της εν λόγω κεραίας.

53 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Σχήμα 2.15: Διαγράμματα μεταβολής των S-παραμέτρων για δύο περιπτώσεις κεραιών MIMO τριών στοιχείων. (i) Τα χαρακτηριστικά των μονοπολικών στοιχείων, οι αποστάσεις μεταξύ τους και οι γεωμετρικές παράμετροι των χρησιμοποιούμενων συντονιστών ορίστηκαν ακριβώς όπως και για τη διάταξη D (βλ. σχήμα 2.6 και πίνακα 2.1). (ii) Το μήκος της μονοπολικής κεραίας 2 μεταβλήθηκε ελάχιστα (0.008λ), ενώ πραγματοποιήθηκε και μια μικρή μεταβολή στις αποστάσεις της από τα δύο εκατέρωθεν μονόπολα (παραμένοντας κοντά στα 0.12λ). επαναφορά των χαμηλών τιμών των συντελεστών μετάδοσης και ανάκλασης, αποδεικνύοντας την επίτευξη απομόνωσης και προσαρμογής των θυρών τροφοδοσίας, όσο και στη διατήρηση των χαρακτηριστικών ακτινοβολίας της αρχικής μονοπολικής κεραίας καθιστώντας την λειτουργική στη συχνοτική περιοχή ενδιαφέροντος. Η συστηματικότητα της μεθοδολογίας αυτής έγκειται στην σχεδόν ανεξάρτητη αντιμετώπιση των διατάξεων της κεραίας MIMO και της δομής του συντονιστή. Μάλιστα, το γεγονός αυτό ενισχύεται από τη δυνατότητα επέκτασης του σχεδιασμού αυτού σε κεραίες τριών μονοπολικών στοιχείων ή και περισσότερων. Στο σχήμα 2.15 απεικονίζονται οι μεταβολές των S-παραμέτρων σε μια τέτοια περίπτωση, όπου η κεραία MIMO συντίθεται από τρεις μονοπολικές κεραίες, τοποθετημένες η μία δίπλα στην άλλη. Αρχικά, τα χαρακτηριστικά των μονοπολικών στοιχείων, οι αποστάσεις μεταξύ τους και οι γεωμετρικές παράμετροι των χρησιμοποιούμενων συντονιστών ορίστηκαν ακριβώς όπως και για τη διάταξη D (βλ. σχήμα 2.6 και πίνακα 2.1). Η διαδικασία ανάλυσης ακολουθήθηκε ακριβώς όπως περιγράφηκε παραπάνω, εντοπίζοντας τις περιοχές αυξημένης ροής ισχύος και τοποθετώντας τις δομές SRR σε αυτές. Τα αποτελέσματα της εν λόγω προσομοίωσης (σχήμα 2.15(i)) κατέδειξαν τη δυνατότητα επίτευξης αποσύζευξης μεταξύ των στοιχείων κεραιών στην περιοχή συχνοτήτων ενδιαφέροντος, επαληθεύοντας τη συστηματικότητα της μεθοδολογίας σχεδιασμού. Καθώς, όμως, το κατώφλι καλής λειτουργίας των διατάξεων που μελετώνται έχει τεθεί στα 10 db, τόσο για τους συντελεστές μετάδοσης, όσο και για τους συντελεστές ανάκλασης, επιχειρήθηκε μια επιπλέον μικρή τροποποίηση προς την κατεύθυνση αυτή. Με βάση την ανάλυση της αρχικής κεραίας τριών στοιχείων (πριν την εισαγωγή των δειγμάτων μεταϋλικού), προέκυψε ότι η ενδιάμεση μονοπολική κεραία (στοιχείο 2 στα ένθετα σχήματα της εικόνας 2.15) επηρεάζεται περισσότερο από την παρουσία των άλλων δύο κεραιών. Ετσι, στην

54 2.3. Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά 44 αρχική αυτή δομή, μεταβλήθηκε ελάχιστα το μήκος του στοιχείου αυτού (μεταβολή της τάξης του (0.008λ) και αυξήθηκε κατά τι η απόστασή του από τα άλλα δύο στοιχεία, παραμένοντας πάντα στα επίπεδα του 0.12λ. Το αποτέλεσμα της εισαγωγής των ίδιων δομών συντονιστών, στις ίδιες θέσεις με αυτές που επιλέχθηκαν νωρίτερα, φαίνεται στο σχήμα 2.15(ii). Η βελτίωση των τιμών στους συντελεστές ανάκλασης καθώς και η διατήρηση των χαμηλών επιπέδων των συντελεστών μετάδοσης είναι εμφανής και αποδεικνύει τη δυνατότητα άμεσης επέκτασης της διαδικασίας σχεδιασμού σε δομές MIMO με περισσότερα των δύο στοιχεία. Αν και στο σημείο αυτό η διαδικασία σχεδίασης επίπεδων κεραιών MIMO με χαρακτηριστικά βελτιωμένα ως προς την αρχική τους θεώρηση, έχει εν πολλοίς ολοκληρωθεί, μένει ακόμη ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον σημείο διερεύνησης: αυτό της δυνατότητας ρύθμισης της χωρητικότητας ενός MIMO καναλιού που χρησιμοποιεί κεραίες όπως οι A, B, C ή D μέσω των γεωμετρικών χαρακτηριστικών των συντονιστών δακτυλίου. Στην ενότητα που ακολουθεί παρουσιάζονται κάποια πρώτα αποτελέσματα μιας τέτοιας προσπάθειας. Διερεύνηση της επίτευξης βελτίωσης στη χωρητικότητα ενός συστήματος με την χρησιμοποίηση της νέας εκδοχής της MIMO κεραίας Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού (ενότητα 2.2), περιγράφηκε εν συντομία η επίδραση που μπορούν να έχουν τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας μίας κεραίας, σ ένα σύστημα επικοινωνιών MIMO, όταν αυτή χρησιμοποιείται ως στοιχείο μιας διάταξης πολλαπλών κεραιών. Η μελέτη αυτής της επίδρασης αφορούσε την εξάρτηση της χωρητικότητας του MIMO καναλιού από τις παραμέτρους των χρησιμοποιούμενων κεραιών. Στα πλαίσια αυτής της μελέτης παρατηρήθηκε ότι η αμοιβαία σύζευξη που αναπτύσσεται μεταξύ των επιμέρους στοιχείων-κεραιών που συνθέτουν μια MIMO διάταξη, μπορεί να λειτουργήσει καταστροφικά για την χωρητικότητα του συστήματος [8 11]. Υπάρχουν, ωστόσο, περιπτώσεις, στις οποίες η χωρητικότητα παρουσιάζει αύξηση όταν η επίδραση της α- μοιβαίας σύζευξης μεταξύ των στοιχείων-κεραιών συνυπολογίζεται στην αντίστοιχη ανάλυση [8]. Οι περιπτώσεις αυτές αφορούν εκείνες τις διατάξεις πολλαπλών κεραιών, στις οποίες τα επιμέρους στοιχεία βρίσκονται τοποθετημένα σε απόσταση μεταξύ 0.1λ και 0.2λ. Καθώς η ανάλυση που προηγήθηκε έδειξε ότι η κατάλληλη επιλογή των γεωμετρικών παραμέτρων των χρησιμοποιούμενων SRR παρέχει τη δυνατότητα ελέγχου, κατά κάποιον τρόπο, της συμπεριφοράς της αντίστοιχης MIMO κεραίας, θα επιχειρήσουμε στη συνέχεια τη διερεύνηση της επίδρασης των παραμέτρων αυτών στη χωρητικότητα ενός συστήματος MIMO, στα δύο άκρα του οποίου (εκπομπή και λήψη) χρησιμοποιείται κάποια από τις προαναφερθείσες διατάξεις. Η διάταξη που επιλέγεται προς αυτόν τον σκοπό, είναι αυτή του σχήματος 2.11(iv). Κι αυτό, επειδή εμφανίζει μεγαλύτερη συχνοτική περιοχή καλής λειτουργίας. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των χρησιμοποιούμενων SRR διατηρούνται και στην παρούσα ανάλυση ακριβώς ίδια με αυτά που ορίζονται στον πίνακα 2.1. Ως παράμετροι ελέγχου των χαρακτηριστικών της MIMO κεραίας και κατ επέκταση της χωρητικότητας του αντίστοιχου συστήματος, επιλέγονται τα μήκη των προεκτεινόμενων τμημάτων προς το εσωτερικό των δακτυλίων, s (σχήμα 2.9). Χρησιμοποιώντας τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας της εν λόγω κεραίας και σύμφωνα με όσα περιγράφηκαν στην ενότητα 2.2, υπολογίζεται η χωρητικότητα του αντίστοιχου καναλιού MIMO. 20 Η χωρητικότητα 20 α. Ο υπολογισμός της χωρητικότητας στην περίπτωση αυτή τοποποιήθηκε κατά τι σε σχέση με την αρχική περιγραφή, στο ότι τα στοιχεία του πίνακα καναλιού περιέχουν επιπρόσθετα την πληροφορία της αμοιβαίας σύζευξης

55 Σχεδίαση επίπεδων κεραιών MIMO με βελτιωμένα χαρακτηριστικά Σχήμα 2.16: (i)-(ii) Διαγράμματα μεταβολής της χωρητικότητας (Capacity) συναρτήσει των μηκών s όπως ορίζονται για τη διάταξη του SRR (σχήμα 2.9), για ένα σύστημα MIMO, στα δύο άκρα του οποίου χρησιμοποιείται η κεραία του σχήματος 2.11(iv). Το πρώτο έχει υπολογιστεί λαμβάνοντας τις παραμέτρους των SRR από τον πίνακα 2.1, ενώ το δεύτερο λαμβάνοντάς τις ως: α = 8.25 mm, β = 5.5 mm, d = 0.5/20 mm και g = mm. Τα δύο οριακά επίπεδα που απεικονίζονται σε κάθε περίπτωση σχετίζονται με τον ίδιο υπολογισμό απουσία των SRR, για την περίπτωση που τα στοιχεία θεωρούνται ασύζευκτα (πλέγμα μπλε χρώματος) και για την περίπτωση που η σύζευξη μεταξύ των στοιχείων-κεραιών λαμβάνεται υπ οψιν (πλέγμα κόκκινου χρώματος). (iii)-(iv) Συντελεστές ανάκλασης ( S 11 ) συναρτήσει των μηκών s, για μία από τις δύο μονοπολικές κεραίες της δομής του σχήματος 2.11(iv), σε αντιστοιχία με τους υπολογισμούς (i) και (ii). αυτή απεικονίζεται στο σχήμα 2.16(i) συναρτήσει των μηκών s. Στο σχήμα 2.16(iii) απεικονίζεται η αντίστοιχη μεταβολή του συντελεστή ανάκλασης ως μέτρο των περιοχών καλής λειτουργίας της εν λόγω κεραίας. Για λόγους σύγκρισης στο διάγραμμα της χωρητικότητας έχουν προστεθεί οι τιμές που προκύπτουν πραγματοποιώντας τον ίδιο υπολογισμό απουσία των SRR, για την περίπτωση που τα στοιχεία θεωρούνται ασύζευκτα (πλέγμα μπλε χρώματος) και για την περίπτωση που η μεταξύ των δύο θυρών της διάταξης, σύμφωνα με την ανάλυση που παρουσιάζεται στην [9]. β. Το περιβάλλον του καναλιού επικοινωνίας επιλέγεται να αποτελείται από αρκετούς τυχαία τοποθετημένους σημειακούς σκεδαστές, στην περιοχή μεταξύ των δύο κεραιών.

56 2.4. Ανακεφαλαίωση 46 σύζευξη μεταξύ των στοιχείων-κεραιών λαμβάνεται υπ οψιν (πλέγμα κόκκινου χρώματος). Εύκολα παρατηρείται η αυξημένη τιμή χωρητικότητας που υπολογίζεται στην περίπτωση που η επίδραση της σύζευξης συνυπολογίζεται στην εν λόγω ανάλυση, κάτι που ήταν αναμενόμενο εξαιτίας της απόστασης μεταξύ των δύο μονοπολικών κεραιών, η οποία είναι ελάχιστα μεγαλύτερη του 0.1λ. Σημειώνεται επίσης ότι δεν υπάρχει κάποιος συνδυασμός τιμών για τα μήκη s, που να οδηγεί σε τιμές χωρητικότητας μεγαλύτερες αυτής που λαμβάνεται με τη χρησιμοποίηση μονοπολικών κεραιών απουσία συντονιστικών στοιχείων. Σε μια δεύτερη απόπειρα προσομοίωσης, ωστόσο, μεταβάλλοντας ελάχιστα τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των χρησιμοποιούμενων συντονιστών, φαίνεται πως η μεταβολή των παραμέτρων s, μπορεί να οδηγήσει σε τιμές χωρητικότητας μεγαλύτερες ακόμη και από την περίπτωση υπολογισμού απουσία των SRR (2.16(ii)), χωρίς να ξεπεραστούν τα όρια καλής λειτουργίας που έχουν τεθεί για τις τιμές του συντελεστή ανάκλασης (2.16(iv)). Η ενδεικτική αυτή ανάλυση, αν και σε αρχικό ακόμη στάδιο, μπορεί να αποτελέσει σημείο ενδιαφέροντος για περαιτέρω μελέτη. Η βελτίωση στην χωρητικότητα του συστήματος που εισάγεται μέσω της κατάλληλης ρύθμισης των γεωμετρικών χαρακτηριστικών συντονιστικών δομών, που ενσωματώνονται στις διατάξεις κεραιών, μπορεί να απέχει ακόμη από το όριο της πρακτικής χρησιμότητας, αποτελεί όμως ένα πρώτο στοιχείο για μελλοντική έρευνα. 2.4 Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάστηκε η συστηματική διαδικασία σχεδίασης μιας διάταξης πολλαπλών κεραιών με στόχο τη λειτουργία στη συχνοτική περιοχή των ασύρματων τοπικών δικτύων (WLANs). Η σχεδίαση αφορά στη βελτίωση των χαρακτηριστικών της διάταξης μέσω της ενσωμάτωσης συντονιστικών στοιχείων βασισμένων στα μεταϋλικά. Ετσι, αρχικά, περιγράφηκαν εν συντομία τα βασικά χαρακτηριστικά των δομών μεταϋλικών καθώς και η λογική με βάση την οποία αυτές σχεδιάζονται. Επειτα, αναλύθηκε τόσο η λειτουργία όσο και οι ιδιότητες των κεραιών MIMO και διερευνήθηκαν εκείνες οι παράμετροι, στη βελτίωση των οποίων στοχεύει η χρησιμοποίηση μεταϋλικών. Τέλος, παρουσιάστηκε μια συστηματική διαδικασία σχεδίασης κεραιών αυτής της κατηγορίας, στις οποίες η ενσωμάτωση συντονιστικών δομών με βάση τα μεταϋλικά κατάφερε να οδηγήσει σε αξιοσημείωτη βελτίωση της λειτουργίας τους [145, 146].

57 Κεφάλαιο 3 Ανάλυση διαγράμματος διασποράς περιοδικών δομών Πολλές από τις σύγχρονες εφαρμογές στην περιοχή των μικροκυματικών και των οπτικών συχνοτήτων περιέχουν δομές, οι οποίες εμφανίζουν κάποιο είδος χωρικής περιοδικότητας (spatial periodicity) ως προς μία ή και περισσότερες κατευθύνσεις (διατάξεις μεταϋλικών, φωτονικοί κρύσταλλοι κ.α.). Εξαιτίας της περιοδικότητάς τους, οι δομές αυτές μπορούν να υποστηρίξουν την ανάπτυξη κυματικών μορφών, ή αλλιώς ρυθμών (modes), με ιδιαίτερα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Πιο συγκεκριμένα, οι υποστηριζόμενοι από τέτοιου είδους διατάξεις ρυθμοί αναπαριστούν ηλεκτρομαγνητικά κύματα, τα οποία διαθέτουν δύο σημαντικές ιδιότητες [147]: Πρώτον, μπορούν να εμφανίζουν συχνοτική διασπορά, δηλαδή μεταβολή της φασικής τους ταχύτητας σε σχέση με τη συχνότητα και, δεύτερον, μπορούν να υποστηρίξουν την ύπαρξη συχνοτικών περιοχών διακένου ζώνης (band-gaps), δηλαδή φασματικών περιοχών στις οποίες η διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι αδύνατη. Το πρώτο χαρακτηριστικό επιτρέπει τη χρησιμοποίηση των περιοδικών στοιχείων για την παραγωγή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με πολύ χαμηλή ταχύτητα ομάδας (group velocity), παρέχοντας τη δυνατότητα σχεδιασμού διατάξεων (slow-wave devices), στις οποίες τα εμπλεκόμενα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μπορούν να αλληλεπιδρούν με κάποια δέσμη ηλεκτρονίων. Το δεύτερο χαρακτηριστικό επιτρέπει την αξιοποίηση της περιοδικότητας στον σχεδιασμό εξαρτημάτων με χαρακτηριστικά επιλεκτικότητας ως προς τη συχνότητα. Καθώς, τόσο η επίτευξη βραδέων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων (slow waves), όσο και η επιλεκτικότητα ως προς τη συχνότητα αποτελούν τη βάση για τον σχεδιασμό πλήθους εξαρτημάτων στις περιοχές των μικροκυματικών και οπτικών συχνοτήτων, η μελέτη των υποστηριζόμενων από περιοδικές διατάξεις ρυθμών, παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Η επίδραση της χωρικής περιοδικότητας μιας διάταξης στα χαρακτηριστικά των υποστηριζόμενων από αυτήν ρυθμών, αποτέλεσε αντικείμενο εκτενούς μελέτης τις τελευταίες δεκαετίες [67 72]. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν σχετικά, αφορούν τόσο την πρόβλεψη των περιοχών διάδοσης (passbands) των εν λόγω ρυθμών, όσο και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων τους στις περιοχές αυτές. Αυτό που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ωστόσο, είναι τα χαρακτηριστικά εκείνων των κυματικών μορφών που εμφανίζονται στις περιοχές διακένου ζώνης ή ζώνες αποκοπής (stopbands). Κι αυτό, επειδή εξαιτίας της εμφάνισης των συχνοτικών περιοχών αποκοπής, η ενσωμάτωση περιοδικών δομών σε σύγχρονες μικροκυματικές και οπτικές διατάξεις συναντάται σε πλήθος εφαρμογών. Διάφορες διατάξεις μελετήθηκαν προς αυτήν την κατεύθυνση, για την ανάλυση των οποίων αναπτύχθηκαν ποικίλες τεχνικές [73 78]. Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία της 47

58 3.1. Δομές με περιοδικότητα 48 ανάλυσης του πλήρους διαγράμματος διασποράς (περιοχές διάδοσης και περιοχές διακένου ζώνης), μέσω της επίλυσης ενός προβλήματος ιδιοτιμών βασισμένου στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Αρχικά, δίνεται μία σύντομη περιγραφή του θεωρητικού μοντέλου με βάση το οποίο αναλύονται οι ρυθμοί που μπορούν να υποστηριχθούν από δομές με χωρική περιοδικότητα. Επειτα, ακολουθεί η διατύπωση της αριθμητικής μεθοδολογίας στην οποία βασίζεται η FEM για την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος της εύρεσης των εν λόγω ρυθμών. Για τις δύο αυτές περιπτώσεις, της θεωρητικής και της αριθμητικής επίλυσης, συγκρίνονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα, όπως προκύπτουν για κάποιες απλοποιημένες δομές. Τέλος, διερευνάται η δυνατότητα υιοθέτησης μιας εναλλακτικής διατύπωσης του αριθμητικού προβλήματος ιδιοτιμών, η οποία με βάση το θεώρημα Bloch-Floquet στοχεύει στην ταυτοποίηση και τον χαρακτηρισμό όλων των εμφανιζόμενων ρυθμών στο πλήρες διάγραμμα διασποράς. 3.1 Δομές με περιοδικότητα Η ανάλυση μιας περιοδικής διάταξης μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορες τεχνικές. Οι δύο βασικότερες κατηγορίες μεθοδολογιών που χρησιμοποιούνται για τον σκοπό αυτό, είναι αυτές που χρησιμοποιούν το προσεγγιστικό μοντέλο γραμμής μεταφοράς της υπό μελέτη δομής (transmissionline techniques) και εκείνες που βασίζονται στην πεδιακή ανάλυση αυτής μέσω κάποιας αριθμητικής μεθόδου (field analysis techniques). Στην ανάλυση με βάση το μοντέλο γραμμής μεταφοράς, η περιοδική δομή αντιμετωπίζεται ως δίκτυο (network) και η μελέτη αυτής βασίζεται στον υπολογισμό των ισοδύναμων ρευμάτων και τάσεων στα διάφορα επίπεδα αναφοράς του δικτύου. Ετσι, η μεταβολή τόσο του συντελεστή μετάδοσης όσο και του συντελεστή απόσβεσης συναρτήσει της συχνότητας, η οποία συνιστά και το διάγραμμα διασποράς για την εκάστοτε δομή, προκύπτει από την ανάλυση του ισοδύναμου αυτού δικτύου. Αντίθετα, η πεδιακή ανάλυση βασίζεται στον αριθμητικό υπολογισμό των πεδιακών κατανομών που μπορούν να αναπτυχθούν εντός της περιοδικής δομής και πραγματοποιείται με τη βοήθεια κάποιας από τις διαθέσιμες για την επίλυση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων υπολογιστικής μεθόδου. Καθώς η πεδιακή ανάλυση με τη χρησιμοποίηση υπολογιστικών εργαλείων μπορεί να αντιμετωπίσει οποιαδήποτε γεωμετρική δομή, υπερτερεί έναντι του μοντέλου επίλυσης γραμμής μεταφοράς. Ετσι, στο κεφάλαιο αυτό, οι μεθοδολογίες που περιγράφονται βασίζονται στην ανάπτυξη ενός υπολογιστικού εργαλείου, το οποίο χρησιμοποιεί τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) για την εύρεση των διαγραμμάτων διασποράς τόσο στις περιοχές διάδοσης όσο και στις περιοχές διακένου ζώνης μιας περιοδικής δομής οδηγώντας, με την ακρίβεια που επιτρέπει η αριθμητική επίλυση, στην εύρεση των ιδιοτήτων των εν λόγω διατάξεων. Το πρόβλημα που καλούμαστε να επιλύσουμε, είναι ένα πρόβλημα ιδιοτιμών, στο οποίο η άγνωστη ποσότητα περιέχει την πληροφορία για τη μεταβολή των συντελεστών μετάδοσης και απόσβεσης κάθε υποστηριζόμενου ρυθμού, συναρτήσει της συχνότητας. Η διατύπωση του προβλήματος προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) λαμβάνοντας υπ όψιν την χωρική περιοδικότητα της διάταξης. Καθώς η υλοποίηση αυτής της μεθοδολογίας επίλυσης βασίζεται στις ιδιότητες των κυματικών μορφών που μπορούν να υποστηριχθούν από περιοδικά μέσα, παρακάτω, ακολουθεί μια σύντομη περιγραφή των βασικών στοιχείων της θεωρίας Bloch- Floquet, με βάση την οποία προκύπτουν οι συνθήκες που θα πρέπει κανείς να εισάγει κατά την υπολογιστική ανάλυση τέτοιου είδους μέσων.

59 Δομές με περιοδικότητα Διατάξεις με μονοδιάστατη περιοδικότητα Η μελέτη της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων εντός τρισδιάστατων περιοδικών μέσων πραγματοποιήθηκε, αρχικά, από τον Floquet, το Μερικές δεκαετίες αργότερα, το 1928, ο Bloch επέκτεινε τη θεωρία Floquet αποδεικνύοντας ότι τα κύματα που μπορούν να αναπτυχθούν σε τέτοιου είδους μέσα, διαδίδονται χωρίς να σκεδάζονται εμφανίζοντας μεταβολές που μπορούν να περιγραφούν ως το γινόμενο μιας περιοδικής συνάρτησης φακέλου (envelope function) και ενός επίπεδου κύματος. Παρότι η ανάλυση του Bloch αφορούσε προβλήματα κβαντομηχανικής, οι ίδιες τεχνικές χρησιμοποιήθηκαν ευρέως και στον ηλεκτρομαγνητισμό. Κι αυτό, εξαιτίας της αντιστοιχίας που παρατηρείται μεταξύ της κυματικής εξίσωσης που προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell και της εξίσωσης Schrödinger. 1 Ρυθμοί Bloch-Floquet Ξεκινώντας από τις τέσσερις εξισώσεις του Maxwell σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες καταστατικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο, 2 θεωρώντας ότι τα πεδιακά μεγέθη μεταβάλλονται αρμονικά σε σχέση με τον χρόνο και ότι στην υπό μελέτη διάταξη δεν εμφανίζονται ρευματικές κατανομές ή φορτία, εύκολα καταλήγει κανείς στην κυματική εξίσωση 1 p F k2 0qF = 0. (3.1) Η παράμετρος F στην (3.1) συμβολίζει είτε το ηλεκτρικό πεδίο, E, είτε το μαγνητικό πεδίο, H, ο όρος k 0 = ω ε 0 μ 0 αντιπροσωπεύει τον κυματικό αριθμό του κενού χώρου, ενώ οι παράμετροι p και q εκφράζουν τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του μέσου, το οποίο θεωρήθηκε ισοτροπικό, γραμμικό και αποτελούμενο από υλικά που δεν εμφανίζουν διασπορά στη συχνότητα. Στην περίπτωση που για τη διανυσματική συνάρτηση F ισχύει F E, οι p και q ορίζονται ως p = μ r και q = ε r, ενώ για την περίπτωση που F H ορίζονται ως p = ε r και q = μ r, όπου ε r = ε r (x, y, z) και μ r = μ r (x, y, z) είναι οι σταθερές της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς και της μαγνητικής διαπερατότητας, αντίστοιχα. Η σχέση (3.1) αναπαριστά μία εξίσωση ιδιοτιμών με άγνωστη ιδιοτιμή τον όρο k0q 2 = ( ) ω 2 c q και αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση το πεδιακό μέγεθος F. Ο τελεστής που επιδρά στην ιδιοσυνάρτηση F δίνεται από την έκφραση L 1, η οποία μπορεί να p παραλληλιστεί με αυτήν του τελεστή Hamilton στην εξίσωση Schrödinger. Η αντιστοιχία αυτή, μεταξύ των εκφράσεων των δύο τελεστών, είναι που επιτρέπει τη χρησιμοποίηση των θεωρημάτων Bloch-Floquet σε προβλήματα όπου τα αντίστοιχα φαινόμενα διέπονται από τις εξισώσεις του 1 Η εξίσωση Schrödinger αποτελεί τη βάση της κβαντομηχανικής θεωρίας εξηγώντας τη συμπεριφορά των υποατομικών σωματιδίων. Οι μελέτες του Bloch οδήγησαν στο συμπέρασμα ότι τα ελεύθερα ηλεκτρόνια ενός μετάλλου σκεδάζονται μόνο από τις ατέλειες του μέσου και όχι από το περιοδικό πλέγμα ιόντων εντός του οποίου κινούνται [148]. 2 Οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell γραμμένες σε διαφορική μορφή είναι: E = M jωb, H = jωd + J, D = ρ, B = 0 ενώ, αντίστοιχα, οι καταστατικές εξισώσεις, για ισοτροπικά και γραμμικά μέσα που δεν εμφανίζουν συχνοτική διασπορά, είναι: D = ε r ε 0 E και B = μ r μ 0 H.

60 3.1. Δομές με περιοδικότητα 50 Σχήμα 3.1: Σχηματική αναπαράσταση μονοδιάστατα περιοδικής δομής αποτελούμενης από δύο διαφορετικά υλικά. (i) Γεωμετρική δομή δύο περιοδικά επαναλαμβανόμενων διηλεκτρικών στρωμάτων προς την διεύθυνση του άξονα z. Προς τις διευθύνσεις x και y η δομή εκτείνεται στο άπειρο. (ii) Απεικόνιση της μονοδιάστατα περιοδικής δομής στο xz επίπεδο. Η περίοδος επανάληψης συμβολίζεται με L. Maxwell, παρέχοντας τη δυνατότητα εφαρμογής των διαπιστώσεων της θεωρίας Bloch-Floquet σε προβλήματα ηλεκτρομαγνητισμού. Κατά συνέπεια, αν θεωρήσουμε μία διάταξη με χωρική περιοδικότητα, έστω κατά τον άξονα z όπως φαίνεται στο σχήμα 3.1, σύμφωνα με το θεώρημα Floquet, τα πεδιακά μεγέθη μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει μιας περιοδικής συνάρτησης F p, για την οποία θα ισχύει F p (x, y, z ± ml, ω) = F p (x, y, z, ω), (3.2) όπου με m συμβολίζεται κάποιος ακέραιος αριθμός και με L η χωρική περίοδος της διάταξης (σχήμα 3.1(ii)). Πιο συγκεκριμένα, το θεώρημα Bloch-Floquet [ ] υπαγορεύει ότι οι κυματικές μορφές, ή αλλιώς ρυθμοί, που υποστηρίζονται από μια τέτοια διάταξη και διαδίδονται κατά τη διεύθυνση του άξονα z, μπορούν να εκφραστούν από συναρτήσεις της μορφής F (x, y, z, ω) = e jk z F p (x, y, z, ω), (3.3) όπου k = k x^x + k y^y + k z^z το κυματικό διάνυσμα (wave vector). Καθώς ο εκθετικός όρος στην (3.3), εξαιτίας της έκφρασης του κυματικού διανύσματος, γίνεται e jkzz, η συνιστώσα του k κατά τη διεύθυνση z εκφράζει τον μιγαδικό συντελεστή διάδοσης k z = β jα. Το πραγματικό μέρος του συντελεστή k z αποτελεί τη φασική σταθερά διάδοσης και σχετίζεται με τη φασική ταχύτητα του υποστηριζόμενου ρυθμού, ενώ το μιγαδικό μέρος αναπαριστά τη σταθερά απόσβεσης του ρυθμού και σχετίζεται με την απόσβεση του πλάτους του κατά τη διάδοση εντός της περιοδικής διάταξης. Οπως θα συζητηθεί στη συνέχεια, εξαιτίας της έκφρασης (3.3), η πεδιακή ανάλυση κάθε περιοδικής δομής μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά περιοριζόμενη στο χωρικό εύρος μίας πεπερασμένης μικρής περιοχής, η οποία ονομάζεται θεμελιώδες κελί (unit cell). Καθώς η F p είναι περιοδική συνάρτηση, μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια του αναπτύγματος Fourier, σύμφωνα με τη σχέση: F p (x, y, z, ω) = n= F n (x, y, ω) e j2πnz/l, (3.4)

61 Δομές με περιοδικότητα όπου οι όροι F n (x, y, ω) προκύπτουν εφαρμόζοντας τη συνθήκη ορθογωνικότητας (orthogonality) ως εξής: F n (x, y, ω) = 1 L ˆ L/2 L/2 F p (x, y, z, ω) e j2πnz/l dz. (3.5) Αντικαθιστώντας την (3.4) στην έκφραση (3.3) η πεδιακή κατανομή εντός της περιοδικής διάταξης προκύπτει F (x, y, z, ω) = F n (x, y, ω) e jkz,nz, (3.6) n= όπου με k z,n συμβολίζονται οι όροι k z,n = β + 2πn/L jα = β n jα. Η σχέση (3.6) συνεπάγεται ότι η ζητούμενη πεδιακή κατανομή εντός της περιοδικής δομής, εκφράζεται ως άθροισμα n όρων, οι οποίοι καλούνται χωρικές αρμονικές (space harmonics). Κάθε μία από τις αρμονικές αυτές εκφράζει ένα διαδιδόμενο ή αποσβεννύμενο κύμα με φασική ταχύτητα που δίνεται από τη σχέση υ p,n = ω β n = ω β + 2πn/L. (3.7) Ανάλογα με την τιμή του συντελεστή διάδοσης β η φασική ταχύτητα κάθε αρμονικής μπορεί να έχει κατεύθυνση κατά τα θετικά του άξονα z ή κατά τα αρνητικά αυτού. Ολες, ωστόσο, έχουν την ίδια ταχύτητα ομάδας υ g,n = (dβ/dω) 1 = (dβ n /dω) 1 = υ g. 3 Κάθε μία από τις χωρικές αρμονικές, ως υποστηριζόμενο από τη διάταξη κύμα, θα πρέπει να ικανοποιεί την κυματική εξίσωση (3.1). Η επίλυση της (3.1) ως πρόβλημα ιδιοτιμών, ωστόσο, οδηγεί σ ένα σύνολο διακριτών συχνοτήτων (ιδιοτιμές), οι οποίες μεταβάλλονται συναρτήσει του εκάστοτε κυματικού αριθμού. Ετσι, για κάθε μία αρμονική, η επίλυση της κυματικής εξίσωσης οδηγεί στον σχηματισμό μιας συχνοτικής ζώνης, στην οποία η μεταβολή της κάθε ιδιοσυχνότητας περιγράφεται από μία συνάρτηση ω n (k), όπου με n συμβολίζεται ο δείκτης που ορίζει την κάθε αρμονική. Η γραφική απεικόνιση των τιμών κάθε συνάρτησης ω n (k) σε σχέση με το κυματικό διάνυσμα, συνιστά το διάγραμμα διασποράς (dispersion diagram) του αντίστοιχου υποστηριζόμενου ρυθμού. Η ανάλυση με βάση τη θεωρία Bloch-Floquet μπορεί να επεκταθεί και σε διατάξεις που εμφανίζουν περιοδικότητα προς τις δύο ή και τις τρεις διαστάσεις. Επιπλέον, η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών, το οποίο αναφέρθηκε προηγουμένως, μπορεί να περιοριστεί σε μια μικρή μόνο περιοχή της συνολικής δομής. Η περιοχή αυτή, για κάθε διάταξη, προκύπτει από τα χαρακτηριστικά της χωρικής περιοδικότητας και η διαδικασία προσδιορισμού της περιγράφεται στην ενότητα που ακολουθεί. Περιοδικά πλέγματα Γενικεύοντας την περίπτωση της διάταξης με μονοδιάστατη περιοδικότητα, θεωρούμε στη συνέχεια ότι στο εσωτερικό μιας δομής οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες, και ειδικότερα η σχετική διηλεκτρική σταθερά, μεταβάλλονται περιοδικά σύμφωνα με τη σχέση ε r (r) = ε r (r + R), (3.8) 3 Σ εκείνες τις περιπτώσεις για τις οποίες η ταχύτητα ομάδας έχει αντίθετο πρόσημο από τη φασική ταχύτητα, οι αρμονικές εκφράζουν κυματικές μορφές γνωστές ως προς τα πίσω κύματα (backward waves).

62 3.1. Δομές με περιοδικότητα 52 όπου με r συμβολίζεται το ακτινικό διάνυσμα που περιγράφει τη θέση (x, y, z) στον τρισδιάστατο χώρο (r = x^x + y^y + z^z) και με R συμβολίζεται το διάνυσμα που ορίζει την χωρική περιοδικότητα. Καθώς η περιοδικότητα των ιδιοτήτων της διάταξης δημιουργεί τη μορφή ενός επαναλαμβανόμενου μοτίβου, τα όρια του οποίου συνθέτουν ένα τρισδιάστατο πλέγμα, το διάνυσμα R καλείται διάνυσμα πλέγματος (lattice vector). Η σχέση (3.8) υπονοεί ότι για δύο οποιαδήποτε σημεία της περιοδικής δομής που συνδέονται μέσω του διανύσματος R, η τιμή της διηλεκτρικής σταθεράς και άρα οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες είναι ίδιες (η τιμή της μαγνητικής διαπερατότητας θεωρήθηκε σταθερή σε ολόκληρη την έκταση της δομής). Αν θεωρήσουμε, επιπλέον, ότι το διάνυσμα R μπορεί να γραφεί ως R = la 1 + ma 2 + na 3, (3.9) όπου l, m, n ακέραιοι αριθμοί και a i (i = 1, 2, 3) κατάλληλα επιλεγμένα διανύσματα, ώστε να έχουν κοινή αρχή και να αποτελούν τους άξονες αναφοράς του περιοδικού πλέγματος, τότε το πλέγμα της περιοδικής διάταξης μπορεί να αναπαραχθεί μέσω της επανάληψης μίας μόνο στοιχειώδους περιοχής, η οποία ονομάζεται μοναδιαίο/θεμελιώδες κελί (unit cell). Κατά συνέπεια, τα a i (i = 1, 2, 3) αποτελούν τα μικρότερα δυνατά μη μηδενικά διανύσματα, από τα οποία μπορούν να προκύψουν τα R και ονομάζονται θεμελιώδη διανύσματα πλέγματος (primitive lattice vectors). Η επιλογή των a i σε κάθε πλέγμα, προφανώς, δεν είναι μοναδική, αφού κάθε τριάδα διανυσμάτων που πληροί τις προϋποθέσεις [150], μπορεί να χρησιμοποιηθεί γι αυτόν το σκοπό. Αν θεωρήσουμε ότι η ζητούμενη πεδιακή κατανομή εντός της υπό μελέτη περιοδικής διάταξης, στη γενική περίπτωση, δίνεται από τη σχέση F (r, ω) = e jk r F p (r, ω), κατ αντιστοιχία με την (3.3), όπου η περίοδος της συνάρτησης F p (r, ω) ταυτίζεται με αυτήν της περιοδικής διάταξης, για μία δεδομένη συχνότητα, ω, θα ισχύει ότι F p (r) = F p (r + R). (3.10) Η σχέση (3.10) συνεπάγεται ότι η πεδιακή κατανομή F στη θέση (r + R) θα προκύπτει ως εξής F (r + R) = e jk (r+r) F p (r + R) = e jk r F p (r) e jk R = F (r) e jk R. (3.11) Από την (3.11) προκύπτει ότι μεταβαίνοντας από ένα σημείο της περιοδικής δομής σ ένα άλλο, το διάνυσμα θέσης του οποίου διαφέρει κατά R από αυτό του πρώτου σημείου, σημειώνεται μεταβολή της πεδιακής κατανομής κατά τον παράγοντα e jk R. Αν, επιπλέον, το κυματικό διάνυσμα k αντικατασταθεί από ένα διάνυσμα G, για το οποίο θα ισχύει η σχέση e jg R = 1, (3.12) τότε ο εκθετικός όρος στην (3.11) γίνεται ίσος με τη μονάδα και η πεδιακή κατανομή F (r + R) εξισώνεται με την αντίστοιχη F (r). Τα διανύσματα G που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη, σχηματίζουν ένα, αντίστοιχο με το αρχικό, τρισδιάστατο πλέγμα, το οποίο ονομάζεται αμοιβαίο πλέγμα (reciprocal lattice). Οπως και τα διανύσματα R, έτσι και τα διανύσματα αμοιβαίου πλέγματος (reciprocal lattice vectors), G, μπορούν να γραφούν συναρτήσει θεμελιωδών διανυσμάτων (primitive vectors), τα οποία στην περίπτωση του αμοιβαίου πλέγματος συμβολίζονται με b i, όπου i = 1, 2, 3. Ετσι, κατ αντιστοιχία με την (3.9) για το αμοιβαίο πλέγμα θα ισχύει G = l b 1 + m b 2 + n b 3. Η σχέση μεταξύ των πλεγμάτικών διανυσμάτων του αρχικού και του αμοιβαίου πλέγματος καθορίζεται από την (3.12), η οποία συνεπάγεται ότι G R = 2πN, (3.13)

63 Δομές με περιοδικότητα όπου N ένας ακέραιος αριθμός. Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των R και G συναρτήσει των θεμελιωδών διανυσμάτων για κάθε περίπτωση, προκύπτει η συσχέτιση b 1 = 2πa 2 a 3 a 1 (a 2 a 3 ), b 2 = 2πa 3 a 1 a 1 (a 2 a 3 ), b 3 = 2πa 1 a 2 a 1 (a 2 a 3 ). (3.14) Συνδυάζοντας τα παραπάνω, εύκολα παρατηρεί κανείς ότι αντικαθιστώντας το κυματικό διάνυσμα k στην (3.11) με το διάνυσμα k + G, το αποτέλεσμα που προκύπτει για την πεδιακή κατανομή είναι ακριβώς το ίδιο. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται ότι δεν είναι απαραίτητο οι διαφορετικές τιμές του k να οδηγήσουν σε διαφορετικές πεδιακές κατανομές (ρυθμούς). Ειδικότερα, προκύπτει ότι κάθε κυματικό διάνυσμα k που βρίσκεται έξω από μια πεπερασμένης διάστασης περιοχή στο αμοιβαίο πλέγμα, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός κυματικού διανύσματος k, το οποίο βρίσκεται εντός της περιοχής αυτής, και του διανύσματος G. Κατά συνέπεια, για τη μελέτη μιας περιοδικής δομής, δεν απαιτείται η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών για όλες τις τιμές του κυματικού διανύσματος, αλλά μόνο για εκείνες, οι οποίες ορίζονται εντός μιας πεπερασμένης περιοχής του αμοιβαίου πλέγματος, μεταξύ των σημείων της οποίας η μετάβαση μέσω της πρόσθεσης του G είναι αδύνατη. Καθώς υπάρχουν πολλές τέτοιες περιοχές, γύρω από κάθε κομβικό σημείο του αμοιβαίου πλέγματος, επιλέγεται, συνήθως, αυτή για την οποία ισχύει k = 0 και ονομάζεται πρώτη ζώνη Brillouin (first Brillouin zone). Η συμμετρία που προκύπτει εξαιτίας της περιοδικότητας των υπό μελέτη διατάξεων, περιορίζει ακόμη περισσότερο το εύρος των τιμών του κυματικού διανύσματος που α- παιτούνται για την πλήρη ανάλυση του προβλήματος. Ετσι, η μικρότερη περιοχή εντός της πρώτης ζώνης Brillouin, στην οποία δεν ορίζονται κυματικά διανύσματα που οδηγούν στην ίδια λύση για το αρχικό πρόβλημα ιδιοτιμών, καλείται μη αναγώγιμη ζώνη Brillouin (irreducible Brillouin zone) και ορίζει για κάθε διάταξη το απαιτούμενο εύρος τιμών των συνιστωσών του κυματικού διανύσματος για την πλήρη ανάλυση της περιοδικής δομής. Διάγραμμα διασποράς περιοδικής διάταξης δύο διηλεκτρικών στρωμάτων Επιστρέφοντας στη δομή που θεωρήθηκε αρχικά, ως το απλούστερο παράδειγμα εμφάνισης χωρικής περιοδικότητας (σχήμα 3.1), επιχειρείται στη συνέχεια ο υπολογισμός του διαγράμματος διασποράς για τους ρυθμούς εκείνους οι οποίοι διαδίδονται κατά τη διεύθυνση που εμφανίζεται η περιοδική μεταβολή (παράλληλα στον άξονα z). Εστω, λοιπόν, η διάταξη του σχήματος 3.1, η οποία σχηματίζεται από την περιοδική εναλλαγή δύο στρωμάτων κατά τη διεύθυνση του άξονα z. Η μονοδιάστατη περιοδικότητα συνίσταται στο ότι η εναλλαγή των διηλεκτρικών μέσων παρατηρείται μόνο κατά τη διεύθυνση z και όχι κατά τις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις x και y. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες της συνολικής δομής να εναλλάσσονται (περιοδικά) μόνο κατά τη διεύθυνση του άξονα z, ενώ παραμένουν σταθερές κατά τις διευθύνσεις x και y. Οι ιδιότητες αυτές για κάθε στρώμα περιγράφονται από τις τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς (ε 1 και ε 2 ) και της μαγνητικής διαπερατότητας (μ 1 και μ 2 ). Τα πάχη των δύο στρωμάτων επιλέγονται να είναι διαφορετικά και ορίζονται ως D 1 και D 2, αντίστοιχα. Με βάση την ανάλυση της ενότητας που προηγήθηκε, το θεμελιώδες κελί, στις δύο διαστάσεις, για την εν λόγω διάταξη απεικονίζεται στο σχήμα 3.1(ii). Πρόκειται για την περιοχή που περικλείεται με διακεκομμένες γραμμές και έχει μήκος L. Η επανάληψη της περιοχής αυτής κατά τη διεύθυνση του άξονα z οδηγεί στον σχηματισμό της συνολικής περιοδικής δομής. Το μήκος L

64 3.1. Δομές με περιοδικότητα 54 καθορίζει την χωρική περίοδο και ως εκ τούτου τις διαστάσεις του περιοδικού πλέγματος στο οποίο θα βασιστεί η ανάλυση της δομής. Με βάση όσα περιγράφηκαν στις προηγούμενες ενότητες, και θεωρώντας ότι και τα δύο διηλεκτρικά υλικά από τα οποία απαρτίζεται η διάταξη είναι μη μαγνητικά (μ 1 = μ 2 = 1), για τη διηλεκτρική σταθερά στα διάφορα σημεία της περιοδικής δομής θα ισχύει ε r (z) = ε r (z + l), (3.15) όπου l = ml και m οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Το πλεγματικό διάνυσμα σ αυτήν την περίπτωση ορίζεται ως R = Lẑ και αντιστοιχεί στο αμοιβαίο πλεγματικό διάνυσμα G = 2πẑ, L σύμφωνα με τις σχέσεις (3.14). Βάσει της θεωρίας Bloch-Floquet, οι ρυθμοί που υποστηρίζονται από μια τέτοια διάταξη θα έχουν τη μορφή [150] F (n,kz,k ) (r) = e jk ρ e jkzz F (n,kz,k ) p (z), (3.16) όπου με n συμβολίζεται ο αριθμός της n-οστής χωρικής αρμονικής, 4 με k η προβολή του κυματικού διανύσματος στο xy επίπεδο και με k z η συνιστώσα του κυματικού διανύσματος κατά τη διεύθυνση του άξονα z. Για την περιοδική συνάρτηση F p ισχύει F p (z) = F p (z + l). Λόγω του ότι η διάταξη παρουσιάζει ομοιογένεια στο xy επίπεδο, το διάνυσμα k μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Η συνιστώσα k z, ωστόσο, εξαιτίας της περιοδικότητας, λαμβάνει τιμές που βρίσκονται εντός ενός πεπερασμένου διαστήματος. Το εν λόγω διάστημα τιμών προκύπτει, σύμφωνα με όσα περιγράφηκαν στην προηγούμενη ενότητα, από τα χαρακτηριστικά του αμοιβαίου πλέγματος και ταυτίζεται με την πρώτη ζώνη Brillouin. Η πρώτη ζώνη Brillouin για την περίπτωση της διάταξης του σχήματος 3.1 προκύπτει ως π/l k z π/l, περιορίζοντας τις απαιτούμενες τιμές της συνιστώσας k z για τον πλήρη καθορισμό του ζητούμενου διαγράμματος διασποράς. Θεωρώντας ότι αναζητούμε κυματικές μορφές (ρυθμούς) που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση του άξονα z και προσπίπτουν κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο στρωμάτων, θα ισχύει ότι k = 0, με αποτέλεσμα το κυματικό διάνυσμα να καθορίζεται από τη συνιστώσα k z. Με βάση την ανάλυση που προηγήθηκε, το διάγραμμα διασποράς για την περιοδική διάταξη του σχ. 3.1, σε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις, απεικονίζεται στο σχήμα 3.2. Στο πρώτο διάγραμμα (σχ. 3.2(i)) απεικονίζεται η μεταβολή της προκύπτουσας ιδιοσυχνότητας, ω, ως συνάρτηση του συντελεστή διάδοσης, β, για την περίπτωση που τα δύο διηλεκτρικά στρώματα επιλεγούν ακριβώς ίδια, με αποτέλεσμα τον σχηματισμό μιας ομοιόμορφης δομής και προς τις τρεις κατευθύνσεις x, y και z. Η σχετική διηλεκτρική σταθερά ορίστηκε ε 1 = ε 2 = 13 ενώ η μαγνητική διαπερατότητα μ 1 = μ 2 = 1. 5 Τα πάχη των δύο στρωμάτων, τα οποία καθορίζουν και τις διαστάσεις του θεμελιώδους κελιού επιλέχθηκαν, με αναφορά το σχήμα 3.1, ως D 1 = 0.8L και D 2 = 0.2L. Οπως αναμένεται για ένα μη μαγνητικό ομοιογενές μέσο, η μεταβολή της συχνότητας ως συνάρτηση του συντελεστή μετάδοσης υπακούει στη σχέση ω(β) = cβ, (3.17) ε όπου με c συμβολίζεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον κενό χώρο και με ε η διηλεκτρική σταθερά του μέσου. Ετσι, οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί εμφανίζονται σε ιδιοσυχνότητες που 4 Ο δείκτης n (band number) ορίζεται έτσι, ώστε να λαμβάνει μεγαλύτερες τιμές καθώς αυξάνει η συχνότητα εμφάνισης του κάθε ρυθμού (αρμονικής). 5 Η επιλογή των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων πραγματοποιήθηκε με βάση την ανάλυση των περιοδικών διατάξεων φωτονικών κρυστάλλων, σε αντιστοιχία με τη βιβλιογραφία [148, 150].

65 Δομές με περιοδικότητα Σχήμα 3.2: Διάγραμμα διασποράς για τη μονοδιάστατα περιοδική δομή του σχήματος 3.1(ii). Τα πάχη των δύο στρωμάτων επιλέχθηκαν ως D 1 = 0.8L και D 2 = 0.2L, ενώ οι ηλεκτρομαγνητικές τους ιδιότητες ως μ 1 = μ 2 = 1 και (i) ε 1 = ε 2 = 13, (ii) ε 1 = 10 και ε 2 = 13 και (iii) ε 1 = 1 και ε 2 = 13. Με κίτρινο χρώμα επισημαίνονται οι περιοχές διακένου (band gaps). βρίσκονται πάνω στη γραμμή φωτός (light line). Εύκολα παρατηρεί κανείς την αναδίπλωση του διαγράμματος στις περιοχές έξω από τη ζώνη Brillouin, όπου ισχύει βl βl 0.5 ή π 2π Μεταβάλλοντας τις ιδιότητες ενός από τα δύο διηλεκτρικά στρώματα, η διάταξη παύει να είναι ομοιογενής και αποκτά την περιοδικότητα κατά τη διεύθυνση του άξονα z. Το διάγραμμα διασποράς αυτής της περιοδικής δομής απεικονίζεται στο σχήμα 3.2(ii). Οι διαστάσεις των διηλεκτρικών στρωμάτων διατηρήθηκαν D 1 = 0.8L και D 2 = 0.2L, ενώ τα δύο υλικά θεωρήθηκαν και πάλι μη μαγνητικά. Οι τιμές της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ορίστηκαν έτσι ώστε να απέχουν λίγο μεταξύ τους, ε 1 = 10 και ε 2 = 13. Οπως και στην περίπτωση της ομοιογενούς δομής, η καμπύλη του διαγράμματος διασποράς αναδιπλώνεται στα άκρα της ζώνης Brillouin σχηματίζοντας ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Ωστόσο, στην περίπτωση της περιοδικής δομής εμφανίζονται ζώνες συχνοτήτων, στις οποίες οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί δεν μπορούν να διαδοθούν (β = 0 ή β = ±π). Οι ζώνες αυτές αποτελούν τις περιοχές διακένου (band gaps) και ορίζουν συχνοτικές περιοχές αποκοπής μεταξύ δύο διαδοχικών υποστηριζόμενων ρυθμών. Το εύρος κάθε τέτοιας συχνοτικής περιοχής εξαρτάται τόσο από τα πάχη των διηλεκτρικών στρωμάτων, όσο και από τη διαφορά μεταξύ των τιμών της διηλεκτρικής σταθεράς σε αυτά. Στο σχήμα 3.2(iii) φαίνεται το διάγραμμα διασποράς, όπως προκύπτει για μια περιοδική διάταξη με τις διαστάσεις που περιγράφηκαν νωρίτερα, αλλά επιλέγοντας τις τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς για τα δύο στρώματα ως ε 1 = 1 και ε 2 = 13. Η διεύρυνση της περιοχής διακένου, εξαιτίας της διαφοράς των ιδιοτήτων μεταξύ των γειτονικών στρωμάτων που συνθέτουν την περιοδική δομή, είναι εμφανής. Η ύπαρξη του διακένου στο διάγραμμα διασποράς εξηγείται μέσω της παρατήρησης της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό της μονοδιάστατα περιοδικής δομής. Η συγκέντρωση

66 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 56 Σχήμα 3.3: Σχηματική αναπαράσταση περιοδικής δομής αποτελούμενης από δύο διαφορετικά υλικά για την περίπτωση της (i) δισδιάστατης περιοδικότητας και (ii) της τρισδιάστατης περιοδικότητας. της ενέργειας αυτής σε διαφορετικά τμήματα του θεμελιώδους κελιού στους κλάδους του διαγράμματος διασποράς εκατέρωθεν του σχηματιζόμενου διακένου, μπορεί να δικαιολογήσει την ύπαρξη της ζώνης αποκοπής [148, 150]. Η εμφάνιση ζωνών, στις οποίες οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί δεν μπορούν να διαδοθούν, αποτελεί ιδιαίτερα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό, μιας και μπορεί να αξιοποιηθεί σε πλήθος εφαρμογών, όπως στη σχεδίαση φίλτρων ή συντονιστικών διατάξεων. Η υιοθέτηση, επιπλέον, της περιοδικότητας στις δύο ή και στις τρεις διαστάσεις (σχήμα 3.3) μπορεί να επεκτείνει ακόμη περισσότερο το εύρος των εφαρμογών αυτών. Καθώς οι περιοδικές δομές που εμπεριέχονται στις σύγχρονες μικροκυματικές και φωτονικές διατάξεις παρουσιάζουν αυξημένη πολυπλοκότητα, στις οποίες το επαναλαμβανόμενο μοτίβο μπορεί να περιλαμβάνει περισσότερα των δύο υλικών με διάφορες γεωμετρικές ιδιαιτερότητες, προκύπτει η ανάγκη ανάπτυξης κατάλληλων αριθμητικών τεχνικών για την διερεύνηση των διαγραμμάτων διασποράς των δομών αυτών. Στην ενότητα που ακολουθεί, περιγράφεται μια τέτοια τεχνική, η οποία βασίζεται στη μοντελοποίηση των υπό μελέτη υποστηριζόμενων ρυθμών μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). 3.2 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης Οπως συζητήθηκε και νωρίτερα στο κεφάλαιο αυτό, το πρόβλημα της εύρεσης όλων των υποστηριζόμενων από μια περιοδική διάταξη ρυθμών είναι ένα πρόβλημα ιδιοτιμών, το οποίο βασίζεται στην επίλυση της κυματικής εξίσωσης (3.1). Η αριθμητική αντιμετώπιση ενός τέτοιου προβλήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω διάφορων τεχνικών. Αρχικά, οι τεχνικές αυτές βασίστηκαν σε μεθοδολογίες που εφαρμόζονται στην περιοχή της θεωρίας των ηλεκτρονιακών ζωνών (electronic band theory). Μερικά από τα πρώτα, χαρακτηριστικά παραδείγματα αυτών μπορεί κανείς να βρει στη σχετική βιβλιογραφία [ ]. Γρήγορα όμως αναπτύχθηκαν τεχνικές με βάση το ηλεκτρομαγνητικό μοντέλο που περιγράφεται μέσω των εξισώσεων του Maxwell. Από αυτές, σε άλλες χρησιμοποιήθηκε το προσεγγιστικό μοντέλο γραμμής μεταφοράς (transmission-line model) [155], ενώ άλλες βασίστηκαν στην πεδιακή ανάλυση μέσω γνωστών υπολογιστικών τεχνικών [70, 156, 157]. Στο παρόν κεφάλαιο, η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την ανάλυση διατάξεων με περιοδικότητα, είναι αυτή των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Οπως έχει ήδη σημειωθεί, η FEM ως πλήρως κυματική μέθοδος (full-wave method), παρέχει τη δυνατότητα αντιμετώπισης

67 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων γενικότερης γεωμετρικής δομής, ανεξάρτητα από τα φαινόμενα που αναπτύσσονται σε αυτά (ανακλάσεις, συντονισμοί, ακτινοβολία, σκέδαση, κ.α.). Παράλληλα, η διαδικασία διακριτοποίησης που απαιτεί για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (εξίσωση κύματος εν προκειμένω), πραγματοποιείται απευθείας στις εξισώσεις του Maxwell με ελάχιστη πρότερη επεξεργασία. Τα δύο αυτά πλεονεκτήματα της FEM αποτελούν και τον λόγο που προτιμάται έναντι των άλλων υπολογιστικών τεχνικών για την αριθμητική επίλυση των ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων που θα μας απασχολήσουν στο κεφάλαιο αυτό. Ετσι, στη συνέχεια της παρούσας ενότητας, ξεκινώντας από το απλό πρόβλημα της μονοδιάστατα περιοδικής δομής, παρουσιάζεται μία πρώτη διατύπωση του αντίστοιχου προβλήματος ιδιοτιμών μέσω της FEM. Η επίλυση του προβλήματος αυτού έχει ως στόχο την εξαγωγή του πλήρους διαγράμματος διασποράς (συντελεστής μετάδοσης και συντελεστής απόσβεσης) και τον χαρακτηρισμό των υποστηριζόμενων από τη διάταξη ρυθμών Διατύπωση του προβλήματος ιδιοτιμών με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Στην κλασική εκδοχή της εφαρμογής της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την εξεύρεση του διαγράμματος διασποράς περιοδικών δομών, η εξίσωση που επιλύεται έχει ως άγνωστη ιδιοτιμή τη συχνότητα (ω) [69]. Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής μετάδοσης, β (rad/m), που υπεισέρχεται στις εκφράσεις που προκύπτουν από το θεώρημα Floquet, καθορίζεται εξ αρχής και εμπλέκεται στην τελική εξίσωση προς επίλυση μέσω των αντίστοιχων οριακών συνθηκών. Η διαδικασία αυτή, η οποία συχνά συναντάται στη βιβλιογραφία ως k ω διαδικασία, αν και αποτελεσματική ως προς την απόκτηση του ζητούμενου διαγράμματος διασποράς, θέτει τον περιορισμό υιοθέτησης αποκλειστικά πραγματικού κυματικού διανύσματος 6. Παρότι το διάγραμμα διασποράς που προκύπτει από τη μεταβολή του συντελεστή μετάδοσης σε σχέση με τη συχνότητα, παρέχει όλη την πληροφορία σχετικά με τις ζώνες διάδοσης (pass bands) και προβλέπει τις συχνοτικές ζώνες αποκοπής (stop bands), αδυνατεί να καθορίσει τα χαρακτηριστικά των ρυθμών που υποστηρίζονται στις τελευταίες. Για τον καθορισμό των χαρακτηριστικών αυτών θα απαιτούνταν, επιπρόσθετα, ο προσδιορισμός του συντελεστή απόσβεσης, α (Np/m). Η ύπαρξη αποσβεννύμενων (evanescent) ρυθμών ή γενικότερα ρυθμών με μιγαδικό συντελεστή διάδοσης (complex modes) παρατηρήθηκε σε διάφορες περιοδικές διατάξεις [73,158]. Η εξαγωγή των αποτελεσμάτων για τις εν λόγω μελέτες πραγματοποιήθηκε μέσω τεχνικών που βασίζονται είτε στο μοντέλο γραμμής μεταφοράς [158], είτε σε υπολογιστικές μεθόδους όπως αυτή των ροπών (Method of Moments, MoM) [73]. Ετσι, με βάση τη χρησιμότητα του ακριβούς προσδιορισμού των χαρακτηριστικών αυτού του είδους των ρυθμών εξετάζεται, στη συνέχεια, η υιοθέτηση μιας εναλλακτικής τεχνικής επίλυσης, η οποία βασίζεται στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) και στην εφαρμογή κατάλληλων οριακών συνθηκών, ώστε να μοντελοποιείται ορθά το φυσικό πρόβλημα. Ως γνωστόν, η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την ανάλυση ενός προβλήματος ιδιοτιμών ξεκινά με τον προσδιορισμό της προς επίλυση διαφορικής εξίσωσης. Στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων η εξίσωση αυτή προκύπτει από την αποσύμπλεξη των εξισώσεων του Maxwell και είναι η κυματική εξίσωση Helmholtz (3.1). Οπως και στη θε- 6 Στο κυματικό διάνυσμα όπως ορίστηκε στη σχέση (3.3) είναι το πραγματικό μέρος αυτό που εκφράζει τον συντελεστή διάδοσης β, μέσω της έκφρασης e jk r. Στην παρούσα διατύπωση χρησιμοποιείται η γενικότερη έκφραση e γ r, όπου γ = α + jβ.

