Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές"

Transcript

1 Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 3: Τυχαίες Διαδικασίες Διακριτού Χρόνου Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

2 Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των τυχαίων μεταβλητών και διαδικασιών.

3 Περιεχόμενα ενότητας Τυχαίες μεταβλητές Βασικοί ορισμοί (Από κοινού) Μέσοι όροι Ανεξαρτησία, συσχέτιση και ορθογωνιότητα Η περίπτωση Gauss Εκτίμηση παραμέτρων Τυχαίες διαδικασίες Βασικοί ορισμοί Μέσοι όροι Η περίπτωση Gauss Στασιμότητα και εργοδικότητα Φάσμα ισχύος και παραγωντοποίηση Φιλτράρισμα Μοντέλα ARMA Το παράδειγμα της αρμονικής διαδικασίας 3

4 Τυχαίες Μεταβλητές

5 Τυχ. Μεταβλητές Βασικοί Ορισμοί (1/5) Θεωρούμε το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος. Το πείραμα έχει δύο πιθανές εκβάσεις: Κ = "κορόνα" Γ = "γράμματα" Θεωρούμε ότι οι δύο εκβάσεις του πειράματος είναι ισοπίθανες, δηλαδή το νόμισμα μπορεί να δώσει Κ ή Γ με την ίδια πιθανότητα. Έστω ότι καταμετρούμε τα συνεχή αποτελέσματα ρίψης του νομίσματος. Για παράδειγμα, ρίχνουμε το νόμισμα Ν φορές, και έστω ότι μετράμε Ν Κ φορές κορόνα και Ν Γ φορές γράμματα. Για μεγάλο αριθμό Ν αναμένουμε: N K N 0.5 και N Γ Ν 0.5 Καθώς και πιθανότητα εμφάνισης Κ ή Γ: P{Κ} 0.5 και P{Γ} 0.5 5

6 Τυχ. Μεταβλητές Βασικοί Ορισμοί (/5) Ονομάζουμε το σύνολο όλων των πειραματικών αποτελεσμάτων ως δειγματικό χώρο (sample space) και συμβολίζουμε Ω: K, Pr 1 Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ονομάζεται ενδεχόμενο (event) και το συμβολίζουμε ως ω: K 1 Ένα υποσύνολο που περιλαμβάνει μόνο ένα στοιχείο ονομάζεται στοιχειώδες ενδεχόμενο (elementary event). Ο δειγματικός χώρος καλείται και βέβαιο ενδεχόμενο. Ο δειγματικός χώρος n στοιχείων έχει n υποσύνολα. Για παράδειγμα: { },{ K},{ Γ},{ K, Γ} 6

7 Τυχ. Μεταβλητές Βασικοί Ορισμοί (3/5) Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή ως εξής: όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι Κ, θέτουμε = +1, ενώ όταν είναι Γ, = 1. R 1 K f Δηλαδή, ορίσαμε μια αντιστοίχηση (συνάρτηση) των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω και ενός υποσυνόλου των πραγματικών αριθμών. 1 { K} Pr f( ) 1 { } Pr επιπλέον Pr 0, όπου 1, και Pr 1 1 7

8 Τυχ. Μεταβλητές Βασικοί Ορισμοί (4/5) Για την τυχαία μεταβλητή, έχουμε ως πεδίο ορισμού ένα δειγματικό χώρο, π.χ. Ω = {Κ, Γ}, και ως πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, π.χ. R ±1. Αν ο δειγματικός χώρος αποτελείται από διακριτά ενδεχόμενα, η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται διακριτή τυχαία μεταβλητή. Ο χαρακτηρισμός μιας τυχαίας μεταβλητής δίνεται στατιστικά μέσω της ανάθεσης πιθανοτήτων (νόμος πιθανότητας) στις τιμές της μεταβλητής. Δηλαδή, ο νόμος πιθανοτήτων είναι ένας κανόνας, ο οποίος αντιστοιχίζει έναν αριθμό (πιθανότητα) σε κάθε συμβάν. Ένας νόμος πιθανότητας ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα: A A Pr 0 Pr 1 Pr A A Pr A Pr A A, A : A A

9 Τυχ. Μεταβλητές Βασικοί Ορισμοί (5/5) Στην επεξεργασία σήματος, ενδιαφερόμαστε κυριώς για έναν πιθανοτικό νόμο, ο οποίος εφαρμόζεται κατευθείαν στην τυχαία μεταβλητή και όχι στα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου. Ορίζουμε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (probability distribution function) ως F a = Pr{ a}. Για την ρίψη ζαριού: d f( a) F( a) da 0 a 1 F ( a) a a Ορίζουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function): 1 f ( a) da Pr{ } 1 9

10 Τυχ. Μεταβλητές Μέσοι όροι (1/) Ονομάζουμε μέση (mean) ή αναμενόμενη (epected) τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που λαμβάνει μια τιμή α k με πιθανότητα P = a k ως: k Pr k ( ) E m a a k E af a da Η μέση τιμή μιας συνάρτησης g() της τυχ. μεταβλητής είναι: E{ g( )} g( a) f ( a) da Ονομάζουμε μέση τετραγωνική τιμή (mean square value): E{ } Ονομάζουμε διασπορά (variance) της τυχαίας μεταβλητής, ως τη μέση τετραγωνική τιμή της τυχαίας μεταβλητής y = m : var( ) ( ) ( ) ( ) E m a m f a da 10

11 Τυχ. Μεταβλητές Μέσοι όροι (/) Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς ονομάζεται τυπική απόκλιση (standard deviation): σ Για τον τελεστή Ε ισχύει η ιδιότητα της γραμμικότητας: E{ a by} ae{ } be{ y} Παράδειγμα υπολογισμών για τον υπολογισμό της διασποράς: var( ) E{( m) } E{ m m} E E E { } { m} { m} E{ } m E{ } m μέση τετραγωνική τιμή E{} m 11

12 Τυχ. Μεταβλητές Από κοινού μέσοι όροι (1/) Ορίζουμε τη συσχέτιση (correlation) δύο μεταβλητών και y: ry E y Ορίζουμε τη συνδιασπορά (covariance) δύο μεταβλητών και y: c cov(, y) E ( m )( y m ) y y * cov(, y) E ( m )( y m ) y E y m y m m m y m y E y E E y m r m m y y y m m y Αν m ή m y είναι ίσα με το μηδέν, τότε η συνδιασπορά ισούται με τη συσχέτιση. 1

13 Τυχ. Μεταβλητές Από κοινού μέσοι όροι (/) Ορίζουμε το συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient) δύο τυχαίων μεταβλητών και y: cov( y, ) 1 y Γενικά ορίζουμε τις ποσότητες (τάξης (order) k + r): Ροπές E{ k } και από κοινού ροπές E k y r y Κεντρικές ροπές E{ m k } και από κοινού κεντρικές ροπές E{ m k y m y r } Άρα, η μέση τιμή E είναι ροπή 1 ης τάξης, η μέση τετραγωνική τιμή E{ } είναι ροπή ης τάξης, η διασπορά E{ m } είναι κεντρική ροπή ης τάξης και η συνδιασπορά E m (y m y ) είναι από κοινού κεντρική ροπή ης τάξης. y 13

14 Τυχ. Μεταβλητές Ανεξαρτησία, συσχέτιση, ορθογωνιότητα (1/) Όταν η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής δεν εξαρτάται από την τιμή μιας άλλης τυχαίας μεταβλητής y, τότε οι και y είναι στατιστικά ανεξάρτητες (statistically independent). Δύο μεταβλητές και y είναι στατιστικά ανεξάρτητες αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι διαχωρίσιμη: f, y( a, b) f( a) f y( b) E{ y } r E{ } E{ y } y cov(, y) r E{ } E{ y } 0 y cov( y, ) y 0 Δύο τυχαίες μεταβλητές και y που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση ονομάζονται ασυσχέτιστες (uncorrelated). y 14

