Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης. Διδακτορικη Διατριβη

Transcript

1 Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Πολυτεχνικη Σχολη Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων Τομεας Τηλεπικοινωνιων Διδακτορικη Διατριβη Ανάλυση, Σχεδίαση και Χαρακτηρισμός Ολοκληρωμένων Φωτονικών Διατάξεων Υβριδικής Τεχνολογίας Αγωγού Διηλεκτρικού Πυριτίου Αλέξανδρος Πιτιλάκης Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2013

2

3 Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Πολυτεχνικη Σχολη Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων Τομεας Τηλεπικοινωνιων Τιτλος Διατριβης Ανάλυση, σχεδίαση και χαρακτηρισμός ολοκληρωμένων φωτονικών διατάξεων υβριδικής τεχνολογίας αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου Διδακτωρ Αλέξανδρος Πιτιλάκης Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Α.Π.Θ. Επιβλεπων Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Αναπ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Μελη Τριμελους Συμβουλευτικης Επιτροπης Αναπ. Καθηγητής Καθηγητής Λέκτορας Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Μιχαήλ Ν. Ζέρβας Νικόλαος Α. Πλέρος Μελη Επταμελους Εξεταστικης Επιτροπης Καθηγητής Καθηγητής Αναπ. Καθηγητής Αναπ. Καθηγητής Αναπ. Καθηγητής Αναπ. Καθηγητής Λέκτορας Μιχαήλ Ν. Ζέρβας Θεόδωρος Δ. Τσιμπούκης Τραϊανός Β. Γιούλτσης Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Αντώνιος Γ. Παπαγιαννάκης Ιωάννης Θ. Ρέκανος Νικόλαος Α. Πλέρος

4

5 cç Αλέξανδρος Πιτιλάκης, Α.Π.Θ. Τίτλος Διδακτορικής Διατριβής: Ανάλυση, σχεδίαση και χαρακτηρισμός ολοκληρωμένων φωτονικών διατάξεων υβριδικής τεχνολογίας αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου «Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα»(ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2) Η παρούσα έρευνα έχει συγχρηματοδοτηθεί από την Ευρωπαϊκή Ενωση(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο- ΕΚΤ) και από εθνικούς πόρους μέσω του Επιχειρησιακού Προγράμματος«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου Αναφοράς (ΕΣΠΑ)- Ερευνητικό Χρηματοδοτούμενο Εργο: Ηράκλειτος ΙΙ. Επένδυση στην κοινωνία της γνώσης μέσω του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου.

6

7 Αφιερωμένο(κατά σειρά ηλικίας) στις γιαγιάδες μου, Αμαλία και Μαρία, στους γονείς μου, Κυριαζή και Ελσα, στον αδερφό μου, Δημήτρη, και, κυρίως, στη Χριστίνα. Τινακάνω;Τουςαγαπώόλους!

8

9 Πρόλογος Η διδακτορική αυτή διατριβή εκπονήθηκε κατά τα έτη , στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Η πενταετία αυτή αποτέλεσε ένα από πιο εποικοδομητικά και όμορφα διαστήματα τηςζωήςμου. Οπωςσεόλαταταξίδια,έτσικαισεαυτό,οισυνοδοιπόροικαιηκοινωνία με αυτούς είναι που κάνουν τη διαδρομή ευχάριστη και συμβάλλουν στην ευόδωση των στόχων. Σουδίνουνμίασπρωξιάότανέχειςβαλτώσειήσουβάζουνμίαφωνήότανέχεις ξεφύγει. Ο πρόλογος που διαβάζετε αφιερώνεται σε αυτούς. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα της διατριβής, αναπληρωτή καθηγητή Μανώλη Κριεζή. Θα τον ονομάτιζα καπετάνιο, αλλά είμαι βέβαιος πως θα ήθελε να φέρωεγώαυτόντοντίτλο,εδώ.γιατονλόγοαυτόθατονπαρομοιάσωμεφαροφύλακα άγρυπνο και σταθερό που ποτέ δεν άφησε το Φως ούτε καν να τρεμοπαίξει. Ευχαριστίες θα εκφράσω και προς τα υπόλοιπα μέλη της συμβουλευτικής μου επιτροπής, καθηγητή Μιχάλη Ζέρβα και λέκτορα Νίκο Πλέρο, για τη στήριξη της προσπάθειας μου. Νίκο, σε ευχαριστώ γιατιςδιορατικέςσυμβουλέςσουκαιγιατονχρόνοπουμουέδωσεςδίπλαστονστόλοσου. Στους κυβερνήτες των πλοίων που ακολούθησαν κατά μείζονα λόγο διαδρομή παράλληλη με τη δική μου, και κάνανε έτσι τη θάλασσα λιγότερο μοναχική και φορτουνιασμένη, Άννα Τασολάμπρου και Οδυσσέα Τσιλιπάκο, οφείλω πολλά. Ιδιαίτερα στον τελευταίο, για τις τόσες φορές που ρυμούλκησε ο ένας τον άλλον. Και αν συγκρουστήκαμε καμία φορά, θα έφταιγε ο νοτιάς! Σημαντική βοήθεια και έμπνευση έλαβα επίσης από τους διδάκτορες Δημήτρη Ζωγραφόπουλο και Γιάννη Ζιώγο. Μου ανοίξανε τους ορίζοντες και γι αυτό τους εκφράζω την ευγνωμοσύνη μου. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή Θεόδωρο Τσιμπούκη, τον αναπληρωτή καθηγητή Τραϊανό Γιούλτση, τον επίκουρο καθηγητή Νίκο Κανταρτζή, τους διδάκτορες Κώστα Βυρσωκινό και Αντώνη Λάλα όπως και τους συναδέλφους Αλέξανδρο Δημητριάδη και Σωτήρη Παπαϊωάννου για τη βοήθεια τους, όποτε τους ζητήθηκε. Αλέξανδρος Πιτιλάκης Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2013 i

10

11 Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα i iii 1 Εισαγωγή Ιστορικήκαιβιβλιογραφικήαναδρομή Διάρθρωσηκαισυμβολήτηςεργασίας Κυματοδήγηση σε ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις ΜηχανισμοίΟδήγησης ΚυματοδηγόςπλάκαςκαιΜέθοδοςενεργούδείκτη Ολική εσωτερική ανάκλαση και Οδήγηση από αντίθεση δεικτών Επιφανειακά κύματα και Πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων Πλασμονικοίκυματοδηγοίταινίας Πλασμονικοίκυματοδηγοίδιακένου Πλασμονικοί κυματοδηγοί διηλεκτρικής φόρτισης Πλασμονικοίκυματοδηγοίσφήναςκαισχισμής Υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου Υλικάοπτικώνκυματοδηγώνγιατηνκοντινήυπέρυθρηπεριοχή Συμβατικάδιηλεκτρικά:Απώλειεςκαιδιασπορά Μέταλλα:Μοντέλοπλάσματος ΑνισοτροπικάυλικάκαιΔιπλοδιαθλαστικότητα Θερμο-οπτικάυλικά Μη-γραμμικάυλικάκαιΦαινόμενατύπου χ (3) ΗμιαγωγοίκαιΦαινόμεναφορέων Ανακεφαλαίωση Υπολογιστικές μέθοδοι για τρισδιάστατα διανυσματικά προβλήματα κυματοδήγησης Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς Διακριτοποίηση με πλέγμα τριγωνικών πεπερασμένων στοιχείων Κατασκευήσυναρτήσεωνμορφής Βαθμωτέςσυναρτήσειςμορφής Διανυσματικέςσυναρτήσειςμορφής Προβολή διανυσματικού πεδίου σε συναρτήσεις μορφής iii

12 3.1.3 Διατύπωση Galerkinκαιεπίλυσημετην FEM Οριακέςσυνθήκεςκαιαπορροφητικάστρώματα Ομογενείς συνθήκες Dirichlet και Neumann Συμμετρία Απορροφητικέςοριακέςσυνθήκες Τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα τεχνητής απορρόφησης Εργαλείοεύρεσηςιδιορρυθμώνκυματοδηγούμεχρήση FEM Διατύπωσηπροβλήματοςιδιοτιμών Κυματοδηγοίμεδιαγώνιαήεγκάρσιαανισοτροπία Κυματοδηγοίμεαυθαίρετηανισοτροπία Απορροφητικέςοριακέςσυνθήκες Ταυτοποίησηκαιχαρακτηρισμόςιδιορρυθμών Συγκέντρωση, αποκοπή, πόλωση, απώλειες και διασπορά Τάξη,ονοματολογίακαισυμμετρία Υπερρυθμοί, εκφυλισμός και διπλοδιαθλαστικότητα Ιδιορρυθμοίμη-γραμμικώνκυματοδηγών Διανυσματικήμέθοδοςδιάδοσηςδέσμηςμε FEM Διατύπωσηεξίσωσηςδιάδοσης Κυματοδηγοίμεεγκάρσιαανισοτροπία Εφαρμογήτης FEMστοεγκάρσιοεπίπεδο Μετασχηματισμός Schulzκαισχήμαευρείαςγωνίας Τεχνική Crank-Nicolson και υποδιαίρεση βήματος Κυματοδηγοίμεαυθαίρετηανισοτροπία Εύρεσηιδιορρυθμώνοπτικώνκυματοδηγών Υπολογισμόςφασικήςσταθεράςδιάδοσης Διάδοσησεμιγαδικήαπόσταση Αξονικάμεταβλητέςκαιμη-γραμμικέςδιατάξεις Ανακεφαλαίωση Ανάλυση και σχεδίαση διαμήκων θερμο-οπτικών διακοπτικών στοιχείων με πλασμονικούς κυματοδηγούς διηλεκτρικής φόρτισης Πλασμονικοίκυματοδηγοίδιηλεκτρικήςφόρτισης Περιγραφήκυματοδηγού DLSPPκαιεπιλογέςπαραμέτρων Θερμο-οπτικόςέλεγχος DLSPPκυματοδηγών Στοιχειώδειςσυμμετρικές 2 2διακοπτικέςδιατάξεις Αρχιτεκτονικέςσυμμετρικών 2 2διακοπτικώνστοιχείων Επιδόσεις: Αποτύπωμα, απώλειες εισαγωγής, λόγος εξάλειψης θυρών,εύροςζώνηςκαικατανάλωσηισχύος Διατάξειςσυμβολομέτρου Mach-Zehnder Σχεδίαση ζευκτών διαίρεσης ισχύος σε κυματοδηγούς DLSPP Σχεδίαση ζευκτών διαίρεσης ισχύος σε κυματοδηγούς πυριτίου ΣχεδίασημεσυμμετρικούςΜΖΙβραχίονες Μοντελοποίησημετημέθοδοδιάδοσηςδέσμης ΣχεδίασημεασύμμετρουςΜΖΙβραχίονες Διατάξειςσυμβολήςσεπολύρρυθμουςκυματοδηγούς Συγχρονισμένοςκατευθυντικόςζεύκτης Κυματοδηγόςδύορυθμών iv

13 Ταξινόμηση και ονοματολογία ρυθμών DMI κυματοδηγού Ανάλυσηκαισχεδίασηχρήσειιδιορρυθμών Μοντελοποίησημετημέθοδοδιάδοσηςδέσμης Πειραματικήεπιβεβαίωση Αποσυγχρονιζόμενοςκατευθυντικόςζεύκτης Ανακεφαλαίωση Κυματοδήγηση σε μη-γραμμικές νανοφωτονικές διατάξεις αγωγούδιηλεκτρικού-πυριτίου Διάδοσησεμη-γραμμικούςκυματοδηγούς Εισαγωγήστημη-γραμμικήεξίσωση Schrödinger Απώλειες, διασπορά και μη-γραμμικότητα τύπου Kerr NLSEκαιχαρακτηριστικάμήκη Πυρίτιο Απορρόφηση δύο φωτονίων και φαινόμενα φορέων Διάδοση συζευγμένων ρυθμών με σύστημα διανυσματικών NLSE Εξίσωσηδιάδοσης Μη-γραμμικήηλεκτρικήπόλωση Τρίτηςτάξηςηλεκτρικήεπιδεκτικότητα χ (3) Επίδραση ελευθέρων φορέων σε κυματοδηγούς πυριτίου Μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης των συζευγμένων NLSE Συνεχήσήματα Μέθοδοι Runge-Kutta Χρονομεταβλητά σήματα Μέθοδος Split Step Fourier Αξιολόγησημη-γραμμικώνκυματοδηγών Συμβατικοίμη-γραμμικοίκυματοδηγοί Νανοφωτονικοίκυματοδηγοίπουπεριλαμβάνουνπυρίτιο Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου Επιλογέςυλικώνγιαμη-γραμμικέςεφαρμογές Περιγραφήδομής HSPκυματοδηγών Βελτιστοποίησηγιαμη-γραμμικέςεφαρμογές Σύγκριση με άλλους τύπους νανοφωτονικών κυματοδηγών πυριτίου Αξιολόγησημεχρήσητης NLSE Μη-γραμμικόςκατευθυντικόςζεύκτης Περιγραφήγραμμικήςλειτουργίας Περιγραφήμη-γραμμικήςλειτουργίας Σχεδίασηπλήρως-οπτικού 2 2διακόπτη Μελέτη αρωγού λόγου-εξάλειψης διαμορφωμένων σημάτων Διάδοση σημάτων υψηλής ισχύος σε έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς Εξάρτησηπαραμέτρωνκυματοδηγούαπότηνισχύ Μονόρρυθμοικυματοδηγοίσεσυνεχήλειτουργία Πολύρρυθμοικυματοδηγοίκαιπαλμικήλειτουργία Μη-γραμμικήμέθοδοςδιάδοσηςδέσμης Μονόρρυθμοςκυματοδηγός Μη-γραμμικόςκατευθυντικόςζεύκτης Διάδοσησημάτωνυψηλήςισχύος Ανακεφαλαίωση Συμπεράσματα και μελλοντικές κατευθύνσεις 213 v

14 Αʹ Παραρτήματα κεφαλαίου υπολογιστικών μεθόδων 221 Αʹ.1 Αριθμητικός υπολογισμός επιφανειακών και επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων σετριγωνικάστοιχεία Αʹ.2 ΕξαγωγήτηςΕξ.(3.33) Αʹ.3 ΕξαγωγήτηςΕξ.(3.65) Αʹ.4 Ρητέςεκφράσεις Padéγιαπροσέγγισητουτελεστήδιάδοσηςτης BPM Βʹ Θερμο-ηλεκτρικός έλεγχος DLSPP κυματοδηγών 229 Γʹ Γεωμετρική περιγραφή καμπών S-σχήματος ημιτονοειδούς τροχιάς231 Βιβλιογραφία 232 Κατάλογος Ακρωνυμίων 251 Abstract 253 vi

15 1 Εισαγωγή 1.1 Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή Οι οπτικές επικοινωνίες(optical communications)[1] ασχολούνται με τη μετάδοση σημάτων πληροφορίας σε μορφή ηλεκτρομαγνητικού κύματος ακτινοβολίας της οπτική ή της υπέρυθρης περιοχής του φάσματος. Ο επιστημονικός αυτός κλάδος γνωρίζει ιδιαίτερη άνθιση από τη δεκαετία του 1970, όπου μία σειρά σημαντικών επιτευγμάτων κατέστησαν δυνατή την αξιοποίηση του τεράστιου εύρους ζώνης που παρέχεται στην συγκεκριμένη περιοχή του φάσματος για μετάδοση πληροφορίας σε μεγάλες αποστάσεις. Τα σημαντικότερα επιτεύγματα στον κλάδο των οπτικών επικοινωνιών είναι η σύνθεση πηγών σύμφωνης ακτινοβολίας (light amplification by stimulated emission of radiation, LASER)[2] υψηλής απόδοσης, η κατασκευή μονόρρυθμων οπτικών ινών(optical fibers)[3] χαμηλών απωλειών και διασποράς και, τέλος, η ανακάλυψη των οπτικών ενισχυτών ντοπαρισμένης ίνας ερβίου(erbium-doped fiber amplifier, EDFA)[4] σε συνδυασμό με την τεχνική πολυπλεξίας στο μήκος κύματος (wavelength division multiplexing, WDM)[5]. Σήμερα, οι οπτικές επικοινωνίες συνθέτουν τον κορμό(backbone) των περισσότερων επίγειων δικτύων επικοινωνιών[6] αποτελώντας έτσι θεμελιώδη υποδομή για τον κόσμο της πληροφορίας. Τα ολοκληρωμένα φωτονικά κυκλώματα(photonic integrated circuits, PIC)[7, 8] είναι σύνθετα εξαρτήματα που εκτελούν ένα σημαντικό εύρος λειτουργιών για την επεξεργασία των σημάτων πληροφορίας σε ένα σύστημα οπτικών επικοινωνιών. Τα εξαρτήματα αυτά έχουν συνήθως επίπεδη(planar) μορφή, τυπικές διαστάσεις αρκετών εκατοντάδων μηκών κύματος και αναπτύσσονται σε κοινό υπόστρωμα με χρήση μεγάλου πλήθους τεχνολογιών μικρο-κατασκευής(microfabrication)[9], όπως ντοπάρισμα(doping), εμφύτευση ιόντων (ion implanation), χάραξη(etching), μορφοποίηση(patterning), εναπόθεση άλλων υλικών (deposition), λιθογραφία(lithography) κλπ. Τα PIC απαντώνται και σε κλάδους όπως η βιοϊατρική ή η πληροφορική, αλλά οι περισσότερες εφαρμογές τους συγκαταλέγονται στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα και πιο συγκεκριμένα στις οπτικές επικοινωνίες. Συνήθως βρίσκονται στους πομπούς, στους δέκτες ή στους ενδιάμεσους αναμεταδότες ενός συστήματος οπτικών επικοινωνιών[10], ενώ οι λειτουργίες τους περιλαμβάνουν σχεδόν οτιδήποτε δε σχετίζεται με τη μετάδοση καθ αυτή: Εκπομπή φωτός μέσω πηγών laser, διαμόρφωση οπτικού φέροντος από ηλεκτρικό σήμα πληροφορίας, σύνθεση φίλτρων, ενίσχυση, διασύνδεση, δρομολόγηση, ανίχνευση και αποδιαμόρφωση του σήματος μέσω φωτοανιχνευτών. Η έμπνευση για τα PIC προέρχεται από την τεχνολογία των ολοκληρωμένων μικροηλεκτρονικών κυκλωμάτων. Η τελευταία έχει σημειώσει ραγδαία πρόοδο τις τελευταίες δεκαετίες, οδηγώντας σε σημαντικά επιτεύγματα όπως πολυπύρηνους επεξεργαστές αποτελούμενους από εκατομμύρια τρανζίστορ ή κυκλώματα μνήμης με πολύ μεγάλη χωρη- 1

16 Κεφάλαιο 1 τικότητα αποθήκευσης ψηφιακών δεδομένων. Απώτερος στόχος αποτέλεσε η ενοποίηση οπτικών και ηλεκτρονικών λειτουργιών σε κοινή οπτο-ηλεκτρονική(opto-electronic, optronic) διάταξη[11], που να αξιοποιεί τις υπάρχουσες κατασκευαστικές τεχνικές ολοκλήρωσης σεπολύμεγάληκλίμακα(vlsi)[12]καιναείναισυμβατήμετιςσύγχρονες(state of the art) τεχνολογικές πλατφόρμες μετάλλου-οξειδίου-ημιαγωγού(complementary metal-oxidesemiconductor, CMOS) και πυριτίου-σε-μονωτή(silicon-on-insulator, SOI). Βέβαια, όσον αφορά στον βαθμό πολυπλοκότητας και πυκνότητας ολοκλήρωσης, η ανάπτυξη των PIC δεν έχει ακολουθήσει τον αντίστοιχο ρυθμό της μικρο-ηλεκτρονικής, λόγω κάποιων σημαντικών τεχνολογικών περιορισμών: Τα οπτικά εξαρτήματα διασυνδέονται μέσω κυματοδηγών που, σε αντίθεση με τις ηλεκτρικές γραμμές μεταφοράς που διασυνδέουν τα ηλεκτρονικά εξαρτήματα, τυπικά δεν μπορούν έχουν διαστάσεις πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος, δηλαδή βρίσκονται στην τάξη μεγέθους του 1 μm. Επίσης, οι δομές οπτικών κυματοδηγών, ακόμα και σε απλές διατάξεις όπως ζεύκτες ή διακλαδώσεις, απαιτούν προσεκτικό σχεδιασμό ή/και καταλαμβάνουν σημαντικά μεγαλύτερο αποτύπωμα(footprint) στο ολοκληρωμένο κύκλωμα σε σχέση με τα ηλεκτρονικά κυκλώματα. Η αιτία είναι η κατανεμημένη(distributed) φύση των πρώτων, σε αντίθεση με τη συγκεντρωμένη(lumped) των τελευταίων. Τέλος, οι αναπόφευκτες απώλειες εισαγωγής στα PIC απαιτούν τη χρήση οπτικών ενισχυτών που επίσης είναι συγκριτικά πολύ πιο ογκώδη εξαρτήματα σε σχέση με τους ηλεκτρονικούς ε- νισχυτές που συνθέτονται από διόδους και τρανζίστορ πολύ μικρών διατάξεων. Για όλους τους παραπάνω λόγους, τα συμβατικά ολοκληρωμένα φωτονικά κυκλώματα δεν έχουν μέχρι στιγμής γνωρίσει την εκρηκτική ανάπτυξη και«διασπορά» των αντίστοιχων ηλεκτρονικών. Παρ όλααυτά,τατελευταίαχρόνιαδόθηκενέαώθησηστηνανάπτυξητων PICμετην όλο και σημαντικότερη διείσδυση στο χώρο δύο χαρακτηριστικών τεχνολογιών. Πρόκειται αφενός για τη φωτονική τεχνολογία πυριτίου(silicon photonics)[13 15] και αφετέρου για την πλασμονική τεχνολογία(plasmonics)[16 18]. Μάλιστα, ο συνδυασμός των δύο τεχνολογιών απαντάται τα τελευταία χρόνια και ως μία αυτοτελώς διαμορφωμένη ερευνητική περιοχή που συλλογικά αναφέρεται ως silicon plasmonics [19, 20]. Το πυρίτιο(silicon, Si) είναι ένας ημιαγωγός της IV-ομάδας του περιοδικού πίνακα των στοιχείων που, σε συνδυασμό με το γερμάνιο(ge), αποτελεί τον πυρήνα της κραταιάς βιομηχανίας της μικρο-ηλεκτρονικής. Παρουσιάζει έμμεσο ενεργειακό διάκενο ίσο με 1.12 ev, που συνεπάγεται πως είναι διαφανές για μήκη κύματος μεγαλύτερα από 1100 nm, επιτρέποντας έτσι τη χρησιμοποίηση του σε οπτικές διατάξεις[21 25] με εφαρμογές στην κοντινή υπέρυθρη(near infrared, NIR) περιοχή του φάσματος, όπου εδράζονται οι επικοινωνίες οπτικών ινών, nm. Πιο συγκεκριμένα, η φωτονική τεχνολογία πυριτίου βασίζεται στην αξιοποίηση της ώριμης πλατφόρμας SOI[26, 27], που αποτελείται από συμπαγή, ευσταθή και ενδελεχώς χαρακτηρισμένα διαφανή οπτικά υλικά. Με τον τρόπο αυτό, παρουσιάζεται ως μία ιδιαίτερα προσφιλής επιλογή για την την κατασκευή ολοκληρωμένων οπτικών διατάξεων κυματοδήγησης χαμηλού κόστους και υψηλής ποιότητας. Επιπλέον, η πλατφόρμα SOI εμφανίζει κάποια πολύ σημαντικά συγκριτικά πλεονεκτήματα, σε σχέση με συμβατικούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς. Πρώτον, παρέχει εγγενώς τη δυνατότητα ισχυρήςοδήγησηςλόγωτηςμεγάληςδιαφοράςδεικτώνδιάθλασηςτουπυριτίου(n Si 3.45) καιτουσυγγενούςτουοξειδίου(n SiO2 1.45). Αυτόεπιτρέπειτηνκατασκευήκυματοδηγών με συγκέντρωση σε εγκάρσιες διαστάσεις διατομής μικρότερες του μήκους κύματος (subwavelength confinement)[28], που συνεισφέρει στη σημαντική σμίκρυνση του αποτυπώματος διαφόρων εξαρτημάτων, όπως για παράδειγμα κάμψεων κυματοδηγών[29] ή συντονιστών μικρο-δακτυλίου[30]. Δεύτερον, το πυρίτιο εμφανίζει μία σειρά από οπτικές 2

17 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή ιδιότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την υλοποίηση δυναμικά ελεγχόμενων διατάξεων(όπως διαμορφωτές ή φίλτρα)[31] ή ενεργών στοιχείων[32]. Πρόκειται για την ισχυρή εγγενή μη-γραμμικότητα(nonlinearity) που περιγράφεται με την επιδεκτικότητα τρίτηςτάξης χ (3) [33 36],τοναξιόλογοσυντελεστήκέρδους Raman(Raman gain)[37 40], τα φαινόμενα ελευθέρων φορέων(free-carrier effects, FCE)[41] που σχετίζονται με την ημιαγώγιμη φύση του υλικού και το ενεργειακό του διάκενο, όπως και τον σχετικά υψηλό θέρμο-οπτικό συντελεστή(thermo-optic coefficient)[42 44]. Τέλος, στο πυρίτιο, το έμμεσο ενεργειακό διάκενο των 1.12 ev επιτρέπει την απορρόφηση δύο φωτονίων(two photon absorption, TPA) για ακτινοβολία μήκους κύματος μικρότερου από 2.2 μm. Το αποτέλεσμα της TPA είναι διπλό[45]: αφενός αποτελεί έναν επιπλέον μηχανισμό εξασθένισης του σήματος, ανάλογο της ισχύος εντός του πυριτίου, αφετέρου δημιουργεί ζεύγη ελευθέρων φορέων που επηρεάζουν τις οπτικές ιδιότητες του υλικού μέσω των FCE. Ολα τα παραπάνω φαινόμενα μπορούν να αξιοποιηθούν για την υλοποίηση μεγάλου πλήθους διαφορετικών εφαρμογών. Το σημαντικότερο μειονεκτήματα του πυριτίου, ως υλικό για PIC, είναι η εγγενής αδυναμία κατασκευής αποδοτικών οπτικών πηγών laser που να αντλούνται με ηλεκτρικό ρεύμα. Ο λόγος σχετίζεται με το έμμεσο ενεργειακό διάκενο του υλικού, που απαιτεί τη συμμετροχή φωνονίων για την ακτινοβολούσα επανασύνδεση(radiative recombination) φορέων, κάτι που μειώνει σημαντικά τη συνολική αποδοτικότητα του μηχανισμού εκπομπής. Σήμερα, οι πιο αποδοτικές οπτικές πηγές για PIC κατασκευάζονται με χρήση ημιαγωγών των II- I/V-ομάδων του περιοδικού πίνακα[2], δηλαδή από τα στοιχεία ίνδιο, φώσφορο, γάλλιο και αρσενικό(in, P, Ga, As). Η ενσωμάτωση τους σε κοινό υπόστρωμα με φωτονικά κυκλώματα SOI γίνεται με χρήση υβριδικής ολοκλήρωσης(hybrid integration) και όχι μονολιθικά (monolithic integration), αυξάνοντας σημαντικά την πολυπλοκότητα της κατασκευής. Παρ όλα αυτά, τα τελευταία χρόνια εμφανίστηκαν κάποιες υποσχόμενες τεχνικές για βελτίωση των πηγών πυριτίου, όπως για παράδειγμα η εμφύτευση ιόντων ερβίου[46, 47] ή η αξιοποίηση της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman(stimulated Raman scattering, SRS)[48 50]. Τέλος, ένα ακόμα συγκριτικό μειονέκτημα του πυριτίου είναι η απουσία μη-γραμμικής απόκρισης δεύτερης τάξης που θα εξασφάλιζε έναν ιδιαίτερα εύχρηστο μηχανισμό ηλεκτρο-οπτικού ελέγχου(φαινόμενο Pockels), επιτρέποντας την κατασκευή διαμορφωτών αντίστοιχων με αυτούς του νιοβικού λιθίου ή της ηλεκτρο-απορρόφησης. Αναφορικά με τον σχεδιασμό ελεγχόμενων ολοκληρωμένων διατάξεων τεχνολογίας πυριτίου,ιδιαίτερημνείααξίζειναγίνειστημη-γραμμικότητατύπου χ (3) καισταφαινόμενα φορέων, που παρέχουν τη δυνατότητα πλήρως-οπτικού και ηλεκτρο-οπτικού ελέγχου, αντίστοιχα. Ταμη-γραμμικάφαινόμενατύπου χ (3) [51,52]επιτρέπουντηναλληλεπίδραση μεταξύ οπτικών σημάτων που βρίσκονται στην ίδια φασματική περιοχή, προσφέροντας έτσι έναν πλήρως-οπτικό(all optical) μηχανισμό[53 60] για την υλοποίηση εφαρμογών, όπως φασματική διεύρυνση, διαμόρφωση φάσης ή πλάτους, μετατροπή μήκους κύματος κλπ. Τα φυσικά φαινόμενα που αξιοποιούνται είναι το οπτικό φαινόμενο Kerr, η γενικευμένη μείξη τεσσάρωνκυμάτων(four wave mixing, FWM),ηSRSκαιηTPA.Σημειώνεταιότιηισχυρή μη-γραμμικότητα του πυριτίου επιτρέπει την παρατήρηση των παραπάνω φαινομένων σε σχετικά χαμηλά επίπεδα οπτικής ισχύος(1 mw) και εντός ολοκληρωμένων διατάξεων μικρού αποτυπώματος(μήκους 1 cm). Βεβαία, παρά το ότι τα πλήρως οπτικά φαινόμενα βρίσκονται εδώ και αρκετό καιρό στο προσκήνιο, συχνά συσχετιζόμενα με το φωτονικό ανάλογο των ηλεκτρονικών τρανζίστορ, παρ όλα αυτά οι πρακτικές εφαρμογές τους βρίσκονται ακόμα αρκετά μακρυά από τον παραπάνω στόχο. Από την άλλη πλευρά, στις διατάξεις πυριτίου 3

18 Κεφάλαιο 1 παρέχεται και η δυνατότητα ηλεκτρο-οπτικού ελέγχου[61, 62], με αξιοποίηση της επίδρασης των ελευθέρων φορέων στα οπτικά χαρακτηριστικά του υλικού[41]. Για παράδειγμα, η ενσωμάτωση μίας ορθά πολωμένης PIN-επαφής σε έναν κυματοδηγού πυριτίου επιτρέπει την έγχυση φορέων(carrier injection)[63] στην περιοχή οδήγησης, επηρεάζοντας την οπτική απορρόφηση ή τον δείκτη διάθλασης του υλικού, και συνεπώς παρέχει έναν μηχανισμό ελέγχου του πλάτους ή της φάσης του οπτικού κύματος, αντίστοιχα. Πρέπει να σημειωθεί ότι στο πυρίτιο, και για ακτινοβολία με μήκος κύματος μικρότερο από 2.2 μm, εμφανίζεται ο μηγραμμικός μηχανισμός της TPA που σχετίζεται άμεσα με τη δημιουργία ελευθέρων φορέων, με ρυθμό ανάλογο του τετραγώνου της οπτικής ισχύος. Το φαινόμενο αυτό μπορεί κατά περίπτωση να είναι επιθυμητό ή όχι. Οταν είναι ανεπιθύμητο, μπορούμε να απομακρύνουμε τους φορείς από την περιοχή οδήγησης(carrier sweeping) με ενσωμάτωση μίας ανάστροφα πολωμένης PIN-επαφής[64, 65], μειώνοντας την επιβλαβή επίδραση των FCE στο σήμα. Συνοψίζοντας, διαπιστώνουμε πως τα πλήρως-οπτικά και τα ηλεκτρο-οπτικά φαινόμενα που εκδηλώνονται στο πυρίτιο ενδέχεται να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, οπότε και επιβάλλεται η μελέτη τους σε ένα κατά το δυνατό συνεκτικό θεωρητικό πλαίσιο[36, 66]. Τα τελευταία χρόνια έχει επιτευχθεί σημαντική πρόοδος στη χρήση της πλασμονικής τεχνολογίας[67 69] στο πλαίσιο των οπτικών επικοινωνιών, παρουσιάζοντας ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες μελλοντικές προεκτάσεις για τα PIC. Πλασμονικές διατάξεις χαρακτηρίζονται αυτές που υποστηρίζουν τη διάδοση επιφανειακών ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων κατά μήκος της διεπιφάνειας ενός ηλεκτρικού αγωγού(τυπικά μετάλλου) και ενός συμβατικού διηλεκτρικού. Τα κύματα αυτά αποκαλούνται πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων(surface plasmon polariton, SPP) και είναι δέσμια της ταλάντωσης του νέφους ελευθέρων ηλεκτρονίων στην επιφάνεια του αγωγού. Για το λόγο αυτό, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μεγιστοποιείται επάνω στη διεπιφάνεια των δύο υλικών, ενώ εμφανίζει εκθετική απόσβεση στην εγκάρσια στη διάδοση διεύθυνση, με μεγαλύτερη διείσδυση εντός του διηλεκτρικού. Στα μέταλλα που εμφανίζουν τα απαραίτητα χαρακτηριστικά για την υποστήριξη τέτοιων κυμάτων στην οπτική και υπέρυθρη περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, συγκαταλέγονται ο χρυσός, οάργυρος,οχαλκός,τοαλουμίνιοκαιάλλα[70,71]. Ηπρώτηδιαπίστωσητηςύπαρξης των SPPκυμάτωνέγινετο 1957απότον R. Ritchie[72]καισυνεχίστηκετιςεπόμενες δύοδεκαετίεςαπότους H. Raether [73], E. Kretschmann[74]και A. Otto[75],αλλάη συγκεκριμένη ερευνητική περιοχή γνωρίζει μία εκρηκτική ανάπτυξη μόλις την τελευταία δεκαετία, ξεκινώντας από τη συστηματική μελέτη για την αξιοποίηση της σε ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις[76]. Πλην των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών, άλλες εφαρμογές της πλασμονικής τεχνολογίας είναι στους τομείς της πληροφορικής, των αισθητήρων, της βιοϊατρικής και της μικροσκοπίας. Το πρωταρχικό ελκυστικό χαρακτηριστικό των πλασμονικών διατάξεων[18] είναι ότι τα SPP μπορούν να συγκεντρωθούν σε διαστάσεις πολύ μικρότερες του μήκους κύματος (subwavelength confinement), υπερβαίνοντας έτσι το όριο περίθλασης(diffraction limit) που φράσσει την περαιτέρω σμίκρυνση των συμβατικών διηλεκτρικών διατάξεων κυματοδήγησης[77]. Ως εκ τούτου, οι κυματοδηγοί που υποστηρίζουν τέτοια κύματα μπορούν να συρρικνωθούν σε εγκάρσιες διαστάσεις σημαντικά μικρότερες του 1 μm, τυπική διάσταση για διηλεκτρικούς κυματοδηγούς στη NIR περιοχή, συνεισφέροντας έτσι στη σμίκρυνση των αντίστοιχων κυκλωμάτων. Επιπλέον, με τον τρόπο αυτό γεφυρώνεται το χάσμα στη φυσική κλίμακα μεγέθους μεταξύ των ηλεκτρονικών και φωτονικών διατάξεων, προωθώντας τις τελευταίες όλο και πιο κοντά στην περιοχή της νανοτεχνολογίας[78]. Το δεύτερο εν δυνάμει πλεονέκτημα των πλασμονικών διατάξεων είναι η φυσική γειτνίαση ενός ηλε- 4

19 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή κτρικού αγωγού με έναν οπτικό κυματοδηγό. Τα SPP κύματα είναι ιδιαίτερα ευαίσθητα στα οπτικά χαρακτηριστικά των υλικών της διεπιφάνειας, για παράδειγμα αλλαγή του δείκτη διάθλασης του διηλεκτρικού μέσω θέρμανσης ή μέσω έγχυσης φορέων εάν πρόκειται για κάποιον οπτικά διάφανο ημιαγωγό, όπως το πυρίτιο. Συνεπώς, η συνύπαρξη ενός η- λεκτρικού καναλιού και ενός οπτικού κυματοδηγού, που προσφέρεται φυσικά από τις SPP διατάξεις, καθιστά εφικτή την αλληλεπίδραση μεταξύ ηλεκτρικών και οπτικών σημάτων, δημιουργώντας έτσι πρόσφορο έδαφος για έναν ηλεκτρικό μηχανισμό ελέγχου. Τέλος, ένα τρίτο συστατικό που αιτιολογεί την τρέχουσα δυναμική των πλασμονικών διατάξεων είναι η απρόσκοπτη συμβατότητα τους με τις επικρατούσες κατασκευαστικές τεχνικές, με έμφαση στις CMOS και SOI[79]. Οι SPP κυματοδηγοί, παρά τα φαινομενικά«εξωτικά» χαρακτηριστικά τους για τις συμβατικές φωτονικές διατάξεις, δεν στηρίζονται σε κάποια καινούριο φυσικό φαινόμενο ούτε κατασκευάζονται με κάποιο απίθανο υλικό. Αντιθέτως, το πλασμονικά κύματα εξηγούνται πλήρως στο πλαίσιο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού(εξισώσεις Maxwell) και οι αντίστοιχοι κυματοδηγοί αποτελούνται από τα πλέον διαδεδομένα υλικά της μικρο-ηλεκτρονικής βιομηχανίας, δηλαδή μέταλλα και διηλεκτρικά ή ημιαγωγούς. Το βασικό μειονέκτημα των πλασμονικών διατάξεων για τα PIC είναι η διείσδυση του πεδίου εντός των ηλεκτρικών αγωγών, που συνοδεύεται αναπόφευκτα από την εμφάνιση ωμικών απωλειών. Οι τελευταίες περιορίζουν σημαντικά το μήκος διάδοσης αυτών των κυμάτων, στηνπεριοχή 10μm 10 mm,ανάλογαμετοντύποτουκυματοδηγού[80].συνοψίζοντας, θα μπορούσαμε να πούμε πως οι πλασμονικές διατάξεις συνδυάζουν, σε κάποιο βαθμό, το τεράστιο εύρος ζώνης των φωτονικών με το ελαχιστοποιημένο αποτύπωμα των ηλεκτρονικών διατάξεων. Η εισαγωγή των πλασμονικών κυματοδηγών στην περιοχή των ολοκληρωμένων φωτονικών διατάξεων για εφαρμογές οπτικών επικοινωνιών έγινε με αρκετά γρήγορα ρυθμό. Ξεκινώντας από την σύζευξη φωτός σε πλασμονικούς κυματοδηγούς και τον πειραματικό χαρακτηρισμό των διαφόρων παραλλαγών κυματοδηγών, οι προσπάθειες στη συνέχεια ε- στιάστηκαν στο σχεδιασμό παθητικών στοιχείων όπως κάμψεις, κατευθυντικοί ζεύκτες, συντονιστές, πολυπλέκτες κλπ. Είναι σημαντικό να τονιστεί πως σε όλους, ανεξαιρέτως, τους SPP κυματοδηγούς ενυπάρχει ο συμβιβασμός ανάμεσα στη συγκέντρωση και στις α- πώλειες, ορίζοντας τις πρακτικά προσβάσιμες περιοχές λειτουργίας[81, 82]. Για παράδειγμα, οι πρώτοι ολοκληρωμένοι πλασμονικοί κυματοδηγοί αποτελούνταν από ένα λεπτό μεταλλικό στρώμα(φιλμ) πάχους μικρότερου των 100 nm και πεπερασμένου εύρους 1-10 μm, που βρίσκεται εντός ομογενούς μέσου. Ο κυματοδηγός αυτός, που αποκαλείται κυματοδηγός ταινίας(stripe)[83 85] υποστηρίζει οδηγούμενους ρυθμούς με μακρυά εμβέλεια(longrange, LR-SPP)[86,87], 1 mm,αλλάπολύχαμηλήσυγκέντρωση, A eff 100μm 2. Αντιθέτως, οι πλασμονικοί κυματοδηγοί καναλιού(channel/gap/slot SPP)[88 93], που ορίζονται από μία πολύ μικρών διαστάσεων περιοχή διηλεκτρικού που περιορίζεται στις εγκάρσιες διευθύνσεις από περιοχές μετάλλου, υποστηρίζουν ρυθμούς με ιδιαίτερα αυξημένη συγκέντρωση, A eff 0.01μm 2,αλλάκαισημαντικάμειωμένηεμβέλεια, 10μm.Γίνεται λοιπόν αντιληπτό, πως ανάλογα με την εφαρμογή που στοχεύουμε μπορεί να επιλεχθεί ο τύπος πλασμονικού κυματοδηγού με τα επιθυμητά χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, στις διατάξεις που απαιτούνται μικρές απώλειες εισαγωγής μπορεί να χρησιμοποιηθεί κυματοδηγός με LR-SPP ρυθμούς, ενώ εκεί όπου απαιτείται ισχυρή συγκέντρωση θα επιλέγονταν κυματοδηγός με ρυθμούς καναλιού. Ενώ ο περιορισμός των απωλειών δεν χρήζει καμίας ιδιαίτερης ερμηνείας, η αύξηση της συγκέντρωσης πέραν του ορίου περίθλασης στους πλασμονικούς κυματοδηγούς έχει κάποιες ενδιαφέρουσες προεκτάσεις. Πρώτον, επιτρέπει την 5

20 Κεφάλαιο 1 πυκνότερη ολοκλήρωση των διαφόρων στοιχείων ενός σύνθετου κυκλώματος αφού γενικά η σύζευξη με παρακείμενους κυματοδηγούς θα είναι μειωμένη, δεύτερον, δίνει τη δυνατότητα για ιδιαίτερα μικρές ακτίνες καμπυλότητας σε κάμψεις κυματοδηγών ή σε συντονιστές οδεύοντος κύματος και, τρίτον, ισχυροποιεί όλους τους μηχανισμούς ελέγχου που εξαρτώνται από τα οπτικά χαρακτηριστικά του υλικού μέσα στο οποίο συγκεντρώνεται το πεδίο. Σχετικά με την τελευταία προέκταση, τονίζουμε πως στις εφαρμογές που βασίζονται στα φαινόμενατύπου χ (3) ηαύξησητηςσυγκέντρωσηςβελτιώνειτησυνολικήμη-γραμμικότητα [94]. Ενας πλασμονικός κυματοδηγός που γνώρισε αξιόλογο πλήθος πρακτικών εφαρμογών είναι ο κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης(dielectric loaded surface plasmon polariton, DLSPP)[95 103], που αποτελείται από μία ράβδωση διηλεκτρικού που τοποθετείται σε ε- παφή με φιλμ ή ταινία μετάλλου, ενώ η όλη διάταξη περικλείεται από διηλεκτρικό υλικό χαμηλότερου δείκτη, τυπικά αέρα. Ο οδηγούμενος ρυθμός αυτής της διάταξης εμφανίζει ικανοποιητική συγκέντρωση και στις δύο εγκάρσιες διαστάσεις, εντοπίζεται κυρίως στη διεπιφάνεια μετάλλου/ράβδωσης και χαρακτηρίζεται από ανεκτές απώλειες, στην περιοχή των 0.1 db/μm. Ηπολύαπλήκατασκευήτου DLSPP,σεσυνδυασμόμετασυνολικά χαρακτηριστικά του, τον κατέστησε ως έναν από τους πιο δημοφιλείς πλασμονικούς κυματοδηγούς, για εφαρμογές σε ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις[ ] που βασίζονται σε συντονιστές ή σε διαμήκη εξαρτήματα. Αξιοποιώντας αρχικά το θερμο-οπτικό φαινόμενο, κατ αντιστοιχία με την πρώτη εφαρμογή στους stripe κυματοδηγούς[111], η διέλευση ηλεκτρικού ρεύματος διαμέσου του μεταλλικού φιλμ θερμαίνει την παρακείμενη διηλεκτρική φόρτιση και μεταβάλει τα οπτικά χαρακτηριστικά του οδηγούμενου ρυθμού. Παρουσιάστηκε ένας σημαντικός αριθμός από θεωρητικές μελέτες και πειραματικές υλοποιήσεις για ελεγχόμενες διατάξεις[ ], όπως συντονιζόμενα φίλτρα και διακόπτες. Μάλιστα, σύνθετες ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις έχουν κατασκευαστεί με βάση τους ανωτέρω θερμο-οπτικά ελεγχόμενους διακόπτες DLSPP κυματοδηγών, όπως δρομολογητές για συστήματα WDM[ ]. Εκτός από το θερμο-οπτικό φαινόμενο μέσω θέρμανσης Joule, έχουν παρουσιαστεί και εφαρμογές βασιζόμενες σε άλλους μηχανισμούς, όπως θέρμανση μέσω απορρόφησης οπτικής ακτινοβολίας[123], ηλεκτρικού ελέγχου υγρών κρυστάλλων[124, 125], ηλεκτρο-οπτικού φαινομένου[126] ή πλήρως-οπτικού ελέγχου μέσω μη-γραμμικότητας τύπου Kerr[127]. Ο συγκερασμός πλασμονικών διατάξεων με διατάξεις πυριτίου διαμορφώνει μία υβριδική τεχνολογία που αποκαλείται silicon plasmonics [19, 20]. Ο χαρακτηρισμός«υβριδική» μπορεί να αναφέρεται σε δύο διαφορετικές περιπτώσεις. Στην πρώτη, διακριτά εξαρτήματα αμιγώς πυριτίου(για παράδειγμα SOI κυματοδηγοί) συνυπάρχουν στο ίδιο ολοκληρωμένο κύκλωμα με εξαρτήματα αμιγώς πλασμονικά(για παράδειγμα SPP κυματοδηγοί ταινίας, διακένου ή διηλεκτρικής φόρτισης) και τότε το κύκλωμα χαρακτηρίζεται ως υβριδικό[128]. Στη δεύτερη περίπτωση, οι διατάξεις οδήγησης του ολοκληρωμένου κυκλώματος συνδυάζουν χαρακτηριστικά συμβατικών διηλεκτρικών και πλασμονικών κυματοδηγών και οι ίδιοι οι κυματοδηγοί χαρακτηρίζονται ως υβριδικοί[129]. Η ερευνητική περιοχή των silicon plasmonics, όπως εντάσσεται στις δύο παραπάνω κατηγορίες, προσανατολίζεται στη μείξη των δύο τεχνολογιών με σκοπό τη βέλτιστη αξιοποίηση των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών της καθεμίας, για κατασκευή σύνθετων ολοκληρωμένων φωτονικών εξαρτημάτων[130]. Σημαντικό στοιχείο, όπως ήδη τονίστηκε, είναι η κατασκευαστική συμβατότητα των δύο τεχνολογιών που μπορούν να στηριχθούν στις ώριμες πλατφόρμες SOI και CMOS[131], η οποία προσφέρει το απαραίτητο οικονομικό κίνητρο για την διείσδυση τέτοιων εξαρτημάτων σε πιο ευρύ φά- 6

21 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή σμα πρακτικών εφαρμογών. Μέχρι σήμερα έχουν προταθεί, σχεδιαστεί και κατασκευαστεί σύνθετα PIC που περικλείουν πλασμονικά και κλασικά φωτονικά εξαρτήματα, με ιδιαίτερα φιλόδοξους στόχους, και έχουν επιδείξει ικανοποιητικά πρώιμα αποτελέσματα[ ]. Τέλος, στην περιοχή αυτή εντάσσονται και έρευνες με ριζοσπαστικές προεκτάσεις, όπως τα οπτικά τρανζίστορ[132]. Εχοντας καταστήσει σαφή τη διάκριση μεταξύ των υβριδικών πλασμονικών κυκλωμάτων και των υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών, που μαζί συνιστούν τις υβριδικές πλασμονικές διατάξεις πυριτίου(hybrid silicon plasmonic, HSP), μπορούμε να προχωρήσουμε στην εξέταση των χαρακτηριστικών τους. Αρχικά, τα HSP κυκλώματα χρησιμοποιούν κατά κύριο λόγο SOI κυματοδηγούς για τη διασύνδεση μεταξύ των επιμέρους στοιχείων του ολοκληρωμένου κυκλώματος, ενώ οι αμιγώς πλασμονικές διατάξεις που αποτελούνται από SPP κυματοδηγούς συνήθως επιτελούν τη δυναμικά ελεγχόμενη λειτουργία(όπως δρομολόγηση, φιλτράρισμα ή διαμόρφωση). Απαραίτητη προϋπόθεση για την αποδοτική λειτουργία των HSP κυκλωμάτων είναι κάποιος μηχανισμός αποτελεσματικής διασύνδεσης (interfacing/coupling) χαμηλών απωλειών μεταξύ των δύο τύπων κυματοδηγών. Ανάλογα με τον τύπο των πλασμονικών κυματοδηγών και θεωρώντας πάντα τυπικούς κυματοδηγούς πυριτίου, έχουν προταθεί διάφοροι μηχανισμοί διασύνδεσης με ιδιαίτερα χαμηλές απώλειες εισαγωγής, στην περιοχή του 80% ή 1 db[ ]. Οι δυο βασικές κατηγοριοποιήσεις των μηχανισμών διασύνδεσης είναι η απευθείας σύζευξη(direct or end-fire coupling) και η κατευθυντική σύζευξη(directional coupling). Στην πρώτη κατηγορία η διεπιφάνεια των δύο κυματοδηγών έχει βηματική μετάβαση, δηλαδή το φως εξέρχεται από την περιοχή οδήγησης του ενός και προσπίπτει απευθείας στην περιοχή οδήγησης του άλλου. Στη δεύτερη κατηγορία[137], οι περιοχές οδήγησης των δύο κυματοδηγών είναι συζευγμένες, οπότε το φως μεταφέρεται σταδιακά από τον έναν κυματοδηγό στον άλλο, μέσω κατευθυντικής σύζευξης. Οι δύο παραπάνω κατηγορίες διασύνδεσης συνήθως περιέχουν και τμήματα αδιαβατικής μετάβασης(tapering sections), προκειμένου η σύζευξη να γίνει με κατά το δυνατό προσαρμοσμένο τρόπο. Οι HSP κυματοδηγοί[129, 138] συνδυάζουν χαρακτηριστικά οδήγησης τόσο πλασμονικού χαρακτήρα, όσο και ολικής εσωτερικής ανάκλασης(total internal reflection, TIR), που περιγράφει τους συμβατικούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς[77, 139, 140]. Βασικό χαρακτηριστικό τους είναι η ισχυρή συγκέντρωση του πεδίο εντός μίας περιοχής διηλεκτρικού χαμηλού δείκτη διάθλασης(όπως το οξείδιο του πυριτίου, n = 1.45) που περικλείεται από τη μία μεριά από μέταλλο και από την άλλη από διηλεκτρικό υψηλού δείκτη διάθλασης(πυρίτιο ή άλλοςημιαγωγός, n = 3.45)καιεπίσηςμικρώνδιαστάσεων 1.Στουςκυματοδηγούςαυτούς, το φως δεν μπορεί να συγκεντρωθεί στο υλικό υψηλού δείκτη, εφόσον αυτό έχει γενικά μικρές εγκάρσιες διαστάσεις, καθώς ο αντίστοιχος TIR-τύπου υπο-κυματοδηγός υπόκειται στο όριο περίθλασης. Συνεπώς, το πεδίο διανέμεται εκατέρωθεν του υλικού υψηλού δείκτη και, περιοριζόμενο από τη μία μεριά από την παρουσία του μετάλλου, καταλήγει σε ισχυρή συγκέντρωση εντός του υλικού χαμηλού δείκτη. Αποδεικνύεται ότι οι εγκάρσιες διαστάσεις του τελευταίου μπορούν να λάβουν τιμές σημαντικά μικρότερες του μήκους κύματος προσφέροντας ισχυρή συγκέντρωση που ξεπερνάει αυτή των συμβατικών διηλεκτρικών κυματοδηγών[141]. Παραπλήσιος μηχανισμός οδήγησης χρησιμοποιείται στους διηλεκτρικούς κυματοδηγούς εγκοπής(slot)[142], όπου μία περιοχή χαμηλού δείκτη περικλείεται από δύο 1 Γιατηνακρίβεια,οαπλούστερος HSPκυματοδηγόςαπαιτείτηνπαρουσίαδιηλεκτρικώνχαμηλούδείκτηεκατέρωθεντουδιηλεκτρικούυψηλούδείκτη, δηλαδή M L 1 H L 2 όπου Mμέταλλοκαι H/Lυλικά υψηλού/χαμηλού δείκτη. 7

22 Κεφάλαιο 1 συμβατικούς υπό-κυματοδηγούς ισχυρής οδήγησης(τύπου SOI) αλλά διαστάσεων μικρότερων του ορίου περίθλασης. Σε κάθε περίπτωση, η μέγιστη συγκέντρωση που προσφέρουν είναι υποδεέστερη αυτής των HSP κυματοδηγών[143]. Η ισχυρή συγκέντρωση των υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών σε συνδυασμό με τις σχετικά χαμηλές απώλειες διάδοσης, σε σχέση με τις αμιγώς SPP διατάξεις, τους καθιστά ελκυστικούς για πρακτικές εφαρμογές που βασίζονται στον έλεγχο των οπτικών χαρακτηριστικών του υλικού χαμηλού δείκτη[ ]. Μάλιστα, εφόσον τα χαρακτηριστικά αυτά εξαρτώνται από τη συγκέντρωση, τότε η επίδοση των κυματοδηγών αυτών θα είναι ιδιαίτερα βελτιωμένη. Πιο συγκεκριμένα, οι εφαρμογές που βασίζονται στα μη-γραμμικά φαινόμενα τύπου χ (3) μπορούνναενισχυθούνσημαντικάστους HSPκυματοδηγούς, σεσχέσημε όλους υπόλοιπους ολοκληρωμένους φωτονικούς κυματοδηγούς[143]. Παρόλο που οι εγγενείς σε όλες τις πλασμονικές διατάξεις απώλειες μπορεί να φαντάζουν απαγορευτικές για μη-γραμμικές εφαρμογές που εξαρτώνται από την ένταση του φωτός(φαινόμενο Kerr), οι θεωρητικές μελέτες των τελευταίων χρόνων προβλέπουν πως αυτό μπορεί να αντισταθμιστεί από την αύξηση της συγκέντρωσης και τη χρήση υλικών με υψηλή μη-γραμμικότητα [ ]. Αν και προς το παρόν δεν έχουν διενεργηθεί εκτεταμένες πειραματικές παρατηρήσεις μη-γραμμικών φαινομένων οδηγούμενου κύματος σε πλασμονικές ή HSP διατάξεις, παρ όλα αυτά ένα μεγάλο πλήθος πλήρως-οπτικών πρακτικών εξαρτημάτων έχει μελετηθεί, βασισμένα σε πλασμονικές δομές. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών βασίζονται σε ενισχυμένη FWM σε διεπιφάνειες[151], στη διστάθεια(bistability) σε μη-γραμμικές κοιλότητες [152], στην αστάθεια διαμόρφωσης(modulation instability) σε διατεταγμένα νανοσωματίδια[153], σε διάδοση σολιτονίων(soliton)[ ] ή στα FCE όταν υπάρχει παρουσία ημιαγωγών[157]. Ειδικά για τους HSP κυματοδηγούς, ιδιαίτερες προσπάθειες έχουν κατευθυνθεί προς τη θεμελίωση ενός ενιαίου θεωρητικού πλαισίου που να περικλείει όλα τα φαινόμενα που αναπτύσσονται στους κυματοδηγούς αυτούς, κυρίως λόγω της παρουσίας του πυριτίου[143]. Πλησιάζοντας στο τέλος της ανασκόπησης του ευρύτερου ερευνητικού πεδίου της διατριβής αυτής, είναι απαραίτητο να γίνει σύντομη αναφορά στα θεωρητικά και υπολογιστικά εργαλεία ανάλυσης και σχεδίασης των διατάξεων που αναφέρθηκαν. Οπως κατέστη σαφές, όλες οι παραπάνω εφαρμογές βασίζονται κατά μείζονα λόγο στις εξισώσεις του Maxwell που αποτελούν το πλαίσιο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού. Σε μικρότερο βαθμό, υπεισέρχονται στη μελέτη και μη-πεδιακά φαινόμενα, όπως η θερμική διάχυση, ελαστικά φαινόμενα και μοντέλα ροής, η φυσική των φορέων ή άλλα φαινόμενα κβαντικής προέλευσης. Πάντως, το μεγαλύτερο μέρος των παραπάνω φαινομένων είναι δυνατό να αναχθεί σε κατάλληλη διαταραχή(perturbation) των εξισώσεων του Maxwell και να αντιμετωπισθεί αναλόγως. Επομένως, η χρήση των εξισώσεων του Maxwell, ή συνεπτυγμένων εκδοχών τους, όπως για παράδειγμα η κυματική εξίσωση Helmholtz, είναι το βασικό θεωρητικό εργαλείο για την μοντελοποίηση των φωτονικών και πλασμονικών διατάξεων. Εστιάζοντας τώρα στα υπολογιστικά εργαλεία, μπορούμε να προβούμε στους ακόλουθους γενικούς διαχωρισμούς. Καταρχήν διακρίνονται σε αυτά που ενεργούν σε σήματα του πεδίου της συχνότητας (spectral domain) ή του πεδίου του χρόνου(time domain). Οι αναπαραστάσεις στο πεδίο της συχνότητας και του χρόνου είναι συνδεδεμένες μέσω του μετασχηματισμού Fourier, και επιλέγεται η μία ή η άλλη αναπαράσταση ανάλογα με το φασματικό περιεχόμενο του υπό εξέταση σήματος. Επίσης, σε ορισμένα φαινόμενα, όπως για παράδειγμα σε μη-γραμμικά φαινόμενα που περιλαμβάνουν τη γέννεση νέων συχνοτήτων, η αναπαράσταση στο«βοηθητικό»πεδίοτωνσυχνοτήτωνδενείναισυνήθωςδυνατή,λόγωτουότιδενισχύειηαρχήτης 8

23 1.1. Ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή επαλληλίας των φασματικών συνιστωσών που διέπει τις γραμμικές διατάξεις και αποτελεί το θεμέλιο του μετασχηματισμού Fourier. Παρ όλα αυτά, η χρήση φασματικών εργαλείων είναι δυνατή στην περίπτωση που εξετάζουμε ένα εύρος μη-γραμμικών φαινομένων υπό την παραδοχή ακτινοβολίας συνεχούς κύματος(continuous wave, CW) και δεδομένης συχνότητας. Δεύτερον, τα υπολογιστικά εργαλεία διακρίνονται σε αυτά που προσομοιώνουν το πλήρες πεδίο(full wave) ή κάποια προσεγγιστική απλοποιημένη μορφή του. Σημειώνουμε πως με τον όρο«πλήρες πεδίο» εννοούμε την τρισδιάστατη διανυσματική αναπαράσταση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, ενώ μία απλοποιημένη αναπαράσταση θα μπορούσε να ήταν μία δισδιάστατη ή/και βαθμωτή. Ενας τρίτος διαχωρισμός των υπολογιστικών εργαλείων που θα μπορούσε να γίνει, είναι μεταξύ αυτών που προσομοιώνουν μία διάταξη άνευ παραδοχών και εκείνων που προσομοιώνουν μόνο διατάξεις που πληρούν συγκεκριμένες απλοποιητικές παραδοχές. Το ισοζύγιο μεταξύ των δύο έγκειται πάντα μεταξύ ακρίβειας και υπολογιστικού φόρτου(χρόνος προσομοίωσης και/ή δέσμευση μνήμης). Τέλος, κάποια υπολογιστικά εργαλεία χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό παραμέτρων μίας διάταξης που στη συνέχεια τροφοδοτούν/συμπληρώνουν ένα απλούστερο, και συνήθως αναλυτικό ή ημι-αναλυτικό, υ- πολογιστικό εργαλείο. Τα αμιγώς υπολογιστικά εργαλεία που τα τελευταία έτη έχουν γνωρίσει σημαντική α- πήχηση στην προσομοίωση ολοκληρωμένων φωτονικών διατάξεων[158] είναι η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών(finite difference method, FDM)[159], η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων(finite element method, FEM)[160, 161], η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου(finite difference time domain, FDTD)[162], η μέθοδος διάδοσης δέσμης(beam propagation method, BPM)[163], η μέθοδος των ροπών (method of moments, MoM) ή αλλιώς μέθοδος οριακών στοιχείων(boundary element method, BEM)[164] και άλλες. Τα εργαλεία αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσομοίωση απλών εξαρτημάτων αλλά και σύνθετων διατάξεων. Κλασικό παράδειγμα της πρώτης κατηγορίας είναι τα εργαλεία εύρεσης ιδιορρυθμών(eigenmode solver) που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των παραμέτρων ενός ευθύγραμμου κυματοδηγού. Οι παράμετροι αυτές«αποδομούν» τον κυματοδηγό από τις τρεις διαστάσεις σε μία, τη διάσταση κατά μήκος της οποίας γίνεται η διάδοση. Συνεπώς, οι παράμετροι αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε απλούστερα αναλυτικά ή ημι-αναλυτικά εργαλεία, όπως η μέθοδος ανάπτυξης σε ιδιορρυθμούς(eigenmode expansion method, EME)[165] ή οι διαφορικές εξισώσεις διάδοσης του χωρο-χρονικού φακέλου(envelope) ενός σήματος σε 1+1 διαστάσεις(χρόνος/συχνότητα και απόσταση διάδοσης), όπως για παράδειγμα οι μη-γραμμικές εξισώσεις Schrödinger(nonlinear Schrödinger equation, NLSE)[94]. Καθώς, κατά την τελευταία δεκαετία, οι περισσότερες από τις υπολογιστικές μεθόδους στις οποίες αναφερθήκαμε εισήλθαν σε φάση ωριμότητας, θα αναφερθούμε συνοπτικά σε ορισμένα μόνο χαρακτηριστικά επιτεύγματα. Αρχικά, ιδιαίτερη σημασία για τον υπολογιστικό ηλεκτρομαγνητικό γενικότερα, και ειδικότερα για τη διάδοση κύματος και τη σκέδαση, είχε η εισαγωγή των τέλεια προσαρμοσμένων στρωμάτων(perfectly matched layer, PML) τεχνητής απορρόφησης[ ], που σε μεγάλο βαθμό υποκατέστησε, ή συμπλήρωσε, τις λιγότερο αποδοτικές απορροφητικές οριακές συνθήκες(absorbing boundary conditions, ABC)[160]. Επίσης, η FEM άρχισε να χρησιμοποιείται όλο και πιο συστηματικά, έναντι της προγενέστερης FDM, για διάφορες εφαρμογές υπολογιστικών προσομοιώσεων, όπως γιαπαράδειγμασευλοποιήσειςτις BPM[158,169,170]. Η BPM,πουθαμαςαπασχολήσει ιδιαίτερα στη συγκεκριμένη διατριβή, καταξιώθηκε ως το κατ εξοχήν εργαλείο μοντελοποίησης αξονικών οπτικών διατάξεων μεγάλου μήκους σε συνθήκες CW διέγερσης, 9

24 Κεφάλαιο 1 ομοιόμορφων ή μη κατά τη διεύθυνση διάδοσης[171, 172]. Τέλος, γνώρισε ενδιαφέρουσες επεκτάσεις για αντιμετώπιση συνθετότερων φαινομένων, όπως η ανισοτροπία[170, ] και η μη-γραμμικότητα[ ], ή για τη προσομοίωση χρονικά-μεταβαλλόμενων σημάτων[179, ]. Κλείνοντας, θα σημειώσουμε πως τα ημι-αναλυτικά εργαλεία μοντελοποίησης μη-γραμμικών διατάξεων της οικογένειας NLSE γνωρίζουν τα πρόσφατα έτη συστηματική πρόοδο, κυρίως δια της προσθήκης νέων διορθωτικών όρων για την προσομοίωση συνθετότερων φαινομένων ή για την επέκταση της περιοχής εφαρμογής της [36,45,66,143,157,191,192]. 1.2 Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας Αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η ανάλυση και σχεδίαση ελεγχόμενων ή δυναμικών ολοκληρωμένων φωτονικών διατάξεων που βασίζονται στο συνδυασμό της τεχνολογίας πυριτίου με την ανερχόμενη πλασμονική τεχνολογία. Το ενδιαφέρον της διατριβής εστιάζεται σε τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές στην κοντινή υπέρυθρη(nir) περιοχή του φάσματος. Για την ανάλυση των παραπάνω διατάξεων, αρχικά μελετώνται και βελτιστοποιούνται οι κυματοδηγοί που αποτελούν τα δομικά στοιχεία του οπτικού κυκλώματος. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια υπολογιστικών τεχνικών εύρεσης ιδιορρυθμών. Οι κυματοδηγοί που κυρίως απασχόλησαν στη διατριβή αυτή είναι ο πλασμονικός κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης (DLSPP) και ο υβριδικός πλασμονικός κυματοδηγός αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου(hsp). Ακολούθως, αναπτύσσονται κατάλληλα θεωρητικά μοντέλα για τη σχεδίαση και την αξιολόγηση της επίδοσης εξαρτημάτων που επιτελούν συνθετότερες λειτουργίες. Συγκεκριμένα, σχεδιάστηκαν διακοπτικά στοιχεία που η επιλογή της θύρας εξόδου ελέγχεται εξωτερικά μεχρήσητουθέρμο-οπτικούφαινομένουήαπότηνίδιατηνισχύτουσήματοςμέσωτης μη-γραμμικότητας τύπου Kerr, για διατάξεις αποτελούμενες από DLSPP ή HSP κυματοδηγούς, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, τα παραπάνω ολοκληρωμένα εξαρτήματα προσομοιώνονται συνολικά ή κατά τμήματα που στη συνέχεια συνδυάζονται καταλλήλως και, τέλος, τα αποτελέσματα των υπολογιστικών προσομοιώσεων συγκρίνονται προς τα θεωρητικά μοντέλα που αναπτύχθηκαν. Ακολουθεί μία συνοπτική περιγραφή της διάρθρωσης των βασικών κεφαλαίων της διατριβής και η ταυτοποίηση της συμβολής της. Το τρέχον, εισαγωγικό κεφάλαιο ασχολείται με την τοποθέτηση του ευρύτερου πλαισίου της διατριβής και την ιστορική και βιβλιογραφική ανασκόπηση της έρευνας στην περιοχή του ενδιαφέροντος. Ακολουθεί η περιγραφή της διάρθρωσης των επιμέρους κεφαλαίων και η επισήμανση της συμβολής της διατριβής σε καθένα εξ αυτών. Το Κεφάλαιο 2 έχει επίσης εισαγωγικό χαρακτήρα και ασχολείται με την περιγραφή των βασικών στοιχείων της οπτικής κυματοδήγησης όπως και με τη συστηματική κατηγοριοποίηση των διαφόρων ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών των υλικών που τυπικά χρησιμοποιούνται σε ολοκληρωμένες επίπεδες φωτονικές/πλασμονικές διατάξεις. Σε πρώτο στάδιο εισάγονται τα ποιοτικά χαρακτηριστικά των μηχανισμών οδήγησης με αναφορά στον μονοδιάστατο κυματοδηγό επιπέδων πλακών. Οι μηχανισμοί οδήγησης ταξινομούνται σε αυτούς της ολικής εσωτερικής ανάκλασης(tir), στους επιφανειακούς πλασμονικούς (SPP) καθώς και στους υβριδικούς-πλασμονικούς(hsp). Στη συνέχεια αναγνωρίζονται και περιγράφονται τα οπτικά χαρακτηριστικά των υλικών που θα αξιοποιηθούν. Πρόκειται για τη συχνοτική διασπορά υλικού, τις απώλειες, το μοντέλο του πλάσματος για διεπιφάνειεςμετάλλου/διηλεκτρικού,τηνανισοτροπίαστηνεπιδεκτικότηταπρώτηςτάξης χ (1),τη θερμο-οπτική εξάρτηση του δείκτη διάθλασης, τα μη-γραμμικά φαινόμενα που περιγράφονται 10

25 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας απότηνεπιδεκτικότητατρίτηςτάξης χ (3) καιταφαινόμεναελευθέρωνφορέωνπουεμφανίζονται σε ορισμένους ημιαγωγούς. Πρέπει να σημειωθεί πως ιδιαίτερο ενδιαφέρον δόθηκε στους υβριδικούς πλασμονικούς κυματοδηγούς και στο πυρίτιο, που εμφανίζει σε κάποιον βαθμό όλες τις παραπάνω οπτικές ιδιότητες. Το Κεφάλαιο 3 συμπεριλαμβάνει όλες τις μεθόδους υπολογιστικού χαρακτήρα που αναπτύχθηκαν κατά τη διάρκεια της διατριβής για την προσομοίωση τρισδιάστατων διατάξεων κυματοδήγησης. Η πρώτη ενότητα αναφέρεται στην περιγραφή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων(fem) που χρησιμοποιείται για τη διακριτοποίηση της εγκάρσιας στον άξονα διάδοσης διατομής ενός κυματοδηγού και αποτελεί τη βάση των υπολογιστικών εργαλείων που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια. Στην ενότητα αυτή, σχολιάζεται η διαδικασία δημιουργίας πλέγματος πεπερασμένων στοιχείων, η κατασκευή διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων μορφής για την ορθή μοντελοποίηση του πεδίου, η διαδικασία εφαρμογής της τεχνικής Galerkin και, τέλος, οι οριακές συνθήκες του προβλήματος και η χρήση απορροφητικών στρωμάτων για τον αποτελεσματικό τερματισμό του υπολογιστικού παραθύρου. Η δεύτερη ενότητα επικεντρώνεται στο εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού τυχούσας διατομής, που διακριτοποιείται χρήσει της FEM. Παρουσιάζονται δύο παραλλαγές του εργαλείου, ανάλογα με τον τύπο της ανισοτροπίας της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς των υλικών του κυματοδηγού. Επίσης, παρατίθεται μία εκτεταμένη συζήτηση αναφορικά με την ταυτοποίηση και τον χαρακτηρισμό των ιδιορρυθμών μίας διάταξης κυματοδήγησης, ολοκληρώνοντας με την επέκταση της μεθόδου για εύρεση ιδιορρυθμών κυματοδηγών υπό την επίδραση της μη-γραμμικότητας τύπου Kerr. Η τρίτη και τελευταία ενότητα επικεντρώνεται στη μέθοδο διάδοσης δέσμης(bpm) που χρησιμοποιείται στη μελέτη διατάξεων κυματοδήγησης με σαφώς ορισμένο οπτικό άξονα. Αρχικά καταστρώνεται το σύστημα εξισώσεων του σχήματος διάδοσης, όπου οι εγκάρσιοι τελεστές διακριτοποιούνται κάνοντας χρήση της FEM ενώ οι διαμήκεις με τη βοήθεια της μεθόδου τον πεπερασμένων διαφορών, υλοποιώντας έτσι έναν ευσταθή βηματικό επαναληπτικό αλγόριθμο διάδοσης που στηρίζεται στο σχήμα Crank-Nicolson. Διακρίνονται δύο διαφορετικές υλοποιήσεις της μεθόδου, ανάλογα με την ανισοτροπία που παρουσιάζουν τα υλικά του κυματοδηγού, και στη συνέχεια διατυπώνεται η τεχνική υποδιαίρεσης βήματος που επιτρέπει την υλοποίηση σχημάτων ευρείας γωνίας(wide angle) υψηλής τάξης. Τέλος, καταγράφονται τα απαραίτητα στοιχεία για την εφαρμογή της BPM στην εύρεση ιδιορρυθμών κυματοδηγού, όπως και στην προσομοίωση αξονικά-μεταβλητών και μη-γραμμικών διατάξεων. Η συμβολή της διατριβής στο κεφάλαιο αυτό εστιάζεται στην ανάπτυξη ζεύγους πλήρως διανυσματικών εργαλείων προσομοίωσης τρισδιάστατων ανισοτροπικών ή/και μη-γραμμικών διατάξεων. Το πλήθος των εφαρμογών στις οποίες μπορεί να συμβάλει η χρήση των παραπάνω υπολογιστικών μεθόδων εκτείνεται σε όλο το φάσμα της διάδοσης οδηγούμενου κύματος από οπτικές ίνες μικροδομής[178] μέχρι νανοφωτονικούς κυματοδηγούς[117]. Μάλιστα, πρέπει να σημειωθεί ότι τα δύο εργαλεία εύρεσης ιδιορρυθμών και BPM βασίζονται στην ευρέως αξιόπιστη αλλά και πολύ ευέλικτη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και αναπτύχθηκαν σχεδόν εκ του μηδενός στηγλώσσαπρογραμματισμού MatLab R. Το Κεφάλαιο 4 αφιερώνεται στην ανάλυση και τη σχεδίαση θερμο-οπτικών 2 2 διακοπτικών στοιχείων βασισμένων στους DLSPP κυματοδηγούς. Αρχικά παρουσιάζονται οι εν λόγω κυματοδηγοί και σχολιάζονται οι επιλογές των γεωμετρικών παραμέτρων τους, όπως και οι επιλογές των υλικών που τους συνιστούν. Ακολουθεί μία συζήτηση των τεχνολογικών ζητημάτων που άπτονται του θερμο-οπτικού ελέγχου των DLSPP κυματοδηγών, έπειτα παρουσιάζονται συνοπτικά οι αρχιτεκτονικές διαμηκών διακοπτικών 2 2 στοιχείων που 11

26 Κεφάλαιο 1 θα μελετηθούν και εισάγονται οι μετρικές επίδοσης που χρησιμοποιήθηκαν στην αξιολόγηση τους. Στις επόμενες παραγράφους μελετώνται διεξοδικά οι επιμέρους αρχιτεκτονικές διακοπτών: το συμμετρικό και ασύμμετρο συμβολόμετρο Mach-Zehnder(MZI), ο συγχρονισμένος κατευθυντικός ζεύκτης(sdc), ο κυματοδηγός δύρρυθμης συμβολής(dmi) και τέλος ο αποσυγχρονιζόμενος κατευθυντικός ζεύκτης(ddc). Οι διατάξεις αυτές, σε πρώτο στάδιο αναλύονται και σχεδιάζονται θεωρητικά με βάση τη μελέτη ιδιορρυθμών και στη συνέχεια υπολογίζεται η επίδοση τους χρησιμοποιώντας με συνεκτικό τρόπο την τρισδιάστατη μοντελοποίηση με τη διανυσματική μέθοδο διάδοσης δέσμης πεπερασμένων στοιχείων(fe- BPM). Διαπιστώνεται η πολύ καλή συμφωνία των δύο διαδικασιών, επιβεβαιώνοντας την ορθότητα και την ακρίβεια των εμπλεκομένων εργαλείων και μεθοδολογιών και υποδεικνύοντας τις εφαρμογές που προτιμάται η καθεμία. Η συμβολή της διατριβής στο κεφάλαιο αυτό εστιάζεται πρωτίστως στη θεμελίωση ενός ενοποιημένου θεωρητικού πλαισίου για τη σχεδίαση και την αξιολόγηση διαμηκών διακοπτικών διατάξεων πλασμονικής τεχνολογίας που βασίζονται στη κατευθυντική σύζευξη ρυθμών με διαφορετικές απώλειες. Το πλαίσιο αυτό μπορεί να γενικευθεί σε οποιαδήποτε διαταραχή, μικρής ή μεγάλης κλίμακας, των οπτικών χαρακτηριστικών ενός κυματοδηγού και να εφαρμοστεί στην προσομοίωση οποιασδήποτε διάταξης υποστηρίζει δύο ή και περισσότερους οδηγούμενους ιδιορρυθμούς. Δηλαδή, δεν περιορίζεται στη συγκεκριμένη τεχνολογία πλασμονικών κυματοδηγών ούτε στους συγκεκριμένους τύπους διακοπτικών εξαρτημάτων. Οσον αφορά στη συμβολή της εργασίας στην τεχνολογία των ολοκληρωμένων φωτονικών/πλασμονικών διατάξεων, για πρώτη φορά μελετήθηκαν, σχεδιάστηκαν και τελικά χαρακτηρίστηκαν πειραματικά τα συγκεκριμένα διακοπτικά στοιχεία. Οι επιδόσεις που τελικά προσφέρουν είναι συμβατές με αυτές πρακτικών συστημάτων οπτικών επικοινωνιών/διασύνδεσης, για παράδειγμα λόγος-εξάλειψης(ή αλληλοπαρεμβολή θυρών εξόδου) μεγαλύτερη από 10 db ή απώλειες εισαγωγής μικρότερες από 10 db, τόσο στην υπολογιστική προσομοίωση[117] όσο και στην πειραματική μέτρηση [115]. Συνεπώς, διαπιστώνεται πως οι συγκεκριμένες προτάσεις ολοκληρωμένων φωτονικών εξαρτημάτων καθιστούν υλοποιήσιμες εναλλακτικές των αντίστοιχων φωτονικών, βασίζονται σε τεχνολογικά ρεαλιστικές τεχνικές κατασκευής και καταλαμβάνουν σημαντικά μικρότεροαποτύπωμα, μm 2.Σημειώνεταιπωςκατάτηνέναρξητηςδιατριβήςυπήρχε στη σχετική ερευνητική κοινότητα σκεπτικισμός ως προς τη δυνατότητα επίτευξης τέτοιων συνολικών επιδόσεων. Με τον τρόπο αυτό, η συγκεκριμένη διατριβή υποστηρίζει αφενός την βιωσιμότητα των πλασμονικών εξαρτημάτων για πρακτικές εφαρμογές, ενώ παράλληλα επιβεβαιώνει την ακρίβεια, την αξιοπιστία και την εφαρμοσιμότητα των μεθόδων που χρησιμοποιήθηκαν στην μοντελοποίηση, στον σχεδιασμό και στην αξιολόγηση αντίστοιχων εξαρτημάτων. Το Κεφάλαιο 5 περιλαμβάνει τη συστηματική μελέτη της διάδοσης ενός ή και περισσοτέρων σημάτων ίδιας συχνότητας σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς νανοφωτονικής/πλασμονικής τεχνολογίας που περιλαμβάνουν πυρίτιο. Παρουσιάζεται και επεκτείνεται ο φορμαλισμός της μη-γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Schrödinger(NLSE), που χρησιμοποιείται για την προσομοίωση της διάδοσης συζευγμένων ιδιορρυθμών. Οι ρυθμοί αυτοί αναπαριστώνται από τους αργά μεταβαλλόμενους φακέλους τους στο χώρο και στο χρόνο, συνθέτοντας τελικά ένα σύστημα συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων. Η αντιμετώπιση αυτή είναι σημαντικά απλούστερη της πλήρους ηλεκτρομαγνητικής προσομοίωσης μίας μη-γραμμικής διάταξης. Το εργαλείο NLSE που συγκροτήθηκε λαμβάνει υπόψη ένα μεγάλο αριθμό φαινομένων, ό- πως η διασπορά, οι γραμμικές απώλειες, η μη-γραμμικότητα τύπου Kerr, η απορρόφηση δύο φωτονίων(tpa) και τα φαινομένων ελευθέρων φορέων(fce) τα δύο τελευταία αφορούν 12

27 1.2. Διάρθρωση και συμβολή της εργασίας στους κυματοδηγούς πυριτίου και στη φασματική περιοχή λ < 2.2 μm. Σημειώνεται πως η προσομοίωση με την NLSE προϋποθέτει τη χρήση ακριβούς εργαλείου εύρεσης ιδιορρυθμών για τον υπολογισμό των παραμέτρων του μη-γραμμικού κυματοδηγού που σχετίζονται με τα παραπάνω φαινόμενα. Ακολούθως, εισάγονται κατάλληλες μετρικές(fom) για τη συγκριτική αξιολόγηση και βελτιστοποίηση των διαφορετικών τύπων κυματοδηγών που εμπίπτουν στην παραπάνω ευρεία οικογένεια των μη-γραμμικών κυματοδηγών πυριτίου. Στη συνέχεια, το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στους HSP κυματοδηγούς, προκρίνοντας τη δομή ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας ως βέλτιστη επιλογή για την αξιοποίηση του φαινομένου Kerr με παράλληλη καταστολή των FCE. Διαφαίνεται πως με κατάλληλη επιλογή υλικών και γεωμετρικών διαστάσεων, μπορεί να αξιοποιηθεί η ιδιαίτερα υψηλή μη-γραμμική παράμετρος γ > 10 4 m 1 W 1 σεεξαρτήματαμήκους 30μm,μεπαράλληληαύξησητουκατωφλίου εμφάνισης των FCE σε τιμές μεγαλύτερες του 1 W(ισχύς κορυφής). Οι βελτιστοποιημένοι αυτοί κυματοδηγοί χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση ενός πιο σύνθετου ολοκληρωμένου εξαρτήματος, του μη-γραμμικού κατευθυντικού ζεύκτη(nldc). Ο σχεδιασμός γίνεται με το εργαλείο NLSE, χρήσει των συζευγμένων υπερρυθμών του ζεύκτη, και παρουσιάζονται δύο εφαρμογές του NLDC, ως πλήρως-οπτικού 2 2 διακόπτη ή αρωγού λόγου εξάλειψης. Η καταστολή των FCE επιτρέπει την εισαγωγή υψηλών επιπέδων ισχύος σε αυτούς τους έντονα μη-γραμμικούς νανοφωτονικούς κυματοδηγούς, αποκαλύπτοντας μία ιδιαίτερη περιοχή λειτουργίας, όπου οι παράμετροι της NLSE εμφανίζουν πλέον εξάρτηση από την ι- σχύ του σήματος. Τέλος, εξετάζεται η εναλλακτική απευθείας τρισδιάστατη μοντελοποίηση των παραπάνω διατάξεων για CW σήματα, με χρήση της μη-γραμμικής μεθόδου διάδοσης δέσμης(nl-bpm), όπου διαπιστώνεται ικανοποιητική συμφωνία με την NLSE. Η συμβολή της διατριβής στο κεφάλαιο αυτό εστιάζεται στη συστηματική μελέτη όλων των φαινομένων που εμφανίζονται σε πολύρρυθμους μη-γραμμικούς νανοφωτονικούς πλασμονικούς κυματοδηγούς πυριτίου[143]. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον δόθηκε στην εξέταση της συγκριτικής βαρύτητα των μη-γραμμικών μηχανισμών, με έμφαση στην καταστολή των FCE που αναγνωρίζονται ως σημαντικός περιοριστικός παράγοντας στην αξιοποίηση φαινομένων τύπου Kerr σε πρακτικές εφαρμογές ολοκληρωμένων διατάξεων με βάση την τεχνολογία SOI. Για το σκοπό αυτό, συστάθηκε ένα σύνολο μετρικών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη βελτιστοποίηση ή τη συγκριτική αξιολόγηση τέτοιων διατάξεων κυματοδήγησης. Η δυνατότητα αυτή παρουσιάζει ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον καθώς η αναπτυσσόμενη τεχνολογία των HSP κυματοδηγών δεν φαίνεται να έχει ακόμα καταλήξει σε κάποιον συγκεκριμένο τύπο κυματοδηγού, ενώ οι εναλλακτικές προτάσεις είναι πολυπληθείς και ετερόκλητες όσον αφορά τα γεωμετρικά ή κατασκευαστικά γνωρίσματα τους. Για την αντιμετώπιση αυτών των μη-γραμμικών διατάξεων με συνεπή τρόπο, συγκροτήθηκε ένα θεωρητικό πλαίσιο βασισμένο σε συζευγμένες εξισώσεις NLSE που για πρώτη φορά συμπεριλαμβάνει όλο το εύρος των μη-γραμμικών φαινομένων καθώς και τη σύμπλεξη μεταξύ τους. Τα μη-γραμμικά εξαρτήματα που μελετήθηκαν και σχεδιάστηκαν ξεφεύγουν από την απλοϊκή περίπτωση του ευθύγραμμου μονόρρυθμου κυματοδηγού, αποδεικνύοντας την ευελιξία των μεθόδων και το αυξημένο εύρος εφαρμογής τους. Οι υπολογισμοί της διατριβής προβλέπουν πως οι HSP κυματοδηγοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μη-γραμμικές εφαρμογές τύπου Kerr σε πολύ υψηλά επίπεδα οπτικής ισχύος(μεγαλύτερα από 1 W, ακόμα και για τη δυσμενέστερη περίπτωση της CW ακτινοβολίας), χωρίς σημαντική υποβάθμιση λόγω των FCE, και σε εξαρτήματα ιδιαίτερα μικρού μήκους(μικρότερα των 50 μm). Πρέπει να τονιστεί ότι τα αντίστοιχα εξαρτήματα αμιγώς φωτονικής τεχνολογίας απαιτούν τυπικό μήκος κυματοδηγών αρκετών χιλιοστών ή ακόμα και εκατοστών του μέτρου. Επίσης, επιχειρείται η μελέτη φω- 13

28 Κεφάλαιο 1 τονικών εξαρτημάτων με ένα πλήρως διανυσματικό τρισδιάστατο εργαλείο προσομοίωσης, την NL-BPM. Η συγκεκριμένη μέθοδος χρησιμοποιείται πρώτη φορά για προσομοίωση τέτοιου είδους εξαρτημάτων και για το λόγο αυτό η διατριβή συμβάλει και στην επέκταση και αξιολόγηση της. Συνολικά, διαπιστώνεται πως τα υπολογιστικά εργαλεία που αναπτύχθηκαν, οι εξισώσεις NLSE και η NL-BPM, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο απαιτητικό αντικείμενο της μελέτης διατάξεων της ανερχόμενης HSP τεχνολογίας, εμφανίζουν ικανοποιητική συμφωνία μεταξύ τους, και αλληλοσυμπληρώνονται αξιοποιώντας τα συγκριτικά πλεονεκτήματα της καθεμίας σε σχέση με τις ανάγκες της εφαρμογής. 14

29 2 Κυματοδήγηση σε ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί μία σύντονη εισαγωγή στα βασικά στοιχεία της κυματοδήγησης [140] σε ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις[139]. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στην περιοχή του φάσματος των οπτικών τηλεπικοινωνιών, δηλαδή στην κοντινή υπέρυθρη(near infrared, NIR)μετυπικόμήκοςκύματοςαναφοράςτα 1550 nmπουβρίσκονταιστοκέντροτης C-band, δηλαδή της ζώνης κέρδους των ευρύτατα χρησιμοποιούμενων ενισχυτών ντοπαρισμένης ίνας ερβίου(erbium doped amplifiers, EDFA)[4]. Οσον αφορά στο φασματικό εύρος συχνοτήτων των διαδιδόμενων σημάτων, θεωρούμε ότι είναι τυπικά αρκετά μικρότερο από τη φέρουσα/κεντρική συχνότητα λειτουργίας. Αυτό εξασφαλίζει το ότι τα υλικά που χρησιμοποιούνται δεν θα εμφανίζουν σημαντική διασπορά των ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών, συνεπώς ούτε θα διαφοροποιείται αισθητά η λειτουργία των διατάξεων που συνθέτουν. Παρ όλα αυτά, σημειώνουμε πως η διασπορά των υλικών είναι κάτι που μπορεί γενικά να συμπεριληφθεί στον θεωρητικό σχεδιασμό και στην υπολογιστική προσομοίωση των υπό εξέταση διατάξεων με γνώση των σχετικών καμπυλών διασποράς. Τέλος, θεωρούμε πως το μέσο έχει πάντα τοπική απόκριση(local response) υπό την επίδραση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, ως προς τις χωρικές συντεταγμένες. Το πρώτο μέρος του κεφαλαίου αναφέρεται στους βασικούς μηχανισμούς κυματοδήγησης, ενώ το δεύτερο επιχειρεί μία συνοπτική ανασκόπηση των διαφόρων υλικών που τυπικά χρησιμοποιούνται στις ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις που θα μελετηθούν. Ε- παναλαμβάνουμε πως όπου δεν σημειώνεται διαφορετικά, θα θεωρούμε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία συνεχούς κύματος(continuous wave, CW) στο μήκος κύματος των 1550 nm. 2.1 Μηχανισμοί Οδήγησης Κυματοδηγός είναι μία διάταξη που μπορεί να συγκεντρώσει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα κατά την εγκάρσια στη διεύθυνση διάδοσης του διατομή. Χρησιμοποιώντας τον κυματοδηγό ως θεμελιώδη μονάδα, ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορεί να προσαχθεί στα επιμέρους στοιχεία ενός συνθετότερου κυκλώματος(διασύνδεση) ή να σχεδιαστούν εξαρτήματα που επιτελούν ανώτερου επιπέδου λειτουργίες(δρομολόγηση, φιλτράρισμα, πολυπλεξία κλπ). Απαραίτητη προϋπόθεση για τον σχηματισμό ενός κυματοδηγού είναι η παρουσία κάποιου είδους ανομοιογένειας στην εγκάρσια διατομή, η οποία τυπικά συντίθεται από διαφορετικά οπτικά υλικά. Πιο συγκεκριμένα, η ανομοιογένεια θα έγκειται στις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των υλικών της διατομής, και πρωτίστως στην τιμή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς(ε r ). Ταυλικάπουσυνήθωςχρησιμοποιούνταιστιςοπτικέςεπικοινωνίεςδεν εμφανίζουν μαγνητικές ιδιότητες, κάτι που σημαίνει πως η σχετική μαγνητική διαπερατότητα 15

30 Κεφάλαιο 2 (µ r )είναιομοιογενής. Οιοπτικέςεπικοινωνίεςκυριαρχούνταιαπόδιηλεκτρικάυλικά 1,τα οποία περιγράφονται ισοδύναμα από τον δείκτη διάθλασης(refractive index), που συνδέεται μετησχετικήδιηλεκτρικήσταθεράμέσωτηςσχέσης n 2 = ε r. Συνεπώς, ηκατανομή (ή προφίλ) του δείκτη διάθλασης στη διατομή αρκεί για την περιγραφή της δομής ενός κυματοδηγού. Οι διαφορετικοί«τρόποι» με τους οποίους ένα κύμα μπορεί να διαδοθεί μέσα σε έ- ναν κυματοδηγό, αποκαλούνται ιδιορρυθμοί ή, απλούστερα, ρυθμοί(eigenmodes or modes) [139, 140]. Βασιζόμενοι στην αρχή της επαλληλίας που διέπει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, αποδεικνύεται πως ένα αυθαίρετο κύμα που διαδίδεται στον κυματοδηγό μπορεί γενικά να γραφεί ως ανάπτυγμα των ιδιορρυθμών του. Για δεδομένη συχνότητα, ο κάθε ιδιορρυθμός χαρακτηρίζεται από την εγκάρσια κατανομή του διανυσματικού πεδίου και από τη μιγαδική σταθερά διάδοσης του ή, ισοδύναμα, από τον ενεργό δείκτη διάθλασης(effective index), n eff.οτελευταίοςεμπεριέχειτηνπληροφορίατηςφασικήςταχύτητας(β = Re{n eff }k 0,σε rad/m)καιτωναπωλειώνδιάδοσηςισχύος(α = 2Im{n eff }k 0,σε m 1 )τουκάθερυθμού. Το μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι οδηγούμενοι(guided) ρυθμοί, που είναι συγκεντρωμένοι σε κάποια περιοχή της διατομής την οποία αποκαλούμε πυρήνα οδήγησης. Το φάσμα των οδηγούμενων ρυθμών είναι διακριτό, κάτι που σημαίνει πως για δεδομένο κυματοδηγό και συχνότητα το πλήθος και τα χαρακτηριστικά τους είναι μονοσήμαντα ορισμένα. Αντιθέτως, οι ρυθμοί που δεν εμφανίζουν τα παραπάνω χαρακτηριστικά αποκαλούνται ακτινοβολούμενοι(radiation) ή υποστρώματος(substrate). Οι ρυθμοί αυτοί έχουν αφενός συνεχές φάσμα και αφετέρου δεν είναι συγκεντρωμένοι στον πυρήνα οδήγησης, ώστε η ενέργεια που μεταφέρεται από αυτούς να λογίζεται ως επιπλέον μηχανισμός απωλειών για τον κυματοδηγό. Τέλος, σημειώνουμε πως συνηθέστατα ενδιαφερόμαστε μόνο για τον βασικό ή θεμελιώδη(fundamental) ρυθμό ενός κυματοδηγού, προσπαθώντας παράλληλα να εξασφαλίσουμε μονόρρυθμη(single-mode) λειτουργία του, δηλαδή αποφυγή των ρυθμών ανώτερης τάξης(higher order). Με τον τρόπο αυτό απαλείφεται η διαρρυθμική διασπορά(intermodal dispersion) που στις οπτικές επικοινωνίες περιορίζει δραστικά το γινόμενο εύρους ζώνης επί απόσταση μετάδοσης Κυματοδηγός πλάκας και Μέθοδος ενεργού δείκτη Στα πλαίσια αυτού του κεφαλαίου, θεωρούμε πως η διάδοση του κύματος γίνεται κατά μήκους του z-άξονα, ενώ η εγκάρσια διατομή του κυματοδηγού εκτείνεται στο xy-επίπεδο. Μάλιστα, προκειμένου να παρουσιάσουμε με αφαιρετικό τρόπο τα βασικά μόνο στοιχεία των διαφόρων μηχανισμών οδήγησης, θα θεωρήσουμε την περίπτωση του επίπεδου κυματοδηγού πλάκας(planar/slab waveguide)[139, 193], όπου υπάρχει ομοιογένεια της διατομής κατά μήκος ενός εγκάρσιου άξονα, για παράδειγμα / x 0. Ο συγκεκριμένος τύπος κυματοδηγού υποστηρίζει, εξ ορισμού ιδιορρυθμούς με εγκάρσιο ηλεκτρικό ή μαγνητικό(transverse electric or magnetic, TE or TM) πεδίο, ενώ δεν υποστηρίζονται ούτε εγκάρσιοι ηλεκτρομαγνητικοί(τεμ) ούτε υβριδικοί(hybrid) ρυθμοί. Συνεπώς, η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση του κυματοδηγού πλάκας συνήθως γίνεται ξεχωριστά για τους ΤΕ και ΤΜ ρυθμούς. Εστω ο στοιχειώδης κυματοδηγός πλάκας τριών στρωμάτων, που απεικονίζεται στο Σχ.2.1. Οκυματοδηγόςαποτελείταιαπόέναστρώμαυψηλούδείκτη(n 1 )καιπάχους h, 1 Εξαίρεσηαποτελούνοιπλασμονικοίκυματοδηγοίπουθαμαςαπασχολούνιδιαίτεραστησυγκεκριμένη διατριβή, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από την παρουσία ηλεκτρικών αγωγών(μέταλλα) σε γειτνίαση με διηλεκτρικά. 16

31 2.1. Μηχανισμοί Οδήγησης n 2 n 1 n 3 Propagation z h y x F y x() cladding guiding layer substrate Σχήμα 2.1: Σχηματική απεικόνιση επίπεδου δισδιάστατου κυματοδηγού πλάκας, τριών στρωμάτων. Η διάδοση γίνεται κατά τον z-άξονα και η διάταξη εμφανίζει ομοιομορφία κατά τον x-άξονα. Η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση αυτού του κυματοδηγού γίνεται με χρήση της κυρίαρχης εγκάρσιας συνιστώσας του πεδίου, F x,πουταυτίζεταιμετοηλεκτρικό(f = E)ήτομαγνητικό(F = H)γιατουςΤΕήΤΜρυθμούς, αντίστοιχα. το στρώμα οδήγησης(guiding layer), και δύο στρώματα χαμηλότερου δείκτη και απείρου πάχους εκατέρωθεν του, που καλούνται υπόστρωμα(substrate) και περίβλημα(cladding) καιέχουνδείκτες n 3 και n 2,αντίστοιχα. ΟτανενδιαφερόμαστεγιατουςΤΕήΤΜρυθμούς, η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση γίνεται βάσει της μοναδικής μη-μηδενικής εγκάρσιας συνιστώσαςτουηλεκτρικούήτουμαγνητικούπεδίου,δηλαδήτην E x ή H x,αντίστοιχα. Παρακάμπτοντας, προς το παρόν, την πεδιακή ανάλυση, μπορεί να δειχθεί πως η συνολική «ικανότητα οδήγησης» ενός τέτοιου κυματοδηγού ποσοτικοποιείται από την κανονικοποιημένηπαράμετρο(ήσυχνότητα) V [193],ηοποίαδίνεταιαπότησχέση V = πh n 2 1 n 2 2 {ψ 1 λ 2 tan 1 n 2 2 n 2 3 n 2 1 n2 2 }, (2.1) όπου ψ = 1ήψ= (n 1 /n 3 ) 2,γιατουςΤΕήΤΜρυθμούς,αντίστοιχα.Ηπαραπάνωσχέση αναφέρεται σε συμβατικά διηλεκτρικά με αμιγώς πραγματικούς δείκτες διάθλασης που πληρούντησυνθήκη n 1 > n 2 > n 3.Επιπλέον,ότανοκυματοδηγόςπλάκαςείναισυμμετρικός, δηλαδή n 2 n 3,τότεοδεύτεροςόροςτηςΕξ.(2.1)μηδενίζεταιαπλοποιώνταςσημαντικά την έκφραση. Παρατηρούμε πως η παράμετρος V περιέχει όλες τις πληροφορίες του κυματοδηγού και αυξάνεται με την αύξηση της συχνότητας, της διαφοράς των δεικτών ή του πάχους του στρώματος υψηλού δείκτη(στρώμα οδήγησης ή πυρήνας). Μάλιστα, αποδεικνύεταιπωςκάθεφοράπουηπαράμετρος Vξεπερνάειμίααπότιςτιμές (m 1) π/2,όπου m N, τότε εμφανίζεται ένας ανώτερης τάξης ρυθμός συνεπώς, για να είναι ο κυματοδηγόςμονόρρυθμοςθαπρέπει V (0,π/2),γιατηνκάθεπόλωση(ΤΕήΤΜ)ξεχωριστά.Ο συνδυασμός των τιμών των παραμέτρων του κυματοδηγού για τις οποίες εμφανίζεται ένας ανώτερης τάξης ρυθμός, αποτελεί το κατώφλι εμφάνισης(cut-off threshold), και συνήθως μπορεί να συμπυκνωθεί σε αντίστοιχη τιμή κατωφλίου της παραμέτρου V. Τέλος, σημειώνουμε πως κάποιες κατηγορίες δισδιάστατων κυματοδηγών(όπως η κλασική περίπτωση της οπτικής ίνας κυκλικού πυρήνα με βηματικό προφίλ δείκτη) μπορεί υπό παραδοχές να εκφυλιστεί με κατάλληλους μετασχηματισμούς σε παρόμοιο πρόβλημα με τον κυματοδηγό πλάκας, ώστε να της αποδοθεί μία αντίστοιχη παράμετρος V, ανάλογη της Εξ.(2.1). Η σημαντικότερη παράμετρος ενός οδηγούμενου ρυθμού διάδοσης είναι ο ενεργός δείκτης διάθλασης. Σε ένα περιορισμένο πλήθος«κανονικών» προβλημάτων, όπως αυτό του 17

32 Κεφάλαιο 2 κυματοδηγού πλάκας ή της κυλινδρικής οπτικής ίνας, οι ενεργοί δείκτες μπορούν να υπολογιστούν από τις διακριτές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης(characteristic equation) του κυματοδηγού[193]. Η τελευταία είναι συνήθως μία υπερβατική εξίσωση που περιέχει όλες τις πληροφορίες του κυματοδηγού(δείκτες διάθλασης και πάχη στρωμάτων, μήκος κύματος ακτινοβολίας) και προκύπτει από την ηλεκτρομαγνητική ανάλυση του κυματοδηγού. Για να διαμορφώσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση, εκκινούμε από την κυματική εξίσωση Helmholtz, προσδιορίζουμε την εγκάρσια χωρική μεταβολή των ιδιορρυθμών σε κάθε περιοχή(ομογενές στρώμα υλικού) και εφαρμόζουμε τις οριακές συνθήκες στις διαχωριστικές επιφάνειες μεταξύ διαφορετικών υλικών. Οπως αναφέρθηκε, η μελέτη του προβλήματος γίνεταιμεθεώρησητηςκυρίαρχηςεγκάρσιαςσυνιστώσαςτουπεδίου,δηλαδήτης E x (y)ή της H x (y),γιατουςτεκαιτμρυθμούς,αντίστοιχα.οιαποδεκτέςεγκάρσιεςκατανομές για την κυρίαρχη συνιστώσα του πεδίου πρέπει αφενός να ικανοποιούν τη βαθμωτή εξίσωση Helmholtz σε κάθε i-στρώμα, 2 F x y 2 = k 2 0 (n2 eff n2 i )F x, (2.2) καιαφετέρουναέχουνορθήφυσικήσημασία,ανάλογαμετοντύποτωνρυθμώνπουαναζητούμε. Συνεπώς, η μορφή της κατανομής του πεδίου εντός κάθε i-στρώματος του επιπέδου κυματοδηγού εξαρτάται από τη σχετική του θέση και τη φυσική συμπεριφορά που αναμένουμε. Εστιάζοντας στους οδηγούμενους ρυθμούς, οι μόνες αποδεκτές μορφές για τα εξωτερικά στρώματα(απείρου πάχους υπόστρωμα/περίβλημα), είναι η εκθετική α- πόσβεση F x (y) = A i exp{±δ i y + φ i }. Ηάγνωστηποσότητα δ i k 0 n 2 eff n 2 i πρέπει να είναι πραγματική και το πρόσημο επιλέγεται ώστε να εξασφαλίζεται ο μηδενισμός του πεδίου στο y =. Αντιθέτως, για τα ενδιάμεσα στρώματα πεπερασμένου πάχους(περιοχήοδήγησης),οιλύσειςείναιημιτονοειδούς F x (y) = A i sin{κ i y + φ i }ήυπερβολικής F x (y) = A i sinh{σ i y + φ i }μορφής,ανάλογαμετησυμπεριφορά 2 πουαναμένεταιστο i- στρώμα,όπουοισταθερές κ i k 0 n 2 i n 2 eff και σ i k 0 n 2 eff n 2 i είναιπραγματική. Στιςπαραπάνωπεριπτώσεις, A i είναιοισυντελεστέςαναλογίαςπλάτουςτουπεδίου,και οιβοηθητικέςσταθερές φ i τοποθετούνταιγιαπληρότητατηςλύσης.οιπαράμετροιαυτές προσδιορίζονται τελικά από την επιβολή των οριακών συνθηκών συνέχειας των εφαπτομενικών συνιστωσών του πεδίου(ηλεκτρικού και μαγνητικού) στις διεπιφάνειες δύο διαδοχικών στρωμάτων.τελικά,μεαπαλοιφήτωνβοηθητικώνσταθερών φ i καιτωνπλατώναναλογίας A i,τοπρόβλημαανάγεταισεμίαυπερβατική(ήκαιαπλούστερη)εξίσωσητηςοποίας οι ρίζες αντιστοιχίζονται στους ενεργούς δείκτες των οδηγούμενων ρυθμών του επίπεδου κυματοδηγού. Για τυπικούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς τριών στρωμάτων, οι ενεργοί δείκτεςθαβρίσκονταιστοδιάστηματιμών n eff (max{n 2,n 3 },n 1 ),καιθαπροκύπτουναπό θεώρηση ημιτονοειδούς μεταβολής στο στρώμα οδήγησης. Τέλος, σημειώνουμε πως το παραπάνω πλαίσιο ισχύει και στην περίπτωση όπου τα υλικά εμφανίζουν δείκτες διάθλασης n i μεμικρόφανταστικόμέρος,πουαντιστοιχίζεταισεωμικέςαπώλειες. Στηνπερίπτωση αυτή,ταμεγέθη δ i, κ i και n eff θαείναιγενικάμιγαδικά,μεκυρίαρχοόμωςπραγματικό μέρος. 2 Ηημιτονοειδήςμορφήχρησιμοποιείταιγιασυμβατικούςδιηλεκτρικούςκυματοδηγούς,όπουτοπεδίο συγκεντρώνεται στο υλικό μεγαλύτερου δείκτη διάθλασης και οι ενεργοί δείκτες(πραγματικό μέρος) των αντίστοιχων ρυθμών είναι πάντα μικρότεροι του δείκτη διάθλασης του υλικού του«πυρήνα». Η μορφή υπερβολικού ημιτόνου ή συνημιτόνου χρησιμοποιείται στους πλασμονικούς κυματοδηγούς που θα συζητηθούν στη συνέχεια. Στην περίπτωση αυτή, ο ενεργός δείκτης(πραγματικό μέρος) των πλασμονικών ρυθμών είναι πάντα μεγαλύτερος του δείκτη του διηλεκτρικού υλικού. 18

33 2.1. Μηχανισμοί Οδήγησης (a) n 3 n 2 w n 1 t a t b t c y x (b) ( a) n eff t a w ( b) n eff t b ( c) n eff t c Σχήμα 2.2: (a) Ολοκληρωμένος επίπεδος κυματοδηγός ράβδωσης(rib) δισδιάστατης διατομής. (b) Αποδόμηση του δισδιάστατου προβλήματος με χρήση της μεθόδου ενεργού δείκτη(ειμ). Ο δισδιάστατος κυματοδηγός διαμερίζεται αρχικά κατά την x-διάσταση σε τρεις κυματοδηγούς πλάκας, όπου η περιοχή οδήγησηςτουκαθενόςέχει y-πάχος t i,όπου i = {a,b,c}. Οιδείκτεςδιάθλασηςτωντριώνστρωμάτων κάθεκυματοδηγούείναι n j,όπου j = {1,2,3}. Στηνπρώτησάρωση,υπολογίζονταιοιενεργοίδείκτες n (i) eff,οιοποίοιτελικάαποτελούντουςδείκτεςτων«ενεργών»στρωμάτωντουκυματοδηγούπλάκαςτης δεύτερης σάρωσης, με x-πάχος περιοχής οδήγησης ίσο με w. Η μεθοδολογία του κυματοδηγού πλάκας μπορεί να χρησιμοποιηθεί προσεγγιστικά και για προβλήματα τρισδιάστατων κυματοδηγών, όπου η διατομή παρουσιάζει ανομοιογένεια και προς τις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις, και αποκαλείται μέθοδος του ενεργού δείκτη(effective index method, EIM)[194]. Το εργαλείο αυτό παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια για οπτικούς κυματοδηγούς σχετικά μεγάλων διαστάσεων με καλά ορισμένες περιοχές σταθερού δείκτη διάθλασης. Στο Σχ. 2.2 απεικονίζονται σχηματικά τα τέσσερα βήματα επίλυσης ενός δισδιάστατου κυματοδηγού ράβδωσης(rib) με χρήση της ΕΙΜ. Η μέθοδος συνίσταται στην διαμέριση της δισδιάστατης διατομής σε επιμέρους κυματοδηγούς πλάκας, κατά μία από τις δύο εγκάρσιες διαστάσεις, και στην επίλυση τους όπως έχει περιγραφεί προηγουμένως σε δύο«σαρώσεις». Στην πρώτη σάρωση, υπολογίζονται οι ενεργοί δείκτες των επιμέρους κυματοδηγών πλάκας, οι οποίοι αποτελούν τους δείκτες διάθλασης των«ενεργών» στρωμάτων κατά τη δεύτερη σάρωση. Ιδιαίτερη σημασία στην εφαρμογή της ΕΙΜ έχει η θεώρηση της κατάλληλης πόλωσης των ρυθμών του κυματοδηγού πλάκας(τε και ΤΜ) στις δύο σαρώσεις, σε σχέση πάντα με την πόλωση του ρυθμού του δισδιάστατου κυματοδηγού(x- ή y-πόλωση) που προσομοιώνεται. Για παράδειγμα, εάν ενδιαφερόμαστε για τους x-πολωμένους ρυθμούς του δισδιάστατου κυματοδηγού, τότε στις πρώτες σαρώσεις θα αναζητήσουμε τους ΤΕ ρυθμούς του κυματοδηγού πλάκας, ενώ στη δεύτερη σάρωση τους ΤΜ. Σε συνθετότερα προβλήματα κυματοδηγών όπου δεν πληρούνται οι συνθήκες εφαρμοσιμότητας της ΕΙΜ ή δεν υπάρχει«κανονικότητα» στη γεωμετρία της διατομής ούτε κάποιο άλλο χαρακτηριστικό που να δίνει τη δυνατότητα μετασχηματισμού σε απλούστερο πρόβλημα, τότε σχεδόν αποκλειστικά απαιτείται η χρήση αμιγώς υπολογιστικών εργαλείων για τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών των ιδιορρυθμών, όπως για παράδειγμα η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων(finite element method, FEM)[160, 161] Ολική εσωτερική ανάκλαση και Οδήγηση από αντίθεση δεικτών Ο μηχανισμός της ολικής εσωτερικής ανάκλασης(total internal reflection, TIR) είναι ο απλούστερος και πρώτος, ιστορικά, χρησιμοποιούμενος μηχανισμός οδήγησης σε διηλεκτρι- 19

34 Κεφάλαιο 2 κούςοπτικούςκυματοδηγούς[139].ηορολογίαπροέρχεταιαπότηγεωμετρικήοπτική 3 που προβλέπει ότι όταν μία ακτίνα προσπίπτει σε μία διεπιφάνεια υλικών, από την πλευρά του υλικού υψηλού δείκτη διάθλασης, και η γωνία πρόσπτωσης της είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμηγωνία θ cr = sin 1 {n low /n high }(νόμοςτου Snell),τότεθαυποστεί TIR.Επεκτείνοντας αυτόν τον ορισμό, μπορούμε να πούμε πως οι ρυθμοί που υπόκεινται στον μηχανισμό οδήγησης TIR, τείνουν να συγκεντρωθούν στις περιοχές της διατομής όπου ο δείκτης διάθλασης είναι υψηλός. Συνεχίζοντας ακόμα παρακάτω, μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε την «ικανότητα οδήγησης» μίας TIR διάταξης κυματοδήγησης αντιστοιχίζοντας την με τη συγκέντρωση του κύματος. Συνεπώς, με χρήση των ποιοτικών συμπερασμάτων που εξάγονται από την παράμετρο V της Εξ.(2.1), διαπιστώνουμε πως η συγκέντρωση γίνεται ισχυρότερη όσο η διαφορά(contrast) των δεικτών διάθλασης αυξάνει ή όσο οι διαστάσεις της διατομής αυξάνονται σε σχέση με το μήκος κύματος. Ενα εξίσου σημαντικό χαρακτηριστικό των κυματοδηγών, γενικότερα, είναι η απαίτηση για μονόρρυθμη λειτουργία σε κάθε πόλωση ξεχωριστά. Οπως συζητήθηκε προηγουμένως, για τους TIR κυματοδηγούς, μεγάλες τιμές της παραμέτρου V οδηγούν αφενός σε ισχυρότερη συγκέντρωση των χαμηλής τάξης(βασικών) ρυθμών, αφετέρου όμως ξεπερνούν το κατώφλι εμφάνισης των ρυθμών ανώτερης τάξης. Συνοψίζοντας, ανάλογα με την εφαρμογή, μπορεί να προκύπτει περιορισμός μεγίστου ή ελαχίστου σε κάποιες από τις παραπάνω παραμέτρους μιας TIR διάταξης κυματοδήγησης (διαφορά δεικτών, διαστάσεις διατομής ή συγκέντρωση), ενώ τυπικά η απαίτηση για μονόρρυθμη λειτουργία είναι δεδομένη. Στη συνέχεια θα σχολιάσουμε δύο χαρακτηριστικούς τύπους TIR οπτικών κυματοδηγών που χρησιμοποιούνται σε εκ διαμέτρου αντίθετες εφαρμογές, αλλά μπορούν να μελετηθούν με χρήση των ίδιων ποιοτικών σχέσεων. Αρχικά, στις οπτικές ίνες τηλεπικοινωνιακών εφαρμογών απαιτούνται σχετικά μεγάλες διαστάσεις πυρήνα κάτι που βελτιώνει την ομοιομορφία κατασκευής τους. Ομως, προκειμένου να αποφευχθεί η πολύρρυθμη λειτουργία, πρέπει να αντισταθμιστεί η αυξημένη ακτίνα του πυρήνα στην παράμετρο V, και μοναδική λύση είναι η μείωση της διαφοράς των δεικτών πυρήνα-περιβλήματος. Μάλιστα, οι συνηθισμένες μονόρρυθμες ίνες(single-mode fiber, SMF) κατασκευάζονται με σχετικήδιαφοράδεικτών = 0.5(n 2 1 n2 2 )/n2 1 < 0.01,πουαντιστοιχείτυπικάσε V < 2. Αυτή η περιοχή λειτουργίας ονομάζεται ασθενής κυματοδήγηση(weakly guiding regime) και ο βασικός οδηγούμενος ρυθμός είναι ασθενώς συγκεντρωμένος στον πυρήνα, δηλαδή εκτείνεται σε αξιόλογο βαθμό μέσα στο περίβλημα. Αντιθέτως, στις εφαρμογές των μηγραμμικών κυματοδηγών απαιτείται κατά το δυνατό ισχυρή συγκέντρωση του φωτός εντός του μη-γραμμικού πυρήνα οδήγησης, προκειμένου να αξιοποιηθεί στο έπακρο το φαινόμενο. Η ισχυρή συγκέντρωση εξασφαλίζεται από βέλτιστο συνδυασμό μικρών διαστάσεων πυρήνα και μεγάλης διαφοράς δεικτών διάθλασης. Μάλιστα, σε κάποιες τεχνολογικές πλατφόρμες, όπως για παράδειγμα στην ευρέως διαδεδομένη από την περιοχή της μικρο-ηλεκτρονικής πλατφόρμα πυριτίου-σε-μονωτή(silicon-on-insulator, SOI), υπάρχει μία de facto πολύ υψηλήδιαφοράδεικτών, = 0.4. Ηδιαφοράαυτή,επιτάσσειτηχρήσηπυρήναπολύμικρών διαστάσεων προκειμένου να αποφευχθεί η πολύρρυθμη λειτουργία. Μία ακόμα περίπτωση, στην οποία είναι γενικά επιθυμητές οι μικρές διαστάσεις πυρήνα, είναι αυτή των νανοφωτονικών κυματοδηγών που αποσκοπούν στην μικρότερη-του-μήκους-κύματος(subwavelength) συγκέντρωση με απώτερο στόχο την αύξηση της πυκνότητας ολοκλήρωσης των φωτονικών κυκλωμάτων. 3 Ηγεωμετρικήοπτική,ήακτινικήθεωρία,εφαρμόζεταιικανοποιητικάστηνπερίπτωσηπουοιφυσικές διαστάσεις της διάταξης που μελετάται είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. 20

35 2.1. Μηχανισμοί Οδήγησης Αντιλαμβάνεται κανείς πως σμίκρυνση των διαστάσεων πέρα από κάποιο κατώφλι θα αντιστοιχίζεται σε πολύ μικρές τιμές της παραμέτρου V, κάτι που συνεπάγεται πως ο TIR κυματοδηγός δεν θα δύναται να συγκεντρώσει το οδηγούμενο κύμα στον πυρήνα του. Το ελάχιστο αυτό κατώφλι των γεωμετρικών διαστάσεων του πυρήνα οδήγησης, κάτω από το οποίο ο κυματοδηγός χάνει την ικανότητα συγκέντρωσης, καλείται όριο περίθλασης (diffraction limit)[77] και αποτελεί θεμελιώδη περιορισμό στους διηλεκτρικούς TIR κυματοδηγούς. Χρησιμοποιώντας τον συμμετρικό κυματοδηγό πλάκας τριών στρωμάτων, ή την ΕΙΜ για απλής μορφής δισδιάστατους κυματοδηγούς, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το όριοπερίθλασηςστηντιμή V 1. Γιαπαράδειγμα,στηνπλατφόρμα SOIηεπιλογήαυτή προδιαγράφειπωςτοόριοπερίθλασηςθαείναιστηνπεριοχή h > λ/10,όπου hηελάχιστη τωνεγκαρσίωνδιαστάσεωντουπυρήνα.στομήκοςκύματος λ = 1550 nm,τοόριοδιαστάσεων αντιστοιχεί σε h > nm. Τονίζεται ότι η συσχέτιση του ορίου περίθλασης με κάποια τιμή της παραμέτρου V είναι μία επιλογή που σχετίζεται με το ποσοστό της ισχύος του ρυθμός που εντοπίζεται μέσα στο στρώμα οδήγησης. Ανάλογα με τις ανάγκες της εκάστοτεεφαρμογέςτοόριοπερίθλασηςμπορείνατεθείσετιμέςδύοήκαιτρειςφορές μεγαλύτερες της μονάδος Επιφανειακά κύματα και Πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε τη δυνατότητα οδήγησης από έναν στοιχειώδη κυματοδηγό που αποτελείται από μία διεπιφάνεια δύο μόνο υλικών με σχετικές διηλεκτρικές σταθερές ε d και ε m. Καθώς στη διάταξη αυτή δεν μπορεί να οριστεί κάποιος πυρήνας οδήγησης, αντιλαμβανόμαστε διαισθητικά πως η μόνη δυνατότητα«συγκέντρωσης» του κύματος θα είναι επάνω ακριβώς στη διεπιφάνεια. Ανακαλώντας τη μεθοδολογία ανάλυσης του κυματοδηγού πλάκας της Παραγράφου 2.1.1, εξετάζουμε τη δυνατότητα ύπαρξης οδηγούμενων ΤΕ ή ΤΜ κυμάτων που να ικανοποιούν τη βαθμωτή εξίσωση Helmholtz και να παρουσιάζουν φυσικά ορθή κατανομή, δηλαδή εκθετική απόσβεση και στους δύο ημιχώρους. Ξεκινώντας από τους ΤΕ ρυθμούς και εφαρμόζοντας τις συνθήκες συνέχειας στη μοναδική διαχωριστική επιφάνειατωνδύουλικών,ηχαρακτηριστικήεξίσωσηοδηγείσεάτοπο( 1 = +1)ήστην τετριμμένηλύση ε d ε m,κάτιπουυποδεικνύειπωςηαπλήδιεπιφάνειαδενυποστηρίζει ΤΕρυθμούς[17,18]. ΠροχωρώνταςστηνεξέτασητωνΤΜρυθμώνμεταίδιαβήματα, καταλήγουμε πως η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μοναδική ρίζα εm ε d n eff =. (2.3) ε m +ε d Υπενθυμίζονταςπωςαπαιτείται Re{n 2 eff ε i} > 0,όπου i = {m,d},γιατηφυσικήορθότητα της λύσης(εκθετική απόσβεση), διαπιστώνουμε πως η περίπτωση της διεπιφάνειας δύο συμβατικώνδιηλεκτρικώνυλικώνμε Re{ε i } > 1αδυνατείναυποστηρίξειοδηγούμεναηλεκτρομαγνητικά κύματα ΤΜ πόλωσης. Ομως, εάν το ένα διηλεκτρικό αντικατασταθεί από κάποιουλικότουοποίουησχετικήδιηλεκτρικήσταθερά(ε m )πληροίτησυνθήκη[17,18] Re{ε m } < Re{ε d }, (2.4) όπου ε d ησχετικήδιηλεκτρικήσταθεράενόςσυμβατικούδιηλεκτρικού(re{ε d } > 1),τότε ικανοποιούνταικαιοιδύοαπαιτούμενεςσυνθήκες(re{n eff } > 1και Re{n 2 eff ε i} > 0)για 21