68 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 58 Σχήμα 3.4: Σχηματική αναπαράσταση του θεμελιώδους ορθογωνικού κελιού μιας περιοδικής διάταξης. Οι τρεις περιπτώσεις αφορούν τα ζεύγη των εδρών, στα οποία εφαρμόζονται οι οριακές συνθήκες Floquet για την ορθή μοντελοποίηση της περιοδικότητας της συνολικής διάταξης. ωρητική ανάλυση των περιοδικών διατάξεων (ενότητα 3.1), έτσι και στην αριθμητική επίλυση, η διερεύνηση των υποστηριζόμενων ρυθμών μπορεί να περιοριστεί εντός μιας πεπερασμένης μικρής περιοχής, η οποία επαναλαμβανόμενη μπορεί να συνθέσει την πλήρη διάταξη. Η περιοχή αυτή καλείται θεμελιώδες/μοναδιαίο κελί (unit cell) και καθορίζεται από την εκάστοτε γεωμετρία. Στο εσωτερικό κάθε τέτοιου ορθογωνικού κελιού (σχήμα 3.4), θα πρέπει να ικανοποιείται η κυματική εξίσωση (3.1), ενώ στις οριακές του επιφάνειες θα πρέπει να επιβληθούν κατάλληλες συνθήκες που να μοντελοποιούν ορθά την περιοδικότητα της συνολικής δομής. Οι συνθήκες αυτές προκύπτουν από τη θεωρία Bloch-Floquet, όπως παρουσιάστηκε στην ενότητα 3.1, και καλούνται περιοδικές συνθήκες Floquet (Floquet periodic boundary conditions). Για τη δομή του σχήματος 3.4, όπου το θεμελιώδες κελί είναι ορθογωνικό με διαστάσεις D x, D y και D z, οι συνθήκες αυτές θα επιβάλλουν κατάλληλα την απαιτούμενη διαφορά φάσης μεταξύ των επιπέδων που ορίζουν την περιοδικότητα της διάταξης, κατ αντιστοιχία με την (3.11). Ετσι, αν θεωρηθεί ότι η υπό μελέτη διάταξη είναι μια μονοδιάστατα περιοδική δομή, με περιοδικότητα κατά τον άξονα x, τα πεδιακά μεγέθη που εμπλέκονται στην κυματική εξίσωση θα πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες F t (D x, y, z) = C x F t (0, y, z), (3.18α) [ ] [ ] 1 1 ( F) (D x, y, z) = C x p t p ( F) (0, y, z). t (3.18β) Ο δείκτης t στις εξισώσεις (3.18) αναφέρεται στο εφαπτομενικό (tangential) στις οριακές επιφάνειες τμήμα του πεδίου, ενώ όπως έχει ήδη αναφερθεί το πεδιακό μέγεθος F μπορεί να εκφράζει οποιοδήποτε από τα πεδία E (ηλεκτρικό) και H (μαγνητικό). Ανάλογα με το αν F E ή F H η παράμετρος p εκφράζει τη μαγνητική διαπερατότητα μ r ή τη σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r, αντίστοιχα. Ο όρος C x εκφράζει τη φασική διαφορά που εισάγει η συνθήκη Floquet μεταξύ των δύο οριακών επιπέδων στη διεύθυνση της περιοδικότητας και δίνεται από τη σχέση C x = e γxdx, όπου με γ x συμβολίζεται η συνιστώσα του κυματικού διανύσματος κατά τον άξονα x. 7 Η επιβολή των συνθηκών (3.18), υπονοεί ότι η ανάλυση μέσω της FEM θα αφορά εκείνες τις κυματικές μορ- 7 Αντίστοιχα θα οριζόταν και η φασική διαφορά δύο επιπέδων κάθετα στις διευθύνσεις y ή z, ως C y = e γydy

69 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης φές, οι οποίες αντιστοιχούν σε μια περιοδική διάταξη, όπου το μοναδιαίο κελί είναι η ορθογωνική περιοχή D x D y D z. Κατά συνέπεια, η θεώρηση της μονοδιάστατης περιοδικότητας κατά x θα επιβάλει τις συνθήκες στις έδρες 1 και 2 (με αναφορά το σχήμα 3.4) του μοναδιαίου κελιού. Οπως περιγράφηκε στην ενότητα η μορφή της διαφορικής εξίσωσης δεν επιτρέπει εξ αρχής την εισαγωγή της προσεγγιστικής έκφρασης του ζητούμενου πεδιακού μεγέθους. Για να καταστεί κάτι τέτοιο δυνατό απαιτείται η τροποποίηση του μαθηματικού προβλήματος με τη βοήθεια της ασθενούς διατύπωσης (weak formulation). Για τον σκοπό αυτό επιλέγεται η εφαρμογή μιας διατύπωσης σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residuals), της διατύπωσης Galerkin. Σύμφωνα με αυτήν, για να ικανοποιείται η αρχική διαφορική εξίσωση, κατά μία μέση έννοια, θα πρέπει το υπόλοιπο ˆ ( R = W 1 ) p F qk2 0F dω (3.19) Ω να μηδενίζεται για ένα πεπερασμένο σύνολο συναρτήσεων δοκιμής/ βάρους (test/weight functions), W. Αποδεικνύεται ότι, αν ισχύουν οι συνθήκες (3.18), αυτό συμβαίνει για όλες τις συναρτήσεις δοκιμής για τις οποίες ισχύει η σχέση [75] W t (D x, y, z) = 1 C x W t (0, y, z). (3.20) Ειδικότερα, το υπόλοιπο R μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια κατάλληλων διανυσματικών ταυτοτήτων και του θεωρήματος Gauss ως εξής ˆ [ R = W 1 ] p F k2 0W qf dω W ˆn 1 F ds. (3.21) p Ω Ο όρος του επιφανειακού ολοκληρώματος στην έκφραση (3.21) αφορά τα όρια του χωρίου υπολογισμού (του θεμελιώδους κελιού στην περίπτωσή μας). Εχοντας θεωρήσει ότι η υπό μελέτη διάταξη εμφανίζει μονοδιάστατη περιοδικότητα, οι περιοδικές συνθήκες (3.18) θα πρέπει να επιβληθούν στα όρια 1 και 2, με αναφορά το σχήμα 3.4, ενώ για τις υπόλοιπες έδρες του κελιού θα πρέπει να επιβληθούν οριακές συνθήκες συνέχειας (continuity), έτσι ώστε να μοντελοποιείται ορθά η ομοιογένεια προς τις δύο κατευθύνσεις y και z. Η επιβολή της συνέχειας των πεδιακών μεγεθών προς μία κατεύθυνση συνεπάγεται την εξίσωσή τους στα αντίστοιχα όρια, με αποτέλεσμα οι πεδιακές συναρτήσεις να λαμβάνονται ακριβώς ίδιες τόσο για τα επίπεδα 3 και 4, όσο και για τα επίπεδα 5 και 6 (σχ. 3.4). Για τις δύο αυτές συνθήκες που εφαρμόζονται στα τρία ζεύγη απέναντι επιπέδων του θεμελιώδους κελιού, περιοδικές συνθήκες Floquet (ζεύγος 1-2) και οριακές συνθήκες συνέχειας (ζεύγη 3-4 και 5-6), ο επιφανειακός όρος της (3.21), μηδενίζεται. Κι αυτό, επειδή τα κάθετα διανύσματα ˆn, που εμπλέκονται στον όρο αυτό, προκύπτουν αντίθετα για τα απέναντι επίπεδα ενώ οι συναρτήσεις δοκιμής W για την περίπτωση των επιπέδων 1-2 επιλέγονται μέσω της σχέσης (3.20). Για να μηδενιστεί, επομένως, το υπόλοιπο R της (3.21), απαιτείται να ισχύει ˆ [ W 1 ] p F k2 0W qf dω = 0. (3.22) Ω και C z = e γzdz, αν η περιοδικότητα της διάταξης επιλεγόταν κατά y ή z. Τα δύο ζεύγη επιπέδων στα οποία θα επιβαλλόταν η αντίστοιχη οριακή συνθήκη σημειώνονται στα σχήματα 3.4(ii) και (iii), αντίστοιχα. Ω

70 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 60 Η (3.22) και πάλι με εφαρμογή του θεωρήματος Gauss καταλήγει στην παρακάτω έκφραση για το σταθμισμένο υπόλοιπο R ˆ R = Ω W ( 1 ) p F k2 0qF dω + ( W 1p ) F ˆn ds, (3.23) Ω η οποία για να μηδενίζεται θα πρέπει και οι δύο όροι της να είναι μηδενικοί. Για τον πρώτο όρο της (3.23), κάτι τέτοιο ισχύει εξαιτίας της (3.1). Ο δεύτερος όρος μηδενίζεται και αυτός εξαιτίας της υιοθέτησης των σχέσεων (3.18α) και (3.20) και του γεγονότος ότι στα απέναντι επίπεδα του θεμελιώδους κελιού τα διανύσματα ˆn είναι αντίθετα. Αν θεωρήσουμε την περίπτωση των επιπέδων 1 και 2, στα οποία επιβάλλονται οι περιοδικές οριακές συνθήκες τότε ο μηδενισμός του δεύτερου αυτού όρου οδηγεί στην σχέση ˆ x=0 n W t (0, y, z) [ ( ) 1 p F (0, y, z) 1 ( ) ] 1 t C x p F (D x, y, z) ds = 0, (3.24) t από την οποία προκύπτει άμεσα και η ικανοποίηση της (3.18β). Αφού καθοριστεί και η ασθενής διατύπωση του αρχικού μαθηματικού προβλήματος, στη συνέχεια, το χωρίο υπολογισμού (στην περίπτωσή μας το θεμελιώδες κελί) διαμερίζεται σε πεπερασμένης διάστασης υποπεριοχές (στοιχεία), με σχήμα που επιλέγεται ανάλογα με τη γεωμετρία της υπό α- νάλυση δομής. Με βάση τη διακριτοποίηση αυτή (σχηματισμός πλέγματος) επιλέγονται οι βαθμοί ελευθερίας (άγνωστοι) του προβλήματος. Ετσι, το ζητούμενο πεδιακό μέγεθος προσεγγίζεται στο εσωτερικό κάθε στοιχείου μέσω μιας έκφρασης, η οποία σχηματίζεται με βάση τους βαθμούς ελευθερίας και επιλέγεται, συνήθως, να είναι μια χαμηλής τάξης πολυωνυμική συνάρτηση. Ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των συναρτήσεων, συναρτήσεις βάσης ή μορφής (basis/shape functions) w, σταθμισμένων με βάρη τους βαθμούς ελευθερίας, F e, θα δίνει τελικά την τιμή του άγνωστου πεδιακού μεγέθους, F e, σε κάθε στοιχείο e του υπολογιστικού χωρίου ως εξής F e = j(e) F e j w e j. (3.25) Με ανάλογο τρόπο, ως γραμμικοί συνδυασμοί των συναρτήσεων βάσης, θα ορίζονται και οι συναρτήσεις βάρους/δοκιμής W e = i(e) W e i w e i. (3.26) Οι συντελεστές βάρους W e, σ αυτήν την περίπτωση, θα επιλεγούν κατάλληλα ώστε να προκύψει το τελικό σύστημα προς επίλυση, το οποίο βάσει των εκφράσεων αυτών μετά τη διακριτοποίηση της (3.19) θα οδηγήσει στην έκφραση {R e } = {W e } T ( [S e ] k 2 0 [T e ] ) {F e } (3.27) για κάθε ένα στοιχείο του πλέγματος. Η (3.27) εκφράζει τη συνεισφορά του στοιχείου e στο χωρικό ολοκλήρωμα της (3.22). Οι στοιχειακοί τοπικοί πίνακες [S e ] και [T e ], πίνακας ακαμψίας και μάζας αντίστοιχα, περιέχουν στοιχεία, τα οποία για την περίπτωση που τα υλικά που συνθέτουν

71 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης την υπό μελέτη δομή είναι ισοτροπικά, δίνονται από τις σχέσεις Sij e = 1 ˆ wi e wj e dω, p Ω e ˆ Tij e = q wi e wj e dω. Ω e (3.28α) (3.28β) Η διαδικασία της συνάθροισης (assembly) όλων των στοιχειακών πινάκων θα οδηγήσει στον σχηματισμό της τελικής διατύπωσης Galerkin, {W } T ( [S] k 2 0 [T ] ) {F } = 0 (3.29) στο οποίο εμπλέκονται οι ολικοί (global) πίνακες [S], [T ] που συσχετίζουν κάθε έναν βαθμό ελευθερίας με τους υπόλοιπους. Η ενσωμάτωση των περιοδικών οριακών συνθηκών στο παραπάνω σύστημα πραγματοποιείται, έπειτα, ακολουθώντας την εξής διαδικασία: Τα στοιχεία των ολικών μονοδιάστατων πινάκων {F } και {W } αναδιατάσσονται με τρόπο τέτοιο ώστε να προκύψει το τελικό πλήθος των βαθμών ε- λευθερίας. Αυτό πραγματοποιείται τοποθετώντας στο τέλος τους αγνώστους που βρίσκονται στο επίπεδο x = D x (slave variables), πριν από αυτούς, εκείνους που βρίσκονται επάνω στο επίπεδο x = 0 (master variables) και ακόμη πιο πριν, όλους τους υπόλοιπους. Με τον τρόπο αυτό, τα τελευταία στοιχεία που αφορούν τους βαθμούς ελευθερίας στο όριο x = D x μπορούν να αποκοπούν οδηγώντας στους μονοδιάστατους πίνακες { } { } F και W, οι οποίοι περιέχουν μόνο τα στοιχεία που αφορούν αγνώστους στο επίπεδο x = 0 και στην ενδιάμεση περιοχή (πλην αυτών στο όριο x = D x ). Η αποκοπή των στοιχείων που σχετίζονται με τους αγνώστους στο επίπεδο x = D x δεν αναμένεται να επηρεάσει τη λύση του συστήματος, μιας και η συνεισφορά τους έχει ήδη ληφθεί υπ όψιν μέσω των βαθμών ελευθερίας του επιπέδου x = 0. Οι πίνακες πριν και μετά τη διαδικασία αποκοπής σχετίζονται μέσω των σχέσεων {F } = [M f ] { } I 0 F = 0 I { } F, (3.30α) 0 C x I {W } = [M w ] { } I 0 W = 0 I { } W, (3.30β) 1 0 C x I όπου με I συμβολίζεται ο μοναδιαίος πίνακας κατάλληλης διάστασης. Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις με την (3.29) προκύπτει το σύστημα { W } T ( [ S] k 2 0 [ T ] ) { F } = 0, (3.31) όπου με [ S] και [ T ] συμβολίζονται οι πίνακες [ S] = [Mw ] T [S] [M f ], [ T ] = [Mw ] T [T ] [M f ]. (3.32α) (3.32β)

72 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 62 Από την αντικατάσταση των εκφράσεων των [ S] και [ T ] στην (3.31) θα προκύψει το ζητούμενο σύστημα προς επίλυση ως εξής ( [M 1 ] + C x [M 2 ] + 1 C x [M 3 ]) { F } = 0, (3.33) όπου οι δείκτες 1, 2, 3 αναφέρονται στο σύνολο των βαθμών ελευθερίας που αφορούν, αντίστοιχα, το εσωτερικό της υπό ανάλυση δομής (πλην των επιπέδων όπου εφαρμόζονται οι περιοδικές συνθήκες), το επίπεδο x = 0 (master variables) και το επίπεδο x = D x (slave variables). Οι πίνακες [M 1 ], [M 2 ] και [M 3 ] δίνονται από τις εκφράσεις [ ] [S]11 k0 [M 1 ] = 2 [T ] 11 [S] 12 k0 2 [T ] 12 [S] 21 k0 2 [T ] 21 [S] 22 + [S] 33 k0 2, (3.34α) ([T ] 22 + [T ] 33 ) [ ] 0 [S]13 k0 [M 2 ] = 2 [T ] 13 0 [S] 23 k0 2, (3.34β) [T ] 23 [ [M 3 ] = 0 0 [S] 31 k 2 0 [T ] 31 [S] 32 k 2 0 [T ] 32 ] (3.34γ) και σχηματίζονται από τους πίνακες [S] ij και [T ] ij, με i, j = 1, 2, 3, οι οποίοι αποτελούν υποπίνακες των [S] και [T ] και συνδέουν τους βαθμούς ελευθερίας σε καθεμία από τις τρεις προαναφερθείσες περιοχές (εσωτερικό της δομής, επίπεδο x = 0 και επίπεδο x = D x ). Το σύστημα εξισώσεων (3.33) συνιστά ένα μη-γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών (Quadratic Eigenvalue Problem, QEP), με άγνωστη ιδιοτιμή την παράμετρο C x = e γxdx. Η διαδικασία επίλυσης, επομένως, αφορά τον προσδιορισμό του μιγαδικού συντελεστή γ x = α x + jβ x για δεδομένη τιμή της συχνότητας ω 0 = k 0 c. Η παράμετρος γ x μπορεί να είναι πραγματικός, φανταστικός, ή στη γενική περίπτωση μιγαδικός αριθμός. Κατά συνέπεια, η επίλυση του συστήματος (3.33) παρέχει τη δυνατότητα υπολογισμού τόσο διαδιδόμενων όσο και αποσβεννύμενων ρυθμών, οι πεδιακές κατανομές των οποίων προκύπτουν από τους αγνώστους { F } (ιδιοδιανύσματα). Ετσι, στο ζητούμενο διάγραμμα διασποράς μπορεί να προστεθεί και η μεταβολή του συντελεστή απόσβεσης, παρέχοντας όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά των υποστηριζόμενων ρυθμών, όποια και αν είναι η φύση τους (διαδιδόμενοι ή αποσβεννύμενοι). Καθώς οι πίνακες [M i ], με i = 1, 2, 3, που προκύπτουν από τη διατύπωση του αρχικού προβλήματος μέσω της διαδικασίας Galerkin, είναι αραιοί, η απευθείας επίλυση του τετραγωνικού προβλήματος ιδιοτιμών θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί μέσω κάποιας αλγοριθμικής διαδικασίας Arnoldi, στην περίπτωση που ένας από τους [M 2 ], [M 3 ] είναι αντιστρέψιμος (invertible) [159]. Ωστόσο, οι [M 2 ], [M 3 ] όπως ορίζονται στις (3.34), είναι ιδιάζοντες (singular) πίνακες, με αποτέλεσμα να μη μπορεί να χρησιμοποιηθεί η άμεση μεθοδολογία επίλυσης [159] για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών C x της (3.33). Εναλλακτικά, η επίλυση του τετραγωνικού προβλήματος ιδιοτιμών μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω κατάλληλων τροποποιήσεων, ώστε να υποβιβαστεί σε ένα γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών (Generalized Eigenvalue Problem, GEP), η επίλυση του οποίου είναι σαφώς απλούστερη. Καθώς, σε πολλές περιπτώσεις, το κόστος αυτής της μετατροπής είναι η αύξηση των αγνώστων του προβλήματος και κατ επέκταση του υπολογιστικού φόρτου επίλυσης [160], αναζητείται εκείνη η μεθοδολογία υποβιβασμού του QEP σε GEP, η οποία δε θα επιφέρει επιπλέον υπολογιστική επιβάρυνση στο εν λόγω πρόβλημα.

73 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης Η τεχνική που ακολουθείται προς αυτήν την κατεύθυνση, είναι η εξής [76]: Το πρόβλημα ιδιοτιμών που θα πρέπει να επιλυθεί και δίνεται από τη σχέση (3.33), μετά την αντικατάσταση των εκφράσεων (3.34) στην (3.33) προκύπτει ( [ ] [ ] 0 [W ]13 [W ]11 [W ] C x [ ] ) [ ] 0 0 u1 = 0, (3.35) 0 [W ] 23 [W ] 21 [W ] 22 + [W ] 33 C x [W ] 31 [W ] 32 u 2 όπου [W ] ij = [S] ij k0 2 [T ] ij με i, j = 1, 2, 3. Αν πολλαπλασιάσει κανείς τη δεύτερη εξίσωση του παραπάνω συστήματος με την ποσότητα C x, τότε το σύστημα που προκύπτει είναι το εξής ( [ ] [ ] [ ] ) [ ] [W Cx 2 ]13 [W ]11 [W ] + C 0 [W ] x + 12 u1 = 0. (3.36) 23 [W ] 21 [W ] 22 + [W ] 33 [W ] 31 [W ] 32 u 2 Με τη σύμβαση αρίθμησης που επιλέχθηκε για τους δείκτες στους παραπάνω πίνακες, όμως, προκύπτει πως ο πίνακας [W ] 23 αφορά τη σχέση μεταξύ εκείνων των βαθμών ελευθερίας που βρίσκονται στο όριο x = 0 με εκείνους που βρίσκονται στο x = D x. Καθώς τα όρια αυτά βρίσκονται σε απέναντι επίπεδα του χωρίου υπολογισμού, δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, με αποτέλεσμα οι πίνακες διασύνδεσης [W ] 23 και [W ] 32 να είναι μηδενικοί. Ετσι, οι όροι που εμπλέκουν την άγνωστη ιδιοτιμή στο τετράγωνο (Cx 2 ), μηδενίζονται και η (3.36) καταλήγει στην ( [ ] [ ] ) [ ] 0 [W ]13 [W ]11 [W ] C x + 12 u1 = 0. (3.37) [W ] 21 [W ] 22 + [W ] 33 [W ] 31 0 u 2 Η παραπάνω έκφραση συνιστά ένα γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών, της μορφής Au λbu = 0, με άγνωστη ιδιοτιμή την παράμετρο C x και πλήθος αγνώστων, όσο και το αρχικό τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών. Η αριθμητική επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα μέσω κάποιας από τις διαθέσιμες αλγοριθμικές τεχνικές. Στην ενότητα που ακολουθεί, περιγράφεται η εφαρμογή της παραπάνω μεθοδολογίας ανάλυσης για την απλή διάταξη του μονοδιάστατα περιοδικού μέσου και τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με τα θεωρητικά, όπως αυτά προέκυψαν στην ενότητα Εύρεση υποστηριζόμενων ιδιορρυθμών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Ακολουθώντας τη μεθοδολογία που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα, επιχειρούμε στη συνέχεια την ανάλυση της μονοδιάστατα περιοδικής δομής δύο διηλεκτρικών μέσων. Για λόγους σύγκρισης με το θεωρητικό μοντέλο, τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της διάταξης καθώς και οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των δύο υλικών, θα διατηρηθούν τα ίδια με αυτά που υιοθετήθηκαν στην ενότητα 3.1. Τα διαγράμματα διασποράς που θα προκύψουν μέσω της προαναφερθείσας μεθοδολογίας (ενότητα 3.2.1) θα συγκριθούν, ακολούθως, με εκείνα του σχήματος 3.2 ώστε να α- ξιολογηθεί η εφαρμοσιμότητα της αριθμητικής τεχνικής σε διατάξεις που εμφανίζουν περιοδικότητα. Για την υπολογιστική ανάλυση, το θεμελιώδες κελί, και κατ επέκταση το χωρίο υπολογισμού, θα αποτελείται από δύο διηλεκτρικά στρώματα με διαστάσεις D x1 D y D z και D x2 D y D z, όπως απεικονίζεται στο σχήμα 3.5(i). Με βάση τα όσα συζητήθηκαν στην ενότητα 3.2.1, η εναλλαγή των δύο μέσων κατά τη διεύθυνση του άξονα x υπαγορεύει την επιβολή της περιοδικής οριακής

74 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 64 Σχήμα 3.5: (i) Σχηματική αναπαράσταση του θεμελιώδους κελιού της μονοδιάστατα περιοδικής δομής. Οι διαστάσεις των δύο διηλεκτρικών μέσων επιλέγονται ως D x1 = 0.8D x και D x2 = 0.2D x και ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες ως μ 1 = μ 2 = 1, ε 1 και ε 2 που διαφοροποιούνται ανάλογα με τη διάταξη που επιλύεται κάθε φορά. Το θεμελιώδες κελί επιλέγεται κυβικό με D x = D y = D z. (ii) Πλέγμα διακριτοποίησης για την επίλυση μέσω FEM. συνθήκης Floquet στα δύο οριακά επίπεδα του μοναδιαίου κελιού που είναι κάθετα στη διεύθυνση αυτή (έστω x = 0 και x = D x ). Ετσι, για την ορθή μοντελοποίηση του φυσικού προβλήματος, στο οποία η διάταξη εκτείνεται στο άπειρο κατά τις δύο διευθύνσεις y και z, μεταξύ των οριακών επιπέδων y = 0 και y = D y καθώς και μεταξύ των z = 0 και z = D z επιβάλλονται οριακές συνθήκες συνέχειας. Η διακριτοποίηση του χωρίου υπολογισμού πραγματοποιείται μέσω τριγωνικών πρισματικών πεπερασμένων στοιχείων ακμής (triangular prism edge elements), όμοιων με αυτά που περιγράφηκαν στην ενότητα του Κεφαλαίου 2. Για τον σχηματισμό των πρισμάτων διακριτοποιείται αρχικά, μέσω της τριγωνοποίησης Delaunay, το οριακό xy επίπεδο στη θέση z = 0. Ο σχηματισμός του αρχικού αυτού τριγωνικού πλέγματος θα αποτελέσει τη βάση για τη δημιουργία του τρισδιάστατου πλέγματος διακριτοποίησης, το οποίο αποτελείται από πρισματικά στοιχεία που κατασκευάζονται, όπως περιγράφηκε και στην ενότητα 2.3.1, από την επέκταση του δισδιάστατου τριγωνικού πλέγματος προς τη διεύθυνση κάθετα στις επιφάνειες των τριγώνων (σχήμα 3.5(ii)). Κατά τα γνωστά, για την προσέγγιση της ζητούμενης πεδιακής κατανομής στο εσωτερικό κάθε στοιχείου-πρίσματος χρησιμοποιούνται κατάλληλα επιλεγμένες συναρτήσεις βάσης/μορφής, το πλήθος των οποίων για το πρισματικό στοιχείο ακμών πρώτης τάξης είναι όσο και αυτό των ακμών του, δηλαδή εννέα. Οι εκφράσεις για κάθε μία από τις συναρτήσεις αυτές προκύπτουν με βάση τις simplex συντεταγμένες του τριγώνου βάσης του εκάστοτε στοιχείου, σύμφωνα με την ανάλυση της ενότητας Ακολούθως, η διαδικασία συνάθροισης οδηγεί στον σχηματισμό του συστήματος προς επίλυση (σύστημα εξισώσεων 3.37), όπου συνυπολογίζονται οι συνεισφορές όλων των στοιχείων στο συνολικό πρόβλημα. Επειτα, η επίλυση του αλγεβρικού συστήματος εξισώσεων, ως προβλήματος ιδιοτιμών, πραγματοποιείται με τη βοήθεια της έτοιμης συνάρτησης eigs του Matlab. Τα διαγράμματα διασποράς, όπως προκύπτουν από την επίλυση αυτή για δύο διαφορετικές περιπτώσεις απεικονίζονται στο σχήμα 3.6. Πρόκειται για την περίπτωση, όπου τα δύο διηλεκτρικά στρώματα επιλέγονται απολύτως ίδια ως προς τις ηλεκτρομαγνητικές τους ιδιότητες (σχ. 3.6(i)) με ε 1 = ε 2 = 13 και για την περίπτωση όπου τα δύο μέσα επιλέγονται κατά τι διαφορετικά (σχ. 3.6(ii)) με ε 1 = 10 και ε 2 = 13. Οι προκύπτουσες ιδιοτιμές, C x = e γxdx, περιέχουν τα χαρακτηριστικά

75 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης Σχήμα 3.6: Διαγράμματα διασποράς της μονοδιάστατα περιοδικής διάταξης του σχήματος 3.5 για δύο διαφορετικές περιπτώσεις: (i) Οταν τα δύο διηλεκτρικά στρώματα έχουν ίδιες ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες ε 1 = ε 2 = 13 και (ii) όταν τα δύο διηλεκτρικά στρώματα έχουν λίγο διαφοροποιημένες ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες ε 1 = 10 και ε 2 = 13. των υποστηριζόμενων ρυθμών τόσο στις συχνοτικές περιοχές διάδοσης, όσο και στις ζώνες αποκοπής (όπου αυτές εμφανίζονται), μιας και ο μιγαδικός συντελεστής γ x = α x + jβ x υπολογίζεται έμμεσα από την εκάστοτε ιδιοτιμή. Μαζί με τα αριθμητικά αποτελέσματα παρατίθενται και αυτά που προκύπτουν από τον θεωρητικό υπολογισμό και παρουσιάστηκαν ήδη στα σχ. 3.2(i) (ii). Οπως εύκολα διαπιστώνει κανείς, από τη σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα θεωρητικά, η χρησιμοποιούμενη μεθοδολογία με βάση την ενσωμάτωση των περιοδικών συνθηκών Floquet στη FEM επιτυγχάνει την ορθή ανάλυση περιοδικών δομών με στόχο την εξαγωγή διαγραμμάτων διασποράς. Παράλληλα, προσφέρει τη δυνατότητα υπολογισμού του συντελεστή απόσβεσης, μία παράμετρο ιδιαίτερα χρήσιμη για τη διερεύνηση των κυματικών μορφών που αναπτύσσονται στις περιοχές διακένου. Οπως αναμενόταν, η εισαγωγή του στρώματος με διαφορετικές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες οδήγησε στην εμφάνιση τέτοιων φασματικών περιοχών. Η εμφάνιση των ζωνών αποκοπής συνοδεύεται από αύξηση του συντελεστή απόσβεσης καταδεικνύοντας την αποσβεννύμενη φύση των ρυθμών στις περιοχές αυτές. Μάλιστα, αυξάνοντας τη διαφορά μεταξύ των διηλεκτρικών σταθερών στα δύο μέσα που συνθέτουν την υπό μελέτη διάταξη, οι περιοχές αποκοπής διευρύνονται, επαληθεύοντας τα όσα αναλύθηκαν στην ενότητα 3.1. Το σχήμα 3.7 απεικονίζει το διάγραμμα διασποράς για μία τέτοια περίπτωση, όπου για τα δύο μέσα θεωρήθηκαν ε 1 = 1 και ε 2 = 13. Η όλη μεθοδολογία που περιγράφηκε στην παρούσα ενότητα, και από την οποία προέκυψαν τα παραπάνω αποτελέσματα, μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε δομές με δισδιάστατη ή και τρισδιάστατη περιοδικότητα. Η διαδικασία επίλυσης σε αυτές τις περιπτώσεις παραμένει ίδια, με μόνη διαφορά την εισαγωγή μη μηδενικών συνιστωσών για το μιγαδικό διάνυσμα διάδοσης, γ = (γ x, γ y, γ z ), και

76 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 66 Σχήμα 3.7: Διάγραμμα διασποράς της μονοδιάστατα περιοδικής διάταξης του σχήματος 3.5. Για δεδομένη συχνότητα, ω 0 = k 0 c, τα δύο διαγράμματα απεικονίζουν (i) τη σταθερά διάδοσης κατά τη διεύθυνση της περιοδικότητας β x και (ii) τον συντελεστή απόσβεσης α x, όπως προκύπτουν από τη θεωρητική ανάλυση (ενότητα 3.1) και την αριθμητική επίλυση μέσω της FEM για δύο μη μαγνητικά μέσα με ε 1 = 1 και ε 2 = 13. προς τις κατευθύνσεις των αξόνων y ή z, ανάλογα με την υποκείμενη περιοδικότητα. Δηλαδή, ενώ στην μέχρι τώρα ανάλυση θεωρήθηκε ότι ισχύει γ = (γ x, 0, 0), η εν λόγω μεθοδολογία μπορεί να επεκταθεί εύκολα και στην περίπτωση που γ x, γ y, γ z 0. Προϋπόθεση για να καταστεί δυνατή η ε- πέκταση αυτή, αποτελεί οι δύο από τις τρεις συνιστώσες να είναι γνωστές [75,76]. Σε ό,τι αφορά το πλήθος των αριθμητικά υπολογισμένων ιδιοτιμών σε κάθε συχνότητα, προφανώς, είναι μεγαλύτερο της μίας ιδιοτιμής που απεικονίζεται στα διαγράμματα των σχ. 3.6 και 3.7. Κι αυτό, επειδή από όλες τις λύσεις του προβλήματος ιδιοτιμών, άλλες εκφυλίζονται στην ίδια τιμή γ x, ενώ άλλες οδηγούν σε πεδιακές κατανομές χωρίς φυσικό νόημα. Επιλέγονται, έτσι, να απεικονιστούν εκείνοι οι ρυθμοί για τους οποίους η πεδιακή κατανομή αντιστοιχεί σε κύματα που είτε διαδίδονται κατά τη διεύθυνση του άξονα x και μάλιστα κατά τα θετικά αυτού, είτε εμφανίζουν αποσβεννύμενη συμπεριφορά. Στα διαγράμματα διασποράς που παρουσιάστηκαν νωρίτερα για τη μονοδιάστατα περιοδική δομή, οι ρυθμοί αυτοί αντιστοιχούν σε πεδιακές κατανομές με μηδενικές συνιστώσες ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου κατά τη διεύθυνση της περιοδικότητας. Η ταυτοποίηση τους σε κάθε συχνότητα έγινε εκ των υστέρων, με βάση τα πεδιακά τους χαρακτηριστικά. Το ζήτημα αυτό, της ταυτοποίησης των αριθμητικών λύσεων που προκύπτουν από την επίλυση μέσω της FEM, μπορεί να καταστεί ιδιαίτερα δυσχερής διαδικασία ειδικά σε περιοδικές διατάξεις όπου η θεωρητική λύση δεν είναι διαθέσιμη και οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί είναι αρκετοί ή εμφανίζονται συγκεντρωμένοι σε μια συχνοτική περιοχή. Ενα τέτοιο παράδειγμα παρουσιάζεται παρακάτω, όπου διερευνάται η εφαρμοσιμότητα της εν λόγω μεθοδολογίας στην ανάλυση μιας διάταξης με χαρακτηριστικά μεταϋλικού.

77 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης Σχήμα 3.8: Γεωμετρική διάταξη του θεμελιώδους κελιού της δομής διπλού διακεκομμένου δακτυλίου (SRR). (i) Τρισδιάστατη απεικόνιση του θεμελιώδους κελιού της περιοδικής διάταξης. (ii) Γεωμετρικές παράμετροι των συντονιστών διακεκομμένου δακτυλίου (SRRs) και της μεταλλικής ταινίας. Ανάλυση ιδιοτιμών σε διατάξεις μεταϋλικών Στο προηγούμενο κεφάλαιο διερευνήθηκε η βελτίωση των χαρακτηριστικών μιας επίπεδης διάταξης κεραίας με την εισαγωγή κάποιου συντονιστικού στοιχείου συγκεκριμένης γεωμετρικής δομής. Η δομή αυτή βασίστηκε στις σύγχρονες διατάξεις μεταϋλικών (metamaterials), οι οποίες σχηματίζονται από την περιοδική επανάληψη στοιχείων με κατάλληλα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες, ώστε να συνθέτουν ένα μέσο με μακροσκοπικές μη φυσικές ιδιότητες. Οπως και στις απλές περιπτώσεις περιοδικών διατάξεων που μελετήθηκαν στις προηγούμενες ενότητες, έτσι και στις διατάξεις μεταϋλικών, η συνολική διάταξη συντίθεται μέσω της περιοδικής επανάληψης θεμελιωδών δομικών μονάδων (μοναδιαία/θεμελιώδη κελιά). Από την ανάλυση ενός τέτοιου κελιού μπορούν να εξαχθούν όλες οι χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με τις ιδιότητες των υποστηριζόμενων από τη διάταξη ρυθμών. Στη μικροκυματική περιοχή του τηλεπικοινωνιακού φάσματος, οι θεμελιώδεις αυτές δομές είναι συνήθως κάποιου είδους συντονιστές, με γεωμετρία η οποία μπορεί να αλλάζει ανάλογα με το επιθυμητό σε κάθε εφαρμογή αποτέλεσμα. Με βάση την υποκείμενη βιβλιογραφία, στην ενότητα αυτή, η υπολογιστική ανάλυση που παρουσιάστηκε στην 3.2.1, θα εφαρμοστεί για την ανάλυση μιας από τις δημοφιλέστερες διατάξεις μεταϋλικών, το θεμελιώδες κελί της οποίας απεικονίζεται στο σχήμα 3.8(i). Πρόκειται για τον συνδυασμό δύο μεταλλικών διακεκομμένων δακτυλίων (Split Ring Resonators, SRRs) ορθογωνικού σχήματος, τοποθετημένων έτσι ώστε ο ένας να βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου, και ενός τμήματος μεταλλικής ταινίας ορθογωνικού σχήματος. Οι δύο δακτύλιοι βρίσκονται στην επάνω όψη ενός διηλεκτρικού στρώματος, ενώ η ταινία είναι τοποθετημένη στο κέντρο της κάτω όψης με τέτοιον τρόπο ώστε να βρίσκεται κεντραρισμένη στα σημεία των διακένων των δακτυλίων. Η διάταξη που συντίθεται από την περιοδική επανάληψη της εν λόγω δομής, όπως συζητήθηκε και στο Κεφάλαιο 2, μπορεί μακροσκοπικά να οδηγήσει σε αρνητικές τιμές των ενεργών παραμέτρων της διηλεκτρικής σταθεράς και της μαγνητικής διαπερατότητας [125]. Οι συχνοτικές περιοχές εμφάνισης των αρνητικών αυτών τιμών εξαρτώνται τόσο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των δακτυλίων και της μεταλλικής ταινίας, όσο και από τα υλικά από τα οποία αυτά αποτελούνται. Εξαιτίας των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών τους, οι περιοδικές διατάξεις μεταϋλικών χρησιμο-

78 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 68 ποιούνται σε πλήθος μικροκυματικών και οπτικών εφαρμογών, καθιστώντας την ανάλυση των υποστηριζόμενων από αυτές ρυθμών ιδιαίτερα σημαντική. Καθώς η γεωμετρική πολυπλοκότητα δεν επιτρέπει τη θεωρητική λύση ενός τέτοιου προβλήματος, η υπολογιστική αντιμετώπιση σ αυτές τις περιπτώσεις κρίνεται αναγκαία. Ετσι, χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα, θα επιχειρήσουμε στη συνέχεια την επίλυση της διάταξης των διακεκομμένων δακτυλίων εφαρμόζοντας τις περιοδικές οριακές συνθήκες Floquet και την αντίστοιχη διατύπωση της FEM. Οι γεωμετρικές διαστάσεις επιλέγονται κατάλληλα, ώστε η διάταξη να εμφανίζει συντονιστική συμπεριφορά, και κατ επέκταση αρνητικές τιμές ε r και μ r, σε μια ζώνη συχνοτήτων στην περιοχή των μικροκυμάτων. Με αναφορά το σχήμα 3.8(i), οι διαστάσεις του μοναδιαίου κελιού επιλέγονται D x = D y = D z = 2.5 mm ενώ το πάχος του διηλεκτρικού στρώματος καθορίζεται στα d = 0.25 mm. Οι διαστάσεις του εξωτερικού δακτυλίου (σχήμα 3.8(ii)) είναι S x = S y = 2.2 mm, το πάχος και των δύο δακτυλίων, w, ορίζεται στα 0.2 mm, τα πλάτη των διακένων, g, καθορίζονται στα 0.3 mm και η απόσταση μεταξύ εσωτερικού και εξωτερικού δακτυλίου, h, στα 0.15 mm. Το πλάτος της μεταλλικής ταινίας, t, επιλέχθηκε 0.14 mm, ενώ το μήκος της ορίστηκε ίσο με τη διάσταση του μοναδιαίου κελιού στη διεύθυνση του άξονα y. Παρότι στην κλασσική τους εκδοχή οι δομές μεταϋλικών σχηματίζονται από την περιοδική επανάληψη του μοναδιαίου κελιού και προς τις τρεις διαστάσεις, όπως συζητήθηκε και στο Κεφάλαιο 2, χαρακτηριστικά όπως αρνητικές τιμές διηλεκτρικής σταθεράς ή μαγνητικής διαπερατότητας μπορούν να προκύψουν και από δισδιάστατα ή ακόμη και μονοδιάστατα περιοδικές δομές. Ετσι, στην παρούσα ενότητα, η ανάλυση αφορά μια μονοδιάστατα περιοδική διάταξη που σχηματίζεται από επαναλαμβανόμενες δομές όπως αυτή του σχήματος 3.8(i). Η περιοδικότητα επιλέγεται κατά τον άξονα x και ως εκ τούτου, για την ορθή μοντελοποίησή της, οι περιοδικές συνθήκες Floquet επιβάλλονται στα οριακά yz επίπεδα του θεμελιώδους κελιού. Το χωρίο υπολογισμού διακριτοποιείται με τη βοήθεια πρισματικών πεπερασμένων στοιχείων ακμής με τα τριγωνικά πρίσματα να κατασκευάζονται ώστε να έχουν την τριγωνική βάση τους προσανατολισμένη παράλληλα στο xy επίπεδο, σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφηκε στην ενότητα Το αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων που προκύπτει μετά την εφαρμογή της διατύπωσης μέσω της FEM, επιλύεται ως πρόβλημα ιδιοτιμών καταλήγοντας στο διάγραμμα διασποράς του σχήματος 3.9. Η περιοχή συχνοτήτων ( GHz) επιλέχθηκε με βάση την αναμενόμενη περιοχή συντονισμού της διάταξης, η οποία εντοπίζεται γύρω από τα 9 GHz. Οπως εύκολα διαπιστώνει κανείς, σε κάθε μία συχνότητα επίλυσης προκύπτουν διάφορες αριθμητικές λύσεις, πολλές εκ των οποίων εκφυλίζονται στην ίδια τιμή του μιγαδικού συντελεστή γ x, η οποία μπορεί να αναπαριστά μια διαδιδόμενη κυματική μορφή, κάποιον αποσβεννύμενο ρυθμό ή και κάποια μη φυσική αριθμητική λύση. Εξαιτίας της ύπαρξης των λύσεων της τελευταίας κατηγορίας η διαδικασία ταυτοποίησης κάθε υποστηριζόμενου ρυθμού καθίσταται ιδιαίτερα δυσχερής. Ετσι, για τη διερεύνηση των χαρακτηριστικών της διάδοσης στις περιοχές διακένου, που είναι και το ζητούμενο σε διατάξεις όπως αυτή που μελετάται, όχι μόνο απαιτείται η ξεχωριστή μελέτη κάθε προκύπτουσας ιδιοτιμής για την απαλοιφή των ψευδών λύσεων, αλλά καθίσταται σχεδόν αδύνατη και η συστηματική ταυτοποίηση της καμπύλης κάθε υποστηριζόμενου ρυθμού, ακόμη και για πολύ μικρά συχνοτικά βήματα. 8 8 Στη σχετική βιβλιογραφία [75,76], η εύρεση του διαγράμματος διασποράς κάθε υποστηριζόμενου ρυθμού συχνά βασίζεται στην θεώρηση ότι για πολύ μικρές μεταβολές της συχνότητας, τα χαρακτηριστικά του εκάστοτε ρυθμού δεν θα μεταβάλλονται σημαντικά. Ετσι, προτείνεται ο υπολογισμός του διαγράμματος διασποράς ξεκινώντας από μία πρώτη συχνότητα, όπου οι αναμενόμενοι ρυθμοί μπορούν να προβλεφθούν εύκολα (συνήθως κοντά στο μηδέν), και αναζητώντας σε κάθε επόμενο συχνοτικό βήμα τη λύση που βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτή του προηγούμενου.

79 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης Σχήμα 3.9: Διάγραμμα διασποράς της διάταξης διπλού διακεκομμένου δακτυλίου (σχ. 3.8). (i) Συντελεστής μετάδοσης, β x, κατά τη διεύθυνση του άξονα x και (ii) συντελεστής απόσβεσης, α x Εναλλακτική διατύπωση του προβλήματος ιδιοτιμών σύμφωνα με το θεώρημα Bloch Εχοντας συμπεράνει την αναγκαιότητα χαρακτηρισμού όλων των αριθμητικά υπολογισμένων ιδιοτιμών στο πρόβλημα ανάλυσης περιοδικών διατάξεων, και ιδιαίτερα στις περιπτώσεις όπου η θεωρητική επίλυση είναι πρακτικά αδύνατη, στην ενότητα αυτή περιγράφεται μια εναλλακτική μεθοδολογία αριθμητικής επίλυσης. Η χρησιμοποίηση της μεθοδολογίας αυτής στοχεύει στη διερεύνηση της εξάρτησης των αριθμητικά υπολογισμένων λύσεων από τη διατύπωση του εκάστοτε προβλήματος. Ετσι, ως στόχο έχει τη σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων αφενός με τα θεωρητικά και αφετέρου με αυτά που προέκυψαν από τη διατύπωση που παρουσιάστηκε στην ενότητα Με τον τρόπο αυτό εκτιμάται ότι θα διαπιστωθεί η όποια διαφοροποίηση μπορεί να προκύψει στην αριθμητική λύση για τις δύο τεχνικές, οδηγώντας σε χρήσιμα συμπεράσματα. Η εν λόγω μεθοδολογία χρησιμοποιεί και πάλι τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) και, όπως και στη διατύπωση που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα, καταλήγει σ ένα τελικό σύστημα προς επίλυση, το οποίο σχηματίζεται με βάση την ταυτόχρονη ικανοποίηση της κυματικής εξίσωσης και του θεωρήματος Bloch-Floquet [77]. Η ανάλυση ξεκινά και πάλι από την κυματική εξίσωση Helmholtz (3.1) γραμμένη ως προς το

80 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 70 ηλεκτρικό πεδίο 9 ( ) 1 E k μ 0ε 2 r E = 0. (3.38) r Λόγω της περιοδικότητας της εξεταζόμενης δομής, το πεδίο E μπορεί να γραφεί ως γινόμενο μιας περιοδικής συνάρτησης Ẽ και ενός εκθετικού όρου, ως εξής E = Ẽe j k r, (3.39) όπου με k συμβολίζεται, κατά τα γνωστά, το κυματικό διάνυσμα της κάθε υποστηριζόμενης κυματικής μορφής και με r το διάνυσμα θέσης κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Αντικαθιστώντας την έκφραση (3.39) στην εξίσωση κύματος (3.38) και χρησιμοποιώντας όλες τις απαραίτητες διανυσματικές ταυτότητες, εύκολα καταλήγει κανείς στη σχέση ( ) 1 μ Ẽ r j k ( ) 1 μ Ẽ r j ( ) 1 k Ẽ k ( ) k Ẽ μ r μ r + k2 μ r Ẽ k 2 0ε r Ẽ = 0. (3.40) Η (3.40) εκφράζει τη σχέση που θα πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση Ẽ για κάθε υποστηριζόμενο από την υπό μελέτη περιοδική διάταξη ρυθμό. Ετσι, με βάση αυτήν σχηματίζεται στη συνέχεια η εξίσωση της διατύπωσης Galerkin ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 1 Ẽ V μ Ẽ dv j Ẽ k 1 1 r V μ Ẽ dv j Ẽ k Ẽ dv r V μ r ˆ Ẽ k ( ) ˆ ˆ k Ẽ dv + Ẽ V μ k2 Ẽ dv k0 2 Ẽ r V μ ε r Ẽ dv = 0, r V (3.41) όπου με Ẽ συμβολίζονται οι συναρτήσεις δοκιμής/βάρους (test/weight functions). Η (3.41) αναλύεται περαιτέρω και με τη βοήθεια κατάλληλων διανυσματικών ταυτοτήτων και την εφαρμογή του θεωρήματος Gauss καταλήγει στην ˆ 1 Ẽ μ k ( ˆ ( ) ˆ k Ẽ) dv j Ẽ k 1 r μ Ẽ 1 dv j k Ẽ r μ Ẽ dv + r V ˆ + V 1 μ r Ẽ Ẽ dv k 2 0 V ˆ V Ẽ ε r Ẽ dv j + V V V { ( ) } 1 Ẽ n ext k Ẽ ds+ μ { ( r ) } 1 Ẽ n ext μ Ẽ ds = 0, r (3.42) όπου με n ext συμβολίζονται τα μοναδιαία διανύσματα που ορίζονται κάθετα σε κάθε οριακή επιφάνεια του χωρίου υπολογισμού και έχουν διεύθυνση προς το εξωτερικό αυτού. 9 Αντίστοιχη ανάλυση μπορεί να πραγματοποιηθεί έχοντας ( ως άγνωστο ) πεδιακό μέγεθος το μαγνητικό πεδίο [77], 1 H. Στην περίπτωση αυτή επιλύεται η κυματική εξίσωση ε r H k0μ 2 r H = 0.

81 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης Αν θεωρηθεί και πάλι, για λόγους διευκόλυνσης της σύγκρισης, ότι η υπό ανάλυση διάταξη εμφανίζει μονοδιάστατη περιοδικότητα κατά τη διεύθυνση του άξονα x, 10 τότε η εξίσωση (3.42) καταλήγει στην + 1 ˆ ˆ μ Ẽ Ẽ dv k0ε 2 r Ẽ Ẽ dv + 1 { ( ) } Ẽ r μ n ext Ẽ ds+ r V j μ r V ˆ +k { jμr Ẽ V { n ext V V ( ) Ẽ ˆn Ẽ dv j ˆ ˆn μ Ẽ Ẽ dv r V ( ) } } ˆn Ẽ + k { 2 1 ˆ ( ) } Ẽ μ ˆn ˆn Ẽ dv = 0, r V (3.43) όπου το κυματικό διάνυσμα θεωρήθηκε ως k = kˆn, με ˆn ˆx. Η διακριτοποίηση της εξίσωσης (3.43) με τη βοήθεια των πεπερασμένων στοιχείων θα οδηγήσει στη διαμόρφωση του τελικού συστήματος προς επίλυση το οποίο με βάση την έκφραση (3.43) θα έχει τη μορφή [A] {Ẽ} + k [B] {Ẽ} + k2 [A] {Ẽ} = [0]. (3.44) Επιλύοντας το παραπάνω αλγεβρικό σύστημα ως πρόβλημα ιδιοτιμών με άγνωστη ιδιοτιμή την ποσότητα k και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τους βαθμούς ελευθερίας {Ẽ}, μπορεί κανείς να υπολογίσει τόσο τα χαρακτηριστικά των υποστηριζόμενων ρυθμών, μέσω της συσχέτισης της προκύπτουσας ιδιοτιμής με τους συντελεστές μετάδοσης και απόσβεσης, όσο και τις πεδιακές τους κατανομές. Για τη διευκόλυνση της επίλυσης του συστήματος (3.44), το οποίο αποτελεί ένα τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών (Quadratic Eigenvalue Problem, QEP), επιλέγεται πρώτα να εφαρμοστεί κάποια διαδικασία υποβιβασμού του σε γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών (Generalized Eigenvalue Problem, GEP) και έπειτα να επιλυθεί. 11 Υποστηριζόμενοι ρυθμοί Εφαρμόζοντας την παραπάνω διαδικασία επίλυσης στη μονοδιάστατα περιοδική διάταξη του σχήματος 3.5, μπορεί κανείς να υπολογίσει απευθείας τα ζητούμενα διαγράμματα διασποράς. Οι προκύπτουσες ιδιοτιμές για δεδομένη συχνότητα ω 0 = ck 0 υπολογίζονται, σ αυτήν την περίπτωση, απ ευθείας από την τιμή της ιδιοτιμής k, μιας και το πραγματικό μέρος αυτής θα δώσει την τιμή του συντελεστή μετάδοσης, β x, ενώ το φανταστικό μέρος αυτή του συντελεστή απόσβεσης, α x. Η ανάλυση αφορά την απλούστερη εκδοχή της διάταξης του σχήματος 3.5, όπου τα δύο διηλεκτρικά 10 Η περίπτωση ανάλυσης δομών με περιοδικότητα ως προς τις δύο ή και τις τρεις διαστάσεις δεν αποκλείεται ούτε σ αυτήν τη διατύπωση και μπορεί να προκύψει κατ αντιστοιχία με την ανάλυση που παρουσιάζεται. 11 Από τις διάφορες διαθέσιμες τεχνικές μετατροπής ενός QEP σε GEP [159, 160] επιλέχθηκε εκείνη, η οποία καταλήγει στο σύστημα εξισώσεων [ ] ( ) [ ] ( ) 0 [I] E [I] 0 E [A] [B] k E k 0 [C] k E = 0. Το παραπάνω σύστημα εκφράζει ένα γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών με άγνωστη ιδιοτιμή τον όρο k. Το κόστος της μετατροπής αυτής είναι ο διπλασιασμός των αγνώστων σε σχέση με το αρχικό πρόβλημα.

82 3.2. Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης 72 Σχήμα 3.10: Διάγραμμα διασποράς της μονοδιάστατα περιοδικής διάταξης του σχήματος 3.5, πως προέκυψε από την αριθμητική επίλυση με βάση τη διατύπωση που περιγράφεται στην παρούσα ενότητα. Οι γεωμετρικές παράμετροι με αναφορά το σχήμα 3.5 είναι D x = D y = D z με D x1 = 0.8D x και D x2 = 0.2D x ενώ οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες ορίζονται μέσω των παραμέτρων ε r και μ r ως εξής: μ 1 = μ 2 = 1 και ε 1 = ε 2 = 13. στρώματα επιλέγονται ακριβώς ίδια ως προς τις ηλεκτρομαγνητικές τους ιδιότητες. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της διάταξης διατηρούνται, για λόγους ευκολίας της σύγκρισης, όμοια με αυτά του σχ Ετσι, για το θεμελιώδες κελί θα ισχύει D x = D y = D z με D x1 = 0.8D x και D x2 = 0.2D x. Αντίστοιχα, οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες καθορίζονται ως μ 1 = μ 2 = 1 και ε 1 = ε 2 = 13. Το χωρίο υπολογισμού διακριτοποιείται με τη βοήθεια τριγωνικών πρισματικών στοιχείων ακμής πρώτης τάξης, τα οποία κατασκευάζονται έτσι ώστε οι βάσεις τους να είναι παράλληλες στο xy επίπεδο. Κατ αντιστοιχία με την ανάλυση της ενότητας 3.2.1, στα οριακά επίπεδα της υπό ανάλυση διάταξης εφαρμόζονται κατάλληλες οριακές συνθήκες ώστε να μοντελοποιείται ορθά το φυσικό πρόβλημα. Ετσι για την αριθμητική επίλυση της ενότητας αυτής, όπου στο τελικό σύστημα εξισώσεων υπολογίζονται οι τιμές της περιοδικής συνάρτησης Ẽ, επιβάλλονται οριακές συνθήκες συνέχειας σε κάθε ζεύγος απέναντι εδρών του μοναδιαίου κελιού. Το διάγραμμα διασποράς που προκύπτει με βάση τα παραπάνω απεικονίζεται στο σχήμα Οπως εύκολα διαπιστώνει κανείς, η σύγκριση των αριθμητικά υπολογισμένων ιδιορρυθμών με τη θεωρητική καμπύλη επιβεβαιώνει τη δυνατότητα ορθής επίλυσης ενός ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος ανάλυσης μιας περιοδικής δομής. Οπως και στην περίπτωση της μεθοδολογίας που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3.2.1, έτσι και η παρούσα τεχνική, μπορεί εύκολα να επεκταθεί ώστε να επιλύει διατάξεις με περιοδικότητα και προς τις τρεις διαστάσεις. Παράλληλα, παρέχει το πλεονέκτημα του άμεσου υπολογισμού του μιγαδικού συντελεστή γ x k = α x + jβ x και κατ επέκταση

83 Μοντελοποίηση αποσβεννύμενων ρυθμών σε περιοχές διακένου ζώνης των αντίστοιχων διαγραμμάτων διασποράς, σε σύγκριση με αυτή της ενότητας 3.2.1, όπου η άγνωστη ιδιοτιμή είναι η ποσότητα e γxdx. Με τον τρόπο αυτό, διευκολύνει την εύρεση των ζητούμενων κάθε φορά ιδιοτιμών με τη βοήθεια της έτοιμης συνάρτησης eigs του Matlab, η οποία παρέχει τη δυνατότητα ορισμού αναζήτησης ιδιοτιμών κοντά σε μία συγκεκριμένη τιμή. Βέβαια, η αξιοποίηση αυτής της δυνατότητας έχει νόημα για διατάξεις για τις οποίες υπάρχει κάποια ένδειξη για την περιοχή τιμών των ζητούμενων ιδιοτιμών, η οποία συνήθως λαμβάνεται μέσω κάποιας θεωρητικής λύσης. Στις διατάξεις εκείνες, ωστόσο, όπου κάποια τέτοια ένδειξη δεν είναι διαθέσιμη, το ζήτημα της ταυτοποίησης όλων των αριθμητικά υπολογισμένων ιδιορρυθμών μέσω κάποιας συστηματικής διαδικασίας παραμένει προς διερεύνηση. Καθώς η μεθοδολογία που περιγράφηκε στην ενότητα αυτή, όπως και η αντίστοιχη της ενότητας 3.2.1, δε λύνουν το ζήτημα της συστηματικής κατηγοριοποίησης των υποστηριζόμενων ρυθμών, ακόμη και για τις απλές διατάξεις που αναλύθηκαν στο κεφάλαιο αυτό, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η αναζήτηση κάποιας εναλλακτικής τεχνικής, η οποία να εξασφαλίζει τη δυνατότητα απόρριψης όλων εκείνων των αριθμητικών λύσεων χωρίς φυσική σημασία. Εναλλακτικές διατυπώσεις του προβλήματος ιδιοτιμών-μελλοντικές προεκτάσεις Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, πραγματοποιήθηκαν διάφορες προσπάθειες προς αυτήν την κατεύθυνση, στις οποίες υιοθετήθηκε η λογική της διατύπωσης της παρούσας ενότητας, όπου τα ζητούμενα πεδιακά μεγέθη εκφράζονται ως γινόμενο μιας περιοδικής συνάρτησης και ενός κατάλληλα επιλεγμένου εκθετικού όρου (ανάλογα με την περιοδικότητα της διάταξης). Ετσι, αρχικά, επιχειρήθηκε η διερεύνηση της επίδρασης της διαδικασίας υποβιβασμού του τετραγωνικού προβλήματος ιδιοτιμών (QEP) σε γενικευμένο (GEP) στις ψευδείς αριθμητικές λύσεις. Προς αυτήν την κατεύθυνση, το τελικό σύστημα προς επίλυση σχηματίστηκε με βάση τις δύο πρώτες εξισώσεις του Maxwell όπου τα πεδιακά μεγέθη συμπλέκονται καταλήγοντας απ ευθείας σ ένα γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών. Η άγνωστη ιδιοτιμή σε κάθε συχνότητα είναι και πάλι το μέτρο του κυματικού διανύσματος k ενώ τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα εκφράζουν τις τιμές τόσο του ηλεκτρικού όσο και του μαγνητικού πεδίου στο χωρίο υπολογισμού. Τα πρώτα αποτελέσματα με βάση αυτήν την μεθοδολογία έδειξαν ότι η ύπαρξη των μη φυσικών αριθμητικών λύσεων είναι ανεξάρτητη της διαδικασίας μετατροπής του QEP σε GEP. Η πηγή των μη φυσικών αριθμητικών λύσεων αναζητήθηκε, έπειτα, στη διατύπωση του φυσικού προβλήματος. Ετσι, με αφορμή τη σχετική βιβλιογραφία [161] διερευνήθηκε η δυνατότητα σχηματισμού μιας διατύπωσης, η οποία να εμπλέκει το ηλεκτρικό πεδίο, E, με την πυκνότητα μαγνητικής ροής B. Η διατύπωση αυτή, της οποίας η μελέτη βρίσκεται ακόμη σε εξέλιξη, υπαγορεύει τη χρησιμοποίηση κατάλληλων συναρτήσεων βάσης για την ορθή αναπαράσταση του μεγέθους της ροής B στη διατύπωση του αντίστοιχου προβλήματος, ενώ παράλληλα εξασφαλίζει το μηδενισμό της απόκλισης (divergence) των ζητούμενων πεδιακών μεγεθών. Η ολοκλήρωση της εν λόγω τεχνικής επίλυσης καθώς και η διερεύνηση και η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων που θα προκύψουν από αυτή αποτελεί ακόμη αντικείμενο μελέτης.