15 Τυχ. Μεταβλητές Ανεξαρτησία, συσχέτιση, ορθογωνιότητα (/) Δύο τυχαίες μεταβλητής που είναι στατιστικά ανεξάρτητες είναι ασυσχέτιστες. Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Για τις ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές ισχύει η ιδιότητα: var( y) var( ) var( y) Δύο τυχαίες μεταβλητές και y ονομάζονται ορθογώνιες (orthogonal) αν έχουν μηδενική συσχέτιση: r 0 y Δύο τυχαίες μεταβλητές που είναι ορθογώνιες δεν είναι απαραίτητα ασυσχέτιστες. Δυο ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές, όπου η μία τουλάχιστον έχει μηδενική μέση τιμή είναι και ορθογώνιες. 15

16 Τυχ. Μεταβλητές Gaussian (1/3) Μια τυχαία μεταβλητή ονομάζεται Gaussian ή κανονική (normal) τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή m και διασπορά σ όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: 1 f( a) e ( am ) Δύο τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές (με συντελεστή συσχέτισης ρ y ) όταν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: 1 fy, ( a, b) e 1 y y 1 ( am )( bm ) ( bm ) ( am ) y y y y y y (1 ) H συνάρτηση πικνότητας πιθανότητας ορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τις μέσες τιμές, διασπορές και συντελεστή συσχέτισης (κατά περίπτωση). 16

17 Τυχ. Μεταβλητές Gaussian (/3) probability density function f a = 1 πσ var=1 var= m 5 17

18 Τυχ. Μεταβλητές Gaussian (ιδιότητες) (3/3) Αν και y είναι από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές, τότε για κάθε σταθερά a και b, η τυχαία μεταβλητή z = a + by είναι Gaussian με μέση τιμή και διασπορά: m am bm z y a b ab z y y y cov( y, ) Αν δύο από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές και y είναι ασυσχέτιστες, δηλαδή ρ y = 0, τότε είναι και στατιστικά ανεξάρτητες, δηλαδή, f y a, b = f a f y b. Αν και y είναι από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές, τότε ο βέλτιστος μη γραμμικός εκτιμητής για το y, δηλαδή y = g(), ο οποίος ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα ξ = E{ y y } είναι ένας γραμμικός εκτιμητής: y = a + b. 18

19 Τυχ. Μεταβλητές Εκτίμηση Παραμέτρων (1/3) Στην επεξεργασία σήματος χρειάζεται συχνά να εκτιμήσουμε την τιμή μιας άγνωστης παραμέτρου ενός σήματος από ένα σύνολο παρατηρήσεων, τις οποίες χειριζόμαστε ως δείγματα μιας τυχαίας μεταβλητής. Η εκτίμηση είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή εφόσον είναι μια συνάρτηση των παρατηρήσεων. Για την αξιολόγηση ενός εκτιμητή (συνάρτηση εκτίμησης), ζητούμενο είναι οι στατιστικές του ιδιότητες. Για την εκτίμηση της τιμής της παραμέτρου θ από μια ακολουθία τιμών (τυχαίες μεταβλητές) n (n = 1,,, N), χρησιμοποιούμε τον εκτιμητή θ N. Γενικά, θέλουμε η εκτίμηση να είναι κατά μέσο όρο ίση με την πραγματική τιμή, δηλαδή, E θ N = θ. Ονομάζουμε τη διαφορά ανάμεσα στην πραγματική και τη μέση εκτιμώμενη τιμή ως στατιστική απόκλιση (bias) και συμβολίζουμε: ˆ { } B N 19

20 Τυχ. Μεταβλητές Εκτίμηση Παραμέτρων (/3) Αν η απόκλιση είναι μηδενική, δηλαδή E θ N = θ, τότε ο εκτιμητής ονομάζεται αμερόληπτος (unbiased). Αν o εκτιμητής θ N δεν είναι αμερόληπτος, όμως η απόκλιση τείνει στο μηδέν καθώς το πλήθος των παρατηρήσεων τείνει στο άπειρο, τότε ο εκτιμητής ονομάζεται ασυμπτωτικά αμερόληπτος (asymptotically unbiased): lim { ˆ N} N Από μόνη της η ιδιότητα της αμεροληψίας ή ασυμπτωτικής αμεροληψίας ενός εκτιμητή, δεν εξασφαλίζει τη σύγκλιση της εκτίμησης στην πραγματική τιμή (την εξασφαλίζει μόνο κατά μέσο όρο). Δηλαδή, δεν εξασφαλίζει ότι η ακρίβεια της μέτρησης βελτιώνεται καθώς ο αριθμός των παρατηρήσεων αυξάνει. Για να συμβαίνει αυτό, θα πρέπει η διασπορά της εκτίμησης να τείνει στο μηδέν, καθώς το πλήθος των παρατηρήσεων τείνει στο άπειρο: lim N var( θ N ) = lim N E θ N E θ N = 0 0

21 Τυχ. Μεταβλητές Εκτίμηση Παραμέτρων (3/3) Για έναν αμερόληπτο εκτιμητή ισχύει η παρακάτω ανισότητα του Chebyshev: ˆ ˆ var( N ) Pr{ N } Δηλαδή, αν η διασπορά της εκτίμησης τείνει στο μηδέν για N, τότε η ποσότητα στο δεύτερο μέρος της παραπάνω ανισότητας τείνει στο μηδέν για οποιαδήποτε τιμή ε 0, και συνεπώς, η πιθανότητα να διαφέρει η εκτίμηση θ N περισσότερο από ε από την πραγματική τιμή τείνει επίσης στο μηδέν. Ένας εκτιμητής ονομάζεται συνεπής (consistent) αν είναι ασυμπτωτικά αμερόληπτος, δηλαδή lim E θ N = θ, και η διασπορά τείνει στο μηδέν, N δηλαδή lim var θ N = 0 N 1

22 Τυχ. Μεταβλητές Εκτιμητής μέσης τιμής (1/) Έστω η τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή m και διασπορά σ. Θεωρούμε ένα σύνολο από N παρατηρήσεις της τυχαίας μεταβλητής, τις οποίες θεωρούμε ασυσχέτιστες. Συμβολίζουμε τις παρατηρήσεις ως n. Κατασκευάζουμε τον ακόλουθο εκτιμητή για τη μέση τιμή: mˆ 1 N N n 1 n Υπολογίζουμε τη μέση τιμή του εκτιμητή: N N N E{ mˆ } E{ } E{ } m m n n N n1 N n1 N n1 Αφού E m = m, ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος.

23 Τυχ. Μεταβλητές Εκτιμητής μέσης τιμής (/) Από τον ακόλουθο υπολογισμό της διασπορά του εκτιμητή προκύπτει ότι είναι συνεπής: N var( mˆ ˆ ˆ ) E{( m E{ m}) } E{( n m) } N n1 N N N 1 1 E{ } nm m n m N n1 m1 N n1 N N N 1 1 { } { } E nm m En m N n1 m1 N n1 N N N 1 [ E { nm } E { n} ] m m N n1 m1, mn n1 uncorrelated 1 NE{ [( N N ) n} Nm m NE{ n}] m N E{ n} m lim var( mˆ ) 0 N N N 1 N 3

24 Τυχαίες Διαδικασίες

25 Τυχ. Διαδικασίες Βασικοί Ορισμοί (1/6) Ορίζουμε ως τυχαία διαδικασία (random process) ή στοχαστική διαδικασία (stochastic process) ή τυχαίο σήμα (random signal) μια συλλογή από σήματα, δηλαδή συναρτήσεις στο χρόνο, τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικά αποτελέσματα ενός πειράματος. Δηλαδή, δοθέντος ενός δειγματικού χώρου Ω = ω M i i=1, σε κάθε συμβάν ω i αντιστοιχεί ένα σήμα (t; ω i ) το οποίο έχει πιθανότητα Pr{ω i }. Ως παράδειγμα, θεωρούμε το πείραμα ρίψης ενός ζαριού. Οι πιθανοί αριθμοί του ζαριού ορίζουν το Ω = 1,,, 6. Θεωρούμε επίσης όλα τα αποτελέσματα ισοπίθανα, δηλαδή Pr ω = i = 1 για κάθε i = 1,,, 6. 6 Τέλος, ορίζουμε την τυχαία διαδικασία: t; ω i = Asin(πf c t + φ i ), όπου φ i = π ω i Pr φ i = π ω i = 1 6, i. 5