36 Κεφάλαιο 2 d m z y x H x E z E y dielectric metal Propagation Σχήμα 2.3: Σχηματική αναπαράσταση των διαδιδόμενων κυμάτων ΤΜ πόλωσης σε διεπιφάνεια διηλεκτρικούμεμέταλλο.ηαπαραίτητησυνθήκηγιατηνυποστήριξητωνκυμάτωναυτώνείναι Re{ε m } < ε d. Απεικονίζονται επίσης τα ηλεκτρικά δίπολα που εμφανίζονται στην επιφάνεια του μετάλλου και που προκύπτουναπότησύμφωνηταλάντωσητωνελευθέρωνηλεκτρονίωνσεσχέσημετηδιαμήκησυνιστώσα(e z ) του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος. την υποστήριξη οδηγούμενων ΤΜ κυμάτων. Στην περίπτωση αυτή, η κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι πολωμένη κάθετα στη διεπιφάνεια, ενώ εμφανίζεται και μη-μηδενική αξονική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου. Οι εν λόγω ρυθμοί διαδίδονται κατά μήκος της διεπιφάνειας, είναι συγκεντρωμένοι επάνω σε αυτήν(κυρίως προς την πλευρά του συμβατικού διηλεκτρικού) και αποσβένουν εκθετικά όσο απομακρυνόμαστε από αυτήν. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης των συγκεκριμένων ρυθμών δίνεται από την Εξ.(2.3), και στηνπερίπτωσηπου Im{ε i } < 0,τότετοεπιφανειακόΤΜκύμαθαυφίσταταικαιαπώλειες διάδοσηςπουθασχετίζονταιμετοφανταστικόμέροςαρνητικούπροσήμουτου n eff. ΗσυνθήκητηςΕξ.(2.4)ορίζειπωςτοπραγματικόμέροςτης ε m θαπρέπειναείναι αφενός αρνητικό και αφετέρου να έχει απόλυτο τιμή μεγαλύτερη από το πραγματικό μέρος της ε d. Εχειδιαπιστωθεί[70,72,74,75,195,196]πωςαυτήηπαραπάνωσυμπεριφορά εμφανίζεται στην NIR περιοχή του φάσματος από ορισμένους ηλεκτρικούς αγωγούς(μέταλλα), κάτι που θα συζητηθεί πιο λεπτομερώς στην Παράγραφο Στην περίπτωση των μετάλλων, η εμφάνιση τέτοιων τιμών σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς είναι επακόλουθο της σύμφωνης με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, συλλογικής ταλάντωσης του ελεύθερου φορτίου(νέφος ηλεκτρονίων) που υπάρχει στην επιφάνεια ενός αγωγού. Το φαινόμενο αποκαλείται επιφανειακός πλασμονικός συντονισμός(surface plasmon resonance) και το αντίστοιχο οιονεί σωματίδιο(quasi-particle), ή κβάντο, αποκαλείται πολαριτόνιο επιφανειακού πλασμονίου(surface plasmon-polariton, SPP). Επιπλέον, όπως απεικονίζεται στο Σχ. 2.3, η συμφωνία μεταξύ της διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος και της ταλάντωσης των ελευθέρων φορέων απαιτεί την παρουσία μη-μηδενικής διαμήκους συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου, ώστε να επάγονται τα στοιχειώδη ηλεκτρικά δίπολα(πολαριτόνια, polaritons) κατά μήκος της διάδοσης του κύματος. Η παρατήρηση αυτή συμπληρώνει την εξήγηση του γιατί η διεπιφάνεια μετάλλου/διηλεκτρικού μπορεί να υποστηρίξει οδηγούμενα επιφανειακά κύματαμόνοτμκαιόχιτεπόλωσης. Τέλος,πρέπεινατονιστείότιταμεταλλικάυλικά που εμφανίζουν αυτήν την αρνητική τιμή στο πραγματικό μέρος της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς(re{ε r } < 1),εμφανίζουνκαιιδιαίτεραυψηλέςωμικέςαπώλειεςαγωγιμότητας, πουεκφράζονταιμεαρνητικόφανταστικόμέρος(im{ε r } < 0).Συνεπώς,όσοπερισσότερο το πεδίο ενός SPP κύματος διεισδύει στο εσωτερικό του μετάλλου, τόσο θα αυξάνονται οι απώλειες διάδοσης. Οι κυματοδηγοί που υποστηρίζουν τέτοιας μορφής επιφανειακά κύματα ονομάζονται 22

37 2.1. Μηχανισμοί Οδήγησης SPP κυματοδηγοί. Για τις τυπικές τιμές σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς των μετάλλων, Re{ε r } 1,τοπεδίοτωνπλασμονικώνρυθμώνεκτείνεταικυρίωςστηνπεριοχήτου συμβατικού διηλεκτρικού, και πολύ λιγότερο εντός του μετάλλου. Τέλος, επεκτείνοντας τη δομή της μονοδιάστατης διεπιφάνειας μετάλλου/διηλεκτρικού σε δύο εγκάρσιες διαστάσεις και συμπεριλαμβάνοντας και άλλα στρώματα διηλεκτρικών ή μετάλλων, μπορούμε να υλοποιήσουμε διάφορες κατηγορίες SPP κυματοδηγών με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε τις πιο αντιπροσωπευτικές κατηγορίες Πλασμονικοί κυματοδηγοί ταινίας Τοποθετώντας ένα λεπτό μεταλλικό στρώμα(φιλμ) ανάμεσα σε δύο διηλεκτρικά ίδιου ή διαφορετικού δείκτη, δημιουργείται η δομή διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού(dielectricmetal-dielectric, DMD)[18], που αντιστοιχεί στην κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή της σχηματικής απεικόνισης του Σχ. 2.4(a). Η συγκεκριμένη διάταξη υποστηρίζει δύο πλασμονικούς ρυθμούς, προσαρτημένους στις ισάριθμες διεπιφάνειες. Μάλιστα, οι δύο SPP ρυθμοί σχηματίζουν ένα ζεύγος συμμετρικού και αντισυμμετρικού επιφανειακού SPP υπερρυθμού(supermode) ΤΜ πόλωσης. Η κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα του πεδίου αυτών των υπερρυθμών εμφανίζει άρτια ή περιττή συμμετρία, αντίστοιχα, ως προς κάποιο σημείο 4 τουμετάλλουανάμεσαστιςδύοδιεπιφάνειες,ενώεκτείνεταικυρίωςπροςτηνπλευρά των διηλεκτρικών. Οταν το πάχος του μετάλλου είναι μεγάλο, τότε οι δύο διεπιφάνειες είναι πρακτικά ασύζευκτες, και συνεπώς οι αντίστοιχοι SPP ρυθμοί είναι εκφυλισμένοι (degenerated). Οσο ελαττώνεται το πάχος του μετάλλου ο συμμετρικός ρυθμός εκτείνεται όλο και περισσότερο εντός των διηλεκτρικών, συνεπώς χάνει τη συγκέντρωση του αλλά οι απώλειες του ελαττώνονται. Στη συνέχεια, αν η δομή προεκβληθεί σε δύο εγκάρσιες διαστάσεις με παράλληλο περιορισμό του λεπτού στρώματος(φιλμ) μετάλλου κατά την οριζόντια διάσταση, Σχ. 2.4(a), τότε σχηματίζεται ο πλασμονικός κυματοδηγός ταινίας(stripe SSP)[67]. Αντίστοιχα με τη μονοδιάστατη εκδοχή του, ο κυματοδηγός αυτός υποστηρίζει ένα ζεύγος συμμετρικών και αντισυμμετρικών υπερρυθμών, με πόλωση κάθετη στο μεταλλικό στρώμα που εκτείνονται κυρίως εντός των διηλεκτρικών, εμφανίζοντας δηλαδή πολύ χαμηλή συγκέντρωση. Επίσης, λόγω της μικρής διείσδυσης του πεδίου στο μέταλλο, οι απώλειες διάδοσης του ρυθμού αυτού είναι γενικά περιορισμένες. Λόγω του τελευταίου, οι παραπάνω ρυθμοί αποκαλούνται και μακριάς εμβέλειας(long range, LR)[197], καθώς μπορούν να διαδοθούν με απώλειες μόνο μερικών decibel (db) σε αποστάσεις αρκετών χιλιοστών του μέτρου Πλασμονικοί κυματοδηγοί διακένου Περικλείοντας μία λεπτή περιοχή διηλεκτρικού ανάμεσα σε δύο περιοχές μετάλλου δημιουργείται η δομή μετάλλου-διηλεκτρικού-μετάλλου(metal-dielectric-metal, MDM)[18], που ορίζεται από την οριζόντια διακεκομμένη γραμμή του Σχ. 2.4(b). Στην περίπτωση αυτή ο οδηγούμενος ρυθμός παρουσιάζει πολύ ισχυρή συγκέντρωση εντός του διηλεκτρικού, όπως και αυξημένες απώλειες λόγω της σημαντικής διείσδυσης του πεδίου εντός του μετάλλου. Οπως και στην περίπτωση της DMD δομής, έτσι και εδώ υποστηρίζεται, γενικά, ένα ζεύγος συμμετρικού και αντισυμμετρικού υπερρυθμού για πάχη διηλεκτρικού στρώματος της τάξης μεγέθους του μήκους κύματος ο αντισυμμετρικός ρυθμός την διάταξης εισέρχεται στην 4 Γιαόμοιαδιηλεκτρικάεκατέρωθεντουμετάλλου,πρόκειταιγιατομέσοτηςδιάταξης. 23

38 Κεφάλαιο 2 (a) DMD (b) MDM (c) DLSPP Stripe Channel Σχήμα 2.4: Διατομές χαρακτηριστικών δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών και μονοδιάστατες δομές(διακεκομμένες γραμμές) από τις οποίες παράγονται με προεκβολή. Με κίτρινο χρώμα απεικονίζονται οι περιοχές μετάλλου, με γκρι και λευκό οι περιοχές διηλεκτρικών, ενώ η διαβαθμισμένη περιοχή κόκκινου αντιστοιχεί σε ενδεικτική εγκάρσια κατανομή του πεδίου του βασικού ρυθμού του κάθε κυματοδηγού. (a) Δομή διηλεκτρικού-μετάλλου-διηλεκτρικού DMD που επεκτείνεται στον κυματοδηγό ταινίας. (b) Δομή μετάλλου-διηλεκτρικού-μετάλλου MDM που επεκτείνεται στον κυματοδηγό καναλιού (c) Μονοδιάστατη και δισδιάστατη δομή πλασμονικού κυματοδηγού διηλεκτρικής φόρτισης DLSPP. αποκοπή. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό αυτού του κυματοδηγού είναι πως το πάχος του διηλεκτρικού στρώματος μπορεί να μειωθεί πολύ κάτω του κλασικού ορίου περίθλασης που συζητήθηκε στην Παράγραφο 2.1.2, διατηρώντας μόνο τον συμμετρικό πλασμονικό υπερρυθμό. Το τίμημα της ισχυρής συγκέντρωσης είναι, πάντα, οι αυξημένες απώλειες διάδοσης, αφού το ποσοστό της οδηγούμενης ισχύος εντός του μετάλλου αυξάνεται με τη σμίκρυνση του διακένου. Υπό την έννοια αυτή, ο κυματοδηγός αυτός αποτελεί τον αντιδιαμετρικά αντίθετο του DMD. Στη συνέχεια, εάν η δομή προεκβληθεί σε δύο εγκάρσιες διαστάσεις, για παράδειγμα κατά την κατακόρυφη διάσταση στο Σχ. 2.4(b), με παράλληλο περιορισμό του πάχους των μεταλλικών στρωμάτων, τότε δημιουργείται ο πλασμονικός κυματοδηγός καναλιού(channel SPP)[90], με αντίστοιχα γνωρίσματα. Τα διηλεκτρικά στις δύο πλευρές του μεταλλικού στρώματος και εντός του καναλιού μπορεί να είναι κατά περίπτωση διαφορετικά, χωρίς να διαταράσσεται σημαντικά η μορφή των ρυθμών Πλασμονικοί κυματοδηγοί διηλεκτρικής φόρτισης Παρεμβάλλοντας ένα στρώμα διηλεκτρικού υψηλού δείκτη ανάμεσα σε μία περιοχή μετάλλου και μία περιοχή διηλεκτρικού χαμηλού δείκτη, δημιουργείται η μονοδιάστατη δομή του πλασμονικού κυματοδηγού διηλεκτρικής φόρτισης(dielectric loaded SPP, DLSPP)[18], που ορίζεται από την κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή του Σχ. 2.4(c). Στην περίπτωση αυτή, ο οδηγούμενος ΤΜ ρυθμός μοιάζει με αυτόν της μονής διεπιφάνειας μετάλλου/διηλεκτρικού, αλλά εμφανίζει αυξημένη συγκέντρωση εντός του ενδιάμεσου διηλεκτρικού υψηλού δείκτη. Με τον τρόπο αυτό, περιορίζεται η έκταση του ρυθμού συγκριτικά με το απείρου πάχους διηλεκτρικό χαμηλού δείκτη, αυξάνοντας έτσι τη συγκέντρωση του. Στη συνέχεια, εάν η δομή προεκβληθεί σε δύο εγκάρσιες διαστάσεις, για παράδειγμα κατά τη οριζόντια διάσταση στο Σχ. 2.4(c), με παράλληλο περιορισμό του οριζόντιου εύρους της διηλεκτρικής φόρτισης, τότε σχηματίζεται ο δισδιάστατος DLSPP κυματοδηγός [95]. Στη δομή αυτή, ο οδηγούμενος ρυθμός είναι συγκεντρωμένους κυρίως επάνω στη διεπιφάνεια μετάλλου/φόρτισης, αλλά περιορίζεται τόσο η οριζόντια όσο και η κατακόρυφη έκταση του λόγω της φόρτισης. Σημειώνουμε πως η παρουσία της φόρτισης εισάγει εμμέσως πλην σαφώς τον μηχανισμό της TIR στη διάταξη, λόγω της παρουσία διαφοράς δεικτών διάθλασης μεταξύ συμβατικών διηλεκτρικών. Συνεπώς, μειώνοντας ή αυξάνοντας 24

39 2.1. Μηχανισμοί Οδήγησης (a) Wedge (b) Slot Σχήμα 2.5: Διατομές πλασμονικών κυματοδηγών (a) σφήνας και (b) σχισμής. Με κίτρινο χρώμα απεικονίζονται οι περιοχές μετάλλου, ενώ η διαβαθμισμένη περιοχή κόκκινου αντιστοιχεί σε ενδεικτική εγκάρσια κατανομή του πεδίου του βασικού ρυθμού του κάθε κυματοδηγού. τις διαστάσεις της φόρτισης μπορούμε να οδηγηθούμε στην αποκοπή ή να ξεπεράσουμε το κατώφλι εμφάνισης κάποιων ρυθμών, αντίστοιχα Πλασμονικοί κυματοδηγοί σφήνας και σχισμής Μία ιδιαίτερη κατηγορία δισδιάστατων πλασμονικών κυματοδηγών που αποκλίνει από την περίπτωση των αμιγώς επίπεδων(planar) δομών είναι αυτή των κυματοδηγών σφήνας(wedge) [198] και σχισμής(slot)[90], που παρουσιάζονται στο Σχ Η εγκάρσια διατομή του πλασμονικού κυματοδηγού σφήνας αποτελείται από μία απείρων διαστάσεων μεταλλική α- κίδα που βρίσκεται εντός ομογενούς διηλεκτρικού. Η συμπληρωματική δομή, δηλαδή μία σχισμή σφηνοειδούς μορφής(v-groove) σε μία μεταλλική πλάκα απείρου πάχους, αποτελεί τον πλασμονικό κυματοδηγό σχισμής. Οι οδηγούμενοι ρυθμοί αυτών των διατάξεων είναι εντοπισμένοι κυρίως στην κορυφή της σφήνας και η εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού τους πεδίου είναι κάθετη στις διεπιφάνειες μετάλλου διηλεκτρικού. Στην αρχετυπική τους μορφή, οι οδηγούμενοι ρυθμοί αυτών των κυματοδηγών εξαρτώνται πρωτίστως από τη γωνία της σφήνας, όπου τα πλασμονικά χαρακτηριστικά εντείνονται όσο πιο οξεία γίνεται η γωνία. Επίδραση,όχιόμωςτόσοσημαντικήόσοηγωνίατηςσφήνας,έχειεπίσηςκαιη ακτίνα καμπυλότητας της κορυφής της. Επειδή το ζήτημα αυτό άπτεται κυρίως κατασκευαστικών και τεχνολογικών περιορισμών, δεν σχολιάζεται περαιτέρω, και συνήθως θεωρούμε πολύ μικρή(αλλά μη-μηδενική) ακτίνα καμπυλότητας. Τέλος, παρατηρούμε πως οι κυματοδηγοί σφήνας και σχισμής μπορούν να θεωρηθούν ως προεκβολές των πλασμονικών κυματοδηγών ταινίας και διακένου, αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση αυτή, η προεκβολή της μονοδιάστατης διεπιφάνειας μετάλλου/διηλεκτρικού στις δύο διαστάσεις δεν έχει γίνει κατά τις καρτεσιανές συντεταγμένες, αλλά κατά τις πολικές(και συγκεκριμένα, κατά το αζιμούθιο), με κέντρο την κορυφή της σφήνας Υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου Υβριδικοί πλασμονικοί(hybrid plasmonic, HP) κυματοδηγοί αποκαλούνται αυτοί που συνδυάζουν τον κλασικό μηχανισμό οδήγησης TIR με την πλασμονική κυματοδήγηση των SPP[129, 141]. Αντιλαμβάνεται κανείς πως στις διατάξεις αυτές θα πρέπει να εμφανίζονται τόσο διαφορές δεικτών διάθλασης μεταξύ διηλεκτρικών, όσο και διεπιφάνειες μετάλλων/διηλεκτρικών. Η απλούστερη μονοδιάστατη εκδοχή των HP κυματοδηγών αυτών είναι η δομή τεσσάρων στρωμάτων M L H L, όπου L/H είναι χαμηλού/υψηλού δείκτη διηλεκτρικά και M κάποιο μέταλλο. Η δομή αυτή σημειώνεται με την κατακόρυφη διακεκομμένη 25

40 Κεφάλαιο 2 (a) Hybrid (b) CGS Σχήμα 2.6: Διατομές υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών. (a) Αρχετυπικός σχεδιασμός και (b) σχεδιασμός αγωγού-διακένου-πυριτίου(conductor-gap-silicon, CGS) βασισμένος στην πλατφόρμα SOI. Με κίτρινο χρώμα απεικονίζονται οι περιοχές μετάλλου, ενώ με διαβαθμίσεις του γκρι τα διηλεκτρικά υψηλού (σκούρο) και χαμηλού(ανοικτό) δείκτη. Η διαβαθμισμένη περιοχή κόκκινου χρώματος αντιστοιχεί σε ενδεικτική εγκάρσια κατανομή του πεδίου του βασικού ρυθμού του κάθε κυματοδηγού. γραμμή στο Σχ. 2.6(a), ενώ η αντίστοιχη γραμμή στο (b) δείχνει έναν μονοδιάστατο HP μορφής L 1 H L 1 M L 2 μεδύοδιακριτάυλικάχαμηλούδείκτη(l i ). Ηχαρακτηριστικήπεριοχή λειτουργίας των υβριδικών κυματοδηγών είναι όταν το πάχος του H-στρώματος είναι μικρότερο από το όριο περίθλασης του TIR-κυματοδηγού L H L. Στην περίπτωση αυτή, τοπεδίοτουκύματοςδενθαμπορείνασυγκεντρωθείαπότονπυρήναυψηλούδείκτηκαι θα εκτείνεται αφενός προς την περιοχή του εξωτερικού L-στρώματος αφετέρου προς την M L-διεπιφάνεια. Τελικά, το πεδίο θα τείνει να συγκεντρωθεί στο χαμηλού-δείκτη διηλεκτρικό διάκενο μεταξύ μετάλλου και υψηλού-δείκτη διηλεκτρικό. Αυτή είναι και η βασική διαφορά λειτουργίας σε σχέση με τον DLSPP κυματοδηγό, όπου το κύμα συγκεντρώνεται στο διηλεκτρικό με υψηλό δείκτη. Οι πιο δημοφιλείς υλοποιήσεις HP κυματοδηγών[135, 144] βασίζονται στην πλατφόρμα SOI,όπουτοπυρίτιοπαρέχειτονυψηλόδείκτη n H 3.45,ενώοιχαμηλοίδείκτες παρέχονται από το οξείδιο του πυριτίου, κάποιο τρίτο υλικό«πλήρωσης»(για παράδειγμα κάποιοπολυμερές)ήτοναέρα, n L Αντιλαμβανόμαστεπωςαυτοίοικυματοδηγοίθα κληρονομούν τη μεγάλη διαφορά δεικτών της πλατφόρμας SOI, αυξάνοντας τη συγκέντρωση του πεδίου εντός του διηλεκτρικού χαμηλού δείκτη. Η προεκβολή του μονοδιάστατου HP κυματοδηγού σε δύο εγκάρσιες διαστάσεις μπορεί να γίνει, αντίστοιχα με τους stripe και DLSPP κυματοδηγούς, δηλαδή προεκτείνοντας αρχικά τα στρώματα υλικών κατά την οριζόντια έννοια και έπειτα περιορίζοντας το εύρος κάποιων εξ αυτών. Στα Σχ. 2.6(a) και (b)παρουσιάζονταιδισδιάστατεςπροεκβολέςτων M L H Lκαι L 1 H L 1 M L 2 δομών, αντίστοιχα. 2.2 Υλικά οπτικών κυματοδηγών για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή Στην ενότητα αυτή θα επιχειρήσουμε μία συνοπτική καταγραφή και κατηγοριοποίηση των υλικών που χρησιμοποιούνται συνήθως στην κατασκευή ολοκληρωμένων οπτικών και φωτονικών διατάξεων. Οπως αναφέρθηκε, η ζώνη συχνοτήτων που θα εξετάσουμε είναι η κοντινή υπέρυθρη(nir) με μήκος κύματος κενού-χώρου αναφοράς τα 1550 nm ή 193 THz. Επίσης, τα σήματα των οποίων τη διάδοση θα μελετήσουμε περιγράφονται στο πλαίσιο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού και βρίσκονται σε κάποια σχετικά στενή ζώνη συχνοτήτων της NIR περιοχής. Τα σήματα που δεν εμπίπτουν στην κατηγορία αυτή, όπως για παράδειγ- 26

41 2.2. Υλικά οπτικών κυματοδηγών για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή μα τα ηλεκτρικά σήματα«ελέγχου» που βρίσκονται στη βασική ζώνη, θα αντιμετωπίζονται ως εξωτερικοί παράγοντες, αποσυζευγμένοι από τις εξισώσεις του Maxwell που σχετίζονται με την οπτική κυματοδήγηση. Η βασικότερη κατηγοριοποίηση των υλικών γίνεται με αναφορά στην τιμή της σχετικής διηλεκτρικήςτουςσταθεράς(ε r )καιυποδεικνύειτοντρόπομετονοποίοαποκρίνεταιένα μέσο στην παρουσία ηλεκτρικού πεδίου(e) μέσω της ηλεκτρικής πόλωσης(p). Η διηλεκτρική μετατόπιση(d), που είναι το βασικό μέγεθος του ηλεκτρικού πεδίου που εμφανίζεται στις εξισώσεις του Maxwell, δίνεται από τη σχέση D = ε 0 E+P = ε 0 [1+χ (1) ]E = ε 0 ε r E, (2.5) όπου χ (1) είναιηπρώτηςτάξης(γραμμική)επιδεκτικότητατουμέσου. Τονίζεταιπωςη ε r είναιενγένειέναςμιγαδικόςαριθμός,μετοπραγματικόκαιφανταστικότουμέροςνα σχετίζονται με τη επίδραση του μέσου στη φάση και το πλάτος του πεδίου, αντίστοιχα. Για τα συμβατικά διηλεκτρικά μέσα στις οπτικές συχνότητες, χρησιμοποιείται ο δείκτης διάθλασης(n), που συνδέεται με τη σχετική διηλεκτρική σταθερά μέσω της απλής σχέσης ε r = n 2. Εξίσωση παρόμοια με την Εξ.(2.5) ισχύει, συμμετρικά, και για τα μεγέθη του μαγνητικού πεδίου. Συγκεκριμένα, για την ένταση του μαγνητικού πεδίου(h) και τη μαγνητική ροή(b),ισχύειηκαταστατικήεξίσωση B = µ 0 µ r H,όπου µ r ησχετικήμαγνητικήδιαπερατότητα του μέσου. Πάντως, τα χαρακτηριστικά αυτά του μέσου δεν εμφανίζουν πρακτικό ενδιαφέρον για τις οπτικές διατάξεις, δηλαδή συνήθως δεν υπάρχουν μαγνητικές ιδιότητες (µ r 1)ούτεκαιηλεκτρικάρεύματαστιςσυχνότητεςακτινοβολίαςπουεξετάζουμε. Μία δεύτερη κατηγοριοποίηση των υλικών μπορεί να γίνει με αναφορά στις παραμέτρους ανώτερηςτάξηςτηςεπιδεκτικότηταςτουμέσου, χ (m) με m 2,πουπεριγράφουνμηγραμμικές ιδιότητες. Η έκφραση της ηλεκτρικής πόλωσης ενός μέσου, ως συνάρτηση της επιδεκτικότητας και του ηλεκτρικού πεδίου που εφαρμόζεται είναι[51, 52] P i = ε 0 j χ (1) ij E j +ε 0 jk χ (2) ijk E je k +ε 0 jkl χ (3) ijkl E je k E l +..., (2.6) όπου i,j,k,l = {x,y,z}αναφέρονταιστιςκαρτεσιανέςσυντεταγμένεςτουχώρου. Η παραπάνω έκφραση νοείται ισοδύναμα στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας, αλλά στησυγκεκριμένημορφήισχύειμόνοστηνπερίπτωσηόπουοιεπιδεκτικότητες χ (m) έχουν ακαριαία(instantaneous) χρονική απόκριση και το ηλεκτρικό πεδίο συντίθεται από συνεχή (CW) σήματα συγκεκριμένης συχνότητας. Στη γενικότερη περίπτωση, και για το πεδίο τουχρόνου,τοκάθεγινόμενο χ (m) m 1 Eαντικαθίσταταιαπόκατάλληληχρονικήσυνέλιξη της συνάρτησης μεταφοράς της επιδεκτικότητας με το εν δυνάμει χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο[51]. Οι όροι του πρώτου αθροίσματος της Εξ.(2.6) αποτελούν γραμμική συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου, ενώ οι όροι των επόμενων αθροισμάτων εξαρτώνται μηγραμμικά(για παράδειγμα τετραγωνικά ή κυβικά) από το πεδίο. Πρέπει ακόμα να τονιστεί ότι στη γενική περίπτωση, οι όροι της m-τάξης επιδεκτικότητας του μέσου δεν είναι βαθμωτά αλλάτανυστικάμεγέθη.συγκεκριμένα,οόρος χ (m) περιγράφεταιαπόέναντανυστή m+1 τάξηςμε 3 (m+1) στοιχεία,εφόσονορίζεταιστονχώρο R 3. Ειδικάγιατηνπρώτηςτάξης επιδεκτικότητα(m = 1),ηΕξ.(2.5)μπορείναγραφείμεεξισώσειςπινάκωνως D = ε 0 ε r E, όπου ε r είναιο3 3πίνακαςμεστοιχεία ε r [i,j] = 1 + χ (1) ij. Οπωςθασυζητηθείστη συνέχεια, η μορφή αυτών των τανυστών μπορεί να απλουστευτεί σημαντικά σε ένα μεγάλο 27

42 Κεφάλαιο 2 πλήθος πρακτικών εφαρμογών ή και να εκφυλιστεί σε μία ισοδύναμη βαθμωτή ποσότητα, υπό κατάλληλες προϋποθέσεις. Η τελευταία κατηγοριοποίηση των υλικών γίνεται με αναφορά στην εξάρτηση των παραπάνω ηλεκτρομαγνητικών παραμέτρων του μέσου από παράγοντες που δεν μπορούν να περιγραφούν στο πλαίσιο των εξισώσεων του Maxwell. Τυπικά παραδείγματα αυτών είναι η εξάρτηση από παράγοντες θερμοκρασιακής, μηχανικής, χημικής ή κβαντικής προέλευσης. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβολές εισάγονται ως διαταραχές, με κατάλληλες παραμέτρους ευαισθησίας και θεωρούνται γενικά αποσυζευγμένες από την ηλεκτρομαγνητική ανάλυση Συμβατικά διηλεκτρικά: Απώλειες και διασπορά Τα συμβατικά διηλεκτρικά υλικά αποτελούν τον πιο απλό τύπο υλικών και μπορούν να περιγραφούν απλά και μόνο από μία βαθμωτή μιγαδική τιμή για τη σχετική διηλεκτρική σταθερά (ε r ).Τοπραγματικόμέροςτηςε r είναιμεγαλύτεροαπότημονάδακαιοαντίστοιχοςδείκτης διάθλασης(πραγματικό μέρος) λαμβάνει τυπικά τιμές στην περιοχή n = 1-3.5, καλύπτοντας ένα μεγάλο φάσμα υλικών από αέρια, ρευστά, πολυμερή και γυαλιά μέχρι κρυστάλλους και άλλα πυκνά στερεά. Ο δείκτης διάθλασης ενός μέσου συνδέεται άμεσα με τη φασική σταθερά διάδοσης(re{β}) ενός κύματος που διαδίδεται στο εσωτερικό του. Το φανταστικόμέροςτης ε r σχετίζεταιμετηγραμμικήαπορρόφησητουσυγκεκριμένουυλικού,και λαμβάνει αρνητική τιμή για τη σύμβαση φάσης exp{jωt jβz} και διάδοση κατά τον θετικό z-άξονα. Στα συνήθη διηλεκτρικά το φανταστικό μέρος είναι γενικά μικρό, ενδεικτικά Im{ε r } 10 3,κάτιπουοφείλεταιστηχαμηλήαγωγιμότητατους. Αξίζει να σημειώσουμε πως τα παραπάνω χαρακτηριστικά εμφανίζουν γενικά εξάρτηση απότησυχνότητατηςηλεκτρομαγνητικήςακτινοβολίας, ε r (ω),ιδιότηταπουαποκαλείται διασπορά υλικού(material dispersion) και συνήθως προσδιορίζεται από πειραματικές μετρήσεις[199]. Το σύνολο των μετρήσεων προσεγγίζεται με κάποια κλειστή σχέση, συνήθως πολυωνυμικής μορφής, της οποίας οι σταθεροί συντελεστές προκύπτουν με προσαρμογή καμπύλης(curve fitting) στο εύρος ζώνης συχνοτήτων όπου διενεργήθηκαν οι πειραματικές μετρήσεις. Οι καμπύλες που προκύπτουν αποκαλούνται στη βιβλιογραφία εμπειρικές σχέσεις Sellmeier 5. Μερικάπολύσυνηθισμέναοπτικάυλικά,όπωςτοοξείδιοτουπυριτίου(ή τηγμένο γυαλί, fused silica), που χρησιμοποιείται στην κατασκευή οπτικών ινών, ή το πυρίτιο(silicon), που είναι ευρέως διαδεδομένο στη μικρο-ηλεκτρονικά και στις ο- λοκληρωμένες οπτικές διατάξεις, έχουν μετρηθεί με μεγάλη ακρίβεια και σε μεγάλο εύρος συχνοτήτων, παρέχοντας σχέσεις Sellmeier υψηλής αξιοπιστίας. Για παράδειγμα, η εξίσωση για το τηγμένο γυαλί στην NIR περιοχή δίνεται από την έκφραση n 2 (λ µ ) = 1+ 3 B i λ 2 µ λ 2 µ C, (2.7) i i=1 όπου λ µ μήκοςκύματοςμετρούμενοσεμmκαι B i, C i οισυντελεστέςτουαναπτύγματος πουείναιίσοιμε [B 1, B 2, B 3 ] = [0.6962, , ]και [C 1, C 2, C 3 ] = [ , , ]μm 2 [199]. Εκτόςαπότηνεξάρτησηαπότησυχνότητα, οι σχέσεις Sellmeier συχνά περιέχουν και την επίδραση άλλων παραγόντων, όπως χημική σύσταση(για κράματα), θερμοκρασία κλπ. 5 Ο Wilhelm Sellmeierεισήγαγεπρώτοςτο 1871τηχρήσητέτοιωνεμπειρικώνσχέσεωνγιατημοντελοποίηση της διασποράς, επεκτείνοντας τις εργασίες του Augustin-Louis Cauchy. 28

43 2.2. Υλικά οπτικών κυματοδηγών για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή Τέλος,θαπρέπεινατονίσουμεπωςηγνώσητωνκαμπύλωνδιασποράςμόνογιατο πραγματικόήτοφανταστικόμέροςτης ε r (ω)αρκείγιατονσυνολικόχαρακτηρισμότου. Αυτό οφείλεται στο ότι ο υπολογισμός του πραγματικού μέρους από το φανταστικό μέρος (ήτοαντίστροφο),μπορούνναγίνουνμεχρήσητωνσχέσεων Kramers-Kronig 6 [51] Μέταλλα: Μοντέλο πλάσματος Τα μέταλλα, οι τυπικοί ηλεκτρικοί αγωγοί στις χαμηλές συχνότητες, εμφανίζουν μία χαρακτηριστικά διαφορετική συμπεριφορά στις οπτικές συχνότητες[70, 72, 74, 75, 195, 196]. Οι ιδιότητες τους μπορούν να περιγραφούν σε αυτό το εύρος συχνοτήτων από το μοντέλο του πλάσματος. Το πλάσμα είναι μία από τις θεμελιώδεις καταστάσεις της ύλης που χαρακτηρίζεται από την παρουσία σημαντικού πλήθους ελευθέρων φορτισμένων σωματιδίων, ηλεκτρονίων και ιόντων. Αυτό το νέφος φορτίου δεν είναι αυστηρά δεσμευμένο σε μοριακούς δεσμούς και συνεπώς μπορεί να επηρεαστεί ισχυρά από εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία. Τα μέταλλα, συγκεκριμένα, χαρακτηρίζονται από παρουσία νέφους ελευθέρων ηλεκτρονίων, λόγω των χαλαρών δεσμών των εξωτερικών τους στοιβάδων. Το νέφος αυτό μπορεί να ταλαντώνεται υπό την επίδραση ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, αλλά παραμένει γενικότερα δέσμιο μίας περιοχής θετικά φορτισμένων και ακίνητων ιόντων. Συνεπώς, η ταλάντωση αυτή αποσβένεται από τις διαδοχικές συγκρούσεις του νέφους με τα θετικά ιόντα (πυρήνες μεγάλων, σχετικά, διαστάσεων), οι οποίες λαμβάνουν χώρα με τη χαρακτηριστική συχνότητασύγκρουσης(collision frequency) ν c = 1/τ,όπου τείναιοχρόνοςχαλάρωσης (relaxation time) του νέφους των ηλεκτρονίων που κυμαίνεται στην περιοχή των 10 fs. Τέλος, σημειώνουμε πως επειδή γενικά δεν επιτρέπεται η ανάπτυξη πεδίου στο εσωτερικό αγωγών, το νέφος ηλεκτρονίων θα εντοπίζεται στις εξωτερικές επιφάνειες του μετάλλου. Αντιλαμβανόμαστε, διαισθητικά, ότι όταν το ηλεκτρικό πεδίο εμφανίζει αρμονική χρονική μεταβολή τότε θα επάγει αντίστοιχη ταλάντωση του φορτίου λόγω της περιοδικής μεταβολής της δύναμης Coulomb. Προκειμένου να συνδέσουμε τις μικροσκοπικές κινήσεις του πλάσματος με τα μακροσκοπικά ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά του μέσου, αρχικά χρησιμοποιούμε το μοντέλου του αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση(damped harmonic o- scillator) για να υπολογίσουμε τη μικροσκοπική χωρική ταλάντωση του νέφους ηλεκτρονίων (x), m e ẍ+m e ν c ẋ = eẽ(t), (2.8) όπου eκαι m e είναιτοστοιχειώδεςφορτίοκαιηενεργόςμάζατουηλεκτρονίου,αντίστοιχα. Θεωρώντας ότι το ηλεκτρικό πεδίο ταλαντώνεται σε συγκεκριμένη κυκλική συχνότητα ω, δηλαδή Ẽ(t) = Eejωt, καιμετασχηματίζονταςστοπεδίοτηςσυχνότητας, ηδιαφορική Εξ.(2.8) έχει την αρμονική λύση x = e E. (2.9) m e (ω 2 jν c ω) Στη συνέχεια, η ταλάντωση του φορτίου μπορεί να αντιστοιχιστεί προς ένα στοιχειώδες ηλεκτρικό δίπολο και κατ επέκταση να συνδεθεί με την πόλωση του ηλεκτρικού πεδίου που 6 Οισχέσεις Kramers-Kronigείναιαμφίδρομεςολοκληρωτικέςσχέσεις,πουσυνδέουντοπραγματικόμε το φανταστικό μέρος κάθε αναλυτικής μιγαδικής συνάρτησης θετικού φανταστικού μέρους. Η θεμελίωση τους βασίζεται στο ότι η αιτιότητα(causality) ενός ευσταθούς συστήματος συνεπάγεται την αναλυτικότητα της συνάρτηση μεταφοράς του, και αντιστρόφως. Οι σχέσεις ονομάστηκαν προς τιμήν των Ralph Kronig και Hans Kramers. 29

44 Κεφάλαιο 2 επάγεταιστομέσοσύμφωναμετησχέση P = en e x,όπου N e είναιηχωρικήπυκνότητα του νέφους. Τελικά, καταλήγουμε στη σχέση ωp P(ω) = ε 0 ( 2 ) E. (2.10) ω 2 jν c ω μετηνποσότηταεντόςπαρενθέσεωννααντιστοιχίζεταιστηγραμμικήεπιδεκτικότητα χ (1) τουμετάλλου. ΣτηνΕξ.(2.10),τομέγεθος ω p = N e e 2 /(ε 0 m e )ονομάζεταισυχνότητα πλάσματος(plasma frequency) του νέφους των ελευθέρων ηλεκτρονίων, που εξαρτάται κυρίως από την πυκνότητα του, χαρακτηριστική για κάθε τύπο μετάλλου. Παρατηρούμε πως η διηλεκτρικήσταθεράτωνμετάλλων, ε r = 1+χ (1),όπωςπροκύπτειαπότηνΕξ.(2.10),μπορεί να συσχετιστεί άμεσα με το μοντέλο του Drude που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τησυχνοτικήεξάρτησητηςαγωγιμότηταςτωνμετάλλων, σ(ω) = σ 0 /(1+jωτ). Συνοψίζοντας, για τον υπολογισμό της διηλεκτρικής σταθεράς ενός μετάλλου σε κάποια συχνότητα μέσωτηςεξ.(2.10),αρκείναγνωρίζουμετηχαρακτηριστικήσυχνότηταπλάσματος(ω p ) καιτονχρόνοχαλάρωσης(τ = 1/ν c ). Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά του μετάλλου, ανάλογα με το μήκος κύματος του ηλεκτρικού πεδίου που προκαλεί την ταλάντωση του ηλεκτρονιακού νέφους. Αγνοώνταςπροςστιγμήντονόροαπόσβεσης(ν c = 0),ησχετικήδιηλεκτρικήσταθεράτου μετάλλου θα δίνεται από τη σχέση ε r (ω) = 1 ( ωp ) 2. (2.11) ω Σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση, όταν η συχνότητα της ακτινοβολίας πλησιάζει τη συχνότηταπλάσματος ω p,τότε,ηε r θατείνειστομηδέν.ηκατάστασηαυτήδενέχεικάποια φυσικήερμηνείακαιοδηγείσεμη-αιτιατάσυστήματα 7. Επίσης,όταν ω > ω p,τότεηη σχετική διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου έχει θετική τιμή(μικρότερη όμως της μονάδας), συμπεριφέρεται δηλαδή σαν ένα διηλεκτρικό επιτρέποντας την ανάπτυξη πεδίου στο εσωτερικότου.αντιθέτως,όταν ω < ω p,τότεηε r γίνεταιαρνητική(μικρότερητουμηδενός) προκαλώντας ραγδαία εκθετική απόσβεση του πεδίου στο εσωτερικό του. Τέλος, όταν ω ω p,τότετομέταλλοαποκτάειτογνωστόχαρακτήρατουτέλειουηλεκτρικούαγωγού (perfect electric conductor, PEC) που δεν επιτρέπει την παρουσία πεδίου στο εσωτερικού του, δηλαδή λειτουργεί ως ανακλαστήρας. Πριν προχωρήσουμε, πρέπει να σημειώσουμε πως η παρουσία του όρου απόσβεσης δημιουργεί ένα αρνητικό φανταστικό μέρος στη μιγαδική ε r,τοοποίοαντιστοιχίζεταιπάντασεεξασθένισητουπεδίουστοεσωτερικότουμετάλλου. Κλείνοντας, θα επιχειρήσουμε να τοποθετήσουμε τα ιδιαίτερα αυτά χαρακτηριστικά του πλάσματος σε πλαίσιο κοινό με την οδήγηση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στην NIR περιοχή του φάσματος[16 18]. Αρχικά, σημειώνουμε πως η συχνότητα πλάσματος για τα περισσότερα μέταλλα βρίσκεται στο υπεριώδες τμήμα του φάσματος, άρα στην περιοχή που μαςενδιαφέρειαναμένεταιησυμπεριφορά ε r < 1γιατησχετικήδιηλεκτρικήσταθερά,που αντιστοιχεί σε εκθετική απόσβεση του πεδίου εντός του μετάλλου. Προφανώς, το μέταλλο από μόνο του δεν μπορεί να υποστηρίξει οδηγούμενα κύματα, άρα, ο μόνος τρόπος να 7 Υποθέτονταςτηνπερίπτωσηδιάδοσηςενόςκύματοςσεέναομογενέςμέσοπουχαρακτηρίζεταιαπό τηνεξ.(2.11),διαπιστώνουμεπωςγια ω = ω p θαέχουμεάπειρηφασικήταχύτητακαιμηδενικήταχύτητα ομάδας. Εκτός αυτής της εμφανώς ανώμαλης συμπεριφοράς, παραβιάζονται και οι σχέσεις Kramers-Kronig. Σεκάθεπερίπτωση,στοπλήρεςμοντέλοπουπεριλαμβάνεικαιτησταθεράαπόσβεσης ν c 0,ηανώμαλη τιμή ε r = 0δενεπιτρέπεται. 30

45 2.2. Υλικά οπτικών κυματοδηγών για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή διεγερθεί η ταλάντωση του πλάσματος(νέφους ηλεκτρονίων) με σύμφωνο τρόπο είναι μέσω κάποιου διηλεκτρικού υλικού που να βρίσκεται σε γειτνίαση με το μέταλλο. Η απλούστερη διάταξη αυτής της μορφής είναι η διεπιφάνεια διηλεκτρικού/μετάλλου που περιγράφηκε στην Παράγραφο 2.1.3, στην οποία μπορεί να προκληθεί το φαινόμενο του επιφανειακού πλασμονικού συντονισμού, που συνίσταται στη συλλογική ταλάντωση του νέφους ηλεκτρονίων σε συμφωνία με το οδηγούμενο ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Οπως αναφέρθηκε, το φαινόμενο είναι υπεύθυνο για την υποστήριξη των πολαριτονίων επιφανειακών πλασμονίων(spp), που είναι επιφανειακά κύματα που διαδίδονται παράλληλα με μία διεπιφάνεια μετάλλου/διηλεκτρικού και έχουν ηλεκτρικό πεδίο με εγκάρσια συνιστώσα κάθετη στη διεπιφάνεια και μη-μηδενική αξονική συνιστώσα. Η παρουσία της τελευταίας είναι κρίσιμης σημασίας καθώς είναι αυτή που ουσιαστικά εξασφαλίζει τη συμφωνία μεταξύ των ταλαντώσεων του πλάσματος και του κύματος, επάγοντας στοιχειώδη ηλεκτρικά δίπολα(πολαριτόνια, polaritons) κατά μήκος της διάδοσης του κύματος. Για τη διέγερση των SPP κυμάτων απαιτείται ο φωτισμός της διεπιφάνειας με κύμα το οποίο να έχει μη-μηδενική αξονική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου και μπορεί να διεισδύσει στο εσωτερικό του μετάλλου. Οι πιο διαδεδομένες διατάξεις αποδοτικής διέγερσης τέτοιων πλασμονικών κυμάτων είναι η Otto[75] και Kretschmann [74], που διεγείρουν τα επιφανειακά κύματα σε λεπτά μεταλλικά φιλμ με χρήση διηλεκτρικού πρίσματος. Οι διατάξεις αυτές, εξασφαλίζουν την απαραίτητα συμφωνία φάσης(phase matching) μεταξύ SPP και προσπίπτοντος, μέσω της συνιστώσας του κυματικού διανύσματος πουείναιπαράλληληπροςτηδιεπιφάνεια. Οχρυσόςκαιοάργυροςείναιταμέταλλαπου έχουν χρησιμοποιηθεί περισσότερο για τέτοιες εφαρμογές, μαζί με τον χαλκό, το αργίλιο, το χρώμιο και το τιτάνιο Ανισοτροπικά υλικά και Διπλοδιαθλαστικότητα Ανισοτροπικά υλικά είναι αυτά που εμφανίζουν διαφορετικές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες ανάλογα με την πόλωση και/ή τη διεύθυνση διάδοσης του πεδίου που εφαρμόζεται[77]. Η ανισοτροπία εμφανίζεται κυρίως στα κρυσταλλικά υλικά, των οποίων τα άτομα(ή μόρια, ή ιόντα) βρίσκονται διατεταγμένα με κανονικό τρόπο στον τρισδιάστατο χώρο, διατηρώντας έτσι την όποια μικροσκοπικής(ή ατομικής) κλίμακας«ασυμμετρία» και στη μακροσκοπική κλίμακα. Αντιθέτως, τα άμορφα υλικά όπως τα αέρια, τα ρευστά, τα πολυμερή ή τα τηγμένα στερεά εμφανίζουν κατά κύριο λόγο ισοτροπική συμπεριφορά. Οπως προϊδεάστηκε στην εισαγωγή της τρέχουσας παραγράφου, Εξ.(2.6), τα ανισοτροπικά υλικά μπορούν να περιγραφούν στη γενικότερη εκδοχή τους από έναν 3 3 πίνακα που αντιστοιχεί στη γενικευμένη μορφή του τανυστή δεύτερης τάξης της επιδεκτικότητας χ (1) στον R 3 χώρο,σύμφωναμετησχέση P = ε 0 χ (1) Eή,σεπλήρηανάπτυξη, P x χ (1) xx χ (1) xy χ (1) xz E x P y P z = ε 0 χ (1) yx χ (1) yy χ (1) yz χ (1) zx χ (1) zy χ (1) xz E y E z. (2.12) Οαντίστοιχοςπίνακαςτηςσχετικήςδιηλεκτρικήςσταθεράςδίνεταιαπότησχέση ε r = I 3 +χ (1),όπου I 3 είναιο3 3πίνακας-μονάδα.Γιαταισοτροπικάυλικά,ηπαραπάνωσχέση εκφυλίζεταιστηναπλούστερηβαθμωτήμορφή χ (1) = (ε r 1)I 3,όπου ε r = n 2 και nο δείκτης διάθλασης του υλικού. Εξετάζονταςταστοιχείατουπίνακαχ (1),ήεναλλακτικάτιςιδιοτιμέςκαιταιδιοδιανύσματά του, μπορούμε να διακρίνουμε διαφορετικές κατηγορίες ή διαβαθμίσεις της ανισοτροπίας. 31

46 Κεφάλαιο 2 Μάλιστα, όταν τα τρία ιδιοδιανύσματα είναι πραγματικά και σχηματίζουν τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε με κατάλληλους ισομετρικούς μετασχηματισμούς(όπως περιστροφές)οπίνακαςμπορείναγραφείσεδιαγώνιαμορφή,δηλαδή χ (1) ij = 0για i j, όπου τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του πίνακα. Η απλούστερη περίπτωση είναι αυτή όπου και οι τρεις ιδιοτιμές ταυτίζονται, η οποία αντιστοιχεί στα ισοτροπικά υλικά. Στην περίπτωση αυτή ο τανυστής ταυτίζεται πάντα(δηλαδή για ο- ποιονδήποτε ισομετρικό μετασχηματισμό) με τον πίνακα-μονάδα πολλαπλασιασμένο με μία βαθμωτή ποσότητα. Οταν το πλήθος των διακριτών ιδιοτιμών του πίνακα είναι ίσο με τρία ή δύο, τότε το υλικό αποκαλείται διαξονικό(biaxial) ή μονοαξονικό(uniaxial), υπονοώντας πως έχει δύο ή έναν σαφώς ορισμένους άξονες ανισοτροπίας, αντίστοιχα. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, μπορούμε να εντοπίσουμε διαφόρων ειδών συμμετρίες ανάμεσα στα στοιχεία του πίνακα. Για παράδειγμα, τα ισοτροπικά υλικά έχουν την απλούστατη μορφή τουπίνακα-μονάδα,ενώγιαταμονο-αξονικάυλικάισχύει χ (1) ij = χ (1) ji για i j. Τέλος, όταν τα ιδιοδιανύσματα δεν σχηματίζουν τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε η ανισοτροπία είναι πιο πολύπλοκης μορφής. Σημειώνουμε πως, για πρακτικούς λόγους, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συνήθως προσαρμόζεται στους άξονες ανισοτροπίας του υλικού με τέτοιο τρόπο ώστε να εμφανίζεται αυτή η διαγώνια μορφή του τανυστή, διευκολύνοντας σημαντικά τους υπολογισμούς, πολύ περισσότερο όταν και το ηλεκτρικό πεδίο είναι πολωμένο προς κάποιον από τους άξονες. Μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα μονοαξονικά υλικά, στα οποία εμπίπτουν οι χαρακτηριστικές περιπτώσεις των ευρύτατα διαδεδομένων υγρών κρυστάλλων (liquid crystals, LC)[200]όπωςκαιτουνιοβικούλιθίου(lithium niobate, LiNbO 3 )[201]. Για την πλήρη περιγραφή τους αρκούν δύο μόνο τιμές, που αντιστοιχιζόμενες στους δείκτεςδιάθλασης,αποκαλούνταικανονικός(ordinary, n o )καιέκτακτος(extra-ordinary, n e ) δείκτης,όπωςκαιοπροσανατολισμόςτουοπτικούτουςάξονα. Ηδιαφορά n = n e n o αποκαλείται διπλοδιαθλαστικότητα(birefringence) και αντιστοιχίζεται στη διαφορά φάσης που προκύπτει ανάμεσα σε δύο κύματα ορθογωνίων εγκάρσιων πολώσεων όταν διαδίδονται εντός του ανισοτροπικού υλικού, με τον οπτικό άξονα του να είναι προσανατολισμένος σε μία από τις δύο εγκάρσιες στη διάδοση διευθύνσεις. Μεγάλες τιμές διπλοδιαθλαστικότητας υποδεικνύουν έντονα ανισοτροπικά υλικά. Τέλος, πρέπει να σημειώσουμε πως το πρακτικό ενδιαφέροντόσοτων LCόσοκαιτου LiNbO 3,έγκειταιστοότιοιοπτικέςτουςιδιότητες, και πιο συγκεκριμένα η ανισοτροπία, μπορούν να ελεγχθούν με ηλεκτρικά σήματα βασικής ζώνης. Στους υγρούς κρυστάλλους η επιβολή τάσης εξαναγκάζει τα ατρακτοειδούς μορφής μόρια να προσανατολιστούν παράλληλα με το ηλεκτρικό πεδίο, στρέφοντας έτσι τον άξονα ανισοτροπίας τους. Στην περίπτωση του νιοβικού λιθίου, το ηλεκτρο-οπτικό φαινόμενο Pockels 8 είναιυπεύθυνογιατημεταβολήτηςδιπλοδιαθλαστικότηταςτουυλικού. Οπως προαναφέρθηκε, στις δύο αυτές περιπτώσεις, το ηλεκτρικό σήμα βασικής ζώνης που ελέγχει την ανισοτροπία των υλικών λογίζεται ως εξωτερικός παράγοντας, δηλαδή δεν συμπλέκεται με τα οδηγούμενα σήματα στην NIR περιοχή του φάσματος. 8 Τοφαινόμενο Pockelsμπορείνακατηγοριοποιηθείωςέναμη-γραμμικόφαινόμενοτύπου χ (2),όπου ένα σήμα χαμηλών συχνοτήτων επηρεάζει ένα σήμα στην οπτική περιοχή. Παρ όλα αυτά, και για λόγους απλότητας, το νιοβικό λίθιο συνήθως αντιμετωπίζεται ως ένα ηλεκτρο-οπτικό υλικό, του οποίου οι παράμετροι εξαρτώνται από κάποια εξωτερικά επιβεβλημένη τάση. Με τον τρόπο αυτό μπορεί να αναχθεί σε ένα απλούστερο χ (1) ανισοτροπικόυλικόμετουςδείκτες n o και n e ναεξαρτώνταιαπότηντάση. 32

47 2.2. Υλικά οπτικών κυματοδηγών για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή Θερμο-οπτικά υλικά Θερμο-οπτικά υλικά είναι αυτά των οποίων οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες εξαρτώνται από τη θερμοκρασία[199, 202]. Αξιοποιώντας αυτόν τον μηχανισμό είναι δυνατή η κατασκευή ελεγχόμενων διατάξεων, όπου θέρμανση και ψύξη μεταβάλλουν δυναμικά τη συμπεριφορά της διάταξης. Η απλούστερη κατηγορία θερμο-οπτικών υλικών είναι αυτή ενός συμβατικού γραμμικού ισοτροπικού διηλεκτρικού του οποίου ο δείκτης διάθλασης(n) εμφανίζει εξάρτηση από τη μεταβολή της θερμοκρασίας( T). Η καμπύλη που περιγράφει μία τέτοια μεταβολή είναι στην απλούστερη της μορφή γραμμική, οπότε και χρειαζόμαστε μόνο έναν δείκτη διάθλασηςκαιμίαθερμοκρασίααναφοράς(n 0 και T 0,αντίστοιχα)όπωςκαιτηνκλίσητης ευθείας. Η τελευταία αποκαλείται θερμο-οπτικός συντελεστής(thermo-optic coefficient, TOC),συμβολίζεταιμε c TO καιπροσδιορίζεταιπειραματικάμεμετρήσειςελλειψομετρίας. Ητιμήτου c TO μπορείναείναιθετικήήαρνητική,δηλώνονταςαύξησηήμείωσητουδείκτη διάθλασης με τη θέρμανση, αντίστοιχα. Τελικά, ο δείκτης διάθλασης του υλικού δίνεται από ένα αποκομμένο ανάπτυγμα Taylor κοντά στη θερμοκρασία αναφοράς, σύμφωνα με τη σχέση n(t) = n 0 +(T T 0 ) n T = n 0 + T c TO. (2.13) Οταν η εξάρτηση από τη θερμοκρασία είναι πιο περίπλοκη, τότε απαιτούνται παραπάνω όροι για καλύτερη προσαρμογή των πειραματικών μετρήσεων σε κάποια πολυωνυμική ή άλλου τύπου κλειστή σχέση. Τυπικές τιμές του TOC για κρυσταλλικά υλικά, όπως το πυρίτιο, είναιστηνπεριοχήτου έως /Κ,ενώγιαπολυμερήήάλλα«μαλακά»υλικά μπορεί να είναι ακόμα και μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερος ή/και αντιθέτου προσήμου. Αντιλαμβάνεται κανείς πως, όταν πρόκειται για δυναμικές εφαρμογές που βασίζονται στο θερμο-οπτικό φαινόμενο για τον έλεγχο μίας διάταξης, τότε μεγάλη απόλυτη τιμή του TOC είναι επιθυμητή. Αντιθέτως, όταν η μεταβολή της θερμοκρασίας είναι πρόβλημα, τότε α- παιτείται μικρός TOC, δηλαδή μικρή ευαισθησία στη θερμοκρασία. Κρίσιμο σημείο, εκτός απότηντιμήτου c TO,είναιημέγιστηθερμοκρασιακήμεταβολήπουμπορείναεπιβληθεί σε ένα θερμο-οπτικό υλικό. Καταλαβαίνει κανείς ότι υπερβολική θέρμανση μπορεί να προκαλέσει μη-αντιστρεπτή αλλοίωση(όπως αλλαγή φάσης) ή και καταστροφή του δείγματος. Τα συμπαγή και τα κρυσταλλικά υλικά μπορούν να αντέξουν υψηλότερες θερμοκρασιακές διακυμάνσεις από τα ρευστά ή τα μαλακά πολυμερή υλικά. Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί πως τα θερμικά χαρακτηριστικά εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από τη διαδικασία κατασκευής και τις διαστάσεις του δείγματος. Προκειμένου να μεταβληθεί η θερμοκρασία ενός μέσου, είναι απαραίτητο να προσαχθεί (ή να απαχθεί) θερμότητα. Αυτό προαπαιτεί πρώτον την ύπαρξη μίας πηγής θερμότητας και δεύτερον τη μη-μηδενική θερμική αγωγιμότητα των διαφόρων εμπλεκόμενων υλικών. Η απλούστερη πηγή θερμότητας είναι μία αντίσταση(r) που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα (I),πουλόγωφαινομένου Jouleθααπορροφάηλεκτρικήισχύανάλογητουγινομένου I 2 R και θα την αποδίδει ως θερμότητα αυξάνοντας τη θερμοκρασία της αντίστασης. Εφόσον η αντίσταση βρίσκεται σε επαφή με κάποιο θερμικά αγώγιμο υλικό, τότε θα μεταφέρει σε αυτό θερμότητα μέσω συναγωγής(convective heat transfer). Η χώρο-χρονική μεταβολή της θερμοκρασίας(t) στο εσωτερικό ενός ομογενούς μέσου διέπεται από την εξίσωση θερμικής διάχυσης(thermal diffusion) T t = a 2 T, (2.14) 33

48 Κεφάλαιο 2 όπου aηθετικήσταθεράθερμικήςδιάχυσης(thermal diffusivity)και 2 οχωρικός Laplacianδιαφορικόςτελεστής. Είναι a = K/(ρc p ),όπου Kείναιηθερμικήαγωγιμότητα [W/(m K)], ρηπυκνότητακαι c p (Kg/m 3 )ηειδικήθερμότητα[j/(kg K)]τουμέσου.Η μορφή της Εξ.(2.14) υποδηλώνει πως η πτώση της θερμοκρασίας είναι ταχύτερη στα σημεία του χώρου όπου η θερμοκρασία είναι υψηλότερη. Τέλος, ένα σημαντικό στοιχείο που εξάγεται από τη μελέτη της θερμικής συμπεριφοράς μίας διάταξης είναι η ταχύτητα απόκρισης του θέρμο-οπτικού φαινομένου[112]. Λόγω του αργού μηχανισμού της θερμικής διάχυσης, οι ταχύτητες απόκρισης για τα περισσότερα υλικά περιορίζονται στην περιοχή των MHz Μη-γραμμικάυλικάκαιΦαινόμενατύπου χ (3) Μη-γραμμικές διατάξεις είναι αυτές στις οποίες η έξοδος δεν είναι ανάλογη της εισόδου, δηλαδή όταν αυξάνεται η ισχύς της εισόδου τότε εμφανίζονται στην έξοδο χαρακτηριστικά που δεν παρατηρούνται σε χαμηλότερες ισχείς. Διαπιστώνουμε, λοιπόν, πως σε τέτοιες μη-γραμμικές διατάξεις παύει να ισχύει η αρχή της επαλληλίας του πεδίου, δηλαδή η συνολική απόκριση εξόδου δεν μπορεί να αναλυθεί στην υπέρθεση των επιμέρους αποκρίσεων. Συνεπώς, η προσομοίωση τέτοιων διατάξεων γίνεται συνήθως με χρήση κατάλληλων α- πλουστευτικών παραδοχών ή προσεγγίσεων. Βασικό εργαλείο προς τον σκοπό αυτό είναι η μέθοδος των διαταραχών(perturbation method) που ξεκινάει από τη γραμμική μορφή ενός προβλήματος που επιδέχεται λύσης και στη συνέχεια υποθέτει ότι η συνεισφορά της μη-γραμμικής απόκρισης είναι γενικά μικρή. Συνεπώς, με κατάλληλους χειρισμούς μπορεί να«γραμμικοποιηθεί», δηλαδή να αναχθεί σε κάποια μορφή που επιδέχεται απλής(ή απλούστερης) λύσης. Στα πλαίσια του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού θα λέγαμε πως μη-γραμμικά υλικά είναι αυτά που υπό την παρουσία πεδίου επάγουν ηλεκτρική πόλωση που δεν εξαρτάται γραμμικά απότοενλόγωπεδίο[51,52]μεαναφοράστηνεξ.(2.6),ταυλικάαυτάθαπρέπειέχουν μη-αμελητέατιμήστηνεπιδεκτικότητα χ (m),όπου m 2,ώστεοιαντίστοιχεςσυνιστώσες τηςμη-γραμμικήςηλεκτρικήςπόλωσηςείναιγενικά P NL E m.στημορφήαυτή,φαίνεται καθαρά πως αύξηση της έντασης του πεδίου επιφέρει μία τετραγωνική, ή και ανώτερης τάξης, αύξηση της ηλεκτρικής πόλωσης. Ενας διαφορετικός τρόπος ορισμού των μη-γραμμικών διατάξεων γίνεται με χρήση των εννοιών του πεδίου του χρόνου και της συχνότητας. Σημειώνοντας πως στις διατάξεις αυτές δεν ισχύει η επαλληλία στη συχνότητα Fourier, εύκολα μπορούμε να παρατηρήσουμε πως τα μη-γραμμικά συστήματα είναι αυτά όπου η έξοδος έχει φασματικό περιεχόμενο σε συχνότητες που δεν υπήρχαν στην είσοδο. Συνεπώς, σημαντικό στοιχείο της μελέτης τους είναι οι φασματικές περιοχές των σημάτων που αλληλεπιδρούν με ένα μη-γραμμικό μέσο. Θεωρώντας ότι το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο συντίθεται από πραγματικής τιμής σήματα σε διαφορετικές κυκλικές συχνότητες, E = k 1 ( Ek e jωkt +E ) k 2 e jω kt, (2.15) και υψώνοντας το άθροισμα σε δύναμη ανώτερη του δύο, καταλήγουμε στα παρακάτω συμπεράσματα.αρχικά,εάνόλεςοισυχνότητεςείναιστηνίδιαζώνη,γιαπαράδειγμα ω k ω 0, τότεμόνοοιεπιδεκτικότητεςπεριττήςτάξης μεχαμηλότερητην χ (3) μπορούνναδημιουργήσουνπαράγωγαενδοδιαμόρφωσηςμεφασματικόπεριεχόμενοστηζώνη ω 0.Ταυλικάμε 34

49 2.2. Υλικά οπτικών κυματοδηγών για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή άρτιας τάξης επιδεκτικότητα δεν παρέχουν αυτή τη δυνατότητα, καθώς τα συχνοτικά παράγωγαενδοδιαμόρφωσηςθαβρίσκονταιστιςσυχνότητες 2l ω 0, l Z,καισυνεπώςδεν προσφέρονται για πλήρως οπτικές (all optical) εφαρμογές στενής ζώνης. Παρ όλα αυτά, στηνπερίπτωσηπουένααπότασήματαβρίσκεταιστηβασικήζώνη, ω k 0,τότεηάρτιας τάξης επιδεκτικότητα θα δημιουργεί παράγωγα στις(υψηλές) συχνότητες των υπολοίπων σημάτων.ητελευταίαείναικαιηπερίπτωσητουνιοβικούλιθίου LiNbO 3 πουσυζητήθηκε στην Παράγραφο Ηεπιδεκτικότητατρίτηςτάξης χ (3) είναιαυτήμετηνοποίαμπορούνναπεριγραφούν αρκετά ενδιαφέροντα μη-γραμμικά φαινόμενα που προκύπτουν από την αλληλεπίδραση σημάτων εντός μίας σχετικά στενής ζώνης συχνοτήτων. Τα φαινόμενα αυτά είναι ισχυρότερα σευλικάπουδενεμφανίζουνσημαντική χ (2),πουμεταξύάλλωνσυμπεριλαμβάνουντοπυρίτιο, το διοξείδιο του πυριτίου, τα χαλκογενή(chalcogenide) γυαλιά και άλλα κρυσταλλικά υλικά όπως οι ημιαγωγοί των ομάδων III-V του περιοδικού πίνακα(ίνδιο, γάλλιο, αρσενικό, φώσφορος). Οπως συζητήθηκε και προηγουμένως, ικανή συνθήκη για την έκφανση των φαινομένων αυτών είναι η ισχυρή ένταση του οπτικού πεδίου. Επιπλέον, ανάλογα με τον αριθμό των εμπλεκομένων σημάτων, τις συχνότητες τους και την επίδραση που έχουν στην έξοδο της διάταξης, ένα μεγάλο πλήθος διαφορετικών φαινομένων μπορεί να μοντελοποιηθεί μεχρήσητης χ (3),μερικάαπόταοποίαπεριγράφονταισυντόμωςπαρακάτω[51,52,94]. Οπτικόφαινόμενο Kerr ήεξαρτώμενος-από-έντασηδείκτηςδιάθλασης (intensitydependent refractive index). Το φαινόμενο αυτό οφείλεται στην αλληλεπίδραση ε- νός οπτικού κύματος με ταλαντώσεις των ηλεκτρονίων του μορίου του μη-γραμμικού υλικού. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχει μόνο ένα σήμα που μεταβάλει τον δείκτη διάθλασης του μέσου εντός του οποίου διαδίδεται, ανάλογα με την ένταση του ίδιου του ηλεκτρικούτουπεδίου. Μετοντρόποαυτό,μεταβάλεικαιτηνίδιατουτηφασική ταχύτητα, οδηγώντας στο φαινόμενο της αυτοδιαμόρφωσης φάσης(self-phase modulation, SPM) που συνεπάγεται φασματική διεύρυνση του σήματος, όταν πρόκειται για παλμικές εφαρμογές. Μία άλλη έκφανση αυτού του φαινομένου είναι η αυτό-εστίαση (self-focusing), στην οποία μία οπτική δέσμη υψηλής ισχύος και στενής διατομής διαδίδεται χωρίς να παραθλάται σε ομογενές μη-γραμμικό μέσο,«επάγοντας» η ίδια τον κυματοδηγό μέσα στον οποίο διαδίδεται. Απορρόφησηδύοφωτονίων(two photon absorption, TPA).Τοφαινόμενοαυτόείναι ακριβώς αντίστοιχο της SPM, μόνο που μεταβάλει τις απώλειες και όχι τη φάση, κατά τη διάδοση του σήματος. Η TPA έχει ιδιαίτερη σημασία σε υψηλές οπτικές ισχείς και σε υλικά με ενεργειακό διάκενο(band gap) μεγαλύτερο από την ενέργεια ενός φωτονίου, αλλά μικρότερο από την ενέργεια δύο φωτονίων. Αποτελώντας μηχανισμό απωλειών,συνήθωςέχειπεριοριστικήεπίδρασησταφαινόμενα χ (3) πουεπιδρούνστη φάση, καθώς μειώνει την ωφέλιμη οπτική ισχύ. Ετεροδιαμόρφωσηφάσης(cross-phase modulation, XPM).Στηνπερίπτωσηαυτή, δύο διαφορετικά σήματα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μεταβάλλοντας το ένα τη φάσητουάλλου. Αντίστοιχαμετην SPMκαιτην TPA,υπάρχεικαιηετεροδιαμόρφωση πλάτους(cross-absorption modulation, XAM) όπου τα πλάτη δύο σημάτων αλληλο-επηρεάζονται. Ως διαφορετικά σήματα λογίζονται αυτά που βρίσκονται σε διαφορετικές συχνότητες, πολώσεις, ιδιορρυθμούς ή και πυρήνες οδήγησης. Απαραίτητη προϋπόθεση για την εμφάνιση της XPM είναι να υπάρχει χωρική επικάλυψη των πεδίων των σημάτων. Μείξητεσσάρωνκυμάτων(four wave mixing, FWM).Αυτήείναιηγενικότερηπε- 35

50 Κεφάλαιο 2 ρίπτωση, όπου τέσσερα σήματα σε διαφορετικές συχνότητες, πολώσεις ή ιδιορρυθμούς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Αποδεικνύεται πως όλα τα προηγούμενα φαινόμενα (SPM, TPA, XPM, XAM),ήκαιαυτάπουεμπλέκουντρίαμόνοσήματα,μπορούν να θεωρηθούν ως εκφυλισμένες εκδοχές της FWM. Σκέδαση Raman(Raman scattering). Στηνπερίπτωσηαυτή,έναοπτικόσήμααντιδρά με φωνόνια(phonons) οπτικών συχνοτήτων του μέσου, με αποτέλεσμα τη μεταφορά ενέργειας σε άλλη ζώνη συχνοτήτων, πλησίον της αρχικής. Εάν προϋπάρχει κάποιο άλλο σήμα στη συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτων ή όχι, τότε μιλάμε για εξαναγκασμένη(stimulated) ή αυθόρμητη(spontaneous) σκέδαση Raman, αντίστοιχα. Τα φωνόνια σχετίζονται με τις ταλαντώσεις των πυρήνων των μορίων του υλικού, ή συνολικότερα του πλέγματος τους, υπό την επίδραση του πεδίου και συνεπώς είναι αρκετά πιο αργοί μηχανισμοί σε σχέση με τις ταλαντώσεις των ηλεκτρονίων που σχετίζονται με το φαινόμενο Kerr. Εξαναγκασμένησκέδαση Brillouin (stimulated Brillouin scattering, SBS).Αντίστοιχη με την εξαναγκασμένη σκέδαση Raman, μόνο που η αντίδραση γίνεται με φωνόνια ακουστικών(χαμηλότερων) συχνοτήτων και είναι συνήθως αντι-κατευθυντική. Ολα τα παραπάνω φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν από κατάλληλης μορφής επιμέρους επιδεκτικότητες τρίτης τάξης, ή απλούστερες εκφυλισμένες εκδοχές τους. Για παράδειγμα, τα φαινόμενα που επιδρούν στη φάση ή στο πλάτος των σημάτων θα αντιστοιχίζονται στα πραγματικά ή στα φανταστικά μέρη κάποιων από τα 81 εν γένει μιγαδικά στοιχεία τουτανυστήτέταρτηςτάξης χ (3) ijkl. Επίσης,κάποιαφαινόμεναμπορείναχαρακτηρίζονται απόανισοτροπία,ανώτερης«διάστασης»σεσχέσημεαυτήντης χ (1),πουθαδηλώνεταιμε κατάλληλες ιδιότητες ασυμμετρίας στα στοιχεία του τανυστή. Τελικά, η υπέρθεση των επιμέρουςτανυστών χ (3) τωνδιαφόρωνφαινομένωνθασυνθέτουντησυνολικήεπιδεκτικότητα τρίτηςτάξηςτουυλικούπουθααλληλεπιδράμετοπεδίο,όπωςορίζειηεξ.(2.6).προφανώς, με χρήση της μεθόδου των διαταραχών και κατάλληλων παραδοχών ή προσεγγίσεων, είναι δυνατό να επικεντρωθούμε σε κάποιο από τα παραπάνω φαινόμενα. Τέλος, συσχετίζοντας τα μη-γραμμικά φαινόμενα με τη γέννεση νέου φασματικού περιεχομένου, έχει ιδιαίτερη σημασία να μελετήσουμε την ταχύτητα απόκρισης των φαινομένων αυτών, σε σχέση με το φασματικό περιεχόμενο των σημάτων διέγερσης/εισόδου. Η α- πλούστερη των περιπτώσεων είναι αυτή των συνεχών σημάτων(cw) που υπόκεινται σε μη-γραμμικά φαινόμενα ακαριαίας(instantaneous) απόκρισης. Η προσομοίωση τέτοιων συστημάτων μπορεί να γίνει σχετικά εύκολα περνώντας από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου, ή αντίστροφα, με χρήση του μετασχηματισμού Fourier, ώστε η τανυστική πράξη της Εξ.(2.6) να παραμένει σε κάθε περίπτωση άθροισμα γινομένων, σε ένα απόταδύοπεδία.αντιθέτως,ηπιοσύνθετηπερίπτωσηείναιαυτήπουσήματαμεευρύφασματικό περιεχόμενο διεγείρουν μη-γραμμικές διατάξεις με καθυστερημένη απόκριση, που περιγράφεται δηλαδή από μη-τετριμμένη συνάρτηση μεταφοράς. Στην περίπτωση αυτή, η χρονικά μεταβαλλόμενη(αλλά χωρικά τοπική) μη-γραμμική ηλεκτρική πόλωση τρίτης τάξης θα δίνεται από ένα συνελικτικό ολοκλήρωμα της μορφής[51, 52, 94] P NL (r;t) = ε 0 t 1,t 2,t 3 χ (3) (r;t t 1,t t 2,t t 3 ).E(r;t 1 )E(r;t 2 )E(r;t 3 )dt 1 dt 2 dt 3, (2.16) 36

51 2.2. Υλικά οπτικών κυματοδηγών για την κοντινή υπέρυθρη περιοχή όπουοιτρειςκάθετεςτελείεςδηλώνουντοτανυστικόγινόμενο 9,ενώτόσοηχ (3) όσοκαιτο πεδίο Eείναισυναρτήσειςτουχρόνουκαιτουχώρου r = {x,y,z}.μεχρήσηκατάλληλων παραδοχών και προσεγγίσεων, είναι δυνατό η συνάρτηση μεταφοράς του υλικού να λάβει μορφή για την οποία να υπάρχει αναλυτικό ζεύγος μετασχηματισμών Fourier, επιτρέποντας έτσι το εύκολο πέρασμα μεταξύ των δύο πεδίων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση μεταφοράς της σκέδασης Raman προσεγγίζεται αρκετά ικανοποιητικά με Lorentz κατανομή[36, 203] Ημιαγωγοί και Φαινόμενα φορέων Ημιαγωγοί(semiconductors)[204] είναι τα υλικά που μπορούν να εμφανίζουν κατά περίπτωση χαρακτηριστικά διηλεκτρικών ή ηλεκτρικά αγώγιμων υλικών. Τυπικά, ο έλεγχος της κατάστασης ενός ημιαγωγού γίνεται με την εφαρμογή τάσης, ενώ οι διατάξεις στις οποίες χρησιμοποιούνται συνήθως εμπλέκουν διεπαφές διαφορετικών ημιαγωγών με διαφορετικού τύπου προσμείξεις(doping), που αποκαλούνται ετερο-επαφές(heterojunctions). Οι τελευταίες ευνοούν την δυνατότητα ελέγχου της κινητικότητας των ελευθέρων φορέων(free-carriers), δηλαδή των οπών και των ηλεκτρονίων, αλλάζοντας πιο αποδοτικά την κατάσταση του η- μιαγωγού. Τα πιο διαδεδομένα υλικά αυτής της κατηγορίας είναι αυτά που ανήκουν στην IV-ομάδα του περιοδικού πίνακα(πυρίτιο και γερμάνιο), όπως και τα κράματα υλικών των III/V-ομάδων(γάλλιο, ίνδιο, φώσφορος, αρσενικό). Η βασική παράμετρος που χαρακτηρίζει έναν ημιαγωγό είναι το ενεργειακό διάκενο(band gap, E gap καιμετράταισε ev),τοοποίοπροσδιορίζειτηναπαραίτητηενέργειαπουχρειάζονται οι φορείς για να μεταβούν από τη στοιβάδα σθένους στη στοιβάδα αγωγιμότητας. Οσον αφορά στην κυματοδήγηση, το ενεργειακό διάκενο καθορίζει το κατά πόσο ο ημιαγωγός θα είναι οπτικά διάφανος(transparent) ή απορροφητικός(ή αδιαφανής, opaque), για δεδομένο μήκος κύματος ακτινοβολίας. Οι αδιαφανείς(ή ημιδιαφανείς) ημιαγωγοί, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην κατασκευή οπτικών ανιχνευτών, με την απορρόφηση φωτονίων να μετασχηματίζεται σε ηλεκτρικό ρεύμα. Και το αντίθετο, δηλαδή η κατασκευή οπτικών πηγών, είναι υπό-συνθήκες εφικτή με τους εν λόγω ημιαγωγούς, αλλά οι απαιτήσεις για αποδοτικήλειτουργίαείναιγενικάπιοαυστηρές 10. Εξετάζοντας τους ημιαγωγούς από την πλευρά του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού μπορούμε να κάνουμε τις παρακάτω διαπιστώσεις. Αρχικά, εφόσον ένας ημιαγωγός είναι διαφανήςσεκάποιαφασματικήπεριοχή(e gap > ω 0 ),τότεηαπόσβεσηπουθαυφίσταται κύμα που διαδίδεται εντός αυτού θα είναι, συνήθως, αμελητέα. Αυτή είναι και η μόνο περιοχή που θα εξετάσουμε, καθώς τα αδιαφανή υλικά δεν προσφέρονται για κυματοδήγηση λόγω των ισχυρότατων απωλειών. Δεύτερον, οι δείκτες διάθλασης αυτών των υλικών είναι αρκετά υψηλοί, στην περιοχή του n Συνεπώς, όταν βρίσκονται σε γειτνίαση με διηλεκτρικά χαμηλότερου δείκτη, τότε δημιουργούνται συνθήκες ισχυρής κυματοδήγησης, λόγω της μεγάλης διαφοράς των δεικτών. Αυτή είναι και η περίπτωση στην τεχνολογικά επικρατούσα πλατφόρμα πυριτίου-σε-μονωτή(soi) που σχηματίζεται από το πυρίτιο και το συγγενέςτουοξείδιο(sio 2 ),μεδείκτες n = 3.45και 1.45,αντίστοιχα,στην NIRπεριοχή. 9 Ηπράξηαυτήμεταξύενόςτανυστήτέταρτηςτάξηςκαιτριώνδιανυσμάτωνέχεισαναποτέλεσμαένα διάνυσμα.ταπαραπάνωμεγέθηορίζονται,στηνπερίπτωσημας,στονχώρο R Ηακτινοβολούσαεπανασύνδεση(radiative recombination)φορέων,απαραίτητηπροϋπόθεσηγιαδημιουργία πηγών laser, είναι πολύ πιο αποδοτική στους ημιαγωγούς ευθέως διακένου, σε σχέση με τους εμμέσου διάκενου. Για τη δημιουργία πηγών με υλικά της δεύτερης αυτής κατηγορίας απαιτείται και η συνεισφορά κάποιου φωνονίου του πλέγματος, ώστε να διατηρηθεί η συνολική ορμή και ενέργεια του συστήματος, κάτι που γενικά μειώνει τη συνολική αποδοτικότητα του μηχανισμού εκπομπής φωτονίων. 37

52 Κεφάλαιο 2 Τρίτον,συνήθωςεμφανίζουναμελητέαανισοτροπίαστην χ (1),σχετικάχαμηλήδιασπορά δείκτη διάθλασης και μικρή εξάρτηση από τη θερμοκρασία. Τέταρτον, ορισμένα ημιαγώγιμαυλικάεμφανίζουνέντονεςμη-γραμμικέςιδιότητεςτύπου χ (3),όπωςγιαπαράδειγματο πυρίτιο, σε συνδυασμό με αμελητέα επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης. Τέλος, στο πυρίτιο παρουσιάζεται αρκετά ισχυρή απορρόφηση δύο φωτονίων(tpa), λόγω του εμμέσου διακένουτων E gap = 1.12 ev,κάτιπουσημαίνειπωςηαπόσβεσηενόςκύματοςθααυξάνεται ανάλογα με την αύξηση του επιπέδου της ισχύος. Εστιάζοντας στο πυρίτιο, που αποτελεί ένα ευρύτατα χρησιμοποιούμενο υλικό σε πληθώρα εφαρμογών, σημειώνουμε πως, εκτός από την αύξηση των απωλειών, η TPA δημιουργεί επίσης ζεύγη ελευθέρων φορέων στο εσωτερικό του ημιαγωγού. Εχει αποδειχθεί πως, όταν η συγκέντρωση των φορέων γίνει μεγάλη, τότε επηρεάζονται οι γραμμικές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του μέσου, δηλαδή η μιγαδικής σχετική διηλεκτρική σταθερά, οδηγώντας σε επιπλέον φασική ολίσθηση(διασπορά) και απώλειες[41]. Καταλαβαίνει κανείς πως αυτά τα φαινόμενα ελευθέρων φορέων(free carrier effects, FCE) εξαρτώνται αφενός από την πυκνότητα των φορέων και αφετέρου από τον χρόνο ζωής τους. Η χρονική δυναμική των FCE είναι τυπικά στην τάξη-μεγέθους του 1 ns για το πυρίτιο, και έχει ιδιαίτερη σημασία στη σχεδίαση τηλεπικοινωνιακών διατάξεων, καθώς οι φορείς που δημιουργούνται από ένα χρονικό-σημείο του σήματος επιδρούν σε ακόλουθα σημεία του ίδιου σήματος, όπως και σε άλλα σήματα που τυχαίνει να βρίσκονται σε άλλες πολώσεις, κανάλια ή συχνότητες του κυματοδηγού. Προκειμένου να περιοριστεί η επίδραση των FCE, έχει προταθεί η ενσωμάτωση μίας ανάστροφα πολωμένης διόδου στη διατομή του κυματοδηγού, που οδηγεί στη σάρωση(απαγωγή, sweeping) των φορέων από την περιοχή οδήγησης. Αντιθέτως, σε κάποιες εφαρμογές είναι επιθυμητή η ενδυνάμωση των φαινομένων αυτών, οπότε, ελεύθεροι φορείς εγχέονται στο εσωτερικό του ημιαγωγού μέσω κατάλληλων επαφών. Συνολικά, το βασικό μέγεθος που ελέγχει την βαρύτητα των FCE είναι η πυκνότητα των ηλεκτρονίων και οπών (N e και N h,αντίστοιχα),ηοποίαπεριγράφεταιαπόμίαδιαφορικήεξίσωσητηςμορφής[36] N ν t = G N ν τ eff,ν +D ν 2 N ν s ν µ ν (N ν E dc ), (2.17) όπουοδείκτης ν = {e,h}συμβολίζειταηλεκτρόνιακαιτιςοπές. Στοδεξιόμέλοςτης παραπάνω εξίσωσης αναγνωρίζουμε κατά σειρά τους όρους γέννησης, επανασύνδεσης, διάχυσης και έγχυσης/απαγωγής φορέων. Πιο συγκεκριμένα, G είναι ο ρυθμός δημιουργίας φορέωνπουσχετίζεταιμετην TPA, τ eff,ν είναιοενεργόςχρόνοςεπανασύνδεσης/ζωήςτων φορέων, D ν είναιησταθεράδιάχυσης, s e/h = 1, µ ν είναιηκινητικότητατωνφορέων, E dc είναικάποιοεξωτερικάεπιβαλλόμενοηλεκτρικόπεδίογιατησάρωσηήέγχυσηφορέων και είναι ο χωρικός διαφορικός τελεστής. Τέλος, θα πρέπει να σημειώσουμε πως στην περίπτωση που η TPA(ή η απορρόφηση λόγω ελευθέρων φορέων) είναι ισχυρή, τότε ενδέχεται η θερμοκρασία του μέσου να αυξάνεται προκαλώντας μία δευτερογενή μεταβολή των ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών(κυρίως των γραμμικών), εφόσον αυτά παρουσιάζουν σημαντική θερμο-οπτική εξάρτηση. Συνοψίζοντας, παρατηρούμε πως στα ημιαγώγιμα υλικά, όπως το πυρίτιο, εμφανίζεται εν γένει μία πληθώρα διαφορετικών μηχανισμών που ο καθένας επιδρά με τον τρόπο του στην οπτική κυματοδήγηση: διαφορά δεικτών διάθλασης, διασπορά, απώλειες, ανισοτροπία, μη-γραμμικότητα, φαινόμενα φορέων και θέρμο-οπτικά φαινόμενα. 38

53 2.3. Ανακεφαλαίωση 2.3 Ανακεφαλαίωση Το κεφάλαιο αυτό αφιερώθηκε στην περιγραφή των βασικών μηχανισμών οπτικής κυματοδήγησης, όπως και των ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών των υλικών που τυπικά χρησιμοποιούνται σε ολοκληρωμένες επίπεδες φωτονικές διατάξεις, για τηλεπικοινωνιακές και γενικότερα φωτονικές εφαρμογές στην κοντινή υπέρυθρη(nir) περιοχή του φάσματος. Οι μηχανισμοί οδήγησης επεξηγήθηκαν ποιοτικά με χρήση του μονοδιάστατου κυματοδηγού επιπέδων πλακών, και ταξινομήθηκαν στους μηχανισμούς ολικής εσωτερικής α- νάκλασης(tir), στους επιφανειακούς πλασμονικούς(spp) καθώς και στους υβριδικούςπλασμονικούς(hp). Οι ιδιότητες των οπτικών υλικών που αναγνωρίστηκαν περιλαμβάνουν τη συχνοτική διασπορά υλικού, τις απώλειες, το μοντέλο του πλάσματος για διεπιφάνειες μετάλλου/διηλεκτρικού, την ανισοτροπία στην επιδεκτικότητα πρώτης τάξης χ(1), τη θέρμο-οπτική εξάρτηση του δείκτη διάθλασης, τα διάφορα μη-γραμμικά φαινόμενα που περιγράφονταιαπότηνεπιδεκτικότητατρίτηςτάξης χ (3) καιταφαινόμεναελευθέρωνφορέων που εμφανίζονται σε ορισμένους ημιαγωγούς. Τέλος, ιδιαίτερο ενδιαφέρον δόθηκε στους υβριδικούς πλασμονικούς κυματοδηγούς και στο πυρίτιο, που εμφανίζει σε κάποιον βαθμό όλες τις παραπάνω ιδιότητες. 39

54 40

55 3 Υπολογιστικές μέθοδοι για τρισδιάστατα διανυσματικά προβλήματα κυματοδήγησης Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται τα υπολογιστικά εργαλεία που αναπτύχθηκαν για τη προσομοίωση των διατάξεων κυματοδήγησης που θα μελετηθούν στα επόμενα κεφάλαια. Πρόκειται για ένα εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών(eigenmode solver) κυματοδηγού και μία υλοποίηση της μεθόδου διάδοσης δέσμης(beam propagation method, BPM). Τα δύο υπολογιστικά εργαλεία μοιράζονται κάποια κοινά χαρακτηριστικά. Πρώτον, βασίζονται στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(finite element method, FEM)[160, 161] για τη διακριτοποίηση της δισδιάστατης εγκάρσιας διατομής του κυματοδηγού. Δεύτερον, όσον αφορά στην αντιμετώπιση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, είναι πλήρως διανυσματικά (full-vector) σε αντιδιαστολή με απλούστερες βαθμωτές(scalar) προσεγγίσεις που συχνά χρησιμοποιούνται σε κλασικούς φωτονικούς κυματοδηγούς. Τρίτον, είναι μέθοδοι του πεδίου της συχνότητας(spectral methods, frequency domain), κάτι που σημαίνει ότι η κάθε προσομοίωση αναφέρεται σε ένα μόνο μήκος κύματος. Τέλος, εκτός από την ανομοιογένεια της διατομής και τη διασπορά των υλικών που αποτελούν τον κυματοδηγό, και τα δύοεργαλείαμπορούνναχρησιμοποιηθούνγιατημελέτηδιατάξεωνμεανισοτροπική χ (1) επιδεκτικότητακαι/ήμη-γραμμικότητατύπου χ (3). Συσχετίζοντας τα δύο εργαλεία, επισημαίνουμε πως αφενός η BPM μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ρυθμών κυματοδηγού, και αφετέρου το σύνολο των ιδιορρυθμών που υπολογίζονται από τον eigenmode solver μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μοντελοποίηση διάδοσης, με χρήση κατάλληλων αναπτυγμάτων(eigenmode expansion). Υπό το πρίσμα αυτό, μπορούμε να πούμε πως τα δύο εργαλεία είναι σε σημαντικό βαθμό συμπληρωματικά και/ή μπορούν να χρησιμοποιηθούν για διασταύρωση αποτελεσμάτων. Τέλος, σημειώνουμε πως η BPM απαιτεί μία διέγερση εισόδου στην είσοδο του κυματοδηγού για την εκκίνηση της διάδοσης, η οποία συνήθως λαμβάνεται από τον eigenmode solver, αξιοποιώντας έτσι τη συμβατότητα των δύο εργαλείων που στηρίζονται στην κοινή διακριτοποίησης της διατομής μέσω πεπερασμένων στοιχείων. Η διάρθρωση του κεφαλαίου έχει ως εξής: η πρώτη ενότητα ασχολείται με γενικά εισαγωγικά στοιχεία για την εφαρμογή της FEM στην επίλυση διανυσματικών εξισώσεων ή σε προβλήματα εύρεσης ιδιοτιμών, σε χώρο με δεδομένες οριακές συνθήκες. Στο πλαίσιο του κεφαλαίου, ο χώρος είναι η εγκάρσια στη διεύθυνση διάδοσης δισδιάστατη διατομή ενός κυματοδηγού με αυθαίρετη κατανομή υλικών, και οι διανυσματικές εξισώσεις που μοντελοποιούνται με την FEM προκύπτουν από την κυματική εξίσωση. Στην ενότητα αυτή σχολιάζεται η διαδικασία δημιουργίας πλέγματος πεπερασμένων στοιχείων, η κατασκευή διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων μορφής για την ορθή μοντελοποίηση του πεδίου, η διαδικασία εφαρμογής της τεχνικής Galerkin και, τέλος, οι οριακές συνθήκες του προβλή- 41

56 Κεφάλαιο 3 ματος. Η δεύτερη ενότητα περιγράφει το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, που αποτελεί το πρώτο βήμα στη μελέτη μίας διάταξης κυματοδήγησης. Γίνεται η διατύπωση του προβλήματος, δίνονται τα βασικά στοιχεία της εφαρμογής της FEM στο συγκεκριμένο πρόβλημα και, τέλος, παρατίθεται μία εκτεταμένη συζήτηση για την ταυτοποίηση και τον χαρακτηρισμό των ιδιορρυθμών μίας διάταξης κυματοδήγησης. Η τρίτη και τελευταία ενότητα επικεντρώνεται στην BPM που χρησιμοποιείται στη μελέτη διατάξεων κυματοδήγησης με σαφώς ορισμένο οπτικό άξονα. Διατυπώνεται το σύστημα εξισώσεων του σχήματος διάδοσης, γίνεται διάκριση ανάλογα με την ανισοτροπία που παρουσιάζουν τα υλικά του κυματοδηγού, σχολιάζονται και περιγράφονται οι μετασχηματισμοί που απαιτούνται για τη διάρθρωση του προβλήματος και, τέλος, παρατίθενται κάποια στοιχεία για την εύρεση ιδιορρυθμών όπως και για τη προσομοίωση αξονικά-μεταβαλλόμενων και μη-γραμμικών διατάξεων. 3.1 Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς Στην ενότητα αυτή περιγράφουμε τα βασικά στοιχεία της εφαρμογή της FEM σε προβλήματα κυματοδήγησης[160, 161]. Αρχικά, θα σχολιάσουμε τη διακριτοποίηση της διατομής του κυματοδηγού με πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων. Ακολούθως, παρουσιάζονται οι διανυσματικές(vector) και βαθμωτές(scalar) συναρτήσεις μορφής(shape functions, SF) που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των εγκάρσιων και της αξονικής συνιστώσας του πεδίου, αντίστοιχα. Οι συναρτήσεις μορφής ορίζονται για κάθε στοιχείο, είναι μηδενικές εκτός αυτού, εξαρτώνται από τις γεωμετρικές διαστάσεις του και κατασκευάζονται ώστε να εισάγουν την επιθυμητή τάξη προσέγγισης. Ετσι, υπερθέτοντας τις SF με κατάλληλα βάρη μπορούμε να υπολογίσουμε το μιγαδικό διάνυσμα του πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο της διατομής. Καταλαβαίνει κανείς ότι ο προσδιορισμός αυτών των βαρών, που αποκαλούνται βαθμοί ελευθερίας(degrees of freedom, DoF) του προβλήματος, είναι κεντρικός στόχος της FEM στο εκάστοτε ηλεκτρομαγνητικό πρόβλημα. Πρέπει να σημειώσουμε ότι οι DoF αναφέρονται στο σύνολο του πλέγματος και, συνεπώς, είναι κοινοί ή γραμμικώς εξαρτημένοι για παραπάνω του ενός στοιχεία. Τέλος, στο σημείο αυτό γίνεται αναφορά στο ζήτημα του υπολογισμού των DoF για την ανάπτυξη δοθείσας διανυσματικής κατανομής πεδίου σε συγκεκριμένο σύνολο συναρτήσεων βάσης. Ακολουθεί η γενικευμένη διαφορική διατύπωση του ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος που θα αντιμετωπισθεί με την FEM. Εχοντας διακριτοποιήσει τον χώρο με πεπερασμένα στοιχεία και χρησιμοποιώντας κατάλληλες οριακές συνθήκες, το πρόβλημα ανάγεται τελικά, με χρήση της τεχνικής Galerkin, σε ένα σύστημα αραιών πινάκων(sparse matrix). Η διαδικασία αυτή εμπλέκει ολοκλήρωση στον χώρο του προβλήματος(εγκάρσιο επίπεδο του κυματοδηγού), διαχωρισμό των ολοκληρωμάτων ανά στοιχείο και τελικά συνάθροιση (assembly) των συμβολών όλων των στοιχείων. Τονίζεται πως το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο λογίζεται πλήρως διανυσματικό και, συνεπώς, λαμβάνονται υπόψη και οι τρεις καρτεσιανές συνιστώσες του μέσω των αντίστοιχων συναρτήσεων μορφής. Στην περίπτωση του εργαλείου ευρέσεως ιδιορρυθμών, προκύπτει ένα πρόβλημα ιδιοτιμών(eigenvalue problem), με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα να αντιστοιχίζονται στις φασικές σταθερές και στις εγκάρσιες κατανομές των ιδιορρυθμών του κυματοδηγού, αντίστοιχα. Στην περίπτωση της BPM, απαιτείται η επίλυση ενός αραιού γραμμικού συστήματος για τον υπολογισμό της κατανομήςτουπεδίουσεαπόστασηδιάδοσης z = z 0 + z,ότανείναιγνωστήηκατανομή 42

57 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς τουπεδίουστηθέση z = z 0. Στο τέλος της ενότητας γίνεται σύντομη αναφορά στις οριακές συνθήκες(boundary conditions) που συμπληρώνουν το ηλεκτρομαγνητικό πρόβλημα οδήγησης. Αυτές χρησιμοποιούνται τόσο για τον τερματισμό του υπολογιστικού παραθύρου(το οποίο, στην πράξη, έχει πεπερασμένες διαστάσεις), όσο και για την απορρόφηση της ακτινοβολίας που φτάνει στα όρια του παραθύρου, προσομοιώνοντας έτσι τον ομογενή άπειρο χώρο που συνηθέστατα θεωρείται πως περιβάλλει τους διηλεκτρικούς κυματοδηγούς. Η απορρόφηση της ακτινοβολίας που φτάνει στα όρια του παραθύρου πρέπει να γίνεται με τρόπο κατά το δυνατό«προσαρμοσμένο», δηλαδή να μην προκαλεί τεχνιτή/αφύσικη ανάκλαση του κύματος πίσω στον κυματοδηγό. Στη συγκεκριμένη ενότητα, εκτός από τις οριακές συνθήκες που εφαρμόζονται στα όρια του παραθύρου(δηλαδή στους οριακούς κόμβους και ακμές του πλέγματος), θα εισάγουμε και τα τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα(perfectly matched layers, PML)[168] τεχνητής απορρόφησης, που χρησιμοποιούνται ευρύτατα στον υπολογιστικό ηλεκτρομαγνητισμό Διακριτοποίηση με πλέγμα τριγωνικών πεπερασμένων στοιχείων Η διακριτοποίηση της εγκάρσιας διατομής του κυματοδηγού στο xy-επίπεδο γίνεται με στοιχεία τριγωνικού σχήματος, που αποτελούν το γεωμετρικό simplex του χώρου δύο διαστάσεων. Σε αρχικό στάδιο ορίζονται τα κανονικά σχήματα(πολύγωνα, ελλείψεις) που αντιστοιχίζονται προς τις ομογενείς περιοχές της διατομής. Επειτα, δημιουργείται το πλέγμα των τριγωνικών στοιχείων με κάποιον αλγόριθμο(όπως Delaunay) και περιγράφεται τελικά από τις xy-συντεταγμένες των κόμβων(nodes) που συμπίπτουν με τις κορυφές(vertices) των τριγωνικών στοιχείων. Ενα τέτοιο πλέγμα παρουσιάζεται στο Σχ. 3.1, όπου τα στοιχεία χρωματίζονται ανάλογα με τον δείκτη διάθλασης που έχει αποδοθεί στα κανονικά σχήματα που ορίζουν τις ομογενείς περιοχές της διατομής. Το μέγεθος των στοιχείων του πλέγματος και η κατανομή/πυκνότητα των κόμβων είναι γενικά ακανόνιστη(unstructured), αλλά υπάρχει και δυνατότητα κατασκευής κανονικών πλεγμάτων. Σε όλες τις εφαρμογές της συγκεκριμένης διατριβής χρησιμοποιήθηκαν το εργαλεία πεπερασμένων στοιχείων του υπολογιστικούπακέτου Matlab R πουπαράγουνακανόνισταπλέγματα,μεντετερμινιστικό όμως τρόπο. Τέλος επισημαίνεται ότι όταν η διατομή του κυματοδηγού αποτελείται από κανονικά σχήματα με κατά-περιοχή ομογενή υλικά, όπως δηλαδή συνήθως συμβαίνει στην πράξη(όπως για παράδειγμα στο Σχ. 3.1), τότε τα δεδομένα αυτά λαμβάνονται καταλλήλως υπόψη στον αλγόριθμο δημιουργίας πλέγματος(mesh generation), προκειμένου οι ακμές των στοιχείων του πλέγματος να συμπίπτουν με τις ακμές των κανονικών σχημάτων. Για την εφαρμογή της FEM, εκτός από τους κόμβους του πλέγματος, απαιτούνται κατάλληλοι πίνακες που απαριθμούν τα στοιχεία του πλέγματος και αντιστοιχίζουν κορυφές και ακμές τριγώνων σε στοιχεία, αποδίδοντας τους έτσι μία τοπική αρίθμηση(local indexing) εντός κάθε στοιχείου με δεδομένη πάντα τοπική φορά διαγραφής, δηλαδή δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα. Οι ακμές και οι κόμβοι του πλέγματος, εκτός από την τοπική, λαμβάνουν και ολική αρίθμηση(global indexing) που χρησιμοποιείται στη διαδικασία της συνάθροισης. Η χρησιμότητα της ολικής αρίθμησης γίνεται αντιληπτή εάν παρατηρήσουμε ότικάθεακμήτουπλέγματοςανήκεισεδύοστοιχεία,ενώκάθεκόμβοςανήκεισετρία(κατ ελάχιστο) στοιχεία, με πιο συνηθισμένα τα πέντε ή έξι στοιχεία. Οπως θα εισαχθεί στην επόμενη παράγραφο, οι βαθμοί ελευθερίας του προβλήματος σχετίζονται άμεσα με τις ακμές 43

58 Κεφάλαιο 3 Air Silicon Oxide y x Σχήμα 3.1: Διακριτοποίηση εγκάρσιας xy-διατομής SOI κυματοδηγού ράβδωσης με χρήση περίπου 1500 τριγωνικών στοιχείων. Στην περίπτωση αυτή, το μέγεθος των στοιχείων είναι διαφορετικό και η πυκνότητα τους γίνεται μεγαλύτερη κοντά στις διεπιφάνειες περιοχών διαφορετικών υλικών. και τους κόμβους του πλέγματος και γι αυτό πρέπει να αριθμούνται ολικά. Τέλος, ιδιαίτερη μέριμνα λαμβάνεται για τις κορυφές και τις ακμές που βρίσκονται στο όριο του υπολογιστικού παραθύρου, οι οποίες σχετίζονται με τις οριακές συνθήκες της ηλεκτρομαγνητικής διατύπωσης του προβλήματος. Εχοντας ορίσει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της διατομής, προχωράμε στον ορισμό των ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών της διατομής του κυματοδηγού. Οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των υλικών του κυματοδηγού δείκτης διάθλασης, σταθερά απορρόφησης, ανισοτροπία, μη-γραμμικότητα αποδίδονται με βάση το βαρύκεντρο(centroid) του κάθε τριγωνικού στοιχείου και, αποτελώντας δεδομένο του προβλήματος, μπορούν να λαμβάνουν αυθαίρετες τιμές με τυχούσα εγκάρσια κατανομή(προφίλ). Στο Σχ. 3.1, οι διαβαθμίσεις του φαιού χρώματος αντιστοιχούν στις τρεις διακριτές τιμές των αντίστοιχων υλικών που συνθέτουν τη διατομή ενός κυματοδηγού ράβδωσης τεχνολογίας πυριτίου-σεδιηλεκτρικό(silicon on insulator, SOI). Η διακριτοποίηση με ευθύγραμμα(recti-linear) πεπερασμένα στοιχεία περιγράφει επακριβώς γεωμετρίες επίπεδων(planar) κυματοδηγών, όπως του Σχ. 3.1, ενώ μπορεί να περιγράψει ικανοποιητικά και γεωμετρίες με κυρτά/κοίλα τμήματα. Το τελευταίο επιτυγχάνεται με μεγάλη πυκνότητα πλέγματος(mesh resolution) ή, εναλλακτικά, με χρήση καμπυλόγραμμων(curvi-linear) στοιχείων[205]. Στην παρούσα διατριβή μας απασχόλησαν αποκλειστικά επίπεδες γεωμετρίες, οπότε δεν θα υπεισέλθουμε σε επιπλέον λεπτομέρειες προς αυτήν την κατεύθυνση Κατασκευή συναρτήσεων μορφής Κατά την εφαρμογή της FEM σε ένα δισδιάστατο χώρο, όπως η διατομή ενός κυματοδηγού που θα μελετήσουμε, η εγκάρσια κατανομή της διανυσματικής μιγαδικής συνάρτησης που αποτελεί την λύση του ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος εκφράζεται με ανάπτυγμα σε συναρτήσεις μορφής(shape function, SF)[206]. Αυτές ορίζονται με κλειστές εκφράσεις από τη γεωμετρία του κάθε στοιχείου του πλέγματος, είναι μηδενικές εκτός αυτού και διακρίνονται σε βαθμωτές και διανυσματικές συναρτήσεις, ώστε να μπορούν να περιγράψουν τα αντίστοιχα μεγέθη. Οπως σχολιάστηκε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου, οι συναρ- 44

59 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς τήσεις μορφής εξαρτώνται μόνο από τη γεωμετρία του πλέγματος ενώ συντελεστές του αναπτύγματος(ή βαθμοί ελευθερίας DoF) είναι συνήθως ο προς-προσδιορισμό άγνωστος του προβλήματος. Το συνολικό διανυσματικό μιγαδικό πεδίο μπορεί να γραφεί στη μορφή F = F t + F z ẑ,όπου F t = F xˆx + F y ŷ,χωρίζονταςτιςεγκάρσιες(x,y)απότηδιαμήκη/αξονική(z) συνιστώσα. Ο διαχωρισμός αυτός προκύπτει ως φυσική επιλογή καθότι μελετάμε προβλήματα κυματοδήγησης με διάδοση κατά τον z-άξονα. Οι δύο εγκάρσιες συνιστώσεςτουπεδίου(f t )θαπεριγράφονταιαπόένασύνολοδιανυσματικώνσυναρτήσεων μορφής,ενώηδιαμήκηςσυνιστώσα(f z )θαπεριγράφεταιαπόένασύνολοβαθμωτώνσυναρτήσεων μορφής. Το πεδίο F μπορεί να είναι το ηλεκτρικό ή το μαγνητικό, ενώ υπονοείται εγκάρσια χωρική εξάρτηση F(x, y). Οι συναρτήσεις μορφής προσαρτώνται στις κορυφές ή/και στις ακμές των στοιχείων του πλέγματος και η κλειστή τους μορφή υπολογίζεται τελικά μόνο από τις xy-συντεταγμένες τωνκορυφώντους.μετοντρόποαυτό,τοπεδίοστοτυχαίοσημείο (x 0,y 0 )πουβρίσκεται στο εσωτερικού του e-στοιχείου του πλέγματος, θα δίνεται από ένα ανάπτυγμα στις συναρτήσεις μορφής του, δηλαδή από την υπέρθεση με κατάλληλα«βάρη» στάθμισης της τιμής των συναρτήσεων μορφή στο εν λόγω σημείο, F(x 0,y 0 ) = i w (e) i (x 0,y 0 )V i +ẑ j L (e) j (x 0,y 0 )N j. (3.1) Στην παραπάνω σχέση οι δείκτες j και i διατρέχουν την τοπική αρίθμηση των βαθμωτών (L) και διανυσματικών(w) συναρτήσεων μορφής του e-στοιχείου, αντίστοιχα. Στην υλοποίηση μας, όλες οι συναρτήσεις μορφής λαμβάνουν πραγματικές τιμές στον xy-χώρο, και σταθμίζονται με τα εν γένει μιγαδικά βάρη V και N, αντίστοιχα. Τονίζεται, ότι αυτή είναι απλά μία σύμβαση και όχι αναγκαστική επιλογή. Τα μιγαδικά βάρη σχετίζονται με τους βαθμούς ελευθερίας του συνολικού προβλήματος/πλέγματος, αλλά, προς το παρόν, μπορούν να θεωρηθούν ως αυθαίρετες μιγαδικές τιμές που αριθμούνται τοπικά για το e-στοιχείο και προσαρτώνται μονοσήμαντα στις αντίστοιχες συναρτήσεις μορφής. Σκοπός αυτής της παραγράφου είναι να δείξει τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζονται οι συναρτήσεις μορφής L και w των στοιχείων, ώστε να προσαρμόζονται βέλτιστα στις α- νάγκες του ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος κυματοδήγησης[206]. Βασική απαίτηση είναι οι συναρτήσεις μορφής να πληρούν με φυσικό τρόπο της οριακές συνθήκες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στις διεπιφάνειες μεταξύ διαφορετικών υλικών, δηλαδή τη συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας του F. Επίσης, καταλαβαίνει κανείς ότι οι συναρτήσεις μορφής μπορούν να κατασκευαστούν με τρόπο ώστε να εισάγουν την επιθυμητής τάξης προσέγγιση εντός του στοιχείου. Για παράδειγμα, οι βαθμωτές SF μπορεί να είναι σταθερές εντός του στοιχείου ή να μεταβάλλονται γραμμικά, τετραγωνικά κ.ο.κ. εντός αυτού, σε σχέση με τις κορυφές/ακμές με τις οποίες συναρτώνται. Ομοίως, οι διανυσματικές SF μπορεί να παρουσιάζουναντίστοιχηεξάρτησηστοεφαπτομενικόήστοεγκάρσιομέρος 1 τους. Στις παραγράφους που ακολουθούν, θα παρουσιάσουμε πρώτα τις βαθμωτές συναρτήσεις μορφής, που είναι απλούστερες, και έπειτα τις διανυσματικές, που παρουσιάζουν αυξημένη πολυπλοκότητα. Τέλος, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι πολλές φορές οι όροι«συναρτήσεις μορφής» και«στοιχεία» συγχέονται, ή εκφυλίζονται στην ίδια σημασία. Με αντίστοιχο τρόπο, οι όροι«βαθμωτά» και«κομβικά» στοιχεία(ή«διανυσματικά» στοιχεία και στοιχεία 1 Οιδιανυσματικέςσυναρτήσειςβάσηςσυνήθωςσυναρτώνταιμεσυγκεκριμένεςακμέςενόςστοιχείου, και ως προς αυτές τις ακμές ορίζουμε το εφαπτομενικό και εγκάρσιο μέρος τους. 45

60 Κεφάλαιο 3 «ακμής»), επίσης θεωρούνται ταυτόσημοι, λόγω της προσάρτησης αυτών στους κόμβους(ή τις ακμές) του πλέγματος Βαθμωτές συναρτήσεις μορφής Η απλούστερη επιλογή για τις βαθμωτές συναρτήσεις μορφής είναι να ταυτίζονται με τις simplex συντεταγμένες ενός τριγωνικού στοιχείου[160, 206]. Οι τελευταίες αποτελούν τις«φυσικές» συντεταγμένες για σημεία που βρίσκονται στο εσωτερικό ενός στοιχείου και συμβολίζονταιμε ζ i όπου i = {1,2,3}. Υιοθετούμετονορισμόκορυφώνκαιακμώντριγωνικού στοιχείου του Σχ. 3.2(a), με τοπική αρίθμηση αριστερόστροφης φοράς διαγραφής. Το αστέρι υποδεικνύει την πρώτη κατά-σύμβαση κορυφή, ενώ η πρώτη ακμή είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την πρώτη κορυφή. Ετσι, η εγκάρσια κατανομή της πρώτης κατά-σύμβασησυνάρτησηςμορφής L 1 ζ 1 δίνεταιαπότησχέση ζ 1 (x,y) = a 1 +b 1 x+c 1 y, (3.2) όπουοιπαράμετροι a 1, b 1, c 1 δίνονταισυναρτήσειτων xy-συντεταγμένωντωντριώνκορυφών του τριγώνου από τις σχέσεις a 1 = x 2y 3 y 2 x 3 2A e, b 1 = y 2 y 3 2A e, c 1 = x 3 x 2 2A e, (3.3) όπου A e είναιηεπιφάνειατουτριγωνικού e-στοιχείου,πουδίνεταιαπότησχέση A e = 1 x 1 x 2 x 3 2 det y 1 y 2 y (3.4) Οι αντίστοιχες abc-παράμετροι για τις υπόλοιπες δύο συναρτήσεις μορφής λαμβάνονται από τηνεξ.(3.3)μεκυκλικήεναλλαγήτωνδεικτών, Μετονπαραπάνωορισμό,ηποσότηταL i (x,y)είναιαδιάστατηκαιλαμβάνειτιμέςμεταξύ [0, 1]. Η εγκάρσια κατανομή για τις τρεις συναρτήσεις μορφής στο xy-επίπεδο ενός στοιχείου παρουσιάζεται στα Σχ. 3.2(b)-(d), όπου η χρωματική διαβάθμιση διατρέχει τις τιμές 0 1καισημειώνονταικαιοιισοσταθμικέςεπιφάνειεςτης.Οιτελευταίες,γιατην L i,είναι ευθείες παράλληλες με την [i]-ακμή, μηδενίζονται επάνω σε αυτήν και λαμβάνουν τη μέγιστητιμήτους(μονάδα)επάνωστην i-κορυφή.γιαπαράδειγμα,οι [ζ 1 ζ 2 ζ 3 ]-συντεταγμένες γιατηνπρώτηκατά-σύμβασηκορυφήείναι [1 0 0],γιατομέσοτηςπρώτηςακμήςείναι [0 1 /2 1 /2]καιγιατοβαρύκεντροτουστοιχείουείναι [ 1 /3 1 /3 1 /3]. Προφανώς,οιπαραπάνω σχέσεις ισχύουν εκ ταυτότητος για όλα τα στοιχεία του πλέγματος, ενώ ικανοποιείται πάντα ηταυτότητα ζ 1 +ζ 2 +ζ 3 = 1. Οι συγκεκριμένες συναρτήσεις μορφής παρουσιάζουν γραμμική εξάρτηση εντός του στοιχείου, και γι αυτό αποκαλούνται και γραμμικές(ή πρώτης τάξης) βαθμωτές συναρτήσεις βάσης. Στη βιβλιογραφία αναφέρονται συχνά και πιο γενικευμένα ως γραμμικά κομβικά πεπερασμένα στοιχεία(linear nodal elements), καθώς συσχετίζονται άμεσα με τους κόμβους του πλέγματος και επίσης ήταν τα πρώτα που αναπτύχθηκαν με την εμφάνιση της FEM για την προσομοίωση προβλημάτων σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της μηχανικής. Η επόμενη τάξη προσέγγισης των βαθμωτών συναρτήσεων μορφής είναι η τετραγωνική (ή δεύτερης τάξης), όπου υπάρχει παραβολικής μορφής εξάρτηση εντός του στοιχείου[205]. 46

61 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς (a) 2` [1] [3] y 3` [2] 1` x ζ 1` (` x,` y )` ζ 2`(` x,` y)` ζ 3`(`x,` y)` (b) (c) (d) Σχήμα 3.2: (a) Ορισμός κορυφών και ακμών τριγωνικού στοιχείου, με τοπική αρίθμηση αριστερόστροφης φοράς διαγραφής. Το αστέρι συμβολίζει την πρώτη κατά-σύμβαση κορυφή, ενώ η πρώτη ακμή είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την πρώτη κορυφή. (b)-(d) Εγκάρσια κατανομή στο xy-επίπεδο του στοιχείουτωνγραμμικώνβαθμωτώνσυναρτήσεωνμορφής L i πουταυτίζονταιμετις simplexσυντεταγμένες τουστοιχείου, ζ i όπου i = {1,2,3}.Ηχρωματικήδιαβάθμισηδιατρέχειτιςτιμές 0 1,μετηντιμή ζ i = 1 ναλαμβάνεταιστην i-κορυφή,ενώ ζ i = 0στην [i]-ακμή. Οι συναρτήσεις μορφής που απαιτούνται για την πλήρη περιγραφή της συγκεκριμένης τάξης προσέγγισης είναι διπλάσιες των γραμμικών, δηλαδή έξι ανά στοιχείο, και συναρτώνται τόσομετιςκορυφές/κόμβουςόσοκαιμεταμέσατωνακμών(δηλαδήζεύγηκόμβων)του πλέγματος.οικλειστέςσχέσειςτωνβαθμωτώντετραγωνικώνσυναρτήσεωνμορφής L 1 6 ορίζονται εδώ, ως συνάρτηση των simplex συντεταγμένων, σύμφωνα με τις σχέσεις L 1 = ζ 1 (2ζ 1 1), L 4 = 4ζ 2 ζ 3, L 2 = ζ 2 (2ζ 2 1), L 5 = 4ζ 3 ζ 1, L 3 = ζ 3 (2ζ 3 1), L 6 = 4ζ 1 ζ 2. (3.5) Η εγκάρσια κατανομή των τετραγωνικών βαθμωτών συναρτήσεων μορφής παρουσιάζεται στο Σχ. 3.3, μαζί με τις αντίστοιχες ισοσταθμικές επιφάνειες, όπου διακρίνεται η παραβολική κατανομήτουςεπάνωσεορισμένεςακμέςτουστοιχείου.διαπιστώνουμεπωςοι L i, i = 1-3, συναρτώνται άμεσα με τις αντίστοιχες i-κορυφές/κόμβους του στοιχείου[με τη σύμβαση τοπικής αρίθμησης του Σχ. 3.2(a)], όπου λαμβάνουν τη μέγιστη τιμή τους(μονάδα), ενώ μηδενίζονταιστιςαπέναντιακμές. Αντιστοίχως,οι L i+3, i = 1-3,λαμβάνουντημέγιστη τιμή τους στα μέσα των [i]-ακμών, ενώ μηδενίζονται σε όλες τις κορυφές του στοιχείου. Κλείνοντας, σημειώνουμεπωςηδιαμήκης/αξονικήσυνιστώσατουπεδίου(f z ), που περιγράφεται με τις βαθμωτές/κομβικές συναρτήσεις μορφής που μόλις εισάγαμε, είναι εξ ορισμού εφαπτομενική στις διεπιφάνειες στοιχείων και άρα πρέπει να πληροί τη συνθήκη συνέχειας. Αυτό επιτυγχάνεται με φυσικό τρόπο και απευθείας από τις βαθμωτές συναρτήσεις μορφής:ταβάρη/βαθμοί-ελευθερίας N j τηςεξ.(3.1)συναρτώνταιμετουςκόμβους(και με τα μέσα ακμών στην περίπτωση των τετραγωνικών βαθμωτών συναρτήσεων μορφής) του συνολικού πλέγματος, και άρα είναι εξ ορισμού κοινά για δύο γειτονικά στοιχεία, χωρίς να απαιτείται καμία επιπλέον μέριμνα. 47

62 Κεφάλαιο 3 (a) (b) 2` (c) 1` 3` (d) (e) (f) [1] [3] [2] Σχήμα 3.3: (a)-(f) Εγκάρσια κατανομή στο xy-επίπεδο των τετραγωνικών βαθμωτών συναρτήσεων μορφής L i,όπου i = 1-6,πουδίνονταιαπότιςΕξ.(3.5). Σημειώνονταιοικορυφέςκαιοιακμέςτου στοιχείουμετιςοποίεςσυναρτώνταιοι L i, μεβάσητηντοπικήαρίθμησηκαιτησύμβασηφοράςπου ορίσαμε στο Σχ. 3.2(a). Παρατηρείστε πως στο σημείο όπου μεγιστοποιείται η κάθε συνάρτηση μορφής, όλες οι υπόλοιπες μηδενίζονται Διανυσματικές συναρτήσεις μορφής Τοεγκάρσιομέροςτουπεδίου, F t = F xˆx = F y ŷ,είναιδιανυσματικόμέγεθοςκαιεπομένως για την περιγραφή του είναι απαραίτητη η χρήση διανυσματικών συναρτήσεων μορφής για κάθε e-στοιχείο,πουσυμβολίζονταιμε w (e). Σημειώνεταιπωςηανάπτυξητουεγκάρσιου μέρους στις δύο καρτεσιανές συνιστώσες, με την καθεμία να περιγράφεται από τις βαθμωτές συναρτήσεις μορφής της προηγούμενης παραγράφου, δεν είναι καλή επιλογή[206], διότι δεν πληροίαυστηρά 2 τησυνθήκησυνέχειαςμόνοτουεφαπτομενικούμέρουςτουπεδίουστις διεπιφάνειες διαφορετικών υλικών/στοιχείων. Αποτέλεσμα μιας τέτοιας επιλογής είναι ο υπολογισμός φυσικά εσφαλμένων πεδιακών κατανομών και η εμφάνιση αριθμητικών ψευδορρυμθών(spurious modes). Συνεπώς, για την ορθή μοντελοποίηση των διανυσματικών πεδίων απαιτείται η χρήση διανυσματικών συναρτήσεων μορφής που ενσωματώνουν με εγγενή τρόπο τις ιδιότητες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, και πιο συγκεκριμένα τη συνέχεια μόνο της εφαπτομενικής συνιστώσας. Τέτοιες συναρτήσεις μορφής προσφέρονται από το διανυσματικό στοιχείο ακμής(edge element)[206], που ονομάζεται και μορφή-1 του Whitney 3.Ηονομασίατουστοιχείουακμήςσχετίζεταιμετογεγονόςότιοιβαθμοίελευθερίας του προβλήματος συναρτώνται με επικαμπύλια ολοκληρώματα του πεδίου στις ακμές των στοιχείων, και όχι με τις τιμές του πεδίου στις κορυφές τους(κόμβους του πλέγματος) όπως συμβαίνει στα κομβικά στοιχεία. Τέλος, τονίζουμε ότι οι συναρτήσεις μορφής στο ε- σωτερικό ενός στοιχείου ακμής είναι διανύσματα, σε αντίθεση με τις βαθμωτές συναρτήσεις μορφής ενός κομβικού στοιχείου. Η απλούστερη μορφή των διανυσματικών συναρτήσεων μορφής δίνεται με βάση την 2 ΟπωςσχολιάστηκεστηνΠαράγραφο ,τακομβικάστοιχεία(ήβαθμωτέςσυναρτήσειςμορφής) επιβάλλουν εγγενώς τη συνέχεια του πεδίου στους κόμβους και τις ακμές του πλέγματος. 3 Ο Hassler Whitney( )ασχολήθηκεμετησυστηματικήθεμελίωσηδιακριτώνπροσεγγίσεων με χρήση simplex σε τρισδιάστατους χώρους στα πλαίσια της θεωρίας γεωμετρικής ολοκλήρωσης. 48

63 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς παρακάτωκλειστήσχέσηορισμού,γιατησυνάρτηση w 1 πουσυναρτάταιμετηνπρώτη κατά-σύμβαση ακμή του τριγωνικού στοιχείου, w 1 (x,y) = l 1 (ζ 2 t ζ 3 ζ 3 t ζ 2 ), (3.6) όπου ζ i είναιοι simplexσυντεταγμένεςτων i-κορυφών, t = ˆx / x + ŷ / y είναιη φορμαλιστικήέκφρασητουεγκάρσιουτελεστήκλίσηςμίαςβαθμωτήςσυνάρτησηςκαι l i είναι το μήκος της [i]-ακμής του στοιχείου, για παράδειγμα l 1 = (x 2 x 3 ) 2 +(y 2 y 3 ) 2. (3.7) Οι αντίστοιχες παράμετροι για τις υπόλοιπες συναρτήσεις μορφής δίνονται με κυκλική εναλλαγήτωνδεικτών, ,στιςΕξ.(3.6)και(3.7). Εξετάζονταςτηνέκφρασητων w i τηςεξ.(3.6),σημειώνουμεπωςηκλίσητων simplex συνιστωσώνπαρουσιάζεισταθερήτιμήστον xy-χώροτουτριγώνου, t ζ i = b iˆx+c i ŷ,με διεύθυνση κάθετη στην [i]-ακμή. Ετσι, ορίζοντας την τοπική αρίθμηση των κορυφών και των ακμών του στοιχείου όπως στο Σχ. 3.4(a), παρουσιάζουμε την εγκάρσια κατανομή τωνδιανυσματικώνσυναρτήσεωνμορφής w i (x,y)στασχ.3.4(b)-(d).παρατηρούμεότιτο διάνυσμα w i έχεισταθερόεφαπτομενικόμέροςκαιγραμμικάμεταβαλλόμενοκάθετομέρος επάνω σε όλες τις ακμές, ενώ μηδενίζεται στην i-κορυφή. Επίσης, το εφαπτομενικό μέρος του w i είναιμη-μηδενικόμόνοεπάνωστην [i]-ακμή. Γιατονλόγοαυτό,ησυγκεκριμένη επιλογή διανυσματικών συναρτήσεων μορφής αποκαλείται σταθερής εφαπτομενικής και γραμμικής κάθετης (constant tangential linear normal, CT/LN) μεταβολής[205]. Για την ενσωμάτωση των CT/LN συναρτήσεων μορφής στην FEM, είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι οι διανυσματικές αυτές SF συναρτώνται με ακμές του πλέγματος που, σε αντίθεση με τους κόμβους, έχουν συγκεκριμένη φορά η οποία ορίζεται μονοσήμαντα για το ολικό πλέγμα. Συνεπώς, δύο στοιχεία που μοιράζονται την ίδια ακμή θα μοιράζονται και τον αντίστοιχο βαθμό-ελευθερίας[«βάρος» στάθμισης των SF της Εξ.(3.1)] του πλέγματος, με διαφορετικό πρόσημο που θα προκύπτει από την τοπική φορά διαγραφής της εν λόγω ακμήςσεσχέσημετηφοράπουλαμβάνειστηνολικήαρίθμηση. Τέλος,είναιεύκολονα συμπεράνουμε πως οι CT/LN συναρτήσεις μορφής πληρούν με φυσικό τρόπο τη συνθήκη συνέχειας του εφαπτομενικού μέρους του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στη διεπιφάνεια δύο γειτονικών στοιχείων, αφού μοιράζονται τον ίδιο βαθμό-ελευθερίας. Μία επέκταση των CT/LN συναρτήσεων μορφής, προκύπτει διπλασιάζοντας τους βαθμούς ελευθερίας ανά ακμή, κάτι που ισοδυναμεί με διαχωρισμό των δύο εντός-παρενθέσεως κομματιών της Εξ.(3.6). Οι διανυσματικές συναρτήσεις μορφής που βασίζονται σε αυτήν την επέκταση αποκαλούνται γραμμικής εφαπτομενικής γραμμικής κάθετης (linear tangential linear normal, LT/LN) μεταβολής[205], και δίνονται από τις σχέσεις w 1 = +l 1 ζ 2 t ζ 3, w 4 = l 1 ζ 3 t ζ 2, w 2 = +l 2 ζ 3 t ζ 1, w 5 = l 2 ζ 1 t ζ 3, w 3 = +l 3 ζ 1 t ζ 2, w 6 = l 3 ζ 2 t ζ 1. (3.8) Η εγκάρσια κατανομή των διανυσματικών LT/LN συναρτήσεων μορφής παρουσιάζεται στο Σχ.3.5.Εξετάζονταςτημορφήτους,διαπιστώνουμεπωςτοζεύγοςσυναρτήσεων w i και w i+3,όπου i = {1,2,3},έχειταεξήςγνωρίσματα: Πρώτον,μηδενίζεταιστην i-κορυφή, δεύτερον, παρουσιάζει LT/LN μεταβολή επάνω στην [i]-ακμή και, τρίτον, μηδενίζεται και παρουσιάζει CT/LN μεταβολή(με μηδενικό εφαπτομενικό μέρος) στις άλλες δύο ακμές, 49