84 3.3. Ανακεφαλαίωση Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάστηκαν τα βασικά στοιχεία ανάλυσης περιοδικών διατάξεων με στόχο την εύρεση του πλήρους διαγράμματος διασποράς αυτών (περιοχές διάδοσης και περιοχές διακένου ζώνης). Οι μεθοδολογίες στις οποίες βασίστηκε η ανάλυση αυτή αφορούν την επίλυση ενός προβλήματος ιδιοτιμών βασισμένου στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM) [162]. Αρχικά, περιγράφηκε εν συντομία το θεωρητικό μοντέλο με βάση το ο- ποίο αναλύονται οι ρυθμοί που μπορούν να υποστηριχθούν από δομές με χωρική περιοδικότητα. Επειτα, παρουσιάστηκε μία από τις διαθέσιμες διατυπώσεις του αριθμητικού μοντέλου στο οποίο βασίζεται η FEM για την υπολογιστική επίλυση του εν λόγω προβλήματος. Τα αποτελέσματα της αριθμητικής επίλυσης επαληθεύτηκαν μέσω σύγκρισης με τα αντίστοιχα του θεωρητικού μοντέλου για κάποιες απλοποιημένες δομές. Καθώς ως αρχικός στόχος τέθηκε η ανάλυση περιοδικών διατάξεων, όπως αυτές που συναντώνται στις σύγχρονες μικροκυματικές και οπτικές εφαρμογές (διατάξεις μεταϋλικών, φωτονικοί κρύσταλλοι κλπ.), διερευνήθηκε το ζήτημα της αντιμετώπισης της εμφάνισης αριθμητικών λύσεων χωρίς φυσικό νόημα. Ετσι, στη συνέχεια, εξετάστηκε η δυνατότητα υιοθέτησης μιας εναλλακτικής διατύπωσης του αριθμητικού προβλήματος ιδιοτιμών, η οποία βασίζεται στο θεώρημα Bloch-Floquet και στοχεύει στον άμεσο υπολογισμό των παραμέτρων του ζητούμενου διαγράμματος διασποράς. Η εναλλακτική αυτή, παρότι δεν επιτυγχάνει την εκ των προτέρων εξάλειψη των αριθμητικών λύσεων χωρίς φυσικό νόημα, μπορεί να αποτελέσει οδηγό για την ανάπτυξη μιας νέας μεθοδολογίας ανάλυσης του πλήρους διαγράμματος διασποράς περιοδικών διατάξεων.

85 Κεφάλαιο 4 Πλασμονικά φίλτρα-διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μεθοδολογία σχεδίασης διατάξεων φίλτρων και διακοπτικών στοιχείων (switching elements), τα οποία βασίζονται σε δομές επίπεδων πλασμονικών κυματοδηγών. Ειδικότερα, μελετάται η χρησιμοποίηση συντονιστών οδεύοντος κύματος (traveling-wave resonators) σε σχήμα δακτυλίου ή δίσκου, οι οποίοι σε συνδυασμό με δομές ευθύγραμμων κυματοδηγών χρησιμοποιούνται για την επίτευξη οπτικής απόκρισης με χαρακτηριστικά επιλεκτικότητας ως προς τη συχνότητα. Το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στη ζώνη του φάσματος των οπτικών επικοινωνιών, και πιο συγκεκριμένα στην περιοχή της κοντινής υπέρυθρης (near infrared, NIR). Το τυπικό μήκος κύματος αναφοράς επιλέγεται στο μέσο της C-band ( nm), στα 1550 nm. Πριν, ωστόσο, από την περιγραφή της μεθοδολογίας σχεδίασης για τις εν λόγω πλασμονικές δομές κρίνεται σκόπιμη η συνοπτική ανασκόπηση των βασικών μηχανισμών κυματοδήγησης σε ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις, και ειδικότερα η περιγραφή των ιδιοτήτων οδήγησης σε διατάξεις που εντάσσονται στην περιοχή της πλασμονικής τεχνολογίας (plasmonics). Ετσι, αρχικά, εξετάζονται οι μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί, διατάξεις που έχουν τη δυνατότητα περιορισμού του ηλεκτρομαγνητικού κύματος ως προς μία μόνο διεύθυνση. Από την ανάλυση των χαρακτηριστικών τους και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων της διάδοσης σε αυτούς, τίθεται η βάση για τη μελέτη των δισδιάστατων δομών κυματοδήγησης. Οι κυριότεροι επίπεδοι (planar) δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί περιγράφονται, στη συνέχεια, εν συντομία. Ακολουθεί η ανάλυση των ιδιοτήτων και χαρακτηριστικών του υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού (hybrid plasmonic waveguide, H- PW) αγωγού-διακένου-πυριτίου (Conductor-Gap-Silicon, CGS), μιας διάταξης που αποτελεί ειδική περίπτωση επίπεδου πλασμονικού κυματοδηγού και συνιστά τη βάση για την υλοποίηση των συντονιστών οδεύοντος κύματος, οι οποίοι εξετάζονται στην πορεία του κεφαλαίου. Οι δύο τελευταίες ενότητες πραγματεύονται τη σχεδίαση φίλτρων και διακοπτικών στοιχείων, αντίστοιχα, βασισμένων στον κυματοδηγό CGS. 4.1 Πλασμονικοί κυματοδηγοί Με τον όρο φωτονικά ολοκληρωμένα κυκλώματα (photonic integrated circuits, PIC) αναφερόμαστε σε σύνθετες δομές αποτελούμενες από έναν αριθμό οπτικών εξαρτημάτων, τα οποία αναπτύσσονται σε κοινό υπόστρωμα ώστε να επιτελέσουν κάποια σύνθετη λειτουργία. Τα κυκλώματα αυτά 75

86 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί 76 μπορεί να περιλαμβάνουν επίπεδους οπτικούς κυματοδηγούς, παθητικά εξαρτήματα όπως ζεύκτες, διαιρέτες ισχύος, διακλαδώσεις και φίλτρα, αλλά και ενεργά εξαρτήματα όπως διακόπτες, πηγές, ανιχνευτές και οπτικούς ενισχυτές. Οι διατάξεις κυματοδηγών μπορούν να αποτελέσουν το θεμέλιο για την υλοποίηση πλήθους από τα προαναφερθέντα χρήσιμα εξαρτήματα. Ετσι, η περιγραφή των μηχανισμών οπτικής κυματοδήγησης, καθώς και η ανάλυση των ιδιοτήτων της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε δομές επίπεδων οπτικών κυματοδηγών [79,80], μπορούν να παρέχουν όλες τις βασικές αρχές αλλά και τις κατευθύνσεις για τη σχεδίαση πολυπλοκότερων διατάξεων, όπως αυτές που πραγματεύεται το παρόν κεφάλαιο Οπτικοί κυματοδηγοί Ως οπτικός κυματοδηγός αναφέρεται η διάταξη που λειτουργεί στην περιοχή του φάσματος των οπτικών επικοινωνιών και παρέχει τη δυνατότητα συγκέντρωσης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος κατά το εγκάρσιο στη διεύθυνση διάδοσης επίπεδο (διατομή). Προϋπόθεση για την επίτευξη οδήγησης αποτελεί η διαφοροποίηση των ιδιοτήτων μεταξύ των διαφόρων περιοχών της εγκάρσιας διατομής. Η ανομοιογένεια αυτή θα συνίσταται στη διαφοροποίηση των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων των διαφόρων υλικών που συνθέτουν τη διατομή ενός κυματοδηγού και κατά βάση στην αλλαγή του δείκτη διάθλασης (refractive index), n. Ως εκ τούτου, τα χαρακτηριστικά των διαδιδόμενων κυμάτων θα καθορίζονται από την κατανομή των τιμών του n στην εγκάρσια διατομή. Κατά κανόνα, τα υλικά που χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση των δομών κυματοδήγησης στις οπτικές συχνότητες είναι διηλεκτρικά. Ως γνωστόν, τα συμβατικά διηλεκτρικά υλικά περιγράφονται από τη σχετική διηλεκτρική σταθερά, ε r, η οποία σχετίζεται με τον δείκτη διάθλασης του υλικού μέσω της σχέσης n = ε r μ r, όπου μ r η σχετική μαγνητική διαπερατότητα του διηλεκτρικού μέσου. Συνήθως, ωστόσο, τα διηλεκτρικά με τα οποία υλοποιούνται οι δομές οπτικής κυματοδήγησης, δεν εμφανίζουν μαγνητική συμπεριφορά και έτσι η προαναφερθείσα σχέση απλοποιείται στην: n = ε r. Κάθε ηλεκτρομαγνητικό κύμα που δύναται να διαδοθεί σε έναν κυματοδηγό μπορεί να γραφεί ως ανάπτυγμα όλων των διαφορετικών ιδιορρυθμών (eigenmodes), που υποστηρίζονται από την εν λόγω διάταξη. Οι ιδιορρυθμοί ή αλλιώς ρυθμοί (modes) δεν είναι τίποτα άλλο από τους δυνατούς τρόπους διάδοσης του κύματος ή κυματικές μορφές μέσα στον υπό μελέτη κυματοδηγό. Για δεδομένη συχνότητα, η χαρακτηριστική μορφή ενός υποστηριζόμενου ρυθμού περιγράφεται από την κατανομή των πεδίων (ηλεκτρικό και μαγνητικό) στη διατομή του κυματοδηγού. Οι ιδιότητες που προκύπτουν από αυτήν την κατανομή, συμπληρώνονται από τον ενεργό δείκτη διάθλασης (effective index) του ρυθμού, n eff, το πραγματικό μέρος του οποίου σχετίζεται με την φασική ταχύτητα, β = Re{n eff }k 0 (σε rad/m), ενώ στο φανταστικό μέρος αποτυπώνονται οι απώλειες της διάδοσης μέσω της α = Im{n eff }k 0 (σε m 1 ). Οι ρυθμοί που υποστηρίζονται από μια διάταξη κυματοδήγησης μπορούν να είναι οδηγούμενοι (guided modes), ακτινοβολούμενοι (radiation modes) ή ρυθμοί υποστρώματος (substrate modes). Δεδομένου ότι, στο παρόν κεφάλαιο, ως στόχος έχει τεθεί η σχεδίαση πολυπλοκότερων εξαρτημάτων με βάση τις δομές κυματοδηγών, το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στην πρώτη κατηγορία (οδηγούμενοι ρυθμοί). Στους συμβατικούς οπτικούς κυματοδηγούς ο κύριος μηχανισμός οδήγησης είναι ο μηχανισμός οδήγησης δείκτη (index guiding), ο οποίος επιτυγχάνει την οδήγηση του φωτός εντός ενός οπτικά πυκνού μέσου (πυρήνας οδήγησης) που βρίσκεται σε οπτικά αραιό περιβάλλον. Το δημοφιλέστερο, ίσως, παράδειγμα κυματοδηγού αυτής της κατηγορίας είναι η οπτική ίνα. Τη βάση για τον μηχανισμό οδήγησης δείκτη έθεσε το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης (Total Inter-

87 Πλασμονικοί κυματοδηγοί nal Reflection, TIR), κατά το οποίο μία ακτίνα φωτός εγκλωβίζεται εντός του οπτικά πυκνού πυρήνα, όταν προσπίπτει στη διεπιφάνεια πυρήνα-περιβάλλοντος υλικού με γωνία μεγαλύτερη από την κρίσιμη [79]. Για συγκεκριμένο μήκος κύματος, η ικανότητα συγκέντρωσης του ρυθμού εντός του πυρήνα εξαρτάται από τη σχετική διαφορά των δεικτών διάθλασης πυρήνα και περιβάλλοντος υλικού. Οσο μεγαλύτερη γίνεται αυτή η διαφορά, τόσο ισχυρότερη συγκέντρωση επιτυγχάνεται. Ο βαθμός συγκέντρωσης του ρυθμού, ωστόσο, περιορίζεται από το όριο περίθλασης (diffraction limit), το οποίο θέτει μία κατώτατη τιμή για το χωρικό εύρος της κατανομής του ρυθμού προς τις εγκάρσιες στη διεύθυνση διάδοσης κατευθύνσεις [81,82]. Λύση στο ζήτημα του περιορισμού αυτού φαίνεται να δίνουν οι πλασμονικές διατάξεις οπτικής κυματοδήγησης, στις οποίες η συγκέντρωση του υποστηριζόμενου ρυθμού μπορεί να είναι εξαιρετικά μεγαλύτερη επιτρέποντας, έτσι, τη συρρίκνωση των διαστάσεων των αντίστοιχων δομών στα επίπεδα των ηλεκτρονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Στο παρόν κεφάλαιο οι διατάξεις, οι οποίες μελετώνται, εντάσσονται στην περιοχή της πλασμονικής. Ο μηχανισμός οδήγησης προκύπτει από την άμεση γειτνίαση μεταλλικών στρωμάτων με διηλεκτρικά υλικά και έχει ως κύριο χαρακτηριστικό την υποστήριξη επιφανειακών κυμάτων (surface waves). Τα οδηγούμενα αυτά επιφανειακά κύματα ονομάζονται πολαριτόνια επιφανειακού πλασμονίου (Surface Plasmon Polaritons, SPP) και παρουσιάζουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά πλεονεκτήματα σε σχέση με τους συμβατικούς φωτονικούς ρυθμούς [83 88]. Μια από τις ελκυστικότερες ιδιότητες των επιφανειακών κυμάτων SPP είναι η ικανότητα τους να συγκεντρώνουν και να οδηγούν το φως ακόμη και σε διατάξεις με διαστάσεις πολύ μικρότερες του μήκους κύματος (subwavelength confinement). Κάτι τέτοιο επιτρέπει τη σμίκρυνση των διαστάσεων για τα πλασμονικά κυκλώματα ακόμη και στο επίπεδο των ηλεκτρονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (nanoscale electronics), διατηρώντας παράλληλα την ιδιότητα του υψηλού εύρους ζώνης των συμβατικών φωτονικών εξαρτημάτων. Ενα ακόμη πλεονέκτημα έρχεται να προστεθεί με την χρησιμοποίηση μεταλλικών στρωμάτων από τις πλασμονικές δομές. Τα μεταλλικά αυτά στρώματα, απαραίτητα για τον σχηματισμό του πλασμονικού ρυθμού, μπορούν παράλληλα να αξιοποιηθούν και ως φορείς ηλεκτρικών σημάτων μειώνοντας έτσι την πολυπλοκότητα των αντίστοιχων ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, αλλά και παρέχοντας τη δυνατότητα δυναμικού ελέγχου (tunability) της λειτουργίας των πλασμονικών στοιχείων. Ξεκινώντας, λοιπόν, από την ανάλυση των φυσικών ιδιοτήτων των επιφανειακών κυμάτων SPP, η οποία αποτελεί και το αντικείμενο μελέτης της επόμενης ενότητας, θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά των δομών, οι οποίες έχουν τη δυνατότητα υποστήριξης τέτοιων ρυθμών και θα αποτελέσουν τη βάση για την ανάλυση των πλασμονικών κυματοδηγών που θα εξεταστούν στην πορεία του κεφαλαίου Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί Η απλούστερη διάταξη που μπορεί να υποστηρίξει πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου (SPP) είναι η διεπιφάνεια μεταξύ ενός μετάλλου και κάποιου διηλεκτρικού υλικού. Ο σχηματισμός του επιφανειακού αυτού ηλεκτρομαγνητικού κύματος συνίσταται στην αλληλεπίδραση του φωτός με τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του μετάλλου κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. Πιο συγκεκριμένα, παρουσία προσπίπτοντος ηλεκτρομαγνητικού κύματος (φως), τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που υπάρχουν στην επιφάνεια του αγώγιμου μέσου (μέταλλο) έχουν την δυνατότητα της σύμφωνης (coherent) με το φως συλλογικής ταλάντωσης. Οι ταλαντώσεις αυτές καλούνται επιφανειακά πλα-

88 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί 78 Σχήμα 4.1: Διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού και υποστηριζόμενο πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου (SPP). Το SPP διαδίδεται κατά μήκος της διεπιφάνειας και παραμένει συγκεντρωμένο σε αυτήν. Οι πεδιακές συνιστώσες παρουσιάζουν εκθετική απόσβεση προς την κάθετη διεύθυνση (z), ενώ η πόλωση του κύματος είναι εγκάρσια μαγνητική (TM). Με ε d και ε m (ω) συμβολίζονται οι διηλεκτρικές παράμετροι που αποδίδονται στο διηλεκτρικό και στο μέταλλο, αντίστοιχα. σμόνια (surface plasmons) και η σύζευξή τους με το προσπίπτον ηλεκτρομαγνητικό κύμα συνθέτει το πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου (SPP). Το επιφανειακό κύμα που δημιουργείται υπό αυτές τις συνθήκες παραμένει δέσμιο (bound) στη διεπιφάνεια των δύο μέσων, διαδίδεται παράλληλα σε αυτήν και εμφανίζει εκθετική απόσβεση προς την κάθετη διεύθυνση καθιστώντας, με αυτόν τον τρόπο, τη διεπιφάνεια έναν στοιχειώδη μονοδιάστατο πλασμονικό κυματοδηγό. Στο σχήμα 4.1 απεικονίζεται η δομή ενός τέτοιου στοιχειώδους κυματοδηγού. Πρόκειται για δύο ημιάπειρα στρώματα μετάλλου και διηλεκτρικού, τοποθετημένα ώστε να εφάπτονται. Η διαχωριστική επιφάνεια αυτών έχει σχεδιαστεί έτσι, ώστε να είναι παράλληλη στο xy επίπεδο με την αρχή του άξονα z να είναι τοποθετημένη πάνω στα σημεία αυτής (z = 0), ενώ η διάταξη θεωρήθηκε ομοιόμορφη κατά τον άξονα y ( / y 0). Το υποστηριζόμενο, από τη δομή επιφανειακό κύμα (SPP) θα διαδίδεται κατά τον άξονα x, παράλληλα στη διεπιφάνεια, παραμένοντας συγκεντρωμένο σε αυτήν. Η μέγιστη συγκέντρωση του ρυθμού θα παρατηρείται στο επίπεδο z = 0, ενώ οι πεδιακές συνιστώσες, κατά την διείσδυσή τους στα δύο υλικά, θα αποσβένονται εκθετικά και προς τις δύο κάθετες κατευθύνσεις (±z). Το μαθηματικό πλαίσιο για τη περιγραφή του πλασμονικού αυτού ρυθμού παρατίθεται ακολούθως έχοντας σαν βάση τα χαρακτηριστικά της γεωμετρίας αλλά και τις ιδιότητες των υλικών που συνθέτουν τη δομή του σχήματος 4.1. Το φαινόμενο που καλούμαστε να αναλύσουμε διέπεται από τις εξισώσεις του Maxwell, οι ο- ποίες και εφαρμόζονται στη διάταξη της διεπιφάνειας διηλεκτρικού-μετάλλου. Ο υπό μελέτη χώρος θεωρείται χώρος χωρίς πηγές, ενώ τα υλικά που συνθέτουν τη δομή λαμβάνονται ως ομογενή, γραμμικά, ισοτροπικά και μη μαγνητικά μέσα. Υποθέτοντας για τα πεδιακά μεγέθη αρμονική χρονική μεταβολή ( = jω), διάδοση κατά τον άξονα x ( = jβ) και ομοιομορφία κατά την διεύθυνση t x του άξονα y ( 0), οι εξισώσεις στροφής του Maxwell προκύπτουν ως εξής y E y z = jωμ 0H x, E x z + jβe z = jωμ 0 H y, jβe y = jωμ 0 H z (4.1α) (4.1β) (4.1γ)

89 Πλασμονικοί κυματοδηγοί και H y z = jωε 0ε r E x, (4.2α) H x z + jβh z = jωε 0 ε r E y, jβh y = jωε 0 ε r E z (4.2β) (4.2γ) και συνδέουν τις επιμέρους συνιστώσες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου μεταξύ τους. Αντιμετωπίζοντας τις παραπάνω εξισώσεις σαν ένα ενιαίο σύστημα, αποδεικνύεται ότι οι δύο ομάδες ανεξάρτητων (self-consistent) λύσεων που προκύπτουν, αντιστοιχούν σε διαδιδόμενα κύματα διαφορετικής πόλωσης. Ετσι, διακρίνουμε την περίπτωση των εγκάρσιων μαγνητικών (Transverse Magnetic, TM) κυμάτων, τα οποία περιγράφονται για H x = H z = 0 από την ομάδα των εξισώσεων (4.1β), (4.2α) και (4.2γ), και την περίπτωση των εγκάρσιων ηλεκτρικών (Transverse Electric, TE) κυμάτων, τα οποία περιγράφονται αντίστοιχα για E x = E z = 0 από τις (4.1α), (4.1γ) και (4.2β). Ξεκινώντας τη μελέτη των ιδιοτήτων των κυμάτων αυτών από την περίπτωση της TM πόλωσης, προκύπτει ότι οι αντίστοιχες εξισώσεις για τις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου είναι 1 H y E x = j ωε 0 ε r z, E z = β H y. ωε 0 ε r (4.3α) (4.3β) Αντικαθιστώντας τις παραπάνω στην Εξ. (4.1β), συνεπώς, προκύπτει η κυματική εξίσωση για την εγκάρσια συνιστώσα H y H y 2 z 2 + (k 2 0ε r β 2 )H y = 0. (4.4) Κατ αντιστοιχία, για την TE πόλωση οι συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου προκύπτουν H x = j 1 ωμ 0 E y z, H z = β ωμ 0 E y, (4.5α) (4.5β) οι οποίες με αντικατάσταση στην Εξ. (4.2β), οδηγούν στην κυματική εξίσωση για την εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου, E y, E y 2 z 2 + (k2 0ε r β 2 )E y = 0. (4.6) Εχοντας τις παραπάνω σχέσεις ως βάση, θα προχωρήσουμε στην ανάλυση της δομής της διεπιφάνειας μετάλλου-διηλεκτρικού και στη διερεύνηση των ιδιοτήτων των υποστηριζόμενων από αυτήν ρυθμών. Η διαδικασία αναζήτησης λύσεων για τις Εξ. (4.4) και (4.6) ξεκινά από τη μελέτη των ιδιοτήτων των υλικών που συνθέτουν την υπό μελέτη δομή. Σε ό,τι αφορά τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες

90 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί 80 των δύο μέσων, λοιπόν, για το μεν διηλεκτρικό θεωρείται πραγματική σχετική διηλεκτρική σταθερά, ε d, για το δε μέταλλο οι ιδιότητες περιγράφονται από τη μιγαδική διηλεκτρική σταθερά ε m (ω), ως συνάρτηση της συχνότητας. Η επιλογή αυτής της παραμέτρου για την απόδοση των ιδιοτήτων του μετάλλου συνίσταται στο εξής: Στην περιοχή της κοντινής υπέρυθρης, τα μέταλλα παύουν να λειτουργούν ως τέλεια αγώγιμα μέσα, που αποτρέπουν τη διείσδυση πεδίου στο εσωτερικό τους (κάτι που ισχύει στην περιοχή των μικροκυματικών συχνοτήτων). Επιτρέπουν, δηλαδή, μέρος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου να διαδίδεται σε αυτά, με κάποια εκθετικά αποσβεννύμενη συμπεριφορά. Ετσι, για συχνότητες μεγαλύτερες από κάποια χαρακτηριστική τιμή, τη συχνότητα πλάσματος (plasma frequency), μπορούν να υποστηρίξουν τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Η μιγαδική διηλεκτρική σταθερά που τους αποδίδεται ως χαρακτηριστικό, σ αυτήν την περίπτωση, όχι μόνο χαρακτηρίζεται από την εξάρτησή της ως προς τη συχνότητα (συχνοτική διασπορά), αλλά και από την αρνητική τιμή του πραγματικού της μέρους (Re{ε m } < 0) [81]. Η συχνοτική αυτή διασπορά που εμφανίζουν τα μέταλλα στις οπτικές συχνότητες, μπορεί να περιγραφεί με την βοήθεια μοντέλων (Drude, Lorentz-Drude), αλλά και πειραματικών δεδομένων που έχουν ληφθεί σ ένα μεγάλο μέρος της ζώνης συχνοτήτων ενδιαφέροντος [81, ]. Οι λύσεις που αναζητούμε, για τις Εξ. (4.4) και (4.6), αντιστοιχούν σε διαδιδόμενα κύματα συγκεντρωμένα στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων (z = 0). Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή τους κατά μήκος του κάθετου στην διεπιφάνεια άξονα (z άξονας), θα πρέπει να παρουσιάζει εκθετική απόσβεση, τόσο προς την κατεύθυνση του μεταλλικού στρώματος (z < 0) όσο και προς αυτήν του διηλεκτρικού υλικού (z > 0). Ξεκινώντας από την TM πόλωση, οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί θα αντιστοιχούν για τον ημιάπειρο χώρο z < 0 σε λύσεις της μορφής H y = A 1 e k 1z e jβx, (4.7) όπου δεδομένου ότι k 1 > 0 και z < 0, ο όρος e k 1z της Εξ. (4.7) θα αντιστοιχεί σε εκθετική απόσβεση. Για τον ημιάπειρο χώρο z > 0 οι αντίστοιχες λύσεις θα είναι της μορφής H y = A 2 e k 2z e jβx, (4.8) όπου και πάλι ο όρος e k 2z εκφράζει εκθετική απόσβεση μιας και k 2 > 0, z > 0. Αντικαθιστώντας τις Εξ. (4.7) και (4.8) στις Εξ. (4.2), προκύπτουν και οι εκφράσεις των μη μηδενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου στα δύο μέσα, ως εξής: ˆ z < 0 k 1 E x = ja 1 e k1z e jβx, ωε 0 ε m β E z = A 1 e k1z e jβx ωε 0 ε m (4.9α) (4.9β) ˆ z > 0 k 2 E x = ja 2 e k2z e jβx, ωε 0 ε d β E z = A 2 e k2z e jβx. ωε 0 ε d (4.10α) (4.10β)

91 Πλασμονικοί κυματοδηγοί Διευκρινίζεται ότι στις παραπάνω εξισώσεις με k i (i = 1, 2) συμβολίζονται οι συνιστώσες του κυματικού διανύσματος κατά την διεύθυνση του άξονα z, για τα δύο υλικά, μέταλλο και διηλεκτρικό αντίστοιχα, δηλαδή k i k z,i. Συνεπώς, τα μεγέθη k i εκφράζουν τον ρυθμό απόσβεσης των πεδίων στα δύο μέσα, κατά την κάθετη στη διεπιφάνεια διεύθυνση, ενώ το αντίστροφο μέγεθος, δ i = 1 k i, αντιπροσωπεύει το βάθος διείσδυσης των πεδίων σε αυτά και αποτελεί χαρακτηριστικό της ικανότητας συγκέντρωσης του υποστηριζόμενου ρυθμού. Η παραπάνω ανάλυση για τις πεδιακές συνιστώσες στα δύο μέσα συμπληρώνεται από τις οριακές συνθήκες, οι οποίες θα πρέπει να επιβληθούν για τα σημεία της διαχωριστικής επιφάνειας. Ετσι, η συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου (H y ) και της αντίστοιχης του ηλεκτρικού πεδίου (E x ) υπαγορεύουν αντίστοιχα τις συνθήκες A 1 = A 2 και k 2 = ε d. (4.11) k 1 ε m Η Εξ. (4.11) καταδεικνύει την ιδιότητα των επιφανειακών πλασμονικών κυμάτων να αναπτύσσονται αποκλειστικά στη διεπιφάνεια μέσων με διηλεκτρικές σταθερές, των οποίων τα πραγματικά μέρη είναι αντίθετα σε πρόσημο. Υπό αυτήν τη συνθήκη και μόνο, οι συνιστώσες του κυματικού διανύσματος στην (4.11) μπορούν να εκφράσουν την εκθετική απόσβεση, που απαιτείται σε διευθύνσεις κάθετες στη διεπιφάνεια. Η σχέση διασποράς (dispersion relation) για το επιφανειακό κύμα SPP προκύπτει, ακολούθως, αν στα παραπάνω συνυπολογιστεί και η απαίτηση για ικανοποίηση της κυματικής εξίσωσης για τη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου H y (Εξ. 4.4). Με αντικατάσταση των Εξ. (4.7) και (4.8) στην (4.4) προκύπτουν οι σχέσεις k 2 1 = β 2 k 2 0ε m, k 2 2 = β 2 k 2 0ε d. (4.12α) (4.12β) Συνδυάζοντας τις Εξ. (4.12) με την Εξ. (4.11), η μεταβολή της σταθεράς διάδοσης του SPP στη μονή διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού συναρτήσει της συχνότητας προκύπτει τελικά ε m (ω)ε d β(ω) = k 0. (4.13) ε m (ω) + ε d Για ένα κύμα που διαδίδεται (οδεύον κύμα), η τιμή του πραγματικού μέρους της σταθεράς διάδοσης θα πρέπει να είναι μη μηδενική. Οι διηλεκτρικές ιδιότητες του μετάλλου, ωστόσο, στην περιοχή συχνοτήτων της κοντινής υπέρυθρης, υπαγορεύουν αρνητικό πραγματικό μέρος για την μιγαδική διηλεκτρική σταθερά, ε m (ω), καθιστώντας τον αριθμητή στην Εξ. (4.13) αρνητικό. Ως εκ τούτου, η αναγκαία συνθήκη που προκύπτει για την εξασφάλιση της διάδοσης του υποστηριζόμενου επιφανειακού κύματος είναι ε m (ω) + ε d < 0 ε m (ω) < ε d. (4.14) Η παραπάνω σχέση, όχι μόνο επιβεβαιώνει το γεγονός ότι για την υποστήριξη επιφανειακού ρυθμού πλασμονίου η διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου θα πρέπει να παίρνει αρνητικές τιμές, αλλά και ότι θα πρέπει οι τιμές αυτές να είναι μεγαλύτερες κατ απόλυτη τιμή από την διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού στρώματος. Οπως, όμως, ήδη έχει αναφερθεί, το πραγματικό μέρος της διηλεκτρικής σταθεράς του μετάλλου εμφανίζει συχνοτική διασπορά. Συνεπώς, ο παραπάνω περιορισμός οδηγεί

92 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί 82 Σχήμα 4.2: Διαγράμματα διασποράς για τις διεπιφάνειες μετάλλου-διηλεκτρικού. Με μαύρο χρώμα σημειώνονται οι μεταβολές της σταθεράς διάδοσης για τη διεπιφάνεια αέρα-αργύρου (Ag), ενώ με κόκκινο για τη διεπιφάνεια SiO 2 -Ag. Οι γραμμές φωτός (light lines) φαίνονται επίσης με μαύρο και κόκκινο χρώμα για τον αέρα και το SiO 2 -Ag, αντίστοιχα. Με διακεκομμένη γραμμή επισημαίνονται οι μεταβολές της αμιγώς φανταστικής σταθεράς διάδοσης στην ζώνη συχνοτήτων ω SP < ω < ω p. σε ένα άνω όριο για τη συχνότητα, πέραν του οποίου η υποστήριξη οδεύοντος επιφανειακού κύματος είναι αδύνατη. Το όριο αυτό τοποθετείται στην χαρακτηριστική συχνότητα ω SP = ω p 1 + εd, (4.15) όπου ω p είναι η συχνότητα πλάσματος. Στο σχήμα 4.2 έχουν σχεδιαστεί οι καμπύλες διασποράς για δύο διαφορετικές δομές μετάλλουδιηλεκτρικού. Ως μέταλλο έχει επιλεγεί ο άργυρος (Ag), ως ένα από τα συνηθέστερα χρησιμοποιούμενα μέταλλα στην περιοχή της πλασμονικής, και ως διηλεκτρικό υλικό στην μία περίπτωση ο αέρας, ενώ στην άλλη το διοξείδιο του πυριτίου (silica, SiO 2 ) με ε d = 2.25, επίσης ευρέως διαδεδομένο για την χρήση του στις οπτικές συχνότητες. Για τη διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση (undamped free-electron model), το οποίο αποτελεί ειδική περίπτωση του μοντέλου Drude [81]. Σύμφωνα με αυτό ε m (ω) = 1 ω2 p ω 2, (4.16) όπου η τιμή της συχνότητας πλάσματος που χρησιμοποιήθηκε για τον άργυρο είναι ω p /2π = 2175 THz [164]. Από την Εξ. (4.16), συμπεραίνουμε ότι οι τιμές τις διηλεκτρικής σταθεράς του μετάλλου, βάσει του χρησιμοποιούμενου μοντέλου, θα είναι αμιγώς πραγματικές, με πρόσημο που θα καθορίζεται από την σχέση της συχνότητας ω ως προς την ω p. Ετσι, η σταθερά διάδοσης της Εξ. (4.13) θα λαμβάνει είτε αποκλειστικά πραγματικές τιμές, είτε μόνο αρνητικές. Επιστρέφοντας στο σχήμα 4.2, διακρίνονται τρεις περιοχές στα αντίστοιχα διαγράμματα διασποράς των δύο υπό μελέτη διεπιφανειών. Η πρώτη προκύπτει για συχνότητες μικρότερες της συχνότητας ω SP για κάθε δομή (ω < ω SP ). Σ αυτήν την περιοχή, η διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου είναι

93 Πλασμονικοί κυματοδηγοί κατ απόλυτη τιμή μεγαλύτερη από αυτήν του διηλεκτρικού, επιτρέποντας, έτσι, την υποστήριξη του επιφανειακού ρυθμού SPP. Οσο η συχνότητα αυξάνεται, τόσο μεγαλύτερες τιμές λαμβάνει η σταθερά διάδοσης, μέχρι την οριακή συχνότητα ω SP, πλησιάζοντας προς την οποία η σταθερά διάδοσης τείνει στο άπειρο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το βάθος διείσδυσης του ρυθμού να μειώνεται δραματικά καταδεικνύοντας, έτσι, την αυξημένη ικανότητα συγκέντρωσης του φωτός κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Η τάση της σταθεράς διάδοσης προς τιμές που προσεγγίζουν το άπειρο δεν ισχύει στην πράξη, φυσικά, μιας και υπάρχουν απώλειες που θα περιορίσουν το μέγιστό της σε κάποια πεπερασμένη τιμή και αγνοήθηκαν προσωρινά με την υιοθέτηση του μοντέλου ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση. Για την περιοχή συχνοτήτων ω SP < ω < ω p οι τιμές της σταθεράς διάδοσης είναι αμιγώς φανταστικές οδηγώντας στην αδυναμία υποστήριξης οδεύοντος κύματος. Στο σχήμα 4.2 σημειώνεται με διακεκομμένη γραμμή η μεταβολή του φανταστικού αυτού μέρους ως προς τη συχνότητα. Τέλος, για τη ζώνη συχνοτήτων πάνω από τη συχνότητα πλάσματος (ω p ), η διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου παίρνει θετικές τιμές, με αποτέλεσμα την αδυναμία ικανοποίησης της συνθήκης αντίθετου προσήμου που απαιτείται για την υποστήριξη επιφανειακών ρυθμών. Το μέταλλο πλέον επιτρέπει τη διάδοση ακτινοβολίας στο εσωτερικό του. Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία, με αυτήν που περιγράφηκε για τους TM ρυθμούς, αποδεικνύεται η αδυναμία της μονής διεπιφάνειας μετάλλου-διηλεκτρικού να υποστηρίξει επιφανειακούς ρυθμούς TE [81]. Πιο συγκεκριμένα, από τις εκφράσεις των πεδιακών συνιστωσών για την περίπτωση της TE πόλωσης, κατ αντιστοιχία με τις ( ) και την εφαρμογή των οριακών συνθηκών επάνω στη διεπιφάνεια των δύο μέσων, προκύπτουν οι συνθήκες A 1 = A 2 A και A(k 1 + k 2 ) = 0. Η τελευταία σχέση δεν μπορεί να ικανοποιηθεί για επιφανειακά κύματα, που παρουσιάζουν εκθετική απόσβεση κατά την εγκάρσια στη διεπιφάνεια διεύθυνση, παρά μόνο για μηδενικό πλάτος A, κάτι που προφανώς δεν αντιστοιχεί σε αποδεκτή λύση. Συμπερασματικά, λοιπόν, μπορούμε να καταλήξουμε στο ότι οι επιφανειακοί ρυθμοί SPP, που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια δύο υλικών με διηλεκτρικές ιδιότητες όπως περιγράφηκαν προηγουμένως, είναι αποκλειστικά εγκάρσιας μαγνητικής (TM) πόλωσης Πολυστρωματικές διατάξεις μετάλλων-διηλεκτρικών Η γεωμετρική δομή του μονοδιάστατου επίπεδου πλασμονικού κυματοδηγού, όπως αυτή περιγράφηκε νωρίτερα, αποτελεί τη βάση για τη σύνθεση πολυστρωματικών διατάξεων αποτελούμενων από επίπεδα στρώματα μετάλλων και διηλεκτρικών υλικών. Καθώς τέτοιες δομές περιλαμβάνουν περισσότερες από μία διεπιφάνειες μετάλλου-διηλεκτρικού, η ανάλυσή τους αποτελεί γενίκευση της ανάλυσης που προηγήθηκε, για τη μονή διεπιφάνεια. Τα υποστηριζόμενα επιφανειακά κύματα (SPPs) που μπορούν να αναπτυχθούν σε κάθε διαχωριστική επιφάνεια, στη γενικευμένη αυτήν περίπτωση, συνθέτουν έναν πλασμονικό ρυθμό, τα χαρακτηριστικά του οποίου εξαρτώνται από τη σύζευξη μεταξύ των επιμέρους SPPs. Ετσι, όταν η απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών διεπιφανειών γίνει συγκρίσιμη ή μικρότερη του βάθους διείσδυσης του επιφανειακού ρυθμού, η αλληλεπίδραση των επιμέρους SPPs, μπορεί να οδηγήσει σε έναν σύνθετο πλασμονικό ρυθμό. Η απλούστερη επέκταση της μονής διεπιφάνειας διηλεκτρικού-μετάλλου σε πολυστρωματική δομή είναι η διάταξη τριών στρωμάτων. Στο σχήμα 4.3 απεικονίζονται οι δύο δυνατές υλοποιήσεις μιας τέτοιας δομής. Στην πρώτη περίπτωση (σχήμα 4.3(i)), το μέταλλο είναι τοποθετημένο μεταξύ δύο στρωμάτων από το ίδιο διηλεκτρικό υλικό σχηματίζοντας τη δομή διηλεκτρικού-μετάλλουδιηλεκτρικού (Insulator-Metal-Insulator, IMI). Για να εξασφαλιστεί η σύζευξη των δύο SPPs που

94 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί 84 (i) IMI structure (ii) MIM structure Σχήμα 4.3: Μονοδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί τριών στρωμάτων. (i) Διάταξη διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού (Insulator-Metal-Insulator, IMI), (ii) Διάταξη μετάλλουδιηλεκτρικού-μετάλλου (Metal-Insulator-Metal, MIM). αναπτύσσονται στις δύο διεπιφάνειες, και άρα ο σχηματισμός του σύνθετου πλασμονικού ρυθμού, το πάχος του ενδιάμεσου στρώματος θα πρέπει να είναι αρκούντως μικρό. Στη δεύτερη περίπτωση (σχήμα 4.3(ii)), το διηλεκτρικό βρίσκεται ανάμεσα σε δύο μεταλλικά στρώματα και η αντίστοιχη δομή καλείται μετάλλου-διηλεκτρικού-μετάλλου (Metal-Insulator-Metal, MIM). Σ αυτήν τη διάταξη το πάχος του ενδιάμεσου διηλεκτρικού είναι αυτό το οποίο θα πρέπει να είναι τόσο μικρό όσο απαιτείται για τη σύζευξη των επιμέρους SPPs. Κατ αντιστοιχία με την ανάλυση που πραγματοποιήθηκε για τη μονή διεπιφάνεια, μπορεί κανείς να εξάγει τη σχέση διασποράς για τις παραπάνω διατάξεις, ώστε να προκύψει η μεταβολή της σταθεράς διάδοσης του υποστηριζόμενου ρυθμού ως προς τη συχνότητα [81,92]. Από αυτήν τη σχέση προκύπτει ότι στην ειδική περίπτωση συμμετρικών δομών, όπου τα ενδιάμεσα στρώματα βρίσκονται μεταξύ δύο όμοιων υλικών, οι διατάξεις IMI και MIM μπορούν να υποστηρίξουν δύο ρυθμούς διαφορετικής συμμετρίας. Οι ρυθμοί αυτοί χαρακτηρίζονται ως περιττοί (odd) στην περίπτωση που η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου προς τη διεύθυνση της διάδοσης (x) είναι περιττή συνάρτηση της εγκάρσιας συντεταγμένης, z, και ως άρτιοι (even) όταν η ίδια συνιστώσα είναι άρτια συνάρτηση ως προς z. Οι καμπύλες διασποράς των ρυθμών αυτών είναι ποιοτικά όμοιες με αυτήν της απλής διεπιφάνειας (σχήμα 4.2), με το πάχος του ενδιάμεσου στρώματος να παίζει καθοριστικό ρόλο στη μεταξύ τους απόκλιση. Ετσι, για πάχη ενδιάμεσων υλικών αρκετά μεγαλύτερα του αντίστοιχου βάθους διείσδυσης, οι δύο ρυθμοί παραμένουν ασύζευκτοι και οι αντίστοιχες καμπύλες διασποράς εκφυλλίζονται σε αυτήν της μονής διεπιφάνειας. Οσο τα ενδιάμεσα στρώματα γίνονται λεπτότερα, τόσο οι καμπύλες διασποράς άρτιων και περιττών ρυθμών αποκλίνουν, με τον περιττό ρυθμό να πλησιάζει την αντίστοιχη γραμμή φωτός και τον άρτιο να εμφανίζει αντίθετη συμπεριφορά. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει σ αυτήν την περίπτωση ο συμβιβασμός (trade-off) μεταξύ συγκέντρωσης του ρυθμού και απωλειών διάδοσης. Για την δομή IMI, για παράδειγμα, ο μεν άρτιος ρυθμός με μείωση του πλάτους του ενδιάμεσου στρώματος συνεπάγεται αύξηση των απωλειών διάδοσης αλλά βελτίωση της ικανότητας συγκέντρωσης (ρυθμός βραχείας εμβέλειας, short-range SPP), ο δε περιττός ρυθμός με την ίδια μεταβολή του πλάτους οδηγεί σε ελάττωση των απωλειών διάδοσης αλλά ταυτόχρονα και σε μείωση της ικανότητας συγκέντρωσης (ρυθμός μακράς εμβέλειας, longrange SPP). Αναλυτικότερη περιγραφή των χαρακτηριστικών διάδοσης των σύνθετων πλασμονικών ρυθμών που υποστηρίζουν τέτοιου είδους δομές, μπορεί να βρει κανείς στα [81, 92 95].

95 Πλασμονικοί κυματοδηγοί Σχήμα 4.4: Εγκάρσιες διατομές των βασικότερων διατάξεων δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών. (i) Πλασμονικός κυματοδηγός ταινίας (metal stripe plasmonic waveguide), (ii) Πλασμονικός κυματοδηγός διακένου (gap plasmonic waveguide), (iii) Πλασμονικός κυματοδηγός καναλιού/σχισμής (channel/v-groove plasmonic waveguide), (iv) Πλασμονικός κυματοδηγός σφήνας (wedge plasmonic waveguide), (v) Πλασμονικός κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης (dielectricloaded plasmonic waveguide), (vi) Υβριδικός πλασμονικός κυματοδηγός (hybrid plasmonic waveguide) Δισδιάστατοι πλασμονικοί κυματοδηγοί Οι διατάξεις υποστήριξης επιφανειακών κυμάτων SPP, που περιγράφηκαν στις ενότητες και 4.1.3, παρόλο που αποτελούν στοιχειώδεις δομές πλασμονικής κυματοδήγησης, παρουσιάζουν μειωμένο ενδιαφέρον σε ό,τι αφορά την πρακτική εφαρμογή τους. Κι αυτό, διότι τα εξαρτήματα (components) που συνθέτουν ένα φωτονικό ολοκληρωμένο κύκλωμα (φίλτρα, ζεύκτες, διαιρέτες ισχύος κλπ.) καλούνται να οδηγήσουν το φως μέσω συγκεκριμένων κάθε φορά επιθυμητών διαδρομών. Συνεπώς, για την υλοποίηση τέτοιων εξαρτημάτων, είναι απαραίτητος ο περιορισμός του φωτός και στις δύο εγκάρσιες στη διάδοση διευθύνσεις. Αυτός ο περιορισμός επιτυγχάνεται με τους δισδιάστατους πλασμονικούς κυματοδηγούς. Ετσι, με βάση τα χαρακτηριστικά των μονοδιάστατων δομών και τις ιδιότητες της οδήγησης που περιγράφηκαν στις προηγούμενες ενότητες, θα συνεχίσουμε με την εξέταση των βασικότερων επίπεδων δισδιάστατων πλασμονικών διατάξεων κυματοδήγησης. Στο σχήμα 4.4 απεικονίζονται οι εγκάρσιες διατομές των κυριότερων από αυτές τις διατάξεις. Ο πλασμονικός κυματοδηγός ταινίας (metal stripe plasmonic waveguide) αποτελεί την απλούστερη, ίσως, διάταξη δισδιάστατου πλασμονικού κυματοδηγού. Η γεωμετρία της δομής του είναι βασισμένη στη δομή διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού (IMI) και αποτελείται από μια μεταλλική ταινία, τοποθετημένη στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών υλικών. Η διατομή του κυματοδηγού ταινίας απεικονίζεται στο σχήμα 4.4(i). Στη γενική περίπτωση, η δομή είναι ασύμμετρη με το ένα διηλεκτρικό υλικό να παίζει τον ρόλο του υποστρώματος (ε sub ) και το άλλο να αποτελεί τον περιβάλλοντα χώρο (ε b ). Αποδεικνύεται ότι παρόλο που η εξασθένηση, λόγω των απωλειών διάδοσης, ενός SPP ρυθμού μακράς εμβέλειας, ο οποίος μπορεί να υποστηριχθεί από έναν κυματοδηγό ταινίας, μπορεί να είναι ακόμη και δέκα φορές μικρότερη από ένα άπειρου πάχους στρώμα μετάλλου στην αντίστοιχη δομή, η συγκέντρωση του ρυθμού παραμένει ασθενής [96 98]. Ως εκ τούτου, η προοπτική συγκέντρωσης του φωτός σε διαστάσεις μικρότερες του μήκους κύματος (subwavelength confinement), που είναι και ο βασικός στόχος στην περιοχή της πλασμονικής, δεν

96 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί 86 μπορεί να ικανοποιηθεί. Κατ αντιστοιχία με τον κυματοδηγό ταινίας, με επέκταση των μονοδιάστατων διατάξεων MIM, προκύπτει ο πλασμονικός κυματοδηγός διακένου (gap plasmonic waveguide) [99]. Στο σχήμα 4.4( ii) φαίνεται η γεωμετρία της εγκάρσιας διατομής του. Σ αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατή η επίτευξη συγκέντρωσης του ρυθμού σε διαστάσεις πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος λειτουργίας, αλλά με κόστος την αύξηση των απωλειών της διάδοσης. Αποκλίνοντας από την περίπτωση των αμιγώς επίπεδων δομών, δύο ακόμη κατηγορίες δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών φαίνονται στα σχήματα 4.4(iii) και 4.4(iv). Πρόκειται για δύο δομές συμπληρωματικές μεταξύ τους, τον κυματοδηγό καναλιού ή σχισμής (channel/v-groove plasmonic waveguide) και τον κυματοδηγό σφήνας (wedge plasmonic waveguide). Οι δύο αυτές κατηγορίες μπορούν να θεωρηθούν ως προεκτάσεις των κυματοδηγών διακένου και ταινίας, αντίστοιχα, υποστηρίζοντας πλασμονικούς ρυθμούς με χαρακτηριστικά παρόμοια με αυτά των τελευταίων [88]. Κατά συνέπεια, ο συμβιβασμός των απωλειών διάδοσης με τη δυνατότητα συγκέντρωσης του ρυθμού σε περιοχές συγκρίσιμες με το μήκος κύματος, αξιοποιώντας τις προαναφερθείσες δομές, παραμένει ζήτημα προς επίλυση. Στην προσπάθεια ταυτόχρονης ικανοποίησης των απαιτήσεων υψηλού βαθμού συγκέντρωσης και χαμηλών απωλειών στη διάδοση, υλοποιήθηκε μια ακόμη πλασμονική δομή, ο κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης (Dielectic-Loaded SPP waveguide, DLSPP) [ ]. Πρόκειται για τη δομή ενός ορθογωνικού σχήματος διηλεκτρικού πυρήνα, ο οποίος βρίσκεται τοποθετημένος πάνω σε ένα ομοιόμορφο μεταλλικό στρώμα (σχήμα 4.4(v)), με το υλικό του περιβάλλοντα χώρου (ε b ) να είναι οπτικά αραιότερο από αυτό του πυρήνα. Για το υλικό του πυρήνα, αρχικά επιλέχθηκε το διοξείδιο του πυριτίου (SiO 2 ) [100], στη συνέχεια, ωστόσο, η δομή προτάθηκε και με άλλα διηλεκτρικά ή πολυμερή όπως για παράδειγμα το ORMOCER στο [101]. Η δυνατότητα περιορισμού του φωτός σε δύο διαστάσεις συνίσταται στην χρησιμοποίηση του διηλεκτρικού πυρήνα, ο οποίος συγκεντρώνει στο εσωτερικό του (μέσω του μηχανισμού οδήγησης δείκτη) τον πλασμονικό ρυθμό που αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια μετάλλου-διηλεκτρικού. Μ αυτόν τον τρόπο, καθίσταται δυνατός ο περιορισμός του φωτός στην περιοχή που ορίζεται από τον πυρήνα, ενώ παράλληλα οι απώλειες διάδοσης διατηρούνται σε ανεκτό επίπεδο. Ακόμη καλύτερη εξισορρόπηση μεταξύ συγκέντρωσης και απωλειών για τους πλασμονικούς ρυθμούς, ωστόσο, υπόσχεται μια άλλη οικογένεια κυματοδηγών, οι υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί (Hybrid Plasmonic Waveguides, HPWs) [103, 104]. Στη γενική περίπτωση η γεωμετρική τους δομή βασίζεται στην χρησιμοποίηση δύο διαφορετικών διηλεκτρικών υλικών, πέραν του μεταλλικού στρώματος. Τα δύο αυτά υλικά επιλέγονται ώστε το ένα να εμφανίζει υψηλό και το άλλο χαμηλό δείκτη διάθλασης. Με κατάλληλη διάταξη των υλικών, παρέχεται η δυνατότητα σχηματισμού ενός οδηγούμενου ρυθμού, ο οποίος παρουσιάζει μειωμένες απώλειες διάδοσης, ενώ παραμένει ισχυρά συγκεντρωμένος εντός του οπτικά αραιού (low-index) μέσου. Το σχήμα 4.4(vi) απεικονίζει τη διατομή ενός επίπεδου υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού. Εξαιτίας των ελκυστικών χαρακτηριστικών που παρουσιάζει αυτή η κατηγορία κυματοδηγών, οι πλασμονικές διατάξεις που σχεδιάζονται στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου, έχουν σαν βάση τη δομή ενός επίπεδου πλασμονικού υβριδικού κυματοδηγού. Κατά συνέπεια, η λεπτομερής ανάλυση των ιδιοτήτων και των χαρακτηριστικών των υποστηριζόμενων από αυτόν ρυθμών, η οποία θα ακολουθήσει στην επόμενη ενότητα, παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

97 Υβριδικός κυματοδηγός CGS 4.2 Υβριδικός κυματοδηγός CGS Οι υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί (HPWs), όπως ήδη έχει σημειωθεί, παρέχουν μια ενδιαφέρουσα εναλλακτική προοπτική για τον σχεδιασμό πολύπλοκων πλασμονικών εξαρτημάτων. Κι αυτό, επειδή εξασφαλίζουν τη δυνατότητα συγκέντρωσης του φωτός σε διαστάσεις πολύ μικρότερες του μήκους κύματος λειτουργίας, ενώ παράλληλα διατηρούν την ικανότητα οδήγησης του χωρίς σημαντικές απώλειες. Αυτός είναι και ο βασικός λόγος που τους καθιστά ιδιαίτερα δημοφιλείς για τη χρησιμοποίηση τους σε διατάξεις με αυξημένες απαιτήσεις χωρικής συρρίκνωσης (compactness). Η πρώτη αναφορά σε πλασμονικό κυματοδηγό με υβριδική συμπεριφορά έγινε το 2007 στην εργασία [103], ενώ τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα αυτής της κατηγορίας κυματοδηγών καθώς και η σχετική ανάλυση παρουσιάστηκαν έναν χρόνο αργότερα στο [104]. Εκτοτε, προτάθηκαν διάφορες δομές, κατά βάση επίπεδες (planar), οι οποίες διέφεραν ως προς τη διάταξη των χρησιμοποιούμενων υλικών αλλά παρέμειναν βασισμένες στην αρχική ιδέα, τη χρησιμοποίηση δύο διηλεκτρικών υλικών πέραν του μετάλλου [ ]. Τα δύο αυτά υλικά επιλέγονται έτσι, ώστε ο δείκτης διάθλασης του ενός να είναι χαμηλός (οπτικά αραιό μέσο) και ο δείκτης διάθλασης του άλλου υψηλότερος (οπτικά πυκνό μέσο). Ως οπτικά αραιό μέσο επιλέγεται συνήθως κάποιο διηλεκτρικό, όπως για παράδειγμα το διοξείδιο του πυριτίου (SiO 2 ), ενώ ως οπτικά πυκνό μέσο κάποιος ημιαγωγός, όπως το πυρίτιο (Si). Με την κατάλληλη τοποθέτηση των υλικών αυτών σε σχέση με το μέταλλο (ημιαγωγόςδιηλεκτρικό-μέταλλο) επιτυγχάνεται η υποστήριξη ενός οδηγούμενου ρυθμού, ο οποίος παραμένει ισχυρά συγκεντρωμένος στο διηλεκτρικό με τον χαμηλότερο δείκτη διάθλασης. Συγκρίνοντας τη δομή του υβριδικού κυματοδηγού με αυτή του κυματοδηγού τύπου MIM, εύκολα συμπεραίνει κανείς ότι η χρησιμοποίηση ενός μόνο μεταλλικού στρώματος οδηγεί σε μείωση των απωλειών διάδοσης, ενώ η συγκέντρωση του πλασμονικού ρυθμού παραμένει σημαντικά ισχυρή. Για τη σχεδίαση των πλασμονικών εξαρτημάτων, τα οποία θα μελετηθούν στο παρόν κεφάλαιο, επιλέγεται η διάταξη του υβριδικού κυματοδηγού αγωγού-διακένου-πυριτίου (Conductor-Gap- Silicon, CGS). Στο σχήμα 4.5(i) απεικονίζεται η διατομή του εν λόγω κυματοδηγού CGS. Πρόκειται για μια επίπεδη διάταξη, η οποία αναπτύσσεται επάνω σε υπόστρωμα τεχνολογίας πυριτίου (Silicon on Insulator, SOI) και συντίθεται από κάποιο μέταλλο, διοξείδιο του πυριτίου (Silica, SiO 2 ) και πυρίτιο (Silicon, Si). Το στρώμα διοξειδίου του πυριτίου, με δείκτη διάθλασης n SiO2 = 1.45, βρίσκεται τοποθετημένο μεταξύ μετάλλου και πυριτίου. Για το πυρίτιο ισχύει n Si = 3.48 ενώ ως μέταλλο έχει επιλεγεί ο άργυρος (Ag) με δείκτη διάθλασης που λαμβάνεται n Ag = 0.14 j11.4 στα 1550 nm [165]. 1 Η τοποθέτηση του υλικού χαμηλού δείκτη (low-index) μεταξύ του Ag και του Si, αναμένεται να οδηγήσει στην υποστήριξη ενός πλασμονικού ρυθμού, ο οποίος θα παραμένει συγκεντρωμένος εντός του SiO 2. Η βασική αρχή, στην οποία βασίζεται η υποστήριξη του πλασμονικού αυτού ρυθμού συνίσταται στο εξής: Στη διεπιφάνεια Ag-SiO 2 δύναται να υποστηριχθεί ένας επιφανειακός ρυθμός SPP. Παράλληλα, στη διαχωριστική επιφάνεια Si-SiO 2 η κάθετη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου του ρυθμού συναντά ισχυρή ασυνέχεια, λόγω της διαφοράς των ιδιοτήτων των δύο υλικών. Ετσι, ο πλασμονικός ρυθμός αναμένεται να παραμείνει συγκεντρωμένος μέσα στο SiO 2. Το μέτρο της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου (E y ) για τον ρυθμό αυτό, όπως 1 Η επιλογή του αργύρου (Ag) ως μέταλλο για την υλοποίηση του πλασμονικού κυματοδηγού CGS έγκειται στις χαμηλότερες ωμικές απώλειες που παρουσιάζει. Ο χρυσός, Au, που είναι το συνηθέστερα χρησιμοποιούμενο μέταλλο σ αυτού του είδους τις πρακτικές εφαρμογές, έχει δείκτη διάθλασης ίσο με n Au = 0.55 j11.5 στα 1550 nm [165] και φαίνεται να εμφανίζει μεγαλύτερες ωμικές απώλειες.