26 Τυχ. Διαδικασίες Βασικοί Ορισμοί (/6) amplitude phi=180 phi=90 phi=60 phi=45 phi=36 phi=30 ( t; ) Asin( f t ) i c i -0.5 A 1; % amplitude (Volt) f c 100; % frequency (Hz) time 6

27 Τυχ. Διαδικασίες Βασικοί Ορισμοί (3/6) Κάθε μια από τις συναρτήσεις (t; ω i ) ονομάζεται συνάρτηση δείγμα (sample function) ή πραγματοποίηση (realization) της τυχαίας διαδικασίας. Για κάθε χρονική στιγμή t 0, έχουμε Ν διαφορετικές πιθανές τιμές (t 0 ; ω i ). Οι τιμές αυτές συμβολίζονται γενικά t 0 και αποτελούν στην ουσία μια τυχαία μεταβλητή. Δηλαδή, σε κάθε χρονική στιγμή, η τιμή μιας τυχαίας διαδικασίας είναι μια τυχαία μεταβλητή. Άρα, μια τυχαία διαδικασία είναι μια συλλογή από τυχαίες μεταβλητές, t 0, t 1, t, και γενικά γράφουμε t, t D. Όταν αναφερόμαστε σε τυχαίες διαδικασίες διακριτού χρόνου το σύνολο D ταυτίζεται με το σύνολο των ακεραίων και γράφουμε n. i= 7

28 Τυχ. Διαδικασίες Βασικοί Ορισμοί (4/6) X (30) phi=180 phi=90 phi=60 phi=45 phi=36 phi=30 amplitude 0 X ( n) Asin( f nt ) c s -0.5 A 1; % amplitude (Volt) f c 100; % frequency (Hz) samples 8

29 Τυχ. Διαδικασίες Βασικοί Ορισμοί (5/6) Συνεπώς, μια διακριτή τυχαία διαδικασία είναι μια αντιστοίχηση των στοιχείων ενός δειγματικού χώρου (εκβάσεις ενός πειράματος) σε μια συλλογή από σήματα διακριτού χρόνου (ακολουθίες διακριτών τυχαίων μεταβλητών). ( n) 1 1 i f n ( 0) n ( 1) n ( )... ( n) i ακολουθία τυχαίων μεταβλητών 9

30 Τυχ. Διαδικασίες Βασικοί Ορισμοί (6/6) Σε κάθε τυχαία μεταβλητή της ακολουθίας αντιστοιχεί μια συνάρτηση κατανομής πιθανότητας και μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: ( ) Pr ( ) ( ) d Fn a n a f( n) ( a) F ( n) ( a) da Για να χαρακτηρίσουμε πλήρως την τυχαία διαδικασία χρειαζόμαστε την από κοινού συνάρτηση κατανομής (ή πυκνότητας) πιθανότητας: 0 1 F ( a, a,, a ) Pr ( n ) a, ( n ) a,, ( n ) a ( n ), ( n ),, ( n ) 0 1 N N N N Μας δίνει πληροφορία για το πως οι τυχαίες μεταβλητές αλληλοεξαρτώνται. 30

31 Τυχ. Διαδικασίες Μέσοι όροι (1/5) Ορίσαμε την τυχαία διαδικασία ως μια αριθμημένη ακολουθία τυχαίων μεταβλητών n n=. Συνεπώς, για κάθε n μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής (n). Ορίζουμε ως μέσο όρο της τυχαίας διαδικασίας την ντετερμινιστική ακολουθία: m ( ) { ( )} n E n Ορίζουμε ως διασπορά της τυχαίας διαδικασίας την ντετερμινιστική ακολουθία: ( n) E{[ ( n) m ( n)] } Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή και η διασπορά εξαρτώνται από το n. 31

32 Τυχ. Διαδικασίες Μέσοι όροι (/5) X (30) phi=180 phi=90 phi=60 phi=45 phi=36 phi=30 amplitude m ( ) { ( )} n E n samples 3

33 Τυχ. Διαδικασίες Μέσοι όροι (3/5) Ορίζουμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation) μιας τυχαίας διαδικασίας: (, ) { ( ) r ( )} k l E k l Ορίζουμε τη συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς (autocovariance) μιας τυχαίας διαδικασίας: c k l E k m k l m l * (, ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )] } c ( k, l) E{[ ( k) m ( k)][ ( l) m ( l)]} E{ ( k) ( l) ( k) m ( l) m ( k) ( l) m ( k) m ( l) } E{ ( k) ( l)} E{ ( k)} m ( l) m ( k) E{ ( l)} m ( k) m ( l) r ( k, l) m ( km ) ( l) Αν m (n) = 0, τότε η αυτοσυνδιασπορά ισούται με την αυτοσυσχέτιση. 33

34 Τυχ. Διαδικασίες Μέσοι όροι (4/5) Ορίζουμε τη συνάρτηση ετεροσυσχέτισης (cross-correlation) μεταξύ δύο τυχαίων διαδικασιών (n) και y(n): (, ) { ( ) r ( )} y k l E k y l Ορίζουμε τη συνάρτηση ετεροσυνδιασποράς (cross-covariance) μεταξύ δύο τυχαίων διαδικασιών (n) και y(n): c y k, l = E k m k y l m y l = ry k, l m k m y (l) Όταν c y k, l = 0, δηλαδή r y k, l = m k m y (l) για κάθε k και l, τότε οι δύο διαδικασίες ονομάζονται ασυσχέτιστες (uncorrelated). Όταν r y k, l = 0 για κάθε k και l, τότε οι δύο τυχαίες διαδικασίες ονομάζονται ορθογώνιες (orthogonal). 34

35 Τυχ. Διαδικασίες Μέσοι όροι (5/5) un ( ) n ( ) yn ( ) Ως παράδειγμα, θεωρούμε το σήμα (n) το οποίο παραμορφώνεται από προσθετικό θόρυβο u(n). Γενικά, ο θόρυβος μοντελοποιείται ως μια τυχαία διαδικασία. Επίσης, θεωρούμε ότι ο θόρυβος έχει μηδενική μέση τιμή και ότι είναι ασυσχέτιστος με το σήμα (n). Η έξοδος είναι y n = n + u(n). r y k, l = E y k y l = E k + u(k) l + u(l) = E k + u(k) l + u(l) = E k l + E k u l + E u k l + E u k u l r (, ) k l r ( k, l) m ( k) m ( l) 0 u u r (, ) u k l 35

36 Τυχ. Διαδικασίες Gaussian Έστω ένα διάνυσμα από N (πραγματικές) τυχαίες μεταβλητές = 1,,, N T, μέση τιμή m = m 1, m,, m N T (το διάνυσμα με στοιχεία τη μέση τιμή των τυχαίων μεταβλητών n ) και πίνακα συνδυασποράς C (δηλαδή, ένας συμμετρικός πίνακας θετικά ορισμένος με στοιχεία τις τιμές συνδιασποράς μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών n, δηλαδή c i,j = E{( i m i )( j m i )}. Το διάνυσμα ονομάζεται Gaussian τυχαίο διάνυσμα και οι μεταβλητές n ονομάζονται από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές, αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: f = 1 π N det C e 1 m T C 1 m Μια τυχαία διαδικασία διακριτού χρόνου ονομάζεται Gaussian, αν κάθε ακολουθία δειγμάτων (n) της τυχαίας διαδικασίας είναι από κοινού Gaussian τυχαίες μεταβλητές. 36

37 Τυχ. Διαδικασίες Στασιμότητα (1/6) Η έννοια της στασιμότητας μιας τυχαίας διαδικασίας συνδέεται με την έννοια της "στατιστικής χρονικής σταθερότητας", δηλαδή όταν οι στατιστικές ιδιότητες ή οι μέσοι όροι της τυχαίας διαδικασίας είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f n (a) μιας τυχαίας διαδικασίας (n) είναι ανεξάρτητη του χρόνου, όταν: f ( a) f ( a), k ( n) ( nk ) Αν ισχύει το παραπάνω, η διαδικασία ονομάζεται στάσιμη (stationary) διαδικασία 1 ης τάξης και γράφουμε: m ( n) m και ( n) 37