64 Κεφάλαιο 3 (a) 2` [ 1`] [ 3`] y x 3` [ 2`] 1` w 1 ( x, y) w 2 (, x y) (b) (c) (d) 2` [ 1`] 1` [ 2`] 3` w 3 (,) x y [ 3`] Σχήμα 3.4: (a) Ορισμός κορυφών και ακμών τριγωνικού στοιχείου, με τοπική αρίθμηση αριστερόστροφης φοράς διαγραφής. Το αστέρι συμβολίζει την πρώτη κατά-σύμβαση κορυφή, ενώ η πρώτη ακμή είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την πρώτη κορυφή. Σημειώνονται επίσης τα εφαπτομενικά και κάθετα στις ακμές διανύσματα. (b)-(d) Εγκάρσια κατανομή στο xy-επίπεδο του στοιχείου των CT/LN διανυσματικών συναρτήσεωνμορφής w i, i = {1,2,3}. Τοδιάνυσμα w i έχεισταθερόεφαπτομενικόμέροςκαιγραμμικά μεταβαλλόμενο κάθετο μέρος επάνω σε όλες τις ακμές, ενώ μηδενίζεται στην i-κορυφή. Επίσης, το εφαπτομενικόμέροςτου w i είναιμη-μηδενικόμόνοεπάνωστην [i]-ακμή. αντίστοιχα. Τέλος, εύκολα επιβεβαιώνουμε πως με υπέρθεση των δύο προκύπτει η αντίστοιχη CT/LN διανυσματική συνάρτηση μορφής. Οπως και για τις CT/LN συναρτήσεις μορφήςέτσικαιεδώαπαιτείταιπροσοχήκατάτηνενσωμάτωσητουςστη FEM.Οιδύοδιανυσματικές συναρτήσεις μορφής θα έχουν μία μονοσήμαντα ορισμένη ολική φορά αναφοράς, έτσι ώστε τα δύο γειτονικά στοιχεία που μοιράζονται την εν λόγω ακμή, να λαμβάνουν με αντίθετο πρόσημο τις δύο SF κατά τη στάθμιση με τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας του πλέγματος, ανάλογα με την τοπική φορά διαγραφής. Για να αυξήσουμε συνολικά την τάξη προσέγγισης, τόσο για την εφαπτομενική όσο και για την κάθετη στις ακμές μεταβολή, σε σχέση με τις θεμελιώδεις(πρώτης τάξης) CT/LN συναρτήσεις μορφής, αποδεικνύεται[207] πως απαιτείται η χρήση δύο επιπλέον διανυσματικώνσυναρτήσεων, w 7,8,σεσυνδυασμόμετις LT/LN.Αυτέςαποκαλούνταιμηδενικής εφαπτομενικής τετραγωνικής κάθετης (zero tangential quadratic normal, ZT/QN μεταβολής[205], και μπορούν να οριστούν με δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος ορισμός γίνεται σύμφωνα με τις σχέσεις w 7a = 4g 1 ζ 2 ζ 3, w 8a = 4g 2 ζ 3 ζ 1, (3.9αʹ) (3.9βʹ) όπου g i = t ζ i / t ζ i είναιτοκανονικοποιημένου-πλάτουςδιάνυσμακλίσηςτης simplex συνιστώσας ζ i,ενώοεναλλακτικόςορισμόςείναισύμφωναμε w 7b = 4ζ 1 [l 1 (ζ 2 t ζ 3 ζ 3 t ζ 2 )], w 8b = 4ζ 2 [l 2 (ζ 3 t ζ 1 ζ 1 t ζ 3 )]. (3.10αʹ) (3.10βʹ) 50

65 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς w 1 ( x,) y w 2 (,) x y (a) (b) 2` (c) w 3 (,) x y [ 1` ] [ 3`] 1` 3` [ 2`] (d) w 4 (,) x y (e) w 5 (,) x y 2` (f) w 6 (,) x y [ 1`] [ 3`] 1` [ 2`] 3` Σχήμα 3.5: (a)-(f) Εγκάρσια κατανομή στο xy-επίπεδο των LT/LN διανυσματικών συναρτήσεων μορφής w i,όπου i = 1-6,αντίστοιχα,πουδίνονταιαπότιςΕξ.(3.8). Σημειώνονταιοικορυφέςκαιοιακμέςτου στοιχείουμετιςοποίεςσυναρτώνταιοι w i,μεβάσητηντοπικήαρίθμησηκαιτησύμβασηφοράςδιαγραφής του Σχ. 3.4(a). Σύμφωνα με τη συστηματική θεωρητική ανάλυση του Nedelec[207], η επιλογή των ZT/QN συναρτήσεων των Εξ.(3.10) είναι αυτή που οδηγεί στην πληρέστερη περιγραφή στον χώρο R 3 μετηδεδομένητάξηπροσέγγισης. Παρ όλααυτά,καιοισυναρτήσειςτωνεξ.(3.9) ή, ακόμα και η χρήση μόνο των LT/LN συναρτήσεων, μπορούν να διακριτοποιήσουν με ικανοποιητική ακρίβεια τον δισδιάστατο διανυσματικό χώρο. Σχολιάζοντας, παρατηρούμε πως οι εντός-αγκυλών ποσότητες των Εξ.(3.10) ταυτίζονται με τις CT/LN συναρτήσεις w 1 (ή w 2 )καικλιμακώνονταιμετις ζ 1 (ή ζ 2 )γιανασχηματίσουντελικάτις w 7b (ή w 8b ), αντίστοιχα. Οι κατανομές των ZT/QN συναρτήσεων μορφής παρουσιάζονται στο Σχ. 3.6, και για τους δύο ορισμούς, όπου παρατηρούμε τη μηδενική τιμή της εφαπτομενικής συνιστώσας(zt)καιτηνπαραβολικήμεταβολήτηςκάθετηςσυνιστώσας(qn)επάνωσεμίαήδύο ακμές, για την περίπτωση των Εξ.(3.9) ή(3.10), αντίστοιχα. Συσχετίζοντας τις ZT/QN συναρτήσειςμετιςακμέςτουστοιχείου,μπορούμεναπούμεπωςοι w (i)a και w (i)b είναι μη-μηδενικές και μηδενικές, αντίστοιχα, μόνο επάνω στην [i 6]-ακμή. Τέλος, θα πρέπει να σημειώσουμε πως οι διανυσματικές ZT/QN συναρτήσεις μορφής δεν συναρτώνται με κάποια ακμή του πλέγματος, παρά μόνο με τα στοιχεία καθ αυτά. Συνεπώς, ανήκουν εξ ολοκλήρου στα στοιχεία για τα οποία ορίζονται, δηλαδή δεν«μοιράζονται» με γειτονικά στοιχεία. Γιατολόγοαυτό,δεναπαιτείταικάποιαιδιαίτερημέριμνα 4 στηχρησιμοποίησητουςκατά την υλοποίηση της FEM, σε αντίθεση με τις υπόλοιπες διανυσματικές συναρτήσεις μορφής, 4 Γιατηνακρίβεια,ηανάλυσητου Nedelec,ορίζειπωςοι ZT/QNσυναρτήσειςμορφήςαποδίδονταιανά έδρα του κάθε στοιχείου, κοινή για δύο γειτονικά στοιχεία, όταν πρόκειται για τρισδιάστατο διανυσματικό χώρο(r 3 ). Στηνπερίπτωσηαυτή,απαιτούνταιαντίστοιχοιχειρισμοίγιατονμονοσήμαντοολικόορισμό του προσανατολισμού της κάθε έδρας, μέσω του κάθετου-σε-αυτήν διανύσματος. Αντιθέτως, στην περίπτωση του δισδιάστατου προβλήματος κυματοδήγησης που αντιμετωπίζουμε εδώ, η έννοια της έδρας και του στοιχείου εκφυλίζονται, οπότε απαλλασσόμαστε από την ανάγκη ορισμού προσανατολισμού. 51

66 Κεφάλαιο 3 (a) w 7a (, x y) (b) w 8a (, x y) 2` [1] 1` [2] (c) w 7b (, x y) (d) w 8b (, x y) [1] 2` 1` Σχήμα 3.6: (a)-(b) και (c)-(d) Εγκάρσια κατανομή στο xy-επίπεδο των ZT/QN διανυσματικών συναρτήσεωνμορφής w 7a,w 8a και w 7b,w 8b,πουδίνονταιαπότιςΕξ.(3.9)και(3.10),αντίστοιχα. [2] CT/LN και LT/LN Προβολή διανυσματικού πεδίου σε συναρτήσεις μορφής. Σε κάποιες εφαρμογές της FEM είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας του πλέγματος για την αναπαράσταση δοθείσας εγκάρσιας κατανομής διανυσματικού πεδίου, έστω G(x, y), με ανάπτυγμα σε δεδομένες συναρτήσεις μορφής ενός πλέγματος τριγωνικών πεπερασμένων στοιχείων[206]. Πρόκειται δηλαδή για τον προσδιορισμό των μιγαδικών «βαρών» N j και V j τηςεξ.(3.1),γιατοβαθμωτόκαιτοδιανυσματικόμέροςτουπεδίου, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, κάτι τέτοιο απαιτείται στον υπολογισμό της διέγερσης της BPM, όπου το προφίλ εισόδου του πεδίου μπορεί να δίνεται από κάποια κλειστή σχέση, για παράδειγμα μία γκαουσιανή κατανομή. Ξεκινάμεαπότοαξονικό/διαμήκεςμέροςτουδοθέντοςπεδίου(G z )πουθαδιακριτοποιείται με τις βαθμωτές συναρτήσεις μορφής των Εξ.(3.2) ή Εξ.(3.5), για γραμμικά ή τετραγωνικά κομβικά στοιχεία, αντίστοιχα. Αποδεικνύεται πως, με τον συγκεκριμένο κανονικοποιημένο ορισμό των γραμμικών(και τετραγωνικών) βαθμωτών συναρτήσεων μορφής, οιαντίστοιχοιβαθμοίελευθερίαςθαδίνονταιαπλούστατααπότηντιμήτου G z στουςκόμβους(και στα μέσα των ακμών του πλέγματος), στο εγκάρσιο xy-επίπεδο. Στα βαθμωτά στοιχεία δεν υπάρχει καμία έννοια διεύθυνσης ή προσανατολισμού, οπότε αρκεί να γνωρίζουμε την ολική αρίθμηση των κόμβων(και των ακμών) του πλέγματος για να αποδώσουμε τιμές στα βάρη των γραμμικών(και τετραγωνικών) συναρτήσεων μορφής. Ηπερίπτωσητουεγκάρσιουμέρουςτουδοθέντοςπεδίου(G t )χρήζειπερισσότερης προσοχής λόγω της διανυσματικής του φύσης. Στην περίπτωση των CT/LN στοιχείων πουορίσθηκανμετηνεξ.(3.6),τομιγαδικόβάροςπουσυναρτάταιμετην [i]-ακμήτου πλέγματος,ηοποίαορίζεταιαπότους j-και k-κόμβους(μεφορά j k),θαδίνεταιαπό την προβολή V i,(ct/ln) = G t (x [i],y [i] ) û jk, (3.11) όπου (x [i],y [i] )είναιοισυντεταγμένεςτουμέσουτης [i]-ακμήςκαι û jk = [(x j x k )ˆx + 52

67 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς (y j y k )ŷ]/l i είναιτομοναδιαίουμήκουςδιάνυσματης. Οιπαραπάνω [i]-και jk-δείκτες αναφέρονται στην ολική αρίθμηση των ακμών και κόμβων, αντίστοιχα, ενώ για τις ακμές απαιτείται και ο ορισμός της φοράς διαγραφής στην ολική αρίθμηση. Στην περίπτωση των CT/LN στοιχείων, οι βαθμοί ελευθερίας ακολουθούν την ίδια ακριβώς ολική αρίθμηση με τις ακμές του πλέγματος. Αντίστοιχα, τα μιγαδικά βάρη για κάθε {i, i + 3}-ζεύγος LT/LN συναρτήσεων μορφής, όπως αυτές ορίσθηκαν στην Εξ.(3.8), που συναρτώνται με την [i]-ακμή του πλέγματος θα δίνονται από τις σχέσεις V i1,(lt/ln) = G t (x j,y j ) û jk, V i2,(lt/ln) = G t (x k,y k ) û jk. (3.12αʹ) (3.12βʹ) Παρατηρείστε ότι, στην περίπτωση αυτή, οι βαθμοί ελευθερίας του προβλήματος είναι ακριβώς διπλάσιοι από τις ακμές του πλέγματος, και ότι απαιτείται ο ορισμός ολικής σύμβασης αναφοράς για τη φορά των διανυσμάτων των ακμών. Τέλος, τα μιγαδικά βάρη για το ζεύγος των ZT/QN συναρτήσεων μορφής κάθε e- στοιχείου δίνονται από τις σχέσεις V e1,(zt/qn) = G t (x c,y c ) ŵ 7 (x c,y c ), V e2,(zt/qn) = G t (x c,y c ) ŵ 8 (x c,y c ), (3.13αʹ) (3.13βʹ) όπου (x c,y c )είναιοισυντεταγμένεςτουβαρύκεντρου(centroid)τουστοιχείου,και ŵείναι το μοναδιαίου μέτρου διάνυσμα της αντίστοιχης συνάρτησης μορφής που δίνεται από τις Εξ.(3.9) ή(3.10). Οι βαθμοί ελευθερίας των ZT/QN συναρτήσεων έχουν πλήθος ακριβώς διπλάσιο αυτού των στοιχείων του πλέγματος Διατύπωση Galerkin και επίλυση με την FEM Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε τα γενικά βήματα που απαιτούνται για την επίλυση ενός προβλήματος οριακών τιμών(boundary value problem, BVP) με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων(fem)[160], που θα χρησιμοποιηθεί στις επόμενες ενότητες του κεφαλαίου. Τα BVP που θα μας απασχολήσουν εμπίπτουν σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη, και απλούστερη, είναι αυτή των αιτιοκρατικών(deterministic), όπου η ζητούμενη λύση είναι μοναδική για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Η δεύτερη κατηγορία είναι αυτή των προβλημάτων ιδιοτιμών(eigenvalue problem), όπου το πρόβλημα υποστηρίζει έναν μεγάλο αριθμό λύσεων, σε μορφή συνόλου ιδιοδιανυσμάτων και ιδιοτιμών, από τις οποίες καλούμαστε να εντοπίσουμε μόνο αυτές που έχουν φυσική και πρακτική σημασία. Θα παρουσιάσουμε αρχικά την εφαρμογή της FEM για τα αιτιοκρατικά προβλήματα και θα αναφερθούμε στο τέλος στην επέκταση της εφαρμογής στα προβλήματα ιδιοτιμών, καθώς ως μεθοδολογία επίλυσης δεν εμφανίζουν διαφορές. Εστω λοιπόν η διαφορική εξίσωση ενός αιτιοκρατικού BVP Lφ = f, (3.14) πουορίζεταισεένανχώρο Ωμεσύνορο Γ = Ω.Σταπροβλήματακυματοδήγησηςπουθα μελετήσουμε ο χώρος Ω είναι δύο διαστάσεων(επιφάνεια στο xy-επίπεδο) και το σύνορο Γ θα είναι μία κλειστή καμπύλη. Επίσης, στην παραπάνω έκφραση, L είναι κάποιος διαφορικός τελεστής που στην περίπτωση μας θα περιέχει εγκάρσιες παραγώγους και παραμέτρους του 53

68 Κεφάλαιο 3 χώρου ή της εφαρμογής(κατ ελάχιστο τους δείκτες διάθλασης των υλικών και το μήκος κύματος ακτινοβολίας), f είναι κάποια διέγερση και φ είναι η άγνωστη προς-προσδιορισμό ποσότητα, που πρέπει να πληροί δεδομένες συνθήκες στο σύνορο Γ. Στη συνέχεια, θεωρούμε πως η ποσότητα φ μπορεί να προσεγγιστεί με κάποιο κατάλληλο ανάπτυγμα στον χώρο Ω, N φ = c j u j = {c} T {u}, (3.15) j=1 όπου u j είναιεπιλεγμένεςσυναρτήσειςβάσης(basis functions)πουορίζονταιμεκλειστή μορφήστον Ωκαι c j είναιοιαντίστοιχοισυντελεστέςστάθμισης(σταθερές),τουςοποίους και ζητάμε να προσδιορίσουμε. Στην παραπάνω σχέση, με { } δηλώνεται ένα διάνυσμαστήλη και με τον εκθέτη T ο ανάστροφος(transpose) ενός διανύσματος ή πίνακα. Οι συντελεστές c j καλούνταικαιβαθμοίελευθερίας(degrees of freedom, DoF)τουπροβλήματος. Προφανώς, αύξηση του πλήθους N των DoF ισοδυναμεί με αύξηση της ακρίβειας της προσέγγισης μας, καθώς επεκτείνουμε ουσιαστικά το σύνολο των συναρτήσεων βάσης. Θα βασιστούμε στη μέθοδο Galerkin, που ανήκει στις μεθόδους σταθμισμένων υπολοίπων(weighted residual methods) του λογισμού των μεταβολών(variational calculus) [208],κάνονταςτηναντικατάσταση φ φστηνεξ.(3.14),ηοποίααναπόφευκταοδηγεί σε κάποιο μη-μηδενικό υπόλοιπο r = L φ f, (3.16) με r 0, λόγω της πεπερασμένης ακρίβειας της προσέγγισης του αναπτύγματος της Εξ.(3.15). Στησυνέχεια,υποθέτουμεπωςηβέλτιστημορφήτης φ,γιατοδεδομένο σύνολο συναρτήσεων βάσης, θα είναι αυτή που οδηγεί στην ελάχιστη τιμή του υπολοίπου r,υπολογιζόμενηστοσύνολοτουχώρου Ω,κατάκάποιον«μέσοόρο». Ηέννοιατουμέσου όρου εισάγεται με στάθμιση του υπολοίπου χρήσει συνόλου κατάλληλων συναρτήσεων βάρους ή δοκιμής(weighting or testing functions), μέσω ολοκλήρωσης στον χώρο του προβλήματος, σύμφωνα με τις σχέσεις R i = w i r dω = w i (L φ f) dω = 0. (3.17) Ω Ω Στημέθοδο Galerkin,οισυναρτήσειςβάρους w i επιλέγεταιναταυτίζονταιμετιςσυναρτήσειςβάσης u j. Οσοναφοράστηνεφαρμογήτης FEM,ηπιοφυσικήεπιλογήείναιοι w i και u j ναταυτίζονταιμετιςσυναρτήσειςμορφήςτουπλέγματοςπουορίστηκανστηνπροηγούμενη παράγραφο. Με τις αντικαταστάσεις αυτές, η απαίτηση ταυτόχρονης ικανοποίησης του συνόλου των Εξ.(3.17), για όλες τις διαφορετικές i-συναρτήσεις βάρους/δοκιμής, μπορεί να γραφεί στην εξίσωση πινάκων [S]{c} = {b}, (3.18) όπου[s] είναι δισδιάστατος τετραγωνικός πίνακας με διάσταση ίση με το πλήθος των επιλεγμένων συναρτήσεων μορφής(n). Τα στοιχεία του πίνακα εξαρτώνται από τις συναρτήσεις μορφής και τον τελεστή L σύμφωνα με την ολοκληρωτική σχέση S ij = u i Lu j dω, (3.19) Ω και {b} είναι διάνυσμα-στήλη με τιμές που εξαρτώνται από τη διέγερση και τις συναρτήσεις μορφής b i = u i f dω. (3.20) Ω 54

69 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς Τοπλεονέκτηματηςεφαρμογήςτηςμεθόδου Galerkinμετην FEMείναιότιοισυναρτήσειςμορφήςσυναρτώνταιμόνομεσυγκεκριμέναστοιχεία 5 (πουδιακριτοποιούντον χώρο Ω),ενώμηδενίζονταισεόλαταυπόλοιπα. Συνεπώς,τα S ij θαείναιμη-μηδενικά μόνο στην περίπτωση που οι i- και j-δείκτες συναρτώνται με συναρτήσεις μορφής του ίδιου στοιχείου του πλέγματος. Ετσι, τα συνολικά χωρικά ολοκληρώματα των Εξ.(3.19) και (3.20) μπορούν να κατακερματιστεί σε επιμέρους απλούστερα ανά-στοιχείο ολοκληρώματα. Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων αυτών μπορεί να γίνει είτε αναλυτικά(για απλές συναρτήσεις μορφής) είτε αριθμητικά(παράρτημα Αʹ.1), και οδηγεί στον σχηματισμό των τοπικώνπινάκων [S e ]γιακάθε e-στοιχείο,αντίστοιχωντηςεξ.(3.19). Κατόπιν,γίνεται σάρωση όλων των στοιχείων του πλέγματος και, χρήσει της αντιστοιχίας ολικής-με-τοπική αρίθμηση των συναρτήσεων μορφής, συναθροίζονται οι συμβολές του κάθε τοπικού πίνακα [S e ]στονολικόπίνακα [S],σεμίαδιαδικασίαπουαποκαλείταισυνάθροιση(assembly)στην ορολογία της FEM. Η διαδικασία της συνάθροισης μπορεί να γραφτεί φορμαλιστικά στη μορφή N e f(ω)dω f(ω)dω, (3.21) Ω Ω e όπου f(ω)είναιηολοκληρωτέασυνάρτησηπουορίζεταιμεκλειστήμορφήστονχώρο Ω, δηλαδή f = u i Lu j. Τελικά, οδηγούμαστε στο γραμμικό σύστημα εξισώσεων της Εξ.(3.18) που περιγράφεται από έναν αραιό πίνακα(sparse matrix) [S], όπου λίγα γενικά από τα εκτός-διαγωνίου στοιχείατουείναιμη-μηδενικά. Οπωςαναφέραμε,αυτόοφείλεταιστοότιτα S ij θαείναι μη-μηδενικά μόνο στην περίπτωση που οι i- και j-δείκτες σχετίζονται με συναρτήσεις μορφής του ίδιου στοιχείου του πλέγματος. Για παράδειγμα, στην περίπτωση των βαθμωτών/κομβικώνπεπερασμένωνστοιχείων,το S ij θαείναιμη-μηδενικόμόνογιαγειτονικούς κόμβους,ενώόλατα S ii θαείναιγενικάμη-μηδενικά. Ετσι,ταμη-μηδενικά S ij θαέχουν ακριβώς δύο συνεισφορές(όσα και τα στοιχεία που μοιράζονται την ακμή που ενώνει τους ij-κόμβους)ενώτα S ii θαέχουντόσεςσυνεισφορέςόσακαιταστοιχείαταοποία μοιράζονται τον εν λόγω κόμβο. Άγνωστος του προβλήματος είναι το ολικά αριθμούμενο διάνυσμα {c} των συντελεστών του αναπτύγματος βάσης της Εξ.(3.15), δηλαδή των βαθμών ελευθερίας(dof) του προβλήματος, ώστε να κατασκευαστεί η βέλτιστη προσέγγιση φ της συνάρτησης που ικανοποιεί το αρχικό BVP. Στην περίπτωση που η άγνωστη συνάρτηση φ είναι διανυσματική ποσότητα, και όχι βαθμωτή όπως υπονοείται στην Εξ.(3.14), τότε θα προκύπτει ουσιαστικά ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων όπου η κάθε«διάσταση» του διανύσματος φ αναπτύσσεται στο δικό της σύνολο συναρτήσεων βάσης. Ετσι, θα δημιουργείται ένα σύστημα εξισώσεων με τα r-υπόλοιπα λόγω της προσέγγισης των αναπτυγμάτων, και στη συνέχεια το κάθε r- υπόλοιπο θα σταθμίζεται με τις αντίστοιχες συναρτήσεις βάρους της κάθε«διάστασης» του διανύσματος. Τελικά, καταλήγουμε πάντα σε ένα γραμμικό σύστημα όπου η αρίθμηση των εξισώσεων δεν γίνεται με βάση τη διάσταση του διανύσματος, παρά με βάση το σύνολο των συναρτήσεων μορφής που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή του. Για παράδειγμα, για τηδιακριτοποίησητουηλεκτρομαγνητικούπεδίου F = F t +ẑf z,χρειαζόμαστετυπικάένα σύνολο τριών βαθμωτών διαφορικών εξισώσεων. Ομως, επιλέγοντας να αναπαραστήσουμε το εγκάρσιο μέρος ως ένα δισδιάστατο διάνυσμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διανυσμα- 5 Γιατηνακρίβεια,οισυναρτήσειςμορφήςσυναρτώνταιμεχαρακτηριστικάτουπλέγματος,δηλαδήμε κόμβους, ακμές ή έδρες, τα οποία με τη σειρά τους συνθέτουν τα πεπερασμένα στοιχεία. 55 e

70 Κεφάλαιο 3 τικέςσυναρτήσειςβάσης[u (t),j στοδιανυσματικόανάπτυγμα,αντίστοιχοτηςεξ.(3.15)], ενώγιατοαξονικόκομμάτιναδιατηρήσουμετιςβαθμωτέςσυναρτήσειςβάσης[u (z),j ]. Η δημιουργία του συστήματος γραμμικών εξισώσεων που προκύπτει από τον μηδενισμό των σταθμισμένων υπολοίπων, γίνεται με στάθμιση με τις αντίστοιχες συναρτήσεις βάρους και ολοκλήρωση. Στην περίπτωση των διανυσματικών συναρτήσεων μορφής, το βαθμωτό γινόμενο w i rτηςεξ.(3.17)αντικαθίσταταιμετοεσωτερικόδιανυσματικόγινόμενο w (t)i r t, αφού τόσο η συνάρτηση βάρους όσο και το υπόλοιπο είναι διανυσματικές ποσότητες. Η αντιμετώπιση των προβλημάτων ιδιοτιμών γίνεται με τελείως αντίστοιχο τρόπο, με μόνη διαφορά ότι η διέγερση της διαφορικής εξίσωσης Εξ.(3.14) αντικαθίσταται με έναν ακόμα τελεστή, σύμφωνα με τη σχέση L A φ = λl B φ, (3.22) όπου λ η ιδιοτιμή του προβλήματος. Ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία, το παραπάνω πρόβλημα καταλήγει σε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων της μορφής [S A ]{c} = λ[s B ]{c}, (3.23) όπου {c} είναι το ιδιοδιάνυσμα με τους συντελεστές αναπτύγματος(dof) των συναρτήσεων βάσηςπουαντιστοιχούνστηνιδιοτιμή λ,καιοιπίνακες [S A ],[S B ]δίνονταιαπόεκφράσεις αντίστοιχες με της Εξ.(3.19). Το ζήτημα των οριακών συνθηκών θα αντιμετωπιστεί διεξοδικά σε επόμενη παράγραφο, οπότεκαιδενθαγίνειπεραιτέρωμνείαεδώ. Αρκείμόνοναπούμεπωςηικανοποίηση των οριακών συνθηκών οδηγεί σε τροποποίηση του γραμμικού συστήματος εξισώσεων, που ανάγεται σε μεταβολή των τιμών ορισμένων στοιχείων των πινάκων [S] και/ή του διανύσματος διέγερσης {b}, των Εξ.(3.19) και/ή(3.20), αντίστοιχα. Κλείνοντας, θα απαριθμήσουμε συνοπτικά τα βήματα που πρέπει να ακολουθηθούν για την επίλυση ενός προβλήματος οριακών συνθηκών με χρήση της FEM. (α) Διακριτοποίηση του χώρου Ω σε πεπερασμένα στοιχεία και υπολογισμός των γεωμετρικών χαρακτηριστικών για τους κόμβους, ακμές, έδρες και στοιχεία του πλέγματος. (β) Επιλογή των συναρτήσεων μορφής για την προσέγγιση της άγνωστης ποσότητας, και απόδοση σε αυτές τοπικής(ανά στοιχείο) και ολικής αρίθμησης, με βάση τα στοιχεία του πλέγματος(δηλαδή τους κόμβους, ακμές ή έδρες) με τα οποία συναρτώνται. (γ) Σχηματισμός της διατύπωσης Galerkin: Επιλογή κατάλληλων διανυσματικών και/ή βαθμωτών συναρτήσεων βάρους, πολλαπλασιασμός με αυτές των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων του προβλήματος και ολοκλήρωση στον χώρο Ω. (δ) Ανάπτυξη, τόσο της άγνωστης ποσότητας όσο και των συναρτήσεων βάρους, στο επιλεγμένο σύνολο συναρτήσεων μορφής, με αγνώστους πλέον τα αντίστοιχα βάρη ή βαθμούς ελευθερίας του πλέγματος. (ε) Συμπλήρωση των τοπικών/στοιχειακών πινάκων του προβλήματος με υπολογισμό των ολοκληρωμάτωντωνσταθμισμένωνυπολοίπωνστονχώροτουκάθε e-στοιχείου, Ω e. (στ) Εφαρμογή των οριακών συνθηκών του προβλήματος, που συνίσταται σε κατάλληλη τροποποίηση των στοιχειακών πινάκων. (ζ) Σχηματισμός των ολικών αραιών πινάκων του προβλήματος μέσω της διαδικασίας της συνάθροισης. (η) Επίλυση του γραμμικού συστήματος για προσδιορισμό των βαθμών ελευθερίας ή εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. 56

71 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς Οριακές συνθήκες και απορροφητικά στρώματα Οι οριακές συνθήκες(boundary conditions) εφαρμόζονται στο όριο Γ και συμπληρώνουν το πρόβλημα οριακών τιμών που ορίζεται στον χώρο Ω και διατυπώθηκε σε προηγούμενη παράγραφο. Ορίζουν τη συμπεριφορά της άγνωστης προς-προσδιορισμό ποσότητας φ της Εξ.(3.14) επάνω στο όριο Γ, και χρησιμοποιούνται για τον τερματισμό του υπολογιστικού χώρου(ή«παραθύρου») ανάλογα με τις απαιτήσεις της εφαρμογής. Οι απαιτήσεις αυτές μπορούν να διακριθούν στις παρακάτω κατηγορίες: Απλοποίησητηςδιατύπωσηςτουαρχικούπροβλήματοςκαι/ήτηςυπολογιστικήςεπίλυση του. Προσομοίωσηυλικώνπουπερικλείουντονυπολογιστικόχώροκαιέχουνάπειρηκαι ομογενή εγκάρσια έκταση πέραν αυτού. Περικοπή(truncation),μεφυσικότρόπο,τουαπείρουκαικατά-περιοχέςομογενούς χώρου στο πεπερασμένο υπολογιστικό παράθυρο. Πρέπει να τονίσουμε ότι η πρακτική υλοποίηση των οριακών συνθηκών μπορεί να ικανοποιεί μία ή και περισσότερες από τις παραπάνω απαιτήσεις. Τα απορροφητικά στρώματα(absorbing layers), ή στρώματα τεχνητής απορρόφησης, χρησιμοποιούνται αποκλειστικά για την περικοπή του απείρου χώρου, αποτελούν μέρος του υπολογιστικού χώρου Ω και συνήθως τοποθετούνται μεταξύ του«ωφέλιμου» χώρου και του ορίου Γ. Σκοπός τους είναι η απορρόφηση της ακτινοβολίας που εξέρχεται από τον ωφέλιμο χώρο ή ανακλάται από τις οριακές συνθήκες, ώστε να μην επηρεάζει την λύση εντός αυτού. Αυτή η περίπτωση εμφανίζεται πολύ συχνά σε διηλεκτρικούς κυματοδηγούς, όπου το πεδίο συγκεντρώνεται μεν κοντά στον πυρήνα οδήγησης αλλά το διηλεκτρικό του περίβλημα έχει πρακτικά άπειρη έκταση. Συνεπώς, εάν κάποιο τμήμα του πεδίου δεν μπορεί να οδηγηθεί από τον πυρήνα(ρυθμοί ακτινοβολίας ή περιβλήματος) θα πρέπει ιδανικά να διαφύγει στο υπόστρωμα ή το περίβλημα χωρίς να επιστρέψει στην περιοχή οδήγησης. Αυτό μπορεί να υλοποιηθεί με κατάλληλα τεχνητά στρώματα που πληρούν τις δύο παρακάτω προϋποθέσεις: (α) απορροφούν πλήρως την ακτινοβολία που εξέρχεται από τον ωφέλιμο υπολογιστικό χώρο και(β) εισάγουν μηδενική ανάκλαση στη διεπιφάνεια τους με αυτόν. Τελικά, η εισαγωγή των απορροφητικών στρωμάτων επιτρέπει τη χρήση λιγότερο αποδοτικών αλλά απλούστερων στην υλοποίηση οριακών συνθηκών, και μπορεί υπό συνθήκες να οδηγήσει σε μικρότερους συνολικούς υπολογιστικούς χώρους ή, ισοδύναμα, σε συντομότερους χρόνους προσομοίωσης, για δεδομένη ακρίβεια λύσης. Πάντως, η χρήση των απορροφητικών στρωμάτων γενικά αυξάνει τον υπολογιστικό χώρο και συνεπώς η χρήση τους πρέπει να είναι φειδωλή Ομογενείς συνθήκες Dirichlet και Neumann Συμμετρία Οι απλούστερες οριακές συνθήκες που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τον τερματισμό του υπολογιστικού παραθύρου, στο όριο αυτού Γ, είναι οι ομογενείς συνθήκες Dirichlet ή Neumann[160]. Αυτές ισοδυναμούν με μηδενισμό ή συνέχεια της άγνωστης βαθμωτής ποσότητας φστοόριοτουπαραθύρου, φ = 0ή φ/ n = 0,αντίστοιχα,όπου nείναιτο διαφορικό κατά μήκος της διεύθυνσης του κάθετου στο όριο Γ διανύσματος. Οι ομογενείς συνθήκες Dirichlet μπορούν να παρομοιαστούν με παρουσία τέλειων ηλεκτρικών ή τέλειων μαγνητικών αγωγών(perfect electric or magnetic conductor, PEC or PMC) στο όριο Γ, όταν η βαθμωτή ποσότητα φ αντιστοιχίζεται σε κάποια εφαπτομενική 57

72 Κεφάλαιο 3 στο Γ συνιστώσα του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα. Η ενσωμάτωση τουςστη FEMγίνεταιπολύεύκολα,αρκείναπαρατηρήσουμετοντρόπομετονοποίοείναι κατασκευασμένες οι βαθμωτές και διανυσματικές συναρτήσεις μορφής που επιλέξαμε. Ετσι, για τις βαθμωτές συναρτήσεις μορφής, αρκεί ο μηδενισμός των βαθμών ελευθερίας [συντελεστής c j στηνεξ.(3.15)]πουσυναρτώνταιμετουςκόμβουςκαιτιςακμέςπουβρίσκονται επάνω στο όριο Γ, για τα γραμμικά και τετραγωνικά κομβικά στοιχεία, αντίστοιχα. Ομοίως, απαιτείται ο μηδενισμός των βαθμών ελευθερίας που συναρτώνται με διανυσματικές συναρτήσεις μορφής που έχουν μη-μηδενικό εφαπτομενικό μέρος σε κάποια ακμή που βρίσκεται επάνω στο όριο Γ. Για παράδειγμα, στην περίπτωση των CT/LN(ή LT/LN στοιχείωντουσχ.3.4(ήσχ.3.4),εάνη[1]-ακμήβρίσκεταιεπάνωστοόριο Γτότεαπαιτείται ομηδενισμόςτωνβαθμώνελευθερίαςτης w 1 (ήτων w 1 και w 4 ).Τονίζουμεπωςοτρόπος κατασκευής των διανυσματικών συναρτήσεων μορφής προβλέπει μη-μηδενικό εφαπτομενικό μέροςσεμίαμόνοακμήτουτριγωνικούστοιχείου(ήσεκαμία,όπωςστηνπερίπτωσητων ZT/QN). Τελικά, η εφαρμογή των ομογενών οριακών συνθηκών Dirichlet, δηλαδή ο μηδενισμός κάποιων βαθμών ελευθερίας του προβλήματος, ισοδυναμεί ουσιαστικά με σμίκρυνση του προβλήματος καθώς κάποιες από τις εξισώσεις του συστήματος Εξ.(3.18) μπορούν να απαλειφθούν[160, 206]. Με αντίστοιχο τρόπο, οι ομογενείς συνθήκες Neumann μπορούν να παρομοιαστούν με παρουσία PECήPMCστοόριο Γ,ότανηβαθμωτήποσότητα φαντιστοιχίζεταισεκάποια κάθετη στο Γ συνιστώσα του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα. Η ενσωμάτωση αυτής της συνθήκης συνέχειας στην FEM είναι πολύ απλούστερη των ομογενών συνθηκών Dirichlet, καθώς δεν απαιτείται καμία επιπλέον ενέργεια. Οπως συζητήθηκε προηγουμένως, οι βαθμωτές συναρτήσεις μορφής είναι εξ ορισμού συνεχείς σε όλες τις διεπιφάνειες, ενώ το ίδιο ισχύει και για το εφαπτομενικό μέρος όλων των διανυσματικών συναρτήσεων βάσης, πλην των ZT/QN. Ακόμα όμως και για τις ZT/QN συναρτήσεις μορφής, δεν απαιτείται καμία μέριμνα ενόψει των ομογενών συνθηκών Neumann, καθώς είναι εξ ορισμού κάθετες(ή μηδενικές) σε όλες τις ακμές του τριγωνικού στοιχείου. Τελικά, η εφαρμογή αυτού του τύπου οριακών συνθηκών ισοδυναμεί να το να αφεθούν«ελεύθεροι» οι βαθμοί ελευθερίας που συναρτώνται με κάθετες συνιστώσες του πεδίου στο όριο Γ[206]. Οι ομογενείς συνθήκες Dirichlet και Neumann μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επιβολή συγκεκριμένων τύπων συμμετρίας της άγνωστης συνάρτησης, δηλαδή του πεδίου, επάνω στο όριο Γ. Η παρουσία συμμετρίας του πεδίου είναι ευθεία απόρροια της παρουσίας κάποιας γεωμετρικής συμμετρίας στη διατομή του κυματοδηγού, σε μία ή και στις δύο διαστάσεις του. Η γεωμετρική συμμετρία μπορεί να αξιοποιηθεί για τον υποδιπλασιασμό ή υποτετραπλασιασμό του υπολογιστικού χώρου, αντίστοιχα, με την προϋπόθεση βέβαια ότι ενδιαφερόμαστε μόνο για πεδία που πληρούν τις συγκεκριμένες συμμετρίες. Σε αντίθετη περίπτωση, για παράδειγμα όταν ένα κυματοδηγός υποστηρίζει δύο κάθετες μη-εκφυλισμένες πολώσεις, μπορούμε μεν να αξιοποιήσουμε τον υποδιπλασιασμό του παραθύρου, αλλά θα μπορούμε να προσομοιώσουμε μόνο μία από τις δύο πολώσεις του, ανάλογα με τη συνθήκη συμμετρίας που εφαρμόζουμε. Προφανώς, απαιτείται υπέρθεση των δύο υποδιπλασιασμένων περιπτώσεων συμμετρίας για να περιγράψουμε τη συνολική λύση. Εστω για παράδειγμα η περίπτωση ενός κυματοδηγού πυριτίου-σε-μονωτή(σχ. 3.1) που υποστηρίζει ΤΕ και ΤΜ ιδιορρυθμούς, με κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου x- και y-πόλωσης, αντίστοιχα, και που παρουσιάζει γεωμετρική συμμετρία ως προς το x-μέσο της περιοχής οδήγησης. Η αποκοπή του υπολογιστικού παραθύρου στο μέσο της x-διάστασης και η επιβολή ομογενούς συνθήκης Dirichlet ή Neumann για τις εφαπτομενικές συνιστώσες του 58

73 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς ηλεκτρικού πεδίου στο συγκεκριμένο άξονα συμμετρίας, ισοδυναμεί με την προσομοίωση μόνο των ΤΕ ή ΤΜ ιδιορρυθμών του συνολικού κυματοδηγού, αντίστοιχα. Κλείνοντας την παράγραφο αυτή, θα πρέπει να σημειώσουμε πως σε ορισμένα προβλήματα είναι απαραίτητο(ή απλά βολικό) να επιβληθεί στο ίδιο σημείο του ορίου Γ συνδυασμός των παραπάνω δύο τύπων οριακών συνθηκών. Κάτι τέτοιο ενδεχομένως να αποσκοπεί στην απαλοιφή ανεπιθύμητων όρων που προκύπτουν στην διατύπωση του προβλήματος, των ο- ποίωνησημασίαείναιούτωςηάλλωςμικρήεάνορίζονταιμόνοστοόριο Γ. Συνηθισμένη περίπτωση είναι η απαλοιφή όρων επικαμπύλιων(ή επιφανειακών) ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται από την εφαρμογή του θεωρήματος Gauss σε ολοκληρώματα σε χώρο Ω δύο(ή τριών) διαστάσεων. Προφανώς, αυτό σημαίνει πως δεν είναι δυνατό στην περίπτωση αυτή να αντιστοιχίσουμε τον εν λόγω συνδυασμό συνθηκών στην παρουσία υλικών PEC/PMC, αλλά σε κάποιο υποθετικό υλικό που παρουσιάζει αυτές τις ιδιότητες Απορροφητικές οριακές συνθήκες Οι απορροφητικές οριακές συνθήκες(absorbing boundary conditions, ABC) εφαρμόζονται για την απορρόφηση ακτινοβολίας που προσπίπτει στο όριο Γ του υπολογιστικού χώρου Ω, με κατά το δυνατόν μικρότερη ανάκλαση. Στη διατριβή αυτή χρησιμοποιήθηκαν οι ABC πρώτης τάξης[103, 160, 209], που εξασφαλίζουν τέλεια απορρόφηση χωρίς ανάκλαση μόνο για κύματα που προσπίπτουν κάθετα στο όριο Γ, στο συγκεκριμένο μήκος κύματος ακτινοβολίας. Ηεξίσωσηπουπρέπειναπληροίτοηλεκτρικόπεδίο Eστοόριο Γ,γιανα ικανοποιεί αυτήν την οριακή συνθήκη είναι ˆn (µ 1 r E) = jk 0 εr cosθ a ˆn (ˆn E), (3.24) όπου ˆnείναιτομοναδιαίοκάθετοστοΓδιάνυσμακαιθ a είναιπαράμετροςελέγχουπουπροσδιορίζειτηγωνίαπρόπτωσηςβέλτιστηςαπορρόφησης. Συνήθωςχρησιμοποιείται θ a = 0, που αντιστοιχεί σε κάθετη πρόσπτωση, ενώ αντιλαμβανόμαστε ότι η επίδοση αυτών των οριακών συνθηκών θα υποβαθμίζεται για κύματα που προσπίπτουν στο όριο με διαφορετικές γωνίες. Ανάγοντας για απλότητα την παραπάνω εξίσωση σε βαθμωτό μονοδιάστατο πρόβλημα(με µ r ε r = 1)καταλήγουμεστην E/ x = jk 0 E,ηοποίαεμφανέσταταπεριγράφει διάδοση επίπεδου ομοιόμορφου κύματος κατά την +ˆx-διεύθυνση. Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν ότι οι ABC«απάγουν» από το υπολογιστικό παράθυρο το τμήμα της ακτινοβολίας που προσπίπτει στο όριο και που έχει χαρακτηριστικά επίπεδου ομοιόμορφου κύματος. Τέλος, αν η διατύπωση του προβλήματος εμπλέκει το μαγνητικό πεδίο H, τότε απλά αντιμεταθέτουμετα µ r και ε r στηνεξ.(3.24). Η παραπάνω διαφορική εξίσωση πρέπει να λυθεί μαζί με τη βασική εξίσωση του προβλήματος οριακών τιμών, κατά την εφαρμογή της FEM με τη μέθοδο Galerkin. Υπενθυμίζοντας τα βήματα της μεθόδου, αρχικά το πεδίο προσεγγίζεται με ανάπτυγμα στο επιθυμητό σύνολο συναρτήσεων βάσης, έπειτα η διανυσματική εξίσωση χωρίζεται σε εγκάρσιο και αξονικό μέρος τα οποία πολλαπλασιάζονται(εσωτερικά και βαθμωτά, αντίστοιχα) με τις επιθυμητές συναρτήσεις βάρους και, τελικά, γίνεται ολοκλήρωση αυτών στον χώρο Ω. Σημειώνουμε ότι οι συναρτήσεις βάσης και βάρους ταυτίζονται, και επιλέγονται ίσες με τις συναρτήσεις μορφής που συζητήθηκαν σε προηγούμενη παράγραφο, ενώ η Εξ.(3.24) πληρούταιαυστηράμόνοστοόριο Γτουχώρουκαιόχιστοεσωτερικότου. Συνεπώς, η ολοκλήρωση για την διαφορική εξίσωση των ABC θα είναι μιας τάξης μικρότερη από αυτήν των εξισώσεων του προβλήματος, για παράδειγμα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αντί για επιφανειακό. Τέλος, επισημαίνουμε πως η ενσωμάτωση των ABC αυξάνει την πολυπλοκότητα 59

74 Κεφάλαιο 3 της υλοποίησης της FEM, καθώς απαιτείται ο προσδιορισμός επιπλέον ολοκληρωτικών όρων που πηγάζουν από την Εξ.(3.24). Χωρίς να επεκταθούμε σε παραπάνω λεπτομέρειες υλοποίησης στο σημείο αυτό, σημειώνουμε πως στα προβλήματα κυματοδήγησης που θα αντιμετωπίσουμε, ο όρος του αριστερού μέλους της Εξ.(3.24) μπορεί με κατάλληλους μετασχηματισμούς να εμφανιστεί στη βασική εξίσωση της διατύπωση του προβλήματος. Στην περίπτωση αυτή, αντικαθίσταται με το δεξί μέλος της παραπάνω εξίσωσης, και τελικά απαιτείται η επίλυση μίας μόνο τροποποιημένης διαφορικής εξίσωσης Τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα τεχνητής απορρόφησης Τα στρώματα τεχνητής απορρόφησης τοποθετούνται μεταξύ του ωφέλιμου υπολογιστικού χώρου και του ορίου του συνολικού υπολογιστικού παραθύρου, με σκοπό να απορροφήσουν την ακτινοβολία που διαφεύγει από τη διάταξη, κατά το δυνατό χωρίς ανάκλαση. Τα στρώματα απορρόφησης αποτελούν μέρος του υπολογιστικού χώρου και, υπό το πρίσμα αυτό, δεν αποτελούν οριακή συνθήκη του προβλήματος με την αυστηρή έννοια. Πάντως, εξυπηρετούν τελικά τον ίδιο σκοπό με τις απορροφητικές οριακές συνθήκες(abc) που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, και για το λόγο αυτό εξετάζονται εδώ. Η πιο απλή υλοποίηση των στρωμάτων απορρόφησης γίνεται εισάγοντας τεχνητά ένα υποθετικό υλικό με μικρό αρνητικό φανταστικό μέρος στη σχετική διηλεκτρική του σταθερά, Im{ε r } < 0,κάτιπουμεταφράζεταισεαπώλειεςδιάδοσης. Συνεπώς,ηακτινοβολία που εισέρχεται στις περιοχές αυτές, διαδιδόμενη προς το όριο του παραθύρου, θα απορροφάται σταδιακά ώστε όταν ανακλαστεί και επιστρέψει στο εσωτερικό του παραθύρου θα είναι τόσο εξασθενημένη ώστε δεν θα επηρεάζει σημαντικά τη λύση. Δυστυχώς, μία τέτοια υλοποίηση δημιουργεί ανεπιθύμητες ανακλάσεις στο όριο των στρωμάτων απορρόφησης με το εσωτερικού του υπολογιστικού χώρου, που αυξάνονται με την αύξηση του συντελεστή απορρόφησης(δηλαδήτουφανταστικούμέρουςτου ε r ). Γιατηναντιμετώπισηαυτούτου προβλήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σταδιακή κλιμάκωση του συντελεστή απορρόφησης, ξεκινώντας από χαμηλές τιμές, άλλα κάτι τέτοιο τελικά αυξάνει το συνολικό μέγεθος του υπολογιστικού παραθύρου. Παρόλο που τα στρώματα αυτά μπορούν να βελτιστοποιηθούν για συγκεκριμένες εφαρμογές, εμφανίζουν γενικά πολύ περιορισμένο εύρος ικανοποιητικής λειτουργίας, ως συνάρτηση του μήκους κύματος και της γωνίας ή της πόλωσης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας[160]. Για την αντιμετώπιση των προβλημάτων που αναφέρθηκαν παραπάνω, εισήχθησαν τα τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα(perfectly matches layers, PML) τεχνητής απορρόφησης. Υλοποιούνται με χρήση ενός πλασματικού(fictitious) μέσου με απώλειες, το οποίο εμφανίζει την επιπλέον ιδιότητα να μην εισάγει καθόλου ανάκλαση για καμία γωνία πρόσπτωσης και για όλες τις πολώσεις και/ή συχνότητες λειτουργίας. Διάφορες υλοποιήσεις των PML έχουν κατά καιρούς προταθεί[166, 167], και στη διατριβή αυτή προτιμήθηκε η υλοποίηση ως ένα μέσο με διαγώνια ανισοτροπία στον τανυστή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς και τηςσχετικήςμαγνητικήςδιαπερατότηταςτου[168],σύμφωναμετιςσχέσεις ε r = ε r Λκαι µ r = µ r Λ.Στιςπαραπάνωσχέσειςεr καιµ r είναιοιβαθμωτέςτιμέςτωνπαραπάνωμεγεθών, πουκληρονομούνταιαπότοισοτροπικόμέσοτοοποίουποκαθιστούν(όπως ε r = 3.45 αντο PMLβρίσκεταιεντόςμίαςπεριοχήςπυριτίουμεδείκτηδιάθλασης n 0 = 3.45),και Λ 60

75 3.1. Διανυσματική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για τρισδιάστατους κυματοδηγούς είναιοπίνακαςτουτανυστήδεύτερηςτάξηςπουορίζεταιαπότον 3 3πίνακα s y s z /s x 0 0 Λ = 0 s x s z /s y 0, (3.25) 0 0 s x s y /s z όπουοιόροι s u, u = {x,y,z,}είναιμιγαδικοίαριθμοίτηςμορφής s u = 1 jtanδκαι δηλώνουν πως το συγκεκριμένο απορροφητικό στρώμα είναι τέλεια προσαρμοσμένο για κύματαπουδιαδίδονταιπαράλληλαμετοδιάνυσμα v = Im{s x }ˆx + Im{s y }ŷ + Im{s z }ẑ. Η ποσότητα tan δ αποκαλείται εφαπτομένη απωλειών(loss tangent) και προσδιορίζει την απορροφητικότητα του συγκεκριμένου PML, λαμβάνει δε τυπικά τιμές κοντά στη μονάδα. Καταλαβαίνουμεότιοπίνακας Λμπορείναέχειχωρικήεξάρτησηανάλογαμετιςαπαιτήσεις της εφαρμογής μας. Για παράδειγμα, αν υποτεθεί ότι ο κυματοδηγός του Σχ. 3.1 περικλείεται απότιςτέσσεριςπλευρέςτουμε PML,τότεταστρώματαπουείναιπαράλληλαστον y- άξονα(ή x-άξονα)θαέχουνενδεικτικά s x = 1 jκαι s y = 1(ή s x = 1και s y = 1 j), ενώ s z = 1γιαόλεςταστρώματακαθώςτοπεδίοτουκυματοδηγούδιαδίδεταικατάτη z-διεύθυνση. Προφανώς, όλος ο χώρος στο εσωτερικό του υπολογιστικού παραθύρου θα χαρακτηρίζεταιαπό Λ = I 3,όπου I 3 ο 3 3πίνακας-μονάδα.Τέλος,αντίστοιχαμετακοινά στρώματααπορρόφησης,συνηθίζεταινακλιμακώνεταιτο Im{s u }ξεκινώνταςαπόχαμηλές τιμές όσο απομακρυνόμαστε από το όριο με το εσωτερικό του υπολογιστικού παραθύρου, για αποφυγή των ανακλάσεων που θα προκύψουν λόγο της διακριτοποίησης του χώρου κατά την αριθμητική επίλυση του προβλήματος με την FEM. Στη συγκεκριμένη διατριβή χρησιμοποιήθηκεκλιμάκωσηπαραβολικούπροφίλγιατο Im{s u }. Στη γενικότερη περίπτωση που τα PML τοποθετούνται σε περιοχές φυσικών ανισοτροπικών υλικών, με τανυστές σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς και σχετικής μαγνητικής διαπερατότητας ε r και µ r αντίστοιχα,τότεοιαντίστοιχοι«διορθωμένοι»τανυστές[168]θα δίνονται από τις εκφράσεις ξ r = S 1 ( S ξ r S), (3.26) όπου ξ = { ε, µ}, ο 3 3 πίνακας Sορίζεται ως S = diag{s 1 x,s 1 y,s 1 z } καιισχύει Λ = S 1 ( S S). Στιςπαραπάνωσχέσειςτοηπράξη A Bδηλώνειτογινόμενοτων δισδιάστατων πινάκων A και B, ενώ C είναι η ορίζουσα του τετραγωνικού δισδιάστατου πίνακα C. Βέβαια, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι τα φυσικά ανισοτροπικά υλικά(όπως οι υγροί κρύσταλλοι ή το νιοβικό λίθιο) συνήθως αξιοποιούνται μόνο κοντά στον πυρήνα οδήγησης μίας οπτικής διάταξης, δηλαδή σπανίως περικλείουν το εξωτερικό της, όπου και τοποθετούνται τα PML τεχνητής απορρόφησης. Για το λόγο αυτό, στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η απλούστερη περιγραφή της Εξ.(3.25), αφού το εξωτερικό του παραθύρου αποτελείται από ισοτροπικά υλικά. Εχοντας περιγράψει τα πλεονεκτήματα της τεχνικής αυτής, θα αναφερθούμε συντόμως και σε μία σειρά πρακτικών μειονεκτημάτων που σχετίζονται με τη χρήση των PML. Πρώτον, απαιτείται για την ενσωμάτωση τους μία διανυσματική ανισοτροπική ηλεκτρομαγνητική διατύπωση του προβλήματος που αυξάνει γενικά την περιπλοκότητα των μαθηματικών εκφράσεων. Βέβαια, αν η διατύπωση έχει ήδη λάβει υπόψη τα διαγωνίως ανισοτροπικά υλικά, τότε τα PML μπορούν να εισαχθούν χωρίς καμία επιπλέον περιπλοκή. Δεύτερον, η εισαγωγή μιγαδικών ποσοτήτων συνήθως διαταράσσει την Hermitian συμμετρία του αραιού πίνακα [S] της Εξ.(3.19), κάτι που μεταφράζεται σε ανάγκη για αυξημένους υπολογιστικούς πόρους για την αριθμητική αντιμετώπιση του συστήματος. Τέλος, όπως όλα τα απορροφητικά 61

76 Κεφάλαιο 3 στρώματα, αυξάνει το συνολικό μέγεθος του υπολογιστικού χώρου ή, ισοδύναμα, του χρόνου προσομοίωσης για την επίλυση του προβλήματος. Για τους παραπάνω λόγους, τα PML πρέπει να χρησιμοποιούνται μόνο όπου οι απλούστερες οριακές συνθήκες δεν αποδίδουν ικανοποιητικά καλά. 3.2 Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού μεχρήση FEM Η ενότητα αυτή αφιερώνεται στην περιγραφή του εργαλείου εύρεσης ιδιορρυθμών(eigenmode solver)[210] ενός κυματοδηγού, που βασίζεται στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα. Το εργαλείο αξιοποιείται στο πεδίο της συχνότητας, δηλαδή βρίσκει τους ιδιορρυθμούς για συγκεκριμένο μήκος κύματος λειτουργίας, ενώ με σάρωση φάσματος συχνοτήτων είναι δυνατό να υπολογιστεί η διασπορά των ιδιορρυθμών του κυματοδηγού. Επίσης, σημειώνεται ότι δύναται να χειριστεί και υλικά μεανισοτροπικήπρώτηςτάξηςεπιδεκτικότητα χ (1),πουπεριγράφονταιαπόένανδεύτερης τάξηςτανυστή,δηλαδήαπόέναν 3 3πίνακα. Ηχρησιμότητατηςεπέκτασηςαυτήςείναι ότι μπορεί αφενός να μοντελοποιήσει επακριβώς φυσικά ανισοτροπικά υλικά(κρυστάλλους) ή τεχνητά ανισοτροπικά υλικά που εξυπηρετούν άλλους σκοπούς(pml τεχνητής απορρόφησης). Θα ξεκινήσουμε από τη διατύπωση του ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος ιδιοτιμών και θα δούμε πως, με χρήση της FEM, διαρθρώνεται σε μορφή γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Μετά την αριθμητική επίλυση του προβλήματος, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του συστήματος αντιστοιχίζονται στις φασικές σταθερές(ή, ισοδύναμα, στους ενεργούς δείκτες διάθλασης) και στις εγκάρσιες πεδιακές κατανομές των ιδιορρυθμών του κυματοδηγού, αντίστοιχα. Θα γίνει αναφορά στην αντιμετώπιση τόσο ισοτροπικών όσο και ανισοτροπικών υλικών, με χρήση κατάλληλων μετασχηματισμών. Στη συνέχεια, ακολουθεί συζήτηση και σχολιασμός για την ταυτοποίηση και τον χαρακτηρισμό των ιδιορρυθμών ενός κυματοδηγού, ενώ, τέλος, θα δούμε πως το παραπάνω εργαλείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη μελέτη των ρυθμών μη-γραμμικών κυματοδηγών, με χρήση ενός επαναληπτικού αλγορίθμου σύγκλισης Διατύπωση προβλήματος ιδιοτιμών Εστωότιβρισκόμαστεστοπεδίοτηςσυχνότητας ω = 2πc 0 /λ,όπου λτομήκοςκύματος στον κενό χώρο, και εξετάζουμε κυματοδηγό με εγκάρσια διατομή στο xy-επίπεδο και διάδοση προς τον θετικό z-άξονα. Η σύμβαση φάσης του κύματος είναι exp{jωt γz}, όπου γείναιημιγαδικήσταθεράδιάδοσης γ = jn eff k 0 = jβ+αενόςοδηγούμενουρυθμού. Τοφανταστικόμέροςτηςσταθεράςδιάδοσης, β = Im{γ} = Re{n eff }k 0,είναιηφασική σταθερά διάδοσης ενώ το πραγματικό μέρος της μέρος σχετίζεται με τις απώλειες διάδοσης του ρυθμού, και συνήθως μετράται με το χαρακτηριστικό μήκος απωλειών(propagation length), L prop = 0.5/α = λ/(4πim{n eff }),πουορίζεταιωςηαπόστασηστηνοποίαη ισχύς του κύματος έχει μειωθεί στο 1/e της αρχικής. Ο κυματοδηγός περιγράφεται από την εγκάρσια xy-κατανομήτωνστοιχείωντουτανυστήτηςανισοτροπικής χ (1) επιδεκτικότητας 62

77 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM ή, ισοδύναμα, του τανυστή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε r,xx ε r,xy ε r,xz [ ] ε r = ε r,yx ε r,yy ε r,yz [εr,tt ] {ε = r,tz } {ε ε r,zx ε r,zy ε r,zt } T, (3.27) ε r,zz r,zz όπου, στο δεξί μέλος της Εξ.(3.27) έχουμε χωρίσει τα στοιχεία του τανυστή στους επιμέρους όρους(tt, tz, zt, zz) που περιγράφουν τη σύζευξη των εγκαρσίων και της διαμήκους συνιστώσαςμέσωτου ε r.ομοίως,ησχετικήμαγνητικήδιαπερατότητα µ r λαμβάνειεπίσης μορφή 3 3 πίνακα, αντίστοιχη της Εξ.(3.27), κάτι το οποίο αποσκοπεί στην πληρότητα της διατύπωσης και στη δυνατότητα ενσωμάτωσης των τέλεια προσαρμοσμένων στρωμάτων (PML) τεχνητής απορρόφησης, Παράγραφος Για συνηθισμένα ισοτροπικά υλικά, η Εξ.(3.27) εκφυλίζεται στη βαθμωτή περίπτωση ε r = n 2 I 3,όπου I 3 είναιο3 3πίνακας-μονάδακαι nοδείκτηςδιάθλασηςτουυλικού.εάν μόνοταστοιχείατηςκυρίαςδιαγωνίουτου ε r είναιμη-μηδενικά(αλλάενδυνάμειδιαφορετικά) τότε έχουμε την περίπτωση της διαγώνιας ανισοτροπίας, η οποία αντιστοιχεί στην υλοποίηση των PML που χρησιμοποιούμε. Επίσης, όπως σχολιάστηκε στην Παράγραφο 2.2.3, τα μονο-αξονικά(uniaxial) ανισοτροπικά υλικά, όπως οι υγροί κρύσταλλοι ή το νιοβικό λίθιο, μπορούν με κατάλληλους μετασχηματισμούς περιστροφής(ή όταν ο οπτικός τους άξονας είναι παράλληλος με κάποιον από τους τρεις καρτεστιανούς άξονες), να γραφούν σε μορφήδιαγώνιαςανισοτροπίας. Επιπλέον,στηνπερίπτωσηόπου {ε r,tz } = {ε r,zt } = {0}, τότε έχουμε την περίπτωση της εγκάρσιας(in-plane) ανισοτροπίας τα μονο-αξονικά υλικά λαμβάνουν αυτήν τη μορφή όταν ο οπτικός τους άξονας βρίσκεται μέσα στο xy-επίπεδο, δηλαδή είναι κάθετος στον z-άξονα. Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε την γενικότερη όλων των περιπτώσεων, όπου και τα εννιά στοιχεία του τανυστή μπορούν να λάβουν αυθαίρετες τιμές. Η περίπτωση αυτή είναι πιο πολύπλοκη από τις προηγούμενες που αναφέρθηκαν, οι οποίες συνήθως αντιμετωπίζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς. Τέλος, σημειώνεται πως τα συνήθη υλικά που χρησιμοποιούνται στις οπτικές επικοινωνίες και τη φωτονική τεχνολογία δεν εμφανίζουν μαγνητικές ιδιότητες ούτε και ανισοτροπία ως προς αυτές. Συνεπώς, ο τανυστής της μαγνητικής διαπερατότητας της διατύπωσης μας θα παραλαμβάνει μόνο τηδιαγώνιαανισοτροπίατουπλασματικούυλικούτων PML,δηλαδή µ r = Λ,Εξ.(3.25). Για τη διατύπωση των διανυσματικών εξισώσεων του προβλήματος εύρεσης ιδιορρυθμών, εκκινούμε από τις εξισώσεις στροφής του Maxwell στο πεδίο της συχνότητας E = jωµ 0 µ r H H = +jωε 0 ε r E (3.28αʹ) (3.28βʹ) και,απαλείφονταςτοένααπόταδύομεγέθη(eήh),σχηματίζουμετηγενικευμένηδιανυσματική μορφή της κυματικής εξίσωσης Helmholtz ( p F) k 2 0 q F = 0, (3.29) όπουτοπεδίο Fμπορείνααντιστοιχίζεταιστοηλεκτρικό(E)ήτομαγνητικό(H),στην οποίαπερίπτωσηκαιοιτανυστέςθαείναιίσοιμε p = µ 1 r και q = ε r ή p = ε 1 r και q = µ r,αντίστοιχα.στοσημείοαυτόσημειώνουμεπωςεπειδήοτανυστής pυπόκειταιστη διανυσματική πράξη της στροφής, συνήθως προτιμάται η αντιστοίχιση με την απλούστερη επιλογή p µ 1 r,δηλαδή F E. Στησυνέχεια,επιβάλλονταςτοπεδίοναπεριγράφει κύμα που διαδίδεται κατά τον θετικό z-άξονα, μπορούμε να χωρίσουμε το πεδίο σε δύο 63

78 Κεφάλαιο 3 τμήματα: έναν φάκελλο με εγκάρσια χωρική κατανομή και έναν εκθετικό όρο φάσης με αξονική μεταβολή, δηλαδή, F = (F t +F z ẑ)exp{ γz}, (3.30) όπου F t = F x (x,y)ˆx + F y (x,y)ŷκαι F z = F z (x,y)είναιοιεγκάρσιεςκαιηδιαμήκης συνιστώσα,αντίστοιχα,ενώ γ = jk 0 n eff είναιημιγαδικήσταθεράδιάδοσης. Ηύπαρξη φανταστικούμέρουςστονενεργόδείκτηδιάθλασης n eff συνδέεταιμετιςαπώλειεςδιάδοσης ενός ρυθμού, που σχετίζεται είτε με την εγγενή του απορρόφηση(εάν περιέχει υλικά με απώλειες) είτε με απώλειες συγκέντρωσης(confinement losses). Από φυσικής πλευράς, οι απώλειες συγκέντρωσης εμφανίζονται όταν ενυπάρχει στη διατομή του κυματοδηγού κάποια σύνδεση του πυρήνα οδήγησης με το απείρων διαστάσεων υπόστρωμα ή περίβλημα του, όπως για παράδειγμα στις ίνες φωτονικού κρυστάλλου(photonic crystal fiber, PCF). Στην περίπτωση αυτή, και εφόσον εκ των πραγμάτων μπορούμε να εξετάσουμε ένα πεπερασμένο τμήμα της διατομής, ο υπολογισμός των απωλειών συγκέντρωσης γίνεται στην προσομοίωση με χρήση απορροφητικών οριακών συνθηκών(abc) ή τέλεια προσαρμοσμένων στρωμάτων (PML) απορρόφησης στα όρια του υπολογιστικού παραθύρου. Η εφαρμογή της FEM στο συγκεκριμένο πρόβλημα ιδιοτιμών, θα πρέπει να λάβει μία μορφή αντίστοιχη της Εξ.(3.23), όπου η ιδιοτιμή θα αντιστοιχίζεται στη μιγαδική σταθερά διάδοσης(γ)ενώτοιδιοδιάνυσμαστηνεγκάρσιακατανομήτουπεδίου[f t (x,y)+f z (x,y)ẑ], για κάθε ιδιορρυθμό του κυματοδηγού. Οπως περιγράφεται στο τέλος της Παραγράφου 3.1.3, τα επόμενα βήματα στην εφαρμογή της μεθόδου είναι να διακριτοποιήσουμε τη διατομή του κυματοδηγού, να αποδώσουμε ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες σε κάθε στοιχείο του πλέγματος και να επιλέξουμε τις κατάλληλες συναρτήσεις μορφής. Η εφαρμογή αυτών των βημάτων αποτυπώνεται στις αντίστοιχες παραγράφους της Ενότητας 3.1, οπότε εδώ τονίζουμεμόνοότιεπιλέγονταιδιανυσματικέςσυναρτήσειςμορφήςγιατο F t καιβαθμωτές γιατο F z. Γιατηνεφαρμογήτηςμεθόδου,επιλέγουμεσυναρτήσειςβάρους(ήδοκιμής) τηςμορφής F a = (F t F z ẑ)e +γz,πουαποτελείτοπροσαρτημένο(adjoint)πεδίοσεαυτότηςεξ.(3.30). Σημειώνεταιπωςηεπιλογήαυτήσχετίζεταιφυσικάμετοπεδίοπου διαδίδεται στην αντίθετη διεύθυνση, αλλά δεν είναι περιοριστική ούτε μοναδική μάλιστα αρκετοί συγγραφείς επιλέγουν για απλότητα συναρτήσεις βάρους ακριβώς ίδιας μορφής με τηνεξ.(3.30). Ακολούθως,πολλαπλασιάζουμεεσωτερικάτηνΕξ.(3.29)μετην F a και ολοκληρώνουμε στον χώρο Ω που ταυτίζεται με την επιφάνεια του xy-επιπέδου που περικλείεται από το σύνορο Γ = Ω. Συνεπώς, η κατά-galerkin διατύπωση της διανυσματικής εξίσωσης γίνεται F a [ p ( F)]dxdy = k0 2 F a ( q F)dxdy. (3.31) Ω Στηναπλούστερηπερίπτωσηπου p I 3 και F E,τότεθαμπορούσαμεναχρησιμοποιήσουμετηνταυτότητα E = 2 Eγιατηναπλοποίησητουαριστερούμέλουςτης Εξ.(3.31). Καθώς όμως αυτό δεν είναι γενικά αληθές, χρησιμοποιούμε τις διανυσματικές ταυτότητες A ( B) = (B A)+B ( A)και (A B) C = (C A) B, όπωςκαιτοθεώρημα Gauss(ήαπόκλισης)σεδύοδιαστάσεις D dω = D ˆn dl, Ω Γ για να καταλήξουμε στην απλούστερη μορφή ( F a ) [ p ( F)]dxdy + F a {n [ p ( F)]}dl = Ω Ω (3.32) = k0 2 F a ( q F)dxdy, 64 Ω Ω

79 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM όπου ˆn είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα επάνω στο σύνορο Γ με στοιχειώδες μήκος dl. Σχολιάζοντας τον δεύτερο όρο του αριστερού μέλος της Εξ.(3.32), τονίζουμε πως συνήθως απομακρύνεται(μηδενίζεται) θεωρώντας οριακές συνθήκες τύπου PEC ή PMC στο σύνορο Γ,όταν F = HήE,αντίστοιχα. Εναλλακτικά,οόροςαυτόςμπορείναχρησιμοποιηθεί για την ενσωμάτωση των απορροφητικών οριακών συνθηκών(abc) αντικαθιστώντας την εντός άγκιστρων ποσότητα με το δεξί μέλος της Εξ.(3.24). Πάντως, στη συνέχεια της τρέχουσας παραγράφου, θεωρούμε για απλότητα πως ο όρος αυτός μηδενίζεται και δεν θα τον σχολιάσουμε περαιτέρω. Συνεπώς, στο αριστερό μέλος της Εξ.(3.32) απομένει μόνο ένας όρος που περιέχει μία«συμμετρική» εφαρμογή του τελεστή της στροφής, τόσο στο πεδίο Fόσοκαιστησυνάρτησηβάρους F a. Επόμενο βήμα είναι να αναλύσουμε το συνολικό πεδίο της Εξ.(3.32) σε εγκάρσιες και διαμήκεις συνιστώσες, ώστε να μπορούμε σε μετέπειτα στάδιο να τις αναπτύξουμε στο σύνολο των διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων μορφής που επιλέχθηκαν. Αντικαθιστώνταςτιςεκφράσειςτων Fκαι F a μεαυτέςπουεμπλέκουντα F t, F z και γ,όπωςκαι αντικαθιστώντας τους υπο-πίνακες της Εξ.(3.27) στην Εξ.(3.32), καταλήγουμε μετά από αρκετές πράξεις(βλέπε Παράρτημα Αʹ.2) στην παρακάτω μορφή της διατύπωσης Galerkin του προβλήματος ιδιοτιμών [ Ua p zz U +V a {p tz }U V a [p tt ]V U a {p zt } T V k0 2 F a ( q F) ] dxdy + γ γ 2 Ω Ω Ω [ Wa {p tz }U W a [p tt ]V V a [p tt ]W U a {p zt } T W ] dxdy + W a [p tt ]Wdxdy = 0, (3.33) όπουταβοηθητικάδιανύσματαορίζονταιως U = U ẑμε U t F t = Uẑκαι V ẑ t F z, W ẑ F t.ηαπουσία/παρουσίατουδείκτη aδηλώνειπωςαναφέρονται στις συναρτήσεις βάσης/βάρους, αντίστοιχα, χωρίς όμως να υπάρχει κάποια διαφοροποίηση. Οπως φανερώνουν οι παραπάνω σχέσεις, για τα βοηθητικά διανύσματα ισχύει U ẑ, δηλαδή U = Uẑ,ενώ V ẑκαι W ẑ.επομένως,στηνεξ.(3.33),τα Vκαι W(όπως καιτα { })λογίζονταιωςδιανύσματα-στήλεςήπίνακες [2 1],ενώ [p tt ]είναι [2 2]πίνακας. Οι πράξεις όπου παραλείπεται το σύμβολο εσωτερικού γινομένου, νοούνται ως πολλαπλασιασμός δισδιάστατων πινάκων, που εκφυλίζεται σε βαθμωτό γινόμενο όπου εμπλέκεται η ποσότητα U,ενώσημειώνουμετηνταυτόσημηαναπαράσταση {p zt } T V {p zt } V. Στησυνέχεια,τοεγκάρσιοκαιτοαξονικόμέροςτουπεδίου F(και F a )αναπτύσσονται στις συναρτήσεις βάσης(και βάρους/δοκιμής), σύμφωνα με τις σχέσεις F t (x,y) = i c t,i w i (x,y) = i c t,i (w x,iˆx+w y,i ŷ), (3.34αʹ) F z (x,y) = j c z,j L j (x,y), (3.34βʹ) αντίστοιχα. Στιςπαραπάνωσχέσεις, w i και L j είναιοιεπιλεγμένεςδιανυσματικέςκαι βαθμωτές συναρτήσεις μορφής(παράγραφος 3.1.2), αντίστοιχα, με i και j να είναι η τοπική τους αρίθμηση στο στοιχείο εντός του οποίου ανήκει το συγκεκριμένο (x, y)-σημείο. Οι παραπάνω συναρτήσεις μορφής σταθμίζονται με τους αντίστοιχους συντελεστές βάρους ή 65

80 Κεφάλαιο 3 αναπτύγματος(βαθμούς ελευθερίας), αν πρόκειται για τις συναρτήσεις βάρους/δοκιμής ή βάσης. Τονίζεται πως θεωρούμε, στο σημείο αυτό, ότι οι συναρτήσεις βάρους γράφονται και αυτές ως ανάπτυγμα των συναρτήσεων μορφής του πλέγματος, όπως στην Εξ.(3.15), χωρίς(ακόμα) να αντιστοιχίζονται μία-προς-μία σε αυτές. Η πρακτική αυτή διευκολύνει την αντιμετώπισητωναναπτυγμάτωντων Fκαι F a μεαντίστοιχοτρόπο. Χρήσει των Εξ.(3.34), δηλαδή των αναπτυγμάτων του πεδίου(και των συναρτήσεων βάρους) στις συναρτήσεις μορφής του πλέγματος, τα βοηθητικά διανύσματα μπορούν να γραφούν σε κλειστή μορφή U t F t = i V ẑ t F z = j c t,i ( t w i ) = i c z,j (ẑ t L j ) = j ( wy,i c t,i x w ) x,i ẑ, (3.35αʹ) y ) c z,j ( L j y ˆx+ L j x ŷ, (3.35βʹ) W ẑ F t = i c t,i (ẑ w i ) = i c t,i ( w y,iˆx+w x,i ŷ). (3.35γʹ) Οι ποσότητες εντός παρενθέσεων υπολογίζονται εύκολα εάν γνωρίζουμε τις αντίστοιχες κλειστές σχέσεις των διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων μορφής, που ορίζονται στο καρτεσιανό xy-επίπεδο. Στις παραπάνω σχέσεις οι δείκτες i και j διατρέχουν τις διανυσματικές και βαθμωτές συναρτήσεις μορφής, αντίστοιχα, σε τοπική ή ολική αρίθμηση. Εχοντας προσδιορίσει τη ολοκληρωτική διατύπωση Galerkin των εξισώσεων του προβλήματος και έχοντας γράψει τις συναρτήσεις βάρους και βάσης ως αναπτύγματα των συναρτήσεων μορφής, επόμενο βήμα της μεθόδου είναι να συγκροτήσουμε τους τοπικούς στοιχειακούς πίνακες. Οι τελευταίοι θα περιέχουν τις συμβολές των ολοκληρωμάτων της Εξ.(3.33) για το κάθε e-στοιχείο του πλέγματος ξεχωριστά. Υπενθυμίζοντας πως οι συναρτήσεις μορφής ορίζονται μόνο εντός των στοιχείων και μηδενίζονται εκτός αυτών, διαπιστώνουμε ότι τα ολοκληρώματα τους στον συνολικό χώρο Ω ταυτίζονται με το άθροισμα τωνανά-στοιχείοολοκληρωμάτωνστονχώρο Ω e,εξ.(3.21).επίσης,εντόςκάθεστοιχείου, μπορούμε να αντιμεταθέσουμε το άθροισμα(υπέρθεση) των συναρτήσεων μορφής στις Εξ.(3.34)μετηνολοκλήρωσηστονχώρο Ω e,γιαπαράδειγμα ( )( ) c a,i f i c j f j dω = c a,i c j f i f j dω = {c a }[F]{c}, (3.36) Ω e i j i j Ω e όπου f = f(ω)είναιοισυναρτήσειςμορφής, {c a }και {c}είναιπίνακες-διανύσματατων συντελεστών αναπτύγματος των συναρτήσεων βάρους και βάσης, αντίστοιχα, στις συναρτήσεις μορφής, και τα ij-στοιχεία του τετραγωνικού πίνακα [F] δίνονται από το ολοκλήρωμα τηςσυνάρτησης f i f j στονχώροτου e-στοιχείου.σημειώστεπως,πλέον,οιδείκτες iκαι j διατρέχουν τις συναρτήσεις μορφής, στις οποίες αναπτύσσονται οι συναρτήσεις βάρους και βάσης, αντίστοιχα. Τελικά, η διατύπωση Galerkin της Εξ.(3.33) για το κάθε στοιχείο θα μπορεί να γραφτεί στην παρακάτω μορφή στοιχειακών πινάκων { } [ T [Att ] [ ] [ ] ] { } ca,t A tz Btt B +γ tz +γ 2 Γtt [0] ct = 0, (3.37) A zt A zz B zt [0] [0] [0] c z c a,z όπου c a,t και c a,z είναιπίνακες-διανύσματαμεταβάρηστάθμισηςτουαναπτύγματοςτων διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων βάρους, αντίστοιχα, στις συναρτήσεις μορφής. 66

81 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM Ομοίως,τα c t και c z είναιπίνακες-διανύσματαμετουςσυντελεστές(ήβαθμούςελευθερίας) του αναπτύγματος των συναρτήσεων βάσης σε διανυσματικές και βαθμωτές συναρτήσεις μορφής, αντίστοιχα. Τέλος, οι υπο-πίνακες με δείκτες {tt, tz, zt, zz} των πινάκων [A], [B], [Γ],περιέχουντααντίστοιχαολοκληρώματαστονχώρο Ω e τωνδιαφόρωνγινομένωντων συναρτήσεων μορφής, όπως εκφράζονται στην Εξ.(3.33), και δίνονται από τις σχέσεις [ A tt,(ij) = (ẑ t w i )p zz (ẑ t w j ) k0 2 w ] i [q tt ]w j dxdy, (3.38αʹ) Ω e [ A tz,(ij) = (ẑ t w i ){p zt } T (ẑ t L j ) k0 2 w ] i {q tz }L j dxdy, (3.38βʹ) Ω e [ A zt,(ij) = +(ẑ t L i ) {p tz }(ẑ t w j )+k0 2 L ] i{q zt } T w j dxdy, (3.38γʹ) Ω e [ ] A zz,(ij) = (ẑ t L i ) [p tt ](ẑ t L j )+k0l 2 i q zz L j dxdy, (3.38δʹ) Ω e [ B tt,(ij) = +(ẑ wi ) {p tz }(ẑ t w j ) (ẑ t w i ){p zt } T (ẑ w j ) ] dxdy, Ω e B tz,(ij) = (ẑ w i ) [p tt ](ẑ t L j )dxdy, Ω e B zt,(ij) = (ẑ t L i ) [p tt ](ẑ w j )dxdy, Ω e Γ tt,(ij) = (ẑ w i ) [p tt ](ẑ w j )dxdy, Ω e (3.38εʹ) (3.38ϛʹ) (3.38ζʹ) (3.38ηʹ) όπου w και L είναι οι διανυσματικές και βαθμωτές συναρτήσεις μορφής του πλέγματος, αντίστοιχα, ενώ οι δείκτες i και j διατρέχουν την τοπική αρίθμηση των παραπάνω εντός τουe-στοιχείου.σημειώνουμεπως,στιςπαραπάνωσχέσεις,οιποσότητεςw,ẑ t L,ẑ w και { }λογίζονταιως [2 1]διανύσματα-στήλες,ηποσότητα ẑ t wείναιβαθμωτήκαι [ ] είναι [2 2]πίνακες.Ταπαραπάνωολοκληρώματαστονχώρο Ω e μπορούνναυπολογιστούν αναλυτικά, αφού οι γεωμετρικές διαστάσεις του στοιχείου όπως και οι κλειστές μορφές των διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων μορφής δίνονται. Παρ όλα αυτά, οι αναλυτικές σχέσεις που προκύπτουν είναι αρκετά πολύπλοκες, και απαιτούν αρκετές πράξεις, κυρίως όσο η τάξη προσέγγισης των συναρτήσεων μορφής αυξάνει. Για το λόγο αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σχήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης για δύο διαστάσεις σε τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία[160], με τις αντίστοιχες σχέσεις να δίνονται στο Παράρτημα Αʹ.1. Οιδιαστάσειςτων klυπο-πινάκωντωνεξ.(3.38),όπου k,l = {z,t},είναι M k M l,όπου M k/l είναιτοπλήθοςτωνσυναρτήσεωνβάρους/βάσηςπουεπιλέχθηκανγιατο k/l-μέρος του πεδίου, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, εάν επιλέξαμε οκτώ διανυσματικές και έξι βαθμωτές συναρτήσεις μορφής για την αναπαράσταση του εγκαρσίου(t) και αξονικού(z) μέρους του πεδίου,αντίστοιχα,τότεοπίνακας [A tz ]θαείναιδιαστάσεων 8 6. Τέλος,σημειώστε πως η Εξ.(3.37) αντιστοιχεί σε μία και μόνο εξίσωση που εμπλέκει όλους του συντελεστές βάρους(ή δοκιμής) και αναπτύγματος για το συγκεκριμένο στοιχείο του πλέγματος, σε τοπική αρίθμηση. Τελευταίο βήμα στην εφαρμογή της FEM στο πρόβλημα εύρεσης ιδιορρυθμών ενός κυματοδηγού, είναι η συνάθροιση(assembly) των συμβολών των στοιχειακών πινάκων ώστε να σχηματιστούν οι συνολικοί πίνακες του προβλήματος. Η εξίσωση που θα δημιουργηθεί 67

82 Κεφάλαιο 3 θαέχειμορφήπανομοιότυπημετηςεξ.(3.37),μόνοπουπλέονοιπίνακες-διανύσματα {c a } και {c} θα αντιστοιχούν στη μονοσήμαντα ορισμένη ολική αρίθμηση των αντίστοιχων συναρτήσεων μορφής, και όχι στην τοπική, ανά-στοιχείο αρίθμηση. Αντιστοίχως, οι ολικοί πίνακες [Ā],[ B],[ Γ]θααναφέρονταιστααθροίσματατωνσυμβολώνόλωντωνστοιχείων του πλέγματος που μοιράζονται τα αντίστοιχα ζεύγη συναρτήσεων βάρους/βάσης, σε ολική πάντα αρίθμηση. Πρακτικά, αυτό σημαίνει πως όταν δύο στοιχεία του πλέγματος μοιράζονται το ij-ζεύγος συναρτήσεων μορφής(σε ολική αρίθμηση), τότε το ij-στοιχείο του ολικού πίνακα [ M] = [Ā], [ B]ή[ Γ]θαπροκύπτειαπότοάθροισματωναντίστοιχων ij-στοιχείων (σε τοπική αρίθμηση) των στοιχειακών πινάκων [M] = [A], [B] ή [Γ], αντίστοιχα. Υπενθυμίζουμε εδώ πως, για τις διανυσματικές συναρτήσεις μορφής τύπου CT/LN και LT/LN, Παράγραφος , έχει σημασία η έννοια της φοράς, η οποία ορίζεται επίσης ολικά. Συνεπώς, η συμβολή στους ολικούς πίνακες μίας τέτοιας διανυσματικής συνάρτησης μορφής θα γίνεται με αντίθετο πρόσημο, για τα δύο στοιχεία που τη«μοιράζονται», ανάλογα με την ολική φορά αναφοράς και την τοπική φορά διαγραφής της. Τέλος, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Galerkin, δημιουργούμε το τελικό σύστημα εξισώσεων επιλέγοντας διαδοχικά ωςπίνακες-διανύσματα 6 { c a,t c a,z } T γιατιςσυναρτήσειςβάρους(ήδοκιμής)ταδιανύσματα ελέγχου { } T, { } T... { } T,μεολικήαρίθμηση. Τοσύστημα που προκύπτει, θα αποτελείται από τόσες εξισώσεις όσοι είναι και οι ξεχωριστοί συντελεστές βάσης(ή αλλιώς βαθμοί ελευθερίας του προβλήματος) που περιέχονται στο ολικά αριθμούμενοδιάνυσμα { c t c z } T,καιθαέχειτηγενικήμορφή [ ] ] ] [Ātt Ā tz [ Btt ] } { ct Ā zt Ā zz +γ Btz B zt [0] +γ 2 [ Γtt [0] [0] [0] c z = {0}, (3.39) αντίστοιχημετηςεξ.(3.23).οιολικάαριθμούμενοιπίνακες [Ā],[ B],[ Γ]είναιγενικάαραιοί (sparse), κάτι που σημαίνει ότι το ποσοστό των μη-μηδενικών στοιχείων ανά γραμμή και ανά στήλη είναι κατά κανόνα πολύ μικρό. Η αραιότητα των πινάκων οφείλεται στο ότι μόνο συναρτήσεις μορφής που συναρτώνται με χαρακτηριστικά(κόμβους ή ακμές) γειτονικών στοιχείων του πλέγματος συμπλέκονται μεταξύ τους μέσω των εσωτερικών γινομένων της Εξ.(3.38). Εχοντας κατασκευάσει το αραιό σύστημα εξισώσεων, απομένει η αριθμητική του επίλυση για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών(και των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων) του, που συνδέονται με τους ιδιορρυθμούς της διάταξης. Οι ιδιοτιμές του συστήματος της Εξ.(3.39), μετά από μετασχηματισμούς που θα παρουσιαστούν στις επόμενες παραγράφους, υπολογίζονται εύκολα με κατάλληλους υπολογιστικούς αλγορίθμους, όπως ο Arnoldi[211]. Στους αλγορίθμους αυτούς, συνήθως ορίζουμε ένα διάστημα ιδιοτιμών και ο αλγόριθμος επιστρέφει τις ιδιοτιμές του συστήματος που βρίσκονται εντός του συγκεκριμένου διαστήματος ή, εναλλακτικά, ορίζουμε μία ιδιοτιμή αναφοράς και ο αλγόριθμος επιστρέφει ένα μικρό πλήθος ιδιοτιμών πλησίον αυτής. Πάντως, σε κάθε περίπτωση, υπολογίζεται ένα σύνολο ιδιοτιμών γκαιτοαντίστοιχοσύνολοιδιοδιανυσμάτων { c t c z } T. Τέλος,γιατονυπολογισμότης κατανομής του πεδίου F του κάθε ιδιορρυθμού σε δεδομένο σύνολο (x, y)-σημείων του εγκάρσιου επιπέδου, θα χρησιμοποιούνται τα αναπτύγματα της Εξ.(3.34), όπου οι τοπικά αριθμούμενοι συντελεστές αναπτύγματος θα αντιστοιχίζονται στους ολικά αριθμούμενους 6 Στο εξής, και για αποφυγή υπερσυμβολισμού, οι ποσότητες της μορφής {c t c z } T λογίζονται ως διανύσματα-στήλες με τους κατάλληλους συντελεστές αναπτύγματος, όπου πρώτα αριθμούνται οι διανυσματικές και μετά οι βαθμωτές συναρτήσεις μορφής του προβλήματος. Φορμαλιστικά η παραπάνω ποσότητα θαγράφονταν {{c t } T {c z } T } T. 68

83 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM τουδιανύσματος { c t c z } T,μετοκατάλληλοπρόσημοαναφοράςότανπρόκειταιγιατιςδιανυσματικές συναρτήσεις μορφής τύπου CT/LN και LT/LN, Παράγραφος Κυματοδηγοί με διαγώνια ή εγκάρσια ανισοτροπία Η εξίσωση που παρουσιάζεται στην Εξ.(3.33) οδηγεί στο μη-γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών(quadratic eigenvalue problem, QEP) της Εξ.(3.39), που διαφοροποιείται από την απλή γραμμική μορφή του γενικευμένου προβλήματος ιδιοτιμών(generalized eigenvalue problem, GEP) που εκφράζεται στις Εξ.(3.22) και(3.23). Οπως θα δούμε, υπό κατάλληλες προϋποθέσεις το QEP μπορεί να υποβιβαστεί σε ένα απλούστερο και ισοδύναμο GEP, που επιλύεται πολύ πιο εύκολα. Στην περίπτωση που ο κυματοδηγός παρουσιάζει διαγώνια(ή το πολύ εγκάρσια) ανισοτροπίαστουςτανυστές pκαι q,τότεταδιανύσματαμεδείκτες ztκαι tzτωντανυστών της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς και σχετικής μαγνητικής διαπερατότητας[εξ.(3.27) και(3.29)]είναιμηδενικοί, { p tz } = { q tz } = { p zt } = { q zt } = {0}. Στηνπερίπτωσηαυτή, οιυπο-πίνακες [A tz ],[A tz ],[B tt ]τηςεξ.(3.37)μηδενίζονταικάτιπουεπιτρέπειμίασημαντική απλοποίηση της παραπάνω εξίσωσης χρήσει του μετασχηματισμού Selleri[210] για το εγκάρσιο μέρος του πεδίου, F t = γ k 0 F t. (3.40) Εισαγωγή του παραπάνω μετασχηματισμού στην Εξ.(3.34α ) ισοδυναμεί τελικά με αντικατάστασητωνσυντελεστών c t (και c a,t )στηνεξ.(3.37)μετααντίστοιχαμετασχηματισμένα μεγέθη c t (k 0 /γ)c tοδηγώντας,μετάαπόκάποιεςπράξεις,στημορφή { c a,t c a,z } T [[( ) 2Att ] [ ] k 0 γ [0] [0] Btz +k 0 +k0 2 [0] A B zt [0] zz [ Γtt [0] [0] [0] ] ] { } c t = 0, (3.41) για τις εξισώσεις των στοιχειακών πινάκων. Στην παραπάνω εξίσωση, παρατηρούμε πως πλέον η ιδιοτιμή εμφανίζεται υψωμένη σε μία μόνο μη-μηδενική δύναμη, σε αντίθεση με τη γενικότερη μορφή της Εξ.(3.37), όπου εμφανίζονταν υψωμένη σε δύο διαφορετικές μη-μηδενικές δυνάμεις. Αντιλαμβανόμαστε, συνεπώς, πως το πρόβλημα έχει πρακτικά υποβιβαστεί από QEP σε ένα απλούστερο GEP. Εκτελώντας τη διαδικασία της συνάθροισης με χρήση της μεθόδου Galerkin, οδηγούμαστε στην παρακάτω μετασχηματισμένη μορφή της Εξ.(3.39), για τους ολικούς πίνακες του συστήματος εξισώσεων του μετασχηματισμένου GEP [ } } k 2 0 Γtt k 0 Btz ]{ c t = λ [Ātt [0] ]{ c t, (3.42) k 0 Bzt Ā zz c z [0] [0] c z όπουοιπίνακεςτουαριστερούκαιτουδεξιούμέλουςαντιστοιχούνπλέονκαθαράστους[s A ] και [S B ]τηςεξ.(3.23),ενώηιδιοτιμή λ τουπροβλήματοςαντιστοιχίζεταιστημιγαδική σταθερά διάδοσης σύμφωνα με τη σχέση λ = ( ) 2 k0. (3.43) γ Τέλος,γνωρίζονταςτηνιδιοτιμή λ τουπροβλήματος,όπωςκαιτοαντίστοιχομετασχηματισμένοιδιοδιάνυσματωνσυντελεστώνήβαθμώνελευθερίας, { c t c z} T (ολικήαρίθμηση), 69 c z

84 Κεφάλαιο 3 μπορούμε να υπολογίσουμε τα εγκάρσιο μέρος της κατανομής του πεδίου του ιδιορρυθμού με αντιστροφή της Εξ.(3.40). Κλείνοντας την παράγραφο αυτή, είναι σημαντικό να σημειώσουμε πως ο συγκεκριμένος μετασχηματισμός δεν εισάγει κάποιο σφάλμα προσέγγισης, ούτε επιβαρύνει υπολογιστικά την επίλυση του προβλήματος(καθώς δεν αυξάνει το πλήθος των αγνώστων), ούτε και διαταράσσει τη συμμετρία των αραιών ολικών πινάκων του αριστερού και του δεξιού μέλους τηςεξ.(3.42) Κυματοδηγοί με αυθαίρετη ανισοτροπία Ο μετασχηματισμός Selleri της προηγούμενης παραγράφου μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση της διαγώνιας ή εγκάρσιας ανισοτροπίας. Στη γενικότερη περίπτωση της αυθαίρετης ανισοτροπίας, όπου και τα εννέα στοιχεία των τανυστών p και q είναι μημηδενικά, προκύπτει το τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών της Εξ.(3.39). Μία συνηθισμένη μέθοδος που χρησιμοποιείται για τον μετασχηματισμό ενός QEP σε ένα GEP, είναι με διπλασιασμό των αγνώστων(βαθμών ελευθερίας) του προβλήματος[212]. Εστω το τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών, αντίστοιχο με αυτό της Εξ.(3.39), που ορίζεται από το σύστημα εξισώσεων της μορφής [Ā]{ c}+γ[ B]{ c}+γ 2 [ Γ]{ c} = {0}, (3.44) όπου γηιδιοτιμή, { c}τοιδιοδιάνυσμακαι [Ā],[ B],[ Γ]αραιοίτετραγωνικοίπίνακες. Αντιστοιχίζοντας με το πρόβλημα εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με την FEM, γ είναι η μιγαδικήσταθεράδιάδοσης,και { c} = { c t c z } T είναιοιάγνωστοισυντελεστές(βαθμοίελευθερίας) του αναπτύγματος της xy-κατανομής του διανυσματικού πεδίου του ιδιορρυθμού στις επιλεγμένες διανυσματικές και βαθμωτές συναρτήσεις μορφής. Τέλος, οι τετραγωνικοί πίνακες [Ā],[ B],[ Γ]είναιοιολικοίπίνακεςπουπροκύπτουναπότησυνάθροισητωνσυμβολών των αντίστοιχων στοιχειακών πινάκων της Εξ.(3.37). Οι πίνακες αυτοί εξαρτώνται από το μήκος κύματος λειτουργίας, τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του κυματοδηγού και τους διαφορικούς τελεστές της κυματικής εξίσωσης, εκπεφρασμένους στη συγκεκριμένη διακριτοποίηση με πεπερασμένα στοιχεία. Ο διπλασιασμός των αγνώστων του προβλήματος γίνεται με τον ορισμό ενός νέου ιδιοδιανύσματος της μορφής { } { c} { c } =, (3.45) γ{ c} και του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου προβλήματος ιδιοτιμών [S A ]{ c } = γ[s B ]{ c }. (3.46) Στην παραπάνω εξίσωση, η ιδιοτιμή παραμένει η ίδια με του προβλήματος της Εξ.(3.44), αλλάοιτετραγωνικοίαραιοίπίνακες[s A ]και[s B ]έχουνδιπλάσιομέγεθοςαπότους[ā],[ B],[ Γ] ενώ μπορούν να οριστούν με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους συναρτήσει αυτών. Η γραμμικοποίηση που χρησιμοποιήθηκε σε αυτή τη διατριβή ήταν η παρακάτω [ [0] [1] [Ā] [ B] ]{ } { c} = γ γ{ c} [ [1] [0] [0] [ Γ] ]{ } { c}, (3.47) γ{ c} όπου [1] και [0] είναι ο πίνακας-μονάδα και ο μηδενικός πίνακας, αντίστοιχα, με διαστάσεις ίδιεςμετων [Ā],[ B],[ Γ].ΕξετάζονταςτηνΕξ.(3.47),παρατηρούμεπωςμπορείνααναλυθεί 70

85 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM σε δύο συστήματα εξισώσεων, εκ των οποίων το πρώτο είναι κάποια τετριμμένη μορφή(για παράδειγμα γ{ c} = γ{ c}) ενώ το δεύτερο ταυτίζεται με την Εξ.(3.44). Στοσημείοαυτό,σημειώνουμεπωςοιυπόλοιποιτρειςτρόποιορισμούτωνπινάκων [S A ] και[s B ]συνίστανταισεαντικατάστασητουπίνακα[1]μεκάποιοναπότους[ā],[ B],[ Γ].Παρ όλα αυτά, παρατηρήθηκε πως οι συγκεκριμένοι τρόποι ορισμού οδηγούσαν σε λανθασμένα αποτελέσματα και/ή αριθμητική αστάθεια, πιθανότατα λόγω του ότι οι επιμέρους αραιοί πίνακες δεν είναι θετικά ορισμένοι (positive-definite), όταν υπάρχουν υλικά με απώλειες στον κυματοδηγό(ή PML/ABC). Η εύρεση των ιδιοτιμών του συστήματος της Εξ.(3.47), από υπολογιστικής πλευράς, αντιμετωπίζεται αντίστοιχα με το σύστημα της Εξ.(3.42). Η μόνη διαφορά είναι ο αυξημένος υπολογιστικός φόρτος λόγω του διπλάσιου μεγέθους και το ότι χρειαζόμαστε μόνο το πρώτο μισότουδιπλασιασμένουιδιοδιανύσματος { c }τηςεξ.(3.45)γιανακατασκευάσουμετην εγκάρσια κατανομή του πεδίου του ιδιορρυθμού που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή γ Απορροφητικές οριακές συνθήκες Στην ανάλυση των προηγούμενων ενοτήτων παραλείψαμε τον όρο του επικαμπύλιου ολοκληρώματος της Εξ.(3.32), που υπολογίζεται στο όριο Ω του υπολογιστικού παραθύρου. Οπως αναφέρθηκε, ο συγκεκριμένος όρος θεωρείται μηδενικός όταν το παράθυρο τερματίζεται με συνθήκες PMC/PEC ή, κατά προσέγγιση, όταν το όριο βρίσκεται πολύ μακρυά από την περιοχή οδήγησης ώστε το πεδίο F για τους καλά συγκεντρωμένους οδηγούμενους ρυθμούς να είναι πρακτικά αμελητέο. Παρ όλα αυτά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον όρο για την εισαγωγή των απορροφητικών οριακών συνθηκών(abc) πρώτης τάξης που εισήχθησαν στην Παράγραφο , Εξ.(3.24), που ξαναγράφεται εδώ στην ολοκληρωτική της μορφή Ω F a [ˆn (p F)]dl = jk 0 Ω q Fa [ˆn (ˆn F)]dl, (3.48) όπου ˆn το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο όριο Ω. Στην παραπάνω εξίσωση έχουμε θεωρήσει πως στο όριο του υπολογιστικού παραθύρου υπάρχουν μόνο ισοτροπικά υλικά, και συνεπώς οι τανυστές p και q των πεδίων εκφυλίζονται σε βαθμωτά μεγέθη. Επιπλέον, έχουμεθεωρήσειτηνπαράμετρο θ a = 0,ορίζονταςπωςοι ABCαπορροφούντέλειατα επίπεδακύματαπουπροσπίπτουνκάθεταστοόριο Ωστησυχνότητα ω = k 0 c 0. Για την ενσωμάτωση των ABC στο πρόβλημα ιδιοτιμών που επιλύεται με την FEM, απαιτείται μία επιπρόσθετη διαδικασία συνάθροισης. Αντίστοιχα με τη σάρωση των τριγωνικών στοιχείων του πλέγματος και τον υπολογισμό των επιφανειακών ολοκληρωμάτων στο χώρο Ω e γιατησυμπλήρωσητωνστοιχειακώνπινάκων,στηνπερίπτωσηαυτή,θασαρώσουμε τις οριακές ακμές του πλέγματος και θα υπολογίσουμε τα επικαμπύλια ολοκληρώματα του δεξιού μέλους της Εξ.(3.48) στο μήκος κάθε ακμής. Η διαδικασία είναι τελείως αντίστοιχη με αυτήν που περιγράφηκε προηγουμένως: Για κάθε οριακή ακμή του πλέγματος, αντικαθιστούμεταπεδία F a και Fμετααναπτύγματασεσυναρτήσειςβάρους(ήδοκιμής)καιβάσης που επιλέξαμε, Εξ.(3.34), και εκτελούμε την επικαμπύλια ολοκλήρωση στο μήκος της κάθε 71

86 Κεφάλαιο 3 οριακήςακμής 7,οδηγούμενοιστουςπίνακες-ακμώντηςμορφής { ca,t c a,z } T [ tt [0] [0] zz ]{ ct c z } = 0, (3.49) αντίστοιχους των στοιχειακών πινάκων της Εξ.(3.37). Στην παραπάνω εξίσωση, οι συντελεστέςαναπτύγματος {c a }και {c}ακολουθούντηδικήτουςτοπικήαρίθμηση(γιαπαράδειγμαανάοριακήακμήήανάκόμβο),αλλάκαιτηνολικήαρίθμησημεβάσητιςίδιες συμβάσεις αναφοράς που χρησιμοποιήθηκαν και στην εξαγωγή των ολικών πινάκων της Εξ.(3.39).Επίσης,ταστοιχείατωνυποπινάκων tt και zz δίνονταιαπότιςσχέσεις tt,(ij) = jk 0 q Ω e [ wx,i (w y,j n x n y w x,j n 2 y )+w y,i(w x,j n x n y w y,j n 2 x )] dl, (3.50αʹ) zz,(ij) = +jk 0 q Ω e L i L j dl, (3.50βʹ) όπου ˆn = n xˆx + n y ŷείναιτομοναδιαίοκάθετοδιάνυσμαστηνακμή Ω e,και w i/j = w x,i/jˆx + w y,i/j ŷκαι L i/j είναιοιδιανυσματικέςκαιβαθμωτέςσυναρτήσειςμορφής,αντίστοιχα, με χρήση της τοπικής(ανά οριακή ακμή) i/j αρίθμησης. Σημειώνουμε πως ο συγκεκριμένος τύπος ABC πρώτης τάξης δεν προβλέπει σύμπλεξη μεταξύ των εγκάρσιων και της αξονικής συνιστώσας του πεδίου, όπως δηλώνεται και από τους μηδενικούς εκτός-διαγωνίου υπο-πίνακεςτηςεξ.(3.49). Τέλος,αξίζεινασημειώσουμεπωςοόρος ˆn (ˆn F)είναι μηδενικός στην παράλληλη με το ˆn διεύθυνση, συνεπώς μόνο οι εφαπτομενικές συνιστώσες του πεδίου στην κάθε οριακή ακμή θα έχουν μη-μηδενική συμβολή. Για τις διανυσματικές συναρτήσεις μορφής CT/LN ή LT/LN της Παραγράφου , μόνο μία ή δύο θα έχουν μη-μηδενική συμβολή, αντίστοιχα, ενώ όλες οι ZT/QN θα είναι μηδενικές. Αντιστοίχως, για τις γραμμικές και τετραγωνικές βαθμωτές συναρτήσεις μορφής της Παραγράφου , μόνο δύο ή τρεις θα έχουν μη-μηδενική συμβολή, αντίστοιχα. Εχοντας σχηματίσει τους πίνακες-ακμών, εκτελούμε τη διαδικασία της συνάθροισης των συμβολών όλων των οριακών ακμών στον υπολογισμό του κλειστού επικαμπύλιου ο- λοκληρώματος της Εξ.(3.48). Σημειώστε πως, κατά τη διαδικασία της συνάθροισης, οι συντελεστές c a και cστουςπίνακες-ακμώντηςεξ.(3.49)θααντιστοιχίζονταιστουςίδιους συντελεστές με αυτούς της Εξ.(3.37), ακολουθώντας δηλαδή την ίδια ολική αρίθμηση με εκείνους.τελικά,ηεφαρμογήτων ABCισοδυναμείμετροποποίησητουολικούπίνακα [Ā] τηςεξ.(3.42)ή(3.47),καιμάλισταμόνοτων ttκαι zzτμημάτωντου,καιδενσυμπλέκεται σε καμία περίπτωση με τις ιδιοτιμές του προβλήματος Ταυτοποίηση και χαρακτηρισμός ιδιορρυθμών Στην προηγούμενη παράγραφο παρουσιάστηκε εκτενώς η υλοποίηση ενός εργαλείου εύρεσης ιδιορρυθμών βασιζόμενου στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(fem). Στην παρούσα παράγραφο, θα παρουσιάσουμε τα βασικά σημεία της ταυτοποίησης και του χαρακτηρισμού των ιδιορρυθμών, θεωρώντας ότι έχουμε υπολογίσει τους μιγαδικούς ενεργούςδείκτεςδιάθλασης(n eff )καιτηνεγκάρσιακατανομήτουδιανυσματικούπεδίουτους [F = E(x,y)ήH(x,y)]. 7 Οτανοισυναρτήσειςμορφήςέχουνπολύπλοκημορφή,τότεμπορούνναχρησιμοποιηθούνοιαριθμητικές σχέσεις του Παραρτήματος Αʹ.1 για τον υπολογισμό αυτών των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. 72

87 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM Θα πρέπει να διευκρινίσουμε ότι οι ιδιορρυθμοί ενός κυματοδηγού είναι εξ ορισμού ορθογωνικοί μεταξύ τους, δηλαδή η προβολή τους καθενός επάνω στο σύνολο των υπολοίπων είναι πάντα μηδενική. Η προβολή του m- επί του n-ιδιορρυθμού του ίδιου κυματοδηγού (και στο ίδιο μήκος κύματος) ορίζεται βάσει του θεώρημα της αμοιβαιότητας(reciprocity theorem) του Lorentz[140] από τη σχέση Q mn = (E m H n ) ẑdxdy, (3.51) μετράταισε Wattκαιικανοποιείτησχέση Q mn = 0για m n. Στιςυπολογιστικές προσομοιώσεις η παραπάνω σχέση ικανοποιείται προσεγγιστικά, ενώ στην περίπτωση των κυματοδηγώνμεαπώλειεςαντικαθιστούμετοσυζυγέςμαγνητικόπεδίο H nμετο H n [140]. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, καταλαβαίνουμε ότι εν γένει οποιοδήποτε πεδιακή κατανομή οδηγούμενου κύματος που διεγείρει έναν κυματοδηγό, μπορεί να γραφτεί με πλήρη τρόπο ως ένα ανάπτυγμα στις«βάσεις» του συγκεκριμένου χώρου, δηλαδή το σύνολο των ιδιορρυθμών του κυματοδηγού, οδηγούμενων και μη. Συνεπώς, μετά από διάδοση σε απόσταση z,τοοδηγούμενοκύμαθαμπορείναγραφτείμετοανάπτυγμα E(x,y,z) = m Q im Q mm E m (x,y) e γmz, (3.52) όπου με τον δείκτη i συμβολίζεται το αυθαίρετο εγκάρσιο προφίλ διέγερσης στο επίπεδο z = 0τουκυματοδηγού[E i (x,y,0)]ενώ E m και γ m είναιηεγκάρσιακατανομήκαιη μιγαδική σταθερά διάδοσης του m-ιδιορρυθμού του κυματοδηγού Συγκέντρωση, αποκοπή, πόλωση, απώλειες και διασπορά Ο πρωταρχικός χαρακτηρισμός ενός μεμονωμένου ιδιορρυθμού αφορά στη συγκέντρωση, στην αποκοπή, στην πόλωση, στις απώλειες και στη διασπορά του. Η συγκέντρωση(confinement) ενός ρυθμού δηλώνει την εγκάρσια xy-έκταση που καταλαμβάνει, κατά τη διάδοση του κατά το z-μήκος του κυματοδηγού. Για την ποσοτικοποίηση της συγκέντρωσης, χρησιμοποιείται η ενεργός επιφάνεια(effective area)[94] του ρυθμού, που υπολογίζεται από τη σχέση ( F(x,y) 2 dxdy ) 2 A eff F(x,y) 4 dxdy, (3.53) όπουτομέτρο F 2 = F F. Οτανηενεργόςεπιφάνειαείναισυγκρίσιμημετηγεωμετρική επιφάνεια του πυρήνα οδήγησης του κυματοδηγού, τότε ο ρυθμός θεωρείται καλά συγκεντρωμένος και, συνήθως, βρίσκεται μακρυά από την αποκοπή. Για συμβατικούς κυματοδηγούς που βασίζονται στο μηχανισμό ολικής εσωτερικής ανάκλασης, Παράγραφος 2.1.2, ένα ποιοτικό κριτήριο για τη συγκέντρωση του ρυθμού είναι η σύγκριση του πραγματικού μέρουςτουενεργούδείκτη(re{n eff })μετονδείκτηδιάθλασηςτουπυρήνα(n g )καιτονμέγιστοτωνδεικτώντουυποστρώματοςκαιτουπεριβλήματος(n s ). Οτανηκανονικοποιημένη ποσότητα b = Re{n eff} 2 n 2 s n 2 g n2 s (3.54) 73

88 Κεφάλαιο 3 είναι πλησιέστερα στη μονάδα ή στο μηδέν, τότε ο ρυθμός θεωρείται καλά οδηγούμενος ήκοντάστηναποκοπή,αντίστοιχα. Μάλιστα,όταν Re{n eff } < n s (δηλαδή b < 0)τότε μπορούμε με βεβαιότητα να πούμε πως ο συγκεκριμένος ρυθμός βρίσκεται κάτω από την αποκοπή, δηλαδή δεν είναι οδηγούμενος παρά ρυθμός υποστρώματος/περιβλήματος. Αύξηση των γεωμετρικών διαστάσεων ενός κυματοδηγού και/ή ελάττωση του μήκους κύματος λειτουργίαςκαι/ήαύξησητηςαντίθεσηςτωνδεικτώνδιάθλασης(n g σεσχέσημε n s ),οδηγεί σε μεγαλύτερη συγκέντρωση, απομάκρυνση από την αποκοπή και/ή εμφάνιση επιπλέον οδηγούμενων ρυθμών. Η πόλωση(polarization) ενός ρυθμού αναφέρεται στη διεύθυνση που λαμβάνει η κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα του πεδίου. Η διεύθυνση της πόλωσης μπορεί να εκτιμηθεί από τησύγκρισητουποσοστούτηςισχύοςπουοδηγείταιαπότην E x (και H y )ήτην E y (και H x )εγκάρσιασυνιστώσατουπεδίου. Οιπαραπάνωοδηγούμενεςισχείςδίνονταιαπότις σχέσεις P z,(x) = 1 { } 2 Re +(E x H y )dxdy, (3.55αʹ) P z,(y) = 1 { } 2 Re (E y H x )dxdy. (3.55βʹ) Οταν P z,(x) P z,(y) τοηλεκτρικόπεδίοτουρυθμούείναιπολωμένοκατάτον x-άξονα, ενώστηναντίστροφηπερίπτωση(p z,(x) P z,(y) )κατάτον y-άξονα. Γιατουςολοκληρωμένους επίπεδους κυματοδηγούς, όπου υπάρχει σαφής προσανατολισμός των εγκάρσιων xy-αξόνων σε σχέση με τη διάταξη, συνηθίζεται οι παραπάνω δύο περιπτώσεις πολώσεων να αναφέρονται και ως εγκάρσιου ηλεκτρικού(transverse electric, TE) ή εγκάρσιου μαγνητικού(transverse magnetic, TM) πεδίου. Στη γενικότερη περίπτωση που οι οδηγούμενες ισχείς των Εξ.(3.55) είναι συγκρίσιμες μεταξύ τους, τότε οι ρυθμοί αποκαλούνται υβριδικοί (hybrid) και χαρακτηρίζονται επιπλέον ως σχεδόν(οιονεί, quasi) ΤΕ ή ΤΜ, ανάλογα με τοεάν P z,(x) P z,(y). Οτανένακύμασυντίθεταιαπότηνυπέρθεσηδύοήπερισσοτέρων ρυθμών(όπως σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς), τότε, ανάλογα με τη φασική σχέση και την πόλωση των επιμέρους ρυθμών, η πόλωση του κύματος μπορεί να χαρακτηριστεί ως γραμμική, κυκλική ή ελλειπτική. Η κατάσταση της πόλωσης ενός τέτοιου κύματος υπολογίζεται με χρήση των συντελεστών Stokes και αποτυπώνεται για πρακτική ευκολία στη σφαίρα Poincaré[66, 77]. Οι απώλειες διάδοσης(propagation losses) ενός ρυθμού μπορούν να ποσοτικοποιηθούν από το φανταστικό μέρος του ενεργού του δείκτη. Για ρυθμούς με σημαντικές απώλειες, συνήθως χρησιμοποιείται το χαρακτηριστικό μήκος απωλειών(propagation length), L prop = λ/(4πim{n eff }),πουορίζεταιωςηαπόστασηστηνοποίαηισχύςτουρυθμού έχειμειωθείστο 1/eτηςαρχικής. Ισοδύναμα,μετάαπόδιάδοσησεαπόσταση L prop οι απώλειες του θα ανέρχονται σε 4.34 db. Στην αριθμητική προσομοίωση των διηλεκτρικών κυματοδηγών, οι απώλειες διάδοσης οφείλονται στην εγγενή απορρόφηση των υλικών(δηλαδή Im{ε r } < 0)ήπροϋποθέτουντηχρήσηαπορροφητικώνοριακώνσυνθηκών(ABC)ή στρωμάτων απορρόφησης(συμβατικών ή PML) στα όρια του υπολογιστικού παραθύρου. Τέλος, η διασπορά(dispersion) ενός ρυθμού αναφέρεται στην εξάρτηση ορισμένων χαρακτηριστικών του(όπως τα παραπάνω: ενεργός δείκτης, συγκέντρωση, αποκοπή, απώλειες, πόλωση) από τις παραμέτρους του προβλήματος, δηλαδή τις γεωμετρικές διαστάσεις του κυματοδηγού, τα ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά των υλικών του ή τη συχνότητα λειτουργίας του. Δοθείσας της διασποράς των χαρακτηριστικών ενός ρυθμού, μπορούν να 74

89 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM εντοπιστούν οι συνδυασμοί παραμέτρων που οδηγούν στα επιθυμητά χαρακτηριστικά λειτουργίας του κυματοδηγού. Πιο συγκεκριμένα, η διασπορά συχνότητας χρειάζεται για τον υπολογισμό επιπλέον φασματικών χαρακτηριστικών ενός ρυθμού, όπως η ταχύτητα ομάδας και η διασπορά αυτής, που επηρεάζουν τη διάδοση παλμών βραχείας χρονικής διάρκειας. Στο Κεφάλαιο 5 θα γίνει εκτενέστερη αναφορά στο συγκεκριμένο ζήτημα Τάξη, ονοματολογία και συμμετρία Σε ορισμένες περιπτώσεις, για παράδειγμα όταν ένας κυματοδηγός υποστηρίζει παραπάνω του ενός οδηγούμενους ρυθμούς, απαιτείται ο προσδιορισμός περισσότερων χαρακτηριστικών των ιδιορρυθμών, όπως η τάξη και η συμμετρία τους. Ο προσδιορισμός αυτών των χαρακτηριστικών στηρίζεται στην εποπτεία της εγκάρσιας κατανομής του πεδίου των ρυθμών, και για τον λόγο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε κάποια επεξηγηματικά παραδείγματα. Εστω ένας κυματοδηγός πυριτίου-σε-μονωτή(soi), αντίστοιχος του Σχ. 3.1, που λειτουργεί στο μήκος κύματος λ = 1550 nm. Η περιοχή οδήγησης πυριτίου είναι ορθογωνική, έχειδιαστάσεις nm 2 (εύρος πάχος),δείκτη n = 3.45καιβρίσκεταιεπάνωσε υπόστρωμα οξειδίου απείρων διαστάσεων και δείκτη n = Η όλη διάταξη περικλείεταιαπόαέρα(n = 1). Ορίζουμεωφέλιμουπολογιστικόπαράθυροδιαστάσεων 3 2μm 2 πουπερικλείεταιαπό PMLπάχους 300 nmκαιεφαπτομένηςαπωλειών tanδ = 1,ενώ το εξωτερικό των PML θεωρούμε πως βρίσκεται σε επαφή με τέλειο ηλεκτρικό αγωγό (ομογενείς οριακές συνθήκες Dirichlet). Η διατομή του κυματοδηγού διακριτοποιείται με περίπου N T = 16000τριγωνικάπεπερασμέναστοιχείακαιεπιλέγονται LT/LNκαι ZT/QN διανυσματικές συναρτήσεις μορφής για το εγκάρσιο μέρος του πεδίου, και τετραγωνικές βαθμωτές συναρτήσεις μορφής για το αξονικό. Το πλήθος των ακμών και κόμβων του πλέγματοςείναι N E = 24800και N N = 8300,αντίστοιχα,οδηγώνταςσεέναπλήθοςανεξάρτητων(ολικάαριθμούμενων)βαθμώνελευθερίας 8 γιατηνπαραπάνωμοντελοποίηση ίσομε N DoF = Καθώςηδιάταξη,μαζίμετα PML,εμφανίζειδιαγώνιαανισοτροπία, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Selleri της Εξ.(3.43) και εξάγουμε τους τρεις ιδιορρυθμούς του κυματοδηγού που έχουν το μεγαλύτερο πραγματικό μέρος ενεργού δείκτη διάθλασης. Στο Σχ. 3.7 παρουσιάζονται, για τους τρεις παραπάνω ιδιορρυθμούς, οι εγκάρσιες xyκατανομές του πραγματικού μέρους των δύο εγκάρσιων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου [Re{E x }και Re{E y }]καιτηςεπιφανειακήςπυκνότηταςοδηγούμενηςισχύος(p z ).Οπρώτος(δεύτερος)ρυθμός,έχειεμφανώςεπικρατούσα E x (E y )συνιστώσα,καισυνεπώςθα χαρακτηρίζεται ως ΤΕ(ΤΜ), κάτι που επαληθεύεται και από την Εξ.(3.55). Επίσης, ε- ξετάζονταςτησυμμετρίατόσοτηςεπικρατούσαςεγκάρσιαςσυνιστώσαςόσοκαιτης P z, διαπιστώνουμε πως και οι δύο ρυθμοί μεγιστοποιούνται στο κέντρο της περιοχής οδήγησης και δεν εμφανίζουν άλλο ακρότατο απομακρυνόμενοι από το κέντρο κατά τις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις.λόγωαυτήςτηςσυμμετρίαςτους,χαρακτηρίζονταιωςτε 00 καιτμ 00,αντίστοιχα,μετοζεύγοςδεικτών ij = 00ναυποδηλώνειτηθεμελιώδητάξητουςωςπροςτις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις. Εξετάζοντας τώρα τον τρίτο ρυθμό, παρατηρούμε πως οι δύο εγκάρσιες συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου είναι συγκρίσιμες(και σε μέγιστο πλάτος και 8 Μετιςσυγκεκριμένεςσυναρτήσειςμορφής,τοπλήθοςτωνβαθμώνελευθερίαςεκτιμάταιαπότησχέση N DoF = (2N E +2N T )+(N N +N E ). ΟπωςπαρουσιάστηκεστηνΠαράγραφο3.1.2,οι LT/LNκαι ZT/QN διανυσματικές συναρτήσεις μορφής είναι δύο ανά ακμή και δύο ανά στοιχείο(έδρα), αντίστοιχα, ενώ οι τετραγωνικές βαθμωτές συναρτήσεις μορφής είναι μία ανά κόμβο και μία ανά ακμή(δηλαδή ανά ζεύγος κόμβων), αντίστοιχα. 75