98 4.2. Υβριδικός κυματοδηγός CGS 88 Σχήμα 4.5: (i) Διατομή του κυματοδηγού αγωγού-διακένου-πυριτίου (CGS). Οι γεωμετρικές παράμετροι είναι h Ag = 100 nm, h gap = 30 nm, h Si = 300 nm και w = 170 nm. Για τις ιδιότητες των υλικών στο μήκος κύματος λειτουργίας (1550 nm) ισχύουν n Ag = 0.14 j11.4 [165], n SiO2 = 1.45 και n Si = (ii) Πεδιακή κατανομή του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου για την κυρίαρχη συνιστώσα (E y ) του υποστηριζόμενου πλασμονικού ρυθμού, στα 1550 nm. Οι τιμές έχουν κανονικοποιηθεί ως προς την μέγιστη τιμή του ηλεκτρικού πεδίου. προέκυψε από την επίλυση ενός δισδιάστατου προβλήματος ιδιοτιμών στη διατομή του κυματοδηγού CGS, 2 απεικονίζεται στο σχήμα 4.5(ii). Η συγκέντρωση του πλασμονικού ρυθμού μέσα στο στρώμα διοξειδίου του πυριτίου είναι εμφανής, με το μέγιστο να παρατηρείται σ αυτήν ακριβώς την περιοχή. Ενα μικρό ποσοστό του ρυθμού για την κυρίαρχη συνιστώσα, E y, φαίνεται να υπάρχει και εντός του πυριτίου, αρκετά μικρό ωστόσο σε σχέση με αυτό που αναπτύσσεται εντός του SiO 2. Τα μέτρα των άλλων δύο συνιστωσών (E x, E z ), κανονικοποιημένα ως προς τη μέγιστη τιμή του ηλεκτρικού πεδίου, απεικονίζονται στο σχήμα 4.6. Από την κατανομή και τις τιμές των πεδιακών συνιστωσών μπορεί κανείς να εξάγει τα ακόλουθα χρήσιμα συμπεράσματα. Με την κατακόρυφη E y συνιστώσα να είναι η κυρίαρχη για το ηλεκτρικό πεδίο έναντι της άλλης εγκάρσιας συνιστώσας, E x, διαπιστώνεται ότι ο υποστηριζόμενος ρυθμός έχει TM χαρακτήρα, κατ αντιστοιχία με τους χαρακτηρισμούς TM και TE στην ανάλυση που προηγήθηκε για την μονή διεπιφάνεια (ενότητα 4.1.2). Επειτα, από την εμφάνιση μη μηδενικής κατανομής για όλες τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και κατ επέκταση του μαγνητικού πεδίου, προκύπτει ότι ο ρυθμός δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αμιγώς TM ή TE, επαληθεύοντας έτσι την υβριδική του φύση. Οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά του πλασμονικού ρυθμού, όπως προέκυψαν παραπάνω α- πό την παρατήρηση της πεδιακής του κατανομής, συμπληρώνονται με τον υπολογισμό δύο ακόμη χαρακτηριστικών μεγεθών. Ειδικότερα, η δυνατότητα συγκέντρωσής του ρυθμού εκφράζεται μέσω της ενεργού επιφάνειας (effective mode area), η οποία δίνεται από τη σχέση A eff ( E 2 dxdy) 2 / E 4 dxdy, όπου E το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου στη διατομή του κυματο- 2 Για την εξαγωγή της πεδιακής μορφής και των χαρακτηριστικών του υποστηριζόμενου πλασμονικού ρυθμού, επιλύεται ένα δισδιάστατο πρόβλημα ιδιοτιμών στη διατομή με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM).

99 Υβριδικός κυματοδηγός CGS Σχήμα 4.6: Μέτρα των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου για τον πλασμονικό ρυθμό στα 1550 nm. Οι τιμές έχουν κανονικοποιηθεί ως προς τη μέγιστη τιμή του πεδίου. (i) Συνιστώσα E x του ηλεκτρικού πεδίου, (ii) Συνιστώσα E z του ηλεκτρικού πεδίου. δηγού, και περιγράφει το μέγεθος της επιφάνειας, στην οποία βρίσκεται συγκεντρωμένο το μεγαλύτερο ποσοστό ισχύος του ρυθμού [166]. Οσο μικρότερη είναι η ενεργός επιφάνεια του ρυθμού, τόσο μεγαλύτερη είναι η συγκέντρωση του και άρα μπορεί να υποστηριχθεί από δομές με πολύ μικρές διαστάσεις. Επιπλέον, από την ανάλυση ιδιοτιμών, που πραγματοποιείται στη διατομή του κυματοδηγού για την εύρεση του πλασμονικού ρυθμού, προκύπτει η τιμή του ενεργού δείκτη διάθλασης, n eff. Το πραγματικό μέρος του n eff σχετίζεται με τη φασική ταχύτητα και κατ επέκταση με το μήκος κύματος του ρυθμού SPP λ SPP = 2π Re{β} = λ 0 Re{n eff }. (4.17) Αντίστοιχα, το φανταστικό μέρος του n eff σχετίζεται με το μήκος διάδοσης (propagation length), L prop, το οποίο ορίζεται ως 1 L prop = 2Im{β} = 1 (4.18) 2k 0 Im{n eff } και εκφράζει το μήκος εκείνο, στο οποίο η ισχύς που μεταφέρεται μέσω του ρυθμού έχει μειωθεί κατά τον παράγοντα 1/e. Ετσι, το μήκος διάδοσης αποτελεί ένα μέτρο των απωλειών, στις οποίες υπόκειται ο πλασμονικός ρυθμός κατά τη διάδοσή του. Εχοντας τις παραπάνω παραμέτρους ως οδηγό, μπορεί κανείς να επιλέξει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του κυματοδηγού έτσι ώστε να επιτευχθεί ο καλύτερος συμβιβασμός μεταξύ απωλειών στη διάδοση και συγκέντρωσης του ρυθμού. Οι γεωμετρικές παράμετροι παίζουν σημαντικό ρόλο στην ισορροπία μεταξύ απωλειών διάδοσης και χωρικής συμπίεσης του ρυθμού. Οι σπουδαιότερες από αυτές είναι το πλάτος του πυρήνα οδήγησης, w, και το πάχος του στρώματος διοξειδίου του πυριτίου, h gap, 3 μιας και τόσο το μήκος 3 Συχνά στη βιβλιογραφία το υλικό χαμηλού δείκτη, εντός του οποίου συγκεντρώνεται ο πλασμονικός ρυθμός συναντάται ως διάκενο (gap). Για το λόγο αυτό, υιοθετήθηκε η λέξη gap ως ο δείκτης των παραμέτρων που αναφέρονται σε αυτό.

100 4.2. Υβριδικός κυματοδηγός CGS 90 Σχήμα 4.7: Καμπύλες μεταβολής του μήκους διάδοσης (L prop ) και της ενεργού επιφάνειας (A eff ) συναρτήσει (i) του πλάτους, w, του πυρήνα οδήγησης και (ii) του πάχους, h gap, του στρώματος διοξειδίου του πυριτίου. διάδοσης, L prop, όσο και η ενεργός επιφάνεια του ρυθμού, A eff, επηρεάζονται σημαντικά από την αλλαγή των παραμέτρων αυτών. Στο σχήμα 4.7, απεικονίζονται οι καμπύλες μεταβολής των μεγεθών L prop και A eff συναρτήσει των παραμέτρων w και h gap, για εύρος τιμών των γεωμετρικών παραμέτρων επιλεγμένο σύμφωνα με τις τυπικές τιμές που συναντώνται στη σχετική βιβλιογραφία. Είναι φανερό ότι το μήκος διάδοσης για τον πλασμονικό ρυθμό, αυξάνει όσο το πλάτος w του πυρήνα οδήγησης παίρνει μεγαλύτερες τιμές (σχήμα 4.7(i)). Ταυτόχρονα, όμως, για την ίδια μεταβολή του w, αυξάνει και η ενεργός επιφάνεια του ρυθμού, καταδεικνύοντας την αντίθετη τάση μεταξύ των δύο μεγεθών (απώλειες διάδοσης-συγκέντρωση ρυθμού). Η επιλογή του σημείου συμβιβασμού μεταξύ των δύο αντίθετων τάσεων, εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρμογή. Ετσι, μπορεί κανείς να επιλέξει την υλοποίηση ενός CGS κυματοδηγού με ισχυρή συγκέντρωση ρυθμού και σχετικά αυξημένες απώλειες ή το αντίθετο. Παρόμοια, προκύπτει και η μεταβολή των L prop και A eff συναρτήσει του πάχους h gap (σχήμα 4.7(ii)). Σ αυτήν την περίπτωση, με αύξηση του πάχους του στρώματος SiO 2 η ενεργός επιφάνεια αυξάνεται επίσης, κάτι που συνεπάγεται τη μείωση της συγκέντρωσης του υποστηριζόμενου ρυθμού. Αντίστοιχα, όσο μεγαλύτερες τιμές τιμές παίρνει η παράμετρος h gap, τόσο το μήκος διάδοσης L prop αυξάνεται έως κάποια οριακή τιμή, η οποία προκύπτει για h gap 60 nm. Από αυτήν την τιμή και έπειτα οι τιμές του μήκους διάδοσης ελαττώνονται καθώς το πάχος h gap παίρνει μεγαλύτερες τιμές. Ενα ιδιαίτερα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό του υβριδικού ρυθμού που υποστηρίζεται από τον κυματοδηγό CGS είναι η πεδιακή κατανομή της κυρίαρχης συνιστώσας E y για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου w. Στο σχήμα 4.7(i), ένθετα στο διάγραμμα των μεταβολών των παραμέτρων L prop και A eff ως προς w, φαίνονται οι κατανομές της συνιστώσας E y σε δύο διαφορετικές περιπτώσεις, για πλάτος του πυρήνα διάδοσης 130 nm και 450 nm. Οπως είναι φανερό, η αύξηση του πλάτους w, όχι μόνο οδηγεί σε αύξηση του μήκους διάδοσης και της ενεργού επιφάνειας, αλλά συνεπάγεται και διαρροή του ρυθμού στο στρώμα πυριτίου. Στην πραγματικότητα, η αυξημένη συγκέντρωση του πεδίου εντός του πυριτίου είναι η αιτία για την αύξηση του μήκους διάδοσης στην περίπτωση των μεγαλύτερων τιμών w, όπου ο χαρακτήρας του υποστηριζόμενου ρυθμού γίνεται περισσότερο

101 Υβριδικός κυματοδηγός CGS φωτονικός. Το χαρακτηριστικό αυτό μπορεί να αποδειχτεί ιδιαίτερα χρήσιμο κατά τη σύζευξη του CGS κυματοδηγού με τους συμβατικούς SOI κυματοδηγούς. Εχοντας τα παραπάνω ως οδηγό, η επιλογή των διαστάσεων των επιμέρους τμημάτων που συνθέτουν τον CGS κυματοδηγό εξαρτάται από την επιθυμητή λειτουργία της εν λόγω δομής και εναπόκειται, κατά βάση, στην επιλογή των γεωμετρικών παραμέτρων του στρώματος SiO 2, w και h gap. Στο παρόν κεφάλαιο, όπως ήδη έχει αναφερθεί, έχει τεθεί ως στόχος η σχεδίαση εξαρτημάτων βασισμένων στη δομή του CGS, τα οποία εκτός από ευθύγραμμα τμήματα κυματοδηγών θα συμπεριλαμβάνουν και συντονιστές οδεύοντος κύματος σε σχήμα δακτυλίου ή δίσκου. Για λόγους χωρικής συρρίκνωσης (compactness), οι συντονιστές αυτοί είναι επιθυμητό να καταλαμβάνουν διαστάσεις μικρότερες του 1 μm (sub-micron resonators). Κάτι τέτοιο, προϋποθέτει μεγάλη ικανότητα κάμψης του αντίστοιχου κυματοδηγού, χαρακτηριστικό που σχετίζεται άμεσα με την χωρική συγκέντρωση του υποστηριζόμενου πλασμονικού ρυθμού. Κατά συνέπεια, οι γεωμετρικές διαστάσεις των διαφόρων τμημάτων του CGS, για τις εφαρμογές που θα εξεταστούν στη συνέχεια, επιλέγονται με γνώμονα την ελαχιστοποίηση της περιοχής συγκέντρωσης του εν λόγω ρυθμού. Ετσι, για τα πάχη των στρωμάτων πυριτίου (Si) και μετάλλου (Ag) επιλέχθηκαν τυπικές τιμές με βάση τη σχετική βιβλιογραφία (h Ag = 100 nm και h Si = 300 nm), ενώ για το στρώμα του διοξειδίου του πυριτίου η απαίτηση για ισχυρή συγκέντρωση του ρυθμού οδήγησε στις τιμές w = 170 nm και h gap = 30 nm για το πλάτος και το πάχος του SiO 2, αντίστοιχα (Σχήμα 4.5(i)). Από την ανάλυση της δομής του κυματοδηγού με τα παραπάνω γεωμετρικά χαρακτηριστικά, προέκυψε ότι ο ενεργός δείκτης διάθλασης για τον υποστηριζόμενο πλασμονικό ρυθμό, στα 1550 nm, είναι n eff = j Το φανταστικό μέρος του n eff οδήγησε σε μήκος διάδοσης L prop 60 μm, ενώ από την κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου προέκυψε η ενεργός επιφάνεια του ρυθμού A eff μm 2. Συνεπώς, ο κυματοδηγός CGS μπορεί να προσφέρει την ισχυρή συγκέντρωση που απαιτείται για την υλοποίηση δομών με διαστάσεις μικρότερες του 1 μm, ενώ παράλληλα διατηρεί την ικανότητα διάδοσης του πλασμονικού ρυθμού χωρίς σημαντικές απώλειες Συντονιστές οδεύοντος κύματος μικροδακτυλίου και μικροδίσκου Η χρησιμοποίηση διατάξεων συντονιστών για την επίτευξη απόκρισης με χαρακτηριστικά επιλεκτικότητας ως προς τη συχνότητα αποτελεί τη συνηθέστερη ίσως επιλογή, όχι μόνο για το φάσμα των οπτικών επικοινωνιών αλλά και για άλλες περιοχές του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος. Στην περιοχή της πλασμονικής (plasmonics), διάφορες διατάξεις, στις οποίες χρησιμοποιείται ο συνδυασμός ευθύγραμμων κυματοδηγών με συντονιστές δακτυλίου ή δίσκου, έχουν προταθεί προς αυτήν την κατεύθυνση. Για τον κυματοδηγό DLSPP, για παράδειγμα, έχει μελετηθεί η σχεδίαση διατάξεων φίλτρων με τη χρησιμοποίηση δακτυλίων ή δίσκων για την επίτευξη οπτικής απόκρισης με λόγο εξάλειψης (Extinction Ratio, ER) έως και 30 db [167, 168]. Αντίστοιχα, και για τις δομές υβριδικών κυματοδηγών έχουν μελετηθεί διάφορες διατάξεις, στις οποίες η ενσωμάτωση συντονιστών σε σχήμα δακτυλίου ή δίσκου μπορεί να οδηγήσει σε οπτική απόκριση με χαρακτηριστικά επιλεκτικότητας ως προς τη συχνότητα [ ]. Εξαιτίας των ελκυστικών χαρακτηριστικών των υβριδικών CGS κυματοδηγών, όπως αυτά προέκυψαν και από την ανάλυση της προηγούμενης ενότητας, το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στις δομές συντονιστών με βάση τον CGS κυματοδηγό. Ετσι, στην παρούσα ενότητα, θα εξετάσουμε τη δυνατότητα συνδυασμού ευθύγραμμων κυματοδηγών με συντονιστές βασισμένους στη CGS δομή, έχοντας ως σκοπό την επίτευξη οπτικής απόκρισης με

102 4.2. Υβριδικός κυματοδηγός CGS 92 Σχήμα 4.8: Γεωμετρική δομή συντονιστών με βάση τον CGS κυματοδηγό. (i) Δομή μικροδακτυλίου και (ii) Δομή μικροδίσκου. χαρακτηριστικά φιλτραρίσματος. Στο σχήμα 4.8 απεικονίζεται η γεωμετρία των συντονιστών δακτυλίου και δίσκου. Η φυσική υλοποίηση τους έγκειται στην κάμψη του ευθύγραμμου CGS κυματοδηγού, ώστε να σχηματιστεί η κυκλική περιφέρεια του συντονιστή. Για τον δακτύλιο (σχ. 4.8(i)), το πλάτος του πυρήνα οδήγησης προκύπτει ως η διαφορά της εσωτερικής ακτίνας (R in ) από την εξωτερική (R out ). Δεδομένου ότι αυτή η παράμετρος παίζει καθοριστικό ρόλο στη δυνατότητα συγκέντρωσης του πλασμονικού ρυθμού εντός της περιφέρειας του συντονιστή, οι γεωμετρικές διαστάσεις των ακτίνων R in και R out θα πρέπει να επιλεγούν προσεκτικά κατά τη σχεδίαση. Η απουσία του εσωτερικού ορίου στον συντονιστή μικροδακτυλίου οδηγεί στο σχηματισμό της δομής μικροδίσκου (σχ. 4.8(ii)). Και στις δύο περιπτώσεις, η κάμψη τμήματος του κυματοδηγού για το σχηματισμό του αντίστοιχου συντονιστή συνεπάγεται την εμφάνιση απωλειών κάμψης ή ακτινοβολίας (bend/radiation loss). Οι απώλειες αυτές αντιστοιχούν στο ποσοστό της ενέργειας που χάνεται από τον συντονιστή με τη μορφή ακτινοβολίας κατά την περιστροφή του οδηγούμενου ρυθμού στην περιφέρεια του. Αυτός ο μηχανισμός απωλειών έρχεται να προστεθεί στις απώλειες, στις οποίες υπόκειται ο πλασμονικός ρυθμός, λόγω της διείσδυσης του πεδίου στο μέταλλο (resistive losses). Συνολικά, είναι ο συνδυασμός των δύο μηχανισμών που χαρακτηρίζει την ικανότητα του συντονιστή να συγκεντρώσει τον πλασμονικό ρυθμό και ως εκ τούτου καθορίζει την τιμή του συντελεστή ποιότητας (Quality factor, Q) του συντονιστή. Στην ενότητα που ακολουθεί παρουσιάζεται η διαδικασία σχεδίασης διατάξεων φίλτρων στις οποίες χρησιμοποιούνται ευθύγραμμοι κυματοδηγοί CGS σε συνδυασμό με συντονιστές, όπως αυτοί που περιγράφηκαν παραπάνω [ ]. Οι δομές των φίλτρων, η αρχή λειτουργίας τους καθώς και η μέθοδος επίλυσης των αντίστοιχων ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων αναλύονται διεξοδικά, ενώ παράλληλα παρουσιάζονται και τα αποτελέσματα των αντίστοιχων αναλύσεων.

103 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Σχήμα 4.9: Σχηματική απεικόνιση του φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου. Στο σχήμα σημειώνεται η ακτίνα του δακτυλίου, R, καθώς και οι διαδρομές που ακολουθεί ο υποστηριζόμενος ρυθμός. 4.3 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Αρχή λειτουργίας Η γεωμετρική διάταξη ενός φίλτρου συντονιστή δακτυλίου, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.9, αποτελείται από έναν ευθύγραμμο κυματοδηγό εισόδου/εξόδου (bus ή access waveguide), ο οποίος είναι συζευγμένος με έναν μικροδακτύλιο ακτίνας R. Η τροφοδοσία του φίλτρου γίνεται μέσω του ευθύγραμμου κυματοδηγού από την αριστερή πλευρά (In) και η έξοδος (Out) λαμβάνεται, μετά την αλληλεπίδραση του φωτός με τον συντονιστή, στο δεξί άκρο του κυματοδηγού. Με την προϋπόθεση ότι διεγείρεται ένας και μόνο ρυθμός του συντονιστή μικροδακτυλίου και προς τη μία μόνο κατεύθυνση, ότι η σύζευξη πραγματοποιείται χωρίς απώλειες, ότι κανένα τμήμα κυματοδηγού ή συντονιστή δεν συζευγνύεται με κύματα διαφορετικής πόλωσης από αυτή του ρυθμού και ότι τα διάφορα είδη απωλειών διάδοσης, τόσο για τον κυματοδηγό όσο και για τον συντονιστή, ενσωματώνονται στον συντελεστή απόσβεσης, η αλληλεπίδραση μεταξύ κυματοδηγού και συντονιστή περιγράφεται με τη μορφή πινάκων από τη σχέση ( Et1 E t2 ) ( ) ( ) t κ Ei1 = κ * t *. (4.19) Η παράμετρος κ στην παραπάνω σχέση είναι ο συντελεστής σύζευξης μεταξύ των δύο δομών (κυματοδηγού και συντονιστή) και θεωρείται ότι λαμβάνει αμιγώς φανταστικές τιμές, κ = j κ, ενώ η παράμετρος t εκφράζει το ποσοστό ισχύος του ρυθμού, το οποίο μετά την αλληλεπίδραση με τον δακτύλιο θα συνεχίζει να διαδίδεται εντός του κυματοδηγού, και δίνεται ως t = t e jθt. Τα πλάτη του πεδίου, E, κανονικοποιούνται, ώστε το τετράγωνο του μέτρου τους να αντιστοιχεί στην οδηγούμενη ισχύ του ρυθμού. Το φως που οδηγείται μέσω του κυματοδηγού, συζευγνύεται με τον συντονιστή και οδηγείται κατά μήκος της περιφέρειάς του τελευταίου. Αφού διαγράψει την κυκλική περιφέρεια του δακτυλίου, ένα ποσοστό του ρυθμού επιστρέφει στον κυματοδηγό για να οδηγηθεί και αυτό προς την έξοδο. E i2

104 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 94 Εξαιτίας της αμοιβαιότητας της διάταξης, η οποία προκύπτει από τη γεωμετρική συμμετρία ως προς τον άξονα AA, προκύπτει η αναγκαιότητα ικανοποίησης της σχέσης κ = κ * και άρα η θεώρηση αμιγώς φανταστικού συντελεστή σύζευξης. Επιπρόσθετα, η υπόθεση σύζευξης άνευ απωλειών, η οποία πραγματοποιήθηκε αρχικά, υπαγορεύει την ικανοποίηση της συνθήκης κ 2 + t 2 = 1. Θεωρώντας, χάριν απλότητας, ότι E i1 = 1, το πλάτος του πεδίου E i2 προκύπτει E i2 = αe jθ E t2, (4.20) όπου α είναι ο συντελεστής απωλειών του δακτυλίου (με την τιμή α = 1 να εκφράζει την περίπτωση απουσίας απωλειών) και η παράμετρος θ είναι η φάση που συσσωρεύεται κατά τη διαγραφή της κυκλικής περιφέρειας του δακτυλίου και δίνεται ως θ = (2π/λ)Re{n eff }L, όπου L = 2πR το μήκος της περιφέρειας. Η μεταδιδόμενη ισχύς στην έξοδο του κυματοδηγού προκύπτει, συνεπώς, P t1 = E t1 2 = α2 + t 2 2α t cos(θ + θ t ) 1 + α 2 t 2 2α t cos(θ + θ t ), (4.21) ενώ η ισχύς του οδηγούμενου ρυθμού εντός του δακτυλίου θα δίνεται από τη σχέση P i2 = E i2 2 = α 2 (1 t 2 ) 1 + α 2 t 2 2α t cos(θ + θ t ). (4.22) Στον συντονισμό, όπου ισχύει (θ + θ t ) = 2mπ με m κάποιον ακέραιο αριθμό 4, η ισχύς εξόδου του κυματοδηγού γίνεται ελάχιστη και ίση με P t1 = E t1 2 = (α t )2 (1 α t ) 2. (4.23) Από τη σχέση (4.23) προκύπτει η απαιτούμενη συνθήκη για μηδενισμό της ισχύος εξόδου του φίλτρου, η οποία είναι α = t και αντιπροσωπεύει εκείνη την περίπτωση, όπου οι απώλειες του συντονιστή εξισώνονται με τις απώλειες σύζευξης. Η συνθήκη αυτή συναντάται στη βιβλιογραφία ως συνθήκη κρίσιμης σύζευξης (critical coupling) και προκύπτει ως αποτέλεσμα της καταστροφικής συμβολής των επιμέρους τμημάτων του διαδιδόμενου ρυθμού στην έξοδο του φίλτρου. Η οπτική απόκριση του φίλτρου συναρτήσει της συχνότητας αναμένεται, σύμφωνα με τα παραπάνω, να εμφανίζει βυθίσεις στις συχνότητες συντονισμού των διαφόρων ρυθμών που υποστηρίζονται από τον συντονιστή, ορίζοντας με αυτόν τον τρόπο τις συχνοτικές περιοχές αποκοπής της διάταξης. Η οξύτητα των βυθίσεων (συντελεστής ποιότητας συντονισμού), καθώς και η απόσταση μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης διαδιδόμενης ισχύος (λόγος εξάλειψης) θα καθορίζονται από την ακτίνα του συντονιστή, R, και την απόσταση (διάκενο) μεταξύ αυτού και του ευθύγραμμου κυματοδηγού. Ετσι, στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου, η σχεδίαση φίλτρων με συντονιστές μικροδακτυλίου βασισμένους στη δομή του υβριδικού κυματοδηγού CGS, θα πραγματοποιηθεί, κατά βάση, μέσω της επιλογής αυτών των παραμέτρων. Η υπολογιστική μέθοδος ανάλυσης που θα χρησιμοποιηθεί για τον σκοπό αυτό, περιγράφεται συνοπτικά στην ενότητα που ακολουθεί. 4 Η συνθήκη συντονισμού (θ + θ t ) = 2mπ αναφέρεται στο πρόβλημα του συζευγμένου με τον ευθύγραμμο κυματοδηγό συντονιστή. Το πρόβλημα του ασύζευκτου συντονιστή θα οδηγούσε στη συνθήκη θ = 2mπ, η οποία καταλήγει στην n eff = mλ 2πR.

105 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Υπολογιστική μέθοδος ανάλυσης Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Τα προβλήματα που καλούμαστε να επιλύσουμε στο παρόν κεφάλαιο, όπως ήδη έχει αναφερθεί, εντάσσονται στην περιοχή της φωτονικής τεχνολογίας. Σ αυτήν την περιοχή, το φως -στη γενική περίπτωση- μπορεί να αντιμετωπιστεί ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα, χωρίς την απαίτηση της θεώρησής του στα πλαίσια της κβαντικής οπτικής. Το ηλεκτρομαγνητικό αυτό κύμα θα περιγράφεται από τα διανυσματικά μεγέθη του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου λαμβάνοντας υπ όψη και τη μεταξύ τους σύζευξη. Ετσι, η επίλυση ενός προβλήματος της φωτονικής τεχνολογίας ως πρόβλημα ηλεκτρομαγνητισμού απαιτεί τον υπολογισμό των πεδιακών μεγεθών στην υπό μελέτη δομή. Η πλειοψηφία των δομών που εξετάζονται, ωστόσο, χαρακτηρίζονται από αυξημένη πολυπλοκότητα, είτε εξαιτίας της γεωμετρικής τους διάταξης, είτε λόγω των ιδιοτήτων των υλικών που τις συνθέτουν (ανισοτροπία, συχνοτική διασπορά ή μη γραμμικότητα). Κατά συνέπεια, η αναλυτική επίλυση σε δομές που παρουσιάζουν πρακτικό ενδιαφέρον καθίσταται ιδιαίτερα δύσκολη. Η χρήση κάποιας υπολογιστικής μεθόδου έρχεται σ αυτήν την περίπτωση να δώσει λύση στην εύρεση των πεδιακών μεγεθών για τις υπό μελέτη διατάξεις. Από τις διάφορες μεθόδους, οι οποίες έχουν αναπτυχθεί για την αριθμητική (υπολογιστική) επίλυση των ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM), όπως και στην περίπτωση των μικροκυματικών διατάξεων αποτελεί την καλύτερη επιλογή για την ανάλυση των πλασμονικών φίλτρων του κεφαλαίου αυτού. Κι αυτό, εξαιτίας μιας σειράς χαρακτηριστικών που την καθιστούν κατάλληλη για την αντιμετώπιση σύνθετων ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων στις υψηλές συχνότητες. Τα χαρακτηριστικά αυτά περιγράφηκαν αναλυτικά στην ενότητα του κεφαλαίου Φίλτρα συντονιστών οδεύοντος κύματος με σχήμα δακτυλίου Στην παρούσα ενότητα περιγράφεται η διαδικασία σχεδίασης φίλτρων με βάση τη δομή του κυματοδηγού CGS σε συνδυασμό με συντονιστές οδεύοντος κύματος σε σχήμα δακτυλίου. Η γεωμετρική διάταξη του υπό μελέτη φίλτρου απεικονίζεται στο σχήμα Πρόκειται για τον συνδυασμό ενός ευθύγραμμου CGS κυματοδηγού, τα χαρακτηριστικά του οποίου μελετήθηκαν στην ενότητα 4.2, με έναν συντονιστή μικροδακτυλίου κατασκευασμένο έχοντας ως αναφορά τη δομή του CGS. Οι διαστάσεις του κυματοδηγού επιλέγονται ώστε να ικανοποιείται, κατά το δυνατό, η απαίτηση για ισχυρή συγκέντρωση και ικανό μήκος διάδοσης του πλασμονικού ρυθμού, ακολουθώντας την ανάλυση της ενότητας 4.2. Ετσι, με αναφορά το σχήμα 4.5(i), για τον πυρήνα οδήγησης επιλέγεται πλάτος ίσο με w = 170 nm και συνολικό ύψος h Si + h gap + h Ag = 430 nm. Ως οπτικά πυκνό μέσο θεωρείται το πυρίτιο (Silicon, Si) με δείκτη διάθλασης n Si = 3.48, ενώ το υλικό χαμηλού δείκτη (low-index), εντός του οποίου αναμένεται ισχυρή συγκέντρωση του βασικού πλασμονικού ρυθμού, είναι το διοξείδιο του πυριτίου (Silica, SiO 2 ) με n SiO2 = Ως μέταλλο επιλέγεται ο άργυρος (Ag), οι ιδιότητες του οποίου περιγράφονται κι αυτές με τη βοήθεια του δείκτη διάθλασης, ο οποίος για τα 1550 nm προκύπτει από πειραματικά αποτελέσματα ίσος με n Ag = 0.14 j11.4 [165]. Η υλοποίηση του συντονιστή δακτυλίου πραγματοποιείται μέσω της κάμψης τμήματος ευθύγραμμου κυματοδηγού CGS, ώστε ο άξονάς του να σχηματίσει κυκλική τροχιά. Η εξωτερική ακτίνα του

106 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 96 Σχήμα 4.10: Φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου με βάση τον κυματοδηγό CGS. Οι διαστάσεις για τον ευθύγραμμο κυματοδηγό CGS προκύπτουν από την απαίτηση για ισχυρή συγκέντρωση και ικανό μήκος διάδοσης ως εξής, με αναφορά το σχήμα 4.5(i): w = 170 nm, h Si = 300 nm h gap = 30 nm h Ag = 100 nm. Η ακτίνα του δακτυλίου, R 0 = 0, 93 μm, επιλέγεται έτσι ώστε να επιτευχθεί συντονισμός κοντά στη συχνοτική περιοχή ενδιαφέροντος (γύρω από τα 1550 nm). δακτυλίου συμβολίζεται με R o, ενώ η εσωτερική του ακτίνα καθορίζεται μέσω της R o και του πλάτους του CGS ως R i = R o w. Ο δακτύλιος τοποθετείται σε απόσταση g από τον ευθύγραμμο κυματοδηγό, μετρημένη μεταξύ του εξωτερικού άκρου του δακτυλίου και του πλησιέστερου σε αυτόν άκρου του κυματοδηγού (σχήμα 4.10). Το φίλτρο τροφοδοτείται μέσω του ευθύγραμμου κυματοδηγού στο επίπεδο της θύρας εισόδου (input), ενώ η έξοδος λαμβάνεται στο άλλο άκρο του κυματοδηγού (output). Ο υποστηριζόμενος οδηγούμενος ρυθμός αναμένεται να συζευχθεί με τον συντονιστή δακτυλίου αναγκάζοντας ένα μέρος της ισχύος που φέρει να εγκλωβιστεί στον συντονιστή, καθώς το υπόλοιπο θα οδηγηθεί προς την έξοδο. Η αποθηκευμένη στη διάταξη ενέργεια θα υποστεί τόσο τις ωμικές απώλειες (resistive losses), που εισάγει το στρώμα αργύρου, μέσω του μηχανισμού απωλειών Joule, όσο και τη μείωση που αναμένεται να προκαλέσει η κάμψη του κυματοδηγού για τον σχηματισμό του δακτυλίου. Κι αυτό, επειδή η κάμψη του κυματοδηγού εξαναγκάζει τον υποστηριζόμενο πλασμονικό ρυθμό να μετατοπιστεί προς το εξωτερικό όριο του δακτυλίου, αναγκάζοντας ένα ποσοστό της ισχύος του ρυθμού που περιστρέφεται εντός του δακτυλίου να χαθεί με μορφή ακτινοβολίας (radiation losses). Το ποσοστό με το οποίο συνεισφέρει κάθε μηχανισμός στις συνολικές απώλειες εξαρτάται από την ακτίνα του συντονιστή δακτυλίου, η οποία όσο αυξάνεται οδηγεί σε μείωση των απωλειών ακτινοβολίας. Η συνεισφορά των δύο επιμέρους μηχανισμών θα πρέπει να συνυπολογιστεί για την αποτίμηση του ποσοστού ισχύος που φτάνει τελικά στην έξοδο του φίλτρου. Υλοποίηση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Παρότι το μοντέλο που περιγράφηκε στην ενότητα 4.3.1, προσφέρει μια γενική εποπτεία σχετικά με τη λειτουργία του φίλτρου μικροδακτυλίου λαμβάνοντας υπ όψη τα φαινόμενα που αναπτύσσονται μεταξύ κυματοδηγού και συντονιστή στη περιοχή σύζευξής τους, η οπτική απόκριση της διάταξης μπορεί να προκύψει με μεγαλύτερη ακρίβεια μέσω της επίλυσης του ηλεκτρομαγνητικού

107 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος προβλήματος σε ολόκληρη τη δομή του φίλτρου. Κι αυτό γιατί με την ανάλυση του συνόλου της δομής θα συνυπολογιστούν οι επιδράσεις όλων των φαινομένων που συμβαίνουν κατά τη διέγερση της διάταξης του φίλτρου και πέρα από την περιοχή σύζευξης. 5 Η ανάλυση αυτή πραγματοποιείται με τη βοήθεια της αριθμητικής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM), η οποία περιγράφηκε εν συντομία στην ενότητα Η επιλογή της FEM για τη μελέτη της συμπεριφοράς της συνολικής δομής του φίλτρου επιτυγχάνει πέρα από την πλήρη ανάλυση ό- λων των εμπλεκομένων φαινομένων και την ορθή αναπαράσταση των οριακών επιφανειών για τις επιμέρους γεωμετρικές δομές (το καμπύλο όριο του συντονιστή δακτυλίου εν προκειμένω). Το πρόβλημα προς επίλυση απαιτεί την ανεύρεση των τιμών του ηλεκτρικού (E) και του μαγνητικού πεδίου (H) στο εσωτερικό του υπολογιστικού χωρίου, που ορίζεται από το υπό μελέτη φίλτρο (σχήμα 4.10). Για τους λόγους που αναλύθηκαν στην ενότητα 2.3.1, η διακριτοποίηση της δομής πραγματοποιείται με τη βοήθεια διανυσματικών πεπερασμένων στοιχείων. Ειδικότερα, η γεωμετρική διάταξη του φίλτρου διακριτοποιείται με τη βοήθεια τριγωνικών πρισματικών στοιχείων πρώτης τάξης, με τα όρια του υπολογιστικού χώρου να νοούνται στα όρια της δομής του σχήματος Η επίπεδη (planar) δομή της διάταξης, άλλωστε, καθιστά τη χρησιμοποίηση αυτού του είδους των στοιχείων ιδανική. Ετσι, το τριγωνικό πλέγμα κατασκευάζεται 6 σ ένα επίπεδο παράλληλο στο ε- πίπεδο xz και επεκτείνεται (extrusion) κατά τον άξονα y, σχηματίζοντας τα διανυσματικά στοιχεία ακμής πρισματικού σχήματος (ένθετο σχήμα στο 4.10). Στις οριακές επιφάνειες του υπολογιστικού χώρου, οι οποίες είναι παράλληλες στα επίπεδα yz και xz, εφαρμόζονται οριακές συνθήκες απορρόφησης πρώτης τάξης (ενότητα 2.3.1), ώστε να μοντελοποιηθεί με ακρίβεια η συνθήκη του ανοιχτού ορίου. Με τον τρόπο αυτό, επιτυγχάνεται στα εν λόγω επίπεδα η απορρόφηση τυχόν ακτινοβολίας και αποτρέπεται η επίδραση της, με τη μορφή ανακλώμενου από τα όρια κύματος, στην απόκριση του φίλτρου. Το επίπεδο στο οποίο ορίζεται η είσοδος της διάταξης (input), και είναι παράλληλο στο xy, αποτελεί το σημείο διέγερσης, όπου εισάγεται ο υποστηριζόμενος ρυθμός. Η οριακή συνθήκη που χρησιμοποιείται σ αυτό το όριο είναι συνθήκη διέγερσης/απορρόφησης, παρόμοια με αυτή που περιγράφηκε στην ενότητα για τον βασικό ρυθμό ενός ορθογωνικού κυματοδηγού (εξ. (2.26)) και θα εξηγηθεί εκτενέστερα παρακάτω. Στο όριο της εξόδου του φίλτρου (output) επιλέγεται η εισαγωγή ενός στρώματος PML με προφίλ δεύτερης τάξης (παραβολικό), δηλαδή με βάση την εξ. (2.30) για m = 2, το οποίο τερματίζεται στην οριακή συνθήκη απορρόφησης για τον πλασμονικό ρυθμό. Το πάχος του PML επιλέγεται ώστε για δεδομένη αγωγιμότητα, το ποσοστό του κύματος που φτάνει στο πέρας του να μπορεί να απορροφηθεί επιτυχώς από την απορροφητική συνθήκη. Οπως αναφέρθηκε παραπάνω, για τη μοντελοποίηση της θύρας εισόδου του φίλτρου επιλέγεται μία τροποποιημένη απορροφητική οριακή συνθήκη. Πρόκειται για την επέκταση της ABC πρώτης τάξης (εξ. (2.26)), ώστε να μπορεί να διεγείρει/απορροφήσει υβριδικούς οδηγούμενους ρυθμούς, όπως ο πλασμονικός ρυθμός που υποστηρίζεται από τον κυματοδηγό CGS. Η υβριδική φύση του υποστηριζόμενου πλασμονικού ρυθμού, η οποία επιτρέπει μη μηδενικές τιμές και για τις έξι πεδιακές συνιστώσες, καθιστά τον χαρακτήρα του ρυθμού υβριδικό TE/TM και υπαγορεύει την υιοθέτηση μιας οριακής συνθήκης, τροποποιημένης κατάλληλα ώστε να μπορεί να απορροφά επαρκώς τον εν 5 Ως περιοχή σύζευξης θεωρείται η περιοχή που ορίζεται γύρω από το τμήμα του ευθύγραμμου κυματοδηγού, το οποίο βρίσκεται σε σύζευξη με τον συντονιστή. Στο σχήμα 4.10 η περιοχή αυτή ορίζεται μεταξύ των επιπέδων S 1 και S 2. 6 Η κατασκευή του τριγωνικού πλέγματος γίνεται με τη βοήθεια του αλγορίθμου του Matlab για διαμερισμό μίας τυχαίας γεωμετρίας μέσω της τριγωνοποίησης Delaunay.

108 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 98 λόγω ρυθμό [177]. Η βασική διαφορά του υβριδικού αυτού ρυθμού από τους αμιγώς TE ή TM ρυθμούς έγκειται στις ιδιότητες που παρουσιάζει η κυματική του αντίσταση, η οποία δεν είναι πλέον μία βαθμωτή ποσότητα, σταθερή σε κάθε σημείο της διατομής, αλλά έχει τη μορφή τανυστή και παρουσιάζει χωρική μεταβολή. Κατά συνέπεια, η εν λόγω οριακή συνθήκη προκύπτει ^n E + jωμ 0^n Z w 1^n E = 2jωμ0^n Z w 1^n E inc, (4.24) όπου Z w είναι ένας δυαδικός τανυστής της μορφής Z w = Zw TM (x, y)^x^x + Zw TE (x, y)^y^y και ^n ^z. Οι όροι Zw TM (x, y) και Zw TE (x, y) του τανυστή της κυματικής αντίστασης δίνονται από τις σχέσεις Zw TM (x, y) = E y(x, y) H x (x, y), Zw TE (x, y) = E x(x, y) H y (x, y) (4.25α) (4.25β) και ο χαρακτηρισμός τους ως TE και TM προκύπτει από την κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα του πλασμονικού ρυθμού, η οποία είναι η E x και η E y, αντίστοιχα. Η απορροφητική συνθήκη που χρησιμοποιείται στη θύρα εξόδου του κυματοδηγού, προκύπτει κατ αντιστοιχία με την (4.24) για μηδενισμό του όρου που περιέχει το πεδίο διέγερσης (E inc ) ως εξής ^n E + jωμ 0^n Z w 1^n E = 0. (4.26) Τόσο η (4.24) όσο και η (4.26) χρησιμοποιούνται για την απορρόφηση και διέγερση του υβριδικού ρυθμού, που υποστηρίζεται από τον πλασμονικό κυματοδηγό. Αδυνατούν, ωστόσο, να διαχειριστούν άλλου είδους ρυθμούς, όπως είναι οι ρυθμοί ακτινοβολίας που μπορούν να διεγερθούν εκτός του βασικού πλασμονικού ρυθμού. Για τον λόγο αυτό κρίνεται σκόπιμη και η χρήση στρωμάτων PML όπου η απαίτηση για απορρόφηση είναι αυξημένη (θύρα εξόδου του πλασμονικού φίλτρου). Ο υποστηριζόμενος πλασμονικός ρυθμός που εισάγεται ως διέγερση στη θύρα εισόδου του φίλτρου, προκύπτει μέσω της επίλυσης ενός δισδιάστατου προβλήματος ιδιοτιμών στο επίπεδο της θύρας (διατομή του κυματοδηγού CGS). Για την επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών, η διακριτοποίηση του εν λόγω επιπέδου πραγματοποιείται με ένα ορθογωνικό πλέγμα, ακριβώς ίδιο με αυτό που υπάρχει στη θύρα εισόδου της τρισδιάστατης (3D) διάταξης, ενώ τα στοιχεία που επιλέγονται είναι πρώτης τάξης ώστε η προσεγγιστική έκφραση του πεδίου να προκύπτει κατά το δυνατόν σε αντιστοιχία με το 3D πρόβλημα. Η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών θα οδηγήσει στην ανεύρεση του προφίλ του βασικού πλασμονικού ρυθμού για τον κυματοδηγό CGS, το οποίο θα αποτελέσει το πεδίο διέγερσης, E inc, για την οριακή συνθήκη (4.24). Μετά την εισαγωγή του ρυθμού διέγερσης, η διάταξη του φίλτρου αναλύεται, σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν νωρίτερα σ αυτήν την ενότητα, ώστε να προκύψουν οι τιμές των πεδίων (E και H) σ ολόκληρο το χωρίο υπολογισμού. Από τις τιμές των πεδίων, έπειτα, υπολογίζεται η ισχύς στα επίπεδα της εισόδου (επίπεδο S 1 στο σχ. 4.10) και της εξόδου (επίπεδο S 2 στο σχ. 4.10) του υπό μελέτη φίλτρου και από την μεταξύ τους σχέση υπολογίζεται ο συντελεστής μετάδοσης. Τα αποτελέσματα της σχετικής ανάλυσης για τη δομή του φίλτρου μικροδακτυλίου παρατίθενται στην ενότητα που ακολουθεί.

109 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Σχήμα 4.11: Μεταβολή του συντελεστή μετάδοσης συναρτήσει του μήκους κύματος για το φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου. Στο γράφημα απεικονίζεται ο συντελεστής μετάδοσης του φίλτρου για τρεις διαφορετικές τιμές της ακτίνας του συντονιστή δακτυλίου, R 0 = 0.95, 0.93 και 0.90 μm. Οπτική απόκριση του φίλτρου μικροδακτυλίου Οπως έχει ήδη αναφερθεί, οι γεωμετρικές παράμετροι της διάταξης του φίλτρου μικροδακτυλίου είναι αυτές που καθορίζουν κατά βάση την οπτική του απόκριση. Από αυτές, όσες σχετίζονται με τη δομή του κυματοδηγού CGS (διαστάσεις διατομής) επιδρούν στη λειτουργία του φίλτρου μέσω της επίδρασής τους στη συγκέντρωση του πλασμονικού ρυθμού εντός του υλικού χαμηλού δείκτη (SiO 2 ). Ετσι, καθορίζονται αρχικά, με βάση την απαίτηση για ισχυρή συγκέντρωση του ρυθμού και επαρκές μήκος διάδοσης. Τα μήκη κύματος στα οποία θα εμφανιστούν οι αναμενόμενοι συντονισμοί καθώς και τα χαρακτηριστικά αυτών, όπως οι συντελεστές ποιότητας (Quality factors, Q) και οι λόγοι εξάλειψης (Extinction Ratio, ER), ωστόσο, καθορίζονται από την ακτίνα του συντονιστή μικροδακτυλίου, R 0, και το διάκενο, g, μεταξύ αυτού και του ευθύγραμμου κυματοδηγού. Ετσι κατά τη διαδικασία σχεδίασης του φίλτρου κρίνεται σκόπιμη η παραμετρική ανάλυση της υπό μελέτη διάταξης ως προς τις δύο αυτές δομικές παραμέτρους. Αρχικά διερευνάται η επίδραση της ακτίνας του συντονιστή στην απόκριση του φίλτρου. Η ικανότητα του κυματοδηγού CGS για ισχυρή συγκέντρωση του πλασμονικού ρυθμού επιτρέπει την κάμψη του κυματοδηγού σε ακτίνες μικρότερες του ενός μικρομέτρου, εξασφαλίζοντας παράλληλα μικρό ποσοστό απωλειών ακτινοβολίας. Δεδομένου ότι ως στόχος για την υλοποίηση πλασμονικών εξαρτημάτων τίθεται μεταξύ άλλων και η χωρική συρρίκνωση (compactness) αυτών, στην παρούσα διατριβή επιλέχθηκαν συντονιστές με ακτίνες μικρότερες του ενός μικρομέτρου. Λαμβάνοντας, επομένως, διαφορετικές τιμές για την εξωτερική ακτίνα του συντονιστή δακτυλίου (R 0 = 0.95, 0.93 και 0.90 μm) υπολογίζεται ο συντελεστής μετάδοσης του υπό μελέτη φίλτρου για το εύρος μηκών κύματος μm. Με την τιμή της παραμέτρου g, η οποία εκφράζει την απόσταση μεταξύ του ευθύγραμμου κυματοδηγού και του συντονιστή δακτυλίου (σχ. 4.10), να διατηρείται σταθερή και ίση με 120 nm, τα αποτελέσματα της εν λόγω ανάλυσης απεικονίζονται στο σχήμα Οπως αναμενόταν από τη σύντομη κυκλωματική μελέτη της ενότητας 4.3.1, η οπτική απόκριση του φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου παρουσιάζει απότομες βυθίσεις για ορισμένες περιοχές

110 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 100 Πίνακας 4.1: Ελεύθερο φασματικό εύρος, FSR, μετρημένο σε nm και λόγος εξάλειψης, ER, υπολογισμένος σε db για τις διάφορες τιμές της ακτίνας δακτυλίου, R 0. Με (i) έχει σημειωθεί η περιοχή μηκών κύματος κοντά στα 1.4 μm, ενώ με (ii) σημειώνεται αυτή γύρω από τα 1.55 μm. R 0 Ελεύθερο φασματικό εύρος Λόγος εξάλειψης (μm) FSR (nm) ER (db) (i) (ii) μηκών κύματος. Στις περιοχές αυτές η ισχύς που οδηγείται μέσω του ευθύγραμμου κυματοδηγού συζευγνύεται με τον συντονιστή δακτυλίου, διεγείροντας κάποιον πλασμονικό ρυθμό που υποστηρίζει ο τελευταίος. Ενα μέρος της ισχύος εγκλωβίζεται εντός του συντονιστή λόγω της σύζευξης και δεν καταφέρνει να φτάσει στην έξοδο του φίλτρου. Αυτό το φαινόμενο αποτυπώνεται ως μείωση στον συντελεστή μετάδοσης μεταξύ της εισόδου και της εξόδου της διάταξης. Η τιμή της ακτίνας του συντονιστή καθορίζει τη θέση (μήκος κύματος) εμφάνισης κάθε συντονισμού (ελάχιστο μετάδοσης), μιας και συνδέεται με το μήκος της κυκλικής περιφέρειας που διαγράφει ο οδηγούμενος ρυθμός και, κατά συνέπεια, με την συνθήκη συντονισμού του δακτυλίου (Ενότητα 4.3.1). Ετσι, για κάθε τιμή της ακτίνας, R 0, που επιλέχθηκε, στην υπό εξέταση συχνοτική περιοχή, εμφανίζονται δύο διαδοχικοί συντονισμοί, οι οποίοι μετατοπίζονται προς μεγαλύτερα μήκη κύματος καθώς η ακτίνα, R 0, παίρνει μεγαλύτερες τιμές (σχ. 4.11). Από την παρατήρηση των γραφημάτων του συντελεστή μετάδοσης, εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι για μικρές μόνο μεταβολές της ακτίνας του συντονιστή, μπορεί να προκληθεί σημαντική μετατόπιση του μήκους κύματος συντονισμού (θέσεις ελαχίστων μετάδοσης). Για παράδειγμα, για δεδομένη αλλαγή της ακτίνας του δακτυλίου δr 0 = 20 nm, η ευαισθησία της θέσης των συντονισμών προκύπτει περίπου ίση με δλ = 25 nm. Εκτός από τη μετατόπιση των ελαχίστων μετάδοσης, η αλλαγή στην ακτίνα του δακτυλίου μπορεί να επιφέρει μεταβολές και σε άλλα χαρακτηριστικά μεγέθη της οπτικής απόκρισης του φίλτρου. Ετσι, ακολουθεί η διερεύνηση της επίδρασης που έχει η αλλαγή της παραμέτρου R 0, τόσο στην απόσταση δύο διαδοχικών ελαχίστων, η οποία καλείται ελεύθερο φασματικό εύρος (Free Spectral Range, FSR), όσο και στον λόγο εξάλειψης (Extinction Ratio, ER), ο οποίος εκφράζει τον λόγο της ισχύος στις δύο καταστάσεις λειτουργίας του φίλτρου (αποκοπή και μετάδοση). Από τον υπολογισμό του ελεύθερου φασματικού εύρους, FSR, και για τις τρεις διαφορετικές τιμές της παραμέτρου R 0, προκύπτει ότι η αύξηση της ακτίνας οδηγεί σε μικρή μόνο αύξηση του FSR, της τάξης των μερικών νανομέτρων. Κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο, εξαιτίας της μικρής επίδρασης των μεταβολών της R 0 αυτής της τάξης στις παραμέτρους της απόσβεσης (α) και του συντελεστή μετάδοσης ( t ), όπως αυτές ορίστηκαν στην ενότητα Αντίστοιχα, ο λόγος εξάλειψης, ER, που υπολογίζεται για τις τρεις τιμές της παραμέτρου R 0, εμφανίζει μικρή αύξηση για κάθε συντονισμό όσο αυξάνεται η ακτίνα. Συγκρίνοντας, ωστόσο, τους λόγους ER των δύο συντονισμών για σταθερή R 0 προκύπτει ότι οι τιμές που υπολογίζονται για τους συντονισμούς γύρω από τα 1.55 μm είναι μεγαλύτερες από αυτές που υπολογίζονται κοντά στα 1.4 μm. Τα αποτελέσματα των παραπάνω υπολογισμών συνοψίζονται στον Πίνακα 4.1. Η οξύτητα των συντονισμών, τέλος,

111 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 1 Power Transmission g = 140 nm g = 120 nm g = 100 nm Wavelength (μm) Σχήμα 4.12: Μεταβολή του συντελεστή μετάδοσης συναρτήσει του μήκους κύματος για το φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου. Ο συντελεστής μετάδοσης έχει υπολογιστεί για τρεις διαφορετικές τιμές της απόστασης του διακένου μεταξύ του ευθύγραμμου κυματοδηγού CGS και του συντονιστή δακτυλίου (g = 100, 120 και 140 nm). φαίνεται να μην επηρεάζεται σημαντικά από την μεταβολή της ακτίνας. Ετσι, για κάθε διεγειρόμενο ρυθμό οι μεταβολές της R 0 που επιλέχθηκαν οδήγησαν σε παρόμοιες τιμές τους συντελεστές ποιότητας, Q, οι οποίοι για την περιοχή γύρω από τα 1.4 μm υπολογίστηκαν περίπου ίσοι με 195, ενώ για την περιοχή κοντά στα 1.55 μm περίπου ίσοι με 130. Στη συνέχεια, επιλέγεται σταθερή τιμή για την ακτίνα του συντονιστή δακτυλίου και εξετάζεται η οπτική απόκριση του φίλτρου για διάφορες τιμές της παραμέτρου g (σχ. 4.10). Η επιλογή της τιμής για την ακτίνα, R 0, γίνεται με βάση τη συχνοτική περιοχή ενδιαφέροντος, η οποία στο παρόν κεφάλαιο τέθηκε γύρω από τα 1.55 μm. Ετσι, στην ανάλυση που ακολουθεί ο συντονιστής δακτυλίου σχεδιάζεται με R 0 = 0.93 μm. Η μεταβολή της απόστασης του διακένου, g, μεταξύ του ευθύγραμμου CGS κυματοδηγού και του δακτυλίου, αναμένεται να επιφέρει μικρές μόνο μεταβολές στη θέση των ελαχίστων στην καμπύλη του συντελεστή μετάδοσης, μιας και δεν σχετίζεται άμεσα με τα μήκη κύματος στα οποία διεγείρονται οι υποστηριζόμενοι από τον δακτύλιο πλασμονικοί ρυθμοί. Αυτό που αναμένεται να επηρεαστεί, αντίθετα, είναι ο λόγος εξάλειψης, ER, και η ποιότητα των εμφανιζόμενων συντονισμών. Κι αυτό, επειδή αυτά τα μεγέθη σχετίζονται άμεσα με τα χαρακτηριστικά της σύζευξης μεταξύ κυματοδηγού και συντονιστή και κατά συνέπεια, εξαρτώνται από την τιμή της παραμέτρου g. Στο σχήμα 4.12 απεικονίζονται οι καμπύλες μετάδοσης του υπό εξέταση φίλτρου για τρεις διαφορετικές τιμές τής απόστασης του διακένου (g = 100, 120 και 140 nm). Οπως παρατηρείται, η επιλογή της τιμής g = 120 nm αποτελεί τον καλύτερο συμβιβασμό μεταξύ των απαιτήσεων για μεγιστοποίηση του λόγου εξάλειψης και του συντελεστή ποιότητας στην περιοχή συχνοτήτων ενδιαφέροντος. Πιο συγκεκριμένα, για αυτήν την τιμή απόστασης διακένου, επιτυγχάνεται ο καλύτερος λόγος εξάλειψης στην περιοχή των 1.55 μm (ER 20.2 db), μιας και η ελάχιστη τιμή του συντελεστή μετάδοσης που παρατηρείται είναι πολύ κοντά στο μηδέν. Αποκλίνοντας από τα 120 nm είτε προς μεγαλύτερες είτε προς μικρότερες τιμές διακένου, ο λόγος ER

112 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 102 Σχήμα 4.13: Κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου στη δομή του φίλτρου συντονιστή μικροδακτυλίου για τις δύο συχνότητες συντονισμού, όπως αυτές προέκυψαν από την μεταβολή του συντελεστή μετάδοσης. Στο σχήμα απεικονίζεται το πραγματικό μέρος της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου (E y ) σ ενα επίπεδο παράλληλο στο xz τοποθετημένο στο μέσο του στρώματος SiO 2. Οι γεωμετρικές παράμετροι με βάση το σχ είναι R 0 = 0.93 μm και g = 120 nm, ενώ η αζιμουθιακή τάξη κάθε ρυθμού συμβολίζεται με m. μειώνεται ( 2 db για τον συντονισμό κοντά στα 1.55 μm). Η μείωση αυτή αποδίδεται στην απομάκρυνση από τη συνθήκη κρίσιμης σύζευξης, η οποία φαίνεται να προσεγγίζεται σημαντικά για g = 120 nm. Παράλληλα με την προσπάθεια επίτευξης των συνθηκών κρίσιμης σύζευξης, ωστόσο, εξετάζεται και η επίδραση της μεταβολής της απόστασης διακένου στους συντελεστές ποιότητας, Q, των εμφανιζόμενων συντονισμών. Εύκολα προκύπτει η διαπίστωση ότι για μεγαλύτερες τιμές του διακένου, λαμβάνονται συντονισμοί με καλύτερους (μεγαλύτερους) συντελεστές ποιότητας, καταδεικνύοντας την τάση συγκέντρωσης μεγαλύτερου ποσοστού ισχύος εντός του συντονιστή μικροδακτυλίου. Παρόμοια τάση εμφανίζεται και στο βύθισμα της περιοχής γύρω από τα 1.4 μm, μόνο που σ αυτήν την περίπτωση το ελάχιστο της μετάδοσης δεν πλησιάζει κοντά στο μηδέν καθιστώντας τους αντίστοιχους λόγους εξάλειψης χαμηλότερους. Τελικά, η επιλογή της απόστασης g, όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, πραγματοποιείται με γνώμονα τον καλύτερο δυνατό συμβιβασμό μεταξύ των απαιτήσεων για ισχυρή συγκέντρωση της ισχύος εντός του συντονιστή αλλά και υψηλού λόγου εξάλειψης. Ετσι, η απόσταση του διακένου, για το φίλτρο συντονιστή δακτυλίου, με βάση τη λειτουργία του τελευταίου στην περιοχή ενδιαφέροντος ορίζεται ως g = 120 nm. Τα χαρακτηριστικά των διεγειρόμενων ρυθμών στο φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου, μπορούν να διερευνηθούν περαιτέρω μέσω της κατάλληλης απεικόνισης των πεδιακών κατανομών στις συχνότητες, όπου παρατηρήθηκαν οι εν λόγω συντονισμοί. Στο σχήμα 4.13 φαίνονται οι κατανομές του πραγματικού μέρους της κυρίαρχης συνιστώσας (E y ) του ηλεκτρικού πεδίου, όπως αυτές προκύπτουν σ ένα επίπεδο παράλληλο στο xz, τοποθετημένο στο μέσο του στρώματος SiO 2, για τα μήκη κύματος λ = 1414 nm (σχ. 4.13(i)) και λ = 1553 nm (σχ. 4.13(ii)), αντίστοιχα. Οπως αναμενόταν, σ αυτά τα μήκη κύματος, όπου εμφανίζονται τα ελάχιστα του συντελεστή μετάδοσης, η ισχύς που μεταφέρεται από την είσοδο του φίλτρου (input) μέσω του ευθύγραμμου κυματοδηγού