38 Τυχ. Διαδικασίες Στασιμότητα (/6) H από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f n1, n (a 1, a ) είναι ανεξάρτητη του χρόνου όταν f ( a, a ) f ( a, a ), k ( n ), ( n ) 1 ( n k ), ( n k ) Αν ισχύει το παραπάνω, η διαδικασία n ονομάζεται στάσιμη διαδικασία ης τάξης και ισχύει: r ( k, l) r ( k n, l n) E{ ( k) ( l)} E{ ( k n) ( l n)} r ( k, l) r ( n, n ( k l)) r ( k l) Οπότε, η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται μόνο από τη διαφορά k l, η οποία ονομάζεται lag. Αν μία διαδικασία είναι στάσιμη ης τάξης, τότε είναι και 1 ης τάξης. 38

39 Τυχ. Διαδικασίες Στασιμότητα (3/6) Παρατηρούμε ότι: r ( k, l) r ( k l,0) r ( k l) c ( k, l) r ( k, l) m ( k) m ( l) r ( k l) m ( k) m ( l) r ( k l) m m c ( k l) r ( k, l) r ( k n, l n) E{ ( k n) ( l n)} E{ ( n) ( n ( k l))} r ( k l) Η διαδικασία είναι στάσιμη ης τάξης. Συνεπώς, είναι και στάσιμη 1ης τάξης. Άρα και η συνδιασπορά εξαρτάται μόνο από το lag. c (0) r (0) m m E{ ( n) ( n)} m m E n m n { ( ) } ( ) 39

40 Τυχ. Διαδικασίες Στασιμότητα (4/6) Γενικά, ορίζουμε ότι μια διαδικασία είναι στάσιμη L τάξης όταν οι διαδικασίες (n) και (n + k) έχουν τις ίδιες από κοινού συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας L τάξης. Μία διαδικασία που είναι στάσιμη για όλες τις τάξεις L > 0, ονομάζεται αυστηρά στάσιμη (stationary in the strict sense). Πολύ αυστηρή συνθήκη, που σπάνια συναντάται σε πρακτικά προβλήματα. Μία διαδικασία ονομάζεται στάσιμη υπό την ευρεία έννοια (WSS: wide sense stationary), αν ικανοποιούνται οι εξής τρεις συνθήκες: Η μέση τιμή είναι μία σταθερά, ανεξάρτητη του χρόνου: m n = m. Η αυτοσυσχέτιση r k, l εξαρτάται μόνο από τη χρονική διαφορά k l. Η διασπορά είναι πεπερασμένη: c 0 <. 40

41 Τυχ. Διαδικασίες Στασιμότητα (5/6) Παρατηρείστε ότι οι παραπάνω συνθήκες αφορούν στατιστικά πρώτης και δεύτερης τάξης μόνο. Για Gaussian τυχαίες διαδικασίες, η στασιμότητα υπό την ευρεία έννοια είναι ισοδύναμη με την αυστηρή στασιμότητα. Δύο τυχαίες διαδικασίες και y ονομάζονται από κοινού WSS αν κάθε μια είναι WSS και επιπλέον η συνάρτηση ετεροσυσχέτισης r y k, l εξαρτάται μόνο από τη διαφορά k l, δηλαδή: r ( k, l) r ( k n, l n) r ( k l) y y y 41

42 Τυχ. Διαδικασίες Στασιμότητα (6/6) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης r (k) μιας WSS διαδικασίας παρουσιάζει τις ακόλουθες ιδιότητες: Ιδιότητα συμμετρίας: r ( k) r ( k) Ιδιότητα μέσης τετραγωνικής τιμής: Ιδιότητα μέγιστης τιμής: r E n (0) { ( ) } 0 r ( k) r (0) Ιδιότητα περιοδικότητας: Αν ισχύει r k 0 = r 0 για κάποια τιμή k 0, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι περιοδική με περίοδο k 0. 4

43 Τυχ. Διαδικασίες Πίνακας αυτοσυσχέτισης (1/6) Έστω ένα σύνολο από παρατηρήσεις της τυχαίας διαδικασίας, δηλαδή έστω ότι λαμβάνουμε τις p + 1 τιμές: (0), (1),, (p). Κατασκευάζουμε το διάνυσμα: = 0, 1,, p T. Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τον πίνακα: H. H (0) (1) (0) (1) ( p) ( p) (0) (0) (0) (1) (0) ( p) (1) (0) (1) (1) (1) ( p) ( p) (0) ( p) (1) ( p) ( p) 43

44 Τυχ. Διαδικασίες Πίνακας αυτοσυσχέτισης (/6) Θεωρούμε ότι η τυχαία διαδικασία είναι WSS: E{ (0) (0)} E{ (0) (1)} E{ (0) ( p)} H E{ (1) (0)} E{ (1) (1)} E{ (1) ( p)} E{ } E{ ( p) (0)} E{ ( p) (1)} E{ ( p) ( p)} E k l = r (k l) r (0) r ( 1) r ( p) H r (1) r (0) r (1 p) E{ } r ( p) r ( p 1) r (0) 44

45 Τυχ. Διαδικασίες Πίνακας αυτοσυσχέτισης (3/6) r (0) r ( 1) r ( p) H r (1) r (0) r (1 p) E{ } r ( p) r ( p 1) r (0) r n = r n r n = r (n) Ιδιότητα Hermitian συμμετρίας r (0) r(1) r() r ( p) r(1) r(0) r (1) r ( p 1) H E{ } r () r ( 1) r (0) r ( p ) r ( p) r ( p 1) r ( p ) r (0) R Ο πίνακας R ονομάζεται πίνακας αυτοσυσχέτισης (autocorrelation matri). 45

46 Τυχ. Διαδικασίες Πίνακας αυτοσυσχέτισης (4/6) Oρίζουμε τον πίνακα αυτοσυνδιασποράς (autocovariance matri). H C E{( m )( m ) } R m m H To διάνυσμα m, p + 1 θέσεων, περιέχει ως στοιχεία την μέση τιμή (σταθερά) της WSS διαδικασίας: m m m Όταν η διαδικασία έχει μηδενική μέση τιμή ισχύει: C = R. m 46

47 Τυχ. Διαδικασίες Πίνακας αυτοσυσχέτισης (5/6) Ο πίνακας αυτοσυσχέτισης μιας WSS διαδικασίας έχει μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες που ακολουθούν. (Ιδιότητα 1) Είναι μη αρνητικά ορισμένος: R 0 (Ιδιότητα ) Οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικές και μη αρνητικές: λ k 0 (Ιδιότητα 3) Είναι Toeplitz. R r ( 0) r (1) r ( p1) r ( p) r (1) r (0) r ( p ) r ( p 1) R Toep r (0) r (1) r ( p) r ( p1) r ( p ) r (0) r (1) r ( p) r ( p1) r (1) r (0) 47

48 Τυχ. Διαδικασίες Πίνακας αυτοσυσχέτισης (6/6) (Ιδιότητα 4) Είναι ερμητιανός. R r(0) r (1) r( p) r(1) r(0) r ( p 1) r ( p) r ( p 1) r (0) R H ( r (0)) ( r (1) ) ( r ( p) ) r (0) r (1) r ( p) ( r ( 1) ) ( r (0)) ( r ( p1) ) r (1) r (0) r ( p 1) R ( r ( )) ( ( 1) ) ( (0)) r ( ) ( 1) (0) p r p r p r p r r (0) r (0) 48