90 Κεφάλαιο 3 (a) Re{ E } +50` x (b) Re{ E x } +30` (c) Re{ E x } +50` y x TE 00` -50` y x TM 00` -30` y x TM 10` -50` +30` +50` (d) Re{ E y } (e) Re{ E y } (f) Re{ E y } +50` y x TE 00` -30` y x TM 00` -50` y x TM 10` -50` 15` 15` (g) P z (h) P z (i) P z 7.5` y x TE 00` 0 y x TM 00` 0` y x TM 10` 0` Σχήμα 3.7: Εγκάρσιακατανομή (a)-(c) του Re{E x }, (d)-(f) του Re{E y }και (g)-(i) της P z, για τουςτρειςπρώτουςοδηγούμενουςρυθμούςενόςκυματοδηγού SOIδιαστάσεων nm 2 μεκάλυμα αέρα.οιρυθμοίχαρακτηρίζονταιτε 00,ΤΜ 00 καιτμ 10 καιέχουνενεργούςδείκτεςδιάθλασηςίσουςμε n eff = 2.68, 2.44και 1.70,αντίστοιχα. σε έκταση) υποδηλώνοντας πως ο ρυθμός είναι υβριδικός, ενώ η σύγκριση των ποσοτήτων της Εξ.(3.55) προκρίνει μικρή επικράτηση της ΤΜ πόλωσης. Τέλος, όσον αφορά στην τάξηαυτούτουρυθμού,παρατηρούμεπωςηκατανομήτης P z (x,y)αφενόςμηδενίζεται στο κέντρο της περιοχής οδήγησης και αφετέρου εμφανίζει δύο τοπικά μέγιστα, κατά τη x-διεύθυνση, κοντά στις δύο κάθετες πλευρικές ακμές του κυματοδηγού. Λόγω της συμμετρίαςαυτής,οτρίτοςρυθμόςχαρακτηρίζεταιωςτμ 10 δηλώνονταςπωςτοπλήθοςτων μεγίστων κατά την x- και y-διεύθυνση είναι δύο και ένα, αντίστοιχα. Οπως διαπιστώθηκε από την παρατήρηση του Σχ. 3.7, η γεωμετρική συμμετρία του συγκεκριμένου κυματοδηγού ως προς τον άξονα x = 0, που τέμνει κάθετα τον κυματοδηγού στο κέντρο του, επιβάλει αναπόφευκτα και μία αντίστοιχη συμμετρία στους ιδιορρυθμούς του. Αξιοποιώντας αυτήν τη γεωμετρική συμμετρία, και επιβάλλοντας τις κατάλληλες οριακές συνθήκες στο επίπεδο x = 0 μπορούμε να υποδιπλασιάσουμε το μέγεθος του υπολογιστικού παραθύρου επιταχύνοντας τις προσομοιώσεις μας, ιδίως σε μελέτες διασποράς. Ετσι, εάν το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών βασίζεται στο ηλεκτρικό πεδίο, τότε η επιβολή ομογενών συνθηκών Dirichlet ή Neumann στο μέσο του κυματοδηγού, θα μας δώσει τους ΤΕ 00 καιτμ 10 ήτοντμ 00 ρυθμό,αντίστοιχα.υπενθυμίζεταιπως,γιατοηλεκτρικόπεδίο, οι ομογενείς συνθήκες Dirichlet ισοδυναμούν με τέλεια ηλεκτρικά αγώγιμη επιφάνεια, δηλαδήμεμηδενισμότηςεφαπτομενικήςσυνιστώσας(e y και E z )καισυνέχειατηςκάθετης συνιστώσας(e x ). Τοακριβώςαντίστροφοισχύειγιατιςομογενείςσυνθήκες Neumann γιατοηλεκτρικόπεδίο,δηλαδήσυνέχειατηςεφαπτομενικήςσυνιστώσας(e y και E z )και μηδενισμότηςκάθετηςσυνιστώσας(e x ). Τέλος,αντιστροφήτωνπαραπάνωσυνθηκών 76

91 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM ισχύει στην περίπτωση που το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών βασίζεται στο μαγνητικό πεδίο. Σημειώνουμε βέβαια, πως η χρήση συμμετριών εξυπηρετεί μόνο στην περίπτωση που μας ενδιαφέρουν ρυθμοί συγκεκριμένης συμμετρίας. Οταν χρειάζονται όλοι οι οδηγούμενοι ρυθμοί ενός κυματοδηγού, το κέρδος του υποδιπλασιασμού του παραθύρου θα αντισταθμίζεται από την ανάγκη εκτέλεσης επιπλέον προσομοιώσεων για να καλυφθούν όλοι οι πιθανοί ρυθμοί/συμμετρίες Υπερρυθμοί, εκφυλισμός και διπλοδιαθλαστικότητα Οταν μία διάταξη αποτελείται από δύο, ή παραπάνω, γεωμετρικά διαχωρισμένους πυρήνες οδήγησης, όπως για παράδειγμα ένας ζεύκτης κυματοδηγών SOI, τότε η διάταξη χαρακτηρίζεται ως υπερκυματοδηγός και μπορεί να αντιμετωπιστεί ακριβώς όπως οι παραπάνω κυματοδηγοί: είτε ενιαίος, είτε κατατετμημένος με χρήση συμμετριών. Σε αντιστοιχία με τους ρυθμούς των μεμονωμένων κυματοδηγών που συνθέτουν έναν υπερκυματοδηγό, οι ρυθμοί του τελευταίου αποκαλούνται υπερρυθμοί(supermodes), και το σύνολο τους εμφανίζει συμμετρία σε ακόμα μία«διάσταση», αυτήν του πλήθους των επιμέρους κυματοδηγών. Ετσι, θεωρώντας για παράδειγμα έναν ζεύκτη δύο κυματοδηγών όπως του Σχ. 3.7, και σε απόσταση 500 nm, διαπιστώνουμε ότι υποστηρίζει τρία ζευγάρια υπερρυθμών. Το κάθε ζευγάρι αποτελείται από μία συμμετρική(σε συμφωνία φάσης) και μία αντισυμμετρική(σε ασυμφωνία φάσης π) υπέρθεση των αντίστοιχων ρυθμών του μεμονωμένου κυματοδηγού, εστιασμένων στους δύο επιμέρους πυρήνες οδήγησης. Για παράδειγμα, στο Σχ. 3.8 παρουσιάζονται οι δύο εγκάρσιες συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου του συμμετρικού και του αντισυμμετρικού ΤΜ 10 υπερρυθμούτουκυματοδηγού,μεενεργούςδείκτεςδιάθλασης n eff = 1.69και 1.71, αντίστοιχα. Παρατηρούμε πως οι παραπάνω δείκτες λαμβάνουν τιμές εκατέρωθεν αυτής του δείκτητουτμ 10 ρυθμούτουμεμονωμένουκυματοδηγού(n eff = 1.70),καιπωςοαντισυμμετρικός ρυθμός έχει τον μεγαλύτερο δείκτη. Το τελευταίο αποδίδεται στο ότι η επικρατής εγκάρσιασυνιστώσατουρυθμού,ηe y αφούείναιτμπόλωσης,είναιαυτήπουέχειάρτια συμμετρία ως προς το μέσο του υπερκυματοδηγού. Ως γνωστόν, οι ρυθμοί άρτιας τάξης φωτονικών κυματοδηγών πάντα προηγούνται σε σειρά εμφάνισης ή, ισοδύναμα, σε τιμή του ενεργού δείκτη, των αντίστοιχων ρυθμών περιττής τάξης. Εκφυλισμός(degeneration) δύο ιδιορρυθμών μίας διάταξης κυματοδήγησης αποκαλείται ηπερίπτωσηστηνοποίαοιενλόγωρυθμοίέχουντηνίδιατιμήενεργούδείκτηδιάθλασηςή, ισοδύναμα, όταν χαρακτηρίζονται από συμμετρία ως προς κάποια«διάσταση» της διάταξης. Καταλαβαίνει κανείς ότι η γεωμετρική συμμετρία ενός κυματοδηγού θα συνδέεται άρρηκτα με τον εκφυλισμό ορισμένων ρυθμών. Για παράδειγμα, οι δύο εγκάρσιες πολώσεις(τε και ΤΜ ρυθμοί) ενός κυματοδηγού είναι εκφυλισμένες όταν ο κυματοδηγός εμφανίζει συμμετρία περιστροφής γύρω από τον z-άξονα, κάτι που ισχύει στην οπτική ίνα κυκλικού πυρήνα ή στον τετραγωνικό SOI κυματοδηγό με περίβλημα οξειδίου. Η περίπτωση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί ως εκφυλισμός(μεταξύ) πολώσεων, όπου η«διάσταση» συμμετρίας είναι το εγκάρσιο επίπεδο που, όντας δισδιάστατο, προκρίνει την ύπαρξη δύο διακριτών πολώσεων. Αντιστοίχως, οι δύο υπερρυθμοί ενός ζεύκτη κυματοδηγών(συμμετρικός και αντισυμμετρικός) είναι εκφυλισμένοι όταν η απόσταση ανάμεσα τους είναι τόσο μεγάλη ώστε να μπορούν να θεωρηθούν πρακτικά μεμονωμένοι. Σε αυτό το παράδειγμα, η«διάσταση» συμμετρίας είναι το πλήθος των κυματοδηγών, αφού η παρουσία περισσότερων του ενός πυρήνων ο- δήγησης προκρίνει η ύπαρξη περισσότερων του ενός ρυθμών. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στις παραπάνω περιπτώσεις, το υπολογιστικό εργαλείο εύρεσης ρυθμών δεν μπορεί να διακρίνει μεταξύ των πλήρως εκφυλισμένων ρυθμών, και συχνά επιστρέφει δύο ρυθμούς που 77

92 Κεφάλαιο 3 (a) Re{ E x } +35` (b) Re{ E x } +35` y x Antisymmetric TM 10` -35` y x Symmetric TM 10` -35` (c) Re{ E y } +35` (d) Re{ E y } +35` y x Antisymmetric TM 10` -35` y x Symmetric TM 10` -35` Σχήμα3.8: Εγκάρσιακατανομή (a)-(b)του Re{E x }και (c)-(d)του Re{E y },γιατοναντισυμμετρικό [(a),(c)]καιτονσυμμετρικό[(b),(d)]τμ 10 υπερρυθμόενόςζεύγουςδύο SOIκυματοδηγώνόπωςτου Σχ.3.7,μεέναδιάκενο 500 nmμεταξύτωνδύοπυρήνωνπυριτίου.οιενεργοίδείκτεςδιάθλασηςτωνδύο υπερρυθμώνείναι n eff = 1.71και 1.69,αντίστοιχα. είναι μεν ορθογώνιοι μεταξύ τους, αλλά δεν είναι«χαρακτηριστικοί» ως προς τη διάσταση συμμετρίας του προβλήματος. Για παράδειγμα, οι δύο εκφυλισμένοι ρυθμοί της οπτικής ίνας μπορεί να μην είναι πολωμένοι κατά τους x- και y-άξονες, αλλά προς κάποια αυθαίρετη αζιμουθιακή περιστροφή τους. Ομοίως, οι δύο εκφυλισμένοι υπερρυθμοί του ζεύκτη μπορεί να μην κατανέμονται ισόποσα στους δύο κυματοδηγούς, δηλαδή να μην είναι αυστηρά συμμετρικός και αντισυμμετρικός. Παρ όλα αυτά, πάντα υπάρχει κατάλληλος ορθογωνικός μετασχηματισμός των δύο(όπως περιστροφή αξόνων ή γραμμικός συνδυασμός), που να τους απεικονίζει με την επιθυμητή χαρακτηριστική μορφή συμμετρίας. Οταν δύο ρυθμοί ίδιας τάξης αλλά αντίθετης πόλωσης εμφανίζουν σημαντική διαφορά δεικτών διάθλασης και/ή εγκάρσιας κατανομής, τότε οι δύο ρυθμοί χαρακτηρίζονται από την αντίθετη στον εκφυλισμό πολώσεων ιδιότητα, που ονομάζεται διπλο-διαθλαστικότητα (birefringence). Η διπλο-διαθλαστικότητα ορίζεται ως η διαφορά των ενεργών δεικτών διάθλασης, n eff,καιμηδενίζεταιστηνπερίπτωσητουεκφυλισμούπολώσεων. Επίσης, κατέχει ιδιαίτερη σημασία στη μελέτη διατάξεων με ευαισθησία στην πόλωση, για παράδειγμαστηδιάδοσησεανισοτροπικάυλικάόπωςτονιοβικόλίθιο(lithium niobate, LiNbO 3 ) ή οι υγροί κρύσταλλοι(liquid crystals). Στα παραδείγματα αυτά, ακόμα και όταν ο κυματοδηγός εμφανίζει γεωμετρική συμμετρία στο εγκάρσιο επίπεδο, εάν το ανισοτροπικό υλικό είναι προσανατολισμένο σε κάποιον από τους εγκάρσιους άξονες, τότε ο κυματοδηγός θα εμφανίζει διπλο-διαθλαστικότητα, αφού οι δύο ρυθμοί/πολώσεις(ίδιας τάξης) θα «αντιλαμβάνεται»διαφορετικόδείκτηδιάθλασης[δηλαδή ε r,xx ε r,yy στηνεξ.(3.27)]. Η διπλο-διαθλαστικότητα μπορεί να αντιστοιχιστεί και σε ένα μήκος ασυμφωνίας(beating length)μεταξύτωνρυθμών,πουορίζεταιως L B = λ/ n eff Ιδιορρυθμοί μη-γραμμικών κυματοδηγών Ως μη-γραμμικούς κυματοδηγούς[94] θεωρούμε αυτούς στους οποίους ο πυρήνας οδήγησης αποτελείται από υλικό με σημαντική τρίτης τάξης μη-γραμμική επιδεκτικότητα(third order nonlinear susceptibility) χ (3),καιπουεπιπλέονλειτουργούνσευψηλάεπίπεδαοπτι- 78

93 3.2. Εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού με χρήση FEM κής ισχύος. Ποιοτικά, το φαινόμενο μπορεί να αντιστοιχιστεί σε μία αύξηση του δείκτη διάθλασης, στις περιοχές που η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ισχυρή, και για το λόγο αυτό αποκαλείται εξαρτώμενος από την ένταση του πεδίου δείκτης διάθλασης(intensity dependent refractive index)[51, 52]. Προφανώς, η κάθε διαταραχή που προκαλείται στην εγκάρσια κατανομή του δείκτη διάθλασης του κυματοδηγού θα επηρεάζει αναπόφευκτα και την κατανομή του πεδίου ενός σήματος που διαδίδεται εντός αυτού. Στην περίπτωση των μη-γραμμικών κυματοδηγών που θα μελετήσουμε στην παράγραφο αυτή, το ίδιο το διαδιδόμενο πεδίο ενός καλά συγκεντρωμένου οδηγούμενου ρυθμού είναι αυτό που προκαλεί τη διαταραχή του δείκτη διάθλασης και που τελικά επηρεάζεται από αυτήν. Το τελικό αποτέλεσμα είναι το ανάλογο του φαινομένου της αυτο-εστίασης(self-focusing) οπτική δέσμης σε συμπαγή(bulk) μη-γραμμικά μέσα. Κατά τη μοντελοποίηση των εξισώσεων του Maxwell για μη-γραμμικούς κυματοδηγούς σεδεδομένησυχνότηταακτινοβολίας ω 0,ηπαραπάνωμεταβολήτουδείκτησυνήθωςεισάγεται ως διαταραχή στη γραμμική μορφή των εξισώσεων[94], με χρήση δηλαδή της μεθόδου των διαταραχών(perturbation method). Ενας απλός τρόπος ποσοτικοποίησης της τοπικής διαταραχήςτουδείκτηδιάθλασηςείναιμεχρήσητουμη-γραμμικούδείκτητουυλικού, n 2 (σε m 2 /W),καιδίνεταιαπότησχέση n NL (x,y) = n 2 E(x,y) 2 Z 0 n 2 P in A eff, (3.56) όπου Z 0 = µ 0 /ε 0 377Ωείναιηκυματικήαντίστασητουκενούχώρου, P in είναι ησυνολικήοδηγούμενηισχύςκαι A eff είναιηενεργόςεπιφάνειατουρυθμού. Στηγενικότερηπερίπτωση,ηχ (3) δίνεταιαπόέναντανυστήτέταρτηςτάξης[51,52],με 81κατά μέγιστομη-μηδενικάστοιχεία χ (3) ijkl,όπου i,j,k,l = {x,y,z}. Οπωςθαπαρουσιαστείμε λεπτομέρειαστοκεφάλαιο5,ομη-γραμμικόςδείκτης n 2 είναιμιαβαθμωτήπροσέγγισητου παραπάνω τανυστή, στην απλουστευτική περίπτωση όπου το υλικό παρουσιάζει συμμετρία καιισοτροπίαστην χ (3) επιδεκτικότητακαιτοοπτικόπεδίοείναιπολωμένοαυστηράσεέναν εγκάρσιο άξονα[94]. Γενικεύοντας την παραπάνω περίπτωση, αλλά χωρίς να υπεισέλθουμε στην αυστηρή εισαγωγή του τανυστή τέταρτης τάξης, στο κεφάλαιο αυτό θα αρκεστούμε στηνπαραδοχήότιτα 9στοιχείατηςδιαταραχήςτουτανυστή χ (1) ή,ισοδύναμα,τηςσχετικήςδιηλεκτρικήςσταθεράς ε r τηςεξ.(3.27),προκύπτουνσυναρτήσειτηςκατανομήςτου ηλεκτρικούπεδίουκαιτωνστοιχείωντου χ (3) ε r,ij (x,y) = function{ E(x,y), χ (3) ijkl (x,y) }, (3.57) όπου function κάποια μη-γραμμική συνάρτηση των τοπικών(local) τιμών της διανυσματικής εγκάρσιας κατανομής του ηλεκτρικού πεδίου E, όπως και της εγκάρσιας κατανομής τουτανυστή χ (3). Ηακριβήςμορφήαυτήςτηςμη-γραμμικήςσυνάρτησηςθαδοθείστο Κεφάλαιο 5, που ασχολείται με τη διάδοση σε μη-γραμμικές διατάξεις κυματοδήγησης. Βασιζόμενοι στο εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών που περιγράφτηκε παραπάνω, μπορούμε να εξάγουμε μία προσέγγιση των ιδιορρυθμών τέτοιων μη-γραμμικών κυματοδηγών με χρήση της επαναληπτικής αυτό-συνεπούς μεθόδου εύρεσης ιδιορρυθμών(self-consistent eigenmode solver, SCEMS)[184]. Τα βήματα του επαναληπτικού αλγορίθμου της SCEMS είναι τα ακόλουθα: (1)Ορίζουμετοεπίπεδοοδηγούμενηςισχύος P in στοοποίοθαγίνουνοιυπολογισμοί. 79

94 Κεφάλαιο 3 (2)Ορίζουμε ε r (x,y) = ε r,lin (x,y),όπου ε r,lin είναιοτανυστήςτηςσχετικήςδιηλεκτρικής σταθεράς στη γραμμική περίπτωση. (3)Εξάγουμετονεπιθυμητόιδιορρυθμόδιάδοσηςτουκυματοδηγούκατανομής ε r (x,y). (4) Εάν ο μη-γραμμικός ιδιορρυθμός έχει συγκλίνει, τότε ο αλγόριθμος ολοκληρώθηκε. (5) Κανονικοποιούμε το πλάτος των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου του ιδιορρυθμού, ώστεησυνολικήοδηγούμενηςισχύς 9 τουναταυτίζεταιμετηνεπιλεγμένη P in. (6)Υπολογίζουμετηδιαταραχή ε r μεχρήσητηςεξ.(3.57) (7)Ορίζουμε ε r (x,y) = ε r,lin (x,y)+ ε r (x,y). (8) Εάν ο μη-γραμμικός ιδιορρυθμός δεν έχει συγκλίνει, επιστροφή στο βήμα (3). Η σύγκλιση του μη-γραμμικού ιδιορρυθμού ποσοτικοποιείται με κάποιο κριτήριο, όπως για παράδειγμαότανημεταβολήστονενεργόδείκτηδιάθλασηςτουιδιορρυθμού Re{ n eff } ανάμεσασεδύοδιαδοχικάβήματατουεπαναληπτικούαλγορίθμουείναιμικρότερηαπό Για συνηθισμένα μη-γραμμικά υλικά και λογικά επίπεδα οπτικής ισχύος, συνήθως 3-5 βήματα είναι αρκετά για την ικανοποιητική σύγκλιση του αλγορίθμου. Πρέπει να σημειώσουμε πως στην περίπτωση ενός πολύρρυθμου μη-γραμμικού κυματοδηγού, είναι πιθανό να δημιουργηθεί αστάθεια στον αλγόριθμο, δηλαδή σύγκλιση σε λανθασμένη λύση για το λόγο αυτό πρέπει σε κάθε επανάληψη να λαμβάνεται κάποια μέριμνα. Για παράδειγμα, όταν σε ένα κυματοδηγό υποστηρίζονται δύο σχεδόν εκφυλισμένοι ρυθμοί ίδιας τάξης και πόλωσης(όπως ο συμμετρικός και αντισυμμετρικός υπερρυθμός ενός ζεύκτη) και, επιπλέον, το πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων έχει κάποια μικρή ασυμμετρία 10,τότεείναιπιθανόναυπολογιστείδιαταραχή ε r (x,y)μεεξίσουμικρήασυμμετρία. Ομως, η όποια ασυμμετρία στη διαταραχή του δείκτη θα αποτυπώνεται στον μη-γραμμικό ιδιορρυθμό της επόμενης επανάληψης της SCEMS και θα ανατροφοδοτείται λόγω του επαναληπτικού αλγορίθμου, οδηγώντας τελικά σε εσφαλμένη, αποκλίνουσα λύση. Η μέριμνα που πρέπει να ληφθεί στην περίπτωση αυτή είναι η προβολή(projection) του μη-γραμμικού ιδιορρυθμού σε κατάλληλα επιλεγμένες πρότυπες(standard) κατανομές, και η εξάλειψη του ανεπιθύμητου μέρους του με ορθογωνοποίηση σε αυτές. Για παράδειγμα, έστω η πρότυπη(ανεπιθύμητη)κατανομή E std (x,y)τηςοποίαςτηνπροβολήθέλουμενααπαλείψουμε απότηνκατανομή E(x,y). Ορίζονταςτηνπροβολήτης Eστην E std μετοολοκλήρωμα επικάλυψης(overlap integral) c OI = (E H std ) ẑdxdy (E (3.58) std H std ) ẑdxdy, η«φιλτραρισμένη»κατανομήθαδίνεταιαπότησχέση E = E c OI E std, καιαυτήθα χρησιμοποιείταιγιατονυπολογισμότηςδιαταραχής ε r μεχρήσητηςεξ.(3.57). Κλείνοντας, επισημαίνουμε πως η διαφοροποίηση των μη-γραμμικών ιδιορρυθμών από τουςαντίστοιχουςγραμμικούςείναιαξιόλογημόνοότανημη-γραμμικήδιαταραχή n NL είναι σημαντικό κλάσμα του γραμμικού δείκτη. Αυτό συμβαίνει για κυματοδηγούς με ισχυρή 9 Ησυνολικήοδηγούμενηισχύςορίζεταιως P mode = 1 2 Re{ (e h ) ẑdxdy},όπου eκαι hείναιοι εγκάρσιες κατανομές του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου του ρυθμού. Συνεπώς, η κανονικοποίηση τουπλάτουςτουπεδίουγίνεταιμετονσυντελεστή m norm = P in /P mode. 10 Οισυνηθισμένοιαλγόριθμοιπλεγματοποίησηςαυθαιρέτωνχώρων,όπωςοDelaunay,συνήθωςδεν οδηγούν σε δομημένα(structured) πλέγματα. Επιπλέον, η χρήση των τελευταίων έχει το μειονέκτημα ότι ευνοεί την ανάπτυξη ψευδορρυθμών(spurious modes) ή άλλων αριθμητικών ευρημάτων(numerical artifacts). 80

95 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM συγκέντρωση(a eff < 0.1μm 2 ),έντονημη-γραμμικότητα(n 2 > m 2 /W)ή/καιγια πολύυψηλάεπίπεδαοπτικήςισχύος(p in > 10 W).Σεαντίθετηπερίπτωση,ηαπόκλιση είναι αμελητέα και δεν χρήζει διερεύνησης. 3.3 Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM Η ενότητα αυτή επικεντρώνεται στην περιγραφή της πλήρους διανυσματικής μεθόδου διάδοσης δέσμης(full-vector beam-propagation method, FV-BPM). Η BPM[158, 163, 169, 170, ] χρησιμοποιείται για την υπολογιστική προσομοίωση διατάξεων στις οποίες ισχύει με ικανοποιητική ακρίβεια η παραξονική προσέγγιση της διανυσματικής κυματικής εξίσωσης Helmholtz, Εξ.(3.29). Οι εν λόγω διατάξεις χαρακτηρίζονται από«αργή» σε σχέση με το μήκος κύματος μεταβολή των χαρακτηριστικών του κυματοδηγού κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος(z-άξονα), ενώ στο εγκάρσιο στη διάδοση xy-επίπεδο επιτρέπεται αυθαίρετη ανομοιογένεια όσον αφορά στα υλικά και στις γεωμετρικές διαστάσεις. Ισοδύναμα, μπορούμε να πούμε πως οι διατάξεις αυτές χαρακτηρίζονται από έναν σαφώς ορισμένο οπτικό άξονα(optical axis), κατά μήκος του οποίου λαμβάνει χώρα η διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Από πρακτικής σκοπιάς, η παραπάνω ιδιότητα οδηγεί σε απλοποίηση της κυματικής εξίσωσης ώστε να είναι δυνατό να επιλυθεί με επαναληπτικό τρόπο εκκινώντας με δεδομένη διέγερση από την είσοδο της διάταξης και προχωρώντας με μικρά βήματα προς την έξοδο. Ετσι, γίνεται σημαντική εξοικονόμηση υπολογιστικών πόρων(χώρου μνήμης ή/και χρόνου προσομοίωσης) καθώς αποφεύγεται η απευθείας επίλυση των εξισώσεων του Maxwell σε ολόκληρο τον υπολογιστικό χώρο, που μπορεί να διατρέχει μήκος ίσο με πολλά μήκη κύματος. Η υλοποίηση της διανυσματικής BPM που θα παρουσιάσουμε είναι μονοκατευθυντική (unidirectional), δηλαδή αγνοεί τις ανακλάσεις που μπορεί να προκύψουν από μηπροσαρμοσμένα σημεία της διάταξης, και αναφέρεται στο πεδίο της συχνότητας(spectral domain), δηλαδή προσομοιώνει συνεχούς κύματος(continuous wave, CW) ή σχεδόν CW σήματα. Οπως κάθε BPM, βασίζεται στην προσέγγιση του αργά χωρικού μεταβαλλόμενου φακέλου(slowly varying approximation, SVEA) που απαιτείται για την απλοποίηση της κυματικής εξίσωσης από την ελλειπτική μορφή στην παραβολική, με αναφορά στη διεύθυνση διάδοσης. Η διακριτοποίηση του εγκάρσιου στη διεύθυνση διάδοσης επιπέδου, όπου προβλέπεται αυθαίρετη ανομοιογένεια ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών και γεωμετρικών διαστάσεων, γίνεται με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων(fem). Ο βηματικός αλγόριθμος διάδοσης, για την προώθηση της δέσμης από το ένα επίπεδο σταθερού z στο επόμενο, υλοποιείται με κατάλληλο σχήμα πεπερασμένων διαφορών. Τέλος, σημειώνουμε πως η μέθοδος είναι ικανή, με κάποιες προσεγγίσεις, να μοντελοποιήσει διατάξειςμευλικάαυθαίρετηςανισοτροπίαςστηνγραμμικήηλεκτρικήεπιδεκτικότητα χ (1) και/ή μη-γραμμικέςδιατάξειςμευλικάσημαντικήςτρίτηςτάξηςεπιδεκτικότητας χ (3). Η δομή της ενότητας έχει ως εξής: Αρχικά παρουσιάζεται η μαθηματική θεμελίωση για τη μετάβαση από τις εξισώσεις του Maxwell στις διαφορικές εξισώσεις οι οποίες μπορούν να διακριτοποιηθούν με τρόπο που να επιτρέπει την εφαρμογή του βηματικού αλγορίθμου διάδοσης της BPM. Ακολουθεί η επεξεργασία των διαφορικών εξισώσεων με χρήση της SVEA και κατάλληλων μετασχηματισμών, ώστε να είναι δυνατή η αντιμετώπιση διατάξεων μεδιαγώνιαήαυθαίρετηανισοτροπίατουτανυστήτης χ (1) επιδεκτικότητας. Ηδιακριτο- 81

96 Κεφάλαιο 3 x y z FEM Cross-Section Discretization Output Profile Input Excitation BPM Longitudinal Stepping Algorithm Σχήμα 3.9: Σχηματικό παράδειγμα διάδοσης κατά μήκος του z-άξονα μίας συστοιχίας πέντε πλασμονικών κυματοδηγών διηλεκτρικής φόρτισης(dlspp) με χρήση της μεθόδου διάδοσης δέσμης(bpm). Η διέγερση είναι ο βασικός οδηγούμενος ρυθμός του DLSPP κυματοδηγού, εστιασμένος σε έναν από τους κυματοδηγούς της συστοιχίας, η οποία δεν παρουσιάζει καμία μεταβολή κατά μήκος του οπτικού άξονα (ẑ). Το εγκάρσιο στη διάδοση xy-επίπεδο της διατομής διακριτοποιείται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(fem) και η διάδοση γίνεται με τον βηματικό αλγόριθμο διάδοσης της BPM. ποίηση των εγκαρσίων διαφορικών τελεστών που προκύπτουν από την κυματική εξίσωση γίνεται με χρήση της FEM, τελείως αντίστοιχα με το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού της προηγούμενης παραγράφου. Για το λόγο αυτό, δεν γίνεται εκτενής περιγραφή στο συγκεκριμένο σημείο, παρά δίνονται αναφορές στις αντίστοιχες παραγράφους των προηγουμένων ενοτήτων. Παράλληλα παρουσιάζεται το σχήμα Crank-Nicolson για τη διακριτοποίηση με πεπερασμένες διαφορές της διαμήκους(αξονικής) χωρικής παραγώγου, υλοποιώντας έτσι τον αλγόριθμο διάδοσης, και εισάγονται τα σχήματα ευρείας γωνίας βασισμένα σε ρητές προσεγγίσεις Padé και η τεχνική υποδιαίρεσης βήματος. Τέλος, γίνεται σχολιασμός της χρήσης της BPM ως εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών ή για την προσομοίωση αξονικά-μεταβαλλόμενωνκαιμη-γραμμικώνδιατάξεωντύπου χ (3) Διατύπωση εξίσωσης διάδοσης Εστωσυνεχέςοπτικόσήμαστομήκοςκύματοςελευθέρουχώρου λ = 2π/k 0 πουδιαδίδεται σε κυματοδηγό που εκτείνεται κατά μήκος της z-διάστασης. Ο κυματοδηγός χαρακτηρίζεται απόεγκάρσιακατανομήανισοτροπικήςσχετικήςδιηλεκτρικήςσταθεράς ε r (x,y)μεμορφή όπωςτηςεξ.(3.27)καισχετικήςμαγνητικήςδιαπερατότητας µ r = 1.Ηγενικήμορφήτης διανυσματικής κυματικής εξίσωσης Helmholtz που ορίζει τον τρόπο διάδοσης του κύματος δίνεται από τη σχέση ( p F) k 2 0 q F = 0, (3.59) όπουτοπεδίο Fμπορείνααντιστοιχίζεταιστοηλεκτρικό(E)ήτομαγνητικό(H),στην οποίαπερίπτωσηκαιοιτανυστέςθαείναιίσοιμε p = I 3 και q = ε r ή p = ε 1 r και q = I 3,αντίστοιχα,όπου I 3 είναιο3 3πίνακας-μονάδα.Στηγενικότερηπερίπτωσηπου η εγκάρσια διατομή περικλείεται από τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα(pml) τεχνητής απορρόφησης, τότε οι τανυστές της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς και της σχετικής μαγνητικής διαπερατότητας αντικαθίστανται[168] από το γινόμενο 3 3 πινάκων της μορφής 82

97 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM ξ r S 1 ( S ξ r S),όπου ξ = { ε, µ}αντίστοιχα,καιοτανυστής Sδίνεταιαπότον πίνακα S = diag{s 1 x,s 1 y,s 1 z }. Ταστοιχεία s u, u = {x,y,z}είναιμιγαδικοίαριθμοίτης μορφής s u = 1 jtanδμεεγκάρσιακατανομήστο xy-επίπεδοκαιχαρακτηριστικάπου συζητήθηκαν στην Παράγραφο Πρώτοβήμαστηνυλοποίησητης BPMείναιηυπόθεσηότιτοπεδίοδιαδίδεταικατά μήκος του κυματοδηγού με περίπου σταθερή φασική ταχύτητα. Η τελευταία δίνεται από τησχέση β = k 0 n ref,όπου n ref είναιοδείκτηςδιάθλασηςαναφοράς(reference index)και αποτελεί θεμελιώδη παράμετρο της μεθόδου που επιλέγεται καταλλήλως. Στην περίπτωση πουτοδιαδιδόμενοπεδίοταυτίζεταιμεκάποιονιδιορρυθμότουκυματοδηγού,τότεοn ref θα πρέπειναταυτίζεταιμετονενεργόδείκτηδιάθλασης(n eff )τουενλόγωρυθμού.στηγενική περίπτωση ενός πολύρρυθμου κυματοδηγού υψηλής διαρρυθμικής διασποράς, η βέλτιστη επιλογήτου n ref προκύπτειαπόκάποιαστάθμισητων n eff τωνεπιμέρουςρυθμών. Εχοντας ορίσει τον δείκτη αναφοράς, το πεδίο που διαδίδεται προς τα θετικά z μπορεί να χωριστεί σε κάποιον όρο φάσης και σε κάποια εγκάρσια χωρική κατανομή που αποκαλείται χωρικός φάκελος(envelope), σύμφωνα με τη σχέση F(x,y,z) = Φ(x,y,z)exp{ jk 0 n ref z} = (φ xˆx+φ y ŷ+φ z ẑ)exp{ jk 0 n ref z}, (3.60) όπουφείναιτοδιάνυσματωντριώνσυνιστωσώντουφακέλουτουπεδίουφ = {φ x φ y φ z } T = {Φ T t φ z } T και φ u = φ u (x,y,z)με u = {x,y,z}είναιοχωρικόςφάκελοςτης u-συνιστώσας τουπεδίου. Σημειώνουμεπωςθεμελιώδηςπαραδοχή 11 τηςμεθόδουείναιότιόλεςοισυνιστώσες του πεδίου του κύματος διαδίδονται με την ίδια ακριβώς φασική σταθερά προς τον θετικό z-άξονα. Αντικαθιστώντας την Εξ.(3.60) στην(3.59) και υποθέτοντας ότι ο τανυστής p εμφανίζει αμελητέαμεταβολήκατάμήκοςτου z-άξονα, p ij / z 0για i,j = {x,y,z},τότεηγενική μορφή της εξίσωσης διάδοσης λαμβάνει τη μορφή[170] [A]L 2 z Φ+[B Φ x]l z x +[B Φ y]l z y + ( [C x ]L z +[D x ] x x +[E x] ) Φ+ y ( [C y ]L z +[D y ] y y +[E y] ) Φ+k0 2 x q Φ = 0, (3.61) όπου L z είναιοδιαμήκηςδιαφορικόςτελεστής L z ( / z jk 0 n ref ). Οιβοηθητικοί πίνακες [A],[B],[C],[D],[E]εξαρτώνταιαπότοντανυστή pκαιδίνονταιαπότιςσχέσεις 11 Ηπαραδοχήαυτήπαραβιάζεταιμερικώςόταντοδιαδιδόμενοσήμααποτελείταιαπόυπέρθεσηπολλών ρυθμών, με μεγάλη διασπορά φασικών σταθερών και σε διαφορετικές πολώσεις. Στην περίπτωση αυτή, οι συνολικές συνιστώσες του πεδίου δεν κινούνται με την ίδια ακριβώς φασική σταθερά. 83

98 Κεφάλαιο 3 [170] p yy p yx 0 0 p yz p yy p yz 0 p yx [A] = p xy p xx 0,[B x ] = 0 p xz p xy,[b y ] = p xz 0 p xx, [C x ] = p zy p zx 0,[D x ] = 0 p zz p zy,[e x ] = p zz 0 p zx, p yy p yx 0 0 p yz p yy p yz 0 p yx p zy p zx 0 p zz 0 p zx 0 p zz p zy [C y ] = 0 0 0,[D y ] = 0 0 0,[E y ] = p xy p xx 0 p xz 0 p xx 0 p xz p xy (3.62) Σχολιάζοντας την παραπάνω σύνθετη μορφή που προκύπτει στην περίπτωση του τανυστή p αυθαίρετης ανισοτροπίας, παρατηρούμε πως λόγω της εισαγωγής του φακέλου δεν εμφανίζεταιδεύτερη z-παράγωγοςγιατηναξονικήσυνιστώσατουπεδίου,καθώς A zz = 0. Αντιθέτως, οι δύο εγκάρσιες συνιστώσες του πεδίου φαίνεται να επηρεάζονται και από τους έξι πιθανούς τύπους μεικτών ή δευτέρων παραγώγων σε σχέση με τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Στηνπερίπτωσητωνισοτροπικώνδιατάξεων,όπου p = pi 3,ημορφήτων Εξ.(3.61) και(3.62) είναι σημαντικά απλούστερη. Αξίζει να παρατηρήσουμε πως στη γενική περίπτωση της Εξ.(3.61) έχουμε σύμπλεξη και των τριών καρτεσιανών συνιστωσών του πεδίου μεταξύ τους, δηλαδή δεν καθίσταται δυνατός ο διαχωρισμός τους σε εγκάρσιο και αξονικό μέρος. Σημαντική απλοποίηση προς αυτήν την κατεύθυνση αποτελεί η θεώρηση διαγώνιας μορφής για τον τανυστή p. Για παράδειγμα,εάν F Eτότε p µ 1 r που, για συνήθη υλικά και χρησιμοποιώντας τα PML διαγώνιας ανισοτροπίας που συζητήθηκαν προηγουμένως, είναι διαγώνιος πίνακας, δηλαδή p ij 0όταν i j.μετηνπαραδοχήαυτή,τοσύστηματωνεξ.(3.61)μπορείνα μετασχηματιστεί[179] στην απλούστερη μορφή t (p zz t E t )+ ( {[p tt ] t E z E )} t k0 2 z z [q tt]e t k0 2 {q tz}e z = {0}, (3.63αʹ) t ([p tt ] t E z )+ { } t ([p tt ] E t ) k 2 z 0{q zt } T E t k0q 2 zz E z = 0, (3.63βʹ) όπου [p tt ] diag{p yy, p xx }είναιέναςβοηθητικός 2 2πίνακας. Ηπρώτη/δεύτερητων Εξ.(3.63) είναι μία διανυσματική/βαθμωτή εξίσωση που αναφέρεται στο εγκάρσιο/αξονικό μέρος του πεδίου, ενώ παρατηρούμε και εδώ τη σύμπλεξη των συνιστωσών του πεδίου. Αντικατάσταση του φακέλου του πεδίου, Εξ.(3.60), στην Εξ.(3.63) ισοδυναμεί με αντικατάσταση E t Φ t, E z φ z και / z L z στιςπαραπάνωεξισώσεις. Εχοντας καταστρώσει τις διαφορικές εξισώσεις διάδοσης, Εξ.(3.61) ή(3.63), υπενθυμίζουμε πως το ζητούμενο της BPM είναι ο υπολογισμός του συνολικού πεδίου στην εγκάρσιαδιατομή z = z 0 + zεφόσονγνωρίζουμετοσυνολικόπεδίοστηθέση z = z 0. 84

99 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM Υπό το πρίσμα αυτό, αντιλαμβάνεται κανείς την ανάγκη διαφορετικής αντιμετώπισης των εγκαρσίων(xy) χωρικών παραγώγων σε σχέση με την αξονική(z) παράγωγο. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε την FEM για την διακριτοποίηση του εγκαρσίου επιπέδου και μια τροποποιημένη εκδοχή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών(finite difference method, FDM) για την υλοποίηση του βηματικού αλγορίθμου κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Τέλος, σε αντίθεση με την περίπτωση του εργαλείου ευρέσεως ιδιορρυθμών, εδώ άγνωστος του προβλήματοςθαείναιμόνοηκατανομήτουπεδίουστηθέση z = z 0 + z,καιθαεπιδέχεται μοναδικής λύσης. Πριν προχωρήσουμε, σημειώνουμε πως η υπόθεση αμεταβλητότητας του φακέλου κατά μήκοςτηςδιάδοσης, φ u / z 0,μετασχηματίζειτιςΕξ.(3.61)και(3.63)στηβασική εξίσωση που περιγράφει την ανάλυση ιδιορρυθμών ενός ανισοτροπικού κυματοδηγού, με n ref n eff τοοποίοπεριέχεταιστοναξονικό(ήδιαμήκη)διαφορικότελεστή L z Κυματοδηγοί με εγκάρσια ανισοτροπία Στην παράγραφο αυτή θα επικεντρωθούμε στη μελέτη διατάξεων που τα υλικά του κυματοδηγού εμφανίζουν μόνο διαγώνια ανισοτροπία στον τανυστή p και εγκάρσια(in-plane) ανισοτροπίαστοντανυστή q.μεάλλαλόγια, p ij 0όταν i jκαι {q tz } = {q zt } {0}. Ο παραπάνω συνδυασμός επιτρέπει τη χρήση των διαγωνίως ανισοτροπικών PML τεχνητής απορρόφησης,παράγραφος ,ενώ,στηνπερίπτωσηπου F E(δηλαδή p µ 1 r και q ε r ),μπορείναπεριγράψεικαιέναπλήθοςανισοτροπικώνεφαρμογών,όπωςγιαπαράδειγμα την περίπτωση όπου το υλικό εμφανίζει έναν οπτικό άξονα ο οποίος είναι επιπλέον κάθετος ή παράλληλος με τον z-άξονα της διάδοσης[200, 201] Εφαρμογή της FEM στο εγκάρσιο επίπεδο Ηπαράγραφοςαυτήασχολείταιμετηνεφαρμογήτης FEMστηνΕξ.(3.61),γιατηδιακριτοποίηση της διατομής και των εγκάρσιων διαφορικών τελεστών στο xy-επίπεδο. Οι διαμήκεις διαφορικοί τελεστές της παραπάνω εξίσωσης(z-διεύθυνση) θα αντιμετωπιστούν σε επόμενο βήμα, με χρήση της τεχνικής Crank-Nicolson, που βασίζεται στην FDM. Η διαδικασία εφαρμογής της FEM που ακολουθούμε περιγράφεται λεπτομερώς στην Παράγραφο και είναι αντίστοιχη με αυτήν της προηγουμένης ενότητας, για το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών. Αρχικά, διακριτοποιούμε τη xy-διατομή του κυματοδηγού με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία και αποδίδουμε ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες( p και q) στο καθένα, με βάση το βαρύκεντρο του. Επειτα, επιλέγουμε τις επιθυμητές διανυσματικές και βαθμωτές συναρτήσεις μορφής και αναπτύσσουμε σε αυτές το εγκάρσιο και το αξονικό μέρος του πεδίου, αντίστοιχα, Φ t (x,y) = φ xˆx+φ y ŷ = m c t,m w m (x,y), (3.64αʹ) φ z (x,y) = j n c z,n L n (x,y), (3.64βʹ) όπουοιδείκτες mκαι nδιατρέχουντοπλήθοςτωνσυναρτήσεωνμορφής wκαι L,αντίστοιχα, και κατά περίπτωση μπορεί να αναφέρονται σε τοπική(local, ανά στοιχείο) ή ολική(global, στο συνολικό πλέγμα) αρίθμηση. Σημειώστε πως, στην Εξ.(3.64β ), έχουμε 85

100 Κεφάλαιο 3 ξεχωρίσει 12 τηφανταστικήμονάδα jαπόταμιγαδικάβάρη c z,n στονορισμότουαναπτύγματος της αξονικής συνιστώσας του πεδίου, κάτι που δεν έγινε για το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, Εξ.(3.34). Αντικαθιστώντας τις Εξ.(3.64) στην Εξ.(3.61), επιλέγουμε συναρτήσεις βάρους/δοκιμής συζυγούς(adjoint) μορφής σε σχέση με την συνάρτηση του πεδίου[εξ.(3.60)],δηλαδή F a = (Φ t φ z ẑ)exp{+jk 0 n ref z},πολλαπλασιάζουμεεσωτερικά την εξίσωση με αυτές και ολοκληρώνουμε στην εγκάρσια διατομή. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τις ανά-στοιχείο συμβολές των ολοκληρωμάτων και εκτελούμε τη διαδικασία της συνάθροισης(assembly) των συμβολών όλων των στοιχείων, με τη συμβολική γραφή Ω e Ω e. Τέλος,επιλέγονταςτακατάλληλαδιανύσματαελέγχουγιατουςσυντελεστές του αναπτύγματα των συναρτήσεων βάρους, μετασχηματίζουμε την ολοκληρωτική διατύπωση Galerkin της εξίσωσης διάδοσης στο σύστημα εξισώσεων [M] 2 {φ} z 2 +([L] 2jk ref [M]) {φ} z + ( [K] jk ref [L] k 2 ref [M]) {φ} = {0}, (3.65) με αγνώστους τους συντελεστές αναπτύγματος βάσης. Οι τελευταίοι περιέχονται στο ολικάαριθμούμενοδιάνυσμα 13 {φ} = {c t,c z } T,όπουπεριέχονταιπρώταοιδιανυσματικέςκαι έπειτα οι βαθμωτές συναρτήσεις βάσης, και αποκαλούνται βαθμοί ελευθερίας(degrees of freedom, DoF) του προβλήματος. Οι ολικά αριθμούμενοι πίνακες [K],[L],[M] εξαρτώνται από τα ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά της διάταξης και τις επιλεγμένες συναρτήσεις μορφής του πλέγματος και αποτελούνται από υπο-πίνακες με δείκτες tt, tz, zt, zz που περιγράφουν τη σύμπλεξη μεταξύ των αντιστοίχων συνιστωσών του πεδίου που προκύπτουν από την Εξ.(3.61), [ ] [Ktt ] +j[k [K] = tz ], (3.66αʹ) j[k zt ] [K zz ] [ ] [Ltt ] +j[l [L] = tz ], (3.66βʹ) +j[l zt ] [0] [ ] [Mtt ] [0] [M] =, (3.66γʹ) [0] [0] 12 Ητροποποίησηαυτήχρησιμοποιούντανιστορικάστουςσυμβατικούςοπτικούςκυματοδηγούςμεγάλης διατομής, όπου η διαμήκης συνιστώσα ου πεδίου βρίσκεται πάντα σε υστέρηση φάσης π/2 σε σχέση με τις εγκάρσιες συνιστώσες. Συνεπώς, ξεχωρίζοντας τη φανταστική μονάδα, μπορούμε να εγγυηθούμε ότι οι συντελεστέςτωναναπτυγμάτωνc t,m καιc z,n θαείναιπάνταπραγματικοί,κάτιπουβελτιώνειτηναριθμητική ευστάθεια και ταχύτητα επίλυσης των τελικών αραιών συστημάτων. Ομως, στην περίπτωση που χρησιμοποιούνται υλικά με απώλειες(ή PML τεχνητής απορρόφησης) η χρησιμότητα αυτής της τροποποίησης αίρεται. 13 Οπωςσυζητήθηκεκαιστηνπροηγούμενηενότητα,ηφορμαλιστικάακριβήςμορφήτουδιανύσματος τωνσυντελεστώνείναι {φ} = {{c t } T,{c z } T } T,αλλάαπλοποιείταιγιααποφυγήυπερσυμβολισμού. 86

101 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM όπου τα στοιχεία των αντίστοιχων τοπικών/στοιχειακών πινάκων δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις [ ] K tt,(ij) = (ẑ t w i )p zz (ẑ t w j )+k0w 2 i [q tt ]w j dxdy, (3.67αʹ) Ω e [ ] K tz,(ij) = (ẑ t w i ){p zt } T (ẑ t L j )+k0w 2 i {q tz }L j dxdy, (3.67βʹ) Ω e [ ] K zt,(ij) = (ẑ t L i ) {p tz }(ẑ t w j )+k0l 2 i {q zt } T w j dxdy, (3.67γʹ) Ω e [ ] K zz,(ij) = (ẑ t L i ) [p tt ](ẑ t L j )+k0l 2 i q zz L j dxdy, (3.67δʹ) Ω e [ L tt,(ij) = (ẑ wi ) {p tz }(ẑ t w j )+(ẑ t w i ){p zt } T (ẑ w j ) ] dxdy, Ω e L tz,(ij) = (ẑ w i ) [p tt ](ẑ t L j )dxdy, Ω e L zt,(ij) = (ẑ t L i ) [p tt ](ẑ w j )dxdy, Ω e M tt,(ij) = +(ẑ w i ) [p tt ](ẑ w j )dxdy, Ω e (3.67εʹ) (3.67ϛʹ) (3.67ζʹ) (3.67ηʹ) Παρατηρούμε πως η ανισοτροπία στον τανυστή [ p] εισάγει σημαντική πολυπλοκότητα στην διαφορικήεξίσωσηκαιεπισημαίνουμετησημαντικήομοιότητα 14 τωνστοιχείωντωντοπικώνυποπινάκων [K],[L],[M]τωνΕξ.(3.67)μετουςτοπικούςυποπίνακες [A],[B],[Γ]των Εξ.(3.37) για το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, αντιστοίχως. Τέλος, πρέπει να τονιστεί ότι οι Εξ.(3.65)-(3.67) περιγράφουν την κυματική εξίσωση υπό την παραδοχή πλήρους α- νισοτροπίας για τον τανυστή q, δηλαδή δεν έχει ακόμα εισαχθεί η παραδοχή της εγκάρσιας ανισοτροπίας. Οι παραλειπόμενες πράξεις για την εξαγωγή των Εξ.(3.65)-(3.67) περιέχονται στο Παράρτημα Αʹ.3. Αντίστοιχα με την εξαγωγή της Εξ.(3.32), έτσι και στην περίπτωση της Εξ.(3.65) προκύπτουν όροι που, μετασχηματιζόμενοι χρήσει του θεωρήματος Gauss από επιφανειακά ολοκληρώματα σε κλειστά επικαμπύλια, μπορούν να απαλειφθούν με χρήση«κατάλληλων» οριακών συνθηκών στο όριο του υπολογιστικού παραθύρου[179, 220]. Με τον όρο«κατάλληλων» εννοούμε ομογενείς συνθήκες Dirichlet ή Neumann(ή συνδυασμό των δύο), που αντιστοιχίζονται με μηδενισμό ή συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών του πεδίου F, αντίστοιχα, που αποσκοπεί απλά στην απαλοιφή αυτών των«ανεπιθύμητων» όρων. Πάντως, όταν ο ωφέλιμος υπολογιστικός χώρος περικλείεται από απορροφητικά PML, τότε το πλάτος του πεδίου στα όρια του υπολογιστικού παραθύρου είναι σε κάθε περίπτωση αμελητέο, οπότε δεν βλάπτεται η φυσική του προβλήματος. Για άλλους τύπους οριακών συνθηκών, ό- πως για παράδειγμα για τις απορροφητικές συνθήκες(abc) της Παραγράφου , τα εν λόγω επικαμπύλια ολοκληρώματα δεν απαλείφονται, παρά χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό συμπληρωματικών συμβολών που τροποποιούν τα στοιχεία των ολικών πινάκων που εμπλέκουν συναρτήσεις μορφής προσαρτημένες σε οριακούς κόμβους ή ακμές του υπολογι- 14 Οιδιαφορέςπροκύπτουναπότονδιαχωρισμότηςφανταστικήςμονάδας jαπότουςσυντελεστέςτου αναπτύγματος της αξονικής συνιστώσας σε συναρτήσεις μορφής. 87

102 Κεφάλαιο 3 στικού παραθύρου. Η παραπάνω διαδικασία είναι αντίστοιχη αυτής της Παραγράφου και γι αυτό παραλείπεται Μετασχηματισμός Schulz και σχήμα ευρείας γωνίας Εχει διαπιστωθεί[221] ότι το σχήμα διάδοσης βασισμένο σε παραξονική προσέγγιση της Εξ.(3.65), δηλαδή απαλοιφή της δευτέρας z-παραγώγου του φακέλου του πεδίου βάσει της παραδοχής 2 z 2Φ 2jk ref z Φ, (3.68) δεν είναι γενικά ευσταθές. Επιπλέον, στις περιοχές κατά περίπτωση ευστάθειας, το γωνιακό φάσμα που μπορεί να περιγράψει με ικανοποιητική ακρίβεια η παραπάνω προσέγγιση είναι σχετικά περιορισμένο. Για την αντιμετώπιση των παραπάνω δύο ζητημάτων, χρησιμοποιείται ο μετασχηματισμός Schulz[170, 179, 221] της αξονικής συνιστώσας του πεδίου, που δίνεται απότησχέση F z = j z F z (3.69) για την αξονική συνιστώσα του πεδίου. Αντικαθιστώντας τον φάκελο της μετασχηματισμένηςαξονικήςσυνιστώσαςτουπεδίου F z = φ z exp{ jk refz}στηνεξ.(3.69)καικατόπιν στην Εξ.(3.65), η εξίσωση διάδοσης μετασχηματίζεται στη μορφή [ ] Mtt L tz 2 [0] [0] z 2 { ct c z } [ ] { } Mtt L 2jk tz ct ref 1L 2 zt 1K 2 zz z c + z [ Ktt kref + 2 M tt kref 2 L tz kref 2 L zt kref 2 K zz ]{ ct c z } = { } 0, (3.70) 0 όπουτοδιάνυσμα {φ } = {c t c z }T περιέχειτουςαγνώστουςτουπροβλήματος,δηλαδήτους ολικά αριθμούμενους συντελεστές αναπτύγματος(βαθμούς ελευθερίας) του διανυσματικού φακέλου του πεδίου στο δεδομένο σύνολο συναρτήσεων μορφής. Επίσης, στην Εξ.(3.70) έχουμεαπαλείψειτουςπίνακες L tt και K zt/tz πουμηδενίζονταιγιατηδεδομένημορφήανισοτροπίας των τελεστών p(διαγώνια) και q(εγκάρσια) και έχουμε πολλαπλασιάσει την δεύτερηεξίσωσημε k ref γιασυμμετρία. Στησυνέχεια,χρησιμοποιούμετηνεπιπλέονπροσέγγιση 15 2 Φ / z 2 jk ref Φ / z,όπου Φ = {Φ t, φ z }T,γιατηδεύτερημόνοεξίσωση του συστήματος των Εξ.(3.70), η οποία τελικά αποτυπώνεται αντιστοίχως στο διάνυσμα τωνσυντελεστώναναπτύγματος {φ } = {c t c z }T.Μετάτηνπροσέγγισηαυτή,καταλήγουμε στην παρακάτω τελική μορφή της εξίσωσης διάδοσης [A] 2 {φ } 2jk z 2 ref [A] {φ } +[B]{φ } = {0}, (3.71) z 15 Ηπροσέγγισηαυτήεφαρμόζεταιστηνβαθμωτήδιαφορικήεξίσωσητουαξονικούμέρουςτουπεδίου που, ως γνωστόν, είναι γενικά ασθενέστερης βαρύτητας σε σχέση με τις εγκάρσιες συνιστώσες ο οποίες κυρίως συνεισφέρουν στην οδήγηση του κύματος. Επίσης, χρησιμοποιείται, παρά το ότι δεν αναφέρεται ευθέως, στην εξαγωγή των σχημάτων διάδοσης σε σημαντικές εργασίες του χώρου[170, 221]. Η χρήση της είναι αποδεδειγμένα ευσταθής και έχει διαπιστωθεί πως συγκλίνει πολύ ικανοποιητικά για σύγκριση της BPM με άλλα υπολογιστικά εργαλεία, όπως για παράδειγμα το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών. 88

103 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM όπου οι εμπλεκόμενοι πίνακες διάδοσης είναι, πλέον, μόνο δύο, και δίνονται από τις σχέσεις [ ] Mtt L [A] = tz, (3.72αʹ) L zt K zz [ Ktt kref [B] = 2 M tt kref 2 L ] tz kref 2 L zt kref 2 K. (3.72βʹ) zz Παρατηρούμε πως η μορφή της εξίσωσης διάδοσης που περιγράφεται στην Εξ.(3.71) περιέχει ακόμα τόσο την πρώτη όσο και τη δεύτερη χωρική παράγωγο του φακέλλου κατά τηδιεύθυνσηδιάδοσης(z).μίαφορμαλιστικήλύση 16 τηςπαραπάνωδιαφορικήςεξίσωσης μπορεί να γραφτεί στην τελεστική μορφή[222, 223] {φ } z ( = j ˆP +kref 2 k ref ) {φ }, (3.73) όπου ˆP = [A] 1 [B]είναιοθεμελιώδηςεγκάρσιοςδιαφορικόςτελεστήςδιάδοσης(propagator) που σχετίζεται με τη διατομή του συγκεκριμένου τμήματος του κυματοδηγού. Η μορφή αυτή επιτρέπει την υλοποίηση ενός βηματικού αλγορίθμου διάδοσης με διακριτοποίηση της διαμήκους παραγώγου, όπως με την FDM. Ομως, η παρουσία της τετραγωνικής ρίζας συνεπάγεται ενός γενικά άρρητου τελεστή στο δεξιό μέλος της Εξ.(3.73) που δεν μπορεί να υπολογιστεί πρακτικά. Για την άρση αυτής της δυσκολίας, μπορούμε να γράψουμε την Εξ.(3.71) στην αναδρομική(recursive) φορμαλιστική μορφή[222, 223] Ẑ (n) {φ } = ˆP Ẑ (n 1) 2jk ref {φ } (3.74) όπουοτελεστής / z Ẑ(n)μπορείνααντιστοιχιστείμεκάποιαπροσεγγιστικήμορφή n-τάξης του άρρητου τελεστή διάδοσης του δεξιού μέλους της Εξ.(3.73), με αρχική τιμή Ẑ (0) = 0.Ηπαραπάνωαναδρομικήσχέσηοδηγείτελικάσεμίαρητήπροσέγγιση Padéτου άρρητου τελεστή διάδοσης, με την τάξη προσέγγισης να δίνεται από τον ακέραιο n, ώστε το σχήμα διάδοσης(propagation scheme) να μπορεί να γραφτεί στη μορφή {φ } = Z (n) {φ }. (3.75) z Προφανώς, μεγαλύτερος αριθμός επαναλήψεων οδηγεί σε ανώτερης τάξης ρητές προσεγγίσεις Padé του άρρητου τελεστή διάδοσης. Μάλιστα, οι τάξεις n = 1 και n = 2 να αντιστοιχούν στην παραξονική(paraxial) και στην ευρείας γωνίας(wide angle) προσέγγιση της εξίσωσης διάδοσης, αντίστοιχα[176, 222, 223]. Οι εξισώσεις διάδοσης δέσμης των δύο παραπάνω προσεγγίσεων δίνονται από τις σχέσεις {φ } z ˆP = j {φ } 2jk ref [A] {φ } = [B]{φ }, (3.76αʹ) 2k ref z = j 2k ˆP ( ref {φ ˆP } 2jk ref [A] [B] ) {φ } = [B]{φ }, (3.76βʹ) +4kref 2 2jk ref z {φ } z 16 Ηβαθμωτήδιαφορικήεξίσωση Helmholtz, φ zz 2jkφ z + ˆPφ = 0,όπουοδείκτης zδηλώνειτην αντίστοιχημερικήπαράγωγο,μπορείναγραφτείστηνπαραγοντική/τελεστικήμορφή (ˆQ ˆR)(ˆQ+ ˆR)φ = 0 όπου ˆQ = / z jkκαι ˆR = j ˆP +k2.ηφορμαλιστικήλύσητηςεξ.(3.73)αντιστοιχείστομηδενισμό τουπρώτουπαράγοντα,δηλαδήστηνεξίσωση ˆQφ = ˆRφ. 89

104 Κεφάλαιο 3 οι οποίες αναφέρονται επίσης ως σχήματα διάδοσης Padé τάξης (1, 0) και (1, 1), αντίστοιχα. Σεέναρητόσχήμαδιάδοσης Padé (l,m),οιδείκτες l = (n + 1)/2 και m = n/2 αναφέρονταιστημέγιστηδύναμηστηνοποίαείναιυψωμένοςοτελεστήςδιάδοσης ˆPστον αριθμητή και στον παρονομαστή του δεξιού μέλους της Εξ.(3.74), αντίστοιχα. Προφανώς, όσο αυξάνεται ο δείκτης τάξης n τόσο η ρητή προσέγγιση Padé βελτιώνεται, με κόστος την αύξηση της πολυπλοκότητας του σχήματος διάδοσης. Στο Παράρτημα Αʹ.4 έχουμε καταγράψει κάποιες ρητές προσεγγίσεις ανώτερης τάξης, μέχρι και (4, 4), βασισμένες στην αναδρομική σχέση υπολογισμού της Εξ.(3.74). Εχει αποδειχθεί ότι αυτός ο αναδρομικός τρόπος προσέγγισης του τελεστή διάδοσης με ρητά πολυώνυμα Padé μπορεί να αυξήσει σε κάποιο βαθμό το γωνιακό φάσμα που μπορεί να μοντελοποιήσει με ικανοποιητική ακρίβεια η BPM Τεχνική Crank-Nicolson και υποδιαίρεση βήματος Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε πως η τετραγωνική διαφορική εξίσωση διάδοσης της BPM μπορεί να μετασχηματιστεί σε μία γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής {φ } z = j ˆN ˆD {φ }, (3.77) όπου ˆNκαι ˆDείναιεγκάρσιοιδιαφορικοίτελεστέςπουεξαρτώνταιαπότουςπίνακες [A] και [B]τωνΕξ.(3.72)όπωςκαιαπότονδείκτηαναφοράςτηςμεθόδου n ref,ενώισχύει Ẑ (n) = j ˆN/ˆD.Γιατηνεπίλυσητηςπαραπάνωαπλήςδιαφορικήςεξίσωσηςχρησιμοποιείται η τεχνική Crank-Nicolson για τη διασφάλιση της αριθμητικής ευστάθειας του σχήματος πεπερασμένων διαφορών που θα χρησιμοποιήσουμε. Αρχικά, διακριτοποιούμε τη διαμήκη παράγωγοτουφακέλουτουαριστερούμέλουςτηςεξ.(3.77)μεταξύτωνσημείων z = z 0 και z = z 0 + z,ακολουθούμενηαπότηδιακριτοποίησητουφακέλουτουδεξιούτηςμέλους μεαναφοράτοπλασματικό(fictitious)σημείο z = z 0 +a CN z,με a CN [0,1].Ηδιαφορική εξίσωση παίρνει τη μορφή {φ } z0 + z {φ } z0 z = j ˆN ) (a CN {φ } z0 + z +b CN {φ } z0, (3.78) ˆD όπου a CN (0.5,1]γιαευστάθειακαι b CN = 1 a CN.Χωρίζονταςτιςγνωστέςτιμέςτου φακέλου {φ }στοσημείο z = z 0 απότιςάγνωστες,καταλήγουμεστητελικήτελεστική μορφή της εξίσωσης διάδοσης της BPM, {φ } z0 + z = ˆD j b CN z ˆN ˆD +j a CN z ˆN {φ } z0, (3.79) που μπορεί να επιλυθεί με αντιστροφή του αραιού(λόγω της FEM) τετραγωνικού πίνακα που συμβολίζει ο τελεστής του παρονομαστή της. Το παραπάνω σχήμα διάδοσης καλείται έμμεσο(implicit) λόγω της απαίτησης για επίλυση συστήματος εξισώσεων για τον προσδιορισμό της λύσης, δηλαδή του πεδίου στο επόμενο βήμα διάδοσης. Οπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι αναδρομικές προσεγγίσεις Padé υψηλής τάξης (n > 3)οδηγούνσεδιαφορικούςτελεστές ˆNκαι ˆD,Εξ.(3.77),πουπεριέχουνπολυώνυμα δεύτερηςήκαιμεγαλύτερηςτάξης, ωςπροςτονεγκάρσιοτελεστήδιάδοσης ˆP. Στην 90

105 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM περίπτωση αυτή, η επίλυση του συστήματος της Εξ.(3.79) για τον υπολογισμό του φακέλου τουπεδίουστοσημείο z = z 0 + z δενμπορείναγίνεισεέναμόνοβήμαλόγωτης μη-γραμμικής φύσης των τελεστών. Η τεχνική που προτείνεται για την υλοποίηση του παραπάνω σχήματος διάδοσης είναι αυτή της υποδιαίρεσης βήματος(multi-stepping)[222]. Προς το σκοπό αυτό, αρχικά γράφουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της Εξ.(3.79) σε μορφήπολυωνύμωντουτελεστή ˆPμεγνωστούςσυντελεστές.Στησυνέχεια,υπολογίζουμε τις ρίζες των πολυωνύμων και τα γράφουμε σε παραγοντική μορφή σύμφωνα με τη σχέση {φ } z0 + z = ˆD j b CN z ˆN ˆD +j a CN z ˆN {φ } z0 = M N σ N,i ˆPi {φ } z0 = σ D,j ˆPj i=0 M D j=0 M N k=1 M D (1+ψ N,k ˆP) {φ } z0. (3.80) (1+ψ D,l ˆP) l=1 Στηνπαραπάνωεξίσωση, σ N/D και ξ N/D = 1/ψ N/D είναιοισυντελεστέςκαιοιρίζες (πλήθους M N/D ),αντίστοιχα,γιαταπολυώνυματουαριθμητή/παρονομαστή,πουεξαρτώνταιμόνοαπότιςπαραμέτρουςτηςμεθόδου(n ref, zκαι a CN ),όχιδηλαδήαπότις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες της διάταξης. Εχοντας φτάσει στην παραγοντική μορφή της Εξ.(3.80), μπορούμε να υποδιαιρέσουμε το βήμα διάδοσης σε υπο-βήματα πλήθους ίδιου μετονμέγιστηδύναμηστηνοποίαείναιυψωμένοςοτελεστής ˆPστηναναδρομικάυπολογιζόμενημορφήτωντελεστών ˆN και ˆD. Κάποιεςρητέςπροσεγγίσεις Ẑ (n) τουτελεστή διάδοσης βρίσκονται στο Παράρτημα Αʹ.4. Για παράδειγμα, η προσέγγιση Padé τάξης(2, 2), για n = 4επαναλήψειςτηςΕξ.(3.74),οδηγείσεπολυώνυμαδεύτερηςτάξηςμεδύορίζες, οπότε το αντίστοιχο σχήμα διάδοσης υπολογίζεται σε δύο βήματα σύμφωνα με τη σχέση {φ } aux {}}{ {φ } z0 + z = (1+ψ ˆP) N,1 (1+ψ N,2 ˆP) {φ (1+ψ D,1 ˆP) (1+ψ D,2 ˆP) } z0, (3.81) όπουαρχικάυπολογίζεταιοβοηθητικός(auxiliary)φάκελος {φ } aux,γιαναακολουθήσειο υπολογισμόςτουφακέλουστοπέραςτουβήματος, {φ } z0 + z.προφανώς,ένασχήμα Padé τάξης (l,m)θααπαιτεί lσεπλήθοςυπο-βήματα(αφούισχύειπάντα l m)μετονχρόνο υπολογισμού να αυξάνει ανάλογα, καθότι θα απαιτούνται m αντιστροφές αραιών πινάκων. Από τις προσομοιώσεις που διεξήχθησαν στα πλαίσια αυτής της διατριβής, διαπιστώθηκε πως τα ανώτερα σχήματα διάδοσης ευρείας γωνίας μπορούν να βελτιώσουν αισθητά την ακρίβεια της μεθόδου, διευρύνοντας το γωνιακό της φάσμα. Τέλος, η ομαδοποίηση των ριζών αριθμητή και παρονομαστή της παραγοντικής μορφής της Εξ.(3.80), για τα επιμέρους υπο-βήματα της διάδοσης, διαπιστώθηκε πως δεν επηρεάζει σημαντικά την τελική ακρίβεια των αποτελεσμάτων ούτε την ευστάθεια της μεθόδου Κυματοδηγοί με αυθαίρετη ανισοτροπία Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με την περίπτωση όπου ο κυματοδηγός παρουσιάζει αυθαίρετηανισοτροπίαστοντανυστήτηςσχετικήςδιηλεκτρικήςσταθεράς( ε r )καιδιαγώνια ανισοτροπίαστοντανυστήτηςσχετικήςμαγνητικήςδιαπερατότητας( µ r ),προκειμένουνα υποστηρίζει την ενσωμάτωση των PML τεχνητής απορρόφησης της Παραγράφου Η αντίστοιχη διανυσματική εξίσωση διάδοσης περιγράφεται από το σύστημα των Εξ.(3.63), 91

106 Κεφάλαιο 3 για το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο. Αντικαθιστώντας τον μετασχηματισμό Schulz, Εξ.(3.69), στην παραπάνω εξίσωση διάδοσης καταλήγουμε στη μορφή t (p zz t E t )+ 2 { } [p z 2 tt ] (j t E z E t) k0 2 [q tt]e t jk0 2 ( ) {q tz }E z = {0}, z (3.82αʹ) j } { t ([p tt ] t E z z ) + { } t ([p tt ] E t ) k0 2 z {q zt} T E t jk0 2 ( ) q zz E z = 0, z (3.82βʹ) όπου E z είναιηκατά Schulzμετασχηματισμένηαξονικήσυνιστώσατουσυνολικούηλεκτρικούπεδίουκαι [p tt ] = diag{p yy, p xx }είναιέναςβοηθητικός 2 2πίνακας. Γιατην εξαγωγή της Εξ.(3.82) έχουμε επιπλέον υποθέσει ότι οι τανυστές p και q εμφανίζουν αμελητέαμεταβολήκατάτον z-άξονα,δηλαδή p ij / z = q ij / z 0. Για την εφαρμογή της FEM, όπως περιγράφτηκε στην Παράγραφο 3.1.3, αρχικά πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά τις Εξ.(3.82) με κατάλληλες συναρτήσεις δοκιμής(ή βάρους), έστω N t και N z γιατηδιανυσματικήκαιβαθμωτήεξίσωση,αντίστοιχα.στοσημείοαυτό, χρησιμοποιούμε μόνο για τις βαθμωτές συναρτήσεις δοκιμής του αξονικού πεδίου έναν μετασχηματισμό[179], αντίστοιχο με αυτόν του Schulz που εφαρμόστηκε για το πεδίο, δηλαδή N z = j z N z, (3.83) και έπειτα ολοκληρώνουμε στο εγκάρσιο στη διεύθυνση διάδοσης xy-επίπεδο. Αντίστοιχα με την εξαγωγή της Εξ.(3.65), προκύπτουν και εδώ όροι που, μετασχηματιζόμενοι χρήσει του θεωρήματος Gauss από επιφανειακά ολοκληρώματα σε κλειστά επικαμπύλια, μπορούν να απαλειφθούν με χρήση«κατάλληλων» οριακών συνθηκών στο όριο του υπολογιστικού παραθύρου[220]. Οι εν λόγω όροι χρειάζονται στην υλοποίηση των απορροφητικών οριακών συνθηκών(abc), αλλά παραλείπονται στη συνέχεια υποθέτοντας πως χρησιμοποιούμε PML τεχνητής απορρόφησης για την αποφυγή ανακλάσεων στα όρια του υπολογιστικού παραθύρου. Στησυνέχεια,αναπτύσσουμετόσοτοσυνολικόπεδίο(E = E t + E z ẑ)όσο καιτιςσυναρτήσειςδοκιμής(n = N t + N zẑ)σεκατάλληλαεπιλεγμένοσύνολοσυναρτήσεωνμορφής,σύμφωναμετιςσχέσεις G t = m c t,mw m και G z = j n c z,n L n,γιατο διανυσματικόεγκάρσιο(g t = E t ή N t )καιτοβαθμωτόαξονικό(g z = E zή N z)μέρος, αντίστοιχα. Κατακερματίζοντας το συνολικό ολοκλήρωμα σε ανά-στοιχείο ολοκληρώματα, συμπληρώνουμε αρχικά τους στοιχειακούς πίνακες και κατόπιν εκτελούμε τη διαδικασία της συνάθροισης των συμβολών όλων των στοιχείων. Τέλος, για να μετασχηματίσουμε την ολοκληρωτική διατύπωση Galerkin σε ένα γραμμικό σύστημα, επιλέγουμε το σύνολο διανυσμάτωνελέγχου { } T, { } T... { } T γιατουςολικάαριθμούμενους συντελεστές του αναπτύγματος των συνάρτησεων δοκιμής/βάρους στις επιλεγμένες συναρτήσεις μορφής. Προκύπτει, λοιπόν, το σύστημα [D] 2 {c} +[E] {c} +[F]{c} = {0}, (3.84) z 2 z μεαγνώστουςτοδιάνυσμα {c} = {c t, c z }T,πουπεριέχειτουςβαθμούςελευθερίαςτου αναπτύγματος βάσης του ολικού ηλεκτρικού πεδίου(με μετασχηματισμένη z-συνιστώσα), καιμετουςολικάαριθμούμενουςπίνακες [D],[E],[F]ναδίνονταιαπότιςσχέσεις [ Mtt L [D] = tz L zt K zz ], [E] = [ [0] Ktz +K zt [0] 92 ], [F] = [ Ktt [0] [0] [0] ], (3.85)

107 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM Τα στοιχεία των στοιχειακών υπο-πινάκων με δείκτες tt, tz, zt, zz, που με τη διαδικασία της συνάθροισης συνθέτουν τους ολικούς πίνακες [K],[L],[M], δίνονται από τις Εξ.(3.67), για τη δεδομένη μορφή ανισοτροπίας στους τανυστές p και q που έχουμε υποθέσει. Επόμενο στάδιο της υλοποίησης της μεθόδου διάδοσης δέσμης είναι να υποθέσουμε πωςτοπεδίομπορείναεκφραστείωςτογινόμενουενόςόρουφάσηςαναφοράςεπίενός όρου αργά μεταβαλλόμενου χωρικού φακέλου, όπως δηλαδή στην Εξ.(3.60). Σημειώστε πωςησυνάρτηση φ z (x,y,z)τηςεξίσωσηςτουφακέλουθασυνδέεταιμετηνκατά-schulz μετασχηματισμένηαξονικήσυνιστώσατουπεδίου,δηλαδή E z = φ z exp{ jk refz}.ηενσωμάτωση της προσέγγισης του φακέλου στην Εξ.(3.84) ισοδυναμεί με την αντικατάσταση τωνz-παραγώγωνστιςεξ.(3.84)απότοντελεστήl z ( / z jk ref ),δηλαδή / z L z και 2 / z 2 L 2 z = ( 2 / z 2 j2k ref / z k 2 ref ).Τελικά,καταλήγουμεστημορφή [D] 2 {c} ( ) {c} ( ) + [E] j2k z 2 ref [D] z + [F] jk ref [E] kref[d] 2 {c} = {0}, (3.86) όπου {c} είναι το διάνυσμα των βαθμών ελευθερίας του αναπτύγματος του μετασχηματισμένου κατά Schulz φακέλου του πεδίου. Εχει αποδειχθεί[220] ότι η παραξονική προσέγγιση της Εξ.(3.68), εφαρμοζόμενη στην παραπάνω εξίσωση διάδοσης Εξ.(3.86), οδηγεί σε ένα ευσταθές σχήμα διάδοσης ικανό να αντιμετωπίσει διατάξεις με αυθαίρετη ανισοτροπία, αφού όληηπληροφορίατουτανυστή q = ε r εμπεριέχεταιστουςπίνακες [D],[E],[F]πουεμφανίζονται στους όρους πρώτης και μηδενικής z-παραγώγου του μετασχηματισμένου φακέλου του πεδίου. Η παραξονική εξίσωση διάδοσης που προκύπτει μπορεί να επιλυθεί εύκολα με χρήση της τεχνικής Crank-Nicolson που περιγράφτηκε στην Παράγραφο Τέλος, ότανοηανισοτροπίατουτανυστή qείναιεγκάρσια,δηλαδή {q tz } = {q zt } T = {0},τότε οπίνακας [E] = [0]κάτιπουσυνεπάγεταιπωςηΕξ.(3.86)ταυτίζεταιμετηνΕξ.(3.71) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε σχήμα διάδοσης ευρείας γωνίας με τις ρητές προσεγγίσεις Padé και την τεχνική υποδιαίρεσης βήματος Εύρεση ιδιορρυθμών οπτικών κυματοδηγών Η μέθοδος διάδοσης δέσμης μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών ενός κυματοδηγού. Οπως αναφέρθηκε στην Παράγραφο 3.2.2, κάθε διέγερση στην είσοδο ενός αμετάβλητου κατά τη διεύθυνση διάδοσης(ευθύγραμμου) κυματοδηγού μπορεί να γραφεί ως ανάπτυγμα όλων των ιδιορρυθμών του, οδηγούμενων και μη. Συνεπώς, αν η διέγερση που εισάγουμε έχει έστω και μικρή μη-μηδενική προβολή επάνω σε κάποιον ιδιορρυθμό, Εξ.(3.51), τότε είναι υπό συνθήκες δυνατό να τον«διαχωρίσουμε» από τους υ- πόλοιπους προκειμένου να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά του, δηλαδή τον ενεργό δείκτη διάθλασης και την εγκάρσια κατανομή του διανυσματικού πεδίου. Η εύρεση ιδιορρυθμών με την BPM συγκλίνει πολύ ικανοποιητικά ως προς τα αποτελέσματα του εργαλείου ευρέσεως ιδιορρυθμών που παρουσιάστηκε στην Ενότητα 3.2, ενώ παρουσιάζει και κάποια συγκριτικά πλεονεκτήματα. Για παράδειγμα, σε παραμετρικές μελέτες διασποράς με μεγάλο αριθμό α- γνώστων(πολλούς βαθμούς ελευθερίας), η αντιστροφή των αραιών πινάκων που απαιτείται για ένα βήμα διάδοσης εκτελείται πολύ πιο γρήγορα από τους αριθμητικούς αλγορίθμους εύρεσης ιδιοτιμών αραιών πινάκων(arnoldi). Συνεπώς, ανάλογα με το πρόβλημα, ενδέχεται ησύγκλισηενόςιδιορρυθμούμεχρήσητης BPMναγίνεταιπιογρήγορααπότηνεύρεση των ιδιοτιμών του αραιού πίνακα, ακόμα και εάν απαιτείται σχετικά μεγάλο πλήθος βημάτων. 93

108 Κεφάλαιο Υπολογισμός φασικής σταθεράς διάδοσης Η πιο απλή περίπτωση εύρεσης ιδιορρυθμών είναι αυτή όπου έχουμε ικανοποιητικά καλή αρχική εκτίμηση της εγκάρσιας κατανομής του φακέλου του πεδίου και του ενεργού δείκτη διάθλασης του ζητούμενου ιδιορρυθμού. Η κατάσταση απλουστεύεται ακόμα περισσότερο όταν ο κυματοδηγός που μελετάμε είναι μονόρρυθμος στην υπό διερεύνηση πόλωση. Οι παραπάνω εκτιμήσεις μπορεί να προέρχονται από την εμπειρία ή από κάποιο απλούστερο ημιαναλυτικό εργαλείο, όπως η μέθοδος των ενεργών δεικτών(effective index method, EIM), Παράγραφος Συνεπώς, εάν διεγείρουμε την είσοδο του κυματοδηγού με κατάλληλης συμμετρίαςκαιπόλωσηςεγκάρσιακατανομή 17,καιξεκινήσουμετοναλγόριθμοδιάδοσης της BPM, τότε η κατανομή του φακέλου σε κάθε βήμα θα προσαρμόζεται σταδιακά προς τον ιδιορρυθμό που επιχειρήσαμε να διεγείρουμε. Η σύγκλιση θα είναι τόσο πιο γρήγορη όσοπιοκοντάβρίσκεταιοδείκτηςδιάθλασηςαναφοράςτηςμεθόδου(n ref )στονενεργό δείκτη του ρυθμού. Επίσης, μεγάλα βήματα διάδοσης( z) και μεγάλες τιμές της παραμέτρουευστάθειαςτηςτεχνικής Crank-Nicolson(a CN )βοηθάνεστηνταχύτερησύγκλιση, αφού προκαλούν μεγαλύτερη εξασθένιση/καταστολή των ιδιορρυθμών που έχουν ενεργό δείκτηδιάθλασηςαρκετάδιαφορετικόαπότον n ref,αφήνονταςτελικάμόνοτονεπιθυμητό ιδιορρυθμό. Υποθέτοντας ότι τόσο η κατανομή του φακέλου όσο και ο δείκτης αναφοράς βρίσκονται πολύ κοντά στα αντίστοιχα στοιχεία του υπό αναζήτηση ιδιορρυθμού, μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση διάδοσης Εξ.(3.86) στη μορφή kref 2 [D]{c} = [F]{c}, (3.87) όπου έχουμε απαλείψει τις διαμήκεις παραγώγους του φακέλου(αφού ο φάκελος ενός ι- διορρυθμού δεν μεταβάλλεται στην ιδανική περίπτωση διάδοσης σε αξονικά-αμετάβλητο κυματοδηγό)καιέχουμεθεωρήσειπωςοπίνακας [E] = [0],υπονοώνταςότιέχουμετοπολύ εγκάρσια ανισοτροπία στον τανυστή q. Το σύστημα εξισώσεων της Εξ.(3.87) θα ικανοποιείται ακριβώς στην περίπτωση που(α) η πεδιακή κατανομή του φακέλου που απεικονίζουν οι συντελεστές αναπτύγματος(βαθμοί ελευθερίας) {c} ταυτίζεται με την κατανομή του ι- διορρυθμού και(β) ο δείκτης αναφοράς της μεθόδου ταυτίζεται με τον ενεργό δείκτη του ιδιορρυθμού. Ομως, ακόμα και όταν βρισκόμαστε αρκετά κοντά, αλλά όχι ακριβώς, στο να ικανοποιούνται οι δύο παραπάνω προϋποθέσεις, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξ.(3.87) επαναληπτικά για την καλύτερη εκτίμηση του ενεργού δείκτη του ρυθμού που α- πεικονίζει το πεδίο {c}[170, 224]. Προς τον σκοπό αυτό, πολλαπλασιάζουμε την Εξ.(3.87) μετοπροσαρτημένο(conjugate transpose)διάνυσμαστάθμισης 18 {c} = conj{{c} T }και, θεωρώνταςπως n ref n eff,καταλήγουμεστησχέση n eff = 1 {c} [F]{c} k 0 {c} [D]{c}. (3.88) Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο σχετίζεται η φασική σταθερά διάδοσης ενός ρυθμού με την κατανομή του φακέλου του πεδίου του. Αξίζει να επισημανθεί 17 Συνήθωςπρόκειταιγια Gaussianχωρικέςκατανομέςτηςμορφής G u (r) = exp{ r r 0 2 /w 2 0 },δηλαδή εστιασμένεςστο r 0 = x 0ˆx+y 0 ŷ,εύρους w 0 καιπόλωσης u = xήy.διάφορεςανώτερεςτάξειςσυμμετρίας μπορούν να ληφθούν μέσω παραγωγίσεων της παραπάνω κατανομής. 18 Θεωρητικά,μπορούμεναχρησιμοποιήσουμεοποιαδήποτεσυνάρτησηβάρουςγιατη«στάθμιση»του συστήματος, όμως το προσαρτημένο διάνυσμα του φακέλου είναι η πιο φυσική επιλογή που, επιπλέον, οδηγεί και στην πιο ικανοποιητική σύγκλιση. 94

109 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM η σημαντική ομοιότητα της Εξ.(3.87) με το σύστημα εξισώσεων της Εξ.(3.42), οι ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του οποίου αντιστοιχίζονται στα χαρακτηριστικά των ιδιορρυθμών του κυματοδηγού που περιγράφουν. Τέλος, σημειώνουμε πως επαναληπτική χρήση της Εξ.(3.88) μετά από κάθε βήμα διάδοσης μπορεί να οδηγήσει σε γρηγορότερη σύγκλιση στησωστήτιμήτουενεργούδείκτηδιάθλασης,ακόμακαιότανηαρχικήεκτίμησηκαιη διέγερση εξόδου αποκλίνουν από τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά του ρυθμού Διάδοση σε μιγαδική απόσταση Σε ένα πλήθος πρακτικών εφαρμογών, ενδιαφερόμαστε κυρίως για τον βασικό οδηγούμενο ρυθμό ενός οπτικού κυματοδηγού ή, το πολύ, για μερικούς μόνο από τους χαμηλότερης τάξης ρυθμούς. Επίσης, στους συνηθισμένους ολοκληρωμένους διηλεκτρικούς κυματοδηγούς, οι παραπάνω ρυθμοί χαρακτηρίζονται από τη μεγαλύτερη τιμή φασικής σταθεράς(ή ενεργού δείκτη), σε σχέση πάντα με τους ρυθμούς ανώτερης τάξης ή τους ρυθμούς ακτινοβολίας. Εκμεταλλευόμενοι αυτό το χαρακτηριστικό, μπορούμε να ορίσουμε το βήμα διάδοσης της μεθόδου( z) ως έναν φανταστικό αριθμό(με Im{ z} > 0) και να χρησιμοποιήσουμε το σχήμα διάδοσης της BPM κατά τον συνήθη τρόπο. Κάτι τέτοιο ισοδυναμεί με μετατροπή τη φασικής σταθεράς διάδοσης σε σταθερά απωλειών ή, μάλιστα, σε σταθερά ενίσχυσης υπότηνπαραδοχήτηςδιάδοσηςτηςμορφής exp{ jk 0 n ref z}.συνεπώς,γιαμίααυθαίρετη διέγερση, ο ρυθμός με τη μεγαλύτερη φασική σταθερά θα υφίσταται και τη μεγαλύτερη ενίσχυση ώστε, μετά από έναν αριθμό βημάτων διάδοσης, ο συγκεκριμένος ρυθμός θα έ- χει επικρατήσει όλων των υπολοίπων λόγω του μεγαλύτερου πλάτους του. Προφανώς, απαιτείται κάποια κανονικοποίηση του πλάτους του πεδίου μετά από κάθε βήμα διάδοσης φανταστικής για την αποφυγή αριθμητικών σφαλμάτων λόγω πολύ μεγάλων τιμών πλάτους του πεδίου. Εχοντας υπολογίσει την εγκάρσια κατανομή του διανυσματικού φακέλου ρυθμού με τη μεγαλύτερη φασική σταθερά, αρκεί ένα ακόμα βήμα διάδοσης, σε πραγματική πλέον απόσταση, για τον υπολογισμό του ενεργού του δείκτη διάθλασης από την πεδιακή κατανομή των φακέλων μεταξύ δύο βημάτων, σύμφωνα με τη σχέση[179] n eff = n ref + j z ln{f td(x,y;z + z)} ln{f td (x,y;z)} xy, (3.89) όπου F td είναιηκυρίαρχηεγκάρσιασυνιστώσατουπεδίου Fκαιοτελεστής f xy δηλώνει τη«στάθμιση» της βαθμωτής συνάρτησης f(x, y) με κατάλληλα επιλεγμένη κανονικοποιημένη εγκάρσια κατανομή, όπως για παράδειγμα f f(x,y) F(x,y,z) 2 dxdy. (3.90) xy F(x,y,z) 2 dxdy Από την παραπάνω σχέση γίνεται σαφές ότι σωστή επιλογή του δείκτη διάθλασης αναφοράς τηςμεθόδου, n ref n eff,μπορείναβελτιώσεισημαντικάτηνακρίβειακαιτηνταχύτητα σύγκλισης της παραπάνω μεθόδου εύρεσης ιδιορρυθμών. Τέλος, πρέπει να τονιστεί ότι σεπολλέςπεριπτώσειςδενμπορούμεναεκτιμήσουμεεκτωνπροτέρωντηντιμήτου n ref, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξ.(3.89) επαναληπτικά για τον προσδιορισμό του. Μετοντρόποαυτόν,ημέθοδοςσυγκλίνειμελιγότεραβήματα,ενώτοκόστοςείναι ηανάγκητροποποίησης 19 τωναραιώνπινάκωντουσχήματοςδιάδοσηςσεκάθεεπανάληψη. 19 Οιαραιοίπίνακεςτουσχήματοςδιάδοσηςπροκύπτουναπότηδιαδικασίατηςσυνάθροισης(assembly) τωνσυμβολώντωνπεπερασμένωνστοιχείων,καθώςαυτοίεξαρτώνταιαπότον n ref. 95

110 Κεφάλαιο 3 Προφανώς, μετά τον υπολογισμό της πεδιακής κατανομής του ρυθμού στο πέρας κάθε βήματος, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η Εξ.(3.88) της προηγούμενης παραγράφου, που συνήθως οδηγεί και σε πιο αξιόπιστα αποτελέσματα. Στην περίπτωση διατάξεων κυματοδήγησης που υποστηρίζουν ιδιορρυθμούς με έντονα διαφορετικά χαρακτηριστικά, όπως συγκέντρωση ή απώλειες, τότε η διάδοση σε φανταστική απόσταση σε συνδυασμό με τη χρήση απορροφητικών οριακών συνθηκών(abc) ή PML τεχνητής απορρόφησης, είναι δυνατό να οδηγήσει σε εσφαλμένες κατανομές ρυθμών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα όπου εμφανίζεται το πρόβλημα αυτό είναι ο κυματοδηγός DL- SPP[95]πουαποτελείταιαπόμίαδιηλεκτρικήφόρτισηδιατομήςμικρότερηςτου λ 2 /10που εναποτίθεται σε λεπτό μεταλλικό φιλμ πάχους μερικών νανομέτρων και άπειρης έκτασης. Η όλη διάταξη(φόρτιση και μεταλλικό φιλμ) τοποθετείται πάνω σε άπειρο διηλεκτρικό υ- πόστρωμα και περικλείεται από αέρα. Ο βασικός επιθυμητός οδηγούμενος ρυθμός ενός τέτοιου κυματοδηγού εντοπίζεται μέσα στη διηλεκτρική φόρτιση(ισχυρή συγκέντρωση), έχει ενεργό δείκτη διάθλασης λίγο μικρότερο του δείκτη της φόρτισης και παρουσιάζει αυξημένες απώλειες. Ομως, εκτός αυτού του DLSPP ρυθμού, η άπειρης έκτασης διεπιφάνεια μετάλλου/υποστρώματος υποστηρίζει έναν επιπλέον ρυθμό πλασμονικής φύσης που χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερη φασική σταθερά από τον DLSPP ρυθμό όταν το υπόστρωμα έχει μεγαλύτερο δείκτη από τη φόρτιση αλλά και από πολύ μεγαλύτερη εγκάρσια έκταση (ασθενή συγκέντρωση). Συνεπώς, με χρήση απορροφητικών συνθηκών για την αποκοπή του παραθύρου κοντά στη διηλεκτρική φόρτιση και για διάδοση σε πραγματική απόσταση, ο δεύτερος αυτός ρυθμός θα υφίσταται πολύ μεγάλες απώλειες και θα καταστέλλεται μετά από λίγα μόνο βήματα. Αντιθέτως, στην περίπτωση της διάδοσης σε φανταστική απόσταση, η παραπάνω καταστολή του, σε σχέση με τον DLSPP ρυθμό, θα αντισταθμίζεται από την ενίσχυση λόγω της μεγαλύτερης φασικής σταθεράς, με τελικό αποτέλεσμα την επικράτηση του τελευταίου. Για την αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί η διάδοσησεμιγαδικήαπόσταση,όπουτοβήμαδιάδοσηςλαμβάνειτηντιμή z e jθ z, με θ = [0, π/2]. Η κατάλληλη επιλογή της παραμέτρου θ εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του κυματοδηγού και των υποστηριζόμενων ρυθμών, ενώ οι δύο ακραίες τιμές της, 0 και π/2, αντιστοιχίζονται στην αμιγώς πραγματική και φανταστική απόσταση Αξονικά μεταβλητές και μη-γραμμικές διατάξεις Η μέθοδος διάδοσης δέσμης είναι ένας επαναληπτικός αλγόριθμος για τη βηματική διάδοση μίας διέγερσης κατά μήκος μία οπτικής διάταξης η οποία εμφανίζει«αργές» μεταβολές των ηλεκτρομαγνητικών και γεωμετρικών χαρακτηριστικών της, με αναφορά στη διεύθυνση διάδοσης. Ιδανικά, χρησιμοποιείται σε αμετάβλητες κατά τη διεύθυνση διάδοσης διατάξεις, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση όπου οι παραπάνω μεταβολές δεν παραβιάζουν τις παραδοχές της και, συνεπώς, μπορούν να θεωρηθούν ως μικρές διαταραχές(perturbations)[103, 171, 172]. Τελικά, μία τέτοια διάταξη διαμερίζεται σε αξονικά-αμετάβλητα τμήματα μικρού μήκους, Σχ. 3.10(a), και η διέγερση εισόδου μεταφέρεται από την αρχή του κάθε τμήματος στο επόμενο. Καταλαβαίνει κανείς ότι, εν γένει, η αριθμητική προσομοίωση καθενός από τα επιμέρους τμήματα είναι ανεξάρτητη των υπολοίπων. Ο αλγόριθμος της μεθόδου διάδοσης δέσμης πεπερασμένων στοιχείων(fe-bpm) που περιγράψαμε χρειάζεται, για κάθε αξονικά-αμετάβλητο τμήμα, το εξής σύνολο: (1) Διακριτοποίηση του εγκαρσίου στη διάδοση xy-επιπέδου με πεπερασμένα στοιχεία και ορισμός διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων μορφής για τις εγκάρσιες και τη 96

111 3.3. Διανυσματική μέθοδος διάδοσης δέσμης με FEM (a) x z Continuous (b) DoFs Interpolation z Staircased ( e) Δz y x z=z 0 z=z0+δz Σχήμα 3.10: (a) Κάτοψη που απεικονίζει τη βηματική(staircased) διακριτοποίηση μίας μεταβλητής κατά τη διάδοση διάταξης, και πιο συγκεκριμένα μίας κάμψης κυματοδηγού. Στο παράδειγμα αυτό ο κυματοδηγός έχει χωριστεί σε 16 τμήματα ίδιου αξονικού μήκους, z. (b) Διαδικασία υπολογισμού των βαθμών ελευθερίας(dofs)του e-στοιχείουτουνέουπλέγματοςστοεπίπεδο z = z 0 + z,εφόσονγνωρίζουμε τααντίστοιχαμεγέθηστοεπίπεδο z = z 0. Ησυγκεκριμένηπερίπτωσηαπεικονίζειτους DoFsγραμμικών βαθμωτών συναρτήσεων μορφής, που συναρτώνται με κόμβους του πλέγματος. διαμήκη συνιστώσα του πεδίου, αντίστοιχα. (2) Απόδοση ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών στα πεπερασμένα στοιχεία, δηλαδή τιςτιμέςτωντανυστών ε r και µ r,μεαναφοράστοβαρύκεντροκαθενός. (3)Ορισμόςπαραμέτρωντηςμεθόδου:δείκτηςδιάθλασηςαναφοράς(n ref ),μήκοςβήματος( z),παράμετροςευστάθειαςσχήματος Crank-Nicolson(a CN )καισχήμα Padé [αριθμός επαναλήψεων(n) ή, ισοδύναμα, τάξη αριθμητή-παρανομαστή (k, l)]. (4) Προσδιορισμός της διέγερσης στο σημείο εισόδου, δηλαδή της εγκάρσιας διανυσματικήςκατανομήςτουφακέλουτουπεδίου({φ in }). Δοθέντων των στοιχείων του παραπάνω συνόλου, υπολογίζεται η εγκάρσια κατανομή του φακέλουτουπεδίουστοσημείοεξόδουτουαξονικά-αμετάβλητουτμήματος({φ out })μετην αριθμητική επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων της μορφής [A]{φ out } = [B]{φ in }, (3.91) όπου [A],[B] είναι αραιοί πίνακες που εξαρτώνται από τα στοιχεία (1)-(3) του παραπάνω συνόλου. Στην ιδανική περίπτωση εφαρμογής της μεθόδου, αυτή της διάδοσης σε αξονικάαμετάβλητες διατάξεις, τα (1)-(3) επιλέγονται για απλούστευση κοινά μεταξύ όλων των επιμέρους τμημάτων στα οποία διαμερίσαμε τη διάταξη, ώστε να απαιτείται απλά η αντικατάσταση {φ out } (i) {φ in } (i+1) μεταξύδύοδιαδοχικώντμημάτων,δηλαδήηέξοδοςτου ενός τμήματος να τροφοδοτείται ως διέγερση του επόμενου. Για την αντιμετώπιση των αξονικά μεταβλητών ή των μη-γραμμικών διατάξεων, κάποια από τα στοιχεία (1)-(3) του παραπάνω συνόλου αναγκαστικά μεταβάλλονται μεταξύ δύο διαδοχικών βημάτων. Πιο συγκεκριμένα, στις αξονικά μεταβαλλόμενες διατάξεις, μεταβάλλονται οι γεωμετρικές διαστάσεις της διατομής, οπότε απαιτείται η εκ νέου δημιουργία του πλέγματος πεπερασμένων στοιχείων, και συνεπώς και η απόδοση των ηλεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών σε κάθε στοιχείο. Στην περίπτωση πολύ πυκνών πλεγμάτων, μπορούμε να παρακάμψουμε τη δημιουργία νέου πλέγματος, με προφανές κόστος το ότι τα ομογενή (ιδίου υλικού) τμήματα της διατομής θα έχουν περίμετρο μη-κανονικού σχήματος(για παράδειγμα κοίλα πολύγωνα με μεγάλο πλήθος πλευρών αντί για ορθογώνια τετράπλευρα ή τραπέζια). Επιπλέον, μεταβολή του πλέγματος οδηγεί σε μεταβολή και των βαθμών ελευθερίας του προβλήματος, κάτι που απαιτεί μία διαδικασία παρεμβολής(ή προβολής) του πεδίου του προηγούμενου πλέγματος στο νέο, Σχ. 3.10(b). Η διαδικασία αυτή περιγράφεται στην Παράγραφο και αναπόφευκτα εισάγει κάποιο υπολογιστικό σφάλμα. Επίσης, στις 97

112 Κεφάλαιο 3 (a) (b) (c) n=n0( x, y) 2 I= E( x, y) n= n0+funct{ E, χ (3) } Σχήμα 3.11: Διακριτοποίηση με την FEM της εγκάρσιας διατομής ενός μη-γραμμικού κυματοδηγού που θα μοντελοποιηθεί με την BPM. (a) Κατανομή του δείκτη διάθλασης στη γραμμική περιοχή λειτουργίας. (b) Κατανομή της διέγερσης στην είσοδο του κυματοδηγού. Πρόκειται για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ενός σήματος υψηλής ισχύος, που εστιάζεται περίπου στο κέντρο της διατομής. (c) Κατανομή του διαταραγμένου λόγω μη-γραμμικότητας δείκτη διάθλασης, με ανά-στοιχείο απόδοση τιμών βάσει του βαρυκέντρου του καθενός. Αυτή η κατανομή θα χρησιμοποιηθεί στην κατασκευή των πινάκων [A],[B] του σχήματος διάδοσης της Εξ.(3.91). μη-γραμμικές διατάξεις, όπως συζητήθηκε στην Παράγραφο 3.2.3, τα ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά της διατομής θα εξαρτώνται από την κατανομή και το πλάτος του πεδίου στοσυγκεκριμένο z-σημείοτηςδιάδοσης,δηλαδήαπότοδιάνυσμα {φ in }.Γιαπαράδειγμα, στο Σχ παρουσιάζεται η διαταραχή της(ομοιόμορφης) κατανομής του γραμμικού δείκτη διάθλασης ενός μη-γραμμικού«κυματοδηγού» που διεγείρεται με μία γκαουσιανή δέσμη υψηλής ισχύος εστιασμένη περίπου στο κέντρο του. Σημαντική διαφορά των μη-γραμμικών διατάξεων από τις αξονικά μεταβλητές, όσον αφορά στη μελέτη τους με την BPM, είναι ότι στις πρώτες δεν χρειάζεται ο εκ νέου υπολογισμός του πλέγματος πεπερασμένων στοιχείων, αφού η γεωμετρία της διατομής δεν μεταβάλλεται. Στο σημείο αυτό θα υπεισέλθουμε σε κάποιες λεπτομέρειες τις εφαρμογής της BPM στη μελέτη μη-γραμμικών διατάξεων[180, 181, ]. Προκειμένου να εξασφαλιστεί η αριθμητική ευστάθεια της μεθόδου, χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε επαναληπτικό υπολογισμότουπεδίουστοπέρας(έξοδο)τουκάθεαξονικά-αμετάβλητουτμήματος({φ out }), κυρίωςότανημη-γραμμικήδιαταραχή ε r γίνεταισημαντική.καθώςητελευταίαεξαρτάται απότηνέντασητουηλεκτρικούπεδίου, I = E 2,στηνπρώτημόνοεπανάληψηχρησιμοποιούμετογνωστόδιάνυσμαδιέγερσηςεισόδου({φ in })γιατονυπολογισμότηςέντασης καικατ επέκτασητης ε r,ενώσεκάθεεπόμενηεπανάληψη(n 2)χρησιμοποιούμετη σταθμισμένη στο μέσο του z-βήματος τιμή I (1) = I in, (3.92αʹ) I (n) = 1 ( ) I (n 1) out +I in, (3.92βʹ) 2 όπου I (n 1) out υπολογίζεταιαπότοδιάνυσμαεξόδου, {φ out },πουυπολογίστηκεστηνπροηγούμενη επανάληψη. Οι επαναλήψεις σταματάνε όταν η κατανομή του φακέλου το πεδίου στο πέρας του βήματος έχει συγκλίνει, κάτι που στις περισσότερες εφαρμογές συμβαίνει μετά τη δεύτερη επανάληψη. Οσον αφορά στην επιλογή των παραμέτρων της BPM κατά τη μελέτη μη-γραμμικών διατάξεων, τονίζουμε τα παρακάτω σημεία: Αρχικά, ο δείκτης διάθλασηςαναφοράς(n ref )συνήθωςεπιλέγεταιίσοςμετονενεργόδείκτηδιάθλασηςτου θεωρούμενου ιδιορρυθμού στη γραμμική περιοχή λειτουργίας. Αυτό οφείλεται στο ότι στις CW μη-γραμμικές εφαρμογές συνηθέστατα ενδιαφερόμαστε για την ολίσθηση φάσης σε σχέση με τη γραμμική περίπτωση. Στη συνέχεια, η παράμετρος ευστάθειας του σχήματος Crank-Nicolson(a CN )πρέπειναλαμβάνειτιμέςόσοτοδυνατόνπιοκοντάστηνοριακήτιμή 98

113 3.4. Ανακεφαλαίωση ευστάθειας,0.5 +,γιαναδιασφαλίζεταιηδιατήρησηενέργειαςτουσχήματοςδιάδοσης[225]. Η τελευταία είναι ιδιαίτερα σημαντική σε μη-γραμμικές διατάξεις που εμφανίζουν επιπλέον απώλειες διάδοσης, όπως οι υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί[129, 143]. Τέλος, το μήκος του βήματος διάδοσης( z) είναι αντιστρόφως ανάλογο με την ισχύ του σήματος και την εγγενή μη-γραμμικότητα του κυματοδηγού. Δηλαδή, για υψηλές ισχείς και/ή έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς, θα απαιτούνται πολύ μικρά βήματα z. Δεν θα επεκταθούμε σε παραπάνω λεπτομέρειες στο σημείο αυτό, καθώς τα ζητήματα αυτά θα αναλυθούν εκτενώς στο Κεφάλαιο 5. Σχολιάζοντας την υπολογιστική πλευρά της μελέτης των παραπάνω διατάξεων, επαναλαμβάνουμε πως η μεταβολή των γεωμετρικών διαστάσεων της διατομής απαιτεί επανυπολογισμό της διακριτοποίησης της με πεπερασμένα στοιχεία. Η δημιουργία αυτού του«νέου» πλέγματος είναι μία γενικά χρονοβόρα διαδικασία, κυρίως όσο το πλήθος των στοιχείων αυξάνεται. Επιπλέον, το νέο πλέγμα θα χαρακτηρίζεται από καινούριες συναρτήσεις μορφής, συνεπώς θα απαιτείται ο προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας του αναπτύγματος φακέλου εισόδου σε αυτές τις συναρτήσεις μορφής. Για τον παραπάνω υπολογισμό, χρησιμοποιούμε παρεμβολή στην xy-κατανομή του φακέλου του πεδίου όπως αυτός δίνεται από το ανάπτυγμα στις συναρτήσεις μορφής του«παλαιού» πλέγματος, του προηγούμενου βήματος. Αυτή η διαδικασία εισάγει αναπόφευκτα κάποιο υπολογιστικό σφάλμα. Τέλος, η μεταβολή των η- λεκτρομαγνητικών χαρακτηριστικών της διατομής, των παραμέτρων της μεθόδου και/ή του πλέγματος απαιτεί την εκτέλεση της συνάθροισης(assebly) της συμβολής των στοιχείων για τον υπολογισμό των αραιών πινάκων [A],[B] της Εξ.(3.91), μια επίσης χρονοβόρα διαδικασία, κυρίως όσο αυξάνεται το πλήθος των στοιχείων του πλέγματος και/ή η τάξη των συναρτήσεων μορφής. Συνοψίζοντας, τα κωλύματα που ανακύπτουν είναι κατά μέγιστο τρία:(α) δημιουργία νέου πλέγματος,(β) υπολογισμός βαθμών ελευθερίας με παρεμβολή και (γ) εκτέλεση διαδικασίας συνάθροισης. Για όλους τους παραπάνω λόγους, διαπιστώνουμε πως το υπολογιστικό κόστος της μελέτης αξονικά μεταβαλλόμενων ή μη-γραμμικών διατάξεων με χρήση της FE-BPM είναι πολλαπλάσιο αυτού της μελέτης αμετάβλητων γραμμικών διατάξεων. Παρ όλα αυτά, η μέθοδος αυτή παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια και σημαντική μείωση των υπολογιστικών πόρων, σε σχέση με άλλες υπολογιστικές μεθόδους όπως η FDTD και η 3D-FEM, όταν εφαρμόζονται στην προσομοίωση τρισδιάστατων διατάξεων μεγάλου μήκους. 3.4 Ανακεφαλαίωση Το κεφάλαιο αυτό αναφέρθηκε στην ανάπτυξη πλήρως διανυσματικών υπολογιστικών μεθόδων για την προσομοίωση τρισδιάστατων προβλημάτων κυματοδήγησης. Η πρώτη ενότητα αφιερώθηκε στην περιγραφή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων(fem), που χρησιμοποιείται για τη διακριτοποίηση της εγκάρσιας στον άξονα διάδοσης διατομής ενός κυματοδηγού, και αποτελεί τη βάση των υπολογιστικών εργαλείων που θα παρουσιάστηκαν στη συνέχεια. Στην ενότητα αυτή, σχολιάστηκε η διαδικασία δημιουργίας πλέγματος πεπερασμένων στοιχείων, η κατασκευή διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων μορφής για την ορθή μοντελοποίηση του πεδίου, η διαδικασία εφαρμογής της τεχνικής Galerkin και, τέλος, οι οριακές συνθήκες του προβλήματος και η χρήση απορροφητικών στρωμάτων για τον φυσικό τερματισμό του υπολογιστικού παραθύρου. Η δεύτερη ενότητα αφιερώθηκε στο εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών κυματοδηγού δεδομένης διατομής, που διακριτοποιείται χρήσει της FEM. Παρουσιάστηκαν δύο παραλλαγές του εργαλείου, ανάλογα με τον τύπο της 99

114 Κεφάλαιο 3 ανισοτροπίας της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς των υλικών του κυματοδηγού. Επίσης, παρατέθηκε μία εκτεταμένη συζήτηση αναφορικά με την ταυτοποίηση και τον χαρακτηρισμό των ιδιορρυθμών μίας διάταξης κυματοδήγησης. Η τρίτη και τελευταία ενότητα αφιερώθηκε στη μέθοδο διάδοσης δέσμης(bpm) που χρησιμοποιείται στη μελέτη διατάξεων κυματοδήγησης με σαφώς ορισμένο οπτικό άξονα. Αρχικά καταστρώθηκε το σύστημα εξισώσεων του σχήματος, όπου οι εγκάρσιοι τελεστές διακριτοποιούνται κάνοντας χρήση της FEM ενώ οι διαμήκεις με τη βοήθεια της μεθόδου τον πεπερασμένων διαφορών, υλοποιώντας έτσι έναν βηματικό επαναληπτικό αλγόριθμο διάδοσης. Διακρίθηκαν δύο ξεχωριστές υλοποιήσεις της μεθόδου, ανάλογα με την ανισοτροπία που παρουσιάζουν τα υλικά του κυματοδηγού, και στη συνέχεια διατυπώθηκε η τεχνική υποδιαίρεσης βήματος που επιτρέπει την υλοποίηση σχημάτων ευρείας γωνίας υψηλής τάξης. Τέλος, δόθηκαν τα απαραίτητα στοιχεία για την εφαρμογή της BPM στην εύρεση ιδιορρυθμών κυματοδηγού, όπως και στην προσομοίωση αξονικά-μεταβλητών και μη-γραμμικών διατάξεων. 100

115 4 Ανάλυση και σχεδίαση διαμήκων θερμο-οπτικών διακοπτικών στοιχείων με πλασμονικούς κυματοδηγούς διηλεκτρικής φόρτισης Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την ανάλυση και τη σχεδίαση διακοπτικών στοιχείων (switching elements) με δύο εισόδους και δύο εξόδους(2 2), για ολοκληρωμένα φωτονικά κυκλώματα οδηγούμενου κύματος με τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές στην κοντινή υπέρυθρη περιοχή, λ 1550 nm. Ως δομικά στοιχεία θα χρησιμοποιήσουμε τους πλασμονικούς κυματοδηγούς διηλεκτρικής φόρτισης(dielectric loaded surface plasmon polariton, DLSPP) που αποτελούνται από μία διηλεκτρική ράβδωση διαστάσεων μικρότερων του μήκους κύματος(sub-wavelength) σε επαφή με κάποιο μεταλλικό φιλμ. Ο μηχανισμός μεταγωγής βασίζεται στο θερμο-οπτικό φαινόμενο(thermo-optic effect, TOE), και συνίσταται στη μεταβολή του δείκτη διάθλασης του πυρήνα οδήγησης στους DLSPP κυματοδηγούς μέσω θέρμανσης αυτού. Σε μία τέτοια διάταξη, απαιτείται ο πυρήνας οδήγησης(όπως, ενδεικτικά, η διηλεκτρική ράβδωση για τους DLSPP κυματοδηγούς) να αποτελείται από κάποιο υλικό με υψηλό θερμο-οπτικό συντελεστή(thermo-optic coefficient, TOC), προκειμένου να αξιοποιηθεί με βέλτιστο τρόπο το TOE. Η θέρμανση προκαλείται από τη διέλευση ηλεκτρικού ρεύματος διαμέσου του μεταλλικού φιλμ. Το τελευταίο, παρουσιάζοντας πεπερασμένη αγωγιμότητα, θερμαίνεται λόγω φαινομένου Joule και επιφέρει θερμοκρασιακή μεταβολή στη διηλεκτρική ράβδωση με την οποία βρίσκεται σε επαφή. Τέλος, αναφέρουμε πως τα διακοπτικά στοιχεία που μελετήθηκαν είναι διαμήκους μορφής και βασίζονται στο φαινόμενο της συμβολής. Ετσι, με χρήση κατάλληλων διατάξεων, η μεταβολή του δείκτη διάθλασης λόγω TOE θα μεταφράζεται σε διαφορά φάσης και κατόπιν σε μεταβολή πλάτους του οδηγούμενου κύματος στις εξόδους του στοιχείου. Η διάρθρωση του περιεχομένου του κεφαλαίο έχει όπως παρακάτω. Στην πρώτη ενότητα θα παρουσιαστούν οι κυματοδηγοί DLSPP και θα σχολιαστούν οι τεχνικές λεπτομέρειες και σχεδιαστικές επιλογές που σχετίζονται με τη χρήση του TOE για τη μεταγωγή. Στη συνέχεια, θα παρουσιαστούν συνοπτικά οι διαφορετικές αρχιτεκτονικές διαμήκων διακοπτικών 2 2 στοιχείων και θα εισαχθούν οι μετρικές επίδοσης που χρησιμοποιήθηκαν στην αξιολόγηση τους. Στις τελευταίες ενότητες μελετώνται οι συγκεκριμένες αρχιτεκτονικές διακοπτών: το συμμετρικό και ασύμμετρο συμβολόμετρο Mach-Zehnder(Mach-Zehnder Interferometer, MZI), ο συγχρονισμένος και αποσυγχρονιζόμενος κατευθυντικός ζεύκτης (directional coupler, DC) και ο κυματοδηγός πολύρρυθμης συμβολής(multi-mode interference, MMI). Οι διατάξεις αυτές, αρχικά αναλύονται και σχεδιάζονται θεωρητικά με βάση τη μελέτη ιδιορρυθμών(eigenmode analysis) και στη συνέχεια η επίδοση τους υπολογίζε- 101

116 Κεφάλαιο 4 ται με χρήση τρισδιάστατης μοντελοποίησης με τη διανυσματική μέθοδο διάδοσης δέσμης πεπερασμένων στοιχείων(finite element beam propagation method, FE-BPM). 4.1 Πλασμονικοί κυματοδηγοί διηλεκτρικής φόρτισης Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε τους πλασμονικούς κυματοδηγούς διηλεκτρικής φόρτισης και θα σχολιάσουμε τα διάφορα τεχνολογικά, κατασκευαστικά και σχεδιαστικά ζητήματα που εμπλέκονται με τη χρήση τους σε θερμο-οπτικά στοιχεία μεταγωγής. Πιο συγκεκριμένα, θα σχολιάσουμε τις επιλογές των υλικών και θα προσδιορίσουμε τις δομικές τους παραμέτρους με σκοπό τον περιορισμό των απωλειών διάδοσης, την ελαχιστοποίηση του αποτυπώματος(footprint) τους σε ολοκληρωμένο οπτικό κύκλωμα και τη βέλτιστη αξιοποίηση του θερμο-οπτικού φαινομένου Περιγραφή κυματοδηγού DLSPP και επιλογές παραμέτρων Οπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 2, μια διεπιφάνεια μετάλλου με διηλεκτρικό μπορεί να υποστηρίξει επιφανειακά ηλεκτρομαγνητικά κύματα πολαριτονίων επιφανειακών πλασμονίων(surface plasmon polaritons, SPP)[16 18]. Οι αντίστοιχοι οδηγούμενοι SPP ρυθμοί είναι συγκεντρωμένοι επάνω στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών και αποσβένουν εκθετικά μακρυά από αυτήν, εντοπίζονται δε κυρίως στην περιοχή του διηλεκτρικού και λιγότερο εντός του μετάλλου. Η διάταξη όπου μία λεπτή μεταλλική ταινία(φιλμ), πάχους μικρότερου των 20 nm, βρίσκεται ανάμεσα σε δύο όμοιους διηλεκτρικούς ημιχώρους συνθέτει τον πλασμονικό κυματοδηγό ταινίας(stripe-spp)[197], που χαρακτηρίζεται από σχετικά χαμηλές απώλειες αλλά και περιορισμένη συγκέντρωση. Αντιθέτως, τοποθετώντας μία διηλεκτρική ράβδωση πεπερασμένων διαστάσεων, και δείκτη μεγαλύτερου από του περιβλήματος, σε επαφή με τη μεταλλική επιφάνεια, είναι δυνατό να περιορίσουμε την εγκάρσια έκταση του SPP ρυθμού κατά την οριζόντια διεύθυνση. Ο κυματοδηγός που σχηματίζεται αποκαλείται πλασμονικός κυματοδηγός διηλεκτρικής φόρτισης(dlspp)[95] και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ολοκληρωμένα φωτονικά κυκλώματα με εγκάρσιες διαστάσεις μικρότερες του μήκους κύματος, παρέχοντας δυνατότητα αυξημένης πυκνότητας ολοκλήρωσης (integration density) σε σχέση με τους stripe-spp κυματοδηγούς. Το μειονέκτημα του DLSPP σε σχέση με τους κυματοδηγούς ταινίας είναι οι αυξημένες απώλειες, που τυπικά βρίσκονται στην περιοχή των 0.1 db/μm. Παρ όλα αυτά, οι DLSPP καταφέρνουν να έχουν ανεκτές απώλειες, ενώ χαρακτηρίζονται από ελκυστικές προοπτικές που προσδίδονται από τη χρήση διαφορετικών υλικών για τη ράβδωση διηλεκτρικής φόρτισης, όπου και κυρίως εντοπίζεται το οπτικό κύμα. Στο Σχ. 4.1 παρουσιάζεται η τυπική εγκάρσια διατομή ενός DLSPP κυματοδηγού, ό- που σημειώνονται οι βασικές του διαστάσεις όπως και τα διαφορετικά υλικά που χρησιμοποιούνται. Στο (a) φαίνεται ο αρχετυπικός σχεδιασμός όπου το μεταλλικό υπόστρωμα και το περίβλημα(αέρας) έχουν άπειρη εγκάρσια έκταση, ενώ στο (b) φαίνεται ένας πρακτικά υλοποιήσιμος σχεδιασμός όπου η διηλεκτρική ράβδωση/φόρτιση υποστηρίζεται από μεταλλικό φιλμ πεπερασμένου πάχους και εύρους(patterned film), ενώ η όλη διάταξη κατασκευάζεται επάνω στη δημοφιλή πλατφόρμα πυριτίου-σε-μονωτή(silicon on insulator, 102

117 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί διηλεκτρικής φόρτισης (a) Air t p w p Dielectric Loading (b) w p t p y x tm Metal Inf. Oxide (SiO ) 2 Silicon w m t ox Inf. Σχήμα 4.1: (a) Αρχετυπικός DLSPP κυματοδηγός, όπου το μεταλλικό υπόστρωμα και το περίβλημα έχουν άπειρη έκταση. (b) Πρακτικός σχεδιασμός DLSPP κυματοδηγού, όπου η διηλεκτρική ράβδωση/φόρτιση υποστηρίζεται από μεταλλικό φιλμ πεπερασμένου πάχους και εύρους, ενώ η όλη διάταξη κατασκευάζεται επάνω στην πλατφόρμα SOI. SOI). Για τη διηλεκτρική φόρτιση, συνήθως χρησιμοποιούνται πολυμερή υλικά, με δείκτες διάθλασηςστηνπεριοχήτων n p = ,κάτιπουδιασφαλίζειότιηδιατομήτηςράβδωσης μπορεί να έχει διαστάσεις μικρότερες του μήκους κύματος, τυπικά στην περιοχή των w p t p = nm 2.Γιατομεταλλικόυλικό,υπάρχουνδιάφορεςεπιλογέςπουσχολιάστηκαν στην Παράγραφο Μία από τις πιο δημοφιλείς επιλογές είναι ο χρυσός(au), λόγω των σχετικά χαμηλών απωλειών που παρουσιάζει στην NIR περιοχή του φάσματος καθώς επίσης και της αυξημένης ανοχής του στην οξείδωση λόγω έκθεσης στον αέρα. Στο παρόν κεφάλαιο χρησιμοποιήθηκε αποκλειστικά ο χρυσός και επιλέχθηκε η μέτρηση Palik [196]γιατονδείκτηδιάθλασηςτου, n m = 0.55 j11.5(σχετικήδιηλεκτρικήσταθερά, ε r = 132+j13),ενώαμελήθηκεηδιασποράτουστην C-band(λ = 1550±50 nm)λόγω της μικρής διακύμανσης στο εύρος ζώνης που τυπικά μας απασχολεί και της αμελητέας ε- πίδρασης στα χαρακτηριστικά των οδηγούμενων DLSPP ρυθμών. Επίσης, τονίζεται πως ο περιορισμός της έκτασης του μετάλλου δεν επηρεάζει σημαντικά τα χαρακτηριστικά του οδηγούμενου κύματος, το οποίο είναι συγκεντρωμένο στη διεπιφάνεια μετάλλου/διηλεκτρικού και εκτείνεται κυρίως προς την πλευρά της διηλεκτρικής φόρτισης. Πιο συγκεκριμένα, το πάχος του μετάλλου έχει συνολικά μικρή επίδραση όταν παίρνει τιμές κάποιων δεκάδων νανομέτρων,τυπικά t m = nm,μεταμικρότεραπάχηναοδηγούνγενικάσεμεγαλύτερεςαπώλειες 1 διότιεπιτρέπουντηδιείσδυσητουπεδίουστοεσωτερικότουμετάλλου.το εύροςτουμεταλλικούφιλμπρέπειναεκτείνεταισεκάποιαμικρόμετρα,τυπικά w m = 3-4μm, ώστε να καλύπτει πλήρως την εγκάρσια x-έκταση του ρυθμού. Οταν η έκταση του ρυθμού είναιμεγαλύτερηαπότο w m τότεαυξάνονταιοιαπώλειεςδιάδοσης.τέλος,ηπαρουσίατων υποστρωμάτωνγυαλιού(silicondioxide, SiO 2 )καιπυριτίου(silicon, Si)δενέχουνπρακτικά καμία επίδραση στο οδηγούμενο κύμα, με την προϋπόθεση βέβαια το πάχος υποστρώματος είναιαρκετάμεγάλο,τυπικά t ox > 1μm. Οιδείκτεςδιάθλασηςγιαταδύοαυτάυλικά ελήφθησαν ίσοι με 1.45 και 3.45 αντίστοιχα, ενώ η διασπορά τους επίσης αμελήθηκε καθώς δεν επηρεάζει τη διάδοση. Ο βασικός οδηγούμενος ρυθμός του DLSPP κυματοδηγού είναι πολωμένος κάθετα στη διεπιφάνεια μετάλλου/διηλεκτρικού(οριζόντια, παράλληλη με την x-διάσταση) και γι αυτόχαρακτηρίζεταιωςτμ 00. Ητυπικήεγκάρσιακατανομήτουηλεκτρικούτουπεδί- 1 Ησυγκεκριμένησυμπεριφοράέρχεταισεαντίθεσημετους stripe-sppκυματοδηγούς,όπουμικρότερα πάχη μετάλλου οδηγούν σε χαμηλότερες απώλειες. Η διαφορά έγκειται στην ασυμμετρία ως προς τα υλικά εκατέρωθεν το μεταλλικού φιλμ που χαρακτηρίζει τον DLSPP, σε αντίθεση με τη συμμετρία των κυματοδηγών ταινίας. 103