113 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος συζευγνύεται με τον συντονιστή και εγκλωβίζεται εντός του δακτυλίου, αφήνοντας ένα μικρό μόνο ποσοστό να φτάσει στην έξοδο (output). Οι διεγειρόμενοι πλασμονικοί ρυθμοί του συντονιστή δακτυλίου εμφανίζονται συγκεντρωμένοι εντός της περιφέρειάς του ενώ διαγράφουν την κυκλική τροχιά αυτής. Η αζιμουθιακή τάξη, m, των δύο ρυθμών προκύπτει ίση με 8 και 7 για τα 1414 και 1553 nm, αντίστοιχα, ενώ κατά την ακτινική διεύθυνση είναι και οι δύο ρυθμοί πρώτης ακτινικής τάξης. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον, επίσης, παρουσιάζει η σύγκριση μεταξύ των δύο πεδιακών κατανομών σε ό,τι αφορά το ποσοστό της ισχύος που οδηγείται τελικά στην έξοδο του φίλτρου. Ειδικότερα, στην περίπτωση διέγερσης του ρυθμού όγδοης αζιμουθιακής τάξης (σχ. 4.13(i)), ένα πολύ μικρό, αλλά υπαρκτό, ποσοστό του πεδίου παρατηρείται στο σημείο εξόδου του φίλτρου, επαληθεύοντας την αρχική διαπίστωση για απόκλιση από την συνθήκη κρίσιμης σύζευξης, η οποία προέκυψε από την παρατήρηση του αντίστοιχου βυθίσματος στο σχ Αντίθετα, για τον ρυθμό έβδομης αζιμουθιακής τάξης (σχ. 4.13(ii)) κάτι τέτοιο δεν παρατηρείται στην κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου, γεγονός που αναμενόταν από το μηδενισμό του συντελεστή μετάδοσης στην αντίστοιχη βύθιση του σχ Εχοντας, λοιπόν, την ανάλυση που προηγήθηκε ως οδηγό για την επιλογή των δομικών παραμέτρων του πλασμονικού φίλτρου με βάση τον κυματοδηγό CGS, επιχειρείται, στη συνέχεια, μια απόπειρα βελτίωσης των χαρακτηριστικών της διάδοσης του εν λόγω φίλτρου, με στόχο την επέκτασή του στην υλοποίηση διακοπτικών στοιχείων με συντονιστές οδεύοντος κύματος. Η βελτίωση των χαρακτηριστικών διάδοσης συνίσταται, κατά βάση, στην αύξηση του συντελεστή ποιότητας, Q, των εμφανιζόμενων συντονισμών καθώς και στη διατήρηση υψηλού λόγου εξάλειψης, ER. Προς αυτήν την κατεύθυνση, θα εξεταστεί το ενδεχόμενο χρησιμοποίησης εναλλακτικών δομών συντονιστών (συντονιστές δίσκου ή τύπου donut) αντί του δακτυλίου που μελετήθηκε νωρίτερα. Για τη διερεύνηση των ιδιοτήτων των δομών αυτών απαιτείται, ως γνωστόν, η υπολογιστική τους ανάλυση σ ένα ορισμένο συχνοτικό εύρος. Ο υπολογιστικός φόρτος, ωστόσο, ο οποίος εισάγεται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, ακόμη και στην περίπτωση των απλών δομών φίλτρων που μελετήθηκαν νωρίτερα, είναι ιδιαίτερα αυξημένος. Για την εξαγωγή, λοιπόν, κάποιων πρώτων χρήσιμων συμπερασμάτων σχετικά με τα χαρακτηριστικά διάδοσης των διατάξεων υπό ανάλυση υιοθετείται, αρχικά, ένα μοντέλο βασισμένο στην θεωρία συζευγμένων ρυθμών στο πεδίο του χρόνου (Temporal Coupled Mode Theory, CMT). Το μοντέλο αυτό περιγράφεται στην ενότητα που ακολουθεί και η χρησιμοποίησή του στοχεύει σε μια πρώτη, αναγνωριστική μελέτη των ιδιοτήτων των φίλτρων που μελετώνται ώστε να προκύψουν με μια σχετική ακρίβεια οι δομικές παράμετροι, οι οποίες στη συνέχεια θα εισαχθούν στην πλήρη ανάλυση που πραγματοποιείται με τη βοήθεια της FEM Θεωρία συζευγμένων ρυθμών: Σύγκριση αποτελεσμάτων Η θεωρία συζευγμένων ρυθμών στο πεδίο του χρόνου (Temporal Coupled Mode Theory, CMT) αποτελεί ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για τον υπολογισμό της απόκρισης κυκλωμάτων, τα οποία συμπεριλαμβάνουν διατάξεις συντονιστών συζευγμένων μεταξύ τους αλλά και σε σύζευξη με κυματοδηγούς τροφοδοσίας [178]. Το μαθηματικό πλαίσιο της CMT βασίζεται στην αντιμετώπιση των συντονιστών οδεύοντος κύματος, που εμπλέκονται στο υπό ανάλυση κύκλωμα, ως σημειακών ταλαντωτών, οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να αποθηκεύουν ενέργεια. Η εξίσωση που περιγράφει αυτό το φαινόμενο για την περίπτωση ενός συντονιστή οδεύοντος κύματος σε σύζευξη με έναν

114 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 104 Σχήμα 4.14: Απεικόνιση των χαρακτηριστικών μεγεθών της εξ. (4.27). Το κύκλωμα τροφοδοτείται μέσω ευθύγραμμου κυματοδηγού με τον ρυθμό πλάτους s i. Ο συντελεστής σύζευξης του κυματοδηγού τροφοδοσίας με τον συντονιστή συμβολίζεται με κ. Ο υποστηριζόμενος από τον συντονιστή ρυθμός διεγείρεται με πλάτος α(t), το οποίο εξασθενεί εξαιτίας τόσο των εγγενών απωλειών, 1/τ i, όσο και των απωλειών σύζευξης, 1/τ wg. κυματοδηγό τροφοδοσίας είναι dα(t) dt όπου οι εμπλεκόμενοι όροι συμβολίζουν τα εξής: = jω L α(t) 1 τ L α(t) j κ s i, (4.27) ˆ Η παράμετρος α(t) συμβολίζει το πλάτος του οδηγούμενου ρυθμού στον συντονιστή, κανονικοποιημένο έτσι, ώστε ο όρος α(t) 2 να εκφράζει την αποθηκευμένη ενέργεια στον συντονιστή. ˆ Ο όρος ω L αναπαριστά τη συχνότητα συντονισμού σε συνθήκες σύζευξης (Loaded resonator). ˆ Η παράμετρος 1/τ L, αντίστοιχα, εκφράζει το ρυθμό απόσβεσης του οδηγούμενου ρυθμού εντός του συζευγμένου συντονιστή και σχετίζεται άμεσα με τον συντελεστή ποιότητας του τελευταίου μέσω της σχέσης Q L = ω L τ L /2. Οι απώλειες που σχετίζονται με τον ρυθμό απόσβεσης αποδίδονται είτε στις εγγενείς (intrinsic) απώλειες του συντονιστή, είτε στη σύζευξη του με τον κυματοδηγό (1/τ L = 1/τ i + 1/τ wg ). ˆ Ο όρος j κ αντιπροσωπεύει το μιγαδικό συντελεστή σύζευξης, κ, μεταξύ κυματοδηγού και συντονιστή και προέκυψε από τη θεώρηση ότι η φάση του κ είναι ίση με π/2 (κ = j κ ). ˆ Τέλος, με s i συμβολίζεται το πλάτος του ρυθμού που διαδίδεται εντός του κυματοδηγού, κανονικοποιημένο έτσι, ώστε ο όρος s i 2 να αντιπροσωπεύει την ισχύ του εν λόγω ρυθμού. Στο σχ απεικονίζονται τα χαρακτηριστικά μεγέθη που εμπλέκονται στην (4.27). Η απόκριση που λαμβάνεται μέσω της εξ. (4.27) προκύπτει αφού αντικατασταθούν σε αυτήν όλες οι παραπάνω παράμετροι, οι οποίες σχετίζονται είτε με τον συντονιστή απουσία του κυματοδηγού τροφοδοσίας είτε με το αποτέλεσμα της σύζευξής των δύο δομών. Για να προκύψουν οι τιμές των παραμέτρων αυτών, απαιτείται η επίλυση δύο επιμέρους προβλημάτων, του προβλήματος ιδιοτιμών για τον ασύζευκτο συντονιστή (απουσία του κυματοδηγού τροφοδοσίας) και του αντίστοιχου

115 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος προβλήματος για τον συζευγμένο συντονιστή (παρουσία του κυματοδηγού). Κάθε ανάλυση ιδιοτιμών θα δώσει ως αποτέλεσμα τόσο τη συχνότητα εμφάνισης όσο και τον συντελεστή ποιότητας των αντίστοιχων συντονισμών. Από αυτές τις παραμέτρους θα υπολογιστούν, έπειτα, οι όροι της εξ. (4.27), ώστε να προκύψει η ζητούμενη οπτική απόκριση. Η υπολογιστική ανάλυση των προβλημάτων ιδιοτιμών πραγματοποιείται με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιώντας διανυσματικά πρισματικά στοιχεία ακμής πρώτης τάξης για τη διακριτοποίηση του χωρίου υπολογισμού. Το σύστημα προς επίλυση περιγράφεται από μια σχέση της μορφής [S]{E} = λ[b]{e} λ 2 [T]{E}, (4.28) όπου [S] και [T] είναι πίνακες όπως αυτοί που εμπλέκονται στη σχέση (2.22) και [B] πίνακας που σχετίζεται με το επιφανειακό ολοκλήρωμα στον δεύτερο όρο της (2.16). Είναι προφανές ότι πλέον δεν υπάρχει όρος που να αφορά σε διέγερση και επίσης η συχνότητα λειτουργίας δεν είναι παράμετρος του προβλήματος, αλλά άγνωστη ποσότητα. Η άγνωστη ιδιοτιμή της (4.28) δίνεται ως λ = jk 0 και η τάξη στην οποία εμφανίζεται καθιστά το συγκεκριμένο πρόβλημα ένα τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών (Quadratic Eigenvalue Problem, QEP). Τα ιδιοδιανύσματα που προκύπτουν μετά την επίλυσή του QEP αντιπροσωπεύουν, για κάθε ιδιοτιμή, τις τιμές του πεδίου στις άγνωστες ακμές (διάνυσμα {E}) του εκάστοτε ιδιορυθμού. Η επίλυση του τετραγωνικού προβλήματος ιδιοτιμών πραγματοποιείται μέσω της μετατροπής του σε γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών (Generalized Eigenvalue Problem, GEP) με το πλήθος αγνώστων του τελευταίου να προκύπτει διπλάσιο από αυτό του QEP [179]. Αρχικά αντιμετωπίζεται το ασύζευκτο πρόβλημα ιδιοτιμών. Σ αυτό αναλύεται η δομή του συντονιστή δακτυλίου μόνο, χωρίς την παρουσία κυματοδηγού. Οι γεωμετρικές παράμετροι του δακτυλίου είναι ακριβώς αυτές που ορίστηκαν εξ αρχής (σχ. 4.10) με την εξωτερική ακτίνα να παίρνει την τιμή R 0 = 0.93 μm. Από την ανάλυση ιδιοτιμών προκύπτει ότι, στη συχνοτική ζώνη μm εμφανίζονται δύο υποστηριζόμενοι πλασμονικοί ρυθμοί ισχυρά συγκεντρωμένοι εντός του δακτυλίου. Και οι δύο ρυθμοί εμφανίζουν μεταβολή πρώτης τάξης κατά την ακτινική διεύθυνση, ενώ η αζιμουθιακή τους τάξη, m, προκύπτει ίση με 7 και 8, αντίστοιχα. Για τον ρυθμό έβδομης αζιμουθιακής τάξης το μήκος κύματος συντονισμού προκύπτει λ res = 1556 nm ενώ ο αντίστοιχος συντελεστής ποιότητας είναι Q = 355. Αντίστοιχα, ο ρυθμός όγδοης αζιμουθιακής τάξης εμφανίζεται για μήκος κύματος συντονισμού λ res = 1418 nm, ενώ ο συντελεστής ποιότητας προκύπτει σ αυτήν την περίπτωση Q = 675. Από τις παραμέτρους που υπολογίστηκαν, μπορεί κανείς εύκολα να εξάγει την τιμή για τον λόγο απόσβεσης 1/τ i. Στη συνέχεια, επιλύεται το πρόβλημα ιδιοτιμών του συζευγμένου συντονιστή. Η γεωμετρική διάταξη περιλαμβάνει πλέον και τον ευθύγραμμο κυματοδηγό σε απόσταση g = 120 nm από τον δακτύλιο και αναλύεται όπως προηγουμένως. Το αποτέλεσμα της ανάλυσης ιδιοτιμών προκύπτει παρόμοιο με αυτό που προέκυψε για τον ασύζευκτο συντονιστή. Οι δύο πλασμονικοί ρυθμοί έβδομης και όγδοης αζιμουθιακής τάξης εμφανίζονται σε μήκη κύματος λ res = 1414 και 1554 nm, ενώ οι συντελεστές ποιότητας υπολογίζονται 128 και 187, αντίστοιχα. Οπως ήταν αναμενόμενο, η παρουσία του κυματοδηγού επέφερε μια μικρή μετατόπιση στα μήκη κύματος συντονισμού και για του δύο ρυθμούς. Η μετατόπιση αυτή οφείλεται στην αλλαγή της συνθήκης συντονισμού πριν και μετά την εισαγωγή του ευθύγραμμου κυματοδηγού, η οποία από θ = 2mπ για τον μεμονωμένο δακτύλιο γίνεται (θ + θ t ) = 2mπ για τον συνδυασμό δακτυλίου-κυματοδηγού, όπου θ η φάση που συσσωρεύεται κατά τη διαγραφή της κυκλικής περιφέρειας του συντονιστή και θ t η φάση

116 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 106 Πίνακας 4.2: Μήκη κύματος (λ res ) και συντελεστές ποιότητας (Q), όπως προέκυψαν για τους δύο υποστηριζόμενους ρυθμούς του συντονιστή δακτυλίου στη ζώνη συχνοτήτων ενδιαφέροντος ( μm), για τα δύο προβλήματα ιδιοτιμών (ασύζευκτο και συζευγμένο) και το πρόβλημα διάδοσης. Με m συμβολίζεται η αζιμουθιακή τάξη του πλασμονικού ρυθμού του συντονιστή δακτυλίου. m = 7 m = 8 Πρόβλημα ιδιοτιμών Πρόβλημα ιδιοτιμών (ασύζευκτο) (συζευγμένο) Πρόβλημα διάδοσης λ res (nm) Q λ res (nm) Q του συντελεστή μετάδοσης στον κυματοδηγό, μετά τη σύζευξη. Εκτός, όμως, από το φαινόμενο της ολίσθησης στη συχνότητα λόγω σύζευξης (Coupling Induced Frequency Shift, CIFS), η εισαγωγή του κυματοδηγού έχει ως αποτέλεσμα και τη μείωση της τιμής του συντελεστή ποιότητας, Q. Η μείωση αυτή σχετίζεται με την εμφάνιση του μηχανισμού σύζευξης και κατ επέκταση την κατανάλωση ενός ποσοστού της οπτικής ισχύος. Τα παραπάνω αποτελέσματα συγκεντρώνονται στον Πίνακα 4.2. Για λόγους σύγκρισης έχουν προστεθεί και οι τιμές που υπολογίστηκαν στην ανάλυση του προβλήματος διέγερσης της προηγούμενης ενότητας. Τόσο η CIFS, όσο και η μείωση των συντελεστών Q είναι εμφανής, ενώ από τη σύγκριση μεταξύ του προβλήματος ιδιοτιμών για τον συζευγμένο συντονιστή και του προβλήματος διέγερσης παρατηρείται η συμφωνία μεταξύ των δύο αναλύσεων. Εχοντας, λοιπόν, τις τιμές των παραμέτρων και για το συζευγμένο πρόβλημα ιδιοτιμών (ω L, 1/τ L ) εύκολα προκύπτει η τιμή του ρυθμού απόσβεσης που σχετίζεται με τη σύζευξη, 1/τ wg. Ο συντελεστής σύζευξης κ υπολογίζεται στη συνέχεια ως κ = j κ = j 2/τ wg. Θεωρώντας, έπειτα, αρμονική χρονική μεταβολή για το πλάτος του ρυθμού συντονιστή α(t), η (4.27) παίρνει τη μορφή j(ω ω L )α = 1 τ L α j κ s i, (4.29) η οποία σε συνδυασμό με την s t = s i j κ α (σχ. 4.14) οδηγεί στον υπολογισμό της οπτικής απόκρισης του φίλτρου μικροδακτυλίου με τη βοήθεια της CMT, μέσω της σχέσης t = s t s i = j(ω ω L ) + j(ω ω L ) + ( 1 ) τ i 1 τ wg ( 1 τ i + 1 τ wg ). (4.30) Κατά συνέπεια, η μετάδοση της ισχύος, ( t 2 ), που προκύπτει μέσω της εξ. (4.30), προκύπτει ίση με τη μονάδα για οποιαδήποτε συχνότητα λειτουργίας, ω, όταν ισχύει είτε 1/τ i 1/τ wg, είτε 1/τ wg 1/τ i. Σ αυτήν την περίπτωση, δεν εμφανίζεται βύθισμα του συντελεστή μετάδοσης ούτε στη συχνότητα συντονισμού. Για εκείνες τις περιπτώσεις, ωστόσο, στις οποίες ισχύει η συνθήκη 1/τ i = 1/τ wg, για συχνότητα λειτουργίας ίση με τη συχνότητα συντονισμού, ο συντελεστής μετάδοσης της ισχύος λαμβάνει μηδενική τιμή. Είναι προφανές ότι η παραπάνω συνθήκη αντιστοιχεί στην επίτευξη κρίσιμης σύζευξης μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγού τροφοδοσίας.

117 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Σχήμα 4.15: Οπτική απόκριση του φίλτρου μικροδακτυλίου, όπως προκύπτει για τις δύο περιπτώσεις υπολογισμού: Μέσω της επίλυσης του προβλήματος αρμονικής διάδοσης και μέσω του υπολογισμού με τη βοήθεια της CMT. Το αποτέλεσμα της παραπάνω ανάλυσης για το φίλτρο συντονιστή μικροδακτυλίου φαίνεται στο σχ. 4.15, όπου απεικονίζεται η οπτική απόκριση που υπολογίστηκε από την CMT μαζί με αυτήν που προέκυψε από την επίλυση του προβλήματος αρμονικής διάδοσης (harmonic propagation) της ενότητας Η συμφωνία μεταξύ των δύο υπολογισμών είναι εμφανής και για τους δύο εμφανιζόμενους συντονισμούς. Η ανάλυση με την CMT, επομένως προσφέρει ένα σημαντικό πλεονέκτημα: Μπορεί να προσεγγίσει επαρκώς την απόκριση του πλασμονικού φίλτρου, ώστε να δώσει μια πρώτη εικόνα των χαρακτηριστικών αυτού, ενώ παράλληλα εξαιτίας της απαίτησης για υπολογιστική επίλυση δύο μόνο προβλημάτων ιδιοτιμών, διευκολύνει σημαντικά τον σχεδιασμό της διάταξης. Ετσι, παρέχει τη δυνατότητα της εποπτείας της οπτικής απόκρισης και της επιλογής των γεωμετρικών παραμέτρων πριν από την πλήρη ανάλυση με την FEM, και μάλιστα σ ένα συχνοτικό εύρος κάποιων δεκάδων μικρομέτρων, για το οποίο η FEM απαιτεί σημαντικά περισσότερο χρόνο και υπολογιστική ισχύ Φίλτρα συντονιστών μικροδίσκου Στις ενότητες που προηγήθηκαν, εξετάστηκε το ενδεχόμενο χρησιμοποίησης συντονιστών οδεύοντος κύματος με χωρικό αποτύπωμα (footprint) μικρότερο του ενός μικρομέτρου για τον σχεδιασμό δομών που εμφανίζουν επιλεκτικότητα ως προς τη συχνότητα. Αρχικά, μελετήθηκε η περίπτωση του συντονιστή μικροδακτυλίου και η εν λόγω διάταξη αναλύθηκε τόσο με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, όσο και με τη βοήθεια ενός μαθηματικού μοντέλου βασισμένο στην CMT. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν, οδήγησαν στο συμπέρασμα, ότι με βάση τη διάταξη του κυματοδηγού CGS είναι δυνατή η υλοποίηση συντονιστών δακτυλίου με πολύ μικρές διαστάσεις (< 1 μm), οι οποίοι μπορούν να συνθέσουν διατάξεις πλασμονικών φίλτρων με αξιοσημείωτα χαρακτηριστικά. Δεδομένου ότι ως επόμενος στόχος έχει τεθεί η υλοποίηση δομών που μπορούν να λειτουργήσουν ως διακοπτικά στοιχεία, εξετάζεται η εναλλακτική της χρησιμοποίησης συντονιστών σε σχήμα δί-

118 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 108 Σχήμα 4.16: Φίλτρο συντονιστή μικροδίσκου με βάση τον κυματοδηγό CGS. Οι διαστάσεις για τον ευθύγραμμο κυματοδηγό επιλέγονται όπως και στο φίλτρο μικροδακτυλίου, με αναφορά το σχήμα 4.5(i): w = 170 nm, h Si = 300 nm h gap = 30 nm h Ag = 100 nm. Η ακτίνα του δίσκου επιλέγεται R disk = 0, 85 μm. σκου αντί του δακτυλίου. Κάτι τέτοιο αναμένεται να οδηγήσει την οπτική απόκριση σε οξύτερους συντονισμούς, μιας και οι πλασμονικοί συντονιστές μικροδίσκου, εξαιτίας της απουσίας εσωτερικού ορίου, εμφανίζουν χαμηλότερες τιμές απωλειών ακτινοβολίας σημειώνοντας, έτσι, μεγαλύτερους εγγενείς συντελεστές ποιότητας [167,170]. Η φυσική υλοποίηση της δομής του εν λόγω πλασμονικού φίλτρου απεικονίζεται στο σχ Η διαδικασία που ακολουθείται, όπως και στην περίπτωση του συντονιστή δακτυλίου, ξεκινά με την επιλογή των γεωμετρικών παραμέτρων και ειδικότερα με τον καθορισμό της ακτίνας του δίσκου, R disk. Η συμπεριφορά του μικροδίσκου αναμένεται παρόμοια με αυτή του συντονιστή δακτυλίου εξαιτίας της ομοιότητας των γεωμετρικών τους δομών. Ετσι, ο δίσκος θεωρείται ότι μπορεί να λειτουργήσει ως συντονιστής οδεύοντος κύματος, υποστηρίζοντας ισχυρά συγκεντρωμένους πλασμονικούς ρυθμούς. Η απουσία, ωστόσο, του εσωτερικού κυλινδρικού ορίου αναμένεται να επιφέρει σημαντική βελτίωση στα χαρακτηριστικά των εν λόγω ρυθμών. Κι αυτό, επειδή η έλλειψη της α- συνέχειας στο εσωτερικό μέρος του συντονιστή μικροδίσκου (εσωτερικό όριο για τον συντονιστή δακτυλίου) επιτρέπει τη συγκέντρωση των ρυθμών πιο κοντά στο κέντρο του. Οι απώλειες λόγω κάμψης, σ αυτήν την περίπτωση, θα είναι λιγότερες και οι αντίστοιχοι συντελεστές ποιότητας θα λάβουν μεγαλύτερες τιμές οδηγώντας σε οξύτερους συντονισμούς. Ετσι, λόγω των βελτιωμένων χαρακτηριστικών της διάταξης του δίσκου, έναντι αυτής του δακτυλίου, η επιλογή της ακτίνας μπορεί να πραγματοποιηθεί σε ακόμη μικρότερη τιμή, επιτρέποντας την περαιτέρω χωρική συρρίκνωση της διάταξης. Παράλληλα, η ενιαία κατά την ακτινική διεύθυνση δομή του δίσκου επιτρέπει την υποστήριξη ρυθμών με ακτινική τάξη μεγαλύτερη της πρώτης (κάτι που δεν συνέβαινε για τον συντονιστή δακτυλίου). Αυτοί οι ρυθμοί ανώτερης ακτινικής τάξης είναι πιθανό να διεγερθούν αποδίδοντας στην οπτική απόκριση επιπρόσθετα βυθίσματα. Αρχικά, πραγματοποιείται η ανάλυση ιδιοτιμών του ασύζευκτου συντονιστή μικροδίσκου. Η ακτίνα έχει επιλεγεί ως R disk = 0.85 μm και η διάταξη επιλύεται με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιώντας για τη διακριτοποίηση, όπως και στην περίπτωση του δακτυλίου, διανυσματικά πρισματικά πεπερασμένα στοιχεία πρώτης τάξης. Από την ανάλυση ιδιοτι-

119 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Πίνακας 4.3: Αποτελέσματα ανάλυσης ιδιοτιμών του ασύζευκτου συντονιστή μικροδίσκου, όπως προέκυψαν για τους έξι υποστηριζόμενους ρυθμούς στη ζώνη συχνοτήτων μm. Η ακτίνα του συντονιστή επιλέχθηκε R disk = 0.85 μm. Μήκος κύματος Αζιμουθιακή Ακτινική Συντελεστής συντονισμού (nm) τάξη τάξη ποιότητας μών στη συχνοτική ζώνη μm προκύπτουν έξι υποστηριζόμενοι ρυθμοί, τα χαρακτηριστικά των οποίων συγκεντρώνονται στον Πίνακα 4.3. Εύκολα διαπιστώνει κανείς την αύξηση στις τιμές των συντελεστών ποιότητας, σε σχέση με τις αντίστοιχες τιμές του Πίνακα 4.2, αποτέλεσμα της συγκέντρωσης των ρυθμών πλησιέστερα στο κέντρο του συντονιστή. Πιο συγκεκριμένα, στην περιοχή ενδιαφέροντος, γύρω από τα 1550 nm, ο συντελεστής Q του υποστηριζόμενου από τον μικροδίσκο ρυθμού πλησιάζει την τιμή 1000 (ρυθμός 4). Η αξιοσημείωτα υψηλή τιμή του συντελεστή ποιότητας, σ αυτήν την περίπτωση, αναμένεται να προκαλέσει οξύ συντονισμό στην οπτική απόκριση του πλασμονικού φίλτρου μικροδίσκου, καθιστώντας τη διάταξη αυτή πλεονεκτική έναντι της αντίστοιχης του δακτυλίου. Παράλληλα, παρατηρείται και εμφάνιση ρυθμών ανώτερης ακτινικής τάξης (ρυθμοί 2 και 6), κάτι που επίσης αναμενόταν λόγω της απουσίας εσωτερικής ασυνέχειας κατά την ακτινική διεύθυνση. Οι πεδιακές κατανομές των υποστηριζόμενων ρυθμών, όπως αυτές προκύπτουν σ ένα επίπεδο xz τοποθετημένο κατά τη διεύθυνση y στο σημείο όπου εμφανίζεται η μέγιστη τιμή για την κυρίαρχη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου E y, απεικονίζονται στο σχ Για τους ρυθμούς 1, 2, 4 και 6 το ηλεκτρικό πεδίο συγκεντρώνεται στο μεγαλύτερο ποσοστό του εντός του SiO 2 και, έτσι, το επίπεδο απεικόνισης για το Re{E y } επιλέγεται στο μέσο του στρώματος διοξειδίου του πυριτίου. Αντίστοιχα, για τους ρυθμούς 3 και 5 το επίπεδο απεικόνισης επιλέγεται στο μέσο του στρώματος Si, μιας και σ αυτήν την περιοχή συγκεντρώνεται κατά βάση το ηλεκτρικό πεδίο. Η μορφή του πεδίου των υποστηριζόμενων ρυθμών είναι παρόμοια με αυτή που προέκυψε και για την περίπτωση του συντονιστή δακτυλίου. Οι εν λόγω ρυθμοί διατρέχουν την περιφέρεια του δίσκου παραμένοντας συγκεντρωμένοι εντός της δομής αυτού. Παράλληλα, η απουσία της εσωτερικής ασυνέχειας επιτρέπει την επέκταση αυτών προς το κέντρο της διάταξης, δικαιολογώντας τα αξιοσημείωτα υψηλά επίπεδα τιμών των συντελεστών ποιότητας, Q. Για τους πλασμονικούς ρυθμούς πρώτης ακτινικής τάξης (n), 1 και 4, η αντίστοιχη αζιμουθιακή τάξη προκύπτει m = 8 και 7, όπως και στην περίπτωση του συντονιστή δακτυλίου. Πέρα, όμως, από τους πλασμονικούς αυτούς ρυθμούς εμφανίζονται και δύο ακόμη κατηγορίες υποστηριζόμενων ρυθμών. Η πρώτη περιέχει τους πλασμονικούς ρυθμούς ανώτερης ακτινικής τάξης (ρυθμοί 2 και 6), οι οποίοι εμφανίζονται και αυτοί συγκεντρωμένοι εντός του στρώματος χαμηλού δείκτη (SiO 2 ), αλλά η μεταβολή του πεδίου κατά στην ακτινική διεύθυνση, σ αυτήν την περίπτωση, είναι

120 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 110 Σχήμα 4.17: Κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου για το πραγματικό μέρος της κυρίαρχης E y συνιστώσας σ ένα επίπεδο xz τοποθετημένο κατά τη διεύθυνση y στο σημείο όπου εμφανίζεται η μέγιστη τιμή της E y. Η ακτίνα του συντονιστή είναι R disk = 0.85 μm. Για τους ρυθμούς 1, 2, 4 και 6 το Re{E y } απεικονίζεται στο μέσο του στρώματος SiO 2, ενώ για τους 3 και 5 στο μέσο του στρώματος Si. Με m σημειώνεται η αζιμουθιακή τάξη κάθε ρυθμού, ενώ με n η αντίστοιχη ακτινική τάξη. δεύτερης τάξης. Καθότι πλασμονικοί, οι ρυθμοί αυτοί αναμένεται να διεγερθούν κατά την τροφοδοσία του φίλτρου μικροδίσκου, αποδίδοντας στην οπτική απόκριση επιπλέον βυθίσματα κοντά στα 1448 και 1614 nm. Τα εν λόγω βυθίσματα δεν αναμένονται, ωστόσο, ιδιαιτέρως έντονα λόγω των αντίστοιχων χαμηλών συντελεστών ποιότητας, Q. Στην δεύτερη κατηγορία υποστηριζόμενων ρυθμών εντάσσονται οι μη πλασμονικοί ρυθμοί. Πρόκειται για του ρυθμούς 3 και 5, οι οποίοι εμφανίζονται συγκεντρωμένοι κατά βάση εντός του Si και είναι πρώτης ακτινικής τάξης. Οι φωτονικοί αυτοί ρυθμοί με αζιμουθιακή τάξη m = 7 και 6, αντίστοιχα, ενδέχεται να διεγερθούν κατά τη λειτουργία του φίλτρου προκαλώντας επιπλέον συντονισμούς. Οι εν λόγω συντονισμοί δεν α- ναμένονται συγκρίσιμοι με αυτούς που θα προκύψουν από τη διέγερση των πλασμονικών ρυθμών πρώτης ακτινικής τάξης, εξαιτίας της συγκέντρωσής τους στο Si. Μετά την ανεύρεση των υποστηριζόμενων από τον συντονιστή μικροδίσκου ρυθμών, στο επόμενο βήμα της διαδικασίας σχεδίασης του φίλτρου, επιλέγεται η τιμή της απόστασης, g, του διακένου μεταξύ συντονιστή και κυματοδηγού τροφοδοσίας (σχ. 4.16). Η παράμετρος αυτή αναμένεται να επιδράσει κυρίως στην επίτευξη της κρίσιμης σύζευξης και, έτσι, επιλέγεται θέτοντας ως στόχο αυτήν τη συνθήκη στην περιοχή γύρω από τα 1550 nm. Το πρόβλημα που επιλύεται προς αυτήν την κατεύθυνση, είναι το συζευγμένο πρόβλημα ιδιοτιμών (ανάλυση της δομής δίσκου-ευθύγραμμου κυματοδηγού). Από την εν λόγω επίλυση θα προκύψει η τιμή του συντελεστή ποιότητας (Q L ) για τον πλασμονικό ρυθμό πρώτης τάξης κοντά στα 1550 nm, η οποία σύμφωνα με την ανάλυση μέσω της CMT (ενότητα 4.3.4) θα πρέπει να ελαχιστοποιεί την οπτική μετάδοση στο υπό μελέτη φίλτρο. Κατά συνέπεια, ως στόχος για τον καθορισμό της τιμής του διακένου g τίθεται η συνθήκη 1/τ i = 1/τ wg (εξ. (4.30)), η οποία για μικρή μετατόπιση της συχνότητας λόγω του φαινομένου CIFS καταλήγει στην 1/Q i = 1/Q wg. Επιλέγοντας, κατά συνέπεια, διάφορες τιμές για την παράμετρο g (100, 150 και 200 nm) επιλύουμε το συζευγμένο πρόβλημα ιδιοτιμών. Οι συντελεστές ποιότητας προκύπτουν, αντίστοιχα, Q L = 210, 360 και 525 καταδεικνύοντας ως καλύτερη επιλογή την τιμή g = 150 nm για την απόσταση του διακένου. 7 7 Η σχέση Q 1 i = Q 1 wg οδηγεί στην Q L = Q i /2. Ετσι, σύμφωνα με το ασύζευκτο πρόβλημα ιδιοτιμών όπου

121 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Σχήμα 4.18: Οπτική απόκριση του φίλτρου μικροδίσκου. Στο γράφημα απεικονίζεται ο συντελεστής μετάδοσης του φίλτρου συναρτήσει του μήκους κύματος λειτουργίας για R disk = 0.85 μm και g = 150 nm. Η αρίθμηση των βυθισμάτων 1-6 πραγματοποιήθηκε με αναφορά το σχ Εχοντας καθορίσει τις γεωμετρικές παραμέτρους (R disk, g), η διάταξη του πλασμονικού φίλτρου μικροδίσκου αναλύεται, στη συνέχεια, με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Κατά τα γνωστά, η διακριτοποίηση πραγματοποιείται και πάλι με διανυσματικά στοιχεία ακμών πρώτης τάξης σε σχήμα τριγωνικού πρίσματος και το πρόβλημα της αρμονικής διάδοσης επιλύεται στο συχνοτικό εύρος μm. Η μεταβολή του συντελεστή μετάδοσης της ισχύος συναρτήσει του μήκους κύματος λειτουργίας απεικονίζεται στο σχ Οπως είναι φανερό, διάφορα βυθίσματα εμφανίζονται στην οπτική απόκριση του φίλτρου με κυριότερα τους δύο συντονισμούς στα 1418 και 1562 nm. Η αρίθμηση των βυθισμάτων στο σχ ακολουθεί την σύμβαση αρίθμησης των υποστηριζόμενων ρυθμών του σχ Ετσι, πρώτος διεγείρεται ο πλασμονικός ρυθμός όγδοης αζιμουθιακής και πρώτης ακτινικής τάξης (ρυθμός 1) στα 1418 nm, έπειτα εμφανίζεται ο πλασμονικός ρυθμός πέμπτης αζιμουθιακής και δεύτερης ακτινικής τάξης, ο οποίος ακολουθείται από τον πρώτο στη σειρά φωτονικό ρυθμό (ρυθμοί 2 και 3, αντίστοιχα). Οπως αναμενόταν, οι δύο τελευταίοι ρυθμοί, αν και εμφανείς, προκαλούν ελάχιστη μεταβολή στην οπτική απόκριση του φίλτρου λόγω των χαρακτηριστικών που περιγράφηκαν για τον καθένα προηγουμένως. Το βύθισμα 4, που ακολουθεί, εμφανίζεται στη συχνοτική περιοχή ενδιαφέροντος και αντιστοιχεί στη διέγερση του πλασμονικού ρυθμού όγδοης αζιμουθιακής τάξης (σχ. 4.17(iv)) παρουσιάζοντας ελάχιστο στα 1562 nm. Η ασθενής διέγερση των επόμενων δύο υποστηριζόμενων ρυθμών (ρυθμοί 5 και 6 στο σχ. 4.17) οδηγεί στην εμφάνιση των βυθισμάτων 5 και 6, αντίστοιχα. Συγκρίνοντας την απόκριση του φίλτρου μικροδίσκου (σχ. 4.18) με την αντίστοιχη που προκύπτει μέσω της FEM για το φίλτρο μικροδακτυλίου (σχ. 4.15), εύκολα διαπιστώνει κανείς τη βελτίωση των συντελεστών ποιότητας των δύο βασικότερων συντονισμών. Ειδικότερα, η χρησι- Q i = 920 για τον ρυθμό ενδιαφέροντος, αναζητούμε τιμές διακένου που θα οδηγήσουν τον αντίστοιχο συντελεστή ποιότητας για το συζευγμένο πρόβλημα (Q L ) κοντά στην τιμή 460. Παράλληλα, λαμβάνεται υπ όψιν και η απαίτηση για εξοικονόμηση χώρου κατά την υλοποίηση της υπό μελέτη δομής.

122 4.3. Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος 112 μοποίηση συντονιστή δίσκου για την υλοποίηση του φίλτρου οδήγησε σχεδόν σε τριπλασιασμό του εν λόγω συντελεστή ποιότητας στο πρόβλημα αρμονικής διάδοσης (Q disk L = 360 έναντι του Q ring L = 129 για τον συντονισμό κοντά στα 1550 nm). Παράλληλα, ο λόγος εξάλειψης του εν λόγω συντονισμού προκύπτει ER 13 db (έναντι του ER 20 db για τον δακτύλιο στην ίδια συχνοτική περιοχή) καταδεικνύοντας την ικανότητα αποκοπής του 95 % περίπου της ισχύος στο μήκος κύματος του βυθίσματος (έναντι του 99 % που ίσχυε στην περίπτωση του φίλτρου μικροδακτυλίου). Κατά συνέπεια, η υιοθέτηση της δομής μικροδίσκου για την υλοποίηση του πλασμονικού φίλτρου, όχι μόνο οδήγησε σε σμίκρυνση της διάταξης, από την άποψη της μικρότερης ακτίνας που επιλέχθηκε, αλλά επέφερε και σημαντική αύξηση του συντελεστή ποιότητας των εμφανιζόμενων συντονισμών κοντά στα 1550 nm, διατηρώντας παράλληλα σε υψηλό επίπεδο τις τιμές των αντίστοιχων λόγων εξάλειψης. Παρόλο που η ύπαρξη διαφόρων τύπων υποστηριζόμενων ρυθμών στην περίπτωση του φίλτρου μικροδίσκου οδήγησε στην εμφάνιση επιπλέον μικρών μεταβολών της οπτικής απόκρισης (βυθίσματα 2, 3, 5 και 6 στο σχ. 4.18), η λειτουργία της διάταξης δεν επηρεάστηκε σημαντικά στη ζώνη συχνοτήτων ενδιαφέροντος. Στην περίπτωση, ωστόσο, που είναι επιθυμητό ένα καθαρότερο φάσμα μετάδοσης, μια εναλλακτική δομή συντονιστή μπορεί να προσφέρει τη λύση. Πρόκειται για τη δομή τύπου donut, η οποία αποτελεί μια ενδιάμεση κατάσταση μεταξύ της υλοποίησης του δακτυλίου και του δίσκου. Διατηρεί, δηλαδή, το εσωτερικό όριο όπως και ο δακτύλιος αλλά τοποθετημένο σε απόσταση πλησιέστερα στο κέντρο της διάταξης, έτσι ώστε η διαφορά της εξωτερικής από την εσωτερική ακτίνα να είναι μεγαλύτερη από το πάχος του ευθύγραμμου κυματοδηγού. Μ αυτόν τον τρόπο αναμένεται η αποκοπή των ρυθμών ανώτερης ακτινικής τάξης, διατηρώντας παράλληλα τους υψηλούς συντελεστές ποιότητας λόγω της συγκέντρωσης των πλασμονικών ρυθμών πλησιέστερα στο κέντρο του συντονιστή. Οπως αντιλαμβάνεται κανείς, η επιλογή της θέσης του εσωτερικού ορίου για τον συντονιστή τύπου donut είναι καθοριστική για την διασφάλιση των προαναφερθέντων χαρακτηριστικών. Ετσι, θα πρέπει αρχικά να μελετηθούν τα πεδιακά χαρακτηριστικά αυτών, όπως προκύπτουν σ ένα xy-επίπεδο που τέμνει κάθετα τον συντονιστή δίσκου. Στο σχ. 4.19, απεικονίζεται η μορφή της παραμέτρου E 2, ως μέτρο της μεταβολής της οπτικής πυκνότητας ισχύος (Optical Intensity). Οπως είναι εμφανές από το σχ. 4.19(i), για την περίπτωση των πλασμονικών ρυθμών πρώτης ακτινικής τάξης, όπως είναι ο ρυθμός 4, η οπτική ισχύς συγκεντρώνεται εντός του στρώματος SiO 2 και μάλιστα στα όρια της εξωτερικής κυκλικής περιφέρειας του συντονιστή. Αντίστοιχα, για τους φωτονικούς ρυθμούς, όπως ο ρυθμός 5 (σχ. 4.19(ii)), το μεγαλύτερο ποσοστό της ισχύος βρίσκεται εντός του στρώματος πυριτίου, αλλά πλησιέστερα προς το κέντρο του συντονιστή. Η κατανομή της πυκνότητας ισχύος, τέλος, για τους ρυθμούς δεύτερης ακτινικής τάξης προκύπτει όπως στο σχ. 4.19(iii) (ρυθμός 6) και καταδεικνύει την πλασμονική φύση των εν λόγω ρυθμών αλλά και την εμφάνιση μεταβολών δεύτερης τάξης κατά την ακτινική διεύθυνση εντός του στρώματος SiO 2. Η εισαγωγή της εσωτερικής ασυνέχειας για τον σχηματισμό του συντονιστή τύπου donut, μέσω του εσωτερικού ορίου, θα πρέπει, επομένως, να πραγματοποιηθεί με γνώμονα την καταστολή τόσο των πλασμονικών ρυθμών ανώτερης ακτινικής τάξης, όσο και των ρυθμών πυριτίου που εμφανίζονται αλλά και την ταυτόχρονη διατήρηση των χρήσιμων πλασμονικών ρυθμών πρώτης ακτινικής τάξης. Στην περίπτωση του δίσκου με ακτίνα R disk = 0.85 μm αυτό μπορεί να επιτευχθεί για επιλογή του εσωτερικού ορίου σε απόσταση 0.4 μm από την εξωτερική περιφέρεια αυτού (διακεκομμένη γραμμή στο σχ. 4.19). Κι αυτό, επειδή στο σημείο αυτό εμφανίζεται η μέγιστη τιμή της πυκνότητας ισχύος για τον ρυθμό δεύτερης ακτινικής τάξης.

123 Σχεδίαση φίλτρων συντονιστών οδεύοντος κύματος Σχήμα 4.19: Απεικόνιση της παραμέτρου E 2 σ ένα xy-επίπεδο που τέμνει κάθετα τον συντονιστή δίσκου, για τους ρυθμούς 4, 5 και 6. Οι ρυθμοί επιλέχτηκαν ως αντιπροσωπευτικοί των τριών διαφορετικών κατηγοριών ρυθμών που προέκυψαν από την ανάλυση ιδιοτιμών του συντονιστή μικροδίσκου. Ετσι, ο 4 αντιπροσωπεύει τους πλασμονικούς ρυθμούς πρώτης ακτινικής τάξης, ο 5 τους φωτονικούς ρυθμούς που συγκεντρώνονται κατά βάση στο Si και ο 6 τους πλασμονικούς ρυθμούς δεύτερης ακτινικής τάξης. Με διακεκομμένη γραμμή σημειώνεται η ορθή θέση τοποθέτησης του εσωτερικού ορίου για τη σχεδίαση του συντονιστή τύπου donut. Σχήμα 4.20: Μεταβολή του συντελεστή μετάδοσης συναρτήσει του μήκους κύματος λειτουργίας για το φίλτρο με συντονιστή τύπου donut. Οι παράμετροι του συντονιστή επιλέχθηκαν ως Rdonut out = 0.85 μm και Rin donut = 0.45 μm, με Rout donut Rin donut = w d (ένθετο σχήμα), ενώ το διάκενο διατηρήθηκε ίσο με g = 150 nm. Για λόγους σύγκρισης, παρατίθεται με διακεκομμένη γραμμή και η αντίστοιχη απόκριση του φίλτρου μικροδίσκου. Πράγματι, για την υιοθέτηση των παραμέτρων που αναφέρθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο (Rdonut out = 0.85 μm, Rin donut = 0.45 μm), η οπτική απόκριση του φίλτρου με συντονιστή τύπου donut, όπως προέκυψε από την αρμονική ανάλυση μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων φαίνεται στο σχ Για λόγους σύγκρισης έχει προστεθεί και η αντίστοιχη απόκριση του φίλτρου μικροδίσκου με R disk = 0.85 μm. Η τιμή του διακένου μεταξύ του συντονιστή τύπου donut

124 4.4. Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος 114 και του κυματοδηγού τροφοδοσίας διατηρήθηκε όπως και στο φίλτρο μικροδίσκου ίση με g = 150 nm. Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι η υιοθέτηση του συντονιστή τύπου donut κατέστειλε τους ανεπιθύμητους ρυθμούς (ρυθμοί 2, 5 και 6), διατηρώντας σχεδόν ανέπαφα τα χαρακτηριστικά των χρήσιμων πλασμονικών ρυθμών πρώτης ακτινικής τάξης (ρυθμοί 1 και 4). Ενας μόνο, ελάσσων συντονισμός παρέμεινε στην περιοχή κοντά στο πρώτο οξύ βύθισμα και αποδίδεται σε διέγερση του φωτονικού ρυθμού 3, με αναφορά το σχ Η ελάχιστη αυτή μεταβολή φαίνεται να μην επηρεάζει σημαντικά την απόκριση του φίλτρου καθιστώντας τον συντονιστή σε σχήμα donut μια ενδιαφέρουσα εναλλακτική για την υλοποίηση πλασμονικών φίλτρων, όπως αυτά που μελετώνται στο παρόν κεφάλαιο. Με βάση όσα αναλύθηκαν στην παρούσα ενότητα, θα προχωρήσουμε τώρα στην υλοποίηση διατάξεων που παρέχουν τη δυνατότητα χρησιμοποίησής τους ως διακοπτικά στοιχεία. Οι διατάξεις αυτές θα υλοποιηθούν με τη βοήθεια συντονιστών οδεύοντος κύματος, όπως αυτοί που χρησιμοποιήθηκαν στα πλασμονικά φίλτρα του παρόντος κεφαλαίου. Η ενότητα που ακολουθεί περιγράφει τόσο τη βασική αρχή, στην οποία θα στηριχτεί η σχεδίαση των διακοπτικών διατάξεων, όσο και την υλοποίηση αυτών έχοντας ως υποκείμενη δομή τον CGS κυματοδηγό. 4.4 Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος Στην παρούσα ενότητα περιγράφεται η σχεδίαση πολυπλοκότερων δομών, σε σχέση με τις διατάξεις φίλτρων που μελετήθηκαν προηγουμένως, με στόχο την αξιοποίησή τους ως διακοπτικά εξαρτήματα (switching elements). Προς αυτόν τον σκοπό, ακολουθούνται δύο βασικές κατευθύνσεις: Η πρώτη στοχεύει στον συνδυασμό συντονιστών οδεύοντος κύματος και ευθύγραμμων κυματοδηγών βασισμένων στη δομή CGS, ώστε να προκύψει μία διάταξη ικανή να παράξει μεταβολές στην οπτική απόκριση με συντελεστές ποιότητας υψηλότερους απ ότι οι δομές φίλτρων της ενότητας 4.3. Η δεύτερη κατεύθυνση αφορά στη δυνατότητα δυναμικού ελέγχου (tunability) των εν λόγω ε- ξαρτημάτων ώστε να προκύψει ο επιθυμητός τρόπος μετάβασης της οπτικής απόκρισης από την κατάσταση της μετάδοσης σε αυτήν της αποκοπής και αντίστροφα. Ετσι, αρχικά περιγράφεται το φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικά επαγόμενης διαφάνειας (Electromagnetically Induced Transparency, EIT), το οποίο αποτελεί και τη βασική αρχή στην οποία βασίζεται η λειτουργία των υπό σχεδίαση εξαρτημάτων. Στη συνέχεια εξετάζεται η δυνατότητα σχεδίασης εξαρτημάτων με βάση τον κυματοδηγό CGS, στα οποία παρατηρείται απόκριση όμοια με αυτή της απόκρισης EIT. Παράλληλα, μελετάται η επέκταση του μαθηματικού μοντέλου με βάση την CMT στις νέες γεωμετρικές δομές, ώστε να προκύψει ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο αρχικής πρόβλεψης για την απόκριση των υπό μελέτη διατάξεων. Τέλος, ερευνάται η δυνατότητα δυναμικού ελέγχου των διατάξεων αυτών μέσω της αξιοποίησης του θερμο-οπτικού φαινομένου (thermo-optic effect) με σκοπό την υλοποίηση διακοπτικών στοιχείων Φαινόμενο ηλεκτρομαγνητικά επαγόμενης διαφάνειας Ως ηλεκτρομαγνητικά επαγόμενη διαφάνεια (Electromagnetically Induced Transparency, EIT) ο- ρίζεται εκείνο το φαινόμενο κατά το οποίο παρατηρείται η εξάλειψη της επίδρασης που έχει ένα

125 Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος φυσικό μέσο στη διάδοση μιας δέσμης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας [180, 181]. Για να επιτευχθεί η διαφάνεια του φυσικού μέσου, ή τουλάχιστον να βελτιωθεί η διάδοση της ακτινοβολίας μέσω αυτού, απαιτείται η διέγερσή του με δύο διαφορετικού μήκους κύματος δέσμες τοποθετημένες σε κατάλληλη συχνοτική απόσταση. Η εξήγηση του φαινομένου αυτού, στα πλαίσια της κλασικής μηχανικής, προκύπτει από την παρατήρηση ότι για να εξαλειφθεί η επίδραση ενός μέσου σε μια διαδιδόμενη δέσμη ακτινοβολίας, θα πρέπει να αποτραπεί η κίνηση των ηλεκτρονίων σ αυτό, στις συχνότητες των εφαρμοζόμενων πεδίων. Κάτι τέτοιο συνεπάγεται τη μη συνεισφορά των ηλεκτρονίων στη διηλεκτρική σταθερά του μέσου. Η ακινησία αυτή μπορεί να προκύψει εάν σε κάθε συχνότητα ενδιαφέροντος, τα ηλεκτρόνια οδηγούνται από δύο δυνάμεις αντίθετης φάσης [181]. Η ακριβέστερη εξήγηση για την φύση του φαινομένου της EIT δίνεται στα πλαίσια της κβαντομηχανικής [180, 181] και καθώς ξεφεύγει από τα όρια της παρούσας διατριβής δεν αναλύεται περαιτέρω. Αυτό που αποτελεί ιδιαίτερα ενδιαφέρον πεδίο έρευνας, ωστόσο, είναι το φωτονικό ανάλογο του φαινομένου της EIT. Σ αυτό, επιτυγχάνεται, σε μακροσκοπικό πλέον επίπεδο, η εμφάνιση οπτικής απόκρισης με τα χαρακτηριστικά του φάσματος της EIT. Πιο συγκεκριμένα, είναι δυνατή η σχεδίαση δομών για την επίτευξη μιας στενής συχνοτικής περιοχής μετάδοσης εντός ενός βυθίσματος συντονισμού, στην οπτική απόκριση των εν λόγω διατάξεων. Αυτή η απότομη μεταβολή τύπου EIT (EIT-like transmission), μπορεί να καταστεί δυνατή με τη βοήθεια οπτικών συντονιστών, συζευγμένων έτσι ώστε να προκύπτει η σύμφωνη συμβολή (coherent interference) τους [182]. Μια τέτοια δομή μπορεί να υλοποιηθεί με διάφορους τύπους συντονιστών όπως, για παράδειγμα, συζευγμένους συντονιστές Fabry-Perot [183], συζευγμένους συντονιστές πυριτίου σε σχήμα μικροδακτυλίου [184] ή συντονιστές που υποστηρίζουν ρυθμούς whispering-gallery 8 [185]. Σε αναλογία με το κβαντικό φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικά επαγόμενης διαφάνειας, δύο μηχανισμοί έχουν αναπτυχθεί για την επίτευξη οπτικής απόκρισης τύπου EIT. Ο πρώτος εκμεταλλεύεται την αμοιβαία σύζευξη συντονιστών εξαιτίας της γειτνίασής τους, κάποιοι από τους οποίους είναι σε σύζευξη και με ευθύγραμμους κυματοδηγούς ενώ κάποιοι όχι. Απαραίτητη προϋπόθεση σ αυτήν την περίπτωση είναι η τοποθέτηση των συντονιστών σε κοντινή απόσταση, ώστε να επιτευχθεί η ισχυρή σύζευξη των κοντινών πεδίων που αναπτύσσονται. Ο δεύτερος μηχανισμός βασίζεται στην καταστροφική συνεισφορά δύο επιμέρους συντονισμών, οι οποίοι απέχουν συχνοτικά μεταξύ τους (detuning) προς την αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση με τη συχνότητα λειτουργίας. Με άλλα λόγια, σ αυτήν την περίπτωση, η απόκριση τύπου EIT επιτυγχάνεται με την χρησιμοποίηση δύο ελαφρώς αποσυντονισμένων (detuned), ως προς μια κεντρική συχνότητα λειτουργίας, συντονιστών. Οπως είναι φυσικό, η επέκταση της υλοποίησης εξαρτημάτων με οπτική απόκριση τύπου EIT στην περιοχή της πλασμονικής ήρθε να συμπληρώσει τη σχετική έρευνα, παρέχοντας επιπλέον τη δυνατότητα της χωρικής εξοικονόμησης, κυρίαρχο πλεονέκτημα των πλασμονικών δομών. Ετσι, αναπτύχθηκαν προς αυτήν την κατεύθυνση διάφορες πλασμονικές διατάξεις, στις οποίες οι υπό σχεδίαση δομές υλοποιήθηκαν ποικιλοτρόπως: Είτε με βάση διατάξεις νανοκεραιών σε σύζευξη με κυματοδηγούς πυριτίου [186], είτε με τη χρησιμοποίηση πλασμονικών κυματοδηγών τύπου MIM συζευγμένων με συντονιστές τύπου Fabry-Perot [187], συντονιστές διακένου (slot cavities) ή διηλεκτρικούς συντονιστές [188,189], αλλά και με διατάξεις υβριδικών κυματοδηγών, όπως ο DLSPP, οι οποίες αξιοποιήθηκαν με σκοπό την επίτευξη απόκρισης τύπου EIT [190]. Εύλογα, λοιπόν, 8 Ρυθμοί που ακολουθούν μια διαδρομή στην περιφέρεια μιας κοίλης επιφάνειας. Στα πλαίσια της ακτινικής θεωρίας, η διαδρομή αυτή μπορεί να περιγραφεί ως συνδυασμός επιμέρους διαδρομών που προκύπτουν μέσω διαδοχικών εσωτερικών ανακλάσεων.