49 Τυχ. Διαδικασίες Εργοδικότητα (1/6) Η μέση τιμή και η αυτοσυσχέτιση μιας τυχαίας διαδικασίας αποτελούν στατιστικούς μέσους όρους που αναφέρονται σε όλες τις συναρτήσεις δείγματα (πραγματοποιήσεις) της διαδικασίας. Στην πράξη έχουμε διαθέσιμο ένα σύνολο παρατηρήσεων από μία μόνο πραγματοποίηση της διαδικασίας, και από τις παρατηρήσεις αυτές καλούμαστε να εκτιμήσουμε τα παραπάνω μεγέθη. Έστω μια τυχαία διαδικασία για την οποία έχουμε μια συλλογή από L υλοποιήσεις, δηλαδή σήματα διακριτού χρόνου i (n) για i = 1,,, L. Στην περίπτωση αυτή θα μπορούσαμε να κάνουμε μια εκτίμηση της μέσης τιμής ως εξής: L 1 mˆ ( n) ( n) εξαρτάται από το n (και το L) L i 1 i 49

50 Τυχ. Διαδικασίες Εργοδικότητα (/6) ( n) 1 ( n) ( ) L n n 0 L 1 mˆ ( n ) ( n ) 0 i 0 L i 1 50

51 Τυχ. Διαδικασίες Εργοδικότητα (3/6) Όταν όμως έχουμε διαθέσιμη μόνο μία πραγματοποίηση της τυχαίας διαδικασίας, η παραπάνω εκτίμηση δεν έχει νόημα. Επειδή, έχουμε διαθέσιμες Ν παρατηρήσεις της τυχαίας διαδικασίας, δηλαδή Ν δείγματα της συγκεκριμένης υλοποίησης, μια εκτίμηση της μέσης τιμής είναι η ακόλουθη: N 1 mˆ ( N) ( n) εξαρτάται από το Ν N n N n ( ) Για να έχει νόημα ο εκτιμητής m (N) θα πρέπει η μέση τιμή της διαδικασίας να μην εξαρτάται από το n. Για παράδειγμα, αν η διαδικασία είναι WSS, τότε είναι m n = m. 51

52 Τυχ. Διαδικασίες Εργοδικότητα (4/6) Το ερώτημα που δημιουργείται είναι αν ο μέσος όρος m (N) συγκλίνει στην πραγματική μέση τιμή. Αν ο δειγματικός μέσος όρος m (N) μιας WSS διαδικασίας συγκλίνει στην πραγματική μέση τιμή υπό την έννοια του μέσου τετραγώνου, τότε η διαδικασία καλείται εργοδική ως προς τη μέση τιμή (ergodic in the mean). ˆ lim E{ m( N) m } 0 N ˆ lim m ( N) m N Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ως άνω σύγκλιση (υπό την έννοια του μέσου τετραγώνου) είναι οι εξής (συνθήκες ενός συνεπή εκτιμητή): Aσυμπτωτικά αμεροληψία: lim N E m (N) = m Η διασπορά να τείνει στο μηδέν καθώς N : lim N var m (N) = 0 5

53 Τυχ. Διαδικασίες Εργοδικότητα (5/6) Από τον ορισμό του εκτιμητή m (N) προκύπτει ότι ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος (άρα και ασυμπτωτικά αμερόληπτος). Αποδεικνύεται ότι: var m N = 1 N k= N+1 N 1 1 k c N k 1 Για να ισχύει και η δεύτερη συνθήκη αρκεί: lim N N k= N+1 N

54 Τυχ. Διαδικασίες Εργοδικότητα (6/6) Αντίστοιχα, θέλουμε να εξετάσουμε την εκτίμηση της αυτοσυσχέτισης για μια WSS διαδικασία, r k = E n n k. Θεωρούμε τον εκτιμητή: N 1 1 rˆ ( k, N) ( n) ( n k) N n0 Αν η εκτίμηση r (k, N) συγκλίνει στην πραγματική τιμή r k υπό την έννοια του μέσου τετραγώνου, τότε η διαδικασία καλείται εργοδική ως προς την αυτοσυσχέτιση (autocorrelation ergodic). ˆ lim E{ r( k, N) r( k) } 0 N ˆ lim r ( k, N) r ( k) N Θεώρημα 3: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η WSS Gaussian τυχαία διαδικασία (n) με συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς c (k) εργοδική ως προς την αυτοσυσχέτιση είναι: 1 lim ( k) 0 N N N 1 c k0 54

55 Τυχ. Διαδικασίες Φάσμα ισχύος (1/) Ονομάζουμε φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density) ή φάσμα ισχύος (power spectrum) μιας τυχαίας διαδικασίας (n) το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης: jk j P( e ) r( k) e k 1 j jk r( k) P( e ) e d Το φάσμα ισχύος εκφράζει την κατανομή της ισχύος της τυχαίας διαδικασίας στις διάφορες συχνότητες. Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Z, ο ορισμός για το φάσμα ισχύος είναι: P( z) r( k) z k k 55

56 Τυχ. Διαδικασίες Φάσμα ισχύος (/) Το φάσμα ισχύος μιας WSS διαδικασίας έχει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες που ακολουθούν. (Ιδιότητα 1) Συμμετρία: P e jω = P e jω Δηλαδή το φάσμα έχει πραγματικές τιμές. (Ιδιότητα ) Θετικές τιμές: P e jω > 0 (Ιδιότητα 3) Συνολική ισχύς μιας WSS διαδικασίας μηδενικής μέσης τιμής. 1 j E{ ( n) } P ( e ) d (Ιδιότητα 4) Οι ιδιοτιμές του R μιας WSS διαδικασίας μηδενικής μέσης τιμής φράσσονται άνω και κάτω από τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του φάσματος: min P e jω λ i ma P e jω ω ω 56

57 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (1/9) Έστω (n) μια τυχαία διαδικασία WSS με μέση τιμή m και αυτοσυσχέτιση r k. Το διακριτό σήμα (n) διέρχεται από ένα ευσταθές ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση h(n). n ( ) hn ( ) yn ( ) Θέλουμε να μελετήσουμε τα στατιστικά χαρακτηριστικά (μέση τιμή, διασπορά, αυτοσυσχέτιση, φάσμα ισχύος) του σήματος εξόδου. Καταρχήν, το σήμα εξόδου y(n) είναι τυχαία διαδικασία: προκύπτει ως μία συνάρτηση της τυχαίας διαδικασίας (n): y( n) g[ ( n)] ( n) h( n) h( k) ( n k) συνέλιξη k 57

58 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (/9) Υπολογίζουμε τη μέση τιμή της εξόδου: E{ y( n)} E{ h( k) ( n k)} h( k) E{ ( n k)} k h( k) m m h( k) m h( k) e 0 k k k k j m H ( e ) WSS διαδικασία, άρα ανεξάρτητο του n-k Διαπιστώνουμε ότι, η μέση τιμή της εξόδου είναι σταθερά (ανεξάρτητη του n) και σχετίζεται με τη μέση τιμή της εισόδου μέσω ενός πολλαπλασιαστικού παράγοντα, ο οποίος είναι η απόκριση συχνότητας του συστήματος στη συχνότητα ω = 0. jk 0 = 1 58

59 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (3/9) Υπολογίζουμε την ετεροσυσχέτιση μεταξύ εξόδου και εισόδου: r ( k, l) E{ y( k) ( l)} E{[ h( m) ( k m)] ( l)} y h( m) E{ ( k m) ( l)} h( m) r ( k m l) m m h( m) r ( k lm) m m WSS διαδικασία, άρα εξαρτάται από τη διαφορά k-m-l H ετεροσυσχέτιση εξαρτάται από τη διαφορά k l. Αν k l = n, τότε: r y l + n, l = + m= h m r (n 59

60 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (4/9) Υπολογίζουμε την αυτοσυσχέτιση της εξόδου: r ( n k, n) E{ y( n k) y ( n)} E{ y( n k)[ h ( l) ( n l)]} y E{ h ( l) y( n k) ( n l)} h ( l) E{ y( n k) ( n l)} l l h ( l) r ( k l) y h ( k) r ( k) h ( k) r ( k) y y l l Δείξαμε ότι εξαρτάται από το lag Διαπιστώνουμε ότι η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται από το lag k. r ( n k, n) r ( k) h ( k) h( k) r ( k) y y 60