118 ` ` ` ` ` Κεφάλαιο 4 y-h eight (` µm )` 2` 1` 0` +10` (a) Re{ E (,)} x y +50` x (b) Re{ Ey (,)} x y (c) Im{ Ez(,)} x y 2` 1` 0` 1` 2` x-w idth (` µm)` 0` -10` -50` ` 2` 1` 0` 1` 2` x-w idth (` µm)` 0` +15` -15` 2` 1` 0` 1` 2` x-w idth (` µm)` 0` Σχήμα 4.2: ΤυπικήεγκάρσιακατανομήηλεκτρικούπεδίουτουβασικούΤΜ 00 ρυθμούτου DLSPP κυματοδηγού. Τομέταλλοείναιχρυσόςμε n m = 0.55 j11.5και w m t m = nm 2, η διηλεκτρικήφόρτισηέχει n p = 1.5και w p t p = nm 2,ενώτουπόστρωμαδιοξειδίουέχειδείκτη n ox = 1.45καιάπειρηέκταση.Τομήκοςκύματοςείναι λ = 1550 nmενώοενεργόςδείκτηςδιάδοσηςτου ρυθμούβρέθηκείσοςμε n eff = j ου παρουσιάζεταιστοσχ Το μέταλλοείναιχρυσός με n m = 0.55 j11.5και w m t m = nm 2,ηδιηλεκτρικήφόρτισηέχειn p = 1.5καιw p t p = nm 2, ενώτουπόστρωμαδιοξειδίουέχειδείκτη n ox = 1.45καιάπειρηέκταση. Τομήκοςκύματος είναι λ = 1550 nm ενώ ο ενεργός δείκτης διάδοσης του ρυθμού βρέθηκε ίσος με n eff = j ,όπουηαρνητικήτιμήστοφανταστικόμέροςτου n eff προκύπτειαπότησύμβαση e jωt jβz,γιατηδιάδοσηκατάταθετικά z,πουχρησιμοποιείτο εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών μας, Ενότητα 3.2. Συνεπώς, το χαρακτηριστικό μήκος α- πωλειών(propagation length)τουρυθμούαυτούείναι L prop = 48μm,καιδίνεταιαπότη σχέση L prop = 1/( 2Im{β}),όπου β = k 0 n eff ημιγαδικήφασικήσταθερά.παρατηρούμε τηνκυριαρχίατηςεγκάρσιας E y συνιστώσαςαλλάκαιτηνύπαρξημη-αμελητέαςαξονικής συνιστώσας E z,αναμενόμενηόμωςλόγωτηςτμπόλωσηςτουρυθμού.τέλος,είναισημαντικό να παρατηρήσουμε ότι το μέγιστο του ηλεκτρικού πεδίου εντοπίζεται επάνω στη διαχωριστική μετάλλου/διηλεκτρικού, ενώ η διείσδυση του πεδίου εντός του μετάλλου είναι πρακτικά αμελητέα. Εχοντας παρουσιάσει τα βασικά γνωρίσματα του DLSPP κυματοδηγού, θα προβούμε στη βελτιστοποίηση των παραμέτρων του, εστιάζοντας κυρίως στο υλικό της φόρτισης. Μια αρκετά εκτενής μελέτη του κυματοδηγού αυτού έχει δημοσιευτεί στο[95], όπου ε- ξήχθησαν οι βασικές προδιαγραφές σχεδίασης των DLSPP κυματοδηγών, με χρήση της μεθόδου του ενεργού δείκτη(effective-index method, EIM) σε συνδυασμό με εργαλεία εύρεσης ιδιορρυθμών βασισμένα στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(finite element method, FEM). Αρχικά, αύξηση του δείκτη διάθλασης του υλικού της ράβδωσης έχει ως συνέπεια την ισχυρότερη συγκέντρωση του ρυθμού όπως και τη βαθύτερη διείσδυση του στο μέταλλο, κάτι που τελικά αυξάνει τις απώλειες. Τα υλικά φόρτισης που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι«μαλακά» πολυμερή, με πιο διαδεδομένο το θερμοπλαστικό συνθετικό οργανικόπολυμερές Poly(methyl methacrylate) (PMMA)[199]μεδείκτη n 0 = 1.493σε θερμοκρασία δωματίου. Άλλες προσφιλείς επιλογές υλικών φόρτισης είναι τα Inorganic Polymer Glass (IPG), cyclo-aliphatic acrylate polymer (Cyclomer), Benzocyclobutene (BCB), SiO 2 ήαλλάγυαλιά,μεδείκτεςδιάθλασηςλίγομεγαλύτερουςτου PMMA.Αναφορικά με τις διαστάσεις της ράβδωσης ορθογωνικής εγκάρσιας διατομής, σημειώνουμε πως αύξησητουπάχουςτηςράβδωσης[t p στοσχ.4.1(b)]μειώνειγενικάτιςαπώλειεςκαθώς επιτρέπεται στον ρυθμό να απομακρυνθεί από την περιοχή του μετάλλου. Αντιθέτως, με- 104

119 ` ` ` 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί διηλεκτρικής φόρτισης 2` ` W eff A eff 1.75` 1.5` 1.5` W eff (µm) 1.25` 1` min. multimode 1.25` 1` A eff (µm 2 ) 0.75` min. 0.75` 0.5` 0.5` 0.1` 0.2` 0.3` 0.4` 0.5` 0.6` 0.7` 0.8` 0.9` 1` Loading Width (µm) Σχήμα4.3: ΕνεργόεύροςκαιενεργόςεπιφάνειατουβασικούΤΜ 00 ρυθμούενός DLSPPκυματοδηγού, όπωςστοσχ.4.1(b).τοχρυσόμεταλλικόφιλμέχειδιαστάσεις w m t m = nm 2,ηδιηλεκτρική φόρτισηείναικάποιοπολυμερέςμεδείκτη n p = 1.5καιπάχος t p = 600 nm,ενώτουπόστρωμαδιοξειδίου έχειδείκτηn ox = 1.45καιάπειρηέκταση.Τακάθεταβέλησημειώνουντατοπικάελάχιστα,ενώησκιασμένη περιοχή δηλώνει τις περιοχές τιμών όπου ο κυματοδηγός παύει να είναι μονόρρυθμος. w p γάλες τιμές του πάχους οδηγούν τελικά σε παραβίαση της μονόρρυθμης λειτουργίας και, για τα παραπάνω υλικά φόρτισης, το όριο πάχους για την εμφάνιση του ανώτερου ρυθμού είναιπερίπουστα 700 nm. Στηνπερίπτωσημας,επιλέχθηκετοπάχοςτων t p = 600 nm καιδιατηρήθηκεσταθερό.μένειπλέονοπροσδιορισμόςτουεύρουςτηςράβδωσης(w p ),ο οποίος σχετίζεται με την απαίτηση τόσο για μονόρρυθμη λειτουργία όσο και για ελάχιστη εγκάρσια έκταση του ρυθμού, κάτι που διασφαλίζει τη δυνατότητα πυκνής ολοκλήρωσης. Η εν λόγω παραμετρική βελτιστοποίηση παρουσιάζεται στο Σχ. 4.3, όπου για εύρη της ράβδωσης w p = 0.1-1μmέχουμευπολογίσειτοαντίστοιχοενεργόεύρος(W eff )καιενεργό επιφάνεια(a eff )τουβασικούρυθμού.τοπρώτοορίζεταιωςτοπλήρεςεύροςστομισότου μεγίστου(full-width at half-maximum, FWHM)τηςσυνάρτησης f(x) = E y (x,y) dy, ενώηδεύτερηορίζεταιως A eff = ( E 2 dxdy) 2 / E 4 dxdy.παρατηρούμελοιπόνότι για να βρισκόμαστε στην περιοχή μονόρρυθμης λειτουργίας και για να έχουμε κατά το δυνατόν ελάχιστη εγκάρσια έκταση, μπορούμε να επιλέξουμε ένα εύρος ράβδωσης εντός της σχετικάεκτεταμένηςπεριοχήςτιμών w p = nm.πρέπειακόμανασημειωθείότιοι απώλειεςτουβασικούτμ 00 ρυθμούεμφανίζουνμικρήμόνοδιακύμανσητηςτάξηςτου10% στηνπαραπάνωπεριοχή w p,μεταμικρότεραεύρηναοδηγούνστιςμικρότερεςαπώλειες. Μεβάσηταπαραπάνω,τελικάεπιλέξαμετοεύροςτων 500 nmωςονομαστικήτιμή Θερμο-οπτικός έλεγχος DLSPP κυματοδηγών Μετά την πρώτη εμφάνιση των παθητικών εξαρτημάτων DLSPP κυματοδηγών[104], έγιναν αρκετές προσπάθειες αναγνώρισης των βέλτιστων μηχανισμών ελέγχου, που θα οδηγούσαν στη χρήση αυτών των κυματοδηγών σε συντονιζόμενες διατάξεις, όπως διακόπτες ή φίλτρα. Οι βασικοί μηχανισμοί ελέγχου που προτάθηκαν, κατά σειρά χρονολογικής εμφάνισης και πολυπλοκότητας υλοποίησης είναι τα θερμο-οπτικά[111, 226], τα ήλεκτρο-οπτικά [132, 227] και τα πλήρως-οπτικά[228, 229] φαινόμενα. Άλλοι μηχανισμοί ελέγχου βασίζονται σε φέρρο-ηλεκτρικά φιλμ[230], φώτο-χρωμικά μόρια[231] ή σε νηματικούς υγρούς κρυστάλλους[232], αλλά αυτά τα φαινόμενα(και τα αντίστοιχα υλικά) είναι σαφώς λιγότερο 105

120 Κεφάλαιο 4 διαδεδομένα και ελκυστικά για πρακτικές ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις. Οσον αφορά στον χρόνο απόκρισης, τα πλήρως-οπτικά φαινόμενα υπερτερούν όλων των υπολοίπων, παρουσιάζοντας ταχύτητα μεταγωγής(switching speed) μικρότερη του 1 ps. Αντιθέτως, για τυπικούς DLSPP κυματοδηγούς πάνω σε SOI πλατφόρμα, το θερμο-οπτικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από χρόνους θέρμανσης και ψύξης στην περιοχή των 1-2 μs[112]. Σχετικά με την πυκνότητα ολοκλήρωσης και την ενεργειακή αποδοτικότητα, τα εξαρτήματα που αξιοποιούν ήλεκτρο-οπτικά φαινόμενα είναι τα πιο πολλά υποσχόμενα, καθώς μπορεί να καταλαμβάνουναποτύπωμα < 1μm 2 καιναλειτουργούνμεισχύστηνπεριοχήτου 1 mw [227]. Τέλος, αναφέρουμε πως το συγκριτικό πλεονέκτημα των εξαρτημάτων που βασίζονται στο θερμο-οπτικό φαινόμενο είναι η απλότητα υλοποίησης και σχεδιασμού, και για τον λόγο αυτό ήταν το πρώτο φαινόμενο που αξιοποιήθηκε στην κατασκευή πλασμονικών διακοπτικών στοιχείων. Η σημαντικότερη παράμετρος του DLSPP κυματοδηγού για τη βέλτιστη εκμετάλλευση του θερμο-οπτικού φαινομένου είναι ο θερμο-οπτικός συντελεστής(thermo-optic coefficient, TOC) του υλικού διηλεκτρικής φόρτισης. Ο συντελεστής αυτός συμβολίζεται εδώ με c TO,μετράταισε K 1 καιδηλώνειτηνμεταβολήστονδείκτηδιάθλασηςτουυλικούγια μοναδιαία μεταβολή θερμοκρασίας, T = 1 Κ. Υποθέτοντας γραμμική εξάρτηση σε μεγάλοεύροςθερμοκρασιώνπροκύπτειησχέσηορισμούτου TOC,ως c TO n/ T,όπου n είναι η μεταβολή στον γραμμικό δείκτη διάθλασης του υλικού φόρτισης. Τα υλικά που θα αξιοποιηθούν στο κεφάλαιο αυτό, το PMMA[199] και το Cyclomer[115, 233], εμφανίζουναρνητικούς TOCμετιμές c TO = /Κκαι /Κ,αντίστοιχα, σημειώνοντας πως οι τιμές αυτές είναι συνήθως μετρημένες σε συμπαγή(bulk) υλικά και όχι σε κατεργασμένα ή λεπτά φιλμ. Μία εξίσου σημαντική παράμετρος ενός θερμοοπτικούυλικούείναιημέγιστηεπιτρεπτήθερμοκρασιακήμεταβολή( T max )πουμπορείνα του επιβληθεί, χωρίς να επέλθει μόνιμη παραμόρφωση(αλλαγή γεωμετρικών διαστάσεων διατομής) ή αλλαγή φάσης(τήξη) του υλικού. Η παράμετρος αυτή, σχετίζεται γενικότερα με την ανθεκτικότητα των πρακτικών συντονιζόμενων διατάξεων, όπως οι διακόπτες που θα σχεδιαστούν στο κεφάλαιο αυτό. Για τα παραπάνω αναφερθέντα υλικά, χρησιμοποιήθηκεωςονομαστικήμέγιστηθερμοκρασιακήμεταβολήη T max = 100Κ.Οφείλουμενα σημειώσουμεπώςοιακριβείςτιμέςτωνπαραμέτρων c TO και T max εμφανίζουνσημαντική εξάρτηση τόσο από το πάχος του στρώματος φόρτισης όσο και από τις τεχνικές προετοιμασίας(processing), εναπόθεσης(deposition) και λιθογραφικής χάραξης(lithography) που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή ενός DLSPP κυματοδηγού. Η θέρμανση του διηλεκτρικού υλικού φόρτισης γίνεται με τη διοχέτευση ενός ηλεκτρικού ρεύματος διαμέσου του λεπτού αγώγιμου φιλμ[111]. Το λεπτό πάχος του τελευταίου προσφέρει υψηλή ηλεκτρική αντίσταση και πυκνότητα ρεύματος. Συνεπώς, ακόμα και για ρεύμα μικρής έντασης θα προκαλείται σημαντική θέρμανση του μετάλλου και, ακολούθως, και της διηλεκτρικής φόρτισης με την οποία βρίσκεται σε επαφή. Στο Σχ. 4.4 φαίνεται μία εικόνα μικροσκοπίου που παρουσιάζει την κάτοψη ενός ευθύγραμμου τμήματος DLSPP κυματοδηγού υπό θέρμανση, όπου έχουμε σημειώσει τα διαφορετικά στοιχεία(μεταλλικό φιλμ, ράβδωση πολυμερούς, οξείδιο, πυρίτιο) καθώς και τη φορά του ηλεκτρικού ρεύματος θέρμανσης. Ο συγκεκριμένος κυματοδηγός είναι συνδεδεμένος στην είσοδο και στην έξοδο του με κυματοδηγούς πυριτίου(si-rib) με χρήση απευθείας σύζευξης(direct coupling)[136]. Η κατάλληλη τοποθέτηση των ηλεκτροδίων διοχέτευσης του ρεύματος θέρμανσης είναι επίσης ένα σημαντικό κομμάτι σχεδίασης που πρέπει να συζητηθεί. Στο Σχ. 4.5(a) παρουσιάζεται η ιδεατή περίπτωση θέρμανσης ενός τμήματος DLSPP κυματοδηγού, χωρίς να 106

121 4.1. Πλασμονικοί κυματοδηγοί διηλεκτρικής φόρτισης Patterned metal lm Heating current ow Polymer DLSPP loading Oxide substrate Silicon Σχήμα 4.4: Φωτογραφία μικροσκοπίου ενός DLSPP κυματοδηγού με μεταλλικό φιλμ πεπερασμένου εύρους επάνω σε υπόστρωμα διοξειδίου του πυριτίου. Στην είσοδο και έξοδο του κυματοδηγού γίνεται σύζευξη αυτού με ένα κυματοδηγό ράβδωσης πυριτίου(si-rib). Η όλη διάταξη βρίσκεται επάνω σε πλατφόρμα SOI. Η φωτογραφία και το δείγμα προέρχονται από το Université de Bourgogne (UB). (a) Polymer (unheated) Polymer (heated) Current Flow Metal (unheated) Metal (heated) Substrate (b) (c) Σχήμα 4.5: (a) Ιδανική περίπτωση θέρμανσης ενός μόνο τμήματος κυματοδηγού DLSPP. Στα(b) και(c) παρουσιάζονται πρακτικές υλοποιήσεις του κυκλώματος θέρμανσης με δύο και τρία ηλεκτρόδια, αντίστοιχα, όπου σημειώνεται η φορά του ρεύματος θέρμανσης. επηρεάζονται τα γειτονικά τμήματα. Στα Σχ. 4.5(b) και (c) παρουσιάζονται δύο πρακτικές υλοποιήσεις του παραπάνω ιδεατού κυκλώματος θέρμανσης, με χρήση δύο και τριών ηλεκτροδίων, αντίστοιχα. Τα διάκενα στο μεταλλικό υπόστρωμα του DLSPP κυματοδηγού διαταράσσουν την διάδοση του κύματος, εισάγοντας μη-αμελητέες απώλειες ανάλογες του μήκους τους[136]. Στα Σχ. 4.5(b) και (c), το«ενεργό μήκος» του υπό-θέρμανση τμήματος κυματοδηγού αναμένεται να είναι κάπως μικρότερο του φυσικού του μήκους, και μπορεί να υπολογιστεί από τρισδιάστατο πρόβλημα θερμικής διάχυσης. Πάντως, επισημαίνουμε πως στις περισσότερες από τις τρισδιάστατες προσομοιώσεις που έγιναν στο κεφάλαιο αυτό με χρήση της FE-BPM, θεωρήθηκε η ιδεατή διάταξη του Σχ. 4.5(a), λαμβάνοντας υπόψη κάποιο περιθώριο ασφαλείας στο μήκος και στις απώλειες εισαγωγής του εξαρτήματος. Αξίζει να σημειωθεί ότι η κατανομή της θερμοκρασιακής μεταβολής μέσα στην εγκάρσια xy-διατομή της διηλεκτρικής φόρτισης είναι σχεδόν ομοιόμορφη[112], άρα το ίδιο θα ισχύει και για την εγκάρσια κατανομή της μεταβολής του δείκτη διάθλασης. Θα ισχύει δηλαδή n(x,y) = c TO T,όπουημεταβολή Tυπολογίζεταιμέσωτουπροβλήματοςθερμικής διάχυσης στη διατομή, ή επιλέγεται κατ εκτίμηση. Μία προσεγγιστική σχέση για τον υπολογισμό της θερμοκρασιακής μεταβολής είναι η T = I 2 t p 1, (4.1) w p K p w m t m σ m 107

122 Κεφάλαιο 4 όπου Iείναιηέντασητουρεύματοςθέρμανσης, w p/m και t p/m οιγεωμετρικέςπαράμετροι (εύροςκαιπάχος,αντίστοιχα)τουπολυμερούς/μετάλλου[σχ.4.1(b)], K p ηθερμικήαγωγιμότητατουπολυμερούςκαι σ m ηηλεκτρικήαγωγιμότητατουμετάλλου. Ησχέσηαυτή αποδεικνύεται στο Παράρτημα Βʹ, απ όπου αναγνωρίζουμε πως είναι γενικά επιθυμητές μικρέςτιμέςγιατα K p, σ m καιτηνδιατομήτουμεταλλικούφιλμ,ενώαπαιτείταιμεγάλος λόγος πάχους/εύρους για τη διηλεκτρική ράβδωση. Ως ενδεικτική τιμή, εκτιμάται[112] ότι έναρεύμαέντασης 50 maείναιικανόναεπιφέρειτημεταβολή T max = 100Κεντόςτου πολυμερούς, για ένα DLSPP κυματοδηγό με διαστάσεις αντίστοιχες αυτών του Σχ Τονίζεται και εδώ πως οι θερμικές και ηλεκτρικές παράμετροι των υλικών που υπεισέρχονται στην Εξ.(4.1) ενδέχεται να εμφανίζουν σημαντική εξάρτηση από τις τεχνικές κατασκευής του κυματοδηγού και κυρίως από το πάχος των υλικών των διαφόρων στρωμάτων[234]. Κλείνοντας, θα πρέπει να σημειώσουμε πως στις πλασμονικές διατάξεις κυματοδήγησης DLSPP, με εγκάρσιες διαστάσεις αρκετά μικρότερες του μήκους κύματος, αναμένεται πως μόνοέναμέροςτηςμεταβολήςτουδείκτη nθααποτυπωθείστημεταβολή 2 τουενεργού δείκτηδιάθλασης, n eff. Γιαθερμοκρασιακήμεταβολή T max = 100Κεκτιμάται[117] πωςτοποσοστό f n eff / n 80%, πουκρίνεταιικανοποιητικό. Ηαντίστοιχη συσσώρευση διαφοράς φάσης για έναν μεμονωμένο κυματοδηγό μήκους L θα είναι συνεπώς ίσημε Φ = βl = k 0 n eff L = k 0 (f c TO T)L, (4.2) και η ποσότητα αυτή είναι που θα αξιοποιηθεί στις διατάξεις συμβολής για την υλοποίηση των διακοπτικών στοιχείων. Για δεδομένο θερμο-οπτικό υλικό και μήκος κύματος λειτουργίας, καταλαβαίνουμε τελικά πως θα υπάρχει μία συνολική μετρική(figure of merit, FoM) που δίνεταιαπότησχέση f T Lκαιθααπαιτείταιναλαμβάνεισυγκεκριμένητιμήγια τους διάφορους θερμο-οπτικούς διακόπτες. Προφανώς, θα χρειάζεται να γίνει κάποιος συμβιβασμός ανάμεσα στα τρία μεγέθη που εμφανίζονται f :Αδιάστατησχεδιαστικήπαράμετροςπουεξαρτάταιαπότοντύποτηςδιάταξης, T:Εξαρτάταιαπότορεύμαθέρμανσηςκαιεπηρεάζειτηνκατανάλωσηισχύος, L:Σχετίζεταιμετοαποτύπωματουεξαρτήματοςκαιτιςαπώλειεςεισαγωγής. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με πλασμονικούς DLSPP κυματοδηγούς που εμφανίζουν εγγενείς απώλειες διάδοσης, λόγω της παρουσίας του μετάλλου, που δεν μπορούν να εξαληφθούν. Συνεπώς, η αύξηση του μήκους του εξαρτήματος δεν αποτελεί τυπικά βιώσιμη λύση καθώς αυξάνει τις συνολικές απώλειες εισαγωγής. Σε κάθε περίπτωση, η μέγιστη T max είναιέναεξίσου«σκληρό»όριοπουπροσδιορίζεταιαπότηναντοχήτουυλικούκαι τη δαπανούμενη ισχύ θέρμανσης, οπότε το μήκος του κάθε εξαρτήματος θα ρυθμίζεται έτσι ώστε να εισάγονται απώλειες όχι μεγαλύτερες από 10 db. 2 Σημειώνεταιπωςημεταβολήτου n eff μετηθέρμανσηείναιγενικάμιγαδικήςτιμής. Παρ όλααυτά, η διαφορά στο πραγματικό μέρος είναι σημαντικότερη και κατέχει και τη μεγαλύτερη σημασία για τη μεταγωγή στις διατάξεις συμβολής που θα μελετήσουμε. Συνεπώς, και για λόγους απλότητας και αποφυγή υπερσυμβολισμού,οιδιαφορές n eff θεωρούνταιγενικάπραγματικήςτιμής,εκτόςκαιεάνσημειώνεται διαφορετικά. 108

123 4.2. Στοιχειώδεις συμμετρικές 2 2 διακοπτικές διατάξεις 4.2 Στοιχειώδεις συμμετρικές 2 2 διακοπτικές διατάξεις Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε τις βασικές αρχιτεκτονικές που θα χρησιμοποιηθούν για τη σχεδίαση συμμετρικών 2 2 διακοπτικών διατάξεων θερμο-οπτικά ελεγχόμενων DLSPP κυματοδηγών. Για κάθε αρχιτεκτονική, θα δώσουμε τα βασικά στοιχεία του θεωρητικού μοντέλου σχεδίασης και θα προσπαθήσουμε να επιστήσουμε την προσοχή στις ιδιαιτερότητες της καθεμίας. Τέλος, θα εισάγουμε τις μετρικές που θα χρησιμοποιηθούν στις επόμενες ενότητες του κεφαλαίου προκειμένου να βελτιστοποιηθούν και/ή να αξιολογηθούν οι διακόπτες που σχεδιάστηκαν Αρχιτεκτονικές συμμετρικών 2 2 διακοπτικών στοιχείων Η γενικευμένη σχηματική κάτοψη ενός θερμο-οπτικά ελεγχόμενου συμμετρικού 2 2 διακόπτη ολοκληρωμένων DLSPP κυματοδηγών φαίνεται στο Σχ. 4.6(a), όπου σημειώνονται οι θύρες εισόδου(input), διέλευσης(bar) και σύζευξης(cross). Ανάλογα με την κατάσταση του διακόπτη, το εισερχόμενο σήμα εξέρχεται από τη θύρα διέλευσης ή σύζευξης. Ενας διακόπτης αποκαλείται«2 2 συμμετρικός» όταν έχει δύο θύρες εισόδου και εξόδου και όταν με εναλλαγή της θύρας εισόδου/διέγερσης εναλλάσσεται και η θύρα εξόδου και λαμβάνεται η ίδια επίδοση για την ίδια κατάσταση του διακόπτη. Οι αρχιτεκτονικές σχεδίασης που θα μελετήσουμε χωρίζονται στις παρακάτω τρεις κατηγορίες, και οι κατόψεις τους φαίνονται στα Σχ. 4.6(b)-(f). Συμβολόμετρο Mach-Zehnder(Mach-Zehnder Interferometer, MZI),Σχ.4.6(b)-(c) Κατευθυντικόςζεύκτης(directional coupler, DC),Σχ.4.6(d)-(e) Κυματοδηγόςπολύρρυθμηςσυμβολής(multi-mode interference, MMI),Σχ.4.6(f) Ηλειτουργίατων 2 2διακοπτών MZIβασίζεταιστηδιαίρεσηενόςσήματοςσεδύο μέρη, στην εισαγωγή σχετικής φασικής μετατόπισης Φ = π(ή 0) μεταξύ των δύο βραχιόνων, και τελικά στον συνδυασμό τους ώστε να επέλθει θετική συμβολή στη θύρα διέλευσης(ή σύζευξης). Ο διαχωρισμός/συνδυασμός στην είσοδο/έξοδο του εξαρτήματος, αντίστοιχα, γίνεται με χρήση ζευκτών διαίρεσης 50/50(3 db couplers). Η εισαγωγή της φασικήςμετατόπισης Φ = πγίνεταιμεθερμο-οπτικόέλεγχοτουενόςήκαιτωνδύο βραχιόνων του συμβολομέτρου, ενώ προφανώς απαιτείται οι DLSPP κυματοδηγοί να είναι μονόρρυθμοι. Στην περίπτωση που ελέγχεται θερμο-οπτικά ο ένας μόνο βραχίονας, τότε συνηθίζεται να είναι όμοιοι και οι δύο βραχίονες(ίδιο μήκος, ίδια διατομή), Σχ. 4.6(b), προκειμένου η κατάσταση μηδενικής φασικής μετατόπισης να λαμβάνεται στην πλήρη απουσία θερμικού ελέγχου. Η διάταξη αυτή ονομάζεται συμμετρικό(symmetric) MZI, και η φασική μετατόπιση που εισάγεται δίνεται από τη σχέση Φ MZI = β L MZI = k 0 n eff L MZI = k 0 (f c TO T)L MZI, (4.3) όπου c TO οθερμο-οπτικόςσυντελεστήςτουυλικούράβδωσηςκαι f = n eff / n 1ο λόγος κλασματικής μεταβολής του ενεργού δείκτη του συγκεκριμένου κυματοδηγού. Σημειώνεται πως, για πρακτικούς λόγους, μπορεί να ελέγχονται και οι δύο βραχίονες ενός συμμετρικού MZI, ώστε να υπάρχει η δυνατότητα αντιστάθμισης κατασκευαστικών ατελειών/αποκλίσεων, κυρίως για την ψυχρή κατάσταση του MZI. 109

124 Κεφάλαιο 4 (a) Symmetric 2x2 Switch Input Thermo-Optic Control (b) MZI - Symmetric arms Bar Cross (d) DC - Synchronized (e) DC - Desynchronized (c) MZI - Asymmetric arms (f) MMI - Dual mode Polymer (unheated) Polymer (heated) Oxide Substrate Metal (unheated) Metal (heated) Σχήμα 4.6: Αρχιτεκτονικές σχεδίασης θερμο-οπτικά ελεγχόμενων συμμετρικών 2 2 διακοπτών DLSPP κυματοδηγών. (a) Σύμβαση θυρών εισόδου, διέλευσης και σύζευξης, (b)-(c) συμμετρική και ασύμμετρη διάταξη MZI, (d)-(e) συγχρονισμένη και αποσυγχρονιζόμενη διάταξη DC, (f) διάταξη MMI και πιο συγκεκριμένα, συμβολής δύο ρυθμών(dual-mode interference, DMI). Στην περίπτωση που ελέγχονται θερμο-οπτικά και οι δύο βραχίονες ενός MZI, τότε είναι δυνατό με την εισαγωγή ασυμμετρίας μεταξύ των βραχιόνων, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.6(c), ναμειωθείτοσυνολικόγινόμενο T Lπουαπαιτείταιγιατηνμεταγωγήτουδιακόπτη. Στην περίπτωση αυτή, η ασύμμετρη(asymmetric) διάταξη MZI[235] είναι κατασκευασμένη ώστε όταν και οι δύο βραχίονες είναι στην ίδια θερμοκρασία να εισάγεται σχετική διαφορά φάσης π/2. Αυτό αντιστοιχεί σε διαμοιρασμό του σήματος μεταξύ των θυρών διέλευσης και σύζευξης. Η ασυμμετρία στους βραχίονες υλοποιείται είτε με διαφορετικό μήκος βραχιόνων, είτε με διαφορά στις εγκάρσιες διαστάσεις των κυματοδηγών[όπως με διαπλάτυνση της ράβδωσης, όπως στο Σχ. 4.6(c)] ώστε να συσσωρεύεται η απαιτούμενη διαφορά φάσης. Τελικά, για εισαγωγή συνολικής Φ = π ή 0 στο ασύμμετρο συμβολόμετρο, αρκεί να μετατοπιστεί ο κατάλληλος βραχίονας μόνο κατά π/2, κάτι που σημαίνει ότι απαιτείται μικρότερη θερμοκρασία( T) ή μικρότερο μήκος βραχιόνων(l). Πρέπει να σημειωθεί, βέβαια,ότιπαράτημικρότερητιμή T Lπουαπαιτείταιστοασύμμετρο MZIσεσχέσημε το συμμετρικό, τελικά, η ηλεκτρική ισχύς που δαπανάται είναι περίπου ίδια. Αυτό οφείλεται στο ότι το ασύμμετρο MZI θερμαίνεται και στις δύο καταστάσεις, ενώ το συμμετρικό μόνο στη μία. Η μεταγωγή της θύρας εξόδου σε έναν συγχρονισμένο(synchronized) 2 2 διακόπτη κατευθυντικού ζεύκτη(sdc), Σχ. 4.6(d), στηρίζεται στον θερμο-οπτικό έλεγχο του μήκουςσύζευξης(coupling length, L c )στονζεύκτη DLSPPκυματοδηγών.Τομήκοςσύζευξηςορίζεταιωςηαπόστασηδιάδοσης,κατάμήκοςτουζεύκτη,μετάαπότηνοποίατο σήμα συζευγνύεται περιοδικά από τον έναν κυματοδηγό στον άλλο, και εξαρτάται κυρίως 110

125 4.2. Στοιχειώδεις συμμετρικές 2 2 διακοπτικές διατάξεις από την εγκάρσια απόσταση μεταξύ τους. Ενας απλός και ακριβής τρόπος υπολογισμού του, είναι από τη διαφορά των ενεργών δεικτών διάθλασης του συμμετρικού(symmetric, «S») και αντισυμμετρικού(antisymmetric,«a») υπερρυθμού(supermode) του ζεύκτη, L c,(t) λ/2 (4.4) Re{n (S) eff,(t) n(a) eff,(t) }. Στην παραπάνω σχέση,«t» είναι η θερμοκρασιακή κατάσταση του ζεύκτη, λ είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στον ελεύθερο χώρο και έχει ληφθεί το πραγματικό μέρος των ενεργών δεικτών διάθλασης καθώς το φανταστικό σχετίζεται με τις απώλειες που δεν απασχολούν στο συγκεκριμένο ζήτημα φασικής συμφωνίας. Στη συνέχεια, υποθέτουμε χωρίς βλάβητηςγενικότητας,πωςτομήκοςτουσυγχρονισμένου DC(L SDC )είναιτέτοιοώστε στην ψυχρή(unheated,«u») κατάσταση το σήμα να εξέρχεται από τη θύρα σύζευξης, δηλαδή L SDC = (2m+1)L c,(u) όπου mκατάλληλοςθετικόςακέραιος.θέρμανσητουζεύκτη επιφέρειτημείωσητουμήκουςσύζευξης 3 τηςθερμής(heated,«h»)κατάστασης,καιτελικά για L SDC = (2m+2)L c,(h) τοσήμαμετάγεταιστηθύραδιέλευσης.μετάαπόαπλέςπράξεις καταλήγουμε πως το απαιτούμενο μήκος του DC θα δίνεται από τη σχέση L SDC L c,(u)l c,(h) L c,(u) L c,(h) = λ/2 Re{ n (S A) eff,(u) n(s A) eff,(h) }. (4.5) Επιπλέον,δεχόμενοιπως L c L c,(u) L c,(h) L SDC (δικαιολογημένο,λόγωτηςμικρήςμεταβολήςτουδείκτητου DLSPP),οδηγούμαστεστιςαπλούστερεςσχέσεις L SDC L 2 c,av / L cή L c = L c,av /(2m),όπου L c,av είναιοαριθμητικόςμέσοςτωνδύομηκώνσύζευξης.αντίστοιχαμετο n eff τουμεμονωμένουθερμο-οπτικάελεγχόμενουκυματοδηγού, έτσικαιηδιαφορά L c ενόςκατευθυντικούζεύκτημπορείναγραφείωςσυνάρτησητης θερμοκρασιακής μεταβολής σε αυτόν. Με αυτό υπόψη, παρατηρούμε πως επιλογή μικρότερου L c,av ήμεγαλύτερουακεραίου mθαοδηγείσεμικρότερη L c,άρακαισεμικρότερη μεταβολή θερμοκρασίας T, για τη μεταγωγή του διακόπτη. Στον αποσυγχρονιζόμενο(desynchronized) 2 2 διακόπτη κατευθυντικού ζεύκτη(ddc), Σχ. 4.6(e), έχουμε δυνατότητα ελέγχου/θέρμανσης ενός εκ των δύο DLSPP κυματοδηγών του ζεύκτη. Για να επιτευχθεί αυτό, είναι απαραίτητο να χαραχθεί μία σχισμή/εγκοπή(slot) στο μεταλλικό φιλμ, ανάμεσα στις δύο ραβδώσεις πολυμερούς, ώστε το ρεύμα να θερμαίνει μόνο τον ένα κυματοδηγό, Σχ. 4.6(e). Οι παράμετροι αυτής της διάταξης είναι το μήκος (L DDC )καιηεγκάρσιααπόστασητωνκυματοδηγών. Στηνψυχρήκατάσταση,οζεύκτης είναι σχεδιασμένος ώστε να το σήμα να εξέρχεται από την θύρα σύζευξης, και μάλιστα με L DDC = L c,(u),όπου L c,(u) είναιτομήκοςσύζευξηςτηςενλόγωκατάστασης,αντίστοιχα με τον συγχρονισμένο ζεύκτη. Θέρμανση του ενός κυματοδηγού επιφέρει αποσυγχρονισμό τουζεύκτη,και,ότανισχύει βl DDC = π 3,προκαλείταιμεταγωγήτουσήματοςαπό τη θύρα σύζευξης στη θύρα διέλευσης. Ο απαιτούμενος αποσυγχρονισμός β εκτιμάται από τους ενεργούς δείκτες των μεμονωμένων κυματοδηγών(ψυχρού και θερμού). Ενας εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της θερμοκρασίας μεταγωγής είναι να υπολογιστεί το 3 Μείωσητουδείκτηδιάθλασηςτουυλικούσυνεπάγεταιμείωσητουενεργούδείκτηενόςρυθμού,άρα και της εγκάρσιας συγκέντρωσης του. Ρυθμοί με χαμηλότερη συγκέντρωση χαρακτηρίζονται γενικά από μικρότερα μήκη σύζευξης σε διατάξεις κατευθυντικών ζευκτών. 111

126 Κεφάλαιο 4 χαρακτηριστικό μήκος ασυμφωνίας(beating length), L b,(t) λ (4.6) Re{n (S) eff,(t) n(a) eff,(t) }, μεταξύ των διαταραγμένων υπερρυθμών του αποσυγχρονισμένου λόγω θέρμανσης ζεύκτη. Οι υπερρυθμοί του αποσυγχρονισμένου ζεύκτη θα είναι γενικά σχεδόν(quasi) συμμετρικοί ήαντισυμμετρικοί, μετηνισότητα L b 2L c ναισχύειστηνπερίπτωσησυγχρονισμού. Η θερμοκρασία μεταγωγής είναι αυτή για την οποία το μήκος ασυμφωνίας της θερμής κατάστασης, L b,(h),είναιίσομετομήκοςσύζευξηςτηςψυχρήςκατάστασης, L b,(h) = L c,(u). Τελικά, σε κάθε περίπτωση, το μήκος του ζεύκτη και η εγκάρσια απόσταση μεταξύ των κυματοδηγώντουθαυπαγορεύονταιαπότημέγιστηδιαθέσιμη T max,γιασυγκεκριμένο τύπο κυματοδηγού. Τέλος,ο2 2διακόπτης MMIτουΣχ.4.6(f)μπορείναθεωρηθείωςμίαπροεκβολή του συγχρονισμένου DC όπου οι δύο κυματοδηγοί έχουν συγχωνευθεί σε έναν μονό κυματοδηγό μεγαλύτερου πυρήνα, ώστε να υποστηρίζει δύο οδηγούμενους ρυθμούς. Η σχέση υπολογισμού του απαιτούμενου μήκους για τον κυματοδηγό MMI είναι αντίστοιχη μετηνεξ.(4.5). Εδώόμως,ταμήκησύζευξηςγιακάθεκατάσταση(ψυχρή,θερμή)θα προκύπτουν από τους βασικούς και ανώτερους ρυθμούς του δύρρυθμου(dual-mode) κυματοδηγού. Γίνεται εύκολα αντιληπτό πως οι εν λόγω ρυθμοί αποτελούν τις προεκβολές των συμμετρικών και αντισυμμετρικών υπερρυθμών του ζεύκτη. Ενα σημείο διαφοροποίησης του διακόπτη που βασίζεται στη διάταξη δύρρυθμης συμβολής (dual-mode interference, DMI)σεσχέσημετουςδιακόπτες MZIκαι SDC,είναιτοζήτηματουσχετικούμεγέθους των απωλειών των δύο ρυθμών/υπερρυθμών. Στην περίπτωση του SDC(ή του MZI) καταλαβαίνουμε εύκολα πως οι απώλειες διάδοσης των δύο υπερρυθμών του(ή των δύο βραχιόνωντου)θαείναιπρακτικάίδιες,αφούτόσοηπόλωσηόσοκαιηεγκάρσιακατανομήτων δύο ρυθμών είναι η ίδια. Αντιθέτως, ο βασικός και ο δεύτερος ρυθμός του DMI-DLSPP κυματοδηγού έχουν αρκετά διαφορετική μορφή[117] και συνεπώς και οι απώλειες τους θα είναι σημαντικά διαφορετικές. Η παρατήρηση αυτή εισάγει έναν παραπάνω βαθμό πολυπλοκότητας στο σχεδιασμό των διακοπτών DMI, που θα σχολιαστεί εκτενώς στην αντίστοιχη παράγραφο. Προϊδεάζοντας μόνο τον αναγνώστη, θα πούμε εδώ πως το ζήτημα αυτό σχετίζεται με τους συνδυαστές/διαχωριστές Υ-μορφής(Y-combiner/splitter) που βρίσκονται στην είσοδο/έξοδο του DMI κυματοδηγού, αντίστοιχα Επιδόσεις: Αποτύπωμα, απώλειες εισαγωγής, λόγος εξάλειψης θυρών, εύρος ζώνης και κατανάλωση ισχύος Η αξιολόγηση της επίδοσης ενός ολοκληρωμένου φωτονικού στοιχείου μεταγωγής μπορεί να γίνει με αναφορά σε διαφορετικά κριτήρια, ανάλογα με το που επικεντρώνεται το ενδιαφέρον μας. Λαμβάνοντας υπόψη τη βασική επιλογή του σχεδιασμού μας, δηλαδή τους θερμο-οπτικά ελεγχόμενους DLSPP κυματοδηγούς, θα απλοποιήσουμε κάπως τα πράγματα εστιάζοντας την προσοχή μας στις ουσιαστικές παραμέτρους του προβλήματος. Αναπόφευκτες σε κάθε πλασμονικό εξάρτημα είναι οι υπολογίσιμες απώλειες εισαγωγής (insertion losses, IL), που οφείλονται στην παρουσία του μετάλλου. Οι απώλειες αυτές είναι το αντίτιμο που καταβάλλεται για την αυξημένη συγκέντρωση του φωτός που προσφέρουν 112

127 4.2. Στοιχειώδεις συμμετρικές 2 2 διακοπτικές διατάξεις όλοι οι πλασμονικοί κυματοδηγοί, και πάντα απαιτείται κάποιος συμβιβασμός ανάμεσα στα δύο. Οι κυματοδηγοί DLSPP, όπως περιγράφηκαν στην Παράγραφο 4.1.1, χαρακτηρίζονται από απώλειες διάδοσης της τάξης του 0.1 db/μm και για τα εξαρτήματα που θα σχεδιάσουμε επιλέχθηκαν οι IL 10 db ως μέγιστες αποδεκτές απώλειες. Η τιμή αυτή επιλέχθηκε με βάση τον παρακάτω συλλογισμό: Καθ ότι μελετάμε αξονικές/διαμήκεις θερμο-οπτικές διατάξεις συμβολής, αναγνωρίζουμε πως, πρώτον, οι IL θα είναι ανάλογες του μήκους του εξαρτήματος και, δεύτερον, το ελάχιστο μήκος θα υπαγορεύεται από τη θερμο-οπτική αποδοτικότητα 4 τωνυλικώνπουχρησιμοποιούμε. Ετσι,γιατιςτυπικέςτιμέςπουεπιλέχθηκαν, προκύπτειπωςαπαιτούνταιεξαρτήματαμικρότερααπό 100μm,εξουκαιητιμή IL 10 db. Το αποτύπωμα(footprint) ενός εξαρτήματος αποτελεί ένδειξη του χώρου που καταλαμβάνεται σε ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα. Στοχεύουμε γενικά σε εξαρτήματα με κατά το δυνατό μικρότερο αποτύπωμα, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται μεγαλύτερη πυκνότητα ολοκλήρωσης σε δεδομένη επιφάνεια. Είναι γνωστό πως οι διατάξεις οδηγούμενου κύματος συνήθως καταλαμβάνουν μέγεθος πολλαπλάσιο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας, αλλά με τους πλασμονικούς κυματοδηγούς που χρησιμοποιούμε είναι δυνατή μία μείωση τάξης μεγέθους σε σχέση με τους συνήθεις διηλεκτρικούς κυματοδηγούς. Το αποτύπωμα των διαμήκων DLSPP εξαρτημάτων που θα μελετήσουμε είναι στενά συνδεδεμένο με την αποδοτικότητα του θερμο-οπτικού φαινομένου και τις μέγιστες απώλειες εισαγωγής, οπότε δεν θα εξεταστεί ξεχωριστά. Σε ένα ελεγχόμενο εξάρτημα δύο θυρών εξόδου και δύο καταστάσεων, η αλληλοπαρεμβολή(crosstalk, XT) ή ο λόγος εξάλειψης(extinction ratio, ER) ορίζεται ως ο λόγος ισχύος ανάμεσα στις δύο θύρες(σε δεδομένη κατάσταση) ή ανάμεσα σε δύο καταστάσεις (σε δεδομένη θύρα). Πάντως, τονίζεται πως τα μεγέθη ER και XT συχνά συγχέονται, και, σε κάποιες περιπτώσεις, εκφυλίζονται στην ίδια σημασία ή επίδοση, όπως είναι και η περίπτωση των διαμήκων εξαρτημάτων που μελετάμε. Στο κεφάλαιο αυτό χρησιμοποιούμε αποκλειστικά την μετρική ER, που την ορίζουμε ως τον λόγο εξάλειψης μεταξύ των θυρών διέλευσης(bar) και σύζευξης(cross), Σχ. 4.6(a), όταν τροφοδοτείται μόνο η θύρα εισόδου(input) και σε δεδομένη θερμοκρασιακή μεταβολή( T) από κάποια ονομαστική θερμοκρασία αναφοράς ER ( T) P Bar P Cross. (4.7) Για το θερμο-οπτικό φαινόμενο έχουμε δεδομένες ακραίες θερμοκρασίες λειτουργίας, δηλαδή T = 0και T max, τιςοποίεςεπιδιώκουμενααντιστοιχίσουμεστιςδύοκαταστάσειςτου διακόπτη: Bar(ER > 0 db) και Cross (ER < 0 db). Ωςσυνολική μετρικήχρησιμοποιούμετονχειρότερο 5 ERμεταξύτωνδύοκαταστάσεων,δηλαδή ER min = min{ ER ( T=0), ER ( T=max) },καιωςτυπικήτιμήζητάμεναυπερβαίνειτα 10 db.τέλος, ορίζουμεπωςστηνπερίπτωσηπουοι ERτωνδύοκαταστάσεωνέχουντοίδιοπρόσημο(σε db),τότε ER min = 0. Το εύρος ζώνης(bandwidth, BW) των διακοπτικών εξαρτημάτων ορίζεται ως το φάσμα των συχνοτήτων, πλησίον της κεντρικής συχνότητας σχεδιασμού(τυπικά λ = 1550 nm), στοοποίοηβασικήμετρική ERείναιμεγαλύτερητηςτυπικήςτιμήςτων 10 dbπουεπιλέχθηκε. Για ικανοποιητική λειτουργία σε συστήματα WDM απαιτείται γενικά ένα εύρος ζώνηςδεκάδωννανομέτρων,γιαπαράδειγμα BW 40 nm. Οπωςκαιμετον ER,αναμένουμε μικρή διαφορά και στα BW των δύο ακραίων θερμοκρασιακών καταστάσεων, αλλά 4 Δηλαδήτονθερμο-οπτικόσυντελεστήκαιτημέγιστηδυνατήμεταβολήθερμοκρασίας, c TO T. 5 Δηλαδήτονμικρότερολόγοεξάλειψης,κατ απόλυτοτιμή,ότανμετράταισε db. 113

128 Κεφάλαιο 4 σε κάθε περίπτωση θα λαμβάνεται ως αναφορά η χειρότερη(μικρότερη) τιμή μεταξύ των δύο. Τέλος, θα σχολιάσουμε την κατανάλωση ισχύος(power consumption) των θερμοοπτικών διακοπτικών στοιχείων που μελετώνται εδώ. Πρόκειται για την ηλεκτρική ισχύ πουδαπανάταικατάμέσοόρογιατηθέρμανσητουδιακόπτηκαιτημεταγωγήτηςκατάστασης του. Εύκολα καταλαβαίνουμε πως η επίδοση στο κριτήριο αυτό εξαρτάται σημαντικά τόσο από τις επιλογές των υλικών που χρησιμοποιούμε, όσο και από τον ήλεκτρο-θερμικό σχεδιασμό του εξαρτήματος. Από την άλλη, τονίζουμε πως ο σχεδιασμός από την πλευρά της οπτικής κυματοδήγησης, που μας απασχολεί σε τηλεπικοινωνιακό επίπεδο, άπτεται ελάχιστα ή καθόλου των προηγούμενων ζητημάτων. Για το λόγο αυτό δεν εμβαθύνουμε ιδιαίτερα στο συγκεκριμένο ζήτημα, παρά αρκούμαστε στο να υιοθετούμε συγκεκριμένες πρακτικές για τις«ελεύθερες» παραμέτρους της διάταξης. Με αναφορά στο Παράρτημα Βʹ, αναγνωρίζουμε πως οι εγκάρσιες διαστάσεις τόσο της διηλεκτρικής ράβδωσης όσο και του μεταλλικού φιλμ έχουν γενικά μικρή επίδραση στην κατανάλωση ηλεκτρικής ισχύος που, για δεδομένη θερμοκρασιακή μεταβολή και μήκος εξαρτήματος, εξαρτάται κυρίως από την θερμική αγωγιμότητα της διηλεκτρικής ράβδωσης. Τέλος, σημειώνουμε πως, σύμφωνα με την Εξ.(4.1), μικρή εγκάρσια διατομή του μεταλλικού φιλμ οδηγεί σε αύξηση της θερμοκρασιακής μεταβολής για το ίδιο ρεύμα θέρμανσης, που μπορεί να ξεπεράσει το μέγιστο επιτρεπτόόριο T max οδηγώνταςσεμόνιμηβλάβητουκυματοδηγού. 4.3 Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε τους 2 2 θερμο-οπτικούς διακόπτες MZI, βασισμένους σε συμμετρικούς και σε ασύμμετρους βραχίονες, που απεικονίζονται στα Σχ. 4.6(b) και (c), αντίστοιχα. Σημαντικό κομμάτι των διακοπτών αυτών είναι οι ζεύκτες διαίρεσης ισχύος (3 db couplers) που βρίσκονται στην είσοδο και έξοδο του εξαρτήματος, και θα αποτελέσουν το αρχικό αντικείμενο σχεδιασμού, με χρήση της τρισδιάστατης FE-BPM. Στη συνέχεια, οι διακοπτικές διατάξεις θα αναλυθούν με χρήση των αναλυτικών σχέσεων που προκύπτουν από τη μελέτη ιδιορρυθμών, ώστε να προταθούν απλοί κανόνες σχεδίασης. Τέλος, οι ολοκληρωμένοι διακόπτες θα μοντελοποιηθούν συνολικά με την FE-BPM για την εκτίμηση της πραγματικής επίδοσης τους(λόγος εξάλειψης μεταξύ θυρών ER, απώλειες εισαγωγής ILκαιεύροςζώνης BW) Σχεδίαση ζευκτών διαίρεσης ισχύος σε κυματοδηγούς DLSPP Ξεκινώντας από τη σχεδίαση των κατευθυντικών ζευκτών διαίρεση ισχύος, ορίζουμε αρχικά τις παραμέτρους της διατομής του DLSPP κυματοδηγού που θα χρησιμοποιήσουμε, όπωςστοσχ.4.7(a). Τουλικότηςράβδωσηςέχειδείκτηδιάθλασηςίσομε n p = 1.5, που βρίσκεται πολύ κοντά στον δείκτη του υλικού PMMA και του υλικού Cyclomer[199]. Το περίβλημα είναι αέρας και ο δείκτης διάθλασης του διοξειδίου του πυριτίου είναι ίσος με n ox = 1.45.Οιτιμέςτωνγεωμετρικώνπαραμέτρωντηςδιατομήςσχετίζονταιμεταζητήματα που σχολιάστηκαν σε προηγούμενες παραγράφους, όπως για παράδειγμα η μονόρρυθμη λειτουργία στην ΤΜ πόλωση, η ελαχιστοποίηση της εγκάρσιας έκτασης του βασικού ρυθμού, η διατήρηση των απωλειών διάδοσης σε λογικά επίπεδα κλπ. Οι τιμές των γεωμετρικών 114

129 4.3. Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder (a) 0.1μm 0.5μm n= μm y x (b) D SB x z D gap Oxide (SiO ) 2 Silicon 3μm 1μm Inf. L SB L P L SB Σχήμα 4.7: (a) Διατομή του ονομαστικού DLSPP κυματοδηγού με επισήμανση των τιμών των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτήν την παράγραφο. (b) Κάτοψη του κατευθυντικού ζεύκτη διαίρεσης ισχύος(3 db coupler), με επισήμανση των σχεδιαστικών του παραμέτρων. Για τη διαμήκη και εγκάρσια έκτασητωνκαμπών S-σχήματος(S-bends)επιλέχθηκαν L SB = 10μmκαι D SB = 6μm,αντίστοιχα. παραμέτρων της διατομής διατηρούνται αμετάβλητες στο σύνολο σχεδόν του τρέχοντος κεφαλαίου. Τέλος, τονίζουμε πως η σχεδίαση των διαιρετών ισχύος θα γίνει στο κεντρικό μήκος κύματος λειτουργίας, 1550 nm, ενώ η διασπορά των υλικών που χρησιμοποιούνται διαπιστώθηκε πως έχει αμελητέα επίδραση στο σχεδιασμό που επιχειρείται, και γι αυτό δεν σχολιάζεται περαιτέρω. Στο Σχ. 4.7(b), παρουσιάζεται η κάτοψη του διαιρέτη ισχύος DLSPP κυματοδηγών που θα μελετηθεί. Πρόκειται για έναν κατευθυντικό ζεύκτη παράλληλων κυματοδηγών μήκους L P,μεέναδιάκενοδιάστασης D gap ανάμεσατους.οιείσοδοι/έξοδοιτουσυνολικού εξαρτήματος προσάγονται στις αντίστοιχες του ζεύκτη με καμπές S-σχήματος(S-bends) και ημιτονοειδούς μορφής. Η χρήση των τελευταίων είναι απαραίτητη για την αποσύζευξη των βραχιόνων του MZI και η γεωμετρική περιγραφή των καμπύλων τους(στο zx-επίπεδο) δίνεται στο Παράρτημα Γʹ. Πρέπει να σημειωθεί ότι τα κέντρα των στρωμάτων του πολυμερούς(ράβδωση DLSPP) και του μετάλλου(αγώγιμο φιλμ) ακολουθούν την ίδια τροχιά κατά την κάμψη, αλλά έχουν διαφορετικό εύρος. Ετσι, σε κάθε σημείο της καμπής, και εγκάρσια στην εκάστοτε διεύθυνση διάδοσης, ο κυματοδηγός παρουσιάζει τη διατομή του Σχ.4.7(a). Γιατηδιαμήκηκαιεγκάρσιαέκτασητων S-bendsεπιλέχθηκαν L SB = 10μm και D SB = 6μm,αντίστοιχα.Οιεπιλογέςαυτέςσχετίζονταιτόσομετιςαπώλειεςκάμψης των DLSPP κυματοδηγών[106], και εμπίπτουν πλήρως στις δυνατότητες μοντελοποίησης με την FE-BPM. Εχοντας επιλέξει ορισμένες από τις παραμέτρους του εξαρτήματος, και προκειμένου να υπολογιστούν αυτές που απομένουν, προχωράμε στην παραμετρική μελέτη και σχεδίαση με την FE-BPM. Η χρήση της τελευταίας είναι επιβεβλημένη προκειμένου να ληφθεί ορθά υπόψη η σύζευξη στα σημεία που οι δύο κυματοδηγοί υπό-κάμψη προσεγγίζουν ο ένας τον άλλο. Η διαδικασία έχει ως εξής: εισάγουμε τον βασικό ΤΜ ρυθμό του DLSPP κυματοδηγού(σχ. 4.2) στη μία είσοδο του εξαρτήματος και εκτελούμε τον αλγόριθμο διάδοσης μέχρι την έξοδο, υπολογίζουμε τον λόγο της ισχύος μεταξύ των δύο θυρών του εξαρτήματοςκαιαπαιτούμεένανλόγοδιαίρεσης(split ratio, SR)ίσομετημονάδα(ή 0 db).η ισχύς σε κάθε θύρα υπολογίζεται ως το ολοκλήρωμα της οδηγούμενης κατά-z πυκνότητας ισχύοςστονεγκάρσιοημιχώρο x 0,όπου x = 0είναιτομέσοτηςαπόστασηςμεταξύ των δύο κυματοδηγών. Η παραπάνω διαδικασία εκτελείται κατ επανάληψη, ώστε τελικά γιακάθετιμήδιακένου D gap ναυπολογίζεταιτοαντίστοιχομήκοςζεύκτη L P πουδίνει SR = 1. Τα αποτελέσματα της σχεδίασης παρουσιάζονται στο Σχ. 4.8, όπου παρατηρούμε 115

130 Κεφάλαιο st order nd 2 order L P (μm) 12 8 E y 4 0 E y ( nm) Σχήμα 4.8: Σχεδίαση κατευθυντικών ζευκτών διαίρεσης ισχύος σε DLSPP κυματοδηγούς με χρήση της FE-BPM.Παρουσιάζονταιοικαμπύλεςτωνζευγώνπαραμέτρων L P και D gap πουδίνουνλόγο-διαίρεσης SR = 1 μεταξύ των θυρών εξόδου, για τις παραμέτρους του Σχ Στα ένθετα σχήματα παρουσιάζεται μίαενδεικτικήκάτοψητηςέντασηςτηςκυρίαρχηςσυνιστώσαςτουηλεκτρικούπεδίου, E y (x,z),στο y- επίπεδο της διεπιφάνειας μετάλλου/ράβδωσης τα ένθετα κάτω δεξιά και επάνω αριστερά αντιστοιχούν σε διαίρεση πρώτης και δεύτερης τάξης, αντίστοιχα. πωςμικράδιάκεναδίνουνπρόσβασημόνοσεδεύτερηςτάξηςδιαίρεση 6,λόγωτηςισχυρής σύζευξηςμεταξύτωνκυματοδηγών. Απότηνπληθώραεπιλογώνγιατα D gap και L P που παρουσιάζονται, καλούμαστε να επιλέξουμε το βέλτιστο ζεύγος, τονίζοντας τα παρακάτω σημεία: αφενόςπροτιμώνταιδιάκενα D gap > 200 nmκαθώςείναιπιοεύκολαστηνκατασκευή,αφετέρουείναιεπιθυμητόέναμικρόμήκος L P γιαελαχιστοποίησητωναπωλειών εισαγωγής. Γιατουςλόγουςαυτούς,επιλέχθηκετοονομαστικόδιάκενο D gap = 400 nm καιτοαντίστοιχο L P = 0.9μm,οδηγώνταςσεπρώτηςτάξηςδιαίρεσησύμφωναμετην ένθετη κάτω δεξιά εικόνα στο Σχ Οι παράμετροι της BPM που χρησιμοποιήθηκαν για τις προσομοιώσεις του Σχ. 4.8 είναιοιπαρακάτω[103]: παράμετροςευστάθειας Crank-Nicolson α CN = 0.6,βήμαδιάδοσης z = 125 nm, σχήμα διάδοσης ευρείας γωνίας(wide-angle) με προσέγγιση Padé τάξης (4, 4) και δείκτη διάθλασης αναφοράς ίσο με το πραγματικό μέρος του ενεργού δείκτη διάθλασης του βασικού ΤΜ ρυθμού του DLSPP κυματοδηγού, Σχ Τέλος, η κάθε εγκάρσια διατομή διακριτοποιείται με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία πρώτης τάξης (CT/LN-edge, linear-nodal) που αντιστοιχούσαν σε περίπου 50, 000 βαθμούς ελευθερίας (degrees of freedom, DoF) για το συγκεκριμένο πλέγμα διακριτοποίησης. Θα ολοκληρώσουμε τη σχεδίαση των ζευκτών διαίρεσης ισχύος για τους MZI διακόπτες σχολιάζοντας τις απώλειες εισαγωγής και το εύρος ζώνης τους. Για τις παραμέτρους που επιλέχθηκαν παραπάνω, οι συνολικές απώλειες εισαγωγής υπολογίστηκαν με την BPM στην περιοχή των IL 3 db, που συμπεριλαμβάνουν απώλειες διάδοσης και κάμψης των κυματοδηγών. Οσον αφορά στο εύρος ζώνης, διαπιστώθηκε πως η διακύμανση του λόγουδιαίρεσης(sr) και της διαφοράς φάσης( Φ) μεταξύ των θυρών εξόδου του διαιρέτη έ- χει αμελητέα επίδραση στην επίδοση του εξαρτήματος εντός της περιοχής μηκών-κύματος nm. Πιο συγκεκριμένα, υιοθετώντας ένα μοντέλο πινάκων-μεταφοράς[77] για 6 Στηνπερίπτωσηαυτή,τοφωςσυζευγνύεταιαρχικάεξολοκλήρουστοναντίπερακυματοδηγόπριν διαχωριστεί εξίσου μεταξύ των δύο. Ποιοτικά, η τάξη διαίρεσης δίνεται από τον ακέραιο m στη σχέση L P = ml c 0.5L c,όπου L c είναιτομήκοςσύζευξηςτουζεύκτη,εξ.(4.4). 116

131 4.3. Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder ολόκληρο το εξάρτημα του MZI διακόπτη, εκτιμούμε πως για να επιτευχθεί συνολικός ER > 10 dbαπαιτείταιγιατουςδύοόμοιουςδιαιρέτεςμίααπόκλισητου SR(ήτης Φ) μικρότερηαπό 0.7 db(ή 18 ),απότηνιδανική/ονοματικήτιμήτων 0 db(ή 90 ).Μεχρήση της BPM επιβεβαιώσαμε πως οι παραπάνω ζεύκτες ικανοποιούν αυτές τις προδιαγραφές σε ένα εύρος ζώνης μεγαλύτερο από 100 nm γύρω από το κεντρικό μήκος κύματος σχεδιασμού των 1550 nm Σχεδίαση ζευκτών διαίρεσης ισχύος σε κυματοδηγούς πυριτίου Οι πλασμονικοί κυματοδηγοί DLSPP μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως τμήμα ενός υβριδικού φωτονικού κυκλώματος, σε συνύπαρξη με κυματοδηγούς ράβδωσης/ταινίας πυριτίου (silicon rib/wire). Το κύκλωμα αυτό θα είναι ολοκληρωμένο στην τεχνολογικά ώριμη πλατφόρμα πυριτίου-σε-μονωτή(silicon-on-insulator, SOI). Ωστόσο, η συνύπαρξη διαφορετικών κυματοδηγών προαπαιτεί την αποτελεσματική διασύνδεση μεταξύ τους, έτσι ώστε να εξασφαλίζονται κατά το δυνατό ελάχιστες απώλειες εισαγωγής και/ή ανακλάσεις. Ενας απλούστατος και αποτελεσματικός τρόπος διασύνδεσης είναι η απευθείας σύζευξη(direct coupling), όπου οι δύο κυματοδηγοί προσάγονται μετωπικά ο ένας με τον άλλον, όπως στο Σχ. 4.9(a). Εχει επιβεβαιωθεί[128, 136] πως με κατάλληλη επιλογή των παραμέτρων των κυματοδηγών στις δύο πλευρές αυτής της διεπιφάνειας μετάβασης, μπορούν να επιτευχθούν απώλειες εισαγωγής μικρότερες του 1 db(85%), και ιδιαίτερα μικρές ανακλάσεις. Για τον ονομαστικό DLSPP κυματοδηγό που χρησιμοποιούμε, υπολογίστηκε πως το βέλτιστο εγκάρσιοπλάτοςτουκυματοδηγούπυριτίου(τυποποιημένουπάχους 340 nm)είναι W Si = 170 ή 180 nmγιατουςτύπους 7 Si-wireήSi-rib,αντίστοιχα.Σχολιάζονταςταβέλτισταεγκάρσιαπλάτη(W Si )πουυπολογίστηκανπροηγουμένως,διαπιστώνουμεπωςείναιαρκετάμικρά για χρήση σε κυματοδηγούς πυριτίου χαμηλών απωλειών. Συνεπώς, κρίνεται σκόπιμο να γίνεται στένωση(tapering) τους μόνο πριν στην διεπιφάνεια σύζευξης με τον DLSPP κυματοδηγό,ενώστουπόλοιποφωτονικόκύκλωμαλαμβάνουνμίατυπικήτιμή, W Si = 400 nm. Τέλος, σημειώστε πως απαιτείται επίσης μία κατακόρυφη μετατόπιση(vertical offset, κατά τον y-άξονα, Σχ. 4.9) του επιπέδου του υποστρώματος οξειδίου προκειμένου να βελτιστοποιηθείησύζευξητωνκυματοδηγών ηαντίστοιχητιμήείναι H off = 250 nm,σχεδόνκοινή για τους Si-wire/rib τύπους. Αξιοποιώντας αυτή τη συμβατότητα ανάμεσα στους κυματοδηγούς DLSPP και SOI, είναι δυνατό να ελαττώσουμε τις απώλειες εισαγωγής στους θερμο-οπτικούς διακόπτες MZI αυτής της παραγράφου χρησιμοποιώντας ζεύκτες διαίρεσης ισχύος κατασκευασμένους από κυματοδηγούς πυριτίου. Ο αντίστοιχος υβριδικός θερμο-οπτικός 2 2 διακόπτης MZI(με συμμετρικούς βραχίονες) απεικονίζεται σχηματικά στο Σχ. 4.10(a), ενώ στο(b) φαίνεται η κάτοψη του ζεύκτη διαίρεσης ισχύος κυματοδηγών Si-wire. Με την αρχιτεκτονική αυτή, οι θερμο-οπτικά ελεγχόμενοι βραχίονες αποτελούνται από DLSPP κυματοδηγούς, αλλά αποφεύγονται οι ωμικές απώλειες διάδοσης που θα εισήγαγαν οι πλασμονικοί ζεύκτες διαίρεσης (0.1 db/μm). Επισημαίνεται ότι οι απώλειες σε κυματοδηγούς πυριτίου είναι πρακτικά α- μελητέες για μήκη μικρότερα του 1 mm. Τελικά, η συνολική βελτίωση(ελάττωση) των 7 Ηδιαφοράμεταξύτων Si-wire/ribείναιηαπουσία/ύπαρξη,αντίστοιχα,μίαςπλάκαςπυριτίουπάχους 50 nm πάνω από το υπόστρωμα οξειδίου, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.9(b). Οσο το πάχος της πλάκας πυριτίου είναι μικρό, οι δύο αυτοί τύποι κυματοδηγών παρουσιάζουν παραπλήσια χαρακτηριστικά οπτικής κυματοδήγησης, αλλά προτιμώνται ή αποφεύγονται για διάφορους κατασκευαστικούς λόγους. 117

132 ` Κεφάλαιο 4 (a) 3μm 500nm W Si x y z Polymer Metal Oxide Silicon (b) 600 `nm 10`0 nm 1`μm 340nm H off y z 5`0nm Σχήμα 4.9: (a) Τρισδιάστατη απεικόνιση της απευθείας σύζευξης ενός κυματοδηγού DLSPP με έναν κυματοδηγό ράβδωσης πυριτίου(si-rib), όπου σημειώνονται τα πλάτη των στρωμάτων. (b) Πλάγια όψη της διεπιφάνειας των δύο κυματοδηγών, όπου σημειώνονται τα πάχη των στρωμάτων. Το πάχος της ράβδωσης πυριτίου επιλέγεται στην τυποποιημένη τιμή των 340 nm και προβλέπεται η εισαγωγή μίας πλάκας πυριτίου (Si-slab) πάχους 50 nm που μετατρέπει τον κυματοδηγό από Si-wire σε Si-rib. Η βέλτιστη τιμής της κατακόρυφηςμετατόπισηςείναι H off = 250 nm,σχεδόνκοινήγιατους Si-wire/ribτύπους. (a) L MZI Output Coupler Polymer (unheated) Polymer (heated) (b) x z D gap Input Coupler x y z Metal (unheated) Metal (heated) Oxide Silicon D SB L SB L P L SB Σχήμα 4.10: (a) Σχηματική άποψη ενός υβριδικού θερμο-οπτικού 2 2 διακόπτη αρχιτεκτονικής MZI με συμμετρικούς βραχίονες. (b) Κάτοψη του κατευθυντικού ζεύκτη διαίρεσης ισχύος κυματοδηγών πυριτίου, με επισήμανση των σχεδιαστικών του παραμέτρων. Για τη διαμήκη και εγκάρσια έκταση των καμπών S-σχήματος(S-bends)επιλέχθηκε L SB = 10μmκαι D SB = 6μm,αντίστοιχα. απωλειών εισαγωγής του υβριδικού εξαρτήματος σε σχέση με το βασισμένο αμιγώς σε DL- SPP, εκτιμάται στα 4 db: οι διαιρέτες DLSPP της προηγούμενης παραγράφου εισάγουν περίπου 3 dbέκαστος,ενώπρέπεινααφαιρεθούνκαιοιαπώλειεςεισαγωγής 1 dbανά διεπιφάνεια, για την απευθείας σύζευξης στους DLSPP κυματοδηγούς των βραχιόνων του MZI. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διάδοσης δέσμης(bpm) μοντελοποιούμε τον ζεύκτη διαίρεσης ισχύος με τις S-σχήματος καμπές ημιτονοειδούς σχήματος, όπως α- κριβώς και στην προηγούμενη παράγραφο. Εισάγουμε, δηλαδή, τον βασικό ΤΜ ρυθμό του κυματοδηγού πυριτίου στη μία θύρα εισόδου και προχωράμε τον αλγόριθμο διάδοσης μέχρι την έξοδο του κυματοδηγού, όπου απαιτείται ένας λόγος διαίρεσης(sr) ίσος με τη μονάδα (ή 0 db) ανάμεσα στις θύρες εξόδου, για τους ζεύκτες διαίρεσης 50/50. Ορίζοντας για τις S-bendsτιςεγκάρσιεςκαιδιαμήκειςεκτάσεις L SB = 10μmκαι D SB = 6μm,αντίστοιχα, υπολογίζουμεταζεύγη D gap και L P πουικανοποιούντησυνθήκηδιαίρεσης. Τασχετικά αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχ. 4.11[128], όπου οι συνεχείς και οι διακεκομμένες καμπύλες αντιστοιχούν στους κυματοδηγούς Si-wire και Si-rib, αντίστοιχα. Επίσης, σε κάθε καμπύλη σημειώνεται και η αντίστοιχη τάξη διαίρεσης, που δίνεται ποιοτικά από τον ακέραιο mτηςσχέσης L P = ml c 0.5L c,όπου L c είναιτομήκοςσύζευξηςτουζεύκτη παράλληλων κυματοδηγών, Εξ.(4.4). Το Σχ. 4.11(a) αναφέρεται στη σχεδίαση όπου οι κυματοδηγοίπυριτίουέχουντοβέλτιστοεύρος,δηλαδή W Si = 170ή180 nmγιατους Si- 118

133 4.3. Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder L P (μm) Coupler Length 8 7 6` 5 4` 3` 2` 1` (a) 1` 2` 3` 1` 2` 01` Si-wire Si-Rib 01` L P (μm) Coupler Length 16` 14` 12` 10` 8` 6` 4 2 (b) Si-wire Si-Rib 1` 0` 1` 1` 2 12` 0 100` 200` 300` 400` 500` 600` 0` 50` 75` 100` 125` 150` 175` 200` Waveguide Distance D gap (nm) Waveguide Distance Dgap (nm) Σχήμα 4.11: Σχεδίαση ζευκτών διαίρεσης ισχύος(3 db couplers) σε κυματοδηγούς πυριτίου ΤΜ πόλωσης με χρήση της BPM. Οι παράμετροι των κυματοδηγών δίδονται στα Σχ. 4.9 και Σχεδίαση για κυματοδηγούς Si-wire/rib με εύρος (a) 170/180 nm, αντίστοιχα, που αποτελεί βέλτιστη επιλογή για απευθείας σύζευξη με κυματοδηγούς DLSPP, και (b) 400 nm, ονομαστική τιμή για ολοκληρωμένους φωτονικούς κυματοδηγούς. wire ή Si-rib, αντίστοιχα. Το Σχ. 4.11(b) αναφέρεται στη σχεδίαση όπου οι κυματοδηγοί πυριτίουέχουντοονομαστικόεύροςτων W Si = 400 nm. ΣτοΣχ.4.11,παρατηρούμεπωςμικράδιάκενα(D gap )επιτρέπουνμόνοανώτερηςτάξηςδιαίρεσηπουείναιγενικάκαλόνααποφεύγεταικαθώςοδηγείσεμεγάλαμήκη L P, αυξημένη ευαισθησία σε κατασκευαστικές ατέλειες και μικρότερο εύρος ζώνης. Συγκρίνοντας τα διαγράμματα (a) και (b), παρατηρούμε πως στην περίπτωση των κυματοδηγών με W Si = 400 nm,όπουοτμρυθμόςείναικαλάσυγκεντρωμένοςστονπυρήναπυριτίου,απαιτούνταιγενικάμικράδιάκενα(d gap < 200 nm)καιμεγάλαμήκη L P.Αντιθέτως,οιστενοί κυματοδηγοί δεν μπορούν να συγκεντρώσουν ικανοποιητικά το φως στον πυρήνα πυριτίου και αυτό οδηγεί σε ισχυρότερη σύζευξη. Τέλος, σημειώνουμε τη μεγαλύτερη ομοιότητα των Si-wireκαι Si-ribστοδιάγραμμα (b),σεσχέσημετοδιάγραμμα (a). Θα πρέπει να επισημάνουμε πως ο κυματοδηγός πυριτίου μπορεί να υποστηρίζει και ρυθμό ΤΕ πόλωσης(x-άξονα), εκτός από τον ρυθμό ΤΜ πόλωσης(y-άξονα) που χρειαζόμαστε για τη σύζευξη με τον πλασμονικό κυματοδηγό. Σε κάθε περίπτωση, διαπιστώθηκε πως η αλληλοπαρεμβολή πόλωσης(polarization crosstalk), δηλαδή η ύπαρξη ΤΕ ρυθμού στην έξοδο όταν εισάγουμε μόνο ΤΜ στην είσοδο, ήταν αμελητέα για τους ζεύκτες που σχεδιάζουμε. Οι υπολογισμοί αυτοί έγιναν με χρήση ολοκληρωμάτων επικάλυψης/προβολής στις δύοθύρεςεξόδου,επίτωνβασικώντεκαιτμρυθμώντουκυματοδηγού,σύμφωναμετη σχέση c OI,Tx = [E out H Tx ] ẑdxdy [E (4.8) Tx H Tx ] ẑdxdy, όπου E out είναιτοδιανυσματικόηλεκτρικόπεδίοστηνέξοδοτηςδιάταξηςκαι E Tx είναιτο προφίλτουβασικού Tx = {TE 00,TM 00 }ρυθμούτουμεμονωμένουκυματοδηγούπυριτίου, εστιασμένου σε μία θύρα εξόδου του κυματοδηγού. Η αλληλοπαρεμβολή πόλωσης στη συγκεκριμένηθύραεξόδουορίζεταιστηνπερίπτωσηαυτήως XT pol = c OI,TE 2 / c OI,TM 2, και είναι επιθυμητό να λαμβάνει γενικά μικρές τιμές, όταν η διάταξη είναι σχεδιασμένη για ΤΜ λειτουργία. 119

134 Κεφάλαιο Σχεδίαση με συμμετρικούς ΜΖΙ βραχίονες Η βασική παράμετρος ενός διακοπτικού στοιχείου MZI με συμμετρικούς βραχίονες, είναι ησχετικήδιαφοράφάσηςμεταξύτωνβραχιόνωντου( Φ MZI ). Οιδύοκαταστάσειςτου διακόπτηαντιστοιχούνστιςπεριπτώσειςόπου Φ MZI = 0ήπ,δηλαδήότανοιβραχίονες βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία ή ασυμφωνία φάσης, αντίστοιχα. Η παραπάνω διαφορά φάσης προκύπτει από τη διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ των βραχιόνων ή, ισοδύναμα, από τη θέρμανση ενός από τους δύο, ενώ ο άλλος παραμένει σε σταθερή θερμοκρασία[103, 117]. Στον σχεδιασμό αυτής της παραγράφου θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το απαιτούμενομήκοςβραχιόνωντουσυμβολομέτρου, L MZI,καθώςησυνολικήδιαφοράφάσης είναιευθέωςανάλογηαυτού, Φ MZI = β L MZI. Καταλαβαίνεικανείςπωςγιανα επιτευχθείηδιαφοράφάσης π,μπορείναγίνειέναςσυμβιβασμόςανάμεσαστομήκος L MZI και στην μεταβολή θερμοκρασίας T που οδηγεί στη μεταβολή β λόγω του θερμο-οπτικού φαινομένου. Παρ όλα αυτά, καθώς οι πλασμονικοί κυματοδηγοί εμφανίζουν σημαντικές απώλειες διάδοσης, μικρά μήκη βραχιόνων είναι γενικά επιθυμητά ώστε να περιορίζονται οι απώλειες εισαγωγής του εξαρτήματος. Το κόστος είναι η σχετική αύξηση της θερμοκρασίας θέρμανσης και, πιθανώς, και της κατανάλωσης ισχύος του διακόπτη. Σύμφωνα με τις παραδοχές της Παραγράφου 4.1.2, θέρμανση ενός DLSPP κυματοδηγού επιφέρειμίαμεταβολή n = c TO Tστονδείκτηδιάθλασηςτουθερμο-οπτικούυλικού τηςράβδωσης,όπου T και c TO είναιημεταβολήτηςθερμοκρασίαςτουυλικούκαιο θερμο-οπτικός συντελεστής του, αντίστοιχα. Οπως συζητήθηκε, η μεταβολή n προκαλεί μία αντίστοιχη μεταβολή του ενεργού δείκτη διάθλασης του οδηγούμενου βασικού ΤΜ ρυθμούτου DLSPP, n eff. Ητελευταίαεξαρτάταιαπότηδιαφοράθερμοκρασίαςστους δύοβραχίονεςκαιεκφράζεταιαπότησχέση n eff = Re{n eff,(u) n eff,(h) },όπουοιδείκτες u και h αντιστοιχούν στον ψυχρό(unheated) και στον θερμό(heated) βραχίονα του MZI, αντίστοιχα.είναιγενικάδυνατόναεκφραστείηθερμικάπροκαλούμενημεταβολή n eff ως συνάρτηση της μεταβολής του δείκτη του υλικού της ράβδωσης n. Προς το σκοπό αυτό, επιλέγουμεγιατησυνέχειααυτήςτηςενότηταςυλικόράβδωσηςμε c TO = /Κ (Cyclomer)καιμέγιστημεταβολή T max = 100Κ.Συνεπώς,γιατον DLSPPκυματοδηγό τουσχ.4.7(a)και n = c TO T max = 0.03,υπολογίστηκε[117]ολόγος f n eff / nκαιβρέθηκείσοςμε 0.837±0.02γιαμήκηκύματος nm.οπαραπάνω υπολογισμός έγινε με χρήση του εργαλείου εύρεσης ιδιορρυθμών βασισμένο στη μέθοδο τωνπεπερασμένωνστοιχείωνκαιφανερώνειπωςολόγος f είναιπλησίοντηςμονάδοςκαι δεν εμφανίζει αξιόλογη διασπορά. Υιοθετώντας ένα απλό μοντέλο πινάκων-μεταφοράς, υποθέτοντας ιδανικούς ζεύκτες διαίρεσηςεισόδου/εξόδουτουεξαρτήματοςκαιβραχίονεςμήκους L MZI,τότεταπλάτητου πεδίου στις θύρες εξόδου του εξαρτήματος, Σχ. 4.6, δίνονται από τη σχέση { } EBar = E Cross [ ][ a ja 1 0 ja a 0 e j Φ MZI ][ a ja ja a ]{ EInput 0 }, (4.9) όπου a = 1/ 2και Φ MZI = k 0 n eff L MZI.Οιτρειςπίνακεςμεταφοράςπουεμφανίζονται στην Εξ.(4.9) αντιστοιχούν, από δεξιά προς τα αριστερά, στον ζεύκτη εισόδου, στους MZI βραχίονες ιδίου μήκους και στον ζεύκτη εξόδου, αντίστοιχα. Επίσης, έχει υποτεθεί ότι διεγείρουμε μόνο τη θύρα εισόδου που σημειώνεται ως Input στο Σχ. 4.6(a) και θεωρούμε σύμβασηφάσηςe jβz γιαδιάδοσηπροςταθετικάz.τέλος,ταπλάτηeαντιστοιχούνστους φακέλουςτουπεδίουπουκινούνταιστηφάσηαναφοράς exp{ jk 0 n eff,(u) z},όπου n eff,(u) 120

135 4.3. Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder είναι ο ενεργός δείκτης διάθλασης του βασικού ΤΜ ρυθμού του DLSPP κυματοδηγού στην ψυχρή(unheated,«u») κατάσταση, δηλαδή στη θερμοκρασία αναφοράς. Σχηματίζοντας τον λόγο εξάλειψης της Εξ.(4.7) και αντικαθιστώντας την Εξ.(4.9), προκύπτει η σχέση ER E Bar 2 E Cross 2 = tan2 { ΦMZI 2 }. (4.10) Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται πως όταν οι δύο βραχίονες βρίσκονται σε πλήρη συμφωνίαήασυμφωνίαφάσης,τότε ER = 0ήER =,κάτιπουσημαίνειπωςτοσήμαεισόδου θα εξέρχεται από τη θύρα σύζευξης(cross) ή διέλευσης(bar), αντίστοιχα. Από την Εξ.(4.10), παρατηρούμε πως η κατάσταση Cross του διακόπτη είναι πολύ εύκολο να επιτευχθεί, καθώς αρκεί οι δύο βραχίονες να έχουν το ίδιο μήκος. Αντιθέτως, γιατηνκατάσταση Barαπαιτείται Φ MZI = π,κάτιπουοδηγείτελικάστησχέση L MZI T = λ/2 f c TO. (4.11) Η Εξ.(4.11) ποσοτικοποιεί τον συμβιβασμό που πρέπει να γίνει ανάμεσα στο μήκος των βραχιόνων και στη μέγιστη θερμοκρασιακή μεταβολή στο υλικό της ράβδωσης, προκειμένου να επιτευχθεί η μεταγωγή του διακόπτη στην κατάσταση Bar. Για τις ονομαστικές τιμές τωνπαραμέτρωνπουυιοθετήσαμε,προκύπτει L MZI 30.9μm,μήκοςπουαντιστοιχείσε απώλειες διάδοσης περίπου 3 db κατά μήκος των βραχιόνων των DLSPP κυματοδηγών Μοντελοποίηση με τη μέθοδο διάδοσης δέσμης Στην παράγραφο αυτή θα μοντελοποιήσουμε ολόκληρο το εξάρτημα του θερμο-οπτικού 2 2 διακόπτη με χρήση της τρισδιάστατης μεθόδου διάδοσης δέσμης πεπερασμένων στοιχείων (FE-BPM) που περιγράφηκε στην Ενότητα 3.3. Θα εστιάσουμε στο εξάρτημα που συντίθεταιαποκλειστικάαπό DLSPPκυματοδηγούς 8 καιθαχρησιμοποιήσουμετουςζεύκτες διαίρεσης ισχύος που σχεδιάστηκαν στην Παράγραφο Μια ισομετρική απεικόνιση του εξαρτήματος παρουσιάζεται στο Σχ. 4.12, όπου αναγράφονται οι βασικές δομικές παράμετροι του εξαρτήματος και οι τιμές τους δίνονται στο υπόμνημα. Οσον αφορά στις παραμέτρους του DLSPP κυματοδηγού, αυτές αναγράφονται στο Σχ. 4.7(a). Υπενθυμίζουμε πωςτοπολυμερέςέχειδείκτη n = 1.5καιθερμο-οπτικόσυντελεστή c TO = /Κ (Cyclomer),τομέταλλοείναιχρυσόςμεδείκτη n = 0.55 j11.5,τοοξείδιο n = 1.45 ενώ το υπόστρωμα πυριτίου n = Το τελευταίο έχει αμελητέα επίδραση στην οπτική κυματοδήγηση. Τέλος, σημειώνουμε πως στις προσομοιώσεις που έγιναν, η θέρμανση αντιστοιχεί σε xyz-ομοιόμορφη μεταβολή του δείκτη του πολυμερούς και μόνο, δηλαδή δεν λαμβάνονται υπόψη μεταβολές στους δείκτες του μετάλλου, του οξειδίου ή του πυριτίου. Σε πραγματική υλοποίηση, ανάλογα με την τοποθέτηση των ηλεκτροδίων παροχέτευσης ρεύματος θέρμανσης, όπως για παράδειγμα στο Σχ. 4.5, αναμένεται επίσης κάποια χωρική κατανομή στη μεταβολή του δείκτη του πολυμερούς. Πάντως, σε κάθε περίπτωση οι συγκεκριμένες αποκλίσεις μπορούν να αντισταθμιστούν από μία μικρή αύξηση του μήκους των βραχιόνων ή της θερμοκρασίας θέρμανσης, σύμφωνα με την Εξ.(4.11). 8 Η BPMδενμπορείγενικάναπροσομοιώσειδιατάξειςμεέντονεςασυνέχειεςκατάμήκοςτουάξονα διάδοσης. Για το λόγο αυτό, οι υβριδικές διατάξεις όπως του Σχ. 4.10(a) δεν μπορούν προσομοιωθούν ολόκληρες, αλλά σε τμήματα. 121

136 Κεφάλαιο 4 x y Input 3dB-coupler z Thermo-Optic Addressing Output 3dB-coupler D gap L P Polymer (unheated) Polymer (heated) Metal (unheated) Metal (heated) Oxide Silicon L SB D SB L MZI Input Thermo-Optic Control Cross Bar Σχήμα 4.12: Σχηματική απεικόνιση του θερμο-οπτικού 2 2 διακόπτη DLSPP κυματοδηγών, βασισμένου στην αρχιτεκτονική MZI με συμμετρικούς βραχίονες. Οι παράμετροι των όμοιων ζευκτών διαίρεσης ισχύοςπουυπάρχουνστηνείσοδοκαιτηνέξοδοτουεξαρτήματοςείναι D SB = 6μm, L SB = 10μm, D gap = 0.4μmκαι L P = 0.9μm. Οιπαράμετροιτηςδιατομήςτου DLSPPκυματοδηγούδίνονταιστο Σχ.4.7(a). Στην μοντελοποίηση με την BPM, εισάγεται ο βασικός ΤΜ ρυθμός του DLSPP κυματοδηγού στη μία θύρα εισόδου του εξαρτήματος και προχωράμε τον αλγόριθμο διάδοσης μέχρι την έξοδο, όπου και υπολογίζουμε τον λόγο εξάλειψης(er) μεταξύ των θυρών. Η διέγερση εισόδου λαμβάνεται από το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών της Ενότητα 3.2, και ο δείκτης διάθλασης αναφοράς της μεθόδου ορίζεται ίσος με το πραγματικό μέρους του ενεργούδείκτηδιάθλασηςτουενλόγωρυθμού, n ref = Re{n eff }.Γιατονυπολογισμότου ERχρησιμοποιούμετοεγκάρσιοολοκλήρωματηςοδηγούμενηςπυκνότηταςισχύος 9 στους δύοημιχώρουςτηςδιατομήςεξόδου, x 0,όπουτο x = 0τοποθετείταιστομέσοτης απόστασης μεταξύ των δύο κυματοδηγών. Η κάθε διατομή διακριτοποιείται με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία πρώτης τάξης(ct/ln-edge, linear-nodal) και οι συνολικοί βαθμοί ελευθερίας του πλέγματος είναι περίπου 50, 000. Στα όρια του εγκάρσιου υπολογιστικού παραθύρου χρησιμοποιούνται τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα απορρόφησης(pml) πάχους 500 nm με εφαπτομένη απωλειών παραβολικού προφίλ και μοναδιαίας μέγιστης τιμής. Ο αλγόριθμος της BPM χρησιμοποιεί διαφορετικές παραμέτρους για τα σημεία του εξαρτήματος όπου υπάρχει μεταβολή του προφίλ κατά την z-διεύθυνση, δηλαδή για τις καμπές S-σχήματος. Στις περιοχές αυτές χρησιμοποιείται παράμετρος ευστάθειας Crank-Nicolson α CN = 0.6,βήμα z = 125 nmκαισχήμαευρείαςγωνίαςμεπροσέγγιση Padéτάξης (4,4). Αντιθέτως,στιςαμετάβλητεςκατά-zπεριοχές,χρησιμοποιούνταιπαράμετροι α CN = 0.51 και z = 500 nm,ενώτοσχήμαευρείαςγωνίαςαπλοποιείταισεπροσέγγιση Padéτάξης (1,1). Στο Σχ παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των παραμετρικών προσομοιώσεων για τον ERμεταξύτωνθυρώνεξόδουωςσυνάρτηση(a)τουμήκουςτωνβραχιόνωντου MZI και(b) της ομοιόμορφης θερμοκρασιακής μεταβολής στη διηλεκτρική ράβδωση του DLSPP (μόνο κατά μήκος του ενός θερμαινόμενου βραχίονα). Για την εκτίμηση του απαιτούμενου συνδυασμούl MZI και TπουμεγιστοποιείτονER,δηλώνονταςπωςτοσήμαεξέρχεταιαπό τη θύρα διέλευσης(bar), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξ.(4.11). Οι αντίστοιχες καμπύλες είναι οι στικτές διακεκομμένες στα Σχ. 4.13(a) και(b), και βλέπουμε πως παρουσιάζουν πάρα πολύ καλή συμφωνία με τον υπολογισμό μέσω της BPM, επιβεβαιώνοντας την ακρίβεια του μοντέλου σχεδίασης που χρησιμοποιήσαμε. Οι ονομαστικές παράμετροι πουεπιλέχθηκαν, L MZI = 30.9μmκαι T = 100Κ,αντιστοιχούνστιςμαύρεςσυνεχείς 9 Υπολογίζεταιαπότησχέση P z (x,y) = 0.5Re{(E H ) ẑ},σε W/m

137 4.3. Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder ER (db) Δ T = 110K Δ T = 100K Δ T = 90K (a) L MZI ER (db) L = 35.9 m MZI L = 30.9 m MZI L = 25.9 m MZI (b) Δ T (K) Σχήμα 4.13: Λόγος εξάλειψης(er) μεταξύ των θυρών εξόδου ενός MZI διακόπτη DLSPP κυματοδηγών με συμμετρικούς βραχίονες, όπως υπολογίστηκε με μοντελοποίηση του πλήρους εξαρτήματος με τη χρήση της FE-BPM.(a) ER ως συνάρτηση του μήκους των βραχιόνων για τρεις μεταβολές θερμοκρασίας και(b) ER ως συνάρτηση της μεταβολής θερμοκρασίας της διηλεκτρικής ράβδωσης για τρία μήκη βραχιόνων. Οι λεπτές στικτές καμπύλες, αντιστοιχούν στην πρόβλεψη της σχεδιαστικής φόρμουλας των Εξ.(4.10)-(4.11), για κάθε συνδυασμό παραμέτρων. καμπύλες. Υπενθυμίζουμε ότι βάσει του ορισμού του ER, Εξ.(4.7), θετικές λογαριθμικές τιμές(db) αντιστοιχούν σε καταστάσεις Bar του διακόπτη. Αντιθέτως, η κατάσταση Cross επιτυγχάνεταιότανκαιοιδύοβραχίονεςείναιστηνίδιαθερμοκρασία(ψυχρήή T = 0),και λόγω του κατάλληλου σχεδιασμού μας δίνει έναν άριστο ER < 40 db. Η βελτιστοποίηση αυτής της κατάστασης έχει να κάνει αποκλειστικά με τον σωστό σχεδιασμό των ζευκτών διαίρεσηςισχύοςεισόδου/εξόδου,καιείναιπρακτικάανεξάρτητητουμήκους L MZI,αρκεί οι δύο βραχίονες να είναι συμμετρικοί. Ηφασματικήαπόκρισητουεξαρτήματοςγια L MZI = 30.9μmστιςδύοθερμοκρασίες λειτουργίας, T = 0 και 100 Κ, που αντιστοιχούν στις βελτιστοποιημένες καταστάσεις Cross και Bar του διακόπτη, αντίστοιχα, παρουσιάζεται στο Σχ Παρατηρούμε πως τοεύροςζώνηςτουδιακόπτηγύρωαπότηνκεντρικήσυχνότητασχεδιασμού λ = 1550 nm είναιιδιαίτεραμεγάλο. Πιοσυγκεκριμένα,εξασφαλίζεταιέναςελάχιστος ER min > 15 db για ένα εύρος συχνοτήτων μεγαλύτερο από 100 nm. Επισημαίνουμε πως το εύρος ζώνης του εξαρτήματος σχετίζεται σχεδόν αποκλειστικά με το εύρος ζώνης των ζευκτών διαίρεσης ισχύοςεισόδου/εξόδου,καθώςηδιασποράτουδείκτη n eff γιατονθερμόήψυχρό DLSPP κυματοδηγό είναι πρακτικά αμελητέα στο εν λόγω εύρος ζώνης. Ετσι, εάν είχε επιλεγεί δεύτερης τάξης διαίρεση, Σχ. 4.8, τότε το εύρος ζώνης θα ήταν αισθητά μικρότερο. Πιθανές κατασκευαστικές αποκλίσεις από αυτές τις σχεδιαστικές παραμέτρους, μπορούν σε κάποιο βαθμό να αντισταθμιστούν με θέρμανση των ζευκτών διαίρεσης, έτσι ώστε να αναπροσαρμόζεται ο λόγος διαίρεσης. Βέβαια, κάτι τέτοιο αυξάνει την πολυπλοκότητα τέτοιων εξαρτημάτων, και πιθανότητα θα οδηγεί σε ασύμμετρη λειτουργία, δηλαδή σε μικρότερο ER min στηκεντρικήσυχνότητασχεδιασμού. Κλείνοντας, θα σχολιάσουμε τις απώλειες εισαγωγής(il) του συνολικού εξαρτήματος. Οι προσομοιώσεις με την FE-BPM έδειξαν τιμές στην περιοχή των 9 db(και αμελητέα διασπορά) που στο μεγαλύτερο ποσοστό τους οφείλονται στις ωμικές απώλειες διάδοσης των DLSPP κυματοδηγών, της τάξης των 0.1 db/μm. Από τα μήκη των διαφόρων τμημάτων του διακόπτη, Σχ. 4.12, διαπιστώνουμε ότι μόνο τα 3 db αντιστοιχούν στους θερμο-οπτικά ελεγχόμενους βραχίονες του διακόπτη, ενώ τα 6 db χάνονται στους παθητικούς ζεύκτες διαχωρισμού ισχύος. Για μία μικρή μείωση των συνολικών IL προτείνεται η θέρμανση και των εσωτερικών S-bend των ζευκτών διαίρεσης DLSPP κυματοδηγών, έτσι ώστε να 123

138 Κεφάλαιο 4 ER (db) Cross ( _ ) Bar (+) ER min Wavelength λ (nm) Σχήμα 4.14: Λόγος εξάλειψης(er) ενός MZI διακόπτη DLSPP κυματοδηγών με συμμετρικούς βραχίονεςμήκους L MZI = 30.9μm,ωςσυνάρτησητουμήκουςκύματος,όπωςυπολογίστηκεμεμοντελοποίηση τουπλήρουςεξαρτήματοςμετην FE-BPM.Οικαταστάσεις Cross(ER < 0 db)και Bar(ER > 0 db) του διακόπτη αντιστοιχούν στις θερμοκρασιακές μεταβολές T = 0 και 100 Κ, αντίστοιχα. Η σκιασμένη περιοχή αντιστοιχεί στον ελάχιστο των ER των δύο καταστάσεων, για κάθε μήκος κύματος απαιτείταιευθύγραμμοκομμάτι L MZI μικρότεροκατάπερίπου 2 L SB = 20μm. Δύο πιοδραστικέςλύσειςγιατημείωσητων IL,πουόμωςαλλάζουνσημαντικάτηδομήτης διάταξης, είναι η χρήση ζευκτών διαίρεσης κυματοδηγών πυριτίου ή/και η χρήση ασύμμετρων βραχιόνων MZI. Η πρώτη λύση παρουσιάστηκε στην Παράγραφο ενώ η δεύτερη θα αναλυθεί στην επόμενη παράγραφο Σχεδίαση με ασύμμετρους ΜΖΙ βραχίονες Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με τη σχεδίαση ενός θερμο-οπτικού 2 2 διακόπτη που βασίζεται σε διάταξη ασύμμετρων MZI βραχιόνων[235]. Σε μία τέτοια ασύμμετρη διάταξη, οι βραχίονες είναι κατασκευασμένοι έτσι ώστε να συσσωρεύεται διαφορά φάσης Φ amzi = π/2μεταξύτους,ότανβρίσκονταιστηνίδιαθερμοκρασία. Στησυνέχεια,και εφόσον υπάρχει δυνατότητα θερμο-οπτικού ελέγχου και στους δύο βραχίονες, μπορούμε εισάγοντας φάση +π/2 στον έναν ή π/2 στον άλλον, να επιτύχουμε τις δύο συνθήκες Φ amzi = 0ήππουοδηγούνστιςκαταστάσεις CrossήBar,αντίστοιχα. Τοσυνολικό μήκος των βραχιόνων ενός τέτοιου συμβολομέτρου είναι περίπου μισό του αντίστοιχου των συμμετρικών βραχιόνων, Εξ.(4.11), για τις ίδιες θερμο-οπτικές ιδιότητες. Σημειώστε πως στην παράγραφο αυτή δεν θα ασχοληθούμε καθόλου με τους ζεύκτες διαίρεσης ισχύος, καθώς έχουν σχεδιαστεί και περιγραφεί επαρκώς στις προηγούμενες. Η ασυμμετρία μεταξύ των βραχιόνων μπορεί να εισαχθεί ως διαφορά μήκους διάδοσης ή κάποιας παραμέτρου της διατομής. Εμείς διαλέξαμε τη δεύτερη οδό, επιλέγοντας να διαπλατύνουμε(widen«w»)τον DLSPPκυματοδηγότουενόςβραχίονασεεύρος w p (W), ενώ ο κυματοδηγός του έτερου βραχίονα παραμένει στο ονομαστικό(nominal«n») εύρος w p (N) = 500 nm. Ηδιαπλάτυνσηαυτήγίνεταιγιαέναμήκος L W,ενώπροβλέπονταικαι κατάλληλα τμήματα αδιαβατικής μετάβασης(tapering sections) από το ονομαστικό εύρος στομεγαλύτερο,μήκους L T.Σεμίατέτοιαδιάταξη,το«ενεργό»μήκοςτουπεπλατυσμένου τμήματος, που θα οδηγεί στην απαιτούμενη διαφορά φάσης π/2, και που θα χρησιμοποιηθεί στημοντελοποίησημας,ορίζεταιίσομε L W,eff = L W + L T. Ηπροσέγγισηαυτήισχύει 124

139 4.3. Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder (a) L T L W L T ( W) w p (b) heated unheated L W,eff L aμζι ( N) w p (c) ΔΦ = 0 aμζι unheated heated ΔΦ aμζι = ΦW - ΦN = π/2 ΔΦ aμζι = π Σχήμα 4.15: (a) Ασύμμετροι βραχίονες MZI συμβολομέτρου DLSPP κυματοδηγών, σχεδιασμένου ώστε στην έξοδο του να συσσωρεύεται διαφορά φάσης +π/2 μεταξύ αυτών. Σημειώνονται οι διαστάσεις του πεπλατυσμένου τμήματος του κυματοδηγού στον άνω βραχίονα. (b)-(c) Θέρμανση μόνο του άνω ή κάτωβραχίοναοδηγείσεδιαφοράφάσης 0ήπ,πουαντιστοιχείστηνκατάσταση Crossκαι Barτου 2 2 διακόπτη που προκύπτει με χρήση ζευκτών ίσης διαίρεσης ισχύος(3 db) στην είσοδο και στην έξοδο της διάταξης. ικανοποιητικά στην περίπτωση που η διαφορά εύρους είναι μικρή και η διαπλάτυνση είναι γραμμική. Η κάτοψη της διάταξης του ασύμμετρου συμβολομέτρου Mach-Zehnder παρουσιάζεταιστοσχ.4.15(a),όπουτοσυνολικόμήκοςείναι L amzi > L W +2L T.Τοεύροςτου μεταλλικού φιλμ, όπως και τα πάχη των επιμέρους στρωμάτων, παραμένουν αμετάβλητα σε σχέση με αυτά που χρησιμοποιήθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους. Διαπλάτυνσητου DLSPPκυματοδηγούοδηγείσεαύξησητουενεργούδείκτη n eff του βασικούτμ 00 ρυθμού,άρα,ορίζονταςτηδιαφοράφάσηςόπωςστοσχ.4.15,καταλαβαίνουμε πως στην περίπτωση που οι δύο βραχίονες είναι στην ίδια θερμοκρασία, θα εισάγεται διαφοράφάσης Φ amzi = +π/2. Υπενθυμίζεταιπωςθέρμανση DLSPPκυματοδηγούμε υλικό φόρτισης αρνητικού θερμο-οπτικού συντελεστή, επιφέρει μείωση του ενεργού δείκτη διάθλασης του βασικού ρυθμού. Συνεπώς, θέρμανση του βραχίονα με τον πεπλατυσμένο ήτονομοιόμορφοκυματοδηγόθαοδηγείσε Φ amzi = 0ήπ,όπωςσταΣχ.4.15(b)και (c),αντίστοιχα. Σκοπόςτηςανάλυσηςμαςείναιναπροσδιορίσουμετοεύρος w p (W) και τα απαιτούμεναμήκη L W,eff και L amzi γιαβελτιστοποίησητωνκαταστάσεωνcrossκαι Barτου διακόπτη, όταν θερμαίνεται ένας από τους δύο βραχίονες σε δεδομένη μέγιστη θερμοκρασία T max. Τοενεργόμήκος L W,eff τουδιαπλατυσμένουτμήματοςυπολογίζεταιαπαιτώνταςηδιαφορά φάσης που συσσωρεύεται ανάμεσα στους δύο βραχίονες να είναι ίση με π/2. Το αντίστοιχομέγεθοςσυμβολίζεταιμε L π/2 καιδίνεταιγενικάαπότησχέση L π/2 = Re{n (W) λ/4 eff n (N) eff }, (4.12) όπου n (W/N) eff είναι ο ενεργός δείκτης του κυματοδηγού με αυξημένο/ονομαστικό εύρος διηλεκτρικήςφόρτισης,αντίστοιχα.προφανώς,αναμένεταιεξάρτησητουμήκους L π/2,ανάλογα με τη θερμοκρασία των δύο βραχιόνων. Χρησιμοποιώντας το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, και τις παραμέτρους για τον ονομαστικό DLSPP κυματοδηγό της προηγούμενης παραγράφου,υπολογίζουμετααπαιτούμεναμήκη L π/2 γιατονδιαπλατυσμένοβραχίοναμεεύρος w p (W) = nm,καιονομαστικόβραχίοναεύρους w p (N) = 500 nm. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχ. 4.16, όπου οι τέσσερις καμπύλες αντιστοιχούν στους δυνατούς 125

140 ` ` ` Κεφάλαιο 4 Dephasing Length L π/2 (μm) 15` 10` 5` ( w N ) p = 500` nm Multimode 0` 500` 550` 600` 650` 700` 750` 800` 850` 900` Wide DLSPP Loading Width w p (W) (nm) ΔΤ of arm W N u h h u u u h h Σχήμα 4.16: Χαρακτηριστικό μήκος που ισοδυναμεί με συσσώρευση διαφοράς φάσης π/2 ανάμεσα σε δύο DLSPPκυματοδηγούςμεεύροςδιηλεκτρικήςφόρτισης w p (N) = 500 nmκαι w p (W) = nm. Οι τέσσερις καμπύλες αντιστοιχούν στους συνδυασμούς θερμοκρασίας των κυματοδηγών«w» και«n» με τηνψυχρή(unheated,«u»)νααντιστοιχείσε T = 0καιτηθερμή(heated,«h»)σε T max = 100Κ. συνδυασμούς θερμοκρασιακής μεταβολής στους δύο βραχίονες(u=unheated, h=heated) καιταδύοεπίπεδαθερμοκρασιακήςμεταβολήςείναι T = 0(u)και T max = 100Κ(h). Από το Σχ. 4.16, διαπιστώνουμε πως προκειμένου να εξασφαλίσουμε κατά το δυνατό μικρά μήκη L π/2 απαιτείταιμεγάλοεύρος w p (W). Σημειώνοντας πως ο συγκεκριμένος DLSPP κυματοδηγός γίνεται πολύρρυθμος για εύρη πολυμερούς πάνω από 680 nm, καταλήγουμε στηνεπιλογή w p (W) = 650 nm. Απομένειπλέονναυπολογίσουμετιςτιμέςτωνμηκών L W,eff καιl amzi.υπενθυμίζοντας πως θέρμανση του πεπλατυσμένου ή του ονομαστικού βραχίονα θα οδηγεί σε συνολική διαφοράφάσης Φ amzi = 0ήπ,αντίστοιχα,μπορούμενακαταστρώσουμετιςεξισώσεις 0 = k 0 L amzi n (N) eff,(u h) +k 0L W,eff n (W N) eff,(h), π = +k 0 L amzi n (N) eff,(u h) +k 0L W,eff n (W N) eff,(u). (4.13αʹ) (4.13βʹ) Στις παραπάνω εξισώσεις, οι διαφορές των ενεργών δεικτών αναφέρονται είτε σε διαφορετικά εύρη κυματοδηγών(στην ίδια θερμοκρασία) είτε σε διαφορετικές θερμοκρασίες(για το ίδιο εύρος), και υπονοείται το πραγματικό μέρος της κάθε διαφοράς, για αποφυγή υπερσυμβολισμού. Επίσης, έχουμε θεωρήσει πως η μεταβολή εύρους στον πεπλατυσμένο κυματοδηγό αποδίδεταιστο«ενεργό» z-μήκος L W,eff.Απότηνεπίλυσητουγραμμικούσυστήματοςτων Εξ.(4.13), προκύπτουν εύκολα οι τιμές των παραμέτρων της διάταξης και L amzi = L W,eff = λ/4 n (N) eff,(u h) λ/2, (4.14) n (W N) eff,(u) + n (W N) eff,(h) (1+ n(w N) eff,(u) n (W N) ) eff,(h) 126 n (W N) eff,(u) + n (W N) eff,(h). (4.15)

141 4.3. Διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder Παρατηρείστεπωςτομήκος L W,eff ισούταιμετοναρμονικόμέσο 10 τωνμηκών L π/2 των καταστάσεων uu/hhτουσχ.4.16.επίσης,τομήκοςτωνβραχιόνων L amzi ισούταιπερίπου μετομισότηςεξ.(4.11),όπουθυμίζουμεπως n (N) eff,(u h) f c TO T,συνυπολογίζοντας μία μικρή μεταβολή λόγω του δευτέρου όρου εντός της παρενθέσεως του αριστερού μέλος τηςεξ.(4.15). Γιατηδιαπλάτυνσηπουεπιλέχθηκεπροηγουμένως, w p (W) = 650 nm,και γιατιςδύοακραίεςθερμοκρασίεςυπολογίζουμε L W,eff = 7.29μmκαι L amzi = 14.98μm. Σημειώνεται ότι αποκλίσεις από αυτές τις βέλτιστες τιμές θα οδηγούν σε πεπερασμένο λόγο εξάλειψης(er), όταν οι θερμοκρασιακές μεταβολές T = 0 ή 100 Κ επιβάλλονται στους δύο βραχίονες. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο διάδοσης δέσμης πεπερασμένων στοιχείων(fe-bpm) προκειμένου να αξιολογήσουμε τα αποτελέσματα της σχεδίασης που προηγήθηκε. Για το μήκος των τμημάτων αδιαβατικής μετάβασης(tapering section) επιλέγουμε τηντιμή L T = 1μm,πουμαςοδηγείσεπραγματικόμήκοςδιαπλατυσμένουκυματοδηγού L W = L W,eff L T = 6.29μm. ΕισάγουμεστηνείσοδοτηςδιάταξηςτουΣχ.4.15(a) τονσυμμετρικότμ 00 υπερρυθμό 11 τουζεύγους DLSPPκυματοδηγώνονομαστικούεύρους, και προχωράμε τον αλγόριθμο διάδοσης μέχρι την έξοδο της διάταξης. Σε κάθε βήμα διάδοσης υπολογίζουμε τη διαφορά φάσης ανάμεσα στους δύο βραχίονες με χρήση του ολοκληρώματος επικάλυψης c OI,(n) = [E(z) H ref,(n) ] ẑdxdy [E (4.16) ref,(n) H ref,(n) ] ẑdxdy, όπου E(z)είναιτοσυνολικόδιαδιδόμενοπεδίοσεκάθεσημείοτου z-άξονακαι E ref,(n) είναι τοπροφίλτουβασικούτμ 00 ρυθμούτουμεμονωμένου DLSPPκυματοδηγού,εστιασμένου στονδιαπλατυσμένο(n = W)ήστονονομαστικούεύρους(n = N)βραχίονα.Ηδιαφορά φάσης υπολογίζεται ως { } { } coi,(w) coi,(n) Φ amzi (z) = +jln jln, (4.17) c OI,(W) c OI,(N) και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχ. 4.17, για τους τέσσερις πιθανούς συνδυασμούς θερμοκρασιακής μεταβολής σε καθένα από τους δύο βραχίονες. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε πως όταν θερμαίνεται μόνο ο διαπλατυσμένος ή ο ονομαστικού εύρους βραχίονας, συσσωρεύεται στην έξοδο διαφορά φάσης 0 ή π, που αντιστοιχεί στην κατάσταση Cross ή Bar του διακόπτη, αντίστοιχα. Ετσι, επιβεβαιώνουμε την πολύ καλή συμφωνία της σχεδίασης χρήσει ιδιορρυθμών με την τρισδιάστατη μοντελοποίηση με την FE-BPM. Κλείνοντας, σημειώνουμε πως στην περίπτωση που και οι δύο βραχίονες είναι στην ίδια θερμοκρασιακή μεταβολή, τότε συσσωρεύεται διαφορά φάσης περίπου ίση με π/2. Η μικρή αυτή απόκλιση είναι αναμενόμενη και προβλέπεται από το σχεδιασμό, αφού αυτός ο συνδυασμός θερμοκρασιών δεν αντιστοιχεί σε κάποια κατάσταση του διακόπτη. 10 Οαρμονικόςμέσος hτωναριθμών mκαι nορίζεταιως h = 2mn/(m+n). 11 Ηδιέγερσηαυτήείναιισοδύναμημετηνυπέρθεσηδύοκατάλληλαεστιασμένωναντιγράφωντουβασικού ΤΜ 00 ρυθμούτουμονού DLSPPκυματοδηγού,αφούοιδύοβραχίονεςείναιπρακτικάασύζευκτοι. 127

142 ` Κεφάλαιο 4 Phase difference ΔΦ amzi (deg) 180` 135` 90` 45` 0` ΔΤ of arm W N h u u h u u h h ` 15` Asymmetric MZI z -`Length (μm) Σχήμα 4.17: Διαφορά φάσης ανάμεσα στους δύο ασύμμετρους βραχίονες ενός MZI κυματοδηγών DLSPP, όπως υπολογίστηκε με χρήση της FE-BPM και κατάλληλων ολοκληρωμάτων επικάλυψης. Οι θερμοκρασιακές καταστάσεις για τον πεπλατυσμένο(w) και τον ονοματικού εύρους(n) βραχίονα είναι T = 0(u)και 100Κ(h). Ταμήκητωναδιαβατικώνμεταβάσεων(taper sections)τουσχ.4.15(a) επιλέχθηκανίσαμε L T = 1μm. 4.4 Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε συμμετρικές 2 2 διακοπτικές διατάξεις που βασίζονται στον θερμο-οπτικό έλεγχο της συμβολής δύο ιδιορρυθμών ενός DLSPP κυματοδηγού. Στην κατηγορία αυτή εμπίπτουν τόσο ο κατευθυντικός ζεύκτης(directional coupler, DC) μονόρρυθμων κυματοδηγών, Σχ. 4.6(d), όσο και ο ευρύτερος κυματοδηγός που υποστηρίζει δύο οδηγούμενους ρυθμούς, Σχ. 4.6(f). Η πρώτη περίπτωση αντιμετωπίζεται ως ένας υπέρ-κυματοδηγός που υποστηρίζει δύο υπερρυθμούς ενώ η δεύτερη ως ένας τυπικός πολύρρυθμος κυματοδηγός. Γίνεται λοιπόν αντιληπτό πως και οι δύο παραπάνω περιπτώσεις μπορούν να αντιμετωπιστούν σε κοινό πλαίσιο, αυτό της συμβολής ενός συμμετρικού(«s») και ενός αντισυμμετρικού(«a») υπερρυθμού. Η συμμετρία των ρυθμών εξάγεται από την κατανομή της κυρίαρχης εγκάρσιας συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου των ρυθμών στη διατομή του κυματοδηγού. Τονίζουμε πως και οι διατάξεις συμβολομέτρου Mach-Zehnder της προηγούμενης ενότητας θα μπορούσαν να μελετηθούν σε αντίστοιχο πλαίσιο. Παρ όλα αυτά, οι δύο βραχίονες είναι τελείως ασύζευκτοι ώστε η μελέτη του εξαρτήματος επιτρέπεται να γίνεται σχεδιάζοντας τον καθένα ξεχωριστά. Αρχικά θα περιγράψουμε τη διάταξη του διακόπτη συγχρονισμένου κατευθυντικού ζεύκτη(synchronized DC, SDC), και θα παρατηρήσουμε πως δεν προσφέρει ικανοποιητική ε- πίδοση για τις δεδομένες θερμο-οπτικές ιδιότητες. Στη συνέχεια, θα επικεντρωθούμε στον κυματοδηγό δύρρυθμης συμβολής(dual mode interference, DMI) που εμφανίζει εμφανώς βελτιωμένες επιδόσεις αλλά απαιτεί πιο προσεκτικό σχεδιασμό. Τέλος, θα μελετήσουμε την περίπτωση του αποσυγχρονιζόμενου κατευθυντικού ζεύκτη(desynchronized DC, DDC), ως μία ειδικότερη περίπτωση Συγχρονισμένος κατευθυντικός ζεύκτης Η αρχή λειτουργίας του διακόπτη SDC[109, 236] περιγράφηκε στην Παράγραφο και σχετίζεταιμετονθερμο-οπτικόέλεγχοτουμήκουςσύζευξης L c τουζεύκτη,εξ.(4.4). 128

143 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς (a) 0.1μm n=1.5 d gap w p y 0.6μm x x (b) y z Thermo-Optic Addressing Oxide (SiO ) 2 Silicon 1μm 1.5μm Inf. D SB L SB L SDC Σχήμα 4.18: (a) Διατομή κατευθυντικού ζεύκτη DLSPP κυματοδηγών. Οι ελεύθερες παράμετροι είναι τοεύροςτωνκυματοδηγών w p καιτομεταξύτουςδιάκενο d gap.(b)τρισδιάστατησχηματικήαπεικόνιση του διακόπτη κατευθυντικού ζεύκτη, συμπεριλαμβανομένων και των καμπών προσαγωγής των κυματοδηγών εισόδου/εξόδουμεδιαστάσεις D SB = 6μmκαι L SB = 10μm. Το μήκος σύζευξης εκφράζει τη φασική συμφωνία ανάμεσα στον συμμετρικό και τον αντισυμμετρικό ρυθμό του ζεύκτη ή, ισοδύναμα, την περίοδο ανταλλαγής ισχύος ανάμεσα στους δύο κυματοδηγούς. Σκοπός της σχεδίασης αυτής της παραγράφου είναι να προσδιορίσουμετομήκοςτουεξαρτήματος L SDC πουθααντιστοιχίζεταισεάρτιοπολλαπλάσιοτου μήκους σύζευξης στη μία ακραία θερμοκρασιακή κατάσταση του διακόπτη, και σε περιττό πολλαπλάσιο στην άλλη. Ετσι, θα επιτυγχάνεται η κατάσταση Bar και Cross του διακόπτη, αντίστοιχα. Οι ακραίες θερμοκρασιακές καταστάσεις αντιστοιχούν σε ομοιόμορφες μεταβολές θερμοκρασίας μέσα στη ράβδωση πολυμερούς του DLSPP κυματοδηγού ίσες με T = 0(ψυχρή, unheated,«u»)και T max = 100Κ(θερμή, heated,«h»).τομήκοςτου εξαρτήματος L SDC δίνεταιαπότηνεξ.(4.5),καιχρησιμοποιείταμήκησύζευξης L c γιατις δύο θερμοκρασιακές καταστάσεις που υπολογίζονται από τους υπερρυθμούς του ζεύκτη. Στο Σχ. 4.18(a) παρουσιάζεται η διατομή του κατευθυντικού ζεύκτη DLSPP κυματοδηγών που θα μελετήσουμε, ενώ στο Σχ. 4.18(b) διακρίνεται ολόκληρο το εξάρτημα. Σημειώνουμε πως τα πάχη των διαφόρων στρωμάτων θεωρούνται σταθερά και το συνολικό εύρος του μεταλλικού φιλμ που υποστηρίζει τους δύο κυματοδηγούς είναι τέτοιο ώστε το εξωτερικό εύρος μετάλλου να είναι ίσο με 1.5 μm, μετρούμενο από το κέντρο καθεμίας ράβδωσης. Τομέταλλοείναιχρυσόςμεδείκτη n = 0.55 j11.5καιηράβδωσηαποτελείταιαπότο πολυμερές Cyclomerμεδείκτη n = 1.5καιθερμο-οπτικόσυντελεστή c TO = /Κ. Οι καμπές S-σχήματος που εντοπίζονται στην είσοδο και στην έξοδο του εξαρτήματος αποδεικνύεται πως έχουν μικρή σημασία στον θερμο-οπτικό σχεδιασμό του διακόπτη, όταν το διάκενο d gap είναιαρκετάμεγάλοώστεοικυματοδηγοίναμπορούνναθεωρηθούνασθενώς συζευγμένοι. Στην περίπτωση αυτή, εισαγωγή του βασικού ρυθμού του μεμονωμένου DL- SPP κυματοδηγού σε μία μόνο είσοδο του εξαρτήματος, προκαλεί ισόποση διέγερση των δύο υπερρυθμών του κατευθυντικού ζεύκτη, οι οποίοι διαδίδονται με περίπου ίδιες απώλειες διάδοσης.οιπαράμετροιτωνκαμπώνεπιλέχθηκανίσεςμε D SB = 6μmκαι L SB = 10μm. Τέλος, θεωρούμε πως η θέρμανση γίνεται μόνο στο τμήμα του SDC και είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη και στους δύο κυματοδηγούς του ζεύκτη, όπως στο Σχ. 4.18(b). Χρησιμοποιώντας το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, υπολογίζουμε το απαιτούμενο μήκοςδιακόπτη(l SDC )ωςσυνάρτησητουμεταξύτωνκυματοδηγώνδιακένου(d gap ),γιατρία διαφορετικάεύρηράβδωσης DLSPPκυματοδηγού(w p ). Τααποτελέσματαπαρουσιάζονται στο Σχ και είναι υπολογισμένα στο μήκος κύματος των 1550 nm. Παρατηρούμε πως όλες οι διατάξεις φαίνεται να απαιτούν μήκη μεγαλύτερα από 200 μm, με κάποιο βέλτιστο διάκενο να εντοπίζεται μεταξύ nm για τα τρία εύρη DLSPP κυματοδηγού 129