126 4.4. Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος 116 Σχήμα 4.21: Σχηματική αναπαράσταση της θεωρούμενης δομής για την ανάπτυξη του μαθηματικού μοντέλου με βάση την CMT. Για την επίτευξη οπτικής απόκρισης τύπου EIT, χρησιμοποιούνται δύο ελαφρώς αποσυντονισμένοι συντονιστές με ακτίνες R 1 και R 2, αντίστοιχα, οι οποίοι βρίσκονται τοποθετημένοι μεταξύ δύο όμοιων ευθύγραμμων κυματοδηγών. Ο κυματοδηγός τροφοδοσίας είναι στην κάτω πλευρά του σχήματος, ενώ με In και Out σημειώνονται η είσοδος και η έξοδος, αντίστοιχα, του υπό μελέτη εξαρτήματος. προκύπτει η παρατήρηση ότι μια εναλλακτική δομή υλοποίησης εξαρτημάτων αυτού του είδους θα μπορούσε να είναι και η δομή του CGS κυματοδηγού. Εχοντας μελετήσει, στις προηγούμενες ενότητες, τα πλεονεκτήματα χρησιμοποίησής του έναντι των άλλων πλασμονικών κυματοδηγών, ο CGS, καθώς και οι διατάξεις που υλοποιούνται με βάση αυτόν, αποτελεί μια ιδιαίτερα ελκυστική προοπτική, για τη σχεδίαση στοιχείων με απόκριση τύπου EIT. Αυτή ακριβώς η δυνατότητα μελετάται στην πορεία του παρόντος κεφαλαίου Μοντέλο θεωρίας συζευγμένων ρυθμών Αρχικά αναπτύσσεται ένα μαθηματικό μοντέλο βασισμένο στη θεωρία συζευγμένων ρυθμών (CMT), παρόμοιο με αυτό που αναλύθηκε στην ενότητα για την περίπτωση του φίλτρου με έναν συντονιστή. Η επίτευξη της απόκρισης τύπου EIT βασίζεται στη χρησιμοποίηση δύο συντονιστών δακτυλίου τοποθετημένων έτσι ώστε να είναι σε σύζευξη με έναν κυματοδηγό τροφοδοσίας. Ενας δεύτερος όμοιος, ευθύγραμμος κυματοδηγός τοποθετείται απέναντι από τον πρώτο ώστε οι συντονιστές να βρίσκονται μεταξύ των δύο. Η σχηματική αναπαράσταση της εν λόγω δομής δίνεται στο σχ Η τροφοδοσία της διάταξης πραγματοποιείται μέσω του πρώτου κυματοδηγού στο σημείο της θύρας εισόδου (In), ενώ η απόκριση λαμβάνεται από την θύρα εξόδου (Out) στον ίδιο κυματοδηγό. Η επίτευξη της απόκρισης τύπου EIT βασίζεται στο μηχανισμό της αλληλεπίδρασης δύο συντονισμών με μικρή απόκλιση μεταξύ τους. Κατ επέκταση, οι δύο δακτύλιοι επιλέγονται με ελαφρώς διαφορετικές ακτίνες, ώστε να προκύπτουν κατά τι αποσυντονισμένοι ως προς μία κεντρική συχνότητα. Πιο συγκεκριμένα, επιλέγεται μια κεντρική τιμή, R 0, και οι δύο συντονιστές δακτυλίου σχεδιάζονται με εξωτερικές ακτίνες, R 1 και R 2, οι οποίες προκύπτουν ως R 1,2 = R 0 ± δr. Η επιλογή της κεντρικής ακτίνας γίνεται με βάση τη συχνοτική περιοχή ενδιαφέροντος. Ετσι, για την

127 Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος επίτευξη οπτικής απόκρισης τύπου EIT στην περιοχή των 1550 nm μπορούν να επιλεχθούν εκείνες οι τιμές της R 0 για τις οποίες προκύπτει η υποστήριξη κάποιου πλασμονικού ρυθμού πρώτης ακτινικής τάξης κοντά στο συγκεκριμένο μήκος κύματος. Η απόσταση, s, στην οποία τοποθετούνται οι δύο συντονιστές (μετρημένη από τα κέντρα αυτών) επιλέγεται, αντίστοιχα, αρκετά μεγάλη ώστε να μην προκύπτει αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των δακτυλίων, αλλά και τόσο μικρή ώστε η διάταξη να είναι χωρικά συμπαγής (compact). Κατ αντιστοιχία με την ανάλυση της ενότητας 4.3.4, οι εξισώσεις που περιγράφουν την αλληλεπίδραση μεταξύ των επιμέρους στοιχείων για την εν λόγω διάταξη, προκύπτουν από την εφαρμογή του μαθηματικού μοντέλου της CMT ως εξής: dα 1 (t) dt = jω L1 α 1 (t) 1 τ L1 α 1 (t) j κ 1 s i1 j κ 1 s i1, dα 2 (t) dt = jω L2 α 2 (t) 1 τ L2 α 2 (t) j κ 2 s i2. (4.31α) (4.31β) Στις εξ. (4.31) με α i (t), όπου i = 1, 2, σημειώνονται τα πλάτη του οδηγούμενου ρυθμού σε κάθε συντονιστή, κανονικοποιημένα έτσι ώστε η παράμετρος α i (t) 2 να εκφράζει την ενέργεια που αποθηκεύεται σε καθέναν από αυτούς. Αντίστοιχα, με ω Li συμβολίζονται οι συχνότητες συντονισμού σε συνθήκες σύζευξης, με 1/τ Li οι ρυθμοί απόσβεσης των οδηγούμενων ρυθμών και με j κ i οι μιγαδικοί συντελεστές σύζευξης 9 μεταξύ των κυματοδηγών και καθενός από τους συντονιστές. Σημειώνεται, επίσης, ότι η τοποθέτηση των δύο ευθύγραμμων κυματοδηγών γίνεται συμμετρικά, εκατέρωθεν των δύο συντονιστών, επιτρέποντας τη θεώρηση ότι για κάθε δακτύλιο τα χαρακτηριστικά σύζευξης αυτού με τους δύο κυματοδηγούς προκύπτουν όμοια. Ο πρώτος δείκτης, i, στην παράμετρο s i1,2, η οποία εκφράζει το πλάτος του διαδιδόμενου στον κυματοδηγό ρυθμού, συμβολίζει το προσπίπτον (incident) κύμα ενώ το μεταδιδόμενο (transmitted), αντίστοιχα, θα συμβολίζεται για κάθε συντονιστή με τον δείκτη t (σχ. 4.21). Τέλος, οι όροι s mn, με m i, t και n = 1, 2 αναφέρονται στις παραμέτρους που αφορούν τον δεύτερο κυματοδηγό. Θεωρώντας αρμονική χρονική μεταβολή για τα εμπλεκόμενα πεδιακά μεγέθη, οι εξ. (4.31) μετασχηματίζονται στις j (ω ω L1 ) α τ L1 α 1 = j κ 1 s i1 j κ 1 s i1, j (ω ω L2 ) α τ L2 α 2 = j κ 2 s i2, (4.32α) (4.32β) από τις οποίες με κατάλληλη επεξεργασία θα προκύψει η ζητούμενη σχέση της οπτικής απόκρισης. Ετσι, ξεκινώντας από την θύρα εισόδου, στο πρώτο επίπεδο αλληλεπίδρασης του συντονιστή με ακτίνα R 1 με τον κυματοδηγό τροφοδοσίας θα ισχύει s t1 = s i1 j κ 1 α 1. (4.33) 9 Στην περίπτωση της δομής του σχ το μέτρο του συντελεστή σύζευξης για κάθε συντονιστή θα δίνεται από τη σχέση κ = 1/τ wg και όχι από την κ = 2/τ wg που ίσχυε στη δομή του φίλτρου συντονιστή δακτυλίου. Κι αυτό, επειδή η παράμετρος τ wg υπολογίζεται πλέον μέσω του συντελεστή ποιότητας που προκύπτει από την ανάλυση ιδιοτιμών της δομής του δακτυλίου σε σύζευξη και με τους δύο κυματοδηγούς. Ετσι, η σύζευξη κάθε δακτυλίου με τον ένα μόνο κυματοδηγό που απαιτείται να εισαχθεί στις (4.31) θα πρέπει να οριστεί κατάλληλα.

128 4.4. Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος 118 Το τμήμα εκείνο του διαδιδόμενου ρυθμού που δεν θα συζευχθεί με τον πρώτο δακτύλιο (s t1 ) θα συνεχίσει να διαδίδεται εντός του κυματοδηγού έως ότου φτάσει στον δεύτερο συντονιστή. Ετσι, το προσπίπτον κύμα s i2 θα δίνεται από τη σχέση s i2 = e jφ s t1, (4.34) όπου με φ συμβολίζεται η φάση που συσσωρεύεται κατά τη διαδρομή του ρυθμού από τον ένα συντονιστή στον άλλο. Η τιμή της φάσης, φ, λαμβάνεται μέσω της σχέσης φ = ωn eff s/c, όπου ω η συχνότητα λειτουργίας, n eff ο ενεργός δείκτης διάθλασης του διαδιδόμενου ρυθμού και s η απόσταση των κέντρων των δύο δακτυλίων. Η σύζευξη του διαδιδόμενου κύματος με τον δεύτερο συντονιστή, σ αυτό το σημείο, θα επιφέρει επιπλέον ελάττωση στο πλάτος του σύμφωνα με τη σχέση s t2 = s i2 j κ 2 α 2 = e jφ (s i1 j κ 1 α 1 ) j κ 2 α 2. (4.35) Για την αλληλεπίδραση των δύο συντονιστών με τον δεύτερο κυματοδηγό (που βρίσκεται στην πάνω πλευρά του σχ. 4.21), και με την προϋπόθεση ότι αυτός δεν τροφοδοτείται στο δεξί του άκρο (s i2 = 0), προκύπτουν αντίστοιχα οι παρακάτω εκφράσεις s t2 = j κ 2 α 2, s i1 = e jφ ( j κ 2 α 2 ). (4.36α) (4.36β) Συνδυάζοντας, λοιπόν, τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει το σύστημα εξισώσεων από το οποίο υπολογίζονται τα πλάτη α 1 και α 2 του οδηγούμενου ρυθμού σε κάθε συντονιστή, συναρτήσει του πλάτους του προσπίπτοντος κύματος εισόδου s i s i1 { α1 α 2 } [ ] (ω ωl1 ) j 1 τ = L1 j κ 1 κ 2 e jφ 1 { } κ1 s i. (4.37) j κ 1 κ 2 e jφ (ω ω L2 ) j 1 τ L2 κ 2 e jφ s i Στη συνέχεια, ο συντελεστής μετάδοσης s t /s i, με s t s t2, θα προκύψει αντικαθιστώντας τη λύση του συστήματος (4.37) στην εξ. (4.35). Για να υπολογιστεί η οπτική απόκριση μέσω των σχέσεων που αναπτύχθηκαν με βάση την CMT, θα πρέπει να επιλυθούν μια σειρά από προβλήματα ιδιοτιμών για την υπό ανάλυση δομή. Τα προβλήματα αυτά αφορούν τις διατάξεις συντονιστών τόσο κατά την απουσία των ευθύγραμμων κυματοδηγών, όσο και κατά την παρουσία τους. Ετσι, οι εξισώσεις της CMT τροφοδοτούνται με τις τιμές των συντελεστών ποιότητας και τις συχνότητες συντονισμού που προκύπτουν από τέσσερις επιμέρους αναλύσεις ιδιοτιμών, του ασύζευκτου και του συζευγμένου προβλήματος για κάθε συντονιστή. Η πρώτη διάταξη που μελετάται προς αυτήν την κατεύθυνση υλοποιείται με συντονιστές μικροδακτυλίου και αναλύεται στην επόμενη ενότητα Απόκριση τύπου EIT με συντονιστές μικροδακτυλίου Η γεωμετρία της πρώτης δομής που σχεδιάστηκε με στόχο την επίτευξη απόκρισης τύπου EIT και υλοποιείται με βάση τον κυματοδηγό CGS, απεικονίζεται στο σχ. 4.22(i). Πρόκειται για την ίδια γεωμετρική διάταξη που μελετήθηκε και στην προηγούμενη ενότητα (4.4.2) και αποτελείται

129 Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος Σχήμα 4.22: (i) Γεωμετρική διάταξη της δομής που χρησιμοποιείται για την επίτευξη απόκρισης τύπου EIT και υλοποιείται με βάση τον κυματοδηγό CGS. Οι γεωμετρικές παράμετροι επιλέγονται R 1,2 = R 0 ± δr, με R 0 = 1.3 μm και δr = 5 nm, g 1,2 = g 0 δr, με g 0 = 120 nm και s = 3.81 μm = 5λ g. (ii) Συντελεστής μετάδοσης μεταξύ των θυρών εισόδου (Input) και εξόδου (Output), όπως προέκυψε τόσο από την εφαρμογή του μαθηματικού μοντέλου με βάση την CMT, όσο και από την επίλυση με την FEM. από δύο συντονιστές δακτυλίου τοποθετημένους μεταξύ δύο όμοιων ευθύγραμμων κυματοδηγών. Οι συντονιστές έχουν κατά τι διαφορετικές ακτίνες, R 1 και R 2, οι τιμές των οποίων επιλέγονται με μια απόκλιση δr γύρω από μία κεντρική τιμή, R 1,2 = R 0 ± δr. Για την R 0 επιλέγεται μία τιμή, για την οποία προκύπτει υποστηριζόμενος πλασμονικός ρυθμός κοντά στο μήκος κύματος ενδιαφέροντος (1550 nm). Η τιμή αυτή επιλέχθηκε R 0 = 1.3 μm. Η μικρή διαφοροποίηση που απαιτείται στην ακτίνα, σε σχέση με τη διάταξη του φίλτρου της ενότητας 4.3.3, έγκειται στην παρουσία και του δεύτερου κυματοδηγού, εξαιτίας του οποίου οι συντελεστές ποιότητας των δακτυλίων σε συνθήκες σύζευξης μειώνονται περισσότερο απ' ότι στην περίπτωση παρουσίας ενός μόνο κυματοδηγού. Ετσι, η αύξηση της ακτίνας αντισταθμίζει αυτήν τη μείωση επιτρέποντας την εμφάνιση οξύτερης κορυφής μετάδοσης στην απόκριση τύπου EIT. Παράλληλα, λόγω της ευαισθησίας που παρουσιάζει η μεταβολή της συχνότητας συντονισμού με την αλλαγή της ακτίνας (βλ. ενότητα 4.3.3), η απόκλιση από την κεντρική τιμή δr επιλέγεται της τάξης των μερικών νανομέτρων και συγκεκριμένα δr = 5 nm. Η απόσταση του διακένου μεταξύ δακτυλίων και ευθύγραμμων κυματοδηγών ορίζεται για την κεντρική ακτίνα R 0 ως g 0 = 120 nm. Κατά συνέπεια, για κάθε συντονιστή προκύπτει ως g 1,2 = g 0 δr. Η απόσταση s μεταξύ των κέντρων των δύο συντονιστών είναι αυτή που καθορίζει το σημείο εμφάνισης της αναμενόμενης κορυφής μετάδοσης εντός της περιοχής συντονισμού. Κι αυτό επειδή η φάση που συσσωρεύεται κατά τη διαδρομή του οδηγούμενου ρυθμού από τον ένα δακτύλιο στον άλλο, εξαρτάται από την παράμετρο αυτή, δηλαδή φ = ωn eff s/c. Οταν η τιμή της φάσης γίνει ίση με 2π, η αναμενόμενη κορυφή εμφανίζεται στο κέντρο του βυθίσματος συντονισμού και λαμβάνει τη μεγαλύτερη στάθμη της [184, 186]. Η επιλογή φ = 2π συνεπάγεται με τη σειρά της ότι για να προκύπτουν συμμετρικές κορυφές μετάδοσης με μέγιστη κάθε φορά τιμή, θα πρέπει η απόσταση s να είναι πολλαπλάσιο του μήκους κύματος του οδηγούμενου ρυθμού, λ g. Δηλαδή, θα ισχύει φ = m2π όταν αντίστοιχα s = mλ g. Η επιλογή της τιμής της παραμέτρου m πραγματοποιείται με βάση την απαίτηση για ικανή απόσταση μεταξύ των συντονιστών, ώστε να μην επιτρέπεται να

130 4.4. Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος 120 αναπτυχθεί αμοιβαία σύζευξη, αλλά και την προσπάθεια υλοποίησης δομών με κατά το δυνατό μικρότερο χωρικό αποτύπωμα. Ετσι, στην παρούσα ανάλυση επιλέχθηκε s = 5λ g = 3.81 μm. Εχοντας ορίσει τις γεωμετρικές παραμέτρους της δομής 4.22(i) μπορούμε να προχωρήσουμε στην ανάλυση αυτής, τόσο με το μαθηματικό μοντέλο που βασίστηκε στη CMT, όσο και με την υπολογιστική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Στο μεν μοντέλο CMT, επιλύονται τα τέσσερα προβλήματα ιδιοτιμών που τροφοδοτούν τις (4.37) και (4.35), στη δε ανάλυση με τη FEM επιλύεται το πρόβλημα αρμονικής μετάδοσης στο επιθυμητό συχνοτικό εύρος. Οπως και στις αναλύσεις μέσω της FEM που πραγματοποιήθηκαν νωρίτερα στο παρόν κεφάλαιο, η διάταξη διακριτοποιείται με τη βοήθεια πρισματικών, διανυσματικών στοιχείων ακμής πρώτης τάξης. Στα άκρα κάθε ευθύγραμμου κυματοδηγού επιλέγεται η χρησιμοποίηση στρωμάτων PML για την επαρκή απορρόφηση των όποιων ρυθμών ακτινοβολίας προκύπτουν, ενώ στα όρια του χωρίου υπολογισμού ορίζονται απορροφητικές συνθήκες κατάλληλες να διαχειριστούν τους ρυθμούς που φτάνουν σε αυτά (πρώτης τάξης ABCs για όλα τα όρια, πλην των εισόδων και εξόδων των κυματοδηγών όπου χρησιμοποιείται η τροποποιημένη ABC για υβριδικούς ρυθμούς). Τα αποτελέσματα της σύγκρισης των δύο αναλύσεων απεικονίζονται στο σχ. 4.22(ii), όπου φαίνεται ο συντελεστής μετάδοσης μεταξύ των επιπέδων S 1 και S 2 (σχ. 4.22(i)) για το συχνοτικό εύρος μm. Στην οπτική απόκριση της διάταξης, για τις γεωμετρικές παραμέτρους που επιλέχθηκαν, προέκυψε η εμφάνιση μιας κορυφής μετάδοσης εντός του βυθίσματος συντονισμού, καταδεικνύοντας τη δυνατότητα επίτευξης οπτικής απόκρισης τύπου EIT. Παράλληλα, η συμφωνία μεταξύ του υπολογισμού μέσω της CMT και της ανάλυσης με την FEM είναι εμφανής. με τις θέσεις εμφάνισης τόσο των ελαχίστων μετάδοσης όσο και τις αντίστοιχες των μεγίστων να προκύπτουν σχεδόν στα ίδια μήκη κύματος. Σημειώνεται ότι για τη ορθή σύγκριση μεταξύ των δύο αποτελεσμάτων, στην απόκριση που υπολογίστηκε μέσω του μοντέλου CMT, λήφθηκε υπ όψιν η συχνοτική διασπορά του ενεργού δείκτη διάθλασης n eff, η τιμή του οποίου υπεισέρχεται τόσο στον υπολογισμό της φάσης φ, όσο και στον υπολογισμό των απωλειών διάδοσης στον κυματοδηγό. Η επίδραση των διαφόρων δομικών παραμέτρων στην οπτική απόκριση της υπό μελέτη διάταξης εξετάζεται στη συνέχεια. Αρχικά, μελετάται η μεταβολή της απόκρισης για μεταβολή της παραμέτρου αποσυντονισμού δr. Για τον σκοπό αυτό, επιλύεται το πρόβλημα της αρμονικής διάδοσης επιλέγοντας διαφορετικές τιμές δr = 5, 10 και 15 nm και διατηρώντας τα υπόλοιπα γεωμετρικά χαρακτηριστικά σταθερά. Οπως φαίνεται στο σχ. 4.23, από την αλλαγή στην απόκλιση δr μεταξύ των ακτινών επηρεάζεται τόσο ο συντελεστής ποιότητας της προκύπτουσας κορυφής μετάδοσης, όσο και ο λόγος εξάλειψης που ορίζεται μεταξύ της χαμηλότερης τιμής του συντελεστή μετάδοσης και της τιμής στην κορυφή. Πιο συγκεκριμένα, για τις τρεις τιμές της παραμέτρου δr = 5, 10 και 15 nm οι συντελεστές ποιότητας (Q) των κορυφών μετάδοσης προκύπτουν 345, 165 και 100, αντίστοιχα, επαληθεύοντας την τάση που παρατηρείται και στα γραφήματα του σχ για εμφάνιση οξύτερων κορυφών μετάδοσης στις μικρότερες τιμές της παραμέτρου δr. Ταυτόχρονα, ωστόσο, η μείωση της δr επιφέρει και μείωση στον λόγο εξάλειψης (ER), οι τιμές του οποίου υπολογίζονται ER = 6.6, 11.5 και 13 db για δr = 5, 10 και 15 nm, αντίστοιχα. Ετσι, η διάταξη των δύο συντονιστών που περιγράφηκε προηγουμένως παρέχει τη δυνατότητα επίτευξης οπτικής απόκρισης τύπου EIT με συντελεστές ποιότητας, για τις κορυφές μετάδοσης, μεγαλύτερους από αυτούς που προέκυψαν από την αντίστοιχη δομή φίλτρου με έναν συντονιστή και λόγους εξάλειψης που βελτιώνονται για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου δr. Στο σχήμα 4.24 απεικονίζονται οι μεταβολές στις οποίες υπόκειται η καμπύλη απόκρισης για δύο ακόμη δομικές παραμέτρους της διάταξης των δύο δακτυλίων. Ειδικότερα, στο σχ. 4.24(i) φαίνεται η

131 Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος Σχήμα 4.23: Συντελεστής μετάδοσης υπολογισμένος με την FEM για τη δομή του σχήματος 4.22(i) για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου δr = 5, 10 και 15 nm. Οι υπόλοιπες γεωμετρικές παράμετροι είναι R 0 = 1.3 μm, g 0 = 120 nm και s = 3.81 μm = 5λ g. Σχήμα 4.24: Συντελεστής μετάδοσης υπολογισμένος με την FEM για τη δομή του σχήματος 4.22(i). (i) Μεταβολή για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου g 0 = 100, 120, και 140 nm. Η απόκλιση από την κεντρική ακτίνα R 0 = 1.3 μm είναι δr = 10 nm, ενώ οι δακτύλιοι απέχουν s = 3.81 μm. (ii) Μεταβολή για διαφορετικές τιμές της απόστασης s = mλ g. Η απόκλιση από την κεντρική ακτίνα είναι δr = 5 nm και η κεντρική απόσταση μεταξύ συντονιστών και κυματοδηγών ορίζεται στα g 0 = 120 nm. Η απόκλιση από την τιμή s = mλ g είναι d = 50 nm. επίδραση της κεντρικής απόστασης μεταξύ συντονιστών και ευθύγραμμων κυματοδηγών g 0. Οσο αυτή αυξάνεται, τόσο η στάθμη του μεγίστου μετάδοσης ανεβαίνει και παράλληλα μειώνεται ο συντελεστής ποιότητας της εμφανιζόμενης κορυφής. Η αύξηση της στάθμης μεγίστου, βέβαια, δεν συνεπάγεται και αντίστοιχη αύξηση του λόγου ER, μιας και ταυτόχρονα ανεβαίνει και η στάθμη

132 4.4. Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος 122 Σχήμα 4.25: (i) Γεωμετρική διάταξη της δομής μικροδίσκων που χρησιμοποιείται για την επίτευξη απόκρισης τύπου EIT. Οι γεωμετρικές παράμετροι επιλέγονται R 1,2 = R 0 ± δr με R 0 = 0.85 μm, g 1,2 = g 0 δr με g 0 = 120 nm και s = 2.3 μm = 3λ g. (ii) Συντελεστής μετάδοσης μεταξύ των θυρών εισόδου (Input) και εξόδου (Output), όπως προέκυψε από την επίλυση μέσω της FEM για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου δr = 3, 5 και 7 nm. των ελαχίστων. Ετσι, η επιλογή της τιμής για την g 0 προκύπτει ως συμβιβασμός μεταξύ του επιθυμητού συντελεστή ποιότητας και της παραμέτρου ER. Στο σχ. 4.24(ii) φαίνεται η επίδραση της απόστασης μεταξύ των κέντρων των δύο συντονιστών στη συμμετρία του διαγράμματος της οπτικής απόκρισης. Οπως ήταν αναμενόμενο, για τιμές της s = mλ g η εμφανιζόμενη κορυφή εμφανίζεται συμμετρική και λαμβάνει τη μέγιστη στάθμη μεγίστου. Αν, ωστόσο, η απόσταση μεταξύ ων συντονιστών αποκλίνει έστω και λίγο από την τιμή αυτή, η συμμετρία διαταράσσεται σημαντικά. Οπως είναι φανερό, ακόμη και μία απόκλιση d = ±50 nm μπορεί να αλλοιώσει τη μορφή της οπτικής απόκρισης, καθιστώντας ιδιαίτερα σημαντική την ακριβή επιλογή της παραμέτρου s σε τιμές που είναι πολλαπλάσια του μήκους κύματος λ g Απόκριση τύπου EIT με συντονιστές μικροδίσκου Ακολουθώντας παρόμοιο σκεπτικό με αυτό της προηγούμενης ενότητας, θα επιχειρήσουμε την υ- λοποίηση μιας εναλλακτικής διάταξης για την επίτευξη απόκρισης τύπου EIT. Η διαφορά έγκειται στην αντικατάσταση των συντονιστών δακτυλίου με συντονιστές σε σχήμα κυκλικού δίσκου. Η εισαγωγή των συντονιστών μικροδίσκου, αναμένεται να οδηγήσει σε μεγαλύτερες τιμές τόσο για τους συντελεστές ποιότητας, όσο και για τους λόγους εξάλειψης στις μεταβολές της οπτικής απόκρισης. Παράλληλα, η ισχυρότερη συγκέντρωση που αυτοί προσφέρουν για τους υποστηριζόμενους ρυθμούς, έναντι της αντίστοιχης που παρατηρείται για τις δομές δίσκων, αναμένεται να επιτρέψει τη συρρίκνωση αυτών σε διαστάσεις μικρότερες του ενός μικρομέτρου. Στο σχ. 4.25(i) απεικονίζεται η εν λόγω δομή. Οπως και στη διάταξη συντονιστών μικροδακτυλίου, οι δύο δίσκοι σχεδιάζονται με μια μικρή απόκλιση ακτίνας δr γύρω από μία κεντρική τιμή R 0. Η απόκλιση αυτή καθορίζει και την απόστασή τους από τους δύο ευθύγραμμους κυματοδηγούς (g 1,2 = g 0 δr). Για να προκύψουν οι γεωμετρικές παράμετροι, η διάταξη αναλύθηκε αρχικά χρησιμοποιώντας το μοντέλο της CMT, όπως περιγράφηκε στην ενότητα Ετσι, για την επίτευξη οπτικής απόκρισης με χαρακτηριστικά EIT κοντά στα 1550 nm η κεντρική ακτίνα, R 0, επιλέχθηκε ίση με 0.85 μm, το

133 Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος διάκενο g 0 ίσο με 120 nm και η απόσταση s ίση με 2.3 μm που αντιστοιχεί σε 3λ g. Στη συνέχεια, η δομή μικροδίσκων αναλύθηκε με τη βοήθεια της FEM για διάφορες τιμές της παραμέτρου δr (3, 5 και 7 nm) και το διάγραμμα του συντελεστή μετάδοσης για κάθε περίπτωση απεικονίζεται στο σχ. 4.25(ii). Είναι φανερό ότι η αντικατάσταση των συντονιστών δακτυλίου με αντίστοιχους σε σχήμα δίσκου οδήγησε στην εμφάνιση κορυφής μετάδοσης τύπου EIT με βελτιωμένα χαρακτηριστικά. Οι τιμές των συντελεστών ποιότητας για τα τρία σενάρια δr = 3, 5 και 7 nm υπολογίζονται 390, 195 και 125, αντίστοιχα, ενώ, επιπλέον, οι λόγοι εξάλειψης (ER) προκύπτουν περίπου 9.5, 12 και 13 db. Μάλιστα, οι μεταβολές στην οπτική απόκριση της εν λόγω δομής επιτεύχθηκαν για αποκλίσεις δr της τάξης των μερικών μόνο νανομέτρων και οδήγησαν, πέρα από την αύξηση του συντελεστή ποιότητας, σε λόγους εξάλειψης που αντιστοιχούν σε απότομη αύξηση της μεταδιδόμενης ισχύος από 9.5 db και πάνω. Αυτήν, ακριβώς, τη δυνατότητα θα εκμεταλλευτούμε στην ενότητα που ακολουθεί για την υλοποίηση ενός εξαρτήματος βασισμένο στη δομή μικροδίσκων, το οποίο θα εμφανίζει διακοπτική συμπεριφορά Δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου Η ανάλυση που προηγήθηκε σχετικά με την επίτευξη απόκρισης με χαρακτηριστικά EIT, κατέδειξε τη δυνατότητα αξιοποίησης των δομών μικροσυντονιστών ως διακοπτικών στοιχείων. Η σχεδίαση, ωστόσο, ενός στοιχείου με διακοπτική συμπεριφορά απαιτεί τη δυνατότητα δυναμικού ελέγχου της απόκρισής του. Στις ενότητες που προηγήθηκαν, παρατηρήθηκε το φαινόμενο μετατόπισης της καμπύλης του συντελεστή μετάδοσης, με τρόπο τέτοιο ώστε για δεδομένο μήκος κύματος λειτουργίας η ίδια διάταξη άλλοτε να εμφανίζει μέγιστη μετάδοση και άλλοτε ελάχιστη. Η συμπεριφορά αυτή προέκυψε ως αποτέλεσμα της μεταβολής γεωμετρικών παραμέτρων και πιο συγκεκριμένα της ακτίνας του χρησιμοποιούμενου συντονιστή στη δομή του φίλτρου μικροδακτυλίου (σχ. 4.11). Καθώς οι διατάξεις που μελετήθηκαν στις ενότητες και υλοποιούνται με αντίστοιχους συντονιστές οδεύοντος κύματος, αναμένεται να εμφανίζουν παρόμοια εξάρτηση. Η μεταβολή, ωστόσο, ενός γεωμετρικού χαρακτηριστικού, όπως είναι η ακτίνα του συντονιστή, δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί μετά την υλοποίηση της αντίστοιχης δομής. Αυτό που μπορεί να μεταβληθεί, επιδρώντας ισοδύναμα στην απόκριση της διάταξης, είναι ο ενεργός δείκτης διάθλασης που αντιλαμβάνεται ο οδηγούμενος ρυθμός κατά τη διάδοσή του σε αυτή. Η δυνατότητα ρύθμισης του ενεργού δείκτη διάθλασης δίνεται μέσω της αξιοποίησης του θερμοοπτικού φαινομένου (thermo-optic effect) [168, 191, 192]. Η χρησιμοποίηση του πυριτίου ως υλικό υψηλού δείκτη διάθλασης στον σχηματισμό του κυματοδηγού CGS διευκολύνει, μάλιστα, την εκμετάλλευση αυτού του φαινομένου, μιας και το Si διαθέτει υψηλό θερμο-οπτικό συντελεστή (Thermo- Optic Coefficient, TOC), TOC Si = n/ T K 1 [193]. Παράλληλα, η ύπαρξη του μεταλλικού στρώματος αργύρου στη δομή του CGS, η οποία είναι ούτως ή άλλως τμήμα της γεωμετρίας του κυματοδηγού, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επιβολή του ηλεκτρικού σήματος μέσω του οποίου θα καταστεί δυνατή η ρύθμιση της θερμοκρασίας. Καθώς το ηλεκτρικό σήμα ελέγχου διέρχεται μέσα από το μεταλλικό στρώμα, η θέρμανση επέρχεται, μέσω των ωμικών απωλειών σ αυτό, σε όλη την υποκείμενη διάταξη. Στην παρούσα εφαρμογή η διάταξη θεωρούμε ότι θερμαίνεται ομοιόμορφα στο σύνολό της και, έτσι, θα πρέπει στη σχετική ανάλυση να λάβουμε υπ όψιν και τον θερμο-οπτικό συντελεστή του διοξειδίου πυριτίου TOC SiO K 1 [193], ο οποίος είναι αρκετά μικρότερος από αυτόν του Si και δεν αναμένεται να μεταβάλει ιδιαίτερα την απόκριση της διάταξης.

134 4.4. Διακοπτικά στοιχεία συντονιστών οδεύοντος κύματος 124 Σχήμα 4.26: Συντελεστής μετάδοσης για τη διάταξη του σχ. 4.25(i) πριν και μετά τη θέρμανση του στοιχείου. Η θερμοκρασιακή διαφορά δt = 60 K οδήγησε σε αλλαγή των δεικτών διάθλασης δn Si = και δn SiO2 = Από τις δομές που παρουσιάστηκαν στις ενότητες και 4.4.4, επιλέγεται αυτή με τα καλύτερα χαρακτηριστικά απόκρισης (συντελεστής ποιότητας, λόγος εξάλειψης) για τη διερεύνηση της δυνατότητας θερμο-οπτικού ελέγχου. Ετσι, με αναφορά τη διάταξη του σχ. 4.25(i), για την τιμή της απόκλισης από την κεντρική ακτίνα, R 0 = 0.85 μm, δr = 3 nm η διάταξη των δύο συντονιστών μικροδίσκου αναλύεται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για δύο καταστάσεις: Την ψυχρή, όπου οι παράμετροι όλων των υλικών που συνθέτουν τη δομή λαμβάνουν τις τιμές που ορίστηκαν αρχικά (ενότητα 4.2) και τη θερμή, όπου οι δείκτες διάθλασης για το Si και το SiO 2 τροποποιούνται σύμφωνα με τους αντίστοιχους θερμο-οπτικούς συντελεστές. Σύμφωνα με αυτούς, για το πυρίτιο μία διαφορά θερμοκρασίας δt = 60 K μπορεί να επιφέρει μεταβολή στον δείκτη διάθλασης δn = καθιστώντας την τιμή του ίση με n = Η μεταβολή που επιτυγχάνεται με την ίδια διαφορά θερμοκρασίας στον δείκτη διάθλασης του SiO 2 είναι δn = Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα, κατά πόσο μπορεί να επηρεάσει τον δείκτη n eff η αλλαγή στο Si, δεδομένου ότι το μεγαλύτερο ποσοστό της ισχύος του υποστηριζόμενου πλασμονικού ρυθμού συγκεντρώνεται εντός του στρώματος SiO 2, στο οποίο η αντίστοιχη μεταβολή είναι ελάχιστη. Η απάντηση δίνεται από την παρατήρηση της πεδιακής μορφής των τριών συνιστωσών για τον υποστηριζόμενο πλασμονικό ρυθμό (σχ. 4.5 και 4.6). Σύμφωνα με αυτές, παρότι η κυρίαρχη συνιστώσα E y του υποστηριζόμενου ρυθμού παραμένει ισχυρά συγκεντρωμένη εντός του στρώματος διοξειδίου του πυριτίου (σχ. 4.5), η οδηγούσα συνιστώσα E z εντοπίζεται κατά βάση εντός του πυριτίου (σχ.4.6). Το τμήμα αυτό του ηλεκτρικού πεδίου αναμένεται να συνεισφέρει στη δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου της υπό μελέτη διάταξης. Υιοθετώντας, λοιπόν, τις αντίστοιχες παραμέτρους για τον δείκτη διάθλασης (ψυχρή και θερμή κατάσταση), η δομή του σχ. 4.25(i) αναλύεται μέσω της FEM και οι δύο καμπύλες του συντελεστή μετάδοσης της οπτικής ισχύος συναρτήσει του μήκους κύματος απεικονίζονται στο σχ Είναι φανερό ότι η θέρμανση της διάταξης προκάλεσε ολίσθηση της καμπύλης μετάδοσης, τέτοια ώστε στα 1560 nm, η διάταξη των δύο συντονιστών μικροδίσκων να εμφανίζει διακοπτική συμπεριφορά.

135 Ανακεφαλαίωση Ετσι, το μέγιστο της κορυφής τύπου EIT που εμφανίζεται για την ψυχρή κατάσταση του στοιχείου, αντικαθίσταται από ελάχιστο μετάδοσης μετά τη θέρμανση. Ο λόγος εξάλειψης μεταξύ των δύο αυτών καταστάσεων υπολογίζεται στα 8 db και αντιστοιχεί σε μεταβολή της ισχύος εξόδου σε ποσοστό στο 14% περίπου της αρχικής τιμής της. Συμπεραίνει, λοιπόν, κανείς ότι η εφαρμογή κάποιου ηλεκτρικού σήματος στα ήδη υπάρχοντα μεταλλικά τμήματα της δομής μικροδίσκων, με σκοπό τη μεταβολή της θερμοκρασίας των επιμέρους τμημάτων αυτής, θα μπορούσε να ρυθμίσει τη λαμβανόμενη οπτική απόκριση, με τέτοιον τρόπο ώστε να προκύψει διακοπτική συμπεριφορά. Φυσικά, η επίτευξη μεγαλύτερου λόγου εξάλειψης μεταξύ των δύο καταστάσεων, η κατάλληλη εφαρμογή των ηλεκτρικών σημάτων ώστε να προκύψει ομοιόμορφη θέρμανση της διάταξης καθώς και η διερεύνηση του κατά πόσο οι χρόνοι μετάβασης μεταξύ των δύο καταστάσεων προκύπτουν κατάλληλοι για πρακτικές εφαρμογές είναι, μεταξύ άλλων, μερικά από τα ζητήματα που θα πρέπει να μελετηθούν περαιτέρω. Σε κάθε περίπτωση, ωστόσο, η δυνατότητα ρύθμισης των χαρακτηριστικών της απόκρισης για τη δομή των δύο συντονιστών με τη βοήθεια του θερμο-οπτικού φαινομένου αποτελεί μία ενδιαφέρουσα εναλλακτική υλοποίησης διακοπτικών στοιχείων με διαστάσεις που δεν ξεπερνούν, για το σύνολο της διάταξης τα μερικά τετραγωνικά μικρόμετρα. 4.5 Ανακεφαλαίωση Συνοψίζοντας τα όσα μελετήθηκαν στο παρόν κεφάλαιο, αρχικά, αναλύθηκαν τα χαρακτηριστικά του πλασμονικού κυματοδηγού CGS και περιγράφηκε η κατανομή και οι ιδιότητες του υποστηριζόμενου από αυτόν πλασμονικού ρυθμού. Επειτα, με βάση τον κυματοδηγό CGS, διερευνήθηκε η δυνατότητα υλοποίησης συντονιστών οδεύοντος κύματος και ο συνδυασμός αυτών με ευθύγραμμους κυματοδηγούς τροφοδοσίας για την σύνθεση διατάξεων με χαρακτηριστικά φιλτραρίσματος. Η χρησιμοποιούμενη για την απόκτηση της οπτικής απόκρισης υπολογιστική μέθοδος ανάλυσης (μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων) περιγράφηκε στη συνέχεια, ενώ ένα μαθηματικό μοντέλο βασισμένο στη θεωρία συζευγμένων ρυθμών αξιοποιήθηκε για τη διευκόλυνση της σχεδίασης των υπό μελέτη δομών. Σ ένα επόμενο βήμα, αναλύθηκε η συμπεριφορά πολυπλοκότερων διατάξεων με στόχο την επίτευξη απόκρισης τύπου EIT, ώστε να προκύψουν οξύτερες μεταβολές στη φασματική απόκριση του συντελεστή μετάδοσης. Τέλος, διερευνήθηκε η δυνατότητα ρύθμισης των χαρακτηριστικών της απόκρισης αυτής, με στόχο την υλοποίηση διακοπτικών στοιχείων. Προς τον σκοπό αυτό, αξιοποιήθηκε δυνατότητα εκμετάλλευσης του θερμο-οπτικού φαινομένου. [194, 195]

136

137 Κεφάλαιο 5 Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης - Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας Η επίλυση ενός προβλήματος ηλεκτρομαγνητισμού απαιτεί, όπως αναφέρθηκε και στα προηγούμενα κεφάλαια, τον υπολογισμό των μεγεθών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου σε όλα τα σημεία μιας περιοχής ενδιαφέροντος. Η περιοχή αυτή μπορεί να περιλαμβάνει επιμέρους στοιχεία με διαφορετική γεωμετρία ή/και διαφοροποιημένες ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες. Καθώς στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές οι διατάξεις που μελετώνται παρουσιάζουν αυξημένη πολυπλοκότητα, η αναλυτική τους επίλυση είναι συνήθως ιδιαίτερα δύσκολη ή και αδύνατη, καθιστώντας την αξιοποίηση κάποιας από τις διαθέσιμες υπολογιστικές τεχνικές αναπόφευκτη. Σ αυτές τις περιπτώσεις, η επιλογή της κατάλληλης αριθμητικής μεθόδου είναι ιδιαίτερα σημαντική για την ορθή αναπαράσταση των πεδιακών μεγεθών που αναπτύσσονται στις υπό ανάλυση διατάξεις, καθώς τα περισσότερα σύγχρονα ηλεκτρομαγνητικά προβλήματα πραγματεύονται πολύπλοκες γεωμετρικές δομές αλλά και υλικά με ιδιότητες όπως η ανισοτροπία, η συχνοτική διασπορά ή η μη γραμμικότητα. Η μέθοδος διάδοσης δέσμης (Beam Propagation Method, BPM) [ ] είναι μία αριθμητική τεχνική, η οποία επιτρέπει κατά βάση την επίλυση προβλημάτων σε διατάξεις που χαρακτηρίζονται από μικρές μεταβολές των ιδιοτήτων τους κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Στην πλήρως διανυσματική (full-vector, FV) εκδοχή της (FV-BPM) [ ], μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσομοίωση της λειτουργίας διατάξεων, στις οποίες ισχύει η διανυσματική κυματική εξίσωση Helmholtz, αποτελώντας, έτσι, μια χρήσιμη εναλλακτική ηλεκτρομαγνητικής υπολογιστικής ανάλυσης. Η δυνατότητα που παρέχεται μέσω της BPM για επίλυση της κυματικής εξίσωσης κατά έναν επαναληπτικό τρόπο, ξεκινώντας από ένα αρχικό επίπεδο και προχωρώντας τμηματικά προς τη διεύθυνση διάδοσης, την καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμη για τη διερεύνηση της λειτουργίας διατάξεων με μεγάλη φυσική κλίμακα (large physical-scale structures). Σε τέτοιου είδους διατάξεις, η εξοικονόμηση υπολογιστικών πόρων και χρόνου επίλυσης είναι και το βασικότερο πλεονέκτημά της έναντι των μεθόδων στις οποίες οι αντίστοιχες εξισώσεις επιλύονται σε ολόκληρο το χωρίο υπολογισμού, όπως είναι η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Η επίλυση της παραξονικής (paraxial) βαθμωτής εξίσωσης κύματος με τη βοήθεια του ταχέος μετασχηματισμού Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) αποτέλεσε την αρχική εκδοχή της μεθόδου διάδοσης δέσμης (FFT-BPM) [115]. Η διατύπωση, ωστόσο, της FFT-BPM είχε δύο βασικά μειονεκτήματα. Το πρώτο σχετίζεται με τον περιορισμό που θέτει σχετικά με τις μεταβολές 127

138 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 128 του δείκτη διάθλασης στο επίπεδο της εγκάρσιας διατομής, οι οποίες θεωρούνται πολύ μικρές, ενώ το δεύτερο συνδέεται με το γεγονός ότι αφορά μόνο τη βαθμωτή εξίσωση κύματος. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών (Finite Difference Method, FDM) έδωσε, αρχικά, τη λύση στο ζήτημα του περιορισμού της μεταβολής του δείκτη διάθλασης και επέτρεψε, στην πορεία, την επέκταση της BPM ώστε να επιτρέπει τη διαχείριση διανυσματικών πεδιακών μεγεθών. Η πρώτη προσέγγιση της διανυσματικής FD-BPM πραγματοποιήθηκε μέσω ενός σχήματος πεπερασμένων διαφορών Crank- Nicolson [116], ενώ έκτοτε προτάθηκαν διάφορες προσεγγίσεις διατύπωσης της μεθόδου διάδοσης δέσμης με τη χρησιμοποίηση διαφόρων σχημάτων πεπερασμένων διαφορών. [ ] Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται η ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας με τη βοήθεια της FV-BPM. Αρχικά, παρατίθενται κάποια βασικά στοιχεία της μεθόδου σε ό,τι αφορά την ανάλυση τρισδιάστατων δομών. Επειτα, διατυπώνεται το σύστημα των εξισώσεων διάδοσης προς επίλυση, μελετάται η διαδικασία διακριτοποίησης της εγκάρσιας διατομής με τη βοήθεια πεπερασμένων διαφορών, ενώ περιγράφεται εν συντομία και ο βηματικός αλγόριθμος της διάδοσης μέσω της επαναληπτικής τεχνικής Crank-Nicolson. Παράλληλα, εξετάζεται η δυνατότητα επίλυσης δομών μεγάλης φυσικής κλίμακας με τη βοήθεια της FV-BPM και τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων συγκρίνονται με αντίστοιχα που έχουν προκύψει από κατάλληλο θεωρητικό μοντέλο. Τέλος, διερευνάται η ανάπτυξη ενός προσεγγιστικού μοντέλου επέκτασης ευρείας γωνίας, στο ο- ποίο ο εμπλεκόμενος διαφορικός τελεστής υπολογίζεται μόνο κατά το πρώτο βήμα της διάδοσης, απλοποιώντας σημαντικά την αντίστοιχη υπολογιστική ανάλυση. 5.1 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές Η επίλυση ενός ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος με τη μέθοδο διάδοσης δέσμης βασίζεται σε μία επαναληπτική διαδικασία, κατά την οποία οι τιμές του ζητούμενου πεδίου προσδιορίζονται σε κάθε βήμα της διάδοσης (propagation step) συναρτήσει των αντίστοιχων τιμών που προκύπτουν στα προηγούμενα βήματα. Ανάλογα με το αν απαιτείται η επίλυση κάποιου συστήματος εξισώσεων για τον προσδιορισμό του πεδίου σε κάθε βήμα ή όχι, η διαδικασία επίλυσης καλείται έμμεση (implicit) ή άμεση (explicit), αντίστοιχα. Μία ενδεικτική διάταξη, με βάση την οποία θα συζητηθούν τα βασικά χαρακτηριστικά της επίλυσης μέσω της FV-BPM φαίνεται στο σχ Ως γνωστόν, το χωρίο υπολογισμού περιλαμβάνει τη δομή εντός της οποίας καλούμαστε να υπολογίσουμε τις τιμές των ζητούμενων πεδιακών μεγεθών (ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο στην περίπτωσή μας). Η επίλυση ενός προβλήματος αρμονικής διάδοσης, όπως αυτά που θα μας απασχολήσουν στο κεφάλαιο αυτό, βασίζεται σ έναν βηματικό αλγόριθμο διάδοσης, ο οποίος με αρχή ένα πρώτο επίπεδο δεδομένης διέγερσης, που ορίζεται κάθετα στη διεύθυνση της διάδοσης (επίπεδο xy για z = 0 στο σχ. 5.1), συσχετίζει τις τιμές των πεδίων σε κάθε επίπεδο με αυτές του προηγούμενου (βήματα (l) (l ± 1)). Ο βηματικός αυτός αλγόριθμος υλοποιείται μέσω κάποιου κατάλληλα επιλεγμένου σχήματος πεπερασμένων διαφορών (Finite Differences, FD). Για την υλοποίηση του αλγορίθμου διάδοσης προϋποτίθεται η διακριτοποίηση και της εγκάρσιας διατομής της υπό μελέτη διάταξης. Πρόκειται για τα κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης επίπεδα (επίπεδα xy), στα οποία οι μεταβολές των πεδιακών συνιστωσών ως προς τις δύο χωρικές συντεταγμένες x, y εκφράζονται κατάλληλα, βάσει της προαναφερθείσας επιλεγμένης διαδικασίας διακριτοποίησης. Το πλέγμα που δημιουργείται από τη διακριτοποίηση αυτή, διατηρείται πανομοιότυπο για κάθε επίπεδο xy.

139 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές Σχήμα 5.1: Σχηματική αναπαράσταση των επιπέδων διάδοσης στη μέθοδο διάδοσης δέσμης (BPM). Κάθε επίπεδο xy διακριτοποιείται με τη βοήθεια πεπερασμένων διαφορών. Για τη μετάβαση από το ένα επίπεδο στο επόμενο, (l) (l + 1), χρησιμοποιείται βηματικός αλγόριθμος, ο οποίος υλοποιείται με τη βοήθεια κατάλληλου σχήματος πεπερασμένων διαφορών. Η υλοποίηση που επιλέγεται για την FV-BPM και παρουσιάζεται σ αυτό το κεφάλαιο, δεν λαμβάνει υπ όψιν τις ανακλάσεις που είναι δυνατόν να προκύψουν στα διάφορα σημεία της διάταξης και γι αυτό χαρακτηρίζεται ως μονοκατευθυντική (unidirectional). Για την ανάπτυξή της υιοθετείται η έκφραση του άγνωστου πεδίου (ηλεκτρικό πεδίο εν προκειμένω) ως το γινόμενο ενός αργά χωρικά μεταβαλλόμενου φακέλου και ενός γρήγορα μεταβαλλόμενου εκθετικού όρου. Με βάση αυτήν την επιλογή, επαναδιατυπώνεται η κυματική εξίσωση, οδηγώντας στο σύστημα εξισώσεων διάδοσης του προβλήματος. Η διακριτοποίηση στα εγκάρσια στη διάδοση επίπεδα επιλέγεται να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια πεπερασμένων διαφορών, 1 όπου οι μεταβολές των πεδιακών συνιστωσών εκφράζονται ως διαφορές μεταξύ των σημείων ενός κατάλληλα επιλεγμένου ορθογωνικού πλέγματος. Για την υλοποίηση του αλγορίθμου μετάβασης από βήμα σε βήμα του άξονα διάδοσης, επιλέγεται η τεχνική του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson (Iterated Crank-Nicolson, ICN). Το επίπεδο της διακριτοποίησης, τόσο για το εγκάρσιο επίπεδο ( x, y) όσο και για τη βηματική μετάβαση ( z), καθορίζει την ευστάθεια (stability) του επαναληπτικού σχήματος καθιστώντας τη σχέση μεταξύ των x, y και z ιδιαίτερα σημαντική για τη διατήρησή της. Η περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης μέσω της FV-BPM, όπως συνοπτικά περιγράφηκε παραπάνω, θα δοθεί αναλυτικότερα στη συνέχεια της ενότητας αυτής Διατύπωση εξισώσεων διάδοσης Οπως αναφέρθηκε και στην αρχή του κεφαλαίου, η μέθοδος διάδοσης δέσμης παρέχει τη δυνατότητα υπολογιστικής επίλυσης ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, στα οποία ισχύει η διανυσματική κυματική εξίσωση Helmholtz. Η εξίσωση αυτή διατυπωμένη ως προς το ηλεκτρικό πεδίο προκύπτει 2 μ 1 r E k 2 0 ε r E = 0, (5.1) 1 Για την διακριτοποίηση στη διατομή της υπό μελέτη διάταξης μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). [ ] 2 Η κυματική εξίσωση Helmholtz προκύπτει εύκολα από την αποσύμπλεξη των δύο πρώτων εξισώσεων του Maxwell με την υπόθεση αρμονικής χρονικής μεταβολής για τα εμπλεκόμενα πεδιακά μεγέθη.

140 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 130 όπου ε r και μ r είναι οι μιγαδικοί τανυστές της διηλεκτρικής σταθεράς και της μαγνητικής διαπερατότητας, αντίστοιχα, και k 0 = ω μ 0 ε 0 είναι ο κυματικός αριθμός του κενού χώρου. Για την περίπτωση στην οποία τα μέσα που συνθέτουν την υπό μελέτη δομή είναι ισοτροπικά, η (5.1) καταλήγει στη σχέση E k 2 0n 2 E = 0, (5.2) όπου n = ε r μ r είναι ο δείκτης διάθλασης του μέσου, εντός του οποίου μελετάται η κυματική διάδοση. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα ( F) = ( F) 2 F, η εξ. (5.2) μπορεί να μετασχηματιστεί στην 2 E + k 2 0n 2 E ( E) = 0, (5.3) η οποία και θα αποτελέσει τη βάση για την ανάπτυξη της διατύπωσης της μεθόδου διάδοσης δέσμης. Οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των υλικών που συνθέτουν τη διάταξη προς επίλυση, καθορίζονται, όπως ήδη αναφέρθηκε, από τον δείκτη διάθλασης n. Η τιμή του δείκτη n = n(x, y, z) εξαρτάται από τη θέση (x, y, z) εντός του χωρίου υπολογισμού, καθώς αλλάζει κατά τη μετάβαση από μία περιοχή (υλικό) του χωρίου σε κάποια άλλη. Θεωρώντας ότι ο άξονας κατά τον οποίο συμβαίνει η κυματική διάδοση είναι ο άξονας z και ότι κατά μήκος αυτού οι μεταβολές του δείκτη διάθλασης, n, είναι αργές, μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα ισχύει προσεγγιστικά n 2 / z 0. Με την προϋπόθεση αυτή, η σχέση μηδενισμού της απόκλισης της πυκνότητας ηλεκτρικής ροής ( D [ = 0), η E n οποία προκύπτει για απουσία ηλεκτρικών φορτίων, οδηγεί στην έκφραση ( E) = ]. 2 n 2 Η τελευταία σε συνδυασμό με την (5.3) καταλήγει στις ακόλουθες εξισώσεις για τις τρεις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου. 3 2 E x + x 2 E y + y 2 E z + z ] n 2 x (n2 E x ) + x [ ] 1 n 2 y (n2 E y ) + y [ 1 [ ] 1 n 2 x (n2 E x ) + z [ ] 1 n 2 y (n2 E y ) [ ] 1 n 2 x (n2 E x ) [ ] 1 n 2 y (n2 E y ) 2 E x x 2 2 E y y 2 2 E y x y + k2 0n 2 E x = 0, 2 E x y x + k2 0n 2 E y = 0, 2 E x z x 2 E y z y + k2 0n 2 E z = 0. (5.4α) (5.4β) (5.4γ) Οι εξισώσεις (5.4) μπορούν να περιγράψουν ακριβώς τη διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε διατάξεις που παρουσιάζουν ομοιομορφία κατά τη διεύθυνση ενός κύριου άξονα, ο οποίος συμπίπτει με αυτόν της διάδοσης (άξονας z). Κι αυτό, επειδή τότε μόνο ικανοποιείται ακριβώς η αρχική παραδοχή n 2 / z = 0. Δεν ισχύουν, ωστόσο, απόλυτα, σε αντίθετη περίπτωση. Δηλαδή, όταν κατά μήκος της διεύθυνσης διάδοσης, οι μεταβολές των ιδιοτήτων της υπό ανάλυση δομής είναι αξιοσημείωτες. Στο κεφάλαιο αυτό, οι σχέσεις (5.4) θα αποτελέσουν τη βάση, στην οποία θα αναπτυχθεί η τεχνική BPM. Η θεώρηση αυτή πραγματοποιείται στο πλαίσιο του ότι οι (5.4) θα ισχύουν με ικανοποιητική ακρίβεια και για δομές, στις οποίες οι μεταβολές κατά τις δύο διευθύνσεις του εγκάρσιου επιπέδου είναι μεγάλες σε σύγκριση με τις αντίστοιχες κατά μήκος του άξονα διάδοσης. 3 Η μορφή των εξισώσεων ( προκύπτει από το ) συνδυασμό ( των σχέσεων που αναφέρονται ) στο κείμενο και τη χρησιμοποίηση της σχέσης 1 n 2 (u,v) u n 2 (u,v) v E v = 1 u n 2 (u,v) v (n2 (u, v)e v ) 2 E v u v, όπου u και v κάποιο ζεύγος από τις τρεις συντεταγμένες x, y και z.