61 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (5/9) Δείξαμε ότι για την τυχαία διαδικασία y(n) ισχύει: Η μέση τιμή της εξόδου είναι ανεξάρτητη του χρόνου: m y n = m y Η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται μόνο από τo lag: r y n + k, n r y k Επιπλέον: Αφού η διαδικασία (n) είναι WSS, δηλαδή σ <, σημαίνει ότι η είσοδος είναι φραγμένη: n < Αφού το σύστημα h(n) είναι ευσταθές, και η έξοδος είναι φραγμένη: y n < Άρα, η διασπορά της εξόδου είναι φραγμένη: c y 0 < Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η y(n) είναι WSS τυχαία διαδικασία. Επιπλέον, αφού η είσοδος (n) και η έξοδος y(n) είναι WSS τυχαίες διαδικασίες και η ετεροσυσχέτιση r y εξαρτάται από τo lag r y (n + 61

62 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (6/9) Υπολογίζουμε τη διασπορά της εξόδου: ( n) E{ y( n) y ( n)} m ( n) m ( n) y y y E{ y( n 0) y ( n)} m ( n 0) m ( n) r ( 0) m m c ( 0) ανεξάρτητο του n y y y y Η ποσότητα r y 0 υπολογίζεται ως: y y y 0 k0 l r ( ) h ( k) h( k) r ( k) h ( k) [ h( l) r ( k l)] m l k0 m l [ h( l) r ( m l)] h ( k m) h( l) r ( m l) h ( m) k0 6

63 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (7/9) Έστω ότι το σύστημα έχει πεπερασμένη κρουστική απόκριση: Η ισχύς εξόδου είναι: h h(0) h(1) h( N 1) T N1 N1 y 0 m0 l0 { y( n) } { y( n) y ( n)} r ( ) h ( m) h( l) r ( m l) N 1 H h ( m) u( m) h u um ( ) m0 H h u u(0) T u(1) h (0) h (1) h ( N 1) un ( 1) u 63

64 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (8/9)... συνέχεια: T T u( m) h r ( m) r ( m) h h(0) T h(1) u( m) r ( m) r ( m 1) r ( m N 1) T hn ( 1) r ( ) m Τελικά: u(0) r (0) r ( 1) r ( N 1) H u(1) H r (1) r (0) r ( N ) { yn ( ) } h h h un ( 1) r ( N 1) r ( N ) r (0) r (0) r ( 1) r ( N 1) H r (1) r( 0) r( N ) H h h h R h r( N 1) r ( N ) r(0) 64

65 Τυχ. Διαδικασίες Φιλτράρισμα (9/9) Υπολογίζουμε το φάσμα εξόδου: j j j P ( e ) P ( e ) H( e ) y Διαπιστώνουμε ότι το φάσμα εξόδου ισούται με το φάσμα εισόδου πολλαπλασιασμένο με το τετράγωνο του μέτρου της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. Μια WSS διαδικασία u(n) ονομάζεται λευκός θόρυβος (white noise) με μέση τιμή m u και διασπορά σ u αν η αυτοσυσχέτιση είναι μηδενική για όλα τα lag εκτός από μηδέν: r k u( ) u( k) P( e j ) u u 65

66 Τυχ. Διαδικασίες Παραγοντοποίηση φάσματος (1/4) Έχουμε αναφέρει ότι το φάσμα μιας WSS διαδικασίας με πραγματικές τιμές είναι μια πραγματική, θετική, περιοδική συνάρτηση της συχνότητας. Αποδεικνύεται ότι αν P e jω είναι συνεχής συνάρτηση του ω, τότε μπορούμε να γράψουμε: P z Q z Q z ( ) ( ) (1/ ) 0 Οι όροι της παραγοντοποίησης γράφονται ως: σ 0 = e c 0 Q z = e k=1 Q 1 z c k = 1 π c k z k 1 = e k= c k z 1 +π lnp e jω e jkω dω (αντίστροφο ΜΦΔΧ) π Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται παραγοντοποίηση φάσματος (spectral factorization). 66

67 Τυχ. Διαδικασίες Παραγοντοποίηση φάσματος (/4) Κάθε διαδικασία που παραγοντοποιείται ως P z = σ 0 Q z Q 1 z λέγεται κανονική (regular) και έχουν κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες. (Ιδιότητα 1) Κάθε κανονική διαδικασία μπορεί να υλοποιηθεί ως η έξοδος ενός αιτιατού, ευσταθούς φίλτρου με συνάρτηση μεταφοράς H(z) και είσοδο ένα σήμα λευκού θορύβου u(n) με διασπορά σ 0. Η αναπαράσταση αυτή είναι γνωστή ως innovation αναπαράσταση. (Ιδιότητα ) Το αντίστροφο φίλτρο 1/H(z) καλείται whitening φίλτρο. Αν η διαδικασία φιλτραριστεί από το 1/H(z), τότε η έξοδος θα είναι λευκός θόρυβος με διασπορά σ 0. Η διαδικασία u(n) ονομάζεται innovations διαδικασία. un ( ) n ( ) H() z 1/ H( z) un ( ) 67

68 Τυχ. Διαδικασίες Παραγοντοποίηση φάσματος (3/4) (Ιδιότητα 3): Εφόσον οι διαδικασίες (n) και u(n) σχετίζονται με έναν αντιστρέψιμο μετασχηματισμό, δηλαδή κάθε μία μπορεί να παραχθεί από την άλλη, τότε και οι δύο περιέχουν την ίδια πληροφορία. Ορίζουμε μια διαδικασία ως προβλέψιμη (predictable), αν υπάρχει ένα σύνολο συντελεστών α(k), ώστε: ( n) a( k) ( n k) p k1 Η p (n) μπορεί, δηλαδή, να προβλεφθεί χωρίς σφάλματα ως γραμμικός συνδυασμός των προηγούμενων τιμών της. p j P ( e ) a( k) u( ) p N k1 k 68

69 Τυχ. Διαδικασίες Παραγοντοποίηση φάσματος (4/4) Θεώρημα ανάλυσης Wold: Μια WSS τυχαία διαδικασία (n) μπορεί να αναλυθεί σε δύο διαδικασίες r (n) και p (n), όπου r (n) είναι μια κανονική διαδικασία και p (n) είναι μια προβλέψιμη διαδικασία, οι οποίες είναι ορθογώνιες: ( n) ( n) ( n) E{ ( n) ( n)} 0 r p Άρα το φάσμα της διαδικασίας (n) αποτελείται από το συνεχές τμήμα P r e jω και από το διακριτό τμήμα P p e jω. Το τελευταίο δημιουργεί κρουστικές γραμμές στο φάσμα. N j j j j r p r k k1 P ( e ) P ( e ) P ( e ) P ( e ) a( k) u( ) r p 69

70 Τυχ. Διαδικασίες Μοντέλα ARMA (1/6) Θεωρούμε ένα αιτιατό, ευσταθές, ΓΧΑ σύστημα του οποίου η συνάρτηση μεταφοράς έχει p πόλους και q μηδενικά. Εφαρμόζουμε στο σύστημα H(z) ως είσοδο λευκό θόρυβο u(n) με διασπορά σ u : un ( ) H() z n ( ) H( z) B A q p ( z) ( z) q k bq ( k) z k0 p 1 a ( k) z k1 p k Η έξοδος (n) είναι WSS διαδικασία με φάσμα ισχύος: j j ( ) u H ( e ) u P e j B ( e ) q j A ( e ) Μια διαδικασία με το παραπάνω φάσμα ισχύος ονομάζεται autoregressive moving average διαδικασία τάξης (p, q) και συμβολίζουμε ARMA(p,q). p 70

71 Τυχ. Διαδικασίες Μοντέλα ARMA (/6) Η σχέση μεταξύ εισόδου u(n) και εξόδου (n) δίνεται από την παρακάτω εξίσωση διαφορών: p ( n) a ( k) ( n k) b ( k) u( n k) p k1 k0 q q p q k p n k q l1 l0 ( n) ( n ) a ( l) ( n l) ( ) b ( l) u( n l) ( nk) p q p q l1 l0 E{ ( n) ( n k) a ( l) ( n l) ( n k)} E{ b ( l) u( n l) ( n k)} p q ( ) ( ) p( ) ( l) ( n k) bq( l) Eu( n l) ( n k) E n n k a l E n l1 l0 r ( k) a ( l) r ( k l) b ( l) r ( k l) p p q u l1 l0 q Αφού u(n) WSS, οι (n) και u(n) είναι από κοινού WSS. 71