144 ` Κεφάλαιο 4 500` (`μ m) L SDC 450` 400` 350` 300` w p =400 nm ` w p =500 nm ` w p =600 nm ` 250` 200` 300` 400` 500` 600` 700` 800` 900` 1000` d (nm) gap Σχήμα4.19: Απαιτούμενομήκοςσυγχρονισμένουκατευθυντικούζεύκτη(L SDC )γιακατασκευή 2 2 θερμο-οπτικά ελεγχόμενου διακόπτη, ως συνάρτηση του διακένου μεταξύ των δύο DLSPP κυματοδηγών (d gap ).Οιτρειςκαμπύλεςαντιστοιχούνσεδιαφορετικάεύρητωνραβδώσεωνπολυμερούς(w p )τουκαθενός κυματοδηγού, και οι δύο ακραίες θερμοκρασιακές καταστάσεις είναι T = 0 και 100 Κ. πουμελετήθηκαν. Τόσομεγάλα L SDC είναιαποθαρρυντικάκαθώςσυνδέονταιμεαπώλειες εισαγωγής(il) της τάξης των 20 db, για τις ονομαστικές απώλειες διάδοσης των 0.1 db/μm του DLSPP κυματοδηγού μας. Αξίζει να σημειωθεί πως για διάκενα μικρότερα των 200 nm,παρατηρείταιμείωσητων L SDC στηνπεριοχήτων 100μm,ήκαιμικρότερων. Πάντως, επισημαίνουμε πως ο ακριβής έλεγχος των διαστάσεων τέτοιων διακένων απαιτεί γενικά τεχνολογικά αξιόπιστα μέσα, και δεν μας απασχόλησε περαιτέρω Κυματοδηγός δύο ρυθμών Οταν το εύρος της διηλεκτρικής φόρτισης ενός DLSPP κυματοδηγού ξεπεράσει μία τιμή κατωφλίου, τότε υποστηρίζεται ένας δεύτερος οδηγούμενος ρυθμός, εκτός από τον βασικό ΤΜ 00 ρυθμό.χρησιμοποιώνταςτονφορμαλισμότηςπροηγούμενηςπαραγράφου,μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τον βασικό και τον ανώτερης τάξης ρυθμό ενός τέτοιου δύρρυθμου κυματοδηγού σε έναν συμμετρικό και έναν αντισυμμετρικό ρυθμό. Αξιοποιώντας τη συμβολή αυτών των δύο ρυθμών(dual mode interference, DMI)[115, 117], και τη μεταβολή του αντίστοιχου μήκους σύζευξης με τη θερμοκρασία, μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν 2 2 θερμο-οπτικό διακόπτη με την ίδια διαδικασία που ακολουθήσαμε και στην προηγούμενη παράγραφο, στον σχεδιασμό του συγχρονισμένου κατευθυντικού ζεύκτη(sdc). Παρά τις εμφανείς ομοιότητες ενός διακόπτη αρχιτεκτονικής DMI με έναν SDC, υπάρχουν και ορισμένες πολύ σημαντικές διαφορές. Η πρώτη αφορά στις απώλειες διάδοσης και η δεύτερη στη δυνατότητα διέγερσης των ρυθμών ενός τέτοιου DLSPP κυματοδηγού, και θα σχολιαστούν εκτενώς στις επόμενες παραγράφους. Στο σημείο, θα αρκεστούμε στο να επισημάνουμε τις ιδιότητες του SDC, που καθιστούν την ανάλυση του πολύ πιο απλή. Για τα εύρη διακένων που μελετήσαμε στο Σχ. 4.19, οι δύο κυματοδηγοί του SDC θεωρούνται ασθενώς συζευγμένοι μεταξύ τους, κάτι που συνεπάγεται πως μπορούν με πολύ καλή ακρίβεια να αναπτυχθούν σε υπέρθεση(με κατάλληλη φάση) των ρυθμών των δύο επιμέρους μεμονωμένων κυματοδηγών. Για παράδειγμα, ο συμμετρικός(ή ο αντισυμμετρικός ρυθμός) τουζεύκτηπροκύπτειαπότηνυπέρθεσημεδιαφοράφάσης Φ = 0(ή Φ = π)τουρυθμού του μεμονωμένου αριστερού και δεξιού κυματοδηγού του Σχ. 4.18(a). Το στοιχείο αυτό 130

145 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς (a) 1.4` n eff 1.3` 1.2` 1.1` TM 00` Ey DMI Width Range 1` 200` 400` 600` 800` 1000` 1200` Polymer loading width (nm) w p (b) Lprop (`μm) 120` 100` 80` 60` 40` 20` TE 00 Ey TM 10` Ey 0` 200` 400` 600` 800` 1000` 1200` Polymer loading width (nm) w p TM 00,(` u) TM 00`,(` h)` TE 00`,(` u) TM 10`,(` u) TE 00`,(` h)` TM 10,( h) Σχήμα 4.20: (a) Ενεργός δείκτης διάθλασης και(b) χαρακτηριστικό μήκος απωλειών ως συνάρτηση του εύρους διηλεκτρικής φόρτισης σε έναν DLSPP κυματοδηγό. Περιλαμβάνονται οι τρεις πρώτοι οδηγούμενοι ρυθμοί, για τη θερμή και ψυχρή κατάσταση του υλικού φόρτισης, ενώ στα ένθετα σχήματα παρουσιάζονται ενδεικτικάπροφίλτηςέντασηςτουηλεκτρικούπεδίου( E y συνιστώσα)στηδιατομήτουκυματοδηγού. οδηγεί σε δύο απλουστευτικές παραδοχές για τους υπερρυθμούς του SDC: αφενός οι απώλειες τους θα είναι περίπου ίσες και αφετέρου διέγερση ενός μόνο κυματοδηγού του ζεύκτη θα έχει ως αποτέλεσμα την περίπου ισόποση διέγερση συμμετρικού και αντισυμμετρικού υπερρυθμού Ταξινόμηση και ονοματολογία ρυθμών DMI κυματοδηγού Χρησιμοποιώντας το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, αρχικά κάνουμε μία παραμετρική μελέτηωςσυνάρτησητουεύρουςτηςράβδωσηςπολυμερούςτου DLSPPκυματοδηγού(w p ),και καταγράφουμετουςενεργούςδείκτεςδιάθλασης(n eff )καιτοχαρακτηριστικόμήκοςαπωλειών(l prop )γιατουςτρειςπρώτουςοδηγούμενουςρυθμούς.οκυματοδηγόςπουμελετάμε είναιαυτόςτουσχ.4.1(b),πουαποτελείταιαπόφιλμχρυσούδιαστάσεων μm 2, υλικό φόρτισης Cyclomer πάχους 600 nm, πάχος περιοχής οξειδίου 1 μm και απείρων διαστάσεων υπόστρωμα πυριτίου και περίβλημα αέρα. Οι παράμετροι των υλικών δόθηκαν στην Παράγραφο Τα αποτελέσματα της παραμετρικής μελέτης γεωμετρικής διασποράς ως προςτοεύρος w p,γιατιςδύοακραίεςθερμοκρασιακέςκαταστάσεις T = 0(ψυχρή, u- nheated,«u»)και T max = 100Κ(θερμή, heated,«h»),καιγιατομήκοςκύματοςτων 1550 nm, καταγράφονται στο Σχ Στο παραπάνω διάγραμμα σημειώνουμε το εύρος κατωφλίου εμφάνισης του δεύτερου ρυθμού(στη θερμή κατάσταση) στα 720 nm, και του τρίτου ρυθμού(στην ψυχρή κατάσταση) στα 880 nm. Προφανώς, η περιοχή τιμών που ο κυματοδηγός αυτός είναι αυστηρά δύρρυθμος υπαγορεύει μία επιλογή της τάξης του w p = 800 nmγιατον DMIκυματοδηγό. Ενα ενδιαφέρον σημείο στο οποίο θα πρέπει να επιστήσουμε την προσοχή του αναγνώστη, είναι το ζήτημα της ονοματολογίας των υποστηριζόμενων ρυθμών. Στο Σχ. 4.20, οι δύοανώτεροιρυθμοίπουεμφανίζονταιχαρακτηρίζονταικατάσειράεμφάνισηςτε 00 και ΤΜ 10,πουσημαίνειπωςπρώταεμφανίζεταιορυθμόςοριζόντιας x-πόλωσηςθεμελιώδους τάξης και ακολούθως εμφανίζεται ο ανώτερος ρυθμός κατακόρυφης y-πόλωσης δεύτερης τάξης. Ακόμα, από τα ένθετα σχήματα, παρατηρούμε πως οι δύο ανώτεροι ρυθμοί παρουσιάζουνποιοτικάτονίδιοτύποσυμμετρίαςστηνεγκάρσιακατανομήτης E y συνιστώσας. Αντιθέτως, από το Σχ. 4.20(b), παρατηρούμε μία έντονη διαφοροποίηση όσον αφορά στις 131

146 ` ` Κεφάλαιο 4 (a) Re{ E y } w p =`0.` 9` μm TE 00` (b) Re{ E y } w p =`0.` 9` μm (c) Re{ E y } w p =1`. 2μm (d) Re{ } TM 10` TE 00` E y w p =1`.`2μm TM 10` (e) P z w p =` 0.` 9μm TE 00` (f) P z w p =` 0.` 9` μ m (g) P z w p =1`.`2` μm (h) P z w p =1`.`2` μm TM 10` TE 00` TM 10 Σχήμα 4.21: Εγκάρσιο προφίλ(a)-(d) πραγματικού μέρους της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και (e)-(h)οδηγούμενηςπυκνότηταςισχύος,γιατουςδύοανώτερουςρυθμούς,τε 00 καιτμ 10,καισεδύο χαρακτηριστικάεύρηράβδωσης DLSPPκυματοδηγού, w p = 0.9και 1.2μm.Παρατηρείστεότιπαρόλοπου το Re{E y }διατηρείποιοτικάτημορφήτου,ηp z αλλάζεισημαντικάγιατονίδιορυθμόκαιγιαδιαφορετικό εύρος. απώλειεςτωνρυθμών,πουμάλισταπαρουσιάζειαξιοσημείωτηδιασποράμετοεύρος w p. Πιοσυγκεκριμένα,οβασικόςΤΜ 00 ρυθμόςεμφανίζειαπώλειεςπερίπουσταθερές,οδεύτεροςρυθμόςτε 00 ξεκινάειαπόιδιαίτεραχαμηλέςαπώλειεςπουσταδιακάαυξάνονταιώστε καταλήγουνναταυτίζονταισχεδόνμετουβασικού,ενώοτρίτοςρυθμόςτμ 10 ξεκινάει από σημαντικές απώλειες που με την αύξηση του εύρους μειώνονται. Η ιδιάζουσα αυτή συμπεριφορά των απωλειών των δύο ανώτερων ρυθμών αποτυπώνεταιστοσχ.4.21,όπουπαρουσιάζεταιηεγκάρσιακατανομήτου Re{E y }(πραγματικό μέροςκυρίαρχηςσυνιστώσαςηλεκτρικούπεδίου)καιτης P z (πυκνότηταοδηγούμενηςισχύος) των δύο ρυθμών, για δύο χαρακτηριστικά εύρη DLSPP κυματοδηγού. Αρχικά, στο w p = 0.9μm[Σχ.4.21(a-b),(e-f)]όπουμόλιςέχειεμφανιστείοτρίτοςρυθμόςκαιέπειτα στο w p = 1.2μm[Σχ.4.21(c-d),(g-h)]όπουκαιοιδύορυθμοίείναικαλάσχηματισμένοι. Παρατηρείστεότιπαρόλοπουτο Re{E y }διατηρείποιοτικάτημορφήτουκαιστις τέσσεριςπεριπτώσεις,αντιθέτως,ηp z αλλάζεισημαντικάγιατονίδιορυθμόκαιγιαδιαφορετικόεύρος. Επιπλέον,μπορούμεεύκολαπλέοννασυνδέσουμετησυγκέντρωσητης P z στο επάνω μέρος της ράβδωσης(δηλαδή μακρυά από το μεταλλικό φιλμ) με τις μειωμένες απώλειες διάδοσης. Οι ρυθμοί αυτής της μορφής αποκαλούνται«φωτονικοί»(photonic) ρυθμοί[115], σε αντιδιαστολή με τους«πλασμονικούς» ρυθμούς του DLSPP κυματοδηγού που είναι συγκεντρωμένοι στη διεπιφάνεια ράβδωσης/μετάλλου. Τέλος, σημειώνουμε πως ο χαρακτηρισμός των ανώτερων ρυθμών ως ΤΕ ή ΤΜ πόλωσης, έχει αυστηρή σημασία μόνο κοντά στο κατώφλι εμφάνισης τους. Συνοψίζοντας, ο μετασχηματισμός ενός ανώτερου ρυθμού από φωτονικό σε πλασμονικό (ή αντίθετα) είναι ακόμα ένα ιδιαίτερο γνώρισμα των DLSPP κυματοδηγών. Πάντως, σε κάθε περίπτωση, ο DMI διακόπτης που θα σχεδιάσουμε θα πρέπει να υποστηρίζει δύο και μόνο ρυθμούς, και συνεπώς θα αποφεύγει αυτήν την ιδιάζουσα διασπορά. Προς το σκοπό αυτό,τελικάεπιλέγουμετοεύροςτων 800 nm,απότοσχ.4.20(a),γιατονκυματοδηγό DMI Ανάλυση και σχεδίαση χρήσει ιδιορρυθμών Στην παράγραφο αυτή, θα διαμορφώσουμε ένα θεωρητικό μοντέλο σχεδίασης του 2 2 θερμο-οπτικού διακόπτη DMI DLSPP κυματοδηγού, βασισμένο στους ιδιορρυθμούς της διάταξης. Η ανάλυση αυτή θα βοηθήσει στο επόμενο βήμα της σχεδίασης, που συνίσταται στη χρήση των υπολογιστικά«δαπανηρών» τρισδιάστατων αριθμητικών προσομοιώσεων με 132

147 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς x y Input Y-splitter z Thermo-Optic Addressing Output Y-combiner L DMI L SB L T w DMI Polymer (unheated) Polymer (heated) Metal (unheated) Metal (heated) Oxide Silicon w T wp D SB LSB LT Σχήμα 4.22: Τρισδιάστατη σχηματική απεικόνιση ενός 2 2 θερμο-οπτικού DLSPP διακόπτη, βασισμένου σε DMI κυματοδηγό. Διακρίνονται επίσης οι Y-διακλαδώσεις εισόδου/εξόδου, που θεωρούνται εν γένειδιαφορετικές,ωςπροςτηνπαράμετρο w T. την FE-BPM. Στόχος μας εδώ είναι ο ποιοτικός χαρακτηρισμός της λειτουργίας του εξαρτήματος και η εκτίμηση της επίδοσης του διακόπτη μέσω της ελαχιστοποίησης των απωλειών εισαγωγής(il) και της μεγιστοποίηση του λόγου εξάλειψης(er) μεταξύ των θυρών εξόδου για τις δύο καταστάσεις του διακόπτη. Επίσης, η προσέγγιση που θα ακολουθήσουμε θα αποκαλύψει τα σημεία που απαιτούν προσοχή στη μοντελοποίηση αντίστοιχων διακοπτικών διατάξεων και θα προσδιορίσει τους θεμελιώδεις περιορισμούς στην επίδοση τους. Στο Σχ παρουσιάζεται μία τρισδιάστατη απεικόνιση του συνολικού διακοπτικού εξαρτήματος. Στο πλαίσιο του μοντέλου σχεδίασης μας, ο ευθύγραμμος DMI κυματοδηγός περιγράφεται αυστηρά μόνο χρήσει των χαρακτηριστικών των ιδιορρυθμών του, που εξήχθησανστηνπροηγούμενηπαράγραφο,δηλαδήτων n eff και L prop. Τοκαινούριοστοιχείο της σχεδίασης μας είναι οι Y-διακλαδώσεις(Y-junctions) που βρίσκονται στην είσοδο και στην έξοδο του εξαρτήματος, και λειτουργούν ως συνδυαστής(combiner) και διαχωριστής (splitter), αντίστοιχα. Ο πρώτος συνδυάζει τις δύο εισόδους οδηγώντας στο DMI τμήμα, ενώοδεύτεροςδιαχωρίζειτοεξερχόμενοαπότο DMIσήμαμεταξύτωνδύοεξόδων.Παρατηρείστε ότι οι δύο Y-διακλαδώσεις είναι γενικά διαφορετικές για την είσοδο και την έξοδο, και αποτελούνται από κατοπτρικές(ως προς το κατακόρυφο x = 0 επίπεδο) καμπές S- σχήματος από τμήματα αδιαβατικής μετάβασης(tapering sections) DLSPP κυματοδηγών, οι παράμετροι των οποίων σημειώνονται στο γράφημα. Επιστρέφοντας στο θεωρητικό μας μοντέλο μας, ο συνδυαστής εισόδου περιγράφεται από τον λόγο-διέγερσης ισχύος(power excitation-ratio) μεταξύ των συμμετρικών(s) και αντισυμμετρικών(a) ρυθμών στην είσοδο του DMI κυματοδηγού, όταν μόνο μία από τις θύρες εισόδου διεγείρεται με τον βασικό ΤΜ 00 ρυθμότουμονόρρυθμουκυματοδηγού,πουσυμβολίζεταιμε RS/A in R S/A.Αντίθετα, ο διαχωριστής εξόδου θεωρείται για ευκολία ιδανικός/συμμετρικός κάτι σου σημαίνει πως RS/A out 1.Τέλοςσημειώνουμεπωςοι Sκαι Aυπερρυθμοίθεωρούνταικανονικοποιημένοι σεπλάτοςκαιφάση,έτσιώστεησυμβολήτουςμεδιαφοράφάσης 0ήπναοδηγεί,κατά προσέγγιση, σε αντίγραφα του βασικού DLSPP ρυθμού συμμετρικά εστιασμένα στην αριστερή ή δεξιά πλευρά του DMI κυματοδηγού, αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω παραμέτρους, μπορούμε να αναπτύξουμε τον μιγαδικό βαθμωτόφάκελοτουπεδίουστιςδύοθύρεςεξόδουτουδιακόπτη(e 1 και E 2 )σεκατάλληληυπέρθεσητωνφακέλλωντωνδύουπερρυθμώντου DMIκυματοδηγού(E S και E A ), 133

148 Κεφάλαιο 4 σύμφωνα με τη σχέση[117] E 1,2 (z) = E S (z)±e A (z) = R S/A e γ S z ±e γ A z. (4.18) Στην παραπάνω σχέση, z είναι το μήκος διάδοσης επάνω στον κυματοδηγό συμβολής, το πρόσημο ±είναιγιατιςθύρεςεξόδου 1και 2,αντίστοιχα,και γ q = (1/2L prop )+j2πn eff /λ είναι η μιγαδική σταθερά διάδοσης που εξαρτάται από τη θερμοκρασιακή κατάσταση του DMIτμήματοςκαιτηντάξητουκάθερυθμού, q = {S,A} {TM 00,TE 00 },σύμφωναμε το Σχ Οι δυνατές θερμοκρασιακές καταστάσεις που θα χρησιμοποιήσουμε στη σχεδίαση μας είναι δύο, η ψυχρή(unheated,«u») και η θερμή(heated,«h»), και αντιστοιχούν σεομοιόμορφημεταβολή T = 0και 100Κεντόςτηςράβδωσηςτου DLSPPκυματοδηγού στο DMI τμήμα, αντίστοιχα. Ο ER του διακόπτη, για δεδομένο σύνολο παραμέτρων {z, T,λ},θαδίνεταιαπότησχέση ER E 1 2 / E 2 2,ώστεότανοδιακόπτηςβρίσκεται στηνκατάσταση Cross(ή Bar)ναισχύει ER < 0 db(ή ER > 0 db).προφανώς,οδιακόπτης θεωρείται βελτιστοποιημένος όταν ο ER(σε db) των δύο ακραίων θερμοκρασιακών καταστάσεων λαμβάνει μέγιστη απόλυτη τιμή αντίθετου προσήμου. Τέλος, επισημαίνουμε πως οι απώλειες διάδοσης επάνω στις Y-διακλαδώσεις δεν υπεισέρχονται στο μοντέλο μας καθώς θεωρούνται συμμετρικές, οπότε και δεν θα επηρεάζουν την τιμή του ER παρά μόνο των συνολικών IL. Οπως και για το εξάρτημα SDC της προηγούμενης παραγράφου, η βασικότερη παράμετροςτου DMIδιακόπτηείναιτομήκοςτουευθύγραμμουτμήματοςτουεξαρτήματος L DMI που απαιτείται για την αλλαγή κατάστασης του διακόπτη στις δύο θερμοκρασιακές καταστάσεις. ΗσχέσηπουπροσδιορίζειτομήκοςαυτόείναιταυτόσημημετηνΕξ.(4.5)που δίνειτομήκος L SDC τουσυγχρονισμένουζεύκτη,καιεπαναλαμβάνεταιεδώ: L DMI = L c,(u) L c,(h) L c,(u) L c,(h) = λ/2 Re{ n (S A) eff,(u) n(s A) eff,(h) }. (4.19) Είναι σημαντικό να σημειώσουμε πως η παραπάνω εξίσωση προσδιορίζει το μήκος στο οποίο η διαφορά φάσης που συσσωρεύεται ανάμεσα στους δύο ρυθμούς κατά τη συμβολή τους, μεταξύ της ψυχρής και θερμής κατάστασης, είναι ίση με π[236]. Ομως, για να πετύχουμε έναν θεωρητικά άπειρο ER και για τις δύο καταστάσεις του διακόπτη(cross και Bar),είναιεπιπλέοναπαραίτητοταμήκησύζευξης L c,(u) και L c,(h) ναείναικαιταδύο διαιρέτεςτουμήκους L DMI. Αυτότοαρκετάαυστηρόκριτήριοσπάνιαπληρούται,οπότε ένα πεπερασμένο τοπικό μέγιστο του ER θα πρέπει να αναζητηθεί για κάποιο μήκος στην περιοχή αυτού της Εξ.(4.19). Χρησιμοποιώντας την παραπάνω εξίσωση για τον υπολογισμό τουμήκους L DMI απόταδεδομένατηςπαραμετρικήςμελέτηςτουσχ.4.20,διαπιστώνουμε ότιοιβέλτιστες(ελάχιστες)τιμέςπροκύπτουνγιαεύροςφόρτισης(w DMI w p )κοντά στο κάτω όριο της σκιασμένης περιοχής, ενώ αυξάνονται μονότονα όσο το εύρος αυξάνει. Διαπιστώνουμε δηλαδή, πως όταν ο αντισυμμετρικός ρυθμός βρίσκεται κοντά στο εύρος αποκοπής του, τότε, το θερμο-οπτικό φαινόμενο έχει και τη μεγαλύτερη επίδραση στη δύρρυθμη συμβολή που αξιοποιείται για τη μεταγωγή του διακόπτη. Οπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη παράγραφο, επιλέξαμε ένα εύρος στη μέση της αποδεκτής σκιασμένης περιοχής, w DMI = 800 nm,ώστεναυπάρχειένακατασκευαστικόπεριθώριοασφαλείας,και αυτόαντιστοιχείσε L DMI 58.3μm. Εχονταςεπιλέξειεύρος w DMI καιπροσδιορίσειτομήκος L DMI,μένειναπροσδιορίσουμε τηνεπιθυμητήτιμήγιατονλόγο-διέγερσηςεισόδου, R S/A. Ξεκινώντας,θαεκτιμήσουμε 134

149 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς τον λόγο-εξάλειψης που θα μπορούσαμε να λάβουμε στην απλουστευτική περίπτωση όπου R S/A = 1και Re{γ S } = Re{γ A }. Σημειώνουμεπωςοισυνθήκεςαυτέςικανοποιούνται ποιοτικά στην περίπτωση του διακόπτη συγχρονισμένου κατευθυντικού ζεύκτη(sdc). Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην Εξ.(4.18) και χρησιμοποιώντας τη σχέση ορισμού του ER, προκύπτει η σχέση { ( )} π z ER φ (z) = tan 2 +1, (4.20) 4 L DMI γιατοάνωφράγματουελαχίστου 12 τωνλόγωνεξάλειψηςτωνδύοθερμοκρασιακώνκαταστάσεων(er min ),πουπροφανώςμεγιστοποιείταιγια z = L DMI. ΣημειώνουμεπωςοER για μία μεμονωμένη θερμοκρασιακή κατάσταση μπορεί να ξεπερνάει την παραπάνω πρόβλεψη, αλλά σε κάθε περίπτωση ο μικρότερος των δύο καταστάσεων πάντα θα φράσσεται από αυτήνκαιθαλαμβάνειμέγιστεςτιμέςσεπεριττάπολλαπλάσιατου L DMI. Επιστρέφονταςστηγενικότερηπερίπτωσηόπου Re{γ S } Re{γ A },θαδιερευνηθείη επίδρασητηςδιαφοράςτουχαρακτηριστικούμήκουςαπωλειών(l prop )τωνδύοσυμβαλλόμενων ρυθμών, στη συνολική επίδοση του διακόπτη. Η μη-αμελητέα διαφορά των απωλειών του συμμετρικού και αντισυμμετρικού ρυθμού που παρατηρούμε στο Σχ. 4.20(b), υποδηλώνει πως η συμβολή τους θα γίνεται προοδευτικά ασθενέστερη κατά τη διάδοση, καθώς ο ένας από τους δύο θα υπόκειται μεγαλύτερες απώλειες. Συνεπώς, μετά από κάποια απόσταση, μόνο ένας ρυθμός θα έχει επιβιώσει(αυτός με τις χαμηλότερες απώλειες) και κατ επέκτασηολόγοςεξάλειψηςστηνέξοδοθαείναι ER 0 db,ανεξαρτήτωςτουμήκους ή της θερμοκρασιακής κατάστασης. Αντιθέτως, στην περίπτωση που οι δύο ρυθμοί έχουν ίσες(ή αμελητέες) απώλειες, όπως στην περίπτωση του SDC που περιγράψαμε προηγουμένως, το πρόβλημα αυτό θα είναι ανεπαίσθητο. Προκειμένου να ποσοτικοποιήσουμε την επίδραση της διαφοράς αυτής, εισάγουμε το χαρακτηριστικό μήκος L α,(t) 4 L (S) prop,(t) L(A) prop,(t) (4.21) L (S) prop,(t) L(A) prop,(t), που αναφέρεται σε συγκεκριμένη θερμοκρασιακή κατάσταση, t = {u, h}. Συνδέοντας το χαρακτηριστικό αυτό μήκος με τις προηγούμενες παρατηρήσεις, θα λέγαμε πως η επίδραση τηςδιαφοράςτωναπωλειώνγίνεταιμικρότερηόσοτομήκος L α αυξάνει. Ο προσεκτικός αναγνώστης θα έχει αναγνωρίσει πως η κατάλληλη επιλογή των λόγωνδιέγερσης R S/A των Y-διακλαδώσεωνθαμπορείενδεχομένωςνααντισταθμίσειταπαραπάνω πρόβλημα. Σε πρώτη, βιαστική, προσέγγιση θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι οι Y-διακλαδώσεις εισόδου/εξόδου θα διεγείρουν εξίσου τους δύο υπερρυθμούς είτε του DMI κυματοδηγού είτε, αντίστροφα, του ζεύγους αποσυζευγμένων μονόρρυθμων κυματοδηγών. Αντιθέτως, οι τρισδιάστατες αριθμητικές προσομοιώσεις που διεξάγαμε με την FE-BPM, φανέρωσαν πως κάτι τέτοιο δεν αληθεύει και, ακόμα περισσότερο, η αυθαίρετη επιλογή των παραμέτρων των Y-διακλαδώσεων οδηγεί σε λόγους-διέγερσης αρκετά διαφορετικούς από 1:1.Επιπλέον,τοαναλυτικόμαςμοντέλοπροβλέπειπωςοιβέλτιστεςτιμέςτων R S/A δεν ταυτίζονται με αυτές τις τετριμμένες τιμές, και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αποκατάσταση των αρνητικών επιπτώσεων της διαφοράς απωλειών διάδοσης των υπερρυθμών και συνεπώς για τη βελτιστοποίηση της επίδοσης του διακόπτη. Για παράδειγμα, ο 12 Υπενθυμίζουμεπως,βάσειτουορισμούμας,ότανοιλόγοι ERμετρώνταισε dbκαιείναιιδίουπροσήμου,τότε ER min =

150 Κεφάλαιο 4 λόγος-διέγερσης εισόδου θα μπορούσε να μεταβάλλει το ισοζύγιο ισχύος των συμβαλλόμενων ρυθμών(υπέρ αυτού με τις μεγαλύτερες απώλειες) ώστε να επιτευχθεί ισοζύγιο 1:1 μετάαπόμήκοςδιάδοσηςίσομε z = L DMI,όπουκαιεντοπίζεταιημέγιστητιμήτου ER min βάσει του κριτηρίου της Εξ.(4.20). Στη συνέχεια επιλέξαμε για απλότητα και χωρίς βλάβη της γενικότητας, να θέσουμε το λόγο-διέγερσης εξόδου ίσο με τη μονάδα και να βελτιστοποιήσουμετοναντίστοιχολόγοεισόδου(r S/A )μεπροσεκτικήεπιλογήτωνδομικών παραμέτρων της Y-διακλάδωσης. Εμβαθύνοντας τη μελέτη ακόμα παραπάνω, επισημαίνουμε πως εάν οι διαφορές απωλειών των S-A ρυθμών[ή, ισοδύναμα, τα χαρακτηριστικά μήκη L α τηςεξ.(4.21)]γιατιςδύοθερμοκρασιακέςκαταστάσειςδενταυτίζονται,τότε,βελτιστοποίησητου R S/A στημίακατάστασηθαοδηγούσεσευποβάθμισηστηνάλλη.συνεπώς, η βέλτιστη τιμή που προβλέπει το αναλυτικό μοντέλο μπορεί να υπολογιστεί σταθμίζοντας τηδιαφοράτωναπωλειώνδιάδοσηςστομήκος L DMI,μεταξύτωνδύοθερμοκρασιακών καταστάσεων: R opt S/A = exp { 2L DMI ( 1 L α,(u) + 1 L α,(h) )}. (4.22) Ηπαραπάνωσχέσηπροκύπτειαπαιτώντας R S/A,(t) exp{ α (S) (t) L DMI} = exp{ α (A) (t) L DMI}, όπου α 1/L prop ησταθεράαπωλειώντουρυθμού,καιλαμβάνονταςτονγεωμετρικόμέσο των R S/A,(t) τωνδύοθερμοκρασιακώνκαταστάσεων. Λαμβάνοντας υπόψη το χαρακτηριστικό μήκος της Εξ.(4.21), και για αυθαίρετο γενικά λόγο-διέγερσηςεισόδου R S/A,τοάνωόριοτου ERλόγωτουπεριορισμούτηςδιαφοράς απωλειών κατά μήκος του DMI κυματοδηγού(z) δίνεται από { z ER α,(t) (z) = coth 2 ln{r } S/A}, (4.23) L α,(t) 4 γιακάθεθερμοκρασιακήκατάσταση, t = {u,h}.μετοντρόποαυτό,υποδεικνύεταιπωςη διαφοράτωνχαρακτηριστικώνμηκών L α γιατιςδύοθερμοκρασιακέςκαταστάσειςεπίσης περιορίζειτηνβελτίωσητου ERπουμπορείναεπιτευχθείμεκατάλληληεπιλογήτου R S/A των Y-διακλαδώσεων. Για να ποσοτικοποιήσουμε την επίδραση αυτής της δευτερογενούς υποβάθμισης, εισάγουμε το χαρακτηριστικό μέγεθος L 2 α 2 L α,(u) L α,(h) L α,(u) L α,(h) (4.24) που ποσοτικοποιεί τη διπλή διαφορική ποσότητα, μεταξύ ρυθμών(s, A) και μεταξύ θερμοκρασιακών καταστάσεων(u, h). Τέλος, μπορεί να δειχτεί πως ο μέγιστος επιτρεπτός ER που προβλέπεται από τον βελτιστοποιημένο αυτό σχεδιασμό είναι { } max{er min } = coth 2 LDMI, (4.25) L 2 α ότανολόγος-διέγερσης R S/A επιλέγεταιαπότηνεξ.(4.22)καιτομήκος L DMI απότην Εξ.(4.19). Οπως προείπαμε, αυτός ο μέγιστος ER μπορεί να επιτευχθεί μόνο εφόσον τα μήκησύζευξηςl c καιγιατιςδύοθερμοκρασιακέςκαταστάσεις,εξ.(4.4),είναιδιαιρέτεςτου μήκους L DMI.Σεαντίθετηπερίπτωση,οχαμηλότερος ERθαπρέπειναξεπερνάειτηντιμή cot 2 {πl c,av /8L DMI },όπου L c,av 0.5[L c,(u) +L c,(h) ]είναιτοσταθμισμένομήκοςσύζευξης των δύο καταστάσεων. Η παραπάνω ελάχιστη τιμή του ER προκύπτει αντικαθιστώντας 136

151 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς τηντιμή z = L DMI 0.5L c,av στηνεξ.(4.20),καιχρησιμοποιώνταςτηντριγωνομετρική ταυτότητα tan{θ±π/2} = cot{θ}. Ολοκληρώνοντας αυτήν τη θεωρητική διερεύνηση, σημειώνουμε πως οι απώλειες εισαγωγής κατά μήκος του DMI κυματοδηγού και μόνο(αμελώντας δηλαδή τις απώλειες των Y-διακλαδώσεων εισόδου/εξόδου), δίνονται από τη σχέση IL MMI (z) = 2R S/A e 2γ Sz +2 e 2γ Az ( R S/A +1) 2, (4.26) για κάθε θερμοκρασιακή κατάσταση του διακόπτη. Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση, οι συνολικές απώλειες εισαγωγής θα βρίσκονται πάντα μεταξύ των απωλειών διάδοσης των δύο υποστηριζόμενων ρυθμών. Τέλος, θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του αναλυτικού μας μοντέλου, για να επιδείξουμε τη σημασία των επιμέρους σχεδιαστικών παραμέτρων που εισήχθησαν [117]. Στο Σχ απεικονίζεται ο λόγος εξάλειψης μεταξύ των θυρών εξόδου ενός DMI θερμο-οπτικούδιακόπτη DLSPPκυματοδηγού,εύρους w DMI = 800 nmκαιμήκους z.αρχικά, παρατηρούμε πως η διαφορά των μηκών σύζευξης μεταξύ των δύο θερμοκρασιακών καταστάσεωντελικάοδηγείσεέναμέγιστο ER min (σκιασμένεςπεριοχές)όταν z L DMI, ενώτατοπικάμέγισταεπαναλαμβάνονταικάθε L c,av 2.85μm,γιατονσυγκεκριμένο DMI κυματοδηγό.τοαπόλυτοάνω-φράγματου ER min υπαγορεύεταισεκάθεπερίπτωσηαπότην Εξ.(4.20), που απεικονίζεται με τη μαύρη διακεκομμένη γραμμή. Στο παράδειγμα αυτό, ο λόγοςδιέγερσηςεισόδου, R S/A,τίθεταιίσοςμε 1ή2.1σταΣχ.4.23(a)και(b),αντίστοιχα, με την τελευταία τιμή να είναι η βέλτιστη που προβλέπεται από την Εξ.(4.22). Επίσης, υπενθυμίζεται πως ο αντίστοιχος λόγος διέγερσης στην έξοδο έχει υποτεθεί ίσος με τη μονάδακαιστιςδύοπεριπτώσεις. Οτανολόγος R S/A είναιβελτιστοποιημένος,σχ.4.23(b), τότε τα ER-φράγματα των δύο καταστάσεων[διακεκομμένες-με-τελείες καμπύλες, κόκκινού/μπλεχρώματος,εξ.(4.23)]τέμνονταιακριβώςστοσημείο z = L DMI,προσεγγίζοντας έτσιτο ER max πουπροβλέπεταιαπότηνεξ.(4.25). Ετσι,επιτυγχάνεταιβελτίωσητης επίδοσηςόσοναφοράστο ER min κατά 30 dbσεσχέσημετηνπερίπτωση R S/A = 1,όπου οι καμπύλες των αντίστοιχων φραγμάτων(κόκκινες/μπλε στικτές) φθίνουν κατά μήκος της διάδοσης. Κλείνοντας το θεωρητικό παράδειγμα, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η βελτιστοποίηση των 30 db είναι εφικτή επειδή τα χαρακτηριστικά μήκη της Εξ.(4.21), για τις δύοκαταστάσεις,είναισχεδόνίσα,συνεπώς L 2 α L DMI.Αυτόείναιέμμεσοαποτέλεσμα τηςσυγκεκριμένηςεπιλογήςτουεύρουςτου DMIκυματοδηγού, w DMI = 800 nmαπότο Σχ. 4.20(b), όπου η διαφορά των απωλειών των δύο υπερρυθμών είναι περίπου ίδια για τις δύοθερμοκρασιακέςκαταστάσεις, L (S A) prop,(u) L(S A) prop,(h) Μοντελοποίηση με τη μέθοδο διάδοσης δέσμης Προκειμένου να σχεδιάσουμε τα επιμέρους στοιχεία της διακοπτικής DMI διάταξης και να υπολογίσουμε τη συνολική επίδοση της, θα χρησιμοποιήσουμε την τρισδιάστατη μοντελοποίηση με τη μέθοδο διάδοσης δέσμης πεπερασμένων στοιχείων(fe-bpm). Αρχικά θα σχολιάσουμε κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της εφαρμογής της μεθόδου στο συγκεκριμένο πρόβλημα, στη συνέχεια θα τη χρησιμοποιήσουμε για τη σχεδίαση των Y-διακλαδώσεων εισόδου/εξόδου, θα διεξάγουμε παραμετρικές μελέτες για την ευαισθησία του διακόπτη σε σχέσημετομήκοςτουκυματοδηγού DMIκαιτηθερμοκρασίατου,και,τέλος,θαυπολογίσουμε το εύρος ζώνης του συνολικού εξαρτήματος. 137

152 ` ` Κεφάλαιο 4 60` 40` (a) R S/ A =1 (b) R S/ A =optimized ER (db) 20` 0` -20` -40` ER (` u)` ER Δ α,` ( u)` ER min ER (` h)` ER Δ α,` (` h) ER Δφ -60` 0` 10` 20` 30` 40` 50` 60` 70 DMI Length z (μm) ER (` u)` ER (` ) ER Δ α, (`u) h ER Δ α,` (` h) ER min ER Δφ 0` 10` 20` 30` 40` 50` 60` 70` DMI Length z (μm) Σχήμα 4.23: Λόγος εξάλειψης(er) μεταξύ των θυρών εξόδου ενός 2 2 θερμο-οπτικού διακόπτη DMI κυματοδηγού, ως συνάρτηση του μήκος του(z). Το εύρος της διηλεκτρικής φόρτισης είναι 800 nm και παρουσιάζονται οι δύο θερμοκρασιακές καταστάσεις, η ψυχρή(u, με μπλε) και η θερμή(h, με κόκκινο). Ο λόγος διέγερσης του συμμετρικού και αντισυμμετρικού ρυθμού του DMI στην Y-διακλάδωση εισόδου είναι (a) R S/A = 1και(b) R S/A = 2.1,βελτιστοποιημένοςβάσειτηςΕξ.(4.22). Οαντίστοιχοςλόγοςστην Y-διακλάδωση εξόδου είναι μοναδιαίος. Οι σκιασμένες περιοχές αντιστοιχούν στους εφικτούς συνολικούς ER min γιατοεξάρτημα,καιείναισυμμετρικέςωςπροςτο ER = 0 dbγιακάθε z.τοαπόλυτοάνωφράγμα αυτών, Εξ.(4.20), εικονίζεται με μαύρες διακεκομμένες καμπύλες. Τέλος, τα άνω φράγματα στον ER της κάθε κατάστασης που οφείλονται στη διαφορά των απωλειών των δύο ρυθμών, Εξ.(4.23), εικονίζονται με (a) στικτές ή(b) διακεκομμένες-με-τελείες καμπύλες. Ενα σημείο ιδιαίτερης προσοχής για τη χρήση της BPM στην προσομοίωση πολύρρυθμων διατάξεων κυματοδήγησης όπου οι ταυτόχρονα διαδιδόμενοι ρυθμοί έχουν σημαντική διασπορά στις φασικές τους σταθερές, είναι η επιλογή του δείκτη διάθλασης αναφοράς (n ref ). Γιατον DLSPPκυματοδηγόεύρους 800 nmπουαποτελείτοτμήμα DMIτουδιακόπτη, η διαφορά των ενεργών δεικτών διάθλασης των συμμετρικών και αντισυμμετρικών ρυθμώνείναι n eff 0.3,Σχ.4.20(a),καιαντιστοιχείστο 20-30%τηςαπολύτουτιμής τους. ΟπωςσχολιάστηκεστηνΕνότητα3.3,ηεπιλογήτου n ref επηρεάζεισημαντικάτην ακρίβεια φάσης στη διάδοση των υποστηριζόμενων ρυθμών, όταν οι ενεργοί τους δείκτες διαφέρουν αρκετά μεταξύ τους. Το πρόβλημα γίνεται ακόμα εντονότερο, επηρεάζοντας και την ακρίβεια πλάτους, όταν η παράμετρος ευστάθειας Crank-Nicolson απομακρύνεται από τηνοριακήτιμή α CN = 0.5.Οαναγνώστηςκαταλαβαίνειπωςστηνμοντελοποίησητου DMI που προηγήθηκε, τόσο η ακρίβεια φάσης όσο και η ακρίβεια πλάτους είναι κρίσιμης σημασίας στη βελτιστοποίηση του διακόπτη, καθώς σχετίζονται με τα φράγματα στον ER των Εξ.(4.20) και(4.23), αντίστοιχα. Στις προσομοιώσεις αυτής της παραγράφου, η επιλογή του n ref έγινεέτσιώστεναμηνεπηρεάζειτησχετικήφασικήσυμφωνίατωνρυθμών,και παράλληλα να εισάγει τις ίδιες επιπλέον απώλειες και στους δύο ρυθμούς. Με τον τρόπο δεν υπεισέρχεται σφάλμα στον υπολογισμό του λόγου εξάλειψης ER, έστω και εάν οι συνολικές απώλειες και η απόλυτη συσσώρευση φάσης δεν είναι ακριβείς. Για τον υπολογισμό των παραμέτρων n ref και α CN πουπληρούντηνπαραπάνωσυνθήκη,διενεργήθηκανπροσομοιώσεις ευθυγράμμωντμημάτων DMIμήκους z = L DMI = 60μmσαρώνονταςτιςπεριοχέςτιμών και , αντίστοιχα, για τις δύο θερμοκρασιακές καταστάσεις και για τους δύο ρυθμούς του κυματοδηγού. Επειτα, συγκρίθηκαν οι σχετικές διαφορές-φάσης και οι επιπλέον απώλειες ανά ρυθμό που υπολογίστηκαν από την BPM, ως προς αυτές που προβλέπει το αναλυτικό μοντέλο διάδοσης ιδιορρυθμών. Οι τελικές επιλογές των παραμέτρων τηςμεθόδουγιατοευθύγραμμοκομμάτιτου DMI,γιαβήμα z = 0.5μmκαιπαραξονικό 138

153 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς σχήμαδιάδοσης,ήταν n ref = 1.124και α CN = 0.52,κοινέςγιατιςδύοθερμοκρασιακές καταστάσεις. Αρχικά, χρησιμοποιήσαμε την FE-BPM για τον σχεδιασμό των Y-διακλαδώσεων εισόδου/εξόδου,έτσιώστεναπροσδίδουντουςβέλτιστουςλόγουςδιέγερσης RS/A in = 2.1 και RS/A in = 1,αντίστοιχα,πουπροβλέπειτοθεωρητικόμοντέλοτηςπροηγούμενηςπαραγράφου. Χρησιμοποιήσαμε τη δομή που παρουσιάζεται στο ένθετο του Σχ. 4.22, που περιλαμβάνει καμπές S-σχήματος όπου οι κυματοδηγοί διαπλατύνονται(tapered) γραμμικά μετο zαπότοονομαστικόεύροςτων 500 nmμέχριτοεύρος W T /2. Στηνπερίπτωση που W T < 1000 nm,τότεοιδύοκυματοδηγοίσυγχωνεύονται,καιορίζουμεωςελάχιστο W T = 500 nm. Επιπλέον,ορίζουμεταμήκη L SB = 10μm, L T = 10μmκαι D SB = 6μm καιαφήνουμεωςπαράμετροπροςυπολογισμότοεύρος W T γιατηνκάθε Y-διακλάδωση. Σημειώνουμε πως υπάρχουν διάφοροι τρόποι να σχεδιάσει κανείς τις Y-διακλαδώσεις, και εδώ επιλέχθηκε η συγκεκριμένη δομή λόγω της συμβατότητας της με την BPM, καθώς η απουσία απότομων μεταβολών κατά την z-διεύθυνση δεν παραβιάζει την εφαρμοσιμότητα τηςμεθόδου. Οιπροσομοιώσειςγίνονταιεισάγονταςτονβασικό TM 00 ρυθμούτουμονόρρυθμου κυματοδηγού στη μία μόνο θύρα εισόδου του Y-συνδυαστή, και προχωρώντας τον αλγόριθμο διάδοσης μέχρι την είσοδο του ομοιόμορφου DMI κυματοδηγού, δηλαδή σε ένασυνολικόμήκος L SB + L T. Στοσημείοεκείνο,υπολογίστηκεολόγοςδιέγερσηςως R S/A = c (S) OI 2 / c (A) OI 2,όπουοιποσότητες c (m) OI είναι μιγαδικής τιμής ολοκληρώματα επικάλυψης του πεδίου στην είσοδο του DMI με τους συμμετρικούς και αντισυμμετρικούς ρυθμούς του, c (q) OI = (E BPM H q ) ẑdxdy (E q H q) ẑdxdy, (4.27) όπου q = {S,A}είναιητάξητωνρυθμώντου DMI DLSPPκυματοδηγού. Ταεγκάρσιαπροφίλ E q υπολογίστηκαναπότοεργαλείοεύρεσηςιδιορρυθμώνκαιέχουνμοναδιαία συνολικήοδηγούμενηισχύ(1 W).Τελικά,γιαπαραμέτρους n ref = 1.15, α CN = 0.60, z = 0.25μmκαισχήμαδιάδοσηςευρείαςγωνίαςμεπροσέγγιση Padéτάξης (4,4),υπολογίστηκανοιτιμέςτων W T πουοδηγούνστουςεπιθυμητούς R S/A στηνείσοδοκαιτην έξοδο, WT in = 1.05μmκαι Wout T = 1.30μm,αντίστοιχα.Σημειώνεταιπωςδενμοντελοποιήθηκε η Y-διακλάδωση εξόδου, καθώς η συμπεριφορά της αναμένεται αμοιβαία αυτής της εισόδου. Τέλος, θα πρέπει να επισημάνουμε πως ορθή μοντελοποίηση των Y-διακλαδώσεων θα μπορούσε να γίνει εναλλακτικά με την τρισδιάστατη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(3d-fem)[103, 160], λόγω των σχετικά μικρών διαστάσεων τους. Αντιθέτως, η μοντελοποίηση του DMI κυματοδηγού μπορεί να γίνει πολύ πιο εύκολα και εξίσου ορθά με την BPM, καθώς το μεγάλο μήκος διάδοσης είναι απαγορευτικό για την 3D-FEM. Πάντως, τονίζουμε πως σε κάθε περίπτωση, η FE-BPM χρησιμοποιήθηκε με τρόπο συμβατό προς το θεωρητικό μοντέλο που αναπτύξαμε, ώστε να είναι δυνατή η συγκριτική αξιολόγηση των δύο εργαλείων με συνεκτικό τρόπο. Εχοντας σχεδιάσει τις Y-διακλαδώσεις και έχοντας αναφερθεί στο ζήτημα της κατάλληληςεπιλογήςτων n ref και α CN,προχωράμεστημοντελοποίησητηςπλήρουςθερμο-οπτικής διακοπτικής διάταξης με την FE-BPM. Οπως και προηγουμένως, για δεδομένο σύνολο παραμέτρων {z, T, λ}, εισάγουμε τον βασικό ρυθμό στη μία είσοδο του εξαρτήματος και προχωράμε με τον αλγόριθμο διάδοσης μέχρι την έξοδο, όπου υπολογίζουμε τον λόγο εξάλειψης(er) μεταξύ των θυρών. Ο τελευταίος υπολογίζεται με ολοκλήρωση της πυκνότητας οδηγούμενηςισχύοςστηνδιατομήτηςεξόδου,στουςδύοημιχώρους x 0,όπου x = 0 είναι το μέσο της απόστασης μεταξύ των δύο κυματοδηγών. Σημειώνουμε ακόμα πως στις 139

154 Κεφάλαιο 4 ER (db) ` 0-10` ER ( u)` -20` -20` -30` (a) ER ( h )` ER min -30` (b) 45` 47.5` 50` 52.5` 55` 57.5` 60` 62.5` 65` 0` 10` ` ` DMI Length ` z (`μm) ` 0-10` Temperature Shift Δ T (K) L opt +0.5μm L opt _ L opt 0. 5μm Σχήμα4.24: Λόγοςεξάλειψηςθυρώνεξόδου(ER)σεέναθερμο-οπτικό 2 2διακόπτη DMI DLSPP κυματοδηγού όπως υπολογίστηκε με την FE-BPM. Το εύρος της ράβδωσης του DLSPP κυματοδηγού του DMIτμήματοςείναι 800 nmκαιτοβέλτιστο ER min 30 dbλαμβάνεταιστο L opt 57.9μmκαιμεταξύ τωνθερμοκρασιών T = 0(u)και 100Κ(h).Παρουσιάζεταιηευαισθησίατου ERωςσυνάρτηση(a)του μήκους του DMI τμήματος, για τις δύο θερμοκρασίες και(b) της θερμοκρασίας του τμήματος συμβολής, για τρία μήκη πλησίον του βέλτιστου μήκους. ER (db) 30` 20` 10` +ER _ ER ( u) (` h)` ER min 0` 1500` 1520` 1540` 1560` 1580` 1600` Wavelength λ (nm) Σχήμα 4.25: Φασματική απόκριση του θερμο-οπτικού 2 2 διακόπτη DMI DLSPP κυματοδηγού, όπως υπολογίστηκεμετην FE-BPM,γιατοβέλτιστομήκος L opt 57.9μmκαιμεταξύτωνθερμοκρασιών T = 0(u)και 100Κ(h). Τοεύροςζώνηςτουεξαρτήματοςόπουοελάχιστοςκοινός ER min > 10 db είναι περίπου 43 nm. προσομοιώσεις που διεξάγαμε, μόνο το ομοιόμορφο τμήμα του DMI κυματοδηγού θεωρείται ότι θερμαίνεται, και η μεταβολή του δείκτη λαμβάνεται ομοιόμορφη σε όλο το z-μήκος και τη xy-διατομή της ράβδωσης πολυμερούς. Στο Σχ παρουσιάζουμε την ευαισθησία του λόγου εξάλειψης ως συνάρτηση(a) του μήκους του DMI κυματοδηγού, για τις δύο ακραίες θερμοκρασίες, και (b) της θερμοκρασίας, για τρία μήκη κοντά στη βέλτιστη επιλογή. Παρατηρούμε πως το βέλτιστο μήκος είναι L opt 57.9μmόπουεπιτυγχάνεταιελάχιστοςκοινός ER min 30 dbγιατιςδύο ακραίεςθερμοκρασίες T = 0(u)και 100Κ(h). Οιαντίστοιχεςτιμέςπουπροέβλεψε το αναλυτικό μοντέλο ιδιορρυθμών της προηγούμενης παραγράφου ήταν 58.2 μm και ER min > 40 db,πουβρίσκονταιπολύκοντάσεαυτέςπουυπολογίστηκανμετην FE-BPM. Για τον συγκεκριμένο διακόπτη, η κατάσταση Bar και Cross αντιστοιχούν στη ψυχρή και τη θερμή θερμοκρασιακή κατάσταση, αντίστοιχα. Από την ευαισθησία στη θερμοκρασία, Σχ. 4.24(b), παρατηρούμε πως μικρές αποκλίσεις της τάξης των 0.5 μm στο μήκος του εξαρτήματος, μπορούν να υποβαθμίσουν αισθητά την επίδοση του διακόπτη σε μία από τις δύο του καταστάσεις. Η άλλη κατάσταση θα μπορεί πάντα να αντισταθμιστεί για κατάλληλη θερμοκρασιακή μεταβολή μεταξύ των επιτρεπτών τιμών T = 0-100Κ. Η φασματική απόκριση του διακόπτη παρουσιάζεται στο Σχ. 4.25, και προκύπτει ένα εύρος ζώνης ίσο 140

155 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς με 43 nm(ή 13 nm)ότανμετράταιγιαλόγοεξάλειψης ER min > 10 db(ή 20 db).το εύροςζώνης 10 db,μετρούμενοαπότηβέλτιστητιμήτου ER min,είναιπερίπου 11 nm. Τέλος σημειώνουμε πως απόκλιση του μήκους του DMI από τη βέλτιστη τιμή του οδηγεί σε αντίστοιχη απόκλιση στο μήκος κύματος όπου η επίδοση είναι τοπικά βέλτιστη. Στην περίπτωσημας,οι FE-BPMπροσομοιώσειςέδειξανπώςαπόκλιση δλ = ±25 nmαπότο κεντρικό μήκος κύματος σχεδιασμού των 1550 nm αντιστοιχεί σε μεταβολή 0.5 μm από στο βέλτιστο μήκος του DMI κυματοδηγού. Ολοκληρώνοντας την αξιολόγηση του διακόπτη DMI με την FE-BPM, υπολογίσαμε πωςοιαπώλειεςεισαγωγήςτουεξαρτήματοςείναιτηςτάξηςτων 11 db,μετα 4-5 dbνα αποδίδονται στις παθητικές Y-διακλαδώσεις. Είναι πιθανό κάποιος άλλος σχεδιασμός, ή ακόμα και η χρήση άλλου τύπου κυματοδηγών χωρίς απώλειες(όπως κυματοδηγών SOI, Παράγραφος 4.3.2), να οδηγούσε σε μικρότερες συνολικές απώλειες, αν και το βασικό μέρος των απωλειών που οφείλεται στον πλασμονικό DLSPP κυματοδηγό δεν μπορεί να συμπιεστεί περαιτέρω. Τέλος, το αποτύπωμα(footprint) του συνολικού εξαρτήματος είναι τηςτάξηςτων μm Πειραματική επιβεβαίωση Στα πλαίσια διεθνούς συνεργασίας[115], κατασκευάστηκε και μετρήθηκε μία θερμο-οπτική 2 2 διακοπτική διάταξη βασισμένη σε DMI DLSPP κυματοδηγούς, αντίστοιχη με αυτήν που μελετήσαμε και σχεδιάσαμε στις προηγούμενες παραγράφους. Τα δείγματα κατασκευάστηκαν και μετρήθηκαν στο Université de Bourgogne (UB). Το δείγμα που κατασκευάστηκε αποτελούνταν από διηλεκτρική φόρτιση πολυμερούς cycloaliphatic acrylate polymer (Cyclomer)πάχους t p = 540 nm,επάνωσεομοιόμορφο (χωρίςμορφοποίηση)φιλμχρυσούμεπάχος t m = 60 nm,τοοποίοείχετοποθετηθείεπάνω σε γυάλινο υπόστρωμα, ενώ το περίβλημα ήταν αέρας. Πριν τη χάραξη με λιθογραφία δέσμης ηλεκτρονίων(electron beam lithography, EBL), το πολυμερές χαρακτηρίστηκε με μετρήσειςελλειψομετρίαςστην C-bandτουφάσματος,απ όπουπροέκυψανοιτιμές c TO = /Κκαι n = 1.53,γιατονθερμο-οπτικόσυντελεστήκαιτονδείκτηδιάθλασης, αντίστοιχα. Ο DMIκυματοδηγόςείχεμήκος 119μm,καιτοεύροςτουμετάτηχάραξη ήταν περίπου 800 nm. Παρατηρούμε πως το μήκος επιλέχθηκε αρκετά μεγάλο(με κόστος τις αυξημένες απώλειες εισαγωγής) ώστε αφενός να υπάρχει η δυνατότητα αντιστάθμισης προβλημάτωνόπωςμείωσητουc TO μετάτηνέκθεσηστηνeblκαιαφετέρουνααποφευχθεί η θέρμανση με μεγάλης τιμής ηλεκτρικό ρεύμα που μπορεί να προκαλέσει μόνιμη αλλοίωση στο δείγμα. Οι Υ-διακλαδώσεις εισόδου/εξόδου αποτελούνταν από τεταρτοκύκλια ακτίνας 10 μm μονόρρυθμων DLSPP κυματοδηγών εύρους 540 nm. Η μορφή τους παρουσιάζεται στο Σχ. 4.26(a)-(b), που προέρχεται από εικόνα ηλεκτρονικού μικροσκοπίου. Ο πειραματικός χαρακτηρισμός της διάταξης έγινε με χρήση μικροσκοπίας διαρρέουσας ακτινοβολίας (leakage radiation microscopy, LRM). Για επιλεγμένη θερμοκρασιακή κατάσταση ολόκληρης της διάταξης, η δέσμη εισόδου δεδομένου μήκους κύματος εστιάζεται στη μία είσοδο της διάταξης και υπολογίζεται ο λόγος εξάλειψης(er) μεταξύ των θυρών εξόδου, μέσω επεξεργασίας της LRM εικόνας που λαμβάνεται. Στο Σχ. 4.27(a) παρουσιάζεται LRM εικόνα που ελήφθη για ακτινοβολία 1566 nm όταν η διάταξη ήταν σε θερμοκρασία δωματίου, η οποία αντιστοιχίζεται στην Cross κατάσταση του διακόπτη. Σαρώνοντας τα μήκη κύματος, Σχ. 4.27(c), μετρήθηκε μια μέγιστη μεταβολή της μετάδοσης περίπου 30 db, βέλτιστος λόγος ER μεγαλύτερος από 7 db(στα 1566 nm), απώλειες εισαγωγής(il) περίπου 10 dbκαιελεύθεροφασματικόεύρος(free spectral range, FSR)ίσομε nm. 141

156 Κεφάλαιο 4 (a) (b) 10μm Σχήμα 4.26: (a)-(b) Φωτογραφίες ηλεκτρονικού μικροσκοπίου από τα κατασκευασμένα δείγματα, ε- στιάζοντας στις Y-διακλαδώσεις εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα, επιδεικνύοντας την καλή ποιότητα. Τέλος, υπολογίστηκε πως διοχέτευση ρεύματος θέρμανσης 400 ma στο μεταλλικό φίλμ αντιστοιχούσε σε αύξηση θερμοκρασίας περίπου 60 Κ σε σχέση με τη θερμοκρασία δωματίου, και προκαλούσε φασματική μετατόπιση περίπου ίση με 20 nm. Εχοντας τις κατασκευαστικές προδιαγραφές της διάταξης, προχωρήσαμε στην υπολογιστική μοντελοποίηση της με την τρισδιάστατη FE-BPM, προκειμένου να συγκρίνουμε τα πειραματικά αποτελέσματα με τις αριθμητικά προβλεπόμενα. Οι μετρήσεις που θα συγκρίνουμε συμπυκνώνονται στη φασματική περιγραφή της μετάδοσης(transmission) σε καθεμία απότιςδύοθύρεςεξόδουτηςδιάταξης,ότανηδιέγερσηεισάγεταιμόνοστημίαθύραεισόδου, για δύο θερμοκρασιακές καταστάσεις. Αρχικά, σημειώνουμε πως καθώς η BPM δενμπορείναχειριστείδιατάξειςόπουτοοπτικόκύμαοδηγείταισεστροφή 90,συνεπώς, το κάθε τόξο τεταρτοκυκλίου(στις Υ-διακλαδώσεις) μοντελοποιήθηκε με δύο συναπτά τόξα ενός ογδόου του κύκλου, ίδιας ακτίνας καμπυλότητας αλλά αντιθέτου κυρτότητας. Με τον τρόπο αυτό, η BPM λαμβάνει υπόψη το εσωτερικό τμήμα των Υ-διακλαδώσεων πουεπηρεάζειπρωτίστωςτονλόγο-διέγερσης(r S/A )τηςκαθεμιάς. Ηκάτοψητηςδιάταξης φαίνεται στο Σχ. 4.27(b), όπου παρουσιάζεται η κατανομή της έντασης της κυρίαρχης εγκάρσιας συνιστώσας του πεδίου στο xz-επίπεδο, 5 nm πάνω από το τη διεπιφάνεια μετάλλου/διηλεκτρικού. Πρόκειται για την κατάσταση Cross του διακόπτη που λαμβάνεται για T = 0,ότανδηλαδήηόληδιάταξηείναισεθερμοκρασίαδωματίου,καιγιατομήκος κύματοςτων 1580 nm. Ετσι,γιακάθεμήκοςκύματος,εισάγουμετονβασικό TM 00 ρυθμό στηνίδιαθύραεισόδου,προχωρούμετοναλγόριθμοδιάδοσης 13 μέχριτηνέξοδοκαιμετράμε τη μετάδοση στις δύο θύρες εξόδου, υπολογίζοντας έτσι τη φασματική απόκριση του εξαρτήματος στο Σχ. 4.27(d). Επισημαίνεται πως η θερμή(heated) θερμοκρασιακή κατάσταση πουοδηγείσεφασματικήμετατόπισηκατά 20 nmαντιστοιχείστημεταβολή T 15Κ, και όχι 60 Κ που εκτιμήθηκε από την πειραματική διάταξη. Αυτό ενδεχομένως σημαίνει πως ο θερμο-οπτικός συντελεστής του Cyclomer είναι τρεις με τέσσερις φορές μικρότερος σε σχέσημετημέτρησηπριντηνχάραξημε EBL.Πάντως,σεκάθεπερίπτωση,ταφασματικά χαρακτηριστικά ER, IL και FSR της μετάδοσης βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με τις πειραματικές μετρήσεις, Σχ. 4.27(c), με αναμενόμενα μικρές αποκλίσεις στο ακριβές μήκος κύματος που μεγιστοποιείται η μετάδοση ή λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή του ο συμμετρικός λόγος ER(10 db στα 1580 nm). Οι αποκλίσεις αυτές πιθανότατα οφείλονται στην ακρίβεια μέτρησης του μήκους του εξαρτήματος. Αξίζει να σημειωθεί πως δεν έγινε καμία προσπάθεια σχεδιασμού των Υ-διακλαδώσεων στην κατασκευή, προκειμένου να ληφθεί μέριμνα για τη διαφορά απωλειών των συμβαλλόμε- 13 Γιατιςτιμέςτωνπαραμέτρωντηςμεθόδουαναφερθείτεστηνπροηγούμενηπαράγραφο. 142

157 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς (a) λ= 1566nm, unheated (b) E y λ= 1580nm, unheated x z #2 (c) -10 input (d) -10 L DMI =119μm #1 Transmission (db) #1 (unheated) #2 (unheated) #1 (heated) #2 (heated) Wavelength (μm) Transmission (db) #1 (unheated) #2 (unheated) #1 (heated) #2 (heated) Wavelength (μm) Σχήμα 4.27: (a) Εικόνα LRM στην ψυχρή κατάσταση του διακοπτικού στοιχείου και για μήκος κύματος 1566 nm, που αντιστοιχεί στην Cross κατάσταση του διακόπτη. (b) Πλάτος της κυρίαρχης εγκάρσιας συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος, στο xz-επίπεδο της διάταξης 5 nm επάνω από τη διεπιφάνεια μετάλλου/πολυμερούς, όπως υπολογίστηκε μέσω τρισδιάστατης μοντελοποίησης της διάταξης με την FE-BPM. Παρουσιάζεται η Cross κατάσταση του διακόπτη που αντιστοιχεί στην ψυχρή κατάσταση και στο μήκος κύματος των 1580 nm. (c)-(d) Φασματική απόκριση της διάταξης, όπως μετρήθηκε πειραματικά και όπως υπολογίστηκε αριθμητικά με την FE-BPM, για τις θερμοκρασιακές μεταβολές T = 0(unheated) και T max (heated).στις FE-BPMπροσομοιώσεις,ηφασματικήμετατόπισητων 20 nmαντιστοιχούσε σε T max = 15Κ.Παρατηρούμεπωςέχουμεσυμμετρικήεπίδοσημελόγο ER 7και 10 dbκαιγιατις δύο καταστάσεις στο μήκος κύματος 1566 nm και 1580 nm, για την πειραματική και την υπολογιστική μελέτη της διάταξης, αντίστοιχα. νων ρυθμών στον κυματοδηγό DMI που σχολιάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Παρ όλα αυτά, και προφανώς συμπτωματικά, ο συγκεκριμένος τύπος Υ-διακλαδώσεων(κοινός στηνείσοδοκαιστηνέξοδο)αντιστοιχείσε R S/A 2πουείναιπολύκοντάστηβέλτιστη του τιμή που μεγιστοποιεί τον λόγο εξάλειψης μεταξύ θυρών εξόδου, βάσει του θεωρητικού μαςμοντέλουκαιγιατομήκοςτων 119μm. Πρέπεινατονιστείπωςαυτήηδιαφορά,σε σύγκριση με τον DMI διακόπτη που σχεδιάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο(όπου ο λόγοςδιέγερσηςεισόδουήτανμενπερίπουίσοςμε 2,αλλάοδελόγοςεξόδουήτανίσος με τη μονάδα), οφείλεται στο περίπου διπλάσιο μήκος του κυματοδηγού συμβολής. Εξετάζοντας το ζήτημα ποιοτικά, αντιλαμβανόμαστε πως το διπλάσιο μήκος οδηγεί σε απαίτηση για διπλάσια συνολική στάθμιση των δύο ρυθμών, υπέρ αυτού με τις μεγαλύτερες απώλειες, δηλαδήτουσυμμετρικούτμ 00.Συνεπώς,ενώστονθεωρητικόσχεδιασμότιςπροηγούμενηςπαραγράφουπροέκυπτε RS/A out Rin S/A 2,πουαποδίδοντανγιααπλότηταεξολοκλήρου στηνυ-διακλάδωσηεισόδου,εδώαπαιτείται RS/A in Rin S/A 4,καιμοιράζεταιεξίσουμεταξύ εισόδου και εξόδου Αποσυγχρονιζόμενος κατευθυντικός ζεύκτης Στην τελευταία αυτήν παράγραφο, θα ασχοληθούμε με τη θερμο-οπτική 2 2 διακοπτική διάταξη του αποσυγχρονιζόμενου κατευθυντικού ζεύκτη(desynchronized directional coupler, DDC). Η συγκεκριμένη μορφή διαφοροποιείται από την περίπτωση του συγχρονισμένου ζεύκτη(sdc) στο ότι η θέρμανση εφαρμόζεται μόνο στον έναν από τους δύο 143

158 Κεφάλαιο 4 0.1μm Oxide (SiO ) 2 Silicon n=1.5 d gap w slot 1μm 0.5μm y 0.6μm 1.5μm x Inf. Polymer (unheated) Polymer (heated) Metal (unheated) Metal (heated) Oxide Silicon Σχήμα 4.28: Σχηματικό διάγραμμα διατομής ενός DDC κυματοδηγών DLSPP, όπου σημειώνουμε τις τιμές των βασικών δομικών παραμέτρων. Απεικονίζεται η αποσυγχρονισμένη κατάσταση του διακόπτη, όπου ο δεξιός κυματοδηγός βρίσκεται σε υψηλότερη θερμοκρασία από τον αριστερό. επιμέρους DLSPP κυματοδηγούς που απαρτίζουν τον ζεύκτη, και όχι εξίσου και στους δύο. Για τη διοχέτευση του ρεύματος θέρμανσης στο μεταλλικό υπόστρωμα μόνο του ενός κυματοδηγού του ζεύκτη, είναι απαραίτητο να διαχωριστεί το φιλμ με μία εγκοπή(slot), Σχ.4.28,πουθαδιατρέχειόλοτομήκοςτουεξαρτήματοςκαιθαέχειόσοτοδυνατόμικρότερο πλάτος. Το τελευταίο οφείλεται στο ότι αύξηση του πλάτους της εγκοπής οδηγεί σε αύξηση των απωλειών των υπερρυθμών του κυματοδηγού, τόσο στη σύγχρονη όσο και στην ασύγχρονη του κατάσταση. Στη διάταξη που θα μελετήσουμε, οι ελεύθερες παράμετροιείναιτοδιάκενομεταξύτωνδύοραβδώσεωνπολυμερούς(d gap )καιτοπλάτοςτης εγκοπής(w slot ). Τομεταλλικόφιλμείναιαπόχρυσόμεδείκτη n = 0.55 j11.5,ενώτο υλικόφόρτισηςέχειθερμο-οπτικόσυντελεστή c TO = /Κκαιδείκτη n = 1.5. Οι δύο ακραίες θερμοκρασιακές καταστάσεις της σχεδίασης μας, η ψυχρή(unheated,«u») καιηθερμή(heated,«h»),αντιστοιχούνσεμεταβολέςθερμοκρασίας T = 0και 100Κ, αντίστοιχα, ομοιόμορφα κατανεμημένες μέσα στον έναν μόνο κυματοδηγό του ζεύκτη, και πιο συγκεκριμένα στον δεξιό σύμφωνα με το Σχ Οπως συζητήθηκε στην Παράγραφο 4.2.1, η σχεδιαστική αρχή του διακόπτη DDC είναι ηρύθμισητουδιακένουμεταξύτωνκυματοδηγώνέτσιώστε L c,(u) = L b,(h),γιαδεδομένη μέγιστηθερμοκρασιακήμεταβολή( T max )καιζεύκτημήκους L DDC = L c,(u). Ταχαρακτηριστικάμήκησύζευξηςκαιασυμφωνίας, L c και L b,δίνονταιαπότιςεξ.(4.4)και(4.6), αντίστοιχα. Η αρχή λειτουργίας στηρίζεται στην εφαρμογή επαρκούς θέρμανσης στον ένα κυματοδηγό,ώστεναεισάγειαποσυγχρονισμό βl DDC 3πστηνέξοδοτουζεύκτη. Καταλαβαίνει κανείς ότι σε αυτήν τη διάταξη θα πρέπει να γίνει κάποιος συμβιβασμός στο γινόμενο (c TO T max ) L,όπουοπρώτοςόροςσχετίζεταιμετιςθερμο-οπτικέςιδιότητες του υλικού φόρτισης ενώ ο δεύτερος υπαγορεύεται από τις μέγιστες απώλειες εισαγωγής που μπορούμε να δεχτούμε. Κατά κάποιον τρόπο, η λειτουργία του DDC ομοιάζει με αυτήν του συμβολομέτρου Mach-Zehnder, μόνο που εδώ οι δύο βραχίονες/κυματοδηγοί είναι συζευγμένοι,γι αυτόκαιαπαιτείταιδιαφοράφάσηςπερίπου 3-φορές(+73%)μεγαλύτερη. Για τη σχεδίαση αυτού του διακόπτη θα χρησιμοποιήσουμε αρχικά το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών και θα μοντελοποιήσουμε ολόκληρο τον DDC, όπως παρουσιάζεται στο Σχ. 4.28, δηλαδή ως έναν υπερκυματοδηγό που θα υποστηρίζει υπερρυθμούς ΤΜ πόλωσης, αντίστοιχους με αυτούς των DMI και SDC που μελετήσαμε προηγουμένως. Οταν ο ζεύκτης βρίσκεται στη σύγχρονη κατάσταση, δηλαδή όταν και οι δύο βραχίονες είναι στην ίδια θερμοκρασία, τότε οι δύο υπερρυθμοί θα είναι αμιγώς συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί κατά την x-διάσταση, Σχ. 4.29(a)-(b), όπως στην περίπτωση του SDC. Αντιθέτως, όταν ο ζεύκτης είναι αποσυγχρονισμένος, τότε η ασυμμετρία των δεικτών διάθλασης κατά την 144

159 ` ` ` ` 4.4. Διατάξεις συμβολής σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς (a) Synchronized - Symmetric mode (c) Desynchronized - Left waveguide mode n=1.5 n=1.5 n=1.5 n=1.485 y x Re{ E y } y x Re{ E y } (b) Synchronized - Antisymmetric mode (d) Desyncrhonized - Right waveguide mode n=1.5 n=1.5 n=1.5 n=1.485 y x Re{ E y } y x Re{ E y } Σχήμα 4.29: (a)-(b) Συμμετρικός και αντισυμμετρικός ρυθμός ενός συγχρονισμένου ζεύκτη DLSPP κυματοδηγών. (c)-(d) Ρυθμός αριστερού και δεξιού κυματοδηγού ενός αποσυγχρονισμένου ζεύκτη με μεταβολήθερμοκρασίας T = 50Κστονδεξιόκυματοδηγό(c TO = /Κ).Εικονίζεταιηεγκάρσια κατανομή του πραγματικού μέρους της κυρίαρχης συνιστώσας του πεδίου για τους ρυθμούς ΤΜ πόλωσης. ΟιδιαστάσειςτωνκυματοδηγώνείναιόπωςστοΣχ.4.28,μεδιάκενο d gap = 1μmκαιπλάτοςεγκοπής w slot = 100 nm. οριζόντια x-διεύθυνση θα αποτυπώνεται και στους υπερρυθμούς. Για παράδειγμα, όταν ο δεξιός κυματοδηγός θερμαίνεται τότε θα μειώνεται ο δείκτης διάθλασης του υλικού φόρτισης του, οπότε και ο συμμετρικός/αντισυμμετρικός ρυθμός(με τον μεγαλύτερο/μικρότερο n eff ),θαμετατοπίζεταιπροςτοναριστερό/δεξιόκυματοδηγό,αντίστοιχα.αυτήηκατάστασηαπεικονίζεταιστασχ.4.29(c)-(d),για T = 50Κ,διάκενο d gap = 1μmκαιπλάτος εγκοπήςw slot = 100nm.Οιασύμμετροιαυτοίυπερρυθμοίδιατηρούνχαρακτηριστικάάρτιας και περιττής συμμετρίας ως προς το μέσο της απόστασης τους, αλλά με άνιση κατανομή στους δύο x-ημιχώρους. Υπενθυμίζουμε πως στην περίπτωση του αποσυγχρονισμένου ζεύκτη δεν είναι δυνατή η πλήρης μεταφορά ισχύος από τον έναν κυματοδηγό στον άλλο. Συνεπώς, η κατάσταση συγχρονισμού θα πρέπει αναγκαστικά να σχεδιαστεί ώστε να αντιστοιχίζεται στην κατάσταση Cross του διακόπτη, με κατάλληλη ρύθμιση του μήκους του ζεύκτη. Αντιθέτως, στην κατάσταση αποσυγχρονισμού θα επιδιώκεται η βελτιστοποίηση της κατάστασης Bar, στο ίδιο μήκος και για δεδομένη μέγιστη θερμοκρασιακή μεταβολή. Χρησιμοποιώντας το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό μήκοςσύζευξης(l c )καιασυμφωνίας(l b ),στηνψυχρή(συγχρονισμένη)καιστηθερμή (αποσυγχρονισμένη) κατάσταση του DDC, αντίστοιχα, ως συνάρτηση του διακένου των κυματοδηγών(d gap ). Ηαποσυγχρονισμένηκατάστασηαντιστοιχείστηνπερίπτωσηόπου υπάρχει μεταβολή θερμοκρασίας T = 100 Κ στον έναν μόνο κυματοδηγό/βραχίονα του ζεύκτη.στοσχ.4.30(a)απεικονίζεταιτοσυνολικόμήκοςτουεξαρτήματος, L DDC = L c,(u), γιατρίαδιαφορετικάπλάτηεγκοπής(w slot ), ενώστο (b)αποτυπώνεταιολόγος r L L c,(u) /L b,(h) πουζητούμεναισούταιμετημονάδα.οιδύοπαραπάνωσυνθήκεςεξασφαλίζουν τη βέλτιστη επίδοση του διακόπτη και στις δύο καταστάσεις. Διαπιστώνουμε πως για το οριακάμικρόπλάτοςεγκοπήςτων w slot = 100 nm,τοαπαιτούμενοδιάκενοείναιπερίπου d gap = 1μmενώτοσυνολικόμήκοςτου DDCθαείναιπερίπου L DDC = 52μm.Ηιδανική περίπτωση της εγκοπής μηδενικού πάχους παρουσιάζεται για σύγκριση, όπου βλέπουμε πως δεν διαφοροποιείται σημαντικά από τις προηγούμενες, όσον αφορά στον υπολογισμό τουδιακένου πουοδηγείσελόγο r L = 1. Επίσης, σημειώνουμεπωςούτεηαύξηση τουπλάτουςτηςεγκοπήςπροκαλείσημαντικήμεταβολήτουβέλτιστου d gap. Απεναντίας, 145

160 ` ` Κεφάλαιο 4 =L c,( u ) (μm) L DDC 80` 70` 60` 50` 40` 30` w slot (nm) 0 100nm 300nm = L c, ( u ) / L b, ( h ) r L 1.4` 1.3` 1.2` 1.1` 1` 0.9` 0.8` 0.7` w slot (nm) 0` 100nm 300nm 20` 800` 900` 1000` 1100` Waveguide gap (nm) d gap 800` 900` 1000` 1100` Waveguide gap (nm) d gap Σχήμα 4.30: (a) Συνολικό μήκος εξαρτήματος και (b) λόγος μήκους σύζευξης προς μήκος ασυμφωνίας, ως συνάρτηση του διακένου των κυματοδηγών, και για τρία πλάτη εγκοπής. διαπιστώσαμε πως μεγαλύτερα πλάτη εγκοπής οδηγούν σε αυξημένες απώλειες διάδοσης για τους DLSPP υπερρυθμούς, λόγω της περιορισμένης έκτασης του μετάλλου στην εσωτερική πλευρά κάθε κυματοδηγού του ζεύκτη, και γι αυτό το λόγο θα πρέπει να αποφεύγονται. Από τη μελέτη ιδιορρυθμών, παρατηρήθηκε πως υπάρχει μη-αμελητέα διαφορά μεταξύ των απωλειών των δύο ρυθμών της διάταξης, τόσο στη σύγχρονη όσο και στην αποσυγχρονισμένη κατάσταση. Οπως σημειώθηκε στον εκτενή θεωρητικό σχεδιασμό της Παραγράφου , η παραπάνω διαφορά απωλειών αναμένεται να περιορίζει τον μέγιστο επιτρεπτό λόγο εξάλειψης(er) μεταξύ των θυρών που λαμβάνουμε στην έξοδο, και στις δύο καταστάσεις. Για την εκτίμηση του προβλήματος, χρησιμοποιήσαμε την FE-BPM για την τρισδιάστατη μοντελοποίηση της διάταξης στις δύο ακραίες θερμοκρασιακές καταστάσεις. Επιλέχθηκεηδιάταξημεεύροςεγκοπής 100 nmκαιδιάκενο d gap = 1.015μmπουαπαιτεί L DDC = 52μmγιατηνεπίτευξηςτηςκατάστασης Crossκαι Bar,στιςθερμοκρασίες T = 0και 100Κ,αντίστοιχα. ΔιέγερσηεισόδουαποτελείοβασικόςΤΜρυθμόςτου κυματοδηγού διατομής όπως στο Σχ. 4.28, με μόνη διαφορά τη δεξιά διηλεκτρική ράβδωση να αντικαθίσταται από αέρα. Προχωράμε τον αλγόριθμο διάδοσης μέχρι το συνολικό μήκος 2 52 μm, και παρουσιάζουμε την ένταση της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου( E y 2 )γιατιςδύοθερμοκρασιακέςκαταστάσειςστοσχ Διαπιστώνουμεπως λαμβάνεται ένας ικανοποιητικός λόγος εξάλειψης μεγαλύτερος από 15 db και για τις δύο καταστάσειςστομήκος L DDC = 52μm,ενώπαρουσιάζεταιμείωσηαυτούκατάπερίπου 5 db στο διπλάσιο μήκος για τη σύγχρονη κατάσταση. Υπενθυμίζουμε πως το τελευταίο οφείλεται στη διαφορά των απωλειών διάδοσης των δύο υπερρυθμών του υπερκυματοδηγού. Η αποσυγχρονισμένη κατάσταση φαίνεται να υποφέρει λιγότερο από τη μείωση του ER στο διπλάσιο μήκος, πιθανότατα λόγω του ότι οι υπερρυθμοί είναι συγκεντρωμένοι πιο μακρυά από το διάκενο, σε σχέση με τους υπερρυθμούς της συγχρονισμένης, Σχ Αυτό οφείλεται στο ότι η παρουσία του διακένου αυξάνει γενικά τις απώλειες διάδοσης των υπερρυθμών, επηρεάζοντας κυρίως αυτούς που εντοπίζονται κοντά στο διάκενο. Συνεπώς, στη σύγχρονη κατάσταση, ο συμμετρικός ρυθμός που λαμβάνει μη-μηδενική τιμή κοντά στο διάκενο θα υφίσταται μεγαλύτερες απώλειες από τον αντισυμμετρικό, διαφορά που θα υποβαθμίζει προοδευτικά τον ER σε μεγάλες αποστάσεις. Αντιθέτως, στην ασύγχρονη κατάσταση, και οι δύο ρυθμοί εντοπίζονται στους ισάριθμους κυματοδηγούς του ζεύκτη, άρα και θα υφίστανται περίπου ίσες απώλειες. Τέλος, σημειώνουμε πως το πρόβλημα του 146

161 4.5. Ανακεφαλαίωση (a) Syncrhonized (b) Desyncrhonized 2` E y (db) 0-10` 52` μm 52`μm -20` 52`μm x y z 52μm -30` Σχήμα 4.31: Τρισδιάστατη χωρική κατανομή της έντασης της κυρίαρχης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου, όπως υπολογίστηκε με την FE-BPM. Περίπτωση (a) συγχρονισμένου και (b) αποσυγχρονισμένου ζεύκτη,πουαντιστοιχείστηνκατάσταση Crossκαι Barτου 2 2 DDCδιακόπτηκαιγιαμήκοςτων 52 μm. Η διατομή του ζεύκτη περιγράφεται στο Σχ. 4.28, το διάκενο των ραβδώσεων πολυμερούς είναι d gap = 1.015μmενώηεγκοπήστοφιλμχρυσούέχειπλάτος w slot = 100 nm. περιορισμένου ER μπορεί να αντισταθμιστεί με κατάλληλο σχεδιασμό των κυματοδηγών που θα προσάγουν το φως στην είσοδο του DDC. Δηλαδή, αντίστοιχα με την περίπτωση του DMI,μέσωκατάλληληςεπιλογήςτουλόγοδιέγερσηςτωνδύουπερρυθμών(R S/A ) στην είσοδο/έξοδο του εξαρτήματος, βελτιστοποιείται τελικά ο ER του διακόπτη και για τιςδύοκαταστάσεις.βέβαια,ταπεριθώριασχεδιασμούγια R S/A 1θαείναιμάλλονμικρότερα σε σύγκριση με την περίπτωση του DMI, λόγω της μεγαλύτερης απόστασης των δύο κυματοδηγών όπως και των καλύτερα σχηματισμένων ρυθμών(μακρυά από την αποκοπή τους). 4.5 Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό ασχοληθήκαμε με την ανάλυση και τη σχεδίαση θερμο-οπτικών 2 2 διακοπτικών στοιχείων βασισμένων σε πλασμονικούς κυματοδηγούς διηλεκτρικής φόρτισης (DLSPP). Αρχικά παρουσιάστηκαν οι εν λόγω κυματοδηγοί και σχολιάστηκαν οι επιλογές των γεωμετρικών παραμέτρων τους, όπως και οι επιλογές των υλικών που τους συνιστούν. Στη συνέχεια ακολούθησε μία συζήτηση των τεχνολογικών ζητημάτων που άπτονται του θερμο-οπτικού ελέγχου των DLSPP κυματοδηγών. Επειτα, παρουσιάστηκαν συνοπτικά οι αρχιτεκτονικές διαμήκων διακοπτικών 2 2 στοιχείων που μελετήθηκαν και εισήχθησαν οι μετρικές επίδοσης που χρησιμοποιήθηκαν στην αξιολόγηση τους. Στις επόμενες παραγράφους μελετήθηκαν διεξοδικά οι επιμέρους αρχιτεκτονικές διακοπτών: το συμμετρικό και ασύμμετρο συμβολόμετρο Mach-Zehnder(MZI), ο συγχρονισμένος κατευθυντικός ζεύκτης(sdc), ο κυματοδηγός δύρρυθμης συμβολής(dmi) και τέλος ο αποσυγχρονιζόμενος κατευθυντικός ζεύκτης(ddc). Οι διατάξεις αυτές, αρχικά αναλύθηκαν και σχεδιάστηκαν θεωρητικά με βάση τη μελέτη ιδιορρυθμών και στη συνέχεια η επίδοση τους υπολογίσθηκε χρησιμοποιώντας με συνεκτικό τρόπο την τρισδιάστατη μοντελοποίηση με τη διανυσματική μέθοδο διάδοσης δέσμης πεπερασμένων στοιχείων(fe-bpm). Διαπιστώθηκε η πολύ καλή συμφωνία των δύο μοντελοποιήσεων, επιβεβαιώνοντας την ορθότητα και την ακρίβεια των εμπλεκομένων εργαλείων και μεθοδολογιών και υποδεικνύοντας τις εφαρμογές που προτιμάται η καθεμία. Συγκρίνοντας τις αρχιτεκτονικές των διακοπτικών στοιχείων που μελετήθηκαν, διαπι- 147

162 Κεφάλαιο 4 στώνουμε πως η διάταξη του MZI με ασύμμετρους βραχίονες οδηγεί στην ελαχιστοποίηση του μήκους του εξαρτήματος, και συνεπώς και των απωλειών εισαγωγής του, για δεδομένη μέγιστη διαθέσιμη θερμοκρασιακή μεταβολή. Από πλευράς πλευράς πρόκλησης, η διάταξη DMI παρουσιάζει το μεγαλύτερο ενδιαφέρον, όπως επισημάνθηκε από τους λεπτούς χειρισμούς των σχεδιαστικών παραμέτρων για τη βελτιστοποίηση της. Τέλος, η διάταξη DDC εμφανίζει τη μεγαλύτερη ανοχή σε κατασκευαστικές αποκλίσεις, καθώς δεν περιέχει ευαίσθητα σημεία που απαιτούν υψηλή ακρίβεια κατασκευής, όπως οι ζεύκτες διαίρεσης ισχύος ή οι Υ-διακλαδώσεις στις διατάξεις MZI ή DMI, αντίστοιχα. 148

163 5 Κυματοδήγηση σε μη-γραμμικές νανοφωτονικές διατάξεις αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου Το κεφάλαιο αυτό πραγματεύεται τη διάδοση οπτικών σημάτων σε μη-γραμμικές(nonlinear, NL) διατάξεις κυματοδήγησης, αποτελούμενες από υλικά με μη-αμελητέα τρίτης τάξης ε- πιδεκτικότητα χ (3) (third-order susceptibility)[51,52]. Ωςσήματα,λογίζονταιφέροντα, είτε συνεχή(continuous wave, CW) είτε διαμορφωμένα(για παράδειγμα χρονικοί παλμοί), στην κοντινή υπέρυθρη (near infrared, NIR) περιοχή του φάσματος, που διαδίδονται σε νανοφωτονικούς ολοκληρωμένους κυματοδηγούς. Τα διαδιδόμενα σήματα αναφέρονται είτε σε διαφορετικές φέρουσες συχνότητες, είτε σε διαφορετικούς κυματοδηγούς, είτε σε διαφορετικούς ρυθμούς/πολώσεις ενός κυματοδηγού. Στην περίπτωση μας, θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με την τρίτη κατηγορία, δηλαδή με σήματα ίδιας συχνότητας που διαδίδονται σε διαφορετικούς ρυθμούς(ή πολώσεις) ενός κυματοδηγού. Σημειώνουμε πως, στο πλαίσιο αυτό, είναι δυνατή και η ανάλυση υπέρ-κυματοδηγών με παραπάνω του ενός«πυρήνων οδήγησης», χρήσει των υπερρυθμών που εισήχθησαν στο Κεφάλαιο 3. Τονίζεται πως δε θα μας απασχολήσουν οπτικά υλικά με επιδεκτικότητα δεύτερη τάξης, χ (2),όπωςοκρύσταλλοςνιοβικούλιθίου(lithium niobate, LiNbO 3 )[201],πουείναικατά τα άλλα ευρέως διαδεδομένα σε ολοκληρωμένες φωτονικές διατάξεις. Στα υλικά αυτά, δεν υπάρχει δυνατότητα μη-γραμμικής αλληλεπίδρασης μεταξύ σημάτων εντός της ίδιας φασματικήςπεριοχής(ω k ω l ),καθώςτασυχνοτικάπαράγωγα(ω m )μιαςτέτοιαςμηγραμμικήςαλληλεπίδρασηςείναιπάντα ω m ±ω k ±ω l καισυνεπώςδενπροσφέρονταιγια πλήρως οπτικές (all optical) εφαρμογές στενής ζώνης. Αρχικά θα παρουσιάσουμε το βασικό εργαλείο για τη μοντελοποίηση αυτών των διατάξεων, που στηρίζεται σε συζευγμένες μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Schrödinger (nonlinear Schrödinger equations, NLSE)[94]. Οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν την ε- ξέλιξη των αργά-μεταβαλλόμενων φακέλλων των επιμέρους σημάτων και οι παράμετροι τους εξάγονται φορμαλιστικά από τους ιδιορρυθμούς του κυματοδηγού. Στη συνέχεια, θα εισάγουμε μετρικές(figures-of-merit, FoM) για τη συγκριτική αξιολόγηση διατάξεων κυματοδήγησης για μη-γραμμικές εφαρμογές. Με χρήση αυτών, θα βελτιστοποιήσουμε τους υβριδικούς-πλασμονικούς κυματοδηγούς αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου(hybrid silicon-plasmonic, HSP) και θα παρουσιάσουμε κάποιες εφαρμογές τους. Ακολούθως, θα διερευνήσουμε μία ιδιάζουσα και σχετικά ανεξερεύνητη περιοχή λειτουργίας, όπου υψηλά επίπεδα ισχύος εισάγονται σε έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς. Η τελευταία ενότητα του κεφαλαίου ασχολείται με τη μη-γραμμική μέθοδο διάδοσης δέσμης (nonlinear beam propagation method, NL-BPM), που μπορεί εναλλακτικά να χρησιμοποιηθεί για την τρισ- 149

164 Κεφάλαιο 5 διάστατη προσομοίωση αξονικών διατάξεων κυματοδήγησης. 5.1 Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς Στην ενότητα αυτή, θα μοντελοποιήσουμε τη συγκατευθυντική διάδοση σημάτων ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικών ρυθμών/πολώσεων εντός μη-γραμμικού κυματοδηγού. Στόχος είναι η μελέτη της σύζευξης ρυθμών μέσω των μη-γραμμικών φαινομένων, που μπορεί να αξιοποιηθεί στο σχεδιασμό πιο σύνθετων διατάξεων με μη-γραμμική λειτουργικότητα. Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων που θα μας απασχολήσουν, σήματα με σχετικά στενό φασματικόπεριεχόμενοδιαμορφώνουνέναφέρονσυχνότητας ω 0 στηνκοντινήυπέρυθρηπεριοχή, λ 0 = 1.55μm.Ωςειδικότερεςπεριπτώσεις,θαεξετάσουμετηδιάδοση CW-σημάτων,ώστε να μπορούμε σε επόμενες παραγράφους να συγκρίνουμε την επίδοση των προσομοιώσεων με NLSE και NL-BPM Εισαγωγή στη μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger Στην παράγραφο αυτή, θα εισάγουμε τη μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLSE) που περιγράφει την εξέλιξη του αργά-μεταβαλλόμενου φακέλου ενός μεμονωμένου οπτικού σήματος κατά τη διάδοση του σε έναν μη-γραμμικό κυματοδηγό. Η απλοϊκή περίπτωση του μονόρρυθμου κυματοδηγού θα αντιμετωπισθεί φαινομενολογικά στο πλαίσιο της βαθμωτής προσέγγισης, προκειμένου να διαφανεί ο ρόλος των επιμέρους μηχανισμών(απώλειες, διασπορά και μη-γραμμικότητα) όπως και τα βασικά στοιχεία των μεθόδων που βασίζονται στην NLSE[94]. Στη συνέχεια, θα εισαχθούν πιο σύνθετα μη-γραμμικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα σε κυματοδηγούς που περιέχουν ημιδιαφανείς ημιαγωγούς, όπως το πυρίτιο. Πρόκειται για την απορρόφηση δύο φωτονίων(two-photon absorption, TPA)[45] και τα φαινόμενα ελευθέρων-φορέων(free-carrier effects, FCE)[36, 41, 66]. Κατ αρχήν, ορίζουμε χωρικό σύστημα-συντεταγμένων r = (x, y, z) όπου η εγκάρσια διατομή του κυματοδηγού βρίσκεται πάντα στο xy-επίπεδο, ενώ η διάδοση του κύματος γίνεταιπροςταθετικάzμεσύμβασηαναφοράςφάσηςe iβz iωt,όπουδεναναφέρεταιδιαφορετικά. Επιπλέον, δεχόμαστε πως το φασματικό περιεχόμενο της διαμόρφωσης καταλαμβάνει έκτασηπολύμικρήσεσχέσημετηφέρουσασυχνότητα, ω ω 0.Τέλος,τοζεύγοςμετασχηματισμού Fourier(Fourier Transform, FT), για μετάβαση μεταξύ των πεδίων χρόνου και κυκλικής συχνότητας, ορίζεται από τα ολοκληρώματα f(ω) + f(t)e iωt dt FT f(t) 1 + IFT 2π f(ω)e iωt dω. (5.1) Απώλειες, διασπορά και μη-γραμμικότητα τύπου Kerr Ταβασικάφαινόμεναπουεπιδρούνστοσήμακαιθαμαςαπασχολήσουνεδώείναιηγραμμική εξασθένιση, η διασπορά της φασικής σταθεράς διάδοσης και κυρίως το μη-γραμμικό φαινόμενο Kerr, ή ο εξαρτώμενος-από-ένταση δείκτης διάθλασης(intensity dependent refractive index)[51, 52]. Οι παράμετροι της NLSE που ποσοτικοποιούν τη συμβολή των παραπάνω φαινομένων είναι οι α, β και γ, αντίστοιχα. Η γραμμική εξασθένιση ενός κυματοδηγού συγκεντρώνει όλους τους μηχανισμούς μείωσηςτηςισχύοςτουσήματοςκατάτηδιάδοσητου,πουδενεξαρτώνταιαπότηνισχύτου 150

165 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς ίδιου του σήματος. Η οδηγούμενη ισχύς κατά μήκος ενός κυματοδηγού με απώλειες δίνεται απότησχέση P(z) = P(0) e αz, (5.2) όπου αείναιηπαράμετροςαπωλειώνισχύος,μετρούμενησε m 1.Ηπαράμετροςαπωλειών μπορεί να συσχετιστεί το φανταστικό μέρος του ενεργού δείκτη (effective index) διάθλασηςενόςρυθμού,σύμφωναμετησχέση α = 2k 0 Im{n neff },όπου k 0 οκυματικόςαριθμός τουκενού. Τοπλάτοςτουπεδίου,ηλεκτρικούήμαγνητικού,φθίνειμερυθμό e 0.5αz. Ε- ναλλακτικά, χρησιμοποιείται το χαρακτηριστικό μήκος-απωλειών(propagation length) που ορίζεταιως L prop 1/ακαιαντιπροσωπεύειτομήκοςστοοποίοηισχύςέχειμειωθείστο 1/e = 36.8% της αρχικής. Η γραμμική εξασθένιση οφείλεται συνήθως σε κατασκευαστικές ατέλειες(τραχύτητα τοιχωμάτων), σε παρουσία αγώγιμων υλικών(ωμικές απώλειες) ή στην εσωτερική απορρόφηση διηλεκτρικών υλικών. Η σημασία του φαινομένου αυτού στους μη-γραμμικούς κυματοδηγούς έγκειται στο ότι μειώνει την οπτική ισχύ, συνεπώς και την«ένταση» των μη-γραμμικών φαινομένων. Η διασπορά ενός κυματοδηγού περιγράφεται από την εξάρτηση της φασικής σταθεράς διάδοσης β = k 0 Re{n eff }απότησυχνότητα. Ηεπίδρασητηςέχειμεγάλησημασίακυρίως για σήματα μεγάλου φασματικού περιεχομένου και προκαλεί ενδοσυμβολική παρεμβολή (inter-symbol interference, ISI) ή παραμόρφωση των παλμών[1]. Επίσης, στην παράλληλη διάδοση πολλών σημάτων(ρυθμών ή φερουσών συχνοτήτων) σε μη-γραμμικό κυματοδηγό, χρειάζεται προσοχή στην εξασφάλιση ή αποφυγή της φασικής συμφωνίας μεταξύ των σημάτων σε μεγάλο εύρος ζώνης. Η διασπορά μοντελοποιείται συνήθως με κατάλληλα α- ποκομμένο ανάπτυγμα Taylor της φασικής σταθεράς β γύρω από την κεντρική συχνότητα ω 0 β(ω) = ( ) (ω ω 0 ) n n β = β n! ω n 0 +(ω ω 0 )β (ω ω 2 0) 2 β (5.3) ω=ω 0 n=0 Αναφερόμενοισεκάποιονρυθμό-διάδοσης,οιπαράμετροιδιασποράς β 0, β 1 και β 2 σχετίζονταιμετονενεργόδείκτη-διάθλασης(n eff ),τηνταχύτηταομάδας(v gr )καιτηδιασποράαυτής (group velocity dispersion, GVD), αντίστοιχα. Η πρώτη επηρεάζει τη φασική συμφωνία, η δεύτερη προσδιορίζει την ταχύτητα διάδοσης της πληροφορίας σε έναν κυματοδηγό ενώ η τελευταία είναι κυρίαρχα υπεύθυνη για τη διεύρυνση του φάσματος ευρυζωνικών σημάτων, και αντιμετωπίζεται με τεχνικές αντιστάθμισης διασποράς(dispersion compensation) [6]. Αποδεικνύεται, πως, με κατάλληλο ορισμό του φακέλλου του σήματος και με αναγωγή τουχρονικούπαραθύρουώστενακινείταιμετην v gr,μπορούμεεύκολανααπαλείψουμε τιςπαραμέτρους β 0 και β 1,αντίστοιχα,απότην«μονοκαναλική» NLSE.Ηεπίδρασητων ανώτερωνπαραγώγων β n για n 3δεθαμαςαπασχολήσει. Ησημασίατηςδιασποράς για τα μη-γραμμικά φαινόμενα σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς προσαρτάται κυρίως με την παράμετρο β 1 καιθασχολιαστείστησυνέχεια. Τέλος, η μη-γραμμικότητα τύπου Kerr εκφράζεται ως μία μεταβολή του δείκτη-διάθλασης εξαρτώμενη από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Η επίδραση της επάνω στον οδηγούμενο ρυθμό ποσοτικοποιείται από τη μη-γραμμική παράμετρο γ που δίνεται ποιοτικά από τη σχέση γ = k 0 n 2 A eff, (5.4) όπου n 2,σε m 2 /W,είναιομη-γραμμικόςδείκτης(nonlinear index)τουυλικούτουπυρήνα οδήγησηςκαι A eff είναιηενεργόςεπιφάνεια(effective mode area)πουκαταλαμβάνειο 151

166 Κεφάλαιο 5 ρυθμός και δίνεται από το εγκάρσιο προφίλ του ηλεκτρικού του πεδίου, E(x, y), σύμφωνα μετησχέση ( A eff E(x,y) 2 dxdy ) 2 E(x,y) 4 dxdy. (5.5) Η παράμετρος γ αυξάνεται ανάλογα με την εγγενή μη-γραμμικότητα του υλικού του πυρήνα οδήγησης και με τη συγκέντρωση του φωτός εντός αυτού. Τονίζεται πως η Εξ.(5.4) στηρίζεται στη βαθμωτή προσέγγιση του πεδίου και ισχύει ικανοποιητικά για κυματοδηγούς ασθενούς οδήγησης(weakly guiding) όπως οι τυπικές ίνες βηματικού δείκτη διάθλασης ή οι ολοκληρωμένοι κυματοδηγοί διατομής διαστάσεων μεγαλύτερων του μήκους κύματος. Απαραίτητες προϋποθέσεις για την ακρίβεια της παραπάνω σχέσης είναι η διαφορά δεικτώνδιάθλασηςναείναιμικρή,ηεπιφάνειατουπυρήναοδήγησηςναείναιμεγάλη(σεσχέσημετο μήκος-κύματος) και το μη-γραμμικό υλικό να παρουσιάζει πλήρη εγκάρσια επικάλυψη με το οπτικό πεδίο. Ως τιμές αναφοράς, σε μία τυπική μονόρρυθμη ίνα(single mode fiber, SMF) έχουμε n 2 = m 2 /Wκαι A eff = 80μm 2 οδηγώνταςσε γ = m 1 W 1 στομήκοςκύματοςτων 1550 nm NLSE και χαρακτηριστικά μήκη Θα προχωρήσουμε στη συνοπτική παρουσίαση της NLSE όπως και των χαρακτηριστικών μηκών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για συγκριτική αξιολόγηση της επίδρασης των επιμέρους μηχανισμών σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς. Αρχικά, ορίζουμε κατάλληλα τον χρονικά και αξονικά(αργά) μεταβαλλόμενο φάκελλο του πεδίου, A(z, t), σύμφωνα με τη σχέση: E(r,t) 1 2 A(z,t) F(x,y,ω 0) exp{+iβ 0 z iω 0 t}+c.c., (5.6) όπου F είναι το διανυσματικό προφίλ του βασικού οδηγούμενου ρυθμού στην εγκάρσια διατομή και το c.c. δηλώνει τον μιγαδικό συζυγή(complex conjugate) της προηγούμενης ποσότητας. Με τον ορισμό αυτό, ο φάκελλος A έχει φασματικό περιεχόμενο στην περιοχή ω ω 0,είναιανεξάρτητοςτηςφασικής-ολίσθησης β 0 zκαιμεκατάλληληκανονικοποίηση μετράταισε W 1/2.Χρησιμοποιώνταςτηνκυματικήεξίσωσηκαιεισάγονταςτημη-γραμμική ηλεκτρική-πόλωσηp NL μετημέθοδοτωνδιαταραχών(perturbationmethod),καταλήγουμε στηβασικήμορφήτης NLSE[94] A z = α 2 A+ n=1 i n+1β n n A n! t n +iγ A 2 A, (5.7) όπου οι τρεις όροι του δεξιού μέλους αντιστοιχούν κατά σειρά στην εξασθένιση, στη διασπορά και στη μη-γραμμικότητα. Για να καταλήξουμε στη μορφή αυτή της NLSE έγινε μία σειρά επιπρόσθετων απλουστευτικών παραδοχών, κάποιες από τις οποίες θα χαλαρωθούν στη συνέχεια. Οι βασικότερες παραδοχές είναι οι εξής: γιατηνηλεκτρική-πόλωσηισχύει P NL P Lin,όπου P Lin = ε 0 (ε r 1)E, ημη-γραμμικότηταεπενεργείακαριαία(instantaneous Kerr response), ισχύει 2 A/ z 2 k 0 A/ z (slowly varying envelope approximation, SVEA) ηεπιδεκτικότητα χ (3) είναιισοτροπική, 152

167 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς οκυματοδηγόςείναιμονόρρυμος, οβασικόςρυθμόςέχεισταθερήγραμμικήπόλωση, γιατιςγραμμικέςαπώλειεςισχύει α k 0. Η επισκόπηση της NLSE προσφέρει κάποια ενδιαφέροντα συμπεράσματα σχετικά με τα φαινόμενα που επενεργούν στη διάδοση των σημάτων. Ανηγμένη στο συνολικό πραγματικό μήκος διάδοσης(l), η εξασθένιση είθισται να αντιστοιχίζεται στο ενεργό μήκος-διάδοσης (effective length) που δίνεται από τη σχέση L eff L 0 e αz dz. (5.8) Το μήκος αυτό έχει σημασία στη μελέτη των μη-γραμμικών φαινομένων, καθώς ποσοτικοποιεί τις απώλειες ισχύος σε σχέση με το μήκος μη-γραμμικής αλληλεπίδρασης. Οταν ο συντελεστής απωλειών α είναι σταθερός(ανεξάρτητος του z) και το μήκος της διάδοσης είναι L = L prop τότεοιαπώλειεςτουσήματοςείναι 4.34 db,για L L prop είναι L eff L prop, ενώγιααμελητέεςαπώλειεςείναι L eff L. Ηόροςπουσχετίζεταιμετηδιασπορά β 1 μπορείεύκολανααπαλειφθείαπότηνεξ.(5.7) μεκατάλληλομετασχηματισμότωνχώρο-χρονικώνμεταβλητών: τ = t zβ 1.Τοχρονικόπλαίσιο όπου αναφέρεται η μεταβλητή τ κινείται με την ταχύτητα ομάδας του συγκεκριμένουοδηγούμενουρυθμού(v gr = 1/β 1 ). Επίσης,αναφέρουμεπωςότανμελετάμεδύο συζευγμένες NLSE, με την καθεμία να αναφέρεται σε διαφορετικό σήμα(πόλωση, ρυθμό ή φέρουσα-συχνότητα), τότε ορίζεται το χαρακτηριστικό μήκος απομάκρυνσης(walk-off length) 1 L WO B eff β 1, (5.9) όπου β 1 είναιηδιαφοράτωνπαραμέτρων β 1 μεταξύτωνδύοσημάτωνκαι B eff είναιτο ενεργόφασματικόεύροςτους.ηποσότητααυτήμετράταισε Hzκαιμπορείναοριστείως το πλήρες-εύρος μισής ισχύος(full width at half maximum, FWHM) του φάσματος του σήματος. Για παράδειγμα, για σήματα που αποτελούνται από μεμονωμένους παλμούς ή παλμοσειρέςδεδομένουρυθμούμετάδοσης(bitrate),τότε B eff 1/T 0 όπου T 0 είναιηχρονική διάρκειατουκάθεπαλμού.ησημασίατου L WO εστιάζεταιστημη-γραμμικήαλληλεπίδραση μεταξύ συζευγμένων σημάτων που διαδίδονται παράλληλα αλλά με διαφορετικές ταχύτητες ομάδος, και ορίζει την απόσταση στην οποία διαχωρίζονται χρονικά δύο παλμοί που εκκινούν την ίδια χρονική στιγμή, και άρα παύουν να αλληλεπιδρούν μέσω μη-γραμμικότητας. Αντίστοιχα, η επίδραση της διασποράς της ταχύτητας ομάδας(gvd) χαρακτηρίζεται, ανάλογαμετο B eff τουσήματος, απότοχαρακτηριστικόμήκος-διασποράς(dispersion length) 1 L GVD Beff 2 β 2. (5.10) Αποδεικνύεται πως η επίδραση της GVD σε ένα σήμα συγκεκριμένου φασματικού περιεχομένουείναισημαντικήόταντομήκοςτηςδιάδοσηςείναι L > L GVD. Απότηναπόσταση αυτή και έπειτα, η χρονική διεύρυνση κάθε παλμού μπορεί να προκαλέσει ενδοσυμβολική παρεμβολή. Το πρόβλημα αυτό είναι εντονότερο σε ευρυζωνικά σήματα όπως σε παλμοσειρές υψηλού ρυθμού μετάδοσης. 153

168 Κεφάλαιο 5 Τέλος, για το χαρακτηρισμό της επίδρασης της μη-γραμμικότητας, εισάγεται το χαρακτηριστικό μη-γραμμικό μήκος(nonlinear length) L NL 1 γp in, (5.11) όπου P in είναιηισχύκορυφήςστηναρχήτηςδιάδοσης. Οταν L > L NL τότεαναμένεται σημαντική μη-γραμμική παραμόρφωση του σήματος κατά την έξοδο του από τον κυματοδηγό. Εστιάζοντας στην περίπτωση των CW σημάτων, διαπιστώνουμε πως όλες οι χρονικές παράγωγοι που σχετίζονται με τη διασπορά απομακρύνονται από την Εξ.(5.7), οπότε και είναι δυνατή η αναλυτική επίλυση της τελευταίας. Προκύπτει ότι η μη-γραμμική ολίσθηση φάσης(nonlinear phase-shift) { } A Φ NL iln Φ 0 = γp in L eff = L eff, (5.12) A L NL όπου Φ 0 είναιηφάσητουσήματοςστηναρχήτηςδιάδοσης,μπορείναδώσειεπίσηςμία εκτίμηση της επίδρασης της μη-γραμμικότητας στο σήμα. Για την εξαγωγή της σχέσης χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση A = U exp{ 0.5αz} και επιλύουμε χωριστά το πραγματικό καιτοφανταστικόμέρος[94].η Φ NL ποσοτικοποιείτηνεπίδρασητηςμη-γραμμικότητας και εξαρτάται, όπως φαίνεται, από τρεις παραμέτρους: την εγγενή μη-γραμμικότητα του κυματοδηγού(στον συγκεκριμένο ρυθμό), την ισχύ εισόδου και τις γραμμικές απώλειες που εισάγονται σε δεδομένο μήκος ίνας. Κλείνοντας αυτή την εισαγωγή στην NLSE, σημειώνουμε πως στην περίπτωση που τα φαινόμενα απωλειών, διασποράς και μη-γραμμικότητας επενεργούν ταυτόχρονα, τότε δεν είναι γενικά δυνατή η αναλυτική επίλυση της NLSE, οπότε χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι που θα παρουσιαστούν σε επόμενη παράγραφο. Πάντως, σε κάθε περίπτωση, ταχαρακτηριστικάμήκη L eff, L GVD και L NL προσφέρουνμίαικανοποιητικήεκτίμησητης σχετικής βαρύτητας των επιμέρους φαινομένων Πυρίτιο Απορρόφηση δύο φωτονίων και φαινόμενα φορέων Το πυρίτιο είναι ένα ημιαγώγιμο υλικό που χαρακτηρίζεται από έμμεσο ενεργειακό διάκενο (indirect energy bandgap) ίσο με 1.12 ev σε θερμοκρασία δωματίου. Αυτό σημαίνει πως είναι διαφανές(transparent) για μήκη κύματος μεγαλύτερα από 1.1 μm, όπως αυτά που μας ενδιαφέρουν στην NIR περιοχή του φάσματος, δηλαδή έχει αμελητέες γραμμικές απώλειες. Παρά το γεγονός αυτό, έχει παρατηρηθεί ότι το πυρίτιο εμφανίζει έναν μη-γραμμικό μηχανισμό απωλειών λόγω του έμμεσου διακένου του, την απορρόφηση δύο φωτονίων(two-photon absorption, TPA)[36, 45]. Συγκεκριμένα, για μήκη κύματος μικρότερα των 2.2 μm, το άθροισμα της ενέργειας δύο φωτονίων είναι ικανό για να διεγείρει κάποιο ηλεκτρόνιο από τη στοιβάδα σθένους στη στοιβάδα αγωγιμότητας. Τα δύο φωτόνια απορροφώνται ενώ παράλληλα δημιουργείται ένα ζεύγος ελευθέρων φορέων(free-carriers), δηλαδή οπών και ηλεκτρονίων. Στο πλαίσιο της οπτικής κυματοδήγησης, η TPA αντιστοιχίζεται σε έναν«αξονικό» ρυθμό απωλειών(ανηγμένο σε 1/m) που είναι ανάλογος της έντασης του οπτικού κύματος μέσα στο πυρίτιο. Υπό το πρίσμα αυτό, η TPA μπορεί να συσχετιστεί εμμέσως με το φαινόμενο Kerr, το οποίο αντιστοιχεί σε μεταβολή στο δείκτη-διάθλασης του μηγραμμικού μέσου ανάλογη με την ένταση του οπτικού κύματος. Ο συντελεστής της TPA έχειτυπικήτιμή β TPA = m/wγιατοπυρίτιοστο λ = 1550 nmκαιμπορείνα 154

169 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς συμπληρώσει, στην βαθμωτή προσέγγιση, την παράμετρο μη-γραμμικότητας της Εξ.(5.4) με ένα φανταστικό μέρος γ c = k 0 n 2 A eff +i β TPA 2A eff. (5.13) Μετοντρόποαυτό,ηTPAμπορείναεισαχθείάμεσαστην NLSEχρήσειτηςμιγαδικής μη-γραμμικήςπαραμέτρου γ c,τηςοποίαςτοπραγματικόμέροςσχετίζεταιμετοφαινόμενο Kerr, γ = Re{γ c }. Ησχέσηαυτήισχύειμεικανοποιητικήπροσέγγισησεκυματοδηγούς πυριτίου-σε-μονωτή(silicon-on-insulator, SOI) όπου το ηλεκτρικό πεδίο του οδηγούμενου ρυθμού είναι καλά συγκεντρωμένο μέσα στον πυρήνα πυριτίου, με ενεργό επιφάνεια A eff > 0.2μm 2. Αντίθετα,σενανοφωτονικούςκυματοδηγούςήσεκυματοδηγούςόπου υπάρχουν διαφορετικά μη-γραμμικά υλικά(που μπορεί να παρουσιάζουν Kerr και/ή TPA) χρειάζεταιμίαπιοσχολαστικήεξαγωγήτηςσχέσηςγιατημιγαδικήπαράμετρογ c ενόςρυθμού, όπως θα δειχθεί στη συνέχεια. Στους κυματοδηγούς που εμφανίζουν φαινόμενο Kerr και TPA, όπως οι SOI, συνηθίζεται να μετράμε τη σχετική βαρύτητα των δύο μη-γραμμικών φαινομένων από τον λόγο r Im{γ c }/Re{γ c }, (5.14) δηλαδή γ c = γ(1 + ir),όπου γ = Re{γ c }. Γιαμη-γραμμικέςεφαρμογέςβασιζόμενεςστο φαινόμενο Kerr είναι γενικά επιθυμητός ένας κατά το δυνατό μικρότερος λόγος r, ώστε για r 1ναθεωρούμεότιοσυγκεκριμένοςρυθμόςτουκυματοδηγούδενυποφέρειαπό TPA. Εκτός από την απορρόφηση του οπτικού κύματος, η TPA δημιουργεί ζεύγη ελευθέρων φορέων που παραμένουν μέσα στην περιοχή του πυριτίου μέχρι να επανασυνδεθούν ή να απομακρυνθούν από αυτήν. Ομως, η υψηλή συγκέντρωση των φορέων επηρεάζει τα οπτικά χαρακτηριστικά του πυριτίου[41] και μέσω αυτών είναι δυνατό να επηρεάζει και τα διαδιδόμενα οπτικά σήματα. Συγκεκριμένα, όταν η πυκνότητα των φορέων γίνει μεγάλη, τότε προκαλείται μία μη-αμελητέα διαφορά στον δείκτη διάθλασης του πυριτίου ενώ εισάγονται επιπρόσθετες απώλειες διάδοσης. Οι μεταβολές αυτές επιδρούν δευτερογενώς στο οδηγούμενο κύμα επηρεάζοντας τη φάση και το πλάτος του και αποκαλούνται διασπορά και απορρόφηση λόγω ελευθέρων φορέων(free-carrier dispersion and absorption, FCD and FCA), αντίστοιχα[36]. Εχει διαπιστωθεί πως τα μη-γραμμικά φαινόμενα ελευθέρων φορέων(free-carrier effects, FCE) έχουν σημαντική επίδραση στην οδήγηση σε SOI κυματοδηγούς, υποσκελίζοντας τα φαινόμενα Kerr και TPA, κυρίως σε υψηλά επίπεδα οπτικής ισχύος. Η σημαντικότερη παράμετρος για την ποσοτικοποίηση της επίδρασης των FCE είναι ο ενεργός χρόνος ζωής των φορέων(effective carrier lifetime) που προσδιορίζει τη χρονική διάρκεια κατά την οποία επιζούν οι φορείς εντός του πυριτίου. Ο χρόνος ζωής εξαρτάται γενικά από τη δομή του κυματοδηγού, ενώ τυπικές τιμές του για SOI κυματοδηγούς είναι στηνπεριοχήτου τ fc = 1 ns[237],συγκρίσιμεςήμεγαλύτερεςδηλαδήαπότοντυπικόρυθμό πληροφορίαςτων 10 Gbps(T bit 0.1 ns). Οι Soref & Bennettμέτρησανπειραματικάτημεταβολή n fc και α fc πουπροκαλείται στον δείκτη-διάθλασης και στις απώλειες του πυριτίου, αντίστοιχα, στο μήκος κύματος των 1550 nm για τον συμπαγή(bulk) κρύσταλλο πυριτίου[41]. Θεωρώντας ότι η πυκνότητατωνελεύθερωνηλεκτρονίωνκαιοπώνείναιίσεςμεταξύτους, N h N e,αρκείμία μόνο μεταβλητή για την ποσοτικοποίηση των φορέων που ονομάζεται πυκνότητα φορέων Nκαιμετράταισε m 3. Ηπυκνότηταφορέωνοδηγείτελικάστιςμεταβολέςτωνοπτικών 155

170 Κεφάλαιο 5 150` 125` m 3`) 28` σ n `(` ` 75` 50` 25` 0` 10` 20` 21` 10` 22` 10` 23` 10` ` N ref `(` m 3` )` 24` 10` 25` 10` 26` 10` Σχήμα5.1: Μεταβολήτηςγραμμικοποιημένηςπαραμέτρουσ n,εξ.(5.16),ωςσυνάρτησητηςπυκνότητας φορέωναναφοράς N ref. χαρακτηριστικών του πυριτίου σύμφωνα με τις εμπειρικές σχέσεις n fc = σ e n N (σh n N)0.8, α fc = +σ α N, (5.15αʹ) (5.15βʹ) όπουοιδιατομές σ α = m 2, σ e n = m 3 και σ h n = m 3 [66].Στηνπαραπάνωσχέσηγιατο n fc,ενδιαφέρονπαρουσιάζειτοαρνητικόπρόσημοκαι ημη-γραμμικήεξάρτησητουαπότηνπυκνότηταφορέων.τοπρώτοσημαίνειότιηενλόγω μεταβολή είναι αντιθέτου προσήμου από αυτήν που προκαλεί το φαινόμενο Kerr, ενώ το δεύτεροδυσκολεύειτηναντιστοίχισητης n fc μετηνπυκνότηταισχύοςπουτηνπροκαλεί (μέσω TPA και N). Για τον λόγο αυτό, συνηθίζεται να γραμμικοποιείται η Εξ.(5.15α ) με αναφοράσεσυγκεκριμένηπυκνότηταφορέων N ref σύμφωναμετησχέση n fc = σ n N όπου σ n = σ e n +(σh n )0.8 N 0.2 ref. (5.16) Η γραμμικοποίηση αυτή, Σχ. 5.1, περιγράφει την επίδραση των φορέων με βάση ένα απλό μοντέλο Drude[41, 51] και συγκλίνει με τις πειραματικές μετρήσεις για πυκνότητες φορέωνστηντάξημεγέθουςτου N ref. Πλέον,είναιδυνατόναπαραστήσουμετησυνολική επίδραση των ελευθέρων φορέων ως μία μεταβολή μιγαδικής τιμής στον δείκτη διάθλασης του πυριτίου, ανάλογη της πυκνότητας φορέων u fc = n fc +(i/2k 0 ) α fc = σ n N +(i/2k 0 )σ α N = σ u N, (5.17) όπου σ u [ σ n +(i/2k 0 )σ α ]είναιμίαμιγαδικήπαράμετρος,μεπιθανήχωρικήεξάρτηση, δηλαδή μηδενίζεται εκτός των περιοχών πυριτίου ενώ μπορεί να παίρνει ασθενέστερες τιμές στις διαχωριστικές επιφάνειες πυριτίου με άλλα υλικά. Το μοντέλο Soref & Bennett για το πυρίτιοισχύειικανοποιητικάγιαπυκνότητεςφορέωνμέχρι m 3,πουαντιστοιχούνσε μεταβολήτουδείκτη n fc < 0.2. Εχοντας συνδέσει γραμμικά τη μιγαδική μεταβολή στο δείκτη διάθλασης του πυριτίου μετηνπυκνότηταφορέων,μένεινασυνδέσουμετηντελευταίαμετηνοπτικήισχύπουτη δημιουργεί.λαμβάνονταςυπόψητονενεργόχρόνοζωήςτωνφορέων(τ fc ),ηπυκνότητατων φορέων υπακούει στην παρακάτω εξίσωση χρονικού ρυθμού-μεταβολής(rate equation) N t = G N τ fc, (5.18) 156