141 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές Για την υλοποίηση της BPM, γράφεται αρχικά η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, E, ως γινόμενο δύο όρων: μιας χωρικά αργά μεταβαλλόμενης κατανομής, Ẽ(x, y, z), η οποία ονομάζεται φάκελος (envelope) και ενός φασικού όρου, ο οποίος εκφράζει τη διάδοση κατά μήκος του άξονα z. Ετσι, το ηλεκτρικό πεδίο θα δίνεται από τη σχέση E = Ẽ e jk refz, (5.5) όπου με k ref = k 0 n ref συμβολίζεται ένας κατάλληλα επιλεγμένος κυματικός αριθμός αναφοράς. Ο δείκτης διάθλασης αναφοράς (reference index), n ref, που εμπλέκεται μέσω του k ref στον εκθετικό όρο της (5.5), επιλέγεται ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του χώρου διάδοσης. Ετσι, στην περίπτωση, για παράδειγμα, που η BPM χρησιμοποιείται για την ανάλυση κάποιας δομής κυματοδήγησης, ο n ref επιλέγεται είτε ίσος με τον ενεργό δείκτη διάθλασης (n eff ) του ρυθμού με τον οποίο ταυτίζεται το διαδιδόμενο πεδίο, είτε προκύπτει από κατάλληλη στάθμιση περισσότερων ρυθμών, στην περίπτωση πολύρρυθμης διάδοσης. Η επιλογή κάποιας σταθερής τιμής για την παράμετρο n ref εισάγει την παραδοχή ότι το διαδιδόμενο στη διάταξη κύμα έχει σταθερή φασική ταχύτητα και, έτσι, η (5.5) συνεπάγεται ότι όλες οι συνιστώσες του πεδίου θα διαδίδονται προς τα θετικά του άξονα z, με την ίδια φασική σταθερά. Η έκφραση (5.5) εισάγεται, στη συνέχεια, στις σχέσεις (5.4). Από την αντικατάσταση αυτή, αναμένεται να προκύψουν οι αντίστοιχες εξισώσεις που εμπλέκουν τις τρεις συνιστώσες της κατανομής του φακέλου E x, Ey και Ez. Η εισαγωγή της (5.5) στις (5.4), μετά από τις απαραίτητες απλοποιήσεις, οδηγεί στις σχέσεις 2 Ex y 2 2 Ey x Ex z 2 j2k E x ref z + [ ] 1 x n 2 x (n2 Ex ) + [ ] 1 x n 2 y (n2 Ey ) 2 Ey x y + ( k 2 0(n 2 n 2 ref) ) Ex = 0, + 2 Ey z 2 2 Ez Ez x y 2 j2k E y ref z + [ ] 1 y n 2 y (n2 Ey ) + [ ] 1 y n 2 x (n2 Ex ) 2 Ex y x + ( k 2 0(n 2 n 2 ref) ) Ey = 0, Ez z 2 ( z jk ref j2k E z ref ) ( 1 n 2 + ( k 2 0(n 2 n 2 ref) ) Ez = 0. z + z [ 1 n 2 ] x (n2 Ex ) + [ 1 z n 2 x (n2 Ex ) + 1 n 2 y (n2 Ey ) E x x E y y ] y (n2 Ey ) ) (5.6α) (5.6β) (5.6γ) Οι διαφορικές εξισώσεις (5.6) έχουν πλέον ως άγνωστες παραμέτρους τις συνιστώσες του φακέλου Ẽ και εμπλέκουν τις παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης αυτών ως προς τις χωρικές συντεταγμένες x, y, z συνθέτοντας το ζητούμενο σύστημα προς επίλυση. Πριν από τον σχηματισμό του συστήματος, ωστόσο, πραγματοποιείται μία ακόμη παραδοχή. Η παραδοχή αυτή, έγκειται στην αρχική θεώρηση ότι η διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

142 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 132 στην υπό ανάλυση δομή πραγματοποιείται κατά βάση γύρω από έναν κύριο άξονα (άξονας z εν προκειμένω). Καθώς, λοιπόν, η κατανομή του φακέλου στην (5.5) δεν περιέχει τη φασική μεταβολή κατά τον άξονα διάδοσης, z, οι μεταβολές δεύτερης τάξης της Ẽ κατά z μπορούν, σε κάποιες περιπτώσεις, να θεωρηθούν αμελητέες σε σχέση με τις αντίστοιχες πρώτης τάξης. Ετσι, θεωρώντας ότι ισχύει 2 Ẽ z 2 2k ref Ẽ z, (5.7) ο όρος της δεύτερης μερικής παραγώγου ως προς z απαλείφεται από τις (5.6). Η σχέση (5.7) εκφράζει την παραξονική προσέγγιση (paraxial approximation) της εξίσωσης διάδοσης και απλοποιεί σημαντικά το σύστημα εξισώσεων που καλείται κανείς να λύσει με τη μέθοδο διάδοσης δέσμης. Παράλληλα, βέβαια, εισάγει και κάποιο σφάλμα εξαιτίας της προσέγγισης, το οποίο για κάποιες ε- φαρμογές μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο, ενώ για άλλες όχι. Καθώς η αντιμετώπιση του ζητήματος του σφάλματος της προσέγγισης αυτής θα εξεταστεί σε επόμενη ενότητα, τα βασικά χαρακτηριστικά της επίλυσης με τη βοήθεια της BPM δίνονται, παρακάτω, για την περίπτωση της παραξονικής προσέγγισης. Με βάση τις (5.4), (5.5) και (5.7) το σύστημα εξισώσεων που θα πρέπει να επιλυθεί, ώστε να προκύψουν οι πεδιακές τιμές στα σημεία του υπό μελέτη χωρίου, μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή πινάκων [ Ẽx z Ẽ y ] = [ Axx A yx A xy A yy ] [ Ẽx Ẽ y ], (5.8α) E z z = A zz E z + B( E x, E y ). (5.8β) Οι όροι A ij (όπου i, j {x, y}) και B( E x, E y ), οι οποίοι εμπλέκονται στο σύστημα (5.8), αναπαριστούν διαφορικούς τελεστές με εκφράσεις που δίνονται, για τη μεν (5.8α) από τις { A xx Ex = 1 j2k ref x [ 1 n 2 { A xy Ey = 1 j2k ref ] } x (n2 Ex ) + 2 Ex y + 2 k2 0(n 2 n 2 ref) E x, (5.9α) x [ ] } 1 n 2 y (n2 Ey ) 2 Ey, (5.9β) x y { A yx Ex = 1 [ ] } 1 j2k ref y n 2 x (n2 Ex ) 2 Ex, (5.9γ) y x { A yy Ey = 1 [ ] 1 j2k ref y n 2 y (n2 Ey ) + 2 Ey x 2 + k2 0(n 2 n 2 ref) E y }, (5.9δ)

143 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές για τη δε (5.8β) από τις σχέσεις { A zz Ez = 1 2 Ez j2k ref x Ez y 2 + k2 0(n 2 n 2 ref) E z }, (5.10α) B( E x, E y ) = 1 ( ) [ j2k ref z jk 1 ref n 2 x (n2 Ex ) + 1 n 2 y (n2 Ey ) E x x E ] y. (5.10β) y Το σύστημα των εξισώσεων (5.8) εκφράζει τις σχέσεις μεταξύ των τριών συνιστωσών του φακέλου Ẽ, υπό την προϋπόθεση ότι ισχύει η παραξονική προσέγγιση (5.7). Οι εξισώσεις αυτές θα πρέπει να επιλυθούν αριθμητικά, ώστε να προκύψουν οι τιμές του πεδίου σε κάθε σημείο του υπό εξέταση χωρίου. Για την αριθμητική τους επίλυση, ωστόσο, απαιτείται η αντικατάσταση των διαφορικών τελεστών με μια ισοδύναμη προσεγγιστική έκφραση, η οποία θα προκύψει από τη διακριτοποίηση των τελεστών με κάποιο κατάλληλο σχήμα διαφορών. Ετσι, στις ενότητες που ακολουθούν παρουσιάζεται αρχικά η διαδικασία διακριτοποίησης των εγκάρσιων στη διάδοση επιπέδων, με τη βοήθεια των πεπερασμένων διαφορών, ενώ ακολουθεί η περιγραφή του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson (Iterated Crank-Nicolson, ICN), το οποίο θα χρησιμοποιηθεί για τη διακριτοποίηση κατά τον άξονα της διάδοσης Διακριτοποίηση διατομής με πεπερασμένες διαφορές Κατά την υλοποίηση της BPM στο κεφάλαιο αυτό, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η εγκάρσια διατομή της διάταξης διακριτοποιείται με τη βοήθεια των πεπερασμένων διαφορών. Κατά τη διαδικασία αυτή, η συνεχής περιοχή της διατομής (κάποιο επίπεδο xy με αναφορά το σχ. 5.1), αντικαθίσταται από ένα κατάλληλα επιλεγμένο ορθογωνικό πλέγμα. Μετά τη διακριτοποίηση, οι τιμές των ζητούμενων πεδιακών μεγεθών θα ορίζονται σε ένα πεπερασμένο σύνολο διακριτών σημείων (κόμβοι του πλέγματος). Αντίστοιχα, οι χωρικές μεταβολές των μεγεθών αυτών, εκφρασμένες με τη μορφή διαφορικών τελεστών, θα προσεγγίζονται μέσω πεπερασμένων διαφορών (finite differences) [199,200]. Στο σχήμα 5.2 απεικονίζεται, ενδεικτικά, η διάταξη ενός ορθογωνικού πλέγματος ορισμένο σ ένα επίπεδο xy. Η συνεχής περιοχή, η οποία ορίζεται εντός του ορθογωνικού πλαισίου, αποτελεί την εγκάρσια διατομή της γεωμετρικής διάταξης που πρόκειται να επιλυθεί με τη BPM. Το ορθογωνικό πλέγμα σχηματίζεται χωρίζοντας το επίπεδο της διατομής σε ορθογωνικές υποπεριοχές διάστασης x y. Στην περίπτωση που η γεωμετρική διάταξη της διατομής αποτελείται από ευθύγραμμα όρια μεταξύ των διαφορετικών περιοχών (διαφορετικά υλικά που τη συνθέτουν), η διακριτοποίησή της με κάποιο ορθογωνικό πλέγμα μπορεί να προσεγγίσει σε μεγάλο βαθμό ή ακόμη και ακριβώς τη γεωμετρική δομή της διάταξης. Η πυκνότητα του πλέγματος, η οποία καθορίζεται από τις τιμές των x και y, μπορεί, σ αυτήν την περίπτωση, να βελτιώσει την ακρίβεια της προσέγγισης. Στο σχήμα 5.2 φαίνεται η τμηματική (staircase) προσέγγιση των ορίων μεταξύ των δύο διαφορετικών περιοχών την εγκάρσιας διατομής μέσω της τεθλασμένης γραμμής κόκκινου χρώματος. Οι κόμβοι του ορθογωνικού πλέγματος αριθμούνται με τη βοήθεια των δεικτών i, j, οι οποίοι ορίζονται για μετακινήσεις στο πλέγμα κατά τη διεύθυνση των αξόνων x, y, αντίστοιχα, και παίρνουν τιμές που αυξάνουν από τα αριστερά προς τα δεξιά και από κάτω προς τα πάνω. Ετσι, για

144 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 134 Σχήμα 5.2: Απεικόνιση του ορθογωνικού πλέγματος πεπερασμένων διαφορών. Το πλέγμα ο- ρίζεται σε ένα xy επίπεδο συνθέτοντας ένα σύνολο σημείων, πάνω στα οποία θα υπολογιστούν οι τιμές των ζητούμενων πεδιακών μεγεθών. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες κάθε σημείου P (x, y) του πλέγματος σχετίζονται με την αρίθμηση των κόμβων (i, j), όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα όρια των μέσων (υλικών) που συνθέτουν τη διατομή προσεγγίζονται τμηματικά (staircase) όπως φαίνεται από τη διακεκομμένη κόκκινη γραμμή. ένα τυχαίο σημείο του πλέγματος P (x 0, y 0 ), οι καρτεσιανές συντεταγμένες (x 0, y 0 ) συνδέονται με τους δείκτες αρίθμησης των κόμβων μέσω των σχέσεων x 0 = i x (i = 0, 1, 2,...), y 0 = j y (j = 0, 1, 2,...). (5.11α) (5.11β) Μετά τη διακριτοποίηση της εγκάρσιας διατομής, τόσο οι παράμετροι που αφορούν στα γνωστά μεγέθη του προβλήματος προς επίλυση (π.χ. δείκτης διάθλασης, n, σε κάθε σημείο της διατομής), όσο και οι άγνωστες συναρτήσεις, των οποίων τις τιμές αναζητούμε (συνιστώσες των πεδιακών μεγεθών), θα πρέπει να εκφραστούν πάνω στους κόμβους του πλέγματος. Προς τον σκοπό αυτό, οι τρεις συνιστώσες της κατανομής του φακέλου ( E x, Ey, Ez ) σε κάθε τυχαίο σημείο (x 0, y 0 ) του πλέγματος εκφράζονται μέσω του αναπτύγματος Taylor γύρω από το σημείο αυτό. 4 Θεωρώντας ότι οι συνιστώσες του φακέλου στο επίπεδο της εγκάρσιας διατομής είναι συναρτήσεις μόνο των συντεταγμένων x, y, μιας και οι μεταβολές κατά τη διεύθυνση z έχουν ενσωματωθεί στον φασικό όρο της (5.5) και στο εγκάρσιο επίπεδο της διατομής η τιμή του z παραμένει σταθερή, κάθε συνιστώσα της κατανομής του φακέλου Ẽ γύρω από το τυχαίο σημείο (x 0, y 0 ) θα λαμβάνει τιμές που προκύπτουν από τη σχέση E p (x, y) = { 1 n=0 (x x n n n! 0) E } x n p (x, y), όπου p x, y, z. x=x 0 4 Η τιμή μίας συνάρτησης n μεταβλητών, f(x 1,..., x n ), γύρω από ένα σημείο (a 1,..., a n ) δίνεται σύμφωνα με τη σχέση f(x 1,..., x n ) = { ( n ) } j 1 j=0 j! k=1 (x k a k ) x f(x 1,..., x n) k x 1 =a1,...,x n =an.

145 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές Το παραπάνω ανάπτυγμα προέκυψε θεωρώντας μεταβολές ± x γύρω από το σημείο (x 0, y 0 ) 5 και από την ανάλυσή του σε επιμέρους όρους προκύπτει η έκφραση E p (x, y) = E p (x 0, y 0 ) + (x x 0 ) x E p (x, y) + (x x 0) 2 2 (x0,y 0 ) 2! x E 2 p (x, y) + Ο( x 3 ), (x0,y 0 ) (5.12) όπου με Ο( x 3 ) συμβολίζεται το άθροισμα των όρων που περιλαμβάνουν δυνάμεις του x μεγαλύτερες ή ίσες του τρία. Επιλέγοντας για τις τρεις συνιστώσες του φακέλου το σημείο υπολογισμού (x, y) αριστερά ή δεξιά του (x 0, y 0 ) προκύπτουν, αντίστοιχα, οι σχέσεις E p (x 0 + x, y 0 ) = E p (x 0, y 0 ) + x x E p (x, y) + x2 2 (x0,y 0 ) 2! x E 2 p (x, y) + Ο( x 3 ), (x0,y 0 ) (5.13α) E p (x 0 x, y 0 ) = E p (x 0, y 0 ) x x E p (x, y) + x2 2 (x0,y 0 ) 2! x E 2 p (x, y) + Ο( x 3 ). (x0,y 0 ) (5.13β) Καθώς τα παραπάνω αναπτύγματα εμπλέκουν τις εκφράσεις των μερικών παραγώγων των συναρτήσεων E p, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσέγγισή τους ως εξής: Η τιμή της μερικής παραγώγου πρώτης τάξης ως προς x μπορεί, με βάση τις (5.13), να προκύψει με τρεις διαφορετικούς τρόπους [200]. Είτε απευθείας από την (5.13α) E p x (x0,y 0 ) = E p (x 0 + x, y 0 ) E p (x 0, y 0 ) x + Ο( x), (5.14) οπότε και το αντίστοιχο σχήμα προσέγγισης καλείται σχήμα διαφορών προς τα εμπρός (forward differences scheme), είτε από την (5.13β) E p = E p (x 0, y 0 ) E p (x 0 x, y 0 ) + Ο( x), (5.15) x x (x0,y 0 ) οπότε προκύπτει το προς τα πίσω σχήμα διαφορών (backward differences scheme), είτε από την αφαίρεση των (5.13α) και (5.13β) E p = E p (x 0 + x, y 0 ) E p (x 0 x, y 0 ) + Ο( x 2 ), (5.16) x 2 x (x0,y 0 ) όπου το αντίστοιχο σχήμα καλείται σχήμα κεντρικών διαφορών (central differences scheme). Στο κεφάλαιο αυτό, η διακριτοποίηση των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης επιλέγεται να πραγματοποιηθεί μέσω του σχήματος κεντρικών διαφορών. Η επιλογή αυτή βασίζεται στην επίτευξη ακρίβειας 5 Το ανάπτυγμα Taylor των συνιστωσών γύρω από το (x 0, y 0 ), λαμβάνεται σε κόμβους αριστερά και δεξιά του σημείου αυτού, δηλαδή σε κόμβους που έχουν την ίδια συντεταγμένη y 0 και απέχουν ±Δx από το (x 0, y 0 ). Στην αντίστοιχη περίπτωση που το ανάπτυγμα θα ληφθεί γύρω από το (x 0, y 0 ) σε σημεία, τα οποία έχουν την ίδια τιμή x 0 και απέχουν από αυτό ±Δy θα προκύψει ως E p (x, y) = { 1 n=0 n! (y y n n 0) E } y n p (x, y) y=y 0.

146 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 136 δεύτερης τάξης άλλά και στη συμμετρική μορφή της. Σε πλήρη αντιστοιχία με την εξίσωση (5.16), η έκφραση της μερικής παραγώγου πρώτης τάξης ως προς y για τις τρεις συνιστώσες του φακέλου Ẽ, θα προκύψει με τη βοήθεια του σχήματος κεντρικών διαφορών ως εξής E p y (x0,y 0 ) = E p (x 0, y 0 + y) E p (x 0, y 0 y) 2 y + Ο( y 2 ). (5.17) Οι (5.16) και (5.17) συνδέουν τα ζητούμενα πεδιακά μεγέθη σε τρία γειτονικά σημεία του πλέγματος διακριτοποίησης: Στο σημείο αναζήτησης των μερικών παραγώγων (x 0, y 0 ) και σε δύο σημεία εκατέρωθεν αυτού κατά τις διευθύνσεις x και y, αντίστοιχα. Παραλείποντας τους όρους Ο( x 2 ) και Ο( y 2 ) στις (5.16) και (5.17), προκύπτουν οι προσεγγιστικές σχέσεις για τις τιμές των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης ως προς x και y, αντίστοιχα, σε κάθε σημείο του πλέγματος. Η παράλειψη των Ο( x 2 ) και Ο( y 2 ) εισάγει σφάλμα αποκοπής (truncation error) δεύτερης τάξης ως προς x και y, γεγονός που αποτελεί επιπρόσθετο λόγο για την επιλογή του σχήματος κεντρικών διαφορών έναντι των σχημάτων (5.14) και (5.15), όπου τα αντίστοιχα σφάλματα αποκοπής είναι πρώτης τάξης. Οι εκφράσεις των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης θα προκύψουν, έπειτα, από την πρόσθεση των σχημάτων των προς τα εμπρός και προς τα πίσω διαφορών 6 οδηγώντας στις παρακάτω σχέσεις 2 Ep x 2 2 Ep y 2 (x0,y 0 ) (x0,y 0 ) = E p (x 0 + x, y 0 ) 2 E p (x 0, y 0 ) + E p (x 0 x, y 0 ) x 2 + Ο( x 2 ). (5.18α) = E p (x 0, y 0 + y) 2 E p (x 0, y 0 ) + E p (x 0, y 0 y) y 2 + Ο( y 2 ). (5.18β) Αντίστοιχα, οι μεικτές μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης μπορούν εύκολα να προκύψουν από τη διαδοχική παραγώγιση μέσω των σχημάτων κεντρικών διαφορών (5.16) ή (5.17), με τα οποία προσεγγίζονται οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ως προς x και y, αντίστοιχα. Και για τις δύο περιπτώσεις, η παραγώγιση των (5.16) και (5.17) οδηγεί στην ακόλουθη σχέση 2 Ep y x (x0,y 0 ) 2 Ep x y (x0,y 0 ) = E p (x 0 + x, y 0 + y) 4 x y E p (x 0 + x, y 0 y) 4 x y E p (x 0 x, y 0 + y) 4 x y + E p (x 0 x, y 0 y), 4 x y (5.19) 6 Για την περίπτωση των μεταβολών μόνο κατά τη διεύθυνση x οι διαφορές προς τα εμπρός και προς τα πίσω δίνονται από τις σχέσεις (5.13). Για την περίπτωση, αντίστοιχα, όπου θεωρούνται μόνο οι μεταβολές κατά τη διεύθυνση y οι σχέσεις που θα δίνουν τις αντίστοιχες διαφορές θα είναι οι E p (x 0, y 0 + Δy) = E p (x 0, y 0 ) + Δy E y p (x, y) E p (x 0, y 0 Δy) = E p (x 0, y 0 ) Δy E y p (x, y) (x0,y 0) (x0,y 0) + Δy2 2! + Δy2 2! 2 y 2 2 y 2 E p (x, y) + Ο(Δy 3 ), (x0,y 0) E p (x, y) + Ο(Δy 3 ). (x0,y 0)

147 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές όπου οι όροι ανώτερης τάξης έχουν απαλειφθεί. Εχοντας την ανάλυση που προηγήθηκε ως οδηγό, επιχειρούμε, στη συνέχεια, την επαναδιατύπωση των διαφορικών τελεστών, που εμπλέκονται στο σύστημα εξισώσεων (5.8). Οι τελεστές αυτοί θα διακριτοποιηθούν με τη βοήθεια των προσεγγιστικών εκφράσεων, οι οποίες προέκυψαν από την προσέγγιση των μερικών παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης με πεπερασμένες διαφορές. Από την μορφή των εν λόγω διαφορικών τελεστών προκύπτει ότι περιέχουν, εκτός από τις μερικές παραγώγους των συνιστωσών του φακέλου πρώτης ή δεύτερης τάξης ως προς x, y, και z, [ ], με p {x, y, z}. Οι όροι αυτοί διακριτοποιούνται χρησιμο- και όρους της μορφής 1 p n 2 p (n2 Ep ) ποιώντας το σχήμα κεντρικών διαφορών, μέσω διαδοχικών προσεγγίσεων των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης. Για να διασφαλιστεί ότι οι τελικές εκφράσεις των διαφορών που θα προκύψουν, θα συνδέουν μόνο γειτονικούς κόμβους στο ορθογωνικό πλέγμα, θα πρέπει η έκφραση της πρώτης μερικής παραγώγου σε κάποιο σημείο του πλέγματος (i, j, l), που εμφανίζεται στους όρους της [ ] μορφής 1 p n 2 p (n2 Ep ), να προσεγγιστεί, αρχικά, ως έκφραση διαφορών μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται εκατέρωθεν του κόμβου (i, j, l) και είναι τοποθετημένα στο ενδιάμεσο μεταξύ αυτού και των γειτονικών σημείων του πλέγματος (i ± 1, j, l) ή (i, j ± 1, l). 7 Η παραδοχή αυτή οδηγεί στις παρακάτω εκφράσεις διαφορών για τους διαφορικούς τελεστές A xx, A xy, A yx και A yy { A xx Ex = 1 T i+1,j Ex (i + 1, j, l) (2 R i+1,j R i 1,j ) E x (i, j, l) + T i 1,j Ex (i 1, j, l) + j2k ref x 2 + E x (i, j + 1, l) 2 E x (i, j, l) + E x (i, j 1, l) [ ] + k 2 y 2 0 n 2 (i, j, l) n 2 ref Ex (i, j, l) } (5.20α), p A xy Ey = [ 7 Ο όρος p [ ] 1 n 2 p (n2 Ep ) 1 n 2 { [ ] 1 n 2 (i + 1, j + 1, l) 1 j8k ref x y n 2 (i + 1, j, l) [ ] n 2 (i 1, j 1, l) + 1 n 2 (i 1, j, l) [ ] n 2 (i + 1, j 1, l) 1 n 2 (i + 1, j, l) [ ] n 2 (i 1, j + 1, l) 1 n 2 (i 1, j, l) ] p (n2 Ep ) διακριτοποιείται, δηλαδή, αρχικά ως εξής: { p (n2 Ep ) p (n2 Ep ) = 1 2Δp 1 n 2 (i+ 1 2,j,l) 1 (i+ 1 2,j,l) n 2 (i 1 2,j,l) E y (i + 1, j + 1, l)+ E y (i 1, j 1, l) E y (i + 1, j 1, l) } E y (i 1, j + 1, l), (i 1 2,j,l) }, για p x. (5.20β) Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται ότι οι τελικές εκφράσεις διαφορών στο επόμενο βήμα της διακριτοποίησης θα 1 αφορούν αποκλειστικά γειτονικούς κόμβους. Η τιμή του όρου υπολογίζεται έπειτα από την παραδοχή ότι n 2 (i± 1 2,j,l) το τετράγωνο του δείκτη διάθλασης στο μέσο μεταξύ δύο κόμβων, λαμβάνεται μέσω των σχέσεων n 2 (i + 1 2, j, l) = n2 (i,j,l)+n 2 (i+1,j,l) 2 ή n 2 (i 1 2, j, l) = n2 (i,j,l)+n 2 (i 1,j,l) 2. Η διαδικασία διακριτοποίησης της E p για p y πραγματοποιείται με όμοιο τρόπο.

148 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 138 A yx Ex = { [ ] 1 n 2 (i + 1, j + 1, l) 1 j8k ref x y n 2 (i, j + 1, l) [ ] n 2 (i 1, j 1, l) + 1 n 2 (i, j 1, l) [ ] n 2 (i + 1, j 1, l) 1 n 2 (i, j 1, l) [ ] n 2 (i 1, j + 1, l) 1 n 2 (i, j + 1, l) E x (i + 1, j + 1, l)+ E x (i 1, j 1, l) E x (i + 1, j 1, l) } E x (i 1, j + 1, l), (5.20γ) { A yy Ex = 1 T i,j+1 Ey (i, j + 1, l) (2 R i,j+1 R i,j 1 ) E y (i, j, l) + T i,j 1 Ey (i, j 1, l) + j2k ref y 2 + E y (i + 1, j, l) 2 E y (i, j, l) + E y (i 1, j, l) [ ] + k 2 x 2 0 n 2 (i, j, l) n 2 ref Ey (i, j, l) } (5.20δ). Οι εμπλεκόμενοι όροι T i±1,j και R i±1,j στην (5.20α) δίνονται από τις σχέσεις T i±1,j = 2n 2 (i ± 1, j, l) n 2 (i, j, l) + n 2 (i ± 1, j, l), R i±1,j = n2 (i ± 1, j, l) n 2 (i, j, l) n 2 (i, j, l) + n 2 (i ± 1, j, l), (5.21α) (5.21β) και εκφράζουν τη συσχέτιση των δεικτών διάθλασης στα διαδοχικά επίπεδα διακριτοποίησης, γι αυτό και πολλές φορές αποκαλούνται συντελεστές μετάδοσης και ανάκλασης μεταξύ γειτονικών, διακριτών επιπέδων του δείκτη διάθλασης [117]. Οι όροι T i,j±1 και R i,j±1, οι οποίοι εμφανίζονται στην (5.20δ), ορίζονται αντίστοιχα για μεταβολές που συμβαίνουν κατά τη διεύθυνση του άξονα y. 8 Η διακριτοποίηση στο εγκάρσιο επίπεδο ολοκληρώνεται με την προσέγγιση των δύο διαφορικών τελεστών A zz και B( E x, E y ) (εξ. (5.10)). Η διαδικασία που ακολουθείται προς αυτήν την κατεύθυνση είναι όμοια με αυτήν που περιγράφηκε νωρίτερα και οι διακριτοποιημένες εκφράσεις των A zz 8 Η διακριτοποίηση των μερικών παραγώγων ως προς y, ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφηκε νωρίτερα οδηγεί στις εκφράσεις T i,j±1 = 2n 2 (i,j±1,l) n 2 (i,j,l)+n 2 (i,j±1,l) και R i,j±1 = n2 (i,j±1,l) n 2 (i,j,l) n 2 (i,j,l)+n 2 (i,j±1,l).

149 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές και B( E x, E y ) προκύπτουν A zz Ex = 1 j2k ref { Ez (i + 1, j, l) 2 E z (i, j, l) + E z (i 1, j, l) x E z (i, j + 1, l) 2 E z (i, j, l) + E x (i, j 1, l) [ ] + k 2 y 2 0 n 2 (i, j, l) n 2 ref Ez (i, j, l) } (5.22α), B( E x, E y ) = 1 ( ) { [ ] j2k ref z jk ref 1 n2 (i + 1, j, l) Ex (i + 1, j, l) n 2 (i, j, l) 2 x [ ] 1 n2 (i 1, j, l) Ex (i 1, j, l) + n 2 (i, j, l) [ 1 n2 (i, j + 1, l) n 2 (i, j, l) [ 1 n2 (i, j 1, l) n 2 (i, j, l) 2 x ] Ey (i, j + 1, l) 2 y ] } Ey (i, j 1, l). 2 y (5.22β) Οι σχέσεις (5.20) και (5.22) εφαρμόζονται, στη συνέχεια, διαδοχικά σε κάθε κόμβο του ορθογωνικού πλέγματος. Με τον τρόπο αυτό, σχηματίζεται το σύστημα εξισώσεων που θα πρέπει να επιλυθεί, ώστε να προκύψουν οι τιμές του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε σημείο του πλέγματος. Η διακριτοποίηση των διαφορικών τελεστών κατ αυτόν τον τρόπο οδηγεί στον σχηματισμό αραιών πινάκων, οι οποίοι συσχετίζουν τις τιμές των πεδιακών μεγεθών στους κόμβους του πλέγματος και συνθέτουν το σύστημα των εξισώσεων z {Ẽ t } = [A t ]{Ẽ t }, z {Ẽ z } = [A z ]{Ẽ z } + [B]{Ẽ t }. (5.23α) (5.23β) Οι όροι {Ẽ t } και {Ẽ z } στις σχέσεις (5.23) συμβολίζουν μονοδιάστατους πίνακες (διανύσματα σε μορφή στήλης), οι οποίοι περιέχουν τις τιμές των συνιστωσών του φακέλου Ẽ στους κόμβους του ορθογωνικού πλέγματος. Οι δείκτες t και z συμβολίζουν την εγκάρσια και την παράλληλη στη διάδοση διεύθυνση, αντίστοιχα. Ετσι, το διάνυσμα {Ẽ t } θα περιέχει τις συνιστώσες κατά x και y της κατανομής του φακέλου και το διάνυσμα {Ẽ z } την αντίστοιχη αξονική συνιστώσα κατά z. Για να προκύψει το τελικό γραμμικό σύστημα εξισώσεων, το οποίο θα δώσει και τη λύση του υπό μελέτη προβλήματος, θα πρέπει στο σύστημα (5.23) να διακριτοποιηθεί και η μερική παράγωγος ως προς z. Το ζήτημα αυτό πραγματεύεται η ενότητα που ακολουθεί Επαναληπτικό σχήμα Crank-Nicolson Η διακριτοποίηση της πρώτης μερικής παραγώγου κατά τη διεύθυνση της διάδοσης, z, μπορεί να πραγματοποιηθεί και πάλι μέσω κάποιου κατάλληλα επιλεγμένου σχήματος διαφορών. Το σχή-

150 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 140 μα Crank-Nicolson αποτελεί μία εναλλακτική προσέγγιση σε σχέση με τα σχήματα των προς τα εμπρός, προς τα πίσω και κεντρικών διαφορών [200]. Προτάθηκε, αρχικά, ως μέθοδος αριθμητικής επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν φαινόμενα θερμικής μετάβασης (heat conduction) [201]. Ωστόσο, η χρησιμοποίησή του επεκτάθηκε και στην ανάλυση ποικίλων φαινομένων, τα οποία διέπονται από παρόμοιου τύπου διαφορικές εξισώσεις (εξίσωση Poisson, εξίσωση διάχυσης, κυματική εξίσωση κ.α.). Το βασικό πλεονέκτημα της χρησιμοποίησης του σχήματος Crank-Nicolson, CN, κατά τη διακριτοποίηση με πεπερασμένες διαφορές, έγκειται στην εξασφάλιση σφάλματος αποκοπής δεύτερης τάξης και ταυτόχρονα ευστάθειας άνευ συνθήκης (unconditional stability). Το σφάλμα αποκοπής, όπως αναφέρθηκε και στην ενότητα που προηγήθηκε, αφορά στην απόκλιση από την πραγματική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης, εξαιτίας της αποκοπής όρων ανώτερης τάξης κατά τη διαδικασία διακριτοποίησης με πεπερασμένες διαφορές. Οσο μεγαλύτερη είναι η τάξη των όρων που παραλείπονται, τόσο λιγότερο αναμένεται να επηρεάζεται το αποτέλεσμα της επίλυσης. Ετσι, τα σχήματα με σφάλματα αποκοπής ανώτερης τάξης προτιμώνται έναντι των υπολοίπων. Η ευστάθεια (stability) ενός σχήματος διακριτοποίησης σχετίζεται με τη συσσώρευση των σφαλμάτων στα διαδοχικά στάδια υπολογισμού, κατά τη μετάβαση από κάθε σημείο του πλέγματος διακριτοποίησης σε επόμενο. Σε κάποιες περιπτώσεις σχημάτων, η ευστάθεια προκύπτει χωρίς την ανάγκη επιβολής κάποιας συνθήκης (άνευ συνθήκης ευσταθή σχήματα, unconditionally stable schemes), ενώ σε άλλες περιπτώσεις η εξασφάλισή της προϋποθέτει την εύρεση κατάλληλης σχέσης μεταξύ των παραμέτρων διακριτοποίησης (υπό συνθήκη ευσταθή σχήματα, conditionally stable schemes). Καθώς τα απλούστερα σχήματα διαφορών ( προς τα εμπρός και προς τα πίσω διαφορές) δεν εξασφαλίζουν ταυτόχρονα σφάλμα αποκοπής δεύτερης τάξης και ευστάθεια άνευ συνθήκης, το σχήμα Crank-Nicolson αποτελεί την επωφελέστερη επιλογή προς αυτήν την κατεύθυνση. Η υλοποίησή του έγκειται στην προσέγγιση της μερικής παραγώγου ως μέσου όρου των διακριτοποιημένων εκφράσεων στα όρια του διαστήματος διακριτοποίησης. Σε κάποιες εκδοχές βασισμένες στο σχήμα Crank-Nicolson, αντί του μέσου όρου, χρησιμοποιείται ένας ζυγισμένος μέσος όρος για την υλοποίηση αντίστοιχων σχημάτων. Το κόστος αυτής της στάθμισης είναι η απώλεια της ευστάθειας άνευ συνθήκης. Η διακριτοποίηση μέσω του σχήματος Crank-Nicolson είναι μια έμμεση (implicit) διαδικασία και ως τέτοια, απαιτεί για τον προσδιορισμό των ζητούμενων μεγεθών την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων σε κάθε βήμα της. Ετσι, παρότι η χρησιμοποίησή της συνεπάγεται την εξασφάλιση ευστάθειας άνευ συνθήκης, η δυσκολία επίλυσης των συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων σε κάθε βήμα της διαδικασίας μπορεί να αποτελέσει αποτρεπτικό παράγοντα, ειδικά στις περιπτώσεις πολύπλοκων τρισδιάστατων δομών. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια την ανάγκη αναζήτησης άμεσων (explicit) σχημάτων, στα οποία, παρά την επιπρόσθετη ανάλυση που απαιτείται για τον καθορισμό των συνθηκών ευστάθειας, η υπολογιστική ανάλυση διευκολύνεται σημαντικά. Τα περισσότερα άμεσα σχήματα που έχουν μελετηθεί για την ενσωμάτωσή τους στη μέθοδο διάδοσης δέσμης (BPM) προέκυψαν κυρίως είτε ως σχήματα βασισμένα σε ήδη υπάρχουσες τεχνικές πεπερασμένων διαφορών υπό συνθήκη ευσταθείς [123, 202, 203], είτε ως σχήματα βασισμένα στη μέθοδο DuFort-Frankel 9 [ ]. Παρότι η δεύτερη κατηγορία μεθόδων παρέχει ευστάθεια άνευ 9 Η μέθοδος DuFort-Frankel προκύπτει από την εφαρμογή ενός εναλλακτικού σχήματος διαφορών, στο οποίο η τιμή του ζητούμενου πεδιακού μεγέθους σε κάποιο σημείο του πλέγματος στο σχήμα των προς τα εμπρός διαφορών αντικαθίσταται από το μέσο όρο των τιμών στα σημεία εκατέρωθεν αυτού.

151 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές συνθήκης και ακρίβεια δεύτερης τάξης, συχνά στη ζητούμενη λύση εμφανίζονται ψευδείς λύσεις (spurious artifacts), ως αποτέλεσμα της αριθμητικής διαδικασίας. Τη λύση στο ζήτημα αυτό φαίνεται να δίνει το επαναληπτικό σχήμα Crank-Nicolson (Iterated Crank-Nicolson scheme, ICN). Η πρώτη απόπειρα προς αυτήν την κατεύθυνση προτάθηκε από τον Choptuik και αφορούσε την αντικατάσταση του σχήματος Crank-Nicolson από μία επαναληπτική διαδικασία [207]. Η αντικατάσταση αυτή κατέστησε το αντίστοιχο σχήμα άμεσο, διατηρώντας παράλληλα τη δυνατότητα επίτευξης ευστάθειας μέσω της εύρεσης κάποιου κατάλληλου κριτηρίου. Το βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου ICN είναι ότι η επίλυση του συστήματος σε κάθε βήμα της κλασικής εκδοχής του σχήματος Crank-Nicolson, αντικαθίσταται πλέον από μία επαναληπτική διαδικασία, σε κάθε βήμα της οποίας πραγματοποιείται ο πολλαπλασιασμός κάποιων αραιών (sparse) πινάκων [208, 209]. Το κόστος της μετατροπής της χρησιμοποιούμενης τεχνικής από έμμεση σε άμεση είναι η απώλεια της ευστάθειας άνευ συνθήκης. Ετσι, το διάστημα διακριτοποίησης (βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας) στο σχήμα ICN θα πρέπει να επιλεγεί κατάλληλα ώστε να εξασφαλίζεται η ευστάθεια της μεθόδου. Θεωρητικά, η εφαρμογή του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson σε κάθε επίπεδο της διάδοσης θα συγκλίνει στη λύση του έμμεσου σχήματος CN μετά από άπειρο αριθμό επαναλήψεων. Αποδεικνύεται, ωστόσο, ότι όχι μόνο δεν απαιτείται άπειρος αριθμός επαναλήψεων, αλλά μόνο δύο επαναλήψεις επαρκούν για να εξασφαλίσουν ακρίβεια δεύτερης τάξης στην αριθμητική λύση του προβλήματος προς επίλυση [208]. Ετσι, ο βηματικός αλγόριθμος που υλοποιείται για τον υπολογισμό των πεδιακών συνιστωσών μέσω της VBPM συνίσταται, για κάθε ένα επίπεδο της διάδοσης (τα επίπεδα διάδοσης ορίζονται με αναφορά το σχήμα 5.1 ως (l 1), (l), (l + 1), κ.ο.κ.), σε πέντε επιμέρους βήματα, στα οποία υλοποιούνται οι δύο επαναλήψεις του σχήματος ICN [120]. Η διαδικασία που ακολουθείται κατά την υλοποίηση του αλγορίθμου αυτού ξεκινά με τον υπολογισμό των εγκάρσιων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου, οι οποίες προκύπτουν από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (5.8). Η (5.8α), ξεκινώντας από ένα πρώτο, γνωστό επίπεδο διάδοσης, έστω (l), διακριτοποιείται κατά τη διεύθυνση διάδοσης z μέσω του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson ως εξής: Βήμα 1: Αρχικά πραγματοποιείται ο υπολογισμός μιας πρώτης προσέγγισης των εγκάρσιων συνιστωσών, (1) {Ẽt}, στο επίπεδο (l+1). Η προσέγγιση αυτή πραγματοποιείται με την εφαρμογή του άμεσου σχήματος των προς τα εμπρός πεπερασμένων διαφορών ως εξής: (1) {Ẽt} (l+1) {Ẽt} (l) z = [A t ]{Ẽt} (l). (5.24) Οι πεδιακές κατανομές των εγκάρσιων συνιστωσών στο επίπεδο (l + 1) προκύπτουν, έτσι, σε μια πρώτη εκτίμηση συναρτήσει των αντίστοιχων γνωστών κατανομών στο επίπεδο (l) από την παραπάνω σχέση. Βήμα 2: Για τη διόρθωση της προσεγγιστικής τιμής (1) {Ẽt} (l+1), υπολογίζεται στη συνέχεια μια εκτίμηση της κατανομής του εγκάρσιου πεδίου στο ενδιάμεσο επίπεδο (l + 1/2). Η εκτίμηση αυτή υπολογίζεται ως ένας σταθμισμένος μέσος όρος μεταξύ των κατανομών στα επίπεδα (l) και (l + 1) (1) {Ẽt} (l+ 1 2 ) = α 1 (1) {Ẽt} (l+1) + (1 α 1 ){Ẽt} (l). (5.25)

152 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 142 Ο όρος α 1, ο οποίος αποτελεί το βάρος της στάθμισης, ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς το κλασικό σχήμα Crank-Nicolson και αποκαλείται παράμετρος στάθμισης του σχήματος ICN (ICN weight parameter). Βήμα 3: Η πρώτη εκτίμηση της εγκάρσιας πεδιακής κατανομής στο επίπεδο (l + 1/2) αντικαθίσταται, στη συνέχεια, σε μια δεύτερη προσέγγιση της εγκάρσιας συνιστώσας του πεδίου στο επίπεδο (l + 1), ως εξής: (2) {Ẽt} (l+1) {Ẽt} (l) z = [A t ] (1) {Ẽt} (l+ 1 2 ). (5.26) Η νέα, διορθωμένη κατανομή (2) {Ẽt} (l+1), όπως προκύπτει από την παραπάνω σχέση, οδηγεί με τη σειρά της σε μια δεύτερη εκτίμηση της εγκάρσιας πεδιακής κατανομής στο επίπεδο (l + 1/2). Βήμα 4: Το εγκάρσιο πεδίο στο ενδιάμεσο επίπεδο προκύπτει και πάλι μέσω της σχέσης (2) {Ẽt} (l+ 1 2 ) = α 2 (2) {Ẽt} (l+1) + (1 α 2 ){Ẽt} (l), (5.27) όπου η παράμετρος στάθμισης συμβολίζεται με α 2. Βήμα 5: Η διαδικασία ολοκληρώνεται με τον υπολογισμό της εγκάρσιας κατανομής στο επίπεδο (l + 1), ο οποίος γίνεται και πάλι με τη βοήθεια του σχήματος των προς τα εμπρός πεπερασμένων διαφορών και βασίζεται στη δεύτερη εκτίμηση της εγκάρσιας πεδιακής κατανομής στο επίπεδο (l + 1/2) {Ẽt} (l+1) {Ẽt} (l) z = [A t ] (2) {Ẽt} (l+ 1 2 ). (5.28) Η κατανομή του εγκάρσιου πεδίου στο επίπεδο (l + 1), προκύπτει τελικά από την (5.28). Παρότι οι τιμές των παραμέτρων α 1 και α 2 μπορούν, γενικά, να επιλεγούν διαφορετικές, στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές επιλέγονται ίσες μεταξύ τους και λαμβάνουν την τιμή 1/2. Η παραδοχή αυτή υιοθετείται και στο κεφάλαιο αυτό, έτσι ώστε οι εκφράσεις των εκτιμήσεων των εγκάρσιων πεδιακών κατανομών στα ενδιάμεσα επίπεδα, (l + 1/2), να προκύπτουν ως μέσοι όροι των αντίστοιχων κατανομών στα επίπεδα (l) και (l + 1). Οι σχέσεις (5.24)-(5.28), οι οποίες περιγράφουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την εφαρμογή του σχήματος ICN στην υλοποίηση της VBPM, μπορούν να οδηγήσουν και σε μία πιο άμεση έκφραση συσχέτισης των επιπέδων (l) και (l+1). Η έκφραση αυτή προκύπτει από την αντικατάσταση των προσεγγιστικών εκφράσεων στα διάφορα βήματα, ώστε να απαλειφθούν οι εκτιμήσεις των ενδιάμεσων επιπέδων και να προκύψει η άμεση συσχέτιση των πεδιακών κατανομών στα διαδοχικά επίπεδα (l) και (l + 1). Εύκολα προκύπτει, λοιπόν, ότι {Ẽt} (l+1) = [I + z[a t ] + α 2 ( z[a t ]) 2 + α 1 α 2 ( z[a t ]) 3 ]{Ẽt} (l). (5.29) Η σχέση (5.29), παρότι ισοδύναμη με τις (5.24)-(5.28), περιέχει τις δυνάμεις του αραιού πίνακα [A t ], οι οποίες με τη σειρά τους οδηγούν στους πιο πυκνούς (dense) πίνακες [A t ] 2 και [A t ] 3.

153 Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές Καθώς, όμως, όπως αναφέρθηκε εξ αρχής, το πλεονέκτημα του άμεσου επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson είναι η μείωση του υπολογιστικού φόρτου λόγω της μοναδικής απαίτησης για πολλαπλασιασμούς μεταξύ αραιών πινάκων, στις εφαρμογές που θα εξεταστούν στο παρόν κεφάλαιο θα χρησιμοποιηθούν οι εξισώσεις (5.24)-(5.28) για τη μετάβαση από βήμα σε βήμα του αλγορίθμου διάδοσης. 10 Ακολουθώντας παρόμοια λογική με αυτή που περιγράφηκε για την υλοποίηση του σχήματος ICN στη διακριτοποίηση της εξίσωσης (5.8α), η επαναληπτική διαδικασία Crank-Nicolson εφαρμόζεται στη συνέχεια και για τη δεύτερη σχέση του συστήματος εξισώσεων (5.8), όπου ο βηματικός αλγόριθμος στοχεύει στον υπολογισμό της αξονικής συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου, {Ẽz}, σε κάθε επίπεδο (l) της διάδοσης. Καθώς η κατανομή του εγκάρσιου ηλεκτρικού πεδίου στο ενδιάμεσο επίπεδο (l + 1/2) απαιτείται εξ αρχής στη διαδικασία αυτή, η υλοποίηση του σχήματος ICN για το εγκάρσιο πεδίο θα πρέπει να προηγηθεί αυτής για το αξονικό. Ετσι, η ζητούμενη εγκάρσια κατανομή στο επίπεδο (l + 1/2) θα ληφθεί ως ο μέσος όρος μεταξύ των αντίστοιχων κατανομών στα επίπεδα (l) και (l + 1). Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη διακριτοποίηση της (5.8β) κατά τη διεύθυνση της διάδοσης, z, προκύπτουν κατ αντιστοιχία με τις (5.24)-(5.28) ως εξής (1) {Ẽz} (l+1) {Ẽz} (l) z = [A z ]{Ẽz} (l) + [B]{Ẽt} (l+ 1 2 ), (5.30α) (1) {Ẽz} (l+ 1 2 ) = α 1 (1) {Ẽz} (l+1) + (1 α 1 ){Ẽz} (l), (5.30β) (2) {Ẽz} (l+1) {Ẽz} (l) z = [A z ] (1) {Ẽz} (l+ 1 2 ) + [B]{Ẽt} (l+ 1 2 ), (5.30γ) (2) {Ẽz} (l+ 1 2 ) = α 2 (2) {Ẽz} (l+1) + (1 α 2 ){Ẽz} (l), (5.30δ) {Ẽz} (l+1) {Ẽz} (l) z = [A z ] (2) {Ẽz} (l+ 1 2 ) + [B]{Ẽt} (l+ 1 2 ). (5.30ε) Η χρησιμοποίηση του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson, όπως διατυπώθηκε παραπάνω, επιτρέπει την άμεση επίλυση του συστήματος (5.8) εξαλείφοντας την απαίτηση για επίλυση γραμμικού συστήματος σε κάθε βήμα του αλγορίθμου μετάβασης (όπως συμβαίνει στα αντίστοιχα έμμεσα σχήματα). Το πλεονέκτημα αυτό, ωστόσο, σε αντίθεση με την κλασική εκδοχή του σχήματος Crank-Nicolson, συνοδεύεται από την απώλεια της ευστάθειας άνευ συνθήκης. Ετσι, προκύπτει η ανάγκη διερεύνησης των ορίων που πρέπει να τεθούν στη διακριτοποίηση της υπό ανάλυση δομής, ώστε να εξασφαλίζεται η ευστάθεια της διαδικασίας επίλυσης. Η έκφραση (5.29), που συσχετίζει άμεσα τις εγκάρσιες πεδιακές κατανομές μεταξύ δύο διαδοχικών επιπέδων, μπορεί να χρησιμεύσει προς αυτήν την κατεύθυνση. Καθώς η μη επίτευξη ευστάθειας σχετίζεται με την ανεξέλεγκτη συσσώρευση αριθμητικών σφαλμάτων από βήμα σε βήμα του αλγορίθμου διάδοσης, ο παράγοντας ενίσχυσης (amplification factor), ξ, μεταξύ των δύο επιπέδων, όπως προκύπτει από την (5.29) είναι η παράμετρος με βάση την οποία θα προκύψει η ζητούμενη συνθήκη. Ετσι, η σχέση που δίνει 10 Ενας τρόπος μείωσης του υπολογιστικού φόρτου για τον υπολογισμό των στοιχείων των πυκνών πινάκων [A t ] 2 και [A t ] 3 στην εξίσωση (5.29), είναι ο έμμεσος υπολογισμός των δυνάμεων μέσω της αναδρομικής σχέσης [A t ] n = [A t ] n 1 [A t ].

154 5.1. Μέθοδος διάδοσης δέσμης για τρισδιάστατες δομές 144 τον παράγοντα ξ είναι η ακόλουθη ξ = ρ ( [I] + z[a t ] + α 2 ( z[a t ]) 2 + α 1 α 2 ( z[a t ]) 3), (5.31) όπου με ρ([m]) συμβολίζεται η φασματική ακτίνα (spectral radius) του πίνακα [M]. Ως φασματική ακτίνα ορίζεται η μεγαλύτερη από τις ιδιοτιμές ενός πίνακα και για την περίπτωση της (5.31) μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από την ανάλυση ιδιοτιμών του [M] = [I] + z[a t ] + α 2 ( z[a t ]) 2 + α 1 α 2 ( z[a t ]) 3. Η ευστάθεια εξασφαλίζεται για τιμές του παράγοντα ενίσχυσης που ικανοποιούν τη σχέση ξ 1. Ως εκ τούτου, το κριτήριο ευστάθειας για το άμεσο σχήμα ICN, το οποίο αναλύθηκε νωρίτερα, προκύπτει [120] z 2 ρ ( j[a t ]). (5.32) Γενικεύοντας την παραπάνω ανάλυση για n επαναλήψεις του σχήματος ICN, προκύπτει η ακόλουθη σχέση για τον παράγοντα ενίσχυσης ( n+1 ( k ) ) ξ = ρ α n i+2 z k [A t ] k. (5.33) k=0 i=2 Αποδεικνύεται, ότι το σχήμα ICN προκύπτει ασταθές για την υλοποίηση μίας επανάληψης, ευσταθές για την υλοποίηση δύο ή τριών, και πάλι ασταθές για τέσσερις ή πέντε επαναλήψεις κ.ο.κ. [209] Το γεγονός αυτό εξηγεί και τη λογική με βάση την οποία επιλέγεται ως μέγιστο πλήθος επαναλήψεων οι δύο επαναλήψεις, οι οποίες αποτελούν και τον ελάχιστο αριθμό με τον οποίο μπορεί να επιτευχθεί ευστάθεια. Σε ό,τι αφορά τις τιμές των παραμέτρων α 1 και α 2, αποδεικνύεται επιπλέον ότι παρότι επιλέγοντάς τις κατάλληλα, μπορεί κανείς να βελτιώσει τη συνθήκη ευστάθειας, το σχήμα ICN εμφανίζει ακρίβεια δεύτερης τάξης για α 1 = α 2 = 1/2 [209]. Καθώς η (5.32) προϋποθέτει την ανάλυση ιδιοτιμών του πίνακα [A t ], μία πρώτη, ενδεικτική εκτίμηση για τη μέγιστη τιμή του διαστήματος διακριτοποίησης z μπορεί να προκύψει εφαρμόζοντας την ανάλυση ευστάθειας von Neumann. Η ανάλυση von Neumann οδηγεί στην προσεγγιστική σχέση [120] { [ ( 1 1 z min k ref x + 1 ) ] } k2 k 2 1 ref (5.34) 2 y 2 4k ref και ορίζει το μέγιστο επιτρεπόμενο διάστημα διακριτοποίησης κατά τη διεύθυνση διάδοσης, z, ως συνάρτηση των διαστάσεων του εγκάρσιου πλέγματος διακριτοποίησης x, y και του κυματικού αριθμού αναφοράς, k ref. Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως οδηγός κατά την επιλογή του βαθμού διακριτοποίησης, για την περίπτωση υιοθέτησης της παραξονικής προσέγγισης. Λεπτομέρειες σχετικά με τη διαδικασία με την οποία πραγματοποιείται η ανάλυση ευστάθειας von Neumann μπορεί κανείς να βρει στη σχετική βιβλιογραφία [210] Οριακές συνθήκες Οπως και στην υλοποίηση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων FEM, έτσι και στην άμεση μέθοδο ICN-FD-VBPM η αριθμητική επίλυση προϋποθέτει τον ορισμό μιας πεπερασμένης γεωμετρικής περιοχής (χωρίο υπολογισμού), εντός της οποίας θα υπολογιστεί η προσεγγιστική λύση ενός

155 Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Ανάλογα με τη φύση του προβλήματος, το οποίο κανείς καλείται να επιλύσει αριθμητικά, το εξωτερικό όριο του χωρίου υπολογισμού μπορεί να προσομοιώνει τον ελεύθερο χώρο, κάποιο όριο κυματοδηγού, κάποια μεταλλική επιφάνεια κοιλότητας συντονισμού κ.α. Σε κάθε μία από τις περιπτώσεις αυτές, απαιτείται η κατάλληλη εισαγωγή εκείνης της οριακής συνθήκης, η οποία θα εξασφαλίζει τη συνέπεια της αριθμητικής υλοποίησης με τη φυσική που διέπει το προς επίλυση πρόβλημα. Σε αντιστοιχία, λοιπόν, με τις οριακές συνθήκες που περιγράφηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο για τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (ενότητα 2.3.1), μπορούν να οριστούν και στην περίπτωση της FD-BPM οι συνθήκες Dirichlet και von Neumann αλλά και περιοχές που λειτουργούν ως τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα, PML [199,200]. Στο κεφάλαιο αυτό, οι διατάξεις που θα αναλυθούν μέσω της ICN-FD-VBPM είναι προβλήματα αρμονικής διάδοσης με κάποια δεδομένη διέγερση. Ετσι, ο περιορισμός του χωρίου υπολογισμού συνίσταται στην προσομοίωση του υπολογιστικού ορίου ως ελεύθερου χώρου. Για τη μοντελοποίηση του ελεύθερου χώρου, και δεδομένου ότι η μέθοδος διάδοσης δέσμης συμβάλει στην εξοικονόμηση υπολογιστικών πόρων, επιλέγεται η χρησιμοποίηση στρωμάτων PML, καθώς θεωρείται ότι δεν θα επιβαρύνει σημαντικά την υπολογιστική ανάλυση του προβλήματος. Λεπτομέρειες για τις ιδιότητες των χρησιμοποιούμενων στρωμάτων PML και τις περιοχές στις οποίες αυτά εισάγονται, δίνονται στην επόμενη ενότητα. Στην ενότητα που ακολουθεί, περιγράφεται η υπολογιστική ανάλυση γεωμετρικών διατάξεων με διαστάσεις πολύ μεγαλύτερες σε σχέση με το μήκος κύματος των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που αναπτύσσονται σε αυτές. Η ανάλυση πραγματοποιείται μέσω της άμεσης διανυσματικής FD-BPM, όπως αυτή περιγράφηκε προηγουμένως. 5.2 Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας Στην αρχή του παρόντος κεφαλαίου περιγράφηκε το βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου διάδοσης δέσμης, BPM, έναντι της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων, FEM, κατά την αριθμητική ανάλυση ενός προβλήματος ηλεκτρομαγνητισμού με διαστάσεις πολύ μεγαλύτερες του μήκους κύματος. Το πλεονέκτημα αυτό έγκειται στην εξοικονόμηση υπολογιστικών πόρων που μπορεί να επιτευχθεί μέσω της BPM, εξαιτίας της επίλυσης της κυματικής εξίσωσης κατά έναν επαναληπτικό τρόπο. Η διαδικασία αυτή, επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων σε διατάξεις μεγάλης φυσικής κλίμακας χωρίς να συνοδεύεται από την υπολογιστική επιβάρυνση που εισάγεται μέσω της FEM, για αντίστοιχες διατάξεις. Στην παρούσα ενότητα, περιγράφεται η υλοποίηση της άμεσης ICN-FD-VBPM για την επίλυση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, τα οποία ανήκουν σε αυτήν την κατηγορία. Η γεωμετρική διάταξη που επιλέγεται για την εφαρμογή της μεθόδου, είναι η δομή μιας σφαίρας με γνωστές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες, η ακτίνα της οποίας σε σχέση με το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας είναι αρκετά μεγαλύτερη. Το πρόβλημα που θα επιλυθεί μέσω της ICN-FD-VBPM αφορά την ανάλυση της πρόσπτωσης ενός γραμμικά πολωμένου επίπεδου κύματος πάνω στη σφαίρα και τον υπολογισμό του σκεδαζόμενου από αυτήν ηλεκτρικού πεδίου. Παρότι η δυνατότητα εφαρμογής της άμεσης ICN-FD-VBPM σε διατάξεις μεγάλης φυσικής κλίμακας έχει μελετηθεί και σε δομές με πολύ μεγαλύτερη πολυπλοκότητα από αυτήν της σφαίρας [120], στα πλαίσια του παρόντος κεφαλαίου η ανάλυση θα περιοριστεί στην απλή σφαιρική δομή. Κι αυτό, επειδή η λύση αυτού του προβλήματος μπορεί να προκύψει και θεωρητικά, από την επίλυση μέσω της σειράς Mie (Mie series solution), ώστε η ορθότητα των αριθμητικών αποτελεσμάτων να προκύπτει

156 5.2. Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας 146 Σχήμα 5.3: Γεωμετρική διάταξη υπολογιστικής περιοχής στο πρόβλημα της πρόσπτωσης επίπεδου κύματος σε σφαίρα με γνωστές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες, οι οποίες ορίζονται μέσω των παραμέτρων της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε s και της μαγνητικής διαπερατότητας μ s. Η σφαίρα περιβάλλεται από υλικό με ιδιότητες που περιγράφονται από τις παραμέτρους ε b και μ b. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο διέγερσης είναι ένα επίπεδο κύμα γραμμικά πολωμένο κατά τη διεύθυνση του άξονα x. Η διάδοση πραγματοποιείται κατά τα θετικά του άξονα z. μέσω της σύγκρισης με το θεωρητικό μοντέλο Πρόσπτωση επίπεδου κύματος σε σφαίρα με γνωστές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες Η γεωμετρική διάταξη του προβλήματος, το οποίο θα επιλυθεί μέσω της άμεσης ICN-FD-VBPM, απεικονίζεται στο σχήμα 5.3. Πρόκειται για τη δομή μίας συμπαγούς σφαίρας γνωστών ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων (ε s, μ s ), η οποία βρίσκεται τοποθετημένη εντός ενός περιβάλλοντος υλικού (background medium) επίσης γνωστών ιδιοτήτων (ε b, μ b ). Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα διέγερσης είναι ένα επίπεδο κύμα, γραμμικά πολωμένο κατά τη διεύθυνση x και διαδίδεται κατά τα θετικά του άξονα z. Ως επίπεδο διέγερσης ορίζεται το xy επίπεδο στη θέση z = A z /2, όπου A z η διάσταση του χωρίου υπολογισμού κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Το εν λόγω πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί θεωρητικά με τη βοήθεια της ανάλυσης σκέδασης Mie (Mie scattering analysis), η οποία εκμεταλλευόμενη το γεγονός ότι κάθε επίπεδο κύμα μπορεί να γραφεί ως ανάπτυγμα σφαιρικών κυματοσυναρτήσεων (spherical wave functions) [211,212], επιτρέπει την έκφραση του προσπίπτοντος κύματος ως ένα άθροισμα άπειρων όρων. Η έκφραση του προσπίπτοντος ως ανάπτυγμα κυματοσυναρτήσεων, σε συνδυασμό με τις οριακές συνθήκες που επιβάλλει η φυσική του προβλήματος, οδηγούν στην εξαγωγή της έκφρασης του σκεδαζόμενου από τη σφαιρική δομή πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, το προσπίπτον ηλεκτρομαγνητικό κύμα με τα χαρακτηριστικά που περιγράφηκαν παραπάνω, δίνεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες ως E inc = ˆxE 0 e jk 0z, (5.35) όπου θεωρήθηκε ότι το υλικό που περιβάλλει τη σφαιρική δομή είναι ο αέρας, κάτι που θα διατηρηθεί σε όλη την έκταση του κεφαλαίου αυτού. Για να καταστεί δυνατή η έκφραση του επίπεδου κύματος

157 Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας της (5.35) ως ανάπτυγμα σφαιρικών κυματοσυναρτήσεων, θα πρέπει αυτό να εκφραστεί σ ένα σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων (r, θ, φ). Ο εκθετικός όρος που θα προκύψει, σ αυτή την περίπτωση, μπορεί να γραφεί κατάλληλα 11 οδηγώντας τις τρεις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου στην ακόλουθη μορφή E inc r = E 0 cos φ j(k 0 r) 2 E inc θ E inc φ = E 0 cos φ k 0 r = E 0 sin φ k 0 r n=1 n=0 n=1 [ j n (2n + 1) ˆJ ] n (k 0 r)pn 1 (cos θ), (5.36α) [ n 2n + 1 j j n(n + 1) ˆJ n(k 0 r) dp n 1 (cos θ) + dθ ˆJ n (k 0 r) P ] n 1 (cos θ), (5.36β) sin θ n 2n + 1 j n(n + 1) [ j ˆJ n(k 0 r) P n 1 (cos θ) + sin θ ˆJ n (k 0 r) dp ] n 1 (cos θ). (5.36γ) dθ Οι όροι ˆJn (k 0 r) και ˆJ n (k 0 r) στις εξισώσεις (5.36) συμβολίζουν, αντίστοιχα, τις συναρτήσεις Riccati-Bessel πρώτου είδους και τις παραγώγους αυτών, ενώ οι όροι P 1 n (cos θ) εκφράζουν τις παραγώγους των πολυωνύμων Legendre ως προς θ, ισχύει δηλαδή P 1 n (cos θ) = dp n (cos θ)/dθ. Το σκεδαζόμενο πεδίο ως ανάπτυγμα άπειρων όρων υπολογίζεται με παρόμοιο τρόπο μέσω της ανάλυσης Mie [211, 212] από τις σχέσεις E sc r = E 0 cos φ j(k 0 r) 2 E sc θ E sc φ = E 0 cos φ k 0 r = E 0 sin φ k 0 r n=1 n=0 n=1 [ α n n(n + 1) [ α n j [ α n j ] (2) ˆH n (k 0 r)pn 1 (cos θ), (5.37α) (2) ˆH n (k 0 r) dp n 1 (cos θ) dθ (2) ˆH n (k 0 r) P n 1 (cos θ) sin θ + b ˆH(2) n n (k 0 r) P ] n 1 (cos θ), (5.37β) sin θ + b ˆH(2) n n (k 0 r) dp ] n 1 (cos θ), (5.37γ) dθ όπου οι όροι ˆH(2) n (k 0 r) και ˆH(2) n (k 0 r) συμβολίζουν τις συναρτήσεις Riccati-Hankel δεύτερου είδους και τις παραγώγους αυτών, αντίστοιχα. Οι συντελεστές α n και b n στις (5.37) προκύπτουν εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες που επιβάλλονται από τη φυσική του προβλήματος. 12 Το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό της σφαίρας, στη γενική περίπτωση που το υλικό αυτής είναι διηλεκτρικό με ή χωρίς απώλειες, θεωρείται ότι θα προκύπτει και αυτό ως ανάπτυγμα σφαιρικών κυματοσυναρτή- 11 Ο εκθετικός όρος στο δεύτερο μέλος της (5.35) γράφεται ως e jk0z = e jk0r cos θ και αναπτύσσεται σε ανάπτυγμα σφαιρικών κυματοσυναρτήσεων ως εξής: e jk0r cos θ = n=0 j n (2n + 1)J n (k 0 r)p n (cos θ), όπου με J n (k 0 r) συμβολίζονται οι σφαιρικές συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους και με P n (cos θ) τα πολυώνυμα Legendre. 12 Η φυσική του προβλήματος επιβάλλει την εξασφάλιση της συνέχειας των εφαπτομενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου επάνω στη σφαιρική επιφάνεια.