72 Τυχ. Διαδικασίες Μοντέλα ARMA (3/6) Δηλαδή η σχέση μεταξύ αυτοσυσχέτισης εξόδου και ετεροσυσχέτισης ανάμεσα σε έξοδο και είσοδο ικανοποιεί την ίδια εξίσωση διαφορών: p r ( k) a ( l) r ( k l) b ( l) r ( k l) p q u l1 l0 Γράφουμε τη ακολουθία ετεροσυσχέτισης όπως παρακάτω (συναρτήσει της κρουστική απόκρισης του συστήματος): r ( k l) E{ u( k) ( l)} E{ u( k)[ u ( m) h ( l m)]} u m E{ u( k) u ( m) h ( l m)} E{ u( k) u ( m)} h ( l m) m q m u h ( l k) = σ u, για k = m 0, για k m 7

73 Τυχ. Διαδικασίες Μοντέλα ARMA (3/6) Δηλαδή η σχέση μεταξύ αυτοσυσχέτισης εξόδου και ετεροσυσχέτισης ανάμεσα σε έξοδο και είσοδο ικανοποιεί την ίδια εξίσωση διαφορών: p r ( k) a ( l) r ( k l) b ( l) r ( k l) p q u l1 l0 Γράφουμε τη ακολουθία ετεροσυσχέτισης όπως παρακάτω (συναρτήσει της κρουστική απόκρισης του συστήματος): r ( k l) E{ u( k) ( l)} E{ u( k)[ u ( m) h ( l m)]} u m E{ u( k) u ( m) h ( l m)} E{ u( k) u ( m)} h ( l m) m q m u h ( l k) = σ u, για k = m 0, για k m 73

74 Τυχ. Διαδικασίες Μοντέλα ARMA (4/6) Έχουμε λοιπόν: p r ( k) a ( l) r ( k l) b ( l) r ( k l) p l1 l0 q q u p q q ( ) p( ) ( ) q( ) uh ( lk) u q( ) h ( l k) l1 l0 l0 r k a l r k l b l b l Δεδομένου ότι το σύστημα είναι αιτιατό, δηλαδή h n = 0 για n < 0, ορίζουμε: c q ( k) q q qk bq q l0 lk m0 ( l) h ( l k) b ( l) h ( l k) b ( k m) h ( m) q qk bq ( k lh ) ( l) 0 k q l0 0 k q 74

75 Τυχ. Διαδικασίες Μοντέλα ARMA (5/6) Οπότε τελικά: p ucq ( k) 0 k q r ( k) ap( l) r ( k l) l1 0 k q Το παραπάνω σύστημα εξισώσεων είναι γνωστό ως εξισώσεις Yule- Walker. k 0 : r (0) ap(1) r ( 1) ap() r ( ) ap( p) r ( p) ucq(0) k k 1 : r (1) ap(1) r (0) ap() r ( 1) ap( p) r (1 p) ucq(1) q : r ( q) ap(1) r ( q 1) ap() r ( q ) ap( p) r ( q p) ucq( q) k q 1: r ( q 1) a (1) r ( q) a () r ( q 1) a ( p) r ( q p 1) 0 p p p k q p : r ( q p) a (1) r ( q p 1) a () r ( q p ) a ( pr ) ( q) 0 p p p 75

76 Τυχ. Διαδικασίες Μοντέλα ARMA (6/6) Γράφουμε σε μορφή πινάκων: r (0) ( 1) ( ) (0) r r p cp r (1) (0) ( 1) (1) r r p c p 1 ap(1) r ( q) r ( q 1) r ( q p) u cp( q) r ( q 1) r ( q) r ( q p 1) a ( ) 0 p p r ( q p) r ( q p 1) r ( q) 0 Από τις εξισώσεις σε κίτρινο φόντο υπολογίζουμε τις παραμέτρους a p και - με δεδομένες αυτές - στη συνέχεια υπολογίζουμε τα c i από τις εξισώσεις σε γαλάζιο φόντο. Έχοντας τα c i και h(n), από τη σχέση της προ-προηγούμενης διαφάνειας, υπολογίζουμε τα b i. 76

77 Τυχ. Διαδικασίες Περίπτωση AR Όταν q = 0, το σύστημα έχει μόνο πόλους και η συνάρτηση μεταφοράς είναι: b(0) b(0) H( z) p Ap ( z) k 1 a ( k) z Η διαδικασία (n) ονομάζεται autoregressive τάξης p και συμβολίζουμε AR(p). Το φάσμα εξόδου είναι: k1 j j ( ) u H ( e ) u P e Οι εξισώσεις Yule-Walker γράφονται: p b(0) j A ( e ) p ( ) p( ) ( ) u (0) ( ), 0 l1 r k a l r k l b k k p 77

78 Τυχ. Διαδικασίες Περίπτωση MA Όταν p = 0, το σύστημα έχει μόνο μηδενικά και η συνάρτηση μεταφοράς είναι: q H ( z) bq ( k) z Η διαδικασία (n) ονομάζεται moving average τάξης q και συμβολίζουμε MA(q). Το φάσμα εξόδου είναι: k0 k j ( j j ) u ( ) u q( ) P e H e B e Οι εξισώσεις Yule-Walker γράφονται: q k u q q l0 r ( k) b ( l k ) b ( l), k 0 78

79 Τυχ. Διαδικασίες Παράδειγμα AR (1/4) Θεωρούμε την τυχαία διαδικασία AR(1) με πραγματικές τιμές, η οποία προκύπτει από την εφαρμογή λευκού θορύβου u(n) με διασπορά σ u = 1 στο all-pole φίλτρο H(z): b(0) un ( ) H() z n ( ) H( z) 1 1 a (1) z Εξίσωση διαφορών εισόδου-εξόδου: n + a 1 n 1 = b 0 u n, n 0. un ( ) n ( ) b(0) z 1 a(1) 79

80 Τυχ. Διαδικασίες Παράδειγμα AR (/4) Αν γνωρίζουμε τις τιμές της αυτοσυσχέτισης, τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές. Οι εξισώσεις Yule-Walker γράφονται: r k a r k b k k ( ) (1) ( 1) (0) ( ) k r r 0 : (0) a(1) ( 1) b ( 0) k 1: r (1) a( 1) r (0) 0 Η διαδικασία AR(p) είναι WSS και πραγματική, οπότε ισχύει η ιδιότητα της συμμετρίας για τις τιμές της αυτοσυσχέτισης: r k = r k Άρα, το σύστημα των εξισώσεων γράφεται: b(0) (0) a(1) r(1) b (0) r (0) r r (1) a(1) r (0) 0 r (1) a(1) r (0) r (0) r (1) 80

81 Τυχ. Διαδικασίες Παράδειγμα AR (3/4) Ομοίως, αν γνωρίζουμε τους συντελεστές, τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε τις τιμές της αυτοσυσχέτισης: r k a r k b k k ( ) (1) ( 1) (0) ( ) Για k 0 παρατηρούμε ότι: k 0 : r a(1) b (0) r( 1 ) (0) k 0 : r ( k) a(1) r ( k 1) 0 k 1: r (1) a(1) r (0) k r a r a a r a r : () (1) (1) (1)[ (1) (0)] [ (1)] (0) k r a r a a r a r 3 3 : (3) (1) () (1)[ (1)] (0) [ (1)] (0) n k n : r ( n) a(1) r ( n 1) [ a(1)] r (0) 81

82 Τυχ. Διαδικασίες Παράδειγμα AR (4/4) Δηλαδή: k r ( k) [ a(1)] r (0) k 0 Άρα: k r ( k) r ( k) [ a(1)] r (0) k 0 k r ( k) [ a(1)] r (0) k Για να βρούμε το r (0) λύνουμε το σύστημα: k 0 : r(0) a(1) r( 1) b (0) k 1: r(1) a(1) r(0) 0 r(0) a(1) r(1) b (0) b (0) r (0) r (1) () 1 ( 0) 1 a (1) a r 8