171 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς όπου η ποσότητα G είναι ο χρονικός ρυθμός γέννεσης φορέων(carrier generation rate) μέσω TPAπουμετράταισε m 3 s 1. ΣεσύγκρισημετηγενικήμορφήτηςΕξ.(2.17),η απλήμορφήτηςεξ.(5.18)ισχύειστηνπερίπτωσηπουτοπλήθοςτωνοπώνείναιπάνταίδιο με των ηλεκτρονίων, και θεωρώντας πως οι φορείς δημιουργούνται μόνο από την TPA, δηλαδή δεν υπάρχει δυνατότητα απομάκρυνσης/σάρωσης, έγχυσης ή διάχυσης φορέων. Οπως αναφέρθηκε,οτ fc εξαρτάταιγενικάαπότηγεωμετρίατουκυματοδηγούκαιμπορείνααντιστοιχιστεί σε μία«ενεργό» τιμή που προκύπτει λαμβάνοντας υπόψη τους επιμέρους χρόνους ζωής από όλους τους μηχανισμούς μείωσης της πυκνότητας φορέων, όπως η επανασύνδεση, η διάχυση και η απαγωγή/έγχυση. Η απομάκρυνση των φορέων από την περιοχή κυματοδήγησης μπορεί να γίνει μέσω εξωτερικά επιβαλλόμενης τάσης σε κατάλληλα ενσωματωμένη διάταξη ανάστροφα πολωμένης διόδου PIN. Τυπικές τιμές για κυματοδηγούς πυριτίου μικρήςδιατομής A Si < 1μm 2 είναι τ fc = 1 ns[237],ενώμεκατάλληλοκύκλωμασάρωσης φορέων μπορεί να φτάσει μέχρι τα 10 ps[65]. Τώρα, όπως αναφέρθηκε, ο ρυθμός γέννεσης φορέων G εξαρτάται από τον ρυθμό απορρόφησης της πυκνότητας οπτικής ισχύος κατά τον άξονα zλόγω TPA G = 1 ( PTPA ) = 1 β TPA ISi 2 2 ω 0 z 2 ω, (5.19) 0 όπου 2 ω 0 είναιηενέργειατωνδύοφωτονίωνπουαπορροφώμεναδημιουργούνέναζεύγοςοπής-ηλεκτρονίουκαι I Si είναιηπυκνότηταισχύοςήένταση(intensity,σε W/m 2 ) του οπτικού πεδίου εντός του πυριτίου που προκαλεί την TPA. Δεχόμενοι ότι η ενεργός επιφάνειατουρυθμούείναιπερίπουίσημετηδιατομήτουπυρήναπυριτίου, A eff A Si, τότε I Si P/A eff σε W/m 2. Θυμίζονταςπωςστηνπερίπτωσημαςηισχύςταυτίζεταιμε τοτετράγωνοτουπλάτουςτουφακέλουτουπεδίου, P = A 2,καιχρησιμοποιώνταςτις Εξ.(5.4),(5.13) και(5.14) προκύπτει[45, 66] G = rγ A Si ω 0 A 4. (5.20) Γιανακαταλήξουμεστηντελικήμορφήτης NLSEπουθαπεριλαμβάνειτα FCEθεωρούμε τελικά πως η μιγαδικής-τιμής διαφορά στον δείκτη του πυριτίου λόγω φορέων, u fc = σ u N,μπορείναλογιστείωςμίαμικρήδιαταραχήτουενεργούδείκτηδιάθλασηςτου οδηγούμενου ρυθμού. Σύμφωνα με την παραπάνω παραδοχή, προκύπτει τελικά[45] A z = α 2 A+ i n+1β n n A n! t +iγ c A 2 A+ik n 0 (σ u N)A, (5.21) n=1 όπου η μη-γραμμική παράμετρος είναι πλέον μιγαδική για να συμπεριλαμβάνει την TPA. Η πυκνότητα φορέων N προκύπτει από παράλληλη επίλυση της εξίσωσης φορέων, Εξ.(5.18), με τον ρυθμό γέννεσης G να παρουσιάζει γενικά χωροχρονική εξάρτηση από τον φάκελλο του οπτικού σήματα, A(z, t) Διάδοση συζευγμένων ρυθμών με σύστημα διανυσματικών NLSE Η εξίσωση NLSE που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο μπορεί να προσομοιώσει ικανοποιητικά τη μη-γραμμική διάδοση σε μονόρρυθμους κυματοδηγούς SOI σχετικά μεγάλης διατομής. Λαμβάνεται υπόψη η επίδραση των FCE και της TPA στο φάκελλο του 157

172 Κεφάλαιο 5 σήματος, σε συνδυασμό με τη μη-γραμμικότητα τύπου Kerr, τη διασπορά και τις γραμμικές απώλειες. Παρ όλα αυτά, όταν η διατομή του κυματοδηγού είναι πολύ μικρή, ή όταν εμπλέκονται διαφορετικά υλικά με διακριτές μη-γραμμικές ιδιότητες και/ή όταν ο κυματοδηγός υποστηρίζει παραπάνω του ενός ρυθμούς σε διαφορετικές γενικά πολώσεις, τότε είναι απαραίτητη μία πιο ενδελεχής εξαγωγή των παραμέτρων που εμπλέκονται στην NLSE. Προς τον σκοπό αυτό, σε αυτήν την παράγραφο θα παρουσιάσουμε αναλυτικά τη διαδικασία εξαγωγής του συστήματος εξισώσεων που περιγράφουν τη διάδοση συζευγμένων ρυθμών σε κυματοδηγούς που εμπίπτουν στις παραπάνω κατηγορίες Εξίσωση διάδοσης Ξεκινώντας από τις εξισώσεις του Maxwell εκφρασμένες στο πεδίο της οπτικής συχνότητας ω, για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του κύματος που διαδίδεται σε έναν κυματοδηγό διατομής xy-επιπέδου, αμετάβλητης κατά μήκος του άξονα z, έχουμε Ẽ = +iωµ 0 H, (5.22αʹ) H = iωε 0 ε r Ẽ iω P NL, (5.22βʹ) όπου ε r (x,y)είναιτοπροφίλτουγραμμικούκαιισοτροπικούδείκτηδιάθλασηςστηδιατομήτουκυματοδηγού. PNL είναιτοδιάνυσματηςμη-γραμμικήςηλεκτρικήςπόλωσηςπου επάγεται από το μέσο D = ε 0 Ẽ+ P Lin + P NL, (5.23) με P Lin = χ (1) ε 0 Ẽτηγραμμικήηλεκτρικήπόλωση,καιε r = 1+χ (1).Στηγενικήπερίπτωση, η μη-γραμμική ηλεκτρική πόλωση εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο με βάση τον τανυστή τέταρτηςτάξης χ (3). Προκειμένουνασχηματίσουμετηνκυματικήεξίσωσηπαρουσίατου διανύσματοςτης P NL,συμπλέκουμετιςεξισώσειςτου Maxwell(5.22)καικάνουμεχρήση τηςδιανυσματικήςταυτότητας Ẽ = ( Ẽ) 2 Ẽκαταλήγονταςστην ( Ẽ)+ 2 Ẽ+ω 2 µ 0 ε 0 ε r Ẽ+ω 2 µ 0 PNL = 0. (5.24) Θεωρώνταςπωςη P NL μπορείναλογιστείωςμικρήδιαταραχήστηνπαραπάνωσχέση, P NL ε 0 ε r Ẽ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των μικρών διαταραχών (perturbation method). Δηλαδή, θα βασιστούμε στο ανάπτυγμα του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου στους γραμμικούς ιδιορρυθμούς του κυματοδηγού και στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε την μη-γραμμική ηλεκτρική πόλωση ως συνάρτηση αυτών. Για πολύρρυθμους κυματοδηγούς, θεωρούμε πως ο δείκτης k διατρέχει όλους τους ρυθμούςτουκυματοδηγού(πλήθους K 1),καιοκάθε k-ιδιορρυθμόςέχειτηδικήτου φασικήσταθεράβ (k) καιτοδικότουxy-προφίληλεκτρικούπεδίου, e (k).τοηλεκτρικόπεδίο τουκάθειδιορρυθμούτουκυματοδηγούστησυχνότητα ω, Ẽ(k),ικανοποιείτηνκυματική εξίσωσητουγραμμικούμέσου Ẽ(k) = ω 2 µ 0 ε 0 ε r Ẽ (k),όπουκαιθεμελιώνεταιτο αντίστοιχοπρόβλημαιδιοτιμώνπουπαρέχειτα β (k) και e (k),ενότητα3.2.τελικά,τοπεδίο του κάθε k-ρυθμού μπορεί να γραφτεί στη μορφή Ẽ (k) (x,y,z,ω) = e (k) (x,y,ω)exp { iβ (k) (ω)z }, (5.25) εξαιρώντας κάποια σταθερά πλάτους και έχοντας διαχωρίσει τους όρους που εξαρτώνται από τις εγκάρσιες συντεταγμένες και την αξονική. Ακριβώς αντίστοιχη σχέση ισχύει και για 158

173 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς τοδιάνυσματουμαγνητικούπεδίου H (k) μετοαντίστοιχοπροφίλ h (k). Στηνπερίπτωση τωννανοφωτονικώνκυματοδηγώνπουεξετάζουμε,ταπροφίλ e (k) και h (k) τωνρυθμών έχουν εν γένει μη-μηδενικές και τις τρεις τους συνιστώσες(εγκάρσιες και αξονική). Οι ρυθμοί αυτοί αποκλίνουν από τις απλές περιπτώσεις των ΤΕ και ΤΜ και χαρακτηρίζονται υβριδικοί ρυθμοί(hybrid modes). Συνεπώς, δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιήσουμε τη βαθμωτή προσέγγιση του πεδίου, δηλαδή πρέπει να διατηρηθεί η διανυσματική φύση των ρυθμών στην ανάλυση μας. Ιδιαίτερη σημασία έχει να τονίσουμε πως η φασική σταθερά β (k) είναιμιγαδικόςαριθμός,πουτοφανταστικότουμέλοςαντιστοιχίζεταιστηγραμμική απόσβεσητουσυγκεκριμένουρυθμού α k = 2Im{β (k) }. Στησυνέχεια, εκφράζουμετο συνολικό ηλεκτρικό πεδίο του οδηγούμενου κύματος σε ανάπτυγμα ιδιορρυθμών(eigenmode expansion) K Ẽ(x,y,z,ω) = a k (z,ω)e (k) (x,y,ω 0 )exp { iβ (k) (ω)z }, (5.26) k=1 όπουa k (z,ω)είναιομιγαδικόςφάκελοςτουκάθειδιορρυθμούκαιμεταφέρειτηνπληροφορία της ισχύος αυτού. Στην παραπάνω σχέση έχουμε θεωρήσει ότι τα εγκάρσια προφίλ των ρυθμών, e (k),είναιανεξάρτητατηςσυχνότηταςκαιγι αυτόυπολογίζονταιστηνφέρουσα ω 0. Ηπροσέγγισηαυτήισχύειικανοποιητικάγιασήματασχετικάμικρούεύρουςζώνης. Αντικαθιστώντας την Εξ.(5.26) στην(5.24), κάνοντας την προσέγγιση του αργά χωρικάμεταβαλλόμενου φακέλλου(slowly varying envelope approximation, SVEA) 2 a k z 2 2iβ (k) a k z +[ β (k)] 2 ak, (5.27) και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το ηλεκτρικό πεδίο του κάθε k-ρυθμού, Εξ.(5.25), ικανοποιεί εξ ορισμού την κυματική εξίσωση του γραμμικού μέσου, καταλήγουμε στην K k=1 a k z [ ( +2iβ (k) E (k) t t E z (k) t E (k) t ) ] ẑ = ω 2 µ 0 PNL, (5.28) όπουοεγκάρσιοςδιαφορικόςτελεστήςγράφεταιφορμαλιστικάως t = ˆx + ŷ,και x y το ηλεκτρικό πεδίο του κάθε ρυθμού έχει διαχωριστεί σε εγκάρσιες(t) και αξονικές(z) συνιστώσες, Ẽ (k) E (k) t + E (k) z ẑ. Παρατηρείστε πως όταν υπάρχει ο υπογεγραμμένος δείκτης(subscript) t ή z, τότε παραλείπουμε την περισπωμένη πάνω από το ηλεκτρικό(ή μαγνητικό) πεδίο για αποφυγή υπερσυμβολισμού, αλλά παραμένουμε πάντα στο πεδίο της οπτικής συχνότητας ω. ΗδιανυσματικήΕξ.(5.28)συνδέειτοσυνολικόηλεκτρικόπεδίομετηνπόλωση P NL (r,ω), χρήσει μόνο της SVEA και της παραδοχής της μικρής διαταραχής. Στα πλαίσια της NLSE, το ζητούμενο είναι να προσδιορίσουμε ξεχωριστά την επίδραση της μη-γραμμικής πόλωσης στημεταβολή a k / z,κατ αντιστοιχίαμετηνεξ.(5.21),κάτιπουστηνπαρούσαμορφή δεν είναι δυνατό. Προς το σκοπό αυτό, λαμβάνουμε το εσωτερικό γινόμενο και των δύο μελών της Εξ.(5.28) με τον μιγαδικό συζυγή του ρυθμού m-τάξης του κυματοδηγού, Ẽ (m),καιολοκληρώνουμεστηνάπειρηεγκάρσιαδιατομή(r). Επειτα,χρησιμοποιούμετη διανυσματικήταυτότητα t (ff) = ( t F)f +F t f,με f = Ez (m) και F = E (k) t,και κατόπιν εφαρμόζουμε το θεώρημα Gauss στο αριστερό μέλος της προηγούμενης σχέσης R t (Ez (m) E (k) t )dxdy = 159 R Ez (m) E (k) t dl (5.29)

174 Κεφάλαιο 5 όπου R είναι το όριο της άπειρης εγκάρσιας διατομής R. Το ανάπτυγμα ρυθμών που χρησιμοποιούμε αναφέρεται σε οδηγούμενους, καλά συγκεντρωμένους ρυθμούς, συνεπώς τα ηλεκτρικά πεδία των k- και m-τάξης ρυθμών μηδενίζονται στο R. Με την απλοποίηση αυτή, καταλήγουμε στη μορφή K k=1 a k z [ +2iβ (k) E (m) t ] E (k) t E (m) t t E z (k) +E (k) t t Ez (m) dxdy = = ω 2 µ 0 Ẽ (m) P NL dxdy, (5.30) όπου όλες οι εγκάρσιες ολοκληρώσεις αναφέρονται στην άπειρη διατομή R, και στο εξής παραλείπεται ο πλεονάζον συμβολισμός. Στη συνέχεια, θα προσπαθήσουμε να αντιστοιχίσουμε την ποσότητα εντός των αγκυλών στο αριστερό μέρος της Εξ.(5.30) σε κάποια ποσότητα χαρακτηριστική του κάθε kmζεύγους ρυθμών. Αντικαθιστώντας την Εξ.(5.25) στην Εξ.(5.22α ), για το μαγνητικό πεδίο του κάθε k-ρυθμού προκύπτει η σχέση H (k) = 1 ωµ 0 ẑ ( β (k) E (k) t +i t E (k) z ). (5.31) Βασιζόμενοι στη σχέση αυτή, μπορούμε να γράψουμε την παρακάτω έκφραση μεταξύ των πεδίων των k- και m-ρυθμών [Ẽ(k) iωµ 0 H (m) +Ẽ (m) H ] (k) ẑ = = +i [ β (m) +β (k)] E (m) t E (k) t E (m) t t E z (k) +E (k) t t Ez (m). (5.32) Προσθαφαιρώνταςτηνποσότητα iβ (k) [E (m) t E (k) t ] στο δεξιό μέλος της παραπάνω εξίσωσης, μπορούμε να σχηματίσουμε την υπό-ολοκλήρωση ποσότητα του αριστερού μέλους της Εξ.(5.30)συντηνποσότητα i[β (m) β (k) ][E (m) t ολοκλήρωμακανονικοποίησης N km,πουμετράταισε Wκαιυπολογίζεταιαπόταεγκάρσια E (k) t ]. Στο σημείο αυτό ορίζουμε το προφίλ των k- και m-ιδιορρυθμών σύμφωνα με N km 1 [ e (k) h (m) +e (m) h (k)] ẑ dxdy. (5.33) 2 Ως απόρροια του θεωρήματος αμοιβαιότητας(reciprocity theorem) του Lorentz στην α- πουσία πηγών ρεύματος[191, 192], προκύπτει η ορθογωνικότητα μεταξύ των ιδιορρυθμών πουορίζειπως N km = 0όταν k m. Πρέπεινασημειωθείπωςηορθογωνικότηταστη γενική περίπτωση των κυματοδηγών με απώλειες[140], ισχύει χωρίς τα μιγαδικά συζυγή στα μαγνητικά πεδία της Εξ.(5.33). Παρ όλα αυτά, ισχύει με ικανοποιητική προσέγγιση ακόμα και για κυματοδηγούς με απώλειες, υπό τη συνθήκη Re{β} Im{β} ή, ισοδύναμα, όταν το χαρακτηριστικό μήκος-απωλειών είναι σημαντικά μεγαλύτερο του μήκους κύματος τηςακτινοβολίας, L prop λ 0 ή,ισοδύναμα,όταν α k 0. Αξιοποιώντας τις προηγούμενες παρατηρήσεις, και με αντικατάσταση των Εξ.(5.33) και (5.32), τότε η Εξ.(5.30) γράφεται μετά από κάποιες πράξεις k m a m z [2N m(1+i m)]+ k a k z X km = iωexp{ iβ (m) z} 160 e (m) P NL dxdy, (5.34)

175 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς όπου N m Re{ [e (m) h (m) ] ẑdxdy} N mm,ενώηπαράμετρος m[157]εισάγει τιςαπώλειεςτου m-ρυθμούστησταθεράκανονικοποίησης N m καιδίνεταιαπότησχέση m Im{β(m) } ωµ 0 N m e (m) t 2 dxdy. (5.35) Αξίζει να σημειωθεί ότι στους περισσότερους πρακτικούς τρισδιάστατους πλασμονικούς κυματοδηγούςείναι m 1,κάτιπουσημαίνειπωςηεπίδρασηαυτούτουόρουείναιγενικά αμελητέα, εκτός από πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις κυματοδηγών με ισχυρές απώλειες [157].Τέλος,οιόροι X km (k = 1...K, k m)πουαπομένουνστηνεξ.(5.34)περιγράφουντηγραμμικήσύζευξηανάμεσαστουςφακέλλους a m και a k,μέσωτων z-παραγώγων τους, X km β k mexp{i β k m z} ωµ 0 e (m) t e (k) t dxdy, (5.36) όπου β k m β (k) β (m). Ηύπαρξητωνόρωναυτώνσυνδέεταιτόσομετηνπαρουσία έντονης διαρρυθμικής διασποράς στον κυματοδηγό, όσο και με την παρέκκλιση από τη βαθμωτήπερίπτωση,στηνοποίατοολοκλήρωμα e (m) t e (k) t dxdy ταυτίζεται με την ορθογωνικότητακαιάραμηδενίζεται. Πάντως,στιςπερισσότερεςπεριπτώσεις,οιόροι X km είναιαμελητέοισεσχέσημετουςόρους N mm καιεπιπλέονβρίσκονταικαισεασυμφωνία φάσης(non phase-matched). Για τους παραπάνω λόγους, μπορούμε με ασφάλεια να τους αγνοήσουμε, απλοποιώντας σημαντικά την Εξ.(5.34). Τελικά, καταλήγουμε στην παρακάτωσχέσηπουπεριγράφειτηνεπίδρασητηςμη-γραμμικήςηλεκτρικήςπόλωσης P NL σε καθένα από τους k-ρυθμούς στο πεδίο της συχνότητας ω a k z = iωexp{ iβ (k) z} 2Ñk e (k) P NL dxdy, (5.37) όπου,μεαναφοράστηνεξ.(5.34),έχουμεαντικαταστήσειτονδείκτη mμετον kχωρίς βλάβητηςγενικότητας.επίσης,έχουμεορίσειτημιγαδικήπαράμετροκανονικοποίησης Ñk πουέχειαπορροφήσειτηνπαράμετρο k,δηλαδή Ñk N k (1+i k). Υπενθυμίζουμεότι η χρήση της πραγματικής έναντι της μιγαδικής παραμέτρου N στις μετέπειτα σχέσεις δεν έχει σημαντική επίπτωση στην ακρίβεια των λύσεων που ζητούμε, για τους συγκεκριμένους τύπους κυματοδηγών στους οποίους αναφερόμαστε. Εξετάζοντας την Εξ.(5.37), διαπιστώνουμε πως η σύζευξη μεταξύ των ιδιορρυθμών κατά τη διάδοση τους σε μη-γραμμικό κυματοδηγό προκαλείται από τη μη-γραμμική ηλεκτρική πόλωση όταν η τελευταία μηδενίζεται, τότε οι ιδιορρυθμοί διαδίδονται ανεξάρτητα. Προκειμένου να μετασχηματίσουμε την NLSE στο πεδίο του χρόνου, αρχικά ορίζουμε τη συνάρτηση του αργά(χρονικά) μεταβαλλόμενου φακέλλου του κάθε k-ιδιορρυθμού/σήματος, Ã k,μεφασματικόπεριεχόμενοστηνπεριοχή ω ω 0,σύμφωναμετησχέση Ã k (z,ω ω 0 ) Ñ { { k 2 a k(z,ω)exp ire β (k) (ω) β (k) 0 } z α k 2 z }. (5.38) Στην παραπάνω εξίσωση, οι ποσότητες β είναι εν γένει μιγαδικές ενώ η διασπορά των β (k) (ω)εισάγεταιμετοανάπτυγμα TaylorτηςΕξ.(5.3). Επίσης, α k = 2Im{β (k) 0 }είναι η παράμετρος γραμμικής εξασθένισης(απώλειες) του k-ρυθμού, που θεωρούμε ότι δεν παρουσιάζει διασπορά στο εύρος συχνοτήτων που μελετάμε. Με τον ορισμό της Εξ.(5.38) 161

176 Κεφάλαιο 5 και χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα της Εξ.(5.26), το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο στον κυματοδηγό μπορεί να ανακατασκευαστεί από τους φακέλλους και τα προφίλ των ιδιορρυθμών ως E(x,y,z,t) = K k=1 2 Ñ k A k (z,t)e (k) (x,y,ω 0 )exp { } ire{β (k) 0 }z iω 0 t. (5.39) Αντικαθιστώντας την Εξ.(5.38) στην(5.37) και εκτελώντας την z-παραγώγιση στο αριστερότηςμέλος,εμφανίζονταιοιόροιδιασποράς(ωςγινόμενα ω n à k, n 1)καιοόρος απωλειών, σε αντιστοιχία με την απλή NLSE της Εξ.(5.7). Στη συνέχεια, λαμβάνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier, Εξ.(5.1), προκειμένου να μετασχηματίσουμε τη διαφορικήεξίσωσηδιάδοσηςτουαργάμεταβαλλόμενουφακέλου Ãk(z,ω ω 0 )στοπεδίο τουχρόνου. Πρινπροχωρήσουμεόμως,παρατηρούμεότιοόρος P NL ορίζεταιστηνυψηλήσυχνότητα(ω),ενώτοφασματικόπεριεχόμενοτουφακέλου Ãkβρίσκεταιστηχαμηλή συχνότητα(ω ω 0 ). Συνεπώς,αξιοποιώνταςτηνιδιότητα (ω ω 0 )Ãk i A k / tτου μετασχηματισμού, καταλήγουμε τελικά στην παρακάτω μορφή για το πεδίο του χρόνου A k z = α k 2 A k + n=1 i n+1β(k) n n! { } n A exp ire{β (k) k t + 0 }z +iω 0t n 2 2Ñk ( iω 0 ) e (k) P NL (x,y,z,t) dxdy. (5.40) t Στην παραπάνω σχέση, ο όρος της χρονικής παραγώγου / t του ολοκληρώματος της μη-γραμμικής ηλεκτρικής πόλωσης συχνά παραλείπεται[191]. Η απαλοιφή αυτή δικαιολογείταιότανμελετάμεσήματαμεσχετικάμικρόφασματικόπεριεχόμενο,δηλαδή ω ω 0,ήόταν η διασπορά συχνότητας των μη-γραμμικών χαρακτηριστικών του ρυθμού/κυματοδηγού, όπωςτου n 2 καιτου A eff,είναιαμελητέα. Τοφυσικόφαινόμενοπουσχετίζεταιμετονόρο αυτό ονομάζεται αυτό-όξυνση(self-steepening) και στην ακραία του μορφή προκαλεί σχηματισμό μετώπου-σοκ(shock formation) στο υπολειπόμενο χρονικό-άκρο ενός παλμού [94]. Το φαινόμενο είναι εντονότερο για υπερβραχείς παλμούς(< 10 fs) που διαδίδονται σε κυματοδηγούς με αμελητέα GVD και ισχυρή διασπορά μη-γραμμικότητας( γ/ ω). Για τους λόγους αυτούς, ο όρος / t παραλείπεται στη συνέχεια Μη-γραμμική ηλεκτρική πόλωση Εχοντας εξάγει την εξίσωση διάδοσης στο πεδίο του χρόνου υπό την παρουσία κάποιας μη-γραμμικήςπόλωσης P NL (x,y,z,t),απομένειναπροσδιορίσουμετημορφήτουολοκληρωτικού όρου της Εξ.(5.40). Προς το σκοπό αυτό, αρχικά ξεχωρίζουμε την επίδραση των σχεδόν-ακαριαίων φαινομένων Kerr και TPA από τα FCE(φαινόμενα ελευθέρων φορέων) που χαρακτηρίζονται από καθυστερημένη χρονική απόκριση P NL (r,t) = P (3o) (r,t)+p (fc) (r,t), (5.41) όπου r = (x,y,z)είναιτοδιάνυσματουχώρου. Οπωςαναφέρθηκεστηνεισαγωγή,δεθα μαςαπασχολήσειησυνεισφοράτηςεπιδεκτικότητας χ (2) στην P NL,καθώςδενεμφανίζεται στα υλικά και τις φασματικές συνιστώσες που μας απασχολούν. Επίσης, σημειώνουμε πως 162

177 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς όταν το εύρος ζώνης των υπό μελέτη σημάτων είναι μικρότερο από την ολίσθηση Raman (15.6 THz στο πυρίτιο[36]), τότε η κυρίαρχος συνεισφορά στην τρίτης-τάξης μη-γραμμική επιδεκτικότητα χ (3) είναιταφαινόμενα Kerrκαι TPA,τωνοποίωνηαπόκρισημπορείνα θεωρηθεί σχεδόν ακαριαία. Αντιθέτως, τα FCE, παρόλο που σχετίζονται με τους φορείς που δημιουργούνται ακαριαία από την TPA, χαρακτηρίζονται από χαμηλότερη ταχύτητα απόκρισης(τυπικά 1 ns), συγκρίσιμη ή χαμηλότερη από το τυπικό εύρος ζώνης για οπτικές επικοινωνίες(10 GHz 0.1 ns).ολόγοςείναιότι,κατάτηδιάδοσητουπαλμού,απαιτείται παρέλευση κάποιου χρόνου μέχρι να δημιουργηθεί κρίσιμη πυκνότητα φορέων, με συνέπεια τα FCE να επηρεάζουν τελικά διαφορετικό χρονικό-κομμάτι του σήματος από αυτό που τα προκαλεί. Αγνοώντας το φαινόμενο Raman, τόσο τα σήματα που συζευγνύονται μη-γραμμικά μέσωτης χ (3),όσοκαιηπαραγόμενημη-γραμμικήπόλωσηβρίσκονταιεντόςτηςίδιαςζώνης συχνοτήτων. Αυτή η μη-γραμμική διαδικασία αποκαλείται εξαρτώμενος-από-ένταση δείκτης διάθλασης(intensity dependent refractive index) και κατά περίπτωση προκαλεί τα φαινόμενα αυτό- και έτερο-διαμόρφωσης φάσης(self- and cross-phase modulation, SPM and XPM), μείξη τεσσάρων κυμάτων(four-wave mixing, FWM), αυτό- και έτερο-επαγόμενη διπλοδιαθλαστικότητα(self- and cross-induced birefringence) και άλλα[51]. Επίσης, έχονταςεισάγειτην TPAωςφανταστικόμέροςστονμη-γραμμικόδείκτη n 2,ταπροηγουμένως αναφερθέντα φαινόμενα μπορούν τα επιδράσουν τόσο στη φάση όσο και στο πλάτος των συμμετεχόντων κυμάτων, μέσω του δείκτη διάθλασης και της εξασθένισης, αντίστοιχα. Υπότηνπαραδοχήτηςακαριαίαςαπόκρισηςτης χ (3),καθώςκαιτηςαμελητέαςδιασποράςτηςστηνπεριοχή ω ω 0,ηµ-συνιστώσατης P (3o) γράφεται P (3o) µ (r,t) = 3ε 0 4 x,y,z α,β,γ χ (3) µαβγ (r; ω 0;ω 0, ω 0,ω 0 ) E α (r,t) E β(r,t) E γ (r,t), (5.42) όπουοιδείκτες µ,α,β,γδιατρέχουντιςκαρτεσιανέςσυντεταγμένες{x,y,z}.τοαρνητικό πρόσημοστησυχνότηταπουαντιστοιχίζεταιστην P µ (3o) γίνεται για χάρη συμβολισμού[51], ενώμπορείνασυσχετισθείδιαισθητικάστομιγαδικό-συζυγέςτουπροφίλ[e (k) µ ] που πολλαπλασιάζειτημη-γραμμικήπόλωσηστηνεξ.(5.40). ΠαρατηρούμετελικάπωςηP (3o) έχει τοπική απόκριση(local response), χωρικά και χρονικά, ενώ η τιμή της υπολογίζεται μέσω τανυστικής συναίρεσης(tensor contraction) του διανύσματος του συνολικού ηλεκτρικού πεδίουμετοντανυστήτης χ (3).Ητανυστικήσυναίρεσηδηλώνεταιαπότοτριπλόάθροισμα τηςεξ.(5.42),επίτωνδεικτών {α,β,γ}γιακάθεδείκτη µ.τέλος,τοδιάνυσμαθέσης r τοποθετήθηκεγιαναθυμίζειπωςοτανυστήςτης χ (3) μπορείναπαρουσιάζειχωρικόπροφίλ ανάλογα με τα διαφορετικά υλικά που συνθέτουν τη διατομή του κυματοδηγού. Αντίστοιχα, το κομμάτι της μη-γραμμικής πόλωσης που συνδέεται με τους ελεύθερους φορείς σχετίζεται με τη χωρική και χρονική εξάρτηση της μεταβολής του μιγαδικού δείκτη διάθλασης u fc (r,t) = [ n fc +(i/2k 0 ) α fc ]εντόςτουπυριτίου,καιδίνεταιαπότησχέση [36, 41] P (fc) (r,t) = 2ε 0 n Si [ n fc +(i/2k 0 ) α fc ]E(r,t), (5.43) όπου n Si είναιογραμμικόςδείκτηςδιάθλασηςτουπυριτίουστηνκεντρικήσυχνότητα ω 0. Οπωςπαρουσιάστηκεπροηγουμένως,Παράγραφος ,ημεταβολή u fc (r,t)είναιανάλογη της πυκνότητας φορέων N, Εξ.(5.15)-(5.17), η οποία με τη σειρά της εξαρτάται χώρο-χρονικά από την ένταση του πεδίου, την TPA και τον χρόνο ζωής των φορέων, 163

178 Κεφάλαιο 5 Εξ.(5.18)-(5.19). Τέλος, γίνεται φανερό, πως η συνολική επίδραση των φορέων μπορεί να αντιστοιχιστείσεμίαισοτροπική χ (1) επιδεκτικότηταανάλογητηςπυκνότηταςτωνφορέων. Επιστρέφοντας στην τελική μορφή της εξίσωσης διάδοσης, Εξ.(5.40), μπορούμε να εισάγουμε τις Εξ.(5.42) και(5.43), αφού αντικαταστήσουμε σε αυτές τη μορφή του συνολικού πεδίου από την Εξ.(5.39), ώστε να καταλήξουμε στη συμπαγή μορφή A k z = α k 2 A k + n=1 i n+1β(k) n n! n A k t n +Tk 3o +Tk fc. (5.44) Στησχέσηαυτή,οιόροι T3o k (z,t)και Tk fc (z,t)συμπυκνώνουντηνεπίδρασητουφαινομένου Kerr,της TPAκαιτων FCEστοναργάμεταβαλλόμενοφάκελλοτου k-ρυθμούτου μη-γραμμικού κυματοδηγού. Στην παραπάνω σχέση έχουμε αγνοήσει τον όρο / t που αντιστοιχεί στην αυτό-όξυνση και στον σχηματισμό μετώπου-shock Τρίτηςτάξηςηλεκτρικήεπιδεκτικότητα χ (3) Στο MKSA/SI σύστημα μονάδων που χρησιμοποιούμε, ο τανυστής της ηλεκτρικής επιδεκτικότηταςτρίτηςτάξης χ (3) µαβγ πουεμφανίζεταιστηνεξ.(5.42)έχειμονάδες m2 /V 2.Επίσης, σημειώνουμε ότι η σταθερά 3/4 καλείται παράγοντας εκφυλισμού(degeneracy factor)[51] και συγκεντρώνει το πλήθος των διαφορετικών συνδυασμών των πεδιακών συνιστωσών που οδηγούνστοίδιοαποτέλεσμα 1. Ητιμή 3/4ισχύειγιατηνκλασικήπερίπτωσητουφαινομένου Kerr,όπουόλαταεμπλεκόμεναμέσω χ (3) σήματαβρίσκονταιστηνίδιασυχνότητα. Για τον υπολογισμό των στοιχείων του τανυστή, χρειάζεται να γνωρίζουμε τις αντίστοιχες ιδιότητες του μέσου. Για μη-γραμμικά υλικά άμορφης φύσης, όπως είναι το τηγμένο γυαλί (fused silica) από το οποίο κατασκευάζονται οι οπτικές ίνες ή τα συνήθη μη-γραμμικά πολυμερή, μπορούμε να υποθέσουμε με ασφάλεια πως δεν υπάρχει καμία ανισοτροπική ιδιότητα στοντανυστή χ (3) (συμμετρία Kleinmann).Συνεπώς,μεχρήσητωνσχέσεωνσυμμετρίαςαντιστροφής[51] μπορεί να δειχτεί πως αρκεί η γνώση μόνο ενός μη-μηδενικού στοιχείου, γιαπαράδειγματου χ (3) xxxx, για πλήρη περιγραφή του τανυστή. Αντίθετα, τα κρυσταλλικά μη-γραμμικά υλικά, στα οποία συγκαταλέγεται και το πυρίτιο, εμφανίζουν συνήθως κάποια μορφήανισοτροπίαςστοντανυστή χ (3).Στιςπεριπτώσειςαυτές,απαιτείταιγνώσηαφενός παραπάνω στοιχείων του τανυστή και αφετέρου του προσανατολισμού του κρυστάλλου σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων(σ.σ.) του κυματοδηγού. Ο κρύσταλλος του πυριτίου ανήκει στην κατηγορία κυβικής συμμετρίας m3m-κλάσης [36]. Με χρήση της εσωτερικής συμμετρίας αντιστροφής(intrinsic permutation symmetry)καιμίαςεπιπλέονπροσέγγισηςσυμμετρίαςπουισχύειγια ω 0 E gap [36],αποδεικνύεταιπωςμαςαρκείηγνώσηδύοπαραμέτρωνγιαπλήρηπεριγραφήτουτανυστή χ (3) στο κρυσταλλογραφικό σ.σ. του πυριτίου. Πρόκειται για τις χ (3) xxxx 4 3 ε 0cn 2 0 n 2 ( 1+i β TPA 2k 0 n 2 ), (5.45) και ρ 3χ (3) xxyy/χ (3) xxxx. Ηπαράμετρος χ (3) xxxx προκύπτει από τις επιμέρους μη-γραμμικές παραμέτρους n 2 και β TPA τουκάθευλικού,πουδίνονταικατάπερίπτωσηαπότηβιβλιο- 1 Οφείλουμενασημειώσουμετηνμεγάληδιασποράορισμώνστηβιβλιογραφίατωνμη-γραμμικώνφαινομένων σχετικά με τον παράγοντα εκφυλισμού. Οι Butcher & Cotter αποτυπώνουν το πρόβλημα πολύ γλαφυρά ως a tortuous jumble of inconsistent definitions. Στη διατριβή αυτή ακολουθείται αποκλειστικά ο δικός τους φορμαλισμός. 164

179 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς γραφία 2.Ηπαράμετρος ρεκφράζειτηνανισοτροπίατηςμη-γραμμικήςεπιδεκτικότηταςτου κρυστάλλουτουπυριτίουκαιπαίρνειτηντιμή 1.27[36]για λ 1550 nm,ενώγιαταυλικά με ισοτροπική μη-γραμμική επιδεκτικότητα ισχύει ρ 1. Οσον αφορά τον προσανατολισμό του κρυστάλλου σε σχέση με το σ.σ. του κυματοδηγού(waveguide coordinate system, wcs), αρκεί να προσδιορίσουμε τον αντίστοιχο πίνακα περιστροφής σε τρεις διαστάσεις. Αυτός περιγράφεται από τις γωνίες (ψ, θ, φ) που εκφράζουν περιστροφή, κατά σειρά, γύρω από τους (x, y, z) άξονες του κρυσταλλογραφικού σ.σ.(crystal coordinate system, ccs), αντίστοιχα. Το αρχικό διάνυσμα προς περιστροφή λογίζεται στην περίπτωση μας πάντα παράλληλομετον ẑ ccs,καικαταλήγειστοδιάνυσμα ẑ wcs πουορίζειτονάξοναδιάδοσηςκατά ταθετικά zστο σ.σ.τουκυματοδηγού.μετησύμβασηαυτή,ο3 3πίνακαςπεριστροφής [R]μεστοιχεία R µν είναι ẑ ccs rotation ŷ ccs rotation ˆx ccs rotation {}} {{ }} {{ }} { cosφ sinφ 0 cosθ 0 sinθ [R] = sinφ cosφ cosψ sinψ (5.46) sinθ 0 cosθ 0 sinψ cosψ όπου οι δείκτες µ, ν διατρέχουν τις καρτεσιανές συντεταγμένες {x, y, z}. Το διάνυσμα ẑ wcs συνήθωςορίζεταισεσχέσημετονκρυσταλλογραφικόάξονατουκυματοδηγού. Για παράδειγμα, οι κυματοδηγοί πυριτίου κατασκευάζονται συνήθως κατά την [1 1 0] διεύθυνση τουκρυστάλλου,κάτιπουαντιστοιχείσεγωνίες (ψ,θ,φ) = ( π/2,0, π/4),σύμφωνα με το παράδειγμα του Σχ Τελικά, έχοντας προσδιορίσει τη χωρική εξάρτηση των παραμέτρων χ (3) xxxx, ρκαι [R],τοχωρικόπροφίλτου µαβγ-στοιχείουτουτανυστήτης χ (3) δίνεται από τη σχέση χ (3) µαβγ = χ(3) xxxx [ x,y,z ρ 3 (δ µαδ βγ +δ µβ δ αγ +δ µγ δ αβ )+(1 ρ) q R qµ R qα R qβ R qγ ]. (5.47) Είμαστεπλέονσεθέσηναυπολογίσουμετονόρο T3o k πουπεριγράφειτηνακαριαία επίδραση της τρίτης-τάξης επιδεκτικότητας(kerr και TPA) στον φάκελλο του k-ρυθμού. Ο όρος αυτός, με αντικατάσταση των Εξ.(5.39) στην(5.42) και έπειτα στην(5.40), δίνεται απότησχέση K T3ο(z,t)= k iγ klmn A l A ma n exp{i β klmn z}, (5.48) l,m,n=1 όπουοιδείκτες k, l, m, nδιατρέχουντουςρυθμούςτουκυματοδηγού(1,2,...k)και β klmn = Re{ β (k) 0 +β (l) 0 β (m) 0 +β (n) 0 } είναι ένας όρος συμφωνίας φάσης ανάμεσα στους ρυθμούς.ημιγαδικήςτιμήςμη-γραμμικήπαράμετρος γ klmn δίνεταιαπότησχέση γ klmn = 3ω 0ε 0 4 xyz µαβγ χ (3) e (k) µ e (l) α e (m) β e (n) γ µαβγ Ñ kñlñ mñn dxdy, (5.49) 2 Ανάλογαμετοσύστημαμονάδωνπουχρησιμοποιείταιμπορείναδίνεταιητιμήτου n 2 σε m 2 /W,σε m 2 /V 2 ήακόμακαισε esu. Επίσης,μπορείναδίνεταιητιμήτου χ (3) xxyyαντίτου n 2,στιςαντίστοιχες μονάδες.γιατημετατροπήτωνπαραμέτρωναυτώνστιςμονάδες m 2 /Wπουχρησιμοποιούμεεδώγιατον μη-γραμμικό δείκτη, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο σχετικό παράρτημα του[51]. 165

180 Κεφάλαιο 5 z ccs [001] (1) `ψ = ` -` π/2` silicon crystal (2) `θ = 0` y ccs [010] (3) `φ = -` π/4` x ccs [100] [110]= z wcs Σχήμα 5.2: Σύμβαση ορισμού των γωνιών (ψ, θ, φ) του πίνακα περιστροφής που απεικονίζει το διάνυσμα ẑ ccs = [0 0 1]τουκρυστάλλουστηδιεύθυνση ẑ wcs = [1 1 0]τουσυγκεκριμένουκυματοδηγούπυριτίου. Ολες οι φορές περιστροφής ακολουθούν τον κανόνα του δεξιού χεριού. πουπροκύπτειαπότοολοκλήρωμαεπικάλυψηςμεταξύτηςχ (3) (x,y)καιτουεγκάρσιουπροφίλ των ιδιορρυθμών που υποστηρίζει ο κυματοδηγός, e(x, y). Υπενθυμίζεται ότι για τους κυματοδηγούς που μελετάμε ισχύει γενικά 1[Εξ.(5.35)], συνεπώς μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις μιγαδικές παραμέτρους κανονικοποίησης των ρυθμών με τις αντίστοιχες πραγματικές, Ñ N, χωρίς σημαντικό σφάλμα. Ανάλογα με το klmn-σύνολο ρυθμών στο οποίο αναφέρεται η κάθε μη-γραμμική παράμετρος,το γ klmn αντιστοιχίζεταισεαυτοδιαμόρφωσηφάσης(γιατα kkkk-σύνολα),σε σύμφωνη ή ασύμφωνη ετεροδιαμόρφωση φάσης(για τα kkmm- ή kmkm/kkkm-σύνολα, αντίστοιχα) ή, τέλος, σε μείξη τριών ή τεσσάρων κυμάτων(klmm- ή klmn-σύνολα). Αξίζει να σημειωθεί ότι πολλές από τις γ-παραμέτρους ετεροδιαμόρφωσης και μείξης εκφυλίζονται ήμηδενίζονταιλόγωτωνιδιοτήτωνσυμμετρίαςτης χ (3) ήτωνιδιορρυθμών,αντίστοιχα.για παράδειγμα, μηδενισμοί των γ-παραμέτρων μείξης εμφανίζονται όταν οι ρυθμοί του klmnσύνολο αναφέρονται σε ορθογώνιες μεταξύ τους πολώσεις ή όταν δεν έχουν καθόλου χωρική επικάλυψη μεταξύ τους. Ευτυχώς, το πλήθος των διαφορετικών μη-μηδενικών τιμών για τις γ-παραμέτρους είναι γενικά περιορισμένο σε μεγάλο φάσμα πρακτικών εφαρμογών, και σπάνιαφτάνειτομέγιστοδυνατόπλήθος K 4. Πιοσυγκεκριμένα,οικυματοδηγοίπουπαρουσιάζουν συμμετρία κατά μήκος κάποιας από τις εγκάρσιες διαστάσεις τους(x ή/και y), τότε υποστηρίζουν και αντιστοίχως συμμετρικά σύνολα ρυθμών. Στις περιπτώσεις αυτές, οδηγούμαστε σε ένα πολύ μικρότερο πλήθος ανεξάρτητων μη-μηδενικών γ-παραμέτρων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός xy-συμμετρικού κυματοδηγού SOI που υποστηρίζει τους βασικούς TE και TM ρυθμούς[66], αρκεί ο υπολογισμός μόνο τεσσάρων γ-παραμέτρων, klmn = {1111,2222,1122,1212},γιατηνπλήρηπεριγραφήτουόρου T k 3ο Επίδραση ελευθέρων φορέων σε κυματοδηγούς πυριτίου Οπως αναφέρθηκε στην Παράγραφο , η παρουσία ηλεκτρικού πεδίου υψηλής έντασης μέσα σε περιοχές πυριτίου προκαλεί τη γέννηση ελευθέρων φορέων, μέσω του μηχανισμού της TPA. Οι φορείς αυτοί χαρακτηρίζονται από την πυκνότητα N(r, t) που παρουσιάζει χωρική και χρονική εξάρτηση. Η χωρική εξάρτηση σχετίζεται με την χωρική κατανομή 166

181 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς της έντασης του πεδίου εντός του πυριτίου, ενώ η χρονική εξάρτηση σχετίζεται με τον χαρακτηριστικό χρόνο ζωής τους, Εξ.(5.18). Τέλος, η επίδραση των φορέων στο οπτικό σήμα γίνεται μέσω της μεταβολής που προκαλούν στο πραγματικό και στο φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης σε κάθε σημείο της διατομής του κυματοδηγού. Σύμφωνα με τις παραδοχές της Εξ.(5.17), η μεταβολή είναι μιγαδικής τιμής και ευθέως ανάλογη της πυκνότητας φορέων, συνεπώς παρουσιάζει και αυτή χωροχρονική εξάρτηση u fc (r,t) = σ u (r)n(r,t), (5.50) όπου σ u (r)είναιτοπροφίλτηςμιγαδικήςσταθεράςαναλογίαςγιατα FCE,πουμηδενίζεται εκτός του πυριτίου(ή, γενικότερα, εκτός των υλικών με TPA). Σκοπός της παραγράφου αυτής είναι να προσδιορίσουμε τον τρόπο με τον οποίο επιδρά ησυνολικήποσότητα u fc (r,t)στουςεπιμέρουςφακέλλουςτωνρυθμώντουκυματοδηγού. Αντικαθιστώντας την Εξ.(5.39) στην(5.43) και κατόπιν στην(5.40) προκύπτει η παρακάτω μορφήγιατονόρο Tfc kπουεμφανίζεταιστηνεξ.(5.44) T k fc (z,t) = K l=1 iδ kl A l exp { ire{β (l) 0 β (m) 0 }z }. (5.51) Οόρος δ kl (δενσχετίζεταιμετησυνάρτησηδέλτα Kronocker)ποσοτικοποιείτηνεπίδραση του φακέλλου του l-ρυθμού στον k-ρυθμό, διαμέσου της πυκνότητας φορέων και δίνεται απότησχέση δ kl (z,t) = ω 0ε 0 n Si u fc [e Ñk (k) e (l) ]dxdy. (5.52) Ñ l Γίνεταιάμεσααντιληπτόπωςοόρος δ kk θαείναιοεπικρατέστεροςστοάθροισματης Εξ.(5.51),λόγωτηςπροβολήςμεταξύτωνπροφίλτωνιδιορρυθμών e (k) 2 dxdy e (k) e (l) dxdyγια k lκαιυποθέτονταςπως N k N l. Στηνπαραπάνωαπλοποίηση συμβάλλει επιπλέον το γεγονός ότι η πυκνότητα φορέων συνήθως εμφανίζει κατανομή συμμετρική προς όλους τους ρυθμούς, δηλαδή επηρεάζει με αντίστοιχο τρόπο και τα δύο παραπάνω ολοκληρώματα και, συνεπώς, μπορεί να αμεληθεί προς τον σκοπό της σύγκρισης αυτών.τελικά,οόρος δ kk μπορείναγραφτείως δ kk (z,t) = k 0n Si Γ k u n (k) fc (r,t) k, (5.53) eff όπουοτελεστής k,εφαρμοζόμενοςσεμίαεγκάρσιαχωρικήκατανομή f(x,y)ορίζεται ως f(x,y) e (k) 2 dxdy f k, (5.54) e (k) 2 dxdy λογίζεταιδεωςμιάστάθμισητης f(x,y)μετηνεγκάρσιακατανομήτηςηλεκτρικήςέντασηςτου k-ρυθμούτουκυματοδηγού. Επίσης, Γ k είναιοπαράγονταςαξονικήςενίσχυσης (longitudinal enhancement factor, LEF)[66] που προσδιορίζει πόσο ο k-ρυθμός αποκλίνει απότηνπερίπτωσητωντεήτμκυμάτων.δίνεταιαπότησχέση Γ k = c 0ε 0 n (k) eff Ñ k 167 e (k) 2 dxdy (5.55)

182 Κεφάλαιο 5 καιπαίρνειγενικάμιγαδικέςτιμέςμε Re{Γ k } 1και Im{Γ k } 1.Τοφανταστικόμέρος εξαλείφεταιπλήρωςγιακυματοδηγούςχωρίςεγγενείςαπώλειες,όπου Im{n (k) eff } = 0και συνεπώς Ñk N k. Για να προσδιορίσουμε τη συνολική επίδραση των ελευθέρων φορέων στο οπτικό σήμα, πρέπει να προσδιορίσουμε την κατανομή της πυκνότητας φορέων N(r, t), που προκύπτει με τη σειρά της από την επίλυση της εξίσωσης ρυθμού-μεταβολής των φορέων, Εξ.(5.18). Προςτονσκοπόαυτό,απαιτείταιορυθμόςγένεσηςφορέων GτηςΕξ.(5.20),πουεν γένει εξαρτάται από το αξονικό ρυθμό απορρόφησης της πυκνότητας οπτικής ισχύος στον κυματοδηγόλόγω TPA, P TPA / z = β TPA PT 2,όπου P Tηοδηγούμενηκατά-zπυκνότηταισχύος(σε W/m 2 )πουοφείλεταιστοσύνολοτωνρυθμών.αξίζεινασημειωθείπως,για τον υπολογισμό του G, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η συνολική ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E 2 /Z 0 αντίτης P T. Οιδύοπροσεγγίσειςοδηγούνσεπαραπλήσιααποτελέσματα μεμικρέςγενικάδιαφορές.τελικάπροτιμήθηκεηp T λόγωτηςπιοομαλήςκατανομήςτης σε κυματοδηγούς με έντονη αντίθεση(contrast) δεικτών διάθλασης, όπως είναι οι SOI ή οι υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί. Με την επιλογή αυτή, και λόγω της ορθογωνικότητας μεταξύτωνιδιορρυθμώντουκυματοδηγού,ηp T μπορείναγραφείως P T (r,t) = K m=1 P (m) z (r,t) = K m=1 P (m) z (x,y) A m (z,t) 2, (5.56) όπου η οδηγούμενη κατά-z πυκνότητα-ισχύος του κάθε ρυθμού δίνεται από τη σχέση P z (m) (r,t) = P (m) z (x,y) A m (z,t) 2, (5.57) ορίζονταςτηνκατανομήτηςκανονικοποιημένηςπυκνότητας-ισχύος(σε 1/m 2 )ως P (m) z (x,y) 1 N m Re{e (m) h (m) } ẑ. (5.58) Η χωροχρονική εξάρτηση του ρυθμού γένεσης φορέων G(r, t) θα δίνεται από σχέση αντίστοιχη της Εξ.(5.20), G(r,t) = 1 2 ω 0 ( PTPA z ) = β TPA(x,y) 2 ω 0 ( K m=1 P (m) z (x,y) A m (z,t) 2 ) 2. (5.59) Στα πλαίσια της NLSE μας ενδιαφέρει να απορροφήσουμε την εξάρτηση από τις εγκάρσιες διαστάσεις, αντιστοιχίζοντας την επίδραση των φαινομένων σε αξονικά και χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα. Ετσι, εφαρμόζοντας τον τελεστή της Εξ.(5.54) στην G(r, t), και με αντικατάσταση της Εξ.(5.56), προκύπτει G k = 1 2 ω 0 K K m=1 n=1 Ξ (k) mn A m(z,t) 2 A n (z,t) 2, (5.60) όπουηπαράμετροςεπικάλυψηςμεταξύφορέωνκαιηλεκτρικούπεδίου Ξ (k) mn(σε m 3 W 1 ) ορίζεται ως Ξ (k) mn β (m) TPA P z P z (n) k. (5.61) 168

183 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς Η παράμετρος Ξ παρέχει ένα μέτρο της χωρικής επικάλυψης των φορέων με το οπτικό κύμα που τους δημιουργεί. Για κυματοδηγούς πυριτίου(soi), η παράμετρος Ξ μπορεί να υποκατασταθεί από την αδιάστατη παράμετρο επικάλυψης Π[66] σύμφωνα με τη σχέση Ξ β TPA A 2 Si Π,όπου Si e(k) 2 dxdy Π e(k) 2 dxdy. (5.62) Η παραπάνω προσέγγιση ισχύει ικανοποιητικά όταν ο κυματοδηγός είναι σχετικά μεγάλης διατομής και το πεδίο είναι συγκεντρωμένο αποκλειστικά στο εσωτερικό του πυρήνα πυριτίου. Ομως, για άλλους τύπους κυματοδηγών, όπως οι υβριδικοί πλασμονικοί, όπου το μέγιστο του οπτικού πεδίου δεν βρίσκεται εντός του πυριτίου αλλά στο διάκενο, τότε η χρήση της παραμέτρου Ξ προσδίδει μία σαφώς ορθότερη εικόνα. Πρέπει ακόμα να σημειωθεί ότι η παράμετρος Ξ μπορεί, σε μονόρρυθμους κυματοδηγούς SOI μεγάλης διατομής, να συσχετισθείμετορυθμότης TPAσύμφωναμετησχέση Ξ 2rγ/A Si. Αυτόπροκύπτει κάτωαπότιςπαραδοχέςτηςεξ.(5.13),δηλαδή A eff A Si και Pz A 1 Si και Pz 0,για τις περιοχές εντός και εκτός του πυριτίου, αντίστοιχα. Τελικά, η Εξ.(5.60) δηλώνει τον τρόπο με τον οποίο ο k-σταθμισμένος ρυθμός γένεσης φορέων, G k,προκαλείταιαπότηνσυνδυασμένη TPAμεταξύόλωντωνρυθμώντουκυματοδηγού. Για παράδειγμα, όταν υποστηρίζονται δύο ρυθμοί, τότε ο k-ρυθμός επηρεάζεται απότην TPAπουδημιουργείηδικήτουισχύς,ηισχύςτουάλλουρυθμού,προσθέτοντας επίσηςκαιη«μεικτή» TPA,για m nστηνεξ.(5.61). Μεβάσηαυτόντονμηχανισμό έτερο-απορρόφησης(cross absorption) λόγω ελευθέρων φορέων, έχουν σχεδιαστεί με επιτυχία διαμορφωτές και διακόπτες σε κυματοδηγούς πυριτίου[238]. Είμαστεπλέονσεθέσηναυπολογίσουμετηνποσότητα u fc (r,t) k τηςεξ.(5.52),για κάθερυθμόξεχωριστά,μέσωτηςσταθμισμένηπυκνότητας N k.ητελευταίαυπολογίζεται από την επίλυση της εξίσωσης ρυθμού-μεταβολής, Εξ.(5.18), σε κάθε σημείο του z-άξονα, αφούπρώταυπολογιστείο G k απότησυνολική TPA N k t = G k N k τ fc. (5.63) Αξίζει να παρατηρηθεί ότι αυτός ο τρόπος εισαγωγής των FCE στην NLSE επιτρέπει τη χρήση εν γένει διαφορετικών χρόνων ζωής φορέων για την επίδραση στους επιμέρους ρυθμούς Μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης των συζευγμένων NLSE Στην προηγούμενη παράγραφο παρουσιάστηκε ο φορμαλισμός με τον οποίο υπολογίζονται οι τιμές των παραμέτρων της διαφορικής εξίσωσης διάδοσης, NLSE, που μοντελοποιεί τη μετάδοση του φακέλλου του σήματος σε συγκεκριμένο ιδιορρυθμό μη-γραμμικού κυματοδηγού. Ετσι, για δεδομένη είσοδο στον κυματοδηγό, A(0, t), μπορούμε να υπολογίσουμε τη μορφή του σήματος εξόδου μετά από δεδομένο μήκος κυματοδηγού, A(L, t), με ολοκλήρωση κατά-z της NLSE. Επίσης, όταν υποστηρίζονται και διεγείρονται περισσότεροι του ενός ρυθμοί, τότε είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η σύζευξη μεταξύ τους μέσω της μη-γραμμικότητας. Η περίπτωση αυτή αντιστοιχίζεται σε ένα σύστημα συζευγμένων διαφορικών NLSE, που πρέπει να ολοκληρωθεί παράλληλα. Τέλος, όταν η διάδοση του κύματος συνοδεύεται και επηρεάζεται από την πυκνότητα των ελεύθερων φορέων(όπως στους 169

184 Κεφάλαιο 5 κυματοδηγούς πυριτίου), τότε το σύστημα των NLSE συμπληρώνεται από τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την αξονική- και χρονική-εξάρτηση των FCE Συνεχή σήματα Μέθοδοι Runge-Kutta Οταν τα σήματα δεν είναι διαμορφωμένα, τότε βρισκόμαστε στην περίπτωση της λειτουργίας συνεχούς κύματος(continuous wave, CW), στην οποία η χρονική εξάρτηση μπορεί να απαλειφθεί από όλες τις διαφορικές εξισώσεις διάδοσης. Επίσης, οι φάκελλοι των σημάτων περιέχουν πλέον μόνο την εξάρτηση από την αξονική απόσταση διάδοσης, δηλαδή A k (z). Μηδενίζονταςλοιπόντιςχρονικέςπαραγώγους / tτουσυστήματοςτων NLSE, Εξ.(5.44), ουσιαστικά αφαιρείται πλήρως η επίδραση της διασποράς. Παραμένει όμως η συμφωνίαφάσηςτων β k 0 που,επειδήέχειενσωματωθείστονορισμότωναργάμεταβαλλόμενων φακέλλων, Εξ.(5.38), εμφανίζεται μόνο στο άθροισμα όρων μη-γραμμικής μείξης χ (3),Εξ.(5.48). Παρ ολααυτά,ότανθέλουμεναυπολογίσουμετοσυνολικόπεδίοστην έξοδο ενός κυματοδηγού πρέπει να χρησιμοποιήσουμε σωστά τη γραμμική υπέρθεση των ρυθμών σε κοινή φάση αναφοράς, σύμφωνα με την Εξ.(5.39). Εκτός από την απομάκρυνση της διασποράς, η CW λειτουργία απλοποιεί σημαντικά και την αντιμετώπιση των ελευθέρων φορέων σε κυματοδηγούς πυριτίου. Πιο συγκεκριμένα, η εξίσωση μεταβολής των φορέων, Εξ.(5.18), εκφυλίζεται στη σχέση αναλογίας N(z) = τ fc G(z),όπουηπυκνότηταφορέων(N)σεκάθε z-σημείοτηςδιάδοσηςεξαρτάταιευθέως απότορυθμόγένεσηςφορέων(g)καιτοχρόνοζωήςτους(τ fc ).Συνεπώς,δενχρειάζεται η επιπλέον εξίσωση μεταβολής των φορέων, αφού πλέον η σύζευξη μεταξύ των φακέλλων των ρυθμών περιέχεται άμεσα στον όρο δ kk (z) = τ fc ω 0 ε 0 n Si σ u 2 ω 0 Ñ k K m,n Ξ (k) mn A m(z) 2 A n (z) 2. (5.64) Η επίλυση/ολοκλήρωση του συστήματος συζευγμένων NLSE για τον υπολογισμό των τιμώντωνa k φακέλλωνστηνέξοδογίνεταιμεχρήσημεθόδωναριθμητικήςανάλυσης,όπως η Runge-Kutta (RK)[239]. Εδώ θα παρουσιάσουμε την πιο απλή εκδοχή της μεθόδου που αποκαλείται RK4. Αρχικά ορίζουμε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων ως A z = function(z,a), (5.65) όπου AείναιτοδιάνυσματωντιμώντωνφακέλλωνA k (διάστασηςk)σεκάθε z-σημείοτου άξονα του κυματοδηγού. Ο ρυθμός μεταβολής A/ z είναι κάποια συνάρτηση(function, γενικά μη-γραμμική) των ιδίων των A και της z-διάστασης, όπως π.χ. στα αριστερά μέλη των Εξ.(5.44). Επειτα, επιλέγοντας ένα βήμα ολοκλήρωσης z, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον παρακάτω επαναληπτικό αλγόριθμο για τον υπολογισμό των A στην απόσταση z + z. A n+1 = A n + z 1 6 (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4 ), z n+1 = z n + z, (5.66αʹ) (5.66βʹ) χρησιμοποιώνταςτιςαρχικέςτιμές A 1 = A(0),και z 1 = 0. Οιπαράμετροι k i, i = {1-4} 170

185 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς υπολογίζονται αλυσιδωτά από τη μορφή της function, σύμφωνα με τις σχέσεις k 1 = function(z n,a n ), k 2 = function(z n +0.5 z,a n +0.5 zk 1 ), k 3 = function(z n +0.5 z,a n +0.5 zk 2 ), k 4 = function(z n + z,a n + zk 3 ). (5.67αʹ) (5.67βʹ) (5.67γʹ) (5.67δʹ) Βλέπουμε πως η μέθοδος RK4 χωρίζει κάθε βήμα ολοκλήρωσης σε δύο κομμάτια(χρησιμοποιεί δηλαδή τρία σημεία υπολογισμού) και για το λόγο αυτό μοιάζει με τον γνωστό κανόνα Simpson,μεσφάλμααποκοπής O( z 5 ). Στηβιβλιογραφίαυπάρχουνεπεκτάσειςτηςγια μεγαλύτερο πλήθος σημείων. Το βήμα ολοκλήρωσης z επιλέγεται ανάλογα με τη συνολική ένταση των μη-γραμμικών φαινομένων στον κυματοδηγό και γίνεται άμεσα αντιληπτό ότι η ακρίβεια της μεθόδου(όπως και η ταχύτητα της) εξαρτάται πρωτίστως από αυτό. Ενδεικτικές τιμές για το z προκύπτουν από την απαίτηση η μη-γραμμική φάση[εξ.(5.12)] που συσσωρεύεται σε κάθε βήμαναμηνξεπερνάειμίαμικρήτιμή,όπως Φ NL < π/100[94]. Προφανώςτο zμπορείνααναπροσαρμόζεταισεκάθεβήμαόσοπέφτειηισχύςτουσήματοςκατάμήκοςτης ολοκλήρωσης της NLSE Χρονομεταβλητά σήματα Μέθοδος Split Step Fourier Η ολοκλήρωση του συστήματος των NLSE κατά μήκος του z-άξονα στην περίπτωση που τα φέροντα είναι διαμορφωμένα γίνεται τυπικά με τη μέθοδο μεικτού βήματος Fourier(splitstep Fourier method, SSFM)[94]. Πρόκειται για μία ψευδοφασματική μέθοδο που μπορεί να χειριστεί την ύπαρξη διαφορικών όρων τόσο κατά την αξονική- όσο και κατά την χρονικήδιάσταση. Η ολοκλήρωση κατά μήκος του z-άξονα γίνεται, όπως και στις μεθόδους Runge- Kutta,με zβήματα,αλλάηδιαφοράέγκειταιστοότιτοδιάνυσματωντιμώντωνφακέλλων A k (διάστασης K)έχειπλέονκαιχρονικήεξάρτηση, A(z,t). Ετσι,οιόροιτουδεξιού μέλους των Εξ.(5.44) χωρίζονται σε γραμμικούς(γραμμική εξασθένιση και διασπορά) και μη-γραμμικούς(όροι χ (3) και FCE).Ηεπίδρασητωνδύομηχανισμώνεισάγεταιδιαδοχικά μέσα σε κάθε z-βήμα, σαν να ήταν ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Η επίδραση των γραμμικών όρων εισάγεται εύκολα με μετασχηματισμό Fourier στο πεδίο της συχνότητας και επιστροφή στο πεδίο του χρόνου, για z-βήμα οσοδήποτε μεγάλο και για κάθε k-φάκελλο χωριστά, σύμφωνα με τη σχέση A k (z + z,t) = IFT { FT{A k (z,t)}exp { α k 2 z +i n=1 ( β (k) n ω n n! ) z }}. (5.68) Σημειώστε ότι, στους παραπάνω μετασχηματισμούς, η κυκλική συχνότητα ω αναφέρεται στηβασικήζώνη(baseband)καιόχιστηνπεριοχήτηςσυχνότηταςτουφέροντος ω 0. Αντίστοιχα, με χρήση μετασχηματισμού Fourier, μπορεί να επιλυθεί και η εξίσωση ρυθμού-μεταβολής των φορέων, Εξ.(5.63), σε δεδομένο z-σημείο για κάθε k-φάκελλο χωριστά { } FT{ G k } N k = IFT τ 1. (5.69) fc iω Υπενθυμίζεται ότι με βάση το θεωρητικό μας μοντέλο οι ελεύθεροι φορείς επιδρούν με διαφορετικότρόποσεκαθένααπότασήματα(μέσωτωνπυκνοτήτων N k )καιγιατολόγο 171

186 Κεφάλαιο 5 αυτό η εξίσωση ρυθμού-μεταβολής πρέπει να επιλύεται για κάθε k-φάκελλο ξεχωριστά. Σε άλλα μοντέλα[66], η πυκνότητα φορέων λογίζεται ως κοινή και επιδρά με τον ίδιο τρόπο σε όλους τους ιδιορρυθμούς. Η απλοποίηση αυτή αίρεται στο μοντέλο μας, που επιπλέον επιτρέπεισεκάθειδιορρυθμόναχαρακτηρίζεταιαπότονδικότουενεργόχρόνοζωής τ (k) fc. Ηεπίδρασητωνμη-γραμμικώνόρων, T3o k και Tk fc [Εξ.(5.48)και(5.51)],υπολογίζεταιγια κάθε k-φάκελλο χωριστά, χρησιμοποιώντας κάποια μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης, όπως η Runge-Kutta που παρουσιάστηκε παραπάνω. Συνήθως όμως προτιμώνται απλούστερες μέθοδοι(δηλαδή με μεγαλύτερο σφάλμα αποκοπής από την RK), κάτι που αντισταθμίζεται με μικρότερο βήμα z, που απαιτείται ούτως ή άλλως από την SSFM. Εδώ χρησιμοποιήθηκε ηεκθετικήμέθοδος Eulerπουπραγματοποιείτηδιάδοσημεέναμόνοβήμα,ίσομε z, σύμφωνα με τη σχέση A k (z + z,t) = A k (z,t)exp z+ z z T k 3o +Tk fc A k dz. (5.70) Στην απλούστερη των περιπτώσεων, η υπό-ολοκλήρωση ποσότητα λογίζεται ως σταθερή εντός του z-βήματος, απλοποιώντας σημαντικά τον υπολογισμό. Η συγκεκριμένη περίπτωσηβασίζεταιστηνπροσέγγιση e x 1+xόταν x 1,καιστηνπερίπτωσημαςισχύει ικανοποιητικά όταν το z-βήμα είναι«αρκετά» μικρό. Για παράδειγμα, όταν έχουμε μόνο έναν ιδιορρυθμό με απουσία ελευθέρων φορέων, Εξ.(5.7), τότε το μη-γραμμικό βήμα γίνεταιμετησχέση A(z + z,t) = A(z,t)exp{iγ A(z,t) 2 z}. Εάναπαιτείταιυψηλότερη ακρίβεια(ή, ισοδύναμα, μεγαλύτερο βήμα), τότε μπορεί να ληφθεί καλύτερη προσέγγιση του ολοκληρώματος με χρήση του κανόνα τραπεζίου ή Simpson, αντί του κανόνα παραλληλογράμμου, με θεώρηση εμβόλιμων σημείων εντός του διαστήματος (z, z + z). Επίσης, η χρήση επαναληπτικής σύγκλισης για τον προσδιορισμό των τιμών στα προαναφερθέντα εμβόλιμα σημεία μπορεί να βελτιώσει την ακρίβεια της μεθόδου. Πάντως, καθότι ο κρίσιμος όρος (T3o+T k fc k)/a kείναιχρόνο-εξαρτώμενοςκαιπεριέχειενγένεισυμβολέςαπόόλουςτους k-φακέλλους, στην πράξη χρησιμοποιείται συνηθέστατα η απλούστερη προσέγγιση(δηλαδή σταθερή τιμή του όρου εντός του z-βήματος), συνοδευόμενη από μείωση του z-βήματος εάν παρατηρηθούν προβλήματα σύγκλισης. Το Σχ. 5.3 συνοψίζει τον αλγόριθμο διάδοσης της SSFM σε κάθε z-βήμα ολοκλήρωσης του συστήματος των μη-γραμμικά συζευγμένων NLSE, για τα K-σε-πλήθος σήματα που διαδίδονται σε ισάριθμους ιδιορρυθμούς ενός κυματοδηγού. Η σειρά εκτέλεσης των μπλοκ μπορεί να είναι τυχαία, αλλά η προτιμώμενη σειρά εκτέλεσης είναι πρώτα κατακόρυφα(ανά k-ρυθμό) και μετά οριζόντια(ανά φαινόμενο). Παρ όλα αυτά, η σειρά σάρωσης των φαινομένων μπορεί να αλλάζει. Μάλιστα, συνηθίζεται η εισαγωγή των γραμμικών όρων(εξασθένιση και διασπορά) να χωρίζεται σε δύο στάδια, εκατέρωθεν των μη-γραμμικών όρων. Η ανατροφοδότηση εξόδου-εισόδου δηλώνει τη χρήση επαναληπτικής σύγκλισης για μεγαλύτερη ακρίβεια. Σχολιάζοντας το Σχ. 5.3, παρατηρούμε πως η επίδραση των γραμμικών όρωνεξασθένισηςκαιδιασποράς(μέσω α k και β k,αντίστοιχα)δενσυμπλέκειτουςρυθμούς μεταξύ τους. Αυτό δηλώνεται με τη μεμονωμένη είσοδο σε κάθε μπλοκ. Αντιθέτως, για τηνεπίδρασητωνμη-γραμμικώνόρων χ (3) (μέσωτων γ klmn )όπωςκαιγιατονυπολογισμό τηςπυκνότηταςφορέων(μέσωτων Ξ (k) mn παραμέτρων επικάλυψης φορέων-πεδίου) απαιτείται η συνάθροιση όλων των συνδυασμών των ρυθμών, ανά τέσσερις και ανά δύο, αντίστοιχα. Τέλος, για την επίδραση των όρων ελευθέρων-φορέων, δοθέντων των πυκνοτήτων φορέων N k,γενικάυπερισχύειπάνταοόρος δ kk,δηλαδήμπορείνααγνοηθείησύζευξημεταξύ 172

187 5.1. Διάδοση σε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς A z t 1 (,), A1(+ z z,) t A z t 2(,), A2 (+ z z, t ) A z t k(, ), Ak (+ z z,) t A z t, A ( z + z, t ) K (,), - (3)` - u fc Σχήμα 5.3: Σχηματικό μπλοκ-διάγραμμα αλγορίθμου της SSFM, για κάθε z-βήμα διάδοσης. Τα βέλη δείχνουν δείχνουν τις εισόδους που απαιτούνται στους υπολογισμούς του κάθε μπλοκ, εντός των οποίων σημειώνονται οι παράμετροι τους συστήματος εξισώσεων που απαιτούνται για τους υπολογισμούς. ρυθμών κάτι που δηλώνεται με τα βέλη φαιού χρώματος. Στο σημείο αυτό, αξίζει να επισημάνουμε κάποιες ιδιαιτερότητες που προκύπτουν στην ολοκλήρωση των συζευγμένων NLSE σε πολύρρυθμους κυματοδηγούς. Πιο συγκεκριμένα, αναφερόμαστε στο ζήτημα της ασυμφωνίας φάσης(phase mismatching) μεταξύ ρυθμών με ενγένειδιαφορετικέςφασικέςσταθερές,πουεκφράζεταιμέσωτουόρουexp{i β klmn z}της Εξ.(5.48),με β klmn z 0.Ηεπίδρασητουόρουαυτούέχεικρίσιμησημασίαπρωτίστως για διάδοση χρονικά μεταβαλλόμενων σημάτων σε κυματοδηγούς χαμηλής διασποράς και επηρεάζει την επίδοση των φαινομένων XPM, ή γενικότερα FWM. Υπό κάποιες παραδοχές μπορεί να αμεληθεί λόγω της πολύ γρήγορης ταλάντωσης του, για παράδειγμα όταν το μήκος του κυματοδηγού είναι πολύ μεγαλύτερο από το χαρακτηριστικό μήκος ασυμφωνίας (beating length) L B = 2π/ β.σεαντίθετηπερίπτωση,πρέπειοπωσδήποτεναλαμβάνεται υπόψη. Οσον αφορά την αριθμητική ολοκλήρωση του συστήματος NLSE παρουσία τέτοιων όρων ασυμφωνίας φάσης, είναι πολλές φορές χρήσιμο να γίνουν απλουστευτικές παραδοχές ή μετασχηματισμοί που να απαλείφουν αυτόν τον όρο ταλάντωσης, διότι απαιτεί αυξημένη υπολογιστική ακρίβεια, δηλαδή πολύ μικρό βήμα z. Χωρίς να επεκταθούμε παραπάνω, αναφέρουμε απλά την περίπτωση μονόρρυθμου κυματοδηγού με δύο ορθογώνιες πολώσεις όπου μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός[94] A 1 = (A 1 e +i0.5 βz +ia 2 e i0.5 βz )/ 2, A 2 = (A 1e +i0.5 βz ia 2 e i0.5 βz )/ 2, (5.71αʹ) (5.71βʹ) για την αντιμετώπιση του ζητήματος. Αποδεικνύεται πως με αντικατάσταση των παραπάνω στο σύστημα των NLSE απομακρύνονται οι«προβληματικοί» ασύμφωνοι όροι σύζευξης τηςμορφής A 1/2 A2 2/1 exp{ 2i βz},καιαντικαθίσταταιαπότιςπιοεύκολαδιαχειρίσιμες μορφές 0.5i βa 1/2. Ηολοκλήρωσημετην SSFMτουςνέουσυστήματοςσυζευγμένων NLSE δεν απαιτεί τόσο μικρό βήμα z όσο το αρχικό σύστημα. Δυστυχώς, η επέκταση αυτού του μετασχηματισμού σε κυματοδηγούς με περισσότερους από δύο ρυθμούς είναι αρκετά πιο δύσκολη και απαιτούνται επιπλέον απλουστευτικές παραδοχές. 173

188 5.2 Αξιολόγηση μη-γραμμικών κυματοδηγών Κεφάλαιο 5 Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τη συστηματική αξιολόγηση κυματοδηγών για μηγραμμικές εφαρμογές. Στόχος είναι ο ορισμός κατάλληλων μετρικών(figures of merit, FoM) για τη βελτιστοποίηση ή τη σύγκριση των επιδόσεων διαφορετικών μη-γραμμικών κυματοδηγών[143]. Τονίζουμε πως οι μετρικές αναφέρονται σε ιδιορρυθμούς και όχι στους ίδιους τους κυματοδηγούς βέβαια, στην περίπτωση των μονόρρυθμων κυματοδηγών, οι δύο έννοιες ταυτίζονται. Εφόσον δεν επισημαίνεται το αντίθετο, θα υποθέτουμε πάντα μονόρρυθμη λειτουργία όπου θα αναφερόμαστε στον βασικό οδηγούμενο ρυθμό. Αρχικά, θα εξάγουμε FoM για συμβατικούς μη-γραμμικούς κυματοδηγούς και στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με κυματοδηγούς που περιέχουν πυρίτιο και λειτουργούν στην NIR φασματική περιοχή, εμφανίζοντας απορρόφηση δύο φωτονίων(tpa) και τα συνεπακόλουθα φαινόμενα ελευθέρων φορέων(fce) Συμβατικοί μη-γραμμικοί κυματοδηγοί Ως συμβατικούς μη-γραμμικούς κυματοδηγούς θεωρούμε αυτούς που δεν παρουσιάζουν TPA(β TPA = 0),συνεπώςδενθαεμφανίζουνούτεκαι FCE( u fc = 0),υποθέτονταςότι δεν υπάρχει κάποιος επιπλέον μηχανισμός έγχυσης φορέων(carrier injection). Αγνοούμε επίσης θέρμο-οπτικά φαινόμενα, οφειλόμενα σε αύξηση της θερμοκρασίας των υλικών του κυματοδηγού, που μπορεί να προέρχεται από ωμικές απώλειες διάδοσης εντός αγώγιμων περιοχών της διατομής, όπως τα μέταλλα στους πλασμονικούς κυματοδηγούς. Για την ποσοτικοποίηση των μη-γραμμικών φαινομένων θα χρησιμοποιήσουμε τη μηγραμμικήολίσθησηφάσηςλόγωφαινομένου Kerr, Φ NL.Ητελευταίαυπολογίζεταιεύκολα απότηνεπίλυσητηςαπλής NLSE,Εξ.(5.7),καιδίνεταιαπότηνΕξ.(5.12), Φ NL = γp in L eff.στησχέσηαυτή, γείναιτοπραγματικόμέροςτηςμη-γραμμικήςπαραμέτρου γ 1111 τηςεξ.(5.49), P in είναιηοπτικήισχύςκορυφήςκαι L eff είναιτοενεργόμήκοςδιάδοσης που σχετίζεται με τις γραμμικές απώλειες του κυματοδηγού σε δεδομένο μήκος διάδοσης, Εξ.(5.8). Καθώς τα μη-γραμμικά φαινόμενα λαμβάνουν χώρα στο πρόσθιο μέρος ενός κυματοδηγού με απώλειες, εκεί δηλαδή όπου η ισχύς είναι μέγιστη, τότε γίνεται εύκολα αντιληπτό πως το μήκος του δεν πρέπει γενικά να ξεπερνάει το χαρακτηριστικό μήκοςαπωλειώνl prop.αύξησητουμήκουςπέραναυτούτουορίουδενεπιφέρειουσιαστικήαύξηση τηςμη-γραμμικήςφάσης.αυτόοφείλεταιστηνασυμπτωτικήσυμπεριφοράτουl eff,όπουγια L L prop είναι L eff = L prop. Ετσι,σεένανκυματοδηγόμήκους L = L prop,οιγραμμικές απώλειεςδιάδοσηςείναιπερίπου 4.34 dbκαιτοενεργότουμήκοςείναι L eff = L prop. Ενδιαφερόμενοι για κυματοδηγούς με υψηλή μη-γραμμικότητα και χαμηλές απώλειες, ώστεναμπορούνναδώσουνμεγάλη Φ NL σεχαμηλάεπίπεδαισχύος,ορίζουμετηνμετρική F γl prop = γ/α (5.72) πουμετράταισε W 1. Οσοημη-γραμμικότητααυξάνεικαι/ήοιαπώλειεςπέφτουν,τόσο αυξάνεται η μετρική F. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι το επίπεδο οπτικής ισχύος εισόδου (P in )πουαπαιτείταιγιαοποιοδήποτεμη-γραμμικόφαινόμενοτύπου Kerrείναιαντιστρόφως ανάλογοτης F.Γιαπαράδειγμα,σεκυματοδηγόμήκους L eff = L prop,οδιπλασιασμόςτου φασματικούεύρουςενόςγκαουσιανούπαλμούαπαιτείp in 4/F[94],ηαλλαγήκατάστασης ενός μη-γραμμικού διακόπτη κατευθυντικού ζεύκτη(λόγω αποσυγχρονισμού) συμβαίνει για P in > 9/F[240],ενώηεπίτευξηαποδοτικότηταςμετατροπής(conversion efficiency) ησε εκφυλισμένη FWMαπαιτεί CWισχύάντλησηςεπιπέδου P in 3 η/f[142]. 174

189 5.2. Αξιολόγηση μη-γραμμικών κυματοδηγών Ως τιμές αναφοράς για την F μπορούμε να συγκρίνουμε την περίπτωση μίας τυπικής μονόρρυθμης ίνας(smf) και ενός τυπικού κυματοδηγού ράβδωσης πυριτίου(si-wire). Η πρώτηχαρακτηρίζεταιαπόγ = 1.4Km 1 W 1 καια = 0.2dB/KmπουοδηγείσεF = 30W 1, ενώοδεύτεροςαπό γ = 100 m 1 W 1 και α = 1 db/cmπουοδηγείσε F = 4.3 W 1.Υπό το πρίσμα αυτό, η SMF είναι ένας καλύτερος μη-γραμμικός κυματοδηγός από τον Si-wire, αλλά σε τελείως διαφορετική κλίμακα φυσικών διαστάσεων. Πρέπει να σημειωθεί ότι στη σχεδίαση νανοφωτονικών κυκλωμάτων, η αύξηση της F μέσω της μείωσης των απωλειών δεν παρουσιάζει μακροπρόθεσμο πρακτικό ενδιαφέρον καθώς τα αντίστοιχα μη-γραμμικά εξαρτήματαθαχρειάζονταιμεγάλαμήκηαλληλεπίδρασης( L prop ),κάτιπουαυξάνειτο αποτύπωμα(footprint) τους σε ολοκληρωμένα οπτικά κυκλώματα Νανοφωτονικοί κυματοδηγοί που περιλαμβάνουν πυρίτιο Οι κυματοδηγοί που περιέχουν πυρίτιο και λειτουργούν σε μήκη κύματος λ < 2200 nm εμφανίζουν TPA[45], που αποτελεί έναν μηχανισμό απωλειών ανάλογο της έντασης(πυκνότητας ισχύος) του οδηγούμενου κύματος. Επιπλέον, η TPA είναι υπεύθυνη για τη γένεση ζευγών ελευθέρων φορέων(οπών και ηλεκτρονίων), τα οποία προκαλούν επιπρόσθετες αλλαγές του δείκτη διάθλασης και των απωλειών εντός της περιοχής του πυριτίου. Οι εν λόγω αλλαγές εξαρτώνται από την πυκνότητα των φορέων που, όπως περιγράφουν οι Εξ.(5.18) και(5.19), αυξάνει με το τετράγωνο της έντασης του πεδίου. Δηλαδή, τα FCE κλιμακώνονται πολύ γρηγορότερα με την αύξηση της ισχύος, σε σχέση με την TPA. Συνεπώς, τα φαινόμενα αυτά θα πρέπει να ληφθούν οπωσδήποτε υπόψη στην εξαγωγή μετρικών για μη-γραμμικούς κυματοδηγούς που βασίζονται στην τεχνολογία πυριτίου, καθώς η αρνητική επίδραση τους στο φαινόμενο Kerr(που κυρίως μας ενδιαφέρει) είναι διπλή: αφενός οι μη-γραμμικοί μηχανισμοί απωλειών(tpa και FCA) μειώνουν συνολικά την ωφέλιμη ισχύ, αφετέρου η FCD επιφέρει μεταβολή αντιθέτου προσήμου στο δείκτη διάθλασης του πυριτίου σε σχέση με το φαινόμενο Kerr, όπως σχολιάστηκε στην Παράγραφο , Εξ.(5.15). Στο σημείο αυτό, ανακαλούμε την NLSE του αργά μεταβαλλόμενου φακέλλου A για μονόρρυθμο κυματοδηγό, Εξ.(5.44), και την γράφουμε σε απλοποιημένη μορφή για την περίπτωση της CW λειτουργίας. Χωρίζοντας τους όρους φάσης από τους όρους απωλειών, προκύπτει η συμπαγής μορφή A z = [ ) i (γ A 2 f D A ( α+2rγ A 2 +2f A A 4 ) ] A, (5.73) όπου γ = Re{γ c }είναιημη-γραμμικήπαράμετρος Kerr, αησταθεράγραμμικώναπωλειών, r = Im{γ c }/Re{γ c }ηκλασματικήσυμβολήτης TPAκαι,τέλος, f D,A είναιπαράμετροιπου χαρακτηρίζουν την FCD και FCA, αντίστοιχα. Οι παράμετροι γ, r και α έχουν σχολιαστεί εκτενώς σε προηγούμενες παραγράφους, οπότεμένειναπροσδιορίσουμετημορφήτωνf D,A. Οπωςσχολιάστηκε,γιαCWλειτουργία, η εξίσωση ρυθμού-μεταβολής της πυκνότητας των φορέων[εξ.(5.63)] εκφυλίζεται στη σχέση N = τ fc G. Συνεπώς, μεχρήσητηςεξ.(5.60)γιατονσταθμισμένορυθμό γένεσης φορέων G, η σταθμισμένη πυκνότητα φορέων θα δίνεται από τη σχέση N = τ fc 1 2 ω 0 Ξ A 4, (5.74) 175

190 Κεφάλαιο 5 όπου έχουν απομακρυνθεί όλοι οι δείκτες ρυθμών καθώς θεωρούμε μονόρρυθμο κυματοδηγό,δηλαδή {k,l,m,n} = 1.Ο NLSE-όροςπουαντιστοιχείστηνεπίδρασητωνελευθέρων φορέων,εξ.(5.51),δίνεταιαπότησχέση T fc = iδa,με δ = k 0n Si Γ n eff u fc = k 0n Si Γ n eff σ u N, (5.75) όπουέχουμεχρησιμοποιήσειτιςεξ.(5.53)και(5.50). Ημιγαδικήδιατομήσκέδασης σ u, που ελέγχει τη μεταβολή του δείκτη ως συνάρτηση της πυκνότητας των φορέων, ορίζεται ως σ u = [ σ n +(i/2k 0 )σ α ],όπουοόρος σ n δίνεταιαπότογραμμικοποιημένομοντέλοτης Εξ.(5.16). Τελικά,ορίζοντας δ (f D + if A ) A 4,οιπαράμετροι f D,A δίνονταιαπότις εξισώσεις[143] f D = Γ n Si n eff Ξ τ fc 2 ω 0 k 0 Re{ σ u }, f A = Γ n Si n eff Ξ τ fc 2 ω 0 k 0 Im{+σ u }, (5.76αʹ) (5.76βʹ) σεμονάδες m 1 W 2. Διαπιστώνουμελοιπόνπωςοιπαράμετροιτων FCEεξαρτώνται πρωτίστωςαπότογινόμενο Ξ τ fc,διότιησυμβολήτων Γκαι n eff είναισυνήθωςμικρή, ενώ τα υπόλοιπα μεγέθη των Εξ.(5.76) λογίζονται ως σταθερές. Ο ενεργός χρόνος ζωής των φορέων[237] είναι μέγεθος που συνήθως προσδιορίζεται πειραματικά καθώς εμφανίζει σημαντική εξάρτηση από κατασκευαστικά χαρακτηριστικά που δεν εμπλέκονται στον σχεδιασμό της οπτικής κυματοδήγησης ούτε και μπορούν εύκολα να χαρακτηρισθούν. Ενδεικτικά,αναφέρουμεπωςοτ fc εξαρτάταιαπότονλόγοεπιφάνειαςπρος-όγκο της περιοχής πυριτίου, από την κατεργασία των διεπιφανειών πυριτίου με τα υπόλοιπα υλικά, όπως επίσης και από την επιβολή κάποιας εξωτερικής τάσης για σάρωση ή έγχυση φορέων. Τυπικές τιμές για κυματοδηγούς πυριτίου σχετικά μεγάλης διατομής (A Si > 0.2μm 2 )είναι τ fc 1 ns,ενώέχουνμετρηθείχρόνοιμέχρικαι 12 ps[65],με εξωτερική σάρωση φορέων μέσω μίας ολοκληρωμένης PIN διόδου. Επιστρέφοντας στην Εξ.(5.73), μπορούμε από τον όρο μεταβολής φάσης και πλάτους, ναορίσουμεκάποιεςενεργέςτιμέςγιατημη-γραμμικήπαράμετρο(γ γ f D A 2 )καιτη σταθεράαπωλειών(α α+2rγ A 2 +2f A A 4 ),αντίστοιχα.μεχρήσηαυτών,μπορούμε να ορίσουμε την καινούρια μετρική[143] F γ 1 (f D /γ) A 2 = F α 1+2rF A 2 +2(f A /α) A 4, (5.77) που εξαρτάται από τις παραμέτρους του κυματοδηγού που προαναφέραμε, όπως επίσης και απότηνέντασητουπεδίου, A 2. Παρατηρούμεπωςαύξησητηςισχύοςπροκαλείτόσο μείωση του αριθμητή όσο και αύξηση του παρονομαστή της Εξ.(5.77), συνολικά δηλαδήθαισχύειπάντα F < F. Ακόμα,επειδήηισχύςμειώνεταικατάτηδιάδοσηυπότην επίδραση των τριών μηχανισμών απωλειών, θα ήταν πιο ακριβές να ορίσουμε μία ενεργό τιμήγιατο F = γ L prop,όπουταδις-τονούμεναμεγέθηπροκύπτουναπότααντίστοιχα τονούμεναμεολοκλήρωσησεόλοτομήκοςδιάδοσης. Ηνέαενεργόςτιμήγιατημηγραμμικήπαράμετροθαδίνονταιαπό γ = (P in L eff ) 1 L 0 γ P(z)dz,όπου P(z)είναιη ισχύςκατάμήκοςτουκυματοδηγού, P in = A(0) 2 είναιηισχύςεισόδουκαι Lτομήκος διάδοσης. Αντίστοιχα, η νέα ενεργός τιμή για το χαρακτηριστικό μήκος απωλειών θα είναι 176

191 5.2. Αξιολόγηση μη-γραμμικών κυματοδηγών L prop = L 0 e α z dz.προφανώς,αρχικάαπαιτείταιουπολογισμόςτης P(z)κατά μήκος του κυματοδηγού, κάτι που μπορεί να γίνει με ολοκλήρωση της NLSE. Δυστυχώς, κλειστή αναλυτική λύση προκύπτει μόνο για την περίπτωση που απαλείψουμε τον όρο της TPA[241], ενώ η αριθμητική ολοκλήρωση είναι αδιαφανής όσον αφορά στη φυσική σημασία των επιμέρους παραμέτρων. Επίσης, οι μετρικές που εξάγουμε θα χρησιμοποιηθούν στην συγκριτική αξιολόγηση μεταξύ διαφορετικών κυματοδηγών, οπότε χρειάζεται απλά να περικλείουν τις βασικές τάσεις, χωρίς να πέφτει βάρος στην αφεαυτής ποσοτική σημασία τους. Γιατουςπαραπάνωλόγους,ηF δίνεταιαπλάαπότηνεξ.(5.77),δηλαδήορίζεταιστην είσοδοτουκυματοδηγούόπου A 2 = P in. Επικεντρώνοντας στην επίδραση των ελευθέρων φορέων, μπορούμε από τον αριθμητή καιτονπαρονομαστήτηςεξ.(5.77)ναπροσδιορίσουμετιςισχείςόπουηfcdκαιηfca γίνονταισημαντικές,αντίστοιχα. Γιαπαράδειγμα,όταν P in > (α/f A ) 1/2 τότεηfcaκαταπνίγειδραστικάτηνοπτικήισχύ. Αντίστοιχα,όταν P in > γ/f D τότεηfcdαρχίζεινα υπερισχύειτουφαινομένου Kerr.Στηντελευταίαπερίπτωση,ηF μπορείναλάβειμεγάλες αρνητικές τιμές, υποδεικνύοντας μία περιοχή λειτουργίας όπου η FCD θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά ως μη-γραμμικός μηχανισμός ελέγχου φάσης[242]. Δυστυχώς, η υψηλή FCD συνοδεύεται πάντα από υψηλή FCA, κάτι που σημαίνει πως ο συγκεκριμένος μηχανισμός είναι a priori περιορισμένης αποδοτικότητας. Συνοψίζοντας, αντιλαμβάνεται κανείς ότι για τη βελτιστοποίηση ενός μη-γραμμικού κυματοδηγού που περιέχει πυρίτιο, προεξέχοντα ρόλο κατέχει η σχετική σημασία του φαινομένου Kerrμετα FCE.Προσδιορίζονταςτοκατώφλιτης FCDαπότησχέση F = 0, μπορούμε να ορίσουμε τη μετρική[143] ζ fc γ Ξ Re { neff Γ } (5.78) για έναν ιδιορρυθμό μη-γραμμικού κυματοδηγού τεχνολογίας πυριτίου, η οποία μετράται σε m 2 καιεξαρτάταικυρίωςαπότονλόγο γ/ξ.γιατουςκυματοδηγούςπουθαμαςαπασχολήσουν, το φανταστικό μέρος τόσο του ενεργού δείκτη όσο και του LEF είναι τυπικά αμελητέο σε σχέση με το πραγματικό και μπορεί να αγνοηθεί. Συνεπώς, η χρήση του πραγματικού μέρουςτουλόγου n eff /ΓμπορείναπαραληφθείαπότηνΕξ.(5.78)χωρίςβλάβητηςγενικότητας 3.Μετονορισμόαυτό,προκύπτει P th,fcd γ/f D = ζ fc ξ,όπου ξ 2 c 0 /(τ fc n Si σ n ) είναιμίασταθεράπουεξαρτάταικυρίωςαπότοχρόνοζωήςτωνφορέωνκαιισούταιμε W/m 2 για τ fc = 1 ns. Αντίστοιχηέκφρασημπορείναεξαχθείγιατοκατώφλι της FCA αλλά, καθότι αυτή κλιμακώνεται γενικά ανάλογα με την FCD και ενδιαφερόμαστε πρωτίστως για φαινόμενα φάσης, κρατάμε μόνο τον παραπάνω ορισμό. Προκειμένου να α- ξιοποιηθεί στο μέγιστο και ανεμπόδιστα το φαινόμενο Kerr, είναι επιθυμητό ο κυματοδηγός ναικανοποιεί P th,fcd 1/F,δηλαδήτοκατώφλιτων FCEναείναιαρκετάυψηλότερα από την κρίσιμη ισχύ 1/F. Τελικά, δηλαδή, η βελτιστοποίηση ενός τέτοιου κυματοδηγού οδηγεί στη σχέση[143] F ζ fc ξ 1, (5.79) πουδηλώνειπωςαπαιτείταιταυτόχρονημεγιστοποίησητωνμετρικών Fκαι ζ fc. Εφόσον το επίπεδο της οπτικής ισχύος είναι δοσμένο εξ αρχής, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικάημετρική F τηςεξ.(5.77),ωςμοναδικήπαράμετροςπροςβελτιστοποίηση. 3 Υπενθυμίζεταιπωςτοφανταστικόμέροςστονλόγο n eff /Γσυνδέεταιτελικά,μέσωτωνΕξ.(5.55)και (5.33), με την παράμετρο της Εξ.(5.35) που, όπως σχολιάστηκε στη σχετική παράγραφο, είναι συνήθως πολύ μικρότερη της μονάδος και μπορεί με ασφάλεια να αγνοηθεί. 177

192 Κεφάλαιο 5 (a) (b) (c) Air Metal Dielectric Silicon Oxide (d) (e) (f) 0`dB E 2 Hybrid Archetype CGS: Conductor-Gap-Silicon MISIM: Nanoplasmonic Slot 40`dB Σχήμα 5.4: Διατομή του (a) αρχετυπικού HSP κυματοδηγού[129], (b) αγωγού-διακένου-πυριτίου (conductor-gap-silicon, CGS)[135], (c) αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου-διηλεκτρικού-αγωγού[243]. Στη δεύτερη γραμμή, (d)-(f), παρουσιάζεται η κανονικοποιημένη κατανομή έντασης του ηλεκτρικού πεδίου των αντίστοιχων κυματοδηγών, σε λογαριθμική κλίμακα. Σε όλες τις περιπτώσεις η περιοχή πυριτίου έχει επιφάνειαπερίπου 0.05μm 2 καιαφήνειέναδιάκενο 50 nmαπότηνεπιφάνειατουμετάλλου.παρατηρούμε την υψηλή συγκέντρωση του πεδίου εντός του διηλεκτρικού διακένου. 5.3 Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγούδιηλεκτρικού-πυριτίου Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τους υβριδικούς κυματοδηγούς που βασίζονται σε σε δομές αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου. Εμφαση θα δοθεί στη βελτιστοποίηση τους για μη-γραμμικές εφαρμογές τύπου Kerr, με παράλληλη καταστολή των αρνητικών επιδράσεων των φαινομένων ελευθέρων φορέων(fce). Το βασικό γνώρισμα όλων των υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών είναι η παρουσία περιοχής διηλεκτρικού χαμηλού δείκτη, ανάμεσα σε περιοχές αγωγού και διηλεκτρικού υ- ψηλού δείκτη. Η ενδιάμεση περιοχή χαμηλού δείκτη καλείται διάκενο(gap) και μπορεί κατά περίπτωση να λαμβάνει πολύ μικρές διαστάσεις, ακόμα και μικρότερες του λ/100. Αντιλαμβάνεται κανείς ότι οι υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου συνδυάζουν χαρακτηριστικά πλασμονικών κυματοδηγών και κλασικής κυματοδήγησης. Τα πρώτα οφείλονται στην παρουσία διεπιφάνειας μετάλλου/διηλεκτρικού, ενώ τα δεύτερα στην αντίθεση δεικτώνδιάθλασηςμεταξύπυριτίου(ημιαγωγόςμε n 0 3.5)καιλοιπώνδιηλεκτρικών (πολυμερήήγυαλιάμε n 0 = ). Ηαναγνώρισηαυτώντωνδομώνωςνέουτύπου κυματοδηγών έγινε από τους Oulton et al. [129], όπου εξετάσθηκε η περίπτωση ενός διηλεκτρικού κυλίνδρου πάνω από μεταλλικό υπόστρωμα, ενώ στη συνέχεια εμφανίστηκαν διάφορες άλλες παραλλαγές. Στο Σχ. 5.4 βλέπουμε τρεις δημοφιλείς παραλλαγές υβριδικών πλασμονικών κυματοδηγών πυριτίου(hybrid silicon-plasmonic, HSP), καθώς και την κανονικοποιημένη κατανομή έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Διαπιστώνοντας την υψηλή συγκέντρωση του ηλεκτρικού πεδίου εντός του διακένου, καθώς και τις μειωμένες απώλειες που εμφανίζει σε σχέση με τους αμιγώς πλασμονικούς κυματοδηγούς καναλιού[244], γίνεται εύκολα κατανοητό ότι ο εν λόγω κυματοδηγός θα μπορούσε δυνητικά να χρησιμοποιηθεί για μη-γραμμικές εφαρμογές. Κάτι τέτοιο θα απαι- 178

193 5.3. Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου τούσετηχρήσηυλικούδιακένουμευψηλόμη-γραμμικόδείκτη(n 2 )καικατάτοδυνατό χαμηλόγραμμικόδείκτη(n 0 ). Ηπρώτηαπαίτησηείναιτετριμμένηενώηδεύτερηπροκύπτει από το ότι ο χαμηλός γραμμικός δείκτης αυξάνει την αντίθεση της δομής αγωγούδιηλεκτρικού-πυριτίου οδηγώντας τελικά σε αυξημένη συγκέντρωση εντός του διακένου. Το τελευταίο συνεπάγεται τη μειωμένη διείσδυση του πεδίου εντός του άγωγού κρατώντας έτσι τις απώλειες διάδοσης του HSP ρυθμού σε ανεκτά επίπεδα Επιλογές υλικών για μη-γραμμικές εφαρμογές Στην παράγραφο αυτή, θα κάνουμε μία ανασκόπηση των διαφόρων υλικών που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στους υβριδικούς πλασμονικούς κυματοδηγούς. Θα καταλήξουμε στις βέλτιστες επιλογές για μη-γραμμικές εφαρμογές, κάνοντας βέβαια κάποιους ρεαλιστικούς συμβιβασμούς για τεχνολογικά και πρακτικά ζητήματα. Προκειμένου να ελαχιστοποιηθούν οι ωμικές απώλειες λόγω της παρουσίας του αγωγού, απαιτείται η χρήση κάποιου μετάλλου με μικρό φανταστικό και μεγάλο(κατά απόλυτη τιμή)πραγματικόμέροςμέροςστηνσχετικήδιηλεκτρικήτουσταθερά(ε r ).Τομικρόφανταστικό μέρος αντιστοιχίζεται σε χαμηλότερη απορρόφηση από το μέταλλο, ενώ το μεγάλο (αρνητικό) πραγματικό μέρος εξασφαλίζει ισχυρή αντίθεση που εμποδίζει τη διείσδυση του ηλεκτρικού πεδίου στο μέταλλο, μειώνοντας έτσι τη συνολική εξασθένιση του κύματος. Τονίζεται ότι το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στην NIR περιοχή του φάσματος, και συγκεκριμένα στην C-band οπτικών επικοινωνιών, λ = 1550 nm. Από τα διάφορα μέταλλα που έχουν χαρακτηρισθεί στην εν λόγω περιοχή, Παράγραφος 2.2.2[70, 195, 196], τις χαμηλότερες απώλειες εμφανίζει ο άργυρος(ag), έπειτα ο χρυσός(au) και τέλος το αργίλιο (ή αλουμίνιο, Al) και ο χαλκός(cu). Υπενθυμίζεται ότι οι διαφορετικές μετρήσεις των σταθερών για ορισμένα μέταλλα εμφανίζουν μεταξύ τους αποκλίσεις, παρ ολα αυτά, στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί η πιο αισιόδοξη πρόβλεψη για τον γραμμικό δείκτη διάθλασης τουαργύρου, n Ag = i11.4[195]. Οσον αφορά στο υλικό διακένου, εστιάζουμε το ενδιαφέρον μας στο μη-γραμμικό πολυμερές DDMEBT[245] που χαρακτηρίζεται από γραμμικό και μη-γραμμικό δείκτη ίσο με n 0 = 1.8και n 2 = m 2 /W. Σημειώνουμεπωςστηβιβλιογραφίαέχουναναφερθείυλικάμετάξης-μεγέθουςμεγαλύτερο n 2,όπωςγιαπαράδειγματο polydiacetylene para-toluene sulfonate (PDA/pTS)[246] ή το polystyrene[247]. Δυστυχώς, δεν έχει ακόμα επιδειχθεί κάποια πρακτική εφαρμογή με τα εν λόγω υλικά σε επίπεδους νανοφωτονικούς κυματοδηγούς. Αντιθέτως, το DDMEBT έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία σε μη-γραμμικό κυματοδηγό εγκοπής για αποπολυπλεξία βασισμένη σε FWM[142]. Άλλες επιλογές μη-γραμμικών υλικών, όπως για παράδειγμα τα χαλκογενή(chalcogenide) γυαλιά [248],εμφανίζουντονίδιοπερίπου n 2 μετο DDMEBT,αλλάδενπροτιμήθηκανλόγωτου αισθητάυψηλότερουγραμμικούδείκτη(n 0 2.4)πουπαρουσιάζουν. Οπωςαναφέρθηκε, μεγάλεςτιμέςτου n 0 επηρεάζουναρνητικάτόσοτησυγκέντρωσηόσοκαιτιςσυνολικές απώλειες στους υβριδικούς κυματοδηγούς. Τέλος, υπενθυμίζουμε πως ένας συνήθης τρόποςκατηγοριοποίησηςτωνμη-γραμμικών χ (3) -υλικώνείναιβάσειτουλόγου n 2 /(λ 0 β TPA ) [60], που μετράει τη σχετική βαρύτητα των φαινομένων Kerr και TPA. Προφανώς, μεγάλες τιμές του προηγούμενο κλάσματος δηλώνουν υλικά με καλύτερη συνολικά επίδοση, δηλαδή ισχυρότερη μη-γραμμικότητα και χαμηλότερη εξασθένιση λόγω TPA. Οσον αφορά το κριτήριο αυτό, θα πρέπει να τονίσουμε ότι το DDMEBT δεν εμφανίζει TPA στη συγκεκριμένη φασματική περιοχή, άρα αποτελεί μία πολύ καλή επιλογή για υλικό διακένου. 179

194 Κεφάλαιο 5 Το υλικό υψηλού δείκτη αντιστοιχίζεται σε κάποιον ημιαγωγό, καθώς αυτά είναι τα υλικά οπτικώνεπικοινωνιώνπουσυνήθωςεμφανίζουντουςυψηλούςδείκτεςδιάθλασης n 0 > 3 που απαιτούνται για την ισχυρή συγκέντρωση του πεδίου εντός του διακένου. Στο σημείο αυτό έγινε η επιλογή του πυριτίου(si) λόγω της τεχνολογικής ωριμότητας του από την μικρο-ηλεκτρονική και της κατασκευαστικής του συμβατότητας με την δημοφιλή πλατφόρμα SOI.Ογραμμικόςκαιομη-γραμμικόςδείκτηςπουθαχρησιμοποιήσουμεείναι n 0 = 3.45 και n 2 = m 2 /W[66],αντίστοιχα. Σημειώνεταιεδώπωςοιμετρήσειςπου αναφέρονταιστηβιβλιογραφίαγιατον n 2 τουπυριτίουεμφανίζουναποκλίσειςσχεδόνμίας τάξης μεγέθους στους υπολογισμούς που ακολουθούν έχουμε επιλέξει την πιο συντηρητική τιμή. Σε κάθε περίπτωση, σκοπός μας είναι να σχεδιαστεί ο κυματοδηγός με τέτοιο τρόπο ώστε το φως να συγκεντρώνεται συντριπτικά εντός του διακένου, δηλαδή δεν αναμένουμε σημαντική συνεισφορά του πυριτίου στη μη-γραμμική παράμετρο γ. Ενας πρόσθετος λόγος για να αποφευχθεί η διείσδυση του πεδίου εντός του πυριτίου είναι η TPA που εμφανίζει για λ < 2200 nm,μετασυνεπαγόμενα FCE,όπωςσχολιάστηκεστηνΠαράγραφο5.2.2.Η παράμετροςτης TPAγιατοπυρίτιοείναι β TPA = m/w[66].επίσης,υποθέτουμε ότι όλοι οι κυματοδηγοί πυριτίου είναι κατασκευασμένοι κατά μήκος της [110] διεύθυνσης τουκρυστάλλουκαιότιηανισοτροπίατης χ (3) επιδεκτικότηταςτουπυριτίουείναι ρ = 1.27 καιίσημετημονάδαγιαόλαταυπόλοιπαυλικά.ολοκληρώνονταςτησυζήτησηγιατουλικό υψηλού δείκτη, αναφέρουμε πως τα κράματα ημιαγωγών των ομάδων III-V του περιοδικού πίνακα(ίνδιο, γάλλιο, αρσενικό φώσφορος In, Ga, As, P) εμφανίζουν αντίστοιχα υψηλούς γραμμικούς και/ή μη-γραμμικούς δείκτες, αλλά δεν είναι εν γένει συμβατά με τις επικρατείς τεχνολογίες SOI/CMOS. Ως επιμέρους διηλεκτρικά υλικά που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στους υβριδικούς πλασμονικούς κυματοδηγούς, αναφέρουμε εδώ μόνο τα τεχνολογικά συγγενή με το πυρίτιο,καισυγκεκριμένατοδιοξείδιοτουπυριτίου(sio 2, silicon dioxide or fused silica) με n 0 = 1.45και n 2 = m 2 /W[94]καιτονιτρίδιοτουπυριτίου(Si 3 N 4, silicon nitride)με n 0 = 2.1και n m 2 /W[249].Παρατηρούμεπωςοι n 2 τωνυλικών αυτών είναι τάξεις-μεγέθους μικρότεροι αυτών του DDMEBT ή του πυριτίου, και για το λόγο αυτό δεν πρόκειται να συνεισφέρουν σημαντικά στη μη-γραμμική παράμετρο του κυματοδηγού. Τέλος, αναγνωρίζεται πως η επιστήμη των υλικών μπορεί να επιφέρει σημαντική βελτίωση των επιδόσεων των πλασμονικών κυματοδηγών[71], ξεπερνώντας τις συμβατικές επιλογές των κλασικών μετάλλων όπως ο χαλκός, ο άργυρος ή ο χρυσός. Κλείνοντας, θα αναφερθούμε συνοπτικά σε επιμέρους ιδιότητες των υλικών που σχετίζονται δευτερευόντως με τη σχεδίαση ενός μη-γραμμικού υβριδικού-πλασμονικού κυματοδηγού.αρχικά,τονίζουμεπωςηόποιαμη-γραμμικότητατύπου χ (3) τωνμετάλλων[250,251], εμφανίζει μεν μεγάλες τιμές, τυπικά συγκρίσιμες με του DDMEBT, αλλά δεν αναμένεται να έχει αξιόλογη επίδραση στη συνολική μη-γραμμική επίδοση λόγω της πολύ περιορισμένης διείσδυσης του πεδίου στο μέταλλο, και για το λόγο αυτό αγνοείται. Επειτα, επισημαίνουμε πως ελήφθη υπόψη η διηλεκτρική αντοχή των διαφόρων υλικών[199] ώστε να μην υπάρχει ζήτημα διάσπασης του υλικού για υψηλές οπτικές ισχείς, ανάλογα με τη μέγιστη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε υλικό. Τέλος, παρατηρούμε πως αναμένεται κάποια αύξηση της θερμοκρασίας των διηλεκτρικών υλικών λόγω της απορρόφησης ισχύος από τα γειτνιάζοντα μέταλλα(φαινόμενο Joule) ή από το πυρίτιο(tpa και FCA), οπότε, κρίνεται σκόπιμη η χρήση διαύλων απαγωγής θερμότητας. Αυτόν τον σκοπό μπορούν να εξυπηρετήσουν τα μεταλλικά φιλμ ή στρώματα πυριτίου με άπειρη εγκάρσια έκταση και/ή μεγάλο πάχος, καθώς πρόκειται για υλικά με μεγάλη θερμική αγωγιμότητα. 180

195 5.3. Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου Περιγραφή δομής HSP κυματοδηγών Στην παράγραφο αυτή θα εντοπίσουμε κάποιες υποσχόμενες δομές HSP κυματοδηγών και θα περιγράψουμε τα τεχνολογικά τους χαρακτηριστικά και τη λειτουργία τους, με απώτερο στόχο την αξιοποίηση τους για μη-γραμμικές εφαρμογές. Στο Σχ. 5.5 αναπαριστώνται τρεις HSP κυματοδηγοί που έχουν προταθεί κατασκευαστικά στα[135],[252] και[253], αντίστοιχα. Παρ όλα αυτά, η χρήση τους δεν προοριζόταν για μη-γραμμική κυματοδήγηση, οπότε θα χρειαστούν κάποιες τροποποιήσεις και παραλλάξεις προκειμένου να εξυπηρετήσουν καλύτερα τους σκοπούς μας. Οπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, κοινό χαρακτηριστικό και στους τρεις κυματοδηγούς αποτελεί μια περιοχή πυριτίου που διαχωρίζεται από ένα μεταλλικό φιλμ από διάκενο χαμηλού γραμμικού δείκτη (n 0 ). Οταντουλικόδιακένουχαρακτηρίζεταιεπιπλέοναπόμεγάλομη-γραμμικόδείκτη (n 2 ),τότεημη-γραμμικήπαράμετροςτουκυματοδηγού HSPαυξάνεταιλόγωτηςέντονης συγκέντρωσης του πεδίου εντός του διακένου. Στον κυματοδηγό του Σχ. 5.5(a), που αποκαλείται και«πρότυπος» κυματοδηγός αγωγούδιακένου-πυριτίου(conductor-gap-silicon, CGS), τόσο η περιοχή του διηλεκτρικού χαμηλού δείκτηόσοκαιτουμετάλλουέχουντοίδιοπλάτοςμετηράβδωσητουπυριτίου. Αντίθετα, στον κυματοδηγό του Σχ. 5.5(b), οι παραπάνω περιοχές επεκτείνονται στο άπειρο και για το λόγο αυτό καλείται«εκτεταμένος» CGS. Στον κυματοδηγό αυτό έχουμε επιπλέον συμπεριλάβει και μία ανεστραμμένη μεταλλική ράβδωση(inverted metal rib) που αποδείχθηκε ότι βοηθά στον περαιτέρω εντοπισμό του ηλεκτρικού πεδίου στο διάκενο. Τέλος, ο κυματοδηγός του Σχ. 5.5(c) αντικαθιστά την ανεστραμμένη μεταλλική ορθογώνια ράβδωση με μία ανεστραμμένη μεταλλική ράβδωση σφηνοειδούς μορφής(inverted metal wedge). Η οξεία αυτή προεξοχή οδηγεί σε σημαντική αύξηση της συγκέντρωσης του πεδίου στην κορυφή της σφήνας, ανάλογη γενικά της αιχμηρότητας της. Στη συνέχεια επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στους κυματοδηγούς των Σχ. 5.5(b)-(c). Επίσης, αναφέρουμε πως θα μπορούσε να συμπεριληφθεί στο σχεδιασμό της διατομής των κυματοδηγών του Σχ. 5.5 ένα λεπτό στρώμα πυριτίου(si-slab), εκατέρωθεν από τη ράβδωση πυριτίου, μετατρέποντας τον τύπο του υποκείμενου κυματοδηγού από Si-wire σε Si-rib. Η αλλαγή αυτή έχει πολύ περιορισμένη επίδραση στην οπτική κυματοδήγηση όπως και στις μη-γραμμικές ιδιότητες του κυματοδηγού, διότι το φως είναι γενικά συγκεντρωμένο στο διάκενο, μακρυά δηλαδή από το Si-slab. Αντιθέτως, η χρήση του Si-slab μπορεί να βοηθήσει σημαντικά στην απαγωγή θερμότητας και/ή στη σάρωση των ελευθέρων φορέων που δημιουργούνται εντός του πυριτίου λόγω TPA, μειώνοντας έτσι τον ενεργό χρόνο ζωής τους(τ fc ).Καθότιταζητήματααυτάδενμαςαπασχόλησαν,τοπιθανό Si-slabπαραλήφθηκε από όλους τους υπολογισμούς που θα ακολουθήσουν. Για επαρκώς μικρό διάκενο μεταξύ πυριτίου και μετάλλου, ο θεμελιώδης ΤΜ ρυθμός (y-πολωμένος) που υποστηρίζεται από τους HSP κυματοδηγούς του Σχ. 5.5 εντοπίζεται σχεδόν αποκλειστικά μέσα στο μη-γραμμικό υλικό. Ως εκ τούτου, οδηγούμαστε σε μία εξαιρετικά μεγάλη τιμή της παραμέτρου γ όσο η περιοχή του διακένου συρρικνώνεται. Ωστόσο, η μείωση του διακένου αυξάνει επίσης τις ωμικές απώλειες δεδομένου ότι το πεδίο διεισδύει περισσότερο στο μέταλλο. Κατά συνέπεια, οι απώλειες διάδοσης του ρυθμού θα καθορίσουν τα χαμηλότερα όρια στις διαστάσεις του διακένου(g), σε συνδυασμό βέβαια με τους προφανείς τεχνολογικούς και κατασκευαστικούς περιορισμούς. Αντιθέτως, όταν το πάχος διακένου αυξάνεται, ο ΤΜ ρυθμός εκφυλίζεται σε έναν τυπικό ρυθμό Si-wire/rib κυματοδηγού, με την προϋπόθεση βέβαια ότι η περιοχή του πυριτίου είναι αρκετά μεγάλη(κυρίως στην κατακόρυφη, y-διάσταση) ώστε να τον υποστηρίξει. Με την παραπάνω παρατήρηση 181

196 Κεφάλαιο 5 y (a) x W t m g H (b) y x H t m t r g t s (c) y x R w φ w H t m t w g t s Cladding Metal Nonlinear Dielectric Silicon Oxide Σχήμα 5.5: Παράμετροι διατομής τριών HSP κυματοδηγών: (a) πρότυπου CGS (b) εκτεταμένου CGS με ανεστραμμένη μεταλλική ράβδωση ορθογωνικού σχήματος (c) εκτεταμένου CGS με ανεστραμμένη μεταλλική ράβδωση σφηνοειδούς μορφής. γίνεται αντιληπτό πως η αποτελεσματική σύζευξη μεταξύ των HSP και των συμβατικών SOI κυματοδηγών είναι δυνατή απλά με την απομάκρυνση του μεταλλικού φιλμ[135]. Με αντίστοιχο τρόπο, ο HSP ρυθμός ΤΕ-πόλωσης του κυματοδηγού του Σχ. 5.4(c),(f) μπορεί να μετατραπεί σε ένα«φωτονικό» ΤΕ ρυθμό, απλά με διεύρυνση της ράβδωσης πυριτίου [243]. Τέλος, εάν η υποκείμενη ράβδωση πυριτίου είναι αρκετά ευρεία, τότε ο κυματοδηγός HSP υποστηρίζει επιπλέον έναν«φωτονικό» ΤΕ ρυθμό, συγκεντρωμένο εντός της περιοχής πυριτίου. Οι απώλειες αυτού του ρυθμού είναι γενικά μικρότερες από αυτές του βασικού ΤΜ, αλλά σε κάθε περίπτωση μη αμελητέες, ιδίως για μικρά διάκενα. Στην παράγραφο αυτή, όπως και στη συνέχεια, έχουμε επιλέξει ραβδώσεις πυριτίου μεγαλύτερες στην κατακόρυφη (y)διάσταση,έτσιώστεναευνοηθείοτμρυθμός(σεσχέσημετοντε)τουυποκείμενου Si-wire κυματοδηγό. Τονίζεται ότι οι κυματοδηγοί πυριτίου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσαγωγή του σήματος στα πλασμονικά μέρη ενός υβριδικού κυκλώματος, ολοκληρωμένου σε κοινό υπόστρωμα πυριτίου(soi waffer/motherboard) Βελτιστοποίηση για μη-γραμμικές εφαρμογές Εχοντας παρουσιάσει τις δομές HSP κυματοδηγών που φαίνονται υποσχόμενες για μηγραμμικές εφαρμογές, θα επιχειρήσουμε τη συστηματική τους βελτιστοποίηση. Χρησιμοποιούμε το υπολογιστικό εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών(eigenmode solver) βασισμένο στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων(finite element method, FEM) που παρουσιάστηκε στην Ενότητα 3.2 για να εξάγουμε τους ιδιορρυθμούς και τις φασικές σταθερές διάδοσης των κυματοδηγών. Χρήσει αυτών, υπολογίζουμε τις μη-γραμμικές παραμέτρους των ρυθμών με τις σχέσεις που δόθηκαν στην Ενότητα 5.2, και εκτελούμε παραμετρική βελτιστοποίηση για να εντοπίσουμε τις βέλτιστες γεωμετρικές διαστάσεις της διατομής του κυματοδηγού και/ή τις πιο σημαντικές παραμέτρους της. Σε κάθε κυματοδηγό HSP, η παράμετρος που έχει τη μεγαλύτερη επίδραση στη μηγραμμική απόκριση είναι το διάκενο. Για να μελετήσουμε την επίδραση του, έχουμε αρχικά επικεντρωθεί σε μια απλοποιημένη εκδοχή του εκτεταμένου CGS του Σχ. 5.5(β). Επιλέγουμε W H = nm 2,πουαντιστοιχείσεέναννανοφωτονικόκυματοδηγόπυριτίου (Si-wire) που υποστηρίζει έναν καλά συγκεντρωμένο ΤΜ ρυθμό. Αγνοούμε προς στιγμήν τηνανεστραμμένημεταλλικήράβδωση(t r = 0)καιορίζουμετοπάχοςτουφιλμαργύρου ίσομε t m = 50 nm. Επειτα,υπολογίζουμετιςβασικέςπαραμέτρουςτουΤΜρυθμούπου 182

197 5.3. Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου επηρεάζουν τη μη-γραμμική του απόκριση ως συνάρτηση του διακένου(g), για τιμές από 300 nmέως 5 nm. Το διάγραμμα του Σχ. 5.6(a) αποτυπώνει τον θεμελιώδη συμβιβασμό που γίνεται μεταξύ συγκέντρωσης και ωμικών απωλειών στους πλασμονικούς κυματοδηγούς, όπως αυτός αντικατοπτρίζεταιστημη-γραμμικήπαράμετρογ = Re{γ c }[όπου γ c = γ 1111 απότηνεξ.(5.49)] καιτοχαρακτηριστικόμήκοςαπωλειών L prop = 1/α[όπου α = 2Im{n eff }k 0 ]. Οταντο διάκενο είναι μεγάλο, τότε ο ρυθμός του HSP κυματοδηγού εκφυλίζεται σε έναν«φωτονικό»ρυθμόμεσχετικάμικρό γ 100 W 1 m 1 αλλάμεγάλο L prop,πουπεριορίζεται τελικά μόνο από την κατασκευαστική ποιότητα(όπως από την αδρότητα των τοιχωμάτων) με τυπικές τιμές απωλειών 1 db/cm. Αντίθετα, όταν το διάκενο ελαττώνεται, τότε ο ΤΜ ρυθμός μεταβαίνει στην περιοχή πλασμονικής κυματοδήγησης υψηλής συγκέντρωσης(και συνεπώς μεγάλων απωλειών), όπου η αύξηση του γ είναι αντιστρόφως ανάλογη της μείωσης τηςενεργούεπιφανείαςρυθμού(a eff ).ΤοδιάγραμματουΣχ.5.6(b)δείχνειτηνεπίδραση τουπάχουςτουδιακένουστησχετικήπαράμετροτης TPA, r = Re{γ c }/Im{γ c },όπως καιστηνπαράμετροεπικάλυψηςφορέων-ρυθμού Ξ,όπου Ξ Ξ (1) 11 απότηνεξ.(5.61). Η παράμετρος r μειώνεται όσο το διάκενο g μειώνεται διότι ο HSP ρυθμός βρίσκεται κυρίως εκτός του πυριτίου, ενώ η παράμετρος Ξ μειώνεται αργά πριν αρχίσει να ανεβαίνει απότομα κάτωέναπάχοςκατωφλίουπερίπου g = 20 nm. Ηύπαρξητουπάχουςκατωφλίουοφείλεται στην μειωμένη ικανότητα παγίδευσης του φωτός από την πλευρά της διεπιφάνειας διηλεκτρικού/πυριτίου, και είναι δυνατό να μειωθεί κι άλλο για πιο στενή ράβδωση πυριτίου (μικρότερο εύρος W). Τέλος, στο διάγραμμα του Σχ. 5.6(c), βλέπουμε την αύξηση τόσο τουενεργούδείκτηδιάδοσης n eff όσοκαιτουπαράγοντα Γ[LEFαπόΕξ.(5.55)]λόγωτης πλασμονικής συγκέντρωσης του ρυθμού για μικρά πάχη διακένου g. Στη συνέχεια, μελετάμε την επίδραση του διακένου στις συνολικές μη-γραμμικές μετρικές F και ζ fc πουορίσθηκανστηνενότητα5.2,υποθέτοντας(όπουχρειάζεται)ένα συντηρητικόενεργόχρόνοζωήςφορέωνίσομε τ fc = 1 ns. Διαπιστώνουμεπωςμεγάλαπάχηδιακένουοδηγούνσεμεγάλεςτιμέςγιατην F > 0.2 W 1,αλλάσεχαμηλές τιμές ζ fc m 2 πουδηλώνουνέναχαμηλόκατώφλιισχύοςγιατην FCD,τηςτάξηςτων 10 mw(cw).αντιθέτως,γιατηναμιγώς HSPπεριοχήλειτουργίας,οι F και ζ fc λαμβάνουντιςμέγιστεςτιμέςτους, 0.1 W 1 και m 2 αντίστοιχα,γιαμικρά διάκενα nm. Σε αυτήν την περιοχή πάχους διακένου, το κατώφλι ισχύος της FCDέχειμενανέβειστα 150 mw,αλλάτοκρίσιμοεπίπεδοισχύοςγιαμη-γραμμικέςεφαρμογέςτύπου Kerr( F 1 )είναιακόμαπερίπουεκατόφορέςψηλότερα. Μίαμικρή βελτίωση στις μετρικές αυτού του HSP κυματοδηγού είναι δυνατή με βελτιστοποίηση όλων τωνπαραμέτρωντηςδιατομής[254]. Ετσι,για g = 20 nm, H = 220 nm, t m = 50 nm εντοπίζουμεταβέλτιστα W = 140 nmκαι t r = 70 nm,πουοδηγούνσε F = 0.15 W 1 και ζ fc = m 2. ΗβελτίωσηπουπροκύπτειδενκρίνεταιικανοποιητικήκαθώςησυνολικήμετρικήτηςΕξ.(5.79)λαμβάνειτιμή Fζ fc ξ = 0.06,αρκετάμικρότερητηςμονάδος, κάτι που δηλώνει πως το φαινόμενο Kerr καταπνίγεται από τα FCE. Επίσης, διαπιστώνουμε την ύπαρξη κάποιου άνω φράγματος των μη-γραμμικών επιδόσεων αυτού του υβριδικού πλασμονικού κυματοδηγού με την ελάττωση του διακένου, περιορίζοντας έτσι τη μελλοντική δυναμική του. Μπορούμε τώρα να επικεντρωθούμε στην παραλλαγή της ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας που μπορεί να προσφέρει ακόμα μεγαλύτερη συγκέντρωση του ρυθμού, βελτιώνοντας έτσι τις μετρικές του κυματοδηγού HSP. Οπως έχει δειχθεί[198], ο κυματοδηγός που αποτελείται από μία άπειρη μεταλλική σφήνα μέσα σε ένα ομογενές διηλεκτρικό υλικό 183

198 Κεφάλαιο 5 NL (m -1 W -1 ) r TPA (a) (b) NL L prop r TPA L prop (μm) (10 14 W -1 m -3 ) n eff (c) Gap (nm) Σχήμα 5.6: Επίδραση του πάχους διακένου στον εκτεταμένο CGS κυματοδηγό του Σχ. 5.5(b) με ανεστραμμένηορθογωνικήμεταλλικήράβδωσηκαιπαραμέτρους W H = nm 2, t m = 50 nm και t r = 0. (a)μη-γραμμικήπαράμετροςκαιχαρακτηριστικόμήκοςαπωλειών, (b)σχετικήπαράμετρος TPA και παράμετρος επικάλυψης φορέων-ρυθμού, (c) ενεργός δείκτης διάδοσης και παράγοντας αξονικής ενίσχυσης. n eff LEF LEF (W -1 ) fc Gap (nm) fc (10-12 m 2 ) Σχήμα5.7: Επίδρασητουδιακένουστιςμετρικές Fκαι ζ fc,γιατονεκτεταμένο CGSκυματοδηγόμε ανεστραμμένηορθογωνικήμεταλλικήράβδωση,σχ.5.5(b),καιπαραμέτρους W H = nm 2, t m = 50 nmκαι t r =

199 5.3. Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου (W -1 ) (a) (b) (c) fc (10-12 m 2 ) R w (nm) φ w (deg) t w (nm) Σχήμα 5.8: Παραμετρική διερεύνηση του HSP κυματοδηγού με ανεστραμμένη μεταλλική σφήνα, Σχ.5.5(c),ωςσυνάρτηση (a)τηςακτίναςκαμπυλότηταςτηςκορυφήςτης, R w, (b)τηςγωνίαςτης, ϕ w,και (c)τουύψουςτης, t w.σεόλεςτιςπεριπτώσειςείναι W H = nm 2, t m = 50 nmκαι g = 20 nm. Οπουδεναλλάζουνπαραμετρικά: R w = 1 nm, ϕ w = 2tan 1 (0.5) 53.2 και t w = 100 nm. υποστηρίζει έναν πλασμονικό ρυθμό που είναι συγκεντρωμένος στην κορυφή της σφήνας. Στο πλαίσιο της μη-γραμμικής κυματοδήγησης, και για τα υλικά που επιλέξαμε(δηλαδή, μία σφήνα αργύρου μέσα σε DDMEBT υλικό), προκύπτει χαρακτηριστικό μήκος διάδοσης καιμη-γραμμικήπαράμετροςίσημε L prop 50μmκαι γ 10 3 m 1 W 1,αντίστοιχα,που οδηγούνσε F = 0.05 W 1. Παράτηναπαισιόδοξηαυτήτιμή,εάνηκορυφήτηςσφήνας έρθει κοντά σε υποκείμενο κυματοδηγό πυριτίου, τότε μπορεί να αυξήσει τη συγκέντρωση του πεδίου σημαντικά(και κατ επέκταση και τη μη-γραμμική του παράμετρο γ), χάρη στον υβριδικό-πλασμονικό χαρακτήρα της δομής αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου. Στη συνέχεια, μελετάμε την επίδραση των δομικών παραμέτρων της σφήνας αυτού του HSPκυματοδηγού,Σχ.5.5(c),στιςμετρικές Fκαι ζ fc.οιπαράμετροιτηςανεστραμμένης σφήναςείναιηακτίνακαμπυλότητας 4 τηςκορυφήςτης(r w ),ηγωνίατηςσφήνας(ϕ w ) καιτούψος/πάχοςτηςσφήνας(t w ). Στηδικιάμαςπεριγραφή,τοεύροςτηςβάσηςτης τριγωνικήςακίδαςπροκύπτειεμμέσωςαπότιςυπόλοιπεςτηςπαραμέτρους(r w, ϕ w και t w ). Η διερεύνηση της επίδρασης των παραμέτρων αυτών παρουσιάζεται στο Σχ Σε όλες τιςπεριπτώσεις,ηράβδωσηπυριτίουέχειδιαστάσεις W H = nm 2,τοφιλμ αργύρουέχειπάχος t m = 50 nmκαιτοπάχοςτουδιακένουέχειοριστείστηνοριακήτιμή των g = 20 nm. Οταν δεν γίνεται παραμετρική διερεύνηση, οι ονομαστικές παράμετροι της σφήναςείναιίσεςμε R w = 1 nm, ϕ w = 2tan 1 (0.5) = 53.2 και t w = 100 nm. Οπως αποτυπώνεταιστοσχ.5.8,τόσοηfόσοκαιηζ fc αυξάνονταιόσομειώνονταιοι R w και ϕ w,ενώη«κλίμακα»τηςσφήνας(πουεκφράζεταιμέσωτουύψουςτης, t w )δενφαίνεται νατιςεπηρεάζεισημαντικά.ηαρνητικήεπίδρασητηςαύξησηςτωνπαραμέτρων R w και ϕ w στην κανονικοποιημένη κατανομή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου φαίνεται στο Σχ. 5.9, σε λογαριθμική κλίμακα. Τέλος, διαπιστώσαμε ότι οι μετρικές δεν μειώνονται σημαντικά, ούτε για εύρη ράβδωσης πυριτίου W > 220 nm(πουείναιτοβέλτιστοεύρος),ούτεκαιγιαοριζόντιααπόκλισηστοίχισης(lateral offset) του κέντρου της σφήνας με το κέντρο της ράβδωσης πυριτίου. 4 Στηνεκφυλισμένηπερίπτωσηπου R w = 0,τότεησφήναέχεικαθαράτριγωνικόσχήμα,χωρίςκαμπυλωμένη κορυφή. Τονίζεται πως, για τη σωστή μοντελοποίηση αυτής της δομής με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία(fem), απαιτείται αρκετά μεγάλη πυκνότητα πλέγματος κοντά στην κορυφή της ακίδας προκειμένου να συγκλίνουν οι παράμετροι του κυματοδηγού που εξαρτώνται από τη χωρική κατανομή του πεδίου. Ο λόγος είναι η εξαιρετικά υψηλή συγκέντρωση ακριβώς στην κορυφή της σφήνας. 185

200 ` ` ` Κεφάλαιο 5 y-thickness (nm) 340` 220` (a) (b) (c) 0`dB E 2 0` 110` 0` 110` 110` 0` 110` 110` 0` 110` x-width (nm) x-width (nm) x-width (nm) 40`dB Σχήμα 5.9: Κανονικοποιημένη κατανομή έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στον HSP κυματοδηγό με ανεστραμμένη μεταλλική σφήνα, Σχ. 5.5(c), και διάκενο g = 20 nm. Στο διάγραμμα (a) φαίνεται η δομή αναφοράς,μεονομαστικέςτιμέςπαραμέτρων R w = 1 nmκαι ϕ w = 53,ενώσταδιαγράμματα (b)και (c)φαίνεταιμίασφήναμεμεγαλύτερηγωνία ϕ w = 102 καιμεγάληακτίνακαμπυλότητας R w = 10 nm, αντίστοιχα. Τα δύο αυτά χαρακτηριστικά πιστοποιούν την περιορισμένη ευαισθησία αυτού του τύπου κυματοδηγού σε κατασκευαστικές ατέλειες που σχετίζονται με την ακρίβεια στο επίπεδο του κυματοδηγού(xz-επίπεδο) Σύγκριση με άλλους τύπους νανοφωτονικών κυματοδηγών πυριτίου Οπως αναφέρθηκε στο τέλος της Ενότητας 5.2, προκειμένου να εκτιμήσουμε τη συγκριτική επίδοση νανοφωτονικών μη-γραμμικών κυματοδηγών που περιέχουν πυρίτιο για εφαρμογές τύπου Kerr,αρκείνασυγκρίνουμετιςμετρικές Fκαι ζ fc,όπουζητάμεκατάτοδυνατόν μεγαλύτερεςτιμέςκαιστιςδύο. Ενααυστηρότεροκριτήριοείναιναισχύειεπιπλέον Fζ fc ξ > 1, κάτι που εξασφαλίζει λειτουργία ελεύθερη από FCD ακόμα και για τη δυσμενέστερη περίπτωση της CW ακτινοβολίας, όπου τα FCE είναι εντονότερα. Μέχρι σήμερα, οι πιο υποσχόμενοι μη-γραμμικοί κυματοδηγοί που βασίζονται στην τεχνολογία πυριτίου, είναι οι κυματοδηγοί ράβδωσης(si-wire/rib)[57] και οι κυματοδηγοί εγκοπής(si-slot)[142]. Αν και οι Si-wire/rib είναι οι πιο τεχνολογικά και κατασκευαστικάώριμοικυματοδηγοί,δυστυχώς,ηυψηλήτιμήτηςμετρικής F > 1 W 1 οφείλεται αποκλειστικά στις μειωμένες απώλειες, και συνεπώς είναι προσβάσιμη μόνο για διατάξεις μήκους 1 cm ή και περισσότερο. Επιπλέον, το ιδιαίτερα χαμηλό κατώφλι ισχύος για το FCD περιορίζει τη συνολική δυναμική τους για εφαρμογές τύπου Kerr, κάτι που δηλώνεται απότογινόμενο Fζ fc ξ Οικυματοδηγοίεγκοπήςπροσφέρουνκάπωςμικρότερες τιμές F 0.5 W 1 σεσχέσημετους Si-wire/rib,αλλάμεμίαβελτίωση(μείωση)τάξηςμεγέθους,τόσοστοαπαιτούμενομήκοςδιάδοσης(L prop > 1 mm)όσοκαιστοκατώφλι FCD(Fζ fc ξ 0.5). Μεαντίστοιχοτρόπο,οβελτιστοποιημένος HSPκυματοδηγόςμε την μεταλλική σφήνα μπορεί να προσφέρει συγκρίσιμη τιμή F με τον κυματοδηγό εγκοπής, αλλάσεακόμαμικρότερηκλίμακαμήκους(l prop 50μm)βοηθώνταςστηνπεραιτέρω σμίκρυνση των ολοκληρωμένων εξαρτημάτων. Επίσης, ο κυματοδηγός αυτός έχει τη δυναμικήναπεράσειστηνελεύθερη-από-fceπεριοχή(fζ fc ξ > 1)εφόσοντοδιάκενοπέσει σε τιμές μικρότερες των 10 nm. Κάτι τέτοιο δεν φαίνεται εφικτό στους άλλους τύπους 186

201 5.3. Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου κυματοδηγών, εξαιτίας κατασκευαστικών και/ή σχεδιαστικών(θεωρητικών) περιορισμών. Γιαπαράδειγμα,τομέτρο Fζ fc ξλαμβάνειμέγιστητιμήίσημε 0.02γιατοναπλό CGSκυματοδηγό(για g = 15 nmστοσχ.5.7)καιίσημε 0.7γιατονκυματοδηγόεγκοπής[142] (για εύρος εγκοπής 50 nm). Πρέπει να σημειωθεί ότι στον κυματοδηγό εγκοπής υποθέσαμεαπώλειες 1.6 db/mmκαι,γιαδίκαιησύγκριση,υπολογίσαμετιςπαραμέτρους γκαι ζ fc βάσει του δικού μας φορμαλισμού. Άλλοι πλασμονικοί κυματοδηγοί που συμπεριλαμβάνουν πυρίτιο[127, 255] παρουσιάζουν αρκετά πιο φτωχή επίδοση από τον βελτιστοποιημένο HSP, λόγωχαμηλήςτιμήςτωνμετρικών Fκαι/ή ζ fc. Τέλος, τονίζουμε ότι τόσο στους SOI-wire/rib όσο και στους κυματοδηγούς εγκοπής, το χαρακτηριστικό μήκος απωλειών οριοθετείται από τις απώλειες σκέδασης που σχετίζονται με κατασκευαστικές ατέλειες του κυματοδηγού, όπως η τραχύτητα των πλευρικών τους τοιχωμάτων. Αντιθέτως, οι απώλειες του HSP κυριαρχούνται από τις αρκετά υψηλότερες ωμικές απώλειες λόγω της παρουσίας μετάλλου. Ετσι, οι όποιες κατασκευαστικές ατέλειες είναι λιγότερο πιθανό να αυξήσουν περαιτέρω τον συνολικό συντελεστή απωλειών. Επίσης, παρά το ότι οι κυματοδηγοί HSP μοιράζονται αρκετά κοινά στοιχεία με τους κυματοδηγούς εγκοπής, το συγκριτικό τους πλεονέκτημα είναι η δυναμική για σημαντικά μεγαλύτερη μη-γραμμικότητα(λόγω της μεγαλύτερης συγκέντρωσης) που αντισταθμίζει τις μεγάλες απώλειες λόγω των μετάλλων, διατηρώντας παράλληλα τα μήκη αλληλεπίδρασης κάτω από τα 0.1 mm. Ολοκληρώνοντας με μια τελευταία παρατήρηση, τονίζουμε πως η ανεστραμμένη μεταλλική σφήνα επιλέχθηκε ως πρότυπο ακραίας πλασμονικής συγκέντρωσης και για το λόγο αυτό χρησιμοποιήθηκε στη βελτιστοποίηση των κυματοδηγών HSP. Στην πράξη, οποιοδήποτε χαρακτηριστικό με νανομετρικές διαστάσεις(όπως π.χ. ένα πολύ στενό μεταλλικό φιλμ), όταν βελτιστοποιηθεί με μεθοδικό τρόπο, μπορεί δυνητικά να οδηγήσει σε αντίστοιχη επίδοση Αξιολόγηση με χρήση της NLSE Στην παράγραφο αυτή, χρησιμοποιείται η NLSE, Εξ.(5.73), για τη μοντελοποίηση της μονόρρυθμης διάδοσης σε CW ακτινοβολία, προκειμένου να ποσοτικοποιηθούν οι επιμέρους αρνητικές επιπτώσεις που προκύπτον από την παρουσία της TPA και των FCE. Ως μέτρα σύγκρισης,χρησιμοποιούμετημη-γραμμικήολίσθησηφάσης( Φ NL )καιτημη-γραμμική εξασθένιση(il NL ).Οιποσότητεςαυτέςμεταβάλλονταικατάμήκοςτουκυματοδηγού,και η τιμή τους στην έξοδο του μπορεί εύκολα να υπολογιστεί με αριθμητική ολοκλήρωση της NLSEγιαμίαδεδομένηισχύεισόδου(P in )καιμήκοςτουκυματοδηγού(l).οιπαράμετροι της CW-NLSE(καισυγκεκριμένατα α, γ, r, f A και f D )υπολογίζονταιαπόταχαρακτηριστικά του βασικού ρυθμού του κυματοδηγού, που εξάγεται με χρήση του εργαλείου εύρεσης ιδιορρυθμών. Ημη-γραμμικήολίσθησηφάσης Φ NL είναιουσιαστικάηφασική-διαφοράσεσχέσημε τηγραμμικήφάσηαναφοράς(β 0 L)καιμπορείεύκολαναυπολογιστείαπότηγωνίατου αργά-μεταβαλλόμενουφακέλλουτουσήματος,δηλαδή Φ NL = iln{a/ A },Εξ.(5.12). Αυτή η ολίσθηση φάσης έχει συνεισφορές τόσο από το συνδυασμό του φαινομένου Kerr και των γραμμικών απωλειών, όσο και από τα υπόλοιπα μη-γραμμικά φαινόμενα(tpa και FCE),οπότεμπορείνααναλυθείστοάθροισμα Φ NL = Φ Kerr + Φ non Kerr. Στηδικιά μαςπροσέγγιση,ησυνεισφορά Φ Kerr = γp in L eff (όταναπαλείψουμεταφαινόμενα TPAκαι FCE)είναιμεγαλύτερητουμηδενός(θετική)καιλογίζεταιωςωφέλιμη,ενώηΦ non Kerr 187

202 Κεφάλαιο 5 είναιαρνητικήκαιλογίζεταιωςεπιβλαβής. Ηαπόλυτητιμήτης Φ non Kerr αυξάνειγενικά όσο αυξάνεται η επίδραση των επιμέρους μη-γραμμικών μηχανισμών. Κατά πρώτον, οι μηγραμμικέςαπώλειες(tpaκαι FCA)μειώνουντοενεργόμήκοςαπωλειών L eff σεσχέση με την τιμή του στην γραμμική περιοχή λειτουργίας, κάτι που μπορεί να θεωρηθεί και ωςσυνεισφοράστηναρνητική Φ non Kerr. Κατάδεύτερον,ηFCDπροκαλείμίαμεταβολή στον ενεργό δείκτη-διάθλασης, αντίθετου προσήμου από το φαινόμενο Kerr. Συνεπώς, προκειμένουναποσοτικοποιήσουμετηνισχύκατωφλίουόπουηφ non Kerr κυριαρχείστη συνολικήφάση Φ NL,ορίζουμετονλόγο r δ = Φ non Kerr Φ Kerr = γp inl eff Φ NL γp in L eff 0 (5.80) πουείναισχεδόνίσοςμετομηδένγιαχαμηλέςισχείςκαιπαίρνειθετικέςτιμέςόσοηισχύς αυξάνεται. ΤοκατώφλιισχύοςγιατηνυποβάθμισηπουπροκαλούνηTPAκαιτα FCE στηνμη-γραμμικήφάση Kerr,μπορείναπροσδιοριστείωςηισχύς P in όπου r δ > 1. Οιμη-γραμμικέςαπώλειες IL NL παραλαμβάνουνμόνοτηνεξασθένισηπουοφείλεταιστα TPA και FCA και μπορούν να υπολογιστούν από το πλάτους του αργά-μεταβαλλόμενου φακέλου της NLSE, Εξ.(5.73), εφόσον αφαιρέσουμε τις γραμμικές απώλειες IL NL = A 2 P in exp{l/l prop }. (5.81) ΤοΣχ.5.10παριστάτιςμετρικέςr δ καιil NL ωςσυνάρτησητηςοπτικήςισχύοςεισόδου, για τρεις οικογένειες μη-γραμμικών κυματοδηγών. Πρόκειται για έναν τυπικό κυματοδηγό ράβδωσης πυριτίου(soi-wire)[66], τον κυματοδηγό μη-γραμμικής εγκοπής(nl-slot) [142] και τον βελτιστοποιημένο υβριδικό πλασμονικό κυματοδηγό ανεστραμμένης μεταλλικήςσφήνας(hsp-wedge). Οκυματοδηγός SOI-wireέχειδιαστάσεις nm 2, απώλειες 1 db/cm, είναι καλυμμένος με DDMEBT και λειτουργεί στον βασικό ΤΕ ρυθμό. Οκυματοδηγόςεγκοπήςσχηματίζεταιανάμεσασεδύο nm 2 Si-wires,τοεύρος της εγκοπής είναι 140 nm, έχει υπέρστρωμα(πλήρωση) DDMEBT, οι απώλειες του είναι 1.6 db/mm[142] και υποστηρίζει ΤΕ ρυθμό. Ο κυματοδηγός HSP-wedge έχει διάκενο DDMEBTπάχους 20 nm, Si-wireδιαστάσεων nm 2 καιανεστραμμένησφήνα αργύρουμε t w = 100 nm, ϕ w = 53.2 και R w = 1 nm[σχ.5.5(c)],ενώλειτουργείσετμ ρυθμό. Οι παράμετροι της NLSE για κάθε κυματοδηγό δίνονται στον Πίνακα 5.1, και έχει θεωρηθείενεργόςχρόνοςζωήςφορέων τ fc = 1 ns,κοινόςκαιγιατουςτρεις. Προς τον σκοπό της δίκαιης σύγκρισης, το μήκος κάθε κυματοδηγού έχει τεθεί ίσο μετοχαρακτηριστικόμήκοςαπωλειώντουκαθενός, L = L prop. Οικάθετεςδιακεκομμένες γραμμές στα Σχ. 5.10(a) και (b) αντιστοιχούν στα μη-γραμμικά κατώφλια ισχύος P th,fca = (α/f A ) 1/2 και P th,fcd = γ/f D,αντίστοιχα. Τακατώφλιααυτάσχετίζονταιμε τις αλλοιώσεις του πλάτους και της φάσης του αργά-μεταβαλλόμενου φακέλλου λόγω FCA και FCD, αντίστοιχα. Από τα Σχ. 5.10(a) και (b), γίνεται αντιληπτό ότι τα κατώφλια ισχύοςτωνπαραπάνωσχέσεωναντιστοιχούνσεμη-γραμμικέςαπώλειες IL NL 2.5 dbκαι λόγομη-γραμμικώνσυνεισφορώνφάσης r δ 0.7,αντίστοιχα.Επιπλέον,παρατηρούμεπως ο HSP παρουσιάζει καλύτερη επίδοση σε σχέση με τον SOI-wire και τον NL-slot, όσον αφοράστηνανοχήστα FCE,κάτιπουφαίνεταιαπότοότιτακατώφλιαισχύοςείναιμεγαλύτερααπό 1 W(CW).Τέλος,παρατηρούμεπωςολόγος r δ εμφανίζειένατοπικόμέγιστο, υποδεικνύοντας μία περιοχή ισχύος εισόδου όπου η FCD θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως εναλλακτικός μη-γραμμικός μηχανισμός ελέγχου φάσης του οδηγούμενου κύματος. Το 188

203 5.3. Μη-γραμμικοί υβριδικοί κυματοδηγοί αγωγού-διηλεκτρικού-πυριτίου IL NL (db) ( a) SOI-wire NL-slot HSP-wedge 8 6 ( b) r δ P in (dbw) Σχήμα5.10: Υπολογισμόςσταπλαίσιατης CW-NLSE (a)τωνμη-γραμμικώναπωλειών IL NL και (b) τουλόγουμη-γραμμικήςφάσηςr δ ωςσυνάρτησητηςισχύοςεισόδου,γιατρειςτύπουςκυματοδηγώνμήκους L = L prop,τωνοποίωνοιπαράμετροιδίνονταιστονπίνακα5.1. Οικάθετεςδιακεκομμένεςγραμμέςστα (a)και (b)αντιστοιχούνστιςισχείςκατωφλίου P th,fca = (α/f A ) 1/2 και P th,fcd = γ/f D,αντίστοιχα,για κάθε κυματοδηγό. Πίνακας 5.1: Παράμετροι NLSE για τους υπό εξέταση μη-γραμμικούς κυματοδηγούς. παράμετρος NLSE SOI-wire NL-slot HSP-wedge γ(m 1 W 1 ) r TPA (%) L prop (μm) f D (m 1 W 2 ) f A (m 1 W 2 ) χαρακτηριστικό αυτό είναι ιδιαίτερα τονισμένο στον SOI-wire κυματοδηγό στην περιοχή P in = 6 dbwστοσχ.5.10(b). Βέβαια,πρέπεινασημειωθείότιστοενλόγωσημείο οι μη-γραμμικές απώλειες εισαγωγής είναι μεγάλες(περίπου 5 db) και, συνδυαζόμενες με τιςγραμμικέςαπώλειες(4.34 dbγια L = L prop ),υποβαθμίζουνσημαντικάτηχρησιμότητα εξαρτημάτων βασιζόμενων στα φαινόμενα αυτά. Οσον αφορά στην παλμική λειτουργία, είναι σημαντικό να τονιστεί ότι τα αντίστοιχα μη-γραμμικά κατώφλια των FCE βρίσκονται σε αρκετά υψηλότερες ισχείς σε σχέση με την CW λειτουργία. Αυτό ισχύει γενικά για παλμούς μικρότερους από τον ενεργό χρόνο ζωής τωνελευθέρωνφορέων(π.χ. T pulse < τ fc 1 ns)καιγιαταχαμηλέςσυχνότητεςεπανάληψης παλμών[36]. Στις συνθήκες αυτές, τα FCE διεγείρονται μεν ακαριαία λόγω TPA, αλλά δεν επηρεάζουν σημαντικά τον παλμό που τους δημιουργεί, επειδή ο χρόνος συσσώρευσης για τη δημιουργία μιας κρίσιμης πυκνότητας φορέων υπερβαίνει γενικά τη διάρκεια του παλμού. Κατά συνέπεια, τα κατώφλια ισχύος FCD και FCA για την παλμική λειτουργία είναι τουλάχιστον db υψηλότερα από τα αντίστοιχα της CW λειτουργίας. Αυτό επιτρέπει την εισαγωγή σημάτων με υψηλότερη ισχύ κορυφής(peak-power), και κατά συνέπεια, πιο 189

204 Κεφάλαιο 5 έντονη Kerr-απόκριση, σε σχέση πάντα με τις προβλέψεις που προέκυψαν στη CW λειτουργία. Ακόμα και στα NRZ συστήματα διαμόρφωσης(όπου οι μακρές ακολουθίες από«1» bitsαναμένεταιναυποφέρουνπερισσότερο)και/ήυψηλούρυθμούεκπομπήςπαλμών 5 (όπου οι ελεύθεροι-φορείς που παράγονται από έναν παλμό μπορεί να επηρεάσουν σημαντικά τους επόμενους), τα κατώφλια ισχύος των FCE εξακολουθούν να είναι υψηλότερα από τα αντίστοιχα της CW λειτουργίας. Σε κάθε περίπτωση, οι τιμές που παρουσιάζονται στην παράγραφο αυτή παρέχουν κυρίως ενδεικτικές τιμές για τα αντίστοιχα κατώφλια ισχύος, πάνω από τα οποία η επίδραση των FCE είναι ισχυρή σε διαφορετικούς τύπους κυματοδηγών. Παρ ολα αυτά, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο πλαίσιο της συγκριτικής αξιολόγησης και βελτιστοποίησης κυματοδηγών, δεδομένου του ότι όλοι οι περιορισμοί κλιμακώνονται πάντα ανάλογαμετηνμετρική ζ fc,τόσοστηνπαλμικήόσοκαιστην CWλειτουργία. 5.4 Μη-γραμμικός κατευθυντικός ζεύκτης Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε ένα πιο σύνθετο μη-γραμμικό φωτονικό εξάρτημα, βασισμένο στους ολοκληρωμένους HSP κυματοδηγούς που παρουσιάσαμε στην Ενότητα 5.3. Πρόκειται για τον μη-γραμμικό κατευθυντικό ζεύκτη(nonlinear directional coupler, NL- DC)[181, 185, 240], που αποτελείται από ένα ζεύγος κυματοδηγών σε γειτνίαση, όπως στο Σχ Εκτός από τις παραμέτρους της διατομής του κάθε κυματοδηγού(που γενικά λογίζονται όμοιοι), την ισχύ εισόδου και το μήκος διάδοσης, η βασική νέα παράμετρος που υπεισέρχεται στη διάταξη αυτή είναι η απόσταση μεταξύ των δύο κυματοδηγών. Μικρές αποστάσεις συνεπάγονται ισχυρή σύζευξη και συνεπώς ανταλλαγή ισχύος σε μικρά μήκη ζευκτών. Η διάταξη αυτή μπορεί γενικά να μελετηθεί με δύο τρόπους. Πρώτον, στο πλαίσιο του πολύρρυθμου μη-γραμμικού κυματοδηγού που παρουσιάστηκε στην Παράγραφο χρήσει συστήματος συζευγμένων NLSE, ή, δεύτερον, με απευθείας τρισδιάστατη μοντελοποίηση με τη μέθοδο διάδοσης δέσμης(bpm) που παρουσιάστηκε στην Ενότητα 3.3. Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τον πρώτο τρόπο Περιγραφή γραμμικής λειτουργίας Ενας ζεύκτης δύο μονόρρυθμων κυματοδηγών μπορεί να λογιστεί ως ένας πολύρρυθμος κυματοδηγός που υποστηρίζει ένα ζεύγος υπερρυθμών(supermodes), που φορμαλιστικά δεν διαφέρουν σε τίποτα από τους απλούς ιδιορρυθμούς που μελετάμε. Οι ρυθμοί αυτοί χαρακτηρίζονται από την πόλωση(τε ή ΤΜ) του αντίστοιχου ρυθμού του μεμονωμένου κυματοδηγού, και επιπλέον διακρίνονται σε συμμετρικούς(ή άρτιους) και αντί-συμμετρικούς (ή περιττούς). Η διάκριση και η ονοματολογία αυτή προέρχεται από τον τύπο συμμετρίας που παρουσιάζει η κυρίαρχη συνιστώσα του ηλεκτρικού τους πεδίου, ως προς το μέσο της απόστασης που χωρίζει τους κυματοδηγούς. Για παράδειγμα, τα προφίλ της y-συνιστώσας τουηλεκτρικούπεδίουδύοτμυπερρυθμών, Re{e y (x,y)},γιατους HSPκυματοδηγούς ανεστραμμένης σφήνας, παρουσιάζονται στα Σχ. 5.12(a) και (b). Αναφερόμενοι σε συγκεκριμένη πόλωση, κάθε οδηγούμενο κύμα σε έναν ζεύκτη μπορεί να αναλυθεί σε κατάλληλη υπέρθεση των υπερρυθμών του. Στη γενική περίπτωση, η εισαγωγή μίας ασύμμετρης εισόδου στον ζεύκτη προκαλεί διέγερση και των δύο υπερρυθμών του. Πιο συγκεκριμένα, η εισαγωγή του βασικού ΤΜ ρυθμού του μονού κυματοδηγού στην 5 Pulse repetition rate. 190

205 5.4. Μη-γραμμικός κατευθυντικός ζεύκτης Cladding Metal Nonlinear Dielectric Silicon Oxide Bar port Cross port Input port Spacing Length x y z Σχήμα 5.11: Σχηματική άποψη ενός μη-γραμμικού κατευθυντικού ζεύκτη, όπου έχουμε ορίσει τις θύρες εισόδου(input), διέλευσης(bar) και σύζευξης(cross). Ανάλογα με το μήκος της διάταξης, την απόσταση των κυματοδηγών και το επίπεδο ισχύος κορυφής, το σήμα κατευθύνεται σε κάποια από τις θύρες εξόδου. αριστερή είσοδο του ζεύκτη(όπως σημειώνεται στο Σχ. 5.11) προκαλεί περίπου ισόποση διέγερση του συμμετρικού(symmetric,«s») και του αντί-συμμετρικού(anti-symmetric, «A») υπερρυθμού. Στην περίπτωση αυτή, η συμβολή(beating or interference) των υπερρυθμών οδηγεί σε περιοδική σύζευξη του φωτός μεταξύ των δύο κυματοδηγών. Το μήκος σύζευξης(coupling length) ποσοτικοποιεί την ασυμφωνία φάσης των ρυθμών και δίνεται απότησχέση L c = 1 2 λ/ n(s A) eff. Ενας ζεύκτης που αποτελείται από πανομοιότυπους κυματοδηγούς χαρακτηρίζεται ως συγχρονισμένος(synchronized). Σε αυτήν την κατάσταση, είναι δυνατή η μέγιστη(ή και πλήρης)ανταλλαγήισχύοςανάμεσαστουςδύοκυματοδηγούς,σταμήκη L = ml c,όπου m περιττός ακέραιος. Αντίθετα, όταν οι δύο κυματοδηγοί έχουν κάποια διαφορά, για παράδειγμα υλικά διαφορετικού δείκτη ή διαφορετικές γεωμετρικές διαστάσεις, τότε ο ζεύκτης είναι αποσυγχρονισμένος(desynchronized). Στην κατάσταση αυτή, η ανταλλαγή ισχύος είναι μεν περιοδική αλλά η ικανότητα σύζευξης είναι μειωμένη, ανάλογα με τον αποσυγχρονισμό ( β) των δύο κυματοδηγών. Για μεγάλες τιμές του β, δεν υπάρχει πρακτικά καθόλου σύζευξη μεταξύ των κυματοδηγών, ενώ οι αντίστοιχοι υπερρυθμοί εκφυλίζονται σε ρυθμούς εντοπισμένους στους δύο κυματοδηγούς. Οταν οι μεμονωμένοι κυματοδηγοί υποστηρίζουν δύο ορθογώνιες πολώσεις, δηλαδή ΤΜ και ΤΕ ρυθμούς, τότε ο ζεύκτης θα υποστηρίζει δύο ζεύγη υπερρυθμών. Δεδομένου του ότι τα μήκη σύζευξης των δύο πολώσεων θα είναι γενικά διαφορετικά, μπορεί κανείς να ρυθμίσει τιςπαραμέτρουςτηςδιατομήςτουζεύκτηέτσιώστεl TM c = 2 L TE c.συνεπώς,εάντομήκος τουζεύκτητεθείίσομε L = L TM c,τότεηδιάταξημετατρέπεταισεένανσυμμετρικό 2 2 διαχωριστή πολώσεων(polarization splitter), όπου οι ΤΕ και ΤΜ πολώσεις θα εξέρχονται από τις θύρες διέλευσης και σύζευξης, αντίστοιχα. 191

206 Κεφάλαιο 5 (a) Symmetric (even) TM 00 (b) Anti-Symmetric (odd) TM 00 d w Ag t w R w φ w g 0 0 d Si Si DDMEBT Si H Re{e y( x,y)} Re{e y( x,y)} SiO 2 W Σχήμα 5.12: (α)συμμετρικόςκαι(β)αντί-συμμετρικόςτμ 00 ρυθμόςενός HSPκυματοδηγούανεστραμμένης σφήνας. Παρατηρήστε την«+/+» και«+/» συμμετρία, όπως επίσης και την απουσία ή ύπαρξη μηδενισμού του πεδίου στο μέσο της μεταξύ των κυματοδηγών απόστασης, αντίστοιχα Περιγραφή μη-γραμμικής λειτουργίας Στηνπαράγραφοαυτή, θαπεριγράψουμεπωςέναςζεύκτηςμήκους L = L c μπορείνα λειτουργήσει ως μη-γραμμικός διακόπτης(ή μεταγωγέας), αλλάζοντας την θύρα εξόδου ανάλογα με το επίπεδο της οπτικής ισχύος εισόδου. Προχωρώντας στην περιγραφή της λειτουργίας αυτού του μη-γραμμικού στοιχείου, επισημαίνουμε ότι, καθώς η ισχύς μίας α- σύμμετρης διέγερσης-εισόδου αυξάνεται, τότε το φαινόμενο Kerr αυξάνει τοπικά το δείκτη διάθλασης μόνο στην περιοχή του κυματοδηγού που διεγείρεται. Η αλλαγή αυτή στο δείκτη διάθλασης καθιστά πλέον ανόμοιους τους δύο κυματοδηγούς, αποσυγχρονίζοντας τον ζεύκτημετηνεισαγωγήενός β Kerr 0.Είναιγνωστό[140]πωςότανοσυνολικόςαποσυγχρονισμόςστηνέξοδοτουζεύκτημήκους L c,πουπροκαλείταιαπόαυτότοφαινόμενο αυτό-εστίασης(self-focusing),ξεπεράσειτηνκρίσιμητιμή β Kerr L c > π 3,τότετοσήμα δενμπορείνασυζευχθείστοναντίπερακυματοδηγόκαιτελικάηέξοδοςτου 2 2διακόπτη αλλάζει, δηλαδή, αντί για τη θύρα σύζευξης(cross), το σήμα μεταφέρεται στη θύρα διέλευσης(bar). Υποθέτοντας ότι ο αποσυγχρονισμός του ζεύκτη μπορεί να αντιστοιχιστείστημη-γραμμικήολίσθησηφάσηςτουμεμονωμένουκυματοδηγούμήκους L c,δηλαδή β Kerr L c Φ NL = γp in L eff,τότεηκρίσιμηισχύςεισόδουγιατηναλλαγήκατάστασης του διακόπτη εκτιμάται από τη σχέση[143] P sw > π 3 F[1 exp( L c /L prop )], (5.82) όπου F = γl prop είναιημετρικήτηςεξ.(5.72).στησυνέχειατηςπαραγράφου,αναφερόμαστεστηνποσότητα P sw ωςισχύμεταγωγής(switching power).ηεξ.(5.82)προϊδεάζει πωςόσοτομήκοςαλληλεπίδρασηςαυξάνεται(l c L prop ), τότεηp sw μειώνεται, με προφανές τίμημα τις αυξημένες απώλειες εισαγωγής. Η ελάχιστη προβλεπόμενη τιμή είναι P sw = π 3/F,ενώ,γιακυματοδηγόχωρίςαπώλειες(L eff L c ),ηέκφρασηαυτήεκφυλίζεταιστην P sw = π 3/(γL c ). Τέλος,ότανηTPAκαιτα FCEγίνονταισημαντικάσε μη-γραμμικούς κυματοδηγούς που περιέχουν πυρίτιο, τότε αναμένουμε επιπλέον αύξηση της P sw λόγωτηςμείωσηςτηςμετρικής, F < F. Η επίδοση ενός τέτοιου στοιχείου μεταγωγής(switching element) μπορεί να ποσοτικοποιηθεί από την αλληλοπαρεμβολή(crosstalk, XT) μεταξύ των κυματοδηγών στις θύρες εξόδου και σε μια δεδομένη πόλωση, όπως επίσης και από τις συνολικές απώλειες εισαγω- 192

207 5.4. Μη-γραμμικός κατευθυντικός ζεύκτης γής(insertion losses, IL). Στην φορμαλισμό που περιγράψαμε στην Παράγραφο 5.1.2, το σύστημα των μη-γραμμικά συζευγμένων NLSE αντιστοιχεί στους αργά μεταβαλλόμενους φακέλουςτουηλεκτρικούπεδίουτωνυπερρυθμώντουζεύκτη(a S και A A ),οιοποίοικινούνταιοκαθέναςστηδικήτουφάσηαναφοράς[β (S) 0 και β (A) 0 ]. Ωστόσο, οι είσοδοι και έξοδοι της διάταξης συνήθως ανάγονται στους φακέλους του πεδίου του αριστερού και δεξιούκυματοδηγού(a L και A R ),πουβρίσκονταισεκοινόσύστημααναφοράςφάσης.συνεπώς,δοθέντωντων A L και A R στιςδύοεισόδουςτουζεύκτη(ήτων A S και A A στην έξοδο του ζεύκτη) ανασυνθέτουμε τους συμμετρικούς και αντί-συμμετρικούς φακέλλους(ή τους φακέλλους στον αριστερό και δεξί κυματοδηγό) σύμφωνα με τις σχέσεις A S/A (0) = 1 2 (A L ±A R ), (5.83αʹ) A L/R (z) = 1 [ ] A S exp{iβ (S) 0 z}±a A exp{iβ (A) 0 z}, (5.83βʹ) 2 αντίστοιχα. Υπενθυμίζουμε ότι το σύστημα των συζευγμένων NLSE που χρησιμοποιούμε γιατηνπεριγραφήτηςμη-γραμμικήςλειτουργίαςαναφέρεταιστους A S και A A ρυθμούς, και με αυτούς γίνεται η ολοκλήρωση κατά μήκος της διάδοσης. Στην έξοδο του ζεύκτη, ημετρικήεπίδοσηςτουστοιχείουμεταγωγήςορίζεταιως XT A L 2 / A R 2. Τέλος, τονίζουμεότιτόσοοιεξ.(5.83)όπωςκαιηxtισχύουνξεχωριστάγιακάθεπόλωση, λόγω της ορθογωνικότητας μεταξύ των ιδιορρυθμών Σχεδίαση πλήρως-οπτικού 2 2 διακόπτη Οπως περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, ο μη-γραμμικός κατευθυντικός ζεύκτης μπορεί να λειτουργήσει ως ένας πλήρως-οπτικός διακόπτης/μεταγωγέας, ελεγχόμενος από την ισχύ του ίδιου του οπτικού σήματος. Εάν οι κυματοδηγοί του ζεύκτη υποστηρίζουν δύο πολώσεις με εμφανώς διαφορετικά μη-γραμμικά χαρακτηριστικά, τότε, ανάλογα με την τιμή της μετρικής F του ρυθμού κάθε πόλωσης, αναμένουμε διαφορετική συμπεριφορά για τους ΤΕ και ΤΜ ρυθμούς. Οπως θα φανεί, η διαφοροποίηση αυτή μεταξύ των πολώσεων είναι έντονη για τους HSP κυματοδηγούς, όπου οι ΤΜ ρυθμοί χαρακτηρίζονται από μη-γραμμικότητα(παράμετρος γ) τάξεων μεγέθους«ισχυρότερη» αυτής των ΤΕ ρυθμών. Στην παράγραφο αυτή, θα σχεδιάσουμε έναν τέτοιο διακόπτη/μεταγωγέα για την ΤΜ πόλωση, δείχνοντας επιπλέον πως η ΤΕ πόλωση θα μένει πρακτικά ανεπηρέαστη από την ισχύ του σήματος. Επισημαίνουμε πως η ανάλυση που θα ακολουθήσει αναφέρεται σε CW σήματα, αλλά ισχύει εξίσου και για χρονομεταβλητά, όπου μάλιστα αναμένεται η επίδραση των φαινομένων φορέων να είναι μικρότερη. Ξεκινώντας από τη γραμμική μελέτη του ζεύκτη, θα διερευνήσουμε αρχικά την επίδραση τηςαπόστασηςμεταξύτωνκυματοδηγώντουζεύκτη[παράμετρος d w στοσχ.5.12(a)]στο μήκος σύζευξης των ΤΜ και ΤΕ ρυθμών. Οι υπόλοιπες παράμετροι του ζεύκτη, Σχ. 5.12(b), θέτονταιίσεςμε W H = nm 2, g = 20 nm, t w = 100 nm, ϕ w = 53.2 και R w = 1 nm. Παρατηρείστεότιτοεύροςτηςράβδωσηςπυριτίουτωνυποκείμενωντηςμεταλλικής σφήνας Si-wire κυματοδηγών έχει αυξηθεί, από τη βέλτιστη τιμή W = 220 nm που προσδιορίστηκε στην Παράγραφο για τον HSP κυματοδηγών. Η αύξηση αυτή έγινε προκειμένου να υποστηρίζονται καλά συγκεντρωμένοι ΤΕ υπερρυθμοί, εκτός από τους βασικούς ΤΜ υπερρυθμούς. Καθότι οι τελευταίοι είναι καλά συγκεντρωμένοι κυρίως στην κορυφή της σφήνας, καταλαβαίνουμε πως το μήκος σύζευξης για την ΤΜ πόλωση 193

208 Κεφάλαιο 5 Πίνακας 5.2: Μήκη σύζευξης ζεύκτη HSP κυματοδηγών. d w d Si L TM c L TE c L TM c /L TE c 600 nm 280 nm μm 7.95 μm nm 380 nm μm μm nm 480 nm μm μm 1.93 (L TM c )θαεξαρτάταικυρίωςαπότηναπόστασημεταξύτωνσφηνών(d w ). Αντιθέτως,το μήκοςσύζευξηςτωντερυθμών(l TE c )θαεξαρτάταικαιαπότοεύροςτηςράβδωσης(w), καθώς ραβδώσεις πυριτίου μεγαλύτερου εύρους W οδηγούν σε καλύτερα συγκεντρωμένουςτερυθμούς,κάτιπουαυξάνειτο L TE c γιατηνίδιααπόσταση d w. Μάλιστα,γιατις παραμέτρουςπουεπιλέχθηκαν,παρατηρήθηκεότι L TM c /L TE c 2,γιαμίααρκετάμεγάλη περιοχήτιμών d Si = d w W = [250,500] nm. Γιατολόγοαυτόεπιλέξαμεναεστιάσουμεσετρειςενδεικτικέςτιμέςαποστάσεων d w = 600, 700, 800 nm,πουαντιστοιχούνσε L TM c = 14.6, 28.2, 54.0μmκαι L TE c = 8.0, 14.9, 27.9 μm, όπως αναγράφονται και στον Πίνακα5.2. Ετσι,ησυνθήκη L TM c /L TE c = 2 που εξασφαλίζει τη λειτουργία διαχωριστή πόλωσης χαλαρώνει για τη συνέχεια αυτής της παραγράφου. Παρ όλα αυτά, τονίζουμε πως μπορεί σε κάθε περίπτωση να ικανοποιηθεί ακριβώς με ρύθμιση του εύρους της ράβδωσης πυριτίου για κάθε δεδομένη απόσταση σφηνών. Συνεχίζοντας με τη μη-γραμμική ανάλυση, θυμίζουμε τις τυπικές τιμές γ W 1 m 1 και L prop 30μmγιατους HSPκυματοδηγούςανεστραμμένηςμεταλλικήςακίδας, Παράγραφος5.3.3, πουοδηγούνσεμη-γραμμικήμετρική F 0.35 W 1. Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην Εξ.(5.82), και θεωρώντας για απλούστευση πως L L prop,προκύπτουνκρίσιμαεπίπεδαισχύοςμεταγωγήςτηςτάξηςτων 30 W.Αυτάτα επίπεδα ισχύος είναι αρκετά μεγάλα, κυρίως για CW ακτινοβολία, αλλά όχι εξωπραγματικά όταν λογίζονται ως ισχείς κορυφής σε παλμική λειτουργία. Τονίζεται ξανά πως αναμένουμε μικρή αύξηση της ισχύος μεταγωγής λόγω της αρνητικής συνεισφοράς της TPA και κυρίως των FCE. Σε κάθε περίπτωση πάντως, βασικός στόχος της παραγράφου είναι η επίδειξη της διαδικασίας και των εργαλείων μελέτης/σχεδίασης. Για το λόγο αυτό, θεωρούμε εδώ ενεργόχρόνοζωήςφορέων τ fc = 0.1 ns,προκειμένουνααυξήσουμετοκατώφλιεμφάνισης των FCEσεσχέσημετηνεκτίμησητωνμερικών WattτηςΠαραγράφου Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το σύνολο παραμέτρων του συστήματος των τεσσάρων συζευγμένων NLSE,ξεχωριστάγιακάθεμίααπότιςτρειςτιμέςτου d w,πουπεριγράφει την αλληλεπίδραση μεταξύ των ΤΕ και ΤΜ υπερρυθμών κατά μήκος της διάδοσης τους στονζεύκτη.ηδιέγερσηεισόδουείναι CWακτινοβολίασεμήκοςκύματος λ = 1550 nm, μεταβλητήςισχύος P in,πάνταστοναριστερόκυματοδηγόεισόδου,καιμεπόλωσητμή ΤΕ. Στην είσοδο του ζεύκτη, μοιράζουμε εξίσου την ισχύ μεταξύ των δύο υπερρυθμών τους οποίουςεπιπλέονθεωρούμεσεφάση. Ετσι,μεχρήσητηςΕξ.(5.83α )έχουμε A S (0) = A A (0) = (P in /2) 1/2. Στησυνέχεια,ολοκληρώνουμετοσύστηματων CW-NLSEμέχρι τομήκος L = L TM c με χρήση της μεθόδου Runge-Kutta, και στην έξοδο του ζεύκτη υπολογίζουμε την ισχύ στον αριστερό και τον δεξί κυματοδηγό με χρήση της Εξ.(5.83β ), και τελικά την αλληλοπαρεμβολή XT. Στο Σχ απεικονίζεται η μεταβολή της XT ως συνάρτηση της ισχύος εισόδου, για κάθε μία πόλωση ξεχωριστά. Οσον αφορά στην ΤΜ-πόλωση, παρατηρούμε αρχικά ότι όσο 194

209 5.4. Μη-γραμμικός κατευθυντικός ζεύκτης XT (db) 0-20 TE d w 800nm TM 700nm 600nm P in (dbw) Σχήμα 5.13: Χαρακτηρισμός της CW λειτουργίας του μη-γραμμικού κατευθυντικού ζεύκτη(nldc) κυματοδηγών HSP ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας. Παρουσιάζεται η αλληλοπαρεμβολή(xt) μεταξύ των θυρώνεξόδουωςσυνάρτησητηςισχύοςεισόδου(p in )σεκαθεμίαπόλωση.οιαποστάσειςμεταξύτωνκυματοδηγώνείναιd w = 600, 700, 800nmκαιαντιστοιχούνσεμήκηζεύκτηL = L TM c = 14.6, 28.2, 54.0μm, αντίστοιχα. το L TM c αυξάνεται(δηλαδήόσοτο d w αυξάνεται),τόσομειώνεταιηαπαιτούμενη P in γιανα φτάσουμεστοπρώτοτοπικόμέγιστοτου XT.Συγκεκριμένα,για d w = 600, 700, 800 nm οιαπαιτούμενεςισχείςπουπροκύπτουναπότην NLSEείναι 18.5, 16, 14 dbw.τώρα,οι εκτιμήσειςτηςεξ.(5.82)γιατααντίστοιχαμήκηζεύκτηήταν P sw = 16, 14, 12.7 dbw. Σημειώνουμε δηλαδή μία αύξηση της ισχύος μεταγωγής, της τάξης των 2 db, που αποδίδεται αποκλειστικά στην επίδραση των ελευθέρων φορέων. Το προφανές μειονέκτημα της αύξησης του μήκους σύζευξης είναι οι παραπάνω απώλειες εισαγωγής, ενώ ένα ακόμα μειονέκτημαείναιημείωσητηςμέγιστηςτιμήςτης XTστοπρώτοτοπικότουμέγιστο,καθώς XT peak = 13.5, 11, 7 db,γιαταπαραπάνω d w,αντίστοιχα. Ημείωσηαυτήσχετίζεταιμε τη συσσώρευση ασυμφωνίας-φάσης από τους όρους XPM της Εξ.(5.48), αυτούς δηλαδή όπου β klmn 0. Σχολιάζοντας τη συμπεριφορά της ΤΕ-πόλωσης που παριστάνεται με τις διακεκομμένες καμπύλεςστοσχ.5.13,παρατηρούμεπως XT > 10 dbκαιγιατουςτρειςζεύκτες,δηλαδή, πρακτικά, η ΤΕ πόλωση θα εξέρχεται πάντα από τη θύρα διέλευσης(bar). Αυτό οφείλεται στοότιησυνθήκη L = 2L TE c πληρούται ικανοποιητικά(έστω και όχι ακριβώς) για το ονομαστικό εύρος W = 320 nm που επιλέχθηκε, Πίνακας 5.2. Επίσης, παρατηρούμε πως οι διακεκομμένες καμπύλες διακόπτονται μετά από κάποια μέγιστη τιμή. Αυτό το όριο αντιστοιχίζεται στην CW ισχύ εισόδου όπου η σταθμισμένη πυκνότητα φορέων της Εξ.(5.63) ξεπερνάει τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή του μοντέλου Soref & Bennett[41], δηλαδή N > m 3.Επιπλέον,σημειώνουμεπωςηδιασποράλόγωελευθέρωνφορέων(FCD) είναιυπεύθυνηγιατηνβελτίωση(αύξηση)τηςxtπουπαρατηρείταισεορισμένεςp in μεταξύ 12-15dBWγιατηνΤΕπόλωση.Αυτόμπορείναεξηγηθείπαρατηρώνταςότι L TM c /L TE c < 2 καιγιατιςτρειςεπιλογές d w (Πίνακας5.2),καιθυμίζονταςπωςηFCDμειώνειτον n eff για τους ΤΕ ρυθμούς. Συνεπώς, μείωση του ενεργού δείκτη σημαίνει μικρότερη συγκέντρωση τωνυπερρυθμώνή,ισοδύναμα,ελάττωσητου L TE c,ώστετελικάναφτάσεισεσημείοπουνα ικανοποιείταιεπακριβώςησυνθήκη L TM c /L TE c = 2. Μάλιστα,ηπερίπτωσητουζεύκτημε d w = 800 nm(600 nm)είναιαυτήπουβρίσκεταιπιοκοντά(μακρυά)απότοναικανοποιεί τηνπαραπάνωσυνθήκη,καισυνεπώςαπαιτείτημικρότερη(μεγαλύτερή)ισχύ P in. Σε 195

210 Κεφάλαιο 5 κάθε περίπτωση, η ισχύς μεταγωγής του διακόπτη NLDC για την ΤΕ πόλωση είναι αρκετά μεγάλη,τηςτάξηςμεγέθουςτου P sw = π 3/(γ TE L) > 20 dbw,συνεπώςηπόλωσηαυτή εξέρχεται πάντα από την θύρα διέλευσης. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί πως η αλληλοπαρεμβολή μεταξύ των δύο ορθογώνιων πολώσεων,δηλαδήολόγος A TE L 2 / A TM L 2 στηνέξοδοτουζεύκτηθεωρώνταςτμπόλωση στην είσοδο, είναι πάντα σχεδόν αμελητέα, ενδεικτικά μικρότερη από 40 db. Αυτό οφείλεται σε δύο λόγους. Πρώτον, στο ότι οι ιδιορρυθμοί ενός κυματοδηγού είναι ορθογώνιοι μεταξύ τους, κάτι που κατ επέκταση σημαίνει πως οι όροι μη-γραμμικής σύζευξης μεταξύ πολώσεων γ klmn,εξ.(5.49),είναιπάντασχεδόνμηδενικοίόταντο klmn-σύνολοδεναναφέρεται σε ρυθμούς ίδιας πόλωσης. Δεύτερον, σύζευξη μεταξύ πολώσεων μπορεί να συμβεί μέσω των FCE[66], αλλά αφενός τα φαινόμενα αυτά είναι γενικά περιορισμένα στους HSP κυματοδηγούς,καιαφετέρουέχουμεχρησιμοποιήσειχαμηλόχρόνοζωής(τ fc = 0.1 ns)στο συγκεκριμένο παράδειγμα, που τα καταστέλλει ακόμα περισσότερο Μελέτη αρωγού λόγου-εξάλειψης διαμορφωμένων σημάτων Μιά ενδιαφέρουσα παρατήρηση που μπορεί να γίνει στο Σχ είναι ότι μία μείωση του επιπέδουισχύοςεισόδουκατάπερίπου10db(απόμίαp in πουαντιστοιχείσετοπικόμέγιστο της XT)αντιστοιχείσεμίααλλαγήτης XTμεγαλύτερητων 30 db,γιατιςτμπολώσεις. Το χαρακτηριστικό αυτό δηλώνει πως ο NLDC μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αρωγός λόγουεξάλειψης(extinction-ratio, ER, booster) για διαμορφωμένα κατά πλάτος οπτικά σήματα. Συνεπώς,εισάγονταςένασήμαμεχαμηλό ERστηναριστερήείσοδοτου NLDCθαμας δώσειστηθύραδιέλευσης(bar)τοίδιοσήμααλλάμεβελτιωμένο ER.Στηθύρασύζευξης (Cross), θα περάσει ένα μικρό«παρασιτικό» μέρος του σήματος, με υποβιβασμένο ER, που θα απορρίπτεται. Ως παράδειγμα εφαρμογής, χρησιμοποιούμε τον ζεύκτη HSP κυματοδηγών ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας της προηγούμενης παραγράφου, και επιλέγουμε απόσταση μεταξύ ακίδων d w = 700 nm(ισοδύναμα,απόστασημεταξύραβδώσεωνπυριτίου d Si = 380 nm) πουαντιστοιχείσεμήκοςσύζευξης L TM c = 28.16μm. Τοσήμαεισόδουείναιμίατυπική ψευδοτυχαία ψηφιακή ακολουθία(pseudo-random bit sequence, PRBS) με μήκος 128 bits, NRZ διαμόρφωση πλάτους, ρυθμό πληροφορίας 10 Gbps και χρόνο ανόδου/καθόδου ίσο με 30 ps.ηισχύςκορυφήςορίζεταιστα 14 dbwκαιτοσήμαχαρακτηρίζεταιαπόέναιδιαίτερα φτωχό ER = 5 db. Το διαμορφωμένο σήμα εισάγεται στην αριστερή είσοδο του ζεύκτη (ΤΜ πόλωση), αναλύεται σε συμμετρικό και αντισυμμετρικό φάκελλο, ολοκληρώνεται κατά μήκοςτουζεύκτη(l = L TM c ) και, τελικά, η έξοδος διαχωρίζεται σε αριστερό και δεξί φάκελλο. Για την αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιήθηκε η SSFM που παρουσιάστηκε στην Παράγραφο , χρησιμοποιώντας για απλότητα μόνο τους δύο ΤΜ υπερρυθμούς, αφού φάνηκε πως η αλληλοπαρεμβολή πόλωσης ΤΜ/ΤΕ είναι αμελητέα. Επίσης, διαπιστώθηκεπωςηεπίδρασητωνόρωνδιασποράςήταναμελητέαγιατοεύροςζώνηςτωνσημάτων καιταυπόσυζήτησημήκη,δηλαδή L WO,L GVD L c. Τα αποτελέσματα του υπολογισμού μας παρουσιάζονται στο Σχ. 5.14, όπου παρατηρούμε πως ο ER στην αριστερή έξοδο(bar θύρα) του NLDC είναι βελτιωμένος κατά περίπου 15 dbσεσχέσημετηνείσοδο. Τοτίμημααυτήςτηςβελτίωσηςείναι,εκτόςαπότην ανάγκη ενίσχυσης σε τόσο μεγάλη ισχύ κορυφής, οι απώλειες εισαγωγής των περίπου 4.5 db. Αξίζει επίσης να σημειώσουμε την εκθετική πτώση της ισχύος κορυφής σε μακριές 196

211 5.5. Διάδοση σημάτων υψηλής ισχύος σε έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς 20 Power (dbw) input (L) output (L) output (R) t (nsec) Σχήμα 5.14: Λειτουργία αρωγού λόγου-εξάλειψης(er) σε έναν μη-γραμμικό κατευθυντικό ζεύκτη HSP κυματοδηγών ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας, και μήκους μικρότερου των 30 μm. Παρατηρούμε πωςοχαμηλός ER= 5 dbενός 10 Gbps NRZσήματοςστηναριστερήείσοδοτουμη-γραμμικούκατευθυντικού ζεύκτη(μαύρη κυματομορφή) βελτιώνεται κατά περίπου +15 db στην αριστερή έξοδο του(κόκκινη κυματομορφή). Η ακολουθία των bit που διακρίνεται στο σχήμα είναι η ακολουθίες από«1» bits, που σχετίζεται με την ανάπτυξη φαινομένων ελευθέρων φορέων (FCE). Για τους λόγους που σχολιάστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, ο χρόνος ζωής τωνφορέωνλαμβάνεικαιεδώτηντιμή τ fc = 0.1 ns,είναιίσοςδηλαδήμετοχρονικόεύρος τωνπαλμών,κάτιπουσημαίνειπωςηfcaθαλαμβάνειχώραστηνδιάρκειαπερίπουενός «1» bit. Τέλος, σχολιάζουμε πως οι κορυφές στην κυματομορφή εξόδου στη δεξιά έξοδο (Cross θύρα) του NLDC αντιστοιχούν στα επίπεδα ισχύος όπου η αλληλοπαρεμβολή XT στο Σχ αλλάζει πρόσημο. Αυτό πιστοποιείται και από το γεγονός ότι εξαφανίζονται για P in,peak < 13 dbwστονσυγκεκριμένοζεύκτη. 5.5 Διάδοση σημάτων υψηλής ισχύος σε έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την ιδιάζουσα περίπτωση της διάδοσης σημάτων υψηλής ισχύος σε έντονα μη-γραμμικούς νανοφωτονικούς κυματοδηγούς, όπως οι HSP που παρουσιάστηκαν στην Ενότητα 5.3. Η πρόσβαση σε αυτήν την περιοχή λειτουργίας είναι τεχνικά εφικτή στους κυματοδηγούς αυτούς λόγω του αυξημένου κατωφλίου εμφάνισης των FCE και της πολύ υψηλής μη-γραμμικότητας τους. Οταν ένα σήμα ικανά μεγάλης ισχύος εισαχθεί σε έναν τέτοιο κυματοδηγό, τότε προκαλείται λόγω φαινομένου Kerr μία τοπική μεταβολή στο προφίλ του δείκτη διάθλασης μόνο στην περιοχή όπου η ένταση του πεδίου είναι υψηλή. Επιπλέον, για σήματα μικρού εύρους ζώνης, η αλλαγή αυτή συντελείται σχεδόν ακαριαία καθώς η χρονική απόκριση του φαινομένου Kerrείναιτηςτάξηςτου 1 fs[94]. Οταναυτέςοιμεταβολέςστοπροφίλτου δείκτη διάθλασης σε κάποιον νανοφωτονικό κυματοδηγό ξεπεράσουν μία κρίσιμη τιμή, τότε, η κατανομή του οδηγούμενου ρυθμού θα αλλοιωθεί αισθητά σε σχέση με τη γραμμική περίπτωση. Ως αποτέλεσμα, οι διάφορες γραμμικές και μη-γραμμικές παράμετροι του ρυθμού που εξαρτώνται γενικά από τη χωρική κατανομή του, αναμένεται να αλλοιωθούν και να καταστούν τελικά εξαρτώμενες από την οπτική ισχύ στον κυματοδηγό. 197

212 Κεφάλαιο 5 Το κατώφλι αυτής της περιοχής λειτουργίας μπορεί να προσδιοριστεί από την περιοχή τιμώνισχύοςόπουτοχαρακτηριστικόμη-γραμμικόμήκοςl NL,Εξ.(5.11),αρχίζειναγίνεται συγκρίσιμο με το μήκος κύματος στον κυματοδηγό, δηλαδή L NL λ g < 1 P thres > n eff γλ 0. (5.84) Για τους HSP κυματοδηγούς ανεστραμμένης μεταλλικής ακίδας, Παράγραφος 5.3.3, η μηγραμμικήςπαράμετροςείναι γ > 10 4 m 1 W 1 καιοενεργόςδείκτηςδιάθλασης n eff > 2, κάτι που οδηγεί σε κατώφλι ισχύος της τάξης μεγέθους του 1 W. Επιπλέον, στην περίπτωση της CW ακτινοβολίας σε κυματοδηγούς που περιέχουν πυρίτιο, αναμένουμε αντίστοιχες μεταβολές του προφίλ του δείκτη διάθλασης και λόγω των φαινομένων ελευθέρων φορέων (FCE) μέσα στις περιοχές πυριτίου. Συνεπώς, παρατηρούμε ότι οι τιμές ισχύος που εξετάστηκαν σε κάποιες εφαρμογές των προηγούμενων παραγράφων(της τάξης των 10 dbw για τους NLDC) εμπίπτουν σε αυτήν την περιοχή λειτουργίας και θα πρέπει να αναθεωρηθούν. Τελικά, αντιλαμβανόμαστε ότι η μη-γραμμική απόκριση θα αλλοιώνεται υπό την επίδραση αυτού του φαινομένου, ακόμα και για ρεαλιστικά επίπεδα ισχύος(κορυφής) της τάξης των μερικών Watt Εξάρτηση παραμέτρων κυματοδηγού από την ισχύ Σε αυτήν την περιοχή λειτουργίας φαίνεται εκ πρώτης ανάγνωσης να καταστρατηγείται η παραδοχή των μικρών διαταραχών(perturbation method) που χρησιμοποιούμε στο πλαίσιο του φορμαλισμού της NLSE, Ενότητα 5.1. Αν και καταχρηστικά, είναι οριακά δυνατό να χρησιμοποιηθεί το εύχρηστο εργαλείο της NLSE για τη μελέτη της μη-γραμμικής διάδοσης σημάτων υψηλής ισχύος σε μονόρρυθμους κυματοδηγούς, μετά βέβαια από κατάλληλες τροποποιήσεις. Η κεντρική τροποποίηση που εισάγουμε είναι ότι πλέον όλες οι παράμετροι της NLSE θα εξαρτώνται από την ισχύ του σήματος. Για τον υπολογισμό αυτών των παραμέτρων, χρησιμοποιούμε την επαναληπτική αυτό-συνεπή μέθοδο εύρεσης ιδιορρυθμών(self-consistent eigenmode solver, SCEMS) που παρουσιάστηκε στην Παράγραφο Σύμφωνα με την SCEMS,γιακάθεεπίπεδοισχύος(P in ),εξάγουμεαρχικάτονβασικόιδιορρυθμόδιάδοσης από τον γραμμικό κυματοδηγό και κανονικοποιούμε το πλάτος των συνιστωσών του ηλεκτρικούτουπεδίουώστεηοδηγούμενηισχύςναταυτίζεταιμετηνεπιλεγμένη P in. Αυτό ισοδυναμείμετονακλιμακώσουμεταδιανύσματατουπεδίου eκαι hτουιδιορρυθμούμετην ποσότητα m norm = P in /P mode,όπου P mode = 1 2 Re{ (e h ) ẑdxdy}. Επειτα,χρησιμοποιώνταςτοπροφίλτηςκλιμακωμένηςηλεκτρικήςέντασηςτουρυθμού, E = m norm e, τροποποιούμε το προφίλ δεικτών διάθλασης του κυματοδηγού προσθέτοντας τις μεταβολές πουπροκύπτουνλόγωτωνφαινομένων Kerr, TPAκαι FCE,δηλαδή ε r,nl = ε r,lin + ε r,nl, όπου ε r,nl (x,y) = ε r,3o (x,y)+ ε r,fc (x,y). (5.85) Στηνπαραπάνωεξίσωση,ησχετικήδιηλεκτρικήσταθερά ε r κάθεσημείουτης xy-διατομής αντιστοιχίζεται σε έναν τανυστή δεύτερης τάξης περιγράφοντας έτσι ανισοτροπικά υλικά με έναν πίνακα 3 3. Προφανώς, τα ισοτροπικά υλικά θα εκφυλίζονται στην απλούστερη περιγραφή ε r = n 2 0 I 3,όπου I 3 ομοναδιαίος 3 3πίνακας. Οτανπαραλείπεταιηπερισπωμένη, ε r ε r,τότεαναφερόμαστεσευλικάμεισοτροπική χ (1) επιδεκτικότητα 6. 6 ΟπωςσχολιάστηκεστηνΠαράγραφο ,ταφαινόμεναελευθέρωνφορέων(FCE)αντιστοιχούνσε 198

213 5.5. Διάδοση σημάτων υψηλής ισχύος σε έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς Γιατημεταβολήτουδείκτηλόγωτωνφαινομένων Kerrκαι TPA, ε r,3o,βασιζόμενοι στη δυνατότητα του εργαλείου ευρέσεως ιδιορρυθμών να αντιμετωπίζει και κυματοδηγούς με χ (1) -ανισοτροπικάυλικά,καιξεκινώνταςαπότηνεξ.(5.42),μπορούμεναεισάγουμετη μεταβολή ε r,3o μεδύοτρόπους: ε r,3o (x,y) = 3 4 χ(3) xxxx E 2, ε r,3o (x,y)[µ,γ] = 3 4 x,y,z α,β χ (3) µαβγ E αe β, (5.86αʹ) (5.86βʹ) όπουοιόροι χ (3) xxxxκαι χ (3) µαβγδίνονταιαπότιςεξ.(5.45)και(5.47),αντίστοιχα. ΠαρατηρείστεότικαιοιδύοσχέσειςτηςΕξ.(5.86)εξαρτώνταιαπότην xy-κατανομήτόσοτου ηλεκτρικού πεδίου όσο και των μη-γραμμικών χαρακτηριστικών των υλικών στη διατομή του κυματοδηγού. Τονίζουμε επίσης ότι η Εξ.(5.86α ) αντιστοιχεί σε μία βαθμωτή τιμή, ενώη(5.86β )σεέναντανυστήδεύτερηςτάξηςπουπεριγράφεταιαπόέναν Hermitian 3 3 πίνακαμεστοιχεία µ,γ = {x,y,z}.στηνπερίπτωσηπουτομη-γραμμικόυλικόδενπαρουσιάζειανισοτροπίαστοντανυστή χ (3),δηλαδή ρ = 1στηνΕξ.(5.47),τότε,μεχρήσητων συμμετριών του τανυστή, η Εξ.(5.86β ) μπορεί να γραφεί στην απλούστερη μορφή ( 1 ε r,3o (x,y)[µ,γ] = χ (3) xxxx 4 E 2 δ µγ + 1 ) 2 Re{E µeγ }, (5.87) όπου δ µγ είναιτοδέλτα Kronecker. Στησυνέχεια,ησχέσηαυτήεκφυλίζεταιπροσεγγιστικά στην Εξ.(5.86α ) εάν παραλείψουμε τους εκτός-διαγωνίου όρους, που είναι γενικά μικρότεροιαπότουςόρουςτηςκυρίαςδιαγωνίουλόγωτηςκυριαρχίαςτουόρου E 2. Οσοναφοράστημεταβολή ε r,fc,πουσχετίζεταιμετηνπυκνότητατωνελευθέρων φορέων,ταπράγματαείναιπολύπιοαπλάλόγωτηςισοτροπικής χ (1) επιδεκτικότηταςπου δημιουργούν. Θεωρώντας CW ακτινοβολία, από τις Εξ.(5.18) και(5.59), η πυκνότητα φορέωνστηδιατομήθαδίνεταιαπότησχέση β TPA (x,y) N(x,y) = τ fc G(x,y) = τ fc Pz 2 (x,y), (5.88) 2 ω 0 όπου P z = 1 2 Re{E H } ẑείναιηπυκνότηταοδηγούμενηςισχύοςστηδιατομήτου κυματοδηγού. Με χρήση των Εξ.(5.43) και(5.17), υπολογίζουμε τελικά τη μεταβολή ε r,fc ως ε r,fc (x,y) = 2n Si σ u (x,y)n(x,y), (5.89) που αντιστοιχεί σε μία βαθμωτή μεταβολή μιγαδικής τιμής στον δείκτη του πυριτίου. Στο Σχ παρουσιάζεται ένα ενδεικτικό προφίλ του δείκτη διάθλασης στον βελτιστοποιημένο κυματοδηγό HSP ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας, Παράγραφος 5.3.3, υπό την επίδραση ενός πεδίου υψηλής ισχύος. Το λευκό χρώμα δηλώνει τον γραμμικό δείκτη του υλικού, το κόκκινο(ή μπλε) περιοχή αυξημένου(ή μειωμένου) δείκτη, ενώ το φαιό χρώμα δηλώνει περιοχές υλικών με διαφορετικούς δείκτες εκτός της περιοχής τιμών του συγκεκριμένου χάρτη. Στο Σχ λοιπόν, παρατηρούμε πως η διαφορά των δεικτών διάθλασης ισοτροπική διαταραχή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς, δηλαδή η περισπωμένη στον δεύτερο όρο της Εξ.(5.85) μπορεί να απαληφθεί. 199

214 Κεφάλαιο 5 340` (a) Silver 1.82` (b) Silver 3.50` y-thickness (nm) 220` 50` DDMEBT Silicon n 0 (` x, y) -110` 0` 110` x-width (nm) 1.80` 1.78` DDMEBT n 0 (` x, y) Silicon -110` 0` 110` x-width (nm) 3.45` 3.40` Σχήμα 5.15: Μεταβολή του προφίλ του δείκτη διάθλασης για σήματα υψηλής ισχύος,(a) στην περιοχή του μη-γραμμικού υλικού DDMEBT υπό την επίδραση του φαινομένου Kerr και(b) στην περιοχή του πυριτίου υπό την επίδραση της διασποράς λόγω ελευθέρων φορέων(fcd). μεταξύ των περιοχών πυριτίου και διακένου(ddmebt) έχει μειωθεί, καθώς το φαινόμενο Kerrαυξάνειτονχαμηλόδείκτη(n DDMEBT = 1.8)ενώηδιασποράλόγωφορέωνμειώνει τονυψηλόδείκτη(n Si = 3.45).Αναμένουμεπωςημείωσηαυτήστηναντίθεσητωνδεικτών διάθλασης θα οδηγήσει σε μικρότερη ικανότητα συγκέντρωσης του πεδίου στον υβριδικό πλασμονικό κυματοδηγό από την πλευρά της διεπιφάνειας πυριτίου/διηλεκτρικού. Συνεπώς, το πεδίο θα διαχέεται περισσότερο μέσα στην περιοχή πυριτίου, κάτι που θα οδηγήσει τόσο σε μικρότερη μη-γραμμική παράμετρο Kerr όσο και σε ισχυρότερα FCE/TPA. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη μέθοδο SCEMS για τον υπολογισμό της εξάρτησης των παραμέτρων της NLSE από το επίπεδο της οπτικής ισχύος εισόδου. Χρησιμοποιήθηκε η πιογενικήτανυστικήεκδοχήτηςεξ.(5.86β )γιατην χ (3) -επιδεκτικότητα,καιγιατηνικανοποιητική σύγκλιση του SCEMS χρειάστηκαν περίπου 5-10 επαναλήψεις. Στο Σχ παρατηρούμε, όπως προβλέψαμε προηγουμένως, ότι οι επιδόσεις του κυματοδηγού για μηγραμμικές εφαρμογές τύπου Kerr χειροτερεύουν όσο η ισχύς αυξάνεται. Πιο συγκεκριμένα, βλέπουμεστασχ.5.16(a)και (b)πωςησυνολικήμετρική F = γ L prop μειώνεταιενώστα (c) και (d) πως η αύξηση του παράγοντα r και της παραμέτρου επικάλυψης φορέων-πεδίου Ξ, θα έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση των ανεπιθύμητων TPA και FCE, αντίστοιχα. Οι παραπάνω μεταβολές των παραμέτρων της NLSE είναι μεν σχετικά μικρές, δηλαδή της τάξης του 10%, αλλά παρ όλα αυτά προμηνύουν κάποια υποβάθμιση της επίδοσης σε σχέση με την περίπτωση που δεν ληφθεί υπόψη αυτό το φαινόμενο. Οι συνεχείς καμπύλες αντιστοιχούν στην περίπτωση που λαμβάνουμε υπόψη μόνο τα σχεδόν ακαριαία φαινόμενα Kerr και TPA, ενώ η διακεκομμένες καμπύλες περιέχουν και την επίδραση των FCE. Στη δεύτερη περίπτωση,οενεργόςχρόνοςζωήςτωνφορέωνεπιλέχθηκείσοςμε τ fc = 1 ns,όπουβλέπουμετην αισθητή διαφορά που προκύπτει όταν λαμβάνεται υπόψη και η μεταβολή στο δείκτη λόγω ελευθέρωνφορέων, ε r,fc.τέλος,πρέπεινασημειωθείπωςημέγιστηισχύςπουεξετάσαμε αντιστοιχούσεσεμέγιστηδιαφορά ε r,nl < 0.7(ή n 0 < 0.2)εντόςτουμη-γραμμικού υλικού DDMEBT ή στη μέγιστη αποδεκτή πυκνότητα φορέων του μοντέλου Soref & Bennettεντόςτουπυριτίου, N(x,y) < m 3,αντίστοιχα.Ητελευταίασυνθήκηισοδυναμεί επίσηςμεένα n Si < 0.2,καιγιατονσυγκεκριμένοκυματοδηγότοαντίστοιχομέγιστο επίπεδοισχύοςήτανπερίπου 3 dbχαμηλότερασεσχέσημετονπεριορισμότου ε r,nl στο DDMEBT. 200

215 5.5. Διάδοση σημάτων υψηλής ισχύος σε έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς 1`W 1`)` γ NL (m r TPA 1.24` 1.22` 1.2` 1.18` 1.16` x 10 4` 1.14` 15` 10` ` 7.6` x 10 4` 8` Kerr/TPA Kerr/TPA + FCE Kerr/TPA Kerr/TPA + FCE (a) 7.4` (c) 7.2` 15` 10` 5 0` 5` P (dbw) in L prop (µm) 3`W 1`) Ξ fc (m 30` 29` ` 10` x 10 13` 7.5` 7.4` 7.3` 7.2` Kerr/TPA Kerr/TPA + FCE Kerr/TPA Kerr/TPA + FCE (b) 7.1` (d) 7` 15` 10` 5` 0` 5` P (dbw) in Σχήμα 5.16: Μεταβολή των βασικών παραμέτρων της NLSE ως συνάρτηση της ισχύος εισόδου σε HSP κυματοδηγό ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας, με χρήση της μεθόδου SCEMS. Οι συνεχείς καμπύλες αντιστοιχούν στην περίπτωση που λαμβάνουμε υπόψη μόνο τα ακαριαία φαινόμενα Kerr και TPA, ενώ οιδιακεκομμένεςκαμπύλεςπεριέχουνκαιτηνεπίδρασητων FCEμεενεργόχρόνοζωής τ fc = 1 ns. Η τελευταία περίπτωση αναφέρεται αποκλειστικά σε CW ακτινοβολία Μονόρρυθμοι κυματοδηγοί σε συνεχή λειτουργία Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε τη διάδοση CW σημάτων υψηλής ισχύος στον HSP κυματοδηγό που μελετήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, με σκοπό να ποσοτικοποιήσουμε την επίδραση αυτού του φαινομένου στον φάκελο του σήματος. Η μοντελοποίηση θαγίνειμεχρήσητης NLSE,καιηολοκλήρωσηκατάμήκουςτουκυματοδηγούθαγίνειμε τη μέθοδο Runge-Kutta για CW σήματα. ΣτοΣχ.5.17παρουσιάζουμετημεταβολήτηςμη-γραμμικήςφάσης Φ NL,Εξ.(5.12), καιτωνμη-γραμμικώναπωλειών IL NL,Εξ.(5.81),στηνέξοδοενός HSPκυματοδηγού μήκους L = L prop = 29.6μm,ωςσυνάρτησητουεπιπέδουτηςισχύοςεισόδου. Ετσι,σε κάθε βήμα ολοκλήρωσης κατά μήκος της διάδοσης, οι παράμετροι της NLSE υπολογίζονται με γραμμική παρεμβολή στις αντίστοιχες καμπύλες του Σχ ανάλογα με την τοπική ισχύ τουσήματος, P(z) = A(z) 2.Οισυνεχείςμαύρεςκαμπύλεςαναφέρονταιστηνπερίπτωση που οι παράμετροι της NLSE είναι σταθερές και ανεξάρτητες της ισχύος. Οι διακεκομμένες μπλε αναφέρονται στην περίπτωση όπου λαμβάνεται υπόψη μόνο η συμβολή των ακαριαίων φαινομένων Kerrκαι TPAστονυπολογισμότηςμεταβολής ε r,nl. Τέλος,οιστικτές κόκκινες καμπύλες αναφέρονται στην περίπτωση που λαμβάνονται υπόψη επιπρόσθετα και τα FCE. Παρατηρούμε την αισθητή απόκλιση των κόκκινων και μπλε καμπύλων από την μαύρη, που μεγαλώνει όσο αυξάνεται η ισχύς πέρα από κάποια τιμή κατωφλίου περίπου 1 W. Ομως, για ακόμα μεγαλύτερες ισχείς, το φαινόμενο αυτό καλύπτεται τελικά από τα FCE, που αφενός εισάγουν επιπρόσθετες απώλειες και αφετέρου αντιτίθενται στη φάση- Kerrοδηγώνταςσεαρνητικήκλίσητωνκαμπύλων Φ NL.Πρέπεινατονιστείότιηεπίδραση των FCEστηδιάδοσηελήφθηυπόψηκαιστιςτρειςπεριπτώσειςτουΣχ.5.17,μεχρόνο 201

216 ` ` ` ` Κεφάλαιο 5 Φ NL (deg) 12` 10` 8` 6` 4` 2` (a) 0` 15` 10` 5` 0` 5` P (dbw) in IL NL (db) 0` 0.1` 0.2` 0.3` 0.4` (b) Constant Kerr+TPA Kerr+TPA+FCE 0.5` 15` 10` 5` 0` 5` P (dbw) in Σχήμα 5.17: (a) Μη-γραμμική φάση και (b) μη-γραμμικές απώλειες στην έξοδο ενός HSP κυματοδηγού μήκουςl = L prop = 29.6μm,ωςσυνάρτησητουεπιπέδουτηςισχύοςεισόδου,όπωςυπολογίστηκανμετην CW-NLSE. Οι μαύρες καμπύλες είναι για παραμέτρους ανεξάρτητες της ισχύος, ενώ οι κόκκινες και μπλε είναι για την περίπτωση που οι παράμετροι εξαρτώνται από την ισχύ λαμβάνοντας υπόψη τα μη-γραμμικά φαινόμενα που αναγράφονται στο υπόμνημα. ζωήςφορέων τ fc = 1 ns. Ηδιαφοροποίησημεταξύτωντριώνπεριπτώσεωνέγκειταιστο πως οι παράμετροι της NLSE εξαρτώνται από την ισχύ και από ποια φαινόμενα Πολύρρυθμοι κυματοδηγοί και παλμική λειτουργία Εχοντας ολοκληρώσει την παρουσίαση αυτής της περιοχής λειτουργίας για μονόρρυθμους κυματοδηγούς και CW ακτινοβολία, διαπιστώσαμε τη σχετικά μικρή επίδραση του φαινομένου στη μη-γραμμική απόκριση. Στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε στους πολύρρυθμους κυματοδηγούς και στην παλμική λειτουργία, όπου εμφανίζεται επιπρόσθετα το πρόβλημα της εξαρτώμενης-από-την-ισχύ συμφωνίας φάσης. Συγκεκριμένα, θα εξετάσουμε την εξάρτηση της φασικής σταθεράς διάδοσης, όπως και των συχνοτικών παραγώγων τηςεξ.(5.3),απότηνισχύτουσήματος. Ηεξάρτησηαυτήδενεπηρεάζειουσιαστικάτη μελέτη της διάδοσης CW σημάτων σε μονόρρυθμους κυματοδηγούς, αφού συνηθίζεται η αναφορά φάσης να είναι αυθαίρετη και, επιπλέον, δεν υπεισέρχονται οι ανώτερες παράμετροι διασποράς(β n,με n > 1)ούτεάλλασήματα. Αντιθέτως,στουςπολύρρυθμουςκυματοδηγούς και/ή στην παλμική λειτουργία, τα πράγματα διαφοροποιούνται και περιπλέκονται σημαντικά. Ξεκινώντας τη συζήτηση από τους πολύρρυθμους κυματοδηγούς στην CW λειτουργία, χρειάζεται να λάβουμε υπόψη την εξάρτηση των φασικών σταθερών των επιμέρους k-ρυθμών[β (k) 0 ]απότηνισχύ. Οπωςαναφέρθηκεστηνεισαγωγήτηςπαραγράφου,σεμία τέτοια περιοχή λειτουργίας παραβιάζονται οι συνθήκες εφαρμοσιμότητας της μεθόδου των διαταραχών για την εξαγωγή της NLSE, και πιο συγκεκριμένα ο μονοσήμαντος ορισμός του αργά(χρονικά) μεταβαλλόμενου φακέλου καθενός από τους k-ρυθμούς, Εξ.(5.38). Παρ ολα αυτά, κάνοντας κατάχρηση των προσεγγίσεων, υποθέτουμε ότι ισχύει ο συγκεκριμένος ορισμός ώστε να μπορούμε τελικά να ολοκληρώσουμε το σύστημα των διαφορικών NLSE [Εξ.(5.44), χωρίς όμως τους όρους διασποράς] τροποποιώντας τις τιμές των παραμέτρων τους κατά την ολοκλήρωση, ανάλογα με την ισχύ του κάθε ρυθμού p k p k (z) = p k ( Ak (z) 2), (5.90) όπου p k είναικάποιαπαράμετροςτης NLSEπουαναφέρεταιστον k-ρυθμό. Γιατιςπαρα- 202

217 5.6. Μη-γραμμική μέθοδος διάδοσης δέσμης μέτρους που εξαρτώνται από τη συνδυασμένη δράση δύο(ή και παραπάνω) ρυθμών, όπως γιαπαράδειγμαοι γ klmn και Ξ (k) mn [Εξ.(5.49) και(5.61), αντίστοιχα], ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Για κάθε επίπεδο ισχύος, αρχικά εξάγουμε με χρήση της μεθόδου SCEMS τον κάθε μη-γραμμικό ιδιορρυθμό σαν να ήταν μονόρρυθμος ο κυματοδηγός και αποθηκεύουμε το προφίλ της έντασης του πεδίου του. Επειτα, για κάθε συνδυασμό ρυθμών και για κάθε συνδυασμό ισχύος, εξάγουμε τις παραμέτρους χρησιμοποιώντας τα αντίστοιχα προφίλ,απόταολοκληρώματαεπικάλυψηςτωνεξ.(5.49)και(5.61),γιατις γ klmn και Ξ (k) mn, αντίστοιχα. Τελικά, κατά την ολοκλήρωση της NLSE, η σχέση υπολογισμού αυτών των «πεπλεγμένων» παραμέτρων γράφεται φορμαλιστικά ως p klmn p klmn (z) = p klmn ( Ak (z) 2, A l (z) 2, A m (z) 2, A n (z) 2). (5.91) Καταλαβαίνει κανείς ότι η μοντελοποίηση πολύρρυθμων μη-γραμμικών κυματοδηγών απαιτεί ένα σαφώς μεγαλύτερο σύνολο τιμών παραμέτρων και επιπλέον επιβραδύνει σημαντικά τον υπολογιστικό αλγόριθμο επίλυσης(runge-kutta ή SSFM) όπου απαιτούνται οι υπολογισμοί των Εξ.(5.90) και(5.91). Επανερχόμενοι στο ζήτημα της φασικής συμφωνίας, διαπιστώνουμε ότι αυτή υπεισέρχεται σε δύο σημεία: πρώτον στους ασύμφωνους μη-γραμμικούς όρους της Εξ.(5.48), και, δεύτερον, στη γραμμική υπέρθεση μεταξύ των ρυθμών που συνοδεύει τον ορισμό της Εξ.(5.38). Γιατοπρώτοσημείο,ητιμήτουόρου β klmn πρέπειναυπολογίζεταισεκάθε βήμα ολοκλήρωσης του συστήματος των NLSE, ανάλογα με την ισχύ των επιμέρους ρυθμών, όπως περιγράφτηκε παραπάνω. Για το δεύτερο σημείο, μετά την ολοκλήρωση του συστήματος των συζευγμένων NLSE των αργά(χρονικά) μεταβαλλόμενων φακέλων, υπερθέτουμε τους ρυθμούς σε κοινό φασικό επίπεδο σύμφωνα με τη σχέση E(x,y,z) = K k=1 2 Ñ k A k (z)e (k) (x,y)exp { z } i Re{β (k) 0 ( A k(z) 2 )}dz. (5.92) 0 ΗπαραπάνωσχέσηεκφυλίζεταιστηνΕξ.(5.39)ότανηπαράμετροςβ 0 δενεμφανίζειεξάρτηση από την ισχύ του σήματος. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η επίδραση της εξαρτώμενης-απότην-ισχύ συμφωνίας φάσης έχει εν δυνάμει πολύ σημαντικότερη επίδραση από τη μεταβολή των υπολοίπων παραμέτρων της NLSE. Τέλος, όσον αφορά την παλμική λειτουργία, καταλαβαίνουμε εύκολα πως η εξάρτηση των παραμέτρων διασποράς από την ισχύ θα διαφοροποιεί σημαντικά τη μελέτη της διάδοσης του σήματος από το πλαίσιο της NLSE που παρουσιάστηκε στην Ενότητα 5.1. Πιο συγκεκριμένα, κάθε χώρο-χρονικό σημείο του φακέλου A(z, t) ενός παλμού, ανάλογα με την τοπική ισχύ του, θα εμφανίζει διαφορετική τιμή για το σύνολο των παραμέτρων διασποράς β n. Συνεπώςδενείναιγενικάδυνατόναοριστείμονοσήμανταηφάσηαναφοράςτου φακέλου, ούτε και είναι γενικά δυνατό να χρησιμοποιηθεί η απλοποίηση του μετακινούμενου χρονικού πλαισίου με την ταχύτητα ομάδας του ρυθμού. Υπό το πρίσμα αυτό, δεν είναι εφαρμόσιμη ούτε η SSFM, όπως παρουσιάστηκε, για την επίλυση μιας τέτοιας διαφορικής εξίσωσης. 5.6 Μη-γραμμική μέθοδος διάδοσης δέσμης Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε ένα εργαλείο τρισδιάστατης μοντελοποίησης μηγραμμικών διατάξεων κυματοδήγησης, τη μη-γραμμική μέθοδο διάδοσης δέσμης(nonlinear 203

218 Κεφάλαιο 5 beam propagation method, NL-BPM). Ως αναφορά, θα χρησιμοποιήσουμε τους υπολογισμούς που έγιναν με χρήση της μονοδιάστατης μοντελοποίησης με την NLSE, και θα συγκρίνουμε τα δύο εργαλεία. Οπως αναφέρθηκε στην Ενότητα 3.3, η BPM είναι ένα φασματικό υπολογιστικό εργαλείο, δηλαδή μπορεί να μοντελοποιήσει τη διάδοση μόνο CW σημάτων, αγνοώντας πλήρως τα φαινόμενα διασποράς. Υπάρχουν παραλλαγές της BPM για μελέτη χρονικά μεταβαλλόμενων σημάτων(time-domain BPM)[179, ], αλλά δεν είναι ιδιαίτερα συνηθισμένες και συνοδεύονται από μεγάλη πολυπλοκότητα ή, αναπόφευκτα, από περιοριστικές απλουστευτικές παραδοχές. Η παραλλαγή της BPM που θα χρησιμοποιήσουμε λειτουργεί στο πεδίο της συχνότητας, υποθέτουμε δηλαδή τη διάδοση CW σήματος δεδομένης συχνότητας, όπου η ένταση του πεδίου μεταβάλλει τοπικά τον δείκτη διάθλασης της διατομής του κυματοδηγού ανάλογα με τη μη-γραμμικότητα των υλικών. Η χρήση της μεθόδου γίνεται δίνοντας μία διέγερση στο εγκάρσιο xy-επίπεδο εισόδου του κυματοδηγού και προχωρώντας την κατά μήκος της διεύθυνσης διάδοσης, με μικρά βήματα μήκους z, μέχρι το επίπεδο εξόδου του κυματοδηγού. Η διέγερση είναι συνήθως κάποιος ιδιορρυθμός του κυματοδηγούς που λαμβάνεται από το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, Ενότητα 3.2. Αντίστοιχα, ο δείκτης διάθλασης αναφοράς(reference index) της BPM, που ορίζει τη φασική ταχύτητα με την οποία κινείται ο αργά μεταβαλλόμενος φάκελος, επιλέγεται ίσος με το πραγματικό μέρος του ενεργού δείκτη διάθλασης του ιδιορρυθμού που χρησιμοποιείται για τη διέγερση, n ref = Re{n eff }. Υπενθυμίζεταιπωςηαπλοποίησητουγενικευμένουχωρικάτρισδιάστατου ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος σε ένα 2+1 πρόβλημα διάδοσης(εγκάρσια διατομή + διεύθυνση διάδοσης) γίνεται με χρήση της παραξονικής προσέγγισης, που προϋποθέτει ότι η οπτική δέσμη διαδίδεται κοντά σε έναν σαφώς καθορισμένο οπτικό άξονα. Η εγκάρσια διατομή του κυματοδηγού περιγράφεται, για κάθε βήμα διάδοσης, από συγκεκριμένες γεωμετρικές και ηλεκτρομαγνητικές παραμέτρους. Φορμαλιστικά, ο αλγόριθμος της BPM, για κάθε βήμα διάδοσης, μπορεί να γραφεί ως [A next ] E next = [A curr ] E curr, (5.93) όπου E curr/next είναιηεγκάρσιακατανομήτουφακέλουτουπεδίουστηναρχή/πέραςτου τρέχοντοςβήματοςκαιοιαντίστοιχοιπίνακεςδιάδοσης [A curr/next ]εξαρτώνταιαπότηδιατομή του κυματοδηγού, το βήμα z και διάφορες παραμέτρους της μεθόδου, Ενότητα 3.3. Καταλαβαίνει κανείς πως η BPM είναι μία έμμεση(implicit) μέθοδος, που απαιτεί την αντιστροφή ενός μεγάλου αραιού πίνακα(sparse matrix) σε κάθε βήμα διάδοσης. Τονίζεται επιπλέον πως κάθε βήμα διάδοσης είναι ανεξάρτητο των προηγουμένων, δηλαδή μπορεί η διατομή και/ή το μήκος βήματος z(ή και άλλες παράμετροι της μεθόδου) να αλλάζουν. Η μη-γραμμική παραλλαγή της BPM συνίσταται ακριβώς στην τροποποίηση, σε κάθε βήμα διάδοσης, των ηλεκτρομαγνητικών παραμέτρων της διατομής του κυματοδηγού και πιο συγκεκριμένα του εγκάρσιου προφίλ δείκτη διάθλασης n(x, y) ή, ισοδύναμα, της σχετικής διηλεκτρικήςσταθεράς ε r (x,y). Ητροποποίησητου nήτου ε r υπολογίζεταιωςσυνάρτησητουεγκάρσιουπροφίλτουπεδίουστηναρχήτουβήματος E curr (x,y)μεχρήσητων μη-γραμμικών παραμέτρων της διατομής που σχετίζονται με τα φαινόμενα Kerr, TPA και FCE. Οι αντίστοιχες εκφράσεις υπολογισμού είναι ίδιες με αυτές των Εξ.(5.85)-(5.89), μεμόνηδιαφοράτηναλλαγήτηςσύμβασης 7 φάσηςτουκύματοςγιαδιάδοσητουκύματος 7 Σεόλεςτιςπαραγράφουςσχετικέςμετην NLSE(Κεφάλαιο5)χρησιμοποιήθηκεη«σύμβασητων φυσικών»(iβz iωt), ενώ στο Κεφάλαιο 3 των υπολογιστικών μεθόδων χρησιμοποιήθηκε αποκλειστικά η«σύμβαση των μηχανικών»(jωt jβz). 204

219 5.6. Μη-γραμμική μέθοδος διάδοσης δέσμης κατάταθετικά-z.συμπερασματικά,ενώστηνκλασική BPMοιπίνακεςδιάδοσης [A in/out ] της Εξ.(5.93) είναι αμετάβλητοι κατά τη διάδοση(για σταθερό z), στη μη-γραμμική BPM επανυπολογίζονται σε κάθε βήμα διάδοσης(ακόμα και για σταθερό z). Τέλος, σημειώνουμε πως στην μη-γραμμική παραλλαγή της BPM χρειάζονται μερικές επαναλήψεις (τυπικά δύο) του αλγορίθμου διάδοσης σε κάθε βήμα, προκειμένου να συγκλίνει το προφίλ της μεταβολής του δείκτη διάθλασης στη διατομή. Στην πρώτη επανάληψη το το προφίλ της μεταβολήςυπολογίζεταιαπότοπεδίοστηναρχήτουβήματος(e curr )καιμόνο,ενώστις επόμενεςαπότοπεδίοστομέσοτουβήματος E mid = 1 2 (E curr +E next ),όπου E next είναιη εκτίμηση του πεδίου στο πέρας του βήματος από την προηγούμενη επίλυση της Εξ.(5.93). Συγκρίνοντας την NL-BPM με τα εργαλεία τύπου NLSE, διαπιστώνουμε πως ένα βασικό της πλεονέκτημα είναι ότι δεν χρειάζεται προκαταρκτικός υπολογισμός παραμέτρων, αρκεί μόνο να ορίσουμε τα χαρακτηριστικά της διατομής του κυματοδηγού(διαστάσεις, γραμμικές και μη-γραμμικές παράμετροι υλικών). Επίσης, η τρισδιάστατη μοντελοποίηση της BPM είναι πρακτικά ανεξάρτητη του τύπου του κυματοδηγού, δηλαδή μπορεί περιγράφει εξίσου καλά τόσο συμβατικούς κυματοδηγούς(π.χ. οπτικές ίνες) όσο και κάποιες ιδιάζουσες κατηγορίες μη-γραμμικών κυματοδηγών(π.χ. υβριδικοί πλασμονικοί κυματοδηγοί). Αντιθέτως, κατά τη μοντελοποίηση με την NLSE, συχνά εμφανίζεται η ανάγκη εισαγωγής διορθωτικών όρων ή επιπλέον εμβαθύνσεων, όπως αυτές που επιχειρήθηκαν στην Παράγραφο Τα μειονεκτήματα της BPM σε σχέση με την NLSE είναι ο πολλαπλάσιος υπολογιστικός φόρτος, η αδυναμία χειρισμού χρονικά μεταβαλλόμενων σημάτων και η μειωμένη ακρίβεια στη διαφορά-φάσης για πολύρρυθμους κυματοδηγούς με μεγάλη διασπορά μεταξύ των ρυθμών. Το τελευταίο οφείλεται στην παραξονική προσέγγιση που γίνεται, δεχόμενοι διάδοση με ορισμένοφασικόδείκτηαναφοράς(n ref ),και,όπωςσχολιάστηκεστηνενότητα3.3,μπορεί σε κάποιον βαθμό να αντιμετωπιστεί με χρήση των σχημάτων ευρείας γωνίας Μονόρρυθμος κυματοδηγός Προκειμένου να αξιολογήσουμε την επίδοση της NL-BPM, θα ξεκινήσουμε με τη μελέτη της διάδοσης CW σημάτων σε μονόρρυθμους κυματοδηγούς. Θα εξετάσουμε ξανά τους τρεις τύπους νανοφωτονικών κυματοδηγών που μελετήθηκαν στην Παράγραφο Πρόκειται για τον κυματοδηγό ράβδωσης πυριτίου(soi-wire), τον κυματοδηγό μη-γραμμικής εγκοπής(nl-slot) και τον υβριδικό πλασμονικό κυματοδηγό ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας (inverted metal-wedge HSP). Οι παράμετροι των κυματοδηγών αυτών δίνονται στην Παράγραφο και η μη-γραμμική τους απόκριση, όπως υπολογίστηκε με την NLSE με χρήση των παραμέτρων του Πίνακα 5.1, παρουσιάζεται στο Σχ ΣτοΣχ.5.18παρουσιάζονταιημη-γραμμικήφάση( Φ NL )καιοιμη-γραμμικέςαπώλειες(il NL )ωςσυνάρτησητης CWισχύοςεισόδουστονκάθεκυματοδηγό,ενώτομήκος διάδοσηςορίζεταιίσομετοχαρακτηριστικόμήκοςαπωλειώντουκαθενός, L = L prop. Σημειώνουμε την πολύ καλή συμφωνία μεταξύ των δύο μεθόδων, NLSE(συνεχείς γραμμές) και NL-BPM(κύκλοι), κάτι που υπογραμμίζει ότι μπορούν κατά περίπτωση να χρησιμοποιηθούν, ανάλογα με τις απαιτήσεις της εφαρμογής, οδηγώντας στην ίδια ακρίβεια υπολογισμού. Η μονοδιάστατη NLSE οδηγεί σε πολύ ταχύτερους υπολογισμούς ενώ η τρισδιάστατη NL-BPM προσφέρει μία πιο χαρακτηριστική εικόνα των οριακών τιμών ισχύος για την εμφάνιση των FCE. Παρατηρείστε ότι οι υπολογισμοί της NL-BPM σταματάνε γιαεπίπεδαισχύοςπάνωαπότα 3-4 dbw.ολόγοςείναιότιγιαμεγαλύτερεςισχείς,η τοπικήπυκνότηταφορέων N(x,y)μπορείναξεπεράσειτηνοριακήτιμήτων m 3 σε 205

220 ` ` Κεφάλαιο 5 ΔΦ (d eg ) NL ` ` ` ` ` ` ` ` ` 20 (a) Kerr 0 FCD NLSE BPM 60 30` CW Input Power (dbw) IL NL (db) 0 2 ` (b) HSP-wedge ` ` ` ` ` ` 4 NL-Slot SOI-wire ` 10 CW Input Power (dbw) Σχήμα 5.18: Σύγκριση (a) της μη-γραμμικής φάσης και (b) των μη-γραμμικών απωλειών, με χρήση της NL-BPM(κύκλοι)καιτης NLSE(συνεχείςγραμμές),γιατουςτρειςκυματοδηγούςμήκους L = L prop που παρουσιάστηκαν στο Σχ κάποιο σημείο της διατομής του εν λόγω κυματοδηγού, βγαίνοντας εκτός των ορίων του μοντέλου Soref & Bennett[41]. Το πρόβλημα αυτό δεν εμφανίζεται στην NLSE, καθώς η σταθμισμένη-στη-διατομή πυκνότητα N, Εξ.(5.63), είναι πάντα μικρότερη της μέγιστης τιμής της κατανομής N(x, y). Στις προσομοιώσεις με την NL-BPM, ως διέγερση εισόδου δίνονταν κάθε φορά ο βασικός ρυθμός του κυματοδηγού, όπως υπολογίζεται από το εργαλείο εύρεσης ιδιορρυθμών, Ενότητα 3.2. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι όταν το προφίλ διέγερσης δεν είναι ιδιορρυθμός του κυματοδηγού, αλλά μία τυχαία κατανομή(π.χ. Γκαουσιανού εγκάρσιου προφίλ), τότε αναμένεται μία μικρή απόκλιση των αποτελεσμάτων της NL-BPM σε σχέση με την NLSE, καθώς απαιτείται κάποιο μήκος διάδοσης για να προσαρμοστεί η δέσμη στον κυματοδηγό. Οι Φ NL και IL NL υπολογίζονταιαπότηφάσηκαιτοπλάτος,αντίστοιχα,τουμιγαδικού αριθμού c OI πουδίνεταιαπότοδιανυσματικόολοκλήρωμαεπικάλυψης(overlap integral, OI) της εξόδου με την είσοδο του μονόρρυθμου κυματοδηγού, σύμφωνα με τη σχέση c OI = (E out H in ) ẑdxdy (E. (5.94) in H in ) ẑdxdy Εναλλακτικόςτρόποςυπολογισμούτης Φ NL θαήταναπότηνπαρακολούθησητηςφάσης της κυρίαρχης συνιστώσας του πεδίου, στο σημείο της διατομής όπου η ένταση της είναι μέγιστη(π.χ. στην κορυφή της σφήνας για τον αντίστοιχο HSP κυματοδηγό). Επίσης, για τις IL NL,θαμπορούσαμεεναλλακτικάνασυγκρίνουμετοολοκλήρωμαστηδιατομήεισόδου καιεξόδουτηςοδηγούμενηςπυκνότηταςισχύος, P z (x,y)dxdy. Συμπερασματικά,διαπιστώσαμε ότι οι δύο εναλλακτικές οδηγούν σε πλήρως συμβατά αποτελέσματα, και τελικά προτιμήθηκεημέθοδοςτου c OI λόγωτηςπιοφορμαλιστικήςτηςφύσηςκαιτωνπιοομαλών αποτελεσμάτων. Τέλος, παραθέτουμε τις παραμέτρους που χρησιμοποιήθηκαν στις προσομοιώσεις με την NL-BPMγιαταπαραπάνωπαραδείγματα: βήμαδιάδοσης z π/(100γp in )ήκαιμικρότεροόταντα FCEήτανέντονα,παράμετροςευστάθειας Crank-Nicolson α CN = 0.51,δύο επαναλήψεις ανά βήμα(για σύγκλιση λόγω μη-γραμμικότητας), πεπερασμένα στοιχεία πρώτης τάξης(ct/ln διανυσματικές συναρτήσεις μορφής για το εγκάρσιο μέρος του πεδίου, Παράγραφος και γραμμικές βαθμωτές συναρτήσεις μορφής για το αξονικό μέρος, Παράγραφος ) με περίπου βαθμούς ελευθερίας(dof), τανυστική υλοποίηση της μεταβολής του προφίλ του δείκτη διάθλασης[εξ.(5.86β )] και παραξονικό σχήμα διάδοσης,δηλαδή Padéτάξης n = 1,Εξ.(3.76α ). 206

221 5.6. Μη-γραμμική μέθοδος διάδοσης δέσμης Μη-γραμμικός κατευθυντικός ζεύκτης Εχοντας αξιολογήσει την NL-BPM για μονόρρυθμους κυματοδηγούς στην προηγούμενη παράγραφο, θα προχωρήσουμε στη μελέτη πολύρρυθμων μη-γραμμικών κυματοδηγών. Πιο συγκεκριμένα, θα ασχοληθούμε με τον μη-γραμμικό κατευθυντικό ζεύκτη(nldc) που παρουσιάστηκε στην Ενότητα 5.4 και αναλύθηκε με χρήση των υπερρυθμών μέσω του μοντέλου των συζευγμένων μη-γραμμικών NLSE. Στις προσομοιώσεις του ζεύκτη με την NL-BPM, εισάγουμε ως διέγερση το εγκάρσιο προφίλ του βασικού ρυθμού του μεμονωμένου HSP κυματοδηγού, στην αριστερή του είσοδο, και αφήνουμε τον επαναληπτικό αλγόριθμο διάδοσης να τρέξει μέχρι το επιθυμητό μήκος. Στο τέλος της διάδοσης υπολογίζουμε τα στοιχεία που μας ενδιαφέρουν από το προφίλ του πεδίου στην έξοδο. Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται ξεχωριστά για κάθε επίπεδο ισχύος εισόδου. Οπως αναφέρθηκε, η βασική μετρική που χρησιμοποιούμε για τον χαρακτηρισμό της επίδοση του κατευθυντικού ζεύκτη ως διακόπτη είναι η αλληλοπαρεμβολή(xt) μεταξύ των θυρών εξόδου. Στις προσομοιώσεις με την NL-BPM, η XT υπολογίζεται είτε με απευθείας εγκάρσια ολοκλήρωση της οδηγούμενης πυκνότητας ισχύος P z (x,y)dxdyστουςδύοημιχώρους(x 0)τηςδιατομήςεξόδου,είτεμεχρήση ολοκληρωμάτων επικάλυψης στις δύο θύρες εξόδου, αντίστοιχα με αυτά της Εξ.(5.94). Η δεύτερη μέθοδος κρίνεται πιο αυστηρή και πιο κοντινή στην CW-NLSE, και για το λόγο αυτό προτιμήθηκε. Τα ολοκληρώματα επικάλυψης μπορεί να γίνονται είτε επί του βασικού ρυθμού του μεμονωμένου κυματοδηγού(αριστερού και δεξιού), είτε επί των υπερρυθμών του ζεύκτη(συμμετρικού και αντί-συμμετρικού). Οι δύο παραλλαγές αντιστοιχούν στη χρήσητωνφακέλων A L/R ή A S/A,Εξ.(5.83),αντίστοιχα,οπότεκαιηXTυπολογίζεται ανάλογα. Σημειώνουμε ότι οι δύο παραλλαγές είναι ισοδύναμες για ασθενώς συζευγμένους κυματοδηγούς, όπως αυτοί που θα μελετήσουμε στη συνέχεια. Ο κυματοδηγός που χρησιμοποιήθηκε στον κατευθυντικό ζεύκτη αυτής της παραγράφου βασίζεται στον HSP κυματοδηγό ανεστραμμένης μεταλλικής ράβδωσης(όχι σφήνας), Σχ.5.5(b).Οιπαράμετροιτουκυματοδηγούείναιοιακόλουθες: W H = nm 2, t s = 0, g = 20 nm, t r = 70 nmκαι t m = 50 nm[254]καιοιεπιλογέςτωνυλικώντηςδιατομής είναι όπως στην Παράγραφο Αναφέρουμε πως η μη-γραμμική παράμετρος του βασικούτμρυθμούαυτούτουκυματοδηγούείναιπερίπου γ = 5000 m 1 W 1,ησχετική παράμετρος TPAείναι r < 0.4%,τοχαρακτηριστικόμήκοςαπωλειώνείναι L prop = 30μm ενώτοκατώφλιτων FCEεκτιμάταιστο1W(για τ fc = 1 ns).παραλείπονταςτηδιερεύνηση τουμήκουςσύζευξης,επιλέγουμεαπόστασηd Si = 600 nmμεταξύτωνδύουποκείμενωνραβδώσεωνπυριτίουπουοδηγείσεμήκοςσύζευξης L TM c = 37.2 μm, δηλαδή λίγο μεγαλύτερο απότο L prop τουκυματοδηγούμας. Διευκρινίζουμε πως στις προσομοιώσεις που διεξήχθησαν με την NL-BPM σε αυτήν την παράγραφο δεν ελήφθη υπόψη η επίδραση των φαινομένων φορέων(fce) ή, ισοδύναμα, θεωρήθηκεπωςοενεργόςχρόνοςζωήςτωνφορέωνήτανμηδενικός 8.Απότιςμη-γραμμικές παραμέτρους του κυματοδηγού και την Εξ.(5.82) εκτιμούμε πως η κρίσιμη ισχύς μεταγωγήςτου NLDCείναι P sw > 50 W,δηλαδήσχεδόνδύοτάξειςμεγέθουςμεγαλύτερηαπότο κατώφλι των FCE που εκτιμήθηκε παραπάνω(1 W). Επίσης, όπως αναφέρθηκε και στην περιγραφή του Σχ. 5.18, για σχετικά μεγάλες ισχείς εισόδου, η τοπική πυκνότητα φορέων N(x, y) στην κορυφή της ράβδωσης πυριτίου(ακριβώς κάτω από το μεταλλικό φιλμ) γίνεταιπολύμεγαλύτερητηςοριακήςτιμής /m 3 πουπροβλέπειτομοντέλο Soref & 8 Ταίδιασυμπεράσματαισχύουνκαιγιαπολύμικρούςχρόνουςζωής,ενδεικτικά τ fc < 10 ps. 207

222 ` ` Κεφάλαιο 5 XT (db) 20` 10` 0 y x DDMEBT Oxide Silver Si 70nm 50nm 20nm 600nm Si 220nm 140nm 1`dB 10` NL BPM NLSE 20` 10` 11` 12` 13` ` 17` 18 19` 20 P in (dbw) Σχήμα 5.19: Αλληλοπαρεμβολή(XT) μεταξύ των θυρών εξόδου ενός NLDCS μήκους 37.2 μm, ως συνάρτησητηςισχύοςεισόδου(p in ), γιατηντμπόλωση. Συγκρίνεταιηπρόβλεψητουσυστήματος συζευγμένων NLSE με τη μη-γραμμική μέθοδο διάδοσης δέσμης(nl-bpm). Στο ένθετο σχήμα παρουσιάζεται η διατομή του ζεύκτη με σημειωμένες τις διαστάσεις και τα υλικά επιλογής. Τα φαινόμενα ελευθέρων φορέων δεν έχουν ληφθεί υπόψη σε καμία από τις δύο μεθόδους, ενώ η TPA έχει συμπεριληφθεί κανονικά. Bennett. Συνεπώς, ακόμα και εάν η αντίστοιχη σταθμισμένη πυκνότητα φορέων N είναι σημαντικά μικρότερη της παραπάνω τιμής, το όριο που τίθεται στην εφαρμοσιμότητα της BPM είναι απροσπέλαστο, και γι αυτό παραλήφθηκαν τελείως τα FCE. Ενδεχομένως, η παράλληλη επίλυσης της εξίσωσης διάχυσης φορέων στην διατομή[237], για τον σωστότερο υπολογισμό της τοπικής πυκνότητας φορέων, να μετρίαζε το παραπάνω πρόβλημα. Τέλος, επισημαίνουμε πως το παραπάνω πρόβλημα ήταν πολύ πιο έντονο στον HSP κυματοδηγό ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας, και γι αυτό και επιλέχθηκε εδώ η δομή ανεστραμμένης μεταλλικής ράβδωσης. Στο Σχ παρουσιάζεται η μεταβολή της αλληλοπαρεμβολής(xt) μεταξύ των θυρώνεξόδουτουζεύκτηωςσυνάρτησητηςισχύοςεισόδου(p in ),γιατηντμπόλωση. Διακρίνουμε ικανοποιητικά καλή συμφωνία ανάμεσα στην NLSE και την NL-BPM, όσον αφοράτηνπρόβλεψητηςισχύοςεισόδουπουοδηγείστηνπρώτηκορυφήτης XT.Ηδιαφοράμεταξύτωνδύοκαμπύλων,στονάξονατηςισχύοςεισόδου,είναιμικρότερητου 1 db, μετην BPMναπροβλέπειχειρότερηεπίδοσηενώηαπόκλισηαυξάνειμετηναύξησητης ισχύος. Αυτό μπορεί να αποδοθεί στο φαινόμενο που παρουσιάστηκε στην Ενότητα 5.5, όπου διαπιστώθηκε πως μη-γραμμικές ιδιότητες του HSP κυματοδηγού χειροτερεύουν(το F μειώνεται) με την αύξηση της ισχύος. Το κατώφλι αυτής της περιοχής λειτουργίας εκτιμάταιαπότηνεξ.(5.84)στα 6-7 W,δηλαδήαρκετάχαμηλότερααπότιςπεριοχέςισχύος που εξετάζονται στο Σχ Τονίζουμε πως το πρόβλημα αυτό θα ήταν πολύ πιο εμφανές στον HSP κυματοδηγό ανεστραμμένης μεταλλικής σφήνας. Τέλος, πρέπει να σημειωθεί η αύξηση στην ισχύ μεταγωγής(πρώτη κορυφή του XT) κατά περίπου 3-4 db που παρατηρείταιγιατην NLSE-καμπύλησεσχέσημετηνεκτίμησητηςΕξ.(5.82). Ηαύξησηαυτή αποδίδεται εδώ στην επίδραση της TPA, η οποία μειώνει την ενεργό τιμή της συνολική μη-γραμμικήςμετρικής F < F,Εξ.(5.77). Στο Σχ παρουσιάζεται μία ενδεικτική κατανομή της συνολικής έντασης του η- λεκτρικού πεδίου κατά μήκος της διάδοσης, με χρήση της NL-BPM, στη xz-τομή του ζεύκτη και στο y-επίπεδο που αντιστοιχεί στο μέσο του μη-γραμμικού διακένου DDMEBT (y = H + g/2εφόσοντο y = 0ορίζεταιστοσημείοτηςδιεπιφάνειαςπυριτίου/οξειδίου). 208

223 5.6. Μη-γραμμική μέθοδος διάδοσης δέσμης (a) `P in `P in <` < 1W (b) = 80W 0`dB x-width ( μ m )` 0.37` ` XT< -30dB Cross state XT= +10dB Bar state E 2 L c TM 0` 37.2` 74.4` 0` 37.2` 74.4` z-length ( μ m)` z-length ( μ m)` L c TM 30`dB Σχήμα 5.20: Κατανομή συνολικής έντασης ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος της διάδοσης σε έναν μηγραμμικό κυματοδηγό ανεστραμμένης μεταλλικής ράβδωσης, όπως υπολογίστηκε με την NL-BPM. Παρουσιάζεται η xz-τομή του χώρου στο y-επίπεδο που αντιστοιχεί στο μέσο του μη-γραμμικού διακένου DDMEBT.Ταδύοδιαγράμματααναφέρονταιστη (a)γραμμικήδιάδοση, για P in 0 W και (b)μηγραμμικήδιάδοσημε P in = 80 W,καιαντιστοιχούνσεκαταστάσεις Crossκαι Barτου NLDCδιακόπτη μήκους L = L TM c = 37.2μm. Παρατηρείται πως για χαμηλή ισχύ το σήμα εξέρχεται από τη θύρα σύζευξης(cross) στο μήκος L = L TM c = 37.2μm,ενώγιαυψηλήισχύαπότηθύραδιέλευσης(Bar) Διάδοση σημάτων υψηλής ισχύος Ως τελευταία εφαρμογή, θα ασχοληθούμε με την περίπτωση της διάδοσης CW σημάτων υψηλής ισχύος σε έντονα μη-γραμμικούς κυματοδηγούς με χρήση της NL-BPM. Με αυτό το τρισδιάστατο εργαλείο μοντελοποίησης, όλες οι μεταβολές στο προφίλ του δείκτη διάθλασης στη διατομή του κυματοδηγού λόγω μη-γραμμικών φαινομένων υπολογίζονται σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, χωρίς να χρειάζεται κάποια ειδική επιπλέον μέριμνα. Δηλαδή, για την εφαρμογή αυτής της παραγράφου, δεν διαφοροποιούμε καθόλου τη μεθοδολογία σε σχέση με τις εφαρμογές που μελετήθηκαν προηγουμένως με την NL-BPM. Τονίζουμε, μάλιστα, πως δεν είναι καν δυνατό να διαχωρίσουμε μεταξύ των περιοχών υψηλής και μέτριας ισχύος, καθώς και οι δύο αντιμετωπίζονται ομοίως. Αντιθέτως, όταν χρησιμοποιούμε την NLSE, χρειάζεται διαφοροποίηση της μεθόδου για τις τρεις παραλλαγές των καμπύλων του Σχ. 5.17, ανάλογα με τα φαινόμενα που θέλουμε να μοντελοποιήσουμε. Θα εξετάσουμε τον ίδιο κυματοδηγό με την Παράγραφο 5.5.2, δηλαδή τον βελτιστοποιημένο HSPκυματοδηγόανεστραμμένηςμεταλλικήςσφήνας,μήκους L = L prop = 29.6μm. Για την NL-BPM, χρησιμοποιήθηκε βήμα διάδοσης z = λ/2, παράμετρος ευστάθειας Crank-Nicolson α CN = 0.51,ητανυστικήσχέσηυπολογισμούτωνμεταβολώνστοπροφίλ του δείκτη[εξ.(5.86β )], το παραξονικό σχήμα διάδοσης καθώς και δύο επαναλήψεις σε κάθε βήμα για σύγκλιση του αλγορίθμου διάδοσης. Η είσοδος στη διάταξη ήταν ο βασικός ΤΜ ρυθμός του γραμμικού κυματοδηγού ενώ η μη-γραμμική φάση και απώλειες υπολογίζονται στην έξοδο με χρήση του ολοκληρώματος επικάλυψης της Εξ.(5.94). Στο Σχ. 5.21(a) παρατηρούμε την καλή συμφωνία με τις προβλέψεις της NLSE όταν λαμβάνεται υπόψη η μεταβολή των παραμέτρων λόγω υψηλής ισχύος. Μάλιστα, παρατηρούμετηνταύτισητης Φ NL της BPMμετην NLSEπαραλλαγήόπουόλαταφαινόμενα (Kerr, TPA, FCE) λαμβάνονται υπόψη στη μεταβολή των παραμέτρων της. Αντιθέτως, στο 209