158 5.2. Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας 148 σεων, σύμφωνα με τις σχέσεις E int r = E 0 cos φ j(k s r) 2 E int θ E int φ = E 0 cos φ k s r = E 0 sin φ k s r n=1 n=0 n=1 [ c n n(n + 1) ˆJ ] n (k s r)pn 1 (cos θ), (5.38α) [ c n j ˆJ n(k s r) dp n 1 (cos θ) + d n ˆJn (k s r) P ] n 1 (cos θ), (5.38β) dθ sin θ [ c n j ˆJ n(k s r) P n 1 (cos θ) + d n ˆJn (k s r) dp ] n 1 (cos θ). (5.38γ) sin θ dθ Οπως και οι όροι α n, b n για την περίπτωση του σκεδαζόμενου πεδίου, έτσι και οι συντελεστές c n και d n στις (5.38) προκύπτουν από την εφαρμογή κατάλληλων οριακών συνθηκών και ειδικότερα από την επιβολή της συνέχειας των εφαπτομενικών συνιστωσών τόσο του ηλεκτρικού και όσο και του μαγνητικού πεδίου επάνω στη σφαιρική επιφάνεια. Μετά την εφαρμογή των οριακών συνθηκών, οι εκφράσεις των τεσσάρων συντελεστών προκύπτουν ως εξής [211, 212] n 2n + 1 α n = j n(n + 1) n 2n + 1 b n = j n(n + 1) n 2n + 1 c n = j n(n + 1) n 2n + 1 d n = j n(n + 1) εr ˆJ n (k 0 R) ˆJ n (k s R) μ r ˆJn (k 0 R) ˆJ n(k s R) μr ˆH(2) n (k 0 R) ˆJ n(k s R) ε ˆH(2) r n (k 0 R) ˆJ n (k s R), (5.39α) μr ˆJ n (k 0 R) ˆJ n (k s R) ε r ˆJn (k 0 R) ˆJ n(k s R) εr ˆH(2) n (k 0 R) ˆJ n(k s R) μ ˆH(2) r n (k 0 R) ˆJ n (k s R), (5.39β) j ε r μ r μr ˆH(2) n (k 0 R) ˆJ n(k s R) ε ˆH(2) r n (k 0 R) ˆJ n (k s R), (5.39γ) j ε r μ r εr ˆH(2) n (k 0 R) ˆJ n(k s R) μ ˆH(2) r n (k 0 R) ˆJ n (k s R), (5.39δ) όπου με R συμβολίζεται η ακτίνα της σφαίρας και με ε r, μ r οι λόγοι ε r = ε s /ε b και μ r = μ s /μ b. Στην περίπτωση που το υλικό του περιβάλλοντος χώρου είναι αέρας, όπως θεωρήθηκε στην παρούσα ανάλυση, οι παράμετροι ε r, μ r προκύπτουν ίσες με τις αντίστοιχες παραμέτρους που αφορούν το υλικό της σφαίρας (ε s, μ s ). Οι τιμές της παραμέτρου ε s μπορεί να είναι πραγματικές (στην περίπτωση υλικού χωρίς απώλειες) ή και μιγαδικές (για υλικό με απώλειες). Στην τελευταία περίπτωση, οι απώλειες εισάγονται μέσω της αγωγιμότητας σ στο φανταστικό μέρος της ε s (Im{ε s } = σ/jω). Εχοντας τις εκφράσεις του προσπίπτοντος, του σκεδαζόμενου και του πεδίου στο εσωτερικό της σφαιρικής δομής, μπορεί κανείς να υπολογίσει την πεδιακή κατανομή σε κάθε σημείο της υπό ανάλυση διάταξης. Καθώς οι συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου στις (5.36)-(5.38) εκφράζονται, θεωρητικά, ως αθροίσματα άπειρων όρων, θα πρέπει να επιλεγεί το μέγιστο πλήθος όρων, n max, που θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του πεδίου μέσω αυτών. Το n max επιλέγεται με βάση το πλήθος όρων για το οποίο το προσπίπτον πεδίο, που προκύπτει μέσω της έκφρασης (5.36), έχει την πεδιακή κατανομή επίπεδου κύματος με τα χαρακτηριστικά που επιλέχθηκαν αρχικά (εξ. (5.35)). Ετσι, το θεωρητικό μοντέλο που θα προκύψει με βάση την ανάλυση σκέδασης Mie, θα αποτελέσει

159 Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας τη λύση αναφοράς με την οποία θα συγκριθεί, στη συνέχεια, η αριθμητική λύση μέσω της άμεσης μεθόδου ICN-FD-VBPM για το ίδιο ακριβώς πρόβλημα. Για την υπολογιστική επίλυση μέσω της άμεσης, διανυσματικής μεθόδου διάδοσης δέσμης, η οποία περιγράφηκε στην ενότητα 5.1, το χωρίο υπολογισμού ορίζεται όπως στο σχήμα 5.3. Παρότι η διάταξη είναι πλήρως συμμετρική ως προς τους τρεις άξονες (Ox, Oy, Oz) του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, για λόγους διευκόλυνσης της σύγκρισης, επιλέγεται και πάλι ως διεύθυνση διάδοσης αυτή του άξονα z. Η ακτίνα της σφαίρας, R, επιλέγεται συγκρίσιμη ή μεγαλύτερη του μήκους κύματος, λ, ώστε η συνολική διάταξη να προκύπτει μεγάλη σε σχέση με αυτό. Για το υλικό της σφαίρας θεωρούμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις: Στην πρώτη, η σφαίρα θεωρείται διηλεκτρική, χωρίς απώλειες και μη μαγνητική και, έτσι, οι ιδιότητές της περιγράφονται από τις παραμέτρους ε s = και μ s = 1. Στη δεύτερη περίπτωση, η σφαίρα θεωρείται και πάλι μη μαγνητική αλλά αγώγιμη και ως εκ τούτου εμφανίζει απώλειες, οι οποίες εισάγονται στο φανταστικό μέρος της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς μέσω της αγωγιμότητας σ. Ετσι, για την περίπτωση αυτή, θα ισχύει ε s = 2.56 jσ/ω, όπου η αγωγιμότητα είναι της τάξης σ Ο χώρος που περιβάλλει τη σφαίρα θεωρείται ότι είναι ο αέρας, συνεπώς θα ισχύει ε b = μ b = 1. Στα όρια της εγκάρσιας διατομής εισάγεται επιπλέον στρώμα PML για την επίτευξη της ορθής αναπαράστασης του ανοιχτού χώρου, στην περιοχή γύρω από τη σφαίρα. Η χρησιμοποίηση του στρώματος PML στοχεύει στην απορρόφηση τυχόν ανακλώμενων κυμάτων που θα μπορούσαν να προκύψουν κατά τις διευθύνσεις x, y, εξαιτίας του περιορισμού του χωρίου υπολογισμού. Καθώς κατά τη διεύθυνση διάδοσης η μέθοδος διάδοσης δέσμης, όπως περιγράφηκε στην ενότητα 5.1, αδυνατεί να υπολογίσει ανακλάσεις, δεν λαμβάνεται αντίστοιχη μέριμνα για την απορρόφηση προς αυτή την κατεύθυνση. Το στρώμα PML, όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενο κεφάλαιο (ενότητα 2.3.1), εισάγεται ως μία επιπλέον περιοχή στο χωρίο υπολογισμού, οι ιδιότητες της οποίας περιγράφονται μέσω τανυστών δεύτερης τάξης. Ετσι, η εν λόγω περιοχή, η οποία εμφανίζει χαρακτηριστικά ανισοτροπίας, χαρακτηρίζεται από τις παραμέτρους ε και μ, όπου ε = ε 0 ε r Λ, μ = μ 0 μ r Λ. (5.40α) (5.40β) Οι τανυστές Λ στις (5.40) με την μορφή πίνακα γράφονται ως sx 1 s y 0 0 Λ = 0 sy 1 s x 0, (5.41) 0 0 s x s y όπου οι παράμετροι s x και s y λαμβάνουν τιμές ανάλογα με τη θέση του PML στην εγκάρσια διατομή. Ειδικότερα, στις περιοχές που απαιτείται απόσβεση μόνο κατά τη διεύθυνση του άξονα x, τίθεται s x = 1 jα x και s y = 1. Αντίστοιχα, στα σημεία εκείνα της διατομής, όπου απαιτείται απόσβεση μόνο κατά τη διεύθυνση του άξονα y, θα ισχύουν οι s x = 1 και s y = 1 jα y, ενώ όπου η απόσβεση πρέπει να επιβληθεί και προς τις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις θα ισχύουν οι s x = 1 jα ( ) x και s y = 1 jα y. Σε κάθε περίπτωση οι όροι α x,y δίνονται από τις σχέσεις α x,y = α ρx,y 2, max D PML 13 Η επιλογή της τιμής για τη διηλεκτρική σταθερά της σφαιρικής δομής βασίζεται στη σύγκριση των αποτελεσμάτων με την αντίστοιχη βιβλιογραφία [211, 212].

160 5.2. Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας 150 Σχήμα 5.4: Πεδιακή κατανομή του πλάτους του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο yz, που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. Ανάλυση με βάση το θεωρητικό μοντέλο σκέδασης Mie ((i) (iv)). Υπολογιστική ανάλυση με βάση την ICN-FD-VBPM ((v) (viii)). Η ακτίνα, R, και οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες της σφαίρας σε κάθε περίπτωση είναι: (i)&(v) Αγώγιμη, μη μαγνητική σφαίρα με R = 1λ. (ii)&(vi) Διηλεκτρική, μη μαγνητική σφαίρα με R = 1λ. (iii)&(vii) Αγώγιμη, μη μαγνητική σφαίρα με R = 5λ. (iv)&(viii) Διηλεκτρική, μη μαγνητική σφαίρα με R = 5λ. όπου η παράμετρος α max προκύπτει λαμβάνοντας υπ όψιν τον επιθυμητό ρυθμό απόσβεσης μέσα στο στρώμα PML [ ], ενώ η απόσταση ρ x,y ορίζεται κατά τις διευθύνσεις x ή y από το εσωτερικό της εγκάρσιας διατομής προς τα έξω. Είναι προφανές, ότι στις περιοχές της διατομής που δεν υπάρχει το στρώμα PML, οι παράμετροι s x και s y παίρνουν τιμή ίση με τη μονάδα. Η δομή διακριτοποιείται κατά την εγκάρσια στη διάδοση διεύθυνση με τη βοήθεια πεπερασμένων διαφορών, σύμφωνα με την ανάλυση της ενότητας Τα διαστήματα διακριτοποίησης του ορθογωνικού πλέγματος επιλέγονται ίσα και για τις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις x και y ( x = y). Με βάση τις τιμές των x και y επιλέγεται, στη συνέχεια, και το βήμα του αλγορίθμου διάδοσης z, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη ευστάθειας (5.34). Από την εφαρμογή της παραπάνω συνθήκης, προκύπτει ότι για x = y = λ/10, το βήμα διάδοσης θα πρέπει να είναι της τάξης του z = λ/50, ώστε να εξασφαλίζεται η ευστάθεια της επαναληπτικής διαδικασίας Crank-Nicolson. Ως επίπεδο διέγερσης επιλέγεται το ακραίο xy επίπεδο στη θέση Az/2, στο οποίο εισάγεται η διακριτοποιημένη κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου για το επίπεδο κύμα που επιλέγεται ως προσπίπτον. Η αριθμητική επίλυση του προβλήματος προκύπτει από την εφαρμογή του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson, σύμφωνα με την ανάλυση της ενότητας Το σχήμα 5.4 απεικονίζει τις πεδιακές κατανομές που προκύπτουν για το ηλεκτρικό πεδίο, τόσο από το θεωρητικό μοντέλο που βασίζεται στην ανάλυση σκέδασης Mie, όσο και από την αριθμητική επίλυση μέσω της ICN-FD-VBPM. Η απεικόνιση αφορά το πλάτος του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου και γίνεται στο επίπεδο yz που διέρχεται από το κέντρο της σφαιρικής δομής. Μελετήθηκαν

161 Ανάλυση διατάξεων μεγάλης φυσικής κλίμακας συνολικά τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις: Η πρόσπτωση του επίπεδου κύματος σε σφαίρα με ακτίνα R = 1λ όταν το υλικό αυτής είναι διηλεκτρικό χωρίς απώλειες, το ίδιο πρόβλημα για την περίπτωση που το υλικό της σφαίρας παρουσιάζει απώλειες και δύο όμοια προβλήματα για την περίπτωση που ακτίνα της σφαίρας ληφθεί ίση με R = 5λ. Οι πεδιακές κατανομές που προέκυψαν από την εφαρμογή του θεωρητικού μοντέλου, υπολογίστηκαν με βάση τις σχέσεις (5.36)-(5.38), επιλέγοντας το πλήθος των όρων του αναπτύγματος έτσι, ώστε το προσπίπτον κύμα να έχει τα χαρακτηριστικά του επίπεδου γραμμικά πολωμένου κύματος που περιγράφεται από τη σχέση (5.35). Το πλήθος των απαιτούμενων όρων ώστε να προκύψει το ζητούμενο επίπεδο κύμα, στην παρούσα ανάλυση, επιλέχθηκε n max 50. Συγκρίνοντας τη μορφή του ηλεκτρικού πεδίου, όπως προκύπτει από τη θεωρητική ανάλυση, με αυτήν που υπολογίζεται αριθμητικά για τη σφαίρα ακτίνας R = 1λ, για τις δύο περιπτώσεις ύπαρξης απωλειών (σχήματα 5.4(i) και 5.4(v)) και διηλεκτρικού χωρίς απώλειες (σχήματα 5.4(ii) και 5.4(vi)), εύκολα παρατηρεί κανείς τη δυνατότητα προσέγγισης της πεδιακής κατανομής του σκεδαζόμενου πεδίου μέσω της ICN-FD-VBPM. Η μορφή του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου, εντός και εκτός της σφαιρικής δομής, οι περιοχές εμφάνισης των μέγιστων πεδιακών τιμών αλλά και η επίδραση του υλικού από το οποίο συντίθεται η σφαίρα μπορούν να υπολογιστούν αριθμητικά με σχετική ακρίβεια. Φυσικά, η εγγενής αδυναμία της μονοκατευθυντικής μεθόδου διάδοσης δέσμης να λάβει υπ όψιν τυχόν ανακλάσεις που προκύπτουν κατά τη διεύθυνση διάδοσης, έχει ως αποτέλεσμα τη διαφοροποίηση των πεδιακών κατανομών μεταξύ του θεωρητικού μοντέλου και της αριθμητικής μεθόδου, ιδιαίτερα στην περιοχή του χωρίου που βρίσκεται πριν από τη σφαιρική δομή, με αναφορά την κατεύθυνση της διάδοσης. Παρόμοιες παρατηρήσεις προκύπτουν και από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων της θεωρητικής με την αριθμητική λύση για την περίπτωση της σφαίρας με ακτίνα R = 5λ (σχήματα 5.4(iii)-(iv) και 5.4(vii)-(viii)). Η αντιπαραβολή θεωρητικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων που προηγήθηκε, κατέδειξε τη δυνατότητα εύρεσης προσεγγιστικής λύσης για ένα ηλεκτρομαγνητικό πρόβλημα αρμονικής διάδοσης σε διατάξεις μεγάλης φυσικής κλίμακας. Η γενική μορφή της πεδιακής κατανομής, ιδιαίτερα στην περιοχή πίσω από τη σφαιρική δομή προσεγγίζεται σε μεγάλο βαθμό μέσω της αριθμητικής μεθόδου ICN-FD-VBPM, ενώ η επίδραση των ιδιοτήτων των διαφόρων υλικών φαίνεται να αποτυπώνεται με σχετική ακρίβεια. Οι διαφοροποιήσεις που παρατηρούνται, ωστόσο, και αποδόθηκαν νωρίτερα στην αδυναμία της χρησιμοποιούμενης αριθμητικής μεθόδου να υπολογίσει πιθανές ανακλάσεις στα διάφορα σημεία της υπό ανάλυση διάταξης, πιθανόν να οφείλονται και στις προσεγγίσεις που πραγματοποιήθηκαν στα διάφορα στάδια της υπολογιστικής ανάλυσης, σύμφωνα με όσα περιγράφηκαν στην ενότητα 5.1. Μια από τις παραδοχές αυτές ήταν η παραξονική προσέγγιση της εξίσωσης διάδοσης, με βάση την οποία προέκυψε το απλοποιημένο προς επίλυση σύστημα εξισώσεων (5.8). Παρότι, η εφαρμογή της παραξονικής προσέγγισης (5.7) επιτρέπει την επαρκή προσέγγιση της λύσης πλήθους ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, είναι πιθανό σε πολλά άλλα προβλήματα η υιοθέτησή της να μειώνει την ακρίβεια της αριθμητικής λύσης. Το ενδεχόμενο αυτό, της βελτίωσης του αριθμητικού αποτελέσματος στην περίπτωση μη χρησιμοποίησης της παραξονικής προσέγγισης, μελετάται στην ενότητα που ακολουθεί.

162 5.3. Επέκταση ευρείας γωνίας Επέκταση ευρείας γωνίας Στην ενότητα 5.1, η υλοποίηση της μεθόδου διάδοσης δέσμης πραγματοποιήθηκε με την επαναδιατύπωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σύμφωνα με τη σχέση (5.5). Η έκφραση αυτή, σε συνδυασμό με την (5.3) οδήγησε στον σχηματισμό του ζητούμενου συστήματος διαφορικών εξισώσεων (5.6). Παρότι στο σύστημα αυτό, εμπλέκεται, πέρα από τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης των συνιστωσών του φακέλου, Ẽ, ως προς x, y και z, και η δεύτερη μερική παράγωγος αυτών ως προς z, η υιοθέτηση της παραδοχής της παραξονικής προσέγγισης οδήγησε στην απαλοιφή της. Αν η ανάλυση της ενότητας 5.1 πραγματοποιούνταν για το σύστημα εξισώσεων (5.6), χωρίς την απαλοιφή των όρων 2 / z 2, θα οδηγούσε για τις εγκάρσιες στη διάδοση διευθύνσεις σ ένα σύστημα της μορφής ] [ Ẽx όπου Ẽt = και A t = Ẽ y [ Axx A yx 1 2 Ẽ t j2k ref z 2 A xy A yy + Ẽt z = A tẽt, (5.42) ], όπως ορίστηκαν από τις σχέσεις (5.9). Η διατήρηση των δεύτερων μερικών παραγώγων ως προς z στην (5.42), η οποία καλείται επέκταση ευρείας γωνίας (wide angle approximation), συνεπάγεται ότι η λύση που προκύπτει από την επίλυσή της δεν υπόκειται σε κάποιου είδους προσέγγιση σχετικά με την μεταβολή των εμπλεκόμενων μεγεθών κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Ως εκ τούτου, θεωρείται γενικότερη από αυτή που προκύπτει από την αντίστοιχη που λαμβάνεται μέσω της (5.8α) μετά την εφαρμογή της παραξονικής προσέγγισης. Αν η (5.42) επιλυθεί ως αλγεβρική εξίσωση δεύτερου βαθμού ως προς / z, οι δύο λύσεις που προκύπτουν είναι οι παραβολικές εξισώσεις μονής κατεύθυνσης (one-way) Ẽt z = jk ref ( I I + j2a t k ref ) Ẽ t, (5.43) όπου I ο μοναδιαίος πίνακας ίδιας διάστασης με τον A t. Επιλέγοντας, από τις (5.43), την εξίσωση εκείνη που περιγράφει τη διάδοση κυμάτων προς τα εμπρός, έχουμε ( Ẽt z = jk ref I ) I + P Ẽt = A WA t Ẽ t, (5.44) ( ) όπου με A WA t = jk ref I I + P συμβολίζεται ο διαφορικός τελεστής διάδοσης ευρείας γωνίας και P = j2k 1 ref A t. Για να επιλυθεί η εξίσωση (5.44), θα πρέπει κατά τα γνωστά, να διακριτοποιηθεί, αρχικά, η εγκάρσια διατομή της υπό ανάλυση διάταξης. Η διακριτοποίηση, όμως, με τη βοήθεια των πεπερασμένων διαφορών θα οδηγήσει στον σχηματισμό πινάκων, οι οποίοι με βάση την ανάλυση της ενότητας 5.1.2, θα είναι είναι πυκνοί. Κι αυτό, επειδή ο εμπλεκόμενος στην (5.44) διαφορικός τελεστής, A WA t, περιέχει τη ρίζα της ποσότητας I + P. Ο πίνακας, όμως, που προκύπτει διακριτοποιώντας τον P θα είναι αραιός, με αποτέλεσμα η διακριτοποίηση του A WA t να οδηγεί στον σχηματισμό ενός πυκνού πίνακα, ο υπολογισμός και ο χειρισμός του οποίου σε κάθε βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας Crank-Nicolson μπορεί να αυξήσει σημαντικά τις απαιτήσεις σε υπολογιστικούς πόρους. Για τον λόγο αυτό, μια συνήθης τεχνική επίλυσης της (5.44) είναι η αντιμετώπιση του αριθμητικού υπολογισμού του A WA t μέσω της υιοθέτησης κάποιου προσεγγιστικού μοντέλου (ανάπτυγμα Taylor, χρησιμοποίηση ρητών εκφράσεων Padé).

163 Επέκταση ευρείας γωνίας Στην ενότητα αυτή μελετάται η αριθμητική επίλυση της (5.42). Αρχικά, εξετάζεται η περίπτωση της επέκτασης μέσω του αναπτύγματος Taylor, όπως προτάθηκε για το άμεσο σχήμα ICN-FD-VBPM [120], ενώ στη συνέχεια διερευνάται το ενδεχόμενο βελτίωσης της ακρίβειας της αριθμητικής λύσης μέσω κατάλληλων τροποποιήσεων των διαφορικών τελεστών που εμπλέκονται στο σύστημα διάδοσης Επέκταση ευρείας γωνίας μέσω αναπτύγματος Taylor Το βασικό ζήτημα που προκύπτει κατά την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης (5.42) είναι, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, ο υπολογισμός του τελεστή A WA t. Η φύση των πινάκων που προκύπτουν κατά τη διαδικασία της διακριτοποίησης, και εμπλέκονται στον A WA t, καθιστά τον ακριβή αριθμητικό υπολογισμό του, σε κάθε βήμα του βηματικού αλγόριθμου ICN, ιδιαίτερα δύσκολο. Μια από τις πιο δημοφιλείς τεχνικές για την αντιμετώπιση του ζητήματος αυτού είναι η αντικατάσταση του εν λόγω διαφορικού τελεστή με τη βοήθεια της ρητής προσέγγισης Padé [121, 122]. Η προσέγγιση, ωστόσο, του διαφορικού τελεστή μέσω μιας ρητής συνάρτησης, παρότι ακριβέστερη συγκριτικά με άλλες προσεγγίσεις, έχει ένα σημαντικό μειονέκτημα: Τη μετατροπή του σχήματος διάδοσης (propagation scheme) από άμεσο σε έμμεσο. Καθώς το βασικό πλεονέκτημα της ICN-FD-VBPM είναι η άρση της απαίτησης για επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων σε κάθε βήμα της διάδοσης, η διατήρηση του άμεσου χαρακτήρα της χρησιμοποιούμενης μεθόδου κρίνεται αναγκαία. Η εναλλακτική της προσέγγισης του διαφορικού τελεστή A WA t μέσω αναπτύγματος Taylor [120, 123], φαίνεται να δίνει τη λύση προς αυτήν την κατεύθυνση. Η χρησιμοποίηση του αναπτύγματος Taylor για τον αριθμητικό υπολογισμό του τελεστή διάδοσης (propagator), A WA t, βασίζεται στην προσέγγιση της ρίζας I + P μέσω της σχέσης 1 I + P = I + 2 P 1 8 P P (5.45) Εισάγοντας το ανάπτυγμα (5.45) στην έκφραση του εγκάρσιου διαφορικού τελεστή ευρείας γωνίας, A WA t, προκύπτει ( 1 A WA t = jk ref 2 P 1 8 P2 + 1 ) 16 P (5.46) Η διακριτοποίηση του εγκάρσιου τελεστή P οδηγεί στο σχηματισμό ενός αραιού πίνακα [P], παρόμοιας μορφής με αυτή του πίνακα [A t ] στην (5.23α). Ετσι, η διακριτοποίηση του τελεστή A WA t θα οδηγήσει, με τη σειρά της, στο σχηματισμό ενός πίνακα [A t ] WA, ο οποίος παρότι πυκνότερος από τον [A t ], εξαιτίας των εμπλεκόμενων δυνάμεων του τελεστή P, διατηρεί τα χαρακτηριστικά αραιού πίνακα. 14 Κατά συνέπεια, η διακριτοποίηση της (5.46) οδηγεί, σε αντίθεση με τον άμεσο αριθμητικό υπολογισμό της ρίζας I + [P], σε έναν αραιό και άρα εύκολα διαχειρίσιμο πίνακα διάδοσης, καθιστώντας την προσέγγιση μέσω αναπτύγματος Taylor μια εύκολη εναλλακτική επέκτασης ευρείας γωνίας για την άμεση μέθοδο ICN-FD-VBPM. Ανάλογα με το πλήθος των όρων που επιλέγονται στο ανάπτυγμα (5.46), καθορίζεται και η ακρίβεια της παραπάνω αριθμητικής προσέγγισης. Εύκολα προκύπτει η παρατήρηση, ότι για έναν 14 Η διακριτοποίηση των τελεστών που εκφράζονται ως δυνάμεις του τελεστή P (P 2, P 3,..., P n ) και εμπλέκονται στο ανάπτυγμα (5.46), οδηγεί στο σχηματισμό αραιών πινάκων, τα μη μηδενικά στοιχεία των οποίων αυξάνονται όσο μεγαλύτερη γίνεται η τάξη της δύναμης, n. Οι εκφράσεις των δυνάμεων των εν λόγω πινάκων μπορούν να υπολογιστούν, εύκολα, από την αναδρομική σχέση [P] n = [P] n 1 [P].

164 5.3. Επέκταση ευρείας γωνίας 154 Σχήμα 5.5: Πεδιακή κατανομή του πλάτους του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο yz, που διέρχεται από το κέντρο διηλεκτρικής, μη μαγνητικής σφαίρας ακτίνας R, με αναφορά το σχήμα 5.3. Οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες της σφαίρας περιγράφονται από τις παραμέτρους ε s = 2.56 και μ s = 1. Οι πεδιακές κατανομές προέκυψαν από την επέκταση ευρείας γωνίας μέσω αναπτύγματος Taylor N όρων για (i) R = 1λ, N = 2, (ii) R = 1λ, N = 3, (iii) R = 5λ, N = 2 και (iv) R = 5λ, N = 3. μόνο όρο του εν λόγω αναπτύγματος, ο τελεστής A WA t, ταυτίζεται με τον αντίστοιχο τελεστή διάδοσης για την περίπτωση της παραξονικής προσέγγισης, A t. Με αναφορά τη γεωμετρική διάταξη του σχήματος 5.3 και ακολουθώντας τη διαδικασία επίλυσης της ενότητας 5.1.3, η λύση της (5.44) για την περίπτωση της πρόσπτωσης επίπεδου κύματος σε διηλεκτρική μη μαγνητική σφαιρική δομή δίνεται στο σχήμα 5.5. Το πλάτος του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου απεικονίζεται και πάλι στο επίπεδο yz που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. Η επιλογή της διηλεκτρικής σφαίρας έγινε με βάση τις πεδιακές κατανομές που προέκυψαν από την επίλυση του συστήματος εξισώσεων διάδοσης, στην περίπτωση της παραξονικής προσέγγισης. Καθώς παρατηρείται ότι στην περιοχή πίσω από τη σφαιρική δομή είναι η διηλεκτρική, και όχι η αγώγιμη, σφαίρα που παρουσιάζει τις μεγαλύτερες αποκλίσεις από τη θεωρητική λύση (σχήμα 5.4), επιλέγεται αυτή για τη διερεύνηση της επίδρασης της επέκτασης ευρείας γωνίας σε διατάξεις μεγάλης φυσικής κλίμακας. Προς αυτήν την κατεύθυνση, επιλύονται δύο διατάξεις: Η πρώτη για σφαίρα με ακτίνα R = 1λ (σχ. 5.5(i)-(ii)) και η δεύτερη για ακτίνα R = 5λ (σχ. 5.5(iii)-(iv)). Σε κάθε μία από τις διατάξεις αυτές, το πλήθος των όρων, N, που επιλέγονται στο ανάπτυγμα (5.46) είναι, είτε N = 2 (σχήματα 5.5(i), (iii)), είτε N = 3 (σχήματα 5.5(ii), (iv)). Συγκρίνοντας τις κατανομές του ηλεκτρικού πεδίου όπως προέκυψαν από την επίλυση του σχήματος ευρείας γωνίας, με τις αντίστοιχες της παραξονικής προσέγγισης (σχήματα 5.4(vi), (viii)), εύκολα παρατηρεί κανείς τη βελτίωση εξαιτίας της διατήρησης των όρων 2 / z 2 στις εξισώσεις διάδοσης. Η βελτίωση αυτή παρατηρείται στην περιοχή πίσω από τη σφαιρική δομή και μάλιστα είναι μεγαλύτερη, όσο αυξάνει το πλήθος των όρων N, καταδεικνύοντας τη δυνατότητα βελτίωσης της αριθμητικής λύσης με τη βοήθεια επέκτασης ευρείας γωνίας μέσω του αναπτύγματος Taylor, σε προβλήματα μεγάλης φυσικής κλίμακας. Το κόστος, ωστόσο, για τη βελτίωση της επίλυσης ευρείας γωνίας μέσω Taylor, είναι αφενός η δημιουργία της ανάγκης υπολογισμού των δυνάμεων των πινάκων [P] για την προσέγγιση του τελεστή A WA t (εξ. (5.46)) και, αφετέρου, η απαίτηση για μείωση του βήματος διάδοσης, z, κατά τη διαδικασία επίλυσης, ώστε να εξασφαλίζεται η ευστάθεια της μεθόδου. Σε κάθε περίπτωση, η επέκταση ευρείας γωνίας μέσω του αναπτύγματος Taylor αποτελεί μια εύκολα υλοποιήσιμη εναλλακτική, η οποία δεν επηρεάζει τον άμεσο χαρακτήρα της χρησιμοποιού-

165 Επέκταση ευρείας γωνίας μενης μεθόδου και βρίσκει εφαρμογή σε πλήθος πρακτικών προβλημάτων [120]. Στην επόμενη ενότητα, παρουσιάζεται η ανάπτυξη μιας νέας προσέγγισης στην επέκταση ευρείας γωνίας, η οποία βασίζεται στον ακριβέστερο αριθμητικό υπολογισμό της ρίζας I + P, η οποία εμπλέκεται στην έκφραση του τελεστή ευρείας γωνίας (εξ. (5.44)). Η σύγκριση των δύο προσεγγίσεων καθώς και λεπτομέρειες σχετικά με τον απαιτούμενο βαθμό διακριτοποίησης για την επίτευξη ευστάθειας, παρατίθενται στην τελευταία ενότητα Πλήρης επέκταση ευρείας γωνίας Με αναφορά το πρόβλημα της πρόσπτωσης ενός επίπεδου γραμμικά πολωμένου κύματος επάνω σε σφαιρική επιφάνεια γνωστών ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων, παρουσιάζεται στην παρούσα ε- νότητα η ανάπτυξη μιας ακόμη εναλλακτικής τεχνικής επίλυσης της εξίσωσης (5.44). Στην τεχνική( αυτή, δεν απαιτείται ) ο ακριβής αριθμητικός υπολογισμός του τελεστή διάδοσης, A WA t = jk ref I I + P, σε κάθε βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας Crank-Nicolson, αλλά σε ένα μόνο βήμα αυτής. Ετσι δεν προκύπτει η αναγκαιότητα εύρεσης της εμπλεκόμενης ρίζας μέσω κάποιας πολυωνυμικής προσέγγισης, μιας και η επίλυση του εν λόγω προβλήματος απλοποιείται σημαντικά. Καθώς το πρόβλημα που θεωρήθηκε αρχικά, δεν εμπλέκει μη γραμμικά μέσα και το ηλεκτρικό πεδίο, του οποίου η κατανομή αναζητείται, προκύπτει από κάποιο προσπίπτον επίπεδο, γραμμικά πολωμένο ηλεκτρομαγνητικό κύμα, η ανάλυση που ακολουθεί βασίζεται στη βαθμωτή εξίσωση Helmholtz (scalar Helmholtz equation), η οποία για τη μοναδική εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου, E t E x, γράφεται 2 E t + k 2 0n 2 E t = 0. (5.47) Η (5.47) σε συνδυασμό με τη θεώρηση του διαδιδόμενου ηλεκτρικού πεδίου ως γινόμενο ενός χωρικά μεταβαλλόμενου φακέλου και ενός εκθετικού όρου σύμφωνα με την (5.5), καταλήγει στην εξίσωση διάδοσης 1 2 Et j2k ref z + E ( ) t 2 z = 1 2 Et j2k ref x + 2 Et 2 y + 2 k2 0(n 2 n 2 ref) E t. (5.48) Η επίλυση της (5.48) ως αλγεβρική εξίσωση δεύτερου βαθμού ως προς / z και η επιλογή της λύσης που εκφράζει διάδοση προς τα εμπρός, κατ αντιστοιχία με την ανάλυση που παρουσιάστηκε στην αρχή της παρούσας ενότητας, οδηγεί στη σχέση με βάση την οποία θα επιλυθεί αριθμητικά το υπό ανάλυση πρόβλημα E ( t z = jk ref 1 ) 1 + P Et. (5.49) Ο διαφορικός τελεστής P στην παραπάνω εξίσωση δίνεται ως P = 2 t + k0 2 (n 2 n 2 ref ), (5.50) kref 2 όπου με 2 t συμβολίζεται ο εγκάρσιος σε σχέση με τη διάδοση τελεστής Laplace, 2 t = 2 / x / y 2. Με βάση την έκφραση του τελεστή P, η μορφή του τελεστή διάδοσης της εξίσωσης (5.49),

166 5.3. Επέκταση ευρείας γωνίας 156 ο οποίος συμβολίζεται με A FWA t, προκύπτει A FWA t = jk ref ( t + k 2 0 (n 2 n 2 ref ) k 2 ref ). (5.51) Ο ακριβής αριθμητικός υπολογισμός της λύσης της εξίσωσης (5.49), απαιτεί τον ακριβέστερο δυνατό υπολογισμό της ρίζας στην έκφραση (5.51). Καθώς, η διαδικασία επίλυσης προϋποθέτει τη διακριτοποίηση του τελεστή διάδοσης, A FWA t, στο εγκάρσιο επίπεδο, η μορφή του τελεστή P, ο οποίος εμπλέκεται στην έκφραση του A FWA t, αναμένεται να επηρεάζει σημαντικά τη μορφή των πινάκων που θα προκύψουν από τη διαδικασία διακριτοποίησης. Πιο συγκεκριμένα, διακριτοποιώντας τον τελεστή P στο εγκάρσιο επίπεδο xy, μέσω του σχήματος κεντρικών διαφορών, ο πίνακας που προκύπτει είναι ο αραιός πίνακας [P ]. Η εισαγωγή του [P ] στην τετραγωνική ρίζα της (5.51) και ο απευθείας υπολογισμός αυτής, ωστόσο, έχουν ως συνέπεια την αύξηση των μη μηδενικών στοιχείων του αντίστοιχου πίνακα διάδοσης ευρείας γωνίας [A t ] FWA, ο οποίος καθίσταται πλέον πυκνός. Ο ακριβής υπολογισμός του πυκνού πίνακα [A t ] FWA, χωρίς την υιοθέτηση κάποιου προσεγγιστικού μοντέλου για τον υπολογισμό της ρίζας στην (5.51), μπορεί να γίνει είτε μέσω της χρησιμοποίησης μιας αλγοριθμικής διαδικασίας βασισμένης στην ανάλυση Schur [213, 214] και ακολουθούμενης από κατάλληλη επεξεργασία των σχηματιζόμενων πινάκων, είτε μέσω τεχνικών βασισμένων στον αλγόριθμο Schur-Padé [215] για τον υπολογισμό δυνάμεων πινάκων με εκθέτη της μορφής 1/ρ. Για την πρώτη περίπτωση, η οποία και χρησιμοποιείται παρακάτω όπου απαιτείται υπολογισμός της ρίζας, η αλγοριθμική διαδικασία υλοποιείται μέσω της έτοιμης συνάρτησης του Matlab για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας πινάκων sqrtm. Η sqrtm για πίνακες με τα χαρακτηριστικά του αραιού πίνακα [I] + [P ], δίνει ως αποτέλεσμα πίνακες πυκνούς μεν, αλλά με στοιχεία των οποίων οι τιμές μειώνονται σημαντικά μακριά από την κύρια διαγώνιο. Ετσι, μετά την εύρεση του πίνακα [I] + [P ] μέσω της sqrtm τα στοιχεία εκείνα που έχουν τιμές κάτω από κάποιο ορισμένο κατώφλι μηδενίζονται. Με τον τρόπο αυτό ο πίνακας [I] + [P ] μπορεί να οριστεί ως αραιός μέσω της συνάρτησης sparse, ώστε να είναι ευκολότερα διαχειρίσιμος. Για την ελαχιστοποίηση του σφάλματος που εισάγει η διαδικασία αυτή, το κατώφλι μηδενισμού μπορεί να επιλεγεί κάποιες τάξεις μεγέθους χαμηλότερο από την μικρότερη τιμή στοιχείου που εμφανίζεται στην κύρια διαγώνιο. Καθώς η επίλυση της (5.49) πραγματοποιείται μέσω του βηματικού αλγορίθμου που εισάγει η χρησιμοποίηση του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson, ο ακριβής υπολογισμός του πίνακα [I] + [P ] με οποιονδήποτε από τους παραπάνω τρόπους θα πρέπει να γίνεται σε κάθε βήμα του εν λόγω αλγορίθμου. Κάτι τέτοιο θα αύξανε όχι μόνο τον χρόνο επίλυσης του εκάστοτε προβλήματος, αλλά και τις απαιτήσεις σε υπολογιστικούς πόρους καθιστώντας την επίλυση του προβλήματος διάδοσης ιδιαίτερα δυσχερή. Η τεχνική που παρουσιάζεται στην ενότητα αυτή, για την αντιμετώπιση του ζητήματος εύρεσης μιας ακριβέστερης αριθμητικής προσέγγισης του τελεστή ευρείας γωνίας (5.51), συνίσταται στην έκφραση του τελεστή P στον όρο 1 + P ως άθροισμα δύο επιμέρους όρων, ως εξής A FWA t = jk ref ( P 1 + P 2 ), (5.52)

167 Επέκταση ευρείας γωνίας όπου οι όροι P 1 και P 2 δίνονται από τις σχέσεις P 1 = 2 t, (5.53α) kref 2 P 2 = k2 0 (n 2 n 2 ref ). (5.53β) kref 2 Ο διαχωρισμός του τελεστή P βασίζεται στην παρατήρηση της μορφής του (σχέση (5.50)), απ όπου προκύπτει ότι σε κάθε βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας ICN ο μόνος όρος του P, και κατ επέκταση του A FWA t, που μεταβάλλεται είναι το τετράγωνο του δείκτη διάθλασης, n 2. Ετσι, στο άθροισμα P 1 + P 2, ο όρος P 1 θα συμβολίζει έναν εγκάρσιο διαφορικό τελεστή, η έκφραση του οποίου παραμένει ίδια σε κάθε βήμα του βηματικού αλγορίθμου ICN, ενώ ο όρος P 2 θα σχετίζεται με τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των υλικών σε κάθε επίπεδο διάδοσης, συσχετισμένες με τις παραμέτρους αναφοράς, και θα μεταβάλλεται σε κάθε βήμα της διαδικασίας ICN. Ο διαχωρισμός του P σε δύο όρους δίνει τη δυνατότητα έκφρασης της ρίζας 1 + P = 1 + P 1 + P 2 συναρτήσει των 1 + P 1 και 1 + P 2. Από την αποσύμπλεξη αυτή προκύπτουν δύο σημαντικά πλεονεκτήματα: Το πρώτο σχετίζεται με τον αριθμητικό υπολογισμό του όρου 1 + P 1, ο οποίος μπορεί να πραγματοποιηθεί μία μόνο φορά, για το πρώτο επίπεδο της διάδοσης καθώς δεν μεταβάλλεται στα επόμενα. Ως εκ τούτου, ο πίνακας που σχηματίζεται από τη διακριτοποίησή του μπορεί να υπολογιστεί ευθέως, μέσω της έτοιμης συνάρτησης sqrtm, χωρίς ιδιαίτερα σημαντική υπολογιστική επιβάρυνση. Το δεύτερο πλεονέκτημα αφορά τον πίνακα που προκύπτει από τη διαδικασία διακριτοποίησης του όρου 1 + P 2. Ο πίνακας αυτός, εξαιτίας της μορφής του τελεστή P 2 (5.53β), θα είναι διαγώνιος με στοιχεία τα οποία θα αλλάζουν ελάχιστα από βήμα σε βήμα του αλγορίθμου ICN. Αυτό συμβαίνει, επειδή η μόνη παράμετρος που μεταβάλλεται κατά τη μετάβαση της ICN από ένα επίπεδο στο επόμενο είναι ο όρος n 2. Δεδομένου ότι οι τιμές του δείκτη διάθλασης, n, ορίζονται επάνω στους κόμβους του εγκάρσιου ορθογωνικού πλέγματος, η μόνη αλλαγή που απαιτείται από βήμα σε βήμα, αφορά τα στοιχεία εκείνα της κύριας διαγωνίου του πίνακα [I] + [P 2 ], τα οποία αντιστοιχούν σε κόμβους με ιδιότητες που μεταβλήθηκαν σε σχέση με το προηγούμενο επίπεδο (βλ. σχήμα 5.6). Ετσι, η εύρεση του πίνακα [I] + [P 2 ] διευκολύνεται σημαντικά, όχι μόνο εξαιτίας της διαγώνιας μορφής του, οπότε μπορεί να προκύψει από την τετραγωνική ρίζα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του πίνακα [I] + [P 2 ], αλλά και επειδή σε κάθε επίπεδο τα στοιχεία που έχουν μεταβληθεί σε σχέση με το προηγούμενο, δεν είναι παρά ελάχιστα. Η αποσύμπλεξη του τελεστή 1 + P 1 + P 2 και η έκφρασή του συναρτήσει των όρων P 1 και P 2 μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορους τρόπους. Ο απλούστερος από αυτούς χρησιμοποιεί την προσέγγιση μέσω αναπτύγματος Taylor γύρω από το σημείο (P 1 = 0, P 2 = 0) και καταλήγει σε μια έκφραση της μορφής [216] 1 + P1 + P 2 = 1 + P P 2 2. (5.54) Η έκφραση (5.54), παρότι ιδιαίτερα απλή, δεν επιτρέπει την ακριβή εύρεση της ζητούμενης ρίζας, καθώς το σφάλμα της πραγματοποιούμενης προσέγγισης είναι σημαντικό, περιορίζοντας την επέκταση ευρείας γωνίας σε μικρές αποκλίσεις γύρω από τη διεύθυνση διάδοσης [217,218]. Μία εναλλακτική προσέγγιση, βελτιωμένη σε σχέση με την προηγούμενη, μπορεί να ληφθεί μέσω της σχέσης [216] 1 + P1 + P 2 = P P 2. (5.55)

168 5.3. Επέκταση ευρείας γωνίας 158 Σχήμα 5.6: Σχηματική αναπαράσταση της μεταβολής των ιδιοτήτων της διηλεκτρικής σφαίρας σε τρία διαδοχικά επίπεδα κατά τη διεύθυνση διάδοσης (l 1), (l) και (l + 1). Οι ιδιότητες των υλικών που συνθέτουν την υπό μελέτη δομή, καθορίζονται από τις τιμές του δείκτη διάθλασης, n, στους κόμβους του εγκάρσιου πλέγματος διακριτοποίησης. Ετσι, καθώς ο βηματικός αλγόριθμος μεταβαίνει από το επίπεδο (l 1) στο (l), οι μόνες αλλαγές στα στοιχεία του σχηματιζόμενου διαγώνιου πίνακα [I] + [P2 ] θα αφορούν τους κόμβους που σημειώνονται με κόκκινο χρώμα. Η προσέγγιση (5.55) χρησιμοποιήθηκε τόσο για την επίλυση δισδιάστατων και τρισδιάστατων μοντέλων της παραβολικής εξίσωσης (Parabolic Equation, PE) στην περιοχή της υποβρύχιας α- κουστικής (underwater acoustics) [219,220], όσο και για τρισδιάστατες υλοποιήσεις στην περιοχή της οπτικής [115]. Η βελτίωση που εισήγαγε η (5.55) σε σχέση με την (5.54), ωστόσο, δεν κατάφερε να αντιμετωπίσει πολυπλοκότερα προβλήματα, στα οποία οι υπό ανάλυση δομές συντίθενται από μέσα με ιδιότητες που μεταβάλλονται απότομα. Η λύση στο ζήτημα αυτό φαίνεται να δίνεται από την υιοθέτηση μιας τρίτης προσεγγιστικής έκφρασης σύμφωνα με την οποία 1 + P1 + P P P 2 ( 1 + ) 1 + P 1 ( 1 + ) 1 + P 2 /2 ( 1 + ) 1 + P 2 ( 1 + ) 1 + P 1 /2. (5.56) Η (5.56) προκύπτει γράφοντας τον όρο 1 + P 1 + P 2 ως ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης γύρω από κατάλληλα επιλεγμένο σημείο [218] και λαμβάνοντας υπ όψιν τη μη αντιμεταθετικότητα (noncommutativity) των όρων P 1 και P 2. Καθώς η έκφραση (5.56) δεν αντιστοιχεί σε πολυωνυμική προσέγγιση αντίστοιχη της (5.45), δεν αναμένεται να υποβιβάσει αντίστοιχα την ακρίβεια προσέγγισης της εμπλεκόμενης ρίζας. Παράλληλα, η βελτίωση της ακρίβειας που εισάγει σε σχέση με τις (5.55) και (5.54) αναμένεται να οδηγήσει σε καλύτερη προσέγγιση του τελεστή ευρείας γωνίας, βελτιώνοντας το αριθμητικό αποτέλεσμα της επίλυσης με την ICN-FD-VBPM. Η αποσύμπλεξη των όρων P 1 και P 2 στην έκφραση 1 + P 1 + P 2, με βάση την (5.56), ήταν εξ αρχής το ζητούμενο για τη διευκόλυνση του αριθμητικού υπολογισμού του τελεστή ευρείας γωνίας (5.51), μιας και, με τον τρόπο αυτό, η διακριτοποίηση μέσω πεπερασμένων διαφορών θα οδηγήσει στην απαίτηση υπολογισμού δύο διαφορετικών πινάκων: Του [I] + [P 1 ], οι τιμές του οποίου εξαρτώνται μόνο από την εγκάρσια διακριτοποίηση και, ως εκ τούτου, δεν αλλάζουν κατά τη μετάβαση του βηματικού αλγορίθμου σε κάθε επίπεδο διάδοσης και του διαγώνιου πίνακα [I] + [P 2 ],

169 Επέκταση ευρείας γωνίας Σχήμα 5.7: Κατανομή του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο yz που διέρχεται από το κέντρο της διηλεκτρικής, μη μαγνητικής σφαιρικής δομής. Η ακτίνα της σφαίρας είναι R = 1λ και η επίλυση πραγματοποιήθηκε (i) με βάση την προσέγγιση της σχέσης (5.56) και (ii) με βάση τον απευθείας υπολογισμό της ρίζας 1 + P, μέσω της συνάρτησης sqrtm, σε κάθε βήμα του επαναληπτικού σχήματος Crank-Nicolson. ο ακριβής αριθμητικός υπολογισμός του οποίου μπορεί να γίνει εύκολα από την τετραγωνική ρίζα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του [I] + [P 2 ]. Καθώς η προσέγγιση Taylor, με βάση την οποία σχηματίζεται η (5.56), πραγματοποιείται μόνο κατά τη διαδικασία αποσύμπλεξης και όχι για τον υπολογισμό της ρίζας οποιουδήποτε εμπλεκόμενου πίνακα, η ακρίβεια της αριθμητικής λύσης αναμένεται να αυξηθεί σημαντικά, ενώ παράλληλα ο άμεσος χαρακτήρας της χρησιμοποιούμενης μεθόδου δεν επηρεάζεται καθόλου. Επιστρέφοντας, λοιπόν, στο αρχικό πρόβλημα υπολογισμού του σκεδαζόμενου πεδίου από διηλεκτρική σφαίρα γνωστών ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων, το αποτέλεσμα της επίλυσης της εξίσωσης διάδοσης ευρείας γωνίας (5.49), με βάση το διαχωρισμό του τελεστή A FWA t (σχέση (5.52)) και την προσέγγιση (5.56), δίνεται στο σχήμα 5.7(i). Η ακτίνα της σφαίρας επιλέχθηκε R = 1λ, ενώ οι ηλεκτρομαγνητικές της ιδιότητες, για λόγους διευκόλυνσης της σύγκρισης, διατηρήθηκαν ίδιες με αυτές που υιοθετήθηκαν στην ενότητα (ε s = 2.56, μ s = 1). Ως κατανομή σύγκρισης επιλέγεται η κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης ευρείας γωνίας (5.49), στην οποία ο υπολογισμός του τελεστή A FWA t πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια της συνάρτησης sqrtm σε κάθε βήμα του επαναληπτικού αλγορίθμου ICN (σχήμα 5.7(ii)). Εύκολα παρατηρεί κανείς την ομοιότητα μεταξύ των δύο αποτελεσμάτων. Το ηλεκτρικό πεδίο που υπολογίστηκε με βάση το διαχωρισμό της ρίζας, όπως περιγράφηκε νωρίτερα, εμφανίζει σχεδόν τα ίδια χαρακτηριστικά με αυτό που προκύπτει από την πλήρη ανάλυση μέσω της sqrtm, καταδεικνύοντας την αποτελεσματικότητα της μεθοδολογίας της πλήρους επέκτασης ευρείας γωνίας. Η τεχνική αυτή επιτυγχάνει ακριβέστερη προσέγγιση της πεδιακής κατανομής σε σχέση με την προσέγγιση μέσω αναπτύγματος Taylor (ενότητα 5.3.1) και ταυτόχρονα εξοικονομεί χρόνο και υπολογιστικούς πόρους, συγκριτικά με τον πλήρη αριθμητικό υπολογισμό μέσω της sqrtm. Στην επόμενη και τελευταία ενότητα του κεφαλαίου αυτού, παρουσιάζεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων μεταξύ των δύο περιπτώσεων σχημάτων ευρείας γωνίας που εξετάστηκαν προη-

170 5.3. Επέκταση ευρείας γωνίας 160 Σχήμα 5.8: Απεικόνιση του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου, όπως υπολογίζεται σ ένα επίπεδο yz που διέρχεται από το κέντρο της σφαιρικής δομής για διάφορες αποστάσεις d = 1.25λ, 1.5λ, 1.75λ, 2λ, 2.25λ, και 2.5λ από το κέντρο της διηλεκτρικής σφαίρας, με αναφορά το σχήμα 5.3. Οι καμπύλες με μαύρο χρώμα αναπαριστούν το αποτέλεσμα του θεωρητικού υπολογισμού με βάση την ανάλυση Mie. Με κόκκινο χρώμα απεικονίζονται τα αποτελέσματα της αριθμητικής επίλυσης και αφορούν (i) την παραξονική προσέγγιση, (ii) την επέκταση ευρείας γωνίας μέσω αναπτύγματος Taylor δύο όρων και (iii) τριών όρων, αντίστοιχα. γουμένως. Η σύγκριση αφορά τόσο τις πεδιακές κατανομές όπως υπολογίστηκαν στις ενότητες που προηγήθηκαν, όσο και τις υπολογιστικές απαιτήσεις που συνοδεύουν καθένα από τα υπό μελέτη σχήματα Σύγκριση αποτελεσμάτων Τα αποτελέσματα της επίλυσης μέσω της μεθόδου ICN-FD-VBPM, όπως προέκυψαν τόσο για την παραξονική προσέγγιση (ενότητα 5.1.1), όσο και για τις δύο τεχνικές επέκτασης ευρείας γωνίας (ενότητες και 5.3.2), αντιπαραβάλλονται στην παρούσα ενότητα με στόχο τη σύγκρισή τους ως προς την ακρίβεια και τις υπολογιστικές απαιτήσεις. Η σύγκριση αφορά το τμήμα εκείνο του υπολογιστικού χωρίου, που βρίσκεται πίσω από τη σφαιρική δομή, κατά τη διεύθυνση διάδοσης, μιας και η χρησιμοποιούμενη μονοκατευθυντική μέθοδος διάδοσης δέσμης δεν μπορεί να υπολογίσει τυχόν ανακλώμενα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ετσι, με αναφορά το σχήμα 5.3, η σύγκριση πραγματοποιείται για την περιοχή που ορίζεται στα θετικά του άξονα z. Η απεικόνιση του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου θα πραγματοποιηθεί στο επίπεδο yz, που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, αλλά σε διακριτά σημεία πάνω στο άξονα z ώστε η αντιπαραβολή των αποτελεσμάτων να είναι ευκολότερη. Η ακτίνα της σφαίρας καθορίζεται στην τιμή R = 1λ και οι ιδιότητες αυτής δίνονται από τις παραμέτρους ε s = 2.56 και μ s = 1. Στο σχήμα 5.8 απεικονίζεται το εν λόγω γράφημα του ηλεκτρικού πεδίου, για τις περιπτώσεις υιοθέτησης της παραξονικής προσέγγισης (σχήμα 5.8(i)) και της επέκτασης ευρείας γωνίας μέσω αναπτύγματος Taylor με τη διατήρηση δύο και τριών όρων (σχήμα 5.8(iii) και σχήμα 5.8(ii), αντίστοιχα). Οι γραμμές υπολογισμού (calculation lines με αναφορά το σχήμα 5.3) έχουν τοποθετηθεί σε διαφορετικές αποστάσεις d από το κέντρο της σφαίρας, όπου d = 1.25λ, 1.5λ, 1.75λ, 2λ, 2.25λ και 2.5λ, ενώ το αποτέλεσμα της αριθμητικής επίλυσης συγκρίνεται με το αντίστοιχο του θεωρητικού υπολογισμού που πραγματοποιήθηκε με βάση την ανάλυση Mie (καμπύλες μαύρου χρώματος στα γραφήματα του σχήματος 5.8). Εύκολα παρατηρεί κανείς τη βελτίωση που εισάγεται με τη χρη-

171 Επέκταση ευρείας γωνίας Σχήμα 5.9: Απεικόνιση του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου υπολογισμένο στο επίπεδο yz που διέρχεται από το κέντρο της διηλεκτρικής σφαίρας για d = 1.25λ, 1.5λ, 1.75λ, 2λ, 2.25λ, και 2.5λ, με αναφορά το σχήμα 5.3. Το αποτέλεσμα της υπολογιστικής ανάλυσης αφορά την πλήρη επέκταση ευρείας γωνίας. σιμοποίηση της επέκτασης ευρείας γωνίας Taylor. Οσο μάλιστα η τάξη της προσέγγισης αυξάνεται, τόσο μεγαλύτερη συμφωνία επιτυγχάνεται μεταξύ θεωρητικών και υπολογιστικών αποτελεσμάτων, ιδιαίτερα όσο απομακρύνεται κανείς από τη σφαιρική δομή. Η ίδια σύγκριση πραγματοποιείται και για το αποτέλεσμα της επίλυσης μέσω της πλήρους επέκτασης ευρείας γωνίας, όπως αυτή περιγράφηκε στην ενότητα 5.3.2, και το σχετικό γράφημα παρουσιάζεται στο σχήμα 5.9. Η συμφωνία που επιτυγχάνεται με τη χρησιμοποίηση του σχήματος πλήρους επέκτασης ευρείας γωνίας μεταξύ θεωρητικών και υπολογιστικών αποτελεσμάτων είναι εμφανής. Αξιοσημείωτο, μάλιστα, είναι το γεγονός ότι η συμφωνία αυτή παρατηρείται ακόμη και πολύ κοντά στη σφαιρική δομή. Ενδιαφέρον παρουσιάζει, επίσης, και η σύγκριση των αποτελεσμάτων από την άποψη του απαιτούμενου βήματος διάδοσης, z, και του χρόνου επίλυσης που χρειάζεται για να ολοκληρωθεί κάθε επανάληψη του βηματικού αλγορίθμου ICN. Τα αποτελέσματα της σύγκρισης, όπως προέκυψαν α- πό τα αριθμητικά δεδομένα επιλύοντας το πρόβλημα της διηλεκτρικής σφαιρικής δομής με ακτίνα R = 1λ, συγκεντρώνονται στον πίνακα 5.1. Το απαιτούμενο διάστημα διακριτοποίησης στη διεύθυνση διάδοσης υπολογίζεται από την επίτευξη ή μη ευστάθειας κατά τη διαδικασία επίλυσης του εν λόγω προβλήματος. Για την ορθότητα της σύγκρισης, η διακριτοποίηση στην εγκάρσια διατομή διατηρείται σε κάθε περίπτωση ίδια ( x = y = λ/10). Από την παρατήρηση των αποτελεσμάτων, εύκολα εξάγει κανείς τα εξής χρήσιμα συμπεράσματα: Η απαίτηση για μείωση του διαστήματος z αυξάνει όσο περισσότεροι είναι οι όροι του αναπτύγματος Taylor που διατηρούνται κατά τη χρησιμοποίηση της επέκτασης ευρείας γωνίας μέσω αυτού. Για το σχήμα της πλήρους επέκτασης ευρείας γωνίας, ωστόσο, η ευστάθεια μπορεί να επιτευχθεί με z, μεγαλύτερο ακόμη και από το σχήμα Taylor δύο όρων. Το πλεονεκτικό αυτό χαρακτηριστικό, έρχεται να συμπληρώσει τη βελτίωση της ακρίβειας στην ανάλυσης μέσω της πλήρους επέκτασης ευρείας γωνίας, καθιστώντας την τεχνική αυτή μια χρήσιμη εναλλακτική επίλυσης μέσω της ICN-FD-VBPM. Τέλος, οι χρόνοι επίλυσης, που παρουσιάζονται στον πίνακα 5.1 και αφορούν μία μόνο επανάληψη του αλγορίθμου ICN, προέκυψαν συγκρίσιμοι μεταξύ τους και, σε κάθε περίπτωση, μικρότεροι του ενός δευτερολέπτου.