83 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (1/8) Δίνεται η τυχαία διαδικασία n = Asin(ω 0 n + φ), η οποία ονομάζεται αρμονική διαδικασία πρώτης τάξης (harmonic process), όπου Α είναι σταθερό πλάτος, ω 0 = πf 0 είναι σταθερή γωνιακή ταχύτητα, και φ είναι τυχαία φάση με ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα π φ π. t () ADC ( nt ) ( n) s F s 1/ T s Ζητείται να υπολογιστούν τα μεγέθη: μέση τιμή, αυτοσυσχέτιση, διασπορά, φάσμα ισχύος. Είναι η διαδικασία WSS; Είναι η διαδικασία εργοδική ως προς τη μέση τιμή; 83

84 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (/8) Αφού η τυχαία μεταβλητή φ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα π φ π, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι: f ( a) f 1 ( a) 0 αλλού 1 a F ( a) 0 a 1 1 F ( a) a 84

85 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (3/8) Για να υπολογίζουμε τη μέση τιμή της διαδικασίας, λαμβάνεται υπόψιν ότι η (n) είναι συνάρτηση ως προς n και φ, δηλαδή, n = g n; φ. Οπότε, { ( ; )} ( ; ) ( ) sin( 0 ) 1 E g n g n a f a da A n a da A A sin( n a) da cos( n a) da 0 0 A cos( 0n ) cos( 0n ) A sin0nsin 0 Επομένως, η μέση τιμή είναι μηδενική (σταθερή): m n = m = 0 85

86 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (4/8) Υπολογίζουμε την αυτοσυσχέτιση της διαδικασίας: r ( k, l) E ( k) ( l) E Asin( k ) Asin( l ) 0 0 A E 0 k l 0 k l cos[ ( )] cos[ ( ) ] A E 0 k l E 0 k l cos[ ( )] cos[ ( ) ] A cos[ 0( k l)] Ecos[ 0( k l) ] A cos[ 0( k l)] H αυτοσυσχέτιση εξαρτάται από το k l m: r m = A cos ω 0m 86

87 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (5/8) Υπολογίζουμε τη διασπορά της διαδικασίας: ( n) E ( n) m E ( n) r ( 0) A A cos( 00) H διασπορά είναι σταθερή και είναι φραγμένη: σ n = σ < Δείξαμε ότι: Η μέση τιμή είναι σταθερή: m n = m Η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται από το lag: r k, l = r k l Η διασπορά είναι φραγμένη: σ n = σ < Άρα η αρμονική διαδικασία πρώτης τάξης είναι WSS. 87

88 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (6/8) Υπολογίζουμε τo φάσμα της διαδικασίας: A P ( e ) r ( k) e cos( k) e j jk jk 0 k k A k cos( ke ) A ( 0) ( 0) 0 jk A j P( e ) 0 0 f F s Υπολογίζουμε τη μέση ισχύ της διαδικασίας: 1 j 1 A A E ( n) P ( e ) d 88

89 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (7/8) Για να διαπιστώσουμε αν η διαδικασία είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή, θα ελέγξουμε αν ισχύει το Θεώρημα 1, δηλαδή αν: N 1 1 lim c( k) 0 N N k0 Υπενθυμίζεται πως c (k) είναι η αυτοσυνδιασπορά. Ισχύει ότι: Άρα: A c( k) r ( k) m ( k) r ( k) cos( 0k) k N 1 N 1 N A A c ( k) cos( k) cos( k) N N N 0 0 k0 k0 k0 A A N N N1 N1 j Re 0 k j Re 0 k e e k0 k0 89

90 Τυχ. Διαδικασίες Αρμονική διαδικάσια (8/8) Άρα: N N N N N 1 j0n j0 j 0 j 0 j 0 1 A 1e A e e c( k) Re Re j j0 j 0 j 0 j 0 N k0 N 1 e N e e N N N j j j e e e A Re j j 0 j N 0 e e e A Re j N 0 N e jsin sin j 0 1 N e jsin A sin N sin N 0 N 1 cos A N sin N 0 N j Re e Οπότε, η αρμονική διαδικασία 1 ης τάξης είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή. 0 N 1 90

91 Τέλος Ενότητας 3

92 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 9

93 Σημειώματα

94 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση

95 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Κώστας Μπερμπερίδης. «Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοιωνίες». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ceid1111/ 95

96 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 96

97 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 97

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου)

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Εισαγωγικές Έννοιες για το μάθημα Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Θεωρούμε το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος. Το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 7: Βέλτιστο Φίλτρο Wiener και Γραμμικά Περιορισμένο Φίλτρο Ελάχιστης Διασποράς Εφαρμογή στις Έξυπνες Κεραίες Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 5 η : Αποκατάσταση Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 5 η : Αποκατάσταση Εικόνας Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 5 η : Αποκατάσταση Εικόνας Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις τεχνικές αποκατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 2: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί, Μέσες τιμές συνόλου (Ensemble averages),

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες

Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες 2.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό κάνουμε μια συνοπτική αναφορά στη θεωρία πιθανοτήτων και στις στοχαστικές διαδικασίες. Το μαθηματικό υπόβαθρο αυτό σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Άσκηση 3η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Τα σύγχρονα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 11: Ψηφιακή Διαμόρφωση Μέρος Α Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή διαμόρφωσης παλμών κατά

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 11: Στοχαστικός βέλτιστος έλεγχος γραμμικών συστημάτων με χρήση τετραγωνικών κριτηρίων (LQG Problem) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 7: Universal motor Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 10: Δυναμικός προγραμματισμός Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 10: Ψηφιακή Μετάδοση Βασικής Ζώνης Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση των πινάκων αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει μια εφαρμογή για να γίνει πιο κατανοητός

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Ενότητα: Επαναληπτικές Ασκήσεις Ενότητας 4 Όνομα Καθηγητή: Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 2: Εισαγωγή στον βέλτιστο έλεγχο Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ενότητα 4: Time and Frequency Analysis Διδάσκων: Γεώργιος Στεφανίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Για την περιγραφή ενός συστήματος κρίσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance)

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα : Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Τυχαίες μεταβλητές Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ)

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ενότητα 6: Εναλλασσόμενα τριφασικά κυκλώματα μόνιμης κατάστασης Δ.Ν. Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 3: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις μιας μεταβλητής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 18: Νόμοι Maxwell Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσίασει τις εξισώσεις Maxwell. 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 7: Απόδοση συστημάτων γωνίας υπό θόρυβο Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της γενικής

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 1: Εισαγωγή Περιγραφή Υλής Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληφοροφικής Σκοποί ενότητας Παροχή εισαγωγικών πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα: Ασκήσεις για την ενότητα 5 (Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 4 η : Βελτίωση Εικόνας. Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 4 η : Βελτίωση Εικόνας. Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 4 η : Βελτίωση Εικόνας Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις τεχνικές βελτίωσης εικόνας

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 12: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 4: Απόδοση συστημάτων AM υπό θόρυβο Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της γενικής μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης & Συνδιασποράς 5.7: Μετάδοση Στοχαστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 9: Χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schro dinger. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 9: Χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schro dinger. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 9: Χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schro dinger Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δοθεί η γενική λύση της χρονοεξαρτώμενης

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4 5.9 Η Στοχαστική Ανέλιξη Gauss (οι διαφάνειες ακολουθούν διαφορετική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 10: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 19: Η συνάρτηση Green για την κυματική εξίσωση και θεώρημα Poynting Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 5: Διαμορφώσεις γωνίας Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της διαμόρφωσης συχνότητας και

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Γρηγόριος Μπεληγιάννης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων και Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Έργων. Ενότητα 10: Χρονοπρογραμματισμός έργων (υπό συνθήκες αβεβαιότητας)

Διαχείριση Έργων. Ενότητα 10: Χρονοπρογραμματισμός έργων (υπό συνθήκες αβεβαιότητας) Διαχείριση Έργων Ενότητα 10: Χρονοπρογραμματισμός έργων (υπό συνθήκες αβεβαιότητας) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Φυσική (Ε) Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα